ряды

Ряды
1. Основные понятие числовых рядов.
2. Необходимый признак сходимости числовых рядов.
3. Достаточные признаки сходимости положительных рядов:
а) признак сравнения рядов;
б) признак Даламбера;
в) сходимость знакочередующегося ряда;
г) степенные ряды.
Основные понятие числовых рядов
О. 1. Если числа а1, а2, а3, ... , ап – являются членами некой числовой последовательности ап = f(п), то выражение
∞
а1 + а2 + а3 + ... + ап + ... = ∑ a n
(1)
n =1
называется бесконечным числовым рядом. Числа а1, а2, ... , ап, ... – называются членами ряда, ап = f(п) – общий или п-ый член ряда.
Ряд считается заданным, если известен его общий член ап, т.е. задана функция натурального аргумента f(п).
1
Пример 1. Дан общий член ряда ап = 2
. Записать три первых члена ряда.
п +1
Положим п = 1, 2, 3, тогда а1 = 1/2, а2 = 2/5, а3 = 3/10. В виде (1) ряд запишется так:
1 2 3
1
+ + + ... + 2
+ ...
2 5 10
п +1
∞
Ряд часто записывается в виде ∑ а п .
п =1
Более сложной является обратная задача: по нескольким первым членам
ряда найти функциональную зависимость, описывающую его общий член. Такие задачи могут иметь множество решений, но иногда удается найти самое естественное решение.
2 4 6
Пример 2. Найти общий член ряда + + + ... .
5 9 13
2n
.
Нетрудно убедиться, что ап =
4п + 1
О. 2. Сумма первых п членов числового ряда обозначается Sп и называется п-ой
частичной суммой.
S1 = a1
– 1-я частичная сумма,
S2 = a1 + а 2
– 2-я частичная сумма,
………………………………………………….
Sn = a1 + а2+ ... + ап – п-я частичная сумма.
1
О. 3. Числовой ряд называется сходящимся, если его п-ая частичная сумма при
неограниченном возрастании п стремится к конечному пределу, т.е.
lim S n = S .
n→∞
Число S называют суммой ряда.
Для сходящегося ряда можно записать, что
а1 + а2 + а3 + ... + ап + ... = S.
О. 4. Если же п-ая частичная сумма Sn при неограниченном возрастании п не
стремится к конечному пределу, т.е.
lim S n = ∞ ,
n→∞
то ряд называют расходящимся.
∞
1
Пример 3. Ряд ∑ n сходится.
п =1 2
∞
1
.
n
(
n
+
1
)
п =1
Так как S = lim S n , то найдем частичную сумму ряда Sп.
Пример 4. Найти сумму ряда ∑
n →∞
1
1
1
1
1 1
1
1
1
. Учитывая, что
= 1− ;
= − ;
+
+
+ ... +
1⋅ 2
2 2⋅3 2 3
1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4
n(n + 1)
1
1 1
1
1
1
= − ;…;
, получим:
= −
3⋅ 4 3 4
n(n + 1) n n + 1
1 ⎞
1
n
⎛1
⎛ 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞
.
=
S n = ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ... + ⎜ −
⎟ = 1−
2
2
3
3
4
1
+
1
+
1
+
n
n
n
n
⎝
⎠
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
n
Таким образом, S = lim S n = lim
= 1 , т.е. S = 1.
n →∞
n →∞ n + 1
Sn =
∞
О. 5. Ряд rn = a n +1 + a n + 2 + ... + a n + m + ... , полученный из ряда ∑ a n путем отбраn =1
сывания его первых п членов, называется п-ым остатком ряда.
Замечание. Сумму ряда можно представить в виде
S = а1 + а2 + а3 + ... + ап + ап+1 + ап+2 +... = Sn + rn.
Теорема 1 свойства сходящихся рядов
∞
∞
n =1
n =1
1. Если ряд ∑ a n сходится и имеет сумму S, то и ряд ∑ α ⋅ a n , полученный
умножением каждого члена исходного ряда на число α, то же сходится и
имеет сумму αS.
∞
∞
n =1
∞
n =1
2. Если ряды ∑ a n и ∑ b n сходятся и имеют суммы S1 и S2 соответственно, то и ряд ∑ (a n + bn ) , представляющий сумму этих рядов, также схоn =1
дится и имеет сумму S1 + S2.
2
3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов.
4. чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы lim rn = 0 .
n →∞
Исследование сходимости ряда методом нахождения Sп не всегда возможно и легко, поэтому для решения данной задачи используются признаки сходимости.
Необходимый признак сходимости
Теорема 2 необходимый признак сходимости
Если ряд а1 + аг + а3 + ... + ап + ... сходится, то предел общего члена числового ряда при п →∞ равен нулю, то есть lim а n = 0 .
n→∞
Нарушение данного признака устанавливает расходимость ряда.
Следствие
Если для некоторого ряда lim а n ≠ 0 , то такой ряд является расходящимся.
n→∞
+∞ п2 + 1
Пример 5. Исследовать сходимость ряда: ∑
п =1
п
.
п2 + 1
lim аn = lim
= +∞ .
n → +∞
n → +∞
п
Так как lim аn ≠ 0 , то есть не выполняется необходимый признак сходимости,
n → +∞
то данный ряд является расходящимся.
Замечание. Теорема 2 не является достаточным признаком, т.е. если lim а n = 0 ,
n→∞
то вовсе не обязательно, что ряд сходится.
Продемонстрируем истинность этого утверждения на следующем примере.
∞
1
Пример 6. Исследовать сходимость ряда: ∑ , который называется гармоп =1 п
ническим.
1. Необходимый признак для этого ряда выполнен:
1
lim аn = lim = 0 .
n →∞
n →∞ п
2. Вначале получим вспомогательное неравенство. Запишем сумму первых
2п и п членов ряда:
1 1
1
1 1
1
1
1
+ ... + ; S n = 1 + + + ... + .
S 2 n = 1 + + + ... + +
2 3
2 3
n n +1
2n
n
1
1
Найдем разность S 2 n − S n =
+ ... + .
n +1
2n
3
Заменяя каждое слагаемое полученной разности наименьшим, равным 1 ,
2n
придем к вспомогательному неравенству
1
1
1
1
1 1
S 2n − S n =
+ ... +
>
+ ... +
= n⋅
= .
2n 2 n
n +1
2n
2n 2
3. Теперь предположим противное, что гармонический ряд сходится, тогда
lim S n = lim S 2 n = S .
n →∞
n →∞
1
к пределу, получим, что
2
1
lim S 2 n − lim S n = S − S = 0 > .
n →∞
n →∞
2
Полученное противоречие доказывает ложность предположения о сходимости
гармонического ряда, значит, он является расходящимся.
Таким образом, если для какого-либо ряда необходимый признак выполняется, то соответствующий ряд может и сходиться, и расходиться. Окончательный ответ о сходимости ряда можно получить, используя достаточные признаки сходимости.
Переходя в неравенстве S 2 n − S n >
Достаточные признаки сходимости положительных рядов
Признак сравнения рядов
Теорема 3 признак сравнения рядов
Пусть даны два ряда с положительными членами:
а1 + а2 + а3 + ... + ап + ...
(1),
b1 + b2 + b3 + ... + bп + ...
(2),
причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т.е. ап ≤ bп„ (п = 1, 2, 3, ...). Тогда верна следующие утверждения:
а) если сходится ряд (2), то и ряд (1) сходится;
б) если расходится ряд (1), то и ряд (2) расходится.
Следовательно, если для заданного ряда выполняется необходимый признак сходимости, то для окончательного вывода о сходимости ряда можно взять
похожий по виду ряд с известной сходимостью и использовать признак сравнения рядов.
∞
1
.
n −1
n
⋅
3
п =1
∞
1
1 1
1
Сравним данный ряд с рядом ∑ n −1 = 1 + + 2 + ... + n −1 + ... . Его сумма
3 3
3
п =1 3
равна сумме бесконечно убывающий геометрической прогрессии со знаменатеb
1
1
лем q = , т.е S = 1 =
= 1,5 .
3
1− q 2 / 3
Пример 7. Исследовать на сходимость ряд ∑
4
Так как члены исходного ряда, начиная со второго, меньше членов геометрической прогрессии
1
1
1
1
1
1
< 2 ; …;
< n −1 ; …,
< ;
2
n −1
2 ⋅3 3 3⋅3
3
n⋅3
3
и геометрическая прогрессия сходится, то по первому признаку сравнения сходится и исходный ряд.
∞ 1
.
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд ∑
п =1 п
1
lim а n = lim
= 0 – необходимый признак сходимости выполняется.
n→∞
n→∞ п
∞ 1
Сравним заданный ряд с расходящимся гармоническим рядом ∑ . Члены исп =1 п
ходного ряда, начиная со второго, больше соответствующих членов гармонического ряда:
1
1
1 1
и т.д.
≤
;
≤
2
3
2
3
∞ 1
Значит, ряд ∑
также расходится.
п =1 п
Замечание
При использовании признаков сравнения часто применяют следующие, так
называемые, «эталонные» ряды:
∞
1) сходящийся геометрический ряд ∑ aq n −1 , члены которого образуют бесп =1
конечно убывающую геометрическую прогрессию, если q < 1 ;
∞
1
2) расходящийся гармонический ряд ∑ ;
п =1 п
∞
1
3) обобщенный гармонический ряд ∑ α , который сходится при α > 1 и
п =1 п
расходится при α ≤ 1(докажем этот факт чуть позднее).
Сложность применения признаков сравнения заключается в том, что надо
не только подобрать эталонный ряд, но и доказать неравенство, что не всегда получается тривиально. Поэтому более простым оказывается предельный признак сравнения.
Теорема 4 предельный признак сравнения
5
+∞
+∞
п =1
п =1
Если для рядов ∑ ап и ∑ bп с положительными членами существует конечный предел отношения их членов
аn
= k ≠ 0,
n → +∞ b
п
lim
то эти ряды схо-
дятся или расходятся одновременно.
2n 2 + 5
.
Пример 9. Исследовать на сходимость ряд ∑
n3
п =1
∞
∞
1
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом ∑ :
п =1 п
⎛ 2n 2 + 5 1 ⎞
⎛ 2 n 3 + 5n ⎞
⎟ = 2 ≠ 0.
lim ⎜
: ⎟⎟ = lim ⎜⎜
3
n → +∞⎜
n ⎠ n → +∞⎝ n 3 ⎟⎠
⎝ n
Таким образом, данный ряд расходится вместе с гармоническим.
Признак Даламбера
Теорема 5 признак Даламбера
а n+1
= k , то:
n→∞ а
п
Если для ряда а1 + а2 + а3 + ... + ап + ... существует предел lim
a) если k < 1, то ряд сходится;
б) если k > 1, то ряд расходится;
в) если k = 1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым.
∞
3п
Пример 10. Исследовать сходимость ∑
ряда.
п =1 ( п + 2)!
Пусть ап =
3 п +1
3 ⋅ 3п
3п
, следующий за ним член ряда ап+1 =
.
=
(п + 1 + 2)! (п + 3)!
(п + 2)!
Находим предел отношения
а n+1
:
ап
⎛ 3 ⋅ 3п
а n+1
3п ⎞
3 ⋅ 3 п (п + 2)!
3
⎟⎟ = lim п
:
= lim
= 0.
= lim ⎜⎜
n→∞ а
n → ∞ ( п + 3)! ( п + 2)!
n →∞ 3 ( п + 3)!
n→∞ п + 3
п
⎠
⎝
Получили k = 0 < 1, следовательно, ряд сходится.
lim
Признаки Коши
Теорема 6 радикальный признак Коши
+∞
Если для ряда ∑ ап с положительными членами существует предел
п =1
lim n ап = k , то:
n → +∞
a) при k < 1 ряд сходится;
6
б) при k > 1 ряд расходится;
в) при k = 1 вопрос о сходимости ряда остается открытым.
n
+∞
2
Пример 11. Исследовать по признаку Коши сходимость ряда ∑ ⎛⎜ arctg ⎞⎟ .
n⎠
п =1⎝
n
n
2⎞
2
2⎞
⎛
⎛
Так как ап = ⎜ arct g ⎟ , то n an = n ⎜ arctg ⎟ = arctg .
n⎠
n
n⎠
⎝
⎝
2⎞
⎛
lim n ап = lim ⎜ arctg ⎟ = [arctg 0] = 0 .
n → +∞
n → +∞⎝
п⎠
Таким образом, k = 0 < 1, следовательно, ряд сходится.
Сформулируем еще один достаточный признак сходимости ряда, называемый
интегральным признаком Коши.
Теорема 7 интегральный признак Коши
+∞
Если для ряда ∑ ап с положительными невозрастающими членами (то есть
п =1
a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an ≥ ... ), существует определенная для всех x ≥ 1 непрерывная
невозрастающая функция f(x), для которой
f(1) = а1, f(2) = а2, …, f(п) = ап, … ,
+∞
∫ f (x)dx.
тогда ряд сходится только вместе с интегралом
1
+∞
Пример 12. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд ∑ 1α .
п =1 n
1
. Она при всех x > 0 (а, значит, и при x ≥ 1)
xα
положительная и невозрастающая (точнее убывающая), поэтому сходимость
+∞
dx
исходного ряда равносильна сходимости несобственного интеграла ∫ α .
1 x
Вычислим этот интеграл, рассмотрев несколько случаев.
+∞
b
dx
dx
= lim (ln b − ln 1) = [+ ∞ − 0] = +∞ , т.е. инте1. Ели α = 1, то ∫ α = lim ∫
b → +∞
b → +∞
1 x
1 x
грал расходится.
Рассмотрим функцию f ( x) =
b
b
−α +1
b
⎞
⎛
⎞
−1
2. Ели α > 1, то ∫ dxα = lim ∫ x −α dx = lim ⎛⎜ x
⎟⎟ = lim ⎜⎜
⎟⎟ =
α
−
1
⎜
b → +∞
b → +∞ − α + 1
1 x
1
⎝
⎠ 1 b → +∞⎝ (α − 1) x ⎠ 1
+∞
b
⎛
⎞
⎛
−1
−1
1 ⎞
⎟⎟ = lim ⎜⎜
⎟⎟ = = ⎡ − 1 + 1 ⎤ = 1 ∈ R ,
= lim ⎜⎜
+
α
−
1
α
−
1
⎢⎣ + ∞ α − 1⎥⎦ α − 1
b → +∞ (α − 1) x
α −1⎠
⎝
⎠ 1 b → +∞⎝ (α − 1)b
т.е. интеграл сходится.
7
b
−α +1
b
⎞
⎛ b −α +1
1 ⎞
3. Ели α < 1, то ∫ dxα = lim ∫ x −α dx = lim ⎛⎜ x
⎟
⎜⎜
⎟⎟ =
=
−
lim
⎜
⎟
b → +∞
b → +∞ − α + 1
1 x
1
⎝
⎠ 1 b → +∞⎝ − α + 1 − α + 1 ⎠
+∞
1 ⎤
⎡
= ⎢+ ∞ +
= +∞ , т.е. интеграл расходится.
α − 1⎥⎦
⎣
+∞
Таким образом, ряд ∑ 1α сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1 .
п =1 n
Сходимость знакочередующегося ряда
О. 6. Ряд называется знакочередующимся, если любые два его соседних члена
имеют противоположные знаки.
+∞
Обычно, знакочередующиеся ряды записывают в виде ∑ (−1) n a n .
п =1
Теорема 8 признак Лейбница
Если для знакочередующегося ряда выполняются следующие условия:
1) члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине;
2) предел п-го члена ряда равен нулю, т.е. lim а n = 0 ;
n→∞
то ряд сходится, а его сумма не превосходит модуля первого члена ряда.
+∞
(−1) n −1
.
Пример 13. Исследовать сходимость ряда ∑
n2
п =1
1
1
1
1
Так как 1 > 2 > 2 > ... > 2 > ... и lim 2 = 0 , то по признаку Лейбница
n → +∞ n
2
3
n
ряд сходится.
Следствие
Погрешность при приближенном вычислении суммы знакочередующегося
ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, по абсолютной величине не превосходит модуля первого отброшенного члена, т.е. rn ≤ a n +1 .
(−1) n −1
надо взять, чтобы вычис2
n
п =1
+∞
Пример 14. Какое число членов ряда ∑
лить сумму ряда с точностью до 0,001?
По условию rn < 0,001, однако, учтя следствие, можно записать более
1
1
≤
, т.е. (n + 1) 2 ≥ 1000 ,
сильное неравенство a n + 1 ≤ 0 , 001 или
2
1000
(n + 1)
откуда n ≥ 1000 − 1 или n ≥ 30,6 . Таким образом, необходимо взять 31 член ряда.
О. 7. Ряд называется знакопеременным, если любой его член может быть как
положительным, так и отрицательным.
Теорема 9 достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
8
+∞
Если ряд ∑ ап , составленный из абсолютных значений знакопеременного
п =1
+∞
ряда ∑ ап сходится, то сам ряд сходится.
п =1
+∞
О. 8. Знакопеременный ряд ∑ ап называется абсолютно сходящимся, если ряд
п =1
+∞
+∞
+∞
п =1
п =1
п =1
∑ ап сходится. Если же ряд ∑ ап расходится, а ряд ∑ ап сходится, то
его называют условно сходящимся.
Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды сходятся в силу того, что их
члены быстро убывают, а условно сходящиеся – в результате того, что положительные и отрицательные их члены взаимно уничтожают друг друга.
Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно отличаются. Абсолютно сходящиеся ряды можно складывать, перемножать, переставлять
местами члены ряда.
Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. Теорема Римана, например, гласит, что от перестановки членов условно сходящегося ряда
можно получить ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.
Степенные ряды
До сих пор мы рассматривали ряды, членами которых были числа, т.е. числовые ряды. Теперь перейдем к рассмотрению рядов, членами которых являются функции.
О. 9. Степенным называется ряд вида:
С0 + С1х + С2х2 + ... + Спхп + ... ,
где: С0, С1, С2, ... ,Сп, ... – коэффициенты степенного ряда. Переменная х
может принимать любые значения. При каждом фиксированном х степенной ряд превращается в некоторый числовой ряд.
∞ хп
∞ 2п
Например, степенной ряд ∑
; при х = 2 он обращается в в числовой ряд ∑
.
п=1 п + 3
п=1 п + 3
О. 10. Если для какого-то значения х ряд является сходящимся (расходящимся),
то говорят, что при данном значении х ряд сходится (расходится).
Поэтому, применительно к степенным рядам, вопрос о сходимости связывается с определением тех значений х, при которых заданный ряд сходится или расходится.
О. 11. Совокупность значений х, при которых заданный степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.
Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля.
9
Теорема 10 Абеля
1. Если степенной ряд сходится при значении х = х0 ≠ 0, то он сходится,
причем абсолютно, и при всех таких значениях х, что x < x0 .
2. Если степенной ряд расходится при значении х = х1, то он расходится и
при всех таких значениях х, что x > x1 .
Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R ≥ 0 , что при
x < R ряд сходится, а при x > R – расходится. Это число R называют радиусом
сходимости, а множество (–R; R) – интервал сходимости.
Определение области сходимости ведется путем определения сначала радиуса сходимости R степенного ряда. Если известен радиус сходимости, то записывается интервал сходимости (–R; R), который симметричен относительно точки x = 0. Для определения области сходимости исследуют еще сходимость ряда
на концах найденного интервала, то есть в точка х = ± R.
Теорема 11
Радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле:
C
R = lim n .
n → +∞ C
n +1
Для радиуса сходимости различают три случая:
1) при R = ∞ степенной ряд сходится при всех действительных значениях x;
2) при R = 0 интервал сходимости вырождается в точку x = 0 (т.е. степенной ряд
сходится только при х = 0);
3) при R > 0 интервал сходимости является ограниченным (–R; R), т.е при х ∈ (–
R; R) соответствующий степенной ряд сходится, а при х ∉ (–R; R) ряд расходится. На границах интервала, т.е. при х = –R и х = R, ряд может сходится, может и
расходится. Уточнение этого вопроса связано с исследованием сходимости числовых рядов, в которые обращается заданный ряд при х = –R и х = R.
+∞
2n x n
Пример 15. Найти область сходимости ряда ∑
.
2
п =1 ( 2n + 1)
3n
1. Найдем радиус сходимости ряда:
Cn
2n
2 n +1
2 n (2n + 3) 2 3n +1
= lim
= lim
=
R = lim
:
n → +∞ C
n → +∞
(2n + 1) 2 3n (2n + 2 + 1) 2 3n +1 n → +∞ 2 n +1 (2n + 1) 2 3n
n +1
2
3 (2n + 3) 2
3
3
⎛ 2n + 3 ⎞
=
lim
lim
=
.
⎜
⎟
n → +∞ 2( 2n + 1) 2
2 n → +∞⎝ 2n + 1 ⎠
2
⎛
3 3⎞
⎟⎟ .
2. Таким образом, интервал сходимости ряда ⎜⎜ −
;
2
2
⎠
⎝
10
3. Осталось выяснить сходимость ряда на концах интервала. Пусть x = −
3
,
2
(−1) n
тогда исходный ряд принимает вид ∑
. Это знакочередующийся ряд,
2
п =1 ( 2n + 1)
1
для которого выполняется признак Лейбница: lim
=0 и
n → +∞ ( 2n + 1) 2
1 1
1
1
>
>
> ... >
> ... ,
9 25 49
(2n + 1) 2
следовательно, ряд сходится.
3
4. Пусть теперь x =
, тогда исходный ряд принимает вид
2
1
1
1
1 + 2 + 2 + ... +
+ ... .
3 5
(2n + 1) 2
+∞
1
Это обобщенный гармонический ряд ∑ 2 , у которого все члены с четными
п =1 n
номерами равны нулю, тогда ряд сходится, так как α = 2 > 1.
+∞
⎡
⎤
Таким образом, область сходимости степенного ряда имеет вид ⎢− 3 ; 3 ⎥ .
⎣
Ряд Маклорена
11
2
2 ⎦