нахождение наибольших и наименьших значений функций в

ОСОБЕННОСТИ НАХОЖДЕНИЯ НАИБОЛЬШИХ И
НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧАХ ЕГЭ
М. В. Скурихин
ФГБОУ ВПО «Шадринский государственный
педагогический институт», г. Шадринск
Руководитель: к. п. н., доцент Чикунова О. И.
Находить наибольшие и наименьшие значения функций учащиеся
начинают еще в основной школе при изучении линейной функции, без труда
отыскивая их для возрастающих и убывающих на отрезке функций. При
изучении квадратичной функции наибольшие и наименьшие значения
отыскиваются также на отрезках, содержащих единственную точку экстремума,
не называя ее естественно таковой. Однако, в старшей школе после знакомства
с общим алгоритмом исследования функции на наибольшее и наименьшее
значения на отрезке, он неоправданно остается единственным средством.
При подготовке к единому государственному экзамену по материалам
открытого банка заданий можно встретиться с задачами на отыскание
наибольших и наименьших значений функций, при решении которых не всегда
требуется использование общего алгоритма. Например, задачи на исследование
функций, содержащих линейные и тригонометрические выражения, типа
3
19
 
y  6 3 cos x  3 3x 
 21 на отрезке 0;  ; y  19tgx  19 x 
 14 на
2
4
 2
  
отрезке  ;  . Если при отыскании наибольшего значения первой функции
 4 4
не воспользоваться теоремой о единственной точке экстремума, то придется
вычислять и сравнивать значения функции в трех точках x  0, x 

и x

,
6
2
что приведет к громоздким выкладкам и отнимет много времени. Рассмотрим
решение первой задачи подробнее:
1) y   6 3 sin x  3 3 ,
 
2) найдем критические точки и отметим их на отрезке 0;  .
 2
1
k 
D y   R; y   0, sin x  , x   1
 k , k  Z
y
2
6
y



2
 
на 0;  x  - единственная критическая точка.
3
xm ax
6
 2
2


3) Определим знак производной на промежутках. 1
3
6
   

 

2
0  0; , y0  0;
  ;  , y   0.
 y
6
3


 6 2
3

Так как в точке x 
y меняет знак с «+» 0
0
x
6
на «-», то
функция
x
max - единственная точка максимума, следовательно, в ней
6
достигает
наибольшего
значения
:
6 3 3 3 3
3


 21  30 .
2
6
2
При исследовании второй функции на наименьшее значение,
обнаруживается, что в единственной критической точке x=0 «неподтвержденный экстремум», то есть на отрезке исследования функция
остается монотонной и ее наименьшее значение достигается на конце отрезка, и
очень легко вычисляется.
19
1) y 
 19 ,
cos 2 x
2) Найдем область определения производной

1  cos 2 x
  
D y : x   k , k  Z ; y  19
 0, cos x  1, x  k , k  Z на  ; 
2
2
cos x
 4 4
x  0 - критическая точка.
y
3) Определим знак на промежутках:

      


4
   ; 0  ,
  0;  , y    0.
6  4  6  4
 6

y

4) В точке x  0 y  0 , производная знака
6
yнаиб 
не меняет, т.е. в ней нет экстремума, и функция
  
возрастает на  ;  , следовательно, достигает
 4 4
наибольшего значения на левом конце отрезка:
 
yнаим  y    5.
 4
Рассмотри еще один пример, найдем
наибольшее
значение
функции
  
y  4tgx  8x  2  15 на отрезке  ;  с
 3 3
помощью общего алгоритма.
4
1) y  
 8,
cos 2 x

2
,
2) D y  : x   k ,k  Z ; y   0, cos x  
2
2


  

;
x


x    k ,k  Z , на
 3 3 
4
2
критическая точка.
8
 
 2  15  7 ,2;
3) y    4 3 
3
 3
0
0
x
3
2


6

y

4
x
2
2



3
y

4

3
0


4
8
 
y    4 
 2  15  4  19  6,4 ;
4
4


8
 
y   4 3
 2  15  10 ,2;
3
3
8
 
 
y   4 
 2  15  11. yнаим    11.
4
4
4
Ответ: -11.
Рассмотренные примеры иллюстрируют возможности использования
разных схем исследования функций на наибольшее и наименьшее значения и
подтверждают тезис о том, что одного общего алгоритма недостаточно. Кроме
того общим алгоритмом не воспользоваться для решения целого класса задач
на отыскание наибольших и наименьших значений функций по графику
производной.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Бобровская, А.В., Чикунова, О.И. Практикум. Функции и графики: учеб.–
метод. пособие для учащихся 9–11 классов. – Изд. 2-е./ А.В. Бобровская,
О.И. Чикунова– Шадринск: Шадр. Дом Печати, 2012- 60 с.