Larin

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Филиал УГНТУ в г. Октябрьском
КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ,
МАТЕМАТИЧЕСКИХ И ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Учебно-методическое пособие
Уфа 2010
Учебно-методическое пособие содержит основные сведения из теории пределов и дифференциального исчисления функции одного и двух аргументов.
Предназначено для студентов дневного, вечернего и заочного отделений
УГНТУ.
Составитель: Ларин П. А., ст. преподаватель
Рецензент: Игтисамова Г. Р., доц., канд. пед. наук.
© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2010
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Интегральное исчисление – раздел математики, в котором даётся понятие интеграла, рассматриваются его свойства и методы вычислений.
В этом разделе показывается, как интегралы помогают находить длину,
площадь, объём фигур, находить их массу, вычислять работу, совершаемую
переменной силой, и многое другое. Интегральное исчисление широко применяется в физике, при решении технических задач.
Дифференциальное и интегральное исчисления созданы И. Ньютоном и
Г. Лейбницем1 в конце 17-го века.
В тексте используются следующие обозначения:
□ – начало решения;
 – начало доказательства;
■ – конец решения или доказательства.
1. ПОНЯТИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
Когда дана функция y  y (x), вы можете найти её производную – новую
функцию y   y (x ) :
dy
 y ,
dx
а также дифференциал
dy  y   dx .
(1.1)
И наоборот, если дана функция y, то можно попытаться найти функцию y.
Например, если дана функция y   cos x, то функция y равна y  sin x  C , где C  const .
Далее буквой С будем обозначать произвольную постоянную величину.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.
Неопределённое интегрирование функции f –
получение новой функции y  C ,
у которой y   f .
Неопределённое интегрирование функции f  f (x) обозначается символом
 f  dx ,
в котором
  знак неопределённого интегрирования (или знак неопределённого ин1
Ньютон Исаак (1642– 1727): великий английский физик и математик. Открыл закон
всемирного тяготения, сформулировал основные законы механики.
Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716): немецкий математик и философ.
3
теграла),
f  подынтегральная функция,
f  dx  подынтегральное выражение,
x  переменная интегрирования.
Выражение  f  dx читается так: «интеграл от эф дэ икс» или «интегрирование эф дэ икс». То, что интегрирование функции f даёт новую функцию
y  C , запишется теперь в виде  f  dx  y  C .
Функция y  C называется неопределённым интегралом от функции f ,
а С – постоянной интегрирования. Поэтому можно сказать, что неопределённым интегралом от функции f называется новая функция y  C , у которой y   f .
Из определения 1 вытекает равносильность
(1.2)
 f  dx  y  C

y  f .
(1.3)
Правильность ответа, найденного по формуле (1.2), вы можете проверить,
применив формулу (1.3):
производная правой части должна быть равна подынтегральной функции.
З а д а ч а 1. Проверьте правильность равенства

1
dx  e3 x  C .
3
подынтегра льная функция
3x
e
□ Находим производную правой части:


1 3x
1 3x
 1 3x
  1 3x 
3x
 e  C    e   (C )'  e (3 x)'  0  e  3  e – эта функция совпала с подын3
3
3
 3 
тегральной функцией, значит равенство составлено верно. ■
Если в формуле (1.2) вы замените С каким-либо числом (скажем, нулём),
то правая часть формулы будет называться первообразной функцией для f .
Пример: выражение
1 3x
e есть первообразная функция для функции e 3x .
3
Из равенств (1.1) – (1.3) получаются следующие формулы:
 f  dx   f
d  f  dx   f  dx
 f dx  f  C
 df  f  C
Производная устраняет знак интеграла
(1.4)
Дифференциал устраняет знак интеграла
(1.5)
Интеграл устраняет знак производной
(1.6)
Интеграл устраняет знак дифференциала
(1.7)
 Докажем формулы (1.4) – (1.7).
4
 f  dx   (1.2)  ( y  C )'  y   (1.3)  f , получилась формула (1.4).

d  f  dx   (1.1)   f  dx   dx  (1.4)  f  dx – формула (1.5).
 y dx  (1.3)   f dx  (1.2)  y  C , получилось  y  dx  y  C ;
заменив y на f , будем иметь формулу (1.6).
 df  (1.1)   f dx  (1.6)  f  C, получилась формула (1.7). ■
От каждой ли функции существует неопределённый интеграл? Нет:
только когда функция непрерывна на промежутке (a , b), тогда неопределённый интеграл существует на этом промежутке.
2. ТАБЛИЦА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Приведём список формул интегрирования, в котором
f – переменная величина,
a, b – константы,
C – постоянная интегрирования.
(2.1)
 df  f  C
f a 1
(2.2)
 f df  a  1  C
Если a  1 ,
используйте формулу (2.3)
a
(2.3)
(2.4)
(2.5)
df
f
 f   f dx  ln f  C
f
 a df 
e
f
af
C
ln a
f
df  e  C
(2.11)

df
df
1
f

arctg
C
a
a
a
Здесь a  0.
f
2
(2.13)
f
2
df
1
f  a

ln
C
a 2 a
f  a
Здесь a  0.
df
( 2.14)
f 2 a C
f a
(2.12)
(2.15)
 ln f 
2
1
 ( f  a)( f  b)  b  a ln

5
a  f 2 df 
f a
C
f b
f
a
f
a  f 2  arcsin
C
2
2
a
Здесь a  0.
(2.6)
 sin f df
  cos f  C
(2.7)
 cos f df
(2.8)
 cos
(2.9)
 sin
(2.10)
df
2
f
df

2
f
df
a f
2
(2.16)
f 2  a df 

df
(2.17)
 sin f  C
f
2
 sin f
df
f 2 a 
 ln tg
a
ln f 
2
f
C
2
f 
 ln tg     C
2 4
 tg f  C
(2.18)
  ctg f  C
(2.19)
 sh f df
 ch f  C
(2.20)
 ch f df
 sh f  C
 arcsin
f
a
C
 cos f
f 2 a C
В правильности этих формул, называемых табличными интегралами,
можно убедиться, найдя производную или дифференциал правой части. Таблицу интегрирования желательно знать как таблицу умножения, чтобы уметь
находить интегралы от других функций.
З а д а ч а 1. Докажите формулу (2.2).
□ Находим производную правой части:

 f a 1 
1
1

 
( f a 1 ) 
 (a  1)  f a  f a  получилась подынтегральная функция. ■
a 1
a 1
 a  1
З а д а ч а 2. Найдите интеграл  (sin x )9 d (sin x).
 Применим формулу (2.2)  (sin x)10
□  (sin x)9 d (sin x)  
  10  C . ■
при f  sin x


З а д а ч а 3. Докажите формулу (2.3).
□ Если f > 0,
1
то f  f , (ln f ) 'f  (ln f ) 'f  .
f
Если же f  0,
1
1
1
 ( f )f 
 (1)  .
то f   f , (ln f )f  [ln(  f )]f 
( f )
( f )
f
Итак, в обоих случаях
1
(ln f )f  ,
f
поэтому формула (2.3) верна как при f  0, так и при f  0. ■
6
(2.21)
З а д а ч а 4. Докажите формулу (2.14).
 1
f a
□ 
 ln
f b
ba

'

  │Логарифм дроби равен разности логарифмов│=

f
1
1  1
1 
1

 
( ln f  a  ln f  b ) f  (2.21) 

. ■
ba
b  a  f  a f  b  ( f  a )( f  b)
3. ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Эти правила упрощают вычисление интегралов.
1.
 (a  f )dx  a   f dx .
2.  (u  v) dx   u dx   v dx .
Постоянный множитель можно
переносить за знак интеграла.
Интеграл от суммы (разности)
равен сумме (разности) интегралов.
(3.1)
(3.2)
 Докажем первое правило, найдя производную правой чаcти:
a  f dx   a f dx   (1.4)  a  f .
Получилась подынтегральная функция левой части, значит, формула (3.1)
верна. Аналогично доказывается второе правило:
 u dx   v dx    u dx   v dx  (1.5)  u  v. ■
x
З а д а ч а 1. Найдите  5  3 x dx.
 3x

5
□  5  3 x dx  (3.1)  5   3 x dx  (4)  5  
 C1  
 3 x  C. (Здесь C  5C1 ). ■
 ln 3
 ln 3
З а д а ч а 2. Найдите
 (x
3
 x 1 3  x  x 1  x 7 ) dx.
□  ( x 3  x1 3  x  x 1  x 7 ) dx = (3.2) =  x 3 dx   x1 / 3 dx   xdx   x 1 dx   x 7 dx 

x 4 x 4 3 x2
x 6


 ln x 
 C. ■
4 43 2
6
Как видим, для нахождения интеграла применяются правила интегрирования и таблица интегрирования. Поэтому естественно предложить
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.
Интегрировать функцию f (x ) – значит применять к ней
правила интегрирования, методы интегрирования и таблицу интегрирования
для получения новой функции y ( x )  C .
7
4. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
4.1. Непосредственное интегрирование.
Непосредственное интегрирование состоит в преобразовании исходного
интеграла к табличному интегралу при помощи правил (3.1) и (3.2).

3x 2 
 dx.
З а д а ч а 1. Найдите   sin x  3
x  7 


3x 2 
3x 2
dx  (3.2)   sin x dx   3
□   sin x  3
dx  Здесь ( x 3  7)  3 x 2 
x 7
x 7

= (2.6), (2.3)   cos x  ln x 3  7  C. ■
З а д а ч а 2. Найдите  (sin x  5) 9 cos x dx.
□  (sin x  5) 9 cos x dx = [ Воспользуе мся равенством d (sin x  5)  cos x dx] 

 (sin x  5)10
f 10
=  (sin x  5) 9 d (sin x  5)  Интеграл вида (2.2) :  f 9 df 
 C 
 C. ■
10
10


З а д а ч а 3. Найдите
□


5x  2
dx.
x3
5x  2
x  3  5  17 dx 
dx  
x3
x3
17 
17 
 5( x  3)

 

 dx    5 
dx 
x  3
x  3
 x3

17
dx  (3.1)  5 x  17 ln x  3  C. ■
x3
= (3.2)   5dx  
4.2. Интегрирование с помощью замены переменной.
Интегрирование с помощью замены переменной (говорят также: интегрирование при помощи подстановки) ведётся следующим образом:
 Сделаем замену x  x (t ), тогда dx  x (t ) dt ,
   F (t ) dt  y (t )  C ,
или замену t  t ( x), тогда dt  t ( x) dx

где t  t (x) и F (t )  f ( x (t ))  x (t ).
 f ( x)dx  
 Найдём производную правой части:
y (t ) 'x   F (t )dt  'x   F (t )dt  't  t x'
 F (t )  t x'  f ( x (t ))  x t'  t x'  f ( x),

1
что и требовалось доказать. ■
З а д а ч а 4. Найдите  x x  7dx.
8
(4.1)


Сделаем замену x  7  t ,
□  x x  7 dx  

2
2
 тогда x  7  t , x  t  7, dx  2t dt 
t5
t3 
2
4
2

=  (t  7)  t  2tdt  2 (t  7t )dt  2  7    C 
3
5

7 dx
x x
 
2
t 7
t
2 t dt
 ( x  7) 5 7

=│Выполним обратную замену│= 2

( x  7 ) 3   C. ■


5
3


З а д а ч а 5. Найдите
cos x dx
.
3  sin 2 x
Сделаем замену t  sin x, 
cos x dx


2
3  sin x  тогда dt  cos x dx

□

dt

3  t2

 t 
 sin x 
= (2.10) = arcsin 
  C  arcsin 
  C. ■
 3 
 3
4.3. Частичное интегрирование.
Частичное интегрирование (или интегрирование по частям) ведётся по
формуле
 uv dx  u  v dx   u  v dx dx,
в которой u  u ( x), v  v ( x).
 Проверим, в самом ли деле производная правой части равна uv :
u  vdx   u  vdx dx u  vdx   u'   vdx dx


 u  vdx  u   vdx      u  vdx dx  


= (1.4)  (u v dx  uv )  u  v dx  uv. ■
З а д а ч а 6. Найдите  x cos x dx.


□  x cos x dx  (4.1)  x   cos x dx   x  cos x dx dx 



sin x
sin x
 x sin x   sin x dx  (2.6)  x sin x  cos x  C. ■
З а д а ч а 7. Найдите
□

x 2 e x dx .
dx   (
x ) e dx  dx  x
 x e dx  (4.1)  x e

2 x
2
x
2
2x
ex
x
2
e x  2 xe x dx  (4.1) 
ex




 x

2 x
x
x
x


= x e  2 x  e dx   
x   e dx dx  x e  2 xe   e dx   x 2 e x  2( xe x  e x )  C . ■
 

 
1 


 e x
ex

ex

2
x


9
(4.1)
Перечислим типичные интегралы, которые находятся по формуле (4.1):
n
x
n
n
x e dx,  
x sin x dx,  
x cos x dx;

u
x
x
n
n
u
u
n
ln
x dx,  x n arcctg x dx;
x dx,  x arctg




u
u
u
n
arcsin


x dx,  x arccos


x dx (при n нечётном);
u
u
ax
ax
u
u
 e sin x dx,  e cos x dx.
В этих выражениях n   .
Посмотрите, как вычисляется интеграл J   e ax cos x dx :

J   e ax cos x dx  ( 4 .1)  e ax  cos x dx   
e ax  cos x dx dx 
 
 
a e ax

  

sin x
sin x


ax
ax 

 e sin x  a e  sin x dx   ( e )  sin x dx dx  
  
  


a e ax
 cos x
 cos x




 ax

ax
ax
 e sin x  a  e cos x  a  e cos x dx   e ax (sin x  a cos x)  a 2 J .

 
 

J


ax
2
Итак, J  e (sin x  a cos x)  a J , отсюда

ax
J  a 2 J  e ax (sin x  a cos x),
e
ax
J
cos x dx  e ax 

e ax (a cos x  sin x )
 C , или
1  a2
a cos x  sin x
 C.
a2  1
Аналогично можно получить
e
ax
sin x dx  e ax 
a sin x  cos x
 C.
a2  1
5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТИЧНЫЙ МНОГОЧЛЕН
Нахождение интегралов
 ax
Ax  B
dx,
 bx  c
2

Ax  B
2
ax  bx  c
10
dx,

ax 2  bx  c dx
содержащих квадратичный многочлен ax 2  bx  c, можно начать так:
♦ если числитель содержит переменную x, то в числителе выделяем производную квадратичного многочлена;
♦ в остальных случаях в многочлене выделяем полный квадрат.
З а д а ч а 1. Найдите
x
dx
.
 3x  5
2
 В числителе нет x, поэтому преобразуем многочлен : 
dx


2
2
2
□ 2

3 3
3  11  


2
x  3x  5
( x  3 x  5)   x       5   x   

2 2
2
4 


3

d x  
dx


3
2




  Здесь d  x    dx   
2
2
2
3  11 


3  11


x  
x   
2
4
2
4


3
x
1
2  C  2 arctg 2 x  3  C. ■
=│Применим формулу (2.13)│=
arctg
11
11
11
11
4
4
З а д а ч а 2. Найдите
x
2
8x  3
dx.
 3x  5
□
 В числителе имеется x, поэтому в числителе выделим 
8x  3
dx  

2
x  3x  5
 производную многочлена : ( x  3 x  5)  2 x  3 

(2 x  3)  4  15
15
 4  (2 x  3)

dx    2
 2
dx 
2
x  3x  5
 x  3x  5 x  3x  5 
2
 4
2x  3
dx
dx  15   2

x  3x  5
x  3x  5
2
= (2.3) = 4  ln x 2  3 x  5  15 
6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА J n  
2
2x  3
arctg
 C. ■
11
11
dx
( x  a) n
2
Выражение
Jn  
dx
( x  a) n
2
при n  1 даёт интеграл
11
(6.1)
J1  
dx
,
x a
2
который находится по формуле (2.12) или (2.13). Зная J1 , можно найти последующие интегралы J 2 , J 3 , при помощи выражения
J n+1 =

1 
x
 C .
(2n  1) J n + 2
n
2n a 
( x + a)

(6.2)
Подставив J1 в правую часть (при этом n  1 ), вы найдёте функцию J 2 , затем,
подставив J 2 в правую часть (и подставив n  2 ), получите J 3 , и т. д.
 Сначала преобразуем формулу (6.2):
J n+1 

2n  1
1 
x
Jn =
 C
 2
n
2na
2na  ( x  a)

и заменим J n , J n1 по формуле (6.1):

  ( x
2


1
2n  1
1
1 
x
 2

dx =
 C  .
n +1
2
n 
n
2na ( x + a) 
2na  ( x + a )
+ a)

Отсюда

x 2 + a  2nx 2
x
dx = 2
С .
2
n+1
( x + a)
( x + a) n
Осталось проверить правильность этого равенства:
[ x  ( x 2 + a)  n  C ] = ( x 2 + a)  n+ x  ( n)( x 2 + a )  n 1 2 x =
 ( x 2 + a)  n1 [( x 2 + a)  2nx 2 ] 
x 2 + a  2nx 2
. ■
( x 2 + a ) n1
Приведём несколько формул, которые получаются из равенства (6.2):
 (x
 (x
 (x
2
2
2
dx
1 
x 
=
 J1 + 2
 + C,
2
2a 
+ a)
x +a
dx
1 3 
x  1
x
=
  J1 + 2
 2
+ C,
+
3
4a 2a 
+ a)
x + a  4a ( x + a ) 2
dx
1 5 3 
x  1 5
x
1
x
=

  J1 + 2

 2
+
 2
+ C.
+
4
2
6a 4 a 2 a 
6a ( x + a) 3
+ a)
x + a  6a 4a ( x + a )
12
(6.3)
(6.4)
(6.5)
 (x
З а д а ч а 1. Найдите
2
dx
.
+ 5) 3
□ Сначала находим J 1 :
dx
1
x
J1 =  2
= (2.12) =
arctg
,
x +5
5
5
отсюда
dx
1
3 
x  1
x
 ( x 2 + 5) 3  (6.4)  4  5  2  5  J 1 + x 2 + 5  + 4  5  ( x 2 + 5) 2 + C 

3  1
x
x 
x

arctg
 2
 
 C. ■
2
2
200  5
5 x  5  20( x + 5)
7. ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Выражения
A
Ax + B
,
, (где n  N , b 2  4ac  0 )
n
2
n
( x + a)
(ax + bx + c)
называются простейшими дробными рациональными функциями или
элементарными дробями. Посмотрите, как они интегрируются.
Если n = 1 , то
A
dx
 x + a dx = A x + a
= (2.3) = A lnx + a + C.
При n  2 получаем
A
 ( x + a)
n
dx  A  ( x  a)  n d ( x  a) = (2.2) =
Вычисление интеграла
 ( ax
2
A
 C.
(1  n)( x  a ) n 1
Ax + B
dx можно начать так, как указано в
+ bx + c) n
пункте 5, затем можно применить формулы пункта 6.
З а д а ч а 1. Найдите
□
 (x
2
8x  3
dx .
 3x + 5) 2
 Видим, что ( x 2  3 x  5)'  2 x  3,
8x  3
=
dx


 ( x 2  3x + 5) 2
 поэтому 8 x  3  (2 x  3)  4  9 
=
2x  3
dx
(2 x  3)  4 + 9

4
dx
+
9

dx
2
2
2
2
2


 ( x  3x + 5)
( x  3 x + 5)
( x  3x + 5) 2
13
= 4 ( x 2  3x + 5) 2 d ( x 2  3x + 5)  9 
dx
2

3  11
 x   + 
2
4 

2




3
3



x 
x
4
1  1 

2
2
 +С =
= (2.2), (6.3) = 2
+9
arctg
+
2

11  11 
x  3x + 5
11
3
11 
2 

  x   + 
4  4 
4  
2
4 
=

4
18  2 
2x  3 
2x  3
+
arctg
+



+C . ■
2
x 2  3 x + 5 11  11 
11  2( x  3 x + 5) 
8. ДРОБНАЯ РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ,
ЕЁ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Выражение
a n x n  a n 1 x n 1  ...  a1 x  a 0 ( n  N ),
в котором a n , a n1 , ..., a 0  числа, называется многочленом (или полиномом)
степени n относительно переменной x.
Пример: выражение 7 x 4  2 x 3  3 x 5  5 x 2  8 x  4 есть многочлен степени 5 (5 – наибольшая степень у переменной x, поэтому многочлен можно обозначить P5 ( x) ).
Пусть Pm (x) – многочлен степени m , Qn (x) – многочлен степени n . Отношение многочленов
Pm (x)
Qn (x)
называется дробной рациональной функцией (или рациональной дробью).
Если m < n , дробная рациональная функция называется правильной. В остальных случаях рациональная функция называется неправильной.
Примеры:
8x 3  6 x 2
– правильная рациональная функция;
3x 5  4 x  2
3x 5  4 x  2 3 x 5  4 x  2
,
– неправильные рациональные функции.
8x3  6x 2
8x5  6x 2
Если интегрируется неправильная рациональная функция, сначала её
нужно записать в виде суммы:
Неправильная рациональная функция = многочлен + правильная рациональная функция.
5 x 4  3x 2  8
запишите в
x2  2x  1
виде суммы многочлена и правильной дробной рациональной функции.
□ Разделим числитель на знаменатель:
З а д а ч а 1. Неправильную дробную рациональную функцию
14
_ 5x 4  0  x 3  3x 2  0  x  8
x2  2x  1
5 x 4 + 10 x 3  5 x 2
5 x 2  10 x + 22
_  10 x 3 + 2 x 2  0  x
 10 x 3  20 x 2  10 x
_ 22 x 2  10 x  8
22 x 2  44 x  22
 54 x  30 (остаток).
Отсюда
5 x 4  3x 2  8
2
 5x
 10
x 
17 



2
x  2x  1
многочлен
  54 x  30 
 2
 .

2
x

1
x


правильная рациональн ая
функция
Чтобы проинтегрировать правильную рациональную функцию, её тоже
сначала нужно разложить:
Правильная рациональная функция = сумма элементарных дробей.
З а д а ч а 2. Какой вид имеет разложение правильной рациональной функции
10 x 3  15 x 2  x  23
на сумму элементарных дробей?
( x  7) 3 (4 x 2  5 x  8) 2
□ Внимательно посмотрите на метод разложения:
10 x 3  15 x 2  x  23
A
B
C
=



3
2
2
3
2
x7
( x  7) (4 x  5 x  8)
(x  7)
(x  7)
Dx  E
Fx  G
+
.

2
2
4x 2  5x  8
(4 x  5 x  8)
Буквы A, B, C, D, E, F, G обозначают числа, способ определения которых показан в следующей задаче. Очевидно, вы заметили главное: в знаменателях правой части показатели
степеней постепенно убывают. ■
6 x 2  3 x  10
З а д а ч а 3. Правильную рациональную функцию
разложите на сумму
x 3  5x
элементарных дробей.
□ 1-й шаг - разложим знаменатель на множители:
x 3  5 x  x  ( x 2  5).
6 x 2  3 x  10 6 x 2  3 x  10

.
x  ( x 2  5)
x 3  5x
2-й шаг - дробь разложим на сумму элементарных дробей:
6 x 2  3 x  10 A Bx  C
  2
.
x  ( x 2  5)
x x 5
3-й шаг – определим значения A, B, C.
Сначала приведём правую часть к общему знаменателю
6 x 2  3x  10 A( x 2  5)  x( Bx  C )

x  ( x 2  5)
x  ( x 2  5)
Поэтому
15
(а)
и отбросим одинаковые знаменатели
Ax 2  5 A  Bx 2  Cx  6 x 2  3 x  10.
Теперь приравняем члены с одинаковыми степенями
 Ax 2  Bx 2  6 x 2 ,

Cx  3 x,
5 A  10.

После сокращения первого уравнения на x 2 , второго - на x, будем иметь систему
 A  B  6,

C  3,
5 A  10,

из которой находим С  3, А  2, В  4.
4-й шаг - подставим эти числа в (а) и получим результат
6 x 2  3 x  10 2 4 x  3
  2
.■
x 3  5x
x x 5
З а д а ч а 4. Найдите интеграл
6 x 2  3 x  10
 x3  5x dx.
6 x 2  3x  10
 x 3  5 x dx  │Выполняем все шаги, указанные в задаче 3│=
2
4x  3
 2 4x  3 
   2
dx 
 dx   dx   2
x
x 5
 x x 5
3
x
dx
4 xdx
3dx
 2 ln x  2 ln( x 2  5) 
arctg
 C. ■
 2
 2
 2
x
x 5
x 5
5
5
□
9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Рассмотрим некоторые способы вычисления интегралов, содержащих тригонометрические функции.
1.
Применяем формулу



 sin( ax)sin( bx)dx = sin  sin  1 [cos(   )  cos(   )] ,
2


(9.1)
Применяем формулу



 cos(ax)cos(bx)dx = cos  cos  1 [cos(   )  cos(   )] ,
2


(9.2)
Применяем формулу



 sin( ax)cos(bx)dx = sin  cos  1 [sin(   )  sin(   )] .
2


(9.3)
16
З а д а ч а 1. Найдите  cos(9 x)cos(5 x)dx.
□  cos(9 x )cos(5 x)dx = (9.2) =
1
1  sin 4 x sin 14 x 
(cos4x  cos14 x)dx  

 C. ■

2
2 4
14 
2.
 Делаем замену t  sin x, 
   f (t )dt ,
тогда dt  cos x dx

(9.4)
 Делаем замену t  cos x, 
   f (t )dt ,
тогда dt   sin x dx 
(9.5)
 f (sin x) cos x dx = 
 f (cos x) sin x dx = 


 Делаем замену t  tg x,


dt
тогда x  arctg t ,    f (t )
,
2
 f (tg x)dx = 
1

t

dt 
dx 


1 t 2 



 Делаем замену t  ctg x,


dt
тогда
x

arcctg
t
,
f
(
ctg
x
)
dx
=
.

    f (t )

1 t2


dt
dx  


1 t 2 

(9.6)
(9.7)
З а д а ч а 2. Найдите  sin 4 x  cos3 x dx .
□  sin 4 x  cos3 x dx =│Преобразуем функцию, стоящую в нечётной степени│=
=  sin 4 x cos 2 x cosx dx =  sin 4 x (1  sin 2 x) cosx dx =

f (sin x )
=│Сделаем замену (9.4): t  sin x │=  t 4 (1  t 2 )dt =  (t 4  t 6 )dt =

t5 t7
sin 5 x sin 7 x
  C =│Выполним обратную замену│=

+C . ■
5 7
5
7
3.
а) Если m – нечётное число, делаем замену t = cos x,
если же n – нечётное число, делаем замену t = sin x.
 sin
m
x cos n x dx 
б) Если m и n – чётные числа, применяем формулы
1
1
sin 2   (1  cos 2 ), cos2   (1  cos 2 ),
2
2
1
sin   cos  sin 2 .
2
в) Если m  n  2k ( k  N ), делаем замену t = tg x,
 t2
тогда sin x  
2
1  t
12
12

dt
 1 
 , cos x  
, dx 
.
2 
2
1

t
1

t



17
(9.8)
(9.9)
(9.10)
З а д а ч а 3. Найдите  sin 2 x cos4 x dx .
□  sin 2 x cos4 x dx =  (sin x cosx) 2 cos 2 x dx = (9.9) =
2
1
1

=   sin 2 x  cos 2 x dx =  sin 2 2 x cos 2 x dx = (9.9) =
4
2

1 1
1
1
=  (1  cos 4 x)  (1 + cos 2 x) dx =  (1 + cos 2 x  cos 4 x  cos 4 x cos 2 x ) dx =
4 2
2
16
1
=│Но cos 4 x cos 2 x  (cos 6 x  cos 2 x) │=
2
sin 2 x sin 4 x sin 6 x 
1  1
1
1

=


1  cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  dx   x +
+C . ■

16  2
2
16 
4
4
12 

З а д а ч а 4. Найдите  (sin x)1 / 3 (cos x)13 / 3 dx .
□  (sin x )1 / 3 (cos x )13 / 3 dx  │Сумма степеней равна
1 13
  4(  2k ), выполняется слу3 3
чай (9.10), поэтому сделаем замену t  tg x │=
2
 t
=  
2
 1+ t
1
6
  1 
 
2 
  1+ t 
13

6
1
7
 13

dt
2
3
3 

=
t
(
1
+
t
)
dt
=
t

t

dt =
1+ t 2 


4/3
10 / 3
t
t
3
3
=
+
+ C = (tg x) 4 / 3 + (tg x )10 / 3 + C . ■
4 / 3 10 / 3
4
10
4. Пусть символ R обозначает рациональную функцию от своих аргументов.
Интегрирование функции R (sin x, cos x) можно вести с помощью замены:
 R(sin x, cos x) dx =
Замена t = tg
x
Делаем замену t  tg ,
2
2
1 t
2t
2dt
, cos x 
, dx 
.
тогда sin x 
2
2
1 t
1 t
1 t2
x
называется универсальной тригонометрической подста2
новкой. Она может приводить к громоздким выкладкам, поэтому к ней прибегают, когда ни один из предыдущих методов не подходит.
З а д а ч а 5. Найдите
□
dx
 2 + 3cos x
dx
 2 + 3cos x .
x

= Замена t  tg  =
2

1
2dt

=
2
1  t 1+ t 2
2+3
1+ t 2
tg x  5


1  2
dt
1
t 5

+ C = 
ln
=  2 2
=
ln
+C . ■

x
t 5
5 tg + 5

5 t + 5
 2


18
10. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Функция, состоящая из действий сложения, вычитания, умножения, деления и возведения переменной величины в дробную рациональную степень,
называется иррациональной. Посмотрите, как интегрируются два вида иррациональных функций.
  ax + b  m / n 
10.1. Интеграл вида  R x, 
 dx.
cx
+
d

 

Интеграл указанного вида находится следующим способом:
  ax + b  m / n 
R
  x,  cx + d  dx 


Делаем замену
ax  b
 t n.
cx  d
1/ 2
1 x2
З а д а ч а 1. Найдите  
 dx .
x x 
1

Дробь
имеет знаменатель n  2,

2

1/ 2
x2
1 x2
поэтому сделаем замену
 t2,
□  
 dx = 

x
x x 

 тогда x  2  2(1  t 2 ) 1 , dx  4t (1  t 2 )  2 dt
1 t2

=
12
1 t2
 1   x  2  
=
 t  4t 1  t 2
dx
  x   x   4 t (1

2
t 2 )  2 dt
   
2

1 t
2

2
dt =  2








t2
dt =
t 2 1
t
 1 t 1 
1 
x2

 2  1 + 2
 ln
  C =  2
dt =  2 t  ln
x
 t 1
 2 t 1 
x2  x
 C. ■
x2  x
10.2. Интеграл от дифференциального бинома.
Выражение x m (ax n + b) p dx называется дифференциальным биномом. В
нём m, n, p – рациональные числа. Интеграл от дифференциального бинома
является элементарной функцией только в следующих трёх случаях:
x
m
(ax n + b) p dx 
а) Если p – целое число, делаем замену
x = t N, где N – общий знаменатель дробей m, n.
m 1
б) Если
– целое число, делаем замену
n
ax n  b  t N , где N –знаменатель дроби p.
m 1
 p – целое число, делаем замену
n
ax n  b  x n t N , где N –знаменатель дроби p.
в) Если
19
(10.1)
(10.2)
(10.3)
З а д а ч а 2. Найдите
□
x
dx
3
4 3
(1+ x )
x
dx
3
(1+ x 4 ) 3
.
=  x 3 (1 + x 4 ) 3 / 2 dx =
3


Здесь m  3, n  4, p   ,


2


 поэтому N  2, m  1  p - целое число, выполнен случай (10.3).


n


4
4 2
4
  Сделаем замену 1  x  x t , умножим обе части на x ,


4
2

4
2


тогда x  1  t , x  t - 1,


t


x  (t 2 - 1) 1/4 , dx   (t 2 - 1) 5/4 dt,


2


1  x 4  x 4 t 2  (t 2 - 1) 1 t 2


2
= (t  1)

= 
3/ 4
 t
(t 2  1) 3/2 t 3   (t 2  1) 5 / 4 dt =
 2
1 2 2
1
t (t  1) dt =  (t + t 1 ) + C = │Выполним обратную замену t  ( x  4  1)1 / 2 │=

2
2
1 4
1  2x4
1/ 2
4
1 / 2
=  ( x + 1) + ( x + 1)
+C  
 C. ■
2
2x 2 1  x 4


11. НЕБЕРУЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ
Интегралы, которые не являются элементарными функциями, называются
неберущимися.
Так, неберущимся является интеграл

3 x 3 + 1  dx , потому что ни один из случаев
(10.1) – (10.3) не выполняется.
Укажем некоторые неберущиеся интегралы:
x
x
x
2
sin x dx, 

a
cos x dx,  не берутся, когда a  N ;

a x
e dx, 
a
x
 e dx – функция Лапласа
1
или интеграл вероятностей;
sin x
dx – интегральный синус;
x
cos x
 x dx – интегральный косинус;
x
 ln x dx  интегральный логарифм;

1
Лаплас Пьер Симон (1749-1827): французский математик и физик.
20
 sin x dx,   интегралы Френеля1,
 cos x dx,
2
применяемые в оптике.
2
12. ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ.
ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
Пусть вы имеете
1) отрезок a,b на оси Ox ;
2) функцию y  y (x ) однозначную, неотрицательную и непрерывную на a,b .
По этим данным строим фигуру (S ) , называемую криволинейной трапецией, прилегающей сверху к оси Ox (рис. 12.1).
Рис. 12.1
Рис. 12.2
Рис. 12.3
Как найти площадь S фигуры (S ) ? Можно мысленно разбить фигуру (S )
на бесконечно узкие вертикальные кусочки (рис. 12.2). Сложив (просуммировав) их площади, получим площадь всей фигуры. Сложение (суммирование) бесконечно малых величин называется интегрированием.
Рассмотрим кусочек фигуры (dS ) на бесконечно малом интервале dx (рис.
12.3). Из-за малости dx высота кусочка не успевает измениться, поэтому
кусочек (dS ) считаем прямоугольником высотой y, площадь которого равна
dS  y ( x ) dx или просто dS  y dx.
Площадь всей фигуры равна сумме (интегралу) площадей таких прямоугольников и обозначается так:
b
(12.1)
S   y dx.
a
Далее будем рассматривать функцию y , которая может быть как положительной, так и отрицательной.
b
Выражение
 y dx ,
a
означающее суммирование бесконечно малых величин y dx ,
называется определённым интегралом от функции y на отрезке a, b .
1
Френель Августин (1788-1827): французский физик, создатель волновой теории света.
21
Числа a, b называются нижним и верхним пределами интегрирования,
отрезок a, b – областью (отрезком) интегрирования,
y  подынтегральной функцией,
y  dx  подынтегральным выражением,
x  переменной интегрирования, изменяющейся от a до b.
Запишем ещё раз формулу (12.1), справедливую при y  0 :
b
 y dx  Площадь фигуры, ограниченной графиком функции
y.
(12.2)
a
Геометрический смысл определённого интеграла
Посмотрите на рис. 12.1. Если точку a приближать к точке b, площадь
будет уменьшаться и при a  b станет S  0. Поэтому
а
 y dx 0.
(12.3)
a
Если y  1 на интервале  a, b (рис.12.4), то будем иметь прямоугольник,
площадь которого равна S  b  a и по формуле (12.2) получим
b
(12.4)
 dx  b  a
a
9
Пример:
 dx  9  5  4.
Рис. 12.4
5
Если y  0 , то фигура (S ) будет прилегать снизу к оси Ox (рис 12.5). В
b
этом случае y  dx  0, поэтому  y dx =  S < 0. Итак,
a
Если y  0,
Если y  0,
b

то   y dx   0.
a

b

то   y dx   0.
a

(12.5)
Короче говоря, при интегрировании функции знак неравенства сохраняется.
Если график функции y попеременно меняет знак (рис.12.6), то
b
 y dx =  S
1
+ S 2  S3 .
a
Рис. 12.5
Рис. 12.6
22
Всякий ли определённый интеграл существует, т. е. равен какому-либо
числу? Оказывается, что если область интегрирования и подынтегральная
функция конечны, то определённый интеграл существует.
13. ПРОИЗВОДНАЯ ИНТЕГРАЛА
ПО ПЕРЕМЕННОМУ ВЕРХНЕМУ ПРЕДЕЛУ
Докажем следующее равенство:
t

  y ( x)dx   = y (t ).


a
t
(13.1)
t
 Рассмотрим интеграл
(а)
 y( x)dx = S (t ),
a
дающий площадь криволинейной трапеции
на участке [a, t ] (рис.13.1). Если будем перемещать точку t , будет меняться и площадь
S  S (t ). При смещении от точки t на расстояние dt , как показано на рис. 13.1, добавится площадь dS  y (t ) dt , поэтому
y (t ) 
dS
 S (t ),
dt
(б)
Рис.13.1
t

  y ( x)dx   = (а) = S (t ) = (б)  y (t ). ■


a
t
14. СВЯЗЬ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
С НЕОПРЕДЕЛЁННЫМ ИНТЕГРАЛОМ
Далее будем применять символ |ba – знак двойной подстановки:
y( x) | ba  y (b)  y(a).
3
3
Примеры: x 3 |12 = 2 –1 = 7, ln x
(14.1)
7
 ln 7  ln 3  ln .
3
7
3
Из выражения (14.1) получаются соотношения (14.2) – (14.6) (свойства знака
двойной подстановки):
y ( x) | ba  y(t ) | ba ,
1.
(14.2)
т. е. аргумент можно обозначать любой буквой. Поэтому вместо y( x) |ba можно
писать просто y |ba ;
2.
y
b
a
a
= y b ;
23
(14.3)
b
3.
yz a=y
4.
(  y)
5.
y
b
a
b
a
y
b
b
;
(14.4)
  (y a ) ;
b
(14.5)
 y a.
(14.6)
c
b
a
z
a
c
Теперь докажем формулу, означающую, что определённый интеграл
можно вычислить с помощью неопределённого:
b
b
 y ( x)dx = y( x) dx .
(14.7)
a
a
Формула Ньютона-Лейбница.
'
t

 y (t ) = (13.1) =   y ( x ) dx  .
a
t
(а)
'
t

y
(
t
)
dt
=
(а)
=

  a y( x)dx  dt = (1.5) =
t
Обозначим F (t ) =  y (t )dt.
t
(б)
 y( x)dx + C.
a
(в)
t
Тогда F (t ) = (б), (в) =  y( x)dx + C.
(г)
a
a
При t = a из (г) получим F (a) =  y( x)dx + C = (12.3) = C, т.е. C = F (a).
(д)
a
b
При t = b из (г) получим F(b) =  y( x)dx + C, отсюда
a
b
b
b
 y( x)dx = F (b)  C = (д) = F (b)  F (a) = (14.1) = F ( x) |a = (в) =  y( x)dx .
a
a
Получилась формула (14.7). ■
1
З а д а ч а 1. Вычислите
dx
 1+ x
2
.
0
1
1
dx


1
 dx 
□ 
= (14.7) =  
= arctg x 0 = (14.1) = arctg 1  arctg 0 =  0  . ■
2
2 
1+ x
4
4
 1 x  0
0
15. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
При вычислении, исследовании определённого интеграла могут пригодиться следующие свойства определённого интеграла:
24
b
b
Переменную интегрирования можно
обозначать любой буквой.
15.1.
Если переставить пределы интегрирования,
интеграл умножится на -1.
15.2.
Свойство аддитивности (сложения).
15.3.
Постоянный множитель можно вынести за
знак интеграла.
15.4.
Интеграл от суммы (разности) равен сумме
(разности) интегралов.
15.5.
 y ( x)dx =  y(t )dt .
a
a
b
a
 y( x)dx =   y( x)dx .
a
b
b
c
c
 y( x)dx +  y ( x)dx =  y( x)dx .
a
b
a
b
b
   y( x)dx =    y( x)dx .
a
a
b
b
b
 (u  v)dx =  u dx   v dx .
a
a
a
a
a
 (чётная функция) dx  2   (чётная функция) dx,
a
0
15.6.
a
 (нечётная функция) dx  0.
a
 Докажем эти свойства.
b
1.
 y( x)dx = (14.7) =  y( x)dx
a
b
b
a
= [Обозначим F ( x)   y( x) dx] =
b
b
b
= F ( x) a = (14.2) = F (t ) a   y (t )dt = (14.7) =  y (t )dt – первое свойство.
a
9
a
9
Пример:  e x dx   et dt.
1
1
b
b
a
a
b
a
2.  y( x)dx =  y( x)dx = (14.3) =   y ( x )dx    y ( x)dx – второе свойство.
a
9
b
1
Пример:  e x dx    e x dx.
1
b
9
c
b
c
a
b
3.  y( x)dx +  y ( x)dx =  y ( x)dx   y ( x)dx = (14.6) =
a
b
c
c
=  f ( x)dx   f ( x)dx – третье свойство.
a
5
9
a
9
Пример:  e x dx   e x dx   e x dx.
1
5
b
4.
  f ( x)dx =   f ( x)dx
a
1
b
a
b
=   f ( x )dx = (14.5) =
a
b
b
=     f ( x)dx  =    f ( x)dx – четвёртое свойство.
a 

a
25
9
Пример:
9
x
x
 5e dx  5   e dx.
1
1
b
5.
 (u  v)dx =  (u  v)dx
a
b
a
b
  u dx   v dx = (14.4) =
a
b
b
a
b
b
a
=  u dx |   v dx | = (14.1) =  udx   vdx - пятое свойство.
a
9
Пример:
9
 (e
x
9
a
9
 cos x  x 2 ) dx   e x dx   cos x dx   x 2 dx.
1
1
1
1
6. Если y – чётная функция (рис.15.1), то
a
a
 y dx =│Фигура симметрична относительно оси Oy │= S + S = 2S = 2 y dx.
a
0
Рис. 15.1
Рис. 15.2
Если же y – нечётная функция (рис.15.2), то
a
 y dx =│Фигура симметрична относительно точки O │= (S )  S  0.
a
Мы доказали шестое свойство.
9
Примеры:

9
78
9
78
x

 9 чётная функция
dx = 2   x dx ,
0

x 77

dx = 0 . ■
 9 нечётная функция
16. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
С ПОМОЩЬЮ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ
b
 Сделаем замену x  x(t ), тогда dx  x (t )dt , 
a y( x)dx   или замену t  t ( x), тогда dt  t ( x)dx .  =
b

 y( x)dx   y( x) dx
a
x b
x a
t (b )
 F (t )dt.
t (a)
=│Сделаем замену x  x (t ) или t  t (x ) │=
x b
=
y ( x (t ))  x (t )dt

 

Обозначим F ( t )
t (b )
t (b )
  F (t )dt
xa
26

t (a)
 F (t )dt. ■
t( a)
2
З а д а ч а 1. Найдите  5 3 x + 1 dx.
0

Сделаем замену 5 3x  1  t ,
(а) 


2
 тогда 3x  1  t 5 , x  1 (t 5 - 1), dx  5 t 4 dt, 2
5 6/5
  5 3x  1  dx
□  5 3 x + 1 dx = 
3
3
(7  1).
 =






18

 0
5 4
0
5
t
t dt
из (а) при x  2 получаем t  7 , 

3


из (а) при x  0 получаем t  1.


17. ЧАСТИЧНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
В ОПРЕДЕЛЁННОМ ИНТЕГРАЛЕ
Частичное интегрирование (или интегрирование по частям) ведётся по
формуле
b


b
(17.1)
 uv dx  u   v dx   u   v dx dx ,
a
a
которую также можно записать в виде
b
b
 uv dx  u  v dx
a
a
b
  v dx dx.
  u
a
 Применив к формуле (4.1) формулу (15.1), сразу получим (17.1). ■
З а д а ч а 1. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией y = ln x, осью Ox и прямыми x = 2, x = 3 .
□ Нарисуем фигуру (S ) (рис.17.1) и вычислим её площадь:
3
 
 
3
S  (13.2)   ln x dx  (17.1)  ln x  dx   (ln x)   dx dx =
2
 x ln x  x
3
2
 (3 ln 3  3)  (2 ln 2  2)  ln
2
27
 1. ■
4
Рис. 17.1
18. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕРАВЕНСТВ
Давайте убедимся, что
Если y  z ,
b
то
b
 ydx   zdx .
a
a
27
(18.1)
 Дано: y  z на отрезке [a, b].
Тогда y  z  0.
b
b
b
(12.5)   ( y  z )dx  0 или  ydx   zdx  0 .
a
a
a
Отсюда получаем выражение (18.1). ■
С л е д с т в и е.
Если y1  y  y2 (где y1 , y 2  const ),
b
(18.2)
то (b  a)  y1   y dx  (b  a )  y 2 .
a
Выражение (18.2) даёт оценку1 определённого интеграла.
 Дано y1  y  y2 на интервале [a, b], где y1 , y2  константы.
b
(18.1) 
b
b
 y1 dx   y dx   y 2 dx,
a
a
a
отсюда
b
b
b
b
y1   dx   y dx  y 2   dx,. y1  (b  a )   y dx  y 2  (b  a ). ■
a
a
a
a
3
2
З а д а ч а 1. Оцените значение интеграла  e  x dx.
1
□ На интервале [1, 3] имеем e
 32
e
x2
e
12
2
, т. е. e 9  e  x  e 1 . Теперь по формуле
3
3
2
2
(18.2) получим (3  1)e 9   e  x dx  (3  1)e 1 , или 2.468  10 4   e  x dx  0.368. ■
1
1
19. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ
Пусть дана функция y = y (x) и на интервале [a, b] построен её график
b
(рис. 19.1). Площадь фигуры будет равна S =  y dx.
(а)
a
Рис. 19.1
1
Рис. 19.2
Оценка: приближённое значение чего-либо; то, что даёт представление о чём-либо.
28
Выровняем верхнюю границу фигуры, сохранив её площадь (рис. 19.2). Получится прямоугольник, площадь которого S = (b  a)  y ср .
(б)
Приравняв правые части формул (а), (б), получим
b
yср =
1
y dx.
b  a a
(19.1)
Формула вычисления среднего значения функции y
на интервале [a, b] .
З а д а ч а 1. Найдите среднее значение функции y = e 3 x на интервале [1, 2].
2
□ y ср = (19.1) =
1
1
e 3 x dx = (e 6  e 3 ) . ■

2 1 1
3
20. ПРИНЦИП СОСТАВЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
При нахождении физической или геометрической величины определённый интеграл появляется естественным путём:
вы находите бесконечно малый кусочек величины и интегрированием получаете всю эту величину.
Именно таким путём получилась формула вычисления площади (12.2). Посмотрите ещё раз, как применяется этот принцип при решении следующей
физической задачи.
Имеется тело, которое движется вдоль оси Ox под действием силы
F = F(x) , направленной также вдоль оси Ox. Определите работу, совершаемую этой силой на отрезке [a, b].
□ Внутри [a, b] около произвольной точки x выделим бесконечно малый
участок длины dx (рис. 20.1). Из-за малости этого участка сила не успевает
заметно измениться, поэтому полагаем её постоянной и работа на данном
участке будет равна
dA = F  dx.
Проинтегрировав по отрезку [a, b], получим
формулу вычисления работы на этом отрезке:
Рис. 20.1
b
A =  Fdx.
(20.1)
a
З а д а ч а 1. Найдите работу, совершаемую силой F = kx на отрезке [2, 4] оси Ox .
4
4
4
k
x2
□ A  (20.1)   ( kx)dx   k  xdx   k 
  ( 4 2  2 2 ) =  6k . ■
2 2
2
2
2
29
21. ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
Фигура называется плоской, если всю её, не деформируя, можно расположить на плоскости.
Площади фигур (S ), указанных на рис. 21.1 – 21.5, вы можете найти по
следующим формулам:
b
S   y dx.
Фигура прилегает к оси Ox сверху.
(21.1)
Фигура прилегает к оси Oy справа.
(21.2)
Фигура ограничена линиями y  y1 ( x), y  y 2 ( x).
(21.3)
Фигура прилегает к оси Ox сверху и ограничена линией
(L), заданной параметрическими уравнениями.
(21.4)
Фигура ограничена лучами    1,    2
и линией r  r ( ) в полярных координатах.
(21.5)
a
b
S   x dy.
a
b
S   ( y 2  y1 )dx .
a
t
S
b
 y xdt.
ta

1 2
S   r 2 d .
2 1
 Формула (21.1) была получена ранее ( равенство (12.1). Формула (21.2)
следует из формулы (21.1), если переменные x и y поменять ролями.
Рис. 21.1
Рис. 21.2
Рис. 21.3
Рис. 21.4
На рис. 21.3 площадь S равна разности площадей под линиями y 2 ( x) и
y1 ( x) :
b
b
b
S   y 2 dx   y1dx   ( y 2  y1 )dx. Получилась формула (21.3).
a
a
a
Формула (21.4) доказывается следующим образом:
t (b )
Сделаем замену y  y (t ), x  x (t ),
S  (21.1)   y dx  
   y (t ) x (t ) dt.
тогда
dx

x
'
(
t
)
dt

 t( a)
a
b
Для доказательства формулы (21.5) применим принцип составления определённого интеграла, указанный в пункте 20. А именно, выделим беско30
нечно малый кусочек фигуры (dS ) между двумя лучами, выходящими из полюса O (рис. 21.6). Из-за малости угла d радиус не успевает измениться,
поэтому кусочек можно считать круговым сектором. Площадь кусочка равна
1
2
1
2
половине произведения основания на высоту: dS  r (r d )  r 2 d . Проинтегрировав, получим формулу (21.5). ■
Рис. 21.5
Рис. 21.6
Рис. 21.7
З а д а ч а 1. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y  x 2 и прямой
2 x  y  3  0.
 y  x2 ,
□ Составим систему уравнений 
и получим x1  1, x2  3. Фигура (S ) по2 x  y  3  0
казана на рис. 21.7, где y1  x 2 , y2  2 x  3. Её площадь
3
3
S  (21.3)   ( y2  y1 )dx   (2 x  3  x 2 )dx 
1
1
32
.■
3
З а д а ч а 2. Найдите площадь фигуры, расположенной под одной аркой циклоиды
 x  a (t  sin t ),

 y  a (1  cos t ).
□ Нарисуем циклоиду и фигуру (S ) (рис. 21.8).
Первая арка получается при изменении параметра t
от 0 до 2 , поэтому
S  (21.4) 
2
2
 y x' dt 
 a(1  cos t )[a(t  sin t )]' dt  3 a
0
2
.■
Рис. 21.8
0
 x  a cos t ,
З а д а ч а 3. Найдите площадь эллипса 
 y  b sin t.
□ Нарисуем эллипс (рис.21.9). Вследствие симметрии
площадь эллипса равна S  4 S Oba , где S Oba  площадь
фигуры Oba . При t b   / 2 получается точка b, при
ta  0  точка a. Подобно тому, как показано на рис.
21.4, движение по линии должно быть слева направо,
чтобы переменная x возрастала, поэтому t b будет нижним пределом интегрирования, t a  верхним пределом интегрирования. Следовательно,
31
Рис. 21.9
ta
0
S  4 S Oba  (21.4)  4  y x dt  4  b sin t (a cos t )dt 
 /2
to
 /2
 /2
2
 4ab  sin t dt  2ab
0

(1  cos 2 t )dt   ab. ■
0
Значит,
Площадь эллипса равна  ab.
З а д а ч а 4. Найдите площадь кардиоиды
r  a (1  cos  ).
□ Нарисуем график (рис. 21.10). Когда будем изменять переменную  от 0 до 2 , конец радиус-вектора, выйдя из точки A, опишет замкнутую линию и
придёт к ней с другой стороны, поэтому
1 2
1 2
3
S  (21.5)   r 2 d   a 2 (1  cos ) 2 d   a 2 . ■
2 0
2 0
2
(21.6)
Рис. 21.10
22. ДЛИНА ПЛОСКОЙ ЛИНИИ
Длину линий, показанных на рис. 22.1 – 22.4, вы можете найти по следующим формулам:
б
L   1  ( у х ) 2 dx
– длина линии ( L) : y  y ( x).
(22.1)
– длина линии ( L) : x  x ( y ).
(22.2)
 x  x(t ),
 y  y (t ).
(22.3)
а
b
L   1  ( х у ) 2 dу
а
tb
L   ( xt ) 2  ( y t ) 2 dt
– длина линии ( L) : 
ta
2
L


r 2  (r ' ) 2 d
1
Рис. 22.1
– длина линии ( L) : r  r ( )
в полярных координатах при   [ 1,  2 ].
Рис. 22.2
32
Рис. 22.3
(22.4)
 На рис. 22.5 показан бесконечно малый прямоугольный треугольник в
увеличенном масштабе. Применив к нему формулу Пифагора, получим длину
бесконечно малого кусочка линии в декартовых координатах:
dL  dx 2  dy 2 .
(22.5)
Величина dL называется также дифференциалом длины линии.
Рис. 22.4
Рис. 22.5
Если ( L) : y  y ( x ), то dy  y dx и подстановка dy в (22.5) даёт
2
dL  1  y x dx.
(22.6)
Если ( L) : x  x ( y ), то dx  x dy и подстановка dx в (22.5) даёт
2
(22.7)
dL  1  x y dy.
 x  x(t ),
то dx  x dt , dy  y dt и подстановка dx, dy в (22.5) даёт
 y  y (t ),
Если ( L) : 
dL  ( x ) 2  ( y ) 2 dt.
(22.8)
Проинтегрировав выражения (22.6) – (22.58), получим соответствующие
формулы (22.1) – (22.3).
На рис. 22.6 показана фигура со сторонами dL, dr , r d (при повороте на
бесконечно малый угол d полярный радиус r изменяется на бесконечно
малую величину dr ). Из-за малости сторон фигуру можно считать прямоугольным треугольником. Применив к нему формулу Пифагора, получим
длину бесконечно малого кусочка линии:
dL  (r d ) 2  (dr ) 2 .
(22.9)
Если ( L) : r  r ( ), то dr  r   d , поэтому dL  r 2  r  2 d .
Проинтегрировав это выражение, получим формулу
(22.4). ■
З а д а ч а 1. Найдите длину линии ( L) : y  x 3 / 2 при x  [0, 4].
4
□
L  ( 22.1) 

0
4
1  [( x
3/ 2
2
) ] dx 

0
1
9
x dx 
4
33
Рис. 22.6
9 

Сделаем замену f  1  4 x,  4 10
4 f 3/ 2
= 


 f df  9  3 / 2
 тогда df  9 dx, dx  4 df  9 1


4
9
10

1
8
(10 3 / 2  1). ■
27
 x  a (t  sin t ),
З а д а ч а 2. Найдите длину одной арки циклоиды ( L) : 
 y  a (1  cos t ).
□ Изображение циклоиды уже имеется на рис. 21.6. На нём вы видите, что арка получается при изменении t от 0 до 2 , поэтому
2
L  (22.3) 
2
{[a (t  sin t )]}2  {[ a(1  cos t )]}2 dt  2a  sin

0
0
t
dt  8a. ■
2
З а д а ч а 3. Найдите длину кардиоиды r  a (1  cos  ).
□ Кардиоида уже показана на рис. 21.10. Там вы видите, что   [0, 2 ], поэтому
2
L  (22.4) 

0
2
2
[a (1  cos  )]  {[a(1  cos )]}2 d  2a  cos
0

  Так как фигура симметрична   4a  cos
0

d 
2

d  4a. ■
2
23. ОБЪЁМ ТЕЛА
Объём тела (V ) можно найти по одной из следующих формул:
b
V   S dx.
a
Здесь S  S (x )  площадь сечения тела плоскостью,
перпендикулярной к оси Ox (рис. 23.1).
(23.1)
– объём тела вращения вокруг оси Ox (рис. 23.2).
(23.2)
– объём тела вращения вокруг оси Oy (рис. 23.3).
(23.3)
b
V    y 2 dx
a
b
V    x 2 dy
a
Рис. 23.1
Рис. 23.2
34
 Имеется тело (V ) и ось Ox в пространстве (рис. 23.1). Плоскостями, перпендикулярными оси Ox, мысленно рассечём (V ) на ломтики бесконечно малой толщины dx . Посмотрите на один такой кусочек (рис. 23.4). Из-за малости dx площадь S сечения не успевает заметно измениться, поэтому считаем
S постоянной на участке dx . В таком случае ломтик будет представлять собой цилиндр с основанием S и высотой dx и его объём равен dV  S  dx.
Проинтегрировав это выражение, получим формулу (23.1).
Рис. 23.3
Рис. 23.4
Рис. 23.5
Когда фигура aABb вращается вокруг оси Ox (или вокруг какой-нибудь
другой оси), получается тело вращения вокруг оси Ox (рис. 23.2). В сечении, перпендикулярном оси Ox , будет круг (S ) (рис.23.4). Его радиус равен
y, поэтому площадь S   y 2 . Подставив эту величину в (23.1), получим (23.2).
Аналогичные рассуждения для тела вращении вокруг оси Oy (рис. 23.3)
приводят к формуле (23.3). ■
З а д а ч а 1. Найдите объём цилиндрического клина радиуса R и высоты H .
□ Нарисуем клин, основанием которого является полукруг x 2  y 2  R 2 (рис. 23.5). Укаh H
H
занные на рисунке треугольники подобны,  , поэтому h 
y.
y R
R
1
1 H
H 2
Площадь треугольника S (x) равна S  yh  y  y 
y .
2
2
R
2R
H
Подставив y  R 2  x 2 , получим S 
( R 2  x 2 ).
2R
Отсюда
R
R
H
2
V  (24.1)   S dx  
( R 2  x 2 )dx  HR 2 . ■
2R
3
R
R
З а д а ч а 2. Найдите объём шара, образованного
вращением полукруга 0  y  R 2  x 2 вокруг оси Ox.
□ Нарисуем полукруг (рис. 23.6). По формуле (23.2)
35
Рис. 23.6
получим
R
V 
R
2
 y dx  │Подставим y 
R
R 2  x 2 │    ( R 2  x 2 ) dx 
R
4
 R3. ■
3
24. РЕШЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
24.1. Задача на вычисление работы.
Найдите работу по выкачиванию жидкости плотности  из цилиндрического резервуара радиуса R и высоты H .
□ При выкачивании жидкости используется сила, равная весу жидкости внутри сосуда. Представьте себе, что
вы подняли жидкость на высоту x, x  [0, H ] (на рис. 24.1
показано осевое сечение резервуара). Жидкость, которая
оказалась вне резервуара, вылилась через край. Оставшаяся часть жидкости объёма V  S ( H  x )   R 2 ( H  x)
имеет вес
F   gV   g R 2 ( H  x ),
поэтому
Рис. 24.1
H
A  ( 20.1) 
H
2
1
 F dx   g R  ( H  x)dx  2  g R
0
2
H 2. ■
0
24.2. Задача на вычисление силы давления.
Найдите силу давления жидкости плотности  на боковую стенку цилиндрического резервуара радиуса R и высоты H .
□ Сила давления F  это сила, действующая на всю площадь (на S м2).
Давление p  это сила, действующая на единицу площади (на 1 м2). Поэтому
если давление p на каждой единице площади одинаково, то
F  pS .
(а)
Но когда давление на различных участках не одинаково, площадь (S ) нужно
разбить на бесконечно малые площадки (dS ). На бесконечно малом участке
давление не успевает заметно измениться, поэтому к каждой площадке можно применить формулу (а). Обозначив через dF силу, действующую на площадку (dS ), получим
dF  p dS .
(б)
На глубине x давление жидкости равно p   gx. Значит, p  переменная
величина, зависящая от x. Чтобы найти силу давления F , можно поступить
следующим образом. На глубине x выделим участок боковой стенки (имею36
щий вид цилиндрика) бесконечно малой высоты dx (рис. 24.2 и 24.3). Площадь этого участка dS  2R  dx. Вдоль
высоты dx давление не успевает заметно
измениться, поэтому считаем, что давление одинаково на этом участке и равно
p   gx. Тогда сила давления на этот участок будет равна
dF = (б) = pdS   gx  2 Rdx,
где x  [0, H ]. Отсюда интегрированием
(суммированием всех сил) получаем силу
Рис. 24.2
Рис. 24.3
давления на всю боковую стенку:
H
H
F    gx  2 R dx  2 R g  x dx   R gH 2 . ■
0
0
25. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Интеграл от неограниченной функции
или с неограниченной областью интегрирования
называется несобственным.
Если несобственный интеграл равен какому-либо числу, он называется
сходящимся; в остальных случаях несобственный интеграл называется рас
ходящимся.
25.1. Интегралы с неограниченной областью интегрирования.
Интегралы с неограниченной областью интегрирования [a, ) (иначе, несобственные интегралы 1-го рода) определяются формулами

t
 y dx  lim  y dx
t  
a
b
b
 y dx  lim  y dx.
t 


(25.2)
t

c
 y dx   y dx   y dx

(25.1)
a

(25.3)
c
Геометрический смысл равенств (25.1) – (25.3) показан на рис. 25.1 – 25.3.
Если y  0, формула (25.1) даёт площадь криволинейной трапеции, бесконечно растянувшейся вдоль оси Ox в положительном направлении (рис. 25.1).
Аналогично, формула (25.1) даёт площадь криволинейной трапеции, бесконечно растянувшейся вдоль оси Ox в отрицательном направлении (рис. 25.2).
37
Наконец, формула (25.1) даёт площадь криволинейной трапеции, бесконечно
растянувшейся вдоль оси Ox в обоих направлениях (рис. 25.3). В этой формуле число c можно взять любым (часто берут c  0 ).
Рис. 25.1
Рис. 25.2
При вычислении несобственного интеграла часто можно обойтись без знака
предела.
З а д а ч а 1. Найдите несобственный интеграл

dx
1-го рода  2 .
x
3
Рис. 25.3


dx  1 
1 1
1 1
3 x 2    x  3     3  0  3  3 . Получилось число, следовательно, данный несобственный интеграл сходится. ■

З а д а ч а 2. Выясните, сходится ли несобственный интеграл 1-го рода  cos x dx.
0

□
 cos x dx  sin x

0
 sin   sin 0. Значение sin  не существует, поэтому этот интеграл
0
расходится. ■
З а д а ч а 3. Найдите потенциал электрического поля, создаваемого зарядом q на расстоянии x0 от этого заряда.
□ Потенциалом в точке x0 (обозначим его  ( x0 ) ) называется работа, совершаемая внешней силой F при переносе заряда (+1) из бесконечности в точку x0 (рис. 25.4).
Пусть заряд q положителен. По закону Куq  ( 1)
лона внешняя сила равна F  
. Знак миx2
нус написан потому, что внешняя сила направлеРис. 25.4
на противоположно оси Ox, чтобы преодолеть
отталкивание одноимённых зарядов. В этом случае
x0
x0
x
q  (1)
q 0 q
 ( x0 )  A из  в x 0   F dx   
dx 
 . ■
x2
x  x0


25.2. Интегралы от неограниченной функции.
Интегралы от неограниченной функции (иначе, несобственные интегралы 2-го рода) на интервале [a, b) определяются формулами:
38
b 0
b
 y dx =│Здесь y(b)   │=
 y dx
b
b
a
 ydx =│Здесь
y (a)   │=
 y dx
(25.5)
a0
a
b
c
 y dx =│Здесь c  [a, b] и
(25.4)
a
y (c )   │=
a
b
 y dx   y dx
a
(25.6)
c
Геометрический смысл формул (25.4) – (25.6) показан на рис. 25.4 – 25.6.
В этих формулах
b 0

a
t
y dx  lim
t b  0
b

a 0
 y dx,
a
b
y dx  lim
t a 0
 y dx.
t
Когда y (b)  , говорят, что точка b является особой точкой или особенностью для функции y  y (x).
При y  0 формула (25.4) даёт площадь криволинейной трапеции, бесконечно растянувшейся вдоль вертикали x  b (рис. 25.5), формула (25.5) даёт
площадь криволинейной трапеции, бесконечно растянувшейся вдоль вертикали x  a (рис. 25.6), формула (25.6) даёт площадь криволинейной трапеции,
бесконечно растянувшейся вдоль вертикали x  c (рис. 25.7).
Рис. 25.5
Рис. 25.6
Рис. 25.7
2
З а д а ч а 4. Выясните, сходится ли несобственный интеграл 2-го рода
dx
.
x
2

2
□
dx 
1

 Подынтегральная функция y  имеет особую точку x  0  [2, 2]  
x 
x

2

0
2
0
2
dx
dx
2 x  0 x  ln x  2  ln x 0  (ln 0  ln 2)  (ln 2  ln 0)  ln 0  ln 0  не существует.
Следовательно, данный интеграл расходится (значение ln 0 не существует, поэтому выражение ln 0  ln 0 не имеет смысла: вычитать можно только числа). ■

39
Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода можно записать одним символом
b
 y dx,
a
в котором, например, при b   получается интеграл (25.1), а при y (b)   
интеграл (25.2).
26. СХОДИМОСТЬ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА
ОТ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ
Убедимся, что

Интеграл
1
x
p
dx
сходится при p  1;
расходится при p  1.
(26.1)
dx
сходится при p  1;
расходится при p  1.
(26.2)
c
c
Интеграл
1
x
p
0
 При p  1 получаем


с
1
dx  ln x
x

с
 ln
  ln
c   , значит, этот интеграл расходится. Рассмот



число
рим интеграл (26.1) при остальных значениях p :

1
x
p
dx =
c

x  p 1

 p 1 с


    c1 p 
x1 p
    не число, интеграл расходится;

(при p  1) 
 
1  p с  1  p   1  p 



 




число





1
1
 1  
(при p  1) 
  число, интеграл сходится.

  
p 1
p 1 

(1  p ) x с   (1  p)c 




0
число
Утверждение (26.1) полностью доказано. Займёмся интегралом (26.2):
1 

Сделаем замену x  , 1 c


1
du 
1
u
p
   u   2    2 p du.
0 x p dx  
du
   u  1 cu
тогда dx   2

u

Получился интеграл вида (26.1); он сходится при 2  p  1 (при этом p  1 ) и
c
расходится при других p. ■
40

З а д а ч а 1. Сходится ли несобственный интеграл 1-го рода
dx
x
?
2
1
□ Здесь p  2  1 , поэтому согласно формуле (26.1), данный интеграл сходится. ■
1
З а д а ч а 2. Сходится ли несобственный интеграл 2-го рода
dx
x
?
2
0
□ Здесь p  2  1 , поэтому согласно формуле (26.2), данный интеграл расходится. ■
П р и м е ч а н и е. Несобственные интегралы
b
dx
a ( x  a) p ,
b
dx
 (b  x )
p
a
приводятся к выражению (26.2), если выполнить соответствующую замену
x  a  t или b  x  t .
27. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
При исследовании несобственного интеграла обычно сначала выясняют
его поведение: сходится ли он или расходится. Существуют некоторые признаки, которые указывают на сходимость или расходимость интеграла. Приведём без доказательства три простых признака.
27.1. Первый признак сравнения.
b
b
Даны два несобственных интеграла  ydx и
 zdx , где
a
a
b
b
 z dx сходится,
то
a
Если 0  y  z и
y, z  функции от x.
b
 y dx
тоже сходится;
a
(27.1)
b
 y dx расходится,
a
то  z dx также расходится.
a
Первый признак сравнения.
Иначе говоря, интеграл, который меньше сходящегося интеграла, сходится;
интеграл, который больше расходящегося интеграла, расходится.

З а д а ч а 1. Выясните, сходится ли несобственный интеграл
x
1
dx
.
9
2
1
□ Дана функция y  2
. Чтобы иметь ещё одну функцию z , называемую функцией
x 9
1
сравнения, в знаменателе оставим лишь главный член x 2 и получим z  2 . Тогда y  z ,
x
41

поэтому



 ydx   zdx. Но интеграл
 zdx  
1
1
1

меньший интеграл

 ydx   x
1
1
1
1
dx сходится (согласно (26.1)), поэтому
x2
dx
тоже сходится (в соответствии с (27.1)). ■
9
2
27.2. Второй признак сравнения.
b
b
Даны два несобственных интеграла  ydx и  zdx .
a
a
b
b
Если y  0, z  0
то интегралы  ydx и  zdx
y
и lim   ,
a
a
x b z
ведут себя одинаково.
где 0     ,
Второй признак сравнения.

З а д а ч а 2. Выясните, сходится ли интеграл

8dx
5
1
4x3  7 x2
(27.2)
.
8
□ Имеем подынтегральную функцию y  5
. Чтобы найти функцию сравнения
4 x3  7 x 2
z, упростим функцию y , оставив существенные величины (в выражении 4 x3  7 x 2 член
4x 3 является главным при x   ). Убрав в члене 4x 3 постоянный множитель 4, получим


1
1
1
z5
 3 / 5 . А интеграл  zdx   3 / 5 dx расходится (в соответствии с (26.1)).
3
x
x
x
1
1
Теперь найдём предел:
y
8
1
  lim  lim 5 3
:5

2
x  z
x 
4x  7 x
x3
x3
x3
8
3
5

В
знаменател
е
оставим
главный
член
4
x

lim
8

5 .
3
2
3
x 
4x  7 x
4x
4

 lim 8  5
x
Так как 0 
5

8
 , то, согласно (27.2), исходный интеграл также расходится. ■
4
27.3. Абсолютная сходимость несобственного интеграла.
Существует следующий способ исследования сходимости несобственного интеграла:
b
Если интеграл
 y dx сходится,
a
b
то интеграл
 y dx тоже сходится
a
и называется абсолютно сходящимся интегралом.
42
(27.3)
b
Сходящийся интеграл
 y dx называется
неабсолютно (или условно) сходя-
a
b
щимся, если интеграл
 y dx расходится.
a

З а д а ч а 3. Выясните, сходится ли интеграл
sin x
dx; и если да, то сходится ли он абx3
1

солютно.
□ Так как sin x  1, то
sin x
1
 3.
3
x
x

Но интеграл
1
1 x3 dx сходится (формула (26.1)), поэтому меньший интеграл


1
sin x
dx тоже
x3

сходится. Тогда в соответствии с (27.3), исходный интеграл
sin x
dx (без модуля) есть
3
x
1

абсолютно сходящийся интеграл. ■
28. ПОНЯТИЕ ДВОЙНОГО И ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛОВ
На плоскости Oxy переменная точка M имеет координаты x, y, поэтому
вместо f ( x, y ) можно писать f (M ). На плоскости O r переменная точка M
имеет полярные координаты r ,  , поэтому вместо f (r ,  ) можно писать f (M ).
В пространстве Oxyz переменная точка M имеет координаты x, y , z , поэтому вместо f ( x, y, z ) можно писать f (M ).
28.1. Построение двойного интеграла.
Пусть вы имеете:
1) ограниченную область (S ) на плоскости (т. е. плоскую фигуру) (рис. 28.1);
2) функцию f  f (M ), у которой M  переменная точка, M  (S ).
Этими данными можно распорядиться следующим
образом:
♦ разбить (S ) на бесконечно малые кусочки;
♦ выделить кусочек (dS ) и точку M в нём (рис. 28.1);
♦ составить произведение f (M )  dS , которое всегда
имеет какой-либо смысл;
♦ сложить (просуммировать) величины f (M )  dS ,
найденные для всех кусочков.
Рис. 28.1
Сумма (интеграл) величин вида f  dS по всем кусочкам (dS ) обозначается
 f dS
(S )
и называется двойным интегралом от функции f по области (S ).
43
Бесконечно малый кусочек (dS ) плоской фигуры называют элементом
области или элементарной областью, а площадь dS кусочка – элементом
площади или элементарной площадью.
При f  1 получаем равенство
(28.1)
 dS  S ,
(S )
означающее, что сумма площадей всех кусочков области даёт площадь всей
области (S ).
28.2. Построение тройного интеграла.
Тройной интеграл строится подобно двойному. Пусть вы имеете
1) ограниченную область (V ) в пространстве (т. е. пространственную фигуру);
2) функцию f  f (M ), у которой аргумент M  переменная точка, M  (V ).
Тогда вы можете
♦ мысленно разбить (V ) на бесконечно малые кусочки;
♦ затем внутри (V ) выделить кусочек (dV ), содержащий точку M ;
♦ составить произведение f (M )  dV ;
♦ сложить (просуммировать) величины f ( M )  dV , найденные для всех кусочков.
Сумма (интеграл) всех величин вида f  dV обозначается
 f dV
(V
(V ))
и называется тройным интегралом от функции f по области
(по объёму) (V ).
Бесконечно малый кусочек (dV ) пространственой фигуры называют элементом области или элементарной областью, а объём dV кусочка – элементом объёма или элементарным объёмом. При f  1 получаем равенство
(28.2)
 dV  V ,
(V )
означающее, что сумма объёмов всех кусочков даёт объём всей области (V ).
П р и м е ч а н и е. Вместо знаков  и  в литературе нередко пишут оди(S )
нарные символы

(S )
и
(V )
.
(V )
44
29. СВОЙСТВА ДВОЙНЫХ И ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Основные свойства двойного и тройного интегралов аналогичны соответствующим свойствам определённого интеграла. Так, для двойного интеграла
имеем:
1.
 ( f1  f 2 )dS   f1dS   f 2 dS .
(S )
2.
(S )
(S )
(  const).
   f dS     f dS
(S )
3.
(S )
f dS 

( S1 )  ( S 2 )
(29.1)
 f dS   f dS .
( S1 )
( S2 )
Здесь ( S1 )  ( S2 )  объединение непересекающихся областей.
Если f1  f 2 ,
4.
то
 f
1
dS   f 2 dS .
(S )
(S )
5 Среднее значение функции определяется формулой
f ср 
1
f dS .
S (
S)
30. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
На плоскости Oxy область (S ), показанная на рис. 30.1, ограничена слева
и справа прямыми линиями x  a, x  b, а снизу и сверху - линиями y  y1 ( x)
и y  y2 ( x). Поэтому область (S ) запишется в виде системы неравенств:
a  x  b,

(S ) : 
 y1 ( x)  y  y 2 ( x).
Рис. 30.1
Рис. 30.2
45
Рис. 30.3
Аналогично, область (S ), показанная на рис. 30.2, запишется так:
 a  y  b,
(S ) : 
 x1 ( y )  x  x 2 ( y ).
На плоскости Or (т. е. в полярной системе координат) область (S ), изобра
жённую на рис. 30.3, можно представить виде
     ,
(S ) : 
r1 ( )  r  r2 ( ).
Двойной интеграл от функции f  f (M ) можно найти по одной из формул:

(S )
 f dS 
(S )

(S )

(S )

a  x  b,

f dxdy   Если ( S ) : 
 y1 ( x)  y  y 2 ( x)

 b y2 ( x )
   dx  f dy ;
 a y1 ( x )
(30.1)

 a  y  b,
f dxdy   Если ( S ) : 
 x1 ( y)  x  x2 ( y)

 b x2 ( y )
   dy  f dx ;
 a x1 ( y )
(30.2)

  r2 ( )
     ,
f r d dr   Если ( S ) : 
   d  f r dr . (30.3)
r1 ( )  r  r2 ( )   r1 ( )

Правая часть каждой формулы называется двукратным или повторным
интегралом. В нём сначала вычисляется правый интеграл, он называется
внутренним, затем вычисляется внешний интеграл. Преобразование равенства (30.1) в (30.2) и наоборот называется изменением (или переменой) порядка интегрирования.
2
З а д а ч а 1. Вычислить  dy
1
2
2y
5x
dx.
2
y 3 y

2y
5x
□  dy  2 dx =│Для внутреннего интеграла
1
y 3 y
величиной, поэтому постоянный множитель
2
=  dy 52
y
1
2y
2
5
y 3x dx = 1 dy y 2
 x2

 2

2y

=

y 3 
2y
5x
dx величина x является переменной
2
y 3 y

5
выносим за знак этого интеграла│=
y2
2
15
5 (2 y ) 2  ( y  3) 2
=  (1  4 ln 2). ■
1 dy y 2 
4
2
 Докажем формулы (30.1) – (30.3). Дано:
a  x  b,
(рис. 30.1),
 y1 ( x )  y  y 2 ( x)

1) область ( S ) : 
(а)
2) функция f  f ( x, y ).
Мысленно разобъём (S ) на бесконечно малые кусочки (dS ) вертикалями
x  const на расстоянии dx друг от друга и горизонталями y  const на расстоя-
46
нии dy друг от друга (рис. 30.4). Площадь каждого кусочка (элемент площади) будет равна
(30.4)
dS  dx  dy,
поэтому
y2 ( x )
b
 f dS
= (30.4) =  f dxdy   dx  dy f =│Подставляем данные (а)│=  dx



(S )
(S )
a
(S )
 f dy.
y1 ( x )
Получилась формула (30.1). Поменяв ролями переменные x и y, получим
формулу (30.2).
Рис. 30.4
Рис. 30.5
Рис. 30.6
Рис. 30.7
Формула (30.3) позволяет вычислить двойной интеграл в полярных координатах. Дано:
     ,
r1 ( )  r  r2 ( ),
1) область (S ) : 
изображённая на рис. 30.3;
(б)
2) функция f  f (M )  f (r ,  ).
Мысленно разобъём (S ) на бесконечно малые кусочки (рис. 30.6) координатными линиями, т. е. линиями r  const (дугами) на расстоянии dr друг от друга
и линиями   const (лучами, выходящими из полюса O ) под углом d друг к
другу. Вследствие малости каждый кусочек (dS ) можно считать прямоугольником (рис. 30.7), площадь которого (элемент площади) равен
(30.5)
dS  r d dr ,
поэтому

r2 ( )
d  dr f r  │ Подставляем данные (б)│   d  f r dr. ■
 f dS   f r d dr  




(S )
(S )
r1 ( )
(S )
П р и м е ч а н и е 1. Если при проецировании на ось Ox или Oy область (S )
разбивается на части (рис. 30.8), то интеграл вычисляют при помощи свойства (29.1).
П р и м е ч а н и е 2. При переходе от декартовых координат к полярным
вычисление двойного интеграла производится так:
47
Делаем замену

 f (r cos , r sin  )  r d dr.



y  r sin   (
S)
dS

dy 
 f ( x, y)  dx

  x  r cos  ,
(S )
dS
В пункте 33 будет дан общий метод определения элемента площади dS при
переходе к новым координатам (иначе говоря, при замене переменных).
Рис. 30.8
Рис. 30.9
З а д а ч а 2. Вычислите двойной интеграл
2
 x dS ,
в котором область (S ) ограничена
(S )
линиями y  x 2  6 x  12, y  6 x  x 2  7, x  2, x  4.
2  x  4,

□ Нарисуем эти линии и получим фигуру ( S ) : 
2
2
6 x  x  7  y  x  6 x  12
Тогда
4
2
 x dS  (30.3)   x
(S )
2
dx dy   dx
(S)
2
x 2  6 x 12
2
x
x 2  6 x 12
4
dy 
6 x  x 2 7
x
2
2
dx
 dy 
6 x x2 7
4
=
x
2
dx [( x 2  6 x  12)  (6 x  x 2  7)] = 
2
(рис. 30.9).
1168
.■
15
З а д а ч а 3. Найдите площадь области, ограниченной лемнискатой Бернулли 1
( x 2  y 2 ) 2  2a 2 ( x 2  y 2 ), где a  0.
□ По данному уравнению построим линию, называемую лемнискатой (рис.30.10). Получается симметричная фигура, поэтому достаточно найти площадь четверти фигуры (S1 ).
Площадь всей фигуры будет равна S  4 S1. Площадь
легко вычислить в полярных координатах, для чего
сделаем замену x  r cos  , y  r sin  . Уравнение линии
запишется так:
[(r cos  ) 2  (r sin  ) 2 ]2  2a[(r cos  ) 2  (r sin  ) 2 ],
или после упрощения, r  a 2 cos 2 .
Значит, область (S1 ) задаётся системой
Рис. 30.10
1
Лемниската (в переводе с латинского – украшенный лентами): алгебраическая линия
порядка 2n.
Бернулли Якоб (1654 – 1705): швейцарский математик и физик.
Лемниската Бернулли: алгебраическая линия 4-го порядка.
48
0     / 4,
( S1 ) : 
0  r  a 2 cos 2 .
Тогда
S  4S1  (28)  4  dS  (32.1)  4  r d dr 
( S1 )
( S1 )
a 2 cos 2
 4
 4  d

0
0
 4
rdr  4a
2
 cos 2 d  2a
2
.■
0
31. ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА
С помощью двойного интеграла можно вычислить интеграл Пуассона1

e
x2
,
dx 
(31.1)

который встречается в теории вероятностей.
 Соответствующий неопределённый интеграл  e x dx является неберущимся, поэтому можно применить следующий способ. Искомый интеграл обо2

значим J 



J2 


2
e  x dx 

2
x
 e dx , тогда J 
 y2
dy ,

2
y
 e dy 


e



dx  e  x

2
y2
dy 



   x  ,
  Здесь (S ) : 
т. е. (S )  вся неограниченная плоскость Oxy  
   y  ,


 Переходим к полярным координатам, 
2
2
  e ( x  y ) dx dy  

2
2
2



тогд
а
x

y

r
,
dS

r
d

dr


(S )
dS

2
0    2 , 2   r 2
  e  r r d dr  ( S ) : 
   d  e r dr 
0  r    0
(S )
0

2
2
 e r 2  
  [ Так как e   0 ] = 1 d   .
  d  
2 0
2 0
0


Итак, J 2   , отсюда J   . Получилась формула (31.1).■
В формуле (31.1) подынтегральная функция чётная, поэтому

2
x
 e dx 
0
1

.
2
Пуассон Симон Денис (1781-1840): французский математик.
49
32. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ
Посмотрите на рис. 32.1. Пространственная область (V ) (или тело, пространственная фигура) ограничена снизу и сверху поверхностями
z  z1 ( x, y), z  z 2 ( x, y ).
Плоская область (S ) есть проекция пространственной области (V ) на плоскость Oxy. Область (S ) можно записать в виде системы неравенств
a  x  b,

(S ) : 
 y1 ( x)  y  y 2 ( x ),
а область (V ) – в виде системы неравенств
a  x  b,


(V ) :  y1 ( x)  y  y 2 ( x ),
 z ( x, y )  z  z ( x, y ).
 1
2
Бывает, что фигуру (V ) удобней проецировать на другую плоскость (на плоскость Oyz или на плоскость Oxz ). В этом
случае переменные x, y, z меняются ролями.
Докажем, что тройной интеграл можно
найти по следующей формуле:
 f dV  
(V )
(V )
Рис. 32.1

a  x  b,
 b y2 ( x ) z 2 ( x , y )




f dxdydz   если (V ) :  y1 ( x )  y  y 2 ( x ),    dx  dy  f dz.
 z ( x, y )  z  z ( x, y ) a y1 ( x ) z1 ( x , y )

 1
2

(32.1)
Правая часть называется трёхкратным интегралом. Его вычисление ведётся
справа налево.
 Формула (32.1) доказывается так же, как и формула (30.1). Дано:
a  x  b,


1) область (V ) :  y1 ( x)  y ( x)  y2 ( x), (рис. 32.1)
 z ( x, y )  z  z ( x, y )
 1
2
(а)
2) функция f  f ( x, y, z ).
Мысленно разобъём (V ) на бесконечно малые кусочки (dV ) плоскостями
x  const на расстоянии dx друг от друга, плоскостями y  const на расстоянии
dy друг от друга и плоскостями z  const на расстоянии dz друг от друга.
Объём каждого кусочка, показанного на рис. 32.2, будет равен
dV  dx  dy  dz ,
поэтому
50
 dy
 dz  f
 f dV   f dxdydz = dx
(V )
(V )

(V )
y2 ( x )
b
=│Подставляем данные (а)│   dx
a

z2 ( x , y )
dy
y1 ( x )
 f dz. ■
z1 ( x , y )
П р и м е ч а н и е. В силу того, что dx  dy  dS , будем иметь dV  (dx  dy )  dz  dS  dz , поэтому формулу
(32.1) можно записать так
Рис. 32.2
z 2 ( x, y )
 f dV   f dS dz   dS  f dz.
(V )
(V )
(S )
z1 ( x , y )
З а д а ч а 1. Вычислите тройной интеграл
 z dV , если (V )  пространственная область,
(V )
2
2
ограниченная поверхностями z  x  y , z  2  x 2  y 2 .
□ Нарисуем область (V ) (рис.32.3). Её удобно проецировать на плоскость Oxy ; сделав
это, получим область (S ). Чтобы найти уравнение линии, ограничивающей (S ), составим
 z  x 2  y 2 ,
систему 
и исключим переменную z : x 2  y 2  2  x 2  y 2 .
2
2
 z  2  x  y
Отсюда x 2  y 2  1 – уравнение окружности радиуса 1. Из этого уравнения находим
y   1  x 2 , где x  [1, 1]. Теперь можно выразить область (V ) через систему неравенств:
 1  x  1,


(V ) :  1  x 2  y  1  x 2 ,

2
2
2
2
 x  y  z  2  x  y .
Поэтому  z dV = (32.1) =  z dxdydz =
(V )
1
1 x
  dx

1
 1 x 2
(V )
2 x 2  y 2
2
dy

x2  y 2
1
z dz  2  dx
1
1 x 2
 (1  x
2
 y 2 ) dy 
 1 x 2
Рис. 32.3
1
=
8
16
 2  (1  x 2 ) 3 / 2 dx =│Сделаем замену x  sin t │=
3 0
3
 /2
 cos
4
tdt   . ■
0
33. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТА ПЛОЩАДИ И ОБЪЁМА
ПРИ ЗАМЕНЕ ПЕРЕМЕННЫХ
При замене переменных в кратных интегралах важно знать, как преобразуется элемент области интегрирования. Рассмотрим два общих метода: преобразование элемента площади и преобразование элемента объёма.
51
33.1. Преобразование элемента площади.
Если переменные x, y заменить переменными p, q по формулам
 x  x ( p, q ),

 y  y ( p, q),
то элемент области (dS1 ) перейдёт в область (dS 2 ) (рис. 33.1 и 33.2).
Рис. 33.1
Рис. 33.2
Площадь области (dS1 ) равна dS  dx dy. Чему равна площадь области (dS 2 ) ?
Если переменные x, y вы замените переменными p , q :
 x  x ( p, q ),

 y  y ( p, q),
то величина элемента площади dS  dx dy
заменится на dS  J dp dq.
(33.1)
Величина J называется якобианом1 и определяется по формуле
J
x 'p
y 'p
x q'
.
y q'
(33.2)
 Дано:
1) функции x  x ( p, q ), y  y ( p, q). (например, x  p  q, y 
p
).
q
(а)
Нужно выяснить, как определяется элементарная площадь dS в новых переменных p, q.
При p  const пара функций (а) изобразится линией на плоскости Oxy
(система равенств (а) будет представлять собой параметрические уравнения
линии с переменным параметром q ). Назовём эту линию линией p  const .
Аналогично обстоит дело при q  const (в этом случае равенства (а) будут
представлять собой параметрические уравнения линии с переменным пара1
Якобиан, или определитель Якоби: по имени немецкого математика Якоби Карла Густава
(1804-1851).
52
метром p ). Мысленно нарисуем два семейства линий p  const , q  const (получающихся при различных значениях констант), которые разобъют плоскость Oxy , вообще говоря, на четырёхугольные фигуры (рис. 33.1). Если линии нарисованы достаточно густо, то эти фигуры – элементарные площади –
можно считать параллелограммами.
Рис. 33.1
Рис. 33.2
Пусть линии p  const проведены через интервал dp, а линии q  const –
через интервал dq. Рассмотрим один из параллелограммов и введём радиус 

вектор r  xi  yj (рис. 33.2). Если идти от линии p  const к соседней линии


p  dp  const по линии q  const , вектор r получит приращение  p r (рис. 33.2).
Если же идти от линии q  const к соседней линии q  dq  const по линии


p  const , вектор r получит приращение  q r . Эти приращения равны

 
 p r  rp dp  ( xi 

 
 q r  rq dq  ( xi 



yj ) p dp  ( x p i  y p j ) dp ,



yj )q dq  ( x q i  y q j )dq,
поэтому площадь параллелограмма есть




x


dS   p r   q r  ( x p i  y p j )  ( x q i  y q j ) dp dq  │ p
x q
y p
y q
│ dp dq  │
x p x q
│ dp dq.
y p y q



J
Получилось выражение (33.1). ■
В соответствии с выражением (33.1) замена переменных в двойном интеграле выглядит так:
 f
(S )
dx dy 
 f
J dp dq.
(S )
З а д а ч а 1. Найдите якобиан перехода от декартовых координат к полярным.
□ Запишем формулы, связывающие декартовы координаты x, y с полярными r ,  :
x  r cos  , y  r sin  . Тогда
53
J = (36.2) = r . ■
Согласно выражению (33.1) элементарная площадь при этом равна dS  r dr d . Эта формула совпала с формулой (30.5). Отсюда получаем следующую формулу замены переменных в двойном интеграле при переходе к полярным координатам:
 f ( x, y) dxdy   f (r cos , r sin  ) r d dr.
(S )
(S )
33.2. Преобразование элемента объёма.
При замене трёх переменных может измениться элемент области в пространстве.
Если переменные x, y, z вы замените переменными p , q , t :
 x  x ( p, q, t ),

 y  y ( p, q, t ),
 z  z ( p, q, t ),

то величина элемента объёма dV  dx dy dz
заменится на dV  J dp dq dt .
(33.3)
Якобиан J определяется по формуле
x 'p
J  y 'p
x q'
y q'
x t'
y t' .
z 'p
z q'
z t'
(33.4)
 Дано:
1) функции x  x( p, q, t ), y  y ( p, q, t ), z  z ( p, q, t ).
(а)
Нужно выяснить, как определяется элементарный объём dV новых переменных p , q, t.
При p  const тройка функций (а) изобразится поверхностью в пространстве Oxyz . Назовём эту поверхность поверхностью p  const . Аналогично обстоит дело при q  const , t  const . Мысленно представьте себе три семейства
поверхностей p  const , q  const , t  const (получающихся при различных значениях констант), которые разбивают пространство Oxyz на объёмные фигуры. Если поверхности нарисованы достаточно густо, то эти фигуры – элементарные объёмы – можно считать параллелепипедами.
Пусть поверхности p  const проведены через интервал dp, поверхности
q  const – через интервал dq, поверхности t  const – через интервал dt . Пересечение каждой пары поверхностей даёт линию пересечения.  Рассмотрим
 

один из параллеллепипедов и введём радиус-вектор r  xi  yj  zk (рис. 33.3).
Если идти от поверхности p  const к соседней поверхности p  dp  const по
q  const,


линии 
то вектор r получит приращение  p r . Если идти от поверхt  const,
54
ности q  const к соседней поверхности
 p  const,
по линии 
то
t  const,


вектор r получит приращение  q r . Если
же
идти от поверхности t  const к поверхноq  dq  const
q  const,
то
 p  const,


вектор r получит приращение  t r . Эти
сти
t  dt  const
по линии 
приращения равны
Рис. 33.3






 
 p r  rp dp  ( x i  yj  zk ) p dp  ( x p i  y p j  z p k ) dp ,






 
 q r  rq dq  ( x i  yj  zk )q dq  ( x q i  y q j  z q k ) dq ,






 
 t r  rt dq  ( xi  yj  zk ) t dt  ( x ti  y t j  z tk ) dt ,
поэтому объём параллелепипеда равен
x p x q xt



dV   p r  ( q r   t r )  │ y p y q y t │ dp dq dt.
z p z q z t



J
Получилось выражение (33.3). ■
В соответствии с выражением (33.3) замена переменных в тройном интеграле выглядит так:
 f dx dy dz   f J dp dq dt.
(V )
(V )
34. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
В ПРОСТРАНСТВЕ
34.1. Цилиндрические координаты.
Три числа r ,  , z , задающие положение точки M (рис. 34.1), называются
цилиндрическими координатами точки M .
Из рассмотрения прямоугольного треугольника OPx находим связь между цилиндрическими и декартовыми координатами:
(34.1)
x  r cos  , y  r sin  , z  z.
Равенство r  const (например, r  3) есть уравнение круговой цилиндрической поверхности с
55
Рис. 34.1
осью Oz (рис. 34.2). Равенство   const (например,   60 0 ) есть уравнение
полуплоскости, проходящей через ось Oz (рис. 34.3). Наконец, равенство
z  const (например, z  3 ) есть уравнение плоскости, перпендикулярной оси
Oz (рис. 34.4).
Рис. 34.2
Рис. 34.3
Рис. 34.4
Из формул (34.1) следует равенство
x2  y2  r 2.
(34.2)
Якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим равен
(r cos  ) 'r
(r cos  )'
(r cos  ) 'z
'
r
'

'
z
J  (r sin  )
z r
(r sin  )
z 
cos 
(r sin  )  sin 
z z
0
 r sin 
r cos 
0
0
0  r,
1
поэтому по формуле (33.3) будем иметь
(34.3)
Отсюда получаем следующую формулу замены переменных в тройном интеграле при переходе к цилиндрическим координатам:
dV  r dr d dz.
 f ( x, y, z) dx dy dz   f (r cos  , r sin  , z )r dr d dz.
(V )
(V )
З а д а ч а 1. Вычислите тройной интеграл
 z dV
в цилиндрических координатах, если
(V )
область (V ) ограничена поверхностями z  x 2  y 2 , z  2  x 2  y 2 .
□ Область (V ) изображена на рис. 32.3. С помощью равенства
(34.2) уравнение нижней поверхности z1  x 2  y 2 запишется в
виде
z1  r 2 ,
а
уравнение
верхней
поверхности
2
2
2
z 2  2  x  y – в виде z 2  2  r .
Спроецируем (V ) на плоскость Oxy и получим круг (S )
(показанный на рис. 32.3 и 34.5), задаваемый неравенствами
0    2 , 0  r  1. Область (V ) запишется так:
Рис. 34.5
56
0    2 ,

(V ) : 0  r  1,
r 2  z  2  r 2 ,

поэтому
2
1
2 r 2
2
1
2r 2
1 2
z dV
   z r d dr dz   d  r dr  z dz   d  rdr  z 

 2  r2
0
0
(V ) dx dy dz
(V )
0
0
r2
1
2
 2 r4 
  d  r     . ■
2 0

0
34.2. Сферические координаты.
Три числа R,  ,  , задающие положение точки M (рис. 34.6), называются
сферическими координатами точки M .
Из рассмотрения прямоугольных треугольников OMP и OPx находим
связь между сферическими и декартовыми координатами:
(34.4)
x  R sin  cos  , y  R sin  sin  , z  R cos  .
Рис. 34.6
Рис. 34.7
Рис. 34.8
Равенство R  const (например, R  3 ) есть уравнение сферы с центром в
точке O (рис. 34.7). Равенство   const есть уравнение полуплоскости, проходящей через ось Oz (рис. 34.3). Равенство   const (например,   30 0 ) есть
уравнение конической поверхности с осью Oz и с вершиной O (рис. 34.8).
Из соотношений (34.4) вытекает равенство
x2  y2  z 2  R 2.
(34.4)
Якобиан перехода от декартовых координат к сферическим равен
( R sin  cos  ) 'R
( R sin  cos  )'
( R sin  cos  )'
J  ( R sin  sin  ) 'R
( R cos  )R
( R sin  sin  ) '
( R cos  )
( R sin  sin  )' 
( R cos  )
sin  cos 
 sin  sin 
cos 
57
 R sin  sin 
R sin  cos 
0
R cos  cos 
R cos  sin   R 2 sin  ,
 R sin 
поэтому по формуле (33.3) получаем
dV  R 2 sin  dR d d .
З а д а ч а 1. Вычислите тройной интеграл
 ( x
2
(34.5)
 y 2  z 2 ) dV , если (V )  часть шара ра-
(V )
диуса a , лежащая в первом октанте.
□ В первом октанте расположена восьмая часть шара
(рис. 34.9). Запишем (V ) в виде системы неравенств:
0     / 2,

(V ) : 0     / 2,
0  R  a.

Тогда
 ( x
2
 y 2  z 2 ) dV  (34.4) =  R 2 dV = (34.5) =
(V )
(V )
2
2
=  R  R sin  dR d d 
(V )
 /2


0
 /2
d

0
a
 a5
sin  d  R dR 
.■
10
0
4
Рис. 34.9
35. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 1-ГО РОДА
Пусть вы имеете
1) линию (L) (рис. 35.1);
2) функцию f  f (M ), в которой M  переменная точка, M  (L).
Тогда можно:
♦ мысленно разбить (L) на бесконечно малые
кусочки;
♦ выделить кусочек (dL) и точку M на нём;
♦ составить произведение f (M )  dL ;
♦ сложить (просуммировать) величины f (M )  dL
Рис. 35.1
по всем кусочкам.
Сумма (интеграл) всех величин вида f  dL обозначается
 f dL
( L)
и называется криволинейным интегралом 1-го рода
от функции f по линии (L).
При f  1 будем иметь равенство
58
(35.1)
(35.2)
 dL  L,
(L)
означающее, что сумма длин всех кусочков равна длине всей линии (L).
Для плоской линии дифференциал dL, входящий в выражение (35.1) определяется по формуле (22.5), а для пространственной линии – по формуле
dL  dx 2  dy 2  dz 2 .
Вообразите, что вы имеете нить (L), линйная плотность которой известна
и равна    ( M ), M  ( L). Как вычислить её массу m ?
Плотностью нити, или линейной плотностью, называется величина
dm  кг 
,
dL  м 
в которой dm  масса кусочка линии (dL). Отсюда получаем dm   dL,

m
  dL
(L)
Масса нити – физический смысл криволинейного интеграла 1-го рода
З а д а ч а 1. Найдите массу нити, имеющей вид четверти окружности радиуса a , расположенной в первом квадранте, если линейная
плотность   y.
□ Нарисуем нить (рис. 35.2). Удобно воспользоваться параметриче x  a cos t ,
скими уравнениями окружности: (L) : 
 y  a sin t ,
в которых t  [0,  / 2] (рис. 37.2). Тогда
2
2
dL  (22.4)  (a cos t ) 't  (a sin t ) 't dt  a dt ,
Рис. 35.2
 /2
m

( L)
 dL 
 ydL 
(L)
2
 (a sin t ) adt  a . ■
0
36. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 2-ГО РОДА
Если на линии (L) указать направление, то (L) будет ориентированной
линией. Линия может быть либо замкнутой, либо незамкнутой (рис. 36.1).
Рис. 36.1
Рис. 36.2
59
Пусть вы имеете
1) ориентированную линию (L) на плоскости или в пространстве;
2) функцию P  P ( M ), M  ( L);
3) ось Ox.
Этими данными вы можете распорядиться следующим образом:
♦ мысленно разбить (L) на бесконечно малые кусочки;
♦ выделить кусочек (dL) и точку M на нём;
♦ спроецировать (dL) на ось Ox и получить величину dx (рис.36.2). (Заметьте,
что при движении в обратную сторону величина dx изменит знак);
♦ составить произведение P ( M )  dx ;
♦ сложить величины P ( M )  dx для всех кусочков.
Сумма (интеграл) бесконечно малых величин P dx обозначается
 P dx
(36.1)
(L)
и называется криволинейным интегралом 2-го рода от функции P
по линии (L) или криволинейным интегралом по координате x.
Если изменить ориентацию линии (говорят также: изменить направление
интегрирования), то dx изменит знак, поэтому

Pdx  
( L AB )
 Pdx.
( LBA )
Этим свойством криволинейный интеграл 2-го рода отличается от криволинейного интеграла 1-го рода, который не зависит от направления интегрирования.
Когда имеется линия (L), лежащая в плоскости Oxy , и функция P  P ( x, y ),
то найти криволинейный интеграл 2-го рода можно следующим образом:
 P dx 
(L)
если ( L) : y  y ( x ), нужно подставить
y  y (x);
если ( L) : x  x ( y ), нужно подставить
x  x( y );
 x  x (t ),
если ( L ) : 
нужно подставить
 y  y (t ),
x  x(t ); y  y (t ) и dx  x (t ) dt.
(36.2)
(36.3)
(36.4)
Таким же способом вводятся и вычисляются криволинейные интегралы по
координате y и по координате z :
 Qdy,  Rdz,
(L)
(L)
а также общий (или составной) интеграл:
 P dx  Q dy  R dz   P dx   Q dy   R dz,
(L)
(L)
60
(L)
( L)
(36.5)
в котором функции P, Q, R зависят от x, y, z. Если линия задана параметрическими уравнениями
 x  x(t ),

( L) :  y  y (t ),
 z  z (t ),

то для вычисления криволинейного интеграла 2-го рода (36.5) нужно подставить dx  x' (t )dt , dy  y ' (t )dt , dz  z ' (t )dt.
З а д а ч а 1. Вычислите
x
 xydx  y dy,
если (L)  часть параболы x  y 2 от точки
(L)
A(9,  3) до точки B (1, 1).
□


Так как ( L) : x  y 2 , то имеем случай (36.3).


Подставим x  y 2 и dx  ( y 2 ) dy  2 y dy.


x

2

xy
dx

dy

x
y
( L )
y
Тогда xy dx  dy  y 2 y ( 2 y dy ) 
dy  ( 2 y 4  y ) dy ,
y
y


 где y изменяется от - 3 (в точке А) до 1 (в точке В ). 


1
1
1
  (2 y 4  y )dy   2 y 4 dy   ydy 
3
3
3
268
. ■
5
37. РАБОТА – ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА 2 - ГО РОДА
Пусть на частицу, движущуюся по ориентированной линии (L), действует
сила F  F (M ), M  (L) (рис. 37.1). Как найти работу, совершаемую этой силой?
Рис. 37.1
Рис. 37.2
На (L) выделим бесконечно малый участок (dL) (рис. 37.2). Из-за своей
малости участок (dL) эквивалентен бесконечно малому прямолинейному отрезку. Если указать на нём направление, совпадающее с направлением линии

(L), отрезок станет вектором d r бесконечно малого перемещения. При движении на малом участке сила не успевает заметно измениться, поэтому считаем её постоянной. Тогда работа силы на данном участке будет равна скалярному произведению силы на перемещение
61
 
dA  F  d r .
(37.1)
Если линия (L) и вектор F  F (M ) лежат в плоскости Oxy, то вектор бесконечно малого перемещения и вектор силы будут равны соответственно



dr  (dx, dy)  dx  i  dy  j ,


F  ( P, Q )  P  i  Q  j ,
где P, Q  функции точки: P  P (M ), Q  Q (M ).
(рис. 37.4 и 37.5). Поэтому
dA =
(37.1) = ( P, Q)  (dx, dy )  Pdx  Qdy,
A
Рис.37.4
 
F
  dr   Pdx  Qdy.
( L)
Рис.37.5
(37.2)
(L)
Правая часть совпала с (36.5). Значит, криволинейный интеграл 2-го рода
(36.5) равен работе силы F  ( P, Q ).
Если линия (L) расположена в пространстве Oxyz, то в формуле (37.2) добавится третий член:
A


 F  dr   Pdx  Qdy  Rdz,
( L)



(L)



где d r  dx  i  dy  j  dz  k , F  P  i  Q  j  R  k .
38. ЦИРКУЛЯЦИЯ. ФОРМУЛА ГРИНА
Циркуляцией Ц называется
криволинейный интеграл 2-го рода по замкнутой линии:
 
Ц   F  dr   Pdx  Qdy  Rdz,
(L)
(38.1)
(L)
где   знак интегрирования по замкнутой линии (L) . Если линия (L) и вектор
( L)
F  F (M ) расположены в плоскости Oxy, то


Ц   F  dr   Pdx  Qdy.
(L )
( L)
62
З а д а ч а 1. Найдите циркуляцию Ц 
 x  2 cos t ,
y
dx  5 xdy, где ( L) : 
 эллипс,
3
 y  3 sin t
(L)

ориентированный против часовой стрелки.
□ При движении против часовой стрелки переменная t изменяется от 0 до 2 (рис. 38.1). Сначала находим дифференциалы:
dx  2 sin t dt , dy  3 cos t dt.
Теперь вычисляем циркуляцию:
2
3 sin t
Ц 
(2 sin tdt )  5  (2 cos t )3 cos tdt 
3
0
2
 2  (1  15 cos 2 t )dt  34 . ■
0
Рис. 38.1
Когда (L)  замкнутая несамопересекающаяся линия,
то область (S ) внутри (L) называется односвязной (рис. 38.2).
Докажем формулу, связывающую криволинейный интеграл с двойным:
Если (S )  односвязная область,
ограниченная линией (L),
то

(38.2)
Pdx  Qdy   (Q x'  Py' ) dxdy.
(L)
(S )
Формула Грина1.
Рис. 38.2
 Равенство (38.2) можно получить сложением двух
формул:
'
y
(а)
'
x
(б)
 Pdx    P dxdy,
(L)
(S )
 Qdy   Q dxdy.
(L)
(S )
Чтобы доказать формулу (а), спроецируем область (S ) на ось Ox (рис. 38.3).
Крайние точки A, B разобьют линию (L) на две части ( L1 ) , ( L2 ) . Преобразуем
левую часть формулы (а):
 Pdx   P( x, y)dx   P( x, y)dx 
( L)
( L1 )
( L2 )
На ( L1 ) y  y1 ( x) и x изменяется от a до b, 


 на ( L2 ) y  y 2 ( x) и x изменяется от b до a.
b
a
=  P( x, y1 ( x))dx   P( x, y2 ( x))dx 
a
b
1
Грин Джорж (1793-1841): английский математик и физик, внесший крупный вклад в
теорию электричества и магнетизма.
63
b
b
=  P( x, y1 ( x))dx   P( x, y 2 ( x))dx 
a
a
b
  P( x, y1 ( x ))  P( x, y 2 ( x )) dx.
(в)
a
Преобразуем правую часть формулы (а):


a  x  b,

  Py' dxdy  Здесь ( S ) : 

y
(
x
)

y

y
(
x
)

1
2
(S)


y2 ( x )
b
   dx
a
b

'
'
 Py dy   dx  Py dy
a
y1 ( x )

y1 ( x )

Рис. 38.3
y2 ( x )
b
b
y ( x)
  dx P ( x, y ) y1 ( x )   dx [ P( x, y1 ( x ))  P( x, y 2 ( x))]  (в) 
2
a
a
 P dx.
(L)
Получилась формула (а). Формула (б) доказывается так же, только нужно будет проецировать (S ) на ось Oy. ■
З а д а ч а 2. По формуле Грина вычислите
 x
2
ydx  xy 2 dy, где (L)  окружность
(L)
2
2
2
x  y  a , ориентированная против часовой стрелки.
□
 x
(L)
2


y dx  xy 2 dy  (38.2)   ( xy 2 )x  ( x 2 y )y dx dy 
(S )
 ( y
2
 x 2 ) dxdy 
(S )
2
a
 a4
= │Переходим к полярным координатам│=  r d dr   d  r dr 
.■
2
(S )
0
0
3
3
39. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ 1- ГО РОДА
Пусть вы имеете
1) поверхность (S ) в пространстве (рис.39.1);
2) функцию f  f (M ), M  ( S ).
Этими данными вы можете распорядиться мысленно следующим образом:
♦ разбить (S ) на бесконечно малые кусочки;
♦ выделить кусочек (dS ) и точку M на нём;
♦ составить произведение f (M )  dS , где dS  площадь
Рис. 39.1
кусочка (dS ) ;
♦ сложить (просуммировать) величины f (M )  dS по всем кусочкам.
64
Сумма (интеграл) всех величин вида f  dS обозначается
 f dS
(S )
и называется поверхностным интегралом 1-го рода
от функции f по поверхности (S ).
В декартовых координатах этот интеграл можно найти по формуле

(S )

N 
(S ) : z  z ( x, y )



f dS  
 dxdy ,
    f  ' 
'
z 
или (S ) :  ( x, y , z )  0, где  z  0  ( D ) 

 z  z ( x, y )
(39.1)
где (D )  проекция поверхности (S ) на плоскость Oxy (рис. 39.2), а вектор


2
2
2
N   'x ,  'y ,  'z , длина которого N   'x   'y   'z , перпендикулярен к (S ).
Рис. 39.2
Рис. 39.3
 Дано:
1) поверхность (S ), уравнение которой  ( x, y , z )  0 ;
2) функция f  f ( x, y , z ) .
3) пусть выполнено условие  'z  0 (это значит, что переменная z есть однозначная функция от x и y : z  z ( x, y ) ).
В таком случае можно спроецировать (S ) на плоскость Oxy и получить область (D ) (рис. 39.2). Для доказательства формулы (39.1) мысленно разобъём
(D ) на бесконечно малые кусочки плоскостями x  const, y  const на расстоянии dx и dy друг от друга соответственно (на рис. 39.3 показаны следы, оставшиеся от этих вертикальных плоскостей). Эти вертикальные плоскости
одновременно разобьют поверхность (S ) на малые кусочки (dS ) (рис. 39.4).
65
На рис. 39.4 кусочек (dD ) является проекцией кусочка (dS ). Угол между кусочками равен  , поэтому
dD  dS cos  .
(39.2)
Но
dD  dx dy , cos  
 'z
N
(рис. 39.4, 39.5), поэтому из (39.2) следует
N
dS 
 'z
(39.3)
dx dy.
Подставив dS в левую часть формулы (39.1), получим её правую часть. ■
Рис. 39.4
Рис. 39.5
При f  1 из (39.1) вытекает формула:
N
S
 dS 
(S )
 
(D)
dx dy.
'
z
z  z ( x, y )
Формула вычисления площади поверхности в пространстве.
З а д а ч а 1. Найдите площадь части параболоида
z  1  x 2  y 2 , расположенной над плоскостью Oxy.
□ Нарисуем фигуру (рис. 39.6). Из уравнения z  1  x 2  y 2
 


2
2
получим z  x  y  1  0, отсюда  x  2x,  y  2 y,  z  1,
следовательно,
N  (2 x, 2 y, 1), N  (2 x) 2  (2 y ) 2  12  4( x 2  y 2 )  1,
S = (39.3) =  4( x 2  y 2 )  1 dx dy  │Такой интеграл удобно
( D)
66
Рис. 39.6
2
вычислять в полярных координатах│=

(D)
1
4r 2  1 r dr   d  4r 2  1 r dr 
0
0

(5 5  1). ■
6
П р и м е ч а н и е. Иногда предпочтительно проецировать (S ) на другую
плоскость: либо на плоскость Oxz, либо на плоскость Oyz. Формула (39.1)
изменится соответствующим образом.
40. ДВУСТОРОННЯЯ ПОВЕРХНОСТЬ.
ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ 2-ГО РОДА
Поверхность, на которой можно различить две стороны, называется двусторонней (рис. 40.1).
Рис. 40.1
Рис. 40.2
У двусторонней поверхности одну сторону можно обозначить ( S ) (её вы
можете закрасить, например, синим цветом), другую – обозначить ( S ) (её
можно закрасить другим цветом). Нормальный вектор N (вектор, перпендикулярный к поверхности) рисуют так, чтобы его начало находилось на (S ) и
чтобы из его конца была видна сторона ( S  ). В этом случае вектор N и поверхность (S ) называют согласованными друг с другом.
Поверхностным интегралом 2-го рода от функции R  R ( x, y , z )
по поверхности (S ) называется величина
 R dx dy,
( S )
определяемая формулой

'

R
dx
dy
,
если


0
(т.
е.
угол
N
Oz острый );
z
z  z ( x, y )
 (
D)

 R dx dy   R
'
dx
dy
,
если


0
(т.
е.
угол
N
Oz тупой ).
( S )
z
 z  z ( x, y)
 ( D )
Здесь (D ) есть проекция (S ) на плоскость Oxy.
Поверхность (S ) имеет уравнение ( x, y, z )  0,

нормальный вектор N  ( x ,  y ,  z ) согласован со стороной ( S  ).
67
(40.1)
Аналогично определяются поверхностные интегралы
 P dy dz ,  Q dx dz,
( S )
( S )
а также общий поверхностный интеграл 2-го рода
 P dy dz  Q dx dz  R dxdy.
( S )
Если поверхность (S ) замкнутая (рис. 40.2), то через ( S ) принято обозначать внешнюю сторону. Поверхностный интеграл по замкнутой поверхности обозначается  .
(S)
З а д а ч а 1. Вычислите поверхностный интеграл 2-го рода
 z dxdy
по замкнутой по-
( S )
верхности, состоящей из нижней полусферы x 2  y 2  z 2  1 и части плоскости Oxy.
□ Нарисуем поверхность (S ) (рис. 40.3). Она состоит из нижней полусферы (S1 ) и круга ( S 2 ), поэтому
 z dxdy   zdxdy   zdxdy
( S1 )
( S )



(S2 )



J1
J1 
 z dx dy  [( S ) : z  
1
J2

1  x 2  y 2 , угол N 1Oz тупой] 
( S1 )
    1  x 2  y 2 dxdy  [ Перейдём к полярным координатам] =
( D)
2
  1  r 2 rd dr 
0
(D)
J2 
 z dx dy  [(S
1
2
 d  1  r r dr 
2
0
) : z  0] 
(S2 )
2
,
3
 0 dxdy  0.
(D)
Следовательно,
 z dxdy  J
1
( S )
 J2 
2
2
0 
.■
3
3
Рис. 40.3
П р и м е ч а н и е. Формулу (40.1) можно записать короче:
 R dx dy 
( S )
' 

R z 
dx dy.
   ' 
( D) 
z 
z  z( x, y)
68
(40.2)
41. ИНТЕГРАЛ ОТ ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИ
Если в каждой точке M пространства существует свой вектор F ,
то это значит, что вы имеете функцию F  F (M ),
называемую векторной функцией
(векторным полем или просто вектором).
Физические примеры векторных функций: скорость частиц текущей жидкости, сила
тяжести вокруг Земли, напряжённость электрического поля в пространстве вокруг проводника.
Декартовы координаты векторной функции F обозначают P, Q, R, поэто-
му F  ( P, Q, R) или в развёрнутом виде



F  Pi  Qj  Rk ,
где
P  P( M )  P( x, y, z ),

Q  Q ( M )  Q( x, y, z ),
R  R( M )  R( x, y, z ).

Векторную функцию можно интегрировать по следующим областям:
1) по линии: 






 FdL   Pi dL  Qj dL  RkdL  i  PdL  j  QdL  k  RdL;
(L)
( L)
(L)
2) по поверхности:
( L)




F
dS

i
PdS

j
QdS

k



 RdS ;
(S )
3) по объёму:
( L)
(S)
(S )
(S )




F
dV

i
PdV

j
QdV

k



 RdV .
(V )
(V )
(V )
(V )
42. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КРАТНЫХ,
КРИВОЛИНЕЙНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
42.1. Масса фигуры.
Массу сплошной фигуры можно найти по одной из следующих формул
  dL  масса нити, (   линейная плотность,
(L)
m
кг
);
м
  dS  масса пластинки, (   поверхностная плотность,
(S )
  dV 
масса тела, (   объёмная плотность,
(V )
69
кг
).
м3
(42.1)
кг
);
м2
(42.2)
(42.3)
 Метод доказательства этих формул одинаков. Докажем третью формулу.
Мысленно выделим бесконечно малый кусочек тела, измерим его объём
dV и массу dm. Величина  
dm
даст плотность кусочка. Отсюда
dV
dm   dV .
Проинтегрировав это равенство, получим формулу вычисления массы всего
тела: m    dV . ■
(V )
З а д а ч а 1. Найдите массу тела (V ), ограниченного поверхностями y  2 x  x 2 , y  0,
z  0, z  3, если в точке M ( x, y, z ) плотность равна   z x 2  y 2 .
□ Нарисуем тело (рис. 42.1) и его проекцию на плоскость Oxy (рис.42.2).
Боковая поверхность параллельна оси Oz , поэтому вычисления удобно вести в цилиндрических координатах (34.1). Тогда
  z x 2  y 2  (34.2)  z  r ,
m    dV   z r dV  (34.3)   zr 2 d dr dz.
(V )
(V )
(V )
Из равенства y  2 x  x 2 получаем x 2  y 2  2 x. Значит r 2  2r cos  или r  2 cos  .
Рисунки 42.1 и 42.2 помогают выразить область (V ) через систему неравенств:
0     / 2,
2 cos 
 /2
3

(V ) : 0  r  2 cos  , Отсюда m   d  dr  zr 2 dz  8. ■
0
0
0
0  z  3.

Рис. 42.1
Рис. 42.2
70
42.2. Центр тяжести фигуры.
Центр тяжести сплошной фигуры можно найти по одной из следующих
формул:

rц. т.
1 
  r  dL,
 m ( L)
1 
   r  dS ,
 m (S )


1
r  dV .

 m (V )

(Например, xц .т. 
1
x dS .)
m (
S)

В этих формулах rц.т.  ( xц.т. , yц .т. , zц.т. )  радиус
вектор центра тяжести (рис. 42.3), r  ( x, y, z ) 
радиус-вектор переменной точки.
 Доказательство этих формул единообразно,
поэтому докажем третью формулу. Дано:
1) (V )  область, занимаемая телом;
2)   плотность тела в любой его точке.
Поэтому
♦ мысленно разобъём (V ) на бесконечно малые
кусочки,
♦ выделим кусочек (dV ),
♦ вычислим его массу dm   dV ,
Рис. 42.3
♦ применим известную формулу вычисления центра тяжести для системы
материальных точек { m1, m2 ,  }:

1


rц .т.  ( m1 r1  m2 r2  ).
m
(а)
Выражение в скобках содержит сумму членов по всем материальным точкам.
В нашей задаче материальной точкой является каждый кусочек (dV ) , имею
щий свою массу dm и свой радиус-вектор r (рис. 42.4). Поэтому

1

rц .т.  (а)  (dm1  r1  dm2  r2  ).
m
(б)
Содержащееся в скобках суммирование бесконеч
но малых величин dm  r по всем кусочкам означает вычисление интеграла:
dm1  r1  dm2  r2   


 dm  r    dV  r .
(V )
(V )
Подставив это выражение в (б), получим


1
rц.т.   r  dV . ■
m (V )
Рис. 42.4
71
З а д а ч а 2. Найдите центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями
z  x 2  y 2  1, x 2  y 2  1, z  0.
□ По этим данным рисуем тело (рис.42.5). Оно симметрично относительно оси Oz , поэтому вычисления удобно вести
в цилиндрических координатах. Тогда
0    2 ,

(V ) : 0  r  1,

2
0  z  r  1,
m    dV  Тело однородно, т.е.   const     dV 
(V )
(V )
2
1
= (34.3) =   r d dr dz    d  dr
0
(V )
0
r 2 1

rdr 
0
3
.
2
Ось Oz является осью симметрии, поэтому центр тяжести
находится на этой оси: xц .т.  0, yц .т.  0,
z ц .т . 
Рис.42.5
1

2
z dV   z dV   
z dV 

m (V )
m
3 
(V )
2
= (34.3) 
3
2
z r d dr dz 

3
(V )
2
1
r 2 1
7

 d  dr  z r dz  9 . Итак, r
ц .т .
0
0
0

  0, 0,

7
. ■
9
42.3. Момент инерции фигуры.
Момент инерции сплошной фигуры можно найти по одной из формул:
 2
  r  dL,
( L)

J    r 2  dS ,
(S )

2
  r  dV .
 (V )
Здесь r  расстояние либо до определённой точки, либо до определённой оси,
либо до определённой плоскости.
 Формулы доказываются одинаково, поэтому докажем третью формулу.
Дано:
1) (V )  область, занимаемая телом (т. е. данной фигурой);
2)   плотность тела в любой его точке.
Выполним следующие действия:
♦ разобъём (V ) на бесконечно малые кусочки,
♦ выделим кусочек (dV ),
♦ вычислим его массу dm   dV и момент инерции dJ  r 2 dm  r 2  dV .
Тогда J   dJ   r 2  dV  момент инерции всей фигуры. ■
(V )
(V )
72
З а д а ч а 3. Найдите момент инерции неоднородного шара x 2  y 2  z 2  a 2 массы m
относительно его диаметра, если плотность в точке M ( x, y, z ) пропорциональна расстоянию от точки M до центра шара.
□ Шар – фигура объёмная, поэтому применяем формулу
(а)
J   r 2  dV ,
(V )
в которой r  расстояние от точки M до оси Oz . Направим ось Oz вдоль диаметра, где
O  центр шара (рис. 42.6). По условию задачи имеем
  k  OM  k  R,
где буквой k обозначен коэффициент пропорциональности. Расстояние от точки M до оси
Oz равно r  x 2  y 2 .
Так как фигурой (V ) является сфера, вычисления удобно вести в сферических координатах. Тогда
0    2 ,

(V ) : 0     ,
0  R  a,

r 2  x 2  y 2  (34.4)  R 2 sin 2  ,
J  (а), (34.5)  k  R 5 sin 3  dR d d 
(V )
2

a
4
ka 6 .
Рис. 42.6
9
0
0
0
Ввиду того, что масса шара известна (она равна m ), имеется возможность найти k :
 k  d  d  R 5 sin 3  dR 
2
m
  dV  k  R
(V )
значит, k 
3

a
sin  dR d d  k  d  d  R 3 sin  dR  k a 4 ,
0
(V )
0
0
m
4
. Получаем окончательно J  ma 2 . ■
4
9
a
. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАДИЕНТА, ДИВЕРГЕНЦИИ, РОТОРА
В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ
Обычная числовая функция f ( x, y, z ) называется скалярной функцией
(скалярным полем или просто скаляром).
Физические примеры скалярных функций: температура воздуха вокруг какого-либо
тела, плотность вещества внутри тела, электрический потенциал в пространстве вокруг
заряда.
73
43.1. Градиент
Градиентом скалярной функции f ( x, y, z )
называется вектор grad f ,
определяемый формулой
f  f  f 
grad f 
i
j  k,
x
y
z
или в сокращённой записи
grad f  ( f x' , f y' , f z' ).
З а д а ч а 1. Найдите градиент функции f  x 2  y 2  z 2 .
□ Находим частные производные
x
y
f x'  [( x 2  y 2  z 2 )1 / 2 ]x  , аналогично f y'  ,
f
f

x y z x y  z
Отсюда grad f   , ,   i  j  k . ■
f
f
f f f  f
(43.1)
f z' 
z
.
f
43.2. Дивергенция
Дивергенцией векторной функции F   P, Q, R 
называется скалярная функция div F ,
определяемая формулой
div F  div( P, Q, R)  Px'  Q y'  Rz' .
(43.2)
З а д а ч а 2. Найдите дивергенцию векторной функции

 
y 
F  (sin xy ) i   cos  j  (tg xe z ) k .
z


□ div F  (sin xy ) 'x    cos

'
y
1
y
xe z
z '

(
tg
xe
)

y
cos
xy

sin

.■

z
z y
z
z cos 2 xe z
43.3. Ротор
Ротором векторной функции F  ( P, Q, R)
называется новая векторная функция rot F ,
определяемая формулой



i
j
k



rot F  rot ( P, Q, R) 
.
x y z
P Q R
(43.3)

 
y 
З а д а ч а 3. Найдите ротор векторной функции F  (sin xy ) i   cos  j  (tg xe z ) k .
z

74



i
j
k
y



□ rot F  rot (sin xy ,  cos , tg xe z ) 

z
x
y
z
sin ( xy )  cos ( y / z ) tg ( xe z )


 
 
y 
= i  (tg xe z )    cos  
y
z 
z 


0







 



 
y 

j  (tg xe z )  (sin xy )  k    cos   (sin xy ) 
x
z
x
z  y
 






0
0



 
y 
ez
 y
=  2 sin  i  
j

(
x
cos
xy
)
k
.■

2
z
z
z
 cos ( xe ) 
44. ПРОИЗВОДНАЯ ВДОЛЬ ОПРЕДЕЛЁННОГО НАПРАВЛЕНИЯ
Пусть вы имеете



1) вектор L  L1i  L2 j  L3 k  ( L1 , L2 , L3 ), выходящий из точки M (рис. 44.1);
2) функцию f  f ( x, y, z ).
Рис. 44.1
Рис. 44.2
Докажем следующее утверждение:
Величина

df
 скорость изменения функции f в направлении вектора L ,
dL
определяется по формуле
'
'
'
df L1 f x  L2 f y  L3 f z

,
dL
L

2
2
2
в которой L  L1  L2  L3 .
Величину
(44.1)

df
называют также производной вдоль вектора L.
dL
 Как известно, дифференциал функции трёх переменных определяется
формулой
75
df  f x' dx  f y' dy  f z' dz,
поэтому
f x' dx  f y' dy  f z' dz
df
dx
dy
dz

 f x'
 f y'
 f z'
.
dL
dL
dL
dL
dL
(а)
Чтобы найти dx / dL, dy / dL, dz / dL :
♦ от точки M отложим бесконечно
малый кусочек dL вектора L (рис. 44.2);

♦ спроецируем вектор L и отрезок dL на ось Ox и получим отрезки dx и L1.
Из подобия треугольников следует, что
Аналогично получаются равенства
dx L1
 .
dL L
dy L2 dz L3
 ,
 .
dL L dL L
Подставив эти значения в (а), получим равенство (44.1). ■
З а д а ч а 1. Найдите производную функции f  x 2  arctg ( y  z ) в точке M ( 2,1,1) в на

правлении вектора L  3 j  4k .


□ Находим модуль вектора L  (0, 3,  4) : L  0 2  32  ( 4) 2  5 .
1
1
, f z' 
.
2
1  ( y  z)
1  ( y  z) 2
1
1
В точке M ( 2,1,1) они будут равны f x'  4, f y'   , f z'   . Отсюда
5
5
 1
 1
0  4  3      (  4)    
df ( M )
 5
 5  1 . ■
 (44.1) 
dL
5
25
Определяем частные производные: f x'  2 x, f y' 
45. СМЫСЛ ГРАДИЕНТА
Докажем, что проекцию вектора grad f на вектор L можно найти по формуле
Пр L ( grad f ) 
df
.
dL
 Применим знакомую из аналитической геометрии формулу вычисления
 


 a b
проекции вектора a на вектор b : Пр b a   . Тогда
b

( L1 , L2 , L3 )  ( f x' , f y' , f z' ) L1 f x'  L2 f y'  L3 f z'
df
L  grad f

 (44.1) 
. ■
Пр L ( grad f ) 




dL
L
L
L
76
Рис. 45.1 показывает, что величина df / dL станет наи
большей, если вы направите L вдоль grad f . В этом случае
 df 
 grad f .
 
 dL  наибольшая
Итак,
Рис. 45.1
Вектор grad f
направлен в сторону наибольшей скорости возрастания функции f ,
а его модуль grad f равен этой наибольшей скорости возрастания.
46. СМЫСЛ РОТОРА
Пусть в пространстве
имеются:

1) векторная функция F ;
2) бесконечно малая площадка (dS ) , ограниченная орентированной замкнутой линией (dL) (рис. 46.1).
На площадке (dS ) построим единичный вектор площадки

n  (dS ), из конца которого видна ориентация линии (dL )
против часовой стрелки. Из-за своей малости область
(dS ) можно считать плоской. На этой плоскости построим правую систему координат Oxyz , ось Oz которой на
правим параллельно
вектору
Рис. 46.1
n (рис. 46.2). Тогда единич

ный вектор k оси Oz будет равен вектору n. В системе координат Oxyz век
тор F приобретёт координаты ( P , Q, R ), а
вектор бесконечно малого перемещения

вдоль линии (dL) будет равен dr  (dx, dy,0).
Тогда


F  dr  Pdx  Qdy ,
 
dЦ   F  dr   P dx  Q dy 
( dL )
( dL )
 Применим формулу Грина 

 (Q
'
x
 Py' ) dx dy 
( dS )
Рис. 46.2
=│Но Qx и Py постоянны в области (dS ), так как область мала│=
'
'
 (Qx'  Py' )  dxdy
  (Qx  Py ) dS .
( dS )
dS
Из полученного равенства dЦ  (Qx'  Py' )dS следует
dЦ
 Qx'  Py' .
dS
77
(а)
С другой стороны

     
k
k i k  j k k






z
x
y
z
R
P
Q
R
 
 

Q P
dЦ
= [ Так как k  i  0, k  j  0, k  k  1 ] =   (а) 
.
x y
dS

i
  

n  rot F  k 
x
P

j

y
Q
Мы доказали формулу

dЦ
n  rot F 
.
dS
Величина
(46.1)
dЦ
называется плотностью циркуляции (цирdS
куляция на единицу площади) вокруг элементарной пло
щадки (dS ). Заметим, что величина n  rot F есть проекция

вектора rot F на вектор n :



n  rot F


Пр n ( rot F ) 
  Так как n  1   n  rot F ,

n
поэтому формулу (46.1) можно записать и так:
Рис. 46.3

dЦ
Пр n ( rot F ) 
.
dS
На рис. 46.3 видим, что величина dЦ / dS станет наибольшей, если направить


n вдоль rot F , при этом

 dЦ 
 rot F .
(46.2)


 dS  наибольшая
Итак

Вектор rot F
перпендикулярен площадке с наибольшей плотностью циркуляции,

причём его модуль rot F равен этой наибольшей плотности циркуляции.
47. ФОРМУЛА СТОКСА


Из формулы (46.1) следует dЦ  n  rot F dS  циркуляция по элементарному замкнутому контуру (dL) на которую натянута элементарная поверхность (плёнка) (dS ). Проинтегрировав
это выражение, получим циркуляцию по замкнутой линии (L), , на которую натянута поверхность (плёнка) (S )
(рис. 47.1):


(47.1)
Ц   n  rot F dS
(S)
Если подставить в это равенство значение (38.1), получим
78
Рис. 47.1
 F  dr   n  rot F dS .
(L)
(47.2)
(S )
Формула Стокса1.




З а д а ч а 1. Вычислите циркуляцию векторной функции F  x 2 y i  y 2 xj  xk по эллипсу
(L), образованному пересечением цилиндра x 2  y 2  1 с плоскостью x  y  z  1 (при
взгляде сверху, т. е. с положительного направления оси Oz , циркуляция совершается против часовой стрелки).
□ Нарисуем цилиндр и плоскость. В сечении получится эллипс (рис. 47.1). Задачу решим
двумя способами.
Первый способ, непосредственный, по формуле (38.1). В этом случае
Ц   x 2 ydx  y 2 xdy  xdz.
( L)
Уравнение эллипса (L) запишем в параметрическом виде
 x  cos t ,

( L) :  y  sin t ,
 z  1  cos t  sin t ,

где t изменяется от 0 до 2 . Тогда
dx   sin t dt , dy  cos t dt , dz  (sin t  cos t ) dt ,
отсюда
2
Ц
 cos
2

t sin t ( sin t )  sin 2 t cos 2 t  cos t (sin t  cos t ) dt   .
Рис. 47.2
0
Второй способ – вычисление циркуляции Ц по форму
ле (47.1). Находим ротор вектора F :



i
j
k





rot F 
 j  ( y 2  x 2 )k  (0, 1, y 2  x 2 ).
x y z
x 2 y xy 2  x
Поверхность (S ) имеет уравнение x  y  z  1  0, поэтому


N  ( 'x , ' y  ' z )  (1, 1, 1), N  12  12  12  3 ,
n
 1 1 1 
 
,
,
.
N  3 3 3
N
Отсюда

1
n  rot F 
(1  y 2  x 2 ),
3
Ц  (49.1)  
(S )
1


N

(1  y  x )dS  dS 
dxdy  3dxdy    (1  y 2  x 2 )dxdy 


' z
3

 ( D )
1
2
2
Стокс Джорж Габриель (1819-1903): английский физик и математик.
79


Здесь ( D )  круг x 2  y 2  1, лежащий на плоскости Oxy , поэтому


= 
0    2 ,  
вычисления удобно проводить в полярных координата х, ( D) : 


0  r  1 

2
  (1  r 2 sin 2   r 2 cos 2  ) rdrd 
( D)
1
2
 d  (1  r cos 2 )rdr   . ■
0
0
48. НЕЗАВИСИМОСТЬ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА
2-ГО РОДА ОТ ЛИНИИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Криволинейный интеграл 2-го рода

 F  dr   Pdx  Qdy  Rdz
( L АИ )
( L АИ )
обычно зависит от того, какая линия (линия интегрирования) соединяет точки А и И. Докажем следующее утверждение:

Если rot F  0,
 
то интеграл  F  dr не зависит от формы линии,
(48.1)
( L АИ )
соединяющей любые две точки А и И.
И наоборот.

   доказательство сверху вниз. Дано: rot F  0.

Тогда  F  dr  (47.2), (а)  0, где (L)  любая замкнутая линия.
(а)
(б)
(L)
Выберем в пространстве две произвольные точки А, И и соединим их линиями АЛИ, АСИ (рис. 48.1). Появится замкнутая линия АЛИСА = АЛИ +
ИСА, поэтому
 
 
 
F

d
r

(б)

0
,
т.
е.
F

d
r

F


  dr  0,
АЛИСА

АЛИ
АЛИ
 
F  dr 

ИСА

 F  dr  0,
АСИ

АЛИ
 
F  dr 


 F  dr .
АСИ
Рис. 48.1
Интегралы по обеим линиям совпали, значит, интеграл не зависит от формы
линии интегрирования.
  доказательство обратного утверждения. Дано:

1) векторная функция F ,
 
2) интеграл  F  dr , который не зависит от формы линии,
(в)
( L АИ )
соединяющей любые точки А и И.
80
Возьмём произвольный замкнутый контур и отметим на нём две точки А и И
 
 
(рис.48.1). Тогда  F  dr  (в)   F  dr ,
(г)
АЛИ

АСИ
 
F  dr 

 F  dr  
АЛИСА
АЛИ


 F  dr  
ИСА
АЛИ
 
F  dr 


 F  dr = (г) = 0.
АСИ
Итак, циркуляция по любому контуру равна нулю. Значит, и циркуляция dЦ
по любому бесконечно малому контуру, окружающему бесконечно малую
площадку (dS ) , равна нулю: dЦ =0. Подставив это значение в формулу (46.2),

получим rot F  0. ■
З а д а ч а 1. Проверьте, зависит ли криволинейный интеграл

(L)
x
y
z
dx  dy  dz от лиy
z
x
нии интегрирования.
 x y z
x
y
z
dx  dy  dz означает, что дан вектор F   , , .
y
z
x
 y z x
(L)

Проверим, выполняется ли условие (48.1), для чего вычислим ротор вектора F :



i
j
k

y  z  x 
rot F   / x  / y  / z  2 i  2 j  2 k .
z
x
y
x/ y y/z z/x
 
Видим, что rot F  0, поэтому данный интеграл зависит от линии интегрирования. ■
□ Наличие выражения

49. ВЕКТОРНАЯ ЛИНИЯ

Векторная линия векторного поля F  такая линия, вкаждой точке которой направление касательной и направление вектора F совпадают (рис.
49.1).
Рис. 49.1
Рис. 49.2

Если вы представите, что F  скорость движения частиц жидкости, то векторными линиями будут траектории движения частиц жидкости. А в электрическом или магнитном поле векторные линии суть силовые линии этого
81
поля.
Как найти уравнение какой-нибудь векторной линии векторного поля

F?
В пространстве введём систему координат Oxy z. Тогда векторная функция


F будет задаваться тремя координатами P, Q, R, т. е. F  ( P, Q, R ). На воображаемой векторной линии выделим бесконечно малый кусочек и получим


вектор dr  (dx, dy, dz ) (рис. 49.2). Так как векторы dr и F направлены одинаково (значит, они параллельны), то их координаты пропорциональны:
dx dy dz

 .
P Q R
Уравнения векторной линии.
Переменные величины x, y, z являются координатами переменной точки М,
бегущей по этой линии.
50. ПОТОК ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИ
СКВОЗЬ ВООБРАЖАЕМУЮ ПОВЕРХНОСТЬ
Дано:

1) векторная функция F ,
2) бесконечно малая площадка (dS ) (рис. 50.1).
Это значит, что в каждой точке площадки (dS )

имеется свой вектор F , (вы можете представить себе, что множество стрел пересекает
(dS )). Из-за малости площадки её можно считать плоской и к ней можно приставить еди
ничный нормальный вектор n (рис. 50.2).
Величина
Рис. 50.1
 
dП  n  F dS
Рис. 50.2
(50.1)

называется потоком векторной функции F сквозь бесконечно малую пло
щадку (dS ) в направлении n. Из (50.1) получим
 
П   n  F dS .
(S)
Формула вычисления потока
сквозь произвольную поверхность (S ).
82
(50.2)
Давайте выясним физический смысл потока.
Представьте себе, что сквозь площадку (dS ) течёт жидкость со скоростью
 
v  F (рис. 50.3). В таком случае частицы жидкости,
находящиеся на площадке (dS ), за единицу времени

сместятся на вектор v и поток этого вектора будет
равен
 
 
dП  (50.1)  n  v dS  n v cos dS 


  Здесь n  1, v cos   h ]  h  dS  dVжидкости 
Рис. 50.3
количество (объём) жидкости, протекающей сквозь (dS )
за единицу времени. Из равенства dП  dVжидкости получаем П  Vжидкости . Итак,
Поток есть количество жидкости,
протекающей сквозь поверхность (S ) за единицу времени.
Физический смысл потока векторной функции.
51. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОТОКА В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ

Поток векторной функции F сквозь поверхность (S ) вы можете найти по
одной из формул
 
N F
dx dy,



z
(D)
 
NF
dx dz,



(D)
y
 
N F
dy dz,

 x
(D)
 
П   n  F dS 
(S)
(51.1)
(51.2)
(51.3)
 P dy dz  Q dx dz  R dx dy.
( S )


(51.4)
В этих формулах ( S ) : ( x, y, z )  0, N  ( 'x ,  'y ,  'z ), F  ( P, Q, R).
 Дано:
1) ( x, y, z )  0  уравнение ориентированной поверхности ( S ) ;
(а)

2) F  ( P, Q, R )  векторная функция.

Из (а) находим нормальный вектор N  ( 'x ,  'y ,  'z ), затем единичный нор
 N
мальный вектор n   . Пусть  'z  0. Тогда
N
 
 
N F
N F
dxdy.
dП  (50.1)   dS  (39.3) 
 'z
N
83
Интегрирование этого выражения даст формулу (51.1). Остальные две формулы выводятся аналогично.
Теперь докажем четвёртую формулу. Так как
 
'
'
'
'
'
'
 'y
 'x
 'z
  N  F ( x ,  y ,  z )  ( P, Q, R) P x  Q y  R z
nF   


P

Q

R




 ,
N
N
N
N
N
N
то
 
П   n  FdS 
(S )
'
y
 'x
 'z
P
dS

Q
dS

R


 N
 N
 N dS.
(S )
(S )
(S )
Осталось доказать, что
 'x
P
 N dS  (S ) Pdydz ,
(S )

 Q
 'y
N
(S )
 R
(S )
dS 
 Qdxdz,
( S )
'
z

 dS   Rdxdy.
N
( S )
Доказательство этих равенств единообразно, поэтому докажем третье равенство:
 'z
 'z
R
dS

(39.3)

R

 N
  ' dxdy  (40.2)  (S ) Rdxdy. ■
(S )
( D)
z


З а д а ч а 1. В направлении нормали N , образующей острый угол с осью Oz , найдите


 
поток векторной функции F   xi  yj  zk через часть плоскости (S ) : x  2 y  3z  1,
ограниченной координатными плоскостями.

□ Нарисуем поверхность ( S ) : x  2 y  3 z  1  0 (рис. 51.1). Так как угол между N и Oz

должен быть острым, третья координата N 3   'z вектора N должна быть положительной.
Если в качестве  взять функцию   x  2 y  3z  1, то  'z  3  0  нормаль N образует тупой угол с осью Oz , что не удовлетворяет условию задачи. Поэтому в качестве 

берём    x  2 y  3 z  1. Тогда N  ( 1,  2, 3),
 
N F
(1,  2, 3)  ( x, y, z )
П  (51.1)  
dxdy  
dxdy 
'
3
(D)  z
(D)

1
( x  2 y  3 z )dxdy  [ Так как x  2 y  3z  1, то
3 (
D)
3 z  x  2 y  1; подставим эту величину] =
2
1 2 y
1
1
=  (2 x  1)dxdy   dy
3 ( D)
30

(2 x  1)dx 
0
84
20
. ■
9
Рис. 50.3
52. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО – ГАУССА

Докажем, что поток векторной функции F сквозь замкнутую поверхность (S ) можно найти по формуле

П   div F dV
(52.1)
(V )
где (V )  пространственная область, заключённая
внутри (S ) (рис. 52.1). Подставив в это равенство
значение (50.2), получим
Рис. 52.1

 
n

F
dS

div
F
dV .


(S )
(V )
1
(52.2)
Формула Остроградского-Гаусса .
 Дано:

1) векторная функция F ;
2) замкнутая поверхность (S ).
В пространстве поместим декартову систему координат Oxyz. Будем иметь

F  ( P, Q, R ), dV  dxdydz ,

divF  (43.2) = Px'  Q y'  R z' ,
П  (51.4) 
 P dy dz  Q dx dz  R dx dy.
(S )
и формула 52.1 запишется в следующем равносильном виде:
'
x
 Pdydz  Qdxdz  Rdxdy   ( P  Q
( S )
'
y
 Rz' ) dxdydz.
(V )
Это равенство получается сложением трёх формул:
'
x
 Pdydz   P dxdydz,
( S )
(V )
'
y
 Qdxdz   Q dxdydz,
( S )
(V )
'
z
 Rdxdy   R dxdydz.
( S )
(V )
1
Остроградский Михаил Васильевич (1801-1861): русский математик.
Гаусс Карл Фридрих (1777-1855): немецкий математик
85
(а)
Для доказательства, например, третьей
формулы спроецируем замкнутую поверхность (S ) на плоскость Oxy (рис. 52.2). На
плоскости Oxy появится область (D ), а (S )
разобъётся на нижнюю часть (S1 ) и верхнюю ( S 2 ).
Преобразуем левую часть формулы (а):
 Rdxdy   Rdxdy   Rdxdy 
( S )
( S1 )
( S2  )

 На поверхности ( S1 ) угол n ^ Oz тупой, 
=


на поверхности ( S 2 ) угол n ^ Oz острый
Рис. 52.2
= (40.1)    R z  z1( x , y ) dx dy   R z  z 2( x , y ) dx dy 
(D)
(D)

 [ R
z 2( x , y )
 R z1( x , y ) ] dx dy 
(D)
 [ R
z 2( x, y
z1( x , y )
] dx dy.
( D)
Преобразуем правую часть формулы (а):
z2 ( x , y )

( x, y )  ( D ),


z 2 ( x, y )
R z dx dy dz  (V ) : 
   dx dy  R z dz   dx dy R z1 ( x , y )   Rdxdy.

 z 1 ( x, y )  z  z 2 ( x , y )  ( D )
(V )

z1 ( x , y )
( D)
( S )


Формула (а) доказана. Остальные формулы доказываются аналогично. ■
П р и м е ч а н и е. Из формулы (52.1) получаем поток сквозь поверхность,
ограничивающую бесконечно малую область:

dП  div F dV .
(52.3)

 Из-за малости области dV величина div F не успевает измениться, поэтому



dП  (52.1)   div F dV  div F  dV  div F  dV . ■
( dV )
( dV )


 
З а д а ч а 1. Найдите поток векторного поля F   xi  yj  zk сквозь замкнутую поверхность, образованную плоскостями x  2 y  3z  1, x  0, y  0, z  0.
□ Сделав чертёж данных плоскостей, получим пирамиду (рис. 52.3), задаваемую системой
неравенств
0  y  1 / 2,


(V ) :  0  x  1  2 y,
( x  2 y  1) / 3  z  0.


Так как F  (  x, y, z ), то

div F  ( x) 'x  ( y )'y  ( z )'z  1  1  1  1.
Рис. 52.3
Теперь вычислим поток
П  (53.1)   1  dV   dx dy dz 
(V )
(V )
86
1/ 2
1 2 y
0
1/ 2
1 2 y
   dy  dx  dz   dy 
0
0
x  2 y 1
3
0
0
1/ 2
x  2 y 1
1

0 
dx    dy
3
3 0


1 2 y
1
 ( x  2 y  1)dx  36 .
0
Этот ответ можно получить быстрее следующим образом:
1 1 1 1
П   dV  Vпирамиды  [Размеры указаны на рис. 52.3]  1     .
6  2 3  36
(V )
53. СМЫСЛ ДИВЕРГЕНЦИИ
Представьте себе, что в пространстве вы выделили бесконечно малый
объём (dV ), ограниченный бесконечно малой поверхностью (dS ) (рис. 53.1).
Сквозь (dS ) будет проходить бесконечно малый поток dП , вычисляемый по формуле (52.3). Отсюда
 dП
div F 
.
dV
(53.1)
При dV  1 (т. е. при единичном объёме) получаем

div F  dП . Следовательно,
Рис. 53.1
Дивергенция есть поток векторной функции сквозь замкнутую поверхность,
окружающую единичный объём.
Пусть в область (V ) входит поток П1 , а выходит П 2 (рис. 53.1). Тогда
П  П2  П1 и по формуле (55.1) получим

 П  П1
div F  2
.
V
Если П2  П1 , то div F  0; в этом случае говорят, что в области (V ) имеется

источник векторного поля. Если же div F  0, то говорят, что в (V ) имеется
сток векторного поля.
Пример: в произвольной точке M электромагнитного поля дивергенция электриче
ского поля E равна

div E ( M )  4 ( M ),
где  (M )  плотность электрического заряда в точке M ; дивергенция же магнитного поля

H равна

div H ( M )  0,
так как магнитных зарядов не существует.
87
54. ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА
Введём специальный символ
         
i
 j
k
  , , .
x
y
z  x y z 
(54.1)
Символ  называется оператором Гамильтона или оператором набла1. Он
обладает свойствами и вектора, и производной.
1. Умножение  на числовую функцию f  f ( x, y , z ) даёт градиент этой
функции:
f  grad f .
(54.2)
 f  f  f
      
 j
 k  f  i
j
k
 (43.1)  grad f . ■
y
z 
x
y
z
 x
 f  (54.1)   i

2. Скалярное умножение  на векторную функцию F  ( P, Q, R) даёт её дивергенцию:


(54.3)
  F  div F .


   
P Q R
, ,   ( P, Q, R ) 


 (43.2)  div F . ■
x y z
 x y z 
   F  (54.1)  

3. Векторное умножение  на векторную функцию F  ( P, Q, R) даёт её ротор:


(54.4)
  F  rot F .

i
     

   F   , ,   ( P, Q, R) 
x
 x y y 
P

k


 (43.3)  rot F . ■
y
R

j

y
Q
55. ПОВТОРНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАТОРА 


Если к величинам f ,   F ,   F ещё раз применить оператор набла, то
можно получить 5 возможных случаев. Они дадут новые функции, скалярные и векторные.
1
Гамильтон Уильям Роуан (1805-1865): английский математик.
Набла: музыкальный инструмент треугольного вида.
88
1.
(55.1)
  ( f )  (   ) f   f ,

обозначается 
где символ  называется оператором Лапласа (или лапласианом). В декартовых координатах он имеет вид
          2
2
2
      (54.1)   , ,    , ,   2  2  2 ,
y
z
 x y z   x y z  x
поэтому
f 
2 f 2 f 2 f


.
x 2 y 2 z 2
(55.2)
f  скалярная функция.
2.

  (f )  (   ) f  0.

0
 

(Применили свойство векторного умножения: a  a  0) .
3.

(  F )  векторная функция.
4.


    F  


  F  0.



0

 



(Применили свойство смешанного умножения: a  (b  c )  (a  b )  c ).

5.
  (  F )  векторная функция.
56. ПРОСТЕЙШИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

Пусть у вас имеется векторное поле F . Рассмотрим три случая, когда векторное поле удовлетворяет тем или иным условиям.
56. 1. Соленоидальное поле


Если   F  0 (т. е. когда div F  0 ),

векторное поле F называется соленоидальным1 или трубчатым.

Представьте себе, что вы поместили в соленоидальное поле F площадку
(S1 ) и через точки границы площадки провели векторные линии (рис. 56.1).
Эти линии ограничивают часть пространства, называемую векторной трубкой. (Если внутри текущей жидкости поместить воображаемую векторную
трубку, то частицы жидкости не будут пересекать её боковой стенки). Рас1
Соленоидальный (греч): трубчатый, имеющий вид трубки.
89
смотрим часть векторной трубки (V ) между
двумя сечениями (S1 ) и ( S2 ) (рис. 56.1).
Поток сквозь замкнутую поверхность
( S1 , S2 ) равен

П  (52.1)   div F dV  0.

(V )
0
С другой стороны,
 
 
n

F
dS

n

 1  F dS 
П
( S1 , S 2 )
( S1 )
 
n
 2  F dS ,
( S2 )

где n1  внешняя нормаль к сечению (S1 ),

n2  внешняя нормаль к сечению ( S 2 ).
Следовательно,

 n
1

 F dS 
( S1 )

 n
2

 F dS  0,
( S2 )
Рис. 56.1

 n
2

 
 F dS    n1  F dS .
( S1 )
( S2 )
Последнее равенство означает, что поток сквозь сечение ( S2 ) равен потоку


сквозь сечение ( S1 ) в том же направлении (так как n1   n2 ). Итак, поток
сквозь любое сечение векторной трубки одинаков.
Справедливо следующее утверждение:

Векторное поле F является соленоидальным только тогда,

когда F есть ротор некоторой векторной функции A .

Функция A называется векторным потенциалом векторного поля.
56. 2. Потенциальное поле
 
 
Если   F  0 (т. е. когда rot F  0 ),

векторное поле F называется потенциальным или безвихревым.
Справедливо следующее утверждение:

Векторное поле F является потенциальным только тогда,

когда F есть градиент некоторой скалярной функции f .
Функция f называется скалярным потенциалом или просто потенциалом
векторного поля (или векторной функции).

Потенциал векторной функции F  ( P, Q, R ) можно найти по формуле
x
y
z
f   P( x, y , z)dx   Q ( x0 , y, z )dy   R( x0 , y0 , z)dz,
x0
y0
z0
в которой x0 , y0 , z0  константы (часто берут x0  0, y0  0, z0  0).
90
56. 3. Гармоническое поле
Векторное поле, являющееся одновременно потенциальным
и соленоидальным, называется гармоническим.


Из потенциальности гармонического поля F следует, что F  f ,
(а)

где f  потенциал поля. С другой стороны, это поле соленоидально,   F  0.
Подставив сюда значение F , взятое из формулы (а), получим   (f )  0, или
иначе,  f  (57.1)  0. Следовательно, согласно формуле (57.2),
 2 f  2 f 2 f


 0.
x 2 y 2 z 2
Функция f , удовлетворяющая этому равенству, называется гармонической.
Гармонические функции применяются в теоретической и математической
физике.
Библиографический список
1. Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике: Учебное пособие. 5-е изд.,
перераб. и доп. – СПб.: Лань, 2007.
2. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс.
4-е изд. М.: Айрис-пресс, 2006.
91
ОГЛАВЛЕНИЕ
Понятие неопределённого интеграла…..……………………….……1
Таблица интегрирования…….………….…………………….………3
Правила интегрирования………………………………...……….…...5
Основные методы интегрирования…………………………….….....6
4.1. Непосредственное интегрирование………………………………6
4.2. Интегрирование с помощью замены переменной………………6
4.3. Частичное интегрирование…………………………………….....7
5. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратичный
многочлен………………………………………………………………8
1.
2.
3.
4.
6. Вычисление интеграла J n  
dx
……………….……….……….9
( x  a )n
2
7. Простейшие дробные рациональные функции…………………….11
8. Дробная рациональная функция, её интегрирование……….……..12
9. Интегрирование тригонометрических выражений………………...14
10. Интегрирование иррациональных функций……………………….17
  ax + b  m / n 
10.1. Интеграл вида  R x, 
 dx. …………………………......17
cx
+
d

 

10.2. Интеграл от дифференциального бинома…………………......17
11. Неберущиеся интегралы…………………………………………….18
12. Площадь криволинейной трапеции. Понятие определённого интеграла………............................................................................................19
13. Производная интеграла по переменному верхнему пределу……..21
14. Связь определённого интеграла с неопределённым интегралом...21
15. Свойства определённого интеграла………...………………………22
16. Вычисление определённого интеграла с помощью замены переменной…………………………………….…………………………...24
17. Частичное интегрирование в определённом интеграле…………..25
18. Интегрирование неравенств………………………………………...25
19. Среднее значение функции……………………………………….. 26
20. Принцип составления определённого интеграла…..………….......27
21. Площадь плоской фигуры………………………………………… 28
22. Длина плоской линии………………………………………………..30
23. Объём тела………………………… ………………………………..32
24. Решение физических задач с помощью определённого интеграла……………………………………………………………………….34
24.1 Задача на вычисление работы…………………………………..34
24.2 Задача на вычисление силы давления…………………………34
25. Несобственные интегралы……………………………………...…...35
25.1. Интегралы с неограниченной областью интегрирования……35
25.2. Интегралы от неограниченной функции………………………36
26. Сходимость несобственного интеграла от степенной функции….38
92
27. Признаки сравнения для выяснения сходимости несобственных
интегралов……………………………….………………………….....39
27.1. Первый признак сравнения……………………………………39
27.2. Второй признак сравнения…………………………………….40
27.3. Абсолютная сходимость несобственного интеграла.………..40
28. Понятие двойного и тройного интеграла…………………………..41
28.1 Построение двойного интеграла………………………………41
28.2. Построение тройного интеграла……………………………...42
29. Свойства двойного и тройного интегралов.……………………….43
30. Вычисление двойного интеграла ………………………….……….43
31. Интеграл Пуассона………………………………………………......47
32. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах…….47
33. Преобразование элемента площади и объёма при замене переменных……………………………………….…………….………..……..49
33.1. Преобразование элемента площади………………………......49
33.2. Преобразование элемента объёма…………………………….52
34. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве……53
34.1. Цилиндрические координаты………………………………….53
34.2. Сферические координаты……………….…………………….55
35. Криволинейный интеграл 1-го рода………………………….…….56
36. Криволинейный интеграл 2-го рода………...….…………………..57
37. Работа – физический смысл криволинейного интеграла 2-го рода……………………………………………………………………….59
38. Циркуляция. Формула Грина……………………………………….60
39. Поверхностный интеграл 1-го рода………………………..……….62
40. Двусторонняя поверхность. Поверхностный интеграл 2-го рода..65
41. Интеграл от векторной функции……………… ………………….66
42. Физические применения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов…..……………………………………………………67
42.1. Масса фигуры…………………………………………………...67
42.2. Центр тяжести фигуры…………………………………………68
42.3. Момент инерции фигуры………………………………………70
43. Определение градиента, дивергенции, ротора в декартовых координатах……...........................................................................................71
43.1. Градиент…………………………………………………………71
43.2. Дивергенция……………………………………………………..72
43.3. Ротор……………………………………………………………..72
44. Производная вдоль определённого направления………………….72
45. Смысл градиента………………….. ..……………………………....74
46. Смысл ротора………………………………………………………...74
47. Формула Стокса..……………….……………………………………76
48. Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от линии интегрирования…......................................................................................77
49. Векторная линия…….……………………………………………….79
50. Поток векторной функции сквозь воображаемую поверхность….80
93
51. Вычисление потока в декартовых координатах………….………..81
52. Формула Остроградского – Гаусса……………………….………...83
53. Смысл дивергенции………………….……………………………...84
54. Оператор Гамильтона…………………….…………………………85
55. Повторное применение оператора  ……..………………………..86
56. Простейшие векторные поля……………………………….……….87
56.1. Соленоидальное поле………………………………………......87
56.2. Потенциальное поле……………………………………………88
56.3. Гармоническре поле……………………………………………88
Библиографический список………………………………………………...89
94