Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №3 с углубленным изучением отдельных предметов» города Котовска Тамбовской области ПОРТФОЛИО ПРОЕКТА Теория вероятности. Формулы полной вероятности и Байеса. Авторы проекта: ученик 10 класса В Авраменко Максим Руководитель проекта: учитель математики Артюхова Ольга Вячеславовна Котовск 2020 Содержание Введение……………………………………………………………………3 1)События ………………………………………………………………….5 -Виды событий…………………………………………………………..5 -Совместные и несовместные события. Противоположные события. Полная группа событий…………………………………………………6 2)Алгебра событий…………………………………………………………9 3)Вероятность события…………………………………………………….12 4)Элементы комбинаторики……………………………………………….16 5)Формулы полной вероятности и Байеса………………………………..23 -Формула полной вероятности………………………………………….23 -Формула Байеса…………………………………………………………24 6)Составление задачи………………………………………………………27 7)Заключение……………………………………………………………….30 8)Источники………………………………………………………………..31 2 Введение Теория вероятности - математическая наука, которая изучает математические модели случайных явлений, вычисляет вероятности наступления определенных событий. Следует помнить то, что мы живем в мире, где происходят случайные события, и то, что закономерности пробиваются через массу случайностей. Чем сложнее система, тем труднее обнаружить закономерности. Именно в этих случаях и используют вероятностные методы. Так и мне недавно пришлось столкнуться с вероятностями. Я решил собрать компьютер, но комплектующие пришлось заказывать через интернет через сайт. Но существовала вероятность, что какая то из особенно дорогих частей могла прийти бракованной или затеряться при транспортировке и не дойти до меня совсем. Эту вероятность я, чисто из интереса, решил рассчитать. В данной проектной работе, я излагаю тот материал, который пришлось изучить по данному вопросу для составления практической задачи. Цель работы: Узнать и научиться применять способы, с помощью которых можно высчитывать математические вероятности Задачи: -Изучить основы науки “Теория вероятности” -Изучить материал необходимый для составления практических задач -Составить и решить свою практическую задачу Гипотеза – Вероятности и риски можно рассчитать при помощи математических формул Теория вероятностей. Первое и очень важное. Что изучает эта наука? Многим в голову наверняка пришли мысли вроде «вероятность дождя велика», «вероятность выигрыша в лотерею мала», «орёл и решка выпадают с вероятностью 50 на 50» и т.п. Но тогда сразу возникает вопрос, при чём здесь наука? Пожалуйста, прямо сейчас возьмите в руки монету и скажите, какой гранью она выпадет после броска? …Совсем не похоже на теорию – скорее какое-то гадание…. И действительно, обывательское понимание вероятности больше смахивает на некое предсказание, часто с изрядной долей мистицизма и суеверий. Теория же вероятностей изучает вероятностные закономерности массовых однородных случайных событий. То есть, у неё нет цели что-либо угадать, например, результат броска той же монеты в единичном эксперименте. Однако если одну и ту же монету в одинаковых условиях подбрасывать сотни и тысячи раз, то будет прослеживаться чёткая закономерность, описываемая вполне жёсткими законами. 3 Другой пример. Вокруг каждого из нас летают молекулы воздуха. Некоторые из них обладают высокой, некоторые средней, а некоторые – низкой скоростью. Не имеет смысла угадывать скорость отдельно взятых молекул; но их массовый учёт находит самое широкое применение в теоретических и прикладных физических исследованиях. Обратите внимание, что самолёты «умеют» летать, газовые и паровые котлы обычно не взрываются, а чайники при кипении не скачут по кухне. За многими и многими, казалось бы, обыденными фактами и событиями кроются серьёзные вероятностно-статистические расчёты. 4 События. Виды событий Одно из базовых понятий уже озвучено выше – это событие. События бывают достоверными, невозможными и случайными. Достоверным называют событие, которое в результате испытания (осуществления определенных действий, определённого комплекса условий) обязательно произойдёт. Например, в условиях земного тяготения подброшенная монета непременно упадёт вниз. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания. Пример невозможного события: в условиях земного тяготения подброшенная монета улетит вверх. И, наконец, событие называется случайным, если в результате испытания оно может, как произойти, так и не произойти, при этом должен иметь место принципиальный критерий случайности: случайное событие – есть следствие случайных факторов, воздействие которых предугадать невозможно или крайне затруднительно. Пример: в результате броска монеты выпадет «орёл». В рассмотренном случае случайные факторы – это форма и физические характеристики монеты, сила/направление броска, сопротивление воздуха и т.д. Подчёркнутый критерий случайности очень важен – так, например, карточный шулер может очень ловко имитировать случайность и давать выигрывать жертве, но ни о каких случайных факторах, влияющих на итоговый результат, речи не идёт. Любой результат испытания называется исходом, который, собственно и представляет собой появление определённого события. В частности, при подбрасывании монеты возможно 2 исхода (случайных события): выпадет орёл, выпадет решка. Естественно, подразумевается, что данное испытание проводится в таких условиях, что монета не может встать на ребро или, скажем, зависнуть в невесомости. События (любые) обозначают большими латинскими буквами либо теми же буквами с подстрочными индексами, например: . Исключение составляет буква которая зарезервирована под другие нужды. , Запишем следующие случайные события: – в результате броска монеты выпадет «орёл»; – в результате броска игральной кости (кубика) выпадет 5 очков; 5 – из колоды будет извлечена карта трефовой масти (по умолчанию колода считается полной). Да, события прямо так и записывают в практических задачах, при этом в уместных случаях удобно использовать «говорящие» подстрочные индексы (хотя можно обойтись и без них). Следует в третий раз подчеркнуть, что случайные события обязательно удовлетворяют вышеприведённому критерию случайности. В этом смысле снова показателен 3-й пример: если из колоды изначально удалить все карты трефовой масти, то событие становится невозможным. Наоборот, если испытателю известно, что, например, дама треф лежит снизу, то он при желании может сделать событие достоверным =) Другая важная характеристика событий – это их равновозможность. Два или большее количество событий называют равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другие. Например, выпадение орла или решки при броске монеты; выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков при броске игрального кубика; извлечение карты трефовой, пиковой, бубновой или червовой масти из колоды. Могут ли быть те же события не равновозможными? Могут! Например, если у монеты или кубика смещён центр тяжести, то гораздо чаще будут выпадать вполне определённые грани. Совместные и несовместные события. Противоположные события. Полная группа событий События называют несовместными, если в одном и том же испытании появление одного из событий исключает появление других событий. Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий. Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с чёрточкой вверху. Например: – в результате броска монеты выпадет орёл; – в результате броска монеты выпадет решка. Совершено ясно, что в отдельно взятом испытании появление орла исключает появление решки (и наоборот), поэтому данные события и называются несовместными. Противоположные события легко формулируются из соображений элементарной логики: 6 – в результате броска игрального кубика выпадет 5 очков; – в результате броска игрального кубика выпадет число очков, отличное от пяти. Либо пять, либо не пять – третьего не дано, т.е. события несовместны и противоположны. Множество несовместных событий образуют полную группу событий, если в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий. Очевидно, что любая пара противоположных событий (в частности, примеры выше) образует полную группу. Однако в различных задачах с одним и тем же объектом могут фигурировать разные события, например, для игрального кубика характерно рассмотрение следующего набора: – в результате броска игрального кубика выпадет 1 очко; – … 2 очка; – … 3 очка; – … 4 очка; – … 5 очков; – … 6 очков. События несовместны (поскольку появление какой-либо грани исключает одновременное появление других) и образуют полную группу (так как в результате испытания непременно появится одно из этих шести событий). Ещё одно важное понятие, которое нам скоро потребуется – это элементарность исхода (события). Если совсем просто, то элементарное событие «нельзя разложить на другие события». Например, события элементарны, но событие не является таковым, так как подразумевает выпадение 1, 2, 3, 4 или 6 очков (включает в себя 5 элементарных исходов). Совместные события менее значимы с точки зрения решения практических задач, но обходить их стороной не будем. События называются совместными, если в отдельно взятом испытании появление одного из них не исключает появление другого. Например, Если быть совсем лаконичным, одно не исключает другого. Понятие совместности охватывает и большее количество событий: – завтра в 12.00 будет дождь; – завтра в 12.00 будет гроза; – завтра в 12.00 будет солнце. 7 Ситуация, конечно, довольно редкая, но совместное появление всех трёх событий в принципе не исключено. Следует отметить, что перечисленные события совместны и попарно, т.е. может быть только ливень с грозой или грибной дождик, или погромыхает неподалёку на фоне ясного неба. 8 Алгебра событий Пожалуйста, запомните ВАЖНЕЙШЕЕ ПРАВИЛО, без которого освоить просто нереально: Операция сложения событий означает логическую связку ИЛИ, а операция умножения событий – логическую связку И. 1) Суммой двух событий и называется событие которое состоит в том, что наступит или событие или событие или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны, последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие или событие . Правило распространяется и на большее количество слагаемых, например, событие состоит в том, что произойдёт хотя бы одно из событий , а если события несовместны – то одно и только одно событие из этой суммы: или событие , или событие , или событие , или событие , или событие . Примеры: События (при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков. Событие (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2очка. Событие (будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или 2 или 4 или 6 очков. Чуть занятнее дело с совместными событиями: Событие состоит в том, что завтра в 12.00 наступит хотя бы одно из суммируемых совместных событий, а именно: – или будет только дождь / только гроза / только солнце; – или наступит только какая-нибудь пара событий (дождь + гроза / дождь + солнце / гроза + солнце); – или все три события появятся одновременно. То есть, событие включает в себя 7 возможных исходов. Второй столп алгебры событий: 2) Произведением двух событий и называют событие , которое состоит в совместном появлении этих событий, иными словами, умножение означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие , и событие . Аналогичное утверждение справедливо и для большего количества событий, так, например, 9 произведение произойдёт и событие подразумевает, что при определённых условиях , и событие , и событие , …, и событие . Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монеты и следующие события: – на 1-й монете выпадет орёл; – на 1-й монете выпадет решка; – на 2-й монете выпадет орёл; – на 2-й монете выпадет решка. Тогда: – событие состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет орёл; – событие состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет решка; – событие состоит в том, что на 1-й монете выпадет орёл и на 2-й монете решка; – событие состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орёл. Нетрудно заметить, что события несовместны (т.к. не может, например, выпасть 2 орла и в то же самое время 2 решки) и образуют полную группу(поскольку учтены все возможные исходы броска двух монет). Давайте просуммируем данные события: . Как интерпретировать эту запись? Очень просто – умножение означает логическую связку И, а сложение – ИЛИ. Таким образом, сумму легко прочитать понятным человеческим языком: «выпадут два орла или две решки или на 1-й монете выпадет орёл и на 2-й решка или на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орёл » Это был пример, когда в одном испытании задействовано несколько объектов, в данном случае – две монеты. Другая распространенная в практических задачах схема – это повторные испытания, когда, например, один и тот же игральный кубик бросается 3 раза подряд. В качестве демонстрации рассмотрим следующие события: – в 1-м броске выпадет 4 очка; – во 2-м броске выпадет 5 очков; – в 3-м броске выпадет 6 очков. 10 Тогда событие состоит в том, что в 1-м броске выпадет 4 очка и во 2-м броске выпадет 5 очков и в 3-м броске выпадет 6 очков. Очевидно, что в случае с кубиком будет значительно больше комбинаций (исходов), чем, если бы мы подбрасывали монету. 11 Вероятность события Вероятность события – это центральное понятие теории вероятностей. Существует несколько способов определения вероятности: Классическое определение вероятности; Геометрическое определение вероятности; Статистическое определение вероятности. Но мы остановимся на одном – на классическом Обозначения. Вероятность некоторого события обозначается большой латинской буквой , а само событие берётся в скобки, выступая в роли своеобразного аргумента. Например: – вероятность того, что в результате броска монеты выпадет «орёл»; – вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет 5 очков; – вероятность того, что из колоды будет извлечена карта трефовой масти. Также для обозначения вероятности широко используется маленькая буква . В частности, можно отказаться от громоздких обозначений событий и их вероятностей в пользу следующей стилистики:: – вероятность того, что в результате броска монеты выпадет «орёл»; – вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет 5 очков; – вероятность того, что из колоды будет извлечена карта трефовой масти. Данный вариант популярен при решении практических задач, поскольку позволяет заметно сократить запись решения. Как и в первом случае, здесь удобно использовать «говорящие» подстрочные/надстрочные индексы. Классическое определение вероятности: Вероятностью наступления события отношение в некотором испытании называют , где: – общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, которые образуют полную группу событий; 12 – количество элементарных исходов, благоприятствующих событию . При броске монеты может выпасть либо орёл, либо решка – данные события образуют полную группу, таким образом, общее число исходов ; при этом, каждый из них элементарен и равновозможен. Событию благоприятствует сход (выпадение орла). По классическому определению вероятностей: и . Аналогично – в результате броска кубика может появиться элементарных равновозможных исходов, образующих полную группу, а событию благоприятствует единственный исход (выпадение пятёрки). Поэтому: . Вероятности можно выразить и в процентах, например: вероятность выпадение орла равна , выпадения пятёрки , извлечения трефы , но этого делать непринято (хотя не возбраняется прикидывать проценты в уме). Принято использовать доли единицы, и, очевидно, что вероятность может изменяться в пределах . При этом если , то событие является невозможным, если – достоверным, а если , то речь идёт о случайном событии. При классическом подходе к определению вероятности крайние значения (ноль и единица) получаются посредством точно таких же рассуждений. Пусть из некой урны, в которой находятся 10 красных шаров, наугад извлекается 1 шар. Рассмотрим следующие события: – из урны будет извлечён красный шар; – из урны будет извлечён зелёный шар. Общее количество исходов: . Событию благоприятствуют все возможные исходы , следовательно, , то есть данное событие достоверно. Для 2-го же события благоприятствующие исходы отсутствуют , поэтому событие невозможно. , то есть 13 Особый интерес представляют события, вероятность наступления которых чрезвычайно мала. Хоть такие события и являются случайными, для них справедлив следующий постулат: в единичном испытании маловозможное событие не произойдёт. Есть противоположный принцип: если вероятность некоторого события очень близка к единице, то в отдельно взятом испытании оно практически достоверно произойдёт. Поэтому перед прыжком с парашютом не надо бояться, наоборот – улыбайтесь! Ведь должны сложиться совершенно немыслимые и фантастические обстоятельства, чтобы отказали оба парашюта. Хотя всё это лирика, поскольку в зависимости от содержания события первый принцип может оказаться весёлым, а второй – грустным; или вообще оба параллельными. Сумма вероятностей событий, которые образуют полную группу, равна единице. Грубо говоря, если события образуют полную группу, то со 100%-й вероятностью какое-то из них произойдёт. В самом простом случае полную группу образуют противоположные события, например: – в результате броска монеты выпадет орёл; – в результате броска монеты выпадет решка. По теореме: Совершенно понятно, что данные события равновозможны и их вероятности одинаковы . По причине равенства вероятностей равновозможные события часто называют равновероятными. А вот и скороговорка на определение степени опьянения получилась =) Пример с кубиком: события поэтому противоположны, . Рассматриваемая теорема удобна тем, что позволяет быстро найти вероятность противоположного события. Так, если известна вероятность того, что выпадет пятёрка, легко вычислить вероятность того, что она не выпадет: Это гораздо проще, чем суммировать вероятности пяти элементарных исходов. Для элементарных исходов, к слову, данная теорема тоже 14 справедлива: События , как отмечалось выше, равновозможны – и теперь мы можем сказать, что равновероятны. Вероятность выпадения любой грани кубика равна : Ну и на закуску колода: поскольку нам известна вероятность того, что будет извлечена трефа, то легко найти вероятность того, что будет извлечена карта другой масти: Заметьте, что рассмотренные пары событий равновероятны, как оно чаще всего и бывает. и не В упрощенной версии записи решения вероятность противоположного события стандартно обозначается строчной буквой . Например, если – вероятность того, что стрелок попадёт в цель, то – вероятность того, что он промахнётся. В теории вероятностей буквы то других целях. и нежелательно использовать в каких- 15 Элементы комбинаторики КОМБИНАТОРИКА Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике. Правила сложения и умножения в комбинаторике Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами. Пример 1. В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного? Решение Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек. По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами. Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены: способами. Пример 2. В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных? Решение Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами. 16 После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами. По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами. Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способамиможно выбрать m из n различных предметов? Пример 3. Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать? Решение Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4: . Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m ( ) из этих (n*r) предметов? . Пример 4. В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных? Решение Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4. . Размещения без повторений. Размещения с повторениями Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способамиможно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов? 17 Пример 5. В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии? Решение. В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента: Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами. Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способамиможно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которыхесть одинаковые? Пример 6. У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик? Решение Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5: . Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способамиможно разместить n различных предметов на n различных местах? Пример 7. Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»? Решение 18 Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е. Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k < n), т. е. есть одинаковые предметы. Пример 8. Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»? Решение Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно 19 Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей Пусть А и В – два события, рассматриваемые в данном испытании. При этом наступление одного из событий может влиять на возможность наступления другого. Например, наступление события А может влиять на событие В или наоборот. Для учёта такой зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности. Определение. Если вероятность события В находится при условии, что событие А произошло, то получаемая вероятность события В называется условной вероятностью события В. Для обозначения такой условной вероятности используются символы: рА(В) или р(В / А). Замечание 2. В отличие от условной вероятности, рассматривается и “безусловная” вероятность, когда какие-либо условия наступления некоторого события В отсутствуют. Пример. В урне 5 шаров, среди которых 3 красных и 2 синих. Поочерёдно из неё извлекают по одному шару с возвратом и без возврата. Найти условную вероятность извлечения во второй раз красного шара при условии, что в первый раз извлечён: а) красный шар; б) синий шар. Пусть событие А – извлечение красного шара в первый раз, а событие В – извлечение красного шара во второй раз. Очевидно, что р(А) = 3 / 5; тогда в случае, когда вынутый 1-й раз шар возвращается в урну, р(В)=3/5. В случае же когда вынутый шар не возвращается, вероятность извлечения красного шара р(В) зависит от того, какой шар был извлечён в первый раз – красный (событие А) или синий (событие ). Тогда в первом случае рА(В) = 2 / 4, а во втором ( В ) = 3 / 4. Теорема умножения вероятностей событий, одно из которых совершается при условии совершения другого Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло: р(А ∙ В) = р(А) ∙ рА(В) . (1.7) Доказательство. Действительно, пусть n – общее число равновозможных и несовместных (элементарных) исходов испытания. И пусть n1 – число исходов, благоприятствующих событию А, которое наступает вначале, а m – число исходов, в которых наступает событие В в предположении, что событие Анаступило. Таким образом, m – это число исходов, благоприятствующих событию В. Тогда получим: р(А ∙ В) = = ∙ = ∙ = р(А) ∙ рА(В). Если события А и В поменять ролями в отношении первичного и вторичного совершения, то получим: р(В ∙ А) = р(В) ∙ рВ(А). 20 Таким образом, в общем случае будем иметь: р(А ∙ В) = р(А) ∙ рА(В) = р(В) ∙ рВ(А). ч. и т. д. (1.8) Теорема умножения (формула (1.7)) для произвольного числа событий обобщается и имеет вид: Т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других, причём условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли. Пример. В команде из 10 спортсменов 4 мастера спорта. По жеребьёвке из команды выбирают 3-х спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены – мастера спорта? Решение. Приведём задачу к “урновой” модели, т.е. будем считать, что в урне, содержащей 10 шаров, имеется 4 красных шара и 6 белых. Из этой урны наудачу извлекаются 3 шара ( выборка S = 3 ). Пусть событие А состоит в извлечении 3-х шаров. Задачу можно решить двумя способами: по классической схеме и по формуле (1.9). Первый способ, основанный на формуле комбинаторики: р(А) = = = . Второй способ (по формуле (1.9)). Из урны последовательно без возвращения извлекаются 3 шара. Пусть А1 – первый извлечённый шар красный, А2 – второй извлечённый шар красный, А3 – третий извлечённый шар красный. Пусть также событие А означает, что все 3 извлечённых шара – красные. Тогда: А = А1 ∙ (А2/ А1) ∙ А3 / (А1 ∙ А2), т.е. Пример. Пусть из совокупности карточек а, а, р, б, о, т последовательно извлекаются карточки по одной. Какова вероятность получения слова “работа” при последовательном складывании их в одну строку слева направо? Пусть В – событие, при котором получается заявленное слово. Тогда по формуле (1.9) получим: р( В ) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360. Теорема умножения вероятностей приобретает наиболее простой вид, когда произведение образуется независимыми друг от друга событиями. Определение. Событие В называется независимым от события А, если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет. Два события называются независимыми ( зависимыми ), если появление одного из них не изменяет (изменяет) вероятность появления другого. Таким образом, для независимых событий р(В/A) = р(В) или = р(В), а для зависимых событий р(В/A) р(В) или р(В). Утверждение. Если событие В не зависит от А, то и событие А не зависит от В. 21 Действительно, если по условию событие В не зависит от А, то р(В/A) = р(В). Запишем теорему умножения вероятностей (1.8) в двух формах: р(А ∙ В) = р(А) ∙ р(В/A) = р(В) ∙ р(А/B). Заменяя р(В/A) на р(В), получим р(А) ∙ р(В) = р(В) ∙ р(А/B), откуда, предполагая р(В) 0, получим р(А/B) = р(А), т.е. событие А не зависит от В, ч. и т. д. Таким образом, независимость и зависимость событий всегда взаимны. Поэтому справедливо следующее определение независимости (зависимости) событий. 22 Формулы полной вероятности и Байеса Формула полной вероятности Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B1, B2, …, Bn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: P(A) = P(B1)PB1(A)+P(B2)PB2(A)+…+P(Bn)PBn(A) Эту формулу называют «формулой полной вероятности». Доказательство. По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий . B1, B2, … , Bn Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий B1A, B2A, …, BnA. Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим P(A)=P(B1A)+P(B2A)+…+P(BnA) Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем P(B1A)=P(B1)*PB1(A) P(B2A)=P(B2)*P B2(A);…;P(BnA)=P(Bn)PBn(A) Подставив правые части этих равенств в соотношение (*), получим формулу полной вероятности P(A)=P(B1)PB1(A)+P(B2)PB2(A)+…+P(Bn)PBn(A) Пример 1. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго—0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) — стандартная. Решение. Обозначим через А событие «извлеченная деталь стандартна». 23 Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие B1), либо из второго (событие B2). Вероятность того, что деталь вынута из первого набора, P(B1)=1/2. Вероятность того, что деталь вынута из второго набора, P(B2)=1/2. Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, PB1(A)=0,8. Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь PB2(A)=0,9. Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь — стандартная, по формуле полной вероятности равна P(A)=P(B1)PB1(A)+PB2PB2(A)=0,5*0,8+0,5*0,9=0,85 Пример 2. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке—10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной. Решение. Обозначим через А событие «из первой коробки извлечена стандартная лампа». Из второй коробки могла быть извлечена либо стандартная лампа (событие B1), либо нестандартная (событие B2). Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная лампа, P(B1)=9/10. Вероятность того, что из второй коробки извлечена нестандартная лампа, P(B2)=1/10. Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена стандартная лампа, равна PB1(A)=19 /21. Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена нестандартная лампа, равна PB2(A)=18 /21 Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена стандартная лампа, по формуле полной вероятности равна P(A)+P(B1)PB1(A)+P(B2)PB2(A)= 9/10*19/21+1/10*18/21=0,9 Вероятность гипотез. Формулы Байеса Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий B1, B2, …, Bn, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события A определяется по формуле полной вероятности: 24 P(A)=P(B1)PB1(A)+P(B2)PB2(A)+…+P(Bn)PBn(A) Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности PA(B1), PA(B2), …, PA(Bn) Найдем сначала условную вероятность PA(B1). ПО теореме умножения имеем P(AB1)+P(A)PA(B1)=P(B1)PB1(A) Отсюда PA(B1)=( P(B1)PB1(A) )/( P(A) ) Заменив здесь Р (А) по формуле (*), получим PA(B1)=( P(B1)PB1(A) )/( P(B1)PB1(A)+P(B2)PB2(A)+…+P(Bn)PBn(A) ) . Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т. е. условная вероятность любой гипотезы Bi (i=1, 2, …, n) может быть вычислена по формуле P(B) =( P(Bi)PB1(A) )/( P(B2)PB1(A)+P(B2)PB2(A)+…+P(Bn)PBn(A) ) Полученные формулы называют формулами Байеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.). Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А. Пример. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму — 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым—0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер. 25 Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предположения: 1)деталь проверил первый контролер (гипотеза B1); 2)деталь проверил второй контролер (гипотеза B2). Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контролер, найдем по формуле Байеса: PA(B1)=( P(B1)PB1(A) )/( P(B1)PB1(A)+P(B2)PB2(A) ) По условию задачи имеем: P(B1)=0,6 (вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру); P(B2)=0,4 (вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру); PB1(A)=0,94 (вероятность того, что годная деталь будет признана первым контролером стандартной); PB2(A)=0,98 (вероятность того, что годная деталь будет признана вторым контролером стандартной). Искомая вероятность PA(B1)=( 0,6*0,94 ) / (0,6 * 0,94 + 0,4*0,98) = 0,59 Как видно, до испытания вероятность гипотезы B1 равнялась 0,6, после того, как стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы (точнее, условная вероятность) изменилась и стала равной 0,59. Таким образом, использование формулы Байеса позволило переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы 26 Составление задачи Итак, при сборке компьютера нам необходимы следующие составляющие: Процессор Охлаждение Материнская плата Жёсткий диск Твердотельный накопитель Видео-карта Оптический привод Беспроводная связь Корпус Блок питания Для того чтобы узнать шанс, с которым деталь может дойти в повреждённом не рабочем виде или вообще не прийти, я решил разделить количество недовольных отзывов с сайта, в которых говорится именно о том, что деталь у получателя не функционирует, на количество всех отзывов о данной детали. Такая информация, основанная на отзывах, будет хоть и не полностью достоверна, но будет максимальна приближена к таковой. После проверки отзывов на сайте “Амазон” для подобранных комплектующих, я получил следующие данные: Вероятности плохой детали: Процессор: 3/47= 0,063 Охлаждение: 5/82= 0,0609 Материнская плата: 1/80= 0,0125 Жёсткий диск: 5/71=0,070 Твердотельный накопитель: 3/79= 0,037 Видео-карта: 2/57= 0,035 Оптический привод: 2/61=0,032 Беспроводная связь: 4/41= 0,097 Корпус: 3/98=0,030 Блок питания: 1/97= 0.010 Стоимость 3 из 10 деталей составляет больше 15000р. Процессор Материнская плата Видео-карта Стоимость 6 из 10 деталей составляет больше 3000р но меньше 15000 рублей Охлаждение 27 Жёсткий диск Оптический привод Блок питания Твердотельный накопитель Беспроводная связь Стоимость 1 из 10 деталей составляет меньше 3000р Корпус Таким образом, вероятность того что случайно взятая деталь 1)Дорогая: 3/10= 0,3 2)Средняя: 6/10= 0,6 3)Дешёвая 1/10= 0,1 Найти: Вероятность того что пришедшая деталь бракованная Вероятность того что бракованная деталь принадлежит самой дорогой категории Решение Обозначим события: “A” – деталь пришла бракованной или не пришла совсем “Hi” – Выбранная деталь принадлежит к i ценовой категории” Гипотезы H1, H2, H3 образуют полную группу несовместимых событий По условию P(H1) = 0,3 P(H2) = 0,6 P(H3) = 0,1 Найдём вероятность, что случайно взятая деталь в группе будет бракованной по формуле полной вероятности P(A| H1) = 0,063*1/3+0,0125*1/3+0,035*1/3=0,021+0.00416666+0,01166666=0,0368 P(A|H2) = 0,0609*1/6+0,070*1/6+0,037*1/6+0,032*1/6+0,097*1/6+0.010*1/6 = 0,01015+0,0116+0,00616+0,00533+0,01616+0,001677 = 0,051077 P(A|H3) = 0,03*1/1=0,03 По формуле полной вероятности: P(A)= P(H1)* P(A| H1)+ P(H2)* P(A|H2)+ P(H3)* P(A|H3) P(A)= 0,3*0,0368+0,6*0,051077+0,1*0,03=0,01104+0,03065+0,003=0,04469 Чтобы определить вероятность того, что бракованная деталь была из категории с дорогими частями, придётся воспользоваться формулой Байеса P(H1|A) = (P(H1) * P (A|H1))/P(A) P(H1|A) = (0,3 * 0,038) / 0,04469 = 0,0247 28 29 Заключение Итак, я ознакомился с материалом, научился работать со значениями вероятностей, составлять практические задачи для их вычисления. По такому же образу и подобию, для решения различных ситуаций, связанных с какимлибо риском, можно составлять и другие задачи, сравнивать результаты их решений и выбирать наиболее оптимальный безопасный вариант. Таким образом, с помощью формул можно просчитать риски, связанные с тем или иным родом деятельности. Гипотеза подтверждена 30 Источники http://www.mathprofi.ru/teorija_verojatnostei.html https://www.matburo.ru/tv_book.php https://ya-znau.ru/znaniya/zn/80 https://ischanow.com/teoriya-veroyatnostey/formula-polnoy-veroyatnostiformula-b.html 31
