8.2. динамика вращени

8.2 Динамика тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
Рис. 8.5. Вращение твёрдого тела вокруг оси
r
удалении rk от оси вращения
Закон изменения во времени момента
импульса (8.8) позволяет получить уравнение вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси (рис.8.5).
Предположим, что вращение происходит
вокруг неподвижной оси Оz с постоянной
r
угловой скоростью ω . Запишем закон изменения момента импульса, в виде проекции на ось вращения, для некоторого
k − того элементарного объёма тела, обладающего массой m k и расположенного на
dL kz
= M ekz ;
(8.12)
dt
L kz = m k v k rk = m k ωrk2 ;
(8.13)
Момент импульса (кинетический момент), определяемый уравнением (8.13) складывается из двух компонент: величина ω , кинематическая характеристика вращения,
характеризует движение тела в целом, а произведение m k rk2 − положение массы относительно оси вращения. Отметим, что угловая скорость всех точек твёрдого тела одинакова и не зависит от их удаления от оси вращения.
Определим кинетический момент для всего тела, для чего необходимо составить
сумму уравнений подобных (8.13)
n
n
1
1
L z = ∑ m k ωrk2 = ω∑ m k rk2 ;
(8.14)
[кг ⋅ м ],
(8.15)
Величина
n
J z = ∑ m k rk2 ,
2
1
называется моментом инерции тела относительно оси .
Момент импульса (кинетический момент) твёрдого тела или механической системы,
таким образом, запишется следующим образом
Lz = J zω ;
(8.16)
Момент количества движения твёрдого тела относительно неподвижной оси вращения равен произведению момента инерции данного тела относительно той же оси на угловую скорость.
Закон изменения момента импульса (кинетического момента) (8.8) с учётом (8.16)
примет вид
d
(J zω) = J z dω = M ez .
dt
dt
e
J zε = M z ;
(8.17)
Уравнение (8.17) называется основным законом вращательного движения твёрдого
тела.
Произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение
равно главному моменту внешних сил относительно той же оси.
186
На практике часто вращение тел происходит
относительно осей, не проходящих через центр
масс (рис.8.6). В этом случае пользуются теоремой
Гюйгенса - Штейнера: Момент инерции тела относительно произвольной оси z1 равен сумме моментов инерции тела J C относительно параллельной ей
оси z, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями
(8.18)
J z1 = J C + md 2 ;
Определим работу, совершаемую силой, приложенной к вращающемуся вокруг неподвижной
оси твёрдому телу, с учётом того обстоятельства,
что оно имеет только одну степень свободы, т.е.
любоё положение произвольной точки тела однозначно определяется углом его поворота ϕ.
Пусть за время dt тело совершает поворот на
r
угол dϕ , характеризуемый перемещением d r . На
Рис. 8.6. Теорема Гюйгенса - Штейнера
r
тело действует сила Fτ (рис. 8.7). На рассматриваемом перемещении элементарная работа запишется в виде
r r
δA = Fτ d r = Fτ rdϕ .
(8.19)
В данном случае в каждый момент времени раr
r
диус r перпендикулярен Fτ , поэтому является
( )
r
плечом силы, т.е. Fτ r = M z Fτ . Уравнение для
Рис. 8.7. Работа при вращении
элементарной работы примет вид
(8.20)
δA = M z dϕ.
Элементарная работа, совершаемая внешней силой при вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси равна моменту силы относительно оси вращения, умноженному на элементарное угловое перемещение.
Полная работа при повороте тела на конечный угол, при действии стационарной силы, определится в виде интеграла
ϕ2
ϕ2
ϕ1
ϕ1
A12 = ∫ M z dϕ = M z ∫ dϕ = M z Δϕ .
(8.21)
Кинетическая энергия вращающегося вокруг неподвижной оси тела зависит от массы и линейной скорости. Для некой произвольной точки k
m k v 2k m k ω2 rk2 1 2
Kk =
=
= ω J zk .
2
2
2
(8.22)
Для всего тела
K=
1 2 n
1
ω ∑ J zk = ω2 J z ,
2
2
1
(8.23)
где Jz − момент инерции данного тела относительно оси вращения.
Если тело совершает плоское движение (катящееся колесо), то его кинетическая энергия
складывается из энергии поступательного движения центра масс и вращения вокруг центра
масс
K=
1
1
mvc2 + J c ω2 ;
2
2
(8.24)
У колеса, катящегося без проскальзывания по горизонтальной плоскости точка k (рис. 8.8) является общей, т.е. линейная скорость этой точки равна нулю.
187
Все остальные точки колеса, включая
центр масс С, в данный момент времени
вращаются вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через точку k перпендикулярно плоскости качения. Максимальную линейную скорость будет
иметь точка D, потому что она находится
на максимальном удалении от оси мгновенной оси вращения.
Необходимо отметить, что именно
дополнительной составляющей энергии
вращательного движения объясняются
трудности, возникающие у вратарей при
попытках задержания «крученых» мячей.
Рис. 8.8. Энергия катящегося колеса
188