Автономная некоммерческая образовательная организация высшего образования «СИБИРСКИЙ ИНСТИТУТ БИЗНЕСА И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ» Экзаменационная работа Дисциплина: Высшая математика Реферат на тему: «Зарождение, становление и развитие линейной алгебры» Выполнила: Полянчикова Виктория Владимировна Группа: ЭВ-1120(2) Адрес: ________________________ Проверил:_____________________ Оценка:________________________ Дата:__________________________ Омск 2021 г. Содержание Введение……………………………………………………………………..……….3 Раздел 1. Зарождения линейной алгебры…………………………………………..4 Раздел 2. Становление линейной алгебры...……………………………….…..…..6 Раздел 3. Развитие линейной алгебры…..………………………………………….8 Заключение………………………………………………………………………….11 Список используемой литературы…………………………………………….…..12 2 Введение Линейная алгебра - важная часть алгебры, изучающая векторы, векторные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. Векторные пространства встречаются в математике и ее прикладных приложениях. Линейная алгебра широко используется в абстрактной алгебре и функциональном анализе и применяется в естественных науках. Особенностью линейной алгебры является универсальность алгебраических понятий, таких как пространство, вектор, отображение, линейная форма и т.п., которые формируют глубокие связи между различными разделами математики. Актуальность темы реферата заключается в том, что вопрос об эволюции линейной алгебры, оказал значительное влияние на состояние современной математической науки. Цель работы – более полное изучение зарождения, становления и развития линейной алгебры. Для достижения поставленной цели необходимо решить несколько задач: рассмотреть понятие линейной алгебры; обозначить ее ценность, зарождение, становление, определить уровень развития линейной алгебры и другие моменты. Структура реферата включает в себя несколько частей: введение, основную часть (три раздела), заключение и список использованной литературы, состоящий из десяти источников литературы. При написании работы использованы труды многих современных исследователей, среди которых особое внимание следует уделить работе такого автора как В.А. Малугин, который смог обозначить основные этапы развития линейной алгебры, обозначить все преимущества и недостатки в развитии. 3 Раздел 1. Зарождения линейной алгебры Математика в ее современном состоянии представляет собой объединение большого числа математических теорий, формировавшихся на протяжении ее многовековой истории. Вместе с математикой развивались и ее методы: арифметический, алгебраический, методы дифференциального и интегрального исчисления и др.1 Многообразие современной математики позволяет использовать каждый из этих методов в процессе научного познания. Алгебра — часть математики, принадлежащая наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки.2 Задачи, а также методы алгебры, отличающие ее от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Задачи решения и исследования уравнений оказали большое влияние на развитие первоначального арифметического понятия числа. С введением в науку отрицательных, иррациональных, комплексных чисел общее исследование свойств этих различных числовых систем тоже отошло к алгебре. При этом в ней сформировались характерные для нее буквенные обозначения, позволившие записать свойства действий над числами в сжатой форме, удобной для построения исчисления над буквенными выражениями. Буквенное исчисление тождественных преобразований составляет аппарат классической алгебры. Тем самым алгебра отграничилась от арифметики: алгебра изучает, пользуясь буквенными обозначениями, общие свойства числовых систем и общие методы решения задач при помощи уравнений; Файрушина К.Ш. Использование элементов линейной алгебры в разработке игры на движке UNITY // Юный ученый. — 2019. — № 6 (26). — С. 47-54. 2 Аникина Л.Ю. Страницы истории на уроках математики. - Квантор. - 2019. - № 23. — С. 23. 1 4 арифметика занимается приемами вычислений с конкретно заданными числами, а в своих более высоких областях - тонкими индивидуальными свойствами чисел.3 Развитие алгебры, ее методов и символики оказало очень большое влияние на развитие более новых областей математики, подготовив, в частности, появление математического анализа.4 Запись простейших основных понятий анализа, таких, как переменная величина, функция, невозможна без буквенной символики классической алгебры. Таким образом, в своем развитии, алгебра, как и любая другая наука, прошла долгий исторический путь, который можно условно разделить на несколько периодов. Гредасова Н.В. Линейная алгебра: учеб. пособие / Н. В. Гредасова, М. А. Корешникова, Н. И. Желонкина [и др.] ; Мин-во науки и высш. образования РФ. — Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2019 — С. 24-25. 4 Карнаков В.А. Лекции по линейной алгебре. - Иркутск: ИГУ, 2016. — С. 7-8. 3 5 Раздел 2. Становление линейной алгебры 1. Начальное развитие. Алгебре предшествовала арифметика как собрание постепенно накопленных практических правил для решения повседневных житейских задач. Эти правила арифметики сводились к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел, вначале только целых, а затем - постепенно и в очень медленном развитии - и дробных. 2. Диафонтов анализ. «Арифметика» Диофанта, которую относят к 3 в. н. э. резко отличается от дошедших до нас классических сочинений того времени постановкой задач, методикой их решения, алгебраической трактовкой величин и действий над ними. Диофант дает решение уравнений, совершенно свободное от геометрических построений; геометрический анализ превращается в алгебраический. У Диофанта же впервые встречаем алгебраическую символику, хотя еще не последовательно проведенную, представляющую простое сокращение речи со всеми ее грамматическими изменениями слов. 3. Арабский период. В трудах арабских математиков элементы алгебры объединились, их общность была осознана и алгебра, таким образом, выделилась в самостоятельную область математики. 4. Европейская алгебра XV-XXII вв. Математика испытывала воздействие практических запросов техники и мореплавания. Темп научной жизни к концу рассматриваемого периода времени, то есть к XV в., заметно ускорился. В системе наук математика заняла центральное место. Это упрочило ее положение и ускорило процесс создания теоретических частей, предпосылок новых успехов. Наибольшие успехи наметились в построении формального символического аппарата алгебры и в тригонометрии. 5. Алгебра XVIII-XIX вв. В алгебру проникали функциональные представления, а с другой стороны, алгебра принесла анализу свой богатый набор формул и преобразований, игравших большую роль в начальный период интегрального исчисления и теории дифференциальных уравнений. Крупным 6 событием в алгебре этого периода было появление курса алгебры Леонардо Эйлера, работавшего тогда в Петербургской академии наук.5 Ильязова Д.З. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии. - Учебное пособие. — Ульяновск: УлГТУ, 2016. — С. 31-32. 5 7 Раздел 3. Развитие линейной алгебры Д’Аламбер, Лагранж и Эйлер, работая над теорией дифференциальных уравнений в том или ином виде выделили класс линейных однородных и установили факт, что общее решение такого уравнения порядка является линейной комбинацией частных решений, но при этом не отмечали необходимость линейной независимости решени. Основываясь на наблюдении, что множество значений целочисленной функции не меняется от того, что над и совершается линейная подстановка, Лагранж в 1769 году разрабатывает теорию представления целых чисел квадратичными формами, а в 1770 году обобщает теорию до алгебраических форм.6 Гаусс развил теорию Лагранжа, рассматривая вопросы эквивалентности форм, и ввел серию понятий, относящихся к линейным подстановкам, самым важным из которых было понятие сопряженной (транспонированной) подстановки. С этого времени арифметические и алгебраические исследования квадратичных и связанных с ними билинейных форм составляют существенную часть предмета линейной алгебры. Еще одним источником подходов для линейной алгебры стала проективная геометрия, создание которой начато Ж. Дезаргом в XVII веке и получившей значительное развитие в трудах Монжа конца XVIII века и в дальнейшем в работах Понселе, Брианшона и Шаля начала - середины XIX века.7 В те времена основным предметом изучения проективной геометрии были коники и квадрики, являющиеся по сути квадратичными формами. Кроме того, понятие двойственности проективных пространств, введенное Монжем, являет один из аспектов двойственности в линейных пространствах (однако эта связь была замечена только в конце XIX века Пинкерле).8 Логинова Я.А., Долгополова А.Ф. Использование элементов линейной алгебры в экономических расчётах // Международный студенческий научный вестник. – 2016. – № 3-3. – С. 17-23. 7 Золотаревская Д.И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия (учебное пособие) // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 5-2. – С. 239-241 8 Современные проблемы математики: тезисы Международной (58-й Всероссийской) молодежной школыконференции. - Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2017. — 367 с. 6 8 Но основной базой линейной алгебры стало фактически влившееся в раздел векторное исчисление, очерченное Гауссом в работах по геометрической интерпретации комплексных чисел (1831) и обретшее окончательную форму в трудах Мебиуса, Грассмана и Гамильтона 1840-х - 1850-х годах. Так, Гамильтон в 1843 году обобщает комплексные числа до кватернионов и дает им геометрическую интерпретацию по аналогии с гауссовой, а в 1844 году Грассман строит понятие внешней алгебры, описывающей подпространства линейного пространства. Всеобщее признание векторного исчисления в конце XIX века существенно связано с применением векторов ведущими физиками-теоретиками того времени, прежде всего, Максвеллом, Гиббсом, Хевисайдом, в частности, физиками тщательно проработана векторная алгебра в трехмерном евклидовом пространстве: введены понятия скалярного, векторного и смешанного произведений векторов, набла-оператор, сформирована вошедшая в традицию символика, также начиная с этого времени векторы проникают и в школьные программы.9 Понятие матрицы ввел Дж. Сильвестр в 1850 году. Кэли обстоятельно разрабатывает матричное исчисление, публикуя в 1858 году «Мемуар о теории матриц», принципиально, что А. Кэли рассматривает матрицы как нотацию для линейных подстановок.10 В 1888 году Пеано на базе исчисления Грассмана впервые в явном виде сформулировал аксиомы линейного пространства и применил обозначения, сохранившиеся в употреблении в XX—XXI века. Аксиоматическое определение векторного и евклидова пространства было впервые четко Малугин В. А. Линейная алгебра для экономистов: учебник, практикум и сборник задач для академического бакалавриата / В. А. Малугин, Я. А. Рощина. — М.: Издательство Юрайт, 2015. — С. 32-39. 10 Авакумов А.А. Алгебра. — М.: Колибри, Азбука-Аттикус, 2015. — С. 52-58. 9 9 сформулировано в начале XX века практически одновременно Вейлем и фон Нейманом, исходя из запросов квантовой механики. Тензорное исчисление, разработанное в 1890-е годы Риччи и ЛевиЧивитой, составило своей алгебраической частью основное содержание полилинейной алгебры. Особое внимание к этому подразделу было привлечено в 1910-е -1930-е годы благодаря широкому использованию тензоров Эйнштейном и Гильбертом в математическом описании общей теории относительности. В 1920-е - 1950-е годы получает распространение направление по линеаризации общей алгебры, так, развивая результат Дедекинда о линейной независимости любых автоморфизмов поля. Со второй половины XX века с появлением компьютеров, развитием методов вычислительной математики и компьютерной алгебры в рамках линейной алгебры получило бурное развитие вычислительное направление — отыскание методов и алгоритмов, обеспечивающих эффективное решение задач линейной алгебры с использованием вычислительной техники, сформировался самостоятельный раздел вычислительной линейной алгебры, а решение задач линейной алгебры стало одной из важных практических составляющих использования компьютеров. 10 Заключение Линейная алгебра занимает центральное место почти во всех областях математики. Например, линейная алгебра является фундаментальной в современных представлениях геометрии, в том числе для определения основных объектов, таких как линии, плоскости и вращения. Кроме того, функциональный анализ, раздел математического анализа, можно рассматривать в основном как приложение линейной алгебры к пространствам. Линейная алгебра также используется в большинстве наук и областей техники, поскольку она позволяет моделировать многие природные явления и эффективно проводить вычисления с такими моделями. Для нелинейных систем, которые не могут быть смоделированы с линейной алгеброй, он часто используются для борьбы с аппроксимациями первого порядка, используя тот факт , что дифференциал из многомерной функции в точке является линейным отображением , что лучше аппроксимирует функцию вблизи этой точки. 11 Список использованной литературы 1. Авакумов А.А. Алгебра. — М.: Колибри, Азбука-Аттикус, 2015. — 211 с. 2. Аникина Л.Ю. Страницы истории на уроках математики. - Квантор. 2019. - № 23. — С. 23. 3. Гредасова Н.В. Линейная алгебра: учеб. пособие / Н. В. Гредасова, М. А. Корешникова, Н. И. Желонкина [и др.]; Мин-во науки и высш. образования РФ. — Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2019 — 428 с. 4. Золотаревская Д.И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия (учебное пособие) // Международный журнал экспериментального образования. – 2015. – № 5-2. – С. 239-241. 5. Ильязова Д.З. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии. Учебное пособие. — Ульяновск: УлГТУ, 2016. — С. 31-32. 6. Карнаков В.А. Лекции по линейной алгебре. - Иркутск: ИГУ, 2016. — 99 с. 7. Логинова Я.А., Долгополова А.Ф. Использование элементов линейной алгебры в экономических расчётах // Международный студенческий научный вестник. – 2016. – № 3-3. – С. 17-23. 8. Малугин В. А. Линейная алгебра для экономистов: учебник, практикум и сборник задач для академического бакалавриата / В. А. Малугин, Я. А. Рощина. — М. : Издательство Юрайт, 2015. — 284 с. 9. Современные проблемы математики: тезисы Международной (58-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. - Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2017. — 367 с. 10.Файрушина К.Ш. Использование элементов линейной алгебры в разработке игры на движке UNITY // Юный ученый. — 2019. — № 6 (26). — С. 47-54. 12
