решение треугольников

04.03.2024
Урок №28
1
04.03.2024
Самостоятельная работа
• Вариант 1
• Вариант 2
Найти 1.
Х
1.
х
8
120º
3
60º
45º
х
2.
5
6
х
45º
2.
14
30º
135º
х
4 2
3. Определите вид треугольника со сторонами
3; 5; 7
4; 5; 6
2
04.03.2024
Определение
Решением треугольника называется
нахождение всех его шести элементов (то
есть трёх сторон и трёх углов) по какимнибудь трём данным элементам.
В
c
А
3
a
С
b
3
04.03.2024
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов
a
b
c


sin A sin B sin C
В
c
А
5
a
С
b
5
04.03.2024
Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон минус
удвоенное произведение этих сторон на
косинус угла между ними.
a  b  c  2bc cos A
2
2
2
А
6
В
c
a
С
b
6
04.03.2024
Три задачи на решение
треугольника
7
7
04.03.2024
Дано : АВС , ВС  a, АС  b, C
C
A
В
8
04.03.2024
Решаем задачу 1
Решить треугольник АВС, если a=6,3 см, b=6,3 см, C=54º.
Дано: АВС, a=6,3 см,
b=6,3 см, C=54º.
Найти: А,  В, c.
В
Ответ
А
9
С
9
04.03.2024
C
A
Дано : АВС , ВС  a, C , В
В
10
04.03.2024
Решаем задачу 2
Решить треугольник АВС, если А=60º В=40º, с =14см.
Дано: АВС, А=60º,
В=40º, с=14см.
Найти: a, b, С.
С
Ответ
В
11
А
11
04.03.2024
Дано : АВС , ВС  a, АС  b, АВ  с
C
A
В
12
04.03.2024
Решаем задачу 3
Решить треугольник АВС, если a=6 см, b=7,7 см, c=4,8 см.
Дано: a=6 см, b=7,7 см,
c=4,8 см.
Найти: А, B, C.
В
Ответ
А
13
C
13
04.03.2024
IV тип задач
по двум сторонам и углу,
лежащему против одной из них
Дано:
∆ АВС
а , в, α
Найти: с, γ, β
а
в
α
14
04.03.2024
Таблица – памятка
Решение
треугольника по двум
сторонам и углу
между ними
А
В
В
β
B  180  A  C 
В
С
A  180  B  C 
a sin B
sin A
a sin С
с
sin A
b
А
b
c
γ
a
С
с  a 2  b 2  2ab cos C
b2  c2  a 2
cos A 
2bc
Решение треугольника по
трем сторонам
А
b
γ
a
Решение
треугольника по
стороне и
прилежащим к ней
углам
a
С
b2  c2  a 2
cos A 
2bc
2
b  a2  c2
cos C 
2ab
B  180  A  15
C
04.03.2024
Найди ошибку
à 2  b 2  c 2  2bc cos 
sin A sin B sin C


a
b
c
b  a  c  2bc cos 
sin A
2R 
a
a 2  a 2  c 2  2ac sin 
b
 2r
sin B
2
16
2
2
16
Решение
04.03.2024
с  а  в  2ав  сos , значит
2
с
2
2
а  в  2ав cos 
2
2
2) Если γ- тупой угол, значит α и β острые углы
Если γ –острый угол, то сравниваем а и b, выбираем меньшую
и находим меньший угол (он точно острый)
Допустим это α
а
c
a sin 

 sin  
sin  sin 
c
3) β =180º- (α + β)
Задача имеет одно решение
17
Решение:
04.03.2024
γ = 180º - (α+β), α+β < 180º
а
b
a sin 

b
sin  sin 
sin 
a
c
a sin 

c
sin  sin 
sin 
Задача имеет одно решение
18
04.03.2024
Решение
Пусть а – наибольшая сторона треугольника,
а 2  с 2  в 2  2вс cos 
c b a
cos  
2cb
a
b

, значит
sin 
sin 
b sin 
sin  
a
  180  (   )
2
2
2
Задача имеет одно решение
19
04.03.2024
Решение
а
b
b sin 

, значит sin  
sin  sin 
a
1. Если в намного больше
задача не имеет решений.
а, то sinβ >1
и
2. Если sinβ =1, то β =90º, γ =90º-α,
с = в cosα
в этом случае задача имеет
единственное решение
20
04.03.2024
3. Если 0 < sinβ < 1 , то β может быть и
острым и тупым углом
Сравниваем а и в
Если а < в, то
существуют два угла β
1
-острый, значит
треугольникостроугольный
 1  180  (  1 )
а sin  1
с1 
sin 
 2 =180º- (α +1)-тупой,
значит треугольниктупоугольный
 2  180  (   2 )
a sin  2
c2 
sin 
21
В этом случае задача имеет два решения