1 ЛЕКЦИЯ 5 Движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки и движение свободного твёрдого тела 1. Движение твёрдого тела, имеющего одну неподвижную точку Рассмотрим движение по отношению к системе отсчёта Ox1y1z1 твёрдого тела, закреплённого так, что одна его точка О остаётся во всё время движения тела неподвижной. Такое движение совершает тело закреплённое в точке О шаровым шарниром. Найдём, какими параметрами определяется положение тела, имеющего неподвижную точку. Для этого свяжем жёстко с телом трёхгранник Oxyz, по положению которого можно судить о положении тела. Линия ОК, вдоль которой пересекаются плоскости Oxy и Ox1y1 называется линией узлов. Тогда положение по отношению к осям Ox1y1z1 трёхгранника Oxyz, а с ним и положение всего тела, можно определить углами: KOx , ψ x1OK , θ z1Oz . Эти углы, называемые углами Эйлера, имеют следующие, из небесной механики, наименования: — угол собственного вращения, ψ — угол прецессии, θ — угол нутации. Положительные направления отсчёта углов показаны на рисунке стрелками. При изменении угла тело совершает поворот вокруг оси Oz (собственное вращение), при изменении угла ψ поворот вокруг оси Oz1 (прецессия) и при изменении угла θ — поворот вокруг линии узлов OK (нутация). Чтобы знать движение тела, надо знать положение тела по отношению к осям Ox1y1z1 в любой момент времени, т.е. знать зависимости: f 1 (t ) , ψ f 2 (t ) , θ f 3 (t ) ; эти уравнения определяющие закон происходящего движения, называются уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки. Чтобы установить картину рассматриваемого движения, докажем следующую теорему Эйлера-Даламбера: B h z1 всякое элементарное перемещение тела, 2 h 1 z имеющего неподвижную точку, представляет d собою элементарный поворот вокруг некоторой d P мгновенной оси вращения, проходящей эту точку. Пусть положение тела определяется углами , ψ , θ . Тогда его перемещение за элементарный промежуток времени dt представляется как d k совокупность поворотов на углы d, d, d. Вокруг осей Oz, Oz1, OK соответственно. Слагаясь, эти три поворота дадут 2 элементарное перемещение тела. Рассмотрим с начала, каким будет результат сложения поворотов вокруг осей Oz, Oz1. При повороте на угол d, вокруг оси Oz любая точка тела, лежащая в плоскости zOz1 (внутри угла zOz1), получит элементарное перемещение, перпендикулярное к этой плоскости и численно равное h1 d, где h1 — расстояние точки от оси Oz. Одновременно при повороте вокруг оси Oz1 получит противоположно направленное перемещение, численно равное h2 d. Тогда внутри угла zOz1 найдётся такая точка B, для которой h1 d = h2 d и перемещение которой равно 0 (если направление одного из вращений противоположно показанному, то такая точка лежит вне угла zOz1). Отсюда заключаем, что элементарное перемещение, полученное телом в результате поворотов вокруг осей Oz и Oz1, будет таким же, как у тела, имеющего две неподвижные точки О и В, т.е. представляет собою элементарный поворот вокруг оси ОВ, проходящий через точку О, рассуждая таким же образом, придём к выводу, что элементарные повороты вокруг осей ОВ и ОК будут в свою очередь эквивалентны оному элементарному повороту вокруг некоторой, проходящей через точку О, оси ОР. Тем самым теорема доказана. Ось ОР, элементарным поворотом которой тело перемещается из данного положения в положение соседнее, бесконечно близкое к данному, называется мгновенно осью вращения; скорости всех точек тела, лежащих на мгновенной оси вращения, равны в данный момент времени нулю. От неподвижной оси мгновенная ось вращения отличается тем, что её направление в пространстве и в самом теле всё время меняется. Переместившись поворотом вокруг оси ОР в соседнее положение, тело из этого положения в последующее перемещается поворотом вокруг новой мгновенной оси вращения ОР1 и т.д. Таким образом: движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки слагается из серии последовательных элементарных поворотов вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через неподвижную точку. Рассмотрим кинематические характеристики этого движения. 1. Угловая скорость , с которой тело Р Р1 Р совершает элементарный поворот вокруг мгновенной А Д оси вращения, называется угловой скоростью тела в данный момент времени или мгновенной угловой скоростью тела. Мгновенную угловую скорость можно изобразить в виде соответствующего вектора ω направленного вдоль оси ОР. Поскольку направление оси ОР непрерывно изменяется не только по численной величине но и по направлению, O а его конец А будет описывать в пространстве некоторую кривую АД. 2. Угловое ускорение тела данный момент времени или мгновенное угловое ускорение ε , определяющее в данном случае изменение угловой скорости ω и по модулю и по направлению, будет векторной величиной 2 2 1 3 dr d . Сравнивая это выражение с равенством v , заключаем, dt dt что угловое ускорение ε можно вычислить как скорость, с которой конец вектора ω перемещается вдоль кривой АД. В частности, направление ε совпадает с направлением касательной к кривой АД в соответствующей точке. Следовательно, в данном случае, в отличие от случая вокруг неподвижной оси, направление вектора ε не совпадает с направлением вектора ω . Векторы ω и ε являются основными кинематическими характеристиками движения тела, имеющего неподвижную точку. Их можно вычислить, зная уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки. равной ε 2. Скорости и ускорения точек тела. Так как при движении около неподвижной точки тело имеет в каждый момент времени мгновенную ось вращения ОР, то модуль скорости какойнибудь его точки М будет в этот момент определяется равенством v h , где — угловая скорость тела, h — расстояние от точки М до мгновенной оси вращения. Направлен вектор скорости Р z1 z v перпендикулярно плоскости МОР, проходящей через мгновенную ось и точку М, в сторону поворота тела. Формулой v h не всегда удобно пользоваться для v h определения v , так как входящая в неё величина h с течением времени изменяется. По этой же причине из r формулы v h не сумеем получить y выражения для ускорения точки М так, как это было сделано при постоянном h. Найдём поэтому другую формулу, y1 позволяющую непосредственно определить вектор скорости v точки М. x1 Если рассмотреть векторное произведение r , где r — радиус вектор, проведённый из неподвижной r r sin α h . точки О в точку М, то по модулю По направлению и по размерности, как легко видеть, векторы r и v так же совпадают. Следовательно, v r, т.е. вектор скорости любой точки М тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки. 4 Найдём теперь ускорение точки М. дифференцируя его по времени, будем иметь Из равенства dv d dr a r , dt dt dt M a2 так как d ε, а dt dr v, dt то окончательно v r , C h r a1 h1 a ε r v . Ускорение a ε r называется вращательным, а ускорение a v — центростремительным ускорением точки М. Вектор a направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через точку М и вектор ε , а по модулю 1 ε r sin β ε h1 , где h1 — расстояние от точки М до вектора ε . Вектор же 2 перпендикулярный одновременно к v и , будет направлен вдоль МС, причём по модулю 2 v sin 90 0 2 h , так как v h . 3. Приращение постоянного по модулю вектора Пусть U (t ) — вектор, постоянный по модулю, U const , но изменяющийся по направлению следствии поворота вокруг оси ОР с угловой скоростью . Начало А и конец В такого вектора можно рассматривать как точки некоторого твёрдого тела, для которого ОР будет мгновенной осью вращения. Тогда U rB r A, B и, следовательно dU d r B d r A v B v A ,; dt dt dt U rB rA но по формуле v r, vB r B . O Но поскольку U rB r A, 5 то будем иметь vB v A r B r A U . В результате, приходим к выводу: если U const , то dU dU U dt , U , или dt где — угловая скорость поворота вектора U при изменении его направления. 4. Общий случай движения свободного твёрдого тела Рассмотрим наиболее общий случай движения твёрдого тела, когда оно является свободным и может перемещаться как угодно по отношению к системе отсчёта Ox1y1z1. Установим вид уравнений, определяющих закон рассматриваемого движения. Выберем произвольную точку А тела в качестве полюса и z проведём через неё оси Ax1/ y1/ z1/ , которые при Р z' движении тела будут перемещаться вместе с А полюсом поступательно. Тогда положение тела А y' в системе отсчёта Ox1y1z1 будет известно, если x' z мы будем знать положение полюса А т.е. y x координаты x1A y1A z1A и положение тела по 1 1 1 1 1 1A 1A 1 отношению к осям Ax1/ y1/ z1/ определяемое y x углами Эйлера , , (на рисунке углы Эйлера не показаны). Следовательно, уравнения движения свободного твёрдого тела, позволяющие найти его положение по отношению к системе отсчёта Ox1y1z1 в любой момент времени имеют вид: z1 A f3 (t ) y1A f 2 (t ) x1A f1(t ) * f 6 (t ) f5 (t ) f 4 (t ) 1A 1 Установим теперь геометрическую картину рассматриваемого движения. Нетрудно видеть, что элементарное перемещение свободного твёрдого тела слагается из поступательного перемещения вместе с полюсом А, при котором полюс приходит в соседнее положение А1, и из некоторого перемещения по отношению к осям Ax1/ y1/ z1/ , т.е. вокруг точки А, как вокруг неподвижной. Но последнее перемещение согласно теореме ЭйлераДеламбера представляет поворот вокруг мгновенной оси вращения АР, проходящей через точку А. Следовательно, любое элементарное перемещение свободного твёрдого тела слагается из элементарного поворота вокруг мгновенной оси вращения АР, проходящей через этот полюс, и элементарного поступательно перемещения вместе с полюсом А. Поскольку 6 движение тела представляет собою совокупность элементарных перемещений, то окончательно приходим к выводу, что движение свободного твёрдого тела слагается в общем случае из поступательного движения, при котором все точки тела Р1 Р движутся как полюс А со скоростью v A и из Р2 серии элементарных поворотов с угловой v скоростью вокруг мгновенных осей v А1 вращения, проходящих через полюс А. А А2 v Такой будет, например, картина движения любого непоступательного перемещающегося в воздухе тела: брошенного камня, самолёта и т.д. Поступательная часть движения свободного твёрдого тела описывается первыми тремя из уравнений (*), а вращение вокруг полюса — последними тремя. Основными кинематическими характеристиками движения являются скорость v A и ускорение a A полюса, определяющие скорость и ускорение поступательной части движения, а так же угловая скорость и угловое ускорение вращения вокруг полюса. Значение этих величин в 1 2 1 2 любой момент времени можно найти по уравнениям ( *). В частном случае движение свободного тела может быть плоскопараллельным, при этом вектор будет всё время перпендикулярен плоскости движения. Заметим, что в общем случае, как и в случае плоскопараллельного движения, вращательная часть движения (в частности и значение ) от выбора полюса не зависит. Перейдем к вычислению скоростей и ускорений точек тела в рассматриваемом случае движения. Скорость v M любой точки М тела, как и в случае плоскопараллельного движения, складывается из скорости v A полюса А и скорости v M , которую получает точка М при движении вместе с телом вокруг полюса А, т.е. vM v A vM , согласно формуле v r , v M AM , тогда v M v A AM . A A A Аналогично для ускорения любой точки М тела aM a A aM , A при этом величина a M определяется равенством A a r v , в котором надо считать r AM и v v M AM . A 7 Вопросы для самоконтроля 1. По каким траекториям движутся точки твердого тела, закрепленного в неподвижной точке? 2. Как формулируется теорема Эйлера–Даламбера о перемещении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку? 3. Как определить угловую скорость и как направлен вектор угловой скорости? 4. Как определить модуль и направление углового ускорения тела, имеющего одну неподвижную точку? 5. Как определить вращательное и осестремительное ускорения точки твердого тела, имеющего одну неподвижную точку? 6. На какие составляющие можно разложить движение свободного твердого тела? 7. Как определить скорость точек свободного твердого тела? 8. Как определить ускорение свободного твердого тела?
