Алгебра 9 класс Начальные сведения из теории вероятностей Сложение и умножение вероятностей Основные определения События А и В называются несовместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого. ( испытание: стрельба по мишени А-выбивание четного числа очков; В- не четного). Вероятность появления одного из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Заметим, что если при определении нового события, мы употребляем союз «ИЛИ», то имеет место сумма некоторых событий Задача №1 В лотерее участвуют 100 билетов, из которых на 5 билетов падает выигрыш 20 рублей, на 10 билетов – 15 руб., на 15 билетов – 10 руб., на 25 билетов – 2 рубля. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10 рублей. Решение. Пусть А,В,С – события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20,15 и 10 руб. Т.к. события А,В и С несовместны, то Р(А+В+С) = Р(А)+Р(В)+Р(С) = 5 + 10 + 15 = 0,3 100 100 100 Ответ: 0,3. Задача №2 В коробке 250 лампочек, из них 100 по 100 Вт, 50 – по 60 Вт, 50 - по 25 Вт, 50 - по 15 Вт. Вычислить вероятность того, что мощность любой взятой наугад лампочки не превысит 60 Вт. Решение Пусть А – событие, состоящее в том, что мощность лампочки равна 60 Вт, В – 25 Вт, С – 15 Вт, D – 100 Вт. События А,В,С,D образуют полную систему, т.к.все они несовместны и одно из них обязательно наступит в данном испытании (выборе лампочки), т.е. Р(А)+Р(В)+Р(С)+Р(D) = 1. События «мощность лампочки не более 60 Вт» и «мощность лампочки более 60 Вт» – противоположные. По свойству противоположных событий Р(А)+Р(В)+Р(С) = 1- Р(D), Р(А+В+С) = 1- 100 = 150 = 3 250 250 5 Ответ: 0,6 Основные определения Два события называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого события. Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в совместном (одновременном или последовательном) осуществлении обоих событий А и В. Пример: Событие А = выпадение «орла» при первом подбрасывании монеты Событие В = выпадение «орла» при втором подбрасывании монеты Тогда событие С = А · В – двукратное выпадение «орла». P(C)= P(A)*P(B) Заметим, что если при определении нового события, употребляем союз «И», то имеет место произведение некоторых событий Задача №1 15 46 28 23 36 В первой урне находятся 6 черных и 4 белых шара, во второй – 5 черных и 7 белых. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми? Решение Пусть А1 – из первой урны извлечен белый шар; А2 – из второй урны извлечен белый шар. События А1 и А2 независимы. 4 2 7 Р( А1 ) ; Р( А2 ) ; 10 5 12 2 7 7 Р( А1 А2 ) Р( А1 ) Р( А2 ) 5 12 30 Ответ: 7 30 Задача №2 Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,2; Вероятность выхода из строя второго элемента равна 0,3. Найти вероятность того, что: а) оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента будут работать. Решение Пусть событие А – выход из строя первого элемента, событие В – выход из строя второго элемента. Эти события независимы ( по условию). а) одновременно появление А и В есть событие АВ Р(АВ) = 0,2·0,3 = 0,06 б) если работает первый элемент, то имеет место событие Ā (противоположное событию А – выходу этого элемента из строя); Если работает второй элемент – событие В, противоположное событию В Р(Ā) =1- 0,2 = 0,8 и Р(В) = 1-0,3 = 0,7 Тогда событие, состоящее в том, что будут работать оба элемента, есть ĀВ. Р(ĀВ) = Р(Ā)·Р(В) = 0,8·0,7 = 0,56. Ответ: 0,56. Задачи по теории вероятности с сайта решу ОГЭ ПРАКТИКА Задание 10 № 316354 (ОГЭ) Фирма «Вспышка» изготавливает фонарики. Вероятность того, что случайно выбранный фонарик из партии бракованный, равна 0,02. Какова вероятность того, что два случайно выбранных из одной партии фонарика окажутся небракованными? Решение. Вероятность того, что один случайно выбранный из партии фонарик — небракованный, составляет 1 − 0,02=0,98. Вероятность того, что мы выберем одновременно два небракованных фонарика равна 0,98 · 0,98 = 0,9604. Ответ: 0,9604. Задание 10 № 325540 (ОГЭ) Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,5. Найдите вероятность того, что стрелок первые 3 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Решение. Вероятность промаха равна 1 − 0,5 = 0,5. Вероятность того, что стрелок первые три раза попал в мишени равна 0,53 = 0,125. Откуда, вероятность события, при котором стрелок сначала три раза попадает в мишени, а четвёртый раз промахивается равна 0,125 · 0,5 = 0,0625. Ответ: 0,0625. Задание 10 № 340463(ОГЭ) На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Углы», равна 0,1. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Параллелограмм», равна 0,6. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем. Решение. Суммарная вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P=0,6 + 0,1 = 0,7. Ответ: 0,7. Задание 10 № 341364(ОГЭ) Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел равна 4 или 7. Решение. Сумма двух выпавших чисел будет равна 4 в трех случаях(1 и 3, 3 и 1, 2 и 2) и 7 в шести случаях(1 и 6, 6 и 1, 2 и 5, 5 и 2, 3 и 4, 4 и 3), т. е. 9 благоприятных событий. А всего событий может 𝟗 быть 6 · 6 = 36, значит, вероятность равна 𝟑𝟔 Ответ: 0,25. Задачи повышенной сложности В коробке лежат 30 галстуков, причем 12 из них красные, остальные белые. Определить вероятность того, что из 4 наудачу вынутых галстуков все они окажутся одного цвета. Решение Пусть А – событие, состоящее в том, что все 4 галстука будут красные, В – все 4 галстука будут белыми. 4 галстука из 30 можно выбрать 4 галстука из 30 можно выбрать 30! 27 28 29 30 С 27405 способами 4!26! 2 3 4 4 30 4 галстука из 12 красных можно выбрать 12! 9 10 1112 С 495 4!8! 2 3 4 4 12 способами, аналогично 18! 15 16 17 18 С 3060 способами. 4!14! 2 3 4 Вероятность того, что все 4 галстука будут красные: 495 3060 79 Р Р ( А) Р ( В ) 0,13 27405 27405 609 Ответ: 0,13 4 белых 4 18 Урок окончен
