Задание

Вариант №1
Этап №1. Тема: Методы поиска безусловного экстремума функции многих
переменных
Задание:
а) аналитически отыскать экстремум функции двух переменных
необходимых и достаточных условий безусловного экстремума);
(с
использованием
Из начальной точки X  (0, 0) сделать в направлении экстремума:
б) три итерации методом градиентного спуска;
в) две итерации методом наискорейшего градиентного спуска;
г) две итерации методом Гаусса-Зейделя;
д) две итерации методом сопряженных градиентов;
е) одну итерацию методом Ньютона.
0
T
f (X) = 3x2 + 4y2 - 42x + 18y + 25  extr
Этап №2. Тема: Методы поиска условного экстремума функции многих переменных
при ограничениях типа равенства
Задание:
а) найти решение задачи графически;
б) найти решение задачи с использованием необходимых и достаточных условий условного
экстремума;
в) найти решение задачи методом штрафной функции.
f(X) = 4x12 + x22 - 8x1 + 16x2  extr
при ограничении: -x1 + 4x2 = 6
Этап №3. Тема: Методы решения задачи линейного программирования
Задание:
а) найти максимум и минимум в задаче графически.
б) найти максимум и минимум в задаче симплекс-методом
f ( X )   x 1  3x 2  extr
x1  x 2  7
 x1  2x 2  2
x 1  0, x 2  0
Этап №4. Тема: Методы решения транспортных задач
Задание:
Для транспортной задачи, заданной матрицей перевозок:
а) найти начальный план перевозок;
б) найти решение задачи методом потенциалов.
Пункты
B1
B3
B2
Запасы
A1
4
5
1
40
A2
Потребности
9
5
2
70
10
30
70
110
Этап №5. Тема: Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Задание:
а) найти решение систему методом простых итераций (точность счёта   0, 01 );
б) найти решение системы методом Зейделя (точность счёта   0, 01 ).
x1
2x1
8x1
x1
- x2
+ x2
- x2
+ 6x2
+ x3 - 4x4
- 5x3 + x4
- x3 + 2x4
- 2x3 - 2x4
= -5
= 6
= 3
= 0
Этап №6. Тема: Методы решения алгебраических уравнений
Задание:
а) отделить корни алгебраического уравнения;
б) уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом Ньютона на отрезке [ a , b ]
(точность счёта   0, 01 );
в) уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом простых итераций на отрезке
[ a, b] (точность счёта   0, 01 );
г) уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом половинного деления на отрезке
[ a, b] (точность счёта   0, 03 ).
x3 - 7x2 + 14x - 8 = 0
Этап №7. Тема: Интерполяция и аппроксимация сеточных функций
Задание:
Для сеточной функции, определенной таблицей:
а) построить интерполяционный многочлен Лагранжа;
б) построить интерполяционный многочлен Ньютона;
в) аппроксимировать функцию многочленами 1-го и 2-го порядков методом наименьших
квадратов;
г) сделать общий чертеж.
x
f(x)
1
11
2
6
3
11
4
14
Этап №8. Тема: Дифференцирование и интегрирование сеточных функций
Задание:
Для сеточной функции, определенной таблицей:
а) найти производные первого порядка, используя все двухточечные шаблоны во
внутренних точках интервала [ x 0 ; x 3 ] ;
б) найти производные первого порядка, используя все трехточечные шаблоны во
внутренних точках интервала [ x 0 ; x 3 ] ;
в) найти производные второго порядка, используя все трехточечные шаблоны во
внутренних точках интервала [ x 0 ; x 3 ] ;
г) вычислить интеграл, используя формулу прямоугольников;
д) вычислить интеграл, используя модифицированную формулу прямоугольников;
е) вычислить интеграл, используя формулу трапеций.
x
f(x)
1
11
2
6
3
11
4
14
Этап №9. Тема: Численные методы решения задачи Коши для дифференциального
уравнения 1-го порядка:
Задание:
Найти решение задачи Коши:
а) аналитически;
б) явным
методом Эйлера на отрезке [0, 1] . Число разбиений отрезка выбрать
N  2, 4, 5 . Построить графики аналитического и численного решений на одном
чертеже;
в) методом предсказания и коррекции на отрезке [0, 1] . Число разбиений отрезка
выбрать N  2, 4, 5 . Построить графики аналитического и численного решений на
одном чертеже;
г) неявным методом Эйлера на отрезке [0, 1] . Число разбиений отрезка выбрать
N  2, 4, 5 . Построить графики аналитического и численного решений на одном
чертеже;
д) методом трапеций на отрезке [0, 1] . Число разбиений отрезка выбрать N  2, 4, 5 .
Построить графики аналитического и численного решений на одном чертеже.
(x + 1) y  + y = 1; y(0) = 0