task_18147x

Комбинаторная алгебра Ли
1. Найти коммутаторы [х, у], [х, х]
15.
1 3 5 
 -1 2 0




x   2 7 - 8 y   - 3 1 4 
 -1- 3 - 4
 2 -1 3




2. Проверить тождество Якоби:
[ x, [ y, z ]]  [ y, [ z, x]]  [ z, [ x, y ]]  0( x, y, z  L)
15.
  5 2
 - 4 9   4 - 3
 y  
 z  

x  
  7 3
 - 2 5 5 2
3.Проверить, что операция коммутирования билинейна
х, у, z  L,  ,   F : [ х  у z ]   х, z     y, z 
15.
 4 7 
 2 -1 
1 - 2 
 y  
 z  

x  
 -1 2
 9 - 5
 -1 4
4. Линейная алгебра Ли, вычислить еijekl , если:
15. i=1, j=1, k=0,l =1
a b
 -матрица с нулевым следом, тогда
c d 
5. Пусть a+d=0, 
a b

  x  y  h , где x  e12 , y  e21 , h  e22 базис алгебра Ли:
c d 
1) найти  ,  ,  для А и В
2) A  B в виде (1 x  1 y   1h)  ( 2 x   2 y   2 h)
15.
  5 2
4 - 3 
 B  

A  
  7 5
5 - 4
6. Вычислить размерность:
15. Аl , если l=3
7. Множество элементов алгебры L коммутирующих со всеми
элементами алгебры L называется центром алгебры L : Z (L) ={
z  L : [ x, z ]  0 для всех x  L }. Докажите, что Z (L) действительно
является идеалом.
8. Централизатором подмножества Х в L называется множество
С L ( X )  {x  L : [ x, X ]  0}. Доказать, чтоСL(Х) являются подалгеброй
9. Правило Лейбница, проверить дифференцирование при 𝒏 = 𝟑.
(решают все)
10.Пусть 𝜹 −автоморфизм алгебры 𝒔𝒍(𝟐, 𝑭), определенный в п.3.3.
проверить, что 𝜹(𝒙) = −𝒚
11. Доказать, что 𝒂𝒅 𝒙 линейное отображение
Указание:
1) 𝑎𝑑𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑎𝑑𝑥(𝑦) + 𝑎𝑑𝑥(𝑧)
2) 𝑎𝑑𝑥(𝛼𝑦) = 𝛼𝑎𝑑𝑥(𝑦)
2. Пусть 𝐿 − двумерная алгебра с операцией [𝑥, 𝑦] = 𝑥 где 𝑥, 𝑦 базисные
элементы. Доказать, что 𝐿 −алгебра Ли.
3. Пусть 𝛿 −автоморфизм алгебры 𝑠𝑙(2, 𝐹), определенный в п.2.3.
проверить, что (𝑦) = −𝑥
Указание: проверим последнее равенство 𝛿(ℎ) = −ℎ
𝛿(ℎ) = (exp 𝑎𝑑𝑥𝑒𝑥𝑝𝑎𝑑(−𝑦)𝑒𝑥𝑝𝑎𝑑𝑥)(ℎ) =
(𝑎𝑑𝑥)2
= 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑑𝑥𝑒𝑥𝑝𝑎𝑑(−𝑦) (1 + 𝑎𝑑𝑥 +
) (ℎ) =
2!
= 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑑𝑥𝑒𝑥𝑝𝑎𝑑(−𝑦)(ℎ − 2𝑥)
2
(𝑎𝑑(−𝑦))
= 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑑𝑥 (1 + 𝑎𝑑(−𝑦) +
) (ℎ − 2𝑥)
2!
= 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑑𝑥(ℎ − 2𝑥 − 2𝑦 − 2ℎ + 0 + 𝑎𝑑(−𝑦)(−ℎ)) =
= 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑑𝑥(−ℎ − 2𝑥 − 2𝑦 + 2𝑦) =
(𝑎𝑑𝑥)2
= 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑑𝑥(−ℎ − 2𝑥) = (1 + 𝑎𝑑𝑥 +
) (−ℎ − 2𝑥) =
2!
= −ℎ − 2𝑥 + 2𝑥 + 0 +
𝑎𝑑𝑥
2!
(2𝑥 + 0) = −ℎ.
Что и требовалось получить.\
12.
0 1
 ,
Пусть x  
 0 0
 0 0
 ,
y  
1 0
1 0 

h  
 0  1
упорядоченный базис в sl(2,F).
Вычислить матрицы операторов аdx, аdh, аdy в этом базисе.
13.
Нормализатор подалгебры К алгебры L определяется условием
N L ( K )  {x  L : [ x, K ]  K}. Доказать, что NL(K) является подалгеброй в L.