Лапин - Математический анализ. ИТМО

È. À. ËÀÏÈÍ
Ë. Ñ. ÐÀÒÀÔÜÅÂÀ
Â. Ì. ÔÐÎËÎÂ
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ I
Ó÷åáíîå ïîñîáèå
+1
Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
2008
ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ
ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ
ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ
ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÎÍÍÛÕ ÒÅÕÍÎËÎÃÈÉ, ÌÅÕÀÍÈÊÈ È ÎÏÒÈÊÈ
È. À. ËÀÏÈÍ
Ë. Ñ. ÐÀÒÀÔÜÅÂÀ
Â. Ì. ÔÐÎËÎÂ
Êîëëåêòèâ àâòîðîâ:
È.À. Ëàïèí, Ë.Ñ. Ðàòàôüåâà, Â.Ì. Ôðîëîâ
Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç I
Ïîä îáùåé ðåäàêöèåé Ë.Ñ. Ðàòàôüåâîé
Ó÷åáíîå ïîñîáèå. ÑÏá: ÑÏáÃÓ ÈÒÌÎ, 2008 ãîä, 128 ñ.
Ïðåäëàãàåìîå ó÷åáíîå ïîñîáèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áàçîâûé êîíñïåêò ëåêöèé ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå äëÿ ñòóäåíòîâ 1-ãî êóðñà (1 ñåìåñòð) äíåâíîãî è
âå÷åðíåãî îòäåëåíèÿ îáùåèíæåíåðíûõ ñïåöèàëüíîñòåé.  íåì ðàññìîòðåíû
ñëåäóþùèå òåìû: ¾Ïðåäåë è íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé¿,
¾Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé è åãî ïðèëîæåíèÿ¿, ¾Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ
è åãî ïðèëîæåíèÿ¿. Ñîäåðæàíèå ïîñîáèÿ ñîîòâåòñòâóåò îáðàçîâàòåëüíûì
ñòàíäàðòàì è ïðîãðàììå äèñöèïëèíû ¾ìàòåìàòèêà¿ äëÿ íàïðàâëåíèÿ 550000
Òåõíè÷åñêèå íàóêè. Îñíîâíîå íàçíà÷åíèå ïîñîáèÿ ïîìî÷ü ñòóäåíòàì â
ñàìîñòîÿòåëüíîì èçó÷åíèè äàííûõ ðàçäåëîâ êóðñà â óñëîâèÿõ ñîêðàùåííîãî êîëè÷åñòâà àóäèòîðíûõ çàíÿòèé.
Ïðè íàïèñàíèè ïîñîáèÿ èñïîëüçîâàëèñü ó÷åáíûå ïîñîáèÿ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå òàêèõ àâòîðîâ êàê Ë.À. Êàëüíèöèé, À.À. Ïîòàïåíêî è äð., èçäàííûõ â ðàçíîå âðåìÿ â ÑÇÇÏÈ, à òàêæå ìàòåðèàëû äðóãèõ èçäàíèé, êîòîðûå
ïðèâîäÿòñÿ â ñïèñêå ëèòåðàòóðû áåç äîïîëíèòåëüíûõ ññûëîê.
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ I
Ó÷åáíîå ïîñîáèå
Ðåêîìåíäîâàíî ê ïå÷àòè Ó÷åíûì Ñîâåòîì åñòåñòâåííîíàó÷íîãî ôàêóëüòåòà ÑÏáÃÓ ÈÒÌÎ (ïðîòîêîë  8 îò 22 àïðåëÿ 2008 ãîäà)
 2007 ãîäó ÑÏáÃÓ ÈÒÌÎ ñòàë ïîáåäèòåëåì êîíêóðñà èííîâàöèîííûõ
îáðàçîâàòåëüíûõ ïðîãðàìì âóçîâ Ðîññèè íà 2007-2008 ãîäû. Ðåàëèçàöèÿ
èííîâàöèîííîé îáðàçîâàòåëüíîé ïðîãðàììû ¾Èííîâàöèîííàÿ ñèñòåìà ïîäãîòîâêè ñïåöèàëèñòîâ íîâîãî ïîêîëåíèÿ â îáëàñòè èíôîðìàöèîííûõ è îïòè÷åñêèõ òåõíîëîãèé¿ ïîçâîëèò âûéòè íà êà÷åñòâåííî íîâûé óðîâåíü ïîäãîòîâêè âûïóñêíèêîâ è óäîâëåòâîðèòü âîçðàñòàþùèé ñïðîñ íà ñïåöèàëèñòîâ
â èíôîðìàöèîííîé, îïòè÷åñêîé è äðóãèõ âûñîêîòåõíîëîãè÷íûõ îòðàñëÿõ
ýêîíîìèêè.
Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
2008
c Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èíôîðìàöèîííûõ
òåõíîëîãèé, ìåõàíèêè è îïòèêè, 2008 ã.
c È.À. Ëàïèí, Ë.Ñ. Ðàòàôüåâà, Â.Ì. Ôðîëîâ, 2008 ã.
4
5
6
7
8
Îãëàâëåíèå
9
10
11
1
2
Ïðåäåë è íåïðåðûâíîñòü
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3
Ýëåìåíòû òåîðèè ìíîæåñòâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ôóíêöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ïðåäåë ôóíêöèè. Åäèíñòâåííîñòü ïðåäåëà . . . . . . . . . .
Ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà. Ïåðâûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë . .
Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Âòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë
Áåñêîíå÷íî ìàëûå è áåñêîíå÷íî áîëüøèå ôóíêöèè . . . . . .
Òåîðåìû î êîíå÷íûõ ïðåäåëàõ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ñðàâíåíèå áåñêîíå÷íî ìàëûõ ôóíêöèé . . . . . . . . . . . . .
Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè â òî÷êå . . . . . . . . . . . . . . . .
Ðàçðûâ ôóíêöèè â òî÷êå. Êëàññèôèêàöèÿ ðàçðûâîâ . . . . .
Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè. Ìåõàíè÷åñêèé è ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë
ïðîèçâîäíîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Òàáëèöà ïðîèçâîäíûõ . . . . .
Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèé, çàäàííûõ ïàðàìåòðè÷åñêè.
Âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà . . . . . . . . . . .
Òåîðåìû î äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèÿõ . . . . . . . . . . . .
Ôîðìóëû Òåéëîðà è Ìàêëîðåíà . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Èññëåäîâàíèå ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé . . . .
Èññëåäîâàíèå ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ âòîðîé ïðîèçâîäíîé . . . .
Îáùàÿ ñõåìà èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . .
Äèôôåðåíöèàë äóãè ïëîñêîé êðèâîé . . . . . . . . . . . . . . .
Êðèâèçíà ïëîñêîé è ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé . . . . . . . . .
Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå ôóíêöèé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ
1
2
3
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñëîæíûõ ôóíêöèé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
×àñòíûå ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ . . . . . . . . . . . . .
Äèôôåðåíöèàëû ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Èññëåäîâàíèå èíâàðèàíòíîñòè èõ ôîðìû . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ôîðìóëà Òåéëîðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ïðèëîæåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ ôóíêöèé
íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè . . . . . . . . .
Óñëîâíûé ýêñòðåìóì. Ìåòîä ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà . . . . . .
Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
16
22
25
27
29
31
35
37
42
45
45
49
59
62
66
72
78
84
88
90
93
96
Ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ . . . . . 96
Äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ . . . 101
Ïðèìåíåíèå ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà ê ïðèáëèæåííûì âû÷èñëåíèÿì è îöåíêå ïîãðåøíîñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
1
2
107
111
112
115
117
122
123
125
Ãëàâà 1
Ïðèìåð 2.
íà 3 (Q).
Ïðåäåë è íåïðåðûâíîñòü
Quidquid praecepies, esto brevis.
×åìó áû òû íè ó÷èë, áóäü êðàòîê.
Çàïîâåäü Ãîðàöèÿ
Ÿ 1
1
Çàìåòèì, ÷òî åñëè óñëîâèå P äîñòàòî÷íî äëÿ óñëîâèÿ Q, òî óñëîâèå Q
íåîáõîäèìî äëÿ óñëîâèÿ P , à åñëè óñëîâèå P íåîáõîäèìî äëÿ óñëîâèÿ Q, òî
óñëîâèå Q äîñòàòî÷íî äëÿ óñëîâèÿ P .
Êðîìå òîãî, îñòàíîâèìñÿ íà íåêîòîðûõ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèÿõ.
1.
_ äèçúþíêöèÿ (ëîãè÷åñêîå ñëîæåíèå). Âûðàæåíèå _
2.
^ êîíúþíêöèÿ (ëîãè÷åñêîå óìíîæåíèå). Âûðàæåíèå ^ ÷èòàåòñÿ:
¾ è ¿ è ïî îïðåäåëåíèþ èñòèííî â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà
îáà âûñêàçûâàíèÿ è èñòèííû.
3.
: îòðèöàíèå. Âûðàæåíèå :
Ýëåìåíòû òåîðèè ìíîæåñòâ
Ëîãè÷åñêèå ñèìâîëû è ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè
 ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàññóæäåíèÿõ, ïðè äîêàçàòåëüñòâàõ òåîðåì ÷àñòî
âñòðå÷àþòñÿ ñòàíäàðòíûå âûðàæåíèÿ ¾ñóùåñòâóåò ýëåìåíò¿, ¾ëþáîé ýëåìåíò¿ è ò.ï.. Äëÿ êîìïàêòíîé çàïèñè ìàòåìàòè÷åñêèõ òåêñòîâ, ñîäåðæàùèõ
ïîäîáíûå âûðàæåíèÿ, èñïîëüçóþòñÿ îñîáûå ëîãè÷åñêèå ñèìâîëû (êâàíòîðû). Îñòàíîâèìñÿ íà íåêîòîðûõ èç íèõ.
1.
) ñèìâîë ñëåäîâàíèÿ. Çàïèñü )
2.
, ñèìâîë ýêâèâàëåíòíîñòè. Çàïèñü ,
3.
9 êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ. Çàïèñü 9x :
4.
8 êâàíòîð îáùíîñòè. Çàïèñü 8x :
÷èòàåòñÿ òàê: ¾èç óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ¿ èëè òàê: ¾óñëîâèå äîñòàòî÷íî äëÿ
âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ ¿.
÷èòàåòñÿ òàê: ¾óòâåðæäåíèå èìååò ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èìååò ìåñòî óòâåðæäåíèå ¿ èëè òàê: ¾óñëîâèå íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî äëÿ âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ ¿.
÷èòàåòñÿ òàê: ¾ñóùåñòâóåò
ïî êðàéíåé ìåðå îäèí x, äëÿ êîòîðîãî èìååò ìåñòî óòâåðæäåíèå ¿.
èìååò ìåñòî óòâåðæäåíèå ¿.
÷èòàåòñÿ òàê: ¾äëÿ âñåõ x
, è def
= îáîçíà÷åíèÿ, êîòîðûå óïîòðåáëÿåòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû îòìåòèòü, ÷òî äàííîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî ïî îïðåäåëåíèþ. Çàïèñü
def
, èëè def
= îçíà÷àåò, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ ðàâíî .
Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ïîíÿòèÿ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî.
Îïðåäåëåíèå 1. Ãîâîðÿò, ÷òî óñëîâèå P äîñòàòî÷íî äëÿ óñëîâèÿ Q, åñëè
5.
def
èç âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ P âûòåêàåò âûïîëíåíèå óñëîâèÿ Q.
Ïðèìåð 1.
Åñëè ÷èñëî îêàí÷èâàåòñÿ íóëåì (P ), òî îíî ÷åòíîå (Q).
Ãîâîðÿò, ÷òî óñëîâèå P íåîáõîäèìî äëÿ óñëîâèÿ Q, åñëè
âûïîëíåíèå óñëîâèÿ Q âëå÷åò çà ñîáîé âûïîëíåíèå óñëîâèÿ P .
Îïðåäåëåíèå 2.
3
×èñëî äåëèòñÿ íà òðè (P ), ïîñêîëüêó ñóììà öèôð ÷èñëà äåëèòñÿ
2
÷èòàåòñÿ:
¾ èëè ¿ è ïî îïðåäåëåíèþ èñòèííî â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà
ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èç âûñêàçûâàíèé èëè ÿâëÿåòñÿ èñòèííûì.
èñòèííî, åñëè
÷èòàåòñÿ: ¾íå ¿ è ïî îïðåäåëåíèþ
ëîæíî, è ëîæíî, åñëè èñòèííî.
Ïîíÿòèå ìíîæåñòâà
Ïîíÿòèå ìíîæåñòâà â ìàòåìàòèêå èçíà÷àëüíîå, íåîïðåäåëÿåìîå. Èíòóèòèâíî ìíîæåñòâî ýòî ñîâîêóïíîñòü îáúåêòîâ ëþáîé ïðèðîäû, îáúåäèíåííûõ íåêîòîðûì õàðàêòåðíûì ñâîéñòâîì. Îáúåêòû, èç êîòîðûõ ñîñòàâëåíî ìíîæåñòâî, íàçûâàþò åãî ýëåìåíòàìè. Åñëè ýëåìåíò a ïðèíàäëåæèò
ìíîæåñòâó A, òî ïèøóò a 2 A, åñëè ýëåìåíò a íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó
A, òî ïèøóò a 2= A. Èòàê, îòìåòèì, ÷òî 2 çíàê âêëþ÷åíèÿ äëÿ ýëåìåíòîâ
ìíîæåñòâà.
Ìû ÷àùå âñåãî áóäåì ðàññìàòðèâàòü ÷èñëîâûå ìíîæåñòâà, ò.å. ìíîæåñòâà, ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà. Ìíîæåñòâà, ñîäåðæàùèå êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, íàçûâàþòñÿ êîíå÷íûìè. Ìíîæåñòâà íå ÿâëÿþùèåñÿ êîíå÷íûìè, íàçûâàþòñÿ áåñêîíå÷íûìè. Êîíå÷íîå ìíîæåñòâî îáû÷íî
çàäàþò, îáúåäèíÿÿ âõîäÿùèå â íåãî ýëåìåíòû ôèãóðíîé ñêîáêîé, íàïðèìåð A = f1; 3; 5g ìíîæåñòâî ñîäåðæàùåå ÷èñëà 1; 2; 3. Ìíîæåñòâî íå
ñîäåðæàùåå íè îäíîãî ýëåìåíòà íàçûâàåòñÿ ïóñòûì ìíîæåñòâîì, êîòîðîå
îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì .
Åñëè íåêîòîðàÿ âåëè÷èíà x ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç íåêîòîðîãî ÷èñëîâîãî ìíîæåñòâà X , ò.å. x 2 X òàê, ÷òî êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà X ÿâëÿåòñÿ
íåêîòîðûì çíà÷åíèåì ýòîé âåëè÷èíû, òî x íàçûâàåòñÿ ïåðåìåííîé, èçìåíÿþùåéñÿ íà ìíîæåñòâå X . Åñëè ìíîæåñòâî X ñîñòîèò èç îäíîãî åäèíñòâåííîãî ýëåìåíòà, òî x íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé èëè êîíñòàíòîé.
Ïðè ýòîì ïèøóò x = const.
?
Ìíîæåñòâî B íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà A,
åñëè êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà B ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A. Ïðè
ýòîì ïèøóò B A (ðèñ. 1 d)).
Îïðåäåëåíèå 3.
4
A
B
a)
A
A[B
B
b)
A
A\B
B
c)
A
AnB
d)
B
BA
Îñòàíîâèìñÿ òåïåðü íà ïðèíÿòûõ îáîçíà÷åíèÿõ äëÿ ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ
è ðàññìîòðèì ïîäðîáíî íåêîòîðûå èç íèõ.
Ìíîæåñòâî öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
N
N = f1; 2; 3; : : :g :
Z
Ìíîæåñòâî âñåõ öåëûõ ÷èñåë îáû÷íî îáîçíà÷àþò , ò.å.
Ðèñ. 1.
Z = f0; 1; 2; 3; : : :g :
Òîò ôàêò, ÷òî ìíîæåñòâî B ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà A, ñ
ïîìîùüþ ëîãè÷åñêèõ ñèìâîëîâ ìîæíî çàïèñàòü òàê
Ìíîæåñòâî ÷èñåë, êîòîðûå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå äðîáè m=n, ãäå
m; n 2 , à òàêæå ÷èñëî 0 îáðàçóþò ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë . Åñëè
ê ìíîæåñòâó äîáàâèòü ìíîæåñòâî âñåõ èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ò.å.p÷èñåë,
p
íå ïðåäñòàâèìûõ â âèäå m=n, ãäå m; n 2 (íàïðèìåð, ýòî ÷èñëà 2, 5,
è ò.ä.), òî ïîëó÷èì ìíîæåñòâî âñåõ âåùåñòâåííûõ èëè äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë, êîòîðîå îáîçíà÷àþò áóêâîé . È, íàêîíåö, áóêâîé îáîçíà÷àåòñÿ
ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Îá ýòîì ìíîæåñòâå ìû ïîãîâîðèì íåìíîãî
ïîäðîáíåå äàëüøå.
def
BA
,
8x 2 B ) x 2 A :
Èç îïðåäåëåíèÿ ïîäìíîæåñòâà ñëåäóåò, ÷òî A A, êàêîâî áû íè áûëî
ìíîæåñòâî A. Êðîìå òîãî, ïî îïðåäåëåíèþ ñ÷èòàåì, ÷òî ïóñòîå ìíîæåñòâî
ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ëþáîãî ìíîæåñòâà A, ò.å. A.
?
?
Îïðåäåëåíèå 4. Äâà ìíîæåñòâà A è B íàçûâàþòñÿ
äåðæàò îäíè è òå æå ýëåìåíòû, èíà÷å
A=B
def
,
(8x 2 B ) x 2 A)
ðàâíûìè, åñëè îíè ñî-
^ (8x 2 A ) x 2 B ) :
Îáúåäèíåíèåì èëè ñóììîé A [ B äâóõ ìíîæåñòâ A è B
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ýëåìåíòîâ, ïðèíàäëåæàùèõ õîòÿ áû
îäíîìó èç ìíîæåñòâ A èëè B (ðèñ. 1 a)). Èíà÷å
Îïðåäåëåíèå 5.
x 2 A[B
def
,
(x 2 A)
_ (x 2 B ) :
Ïåðåñå÷åíèåì èëè ïðîèçâåäåíèåì A \ B äâóõ ìíîæåñòâ A
è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ýëåìåíòîâ, ïðèíàäëåæàùèõ êàê
ìíîæåñòâó A, òàê è ìíîæåñòâó B (ðèñ. 1 b)). Èíà÷å
Îïðåäåëåíèå 6.
x 2 A\B
Îïðåäåëåíèå 7.
def
,
(x 2 A)
^ (x 2 B ) :
Ðàçíîñòüþ A n B äâóõ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíî-
æåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó A, íî íå
ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó B (ðèñ. 1 c)). Òî åñòü
x2AnB
def
,
(x 2 A)
^ (x 2= B ) :
N
Q
Q
N
R
C
Îïðåäåëåíèå 8. Äâà ìíîæåñòâà A è B íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ìåæäó èõ ýëåìåíòàìè ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå. Ïðè ýòîì ïèøóò A B .
Åñëè A è B äâà ýêâèâàëåíòíûõ ìåæäó ñîáîé ìíîæåñòâà, òî ãîâîðÿò, ÷òî
îíè èìåþò îäèíàêîâóþ ìîùíîñòü, ò.å. ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ìîùíîñòü ýòî
òî îáùåå, ÷òî åñòü ó âñåõ ýêâèâàëåíòíûõ ìåæäó ñîáîé ìíîæåñòâ.
Ïîíÿòèå ýêâèâàëåíòíîñòè ïðèìåíèìî ê ëþáûì ìíîæåñòâàì, êàê êîíå÷íûì, òàê è áåñêîíå÷íûì. ßñíî, ÷òî äâà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâà ýêâèâàëåíòíû
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè ñîñòîÿò èç îäèíàêîâîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ.
Òàêèì îáðàçîì, ó êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ïîíÿòèå ìîùíîñòè ñîâïàäàåò ïðîñòî ñ ïîíÿòèåì ÷èñëà ýëåìåíòîâ. Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì @0 (÷èòàåòñÿ ¾àëåô íóëü¿). Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà
âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ìåæäó 0 è 1 îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì C .
N
Îïðåäåëåíèå 9.
1) Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ ñ÷åòíûì, åñëè îíî ýêâèâàëåíòíî ìíîæåñòâó
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ò.å. A .
N
2) Ãîâîðÿò, ÷òî ìíîæåñòâî A èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà, åñëè îíî
ýêâèâàëåíòíî ìíîæåñòâó âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ìåæäó 0 è 1, ò.å.
A (0; 1).
 òîì ñëó÷àå, åñëè B A, òî ðàçíîñòü A n B íàçûâàåòñÿ äîïîëíåíèåì
ìíîæåñòâà B äî ìíîæåñòâà A èëè äîïîëíåíèåì B â A (ðèñ. 1 d)).
Êàê ïðàâèëî, âñå áåñêîíå÷íûå ìíîæåñòâà, ñ êîòîðûìè ïðèõîäèòñÿ âñòðå÷àòüñÿ â ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå, èëè ñ÷åòíûå, èëè èìåþò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà.
5
6
3
Âåùåñòâåííûå ÷èñëà (ìíîæåñòâî
R)
2.
R
jaj 6 d ,
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ (äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë) . Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîæåñòâà , è ÿâëÿþòñÿ åãî ïîäìíîæåñòâàìè. Âåùåñòâåííûå ÷èñëà èçîáðàæàþòñÿ òî÷êàìè íà ÷èñëîâîé îñè.  ñâîþ î÷åðåäü êàæäîé
òî÷êå íà ÷èñëîâîé îñè ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî. Òàêîå
âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè è òî÷êàìè íà ÷èñëîâîé îñè ïîçâîëÿåò â äàëüíåéøåì ëþáîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî
íàçûâàòü òî÷êîé. Ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë äîïîëíÿåòñÿ ýëåìåíòàìè, îáîçíà÷åííûìè 1 è +1, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ìèíóñ
áåñêîíå÷íîñòüþ è ïëþñ áåñêîíå÷íîñòüþ, ïðè÷åì, ïî îïðåäåëåíèþ ñ÷èòàåì,
÷òî 1 < +1, à òàêæå äëÿ ëþáîãî ÷èñëà a 2 ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà
1 < a < +1. Áåñêîíå÷íîñòè 1 è +1 èíîãäà íàçûâàþò áåñêîíå÷íûìè ÷èñëàìè. Ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë , äîïîëíåííîå ýëåìåíòàìè
1 è +1, íàçûâàåòñÿ ðàñøèðåííûì ìíîæåñòâîì âåùåñòâåííûõ ÷èñåë
èëè ðàñøèðåííîé ÷èñëîâîé ïðÿìîé è îáîçíà÷àåòñÿ . Ýëåìåíòû 1 è +1
íàçûâàþòñÿ áåñêîíå÷íî óäàëåííûìè òî÷êàìè ðàñøèðåííîé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.
Íàïîìíèì òåïåðü âàæíîå äëÿ íàñ îïðåäåëåíèå àáñîëþòíîé âåëè÷èíû
âåùåñòâåííîãî ÷èñëà, èëè åãî ìîäóëÿ, è ðàññìîòðèì åãî ñâîéñòâà.
NZ Q
Äëÿ ÷èñåë a è d ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà
3.
Äëÿ ëþáûõ äâóõ ÷èñåë a è b âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
(jaj + jbj) 6 a + b 6 (jaj + jbj) :
È íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà ñëåäóåò îòñþäà, â ñèëó ñâîéñòâà (2).
4.
Äëÿ ëþáûõ äâóõ ÷èñåë a è b âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
jaj jbj 6 ja bj :
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îáîçíà÷èì a b = c ) a = b + c, íî jb + cj 6 jbj + jcj
) jaj 6 jbj + ja bj ) ja bj > jaj jbj.
Àáñîëþòíîé âåëè÷èíîé ÷èñëà a, èëè åãî ìîäóëåì, íàçûâàåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ jaj è îïðåäåëÿåòñÿ òàê
a åñëè a > 0
jaj =
Îïðåäåëåíèå 10.
5.
a åñëè a < 0 :
Äëÿ ÷èñåë a è b âûïîëíåíû î÷åâèäíûå ðàâåíñòâà
0
Ñâîéñòâà àáñîëþòíûõ âåëè÷èí
Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà a âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà
jaj 6 a 6 jaj :
x2
x
x2
x1 0
x
x1
x2 0
x
Îòìåòèì â çàêëþ÷åíèå, ÷òî ïðè ëþáîì ðàñïîëîæåíèè òî÷åê x1 è x2 íà
÷èñëîâîé ïðÿìîé jx1 x2 j èëè jx2 x1 j äàåò ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè x1
è x2 . Â ýòîì íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå îïðåäåëåíèå
ìîäóëÿ âåùåñòâåííîãî ÷èñëà (ðèñ. 2).
Ïðîìåæóòêè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. Îêðåñòíîñòè
(1)
Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó îïðåäåëåíèÿ, åñëè a > 0, òî jaj 6 a = jaj, à
åñëè a < 0, òî jaj = a 6 jaj. Îáúåäèíèâ ýòè íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì (1).
7
x1
Ðèñ. 2.
Ñ òî÷êè çðåíèÿ ãåîìåòðèè, jaj ðàâíî ðàññòîÿíèþ îò òî÷êè, èçîáðàæàþùåé ÷èñëî a, äî íà÷àëà êîîðäèíàò.
1.
a
jaj
= ; (b 6= 0) :
b
jbj
ja bj = jaj jbj ;
Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó ñäåëàííîãî îïðåäåëåíèÿ jaj ìîæíî çàïèñàòü òàê
jaj = a sign(a), ãäå
:
òðåóãîëüíèêà
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñíîâà âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâîì (1), èç êîòîðîãî
ñëåäóåò, ÷òî jaj 6 a 6 jaj, jbj 6 b 6 jbj. Íåðàâåíñòâà îäíîãî çíàêà
ìîæíî ïî÷ëåííî ñêëàäûâàòü, ñëåäîâàòåëüíî
R
+1 åñëè a > 0
0 åñëè a = 0
1 åñëè a < 0 :
6d,
ja + bj 6 jaj + jbj :
R
R
sign(a) =
(2)
Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó ñâîéñòâà (1) jaj 6 a 6 jaj, íî jaj
d 6 jaj. Èòàê, d 6 jaj 6 a 6 jaj 6 d ò.å. âûïîëíåíî (2).
R
8
<
d 6 a 6 d:
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå îñíîâíûå ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, êîòîðûå íàì áóäóò ÷àñòî âñòðå÷àòüñÿ â äàëüíåéøåì.
Ïóñòü a; b 2 . Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ïåðå÷èñëåííûõ íèæå ìíîæåñòâ
R
8
[a; b] = fx 2 R :
(a; b) = fx 2 R :
[a; b) = fx 2 R :
(a; b] = fx 2 R :
a 6 x 6 bg
a < x < bg
a 6 x < bg
a < x 6 bg
îòðåçîê
èíòåðâàë
ïîëóèíòåðâàë
ïîëóèíòåðâàë :
y
'
Îòðåçêè, èíòåðâàëû è ïîëóèíòåðâàëû íàçûâàþòñÿ ÷èñëî-
Îïðåäåëåíèå 12.
Ìíîæåñòâà
0
âûìè ïðîìåæóòêàìè èëè ïðîñòî ïðîìåæóòêàìè.
[a; +1) = fx 2 R : a 6 xg ;
( 1; b] = fx 2 R : x 6 bg ;
[ 1; +1] = R ;
O
(a; +1) = fx 2 R : a < xg ;
( 1; b) = fx 2 R : x < bg ;
( 1; +1) = R :
"
x0 + "
x0
Ðèñ. 3.
Îïðåäåëåíèå 13. Èíòåðâàë, ñîäåðæàùèé òî÷êó x0 2 R, áóäåì
îêðåñòíîñòüþ ýòîé òî÷êè.  ÷àñòíîñòè, ïðè " > 0 èíòåðâàë
íàçûâàòü
U (x0 ; ")def
= (x0 "; x0 + ")
íàçûâàåòñÿ "-îêðåñòíîñòüþ òî÷êè x0 (ðèñ. 3).
Îïðåäåëåíèå 14. Ïóñòü " > 0, òîãäà "-îêðåñòíîñòè íåñîáñòâåííûõ
+1, 1, 1 îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì
1
U (+1; ")def
=
; +1 ; U ( 1; ")def
=
1
; 1 ;
"
"
def
U (1; ") = U ( 1; ") [ U (+1; ") :
1
x
òî÷åê
1) Òî÷êà x 2 X íàçûâàåòñÿ âíóòðåííåé òî÷êîé ìíîæåñòâà X , åñëè îíà
ïðèíàäëåæèò ýòîìó ìíîæåñòâó âìåñòå ñ íåêîòîðîé ñâîåé îêðåñòíîñòüþ.
z=1 i
1
Ðèñ. 5.
Îïðåäåëåíèå 16. Åñëè äëÿ ïîäìíîæåñòâà X ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî b, ÷òî
îíî íå ìåíüøå ëþáîãî ÷èñëà x 2 X , ò.å. äëÿ ëþáîãî x 2 X èìååì x 6 b,
òî ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì ñâåðõó, à ÷èñëî b ÷èñëîì,
îãðàíè÷èâàþùèì ìíîæåñòâî X ñâåðõó.
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâî ÷èñåë, îãðàíè÷åííîå ñíèçó.
Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî X = U (x0 ; ") = (x0 "; x0 + "). Ýòî
ìíîæåñòâî èìååò äâå ãðàíè÷íûå òî÷êè x1 = x0 " è x2 = x0 + ". Ëþáàÿ
îêðåñòíîñòü ýòèõ òî÷åê ñîäåðæèò êàê òî÷êè, ïðèíàäëåæàùèå èíòåðâàëó
(x0 "; x0 + "), òàê è òî÷êè, åìó íå ïðèíàäëåæàùèå. Çàìåòèì, ÷òî êàæäàÿ
èç ãðàíè÷íûõ òî÷åê x1 è x2 ìíîæåñòâó X íå ïðèíàäëåæèò. Î÷åâèäíî òàêæå,
÷òî ìíîæåñòâî X îãðàíè÷åíî êàê ñâåðõó, òàê è ñíèçó (ðèñ. 3).
Ñðåäè âñåõ ÷èñåë, îãðàíè÷èâàþùèõ ñâåðõó (ñíèçó) äàííîå ìíîæåñòâî,
íàèìåíüøåå (íàèáîëüøåå) èç íèõ èìååò ñïåöèàëüíîå íàçâàíèå.
Îïðåäåëåíèå 17.
1) Íàèìåíüøåå èç âñåõ ÷èñåë, îãðàíè÷èâàþùèõ ñâåðõó ìíîæåñòâî
X , íàçûâàåòñÿ åãî âåðõíåé ãðàíüþ è îáîçíà÷àåòñÿ sup X (sup îò
ëàòèíñêîãî supremum íàèáîëüøèé).
R
R
2) Íàèáîëüøåå èç âñåõ ÷èñåë, îãðàíè÷èâàþùèõ ñíèçó ìíîæåñòâî X ,
íàçûâàåòñÿ åãî íèæíåé ãðàíüþ è îáîçíà÷àåòñÿ inf X (inf îò ëàòèíñêîãî infimum íàèìåíüøèé).
R
Îïðåäåëåíèå 15.
x
2) Òî÷êà x íàçûâàåòñÿ ãðàíè÷íîé òî÷êîé ìíîæåñòâà X , åñëè ëþáàÿ
îêðåñòíîñòü ýòîé òî÷êè ñîäåðæèò êàê òî÷êè, ïðèíàäëåæàùèå ìíîæåñòâó X , òàê è òî÷êè, åìó íå ïðèíàäëåæàùèå.
Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà âåùåñòâåííûõ
÷èñåë X .
9
x
Ðèñ. 4.
ïðîìåæóòêàìè.
x0
'
M (x; y)
r
Îïðåäåëåíèå 11.
íàçûâàþòñÿ íåîãðàíè÷åííûìè
y
y
4
Êîìïëåêñíûå ÷èñëà (ìíîæåñòâî
C)
18. Êîìïëåêñíûì ÷èñëîì z íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå âèäà
z = x + iy , ãäå x, y âåùåñòâåííûå ÷èñëà, à i òàê íàçûâàåìàÿ ìíèìàÿ
åäèíèöà, ïðè÷åì ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàþò i2 = 1.
Îïðåäåëåíèå
10
×èñëî x íàçûâàåòñÿ âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z è îáîçíà÷àåòñÿ Re z , ò. å. Re z = x. ×èñëî y íàçûâàåòñÿ ìíèìîé ÷àñòüþ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z è îáîçíà÷àåòñÿ Im z , ò. å. Im z = y .
Ìíîæåñòâî âñåõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç . Åñëè ìíèìàÿ
÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ðàâíà íóëþ, ò. å. y = 0, òî ìû èìååì z = x âåùåñòâåííîå ÷èñëî. Îòñþäà íåòðóäíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî , ò.å. ìíîæåñòâî
âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà êîìïëåêñíûõ
÷èñåë .
Êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = x + iy íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè Oxy èçîáðàæàåòñÿ òî÷êîé M (x; y ) ñ êîîðäèíàòàìè x, y . Êîîðäèíàòíàÿ ïëîñêîñòü Oxy íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòüþ, îñü Ox âåùåñòâåííîé îñüþ, îñü Oy ìíèìîé îñüþ. Ìîäóëü ðàäèóñ-âåêòîðà , ïðîâåäåííîãî èç íà÷àëà êîîðäèíàò
â òî÷êó M (x; y ), íàçûâàåòñÿ ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z è îáîçíà÷àåòñÿ
r èëè jz j. ßñíî (ñì. ðèñ. 4), ÷òî
C
R C
R
C
Èçîáðàçèòü íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ìíîæåñòâî ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó Im z > 0.
Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó Im z = y , òî íåðàâåíñòâó y > 0 ñîîòâåòñòâóåò ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè (ðèñ. 6).
Ïðèìåð 4.
y
y
r
r = jz j =
p
 äàëüíåéøåì ìû ïîä àðãóìåíòîì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà áóäåì ïîíèìàòü åãî
ãëàâíîå çíà÷åíèå. Èç ðèñ. 4 ÿñíî, ÷òî
x = r cos '
y = r sin '
) r = x2 + y2 ; tg ' = xy :
z = r (cos ' + i sin ') :
Ýòà ôîðìà çàïèñè íàçûâàåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìîé çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà, â òî âðåìÿ êàê z = x + iy íàçûâàåòñÿ åãî àëãåáðàè÷åñêîé
ôîðìîé.
Êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = 1 i èçîáðàçèòü íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè è çàïèñàòü â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå (ðèñ. 5).
p
Ðåøåíèå. ßñíî, ÷òî r =
2, ' = 7=4. Ñëåäîâàòåëüíî,
Ïðèìåð 3.
Ðèñ. 6.
z = 2 cos 7 + 2k + i sin 7 + 2k
4
4
;
òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà äàííîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.
11
x
k2Z
Ðèñ. 7.
Èçîáðàçèòü íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ìíîæåñòâî ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì 1 < jz ij < 2.
Ðåøåíèå. Íàéäåì
Ïðèìåð 5.
p
jz ij = jx + iy ij = jx + i(y 1)j = x2 + (y 1)2 :
Èñõîäíîå íåðàâåíñòâî ýêâèâàëåíòíî òàêîé ñèñòåìå íåðàâåíñòâ
p
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = x + iy ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
p
O
x2 + y 2 :
Êîìïëåêñíîå ÷èñëî z ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü íå òîëüêî êàê òî÷êó
M (x; y ), íî è êàê âåêòîð r = (x; y ). Ïîýòîìó èíîãäà êîìïëåêñíîå ÷èñëî
z íàçûâàþò âåêòîðîì, ïîäðàçóìåâàÿ, ÷òî ýòîò âåêòîð èìååò êîîðäèíàòû
x è y.
Óãîë, îòñ÷èòûâàåìûé îò âåùåñòâåííîé îñè Ox äî ðàäèóñ-âåêòîðà r ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, íàçûâàåòñÿ àðãóìåíòîì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z è îáîçíà÷àåòñÿ Arg z . Î÷åâèäíî, ÷òî Arg z èìååò áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé. Óãîë ' = arg z , óäîâëåòâîðÿþùèé íåðàâåíñòâó 0 6 arg z < 2 , íàçûâàåòñÿ ãëàâíûì çíà÷åíèåì àðãóìåíòà. ßñíî, ÷òî Arg z = arg z + 2k, k 2 Z.
i
x
x2 + (y 1)2 < 22
x2 + (y 1)2 > 12 :
Î÷åâèäíî, ÷òî òàêîé ñèñòåìå íåðàâåíñòâ óäîâëåòâîðÿþò òî÷êè, ëåæàùèå
âíóòðè êîëüöà, îãðàíè÷åííîãî îêðóæíîñòÿìè x2 +(y 1)2 = 4 è x2 +(y 1)2 =
1 (ðèñ. 7).
5
Äåéñòâèÿ íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè
1) Ðàâåíñòâî. Äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà z1 = x1 + iy1 è z2 = x2 + iy2 íàçûâàþòñÿ
ðàâíûìè, åñëè ðàâíû èõ âåùåñòâåííûå è ìíèìûå ÷àñòè, ò. å.
z1 = z2
,
x1 = x 2 ; y 1 = y 2 :
Íàéòè x è y èç óðàâíåíèÿ x + iy = 2.
Èìååì x + iy = 2+ i0. Ïðèðàâíèâàÿ âåùåñòâåííûå è ìíèìûå ÷àñòè,
ïîëó÷èì: x = 2, y = 0.
Ïðèìåð 6.
Ðåøåíèå.
12
Ïðèìåð 7.
Ñóììîé äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 = x1 + iy1 è z2 = x2 + iy2
íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî
2) Ñëîæåíèå.
àâðà.
Ðåøåíèå.
Íàéòè âûðàæåíèå äëÿ sin 3' è cos 3', ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé Ìó-
Î÷åâèäíî, ÷òî
(cos ' + i sin ')3 = cos 3' + i sin 3' ;
z3 = z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) ;
ò. å. ïðè ñëîæåíèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ñêëàäûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî èõ
âåùåñòâåííûå è ìíèìûå ÷àñòè.
3) Âû÷èòàíèå.
ò. å. z3 = z1
Âû÷èòàíèå îïðåäåëÿåòñÿ êàê äåéñòâèå, îáðàòíîå ñëîæåíèþ,
z2 , åñëè z1 = z2 + z3 . Èòàê, åñëè z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 , òî
x1 = x2 + x3 , y1 = y2 + y3 , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî x3 = x1 x2 , y3 = y1 y2 , ò. å.
z3 = z1 z2 = (x1 x2 ) + i(y1 y2 ) :
4) Óìíîæåíèå.
Ïðîèçâåäåíèåì äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 = x1 + iy1 è
z2 = x2 + iy2 íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî
z3 = z1 z2 = (x1 x2 y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ) :
òîãäà
z2 = r2 (cos '2 + i sin '2 ) ;
Òàêèì îáðàçîì, î÷åâèäíî, ÷òî ïðè óìíîæåíèè äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èõ
ìîäóëè ïåðåìíîæàþòñÿ, à àðãóìåíòû ñêëàäûâàþòñÿ.
Çàáåãàÿ âïåðåä, îòìåòèì, ÷òî êîìïëåêñíîå ÷èñëî z ìîæíî çàïèñàòü â òàê
íàçûâàåìîé ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå, ò.å. ïðåäñòàâèòü â âèäå z = rei' , òîãäà
î÷åâèäíî, ÷òî
z z = r ei'1 r ei'2 = r r ei('1 +'2 ) ;
1
2
Ïðèðàâíèâàÿ âåùåñòâåííûå è ìíèìûå ÷àñòè íàéäåííûõ âûðàæåíèé, ïîëó÷èì
cos 3' = cos3 ' 3 cos ' sin2 ' ;
sin 3' = 3 cos2 ' sin ' sin3 ' :
Îòìåòèì äàëåå, ÷òî i2 = 1. Ïîýòîìó ëåãêî âû÷èñëèòü ëþáóþ ñòåïåíü êîìïëåêñíîé
åäèíèöû.
Íàïðèìåð, i3 = i2 i = i, i4 = i2 i2 = 1,
14
17
28
2
35
2
i = i
= 1, i = i
i = i.
Ðàññìîòðèì íàðÿäó ñ êîìïëåêñíûì ÷èñëîì z = x + iy êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = x iy , êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì êîìïëåêñíûì ÷èñëîì ïî
îòíîøåíèþ ê z . ßñíî, ÷òî
x = z + z ; z z = x2 + y 2 = r 2
2
z1 z2 = r1 r2 (cos('1 + '2 ) + i sin('1 + '2 )) :
1 2
(cos ' + i sin ')3 = cos3 ' + 3i cos2 ' sin ' 3 cos ' sin2 ' i sin3 ' :
6) Êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå.
Âûïîëíèòü óìíîæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ìîæíî, çàïèñàâ èõ ïðåäâàðèòåëüíî â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå. Ïóñòü
z1 = r1 (cos '1 + i sin '1 ) ;
ñ äðóãîé ñòîðîíû
Íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ñîïðÿæåííûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà z è z ðàñïîëàãàþòñÿ ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî âåùåñòâåííîé îñè Ox (ðèñ. 8).
12
N
Ïî îïðåäåëåíèþ, åñëè n 2 , òî
z n = z z z : : : z (n ñîìíîæèòåëåé) :
Ìóàâðà
y
z = x + iy
0
x
y
Ïðèìåíèâ ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, íåòðóäíî äîêàçàòü
ôîðìóëó
y
y
÷òî ñîâïàäàåò ñ ïîëó÷åííûì âûøå ðåçóëüòàòîì.
5) Ñòåïåíü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.
p
) r = zz:
z1 = 1 + i
x
1
z = x iy
z2 = 1 i
Ðèñ. 8.
1
x
0
1
Ðèñ. 9.
z n = rn ein' = rn (cos n' + i sin n') :
Íàéòè êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ z 2 + 2z + 2 = 0 è ïîñòðîèòü
èõ íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.
13
14
Ïðèìåð 8.
Ðåøåíèå.
Êîðíè äàííîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ
z1 = 1 +
p
1 = 1 + i;
z2 = 1
p
Êîìïëåêñíîå ÷èñëî z 6= 0, ìîæíî çàïèñàòü â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå
1= 1 i
z = r(cos ' + i sin ') :
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîþ äâà êîìïëåêñíûõ ñîïðÿæåííûõ ÷èñëà, ðàñïîëîæåííûõ
ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî âåùåñòâåííîé îñè Ox (ðèñ. 9).
Íàéäåì w. Áóäåì èñêàòü w â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå
7) Äåëåíèå. Äåëåíèå äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë îïðåäåëÿåòñÿ êàê äåéñòâèå
z
îáðàòíîå óìíîæåíèþ, à èìåííî: z3 = 1 , åñëè z1 = z3 z2 . Î÷åâèäíî
Òîãäà
w = (cos + i sin ) :
n (cos n + i sin n ) = r(cos ' + i sin ') :
z2
z
z3 = 1 = z1 z 2 = z1 z22 ;
z2 z2 z 2
jz2 j
z
ò. å. äëÿ íàõîæäåíèÿ ÷àñòíîãî 1 ñëåäóåò ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü óìíîz2
æèòü íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî, ñîïðÿæåííîå
çíàìåíàòåëþ.
Òàêèì îáðàçîì,
z1 = r1 ei'1 = r1 ei('1 '2 ) ;
z2 r2 ei'2 r2
y
Îòñþäà
=
z1
ò. å. ïðè äåëåíèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èõ ìîäóëè äåëÿòñÿ, à àðãóìåíòû âû÷èòàþòñÿ.
Âû÷èñëèòü
1+i
.
1 2i
1
x
z2
Èòàê
4(1 + i) i2 7 i
(1 + i)5 i15
= 4i :
=
1+i
1 i
n-îé
Ïîëîæèâ k = 0; 1; 2; : : : ; (n 1), ìû ïîëó÷èì n
ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé êîðíÿ n-îé ñòåïåíè èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà, àðãóìåíòû êîòîðûõ âû÷èñëÿþò' + 2k , k = 0; 1; 2; : : : ; (n
ñÿ ïî ôîðìóëàì k =
n
p
1). Ìîäóëü êàæäîãî çíà÷åíèÿ êîðíÿ ðàâåí n r. Òàêèì îáðàçîì, î÷åâèäíî, ÷òî âñå
p çíà÷åíèÿ êîðíÿ ëåæàò íà îêðóæíîñòè ðàäèóñà n r.
Âû÷èñëèòü âñå çíà÷åíèÿ
çèòü èõ íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.
Ðåøåíèå.
1+i
(1 + i)(1 + 2i)
1 + 3i
1 3
=
=
=
+ i:
1 2i (1 2i)(1 + 2i)
5
5 5
(1 + i)5 i15
.
Ïðèìåð 10. Âû÷èñëèòü
1 i
5
Ðåøåíèå. Âû÷èñëèì (1 + i) . Äëÿ ýòîãî ïåðåéäåì ê òðèãîíîìåòðè÷åñêîé
ôîðìå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà 1 + i, òîãäà ïîëó÷èì
p 5
5
5
(1 + i)5 = 2 cos + i sin = 25=2 cos + i sin
= 4(1 + i) :
4
4
4
4
n = ' + 2k ; k 2 Z :
pn z = pn r cos ' + 2k + i sin ' + 2k ; k 2 Z :
n
n
 ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå
Ïðèìåð 9.
pn r ;
Ïðèìåð 11.
p
i è èçîáðà-
Ðèñ. 10.
p
Ðåøåíèå.
i = cos =2 + 2k + i sin =2 + 2k ;
2
2
k = 0; 1 :
Çíà÷åíèÿ êîðíÿ (ðèñ. 10)
1
z1 = cos + i sin = p + pi ;
4
4
2
2
Ÿ 2
1
z2 = cos
5
5
+ i sin =
4
4
p1
2
pi :
2
Ôóíêöèÿ
Îïðåäåëåíèå ôóíêöèè
Ðàññìîòðèì äâà íåïóñòûõ ìíîæåñòâà X è Y (íå îáÿçàòåëüíî ÷èñëîâûõ).
Èçâëå÷åíèå
êîðíÿ n-îé ñòåïåíè îïðåäåëÿåòñÿ êàê äåéñòâèå, îáðàòíîå âîçâåäåíèþ â nóþ ñòåïåíü
p
, wn = z :
w= nz
Îïðåäåëåíèå 1. Åñëè â ñèëó íåêîòîðîãî ïðàâèëà f êàæäîìó ýëåìåíòó x 2 X
ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå åäèíñòâåííûé ýëåìåíò y 2 Y , òî ãîâîðÿò, ÷òî íà
ìíîæåñòâå X çàäàíà ôóíêöèÿ f è ïðè ýòîì ïèøóò f : X ! Y .
15
16
8) Èçâëå÷åíèå êîðíÿ
ñòåïåíè èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.
 òîì ñëó÷àå, åñëè ìíîæåñòâà X è Y ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâàìè ìíîæåñòâà âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, ò. å. X , Y , òî ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ
÷èñëîâîé è ïðè ýòîì ïðèíÿòà òàêàÿ ôîðìà çàïèñè y = f (x) èëè y = y(x), ãäå
x àðãóìåíò, y çíà÷åíèå ôóíêöèè. Ìíîæåñòâî X â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàþò
ìíîæåñòâîì îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, à ìíîæåñòâî ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèé ff (X )g ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé ôóíêöèè. Çíà÷åíèå ôóíêöèè â òî÷êå
x0 îáîçíà÷àåòñÿ f (x0 ). Åñëè f (x) = const äëÿ ëþáîãî x 2 X , òî ôóíêöèÿ f (x)
íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííîé íà ìíîæåñòâå X è ïðè ýòîì ïèøóò: f (x) = const
èëè y = c.
R
2
âñòðå÷àþòñÿ ôóíêöèè, íå äîïóñêàþùèå òàêîãî ïåðåõîäà. Î íåÿâíûõ
ôóíêöèÿõ áóäåì ãîâîðèòü ïîäðîáíåå äàëüøå.
R
3)
Èíîãäà ïðè àíàëèòè÷åñêîì ñïîñîáå çàäàíèÿ ôóíêöèè áûâàåò óäîáíî
ââåñòè â ðàññìîòðåíèå ïðîìåæóòî÷íûé àðãóìåíò t (òàê íàçûâàåìûé
ïàðàìåòð) è âûðàçèòü x è y êàê ôóíêöèè ýòîãî ïðîìåæóòî÷íîãî àðãóìåíòà, èçìåíÿþùåãîñÿ íà íåêîòîðîì ÷èñëîâîì ïîäìíîæåñòâå T .
Íàïðèìåð, åñëè ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ïåðåìåùàåòñÿ â ïëîñêîñòè äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò Oxy , òî, âçÿâ â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà âðåìÿ t,
óêàçûâàþò çàêîí äâèæåíèÿ â âèäå
R
Ñïîñîáû çàäàíèÿ ôóíêöèè
Àíàëèòè÷åñêèé ñïîñîá çàäàíèÿ
j j jj
Ïðèìåð 1.
Íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè
1
0
1
x
Ðèñ. 11.
×èñëîâûå ôóíêöèè ìîãóò çàäàâàòüñÿ ôîðìóëàìè íà ðàçëè÷íûõ ïðîìåæóòêàõ èëè èíòåðâàëàõ, ïðèíàäëåæàùèõ ìíîæåñòâó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè. Òàêîé ñïîñîá çàäàíèÿ íàçûâàåòñÿ àíàëèòè÷åñêèì. Ïðè ýòîì ìîãóò
âñòðåòèòüñÿ ñëåäóþùèå ñèòóàöèè:
1)
2)
Åñëè ôóíêöèÿ òàêîâà, ÷òî åå óäàåòñÿ âûðàçèòü â âèäå y = f (x), òî
ãîâîðÿò î ÿâíîì àíàëèòè÷åñêîì ñïîñîáå çàäàíèÿ.
Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ y = j ln jxjj îïðåäåëåíà íà ìíîæåñòâå ( 1; 0) [
(0; +1) (ðèñ. 11). Ìíîæåñòâî åå çíà÷åíèé 0 6 y < +1.
 òîì ñëó÷àå, åñëè íå óäàåòñÿ ÿâíî âûðàçèòü y ÷åðåç x, à óäàåòñÿ
òîëüêî óêàçàòü çàâèñèìîñòü ìåæäó çíà÷åíèåì ôóíêöèè è àðãóìåíòîì
â âèäå F (x; y ) = 0, òî òàêîé ñïîñîá çàäàíèÿ ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ íåÿâíûì àíàëèòè÷åñêèì.
Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì ôóíêöèþ x y 5 = 0. Çäåñü y êàê ôóíêöèÿ x
ñâÿçàí ñ íèì íåÿâíîé àíàëèòè÷åñêîé çàâèñèìîñòüþ, ïðàâäà, â äàííîì
ñëó÷àå íåòðóäíî ïåðåéòè ê ÿâíîìó àíàëèòè÷åñêîìó ñïîñîáó çàäàíèÿ,
âûðàçèâ èç ýòîãî óðàâíåíèÿ y : y = x 5. Íî íà ïðàêòèêå ÷àùå âñåãî
17
t 2 [t1 ; t2 ] :
Èñêëþ÷èâ ïàðàìåòð t, ìîæíî ïåðåéòè ê ÿâíîìó èëè íåÿâíîìó àíàëèòè÷åñêîìó ñïîñîáó çàäàíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ôóíêöèè.
y
y = ln x
x = x(t)
y = y (t)
x = t sin t
y = 1 cos t
t 2 [0; +1) :
Ðåøåíèå. Ïðèìåì âî âíèìàíèå, ÷òî cos t 2 -ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëå òîãî, êàê ïàðàìåòð t, ïðîáåæàâ ïîëíûé ïåðèîä [0; 2 ],
ïðîäîëæàåò ðàñòè, çíà÷åíèÿ y áóäóò ïîâòîðÿòüñÿ. Ñîñòàâèì òàáëèöó
t
x
y
0
0
0
=6
0; 02
0; 15
=4
0; 08
0; 3
=3
0; 18
0; 5
=2
0; 57
1; 0
3=4
1; 65
1; 7
3; 14
2; 0
5=4
4; 63
1; 7
3=2
5; 71
1; 0
7=4
6; 2
0; 3
2
6; 28
0
Òåïåðü îñòàåòñÿ òîëüêî ïîñòðîèòü êðèâóþ, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ öèêëîèäîé è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðàåêòîðèþ òî÷êè, çàêðåïëåííîé íà êàòÿùåéñÿ
îêðóæíîñòè è íàõîäÿùåéñÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 â íà÷àëå êîîðäèíàò ïðè óñëîâèè, ÷òî îêðóæíîñòü êàòèòñÿ ïî ïðÿìîé ëèíèè áåç
ñêîëüæåíèÿ (ðèñ. 12).
y
2
0
Ðèñ. 12.
18
2 x
Òàáëè÷íûé ñïîñîá
4
Èíîãäà íåêîòîðîìó ìíîæåñòâó çíà÷åíèé àðãóìåíòà èç ìíîæåñòâà îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè óäàåòñÿ ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé
ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ êàêèõ-ëèáî èçìåðåíèé, òîãäà ðåçóëüòàòû ýòèõ èçìåðåíèé ìîæíî ñâåñòè â òàáëèöó.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò î òàáëè÷íîì ñïîñîáå
çàäàíèÿ ôóíêöèè. Ïî ýòîé òàáëèöå ìîæíî ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè èëè
ïîïûòàòüñÿ ïðåäñòàâèòü ýòó ôóíêöèþ àíàëèòè÷åñêè.
Îñíîâíûå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè è èõ ñâîéñòâà èçâåñòíû èç êóðñà ñðåäíåé øêîëû. Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ñâîéñòâà ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé, êîòîðûìè ìû â äàëüíåéøåì áóäåì øèðîêî ïîëüçîâàòüñÿ. Èòàê, âîçüìåì ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n
Pn (x) = an xn + an 1 xn 1 + : : : + a1 x + a0 ;
ai 2 ; an 6= 0 ; n 2 :
Òåîðåìà 1 (îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû). Âñÿêèé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n > 1
Ãðàôè÷åñêèé ñïîñîá
Ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ â âèäå ãðàôèêà, ïîñòðîåííîãî â íåêîòîðîé ñèñòåìå
êîîðäèíàò. Àíàëèçèðóÿ îñîáåííîñòè ýòîãî ãðàôèêà, äåëàþò âûâîäû î ñâîéñòâàõ ôóíêöèè.
3
Êëàññèôèêàöèÿ ôóíêöèé
ýòî òàêèå ôóíêöèè, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ â ðåçóëüòàòå êîíå÷íîãî ÷èñëà àëãåáðàè÷åñêèõ äåéñòâèé (ñëîæåíèå,
âû÷èòàíèå, óìíîæåíèå, äåëåíèå, âîçâûøåíèå â ñòåïåíü ñ ðàöèîíàëüíûì
ïîêàçàòåëåì) íàä àðãóìåíòîì x è ïîñòîÿííûìè. Ê ÿâíûì àëãåáðàè÷åñêèì
ôóíêöèÿì îòíîñÿòñÿ öåëàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ (àëãåáðàè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí), äðîáíàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ, ò. å.
a xn + a xn 1 + : : : + a 1 x + a 0
y= n m n 1 m 1
;
a i ; bj 2 ; m ; n 2 :
bm x + bm 1 x
+ : : : + b 1 x + b0
ßâíûå àëãåáðàè÷åñêèå ôóíêöèè
R
Q
è èððàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ, ò. å. ÿâíàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, ñîäåðæàùàÿ îïåðàöèè èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ, íàïðèìåð
y = p31 + x :
x+2
Òðàíñöåíäåíòíîé ôóíêöèåé íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ ÿâíàÿ àíàëèòè÷åñêàÿ
ôóíêöèÿ, íå ÿâëÿþùàÿñÿ àëãåáðàè÷åñêîé: xa (x > 0, a èððàöèîíàëüíîå
÷èñëî), y = loga x (a > 0, a 6= 1), y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x,
y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.
Âñå ÿâíûå àëãåáðàè÷åñêèå ôóíêöèè, ïðîñòåéøèå òðàíñöåíäåíòíûå è,
êðîìå òîãî, ôóíêöèè, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç íèõ ñ ïîìîùüþ ÷åòûðåõ
àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé (ñëîæåíèå, âû÷èòàíèå, óìíîæåíèå è äåëåíèå),
à òàêæå ñ ïîìîùüþ îïåðàöèè âçÿòèÿ ôóíêöèè îò ôóíêöèè, ïðèìåíåííîé
êîíå÷íîå ÷èñëî ðàç, íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè.
Ôóíêöèè, êîòîðûå íåëüçÿ çàäàòü â âèäå åäèíîãî è êîíå÷íîãî àíàëèòè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ, íàçûâàþòñÿ íåýëåìåíòàðíûìè. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ
y = jxj =
x; x > 0
x; x < 0:
íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé.
19
Ñâîéñòâà ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé
R
N
èìååò õîòÿ áû îäèí êîðåíü âåùåñòâåííûé èëè êîìïëåêñíûé.
(Áåç äîêàçàòåëüñòâà).
Òåîðåìà 2 (Áåçó). Ïðè äåëåíèè ìíîãî÷ëåíà Pn (x) (n > 1) íà ðàçíîñòü
(x c), ãäå c ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî (âåùåñòâåííîå èëè êîìïëåêñíîå), ïîëó÷àåòñÿ îñòàòîê, ðàâíûé çíà÷åíèþ ìíîãî÷ëåíà, êîòîðîå îí èìååò ïðè
x = c, ò. å. ëþáîé ìíîãî÷ëåí ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå
Pn (x) = (x c)Qn 1 (x) + Pn (c) ;
ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè (n 1).
ãäå Qn 1 (x) Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðè äåëåíèè ìíîãî÷ëåíà íà ðàçíîñòü (x c) ìû ïîëó÷àåì
÷àñòíîå Qn 1 (x) ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè (n 1) è îñòàòîê R, ò. å.
Pn (x) = Q (x) + R
) Pn (x) = (x c)Qn 1 (x) + R :
n 1
x c
x c
Ñëåäñòâèå 1. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ìíîãî÷ëåí Pn (x) äåëèëñÿ áåç îñòàòêà íà
ðàçíîñòü (x c), íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå
Pn (c) = 0.
Ñëåäñòâèå 2. Åñëè â ðàçëîæåíèè ìíîãî÷ëåíà Pn (x) ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè êîìïëåêñíîå ÷èñëî a + ib ÿâëÿåòñÿ êîðíåì êðàòíîñòè k,
òî è ñîïðÿæåííîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî a ib ÿâëÿåòñÿ êîðíåì òîé æå
êðàòíîñòè.
Ïîëîæèì â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå x = c, ïîëó÷èì R = Pn (c).
Îáúåäèíèì ìíîæèòåëè, ñîîòâåòñòâóþùèå ïîïàðíî ñîïðÿæåííûì êîìïëåêñíûì êîðíÿì
(x (a + ib)) (x (a ib)) = x2 + px + q ;
ãäå p = 2a, q = a2 + b2 âåùåñòâåííûå ÷èñëà.
Èòàê, âñÿêèé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè
ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ âåùåñòâåííûõ ëèíåéíûõ è
êâàäðàòè÷íûõ ìíîæèòåëåé âèäà
Pn (x) = an (x c1 )k1 (x c2 )k2 (x cr )kr x2 + p1 x + q1 l1 x2 + p2 x + q2 l2 x2 + ps x + qs ls ;
ïðè÷åì k1 + k2 + : : : + kr + 2(l1 + l2 + : : : + ls ) = n.
20
Ìíîãî÷ëåí x4 1 ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè ñ âåùåñòâåííûìè
êîýôôèöèåíòàìè.
4 1 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþ ðàçíîñòü êâàäðàòîâ, ñëåäîÐåøåíèå. Ìíîãî÷ëåí x
âàòåëüíî
Ïðèìåð 2.
x4 1 = x2 1 x2 + 1 :
2
 ñâîþ î÷åðåäü x
1 = (x 1)(x + 1). Îêîí÷àòåëüíî èìååì
x4 1 = (x 1)(x + 1) x2 + 1 :
4 x3 x +1 ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè ñ âåùåñòâåíÏðèìåð 3. Ìíîãî÷ëåí x
íûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Ðåøåíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî
x4 x3 x + 1 = x3 (x 1) (x 1) = (x 1) x3 1 = (x 1)2 x2 + x + 1 :
5 5x4 + 12x3 24x2 + 32x 16 ðàçëîæèòü íà ìíîÏðèìåð 4. Ìíîãî÷ëåí x
æèòåëè ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Ðåøåíèå. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ïðè x = 1 äàííûé ìíîãî÷ëåí îáðàùàåòñÿ
â íîëü. Ñëåäîâàòåëüíî, îí áåç îñòàòêà äåëèòñÿ íà ðàçíîñòü (x 1). Âûïîëíèì
ýòî äåëåíèå
x5
x5
5x4 + 12x3
x4
4x4 + 12x3
4x4 + 4x3
8x3
8x3
Òàêèì îáðàçîì
x5 5x4 + 12x3
24x2 + 32x
24x2
8x2
16x2 + 32x
16x2 + 16x
16x
16x
16 x 1
x4 4x3 + 8x2
16x + 16
16
16
0
24x2 + 32x 16 = (x 1) x4
4x3 + 8x2 16x + 16 :
Äàëåå, îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ìíîãî÷ëåí x4 4x3 + 8x2 16x + 16
îáðàùàåòñÿ â íîëü ïðè x = 2, ñëåäîâàòåëüíî, îí äåëèòñÿ íà ðàçíîñòü (x 2)
x4 4x3 + 8x2 16x + 16 x 2
x4 2x3
x3 2x2 + 4x 8
3
2
2x + 8x
2x3 + 4x2
4x2 16x
4x2 8x
8x + 16
8x + 16
0
21
 ñâîþ î÷åðåäü ïîëó÷èâøèéñÿ ìíîãî÷ëåí x3 2x2 + 4x 8 òàêæå äåëèòñÿ íà
(x 2), ò. å. x = 2 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì êðàòíîñòè 2 äëÿ èñõîäíîãî ìíîãî÷ëåíà.
Äåéñòâèòåëüíî
x3
x3
2x2 + 4x
2x2
4x
8
4x
8
0
8x 2
x2 + 4
Îêîí÷àòåëüíî èìååì
x5 5x4 + 12x3
Ÿ 3
1
24x2 + 32x 16 = (x 1)(x 2)2 x2 + 4 :
Ïðåäåë ôóíêöèè. Åäèíñòâåííîñòü ïðåäåëà
Îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè
Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0
2
R, ò.å. x0 íåêîòîðîå êîíå÷íîå ÷èñëî. Íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü âîïðîñ, êàê
âåäåò ñåáÿ ôóíêöèÿ ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ x ê òî÷êå x0 .
Îïðåäåëåíèå 1 (ïðåäåëà ôóíêöèè ïî Êîøè). Ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî A ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x0 , åñëè äëÿ ëþáîãî ñêîëü óãîäíî
ìàëîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà " ìîæíî óêàçàòü òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî
Æ , çàâèñÿùåå îò ", ÷òî äëÿ âñåõ x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ jx x0 j < Æ , (x 6= x0 ), âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
jf (x) Aj < ".
Ïðè ýòîì ïèøóò
lim f (x) = A
x!x0
èëè
f (x) ! A ïðè x ! x0 :
Çàìå÷àíèå. Çàìåòèì, ÷òî Æ -îêðåñòíîñòü U (x0 ; Æ ) òî÷êè x0 , èç êîòîðîé
óäàëåíà òî÷êà x0 , íàçûâàåòñÿ ïðîêîëîòîé Æ -îêðåñòíîñòüþ òî÷êè x0 ; îíà îáîÆ
çíà÷àåòñÿ U (x0 ; Æ ), ò.å.
Æ
U (x0 ; Æ ) = U (x0 ; Æ )fx0 g :
Òîãäà ñ ïîìîùüþ ëîãè÷åñêèõ ñèìâîëîâ ñôîðìóëèðîâàííîå îïðåäåëåíèå ìîæíî çàïèñàòü òàê
,
lim f (x) = A def
x!x0
Æ
8" > 0 9Æ = Æ(") > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) : jf (x) Aj < " :
 òîì ñëó÷àå, êîãäà A = +1, x0 êîíå÷íîå ÷èñëî, îïðåäåëåíèå ïðåäåëà
ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x0 ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.
22
Ãîâîðÿò, ÷òî +1 ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè y = f (x) â
òî÷êå x0 , åñëè äëÿ ëþáîãî " > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå Æ = Æ(") > 0, ÷òî äëÿ âñåõ
x, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ jx x0 j < Æ , (x =
6 x0 ) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
Ïðàâîñòîðîííèé ïðåäåë îáîçíà÷àþò ÷åðåç f (x0 + 0) è ïðè ýòîì ïèøóò
Îïðåäåëåíèå 2.
lim f (x) = f (x0 + 0) :
x!x0 +0
f (x) > 1=".
Ïðè ýòîì ïèøóò
Îïðåäåëåíèå 5
lim f (x) = +1
x!x0
èëè
f (x) ! +1 ïðè x ! x0 :
Èëè ñ ïîìîùüþ ëîãè÷åñêèõ ñèìâîëîâ
lim f (x) = +1 def
,
x!x0
Æ
8" > 0 9Æ = Æ(") > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) : f (x) > 1" :
Åñëè òåïåðü ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà A êîíå÷íîå ÷èñëî, x0 = +1,
òî îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x0 âûãëÿäèò òàê
Îïðåäåëåíèå 3. Ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî A ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè y = f (x)
â òî÷êå x0 = +1, åñëè äëÿ ëþáîãî " > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå Æ = Æ(") > 0, ÷òî
äëÿ âñåõ x, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ x > 1=Æ , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
jf (x) Aj < ".
Ïðè ýòîì ïèøóò
lim f (x) = A
x!+1
èëè
f (x) ! A ïðè x ! +1 :
Î÷åâèäíî, ÷òî àíàëîãè÷íûå îïðåäåëåíèÿ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü, åñëè
A êîíå÷íîå ÷èñëî, à x0 îäíà èç áåñêîíå÷íîñòåé; èëè x0 êîíå÷íîå
÷èñëî, à A áåñêîíå÷íîå.
Îòìåòèì, ÷òî åñëè A êîíå÷íîå ÷èñëî, òî ïðåäåë lim f (x) = A íàçûâàx!x0
åòñÿ êîíå÷íûì, åñëè æå A îäíà èç áåñêîíå÷íîñòåé, òî ïðåäåë íàçûâàåòñÿ
áåñêîíå÷íûì èëè íåñîáñòâåííûì.
 çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî èç îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ñëåäóåò lim x = x0 ,
x!x0
à òàêæå lim C = C , ãäå C êîíñòàíòà.
x!x0
2
Îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû ôóíêöèè
Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 2
. Íàëîæèì îãðàíè÷åíèÿ íà ñïîñîá ïðèáëèæåíèÿ àðãóìåíòà ôóíêöèè x ê
òî÷êå x0 , à èìåííî: áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àè, êîãäà x ïðèáëèæàåòñÿ ê
x0 , îñòàâàÿñü áîëüøå x0 , ò.å. x > x0 , òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî x ïðèáëèæàåòñÿ ê
òî÷êå x0 ñïðàâà; åñëè x ïðèáëèæàåòñÿ ê x0 , îñòàâàÿñü ìåíüøå x0 , ò.å. x < x0 ,
òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî x ïðèáëèæàåòñÿ ê òî÷êå x0 ñëåâà.
R
Îïðåäåëåíèå 4
(ïðàâîñòîðîííåãî ïðåäåëà). Ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî A ÿâëÿåòñÿ
ïðàâîñòîðîííèì ïðåäåëîì ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x0 2 R, åñëè äëÿ ëþ-
(ëåâîñòîðîííåãî ïðåäåëà). Ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî A ÿâëÿåòñÿ
ëåâîñòîðîííèì ïðåäåëîì ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x0 2 R, åñëè äëÿ ëþáîãî " > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå Æ = Æ (") > 0, ÷òî äëÿ âñåõ x, óäîâëåòâîðÿþùèõ
óñëîâèþ x0 Æ < x < x0 , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî jf (x) Aj < ".
Ëåâîñòîðîííèé ïðåäåë îáîçíà÷àþò ÷åðåç f (x0 0) è ïðè ýòîì ïèøóò
lim 0 f (x) = f (x0
x!x0
0) :
R
Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè â òî÷êå x0 2 ó ôóíêöèè y = f (x) ñóùåñòâóåò
êîíå÷íûé ïðåäåë, òî â ýòîé æå òî÷êå ñóùåñòâóþò è ðàâíûå ìåæäó ñîáîþ
îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû ýòîé ôóíêöèè è íàîáîðîò, ò.å.
lim f (x) = A
x!x0
3
,
f (x0 0) = f (x0 + 0) = A :
Åäèíñòâåííîñòü êîíå÷íîãî ïðåäåëà
Âûøå ìû ðàññìîòðåëè ðàçëè÷íûå îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè. Âîçíèêàåò âîïðîñ: âñåãäà ëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë ó äàííîé ôóíêöèè y = f (x), à
åñëè ñóùåñòâóåò, òî åäèíñòâåííûé ëè îí?
Òåîðåìà 1 (î åäèíñòâåííîñòè êîíå÷íîãî ïðåäåëà). Åñëè â òî÷êå x0 2 R
äàííàÿ ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë, òî îí åäèíñòâåííûé.
R
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì, ÷òî â äàííîé òî÷êå x0 2 ñóùåñòâóþò äâà
ðàçëè÷íûõ ïðåäåëà lim f (x) = A1 è lim f (x) = A2 (A1 6= A2 ).
x!x0
x!x0
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî 8" > 0
Æ
9Æ1 > 0 8x 2 U (x0 ; Æ1 ) : jf (x) A1 j < 2" ;
Æ
9Æ2 > 0 8x 2 U (x0 ; Æ2 ) : jf (x) A2 j < 2" :
(1)
(2)
Î÷åâèäíî, ÷òî óòâåðæäåíèÿ (1) è (2) òåì áîëåå áóäóò èìåòü ìåñòî, åñëè
çàìåíèòü â íèõ Æ1 è Æ2 íà Æ = minfÆ1 ; Æ2 g, à òîãäà îêàçûâàåòñÿ, ÷òî
Æ
8" 9Æ > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) : jA2 A1 j 6 jA2 f (x)j + jA1 f (x)j < 2" + 2" = " :
áîãî " > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå Æ = Æ (") > 0, ÷òî äëÿ âñåõ x, óäîâëåòâîðÿþùèõ
óñëîâèþ x0 < x < x0 + Æ , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî jf (x) Aj < ".
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ÷èñëî " âûáèðàåòñÿ ïðîèçâîëüíî è ìû ìîæåì âçÿòü
åãî, óäîâëåòâîðÿþùèì íåðàâåíñòâàì 0 < " < jA2 A1 j. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå è äîêàçûâàåò òåîðåìó.
23
24
Ÿ 4
1
Ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà. Ïåðâûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë
Äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ñóùåñòâîâàíèÿ êîíå÷íîãî ïðåäåëà
Æ
Åñëè ôóíêöèè '(x), (x) è f (x) îïðåäåëåíû â U (x0 ; Æ), ïðè÷åì,
â ýòîé îêðåñòíîñòè âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà '(x) 6 f (x) 6 (x) è,
êðîìå òîãî, xlim
!x0 '(x) = xlim
!x0 (x) = A, òî è xlim
!x0 f (x) = A.
Òåîðåìà 1.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïî óñëîâèþ òåîðåìû lim '(x) = A è lim (x) = A. Â
x!x0
x!x0
ñèëó îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ýòî îçíà÷àåò, ÷òî 8" > 0
Æ
9Æ1 > 0 8x 2 U (x0 ; Æ1 ) : A " < '(x) < A + " ;
Æ
9Æ2 > 0 8x 2 U (x0 ; Æ2 ) : A " < (x) < A + " :
(1)
(2)
Óòâåðæäåíèÿ (1) è (2) òåì áîëåå áóäóò èìåòü ìåñòî, åñëè çàìåíèòü â íèõ Æ1
è Æ2 íà Æ = minfÆ1 ; Æ2 g. Òîãäà
A " < '(x) 6 f (x) 6 (x) < A + "
)
A " < f (x) < A + " ;
à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî lim f (x) = A.
x!x0
2
Ïåðâûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë
B C
O
x
R
Äîïóñòèì, ÷òî x íåêîòîðûé îñòðûé óãîë (ðèñ.
13). Ïóñòü S4OAB , S4OAC ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ OAB , OAC è S^OAB ïëîùàäü ñåêòîðà OAB .
Èç ðèñóíêà ÿñíî, ÷òî
S4OAB < S^OAB < S4OAC ;
A
lim
x!+0
sin x
= 1:
x
sin x
Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî x < 0 è íàéäåì lim
. Ïîëîæèì x = y , òîãäà
x! 0 x
sin x = sin( y ) = sin y . Èìååì
sin y
sin y
lim 0 sin x = ylim
!+0 y = ylim
!+0 y = 1 :
x
x!
Èòàê, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì ïðåäåë, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ïåðâûì
÷àòåëüíûì ïðåäåëîì
çàìå-
sin x
= 1:
(3)
x
Îòìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå '(x)= (x), â êîòîðîì '(x) ! 0, (x) ! 0 ïðè
x ! x0 , íàçûâàåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòüþ âèäà 0 . Î÷åâèäíî, ÷òî ðàññìîòðåí0
íûé âûøå ïåðâûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë (3) â òî÷êå x0 = 0 ïðåäñòàâëÿåò
0
ñîáîþ íåîïðåäåëåííîñòü . Íàõîæäåíèå ïðåäåëà ýòîãî âûðàæåíèÿ íàçûâà0
lim
x!0
åòñÿ ðàñêðûòèåì ýòîé íåîïðåäåëåííîñòè.
Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìîæíî ââåñòè â ðàññìîòðåíèå íåîïðåäåëåííîñòè
1
âèäà , 1 1, 0 1, 00 , 10 , 11 è ò. ä.
1
3
Ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà ó ìîíîòîííîé ôóíêöèè
Îñòàíîâèìñÿ åùå íà îäíîì ïðèçíàêå ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ó òàê íàçûâàåìûõ ìîíîòîííûõ ôóíêöèé. Ïðåäâàðèòåëüíî äàäèì ñëåäóþùèå âàæíûå
îïðåäåëåíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 1.
òî åñòü
1 R2 sin x < 1 R2 x < 1 R2 tg x ) sin x < x < tg x :
2
2
2
Ðèñ. 13.
Ìû ïðåäïîëîæèëè, ÷òî x îñòðûé óãîë, çíà÷èò,
sin x > 0, à òîãäà èìååì
x < 1
1<
) cos x < sinx x < 1 :
sin x cos x
Ïîêàæåì, ÷òî lim cos x = 1. Â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà äëÿ 8" > 0
x!0
p
p
ñóùåñòâóåò Æ > 0, à èìåííî òàêîå Æ = 2", ÷òî åñëè ïîëîæèòü jxj < 2", òî
òîãäà
à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî lim cos x = 1.
x!0
Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî â ñèëó äîêàçàííîé âûøå òåîðåìû
2
j1 cos xj = 2 sin2 x2 < x2 < " ;
25
1)
2)
3)
Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé ñíèçó íà ìíîæåñòâå X ,
åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî m 2 , ÷òî 8x 2 X : m 6 f (x).
R
Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé ñâåðõó íà ìíîæåñòâå X ,
åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî M 2 , ÷òî 8x 2 X : f (x) 6 M .
R
Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé íà ìíîæåñòâå X , åñëè
ñóùåñòâóþò òàêèå ÷èñëà m; M 2 , ÷òî 8x 2 X : m 6 f (x) 6 M .
R
Îïðåäåëåíèå 2.
1)
Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ íåóáûâàþùåé íà ïðîìåæóòêå X (êîíå÷íîì èëè áåñêîíå÷íîì), åñëè äëÿ ëþáûõ x1 2 X è x2 2 X ñïðàâåäëèâî
óñëîâèå x1 < x2 ) f (x1 ) 6 f (x2 ). Åñëè x1 < x2 ) f (x1 ) < f (x2 ), òî
ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ ñòðîãî âîçðàñòàþùåé.
26
2)
3)
Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ íåâîçðàñòàþùåé íà ïðîìåæóòêå X (êîíå÷íîì èëè áåñêîíå÷íîì), åñëè äëÿ ëþáûõ x1 2 X è x2 2 X ñïðàâåäëèâî óñëîâèå x1 < x2 ) f (x1 ) > f (x1 ). Åñëè x1 < x2 ) f (x1 ) > f (x2 ),
òî f (x) íàçûâàåòñÿ ñòðîãî óáûâàþùåé.
Ôóíêöèè íåâîçðàñòàþùèå, ñòðîãî óáûâàþùèå, íåóáûâàþùèå è ñòðîãî
âîçðàñòàþùèå íàçûâàþòñÿ ìîíîòîííûìè íà ïðîìåæóòêå X .
Æ
U (x0 ; Æ ), ãäå
Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) ìîíîòîííà è îãðàíè÷åíà â
òî òîãäà ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå ëåâîñòîðîííèé è ïðàâîñòîðîííèé ïðåäåëû ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x0 .
(Áåç äîêàçàòåëüñòâà).
Òåîðåìà 3. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) íå óáûâàåò (íå âîçðàñòàåò) íà áåñêîíå÷íîì ïðîìåæóòêå X è îãðàíè÷åíà ñâåðõó (ñíèçó), òî îíà èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë.
(Áåç äîêàçàòåëüñòâà).
Òåîðåìà 2.
x0 2 R,
Ÿ 5
Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Âòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë
1
Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ðàññìîòðèì áåñêîíå÷íóþ ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü an , n = 1; 2; 3; : : :
Íàïðèìåð, ýòî ìîæåò áûòü àðèôìåòè÷åñêàÿ èëè ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, èëè, ñêàæåì, ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
1
an = ; è bn = ( 1)n ;
n
êîòîðûå ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ
1
1 1
1 ; 1 ; 1 ; : : : ; ( 1)n ; : : : :
1; ; ;::: ; ;::: ; è
2 3
n
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ÷èòàåòñÿ çàäàííîé, åñëè óêàçàíî ïðàâèëî, ïî êîòîðîìó âû÷èñëÿåòñÿ çíà÷åíèå åãî îáùåãî ÷ëåíà an ïî åãî ïîðÿäêîâîìó íîìåðó
n.
Î÷åâèäíî, ÷òî íà an ìîæíî ñìîòðåòü êàê íà ôóíêöèþ åãî ïîðÿäêîâîãî
íîìåðà, ò. å. an = f (n). Èíîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàþò âàðèàíòîé.
Îïðåäåëåíèå 1. Ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî A ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (âàðèàíòû) an , åñëè äëÿ ëþáîãî ñêîëü óãîäíî ìàëîãî ïîëîæèòåëüíîãî
÷èñëà " ìîæíî óêàçàòü òàêîé íîìåð N = N ("), ÷òî äëÿ âñåõ n, äëÿ êîòîðûõ
èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî n > N ("), ñëåäóåò jA an j < ". Ïðè ýòîì ïèøóò
lim a = A
èëè
an ! A ïðè n ! 1 :
n!1 n
Ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ôóíêöèè, òî
äîñòàòî÷íî î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìåþò ìåñòî îñíîâíûå òåîðåìû, ñïðàâåäëèâûå äëÿ ïðåäåëà ôóíêöèè.
27
2
Âòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë
Äîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
n
un = 1 + 1 ;
n
n2N:
(1)
èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî îíà ñòðîãî âîçðàñòàåò è îãðàíè÷åíà ñâåðõó.
Íà îñíîâàíèè ôîðìóëû áèíîìà Íüþòîíà
n(n 1) an 2 b2 + : : : + n(n 1) : : : (n (n 1)) bn
(a + b)n = an + nan 1 b +
12
1 2 ::: n
èìååì
n(n 1) : : : 1
1 n
n(n 1) n(n 1)(n 2)
+
+ ::: +
=
un = 1 +
=2+
n
2!n2
3!n3
n!nn
1
1
1
1
2
1
+
1
1
+ :::
(2)
2!
n
3!
n
n
1
2
n 1
1
1
1
::: 1
:
::: +
n!
n
n
n
Èç ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî un > 2 äëÿ ëþáîãî n 2 N. Êðîìå
òîãî, íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ïðè ïåðåõîäå îò n ê n + 1 êàæäîå ñëàãàåìîå â
=2+
ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (2) óâåëè÷èâàåòñÿ è, êðîìå òîãî, äîáàâëÿåòñÿ íîâîå
ïîëîæèòåëüíîå ñëàãàåìîå. Ïîýòîìó un < un+1 äëÿ âñåõ n 2 .
Îöåíèì òåïåðü un ñâåðõó. Î÷åâèäíî, ÷òî
N
1
1
1 1
1 1
un < 2+ + + : : : + < 2+ + 2 + : : : + n 1 = 2+ 1
2! 3!
n!
2 2
2
1
< 3:
2n 1
Èòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò è
îãðàíè÷åíà, ò. å. 2 6 un < un+1 < 3. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1)
ñõîäèòñÿ. Îáîçíà÷èì åå ïðåäåë áóêâîé e:
1 n = e:
lim
1
+
(3)
n!1
n
×èñëî e = 2:718281828 : : : åñòü èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî, íàçûâàåìîå ÷èñëîì
Íåïåðà.
Ïðåäåë (3) íàçûâàåòñÿ âòîðûì çàìå÷àòåëüíûì ïðåäåëîì. Êðîìå òîãî,
ìîæíî äîêàçàòü òàêæå, ÷òî
1 x
lim
1
+
=e
è
lim (1 + x)1=x = e :
x!1
x!0
x
28
y
y = ex
y = ln x
1
0
1
Ðèñ. 14.
Ÿ 6
x
×èñëî e ïîëîæåíî â îñíîâàíèå ëîãàðèôìîâ, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ íàòóðàëüíûìè
ëîãàðèôìàìè è îáîçíà÷àþòñÿ òàê: loge a =
ln a. ßñíî, ÷òî åñëè ln a = b, òî eb = a.
 ìàòåìàòèêå ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ ôóíêöèÿ y = ex , êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ýêñïîíåíòîé è èíîãäà îáîçíà÷àåòñÿ y = exp(x), à òàêæå ôóíêöèÿ y = ln x. Ýòè ôóíêöèè âçàèìíî
îáðàòíû, âîçðàñòàþò è ãðàôèêè èõ ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî áèññåêòðèñû ïåðâîãî è
òðåòüåãî êîîðäèíàòíîãî óãëà. Ïðèâåäåì èõ
ãðàôèêè (ðèñ. 14).
à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî
R
1) Ôóíêöèÿ '(x) íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé â òî÷êå x0 2 , åñëè
lim '(x) = 0 :
x!x0
R
2) Ôóíêöèÿ (x) íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé â òî÷êå x0 2 , åñëè
lim
x!x0
j (x)j = +1 :
Âòîðàÿ ÷àñòü òåîðåìû äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
Ñëåäóþùèå äâà óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû.
1) Ôóíêöèÿ y = f (x) â òî÷êå x0 èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë xlim
!x0 f (x) = A.
Òåîðåìà 2.
2) Ôóíêöèÿ '(x) = f (x) A ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé â òî÷êå x0 .
Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Ïóñòü lim f (x) = A, ãäå x0
x!x0
2 R, A êîíå÷íîå ÷èñëî. Ýòî çíà÷èò, ÷òî
Æ
Áåñêîíå÷íî ìàëûå è áåñêîíå÷íî áîëüøèå ôóíêöèè
Îïðåäåëåíèå 1.
1
áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ ôóíêöèÿ.
'(x)
8" > 0 9Æ > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) :
ãäå '(x) = f (x)
j'(x)j < " ;
A, ò.å. '(x) åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ â òî÷êå x0 .
2) Ïóñòü òåïåðü '(x) = f (x)
A åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ â òî÷êå x0 , ò. å.
Æ
8" > 0 9Æ > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) : j'(x)j < " ;
ò.å. jf (x)
Aj < ", à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî xlim
!x f (x) = A.
0
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Òåîðåìà 1.
1) Åñëè '(x) åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ â òî÷êå x0 , òî '(1x) åñòü
áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ ôóíêöèÿ â ýòîé òî÷êå ïðè óñëîâèè,
÷òî '(x) =
6 0 â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 .
2) Åñëè (x) åñòü áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ ôóíêöèÿ â òî÷êå x0 , òî (1x)
åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ â òî÷êå x0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì òåîðåìó äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà x0 êîíå÷íîå âåùå-
ñòâåííîå ÷èñëî. Âîçüìåì ëþáîå ÷èñëî K > 0. Ïóñòü '(x) ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ôóíêöèåé â òî÷êå x0 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
Æ
8" > 0 9Æ > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) :
j'(x)j < " :
1
"
Âîçüìåì â êà÷åñòâå " òàêîå ÷èñëî, ÷òîáû K = , òîãäà
Çàìå÷àíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè áû óäàëîñü îïðåäåëèòü áåñêîíå÷íî ìàëóþ ôóíêöèþ, íå èñïîëüçóÿ ïîíÿòèÿ ¾ïðåäåë¿, òî îïðåäåëåíèå ïðåäåëà
ôóíêöèè áûëî áû ìîæíî äàòü ïî-äðóãîìó (ñì. íèæå).
R
Ïðåäåëîì ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x0 2 íàçûâàåòñÿ
òàêîå ïîñòîÿííîå ÷èñëî A, ðàçíîñòü ìåæäó êîòîðûì è ôóíêöèåé y = f (x)
åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ.
Îïðåäåëåíèå 2.
Áåñêîíå÷íî ìàëûå ôóíêöèè èãðàþò ñóùåñòâåííóþ ðîëü â ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå, è â äàëüíåéøåì ïðè äîêàçàòåëüñòâå ðàçëè÷íûõ òåîðåì ìû
áóäåì ïåðåõîäèòü îò ðàññìîòðåíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè ê ðàññìîòðåíèþ áåñêîíå÷íî ìàëîé ôóíêöèè '(x) = f (x) A â òî÷êå x0 . Î÷åâèäíî, ÷òî â ñèëó
äîêàçàííîé âûøå òåîðåìû òàêîé ïåðåõîä çàêîíîìåðåí.
1
1
> 1 ò.å. xlim
!x0 j'(x)j = +1 ;
'(x)
"
Åñëè ôóíêöèÿ f (x) îãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , à
ôóíêöèÿ '(x) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ â òî÷êå x0 , òî èõ ïðîèçâåäåíèå f (x) '(x) åñòü ôóíêöèÿ áåñêîíå÷íî ìàëàÿ â ýòîé òî÷êå.
29
30
Òåîðåìà 3.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ôóíêöèÿ f (x) îãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , çíà÷èò,
ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî K > 0, ÷òî 8x 2 U (x0 ; Æ ) : jf (x)j < K .
Ôóíêöèÿ '(x) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ â òî÷êå x0 , çíà÷èò
Æ
8" > 0 9Æ > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) :
Òîãäà îêàçûâàåòñÿ
j'(x)j < K" :
Æ
8" > 0 9Æ > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) :
Åñëè ôóíêöèÿ f (x) â òî÷êå x0 èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë, îòëè÷íûé îò íóëÿ, à ôóíêöèÿ g(x) áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ â ýòîé òî÷êå,
òî èõ ïðîèçâåäåíèå f (x) g(x) åñòü ôóíêöèÿ, áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ â òî÷êå
x0 .
(Áåç äîêàçàòåëüñòâà)
Òåîðåìà 4.
Òåîðåìû î êîíå÷íûõ ïðåäåëàõ
Åñëè â
òî÷êå x0 2 R ôóíêöèÿ f (xÆ ) èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë, òî â íåêîòîðîé
ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè U (x0 ; Æ) ôóíêöèÿ f (x) îãðàíè÷åíà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî óñëîâèþ òåîðåìû, â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ f (x) èìååò êîÒåîðåìà 1
(Áåç äîêàçàòåëüñòâà)
Åñëè â òî÷êå x0 2 R ôóíêöèè f1 (x) è f2 (x) èìåþò êîíå÷íûå ïðåäåëû
(îãðàíè÷åííîñòü ôóíêöèè, èìåþùåé êîíå÷íûé ïðåäåë).
íå÷íûé ïðåäåë. Ýòî îçíà÷àåò
Æ
8" > 0 9Æ > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) :
jf (x) Aj < " , A " < f (x) < A + " ;
ò.å. ôóíêöèÿ y = f (x) îãðàíè÷åíà â ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 .
31
lim f1 (x) = A è xlim
!x0 f2 (x) = B ;
x!x0
òî èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå òåîðåìû.
Òåîðåìà 3.
lim (f1 (x) + f2 (x)) = xlim
!x f1 (x) + xlim
!x f2 (x) :
x!x0
0
0
R
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì òåîðåìó äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà x0 2 , ò.å. x0 ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì âåùåñòâåííûì ÷èñëîì.
Ïóñòü lim f1 (x) = A è lim f2 (x) = B . Òîãäà 8" > 0
x!x0
x!x0
Æ
9Æ1 > 0 8x 2 U (x0 ; Æ1 ) :
j'1 (x)j < " ;
ò.å. " < '(x) < " , à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî '1 (x) îãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè
òî÷êè x0 . Òîãäà íà ïðîèçâåäåíèå ôóíêöèé '1 (x) '2 (x) ìîæíî ñìîòðåòü êàê
íà ïðîèçâåäåíèå áåñêîíå÷íî ìàëîé è îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè.
Ÿ 7
Åñëè â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå ïðåäåëû xlim
!x0 '(x) = A, xlim
!x0 (x) =
'(x) 6 (x) è
B , òî A 6 B .
Æ
8" > 0 9Æ > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) : jf (x) '(x)j < " ;
à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî f (x) '(x) åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ â òî÷êå
x0 .
Ñëåäñòâèå 3. Ïðîèçâåäåíèå C '(x) ïîñòîÿííîé C íà áåñêîíå÷íî ìàëóþ
ôóíêöèþ '(x) â òî÷êå x0 åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ â ýòîé òî÷êå.
Ñëåäñòâèå 4. Ïðîèçâåäåíèå '1 (x) '2 (x) áåñêîíå÷íî ìàëûõ ôóíêöèé '1 (x)
è '2 (x) â òî÷êå x0 åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ â ýòîé òî÷êå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó '1 (x) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ â
òî÷êå x0 , òî
Òåîðåìà 2.
Æ
9Æ2 > 0 8x 2 U (x0 ; Æ2 ) :
A
" < f (x) < A + " ;
1
2
2
(1)
B
" < f (x) < B + " :
2
2
2
(2)
Âîçüìåì Æ = minfÆ1 ; Æ2 g, òîãäà îáà óòâåðæäåíèÿ (1) è (2) îñòàíóòñÿ â
ñèëå, à òîãäà, ïðèíÿâ âî âíèìàíèå, ÷òî íåðàâåíñòâà, èìåþùèå îäèíàêîâûé
çíàê, ìîæíî ïî÷ëåííî ñêëàäûâàòü, ïîëó÷èì
Æ
8" > 0 9Æ > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) : (A + B ) " < f1 (x) + f2 (x) < (A + B ) + " ;
à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî lim (f1 (x) + f2 (x)) = lim f1 (x) + lim f2 (x).
x!x0
x!x0
x!x0
Òåîðåìà 4.
lim (f1 (x) f2 (x)) = xlim
!x0 f1 (x) xlim
!x0 f2 (x) :
x!x0
Äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü f2 (x) =
ñâåäåòñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó ïðåäûäóùåé òåîðåìû.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Òåîðåìà 5.
f2 (x) è äîêàçàòåëüñòâî
lim (f1 (x) f2 (x)) = xlim
!x0 f1 (x) xlim
!x0 f2 (x) :
x!x0
32
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü lim f1 (x) = A è lim f2 (x) = B , òîãäà f1 (x) =
x!x0
x!x0
A + (x) è f2 (x) = B + (x), ãäå (x) è (x) áåñêîíå÷íî ìàëûå ôóíêöèè â
òî÷êå x0 . Òîãäà
p
Ïðèìåð 5.
Ðåøåíèå.
lim (f1 (x) f2 (x)) = xlim
!x0 (A + (x)) (B + (x)) =
x!x0
= xlim
!x A B + B xlim
!x (x)+ A xlim
!x (x)+ xlim
!x (x) (x) = A B :
0
0
0
0
Ïðèìåð
(Áåç äîêàçàòåëüñòâà)
Ïðèìåð 1.
Âû÷èñëèòü lim
x!0 x
x
1
ïðè óñëîâèè, ÷òî xlim
!x0 f2 (x) 6= 0 :
Ðåøåíèå.
Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî â òî÷êå x = 0 äàííîå âûðàæåíèå ïðèíèìàåò çíà÷åíèå ðàâíîå 0. Ïðè x = 0 çäåñü íåò íåîïðåäåëåííîñòè, òàêèì îáðàçîì
x = 0:
lim
x!0 x 1
Ïðèìåð 2.
Âû÷èñëèòü lim
x!1 x
Ïðèìåð 7.
Ðåøåíèå.
.
x .
1
Ïðèìåì âî âíèìàíèå ñâÿçü ìåæäó áåñêîíå÷íî ìàëîé è áåñêîíå÷íî
áîëüøîé ôóíêöèåé. Î÷åâèäíî, ÷òî
lim
Ïðèìåð 3.
x3 1 .
Âû÷èñëèòü lim 2
x!1 x
1
x = 1:
1
0
(x 1) x2 + x + 1
x3 1
x2 + x + 1 3
lim
=
lim
=
lim
= :
2
x!1 x
x!1 x + 1
1 x!1 (x 1)(x + 1)
2
x3 + x2 .
Ïðèìåð 4. Âû÷èñëèòü lim
x!0 x3 + x2 + x
Ðåøåíèå.
x3 + x2 = lim x2 (x + 1) = lim x(x + 1) = 0 :
lim
x!0 x3 + x2 + x x!0 x (x2 + x + 1) x!0 x2 + x + 1
33
x 1+ 1
x
x
+1
1
lim
=
lim
=
lim
1
+
= 1:
x!1 x
x!1
x!1
x
x
x5 + 2x4 x3 + 2 .
Âû÷èñëèòü lim
x!1 2x5 x4 + x 1
Çàìåòèì, ÷òî ïîâåäåíèå ìíîãî÷ëåíà íà áåñêîíå÷íîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ïîâåäåíèåì åãî ñòàðøåé ñòåïåíè. Ïîýòîìó ïðè ðåøåíèè äàííîãî ïðèìåðà
ìîæíî áûëî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü çàìåíèòü íà ýêâèâàëåíòíûå èì ñòàðøèå ñòåïåíè, ò.å.
Ïðèìåð 8.
x5 + 2x4 x3 + 2 = lim x5 = 1 :
lim
x!1 2x5 x4 + x 1
x!1 2x5
2
p4 3
p
3
x +px + 1
x 1.
Âû÷èñëèòü lim
3 2
x!+1
x +x 1
Çàìåíÿÿ ìíîãî÷ëåíû, ñòîÿùèå ïîä êîðíåì, íà ýêâèâàëåíòíûå èì
ñòàðøèå ñòåïåíè, ïîëó÷èì
p4 3
p
x +px + 1 3 x 1
x3=4 x1=3 = lim x3=4 = +1 :
lim
= x!lim
3 2
x!+1 x2=3
x!+1
+
1
x2=3
x +x 1
Ðåøåíèå.
Î÷åâèäíî, ÷òî ìû èìååì íåîïðåäåëåííîñòü . Ðàçëîæèì ÷èñëè0
òåëü è çíàìåíàòåëü íà ìíîæèòåëè
Ðåøåíèå.
p
x5 1 + 2 12 + 25
5 + 2x4 x3 + 2
x x
x 1
x
= :
lim
= xlim
!1 5
x!1 2x5 x4 + x 1
2
1 1
1
x 2
+ 4
5
x x
x
Ðåøåíèå.
x!1 x
p
x( x 1)
x
1
lim x x x = xlim
x!1 x 1
!1 (px 1)(px + 1) = xlim
!1 px + 1 = 2 :
x + 1.
6. Âû÷èñëèòü lim
x!1 x
Òåîðåìà 6.
f1 (x) = xlim
!x0 f1 (x)
lim
x!x0 f2 (x)
lim f (x)
x!x0 2
x x x
.
1
Âû÷èñëèòü lim
x!1 x
Ïðèìåð 9.
Ðåøåíèå.
sin 3x
Âû÷èñëèòü lim
.
x!0 sin 5x
Ïðèíèìàÿ
âî
âíèìàíèå
ïåðâûé
çàìå÷àòåëüíûé
sin x
lim
= 1, çàïèøåì äàííûé ïðåäåë òàê
x!0 x
3x sin 3x
3x 3
sin
3
x
3x
= lim
= xlim
lim
!0 5x = 5 :
x!0 sin 5x x!0 5x sin 5x
5x
34
ïðåäåë
Ïðèìåð 10.
Âû÷èñëèòü lim
x!0 1
sin2 x .
cos x
3) Ãîâîðÿò, ÷òî (x) è (x) ýêâèâàëåíòíûå áåñêîíå÷íî ìàëûå â òî÷êå x0 ,
åñëè
(x)
lim
= 1. Ïðè ýòîì ïèøóò (x) (x) ïðè x ! x0 .
x!x0 (x)
Ðåøåíèå.
x
x
x 2
x
2 sin cos
4 sin2 cos2
2x
sin2 x
sin
2
2
2
2 = 2:
lim
= xlim
= xlim
= lim
x!0 1 cos x x!0 2 sin2 x
!0
!0
2 sin2 x
2 sin2 x
2
2
2
Çàìåòèì, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèè äàííîãî ïðåäåëà ìû ó÷ëè, ÷òî cos 0 = 1.
Ïðèìåð 11.
x
+1 x
Âû÷èñëèòü lim
.
x!+1 x + 2
x!x0
Çàìåòèì, ÷òî ìû èìååì íåîïðåäåëåííîñòü
11 . Ïðèìåì âî âíèìà
1 x
íèå âòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë lim 1 +
= e. Òîãäà äàííîå âûðàx!1
x
æåíèå ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü òàê
Ðåøåíèå.
x
x
(x + 2)x
x
+
1
x
+
2
1
1
(x + 2) =
lim
= x!
lim
= x!lim
x!+1 x + 2
+1 x + 2
+1 1 + (x + 2)
x
2
3
(x + 2)
6
6
6
6
6
= x!lim
1+
+1 6
6
6|
6
4
Ÿ 8
Ïðîèçâåäåíèå äâóõ áåñêîíå÷íî ìàëûõ ôóíêöèé åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ÷åì êàæäûé èç ñîìíîæèòåëåé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (x) ! 0 è (x) ! 0 ïðè x ! x0 , òîãäà
lim (x) (x) = lim (x) = 0 è lim (x) (x) = lim (x) = 0 :
Òåîðåìà 1.
7|
7
(x+2) 7
7
1
7
7
7
(x + 2)
{z
}7
7
5
{z
#
1
}
=e 1:
#
e
x!x0
(x)
3
â òî÷êå x0 , òî
lim
(x)
(x) â òî÷êå x0 , åñëè xlim
!x0 (x) = 0. Ïðè ýòîì ïèøóò
(x) = o ( (x)) ïðè x ! x0 .
÷åì
2) Ãîâîðÿò, ÷òî áåñêîíå÷íî ìàëûå (x) è (x) èìåþò îäèíàêîâûé ïîðÿäîê
ìàëîñòè â òî÷êå x0 , åñëè xlim
!x0
(x)
= k, ãäå k - êîíå÷íîå ÷èñëî, k 6= 0.
(x)
35
(x)
x!x0 (x)
Äîêàçàòåëüñòâî.
= xlim
!x
0
Åñëè (x) 1 (x),
1 (x) :
1 (x)
Ïî óñëîâèþ òåîðåìû,
lim
Îïðåäåëåíèå 1.
ëîñòè,
(x)
(x)
(ïðèíöèï çàìåíû íà ýêâèâàëåíòíóþ).
Ñðàâíåíèå áåñêîíå÷íî ìàëûõ ôóíêöèé
áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ìà-
x!x0
(x)
= 1 xlim
!x0 (x) = 1 1 = 0 :
Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü â òî÷êå x0 ðàçíîñòü (x)
(x) åñòü áåñêîíå÷íî
(x) (x)
ìàëàÿ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ÷åì (x), ò.å. lim
= 0,
x!x0
(x)
òîãäà
(x) (x)
(x)
= 1 xlim
= 1 0 = 1:
lim
!x0
x!x0 (x)
(x)
(x)
lim
x!x0
(x) 1 (x)
1) Ãîâîðÿò, ÷òî (x) åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ
(x)
Òåîðåìà 2. Äëÿ òîãî, ÷òîáû áåñêîíå÷íî ìàëûå (x) è (x) áûëè ýêâèâàëåíòíû, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû èõ ðàçíîñòü áûëà áåñêîíå÷íî
ìàëîé áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ÷åì êàæäàÿ èç íèõ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü (x) (x) ïðè x ! x0 , òîãäà
Òåîðåìà
Ðàññìîòðèì â òî÷êå x0 áåñêîíå÷íî ìàëûå ôóíêöèè (x) è (x).
x!x0
x!x0
ñëåäîâàòåëüíî,
(x)
1 (x)
(x)
lim 1 (x) lim
1 (x) x!x0 1 (x) x!x0
lim
(x)
x!x0 (x)
= xlim
!x
0
(x)
(x)
= lim
= 1;
1 (x) x!x0 1 (x)
= xlim
!x
0
36
1 (x) 1 (x) =
1 (x) (x)
1 (x) = lim 1 (x) :
(x) x!x0 1 (x)
sin x = 1. Îòñþäà ìîæíî
Ìû äîêàçàëè ðàíåå çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë lim
x!0 x
ñäåëàòü âûâîä, ÷òî sin x x ïðè x ! 0.
Ïðèìåð 1.
Âû÷èñëèòü lim
x!0
lim f (x; x0 ) = 0
x!x0
arcsin x
.
x
òî åñòü
Ñäåëàåì çàìåíó arcsin x = t, òîãäà x = sin t. Î÷åâèäíî, ÷òî t
ïðè x ! 0. Òîãäà èìååì
Ðåøåíèå.
!0
t
arcsin x
= tlim
!0 sin t = 1 :
x
Çàìåòèì, ÷òî ìû ïîïóòíî óñòàíîâèëè, ÷òî arcsin x x ïðè x ! 0. Ïðè
lim
x!0
ðåøåíèè ïðèìåðîâ â äàëüíåéøåì ýòèì ôàêòîì ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ êàê
î÷åâèäíûì. Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî tg x x è arctg x x ïðè x ! 0.
Ïðèìåð 2.
Ðåøåíèå.
Òîãäà
Î÷åâèäíî è îáðàòíîå ñîîòíîøåíèå
1 cos 2x
Âû÷èñëèòü lim
.
x!0 arcsin 3x
Ïðèìåì âî âíèìàíèå ôîðìóëó óäâîåíèÿ óãëîâ 1 cos 2x = 2 sin2 x.
2 sin2 x
2x2
0
1 cos 2x
=
=
lim
=
lim
= 0:
lim
x!0 arcsin 3x x!0 3x
x!0 arcsin 3x
0
1
Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè â òî÷êå
öèè â òî÷êå
Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 .
Îïðåäåëåíèå 1.
Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé
â òî÷êå x0 , åñëè
lim f (x) = f (x0 ) :
x!x0
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) è äîïóñòèì, ÷òî îíà íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 ,
ò.å.
lim f (x) = f (x0 )
x!x0
)
lim (f (x) f (x0 )) = xlim
x!x0
!x0 f (x) f (x0 ) = 0 :
Îáîçíà÷èì f (x; x0 ) = f (x) f (x0 ) è íàçîâåì ýòó ðàçíîñòü ïðèðàùåíèåì ôóíêöèè f (x) â òî÷êå x0 , ñîîòâåòñòâóþùèì ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà
x = x x0 . ßñíî, ÷òî x ! 0, åñëè x ! x0 . Òàêèì îáðàçîì,
lim f (x) = f (x0 )
x!x0
)
37
lim f (x; x0 ) = 0 :
x!x0
,
lim f (x; x ) = 0 :
Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå x0 , åñëè
áåñêîíå÷íî ìàëîìó ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà â ýòîé òî÷êå ñîîòâåòñòâóåò áåñêîíå÷íî ìàëîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè, ò.å. åñëè lim f (x; x0 ) = 0.
x!x0
Åñëè âñïîìíèòü îïðåäåëåíèå êîíå÷íîãî ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå x0 , òî
î÷åâèäíî, ÷òî íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè â òî÷êå ìîæíî îïðåäåëèòü èíà÷å.
Îïðåäåëåíèå 2.
Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå x0 , åñëè
âñÿêîìó " > 0 ìîæíî óêàçàòü òàêîå Æ > 0, ÷òî èç íåðàâåíñòâà jx x0 j < Æ
ñëåäóåò íåðàâåíñòâî jf (x) f (x0 )j < ".
Îïðåäåëåíèå 3.
 çàêëþ÷åíèå çàìåòèì, ÷òî ïðèâåäåííûå îïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîñòè
ôóíêöèè â òî÷êå x0 ýêâèâàëåíòíû, ò.å. èç îäíîãî îïðåäåëåíèÿ âûòåêàþò
äðóãèå.
Îäíîñòîðîííÿÿ íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè â òî÷êå
Îïðåäåëåíèå 4.
Ðàçëè÷íûå ôîðìóëèðîâêè îïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîñòè ôóíê-
lim f (x) = f (x0 ) ;
x!x0
0
0
x!x0
x!x0
Ïðèíÿâ âî âíèìàíèå âûøåñêàçàííîå, ìîæíî äàòü äðóãîå îïðåäåëåíèå
íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè â òî÷êå x0 .
2
Ÿ 9
lim f (x) = f (x )
)
åñëè
Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé
â òî÷êå x0 ñïðàâà,
1) ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå çíà÷åíèå f (x0 ),
2) ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðàâîñòîðîííèé ïðåäåë
lim f (x) = f (x0 + 0),
x!x0 +0
3) âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå f (x0 ) = f (x0 + 0).
Îïðåäåëåíèå 5.
åñëè
Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ
íåïðåðûâíîé â òî÷êå x0 ñëåâà,
1) ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå çíà÷åíèå f (x0 ),
2) ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ëåâîñòîðîííèé ïðåäåë
3) âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå f (x0 ) = f (x0
lim 0 f (x) = f (x0
x!x0
0),
0).
 çàêëþ÷åíèå ïðèâåäåì åùå îäíî îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè
â òî÷êå x0 .
Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé
îíà â ýòîé òî÷êå íåïðåðûâíà è ñëåâà, è ñïðàâà.
Îïðåäåëåíèå 6.
38
â òî÷êå x0 , åñëè
3
Ñâîéñòâà ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ â òî÷êå
Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 è f (x0 ) 6= 0, òî
ñóùåñòâóåò íåêîòîðàÿ îêðåñòíîñòü U (x0 ; Æ), â êîòîðîé ôóíêöèÿ èìååò
òàêîé æå çíàê, ÷òî è â òî÷êå x0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè f (x0 ) > 0. Ïîñêîëüêó f (x)
Òåîðåìà 1.
íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 , òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
8" > 0 9Æ > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) :
f (x0 ) " < f (x) < f (x0 ) + " :
Òàê êàê " ìîæíî âûáðàòü ëþáûì, òî ïîëîæèì " = f (x0 )=2. Òîãäà áóäåò â
ñèëó ïîñëåäíèõ íåðàâåíñòâ f (x) > f (x0 )=2 , ò.å. f (x) > 0 äëÿ 8x 2 U (x0 ; Æ ).
Òåîðåìà 2. Åñëè ôóíêöèè f1 (x) è f2 (x) íåïðåðûâíû â òî÷êå x0 , òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ
1) ôóíêöèÿ c f1 (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 (c = const),
2) ôóíêöèÿ f1 (x) f2 (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 ,
3) ôóíêöèÿ f1 (x) f2 (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 ,
4) ôóíêöèÿ ff12 ((xx)) (f2 (x0 ) =6 0) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì îäíî èç ýòèõ óòâåðæäåíèé (îñòàëüíûå äîêàçûâàþòñÿ àíàëîãè÷íî), à èìåííî: ïðîèçâåäåíèå f1 (x) f2 (x) íåïðåðûâíî â òî÷-
êå x0 . Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå çíà÷åíèÿ f1 (x0 ) è
f2 (x0 ), ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò è êîíå÷íîå çíà÷åíèå f1 (x0 ) f2 (x0 ). Êðîìå
òîãî, ñóùåñòâóþò
lim f1 (x) = f1 (x0 ) ;
lim f2 (x) = f2 (x0 ) :
x!x0
x!x0
(íåïðåðûâíîñòü îáðàòíîé ôóíêöèè). Åñëè ôóíêöèÿ y = y (x)
ñòðîãî âîçðàñòàåò (ñòðîãî óáûâàåò) íà îòðåçêå [a; b] è íåïðåðûâíà â
òî÷êå x0 2 (a; b), òî ó íåå ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ x = x(y),
êîòîðàÿ ñòðîãî âîçðàñòàåò (ñòðîãî óáûâàåò) íà îòðåçêå [p; q], ãäå p =
y (a), q = y (b) è íåïðåðûâíà â òî÷êå y0 = y (x0 ).
(Áåç äîêàçàòåëüñòâà).
Òåîðåìà 5 (íåïðåðûâíîñòü ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé). Ëþáàÿ ýëåìåíòàðíàÿ
ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå åå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ.
(Áåç äîêàçàòåëüñòâà).
Òåîðåìà 4
4
Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ îò íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
 ñèëó òåîðåìû î íåïðåðûâíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé ñëåäóåò, ÷òî
äëÿ êàæäîé ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèè èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå
lim f (x) = f xlim
x!x0
!x0 x = f (x0 ) ;
ýòî îáñòîÿòåëüñòâî óïðîùàåò ïîäõîä ê âû÷èñëåíèþ ìíîãèõ ïðåäåëîâ îò
ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé.
Ïðèìåð 1.
Âû÷èñëèòü lim
x!0
ln(1 + x)
.
x
Ðåøåíèå.
ln(1 + x)
1=x = ln lim (1 + x)1=x = ln e = 1 :
= xlim
ln(1
+
x
)
!0
x!0
x
Êðîìå òîãî, ìû ïîïóòíî ïîêàçàëè, ÷òî ln(1 + x) x ïðè x ! 0.
ex 1 .
Ïðèìåð 2. Âû÷èñëèòü lim
x!0 x
lim
x!0
À ýòî è ãîâîðèò î òîì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå f1 (x) f2 (x) íåïðåðûâíî â òî÷êå
x0 .
Çàìåíÿÿ ÷èñëèòåëü íà ýêâèâàëåíòíóþ âåëè÷èíó, ïîëó÷èì
ex 1 = lim ln (ex 1 + 1) = lim ln ex = lim x ln e = 1 :
lim
x!0 x
x!0
x!0 x
x!0 x
x
x
Îòñþäà, e
1 x ïðè x ! 0.
ax 1 .
Ïðèìåð 3. Âû÷èñëèòü lim
x!0 x
(íåïðåðûâíîñòü ñëîæíîé ôóíêöèè). Åñëè ôóíêöèÿ t = g (x)
íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 , à ôóíêöèÿ f (t) íåïðåðûâíà â òî÷êå t0 , ãäå
t0 = g (x0 ), òî ôóíêöèÿ f (g (x)) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 , ò.å. ñóïåðïîçèöèÿ
íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íåïðåðûâíà â äàííîé òî÷êå.
(Áåç äîêàçàòåëüñòâà).
Çàìåíÿÿ ÷èñëèòåëü íà ýêâèâàëåíòíóþ âåëè÷èíó, ïîëó÷èì
ax 1 = lim ln (ax 1 + 1) = lim ln ax = lim x ln a = ln a :
lim
x!0 x
x!0
x!0 x
x!0 x
x
x
Òî åñòü, a
1 x ln a ïðè x ! 0.
Çíà÷èò ñóùåñòâóåò
lim f1 (x) f2 (x) = xlim
!x f1 (x) xlim
!x f2 (x) = f1 (x0 ) f2 (x0 ) :
x!x0
0
0
Òåîðåìà 3
39
Ðåøåíèå.
Ðåøåíèå.
40
Ðåøåíèå.
Âû÷èñëèòü lim
x!0
(1 + x)
x
1
.
Ïðèìåð 8.
Çàìåíÿÿ ÷èñëèòåëü íà ýêâèâàëåíòíóþ âåëè÷èíó, ïîëó÷èì
Ðåøåíèå.
Ïðèìåð 4.
ln ((1 + x) 1 + 1) =
lim (1 + x) 1 = xlim
x!0
!0
x
x
ln(1 + x)
ln(1 + x)
= xlim
= xlim
= :
!0
!0
x
x
Ñëåäîâàòåëüíî, (1 + x)
1 x ïðè x ! 0.
(1 + arcsin x)8 1
Ïðèìåð 5. Âû÷èñëèòü lim
.
x!0
ln (1 + tg x)
Ðåøåíèå. Çàìåíÿÿ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü íà ýêâèâàëåíòíûå áåñêîíå÷íî
ìàëûå, ïîëó÷èì
(1 + arcsin x)8 1
8 arcsin x
8x
0
lim
=
= xlim
x!0
!0 tg x = xlim
!0 x = 8 :
ln (1 + tg x)
0
2x 3x
Ïðèìåð 6. Âû÷èñëèòü lim
.
x!0 4x 5x
Ðåøåíèå.
x
2
3
0
2x 3 x
=
= xlim
lim
!0 x 4 x
x!0 4x 5x
0
5
5
x+1
arctg
x
+2
Ïðèìåð 7. Âû÷èñëèòü lim
1
x!1
sin
x
3x
Ðåøåíèå.
Íàïîìíèì, ÷òî
tg(
)=
1
1
= xlim
!0
2
3x ln
3 = ln 3 ln 2 :
4 ln 5 ln 4
5x ln
5
4.
tg
tg
1 + tg tg
è, êðîìå òîãî, tg(arctg x) = x. Ïðåîáðàçóåì ÷èñëèòåëü
x+1
tg arctg
x+2
Òîãäà
x+1
x+1 1
tg
x
+
2
4
1
=
:
= x + x2 + 1 =
4
2
x
+3
x
+
1
1+
1 + tg arctg
tg
x+2
x+2
4
tg arctg
arctg x + 1
x+2
lim
1
x!1
sin
x
1
4 = 0 = lim 2x + 3 = 1 :
1
x!1
0
2
x
41
Âû÷èñëèòü lim (cos x + 2 sin 3x)1= arcsin x .
x!0
ln(cos x + 2 sin 3x)
lim (cos x + 2 sin 3x)1= arcsin x = [11 ] = xlim
=
x!0
!0 exp
arcsin x
cos x + 2 sin 3x 1 = lim exp 2 sin 3x = lim exp 6x = e6 :
= xlim
x!0
x!0
!0 exp
arcsin x
arcsin x
x
5
Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè íà çàìêíóòîì ïðîìåæóòêå
Ôóíêöèÿ f (x), íåïðåðûâíàÿ â êàæäîé òî÷êå îòðåçêà [a; b],
íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà ýòîì îòðåçêå.
Îïðåäåëåíèå 7.
Çàìåòèì, ÷òî ïîä íåïðåðûâíîñòüþ ôóíêöèè íà êîíöàõ îòðåçêà ïîíèìàåòñÿ åå îäíîñòîðîííÿÿ íåïðåðûâíîñòü.
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ãðàôèêîì ôóíêöèè, íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå, ñëóæèò ñïëîøíàÿ (íåïðåðûâíàÿ) ëèíèÿ íà ýòîì îòðåçêå, êîòîðóþ ìîæíî âû÷åðòèòü îäíèì äâèæåíèåì êàðàíäàøà, íå îòðûâàÿ åãî îò áóìàãè.
Ñôîðìóëèðóåì òåïåðü äîñòàòî÷íî î÷åâèäíûå ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè
çðåíèÿ òåîðåìû, äàþùèå íàì ñâîéñòâà ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå.
Òåîðåìà 6 (1-ÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà). Åñëè ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b], òî íà ýòîì îòðåçêå îíà è îãðàíè÷åíà.
Òåîðåìà 7 (2-ÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà). Åñëè ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b], òî ñðåäè åå çíà÷åíèé íà ýòîì îòðåçêå èìååòñÿ íàèìåíüøåå
è íàèáîëüøåå çíà÷åíèå.
Òåîðåìà 8 (1-ÿ òåîðåìà Áîëüöàíî-Êîøè). Åñëè ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà
îòðåçêå [a; b] è íà åãî êîíöàõ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ ðàçíûõ çíàêîâ, òî
âíóòðè îòðåçêà íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäíà òî÷êà, â êîòîðîé ôóíêöèÿ
îáðàùàåòñÿ â íîëü.
Òåîðåìà 9 (2-ÿ òåîðåìà Áîëüöàíî-Êîøè). Åñëè ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà
îòðåçêå [a; b], òî, ïðèíèìàÿ ëþáûå äâà çíà÷åíèÿ íà [a; b], ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò è âñÿêîå ïðîìåæóòî÷íîå çíà÷åíèå.
Ÿ 10
Ðàçðûâ ôóíêöèè â òî÷êå. Êëàññèôèêàöèÿ ðàçðûâîâ
Òî÷êà x0 , ïðèíàäëåæàùàÿ ìíîæåñòâó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f (x) èëè ÿâëÿþùàÿñÿ åãî ãðàíè÷íîé òî÷êîé, íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà ôóíêöèè f (x), åñëè â ýòîé òî÷êå ôóíêöèÿ f (x) íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé.
Îïðåäåëåíèå 1.
Ïðèìåð 1.
Èññëåäîâàòü íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè y = x2 íà îòðåçêå [0; 2].
Ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé íà ýòîì ïðîìåæóòêå, ñëåäîâàòåëüíî, îíà íà íåì è íåïðåðûâíà.
Ðåøåíèå.
42
Ïðèìåð 2.
1)  òî÷êå x0 = 0 ôóíêöèÿ íå îïðåäåëåíà.
2) y (+0) = lim e1=x = e+1 = +1.
x!+0
Èññëåäîâàòü íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè
y=
x ; x 2 ( 1; 1]
x2 ; x 2 (1; +1)
3) y ( 0) = lim e1=x = e 1 = 0.
x! 0
Âûâîä: ôóíêöèÿ y = e1=x â òî÷êå x0 = 0 ïðåòåðïåâàåò ðàçðûâ 2-ãî ðîäà
(áåñêîíå÷íûé ðàçðûâ).
â òî÷êå x0 = 1.
Ðåøåíèå.
1)  òî÷êå x0 = 1 ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà: y (1) = 1.
2) Ïðàâîñòîðîííèé ïðåäåë â òî÷êå x0 : y (1 + 0) = lim x2 = 1.
x!1+0
3) Ëåâîñòîðîííèé ïðåäåë â òî÷êå x0 : y (1
4) Î÷åâèäíî, ÷òî y (1) = y (1 + 0) = y (1
0) = x!lim
1 0 x = 1.
Èññëåäîâàòü íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè y =
y=
x
tg x
â òî÷êå x0 = 0.
x
tg x â òî÷êå x = 0 íå îïðåäåëåíà. Äåéñòâèòåëüíî, â
0
x
0
tg x
òî÷êå x0 = 0 èìååì íåîïðåäåëåííîñòü . Âûâîä: ôóíêöèÿ y =
â òî÷êå
0
x
x0 = 0 ðàçðûâíà.
Ðåøåíèå.
y = x2
0) = 1.
Âûâîä: ôóíêöèÿ â òî÷êå x0 = 1 íåïðåðûâíà.
Ïðèìåð 3.
y
Ðèñ. 15.
Ïðèìåð 5.
Èññëåäîâàòü íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè
Óñòàíîâëåíà íèæåñëåäóþùàÿ êëàññèôèêàöèÿ òî÷åê ðàçðûâà.
Òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà, èëè
òî÷êîé êîíå÷íîãî ðàçðûâà ôóíêöèè f (x), åñëè â ýòîé òî÷êå, îäíîñòîðîííèå
ïðåäåëû f (x0 + 0) è f (x0 0) êîíå÷íû, íî íå ðàâíû ìåæäó ñîáîé.
×èñëî ! = f (x0 + 0) f (x0 0) íàçûâàåòñÿ ñêà÷êîì ôóíêöèè f (x) â
òî÷êå x0 .
Òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà âòîðîãî ðîäà, èëè
òî÷êîé áåñêîíå÷íîãî ðàçðûâà ôóíêöèè f (x), åñëè õîòÿ áû îäèí èç îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ ôóíêöèè f (x) â òî÷êå x0 îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü
èëè íå ñóùåñòâóåò.
Îïðåäåëåíèå 3.
Òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ òî÷êîé óñòðàíèìîãî ðàçðûâà ôóíêöèè f (x), åñëè â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ f (x) íå îïðåäåëåíà, à îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû f (x0 + 0) è f (x0
0) êîíå÷íû è ðàâíû ìåæäó ñîáîé, ò.å.
f (x0 + 0) = f (x0 0).
Ïðè ýòîì ãîâîðÿò, ÷òî ðàçðûâ â òî÷êå x0 ìîæíî óñòðàíèòü, åñëè äîîïðåäåëèòü ôóíêöèþ f (x) â òî÷êå x0 , ïîëîæèâ f (x0 ) = f (x0 + 0) = f (x0 0).
1=x â òî÷êå x0 = 0.
Ïðèìåð 4. Èññëåäîâàòü íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè y = e
Îïðåäåëåíèå 4.
y=
x ; x 2 ( 1; 1)
x2 ; x 2 [1; +1)
(1)
â òî÷êå x0 = 1.
Ðåøåíèå.
1)  òî÷êå x0 = 1 ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà: y (1) = 1.
2) Ïðàâîñòîðîííèé ïðåäåë â òî÷êå x0 : y (1 + 0) = lim x2 = 1.
x!1+0
3) Ëåâîñòîðîííèé ïðåäåë â òî÷êå x0 : y (1
0) = x!lim
1 0( x) = 1.
Âûâîä: â òî÷êå x0 = 1 ôóíêöèÿ (1) ïðåòåðïåâàåò êîíå÷íûé ðàçðûâ (ðàçðûâ 1-ãî ðîäà), ôóíêöèÿ â òî÷êå x0 = 1 íåïðåðûâíà ñïðàâà (ðèñ. 15).
Ñêà÷îê ôóíêöèè â òî÷êå x0 = 1: ! = y (1 + 0) y (1 0) = 1 ( 1) = 2.
Ðåøåíèå.
43
x
1
1
Ôóíêöèÿ y =
Îïðåäåëåíèå 2.
1
44
Ãëàâà 2
Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå ôóíêöèè îäíîé
ïåðåìåííîé
Ÿ 1
Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè. Ìåõàíè÷åñêèé è ãåîìåòðè÷åñêèé
ñìûñë ïðîèçâîäíîé
1
Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = f (x), îïðåäåëåííóþ íà ìíîæåñòâå X . Âîçüìåì
íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå çíà÷åíèå x 2 X è ñòîëü ìàëîå ïðèðàùåíèå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé x, ÷òî òî÷êà (x + x) 2 X , ïðè÷åì ïðèðàùåíèå x ïîëîæèòåëüíîå èëè îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî. Âûðàæåíèå y = f (x +x) f (x)
ÿâëÿåòñÿ ïðèðàùåíèåì ôóíêöèè, ñîîòâåòñòâóþùèì óêàçàííîìó ïðèðàùåíèþ x. Ñîñòàâèì îòíîøåíèå
y f (x + x) f (x)
=
:
x
x
Ýòî îòíîøåíèå îïðåäåëåíî ïðè âñåõ x 6= 0, äîñòàòî÷íî ìàëûõ ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå. Ïîñêîëüêó x ôèêñèðîâàíî, îòíîøåíèå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé
òîëüêî x.
Ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x
íàçûâàåòñÿ
ïðåäåë îòíîøåíèÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè ê âûçâàâøåìó åãî ïðèðàùåíèþ
àðãóìåíòà ïðè óñëîâèè, ÷òî ïîñëåäíåå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.
Ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì
f 0 (x) èëè y 0 (x). Èòàê
Îïðåäåëåíèå 1.
y
f (x + x) f (x)
= lim =
:
x x!0
x
Î÷åâèäíî, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ f 0 (x) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþ ôóíêöèþ, îïðåäåëåííóþ íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå X1 X .
f 0 (x) = lim
x!0
2
Èòàê, ïðîèçâîäíàÿ îò ôóíêöèè, îïèñûâàþùåé çàêîí äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, ïåðåìåùàþùåéñÿ ïðÿìîëèíåéíî, îïðåäåëÿåò ìãíîâåííóþ
ñêîðîñòü ýòîé òî÷êè.
Çàìåòèì, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ìîæåò èìåòü ñìûñë ñêîðîñòè è â òîì ñëó÷àå,
êîãäà ôóíêöèÿ íå îïðåäåëÿåò çàêîíà ìåõàíè÷åñêîãî äâèæåíèÿ. Íàïðèìåð,
åñëè ôóíêöèÿ q = q (t) îïðåäåëÿåò êîëè÷åñòâî âåùåñòâà, óæå âñòóïèâøåãî
â õèìè÷åñêóþ ðåàêöèþ ê ìîìåíòó t, òî òîãäà ïðîèçâîäíàÿ q 0 (t) îïðåäåëÿåò
ñêîðîñòü õèìè÷åñêîé ðåàêöèè â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè t.
Ìåõàíè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé
Äîïóñòèì, ÷òî íåêîòîðàÿ ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà M ïåðåìåùàåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî, à ïóòü, ïðîéäåííûé ýòîé òî÷êîé çà âðåìÿ t, èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó
s = s(t). Î÷åâèäíî, ÷òî îòíîøåíèå s îïðåäåëÿåò ñðåäíþþ ñêîðîñòü òî÷êè
t
çà âðåìÿ t, à ïðîèçâîäíàÿ
s(t + t) s(t)
s0 (t) = lim
=
t!0
t
åñòü íè ÷òî èíîå, êàê ìãíîâåííàÿ ñêîðîñòü òî÷êè â ìîìåíò t.
45
3
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé
y
y = f (x )
N
M
x
O
Ðèñ. 1.
Äëÿ âûÿñíåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîãî ñìûñëà ïðîèçâîäíîé îáðàòèìñÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) (ðèñ.1). Âîçüìåì íà íåì òî÷êó M (x; y ), ãäå y = f (x),
è áëèçêóþ ê íåé, òîæå ëåæàùóþ íà ãðàôèêå òî÷êó N (x + x; y + y ).
y
Î÷åâèäíî, ÷òî tg =
, ãäå óãîë, îáðàçîâàííûé ñåêóùåé MN ñ ïîx
ëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè Ox. Ïðè ñòðåìëåíèè x ê íóëþ òî÷êà N ,
îñòàâàÿñü íà ãðàôèêå, áóäåò íåîãðàíè÷åííî ïðèáëèæàòüñÿ ê òî÷êå M , à ñåêóùàÿ MN áóäåò ðàçâîðà÷èâàòüñÿ è çàéìåò ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå ñòàíåò
êàñàòåëüíîé MK , êîòîðàÿ îáðàçóåò óãîë ñ îñüþ Ox. Òàêèì îáðàçîì, ÿñíî,
÷òî ïðîèçâîäíàÿ f 0 (x) ðàâíà òàíãåíñó óãëà , îáðàçîâàííîãî êàñàòåëüíîé ê
ãðàôèêó ôóíêöèè f (x) â òî÷êå M (x; f (x)) ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì
îñè Ox.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâîâàíèå ïðîèçâîäíîé ñâÿçàíî ñ ñóùåñòâîâàíèåì
êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x), ïðè÷åì óãëîâîé êîýôôèöèåíò
êàñàòåëüíîé tg = f 0 (x) äîëæåí áûòü êîíå÷åí (êàñàòåëüíàÿ íå äîëæíà áûòü
ïàðàëëåëüíà îñè Oy : â ýòîì ñëó÷àå = =2 èëè = 3=2, à òàíãåíñ òàêîãî
óãëà ðàâåí áåñêîíå÷íîñòè è ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ x ôóíêöèÿ f (x) íå èìååò
ïðîèçâîäíîé).
46
4
Îäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûå
Ââåäåì òåïåðü ïîíÿòèå ïðàâîñòîðîííåé è ëåâîñòîðîííåé ïðîèçâîäíîé.
Äîïóñòèì, ÷òî ïðèðàùåíèå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé x ñòðåìèòñÿ ê íóëþ
íå ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì, à ñî ñòîðîíû îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé èëè ñî
ñòîðîíû ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé, ò. å. x ! 0 èëè x ! +0.
Îïðåäåëåíèå 2.
1)
2)
Ïóñòü X îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y = f (x).
Ëåâîñòîðîííåé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x 2 X , íàçûâàåòñÿ
f 0 (x) = xlim
! 0
y
:
x
Ïðàâîñòîðîííåé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x 2 X , íàçûâàåòñÿ
y
f+0 (x) = xlim
!+0 x :
Èíîãäà ëåâîñòîðîííÿÿ ïðîèçâîäíàÿ îáîçíà÷àåòñÿ f 0 (x 0), à ïðàâîñòîðîííÿÿ f 0 (x + 0). Çàìåòèì, ÷òî ïðè îïðåäåëåíèè ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè
y = f (x) â òî÷êå x ñïîñîá ñòðåìëåíèÿ ïðèðàùåíèÿ x ê íóëþ ïðåäïîëàãàåòñÿ ïðîèçâîëüíûì. Ïîýòîìó ÿñíî, ÷òî åñëè ó ôóíêöèè y = f (x) ñóùåñòâóåò
ïðîèçâîäíàÿ, òî f 0 (x) = f+0 (x) = f 0 (x).
y
5
Äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèè
Îïðåäåëåíèå 3. Ôóíêöèÿ y = f (x), îïðåäåëåííàÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè
òî÷êè x, íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â ýòîé òî÷êå, åñëè ñóùåñòâóåò
êîíå÷íàÿ ïðîèçâîäíàÿ f 0 (x).
Òåîðåìà 1 (íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè â òî÷êå). Äëÿ òîãî, ÷òî áû ôóíêöèÿ y = f (x) áûëà äèôôåðåíöèðóåìà
â òî÷êå x, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïîëíîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x, ñîîòâåòñòâóþùåå ïðèðàùåíèþ x, ìîæíî áûëî
ïðåäñòàâèòü â âèäå
y = A (x) x + o (x) ïðè x ! 0 ;
(1)
ãäå A (x) íå çàâèñèò îò x, à o (x) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ áîëåå âûñîêîãî
ïîðÿäêà ìàëîñòè, ÷åì x.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x, òîãäà
jj
y= x
0
x
Ðèñ. 2.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = jxj (ðèñ. 2) è âû÷èñëèì åå îäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûå â òî÷êå x0 = 0.
Ïî îïðåäåëåíèþ
Ïðèìåð 1.
jxj =
Îäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè â òî÷êå x0 = 0 ñóùåñòâóþò, íî íå
ñîâïàäàþò, çíà÷èò, â íóëå ó äàííîé ôóíêöèè ïðîèçâîäíàÿ íå ñóùåñòâóåò.
Çàìåòèì, êðîìå òîãî, ÷òî äàííàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà â íà÷àëå êîîðäèíàò.
Îòñþäà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî èç íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f (x) â
íåêîòîðîé òî÷êå x0 åùå íå ñëåäóåò, ÷òî â ýòîé òî÷êå ó ôóíêöèè f (x) ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ (ðèñ. 2).
x; x > 0
x; x < 0:
Ñëåäîâàòåëüíî,
f 0 (x) = lim
x!0
y
x
)
y
x
f 0 (x) = o (1) ; ïðè x ! 0 ;
ãäå o(1) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ, ò.å. o(1) ! 0 ïðè x ! 0. Îòñþäà
ñëåäóåò (1) åñëè îáîçíà÷èòü A (x) = f 0 (x) è ó÷åñòü, ÷òî x o(1) = o (x).
Äîñòàòî÷íîñòü. Äîïóñòèì, ÷òî ïîëíîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå (1). Ïðåäïîëîæèâ, ÷òî x 6= 0, ïîëó÷èì îòñþäà
y
= A (x) + o(1) ïðè x ! 0 :
x
Ïåðåéäÿ ê ïðåäåëó, ïîëó÷èì
y
= A (x) ;
lim
x!0 x
à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ y = f (x) â òî÷êå x èìååò êîíå÷íóþ ïðîèçâîäíóþ A(x), ò.å. f 0 (x) = A(x).
y
(0 + x) 0
f+0 (0) = xlim
= 1;
!+0 x = xlim
!+0
x
(0 + x) 0
y
= 1:
f 0 (0) = xlim
! 0
! 0 x = xlim
x
Çàìå÷àíèå. Îòìåòèì, ÷òî èíîãäà ôóíêöèþ, äèôôåðåíöèðóåìóþ â òî÷êå,
îïðåäåëÿþò êàê ôóíêöèþ, ïîëíîå ïðèðàùåíèå êîòîðîé â òî÷êå x ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå (1).  ñèëó äîêàçàííîé òåîðåìû î÷åâèäíî, ÷òî îáà ýòè
îïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòíû.
Îïåðàöèþ íàõîæäåíèÿ ïðîèçâîäíîé îò ôóíêöèè â äàëüíåéøåì áóäåì
íàçûâàòü äèôôåðåíöèðîâàíèåì ýòîé ôóíêöèè.
47
48
6
Íåïðåðûâíîñòü äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè
Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x, òî â
ýòîé òî÷êå îíà è íåïðåðûâíà.
Ñëåäîâàòåëüíî,
Òåîðåìà 2.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x,
òîãäà ïîëíîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè y = f (x) â ýòîé òî÷êå
y = A(x) x + o (x) ïðè x ! 0
)
y = 0 ;
lim
x!0
Ìû îòìåòèëè âûøå, ÷òî îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî, ò.å. èç íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè â äàííîé òî÷êå x íå ñëåäóåò åå äèôôåðåíöèðóåìîñòü â
ýòîé òî÷êå. (Ýòî áûëî ïîêàçàíî ïðè ðàññìîòðåíèè âîïðîñà î äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè y = jxj â íà÷àëå êîîðäèíàò).
Åñëè ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà â êàæäîé òî÷êå èíòåðâàëà (a; b), òî åå
íàçûâàþò äèôôåðåíöèðóåìîé íà ýòîì èíòåðâàëå. Î äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè íà êîíöàõ èíòåðâàëà, ò.å. â òî÷êàõ x = a è x = b ãîâîðèòü
íåëüçÿ, òàê êàê â ýòèõ òî÷êàõ ìîãóò ñóùåñòâîâàòü òîëüêî ïðàâîñòîðîííÿÿ
è ëåâîñòîðîííÿÿ ïðîèçâîäíûå ñîîòâåòñòâåííî.
1
Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Òàáëèöà ïðîèçâîäíûõ
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ïîñòîÿííîé ôóíêöèè
2
R
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = c, ãäå c = const äëÿ 8x 2 . Ïî îïðåäåëåíèþ
Èòàê, c0 = 0.
y
c c = 0:
c0 = lim
= lim
x!0 x x!0 x
Ïðèìåð 2.
Ðåøåíèå.
3
Íàéòè
1.
0
1
.
x
0
1
x
p
Íàéòè ( x)0 .
= x 1 0 = 1x 2 =
1 :
x2
px0 = x1=2 0 = 1 x 1=2 = p1 :
2
2 x
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïîêàçàòåëüíóþ ôóíêöèþ y = ax (a > 0, a 6= 1).
ax+x ax = lim ax ax 1 :
(ax )0 = lim
x!0
x!0
x
x
Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ax 1 x ln a ïðè x ! 0. Çíà÷èò
ax 1 x ln a :
Òîãäà
ax x ln a = ax ln a :
(ax )0 = lim
x!0
x
 ÷àñòíîñòè (ex )0 = ex .
4
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè
Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñòåïåííîé ôóíêöèè
Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ ñòåïåííîé ôóíêöèè y = x , ãäå
ñòâåííîå ÷èñëî. Ïî îïðåäåëåíèþ ïðîèçâîäíîé
y = lim (x + x)
(x )0 = lim
x!0 x x!0
x
Íàïîìíèì, ÷òî (1 + x)
Ïðèìåð 1.
Ðåøåíèå.
à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ y = f (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x.
Ÿ 2
Èòàê, (x )0 = x
x x
0
x = x 1:
(x ) = lim
x!0
x
x = lim
x!0
x
1 x, åñëè x ! 0. Çíà÷èò,
1+
x
x
1
49
xx :
ëþáîå âåùå-
x
x
x
1+
1
:
y = log a x
a > 0 ; a 6= 1 :
Åñëè x > 0 è jxj < x, òî ïðè x 6= 0 èìååì
loga 1 + x
x
log
(
x
+
x
)
log
x
a
a = lim
(loga x)0 = lim
x
x!0
x!0
x
x
x
x=x
x
1
1
1
log 1 +
:
= lim
= loga e =
x x!0 a
x
x
x ln a
1
1
Èòàê, (loga x)0 =
.  ÷àñòíîñòè (ln x)0 = .
x ln a
x
50
=
5
Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
Åñëè ôóíêöèè f (x) è g(x) äèôôåðåíöèðóåìû â äàííîé òî÷êå
òî òîãäà èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.
1)
(f (x) g (x))0 = f 0 (x) g 0 (x) ;
2)
0
0
0
Ïðèìåð 5.
Òåîðåìà 1.
x,
(f (x)g (x)) = f (x)g (x) + f (x)g (x) ;
3)
f (x)
g (x)
0
6
Ïðèìåð 3.
Ðåøåíèå.
Íàéòè
0
p3 2
x + ln x .
p
0
0
p3 2
1 2 3 x2 + 3
2
1
=
3
2
=
3
0
x + ln x = x
+ =
:
+ (ln x) = x
3
x
3x
Ïðèìåð 4.
0
Íàéòè x2 ex .
Ðåøåíèå.
x2 ex 0 = x2 0 ex + x2 (ex )0 = 2xex + x2 ex = x (x + 2) ex :
51
2 sin
x
2
cos x + 2x
=
Àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî (cos x)0 =
3)
Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = tg x. Åñëè x 6= =2 + n, n 2 , òî
(tg x)0 = sin x
cos x
4)
0
sin x.
0
0
= (sin x) cos x 2 sin x(cos x) = 12 :
cos x
cos x
Z
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
(ctg x)0 =
7
2)
1
:
x2
sin(x + x) sin x
= lim
x!0
x
x
x
x cos x +
2
x
= lim
=
lim
cos
x
+
= cos x :
x!0
x!0
x
2
0
Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = sin x.
(sin x)0 = lim
x!0
Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ ñàìîñòîÿòåëüíî äîêàçàòü ïóíêòû
1) è 2) òåîðåìû. Äîêàæåì ïóíêò 3). Èòàê, ðàññìîòðèì ÷àñòíîå f (x)=g (x). Ïî
óñëîâèþ òåîðåìû ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî g (x) 6= 0, ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè
g (x) > 0. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ g (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x, ñëåäîâàòåëüíî, îíà è íåïðåðûâíà â ýòîé òî÷êå, à çíà÷èò â ñèëó òåîðåìû î ñîõðàíåíèè
çíàêà íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, ìîæíî óêàçàòü òàêóþ îêðåñòíîñòü òî÷êè x, â
êîòîðîé g (x + x) > 0. Òîãäà ïîëó÷èì
f (x)
f (x + x) f (x)
g (x)
f (x) = lim
g (x + x) g (x) =
= lim
x!0
x!0 x
g (x)
x
f (x + x)g (x) f (x)g (x + x) = lim f (x)g (x) f (x)g (x) =
= lim
x!0 g(x)g(x + x)x
x!0
g (x)g (x + x)x
f (x)
g (x)
0
0
g (x) f (x)
x
x = f (x)g (x) f (x)g (x) :
= lim
2
x!0
g (x)g (x + x)
g (x)
0
x2 + 1 0 = x2 + 1 x x2 + 1 x0 = 2x x x2 + 1 = 1
x
x2
x2
Äèôôåðåíöèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé
1)
f 0 (x)g (x) f (x)g 0 (x)
(g (x) 6= 0) :
=
g 2 (x)
x2 + 1 0 .
x
Ðåøåíèå.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Íàéòè
1 ;
sin2 x
(x 6= n ; n 2 Z) :
Ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = f (u), îïðåäåëåííóþ íà ìíîæåñòâå U , è ïóñòü,
â ñâîþ î÷åðåäü, u = g (x) îïðåäåëåíà íà ìíîæåñòâå X . Òîãäà ìîæíî ãîâîðèòü î ñëîæíîé ôóíêöèè ïåðåìåííîé x: y = f (g (x)), îïðåäåëåííîé íà
ìíîæåñòâå X X , êîòîðîå ñîñòîèò òîëüêî èç òåõ ýëåìåíòîâ x 2 X , äëÿ
êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ u = g (x) 2 U . Ïðè ýòîì u íàçûâàåòñÿ
ïðîìåæóòî÷íûì àðãóìåíòîì ñëîæíîé ôóíêöèè, à ñàìà ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ
y = f (g (x)) íàçûâàåòñÿ òàêæå ñóïåðïîçèöèåé ôóíêöèé f è g .
Òåîðåìà 2. Åñëè ôóíêöèÿ u = g (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x, à ôóíêöèÿ y = f (u) äèôôåðåíöèðóåìà â ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êå u = g(x), òîãäà ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ y = f (g(x)) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x, ïðè÷åì
(f (g (x)))0 = f 0 (u) u=g(x) g 0 (x)
(ïðàâèëî öåïî÷êè) :
52
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ôóíêöèÿ u = g (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x, çíà÷èò
u = g 0 (x)x + o(x)
Ïðèìåð 9.
x ! 0 :
ïðè
Ðåøåíèå.
 ñâîþ î÷åðåäü, ôóíêöèÿ y = f (u) äèôôåðåíöèðóåìà ïî u, òîãäà
y = f 0 (u)u + o(u)
y0 =
u ! 0 ;
ïðè
çíà÷èò
Ïðèìåð 10.
y = f 0 (u) g 0 (x)x + o(x) + o(u)
ïðè
u ! 0 :
y = lim f 0 (u) g 0 (x) + o(1) + o(1) u = f 0 (u) g 0 (x) :
(f (g (x)))0 = lim
x!0 x x!0
x
Çàìåòèì, ÷òî ïðàâèëî öåïî÷êè ìîæíî îáîáùèòü íà áîëüøåå ÷èñëî ïðîìåæóòî÷íûõ àðãóìåíòîâ, åñëè âñå ôóíêöèè äèôôåðåíöèðóåìû â ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàõ. Íàïðèìåð, åñëè y = f (u), u = g (v ), v = h(x) äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè, òî
Ïðèìåð 6.
Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y =
Ðåøåíèå.
y0 =
Ïðèìåð 7.
Ðåøåíèå.
Ïðèìåð 8.
Ðåøåíèå.
r
1+
1
1 + sin x
!0
1+
Ðåøåíèå.
r
1
2 1+
1
1 + sin x
1
(1 + sin x)2
q
p 0
x+ x =
p
p
x + x.
cos2 x
1
1
1 + ln ln 1 +
C
C
2 C
A
1
x
1 1 :
x2
1 1+ 1
ln 1 +
x
x
1
cos2 x
.
ln 5 cos2 21cos2 x 2cos2 x ln 2 2 cos x ( sin x) :
0
1
ctg@ 1 A
x + =3 .
Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = log5 3
0
1
ctg@ x +1=3 A
1
1
:
1
(x + =3)2
x + =3
p3 x 2 .
Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = e cos 2x +
4
0 1 1
3
ctg@ 1 A
3 x + =3 ln 5
Ïðèìåð 14.
1
p
p 1 + 2p1 x :
2 x+ x
53
Ïðèìåð 13.
y0 =
1
1 :
y 0 = (log2 log3 x)0 =
(log3 x) ln 2 x ln 3
Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y =
cos x :
1
1
p p p p :
2 1+ 1+ x 2 1+ x 2 x
p
Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = 5tg 2
Ðåøåíèå.
0
B
B
B
@
Ðåøåíèå.
Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = log2 log3 x.
y0 =
1
y 0 = 5tg 2
=
1
q
Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = 3sin(3x+=4) .
1
1 + ln ln 1 +
0
x
y =e
Ïðèìåð 12.
1
.
1 + sin x
!
p 0=
q
1+ 1+ x
p
p
1 + 1 + x.
0
y 0 = 3sin(3x+=4) = 3sin(3x+=4) ln 3 cos 3x + 3 :
4
1
1
1 + ln ln 1 +
x .
Ïðèìåð 11. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = e
(f (g (h(x))))0 = f 0 (u) u=g(v) g 0 (v ) v=h(x) h0 (x) :
r
r
q
Ðåøåíèå.
Ïóñòü x ! 0, òîãäà â ñèëó íåïðåðûâíîñòè äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè
u = g (x) îêàæåòñÿ, ÷òî òàêæå è u ! 0, ñëåäîâàòåëüíî
Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y =
Ðåøåíèå.
ln 3 sin2
2=3
p3
e p3 x sin 2x2 + 4x :
y0 = e x x
cos 2x2 +
3
4
4
54
8
Ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ îáðàòíîé ôóíêöèè
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = y (x), îïðåäåëåííóþ íà ìíîæåñòâå X , è ïóñòü
Y ìíîæåñòâî åå çíà÷åíèé. Äîïóñòèì, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ ñòðîãî âîçðàñòàåò èëè ñòðîãî óáûâàåò íà ìíîæåñòâå X , òîãäà êàæäîìó çíà÷åíèþ x 2 X
îòâå÷àåò åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå y 2 Y è íàîáîðîò, ò.å. íà ìíîæåñòâå Y
îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ x = x(y ) òàêàÿ, ÷òî ìíîæåñòâî X ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì åå çíà÷åíèé. Ýòó ôóíêöèþ íàçûâàþò îáðàòíîé ïî îòíîøåíèþ ê
ôóíêöèè y = y(x). Åñëè ôóíêöèÿ y = y(x) çàäàíà àíàëèòè÷åñêè, òî îáðàòíóþ ôóíêöèþ ìîæíî ïîëó÷èòü, ðàçðåøèâ ýòî ñîîòíîøåíèå îòíîñèòåëüíî
x.
Èòàê, îòìåòèì, áåç äîêàçàòåëüñòâà, ÷òî
y
åñëè íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ y = y (x) îïðåy = tg x
äåëåíà è ñòðîãî âîçðàñòàåò íà ìíîæåñòâå
X , òî ó íåå ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ
x
= x(y ), êîòîðàÿ îïðåäåëåíà è ñòðîãî âîç
2
ðàñòàåò íà ìíîæåñòâå Y , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé ïðÿìîé ôóíêöèè
y = y (x). Åñëè îáîçíà÷èòü àðãóìåíò îá0
x
2
2
ðàòíîé
ôóíêöèè ÷åðåç x, à ñàìó ôóíêöèþ
y = arctg x
2
÷åðåç y , òî èç êóðñà ìàòåìàòèêè ñðåäíåé
øêîëû èçâåñòíî, ÷òî ãðàôèêè ïðÿìîé è
îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïîëàãàþòñÿ ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî áèññåêòðèñû ïåðâîãî è
òðåòüåãî êîîðäèíàòíûõ óãëîâ.
Ðèñ. 3.
Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ y = tg x íà èíòåðâàëå x 2 ( =2; =2) ñòðîãîãî âîçðàñòàåò.
Ïðè ýòîì y 2 ( 1; +1). Î÷åâèäíî, ÷òî îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ y = arctg x ñòðîãî âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé îñè, è ïðè
ýòîì arctg x 2 ( =2; =2). (ñì. ðèñ. 3).
Åñëè ôóíêöèÿ y = y(x) èìååò â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x îáðàòíóþ ôóíêöèþ x = x(y) è ôóíêöèÿ y = y(x) äèôôåðåíöèðóåìà
â òî÷êå x, òîãäà îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ x = x(y) òàêæå äèôôåðåíöèðóåìà â
ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êå y = y(x) è èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå
9
Äèôôåðåíöèðîâàíèå îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé
Äîêàçàííàÿ òåîðåìà î äèôôåðåíöèðîâàíèè îáðàòíîé ôóíêöèè ïîçâîëÿåò
ëåãêî ïîëó÷èòü ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíûõ îò îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = arcsin x. Îíà îïðåäåëåíà è ñòðîãî âîçðàñòàåò
íà èíòåðâàëå ( 1; 1). Îíà ñëóæèò îáðàòíîé äëÿ ôóíêöèè x = sin y , îïðåäåëåííîé íà èíòåðâàëå ( =2; =2). Ñëåäîâàòåëüíî
(arcsin x)0 =
Äîêàçàòåëüñòâî.
åìà â òî÷êå x, çíà÷èò â ýòîé òî÷êå îíà è íåïðåðûâíà, ò.å. åñëè ôóíêöèÿ,
íàïðèìåð, âîçðàñòàåò (óáûâàåò) è x 6= 0, òî è y 6= 0, ïðè÷åì y ! 0 òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà x ! 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
1
1
=p
;
2
1
x2
1 sin y
p
8x 2 ( 1; 1) :
Àíàëîãè÷íî
(arccos x)0 =
p 1 2;
1 x
8x 2 ( 1; 1) :
Ôóíêöèÿ y = arctg x îïðåäåëåíà íà èíòåðâàëå ( 1; +1) è ñëóæèò îáðàòíîé äëÿ ôóíêöèè y = tg x, îïðåäåëåííîé íà èíòåðâàëå ( =2; =2), çíà÷èò
(arctg x)0 =
1
1
1
= cos2 y =
=
;
(tg y )0
1 + tg2 y 1 + x2
8x 2 ( 1; +1) :
Àíàëîãè÷íî
(arcctg x)0 =
Ïðèìåð 15.
Òåîðåìà 3.
y 0 (x) = 01 :
x (y )
Ôóíêöèÿ y = y (x) ïî óñëîâèþ òåîðåìû äèôôåðåíöèðó-
1
1
=
=
(sin y )0 cos y
Ðåøåíèå.
Ïðèìåð 16.
Ðåøåíèå.
1 ;
1 + x2
8x 2 ( 1; +1) :
p
Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = earctg x .
p
1
:
y 0 = earctg x 1 p
1+x 2 x
arcsin x
Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y =
.
arctg x
p 1 2 arctg x arcsin x 1 +1 x2
:
y0 = 1 x
(arctg x)2
y
1
1
y 0 (x) = lim
=
= 0 :
x
x!0 x
x
(y )
lim
y!0 y
Òåïåðü îñòàåòñÿ ïîëó÷åííûå ôîðìóëû è ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
çàïèñàòü â òàáëèöó, êîòîðóþ íåîáõîäèìî âûó÷èòü íàèçóñòü.
55
56
Òàáëèöà ïðîèçâîäíûõ
c0 = 0 ;
(x )0 = x 1 ;
(ax )0 = ax ln a ;
(ex )0 = ex ;
(ln x)0 = 1 ;
x
0
(log a x) = 1 ;
x ln a
0
(sin x) = cos x ;
Ïðèìåð 17.
(cos x)0 = sin x ;
(tg x)0 = 12 ;
cos x
1
0
(ctg x) =
;
sin2 x
(arcsin x)0 = p 1 2 ;
1 x
0
(arccos x) = p 1 2 ;
1 x
1
0
(arctg x) =
;
1 + x2
1 :
(arcctg x)0 =
1 + x2
Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = xx ïðè x > 0.
Ðåøåíèå.
ln y = x ln x
0
) yy = ln x + 1 ) (xx)0 = xx(ln x + 1) :
s
Ïðèìåð 18.
Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y =
(x + 1)(x + 2)
.
x(x + 4)
Ðåøåíèå.
1
ln y = (ln(x + 1) + ln(x + 2) ln x ln(x + 4))
2
y0 = 1
1
1
1
1
+
)
y 2 x+1 x+2 x x+4
y0 = 1
2
s
1
1
(x + 1)(x + 2)
+
x(x + 4)
x+1 x+2
1
x
)
1
:
x+4
Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
(cf (x))0 = cf 0 (x) ;
(f (x)g (x))0 = f 0 (x)g (x) + f (x)g 0 (x) ;
(f (g (x)))0 = f 0 (g (x))g 0(x) ;
10
(f (x) g (x))0 = f 0 (x) g 0 (x) ;
f (x) 0 = f 0 (x)g (x) f (x)g 0 (x) ;
g (x)
g 2 (x)
y 0 (x) = 01 :
x (y )
Ëîãàðèôìè÷åñêîå äèôôåðåíöèðîâàíèå
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðîèçâîäíûõ íåêîòîðûõ ôóíêöèé, â òîì ÷èñëå òàê íàçûâàåìûõ ñëîæíî-ïîêàçàòåëüíûõ, ò.å. ôóíêöèé âèäà u(x)v(x) , ïîëåçíî ïðèìåíÿòü ïðèåì, êîòîðûé çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ôóíêöèþ, êîòîðóþ íóæíî ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü, ïðåäâàðèòåëüíî ëîãàðèôìèðóþò (ïðåäïîëàãàåòñÿ ïðè ýòîì, ÷òî ëîãàðèôì îò ýòîé ôóíêöèè ñóùåñòâóåò).
Èòàê, ïóñòü y (x) = u(x)v(x) , òîãäà ln y (x) = v (x) ln u(x). Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà ïî x
y 0 (x) = v 0 (x) ln u(x) + v (x) u0 (x)
y (x)
u(x)
)
11
Ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ
Ïðîèçâîäíàÿ f 0 (x) ôóíêöèè y = f (x), îïðåäåëåííîé è äèôôåðåíöèðóåìîé íà èíòåðâàëå (a; b), ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôóíêöèþ, òàêæå îïðåäåëåííóþ
íà èíòåðâàëå (a; b). Åñëè ýòà ôóíêöèÿ f 0 (x) ñàìà ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â íåêîòîðîé òî÷êå x 2 (a; b), òî åå ïðîèçâîäíóþ íàçûâàþò âòîðîé
ïðîèçâîäíîé
(èëè ïðîèçâîäíîé âòîðîãî ïîðÿäêà) ôóíêöèè y = f (x) è îáîçíà÷àþò f 00 (x), èëè f (2) (x). Ïîñëå òîãî, êàê ââåäåíî ïîíÿòèå âòîðîé ïðîèçâîäíîé, ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî ââåñòè ïîíÿòèå òðåòüåé ïðîèçâîäíîé, çàòåì
÷åòâåðòîé è ò.ä.
Òàêèì îáðàçîì, ïîíÿòèå n-îé ïðîèçâîäíîé ââîäèòñÿ èíäóêòèâíî, ïðè
ïåðåõîäå îò ïåðâîé
ê ïîñëåäóþùèì èç ðåêóððåíòíîãî ñîîòíî ïðîèçâîäíîé
0
(
n
)
(
n
1)
øåíèÿ f (x) = f
(x) .
Ôóíêöèþ, èìåþùóþ íà äàííîì ìíîæåñòâå êîíå÷íóþ ïðîèçâîäíóþ n-ãî
ïîðÿäêà, íàçûâàþò n ðàç äèôôåðåíöèðóåìîé íà ýòîì ìíîæåñòâå.
000
x
Ïðèìåð 19. Íàéòè y (x), åñëè y = xe .
Ðåøåíèå.
0 y 0 (x) = u(x)v(x) v 0 (x) ln u(x) + v (x) u (x) :
u(x)
y 0 = ex + xex = (x + 1)ex ;
y 00 = ex + (x + 1)ex = (x + 2)ex ;
y 000 = ex + (x + 2)ex = (x + 3)ex :
57
58
Ÿ 3
1
y
Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè
y = f (x )
Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè, åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë
N
Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x, ò.å. ïðèðàùåíèå
ýòîé ôóíêöèè â òî÷êå x ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå
y
y = f 0 (x)x + o(x) ïðè x ! 0 :
Î÷åâèäíî, ÷òî ïðèðàùåíèå ôóíêöèè y = f (x) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó
äâóõ ñëàãàåìûõ: ñëàãàåìîå f 0 (x)x ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îòíîñèòåëüíî x
÷àñòüþ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè. Ýòî ñëàãàåìîå ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé
òîãî æå ïîðÿäêà ìàëîñòè, ÷òî è x. Âòîðîå ñëàãàåìîå o(x) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áåñêîíå÷íî ìàëóþ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ÷åì x, ò.å.
o(x)=x = 0 . Ñëàãàåìîå f 0 (x)x, íàçûâàåòñÿ òàêæå ãëàâíîé ÷àñòüþ
lim
x!0
ïðèðàùåíèÿ äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè.
Ëèíåéíàÿ îòíîñèòåëüíî x ÷àñòü ïðèðàùåíèÿ äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè y = f (x) íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëîì ýòîé ôóíêöèè è
îáîçíà÷àåòñÿ dy , ò.å.
Îïðåäåëåíèå 1.
dy = f 0 (x)x :
Çàìåòèì, ÷òî äèôôåðåíöèàë äàííîé ôóíêöèè dy çàâèñèò îò òîãî, êàêàÿ
òî÷êà çàêðåïëåíà, ò.å. îí çàâèñèò îò x è, êðîìå òîãî, îí ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé
ïðèðàùåíèÿ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé x.
Åñëè ìû áóäåì èñêàòü äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè y = x, òî ÿñíî, ÷òî dx =
x0 x = x, ò.å. äèôôåðåíöèàë íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé ñîâïàäàåò ñ åå
ïðèðàùåíèåì dx = x. Ñëåäîâàòåëüíî, äèôôåðåíöèàë ìîæíî çàïèñàòü òàê
dy = f 0 (x) dx :
Îòñþäà ñëåäóåò îáîçíà÷åíèå
Ëåéáíèöà äëÿ ïðîèçâîäíîé
f 0 (x) = dy :
dx
Ïîñêîëüêó äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè ïðîïîðöèîíàëåí åå ïðîèçâîäíîé, òî
äëÿ äèôôåðåíöèàëà ñïðàâåäëèâû òå æå ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ, ÷òî è äëÿ
ïðîèçâîäíîé. Íàïðèìåð, åñëè ôóíêöèè f (x) è g (x) äèôôåðåíöèðóåìû â
òî÷êå x, òî
dy
M
x
x + x
x
Ðèñ. 4.
2
Èíâàðèàíòíîñòü ôîðìû ïåðâîãî äèôôåðåíöèàëà
Èòàê, åñëè x íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, à y = f (x) äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, òî dy = f 0 (x) dx. Ïîêàæåì, ÷òî åñëè x ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé
äðóãîé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé, òî äèôôåðåíöèàë ñîõðàíÿåò ñâîþ ôîðìó.
Ïóñòü x = g (t) äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ ïåðåìåííîé t. Ñëåäîâàòåëüíî,
y = f (g (t)) ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ ïåðåìåííîé t, à òîãäà
dy = (f (g (t)))0 dt = f 0 (g (t))g 0(t) dt = f 0 (x) dx :
Òàêîå ñâîéñòâî ïåðâîãî äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè y = f (x) íàçûâàåòñÿ ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñòè ôîðìû ïåðâîãî äèôôåðåíöèàëà.
3
Ïðèëîæåíèå òåîðèè äèôôåðåíöèàëà ê ïðèáëèæåííûì âû÷èñëåíèÿì. Ëèíåàðèçàöèÿ ôóíêöèé
Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x è x ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà â ýòîé òî÷êå, à y = f (x + x) f (x) ñîîòâåòñòâóþùåå
ïðèðàùåíèå ôóíêöèè. Òîãäà
f (x + x) f (x) = f 0 (x)x + o(x)
ïðè
x ! 0 :
Îòñþäà ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî
f (x + x) f (x) + f 0 (x)x èëè y dy :
d f (x) = df (x) g (x) 2 f (x) dg (x) :
g (x)
g (x)
Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè dy â òî÷êå x, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ðàâåí ïðèðàùåíèþ y â ýòîé òî÷êå. Ýòî îñîáåííî õîðîøî âèäíî ïðè ðàññìîòðåíèè ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x). Çàìåíà ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè åå äèôôåðåíöèàëîì
îçíà÷àåò çàìåíó ó÷àñòêà ãðàôèêà ôóíêöèè íà îòðåçêå [x; x + x] ó÷àñòêîì
êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè, ïðîâåäåííîé ÷åðåç òî÷êó M (x; y ) (ðèñ. 4).
Îáû÷íî äèôôåðåíöèàë âû÷èñëèòü ïðîùå, ÷åì ïðèðàùåíèå ôóíêöèè,
ïîýòîìó ïîëó÷åííîå ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî èãðàåò áîëüøóþ ðîëü â ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèÿõ. Îöåíêà àáñîëþòíîé è îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòåé ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèé ïî ýòîé ôîðìóëå òðåáóåò îñîáîãî ðàññìîòðåíèÿ. Íà ýòîì âîïðîñå ìû îñòàíîâèìñÿ ïðè èçó÷åíèè ôîðìóëû Òåéëîðà.
59
60
Ïðèìåð 1. Ïëîñêèé ìåòàëëè÷åñêèé äèñê èìååò ðàäèóñ R = 1ì.. Ïîñëå íàãðåâàíèÿ äèñêà åãî ðàäèóñ óâåëè÷èëñÿ íà 1ñì. Âû÷èñëèòü ïëîùàäü äèñêà
ïîñëå íàãðåâàíèÿ.
Ðåøåíèå.
íèÿ
Ïëîùàäü äèñêà äî íàãðåâàíèÿ S (R) = R2 = ì2 . Ïîñëå íàãðåâà-
S (R + R) = (R + R)2 = (1 + 0; 01)2 = 1; 0201 ì2 :
È âîîáùå, ïðåäïîëîæèâ, ÷òî ôóíêöèÿ y = f (x) n ðàç äèôôåðåíöèðóåìà, ïîñëåäîâàòåëüíî, ïî èíäóêöèè, ïðèäåì ê ïîíÿòèþ äèôôåðåíöèàëà n-ãî
ïîðÿäêà
dn y = f (n) (x) dxn :
Îòñþäà, êñòàòè, ñëåäóåò, ÷òî
n
f (n) (x) = d ny :
dx
Ïðèðàùåíèå ïëîùàäè
S = S (R + R) S (R) = 0; 0201 ì2 :
Åñëè çàìåíèòü ïðèðàùåíèå ïëîùàäè äèôôåðåíöèàëîì, òî ïîëó÷èì
S dS = S 0 (R)R = 2RR = 2 0; 01 ì2 = 0; 02 ì2 :
Èòàê, çàìåíèâ ïðèðàùåíèå ïëîùàäè åå äèôôåðåíöèàëîì, èìååì ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ïëîùàäè äèñêà ïîñëå íàãðåâàíèÿ: S (1 + 0; 01) 1; 02 ì2
òî÷íîå çíà÷åíèå S (1 + 0; 01) = 1; 0201 ì2 . Íåòðóäíî òåïåðü âû÷èñëèòü
àáñîëþòíóþ ïîãðåøíîñòü ýòèõ ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèé
jS dS j = j0; 0201 0; 02 j = 0; 0001 ì2 :
jS dS j = 0; 005 = 0; 5% :
dS
 çàêëþ÷åíèå çàìåòèì, ÷òî çàìåíÿÿ ïðèðàùåíèå y ôóíêöèè â òî÷êå x
äëÿ ìàëûõ ïðèðàùåíèé x åå äèôôåðåíöèàëîì dy , ìû òåì ñàìûì íà îòðåçêå [x; x + x] çàìåíÿåì ôóíêöèþ y = f (x) ëèíåéíîé ôóíêöèåé. Ïîýòîìó
òàêàÿ ïðèáëèæåííàÿ çàìåíà íàçûâàåòñÿ ëèíåàðèçàöèåé ôóíêöèè.
Äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ. Íåèíâàðèàíòíîñòü èõ ôîðìû
Ââåäåì òåïåðü ïîíÿòèå î äèôôåðåíöèàëàõ âûñøèõ ïîðÿäêîâ ôóíêöèè
y = f (x). Åñëè y = f (x) äèôôåðåíöèðóåìà, òî dy = f 0 (x)dx. Ïóñòü x íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, òîãäà dx îò x íå çàâèñèò è ïðè äàëüíåéøåì äèôôå-
ðåíöèðîâàíèè âûíîñèòñÿ çà çíàê ïðîèçâîäíîé êàê ïîñòîÿííàÿ. Ó÷èòûâàÿ
ýòî, ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü dy êàê ôóíêöèþ îò x. Åñëè ôóíêöèÿ f (x)
äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà, òî ìîæíî íàéòè äèôôåðåíöèàë îò dy , îí íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëîì âòîðîãî ïîðÿäêà ïåðâîíà÷àëüíîé ôóíêöèè f (x) è
îáîçíà÷àåòñÿ d2 y
0
d2 y = d (dy ) = f 0 (x) dx dx = f 00 (x) dx2 :
61
d2 y = (f (x(t))00 dt2 = f 00 (x(t)) x0 (t) 2 + f 0 (x(t))x00 (t) dt2 =
= f 00 (x)dx2 + f 0 (x)d2 x ;
÷òî íå ñîâïàäàåò ñ (1), ò.å. ôîðìà âòîðîãî äèôôåðåíöèàëà ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñòè íå îáëàäàåò. Òî÷íî òàê æå ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñâîéñòâîì
èíâàðèàíòíîñòè íå îáëàäàåò è ôîðìà äèôôåðåíöèàëà ëþáîãî ïîðÿäêà âûøå ïåðâîãî.
Îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü
4
Âûÿñíèì òåïåðü, îáëàäàþò ëè äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñòè. Ìû âûÿñíèëè ðàíåå, ÷òî äëÿ äèôôåðåíöèàëà ïåðâîãî ïîðÿäêà dy = f 0 (x) dx, ãäå x íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, ôîðìà äèôôåðåíöèàëà ñîõðàíÿåòñÿ è äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà x ôóíêöèÿ êàêîãî-òî äðóãîãî àðãóìåíòà. Ðàññìàòðèâàòü áóäåì äèôôåðåíöèàë âòîðîãî ïîðÿäêà. Èòàê,
ïóñòü y = f (x) è, â ñâîþ î÷åðåäü, x = x(t), ïðè÷åì ôóíêöèè f (x) è x(t)
äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìû. Òîãäà
(1)
Ÿ 4
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèé, çàäàííûõ ïàðàìåòðè÷åñêè.
Âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà
1
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèé, çàäàííûõ ïàðàìåòðè÷åñêè
Ïóñòü x è y çàäàíû êàê ôóíêöèè íåêîòîðîãî ïàðàìåòðà t: x = x(t), y =
y (t). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèè x(t) è y (t) äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìû ïî
ïåðåìåííîé t íà ìíîæåñòâå, ãäå ýòè ôóíêöèè îïðåäåëåíû. Òîãäà
0
0
x0 (t) 6= 0 :
yx0 = dy = yt0 t = yt0
dx xt t xt
Âû÷èñëåííàÿ ïðîèçâîäíàÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé àðãóìåíòà t, ò.å. yx0 = yx0 (t).
00 . ßñíî,
Òîãäà ìîæíî ñòàâèòü âîïðîñ îá îòûñêàíèè âòîðîé ïðîèçâîäíîé yxx
÷òî
00 =
yxx
dyx0 (yx0 )0t t (yx0 )0t
= 0
= 0 :
dx
xt t
xt
62
00 äëÿ ôóíêöèè y (x), çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè
Âû÷èñëèòü yx0 è yxx
Ïðèìåð 1.
x = a(t sin t)
y = a(1 cos t)
1 < t < +1 :
a = a(t + t)
Îòñþäà
2
a
ßñíî, ÷òî
0
yx0 = yt0 = a sin t = ctg t ;
xt a(1 cos t)
2
Âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà, åå ïðîèçâîäíàÿ. Ãåîìåòðè÷åñêèé è ìåõàíè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé
Åñëè êàæäîìó çíà÷åíèþ ïåðåìåííîé t èç íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà T ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ïî èçâåñòíîìó çàêîíó îïðåäåëåííûé âåêòîð 2 3 , òî
ãîâîðÿò, ÷òî íà ìíîæåñòâå T çàäàíà âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ = (t). Ïîñêîëüêó êàæäûé âåêòîð 2 3 â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îäíîçíà÷íî
îïðåäåëÿåòñÿ òðåìÿ êîîðäèíàòàìè ax , ay , az , òî çàäàíèå âåêòîðíîé ôóíêöèè = (t) ýêâèâàëåíòíî çàäàíèþ òðåõ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé ax = ax (t),
ay = ay (t), az = az (t).
a R
a a
z
a (t + t)
y
O
x
v
a
Îïðåäåëåíèå 1. Ãîäîãðàôîì âåêòîðà (t) íàçûâàþò êðèâóþ, êîòîðóþ âû÷åð÷èâàåò êîíåö âåêòîðà (t) ïðè ïåðåìåùåíèè ñ èçìåíåíèåì ïàðàìåòðà t
ïðè óñëîâèè, ÷òî íà÷àëî âåêòîðà (t) íàõîäèòñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò (ðèñ. 5).
a
a
63
r r
r
[a(t) b(t)]0 = a0 (t) b(t) + a(t) b0 (t) ;
[a(t) b(t)]0 = a0 (t) b(t) + a(t) b0 (t) :
Êàñàòåëüíàÿ ïðÿìàÿ è íîðìàëüíàÿ ïëîñêîñòü ê êðèâîé, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè
Ïóñòü íåêîòîðàÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ êðèâàÿ îïðåäåëåíà êàê ãîäîãðàô
âåêòîðà
(t) = ax (t) + ay (t) + az (t) :
Òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî ýòà êðèâàÿ èìååò òàêèå ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ
x = ax (t), y = ay (t), z = az (t), ãäå t èçìåíÿåòñÿ íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå T .
a
Ïðèìåð 2.
Ðèñ. 5.
a
a
3
a
t
a
Ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ÿñíî, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ 0 (t) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåêòîð, êàñàòåëüíûé ê ãîäîãðàôó ôóíêöèè (t) â òî÷êå t. ßñíî
òàêæå, ÷òî êîîðäèíàòû ïðîèçâîäíîé 0 (t) ðàâíû a0x (t), a0y (t), a0z (t). Òàêèì
îáðàçîì, âû÷èñëåíèå ïðîèçâîäíîé âåêòîðíîé ôóíêöèè ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ ïðîèçâîäíûõ îò åå êîîðäèíàò.
Çàìå÷àíèå 1. Åñëè âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ
= (t) îïðåäåëÿåò çàêîí äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïî êðèâîé, òî (t) = 0 (t) ñêîðîñòü äâèæåíèÿ
òî÷êè.
Çàìå÷àíèå 2. Îòìåòèì, ÷òî ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ
äâóõ âåêòîðíûõ ôóíêöèé áóäóò òàêèìè æå, êàê è äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ
ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé, à èìåííî
a0 (t)
a(t)
a(t) :
a
a a
a a
a(t + t) a(t) :
a0 (t) = ddta = lim
t!0
t
t 0
ctg
0
2
1
00 = (yx0 )t =
yxx
=
t:
x0t
a(1 cos t)
4a sin4
2
a a
a a(t + t)
=
t
t
Âåêòîð =t ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñðåäíþþ ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ âåêòîðíîé ôóíêöèè = (t) íà îòðåçêå [t; t + t]. Ïðîèçâîäíîé âåêòîðíîé
ôóíêöèè = (t) â äàííîé ôèêñèðîâàííîé òî÷êå t íàçûâàåòñÿ ïðåäåë
( t 6= 2k ) :
a R
a(t) :
Óìíîæèâ ýòîò âåêòîð íà ÷èñëî 1=t, ïîëó÷èì íîâûé âåêòîð, êîëëèíåàðíûé
âåêòîðó Íàïîìíèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ öèêëîèäîé.
Ðåøåíèå.
a
Ââåäåì ïîíÿòèå ïðîèçâîäíîé âåêòîðíîé ôóíêöèè (t) â äàííîé ôèêñèðîâàííîé òî÷êå t. Äàäèì t ïðèðàùåíèå t 6= 0 è ðàññìîòðèì âåêòîð
i
j
Íàðèñîâàòü êðèâóþ , îïðåäåëåííóþ êàê ãîäîãðàô âåêòîðà
a(t) = r cos t i + r sin t j + ht k ;
Ðåøåíèå.
k
0 6 t < 2 ; r > 0 ; h > 0 :
Ïåðåéäÿ ê ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèÿì
x = r cos t ;
y = r sin t ;
64
z = ht ;
z
Ïðèìåð 3.
g
Ðåøåíèå.
y
r
x
Ðèñ. 6.
íåòðóäíî íàðèñîâàòü êðèâóþ (0
ëèíèåé (ðèñ. 6).
6 t < 2), êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ âèíòîâîé
dax
day
daz
= 2 sin t ;
= 2 cos t ;
= 3;
dt
dt
dt
p
p
day
daz
dax
2;
=
= 2;
= 3:
dt t==4
dt t==4
dt t==4
p p
Òî÷êà M0 èìååò êîîðäèíàòû M0 2; 2; 3=4 . Êàñàòåëüíàÿ
3
p
p
x p 2=yp 2=z 4 :
3
2
2
Íîðìàëüíàÿ ïëîñêîñòü
p
2(x
Ðàññìîòðèì êðèâóþ , îïðåäåëåííóþ êàê ãîäîãðàô âåêòîðà
a(t) = ax(t) i + ay (t) j + az (t) k ;
Ÿ 5
è ïóñòü íà ìíîæåñòâå T ôóíêöèè ax (t), ay (t), az (t) äèôôåðåíöèðóåìû. Ïðè
íåêîòîðîì ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà t0 2 T íà êðèâîé ïîëó÷èì
òî÷êó M0 (x0 ; y0 ; z0 ), ãäå x0 = ax (t0 ), y0 = ay (t0 ), z0 = az (t0 ). Ìû óñòàíîâèëè, ÷òî âåêòîð ëåæèò íà êàñàòåëüíîé ê ãîäîãðàôó âåêòîðà (t) â òî÷êå t0 ,
ñëåäîâàòåëüíî, åãî ìîæíî ïðèíÿòü çà íàïðàâëÿþùèé âåêòîð êàñàòåëüíîé, à
òîãäà óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé áóäåò èìåòü âèä
a
x x0
y y0
z z0
=
=
:
dax
day
daz
dt t=t0
dt t=t0
dt t=t0
Ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ê êàñàòåëüíîé â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ; z0 ), íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé ïëîñêîñòüþ ê ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé è, î÷åâèäíî,
èìååò òàêîå óðàâíåíèå
dax
da
da
(x x0 ) + y
(y y0 ) + z
(z z0 ) = 0 :
dt t=t0
dt t=t0
dt t=t0
Çäåñü âåêòîð
n=
da
da
dax
; y
; z
dt t=t0 dt t=t0 dt t=t0
ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüþ ê íîðìàëüíîé ïëîñêîñòè.
65
a(t) = 2 cos t i + 2 sin t j + 3t k
â òî÷êå t0 = =4.
h
0
Íàïèñàòü óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê âèíòîâîé ëèíèè
!
1
p
p
2) + 2(y
p
2) + 3 z
3
= 0:
4
Òåîðåìû î äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèÿõ
Òåîðåìà Ðîëëÿ
(Ðîëëü). Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b], â
êàæäîé òî÷êå èíòåðâàëà (a; b) ñóùåñòâóåò êîíå÷íàÿ ïðîèçâîäíàÿ f 0 (x)
è, êðîìå òîãî, f (a) = f (b), òî òîãäà ìåæäó òî÷êàìè a è b íàéäåòñÿ
õîòÿ áû îäíà òî÷êà c (a < c < b) òàêàÿ, ÷òî f 0 (c) = 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b], ñëåäîâàòåëüÒåîðåìà 1
íî, íà ýòîì îòðåçêå îíà ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå m è íàèáîëüøåå
çíà÷åíèå M .
Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî m = M , òî f (x) ïîñòîÿííà íà îòðåçêå [a; b], ò.å.
f (x) = const, ñëåäîâàòåëüíî, f 0 (x) = 0, 8x 2 [a; b], â ÷àñòíîñòè è â íåêîòîðîé
òî÷êå c 2 (a; b).
Åñëè m < M , òî ñóùåñòâóåò òî÷êè x1 è x2 òàêèå, ÷òî f (x1 ) = m,
f (x2 ) = M , ïðè÷åì, åñëè áû îêàçàëîñü, ÷òî òî÷êè x1 è x2 íàõîäÿòñÿ íà
êîíöàõ îòðåçêà [a; b], òî ìû ïðèøëè áû ê ïåðâîìó ñëó÷àþ, ïîýòîìó õîòÿ áû
îäíà èç òî÷åê x1 èëè x2 ëåæèò âíóòðè îòðåçêà [a; b]. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè a < x1 < b è f (x1 ) = m. Òîãäà ïðè ëþáîì äîñòàòî÷íî ìàëîì ïî ìîäóëþ
x áóäåò f (x1 ) 6 f (x1 + x), îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
f (x1 + x) f (x1 )
x
f (x1 + x) f (x1 )
x
>0
ïðè
x > 0 ;
60
ïðè
x < 0 :
66
y
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ
(x) = (f (x) f (a)) (b a) (f (b) f (a)) (x a) :
O
a x2
x 1 + x x 1 + x
x1
x < 0 x > 0
b
Ôóíêöèÿ (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b] êàê ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé. Êðîìå òîãî, îíà äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (a; b),
ïðè÷åì, (a) = (b) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ (x) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû Ðîëëÿ. Çíà÷èò, íàéäåòñÿ òî÷êà c, ëåæàùàÿ âíóòðè îòðåçêà
[a; b] òàêàÿ, ÷òî 0 (c) = 0. Ïîñêîëüêó
x
0 (x) = f 0 (x)(b a) (f (b) f (a)) ;
Ðèñ. 7.
Óñòðåìèì òåïåðü x ê íóëþ. Òàê êàê ôóíêöèÿ f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â
òî÷êå x1 , òî ýòî çíà÷èò, ÷òî ïðåäåë ïåðâîé äðîáè äîëæåí áûòü ðàâåí ïðåäåëó
âòîðîé äðîáè, à ýòî ìîæåò áûòü òîëüêî 0.
Èòàê, íàøëàñü òî÷êà c = x1 òàêàÿ, ÷òî f 0 (c) = 0 (ðèñ. 7). Äëÿ òî÷êè
x2 , â êîòîðîé ôóíêöèÿ äîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ, äîêàçàòåëüñòâî
àíàëîãè÷íî.
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû Ðîëëÿ
Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû Ðîëëÿ, òî f 0 (c) = 0 â íåêîòîðîé òî÷êå
x = c , à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå
x = c ïàðàëëåëüíà îñè Ox.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè õîòÿ áû â îäíîé òî÷êå
y
îòðåçêà [a; b] ôóíêöèÿ íå äèôôåðåíöèðóåìà,
òî ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f (x) ìîæåò â íóëü è
íå îáðàòèòüñÿ (ñì. ðèñ. 8). Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ
1
y = 1 jxj íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [ 1; 1], äèôôåðåíöèðóåìà íà ( 1; 1) çà èñêëþ÷åíèåì òî÷êè x0 = 0, ïðè÷åì f ( 1) = f (1) = 0, ò.å. óñëî1
0
1
x âèå òåîðåìû Ðîëëÿ íàðóøåíî â åäèíñòâåííîé
òî÷êå x0 = 0 (â íåé ôóíêöèÿ íå äèôôåðåíöèÐèñ. 8.
ðóåìà). Î÷åâèäíî, ÷òî íè â îäíîé òî÷êå ãðàôèêà ôóíêöèè íà îòðåçêà [ 1; 1] êàñàòåëüíàÿ
ê ãðàôèêó íå ïàðàëëåëüíà îñè Ox.
2
òî ïîëîæèâ çäåñü x = c, ïîëó÷èì
0 (c) = f 0 (c)(b a) (f (b) f (a)) = 0 :
Îòñþäà ñëåäóåò ôîðìóëà (1).
Ôîðìóëó êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé Ëàãðàíæà ìîæíî çàïèñàòü íåñêîëüêî
èíà÷å, åñëè ïîëîæèòü b = x + x, a = x è îáîçíà÷èòü c = x + x, ãäå
- íåêîòîðîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó 0 < < 1. Ïðè ýòîì
ôîðìóëà Ëàãðàíæà áóäåò èìåòü âèä
f (x + x) f (x) = f 0 (x + x) x
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû Ëàãðàíæà
y
f (c)
B
f (b) f (a)
A
O
b a
a
c
Òåîðåìà Ëàãðàíæà
Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå
[a; b] è äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (a; b), òî âíóòðè îòðåçêà [a; b]
íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäíà òî÷êà c (a < c < b) òàêàÿ, ÷òî áóäåò èìåòü
ìåñòî ðàâåíñòâî
0
Òåîðåìà 2
(Ëàãðàíæ).
f (b) f (a) = f (c)(b a)
ôîðìóëà êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé Ëàãðàíæà.
67
(1)
(0 < < 1) :
b
x
Ðèñ. 9.
Èòàê, ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû Ëàãðàíæà, òîãäà ñïðàâåäëèâà
ôîðìóëà êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé Ëàãðàíæà. Ïóñòü òî÷êè A è B , ëåæàùèå íà
ãðàôèêå ôóíêöèè y = f (x), èìåþò êîîðäèíàòû A (a; f (a)), B (b; f (b)), òîãäà
î÷åâèäíî (ðèñ. 9), ÷òî
tg =
f (b) f (a) ;
b a
68
y
óãîë íàêëîíà õîðäû AB ê îñè Ox.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, f 0 (c) = tg . Çíà÷èò, â òî÷êå x = c êàñàòåëüíàÿ ê
ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) ïàðàëëåëüíà õîðäå, ñòÿãèâàþùåé äóãó êðèâîé
AB .  ýòîì è çàêëþ÷àåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû Ëàãðàíæà.
ãäå
3
Òåîðåìà Êîøè
(Êîøè).
f (b) f (b) f 0 (c)
=
g (b) g (a) g 0 (c)
(ôîðìóëà Êîøè) :
(2)
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðåæäå âñåãî, çàìåòèì, ÷òî g (b) 6= g (a), òàê êàê èíà÷å
â ñèëó òåîðåìû Ðîëëÿ íàøëàñü áû òî÷êà c òàêàÿ, ÷òî áûëî áû g 0 (c) = 0.
Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ
(x) = (f (x) f (a)) (g (b) g (a)) (f (b) f (a)) (g (x) g (a)) :
ßñíî, ÷òî ôóíêöèÿ (x) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b] êàê
ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, êðîìå òîãî, îíà äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (a; b). Çàìåòèì, ÷òî (a) = (b) = 0, ò.å. (x) óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèÿì òåîðåìû Ðîëëÿ.
Èòàê, íàéäåòñÿ òî÷êà c òàêàÿ, ÷òî áóäåò 0 (c) = 0. Òàê êàê
0 (x) = f 0 (x) (g (b) g (a)) g 0 (x) (f (b) f (a)) ;
O
(a)
(c)
(b)
x
Ðèñ. 10.
ðàâåí f 0 (c)=g 0 (c), â ñèëó òåîðåìû Êîøè îí ñîâïàäàåò ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì ñåêóùåé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè A è B .
Èòàê, åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû Êîøè, òî íà ãðàôèêå êðèâîé,
çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè (3) íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäíà òî÷êà C , òàêàÿ, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ýòîé êðèâîé ïàðàëëåëüíà õîðäå,
ïðîâåäåííîé ÷åðåç òî÷êè A è B .
4
Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ
Òåîðåìà 4. Åñëè ôóíêöèè f (x) è g (x) äèôôåðåíöèðóåìû â îêðåñòíîñòè
0
òî÷êè x0 è, êðîìå òîãî, xlim
!x0 f (x) = 0, xlim
!x0 g (x) = 0, ïðè÷åì g (x) 6= 0 â
îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , òî òîãäà
lim
f (x) = lim f 0 (x)
x!x0 g 0 (x)
x!x0 g (x)
òî ïîëîæèâ çäåñü x = c, ïîëó÷èì
(c) = f 0 (c) (g (b) g (a)) g 0 (c) (f (b) f (a)) = 0 ;
îòêóäà ñëåäóåò ôîðìóëà (2).
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû Êîøè
Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû Êîøè
ñîâïàäàåò ñ ãåîìåòðè÷åñêèì ñìûñëîì òåîðåìû Ëàãðàíæà. Äåéñòâèòåëüíî,
ðàññìîòðèì êðèâóþ (ðèñ.10), çàäàííóþ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè
B
A
Åñëè íà îòðåçêå [a; b] ôóíêöèè f (x) è g(x) íåïðåðûâíû
è äèôôåðåíöèðóåìû â êàæäîé òî÷êå èíòåðâàëà (a; b), ïðè÷åì g0 (x) 6=
0 âî âñåõ òî÷êàõ ýòîãî èíòåðâàëà, òî òîãäà ìåæäó òî÷êàìè a è b
ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà c (a < c < b), ÷òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
Òåîðåìà 3
C
(c)
x = g (t)
y = f (t) ;
(3)
ïðè÷åì ôóíêöèè f (t) è g (t) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì òåîðåìû Êîøè.
Ïóñòü ïàðàìåòð t 2 [a; b], òîãäà A (g (a); f (a)), B (g (b); f (b)). Óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó êðèâîé â íåêîòîðîé òî÷êå C (g (c); f (c))
69
ïðè óñëîâèè, ÷òî âòîðîé ïðåäåë ñóùåñòâóåò (çäåñü x0 - êîíå÷íîå ÷èñëî,
ëèáî x0 = 1, ëèáî x0 = +1, ëèáî x0 = 1).
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì òåîðåìó äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà x0 êîíå÷íîå ÷èñëî.
Ïî óñëîâèþ òåîðåìû ôóíêöèè f (x) è g (x) äèôôåðåíöèðóåìû â îêðåñòíîñòè
ýòîé òî÷êè, à ñëåäîâàòåëüíî è íåïðåðûâíû â òî÷êå x0 , ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
lim f (x) = f (x0 ) = 0, xlim
x!x0
!x0 g (x) = g (x0 ) = 0.
Ïóñòü x - òî÷êà, ïðèíàäëåæàùàÿ îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , òîãäà âûïîëíåíû
óñëîâèÿ òåîðåìû Êîøè è èìååò ìåñòî ôîðìóëà
f (x) f (x0 ) = f 0 (c) ;
g (x) g (x0 ) g 0 (c)
ãäå c ëåæèò ìåæäó x0 è x. Åñëè x ! x0 , òî è c ! x0 , òîãäà
f (x) = lim f (x) f (x0 ) = lim f 0 (c) = lim f 0 (x) :
lim
x!x0 g (x) x!x0 g (x) g (x0 ) c!x0 g 0 (c) x!x0 g 0 (x)
70
5)
ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ: äëÿ ðàñêðûòèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé 00
è
h
1 i íàäî çà1
ìåíèòü ïðåäåë îòíîøåíèÿ äâóõ ôóíêöèé ïðåäåëîì îòíîøåíèÿ èõ ïðîèçâîäíûõ. Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî îòíîøåíèå ïðîèçâîäíûõ èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë,
òî ê ýòîìó æå ïðåäåëó ñòðåìèòñÿ è îòíîøåíèå äàííûõ ôóíêöèé.
Äëÿ ðàñêðûòèÿ äðóãèõ íåîïðåäåëåííîñòåé 0 1, 1 1, 11 , 00 è ò. ï. ýòè
íåîïðåäåëåííîñòè
ñëåäóåò ïðåäâàðèòåëüíî ïðåîáðàçîâàòü ê íåîïðåäåëåí 0
íîñòè âèäà
èëè
0
h
1 i, äëÿ ÷åãî èõ ïðåäâàðèòåëüíî èíîãäà ïðèõîäèòñÿ
1
ïðîëîãàðèôìèðîâàòü.
Åñëè íåîïðåäåëåííîñòü íå ðàñêðûëàñü ïîñëå ïðèìåíåíèÿ ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ, ýòî ïðàâèëî ìîæíî ïðèìåíèòü åùå ðàç, íî óæå ê îòíîøåíèþ ïðîèçâîäíûõ (ïðè
óñëîâèè, ÷òî îòíîøåíèå ïðîèçâîäíûõ ïîðîæäàåò íåîïðåäåëåííîñòè
Ïðèìåðû.
h1i
0
èëè
0
1 ).
1)
2)
0
sin x
0
cos x 1
1 cos x
=
= xlim
lim
!0 2x = 0 = xlim
!0 2 = 2 :
x!0
x2
0
1
log5 x h 1 i
x
ln
5
lim
=
x!+1 x
1 = x!lim+1 1 = 0 :
4)
1 = [1 1] = lim x ln(1 + x) = 0 =
x!0 x ln(1 + x)
x
0
1
1
1
1
(1 + x)2
1+x
= :
= xlim
!0 1 + 1
!0 ln(1 + x) + x = xlim
2
1+x
1 + x (1 + x)2
1
lim
x!0 ln(1 + x)
Ÿ 6
1
Ôîðìóëû Òåéëîðà è Ìàêëîðåíà
Ôîðìóëà Òåéëîðà
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = f (x), îïðåäåëåííóþ íà îòðåçêå [a; b]. Äîïóñòèì, ÷òî íà ýòîì îòðåçêå f (x) äèôôåðåíöèðóåìà n ðàç. Äîêàæåì, ÷òî f (x)
ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå
0
00
(n 1) (a)
f (x) = f (a) + f (a) (x a) + f (a) (x a)2 + : : : + f
(x a)n 1 + Rn
1!
2!
(n 1)!
ôîðìóëà Òåéëîðà.
Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â ôîðìóëå Òåéëîðà íàçûâàåòñÿ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì. Î íåì ìû ïîãîâîðèì îñîáî. Åñëè îòáðîñèòü îñòàòî÷íûé ÷ëåí, òî ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî
tg 3x
(tg 3x)0
3
0
lim
=
=
lim
= xlim
x!0 x
x!0 x0
!0 cos2 x = 3 :
0
3)
ln(1 + 3x)
lim (1 + 3x)1= sin x = [11 ] = exp xlim
=
x!0
!0 sin x
0
1
3
B
1
+
3x C 3
= exp @xlim
!0 cos x A = e :
Òåîðåìà îñòàåòñÿ â ñèëå è â òîì ñëó÷àå, êîãäà â òî÷êå x0
ôóíêöèè f (x) è g (x) îáðàùàþòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü.
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå äîêàçàííóþ òåîðåìó, ñôîðìóëèðóåì
ñëåäóþùåå
Çàìå÷àíèå.
71
0
00
(n 1) (a)
f (x) f (a) + f (a) (x a) + f (a) (x a)2 + : : : + f
(x a)n 1 :
1!
2!
(n 1)!
Ìíîãî÷ëåí, ñòîÿùèé ñïðàâà, íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì Òåéëîðà. Çàìåòèì, ÷òî êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà Òåéëîðà âû÷èñëÿþòñÿ áåç òðóäà: äëÿ
ýòîãî äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f (x) è åå ïðîèçâîäíûõ f 0 (x),
f 00 (x), : : :, f (n 1) (x) â òî÷êå x = a.
Çàìåíèâ ôóíêöèþ åå ìíîãî÷ëåíîì Òåéëîðà, ìû ñîâåðøèì îøèáêó, ðàâíóþ îòáðîøåííîìó îñòàòî÷íîìó ÷ëåíó Rn â ôîðìóëå Òåéëîðà. Ïðè ðåøåíèè
ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ ýòó îøèáêó òî÷íî óêàçàòü, êàê ïðàâèëî, íåëüçÿ, îäíàêî
âñåãäà ìîæíî åå îöåíèòü, ò.å. ìîæíî óêàçàòü òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî,
êîòîðîãî íå ïðåâîñõîäèò ìîäóëü îòáðîøåííîãî îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà.
Âûâåäåì ôîðìóëó Òåéëîðà. Äëÿ ýòîãî ïðèáåãíåì ê òàêîìó èñêóññòâåííîìó ïðèåìó: äîïóñòèì, ÷òî íåêîòîðîå íåèçâåñòíîå ÷èñëî T îïðåäåëåíî
ðàâåíñòâîì
f (b) f (a)
f 0 (a) (b a) f 00 (a) (b a)2 : : :
1!
2!
(n 1) (a)
f
T (b a)n = 0 (1)
:::
(b a)n 1
(n 1)!
n!
72
è ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ
(x) = f (b) f (x)
f 0 (x)
f 00 (x)
(b x)
(b x)2 : : :
1!
2!
(n 1) (x)
::: f
(b x)n 1 T (b x)n : (2)
(n 1)!
n!
 ñèëó ðàâåíñòâà (1) (a) = 0. Î÷åâèäíî, ÷òî (b) = 0. Êðîìå òîãî, (x)
íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b] è äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (a; b). Ñëåäîâàòåëüíî, (x) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû Ðîëëÿ. Çíà÷èò, ìåæäó
òî÷êàìè a è b ñóùåñòâóåò íåêîòîðàÿ òî÷êà c òàêàÿ, ÷òî 0 (c) = 0.
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ðàâåíñòâî (2) ïî÷ëåííî
00
000
f (x) (b x) f 0 (x)
f (x) (b x)2 f 00 (x) 2(b x)
0 (x) = f 0 (x)
:::
1!
1!
2!
2!
(n)
f (x) (b x)n 1 f (n 1) (x) (n 1)(b x)n 2 + T n(b x)n 1 =
(n 1)!
(n 1)!
n!
(
n
)
f (x)
T
=
(b x)n 1 +
(b x)n 1 :
(n 1)!
(n 1)!
Îòñþäà ñëåäóåò
f (n) (c)
0 (c) =
(n 1)!
ýòî ïîëó÷åííàÿ ðàíåå ôîðìóëà Ëàãðàíæà.
Ïîëîæèì òåïåðü â ôîðìóëå Òåéëîðà n = 2.
00
f (x) = f (a) + f 0 (a)(x a) + f (c) (x a)2
2!
è çàìåíèì â ýòîì âûðàæåíèè x íà x + x, à òî÷êó a íà x, òîãäà ïîëó÷èì
f 00 (c)
f (x + x) = f (x) + f 0 (x)x +
(x)2 :
2!
Îòáðîñèì ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå, òîãäà f (x + x) f (x) + df (x). Ýòîé ôîðìó-
ëîé ÷àñòî ïîëüçóþòñÿ â ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèÿõ, çàìåíÿÿ ïîëíîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè åå äèôôåðåíöèàëîì. Ïîãðåøíîñòü òàêèõ ïðèáëèæåííûõ
âû÷èñëåíèé íåòðóäíî îöåíèòü, ðàññìîòðåâ îòáðîøåííûé îñòàòî÷íûé ÷ëåí
f 00 (c) (x)2 .
2!
Çàìåòèì, ÷òî ôîðìóëà Òåéëîðà èìååò î÷åíü øèðîêîå ïðèìåíåíèå, ïîñêîëüêó ïîçâîëÿåò ëþáóþ ôóíêöèþ (ëèøü áû îíà áûëà íóæíîå ÷èñëî ðàç
äèôôåðåíöèðóåìà!) çàìåíèòü ìíîãî÷ëåíîì ñ ëþáîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè.
2
Ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèé
ex , cos x, sin x, ln(1 + x), (1 + x)
ôîð-
ìóëîé Ìàêëîðåíà
(b c)n 1 +
T
(n 1)!
(b c)n 1 = 0
)
T = f (n) (c) :
1)
Ïîäñòàâèì íàéäåííîå çíà÷åíèå T â ôîðìóëó (1) è çàìåíèì â íåé b íà x,
òîãäà ïîëó÷èì
00
0
f (x) = f (a) + f (a) (x a) + f (a) (x a)2 + : : :
1!
2!
(n 1) (a)
f
f (n) (c) (x a)n : (3)
::: +
(x a)n 1 +
(n 1)!
n!
Çäåñü c ëåæèò ìåæäó a è x, ïîýòîìó c = a + x, 0 < < 1
Ôîðìóëà (3) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â
ôîðìå Ëàãðàíæà.
Åñëè â ôîðìóëå Òåéëîðà ïîëîæèòü a = 0, òî ïîëó÷èì ÷àñòíûé ñëó÷àé
ôîðìóëû Òåéëîðà òàê íàçûâàåìóþ ôîðìóëó Ìàêëîðåíà
f 0 (0)
f 00 (0) 2
f (n 1) (0) n 1 f (n) (c) n
f (x) = f (0) +
x+
x + ::: +
x +
x :
1!
2!
(n 1)!
n!
Îòìåòèì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè ôîðìóëû Òåéëîðà.
Ïîëîæèì â ôîðìóëå Òåéëîðà n = 1
f (x) = f (a) + f 0 (c)(x a)
73
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = ex . Î÷åâèäíî, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà ñêîëüêî óãîäíî ðàç íà âñåé ÷èñëîâîé îñè. Íàéäåì åå ðàçëîæåíèå ïî ôîðìóëå Ìàêëîðåíà. Ïîñêîëüêó
f (k) (x) = ex ; f (k) (0) = 1 ; k = 0; 1; 2; : : : ;
òî, ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ â ôîðìóëó Ìàêëîðåíà, ïîëó÷èì
2
3
n 1
ec
+ xn ;
ex = 1 + x + x + x + : : : + x
1!
2!
3!
(n 1)!
n!
ãäå c ëåæèò ìåæäó 0 è x.
2)
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = sin x. Ôóíêöèÿ f (x) = sin x ñêîëüêî óãîäíî ðàç äèôôåðåíöèðóåìà íà âñåé ÷èñëîâîé îñè. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî
f (k) (x) = sin x + k ; f (k) (0) = sin k ;
2
2
k = 0; 1; 2; : : : :
Ïîäñòàâèì íàéäåííûå çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ â ôîðìóëó Ìàêëîðåíà,
ïîëó÷èì
sin x = x
x3 + x5
3! 5!
x7 + : : : + sin(n 1) 2 xn 1 + sin c + n 2 xn :
7!
(n 1)!
n!
74
3)
Ðàññìîòðèì òåïåðü ôóíêöèþ f (x) = cos x. Ïîñêîëüêó
;
k = 0; 1; 2; : : : ;
f (k) (x) = cos x + k ; f (k) (0) = cos k 2
2
òî ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f (x) = cos x ïî ôîðìóëå Ìàêëîðåíà èìååò âèä
cos(n 1) n 1 cos c + n
x2 x4
2x +
2 xn :
cos x = 1
+
::: +
2! 4!
(n 1)!
n!
4)
Ôóíêöèÿ f (x) = ln(1 + x) îïðåäåëåíà è äèôôåðåíöèðóåìà ïðè x > 1.
Î÷åâèäíî, ÷òî
k 1
f (k) (x) = ( 1) (k k 1)! ; f (k) (0) = ( 1)k 1 (k 1)! ;
(1 + x)
k = 1; 2; 3; : : : :
Òàêèì îáðàçîì, èìååì ðàçëîæåíèå
x2 + x3
2
3
ln(1 + x) = x
5)
::: +
( 1)n 2 n 1 ( 1)n 1 n
x +
x :
n 1
n(1 + c)n
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = (1 + x) , ãäå ëþáîå ÷èñëî è x 6= 1.
Ïîñêîëüêó
f (k) (x) = ( 1) ( 2) ( k + 1)(1 + x) k ;
f (k) (0) = ( 1) ( 2) ( k + 1) ïðè k = 1; 2; 3; : : : ;
òî, ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f (x) = (1 + x) ïî ôîðìóëå Ìàêëîðåíà èìååò
âèä
(1 + x) = 1 + x + (
+
3
(
1) x2 + : : : + (
2!
1) : : : (
n!
1)2 : : : ( n + 2) xn 1 +
(n 1)!
Òàêèì îáðàçîì, åñëè íóæíî âû÷èñëèòü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ôóíêöèè f (x) â òî÷êå x0 , òî ìû ïîëó÷èì
f (x0 ) f (a) +
Åñëè óêàçàíî, ñêîëüêî ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ ñëåäóåò âçÿòü, òî ïîãðåøíîñòü âû÷èñëåíèé íåòðóäíî îöåíèòü, îöåíèâ ìîäóëü îòáðîøåííîãî îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà. Èíîãäà â ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèÿõ òðåáóåòñÿ âûïîëíèòü
âû÷èñëåíèÿ ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ, ò.å. óêàçûâàåòñÿ ÷èñëî, êîòîðîãî íå äîëæåí ïðåâîñõîäèòü ìîäóëü îòáðîøåííîãî ÷ëåíà; ÷èñëî ñëàãàåìûõ, êîòîðîå
ñëåäóåò âçÿòü â ôîðìóëå Òåéëîðà ïðè ýòèõ âû÷èñëåíèÿõ, îïðåäåëÿåòñÿ ñ
ó÷åòîì çàðàíåå çàäàííîé òî÷íîñòè.
p
Âû÷èñëèòü e, ðàçëîæèâ ôóíêöèþ ex ïî ôîðìóëå Ìàêëîðåíà.
Âçÿòü øåñòü ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ. Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü âû÷èñëåíèé.
Ïðèìåð 1.
Ðåøåíèå.
Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè ex ïî ôîðìóëå Ìàêëîðåíà èìååò âèä
2
3
4
5
c
ex = 1 + x + x + x + x + x + e x6 ;
1! 2! 3! 4! 5! 6!
ãäå c ëåæèò ìåæäó 0 è x.
Òîãäà, îòáðîñèâ îñòàòî÷íûé ÷ëåí è ïîëîæèâ x = 1=2, ïîëó÷èì
pe 1 + 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 :
2 2! 22 3! 23 4! 24 5! 25
Ïðåæäå ÷åì ïîäñ÷èòàòü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ñóììû ñëàãàåìûõ, ñòîÿùèõ ñïðàâà, îöåíèì ïîãðåøíîñòü
1=2 p
c
jR6 j = e6! 216 < e26 6! < 26 6!3 < 216;6!8 < 0; 00004 :
n + 1) (1 + c) n xn :
Ïðèìåíåíèå ôîðìóëû Òåéëîðà ê ïðèáëèæåííûì âû÷èñëåíèÿì
Åñëè ôóíêöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü ôîðìóëîé Òåéëîðà
0
00
(n 1) (a)
(n)
f (x) = f (a)+ f (a) (x a)+ f (a) (x a)2 +: : :+ f
(x a)n 1 + f (c) (x a)n ;
1!
2!
(n 1)!
n!
òî, îòáðîñèâ ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå (îñòàòî÷íûé ÷ëåí), ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî
0
00
(n 1) (a)
f (x) f (a) + f (a) (x a) + f (a) (x a)2 + : : : + f
(x a)n 1 :
1!
2!
(n 1)!
75
f 0 (a)
f 00 (a)
f (n 1) (a)
(x0 a) +
(x0 a)2 + : : : +
(x a)n 1 :
1!
2!
(n 1)! 0
Ñäåëàííàÿpîöåíêà ïîãðåøíîñòè ãàðàíòèðóåò íàì, ÷òî â ïðèáëèæåííîì
âû÷èñëåíèè e ÷åòûðå çíàêà ïîñëå çàïÿòîé áóäóò âû÷èñëåíû ïðàâèëüíî.
Ïîäñ÷èòûâàåì
pe 1 + 0; 5 + 0; 125 + 0; 020833 + 0; 0026042 + 0; 00026042 1; 6487 :
Ïðèìåð 2.
ïåíÿì (x
Ðåøåíèå.
p
Âû÷èñëèòü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå 5 33 , ðàçëîæèâ
32). Âû÷èñëåíèå âûïîëíèòü ñ òî÷íîñòüþ äî 0; 0001.
Ðàçëîæèì ôóíêöèþ y =
p5 x ïî ñòå-
p5 x ïî ôîðìóëå Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè
76
òî÷êè x0 = 32.
Ÿ 7
y (x) = x1=5 ;
y 0 (x) = 1 x 4=5 ;
5 1
4
y 00 (x) =
x 9=5 ;
5
5
:::
y (n) (x) = ( 1)n 1 4 9 14 : :n: (5n 6) x1=5 n :
5
Èòàê, ðàçëîæåíèå ôóíêöèè y =
èìåòü ñëåäóþùèé âèä
p5 x â
y (32) = 2 ;
y 0 (32) = 1 4 ;
52
y 00 (32) = 2 4 9 ;
5 2
:::
îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 = 32 áóäåò
p5 x = 2 + 1 (x 32)
4
(x 32)2 + : : :
5 24
52 29 2!
: : : + ( 1)n 1 4 9 : :n: (5n 6) c1=5 n (x 32)n ;
5 n!
ãäå c ëåæèò ìåæäó 32 è x.
Ïîëîæèì òåïåðü â ýòîì ðàçëîæåíèè x = 33. Òîãäà ïîëó÷èì
p5
4
4 9 14 : : : (5n 6) 1=5 n
+ : : : + ( 1)n 1
c
;
52 29 2!
5n n!
33 = 2 + 1 4
52
çäåñü 32 < c < 33.
Íóæíî ïîäîáðàòü òàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè,
÷òîáû îòáðîøåííûé îñòàòî÷íûé ÷ëåí áûë ìåíüøå 0; 0001. Ïðè n = 2 èìååì
jR2 j = 52 2!4 c9=5 < 52 2! 4(32)9=5 = 52 2!4 29 0; 000156 > 0; 0001 :
Ñëåäîâàòåëüíî, ÷òîáû âûïîëíèòü âû÷èñëåíèÿ ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ,
íåäîñòàòî÷íî âçÿòü äâà ÷ëåíà ðàçëîæåíèÿ, òàê êàê òî÷íîñòü âû÷èñëåíèé
íå ãàðàíòèðîâàíà.
Âîçüìåì n = 3. Ïîëó÷èì
9
49
jR3 j = 53 3!4 9c14=5 < 53 3!4 (32)
14=5 = 53 2 3 214 0; 0001 :
Î÷åâèäíî, ÷òî òðè ÷ëåíà, âçÿòûå â ðàçëîæåíèè â ñèëó ñäåëàííîé îöåíêè,
ãàðàíòèðóþò íåîáõîäèìóþ òî÷íîñòü âû÷èñëåíèé. Ïîäñ÷èòûâàåì
p5
33 2 + 0; 0125 0; 00015625 2; 0122 :
77
1
Èññëåäîâàíèå ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé
Ïðèçíàê ïîñòîÿíñòâà ôóíêöèè
Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b] è äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (a; b). Äëÿ òîãî, ÷òîáû f (x) áûëà ïîñòîÿííà
íà îòðåçêå [a; b], íåîáõîäèìî
è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî x 2 (a; b)
âûïîëíÿëîñü óñëîâèå f 0 (x) = 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü f 0 (x) = 0 äëÿ ëþáîãî x 2 (a; b).
Òåîðåìà 1.
Âîçüìåì ëþáûå äâå òî÷êè x1 è x2 , ïðèíàäëåæàùèå îòðåçêó [a; b]. Ïî òåîðåìå
Ëàãðàíæà íàéäåòñÿ òî÷êà c 2 (a; b) òàêàÿ, ÷òî
f (x2 ) f (x1 ) = f 0 (c)(x2 x1 ) ;
íî f 0 (c) = 0, ñëåäîâàòåëüíî f (x2 ) = f (x1 ) äëÿ ëþáûõ x1 ; x2 2 [a; b], à ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî f (x) ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ íà îòðåçêå [a; b].
Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü f (x) ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ íà îòðåçêå [a; b]. Òîãäà f 0 (x) = 0 äëÿ ëþáîãî x 2 (a; b).
2
Ïðèçíàêè âîçðàñòàíèÿ è óáûâàíèÿ ôóíêöèè
Ïóñòü f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b] è äèôôåðåíöèðóåìà
íà èíòåðâàëå (a; b). Äëÿ òîãî, ÷òîáû f (x) íå óáûâàëà íà îòðåçêå [a; b],
íåîáõîäèìî
è äîñòàòî÷íî, ÷òî áû ïðè ëþáîì x 2 (a; b) âûïîëíÿëîñü
óñëîâèå f 0 (x) > 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü f (x) íå óáûâàåò íà îòðåçêå [a; b].
È ïóñòü x 2 (a; b). Âîçüìåì ïðèðàùåíèå x > 0 ñòîëü ìàëîå, ÷òîáû áûëî
(x + x) 2 (a; b).
Òåîðåìà 2.
Òàê êàê x > 0, òî x < x + x, à òàê êàê f (x) íå óáûâàåò, òî î÷åâèäíî,
÷òî f (x) 6 f (x + x). Ñëåäîâàòåëüíî,
f (x + x) f (x)
x
> 0:
Óñòðåìèì òåïåðü x ê íóëþ, òîãäà â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ïðàâîñòîðîííåé
ïðîèçâîäíîé, ïîëó÷èì f+0 (x) > 0 äëÿ ëþáîãî x 2 (a; b).
Ïîñêîëüêó f (x) äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (a; b), òî íà ýòîì èíòåðâàëå f 0 (x) = f+0 (x). Çíà÷èò f 0 (x) > 0 äëÿ ëþáîãî x 2 (a; b).
Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü äëÿ ëþáîãî x èç èíòåðâàëà (a; b) âûïîëíÿåòñÿ
óñëîâèå f 0 (x) > 0. Âîçüìåì ëþáûå äâå òî÷êè x1 è x2 èç îòðåçêà [a; b], ïðè÷åì
x1 < x2 . Òîãäà ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà íàéäåòñÿ òî÷êà c 2 (a; b) òàêàÿ, ÷òî
f (x2 ) f (x1 ) = f 0 (c)(x2 x1 ) ;
à òàê êàê x2 x1 > 0 è f 0 (c) > 0, òî ÿñíî, ÷òî f (x1 ) 6 f (x2 ), à ýòî è îçíà÷àåò,
÷òî f (x) íå óáûâàåò íà îòðåçêå [a; b].
78
y
Ïóñòü f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b] è äèôôåðåíöèðóåìà
íà èíòåðâàëå (a; b). Äëÿ òîãî, ÷òîáû f (x) íå âîçðàñòàëà íà îòðåçêå [a; b],
íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òî áû ïðè ëþáîì x 2 (a; b) âûïîëíÿëîñü
óñëîâèå f 0 (x) 6 0.
Òåîðåìà 3.
y
y = f (x )
max f (x)
max f
Äîêàçàòåëüñòâî.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü ïðåäûäóùóþ
òåîðåìó ê íå óáûâàþùåé ôóíêöèè g (x) = f (x).
y
min f
O x0 Æ
x0
x0 + Æ x
y
3
a)
x
O
b)
y
a
b
x
Ýêñòðåìóìû ôóíêöèè
1)
2)
x
x
c)
d)
Ðèñ. 11.
Íà ðèñ. 11 äàíû ãåîìåòðè÷åñêèå ïîÿñíåíèÿ ê äîêàçàííûì âûøå òåîðåìàì. Íà ðèñ. 11 c) èçîáðàæåí ãðàôèê ïîñòîÿííîé ôóíêöèè f (x). ßñíî, ÷òî
ýòî åñòü ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ îñè Ox. Êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ýòîé ôóíêöèè ïàðàëëåëüíî îñè Ox, â ëþáîé òî÷êå, ñëåäîâàòåëüíî f 0 (x) = tg = 0,
ãäå óãîë íàêëîíà êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè. Íà ðèñ. 11 a) èçîáðàæåíà ñòðîãî âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ f (x). Êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ýòîé
ôóíêöèè â ëþáîé òî÷êå îáðàçóåò îñòðûé óãîë ñ îñüþ Ox, ñëåäîâàòåëüíî
tg > 0. Çàìåòèì, ÷òî ó ñòðîãî âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè ìîãóò íàéòèñü òî÷êè, â êîòîðûõ áóäåò f 0 (x) = tg = 0. Äåéñòâèòåëüíî, íà ðèñ. 11 d) èçîáðàæåí
ãðàôèê ñòðîãî âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè y = x3 . ßñíî, ÷òî f 0 (0) = 0. Íà ðèñ.
11 b) èçîáðàæåíà íå óáûâàþùàÿ, íî íå ñòðîãî âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî íà èíòåðâàëå (a; b) ôóíêöèÿ ïîñòîÿííà.  êàæäîé òî÷êå ýòîãî
èíòåðâàëà f 0 (x) = 0.
79
Ðèñ. 13.
Îïðåäåëåíèå 1.
y
O
O
x
O
Ðèñ. 12.
O
max f
3)
Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f (x), îïðåäåëåííàÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè
òî÷êè x0 , èìååò â ýòîé òî÷êå ìàêñèìóì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå Æ > 0,
Æ
÷òî äëÿ ëþáîãî x 2 U (x0 ; Æ ), âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x) < f (x0 )
(ðèñ. 12). Ïðè ýòîì ïèøóò max f (x) = f (x0 ).
Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f (x), îïðåäåëåííàÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè
òî÷êè x0 , èìååò â ýòîé òî÷êå ìèíèìóì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå Æ > 0,
Æ
÷òî äëÿ ëþáîãî x 2 U (x0 ; Æ ), âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x0 ) < f (x).
Ïðè ýòîì ïèøóò min f (x) = f (x0 ).
Ìàêñèìóìû èëè ìèíèìóìû ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ ýêñòðåìóìàìè ôóíêöèè.
Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå ìîæåò èìåòü íåñêîëüêî
ìàêñèìóìîâ èëè ìèíèìóìîâ, ïðè÷åì, íå îáÿçàòåëüíî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì, òî÷íî òàê æå, êàê è ìèíèìàëüíîå íàèìåíüøèì. Ýòî âèäíî èç ðèñ. 13.
4
Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà
Åñëè ôóíêöèÿ f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â íåêîòîðîé òî÷êå x0 ,
ïðèíàäëåæàùåé0 èíòåðâàëó (x0 Æ; x0 + Æ) è èìååò â ýòîé òî÷êå ýêñòðåìóì, òî f (x0 ) = 0.
Òåîðåìà 4.
80
Äîêàçàòåëüñòâî.
ìàêñèìóì. Òîãäà
Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ èìååò
f (x0 + x) f (x0 ) < 0 ;
x
f (x0 + x) f (x0 ) > 0 ;
x
åñëè x > 0 ;
åñëè x < 0 :
Óñòðåìèì x ê íóëþ, òîãäà ïîëó÷èì f+0 (x0 ) 6 0 è f 0 (x0 ) > 0. Òàê êàê
ôóíêöèÿ â òî÷êå x0 äèôôåðåíöèðóåìà, òî äîëæíî áûòü f 0 (x0 ) = f+0 (x0 ) =
f 0 (x0 ), à ýòî âîçìîæíî, òîëüêî êîãäà f+0 (x0 ) = f 0 (x0 ) = 0, ñëåäîâàòåëüíî
f 0 (x0 ) = 0.
Èç ðèñ. 13 ÿñíî, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè
â òî÷êå ýêñòðåìóìó ïàðàëëåëüíà îñè Ox. Çàìåòèì, ÷òî â ðàññìîòðåííîì
âûøå ñëó÷àå òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ãëàäêîãî ýêñòðåìóìà.
Ýêñòðåìóì ó ôóíêöèè ìîæåò ñóùåñòâîâàòü è â òî÷êàõ, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ íå èìååò ïðîèçâîäíîé èëè ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü,
ò.å. â òî÷êàõ, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ íå äèôôåðåíöèðóåìà. Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî
â ýòèõ òî÷êàõ ôóíêöèÿ èìååò îñòðûé ýêñòðåìóì.
y
O
y
jj
y= x
y0
x
O
Ðèñ. 14.
y=
(x
5
Èññëåäîâàíèå êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ñ ïîìîùüþ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé
Òåîðåìà 5. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè (x0 Æ; x0 + Æ) òî÷êè x0 è f 0 (x0 ) = 0, òî, åñëè ïðè ïðîõîæäåíèè
÷åðåç òî÷êó x0 ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ¾ïëþñ¿ íà ¾ìèíóñ¿, òî â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ èìååò ìàêñèìóì, åñëè ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç òî÷êó x0
ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ¾ìèíóñ¿ íà ¾ïëþñ¿, òî â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ
èìååò ìèíèìóì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ïåðâóþ 0ïîëîâèíó òåîðåìû. Äîïóñòèì, ÷òî ïðî-
õîäÿ ÷åðåç òî÷êó x0 , ïðîèçâîäíàÿ f (x) ìåíÿåò çíàê ñ ¾ïëþñà¿ íà ¾ìèíóñ¿,
ïðè÷åì f 0 (x0 ) = 0. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ðàçëè÷íûå x 2 (x0 Æ; x0 + Æ ). Òàê
êàê âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû Ëàãðàíæà, òî ìåæäó òî÷åê x0 è x íàéäåòñÿ
òî÷êà c òàêàÿ, ÷òî
f (x) f (x0 ) = f 0 (c)(x x0 ) ;
ïðè÷åì, åñëè x < x0 , òî f 0 (c) > 0 è f (x) f (x0 ) < 0 , åñëè x0 < x, òî f 0 (c) < 0
è ñíîâà f (x) f (x0 ) < 0, à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ èìååò
x0 )2=3 + y0
x0
êîòîðûõ ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â íîëü, â áåñêîíå÷íîñòü èëè íå ñóùåñòâóåò, ìîãóò îêàçàòüñÿ òî÷êàìè ýêñòðåìóìà. Ýòè òî÷êè íàçûâàþòñÿ êðèòè÷åñêèìè èëè ïîäîçðèòåëüíûìè íà ýêñòðåìóì.
Òî÷êè, ïîäîçðèòåëüíûå íà ýêñòðåìóì, ïîäâåðãàþòñÿ äîïîëíèòåëüíîìó
èññëåäîâàíèþ ñ öåëüþ âûÿñíåíèÿ, èìååòñÿ ëè â íèõ ìàêñèìóì èëè ìèíèìóì.
x
Ðèñ. 15.
ìàêñèìóì (ðèñ. 16).
Âòîðàÿ ïîëîâèíà òåîðåìû äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
y
max
Íàïðèìåð, íà ðèñ. 14 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè f (x) = jxj. ßñíî, ÷òî
â òî÷êå x0 = 0 ýòà ôóíêöèÿ íå äèôôåðåíöèðóåìàÿ, ò.å. ó íåå â ýòîé òî÷êå
íå ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ. Îäíàêî, î÷åâèäíî, ÷òî â òî÷êå x0 = 0 ôóíêöèÿ
èìååò ìèíèìóì (îñòðûé ýêñòðåìóì).
Íà ðèñ. 15 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = (x x0 )2=3 + y0 , ó êîòîðîé
â òî÷êå x0 ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü (ôóíêöèÿ â ýòîé òî÷êå
òàêæå íå äèôôåðåíöèðóåìàÿ). ßñíî, ÷òî â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ èìååò îñòðûé
ìàêñèìóì.
Åñëè f 0 (x0 ) = 0, òî òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé. Î÷åâèäíî, ÷òî òî÷êè ãëàäêîãî ýêñòðåìóìà ÿâëÿþòñÿ ñòàöèîíàðíûìè òî÷êàìè,
ïðè÷åì ÿñíî, ÷òî îáðàòíîå íå âåðíî.
Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ f (x) = x3 â òî÷êå x0 = 0 èìååò f 0 (0) = 0, îäíàêî
ïîíÿòíî, ÷òî â òî÷êå x0 = 0 ôóíêöèÿ ýêñòðåìóìà íå èìååò. Èòàê, òî÷êè, â
Çàìåòèì, ÷òî òåîðåìà îñòàåòñÿ â ñèëå, åñëè â êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ ïðîèçâîäíàÿ íå ñóùåñòâóåò èëè îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü, ëèøü áû òîëüêî
â ñàìîé êðèòè÷åñêîé òî÷êå ôóíêöèÿ èìåëà êîíå÷íîå çíà÷åíèå.
81
82
y = f (x )
f (x 0 )
O x0 Æ
x0
min
x
x0 + Æ x
óáûâàåò
âîçðàñòàåò
óáûâàåò
y0 < 0
y0 > 0
y0 < 0
1
Ðèñ. 16.
0
1
x
Ðèñ. 17.
Îòìåòèì, êðîìå òîãî, ÷òî ïðè ðåøåíèè ïðèìåðîâ ïîëåçíî äåëàòü ñõåìó, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ñâåñòè âîåäèíî ïîëó÷àåìûå ðåçóëüòàòû è ñäåëàòü
ñîîòâåòñòâóþùèå âûâîäû, à èìåííî: íà îñü Ox íàíîñÿò êðèòè÷åñêèå òî÷êè,
óêàçûâàþò èíòåðâàëû âîçðàñòàíèÿ è óáûâàíèÿ ôóíêöèè, à òàêæå õàðàêòåð êðèòè÷åñêèõ òî÷åê. Ýòà ñõåìà âûãëÿäèò ïðèìåðíî òàê, êàê ïîêàçàíî íà
ðèñ. 17.
x
x
y
Ðèñ. 19.
1=2
1
1=2
x
1
x
, èíòåðâàëû âîçðàñòàíèÿ
Íàéòè ýêñòðåìóìû ôóíêöèè y =
1 + x2
è óáûâàíèÿ ôóíêöèè è ñäåëàòü åå ðèñóíîê.
Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà íà âñåé ÷èñëîâîé îñè. Íàéäåì òî÷êè, ïîäîçðèòåëüíûå íà ýêñòðåìóì. Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì
ïðîèçâîäíóþ
Ðåøåíèå.
y0 =
Èññëåäîâàíèå ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ âòîðîé ïðîèçâîäíîé
Åñëè â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà è
äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà, ïðè÷åì â ýòîé îêðåñòíîñòè f 00 (x) íåïðåðûâíà, à â òî÷êå x0 ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü,
òî åñëè f 00 (x0 ) <
00
0, â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ èìååò ìàêñèìóì, à åñëè f (x0 ) > 0, â òî÷êå x0
ôóíêöèÿ èìååò ìèíèìóì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ïåðâóþ ïîëîâèíó òåîðåìû. Íàïèøåì ôîðìóëó
Òåîðåìà 1.
Ðèñ. 18.
Ïðèìåð 1.
Ÿ 8
1 + x2 x 2x
1 x2
=
:
2
2
(1 + x )
(1 + x2 )2
Ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â íîëü â êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ x1;2 = 1. Î÷åâèäíî,
÷òî y 0 < 0 ëåâåå òî÷êè x1 = 1 è y 0 > 0 ïðàâåå x1 = 1, çíà÷èò ñàìîé òî÷êå
x1 = 1 ôóíêöèÿ èìååò ìèíèìóì. ßñíî, ÷òî â òî÷êå x2 = 1 ôóíêöèÿ èìååò
ìàêñèìóì.
Íåòðóäíî âû÷èñëèòü ymin = min y è ymax = max y . Äåéñòâèòåëüíî,
ymin = y ( 1) = 1=2, ymax = y (1) = 1=2. Åñëè ó÷åñòü, ÷òî y (0) = 0 è
lim y = 0, òî ëåãêî íàðèñîâàòü ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè (ðèñ. 18).
x!1
Èç ëèñòà êàðòîíà ðàçìåðàìè 158 âûðåçàòü óãîëêè, òàêèå, ÷òîáû
ïîñëå çàãèáàíèÿ êðàåâ ïîëó÷èëàñü êîðîáêà íàèáîëüøåãî îáúåìà (ðèñ. 19).
Òåéëîðà âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ äàííîé ôóíêöèè f (x)
00
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x x0 ) + f (c) (x x0 )2 ;
2
ãäå òî÷êà c ëåæèò ìåæäó x è x0 . Ïî óñëîâèþ òåîðåìû, f 0 (x0 ) = 0, çíà÷èò
00
f (x) f (x0 ) = f (c) (x x0 )2 :
2
Äîïóñòèì, ÷òî f 00 (x0 ) < 0, òîãäà ïî òåîðåìå î ñîõðàíåíèå çíàêà íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü òî÷êè x0 òàêàÿ, ÷òî çíàê âòîðîé
ïðîèçâîäíîé áóäåò òîò æå, ÷òî è â òî÷êå x0 , ò.å. â òî÷êå c âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ áóäåò èìåòü òîò æå çíàê, ÷òî è â òî÷êå x0 , ò.å. f 00 (c) < 0. À òîãäà
Æ
îêàæåòñÿ, ÷òî f (x) f (x0 ) < 0 äëÿ âñåõ x 2 U (x0 ; Æ ), ò.å. â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ
èìååò ìàêñèìóì (ðèñ. 20).
Ïðèìåð 2.
ßñíî, ÷òî èñêîìûé îáúåì V (x) = x(15 2x)(8 2x).Ïðèðàâíÿâ
ïðîèçâîäíóþ V 0 (x) = 12x2 92x+120 ê íóëþ, ïîëó÷èì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå
12x2 92x +120 = 0. Åãî êîðíè x1 = 6, x2 = 5=3. Î÷åâèäíî, ÷òî x1 = 6 ñëåäóåò
èñêëþ÷èòü èç ðàññìîòðåíèÿ. ßñíî, ÷òî ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç òî÷êó x2 =
5=3 ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ¾ïëþñ¿ íà çíàê ¾ìèíóñ¿, çíà÷èò, åñëè âûðåçàòü
óãîëêè ñ ðàçìåðàìè (5=3) (5=3), òî êîðîáêà áóäåò èìåòü íàèáîëüøèé îáúåì
Vmax = (5=3) (35=3) (14=3) = 2450=27 êóá.åä..
x0 Æ
x0
c
x0 + Æ
Ðåøåíèå.
83
Ðèñ. 20.
1
Âûïóêëîñòü è âîãíóòîñòü êðèâûõ
Îïðåäåëåíèå 1.
84
1)
2)
y
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íåïðåðûâíàÿ êðèâàÿ íà îòðåçêå [a; b], âûïóêëà
ââåðõ, èëè ïðîñòî âûïóêëà, åñëè ýòà êðèâàÿ ðàñïîëàãàåòñÿ íèæå êàñàòåëüíîé ê êðèâîé, ïðîâåäåííîé ÷åðåç ëþáóþ òî÷êó êðèâîé (ðèñ. 21
a)).
dy
y
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íåïðåðûâíàÿ êðèâàÿ íà îòðåçêå [a; b], âûïóêëà
âíèç, èëè âîãíóòà, åñëè ýòà êðèâàÿ ðàñïîëàãàåòñÿ âûøå êàñàòåëüíîé
ê êðèâîé, ïðîâåäåííîé ÷åðåç ëþáóþ òî÷êó êðèâîé (ðèñ. 21 b)).
y
x
O
y
x
x + x
Ðèñ. 22.
2
x
O
a)
Òî÷êà íà ãðàôèêå ôóíêöèè y = f (x), îòäåëÿþùàÿ âûïóêëóþ ÷àñòü ãðàôèêà îò âîãíóòîé, íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ïåðåãèáà.
Îïðåäåëåíèå 2.
x
O
Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç òî÷êó ïåðåãèáà
âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê. Åñëè x0 àáñöèññà òî÷êè ïåðåãèáà, òî
f 00 (x0 ) = 0, èëè f 00 (x0 ) = 1, èëè f 00 (x0 ) íå ñóùåñòâóåò.
b)
Ðèñ. 21.
Èç ðèñ. 21 î÷åâèäíî, ÷òî åñëè âûïóêëàÿ êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì
ôóíêöèè y = f (x), òî y < dy , ò.å.
f (x + x) f (x) f 0 (x)x < 0 ;
à åñëè êðèâàÿ âîãíóòà, òî dy < y , ò.å.
f (x + x) f (x) f 0 (x)x > 0 :
Òåîðåìà 2. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå
[a; b], ïðè÷åì f 00 (x) < 0 íà èíòåðâàëå (a; b), òî íà îòðåçêå [a; b], ãðàôèê ôóíêöèè âûïóêëûé, à åñëè f 00 (x) > 0, òî íà îòðåçêå [a; b], ãðàôèê
ôóíêöèè âîãíóòûé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f 00 (x) < 0 íà èíòåðâàëå (a; b). Âîçüìåì
x 2 [a; b] è (x + x) 2 [a; b], òîãäà èìååì ðàçëîæåíèå Òåéëîðà
85
3
Íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè
Äîïóñòèì, ÷òî íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ y = f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b],
òîãäà íà ýòîì îòðåçêå îíà èìååò íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ. ×òîáû
èõ íàéòè, íóæíî îòûñêàòü âñå ìàêñèìóìû è ìèíèìóìû ôóíêöèè, âû÷èñëèòü åå çíà÷åíèÿ íà êîíöàõ îòðåçêà, à çàòåì ñðàâíèòü èõ ìåæäó ñîáîé è
âûáðàòü íàèìåíüøåå è íàèáîëüøåå. Íà ðèñ. 23 ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò
íàèáîëüøåå çíà÷åíèå â òî÷êå x = a, êîòîðîå áîëüøå ymax = f (x2 ), à íàèìåíüøèì çíà÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ f (b), êîòîðîå ìåíüøå ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ
ôóíêöèè ymin = f (x1 ).
y
òî÷êè
00
f (x + x) = f (x) + f 0 (x)x + f (c) (x)2 ;
2
ãäå òî÷êà c ëåæèò ìåæäó x è x + x. Ñëåäîâàòåëüíî,
00
f (x + x) f (x) f 0 (x)x = f (c) (x)2 < 0 ;
2
ò.å. y dy < 0, à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) âûïóêëàÿ
êðèâàÿ (ðèñ. 22).
Âòîðàÿ ïîëîâèíà òåîðåìû äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
Òî÷êè ïåðåãèáà
O
a
x1
x2
Ðèñ. 23.
86
b
x
4
×åòíîñòü è íå÷åòíîñòü ôóíêöèè
Ïðè èññëåäîâàíèè ôóíêöèè âñåãäà íåëèøíå ïðîâåðèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè äàííàÿ ôóíêöèÿ ÷åòíîé èëè íå÷åòíîé, òàê êàê â òàêîì ñëó÷àå äîñòàòî÷íî èññëåäîâàòü ôóíêöèþ òîëüêî äëÿ x > 0, à çàòåì îòîáðàçèòü åå ãðàôèê äëÿ
îòðèöàòåëüíûõ x ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îñè Oy èëè ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò.
Îïðåäåëåíèå 3. Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ ÷åòíîé, åñëè f ( x) = f (x) äëÿ
ëþáîé òî÷êè x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.
Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ f (x) = cos x ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ. Äåéñòâèòåëüíî,
f ( x) = cos( x) = cos x = f (x). ßñíî, ÷òî ãðàôèê ÷åòíîé ôóíêöèè ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè Oy .
Îïðåäåëåíèå 4. Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ íå÷åòíîé, åñëè f ( x) =
äëÿ ëþáîé òî÷êè x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.
f (x)
Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ f (x) = x3 íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ, òàê êàê
f ( x) = ( x)3 = x3 = f (x). ßñíî, ÷òî ãðàôèê íå÷åòíîé ôóíêöèè ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò.
Âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî b=x ! 0, ïðè x ! 1, òî ÿñíî, ÷òî ïîñëåäíåå ïðåäåëüíîå ðàâåíñòâî ìîæåò èìåòü ìåñòî, ëèøü êîãäà âûðàæåíèå â êâàäðàòíîé
ñêîáêå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, à òîãäà èìååì
k = x!1
lim f (x) :
x
Åñëè k íàéäåíî, òî íåòðóäíî íàéòè è b
b = x!1
lim (f (x) kx) :
 ÷àñòíîñòè, åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî k = 0, òî ìû áóäåì èìåòü ÷àñòíûé ñëó÷àé íàêëîííîé àñèìïòîòû ãîðèçîíòàëüíóþ àñèìïòîòó. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
ïðÿìàÿ x = a áóäåò ÿâëÿòüñÿ âåðòèêàëüíîé àñèìïòîòîé, åñëè lim f (x) = 1.
x!a
Ÿ 9
Îáùàÿ ñõåìà èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèè
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå âñå âûøåñêàçàííîå, ìîæåì ïðèâåñòè òàêîé ïëàí
èññëåäîâàíèÿ äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè.
1) Îïðåäåëèòü îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.
5
Àñèìïòîòû êðèâûõ
Ïðÿìàÿ ëèíèÿ íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè
y = f (x), åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó òåêóùåé òî÷êîé ãðàôèêà è ýòîé ïðÿìîé
ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïî ìåðå óäàëåíèÿ òî÷êè îò íà÷àëà êîîðäèíàò (ðèñ. 24).
Îïðåäåëåíèå 5.
y
2) Âûÿñíèòü, ÿâëÿåòñÿ äàííàÿ ôóíêöèÿ ÷åòíîé èëè íå÷åòíîé.
3) Íàéòè òî÷êè, ïîäîçðèòåëüíûå íà ýêñòðåìóì è âûÿñíèòü õàðàêòåð ýêñòðåìóìîâ ñ ïîìîùüþ ïåðâîé èëè âòîðîé ïðîèçâîäíîé, à òàêæå âû÷èñëèòü ymin è ymax .
4) Îïðåäåëèòü èíòåðâàëû âîçðàñòàíèÿ è óáûâàíèÿ ôóíêöèè.
5) Íàéòè èíòåðâàëû âûïóêëîñòè è âîãíóòîñòè ôóíêöèè.
N
6) Íàéòè òî÷êè ïåðåãèáà.
M
7) Íàéòè àñèìïòîòû ãðàôèêà ôóíêöèè.
x
O
8) Âû÷èñëèòü çíà÷åíèå ôóíêöèè â íåêîòîðûõ êîíòðîëüíûõ òî÷êàõ è íàéòè òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè ñ êîîðäèíàòíûìè îñÿìè.
9) Íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè.
Ðèñ. 24.
Èòàê, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè èìååò íàêëîííóþ àñèìïòîòó
y = kx + b (k 6= 1), òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî
lim (f (x) kx b) = 0
x!1
)
87
lim
x!1
f (x)
x
k
b =0
x
Ïðèìåð 1.
Èññëåäîâàòü ôóíêöèþ f (x) =
Ðåøåíèå.
1) Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè
x2 1
jxj è íàðèñîâàòü åå ãðàôèê.
R n f0g.
88
2) Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ, òàê êàê
b)
2
k2 = x!lim1 f (x) = x!lim1 1 2x = 1 ;
x
x
1 x2
b2 = x!lim1 (f (x) k2 x) = x!lim1
+ x = 0:
x
2
2
f ( x) = ( x) 1 = x 1 = f (x) :
j xj
jxj
3)
8
>
>
>
<
f (x) = >
>
>
:
x2 1 ; x > 0
x
1 x2
; x<0
x
)
f 0 (x) =
8
>
>
>
<
>
>
>
:
x2 + 1 ; x > 0
x2
x2 + 1 ; x < 0 :
x2
Òàêèì îáðàçîì, y =
x! 1.
8) Âû÷èñëèì òå çíà÷åíèÿ x, ïðè êîòîðûõ f (x) = 0. ßñíî, ÷òî ýòî x = 1.
9) Ïîñòðîèì, íàêîíåö, ãðàôèê ôóíêöèè (ðèñ. 25).
Ôóíêöèÿ èìååò êðèòè÷åñêóþ òî÷êó x0 = 0, â êîòîðîé ïðîèçâîäíàÿ íå
ñóùåñòâóåò, íî â ýòîé òî÷êå ôóíêöèÿ ñòðåìèòñÿ ê 1, ñëåäîâàòåëüíî,
ôóíêöèÿ íå èìååò íè ìàêñèìóìîâ, íè ìèíèìóìîâ.
4) Ôóíêöèÿ óáûâàåò, êîãäà x 2 (
5)
y
1; 0) è âîçðàñòàåò, åñëè x 2 (0; +1).
8
>
>
<
f 00 (x) = >
>
:
2
; x>0
x3
2 ; x < 0:
x3
1
Ïîñêîëüêó f 00 (x) < 0 â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, òî êðèâàÿ âåçäå
âûïóêëà.
6) Òî÷êà x0 = 0 íå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåãèáà, òàê êàê ìû óñòàíîâèëè
ðàíåå, ÷òî â ýòîé òî÷êå ôóíêöèÿ íå îïðåäåëåíà.
7) Î÷åâèäíî, ÷òî x = 0 ÿâëÿåòñÿ âåðòèêàëüíîé àñèìïòîòîé. Äåéñòâèòåëüíî,
lim f (x) = xlim
x!+0
!+0
x2 1
=
x
1;
lim f (x) = xlim
x! 0
! 0
1 x2
=
x
1:
Íàéäåì íàêëîííûå àñèìïòîòû y = kx + b, ïðè÷åì îòäåëüíî ðàññìîòðèì
ñëó÷àé, êîãäà x ! +1 è x ! 1.
a)
x ÿâëÿåòñÿ íàêëîííîé àñèìïòîòîé ïðè
f (x) = lim x2 1 = 1 ;
k1 = x!lim
x!+1 x2
+1 x
2
x 1
b1 = x!lim
(
f
(
x
)
k
x
)
=
lim
1
+1
x!+1
x
Èòàê, y = x íàêëîííàÿ àñèìïòîòà ïðè x ! +1.
89
x = 0:
0
1
x
Ðèñ. 25.
Ÿ 10
Äèôôåðåíöèàë äóãè ïëîñêîé êðèâîé
Ïóñòü íà ïëîñêîñòè çàäàíà íåêîòîðàÿ êðèâàÿ AB (ðèñ.26). Ðàçîáüåì êðèâóþ òî÷êàìè M0 = A, M1 , M2 , : : :, Mn 1 , Mn = B ñëåäóþùèìè äðóã çà
äðóãîì, ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì íà n ÷àñòåé. Ñîåäèíèì ïîñëåäîâàòåëüíî ýòè
òî÷êè ïðÿìîëèíåéíûìè îòðåçêàìè. Ïîëó÷èì ëîìàíóþ M0 M1 : : : Mn , âïèñàííóþ â êðèâóþ AB (ðèñ. 26). Îáîçíà÷èì äëèíó ýòîé ëîìàíîé ëèíèè Sn .
Îáîçíà÷èì íàèáîëüøóþ èç äëèí îòðåçêîâ ýòîé ëîìàíîé.
Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë S = lim Sn , íå çàâèñÿ!0
ùèé îò âûáîðà òî÷åê Mk , òî ÷èñëî S íàçûâàåòñÿ äëèíîé êðèâîé AB , à ñàìà
êðèâàÿ AB íàçûâàåòñÿ ñïðÿìëÿåìîé.
Îïðåäåëåíèå 1.
Ïóñòü êðèâàÿ AB çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè x = x(t),
y = y (t), t 2 [ ; ] òàê, ÷òî A (x( ); y ( )), B (x( ); y ( )) (ðèñ. 27).
Ïóñòü ôóíêöèÿ x = x(t) è y = y (t) íåïðåðûâíû íà îòðåçêå [ ; ] è èìåþò
íà èíòåðâàëå ( ; ) íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå x0 (t), y 0 (t), îäíîâðåìåííî íå
îáðàùàþùèåñÿ â íóëü. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ êðèâàÿ AB ñïðÿìëÿåìà, è ïðåäåë
90
y
Óìíîæèì è ðàçäåëèì ëåâóþ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà íà äëèíó S äóãè MN
M2
M1
A = M0
MN S =
S t
N
x
dS
=
dt
Ðèñ. 26.
y
y
dS =
x
x
O
x + x
x
q
dS = (x0t )2 + (yt0 )2 dt :
(1)
Äàäèì ïàðàìåòðó t ïðèðàùåíèè t (äëÿ îïðåäåëåííîñòè ñ÷èòàåì,
÷òî t > 0), òîãäà ïåðåìåííûå x è y ïîëó÷àò ñîîòâåòñòâåííî ïðèðàùåíèÿ
x è y , äëèíà äóãè S (t) ïîëó÷èò ïðèðàùåíèå S , à òî÷êà M ïåðåéäåò â
òî÷êó N .
Äëèíà õîðäû MN ñâÿçàíà ñ x è y ðàâåíñòâîì MN =
Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà íà t
x 2
y 2
+
:
t
t
91
q
(dx)2 + (dy )2 :
s
q
dy 2
dS = (dx)2 + (dy )2 = 1 +
dx = 1 + (yx0 )2 dx :
dx
q
îòíîøåíèÿ äëèíû ëþáîé äóãè íà ó÷àñòêå AB ê äëèíå õîðäû, ñòÿãèâàþùåé
ýòó äóãó, ðàâåí åäèíèöå ïðè ñòðåìëåíèè äëèíû äóãè ê íóëþ.
Âîçüìåì íà êðèâîé AB òî÷êó M (x; y ), êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèå
t ïàðàìåòðà. Äëèíà S äóãè AM ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïàðàìåòðà t: S = S (t).
Ïîêàæåì, ÷òî äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè S (t) ðàâåí
s
dx 2 + dy 2 ;
dt
dt
Êàê âèäíî èç ýòîãî ðàâåíñòâà, dS äëèíà ãèïîòåíóçû ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè dx è dy , ò.å., dS äëèíà îòðåçêà êàñàòåëüíîé ê êðèâîé
â òî÷êå ñ àáñöèññîé x, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò îòðåçêó [x; x + dx].
Åñëè ðîëü ïàðàìåòðà t èãðàåò ïåðåìåííàÿ x, ò.å. êðèâàÿ AB ÿâëÿåòñÿ
ãðàôèêîì íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè y = f (x), x 2 [a; b], òî
Ðèñ. 27.
MN =
t
s
îòêóäà è ñëåäóåò ðàâåíñòâî (1).
Ôîðìóëó (1) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
N
M
x 2 + y 2 :
t
t
Ïåðåéäåì â ýòîì ðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè S ! 0. Òàê êàê ïðè ýòîì
! M , òî äëèíà äóãè S ! 0, â ñèëó ñêàçàííîãî âûøå MN=S ! 1.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè t ! 0 ïîëó÷àåì
B = Mn
O
s
q
(x)2 + (y )2 .
Àíàëîãè÷íî, â ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé, èìååì
q
dS = (dx)2 + (dy )2 + (dz )2 :
Ïðè ïàðàìåòðè÷åñêîì çàäàíèè ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé x = x(t), y = y (t),
z = z (t). Ýòî ðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå
q
dS = (x0t )2 + (yt0 )2 + (zt0 )2 dt :
Ïðèìåð 1.
Íàéòè äèôôåðåíöèàë äëèíû äóãè âèíòîâîé ëèíèè
z = h t:
2
0
0
0 h , òî
Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó xt = r sin t, yt = r cos t, zt =
2
r
r
2
2
dS = r2 sin2 t + r2 cos2 t + h 2 dt = r2 + h 2 dt :
4
4
x = r cos t ;
y = r sin t ;
92
y
N
r
O '
M
M
x
Ðèñ. 29.
Ðèñ. 28.
Ÿ 11
Êðèâèçíà ïëîñêîé è ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé
Ðàññìîòðèì äóãó MN ñïðÿìëÿåìîé ïëîñêîé êðèâîé , èìåþùåé êàñàòåëüíóþ â êàæäîé ñâîåé òî÷êå (ðèñ. 28).
Îáîçíà÷èì äëèíó äóãè MN ÷åðåç S . Ïóñòü êàñàòåëüíàÿ ê êðèâîé â
òî÷êå M îáðàçóåò ñ îñüþ àáñöèññ óãîë ', à â òî÷êå N óãîë ' + '. Òîãäà
óãîë ' ÿâëÿåòñÿ óãëîì ìåæäó êàñàòåëüíûìè â êðàéíèõ òî÷êàõ äóãè MN .
Óãîë ' íàçûâàåòñÿ óãëîì ñìåæíîñòè äóãè MN .
Îïðåäåëåíèå 1.
'
' + '
'
O
N
Ñðåäíåé êðèâèçíîé Kcp äóãè íàçûâàåòñÿ ìîäóëü îòíîøåíèÿ
óãëà ñìåæíîñòè äóãè ê åå äëèíå
Kcp = ' :
S
Êðèâèçíîé K êðèâîé â òî÷êå M íàçûâàåòñÿ ïðåäåë ñðåäíåé
êðèâèçíû äóãè MN ýòîé êðèâîé ïðè N ! M (åñëè ýòîò ïðåäåë ñóùåñòâóåò)
Îïðåäåëåíèå 2.
d' :
'
K = Nlim
=
!M Kcp = lim
S !0 S
dS
Îïðåäåëåíèå 3. Ðàäèóñîì êðèâèçíû R êðèâîé â äàííîé òî÷êå íàçûâàåòñÿ
1 . Ïðè K = 0
âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ êðèâèçíå êðèâîé â ýòîé òî÷êå R =
K
ïîëàãàþò R = 1, à ïðè K = 1, R = 0.
Íàéòè êðèâèçíó è ðàäèóñ êðèâèçíû îêðóæíîñòè ðàäèóñà r.
Ðåøåíèå. Äëèíó äóãè MN ýòîé îêðóæíîñòè îáîçíà÷èì ÷åðåç S è îáîçíà÷èì óãîë ñìåæíîñòè äóãè MN ÷åðåç ' (ðèñ. 29). Öåíòðàëüíûé óãîë,
îïèðàþùèéñÿ íà äóãó MN , òàêæå ðàâåí ', ïîýòîìó S = r' è
Ïðèìåð 1.
'
1 '
1
K = lim
= lim
=
S !0 S
'!0 r '
r
93
)
R = 1 = r:
K
Òàêèì îáðàçîì, êðèâèçíà è ðàäèóñ êðèâèçíû îêðóæíîñòè ÿâëÿþòñÿ âåëè÷èíàìè ïîñòîÿííûìè, íå çàâèñÿùèìè îò òî÷êè îêðóæíîñòè, â êîòîðîé îíè
âû÷èñëÿþòñÿ, ïðè÷åì ðàäèóñ êðèâèçíû îêðóæíîñòè ðàâåí ðàäèóñó ýòîé
îêðóæíîñòè.
Åñëè êðèâàÿ çàäàíà óðàâíåíèåì y = f (x), ãäå ôóíêöèÿ f (x) äâàæäû
äèôôåðåíöèðóåìà, òî y 0 = tg ', îòêóäà ' = arctg(y 0 ) è
d' =
d (y 0 )
y 00 dx :
=
2
1 + (y 0 )
1 + (y 0 )2
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñêîëüêó dS =
q
1 + (y 0 )2 dx, òî èìååì
jy00 j
d' =
K=
dS
1 + (y 0 )2 3=2
)
3=2
1 + (y 0 )2
1
:
R= =
K
jy00 j
Íàéòè êðèâèçíó è ðàäèóñ êðèâèçíû ïðÿìîé.
Ïóñòü ïðÿìàÿ çàäàíà óðàâíåíèåì y = kx + b. Òîãäà y 0 = k, y 00 = 0,
ñëåäîâàòåëüíî, â ëþáîé òî÷êå ïðÿìîé K = 0, R = 1.
Ïðèìåð 2.
Ðåøåíèå.
Ïðè ïàðàìåòðè÷åñêîì çàäàíèè êðèâîé x = '(t), y = (t) èç ïîëó÷åííûõ
âûøå ôîðìóë âûòåêàþò ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ êðèâèçíû è ðàäèóñà
êðèâèçíû
3=2
(x0 )2 + (y 0 )2
R=
jx0 y00 x00 y0 j :
0 00 00 0
K = jx 2y x 2y3j =2 ;
(x0 ) + (y 0 )
Âîçüìåì òî÷êó M íà ïëîñêîé êðèâîé , ïðîâåäåì ÷åðåç ýòó òî÷êó íîðìàëü ê êðèâîé è íà ýòîé íîðìàëè â ñòîðîíó âîãíóòîñòè îòëîæèì îòðåçîê
MC , ðàâíûé ðàäèóñó êðèâèçíû R êðèâîé â òî÷êå M : MC = R. Òî÷êà C íàçûâàåòñÿ öåíòðîì êðèâèçíû êðèâîé â òî÷êå M , à îêðóæíîñòü ðàäèóñà R ñ
94
öåíòðîì â òî÷êå C íàçûâàåòñÿ îêðóæíîñòüþ êðèâèçíû êðèâîé â òî÷êå M .
Ìíîæåñòâî âñåõ öåíòðîâ êðèâèçíû êðèâîé íàçûâàåòñÿ ýâîëþòîé ýòîé êðèâîé. Ñàìà êðèâàÿ ïî îòíîøåíèþ ê ñâîåé ýâîëþòå íàçûâàåòñÿ ýâîëüâåíòîé.
Íà ðèñ. 30 ýâîëþòà êðèâîé îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç .
M2
Îïðåäåëåíèå êðèâèçíû ïðîñòðàíñòâåííîé
êðèâîé òàêîå æå, êàê è â ñëó÷àå ñ ïëîñc1
c2 êîé êðèâîé. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî êðèâèçíà K
M1
ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé, çàäàííîé âåêòîðíîc
ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì
r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k ;
M
äàåòñÿ ôîðìóëîé
Ðèñ. 30.
K=
v
u
u(
t
r0)2 (r00 )2 (r0 r00 )2 :
(r0 )2 3
çäåñü
r0 (t) = x0(t) i + y0(t) j + z0 (t) k ;
Ñëåäîâàòåëüíî,
r02 =
r00 (t) = x00(t) i + y00(t) j + z00 (t) k :
x0 2 + y 0 2 + z 0 2 ;
è
r00 2 =
Ãëàâà 3
Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå ôóíêöèé íåñêîëüêèõ
ïåðåìåííûõ
Ÿ 1
Ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ðàññìîòðèì (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ íàáîðîâ èç n âåùåñòâåííûõ ÷èñåë âèäà, êîòîðûå ìû íàçîâåì n ìåðíûì äåêàðòîâûì
ïðîñòðàíñòâîì è îáîçíà÷èì ÷åðåç n , à êàæäûé òàêîé íàáîð ÷èñåë áóäåì
íàçûâàòü òî÷êîé ýòîãî ïðîñòðàíñòâà è áóäåì îáîçíà÷àòü åãî
M (x1 ; x2 ; : : : ; xn ). ×èñëà x1 ; x2 ; : : : ; xn íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòàìè òî÷êè
M . Òî÷êó O(0; 0; : : : ; 0) áóäåì íàçûâàòü íóëåâîé òî÷êîé ïðîñòðàíñòâà n .
Ðàññìîòðèì äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè M1 (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) è M2 (y1 ; y2 ; : : : ; yn ).
Âûðàæåíèå
R
R
(M2 ; M2 ) =
x1 )2 + (y2 x2 )2 + : : : + (yn xn )2
ìåæäó òî÷êàìè M1 è M2 .
z
x00 2 + y 00 2 + z 00 2
y
M
M0
M0
"
M
Íàéòè êðèâèçíó âèíòîâîé ëèíèè
r(t) = r cos t i + r sin t j + ht k :
Ðåøåíèå.
(y1
áóäåì íàçûâàòü ðàññòîÿíèåì
r r00 = x0 x00 + y0 y00 + z0 z00 :
Ïðèìåð 3.
p
y
O
"
x
O
x
Ïîñêîëüêó
r0 (t) = r sin t i + r cos t j + h k ;
r0 2 = r2 sin2 t + r2 cos2 t + h2 = r2 + h2 ;
r r00 = r2 sin t cos t r2 cos t sin t = 0 ;
òî
s
K=
r00 (t) = r cos t i r sin t j ;
r00 2 = r2 cos2 t + r2 sin2 t = r2 ;
(r2 + h2 ) r2
= 2 r 2:
3
2
2
r +h
(r + h )
a)
b)
Ðèñ. 1.
Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó M0 x01 ; x02 ; : : : ; x0n . Ìíîæåñòâî òî÷åê, óäàëåííûõ îò òî÷êè M0 ìåíåå, ÷åì íà ", ãäå " > 0, íàçûâàåòñÿ
"îêðåñòíîñòüþ òî÷êè M0 è îáîçíà÷àåòñÿ U" (M0 ).  ÷àñòíîñòè, â òðåõìåðíîì äåêàðòîâîì ïðîñòðàíñòâå 3 "îêðåñòíîñòü òî÷êè M0 (x0 ; y0 ; z0 ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþ ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ âíóòðè øàðà ðàäèóñà " ñ öåíòðîì â òî÷êå M0 (ðèñ. 1 a)), à â äâóõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå 2 "îêðåñòíîñòü
òî÷êè M0 (x0 ; y0 ) ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ âíóòðè êðóãà ðàäèóñà " ñ
öåíòðîì â òî÷êå M0 (ðèñ. 1 b)).
R
R
95
96
y
Òàêèì îáðàçîì,
M 2 U (M0 ; ")
n
X
, (M0 ; M ) < " ,
k=1
xk x0k 2 < "2 :
y
O
O
x
x
Ââåäåì òåïåðü âàæíîå äëÿ íàñ ïîíÿòèå îáëàñòè n-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà.
Îïðåäåëåíèÿ äàäèì äëÿ n = 2. Îäíàêî èõ ìîæíî îáîáùèòü è äëÿ n > 2.
R
Ìíîæåñòâî òî÷åê M (x; y ) 2 2 , îáëàäàþùåå ñâîéñòâàìè
îòêðûòîñòè è ñâÿçíîñòè, áóäåì íàçûâàòü îáëàñòüþ. Ïðè ýòîì:
Îïðåäåëåíèå 1.
a)
1. Ñâîéñòâî îòêðûòîñòè îçíà÷àåò, ÷òî ëþáàÿ òî÷êà, ïðèíàäëåæàùàÿ
îáëàñòè, ïðèíàäëåæèò åé âìåñòå ñ íåêîòîðîé ñâîåé "îêðåñòíîñòüþ.
2. Ñâîéñòâî ñâÿçíîñòè îçíà÷àåò, ÷òî ëþáûå äâå òî÷êè, ïðèíàäëåæàùèå
îáëàñòè, ìîæíî ñîåäèíèòü íåïðåðûâíîé êðèâîé, ñîñòîÿùåé èç òî÷åê,
öåëèêîì ïðèíàäëåæàùèõ îáëàñòè.
 äàëüíåéøåì ìû áóäåì îáîçíà÷àòü îáëàñòè áóêâàìè , D è ò.ï.. Ïðèìåðîì îáëàñòè ìîæåò ñëóæèòü "îêðåñòíîñòü òî÷êè M0 (x0 ; y0 ).
b)
Ðèñ. 2.
y
y
(x0 ; y0 )
r
R
1
O
x
O
1
x
Îïðåäåëåíèå 2.
1)
Ãðàíè÷íîé òî÷êîé îáëàñòè íàçûâàåòñÿ
òàêàÿ òî÷êà, ÷òî ëþáàÿ åå
òî÷êè, åé íå ïðèíàäëåæàùèå.
2)
3)
Ðèñ. 3.
"îêðåñòíîñòü ñîäåðæèò, êàê òî÷êè, ïðèíàäëåæàùèå îáëàñòè, òàê è
Ìíîæåñòâî âñåõ ãðàíè÷íûõ òî÷åê îáëàñòè íàçûâàåòñÿ
îáëàñòè.
ãðàíèöåé ýòîé
Çàìêíóòîé îáëàñòüþ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå ïðèñîåäèíåíèÿ ê îòêðûòîé îáëàñòè âñåé åå ãðàíèöû.
Çàìêíóòûå îáëàñòè ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü , D è ò.ï..
Îáëàñòü íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé, åñëè åå ìîæíî ïîìåñòèòü âíóòðü íåêîòîðîãî êðóãà êîíå÷íîãî ðàäèóñà R.
Îïðåäåëåíèå 3.
Ïðèìåð 1. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî òî÷åê M (x; y ), äëÿ êîòîðûõ à) x y > 0,
á) x > 0, y > 0. ßâëÿþòñÿ ëè ýòè ìíîæåñòâà îáëàñòüþ?
à) Ìíîæåñòâî x y > 0 îáëàñòüþ íå ÿâëÿåòñÿ, òàê êàê â òî÷êå O(0; 0)
íàðóøàåòñÿ óñëîâèå ñâÿçíîñòè (ðèñ. 2 a)).
á) Ìíîæåñòâî x > 0, y > 0 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþ íåîãðàíè÷åííóþ çàìêíóòóþ îáëàñòü (ðèñ. 2 b)).
97
Ðèñ. 4.
×èñëî íå ñâÿçàííûõ äðóã ñ äðóãîì ÷àñòåé, èç êîòîðûõ ñîñòîèò âñÿ ãðàíèöà îáëàñòè, íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì ñâÿçíîñòè îáëàñòè, íàïðèìåð, îáëàñòü,
îãðàíè÷åííàÿ îêðóæíîñòÿìè ðàäèóñîâ r è R ñ öåíòðîì â òî÷êå
M0 (x0 ; y0 ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâóõñâÿçíóþ îáëàñòü (ðèñ. 3).
Ïîíÿòèå ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ ìîæíî ââåñòè àíàëîãè÷íî ñîîòâåòñòâóþùåìó ïîíÿòèþ äëÿ îäíîé ïåðåìåííîé. À èìåííî: ãîâîðÿò, ÷òî
çàäàíà ôóíêöèÿ n ïåðåìåííûõ (àðãóìåíòîâ) x1 ; x2 ; : : : ; xn â íåêîòîðîé nìåðíîé îáëàñòè, åñëè â ñèëó íåêîòîðîãî çàêîíà f êàæäîé òî÷êå
M (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) èç ýòîé îáëàñòè ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå îïðåäåëåííîå
÷èñëî u. Ïðè ýòîì ïèøóò: u = f (x1 ; x2 ; : : : ; xn ). Îáëàñòü, â êàæäîé òî÷êå
êîòîðîé îïðåäåëåíà äàííàÿ ôóíêöèÿ, íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì îïðåäåëåíèÿ
ôóíêöèè.  ñëó÷àå n = 1 èìååì ôóíêöèþ îäíîãî àðãóìåíòà u = f (x), ïðè
n = 2 èìååì u = f (x; y ), ïðè n = 3 áóäåò u = f (x; y; z ) è ò.ä..
Ôóíêöèÿ z = ln(x + y 1) îïðåäåëåíà, åñëè àðãóìåíò ëîãàðèôìà
ïîëîæèòåëåí, ò.å. x + y 1 > 0. Ìíîæåñòâî òî÷åê, óäîâëåòâîðÿþùèõ ýòîìó íåðàâåíñòâó, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ äàííîé ôóíêöèè
(ðèñ. 4). Ýòî åñòü òî÷êè, ðàñïîëîæåííûå ïðàâåå è âûøå ïðÿìîé x + y 1 = 0.
Ïðèìåð 2.
98
Ôóíêöèè z = f (x; y ) ìîæíî äàòü ïðîñòóþ
ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ.
z
p
Ôóíêöèÿ z = 1 x2 y 2 äàåò íàì
ìíîæåñòâî òî÷åê, ðàñïîëîæåííûõ íà âåðõíåé
ïîëîâèíå ñôåðû x2 + y 2 + z 2 = 1. Îáëàñòüþ
îïðåäåëåíèÿ ýòîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ êðóã x2 +
y 2 6 1 (ðèñ. 5).
Ïðèìåð 3.
1
y
x
1
Ðèñ. 5.
Åñëè äëÿ âñÿêîãî ñêîëü óãîäíî ìàëîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà " > 0 ìîæíî óêàçàòü òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî Æ = Æ ("), ÷òî èç óñëîâèÿ
M 2 U (M0 ; Æ ), M 6= M0 ñëåäóåò óñëîâèå f (M ) 2 U (A; "), òî A íàçûâàåòñÿ
ïðåäåëîì ôóíêöèè f (M ) â òî÷êå M0 , è ïðè ýòîì ïèøóò
Îïðåäåëåíèå 4.
lim f (M ) = A
èëè
f (M ) ! A ïðè M
8" > 0 9Æ > 0 : 0 < (M; M0 ) < Æ ) f (M ) > 1"
0
0
lim f (M ) g (M ) = Mlim
M !M0
!M0 f (M ) Mlim
!M0 g (M ) ;
f (M ) = Mlim
!M0 f (M )
lim
;
lim
g
(
M
)
=
6
0
:
M !M0 g (M )
M !M0
lim g (M )
M !M0
2
Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè
Ïîíÿòèå íåïðåðûâíîñòè, ïîäðîáíî ðàññìîòðåííîå ðàíåå äëÿ ôóíêöèè
îäíîé ïåðåìåííîé, ìîæíî îáîáùèòü òàêæå è äëÿ ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ, ïðè÷åì, êàê è ðàíåå, ïîíÿòèå íåïðåðûâíîñòè òåñíî ñâÿçàíî ñ
ïîíÿòèåì ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå. Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ðàçëè÷íûõ îïðåäåëåíèé íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè â òî÷êå, êîòîðûå ýêâèâàëåíòíû ìåæäó
ñîáîé.
Îïðåäåëåíèå 5.
Ôóíêöèÿ f (M ) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé
â òî÷êå M0 , åñëè
lim f (M ) = f (M0 )
! M0 :
Çàìåòèì, ÷òî àíàëîãè÷íûå îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ìîæíî äàòü è äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà M0 áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà, à A èìååò êîíå÷íîå èëè
áåñêîíå÷íîå çíà÷åíèå.
Ýòè ðàçëè÷íûå ôîðìóëèðîâêè îïðåäåëåíèÿ êîíå÷íîãî èëè áåñêîíå÷íîãî ïðåäåëà â êîíå÷íîé èëè áåñêîíå÷íîé òî÷êå ìîæíî çàïèñàòü ëàêîíè÷íî
ñ ïîìîùüþ ââåäåííûõ ðàíåå ëîãè÷åñêèõ ñèìâîëîâ. Íàïðèìåð, åñëè M0 êîíå÷íàÿ òî÷êà, A = +1, òî
lim f (M ) = +1 def
,
lim (f (M ) g (M )) = Mlim
!M f (M ) Mlim
!M g (M ) ;
M !M0
Ïðåäåë ôóíêöèè
Äàäèì òåïåðü îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Ïóñòü ôóíêöèÿ
f (M ), ãäå M = M (x1 ; x2 ; : : : ; xn ), îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè M0 x01 ; x02 ; : : : ; x0n , ïðè÷åì â ñàìîé òî÷êå M0 ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü è íå
îïðåäåëåíà.
M !M0
â ÷àñòíîñòè, òåîðåìû î ïðåäåëå ñóììû, ðàçíîñòè, ïðîèçâåäåíèÿ è ÷àñòíîãî
äâóõ ôóíêöèé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ.
M !M0
Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ îïðåäåëåíèåì ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå, òî ìîæíî
äàòü òàêîå, áîëåå ðàçâåðíóòîå îïðåäåëåíèå. Ñôîðìóëèðóåì åãî äëÿ ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ f (x; y ).
Ôóíêöèÿ f (x; y ) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ),
åñëè äëÿ ëþáîãî " > 0 âñåãäà ìîæíî óêàçàòü òàêîå ÷èñëî Æ > 0, ÷òî äëÿ âñåõ
òî÷åê M (x; y ), ïîïàäàþùèõ â Æ îêðåñòíîñòü òî÷êè M0 (x0 ; y0 ), áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî jf (x; y ) f (x0 ; y0 )j < "
Îïðåäåëåíèå 6.
1 def
, 8" > 0 9Æ > 0 : x2 + y2 + z2 > Æ12 ) f (M ) < 1" :
Íàïîìíèì, ÷òî åñëè A ÷èñëî, òî ïðåäåë íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûì, åñëè æå A ðàâíî 1, +1 èëè 1, òî ïðåäåë íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íûì èëè
íåñîáñòâåííûì.
Ýòî îïðåäåëåíèå äîñòàòî÷íî íàãëÿäíî: äåéñòâèòåëüíî, èç íåãî ñëåäóåò,
÷òî åñëè ôóíêöèÿ f (x; y ) íåïðåðûâíà â íåêîòîðîé òî÷êå M0 (x0 ; y0 ), òî äîñòàòî÷íî ìàëûì èçìåíåíèÿì êîîðäèíàò ýòîé òî÷êè ñîîòâåòñòâóþò ìàëûå
èçìåíåíèÿ çíà÷åíèÿ ñàìîé ôóíêöèè.
Ïðîèçâîäÿ äàëüíåéøèå àíàëîãèè, áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèþ f (x; y ) íåïðåðûâíîé â íåêîòîðîé îáëàñòè , åñëè îíà íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå ýòîé
îáëàñòè.
Åñëè â íåêîòîðîé òî÷êå ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé, òî îíà íàçûâàåòñÿ ðàçðûâíîé â ýòîé òî÷êå. Ôóíêöèÿ íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ ìîæåò
ïðåòåðïåâàòü ðàçðûâ íå òîëüêî â òî÷êå, íî è íà íåêîòîðîé êðèâîé è ò.ï. Äëÿ
ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ â òî÷êå, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü íåñêîëüêî òåîðåì,
àíàëîãè÷íûõ ñîîòâåòñòâóþùèì òåîðåìàì, ðàññìîòðåííûì ðàíåå äëÿ ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå èç íèõ.
99
100
M !M0
èëè äîïóñòèì, ÷òî M (x; y; z ) ! 1, A =
1, òîãäà
lim f (M ) =
M !1
Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ àíàëîãè÷íî ñîîòâåòñòâóþùåìó îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà äëÿ ôóíêöèè
îäíîé ïåðåìåííîé.
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî èìåþò ìåñòî òàêæå è ìíîãèå òåîðåìû î ïðåäåëàõ, ñôîðìóëèðîâàííûå è äîêàçàííûå äëÿ ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé f (x),
Åñëè ôóíêöèè f (M ) è g(M ) íåïðåðûâíû â òî÷êå M0 , òî â
ýòîé òî÷êå
1) íåïðåðûâíî ïðîèçâåäåíèå c f (M ), ãäå c = const ,
2) íåïðåðûâíû ñóììà è ðàçíîñòü f (M ) g(M ) ,
3) íåïðåðûâíî ïðîèçâåäåíèå f (M ) g(M ) ,
Òåîðåìà 1.
M ) , (g (M ) 6= 0) .
4) íåïðåðûâíî ÷àñòíîå fg((M
0
)
Ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ, íåïðåðûâíûå â çàìêíóòîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè, îáëàäàþò òàêèìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è ôóíêöèè îäíîé
ïåðåìåííîé, íåïðåðûâíûå íà îòðåçêå. Ñôîðìóëèðóåì ýòè ñâîéñòâà â âèäå
òåîðåì, êîòîðûå ìû ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâ.
Òåîðåìà 2. Åñëè ôóíêöèÿ f (M ) íåïðåðûâíà â çàìêíóòîé îãðàíè÷åííîé
îáëàñòè Rn , òî â ýòîé îáëàñòè îíà ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå k è íàèáîëüøåå çíà÷åíèå K , ò.å. ñóùåñòâóþò òî÷êè M1 2 è
M2 2 òàêèå, ÷òî f (M1 ) = k, f (M2 ) = K è ïðè ýòîì äëÿ âñåõ òî÷åê
M 2 : k 6 f (M ) 6 K .
Òåîðåìà 3. Åñëè ôóíêöèÿ f (M ) íåïðåðûâíà â îãðàíè÷åííîé çàìêíóòîé
îáëàñòè Rn , òî â îíà ïðèíèìàåò ïî êðàéíå ìåðå õîòÿ áû îäèí
ðàç ëþáîå çíà÷åíèå, çàêëþ÷åííîå ìåæäó åå íàèìåíüøèì çíà÷åíèåì k è
íàèáîëüøèì çíà÷åíèå K .
Òåîðåìà 4. Åñëè ôóíêöèÿ f (M ) íåïðåðûâíà â îãðàíè÷åííîé çàìêíóòîé
îáëàñòè Rn , òî îíà â ýòîé îáëàñòè îãðàíè÷åíà, ò.å. ñóùåñòâóåò
R > 0 òàêîå, ÷òî jf (M )j 6 R äëÿ ëþáîãî M 2 .
Ÿ 2
1
Äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ
×àñòíûå ïðîèçâîäíûå
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ z = z (x; y ), îïðåäåëåííóþ â îáëàñòè . Ïðèðàùåíèå x z , íàçûâàåìîå ÷àñòíûì ïðèðàùåíèåì ôóíêöèè z = z (x; y ) ïî
ïåðåìåííîé x, îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì
x z = z (x + x; y ) z (x; y ) :
Àíàëîãè÷íî
Ïîëíîå ïðèðàùåíèå
y z = z (x; y + y ) z (x; y ) :
ôóíêöèè z = z(x; y) îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì
z = z (x + x; y + y ) z (x; y ) :
101
Îïðåäåëåíèå 1. ×àñòíîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè z = z (x; y ) ïî ïåðåìåííîé x íàçûâàåòñÿ ïðåäåë îòíîøåíèÿ ÷àñòíîãî ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè x z
ê âûçâàâøåìó åãî ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà x ïðè óñëîâèè, ÷òî ïîñëåäíåå
ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.
@z
èëè zx0 . Èòàê,
@x
x z
z (x + x; y ) z (x; y ) :
= lim
zx0 = @z = lim
x!0 x
x!0
@x
x
@z èëè z 0 , ò.å.
Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ
y
@y
y z
:
zy0 = @z = lim
y!0 y
@y
Îáîçíà÷àåòñÿ òàêàÿ ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ
z
y
y
O
x
x + x
x
Ðèñ. 6.
Âûÿñíèì òåïåðü ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Äîïóñòèì, ÷òî â îáëàñòè ôóíêöèÿ z = z (x; y ) ïîëîæèòåëüíà. Ýòîé ôóíêöèè
ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðàÿ ïîâåðõíîñòü S , ðàñïîëîæåííàÿ íàä îáëàñòüþ
(ðèñ. 6).
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îáûêíîâåííîé ïðîèçâîäíîé, íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî çíà÷åíèå ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé zx0 â òî÷êå M (x; y )
äàåò íàì òàíãåíñ óãëà íàêëîíà êàñàòåëüíîé ê ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè S è ïëîñêîñòè y = const c ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè Ox. Àíàëîãè÷íî, çíà÷åíèå ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé zy0 â òî÷êå M (x; y ) ñîîòâåòñòâåííî
ðàâíî òàíãåíñó óãëà íàêëîíà êàñàòåëüíîé ê ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè
S è ïëîñêîñòè x = const ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè Oy .
Îòìåòèì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ zx0 è zy0 íà ïðèðàùåíèÿ
íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ x è y íàçûâàþòñÿ ÷àñòíûìè äèôôåðåíöèàëàìè è îáîçíà÷àþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî dxz è dy z, ò.å.
dx z = zx0 x ;
dy z = zy0 y :
102
Çàìåòèì, ÷òî àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ è ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå îò ôóíêöèé, çàâèñÿùèõ îò òðåõ è áîëåå íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ. Ïðè îòûñêàíèè
÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ïî x íà âñå ïðî÷èå ïåðåìåííûå, âõîäÿùèå â âûðàæåíèå ôóíêöèè, ñëåäóåò ñìîòðåòü êàê íà ïîñòîÿííûå. Ïîýòîìó îñòàåòñÿ â
ñèëå òàáëèöà ïðîèçâîäíûõ è ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, ðàññìîòðåííûå
ïîäðîáíî ïðè èçó÷åíèè ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé.
Ïðèìåð 1.
Ïóñòü u(x; y; z; t) = xyt2
p
1 + x2 z . Íàéòè
@u , @u , @u , @u .
@x @y @z @t
2
z = zx0 x + zy0 y + o() ïðè ! 0 :
Äàäèì åùå îäíî î÷åíü âàæíîå îïðåäåëåíèå: îïðåäåëåíèå äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ.
Îïðåäåëåíèå 3. Äèôôåðåíöèàëîì dz ôóíêöèè z = z (x; y ) íàçûâàåòñÿ ëèíåéíàÿ îòíîñèòåëüíî x è y ÷àñòü ïîëíîãî ïðèðàùåíèÿ äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè, ò.å.
dz = zx0 x + zy0 y :
(2)
Ðåøåíèå.
@u = yt2 p xz ;
@x
1 + x2 z
2
@u = p x
;
@z
2 1 + x2 z
Èòàê, åñëè ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå M (x; y ), òî åå ïîëíîå
ïðèðàùåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
@u = xt2 ;
@y
@u = 2xyt :
@t
Çàìåòèì, ÷òî åñëè x è y íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå, òî äèôôåðåíöèàëû
ýòèõ ïåðåìåííûõ ñîâïàäàþò ñ èõ ïðèðàùåíèÿìè, ò.å. dx = x, dy = y . À
òîãäà ôîðìóëó (2) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
dz = zx0 dx + zy0 dy :
Äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Ïîëíûé äèôôåðåíöèàë
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ z = z (x; y ), îïðåäåëåííóþ â íåêîòîðîé îáëàñòè
ïëîñêîñòè Oxy . Çàôèêñèðóåì òî÷êó
M (x; y ) 2 è ðàññìîòðèì ïåðåìåííóþ òî÷êó
N (x + x; y + y ) 2 . Ðàññòîp
ÿíèå ìåæäó òî÷êàìè M è N ðàâíî = (x)2 + (y )2 .
Åñëè ïîëíîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè z = z (x; y ) â òî÷êå
M (x; y ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
z = Ax + B y + o () ïðè ! 0 ;
(1)
ãäå A è B âûðàæåíèÿ, íå çàâèñÿùèå îò x è y , o() áåñêîíå÷íî
ìàëàÿ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà, ÷åì , òî ôóíêöèÿ x = z (x; y ) íàçûâàåòñÿ
äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå M (x; y).
Òåîðåìà 1. Åñëè ôóíêöèÿ z = z (x; y ) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå M (x; y ),
òî ó íåå ñóùåñòâóþò ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå zx0 è zy0 â ýòîé òî÷êå.
Îïðåäåëåíèå 2.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Èòàê, ïóñòü ôóíêöèÿ z = z (x; y ) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå M (x; y ), òîãäà âûïîëíåíî (1). Åñëè ìû çàôèêñèðóåì y , ò.å. ïîëîæèì
y = 0, òî äëÿ ÷àñòíîãî ïðèðàùåíèÿ x z , ïîëó÷èì
x z = Ax + o (x) ïðè x ! 0 :
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ zx0 . Äåéñòâèòåëüíî,
ïîñêîëüêó A íå çàâèñèò îò x, òî
x z
zx0 = lim
= lim
(A + o(1)) = A :
x!0 x
x!0
Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò zy0 = B .
103
Îòìåòèì, ÷òî òàê æå, êàê äëÿ ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé, èç äèôôåðåíöèðóåìîñòè z = z (x; y ) â òî÷êå M (x; y ) âûòåêàåò åå íåïðåðûâíîñòü â
ýòîé òî÷êå. Äåéñòâèòåëüíî, î÷åâèäíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïîëíîå ïðèðàùåíèå z ! 0 ïðè ! 0.
Ðàññìîòðèì òåïåðü òåîðåìó, äàþùóþ äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå ýòèì óñëîâèÿì, äîâîëüíî ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ íà ïðàêòèêå.
Òåîðåìà 2. Åñëè â íåêîòîðîé òî÷êå M (x; y ), ïðèíàäëåæàùåé îáëàñòè
,
ôóíêöèÿ z = z(x; y) èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå zx0 è zy0 ,
òî îíà â ýòîé òî÷êå äèôôåðåíöèðóåìà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïîëíîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè z = z(x; y) è
ïðåîáðàçóåì åãî ñëåäóþùèì îáðàçîì
z = z (x + x; y + y ) z (x; y ) =
= [z (x + x; y + y ) z (x; y + y )] + [z (x; y + y ) z (x; y )] :
Ê êàæäîé èç êâàäðàòíûõ ñêîáîê ìîæíî ïðèìåíèòü òåîðåìó Ëàãðàíæà. Ïðè
ýòîì ïîëó÷èì
z = zx0 (x + 1 x; y + y ) x + zy0 (x; y + 2 y ) y ;
ãäå 1 è 2 íåêîòîðûå êîíñòàíòû, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì
0 < 1;2 < 1. Ïî óñëîâèþ òåîðåìû ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå zx0 , zy0 íåïðåðûâíû
â òî÷êå M (x; y ). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
0
lim z (x + 1 x;
!0 x
0
0
y + y ) = zx0 (x; y ) è lim
!0 zy (x; y + 2 y ) = zx (x; y ) ;
104
p
(x)2 + (y )2 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
zx0 (x + 1 x; y + y ) = zx0 (x; y ) + o(1) è zy0 (x; y + 2 y ) = zx0 (x; y ) + o(1)
ãäå =
ãäå o(1) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ âåëè÷èíà ïðè ! 0, ò.å. o(1) ! 0, êîãäà ! 0.
Ñ ó÷åòîì ýòîãî îáñòîÿòåëüñòâà ïîëíîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè z = z (x; y )
ìîæíî çàïèñàòü òàê
z = zx0 (x; y ) x + zy0 (x; y ) y + o() :
À ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ z = z (x; y ) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå M (x; y ).
 çàêëþ÷åíèå çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ z = z (x; y ) íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â íåêîòîðîé îáëàñòè , åñëè îíà äèôôåðåíöèðóåìà â êàæäîé
òî÷êå ýòîé îáëàñòè.
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî âñå, ñêàçàííîå âûøå, ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ôóíêöèè,
çàâèñÿùèå îò ëþáîãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ.
Ïðèìåð 2.
Íàéòè ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè
u(x; y; z ) =
Ðåøåíèå.
Çàìåòèì, ÷òî ýòî îïðàâäàíî â áîëüøîì ÷èñëå ñëó÷àåâ, ò.ê. ñâÿçàíî ñ äîâîëüíî ïðîñòûìè âû÷èñëåíèÿìè äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè. Ïîãðåøíîñòü æå òàêèõ âû÷èñëåíèé ìîæíî îöåíèòü, îöåíèâ îòáðîøåííîå ñëàãàåìîå o(). Ýòî
ìû ñäåëàåì íåìíîãî ïîãîäÿ, êîãäà áóäåì ðàññìàòðèâàòü ôîðìóëó Òåéëîðà
äëÿ ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ.
p
Âû÷èñëèòü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå
(1; 01)2 + (2; 99)2 + 6, çàp
2
ìåíèâ ïîëíîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè z (x; y ) = x + y 2 + 6 â òî÷êå M (1; 3)
åå äèôôåðåíöèàëîì.
Ðåøåíèå. Èòàê, ïðèìåì âî âíèìàíèå, ÷òî
Ïðèìåð 1.
z (x + x; y + y ) z (x; y ) + zx0 (x; y ) x + zy0 (x; y ) y ;
ïîëó÷èì
p
+ p 2y y2
:
(x + x)2 + (y + y )2 + 6 x2 + y 2 + 6 + p 2x x2
x +y +6
x +y +6
x2 + xy + xyz 2 :
Ïîëîæèì çäåñü x = 1, y = 3, x = 0; 01, y = 0; 01, òîãäà áóäåò
p
(1; 01)2 + (2; 99)2 + 6 16 + 0p; 01 + 3( p0; 01) = 3; 995 :
16
16
p
du =
@u dx + @u dy + @u dz ;
@x
@y
@z
1
ïðè ýòîì
@u = p x + xz 2
;
@y 2 x2 + xy + xyz 2
@u = p 2xyz
:
@z 2 x2 + xy + xyz 2
Ñëåäîâàòåëüíî,
2x + y + yz 2 dx + x + xz 2 dy + 2xyz dz
p
:
du =
2 x2 + xy + xyz 2
Ÿ 3
z dz èëè z (x + x; y + y ) z (x; y ) + zx0 (x; y ) x + zy0 (x; y ) y :
q
p
Î÷åâèäíî, ÷òî
@u = p2x + y + yz 2 ;
@x 2 x2 + xy + xyz 2
 ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèÿõ èíîãäà çàìåíÿþò ïîëíîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè åå äèôôåðåíöèàëîì, ò.å. ïîëàãàþò
Ïðèìåíåíèå ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà ê ïðèáëèæåííûì âû÷èñëåíèÿì è îöåíêå ïîãðåøíîñòåé
Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ ôóíêöèþ z = z (x; y ), îïðåäåëåííóþ â îáëàñòè
è äèôôåðåíöèðóåìóþ â òî÷êå M (x; y ). Òîãäà åå ïîëíîå ïðèðàùåíèå ìîæíî
çàïèñàòü òàê
p
z = zx0 x + zy0 y + o() = dz + o() ïðè = (x)2 + (y )2 ! 0 :
105
Îöåíêà ïîãðåøíîñòåé ñ ïîìîùüþ ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà
Ïðè âûïîëíåíèè ðàçëè÷íûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïðèõîäèòñÿ ñíèìàòü ïîêàçàíèÿ ñ ïðèáîðîâ, à çàòåì âû÷èñëÿòü èíòåðåñóþùóþ íàñ ôèçè÷åñêóþ âåëè÷èíó ïî íåêîòîðîé ôîðìóëå. Åñòåñòâåííî, ÷òî ïðè ýòîì ýêñïåðèìåíòàòîðà èíòåðåñóþò ïîãðåøíîñòè òàêèõ èçìåðåíèé. Ðàññìîòðåíèå ïðîâåäåì äëÿ ñëó÷àÿ ôóíêöèè, çàâèñÿùåé îò äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, ò.å. z = z (x; y ).
Ïóñòü ìû èçìåðÿåì âåëè÷èíû x è y ñ ïîãðåøíîñòÿìè x è y . Ïîãðåøíîñòè ýòè íàì íå èçâåñòíû, íî ìû ìîæåì îöåíèòü èõ ñâåðõó: jxj 6 1 ,
jyj 6 2 . Çäåñü ïîëîæèòåëüíûå âåëè÷èíû 1 è 2 äàþò íàì àáñîëþòíûå
ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé âåëè÷èí x è y .
Äîïóñòèì, ÷òî íàì íàäî îöåíèòü àáñîëþòíóþ ïîãðåøíîñòü âû÷èñëåíèÿ
âåëè÷èíû z = z (x; y ). Î÷åâèäíî, ÷òî îøèáêà âû÷èñëåíèÿ âåëè÷èíû z
z = z (x + x; y + y ) z (x; y ) :
Åñëè ïðèðàùåíèÿ x è y ìàëû ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå, òî, çàìåíÿÿ ïîëíîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè åå äèôôåðåíöèàëîì, ïîëó÷èì
z dz = zx0 x + zy0 y :
106
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî àáñîëþòíóþ ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèé ìîæíî îöåíèòü
òàê
jzj Ÿ 4
zx0 x + zy0 y
6 jz0 jjxj + jz0 jjyj 6 jz0 j 1 + jz0 j 2 :
x
y
x
y
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñëîæíûõ ôóíêöèé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ
1
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñëîæíîé ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ äâóõ àðãóìåíòîâ z = z (x; y ). Ïóñòü, â ñâîþ î÷åðåäü
àðãóìåíòû x è y ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè íåêîòîðîãî àðãóìåíòà t: x = x(t),
y = y (t). Òîãäà ÿñíî, ÷òî z ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé ôóíêöèåé àðãóìåíòà t, ïðè÷åì
x è y âûñòóïàþò çäåñü â êà÷åñòâå ïðîìåæóòî÷íûõ àðãóìåíòîâ, ò.å. z =
z (x(t); y (t)).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ z = z (x; y ) äèôôåðåíöèðóåìà â íåêîòîðîé
òî÷êå M (x; y ), à ôóíêöèè x = x(t) è y = y (t) äèôôåðåíöèðóåìû ïî ïåðåìåííîé t. Òîãäà ÿñíî, ÷òî åñëè ïåðåìåííàÿ t ïîëó÷èò ïðèðàùåíèå t, òî
ïåðåìåííûå x = x(t) è y = y (t) ïîëó÷àò ïðèðàùåíèÿ x è y , ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ z = z (x(t); y (y )) ïîëó÷èò ïîëíîå ïðèðàùåíèå
òîãäà
1
1
1 4tpcos2 t2 sin t2
:
=
2
2
2 x + y cos t 2 cos2 t cos2 t2 + tg t
Íåòðóäíî îáîáùèòü ñêàçàííîå íà ñëó÷àé z = z (t; x(t); y (t)). Ïîëó÷èì
dz = z 0 + z 0 x0 + z 0 y 0 èëè dz = @z + @z dx + @z dy :
t
x t
y t
dt
dt @t @x dt @y dt
dz , åñëè z = xyt2 , x = ln pt, y = earctg t .
Ïðèìåð 2. Íàéòè
dt
dz =
dt
Ðåøåíèå.
Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
Ïðèìåð 1.
Ðåøåíèå.
dz = z 0 x0 + z 0 y 0 èëè dz = @z dx + @z dy :
x t
y t
dt
dt @x dt @y dt
dz , åñëè z = px2 + y , x = cos t2 , y = tg t.
Íàéòè
dt
Èìååì
x0t = 2t sin t2 ;
x ;
zx0 = p 2
x +y
yt0 = 12 ;
cos t
1
0
zy = p 2
;
2 x +y
107
ßñíî, ÷òî
ïîëó÷èì
2t sin t2 +
p
zt0 = 2xyt ;
x0t = 1 ;
2t
zx0 = yt2 ;
zy0 = xt2 ;
arctg t
yt0 = e 2 ;
1+t
dz = 2xyt + yt2 1 + xt2 earctg t = t earctg t 2 ln t + t ln t + 1 :
dt
2t
1 + t2 2
1 + t2
q
z = zx0 x + zy0 y + o () ïðè = (x)2 + (y )2 ! 0 :
Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà íà t
z
= zx0 x + zy0 y + o() :
t
t
t
t
Óñòðåìèì òåïåðü t ê íóëþ, òîãäà è x ! 0, y ! 0, ïðè÷åì
y = y 0 ;
z = dz ;
lim x = x0t ;
t
lim
t!0 t
lim
t!0 t
dt s t!0 t
q
= lim
x 2 + y 2 = (x0 )2 + (y 0 )2 :
lim
t
t
t!0 t t!0
t
t
x
x2 + y
p
2
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñëîæíîé ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ
Ðàññìîòðèì òåïåðü âîïðîñ î äèôôåðåíöèðîâàíèè ôóíêöèè z = z (u; v ),
ãäå â ñâîþ î÷åðåäü, u = u(x; y ), v = v (x; y ), ïðè÷åì ôóíêöèÿ z = z (u; v )
äèôôåðåíöèðóåìà ïî ñâîèì àðãóìåíòàì u è v , à ôóíêöèè u(x; y ) è v (x; y ), â
ñâîþ î÷åðåäü, äèôôåðåíöèðóåìû ïî ïåðåìåííûì x è y . Äàäèì ïðèðàùåíèå
ïåðåìåííîé x, òîãäà ôóíêöèè u(x; y ) è v (x; y ) ïîëó÷àþò ÷àñòíûå ïðèðàùåíèÿ x u è x v , ôóíêöèÿ z (x; y ) ïîëó÷èò ïîëíîå ïðèðàùåíèå, âûçâàííîå
èçìåíåíèÿìè ïåðåìåííûõ u è v , íî ïî îòíîøåíèþ ê ïåðåìåííîé x ýòî ïðèðàùåíèå áóäåò ÷àñòíûì, ò.å. ïîëó÷èì
q
(x u)2 + (y v )2 ! 0 :
Ðàçäåëèì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà íà x
u
v o() x z
= zu0 x + zv0 x +
:
x
x
x
x
Óñòðåìëÿÿ x ê íóëþ, ïîëó÷èì
zx0 = zu0 u0x + zv0 vx0 èëè @z = @z @u + @z @v :
@x @u @x @v @x
x z = zu0 x u + zv0 x v + o() ïðè =
Àíàëîãè÷íî
@z = @z @u + @z @v :
zy0 = zu0 u0y + zv0 vy0 èëè
@y @u @y @v @y
108
@z
@z
è
, åñëè z =
Âû÷èñëèòü
@x @y
Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó
Ïðèìåð 3.
òî
@z = p2u + v ;
@u 2 u2 + uv
@u = 3y cos(3xy ) ;
@x
@v = y sin y ;
@x x2 x
p2
u + uv , u = sin(3xy ), v = cos y .
x
@z = p u
;
@v 2 u2 + uv
@u = 3x cos(3xy ) ;
@y
@v
1
y
=
sin ;
@y
x x
y
@z = p2u + v 3y cos(3xy ) + p u
y
2 + uv x2 sin x =
@x 2 u2 + uv
2
u
3y 2 sin(3xy ) + cos y cos(3xy ) + y2 sin(3xy ) sin y
x
x
x:
r
=
y
2
2 sin (3xy ) + sin(3xy ) cos
x
Ïðåäîñòàâèì ÷èòàòåëþ âîçìîæíîñòü íàéòè âûðàæåíèå äëÿ ÷àñòíîé ïðîèç@z .
âîäíîé
@y
3
2) F (x0 ; y0 ) = 0 ,
3) Fy0 (x0 ; y0 ) 6= 0 .
Òîãäà ñóùåñòâóåò, è ïðè÷åì åäèíñòâåííàÿ, ôóíêöèÿ y = y(x), êîòîðàÿ
îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 è îáëàäàåò ñëåäóþùèìè
ñâîéñòâàìè
1) ôóíêöèÿ y = y(x) äèôôåðåíöèðóåìà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 ,
2) y0 = y(x0 ) ,
3) F (x; y(x)) 0 .
Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ z = F (x; y ) óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèÿì, ñôîðìóëèðîâàííûì â òåîðåìå. Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ íåÿâíî çàäàííîé ôóíêöèè yx0 . Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî x îáå ÷àñòè òîæäåñòâà
F (x; y (x)) 0. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ïîëó÷åííîå âûøå ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè, çàâèñÿùåé îò íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ,
ïîëó÷èì
Fx0 + Fy0 yx0 = 0 ;
îòêóäà ñëåäóåò
0
yx0 = Fx0 èëè dy =
Fy
dx
Äèôôåðåíöèðîâàíèå íåÿâíûõ ôóíêöèé
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ àðãóìåíòà x, çàäàííóþ íåÿâíî, ò.å. ôóíêöèþ
y = y (x), çàäàííóþ ñîîòíîøåíèåì âèäà F (x; y ) = 0. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî
âûðàæåíèå çàäàåò ôóíêöèþ ëèøü â òîì ñëó÷àå, åñëè êàæäîìó çíà÷åíèþ
àðãóìåíòà x â ñèëó ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ëèøü åäèíñòâåííîå
çíà÷åíèå y . Î÷åâèäíî, ÷òî íå âñåãäà èç ñîîòíîøåíèÿ F (x; y ) = 0 óäàåòñÿ
íàéòè y . Òåì íå ìåíåå, âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü íàõîäèòü ïðîèçâîäíóþ yx0
íåÿâíî çàäàííîé ôóíêöèè. Î÷åâèäíî, ÷òî îïåðàöèþ îòûñêàíèÿ ïðîèçâîäíîé â äàííîì ñëó÷àå íå ñëåäóåò âûïîëíÿòü ôîðìàëüíî, ò.å. íóæíî îòäàâàòü
ñåáå îò÷åò â òîì, à çàäàåò ëè âîîáùå ñîîòíîøåíèå F (x; y ) = 0 ôóíêöèþ,
åäèíñòâåííàÿ ëè îíà è ñóùåñòâóåò ëè ïðîèçâîäíàÿ yx0 . Î÷åâèäíî, íàïðèìåð,
÷òî óðàâíåíèå x2 + y 2 + 1 = 0 íå îïðåäåëÿåò íèêàêîé ôóíêöèè.
Ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû, äàþùåé äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ, åäèíñòâåííîñòè è äèôôåðåíöèðóåìîñòè
íåÿâíî çàäàííîé ôóíêöèè y = y (x), îïðåäåëÿåìîé ñîîòíîøåíèåì
F (x; y ) = 0.
@F
@x
@F :
@y
Àíàëîãè÷íîå ðàññìîòðåíèå ìîæíî ïðîâåñòè è äëÿ ôóíêöèè z = z (x; y ),
îïðåäåëÿåìîé ñîîòíîøåíèåì F (x; y; z ) = 0. Åñëè ôóíêöèÿ z = z (x; y ) îïðåäåëÿåòñÿ ýòèì ñîîòíîøåíèåì, òî F (x; y; z (x; y )) 0. Âûïîëíÿÿ ÷àñòíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå, ïîëó÷èì
Fx0 + Fz0 zx0 = 0 ;
îòêóäà ñëåäóåò
Fy0 + Fz0 zy0 = 0 ;
F0
Fx0 ;
zy0 = y0 :
0
Fz
Fz
0
Ïðèìåð 4. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ yx ôóíêöèè y = y (x), çàäàííîé íåÿâíûì
óðàâíåíèåì x2 + y 2 1 = 0.
zx0 =
Çàìåòèì, ÷òî äàííîå óðàâíåíèå îïðåäåëÿåò îêðóæíîñòü. Äèôôåðåíöèðóåì óðàâíåíèå x2 + y 2 1 = 0 ïî÷ëåííî ïî x êàê ñëîæíóþ ôóíêöèþ
Ðåøåíèå.
Ïóñòü ôóíêöèÿ z = F (x; y) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì
1) F (x; y) îïðåäåëåíà â îêðåñòíîñòè
òî÷êè (x0 ; y0 ), ïðè÷åì F (x; y) è
åå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå Fx0 (x; y) è Fy0 (x; y) íåïðåðûâíû â óêàçàííîé
îêðåñòíîñòè,
Îòñþäà ñëåäóåò yx0 = x=y . ßñíî, ÷òî â òî÷êàõ, ãäå y = 0, ïðîèçâîäíàÿ
îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü (êàñàòåëüíàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ê îñè Ox).
109
110
Òåîðåìà 1.
2x + 2y yx0 = 0 :
Ÿ 5
×àñòíûå ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ
Ÿ 6
Ðàññìîòðèì äèôôåðåíöèðóåìóþ ôóíêöèþ z = z (x; y ). Î÷åâèäíî, ÷òî âûïîëíèâ ÷àñòíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå, íàéäåì
@z
@z
= f1 (x; y ),
= f2 (x; y ),
@x
@y
ãäå f1 (x; y ) è f2 (x; y ) íåêîòîðûå ôóíêöèè, è åñëè îíè â ñâîþ î÷åðåäü äèô-
@f1 , @f1 à òàêæå @f2 è @f2 .  ýòîì ñëó÷àå
@x @y
@x @y
ãîâîðÿò î ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè z = z (x; y ). Äëÿ
ôåðåíöèðóåìû, òî ìîæíî íàéòè,
÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà ââîäÿò ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ
@ @z =
@x @x
@ @z =
@y @x
@2z
00 ;
= zxx
@x2
@ 2 z = z 00 ;
xy
@x@y
@ @z
=
@y @y
@ @z =
@x @y
@2z
00 ;
= zyy
@y 2
@ 2 z = z 00 :
yx
@y@x
Àíàëîãè÷íî ââîäÿòñÿ â ðàññìîòðåíèå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà. Íàïðèìåð,
@nz
@ @n 1z
;
=
@xn @x @xn 1
@nz
@ @n 1z
=
@ n 1 y@x @x @y n 1
Åñëè ó ôóíêöèè z = z(x; y) â íåêîòîðîé00 îáëàñòè
R2 ñóùå00
ñòâóþò íåïðåðûâíûå ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå
z è zyx , òî îíè ñîâïà00 (x; xy
00 (x; y ) äëÿ ëþáîé
äàþò â êàæäîé òî÷êå ýòîé îáëàñòè, ò.å. zxy
y ) = zyx
òî÷êè (x; y) 2 .
Òåîðåìà 1.
Óáåäèòüñÿ, ÷òî ó ôóíêöèè z = sin xy 2 ñîâïàäàþò ñìåøàííûå
ïðîèçâîäíûå.
Ðåøåíèå.
zx0 = y 2 cos xy 2 ;
zy0 = 2yx cos xy 2 ;
00 = 2y cos xy 2 2xy 3 sin xy 2 ;
zyx
00 = 2y cos xy 2 2xy 3 sin xy 2 :
zxy
00 è zyx
00 ñîâïàäàþò. Èõ íåïðåðûâÌû âèäèì, ÷òî ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå zxy
íîñòü íà âñåé ïëîñêîñòè Oxy î÷åâèäíà.
111
ñëåäîâàíèå èíâàðèàíòíîñòè èõ ôîðìû
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ z = z (x; y ). Åñëè îíà äèôôåðåíöèðóåìà, òî, êàê
ìû ýòî âûÿñíèëè ðàíåå, ëèíåéíàÿ îòíîñèòåëüíî x è y ÷àñòü ïîëíîãî
ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì ýòîé ôóíêöèè,
ò.å.
dz = zx0 x + zy0 y :
Çàìåòèì, ÷òî çäåñü x è y ïðèðàùåíèÿ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ x
è y ñîîòâåòñòâåííî. Íàïîìíèì, ÷òî â ñëó÷àå äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè
îäíîé ïåðåìåííîé y = y (x) åå äèôôåðåíöèàë îïðåäåëÿåòñÿ òàê
dy = yx0 x :
 ÷àñòíîñòè, åñëè y = x , òî äèôôåðåíöèàë ýòîé ôóíêöèè dx = x. Îòñþäà
ñëåäóåò, ÷òî äèôôåðåíöèàë íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé x ñîâïàäàåò ñ åå ïðèðàùåíèåì. Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî dy = y . À òîãäà ïîëíûé äèôôåðåíöèàë
ôóíêöèè z = z (x; y ) ìîæíî çàïèñàòü òàê
dz = zx0 dx + zy0 dy :
Ñêàæåì íåñêîëüêî ñëîâ î òàê íàçûâàåìûõ ñìåøàííûõ ïðîèçâîäíûõ.
00 è zyx
00 . Î÷åÎñòàíîâèìñÿ íà ñìåøàííûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà zxy
âèäíî, ÷òî ýòè ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå îòëè÷àþòñÿ òîëüêî ïîðÿäêîì âûïîëíåíèÿ îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Âîçíèêàåò âîïðîñ, ïðè âûïîëíåíèè êàêèõ óñëîâèé ýòè ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå ñîâïàäàþò, ò.å. íå çàâèñÿò
îò ïîðÿäêà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùóþ
òåîðåìó î ñìåøàííûõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.
Ïðèìåð 1.
Äèôôåðåíöèàëû ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Èñ-
Ïîêàæåì, ÷òî ýòà ôîðìà äèôôåðåíöèàëà îáëàäàåò ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñòè è íà òîò ñëó÷àé, êîãäà ïåðåìåííûå x è y íå íåçàâèñèìûå, à ÿâëÿþòñÿ
ôóíêöèÿìè íåêîòîðîãî àðãóìåíòà t, ò.å. z = z (x(t); y (t)). Äåéñòâèòåëüíî
dz = zt0 dt = zx0 x0t + zy0 yt0 dt = zx0 dx + zy0 dy ;
ò.å
ãäå x = x(t) ; y = y (t) :
dz = zx0 dx + zy0 dy ;
Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî x è y çàâèñÿò íå îò îäíîãî, à îò äâóõ íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ, ò.å. x = x(u; v ), y = y (u; v ). Òîãäà z = z (x(u; v ); y (u; v )),
ïðè÷åì ôóíêöèè x = x(u; v ), y = y (u; v ) ïðåäïîëàãàþòñÿ äèôôåðåíöèðóåìûìè ïî ïåðåìåííûì u è v . Î÷åâèäíî, ÷òî
dz = zu0 du + zv0 dv = zx0 x0u + zy0 yu0 du + zx0 x0v + zy0 yv0 dv =
= zx0 x0u du + x0v dv + zy0 yu0 du + yv0 dv = zx0 dx + zy0 dy ;
ò.å. îêîí÷àòåëüíî
dz = zx0 dx + zy0 dy ;
ãäå x = x(u; v ) ;
y = y (u; v ) ;
ò.å. ôîðìà ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà ñîõðàíÿåòñÿ è â òîì ñëó÷àå, åñëè x è y
çàâèñÿò â ñâîþ î÷åðåäü îò äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ u è v .
Ñäåëàåì òåïåðü íåêîòîðûå îáîáùåíèÿ. Èòàê, ðàññìîòðèì äèôôåðåíöèðóåìóþ ôóíêöèþ äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ z = z (x; y ). Òîãäà, êàê ìû
òîëüêî ÷òî âûÿñíèëè, åå ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ðàâåí
dz = zx0 (x; y ) x + zy0 (x; y ) y :
112
Î÷åâèäíî, ÷òî ïðèðàùåíèÿ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ x è y íå çàâèñÿò îò
òîãî, â êàêîé òî÷êå âûïîëíÿåòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèè
z = z (x; y ). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âûáðàâ ýòè ïðèðàùåíèÿ, ìû èõ çàôèêñèðîâàëè. Òîãäà ïîëíûé äèôôåðåíöèàë dz ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê íåêîòîðàÿ
ôóíêöèÿ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ x è y , à òîãäà ìîæíî ñòàâèòü âîïðîñ î
åå äèôôåðåíöèðîâàíèè, ò.å. î ñóùåñòâîâàíèè äèôôåðåíöèàëà îò äèôôåðåíöèàëà, ò.å. d (dz ). Åñëè äèôôåðåíöèðóåìà íå òîëüêî ôóíêöèÿ z (x; y ), íî
è åå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå zx0 (x; y ) è zy0 (x; y ), òî òîãäà ñóùåñòâóåò äèôôåðåíöèàë îò äèôôåðåíöèàëà, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ âòîðûì äèôôåðåíöèàëîì
ôóíêöèè z = z(x; y), è îáîçíà÷àåòñÿ d2 z, ò.å.
d2 z = d (dz ) :
d2 z = zx0 x + zy0 y 0x x + zx0 x + zy0 y 0y y =
00 (x)2 + 2z 00 xy + z 00 (y )2 :
= zxx
xy
yy
Íàïîìíèì, ÷òî çäåñü x = dx, y = dy . Îáîçíà÷àÿ èõ êâàäðàòû
(x)2 = dx2 , (y )2 = dy 2 , ìîæåì çàïèñàòü âòîðîé äèôôåðåíöèàë òàê
d2 z = z 00 dx2 + 2z 00 dxdy + z 00 dy 2 :
xy
yy
Íàïîìíèì, ÷òî ìû ïðåäïîëàãàëè çäåñü, ÷òî x è y íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå. Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî, îïðåäåëÿÿ ïîëíûé äèôôåðåíöèàë òðåòüåãî ïîðÿäêà ôóíêöèè z = z (x; y ) êàê ïîëíûé äèôôåðåíöèàë îò äèôôåðåíöèàëà âòîðîãî ïîðÿäêà, ò.å.
d3 z = d d2 z ;
âûïîëíèâ àíàëîãè÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîëó÷èì
000 dx3 + 3z 000 dx2 dy + 3z 000 dxdy 2 + z 000 dy 3 :
d3 z = zxxx
yyy
xyy
xxy
Äëÿ óäîáñòâà çàïèñè ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà ëþáîãî ïîðÿäêà ââîäÿò
òàêóþ ñèìâîëè÷åñêóþ çàïèñü
dn z =
n
@
@
dx + dy z ;
@x
@y
êîòîðóþ ñëåäóåò ïîíèìàòü êàê íåêèé ¾îïåðàòîð¿, ïðèìåíåíèå êîòîðîãî ê
ôóíêöèè z = z (x; y ) ïðåäïîëàãàåò âûïîëíåíèå ÷àñòíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ôóíêöèè z = z (x; y ), ïðè÷åì ïîðÿäîê ýòèõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ îïðåäåëÿåòñÿ ñòåïåíüþ ñîîòâåòñòâóþùåãî ñëàãàåìîãî â ïðàâîé ÷àñòè, êîòîðàÿ
ðàñêðûâàåòñÿ êàê ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà.
113
@x
@y
@z
Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîëíûé äèôôåðåíöèàë âòîðîãî ïîðÿäêà
00 dx2 + 2z 00 dxdy + z 00 dy 2 :
d2 z = zxx
xy
yy
Î÷åâèäíî, ÷òî
xx
Íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ u = u(x; y; z ) çàâèñèò îò
òðåõ íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ, òî î÷åâèäíî, ÷òî åå ïîëíûé äèôôåðåíöèàë
ðàâåí
du = u0x dx + u0y dy + u0z dz ;
ïðè÷åì äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà n-ãî ïîðÿäêà òàêîé ôóíêöèè, åñëè îí ñóùåñòâóåò, èìååò ìåñòî òàêàÿ ñèìâîëè÷åñêàÿ çàïèñü
n
dn u = @ dx + @ dy + @ dz u :
Âûÿñíèì, ñîõðàíÿåòñÿ ëè ôîðìà âòîðîãî ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà, åñëè ïåðåìåííûå x è y íå íåçàâèñèìûå, à ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè íåêîòîðîãî àðãóìåíòà t, ò.å x = x(t), y = y (t). Äðóãèìè ñëîâàìè, âûÿñíèì, îáëàäàåò ëè
ïîëíûé äèôôåðåíöèàë âòîðîãî ïîðÿäêà ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñòè ñâîåé
ôîðìû?
Èòàê, ïîëàãàåì z = (x(t); y (t)). Òîãäà
dz = zt0 dt = zx0 dx + zy0 dy ;
ò.å. ïåðâûé äèôôåðåíöèàë ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñòè ñâîåé ôîðìû îáëàäàåò. Äàëåå
d2 z = d (dz ) = zx0 dx + zy0 dy 0t dt = zx0 x0t + zy0 yt0 0t dt2 =
00 (x0 )2 + z 00 x0 y 0 + z 0 x00 + z 00 y 0 x0 + z 00 (y 0 )2 + z 0 y 00 dt2 =
= zxx
t
xy t t
x tt
yx t t
yy t
y tt
00 dx2 + 2z 00 dxdy + z 00 dy 2 +z 0 d2 x+z 0 d2 y = d2 z +z 0 d2 x+z 0 d2 y 6= d2 z :
= zxx
xy
yy
x
y
x
y
Âûâîä: âòîðîé äèôôåðåíöèàë íå îáëàäàåò ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñòè
ñâîåé ôîðìû. Àíàëîãè÷íî íå îáëàäàþò òàêèìè ñâîéñòâàìè è äèôôåðåíöèàëû áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ.
Çàìåòèì, ÷òî èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿåò òîò ñëó÷àé, êîãäà x è y ÿâëÿþòñÿ
ëèíåéíûìè ôóíêöèÿìè àðãóìåíòà t, ò.å. x = at + b, y = ct + d. (Ïðåäîñòàâëÿåì âîçìîæíîñòü ÷èòàòåëþ óáåäèòüñÿ â ýòîì ñàìîñòîÿòåëüíî). Ïðè÷åì
ýòî îñòàåòñÿ â ñèëå äëÿ ñëîæíîé ôóíêöèè ëþáîãî ÷èñëà àðãóìåíòîâ, ò.å.
ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ, îáëàäàåò ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñòè ñâîåé ôîðìû òîëüêî â ñëó÷àå
ëèíåéíûõ çàìåí ïåðåìåííûõ.
 çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî íàðÿäó ñ ïîíÿòèåì ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà
ôóíêöèè íåñêîëüêèõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ dz ñóùåñòâóþò òàê íàçûâàåìûå ÷àñòíûå äèôôåðåíöèàëû ôóíêöèè z = z (x; y ) ïî àðãóìåíòàì x è y ,
êîòîðûå îáîçíà÷àþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî dx z è dy z , ò.å.
dy z = zy0 dy :
dx z = zx0 dx ;
114
Ãåîìåòðè÷åñêè dx z îçíà÷àåò ïðèðàùåíèå ôóíêöèè z (x; y ) â òî÷êå (x; y ) âäîëü
êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé â òî÷êå (x; y ) ê ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè
z = z (x; y ) ñ ïëîñêîñòüþ y = const. Àíàëîãè÷íûé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë
èìååò è ÷àñòíûé äèôôåðåíöèàë dy z . Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ ýòî åñòü ñóììà âñåõ ÷àñòíûõ
äèôôåðåíöèàëîâ ýòîé ôóíêöèè.
Ÿ 7
Ðàíåå ìû âûâåëè ôîðìóëó Òåéëîðà äëÿ ôóíêöèè îäíîãî àðãóìåíòà
f 00 (a)
f (n 1) (a)
f (n) (c)
f (x) = f (a)+f 0 (a)(x a)+
(x a)2 +: : :+
(x a)n 1 +
(x a)n ;
2!
(n 1)!
n!
ãäå c ëåæèò ìåæäó x è a.
Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ ïðåäñòàâèìîñòè ôóíêöèè y = f (x) ôîðìóëîé Òåéëîðà
äîñòàòî÷íî, ÷òîáû â îêðåñòíîñòè òî÷êè x = a ôóíêöèÿ y = f (x) áûëà áû
äèôôåðåíöèðóåìà n ðàç.
Îáîáùèì ôîðìóëó Òåéëîðà íà ñëó÷àé ôóíêöèè, çàâèñÿùåé îò íåñêîëüêèõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì äëÿ ôóíêöèè z =
z (x; y ). Äîïóñòèì, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà n ðàç ïî ñâîèì àðãóìåíòàì â îêðåñòíîñòè U" (x0 ; y0 ) òî÷êè (x0 ; y0 ), ïðèíàäëåæàùåé íåêîòîðîé
îáëàñòè ïëîñêîñòè Oxy . Ïóñòü òî÷êà (x0 + x; y0 + y ) ïðèíàäëåæèò ýòîé
îêðåñòíîñòè.
Çàôèêñèðóåì x, y è ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñëîæíóþ ôóíêöèþ àðãóìåíòà t, îïðåäåëåííóþ ñëåäóþùèì îáðàçîì
x(t) = x0 +tx ; y (t) = y0 +ty ;
ãäå
t 2 [0; 1] :
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ x(t) è y (t) äàþò íàì
óðàâíåíèÿ îòðåçêà ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè (x0 ; y0 ) è (x0 + x; y0 + y )
(ðèñ. 7).
y
dk f (t) = dk z (x; y )
=
Ôîðìóëà Òåéëîðà
f (t) = z (x(t); y (t)) ;
Íàïîìíèì, ÷òî ïðè òàêîé çàâèñèìîñòè ïåðåìåííûõ x è y îò ïàðàìåòðà t,
îáëàäàåò ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñòè íå òîëüêî ïåðâûé ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè z = z (x; y ), íî è ïîëíûå äèôôåðåíöèàëû âòîðîãî, òðåòüåãî è
áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ, ò.å.
(
U" x0 ; y0
"
)
(x0 + x; y0 + y)
(x; y)
(x0; y0)
O
x
Ðèñ. 7.
115
x=x0 +tx; y=y0 +ty
k
@
@
dx + dy
@x
@y
=
z (x; y )
x=x0 +tx; y=y0 +ty
: (1)
ßñíî, ÷òî çäåñü dx = x dt, dy = y dt. Íàïèøåì ôîðìóëó Òåéëîðà äëÿ
ôóíêöèè f (t) çàìåíèâ â íåé a íà t, à x íà t + t. Òîãäà ïîëó÷èì
(n 1) (t)
(n)
00
(t)n 1 + f (c) (t)n ;
f (t + t) = f (t)+f 0 (t)t+ f (t) (t)2 +: : :+ f
2!
(n 1)!
n!
ãäå c = t + t, 0 < < 1, ò.å. c åñòü òî÷êà, ëåæàùàÿ ìåæäó t è t + t. Ýòó
ôîðìóëó ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê
d2 f (t)
dn 1 f (t) dn f (t + t)
+:::+
+
; 0 < < 1:
2!
(n 1)!
n!
Ïîëîæèì òåïåðü çäåñü t = 0, t = 1 è íàïîìíèì, ÷òî ïðè t = 0 ìû
èìååì òî÷êó (x0 ; y0 ), à ïðè t = 1 òî÷êó (x0 + x; y0 + y ), êðîìå òîãî
f (0) = f (x0 ; y0 ), f (1) = f (x0 + x; y0 + y ), òîãäà ñ ó÷åòîì (1), ïîëó÷èì
f (t + t) f (t) = df (t) +
2
z (x0 + x; y0 + y ) = z (x0 ; y0 ) + dz (x0 ; y0 ) + d z (x0 ; y0 ) + : : :
2!
n 1 z (x0 ; y0 ) dn z (x + x; y + y )
d
0
0
+
+
;
0 < < 1;
(n 1)!
n!
ïðè÷åì çäåñü ñëåäóåò ïîëîæèòü x = dx, y = dy , ò.ê. t = dt, à ìû ïîëîæèëè t = 1, ñëåäîâàòåëüíî, äåéñòâèòåëüíî èç ñîîòíîøåíèé dx = x dt,
dy = y dt ñëåäóåò, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå x = dx, y = dy .
Èòàê, çäåñü â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà äèôôåðåíöèàëû dx è dy ñîâïàëè
ñ çàðàíåå âçÿòûìè ïðèðàùåíèÿìè x è y ïåðåìåííûõ x è y , ò.å. â ïðàâîé
÷àñòè ñòîÿò ïîëíûå äèôôåðåíöèàëû ðàçëè÷íûõ ïîðÿäêîâ ôóíêöèè z =
z (x; y ) äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ x è y . Ââåäåì ïîëíîå ïðèðàùåíèå
ýòîé ôóíêöèè z (x0 ; y0 ) = z (x0 + x; y0 + y ) z (x0 ; y0 ), òîãäà âûâåäåííóþ
ôîðìóëó ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê
d2 z (x0 ; y0 ) + : : :
2!
n 1 z (x0 ; y0 ) dn z (x + x; y + y )
d
0
0
+
+
;
0 < < 1:
(n 1)!
n!
z (x0 ; y0 ) = dz (x0 ; y0 ) +
116
Ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Òåéëîðà n-ãî ïîðÿäêà. Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå, êàê è ðàíåå, íàçûâàåòñÿ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå
Ëàãðàíæà. Îòáðàñûâàÿ îñòàòî÷íûé ÷ëåí, ìû ïîëó÷àåì ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî, òî÷íîñòü êîòîðîãî ñëåäóåò îöåíèòü, îöåíèâàÿ ñâåðõó ìîäóëü îòáðîøåííîãî îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà. È â ÷àñòíîñòè, çàìåíÿÿ ïîëíîå ïðèðàùåíèå
ôóíêöèè äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ åå äèôôåðåíöèàëîì, ìû ìîæåì
îöåíèòü ïîãðåøíîñòü, îöåíèâàÿ ìîäóëü îòáðîøåííîãî îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà
00 (x; y ) (x)2 + 2z 00 (x; y )xy + z 00 (x; y ) (y )2 R2 = 1 zxx
xy
yy
x=x0 +x; y=y0 +y :
2!
Çàìåòèì, ÷òî àíàëîãè÷íàÿ ôîðìóëà Òåéëîðà èìååò ìåñòî è äëÿ ôóíêöèè
ëþáîãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ.
Ÿ 8
Ïðèëîæåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ ôóíêöèé
ßñíî, ÷òî âåêòîð
ò.å. âåêòîð, êàñàòåëüíûé ê êðèâîé, ëåæàùåé íà ïîâåðõíîñòè S . Ìíîæåñòâî
òàêèõ êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ ê ðàçëè÷íûì êðèâûì, ïðîõîäÿùèì ÷åðåç òî÷êó M0 (x0 ; y0 ; z0 ) íà ïîâåðõíîñòè, ëåæèò â ïëîñêîñòè, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ
êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ ê ïîâåðõíîñòè S â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ; z0 ). Èç ñîîòíîøåíèÿ (1) ÿñíî, ÷òî âåêòîð ïåðïåíäèêóëÿðåí ê êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè
â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ; z0 ). Òàêîé âåêòîð íàçûâàåòñÿ íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè S
â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ; z0 ).
Òåïåðü íåòðóäíî íàéòè óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê ïîâåðõíîñòè
S â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ; z0 ), à òàêæå íàéòè êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé,
íà êîòîðîé ëåæèò íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè S . Äåéñòâèòåëüíî, êàñàòåëüíàÿ
ïëîñêîñòü ê ïîâåðõíîñòè S ñ óðàâíåíèåì F (x; y; x) = 0 â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ; z0 )
èìååò óðàâíåíèå
N
Fx0 (x0 ; y0 ; z0 )(x x0 ) + Fy0 (x0 ; y0 ; z0 )(y y0 ) + Fz0 (x0 ; y0 ; z0 )(z z0 ) = 0 :
íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ
1
Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü è íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè
N
z
S
M0
2
1
y
x
Ðèñ. 8.
Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ ïîâåðõíîñòü S , çàäàííóþ óðàâíåíèåì F (x; y; z ) = 0 (ðèñ. 8).
Ïóñòü ôóíêöèÿ F (x; y; z ) äèôôåðåíöèðóåìà, è
äîïóñòèì òàêæå, ÷òî íè â îäíîé òî÷êå ýòîé
ïîâåðõíîñòè âñå òðè ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå Fx0 ,
Fy0 , Fz0 â íîëü íå îáðàùàþòñÿ, ò.å. áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà ïîâåðõíîñòè S íåò îñîáûõ òî÷åê.
Çàôèêñèðóåì íà ýòîé ïîâåðõíîñòè íåêîòîðóþ
òî÷êó M0 (x0 ; y0 ; z0 ) è ïðîâåäåì ÷åðåç íåå ðàçëè÷íûå êðèâûå k , k = 1; 2; : : : ; n, ëåæàùèå íà
ýòîé ïîâåðõíîñòè, çàäàâ èõ ñ ïîìîùüþ ïàðàìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé
x = xk (t) ; y = yk (t) ; z = zk (t) ;
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ëåâóþ ÷àñòü ýòîé ôîðìóëû êàê ñëîæíóþ ôóíêöèþ ïî
ïåðåìåííîé t. Ïîëó÷èì
Fx0 x0t + Fy0 yt0 + Fz0 zt0 = 0 :
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå äâà âåêòîðà
Fx0 ; Fy0 ; Fz0 ;
117
T
Ïðèíèìàÿ çà íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ïîâåðõíîñòè â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ; z0 ), âåêòîð , ïîëó÷èì êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ
ýòîé íîðìàëè â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ; z0 )
N
x x0
y y0
z z0 :
=
=
Fx0 (x0 ; y0 ; z0 ) Fy0 (x0 ; y0 ; z0 ) Fz0 (x0 ; y0 ; z0 )
z
2
Ïðèìåð 1. Íàéòè óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé
ïëîñêîñòè è íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè S â òî÷êå M0 (1; 1; 2), åñëè óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè
z = x2 + y 2 (ðèñ. 9).
M0
k = 1; 2; : : : ; n :
ßñíî, ÷òî ò.ê. êðèâûå k ëåæàò íà ïîâåðõíîñòè S , òî èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ
F (xk (t); yk (t); zk (t)) = 0 ;
k = 1; 2; : : : ; n :
N
T åñòü êàñàòåëüíûé âåêòîð ê ãîäîãðàôó âåêòîðà
r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k ;
x0t ; yt0 ; zt0 :
(1)
1
1
x
Ðèñ. 9.
ò.å.
Ðåøåíèå. Çàïèøåì óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè
(ýòî ïàðàáîëîèä âðàùåíèÿ) òàê
N
y
F (x; y; z ) = x2 + y 2 z = 0 :
Íàéäåì Fx0 = 2x, Fy0 = 2y , Fz0 = 1. Ñëåäîâàòåëüíî â òî÷êå M0 (1; 1; 2) íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè N = (2; 2; 1). Òîãäà êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü èìååò óðàâíåíèå
2(x 1) + 2(y
2x + 2y
1) (z 2) = 0 ;
z 2 = 0:
Ñîîòâåòñòâåííî, ïðÿìàÿ, íà êîòîðîé ëåæèò íîðìàëüíûé âåêòîð
x 1 =y 1 =z 2:
2
2
1
118
N, òàêîâà
2
Ýêñòðåìóìû ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ
Àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî äëÿ ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé, ââîäÿòñÿ îïðåäåëåíèÿ ýêñòðåìóìà ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ.
Ðàññìîòðåíèå ïðîâåäåì äëÿ ôóíêöèè äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ.
Èòàê, äîïóñòèì, ÷òî íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ z = z (x; y ) îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îáëàñòè ïëîñêîñòè Oxy , è ïóñòü òî÷êà M0 (x0 ; y0 ) ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé
òî÷êîé ýòîé îáëàñòè. Äàäèì îïðåäåëåíèå ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà ôóíêöèè
z = z (x; y ), êîòîðûå ýòà ôóíêöèÿ äîñòèãàåò â íåêîòîðîé òî÷êå îáëàñòè .
Åñëè áû ìû ïîëîæèëè, ÷òî â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) ôóíêöèÿ èìååò ìèíèìóì,
òî ïîëó÷èëè áû òî÷íî òàêîé æå âûâîä. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæíî îôîðìèòü â âèäå òåîðåìû.
Òåîðåìà 1
@z (x0 ; y0 ) = 0 ;
@x
Îïðåäåëåíèå 1.
1) Ãîâîðÿò, ÷òî â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) ôóíêöèÿ z (x; y ) èìååò ìàêñèìóì, åñëè
ñóùåñòâóåò "-îêðåñòíîñòü U" (x0 ; y0 ) òî÷êè M0 òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ òî÷åê M èç ýòîé îêðåñòíîñòè (ïðè÷åì M 6= M0 ) èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
z (M ) < z (M0 ).
2) Ãîâîðÿò, ÷òî â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) ôóíêöèÿ z (x; y ) èìååò ìèíèìóì, åñëè ñóùåñòâóåò "-îêðåñòíîñòü U" (x0 ; y0 ) òî÷êè M0 òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ
òî÷åê M èç ýòîé îêðåñòíîñòè èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî z (M0 ) < z (M )
(M 6= M0 ).
Ìàêñèìàëüíîå è ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè â òî÷êå M0 íàçûâàþò
ïðîñòî ìàêñèìóì è ìèíèìóì ôóíêöèè z (x; y ) è îáîçíà÷àþò max z (x; y ) è
min z (x; y ). Ìàêñèìóìû è ìèíèìóìû, êàê è ðàíåå, íàçûâàþò ýêñòðåìóìàìè.
Èòàê, c ïîìîùüþ ëîãè÷åñêèõ ñèìâîëîâ ïðèâåäåííûå îïðåäåëåíèÿ ìîæíî
çàïèñàòü òàê
def
max z (x; y ) = z (x0 ; y0 ) ,
9" > 0; 8(x; y) 2 U" (x0 ; y0 ); M 6= M0 : z(x; y) < z(x0 ; y0 ) ;
min z (x; y ) = z (x0 ; y0 ) def
,
9" > 0; 8(x; y) 2 U" (x0 ; y0 ); M 6= M0 : z(x0 ; y0 ) < z(x; y) :
Çàìåòèì, ÷òî íå ñëåäóåò ñìåøèâàòü ïîíÿòèå ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà
ôóíêöèè ñ åå íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì çíà÷åíèåì.
Äîïóñòèì, ÷òî ôóíêöèÿ z = z (x; y ) äèôôåðåíöèðóåìà â îêðåñòíîñòè òî÷êè M0 (x0 ; y0 ) è èìååò â íåé ýêñòðåìóì (ìàêñèìóì èëè ìèíèìóì). Ïóñòü
äëÿ îïðåäåëåííîñòè â ýòîé òî÷êå ôóíêöèÿ z = z (x; y ) èìååò ìàêñèìóì. Ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî
8(x; y) 2 U" (x0 ; y0 ) n fM0 g : z(x; y) < z(x0 ; y0 ) ;
è, â ÷àñòíîñòè, z (x; y0 ) < z (x0 ; y0 ) . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ îäíîé
ïåðåìåííîé z (x; y0 ) â òî÷êå x0 èìååò ìàêñèìóì. Íî òîãäà â ýòîé òî÷êå
zx0 (x0 ; y0 ) = 0. Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî â ýòîé òî÷êå zy0 (x0 ; y0 ) = 0.
119
(Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðå-
Åñëè ôóíêöèÿ z = z(x; y), îïðåäåëåííàÿ â îáëàñòè ïëîñêîñòè
Oxy , èìååò â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) ýêñòðåìóì, òî åå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå
ïåðâîãî ïîðÿäêà â ýòîé òî÷êå îáðàùàþòñÿ â íîëü, ò.å.
ìåííûõ).
@z (x0 ; y0 ) = 0 :
@y
M0 (x0 ; y0 ) îáðàùàåòñÿ
Èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, â òî÷êå
äèôôåðåíöèàë ïåðâîãî ïîðÿäêà äàííîé ôóíêöèè.
â íîëü ïîëíûé
Çàìå÷àíèå. Îòìåòèì, ÷òî íå âñÿêàÿ òî÷êà, â êîòîðîé îáðàùàþòñÿ â íóëü
âñå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïåðâîãî ïîðÿäêà äàííîé ôóíêöèè, ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé, â êîòîðîé ôóíêöèÿ èìååò ýêñòðåìóì. Èíûìè ñëîâàìè, ðàâåíñòâî íóëþ
÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) åñòü íåîáõîäèìîå,
íî íå äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà.
3
Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà
Ïî-ïðåæíåìó äëÿ áîëüøåé êîìïàêòíîñòè èçëîæåíèÿ áóäåì ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèþ äâóõ ïåðåìåííûõ z = z (x; y ).
Èòàê, äîïóñòèì, ÷òî ìû íàøëè òî÷êó M0 (x0 ; y0 ), â êîòîðîé âûïîëíåíû
íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà, ò.å. òî÷êó, â êîòîðîé îáðàùàþòñÿ â íóëü
÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå zx0 (x0 ; y0 ) è zy0 (x0 ; y0 ). Êàê è ðàíåå, òî÷êó M0 (x0 ; y0 ) ìû
ìîæåì íàçâàòü ïîäîçðèòåëüíîé íà ýêñòðåìóì. Âûÿñíèì òåïåðü, êàêîâû
æå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ â ýòîé òî÷êå ôóíêöèÿ
áóäåò èìåòü ìàêñèìóì èëè ìèíèìóì.
Çàìåòèì, ÷òî äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ áóäóò íîñèòü íå ñëèøêîì ñòðîãèé õàðàêòåð.
Äîïóñòèì, ÷òî ôóíêöèÿ z (x; y ) â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) äèôôåðåíöèðóåìà òðèæäû. Íàïèøåì ôîðìóëó Òåéëîðà òðåòüåãî ïîðÿäêà äëÿ ýòîé ôóíêöèè â
òî÷êå M0 (x0 ; y0 )
z (x0 ; y0 ) = dz (x0 ; y0 ) +
1 2
d z (x0 ; y0 ) + 1 d3 z (x0 + 1 x; y0 + 2 y ) ;
2!
3!
ãäå x è y ïðîèçâîëüíûå ïðèðàùåíèÿ, êîòîðûå ïðåäïîëàãàþòñÿ äîñòàòî÷íî ìàëûìè ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå, z (x0 ; y0 ) = z (x0 + x; y0 + y )
z (x0 ; y0 ) ñîîòâåòñòâóþùåå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè z (x; y ) â òî÷êå M0 (x0 ; y0 )
è 0 < 1 < 1, 0 < 2 < 1.
 ñèëó òîãî, ÷òî íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà âûïîëíåíû, î÷åâèäíî, ÷òî dz (x0 ; y0 ) = 0, à òîãäà
1
z (x0 + x; y0 + y ) z (x0 ; y0 ) = d2 z (x0 ; y0 )+ 1 d3 z (x0 + 1 x; y0 + 2 y ) :
2!
3!
120
ßñíî, ÷òî åñëè x è y äîñòàòî÷íî ìàëû ïî ìîäóëþ, òî çíàê ïðàâîé ÷àñòè
ýòîãî ðàâåíñòâà îïðåäåëÿåòñÿ çíàêîì åãî ïåðâîãî ñëàãàåìîãî, ò.å. çíàêîì
d2 z (x0 ; y0 ), ò.ê. çäåñü â ïðàâîé ÷àñòè ñòîÿò îäíîðîäíûå ìíîãî÷ëåíû îòíîñèòåëüíî x è y ñîîòâåòñòâåííî âòîðîé è òðåòüåé ñòåïåíè.
Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå âûðàæåíèå äëÿ âòîðîãî äèôôåðåíöèàëà
00 (x0 ; y0 ) (x)2 + 2z 00 (x0 ; y0 )xy + z 00 (x0 ; y0 ) (y )2 :
d2 z (x0 ; y0 ) = zxx
xy
yy
Èòàê, åñëè d2 z (x0 ; y0 ) > 0, òî â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) ôóíêöèÿ èìååò ìèíèìóì,
ò.ê. â ýòîì ñëó÷àå z (x0 ; y0 ) < z (x0 + x; y0 + y ), åñëè d2 z (x0 ; y0 ) < 0, òî
ìàêñèìóì, ò.ê. òîãäà z (x0 + x; y0 + y ) < z (x0 ; y0 ).
Ìîæåò, îäíàêî, îêàçàòüñÿ, ÷òî d2 z (x0 ; y0 ) > 0 ïðè îäíèõ ñî÷åòàíèÿõ x
è y , à ïðè äðóãèõ d2 z (x0 ; y0 ) < 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) ó
ôóíêöèè z (x; y ) ýêñòðåìóìà íåò. Ãîâîðÿò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ èìååò
ìèíèìàêñ. Åñëè æå ýòî âûðàæåíèå çíàêà íå 2ìåíÿåò, íî ìîæåò îáðàùàòüñÿ â
íóëü, òî ýòî îçíà÷àåò ëèøü òî, ÷òî ïî çíàêó d z (x0 ; y0 ) íåëüçÿ ñóäèòü î íàëè÷èè ýêñòðåìóìà ó ôóíêöèè z (x; y ) â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ).  ýòîì ñëó÷àå ñëåäóåò
ðàññìîòðåòü ôîðìóëó Òåéëîðà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà è ïðîâåñòè àíàëîãè÷íûå
èññëåäîâàíèÿ. Àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû ñïðàâåäëèâû äëÿ ôóíêöèè, çàâèñÿùåé îò ëþáîãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ.
Ïîïûòàåìñÿ òåïåðü ïîëó÷èòü ïðîñòûå è óäîáíûå â ïðèìåíåíèè äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà äëÿ ôóíêöèè z (x; y ), âûðàæåííûå ÷åðåç çíà÷åíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè z (x; y ) â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ).
Äëÿ ýòîãî îáîçíà÷èì
00 (x0 ; y0 ) = A ;
zxx
00 (x0 ; y0 ) = B ;
zxy
00 (x0 ; y0 ) = C ;
zyy
x
=t
y
(äëÿ îïðåäåëåííîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî y 6= 0). Î÷åâèäíî, ÷òî
d2 z (x0 ; y0 ) = At2 + 2Bt + C (y )2 :
ßñíî, ÷òî çíàê ýòîãî âûðàæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ çíàêîì êâàäðàòíîãî
òðåõ
÷ëåíà '(t) = At2 + 2Bt + C . Åãî äèñêðèìèíàíò D = 4 B 2 AC .
Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè D < 0, òî ãðàôèê ôóíêöèè '(t) íå ïåðåñåêàåò îñü
Ot (êîðíè êîìïëåêñíûå), åñëè D > 0, òî ãðàôèê ôóíêöèè ïåðåñåêàåò îñü Ot
â äâóõ òî÷êàõ (êîðíè âåùåñòâåííûå), åñëè D = 0, òî ãðàôèê ôóíêöèè '(t)
êàñàåòñÿ îñè Ot (êîðíè âåùåñòâåííûå è ðàâíûå).
Ââåäåì òåïåðü â ðàññìîòðåíèå âåëè÷èíó = AC B 2 . Ïðèíèìàÿ âî
âíèìàíèå âñå âûøåñêàçàííîå, ìîæåì ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû
1) Åñëè > 0 , òî z ñîõðàíÿåò çíàê äëÿ âñåõ x è . Ïðè ýòîì, åñëè
A > 0, òî è z > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) ôóíêöèÿ z (x; y )
èìååò ìèíèìóì. Åñëè æå A < 0, òî è z < 0, ñëåäîâàòåëüíî, â òî÷êå
M0 (x0 ; y0 ) ôóíêöèÿ z (x; y ) èìååò ìàêñèìóì.
121
2) Åñëè < 0, òî äëÿ ðàçëè÷íûõ x è y ôóíêöèÿ '(t) èìååò ðàçëè÷íûå
çíàêè, â ñèëó ÷åãî z èçìåíÿåò çíàê â îêðåñòíîñòè òî÷êè M0 (x0 ; y0 ).
Ñëåäîâàòåëüíî, â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) ôóíêöèÿ ýêñòðåìóìà íå èìååò.
3) Åñëè = 0, òî z çíàêà íå ìåíÿåò, íî ìîæåò îáðàùàòüñÿ â íóëü.
Çíà÷èò, âîïðîñ î íàëè÷èè ýêñòðåìóìà â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) îñòàåòñÿ îòêðûòûì.
Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ ìîãóò èìåòü ýêñòðåìóì íå òîëüêî â òåõ òî÷êàõ, ãäå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå zx0 (x; y ) è zy0 (x; y )
îáðàùàþòñÿ â íóëü, íî è â òî÷êàõ, ãäå ôóíêöèÿ íåäèôôåðåíöèðóåìà, ëèøü
áû òîëüêî â ýòèõ òî÷êàõ îíà áûëà íåïðåðûâíà.
Ÿ 9
Íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè
Ïóñòü ôóíêöèÿ z = z (x; y ) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà â íåêîòîðîé çàìêíóòîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè . Òîãäà çàâåäîìî ôóíêöèÿ â ýòîé îáëàñòè èìååò
íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå. Äëÿ èõ îòûñêàíèÿ íóæíî èññëåäîâàòü
òî÷êè, ïîäîçðèòåëüíûå íà ýêñòðåìóì è ëåæàùèå âíóòðè îáëàñòè . Çàòåì íóæíî èññëåäîâàòü ïîâåäåíèå ôóíêöèè íà ãðàíèöå îáëàñòè, ò.å. íàéòè
íà ãðàíèöå íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè. È â çàêëþ÷åíèå
ñëåäóåò ñðàâíèòü ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò â
îáëàñòè ñ åå çíà÷åíèÿìè íà ãðàíèöå.
y
D
1
1
A
C
1
1
Ðèñ. 10.
Íàéòè íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå
çíà÷åíèå ôóíêöèè z = 3 x2 y 2 â îáëàñòè ,
îãðàíè÷åííîé ïðÿìûìè x = 1, y = 1.
Ïðèìåð 1.
B
x
Ïðèðàâíèâàåì ê íóëþ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå zx0 = 2x = 0, zy0 = 2y = 0. Ïîëó÷àåì òî÷êó (0; 0), ïîäîçðèòåëüíóþ íà ýêñòðå00 = 2, zxy
00 = 0.
00 = 2, zyy
ìóì. Âû÷èñëÿåì zxx
2
Ñëåäîâàòåëüíî = AC B = 4 > 0, A < 0.
Çíà÷èò, â òî÷êå (0; 0) ôóíêöèÿ èìååò ìàêñèìóì. Èññëåäóåì òåïåðü ïîâåäåíèå ôóíêöèè íà
ãðàíèöå îáëàñòè, ò.å. íà êîíòóðå ABCD, ãäå
A( 1; 1), B (1; 1), C (1; 1), D( 1; 1) (ðèñ. 10).
Ðåøåíèå.
1) Íà AB : y = 1, z = 2 x2 , x 2 [ 1; 1], zx0 = 2x. Òî÷êà x = 0 ïîäîçðèòåëüíà íà ýêñòðåìóì z (0; 1) = 2, z (A) = z (B ) = 1.
2) Íà BC : x = 1, z = 2 y 2 , y 2 [ 1; 1], zy0 = 2y . Òî÷êà y = 0 ïîäîçðèòåëüíà íà ýêñòðåìóì z (1; 0) = 2, z (B ) = z (C ) = 1.
122
3) Íà DC : y = 1, z = 2 x2 , x 2 [ 1; 1], zx0 = 2x. Òî÷êà x = 0 ïîäîçðèòåëüíà íà ýêñòðåìóì z (0; 1) = 2, z (D) = z (C ) = 1.
4) Íà AD: x = 1, z = 2 y 2 , y 2 [ 1; 1], zy0 = 2y . Òî÷êà y = 0 ïîäîçðèòåëüíà íà ýêñòðåìóì z ( 1; 0) = 2, z (A) = z (D) = 1.
Îñòàåòñÿ ñäåëàòü âûâîä. Èòàê, âíóòðè êâàäðàòà ôóíêöèÿ z (x; y ) èìååò ìàêñèìóì â òî÷êå (0; 0): zmax = 3. Íà ãðàíèöå îáëàñòè ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò
íàèìåíüøåå çíà÷åíèå â òî÷êàõ A, B , C , D: z (A) = z (B ) = z (C ) = z (D) = 1, à
íàèáîëüøåå â òî÷êàõ (0; 1), (1; 0), (0; 1), ( 1; 0), ïðè÷åì z (0; 1) = z (1; 0) =
z (0; 1) = z ( 1; 0) = 2.
Îòâåò: íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò â òî÷êå (0; 0), îíî ñîâïàäàåò ñ ìàêñèìàëüíûì çíà÷åíèåì ôóíêöèè zmax = z (0; 0) = 3, íàèìåíüøåå
çíà÷åíèå zmin = 1 ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò â òî÷êàõ A, B , C , D.
Ÿ 10
Óñëîâíûé ýêñòðåìóì. Ìåòîä ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà
Ìû ðàññìîòðåëè ýêñòðåìóìû ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ, ñ÷èòàÿ
òîëüêî, ÷òî ýòè òî÷êè ëåæàò âíóòðè íåêîòîðîé îáëàñòè . Òàêèå ýêñòðåìóìû íàçûâàþòñÿ áåçóñëîâíûìè.
Îäíàêî ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ îòûñêèâàòü ýêñòðåìóìû ôóíêöèè z = z (x; y ) â
îáëàñòè â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî êðîìå òîãî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ âèäà
'(x; y ) = 0 :
Ýêñòðåìóìû, óäîâëåòâîðÿþùèå òàêèì óñëîâèÿì, íàçûâàþòñÿ óñëîâíûàðãóìåíòû x è y äàííîé ôóíêöèè z (x; y ) íåëüçÿ ñ÷èòàòü íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè. Î÷åâèäíî, ÷òî èõ ñâÿçûâàåò óðàâíåíèå
(1), êîòîðîå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñâÿçè. Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
óñëîâíûé ýêñòðåìóì îòûñêèâàåòñÿ íå äëÿ âñåõ òî÷åê (x; y ), ïðèíàäëåæàùèõ îáëàñòè , à äëÿ òî÷åê, ïðèíàäëåæàùèõ îáëàñòè , è ëåæàùèõ íà
íåêîòîðîé êðèâîé , óðàâíåíèå êîòîðîé '(x; y ) = 0.
Íàïðèìåð, î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ
p
z = 1 x2 y 2
p!
1 3
M0 0; ;
2 2
x
y=
1
2
1
Ðèñ. 11.
z=
(2)
äîñòèãàåò áåçóñëîâíîãî ìàêñèìóìà zmax = 1
â òî÷êå O(0; 0) (ðèñ. 11). Åñëè æå ïîòðåáîâàòü: íàéòè óñëîâíûé ýêñòðåìóì ôóíêöèè (2)
íà ïðÿìîé y = 1=2, òî î÷åâèäíî,p÷òî îí äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå (0; 1=2) è ðàâåí 3=2. Îòûñêàíèå óñëîâíîãî ýêñòðåìóìà ôóíêöèè ìîæíî
ñâåñòè ê îòûñêàíèþ áåçóñëîâíîãî ýêñòðåìóìà
íåêîòîðîé äðóãîé ôóíêöèè. Íàïðèìåð, â äàííîì ñëó÷àå äîñòàòî÷íî èññëåäîâàòü ôóíêöèþ
y
p
1 x2
y2
r
y=1=2
123
dz (x; y ) = zx0 (x; y ) dx + zy0 (x; y ) dy = 0 :
=
3
4
x2 :
(3)
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðîäèôôåðåíöèðóåì óðàâíåíèå ñâÿçè (1), ïîëó÷èì
d'(x; y ) = '0x (x; y ) dx + '0y (x; y ) dy = 0 :
(4)
Óìíîæèì ñîîòíîøåíèå (4) ïî÷ëåííî íà íåêîòîðûé ìíîæèòåëü è ïðèáàâèì
ê ñîîòíîøåíèþ (3)
zx0 (x; y ) + '0x (x; y ) dx + zy0 (x; y ) + '0y (x; y ) dy = 0 :
Âûáåðåì òåïåðü ÷èñëî òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå
zy0 (x; y ) + '0y (x; y ) = 0 :
(1)
ìè.  ýòîì ñëó÷àå
z
Îäíàêî òàêîé ñïîñîá íå âñåãäà áûâàåò óäîáåí. Ðàññìîòðèì äðóãîé ñïîñîá
îòûñêàíèÿ óñëîâíîãî ýêñòðåìóìà, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà.
Èòàê, äîïóñòèì, ÷òî íàì íóæíî íàéòè óñëîâíûé ýêñòðåìóì ôóíêöèè
z = z (x; y ), ïðè÷åì âûïîëíåíî óðàâíåíèå ñâÿçè (1).
Äîïóñòèì, ÷òî òî÷êà M0 (x0 ; y0 ) òî÷êà óñëîâíîãî ýêñòðåìóìà, çíà÷èò,
â ýòîé òî÷êå ïðîèçâîäíàÿ ïî x îò ôóíêöèè z = z (x; y ) ñ ó÷åòîì óðàâíåíèÿ
ñâÿçè äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ, ÷òî ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâó íóëþ dz (x; y ) â
òî÷êå M0 . Èòàê â òî÷êå M0
(5)
Çàìåòèì, ÷òî ýòî âîçìîæíî, ò. ê. ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ íåÿâíî çàäàííîé ôóíêöèè â ñèëó êîòîðîé
'0y (x; y ) 6= 0. Òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ è âòîðîå óñëîâèå
zx0 (x; y ) + '0x (x; y ) = 0 :
(6)
Ðàññìîòðèì òåïåðü ôóíêöèþ
F (x; y ) = z (x; y ) + '(x; y ) :
Î÷åâèäíî, ÷òî óñëîâèÿ (5) è (6) äàþò íàì íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà
ôóíêöèè F (x; y ), êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Ëàãðàíæà, ïàðàìåòð ïðè
ýòîì íàçûâàåòñÿ ìíîæèòåëåì Ëàãðàíæà.
Èòàê, äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè òî÷êè, â êîòîðûõ äàííàÿ ôóíêöèÿ z =
z (x; y ) ìîæåò èìåòü óñëîâíûé ýêñòðåìóì, îïðåäåëåííûé óðàâíåíèåì ñâÿçè
'(x; y ) = 0, íåîáõîäèìî ðåøèòü ñèñòåìó òðåõ óðàâíåíèé
8
<
:
Fx0 (x; y ) = zx0 (x; y ) + '0x (x; y ) = 0
Fy0 (x; y ) = zy0 (x; y ) + '0y (x; y ) = 0
'(x; y )
= 0:
Íàéäåííûå òàêèì îáðàçîì òî÷êè, åñòåñòâåííî, ïîäëåæàò äîïîëíèòåëüíîìó
èññëåäîâàíèþ.
124
Íàéòè íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè u =
÷òî x + y + z = a, (a > 0).
Ïðèìåð 1.
p3 xyz ïðè óñëîâèè,
p
Èòàê, íåîáõîäèìî íàéòè óñëîâíûé ìàêñèìóì ôóíêöèè u = 3 xyz,
åñëè óðàâíåíèå ñâÿçè x + y + z a = 0. Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ
p
Ðåøåíèå.
F = 3 xyz + (x + y + z a) :
Íàéäåì åå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî x, y è z è ïðèðàâíÿåì èõ ê íóëþ, à
òàêæå äîáàâèì ê íèì óðàâíåíèå ñâÿçè
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
Fx0 =
p3 xyz
+ =0
3x
p3 xyz
+ = 0
Fy0 =
3y
Fz0 =
p3 xyz
3z
òàêîãî ìíîãî÷ëåíà, êîòîðûé ðåàëèçóåò ìèíèìóì âåëè÷èíû
+ =0
x+y+z a
= 0:
Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó è èñêëþ÷àÿ ïàðàìåòð , ïîëó÷èì x = y = z = a=3. Ñëåp
äîâàòåëüíî, äàííàÿ ôóíêöèÿ u = 3 xyz èìååò óñëîâíûé ýêñòðåìóì â òî÷êå
(a=3; a=3; a=3). Ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòîò ýêñòðåìóì ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìóìîì
è ïðè ýòîì umax = a=3. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë
xp, y , z ñâÿçàííûõ ñîîòíîøåíèåì x + y + z = a, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
3 xyz < a=3, íî a = x + y + z , ñëåäîâàòåëüíî, èìååì
p3 xyz 6 x + y + z :
3
Îáîáùàÿ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò íà ëþáîå ÷èñëî ïåðåìåííûõ, ìîæåì ñäåëàòü ïîëåçíûé âûâîä: ñðåäíåå ãåîìåòðè÷åñêîå íåñêîëüêèõ ÷èñåë íå ïðåâîñõîäèò èõ ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî.
Ÿ 11
êîòîðîãî â n äàííûõ òî÷êàõ xi , i = 1; 2; : : : ; n (óçëàõ èíòåðïîëèðîâàíèÿ)
ñîâïàäàþò ñî çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè y = f (x) â ýòèõ òî÷êàõ. Îäíàêî, â ðÿäå çàäà÷ òàêîå ïðèáëèæåííîå ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè y = f (x) íå ÿâëÿåòñÿ
óäîáíûì è îáîñíîâàííûì, íàïðèìåð, êîãäà çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â óçëàõ îïðåäåëåíû ñ ïîãðåøíîñòÿìè.  ýòîì ñëó÷àå åñòåñòâåííî ïðèáåãíóòü ê òàêîìó
ñïîñîáó ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ìíîãî÷ëåíà, ïðè êîòîðîì îøèáêè ýêñïåðèìåíòà íå îêàçûâàëè áû ñóùåñòâåííîãî âëèÿíèÿ íà ðåçóëüòàò. Òàêèì
ñïîñîáîì ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ìíîãî÷ëåíà, ïðèáëèæàþùåãî ôóíêöèþ y = f (x) â ñìûñëå ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ. Òàêîé ìåòîä
íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ.
Ïîñòàâèì çàäà÷ó îá îòûñêàíèè ñðåäè ìíîy
ãî÷ëåíîâ m-îé ñòåïåíè
y = Pm (x)
Pm (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + : : : + am xm
Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ
Äîïóñòèì, ÷òî ýêñïåðèìåíòàòîð ñíèìàåò ïîêàçàíèÿ íåêîòîðîãî ïðèáîðà â
îïðåäåëåííûå ìîìåíòû âðåìåíè èëè äåëàåò äðóãèå êàêèå-òî èçìåðåíèÿ, ò.å.
â äàííûõ òî÷êàõ x1 ; x2 ; : : : ; xn ïîëó÷àåò ñîîòâåòñòâóþùèé íàáîð çíà÷åíèé
ôóíêöèè yi = f (xi ), i = 1; 2; : : : ; n. Âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü íàõîæäåíèÿ
àíàëèòè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ ôóíêöèè y = f (x) èëè ìíîãî÷ëåíà y = Pm (x),
äîñòàòî÷íî òî÷íî ïðåäñòàâëÿþùåãî èñêîìóþ ôóíêöèþ y = f (x) íà äàííîì
îòðåçêå [a; b] (ìû ñ÷èòàåì, ÷òî xi 2 [a; b], i = 1; 2; : : : ; n).
Èíòåðïîëèðîâàíèå ôóíêöèè ñîñòîèò â çàìåíå äàííîé ôóíêöèè y = f (x)
íà îòðåçêå [a; b] àëãåáðàè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì Pm (x) ñòåïåíè m, çíà÷åíèÿ
125
y = f (x)
O
a
b
x
Æn =
Ðèñ. 12.
v
u
n
u1 X
t
(P (xi )
n i=1
f (xi ))2 ;
íàçûâàåìîé ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì ìíîãî÷ëåíà Pm (x) îò ôóíêöèè f (x) íà
îòðåçêå [a; b]. Åñëè âûðàæåíèå Æn ìàëî, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ñðåäíåì íà
ïîäàâëÿþùåé ÷àñòè îòðåçêà [a; b] ôóíêöèÿ Pm (x) áëèçêà ê f (x), õîòÿ â îòäåëüíûõ òî÷êàõ [a; b] èëè íà ïðîòÿæåíèè î÷åíü ìàëîé ÷àñòè ýòîãî îòðåçêà
ðàçíîñòü f (x) Pm (x) ìîæåò áûòü äîñòàòî÷íî áîëüøîé (ðèñ.12).
Âûðàæåíèå äëÿ Æn áóäåò èìåòü ìèíèìóì, åñëè áóäåò èìåòü ìèíèìóì
ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå
S=
n
X
i=1
(P (xi ) f (xi ))2 =
n
X
i=1
(a0 + a1 xi + : : : + am xm
i
yi )2 :
Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ìèíèìèçàöèè ñóììû êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé çíà÷åíèé ìíîãî÷ëåíà Pm (x) îò çíà÷åíèé f (x) â óçëàõ xi . Îòñþäà è
íàçâàíèå ìåòîäà ¾ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ¿.
Âåëè÷èíó S áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ S = S (a0 ; a1 ; : : : ; am )
êîýôôèöèåíòîâ ak , k = 0; 1; : : : ; m ìíîãî÷ëåíà Pm (x). Íåîáõîäèìîå óñëîâèå
ýêñòðåìóìà ôóíêöèè S = S (a0 ; a1 ; : : : ; am ) ñîñòîèò â ðàâåíñòâå íóëþ âñåõ
å¼ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ
n
@S = 2 X
(a0 + a1 xi + : : : + am xm
yi ) xki = 0 ;
i
@ak
i=1
126
k = 0; 1; 2; : : : ; m : (1)
Óðàâíåíèÿ (1) îáðàçóþò îòíîñèòåëüíî èñêîìûõ êîýôôèöèåíòîâ ak ñèñòåìó (m + 1) ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, êîòîðàÿ, êàê ìîæíî äîêàçàòü, âñåãäà
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ S = S (a0 ; a1 ; : : : ; am ) ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé ñâîèõ àðãóìåíòîâ, òî ôàêò íàëè÷èÿ ýêñòðåìóìà ó ýòîé ôóíêöèè íå âûçûâàåò ñîìíåíèé, à ïîñêîëüêó î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ S = S (a0 ; a1 ; : : : ; am )
ìàêñèìóìà â ïðèíöèïå èìåòü íå ìîæåò, òî óïîìÿíóòûé ýêñòðåìóì ÿâëÿåòñÿ ìèíèìóìîì.
Èòàê, îïðåäåëèâ èç ñèñòåìû (1) çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ
ak , k = 0; 1; : : : ; m, ìû ðåøèì çàäà÷ó îá îòûñêàíèè ìíîãî÷ëåíà Pm (x), íàèìåíåå óêëîíÿþùåãîñÿ â ñìûñëå ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî îò ôóíêöèè f (x) íà
îòðåçêå [a; b].
Ïðèìåð.
Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) çàäàíà òàáëèöåé
xi
yi = f (xi )
y
0; 5
0; 31
1; 0
0; 82
1; 5
1; 29
2; 0
1; 85
2; 5
2; 51
3; 0
3; 02
Òðåáóåòñÿ àïïðîêñèìèðîâàòü ýòó ôóíêöèþ ïî ìåòîäó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ëèíåéíûì ìíîãî÷ëåíîì
P1 (x) = a0 + a1 x :
Ðåøåíèå.
Ñîñòàâèì äëÿ íàøåãî ñëó÷àÿ ñèñòåìó (1),
ñîêðàùåííóþ íà 2
O
x
Ðèñ. 13.
(a0 + 0; 5a1 0; 31) + (a0 + a1 0; 82) + (a0 + 1; 5a1 1; 29)+
+(a0 + 2a1 1; 85) + (a0 + 2; 5a1 2; 51) + (a0 + 3a1 3; 02) = 0 ;
(a0 + 0; 5a1 0; 31) 0; 5 + (a0 + a1 0; 82) + (a0 + 1; 5a1 1; 29) 1; 5+
+(a0 + 2a1 1; 85) 2 + (a0 + 2; 5a1 2; 51) 2; 5 + (a0 + 3a1 3; 02) 3 = 0 ;
èëè ïîñëå óïðîùåíèé
6 a0 + 10; 5 a1 = 9; 8
10; 5 a0 + 22; 75 a1 = 21; 945 :
Èç ýòîé ñèñòåìû íàõîäèì a0 = 0; 285, a1 = 1; 096. Èñêîìûé ìíîãî÷ëåí
P1 (x) = 1; 096x 0; 285 :
Ëèòåðàòóðà
[1]
Áóãðîâ ß.Ñ., Íèêîëüñêèé Ñ.Ì.
Äðîôà. 2007ã.
[2]
Ñìèðíîâ Â.È. Êóðñ
[3]
âûñøåé ìàòåìàòèêè. ò. 1,2. Ôèçìàòãèç. 2006ã.
Ôèõòåíãîëüö Ã.Ì. Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ò. 1,2. Ëàíü.
2008ã.
[4]
Àðõèïîâ Ã.È., Ñàäîâíè÷èé Â.À., ×óáàðèêîâ Â.Í.
ìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. Ôèçìàòãèç. 2005ã.
[5]
Çîðè÷ Â.À. Ìàòåìàòè÷åñêèé
Ëåêöèè ïî ìàòå-
[6]
àíàëèç. ò. 1,2. -Ì. ÌÖÍÌÎ. 2007ã.
Êóäðÿâöåâ Ë.Ä. Êðàòêèé êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ò. 1,2.
[7]
Ôàéíøìèäò Â.Ë.
[8]
[9]
Ôèçìàòãèç. 2005ã.
Äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå
ôóíêöèé îäíîãî àðãóìåíòà. ÁXÂ ÑÏá. 2006ã.
Ôàéíøìèäò Â.Ë. Äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå
ôóíêöèé íåñêîëüêèõ àðãóìåíòîâ. ÁXÂ ÑÏá. 2007ã.
Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó äëÿ âòóçîâ. ïîä ðåä.
Åôèìîâà À.Â. ò. 1,2,3,4. 2004-2007ãã.
[10]
Êóçíåöîâ Ë.À. Ñáîðíèê
ðàñ÷åòû. Ëàíü. 2008ã.
çàäàíèé ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå. Òèïîâûå
[11]
Äåìèäîâè÷ Á.Ï.. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó äëÿ âòóçîâ. 2001ã.
Íà ðèñ 13. èçîáðàæåíû øåñòü äàííûõ òî÷åê è ãðàôèê ïîëó÷åííîãî ìíîãî÷ëåíà.
127
Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà. ò. 1,2,3. -Ì.
128
 2007 ãîäó ÑÏáÃÓ ÈÒÌÎ ñòàë ïîáåäèòåëåì êîíêóðñà èííîâàöèîííûõ
îáðàçîâàòåëüíûõ ïðîãðàìì âóçîâ Ðîññèè íà 2007-2008 ãîäû. Ðåàëèçàöèÿ
èííîâàöèîííîé îáðàçîâàòåëüíîé ïðîãðàììû ¾Èííîâàöèîííàÿ ñèñòåìà ïîäãîòîâêè ñïåöèàëèñòîâ íîâîãî ïîêîëåíèÿ â îáëàñòè èíôîðìàöèîííûõ è îïòè÷åñêèõ òåõíîëîãèé¿ ïîçâîëèò âûéòè íà êà÷åñòâåííî íîâûé óðîâåíü ïîäãîòîâêè âûïóñêíèêîâ è óäîâëåòâîðèòü âîçðàñòàþùèé ñïðîñ íà ñïåöèàëèñòîâ
â èíôîðìàöèîííîé, îïòè÷åñêîé è äðóãèõ âûñîêîòåõíîëîãè÷íûõ îòðàñëÿõ
ýêîíîìèêè.
ÊÀÔÅÄÐÀ ÂÛÑØÅÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ
Êàôåäðà âûñøåé ìàòåìàòèêè - êðóïíåéøàÿ â Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîì
ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé, ìåõàíèêè
è îïòèêè. Ñ ìîìåíòà îñíîâàíèÿ íà íåé ðàáîòàëè òàêèå âûäàþùèåñÿ
ó÷åíûå, êàê È.Ï.Íàòàíñîí, Â.À.Òàðòàêîâñêèé, Â.Í.Ïîïîâ, È.À.Ìîëîòêîâ,
À.Ã.Àëåíèöûí, Â.Â.Æóê è äðóãèå. Íàó÷íûå èíòåðåñû ñîòðóäíèêîâ ïîêðûâàþò ïðàêòè÷åñêè âñå ðàçäåëû ìàòåìàòèêè. Íà êàôåäðå ñëîæèëàñü ìîùíàÿ
íàó÷íàÿ øêîëà ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ ñëîæíûõ ôèçè÷åñêèõ
ñèñòåì. Â ïîñëåäíåå âðåìÿ àêòèâíî ðàçâèâàåòñÿ íàïðàâëåíèå, ñâÿçàííîå ñ
íàíîôèçèêîé è íàíîòåõíîëîãèÿìè, êâàíòîâûì êîìïüþòåðîì è êâàíòîâûìè êîììóíèêàöèÿìè. Ñîòðóäíèêè êàôåäðû àêòèâíî ó÷àñòâóþò â ìåæäóíàðîäíûõ íàó÷íûõ êîíôåðåíöèÿõ, ðàáîòàþò â ðàìêàõ Ðîññèéñêèõ è ìåæäóíàðîäíûõ íàó÷íûõ ïðîåêòîâ. Ñëîæèëîñü òåñíîå íàó÷íîå ñîòðóäíè÷åñòâî
ñ Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèì ãîñóäàðñòâåííûì óíèâåðñèòåòîì, Ïåòåðáóðãñêèì
îòäåëåíèåì Ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòà èìåíè Â.À.Ñòåêëîâà ÐÀÍ, ëàáîðàòîðèåé ôèçèêîõèìèè íàíîñèñòåì Èíñòèòóòà õèìèè ñèëèêàòîâ ÐÀÍ è äðóãèìè íàó÷íûìè öåíòðàìè êàê â Ðîññèè, òàê è çà ðóáåæîì: óíèâåðñèòåòàìè
Ìàðñåëÿ è Òóëîíà (Ôðàíöèÿ), Þâÿñêèëÿ (Ôèíëÿíäèÿ), Ãóìáîëüäòîâñêèì
óíèâåðñèòåòîì Áåðëèíà (Ãåðìàíèÿ).
Èâàí Àëåêñàíäðîâè÷ Ëàïèí
Ëàðèñà Ñåìåíîâíà Ðàòàôüåâà
Âàëåíòèí Ìèõàéëîâè÷ Ôðîëîâ
Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç I
Ó÷åáíîå ïîñîáèå
Ïîä îáùåé ðåäàêöèåé Ëàðèñû Ñåìåíîâíû Ðàòàôüåâîé
 àâòîðñêîé ðåäàêöèè
Êîìïüþòåðíûé íàáîð è âåðñòêà
Äèçàéí îáëîæêè
Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèé îòäåë ÑÏáÃÓ ÈÒÌÎ
Çàâ. ÐÈÎ
Ëèöåíçèÿ ÈÄ 
Ïîäïèñàíî ê ïå÷àòè
Òèðàæ
À.Ï. Òàí÷åíêî
À.Ï. Òàí÷åíêî
Í.Ô. Ãóñàðîâà
Çàêàç 
Îòï. íà ðèçîãðàôå
Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèé îòäåë
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî
óíèâåðñèòåòà èíôîðìàöèîííûõ
òåõíîëîãèé, ìåõàíèêè è îïòèêè
197101, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã,
ïð. Êðîíâåðêñêèé, ä.49