задачи планиметрия

СБОРНИК ЗАДАЧ
. ПО
ГЕОМЕТРИИ
ПЛАНИМЕТРИЯ
Л --
■-
ББК 2 2 .1 5 1 .0 я 7
С23
Рецензенты: докт. физ.-мат, наук, профессор С. Умаров;
канд. физ.-мат. наук, учитель математики
высшей категории лицея-интерната при
Ташкентском государственном техничес­
ком университете С. Алимухамедов;
заслуженный учитель Республики Узбеки­
стан М. Шарипова;
зав. кафедрой математики академического
лицея при ТашИИТе Н. Абдурахимова;
преподаватель математики академическо­
го лицея при ТашИИТе М. Хабибуллина.
1602050000 - 6
____
А ---------------------------- т»- заказ - 2004
353(04) - 2004
ISBN 5-645-04126 - 7
С Издательство «Укитувчи*, 2004
о т АВТОРОВ
Настоящий «Сборник задач» является практичес­
ким пособием для решения задач по геометрии и до­
полнением к экспериментальному учебнику для ака­
демических лицеев «Геометрия, I часть. Планиметрия*
(Т.: ^'китувчи, 2002).
Сборник создан на основе опыта преподавания ма­
тематики в лицее-интернате и академическом лицее
при Ташкентском государственном техническом уни­
верситете.
Сборник содержит более 1800 задач, соответствующих
тематике учебника в последовательности изучаемых
глав, в том числе 2 2 0 задач повышенной трудности.
В каждой главе задачника приведен перечень тео­
ретических вопросов, знание которых необходимо при
решении задач данной тематики.
Задачам для самостоятельного решения предшеству­
ют 145 подробно решенных задач, которые помогут уча­
щимся при самостоятельной работе над задачами. От­
дельная глава «Сборника задач* содержит задачи на
построение. Все задачи снабжены ответами.
«Сборник задач» в целом или отдельные его главы
совместно с «Экспериментальным учебником» могут
быть полезны для организации учебного процесса в ака­
демических лицеях, в колледжах с углубленным изу­
чением математики, а также при самостоятельной под­
готовке учащихся к поступлению в высшие учебные
заведения.
Данный задачник может быть использован для овла­
дения рациональными приемами и методами решения
задач при знании основных понятий и теоретического
материала по планиметрии, изложенных в учебнике.
Авторы выражают искреннюю благодарность рецен­
зентам данного «Сборника задач» доктору физикоматематических наук профессору Умарову С. Р. и пре­
подавателям академического лицея «Миробод» при
ТашИИТе Абдурахимовой Н. и Хабибуллиной М. за
полезные замечания и советы.
УКАЗАТЕЛЬ
ПРИМЕНЯЕМЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ЗНАКОВ И СИМВОЛЪВ
А. В, C .M .N — точки
(А; В) — упорядоченная пара точек
I, (АВ) — ось
[АВ] — отрезок
АВ
— расстояние от точки А до точки В
(длина отрезка АВ)
■А, В| — множество с элементами А и В
а, АВ — вектор
|а|, 1ЛВ1 — длина вектора
О, ДА — нулевой вектор
1 1
— сонаправленные лучи (векторы)
t i — противоположно направленные лучи (векторы)
— параллельны
не параллельны
€
€
±
Z
—
—
—
—
принадлежит
не принадлежит
перпендикулярны
угол
прямой угол
{h ’ h ) — угол между прямыми
и
{а; Ь) — угол между векторами а и Ь
5д —площадь треугольника
U — дуга
д — треугольник
— градус;
' - минута;
" - секунда
—
подобие
sin а — синус а ; cos а — косинус а ;
t g a — тангенс а ; c tg a — котангенс а .
Г л а в а 1__________________
Т Р Е У Г О Л Ь Н И К И _______
Прежде чем приступить к решению задач этой
главы, следует повторить следующие определения,
формулировки теорем и свойства геометрических
фигур:
1. Основные понятия геометрии.
2. Аксиомы планиметрии.
3. Понятия теорем: прямой, обратной, противопо­
ложной и обратной противоположной.
4. Определения понятий: луч, отрезок, угол, бис­
сектриса угла.
5. Определения вертикальных и смежных углов;
их свойства.
6 . Определения ломаной линии, многоугольника
и треугольника.
7. Виды треугольников н зависимости от величи­
ны углов или длины сторон.
8 . Определения высоты, биссектрисы и медианы
треугольника.
9. Определения точек и фигур, симметричных от­
носительно оси или относительно точки.
10. Свойства равнобедренного треугольника.
11. Формулировки трех признаков равенства тре­
угольников.
12. Признаки равнобедренного треугольника.
13. Определение внешнего угла треугольника и
его свойство. .
14. Соотношения между сторонами и углами тре­
угольника, соотнош ения меж ду тремя сторонами
треугольника, а также соотношение между прямо­
линейным отрезком и ломаной линией.
15. Свойства перпендикуляра и наклонных, про­
веденных к данной прямой из одной точки.
16. Признаки равенства прямоугольных треуголь­
ников:
б
а) не требующие специальных доказательств;
б) требующие доказательства.
17.
Понятие о геометрическом месте точек и при­
меры геометрических мест: перпендикуляра к от­
резку, проведенному через середину этого отрезка;
биссектрисы угла, а также окружности.
§ 1.1. Прямая линия
Задача. Сколько необходимо прямых, чтобы сое­
динить попарно 7 точек, из которых никакие три не
расположены на одной прямой?
Д а н о : A ,B ,C ,D ,E .F ,M —
7 то ч е к (р и с. 1).
О п р е д е л и т ь : количе­
ствопрям ы х, проходящих
через эти точки, взяв их по­
парно.
Р е ш е н и е . Из точки А
к каждой из оставш ихся 6
точек В. С, Д £ . F, М можно
провести 6 различных прямых. Из точ 1<и В к каж ­
дой из оставшихся 6 точек А, С, D, Е, F, М также мож­
но провести 6 различных прямых. Аналогичное ут­
верждение справедливо для точек С, Ь .Е .Р к М . Итак,
если из каждой из семи точек выходит по 6 прямых,
то общее количество прямых должно быть равно;
7 *6 —42. Однако среди этих прямых различных пря­
мых будет только 2 1 (т. е. в два раза меньше), по­
скольку каждая прямая АВ и ВА, АС и СА, ... A M и
М А засчитана дважды, хотя прямые АВ и ВА не яв­
ляются различными.
Итак, общее количество прямых, проходящих через
7 •6
7 различных точек, равно: —— = 21 (прямая).
О т в е т : 21 прямая.
6
Задачи для самостоятельного решения
1. Ель имела 20,25 м длины; от нее отпилили снизу
отрезок («лапу») длиной в 3,75 м, а затем бревно в
7,40 м. Какую длину имеет оставшаяся часть ели?
2. Начертить отрезок, равный За + 2Ь, где а и Ь —
длины данных отрезков.
3. Отрезок АВ равен 2,8 м. Найти расстояние меж ­
ду серединой этого отрезка и точкой, которая де2 . 4
лит его в отношении т : 7 7 •
3
15
4. Отрезок АВ разделен на три части в отношении
2 : 3 : 4 . Расстояние между серединами крайних
частей равно 5,4 м. Определить длину АВ.
5. Отрезок АВ делится точкой С в отношении 5 : 7, а
точкой D в отношении 5 : 1 1 ; расстояние между
С к D равно 10 м. Определить длину АВ.
6
. Дана карта воздушных сообщений (рис. 2). Срав­
нить (посредством выпрямления ломаных) рас­
стояния от Москвы до Киева, Екатеринбурга и
Ташкента. Найти, пользуясь масштабом, каждое
из этих расстояний.
300
МОСКВА
О
■------■
300
600 км
»
■
7. Узнать, лежат ли точки А. В и С на одной прямой,
если расстояния между ними таковы:
1) АВ = 20 м, АС = 1 3 м, В С * 7 м;
2) АВ = 4 м, АС * 7 м,
ВС = 3 м;
3) А В = 1,8 м, А С - 1 , 3 м, В С - = 3 м ?
8
. 1) Даны три точки, не лежащие на одной пря­
мой. Сколько различных прямых линий можно
провести через эти точки, взяв их попарно?
2) Сколькими прямыми можно соединить попар­
но 4 точки, из которых никакие 3 не расположе­
ны на одной прямой? Тот же вопрос относитель­
но 5 точек, 20 точек, п точек.
9. Могут ли три точки А , В, С лежать на одной пря­
мой, если длина большего отрезка АВ меньше
суммы длин отрезков АС и ВС? Объяснить ответ.
10. Дана прямая и три точки А, В, С, не лежащие на
этой прямой. Известно, что отрезок АВ пересека­
ет прямую, а отрезок АС не пересекает ее. Пере­
секает ли прямую отрезок ВС? Объяснить ответ.
11. Даны пять точек и прямая, не проходящая ни
через одну из этих точек. Известно, что три точ­
ки расположены в одной полуплоскости относи­
тельно этой прямой, а две точки — в другой по­
луплоскости. Каждая пара точек соединена от­
резком. Сколько отрезков пересекает прямую?
Объяснить ответ.
12. На отрезке АВ взята точка С. Среди полупря­
мых АВ, АС, СА и СВ назвать пары совпадающих
полупрямых и дополнительных полупрямых.
Объяснить ответ.
'
13. Сумма двух отрезков равна а, а разность их рав­
на Ь. Выразить через а нЬ длины этих отрезков.
14. Два равных отрезка А В и CD покрывают друг
друга на одну треть своей длины. Найти длину
каждого отрезка, если расстояние между сере­
динами этих отрезков равно 2 0 см.
8
15. Найти такую точку С на
прямой M N , чтобы сумма
расстояний от нее до то ­
чек Л и В, лежащих по раз­
ные стороны от M N , была
наименьшей (рис. 3).
М
А
•_____________ N
•В
Рис. 3
§ 1.2. Смежные и вертикальные углы
Задача. Два угла приложены друг к другу так,
что их две стороны полностью совпадают. Являются
2
ли эти углы смежными, если один из них равен у
а другой составляет 70 % от прямого угла?
Ц а н о : Z A O B - 1 - d ; ZBOC”
— 70 % от прямого угла (рис. 4).
О п р е д е л и с ь : являю тся
ли ZAOB Я/1В0С смежными.
Р е ш е н и е . Углы АО В и
в о е являются смежными, если
их сумма равна 2d (или 180°).
Т. е.
70 % от прямого угла d.
ZAOB + АВОС ~ l ^ d + r ^ d = l ^ d * 2 d , следова­
тельно, эти углы смежными не являются.
О т в е т : данные углы смежными не являются.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти дополнение до прямого угла к следующим
острым углам: 1) 70*; 2) 34*23'; 3) 22*42'38".
2. Внутри тупого угла восставлены из его верш и­
ны перпендикуляры к его сторонам; угол меж4 ,
ду этими перпендикулярами равен у d . Опре­
делить тупой угол.
9
3. Даны два прилежащих угла: острый и тупой.
Прямая, проведенная через их вершину перпен­
дикулярно к их общей стороне, отклонена от дру­
гой стороны острого угла на i d , а от другой
стороны тупого угла на
ных углов.
. Найти сумму дан­
4. Из двух прилежащих углов ABC и CBD первый
равен 108*, а второй меньше его в
раза. Со­
ставляют ли стороны ДА и BD одну прямую ли­
нию?
5. Отношение двух прилежащих углов равно 7 : 3,
а разность их равна 72'. Будут ли эти углы смеж ­
ными?
i
6
. Доказать, что биссектрисы двух смежных углов
взаимно перпендикулярны.
7. Из четырех прилежащих углов АОВ, ВОС, COD,
DOE каждый следующий больше предыдущего
на i d . Стороны АО и'ОЕ составляют-одну прямую. Найти эти углы.
8
. Четыре угла, образуемые четырьмя лучами, вы­
ходящими из одной точки, таковы, что каждый
следующ ий угол вдвое больше предыдущего.
Найти величину каждого из этих углов.
9. Один из четырех углов, образуемых двумя пе­
ресекающимися прямыми, равен f d . Как веО
лик каждый из остальных углов?
10. Прямые АВ и CD пересекаются в точке О. Сум­
ма углов AOD и СОВ равна 220’ . Определить угол
ЛОС.
11. Данный угол и два смежных с ним угла состав­
ляют в сумме 2^^d. Определить данный угол.
О
10
12. 1) Из точки, взятой на пря­
мой по одну сторону этой
прям ой, проведены два
луча так, что Z1 —0,5 d,
Z2 —
. Найти величИ'
ну третьего угла (рис. 5);
1
Рис. 5
2) На прямой дана точка,
из которой проведены два
луча так, что -^1 “ g ^ , ^ 2
составляет половину пер- ;
вого угла. Найти третий
угол (рис. 6 ).
’'
13. 1) Через вершину угла, равного
Рис.
6
, вне его про­
ведена прямая, образующая с одной из его сторон
угол, равный ^ . Найти величину угла, образо­
ванного прямой с другой стороной данного.угла;
2) Через вершину угла, равного ^ d , проведена
прямая, делящая угол на два угла, один из кото­
рых равен ^ . Найти каждый из образовавших­
ся углов, меньших развернутого.
14. Сумма двух вертикальных углов, образованных
двумя прямыми, равна ^ d . Найти величину
каждого из четырех полученных углов.
15. Найти величину каждого из четырех углов, об­
разованных двумя пересекающимися прямыми,
если сумма трех из них равна 2,5 d.
16. Через вершину угла ABC, равного 1,2 d, прове­
дена прямая M N , перпендикулярная его биссе­
ктрисе. Вычислить углы, которые образует пря­
мая M N со сторонами угла ABC.
17. Два угла наложены друг на друга так, что одна
сторона у них общая. Найти угол, образованный
11
их несовпадающими сторонами, если один из
углов на
больше прямого, а второй угол на
^ d меньше прямого угла.
3
18. Доказать, что биссектрисы любых вертикаль­
ных углов образуют одну линию.
19. Между сторонами угла АОВ, равного 60*, прохо­
дит луч ОС. Найти ZAOC и 2вОС, если:
1) ZAOC на 30' больше ZBOC',
2) ZAOC в два раза больше ZBOC;
3) луч ОС делит ZAOB пополам;
4) градусные меры ZAOC и ZBOC относятся как
2:3.
I
20. Чему равен угол, если два смежных с ним угла
в сумме составляют 1 0 0 ’ ?
21. Сумма двух углов, которые получаются при пере­
сечении двух прямых, равна 50*. Найти эти углы.
22. Доказать, что если три из четырех углов, к ото­
рые получаются при пересечении двух прямых,
равны, то прямые перпендикулярны.
23. Доказать, что биссектриса угла образует с его сто­
ронами углы, не больше 90'.
24. Из вершины О развернутого угла АОА^ в одну
полуплоскость проведены лучи ОВ и ОС. Чему
равен ZBOC, если:
1) ZAOB = 50’ ; ZAOC =■ 70';
2)
- 50*; ZAOC - 70*;
3) ZAOB - 60*; ZA,OC - 30*?
25. От полупрямой АВ в разные полуплоскости от­
ложены углы ВАС и BAD. Найти ZCAD, если:
1)
2)
3)
4)
12
ZBAC
ZBAC
ZBAC
ZBAC
- 80*; ZBAD •= 87*; ZBAD - 140*; ZBAD
- 60*; ZBAD -
170*;
98*;
- 30*;
70*.
§ 1.3. Признаки равенства треугольников
Задача. Каждая из сторон равносторонвего тр е­
угольника ABC продолжена; АВ — за верш ину В,
ВС — за вершину С, СА — за вершину А . На продол­
жениях отложены отрезки одинаковой длины, и кон­
цы их соединены между собой. Определить вид п о­
лученного треугольника.
Д а н о : ДАВС — равно­
сторонний: B B j - C C j - A A j
(рис. 7)
О п р е д е л и т ь : вид тре­
угольника AjBjC,.
Р е ш е н и е . Рассмотрим
треугольники BB^C^, CCjAj и
АА^В^. В них ВВ, —CCj - АА,
по у сл о в и ю . П о ск о л ь к у
*
Рис. 7
i^ABC — равносторонний, то АВ - ВС - А С , а тогда
АВ + ВВ, - ВС -I- СС, - СА + ЛА,, т. е. А В , - В С ,- СА,.
ZA - Z B “ ZC как углы равностороннего треуголь­
ника, а тогда ZA,AB, - ZB,BC, - ZC,CA, как углы,
смежные к равным углам А, В, С.
Итак, Д В В ,С ,“ ДСС^А,— ДАА^В, по двум сторо­
нам и углу между ними (первый признак равенства
треугольников). Из равенства этих треугольников сле­
дует, что А ,В , - В,С, - А,С,, а тогда Д А,В,С, — равно­
сторонний.
От в е т : полученный треугольник — равносторон­
ний.
Задачи для самостоятельного решения
1. На боковой стороне равнобедренного треуголь­
ника построен равносторонний треугольник; пе­
риметр этого второго треугольника равен 45 см,
а периметр первого треугольника 40 см. Опреде­
лить основание заданного треугольника.
13
2. В равнобедренном треугольнике биссектрисы
углов при основании равны. Доказать.
•
•
3. Доказать, что в равнобедренном треугольнике ме­
дианы, проведенные к боковым сторонам, равны.
4. На каждой стороне равностороннего треугольни­
ка ABC отложены отрезки АВ, - ВС, * СА,. Точки
А ,, В, и С, соединены прямыми. Доказать, что
треугольник
тоже равносторонний.
5. Доказать теорему: если две стороны и медиана
треугольника соответственно равны двум сторо­
нам и медиане другого треугольника, то такие
треугольники равны. Рассмотреть 2 случая:
1 ) медиана проведена к одной из данных сторон:
2 ) медиана проведена между данными сторонами.
в. Отрезки АС и BD пересе­
каются в точке О (рис. 8 ).
Доказать равенство тре­
угольников ДАО и DCO,
если известно, что угол
ВАО равен углу DCO и
АО - СО.
7. Периметр равнобедренного* треугольника равен
7,5 м, а боковая сторона равна 2 м. Найти осно­
вание треугольника.
8
. Периметр равнобедренного треугольника равен
15,6 м. Найти его стороны, если:
1) основание меньше боковой стороны на 3 м;
2) основание больше боковой стороны на 3 м.
9. От вершины С равнобедренного треугольника
ABC с основанием АВ отложены равные отрез­
ки: CAj на стороне СА и СВ, на стороне СВ. До­
казать равенство треугольников:
1) САВ, и СВА,;
2) АВВ, и ВАА,.
14
10. Треугольники л е е , и BCCj
равны. Их вершины Л и В
лежат по разные стороны
от прямой СС,. Доказать,
что треугольники ABC и
АВС^ р а в н о б е д р е н н ы е
(рис. 9).
11. 1) Доказать, что середины сторон равнобедрен­
ного треугольника являются также вершинами
равнобедренного треугольника.
2) Доказать, что середины сторон равносторон­
него треугольника являются такж е вершинами
равностороннего треугольника.
12. Доказать равенство треугольников по углу, бис­
сектрисе этого угла и стороне, прилежащей к это­
му углу.
13. В равнобедренном треугольнике ABC с основа­
нием АС проведена медиана В М . На ней взята
точка D. Доказать равенство треугольников:
1) ABD и CBD;
2) A M D и CMD.
14. Даны два равнобедренных треугольника с общим
основанием. Доказать, что их медианы, проведен­
ные к основанию, лежат на одной прямой.
15. В равнобедренном треугольнике ABC с основа­
нием АС проведена медиана BD. Найти ее дли­
ну, если периметр треугольника ABC равен 50 м,
а треугольника ABD равен 40 м.
16. Треугольники ABC и АБС, равнобедренные с об­
щим основанием АВ. Доказать равенство тре­
угольников АСС, и BCCj.
17. Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке О,
которая является серединой каждого из них. До­
казать равенство треугольников ACD и BCD.
15
18. Отрезки АВ и CD пересекаются. Доказать, что
если отрезки АС, СВ, BD и AD равны, то луч АВ
является биссектрисой угла CAD и луч CD —
биссектрисой угла АСВ (рис, 10).
19. Треугольники ABC и BAD равны, причем точки
С и D лежат по разные стороны от прямой АВ
(рис. 11). Доказать, что:
1) треугольники CBD и DAC равны;
В
Рис. 10
Рис. 11
20. Отрезки АВ и CD равной длины пересекаются
в точке О так, что АО - 0 D . Доказать равен­
ство треугольников ABC и DCB.
21. Периметр треугольника равен Р. Найти его сто­
роны, если:
1 ) каждый из внутренних углов треугольника
равен |d ;
2 ) одна сторона равна /, и прилежащие к ней
углы равны;
3) сторона, лежащая против одного из равных
углов, равна т ;
4) гипотенуза больше катета на п, а острые углы
равны;
5 ) гипотенуза в два раза больше меньшего из
катетов, а больший катет равен с.
16
22. 1) Периметр равнобедренного треугольника ра­
вен 50 см, а периметр треугольника, отделяемо­
го от данного высотой, опущенной на основание,
— 40 см. Определить высоту.
2) Найти периметр равнобедренного треуголь­
ника, если биссектриса угла при вершине рав­
на 1 2 см и составляет 60 % от боковой стороны
3
и -г от половины основания.
4
23. Длины двух сторон равнобедренного треуголь­
ника относятся как 3 : 8 . Найти все стороны тре­
угольника, если его периметр равен 38 см.
§ 1.4. Зависимость между сторонами и
углами треугольника. Перпецдикуляр
и наклонные. Признаки равенства
прямоугольных треугольников
Задача 1. Доказать, что сумма расстояний от ка­
кой-нибудь точки внутри- треугольника до его верпшн
более половины периметра.
Д а н о : дА В С ; О — произ­
вольная точка внутри А ABC
(рис. 1 2 ).
Д о к а з а т ь : АО + ВО +
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из
соотношений между сторонами
треугольника известно, что каждая его сторона мень­
ше суммы двух других сторон этого треугольника.
Итак, в ЛЛОБ: АВ < АО + ВО; в Д ВОС: ВС < ВО + СО;
в А А О С :А С < А О + СО. Слож ив эти н еравенства
почленно, получим: АВ + ВС + АС < 2АО + 2ВО + 2С0,
или АВ + В С + А С < 2 (АО + ВО + СО), яо АВ + ВС +
+ АС —
и тогда Р
2 {АО + ВО СО). Сле­
довательно, АО + ВО 4- СО > 1 Р
Что и требовалось доказать,
2 — К. X . Абдуллаев и др.
Задача 2. Доказать, что два треугольника равны,
если основание, высота и медиана к основанию одно­
го из них соответственно равны основанию, высоте и
медиане к основанию другого треугольника.
Д а н о : А ABC и ДА,В,С, — разносторонние.
А С -А ,С ,; BE LAC; В ,£ ,1 А ,С ,; BE BD и B^D^
медианы; BD
(рис. 13 а).
В
В,
Д о к а з а т ь : Д А 8 С - Д А,В,С,.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим прямоугольные
треугольники BED и B^EJ)^, которые равны по гипо­
тенузе: B D ^ B J )^ и катету; ВЕ^В^Е^. Из равенства
этих треугольников следует, что ZBDE ^ ZBJ)^E^, а
тогда равны и смежные с ними углы: Z B D C ^ ZB^D^C^.
В треугольниках ВВС и BJ)^C^. BD “ BJ)^\ по усло­
вию DC “ D,Cj как половины равных сторон АС и AjC,
(по условию BD и B^D^ — медианы); ZBDC —ZB^D^C^.
Итак, Д BDC -= Д B^D^C^ по двум сторонам и углу
между ними (первый признак равенства треуголь­
ников). Из равенства этих треугольников ZC
и
ВС - В,С,. В треугольниках ABC и А^В^С,: АС - A^Cj
по условию; ВС * В ,С ,; ZC —ZC^ по доказанному (из
равенства треугольников BDC и B^D^C^).
Итак, А А В С A AjBjC, по первому признаку ра­
венства треугольников. Что и требовалось доказать.
З а м е ч а н и е . В случае равнобедренных треуголь­
ников ABC и AjBjC, высота и медиана BE и BD А ABC
и В ,£ , и B^D^ Д А ,В ,С , — совпадают (рис. 13 б). Пря­
моугольные треугольники ABD и A^B^D^ равны по
двум катетам: BD и B,D, по условию, а A D '^ A fi^
18
в
Рис. 13 6
как половины равных оснований АС и А ,С ,. BD и
BjD, — оси симметрии равнобедренных треуголь­
ников, и поэтому из равенства AABD ^ А
дует и равенство ААВС ^ АА^В^С^.
сле­
Задачи для сам остоятельного решения
1. Может ли быть треугольник с такими сторонами:
1 ) 5 м, 1 0 м и 1 2 м;
2) 1м, 2 м и 3,3 м;
3) 1,2 м, 1 м и 2,2 м?
2. Могут ли стороны треугольника относиться как
1) 1 : 2 : 3 ;
2) 2 : 3 : 4?
3. В треугольнике одна сторона равна 1,9 м, а дру­
гая 0,7 м. Определить третью сторону, зная, что
она выражается в целых метрах.
4. В равнобедренном треугольнике одна сторона
равна 25 м, а другая 10 м. Какая из них служит
основанием?
5. Медиана, проведенная к одной из боковы х сто­
рон равнобедренного треугольника, делит его пе­
риметр на две части длиной в 15 см и б см.
Определить стороны треугольника.
6 . Доказать, что в треугольнике каждая сторона
менее половины периметра.'
7. Внутри треугольника ABC проведена к сторо­
не ВС прямая AD так, что угол CAD равен углу
ACD. Периметры треугольника ABC и ABD рав­
ны 37 м и 24 м. Определить длину АС.
19
8
. В равнобедренном треугольнике ABC проведе­
на высота BD. Периметр треугольника ABC ра­
вен 40 м, а периметр треугольника ABD равен
30 м. Определить высоту BD.
9. В равнобедренном треугольнике ABC боковая сто­
рона АВ равна 14 см; из ее середины D проведен
к ней перпендикуляр DE до пересечения со сто­
роной ВС, а точка Е соединена с А; периметр тре­
угольника АЕС равен 24 см. Определить длину АС.
10. Из одной точки проведены к данной прямой две
равные наклонные; расстояние между их осно­
ваниями равно 16 м. Определить проекцию
каждой наклонной на данную прямую.
11. 1) Доказать, что в равнобедренном треугольнике
высоты, опущенные на боковые стороны, равны;
2 ) составить обратную теорему и
доказать ее.
12. Три населенных пункта А , В и С
не лежат на одной прямой. У казать на чертеже (рис. 14), как провести из А прямую дорогу между
пунктами В и С на равных рас­
стояниях от них.
А
/
'
^
/
/
/
/
f Рис. 14
13. Два остроугольных треугольника
равны, если две стороны и высота к третьей сто­
роне одного треугольника соответственно равны
двум сторонам и высоте к третьей стороне дру­
гого треугольника. Доказать.
14. Перпендикуляры, опущенные из концов какойлибо стороны треугольника на медиану, прове­
денную к этой стороне, и на продолжение медиа­
ны, равны. Доказать.
15. Два прямоугольных треугольника равны, если
катет и медиана к нему одного треугольника со­
ответственно равны катету и медиане к нему
другого треугольника. Доказать.
20
§ 1.5. Геометрические места точек
Задача. В равнобедренном треугольнике ABC
стороны А З и ВС равны 18 см. Перпендикуляр к
АВ, проведенный из точки D, — середины стороны
АВ, пересекает сторону ВС в точке Е. Полученная
точка Е соединена с точкой А . Периметр треуголь­
ника АЕС равен 27 см. Определить длину АС.
Д а н о : ДАВС; АВ “ ВС * 18 см;
D E L A B ', A D ^ D B ; Р ^ ^ с^ 2 7 см
(рис. 15).
О п р е д е л и т ь : АС.
Р е ш е н и е . Точка Е лежит на
перпендикуляре DE к отрезку АВ,
проведенному через середину этого
отрезка, а потому она одинаково уда­
лена от концов этого отрезка, т. е.
Рис. 15
АЕ = ВЕ.
АБ + £С + АС =>В£ + £ С + А С - 2 7 , но
ЕЕ + ЕС = ВС. Значит, В С А С “ 27. Из того что
ВС = 18 см, следует, что 18 + АС = 27, а тогда АС = 21 - 1 8 = 9 (см).
О т в е т : АС = 9 см.
Задачи для сам остоятельного решения
1. Дан треугольник ABC. На биссектрисе угла А
найти точку, равноудаленную от вершин В и С.
2. Найти точку, равноудаленную от всех вершин тре­
угольника. Всегда ли эта точка будет внутри тре­
угольника?
3. Даны угол и точка М внутри угла. Найти такую
точку, которая была бы одинаково удалена от
обеих сторон угла и отстояла бы от точки М на
данное расстояние.
4. Найти на стороне треугольника точку, равно­
удаленную от двух других сторон.
21
5. В треугольнике найти точку, равноудаленную
от всех трех сторон.
6
. Дан угол А и точка В на одной из его сторон.
Найти на другой стороне такую точку С, чтобы
сумма СА + СВ была равна данной длине I .
7. Доказать, что геометрическое место точек, уда­
ленных от данной прямой на расстояние h, со ­
стоит из двух прямых, параллельных данной и
отстоящ их от нее на Л.
8
. Даны три точки: А , В, С. Построить точку X ,
которая одинаково удалена от точек А и В и
находится на данном расстоянии от точки С.
9. Даны четыре точки: А, В, С, D. Найти точку X ,
которая одинаково удалена от точек А п В и оди­
наково удалена от точек С я D.
10. В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD
взаимно перпендикулярны, AB —AD . Доказать,
что В С - C D .
11, В треугольни ке ABC
АВ “ ВС “ 14 см (рис. 16).
П ерпендикуляр, прове­
денный к боковой сторо­
не АВ через ее середину
(точку D ), пересекает о с ­
нование треугольника в
точке Е. Точка Е соединена с точкой В. Найти
основание АС треугольника АБС, если периметр
треугольника ВЕС равен 40 см.
§ 1.6. Четырехугольники.
Многоугольники
Задача 1. Четырехугольник разделен диагональю
на два треугольника, периметры которых равны 25 м
и 27 м; периметр четырехугольника равен 32 м. Най­
ти длину диагонали.
22
Д а н о : ABCD — четырехугольник; BD — диагональ;
^ ллво= 2 5 с м ;
В
Р ^ з^ ^ - 2 7 с м ;
1 '^)-
Н а й т и : BD.
Решение.
задачи:
По условию
P^abd~ АВ + BD + A D - 25 см;
^дясо“ ВС + BD + CD 27 см.
Сложив эти два равенства, получим: АВ + BD +
+ AD + ВС + BD + CD - 52, или (АВ + БС -к CD + AD) +
+ 2BD * 52. Но AB + BC + CD + A D ~
32.
Итак, 32 + 2BD = 52; 2BD = 52 - 32;
2BD = 20;
BD - 10 (см).
О т в е т : BD “ 10 см.
Задача 2. Сколько всего диагоналей можно про­
вести в семиугольнике?
Д а н о : ABCDEFM — се­
миугольник (рис. 18).
О п р е д е л и т ь : число
диагоналей ABCDEFM .
Р е ш е н и е . Из вершины
А проведем все возм ож ны е
диагонали, их всего четыре.
Из каждой из остальных вер­
шин: В, С, D, Е, F, М можно про­
вести также по четыре диагонали. Итак, всего диа­
гоналей 7 •4 = 28. Однако среди этих 28 диагона­
лей различных только 14, поскольку диагональ АС
является как диагональю проведенной из вершины
А, так и диагональю, проведенной из вершины С, ана­
логично AD — диагональ, проведенная как из вер­
шины А. так и из вершины £>... и т. д.
Итак, количество различных диагоналей, проведен­
ных в семиугольнике, равно 14.
О т в е т : 14 диагоналей.
23
Задачи для самостоятельного решения
1. Определить стороны четырехугольника, если они
относятся между собой как 2 : 5 : 4 : 8 , а пери­
метр четырехугольника равен 76 м.
2. Могут ли стороны четырехугольника относить­
ся как 2 : 3 : 4 : 1 0 ?
3. Построить четырехугольник, стороны которого
1 см, 2 см, 3 см и 4 см, а диагональ, проходящая
между первой и четвертой сторонами, равна 2 , 6 см.
4. Сколько диагоналей можно провести из одной
вершины: 1 ) пятиугольника; 2 ) десятиугольни­
ка; 3) л-угольника?
5. Сколько получится треугольников, если провести
все диагонали из одной вершины: 1 ) шестиуголь­
ника; 2) восьмиугольника; 3) л-угольника?
6 . Сколько всего диагоналей можно провести:
1 ) в пятиугольнике; 2 ) в десятиугольнике;
3) в п-угольнике?
7. Сколько сторон в многоугольнике, если число их
в ш раз больше числа диагоналей, проведенных
из одной вершины? (т = 2; 4; 5).
8 . Сколько сторон имеет многоугольник, если чис­
ло всех его диагоналей в m раз больше числа
сторон? (т - 0,5; 1; 2; 2,5).
9. На рис. 19-21 представлены три фигуры, каждая
из которых состоит из четырех точек и четырех
последовательно соединяющих их отрезков. Ка­
кая из этих фигур является четырехугольником?
10. П остройте произвольный четы рехугольник
PQRS. Укажите его противолежащие стороны
и вершины.
24
Глава 2
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ
ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ
Прежде чем приступить к решению задач на по­
строение с помощью циркуля и линейки, следует
вспомнить, как проводятся построения следующ их
фигур:
1. Построение угла, равного данному углу;
2. Деление отрезка пополам;
3. Построение биссектрисы угла;
4. Построение перпендикуляра к отрезку, прове­
денному из точки, не лежащей на отрезке, или из
точки, принадлежащей данному отрезку;
5. Построение треугольника:
— по трем его сторонам;
— по стороне и двум прилежащим к ней углам;
— по двум сторонам и углу между ними.
Задача 1. Построить треугольник по стороне а,
прилежащему углу В и биссектрисе I этого угла.
Д а н о : сторона а, угол В, биссектриса I угла В
(рис. 2 2 ).
П о с т р о и т ь : А ABC.
П о с т р о е н и е : 1. На произвольной прямой M N
откладываем отрезок АВ а (рис. 23).
2.
При вершине В строим угол А В К , равный
углу В.
а
К
В
Рис. 22
Рис. 23
25
3. Делим Z A B K пополам, т. е. строим биссек­
трису BE данного угла.
4. На биссектрисе BE откладываем B D ^ l .
5. Через точки D к А проводим прямую до пере­
сечения с прямой ВК в точке С. ^АВС — искомый,
так как в нем АВ - а, ZABC - ZB и биссектриса BD
угла В равна I.
Задача 2. П остроить прямоугольный треуголь­
ник по катету а и его медиане т^.
,_____ °
^
Д а н о : а — катет,
— медиана, проведенная к катету а
Рис. 24
(рис. 24).
П о с т р о и т ь : прямоугольный треугольник ABC.
П о с т р о е н и е . 1. На произвольной прямой M N
отложим отрезок ВС * а (рис. 25).
2. К отрезку ВС из точки В
проводим перпендикуляр ВК.
3. Отрезок ВС делим попо­
лам: « BE ” ЕС.
4. Из точки Е как центра
окружности радиусом, равным
проводим дугу, которая пе­
ресечет КВ в точке А.
Е
С
5. Полученную точку А соеРис. 25
диним с точкой С отрезком.
^АВС — искомый, так как он прямоугольный, его
катет ВС * а и длина медианы, проведенной к ВС,
АЕ — m О .
Задачи для сам остоятельного решения
1. Начертить отрезок, равный 4т - Зп, где т и п —
длины данных отрезков ( т > л).
2. Найти сумму трех данных углов.
3. По данным сумме и разности двух углов пост­
роить эти углы.
26
4. Данный острый угол увеличить в 3 раза.
5. Разделить данный угол на 2, 4, 8,16 равных ча­
стей.
6
. П остроить треугольник по двум сторонам и
углу, лежащему против меньшей из них.
7. Построить прямоугольный треугольник: 1) по
двум катетам; 2) по катету и гипотенузе; 3) по
катету и острому углу; 4) по гипотенузе и остро­
му углу.
8
. Через точку, данную внутри или вне угла, прове­
сти такую прямую, которая отсекла бы от сто­
рон равные отрезки.
9. .По одну сторону прямой АВ даны две точки М
и N. Найти на прямой АВ такую точку С, чтобы
прямая АВ оставляла равные углы со сторона­
ми ломаной MCN.
10. Построить равнобедренный треугольник по бо­
ковой стороне Ь и:
1) углу А при вершине;
2)
углу при основании, равному
-^d .
11. Построить равнобедренный треугольник по вы­
соте h и:
1 ) боковой стороне Ь;
2) углу А при вершине.
12. Построить прямоугольный треугольник по ка­
тету а и медиане другого катета т^.
13. Построить равнобедренный треугольник по боко­
вой стороне и высоте, опущенной на основание.
14. Построить треугольник по двум сторонам и вы­
соте, опущенной на третью сторону.
15. Построить треугольник по двум сторонам и вы­
соте, опущенной на одну из них.
16. Построить треугольник по сторюне и проведен­
ным к ней медиане и высоте. •
27
Глава 3
ПАРАЛЛЕЛЬНЫ Е
П Р Я М Ы Е _________________
Перед решением задач этой главы следует вспом­
нить:
1. Определение параллельных прямых.
2. Аксиому о параллельности прямых — пятый
постулат Евклида.
3. Признаки параллельности прямых.
4. Свойства параллельных прямых (теоремы, об­
ратные признакам параллельности).
5. Свойства углов с соответственно параллельны­
ми или соответственно перпендикулярными сторо­
нами.
6 . Сумму углов треугольника и выпуклого п-уголь­
ника.
7. Свойство внешнего угла треугольника.
8 . Следствия из теоремы о сумме углов треуголь­
ника;
1 ) о сумме остры х углов прямоугольного треу­
гольника;
2 ) о величине острых углов прямоугольного рав­
нобедренного треугольника;
3) о величине углов равностороннего треуголь­
ника;
4) свойство катета прямоугольного треугольни­
ка, лежащего против угла в 30*.
§ 3.1. Признаки параллельности прямых
Задача. Две прямые АВ и CD пересечены тре­
тьей. Параллельны ли прямые АВ и CD, если мень­
ший из углов при одной прямой равен 50’ , а боль­
ший из углов при другой прямой на 160 % больше
меньш его?
28
Д а н о : АВ и CIX пересечены
EMNF; /1ЕМВ - 50*; Z.CNE на
160 % больше ZEMB (рис. 26).
Е
^
^
О п р е д е л и т ь : АБ|С2)
или ABJIfCD
Р е ш е н и е . Найдем величину ZCNE из условия, что
этот угол на 160 % больше угла 50’ .
рис. 26
ZCNE - 50* •^
+ 50* - 80* + 50* - 130*.
ZAM F ” ZE M B “ 50* как вертикальные;
Z.CNE и ZAM F — внутренние односторонние при
пересечении прямых АВ и CD секущей EF. П осколь­
ку ^CNE + ZAM F - 130* + 50* - 180*, то данные пря­
мые АВ I CD (по третьему признаку параллельнос­
ти прямых).
З а м е ч а н и е . Если найденный угол величиной
в 130* является одним из накрест лежащих или со ­
ответственных углов с углом ЕМ В — 50*, то прямые
АВ и CD не параллельны.
О т в е т : АВ | C D , если данные углы односторон­
ние, ABJ^CD , если данные углы накрест лежащие
или соответственные.
Задачи для сам остоятельного решения
1./Д ве параллельные прямые пересечены третьей
прямой; при этом один из внутренних углов
О
равен l ^ d . Под каким углом его биссектриса
О
пересекает другую параллель?
2. Прямые А М Б и CND пересечены прямой EM N F,
Z .C N F -
и Z N M B - —d . Параллельны ли
16
4
данные прямые? Как надо изменить величину
угла N M B , чтобы прямые сделались параллель­
ными?
29
3. Прямые A M N B и CRSD пересечены прямыми
E M R F и G N S H . Д ан о, ч то Z A M E ~
Ч
19 .
ZANS и /M R S - — d . Определить /^DSH,
о
24
4. Доказать, что биссектрисы внутренних накрест
лежащих углов, образованных параллельными
и секущ ей, параллельны, т. е. лежат на парал­
лельных прямых.
5. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е и де­
лятся этой точкой пополам. Доказать, что пря­
мые АС и BD параллельны.
в. Треугольники ABC и BAD равны. Точки С и D
лежат по разные стороны от прямой АВ. Дока­
зать, что прямые АС и BD параллельны.
7. Прямые АС и BD параллельны, причем точки
А я D лежат по разные стороны от секущей ВС
(рис. 27). Доказать, что:
1) углы ВВС и АС В внут­
ренние накрест лежащие
относительно секущей ВС;
2) луч ВС проходит м еж ­
ду сторонами угла ABD;
3) углы САВ и DBA внут­
ренние односторонние от’ Рис. 27
носительно секущей АВ.
V 1) Разность двух внутренних односторонних уг­
лов при двух параллельных прямых и секущей
равна 30’ . Найти эти углы.
2) Сумма двух внутренних накрест лежащих
углов при двух параллельных прямых и секу­
щей равна 150*. Чему равны эти углы?
Э1 Один из углов, которые получаются при пересе­
чении двух параллельных прямых секущ ей, ра­
вен 30*. Может ли один из остальных семи уг­
лов равняться 70’? Объяснить ответ.
10. Доказать, что две прямые, параллельные перпен­
дикулярным прямым, сами перпендикулярны.
6
30
11. Две прямые АВ и CD пересечены третьей. Па­
раллельны ли АВ и CD, если:
1 ) каждый из внешних односторонних углов ра­
вен d;
2 ) внутренние односторонние углы равные, но не
прямые;
3) один из внутренних углов при АВ равен l,2 d ,
а один из внутренних углов при CD составляет
2
g от него?
12., Параллельны ли две прямые, пересеченные тре­
тьей прямой, если:
1 ) больший из углов при одной прямой равен 135',
а больший из углов при другой прямой равен М ;
2 ) меньший из углов при одной прямой состав­
ляет 30 % от d, а меньший из углов при другой
•7
прямой н а
меньше прямого угла?
13. Биссектриса угла А треугольника АБС пересе­
кает сторону ВС в точке К , из которой проведе­
ны прямые КЕ I СА и КН | ВА (точки Е п Н
лежат на сторонах треугольника). Доказать, что
А Е ~ Е К ^ К Н ’~ НА.
14. 1) Найти геометрическое место точек, удаленных
от данной прямой АВ на данное расстояние а;
2) Что можно принять за расстояние между дву­
мя параллельными прямыми?
3) Можно ли говорить о расстоянии между дву­
мя пересекающимися прямыми?
15. Найти геометрическое место: 1) точек, равно­
отстоящих от двух данных параллельных прямых;
2) вершин В треугольников, имеющ их данное
общее основание АС и данную высоту Л.
16. 1) Доказать, что прямая, пересекающая две сто­
роны треугольника и параллельная его третьей
стороне, отсекает от него треугольник, углы к о ­
торого соответственно равны углам данного тре­
угольника.
31
2) В тр еугол ьн и к е ABC'. ZA = 42’ ;
48’ ;
ZC = 90’ . Треугольник пересечен прямой, парал­
лельной стороне АС. Определить углы образо­
вавшегося треугольника.
17. В треугольнике АБС: ZA = 42’ ; ZB *= 67". Опре­
делить величину угла С.
18. В четырехугольнике ABCD стороны ВС и AD па­
раллельны и равны. Сторона АВ равна 10 см и
ZBAD равен 65’ . Найти сторону CD и угол BCD,
19. Отрезки АС и BD в точке пересечения делятся
пополам. Соединить последовательно отрезками
прямых точки А , В ,С и D и доказать, что:
1) отрезки АВ и CD параллельны и равны;
2) отрезки ВС и AD параллельны и равны.
20. На рисунке 28; АС - ВС и M N А В . Доказать,
что треугольник MNC равнобедренный.
21. На рисунке 29 отрезки AF и BD пересекаются
так, что АС - СВ, отрезки АВ и DF параллельны.
Доказать, что BD —АР.
22. Даны две параллельные и их секущая. Биссек­
триса одного из внутренних углов составляет с
другой параллельной прямой угол 42'. Найти все
углы, образованные при пересечении этих пря­
мых данной секущей.
23. В треугольнике ABC через точку О пересечения
биссектрис углов В я С провести прямую M N ,
параллельную стороне ВС (рис. 30). Доказать,
что M N = ВМ + CN.
32
§ 3.2. Углы с соответственно параллельными
или соответственно перпендикулярными
сторонами
Задача. Через некоторую точку О внутри произ­
вольного треугольника ABC проведены три прямые,
соответственно параллельные сторонам треугольни­
ка. Используя только свойства углов с соответствен­
но параллельными сторонами, доказать, что сумма
внутренних углов треугольника составляет полови­
ну полного угла при вершине О.
Д а н о : Д А В С ; D 0 E \ A B ; M O N АС, К О Н ВС;
О — произвольная точка внутри ААВС (рис. 31).
Д о к а з а т ь : S углов
А АБС = ^ полного угла О.
Доказательство.
При вершине О образова­
лись шесть углов, из ко­
торых: Z1 - Z2; Z3 —Z4;*
и Z5 - Z 6 как вертикаль­
ные, н Z2 - ZB] Z4 “ ZA;
Z5 “ ZC как углы с соот­
ветственно параллельными сторонами. Тогда сумма
2 Z B - I - 2 Z A + 2Z C равна п о л н о м у у гл у О, т. е.
2ZB -f 2ZA + 2ZC = 360*.
Следовательно, 2(ZB + ZA + ZC ) - 360*, и тогда
Z 5 -t- ZA ZC = 180*. Что и требовалось доказать.
Задачи для самостоятельного решения
1. Даны два угла с параллельными сторонами; один
из них на 90’ больше другого. Чему равен каж ­
дый угол?
2. Через концы основания треугольника проведены
два перпендикуляра к боковым сторонам; пере­
секаясь, эти перпендикуляры образуют угол 130".
Вычислить угол при вершине треугольника.
3 — К. X . Абдуллаев и др.
33
3. Верны ли теоремы:
1 ) если острые углы равны, то их стороны соот­
ветственно параллельны;
2 ) если тупые углы равны, то их стороны соот­
ветственно перпендикулярны;
3) если острый и тупой угол составляют в сум ­
ме 2 d, то их стороны соответственно параллель­
ны или перпендикулярны?
4. 1) Начертить два таких угла, чтобы стороны
их были соответственно параллельны и соот­
ветственно перпендикулярны.
2) Могут ли два угла с соответственно перпен­
дикулярными сторонами быть одновременно рав­
ными и в сумме составлять 180'?
3) Можно ли углы с соответственно параллель­
ными сторонами привести в такое положение,
чтобы они стали смежными?
5. 1) Угол между высотой, опущенной на гипотену­
зу, и меньшим катетом прямоугольного тре­
угольника равен j d . Найти острые углы данно­
го прямоугольного треугольника, пользуясь толь­
ко теоремами об углах с соответственно парал­
лельными или перпендикулярными сторонами.
2) Доказать, пользуясь теоремами об углах с со ­
ответственно параллельными или перпендику­
лярными сторонами, что сумма острых углов
всякого прямоугольного треугольника равна d.
в. Угол между боковыми сторонами треугольника
равен 42*. С концов основания проведены высо­
ты треугольника. Найти угол между высотами,
обращенный к основанию.
7. При проведении биссектрисы угла со сторонами
АВ и CD, вершина которого не помещается на
чертеже, были выполнены следующие построе­
ния (рис. 32): из некото 1юй точки Е на стороне
CD провели прямую EF\AB\ построили биссек­
трису EG угла FED', в какой-то точке Н бис34
8
.
9.
10.
11.
12.
сектрисы восставили к
ней п е р п е н д и к у л я р
НК\ провели середин­
ный п е р п е н д и к у л я р
OL к отрезку КН. Дока­
зать, что LO — искомая
биссектриса.
С
Е
Даны два угла с соответРис. 32
ственно параллельными сторонами. Найти эти
углы, если;
1 ) один из них в четыре раза меньше другого;
2) один из них больше другого на 35‘ .
Два угла с соответственно параллельными сто­
ронами относятся как 2 ; 7. Определить эти углы.
1) Как найти величину угла между двумя непа­
раллельными прямыми, точка пересечения ко­
торых находится вне чертежа?
2) Как найти величину углов треугольника, если
на чертеже указаны лишь направления сторон, а
вершины треугольника находятся вне чертежа?
1) Две прямые образуют углы, один из которых
равен 82*. Через точку, взятую внутри большего
угла, проведены прямые, параллельные данным
прямым. Определить меньший из углов, образо­
ванных проведенными прямыми.
2) Внутри угла, равного 56', взята точка и через
нее проведены прямые, параллельные сторонам
этого угла. Найти углы полученного четырех­
угольника.
В треугольниках ABC и M N P три пары соот­
ветственно параллельных сторон (рис. 33). Найти
углы треугольника M N P по данным углам тре­
угольника ABC.
35
Рис. 35
13. Два угла с соответственно перпендикулярными
сторонами относятся как 17 : 19. Определить
эти углы.
14. Две прямые образуют углы, один из которых
равен 36*. Через точку, взятую внутри меньше­
го угла, проведены прямые, перпендикулярные
данным прямым. Определить меньший из уг­
лов, образованных проведенными прямыми.
15. Точки А и В, лежащие на сторонах прямого угла
С, соединены отрезком прямой. Из вершины
прямого угла С к отрезку АВ проведен перпен­
дикуляр CD (точка D лежит на отрезке АВ).
Какие из полученных углов составлены соответ­
ственно перпендикулярными прямыми?
16. 1) Отрезки BD и CF являются высотами тре­
угольника ABC (рис. 34). Доказать, что Z1 = Z2;
2) AD и CD — прямые, перпендикулярные сто­
ронам ВС и АВ треугольника ABC (рис. 35). До­
казать, что Z1 -Ь Z2 = 180*.
§ 3.3. Сумма углов треугольника
Задача 1. Из середины гипотенузы восставлен пер­
пендикуляр до пересечения с катетом, и полученная
точка соединена с концом другого катета отрезком,
который делит угол треугольника в отношении 2 : 5
(меньшая часть при гипотенузе). Определить этот угол.
36
Д а н о : А ABC — прямо­
угольный; AD - BD\ DK ± AS',
/1ВАК : nCAC - 2 : 5 (рис. 36).
Н а й т и : ZBAC.
Р е ш е н и е . Треугольник
AB K — равнобедренный, т. к.
точка К лежит на перпенди­
куляре к отрезку A S , проведенному через середину
D этого отрезка, и поэтому равноудалена от концов А
и В этого отрезка, т. е. КА = КВ.
Углы при основании равнобедренного тр е у го л ь ­
ника ABTf равны, поэтому ZB =• ZBAK = 2х, тогда как
ZKAC - 5ж.
ZBAC — 5х + 2х = 1х, а сумма остры х углов пря­
м о у г о л ь н о г о т р е у го л ь н и к а равна 90". З н ачи т
ZB -f ZBAC - 7х -ь 2х - 9дг - 90*. Тогда 1л: - 10*, а
ZBAC - 7 • 10 - 70*.
О т в е т : ZBAC - 70".
Задача 2 В равнобедренном треугольнике сум ­
ма внутренних углов вместе с одним из внешних
равна Щ- d . Определить углы этого треугольника.
О
Д а н о : ДЛВС; АВ = ВС;
/LA + ZC + Z A B C + ZDBC = d
(рис. 37).
Н а й т и : ZA; ZB; ZC.
Р е ш е н и е . Сумма внутрен­
них углов треугольника равна
2d, а тогда внешний угол этого
21
5
треугольника равен - g d - 2d = -^d. Так как внеш­
ний угол меньше прямого угла d, то он острый, и по­
тому смежный с ним внутренний угол будет тупым, а
в равнобедренном треугольнике тупым может быть
только угол при вершине этого треугольника.
Итак, ZABC - 2d - ZDBC по свойству смеж ных
углов, т. е. ZABC — 2d - ^ d = l ~ d . По свойству внешО
О
37
него угла треугольника имеем: /LDBC » ZA + ZC, т. е.
внешний угол равен сумме двух внутренних углов
треугольника, не смежных с ним. Но углы при осно­
вании равнобедренного треугольника равны, значит
ZA -ZC -^ ZM C -f
Ответ:
1
1
=
* Д d.
Задачи для сам остоятельного решения
Два угла треугольника относятся как 5 : 7, а тре­
тий угол на
третий угол.
I
больше первого. Определить
2. В равнобедренном треугольнике угол при верши­
не равен 105*27". Определить угол при основании.
3. В равнобедренном треугольнике угол при основа­
нии равен 70*43'. Определить угол при веригане.
4. Угол при вершине равнобедренного треугольника
равен 30*; на боковую сторону опущена высота.
Найти угол между этой высотой и основанием.
5. В равнобедренном треугольнике угол между вы­
сотой и боковой стороной на - d меньше угла при
основании. Определить углы этого треугольника.
6
. 1) В прямоугольном треугольнике один острый
угол равен
. Определить катеты, если их сум­
ма равна 36 см.
2) В прямоугольном треугольнике острый угол
равен ^ d . Определить гипотенузу, если в сумме с
опущенной на нее высотой она составляет 1 2 см.
7 В прямоугольном треугольнике один из острых
углов равен
, а сумма гипотенузы с меньшим
катетом равна 1,8 м. Определить гипотенузу.
38
8
. В равностороннем треугольнике проведены две
медианы. Найти острый угол между ними.
9. Один из остр ы х углов п р ям оугол ьн ого тр е ­
угольника равен ^
. Найти острый угол между
гипотенузой и биссектрисой прямого угла.
10. Доказать, что биссектриса внешнего угла при вер­
шине равнобедренного треугольника параллель­
на основанию.
И . Дан угол А ; от его вершины А откладываем на
стороне отрезок АВ; из точки В проводим пря­
мую, параллельную второй стороне данного угла;
на этой прямой откладываем внутри угла отре­
зок BD, равный АВ, и соединяем точку D с вер­
шиной А . Доказать, что прямая AD делит дан­
ный угол пополам.
12. В треугольнике ABC угол В прямой; М — точка
пересечения биссектрис углов А и С. Определить
угол АМ С.
13. В треугольнике ABC биссектрисы углов А и С
пересекаются в точке М . Определить угол ABC,
если он равен половине угла АМ С.
14. В равнобедренном треугольнике угол между о с­
нованием и высотой, опущенной на боковую стоО
рону, равен j g d . Определить углы этого тре­
угольника.
15. В равнобедренном треугольнике ABC высота AD,
опущенная на боковую сторону ВС, образует с
боковой стороной АВ угол BAD, равный j d . Оп­
ределить углы этого треугольника:
1) предполагая, что высота AD проходит внут­
ри треугольника;
2) предполагая, что AD проходит вне треуголь­
ника.
39
16. Доказать, что в прямо>тольном треугольнике ме­
диана, проведенная к гипотенузе, равна ее поло­
вине.
17. Доказать теорему: если медиана равна половине
стороны, к которюй она проведена, то треуголь­
ник прямоугольный.
18. Если на гипотенузе ВС равнобедренного прямо­
угольного треугольника ABC отметить две точки
E a D так, что BE -= ВА и CD *= СА, то /DAE ^
Доказать.
.
19. Угол при вершине равнобедренного треугольни­
ка равен 36'. Доказать, что биссектриса угла при
основании, продолженная до пересечения с про­
тивоположной стороной, делит равнобедренный
треугольник на два других равнобедренных тре­
угольника.
20. В треугольнике ЛВС сторона АС продолжена за
точку С на длину СЕ - СВ и за точку Л на длину
AD~=AB\ точки Е и D соединены с В. Опреде­
лить углы треугольника DBE, если углы тре­
угольника ABC известны.
21. В треугольнике ASC проведены высоты AD и СЕ;
М — точка их пересечения. Определить ZAMC,
если дано, что ZBAC -
] d a ZBCA - | d .
4
О
22. В равнобедренном треугольнике ABC высоты AD
и СЕ, опущенные на боковые стороны, образуют
ZAMC ^ -^ d . Определить углы треугольника
ABC.
23. В треугольнике ABC из вершины С проведены
биссектрисы внутреннего и внешнего углов; пер­
вая биссектриса образует со стороной АВ угол,
равный
d . Какой угол образует с продолже­
нием стороны АВ вторая биссектриса?
40
24. В треугольнике ABC вычислить острый угол:
1) м еж ду биссектри сам и углов А я В , если
ZA - 84*, а ZC - 43‘ ;
2) м еж ду биссектри сам и углов А и В, если
ZC - 40’ ;
3) между биссектрисой угла А , равного 64’ , и вы­
сотой, опущенной на одну из сторон угла А ;
4) между медианой равнобедренного треугольни­
ка, проведенной к основанию, и биссектрисой угла
при основании, если угол при вершине равен 70*.
25. Чему равен тупой угол между:
1 ) биссектрисами острых углов прямоугольного
треугольника;
2 ) двумя медианами равностороннего треуголь­
ника;
3) биссектрисой угла при основании и высотой
к основанию равнобедренного прямоугольного
треугольника?
26. Определить углы треугольника, зная, что один из
них составляет -g- другого, а другой — ^ третьего.
27. Дан треугольник, в котором сумма двух углов
равна третьему его углу и средний по величине
угол составляет 1 наибольшего. Сумма наибольО
шей и наименьшей сторон равна 57 см. Чему
равны эти стороны?
28. Внешний угол треугольника равен 90*. Найти
величину каждого из внутренних углов, не см еж ­
ных с ним, если они относятся как 3 : 5.
2 9 . В тр еу гол ь н и к е ABC
(рис. 38) проведен отрезок
так, что АВ “ AD.
Внешний угол при вер\
ш ине А равен 140*, а
А
D
C
угол С равен 35*. Дока­
зать, что BD - DC.
Рис. 38
41
30. в прямоугольном треугольнике один из углов
равен 60*, сумма гипотенузы и меньшего катета
равна 45 см. Найти длину гипотенузы.
31. Отрезок длиной 15 см образует с некоторой пря­
мой угол в 60’ . Найти проекцию данного отрез­
ка на эту прямую.
32. Из точки, взятой на расстоянии 10 см от прямой,
проведены к прямой две наклонные, длины ко­
торых относятся как 1 :2 . Меньшая наклонная
образует с прямой угол, равный 30’. Определить
длины наклонных.
§ 3.4. Сумма углов выпуклого
п-угольника
Задача. Определить углы четырехугольника, если
первые два из них относятся как 5 : 7, третий равен
их разности, а четвертый меньше третьего на
Д а н о : A B C D — ч еты р ех у гол ьн и к (р и с .3 9 ).
/.В . Z C -
Рис. 39
Н а й т и : ZA ; Z jB; ZC; ZD.
Р е ш е н и е . Пусть ZB равен 5х. Тогда Z.C равен
7jc, т . е. /ИВ^Ьх и Z C - 7 x . По условию задачи
Z D < -Z C -Z B -7 jc -5 x -2 x , Z A - Z D Сумма внутренних углов выпуклого п-угольника
равна 180’(л - 2 ), тогда сумма внутренних углов че­
тырехугольника равна 180’(4 - 2) - 360’ , или Ad.
Итак,
16х “
42
5 х + 7ж + 2х + 2х 4d
+
^
d : 16 -
.
Зна чит ,
{Jd - 1
^ D ^ 2 x ~ f^d;
=
® d -
11
-^ d -
11
Ответ:
;
ZC - 7 х -
ZA~2x-
-2 -d
11
•
fi^,l-f\d,l^d;
-^d.
Задачи для самостоятельиого решения
1. Определить сумму внутренних углов: 1) семи­
угольника; 2) десятиугольника; 3) двадцатипятиугольника.
2. Определить углы пятиугольника, зная, что величи­
ны их относятся между собой как 1 :1 , 5 : 2 ; 2, 5 : 3.
3. Как изменится сумма углов многоугольника, если
число его сторон увеличить на 5?
4. Сколько сторон имеет многоугольник, если сумма
его внутренних углов равна: 1) 30d; 2) 48d; 3) 57d?
5. В каком многоугольнике сумма внутренних у г­
лов равна сумме внешних углов?
6 . Сколько сторон имеет многоугольник, если сум ­
ма его внутренних углов вместе с одним из внеш­
них равна 23d?
7. Определить число сторон многоугольника, если
сумма его внутренних углов в m раз больше
суммы внешних углов ( т * 1, 2, 3).
8 . Сколько сторон имеет правильный многоуголь­
ник, каждый из внутренних углов которого ра­
вен: 1) 135*; 2) 150’ ?
9. Сколько сторон имеет правильный многоуголь­
ник, если каждый из внешних его углов равен:
1) 36*; 2) 24"?
10. 1) Вычислить сумму внутренних углов выпук­
лого восьмиугольника.
2) Определить внутренний угол равноугольного
выпуклого пятиугольника.
43
3) Определить внутренний угол равноугольно­
го выпуклого дссятнугольинка.
4) Найти разность внутренних углов многоуголь­
ников, указанных в задачах (2) и (3). Какова раз­
ность их внешних углов? Сравнить разности и
объяснить результат.
11. В каких вы пуклы х м ногоугольниках сумма
внутренних углов;
1 ) равна сумме внешних;
2 ) меньше суммы внешних;
3) больше суммы внешних углов, взятых по од­
ному при каждой вершине?
12. Определить углы пятиугольника, если они от­
носятся как 7 ; 4 ; 3 : 5 : 8 .
13. При съемке плана земель­
ного участка, им ею щ его
фо р м у п я т и у г о л ь н и к а ,
были получены следующие
величины углов (рис. 40):
ZA = 138*;
= 126';
Z C = 1 3 2 ; ZZ) = 1 6 7 ‘ ;
ZE = 109*. Докажите, что
при замере углов была допущена ошибка.
^
Рис. 40
14. 1) В данном десятиугольнике все внутренние углы
равны между собой. Найти: а) величину его внеш­
него угла; б) величину его внутреннего угла.
2) Определить внутренние углы: а) двадцатиугольника и б) шестидесятиугольника, если в
каждом из них их внутренние углы равны меж ­
ду собой.
15. Определить число сторон многоугольника, если
сумма его внутренних углов равна: 1 ) 1080';
2) 900*; 3) 1260*.
16. Сумма внешних углов многоугольника в три раза
меньше суммы внутренних углов. Найти число
сторон этого многоугольника.
44
17. Найти число сторон каждого из многоугольни­
ков, если сумма внешних углов многоугольника
меньше суммы его внутренних углов на: 1 ) 180’ ;
2) 720*.
18. Как изменится сумма внутренних углов м ного­
угольника, если число его сторон увеличить на:
1) 1; 2) 2; 3) л?
Глава 4
ЧЕТЫ РЕХУГОЛЬНИКИ
Перед тем как приступить к решениям задач по
теме «Четырехугольники*, проверьте себя в отве­
тах на вопросы этой тематики:
1. Сформулировать определение параллелограм­
ма и свойства его сторон, углов и диагоналей.
2. Назвать признаки параллелограмма.
3. Сформулировать определение прямоугольни­
ка и сформулировать как свойства его, аналогич­
ные свойствам параллелограмма, так и свойства, о т­
личные от свойств параллелограмма.
4. Дать определение ромба и назвать его свойства,
общие с параллелограммом и отличные от его свойств.
5. Дать определение квадрата и назвать все свой ­
ства, которыми он обладает.
6 . Сформулировать определение трапеции, и ее
разновидностей: равнобедренной и прямоугольной
трапеции.
7. Какими отличительными свойствами облада­
ет равнобедренная трапеция?
8 . В чем состоит теорема Фалеса и ее практи­
ческое применение?
9. Дать определение средней линии треугольни­
ка и сформулировать ее свойства.
10. Дать определение средней линии трапеции и
назвать ее свойства.
45
§ 4.1. Параллелограмм и его свойства
Задача. В параллелограмме с периметром 32 см
проведены диагонали. Разность между периметра­
ми двух смеж ных треугольников равна 8 см. Най­
ти длины сторон параллелограмма.
В
С
Д а н о : ABCD — парал­
лелограмм;
и BD — диагонали;
^ллов“ ®
Рис. 41
^
(Р” ®-
Н а й т и : АВ и ВС.
Решение.
ВО + ОС + ВС;
+ ВО + АО. По свойству диагоналей параллелограм­
ма АО - ОС, т. е. в точке пересечения диагонали де­
лятся пополам. Тогда Р^дос~
ВО + ОС + B C - (АВ + ВО + 0 С )= ВО + ОС + В С -А В - ВО ~ ОС =
= ВС - АВ. По условию задачи разность этих пери­
метров равна 8 см, т. е. В С -А В = 8 , а тогда ВС =А В + 8 .
Р^^^'-АВ + BC + C D + A D ‘ 2АВ + 2ВС (АВ = CD;
ВС - AD как противоположные стороны параллело­
грамма).
Итак, 2АВ + 2ВС “ 32, следовательно, АВ + ВС = 16,
но ВС * АВ -t- 8 , отсюда АВ + АВ -ь 8 - 16;
2АВ - 8
и АВ - 4 (см ), а тогда ВС = 4 + 8 =•= 12 (см).
О т в е т : 4 см и 12 см.
Задачи для самостоятельного решения
1. В параллелограмме ABCD проведена б и ссе к ­
триса угла А , которая пересекает стор он у ВС
в точ ке Е . Определить отрезки BE и ЕС, если
А В * 9 см и A D “ 15 см.
2. Одна из сторон параллелограмма равна 5 м. Мо­
гут ли его диагонали выражаться следующими
числами: 1 ) 4 м и 6 м; 2) 4 м и 3 м; 3) 6 м и 7 м?
3. Может ли диагональ параллелограмма равнять­
ся его стороне?
46
4. В параллелограмме ABCD высота, которая про­
ведена из вершины В, делит основание AD по­
полам. Определить диагональ BD и стороны па­
раллелограмма, если известно, что периметр па­
раллелограмма содерж ит 3,8 м и превышает
периметр треугольника ABD на 1 м.
5. В параллелограмме угол между высотами, прове­
денными из вершины острого угла, равен
Определить углы параллелограмма.
6
. Середины Е и F параллельных сторон ВС и AD парал­
лелограмма ABCD соедине­
ны прямыми с вершинами
D м В (рис. 42). Доказать,
что эти прямые делят диа­
гональ АС на три равных
части.
В
7. Из произвольной точки основания равнобедрен­
ного треугольника проведены прямые, параллель­
ные боковым сторонам. Доказать, что периметр
получившегося параллелограмма не зависит от
положения точки и равен сумме боковых сто­
рон треугольника.
8
. Диагональ параллелограмма образует с двумя его
сторонами углы 25* и 35'. Найти углы паралле­
лограмма.
9. Найти все углы параллелограмма, если разность
двух из них равна: 1) 70‘ ; 2) Н О ’ ; 3) 140*.
10. Периметр параллелограмма равен 90 см, его о с ­
трый угол содержит 60*. Диагональ параллело­
грамма делит тупой угол на части в отношении
1 : 3 . Найти стороны параллелограмма.
11. Боковая сторона равнобедренного треугольни­
ка равна 8 дм. Из произвольной точки, взятой
на основании этого треугольника, проведены
47
две прямые, параллельные боковым сторонам.
Вычислить периметр получившегося паралле­
лограмма.
12. Одна из сторон параллелограмма образует с бис­
сектрисами прилежащих углов треугольник. Наи­
меньшая сторона этого треугольника равна по­
ловине общей стороны треугольника и паралле­
лограмма. Определить углы параллелограмма.
13. Доказать, что отрезки прямой, параллельной диа­
гонали параллелограмма, заключенные между
продолжениями параллельных его сторон, равны.
14. В параллелограмме ABCD вершина А соединена
с серединой стороны ВС, вершина В — с середи­
ной стороны CD, вершина С — с серединой сто­
роны DA и вершина D — с серединой стороны
АВ. Доказать, что образовавшийся при пересе­
чении проведенных прямых четырехугольник —
параллелограмм.
15. Из куска проволоки длиной 84 см надо изгото­
вить параллелограмм, стороны которого относят­
ся как 3 : 4 . Найти длины сторон этого паралле­
лограмма.
16. 1) В параллелограмме ABCD диагональ BD об- )
р а зует со ст о р о н о й CD у г о л , равны й 6 8 ’ .
ZABC = 84*. Найти ZADB и ZBCD.
2) В параллелограмме ABCD диагональ АС об­
разует со стороной DC угол, равный 40’ . Найти
ZADC и Z.BAC, если ZABC * ПО*.
17. 1) Биссектриса тупого угла параллелограмма де­
лит противоположную сторону в отношении 2 : 1 ,
считая от вершины острого угла. Найти стороны
параллелограмма, если его периметр равен 60 см.
2) Биссектриса тупого угла параллелограмма де­
лит его сторону в отношении 2 : 1 , считая от вер­
шины тупого угла. Найти стороны параллело­
грамма, если его периметр равен 60 см.
48
18. Один из углов параллелограмма в три раза боль­
ше другого. Высота, проведенная из вершины
тупого угла, делит противоположную сторону на
две части, равные 2 см и 4 см. Найти высоту
параллелограмма (два решения).
19. Можно ли построить параллелограмм:
1) по двум сторонам, равным 20 см и 34 см, и
диагонали, равной 52 см;
2 ) по стороне, равной 8 см, и двум диагоналям,
равным 6 см и 1 0 см;
3) по диагонали, равной 6 см, и сторонам, рав­
ным 20 см и 38 см?
20. 1) На продолжении проти­
воположных сторон парал­
лелограмма ABCD отложе­
ны равные отрезки А К и
CL (рис. 43) и отрезками
прямых соединены точки
В и L и точки К и D. До­
казать, что полученный че­
ты рехугольник L B K D —
параллелограмм.
D
21. Сколько различных параллелограммов мож но
составить из двух равных треугольников, если
они; 1 ) разносторонние; 2 ) равнобедренны е;
3) равносторонние?
22. Доказать, что в параллелограмме ABCD проти­
воположные вершины В п D находятся на оди­
наковом расстоянии от диагонали АС.
23. 1) Доказать, что биссектрисы противоположных
углов параллелограмма параллельны (или с о ­
впадают). В каком случае биссектрисы проти­
воположных углов параллелограмма совпадаиот?
2) Доказать, что биссектрисы углов параллело­
грамма, прилежаших к одной стороне, взаимно
перпендикулярны.
4 — К. X . Абдуллаев и др.
49
24. Биссектрисы углов парал­
лелограмма пересекают его
стороны в точках M , N , Р к
Q (рис.44). Провести отрез­
ки MQ и NP и определитьвид полученного четырех­
угольника MNPQ.
25. Два угла параллелограмма относятся как 1 : 3 .
Найти угол меж ду высотами параллелограм­
ма, проведенными из вершины: 1 ) тупого угла;
2 ) острого угла.
26. Если через точку пересечения диагоналей парал­
лелограмма провести две прямые и соединить
последовательно точки пересечения этих прямых
со сторонами параллелограмма, то полученный
четырехугольник будет параллелограммом. До­
казать.
27. Треугольник АБС равен
т р е у г о л ь н и к у Л ,В ,С ,
(р и с. 4 5 ) А С ,* 20 см;,
A j C » 1 2 с м. На й т и
расстояние между точ­
ками В и В,.
28. 1) В параллелограмме ABCD перпендикуляры,
проведенные через вершины тупых углов к диа­
гонали АС, пересекают ее в точках М и N (рис.
46). Доказать, что BN - D M ;
2) Точки Е и F — середины сторон A S и CD
параллелограмма АВСЬ (рис. 47). Доказать, что
BF - DE,
В
С
С
50
в
В
G
29. В четырехугольнике ABCD: АС — диагональ,
АВ| DC, АВ = CD, FD = BG (р и с.48). Доказать,
что отрезок FG делится в точке пересечения
его с диагональю АС пополам.
30. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов
В н D пересекают диагональ АС в точках М и
N (рис. 49). Доказать, что точки В, N, D я М
являются вершинами параллелограмма.
§ 4.2. Прямоугольник и его свойства
:1адач(1. В равнобедренный прямоугольный тре­
угольник вписан прямоугольник так, что две его вер­
шины находятся на гипотенузе, а две другие - на
катетах. Определить стороны прямоугольника, если
известно, что они относятся как 5 : 2, а гипотенуза
треугольника равна 45 см.
1-й случай. Д а н о : А ABC — прямоугольный;
АВ - ВС; АС - 45 см; DEM N — вписанный прямо­
угольник; D N : M N “ 5 : 2 (рис. 50).
О п р е д е л и т ь : DN и M N .
Р е ш е н и е . В прямоугольном равнобедренном
треугольнике ABC: ZA •= ZC =“ 45". Прямоугольные
треугольники ADE и MNC так­
В
же будут равнобедренными, по­
скольку один из их острых уг­
лов равен 45*.
Значит, AD - DE и M N = NC,
но в силу равенства противо­
положных сторон прямоуголь51
ника D E и M N сл е д у е т , ч то A D - N C. П у сть
Е М “ 5х *■ DN, тогда M N - 2jc - AD - NC, а тогда
A C ^ A D + D N + N C - 2 X + 5х + 2 х ~ 9х.
По условию задачи АС = 45, и потому 9х = 45, тог­
да х « 5 . З н а ч и т, M N = 2 • 5 - 10 (с м ), а
DN = Е М * 5 - 5 - 2 5 (см ).
О т в е т : 10 см и 25 см.
При данном условии возможен и следующий ва­
риант решения.
2-й случай. Д а н о : А ABC —
прям оугольны й ;
АВ - ВС;
АС “ 45 см; DEM N — вписан­
ный прямоугольник; D N : M N =
“ 2 : 5 (рис. 51).
О п р е д е л и т ь : DN и M N .
Р е ш е н и е . При рассужде­
ниях, аналогичных случаю 1, ^ A E D и Д MNC — пря­
моугольные и равнобедренные, и AD = DE = M N =
- NC = 5х, тогда как DN = ЕМ — 2х.
Итак, АС = А1> + DN + N C - 5 X + 2X + 5 х ^ 45.
Значит, 12х =“ 45 см, х - 3,75 см, и поэтому DN “
- £ М - 2 л г - 2 - 3 .7 5 - 7 ,5 ( с м ) и /)Г -М Л ^ = 5дг* 5• 3 ,7 5 ” 18,75 (см).
О т в е т : 7,5 см и 18,75 см.
Задачи для самостоятельного решения
1. В прямоугольнике определить угол между мень­
шей стороной и диагональю, если он на i-d мень3
ше угла между диагоналями, опирающегося на
ту же сторону.
2. Существует ли внутри прямоугольника точка,
одинаково удаленная: 1 ) от всех его сторон?
2 ) от всех его вершин?
3. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей
отстоит от меньшей стороны на 4 см дальше, чем
от большей стороны. Периметр этого прямоуголь­
ника равен 56 см. Определить его стороны.
52
4. В прямоугольнике диагонали пересекаются под
углом в
. Сумма обеих диагоналей и обеих
меньших сторон равна 3,6 м. Определить длину
диагоналей.
5. ABCD — данный прямоугольник; М — середина
стороны ВС. Дано, что прямые М А и M D взаим­
но перпендикулярны и что периметр прямоуголь­
ника ABCD равен 24 м. Определить его стороны.
6
. Дан прямоугольник; перпендикуляр, опущенный
из вершины на диагональ, делит прямой угол на
две части в отношении 3 : 1 . Найти угол между
этим перпендикуляром и другой диагональю.
7. В прямоугольный треугольник, каждый катет к о ­
торого равен 6 см, вписан прямоугольник, имею­
щий с треугольником общий угол. Найти пери­
метр прямоугольника.
8
. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямо­
угольника на его диагональ, делит ее в отноше­
нии 1 : 3. Определить длину диагонали, если из­
вестно, что точка ее пересечения с другой диаго­
налью удалена от большей стороны на 2 м.
9. Доказать, что если в параллелограмме хотя бы
один угол прямой, то он является прямоуголь­
ником.
10. Доказать, что если у параллелограмма диаго­
нали равны, то он является прямоугольником.
11. Бетонная плита с прямолинейными краями долж­
на иметь форму прямоугольника. Как при по­
мощи бечевки проверить правильность формы
плиты?
12. Биссектриса одного из углов прямоугольника де­
лит сторону прямоугольника пополам. Найти пе­
риметр прямоугольника, если его меньшая сто­
рона равна 1 0 см.
53
13. 1) Доказать, что если в четырехугольнике три
внутренних угла прямые, то его противополож­
ные стороны параллельны.
2) Доказать, что если в четырехугольнике диа­
гонали равны и в точке пересечения делятся
пополам, то этот четы рехугольник является
прямоугольником.
14. Доказать, что биссектрисы внутренних углов па­
раллелограмма (не ромба), пересекаясь, обра­
зуют прямоугольник.
15. Доказать, что в прямоугольном треугольнике
медиана, проведенная из вершины прямого угла,
равна половине гипотенузы.
16. 1) Через середину гипотенузы прямоугольного тре­
угольника, равной 6 см, проведены прямые, парал­
лельные его катетам. Определить вид полученно­
го четырехугольника и найти его диагонали.
2) В треугольнике ABC Z C -9 0 ’, АС —ВС — 5 см;
через точку К , взятую на стороне АВ, проведены
прямые, параллельные его катетам. Найти пе­
риметр образовавшегося
четырехугольника.
3) В прямоугольном тре­
угольнике ЛВС: ZC = 90’
и C D l A B ; из точки D
(рис. 52) проведены отрез­
ки DL и DK, перпендику^
л я рн ы е к а те та м тр е ^2
угольника. Доказать, что расстояние между точ­
ками С и D и точками К и L равны.
§ 4.3. Ромб и его свойства
Задача. Сторона ромба образует с продолжени­
ями диагоналей углы, относящ иеся как 9 : 7. Найти
углы ромба.
Д а н о : ABCD — ромб; АС и BD — диагонали;
ZM BA : Z.NAB - 9 : 7 (рис. 53).
54
Н а й т и : ZABC и ZBAD.
Р е ш е н и е . Пусть ZM BA - 9х,
тогда Z.NAB - 7х. ZABO - 1 8 0 - 9х как смежный с углом MBA.
Z B A O ^ 180’- 7 х как смежный с N _ _ ^
углом ZNAB.
Так как диагонали ромба вза­
имно перпендикулярны, то ААВО
— прямоугольный и сумма острых
углов этого треугольника равна
Рис. 53
90'.
Итак, ZABO + ZBAO = 9 0 ', а тогда (1 8 0 ’ - 9х) +
+ (180* - 7х) = 90". Отсюда 360' - 16х = 90", поэтому
16х = 2 7 0 * и х
^
= 1 б | = 16,875“.
Находим углы: ZABO и ZBAO:
ZABO - 180' - 9х = 180* - 9 •16,875* =■180-151,875* =
- 28,125*;
ZBAO « 180*-7х - 180' - 7 16,875* - 1 8 0 -1 1 8 ,1 2 5 ’ -6 1 ,8 7 5 * .
По свойству диагоналей ромба его углы делятся
диагоналями пополам, поэтому:
ZBAD = 2 ZBAO = 2 -6 1 ,8 7 5 * = 123,75*;
ZABC = 2 •ZABO - 2 •28,125* - 56,25».
Итак. ZBAD - ZBCD - 123,75‘; ZABC - ZADC - 56,25\
О т в е т : 123,75* и 56,25*.
Задачи для самостоятельного решения
1. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Оп­
ределить углы ромба.
2. Доказать, что: 1) всякий параллелограмм, у к о­
торого диагонали взаимно перпендикулярны, есть
ромб;
2 ) всякий параллелограмм, у которого диаго­
наль делит угол пополам, есть ромб.
55
3. Сторона ромба образует с его диагоналями углы,
разность которых равна
ромба.
• Определить углы
4. Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналя­
ми, относятся как 5 : 4 . Определить углы ромба.
5. Определить меньшую диагональ ромба, тупой угол
которого равен 120', а периметр равен 24 см.
6
. Периметр ромба равен
тупой угол ромба.
8
см, высота 1 см. Найти
7. 1) Высоты, проведенные из вершины ромба, обра­
зуют угол в 30’. Найти: а) углы ромба; б) углы,
образованные диагоналями ромба с его сторонами
2) Высоты, проведенные из вершины ромба, об
разуют 120'. Найти: а) углы ромба; б) углы, об
разованные диагоналями ромба с его сторонами
8
. В ромбе высота, проведенная из вершины тупо
го угла, делит сторону ромба пополам. Найти:
а) углы ромба; б) периметр ромба, если меньшая
его диагональ равна 2 0 мм.
9. В равнобедренном треугольнике угол при вер­
шине равен 1 2 0, а боковая сторона равна 14 см.
Построить треугольник, симметричный данному,
относительно середины его основания и опреде­
лить периметр и меньшую диагональ получен­
ного четырехугольника.
10. Опровергнуть с помощью примера следующее ут­
верждение: если диагонали четырехугольника
взаимно перпендикулярны , то такой четы рех­
угольник есть ромб.
11. Всякий выпуклый четырехугольник, у которого
диагонали являются биссектрисами его углов,
есть ромб. Доказать этот признак ромба.
12. Доказать, что в параллелограмме, который не яв­
ляется ромбом, диагонали не являются биссект­
рисами углов.
56
13. Диагональ ромба составляет 25 % от его пери­
метра, равного 2р. Найти диагональ, сторону и
углы ромба.
§ 4.4. Квадрат и его свойства
Задана. Дан квадрат ABCD. На каждой из его
сторон отложены равные отрезки: A A j - B B , - C C , - DD^. Доказать, что
— квадрат.
Д а н о : A B C D - к ва д ра т;
а
D
D
A 4 ,= B B - C C , - D D , (рис. 54).
Доказать:
—
квадрат.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Р а с­
смотрим прямоугольные тр е­
у г о л ь н и к и Д A jA D ,; Д D^DC^\
ДВ,СС, и t^A^BB^'.
^А,ВВ,'. A
А АA,=j ВВ,
___,
СС.
-j DDj по условию, но AjB
Рис. 54
А В - А А ^ , В .С
ВС-ВВ
C,D CD - СС,.
DA - DD. а стороны квадра­
та равны между собой, т. е. АВ - ВС - CD = DA.
Следовательно, А^В — В,С = C,D — D^A, и тогда
ДА,АО, = Д D jD C ,* д В ,С С ,“ Д А,ВВ, по двум кате­
там. Из равенства треугольников следует, что и ги­
потенузы их равны, т. е. А,В, - В^С~ C^D^’ме этого из равенства этих треугольников следует и
равенство их остр ы х углов: Z1 — Z 3 — Z 5 —Z 7 и
Z 2 = Z 4 - Z 6 - Z 8 , но ZA^B^C = 180* - (Z 2 + Z 3 ) - 1 8 0 '- (Z 2 + Z 1 ). Сумма остры х углов прям оу­
гольного треугольника А^ВВ^: Z1 + Z 2 —90*.
Значит, Z A ,B jC j= 180* - 90* = 90*. А налогично
мож но доказать, что ZB ,C D ,= 90*; Z C ,D ,A j - 90*;
Z D Д В , = 90*.
Поскольку стороны четырехугольника A ,B ,C ,D ,
равны между собой: A jB ,—B jC,= C,Z),— D,A, и каж ­
дый из его углов равен 90*, то A,B,C,£)j — квадрат
(по определению).
Что и требовалось доказать.
57
Задачи для самостоятельного решения
1. В равнобедренный прямоугольный треугольник,
каждый катет которого 2 м, вписан квадрат, име­
ющий с ним один общий угол. Найти периметр
квадрата.
2. В прямоугольном треугольнике прямой угол
разделен пополам; из точки пересечения биссек­
трисы и гипотенузы проведены прямые, парал­
лельные катетам. Доказать, что четырехуголь­
ник, образованный этими прямыми и катетами,
есть квадрат.
3. В равнобедренный прямоугольный треугольник
вписан квадрат так, что две его вершины нахо­
дятся на гипотенузе, а другие две — на катетах.
Определить сторону квадрата, если известно, что
гипотенуза равна 3 м.
4. Дан квадрат, сторона которого 1 м; диагональ
его служит стороной другого квадрата. Найти
диагональ последнего квадрата.
5. Диагональ квадрата равна 4 м. Сторона его слу­
жит диагональю другого квадрата. Найти сто­
рону последнего квадрата.
6 . 1) Доказать, что биссектрисы углов прямоуголь­
ника своим пересечением образуют квадрат.
2) Стороны прямоугольника 1 см и 3 см. Опре­
делить диагонали четырехугольника, образован­
ного биссектрисами внутренних углов прямо­
угольника.
7. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каж­
дой стороне квадрата находится одна вершина
прямоугольника и стороны прямоугольника па­
раллельны диагоналям квадрата. Определить
стороны этого прямоугольника, зная, что одна
из них вдвое больше другой, и что диагональ квад­
рата равна 1 2 м.
8 . На катетах прямоугольного треугольника ABC
построены два квадрата (рис. 55). Из вершин D
58
V
и Н этих квадратов на про­
должение гипотенузы опу­
щены два перпендикуляра:
DK и Н М . Доказать, что:
1) данный треугольник ABC
можно составить из двух
заштрихованных треуголь­
ников;
2 ) сумма перпендикуляров
Н М и DK равна гипотенузе.
9. Диагональ квадрата равна
1 2 см, через вершины квадрата проведены пря­
мые, параллельные его диагоналям. Определить
вид и периметр полученного четырехугольника.
10. В равнобедренный прямоугольный треугольник
вписан квадрат, имеющий с ним общий угол.
Найти периметр квадрата, если катет треуголь­
ника равен а.
11. Доказать, что если диагонали четырехугольника
равны, делят его углы пополам и взаимно пер­
пендикулярны, то такой четырехугольник есть
квадрат. Какое условие является лишним?
§ 4.5. Трапеция
Задача I В трапеции ABCD (AD — большее ос­
нование) диагональ АС перпендикулярна стороне CD
и делит угол BAD пополам; угол CDA равен 60*;
периметр трапеции равен 2 м. Определить AD.
Д а н о : ABCD — трапеция; АС — диагональ;
ZACD = 90'; ZBAC = ZCAD;
2 м; ZCDA = 60’
(рис. 56).
О п р е д е л и т ь ; AD.
Р е ш е н и е . По условию за­
дач и AACD — прямоуголь­
ный, в котором ZCDA = 60*,
тогда ZCAD = 90* - 60’ = 30*.
Катет, лежащий против угла
Рнс. 56
59
в 30°, равен половине гипотенузы, т. е. CD = ■|’AD.
Поскольку ZBAC = Z.CAD по условию и ZCAD = 30",
то ZBAC = 30’ , а тогда ZBAD = 2 •30* = 60\
Итак, /.BAD = Z.CDA = 60 , а тогда трапеция ABCD
с равными углами при основании — равнобедрен1
,AD.
ная, а АВ = CD
Рассмотрим треугольник ВАС. Вследствие того
что ВС I AD (по определению трапеции), то /ВСА
и ZCAD равны как накрест лежащие при этих па­
раллельных и секущей АС.
Итак, ZBCA = ZCAD, а ZCAD = /ВАС (по условию),
и тогда /ВАС = /ВСА. Значит, А ABC — равнобедрен­
ный, так как углы при его основании равны. Следо­
вательно, АВ = ВС = AD.
Итак, Р ^ ^ = А В + BC + CD-\ A D = \ a D + | a D +
+ 2 a d + AD = 2 ( m ) ; 2,SAD = 2 тл; AD = 0,8 m.
О т в е т : 0,8 м.
Задача 2. В прямоугольной трапеции ABCD ос­
трый угол ADC равен
2
и сторона AD равна а. Из
середины Е стороны CD проведен к ней перпенди­
куляр, который встречает продолжение стороны ВА
в точке F. Определить длину BF.
Д а н о : ABCD — трапеция; /ADC =
СЕ = ED;
E F 1 CD; AD = а (рис. 57).
О п р е д е л и т ь : BF.
Р е ш е н и е . Продолжим
FE до пересечения с продол­
жением стороны ВС в точке
М . Из точки С опустим пер­
пендикуляр CN к AD. В пря­
моугольном треугольнике
DNE: / D = ZADC = | d=45’,
а тогда / D N E = 45*. Но
/DNE = / М как накрест ле­
жащие при параллельных
60
Рис. 57
ВМ и A D и секущей F M , а тогда Z M —45’ . Прямо­
угольные треугольники CND и CM N равны по об­
щему катету CN и острому углу (ZM = ZZ) = 45'). Из
равенства треугольников следует, что СМ = ND, а тог­
да В М = а Ъ. Треугольник FM B — прямоугольный
и равнобедренный, так как один из его острых углов
равен 45*, и тогда BF = B M . Но B M = A D , значит,
BF = A D ^ a .
О т в е т : а.
Задачи для сам остоятельного решения
1. В трапеции ABCD из вершины В проведена пря­
мая, параллельная боковой стороне CD, до встре­
чи в точке Е с большим основанием AD. Пери­
метр треугольника АВЕ равен 1 м, а длина ED
равна 3 дм. Определить периметр трапеции.
2. Боковая сторона трапеции разделена на 6 рав­
ных частей, и из точек деления проведены к дру­
гой боковой стороне отрезки, параллельные ос­
нованию. Определить длины этих отрезков, если
основания трапеции равны 1 0 см и 28 см.
3. В трапеции ABCD {AD — большее основание)
АС 1 CD; А В = ВС\ Z.CAD = f d • Определить
углы этой трапеции.
4. Пусть AD — большее основание трапеции ABCD.
Могут ли углы А , В, С и D относиться между
собой как 2 : 5 : 6 : 3?
5. Определить углы равнобедренной трапеции, если
известно, что разность противоположных углов
равна - ^ d .
6
. Меньшее основание равнобедренной трапеции рювно боковой стороне, а диагональ перпендикуляр­
на боковой стороне. Определить углы трапеции.
7. В равнобедренной трапеции диагональ делит ост­
рый угол пополам; периметр этой трапеции ра61
8
.
9.
10.
11.
12
.
13.
14.
15.
62
вен 4,5 м, а большее основание равно 1,5 м.
Определить меньшее основание.
В равнобедренной трапеции высота, проведен­
ная из вершины тупого угла, делит большее ос­
нование на отрезки 6 см и 30 см. Определить
основания этой трапеции.
В равнобедренной трапеции большее основание
равно 2,7 м, боковая сторона равна 1 м, угол между
ними равен 60‘. Определить меньшее основание.
Боковая сторона трапеции разделена на три рав­
ные части и из точек деления проведены к дру­
гой стороне отрезки, параллельные основаниям.
Найдите длины этих отрезков, если основания
трапеции равны 2 м и 5 м.
Доказать, что если биссектрисы углов при од­
ном основании трапеции пересекаются на вто­
ром основании, то это второе основание равно
сумме боковых сторон трапеции.
EkviH в трапеции сумма противоположных углов
равна 2 d, то такая трапеция равнобедренная.
Доказать.
Диагональ трапеции перпендикулярна боковой
стороне, острый угол, лежащий против этой диа­
гонали, равен 40'. Найти остальные углы трапе­
ции, если меньшее основание равно другой боко­
вой стороне.
В трапеции ABCD меньшее основание ВС равно
4 см. Через вершину В проведена прямая, парал­
лельная боковой стороне. Периметр образовав­
шегося треугольника равен 12 см. Найти пери­
метр трапеции.
1) В равнобедренной трапеции один из углов ра­
вен 60', боковая сторона равна 24 см, а сумма ос­
нований равна 43 см. Найти основания трапеции;
2) Найти периметр равнобедренной трапеции,
если известно, что ее острый угол равен 60*, а
основания равны 15 см и 49 см.
16. Доказать, что если боковая сторона трапеции рав­
на меньшему основанию, то диагональ, соединяю­
щая их концы, является биссектрисой угла, при­
лежащего к большей стороне.
17. В трапеции боковые стороны равны меньшему
основанию, диагональ составляет с основанием
угол, равный 30’ . Найти все углы трапеции.
§ 4.6. Средняя линия треугольника
oitflnnn. Через вершину тупого угла тупоугольно­
го треугольника проведена вне его прямая; проек­
ции прилежащих к тупому углу сторон на эту пря­
мую равны 4 см и 2 см. Определить проекции всех
медиан на эту прямую.
Д а н о : ДАВС —
^
тупоугольный; ВА, — А
проекция ВА на /;
ВС, — проекция ВС на /;
ВЛ,” 2 см; В С ,« 4 см;
АЕ, CF и BD — медианы,
А ,£,, C^F^ и BD, — их
проекции на Z(pnc. 58).
Рис. 58
Найти:
C,F, и BD,.
Решение.
А^В + ВЕ^’ ' 2 + BE^. В тре­
угольнике БCC^: £ £ , — средняя линия, так как BE —ЕС {АЕ — медиана) и ££i|C C i, поскольку £ £ , и
СС, перпендикулярны I. Следовательно, В £ ,- E^C^
(по теореме Фалеса) и В £ ,* ^В С ,= ^ •4 - 2 (см).
Итак, А ,£ ,* 2 + 2 - 4 (см).
Аналогично находим
ВС,+ B F ,* 4 -t- BF^
В треугольнике А^АВ: FF, — средняя линия, так
как AF - FB {CF — медиана) и FFj | АЛ^ поскольку
и АА, и FF^ перпендикулярны прямой I. Тогда по
теореме Фалеса A ,F ,- F,B - ^ AjB -=
Итак, C jF j- 4 + 1 - 5 (см).
•2 - 1 (см).
63
Так как AD =» DC (BD — медиана) и AAi Di)i| CCj ,
TO no теореме Фалеса A ,D ,= D ,C ,=A ,C ,= (2 + 4) = 3 (cm).
B D ,= B C - Z),C,= 4 - 3 = 1 ( cm ).
О т в е т : 4 см; 5 см; 1 см.
Задачи для самостоятельного решения
1. Периметр треугольника равен 12 см; середины
сторон соединены последовательно. Найти пе­
риметр полученного треугольника.
2. Стороны треугольника относятся как 3 : 4 : 6 .
Соединив середины всех сторон, получим треу­
гольник с периметром в 5,2 м. Определить сто­
роны данного треугольника.
3. По разные стороны от данной прямой M N даны
две точки Л и В на расстояниях 10 дм и 4 дм от
нее. Найти расстояние середины О отрезка АВ
от данной прямой,
4. Высота равностороннего треугольника рав­
на 6 дм. Найти проекцию данной высоты на
другую высоту.
5. Средняя линия равнобедренного треугольника, па­
раллельная основанию, равна 3 см. Найти сторо­
ны треугольника, если его периметр равен 16 см.
6 . Доказать, что вершины треугольника равноуда­
лены от прямой, проходящей через середины двух
его сторон.
7. У четырехугольника диагонали равны а и Ь . Най­
ти периметр четырехугольника, вершинами ко­
торого являются середины сторон данного че­
тырехугольника.
8 . Найти стороны параллелограмма из предыдущей
задачи, если известно, что диагонали четырех­
угольника равны 1 0 м и 1 2 м.
9. Доказать, что середины сторон прямоугольника
являются вершинами ромба. И наоборот, сере­
дины сторон ромба являются вершинами прямо­
угольника.
64
10. Середины (М и N) про­
тивополож ны х сторон
параллелограмма ABCD
(рис. 59) соединены с
вершинами С и А. Отре­
зок FE равен 7 см. Оп­
ределить диагональ BD.
Рис. 59
11. Определить вид четырехугольника, который по­
лучится при последовательном соединении се­
редин сторон: 1 ) параллелограмма; 2 ) ромба;
3) прямоугольника; 4) квадрата.
12. Доказать, что:
1 ) отрезки, соединяющие последовательно сере­
дины сторон четырехугольника, образуют па­
раллелограмм;
2 ) отрезки, соединяющие середины противопо­
ложных сторон четырехугольника, в точке пе­
ресечения делятся пополам.
13. В треугольнике средняя линия между двумя ка­
кими-нибудь сторонами и медиана к третьей сто­
роне делятся пополам в точке пересечения. До­
казать.
14. Стороны параллелограмма равны 6 см и 8 см.
Каждая диагональ параллелограмма разделена
на четыре равные части и точки, делящие диа­
гонали в отношении 1 : 3 и 3 : 1, последователь­
но соединены (рис. 60). Найти вид полученного
четырехугольника и вычислить его периметр.
15. Середины сторон произвольного четырехуголь­
ника соединены так, как это показано на ри­
сунке 61. Найти длины этих отрезков, если не
пересекающая их диагональ равна 24 см.
В
С
5 — К. X. Абдуллаев и др.
16. в четырехугольнике ABCD: АВ = ВС и CD = AD.
Середины сторон четырехугольника последо­
вательно соединены. Доказать, что полученный
четырехугольник является прямоугольником.
17. 1) Прямые, проведенные через вершины А, В и С
треугольника АБС параллельно противолежа­
щим сторонам, образуют треугольник А^В^С^,
стороны которого делятся точками А, В к С по­
полам. Доказать, что точки
— серюдины
сторон треугольника А,В,С,.
2) Найти стороны треугольника, построенного,
как ук£1зано в предыдущей задаче, если АВ = 6 см,
ВС = 12 см, АС = 15 см.
18. В прямоугольнике меньшая сторона равна 20
см и образует с диагональю угол, равный 60".
Середины сторон прямоугольника последова­
тельно соединены. Определить вид и периметр
полученного четырехугольника.
19. В треугольнике ABC: M N — средняя линия
(рис. 62). Через точку В
В
проведен отрезок BD до
пересечения с продолже­
нием стороны АС (точка
D). На какие части делит­
ся отрезок BD продолже­
нием средней линии MN1
Рис. 62
§ 4.7. Средняя линия трапеции
Задача 1. В равнобедренной трапеции острый угол
равен 45', высота ее равна Л, а средняя линия т. Оп­
ределить основания трапеции.
Д а н о : A B C D — трапе­
ц и я ; A B ’^ C D ; ZA = 4 5 ’ ;
BE 1 AD; BE = h; M N — сред­
няя линия, M N = m (рис. 63).
D
Н а й т и : ВС и AD.
Рис. 63
66
Р е ш е н и е - Прямоугольный Д АВЕ — равнобед­
ренный, так как ZA = 45" (поэтому и ZABE —45').
Тогда АЕ = BE = h. Аналогично, Д CFD (где CF ± AD),
также прямоугольный и равнобедренный, а потому
C F ^ F D ^ h. Итак, AD = АБ + £ F + FD = EF + 2Л.
Но EF = ВС, т. к. BEFC — прямоугольник по по­
строению, и потому AD ^ ВС + 2h. По свойству сред­
ней линии трапеции:
я£\т
ВС + AD
_ _ ВС + (ВС + 2Л)
jjy-i
M N = ----- 2-----. или т = ---------^-------- = оС ■+■п .
Итак, m = BC + h; тогда ВС = т - h, а AD = ( т - Л) +
+ 2Л = т h.
О т в е т ; т - h; т + h.
Задача 2. Отрезок, сое­
диняющий середины диаго­
налей трапеции, параллелен
ее основаниям и равен их
полуразности. Доказать.
Д а н о : ABCD — трапеция; АС и BD — диагона­
ли; AD| в с ; A M = МС; BN = ND (рис. 64).
Д о к а з а т ь : М ^ [ AD; MN\\BC; M N = ^
2
.
Д о к а з а т е л ь с т в о . В любой трапеции средняя
линия делит каждую диагональ пополам. Но так
как у каждой диагонали середина есть единствен­
ная точка, а через две точки М и N (середины двух
диагоналей трапеции) можно провести только одну
прямую, то эта прямая и будет проходить через се­
редины боковы х сторон трапеции; А К = К В и
CL “ LD. Следовательно, M N параллельна AD и ВС.
RC
в треугольнике ABC средняя линия К М = — , в треВС
угольнике DCB средняя линия LN =
•
Так как KL =
_ A D ^ ВС
2
ВС
2
, то M N = K L - К М - NL =
ВС “ AD ^ ВС - В С - В С _ A D - ВС
2
2
2
Что и требовалось доказать.
67
Задача 3. В трапеции ABCD средняя линия MN
равна 18 дм. Из вершины В проведена прямая, па­
раллельная стороне CD, до встречи в точке Е с боль­
шим основанием AD. Определить основания, если
АЕ = 1 дм.
^__________ ^
Д а н о : ABCD — тропещ1я;
л у —x Z - —
Z ------ Л_________ Л
в с I AD; BE \CD; AE ~ \ дм;
AM = MB; CN = ND]MN = IS m
(рис. 65).
О п р е д е л и т ь : AD и ВС.
Р е ш е н и е . BCDE — параллелограмм ( ВС ED
и BE C D ), тогда ED = ВС. Отрезок АЕ = AD - ED *
* AD - ВС, есть разность оснований трапеции. Обо­
значим A D - X и ВС = у и составим систему двух
уравнений с двумя неизвестными. По условию раз­
ность оснований
Используем еще извест­
ную длину средней линии. Средняя линия трапеции
равна полусумме ее оснований, а потому МЛ^«
Получаем второе уравнение: ?
.
-1 8 или равно­
сильное ему уравнение: jc + у = 36. Решаем систему
уравнений: X + I/ = 36,
х - у = \.
Сложением уравнений получаем: 2х = 37, откуда
X — 18,5 (дм). Вычитая из первого уравнения второе,
получим: 2у = 35, у = 17,5 (дм).
О т в е т : A D = 18,5 дм; ВС - 17,5 дм.
Задачи для сам остоятельного решения
1. Основания трапеции относятся как 7 : 3, их раз­
ность равна 3,2 м. Найти длину средней линии
этой трапеции.
2. Основания трапеции равны 2,4 м и 3 м. Внутри
этой трапеции проведена между боковыми сто­
ронами прямая, параллельная основаниям, кото68
рая равна 2,8 м. Одинаково ли удалена эта пря­
мая от обоих оснований и если нет, то к какому
основанию она ближе?
3. В трапеции ABCD из середины Е боковой сто­
роны АВ проведена прямая, параллельная ос­
нованиям, до встречи с боковой стороной CD в
точке F; из вершины В проведена прямая, па­
раллельная стороне CD, до встречи с большим
основанием AD в точке G. Определить длину
оснований, если EF * 12 см и AG — 1см.
4. В трапеции ABCD из середины Е боковой сто­
роны АВ проведена прямая, параллельная бо­
ковой стороне CD, до встречи с большим осно­
ванием AD в точке G. Определить основания
трапеции, если AG “ 5 дм и GD * 2,5 м.
5. Средняя линия трапеции равна 8 дм и делится
диагональю на два отрезка, разность между ко­
торыми равна 2 дм. Определить основания тра­
пеции.
6 . ABCD — равнобедренная трапеция, причем AD
— большее основание; СЕ — высота, проведен­
ная на AD . Зная, что отрезок DE равен 1,25 м и
средняя линия трапеции равна 2,75 м, опреде­
лить основания.
7. В равнобедренной трапеции высота равна 10 см,
а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти
среднюю линию.
8 . По одну сторону от прямой а даны две точки А и
В на расстояниях 10 м и 20 м от нее. Найти
расстояние от середины отрезка АВ до прямой а.
9. По разные стороны от прямой а даны две точки
А и Б на расстояниях 10 м и 4 м от нее. Найти
расстояние от середины отрезка АВ до прямой а.
10. Средняя линия трапеции равна 7 см, а одно из
ее оснований больше другого на 4 см. Найти
основания трапеции.
11. Высота, проведенная из вершины тупого утла
равнобедренной трапеции, делит большее осно­
69
12.
13.
14.
15.
16.
вание на части, имеющие длины а к Ь (а > Ь).
Найти среднюю линию трапеции.
В трапеции средняя линия делит каждую диа­
гональ и высоту пополам. Доказать.
Средняя линия равнобедренной трапеции делит­
ся диагональю на части 4 см и 10 см, боковая
сторона равна 12 см. Найти углы трапеции.
Определить меньшее основание равнобедренной
трапеции, если оно равно боковой стороне; пери­
метр трапеции равен 28 см и средняя линия рав­
на 9 см.
В равнобедренной трапеции диагональ делит
острый угол пополам. Периметр трапеции ра­
вен 132 см, а основания относятся как 2 : 5.
Определить среднюю линию трапеции.
В прямоугольной трапеции один из углов равен
135°, средняя линия равна 18 см, а основания
1
4
относятся как q =з" • Найти меньшую боковую
сторону трапеции.
17. Боковая сторона трапеции разделена на 4 равные
части, и через точки деления проведены прямые,
параллельные основаниям трапеции. Найти дли­
ны отрезков этих параллельных прямых, заклю­
ченных между боковыми сторонами трапеции,
если основания трапеции равны 23 см и 15 см.
18. 1) В трапеции ABCD ( АВ D C ) диагональ делит
среднюю линию на части, равные 6 см и 2 1 см.
Найти основания трапеции.
2) Диагональ трапеции делит среднюю линию
трапеции на два отрезка, относящиеся как 3 : 8 .
Найти основания трапеции, если разность отр>езков средней линии равна 1 0 см.
19. В трапеции диагонали являются биссектриса•ми острых углов. Определить периметр трапе­
ции, если диагональ делит среднюю линию на
части, равные 1 0 см и 18 см.
70
20. Прямоугольная трапеция делится диагональю на
два треугольника — равносторонний со сторо­
ной а и прямоугольный. Найти среднюю линию
трапеции.
21. Диагональ трапеции перпендикулярна ее осно­
ваниям; тупой угол, прилежащий к большему
основанию, равен 1 2 0 ”, а боковая сторона, при­
лежащая к нему, равна 7 см; большее основа­
ние равно 12 см. Найти длину средней линии
трапеции.
Глава 5
О К Р У Ж НОСТЬ и К Р УГ
Для того чтобы уметь решать задачи этой главы,
необходимо знать ответы на следующие теоретичес­
кие вопросы:
1. Определения окружности, круга, центра, радиу­
са, хорды, диаметра, секущей, дуги, сектора и сегмен­
та, концентрических окружностей.
2. Какие углы называются центральными и как
они измеряются?
3. Какие соотношения существуют между дуга­
ми, хордами, стягивающими их, и расстояниями хорд
от центра в одном круге или в равных кругах?
4. Какими свойствами обладают диаметр, перпен­
дикулярный хорде, и дуги, заключенные между па­
раллельными хордами?
5. Как могут быть расположены прямая и ок ­
ружность относительно друг друга?
6 . Определить касательную к окружности и сфор­
мулировать свойства, которыми она обладает.
7. Как могут быть расположены две окружности?
8 . Как измеряется угол, вписанный в окружность?
9. Какими свойствами обладают вписанные углы,
опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, и
вписанный угол, опирающийся на диаметр?
71
10. Как измеряются углы с вершинами внутри
круги, вне круга и углы, составленные касательной и
хордой?
11. Какие точки называются замечательными точ­
ками треугольника?
12. Как определяются многоугольники, вписан­
ные в окружность и описанные около окружности?
13. Какими свойствами обладают противополож­
ные углы вписанных в окружность четырехуголь­
ников и противоположные стороны описанных око­
ло окружности четырехугольников?
14. Как построить общую касательную к двум
окружностям (внутреннюю и внешнюю)?
§ 5.1. Диаметр, хорда и ее расстояние
от центра. Секущая и касательная
Задача. Радиусы двух кругов равны 2 см и 4 см.
Их общие внутренние касательные взаимно перпенди­
кулярны. Найти длину каждой из этих касательных.
Д а н о ; О н О, — круги;
ОА - 2 см; О,С = 4 см; АВ
и CD — внутренние каса­
тельные; АВ 1 C D (рис.6 6 ).
Н а й т и : АВ и CD.
Р е ш е н и е . По свойству
касательной к окружности
О А 1 А В и O ^ B I B A , п о­
скольку касательная перпендикулярна радиусу, про­
веденному в точку касания. Аналогично O D L D C и
О,С J- CD. По условию ^^ I CD, и тогда четырех­
угольники OAED и ЕСи^В — прямоугольники, но
ОА = OD “ г = 2 см, а О,С = 0^B » Д = 4 см, поэтому пря­
моугольники с равными смежными сторонами явля­
ются квадратами.
Следовательно, АЕ = 2 см и ЕВ 4 см. Поэтому
АВ = CD = 2 + 4 = 6 см.
О т в е т : 6 см.
72
Задачи для самостоятельного решения
1. 1) Радиус окружности равен 10 см; данная точка
удалена от центра на 15 см. Найти ее наимень­
шее и наибольшее расстояния от окружности;
2) Радиус окружности равен 10 см, данная точ­
ка удалена от центра на 3 см. Найти ее наимень­
шее и наибольшее расстояния от окружности.
2. Наименьшее расстояние данной точки от окруж ­
ности равно а, наибольшее равно Ь. Определить
радиус окружности (два случая).
3. Доказать, что кратчайшее расстояние между дву­
мя окружностями, лежащими одна вне другой,
есть отрезок линии центров, заключенный меж­
ду окружностями.
4. Из точки, данной на окружности, проведены диа­
метр и хорда, равная радиусу. Найти угол меж­
ду ними.
5. Из точки, данной на окружности, проведены две
хорды; каждая из них равна радиусу. Найти угол
между ними.
6 . В круге даны две взаимно перпендикулярные хор­
ды; каждая из них делится другой на два отрез­
ка в 3 см и 7 см. Найти расстояние каждой хор­
ды от центра.
7. В круге на расстоянии 1 см от центра даны две
взаимно перпендикулярные хорды; каждая из
них равна 6 см. Найти, на какие части одна хор­
да делится другой.
8 . В круге радиуса R даны два взаимно перпенди­
кулярных диаметра; произвольная точка окруж­
ности спроектирована на эти перпендикуляры.
Найти расстояние между проекциями точки.
9. Хорда пересекает диаметр под углом 30" и делит
его на два отрезка длиной 2 см и 6 см. Найти
расстояние хорды от центра.
10. Из одной точки окружности проведены две взаим­
но перпендикулярные хорды, которые удалены от
центра на 6 см и на 10 см. Определить их длину.
73
11. Концы диаметра удалены от касательной на 1,6 м
и на 0,6 м. Определить длину диаметра.
12. В круге с центром О проведенная хорда АВ про­
должена на расстояние ВС, равное радиусу. Че­
рез точку С и центр О проведена секущая CD
(D — точка пересечения с окружностью, лежа­
щая вне отрезка СО). Доказать, что угол AOD
равен утроенному углу ACD.
13. Дан круг, радиус которого равен 2 см. Провести
в нем хорду длиной в 1,5 см. Определенная ли
эта задача? Сколько решений будет иметь зада­
ча, если хорда данной длины должна проходить
через данную точку окружности?
14. 1) Доказать, что из всех хорд, проходящих через
точку А , взятую внутри круга, наименьшей бу­
дет та, которая перпендикулярна диаметру, про­
ходящему через А.
2) Через данную в круге точку провести хорду,
которая делилась бы этой точкой пополам.
15. В данном круге проведены две равные парал­
лельные между собой хорды, расстояние между
которыми равно радиусу данного круга. Найти
острый угол между прямыми, соединяющими
концы хорд.
16. Дан сектор, равный четверти круга радиуса R.
Определить длину касательной, проведенной в се­
редине его дуги до пересечения с продолжения­
ми крайних радиусов сектора.
17. В прямой угол вписан круг; хорда, соединяющая
точки касания, равна 2 дм. Найти расстояние
этой хорды от центра круга.
18. АВ и АС — касательные к одной окружности;
Z.BAC равен 60‘, ломаная линия ВАС равна 1 м.
Определить расстояние между точками касания
В к С.
19. Окружность круга имеет длину 18,84 см; круг
катится по прямой АВ (рис.67). На сколько
74
II
л/.
в
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
передвинется центр круга, если круг из положе­
ния I перейдет в положение II? В положении I
хорда CZ>|| A S , а в положении II хорда C,Z), 1 А В .
Даны два круга, их общие внутренние касатель­
ные взаимно перпендикулярны; хорды, соединя­
ющие точки касания, равны 3 см и 5 см. Опре­
делить расстояние между центрами.
Даны два круга радиусов Д и г, один вне друго­
го; к ним проведены две общие внешние каса­
тельные. Найти их длину (между точками каса­
ния), если их продолжения образуют прямой угол
(R > r).
Дан угол в 30*. Построить окружность радиуса
2,5 см, касающуюся одной стороны этого угла и
имеющую центр на другой его стороне. Вычис­
лить расстояние центра окружности от верши­
ны угла.
Две прямые исходят из одной и той же точки М
и касаются окружности в точках А и В. Прове­
дя радиус ОВ, продолжают его за точку В на рас­
стояние ВС - ОВ. Доказать, что ZAMC = 3ZBMC.
Доказать, что прямая, проходящая через центр
окружности, пересекает окружность в двух точ­
ках.
Доказать, что серединные перпендикуляры к
двум сторонам треугольника пересекаются.
Может ли окружность касаться прямой в двух
точках? Объясните ответ.
75
27. Доказать, что касательная к окружности не имеет
с ней других общих точек, кроме точки касания.
28. Какие углы образует хорда АВ, равная радиусу
окружности, с касательной в точке А?
29. Найти углы, под которыми пересекаются пря­
мые, касающиеся окружности в концах хорды,
равной радиусу.
30. Доказать, что:
1 ) любая трапеция, все вершины которой нахо­
дятся на одной окружности, равнобедренная;
2 ) любой параллелограмм, все вершины которо­
го находятся на одной окружности, — прямо­
угольник.
31. На хорде АВ взяты две точки D и Е на равном
расстоянии от середины этой хорды и через эти
точки восставлены к АВ перпендикуляры DF и
EQ до пересечения с окружностью. Доказать, что
эти перпендикуляры равны.
32. Из точки А на окружности проведены две хорды
АВ ^ АС = 3 дм и их концы соединены; найти
расстояние от центра до хорды ВС, если диаметр
круга равен 0 , 6 м.
33. Дан круг, радиус которого равен 1 дм. Из внеш­
ней точки М к нему проведены две взаимно пер­
пендикулярные касательные МА и M B. Между
точками Л и S на меньшей дуге АВ взята произ­
вольная точка С и через нее проведена третья
касательная, образующая с первыми двумя ка­
сательными треугольник M KL. Найти периметр
этого треугольника.
34. Даны три концентрические окружности.
1) Сколько общих точек с ними может иметь
прямая?
2) Сколько осей симметрии имеют концентри­
ческие окружности?
3) Имеют ли они центр симметрии?
76
35. Доказать, что:
1 ) общая хорда двух пересекающихся окружно­
стей перпендикулярна их линии центров и де­
лится ею пополам;
2 ) точка касания двух окружностей лежит на
линии их центров.
36. Концы двух взаимно перпендикулярных диамет­
ров последовательно соединены. Определить вид
полученного четырехугольника.
37. Хорда окружности пересекает ее диаметр под уг­
лом 60* и делится им на части, равные 8 см и
3 см. Найти проекцию хорды на этот диаметр.
38. Хорда, проведенная в окружности радиуса 15 см,
отсекает от окружности дугу в 120". Найти рас­
стояние от центра окружности до хорды.
39. В окружности проведены две параллельные хор­
ды, отсекающие от нее дуги в 90’ . Найти рассто­
яние между хордами, если длина одной из хорд
равна 1 2 см.
40. В окружности через середину радиуса проведе­
на перпендикулярная ему хорда. Доказать, что
эта хорда видна из центра окружности под уг­
лом, равным 1 2 0 *.
41. В окружности радиуса 10 см проведена хорда,
отсекающая от окружности дугу в 120*. Опреде­
лить, на какие части делит хорда диаметр, про­
веденный через ее середину.
42. Из точки А , взятой на окружности, проведены
две хорды АВ и АС, равные радиусу окружнос­
ти. Точки В к С соединены отрезком прямой.
Найти расстояние от центра окружности до хор­
ды ВС, если радиус окружности равен 10 см.
43. 1) Через вершины равнобедренной трапеции про­
ведена окружность; основания трапеции отсека­
ют от нее дуги в 120* и 20*. Определить дуги,
отсекаемые боковыми сторонами (два решения).
77
2) Центр О окружности, описанной около рав­
нобедренной трапеции ABCD (АВ и CD — осно­
вания трапеции), соединен с вершинами трапе­
ции. Доказать, что ZAOD = /LBOC.
44. Диаметр АВ и хорда АС окружности с центром
в точке О образует угол, равный 30'. Касатель­
ная, проходящая через точку С, пересекает про­
должение АВ в точке D. Доказать, что ОС = ^ 0 D .
§ 5.2. Взаимное расположение двух
окружностей
Задача. Два равных круга внутри касаются тре­
тьего круга и касаются между собой. Соединив три
центра, получим треугольник с периметром 18 см.
Определить радиус большого круга.
Д а к о : Oj, Oj и О3 — касаю­
щиеся круги; OjC; О^Б; ОС —
радиусы этих кругов; 0^C ■= О^В; Pi^o^OjO = 18 см (рис. 6 8 ).
Н Яй т и : ОС.
Р е ш е н и е . Пусть ОС =- ОВ = Д и О,С = OjB = г, тогда
О О ,- O C - O ^ C ^ R - r ~ OOj.
0 ,0 = 0,А + О ^ = 2г.
^ 0.0 =00 ,+ 00,+ 0 ,0 ,* 2(Я - г) + 2г = 2Д.
По
условию
задачи
Ядо,о,о = 18 с м . Итак, 2Д * 18 см, значит, Л = 9 см.
О т в е т : 9 см.
Задачи для самостоятельного решения
1. Радиусы двух окружностей относятся как 5 :3 ; при
внутреннем их касании расстояние между центра­
ми равно 6 дм. Узнать относительное положение
тех же окружностей, если расстояние между цент­
рами будет: 1) 24 дм; 2) 5 дм; 3) 28 дм; 4) 20 дм.
78
2. Даны два круга — один внутри другого; через
их центры проведен в большом круге диаметр,
который окружностью меньшего круга делит­
ся на три части: 5 см, 8 см, 1 см. Найти расстоя­
ние между центрами.
Наименьшее расстояние между двумя концент­
рическими окружностями равно 2 см, а наиболь­
шее 16 см. Определить радиусы этих окружнос­
тей.
4. Даны два концентрических круга; в большем
круге даны две взаимно перпендикулярные хор­
ды, касательные к меньшему; каждая из хорд
делится другой на две части: 3 см и 7 см. Найти
радиус меньшего круга.
5. Радиусы двух концентрических окружностей
относятся как 7 : 4, а ширина кольца равна 12 см.
Определить радиус меньшей окружности.
6 . Если пересечь два концентрических круга секу­
щей, то части секущей, лежащие между окруж­
ностями, равны между собой. Доказать.
7. Одна окружность находится внутри другой; ра­
диусы их равны 28 см и 1 2 см, а кратчайшее рас­
стояние между ними равно 10 см. Определить
расстояние между центрами.
8 . 1) Три равных круга радиуса R касаются друг
друга извне. Определить стороны и углы тре­
угольника, вершинами которого служат точки
касания.
2) Вписать в данный круг три равных круга,
которые касались бы попарно
между собой и данного круга.
9. В данный круг, радиус которо­
го равен 3 дм, вписано шесть
равных кругов (рис. 69), из ко­
торых каждый касается данно­
го круга и их двух соседних
кругов. Найти их диаметры.
Рис. 69
79
10. Около круга радиуса 1 дм проведены с наруж­
ной стороны шесть равных кругов, из которых
каждый касается данного круга и двух сосед­
них. Найти их радиусы. Сделать чертеж.
11. Окружности радиусами 30 см и 40 см касают­
ся. Найдите расстояние между центрами окруж­
ностей в случаях внешнего и внутреннего каса­
нии.
12. Даны два круга; их общие внутренние касатель­
ные взаимно перпендикулярны; хорды, соединя­
ющие точки касания, равны 3 см и 5 см. Опре­
делить расстояние между центрами.
13. Внешние общие касательные к двум данным
окружностям радиусов Л и г взаимно перпен*дикулярны. Найти длины отрезков этих общих
касательных (между точками касания).
14. Найти радиусы двух окружностей, имеющих об­
щий центр, если диаметр большей окружности
делится меньшей окружностью на 3 части, рав­
ные 9 см, 12 см и 9 см.
15. 1) Радиусы двух окружностей, имеющих общий
центр, относятся как 2 : 7 . Найти диаметры этих
окружностей, если ширина кольца, образованно­
го ими, равна 24 см.
2) Найти диаметры двух окружностей, имеющих
общий центр, если известно, что они относятся
как 2 : 5, а одна из трех частей, на которые диа­
метр большей окружности делится меньшей ок­
ружностью, равна 9 см (два решения).
16. 1) Две окружности касаются внешним образом.
Радиусы окружностей относятся как 2 : 3. Най­
ти диаметры окружностей, если расстояние меж­
ду центрами окружностей равно 1 0 см.
2) Две окружности касаются внутренним обра­
зом. Определить радиусы этих окружностей, если
они относятся как 5 : 2, а расстояние между цен­
трами равно 15 см.
80
17. 1) Две окружности расположены одна внутри
другой. Диаметр большей окружности, проходя­
щей через центр меньшей окружности, делится
меньшей окружностью на три части, равные 2 см,
10 см и 6 см. Найти диаметры окружностей и
расстояние между центрами окружностей.
2) Две окружности, радиусы которых относятся
как 2 : 5 , расположены одна внутри другой. Ди­
аметр большей окружности, проходящей через
центр меньшей окружности, делится меньшей ок­
ружностью на три части, крайние из которых
равны 10 см и 5 см. Найти радиусы этих ок­
ружностей и расстояние между их центрами.
18. Общая хорда двух равных пересекающихся ок­
ружностей, радиус которых равен R, видна из их
центров под углом 120*. Сделать чертеж. Найти
расстояние между центрами окружностей.
} 5.3. Измерение углов дугами
Задача. Окружность разделена точками А , В, С и
D так, что KjAB : kjBC : u C D : kjDA * 3 : 2 : 1 3 : 7 .
Хорды AD и ВС продолжены до их взаимного пере­
сечения в точке М . Определить Z A M B .
Д а н о : О — окружность; \jAB : \jB C : u C £ ): \jDA =
= 3 : 2 : 13 : 7; AD ПВС = М (рис. 70).
О п р е д е л и т ь : /LAMB.
Р е ш е н и е . По свойству угла, вершина которого
лежит вне круга, величина угла A M В равна полуразности дуг и CD и и А В . Пусть и А В —Зх; тогда
u B C “ 2 jc; v jC D —13х; u D A - 7 jc .
М
Известно, что и А В + и ВС + и CD +
+ uDA —360", т. е. Зх + 2jc -I- 13а: + 7х ^
3S0°
= 25х, отсюда 25х = 360', а х =
—14,4*. Тогда u C D - u A B —13х - Зх
= 10х=144', Z A M B ^ \ ( kjC D - <jAB)~
. i . 144* = 72*. О т в е т : 72*.
6 — К. X . Абдуллаев и др.
81
Задачи для самостоятельного решения
1. Угол между двумя радиусами содержит 102’37".
Определить угол между касательными, проведен­
ными через концы этих радиусов.
2. Дуга АВ содержит 73*27'; из ее конца В проведе­
на касательная до встречи в точке С с продол­
жением радиуса ОА. Определить ZACB.
3. АВ и АС — две хорды: uAB содержит 110*23'; uAC
содержит 38’. Определить /RAC. (Два ответа).
4. Хорда АВ делит окружность на две дуги, из ко­
торых меньшая равна 130*, а большая делится
хордой АС в отношении 3 1 : 1 5 (начиная от А).
Определить /.ВАС.
5. Хорды АВ и АС лежат по разные стороны от
центра и заключают /В А С , равный 72*30';
uAB : uAC = 19 : 24. Определить эти дуги.
6 . Окружность разделена в отношении 7 : 1 1 : 6 , и
точки деления соединены между собой. Опреде­
лить углы полученного треугольника.
7. Определить, сколько градусов содержит дуга, если
перпендикуляр, проведенный к хорде из ее кон­
ца, делит дополнительную (до окружности) дугу
в отношении 5 : 2.
8 . Доказать, что всякая трапеция, вписанная в круг,
равнобедренная.
9. АВ — диаметр; С, D я Е — точки на одной полу­
окружности ACDEB. На диамет­
ре АВ взяты: точка F так, что
/CFA ” /DFB, и точка G так, что
/ D G A ’^ ZEGB. О п р е д е л и т ь
/FDG, если uAC содержит 60* и
и В £ содержит 2 0 *.
10. Угол при вершине равнобедрен­
ного треугольника равен 40*
(рис. 71). Одна из боковых сто­
рон служит диаметром полуРис. 71
82
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
окружности, которая делится другими сторона­
ми на три части. Найти эти части,
Основание равностороннего треугольника служит
диаметром окружности. На какие части делят­
ся стороны треугольника полуокружностью и
полуокружность — сторонами треугольника?
Через точку касания двух окружностей прове­
дена секущая. Радиусы и касательные, проведен­
ные через концы образовавшихся хорд, парал­
лельны. Доказать.
Через конец хорды, делящей окружность в отно­
шении 3 : 5, проведена касательная, Определить
острый угол между хордой и касательной.
АВ и АС — равные хорды, M AN — касательная;
kjBC, на которой лежит точка А, содержит 213*42'.
Определить углы М АВ и NAC.
С — точка на продолжении диаметра АВ; CD —
касательная; ZADC * 114’25'. Сколько градусов
и минут содержит kjBDI
АВ — диаметр окружности; ВС — касательная.
Секущая АС делится окружностью (в точке D)
пополам. Определить ZDAB.
М — середина высоты BD в равнобедренном тре­
угольнике ABC; точка М служит центром дуги,
описанной радиусом M D между сторонами ВА
и ВС. Определить градусную величину этой дуги,
если известно, что ZBAC = 62‘ 17'.
Окружность разделена точками А , В, С к D так,
что uAB : kjBC : uC Z): uDA = 2 : 3 : 5 : 6 , Прове­
дены хорды AC и BD, пересекающиеся в точке
М . Определить ZA M B .
Диаметр АВ и хорда CD пересекаются в точке
М ; ZCAfB = 73’ ; uBC содержит 110*. Сколько
градусов содержит kjBD?
Хорды А В и CD пересекаются в точке М ;
ZAM C ” 40*; uAD более иСБ на 20*54'. Опреде­
лить uAD.
83
21. Из концов дуги А 8 , содержащей т \ проведены
хорды АС и BD так, что угол DM C, образуемый
их пересечением, равен углу DNC, вписанному в
дугу CD. Определить эту дугу.
22. В четырехугольнике ABCD углы В и D — пря­
мые; диагональ АС образует со стороной АВ угол
в 40", а со стороной AD — угол в 30’ . Определить
острый угол между диагоналями АС и BD.
23. Дана окружность с хордой и касательной, при­
чем точка касания лежит на меньшей из двух
дуг, стягиваемых хордой. Найти на касательной
точку, из которой хорда видна под наибольшим
углом.
24. Из концов дуги в 200'30' проведены касатель­
ные до взаимного пересечения. Определить угол
между ними.
25. Описанный угол содержит 73'25'. Определить
дуги, заключенные между его сторонами.
26. Внутри данной окружности (рис.72) помещает­
ся другая окружность. ABC и ADE — хорды боль­
шей окружности, касающиеся в точках В и D
меньшей окружности; BM D — меньшая из дуг
между точками касания; CNE — дуга между
концами хорд. Определить kjCNE, если u B M D
содержит 130*.
27. Внутри данной окружности (рис.73) находится
другая окружность. САЕ и DBF — две хорды
Рис. 72
84
большей окружности (не пересекающиеся), ка­
сающиеся меньшей окружности в точках А и Б;
АМ В — меньшая из дуг между точками каса­
ния; CND' h EPF — дуги между концами хорд.
Сколько градусов содержит uC N D , если kjA M B
содержит 154’ и kjEPF — 70"?
28. Окружность разделена в отношении 5 : 9 : 10, и
через точки деления проведены касательные. Оп­
ределить больший угол в полученном треуголь­
нике.
29. АВ и АС — две хорды, образующие /1ВАС в 72*24'.
Через точки В и С проведены касательные до
пересечения в точке М . Определить ZBM C.
30. Дуга АВ содержит 40’24'. На продолжении ра­
диуса ОА отложена часть АС, равная хорде АВ, и
точка С соединена с точкой В. Определить 1ЛСВ.
31. В треугольнике ABC угол С — прямой. Из цент­
ра С радиусом АС ситисана дуга А2)£, пересекаю­
щая гипотенузу в точке D, а катет СВ — в точке
Е. Определить дуги AD и DE, если ZB - 37’24'.
32. Одна из двух хорд, составляющих вписанный
угол, разделяет окружность в отношении 3 :1 3 ,
а другая в отношении 4 ; 21. Определить этот
угол.
33. В треугольнике ABC угол А содержит 37* 30'.
Медиана BD равна половине стороны АС. Найти
углы треугольника ABC.
34. Две окружности внешне касаются. Их общая вне­
шняя касательная образует с общей внутренней
касательной угол в 60*. Определить отношение
радиусов окружностей.
35. Хорда А В , отсекающая четверть окружности,
пересечена перпендикулярным к ней диаметром
CD. Найти углы между секущими АС и BD, A D
и ВС.
85
36. Через конец хорды проведена касательная. Ту­
пой угол между ними больше центрального, соот­
ветствующего той же хорде, на а*. Определить
величину меньшей дуги.
37. Окружность разделена на части в отношении
3 : 7 : 5 : 3. Определить внутренние углы много­
угольника, полученного последовательным со­
единением точек деления, и углы, которые обра­
зует с его сторонами диагональ, проведенная из
вершины большего угла многоугольника.
38. В окружность вписана трапеция, диагональ ко­
торой совпадает с биссектрисой угла при осно­
вании. Определить дуги, на которые делят ок­
ружность вершины трапеции, если один из уг­
лов трапеции равен 81*.
39. Через концы хорды, делящей окружность в от­
ношении 2 : 7 , проведены две касательные. Оп­
ределить углы полученного треугольника.
40. Окружность разделена точками А, В, С на дуги,
относящиеся как 11 : 3 : 4. Через точки А , В и С
проведены касательные до их взаимного пересе­
чения. Определить углы образовавшегося тре­
угольника.
§ 5.4. Вписанные и описанные
треугольники и четырехугольники
Задача. Около круга описана равнобедренная тра­
пеция с острым углом 30*. Средняя линия ее равна
1м. Определить радиус круга.
Д а н о : ABCD — равнобед­
ренная трапеция; ZA = 30*;
M N — сред н я я линия;
____________ M N
1 м; О — вписанный
^
круг (рис. 74).
Рис. 74
О предел и ть: радиус круга.
86
Р е ш е н и е . По свойству средней линии трапе....
B C ^AD
ции MN ------- 2 ----- ♦'*'• средняя линия равна полу­
сумме оснований трапеции, а так как M N * 1 м, то
ВС + AD * 2 м. По свойству описанного четырехуголь­
ника суммы его противоположных сторон равны, и
тогда ВС + AD —АВ CD * 2 м. В равнобедренной
трапеции: АВ = CD, и тогда АВ = 1 м.
Из точки В опустим перпендикуляр BE на AD.
BE = FK как противоположные стороны прямоуголь­
ника BFKE (FK 1 ВС и FK L A D , так как касатель­
ная к окружности перпендикулярна радиусу, прове­
денному в точку касания). Значит, BE = FK = 2R, где
R — радиус вписанного круга. В прямоугольном тре­
угольнике АВЕ: BE -
АВ *
•1 м = 50 см как ка­
тет, лежащий против угла в 30'.
Итак, 2R = 50 см, тогда i? —25 см.
О т в е т : 25см .
Задачи для самостоятельного решения
1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна
4 м. Определить радиус описанной окружности.
2. Пусть О — центр круга, описанного около тре­
угольника ABC. Определить Z.OAC, если:
l ) Z B - 5 0 ‘;
2)ZB=126*.
3. Один из острых углов прямоугольного треуголь­
ника равен 25‘. Под каким углом виден каж­
дый его катет из центра вписанной окружности?
4. Два угла треугольника равны 100' и 50’ . Под
каким углом видна каждая сторона треуголь­
ника из центра вписанной окружности?
5. Треугольник ABC — равнобедренный; радиус
описанного круга ОА образует с основанием АС
угол ОАС, равный 20* 38'. Определить ZBAC. (Два
случая).
87
. Построить равнобедренный треугольник по ос­
нованию и радиусу вписанного круга.
7. В равнобедренном треугольнике боковая сторо­
на делится точкой касания вписанного круга в
отношении 7 : 5 (начиная от вершины). Найти
отношение боковой стороны к основанию.
8 . В прямоугольном равнобедренном треугольни­
ке радиус вписанного круга равен г, а половина
периметра равна р. Требуется определить гипо­
тенузу.
6
9. Около данного круга описать равнобедренный
прямоугольный треугольник.
10. Около круга, радиус которого равен 4 см, описан
прямоугольный треугольник, гипотенуза которо­
го равна 26 см. Найти периметр треугольника.
11. Меньшая сторона прямоугольника равна 1 м; ос­
трый угол между диагоналями равен 60°. Най­
ти радиус описанного круга.
12. В прямоугольнике диагональ образует со сторо­
ной угол в 12‘ 35'. На какие четыре части де­
лится вершинами этого прямоугольника описан­
ная около него окружность?
13. Вписать круг в данный ромб.
14. Сторона ромба равна 8 см; острый угол его равен
30’. Определить радиус вписанного круга,
15. В ромб вписана окружность. На какие четыре
части она делится точками касания сторон, если
острый угол ромба равен 37’?
16. В равнобедренной трапеции угол при основании
равен 50°, а угол между диагоналями, обращен­
ный к боковой стороне, равен 40*. Где лежит
центр описанной окружности: внутри или вне
трапеции?
17. Около круга описана трапеция, периметр кото­
рой равен 12 см. Определить среднюю линию
этой трапеции.
88
18. Во вписанном четырехугольнике ABCD диаго­
наль АС перпендикулярна диагонали BD и де­
лит ее пополам. Определить углы этого четырех­
угольника, если ZBAD * 70* 23' 42".
19. Можно ли описать окружность около четырех­
угольника, углы которого по порядку относятся как:
1 ) 2 : 4: 5 : 3 ;
2)5:7:8:97
20. Центральный угол сектора равен 60’ , а радиус
равен R. Определить радиус круга, вписанного в
этот сектор.
21. В четырехугольнике ABCD дано: Z A fiC * 116';
ZADC - 64*; ZCAB 35* и ZCAD - 52*. Опреде­
лить угол между диагоналями, опирающийся на
сторону АВ.
22. 1) Три стороны описанного четырехугольника от­
носятся (в последовательном порядке) как
1 : 2 : 3 . Определить стороны, если периметр его
равен 24 м.
2) Три угла вписанного четырехугольника (в пос­
ледовательном порядке) относятся как 1 : 2 : 3 .
Определить углы четырехугольника.
23. Доказать, что центром окружности, описанной
около прямоугольного треугольника, является cei
редина гипотенузы.
24. Доказать, что медиана прямоугольного треуголь*ника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на
два равнобедренных треугольника.
25/ Определить величины внутренних углов и углов
между диагоналями вписанной в окружность
трапеции, у которой большее основание равно
I
ди£1метру, а меньшее стягивает дугу в -— часть
40
окружности.
26. 1) Боковая сторона равнобедренного треугольни­
ка равна 2 см, угол при вершине равен 1 2 0 *.
Определить диаметр описанной окружности.
89
2) Когда центр описанной окружности лежит:
а) вне треугольника; б) на его стороне; в) внут­
ри треугольника?
27. В прямоугольном равнобедренном треугольни­
ке даны радиусы описанной и вписанной окруж­
ностей R и г. Найти гипотенузу и катеты.
28. Доказать, что окружности, построенные на сто­
ронах треугольника как на диаметрах, попарно
пересекаются в точках, служащих основаниями
высот треугольника.
29. 1) Около какого параллелограмма можно опи­
сать окружность?
2) В какой параллелограмм можно вписать ок­
ружность?
3) Можно ли около четырехугольника только с
одним прямым углом описать окружность?
4) Назвать условие, при котором нельзя описать
окружность около четырехугольника.
30. Средняя линия описанной трапеции равна 25 дм.
Найти периметр трапеции.
31. Катет прямоугольного треугольника равен 16 см.
Найти радиус окружности, описанной около это­
го треугольника, если противолежащий катету
угол равен 30'.
32. В равнобедренном треугольнике боковые сторо­
ны делятся точками касания вписанной в тре­
угольник окружности в отношении 7 : 5 , считая
от вершины. Найти периметр треугольника, если
его основание равно 1 0 сми_ „
33. Два угла вписанного в окружность четырехуголь­
ника равны 75' и 55*. Найти остальные два угла.
34. Во вписанном четырехугольнике ABCD диаго­
наль АС перпендикулярна диагонали BD и де­
лит ее пополам. Определить углы этого четырех­
угольника, если ZBAD = 72°.
90
35. Меньшая сторона прямоугольника равна 10 см,
угол между диагоналями равен 1 2 0 ‘ , HaiiTH ра­
диус описанной окружности.
36. 1) Три последовательные стороны четырехуголь­
ника, в который можно вписать окружность, рав­
ны 6 см, 8 см и 9 см. Найти периметр этого че­
тырехугольника.
2) В трапецию, периметр которой равен 0,42 м,
вписана окружность. Три стороны трапецип, взя­
тые в последовательном порядке, относятся как
2 : 7 : 1 2 . Найти все его стороны.
37. В прямоугольную трапецию вписана окружность
радиуса 6 см. Найти большую боковую сторону
трапеции, если средняя линия трапеции равна
16 см.
38. Около окружности описана равнобедренная тра­
пеция, боковая сторона которой равна 17 см, а
разность оснований трапеции — 16 см. Опреде­
лить основания трапеции.
39. Равнобедренная трапеция вписана в окружность
так, что центр окружности принадлежит одному
из оснований. Найти углы трапеции, если один
из углов между ее диагоналями равен 48°.
40. Каждая из боковых сторон и меньшее основа­
ние трапеции равны 5 см, а один из ее углов ра­
вен 60*. Найти радиус окружности, описанной
около этой трапеции.
41. М Р — диаметр окружности, описанной около
четырехугольника МКТР. Найти углы КТР, ТРМ,
К М Р , если Z K T M = 24* и Z M K T = 127°.
40. Окружность, вписанная в треугольник ABC, ка­
С^. Доказать,
сается его сторон в точках А^,
AB + AC + DC
что АС, -------------------- .
91
Г л а в а 6__________
ДВИЖЕНИЕ
Прежде чем решать задачи на движение, дайте
ответы на следующие вопросы по теории:
1. Что понимается под преобразованием фигур?
2. Какими свойствами обладает движение?
3. Какое преобразование называется симметрией
относительно точки?
4. Что понимается под симметрией относительно
прямой?
5. Какое движение называется поворотом?
6 . Что понимается под параллельным переносом?
7. Каковы свойства параллельного переноса?
6.
Какие прямые называются одинаково и проти­
воположно направленными?
Задача 1. Дана трапеция ABCD, все стороны ко­
торой имеют разные длины; точка О — середина ди­
агонали АС. Построить фигуру, на которую отобра­
жается данная трапеция при центральной симмет­
рии с центром в точке О.
Д а н о : ABCD — трапе­
ция; А С — диаг ональ;
АО “ ОС (рис. 75).
П о с т р о и т ь : фигуру,
симметричную ABCD отно-
Д(С.)
'
в,
D
'« « л ь и о точки о.
П о с т р о е н и е . Точки А
Рис. 75
и С — симметричны относи­
тельно точки О, так как лежат на одной прямой с
этой точкой и на равном расстоянии от нее, посколь­
ку АО —ОС. Значит, при центральной симметрии от­
носительно О точке А соответствует А,, совпадающая
с С, а точке С — С,, совпадающая с А. На продолже­
нии DO от точки О откладываем O D ,- 0 D , тогда
точки D и D, — симметричны относительно О. И на
92
прюдолжении ВО от точки О откладываем ОВ, —ВО,
тогда точки Б и В, симметричны относительно точ­
ки О. Соединив последовательно точки А,, В,, С, и £),,
получим искомую трапецию AjBjC,/),, симметричную
ABCD относительно центра О.
Задача 2. Доказать, что при движении подобные
ромбы отображаются на подобные ромбы.
Д а н о : ABCD и М Р Н К — ромбы; ABCD М Р Н К ;
AjBjCjDj и
— ромбы, полученные при дви­
жении (рис. 76).
В.
Рис. 76
Д о к а з а т ь : при движении
Д о к а з а т е л ь с т в о . В двух подобных ромбах
ABCD и М Р Н К равны углы: ZABC ~ Z M P H .
Пусть при дв 1^жении:
В
B^,C -> С ,,
М ^ Л /,, Р ->/*,, Я - > Я ,и /С
Так как
при движении четырехугольник отображается на че­
тырехугольник, а углы и расстояния сохраняются,
то четырехугольники A,B,C,D, и М^Р^Н^К^ будут
ром бам и, в к отор ы х ZA^B^C^ — Z M ^ Р ^ Н т. е.
(лМ^Р^Н^К^. Следовательно, подобные ром­
бы отображаются на подобные ромбы.
Задача 3. Построить квадрат, который получает­
ся из данного квадрата ABCD поворотом вокруг цен­
тра А на угол 135* против часовой ст 1 >елки.
Д а н о : ABCD — квадрат (рис. 77).
П о с т р о и т ь : квадрат ABjC,D, путем поворота
ABCD на 135* вокруг точки А.
93
П о с т р о е н и е .
1. Повернем AD вокруг
А на 135’против часовой
стрелки, получим сторо­
ну AD, нового квадрата.
2.
наль АС вокруг А на 135*,
получим диагональ АС,
Рис. 77
нового квадрата.
3. Повернем сторону АВ на 135’ против часовой
стрелки вокруг А, получим сторону А5^^ нового квад­
рата.
4. Соединив точку
и Dj и
и В^, получим
квадрат А В , С , п о л у ч е н н ы й из кяадрата АБС!) по­
воротом на 135 вокруг А.
Задача 4. Построить окружность, касающуюся
двух данных параллельных прямых и проходящую
через данную между ними точку.
Д а н о : прямые а и Ь; а |Ь ; точка А — между
ними (рис. 78).
П о с т р о и т ь : окружность, касающуюся пря­
мых а и Ь и проходящую через точку А.
П о с т р о е н и е . 1. Проводим произвольную пря­
мую M CDN, перпендикулярную прямым а и 6 .
2. Делим отрезок CD пополам. СО = 0 D .
3. Радиусом ОС строим окружность, которая бу­
дет касаться прямых а и Ь.
94
4. Через точку Л проводим прямую с, параллель­
ную прямым атлЬ, точки ее пересечения с окружно­
стью обозначим Л, и
5. Осуществим параллельный перенос построен­
ной окружности на А^А или А ^ .
6 . Полученные окружности с центрами Oj п
—
искомые: они касаются прямых а и & и проходят че­
рез данную точку Л. Эта задача имеет два решения.
Задачи для самостоятельного решения
1. Построить фигуру, в которую переходит треуголь­
ник ABC при повороте его около вершины С на
угол 60*.
2. Найти величины а и Ь в формулах параллельно­
го переноса х' = х + а и у' = у + Ь, если известно,
что: 1) точка (1; 2) переходит в точку (3; 4);
2) точка (-2 ; -3 ) — в точку (-1 ; 5);
3) точка (-1 ; -3 ) — в точку (0; -2 ).
3. При параллельном переносе точка (1; 1) пере­
ходит в точку (-1 ; 0). В какую точку переходит
начало координат?
4. Существует ли параллельный перенос, при кото­
ром:
1) точка (1; 2) переходит в точку (3; 4), а точка
( 0 ; 1 ) — в точку ( - 1 ; 0 );
2 ) точка ( 2 ; - 1 ) переходит в точку ( 1 ; 0 ), а точка
(-1 ; 3) — в точку (0; 4)?
5. Прямые АВ и CD параллельны. Точки А w D
лежат по одну сторону от секущей ВС. Дока­
зать, что лучи ВА и CD одинаково направлены.
6 . Доказать, что в задаче 5 лучи ВА и CD проти­
воположно направлены, если точки A n D лежат
по разные стороны от секущей ВС.
7. Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Сре­
ди лучей АВ, ВА, ВС, СВ, CD, DC, AD, DA назвать
пары одинаково направленных и противополож­
но направленных лучей.
95
. Доказать, что отрезки равной длины и углы с рав­
ной градусной мерой совмещаются движением.
9. У параллелограммов ABCD и
АВ =
AD = A^D^ и ZA=ZA j. Доказать, что параллело­
граммы равны, т.е. совмещаются движением.
10. Доказать, что ромбы равны, если у них равны
диагонали.
11. Доказать, что две окружности одинакового ра­
диуса равны, т.е. совмещаются движением.
12. 1) Дана трапеция ABCD. Построить фигуру, на
которую отображается данная трапеция при цен­
тральной симметрии с центром А .
2) Доказать, что при движении вертикальные
углы отображаются на вертикальные углы.
13. 1) Дана трапеция ABCD. Построить фигуру, на
которую отображается данная тралеция при осе­
вой симметрии с осью АВ.
2) Доказать, что при движении смежные углы
отображаются на смежные углы.
14. 1) Дана трапеция ABCD, все стороны которой
имеют разные длины. Построить фигуру, на ко­
торую отображается данная трапеция при осе­
вой симметрии с осью АС.
2) Доказать, что при движении подобные пря­
моугольники отображаются на подобные прямо­
угольники.
15. 1) Даны окружность и точка А на ней. Построить
фигуру, на которую отображается данная окруж­
ность при центральной симметрии с центром А.
2) При некотором движении отрезок АВ ото­
бражается на отрезок ЕР; АВ = 1 2 см. Точка М
принадлежит отрезку А В ; A M = 2 см; точка М
отображается на точку Я . Найти НЕ.
16. 1) Даны окружность и прямая а,, касательная к
этой окружности. Построить фигуру, на кото­
рую отображается данная окружность при осе­
вой симметрии с осью а.
96
8
2) Точка К принадлежит отрезку М Н и делит
его в отношении 3 : 2 , считая от точки М . При
некотором движении отрезок М Н отображает­
ся на отрезок ЕР, а точка К — на точку Т, Най­
ти отношение Е Т : ЕР.
17. 1) Дан квадрат ABCD. Построить фигуру, кото­
рая получается из этого квадрата параллельным
переносом на вектор АС.
2) Доказать, что правильный шестиугольник при
повороте вокруг своего центра на угол 60“ ото­
бражается на себя.
18. Доказать, что при параллельном переносе пря­
мой АВ на вектор АВ прямая АВ отображается
на себя.
19. 1) Дана трапеция ABCD. Известно, что при па­
раллельном переносе прямая A D отображается
на прямую ВС, а прямая BD отображается на
себя. Построить точку, в которую переходит точ­
ка А при этом параллельном переносе.
2) В правильном треугольнике с центром О угол
РОН равен 60° (рис.79). Доказать, что при пово­
роте вокруг центра О на угол 120'против часовой
стрелки отрезок К Р отображается на отрезок М Н ,
20. 1) Дан равнобедренный треугольник ABC с пря­
мым углом В. При некотором повороте точка
А отображается на точку В, а точка В — на точ­
ку С. Построить центр поворота.
2) Даны две окружности одинакового радиуса с
центрами О и Oj (рис. 80). Хорды А В и CD рав-
Рис. 80
7 — К. X . Абдуллаев и др.
97
21.
22.
23.
24.
25.
98
ны и лежат на одной прямой. Доказать, что
при параллельном переносе на вектор 0 0 ^ от­
резок АВ отображается на отрезок CD.
1) Даны угол ABC и точка М внутри его. Най­
ти на сторонах угла такие точки D и Е, чтобы
при параллельном переносе точка В отобра­
жалась на точку D, а точка Е — на точку М .
2) При некотором повороте точка А отобража­
ется на точку В, а точка С на точку D. При ка­
ком значении угла поворота точки Л, В, С, D ле­
жат на одной прямой?
1) Даны две прямые и точка О. На каждой из
прямых отметить точку, которая бы переходила
в другую при повороте на угол 70* относительно
центра О.
2) Некоторая фигура перешла в себя при парал­
лельном переносе. Доказать, что не существует
круга, внутри которого лежала бы данная фигура.
1) Отрезки АС и BD пересекаются в точке О.
АО “ ОС, ВО = OD. Точки М и Н — середины
отрезков АВ и CD, Используя центральную сим­
метрию, доказать, что точка О — середина отрез­
ка М Я .
2) Используя параллельный перенос, доказать,
что если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна третьей прямой, то и вторая
прямая перпендикулярна этой прямой.
1) Используя осевую симметрию, доказать, что
медианы, проведенные к боковым сторонам рав­
нобедренного треугольника, равны.
2) Используя поворот, доказать, что если градус­
ные меры двух дуг окажутся равны, то и стяги­
вающие их хорды тоже равны.
Через точку пересечения диагоналей паралле­
лограмма ABCD проведена прямая, пересекаю­
щая стороны ВС и A D в точках М к Н соответ­
ственно. Доказать, что В М = DH.
26. 1) Доказать, что если трапеция вписана в ок­
ружность, то она равнобедренная.
2) Даны две параллельные прямые Ь и с и точка
А между ними. Построить равнобедренный тре­
угольник ABC с прямым углом А так, чтобы
вершины В и С лежали соответственно на пря­
мых Ь и с.
27. 1) Через центр квадрата ABCD проведены две
взаимно перпендикулярные прямые, каждая из
которых пересекает противоположные сторо­
ны квадрата. Доказать, что отрезки этих пря­
мых, заключенные внутри квадрата, равны меж­
ду собой.
2) Прямая с пересекает две параллельные пря­
мые а и Ь под острым углом. Построить равно­
бедренный треугольник АБС так, чтобы точки А
и В лежали на прямых а и Ь соответственно, а
медиана СМ была равна основанию АВ треуголь­
ника и лежала на прямой с.
28. 1) Даны две окружности равных радиусов с
центрами О, и О^. Прямая, параллельная 0,0^,
пересекает первую окружность в точках А и В,
вторую — в точках С и D так, что точки В и D
принадлежат о тр е зк у А С . До к а з а т ь , что
O p^=BD .
2) Даны угол тп и точка О внутри его. Постро­
ить квадрат ASCD так, чтобы диагонали квадра­
та пересекались в точке О, а точки В и D лежа­
ли на лучах т и п соответственно.
99
Г л а в а 7______________
ПОДОБИЕ Ф И ГУР
Прежде чем приступить к решению задач на по­
добие, следует ответить на следующие вопросы по
теории:
1. Какие отрезки называются пропорциональ­
ными?
2. Дать определения подобных треугольников и
многоугольников.
3. В чем состоит лемма о подобии треугольни­
ков?
4. Сформулировать признаки подобия треуголь­
ников.
5. Каковы признаки подобия прямоугольных тре­
угольников?
6 . Каким свойством обладают стороны угла, пе­
ресеченные рядом параллельных прямых?
7. Сформулировать свойство двух параллельных
прямых, пересеченных пучком прямых.
8 . Каким свойством обладает биссектриса внут­
реннего угла треугольника?
9. Сформулировать свойство биссектрисы внеш­
него угла треугольника.
10. Какие соотношения существуют между эле­
ментами прямоугольного треугольника, из вершины
прямого угла которого опущен перпендикуляр на
гипотенузу?
11. Сформулировать теорему Пифагора, вспомнить
ее различные формулировки и способы доказательства.
12. Каким образом одноименные подобные мно­
гоугольники можно разбить на подобные треуголь­
ники?
13. Как относятся периметры подобных много­
угольников?
14. Как относятся высоты подобных треугольников?
100
15. Что такое коэффициент подобия многоуголь­
ников (треугольников)?
16. Каким свойством обладают диаметр и хорда,
проведенные через точку, взятую внутри круга?
17. Сформулировать свойство хорд, проведенных
через точку внутри данного круга.
18. Каким свойством обладают касательная и
секущая, проведенные из точки, взятой вне крута?
19. Сформулировать свойство касательных, про­
веденных из одной точки, взятой вне данного круга.
20. Как формулируется теорема о квадрате сто­
роны, лежащей против острого угла?
21. Чему равен квадрат стороны, лежащей про­
тив тупого угла?
22. Как определить вид треугольника (в зависи­
мости от величины его углов) при известных дли­
нах трех его сторон?
23. Чему равна сумма квадратов диагоналей па­
раллелограмма?
§ 7.1. Подобие треугольников
Задача 1. В треугольнике ABC проведена пря­
мая BD так, что ZBDC = ZABC, на стороне АС полу­
чаются отрезки AD = 7 см и DC =* 9 см. Определить
сторону ВС и отношение BD : ВА.
Д а н о :/^АВС;'ZBDC = ZABC; A D = 7 см; DC = 9 см
(рис. 81).
О п р е д е л и т ь : ВС; BD : ВЛ.
Р е ш е н и е . Рассмотрим ABCD и ААВС. В этих
треугольниках ZC — общий, а ZBDC = ZABC по ус­
ловию задачи.
В
Значит, diBDC <лААВС
по первому признаку по­
добия, а из подобия этих
треугольников следует,
ВС
с о ' BD
^
101
^
^
=>ВС^=АС •CD, ВС^= (7 + 9) •9 ■= 16 •9 = 144.
ВС 12 3
BD ВС 3
Значит.БС- 1 2 , а 1 0 гда — = - = - и — = — =
О т в е т : 12 см; 3 : 4.
Задача 2. В треугольник вписан полукруг, у кото­
рого полуокружность касается основания, а диаметр
(с концами на боковых сторонах треугольника) па­
раллелен основанию. Определить радиус полукруга,
если основание треугольника равно а, а высота
Д а н о : ДАВС; BF — высо­
та; B F = Л; АС а; О — вписан­
ный полукруг; DE — диаметр;
DE\ АС (рис. 82).
Н а й т и : R полукруга.
Р е ш е н и е . По лемме о по­
добии треугольников: ABDE to
оо l^iBAC (т. к. прямая DE, парал­
лельная АС, отсекает от тре­
угольника ABC треугольник DBE, подобный данному).
*
Из подобия треугольников следует, что —— = ---- = — .
J\\>
Так как высоты в подобных треугольниках отноDE
ВМ
сятся как сходственные стороны, а потому — ------- ,
т. е. — =
Но B M ^ B F - M F = B F - O K ^ h - R .
а
h
Поскольку ОК = M F = R, так как ЕМОК — пря­
моугольник {BF L АС по условию, а ОК LA C , так как
касательная перпендикулярна радиусу окружности,
OJO h R
проведенному в точку касания), то имеем
^— .
Решая эту пропорцию относительно R, получим:
2Rh = a h - aR=^ 2Rh + aR = ah => R{2h + a) = ah:
ah
R
2h + a
r\
оЛ
Ответ:
2h + a
102
Задачи для самостоятельного решения
1. Стороны треугольника относятся как 2 : 5 : 4 ,
периметр подобного ему треугольника равен 55
м. Определить стороны второго треугольника.
2. В двух равнобедренных треугольниках углы при
вершине равны. Боковая сторона и основание
одного треугольника равны 17 см и 10 см; ос­
нование другого равно 8 см. Определить его бо­
ковую сторону.
3. В треугольниках ABC и
дано: ZB = ZBj
и стороны первого треугольника, заключающие
угол В, в 2,5 раза более сторон второго треуголь­
ника, заключающих угол В^. Определить АС и
AjCj, если их сумма равна 4,2 м.
' 4у/ В треугольниках ABC и DEF имеется: ZB = Z.D,
АВ «
и DF = 0,75ВС. Определить АС и EF,
если их разность равна 5 см.
5. 1) В треугольнике ABC сторона AJ3 = 15 м и
АС = 20 м; на стороне А В отлож ен отрезок
A D = 10 м, а на стороне АС отрезок АЕ = 12 м.
Подобны ли треугольники ABC и ADE1
2) При той же длине сторон АВ и АС, как и в
предыдущей задаче, взять A D = 9 м и АЕ = 12 м.
Будут ли тогда подобны треугольники ABC и
ADE?
6 . АВ — диаметр одной окружности; АС — хорда.
Описана другая окружность на диаметре DE, равном
и ® ией проведена хорда DF, равная
13
— АС. Определить EF, если известно, что ВС = 3,4 м.
7. 1) Стороны одного треугольника равны 0,8 м,
1 , 6 м и 2 м; периметр подобного ему треуголь­
ника равен 5,5 м. Определить стороны второго
треугольника.
103
2) Периметр одного треугольника составляет
13
периметра подобного ему треугольника. Раз­
ность двух сходственных сторон равна 1 м. Оп­
ределить эти стороны.
8 . Дан треугольник ABC и внутри него отрезок
DE, параллельный АС (точка D на АБ, точка Е
на ВС). Определить:
1) AD, если АВ - 16 см, АС - 2 дм и DE - 15 см;
2) отнош ение A D : B D , если известн о, что
ЛС: ОВ- 1- Л.
9. В треугольнике ABC, стороны которого а, Ь н с,
проведена параллельно АС прямая M N так, что
A M “ BN. Определить M N .
10. В треугольнике ABC проведена прямая BD так,
что ZABD —ZBCA. Определить отрезки AD и CD,
если А Б “ 2 м и А С - 4 м.
11. ABCD — данная трапеция, причем ВС| A D ; О —
точка пересечения диагоналей; АО * 8 см ,
ОС — 1 дм и BD = 27 см. Определить ОВ и 0 D .
12. Дана трапеция ABCD, причем стороны ВС и AD
параллельны; О — точка пересечения диагона2
лей; ВО : OD = 0,3 : —; средняя линия трапеции
«3
рлвна 29 см. Определить основания трапеции и
отношение АО : ОС.
13. В трапеции ABCD (где ВС A D ) с диагональю BD
углы ABD и BCD равны. Известно, что ВС « 10 см,
DC = 15 см и BD “ 20 см. Определить АВ и AD.
14. В трапеции ABCD с диагональю АС углы ABC и
ACD равны. Определить диагональ АС, если осно­
вания ВС и AD соответственно равны 12 см и 27 см.
15. Основания трапеции относятся как 5 : 9, а одна
из боковых сторон равна 16 см. На сколько надо
ее продолжить, чтобы она встретилась с про­
должением другой боковой стороны?
104
16. в параллелограмме ABCD сторона АВ - 420 м. На
стороне ВС взята точка Е так, что B E : £С - 5 :7 ,
и проведена прямая DE, пересекающая продол­
жение АВ в точке F. Требуется определить BF.
17. ABCD — данный параллелограмм ; F — точ­
ка на продолжении стороны АВ; Е — точка
пересечения D F и АС. Определить B F , если
АЕ : ЕС т :п ч АВ - а. ‘
18. ABCD — данный параллелограмм. Через точку
пересечения его диагоналей проведена перпен­
дикулярная к ВС прямая, которая пересекает ВС
в точке Е , а продолжение АВ — в точке F . Опре­
делить BE, если АВ ^ а, ВС ~ Ь и BF ^ с.
19. В треугольник ABC вписан ромб A D E F так, что
угол А у них общий, а вершина Е находится на
стороне ВС. Определить сторону ромба, если
АВ ^ с к АС - Ь.
20. Прямая, проведенная через вершину ромба вне
его, отсекает на продолжениях двух сторон от­
резки р н q. Определить сторону ромба.
21. В треугольник с основанием а и высотой Л впи­
сан квадрат так, что две его вершины лежат на
основании треугольника, а другие две — на бо­
ковых сторонах. Вычислить сторону квадрата.
22. В треугольник, основание которого равно 48 см,
а высота 16 см, вписан прямоугольник с отно­
шением сторон 5 : 9 , причем большая сторона
лежит на основании треугольника. Определить
стороны прямоугольника.
23. В треугольник, у которого основание равно 30 см,
а высота 1 0 см, вписан прямоугольный равно­
бедренный треугольник так, что его гипотенуза
параллельна основанию данного треугольника,
а вершина прямого угла лежит на этом осно­
вании. Определить гипотенузу.
24. В треугольнике ABC угол С — прямой; АС —6 см,
В С “ 12 см. На стороне ВС взята точка D так,
105
25.
26.
27.
28.
что ZADC = 90" - Z.B. На какие части точка D
делит сторону ВС?
В тр еу гол ьн и к е А Б С даны две сто р о н ы :
ВС = 16 м и АС = 12 м, а сумма соответствую­
щих высот AD + ЕЕ = 14 м. Определить AD и ЕЕ.
Стороны параллелограмма равны 2 м и 16дм;
расстояние между большими сторонами равно
8 дм. Определить расстояние между меньшими
сторонами.
Периметр параллелограмма равен 48 см, а его
высоты относятся как 5 : 7 . Определить соответ­
ствующие им стороны.
Две окружности внешне касаются. Прямая, про­
веденная через точку касания, образует в окруж13
ностях хорды, из которых одна равна — дру-
29.
30.
31.
32.
106
гой. Определить радиусы, если расстояние меж­
ду центрами окружностей равно 36 см.
В треугольнике ABC проведен от ВА к ЕС отре­
зок DE, параллельный АС. Известно, что АВ = 24 м,
ВС = 32 м, АС = 28 м и AD -Ь СЕ = 16 м, .Требу­
ется определить DE.
AD и BE — высоты треугольника ABC, пересекаю­
щиеся в точке О. Известно, что AD + BE = 35 дм,
АО = 9 дм и В О - 1 2 дм. Требуется определить
ОЕ и OD.
В равнобедренный треугольник, у которого бо­
ковая сторона равна 1 0 0 дм, а основание 60 дм,
вписан круг. Определить расстояние между точ­
ками касания, находящимися на боковых сто­
ронах.
Стороны треугольника относятся как 5 : 3 : 7 .
Найти стороны подобного ему треугольника, у
которого:
1) периметр равен.45 см;
2) меньшая сторона равна 5 см;
3) большая сторона равна 7 см;
4) разность большей и меньшей сторон состав­
ляет 2 см.
33. Периметры подобных треугольников относятся
как 1 0 :9 ; стороны одного треугольника отно­
сятся как 6 : 7 : 8 . Определить стороны обоих тре­
угольников, если сумма меньших сторон тре­
угольников равна 38 см. Ответ дать с точностью
до 0,05 см.
34. В двух равнобедренных треугольниках углы при
вершинах равны. Периметр первого треуголь­
ника равен 544 м. Определить его стороны, если
две стороны второго треугольника относятся как:
1) 1 : 2 ;
2 ) 1 0 : 12.
35. Вершины вписанного в окружность треугольни­
ка делят окружность на дуги, относящиеся как
5 : 7 : 1 2 . Определить, подобен ли этот треуголь­
ник треугольнику, у которого два угла равны
соответственно 40’ и 24°?
36. Трапеция с основаниями 2 см и 5 см делится
диагоналями на треугольники. Найти одну из
высот каждого треугольника со стороной 2 см
и 5 см, если расстояние от точки пересечения
диагоналей трапеции до большего ее основания
равно 4 см.
37. 1) В треугольник ABC вписан параллелограмм
ADEF, острый угол которого совпадает с углом
треугольника А . Определить сторону АС, если
известно, что стороны параллелограмма рав­
ны 6 см и 5 см, а сторона АВ равна 17 см;
2) В треугольник вписан
параллелограмм, остры й
угол которого совпадает с
углом треугольника (рис.
83). Стороны параллело­
грамма относятся как 3 : 1 ,
а стороны треугольника,
107
заключающие этот угол, равны 24 см и 36 см.
Определить стороны параллелограмма.
38. В равнобедренный треугольник, основание ко­
торого равно 6 см, а боковая сторона равна 9 см,
вписана окружность. Определить:
1 ) в каком отношении делит боковую сторону
треугольника точка касания ее с окружностью;
2 ) расстояние между точками касания окруж­
ности боковых сторон треугольника.
39. В окружность вписан ос­
троугольный треугольник
ABC (рис. 84). A D 1 B C ,
АК — диаметр окружно­
сти, точки С к К соедине­
ны отрезком прямой. До­
казать, что AADB 00 ААСК.
40. В ок р уж н ость радиуса
Рис. 84
5 см вписан прямоуголь­
ный треугольник, один из катетов которого ра­
вен 8 см. Найти проекцию этого катета на ги­
потенузу.
§ 7 .2 . Подобие многоугольников
Задака. Стороны одного четырехугольника рав­
ны 10 дм, 15 дм, 20 дм и 25 дм; в подобном ему
четырехугольнике сумма наибольшей и наимень­
шей сторон равна 28 дм. Определить стороны вто­
рого многоугольника.
В
Д а н о : ABCD
A^B^C^D^-,
А В ^ 1 0 д м ; ВС = 1 5 д м ;
C D = 20 д м ; А ^ = 25 д м;
А ,В ,+ A jD j* 28 дм (рис. 85).
В
D
О п р е д е л и т ь : AjB,, В,С,,
C ,D ,,A ,D j.
Р е ш е н и е . В подобных
многоугольниках сходственные
108
D.
Рис. 85
стороны пропорциональны, т. е.
AD
-
Д
. Из
АВ
ВС
CD
£ iO f
C^D^
ЭТИХ с о о т н о ш е н и й с л е д у е т
АВ
ПОсвойству ряда равных отношении:
■
, а
AB + AD
= д Д Т д д ”•
^ ^ iг ~ ®
“
лв
вс ^
A.D.^^
2 8 - 8 - 2 0 (дм). Из пропорции -т
1 1
A^H-^
^ = -=-;г
«iC,
В3 С,
0 = ^ * '''
I 1
АВ
АВ
порции
Ответ;
= 12 (дм). И, наконец, из проCD
ГУ
* а д =* 4 ^ 1 =
8
AtB, CD
АВ
8-20
= ~10~ ~
.
(да*)-
дм, 12 дм, 16 дм, 20 дм.
Задачи для самостоятельного решения
1. Огороны пятиугольника равны 35 см, 14 см, 28 см,
21см и 42 см; меньшая сторона подобного ему
пятиугольника равна 12 см. Определить осталь­
ные стороны пятиугольника, подобного данному.
2. Стороны одного четырехугольника относятся
1 2
между собой как 1 : ^ j : 2 ; периметр подоб­
ного ему четырехугольника равен 75 м. Опре­
делить стороны второго четырехугольника.
3. Наибольшие стороны двух подобных многоуголь­
ников равны 35 м и 14 м, а разность их пери­
метров равна 60 м. Определить периметры.
4. Завод, изготовляющий цементные плиты для
пола, установил у себя та- D
F
__ С
кую ф орм у (стан д ар т)
для прямоугольных плит,
при к отор ой половина
BCFE плиты была подоб­
на целой плите A B C D .
Найти отношение сторон
— а
таких плит (рис. 8 6 ).
Рис. 8 6
109
5. В параллелограмме A B CD сторона А В = а и
ВС = Ь. Прямая E F отсекает параллелограмм
ABEF, подобный ASCD. Определить отрезок BE.
6 . Основания трапеции 3,6 см и 6,4 см. Найти дли­
ну отрезка, параллельного основаниям, который
делит данную трапецию на две подобные тра­
пеции. На какие части делится этим отрезком
одна из боковых сторон длиной 4,2 см?
7. Периметр одного многоугольника составляет от
периметра подобного ему многоугольника
87,5 % . Наибольшая сторона первого много­
угольника равна 21,7 см. Найти наименьшую
сторону второго треугольника, если она на 37,5 %
меньше его наибольшей стороны.
8 . Внутри прямоугольника со сторонами а и Ь име­
ется другой прямоугольник, стороны которого
отстоят от сторон данного на одинаковом рас­
стоянии, равном т.
1 ) подобны ли эти прямоугольники?
2 ) будут ли подобны построенные таким же об­
разом: а) два квадрата; б) два треугольника?
Доказать.
9. В параллелограмме M N PQ через точку А , взя­
тую на стороне MQ, проведена прямая АВ | QN
до пересечения с M N в точке В. Через А и В
проведены прямые АС и ВС, соответственно па­
раллельные PQ и NP. Доказать, что полученный
параллелограмм А М В С подобен параллелог­
рамму M NPQ.
10. Какие условия должны выполняться, чтобы
были подобны:
1 ) два прямоугольника;
2 ) два ромба;
3) два параллелограмма;
4) две равнобедренные трапеции;
5) две прямоугольные трапеции?
110
11. Стороны прямоугольника равны а к Ь {а > Ь).
Середины больших его сторон соединены. Ка­
ково должно быть соотношение между а и Ь, что­
бы полученные прямоугольники были подоб­
ны данному прямоугольнику?
12. На рисунке 87 изображена рамка. Каков дол­
жен быть размер х , чтобы внутренний четырех­
угольник был подобен внешнему (ширина про­
тивоположных планок рамки одинакова)?
13. На рисунке 8 8 изображен параллелограмм ABCD
со сторонами АВ —а и ВС = 6 , от которого отсе­
чен другой параллелограмм FBCE, подобный дан­
ному. Какова должна быть величина отрезка BF?
400
В
Рис. 87
Рис. 88
14. Стороны четырехугольника равны 14 см, 21 см,
10 см и 42 см. Определить стороны подобного
ему четырехугольника, если известно, что его
меньшая сторона равна 2 см.
§ 7.3. Пропорциональные отрезки.
Свойства биссектрисы
внутреннего и внешнего угла
треугольника
Задача 1. В треугольнике ABC проведен отрезок
DE I АС, причем B D : DA = 3 : 2 . Точки А и £ со­
единены отрезком прямой, а затем проведен отре­
зок D F I А С . Найти FE и ЕС, если BF = 6 см.
Д а н о : ^ A B C ; B D : D A = Z :2 ;D E | АС; DF \\ АЕ;
BF = 6 см (рис. 89).
111
О п р е д е л и т ь : FE и ЕС.
Р е ш е н и е . Стороны угла
ABC пересечены параллель­
ными прямыми: DF |АЕ , а
потому рассекаются ими на
пропорциональные отрезки,
т. е.
BD
BF
3
6
DA
FE ’
2^ F E ’
2 6
откуда FE
4 (см). Итак, FE = 4 см, а тогда
BE = BF + FE = 6 + 4 = 10 (см). Стороны угла ЛВС пе­
ресечены параллельными прямыми: D£| АС и поэ­
тому:
BD
10
ЕЕ
2 10
DA
6 - (см).
О т в е т : 4см и 6 -с м .
3
Задача 2. Стороны треугольника равны 51 см,
85 см и 104 см. Проведена окружность, которая
касается обеих меньших сторон, а ее центр лежит
на большей стороне. На какие части большая сто­
рона делится центром?
Д а н о : ДАБС; АВ = 51см;
ВС “ 85 см; АС = 104 см; О —
центр окружности; D и Е —
точки касания (рис. 90).
Н а й т и ; АО и ОС.
Р е ш е н и е . Радиусы 0 D
и ОЕ проведены в точки ка­
сания, а потому перпендикулярны касательным, т. е.
OD 1A B и ОЕ1ВС.
Точка О равноудалена от сторон угла ABC (0 D и
ОЕ — радиусы), и поэтому лежит на биссектрисе
этого угла. Итак, ВО — биссектриса угла ABC.
По свойству биссектрисы внутреннего угла ABC
треугольника ABC, имеем:
112
АО
АВ
ОС
ВС
.
Пусть АО = X, тогда ОС — 104 - х.
«•гак.
или
n jf= ^ = | .
5д: = 3 (104 - JC); 5х + Зх - 312; х - ^
а тогд а
- 39 (см).
Значит, АО “ 39 (см); ОС =104 - 39 = 65 (см).
О т в е т : 39 см ; 65см .
Задачи для сам остоятельного решения
1. На отрезке АВ длиной 6 см дана точка С, рас­
стояние которой от точки А равно 3,6 см; на про­
должении отрезка АВ за точку В найти такую
точку D, чтобы расстояние ее от А относилось к
расстоянию ее от В как АС : СВ.
2. Две параллельные улицы пересечены двумя ули­
цами, выходящими из одной точки А. Части па­
раллельных улиц, заключенные между лучевы­
ми улицами, равны 0,75 км и 1,25 км. Трам­
вай идет по одной из лучевых улиц от точки А
до первой параллельной улицы 15 мин. Сколь­
ко времени он при той же скорости будет идти
по той же лучевой улице от первой до второй
параллельной улицы?
3. В трапеции ABCD боковые стороны А В и CD
продолжены до взаимного пересечения в точке М.
Требуется:
1) определить отр езок С М , если А Б “ 1м,
CD = 15 дм и БМ = 8дм ;
2) определить отр езок В М , если сторон а
АВ = 1,2 м и C D : СМ - I- : 0,25;
6
3) определить CD, если А В : В М - = 1 7 : 9 и
C Z > -С М - 1 , 6 м.
у
4. 1) Боковая сторона треугольника разделена на
пять равных частей, и из точек деления прове­
дены прямые, параллельные основанию. Осно­
вание треугольника равно 20 см. Определить от8 — К. X. Абдуллаев и др.
113
резки параллельных прямых, заключенные
между боковыми сторонами.
2) В трапеций боковая сторона разделена на
восемь равных частей, из точек деления про­
ведены до пересечения с другой боковой сторо­
ной прямые, параллельные основанию. Осно­
вания трапеции равны 50 см и 30 см. Найти
длины отрезков параллельных прямых между
боковыми сторонами.
5. Основания трапеции 1,8 м и 1,2 м; боковые сто­
роны ее длиной 1,5 м и 1,2 м продолжены до
взаимного пересечения. Определить, на сколько
продолжены боковые стороны.
в. В треугольнике проекции боковых сторон на ос­
нование равны 15 м и 27 м, а большая боковая
сторона равна 45 м. На какие части она делится
(считая от вершины) перпендикуляром, проведен­
ным к основанию из его середины? (Два случая).
7. Угол треугольника, заключенный между сторона­
ми в 9 см и 6 см, разделен пополам. Один из от­
резков третьей стороны оказался равным одной
из данных сторон. Определить т1)етью сторону.
8 . В треугольник ABC вписан ромб ADEF так, что
вершины D, Е и F лежат соответственно на сто­
ронах АВ, ВС и АС. Определить отрезки BE и
ЕС, если АВ - 14 см, ВС — 12 см и АС * 10 см.
9 ./В равнобедренном треугольнике высота равна
20 см, а основание относится к боковой сто{Юне
как 4 : 3. Определить радиус вписанного круга.
10. В равнобедренном треугольнике центр вписанно­
го круга делит высоту в отношении 1 2 :5 , а боко­
вая сторюна равна 60 см. Определить основание.
11. В равнобедренном треугольнике радиус впи2
санного круга составляет — высоты, а периметр
этого треугольника равен 56 см. Определить
стороны треугольника.
114
12. Хорда А Б - 1 5 м , хорда АС = 21м и хорда
ВС * 24 м. Точка D — середина дуги СВ. На ка­
кие части BE и ЕС делится хорда ВС прямой AED1
13. В треугольнике ABC даны стороны а, Ь и с.
BD — биссектриса угла В; О — точка пересече­
ния BD и биссектрисы угла С. Требуется опре­
делить отношение 0 D : ОВ.
14. В треугольни ке A B C сторона А В — 15 см и
АС - 10 см; AD — биссектриса угла А; из точки
D проведена прямая, параллельная АВ, до пере­
сечения с АС в точке Е. Определить АБ, ЕС и
DE.
15. В равнобедренном треугольнике ABC сторона
АС * Ь, стороны ВА - ВС - а; AN и С М — бис­
сектрисы углов А и С. Определить длину M N .
16. Найти пропорциональные отрезки (и составить
из них пропорцию):
1) в равнобедренном треугольнике, проведя вы­
соту;
2) в разностороннем треугольнике, проведя одну
среднюю линию;
3) в разностороннем треугольнике, проведя две
средние линии;
4) в прямоугольном треугольнике, в котором
один из катетов в 2 раза больше другого, про­
ведя медиану;
5) в параллелограмме, используя только сторо­
ны;
6 ) в прямоугольнике, используя отрезки на осях
симметрии;
7) в двух прямоугольных треугольниках, име­
ющих по углу в 30’ .
17. В треугольнике проекции боковых сторон на ос­
нование равны 5 м и 9 м, а большая боковая
сторона равна 15 м. На какие части делится эта
боковая сторона перпендикуляром к основанию,
проходящим через его середину?
115
18. Высота равнобедренного треугольника равна
5 м. Основание треугольника разделено на 5
равных частей и из точек деления восставлены
перпендикуляры до пересечения с боковыми сто­
ронами. Найти длины этих перпендикуляров.
19. Боковые стороны данного треугольника 3 м и
6 м. Из точки пересечения биссектрисы угла, за­
ключенного между данными сторонами, с тре­
тьей стороной проведены прямые, параллельные
данным сторонам. Определить стороны образо­
вавшегося четырехугольника.
20. Через точку D, взятую на стороне АВ треуголь­
ника ABC, проведен отрезок DF, параллельный
стор он е АС. На йт и отрез ок BF, есл и
A D : DB = 5 : 6 , ВС = 22 см.
21. На сторонах угла ABC взяты четыре точки: К, L,
М п N (точки М н N — на одной стороне угла).
Определить, параллельны ли прямые L M и KN,
если В М = M N , BL = LK?
22. В треугольнике ABC сторона ВС разделена на
четыре равные части, и через полученные точки
деления проведены прямые, параллельные сто­
роне АВ, равной 18 см. Определить отрезки этих
прямых, заключенные внутри треугольника.
23. Основания трапеции равны 14 см и 20 см. Одна
из боковых сторон разделена на три равные
части, и через точки деления проведены пря­
мые, параллельные основаниям трапеции. Оп­
ределить отрезки этих прямых, заключенные
внутри трапеции.
24. На рисунке 91 АВ\ D C |KL, A D '. D K : KF= 2 : 3 : 2 ,
АВ = 90 см, FC = 40 см. Найти отрезки ВС, CL,
LF, DC и KL.
25. Прямые а и Ь, имеющие общую точку О, пере­
сечены двумя параллельными прямыми АВ и
CD (рис. 92); точки А, В, С и D лежат на пря­
мых аиЬ. AD = 10 см, ОВ = 5 см, ОС = 3 см. Най­
ти отрезки АО и OD.
116
Рис. 91
Рис. 92
26. Основания трапеции равны 24 см и 48 см. Оп­
ределить длину отрезка, заключенного внутри
трапеции, параллельного основаниям и прохо­
дящего через точку пересечения ее диагоналей.
§ 7.4. Метрические соотношения
в прямоугольном треугольнике.
Теорема Пифагора
Задача 1. Катеты прямоугольного треугольника
относятся как 3 : 7, а высота, проведенная на гипоте­
нузу, равна 42 см. Определить отрезки гипотенузы.
1-й способ. Д а н о : ААВС —
прямоугольный; А С : СВ »
= 3 : 7 ; C D 1 A B ] CD = 42 см
(рис. 93).
О п р е д е л и т ь : A D и DB.
Рис. 93
Р е ш е н и е . По свойству
перпендикуляра CD, опущенного из вершины пря­
мого угла С на гипотенузу АВ, имеем:
AC^--AD'AB
(1 )
C B ^ = D B ‘AB
(2 )
CD^ = A D - D B
(3)
Разделив равенство (1) на (2), получим:
-2
АС^
о
A D A .B
СВ^
DB
а тогда
АР
DB
АС^
AB ’
2 , Т. е.
AD=
СВ*
AD
дв , но ЛС : СВ = 3 : 7,
АР
РВ
49
DB.
(4)
117
Подставим найденное значение (4) в равенство
(3) и получим:
C D ^ = - ^ D B - D B , и ли 42^= (|- ' В В У , откуда
42-7
3
3
9 •2
=14-7 = 98 (см).
18 (см).
2-й способ. Из подобия прямоугольных треугольАС
AD
ников АСВ и ACD (Z A у них общий) имеем: — = — ,
^
AD
^
ИЛИ -7 = 42 ’
3 42
ч
(с м )-
Из подобия прямоугольных треугольников АСВ
и CDB { Z B у них общий) имеем:
3
42
7
7 42
АС
CD
СВ
DB
или
’
, откуда DB = ~ Y ~ =
О т в е т : A D = 18 см; DB = 98 см.
Задача 2.. В равнобедренной трапеции основа­
ния равны 10 см и 24 см, а боковая сторона 25 см.
Определить высоту трапеции.
Д а н о : А Б С !) — трапеция;
A B = CD ;
БС = 1 0 с м ;
A D = 24 см;
А В = 25 см;
В Е 1 А П (рис. 94).
Н а й т и : BE.
Р е ш е н и е . Из точки С опус­
тим
перпендикуляр CF на AD.
Е
D
ААВЕ = ACFD как прямоуголь­
Рис. 94
ные, имеющие равные гипотену­
зы АВ и CD и катеты BE = CF (как противополож­
ные стороны прямоугольника BEFC). Из равенства
треугольников следует, что АЕ = FD =
Итак, А £ =
2 4 -1 0
= 7(см). Из прямоугольного тре­
угольника АВЕ по теореме Пифагора имеем:
118
.
ВЕ^
О т в е т : 24 см.
=у[Етб = 24 (см).
Заёяча 3. Радиус круга равен 25 см; две парал­
лельные хорды равны 14 см и 40 см. Определить
расстояние между ними.
При решении задачи возможны два случая рас­
положения параллельных хорд;
1) по одну сторону от центра круга;
2) по разные стороны от центра круга.
1-й случай. Д а н о : О — круг;
А В и CD — хорды; AB\CD ;
АВ = 14 см; CD = 40 см; ОБ — ра­
/
диус; ОБ = 25 см (рис. 95).
О п р е д е л и т ь : расстояние
между АВ и CD.
Р е ш е н и е . Проведен диаметр
M O N , перпендикулярный хорде
CD (т. к. CD\AB, то M N 1 A B ) .
м
в
Е
0
у
N
Рис. 95
Поскольку диаметр, перпендику­
лярный хорде, делит ее пополам, то СЕ = ED =» 20 см
и AF = FB = 7 см.
Итак, OF — расстояние от центра круга до хор­
ды АВ, а ОЕ — расстояние от центра до хорды CD.
Следует отыскать EF OF - ОЕ.
Из прямоугольного треугол ьника OFB по теоре­
ме Пифагора: 0F=^l0B^ - FB^
=
- 7^ =V625 - 49 =
= 24 (см). Из прямоугольного треугольни-
ка OED по теореме Пифагора: ОЕ = yjoD^ - ED^ =
= >/25 ^ - 20^ = л/б25 - 400 =
= 1 5 (см).
Итак, в случае, когда хорды лежат по одну сто­
рону от центра круга, расстояние между ними рав­
но: FE = 24 - 15 = 9 (см).
119
2-й случай.. Д а н о :
АВ
и
О — круг;
CD — хорды; АВ I CZ) ;
АВ = 14 см; CD = 40 см; ОБ — ра­
диус; ОВ = 25 см (рис. 96)'.” '
О п р е д е л и т ь : расстояние
между АВ и CD.
Р е ш е н и е . Расстояния OF и
ОЕ хорд АВ и CD до центра кру­
Рис. 96
га находятся так же, как в 1-м
случае. Расстояние же FE между хордами равно в
этом случае сумме расстояний OF и ОЕ.
Значит, FE = OF + ОЕ = 24 + 15 = 39 (см).
О т в е т : 9см или 39см.
Задача 4. Доказать, что в прямоугольном тре­
угольнике с катетами а и Ь биссектриса прямого
угла равна I =
а +о
.
Д а н о : ISABC — п р ям оу­
гольный; АС = Ь; ВС = а; CN —
биссектриса угла С (рис. 97).
Д о к а з а т ь : CN = I =
а +Ь
.
Д о к а з а т е л ь с т в о . По
свойству биссектрисы внутрен­
него угла С треугольника ABC
имеем:
порции:
или
AN
или
a + b ' .......
AN + NB
b
= — , a ПО свой ству п роAN
АВ
а +6
Из прямоугольного треугольника ABC по теоре­
ме Пифагора:
АВ^ = АС^ + СВ\ или
Из п р оп о р ц и и
а тогда
120
AN =
AN
а +Ь
АВ^=а^+Ь\
Ь
имеем:
AN
_
Ь
(1 )
По свойству высоты, опущенной из вершины пря­
мого угла на гипотенузу, имеем: АС^ = A M •АВ и
.,т л
.г , ^
АС^
В О = M B - АВ. Отсюда:
A M - АВ
AM
7 =Ш
’
По свойству пропорции из последнего соотношеАМ
ния следует, что
=^
I-----------
но А В = va^ +
Ь*
AM
, т. е. —
=—
ft*
,
АМ
и тогда
rr~J
va + о
а* + ft* •
_ _ л _
^^77?
На основании равенств (1) и (2) имеем:
MN = A N -A M ^ b(«" *b‘ )-b^(a*b)
{a + bY'la^ +ft^
ftVa* + ft*
a+0
ft^
,------- iT
Va +
i 2
1^2
(a+T>)-Va^ +ft^
at(„
b)
(a + ft) •Va^ + ft*
По свойству высоты CM, опущенной из вершины
прямого угла АСБ на гипотенузу, имеем:
СМ^ = А М - М В , и о А М = - = ^ = , а М В = А В - А М =
V777
Итак,
V7T7
и тогда
аЬ
С М = -г------- .
Из прямоугольного треугольника C M N по тео­
Ч2
аЬ
реме Пифагора: CN^ = СМ^ +
=
+
121
a b ' ( a - bj
a b
(o 7 b )V 7 7 7 j
^ (a + b f . ( e * + f e 2) ~
ah^
ab^
a V - ( g - b )^
a’^ +2ab + b’^ + a ^ - 2 a b + b^ _
(a^bf
2a*+ 2b*_ 2a V
= aUb^'JaUbf - ( a ; f e f
2a V
17^
- (
’ " '" ° '’^^
CiV = £*2^ , что и требовалось доказать.
a^b
Задачи для самостоятельного решения
1. Катеты прямоугольного треугольника относятся
как 5 : 6 , а гипотенуза равна 122 см. Найти от­
резки гипотенузы, отсекаемые высотой.
2. Катеты прямоугольного треугольника относятся
как 3 : 2 , 8 высота делит гипотенузу на отрезки,
из которых один на 2 м больше другого. Опре­
делить гипотенузу.
3. Доказать, что диаметр окружности, вписанной
в равнобедренную трапецию, есть средняя про­
порциональная величина между параллельны­
ми сторонами трапеции.
4. Доказать, что отношение квадратов катетов рав­
но отношению их проекций на гипотенузу.
5. Требуется выфрезовать квадратную головку со
стороной 32 мм. Чему должен быть равен наи­
меньший диаметр круглого железа, годного для
этой цели?
6 . 1) Стороны прямоугольника равны а и 6. Оп­
ределить радиус описанного круга.
2) В круг вписан прямоугольник, стороны ко­
торого относятся как 8 :1 5 . Определить эти сто­
роны, если радиус круга равен 34 см.
122
7. 1) Катеты прямоугольного треугольника равны
8 дм и 18 см. Определить радиус описанного круга.
2) Катеты прямоугольного треугольника равны
16 см и 12 см. Определить медиану гипотенузы.
8 . 1) В равнобедренном треугольнике боковая
сторона равна 17 см, а основание 16 см. Опре­
делить высоту треугольника.
2) Определить стороны равнобедренного тре­
угольника, если его высота равна 35 см, а осно­
вание относится к боковой стороне как 48 : 25.
3) В равнобедренном треугольнике основание рав­
но 4 см, а угол при нем равен 45*. Определить
боковую сторону.
В
9. С тр оп и льн а я ферма
(рис. 98) имеет ноги АВ
\
/
и СБ по 9 м и пролет
Ny \ /
АС в 15 м. Определить
А
D
С
высоту фермы BD,
Рис. 98
10. 1) Биссектриса прямого угла делит гипотенузу
прямоугольного треугольника на части, равные
1
6
2 у м и 2 - м . Определить катеты.
2) Катеты прямоугольного треугольника рав­
ны 15 см и 20 см; из вершины прямого угла
проведены высота и биссектриса. На какие от­
резки разделилась гипотенуза?
11. 1) В равностороннем треугольнике определить
высоту по данной стороне а.
2) В равностороннем треугольнике определить
сторону по данной высоте h.
3) В равностороннем треугольн и ке высота
меньше стороны на т. Определить сторону.
4) В прямоугольном треугольнике один из углов
равен 30‘, а больший катет равен 6 см. Опреде­
лить две другие стороны этого треугольника.
12. 1) Боковые стороны треугольника равны;
а = 25 см и 6 = 30 см, а высота Л^=24см. Оп­
ределить основание с.
123
2) В треугольнике больший угол при основа­
нии равен 45’ , а высота делит основание на ча­
сти в 20 см и 21см. Определить большую бо­
ковую сторону.
3) Из одной точки проведены к данной пря­
мой перпендикуляр и две наклонные. Опреде­
лить длину перпендикуляра, если наклонные
равны 41 см и 50 см, а их проекции на данную
прямую относятся как 3 : 10.
13. 1) Диагонали ромба равны 24 см и 70 см. Оп­
ределить сторону ромба.
2) Определить диагонали ромба, если они отно­
сятся как 3 : 4, а периметр ромба равен 1 м.
14. 1) В равнобедренной трапеции основания рав­
ны 10 см и 24 см, боковая сторона 25 см. Оп­
ределить высоту трапеции.
2) В равнобедренной трапеции боковая сторона
равна 41 см, высота равна 4 дм и средняя линия
45 см. Определить основания трапеции.
15. П араллельно прямой дороге, на расстоянии
500 м от нее расположена цепь стрелков; рас­
стояние между крайними стрелками равно 120 м,
дальность полета пули равна 2,8 км. Какой уча­
сток дороги находится под обстрелом цепи?
16. 1) В треугольнике ABC проведена высота AD.
Доказать, что А В ^ - А С ^ = B D ^ - C D ‘.
2) Если М — некоторая точка высоты AD треу­
гольника ABC, то АВ- - А<У = ВМ^ - С\Р. Доказать.
17. 1) Доказать, что в прямоугольной трапеции раз­
ность квадратов диагоналей равна разности
квадратов оснований.
2) В прямоугольной трапеции меньшая диаго­
наль равна наклонной боковой стороне. Опреде­
лить большую диагональ, если наклонная боко­
вая сторона равна а, а меньшее основание равно Ь.
18. 1) Радиус круга равен 89 дм, хорда 16 м. Опре­
делить ее расстояние от центра.
124
19.
20.
21.
22.
2) о — центр окружности; АСВ — хорда; OCD
— перпендикулярный ей радиус. ОС “ 9 см и
CD = 32 см. Определить хорду АСВ.
3) Радиусы двух пересекающихся окружностей
равны 13 см и 15 см, а общая хорда равна 24 см.
Определить расстояние между центрами окруж­
ностей.
4) АВ и CD — две параллельные хорды, распо­
ложенные по разные стороны от центра О ок­
ружности радиуса Д — 15 см. Хорда АВ — 18 см,
хорда CD - 24 см. Определить расстояние меж­
ду хордами.
5) Две параллельные хорды АВ и CD располо­
жены по одну сторону от центра О окружности
радиуса Д * 30 см. Хорда А В = 48 см, хорда
CD = 36 см. Определить расстояние между хор­
дами.
В сегменте хорда равна а, а высота h. Опреде­
лить радиус круга.
Расстояния от одного конца диаметра до кон­
цов параллельной ему хорды равны 13 см и
84 см. Определить радиус круга.
1) К окружности радиуса, равного 36 см, про­
ведена касательная из точки, удаленной от цен­
тра на 85 см. Определить длину касательной.
2) Из общей точки проведены к окружности
две касательные. Радиус окружности равен
11см, а сумма касательных равна 120 см. Оп­
ределить расстояние от центра до исходной точ­
ки касательных.
3) К окружности радиуса, равного 7 см, прове­
дены две касательные из одной точки, удален­
ной от центра на 25 см. Определить расстоя­
ние между точками касания.
Два круга радиусов R к г внешне касаются. Из
центра одного круга проведена касательная к
другому кругу, а из полученной точки касания
проведена касательная к первому кругу. Опре­
делить длину последней касательной.
125
23. 1) Два круга касаются извне. Определить длину
их общей внешней касательной (между точками
касания), если радиусы кругов равны 16 см и 25 см.
2) Радиусы двух кругов равны 27 см и 13 см, а
расстояние между центрами равно 50 см. Опре­
делить длину их общих касательных.
24. Касательная и секущая, проведенные из общей
точки к одной окружности, взаимно перпенди­
кулярны. Касательная равна 12 м, а внутренняя
часть секущей равна 10 м. Определить радиус
окружности.
25. АВ и CD — параллельные прямые. АС — секу­
щая, Е я F — точки пересечения прямых АВ и
CD с биссектрисами углов С и А. Дано: AF = 96 см
и СЕ = 110 см. Требуется определить АС.
26. В тупоугольном равнобедренном треугольни­
ке ABC основание АС ^ 32 м, а боковая сторона
20 м. Из вершины В проведен перпендикуляр
к боковой стороне до пересечения с основани­
ем. На какие части он делит основание?
27. Катет АС - 15 см; катет СВ = 8 см. Из центра С
радиусом СВ описана дуга, отсекающая от гипо­
тенузы часть BD, которую и требуется определить.
28. АВ — диаметр круга; ВС — касательная; D —
точка пересечения прямой АС с окружностью.
Известно, что A D — 32 см и DC — 18 см. Требу­
ется определить радиус.
29. АВ — диаметр; ВС и CDA — касательная и
секущая. Определить отношение CD : DA, если
ВС равна радиусу.
§ 7.5. Смешанные задачи на
прямоугольный треугольник
Задача 1. В прямоугольном треугольнике ABC
катет ВС -= 6 см и гипотенуза АВ — 10 см. Проведе­
ны биссектрисы угла ABC и угла с ним смежного,
пересекающие катет АС и его продолжение в точ­
ках D и Е. Определить длину DE.
126
Д а н о : ААВС — прямоу го л ь н ы й ;
ВС = 6 см;
АВ = 10 см; BD — биссек­
триса ZABC; ZFBC — вне­
шний угол ЛАВС; BE — бис­
сектриса ZFBC (рис. 99),
Н а й т и : D £.
Рис. 99
Р е ш е н и е . Из прямоугольного треугольника
ABC по теореме Пифагора находим катет АС:
АС
^ А В ^ - В С ^ = ilO^ -6^ = ^ 6 4 = 8 .
Итак, АС 8 см. По свойству биссектрисы BD
внутреннего угла ЛАВС имеем:
CD
вс
DA
ВА’
т. е.
вс
CD
ВА ‘
А С -C D
Подставим числовые данные и найдем из этой
CD
пропорции CD:
6
- .о т с ю д а
CD
3
г , и тогъ
да 5CD
24 - 3CD => 8CD = 24 => CD = 3 (см).
По свойству биссектрисы BE внешнего угла ДАВС
имеем:
8 -C D
ЕА
ВС
ЕС
ВА
Тогда
или
Б С + 8 _ 10
ЕС
~ 6
ЕС + СА
ВС
ЕС
ВА
^ + 8
_ 5
ЕС
~ 3
5ЕС - 3 • (£ С -ь 8 )
и 5£С = 3 £ С + 2 4 ; 2 £ С - 2 4 = > £ С
12 (см).
Находим искомый отрезок:
DE = Е С + C D ^ 12+ 3 = 1 5 (см).
О т в е т : 15 см.
Задача 2. В прямоугольном тре­
угольнике точка касания вписанной
окружности делит гипотенузу на от­
резки 5 см и 12 см. Найти катеты
треугольника.
Д а н о : ДАВС — прямоугольный;
О — вписанный круг; D, М , N — точ­
ки касания; В / )= 1 2 с м ; A D = 5 см
(рис. 100).
О п р е д е л и т ь : АС и ВС.
Рис. 100
127
Р е ш е н и е . По свойству касательных, проведен­
ных к окружности из одной точки: В М —BD — 12 см,
A ^ = A D - 5 см и C N ^ C M .
Так как касательные перпендикулярны радиусу,
проведенному в точ к у касания, то O N L АС и
О М 1ВС, и поскольку в прямоугольнике C M O N рав­
ны две смежные стороны CN и СМ, то он квадрат, и
потому CN “ С М - г.
Значит, В С ~ В М + МС=12 + г к А С CN + AN
“ 5 г. Гипотенуза АВ * BD + DA — 17. По теореме
Пифагора из 6АВС имеем:
ВС^ + АС-=‘ АВ\ или (12 + г ) * + ( 5 +
17*=>
144 + 24г + г»+ 25 + Ю г -ь Н - 289 =>
2г-+ 3 4 г - 1 2 0 - 0
17г-60-0.
По теореме Виета корни данного квадратного
уравнения: г , - 3 и г , - - 20 .
Tj - - 20 — постороннее решение, исходя из смыс­
ла геометрической задачи.
Итак, г - 3, а тогда ВС = 1 2 + 3 = 15 (см) и АС = 5 + 3 = 8 (см).
О т в е т : 15см и 8 см.
Задача 3. Около круга радиуса г описана равно­
бедренная трапеция, параллельные стороны кото­
рой относятся как m : п. Определить стороны этой
трапеции.
Д а н о : ABCD — равнобедренная трапеция;
ВС :A D ^ т : п; О — вписанный круг; M O N —
диаметр круга; О М - г (рис. 101).
Н а й т и : АВ, ВС, CD, AD.
Р е ш е н и е . Пусть ВС - тх,
тогда AD «= пх. Из точек В и
С опустим перпендикуляры
BE и CF на A D . То г да
B E ' ^ C F ^ M N » 2г (как рас­
стояния между параллельны­
ми прямыми ВС и A D ).
По условию АВ — CD. Так
как трапеция равнобедренная,
128
.г,
„ гк
A D - ВС
пх - т х
x-(n-m)
тогда и A E ~ F D ~ ---- ----- = — -— = — ^
^
.
По свойству описанного четырехугольника:
АВ + CD - ВС + AD - тд: + лх = X • ( т + л),
г.
лгч
Х ' ( т
а тогда АВ —CD - — ^
+ п )
^
.
Из прямоугольного треугольника АВЕ по теореме
Пифагора имеем:
AB^-A E^~B E\r.e.
S ^ ------^ 2
Решаем полученное уравнение и находим вели­
чину х:
X* • ( т + п)*
----i
4
X* •(п -
-------- i----- ^ - 4г*=» х * ((т + л)* - (л - т )* ) 4
“ 1 6 г*^ х * (т * + 2 т л + л * - л *+ 2 т л - т * ) - 16г*=>
,
16г*
2г
х * - 4 т л - 16г* = ^ х *“ г— =>х = - 7— .
4ОТЛ
V/nn
2mr
2nr
Значит, ВС - mx - т ” 5
■ыПП
A D — п х ^ ~r n
Vm
_ ________ X -(m + л ) _ 2 г -(m + л ) _ г -(m + л )
А В “ CD ™
^
Ответ;
2отг
у
^тл
о
^
2лг
>~Г
vm n
~
“
2vmn
V"
^тл
.
г •( т + л )
»— у
vmn
.
Задачи для самостоятельного решения
1. В прямоугольном треугольнике биссектриса пря­
мого угла делит гипотенузу в отношении 7: 9.
В каком отношении (считая части в том же
порядке) делит ее высота?
2. Определить катеты прямоугольного треуголь­
ника, если биссектриса прямого угла делит ги­
потенузу на части в 15 см и 20 см.
9 — К. X. Абдуллаев и др.
129
3. в равнобедренном прямоугольном треугольни­
ке катет равен а. На какие части делит его бис­
сектриса противолежащего угла?
4. В прямоугольном треугольнике биссектриса ос­
трого угла делит катет на отрезки т и п ( т > п).
Определить другой катет и гипотенузу.
5. В прямоугольном треугольнике, катеты которо­
го равны 15 дм и 2 м, проведены: высота из
вершины прямого угла и биссектрисы обоих
углов, образуемых высотой с катетами, Опре'делить отрезок гипотенузы, заключенный между
биссектрисами.
6 . В равнобедренном треугольнике ABC боковая
сторона АВ — 10 м и основание АС *■ 12 м. Бис­
сектрисы углов А и С пересекаются в точке D.
Требуется определить BD.
7. 1) В равнобедренном треугольнике основание
равно 30 см, а боковая сторона равна 39 см. Оп­
ределить радиус вписанного круга.
2) В равнобедренном треугольнике центр вписан­
ного круга делит высоту в отношении 17:15. Ос­
нование равно 60 см. Найти радиус этого круга.
8 . 1) В равнобедренном треугольнике основание
равно 30 дм, а высота 20 дм. Определить высоту,
опущенную на боковую сторону.
2) В равнобедренном треугольнике высота, опу­
щенная яа основание, равна 3 дм, а высота, опу­
щенная на боковую сторону, равна 4 дм. Опреде­
лить стороны этого треугольника.
3) Диагонали ромба равны 14 дм и 48 дм. Оп­
ределить его высоту.
9. 1) Гипотенуза прямоугольного треугольника
АВ ” 34 см; катет ВС = 16 см. Определить длину
перпендикуляра, восставленного к гипотенузе из
ее середины до пересечения с катетом АС.
2) Радиус круга равен г. Определить длину хорды,
проведенной из конца данного диаметра через се­
редину перпендикулярного к нему радиуса.
130
10. в прямоугольном треугольнике ABC катет
АС “ 16 дм и катет В С -=12 ям. Из центра В
радиуса ВС описана окружность, и к ней прове­
дена касательная, параллельная гипотенузе (при­
чем касательная и треугольник лежат по раз­
ные стороны гипотенузы). Катет ЕС продолжен
до пересечения с проведенной касательной. Оп­
ределить, на сколько продолжен катет?
11. Из одной точки проведены к кругу две каса­
тельные. Длина касательной равна 156 дм, а
расстояние между точками касания равно
120 дм. Определить радиус круга.
12. В прямоугольной трапеции основания равны
17 дм и 25 дм, а большая боковая сторона рав­
на 10 дм. Из середины этой стороны проведен
к ней перпендикуляр до встречи с продолжени­
ем другой боковой стороны. Определить дли­
ну этого перпендикуляра.
13. АС и СВ — катеты прямоугольного треуголь­
ника; CD — высота; D E 1 А С и D F 1 СВ . Опре­
делить DE и DF, если АС * 75 дм и ВС - 100 дм.
14. В двух равнобедренных треугольниках боковые
стороны имеют одинаковую длину, а сумма уг­
лов при вершинах равна 180’. Основания отно­
сятся как 9 ; 40, а длина боковой стороны равна
41 дм. Определить основания треугольников.
15. 1) В треугольнике основание равно 60 м, высота
12 м и медиана основания 13 м. Определить бо­
ковые стороны.
2) В прямоугольном треугольнике найти отноше­
ние катетов, если высота и медиана, выходящие
из вершины прямого утла, относятся как 40 : 41.
16. Определить радиус круга, описанного около рав­
нобедренного треугольника, если основание и бо­
ковая сторона треугольника соответственно рав­
ны: 1) 6 дм и 5 дм; 2) 24 м и 13 м.
17. В прямоугольном треугольнике катеты равны 13 дм
и 84 дм. Определить радиус вписанного круга.
131
18. Расстояние между центрами двух окружностей,
лежащих одна вне другой, равно 65 дм; длина
их общей внешней касательной (между точка­
ми касания) равна 63 дм; длина их общей внут­
ренней касательной равна 25 дм. Определить
радиусы окружностей.
19. Длины двух параллельных хорд равны 40 дм
и 48 дм, расстояние между ними равно 22 дм.
Определить радиус круга.
20. В равнобедренной трапеции, описанной около
круга, основания равны 36 см и 1 м. Определить
радиус круга.
21. Около круга, радиус которого равен 12 см, описа­
на равнобедренная трапеция с боковой стороной
в 25 см. Определить основания этой трапеции.
22. АВ и АС — касательные к одному кругу с цент­
ром О; М — точка пересечения прямой АО с
окружностью; D M E — отрезок касательной,
проведенной через М между АВ и АС. Опреде­
лить длину DE, если радиус круга равен 15 дм,
а расстояние АО = 39 дм.
23. Катеты прямоугольного треугольника равны
15 дм и 20 дм. Определить расстояние от цен­
тра вписанного круга до высоты, проведенной
на гипотенузу.
24. В прямоугольном треугольнике ЛВС из верши­
ны С прямого угла опущен перпендикуляр на
гипотенузу, и на нем, как на диаметре, описана
окружность, которая на катетах СА и СВ дает
внутренние отрезки т и п . Определить катеты
( т = 12; л “ 18).
25. В прямоугольном треугольнике катеты равны
75 дм и 100 дм. На отрезках гипотенузы, обра­
зуемых высотой, построены полукруги по одну
сторону с данным треугольником. Определить
отрезки катетов, заключенные внутри этих по­
лукругов.
132
26. Если два круга имеют внешнее касание, то об­
щая внешняя касательная есть средняя прооорциональная между их диаметрами. Доказать.
27. В трапеции ABCD ‘ меньшая диагональ BD пер­
пендикулярна основаниям AD и ВС; сумма ост­
рых углов А и С равна 90*. Основания A D - а и
ВС ” 6. Определить боковые стороны АВ и CD.
I
§ 7.6. Пропорциональные отрезки
в круге
Задана 1. Из внешней тОчки к окружности про­
ведены секущая длиной 12 см и касательная, дли­
на которой составляет |- части Ау
О
внутреннего отрезка секущей.
Определить длину касательной.
Д а н о : О — круг; АВ — ка­
са тельн ая ; A C D — се куща я;
ACD = 12 см; АВ = ^ C D (рис. 102).
О
О п р е д е л и т ь : АВ.
Р е ш е н и е . П о теореме о ка­
сательной и секущей, проведен­
ных из точки А вне круга, имеем: A B ^ ^ A D -A C , но
АС~ A D -C D ~ 1 2 -C D .
2
3
3
2
Из того что АВ — - CD, следует, что CD — — АВ, и
тогда А В » - 12 * (1 2 - | А В ) = > А В * + 18 А В - 144 - 0.
Используя теорему Виета, находим корни этого
квадратного уравнения: A B j* 6 и АВ^— -24 (что по
смыслу задачи не подходит). Итак, АВ — 6 см.
О т в е т : 6 см.
' Задача 2. В круг радиуса г вписан равнобедрен­
ный треугольник, у которого сумма высоты и осно­
вания равна диаметру круга. Найти высоту тре­
угольника. *
133
Д а н о ; О — круг; ОВ - г,
^АВС — вписанный в круг;
АВ - BC,BD 1 АС; B D + A C ~
- 2г (рис. 103).
Н а й т и : BD.
Р е ш е н и е . Пусть АС — а
и BD — Л. Тогда а + Л - 2г по
условию задачи. Диаметр
ВОЕ, перпендикулярный хор­
де АС, делит ее пополам, а от­
резки этого диаметра BD и
D E равны соответственно
BD^h к D E -2 r-h .
По теореме о диаметре и хорде, проведенных из
одной точки D внутри круга, имеем: AD • DC^BD • DE,
( аУ
т. е. т - Л • (2г - Л), но а + Л - 2г, а тогда а - 2г - Л.
2,
Итак,
ш- h ' { 2 г - h). Поскольку а ^ О , то
2г -Л
2г-Л?ьО ,ипоэтому
2r-h
4Л => 5Л - 2г,
и тогда Л —
Ответ:
г.
2
Значит, BD “ f
5
g г.
Задачи для самостоятельного решения
1. 1) Из точки окружности проведен перпендику­
ляр на диаметр. Определить его длину при сле­
дующей длине отрезков диаметра: а) 12 см и
3 см; б) 16 см и 9 см; в) 2 м и 5 дм.
2) Из точки диаметра проведен перпендикуляр
до пересечения с окружностью. Определить дли­
ну этого перпендикуляра, если диаметр равен
40 см, а проведенный перпендикуляр отстоит
от одного из концов диаметра на 8 см.
2. АСВ — полуокружность; CD — перпендикуляр
• на диаметр АВ. Требуется:
134
1) определить DB, если AD » 25 и CD = 10;
2) определить АВ, если AD : DB - 4 : 9 и CD * 30;
3) определить AD, если CD-3AD, а радиус равен г;
4) определить AD, если АВ - 50 и CD « 1 5 .
3. 1) Перпендикуляр, опущенный из точки окруж­
ности на радиус, равный 34 см, делит его в от­
ношении 8 : 9 (начиная от центра). Определить
длину перпендикуляра.
2) Хорда BDC перпендикулярна радиусу ODA.
Определить ВС, если ОА = 25 см и AD - 10 см.
3) Ширина кольца, образованного двумя концен­
трическими окружностями, равна 8 дм; хорда
большей окружности, касательная к меньшей,
равна 4 м. Определить радиусы окружностей.
4. Две хорды пересекаются внутри круга. Отрез­
ки одной хорды равны 24 см и 14 см; один из
отрезков другой хорды равен 28 см. Определить
второй ее отрезок. •
5. Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке М
так, что М А ■“ 7 см. M B - 21 см, М С ” 3 см и
M D ” 16 см. Лежат ли точки А, В, С и D на од­
ной окружности?
в. Длина маятника М А —Z- 1 м,
высота подъема его, при отА
клонении на угол а, СА - Л /«
“ 10 см (рис. 104). Найти
расстояние ВС точки В от
М А (ВС - X ).
^
/
В
7. Хорда A M В повернута около
точки М так, что отрезок М А
увеличился в 2-^ раза. Как
Рис. 104
изменился отрезок MB?
8 . 1) Из двух пересекающихся хорд одна раздели­
лась на части в 48 см и 3 см, а другая — попо­
лам. Определить длину второй хорды.
135
2) Из двух пересекающихся хорд одна раздели­
лась на части в 12 м и 18 м, а другая — в отно­
шении 3 : 8 . Определить длину второй хорды.
9. Из двух пересекающихся хорд первая равна
32 см, а отрезки второй хорды равны 12 см и
16 см. Определить отрезки первой хорды.
10. Секущая ABC повернута около внешней точки
А так, что внешний ее отрезок АВ уменьшился
в три раза. Как изменилась длина секущей?
11. Пусть ADB и АЕС — две прямые, пересекающие
окружность: первая — в точках D и В, вторая
— в точках Е и С. Требуется определить:
1) АЕ, если AD * 5 см, DB - 15 см и АС - 25 см;
2) BD, если АВ - 24 м, АС — 16 м и ЕС - 10 м;
3) АВиАС, если АВ -^АС — 50 м, a A D i A E - 3 : 7 .
12. Радиус окружности равен 7 см. Из точки, уда­
ленной от центра на 9 см, проведена секущая так,
что она делится окружностью пополам. Опреде­
лить длину этой секущей.
13. М А В и M C D — две секущие к одной окружнос­
ти. Требуется определить:
1> CD, если M B = 1 м, M D = 15 дм и CZ) - МА;
2) M D , е с л и М А = 18 см, А В » 12 см и
МС : CD = 5 : 7;
3) АВ, если АВ - МС, М А - 20 и CD - 11.
14. Две хорды продолжены до взаимного пересече­
ния. Определить длину полученных продолже­
ний, если хорды равны а и Ь, а их продолжения
относятся как т : п.
15. Из одной точки проведены к окружности секу­
щая и касательная. Определить длину касатель­
ной, если внешний и внутренний отрезки секу­
щей соответственно выражаются следующими
числами: 1) 4 и 5; 2) 2,25 и 1,7^^ 3) 1 и 2.
16. Касательная равна 20 см, а наибольшая секу­
щая, проведенная из той же точки, равна 50 см.
Определить радиус круга.
136
17. Секущая больше своего внешнего отрезка в 2^
раза. Во сколько раз она больше касательной,
проведенной из той же точки?
18. Общая хорда двух пересекающихся окружнос­
тей продолжена, и из точки, взятой на продол­
жении, проведены к ним касательные. Доказать,
что касательные равны.
19. На одной стороне угла А отложены один за дру­
гим отрезки: АВ - 6 см и ВС - 8 см; а на дру­
гой стороне отложен отрезок A D — 10 см. Ч е­
рез точки В, С к D проведена окружность. У з­
нать, касается ли этой окружности прямая AD,
а если нет, то будет ли точка D первой (считая
от А ) или второй точкой пересечения?
20. Пусть: АВ — касательная и ACD — секущая
той же окружности. Требуется определить:
1) CD, если АВ » 2 см и AD — 4 см;
2) AD, если А С : CD * ‘4 : 5 и АВ = 1 2 см;
АВ, если АВ ~ CD и АС а.
21у1) Касательная и секущая, выходящие из одной
точки, соответственно равны 20 см и 40 см; се­
кущая удалена от центра на 8 см. Определить
радиус круга.
2) Определить расстояние от центра до той точ­
ки, из которой выходят касательная и секущая,
если они соответственно равны 4 см и 8 см, а
>|секущая удалена от центра на 12 см.
22. i ) Из общей точки проведены к окружности ка­
сательная и секущая. Определить длину каса­
тельной, если она на б см больше внешнего от­
резка секущей и на столько же меньше внут­
реннего отрезка.
2) Из одной точки проведены к окружности се­
кущая и касательная. Секущая равна а, а ее внут­
ренний отрезок больше внешнего отрезка на
длину касательной. Определить касательную.
137
23. Из общей точки проведены к одной окружности
касательная и секущая. Касательная больше
внутреннего и внешнего отрезков секущей соот­
ветственно на 2 см и 4 см. Определить длину
секущей.
24. Из одной точки проведены к окружности каса­
тельная и секущая. Определить их длину, если
касательная на 20 см меньше внутреннего отрез­
ка секущей и на 8 см больше внешнего отрезка.
25. 1) Из одной точки проведены к окружности се­
кущая и касательная. Сумма их равна 30 см, а
внутренний отрезок секущей на 2 см меньше ка­
сательной. Определить секущую и касательную.
2) Из одной точки проведены к окружности се­
кущая и касательная. Сумма их равна 15 см, а
внешний отрезок секущей на 2 см меньше ка­
сательной. Определить секущую и касательную.
26. Отрезок АВ продолжен на расстояние ВС. На
АВ и АС, как на диаметрах, построены окружно­
сти. К отрезку АС в точке В проведен перпенди­
куляр BD до пересечения с большей окружнос­
тью. Из ТОЧКИ' С проведена касательная СК к
меньшей окружности. Доказать, что CD - СК.
27. К данной окружности проведены две параллель­
ные касательные и третья касательная, пересека­
ющая их. Радиус есть средняя пропорщюнальная
между отрезками третьей касательной. Доказать.
28. Даны две параллельные прямые на расстоянии
15 дм одна от другой; между ними дана точка
М на расстоянии 3 дм от одной из них. Через
точку М проведена окружность, касательная к
обеим пар аллелям . Определить расстояние
между проекциями центра окружности и точ­
ки М на одну из данных параллелей.
29. В равнобедренном треугольнике основание рав­
но 48 дм, а боковая сторона равна 30 дм. Опре­
делить радиусы кругов, описанного и вписан­
ного, и расстояние между их центрами.
138
30. Радиус равен г, хорда данной дуги равна а. Оп­
ределить хорду удвоенной дуги.
31. Радиус окружности равен 8 дм; хорда АВ рав­
на 12дм. Через точку А проведена касатель­
ная, а из точки В — хорда ВС, параллельная
касательной. Определить расстояние между ка­
сательной и хордой ВС.
§ 7.7. Косоугольный треугольник.
Свойства длин диагоналей
параллелограмма и трапеции
Задача 1. Основание треугольника 13 см; угол
при вершине равен 60*, сумма боковых сторон рав­
на 22 см. Определить боковые
стороны и высоту.
Д а н о :Л А Б С ;
Z B = 60 ’ ;
АС - 13 см; А В ^ ВС ^ 22 см;
B D L A C (рис. 105).
О п р е д е л и т ь : AB ,B C, BD.
Р е ш е н и е :П роведем
А Е 1 ВС. В п р я м о уго ль н о м
треугольнике А В £: ZBAE — 90‘- 60* —30*, а тогда катет, лежа­
щий против этого угла, равен по­
ловине гипотенузы, т. е. BE * ^ А В . Из того что
АВ + ВС “ 22, следует, что ВС * 22 - АВ.
По теореме о квадрате стороны АС, лежащей про­
тив острого угла В, равного 60’ имеем;
АС* - АВ^ + ВС* - 2ВС • BE, т. е.
1 3 * - А В * + (2 2 - А В )* - 2
( 2 2 - А В ) - ^АВ=>
л
169 - А В * + 484 - 44АВ + А В * - 22АВ + АВ*=>
З А В *- 66АВ + 315 - О => А В * - 22АВ + 105 - 0.
Корни полученного квадратного уравнения по те­
ореме Виета равны:
139
(А В ),= - 7 ( см)
ил и ( A B ) j - 15 (см ). Тогда,
( В С ) , - 2 2 - 7 - 1 5 (см) или (J 3 C ),-22 - 15 - 7 (см).
Из прямоугольного треугольника ABD по теоре­
ме Пифагора имеем: BD^ - АВ* -AD^, а из прямо­
угольного треугольника BDC : BD* •= ВС^ ВО - (А С -А О У.
Итак. A B ^ - A D ^ = ВС^- (ЛС - A DY =» 7 *- ( A D ) f = 15^ - (13 - (AD),y=. или 15*- (AD) j - 7* - (13 - (AD)^)*;
49 - (AD ) f - 225 - 169 + 26 (AD), - (AD ) f ,
или
2 2 5 - (A D )^ - 4 9 - 169 + 2 6 (A D ),- (A D )2 ;
26 (AD,) - 49 - 225 + 169, или 26 (AD j)= 225 -49 + 169.
26 (AD,) “ -7, что невозможно, т. e. значения (AB,) - 7
и (ВС,) * 15 не удовлетворяют условию задачи.
Итак, (AD )j - ^
. Находим:
I
345
(АВ)* ~(AD)I = 15*[
2
--------------------I
V 6 j/
BD
I-------------
(l5 -26)*-345^
1 -^ 5 —
= I I •>/3 -49 =
О т в е т : AB
I
26^ - 345^
26
----------------------------
= ti.V 2»-.23-= i|J,26 - 23).(26 . 23) =
•-ч/З , Значит, BD
15 cm ; B C ^ l
A
5
140
15‘
cm ;
BD - ft
if'
/3 CM.
105 Vs
26
cm.
Задача 2. В тупоугольном
треугольнике большая сторона
равна 16 см, а высоты, проведен­
ные из обоих ее концов, отсто­
ят от вершины тупого угла на
2 см и на 3 см. Определить две
другие стороны треугольника.
Д а н о : ААВС — ту п о у ­
гольный; АВ “ 16 см; BD 1 АС;
А Е 1 BC;DC - 2 см; СЕ - 3 см
(рис. 106).
О п р е д е л и т ь : ВС и АС.
Р е ш е н и е . По теореме о квадрате стороны тре­
угольника, лежащей против тупого угла'С, имеем:
AB^~BC* + AC^+2AC-DC.
АВ* - ВС* + АС* + 2ВС • СЕ.
(1)
(2)
Из этих двух равенств следует, что ВС^ + АС^ +
+ 2АС • 2 - ВС* + АС* + 2ВС • 3, тогда 2АС - ЗВС, т. е.
АС
3
Пусть АС - Зх, тогда ВС - 2х, и поэтому ра­
венство ( 1) имеет вид:
1 6 »- (2 х )*+ (З х)*+ 2 • (Зх) • 2;
256 - 4х*+ 9х*+ 12х => 13х*+ 12х - 256 - 0;
_
*
- 6 + V36 + 13-256
_
_ - 6 + V3364
13
-6 +58
52
.
X,-------- —
" 13 “ ^
13
-6 -5 8
■ 13
~
’
решение по­
стороннее.
Значит, АС - 4 • 3 = 12 (см); ВС - 4 • 2 * 8 (см).
О т в е т : 12 см н 8 см.
Задача 3. ^нование равнобедренного треуголь­
ника равно 4 v 2 , а медиана боковой стороны равна
5 см. Найти длины боковых сторон.
Данск ДАВС; А В — ВС;
АС “ 4 v2 ; AD — медиана;
A D - 5 см (рис. 107).
Н а й т и : АВ.
Р е ш е н и е . Д остроим
треугольник ABC до парал­
лелограмма, проведя через
точку С прямую, параллель­
ную АВ, и через точку В пря’
Рис. 107
мую, параллельную АС, до их
взаимного пересечения в точке Е. В параллелограм­
ме АВВС: АЕ - 2AD — 10, так как диагонали паралле­
лограмма в точке пересечения делятся пополам.
По теореме о сумме квадратов диагоналей парал­
лелограмма имеем:
141
БС* + АБ* — 2АВ* + 2АС*, но ВС * АВ. и тогда
А В *+ 1 0 *“ 2АВ^+2-(4>/2)2
А Я * - 36; АВ = ВС - 6 см.
О т в е т : 6 см.
=> А В ^ - 100 - 64 =>
Задачи для самостоятельного решения
1. На рисунке 108 показан план помещения, кото­
рое желают разгородить по линии АС. Ввиду пре­
пятствий, встречающихся
вдоль прямой АС, вместо
нее измерены: АВ ~ 50 м,
В С * 3 5 м и ZABC = 60*.
Вычислить по этим данс
ным длину АС.
^
Рис. 108
2. Определить вид треугольника (относительно уг­
лов), если даны три стороны или их отношения:
1) 2; 3; 4; 2) 3; 4; 5; 3) 4; 5; 6 ; 4) 10; 15; 18;
5) 68 ; 119; 170.
3^ В треугольнике определить третью сторону, если
две другие образуют yi/pl в 60' и соответственно
р а в н ы :(^ 5 см и 8 см;|2| 8 см и 15 см; 3) 63 см
.и 80 см.
треугольнике определить третью сторону, если
две други е^разую т угол в 120* и соответствен­
но равны:^УЗ см и 5 см/Щ 7 см и 8 см; 3) 11 см
и 24 см.
5. В треугольнике определить третью сторону, если
две другие образуют угол в 45* и соответствен­
но равны: 1) 2 и 3; 2) Vs и 5; 3) >/l8 и 7.
6 . Определить стороны треугольника, зная, что сред­
няя по величине сторона отличается от каждой
из двух других на единицу, и что проекция боль­
шей стороны на среднюю равна 9 единицам.
7. Сторона треугольника равна 21 см, а две дру­
гие стороны образуют угол в 60* и относятся
как 3 : 8 . Определить эти две стороны.
142
8 . В треугольнике боковая сторона равна 16 м и
образует с основанием угол в 60 ; другая боко­
вая сторона равна 14 м. Определить основание.
9. В треугольнике основание равно 12 см; один из
углов при нем равен 120*; сторона против этого
угла равна 28 см. Определить третью сторону.
10. В равнобедренном прямоугольном треугольни­
ке ABC гипотенуза АВ продолжена на длину BD,
равную ВС, и точка D соединена с С. Определить
стороны треугольника ADC, если катет ВС * а.
11. Определить хорду половинной дуги, если хорда
целой дуги равна о, радиус равен г (г = 25; а == 48).
12. 1) В прямоугольном треугольнике ЛВС катет
ЛС = 15см и катет ВС = 20 см. На гипотенузе
АВ отложена часть AD длиной в 4 см, и точка D
соединена с точкой С. Определить длину CD.
2) Треугольник ABC — прямоугольный (ZC —
прямой). На продолжении гипотенузы АВ от­
ложен отрезок BD, равный катету ВС, точка D
соединена с точкой С. Определить длину CD,
если ВС — 7 см и АС = 24 см.
13. В треугольнике ABC проведены высоты BD и
СЕ, и точки D и £ соединены. Найти отношение
площади AADE к площади ААВС, если:
1) ZA-45*;
2) Z A -3 0 '.
''14. Ъ треугольнике ABC дана точка D на стороне
АВ; определить длину CD, если известно, что
ВС - 37, АС - 15,
- 44 и AD - 14.
15. Стороны равнобедренного треугольника АВ =
ВС — 50 см и АС * 60 см. Проведены высоты АЕ
и CD, и точки D я Е соединены. Определить сто­
роны треугольника DBE.
16. В треугольнике ABC из конца С стороны АС про­
веден к ней перпендикуляр до пересечения в точ­
ке D с продолжением стороны АВ. Определить
BD и CD, если АВ = 45, ВС = 39 и АС = 42.
143
17. В треугольнике ABC даны стороны: AJ3— 15,
АС * 14 и ВС * 13. Биссектриса угла В продол­
жена за его вершину до пересечения в точке Е с
перпендикуляром к АС, проведенным из точки
С. Определить длину СЕ.
18. Данного круга касаются два равных меньших
круга: один изнутри, другой извне, причем дуга
между точками касания содержит 60'. Радиусы
меньших кругов равны г, радиус большего кру­
га равен R. Определить расстояние между цент­
рами меньших кругов.
19. 1) Стороны параллелограмма равны 23 см и
11 см, а диагонали относятся как 2 : 3. Опреде­
лить диагонали.
2) Диагонали параллелограмма равны 17 см и
19 см, а стороны относятся как 2 : 3. Определить
Стороны параллелограмма.
^20^Л) Диагонали паралл? ’ ограмма равны 12 см
и 14 см, а разность ст0|. а равна 4 см. Опреде­
лить стороны параллелограмма.
2) Определить стороны и диагонали параллело­
грамма, если большая сторона равна меньшей
диагонали, разность сторон равна 3 см и разность
диагоналей равна 2 см.
21*/ ТрСтороны треугольника: 16, 18 и 26. Вычис^лить медиану большей стороны.
2) Две стороны треугольника 7 и И ; медиана к
третьей стороне равна 6 . Определить третью сто­
рону.
3) Стороны треугольника а, Ь и с. Определить
медианы.
22. Определить высоту параллелограмма, у которо­
го основание равно 51 см, а диагонали 40 см и
74 см.
23. В равнобедренной трапеции определить длину
диагоналей, если:
144
1) основания равны 4 м и 6 м, а боковая сторо­
на равна 5 м;
2) одна сторона равна 5 см, а каждая из трех
других — 4 см.
24. Определить высоту и диагонали трапеции, если
основания а и с и боковые стороны b u d выра­
жаются следующими числами:
1) а - 25, 6 - 1 3 , с - 11, d - 15;
2) а - 2 8 , Ь - 2 5 , с - 16, d - 17;
3) а - 6 ,
6-3,
с - 1,
d-4.
25. В треугольник вписан параллелограмм так, что
одна его сторона лежит на основании треуголь­
ника, а диагонали соответственно параллельны
боковым сторонам треугольника. Основание
треугольника равно 45 см, а боковые стороны
39 см и 48 см. Определить стороны параллело­
грамма.
26. Доказать, что в равнобедренной трапеции квад­
рат диагонали равен квадрату боковой сторо­
ны, сложенному с произведением оснований.
27. Доказать, что во всякой трапеции сумма квад­
ратов диагоналей равна сумме квадратов боко­
вых сторон, сложенной с удвоенным произве­
дением оснований.
28. Доказать, что во всяком четырехугольнике сум­
ма квадратов диагоналей вдвое более суммы
квадратов отрезков, соединяющих середины про­
тивоположных сторон.
29. Определить острый угол ромба, в котором сто­
рона есть средняя пропорциональная между диа­
гоналями.
10 — К. X. Абдуллаев и др.
1^45
Глава 8
ЗАДАЧИ НА
ПОСТРОЕНИЕ
При решении задач на построение следует хоро­
шо знать теоретический материал темы: “ Подобие
фигур” , а также уметь выполнять элементарные по­
строения следующих типов:
1. Построение многоугольника, подобного данно­
му многоугольнику.
2. Деление отрезка на пропорциональные части;
3. Построение четвертого пропорционального к
трем данным отрезкам.
4. Построение среднего пропорционального к
двум данным отрезкам.
Затем, разобрав решения приведенных ниже за­
дач на построение более сложного вида, следует при­
ступать к построению фигур, предложенных в зада­
чах для самостоятельного решения .
Задача 1. Построить треугольник, подобный дан­
ному треугольнику, периметр которого равен данной
длине.
В
Д а н о : ААВС;
— пери­
метр
и ск ом ого
AAj Bj C,
(рис. 109).
’
П о с т р о и т ь : ДА,В,Cj, по------------------- -— '
добный ^АВС.
'
П о с т р о е н и е . ПоскольРис. 109
ку периметры подобных тре­
угольников
то - ^
Р,
=
относятся
как сходственные стороны.
А,в.
Следовательно, нахождение стороны
возмож­
но как построение четвертого, пропорционального к
трем данным отрезкам:
и АВ.
146
в
в,
А(А,)
Рис. 111
Построение отрезка AjB, — четвертого, пропорцио­
нального к трем данным отрезкам, показано на рис. 110.
Отложим на стороне АВ треугольника ABC (или
на ее продолжении) от точки А отрезок АВ^- А^В^ и
прюведем через точку В, прямую, параллельную ВС
(рис. 111), Пересечение этой прямой со стороной АС
дает точку С, и, построенный таким образом \А^В^С^
и есть искомый.
В самом деле, AA,BjC, сл ДАВС по лемме о подо­
бии и периметр этого треугольника равен Р^.
Задача 2. Построить отрезок, равный -Ло .
Построить данный отрезок можно двумя способами:
1. Используя теорему Пифагора, построить пря­
моугольный треугольник, катеты которого равны 3
и 1, а тогда гипотенуза этого треугольника будет
иметь длину, равную >/з* + 1* = Л о .
Итак, построенный отрезок АВ = VTo (рис. 112).
2. К данным отрезкам а = 2 и ft = 5 построить
средний пропорциональный, длина которого равна -JlO.
Итак, АВ = 2; ВС = 5; BD = > / ^ = Л 0 (рис. 113).
D
4tJ
а
/ г
А 1 С
Рис. 112
1
А
\
Vio
/
а
2
Ь
13
0
5
1
с
Рис. 113
147
Задача 3. Построить два отрезка, длины которых
относились бы как квадраты длин двух данных
отрезков.
Д а н о : а и Ь — два
Л I--------- ---------------IB данных отрезка (рис. 114).
Cl------------- iD
П о с т ро и т ь : отрезки с и
d так, чтобы 5
d
П о с т р о е н и е . Строим прямоугольный тре­
угольник с катетами, равными а и Ь. Итак, M N = Ь,
М Р = а (рис. 115).
Из вершины М опускаем
перпендикуляр М К на NP,
д
^
тогда N K — проаекция ка­
тета M N на гипотенузу NP,
а К Р — проекция катета
Рис. 115
на NP.
По теореме о метрических соотнош ениях в
прямоугольном треугольнике имеем:
M N ^=N K -N P ,
M P‘ = K P -N P .
Разделив (2) на (1), получим:
(1)
(2)
м
=
,
кР
или
MN^
1 . Итак. КР ~ c ; N K ~ d.
d
Задача 4. Построить прямоугольный треугольник
ABC по гипотенузе с и отношению его катетов,
равному 3 : 4 .
^
2
■^1______________с________ £|
Рис. 116
Д а н о : г ип о т е ну з а
ВС 3
с = А Б ; - = - (рис. 116).
П о с т р о и т ь : прямоугольный треугольник ABC.
П о с т р о е н и е . Построение треугольника, катеты
которого относятся как 3 : 4 , имеет бесчисленное
множество решений: 6 см и 8 см; 9 м и 12 м; 15 дм
148
и 20 дм и т. д. — возможные длины двух катетов
для такого построения. Лю бой из полученны х
прямоугольных треугольников подобен искомому
треугольнику ABC по второму признаку подобия.
Предварительно построим AAM N
катеты
которого равны: N M ^ 3 n и A M = 4п, где п —
произвольный отрезок. Таким образам,
^ 4п ^ Т ’
Затем выполним подобное преобразование AAM N
АВ
в ААВС при коэффициенте подобия
AN
Итак, строим прямоугольный треугольник A/VfiV с
катетами N M = З п и А М - 4п, выбрав предварительно
произвольный отрезок п. От точки А на гипотенузе
A N откладываем отрезок А В = с и из точки В
проводим прямую ВС, параллельную катету M N .
Треугольник
ABC
—
п
искомый: в нем АВ —с, и из
с
^
того что A A M N со ААВС (по
^
.
ВС
ми
3
лемме о подобии),
^ лм
4
(рис. 117.)
Зп
Данная задача всегда имеет
единственное решение (что
1
следует из ее построения).
yv
/
в
Рис. 117
Задача 5. В данный угол ABC вписать окружность,
которая проходит через данную точку М .
Д а н о : ZABC; точка М внутри угла ABC (рис.
118).
149
П о с т р о и т ь : окружность, вписанную в угол
ABC и проходящую через точку М .
П о с т р о е н и е . Существует бесчисленное мно­
жество окружностей, вписанных в угол ЛВС; центры
этих окружностей лежат на биссектрисе BD данного
угла АБС.
Построим произвольную из этих окружностей,
центр которой лежит в точке Oj, а радиусом является
отрезок O jN jlA B .
Через точку М ' и В проведем прямую, которая
пересечет построенную окружность в двух точках
M j и М у Соединим
с точками
и М ,, и через
точку М проведем прямые, параллельные
и
О М у Их пересечение с биссектрисой BD угла ЛВС
обозначим через О и
Эти точки и есть центры
искомой окружности, радиусами которых являются
O N 1 А В и O j N j l A B (радиус, проведенный в точку
касания, по свойству касательной к окружности
перпендикулярен касательной).
Итак, окружности с центрами О и О, — искомые
вписанные в угол ЛВС и проходящие через точку М
Действительно, AN^BO^ о> ^ В О (по лемме о подо
бии треугольников, поскольку O^N^ и ON, перпен
дикулярные порознь АВ, параллельны между собой)
Из подобия следует:
NO
ВО
N,0 , * во, •
AMBOtnAM^BO^ по лемме о подобии, из чего
следует:
МО
ВО
м,о, * во, *
N0
МО
Из пропорций (1) и (2) следует, что 7 ^ = 77^^.
но
(как радиусы вспомогательной
окруж ности с центром в точке O j), поэтому и
N 0 = М О, т. е. окружность, описанная радиусом О М
с центром в точке О, касающаяся стороны АВ, будет
касаться и стороны ВС, так как ее центр лежит на
биссектрисе BD угла ABC.
150
Аналогичные рассуждения можно провести и об
окружности, центром которой является точка О,.
Итак, задача всегда имеет два решения.
Задача 6. В данный треугольник ABC вписать
ромб с данным острым углом так, чтобы одна из
его сторон лежала на основании АВ треугольника
ЛВС, а две другие его вершины — на боковых
сторонах АС и ВС.
Д а н о : ААВС; Za — острый
угол ромба (рис. 119).
П о с т р о и т ь : вписанный в
треугольник ABC ромб M N P Q ,
острый угол которого о.
П о с т р о е н и е . Существует
бесчисленное множество ромбов,
острый угол которых лежит на
основании АВ треугольника
ABC, а одна из его вершин — на боковой стороне АС
(т. е. временно исключено условие, по которому одна
из вершин ромба лежит на стороне ВС). Построим
один из таких ромбов.
На сторонеЛС выбираем произвольную точку N^,
и через нее проводим прямую N^K, параллельную
АВ. При вершине N^ строим угол, равный данному
углу а, одной из сторон которого является N^K.
Пересечение второй стороны угла со стороной АВ
обозначим через М ,. На стороне А В отложим
M jQ j» M^N^, и через полученную точку Q, проводим
прямую, параллельную M ,N ,. Пересечение этой
прямой с N^K дает точку Р,.
—
ромб, острый угол которого рав
Выбрав точку А за центр подобия, строим ромб,
подобный ромбу
. При этом коэффициент
подобия следует выбрать так, чтобы вершина,
соответствующая вершине Р,, лежала на стороне ВС.
Д ля этой цели через точки А т
л
проводим
прямую, которая пересекает сторону ВС в точке Р.
Проведя через точку Р прямые, параллельны е
151
сторонам ромба, получим искомый ромб M N P Q ,
удовлетворяющий всем условиям задачи. Данная
задача всегда имеет единственное решение.
Задачи для самостоятельного решения
1. Построить треугольник по углу, одной из сторон,
прилежащих к нему, и отношению этой стороны
к третьей стороне.
2. Построить треугольник по высоте, углу при
вершине и отношению отрезков основания.
3. Вписать квадрат в данный сегмент так, чтобы
одна его сторона леж ала на хорде, а концы
противоположной стороны — на дуге.
4. Вписать квадрат в данный треугольник так,
чтобы одна его сторона лежала на одной стороне
треугольника, а вершины противолеж ащ их
углов — на двух других сторонах треугольника.
5. В данный треугольник вписать прямоугольник,
у которого стороны относились бы как т: п.
6 . Построить два отрезка, квадраты которых
относятся как т : п.
7. Построить отрезок, средний пропорциональный
между отрезками 3 см и 5 см.
8 . Построить отрезок, равный: VTs ; у/б ; -Js .
9. Построить треугольник:
1) по отношению двух его сторон, равному 5 : 3,
углу В между ними и третьей стороне Ь;
2) по отношению его сторон, равному 2 : 3 : 4 , если
самая меньшая его сторона равна а.
10. 1) Построить многоугольник, подобный данно­
му многоугольнику АВС£)£, такой, чтобы сторо­
на, сходственная АВ, была равна а;
2) П реобразовать данный п ар аллелограм м
ABCD в подобный ему параллелограмм при
коэффициенте подобия Л *0 ,7 5 .
152
11. Дан квадрат со стороной 5,5 см. Построить
квадрат, площадь которого была бы:
1) в два раза больше площади данного квадрата;
2) в два раза меньше площади данного квадрата.
12. 1) Построить квадрат, площадь которого равна
сумме площадей двух данных квадратов.
2) Построить квадрат, площадь которого равна
разности площадей двух данных квадратов.
13. 1) Построить квадрат, площадь которого равна
сумме площадей двух квадратов со сторонами
2,5 см и 3,5 см.
2) Построить квадрат, площадь которого равна
разности п л о щ а д е й дву х квадратов со
сторонами 3,5 см и 5,5 см.
14. Построить треугольник, подобный данному, так,
чтобы:
1) стороны данного треуголь­
ника были в 2 раза меньше
сторон построенного;*
2) меньшая сторона нового
_________
треугольника равнялась бы
'
ь
отрезку а;
'
^
'
3) периметр треугольника
'
*
равнялся бы 2с (рис. 120).
15. 1) Построить треугольник по отношению двух
его сторон, равному 2 : 3, и углу, заключенному
между ними, если одна из этих сторон равна 6 см.
2) Построить треугольник по отношению двух
его сторон, равному 2 : 3, углу между ними и
третьей стороне.
16. 1) Построить треугольник по отношению его
сторон, равному 4 : 5 : 7 , если меньшая из его
сторон равна 15 мм.
2) Построить треугольник по отношению его
сторон, равному 4 : 6 : 7 , если одна из сторон
треугольника равна а. Сколько решений имеет
задача?
153
17. Построить треугольник AjB,C,. подобный тре­
угольнику ABC, так, чтобы:
В
АВ
2) а д
- 0 , 9 (рис. 121).
-
18. П остроить прям оугольны й треугольник по
гипотенузе и отношению катетов, равному 2 : 3.
19. П остроить ромб по стороне и отнош ению
диагоналей, равному 3 : 5 .
20. Построить параллелограмм по данному его ост­
рому углу, меньшей диагонали и отношению сто­
рон, равному 1: 3.
Глава 9
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
Ф У Н К Ц И И ОСТРОГО
УГЛА
____________ .
Чтобы решать задачи данной главы, нужно знать:
1. Определения синуса, косинуса, тангенса и ко­
тангенса острого угла.
2. Основные тригонометрические тождества.
3. Нахождение катета прямоугольного треуголь­
ника через гипотенузу и острый угол.
4. Нахождение катета прямоугольного треуголь­
ника через другой катет и острый угол.
5. Нахождение гипотенузы прямоугольного тре­
угольника через катет и острый угол.
6 . Теорему косинусов.
7. Теорему синусов и лемму к ней.
8 . Теорему Стюарта.
9. Формулы для вычисления биссектрис и ме­
диан треугольника.
10. Теоремы Менелая и Чевы.
154
§ 9.1. Решение прямоугольных
треугольников
Задача 1. Зная, что с о з а -
* найти значения
41
sin а ; t g а ; c t g а .
Р е ш е н и е . Из тождества sin*а + cos*а = 1 =»
sin *a = 1 - со 8*а и sin а *= >/l - cos* а . Значит,
sin “ “
^1-
40'
^
41,
4lJ
a in a
Из тождества tg а
ctg а- —
/ З Г Й -А
.
.41.
сова
V41 ' 41 ~ 41 '
, тогда tg а
40
, поэтому ctg а = — .
40
41
,а
40
О тт в е т -. -5 --^ и g .
и
Задача 2. Зная, что ctg а - - , найти sin а, cos а и
4
tga .
Решение.
Из тож дества 1 + ctg* а*
sin* а
1
sin^ а, а тогда sin а - -т+ ctg*a
+ ctg^a
1
1
_ 1 _ 1_ 4
Значит, sin а '
имеем:
1
Т~
V
Из тождества
1+
L
9
Ш ~
}1 * 16
ctg а
3 4
3
4
5
сова
sin а
,
U6
поэтому
1 ~ 5'
*
cos а
- c t g a * s i n a = - - = т . и, наконец, из тождества
5
4
tg а • ctg а = 1, следует, что tg а — —.
О
Ответ:
4
5
3
4
5
3
- и- .
155
За дан а 3. Вычислить выражение:
Л - (4 s i„ 4 5 Т - ( Ш 30-) ‘ - (2COS 30')‘ - (2 ctg 46')-.
Р е ш е н и е . Из таблицы значен1м тригономет­
рических функций имеем: sin45' - - у ; tg30' - j . ;
ctg45-l.
созЗО"
Подставим эти значения в выражение Л:
- ( 2 l ) * = 8 - i - 9 - 4 = -6i .
А2
3
2
^Тг)
3
О т в е т : -^1 Задана 4. в “ угол. р а в н ы й 50\ вписана окружч чгъй На каком расстоянии от вер­
ность радиуса ,
центр окружности?
шины угла должен находи ^ ^
^
санная окружность; О М = Л *
- 2,5 см (рис. 122 ).
Н а й т и : ВО.
Р е ш е н и е . Центр О. впи­
санной в угол ABC окружности,
лежит на биссектрисе BD этого
угла, так как должен быть рав­
ноудален от сторон этого угла.
Итак, ZABD - ZD B C - 25*.
Рис. 122
Проведенный в точку каса­
ния радиус окружности перпендикулярен касатель­
ной, ?. е. О М 1АВ. Значит, АВМО - прямоугольный.
Гипотенуза ВО этого треугольника равна частному
от деления катета ОМ на синус противолежащего
ему угла, т. е. ВО '■
ОМ
_
2.5
гг —sin 25
sin 25
2.5
5,9 (с м ).
0.428
О т в е т ; *= 5,9 сМ.
Задана 5. Стороны параллелограмма 12 см и, 7 см,
а острый угол равеи 58-20'. Опрмелнть высоту параллелогр^м а, проведенную к большей стороне и
?глы. на которые острый угол делится диагональю.
156
в
с
Д а н о ; A B C D — парал­
лелограмм;
А В - 7см;
A D -1 2 C M ; ZB A D - 58'20';
ЕЕ 1 A D ; АС — диагональ
(рис. 123).
Н а й т и : ЕЕ; ZEAC; ZCAD.
Рис. 123
Р е ш е н и е . Из прямоугольного треугольника
ВАЕ находим катеты ЕЕ и АЕ, зная гипотенузу это­
го треугольника и угол ВАЕ, равный 58'20';
Е Е ~ А В - sin ZBAE: - 7 • sin,58*20' - 5,958 » 6 (см)
и АЕ ~ А В • cos ZBAE “ 7 • cos 58*20'» 3,67 (см).
Рассмотрим ^АВЕ и tiDCF, где CF LAD. В этих
прямоугольных треугольниках АВ —CD как противо­
положные стороны параллелограмма; / В А Е - Z.CDF
как соответственные углы при параллельных пря­
мых АВ и CD и секущей AF.
Значит, DF - АЕ = 3,67 см и CF - ЕЕ » 6 (см) (из
равенства треугольников).
Тогда A F - A D + D F » 12 + 3,67 - 15,67 (см). Из
прямоугольного треугольника ACF, где CF » 6 см и
AF в 15,67 см, находим:
-0,3 839.
Тогда ZCAF « 20*49', а потому ZBAC - 58*20' -2 0 *4 9 '» 37*31'.
О т в е т : « 6 см; »20*49'; =37*31'.
Задачи для самостоятельного решения
12
1. s i n a ——. Найти cos а; t g a и c tg a .
13
2. cos X - 0,8. Найти sin х ; tg х и ctg х.
3. t g a - 4 . Найти sin а; cos а .и ctg а.
О
»
g
4. ctg Р ” —. Найти sin Р; cos р и tg р.
1о
157
5. Вычислить:
5
sin 30* cos 60* - tg 45*
[
m cos
6 . Вычислить:
7. Вычислить:
~
a + bcos 0 - sin 0
45° +
mn +
n sin 45*
JT;
m tg 45
.
- ctg 0*
- ctg 90
.
(2acos60')* - (fcctg 45')* + O obsin O ')*
;-----.
(1 5 a c o s 9 0 T + 2a sin 30- - 2b cos* 45*
8 . У прямоугольного треугольника один катет ра­
вен 8 см, а синус противолежащего ему угла ра­
вен 0,8. Найти гипотенузу и второй катет.
9. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна
а. Один из острых углов а. Найти второй ост­
рый угол и катеты.
10.
В прямоугольном треугольнике катет равен а,
а противолежащий ему угол а. Найти второй
острый угол, противолежащий ему катет и ги­
потенузу.
11. В прямоугольном треугольнике даны гипотену­
за с и острый угол а. Найти катеты, их проек­
ции на гипотенузу и высоту, опущенную на ги­
потенузу.
12. Высота равнобедренного треугольника равна
12,4 м, а основание 40,6 м. Найти углы тре­
угольника и боковую сторону.
13. Отношение катетов прямоугольного треугольни­
ка равно 19: 28. Найти его углы.
14. Стороны прямоугольника равны 12,4 и 26. Найти
угол между диагоналями.
15. Диагонали ромба 4,73 и 2,94. Найти углы ромба.
16. Сторона ромба 241 м, высота 120 м. Найти углы
ромба.
17. Радиус окружности равен 5 м. Из точки, отсто­
ящей от центра на 13 м, проведены касатель­
ные к окружности. Найти длины касательных
и угол между ними.
158
18. Тень от вертикального сто­
ящего шеста, высота которо­
го 7 м, составляет 4 м. Выра­
зить в градусах высоту солн­
ца над горизонтом (рис. 124).
19. Основание равнобедренного
прямоугольного треугольни­
ка равно а. Найти боковую
сторону.
20. Найти неизвестные стороны и
Рис. 124
острые углы прямоугольного треугольника по
следующим данным:
1) по двум катетам:
а )а = 3, Ь=“ 4;
в) а - 20. 6 =-21;
б ) а - 9 , Ь = 40;
г) а - 11, Ь - 60;
2) по гипотенузе и катету:
а) с “ 13, а “ 5;
б) с “ 25, а - 7 ;
в) с * 1 7 , а = 8 ;
г) с “ 85, а = 84;
3) по гипотенузе и острому углу:
а) с - 2; а - 20*;
в) с “ 8 ; а - 70'3б';
б) с - 4 ; а - 5 0 ‘ 20';
г) с - 16; а - 76'21';
4) по катету и противолежащему углу:
а) а = 3; а “ 30*27';
в) а - 7; а = бО'Зб';
б) а “ 5; а “ 40*48';
г) а - 9; а - 68*.
21. Упростить выражения:
1) 1 - sin*a;
2) (1 - co s a )(l + cos а);
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
1+ sin* а + cos* а;
sin а - sin а cos* а;
s in *a + cos^a + 2sin*a cos*a;
tg*a - sin* a tg*a;
cos* a + tg*a cos* a;
tg* a (2 cos*a + sin* a - 1);
1 - tg^ a + tg^ a
cos
2
a
159
22. Вычислить значения sin а и tg а, если:
1) cos а
23. Найти cos а и tg а, если:
3) sin а =“ 0,8.
1) sin а =“ т ;
5
24. Построить угол а, если известно, что :
1) co sa = у ;
4) t g a =
5) t g a = 0,7.
3) sin а = 0,5;
25. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой а
и углом 60* найти катет, противолежащий это­
му углу.
26. Найти радиус г окружности, вписанной в равно­
сторонний треугольник со стороной а, и радиус
R окружности, описанной около него.
27. По двум данным элементам прямоугольного
треугольника определить остальные его элемен­
ты — стороны, углы:
1) даны гипотенуза и острый угол:
а) с = 9,35, А - 65'10'; б) с = 62,7, В = 23’30';
2 ) даны катет и острый угол:
а) а -8 ,2 5 , А - 4*30'; б ) Ь - 1 2 9 , Б “ 68‘;
3) даны два катета:
а) а = 261,
6 = 380; б) а = 24,7, Ь - 61,7;
4) даны гипотенуза и катет:
а) с = 67; а = 45;
б) .6 - 12,6; с = 64,6.
28. По двум заданным элементам
равнобедренного треугольника
ABC (АВ “ ВС, рис. 125) найти
все его углы и высоты:
1)
2)
3)
4)
160
0 = 654, А = 66'30';
а - 432, В = 36*24';
6 - 15,5, А - 59*8';
а - 8,75,
13,9.
Рис. 125
29. В прямоугольном треугольнике катет состав­
ляет 0,2 гипотенузы. Найти острые углы треу­
гольника.
30. В прямоугольном треугольнике ABC:
Z A - 27’, катет а — 21 см. Найти:
Z C = 90',
1) катет Ь;
2) гипотенузу с;
3) проекцию каждого катета на гипотенузу.
31. Из точки, находящейся на расстоянии 15 см от
прямой, проведены к этой прямой две наклон­
ные, образующие с ней углы, равные 24* и 61*.
Определить длину наклонных и их проекций на
данную прямую.
32. Найти острый угол, составленный диагоналями
прямоугольника, стороны которого равны 12 см
и 8 см.
33. В окружность радиуса 5 см вписан равнобедрен­
ный треугольник, угол при вершине которого
равен 70*24'. Определить высоту сегмента, отсе­
каемого основанием треугольника.
34. В трапеции углы при большем основании рав­
ны 16’ и 54*, высота трапеции равна 24 см, мень­
шее основание равно 18 см. Найти большее ос­
нование трапехши.
35. Найти остальные элементы прямоугольного тре­
угольника, в котором даны (обозначения: с —
гипотенуза; а, Ь — катеты):
1) с -0 ,1 8 5 , В - 12*40';
2) Ь - 1 0 ,5 , J 3 - 39*40';
3) а - 4 9 , 2 , ft - 24,0;
4) а - 6 , 3 2 , с - 8 ,5 4 .
36. В окружности радиуса 4 см проведена хорда
длиной 7 см. Сколько градусов содержит мень­
шая из дуг, которые стягивает эта хорда?
11 — К. X. Абдуллаев и др.
161
§ 9.2. Теоремы косинусов и синусов
Задача 1. На трех сторонах треугольника пост­
роены квадраты, не покрывающие площадь треуголь­
ника, и смежные вершины их соединены прямыми.
Доказать, что сумма квадратов сторон полученного
шестиугольника равна учетверенной сумме квадра­
тов сторон треугольника.
Дано:
ДАБС; B K L C ,
A D M C и AEFB — квадраты;
D E F K L M — шестиугольник
(рис. 126).
Д о к а з а т ь : /Ж* + EF^ +
+ KL^ + LM* + MD^ - 4 - ( A B » + B C » + AC»).
До к а з а т е л ь с т в о .
Пусть A S - с; ВС'^а и
- ft.
В каждом из треугольников:
Рис. 126
ADAE; ЫРВК и ALCM по тео­
реме косинусов найдем стороны DE; FK и LM. Из тре­
угольника DAE: DE^ - АЕ~ -t- AZ)* - 2АЕ •AD •cos /lEAD.
Но A E ' ^ A B ’= c как стороны квадрата AEFB,
AD - AC - b как стороны квадрата ADMC.
ZEAD - 360* - ZEAB - ZCAD - a - 360* - 90 - 9 0 - a - 180* - a.
Итак,
c*+ 6* - 2cb cos (180' - a), но cos (180* - a ) - -cos a. И тогда DE^
b^+ 2cb coe a.
Аналогично, из AFBK : FK* —FB* + BK^ - 2FB x
X BK cos ZFBK “ c * a * - 2ac coe (ISC’- P) * c*-f- a* +
+ 2ac cos P, T. e. FK^ - c* + a* + 2ac cos p.
Из треугольника LCM: LM*~‘ L C * + C M * - 2 L C x
X C M cos Z L C M a * + & * -2 o f tc o e (180’ - у ) “
* a* + 6* + 2aftcosY, т. e. L M * ^ a*+ 6*-t- 2аЬсову.
Тоглл DE* + LM* + FK* —с* + b* + 2cbcoaa +a*+b* +
+ 2ab cos Y + c* + a* + 2ac cos p.
Откуда DE* + LM* + FK* - 2(a* + ft* + с») +
+ 2(aft cos Y + ас cos P-t-ftc cos a ).
( 1)
162
Из треугольника ABC по теореме косинусов:
а *=
с* - 2Ьс cos а,
Ь*= а*+ с* - 2ас cos 3 ,
с* = а* + ft* - 2аЬ cos у.
Из этих трех равенств следует, что:
2Ьс cos а =
с* - а*,
2ас cos Р = а* + с* - Ь*,
2аЬ cos Y =
Ь^~ с*.
Значит, 2 • {аЬ cos у + ас cos Р + be cos а) —
- а*) + (а* + с* + (а^ + Ь* - с*) -= + а* +
. И тогда
2 • (аЬ cos Y + аЬ cos Р + Ьс cos а) - с* + а* +
(2)
Из равенств (1) и (2) следует: £)£*+ LM^+ FK^ *
=- 2 (а* + 6* + с*) + (с* + а* + 6*) = 3 (а* + + с*). А сум­
ма всех сторон шестиугольника D E F K L M будет
равна: DE^ +
+ № + KL* + LM* +
=* 3 (а^ +
+ с*) + а* + Ь* + с* - 4 (а* + Ь* + с*). Итак,
DE^ + EF^ + FJC‘ + KL' + LAP + M D ^- 4 ( A B + ВС^ + AC*).
Что и требовалось доказать.
Задача 2. Стороны треугольника равны 5 см; 6 см
и 7см. Определить радиус круга, описанного около
этого треугольника.
Д а н о : ДАВС; А В = 5 с м ;
ВС = 6 см; АС - 7см; О — опи­
санный круг; ОВ — радиус кру­
га (рис. 127).
Н а й т и : ОВ.
Р е ш е н и е . По теореме ко­
синусов из треугольника ABC
имеем: АС* = АВ* + ВС* ^27
- 2 A B ‘ BC oosZABC, т. е. 7*= 5 * + 6* - 2 • 5 • 6 •cos ZABC,
откуда 60 •сое ZABC =■ 25 + 36 - 49.
12
1
Тогда сое ZABC * ^ = т • Отсюда найдем синус этоОО U
го угла. Используя формулу sin* а + cos* а - 1, получа­
ем sin*a — 1 - cos*a и sin а — V l -cos*a .
163
2>/б
Итак, sin / Л В С
По теореме синусов из треугольника ABC имеем:
где Я - радиус
описанного около круга треугольника ABC. Значит,
iin S b c
= «й, Z B A C = s i n S c A =
'
_. 3 5 _ o d
d _ 3 5 _ 35>/б
—7р- -_ оZп1 X =>
— - d.ti. откуда К
= ---- ^ -----24
17б
2V6
2V6
т. е.
5
ОВ
35-Уб
24
Ответ:
35^6 см.
24
Задачи для самостоятельного решения
1. Объяснить, как найти расстояние от точки А до
недоступной точки В, зная расстояние АС и углы
а и Р (рис. 128).
2. Объяснить, как найти высоту х здания (рис. 129)
по углам а и Р и расстоянию а.
3. Доказать, что если в треугольнике есть тупой угол,
то противолежащая ему сторона наибольшая.
Рис. 128
4. В т р е у г о л ь н и к е A B C : Z A - 40*; Z B - 60’ ;
ZC -= 80*. Какая из сторон треугольника наи­
большая, какая — наименьшая?
5. У т ре уг ол ь ника AB C стороны : А В = 5 , 1 м,
ВС » 6,2 м, АС - 7,3 м. Какой из углов треуголь­
ника наибольший, какой — наименьший?
164
6 . Что больше: основание или боковая сторона рав­
нобедренного треугольника, если прилежащий
к основанию угол больше 60'?
7. Даны сторона и два угла треугольника. Найти
третий угол и остальные две стороны, если:
1)а-5,
Р-ЗО ’,
Y “ 45';
2) а - 2 0 , а - 7 5 ‘,
3 - 6 0 ’;
3 ) а = 35, р - 4 0 * .
Y -1 2 0 *;
4 ) Ь - 1 2 , а » 36’,
р - 2 5 ‘;
5) с - 1 4 , а - 6 4 ',
Э- 4 8* .
8 . Даны две стороны и угол между ними. Найти
остальные
1) а - 12 ,
2) 0 - 7,
3)Ь-9,
4)Ь-14,
5) а - 3 2 ,
6) а - 2 4 ,
два угла и третью сторону, если:
6 - 8,
Y * 6 0 ’;
&-23,
у - 130';
с -17,
а -9 5 ’;
с -10,
а - 145’ ;
с -23,
р -1 5 2 *;
с -18,
р -1 5 * .
9. В треугольнике заданы две стороны и угол, про­
тиволежащий одной из сторон. Найти осталь­
ные углы и сторону треугольника если:
1) а - 1 2 , 6 - 5 ,
а - 1 2 0 ‘;
2) а - 2 7 , Ь - 9 ,
а - 138';
3 )а - 3 4 , 6-12,
а - 164';
4) а - 2 ,
6-4,
а - 6 0 ';
5) а = б,
6 - 8,
а - 30\
10. Даны три стороны треугольника. Найти его
углы, если:
1) а - 2 ,
6-3,
с - 4;
2) а - 7,
6 - 2,
с - 8;
3) а - 4 .
6-5,
с - 7;
4) а - 15, 6 - 2 4 ,
с = 18;
с - 39;
5) а - 23, 6 - 1 7 ,
с -38.
6 ) а - 5 5 , 6 - 21 ,
11.‘ Найти боковую высоту равнобедренного тре­
угольника ABC, если высота, проведенная из вер­
шины т р е у г о л ь н и к а на основание, равна
А - 4,08 м и угол при вершине В —44’20'.
165
12 . в равнобедренном треугольнике боковая сто­
рона равна 12,25 дм; угол при вершине равен
50*20'. Найти периметр треугольника.
13^ Высота треугольника ABC, равная 5,04 дм, де­
лит угол В на два угла а и р. Определить осно­
вание треугольника АС и вычислить его, если
а : Р “ 5 : 3 и Z B - 6 5 ’ 12'.
14. Найти периметр прямоугольника, если его диа­
гональ равна 23,28 дм и образует с основанием
угол в 20*14'.
15. В равнобедренном треугольнике основание рав­
но 20 см, угол при вершине 66*. Определить про­
екцию высоты на боковую сторону.
16. Определить основание треугольника, если боко­
вая сторона, лежащая против меньшего угла, рав­
на 20 см, углы при основании равны 30* и 45*20'.
17.'^1айти периметр равнобедренного треугольника,
/если угол при основании равен а - 70*12' и ра­
диус круга, вписанного в треугольник, равен
5,75 см.
18уСилы Р = 5Я и Q = 7Н действуют на точку. Рав­
нодействующая их равна 11 Я . Определить угол
между силами.
19. Для определения расстояния между недоступ­
ными пунктами М и iV измерили базис CD, не
проходящий через М и N и равный 2 км. Углы :
M C D - 86*40', N C Z > - 52*40', M D C - 42*.
81*15'. Определить M N .
20уОснование прямоугольника равно 50,1 м. Диа­
гональ образует с основанием угол 18*35'. Най­
ти периметр прямоугольника.
21..Стороны параллелограмма равны 4 дм и 5 дм.
/ Острый угол равен 52*30'. Определить его диа­
гонали.
22. Верхнее основание трапеции равно Ь, нижнее ос­
нование а, одна из боковых сторон с, угол между
166
о и с равен а. Определить четвертую сторону и
угол при основании трапеции. Вычислить при
а “ 10,24 см; & « 5 , 7 с м ; с - 1 2 см; ог= 36*27'.
23. Точки А п В находятся по одну сторону реки, а
точка С по другую. Определить ширину реки,
если АВ = 200 м; Z.CAB - 5410', ZCBA - 70*8'.
24. Из точки А, лежащей на одной горизонтальной
плоскости с основанием башни, видна вершина
башни под углом в 40’10', а приблизившись к
основанию башни на 100 м, видим вершину баш­
ни под углом 74’15'. Определить высоту башни.
§ 9.3. Теоремы Стюарта, Менелам и Чевы
Задача /.Доказать, что сумма квадратов четырех
сторон любого выпуклого четырехугольника равна сум­
ме квадратов его диагоналей, сложенной с учетверен­
ным квадратом отрезка, соединяющего середины ди­
агоналей.
Д а н о : ABCD — четырех­
угольник; АС и BD — диагона­
ли; AF - FC; BE - ED (рис. 130).
Д о к а з а т ь : АВ* + ВС^ +
+ CD* + AZ)2 - AC* +BD* + 4£F*.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Обо­
значим стороны четыреху130
гольника через а, Ь, с, d. Пусть
АВ а ; В С ^ Ь, DC - с и AD - d; а диагонали четырех­
угольника BD *= /; АС “ f. Соединим точки F с точ­
ками В и D.
Из треугольника DBF по теореме Стюарта име­
ем: B F ^ D E + D F ^ - B E - B D - D E B E ^ E F - BD,
T. e. В Я • I ■»- D f * • ^
^ • I -
BF^ +D F^^ 2E F^ + j .
» • Z, и тогда
( 1)
Из треугольника ABC no теореме Стюарта имеем:
АВ* • FC + ВС* •A F - A C ' A F ’ F C ^ B F ^ A C , т. e.
167
.L+
.L -f .L .
f, и тогда
а * + Ь * - 2В Я + /1 .
(2 )
2
И, наконец, из треугольника ADC по теореме
Стюарта имеем:
D C -' AF + AD^-’ FC - АС ' AF ‘ FC ~ DF'- ‘ АС, т. е.
с2 >L + d - ' ^ - f ' ^
. I - ij/r 2 .д и тогда
c * + d * - 2DF 2+ t .
(3)
2
Сложив равенства (2) и (3), находим: а^-»- Ь*+ с* +
+
2BF^+ ! L + 2DF^+
откуда 2В Я + 2DF* =
•-a^^b^+c^+d^-f^. Тогда BF^+DF^~ | (a*+
+
-* d'^-p). Подставим это значение в равенство (1) и
получим: I (а * + ft*-f с* + d * - f * )
* 2 £ F * + i^=^
a =+ b'-+ c=+
-r* - 4EF*+
=>a*+ ft* + c » + d* 4EF^+
f\ тогда
B C *+ C Z )* + A D * ~4EF^ + AC^+ BD\
Что и требовалось доказать.
Задача 2. Прямые, соединяющие вершины тре­
угольника с точками касания вписанного круга, пе­
ресекаются в одной точке. Доказать.
Д а н о : ДАВС; О — вписан­
ный круг; С,, В, и А, — точки
касания (рис. 131).
Д о к а з а т ь : СС^; ВВ, и АА,
пересекаются в одной точке К.
Д о к а з а т е л ь с т в о . По
свойству касательных, прове­
денных из одной точки к ок­
ружности, имеем: AB^^ С^А;
С А ,= В,С; ВС, = А,В.
Перемножив три эти равенА В С А , - ВС,
Рис. 131
168
ства, получим: с,А В,С -А,В “ 1*
По теореме, обратной теореме Чевы, из этого ус­
ловия следует, что прямые ЛЛ,, ВВ, и СС, пересека­
ются в одной точке, что и требовалось доказать.
Задача 3. В треугольнике известны две сторо­
ны длиной 3 см и 7 см и угол между ними, равный
120’. Найти биссектрису этого угла.
Д ано: ЛЛВС;
АВ - 3 см; В С ’^ 1 см;
Z A = 120', AD — бис­
сектриса (рис.132).
Н а й т и AD.
Р е ш е н и е . По те­
ореме косинусов из треугольника ABC находим сто­
рону ВС:
ВС* - АВ*
АС* - 2АВ •АС • cos 120';
В С * -3 * + 7 * - 2 3 -7 (4 ) - В С * - 9 -I- 49 + 21:
ВС По следствию из теоремы Стюарта имеем:
^АВ АС {АВ + АС + ВС)-(АВ + А С - ВС)
, и тогда
АВ + А С
AD
^3-7-(з + 7 + 7та)-(з + 7-^79)
j21-(lO + Vre)-(lO-V79)
3+7
10
AD>
10* - 79
10
Ответ:
2,1 см.
Задачи для самостоятельного решения
1. В равнобедренном треугольнике с боковой сто­
роной, равной 4 см, проведена медиана боковой
стороны. Найти основание треугольника, если
медиана равна 3 см.
2. Основание равнобедренного треугольника равно
4 >/2 см, а медиана боковой стороны 5 см. Найти
боковые стороны.
169
3. Найти биссектрисы острых углов прямоуголь­
ного треугольника с катетами 24 см и 18 см.
4. Дан треугольник ABC такой, что АВ — 15 см,
ВС * 1 2 см и А С - 1 8 см. Вычислить, в каком
отношении центр вписанной окружности тре­
угольника делит биссектрису угла С?
5. В прямоугольном треугольнике медианы кате­
тов равны >/Й и
угольника.
. Найти гипотенузу тре­
6 . В равнобедренном треугольнике угол при осно­
вании равен 72‘ , а биссектриса этого угла равна
т. Найти стороны треугольника.
7. В равнобедренном треугольнике угол при вер­
шине равен 36*, в биссектриса угла при основа­
нии равна ^/20 . Найти стороны треугольника.
8 . Медианы треугольника равны 5; Vs2 и л/тЗ . По­
казать, что треугольник прямоугольный.
9. В треугольнике ABC проведены медианы AZ и
В М , пересекающиеся в точке К. Вершина С л е ­
жит на окружности, проходящей через точки К,
Z, М . Сторона АВ равна а. Найти медиану СМ.
10. Найти биссектрису прямого угла треугольни­
ка, катеты которого равны а и Ь.
11. Числа ш,, т^,
— длины медиан некоторого
треугольника. Доказать, что если т^ + т~ ~ 5т ] ,
то треугольник является прямоугольным.
12. Если прямая B D ^ d делит сторону АС на от­
резки AD — m и DC — п, то имеет место равен­
ство
Ь т
+
п - Ьтп (теорема Стюарта),
где АВ - с; ВС - а; АС =» Ь. Доказать.
13. ЕЗсли точки С, А', В' расположены соответственно
на сторонах АВ, ВС и АС треугольника ABC или
на их продолжениях так, что
АВ'
СА'
ВС
то прямые АА'; ВВ' и С С пересекаются в одной
точке. Доказать.
170
Г л а в а 10
ПРАВИЛЬНЫЕ
МИОГОУГОЛЬИИ к и
Для решения задач этой главы следует повто­
рить теорию и ответить на следующие вопросы:
1. Как определяются правильные м ногоуголь­
ники?
2. Каким способом можно построить правиль­
ные многоугольники, вписанные в окружность или
описанные около нее?
3. Определить центр, апофему, центральный угол
и радиус правильного многоугольника.
4. Как находятся оси симметрии правильного
многоугольника и его центр?
5. Чему равна величина центрального, внутрен­
него или внешнего угла правильного п-угольника?
6 . Сформулировать теорему о подобии правиль­
ных одноименных многоугольников.
7. По каким формулам вычисляется сторона
правильного л-угольника через радиус вписанного
или описанного круга?
8 . Как сторона правильного треугольника выра­
жается через радиусы вписанного или описанного
круга?
9. Как сторона квадрата выражается через ра­
диусы вписанного или описанного круга?
10. Как через радиусы вписанного или описан­
ного кругов выражается сторона правильного шес­
тиугольника?
Если вы смогли ответить на все вопросы, то, ра­
зобрав решения всех задач, приведенных в каждом
параграфе этой главы, приступайте к самостоятель­
ному решению задач.
171
§ 1 0 .1 . Общие понятия о правильных
многоугольниках
:i <11 чи I . Определить внутренний, внешний и цен­
тральный угол правильного шестнадцатиугольника.
Д а н о : правильный шестнадцатиугольник; АВ ” а,^; О —
центр многоугольника (рис. 133).
О п р е д е л и т ь : / .А О В ;
/ЛВС; П Л К .
Р е ш е н и е . Центральный
угол АОВ правильного шестнад­
цатиугольника находится по
{]юрмуле ——
П , где п
16.
Итак, ZAOB =
= 22’30’. Внутренний угол
правильного л-угольника вычисляется по формуле:
180°(л-2)
п
J
и при п
лАВС =
^
16 имеем:
= 315- ^ 157"30' .
10
Внешний угол д;шного шестнадцатиугольника мож­
но найти либо как смежнь1й к внутреннему углу LAB,
равному ЛВС, и тогда ZLAK - 180’ 157" 30' = 22" 30',
либо, исходя из того, что сумма внешних углов любого
выпуклого л-угольника, взятых по одному при каж­
дой его вершине, равна 360’, а тогда каждый из этих
внешних углов равен 360° ; при л = 16 величина внешнего \тла ZLAK
360°
16
22 30'. Известно также, что
в правильных многоугольниках центральный угол ра­
вен его внешнему углу.
О т в е т : 22*30’; 157*30’; 22’ 30’.
172
Задача 2. В правильный треугольник вписан пра­
вильный четырехугольник со стороной, равной т.
Найти сторону треугольника.
Д а н о : \ А В С — правиль­
ный; M NPQ — правильны й
четырехугольник, вписанный в
SABC', MN = m (рис. 134).
Н а й т и : АС.
Р е ш е н и е . Т реугольник
ABC — правильный, а потому
АВ ~ ВС = АС и Z A ^ ZB ZC =
= 6 0 '.
Ч еты рехугольни к
MNPQ, как правильный, явля­
ется квадратом, и тогда M N NP
все его углы равны по 90‘.
Рассмотрим прямоугольный треугольник A M N .
В нем ZA “ 60‘; Z A M N = 90* и тогда Z A N M =• 90*- 60* = 30*, а потому катет этого прямоугольного
треугольника, лежащий против угла в 30*, равен по­
ловине гипотенузы AN.
Из прямоугольного треугольника A N M находим
гипотенузу A N по известному катету N M » m и ост­
рому углу А - 60':
AN
NM
sin 60'
2
Итак, AN “ ^
^
“ AM* ^ m iAPQC^AANM
как прямоугольные треугольники, имеющие равные
катеты M N - PQ и равные острые углы ZA —ZC —60*.
Из равенства этих треугольников следует, что
Го
A M =’ QC=* ^ т . Сторона правильного треугольника:
AC’^AM + MQ + QC~2AM + M Q ~ ^ m + m i= ^{ 2 j 3 +3.
гл.
Ответ:
'2 V3 + 3 ) .
173
З а д а ч а 3. Доказать, что взятые через одну вер­
шины правильного 2 п-угольника являются верши­
нами правильного л угольника.
Д а н о : ABCDEFLMNPQ —
правильный 2 п-угольнпк;
B DFKNQ — л-угольник
(рис. 135).
Д о к а з а т ь : BDFKNQ —
правильный.
Доказательство.
Рассмотрим треугольники
QAB; BCD; DEF; FLK;
K M N ; QPN. В этих т р е ­
у го л ь н и к а х
ZA = ZC “
= Z E ^ ZL - Z M - ZP как
углы правильного 2 п-угольника. Q A ’^ A B ^ B C * CD - DE ~ EF ^
QA как стороны правильно­
го 2п-угольника. Значит, все эти равнобедренные тре
угольники равны (по первому признаку равенства)
а из их равенства следует, что QB * BD « DF = FK —K N —NQ, и углы при основаниях этих равных тре
угольников также равны Z1 — Z2 — Z3 »
- Z12
Тогда в многоугольнике BDFKNQ равны все сторо
ны и углы: Z a « z p - Zy - Z X - Ze * Zjx, так как каж
дый из них равен углам правильного 2 л-угольни
ка: ZB; ZD; ZF; ZK; ZN; ZQ без двух равных
между собой углов Z1 - Z2 - Z3 - . . . « Z12, т. е
Z a - ZABC - Z12 - Z3; ZP - ZCDE - Z4 - Z5 и т. д
Zц “ ZPQA - Z12 - Z l. Значит, полученный л-уголь
ник с равными сторонами и углами, является пра
вильным, что и требовалось доказать.
Задачи для самостоятельного реш ения
1. 1) Вычислить центральный угол правильного 24угольника;
2) Какой правильный многоугольник имеет цен­
тральный угол, равный 30*12'?
174
2. Центральный угол правильного многоугольни­
ка и угол при вершине в сумме составляют
180‘. Доказать.
3. Определить величину угла правильного «-уголь­
ника (п = 3; 4; 5; 6 ; 8 ; 10; 12; 25).
4. 1) Сколько сторон имеет правильный много­
угольник, каждый из внутренних углов которо­
го равен 135’; 150'?
2) Сколько сторон имеет правильный много­
угольник, каждый из внешних углов которого
равен 36‘; 24’?
5. Конец валика диаметром в 4 см опилен под квад­
рат. Определить наибольший размер, который мо­
жет иметь сторона квадрата.
6 . Конец винта газовой задвижки имеет правиль­
ную трехгранную форму. Какой наибольший
размер может иметь каждая грань, если цилин­
дрическая часть винта имеет диаметр в 2 см?
7. Доказать, что середины сторон правильного пугольника являются вершинами другого пра­
вильного а-угольника.
8 . Доказать, что центр окружности, описанной око­
ло правильного многоугольника с четным чис­
лом сторон, является его центром симметрии.
9. 1) Середины сторон правильного многоуголь­
ника являются вершинами правильного мно­
гоугольника с тем же числом сторон. Д ока­
зать для случая правильного пятиугольника;
2) В правильном п-угольнике точки, делящие
каждую его сторону в одном и том же отноше­
нии (при обходе контура в одном направлении),
являются вершинами правильного многоуголь­
ника с тем же числом сторон. Доказать для
случая правильного шестиугольника.
10. Если все стороны многоугольника, вписанного
в некоторую окружность, касаются другой ок­
ружности, концентрической с первой, то этот
многоугольник — правильный. Доказать.
175
Рис. 136
Рис. 137
11. 1) В окружность вписан многоугольник, все сто­
роны которого равны. Равны ли углы много­
угольника?
2) В окружность вписан многоугольник, у ко­
торого все углы равны. Равны ли его стороны?
12. 1) Найти угол между двумя несмежными сто­
ронами правильного шестиугольника (рис. 136).
2) Для проверки правильности опиловки гра­
ней прутка, имеющего в сечении форму пра­
вильного восьмиугольника, проверили углы
между его гранями, как это указано на рисунке
137. Чему должны быть равны эти углы?
§ 10.2. Выражение сторон правильных
л-угольннков через радиусы
пписанного или описанного круга
:i(!ci(i4a I. Каждая сторона правильного треуголь­
ника разделена на три равные части, и соответствен­
но точки деления, считая в одном направлении, со­
единены между собой. В полученный правильный
треугольник вписана окружность радиуса г = 6 см.
Определить стороны треугольников.
Д а н о :\АВС — правиль­
ный; AD = DM
АВ;
BE = EN= N C = l ВС; CF = F P ^
= ЯА = I AC; ^DEF и AMiVP правильные; OK = r = 6 см. О —
Рис. 138
176
вписанный в ^ E F круг (рис. 138).
Н а й т и : АВ и DE.
Р е ш е н и е . Сторона DE правильного треуголь­
ника DEF выражается через радиус г вписанного в
него круга по формуле: DE
=
2г>/з
=
2- 6>/з “ 12-Уз.
Итак, DE * 12 ^3 . Пусть сторона ААВС равна д:, т. е.
АВ = В С ~ А С
X. По условию задачи D B ^ - х , а
В £ = |х .
Из ADBE с углом В = 60* (как угол правильного
треугольника) по теореме косинусов имеем:
DE^ = DB^ + ВЕ^ - 2DB • BE • cos 60*;
( 1 2 > /3 ) * = ( |x ) * + ( J jr ) 2 - 2 - |дг*
144-3- у
х*= 144 - 9
-I ;
2
144- 3:
»
»
л
X = 12 - 3 = 36, т. е. А В 36 (см).
О т в е т : 1 2 >/Зсм и 36см.
Задачи 2. Общая хорда двух окружностей служит
для одной из них стороной вписанного квадрата, а для
другой — стороной правильного вписанного шести­
угольника. Найти расстояние между центрами этих
окружностей, если радиус меньшей из них равен г.
1-й случай. Центры двух окружностей лежат по
разные сторюны от общей хорды.
Д а н о : О и Oj — круги; АВ — общая хорда; А В —
сторона квадрата ABCZ); АВ
— сторона правильного ше­
стиугольника A B E F K M ',
О А - г (рис. 139).
Н а й т и : 0 0 ,.
Р е ш е н и е . Расстояние
между центрами ок руж ­
н остей в этом с л у ч ае
0 0 , = 0 N + N 0 ,. Н айдем
отрезки ON и N 0 ,. Так как
12 — К. X. Абдуллаев н др.
177
АВ — сторона квадрата, вписанного в окружность
радиуса г, следует
АВ = гл12.
(1)
Прямоугольный треугольник ОАВ (ZO A B=^^ * 90*)
является равнобедренным (ОА —ОВ - г), и тогда его
высота ON является и медианой, а гЮАВ —Z.OBA * 45“.
Значит, A N * NB -
А
. Треугольник OAiV также яв-
ляется прямоугольным и равнобедренным (один из
его острых углов равен 45'), а потому
2
Пусть радиус большей окружности равен Д, тогда
( 2)
(сторона правильного шестиугольника равна ради­
усу описанного круга). В равностороннем треуголь­
нике АВО^ (АВ - АО, —ВО, = Д) высота 0,iV явля­
ется одновременно и медианой. Тогда A N —у и из
прямоугольного треугольника ANO^ по теореме Пи­
фагора: ЛГО,*” ЛО,*-АЛГ^.
N0= ^
. Итак,из
(1 ) и (2 ) следует, что r j i - Д, а тогда ^ О ,-
.
Следовательно, 0 0 , - ON
iVO,- ^
^
=[ V2 + V6 j .
2-й случай . Центры двух окружностей лежат
М
по одну сторону от общей хорды
(рис. 140).
Р е ш е н и е . В этом случае:
0 0 ,“ Л^О,- 07V, а так как длины
отрезков N 0, и ON не изменились
от расположения окружностей,
T o O O , - ^ - l f = i(7 i-V 5 ).
Рис. 140
178
О т в е т : ^(>/2+7б) или § ( ^ 6 - ^ 2 ) .
Задача 3. В сегмент с дугой
120' и высотой Л вписан прямо­
угольник, у которого основание в
4 раза больше высоты. Опреде­
лить высоту прямоугольника.
Д а н о : О — круг; сегмент
АСВ; иАСВ - 120'; ОС — радиус
круга, СЕ = h — высота сегмента,
MNPQ — прямоугольник, впи­
санный в сегмент; NP = 4M N
(рис. 141).
Н а й т и : MN.
Р е ш е н и е . По условию задачи иАСВ = 120", тог­
да центральный угол ЛОВ = 120' (он измеряется ду­
гой, на которую опирается), а хорда АВ является
стороной правильного вписанного в окружность
'' 360°
=3
треугольника
120
Диаметр CD, перпендикулярный хордам АВ и NP,
делит их пополам, т. е. А Е •= BE и NF *= FP.
В равнобедренном треугольнике ЛОВ: ZAOB = 120’,
а тогда ZEOB * ^ *120* = 60*.
В прямоугольном треугольнике ЕОВ:
ZOBE = 90’- 60*“ 30’ и катет, лежащий против этого
угла, равен половине гипотенузы; ЕО *
где R — радиус круга; СО * Д
ОВ ^ ^ R ,
СЕ + E O ^ h + ^ R = >
I * Л = > Д - 2 Л.
Пусть M N = X, тогда NP = 4х, а NF = F P - 2х. По
свойству диаметра и хорды, проведенных через одну
точку внутри к руга, имеем: NF ' FP CF • FD;
2x-2x~‘ ( C E - F E ) '{ C D - C F ) ; 4 x ^ ^ i h - x ) - (4h - (Л - х));
4x‘^‘ {h-x)'{3h + x);4x‘ = 3 h ? - 2 h x - x ‘; 53^^+2 lix -3 ff ~ 0;
179
»
- л+
+ 15Л* .
5
’
‘
_ -h +ih _ м .
5
■ 5 ’
— постороннее решение. Итак, M N
Ответ:
Э
h - 4h
5
V
2
_
*\h
.
Задачи для самостоятельного решения
Обозначен и я :
п — число сторон правильного многоугольника;
— сторона правильного вписанного многоугольника;
— сторона правильного описанного многоугольника;
k^— апо<|)ема правильного вписанного многоуголь­
ника;
R — радиус описанной окружности;
г — радиус вписанной окружности.
1. 1) В правильном треугольнике апофема равна
высоты и ^ радиуса описанного круга. Доказать.
2) Разность между радиусами окружностей,
описанной около правильного треугольника и
вписанной в него, равна т. Определить сторо­
ну треугольника.
2. В окружность радиуса Д - 4 см вписан правиль­
ный шестиугольник. Найти проекции его сто­
рон на каждую диагональ.
3. Доказать, что:
1)
; 2)
^2 + >/3 .
4. По данному а определить: 1) ку 2)
3) к^.
5. По данному радиусу круга R и данной стороне
правильного вписанного п-угольника определить
сторону
правильного описанного п-угольника.
6 . Определить длину диагоналей правильного вось­
миугольника:
1) по данному радиусу R-,
2 ) по данной стороне а.
180
7. Определить длину диагоналей правильного две­
надцатиугольника:
1 ) по данному радиусу Д;
2 ) по данной стороне а.
8 . В окружность вписан и около нее описан пра­
вильные П'угольники. Найти отношение сторон
этих л-угольников (л —3; п “ 6 ).
9. 1) В правильном восьмиугольнике со стороной
а соединены середины четырех сторон, взятых
через одну так, что получился квадрат. Опреде­
лить сторону квадрата.
2) В правильном двенадцатиугольнике со сто­
роной а соединены середины шести сторон, взя­
тых через одну так, что получился правиль­
ный шестиугольник. Определить его сторону.
10. Путем срезывания углов превратить данный пра­
вильный треугольник со стороной а в правиль­
ный шестиугольник и определить его сторону.
11. Сторона правильного вписанного в окружность
треугольника равна Ь. Найти радиус круга и сто­
рону вписанного в окружность квадрата.
12. В окружность, радиус которой равен 4 дм, впи­
сан правильный треугольник, на стороне кото­
рого построен квадрат. Определить радиус ок­
ружности, описанной около квадрата.
13. 1) В окружность радиуса R вписан правильный
треугольник, в который вписан круг, а в этот
круг вписан квадрат. Определить сторону это­
го квадрата.
2) Около правильного треугольника со стороной
а описана окружность; около этой окружности
описан квадрат, а около него — окружность. Оп­
ределить радиус окружности, описанной около
квадрата.
14. 1) Общая хорда двух пересекающихся окруж ­
ностей равна а и служит для одной окружности
стороной правильного вписанного треугольни­
181
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
182
ка, а для другой — стороной вписанного квад­
рата. Определить расстояние между центрами
окружностей.
2) Центры двух пересекающихся окружностей
лежат по одну сторону от их общей хорды, имею­
щей длину а и стягивающей в одной окружнос­
ти дугу в 60', а в другой — 30'. Определить
расстояние между центрами.
ABC — вписанный в окружность правильный
треугольник; AD — треть стороны АВ; BE —
треть стороны ВС. Доказать, что отрезок DE ра­
вен радиусу.
Каждая сторона правильного треугольника, рав­
ная а, разделена на три равные части, и соот­
ветственные точки деления (считая в одном на­
правлении) соединены между собой, отчего по­
лучился новый треугольник. Определить радиус
вписанного в него круга.
1) Доказать, что диагонали правильного пяти­
угольника в свою очередь образуют правильный
пятиугольник.
2) Доказать, что если стороны правильного п я ­
тиугольника продолжить до взаимного пересе­
чения, то получаетдя Звездчатый пятиугольник
с равными сторонами (пентаграмма).
По данному радиусу R определить хорду дуги,
которая содержит: 1) 135’; 2) 150*.
Определить отношение между сторонами тре­
угольника, если его углы относятся как 1 : 2 : 3 .
Середина полуокружности соединена с концами
диаметра, и через середины соединяющих отрез­
ков проведена хорда. Каждый из боковых отрез­
ков хорды равен с. Определить радиус круга.
п равных кругов, касающихся между собой, к а­
саются данного круга, радиус которого равен
R. Определить радиус этих кругов, если п —
число этих кругов — равно; 1) 3; 2) 4; 3) 6 .
22. Найти диаметры окружностей, описанной око­
ло правильного треугольника и вписанной в
него, если разность этих диаметров равна 8 см.
23. Найти радиусы окружностей, описанной около
правильного шестиугольника и вписанной в него,
если разность этих радиусов равна 6 см.
24. Около некоторой окружности описан и в нее
вписан правильные а-угольники. Определить
радиус окружности, если разность сторон пугольников равна т.
25. Вокруг квадрата со стороной а описана окруж­
ность, а около окружности описан правильный
треугольник. Определить сторону треугольника.
26. Найти отношение апофемы к радиусу правиль­
ного п-угольника, если:
1) П“ 3;
2) п ” 4; 3) п —6 .
27. Сторона правильного многоугольника равна а, а
радиус описанной окружности R. Найти радиус
вписанной окружности.
28. Сторона правильного многоугольника равна а, а
радиус вписанной окружности г. Найти радиус
описанной окружности.
29. Выразить сторону Ь правильного описанного
многоугольника через радиус R окружности и
сторону а правильного вписанного многоуголь­
ника с тем же числом сторон.
30. Выразить сторону а правильного вписанного
многоугольника через радиус R окружности и
сторону Ь правильного описанного многоуголь­
ника с тем же числом сторон.
31. Периметры двух правильных п-угольников от­
носятся как а : Ь. Как относятся радиусы их впи­
санных и описанных окружностей?
32. Общая хорда двух пересекающихся окружнос­
тей видна из их центров под углами 90' и 60*.
Найти радиусы окружносте!^ если расстояние
между их центрами равно v3 1 .
183
1л а в а
1 1 _________________________
П Л О Щ А Д И плоских
Ф И Г У Р ____________________
Перед тем как приступать к решению задач на
вычисление площадей, проверьте себя в знании те­
ории. ответив на следующие вопросы:
1. Какие соотношения существуют между площа­
дями и числами, их измеряющими?
2. Какие фигуры называются равновеликими?
3. Назвать единицы измерения площадей.
4. Как вычисляется площадь прямоугольника и
зависит ли она от единиц измерения его сторон?
5. По какой формуле вычисляется площадь квад­
рата?
6 . По каким формулам вычисляется площадь па­
раллелограмма?
7. Какие формулы существуют для вычисления
площади треугольника:
а) через длину его основания и высоту;
б) через длины трех его сторон (формула Герона);
в) через длины двух сторон и угла между ними;
г) через длину одной стороны и дпух углов, при­
лежащих к ней;
д) через радиусы вписанной в треугольник или
описанной около него окружности?
8 . Как вычисляется площадь равностороннего
треугольника?
9. Как вычисляется площадь прямоугольного
треугольника?
10. Как относятся площади двух треугольников?
11. По каким формулам вычисляется площадь
ромба?
12. Как вычисляется площадь трапеции?
13. Как вычислить площадь описанного много­
угольника?
184
14. Каким образом вычислить площадь произ­
вольного четырехугольника, зная его диагонали и
угол между ними?
15. По каким формулам вычисляется площадь
правильного л-угольника?
16. Как относятся площади подобных треуголь­
ников или многоугольников?
§ 11.1. Площади квадрата, прямоугольника,
параллелограмма и ромба
Задача 1. Найти площадь квадрата, вписанного
в правильный треугольник со стороной а.
Д а н о : AAJBC — правиль­
ный, АС * а, MNPQ — вписан­
ный квадрат (рис. 142).
Определить:
Р е ш е н и е . По лемме о по­
добии треугольников:
ANBP WААВС, так как NP | АС.
Но высоты в подобных тре­
у го л ь н и к ах о тн о сятся к ак
NP
RK
сходственные стороны, и потому:
“ BL ’
~
высота t^ABC. Из прямоугольного треугольника ABL,
где ZA *= 60*, находим BL » АВ • sin Z A - а • sin 60* —
В К BL - K L B L - NP {KL - M N ~ N P ) . Итак,
дУз - N P
iV? - N P
NP__2
NP _= 2
а
Ik
2
a, тогда NP
185
Итак.
- З аЧ 4 - 4 -Уз + 3) - За* (7 - 4 V3 ).
Ответ:
* ЗаЧ 7 - 4 -\/3 ) кв. ед.
Задача 2. Площадь прямоугольника равна 9 см*,
а величина одного из углов образованного диагона­
лями, равна 120'. Найти стороны прямоугольника
Д а н о ’. А В С В — п р я м о ­
В
угольник; 5^дрд=9см*; АС и
BD — диагонали; IA OD =• 120*
(рис. 143).
Н а й т и : АВиАО.
Р е ш е н и е . Из точки О опус­
тим перпендикуляр ОЕ на AD.
Так как диагонали прямоугольРис. 143
ника равны между собой и в точ­
ке пересечения делятся пополам, то АО - ОС = ВО —OD,
тогда SAOD — равнобедренный и его высота при вер­
шине одновременно является медианой и биссект­
рисой. Итак, А£ -
AZ) к L A O E ^ ^ = m ° .
В прямоугольном треугольнике АОЕ: LAOE —60",
тогда LOAE * ЗО'и катет, лежащий против угла в
30*, равен половине гипотенузы. Пусть ОЕ - jc, тогда
АО —2х и по теореме Пифагора из треугольника
АОЕ: А Е = ^{ A O f - [OEf = ^ { 2 x f -
^
= л:^3.
Итак, АЕ = xVa , а тогда AD » 2х4ъ .
Точка О пересечения диагоналей является цент­
ром симметрии, и потому 0 £ — \ e F, а так как
O E L A D и A B L A D , то АВ « 2 0 Е ~ 2х.
S,A^^^~AB
A D = 9 = > 2 x • 2x-s/3 - 9 =»
BCD
9
з-Уз . Отсюда X . J E . V27
186
Тогда ЛВ = 2х =
и AD = 2хл/з -
V27
= t/ 3 ® 3 ' = 3t/3.
Ответ:
см и 3 ^ 3 см.
Задача 3. В параллелограмме острый угол ра­
вен а и расстояние от точки пересечения диагона­
лей до неравных его сторон равны т м п. Опреде­
лить диагонали и площадь параллелограмма.
Д а н о : ABCD — парал­
В
лелограмм; АС и BD — диа­
гонали; ZBAD = а; ON 1AD;
ОМ L A B ; O N ^ n ; ОМ ^ т
(рис. 144).
Н а й т и : АС; BD и
.
Р е ш е н и е . Точка О пеРис. 144
ресечения диагоналеи явля­
ется центром симметрии, и потому ON = OZ = п. Тог­
да высота параллелограмма ВК = ZN = 2п (постоль­
ку BZNK — прямоугольник, а его противополож­
ные стороны ВК = ZN) .
Из прямоугольного треугольника АВК:
ВК ^
sin а
2п
sin а "
Аналогично: ОМ “ ОН = т , и тогда М Н = 2т, но
М Н * DE = 2 т , где DE — высота параллелограмма
ABCD ( D E 1 A B ) .
Из прямоугольного треугольника ADE:
AD
DE
sin а
S ^ j, ^ A B - A D - ^ n a ,T .e .
2т
sin а
2п
2т
sin а
sin n
■ апа =
4mn
sin a
Диагонали параллелограмма находим по теореме
косинусов.
Из треугольника ABD:
BD^ - ЛВ* + АХ)2 - 2АВ ■AD • cos а .
187
An
. г
sin u
Итак, BD^
4/n^ - 2
. 2
S in a
=—
sin " a
2n
2m
sin a
sin a
COSa =
- 2 /2mcosaj,
'
'
и тогда
BD=
- 2nmcosa .
sum
Из треугольника ABC no теореме косинусов:
AC^^AB^-¥ BC^- 2AB • BCcos • (180’ - «) =
= AB-+ BC-+ 2AB B C c o s a .
Cos (180 - a) = - cos a
AC-
4n
. 2
s i n (X
4m '
+
2
no формуле приведения.
-
s in 'a
2n
2m
sin a
sin u
COSa.
И тогда
AC =
+ 2 n m co sa .
sm a
^
4m П
О т в е т ; sin
. —
a ;
—-
sin a
- 2nni cos a ;
+ 2nm cos a ,
s i n (X
4«
/ Периметр ромба равен 2p, a сумма его
диагоналей равна т. Найти площадь ромба.
Д а н о : ABCD — ромб; Р^д^„-2р; АС и BD —
диагонали; АС + BD = т (рис. 145).
Н а й т и : S лнси'
,
Решение.
В
Площадь ромба Sлжи
\ acbd .
ААВ = 2р, значит,
А BC D
АВ = . Диагонали ромба
взаимно перпендикулярны
и в точке пересечения де­
лятся пополам.
Итак, АО = ^ АС;
ВО - J BD.
188
Из прямоугольного треугольника АВО по теоре­
ме Пифагора:
АО^+ ВО-’- А В ^ т. е.
-А С
-B D
, тогда 4
4 t S D4 ' = 4 -У2
ч2 .
Отсюда А(У + BD^ По условию задачи АС + BD * т.
2 . от^2
Итак, АС^ + BD^ =
( 1)
АС + BD = т.
Обе части второго уравнения системы (1) возведем
в квадрат и вычтем из него первое уравнение, т. е.
АС^ + 2АС ■BD + BD^ =
АС^ + BD^ = р \
Тогда 2АС • BD = т* - р^.
Следовательно,
Ответ:
^AC B D - \(т ^-р^).
^ ( т * - р * ) кв. ед.
Задачи для самостоятельного реш ения
1. 1) Определить площадь квадрата по его диаго­
нали I.
2) Определить площадь квадрата, вписанного в
круг радиуса R.
3) Во сколько раз площадь описанного квадра­
та больше площади вписанного (в тот же круг)?
2. 1) Определить стороны прямоугольника, если они
относятся как 4 : 9 , а площадь равна 144 м*.
2) Определить стороны прямоугольника, если
его периметр равен 74 дм, а площадь 3 м^.
3. Вычислить площадь поперечного сечения рав­
нобокого углового железа (рис. 146).
4. Вычислить площадь поперечного сечения трубы
(рис. 147).
189
Рис. 147
5. Диагональ прямоугольника равна 305 см, а пло­
щадь равна 37 128 см*. Определить периметр
этого прямоугольника.
6 . Площадь параллелограмма содержит 480 см^;
его периметр равен 11 2 см; расстояние между
большими сторонами равно 12 см. Определить
расстояние между меньшими сторонами.
7. Определить площадь параллелограмма по двум
сторонам и углу между ними:
1) а, Ь, 30‘;
2) а, Ь, 45‘;
3) а, Ь, 60\
8 . Параллелограмм и прямоугольник имеют оди­
наковые стороны. Найти острый угол паралле­
лограмма, если площадь его равна половине пло­
щади прямоугольника.
9. Определить площадь ромба, если его высота рав­
на 12 см, а меньшая диагональ 13 см.
10. В параллелограмме ABCD сторона АВ = 37 см,
а перпендикуляр, проведенный из точки пере­
сечения диагоналей на сторону AD, делит ее на
отрезки: АЕ - 26 см и ED = 14 см. Определить
площадь параллелограмма.
11. 1) В параллелограмме ABCD прюведена диагональ
АС, и на ней взята произвольн£1Я точка М, через
которую проведены прямые, параллельные сто­
ронам параллелограмма: £F ||B C и GH \CD
190
12.
13.
14.
15.
16.
(рис. 148). Доказать,
что образовавшиеся
при этом параллелог­
р а ммы D H M F и
EBGM, через которые
диагональ не прохо­
дит, равновелики.
2) П араллелограм м
имеет стороны а = 8 см
и 6 = 4 см. Превратить его в равновеликий ему па­
раллелограмм с таким же углом и с основа­
нием 6 = 6 см.
В данном квадрате каждая вершина соедине­
на с серединой стороны, лежащей между двумя
следующими вершинами (считая вершины в
одинаковом порядке). Соединительные прямые
образуют своим пересечением внутренний квад­
рат. Доказать (вычислением), что его площадь
составляет ^ площади данного квадрата.
В прямоугольный треугольник вписан квадрат
так, что одна из его сторон находится на гипоте­
нузе. Боковые отрезки гипотенузы равны т и
п. Определить площадь этого квадрата.
Из каждой вершины данного квадрата прове­
дена в следующую вершину внутренняя дуга в
1 2 0 ’, и точки пересечения дуг соединены между
собой, отчего получился внутренний квадрат.
Найти отношение площадей квадратов.
Из точки, взятой на гипотенузе, проведены пер­
пендикуляры на оба катета. Определить площадь
прямоугольника, образованного этими перпен­
дикулярами, если отрезки катетов при гипоте­
нузе равны т к п.
В треугольник, у которого основание равно
30 см, а высота 10 см, вписан прямоугольник пло­
щадью 63 см^. Определить стороны этого пря­
моугольника.
191
17. Найти площадь ромба, если его высота 10 см, а
острый угол 30 .
18. Найти стороны ромба, зная, что его диагонали от­
носятся как 1 : 2 , а площадь ромба равна 12 см^.
19. Даны прямоугольник и квадрат. Стороны пря­
моугольника относятся как 2 : 5, а сторона квад­
рата равна их разности. Ек^ли сторону квадрата
увеличить на 1 см, то площадь его окажется на
1 см* больше площ ади прям оугольника. На
сколько периметр прямоугольника больше пе­
риметра данного квадрата?
20. На сколько процентов увеличится площадь квад­
рата со стороной 40 см, если длину его стороны
увеличить на 25% ? Нужно ли при решении это­
го вопроса знлть длину стороны квадрата?
21. Одна сторона прямоугольника больше другой
на 1 см и меньше диагонали на 8 см. Найти
площадь прямоугольника.
22. Одна из диагоналей ромба больше другой в 1 ^
раза, площадь ромба равна 150 см^. Определить
высоту.
23. Площадь прямоугольника равна 48 см*, одна из
его сторон равна 8 см. Прямоугольник разде­
лен прямой, параллельной одмой из его сторон,
на две равные части. Определить периметр но­
вого прямоугольника (два решения).
24. Основание и высота одного из двух прямоуголь­
ников соответственно равны 20 см и 60 см, пло­
щадь второго прямоугольника равна половине
площади первого, и одна из его сторон равна 50 см.
Найти периметр второго прямоугольника.
25. Найти площади фигур, данных на рисунке 149,
разбив их сначала на прямоугольники и прове­
дя необходимые измерения. Все углы на фигу­
рах прямые.
192
Рис. 149
26. В параллелограмме высота, проведенная к од­
ной из сторон, в 3 раза меньше этой стороны.
Площадь параллелограмма равна 48 см^. Най­
ти эту сторону и высоту.
27. 1) Площ адь параллелограм м а равна 24 см*.
Найти расстояние между его сторонами, рав­
ными 6 см.
2) В параллелограмме, площадь которого рав­
на 41 см*, стороны равны 5 см и 10 см. Найти
обе высоты параллелограмма и построить этот
параллелограмм.
D Е
28. В
п а р ал л е л о гр ам м е
ABCD: CF и СЕ — высо­
ты (рис. 150). Доказать,
что AB C F ^ A D CE.
29. Вычислить площадь па­
раллелограмма, стороны
Рис. 150
которого равны 35 см и
42 см, а одна из диагоналей 35 см.
30. В параллелограмме стороны равны 6 см и 4 см.
Одна из высот равна 5 см. Найти другую высо­
ту. Сколько решений имеет задача?
31. В прямоугольнике проведены биссектрисы двух
углов, прилежащих к большей стороне. Опре­
делить, на какие части делится площадь прямо­
угольника этими биссектрисами, если стороны
прямоугольника равны 2 и 4 м.
32. Высота ромба равна 12 см, а одна из его диаго­
налей равна 15 см. Найти площадь ромба.
13 — К. X. Абдуллаев и др.
.
193
33. в ромб с острым углом 30' вписан круг, а в круг
— квадрат. Найти отношение площади ромба
к площади квадрата.
34. Доказать, что в параллелограмме ABCD рассто­
яние от любой точки диагонали АС до прямых
ВС и CD обратно пропорциональны длинам этих
сторон.
35. Сумма длин диагоналей ромба равна т, а его
площадь равна S. Найти сторону ромба.
36. Периметр ромба равен 2 м, длины его диагона­
лей относятся как 3 : 4 . Найти площадь ромба.
§ 1 1 .2 . Площадь треугольника
Задача 1. В прямоугольном треугольнике бис­
сектриса острого угла делит противоположный ка­
тет на отрезки длиной 4 см и 5 см. Определить пло­
щадь треугольника.
Д а н о : ДЛВС — п р я м о ­
угольный; AD — биссектриса;
CD —4 см ;
BD — 5 см
(рис. 151).
Определить:
Р е ш е н и е . По свойству
биссектрисы внутреннего угла
CD
АС
треугольн ика:-— = — , т. е.
BD
^
АВ
ЛС = —А В . По теореме Пифагора из тре­
угольника ABC:
\2
АС^+ ВС^—АВ^, и тогда - А В
А В - ^ А В 2 -8 1 = >
+ 9^~АВ^
A B'^Sl;
Итак, АВ —15, а тогда АС —
9• 25 = > А В -15.
АВ
• 15 - 12.
I АС -ВС = | - 9 1 2 - 9 - 6 - 54 (см*).
О т в е т : 54 см*.
194
Задана 2. Вычислить площадь
равнобедренного треугольника, если
длина его высоты, проведенной к бо­
ковой стороне, равна 12 см, а длина
основания равна 15 см.
Д а н о : ДАБС — равнобедрен­
ный; BD — высота; BD —12 см;
ВС = 15 см (рис. 152) .
Определить:
Р е ш е н и е . Из прямоугольно­ В
го треугольника ВВС по теореме
Пифагора находим DC:
Рис. 152
D C ^ ^ B C ^ - B D * ,т . е. D C=V i52-12* = >/225-144=781 - 9 ;
Z)C *9.
Пусть АВ - АС - X, тогда AD -=АС - DC - jc - 9. Из
прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора имеем: А В - - AD^*^ BD^; х ^ - ( х - 9 У 12*;
18Х -81 = 144; 1 8 х - 225; ;
Итак, Л В -В С - 12,5.
'м в с
^2 A C ’BD= ^ •12,5-12= 12,5 -6
225
18
12,5.
75 (см*).
О т в е т : 75см*.
Задача 3. Стороны треугольника равны 13, 14 и
15 см. Найти отношение радиусов описанного око­
ло треугольника и вписанного в него кругов.
Д а н о : ААВС; АВ - 13 см;
В
ВС *= 14 см, АС =1 5 см, О
— вписанный круг. О, —
описанный круг, OD и О^С —
радиусы кругов (рис. 153).
Найти:
OD
Р е ш е н и е . По формуле
Герона находим площадь
треугольника ABC:
195
= у 1 р ( р - А В ) ( р - В ф - А С ) , где
р ^ Л В . ^ВС.ЛС
^21.
S ^ = ^21(21 -1 3 X 2 1 - 1 4 ) ( 2 1 - 15) = л/21 8 7 6 =
= л/з 7 2
1 7 2 3 - 3 • 7 • 2 • 2 = 84.
Из формул площади треугольника
и S ЛАВС
АВ ВС АС
40iC
^ P ,^ 'O D
6.
находим радиусы вписанного и
описанного кругов. Итак, 84 = ^ • (13 + 14 + 15) • OD;
84 = 2 1 0 D ;
6
OD=^=4;
= 13 15 ^ 2 4 0 ,С = 195;
40jC
*
Значит,
= 65. J
65
8
32
0D
84
О,С
‘
13 14 15
40iC
24
~
8
лл
65 .
Ответ: —
32
Задача •/. В окружность радиуса R вписан тре­
угольник с углами 15* и 60*. Найти площадь тре­
угольника.
Д а н о ; О — окружность; ОА -= R; /^АЛС — впи­
санный в окружность; /.ВАС == 15*; ZC = 60* (рис. 154).
Найти:
Р е ш е н и е . По теореме сиВС
= 2R.
нусов: АВ
sin с
sin /Б А С
Значит,
АВ
sin 60
2Я => АВ = 2Д • sin 60 .
ВС
sin 15°
196
• 2Я => БС - 2i? • sin 15*.
Площадь треугольника ABC равна:
S^= \
аВ
■^4Авс = 1 '
BC s m B ; Z B ~ 180’ - (15* + 60*) - 105\
• sin 60* • 2R • sinlS* • sinlOS* -
= 2 i? ^ -^
sin 1 5 '-cos 15’ - ^ /JL? " ( 2 s i n 15* cos 15’) A
=
J
sin 3 0 *- Ц- RK
4
И с п о л ь з о в а н ы : ф орм ула п р и в е д ен и я :
sin 105*= sin (90* н 15*) = cos 15*; формула синуса
двойного угла: 2sin 15‘- cos 15* = sin 30* и численное
значение: sin 30* =
.
Итак, S ^ - & RK
Ответ:
Я
-=^/?*кв.
ед.
Задач и для сам остоятел ь н ого реш ен и я
1. Определить площадь треугольника по сторонам
а и Ь и углу между ними:
1) 30*;
2) 45*;
3) 60*.
2. Если две стороны треугольника равны 3 см и
8 см, то может ли его площадь быть равна:
1) 10см»;
2) 15см*;
3) 0,12см »?
3. 1) Определить площадь прямоугольного тре­
угольника, в котором гипотенуза равна 313 см,
а один из катетов 312 см.
2) Площадь прямоугольного треугольника рав­
на 720 см», а катеты относятся как 9 : 4 0 . Оп­
ределить гипотенузу.
3) По данным катетам а и Ь прямоугольного
треугольника определить высоту, проведенную
на гипотенузу.
4. Определить площадь равнобедренного прямо­
угольного треугольника по его гипотенузе с.
197
5. Определить площадь равнобедренного треуголь­
ника, если его основание и боковая сторона со­
ответственно равны:
1) 56 см и 1 м;
2) Ь и с.
6 . 1) Определить площадь правильного треуголь­
ника, вписанного в круг радиуса R.
2) Определить площадь правильного описанно­
го около круга треугольника, если радиус круга
равен г.
7. Определить площадь прямоугольного треуголь­
ника, если его высота делит гипотенузу на от­
резки в 32 см и 18 см.
8 . Определить площадь треугольника, если его вы­
сота равна 36 см, а боковые стороны 85 см и
60 см,
9. Определить катеты прямоугольного треугольни­
ка, если его гипотенуза равна 73 см, а площадь
равна 1320 см^.
10. В равнобедренном треугольнике боковая сто­
рона равна 10 см, а площадь равна 48 см^. Оп­
ределить основание треугольника.
11. 1) Определить площадь ромба, диагонали ко­
торого равны 72 см и 40 см.
2) Определить высоту ромба, если его диагона­
ли равны 16 м и 12 м.
12. Определить сторону ромба, если его диагонали
относятся как m : п, а площадь равна Q.
13. Из середины основания треугольника проведены
прямые, параллельные сторонам. Доказать, что
площадь полученного таким образом паралле­
лограмма равна половине площади треугольника.
14. Если какую-нибудь точку внутри параллело­
грамма соединить со всеми его вершинами, то
сумма площадей двух противолежащих тре­
угольников равна сумме площадей двух других.
Доказать это.
198
15. Определить площадь треугольника, если основа­
ние его равно а, а углы при основании 30* и 45*.
16. Равные прямоугольные треухольники АСВ и
ADB находятся по одну сторону общей гипоте­
нуз ы A S ; при этом А / ) - В С - 1 2 см и
АС
16 см. Определить площадь общей
части данных треугольников.
17. На сторонах равностороннего треугольника по­
строены квадраты и свободные вершины их со­
единены. Определить площадь полученного ше­
стиугольника, если сторона данного треугольни­
ка равна а.
18. Данный квадрат со стороной а срезан по углам
так, что образовался правильный восьмиугольник.
Определить площадь этого восьмиугольника.
19. Отношение катетов прямоугольника равно 1,05;
разность между радиусами описанного и впи­
санного кругов 17 дм. Определить площадь тре­
угольника.
20. В ромбе, диагонали которого равны 150 см и
2 0 0 см, проведены из вершины тупого угла вы­
соты и концы их соединены. Определить пло­
щадь получившегося таким образом треуголь­
ника.
21. АВ и CD — два параллельных отрезка; М —
точка пересечения линий AD и ВС (соединяю­
щ их к о н ц ы о тр е зк о в на к р е с т ) . О трезок
АВ - 8 см, отрезок CD = 12 см, расстояние меж ­
ду ними равно 10 см. Определить сумму пло­
щадей треугольников А В М и MCD.
22. 1) Определить меньшую высоту треугольника,
стороны которого равны: 25 дм; 29 дм; 36 дм;
2) Определить большую высоту треугольника
со сторонами: 15; 112; 113.
23. Определить стороны треугольника:
1) если они относятся как 26 : 25 : 3, а площадь
треугольника равна 9 м*;
199
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
200
2) если стороны относятся как 9 : 10 : 17, а пло­
щадь равна 144 см*.
Определить площадь четырехугольника по ди­
агонали, равной 17 см, и сторонам: 10 см и 2 1 см,
лежащим по одну сторону диагонали, 8 см и
15 см — по другую сторону диагонали.
Радиусы двух пересекающихся окружностей рав­
ны 17 см и 39 см, а расстояние между их цент­
рами 44 см. Определить длину общей хорды.
Определить площадь параллелограмма, если
одна из его сторон равна 51 см, а диагонали
равны 40 см и 74 см.
Определить площадь треугольника, если две сто­
роны его соответственно равны 27 см и 29 см,
а медиана третьей стороны равна 26 см.
В треугольнике по данным двум сторонам и
площади определить третью сторону:
1) а = 17; ft = 28; S = 210;
2 ) а = 7; b = l l ; S = >/l440 .
В треугольнике ABC даны три стороны: АВ = 26,
ВС = 30 и АС = 28. Определить часть площади этого
треугольника, заключенную между высотой и бис­
сектрисой, проведенными из вершины В.
Стороны треугольника 13 см, 14 см и 15 см. Оп­
ределить радиус окружности, которая имеет
центр на средней стороне и касается двух дру­
гих сторон.
Вершины данного треугольника соединены с
центром вписанного круга. Проведенными пря­
мыми площадь треугольника разделилась на
три части: 28 м^, 60 м^ и 80 м*. Определить сто­
роны данного треугольника.
В четырехугольнике ABCD дано: АВ = 26 см,
ВС = 30 см, CD = 1 7 см, AD = 25 см и диагональ
АС — 28 см. Определить площадь четырехуголь­
ника и диагональ BD.
33. 1) в прямоугольном треугольнике катеты рав­
ны 6 см и 8 см, гипотенуза равна 10 см. Найти
высоту, проведенную к гипотенузе.
2) Основание одного треугольника равно 10 см,
высота 4 см. Основание другого треугольника
равно 20 см. Какова должна быть его высота,
чтобы оба треугольника были равновеликими?
3) Стороны прямоугольника равны 5 см и 6
см. Построить равновеликий ему треугольник
с основанием, равным 7,4 см. Сколько реше­
ний имеет задача?
34. 1) В треугольнике высоты, проведенные к стороh
а __ ь
нам а и 6 , обозначены и Л^. Доказать, что ” /, •
О
2) Доказать, что если в треугольнике а > Ь, то
35. Найти площадь треугольника, две стороны ко­
торого равны 3 см и 7 см, а угол между ними
равен 30'.
36. В прямоугольный тре­
угольник ABC вписан
квадрат CDFG (рис. 155).
Найти площадь квадра­
та, если катеты треуголь­
ника равны 8 см и 4 см.
(Ответ дать с тремя зна- ^
чащими цифрами.)
У к а з а н и е . Провести отрезок CF и выра­
зить площадь треугольника ABC как сумму пло­
щадей треугольников СВР и CFA.
37. 1) В треугольнике ABC проведена медиана AD.
Доказать, что треугольники ABD и ACD равно­
велики.
2) В треугольнике ABC точка F, середина ме­
дианы BD, соединена с вершинами А и С. Д ока­
зать, что треугольники AFD, CFD, BCF и ABF
равновелики.
201
38. Площадь треугольника ABC равна 18 см*. Точ­
ка D взята на стороне АС так, что DC - 2AD.
Найти площади треугольников ABD и DBC.
39. В параллелограмме ABCD одна из его вершин
соединена с серединами противоположных сто­
рон и с противоположной вершиной. Доказать,
что полученные таким образом четыре треу­
гольника равновелики.
40. У треугольника ABC: АС “ а, ВС - Ь. При каком
угле С площадь треугольника будет наибольшей?
41. Стороны треугольника а, Ь, с. Найти высоту тре­
угольника, опущенную на сторону с.
42. Периметр равнобедренного треугольника равен
64 см, а его боковая сторона на 11 см больше
основания. Найти высоту треугольника, опущен­
ную на боковую сторону.
43. Найти высоту треугольника, у которого сторо­
ны равны 13 см, 14 см и 15 см.
44. Боковая сторона равнобедренного треугольника
6 см, высота, проведенная к основанию, 4 см. Най­
ти радиус описанной около треугольника окруж­
ности.
45. Найти радиусы окружностей: описанной около
равнобедренного треугольника с основанием а
и боковой стороной Ь и вписанной в него.
46. Найти радиус г вписанной и радиус R описанной
окружностей для равнобедренного треугольника
с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.
47. Доказать, что в прямоугольном треугольнике
радиус вписанной окружности равен половине
разности между суммой катетов и гипотенузой.
48. Катеты прямоугольного треугольника равны
40 см и 42 см. Найти радиусы описанной около
треугольника и вписанной в него окружностей.
49. Через середину высоты треугольника проведена
перпендикулярная к ней прямая. В каком от­
ношении она делит площадь треугольника?
202
§ 1 1 .3 . Площадь трапеции
Задача I. Вычислить площадь трапеции ABCD
(АВ|ВС), если длины ее оснований относятся как
5 : 3 и площадь треугольника ADM равна 50 см*, где
М — точка пересечения прямых АВ и CD.
Д а н о : ABC D — т р а ­
п е ц и я ; AD : В С ^ 5 : 3;
Определить:
Решение.
Пус т ь
BE —Л — высота трапеции
и M N -» Я — высота ДАЛ/D.
По лемме о подобии тре­
А Е
угольников AAMD </5 АВМС
(так как ВС| A D ),
Из п од обия э т их т р е у г о л ь н и к о в с л е д у ет:
A D .M N
, т, к. В подобных треугольниках высоты
ВС ~ MF
относятся как сходственные стороны.
5Я - 5Л = ЗЯ => 2Я = 5Л. Тогда л =
п
• По условию задачи: S ллмо
i A D - Я = 50
А
AD'.BC
А В = Црн
с о
D/n
Также
5 : 3, отсюда ВС'~
3 .
50 см*.
из у с л о в и я
3 100
1
60
т. е.
B C -f.
Площадь трапеции:
60
ABCD
В С ^ AD •Л
JL
100
2
Н 1 н =—
5
Н
— =32 (см*).
5
О т в е т : 32 см*.
203
З адача 2. Вычислить площадь трапеции по раз­
ности основании, равной 14 см, и двум непараллель­
ным сторонам, равным 13 и 15 см, если известно,
что в трапецию можно вписать окружность.
В
С
Д а н о : ABCD — тра­
пеция; AD - ВС = 14 см;
А 8 * 13 см; CD =*15 см;
О — вписанная окруж­
ность в ABCD (рис. 157).
Найти:
Р е ш е н и е . Прове­
дем CF||AB, и тогда
A BC D — п а р а л л е л о ­
грамм по построению. Отсюда AF ~ ВС н CF ^ АВ
= 13 см как противоположные стороны параллело­
грамма и F D ^ A D - AF a d - в с 14 см. Прове­
дем высоту трапеции СК. Площадь треугольника
CFD находим по формуле Герона.
^ p { p - C F ) ( p - FD){p - CD) . где p - CF>_FD*CD^
13 -t- 14 + 15
Итак, p
= 2 1 ( c m ).
= >/21-8 6-7 =
= n/ 3- 7- 2- 4- 2 3 7 = 3• 7• 2• 2 = 84 ( cm *).
Кроме этого, площадь треугольника CFD можно
найти по формуле:
OCFD
\
f d c k
7СК - 8 4 = >С К~ 12 см.
Поскольку в трапецию ABCD можно вписать ок­
ружность, то по свойству описанного четырехуголь­
ника суммы ее противоположных сторон равны, т. е.
ВС + AZ) * АВ + CD = 1 3 -г 1 5-= 28 (см). Т огда
S
. A S jL
£ R .q K = ^2 1 2 = 14 12 = 168
2
О т в е т : 168 см^.
AB C D
204
(с м * ).
Задачи для самостоятельного решения
1. Основания трапеции равны 36 см и 12 см, бо­
ковая сторона, равная 7 см, образует с одним
из оснований трапеции угол в 150*. Найти пло­
щадь трапеции.
2. Основания трапеции равны 10 см и 35 см, а пло­
щадь ее равна 225 см*. Найти высоту трапеции.
3. Основание трапеции равно 26 см, высота —
10 см, а площадь — 200 см*. Вычислить вто­
рое основание трапеции.
4. Высота трапеции равна 20 см, площадь ее рав­
на 400 см*. Найти среднюю линию трапеции.
5. Площадь трапеции равна 36 см*, высота равна
2 см. Найти основания трапеции, если они от­
носятся как 4 : 5 .
6 . Середины оснований трапеции соединены отрез­
ком прямой. Доказать, что полученные таким
образом две трапеции равновелики.
7. В равнобедренной трапеции основания равны
10 см и 24 см, боковая сторона 25 см. Найти пло­
щадь трапеции.
8 . В равнобедренной трапеции большее основание
равно 44 м, боковая сторона 17 м и диагональ
39 м. Найти площадь трапеции.
9. Меньшее основание трапеции а —4 дм, одна из
боковых сторон Ь - 1 2 дм и составляет с боль­
шим основанием угол в 30*. Другой угол при
большем основании равен 45*. Вычислить пло­
щадь трапеции.
10. 1) Площадь трапеции ABCD разделена попо­
лам прямой EF, проведенной параллельно бо­
ковой стороне АВ. Определить отрезок AF, если
А £ > -2 8 см и В С ’* 1 2 см.
2) Площадь трапеции делится диагональю в от­
ношении 3 : 7, В каком отношении она делится
средней линией (начиная от меньшего основания)?
205
11.
в равнобедренной трапеции основания равны
51 см и 69 см, а боковая сторона 41 см. Опре­
делить площадь трапеции.
12. Определить площадь равнобедренной трапе­
ции, в которой основания равны 42 см и 54 см,
а угол при большем основании равен 45*.
13. В прямоугольной трапеции острый угол при
основании равен 30', сумма оснований равна m
и сумма боковых сторон равна п. Определить
площадь трапеции.
14. В равнобедренной трапеции большее основание
равно 44 м, боковая сторона равна 17 м и диаго­
наль равна 39 м. Определить площадь этой тра­
пеции.
15. 1) Определить площадь равнобедренной трапе­
ции, у которой основания равны 12 см и 2 0 см,
а диагонали взаимно перпендикулярны.
2) Определить площадь равнобедренной трапе­
ции, у которой диагонали взаимно перпендику­
лярны, а высота равна h.
16. Определить площадь равнобедренной трапеции,
если ее диагональ равна с и образует с большим
основанием угол в 45*.
17. Определить площадь равнобедренной трапеции,
у которой основания равны 10 см и 26 см, а ди­
агонали перпендикулярны боковым сторонам.
18. Определить площадь трапеции, у которюй осно­
вани я равны 142 см и 89 см, а диагонали
120 см и 153 см.
19. В круге радиуса R по одну сторону от центра
проведены две параллельные хорды, стягиваю­
щие дуги в 60* и 1 2 0 ', и концы их соединены.
Определить площадь полученной трапеции.
20. В равнобедренной трапеции, описанной около
круга, боковая сторона равна а , а острый угол
при основании равен 30*. Определить площадь
этой трапеции.
206
21. 1 ) Основание треугольника равно 75 см, а боко­
вые стороны 65 см и 70 см. Высота разделена
в отношении 2 ; 3 (считая от вершины), и через
точку деления проведена прямая, параллельная
основанию. Определить площадь получившейся
при этом трапеции.
2) Диагонали трапеции 20 м и 15 м; высота рав­
на 12 м. Определить площадь трапеции.
22. Основания и боковая сторона равнобедренной
трапеции относятся как 1 0 : 4 : 5 ; площадь ее
равна 112см^. Найти периметр трапеции.
23. В трапеции, площадь которой 594 м*, высота 22 м,
а разность параллельных сторон равна 6 м. Най­
ти длину каждой из параллельных сторон.
24. Доказать, что площадь трапеции равна произ­
ведению одной из непараллельных сторон и
длины перпендикуляра, проведенного через се­
редину другой боковой стороны к первой.
25. Основания трапеции а и Ь, углы при большем ос­
новании равны
и . Найти площадь трапеции.
26. Площадь равнобедренной трапеции, описанной
около круга, равна S. Определить радиус это­
го круга, если угол при основании трапеции
равен 30*.
27. Вычислить площадь трапеции, параллельные
стороны которой равны 16 см и 44 см, а непа­
раллельные 17 см и 25 см.
28. В равнобедренной трапеции длина средней ли­
нии равна 5 см, а диагонали взаимно перпенди­
кулярны. Найти площадь трапеции.
29. Длины оснований равнобедренной трапеции от­
носятся как 5 :1 2 , а ее высота равна 17 см. Вы­
числить радиус окружности, описанной около
трапеции, если ее средняя линия равна высоте.
30. Вычислить площадь прямоугольной трапеции,
если ее острый угол равен 60*, а большая боко­
вая сторона равна Ь.
207
31. Площадь равнобедренной трапеции, описанной
около круга, равна S. Определить боковую сто­
рону трапеции, если острый угол при ее основании равен ^п .
32. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее
тупой угол пополам. Меньшее основание тра­
пеции равно 3 см, периметр равен 42 см. Най­
ти площадь трапеции.
33. Определить боковые стороны равнобедренной
трапеции, если ее основания и площадь равны
соответственно 8 см, 14 см и 44 см*.
34. Найти площадь равнобедренной трапеции, если
ее высота равна h, а боковая сторона видна из
центра описанной окружности под углом 60*.
35. Основание треугольника равно 30 см, а боко­
вые стороны 26 см и 28 см. Высота разделена
в отнощении 2 : 3 (считая от вершины) и через
точку деления проведена прямая, параллель­
ная основанию. Найти площадь полученной при
этом трапеции.
§ 1 1 .4 .
Площади многоугольников
Задача I. В правильный треугольник со сторо­
ной а вписана окружность, в которую вписан праВ
вильный шестиугольник.
Найти площ адь ш ести­
угольника.
Д а н о : ЛАВС — пра­
в и л ь ный; АС ^ а; О —
вписанная в ААВС ок­
руж ность. D E M N P Q —
вписанный в окружность
правильный шестиуголь­
ник (рис. 158).
Рис. 158
208
Найти:
Р е ш е н и е . Сторона правильного треугольни­
ка АС “ 20D v3 , где 0D — радиус вписанной в тре­
угольник окружности.
Итак, a - 2 0 D > / 3 = > 0 Z ) = - V .
2V3
Известно, что площадь правильного многоуголь­
ника равна S - - R^n • sin
2
п
, где п — число сторон
этого многоугольника, а Л — радиус описанного око­
ло него круга, т. е. Д * OD. Для правильного шести­
угольника п - 6 , и тогда
•sin 60 =
= 3 -^
4 -3
Ответ:
Уз _
2
2Г ® '
(кв.ед).
8
Задача 2. Данный квадрат со стороной а срезан по
углам так, что получился правильный восьмиуголь­
ник. Определить площадь этого восьмиугольника.
Д а н о : ABCD — квадрат; АВ * а; MNPQEFKL
— правильный восьмиугольник (рис. 159).
О п р е д е л и т ь : площадь MNPQEFKL.
Решение.
^ABCD
ДМШ - ЛЯОД - AEDf - ДЛЖ,
по построению, а потому и
площади этих треугольников
равны.
а* как площадь
квадрата.
В
N
Р
С
Q
Пусть MB “ BN = X, тогда по
теореме Пифагора из AMBN:
M N - У** + ** =
. Так как
восьмиугольник правильный,
то M N - PQ - JcV2 , а
14 — К. X. Абдуллаев и др.
209
B C ^ B N + N P + Р С - Х + xyf2 + X * X • (2+ >/2 ) .
Значит, ВС - X • (2 + x>/2 ) - a, и тогда
___
ф -Vi)
2+ >/i
(2
4 г - Л)
+ ^^2^2 - Щ
-2
.(2 -Гг)
2
2
Га(2-Т^)1
= д2- 2 -5 1 .(4 - 4 7 2 + 2 )
4 \
2
^ M N P Q E fK L
V
/
"(l - 3 + 2 V2 ) = 2а*(>/2 - 1).
О т в е т : 2 a * |V 2 -lj кв.ед.
З а д а ч а 3. Б ольш ая диагональ BD четы рех­
угольника ABCD равна 2 V42 см, угол между его диа­
гоналям и равен 45’. Найти площ адь четы рех­
угольника, если AD =* 5 см; CD = 4 см и угол между
ними равен 60*.
Д а н о : ABCD — четы­
рехугольник; АС и BD —
д и а го н а л и , ZAOB * 45*,
AD —5 см; В £)” 2-У42см;
C Z ) - 4 см;
Z C D A - - 60'
(рис. 160).
Рис. 160
Н а й т и : SABCD ’
Р е ш е н и е . Площадь произвольного четырех­
угольника
• BD • sin 45*. Из треугольни­
ка AZX^ по теореме косинусов находим диагональ АС:
AC* = AD2 -H>C2 - 2 AD Z)C cos 60*. А С * - 2 5 - И 6 -2-5-4-i
4 1 - 2 0 — 2 1 , тогда АС —
•
ABC D
2
О т в е т : 21 см*.
210
Задачи для самостоятельного решения
1. На рисунке 161 дан план участка земли в масш­
табе 1 : 1 0 ООО. На плане измерены его диагонали
d, и dj и высоты /ij, /ij, hy Д а н о : dj = 44 мм;
d j* 50 мм; Л, = 7 мм;
20,4 мм и Лд- 21,6 мм.
Выразить площадь участка в гектарах.
2. Вычислить площадь участка, план которого дан
на рисунке 162, если масштаб равен 1 : 2 0 0 .
D
В
3.
4.
5.
6.
Рис. 161
Рис. 162
Определить площадь четырехугольника, если его
диагонали k и I:
1 ) взаимно перпендикулярны;
2) образуют угол в 30'.
На сторонах прямоугольника построены вне его
равносторонние треугольники и свободные вер­
шины их соединены. Определить площадь по­
лучившегося четырехугольника, если стороны
данного прямоугольника равны а и 6 .
Пусть М — середина стороны AD четырехуголь­
ника ABCD. Известно, что М В 1 А В , M C I CD,
AD - 50 см, АВ = 1 5 см, CD =* 7 см. Определить
площадь ABCD.
1) Периметр описанного многоугольника равен
60 см, а его площадь 240 см^. Определить ра­
диус круга.
2) Около окружности радиуса, равного 25 см, опи­
сан многоугольник площадью 20 дм*. Опреде­
лить его периметр.
211
7. Сторона правильного шестиугольника равна 84 см.
Вычислить сторону равновеликого ему правиль­
ного треугольника.
8 . Комната длиной 5,6 м и шириной 4,5 м имеет
балкон в форме половины правильного шести­
угольника со стороной 1 , 6 м. Определить общую
площадь пола комнаты и балкона.
9. 1) По данному радиусу R определить площадь
правильного вписанного шестиугольника.
2) По данному радиусу г определить площадь
правильного описанного шестиугольника.
3) Определить сторону правильного шестиуголь­
ника по его площади S.
10. Расстояние между противоположными гранями
восьмигранного железа 36 мм. Вычислить пло­
щадь поперечного сечения.
11. 1) Окружность радиуса R разделена на шесть
равных частей, и точки деления соединены через
одну. Определить площадь получившейся шес­
тиугольной звезды.
2) Окружность радиуса г разделена на восемь
равных частей, и точки деления соединены че­
рез одну. Определить площадь полученной вось­
миугольной звезды.
12. Равносторонний шестиугольник ABCDEF состо­
ит из двух трапеций, имеющих общее основание
CF. Известно, что АС = 1 3 см, Л Е = 10 см. Найти
площадь шестиугольника.
13. На сторонах равностороннего треугольника вне
его построены квадраты. Их вершины, лежащие
вне треугольника, последовательно соединены.
Определить площадь полу'!енного шестиугольни­
ка, если сторона данного треугольника равна а.
14. Вычислить отношение площадей квадрата, пра­
вильного треугольника и правильного шести­
угольника, вписанных в одну и ту же окружность.
212
15. Около квадрата со стороной а описана окруж ­
ность, а около окружности — правильный шес­
тиугольник. Определить площадь шестиуголь­
ника.
16. Из точки М, удаленной от окружности на рас­
стояние а, проведена к этой окружности каса­
тельная длиной 2а. Найти площадь правиль­
ного шестиугольника, вписанного в эту окруж ­
ность.
17. Доказать, что если через вершины четыреху­
гольника провести прямые, параллельные его
диагоналям, то площадь параллелограмма, оп­
ределяемого этими прямыми, в два раза боль­
ше площади данного четырехугольника.
18. Найти отношение площадей равностороннего
треугольника, квадрата и правильного шести­
угольника, длины сторон которых равны.
§ 1 1 .5 . Отношение площадей
подобных фигур
Задача / . Прямая, параллельная основанию тре­
угольника, делит его боковую сторону в отношении
5 : 3 (начиная от вершины), а площадь — на части,
разность которых равны 56 см*. Определить пло­
щадь всего треугольника.
в
Д а н о : ДА В С ; DE^AC ;
BD :DA = 5:3;
* 56 см* (рис. 163).
Н а й Yи : S,
'илвс'
Р е ш е н и е . По лемме о
Рис. 163
подобии треугольников: М )ВЕ со ДАБС, так как
к
.
И
/
D£|AC . Из подобия треугольников следует, что
BD
DE
BE
г
. г,
Площади подобных
треугольников
относятся как квадраты сходственных сторон, т. е.
213
*ДАВС
й
ЦИЯ
АВ
во
н о - ^ = 4 . а тогда по свойству пропор"
=
5
5 +3
во ^ 5
АВ 8 ‘
Итак ^ДЙ££ = ^ = 2 5
’ «ДАВС
8^
64
Из условия задачи
S^д^.= 56cм ^ и тогда
^4АВс“ ^дояе'*' ^ a u e c ~ ^ г Ф В г Л ^‘^двве'*'
“ ^‘^лсве"*'
Значит,
= М . Решая эту проS\BDE
порцию, имеем;
^ЛОВЕ
25 (25^^^^+ 56) = 64
50 5^^^+1400 = 64 5^3^; 14 5^^^=1400;
100.
S ^ c ~ 2 • 100 + 56 = 256 (см*).
О т в е т : 256см*.
Задача 2. Сумма площадей трех подобных мно­
гоугольников равна 232 дм*, а периметры их отно­
сятся как 2 : 3 : 4 . Найти площадь каждого много­
угольника.
Д а н о : ABCDEF
(рис. 164);
P ^C D E F
= 2:3:4.
- Р A ,B ,c ,D ,F .,F , ’ Р
^ABCDEf '^ ^ A,B,C,P,E,F, + S ^^B,CjD,E,Fj “ 2 3 2 ДМ*.
Найти:
Рис. 164
214
S
a ,b ,c ,d ,e ,f,
A
F
и S a ,b ,c ,d ,e ,f, •
Р е ш е н и е . Площади подобных многоугольни­
ков относятся как квадраты сходственных сторон
или как квадраты их периметров.
Итак, S j : S j: S 3 = Р,*: Р / : Pj^ - 2*: 3=^: 4*.
Значит, S , : Sj: 5^= 4 : 9 : 1 6 , где S,. S^, S, — пло­
щади данных многоугольников.
Si + S 2 + S 3
4 + 9 + 16
29
Тогда ----- ^ = ----------- 4---- = Х Т,___
Итак,
S
29
—
=—
S,
_
4
232
29 _ о
232 4
оо
---=—
=> о, = -------= 6Z,
где
Sj
4
^
29
S — сумма площадей многоугольников. Аналогично,
^2
+ ^3 =
Sj
9
Sj
9
Sj
9
^
^ 232 9 _ ^2
29
S 3 * S - (S, + Sj) - 232 - (32 + 72) « 128.
Ответ:
3 2 дм*^ 72дм* и 128 дм^
Задачи для самостоятельного решения
1. 1) Любая прямая, проходящая через центр
метрии параллелограмма, делит его на две рав­
новеликие части. Доказать.
2) Провести через данную точку прямую, де­
лящ ую площ адь данного параллелограм м а
пополам.
2. Середина одной из диагоналей четырехугольни­
ка соединена с концами другой диагонали. До­
казать, что полученная ломаная делит четырех­
угольник на две равновеликие части.
3. Если диагональ какого-нибудь четырехугольни­
ка делит другую диагональ пополам, то она де­
лит пополам площадь четырехугольника. До­
казать.
4. 1) Прямая, проходящая черюз середины парал­
лельных сторон трапеции, делит ее на две рав­
новеликие части. Доказать.
215
5.
6.
7.
8.
9.
10.
216
2) На прямой, соединяющей середины основа­
ний трапеции, взята точка и соединена со все­
ми вершинами трапеции. Доказать, что треу­
гольники, прилежащ ие к боковым сторонам
трапеции, равновелики.
1) Диагонали трапеции делят ее на четыре тре­
угольника. Доказать, что треугольники, приле­
жащие к боковым сторонам трапеции, равнове­
лики.
2) Если в трапеции середину М одной боковой
стороны АВ соединить с концами другой боко­
вой стороны CD, то площадь полученного тре­
угольника CMD составит половину площади
трапеции. Доказать.
Диагональ трапеции делит ее площадь в отно­
шении 3 : 7. В каком отношении разделится
площадь этой трапеции, если из конца верхне­
го основания провести прямую, параллельную
боковой стороне?
Как относятся между собой площади Р и Q двух
треугольников, имеющих по равному углу, зак ­
люченному в первом треугольнике между сто­
ронами в 12 дм и 28 дм, а во втором — между
сторонами в 21дм и 24 дм?
В треугольнике ABC сторона ЕЛ продолжена
на длину AD •= 0,2 ВА и сторона ВС — на дли2
ну СЕ * ВС; точки D к Е соединены. Найти
отношение площ адей треугольников ABC и
DBE.
Во сколько раз увеличится площадь треуголь­
ника, если каждую сторону увеличить в 4 раза?
в 5 раз?
Сторона треугольника равна 5 дм. Чему равна
сходственная сторона подобного ему треуголь­
ника, площадь которого вдвое больше?
11. Какую часть площади (считая от вершины) от­
секает средняя линия треугольника?
12. Высота треугольника равна Л. На каком рас­
стоянии от вершины находится параллель к ос­
нованию, делящая площадь треугольника попо­
лам?
13. 1) Боковая сторона треугольника разделена в от­
ношении 2 : 3 : 4 (от вершины к основанию), и
из точек деления проведены прямые, параллель­
ные основанию. В каком отношении раздели­
лась площадь треугольника?
2) Через точку Е, делящую сторону АВ треу­
гольника ABC в отношении т : п, проведена па­
раллель к ВС. В каком отношении находятся
площадь отсеченного треугольника и площадь
получившейся трапеции?
14. Какую часть площади одноименных описанных
фигур составляют площади следующих вписан­
ных в окружность:
1 ) 1Гравильного треугольника;
2 ) квадрата;
3) правильного шестиугольника?
(Решить, не вычисляя самих площадей).
15. На сторонах прямоугольного треугольника по­
строены подобные фигуры. Причем стороны
треугольника являются сходственными сторо­
нами этих фигур. Доказать, что площадь фигу­
ры, построенной на гипотенузу, равна сумме пло­
щадей фигур, построенных на катетах.
16. П рямая, перпендикулярная высоте треуголь­
ника, делит его площадь пополам. Найдите рас­
стояние от этой прямой до вершины треуголь­
ника, из которой проведена высота, равная h.
17. Периметры правильных п-угольников относят­
ся как а : Ь. Как относятся их площади?
217
18. в параллелограмме соединены середина каждой
стороны с концом следующей стороны, отчего
получился внутренний параллелограмм. Дока­
зать, что его площадь составляет площади дан­
ного параллелограмма.
19. Как относятся между собой основания такой
трапеции, которая равновелика своему допол­
нительному треугольнику?
20. Площадь прямоугольного треугольника разде­
лена пополам прямой, перпендикулярной гипо­
тенузе. Найти расстояние между этой прямой и
вершиной меньшего острого угла, если больший
катет равен 2 0 м.
21. В прямоугольном треугольнике катеты отно­
сятся как 3 : 4 , а высота делит площадь тре­
угольника на части, разность которых равна
84 дм*. Определить площадь всего треуголь­
ника.
22. 1) Три медианы ABC пересекаются в точке М.
Доказать, что площадь треугольника A M В со­
ставляет треть площади треугольника ABC.
2) Три медианы треугольника делят его пло­
щадь на шесть равных частей. Доказать.
23. Из внешней точки А проведены к кругу каса­
тельная А В и секущая ACD. Определить пло­
щадь треугольника CBD, если АС : АВ - 2 : 3 и
площадь треугольника ABC равна 20 дм*.
24. АВ и CD — две непересекающиеся хорды, при­
чем u A B “ 120* и U C D - 9 0 '; М — точка пе­
ресечения хорд AD и ВС. Определить площади
треугольников AWB и CMD, если их сумма рав­
на 1 0 0 см*.
25. А В — диаметр; ВС и АС — хорды, причем
U ВС —60'; D — точка пересечения продол218
женного диаметра и к а ­
сательной CD. Найти от­
ношение площадей тре­
угольников DBC и DCA.
26. Каждая сторона квадра­
та повернута на 30’ внут­
ри квадрата, как указано
на рисунке 165. Опреде­
лить отношение сторон и
площадей данного квадрата и квадрата, обра­
зованного повернутыми сторонами.
27. ABCD — данный квадрат; Е и F — середины
сторон CD и AD; М — точка пересечения пря­
мых BE и FC. Доказать, что площадь ^ВМ С
1
составляет - площади квадрата.
5
28. Треугольник и вписанный в него ромб имеют
общий угол. Стороны треугольника, заклю ча­
ющие этот угол, относятся как т : п. Найти от­
ношение площади ромба к п л о щ ^ и треуголь­
ника.
29. Доказать, что площадь четырехугольника, диа­
гонали которого взаимно перпендикулярны,
равна половине произведения его диагоналей.
219
Г л а в а 12
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ
и ПЛОЩАДЬ КРУГА_______
Для того чтобы решить задачи по данной тема­
тике. ответьте на следующие вопросы:
1. Что такое числовая последовательность?
2. Какие числовые последовательности относят­
ся к монотонным?
3. Какие числовые последовательности называют­
ся ограниченными?
4. Что называется пределом числовой последо­
вательности?
5. Как определяется длина окружности?
6 . По какой формуле вычисляется длина окруж­
ности?
7. Как вычисляется длина дуги окружности?
8 . Как определяется площадь круга?
9. Как вычислить площадь круга?
10. По каким формулам вычисляются площади
сектора и сегмента?
Задача I . Из концов дуги ABC, содержащей 120*,
прюведены касательные до взаимного пересечения в
точке D и в полученную фигуру ABCD вписана ок­
ружность. Д оказать, что
длин а этой окруж ности
равна длине дуги ABC.
Д а н о : \j ABC * 120’;
AD и CD — касательные;
О, — окружность, вписан­
ная в ABCD (рис. 166).
Д о к а з а т ь : 1^двс“ Со|.
Р е ш е н и е . /LAOD ZCOD = 60*. ^DOC —
прямоугольный, так как ка220
сательная CD перпендикулярна радиусу ОС, прове­
денному в точку касания, тогда ZODC ** 30' и ОС —
- 0 D (катет, лежащий против угла в 30', равен по­
ловине гипотенузы).
Пусть ОС = R, тогда OD — 2R. Поскольку ОВ * Д,
то BD ~ O D - O B
2R-RR.
Треугольник O^DE также прямоугольный, так как
касательная DE перпендикулярна радиусу 0 ,£ , про­
веденному в точку касания. Из СЮ^ВЕ, где ZO^DE ~ 30’,
следует, что 0 ,£ - - 0,Z). Пусть 0 ,£ =• г, тогда O^D - 2г, а так как О,В - г, то BD - 0 ,Р + О,В - 2г + г - Зг.
Итак, BD = Д и BD * Зг. Тогда Я = Зг, т. е. г =
120
180
^ 20Я
3
3
.
Со. = 2 пг = 2 я - « = ^ .
3
3
Значит, Ц_,Авс - ^ о ,. что и требовалось доказать.
Задача 2. Найти площадь круга, описанного око­
ло прямоугольного треугольника, длины катетов ко­
торого являются корнями уравнения; ах^ Ьх + с - О
(D = - 4 а с > 0 ) .
Д а н о : ЬАВС — прямоугольный; О — описанный
круг; АВ и ВС — корни уравнения ах^ + Ьх + с ^ О
(рис. 167).
Найти:
Kl^yn
Р е ш е н и е . Вписанный угол ABC равен 90' и по­
тому опирается на диаметр этой окружности. Итак,
АС * 2Я, где R — радиус ок­
ружности.
По теореме Виета для квад­
ратного уравнения ах^ + вх + с *
- О имеем:
ь
£
X, • Х2 = -
а
а
221
Первое уравнение системы возведем в квадрат и
вычтем из него удвоенное второе уравнение этой
системы, т. е. г
2
fc'
(х,+Х г) =
2 x 1*2
= 2 •-
X,* + 2х,х, +
- 2x,xj = ^ - 2
X i 4 Xj* = ^
а
а
а
По условию задачи х, и Xj — катеты прямо­
угольного треугольника ABC, а по теореме Пифагора:
АС* = АВ^ + ВС^, т. е. ЛС* =
Итак, AC - I
ft* - 2or _ vi
2
“
+ Xj* =
^ . и т о г д а й - * ^
2a
Jfc* -2 a c
2a
Л b^-2 a c
_ _V
4a
- 2ac
Ответ:
4a‘
Задача 3. Круга О касаются шесть равных ему
кругов, которые касаются также друг друга; полу­
ченное соединение семи равных кругов охвачено та­
ким концентрическим кольцом, которое равнове­
лико сумме их площадей. До­
казать, что ширина кольца
равна радиусу кругов.
Д а н о : О; О,; О^; О,; О,;
О^; Og — равные касающиеся
круги радиуса г; концентри­
ческое кольцо с центром в О
и с радиусами кольца: ОА и
ОВ; АВ — ширина кольца;
о, (рис. 168).
Рис. 168
222
Д о к а з а т ь : Afl — г.
Доказательство.
л(ОЛ* - ОВ)‘ —
- я((3г + АВУ - (Зг)*) -я(9г^ + бгАВ + АБ* - 9г^) « п(6гАВ + АВ%
Sкруга О,1 = пг^: по условию, п(6гАВ + АВ^) - 7пг.
АВ^ -f бгАВ - 7г® “ 0. Решаем это квадратное урав­
нение относительно АВ.
АВ = -З г + л/эг* + 7г* ■= -З г + 4г=> (АВ), -= г, или
= -7г. Так как АВ > О, то (АВ)^ — постороннее
решение.
Итак, АВ = г, что и требовалось доказать.
Задача 4. В круге радиуса R по разные стороны
от центра проведены две параллельные хорды, одна
из которых равна стороне правильного вписанного
треугольника, а другая — стороне правильного впи­
санного шестиугольника. Определить площадь час­
ти круга, содержащейся между хордами. ^
Д а и о : О — круг; АВ и CD —
хорды; АВ ” а,; CD = а^; АО » Д ^
(рис. 169).
О п р е д е л и т ь : S^bcdРешение.
“ ■^игм^шв" ^мгм.СпО’ ■^круг* *
С
в
е
«ш ^тВ
^ с
м гЛ О В
МОВ*
^
П
^мги.СвО “ ^МКТ.СОО” ‘^ДСОО’
РиС. 169
Так как АВ — сторона правильного вписанного трепел*
угольника, то ZAOB = 120’ , и тогда
=
^20 ^ nR^ .
360
3
S , = 1 а О -О Б - з1п 120*
ллов
с
2
2
=
4
Н ^ у1з
_
е » гп Л т В
2
3
~
4
223
Так как CD — сторона правильного вписанного
шестиугольника, то ^ COD
nR^ -60 _
360
~
ctKT.COD
2
nR^
= 60“ , и тогда:
6
- С О O D -51ПШ
6COD
360
2
2
4
в} 41
сегм.СпО
Итак, SABCD
kR^
-
\
nR^
3
Н^у[з
4
лЛ^
\
Д*>/з
4
/
l_i.i
71Д -
3
/
nR^
6
6
4
3
6)
Л^л/з
Ответ:
- у | п + >/з|.
Задача 5. В равнобедренную трапецию вписан
круг. Доказать, что отношение площади круга к пло­
щади трапеции равно отношению длины окружнос­
ти к периметру трапеции.
Д а н о : ABCD — равнобед­
ренная трапеция; О — вписан­
ный круг (рис. 170).
<5
г*
^ к р у г а ^ ^окруж .
Доказать;
^ABCD
ABCD
D Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть
ВС "= в, AD * ft и BE * 2R, где
BE 1 AD.
= S - t A . B E , где BE — высота трапеS 1ф уЛ 1 ^ TlR^;S
»
ABCD
2
ции, причем BE = 2R; С„_
* 2 tiR;
окр.
224
а + Ь + 2АВ.
По свойству описанного четырехугольника:
ВС + AD - АВ + CD, т. е. а + ft - 2АБ, и тогда
2(0 + Ь).
ABC D
Ь- а
Так как трапеция равнобедренная, то АЕ
2 ’
а АВ =
, тогда из прямоугольного треугольника
АВЕ по теореме Пифагора имеем;
а +6
—
2
BE = VАВ" - АЕ" , т. е. 2R ■
( а ^ ++22аЬ
а Ь + Ь*
Ь * - ЬЬ * + 2 а Ь - а * ^
1а^
У
7"
2
(ifl
•^круг» _
Итак, SABCD
тогда R = J ^ .
паЬ
_
П'[аЬ
а +Ь
2
-'окруж. _
2п
2
_ ПЫаЬ
®ABCD ^ЛВСП 2(а +ft)'
Что И требовалось доказать.
Задачи для самостоятельного решения
«
1. Радиус закругления железнодорожного пути ра­
вен 1200 м; длина дуги равна 450 м. Сколько
градусов содержит дуга?
2. 1) Окружность радиуса 2 см разогнута в дугу
радиуса 5 см. Найти получившийся централь­
ный угол.
2) Дуга радиуса 4 см, измеряющая централь­
ный угол в 1 2 0 ’, равна длине некоторой окруж ­
ности. Найти радиус этой окружности.
15 — К. X. Абдуллаев и др.
225
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
226
3) Окружность радиуса 6 см разогнута в дугу,
измеряющую центральный угол в 300*. Найти
радиус дуги.
Определить число градусов дуги, если дан ее ра­
диус R и длина I:
1) / г * 10, / = 45;
2 ) R - 1 5 , /*6.
Определить радиус окружности, если ее длина
больше диаметра на 107 см.
1) Железная труба со стенками толщиной в 6 мм
имеет внешнюю окружность в 22 см. Найти дли­
ну внутренней окружности.
2) Из двух концентрических окружностей дли­
на одной равна 167 см, а длина другой 117 см.
Определить ширину кольца.
Определить длину окружности, если она больше
периметра правильного вписанного шестиуголь­
ника на 7 см.
Дуга сегмента содержит 120* и имеет длину I.
Определить длину окружности, вписанной в этот
сегмент.
Найти радиус такой окружности, длина и пло­
щадь круга которой выражаются одним и тем
же числом.
Определить относительную погрешность при
замене длины полуокружности С через а, +
(для приближенного спрямления окружности),
где
и
— стороны правильного треугольни­
ка и квадрата, вписанных в данную окружность.
Одним из способов спрямления окружности яв­
ляется замена ее длины периметром прямоуголь­
ного треугольника, у которого один катет равен
6
„
3
■gдиаметра, а другой катет составляет
диамет­
ра. Определить абсолютную погрешность.
Порш ень насоса имеет площ адь сечения в
12,56 см‘. Найти диаметр поршня.
12. Дерево имеет 1,884 м в обхвяте. Чему равна
площадь его поперечного сечения, имеющего
(приблизительно) форму круга?
13. 1) Определить площадь круга, если длина ок­
ружности равна 8 см.
2) Определить длину окружности, если площадь
круга равна 18 см^.
14. Две трубы диаметрами 6 см и 8 см требуется
заменить одной трубой с той же пропускной спо­
собностью. Найти диаметр этой трубы.
15. Вычислить площадь круга, если она меньше пло­
щади описанного квадрата на 1,3 м-.
16. Вертикальный цилиндрический котел 78 см в
диаметре и весящий 752 кг имеет в днище круг­
лое отверстие, наружный диаметр которого ра­
вен 36 см. Всей площадью своего днища котел
опирается на фундамент. Определить давление,
оказываемое котлом на 1 см^ поверхности фун­
дамента.
17. В кольце, образованном двумя концентричес­
кими окружностями, хорда большей окружнос­
ти, касающаяся меньшей, равна а. Определить
площадь кольца.
18. Радиус сектора равен г, а площадь равна д. Оп­
ределить величину центрального
угла (или дуги).
19. Определить площадь окна (рис.
171), имеющего форму прямоуголь­
ника, законченного вверху дугой
круга в 60'; высота окна, считая от
середины дуги до основания, равна
2,4 м, ширина его 1,6 м.
20. 1) Полуокружность радиуса г разделена на три
равные части, и точки деления соединены с кон­
цом диаметра. Определить площадь средней ча­
сти полукруга.
227
2) Концы дуги CD одинаково удалены от кон­
цов А и В диаметра AS, Определить площадь,
заключенную между дугой CD и хордами АС и
AD. если площадь круга равна Q и дуга CD со­
держит п .
21. Общая хорда двух пересекающихся окружнос­
тей равна а и стягивает в одном круге дугу в
60 , а в другом — дугу в 90*. Определить пло­
щадь общей части кругов (два случая).
22. Площадь круга равна Q. Определить площадь
вписанного в него прямоугольника, стороны ко­
торого относятся как т : п.
23. В круг радиуса R вписан прямоугольник, пло­
щадь которого составляет половину площади кру­
га. Определить стороны этого прямоугольника.
24. Около круга, площадь которого равна Q, описан ромб
с углом в 30’. Определить площадь этого ромба.
25. Около правильного треугольника площадью, рав­
ной Q, описана окружность, и в тот же треугольник
вписана окружность. Определить площадь коль­
ца, заключенного между этими окружностями.
26. АЛ!В — дуга, содержащая 120*; ОА и ОВ — ра­
диусы; АС к ВС — касательные; DME — дуга,
описанная из центра С между СА и СВ и касаю­
щаяся дуги AM В. Найти отношение между пло­
щадями секторов СОМЕ и ОАМВ.
27. Из концов дуги АСВ проведены касательные до
пересечения в точке D. Определить площадь
DACB, заключенную между двумя касательны­
ми и дугой, если радиус равен R, а дуга содер­
жит: 1) 90*; 2) 120*;
3) 60*.
28. Из центра равностороннего треугольника опи­
сана окружность, пересекающая его стороны так,
что внешние дуги содержат по 90*. Обозначив
сторону этого треугольника через а, определить
площадь, ограниченную внутренними дугами и
средними отрезками сторон.
228
29. Два равных полукруга наложены так, что диа­
метры их параллельны, а полуокружность од­
ного проходит через центр другого. Определить
площадь общей части полукругов по данному
их радиусу R.
30. На сторонах ромба описаны, как на диаметрах,
полуокружности, обращенные внутрь. Диагона­
ли ромба равны а и 6 . Определить площадь
полученной розетки.
31. В равностороннем треуголь­
нике проведены дуги между
каждыми двумя вершинами
через центр треугольника
(рис. 172). Сторона треуголь­
ника равна а. Определить
площадь полученной розетки.
Рис. 172
32. А В и CD — два взаимно перпендикулярных ди­
аметра. Из точки D, как из центра, радиусом DA
описана яутаАМВ. Доказать, что луночка A/VfflC
равновелика треугольнику ABD.
33. Две параллельные хорды равны 14 м и 40 м, а
расстояние между ними равно 39 м. Определить
площадь круга.
34. Определить скорость точки (окружная скорость),
находящейся на поверхности шкива диаметром
400 мм, если он делает 180 оборотов в минуту.
35. Диаметр ведущего колеса электровоза равен 2 м.
Определить скорость электровоза, если ведущее
колесо делает в минуту 100 оборотов.
36. Определить допустимое число оборотов в ми­
нуту точильного камня диаметром 200 мм, если
максимально допустимая скорость точек на
окружности камня равна 18
,
37. Радиус окружности R увеличен на т. Доказать,
что увеличение длины окружности не зависит
от величины R.
229
38. Определить диаметр трубы, которую можно из­
готовить из прямоугольного куска жести раз­
мером 425 мм X 250 мм (два решения). Расход
материала на шов в расчет не принимать.
39. Найти длину и радиус окружности, если длина
ее дуги, содержащей 36*, равна 45 см.
40. 1) Найти диаметр круга, площадь которого рав­
нялась бы сумме площадей двух кругов ради­
усов 3 см и 4 см.
2) Найти диаметр круга, площадь которого рав­
нялась бы разности площадей двух кругов ра­
диусов 10 см и 8 см.
41. Может ли стальная проволока диаметром 3 мм
выдержать груз в 300 кг, если предельно допус­
тимая нагрузка при растяжении стальной про­
волоки равна 80 кг/мм*.
42. Найти радиус сектора, если его площадь равна
157 мм*, а центральный угол равен 72*.
43. Найти угол сектора, если его площадь равна
56,8 см*, а радиус равен 6 см.
44. Найти площади заштрихованных фигур, данных
на рис. 173 и 174.
Рис. 174
45. 1). Определить площадь кругового кольца, за­
ключенного между двумя концентрическими ок­
ружностями, если известна хорда а внешней ок­
ружности, касающаяся внутренней.
230
2) Доказать, что площадь кругового кольца рав­
на площади круга, который имеет своим диа­
метром хорду большей окружности, касающу­
юся меньшей окружности.
46. Вычислить площадь сегмента, отделяемого от кру­
га радиуса R стороной правильного вписанного
п-угольника, если: 1) п * 3; 2) п = 4; 3) п - 6 .
47. Внутри окружности радиуса R расположены п
равных окружностей, которые касаются друг
друга и данной окружности (рис. 175). Найти
радиус этих окружностей, если число их равно;
1) 3; 2) 4; 3) 6 .
48. По данной хорде а найти длину ее дуги, если гра­
дусная мера дуги равна: И 60; 2) 90’ ; 3) 120.
49. По данной длине дуги I найти ее хорду, если
дуга содержит: 1) 60’; 2) 90*; 3) 120*.
50. Найти отношение площади круга к площади
вписанного в него: 1) квадрата; 2 ) правильного
треугольника; 3) правильного шестиугольника.
51. Найти отношение площади круга, вписанного в
правильный треугольник, к площади круга, опи­
санного около него.
52. Найти отношение площади круга, описанного око­
ло квадрата, к площади круга, вписанного в него.
53. Дана окружность радиуса R. Найти площадь сек­
тора, соответствующего дуге с длиной, равной:
1)
R-,
2)
I.
231
Ри с. 176
54. Найти площадь той части круга, которая рас­
положена вне вписанного в него: 1) квадрата;
2) правильного треугольника; 3) правильного
шестиугольника. Радиус круга R (рис. 176).
Г л а в а 13__________________
ДЕКАРТОВА СИСТЕМА
КООРДИНАТ_________________
Для решения задач данной темы следует знать;
1. Что такое числовая ось?
2. Как определяются координаты точки в декар­
товой системе координат?
3. По какой формуле можно вычислить расстоя­
ние между двумя точками плоскости?
4. Как разделить отрезок в данном отношении
т : п?
5. По каким формулам вычисляется длина ок­
ружности с центрами в начале координат или в точке
с координатами (а, Ь)?
6 . Различные уравнения прямой:
а) общее уравнение прямой;
б) уравнение прямой с угловым коэффициентом;
в) уравнение прямой, проходящей через одну точку;
г) уравнение прямой, проходящей через две точки;
д) уравнение прямой в отрезках по осям.
232
7. Общее уравнение кривых второго порядка.
8 . Определение эллипса и его уравнение.
9. Определение гиперболы и ее уравнение.
10. Определение параболы и ее уравнение.
11. Исследование формы эллипса по его канони­
ческому уравнению и построение.
12. Исследование формы гиперболы по ее кано­
ническому уравнению и построение.
13. Исследование формы параболы по ее кано­
ническому уравнению и ее построение.
§ 13.1. Расстояние между двумя точками.
Деление отрезка в данном
отношении
Задача 1. Определить вид ААВС и его периметр,
если А (1; 3), В (2; 1), С (4; 6 ).
Д а н о : А (1 ; 3).
С (4;6) (рис. 177).
Найти:
вид tiABC.
В (2; 1).
определить
Р е ш е н и е . Находим дли­
ны сторон треугольника ABC,
зная координаты концов отрез­
ков: А и Б, Б и С, А и С по фор-'
муле: d =
- Xi)
(у^ - y^f ,
где (Xj; у,) и (х,; у^) — коорди­
наты концов отрезка длиной d.
AB| = ^ ( 2 - l ) 4 ( - l - 3 f
= V l + 16 = V l7 ;
ВС| = ^ (4 - 2 f + (б - ( - l))" = V4 + 49 = V53;
AC| = ^(4 - 1)* -b (6 - 3 f =yl9 + 9 = лЯв.
233
Периметр IsABC находим как сумму длин его стоРО"
^
Л7 +
+ Л 8.
Так как \АЩ ф |ВС| ^ |ЛС|, то треугольник разносто­
ронний.
Определим вид треугольника в зависимости от
величины его углов.
Сравним квадрат большей стороны этого треуголь­
ника с суммой квадратов двух других его сторон:
ВС|^ = (>/5з)*= 53 и
\АБ\^ +|ЛС|*= (V i7)*+
= 17 -ь 18 = 35. Так как ВС^ > АВ^ + АС*, т. е.
53 > 35, то ААВС — тупоугольный и ZA — тупой.
Итак, ДАВС — тупоугольный и разносторонний.
Ответ; Р
“ Л? +
+ Л в . ДАВС —
тупоугольный и разносторонний.
Задача 2. Даны две смежные вершины паралле­
лограмма А ( - 4; - 7), В (2; 6 ) и точка пересечения
его диагоналей М (3; 1). Найти координаты верши­
ны параллелограмма: а) противолежащей Л; в) про­
тиволежащей В.
Д а н о : А ( - 4 ; - 7 ) и В (2; 6 ) — вершины парал­
лелограмма A BC D; М (3; 1) — середина диагона­
лей (рис. 178).
Н а й т и : координаты
точек С и D.
Р е ш е н и е . По свойству
диагоналей параллелограм­
ма они в точке пересечения
делятся пополам, т. е. М —
середина отрезков BD и АС.
Координаты середины М
отрезка АС:
2
Рис. 178
234
= Xм
= ум
с =
_ 3; X = 6 + 4 = 10
с
Имеем:
9.
У =2 + 7
Итак, координаты точки С (10; 9).
Аналогично можно найти координаты точки D.
=
т. е.
=6- 2=4
)l/;, = 2 - 6 = -4
= 1
М
Итак, координаты точки D( 4;
Ответ:
С (1 0 ;9 );
D (4 ;
4).
4).
Задача 3. Даны вершины треугольника А {х^; y j ;
В (х^; Уд) и С (х ^ ; у^). Найти координаты точки пере­
сечения медиан треугольника.
Д а н о :
Д Л В С ; А (х ^ ; у^)\
В (Хд; Уд) и С (х^,; у^) — коор­
динаты вершин; BE, A D и CF
— медианы; М — точка пе­
ресечения медиан (рис. 179). ^
Н а й т и : М (х^; у^).
Р е ш е н и е . По свойству
медиан треугольника точка
их пересечения делит каждую из медиан в отноше­
нии 2 : 1, считая от соответствующей вершины.
Так как AD — медиана треугольника ABC, то D —
середина отрезка ВС, и тогда:
+ Хг
D
2
Ув
Ус
2
Координаты точки М , делящр!! отрр;юк A D в от­
ношении 2 : 1, равны:
235
Подставив в последние формулы значения
Ур, получим:
и
f дг
X
_Й___ с
X
м
=
У +V
__ 1C
у
у +у
14___1 «___ILI
=
Итак, координаты точки пересечения медиан тре­
угольника определяются по формулам:
Уа ^У в *
Ответ:
х
м
=
;
3
=
у г
^л^Ув^ Ус
а
Задача 4. Дан отрезок с концами Л ( 1 ; - 3 ) и
Д (3 1 ; 17). Определить координаты точек отрезка,
делящих его: 1 ) пополам; 2 ) на три равные части;
3) на шесть равных частей.
Дано:
отрезок АВ;
Л (1 ;-3 ) и Б (31; 17); АС =
= ^ A B ; A D = ^А В = ВМ;
BN = M N = C M = D C = D E =
^ А Е = ^ А В (рис. 180).
6
О п р е д е л и т ь : координаты точек С, D и Е.
Р е ш е н и е . 1) Координаты середины С отрезка
А В находим по формулам:
_
=
д
+ -Jffl _
2
У. +«/ в
1 + 31 _
= 16;
_ ^ 3 + 17 _ у
Итак, координаты точки С (16; 7).
236
2)
Точка D делит отрезок АВ в отношении 1 : 2 и
потому ее координаты равны;
X + ix
X = -A _X J L
°
1 .1
X
D
=
.тогда
-з +П
2- = И
3
3
11
Итак, координаты точки D (11; — ).
Точка М делит отрезок АВ в отношении 2 : 1 и
потому ее координаты равны:
X
м
+ 2х
1+ 2
-
’м
X
, тогда
«
= U
l
3
2 _ 3 1 = ^
= 21
3
_ - 3 + 2 17 ^ ^
“л * %
1+ 2
^
« 3
3
31
Итак, координаты точки М (21; — ).
3
3) Теперь следует найти координаты точки Е, де­
лящей отрезок А В в отношении 1 : 5, и точки N , де­
лящей отрезок в отношении 5 :1 .
1 + 1 31
X
Е
X
=
=
^
1+ 1
, тогда
— 5—
^
„
= 1±Ж =6
1 .1
6
5
у
V
‘'л + 1
5‘'в
1+ 1
Итак, координаты точки Е ( 6 ; - ).
3
X
1 + 5 31 _ 156
= - 4 _____ В.
X
N
у
+ 5х
1+ 5
= - Л -------- в.
1+ 5
,тогда
1
+ 5
_ - 3 + 5 17 _ ^
1+ 5
6
= 26
6
_ 41
3
41
Итак, координаты' точки N (26; — ).
237
О т в е т ы : ! ) С (16; 7 ); 2 ) D ( 1 1 ;
;
М(21;
О
3) £ ( 6 ; i ) ; D ( 1 1 ; ^ ) ; C ( 1 6 ; 7 ) ; M ( 2 1 ;
О
N{26;
Задача 5. На оси Ох найти точку С. равноуда­
ленную от точек Л (1; 2) и В (2; 3).
Д а н о : Л (1;2) и Б (2;3)
(рис. 181).
Н а й т и : на оси Ох та­
кую точку С, чтобы АС =* СВ.
Р е ш е н и е . Точка С, ле­
жащая на оси Ох, имеет ко­
ординаты (х; О). Расстояние
АС равно:
как расстояние между дву­
мя точками А (1; 2) и С (х ; О).
Аналогично, расстояние ВС как расстояние меж­
ду двумя точками В (2; 3) и С ( х ; О ) равно:
АС =
ВС =
. По условию задачи: АС = ВС,
и тогда J(x - 1 )^ + 4
=
- 2) % 9 .
Следовательно, (х - 1)^ + 4 - (х - 2)* + 9 ^
- 2х +
+ 1 + / -/ *-4 х + /+ 9=>2х-8=>х-4.
Итак, искомая точка имеет координаты С (4; 0).
Ответ:
С (4 ;0 ).
Задача 6. Четырехугольник A B C D задан коор­
динатами своих вершин А (~5;0); В (-3 ; 3), С (2; 3) и
D (4 ; 0). а) Доказать, что A B C D — трапеция;
в) Равны ли углы BA D и CDA?
Д а н о : A B C D — четырехугольник; Л ( - 5 ; 0 ) ;
В (-3 ; 3), С (2; 3) и D (4; О) (рис. 182).
Д о к а з а т ь : а) A B C D — трапеция; б) равны ли
углы B A D и CDA1
238
Р е ш е н и е , а) Точки А и
D имеют одинаковые орди­
наты I/ - О, а точки В и С
одинаковые ординаты I/*
Уравнение A D — I/ *
уравнение ВС — у —
—
3.
0;
3.
Значит, A D ^ B C (так как
они параллельны оси Ох).
AD| = 4 + -5| = 4 + 5 = 9; В С = 2 + - 3 = 2 + 3 = 5.
Так как A D ^ ВС , то A B C D — трапеция, что и
требовалось доказать.
б) Найдем длины сторон А В и CD.
=
- х , ) Ч ( у 2 -i/ ,f =
= ^ (- 3 + S f + (3 - o f = yl2^ + 3^ = yfis.
C D = у1( х , - Х з )" + ( у , - t / j f =
= J(4 - 2 f + (0 - S f = л/2 ^ +3* = ^/Tз.
Боковые стороны трапеции равны между собой,
значит трапеция равнобедренная, а тогда углы при
ее основании равны, т. е. /.BAD = ZCDA.
О т в е т : si) AB C D — равнобедренная трапеция;
в) ZBAD = Z.CDA.
Задача 7. Треугольник задан
координ атам и своих верш ин
А { 2 ; 2 у 1 з ) , В ( 0 ; 0 ) и С( 3 ; >/з ).
Найти углы треугольника ABC.
Дано:
ААВС;
Л( 2; 2>/3) .
В (0; 0) и С (3; л/з ) (рис. 183).
Н а й т и : ZA; ZB и ZC.
Р е ше н и е . Найдем длины сто­
рон ААВС:
239
|ВА| = ^ (2 -0 )~ + { 2 y f 3 - o J = JT7T2 = 4;
ВС\ = j ( 3 - 0)~ + (У з -
=>/9-^3 = 2>/3;
АС| = ^ (3 - 2)^ + (л/з - 2 y[zJ = л/ГГз = 2.
Так как ВА'^ = ВС- + ЛC^ поскольку 4* = |2л/з j + 2^
т. е. 16 » 12
4. то ЛАВС прямоугольный и Z C *= 90*.
Катет АС = 2 =
ВА, а катет, равный половине ги­
потенузы. лежит против угла в 30”. Значит, Z B =• 30*, а
тогда ZA “ 60 .
О т в е т : Z A - 60*; ZB - 30*; ZC = 90*.
Задачи для самостоятельного решения
1. Проверить, являются ли данные точки А, В, С, D
вершинами параллелограмма, если:
1 )А (1 ; 3 ),В (4 ; 7), С (2; 8 ), D (-1 ; 4);
2) А (1; 0), В (3; 4), С (2; -1 ), D (2; 5).
2. Найти периметр треугольника ABC и величины
его углов, если: А ( 6 ; 7), В (3; 3), С (1; -5 ).
3. Определите вид треугольника ABC, если А (1; 0),
В (1 ;3 ),С (4 ;3 ).
4. Найти координаты середины отрезка АВ, если:
1 )А (3 ; - 2 ), В (5 ; 12);
2) А (-4; 3), В (-2 ; 5).
5. Найти координаты концов отрезка, лежащих на
осях координат, если его середина находится в
точке: 1) (2; 1); 2) (3; 4).
6 . Найти координаты точки пересечения медиан
треугольника ABC, если:
1 ) А (9 -7 ). В (1 ; 5),
Г (-10: -4):
2) А (1 3), В (3 ;- 7 ), С (- 1 ;4 );
3) А (2 -2 ), В (- 3 ; 1), С (0 ; 2);
4) А (2 -3 ), В( 4 ; 4 ) ,
С (- 3 ;5 ).
240
7. Найдите углы треугольника, спороны которого
расположены на прямых, заданных уравнения­
ми: 18х + 6 у - 17 = 0; 14х - Ту + 15 = О;
5х + 10у - 9 - 0.
8 . 1) Прямая задана уравнением 2//- Зх + 6 = 0.
Записать координаты каких-лиГю двух точек А
и В, принадлежащих данной прямой, и коорди­
наты середины отрезка АВ.
2) Доказать, что четырехугольник A B C D , за­
данный координатами своих вершин Л (1; 3),
В (3; 1), С ( 6 ; 4), D (4; 6 ), — прямоугольник.
9. 1) Найти длину медианы, проведенной из вер­
шины /’ треугольника ИР\1, если точки М , Р, Н
имеют координаты (1; 11), (В; 2); (-15; 9) соот­
ветственно.
2) Доказать, что параллелограмм A B C D , за ­
данный координатами своих вершин А (4; 1),
В (0; 4), С (-3 ; 0), D (1; -3 ), являотся квадратом.
10. Найти координаты концов какого-либо отрезка,
лежащего на прямой Зу )- 5х - 15 - О, и коорди­
наты его середины.
11. 1) Вершины треугольника ABC имеют коорди­
наты А (11; 1), В (2; 8 ), С (9; -15). Найти длину
медианы, проведенной из верши!1ы В.
2) В параллелограмме A B C D диагонали пересе­
каются в точке О. Координаты точек А, В, О рав­
ны (1; 1), (-1 ; 7), (3; 3) соответственно. Доказать,
что данный параллелограмм является ромбом.
12. 1) Найти координаты середины отрезка с кон­
цами А (1; 3), В (3; 1).
2) Точка Л лежит на положительной полуоси аб­
сцисс и удалена от начала координат на 2. Точ­
ка В имеет координаты (14; 5). Найти расстоя­
ние АВ.
13. 1) Даны точки Р {2; 2) и Я ( 6 ; G). Найти коорди­
наты, точки М , делящей отрезок P H пополам.
16 — К. X. Абдуллаев и др.
241
2) Точка С имеет координаты (5; 15), а точка D
лежит на положительной полуоси ординат и уда­
лена от начала координат на 3. Найти расстоя­
ние CD.
14. I ) Даны точки А (1; 2) и В (0; 0). Найти коорди­
наты точки С, если известно, что точка В есть
середина отрезка АС.
2) На оси абсцисс найти точку, равноудаленную
от точки А ( 1 ; 2 ) и начала координат.
15. 1) Начало координат долит отрезок A M пополам.
Найти координаты точки М , если координаты
точки А равны (4; 4).
2) На оси ординат найти точку, равноудаленную
от точки М ( - 1 \ - 3 ) и начала координат.
16. 1) Точки А и В имеют координаты А (1 ; 2),
3 ( 7 ; 10). Найти координаты (дс; у) точки С, де­
лящей отрезок А В в отношении 1 : 3, считая от
точки А.
2) Лежат ли точки А (-3 ; 2), В (2; 2), С (2; 14) на
одной прямой?
17. 1) Точка М принадлежит отрезку РК, причем
Р М : М К — 2 :1 . Найти координаты точки К, если
координаты точек Р и М равны ( 6 ; 3) и (14; 9)
соответственно.
2) Принадлежит ли точка Н (3; -5 ) отрезку М Л
е с л и Л / (1 ;-2 ), Р (5 ; - 8 )?
18. 1) Координаты всех вершин некоторого треуголь­
ника — четные числа. Доказать, что площадь этого
треугольника выражается натуральным числом.
2) Используя формулы метода координат, най­
ти пару чисел х, у, удовлетворяющих условию
^(х - 1)^ -ь («/ - 1)^ = V-t* +
= -Jx* -ь (у - 1)* .
19. 1) Координаты вершин А и Б квадрата A BC D
— целые числа. Доказать, что координаты то­
чек С к D также целые числа.
242
2) Используя формулы метола координат, ре­
шить систему уравнений:
y jx ^ + {y -lf
- Г
yjx^ + у ^ = ^ { x + l f -h ( у - 1 ) \
20. 1) Треугольник задан координатами своих вер­
шин А (4; 2), В (0; - 6 ), С (-4 ; 2». Доказать, что
этот треугольник равнобедренный.
2) В равнобедренном треугольнике ABC основа­
ние равно 12, а высота ОВ равна 4. Найти длину
медианы, проведенной из вершины А .
21. 1) Даны точки М (3 ; 1), К (0; 0), Р (0 ; 2). Будет
ли треугольник М Р К равносторонним?
2) В равнобедренном треугольнике Р К Н медиа­
на К М , проведенная к основанию, равна 8 . Най­
ти длину медианы, проведенной из вершины Я ,
если H P = 20 .
22. 1) Даны точки М (0; 4), Р (2; 1), К (2; -2), Т (0; -5);
а) доказать, что четырехугольник М Р К Т — тра­
пеция; б) равны ли углы М Р К и РКТ?
2) В треугольнике М Р К с углом Л/, равным 45 ,
высота К Н делит сторону М Р на отрезки 4 и б,
считая от вершины М . Найти длину медианы,
проведенной из вершины М .
23. В треугольнике ABC: АВ = 4. АС = G, ZA = 60’ .
Найти медиану, проведенную из вершины Л.
24. 1) Даны точки А (4; 1), В (7; 3), С (2; 4). Найти
углы треугольника ABC.
2) В треугольнике КНР: /СЯ « 8 Л , /СР = 18, ZA" - 45*. Найти медиану, проведен)1ую из вершины К.
25. В прямоугольнике ABCD точка К делит диагональ B D в отношении 2: 1, считая от вершины В.
Точка Е — середина стороны CD. Используя
метод координат, доказать, что точка К принад­
лежит отрезку АЕ и делит его в отношении 1 : 2.
243
26. В ромбе M T H D точка К принадлежит диагоип.111 TD. ТК : КО - 2 : 1 . Точка Е делит отрезок
H D пополам. Используя метод координат, дока­
зать, что точка К принадлежит отрезку M E и
делит его в отношении 1 : 2 .
27. Найти геомотрпчрскор место точек плоскости
ху, для которых
= 3.
28. Даны точки А (-3; 2) и В(1; 1). Доказать, что
отрезок АВ пер<ч;екает ось у, но не пересекает ось .г.
29. Какую из полуосей оси у (положительную или
отрицательную) пересекает отрезок АВ в преды­
дущей задаче?
30. Найти расстояние от точки А { 3; 4) до:
1 ) оси х;
2) оси у.
31. HaiiTH координаты середины отрезка АВ, если:
1) Л (1; -2), В (5 ; 6 );
2 ) .4( 3; 1). В ( 1; 2 ):
3)Л(5;7),
В (-3 ;-5 ).
32. Томка С — середина отрезка АВ. Найти коорди
каты второго конца отрезка АВ, если:
1) А ( 0 :
1),
Г ( - 1 ; 2) ;
2) С (1: -1), А (- 1 ; -3 );
3)А(0:0).
С (- 2 ;2 ).
33. Доказать, что четырехугольник A B C D с верши­
нами в точках А ( - 1 ; -2 ), В (2; -5 ), С (1 ; -2 ),
D (-2 ; 1) является параллелограммом. Найти ко­
ординаты точки пересечения его диагоналей.
34. Даны три вершины параллелограмма ABCD:
А (1; 0), В (2; 3), С (3; 2). Найти координаты чет­
вертой вершины D и точки пересечения его диа­
гоналей.
35. Найти координаты середин сторон треуголь­
ника с вершинами в точках 0 (0 ; 0), А (0; 2),
В (-4 ; 0).
244
36. Даны три точки А (4; 2), В (1; 2), С (-2 ; 6 ). Най­
ти расстояния между этими точками, взятыми
попарно.
37. Доказать, что точки А, В, С в задаче 36 лежат на
одной прямой. Какая из них ложит между дву­
мя другими?
38. Найти точку, равноудаленную от осей координат
и от точки А (3; 6 ).
39. Доказать, что четырехугольник AB C D с верши­
нами в точках А (4; 1), В (0; 4), С (-3; 0), D (1; -3 )
является квадратом.
40. Доказать, что четыре точки (1; 0), (-1 ; 0), (0; 1),
( 0 ; - 1) являются вершинами квадрата.
§ 13.2. Уравнение окружности
Задача /. По заданному уравнению линии
+
+
4х - 2у - 4 *= О выяснить ее геометрические
свойства.
Д а н о : уравнение
+ 4х - 2у - 4 — 0.
О п р е д е л и т ь : геометрические свойства этой ли ­
нии.
Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть уравнения,
выделив квадраты с переменными х и у.
X* -Ь 4х + 4 - 4 -I-
- 2у + 1 -
- 1 - 4 = 0;
(X + 2)2 - 4 -t- (у - 1)- - 1 - 4 - 0;
(X +
+ (у - 1)» = 9 .
Данное уравнение является
уравнением окружности с цент­
ром в точке ( - 2 ; 1) и радиу­
сом 3 (рис. 184).
О т в е т : (л: + 2 )^ + (у - 1)* =
= 3- — окружность с центром
в точке ( - 2 ; 1 ) и радиусом
Д = 3.
У ,
\
(
\
/
\ д
1
о
/
►
^
•'*
Рис. 184
245
Задача 2. Определить взаимное расположение
окружностей (пересекаются, касаются, не имеют об­
щих точек).
1) ( X + 2)^ + { у - 1)^ - 16 и (X + 2У + {у + 5 У ^ 25;
2) { X - 1)2 + («/ + 3)* - 4 и (X + 2)2 + ( у - 1)2 - 9.
1)
Д а н о : окружности (х + 2 )* + (у - 1 )* = 1
и (X + 2)2 + (у 4 5)2 - 25.
О п р е д е л и т ь : взаимное расположение этих ок­
ружностей.
Р е ш е н и е . На данном чертеже строим две ок­
ружности: с центром О, (-2 ; 1) и радиусом Л, - 4, с
центром O j(-2 ; - 5 ) и радиусом
= 5 (рис. 185).
Расстояние между центрами окружностей 0,0^=
= 1- (-5 ) —6 , а сумма радиусов этих окружностей рав­
на
- 4 + 5 - 9.
Итак, 0 ,0 j< Д, + R^, тогда окружности пересека­
ются (А к В — точки пересечения окружностей).
2
) Д а н о : окружности (х - 1)2 + (у + 3)2 =
и (X + 2)2 +
1)2 - 9.
О п р е д е л и т ь : взаимное расположение этих ок­
ружностей.
Р е ш е н и е . На одном чертеже строим две ок­
ружности: с центром 0,(1; - 3 ) и радиусом Л, “ 2, с
центром O j(-2; 1) и радиусом
- 3 (рис. 186).
246
Находим расстояние между их центрами:
0,0= ^(1 - (- 2 ) f + (-3-1)“ = VF+1^ = V25 = 5.
Сумма радиусов этих окружностей равна R^ +
=
» 2 + 3 5. Из того, что 0 ,0 , = /?, + /?,, следует, что
окружности касаются (С — точка касания данных
окружностей).
О т в е т ; 1) окружности пересекаются; 2) окруж­
ности касаются.
Задача 3. Найти уравнение окружности с цент­
ром 0 (3 ; -4 ), которая проходит через точку (3; 2).
Д а н о : О (3; 4) — центр окружности; точка (3; 2)
лежит на окружности.
Н а й т и : уравнение окружности.
Р е ш е н и е . Окружность с центром в точке
О (3; -4) имеет вид: (х - 3)- -f (t/ ^ 4)- =- R-, где R —
радиус данной окружности.
Из условия прохождения окружности через точ­
ку (3; 2) следует, что (3 - 3)^ + (2
4)^ =
откуда
Д- * 6 * — 36, Тогда уравнение искомой окружности
имеет вид: (х - 3)* + (у + 4)- * 36.
О т в е т : (х - 3)* + («/ + 4)^ — 36.
Задачи для самостоятельного решения
1. Какие из точек Л (2; 1), В (3; - 2 ), С ( - 3 ; 2),
D ( - 2 ; - 4 ) лежат внутри круга, ограниченного
окружностью:
1) х^ +
9;
2 ) ( х - 1)^ +
16;
3) (X + 2)2 + (у - 1)* = 25?
2. Написать уравнение окружности:
1) с радиусом 3 и центром в точке (1; -2 );
2) с центром в точке (-2 ; 3), проходящей через
точку (-5 ; 6 );
3) с центром в начале координат, касающейся
прямой у = 2 ;
247
t) с центром в точке (-3 ; 2). касаюи1ейся оси Ох\
5) с диаметром M N , если М (3; -5 ), N(l\ -3 );
6 ) касающейся осей координат в точках (-3 ; 0),
(0; -3):
7) проходящей через точки А (2; -2 ), В (1; -1 ),
С (О: 2).
3. Дана окружность (х + 1 + (у - 1)- = 1. Соста­
вить уравнение окружности:
И симметричной данной относительно оси Ои\
2)
С и У .У ^ 'Т ^ Г Л -и и ч п Д Л М Н О П O TH i4'H TO n V \U '> о о и
Ох\
3) симметричной данно!! относительно начала
координат.
4. Определить взаимное расположение окружно­
стей (пересекаются, касаются, не имеют общих
точек):
1) (X - 1)- + (// + 2)- = 5 и (X - I f + (у
2)- = 9;
2) {X - 3)- + (у - 1)- = 9 и (X + 5)’ + (у + 2)- » 16.
5. Доказать, что линия, заданная уравнением
1) JT2х ^ у^ = 0 ;
2 ) дг- -t- у - .{у = 0 ;
3) д:- + (/-- 2х + 4 .1/ - 4 = 0;
4) х- - 1/--SX + 2t/‘ - 6 4 = 0 ,
является уравнением окружности.
в. 1) Написать уравнение окружности с центром
А (-3 ; 2), проходящей через точку В (0; -2).
2) Определить, имеют ли общие точки линии, за­
данные уравнениями:
{X - 3)- + (jy-2)- = 9 и (X - 9)2 + ( у - 10)- = 4.
7. 1, Установить, принадлежит ли точка А (1;>/3)
окружности с центром ( 2 ; 0 ) и радиусом, рав­
ным 2 .
2) Определить, сколько общих точек имеют ли­
нии (.г ♦ I)- ( (// + 3)- ^ 9 и (.г f 1)2 ( (</ - 1)• = 4.
8 . 1) Написать уравнение окружности с центром
А (2; 1). проходящей через точку В (5; 5).
248
2) Используя метод координат, доказать, что
..
система уравнении
(.V - 1) ’ + (//- 2 )-^ -1.
'
(л: - 9) f (//-8) - 64
имеет только одно решение.
9. 1) Установить, принадлежит ли точка г коор­
динатами (1; 7) окружности с центром (0; 3) и
радиусом, равным 3.
2) Используя меточ кс'орчииат. доказать, мто сис­
\\
тема уравнении
.)
(
- И),
(л- - 2)’ + (.V + У) = 49
ие имеет peiuennii.
10. 1) Построить окружность. ;{аданиую уранпсиием
( х - 3 ) 2 + («/+ 2 ) - '- 4 .
2) Окружность с центром в точке О (-4 ; 2) пере­
секает ось ординат в точке А (0; 5). Написать
уравнение этой окруясиости,
11. 1) Построить окружность, ,1аданную ураииемием
(X + 2)- + (у - 1)- ■= 9.
2) Окружность с центуюм г. точке О (2; -4 ) пере­
секает ось абсцисс в точке Л (5: О). Написать урав­
нение этой окружности.
12. 1) Построить окружность, заданную уравнени­
ем
+ {у + 3)^ « 9.
2) Окружность проходит через точки Л (2; 0) и
В (-2 ; 6 ). Написать уравнение этой окружности,
если известно, что ее центр лежит на прямой АВ.
13. 1) Построить окружио(.‘ть, заданную уравнением
(X + 2)2 4= 4.
2) Отрезок М Н является диаметром окружнос­
ти. Написать уравнение этой окружности, если
известно, что точки М \\ Н имеют координаты
( 0 ; 2 ) и ( 6 ; - 2 ), сооти(гтстиенно.
14. Доказать, что линия, заданная уравнением
4- бх
— О, является окружностью. Являет249
ся ли отрезок АВ, где А (- 1 ; ^f5 ) и В ( - 6 ; - л/б ),
диаметром этой окружности?
15. Доказать, что линия, заданная уравнением
JC*
у ^ - 6 у - 7 “ О, является окружностью.
Является ли отрезок CD, где С (2; 2>/з+ 3) и
D ( - 2 ; 3->/3), диаметром этой окружности?
16. Найти на окружности, заданной уравнением
г* + у- — 169, точки: 1) с абсциссой 5; 2) с орди­
натой 12 .
17. Даны точки А (2; 0) и В (-2 ; 6 ). Составить урав­
нение окружности, диаметром которой являет­
ся отрезок АВ.
18. Даны точки А (-1? - 1 ) и С (-4 ; 3). Составить
уравнение окружности с центром в точке С, про­
ходящей через точку А.
19. Найти центр окружности на оси Ох, если изве­
стно, что окружность проходит через точку ( 1 ;
4) и радиус окружности равен 5.
20. Составить уравнение окружности с центром в
точке (1; 2), касающейся оси Ох.
21. Составить уравнение окружности с центром
(-3 ; 4), проходящей через начало координат.
22. Какая геометрическая фигура задана уравнением: х^ +
^ + ^ - с >0
^ 4 4
23. Найти координаты точек пересечения двух "ок­
ружностей: X* + у* - 1; X* + у * - 2 х + I/ - 2 - 0 .
ах + by + с - О,
24. Найти координаты точек пересечения окруж­
ности X* + у* - 8 х - 8 у + 7 - О с осью Ох.
25. Доказать, что окружность х* + у* + 2ах + 1 —0,
aj > 1 не пересекается с осью Оу.
26. Доказать, что окружность х*. +
сается оси Оу, а * О .
250
+ 2ах — О ка­
§ 13.3. Уравнение прямой
Задана 1. Цан треугольник ABC, координаты вер­
шин которого А (-3 ; 2), В (1,5; 5) и С (5; -7 ). Соста­
вить уравнение медианы, выходящей из вершины В.
Д а н о : ААВС; Л (-3 ; 2 );
В(1,5:5)
В (1,5; 5); С (5; -7 ); B D — ме­
диана (рис. 187).
Н а й т и : уравнение BD.
Р е ш е н и е . Координаты
точки D находим как коорди­
наты середины отрезка АС.
„ _
_
Хп —---------,,
= 1.
_ Ул+Ус _ 2 - 7
У о - — -------------
_
о ::
2,5.
Находим уравнение пря­
мой B D как уравнение пря­
мой, проходящей через две
точки В и D:
^ У - У в . т. е. X - 1.5
1-1,5
Уо-Ув
х -1 .5
С (5 ;-7 )
Рис. 187
и-Ъ
-2.5-5
=> 5(х - 1,5) = у - 5 => {/ = 5х - 2,5.
-0 ,5
О т в е т : у * 5 х - 2,5.
Составить
уравнение прямой, проходя­
щей через точку А (4; -3 ) и
отсекающей на осях коорди­
нат треугольник площадью
3 квадратных единицы.
Д а н о : Л (4; -3 );
=■
3 кв. ед. (рис. 188).
С о с т а в и т ь : уравнение
прямой ЛВС.
Задача
2,
А(4;-3)
Рис. 188
251
Р е ш е н и е . Уравнение прямой в отрезках на осях
имеет вид: ^
= \ , где а — отрезок, отсекаемый
а h
данной прямой на оси Ох, а Ь — отрезок, отсекаемый
прямой на оси Оу.
Итак, OR - а: ОС = Ь.
По условию задачи
= 3. Площадь прямо­
угольного треугольника ВОС равна половине про­
_
аЬ
изведения его катетов, т. е. S.
'jflor ~ 2 *
3 И аЬ -
6 или
аЬ =
- 6 (е с л и о т р е з к и
а и Ь будут иметь разные знаки). Искомая прямая
проходит через точку А (4; -3 ), а потому ее коорди- дг у 1
наты удовлетворяют уравнение прямой
+ = 1, и
4
-3
,
"
тогда — + — = 1 .
а
Ь
Для определения а и Ь следует решить две системы:
аЬ
1)
6
=
ab
2)
i - 3 = l
а
jab
Ь
b
.a
6
[4ft - З а
ab
=
ab = 6
4b - За
=
ab
=
6
ab
^
^
^ _ 6 + Зо
ab
=
-6
-6
3u
4
VF
— 6 + 3fl
4
4
6 a - 24 = 0
3a2-6a + 24 = 0
—6 + 3a
_ 6 + За
4
252
=
_ - 6+
IX
a2 + 2a - 8
=
4b - 3a
4
+
= -6
4b - 3a
^ _ 6 + За
За^
-6
=
1 - 3 = 1
4
=
0
a ^ - 2a + 8 = 0
Используя теорему Виета для отыскания a^ и
для системы 1), получим:
а = 2
1) а1 = - 4
4
6-12
2
Система 2) не имеет решения, так как дискрими­
нант квадратного уравнения D — 9 - 72 < 0.
Итак, условию данной задачи удовлетворяют две
прямые, проходящие через точку А: — + - = 1
X
-4
+. ^У _= 1
и
3
2
-3
Ответ:
—+
2
3
1;
-3
—
-4
Задача 3. Написать уравнения сторон квадрата,
если сторона его равна а, а за оси прямоугольной де­
картовой системы координат
У .
приняты его диагонали.
у
Д а н о : AB C D — квадрат;
А В = а; СОА и BO D — диаго­
нали (рис. 189).
Н а й т и : уравнения АВ, ВС,
CD, AD.
/
с\
в
<
0
\
.
Р е ш е н и е . По теореме Пи­
фагора из п р ям оугольн ого
тр еугольн и к а А О В имеем:
Рис. 189
ОА* ОВ^ = АВ^. По свойству диагоналей квадрата
2
ОА = ОВ - ОС ” 0D, а тогда 2 • ОА* = а^, ОА* — — =>
0А =
= O B ^ O C = OD.
Тогда координаты вершин квадрата будут:
А
12
; ви
^
1
2 J
; С
;
.
2
^
D
2 ^
253
Уравнения сторон квадрата записываем в отрез­
ках по осям:
AS:
^
аУ2
аУ2
2
2
JBC: — ^
- аУ2
2
CD:
= 1, откуда х + у -
;
2
^ = 1, откуда х - у =
аУ2
;
2
2
—
- аУ2
^ = 1, тогда х + у =
- ау2
2
AD: —
аУг
2
'
2
Г
= 1, тогда х - у =
.
2
Ответ
‘Т :х + у ~
.
;х- у = —
х + у=
ауЦ
2
Задача 4. Найти уравнение прямой, проходящей
через точку Р (3; - 4 ) и составляющей с положи­
тельным направлением оси Ох угол 60’.
Д а н о : Р(3; -4 ); ZABx » 60*
(рис. 190).
Н а й т и : уравнение пря­
мой АВР.
Р е ш е н и е . Уравнение пря­
мой А В Р имеет вид: у ^ кх Ь,
где к — угловой коэффициент
данной прямой.
к - tg60‘ - -Уз .
Итак, у - V3 дс + ь. Из условия задачи прямая
А В Р проходит через точку Р (3; -4 ), поэтому ее ко­
ординаты удовлетворяют уравнению этой прямой
и тогда - 4 * У з -3 + 6 =» & = - 4 - з Т з . Итак,
уравнение прямой у - > ^ х - 4 - 3 > / з .
Уравнение АВР: у - > ^ х + 4 + 3>/з**0.
О т в е т : у - > / З х + 4 + 3>/з = 0 .
254
Задачи для самостоятельного решепия
1. Построить прямую, проходящую через две точки
А (-3 ; 2) и В (3; 4).
2. Построить прямую, проходящую через начало
координат и через точку С (3; -2 ). Составить ее
уравнение.
3. Треугольник задан своими вершинами: А (-5; -5),
В (1; 7) и С (5; -1 ). Требуется составить уравне­
ния сторон и медиан этого треугольника.
4. Составить уравнения прямых, проходящих через
точку N (4; -3 ) и параллельных осям координат.
5. Составить уравнения прямых, проходящих через
точку Р (5; - 2 ) и перпендикулярных осям коор­
динат.
6 . Определить точки пересечения примой Зх - 2 у -
- 12 * О с осями координат и построить эту пря­
мую в отрезках по осям.
7. Даны уравнения прямых в общем виде. Тре­
буется записать уравнение их п отр1’зках по осям:
1) 2г
Зу - 6 - 0;
2) 2х - 3t/ + 6 = 0;
3) 3{/ - 2 х ^ 6 = 0;
4) 2.г -ь 3// + б = О.
8 . Центр симметрии квадрата находится в нача­
ле координат, уравнение одной из его сторон
X -t- 3{/ - 5 - 0. Составить уравнения трех других
его сторон.
9. Вычислить площадь треугольника, отсекаемого
прямой Зх - 4у - 12 -= О от координатного угла.
10. Провести прямую так, чтобы точка М (2; 1)
была серединой ее отрезка, заключенного меж­
ду осями координат.
11. Прямая отсекает на осях координат в первой чет­
верти равные отрезки. Составить уравнение пря­
мой, если площадь треугольника, образованного
прямой с осями координат, равна 18 кв. ед.
255
12. Составить уравнение прямой, проходящей че­
рез точку Б (0; 8 ), если площадь треугольника,
оПразовашюго прямой и осями координат, рав­
на 1G кв. од.
13. Определить площадь треугольника, образованно­
го прямой 5д- 8 //- 40 = О с осями координат.
14. Дана прямая 2х Зу
о = 0. Составить уравне­
ние прямой, проходящей через точку М (4; -5):
1 ) параллельно данной прямой;
2 ) пс'рнендпкулярно данной прямой.
15. Составить уравнение прямой, про.ходяще!! через
точку ,V ( 3; I) и составляющей с положитель­
ным направлением оси Оу угол 60 .
16. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку N(3; 5) и составляющей с положительным
направлением оси Ох угол 45 .
17. Найти угловой коэффициент прямой Зх - 7у +
+ 2 = О и построить ее.
18. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку Р{3; 5) и составляющей! с положитель­
ным направлеиие.м оси абсцисс такой же угол,
как прямая 4дг - Зу + 9 = 0.
19. Какая из прямых 2х Зу -t 4 = О и х у ^ О
отсекает на оси ордииат болычий отрезок?
20. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку Af( l; -3 ) и составляющей с положитель­
ным направлением оси абсцисс такой же угол,
что и прямая
3
о
у = —
X- 2
.
21. Определить, какая из прямых 2х Зу t 4 = 0
и X I/ = О составляет больший угол с положи­
тельным направлением оси ординат.
22. Найти тангенс угла наклона прямой Зх - Лу +
+ 13 = О с положительным направлением оси
абсцисс и определить, какой отрезок она отсека­
ет на оси ординат.
256
23.
Написать уравнения двух каких-либо прямых,
но таких, чтобы первая из них составляла с по­
ложительным направлением оси абсцисс угол,
в два раза больший, чем вторая прямая.
24. Дана прямая Зх - 4i/ + 5 = 0. Определить угло­
вой коэффициент k прямой:
1 ) параллельной данной прямой;
2 ) перпендикулярной данной прямой.
25. Дано уравнение прямой —+
3
5
= 1. Требуется най-
ти величину угла, образованного этой прямой с
положительным направлением оси абсцисс.
26. Какой угол образует прямая, проходящая через
точки А (2; 0) и В (4; -2 ), с положительным на­
правлением оси абсцисс?
27. Определить угловой коэффициент и отрезок, от­
секаемый на оси ординат прямой, заданной урав­
нением:
1) З х - 2 у + 8 = 0 ;
2) З х- у + 3 = О;
3) X + у - 3 « 0.
28. Составить уравнение прямой, зная ее угловой ко­
эффициент k и отрезок Ь, отсекаемый на оси Оу:
1 ) f t = | , 6 = 2;
3) k = - 5 , b = - 3;
2 ) k = 2, b = -3',
4) А = - 2 . 6 = 5.
29. Вычислить угловой коэффициент прямой, про­
ходящей через две точки А (3; 5) и В (-2 ; 4).
30. 1) Написать уравнение прямой, проходящей че­
рез точку А (9; 3) и перпендикулярной оси Ох.
2) Прямая задана уравнением 2х - Зу + 15 = О.
Принадлежат ли точки М {3; 7 ) и Н (5; - 6 ) этой
прямой?
3) Выяснить взаимное расположение прямой
X “ 19 и окружности (х - 7)^ + (у + 6 )* = 81.
31. 1) Написать уравнение прямой, проходящей че­
рез точку В (-3 ; 10) и перпендикулярной оси Оу.
17 —
к. X .
Абдуллаев и др.
257
32.
33.
34.
35.
258
2) Принадлежат ли точки А (3; - 5 ) и В (4; 2)
прямой 7ж - 5у - 18 - О?
3) Выяснить взаимное расположение прямой
«/ — 30 и окружности (х - 5)* + (у - 10)* = 100.
1) Найти площадь треугольника, который обра­
зуется при пересечении прямой 2х + у + 4 ^ О
с осями координат.
2) Написать уравнение прямой, проходящей че­
рез начало координат и точку Л (2; -10).
3) Выяснить взаимное расположение прямой
JC - 10 и окружности ( х - 1 ) * -t- ( у - 3 0 )* » 81.
Найти расстояние от центра окружности до этой
прямой.
1) Найти площадь треугольника, который обра­
зуется при пересечении прямой у - Зх + 6 = О
с осями координат.
2) Записать уравнение прямой, проходящей че­
рез точки А (-2 ; - 9 ) и В (0; 0).
3) Выяснить взаимное расположение прямой
у “ 27 и окружности {х + 5)* + (у - 17)* - 100.
Найти расстояние от центра окружности до этой
прямой.
1) Найти площадь треугольника, который обра­
зуется при пересечении прямых 2х у + 4 * О,
X - - 1 и оси абсцисс.
2) Написать уравнение прямой, проходящей че­
рез точки А (1; 10) и В (-1 ; -4 ).
3) Выяснить взаимное расположение прямой
X + у - 1 и окружности X* -I- у* - 1. Найти рас­
стояние от центра окружности до этой прямой.
1) Найти площадь треугольника, который обра­
зуется при пересечении прямых у - Зх -I- 6 - О,
I/ ^ 3 и оси ординат.
2) Даны точки М (7; 3), Р (-1; -2). Написать урав­
нение прямой М Р .
’’
3) Выяснить взаимное расположение прямой
у - х - 1 —Ои окружности X* у* * 1. Найти рас­
стояние от центра окружности до этой прямой.
36. Даны две точки А и В, расстояние между ними
равно 4. Найти множество всех точек М , для
которых МА^ + M B - * 10 .
37. Даны две точки А и В, расстояние между ними
равно 4. Найти множество всех точек М , для ко­
торых М А ^ - М В ^ - 4.
38. Составить уравнение прямой АВ, если:
1 )А (2 ; 3), В (3 ; 2);
2) А (4; - 1 ).(- 6 ; 2);
3 )А (5 ; -3 ). В (- 1 ;- 2 ).
39. Чему равны коэ(1к|)ициенты а п ft в уравнении
прямой ах ^ by ^ 1, если известно, что она прохо­
дит через точки ( 1 ; 2) и ( 2 ; 1 )?
40. Найти точки пересечения с осями координат пря­
мой, заданной уравнением:
1 )х + 2у + 3 - 0 ;
3)3х-2у + 6^0;
2) 3х + 4 у = 1 2 ;
4) 4х - 2у - 1 0 0 .
41. Найти точку пересечения прямых, заданных урав­
нениями:
1) X + 2у + 3 * О и 4х + 5у + 6 = 0;
2) Зх - {/ - 2 “ О и 2х + у - S ^ 0;
3) 4х + 5|/ f 8 - О и 4х - 2// - G - 0.
42. Доказать, что три прямые х + 2«/ — 3, 2х - — 1
и Зх + I/ -= 4 пересекаются в одной точке.
43. Найти координаты точки пересечения медиан
треугольника с вершинами (1; 0), (2; 3), (3; 2).
44. Среди прямых, заданных уравнениями, указать
пары параллельных прямых:
1) X + J/- 1;
3) X - у = 2; 5) у * 3;
2) у - X - 1;
4) I/ “ 4;
6 ) 2х ^ 2у + 3 - 0.
45. Составить уравнение прямой, параллельной оси
Оу и проходящей через точку (2; 3).
46. Составить уравнение прямой, параллельной оси
Ох и проходящей через точку (2; 3).
47. Найти острые углы, которые образует заданная
прямая с осью Ох:
1 ) 2 у - 2 х + 3; 2 ) х - У з - у * 2; 3 ) х + ул/з + 1 “ 0.
259
48. Найти точки пересечения окружности
с прямой: l ) i / = x + l ;
2) j/ = 3jc+ 1 .
1
49. При каких значениях с прямая х + у + с
и окружность
+ I/* = 1 :
1) пересекаются;
2 ) не пересекаются;
3) касаются?
о
50. Нпйти площадь фигуры, ограниченной прямыми:
1 ) 2 х - у + 4 - 0 , у » О, х = 0;
2) 2х - I/+ 4 “ О, у “ О, X = 1;
3 ) 2х - 1/ + 4 “ 0, у * О, X = 1;
х = 5;
4) 2 х - у + 4 = 0, у = 1, X = 1;
х = 5;
5 ) 2 х - у + 4 = 0, у = 1 , х = 10; х - 1, х = 5.
51. Найти угловой коэффициент прямой, если она:
1) задана уравнением 2х - Зу + 1 = 0 ;
2) образует угол 30' с осью Ох;
3) параллельна прямой 8 х + 4у + 3 = 0;
4) проходит через точки (1; 1) и (4; 3);
5) параллельна оси абсцисс.
52. Найти угол наклона прямой 2х + 6у + 1 « О к
оси Ох, если она проходит через точку:
1) М (1/2; 1/2);
2) N (1; 3); 3) Я ( - 2 ; 5).
53. Написать уравнения прямых
раженных на рис. 191 и 192.
260
т^,
, изоб­
54. При каких значениях а прямая
(а + 2)х + (а* - 9) «/ + 1 * 0:
1) параллельна оси абсцисс;
2 ) параллельна оси ординат?
55. Составить уравнение прямой, проходящей че­
рез точку А ( 1; - 2 ):
1) параллельно оси Ох;
2) образующей с осью Ох угол 135’ ;
3) параллельно оси Оу.
56. Даны точки М (1; 2), N { - 3 ; -2 ), Р (2; -1 ). Соста­
вить уравнение прямой, проходящей через:
1) точки М и N;
2) точки N и Р;
3) точки М и Р;
4) начало координат параллельно прямой M N ;
5) точку N параллельно прямой МР\
6 ) точку N перпендикулярно прямой М Р ;
7) точку Р и середину отрезка M N ;
8 ) середину отрезка M N перпендикулярно пря­
мой NP.
57. Найти точку перегечеиия прямых:
1) З х - «/ + 11 = О, З х - l i t / - 29 = 0;
2) 7х - 5j/ -t- 13 = О, - 2 х + I/ - 8 = 0.
58. Найти площадь фигуры, ограниченной прямы­
ми:
1)х-2у + 2-0,
х ч //-4 = 0, // = 0;
2) х- 2£/ + 2 - 0 ,
х + 1 / - 4 = 0. 1/ = 0; л := 1 ;
3)
X
- 2t/ + 2 “ О, X + J / - 4 - 0 , J/-0; х = 1 , х - 3 ;
4) X - 21/ + 2 “ О, X -I- у - 4 =- О, у = О; X - 4{/ + 1 = 0.
59. Найти периметр треугольника, стороны кото­
рого заданы уравнениями:
1) 5х - 3i/ - 15 = О, X f 5i/ - 3 = О, Зх -I- (/ -I- 5 = 0;
2) X -I- 2«/ + 3 - О, 2х f Зу + 5 “ О, х + 3i/ + 7 - 0.
261
§ 13.4. Уравнение эллипса
Задача /Найти длины осей эллипса 25х* + \6у^ —
400, и вычислить координаты его фокусов.
Д а н о : уравнение эллипса
25х=> + 16у* = 400.
Н а й т и : оси эллипса; ко­
ординаты фокусов.
Р е ш е н и е . Приведем дан­
ное >фавнение 25х^ + 16i/* “ 400
к каноническому виду ~ +" 7 = 1,
а
Ь
разделив обе части этого урав­
нения на 400.
Рис. 193
25х^
,
Получим----- + — — = 1, т. е. ^
„
400
Итак,
400
а* = 16
= 25 ’ ®
16
25
=1 (рис. 193).
а =4
_ 5 — полуоси эллипса.
2а = 8
— оси эллипса.
[26 = 10
Фокусы эллипса имеют координаты: F,(0; с) и
Следовательно,
Fj(0; -с ), где с - а* = ^ 2 5 -1 6 = 3.
Итак, /’j(0 ; 3) и F j(0 ; -3 ) — координаты фокусов
этого эллипса.
О т в е т : 2а « 8 ; 2Ь — 10; F j(0 ; 3) и F j(0 ; -3 ).
Задача 2. Вычислить площадь четырехугольни­
ка, две вершины которого находятся в фокусах эл­
липса
+ 25|/* - 225 = О,
а две другие вершины
совпадают с концами его
малой оси.
Д а н о : эллипс 9х* +
+ 25у2 - 225 = 0; F, и
F j — фокусы элли п са
(рис. 194).
262
Н а й т и : площадь четырехугольника AF^BF^, где
А \1 В — концы малой оси эллипса.
Решение.
Приведем уравнение эллипса к каX* /
1
ионическому виду:
• разделив обе части
а
ь
данного уравнения эллипса на 225.
Получим | | i *
- l =
=
а — 5; ft = 3 — полуоси эллипса.
Значит.
_______
Координаты (1юкусов (с; 0) и (-с; 0). где с = л/а“ -
=
= >/25 - 9 = 4. Итак, вершины искомого четырех­
угольника Л (0; 3), F j(4 ;0 ), Bj ( 0; - 3 ) , 0 ) . Этот
четырехугольник является ромбом, так как его сто­
роны AF, = f j B = BF^ ^ F^A как гипотенузы рав­
ных прямоугольных треугольников: ^OAF^ , AOF^B,
AOBF^ и AO FAЗначит, площадь ромба
равна:
S af,f, b = i F^F^-AB - I (2c) • (26) - 2bc = 2 • 3 • 4 - 24.
О т в е т : 24 кв. ед.
Задача .'j. Найти точку касания прямой 5х - 2у - 30 = О с эллипсом 15jc* + 24у^~ 1800 - 0.
Д а н о : прямая 5 х - 2 у - 3 0 “ О, эллипс 15х- <+ 24у^ - 1800 = 0 .
Н а й т и : точку касания прямой и эллипса.
Р е ш е н и е . Для нахождения точки касания
двух кривых следует решить систему уравнений:
5х = 2у + 30
5х-2«/-30 = 0
15х^ + 241/== -1800 = О
3{2у + 30)" + 24у' -1800 = О
5х = 2у + 30
12у^ + ЗбОу + 27000+ 24j/^-1800 = О ^
5х = 2у + 30
f5х = 2|/ + 30
36у2 + ЗбОу + 900 = О ^ |i/^ + 10у + 25 = О
263
5.r = 2y + 30
у + 5)‘ = 0
It
\5x = -10 + 30
y = -5
5x = 20
x = 4
У = -5.
Итак, прямая 5дг - 2y - 30 = О и эллипс 75х- + 24у*- 1800 - О имеют одну общую точку с координатами
(4; -5 ) — это и есть точка касания.
О т в е т : (4; -5 ).
Залами для самостоятельного решения
1. Составить уравнение эллипса, симметрично рас­
положенного относительно осей координат, с фо­
кусами на оси Ux, если:
1) его полуоси о = 7, ft = 3;
2) его большая полуось а = 4, а малая Ь = 3;
3) его большая полуось а = 5, а фокусное рассто­
яние 2с — 6 ;
4) его малая полуось Ь = 4, а фокусное расстоя­
ние 2с = 6 .
2. Составить уравнение эллипса, симметрично расиоложепиого относительно осей координат, с фо­
кусами на оси Оу, если:
1) его полуоси ti =■ 3, ft * 4;
2) его большая полуось 6 = 6 , а малая а = 3;
3) его большая полуось Ь = 8 , а фокусное рассто­
яние 2с =« 12 ;
4) его малая полуось а = 6 , а фокусное расстоя­
ние 2с = 16.
3. Для каждого из лтих эллипсов определить его
полуоси, координаты вершин и координаты фо­
кусов:
1) 9х- -I- 16t/* = 144;
4) х- + 9у- = 4;
2) 16х- + V - 144 = 0;
5) 4х- + 9у- = 1;
3) Ах- + у* - 9;
6 ) 0,25х" + «/* = 1.
4. Найти уравнение эллипса, вписанного в окруж­
ность так, что он касается окружности концами
264
своей большой оси, если уравнение окружности
ж* + у* * 100 и а - 2Ь.
2
2
5. Дан эллипс — + — = 1. Найти: его большую и
25
9
малую полуоси, фокальное расстояние, коорди­
наты фокусов и вершин.
6 . Доказать, что для всякой точки Р(х,; у,), лежа2
2
щей внутри эллипса — + ^^- = 1 , имеет место не-
Уг < l , а для всякой внешней
равенство _<i_ + -i_
о*
6®
2
2
точки Q(Xj; j/j) — неравенство *2 ^ ^2 ^ j
7. Сторона ромба равна 10. Через две противопо­
ложные его вершины проходит эллипс, фокусы
которого совпадают с двумя другими вершина­
ми ромба. Составить уравнение эллипса, приняв
диагонали ромба за оси координат, если коорди­
наты одного из фокусов эллипса F, ( 8 ; 0 ).
2
2
8 . Определить длину хорды эллипса — + — = 1, де18
9
лящей угол между осями пополам.
9. Дана окружность
+ «/* — 36, ординаты которой
сокращены в 3 раза. Требуется написать урав­
нение полученной новой кривой.
10. Составить уравнение атлипса, у которого расстоя• ния от фокуса до концов большой оси равны 1 и 9.
11. Дан эллипс 25х^ + 49у- - 1225. Определить дли­
ны осей эллипса и координаты фокусов.
12. Составить уравнение эллипса, у которого сумма
полуосей равна 8 и расстояние между фокуса­
ми равно 8 . .Фокусы лежат на оси ординат.
13. Дан эллипс 4х^ + 2Ьу- - 100 - 0. Определить
ординаты точек, абсциссы которых равны -3.
14. Составить уравнение эллипса, фокусы которого
расположены на оси абсцисс симметрично отно­
265
сительно начала коорлинат, если эллипс прохо­
дит через точку М ,( 2 ; - 2 ), а его большая полу­
ось а — 4.
15. Дан эллипс 15х* + 25у^-375 - 0. Через фокус
проведен перпендикуляр к его большой оси. Оп­
ределить расстояния от точек пересечения этого
перпендикуляра с эллипсом до фокусов.
16. Дан эллипс 16ж* + 7i/--112 = 0. Определить ко­
ординаты точек эллипса, расстояние которых до
фокусов равно 2,5.
17. Составить уравнение эллипса с полуосями а, Ь и
центром в точке С(х^; Уд), если известно, что оси
симметрии эллипса параллельны осям коорди­
нат.
18. Эллипс касается оси абсцисс в точке (5; 0) и пе­
ресекает ось ординат в точках (0; 5) и (0; 11).
Составить уравнение эллипса с осями, параллель­
ными осям координат.
19. Составить уравнение касательной к эллипсу в
точке (3; -3 ), если его уравнение Збх* + 12у* -4 3 2 - О.
20. Даны эллипс 25х* + Збу* - 900 - О и окружность
X* у* — Д*. Определить точки их пересечения,
количество этих точек и их расположение в за­
висимости от значения радиуса R.
21. Окружность (х - 5)* + (t/ - 3)* * 4 касается эл­
липса и проходит через его фокусы. Составить
уравнение эллипса, если его большая ось парал­
лельна оси абсцисс.
22. Известно, что точка М (2; - 3 ) принадлежит элX* V*
липсу ~7 ” 7 “ ^ • Найти координаты еще трех
а
ь
точек, принадлежащих эллипсу. ^
^
23. Как запишется ур>авнение эллипса ^
~ ^ • если
его повернуть на 90' вокруг начала координат?
266
24. Построить лннпю, которая получится, если:
1 ) ординаты точек окружности дг- + у* — 16
уменьшить в 2 раза, не изменяя абсцисс;
2) абсциссы точек окружности х- + i/- * 9 умень­
шить в два раза, не изменяя ординат.
25. Составить уравнение линии, полученной сжати­
ем окружности X* +
= 25 к оси Ох с коэффи­
циентом сжатия k, если:
1) А = 3/5;
2) Л = 2/5.
26. Определить радиус окружности, сжатием кото­
рой к оси Ох получен эллипс:
2
2
l ) i E _ , i L = l ;
16
9
2
2
25
16
=
27. Составить уравнение эллипса, проходящего че­
рез точки М н N, если:
1) М(4; 0), N { - 2 ; 3); 2) М (3; -2 ),
; 0).
§ 13.5. Гипербола
Задана I . Составить уравнение гиперболы, распо­
ложенной симметрично относительно осей координат,
у которой фокусное расстояние равно 10 и “ “
Д а н о : гипербола, 2с - 10 — фокусное расстояс
5
а
4
ние, — = —, а — полуось.
Н а й т и : уравнение гиперболы.
Р е ш е н и е . Уравнение искомой гиперболы будем
и — полуоси гиперболы.
^
искать в виде: “ Т “ ^ » где а и о
а
Ь
По условию 2с “ 10 и — = —, а тогда - = т и а — 4.
а
0
4
4
Известно, что с^ - Ь* и потому 5* - 4* *
=>Ьг —
- 25 - 16 =^6* “ 9, где Ь — мнимая полуось гиперболы.
2
2
Искомое уравнение гиперболы: - — — = 1.
2
О твет:
- —
16
2
16
9
^ = 1.
9
267
Задача 2. Составить уравнение гиперболы, если
уравнения ее асимптот Зх + 2t/ = О и Зх - 2// = О, а
расстояние между вершинами 2а * 4.
Дано:
Зх+2у = 0 и
Зх - 2у = О — асимптоты ги­
перболы; 2а = 4.
Н а й т и : уравнение гиперболы.
Р е ш е н и е . Уравнения асимп­
тот гиперболы имеют вид:
у = ± ^ х , или Ьх - ау = О и
Ьх + ау = 0. По условию за­
дачи а = 2 (так как 2а = 4), и
тогда иа ураинемия асимптот:
О
2у = -Зх
=>
Зх - 2i/ “ О =>
X с л е д у е т , что Ь
3, а уравнение
2
гипероолы
имеет вид:
2
= 1. так
"
как а = 2; h =
Искомая гипербола имеет вид, показанный на гра­
фике (рис. 195).
Ответ:
4
9
Задача 3. Составить уравнение гиперболы, верши­
ны которой находятся в фокусах эллипса, а (|юкусы ее
находятся в вершинах того
Ч
2
4
Уу
2
же эллипса — +
25
= 1.
16
2
'■i
Д а н о : эллипс £- + £_ = !,
А -з/
у/.
\7 / о \
-4
Рис. 196
268
25
V
16
а1-мп. = са л . ; сr u n . = аал.’; с — фо*
кус, а — полуось (рис. 196).
Н а й т и : уравнение гипер­
болы.
г
2
Р е ш е н и е , Из уравнения эллипса — + ^ = 1 на25
ходим его полуоси. Из того, что
16
— 25,
- 16,
следует, что Ogj, — 5 и
* 4 — полуоси эллипса,
фокус эллипса может быть найден из формулы
= «*эл. т. е.
- 25 - 16 - 9,
~ 9 и
Cgj, = 3. Так как
^ал*
фокальная ось эллипса
совпадает с осью абсцисс, а тогда и действительная
ось гиперболы также совпадает с осью Ох.
Уравнение искомой гипер>болы имеет вид:
2
^2
а гн п .
2
+ ^*2
= 1.
О гип.
По условию задачи:
—3 и
^
известного соотношения для гиперболы имеем:
пш.
ШИ.
+
пш.
=> ^™„“
2 5 -9 = 1 6 = ^
mn.
twi.
= 4. Итак, уравнение искомой гиперболы имеет вид:
X
2
.2
9
2
16
9
.2
16
Задача 4. Найти точки пересечения гиперболы
2
2
- — — = 1 С прямой 5д: - 4и - 16 - 0.
16
9
2
Дано:
,«
2
гипербола ^
«
- 1 6 = 0.
= 1 ; прямая 5х - 4у -
16
9
Н а й т и : точки пересечения гиперболы и пря­
мой.
Р е ш е н и е . Для отыскания точек пересечения
гиперболы и данной прямой следует решить систе­
му уравнений:
16
9
5х - 4у - 16 = О
16
^
9
4
269
5х-1бУ
4 J
16
9
у = 5x^6
I
_
16
у=
16 9
5Х-16
9х^ - 25x2 ^ 160^ _ 250 = 144
16х^ - 1 6 0 х + 400 = О
»=5х_-16
4
У=
( x - 5 f =0
- 10х + 25 = 0
5Х-16
=>
4
5Х-16
х=5
.
25-16
х=5
. =21,
Итак, прямая и гипербола имеют одну общую точ­
ку (5; 2-у ), следовательно, эта точка является точкой
4
касания гиперболы и прямой.
О т в е т : (5; 2 ^ ) — точка касания.
Задача 5. Составить уравнение гиперболы, про­
ходящей через точки М (4; 0) и 7V (4 V2 ; 2).
Д а н о : гипербола, точки-М (4; 0) и N (4 >/2; 2)
лежат на гиперболе.
Н а й т и : уравнение гиперболы.
Р е ш е н и е . Уравнение гиперболы в каноничес2
2
ком виде:
* 2 - L 2, = 1 • Поскольку гипербола проа
О
«
«
4
о
ходит через точку М (4; О), то ^
= 1.
а
Ь*
А из того что гипербола проходит через точку
N (4 V2 ; 2), имеем: ^
^
+ ^ = 1.
Итак, решаем систему:
32 _
270
_ 1
а 2 =16
32 .
=1
16
а^= 16
\=1
а2 = 6
=4
2
2
Уравнение гиперболы имеет вид: - — ^ = i
2
Ответ:
16
2
4
- — ^^ = 1 .
16
4
Задачи дл я самостоятельного реше ния
г
2
1. На гиперболе - — — = 1 найти точки:
25
1)
2)
3)
4)
16
абсциссы которых равны 15;
лежащие на осях координат;
принадлежащие прямой х = 4;
отстоящие от оси Ох на расстояние 4.
2. Выбрать произвольную точку на гиперболе
2
16
2
4
= 1. Принядлежат ли гиперболе точки,
симметричные выбранной относительно осей и
начала координат?
3. Построить линию, определяемую одним из урав­
нений:
=
25
2) £ l - i ^ = l ;
9
9
2
3)х^-у*-4.
16
2
4. Дана гипербола - — И— = 1. Найти:
9
4
1) угол между ее асимптотами;
2) площадь фигуры, ограниченной асимптотами
и прямой X * 6.
5. Составить уравнение гиперболы, проходящей че­
рез точки М и N, если: М (4; 3), N (2 42 \ 0).
6 . Составить уравнение равносторонней гипербо­
лы, проходящей через точку:
1) (2; 0);
2) ( 6 ; -4 ).
7. Составить уравнение гиперболы, симметрично
расположенной относительно осей координат, с
фокусами на оси Ох, если:
271
1) а - 4. 6 - 3 ;
2 6 = 12 ;
О
3) уравнения асимптот у = ± - х ,
2 ) 2с = 16.
2а = 4.
8 . Составить уравнение гиперболы, симметрично
расположенной относительно осей координат, с
фокусами на оси ординат, если:
1) а * 3,
6 - 6;
12
2) уравнения асимптот у = ± — х , 2а = 48.
“■5
9. Определить полуоси каждой из следующих ги­
пербол:
1)
= 1;
16
4)16x2-V=l;
9
2) 16х^-у^ = 1;
5) х ^ - у ^ = 4;
3)
6 ) 9x2- 1бу2 = 144.
- V
=
10. У гиперболы 9х* - 16у* - 144 = О найти:
1) полуоси а и 6 ;
3) координаты вершин;
2) координаты фокусов; 4) уравнения асимптот.
11. У гиперболы 9х^ - 16у* = -144 найти:
1) полуоси а и 6 ;
3) координаты фокусов;
2) координаты вершин; 4) уравнения асимптот.
12. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой
2
2
находятся в вершинах эллипса — +
вершины — в фокусах эллипса.
2
13. Дана гипербола ^
25
64
= 1 , а ее
36
2
^ = 1 . Тр>ебуется написать
36
уравнения параллельных прямых, ограничива­
ющих часть плоскости, не содержащей ни од­
ной точки гиперболы, кроме вершины.
14. Дано уравнение гиперболы 9x*-16i/* = 144.
Найти координаты ее фокусов, вершин и урав­
нения ее асимптот.
15. Левая вершина гиперболы находится в точке
А (-3 ; 0), а левый фокус в точке В (-5 ; О). Со­
ставить уравнение гиперболы.
272
16. Составить уравнение гиперболы, зная, что асимп­
тоты выражаются уравнениями у = ± 2 х, а фо­
кусное расстояние 2с = 10. Оси симметрии ги­
перболы совпадают с осями координат.
17. Определить, при каком условии асимптоты ги2
2
перболы
лярны.
= I будут взаимно перпендикуа
^
18. Дана гипербола ^
= 1. Требуется найти точ16 9
ки пересечения гиперболы с прямыми:
1)х-у+1^0:
3) 5 x - 4 i / - 16 = 0.
2) х - 4 у - 8 = 0;
19. Дана окружность (х - аУ +
2
= I и гипербола
2
= 1 . Найти точки их пересечения и ис­
следовать, сколько будет таких точек и как они
будут расположены в зависимости от значений
параметра а.
20. Составить каноническое уравнение гиперболы,
если расстояния одной из ее вершин от фокусов
равны 9 и 1.
21. Составить уравнение гиперболы, если уравнения
ее асимптот у = ± ^ х , а расстояние между фоку­
сами 2с = 10 .
22. Дана гипербола 16x-9i/^-144 — 0. Определить
координаты тех точек этой гиперболы, расстоя­
ние которых до левого фокуса равно 7.
23. Составить уравнение гиперболы, если ее полу­
оси а = 5, & = 4, центр искомой гиперболы име­
ет координаты (3; 2), а ось гиперболы парал­
лельна оси абсцисс.
24. Написать уравнение гиперболы, у которой рас­
стояние между вершинами равно 24, а фокусы
имеют координаты ( - 10 ; 2 ) и (16; 2 ).
18 — К. X . Абдуллаев и др.
273
§ 13.6.
П арабола
Задача 1. Составить простейшее уравнение па­
раболы, у которой фокус находится в точке пересе­
чения прямой 2х - 5у - 8 = О с осью абсцисс.
Д а н о : парабола; фокус — пересечение прямой
2 х - 5|/ - 8 — О и оси Ох.
Н а й т и : уравнение параболы.
Р е ш е н и е . Находим точку пересечения прямой
2 д с -5 у -8 -0 с осью абсцисс, уравнение которой у - 0 .
2x-5y-S = 0
у= о
2х - 8 = 0
i/ = 0
X=4
У = 0'
Итак, (4; 0) — точка пересечения данной прямой с
осью абсцисс.
Уравнение параболы имеет вид:
» 2рх, фокус
ее
имеет координаты (4; 0) .
Значит, ^ ” 4, р - 8 , а тогда уравнение параболы
имеет вид: у* - 2 • 8 х
«/* - 1вх.
О т в е т : у* - 16х.
Задача 2. Дано уравнение параболы
— Зу. На­
писать уравнение этой параболы в новой системе ко­
ординат, если координаты нового начала коорди­
нат 0 '(2 ; б), а оси новой системы О ' х ' и О 'у'парал­
лельны осям старой системы Ох и Оу.
Д а н о : парабола х* - Зу; 0 '(2 ; 5) — новое на­
чало координат; О хЦ О 'х', О у [ 0 '|/'(рис. 197).
Н а й т и : уравнение параболы в системе х ' О ' у ' .
Р е ш е н и е . При параллельном переносе форму­
лы преобразования имеют вид:
у =
+
По условию задачи: а - 2, 6 *• 5, и потому, подста­
вив в уравнение параболы х* = Зу новые значения
X х ' + 2 и у ^ у ' + 5, получим: (х ' + 2)* —3(у' + 5) ^
( х ' У + 4х' + 4 ~ Зу' + 15 =» Зу' - ( х ' У + 4 х '- 11.
274
!/
\
^
. ;5 )/
“* o fV
^
/!
1
1
1
- /
\
\
I
Ри с. 197
0 15
- 3 -2 ^
3
3^
X
Тогда новое уравнение параболы имеет вид:
И.
=
3 '
^
3
3
О т в е т : у'
Задача 3. Составить уравнение параболы и напи­
сать уравнение ее директрисы, если парабола прохо­
дит через точки пересечения прямой у = х и окруж­
ности X* + I/* - 10у - О и симметрична оси ординат.
Д а н о : парабола, сим­
метричная оси Оу, прохо­
дит через точки пересече­
ния окружности
+ у^ -10у >= О и прямой у * X.
Н а й т и : уравнения па­
раболы и ее директрисы.
Р е ш е н и е . Находим
у + \,2Ь
точки пересечения пря­
Ри с. 198
мой у = X и окружности
X* + у ^ - Ю у = 0 .
у=х
У = х:
х^-^у^-10у = 0
у^ +у^ -10у = 0
У= х
X
2у(у - 5) = О
I
Уг
=0
=
0
\У = х
|2у“ - 10«/= 0
X
или
2
= 5
«/, = 5
Итак, точки пересечения окружности и прямой:
(0; 0) и (5; 5). Поскольку парабола с и м м е т р и ч н а
275
оси ординат, то ее уравнение имеет вид: х* - 2ру,
и так как парабола проходит через точку (5; 5),
то 5“ = 2 р 5 и тогда р * 2,5.
Значит, уравнение параболы
= 5у, а уравнение
ее директрисы: у + ^ = О, тогда
</ + ^
= О,
т. е.
у + 1,25 = О — директриса параболы (рис. 198).
Ответ:
х* = 5у; у + 1,25 = 0.
Зада чи д л я самостоятельного реше ния
1. Известно, что точка М (1 ; -2 ) принадлежит па­
раболе у * ах^ + </ц. Написать координаты еще
одной точки, принадлежащей параболе.
2. Найти вершину и ось параболы:
1) 4/ =
-t- 1;
3) I /= - х" + 4 х - 3;
2) {/ = (X + 1)2 + 2;
4) I/ - 2х^ - X + 1.
3. Построить параболу:
1) у - х^;
2) у = (X 1)’;
3) у = -(X - 1 + 2;
4) у - -2х*;
5) у - 2 (х + 1)^ + 6 ;
6 ) у - 4х^ + 8 х + 12.
4. Построить линию, определяемую уравнением:
1) «/
2) у — - л / х ;
3) X -
4) X - у* + 2у + 1;
5) X “ 2у- + Зу - 4.
у2;
5. Найти точки пересечения прямой у = 2х - 1 с
параболой;
1 ) у = х2;
2) у = -2 x ^ -1 ;
3 )у = х * -3 х + 3.
6 . При каких значениях к прямая у *= /гх + 2:
1) пересекает параболу у - 4х*;
2 ) не пересекает параболу у — - 2 х^?
7. Составить уравнение параболы:
1 ) симметричной относительно прямой х » 2 и
проходящей через точки (3; 2) и (-1 ; 10);
2) с вершиной в точке (4; 3) и проходящей через
точку (5; 1), если ее ось параллельна оси Оу.
276
8 . Составить уравнение параболы с вершиной в на­
чале координат, если:
1) парабола расположена в верхней полуплоскости
симметрично относительно оси ординат и р — 4;
2) парабола расположена в нижней полуплоскости
симметрично относительно оси ординат и р — 6 ;
3) парабола расположена в правой полуплоскости
симметрично относительно оси абсцисс и р *= 3;
4) парабола расположена в левой полуплоскости
симметрично относительно оси абсцисс и р * 5.
9. Составить уравнение параболы, проходящей через
начало координат и симметричной относительно
оси ординат, если координаты фокуса F (0; -3).
10. Фокус параболы имеет координаты F ( - 6 ; 0), а
уравнение директрисы х - 6 » 0. Составить урав­
нение параболы.
11. Составить уравнение параболы, если координа­
ты фокуса (0; 4), а уравнение директрисы у -Н4 = 0.
12. Составить уравнение параболы, если она прохо­
дит через начало координат и точку М (3; 6 ), а
фокус ее находится на оси ординат.
13. Определить координаты вершины и фокуса каж­
дой из парабол:
1)
- 20х;
3)
- -10х; 5) ж* » -Ау\
2) ж*-12у;
4)1/»-х;
6 ) х* - у.
14. Построить на одном чертеже следующие пара­
болы: х^ - у у; X* «г/;
х* * 2у.
1
15. Фокус параболы лежит в точке F (0; ^ ), директ­
риса параллельна оси абсцисс и отсекает на оси
ординат отрезок, длина которого равна ^ . Со­
ставить уртвнение параболы.
16. Парабола проходит через точки А(0; 6 ) и В (0; - 6 ),
симметрична относительно оси абсцисс и отсе­
кает на этой оси отрезок, равный 4 (справа от
начала). Составить уравнение параболы и по­
строить ее.
277
17. Написать уравнение параболы, проходящей че­
рез точки (О; 0) и (5; 3) и симметричной отно­
сительно оси абсцисс.
18. Составить уравнение множества всех точек плос­
кости, одинаково удаленных от точки с коорди­
натами (2; 0) и от прямой дг + 2 =* 0. Найти точ­
ки пересечения полученной линии с осью абс­
цисс и построить эту линию.
19. Составить уравнение множества всех точек плос­
кости, одинаково удаленных от начала координат
и от прямой X = 6 . Найти точки пересечения полу­
ченной линии с осями координат и построить ее.
20. Составить уравнение параболы с вершиной в на­
чале координат, симметричной относительно оси
абсцисс и проходящей через точку N (9; 6 ); оп­
ределить угол а между фокальным радиус-век­
тором точки N и осью абсцисс.
21. Найти уравнение параболы, зная, что ее вершина на­
ходится в точке А (-4; 5), а фокус в точке В (-2; 5).
Написать уравнение ее оси и директрисы.
22. Дан фокус параболы (-3 ; -4 ) и уравнение ее ди­
ректрисы дг + 1 - 0. Написать уравнение пара­
болы и найти точки пересечения параболы с
осями координат.
23. Найти точки пересечения параболы у = j x * и
прямых:
1 ) х = у;
3 )х -2 | / + 4 = 0;
2) X = -у ;
4) 5х - 2у - 8 = 0.
24. Определить координаты точки, которая лежит
на параболе
— 8 {/, если расстояние этой точ­
ки от директрисы равно 4.
25. Дана парабола
*= 5х. Требуется на параболе
найти точку, фокальный радиус которой равен 4.
26. Директрисой параболы является прямая I/ = 1, а
фокусом точка (2; 9). Требуется найти коорди­
наты концов фокальной хорды параболы.
278
Г л а в а 14_____
ВЕКТОРЫ
При подготовке к решению данных задач нужно
знать:
1. Понятие вектора.
2. Условие равенства двух векторов.
3. Операции над векторами в геометрической
форме: сложение, вычитание, умножение на число.
4. Определение проекции вектора на ось.
5. Понятие о координатах вектора.
6 . Разложение вектора по базису.
7. Координатная форма векторов.
8 . Действия над векторами, заданными своими
координатами.
9. Скалярное произведение векторов и его свой­
ства.
10. Условия параллельности и перпендикуляр­
ности двух векторов.
11. Нахождение угла между двумя векторами.
12. Использование векторов для доказательств
теорем.
§ 14.1. Действия над векторами
в геометрической форме
Задача /.Дан четырехугольник ABCD. Разность
векторов АС и АВ равна вектору AD. Доказать, что
ABC D — параллелограмм.
Д а н о : четы р ехуголь­
ник — ABCD; AD = АС - АВ
Д о к а з а т ь : ABCD —
параллелограмм (рис. 199).
Доказательство:
По определению разности
векторов: АС - А В = ВС.
279
По условию: AD — AC - АВ, т. е. АС - АВ * AD.
Из данных двух равенств следует, что ВС = A D .
Исходя из условия равенства двух векторов, следует,
что |ВС| - |AD| н в с II AD, а тогда четырехугольник
две противоположные стороны которого равны и
параллельны по признаку, является параллелограм­
мом. Что и требовалось доказать.
В параллелограмме ABCD: О — точка
пересечения его диагоналей. Найти множитель k в
каждом из следующих равенств:
СА
1) ОС
4) ВВBD;
ВО
2) BD
5) А А
ОС.
3) АС
СО
С
Решение,
Д а н о : ABC D — паралле­
лограмм; АС и BD — диагона­
ли;
О — точка пересечения
ди агоналей ; 1) ОС = 1 СА;
2) B D - fej- ВО; 3) А С - ..,С О ;
^ СС
4) B B -fe^ BI); 5) А А
(рис. 200 ).
^3’ ^4’ ^5'
По свойству диагоналей паралле-
лограмма: ВО = O D * ^ B D и АО
По определению умножения вектора на число
имеем:
1) СА ^ 0. ОС 4,Т СА
и |СА| = 2|ОС|, откуда
А, = -
Так как ОС и СА противоположно направ­
лены. то к <0;
2 ) ВО
О, ВО Т Т ВГ) и |BD| - 2В0 , откуда
2.
Так как векторы ВО и 0D одинаково направлены, то
к > 0.
3) СО ^ О, СО i Т АС и |С0| = I |АС|, откуда
-2.
Так как векторы СО и АС противоположно направ­
лены, то Л < 0 .
4) ВВ = 0, BD ^0, откуда к = 0;
280
5)
А А = О, СС - О, откуда
— любое действитель­
ное число.
Ответы:
~ ^ I Л^-2 ; Л3- - 2 ; ft^=0 ; /г^ е R.
Задача 3. Доказать, что векторы АВ + СВ + 2ВА
и
в
А С — коллинеарные.
Дано:
векторы А В , СВ, АС
( р и с . 201).
А
Д о к а з а т ь : в е к т о р ы АВ + СВ +
+ 2 В А и ^ АС — коллинеарные.
Рис. 201
Р е ш е н и е . По сво11ству операций над вектора­
ми:
А В + СВ + 2 В А = ( А В + В А ) + (С В + В А ) =
= О + (В А - ВС) - В А - ВС = СА - -А С .
Ита к, АВ + СВ + 2ВА = -А С и потому коллинеарен Вектору g АС.
При
= - I ft • (А В + СВ + 2ВА) - I АС, т. е. дан­
ные аекторы коллинеарные.
Ч то и требовалось доказать.
Задача 4. В прямоугольном треугольнике ABC:
—
90*; ZA = 30’. АВ — единичный вектор. Найти
векторную и скалярную проекции СВ на ось, опреде­
ляем ы е вектором АВ.
Д а н о : ДЛВС; Z C = 9 0 ';
с
= 30*; |АВ1 - 1 (рис. 202).
Найти:
проекцию,^! СВ.
Р е ш е н и е . Найдем проек­
ции Точек С и В на ось (АВ);
ими будут точки D и В, где
CD
АВ, тогда DB - пр.^^^^СВ,
т. е. DB — векторная проекция СВ на ось АВ.
П о свойству катета, лежащего против угла в 30*:
|СВ1
|АВ1 из ЛАВС и iDBl -
И так, |СВ| -
\ 1СВ|из ^BCD.
, так как [АВ] — 1 и iDBj-
^“ 7 •
281
Скалярная проекция
(ЛЯ)
О т в е т : векторная приекция ^ пр.
скалярная проекция пр.^^^СВ - ^ .
СВ - DB.
Задача 5. В треугольнике A B C проведена медиа­
на В М ; D — середина стороны ВС. Найти координа­
ты вектора ВМ, если ВА и BD — базисные векторы.
Д а н о : ДАВС; В М — ме­
диана; BD - DC (рис. 203).
Н а й т и : координаты ВМ
в базисе ВА и BD.
Р е ш е н и е . Достроим
ЛЛБС до параллелограм ма
A B C N . Тогда BN « 2ВМ по
свойству диагоналей паралле­
лограмма и BN “ ВА + ВС как сумма двух векторов,
найденная по правилу параллелограмма. Итак,
2ВМ = ВА + ВС, но по условию ВС - 2BD, и тогда
2
2ВМ - ВА + 2BD, откуда ВМ
^ ВА + BD. И т ^ , в базисе ВА и BD вектор ВМ имеет координаты ( g I !)•
О т в е т : ВМ ( | ; 1).
За да чи д л я самостоятельного решения
1. Даны четыре неколлинеарных вектора а, Ь, с и d
на плоскости. Известно, что а + Ь - с -f d. Опре­
делить, можно ли из этих векторов составить
четырехугольник.
2. В квадрате проведены диагонали (рис. 204). Для
каждого квадрата найти сумму трех векторов
а + Ь + с.
282
3. ABCD - параллелограмм. ЛВ = а, AD »= b, О —
точка пересечения диагоналей. Выразить векто­
ры BD, ОВ, ЛС и СО через векторы а и Ь.
4. В прямоугольнике AB CD проведены диагонали
АВ -» а, АС • Ь. Выразить векторы ВС, СВ, BD, ОВ,
AD ♦ CD через векторы а и Ь.
5. В треугольнике ABC проведена средняя линия
M N ( М е АВ). MB * а, NC = Ь и СА = с. Выразить
векторы А В 4 ВС + MN ,
A M f M N ^ NC,
AC ‘ MA - BN через векторы a, b и с.
6 . Даны векторы а и Ь. Требуется построить векторы:
1) а - Ь ;
2) - а - Ь;
3) - а + Ь.
7. Даны три вектора: а, Ь и с. Требуется построить
векторы:
1) а + Ь - с;
5) - а + Ь -с;
2) -а + Ь + с;
6 ) - а - Ь + с;
3) а Ь + с;
7) - а - Ь - с.
4) а - Ь - с;
8 . Найти равнодейству­
ющую трех сил, при­
лож енны х в точке
М , если известно, что
эти силы изобража­
ются векторами МА,
MB, МС, где точки Л,
Рис. 205
В и С являются вер­
шинами равностороннего треугольника, вписан­
ного в окружность с центром О (рис. 205).
9. Величина угла между векторами а и Ь равна
120*; 1а|= 5, \Ь\ = 3. Найти 1а - bj.
10. Вектор а = АЬ (а ^ 0). При каких значениях k:
Di ahl bl ;
2)
|а| > |Ь|;
3) |а| - |Ь|?
11. В треугольнике A B C проведена медиана AD.
Требуется доказать, что A I) =
(А В + АС).
283
12. Определить число, на которое нужно умножить
номулопой прктор а, чтобы получить такой век­
тор Ь, что:
1) |Ь|= 5 и а 'f t Ь;
2) jb] = 1 и а Т i b.
13. На прямой взяты последовательно три точки
М , N и Р; точка А является серединой отрезка
[ M N ] , а точка В — серединой отрезка [ NP] .
Выразить вектор АВ через вектор РМ.
14. Определить число, на которое нужно умножить
нсктор а, чтобы Ь =• кл:
1) пи длине был равен 1;
2) по длине был равен 5 и а t ^ Ь.
15. На прямой взяты такие три точки А, В и С, что
СЛ = з е в . Выразить вектор АВ через вектор СВ.
16. Дан треугольник ABC. Точка пересечения ме­
диан этого треугольника М . Доказать, что
МА + М В + МС = 0.
17. В прямоугольнике AB C D проведены диагонали.
Известно, что АВ = а, АС = Ь. Требуется выразить
векторы ВС. СП. ПА и ВП через векторы а и Ь.
18. 1) С помощью циркуля и чертежного угольни­
ка отложить от точки А вектор Ь, равный векто­
ру а (рис. 206).
2) В треугольнике ABC АЛ/— медиана. Равны
ли векторы MB и СМ?
19. 1) С помощью чертежного угольника и линей­
ки отложить от точки С вектор Ь, равный векто­
ру с (рис. 207).
2) Даны точки А, В, С, М . при этом AM = MB, а
точка С не лежит на прямой АВ. Назвать медиану
треугольника ABC, проведенную из вершины С.
20. 1) С помощью линейки и циркуля отложить от
точки А вектор Ь, равный вектору а (рис. 208).
2) Диагонали четырехугольника ABC D пересе­
каются и в точке пересечения делятся пополам.
Равны ли векторы AD и ВС?
284
1
' ~
а
'
1
,
' i
1
Ри с. 206
Ри с. 207
-<1Р и с, 209
Р и с. 208
1
1
С.
г
_
1г
Р и с. 211
21. 1) С помощью линейки и циркуля отложить от
точки С вектор Ь, равный вектору с (рис. 209).
2) В четырехугольнике A B C D : А В = DC. Д о­
казать, что этот четырехугольник — паралле­
лограмм.
22. 1) С помощью линейки и циркуля отложить от
точки А вектор Ь, равный вектору а (рис. 210).
2) Точки Е, К, М , Н соответственно середины сто­
рон АВ, ВС, CD, A D четырехугольника ABCD.
Доказать, что ЕК = НМ.
23. 1) С помощью линейки и циркуля отложить от
точки С вектор Ь, равный вектору а (рис. 211).
2) Никакие три из четырех точек А, В, С, D не
лежат на одной прямой, и А В = CD. Доказать,
что отрезки AD и ВС пересекаются и в точке
пересечения делятся пополам.
285
24. 1) Построить вектор а + с (рис. 212).
2) М , Я , Р, О, S ~ произвольные точки. Найти
сумму векторов М П + IIP
РО + OS + SM.
г /
/
{
1
с
6
о
Рис. 212
25. 1) Построить вектор р + к (рис. 213).
2) Даны произвольные точки А, В, С, D, Е. До­
казать, что А В + ВС ь CD = А С + СЕ + ЕВ + BD.
St
ч р
ч
ь
1г
п
Рис. 213
26. 1) Построить вектор а + с (рис. 214).
2) Па рисунке 215 четырехугольник M B C D —
параллелограмм. Доказать, что
Л В + ВС + СМ * Л В f CD .
В
Рис. 214
с
Рис. 215
27. 1) Построить вектор р + к (рис. 216). Д ля слу ­
чая а) построение выполнить двумя способами.
2) На рисунке 217 четырехугольник М Н Р К —
параллелограмм. Доказать, что НО + ОК + К Р =
= РК t М Р.
286
о
п
г
1
у
1)
ч
р
1
Рис. 216
28. 1) Построить вектор а + у (рис. 218). Д ля с л у ­
чая а) построение выполнить двумя способами.
2) Угол между векторами а и Ь, а и с равен 120’ ,
|а| “ |Ь| - |с| (рис. 219). Доказать, что а + Ь ‘ с = О.
_и_
Рис. 218
29. 1) Построить вектор к f р (рис. 220). Д ля слу ­
чая а) построение выполнить двумя способами.
2) У гол между векторами а и с равен 90‘ , а между
векторами а и Ь - 135* (рис. 221), |а| »= |Ь| = 1,
|е| =у/2 , Доказать, что а + Ь + с = 0.
1
1
с: . •
l_Li—
'I ^
*
1
1
а
к
1
1
^
I I
Ч
n
ар
и
Р
S
ь
t
1
Рис. 222
Ш
I
Piic. 22-«
Рис. 225
30. 1) Построить вектор a - с (рис. 222).
2) Даны треугольник ABC и точка М на отрезке
ВС. Выразить: а) вектор СВ через векторы АС и
Л В; б) вектор М Л через векторы ВА и ВМ.
31. 1) Построить вектор к - р (рис. 223).
2) Даны треугольник ARC и точка Е на сторо­
не АВ. Выразить: а) вектор ВА через векторы
СВ и СЛ; б) вектор BE через векторы А В и АЕ .
32. 1) Построить вектор а с (рис. 224). Д ля с л у ­
чая а) построение выполнить двумя способами.
2) Дан параллелограмм АБС£>: СА = а, CD = с. Вы­
разить векторы АВ , ВС, D A через векторы а и с.
33. 1) Построить вектор х - у (рис. 225). Д ля с л у ­
чая а) построение выполнить двумя способами.
2) Дан параллелограмм ABCD: АВ = а, BD = с.
Выразить векторы ВС, 1)С, DA через векторы а и с.
34. 1) Построить вектор а - с (рис. 226). Для каждого
случая построение выполнить двумя способами.
2) Даны параллелограмм ABCD и произвольная
точка О. Выразить вектор О А через векторы
ОВ, ОС, 01).
35. 1) Построить вектор р - к (рис. 227). Для каждого
случая построение выполнить двумя способами.
288
■ 7^ К i
7
1.
’
й
I
Рис. 228
f
ь
Рис. 227
Рис. 229
Рис. 230
2) В четырехугольнике ABCD диагонали АС и
BD пересекаются в точке О и выполняется ра­
венство ОВ + 0D = ОА + ОС. Доказать, что четы­
рехугольник ABCD — параллелограмм.
36. 1) Построить вектор к — а + р - с (рис. 228).
2) В равнобедренном треугольнике ABC точка
М — середина основания АС: а) упростить вы­
ражение MB - МС + ВА; б) найти ]МВ - МС + ВА],
если АВ “ 5 см, В М = 4 см.
37. 1) Построить вектор к = а - р - с (рис. 229).
2) Отрезок С М — медиана, проведенная из вер­
шины прямого угла равнобедренного треугольни­
ка ABC: а) упростить выражение АВ - АС + ВМ;
б) найти |АВ - АС + ВМ|, если АВ — 10 см.
38. 1) Построить вектор к = а - р -I- с (рис. 230).
2) В прямоугольнике ABCD: A D - 12 см, CD —
* 5 см, О — точка пересечения диагоналей. Най­
ти |АВ + AD - DC - 0D|.
39. 1) Построить вектор х = а + Ь - с (рис. 231).
2) ABCD — ромб, A D = 20 см, BD — 24 см, О —
точка пересечения диагоналей. Найти вектор:
lAD -Ь АВ - ВС - 0В|.
19 — К. X . Абдуллаев и др.
289
С
3f
-А
Рис. 231
—
Рис. 232'
1
J
,
I
/1
Г
1
Рис. 233
40. 1) Д ля точек А , В, С, D, £ , изображенных на
рисунке 232, выполняется равенство А В + А С - C D + X = DE. Построить вектор х.
2) В трапеции ABCD с прямым угло м А про­
ведена диагональ АС: ZB C A = 45*, /LACD - 90*,
АС ” а см. Найти |СВ + С А + CD |.
4 1 .1 ) Д ля точек А , В, С, D, Е, изображенных на рисун­
ке 233, выполняется равенство А В + CD - DE - х =
— АЕ . Построить вектор х.
2) В трапеции Р К Н М с прямым углом Р прове­
дена диагональ H P , Z P H K = 30*. Z P H M = 90*.
Найти |КР + М К - МН\, если Р М ~ а см.
42. 1) Начертить вектор а, длина которого равна 3 см..
П остроить с помощ ью масштабной линейки
векторы 2а, ^ а.
2) В параллелограмме ABCD: О — точка пересе­
чения диагоналей, К — середина стороны CD. Вы­
разить векторы О А и А К через векторы А В и AD.
43. 1) Н ачертить вектор р, длина которого равна
2 см. Построить с помощью масщтабной линей­
ки векторы Зр, -2 р .
2) В параллелограмме ABCD: Р — точка пересе­
чения диагоналей, М — середина стороны ВС.
Выразить векторы D P и DM через векторы D A
и DC.
44. 1) Начертить два неколлинеарных вектора а и р ,
начала которых не совпадают, и [а] — 2 см, Ы ” 5 см.
С помощью чертежного угольника и масштаб­
ной линейки построить вектор За + 2р.
290
2) На стороне ВС параллелограмма ABCD точка
К взята так, что В К : КС ^ 1 : 4. Выразить век­
торы А К и KD через векторы А В * р и A D = к.
45. 1) Начертить два неколлинеарных вектора х и у,
начала которых не совпадают, и |х| * 2 см, 1у| =
- 5 см. С помощью чертежного угольн и к а и
масштабной линейки построить вектор Зх -t- 4у.
2) На стороне Н К ромба М Н К С взята точка Е
так, что К Е ’^ ^ Н Е ; Т — середина М Н . Выразить
векторы СЕ и ЕТ через векторы С К — р и СМ “ к,
46. 1) Начертить два неколлинеарных вектора р и
к, концы которых совпадают. С помощью цир­
куля, чертежного угольника и линейки без де­
ления построить вектор 2р-*^ ^ к.
2) Точка М леж ит на диагонали АС п араллелог­
рамма ABCD, а точка Н — на его стороне AD,
причем A M : М С - 2 : 1 , А Я = H D. Выразить век­
тор М Н через векторы а и р , где а = А В , р = AD .
47. 1) Начертить два неколлинеарных вектора х и
у, концы которых совпадают. С помощью цир­
куля, чертежного угольника и линейки без де­
ления построить вектор ^ х - у.
2) Точка Т лежит на стороне ВС параллелограм­
ма ABCD, а точка Е — на его диагонали BD, при­
чем BE : E D ’^ 2 : 1 , В Т ^ Т С . Выразить вектор
ЕТ через векторы а и р , где а = D A. р = DC.
48. 1) Точка М — середина отрезка АВ. Выразить:
а) вектор A M через вектор MB; б) вектор А В
через вектор MB; в) вектор A M через вектор ВА.
2) В ч е т ы р е х у го л ь н и к е A B C D :
A D ^ 9 см,
ВС *
A.D. Найти длину отрезка, соединяюще­
го середины сторон А В и CD четырехугольника.
49. 1) Точка С делит отрезок М Н в отношении 1 : 3,
считая от точки М . Выразить: а) вектор МС че­
рез вектор СП; б) вектор МН через вектор СМ;
в) вектор МС через вектор НМ.
291
2) В четырехугольнике ABCD: ВС — AD . Найти
углы В, С и D четырехугольника, если Z A = 15*.
50. 1) Диагонали параллелограмма ABCD пересе­
каются в точке О. Найти х, если: а) АС = х А О ;
б) ВО = xDB; в) А В - xCD.
2) На сторонах АВ и ВС треугольника ABC от­
мечены соответственно точки М к Н так, что
АВ = ЗВМ, ВС = ЗВН. И спользуя векторы, дока­
зать, что М Н ^ А С и М Я - f -АС.
51. 1) Диагонали параллелограмма ABCD пересе­
каются в точке О. Найти у, если : а) BD = уВО;
б) A D = уВС; в) А О = уСО.
2) Отрезки ВА и CD пересекаются в точке О.
Причем АО
20В , 0 D - 20С. Используя векто­
ры, доказать, что ВС QAD, ВС = ^ AD.
52. 1) Векторы а и р неколлинеарны. Существует
ли такое число а, что а — ар?
2 ) 0 — произвольная точка плоскости, AETD —
четырехугольник, М — середина отрезков А В и
ЕО, а Н — сер>едина отрезков BD и ОТ (рис. 234).
И спользуя векторы, доказать, что AETD — па­
раллелограм м .
53. 1) а и р — неколлинеарные векторы, аа = Pp.
Найти числа а и р.
2) H K D M — параллелограмм, точка А — сере­
дина отрезков О М и Н Е (рис. 235). Используя
векторы, доказать что точки О к Е равноудале­
ны от прямой KD.
О
К
292
D
54. 1) О — тс ,;а пересечения диагоналей параллелог­
рамма ABCD. Точка К лежит на стороне ВС, а точ­
ка £ — на стороне AD , причем В К : КС = D C iA E *
* 1 : 2 . Используя векторы, доказать, что точка О
является серединой отрезка К Е .
2) Используя векторы, доказать, что в лю бом тре­
угольнике медианы пересекаются в одной точке,
которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1 ,
считая от вершины.
55. 1) Точка А , леж ит на стороне ВС, а точка В^ —
на стороне АС треугольника A B C ; О — точка
п е р е с е ч е н и я о т р е з к о в А А , и В В ,, п р и ч е м
АО : OAj - ВО : ОВ^ - 2 : 1 . И спользуя векторы, до­
казать, что отрезки А А , и ВВ^ я вляю тся м едиа­
нами треугольника ABC.
2) И спользуя векторы, доказать, что ди агонали
параллелограмма пересекаются и в точке пере­
сечения делятся пополам.
56. Подсчитать число ненулевых различны х векто­
ров, определяемых вершинами: 1) треугольника;
2) параллелограмма; 3) тетраэдра; 4) п а р а л л е л е ­
пипеда; 5) правильного п яти угольн и к а; 6 ) пра­
вильного ш естиугольника.
57. Доказать, что А , В ,С п D — вершины п ар аллелог­
рамма, если известно, что они не леж ат на одной
прямой и ненулевые векторы Л В и DC равны.
58. Даны вектор а и точки А, В, С и D . О тлож и ть:
1) от точки А вектор а, а от точки В вектор, про­
тивоположный вектору а;
2) от точки С какой-нибудь вектор, одинаково
направленный с вектором а, а от точки D вектор,
противоположно направленный а.
59. Точки А, В, С и D — вершины параллелограм м а,
О — точка пересечения его диагоналей, а М —
середина стороны А В . Указать пары точек, опре­
деляющие: 1) один и тот ж е вектор; 2) векторы ,
одинаково направленные с А С ; 3) противополож ­
ные векторы; 4) векторы, противополож но на­
правленные вектору A D .
Д93
во. Дан параллелограм м ABCD. Точка М леж и т
на стороне CD. Найти сумму векторов:
1 ) A B + A D;
3 ) A B + CD;
2) (- A M ) + DM;
4) Ь А + ВМ.
61. Даны векторы а и ха. При каких значениях х
эти векторы:
1) равны; 2) противоположны;
3) противоположно нап
) одинаково
направлены; 5) коллинеарны ?
62. Пусть О — точка пересечения диагон||лей па­
раллелограмма ABCD. Найти х, если:
1)AB-xCD;
3)0С-хСА;
2) А С - х О А ;
4) DB = хОВ.
63. Выразить через
Рис. 236
равнодействующую сил F,, Р,,
Рис. 237
Рис. 238
64. Дан параллелограмм ABCD, О — точка пересе­
чения диагоналей, Р — середина стороны ВС.
Выразить: 1) векторы ОВ, ОС, А О и DO через
векторы А В и AD ;
2) векторы А В ; A D ; ОР и PC через векторы АС
и BD;
3) векторы А В , ОР; А Р и ОВ через векторы С А и
СВ.
65. Величина равнодействующей двух взаимно пер­
пендикулярных сил равна Ю Н. Найти модуль
одной составляющей, если модуль другой равен:
1) 8Н;
2) 4Н.
294
§ 14.2. Действия над векторами
в координатной форме
Задача I. Даны точки А (1; 3); В (3; 6); С (6; 4) и
D (5; 2,5).
1. Является ли ABCD: а) трапецией; б) паралле­
лограм м ом ?
2. Найти координаты такой точки М , чтобы
А В С М был параллелограммом.
Является ли АВ С М : а) прямоугольником; б) квад­
ратом?
I
BJ3; 6)
Д а н о : А (1 ;3 );В (3 ;6 ); '
С (6; 4) и D (5; 2,5).
Определить:
1. a)ABCD — трапеция?
б) ABCD — параллелог­
рамм?
2. Найти М (л:; у), что- .
бы АВ С М был параллело­
Рис. 239
граммом.
а) АВ С М — прямоугольник?
б) АВСМ — квадрат?
Р е ш е н и е . 1) Чтобы четырехугольник ABCD был
трапецией, необходимо, чтобы А В ||CD (при B C jfD A )
или ВС II DA (при A B ^ C D ). Если жеАВСО — парал­
лелограмм, то А В II CD и ВС II DA.
Найдем координаты векторов, являю щ ихся сто­
ронами четырехугольника ABCD. Координаты век­
тора находятся как разность между одноименны­
ми координатами его конца и его начала:
А В (3 - 1; 6 - 3 ) ,
т. е. А В (2; 3);
ВС (6 - 3; 4 - 6),
т. е. ВС (3; - 2 );
CD ( 5 - 6 ; 2 , 5 - 4 ) , т. е. CD (-1 ; -1 ,5 );
D A (1 - 5; 3 - 2,5), т. е. D A (- 4 ; 0,5).
Если векторы параллельны, то их соответственные координаты пропорциональны, т. е.
(х ,; !/^) и (х^;
^
, где
— координаты данных векторов.
295
Проверим параллельность векторов А В и CD, где
А В (2; 3); CD (- 1 ; -1 .5 ).
Так как
- 1
то пропорция верна, т. е.
- 1,5
А В II CD. Проверим теперь, параллельны ли векторы
ВС (3; -2 ), D A (-4 ; 0,5).
то пропорция не верна, значит
векторы ВС и D A не параллельны.
Четырехугольник ABCD, в котором две стороны
параллельны, а две другие не параллельны, является
трапецией, а не параллелограммом.
2) Пусть М (х; у) — четвертая вершина паралле­
лограмма АВ С М . Тогда А В ||СМ и ВС ||М А . Найдем
координаты векторов СМ и М А : СМ (х - 6; у - 4) и
М Л ( 1 - х ; 3 - «/).
Из условия А В II СМ следует,
^
( 1)
^
д: - 6
у - 4 ’
а из условия ВС ||М А следует,
3
-2
\ -х
(2)
2 -у’
Решаем эту систему уравнений (1)
З х-2у=-8+18
2x-(-3i/=9+2
3(х-6) = 2(у-4)
- 2 ( l - x ) = 3(3-j/)
3x-2i/=10
2 x + 3 j/ = 1 1
и (2):
9 х - 6 у = 30
4х + 6у = 22
13х = 52
X = 4
X = 4
х =4
З х - 2 у = 10
2у = 2
У= 1
х = ^
13
З х - 2 у = 10
Итак, координаты искомой точки М (4; 1). Прове­
рим, является ли параллелограмм А В С М прямо­
угольником, для чего определяем перпендикулярность
векторов А В и ВС (или ВС и СМ, или СМ и М А ).
296
Условие перпендикулярности двух векторов с ко­
ординатами (х ,; у^) и (х^; у^) записывается в виде
х ,х ^ + У ,У Г ^ .
Д ля векторов Л В (2 ; 3) и ВС (3; - 2 ) имеем 2 ■ 3 +
+ 3 • (-2 ) =» 6 - 6 “ =О, следовательно, А В 1 ВС, а потому
параллелограмм А В С М является прямоугольником.
Если у прямоугольника две смежные стороны рав­
ны между собой, то этот прямоугольник — квадрат.
Найдем длины векторов А В и ВС. Длина векто­
= >/2^ -f 3^ =
ра |ABh
= ^3* -ь ( - 2 )'
УГз, a длина вектора
= л
/Гз. |АВ| - |ВС|, и тог­
да АВС М — квадрат.
О т в е т : 1) ABCD — трапеция; 2) А В С М — квад­
рат, где координаты точки М (4; 1).
Задача 2. На плоскости дан правильный ш ести­
угольник (рис. 240). Разлож ить по ортам i и j все
векторы, изображенные на рисунке, если \0Е\ » 4.
Р е ш е н и е . Найдем сначала координаты всех
вершин данного ш естиугольника. П оскольку ш ес­
тиугольник OABCDE — правильный, каждый его угол
равен 120* (величина каждого угла правильного п180*(л - 2)
„
угольника равна -----^
i ; в данной задаче п * 6).
Л
В треугольнике АКО , где катет А К перпендику­
лярен оси О х, ZAO Jf - 180’ - 120’ = 60*, а тогда
Z O A K - 30*. и катет, лежащий
против угла в 30*. равен по­
ловине гипотенузы, т. е. ОК —
_ i
Q A-i-4-2.
Второй катет этого прямо­
угольного треугольника ОАК
по теореме Пифагора равен;
А К ~ у10А^ - О К ^ =
= л/12 =
2л/з.
- 2*
=
Рис. 240
297
OK и A K — координаты точки А, но абсцисса точки
К отрицательна, т. е. координаты точки А (-2 ; 2 •^/з ) ,(1)
Точка В леж ит на оси Оу, а потому ее абсцисса
равна 0. Ордината ОВ точки В равна удвоенной ор­
динате точки А , так как \АВО — равнобедренный.
Итак, ОВ — 2|АК|, т. е. ОВ — 4
, и тогда коорди­
наты точки 5 (0; 4 >/з ). (2)
Так как ВС параллельна оси Ох, то ординаты то­
чек В и С совпадают, а так как ВС - 4, то абсцисса
точки С равна 4, т. е. координаты точки С(4; 4 -Уз ) .(3)
A D также параллельна оси Ох и потому ординаты
точек А я D совпадают, а в правильном ш ести­
угольн и к е O ABCDE: A D - 20Е - 8. Но п оскольку
A N “ КО ” 2, то N D * 8 - 2 - 6 и тогда координаты
точки D (6; 2-JZ). (4 )
Наконец, точка Е леж ит на оси Ох на расстоянии
ОЕ - 4. Значит, координаты точки Е (4; 0). (5)
У векторов О А, ОВ, ОС, 0 D и ОЕ начало совпадает
с началом координат, а потому координаты этих
векторов совпадают с координатами их концов, т. е.
координатами точек А , В, С, D, Е.
'
Значит, О А (- 2 ; 2 ^ 3 ); ОВ (0; 4 7 з ); ОС (4; 4 Л
0В(6;2ТЗ)
);
и О Е (4 ;0 ).
При разложении этих векторов по ортам i и j име­
ем: 0 A - - 2 i Ч -З Т З ]; O B =«4>/3i; ОС - 4i + 4 >/3 j;
OD = 6 i-(-2V 3 j; 0 E - 4 i .
Теперь следует разложить по ортам i и j стороны
правильного многоугольника; АВ , ВС, CD и DE. Зная
координаты начала и конца этих векторов, находим
координаты этих векторов.
А В [(0 - (- 2 )1 ; (4V3
тогда А В — 2i + 2 -Уз j.
298
- 2 S ) , т.е. А В (2; 2>/з ), и
Вектор ВС параллелен оси Ох и имеет длину, рав­
ную 4, т.е. ВС (4; 0) , поэтому ВС * 4i.
Вектор CD имеет координаты CD (6 - 4; 2 >/3 - 4 Vs ),
т. е. CD (2; - 2 >/3 ), поэтому CD - 2i - 2 >/з j.
Вектор DE имеет координаты DE (4 - 6; О - 2 -^/з ),
т. е. DE (- 2 ; -2 >/3 ), тогда DE - - 2 i - 2 >/з j.
О
т в е т : ОЕ - 4i; О А - -2 i -I- 2>/з j; А В - 2i - 2 73 j;
О В -4 > У з j; B C - 4 i; C D - 2i - 2 Vs j; DE - - 2i - 2>/3 j;
O C - 4 i - 4 > / 3 j ; O D - 6i + 2 V3 j .
Задачи для самостоятельного решения
1. 1) Даны векторы а (1; 6), Ь (- 5 ; 7). Найти коор­
динаты векторов с — 2а- » - Ьи d « b - a .
2) Найти среди векторов а (2; 1,5), Ь (3; - 1 ),
с (4,4; 3,3), d (-1 5 ; 5) пары коллинеарны х.
2. 1) Даны векторы m (7,5) и п (- 6 ; 2). Найти ко­
ординаты векторов к “ Зш - п и р — m + n.
2) Найти среди векторов m (3; 2), п ( 2 - ; - 1 ),
р (7 ; -3 ), к (4; 11) пары неколлинеарных.
3. 1) Даны векторы а (1 ; 4), Ь (1 ; 2), с (7; 2). Запи­
сать разложение вектора d — За - 2Ь + с по ко­
ординатным векторам i и j.
2) Найти среди векторов а (2; 0), Ь (0; 3), с (- 5 ; 0),
d (0 ; 18) пары коллинеарных.
4. 1) Даны векторы m (-1 ; - 7 ), п (- 1 ; 7), к (1; 7).
Записать разложение вектора р — ш + Зп - 2к по
координатным векторам i и j.
2) Найти среди векторов ш (-7 ; 0), п (0; 5), р (6; 1),
к (1; 7) пары неколлинеарных.
5. 1) В треугольнике ABC: А В (- 2 ; 1), А С (- 4 ; -2 ).
Записать разложение вектора А О по координат­
ным векторам i и j, если О — точка пересече­
ния медиан треугольника ABC.
2) Найти угол между векторами а (3; 3) и с (3; -3).
299
6. 1) Даны векторы АС (4; 10) и A M (- 3 ; -1 ). Изве­
стно, что М — середина некоторого отрезка ВС.
Найти разложение вектора В А по координатным
векторам i и j.
2) Найти угол между векторами к (- 2 ; 2) и
Р (2; -2 ).
7. В прямоугольнике ABCD проведены диагонали.
Известно, что А В — а и А С * Ь. Выразить векто­
ры ВС, CD, D A и BD через векторы а и Ь.
8. Установить, что четырехугольник, координаты
вершин которого А (- 3 ; 10), В (3; 6), С (2; 2) и
D (- 4 ; - 3 ), является параллелограммом.
9. Вектор А В коллинеарен вектору а (3; -4 ). Опре­
делить координаты точки В, если А (8; 5).
10. Вектор а коллинеарен вектору Ь (-2 ; 5). Найти
абсциссу вектора а, если его ордината равна 15.
11. Вектор а (-3 ; 7) коллинеарен вектору Ь. Найти
ординату вектора Ь, если его абсцисса равна 6.
12. Дан вектор а (-2 ; 1). Найти координаты единич­
ного вектора того же направления.
13. Даны точки А (2; 1) и В (10; 7). Выразить век­
тор А В через орты i и j.
14. На плоскости даны три точки А (0; 8), В (6; 8) и
С (6; 0). Выразить через векторы i и j следую ­
щие векторы: 1) О А ; 2) ОВ; 3) ОС; 4) А В ; 5) ВА;
6) С А (точка О — начало координат).
15. Дан правильный ш естиугольник ABCDEF. П ри­
няв за базис векторы A F — а и А С — Ь, разложить
по базису а, Ь следующие векторы: 1) А В ; 2) ВС;
3) CD; 4) DE; 5) EF; 6) A D ; 7) А Е ; 8) FC; 9) DB;
10) BE.
16. Найти углы между координатными осями и век­
тором: 1) i j; 2) i - j; 3) 2i + 3j; 4) 4i - 3j.
17. Даны точки О (0; 0), A (- 1 ; 2), В (4; 5), С (- 1 ; - 3 )
и D (2; 6). Найти координаты векторов: 1) О А;
А В ; BD; 2) ОВ; А С ; ВС.
300
18. Дан вектор А В (- 1 ; - 2 ). Найти координаты точ­
ки В, если координаты точки А известны:
1 ) ( 1 ; 3 ) ; 2 ) ( - 1 ; 2 ) ; 3) ( - 4 ; - 1 ) ; 4) (0; 1).
19. Найти равнодействующую сил F^, F,, F,, прило­
женных к одной точке, если известны проекции
сил на координатные оси: F j(2; - б ); F j(- 5 ; - 1 );
F ,(3 ; 6).
20. Коллинеарны ли векторы А В и CD, если А (8; -2 ),
В ( 3 ; 4), С (11; 7 ) и Р ( - 2 1 ; 19)?
21. Найти длину векторов а(3; 4) и А В , если А (1; 3)
и В (-2 ; 0).
22. Являются ли точки А , В, С, D вершинами парал­
лелограмма, если:
1) А (1; 3), В (4; 7), С (2; 8), D ( - l ; 4);
2) А (1; 0), В (3; 4), С (2; - 1 ), D (2; 5)?
23. Являю тся ли точки А , В, С, D вершинами трапе­
ции, если:
1) А (2; 3), В (7; 5), С (10; 2), D (0; - 2 );
2 ) А ( 1 ; 1 ) , В ( 2 ; - 1 ) , С (4; 0), D (8; 3)?
24. Определить вид четырехугольника A BCD, если:
1 ) А ( 1 ; 3 ) , Б ( 2 ; 1 ) , С (- 1 ; 3), Z) (- 2 ; 5);
2) А (- 2 ; 1), В (1; 5), С (- 3 ; 8), D (- 6 ; 4).
25. Абсолю тная величина вектора а (5; т ) равна 13,
а вектора Ь (п; 24) равна 25. Найти т и п .
26. Даны точки А (0; 1), В (1 ; 0), С (1 ; 2) и D (2 ; 1).
Доказать равенство векторов А В и CD.
27. Даны три точки А (1; 1), В (-1 ; 0), С (0; 1). Найти
такую точку D (х; у), чтобы векторы А В и CD
были равны.
28. Найти вектор с, равный сумме векторов а и Ь, и
его абсолютную величину, если:
1) а (1; - 4 ), Ь (- 4 ; 8);
2) а (2; 5), Ь (4; 3).
29. Найти вектор с “ а - Ь и его абсолютную величи­
ну, если:
1) а (1 ;-4 ), Ь (-4 ; 8);
2) а (- 2 ; 7), Ь (4; -1 ).
301
30. Доказать, что векторы а (1; 2) и Ь (0,5; 1) одина­
ково направлены, а векторы с (-1 ; 2) и d (0,5; - 1 )
противоположно направлены.
31. Даны векторы а ( 3; 2) и Ь (0 ; -1 ). Найти вектор
с - -2 а + 4Ь и его абсолютную величину.
32. Абсолю тная величина вектора \л равна 5.Н ай­
ти X. если:
1)а(-6;8);
2)а(3;-4);
3)а(5;12).
33. Векторы а (1; - 1 ) и Ь (- 2 ; т ) коллинеарны. Н ай­
ти т .
34. Даны векторы а (1; 0), Ь (1; 1) и с (- 1 ; 0). Найти
такие числа X и ц, чтобы с = Я. а + ЦЬ .
f 34^
^2 2 ^
35. Среди векторов а ~ ~ ; - г Ь 1 ^ ; т 1 , с ( 0 ; - 1 ),
✓^
.4
3 .4
5’5
V
”
'
найти единичные векторы и указать, ка-
кие из них коллинеарны.
36. Найти единичный вектор 1, коллинеарный век­
тору а (6; 8) и одинаково с ним направленный.
37. Даны координатные векторы l j ( l ; О) и 1^(0; 1).
Ч ем у равны координаты вектора 21 j - З!^?
§ 14.3. Скалярное произведение векторов
и его применение
Задача 1. Вычислить скалярное произведение век­
тора А В на вектор Ь * 2i + j, если А (-1 ; 2) и Б (3; 1).
Р е ш е н и е . Координаты вектора Ь ■* 2i + j равны
в (2; 1), а координаты вектора А В равны А В (3 - (-1 );
( 1 - 2 ) , т. е. А В (4 ; - 1 ).
Находим скалярное произведение векторов Ь и
А В : Ь • А В =« XjXj +
где (х ,; у^) — координаты
вектора Ь, а (х^; у^ — координаты вектора А В . Итак,
Ь • А В = 2 • 4 + 1 • ( - 1 ) = 8 - 1 - 7.
О т в е т : 7.
302
Задача 2. Найти угол между векторами а и Ь,
если (а - Ь )*+ (2а - Ь )* - 56; |а| = 2;
\Ь\* 3.
Р е ш е н и е . По условию задачи (а - Ь)* -t- (2а-Ь)* =
- 5 6 , отсюда а ^ - 2 а Ы - Ь * + 4 а * - 4 а Ь + Ь^” = 56, т. е.
5а^ - баЬ + 2Ь^= 56, но а * = а • а - |а| • |а| • cos О* =
-1а|2-1 -|а1*.
Итак, а*= lap, аналогично Ь * * |Ь|*. По определению
скалярного произведения векторов а •Ь * la] • |Ь|• cos(a, Ь).
Итак, 5|а1*- б|а| • tbl • cos ( ^ b ) + 2tb|*= 56. Поскольку 1а| “ =2 и b| = 3, то 5 • 2* - 6 • 2 • 3 •cos(a, Ь) + 2 * 3^ = 56.
1
Итак, 36 cos (а, Ь) = -1 8 ,
тогда
cos (а, Ь) = - j
и
( С Ь) - 120*.
Ответ:
120*.
.i id'i'i.a и. Используя скалярное произведение век­
торов, доказать, что если биссектриса треугольника яв­
ляется его высотой, то треугольник равнобедренный.
Д а н cf: ДАБС; BD — биссектри­
са и высота (рис. 241).
Д о к а з а т ь : ААВС — равнобед­
ренный.
Д о к а з а т е л ь с т в о . По у с л о ­
вию BD — высота, значит векторы
BD и АС перпендикулярны, поэто­
му их скалярное произведение рав- ^
^
H o0,T.e.BD -AC = 0 ,H oA C “ B C -B A,
тогда BD • (ВС - В А ) - О => BD • ВС -B D • В А = 0. По
определению скалярного произведения векторов име­
ем: lBD| • iBCl cos ZDBC - \BD\ • |BA1 c o s Z A B D = 0. (1)
По условию задачи BD — биссектриса и потому
ZD B C « ZA B D , поэтому cos ZJ)BC = cos ZA B D .
Из равенства (1) следует, что |BD| • |ВС| cos Z D B C - |BD| • |BA| • cos ZD B C - 0 => |BD| • cos ZD B C - (lBC| - IBA]) = 0, так как jBDj
0 и cos Z D B C Ф 0, то
|BC| * iBAl, и потому ДАБС — равнобедренный. Что и
требовалось доказать.
303
Задача -I. Известно, что а - Зр - к; Ь — р + Зк, где
р и к — единичные взаимно перпендикулярны е
векторы. Вектор с имеет длину >/5 и составляет рав­
ные углы с векторами р и к. Найти разложение век­
тора с по ьекторам р и к.
Р е ш е н и е . Из того, что р и к — единичные вза­
имно перпендикулярные векторы, следует, что коор­
динаты векторов а и Ь равны: а ( 3 ; - 1 ) и Ь ( 1 ; 3 ) ,
поэтому длины этих векторов будут:
+ { - ! ) = yfiOH
|bl = V12+32 = Л 0 , т .е.
а| “ |Ь1.
П оскольку вектор с составляет с векторами а и Ь
равные углы ,
а
с
_ ь
следует, что cos (аГ с) = cos (Ь; с), т. е.
^
с
имеем а •с -
Ь
•с.
ас
Обозначим через х п у координаты вектора с, и
тогда с * хр + j/k, где х к у — некоторые действи­
тельные числа.
Найдем скалярные произведения а - с и Ь*с:
1) а •с
(Зр - к) (хр + ук) - Зхр2 - хр •к + Зур •к - j/k*,
но р Н р Н=1*“ 1 и кНк|*” 1^“ 1. а р * к = 0 , так как
р 1 к, и Тогда а • с - Зх - у.
2) Ь - с - (р + Зк) (хр 4 ук ) - хр *+ Зх р - к + у р - к +
+ Зук^-
+ Зу.
Итак, а • с » Зх - у; Ь • с - х -(- Зу и а • с - Ь • с, т. е.
Зх - у *
Зу => 2х “ 4у
X - 2у.
По условию |с| * -JE, тогда |с - V X ^ V - V s .
Итак» у* + 4у^ — 5 ^ 5 у * “ 5 = ^ у * “ 1 ^ у “ ± 1 , тог­
да X -
2. Значит, с - 2р + к, или с - -2 р - к.
О т в е т : с “ 2р + к , или
304
с » - 2 р - к.
Задача 5. Дан п аралле­
лограмм: А (1; -2 ); В (- 2 ; 2);
С (4; 10); D (7 ; 6). Вычислить
его площадь и высоты.
Д а н о : ABCD — параллелограмм; А (1; -2 ); В (- 2 ; 2); ^
С (4; 10); D (7; 6); B N 1 A D ;
BE 1 CD (рис. 242).
ABCD’
Z)(7; 6)
B N ; BE.
Р е ш е н и е . Найдем ко­
ординаты векторов А В и A D
и их длины.
Рис. 242
А В (-2 -1 ; 2 - (- 2 )), т. е. А В (-3 ; 4); A D (7 -1 ; 6 - (-2 )),
т.е. A D (6; 8).
__________
Тогда 1>1В| -
^ (- З)* + 4^ = >/25 » 5 - |CD|.
|AD|- ^ 6 *+ 8 ’ = Л о о = ;о.
Скалярное произведение этих векторов равно:
АВ* AD - 3 • 6 + 4 • 8 - 14 и в то же вре­
мя по определению А В • A D - 1АВ| • |AD| • cos А - 5 • 10 • cos А.
Итак, 1 4 - 5 0 ' C O s A и с о з А - ^ » ^ .
Из основных тригонометрических тождеств сле­
дует, что sin А - V l - cos* А = J v -
625 - 49
= J-
625
576
24
625
25
—— = — , a потому площ адь параллелограм м а
S ABCD
._ „ - lA B | * | A D | s in A - 5 - 1 0 - | | - 4 8 (кв. ед.).
Ho площ адь S ABCD ■A D • B N или S ABCD
поэтому
48 - 10 • B7V => B N - 4,8.
48 - 5 • B £
B £ - 9,6.
Ответ:
CD • BE,
48 кв. ед.; 4,8; 9,6.
20 — К. X . А бдуллаев и др.
305
Задачи д л я сам остоятельн ого решения
1. Доказать, что для лю бы х векторов а и Ь
(а • Ь )*< а*' Ь-.
2. Найти угол между векторами а (1; 2) и Ь (1;
3. Даны векторы а и Ь. Найти абсолютную величи­
ну вектора а -t- Ь, если известно, что абсолютные
величины векторов а и Ь равны 1, а угол между
ними 60*.
4. Найти угол между векторами а и а + Ь предыду­
щей задачи.
5. Даны вершины треугольника А (1; 1), В (4; 1),
С (4; 5). Найти косинусы углов треугольника.
6. Найти углы треугольника с вершинами Л(0;л/3);
В(2; 7 3 ) . С ( | : 4 ) 7. Доказать, что векторы а ( т ; п) и Ь (- п ; т) пер­
пендикулярны или равны нулю.
8. Даны векторы а (3; 4 j и Ь ( т ; 2). При каком
значении т эти векторы перпендикулярны?
9. Даны векторы а (1 ; 0) и Ь (1 ; 1). Найти такое
число Я.» чтобы вектор а + Ь был перпендику­
лярен вектору а.
10. Доказать, что если а и Ь — единичные неколлинеарные векторы, то векторы а -t- Ь и Ь - а
отличны от нуля и перпендикулярны. /
11. Векторы а + Ь и а - Ь перпендикулярны. Д ока­
зать, что |а| “ [Ь].
12. Даны четыре гочки: Л (1 ; 1), В (2; 3), С (0 ; 4) и
2).
Доказать, что четырехугольник
ABCD — прямоугольник.
13. Даны четыре точки: А ( 0 ; 0 ) , В ( 1 ; 1 ) , С ( 0 ; 2 )
и D (- 1 ; 1). Доказать, что четы рехугольник
ABCD — квадрат.
306
14. 1) В равнобедренном треугольнике ABC угол Р
прямой, АС = 2 V 2 , BD — медиана треугольни­
ка. Вычислить скалярное произведение векто­
ров BD • АС, BD • ВС, A D • BD.
2) Даны точки Л ( 1 ; 3). В (4; 7), С (- 1 ; - 1).
D( 7 ; 5). Найти скалярное произведение векто­
ров А В и CD.
15. 1) В равностороннем треугольнике М Н Р : Н К —
биссектриса, М Н = 2. Вычислить скалярное про­
изведение векторов Н К ' МР, НК • HP, РМ • МР.
2) Даны точки М ( 2 ; 3 ) , Р ( - 2 ; 0 ) ,
О (0; 0),
К (- 5 ; -1 2 ). Найти скалярное произведение век­
торов М Р и ОК.
16. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекают­
ся в точке О, АВ * 2, Z.CAD - 30’ . Вычислить ска­
лярное произведение векторов DC • ВС и ОВ • ОА.
17. 1) В трапеции ABCD: Z A • 10", Z.D = 80*; A D = 8 ,
ВС “ 7. Вычислить скалярное произведение век­
торов ВС • AD ; А В • CD.
2) Даны точки А {х; -5 ), В (х; х), О (0; 0). Найти
X и угол между векторами О А и ОВ, если их
скалярное произведение равно - 6 .
18. Даны точки М {у; -1 ), О (0; 0), Я (2; -1 ), Р (3; 5).
Известно, что скалярное произведение векторов
ОМ и H P равно -у^. Найти у и угол между эти­
ми векторами.
19. 1) В треугольнике ABC: С А * С В < 0. Где распо­
ложен центр окружности, описанный около тре­
угольника?
2) Даны точки В (-2 ; 10), С ( 6 ; 4), D (1; 1) и точ­
ка А , лежащая на оси Оу. Найти координаты
точки А . если прямая А С перпендикулярна пря­
мой BD.
20. 1) В треугольнике ABC: В С - В А > 0 . Где рас­
положен центр окружности, описанный около
треугольника?
307
2) Дан четы рехугольн и к Е К Р Н . Вершина Е
четырехугольника лежит на оси абсцисс, а верши­
ны Р(1; 2), Я ( - 6 ; 6), К{4', 6) расположены так, что
диагонали четырехугольника взаимно перпенди­
кулярны. Найти координаты точки Е.
21. 1) Известно, что с = а + Ь, |а| = 5 см, 1Ь|- 3 см. У гол
между векторами а и Ь равен 60’ . Найти |с| .
2) Используя скалярное произведение векторов,
доказать, что медиана равнобедренного треуголь­
ника, проведенная к основанию, является биссек­
трисой этого треугольника.
22. 1) Известно, что ш * п - к, W - V2 см, 1к|- 3 см, угол
между векторами п и к равен 45*. Найти |т|.
2) Используя скалярное произведение векторов,
доказать, что медиана равнобедренного треуголь­
ника, проведенная к его основанию, является вы­
сотой этого треугольника.
23. Найти угол между векторами т и п , если:
( т - 2 п ) * + ( т - г п ) * « 73, |m l*2>/2, |п|-3.
24. 1) Известно, что р * За + Ь, к * а - ЗЬ, где а и Ь —
единичные взаимно перпендикулярные векторы.
Вектор m имеет длину
и составляет равные
углы с векторами р и к. Найти разложение век­
тора m по векторам р и к,
^
2) В треугольнике ABC: Z B - 90", cos С «« "з" . До­
казать, что угол между медианами З В , и А 4 ,
прямой.
25. 1) В треугольнике ABC: АС ^ 3 см, ВС — 6 см,
ZACB = 120*. Точка Е дел 1гг сторону АВ в отноше­
нии 1:2, считая от вершины А. Найти отрезок СЕ.
2) Даны точки М ( - 1 ; 3), Р (1 ; 2), К (- 2 ; 5). Най­
ти площадь треугольника Р К М .
PH = 2^2 дм, P i f - 2 дм,
Z.HPK = 135'. Найти отрезок РО, если точка О
принадлежит прямой Н К и Н О : ОК * 1 : 3 .
26. 1) В треугольнике
308
2) Даны точки А (3; 2), В (4; 5), С (7; 10). Найти
площадь треугольника ABC.
27. Найти проекцию вектора а на направление век­
тора Ь и проекцию вектора Ь на направление
вектора а, если |а| - 2, |Ь| - 1, а угол между ними
равен 120*.
28. Что можно сказать о величине угла между век­
торами а и Ь, если их скалярное произведение:
1) а • Ь - 0;
2) а • Ь > О,
3) а • Ь < О?
Найти скалярные произведения векторов:
4) а и - а ;
5) а и ка.
29. Определить угол между векторами а = А В + CD
и осью абсцисс, если А (- 2 ; 3), В (0; 8 ), С (5; 3) и
D (1 0 ; 5).
30. Найти длину вектора с “ 4Ь - а, если jal = 2, |Ь1- 1,
а величина угла между ними равна 60*.
31. Дан вектор а(3; -4 ). Абсцисса перпендикуляр­
ного ему вектора Ь равна 8 . Определить ордина­
ту вектора Ь.
32. Найти величину угла, который составляет:
1) вектор а (3; 4) с осью абсцисс;
2) вектор Ь ( - 8 ; 6 ) с осью ординат.
33. Найти площадь параллелограмма, построенного
на векторах а(3; 4) и Ь(4; -3 ).
34. Найти скалярное произведение векторюв:
a-4i+j
и b-i-j.
35. Перпендикулярны ли векторы:
1 ) с ( 4 ; - 1 0 ) и d (3 ; 12);
2) а - 3i - 2j и b - 2i + 3j?
36. Тело, движущееся под углом а к горизонту, имеет
вертикальную и горизонтальную составляющую
скорости У^и V^. Найти модуль скорости и угол
а , если:
1)|VJ-2m/c'
| V J - 1 m/c;
2) |Vj “ 3 м/с
|VJ - 4 м/с.
309
37. Найти угол между векторами:
1) а ( 1; 1) и Ь - i;
2) а ( 1; 1) и Ь>= j;
3) a - 6 i - 2 j и b - 9 i - 12j;
4 ) с —- 2 i + 3j и d = 4 i - j ;
5) а (- 2 ; 3) и Ь (3; 1).
38. В точке приложены силы Fj, F^, Fg. Вычислить
углы , которые равнодействующая этих сил об­
разует с составляющими, если: Fj(3; 4), F j(l; -2 ),
Р з (-1 ; 3).
§ 14.4. Решение геометрических задач
векторным методом
Задача 1. Доказать, что отрезок, соединяющий
середины диагоналей трапеции, параллелен основа­
ниям трапеции.
Д а н о : ABCD — тра­
пеция; АС и BD — диаго­
нали; B N —N D ; A M = М С
(рис. 243).
Д о к а з а т ь : M N ||A D
Рис. 243
^ ( МЛГЦВС) .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Д ля того чтобы M N была
параллельна A D или ВС, достаточно показать, что век­
торы M N и A D , или векторы M N и ВС, — коллинеарны.
Из того, что М к N — середины отрезков АС и BD,
следует, что A M — ^ А С — | (А В
ВС)
и
AN =
= | (A B + AD). no 0rro M y ,M N *A N - A M - | (А В -I-AD)- | ( A B + B C ) - 2 (АВ -Ь A D - A B - B C ) - | (A D - B C ).
Вектор ВС коллинеарен вектору A D (по опреде­
лению трапеции, ВС ||A D ), т. е. ВС - А, • A D , тогда
310
MNftj=
(A D - Л,- A D ) - I (1 - ftj) • A D -
■A D . где
— некоторое действительное число.
Итак, M N •* fej • A D , т. e. векторы M N и A D коллинеарны, и, следовательно, прямые M N и A D парал­
лельн ы .
Аналогично, из коллинеарности векторов A D и
ВС и A D и M N следует, что M N | ВС. Что и требова­
лось доказать.
Задача 2. На стороне A D параллелограмма и диа­
гонали АС соответственно взяты точки М и N так,
чтобы A M = I A D и A N =
AC. Доказать, что точки
М , N и В лежат на одной прямой. В каком отноше­
нии N делит отрезок ВМ ?
в
С
Д а н о : ABCD — парал­
л е л о г р а м м ; АС — д и а г о ­
наль; AAI = | a D ; a n ^ ^ а с
(рис. 244).
Д о к а з а т ь : точки М , N
и В лежат на одной прямой.
244
Н а й т и : BN:NM.
Р е ш е н и е . По условию A M = | AD и A N =» | АС.
g
Тогда M N = A N - A M = I АС - ^ AD .
Но АС =
= A D + DC, поэтому:
M N = g ( A D + D C )- J A D - ^
(5 D C - A D ).
(1)
С другой стороны: МБ — А В - A M = А В - х A D *
=
g
(5 А В - A D ). Но А В = DC (так как длины векто­
ров |АВ| = |DC| и эти векторы коллинеарны), тогда
MB = I (5DC - A D ).
(2)
Из равенств (1) и (2 ) следует, что MB — 6M N , от­
куда можно заключить, что точки М , N и В лежат
на одной прямой. Кроме того,
|MN| =
g
|МВ|, тогда
311
NB
MB
lN B l= I iMBl. Итак ,
MN
= Y , T. e. точка N
MB
делит отрезок M B в отношении 5 : 1 .
Ответ:
NB : M N - 5 : 1 .
Задача 3. Даны два ненулевых вектора а и Ь,
удовлетворяющих условию |а + Ь1 - |а - Ь|. Доказать,
что а Х Ь .
В
С
Д а н о ; а и Ь; а, b?sO.
а + bl “ |а- Ь| (рис. 245).
Доказать; alb.
Доказательство
I
способ. На векторах а и
Ь
Ь, как на сторонах, построим
Рис. 245
п араллелограм м ABCD.
Диагонали этого параллелограмма; А С * а + Ь и
DB “ а - Ь, тогда |АС| « |а + Ь| и iD B|«|a-b|.
По условию задачи |а + Ь| = |а - Ь|, т. е. |ЛС| - |DB|.
Тогда параллелограмм ABCD с равными диагона­
лями АС и DB является прямоугольником, а пото­
му А В 1 A D , т. е. а 1 Ь. Что и требовалось доказать.
I I способ. П усть а + Ь ■= х. п а - h - v
Тпргщ
х * = ( а + Ь)^“ а’ + 2 а - Ь +
(а - Ь)*“ а * - 2 а - Ь + Ы.
Так как квадрат вектора равен квадрату его дли ­
ны.тох^*|х1® и
* Ы*. Тогда а* + 2а •Ь + Ы = |а + Ьр
и а ^ - 2а Ь ч - Ь ^ - | а - Ь К
По условию |я + Ь1 «• |а - Ь!, а тогда и )а + Ь|* - 1а - Ь|*.
Следовательно. а ^ + 2 а • Ь + Ь ^ - а * - 2 а • Ь + Ь*. т. е.
4 a ' b - 0 = ^ a * b ~ 0 . А так как скалярное произведе­
ние двух векторо^5ЯЙППТГ^Г^Я1ПД?терКПЯЙмно
перпендикулярны, т.е. а .L Ь. Что и требовалось до­
казать.
Задача 4. Доказать, что д ля произвольного тре­
угольника АБС справедливо неравенство:
cos А + cos В + cos С < ^ .
312
Д а а о : ЛАВС (рис. 246).
Доказать:
сое А +
+ cos В + cos С 5
.
Д о к а з а т е л ь с т в о . На
сторонах треугольника ABC
построим единичные вектоРис. 246
ры Ij, Ij и I,. П усть суммой
этих векторов будет некоторый вектор d, т. е. d
Ij + 1,. Найдем этот вектор d - (1,+ Ц+ 1,).
d ^ -((I,+ V + l3 )* - (l,+ I , y + 2{l, + y - I , + V - V + V +
+ 21, 1, + 2!, 1, + 2ljlj + 1,*, но 1,* - |1J* - ! * • 1, аналогичН0
1/-1 и V
1.
1,1• |1J • cos
• l-lc o s (It - В ) - *-cos в (по
формуле приведения cos (n - В ) * -cos В).
*Г *3"
^
(я - А ) - -c o s А
(по формуле приведения cos (п - А ) - -cos А ).
Ij- lj- J lJ 'llJ 'C o s 0 ^; у - 1 • 1с о в ( п - С ) - - с о а С ( п о
формуле приведения cds(n - С) cos С).
Итак, d * » 3 - 2 Z cos В - 2 zCcos А - 2 Z c o s С *
- 3 - 2 (cos А + cos В + cos С), но d^— |d|* ^ О, а потому
3 - 2 (c o s A + c o s B + cosC )^0,2(cosA + cosB + coe С )^ 3 ,
и тогда cos А + cos В + сое С ^ j .
Ч то и требовалось доказать.
Задачи д л я са м о сто я тельн о го реш ения
1. Доказать, что если ABCD — прям оугольник, то
д ля лю бой точки М плоскости выполняется ра­
венство: М А *+ М С *"’ МВ*-\- MD^.
2. Доказать, что диагонали ромба взаимно перпен­
дикулярны.
3. Доказать, что если М , и A f, — точки пересечения медиан AA,BjC, и ДА^В^С,, то:
М . К - | (А .А .+ В Л + С ,С ,).
313
4. Доказать, что медианы произвольного треуголь­
ника ABC пересекаются в одной такой точке М ,
что для любой точки О справедливо соотноше­
ние ОМ - J (О А + ОВ + ОС),
5. Доказать, что треугольник с вершинами Л (2; 1),
В (3; 0), С (1; 5) тупоугольный, и найти косинус
тупого угла.
6 . При каких значениях х векторы (дг®- 1) а и 2ха
сонаправлены, если а ^ О?
7. При каких значениях m векторы (га*- m - 2)Ь и
m®b противоположно направлены, если Ь ^ О?
8 . Пусть К ч М — середины сторон ВС и CD парал­
лелограмма ABCD и А К - а, A M - Ь. Выразить
векторы BD и A D через векторы а и Ь.
9. В п а р а л л е л о гр а м м е A B C D
В М : М С - 1 : 2;
N € DC.
A M — а; A N — Ь. Выразить
M N и BD через векторы а и
дано: M e ВС
и
D N : N C ^ 1 : 2;
векторы А В , A D ,
Ь.
10. В треугольнике ЛВС дано: А В » 4i + 2j,
AC =
* 3i + 4j, где i и j — единичные векторы. Дока­
зать, что треугольник ЛВС прямоугольный, и
вычислить его площадь.
11. Найти угол между ненулевыми векторами а и
Ь, если (а - Ь)* + (2а - Ь ) * - 56, |а| = 2 и jbj = 3.
12. На стороне А В параллелограмма ABCD взята
точка К так, что А К : К В - 7. Сторона А В в три
раза длиннее стороны ВС. Разлож ить вектор
D K по векторам А В и A D и найти отношение
D K : АВ, если Z B A D - 60*.
13. Даны вершины треугольника: А (-1 ; 1); В (-5 ; 4)
и С (7; 2). Найти скалярное произведение век­
торов А В • А С и площадь треугольника.
14. Единичные векторы 1,.
и I 3 удовлетворяют ус­
ловию lj+ l j + I 3- 0. Найти Ijlj + У з + Ijlj.
314
15. Даны два вектора 0 А ( - 1 ; 2) и ОВ (- 4 ; - 2 ), где
О — начало координат. Найти длину отрезка
АВ, площадь треугольника ОАВ и длину медиа­
ны О М .
16. Найти скалярное произведение векторов Л К и
BL, если А К и BL — медианы равнобедренного
треугольника ABC, площадь которого равна S, а
120
*
17. Дана трапеция ABCD. Длина ее основания A D в
три раза больше длины основания ВС. Длины
векторов АВ , ВС и АС соответственно равны а,
Ь, с. Найти скалярное произведение векторов В А
и AD .
18. В треугольнике ABC проведены медианы AD. BE
и CF. Вычислить ВС • A D + СА • BE + А В • CF.
19. В треугольнике ABC известны длины сторон
АВ * б, АС ■= 8 и Z A = 90‘ ; A M и B N — биссек­
трисы углов А и С. Найти косинус угла между
векторами A M и BN.
20. В треугольнике ABC: М — точка пересечения
медиан. Доказать, что М А -f MB ^ МС = 0.
21. Дл и н а гипотенузы АВ п р я м оугольн ого тре­
угольника ABC равна с. Найти сумму А В • А С +
+ ВСВА + САСВ.
22. Доказать, что точки А (5; 0), В (0; 2) и С (2; 7)
являются вершинами прямоугольного треуголь­
ника. Найти его площадь и указать все переме­
щения плоскости, переводящие его в треуголь­
ник с вершинами (- 5 ; 0), (0; - 2 ) и (- 2 ; - 7 ).
23. Доказать, что точки А ( 3 ; 0), В (0; 1), С (2; 7) и
D( 5 ; 6) являются вершинами прямоугольника
ABCD. Вычислить его площадь и указать все
перемещения плоскости, при которых он пере­
ходит в себя.
315
Г л а в а 15
ГЕОМ ЕТРИЧЕСКИЕ
П О С Т Р О Е Н И Я _________________
Прежде чем приступать к геометрическим по­
строениям следует рассмотреть:
1. Основные этапы решения задач на построение:
а) анализ;
б) построение;
в) доказательство или синтез;
г) исследование.
2. Применение параллельного переноса к реше­
нию задач на построение.
3. Применение симметрии к решению задач на
построение.
4. Метод подобия при решении задач на построе­
ние.
5. Аналитический метод решения задач на по­
строение.
6 . Применение поворота при решении задач.
7. Метод геометрических мест при решении за­
дач па построение.
Задача 1. Построить трапецию, если заданы ее
диагонали, угол между диагоналями и одна из боко­
вых сторон.
Дано:
н dj — диагонали трапеции АС и BD;
(A c T b D ) * а, C D ~ b (рис. 247).
П о с т р о и т ь : трапецию ABCD.
Н с
d,
В\------- ------ID
Рис. 247
316
I .
А н а л и з (рис. 248).
Пусть ABCD — искомая тра­
пеция, в которой AC = d^;
BD = d^; ZAO D = а и CD = b.
При параллельном переносе
BD на длину ВС она занима­
Ри с. 248
ет п о л о ж е н и е CD^, т. е.
DDj = ВС и C D ,- BD - dj, ZACD^ - ZAO D = a (как
соответственные углы при параллельных BD и CD, и
секущей ЛС). В полученном треугольнике ACD, из­
вестны две стороны АС = d,; CD = dj и угол между
ними ACD = а. Зная длину CD = Ь, можно найти поло­
жение точки D на AD ,. Проведя через точку С пря­
мую, параллельную A D j, и через точку D прямую, па­
раллельную CDj, находим четвертую вершину трапе­
ции точку В как пересечение двух этих прямых.
I I . П о с т р о е н и е (рис. 249).
1. Строим треугольник
о.
по двум сторонам с длина­
ми d^ и dj и углом а меж­
ду ними: A C = d,; CD^’^d^,
а.
Z D jC A
2. Из точки С радиусом,
равным Ь, проводим засечку
на AD ,. Получим точку D.
3. Проводим CiV||AD,.
4. Проводим через точ­
Рис. 249
ку D прямую D M , параллельную CD,.
5. Точку пересечения В прямых C N и D M соеди­
ним с точкой А . Трапеция ABCD — искомая.
III. Доказательство
(синтез).
По построению АС - d,; CD *= b. Так как A D , ||CN
и CD, II BD, то четырехугольник CD^DB — параллело­
грамм и потому B D - C D ,- dj, Z D f iA » ZD O A - a как
углы , соответственные при D,C ||DB и секущей АС.
Ит а к, в трап ец и и A B C D : А С - d ,; B D - d ,;
ZA O D — a; CD « b. Следовательно, ABCD — искомая
трапеция.
317
I V . И с с л е д о в а н и е . Задача не имеет реше­
ния, если CD - Ь меньше расстояния между ВС и
AD , т. е. в этом случае не будет точки пересечения
CD с прямой A D j.
Во всех остальных случаях задача имеет един­
ственное решение, что следует из рассмотрения всех
этапов построения.
Задача 2, Дан угол А и лежащая внутри угла точ­
ка М . На сторонах угла А найти точки К и N таким
образом, чтобы периметр треугольника K M N был наи­
меньшим.
Д а н о : ZA ; точка М внут­
ри Z A (ряс. 250).
Н а й т и : точкиЛГиiV ,чтобы
был наименьшим.
I .
А нал
М , — точки, симметричные
точке М относительно сторон
АВ и АС угла А , а точки К ' и
N'
произвольные точки на
сторонах этого у гла . ПериРис. 250
метр треугольника K 'M N ' ра­
вен К М + MN'-\- N'K',HO К 'М - Г М , и M N ' - ЛГМ,,
т. к. точки К ' и N ’ лежат на перпендикулярах к от­
резкам M yW и M M j, проведенных через их середины
и i), (поскольку точки M j и М , — симметричны
точке М относительно А В и ВС), и потому равноуда­
лены от концов этих отрезков М , и М или M j и М .
Тогда
К 'М ^ + M ^N ' + N 'K ' и равен длине
ломаной линии
'
Н аименьш ая длина ломаной линии M ^K'N'M ^
есть отрезок A fjM ,, тогда точки К и N долж ны л е ­
жать на прямой M jM ,.
Таким образом, в качестве точек К и N можно
взять точки пересечения прямой
со сторона­
ми угла.
318
м,
II. Построение
(рис. 251).
1. Строим точку M j, сим­
метричную точке М отно­
сительно АВ (М ^М 1 А В и
/ \ It/ В
*М
✓1 /
M Dj-JDjM j).
2. Строим точку Afj, сим­
метричную точке М отно­
с и т е л ь н о А С (Л / М , 1 Л С и
/
А
\
^
Y
С
3. Соединяем точки
и
251 i\<f
M ,; точк и п ер есеч ен и я
‘
M jM j со сторонами А В и А С обозначаем через К и N.
4. Соединяем точки К и N с точкой М . Пери­
метр треугольника K M N — наименьший.
I I I . Д о к а з а т е л ь с т в о (синтез). Действитель­
но, периметр S K M N (где точки К ' и N ' лежат на
сторонах АВ и АС угла А ) будет больше периметра
данного треугольника, поскольку длина ломаной
больше длины отрезка М^М,, а периметр
треугольника K M N равен длине отрезка MJCNM^).
I V . И с с л е д о в а н и е . Задача имеет единствен­
ное решение, что следует из рассмотрения всех эта­
пов построения треугольника K M N .
'ЗаНача 3. Построить треугольник по трем его
медианам.
Д а н о : т , л и р — медианы Д А В С (рис. 252).
Построить треугольник ABC.
1
. А н а л и з (рис. 253). Пусть Д ABC
иско­
мый; в нем A D ’^n; BE ^ т и F C ’^pi О — точка
т
Рис. 252
319
пересечения медиан. Продолжим медиану BE за точ­
ку F II МП продолжгпии отложим отрезок ЕН — ОЕ.
Четырехугольник АОСН — параллелограмм, т. к.
его диагонали в точке пересечения делятся попо­
лам: АЕ - ЕС, т.к. BE — медиана и ОЕ Е Н по
построению.
По свойству медиан треугольника: АО : 0 D * 2 : 1 ;
ВО :0 Е = 2 :1 и С О : OF = 2 : 1, а потому АО * ^ AD\
СО = ^ CF; ОЕ = ^ BE, а ОН = ^ BE (по построению).
3
3
3
Итак, в параллелограмме Л О С Я известны две стороны АО =
2
3
п;СО=
2
3
р и диагональ О Я *• , т. По-
2
3
строив этот параллелограмм, найдем искомую сто­
рону АС аЛВС, являющ уюся диагональю данного
параллелограм м а.
II.
Построение
(рис. 254).
1. Строим треугольник АО Н по трем сторонам
А О = = - п ; А Н = - р и ОН = - т.
3
3^
3
2. Через точку Я проводим прямую, параллель­
ную АО, а через точку О — прямую, параллельную
АН, до их взаимного пересечения в точке С.
3. В построенном параллелограмме АОСН: АС —
сторона ААВС.
4.
На продолжении Н О за
т о ч к у О о т л о ж и м отрезок
ОВ » ОН и полученную точку
В соединим с точками А и С.
ДАВС — искомый.
^
III.
Доказательство
(синтез). В построенном треугольнике АБС: Е — середина
стороны АС (по построению);
ОЕ^ЕН-^
Я
Рис. 254
320
^т, О В - ^ т . И
3
3
тогда точка О — точка пере-
сечения медиан А А В С , п о ск о ль к у в ней: В О : О Е
- 2 : 1 , АО - — п, а тогда OD ■
на ЛАВС. Аналогично, ОС =
2
3
1
п и AJD — п — медиа*
р, тогда OF =
Итак, в треугольнике ЛВС: A D =- п;
3
puCF^p.
BE - m
и
FC~p.
IV .
Исследование.
2
2
Построение iiA O H по
2
трем сторонам: - т , ~ л и - р возможно, если каж ­
дая из этих сторон меньше суммы двух других его
сторон.
Итак, при т < п ■¥р; п < т + р и р < т + п зада­
ча имеет единственное решение. При невыполнении
этого условия ЛАБС построить нельзя, т. е. реше­
ние этой задачи невозможно.
Задача 4. В данный треугольник ЛВС вписать
квадрат так, чтобы две его вершины леж али на сто­
роне АС,-а остальные двр — на сторонах А В и ВС.
Д а н о : ЛАБС (рис. 255).
в
Построить:
квадрат
г 1
D^E^FJC^, вписанный в ААВС.
У
I.
А н а л и 3 . Отбросим Еу,
F
на время условие нахожде­
ния одной из вершин квад­
С
1
рата на стороне ВС. Тогда су­ А D [), к
ществует бесчисленное мно­
Рис. 255
жество квадратов, удовлетво­
ряющ их остальным условиям задачи.
Построим один из них: из произвольной точки Е
на стороне АВ опускаем перпендикуляр E D на сто­
рону АС и на стороне АС от точки D отлож и м
D K - ED , а затем через точку Е проводим прямую,
параллельную D K , а из точки К — прямую, парал­
лельную ED. И х пересечение дает четвертую вер­
шину F квадрата DEFK.
Выбрав точку А за центр подобия, строим квад­
рат, подобный квадрату DEFK, выбирая коэффици21 —
к.
X . А бдуллаев н др.
321
^
ент подобия так, чтобы вершина F, нового квадрата
леж ала на стороне ВС. Д ля этого через точ­
ки Л и F проводим прямую до пересечения со сторо­
ной ВС в точке F,.
л г»
Итак, коэффициент подобия k = ---- .
АТ,
II. Построение.
1. Из произвольной точки Е стороны АВ опуска­
ем перпендикуляр E D на ВС.
2. На АС отложим D K = DE.
3. Через точку Е проводим прямую, параллель­
ную АС. и через точку К — прямую, параллельную
ED, точку их пересечения обозначим через F.
4. Квадрат D E F K подобен искомому квадрату.
5. Через точки А и F проводим прямую до пере­
сечения с ВС в точке F,.
6 . Через точку F^ прюводим FiK^ ED и Fj£j D K .
7. И з точки
проводим
• Квадрат
D^E^F^K^ — искомый, подобный квадрату D E F K с
I* —
коэффициентом подобия " ~ ~г^ .
III.
Доказательство
(синтез). Из подобия
tiAFK и diAF^K^ по лемме о подобии (
.
FK
AF
||
.
по построению) следует, что - - = —— * « , т. е.
1
F^K^^j^FK.
(1)
Из подобия AAEF и ДАБ^^^также по лемме о по-
EF
AF
£ lFj
AF^
добии следует, ч т о ----- = ----- = Л , т. е.
E ^F^^^E F.
Итак, F ^ K ~ ^ F K
и
ft
тогда F^K^^ E^F^.
Значит, в четырехугольнике
ны равны и углы прямые (по
D^E^F^K^ — квадрат.
322
( 2)
\ EF. Но F K - EF,
ft
D^E^FJC^ все сторо­
построению), тогда
IV .
И с с л е д о в а н и е . Задача имеет един, твенное решение, что следует из рассмотрения всех эта­
пов построения искомого квадрата.
Задача 5. Построить квадрат, площадь которого
относится к площади данного квадрата как т : п.
Д а н о : ABCD
данный квадрат, отрезки т и п
(рис. 256).
П о с т р о и т ь ; квадрат площадью S; А = £L , где
S, — площадь данного квадрата ABCD.
”
1.
А н а л и з (рис. 257). Задача будет решена,
если будет построен такой отрезок, что
= — . где
— сторона искомого квадрата, а а — сторона дан­
ного квадрата ABCD. На произвольной прямой I от­
кладываем отрезки M N - m и N K = п и на М К как
на диаметре описываем полуокружность. Из точки
N проводим перпендикуляр N P к М К до пересече­
ния с окружностью и точку Р соединяем с точками
М и К . Вписанный угол М Р К , опирающийся на
диаметр окружности, прямой, а потому из метричес­
ких соотношений в прямоугольном треугольнике
М Р К , в котором P N 1 М К , следует: ( M P f = М К • M N
и [ P K y = M K N K , следовательно, МР^:РК^ =
- { М К •M N ) : { М К •N K ) = M N : N K = m : n .
X
PF
МР
РЕ
РК
Если Р Е ^ а, а FfJl М К , то — = —— (из подобия
и Ш РК
^PFE
pf
I
']
2
( AfP'j
peJ
I
по л е м м е
о подобии).
Тогда
2
pjcJ
=> { P F f : { P E f - - { M P f : { P K f = rn: п.
Итак, JC*: а* = m : n, т. e. P F — сторона искомого
квадрата.
В
С
m
n
I------1
Рис. 256
Рис. 257
323
II. Построение.
1. На отрезке М К = M N + N K = т + п, как на диа­
метре, описываем полуокружность.
2. Из конца N отрезка М К восставляем перпен­
дикуляр N P до пересечения с полуокружностью.
3. Проводим хорды М Р и РК\ ^ М Р К — прямо­
угольный.
4. На стороне РК откладываем РЕ = а, где а —
сторона данного квадрата.
5. Проводим E F j M K . PF = х — сторона иско­
мого квадрата, площадь которого S = дс* такова, что
£ i = fL.
а*
л
I I I . Д о к а з а т е л ь с т в о (синтез). Из подобия
треугольников PFE и М Р К (по лемме о подобии, так
как E F I М К ) следует, что — =
РЕ
х ,Ж ,.„ г я а 4
а
РК
= ^
а
, т. е.
РК
( 1,
.
{^рку
Из метрических соотношений в прямоугольном
треугольнике М Р К следует, что (МР)^ = М К - M N ,
(PK)-=MK-NK.
, 2)
Тогда
{ рк)~
NK
NK
п
'
2
Итак, из равенств (1) и (2) следует, что i — = Ш .
а®
«
I V . И с с л е д о в а н и е . Задача имеет единствен­
ное решение. В слу^1ае, если сторона квадрата а боль­
ше, чем РК, точка Е оказывается на продолжении
этой стороны, что не изменяет остальных этапов по­
строения.
Задача 6. Построить квадрат, вершины которого
принадлежат двум концентрическим окружностям
(по две вершины на каждой окружности).
324
Д а н о : две концентрические окружности: (О; г)
и (О; R) (рис. 258).
П о с т р о и т ь : квадрат ABCD с вершинами на
этих окружностях
I . А н а л и з . Пусть ABCD — искомый квадрат, а
О — центр концентрических окружностей. Рассмот­
рим поворот малой окружности относительно точки
А на 90*. При этом повороте точка D перейдет в точ­
ку В. Следовательно, точка В является точкой пер>есечения больш ей и меньшей окруж ностей, когда
меньшая окружность повернута на 90* вокруг точки
А (Oj — новый центр малой окружности). Таким об­
разом, решение задачи сводится к повороту на 90*
вокруг произвольной точки А меньшей окружности
и нахождению точек пересечения новой окружнос­
ти с данными концентрическими.
I I . П о с т р о е н и е (рис. 259).
1. На малой окружности выбираем произвольную
точку А.
2. Осуществим поворот на 90’ малой окружности
вокруг точки А. O j— центр новой окруж ности;
Z O A O ,-9 0 *.
3. Находим точки пересечения новой окруж нос­
ти с большей окружностью.
4. А В или А В , — сторона искомого квадрата.
К
325
5. Строим квадрат ABCD со стороной АВ (анало­
гично строится квадрат AB^C^D^ со стороной А В ,).
6 . Через точку А проводим перпендикуляр к АВ
до пересечения с исходной малой окружностью в
точке D.
7. Через точку В проводим перпендикуляр В К к
АВ.
8 . Через точку D проводим прямую, параллель­
ную АВ, до пересечения с В К в точке С. ABCD —
искомый квадрат.
I I I . Д о к а з а т е л ь с т в о (синтез). Так как при
повороте сохраняется расстояние между двумя точка­
ми, а при повороте на 90' точка D перешла в В, то
AD —АВ. Тогда, исходя из построения, ABCD — квадрат.
Следует показать теперь, что точка С леж ит на
большей окружности, поскольку точки А и D — две
точки малой окружности (по построению), а точка В
леж ит на большей окружности. Соединим точку О с
точками Z) и С. В равнобедренном треугольнике ОАО
углы при основании равны, т. е. Z.OAD » Z.ODA.
Рассмотрим треугольники ODC и ОАВ, в кото­
ры х: O D ^ O A как радиусы малой окруж ности;
DC = А В как стороны квадрата; ZOD C * Z.OAB, т.к.
ZO D C - Z.ODA + 90', а Z O A B = ZO A D + 90* и углы
ZO D A = ZO AD .
Итак, треугольники ODC и ОАВ равны по перво­
му признаку равенства треугольников, а из их ра­
венства следует, что ОС — ОВ. Но ОВ — радиус боль­
шей данной окружности, а из того, что отрезок ОС
равен радиусу, следует, что точка С так же, как и
точка В, принадлежит больш ей окружности.
I V . И с с л е д о в а н и е . В общем случае у зада­
чи есть два решения тогда, когда окружность, п олу­
ченная при повороте малой окружности на 90’ , име­
ет две точки пересечения с большей окружностью
(при R < 2г).
В частном случае задача может иметь одно 1>ешение (при R =» 2г) или не иметь решений (при R > 2г).
326
Задачи для самостоятельного решения
1. Построить прямоугольный треугольник по кате­
ту и сумме гипотенузы с другим катетом.
2. Построить прямоугольный треугольник по ка­
тету и разности двух других сторон.
3. Построить четырехугольник ABCD по четырем
сторонам, зная, что его диагональ ЛС делит угол
А пополам.
4. Построить треугольник по двум углам и сторо­
не, лежащей против одного из них.
5. Построить равнобедренный треугольник по бо­
ковой стороне и высоте, опущенной на нее.
6 . Построить треугольник по высоте, периметру и
у гл у при оснований!.
7. Построить многоугольник, равный данному.
У к а з а н и е . Диагоналями разбивают данный
многоугольник на треугольники.
8 . Построить четырехугольник по трем его углам
и двум сторонам, образующим четвертый угол.
У к а з а н и е . Найти четвертый угол.
9. Построить параллелограмм по двум диагоналям
и углу между ними.
10. Построить ромб по высоте и диагонали.
11. Построить трапецию
двум диагоналям.
по двум основаниям и
12. Построить квадрат по разности диагонали и сто­
роны.
13. Описать окружность, которая проходила бы че­
рез данную точку А и касалась бы данной пря­
мой в данной на ней точке.
14. При заданном радиусе описать окружность, ко­
торая касалась бы данного круга и проходила
бы через данную точку. Рассмотреть три случая,
когда данная точка лежит: 1) вне круга; 2) на
окружности; 3) внутри круга.
327
15. Описать окружность, касающуюся трех равных
кругов извне или изнутри.
16. Через точку пересечения двух окружностей про­
вести секущую так, чтобы часть ее, заключенная
внутри окружностей, равнялась данной длине.
У к а з а н и е . Построить прямоугольны й тре­
угольник, имеющий гипотенузой отрезок прямой,
соединяющий центры данных окружностей с ка­
тетом, равным половине данного отрезка.
17. В треугольнике найти точку, из которой его сто­
роны были бы видны под равными углами.
У к а з а н и е . Каждый из этих углов должен рав­
няться 120*.
18. Построить треугольник по углу при вершине, вы­
соте и медиане, проведенной к основанию.
У к а з а н и е . Продолжив медиану на равное рас­
стояние и соединив полученную точку с конца­
ми основания, рассмотреть полученный парал­
лелограмм.
19. Вписать в данный круг четырехугольник, у ко­
торого даны сторона и два угла, не прилежащие
к этой стороне.
20. Построить равнобедренный треугольник по ос­
нованию и радиусу вписанного круга.
21. Построить треугольник, зная два его угла и ра­
диус описанной окружности.
22. Построить треугольник, зная отношение высоты
к основанию, угол при вершине и медиану боко­
вой стороны.
23. Дан угол АОВ и точка С внутри него. Найти на
стороне ОВ точку М , равноотстоящую от ОЛ и от
точки С.
24. Построить равнобедренный треугольник по у глу
при вершине и сумме основания с высотой.
25. Вписать в данный круг треугольник, у которого
даны основание и отношение двух сторон.
328
26. В данный треугольник вписать прямоугольник,
у которого стороны относились бы как т : п.
27. Построить треугольник по двум сторонам а и Ь
и биссектрисе с угла между ними.
У к а з а н и е . Построить четвертый пропорцио­
нальный отрезок d к трем данным отрезкам:
d : c ^ a : b , а затем равнобедренный треугольник
со сторонами с, 6 и of.
28. Через данную точку вне круга провести такую
секущую, которая делилась бы данной окружно­
стью в данном отношении (с использованием
приложения алгебры к геометрии).
29. Найти вне данного круга такую точку, чтобы ка­
сательная, проведенная из нее к этой окружнос­
ти, была вдвое меньше секущей, проведенной из
той же точки через центр окружности.
30. Построить отрезки, выражаемые формулами;
а) JC
’
аЬс
—
dl
аЬ
с
d
I
•=------ .
У к а з а н и е . Построить два раза четвертый от­
резок, пропорциональный трем данным отрез­
кам.
Vfl* + be.
Указание.
Построить А —
, а з атем
31. Внутри треугольника найти такую точку, чтобы
прямые, соединяющие ее с вершинами треуголь­
ника, делили его на три равновеликие части.
У к а з а н и е . Разделить сторону АС на три рав­
ные части в точках D и Е. Через точку D прове­
сти прямую, параллельную А В , и через Е — пря­
мую, параллельную ВС. Точка пересечения этих
прямых — искомая.
329
32. Разделить параллелограмм на две части прямой,
проходящей через данную точку так, чтобы их
площади относились как т : п.
У к а з а н и е . Среднюю линию параллелограм­
ма разделить в отношении т : п к точку деле­
ния соединить прямой с данной точкой.
33. Данную трапецию разделить на две равновели­
кие части прямой, параллельной основанию.
У к а з а н и е . Продолжив непараллельные сто­
роны до взаимного пересечения, взять за неизве­
стную величину расстояние конца искомой л и ­
нии до вершины треугольника; составить про­
порцию, исходя из площадей подобных треуголь­
ников.
34. Данный прямоугольник преобразовать в другой
равновеликий прямоугольник с данным основа­
нием.
35. Преобразовать квадрат в равновеликий прямо­
угольник, у которого сумма (или разность) двух
смежных сторон равна d.
36. Построить круг, равновеликий кольцу, заключен­
ному между двумя данными концентрическими
окружностями.
37. Построить треугольник, подобный одному и рав­
новеликий другому из двух данных треугольни­
ков.
38. В данный круг вписать прямоугольник с данной
площ адью т * (с использованием прилож ения
алгебры к геометрии).
39. В данный треугольник вписать прямоугольник
с данной площадью
(с использованием при­
лож ения алгебры к геометрии).
40. Данный треугольник преобразовать в равнове­
ликий равносторонний треугольник (с исполь­
зованием приложения алгебры к геометрии).
330
Г л а в а 16
ЗА Д АЧ И ПОВЫ Ш ЕННОЙ
ТРУДНОСТИ
§ 16.1. Задачи на доказательство
Задача 1. Произведение диагоналей вписанного
в окружность четырехугольника равно сумме про­
изведений его противоположных сторон.
Д а н о : О — круг; ABCD —
вписанный четырехугольник;
АС и BD — диагонали
(рис. 260 а).
Д о к а з а т ь : А С •B D =
~ DC ' А В + A D - ВС.
Доказательство,
1. Пу с т ь Z A B D > Z D B C .
П р о в е д е м B E т а к, ч т о б ы
/LABE = Z.DBC. Рассм отрим
Рис. 260 а
ААВЕ и М )В С . Эти треуголь­
ники подобны, так как Z A B E * Z.DBC по построе­
нию, а ZBAC = Z.BDC как вписанные, опирающиеся
на дугу ВС.
Из подобия треугольников следует:
BD
АВ
DC
, т. е.
АЕ
BD •АЕ “ DC •АВ
( 1)
Треугольники ВСЕ и A B D также подобны по пер­
вому признаку подобия треугольн и ков, так как
ZA D B • ZBCA как вписанные, опирающиеся на дугу
АВ, а Z A B D = ZC B E , поскольку каждый из них ра­
вен сумме двух равных углов: ZA B D - ZA B E + Z E B K
и ZC B E - ZD B C -I- Z E B K .
Из подобия этих треугольников следует:
BD
AD
ВС
СЕ
Т. е .
BD C E = A D - ВС.
(2)
331
Складывая равенства (1 ) и (2), получим:
BD A E ^ B D E C = D C A B + A D - ВС\
BD(AE - t E C ) ~ D C A B + A D BC, но А Е + ЕС = АС,
а потому BD •АС = DC •АВ + A D • ВС.
Что и требовалось доказать.
2)
Пу с т ь Z A B D = Z D B C
(рис. 260 б).
Рассмотрим треугольники
DBC и АЕВ: ZABD = ZDBC по
условию, /ЛАЕ =“ /.ВАС= ZBDC
как вписанные, опирающие­
ся на дугу ВС. Из подобия треугольников следует:
АВ
тогда АВ • DC = А Е ■DB.
DB
(1)
Рис. 260 б
Аналогично, треугольники
ВЕС и AD B подобны по первому признаку подобия
треугольников, так как ZE B C = /1DBC = ZA B D по
условию, ZECB = ZACB = ZADB как вписанные, опи­
рающиеся на дугу АВ.
Из подобия треугольников следует, что:
^
= - ^ , т . е . ВС - A D ^ D B
EC.
(2)
Сложив равенства (1 ) и (2), получим:
А В ■ DC + ВС • A D = А Е • D B + D B • Е С , тогда
А В • DC + ВС ' A D D B ( А Е + Е С ) , а так как
А Е + Е С = А С , то А В - DC + В С - A D = DB AC.
Что и требовалось доказать.
Задана 2. Доказать, из каких правильных много­
угольников можно сложить паркет.
Д а н о : правильные п-угольники.
О п р е д е л и т ь п так, чтобы из п-угольников сло­
ж ился паркет.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если из правильных одно­
именных п-угольников можно сложить паркет, то необ­
ходимо, чтобы внутренний угол такого многоугольника,
повторенный несколько раз, дал полный угол в 360*.
332
Так как внутренний угол правильного л-угол ьника равен
180*(л - 2)
оел 180°(л - 2)
^
>, то число 360 : -----^ д о л ж п
^
но быть натуральным.
Определим п из этого условия:
360°
п
2п
2П-4 + 4
- г)
" “ 2
л -2
Пусть
2 п-4 ^
л -2
4
4
л -2
= * .тогда Л (п - 2) - 4, а потому п = j + 2.
Так как О < k < 4, причем к — целое, то к может
быть делителем числа 4, т. е. Л = 1; 2; 4. Тогда п
принимает значения 3; 4; 6 .
Итак, многоугольниками могут быть правильные
треугольники, квадраты или правильные шестиуголь­
ники. Докажем, что этого достаточно, т. е. из ук а­
занных видов многоугольников действительно мож ­
но слож ить паркет.
Если провести систему параллельны х равноот­
стоящ их прямых и пересечь ее такой же системой
прямых под углом 90', то получится паркет, сложен­
ный из квадратов.
Если провести систему п араллельны х равноот­
стоящ их прямых и пересечь ее такой же системой
прямых под углом 60", а в каждом из получивш их­
ся ромбов провести меньшую диагональ, то п о лу ­
чится паркет из правильных треугольников. П ар­
кет из правильных ш естиугольников получится,
если в паркете из треугольников объединять соот­
ветствующим образом по шесть треугольников в
один ш естиугольник.
Задача 3. Доказать, что сумма расстояний любой
точки окружности до двух ближ айш их к ней вер­
шин вписанного в эту окружность правильного тре­
угольника равна расстоянию взятой точки до тре­
тьей вершины треугольника.
333
Д а н о : О — круг, ABC —
правильный вписанный в ок­
ружность треугольник; точ­
ка M e ВС (рис. 261).
Д о к а з а т ь : MB + МС =
= МА.
Д о к а з а т е л ь с т в о .
Проведем BD |СМ. Пусть точРис. 261
ка пересечения прямых BD и
A M есть Е. П окаж ем , что
M B = M E . Действительно, все углы ААВС равны по
60*; Z A M B —ZACB
60' как вписанные в окруж­
ность, опирающиеся на одну и ту же дугу АВ;
Z C M A — Z.CBA “ 60' так же, как вписанные, опираю­
щиеся на дугу ADC; Z M E B - ZCM A - 60* как на­
крест лежащ ие при С М ||DB и секущей A M . Итак, в
^ М В Е два угла по 60*. Следовательно, и третий угол
этого треугольника равен 60*.
Поэтому A M BE — равносторонний и М В = М Е .
Докажем, что М С * ЕА. Соединим точки В и А . Тре­
угольник DEA — равносторонний, потому что ZD E A - Z M E B -= 60* как вертикальные; ZADB - ZACB = 60*
как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу
АВ. Тогда и третий угол ADEA также равен 60*, т. е.
ADAE - 60*. Итак, D E ~ A E .
Соединим точки D к С. Четырехугольник EDCM
есть параллелограмм, потому что ZCDB - Z.CAB - 60*
как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу
СВ\ и, следовательно, накрест лежащие углы CDB и
DB1A при прямых CD и A M и секущей DB равны,
что доказывает параллельность прямых CD и A M
( DE ИС М по построению). Но в параллелограмме про­
тивоположные стороны равны, и тогда СМ - DE = ЕА,
и А М ~ А Е + Е М - - С М + MB.
Что и требовалось доказать.
334
Задачи для самостоятельного решения
Д оказать теоремы
1. Треугольники с равными периметрами и дв\твя
соответственно равными углами равны.
2. Трапеция с равными диагоналями —
ренная.
равнобед­
3. Если в шестиугольнике противоположные сто­
роны равны и параллельны, то три его диагона­
ли, соединяющие противоположные вершины, пе­
ресекаются в одной точке.
4. Прямые, соединяющие основания высот остро­
угольного треугольника, образуют треугольник,
биссектрисами которого являются высоты дан­
ного треугольника.
5. Из всех треугольников с одинаковым основани­
ем и одинаковым углом при вершине равно­
бедренный имеет наибольший периметр.
6 . Если в шестиугольнике противоположные сто­
роны параллельны, а три диагонали, соединя­
ющие противоположные вершины, равны меж ­
ду собой, то вокруг такого шестиугольника мож ­
но описать окружность.
7. Диаметры окружностей, каждая из которых про­
ходит через точку пересечения высот треугольни­
ка и через две его вершины, равны между собой.
8 . Прямая, проходящая через основания двух вы­
сот остроугольного треугольника, отсекает от
треугольника подобный ему треугольник.
9. Треугольники с соответственно параллельными
сторонами подобны.
10. Радиусы окружностей, описанных около подоб­
ных треугольников, пропорциональны сходствен­
ным сторонам.
11. Если из точки С проведены к окружности секу­
щая, имеющая с окружностью точки пересече335
ння А и в , и отрезок CD, где D — точка окруж ­
ности, и если СА • СВ = CD^, то прямая CD есть
касательная к этой окружности.
12. Если из точки, отстоящей от прямой на расстоя­
нии а, проведены к этой прямой две наклонные с
проекциями на нее, равными 2а и За, то сумма
углов этих наклонных со своими проекциями
равна 45*.
13. Если в четырехугольнике, две противоположные
стороны которого не параллельны, а отрезок пря­
мой, соединяющий середины этих сторон, равен
полусумме двух других сторон четырехугольни­
ка, то этот четырехугольник — трапеция.
14. Длина отрезка прямой, соединяющей середину
основания треугольника с серединой отрезка вы­
соты между вершиной и ортоцентром, равна ра­
диусу описанного около треугольника круга.
15. Касательные к окружности, проведенные через
вершины п рям оугольника, вписанного в эту
окружность, образуют ромб.
16. Прямая, проходящая через основания высот тре­
угольника, проведенных из двух его вершин, пер­
пендикулярна прямой, проходящей через его
третью вершину и центр описанного вокруг тре­
угольника круга.
17. Биссектрисы углов, образованных продолжени­
ями противополож ны х сторон вписанного в
окружность четырехугольника, перпендикуляр­
ны между собой.
18. Диаметр вписанного в прямоугольный треуголь­
ник круга равен разности между суммой кате­
тов и гипотенузой.
19. Середины оснований трапеции и точка пересе­
чения ее диагоналей лежат на одной прямой.
20. Если из точки Р, взятой вне окружности, проведе­
ны к этой окружности касательные РА и РВ, где
Атл В — точки касания, то отрезок перпендикуля336
pa AC, опущенного из точки А на диаметр BD, де­
лится прямой PD пополам. Точка С — основание
перпендикуляра, точка D — точка окружности.
21. Расстояние от точки окружности до хорды есть
средняя пропорциональная между расстояния­
ми от этой точки до касательных, проведенных
к окружности в концах хорды.
22. Центр описанного около треугольника круга, точ­
ка пересечения его высот и центр тяжести этого
треугольника лежат на одной прямой.
23. Если прямая, параллельная основаниям трапе­
ции, проходит через точку пересечения диагона­
лей, то отрезок, отсекаемый от этой прямой бо­
ковыми сторонами трапеции, делится точкой пе­
ресечения пополам.
24. Середины диагоналей описанного около окруж ­
ности четырехугольника и центр этой окружно­
сти лежат на одной прямой.
25. Если в равнобедренный треугольник ABC впи­
сан полукруг, диаметр которого леж ит на осно­
вании АС, и если к полукругу проведена каса­
тельная, пересекающая сторону А В в точке М , а
сторону ВС — в точке N , то произведение A M • CN
есть величина постоянная.
26. ЕЗсли через точки А и В пересечения двух окруж ­
ностей проведены две секущ ие M A N и PBQ, пе­
ресекающие одну окружность в точках М и Р, а
другую в точках N и Q, то прямые М Р и NQ
параллельны.
27. Куб гипотенузы прямоугольного треугольника
больше суммы кубов катетов.
28. Найти расстояние от центра описанного около
треугольника круга до центра вписанного в этот
треугольник круга. Радиусы кругов R и г (R > г).
29. Доказать, что радиус вписанного в треугольник
круга не больш е половины радиуса описанного
около треугольника круга.
22—
к. X .
А бдуллаев и др.
337
30. к какой вершине треугольника лежит ближе все­
го центр вписанной в этот треугольник окруж ­
ности?
31. Какая медиана треугольника наименьшая?
32. Будет ли вписанный в окружность равносторон­
ний многоугольник правильным?
33. Будет ли описанный около окружности равно­
сторонний многоугольник правильным?
Задачи на доказательство
34. Доказать, что в прямоугольном треугольнике с
катетами а и Ь биссектриса прямого угла равна
J _ аьЛ
а + Ь •
35. Точка касания вписанной в треугольник окруж ­
ности делит гипотенузу на отрезки х к у. Д ока­
зать, что площадь треугольника равна ху.
36. Из точки Н проведены к окружности касатель­
ные НТ^ и НТ^. На хорде T^T^ взята произволь­
ная точка М , через которую проведена прямая,
перпендикулярная О М . Доказать, что отрезок
этой прямой, заключенный внутри угла Т^НТ^,
делится точкой М пополам.
37. Через точку касания двух окружностей прове­
дены две общие секущие и концы их соединены
хордами. Доказать, что хорды параллельны.
38. Сумма отношений расстояний t произвольной
точки О, взятой внутри треугольника, от сторон
треугольника к высотам, проведенным к соот­
ветствующим сторонам его, равна 1. Доказать:
^
^
= 1 (теорема Жергонна).
39. Отрезок высоты от вершины до ортоцентра, про­
веденной к какой-либо стороне треугольника, ра­
вен удвоенному расстоянию от центра круга, опи­
санного около треугольника, до той же стороны.
Доказать.
338
40. В любом треугольнике имеет место равенство:
K-K-k-K
. где fe,, k^,
—
расстояния от центра описанного около треуголь­
ника круга до сторон его, а Л^,
— высоты
этого треугольника . Доказать.
41. Во BCJtKOM треугольн и ке имеет место равен-
4А „ Л
л, ' "'Д*' К К .К -
расстоя­
ния от центра описанного около треугольника
круга рР его сторон; Л^, Л^,
— высоты этого
треугольника . Доказать.
42. Перпендикуляры, опущенные из точки, лежащей
в плоскости треугольника, на стороны его (или
продолжения сторон), определяют шесть таких
отрезков . что сумма квадратов длин трех несмеж­
ных отрезков равна сумме квадратов длин трех
других. Доказать.
43. Три круга на плоскости попарно пересекаются.
Доказа'гь, что их общие хорды пересекаются в
одной точке.
44. Через произвольную точку, лежащую внутри тре­
угольника, проведены три прямые, соответствен­
но параллельные сторонам треугольника. Дока­
зать, что отрезки этих прямых а', Ь\ с\ ограни­
ченные сторюнами треугольника, удовлетворяют
условии?:
(а, Ь, с — стороны треу­
гольника)45. В параллелограм м е ABCD прямая пересекает
стороны А В и AD соответственно в точках Е и
К, а диагон аль АС — в точке F. Доказать, что
АВ
АЕ
аК
_ АС
AF’
46. Стороны треугольника а, Ь, с связаны соотноше­
нием:
= с ib + с). Доказать, что угол А вдвое
больш е у г л а С.
339
47. ABC — треугольник, М — середина его стороны
ВС. Пусть прямая, проходящая через точку М ,
перпендикулярна ВС, пересекает сторону АС или
ее продолжение в точке О, а сторону АВ или ее
продолжение — в точке N , причем О — середина
отрезка M N . Доказать, что углы В к С треуголь­
ника — острые, и найти соотношение между ними.
48. Доказать, что если у выпуклого шестиугольника
противоположные стороны параллельны и три
диагонали, соединяющие противоположные вер­
шины, равны между собой, то вокруг этого шес­
тиугольника можно описать окружность.
49. В прямоугольном треугольнике один из углов
60*. Доказать, что три точки пересечения бис­
сектрис внешних углов с противоположными сто­
ронами леж ат на одной прямой.
50. Внутри треугольника ЛВС взята произвольная
точка О. Через точку О проведены прямые, па­
раллельные сторонам треугольника: Е К парал­
лельна ВС, Р М параллельна АС, Т Х параллельна
A S . Точки Е и Р лежат на стороне АВ, точки К и
Т — на стороне АС, точки М и X — на стороне
ВС. Доказать, что ^
+g
= 1.
§ 16.2. Задачи на построение
Задача 1. В данный острый угол вписать тре­
угольник наименьшего периметра так, чтобы одна
его вершина находилась в точке, данной внутри угла.
Д а н о : A N O M , точка А внутри угла (рис. 262).
П о с т р о и т ь : ААВС наименьшего периметра с
вершинами В и С на сторонах Z N O M .
I.
А н а л и 3 . Пусть треугольник АВ^С^ имеет вер­
шины В, и С, на сторонах O N и О М данного угла
M O N , а третью вершину — в данной точке А.
Построим точки A j и А^, симметричные точке А
относительно O N и О М , и соединим отрезками точ340
ки л , и Bj, а затем
и С,. Периметр AAB,Cj равон
периметру ломаной
и больше отрезка А ^ ^
Отсюда следует, что наименьший периметр будет иметь
тот из треугольников рассматриваемого вида, у кото­
рого вершинами будут точки Л, В и С, где В и С —
точки пересечения прямой А 4, с прямыми O N и О М .
I I . П о с т р о е н и е (рис. 263).
1. Строим точку Л|, симметричную точке А от­
носительно стороны O N угла N O M .
2. Строим точку A j, симметричную точке А отно­
сительно стороны О М угла N O M .
3. Соединяем точки А , и А^.
4. Точки пересечения Б и С прямой А^А^ со сторо­
нами O N и О М угла N O M соединяем с точкой А.
ААВС — искомый.
I I I . Д о к а з а т е л ь с т в о . Действительно, треу­
гольник ABC проходит через данную точку А внутри
угла N O M и точки Б и С на сторонах O N и О М дашюго угла. Кроме этого, периметр треугольника ABC:
Рллвс* A S + ВС + АС, но АВ “ A jB и АС -= А^С по пост­
роению, тогда Р
" А,В 4- ВС + А^С - А ^ , а отрезок
A jA j является кратчайшим расстоянием между точ­
ками А, и A j, и поэтому
является наименьшим.
I V . И с с л е д о в а н и е . Исходя из способа пост­
роения, задача имеет единственное решение, так как
построение каждого из элементов задачи является
единственным.
341
Задача 2. Трапецию пе­
ресечь отрезком, параллель­
ным основанию так, чтобы
он разделился диагоналями
на три равные части.
Дано:
трапеция
ABCD; АС и BD — диаго­
нали (рис. 264).
П о с т р о и т ь : отрезок, параллельный ВС и A D ,
разделенный диагоналями на три равные части.
I . А и а л и 3 . Пусть M N — искомый отрезок, парал­
лельный основаниям ВС и A D трапеции ABCD, такой,
что М К — K L “ LN . Проведем прямую CL до пересе­
чения ее с большим основанием A D в точке F.
Так как K N “ 2LN, то A D - 2FD {CL является ме­
дианой треугольника KCN) , тогда CF будет медиа­
ной и подобного ему (по лемме о подобии треуголь­
ников) треугольника ACD.
Следовательно, F есть середина отрезка AD. Отсю­
да вытекает, что для построения искомого отрезка
достаточно провести прямую, параллельную основа­
ниям трапеции, через точку пересечения диагонали
и прямой, соединяющей середину одного основания
с концом другого. Искомый отрезок определится
точками пересечения проведенной прямой с боковы­
ми сторонами трапеции.
I I . П о с т р о е н и е (рис. 265).
1. Находим середйну F основания AD.
2. Через С и F проводим прямую.
3. Через точку L пересечения отрезка CF и диаго­
нали BD проводим прямую, параллельную AD.
В
4. M N — искомая прямая.
III.
Доказатель
с т в о . Рассмотрим треу­
гольники ACF и FCD. Из
равенства A F и FD следу­
ет, что CF — м едиана
^ACD. ACKN «л AACD (по
342
лемме о подобии треугольников, так как MyV||AD)
и тогда CL — медиана ^CKN, и тогда KL * L/V.
Рассмотрим треугольники ABC и А М К , которые
подобны (по лемме о подобии треугольников). Из
подобия следует, что
Аналогично, из по­
добия треугольников BCD и LD N следует, что
CD
=
ВС
Но
Фалеса), а тогда
ЛВ
CD
(по обобщенной теореме
М К = LN .
Итак, K L - L N и М К ~ ZJV, атогда M K ^ K L ^ LN,
т. е. M N диагоналями трапеции разбита на три рав­
ные части и параллельна основаниям трапеции.
IV .
И с с л е д о в а н и е . Задача имеет два реше­
ния, так как соединив середину Е второго основания
ВС трапеции ABCD и проведя аналогичное построе­
ние, получим вторую прямую
параллельную
основаниям трапеции, которая делится диагоналя­
ми на три равные отрезка М^К^=
L^N
Задачи для самостоятельного решения
1. На данной прямой построить точку, сумма рассто­
яний которой до двух данных точек наименьшая.
2. Даны точки Л и Б и между ними две параллель­
ные прямые M N и PQ. Провести между после­
дними в данном направлении отрезок CD так,
чтобы сумма АС + CD + DB была наименьшей.
3. Через три данные точки провести параллельные
прямые так, чтобы расстояния между ними были
равны.
4. На продолжении диаметра построить такую точ­
ку, чтобы длина касательной, проведенной из нее
к окружности, равнялась диаметру.
5. Из вершин треугольника, как из центров, пос­
троить окружности, каждая из которых внешне
касалась бы двух других.
343
6. Построить треугольник по данной стороне с, вы­
соте I* и медиане т■.
7. Построить треугольник, зная основания трех его
высот.
8. Провести секущую к двум концентрическим ок­
ружностям так, чтобы хорда большего круга
была вдвое больше хорды меньшего круга.
9. На стороне данного угла найти точку, равноуда­
ленную от другой стороны и от данной точки
внутри угла.
10. В данный сегмент вписать квадрат так, чтобы
одна его сторона лежала на хорде (основании)
сегмента.
11. Построить окружность, проходящую через две
данные точки и касающуюся данной прямой.
12. Пользуясь только линейкой, разделить трапецию
на две равновеликие части.
13. Пользуясь только линейкой, разделить паралле­
лограмм на две части, площади которых относи­
лись бы как 1 : 2.
14. Данный треугольник превратить в равновеликий
ему треугольник с данным основанием и общим
углом при основании, причем оба основания дол­
жны лежать на одной прямой.
15. На данной прямой найти такую точку, чтобы мо­
дуль разности расстояний ее от двух данных то­
чек, находящихся по одну сторону от прямох!, был
наименьшим, а также такую точку, чтобы мо­
дуль этой разности был наибольшим.
16. Через точку, взятую произвольно на основаш1и треу­
гольника ABC, провести прямую, делящую пло­
щадь треугольника на две равновеликие части.
17. Построить равнобедренный треугольник ABC
(АВ «А С ), если две его вершины В и С находят­
ся на данной прямой I, вершина А находятся на
данной прямой т , параллельной I, а стороны АВ
и АС проходят через данные точки М и N.
344
18. Дана окружность у и точка А вне ее. Построить
окружность с центром в точке А , пересекающую
окружность Y под углом 30*.
§ 16.3. Задачи на вычисление
З а да ч а 1, Четырехугольник A B C D вписан в
окружность, причем AD = 8ВС; AD = 2CD. Через вер­
шины этого четырехугольника проведены касатель­
ные к окружности до их взаимного пересечения. Из­
вестно, что полученный четырехугольник также мо­
жет быть вписан в окружность. Определить площадь
ABCD, если его периметр равен Р.
Д а н о : ABCD — четырехугольник, A D = 8ВС;
AD ” 2CD; О — вписанный круг; FEKH — описанный
четырехугольник,
Р\ ‘
около FEKH можно описать
окружность (рис. 266).
Н айти :
Р е ш е н и е . Изтого|что
окол о четы рехугол ьника
FEKH можно описать окруж­
ность, следует, что по свойству
вписанного четырехуголь­
ника Z £ + Z Я - 180*.
( 1)
Так как радиус окружно­
сти, проведенный в точку
касания, перпендикулярен
касательной, то ZOAE = •
ZO D E =
“ 90', а тогда
ZE + Z A O D - 180*.
(2)
По аналогичному рассужде­
нию Z H + ZBOC = 180\ (3)
Из равенств (1), (2) и (3)
следует, что ZBOC -I- ZAOD =
- 180*, а тогда при сложении
этих углов получится раз­
345
вернутый угол, радиусы ОА и ОВ окажутся на одной
прямой и составят диаметр окружности. Значит, если
АОВС повернуть по часовой стрелке на угол COD, то
образуется прямоугольный треугольник B^DA, в кото­
ром B,D = ВС “ х; а тогда AD = 8x. Диаметр круга
в этом случае равен А В ,*
+ (8х)^ = дг>/б5 по тео­
реме Пифагора из ti^B^DA. Но Z.COD + Z A O B = 180',
и если ADOC повернуть против часовой стрелки на
угол СОВ, то образуется прямоугольный треугольник
В^ВА, в котором: АБ,= Ху/б5 , а ВБ, - CD * 4х (по ус­
ловию задачи CD = ^ A D ).
2
Найдем АВ по теореме Пифагора из треугольникаА В В ,: АВ = ^ {A B ,f - {B B ,f = у1б5х^-16х^ = 7 х .
Тогда периметр четырехугольника ABCD равен:
Я - X + 4 jc + 8x + 7х - 20х. Следовательно, ВС =
CD -
g ; AD *
АВ =
;
Площадь четырехуголь­
ник ABCD равна:
®АВСО ” ■^двос'*’ '^ДЛОО
= ^ В С - AD + ^ C D A B
2
_ Р'
100
2
^дсоо"*" ^ДВОА “ ^ Д А В ,0
2
20
5
2
5
^ЛАВВ) ~
20
=
I
200
О твет:
200 '
кв. ед.
Задача 2. Даны две окружности с радиусами R и
г. Их общие внутренние касательные взаимно пер­
пендикулярны. Найти площадь треугольника, обра­
зованного этими касательными и общей внешней
касательной окружностей.
346
Д а н о : О, и О — окружности; OD = R; О^ К~ г ,
ACM и BCN — общие внутренние касательные;
ZACB - 90*. DABK — внешняя касательная (рис. 267).
Н айти:
Р е ш е н и е . Пусть ZDOE = а. Тогда ZBAC “
“
а как углы с соответственно перпендику­
лярными сторонами (O D 1 DK\ ОЕ 1ЛС, так как ка­
сательные перпендикулярны радиусам, проведенным
в точки касания).
Аналогично ZABC =» ZFO^K 90*- а. Площадь
прямоугольного треугольника ABC равна: S 1.,^40С=
“
АС •ВС. Но АС “ Я + АЕ и ВС — г + BF, и потому
длвс
Так как AD и АЕ — касательные к окружности О,
то ОА — биссектриса /.DOE, и тогда ZAOE = ^ . Из
прямоугольного треугольника ОАЕ:
A £ -0£ -tg f
Аналогично BF и ВК — касательные к окружно­
сти О,, а потому OjB — биссектриса угла FO^K, и
тогда ZB FO ^=
• Из прямоугольного тре­
34 7
1+ tg -
2J
1 -t-tg 45“ - “
2J
= i i?r{ 1 + tg ^
2 I
^2J
tg45 - t g ^
1+
= ^Rr
1+
2
1 + tg45” •t g -
2J
поскольку tg45’ = l .
Значит, S ДЛВС
1
l + tg — + l - t g —
2_______ ^ _
Rr
l + tg |
1
= ^ R r 2 = Rr
О твет:
Дг (кв. ед.).
Задача 3. Каждые две противоположные верши­
ны квадрата со стороной а служат вершинами двух
равных ромбов. Найти площадь, общую обоим ром­
бам, если площадь каждого из них равна половине
площади квадрата.
Д а н о : ABCD — квадрат; АВ = а; AFCQ и DSBR —
равные ромбы;
(рис. 268).
Н а й т и : S.
’ NFMSLQKIt’
Р е ш е н и е . Из того,
D
-5-S
то
'•то
2
5лвяо= 2
Итогда тре­
угольники ADR и RDO —
равновелики, а так как 0D
— общая высота этих тре­
угольников, то R — сере­
дина АО, т. е. AR -= R 0.
^двяо“ ^ hdnf'^ ‘^лггоя*
“ ^^DNF ^ДВЛЛГ'
®
&DRO
&DAF
&FAO
=
так как ромбы AFCQ и DSBR — равны.
Итак.
^^DNF + ^долл/* ® следователь­
но,
^далл^’ тогда искомая площадь равна учет­
веренной площади ADAN.
• 4 S ^ „- i \ A D N P - 2 a - N P .
Найдем iVP из подобия треугольников A/VP и ATF
(FT и NP перпендикуляры к AD, а потому парал­
лельны между собой).
Из подобия этих треугольников следует:
и NP = FT Так как площадь ромба равна поло­
вине площади квадрата и одна диагональ у них об­
щая, то вторая диагональ ромба равна половине диа­
гонали квадрата.
Итак, FT - j A B - J а; ГА - ^ AD - ® а; РА * 1а.
Тогда N
P
рл
- F
Следовательно,
2
О твет: ^
T
I
2
- ^ 2 /I * ®
- 1 ^ "4
2а •|
6.
^
(кв.ед.).
О
Задачи для самостоятельного решения
1. На отрезке и двух его неравных частях построе­
ны полукруги в одну сторону. По радиусам R и
г меньших полукругов определить радиус круга,
касательного ко всем трем полукругам.
2. Площадь треугольника ABC равна S. Его сторо­
ны АВ, ВС и СЛ разделены точками М, N и Р так,
что AM : MB “ 1 : 4,
: NC = 1 : 4 и СР : РА — 1 :4 . Найти площадь треугольника, ограничен­
ного отрезками прямых AN, ВР и СМ.
3. В т(>еугольник со сторонами а, Ь и с вписан круг.
Точки касания его со сторонами данного тре­
349
4.
5.
6.
7.
8.
9.
350
угольника соединены прямыми, и таким обра­
зом получился новый треугольник, стороны ко­
торого требуется определить.
Основания высот остроугольного треугольника
со сторонами а, Ь н е служат вершинами другого
треугольника. Найти периметр последнего и
о о2
показать, что он равен
, где S — площадь
аос
данного треугольника,
Найти радиус вписанной в прямоугольный тре­
угольник окружности, если даны радиус R опи­
санной около этого треугольника окружности и
площадь треугольника S.
В треугольник со сторонами к, I к т вписана
окружность, К окружности проведена касатель­
ная так, что отрезок ее внутри треугольника, зак­
люченный между точками пересечения касатель­
ной с первыми двумя сторонами треугольника,
равен а. Найти площадь треугольника, отсечен­
ного этой касательной от данного.
Прямоугольный треугольник разделен на два тре­
угольника перпендикуляром, опущенным из вер­
шины прямого угла на гипотенузу. В образовав­
шиеся треугольники вписаны окружности с ра­
диусами Tj и Гу Найти радиус круга, вписанного
в данный треугольник,
Непараллельные стороны трапеции продолжены
до взаимного пересечения, и через полученную
точку проведена прямая, параллельная основа­
ниям трапеции. Найти отрезок ее, ограничен­
ный продолженными диагоналями, если основа­
ния трапеции а и Ь.
В трапеции, основания которой а и Ь, проведена
через точку пересечения диагоналей прямая, па­
раллельная основаниям. Найти длину отрезка
этой прямой, отсекаемого от нее боковыми сто­
ронами трапеции.
10. Прямоугольный сектор радиуса R разделен на
две части дуго” круга того же радиуса с цент­
ром в конце дуги сектора. Найти радиус круга,
вписанного в меньшую из этих частей.
11. Два круга радчусов г, и
касаются в точке С и
к ним проведена общая внешняя касательная
А б, где А и В — точки касания. Найти длины
сторон треугольника ABC.
12. Две окружности радиусов г н R касаются извне.
Найти расстояние от точки касания до их об­
щей внешней касательной.
13. Два круга раДиусов Л и г внешне касательны.
Найти радиус круга, касательного к ним и к их
общей внешней касательной.
14. Три окружности радиусов а, Ь и с внешне каса­
ются попарно снаружи. Найти длину хорды, от­
секаемой третьей окружностью от общей внут­
ренней касательной первых двух окружностей.
15. Около данного квадрата со стороной а описан круг,
и в один из полученных сегментов вписан квад­
рат. О п р е д е л и т ь сторону вписанного квадрата.
16. Два круга радиусов В и г касаются внешне в
точке М . На окружности радиуса г взята точка
N, диаметрально противоположная точке М, и в
этой точке проведена касательная. Найти ради­
ус крута, касательного к двум данным и к каса­
тельной, проходящей через точку N.
17. Дан прямоугольный сектор АОВ радиуса R. Па­
раллельно его хорде АВ на расстоянии т от нее
проведена сеКУЩ^я, пересекающая продолженные
радиусы ОА и ОВ в точках С и D, а дугу сектора —
в точках Е и Р- Из точки Е, ближайшей к С,
восставлен к CD перпендикуляр ЕМ , пересекаю­
щий ОА в точке М . Показать, что длина отрезка
DM не зависит от т , и найти длину этого отрезка.
351
18. По данным двум сторонам а к Ь треугольника
найти третью сторону, если известно, что медиа­
ны, проведенные к данным сторонам, пересекапод прямым углом.
19. Найти радиус круга, зная длины а и Ь двух его
хорд, исходящих из одной точки окружности, и
расстояние d от середины первой из данных хорд
до второй.
20. Через центры двух равных касающихся окруж­
ностей радиуса г проведена окружность радиуса
2г. Из некоторой точки, находящейся на после­
дней окружности, описана окружность, касатель­
ная к первым двум. Найти ее радиус.
21. Дан прямоугольный треугольник ЛВС, где А —
прямой угол. Из точки А опущен перпендику­
ляр
на гипотенузу, а из точки К — перпен­
дикуляры КР и КТ на катеты АВ и АС. Зная,
что ВР * m и СГ •=п, найти длину гипотенузы.
22. Площадь треугольника ABC равна Sj, площадь
треугольника АН В, где Н — точка пересечения
высот, равна S^. Найти площадь прямоугольно­
го треугольника ABL, предполагая, что точка L
лежит на отрезке СН или его продолжении.
23. Две стороны остроугольного треугольника —
20 см и 23,2 см. Радиус описанного около тре­
угольника круга равен 14,5 см. Найти радиус
вписанного в треугольник круга.
24. Катеты треугольника — 3 и 4. Через середину
меньшего катета и середину гипотенузы прове­
ден круг, касательный к гипотенузе. Найти пло­
щадь этого круга.
25. Две равные окружности радиуса г пересекают­
ся. В общую часть обоих кругов вписан квад­
рат. Найти сторону этого квадрата, если рассто­
яние между центрами окружностей равно г.
26. На двух смежных сторонах квадрата построены
во внешнем поле два полукруга и к ним прове­
352
дены касательные, параллельные своим диамет­
рам. Найти радиус круга, касательного к этим
двум полукругам и к указанным касательным,
если сторона квадрата равна 2а.
27. Через две смежные вершины квадрата проведе­
на окружность так, что касательная к ней, про­
веденная из третьей вершины, равна удвоенной
стороне квадрата. Найти радиус этой окружнос­
ти, если площадь квадрата равна 10 кв. ед.
28. Окружность касается большего катета треуголь­
ника, проходит через вершину противолежаще­
го острого угла и имеет центр на гипотенузе.
Найти ее радиус, если катеты равны 3 и 4.
29. Центр окружности радиуса 3 лежит на другой
окружности радиуса 5. Из центра О последней
проведен диаметр, касательный к первой, и в точ­
ку касания — радиус, пересекающийся с общей
хордой в точке К . Найти длину отрезка ОК.
30. Прямоугольный треугольник ABC с катетами а
и Ь разделен на две равновеликие части A M N и
ВСМ прямой M N , перпендикулярной к гипоте
нузе АВ. Найти площадь круга, описанного вок
руг четырехугольника BCM N.
31. К двум извне касающимся окружностям ради
усов R и г проведены две общие касательные
Найти площадь трапеции, образованной этими
двумя касательными и хордами, соединяющим!
точки касания.
32. В некоторый угол вписана окружность радиуса г,
а длина хорды, соединяющей точки касания, рав­
на а. Параллельно этой хорде проведены две ка­
сательные, и таким образом получилась трапе­
ция, площадь которой требуется найти.
33. В треугольник со сторонами а, &и с вписан полу­
круг с диаметром, лежащим на стороне с. Най­
ти величину этого диаметра,
23 — К. X. Абдуллаев и др.
35??
34. Найти площадь треугольника, если отрезки, об­
разуемые на одной из его сторон точкой каса­
ния вписанной окружности, суть m и п, а проти­
волежащий ей угол треугольника равен 60'.
35. Меньшее основание трапеции DC = Ь\ большее
основание АВ = а. На прюдолжении меньшего ос­
нования найти точку М при условии, чтобы пря­
мая A M разделила трапецию на две равновели­
кие части.
36. Прямая, параллельная основанию треугольника,
делит его площадь пополам. В каком отноше­
нии она делит боковые стороны треугольника?
37. Найти длину заключенного между боковыми
сторонами трапеции отрезка прямой, параллель­
ной основаниям трапеции и делящей трапецию
на две равновеликие фигуры. Длины оснований
трапеции равны а и Ь.
38. Прямая, параллельная основаниям трапеции, раз­
деляет ее на две части, площади которых отно­
сятся между собой, как 7 : 2 (считая от большего
основания). Найти длину отрезка этой прямой,
заключенного между боковыми сторонами тра­
пеции, если основания трапеции равны 5 и 3.
39. Площади треугол?>ников, образованных отрезка­
ми диагоналей трапеции с ее основаниями, рав­
ны S, и Sj. Найти площадь трапеции.
40. Через некоторую точку, взятую внутри треугольни­
ка, проведены три прямые, соответственно парал­
лельные сторонам треугольника, ^ги прямые раз­
деляют площадь треугольника на шесть частей,
из которых три — треугольники с площадями
S,, Sj, S3. Найти площадь данного треугольника.
41. Прямая, параллельная основанию треугольника с
площадью S, отсекает от него треугольник с пло­
щадью S,. Определить площадь четырехуголь­
ника, три вершины которого совпадают с верши­
354
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
нами маленького треугольника, а четвертая ле­
жит на основании большого треугольника.
К двум, извне касающимся в точке А окружнос­
тям, радиусы которых 3 и 1, проведена общая вне­
шняя касательная ВС. Найти площадь фигуры
ABC, ограниченную окружностями и касательной.
По высотам Л,,
треугольника определить
его площадь S.
По медианам т , . т^,
треугольника определить
его площадь S.
Площадь четырехугольника равна S. Найти пло­
щадь параллелограмма, стороны которою равны
и параллельны диагоналям четырехугольника.
В угол вписаны два внешнекасательных круга.
Хорды, соединяющие точки касания каждого
круга со сторонами угла, равны соответственно
2а и 2Ь. Определить угол.
В равнобедренный треугольник вписаны один над
другим два круга радиусов R и г, касающиеся
друг друга. Найти углы при основании треуголь­
ника.
Точка D внутри круга радиуса R удалена от цен­
тра на расстояние а. Через точку D проведены
диаметр и две взаимно перпендикулярные хор­
ды, одна из которых образует угол а с диаметром.
Определить площадь вписанного в круг четырех­
угольника, имеющего эти хорды диагоналями.
Окружности радиусов г и i? касаются прямой
AD в точке А и расположены по одну сторону от
AD. Прямая, параллельная AD, пересекает окруж­
ности в точках В и С, находящихся по одну сто­
рону от линии центров. Найти радиус окружно­
сти, описанной вокруг треугольника ABC.
Из вершин квадрата, сторона которого а, как из
центров, проведены окружности радиусов а. Най­
ти площадь, общую всем четырем построенным
кругам,
355
51. В треугольник вписан круг. Точки D, F и Е точки касания круга со сторонами АВ, ВС и СА
соответственно. Определить площадь треуголь­
ника ABC, если АВ - а, ВС = 6 и ZDEF = 60”.
52. Трапеция ABCD вписана в окружность, причем
диагонали ее взаимно перпендикулярны. Из то­
чек В и С опущены перпендикуляры ВК и СН
на AD. Диагональ АС пересекается с ВК в точке
Е, а диагональ BD пересекается с СН в точке F.
Найти EF.
53. В прямоугольном треугольнике катеты равны а
и Ь. Найти биссектрису прямого угла.
54. В выпуклом четырехугольнике ABCD расстоя­
ние между точками пересечения медиан треу­
гольников ABD и BCD равно а. Определить диа­
гональ АС.
55. Два круга радиуса R расположены так, что центр
каждого из них лежит на окружности другого.
Определить радиус круга, вписанного в обхцую часть
этих кругов и касающегося их линии центров.
56. В треугольнике ABC известны стороны & и с.
Разность между углами В и С равна 90‘ . Hai'iTn
сторону ВС.
57. Радиусы описанного около треугольника и впи­
санного в него кругов R и г. Определить пло­
щадь треугольника, если его углы образуют ариф­
метическую прогрессию.
58. Дан угол в 60’ с вершиной в точке О. В плоско­
сти этого угла взята точка А , лежащая внутри
угла и отстоящая от его сторон на расстоянии 1
и 2. Найти АО.
59. Трапеция ABCD с основаниями БС = 2 и AD = 1 0
такова, что в нее можно вписать и около нее опи­
сать окружности. Определить, где находится центр
описанной окружности: внутри, вне или на од­
ной из сторон трапеции. Найти отношение ради­
уса описанной окружности к радиусу вписанной.
356
60. Точка М лежит внутри равностороннего тре­
угольника ABC. Вычислить площадь этого треу­
гольника, если известно, что AW * ВМ - 2, СМ * 1.
61. Отрезок ЕН с концами, лежащими на сторонах
треугольника ABC, делит треугольник на две
фигуры равной площади. Определить длину от­
резка Е Н , если известно, что он пеопендикулярен АВ. АВ ” 4, АС = 5 и ВС* v l7 .
62. Трапеция ABCD такова, что в нее можно вписать
окружность и вокруг нее можно описать окруж­
ность. Определить, где находится центр описан­
ной окружности, внутри или вне трапеции. Найти
площадь описанного круга, если ВС * l , A D * 3.
63. В выпуклом четырехугольнике ABCD биссект­
риса 2 £ A D пересекает сторону ВС в точке М , а
биссектриса /ЛВС — сторону AD в точке N так,
что В М - МС, 2AN - ND и A M перпендикуляр­
на к BN. Найти стороны и площадь четырех­
угольника ABCD, если его периметр равен 14, а
ZBAD - 60’.
64. Дан прямоугольный треугольник ABC с катета­
ми АВ ~ а 1& ВС^Ъ ; через вершины Б и С прове­
дена окружность радиуса г, пересекающая гипо­
тенузу АС в точке Е, и катет АВ — в точке D.
Определить площадь треугольника ADE.
65. В круге радиуса г проведена хорда АВ так, что
сумма расстояний от точки В до точки Л и от
точки В до касательной, проходящей через точ­
ку А , равна а. Найти длину хорды АВ.
66. В треугольнике ABC, где АС = 6, а АВ - с, проведе­
на биссектриса угла ВАС. Найти длину стороны
ВС, если длина биссектрисы, проведенной до пере­
сечения со стороной ВС в точке D, равняется BD.
67. В треугольнике ABC: AD — медиана. В каком
отношении AD делится прямой, параллельной
стороне АВ и отсекающей от треугольников ADC
и ABD треугольники одинаковой площади?
357
68. Дан правильный треугольник ABC со стороной,
равной а. DE — средняя линия, параллельная
АС. На DE взята точка К так, что DK : КЕ - 1 :
2. Луч АК пересекает сторону ВС в точке Р. Най­
ти длину АР.
69. К боковой стороне равнобедренного треугольни­
ка проведены высота и медиана. Определить дли­
ну боковой стороны, если высота равна Л, а угол
между ней и медианой равен а. Угол между рав­
ными сторонами треугольника меньше
.
70. В остроугольный треугольник вписан полукруг так,
что его диаметр лежит на стороне АВ, а дуга каса­
ется сторон АС и ВС. Найти радиус окружности,
касающейся дуги этого полукруга и сторон АС и
ВС треугольника, если АС Ь. ВС ~ а и ZACB = а.
71. Через вершины прямоугольника ABCD со сто­
ронами а и Ь провести прямые таким образом,
чтобы получившийся прямоугольник имел наи­
большую площадь и найти ее.
72. Основания трех высот треугольника ABC соеди­
нены между собой прямыми. Требуется найти
периметр треугольника, получившегося в резуль­
тате этого построения, если ВС =” а, АС - Ь, АВ —с.
73. В остроугольном треугольнике ABC известны:
сторона ВС - а, Z В ~ Р и ZC ^ у. Найти расстоя­
ние между центрами вписанной в треугольник
и описанной около него окружностей.
74. Стороны треугольника 39, 35 и 10. Найти ра­
диус окружности, проходящей через основания вы­
сот треугольника.
75. В треугольник ABC вписана окружность, касаю­
щаяся стороны АВ в точке D, а стороны ВС в
точке Е . Найти углы треугольника, если
A D : D B ~ 2 : 1 и B E : ЕС • 1 : 3 .
76. В треугольнике ABC: АВ - а, ВС * Ь. Продолже­
ние медианы BD пересекается с описанной ок­
358
ружностью в точке Е, причем BD ■ пгг
Найти АС.
« .п
т.п.
77. На боковых стогн а х АВ „ ВС равнобедренного
треугольника ABC расположены соответ^венно
ТОЧКИ М k N так, что AM : ВМ =
CN •В \ ~ п
Прямая MN пересекает высоту треугольника BD
в точке О, Найти отношение DO : ВО
78. Две окружности радиусов R и г касаются внеш­
не. Найти площадь четырехугольника, образо­
ванного общими внешними касательными к
этим окружностям и хордами, соединяющими
точки касания.
79. В прямоугольном треугольнике ABC проведена
биссектриса CD прямого угла С. Известно, что
AD = т, BD = п. Найти высоту, опущенную из вер­
шины угла С.
80. В прямоугольном треугольнике ABC (Z А - 90')
отрезок DE параллелен стороне АС. В каком
отношении DE делит площадь треугольника ABC,
если АЕ перпендикулярна CD и CD: АЕ ~ т : п ?
81. В окружность радиуса 3 см вписана равнобоч­
ная трапеция с углом при основании 45' и высо­
той V2 см. Найти площадь трапеции.
82. В прямоугольной трапеции диагонали взаимно
перпендикулярны, а основания относятся как
т : п. Найти отношение диагоналей трапеции.
83. В прямоугольной трапеции ABCD большее осно­
вание AD в три раза меньше высоты АВ. Через
точки А, В и С проведена окружность. Найти
острый угол трапеции, если площадь круга в п
раз больше площади трапеции.
84. В р а в н о б о ч н о й т р а п е ц и и A B CD о с н о в а н и я
АВ = 1см и CD = 15 см , а боковая сторона равна
14 см . На боковой стороне AD взята точка М
так, что ZBMC = 90*. Найти отрезки A M и MD.
359
85. Даны две концентрические окружности радиу­
сов 5 см и 1 см. Квадрат расположен так, что
две смежные его вершины лежат на одной ок­
ружности, а две другие — на другой. Найти пло­
щадь квадрата.
86. На гипотенузе ВС прямоугольного треугольни­
ка ABC взята точка Р так, что ВР = а и РС *= ft. В
точке Р построен перпендикуляр к ВС, который
делит треугольник на две равновеликие фигу­
ры. Найти площадь треугольника ABC.
87. В остроугольном треугольнике две высоты рав­
ны 3 см и 2 -J2 см, а их точка пересечения делит
третью высоту в отношении 5 :1 , считая от вер­
шины. Найти площадь треугольника.
88. В трапеции основания равны а и 6 , диагонали
перпендикулярны, а угол между боковыми сто­
ронами равен а . Найти площадь трапеции.
89. Окружности радиусов i? и г имеют внутреннее
касание. Найти сторону правильного треуголь­
ника, у которого одна вершина находится в точ­
ке касания данных окружностей, а две другие
лежат на разных окружностях.
90. Равнобочная трапеция, у которой угол при осно­
вании равен 60', описана около окружности. В
каком отношении прямая, соединяющая точки
касания окружности с боковыми сторонами, де­
лит площадь трапеции?
91. В треугольнике ABC стороны АВ -= 2 см, АС * 5 см
и ВС*6 см. Найти расстояние от вершины В до
ортоцентра треугольника ABC.
92. В прямоугольном треугольнике ABC катет
АВ = 3 см, катет АС * 6 см. Центры окружнос­
тей радиусов 1см, 2 см и 3 см находятся соот­
ветственно в точках А , В и С. Найти радиус
окружности, касающейся каждой из тр>ех окруж­
ностей внешним образом.
360
93. Окно прямоугольной формы завершается равно­
сторонним треугольником. Определить отноше­
ние высоты прямоугольной части окна к сторо­
не треугольной части так, чтобы при данном
периметре окно пропускало бы наибольшее ко­
личество света.
94. Измерения прямоугольника ABCD равны 35 дм
и 60 дм. Через вершину С проведена прямая, пе­
ресекающая продолжения сторон АВ и AD соот­
ветственно в точках М н N. Какую наименьшую
площадь может иметь треугольник M A N ?
95. В равнобедренном треугольнике ЛВС (АВ = ВС)
ZABC = 80’ . Внутри треугольника взята точка
О так, что Z.OAC - 10’, а ZOCA ~ 30*. Найти ZAOB.
96. В треугольнике проведены медиана AD, биссект­
риса АЕ и высота AF. Площадь треугольника
АЕД равна — площади треугольника АБС, а пло14
Y
щадь треугольника
равна
площади тре­
угольника ABC. Найти углы треугольника АБС.
97. Найти площадь треугольника АБС, если ZACB —30,
АС = ВС и периметр треугольника равен 5.
98. В треугольник ABC вписан квадрат таким обра­
зом, что одна из его сторон лежит на стороне АВ.
Найти сторону
этого квадрата, если АВ * АС - 8 ,
CTOpOl
а ВС
i-
99. Около круга радиуса 1 описаны квадрат и рав­
носторонний треугольник, причем одна из сто­
рон квадрата лежит на стороне треугольника.
Вычислить площадь общей части треугольника
и квадрата.
100. Заданы два равносторонних треугольника, каж­
дый площадью 1. Второй треугольник получа­
ется из первого поворотом на угол 30’ около
его центра. Вычислить площадь общей части
этих треугольников.
361
101. в круг радиуса 1 вписаны равносторонний тре­
угольник и квадрат, имеющие общую верши­
ну. Вычислить площадь общей части треуголь­
ника и квадрата.
102. Вычислить площадь общей части двух ромбов,
из которых у первого диагонали равны 2 и 3, а
второй получается из первого поворотом на 90’
около его центра.
103. В окружность радиуса 1 вписан равнобедрен­
ный треугольник, боковая сторона которого в
два раза больше основания. В этот треуголь­
ник вписана окружность. Найти ее радиус.
104. В четырехугольник, три последовательные сто­
роны которого равны 2, 3 и 4, вписана окруж­
ность радиуса 1,2. Найти площадь этого че­
тырехугольника.
105. В равнобочную трапецию, верхнее основание ко­
торой равно 1, вписана окружность радиуса 1.
Найти площадь трапеции.
106. На каждой медиане треугольника взята точка,
делящая медиану в отношении 1 : 3, считая от
вершины. Во сколько раз площадь треугольни­
ка с вершинами в этих трех точках меньше пло­
щади исходного треугольника?
107. В равнобедренный треугольник вписан квадрат
единичной площади, сторона которого лежит на
основании треугольника. Найти площадь тре­
угольника, если известно, что центры тяжести
треугольника и квадрата совпадают.
108. В равнобедренном треугольнике высота, опущен­
ная на основание, в полтора раза меньше радиу­
са описанной окружности. Найти отношение ос­
нования треугольника к его боковой стороне.
109. Около окружности единичного радиуса описа­
на равнобочная трапеция, у которой одно осно­
вание вдвое больше другого. Определить сред­
нюю линию трапеции.
362
110. в каком отношении делится сторона равносто­
роннего треугольника прямой, проведенной из
противоположной вершины, если радиусы ок­
ружностей, вписанных в получившиеся тре­
угольники, относятся как 1 : 2?
111. Трапеция разделена на четыре части. Опреде­
лить ее площадь, если известны площади ее ча­
стей, прилежащих к основаниям Sj и S^.
112. Основания трапеции а п Ь {а > Ь). На продол­
жении верхнего основания определить положе­
ние точки М так, чтобы прямая, соединяющая
эту точку с вершиной нижнего основания, де­
лила трапецию на равновеликие части.
113. Из концов данной дуги окружности проведены
касательные до взаимного пересечения и в по­
лученную фигуру вписан круг. Найти радиус
вписанного круга, если заданная дуга равна а и
ее хорда равна а.
114. Даны стороны а,Ь \\с треугольника ABC. Пусть
О — центр окружности, вписанной в этот тре­
угольник. Выразить длину отрезка АО через
стороны треугольника.
115. Даны стороны а, Ьн с треугольника А 8 С. Пусть
Н — точка пересечения его высот. Выразить
через а, Ь, с длину отрезка АЯ.
116. ABC — равносторонний треугольник со сторо­
ной, равной .Уз9 . Найти радиус окружности, про­
ходящей через точки Л и Б и делящей пополам
окружность, вписанную в треугольник ABC.
117. Радиус окружности, вписанной в прямоуголь­
ный треугольник, равен г, а радиус окружности,
касающейся гипотенузы и продолжений кате­
тов, равен R. Вычислить площадь этого прямо­
угольного треугольника.
118. В ДАВС дано: а = 14, Лв = 12, 6 с = 28. Вычислить Ь н с (а, Ь с — стороны ААВС).
363
119. В треугольнике ABC проведены высоты СС, и
АА,. Вычислить площадь треугольника
если А 8 = 13, ВС = 14, СА=\Ъ.
120. По данным двум сторонам а н Ь треугольника
найти третью сторону, зная, что медианы
и
пересекаются под прямым углом.
121. В треугольнике ABC угол А вдвое больше угла
С. Найти зависимость между сторонами.
122. Известно, что углы А, В и С треугольника АБС
связаны соотношением c lg A = 2(ctg В + ctg С).
Вычислить стороны Ь и с этого треугольника,
если задан угол А и сторона ВС = а.
123. В треугольнике ABC три угла, расположенные
в порядке возрастания А < В < С , образуют ариф­
метическую прогрессию с разностью ф. Найти
углы и стороны треугольника АБС, зная его
периметр 2р и величину ф. При каком условии
задача возможна?
124. В вершинах треугольника ABC проведены каса­
тельные к его описанной окружности. Зная углы
А, В, С треугольника ABC, вычислить углы тре­
угольника, образованного этими касательными.
125. Треугольник ABC вписан в окружность с цент­
ром О. Сторона ВС проходит через середину D
радиуса ОА. Угол ADB равен ф. Вычислить углы
треугольника ABC.
126. Для треугольника ABC задан периметр 2р, ра­
диус г вписанной окружности и высота Л, (опу­
щенная на сторону ВС). Найти стороны ААВС.
127. На прямой, проходящей через вершину А па­
раллелограмма, перпендикулярно к его диаго­
нали, выходящей из этой вершины, взята про­
извольная точка М . Найти отношение проек­
ций отрезка AM на стороны параллелограмма,
если стороны параллелограмма равны а и Ь.
128. Даны два луча, выходящие из одной и той же
точки и образующие между собой угол а. На
364
129.
130.
131.
132.
133.
134.
135.
первом луче отложены отрезки ОА —а и QA' - а',
на втором ОВ = Ь, ОВ'^ Ь'; на отрезках ОА и ОВ
построен параллелограмм ОАСВ, на отрезках
ОА' и ОБ' также построен параллелограмм
ОА'С'В'. Вычислить косинус угла СОС' между
его диагоналями.
Внутри треугольника ABC берется точка О та­
кая, что ZCAO ~ ZABO - АВСО - а . Зная углы
А, В, С треугольника ABC, найти угол а .
Вне окружности радиуса г * 5 взята точка О и
через нее проведена секущая ОАВ, причем
ОА = 2, ОВ = 8. Вычислить угол, который обра­
зует эта секущая с касательной, проведенной из
точки О к данной окружности. (Берется та ка­
сательная ОС, для которой центр окружности
лежит внутри СОЛ.)
Даны углы А, В, С треугольника АБС; AD —
медиана, проведенная к стороне ВС. Вычислить
угол CAD.
Острый угол между касательными, проведенны­
ми к двум окружностям радиусов г, и
в точ­
ке их пересечения, равен а. Определить радиус
окружности, касающейся обеих данных окруж­
ностей и их общей касательной.
Вычислить углы треугольника АБС, зная, что
А - 60* и Ь * с (2 + >/з ) (А — угол, заключенный
между сторонами Ь к с этого треугольника).
Две окружности радиусов Л, и
с центрами
О, и Oj касаются друг друга внешним образом.
На отрезке 0,0^, как на диаметре, строится
окружность. Найти радиус окружности, кото­
рая касается внешним образом данных окруж­
ностей и внутренним образом — окружности,
построенной на 0 ,0 ^, как на диаметре.
Полуокружность ограничена диаметром АБ —2R.
К этой полуокружности проведены в точках А и
Б две касательные и еще третья касательная,
365
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
пересекающая эти две касательные соответствен­
но в точках С и D, и наклоненная к АВ под
углом а. Вычислить длины отрезков АС и BD.
Даны две концентрические Окружности радиу­
сов г и R, причем r < R . Определить сторону
квадрата, две вершины которого лежат на од­
ной окружности, а две — на другой. При каких
условиях решение возможно?
Две окружности касаются друг друга внутрен­
ним образом. Радиус меньшей окружности ра­
вен г. Хорда большей окружности, касающаяся
меньшей, делится в точке касания на части а и
Ь. Найти радиус большей окружности.
Из точки вне окружности радиуса г проведены
под углом а две секущие, отстоящие от центра
на одинаковом расстоянии а. Определить пло­
щадь трапеции, боковыми сторонами которой
служат внутренние части секущей.
В ДАВС даны стороны а, Ь, с . Вычислить угол
ASB , где S — точка пересечения медиан,
Даны две концентрические окружности радиу­
сов г и R, причем г < R. Определить сторону
равностороннего треугольника, у которого вер­
шина А лежит на окружности радиуса г, а В и
С — на окружности радиуса R.
Вычислить острые углы прямоугольного тре­
угольника, зная острый угол а между медиана­
ми, проведенными к катетам.
Внутри угла а с вершиной О взята точка М на
расстояниях М Р - а и M Q - & от сторон угла.
Вычислить отрезки ОР, 0Q , ОМ.
143. В треугольнике угол А равен 60'. В каких грани­
цах может меняться отношение
Ьи с —
стороны этого треугольника)?
144. Дана длина а гипотенузы прямоугольного тре­
угольника ABC (ZA “ 90') и произведение длин
биссектрис углов В и С. Найти углы В и С.
366
145. В каком отноше,,,,,, д е л „
прав,,льного треугольника прямая, пересекающая про­
должение его основания пол углом р „ де.тящая высоту от вершины к основанию , отношении 3 :5 ?
146. Через точку М. лежащую внутри круга радиу­
са г, проведены диаметр АВ и хорда CD, состав­
ляющая угол а с диаметром и угол Р с хордой
BD. Найти площадь треугольника MBD.
147. Угол при основании равнобедренного треуголь­
ника равен а. В каком отношении делит пло­
щадь этого треугольника прямая, делящая его
основание в отношении 2 : 3 и составляющая с
большим отрезком основания угол (i (О < 3 < а).
148. Из точки А, лежащей вне круга радиуса г, про­
ведены к окружности касательная АВ и секу­
щая АС, составляющая угол а с касательной и
угол Р — с хордой ВС. Определить площадь-тре­
угольникам ABC (С — ближайшая к А точка
пересечения секущей с окружностью).
149. На диаметре круга радиуса Л построены два
круга радиусов Д, и R^(R^+
= R), касающие­
ся друг друга внешним образом и данного круга
изнутри. Определить радиус круга, касающего­
ся всех трех данных кругов.
150. Правильный т р е у г о л ь н и к , площадь которого равна
S, повернут вокруг центра на угол а ( О < а < 120).
Определить площадь общей части начального
и конечного положений тре>тольника.
151. В треугольнике ABC дано отношение;
tgA : tg В : tg С = 1 : 2 : 3. Найти синусы этих уг­
лов.
152. В треугольнике ABC медианы, проведенные из
вершин А и В, пересекаются в точке О под пря­
мым углом. Найти отн ош ение площади тре­
угольника АОВ к площади треугольник
367
ответы к ЗАДАЧАМ
Глава 1
§ 1.1.
1. 9,1 м. 3. 0,6 м. 4. 8,1 м. 5. 96 м. 7. 1) да; 2) да; 3) нет.
8. 1) 3; 2) 6; 10; 190;
9. Не могут. 10. Да. 11. 6
отрезков. 12. АС и СА; СА и СВ. 13.
14. 30 см.
2
’
2
■
15. Точка С находится на пересечении прямой M N с отрез­
ком АВ.
§ 1.2 .
1. 1) 20'; 2) 55‘ 37'; 3) 67 17' 22". 2. 1^^/. 3. 1^<^. 4. Да.
5. Да. 7. *rf;
■^
3
^d:
9
9
9. l\d\ 10. 70°. 11. l ^ d .
или l ^ d .
15
— d\
15
1 * d,
15
12. 1) I d ; 2) 1,1 d. 13. 1) ^d
О
j
8.
' d.
2
О
2) I d ; l^ rf; l ^ d .
14.
9
^d;
i^ c /; l^ rf.
15. 0,5 d; 0,5 d; 1,5 d; 1,5 d. IG. 0,4 d; l,6 d . 17. f j r / .
19. 1) 45- и 15’ ; 2) 40* и 20*; 3) 30* и 30‘ ; 4) 24‘ и 36’ .
20. 130'. 21. 25* и 25*. 24. 1) 20'; 2) 60*; 3) 90*. 25. 1) ПО*;
2) 175*; 3) 170*; 4) 130*.
§ 1.3.
1. Ю м . 7. 3 .5 м . 8. 1) 3,2 м , 6,2м , 6,2м ; 2) 7,2м, 4,2м,
4,2м.
4)
р
21. 1 ) | ;
Р
р
Р -I
б ) ' ’ ’ - ';
2) 72 см. 23. 6 см; 16 см; 16 см.
368
Р~1
3 )m .p -2 m ;
22. 1) 1 5 «
§ 1.4.
I. 1) да; 2) нет; 3) нет. 2. 1) нет; 2) да. 3. 2 м. 4. 10 м.
5.10 см; 10 см; 1 см. 7.13 м. 8. 10 м. 9. 10 см. 10. 8 м и 8 м.
§ 1.5.
I I . 26 см.
§ 1.6 .
1. 8 м; 20 м; 16 м; 32 м. 2. Нет. 4. 1) 2; 2) 7; 3) п - 3.
5. 1) 4; 2) 6; 3) п - 2. 6. 1) 5; 2) 35; 3)
7. « =
.
2
m—1
(6; 4; невозможный случай). 8. л = 2да+ 3. (4; 5; 7). 9. Рис. 21.
Глава 3
§ 3.1.
1.
. 2. Нет; увеличить на 1
.3 . | . 8. 1) 105’ и 75';
16
16
О
2) по 75’. 9. Не может. 11. 1) параллельны; 2) не парал­
лельны; 3) если эти углы односторонние, то прямые па­
раллельны, если эти углы накрест лежащие, то прямые не
параллельны. 12. 1) если эти углы накрест лежащие или
соответственные, то прямые параллельны, а если эти углы
односторонние, то прямые не параллельны; 2) если эти
углы накрест лежащие или соответственные, то прямые
параллельны; в противном случае прямые не параллель­
ны. 16. 2) 42’; 48"; 90’. 17. 71*. У к а з а н и е . Через вер­
шину угла С провести прямую, параллельную стороне АВ.
18. 10 см; 65*. 22. 84* и 96‘.
§ 3.2.
1. 135‘ и 45’. 2. 50’ и 130’. 3. 1) нет; 2) нет; 3) нет. 4. 1) два
прямых угла с соответственно параллельными сторонами;
2) могут, если они обе прямые; 3) можно, если один из них
остры й , а другой туп ой .
24 — К. X. Абдуллаев и др.
5. 1)
и
6. 138’ . 8. 1) 36'
369
и 144’; 2) 72’30' и 107*30'. 9. 40' и 140\ 11. 1) 82*; 2) 56’;
124*; 56’: 124*. 12. 86’ ; 48*; 46*. 13. 85* и 95*. 14. 36*.
15. ZAC3; ZADC; Z jBZ)C.
§ 3.3.
1.
2. 37*29'46,5". 3. 38*34'. 4. 15*. 5.
^d.
6. 1) 18см ; 2) 8 см. 7. 1,2 м. 8. 60*. 9. \ d , 12. 135*.
6
13. \ d . 14. I^d. ,5 ^ ; l j 5 ^ . 15.1)
2
\d •
h ■ 2) l^^d ■
2
- d ; j r f . 16. У к a 3 a Hи e : продолжить медиану на равное
расстояние. 20. ZD - * ZA; ^
21.
22. jir f ;
j
“ d + j ZB.
l ^ r f . 23.
. 24. 1) 68*30';
2) 70*; 3) 58*; 4) 62*30'. 25. 1) 135*; 120*; 112*30'. 26. 1) 48*;
72*; 60*. 27. 19 c m и 38 c m . 28. 33*45'
31. 7,5 с м . 32, 20 с м и 40 с м .
и
56*15'. 30. 30
см .
§ 3.4.
1. 1) 10 d; 2) 16 d; 3) 46 d. 2. 54*; 81*; 108*; 135*; 162*.
3. Увеличится на 19 d. 4. 1) 17; 2) 26; 3) невозможно.
5. В четырехугольнике. 6. 13. 7. 2 т + 2 (4; 5; 6). 8. 1 )8 ;
2) 12. 9. 1) 10; 2) 12. 10. 1) 12 d; 2) 1 j d ; З) 1,6 d; 4) 0,4 d
и 0,4 d. 11. 1) в четырехугольнике; 2) в треугольнике;
3) в выпуклом пятиугольнике, шестиугольнике и т. д., т. е.
при л > 4 . 12. 140*; 80*; 60*; 100*; 160*. 14. 1) а) 36*;
б) 144*; 2) а) 162*; б) 174*. 15. 1) 8; 2) 7; 3) 9. 16. 8.
17. 1) 5; 2) 8. 18. 1) 180*; 2) 360*; 3) 180* п.
Глава 4
§ 4.1.
1. 9 см и 6 см. 2.1) нет; 2) нет; 3) да. 3. Да. 4. AD - ВС - 1 м;
АВ - BZ) -
370
- 0,2 м. 5.
; 1
. 8. 60‘; 60*; 120*; 120*.
9. 1) 55': 55‘ ; 125'; 125‘ ; 2) 35'; 35'; 145‘ ; 145*; 3) 20’ ;
20’; 160'; 160*. 10. BE - 15см; С £ - 3 0 с м . У к а з а н и е .
Доказать, что ДАВ£ — равнобедренный с основанием АЕ.
11. 16 дм.
12. 60'; 60*; 120‘ ; 120'. 15. 18 см и 24 см.
16. 1) 16* и 96*; 2) 110* и 40*. 17. 1) 12 см и 18 см;
2) 7,5 см и 12,5 см. 18. 2 с.м или 4 см. 19. 1) да; 2) нет;
3) нет. 21. 1) 3; 2) 2; 3) 1. 25. 1) 45*; 2) 135*. 27. 4 см.
§ 4.2.
1. - d . 2. 1) такая точка существует только в квадрате; 2) да.
3. 10 см и 18 см. 4. по 1,2 м. 5. 4 м и 8 м. 6. 45*. 7. 12 см.
8. 8 см. 12. 60 см. 16. 1) прямоугольник; 3 см; 2) 10 см.
§ 4.3.
1. 60*; 60*; 120*; 120*. 3.
и 1 ^ < /. 4. 80* и 100*. 5. 6 см.
6. 150*. 7. 1) а) 30* и 150*; б) 15* и 75*; 2) а) 60* и 120*;
б) 30* и 60*. 8. 1) 60® и 120®; 2) 80 мм. 9. 56 см и 14 см.
13. 2^ 2 ’
§ 4.4.
1. 4 м. 3. 1 м. 4. 2 м. 5. 2 м. 6. 2) 2 см. 7. 4 м и 8 м. 9. Квад­
рат; 48 см. 10. 2а.
§ 4.5.
1. 16 дм. 2. 13 см; 16 см; 19 см; 22 см; 25 см. 3. ZA -
4
^^/.4. Нет. 5. ^ d и 1 ^
2
^
1
'
;
.
'
6.
и 1
7. 1 м. 8. 24 см и 36 см. 9. 1,7 м. 10. 3 м и 4 м.
13. 140*; 80*; 100\ 14. 20 см. 15. 1) 9.5 см и 33,5 см; 2) 132 см.
17. 60* и 120*.
§ 4.6.
1. 6 см. 2. 2,4 м; 5,2 м; 4,8 м. 3. 3 дм. 4. 3 дм. 5. 6 см;
5 см; 5 см. 7. а + 6. 8. 5 м и 6 м. 10. 21см . 11. 1) па-
371
рш<лелигримм; 2) ромб; 3) прямоугольник; 4) квадрат.
14. параллелограмм; 14 см. 15. 12 см; 12 см. 17. 2) 12 см;
24 см; 30 см. 18. Ромб; 80 см. 19. На равные отрезки.
§ 4.7.
1. 4 м. 2. Ближе к большему основанию. 3.12,5 см и 11,5 см.
4. 3 м и 2 м. 5. 6 дм и 10 дм. 6. 1,5 м и 4 м. 7. 10 см.
8. 15 см. 9. 3 м. 10. 5 см и 9 см. 11. а. 13. 60* и 120*. 14. 5 см.
15. 42 см. 16. 28 см. 17. 17 см; 19 см; 21 см. 18. 1) 12 см
и 42 см; 2) 12 см и 32 см. 19. 96 см. 20. 0,75 а. 21. 7,75 см.
Глава 5
§ 5.1.
1. 1) 5 см и 25 см; 2) 7 см и 13 см. 2.
■ 4. 60*.
5. 120'. 6. 2 см. 7. 2 см и 4 см. 8. R. 9. 1 см. 10. 20 см и
12см. 11. 2,2м. 13. Задача неопределенная; если дана
точка на окружности, то можно провести две хорды.
15.60‘. 16. 2R. 17. 1 дм. 18. 0,5 м. 19. 14,13 см. 20. 8 см.
21. Л - г . 22. 5 см. 28. 150’ и 30*. 29. 120* и 60‘ .
32. 1,5 дм. 33. 2 дм. 34. 1)6, 5, 4, 3, 2, 1 или О точек;
2) бесконечно много; 3) да, их общий центр. 36. Квадрат.
37. 5,5 см. 38. 7,5 см. 39. 12 см. 41. 5 см и 15 см.
42. 5 см. 43.1) 50" или 110’ .
§ 5.2.
1. 1) внешнее касание; 2) одна окружность внутри другой;
3) одна окружность вне другой; 4) пересечение. 2. 2 см.
3. 9 см и 7 см. 4. 2 см. 5. 16 см. 6. У к а з а н и е . Опустить
из центра перпендикуляр на секущую. Если основание раз­
делит пополам обе хорды, то утверждение доказано. 7. 6 см.
8. 1) Л и 60‘ ; 2) У к а з а н и е . Разделить окружность на
три равные части, в точках деления провести касательные;
вершины треугольника, образованные касательными, соеди­
нить с центром круга; получим три тупоугольных тре­
угольника, в каждый из которых следует вписать окруж­
ность. 9. 2 дм. У к а з а н и е . Соединить центры всех впи­
санных кругов между собой и с центром данного круга и
372
рассмотреть полученные треугольники. 10. 1 дм. 11. 70 см
и 10 см. 12. 0 0 , - 8 см. 13. АА,—В В ,-Д -г . 14. 15 см и
6 см. 15. 1) 67,2 см и 19,2 см; 2) 30 см и 12 см или 9 см
и 22,5 см. 16. 1) 12 см и 8 см; 2) 10 см и 25 см. 17. 1) 18 см
и 10 см; 2 см; 2) 12,5 см и 56 см; 2,5 см. 18. R.
§ 5.3.
I. 7Г59'23". 2. 16'33'. 3. 105*48'30” или Зб'П'ЗО". 4. ЗГЗО'.
5. 95* и 120*. в. 52*30', 82*30' и 45*. 7. 108*. 9. 50*. 10. 40*,
40* и 100*. 11. Стороны треугольника делятся пополам,
полуокружность — на три равные части по 60*. 13. 67*30'.
14. 36*34'30". 15. 48*50'. 16. 45*. 17. 110*52'. 18. 78*45'.
„о
19. 144*. 20. 150*27'. 21. 1 8 0 * -у . 22. 80*. 23. Точка
касания. 24. 20*30'. 25. 160*35' и 253*25'. 26. 100*.
27. 18*. 28. 105*. 29. 31*12'. 30. 34*54'. 31. 15*12' и 74*48'.
32. 117*27'. 33. 90* и 52*30'. 34. 1 :3 . 35. 90* и 45*.
36. 120* 37.100', 120*, 80*, 60*, 50*, 70*. 38. 81‘, 81*.
81*, 11Г. 39. 40*, 40*. 100*. 40. 40*, 60*, 60*.
§ 5.4.
1. 2 м. 2. 1) 40*; 2) 36'. 3. 50* и 130*. 4. 106*, 115*, 140*.
5. 55*19' или 34*41'. 7. 6 : 5. 8. р - г. 9. 1 м. 10. 60 см.
II. 1м. 12. 25*10', 154*50', 25*10' и 154*50'. 14. 2 см.
15. 143*, 37*, 143* и 37‘. 16. Вне трапеции. 17. 3 см.
18. ZBCD -109*36'18", ZB - ZD - 90*. 19. 1) да; 2) нет.
20. ^/7. 21. 81*. 22. 1) 3 м, 6 м, 9 м и 6 м; 2) 45’ , 90',
135* и 90*. 25. 4Г15', 4Г15', 132*45', 132*45', 94*30', 85*30'.
26. 1) 4 см; 2) а) в тупоугольном; б) в прямоугольном;
в) в остроугольном. 27. 2R, R + г, R + г. 29. 1) около
квадрата и прямоугольника; 2) в квадрат и ромб. 30.100 дм.
31. 16 см. 32. 34 см. 33. 105* и 125*. 34. 72*, 90*, 108*, 90*.
35. 10 см. 36. 1) 30 см; 2) 30 мм, 105 мм, 180 мм, 105 мм.
37. 20 см. 38. 25 см и 9 см. 39. 114*; 66*. 40. 5 см. 41. 114*;
53‘; 66*.
373
Г л ава 6
2. 1) а - 2, b - 2; 2) а - - 3 . b - 8; 3) а - 1, b - 1. 3. - 2 , -1 .
4. 1) нет; 2) да. 15. 2) 2 см или 10 см. 16. 2) 3 : 5 или
2 : 5. 21. 2) 180\
Г л ава 7
§ 7.1.
1. 10 м. 25 м и 20 м. 2. 13,6 м. 3. АС - 3 м,
1,2 м.
4. АС - 20 см, EF - 15 см. 5 .1 ) нет; 2) да. 6. 2,6 м. 7. 1) 1 м,
Ьс
2 м и 2,5 м; 2) 6,5 м и 5,5 м. 8. 1) 4 см; 2) 27 : 28. 9. ------- ,
а +с
10. AD - 1 м, DC - 3 м. 11. О В - 15 см, 0 D - 12 см.
12.A D -40C M , ВС - 18 см; А О : О С - 2 0 : 9. 1 3 .А В -3 0 см,
A D -4 C M . 14. 18см. 15. 20см . 16. 300 м. 17.
—
п
18. — ~-7Г"- 19- 1 Г ~ - 20.
21.
22. 10 см и 18 см.
а + 2с
Ь+ с
^
а+Н
23. 12 см. 24. CD —3 см, BD —9 см. 25. AD —6 м, BE —8 м.
26. 1дм. 27. 14 см и 10 см. 28. 10 см и 26 см. 29. 20 м.
30. 0 £ - 6 дм, 0 Р - 8 д м .
31. 42 дм. 32. 1) 15 см, 9 см,
1
2
21 см; 2) 5 см, 8~ см, 11 - см; 3) 7 см, 5 см, 43 см; 4) 2,5 см,
1,5 см, 3,5 см. 33.18 см, 21 см, 24 см и 20 см, 23,3 см, 26,7 см.
34. 1) 108,8 м, 217,6 м, 27,6 м; 2) 170 м, 170 м, 204 м или
160 м, 192 м, 192 м. 36. 1,6 см, 4,5 см, 5,6 см. 37. 1) 8,5 см
или 7,73 см; 2) 6,5 см и 19,6 см или 8 см и 24 см. 38. 1) 1 : 2;
2) 4 см. 40. 6,4 см.
§ 7.2.
1. 30 см, 24 см, 18 см, 36 см. 2. 18 м, 9 м, 12 м, 36 м. 3.100 м
и 40 м. 4. а : Ь - V2 . 5. ^ . 6. 1,8 см и 2,4 см. 7. 15,5 см.
Ь
уг
8. 1) нет; 2) да; 3) да. 11. a - b v 2 . 12. 60 мм. 13. — .
14. 2,8 см, 4,2 см, 2 см, 8,4 см.
374
§ 7.3.
1. BD - 12 см, AD - 18 см. 2. 10 мин. 3. 1) 12 дм; 2) 1,8 м;
3) 3,4 м. 4. 1) 4 см, 8 см, 12 см, 16 см; 2) 32,5 см, 35 см,
37,5 см, 40 см, 42,5 см, 45 см, 47,5 см. 5. 3 м и 2.4 м.
в. 10 м и 35 м или 35 м и 10 м. 7. 10см. 8. В£ - 7 см,
£С - 5 см. 9. 8 см. 10. 50 см. 11. 16 см, 20 см, 20 см.
Ь
12. В£ - 10 м, ЕС - 14 м. 13. ------ . 14. 6 см, 4 см, 6 см,
а+с
аЬ
I
2
15.
г . 17. 3 - м и 11 , м. 18. 2 м, 4 м, 4 м, 2 м. 19. Все
а +о
3
3
стороны по 2 м. 20. 12 см. 21. Параллельны. 22. 13,5 см,
9 см, 4,5 см. 23.16 см, 18 см. 24.16 см, 24 см, 16 см, 64,3 см,
25,7 см. 25. 6,25 см, 3,75 см. 26. 32 см.
§ 7.4.
1. 50 см и 72 с м.
6. 1)
2. 5,2 м.
5. 32 .^2 = 45,25 мм.
+ 6* ; 2) 32см и 60см. 7. 1) 41 см; 2) 10см.
А
8. 1) 15 см; 2) 125 см, 125 см, 240 см; 3) 2 л/2 см. 9. BD = 5 м.
10.1) 3 м и 4 м; 2) 9 см, 1^ см, 14 ^ см. 11.1) ^>/з ; 2)
;
3) 2т + (2 + >/3 ); 4) 2 л/З см, 4 Уз см. 12. 1) 25 см или 11 см;
2) 29 см; 3) 40 см. 13. 1) 37 см; 2) 3 дм и 4 м. 14. 1) 24 см;
2) 36 см и 54 см. 15. Около 5630 м. 17. 2) Va* + ЗЬ^ .
18. 1) 39 дм; 2) 80 см; 3) 14 см или 4 см; 4) 21 см; 5) 6 дм.
19.
оП
•20. 42,5 см. 21. 1) 77 см; 2) 61 см; 3) 13,44 см.
22. л/2/?г . 23. 1) 40 см; 2) внешняя касательная — 48 см.
внутренняя касательная — 30 см. 24. 13 м. 25. 73 см. 26. 7 м
9
и 25 м. 27. 7 — см. 28. 20 см. 29. 1 :4 .
§ 7.5.
1. 4 9 :8 1 . 2. 21см и 28 см. 3. a ^ - i и а(2 - -Jl ).
4. л •J—— ; m •
. 5. 1 м. 6. 5 м. 7. 1) 10 см; 2) 7,5 см.
1т-п
\т-п
375
8.1)24 дм: 2)2,47? ДМи 1,8^5 дм; 3) 13,44 дм. 9. l)9j^ см;
2) 0,8rVs> 10. 15дм. 11. 65дм. 12. 35дм. У к а з а н и е :
Провести среднюю линию и высоту из вершин тупого угла.
13. 36 дм и 48 дм. 14. 18 дм и 80 дм. 15. 1) 37 м и
Лт ш27.73 см: 2) 4 : 5. 16. 1) 3,125 дм: 2) 16,9 м. 17. 6 дм.
У к а з а н и е : Отрезки гипотенузы, образуемой точкой каса­
ния, равны прилежащим к ним отрезкам катетов. 18. 38 дм
и 22 дм. 19. 25 дм. 20. 30 см. 21. 32 см и 18 см. 22. 20 дм.
23. 1 м. 24. —— — —39 и ^
п
п
27. A B . f i T T T ) ;
- 26. 25. 27 дм и 64 дм.
C D -^ J = ^ .
§ 7.6.
1. 1) 6 см. 12 см, 1м: 2) 16 см. 2. 1)4; 2) 65: 3) ^ ; 4) 5
О
или 45. 3. 1) 30 см; 2) 40 см; 3) 21 дм и 29 дм; 4) 12 см.
5. Нет. 6. 43,6 см. 7. Уменьшается в 2,5 раза. 8. 1) 24 см;
2) 33 м. 9. 24 см и 8 см. 10. Увеличилась в 3 раза. 11.1) 4 см;
2) 20 м; 3) АВ - 35 м, ЛС - 15 м. 12.8 см. 13.1) 9 дм; 2) 36 см;
am - bn
r3)25. 14. т хп п х.где х ~ —.------г . 15.1)6; 2)3; 3) V3.
п - т
16. 21 см. 17. В 1,5 раза. 19. Вторая точка пересечения.
20. 1) 3см; 2) 18см: 3) ^(Vs + l). 21. 1) 17см; 2) 13см.
22. 1) 10 см; 2) ^ . 23. 18 см. 24. 12 см и 36 см. 25. 1) 18 см
и 12 см; 2) 9 см и 6 см или 12,5 см и 2,5 см. 28. 6 дм.
29. 25 дм; 8 дм; 15 дм. 30. ^>/4г'-я* . 31. 9 дм.
§ 7.7.
1. АС «4 4 .м. 2. 1) тупоугольный; 2) прямоугольный;
3) остроугольный; 4) остроугольный; 5) тупоугольный.
3. 1) 7 см; 2) 13 см; 3) 73 см. 4. 1) 7 см; 2) 13 см; 3) 31 см.
376
5. 1) V l3-6V 2 ; 2) >ЯЗ; 3) 5. 6. 13; 14; 15. 7. 9см и
24 см. 8. 10 м или 6 м. 9. 20 см. 10. АС - а; A D - а( >/2 +1):
+
CD
1 1 .x - у12г^-гу1лг^-а^ = 30. 12.1) 13 см;
2) 11,2 см. 13. 1)
2) ^ . 14. 13. 15. 14 см, 16 см и 8 см.
16. 25 и 56. 17. 52. У к а за н и е . Провести высоту ДАВС
и воспользоваться подобием треугольников. 19. 1) 20 см
и 30 см; 2) 10 см и 15 см. 20. 1) 7 см и 11 см; 2) сторо­
ны 4 см и 7 см; диагонали 7 см и 9 см. 21. 1) 11; 2) 14;
3)
т , =-^^26* + 2с* - а* ;
^
т , = ^ У2а* + 2Ь* - с* .
+ 2а* - Ь* ;
А
22. 24 см. 23. 1) 7 м; 2) 6 см.
24. 1) 12; 20; yfSM; 2) 15; 17; 39; 3)
711б.
25. 15 см и 25 см. 28. У к а з а н и е . Середины сторон че­
тырехугольника соединит^ еще последовательно. 29. 30*.
Глава 9
§ 9.1.
13 ’ 5 ’ 12
7
»•
5’ 4 ’ 3
7 б 7 ' 7бТ ’ 5
17 ' 17 ’ 8 ’
^2(т + п)
в- 2».(«>1) ■ ’ •
9.90' - а, а сое а, oain о. 10.90" - а,
+
а
8- 1 0 '“ " всм.
^ . 11. с sin а, с сое а,
с sin* а , с сое* а, с sin а ■сое о. 12. » ЗГ25', ■ 31*25', -117*10',
23,8 м. 13. -34*10' и -55*50'. 14. 51*. 15. -116*16' и
- 63*44'. 16. - 29*52' и »150*8'. 17.12 м, - 45*14'. 18. - 63*16'
1 9 . ^ . 20.1) а) 5, -36*52', -53'8';б)41, » 12*41', = 7Г19'
в) 29, -43*36', -4 6 24'; г) 61, =10*23', » 79'23'; 2) а) 12
-22*37'. - 67*33'; б) 24. 16*; - 73*44'; в) 15, - 28*4', 61*56';
377
г) 13, = 8 Г 1 2 ', *8 '4 8 ': 3) а) 70'. 0,68, 1,88; б) -39*40',
3.08. 2,55; в) - 19'24', 7,55, 2.66; г) = 13'39', 15,55, 3,78;
4) а) = 59*33', 5,92, 5,10; б) » 49*12', 7,65, 5,79; в) = 29*25',
8,04, 3,95; г) 22', 9,71. 3,64. 21. 1) со8*а; 2) sin*a; 3) 2;
4) sin*a; 5) 1; 6) sin*a; 7) 1; 8) sin*a; 9) 1 + tg*a. 22. 1) Ц
"
“ 5-
3) 0,6 и j . 25.
26. ^
и
>> 5 " 7’ 2) ^ » f i
29. • 11'32'; - 78'28'.
30. 1) 41,2 cm ; 2) 46,3 см; 3) 9.5 см и 36,8 см. 31. 36,9 см,
17.2 см, 33,7 см, 8,3 см. 3 2 .6Г23'. 33. 3,32 см. 34.119,1 см.
35. 1 ) 0 - 0,180, Ь - 0,041. Л - 77'2Г; 2) а - 12,7, с - 16,4,
А - 50*20'; 3)А - 64*, В - 26', с - 54,7; 4) ft - 5,75, Л - 4Г40',
В -42*20'. 36. -122*6'.
§ 9.2.
^
АС sin Р
а sin а •sin Р
“ sin (а + Р) •2- ^ ain(a-p) •4. АВ - наиболь­
шая, ВС — наименьшая. 5. ZB — наибольший, ZC —
наименьший. 6. боковая сторона больше. 7. 1) а - 105*,
Ь= 2, 59, с = 3,66; 2) а - 45*. Ь- 17,93, с » 14,64; 3) а - 20*.
Ь= 65,78, с = 88,62; 4) у “ 119'. а - 16,69, с » 24,83; 5) у - 68*,
0 = 13,57, с = 11,22. 8. 1) а -79*6', р - 40*54', с =10,58;
2) а -11*2', р - 38*58', с » 28,02; 3) р - 26*45'; у - 58*15',
а » 19,92; 4) Р - 20*30'; у - 14*30', а » 22,92; 5) а - 16*20',
Y- 11*40'. Ь « 53,41; 6) а - 129*50', у - 35*10', Ь= 8,09.
9. 1) с - 8,69, Р - 21*9', у - 38*51'; 2) с - 19,63, Р - 12*53',
у - 29*7'; 3) с « 22,30, Р - 5*35', у - 10*25'; 4) не имеет ре­
шения; 5) с -11,40. Р « 41*19', у = 108*11' или с -2 ,4 6 .
Р - 138*1r.Y - 11*49'. 10.1 ) а - 28*57', Р - 46*34', у - 104 29';
2) а - 53*35', Р - 13*18', у - 113*7'; 3) а - 34*3', р - 44*25',
у - 101*32'; 4) а - 38*38', р - 92*50', у - 48*32'; 5)а - 14*58',
Р -И * , у - 154*2'; 6) а - 135*35', р - 15*30', у - 28*55'.
11. 3.08 м . 12. 34,92 д м . 13. 6,64 д м . 14. 59,67 д м . 15. 13 см.
^ , а
2а
4г c tg — сое—
16. 38,7см . 17. ---------2-------- ^ - 6 4 , 7 см. 18. 47*49'.
008 а
378
19. 1633 м. 20. 133,9 м. 21. 4,08 дм и 8.08 дм. 22. 8,77 см.
125‘37'. 23. 184.6 м. 24. 110,8 м.
§ 9.3.
1. ViocM, 2, 6 см. 3. 9 75 см и 8 >/Шсм. 4. 2 : 1 . 5. 10.
6.
и т. 7 . 2 ^ 1 , 5 + Л - 9 . ^ 2^ . 10. 2а ^+4Ь-
2
Г л а в а 10
§ 10. 1.
1. 1) 15*; 2) л - 12. л - 30. 3. б0‘ , 90‘ , 108*, 135‘ , 144‘ , 150‘,
165‘ 36'. 4. 1) п - 8. п - 12; 2) п - 10, л - 15. 5. 2>/2см .
6 . л/Зсм. 11. 1) да; 2) да. 12. 1) 60*; 2) 45*.
§ 10.2 .
1. 2) 2т y f i . 2. 2см, 4см, 2 >/3 см. 4. 1)
. 6.
5.
Y
1)
Л Л . Л -Т г + Л .
4
_______
а( Л + 1 )*“ л/4 + 2л/2- 7. 1)Д ,Д > /2 .
2) а ‘^2+ у/3,а'^4 + 2>/з = Ол/З + 1,
a i V i W f .a
2) ^ ; 3)
2 г; 2 )
аЛ +Л •
I--------R-yl2 + yf3 . 2R;
<7д/з(2 + >/3), о -(2 + 7 3 ),
“3 ^ 1. “в =
Ь„
Д 63
2 be
+
2
2
2) ^ (2+ Л ) . 10.
11.
. 12. 2 V6 - 13. 1)
Г
3
3
2
2)
14. 1) ‘l O ± S ) ; 2) а. 16. " . 18. 1) R - y l l + T l ;
3 ^______
о
о
2) R ^ ^ | 2 + S . 19. 1 :7 3 :2 . 20. с (>/3 + 1). 21. В случае
внеш него касания: 1) /?(2-УЗ+3); 2) /?(-У2 +1) J 3) Л.
В случае внутреннего касания: 1 ) /f(2>/3- 3 ) ; 2) /?(> /2-1);
379
3) —. 22. 16 см и 8 см. 23. 44,8 см и 33,8 см.
180'
24. R ------------- 2— . 25. аТб . 26. 1) 1 : 2, V2 ; 2 , V3 : 2.
• 1 90
4Аsin
п
Г
27. я '- ^ . 2 8 . гЧ — . 2 9 .Ь = - - М _ .3 0 . а =
^
V 4
4
yl4R^-a
V4fl^+6
31. а : 6. а : Ь. 32.
. 33. 2 и V2 .
или
6
6
Г л а в а 11
§ 11.1.
1. 1) Y : 2)
3) в два раза. 2. 1) 8 м и 18 м; 2) 12 дм и
аЬ
25 дм. 3. 8,16 см*. 4. 130 см^ 5. 818 см. 6. 30 см. 7. 1) — ;
Г
Г
2)
3)
8. 30*. 9. 202,8 см». 10. 1400 см^
13. т •п. 14. 1 : 3, 15. m •п. 16. 7 см и 9 см или 21 см и
3 см. 17. 200 см*. 18. Vis см. 19, На 12 см. 20. На 56,
25%; нет. 21. 420 см*. 22. 12 см. 23. 20 см или 22 см.
24. 124 см. 26. 4 см и 12 см. 27. 1) 4 см; 2) 8,2 см и
4,1см. 29. 1176 см*. 30. 3-^см или 7,5 см; два. 31. 2,2 м*
и 4м=. 32. 150 см*. 33. 4 : 1. 35.
. 36. 0,24 м*.
§ 11.2.
I. 1) - г - ; 2)
^
. 2. 1) да; 2) нет; 3) да. 3. 1) 39 дм;
4
4
аЬ
^2
^
-----2) 82 см; 3) 7=7 Т . 4. — . 5. 1) 2688 см*; 2) 7 V4c* - Ь* ;
•а + о
4
4
3) I0 V2I . 6. 1)
380
2) Зг*.Уз. 7. 6 дм*. 8. 2250 см* или
522 см’ . 9. 55 см и 48 см. 10.12 см или 16 см. 11.1) 1140 см*;
2) 9,6 м. 12.
1
-
15. -; (>/3-1). 16. 75 см*.
4
2тп
17. О*+ (3 + ^ 3 )- 18. 2аЧ у[2-\1 19. 8,4 м*. 20. 6912 см*.
21. 52 см*. 22. 1) 2 м; 2) 112. 23. 1) 130 дм, 125 дм, 15 дм;
2) 18 см, 20 см, 34 см. 24. 144 см. 25. 30 см. 26. 1224 см*.
27. 270 см*. 28. 1) 25 или 39; 2) 14 или 12. 29. 36 кв. ед.
30. 6 см. 31.1) 14 м; 2) 30 м; 3) 40 м. 32. 546 см*, ТГмТ см.
33. 1) 4,8 см; 2) 2 см. 35. 5,25 см*. 36. 7,11 см*. 38. 6 м* и
2^
___________________
12 м*. 40. 90*. 41. Лг = - , где; S =
- а\р - Ь)^р - с) и
а + Ь+ с
12
1
р -------------. 42. 13,44 см*. 43. 12— см, 12 см и 11 - см.
а /2 6 - а
„ 169
,г- . 4в. я - — с»,
44. 4,5 см. 45. Д 10
г —— см. 48. Я - 29 см, г - 12 см. 49. 1 : 3.
§ 11.3.
I. 84 см*. 2. 10 см. 3. 14 см. 4. 20 см. 5. 16 см и 20 см.
7. 408 см*. 8. 540 м*. 9. 73 см*. 10. 1) 10 см; 2) 2 : 3.
II. 24 дм*. 12. 288 см*. 13.
о
14. 540 м*. 15. 1) 256 см*;
с*
я’
а’
2) Л*. 16.
17. 216 см*. 18. 8136 см*. 19.
20.
21. 1) 1764 см*; 150 м*. 22. 48 см. 23. 24 м и 30 м.
(а *- 6 * ^ - 1
25. V______ 1______26. —
4
30.
. 27.450 см. 28. 25 см*. 29.13 см.
*
. 31.
8
35. Л * ^ . 36. 282,24 см*.
33, 96 см*. 34. По 5см.
381
§ 11.4.
1. 5 = -[</,/!,+</,(Л, + Л,)] = 12 га. 3. 1)
2
2
кв; 2) - кв.
4
4. —|а + ьУз I • Ь + аУз I . 5. 426см*. У к а з а н и е . Про­
вести BE L A D и C F 1 AD. в. 1) 8 см; 2) 16 дм. 7. 8 4 7 б см.
8. 28,5 м*. 9. 1)
11. 1)
2) 2г*ТЗ; 3) i ^ s ^ . 10. = 10,7см».
2) 4Д *(2- V 2). 12. 120 см*. 13. а * (3 + 7 з )-
14. 8 : З Т з . 15. а * 7 з . 16.
. 18. ^
: 4 : 6^3.
О
§ 11.5.
6. 3 : 2. 7. 2 : 3. 8. 1 : 2. 9. 16 : 25. 10. 5^ 2 ДМ- И - Т12.
13. 1) 4 : 21 : 56; 2) т* : (2 т + п)п. 14. 1)
2)
3)
16.
17. а * : Ь*. 19. V2 . 20. 10л/2 . 21. 300 дм*.
5
2
.
23. 25 дм*. 24.60 см* и 40 см*. 2 5 .1 :3 .2 6 . (>/з + l ) : 2^2 + -Уз)
2/71/1
Глава 12
1. = 22,5‘ . 2. 1) 144'; 2) 1 ‘ ; 3) 14,4 см. 3. 1)
; 2) —
я
.
71
4. 25 см. 5. 1) = 182 см; 2) = 8 см. 6. 50л. 7. Ч . 8. 2. 9. 0,15%.
4
10. 0,00005 Д. 11. = 4 см. 12. = 0,2826 м*. 13. 1) = 5,1 см*;
кг
яа*
2) = 15 см. 14. 10 см. 15. = 15,7 м*. 16. = 0 ,2 — . 17. — .
см*
4
18.
Ttr
19. = 3,7м*. 20. 1)
или ^ (13я + 6 - б Л ) . 22.
382
6
2)
360
21. ^ П п - Ь - b S )
24
• 23. ^ ( у [ П И + у14-п);
24.
2
я
25.
3
26. 1 : 2. 27. 1) - ( 4 - я ) ;
4
2) ’^ 0 S - n ) ; 3 ) ^ '(2 Л -/г ). 28. ^ (я+6), 29.
3
6
24
6
30.
— • 31. — (2я-3>/3). 33. 625л (кв. ед).
4V
' 2
о
34. 3,77 м /с. 35. 37,7 км/ч. 36. 1720 об./мин. 38. 135 мм
и 80 мм. 39. 450 см, 71,6 см. 40. 1) 10 см; 2) 12 см. 41. Да.
42. 15,81 мм. 43. 180,8*. 44. ^ ( 4 - я ) и j
45. 1) S -
. 46.1)
2) : n j ; 3)
2у12
2)
4я
3V3
49. 1)
-2пЬ^).
; 3)
л
2) 2 : ® ; 3)
п
2п
2л
3 ) j ^ . 51. 1 : 4. 52. 2 : 1. 53. 1)
54. 1) ( ( я -2 )• /? '): 2) ( я - ^ )
. 50. 1)
/?*
^ ; 2)
2
д/
.
3) ( n - ^ ) R\
Глава 13
§ 13.1.
1. 1) да; 2) да. 2. = 26,2 кв. ед.; = 8*36'; = 14*15'; = 157*10'.
3. Равнобедренный прямоугольник. 4. 1) 4; 5; 2) - 3 ; 4.
5. 1) (0; -2 ); (4; 0); 2) (0; 8); (6; 0). 6. 1) 0; - 2 ; 2) 1; 0;
3) ( - ^ ; ^); 4) 1; 2. 7. 90*, 45*. 45*. 9. 1) 17. 11. 1) 17. 12. 1) 2;
2; 2) 13. 13. 1) 4; 4; 2) 13. 14. 1) - 1 ; - 2 ;
15. 1) -4 ; -4 ; 2) 0;
2) 2,5; 0.
16. 1) 2,5; 4; 2) нет. 17. 1) 18; 12;
2) да. 18. 2) 0,5; 0,5. 19. 2) система не имеет решений.
383
20. 2 )V w .2 1 . 1)нет; 2)
• 22. 1. б) да; 2) 753 - 23. УГ?.
24. 1) 45', 45', 90 ; 2) ^85 . 27. Прямые д: - 3 и х - - 3 .
29. Положительную. 30. 1) 1; 2) 3. 31. 1) 3; 2; 2) - 1 ; 3;
3) 1; 1. 32. 1) 2; 3; 2) 3; -5 ; 3) - 4 ; 4. 35. (0; 1); (-2 ; 0);
(-2 ; 1). 36. А В ~ 5 , А С ^ 10, ВС - 5. 37. Точка В. 38. (3; 3)
и (15; 15).
§ 13.2.
I. 1) А; 2) А , В\ 3) Л. С. 2. 1) (х - 1 ) » + (у + 2 ) » - 9
2)(х + 2)^+ (./ - 3)2- 18; 3) X* f у * - 4; 4) (х + Зу<+ (у - 2 f ~ 4
5 ) ( X - 5 )* + (у + 4 ) * - 5; 6 ) (х + 3)* + (у + 3 ) » - 9
7) ( X - 5 ) * + ( у - 2 ) * - 2 5 . 3. 1) ( X - 1 ) » + ( у - 2 ) » - 1
2) ( х + 1 ) » + ( у 4 2 ) * - \ ;
3) (X - 1 ) * + (у + 2 ) » - 1 .
4. 1) не имеют общих точек; 2) не имеют общих точек.
6. 1) (х + 3)^+ (у - 2 У - 2 5 ; 2) нет. 7. 1) да; 2) одну точку.
8. (X - 2)» + (у - 1 - 25. 9.1) нет. 10. 2) (X + 4)» + (у - 2)* - 25.
I I . 2) ( х - 2 ) ‘ + { у + 4 ) '- 2 5 .
12. 2) х ‘ + ( у - 3 ) * - 13.
13. 2) ( х - 3 ) * + у * - 1 3 . 14. Да. 15. Да. 16. 1) (5; 12),
(5; -1 2 ); 2) (5; - 1 2 ) ; ( - 5 ; -1 2 ) . 17. х » + (у - 3 ) * -1 3 .
18. (х + 4 ) * + ( у - 3 ) * - 2 5 .
19. (-2 ; 0) или (4; 0).
20. (X + 1 ) * + (у - 2 ) * - 4 . 2 1 . (X + 3)=*+(у - 4 ) * - 2 5 .
23. (0; 1) и ( - ^ " ) . 24. (17; 0) и (1; 0).
§ 13.3.
3. АВ; 2х - у + 5 - 0; ВС: 2х + у - 9 - 0; ЛС : 2х - 5у - 15 - о
и ЛД,: X - у - 0; ВВ,: 10х - у - 3 - 0; СС,: 2х + 7у - 3 - 0.
4. X - 4 и у - - 3 . 5. X - 5 и у - - 2 .
7 .1 )
=
6. (4; 0); (0; 6).
=
8. X + Зу + 5 - 0; Зх - у + 5 - 0; Зх - у - 5 - 0. 9. 6.
10. х + 2 у - 4 - 0 . 11. X + у - 6 - 0. 12. 2х + у - 8 - 0.
13. 20.
14. 1) 2х - Зу - 23 - 0;
2) Зх + 2у - 2 - 0.
15.X -V 3J/ + 3 + 4^3 - 0. 1 6 .Х -У + 2 - 0 . 17.* - ^ и& 18. 4х - Зу - 27 - 0. 19. 2х - Зу + 4 - 0. 20. Зх - 5у - 27 - О.
384
21, 2 х - Зу+ 4 - 0. 22. tg а - 74 и * - 77.
14 24. 1) * - 74 ;
2)
25. Л
а
-
121*. 26. 135*. 27. 1)
;
Ь - 4; 2) Л- 3; b - 3; 3) * - -1 ; 6 - 3. 28.1) Зх - 4j/ + 8 - 0;
2) J/ - 2* - 3; 3) 5х + у + 3 - 0. 29. А -
30. 1) X - 9; 2) точ-
ка М е прямой, точка Яй прямой; 3) прямая и окруж­
ность общих точек не имеют. 31.1) у - 10; 2 ) А ^ прямой;
В г прямой; 3) прямая и окружность общих точек не име­
ют. 32. 1) 4 кв. ед.; 2) 5х у - 0; 3) имеют одну общую
точку; d - 9. 33. 1) 6 кв. ед; 2) 4,5х - у - 0; 3) имеют одну
общую точку. 34. 1) 1 кв. ед.; 2) 7х - у -Ь3 - 0; 3) имеют две
V2
общие точки; d - — . 35. 1) 13,5 кв. ед.; 2) 5х - 8у - 11 - 0;
■Л
3) имеют две общие точки; d - — . 36. (х - 2)*-t-у * - 1.
_
•
37. Прямая перпендикулярна АВ и проходит через точку
М на отрезке АВ так, что AM - 2,5. 38. 1) х -h у - 5 - 0;
2) Зх -I- 10у - 2 - 0; 3) х + бу
13 - 0. 39. о - Ь - J .
40. 1) (-3; 0) и (0; -| ); 2) (4; 0) и (0; 3); 3) (-2; 0) и (0; 3;)
4) (2,5; 0) и (0; -5). 41. 1) (1; -2); 2) (2; 4); 3) (0,5; -2).
43. (2; ^). 44. 1) и 6); 2) и 3); 4) и 5). 45. х - 2. 46. у - 3.
47. 1) 45’; 2) 60*; 3) 30’. 48. 1) (0; 1) и (-1; 0); 2) (0; 1) и
(-| ; -| ). 49. 1) |c|(V2; 2) \с\)л[2 ; 3) с ± Л . 50. 1) 4 кв.
ед.; 2) 9 кв. ед; 3) 40 кв. ед.; 4) 36 кв. ед.; 5) 32 кв. ед.
51. 1) I ; 2) ^ ; 3) -2; 4) ^ ; 5) 0. 52. 1) = 26'34'; 2) « 63‘26';
3) -106*42'. 53. 1) У -7 3 л : + 2 Л ; У ~ ~ S
У~--4ъ х- 2 ^ \
25 — К. X. Абдуллаев и др.
х
+ 2^
2) х + 7 з У - 2 ^ /3 - 0 ;
385
х-^у[ЗУ + 2^3 - 0 ; х -7 з У + 2 ^ 3 -0 ; х - ^ У - ^ ^ - О .
54.1) -2 ; 2) 3 или -3 , 55.1) у + 2 - 0; 2) х + у + 1 - 0; 3) х - 1,
5в. 1) X - у + 1 - 0; 2) X - 5у - 7 - 0; 3) Зх + у - 5 - 0;
4 ) х - у - 0 ; 5) Зх + у + 1 1 - 0 ; 6) х - Зу - 3 - 0;
7) X + Зу + 1 - 0; 8) 5х + у + 5 - 0. 57.1) (-5; -4); 2) (-9; -10).
58. 1) б кв. ед; 2) 3,75 кв. ед.; 3) 3,25 кв. ед.; 4) 3,5 кв.
ед. 59. 1) =17,25; 2) -13,48.
§ 13.4.
у*
2. 1)
х’
v’
9
16
V*
Х^
V*
X* V*
х’ у’
JT* V*
=1: 2) — + ^ = 1; 3) — + ^ = 1; 4) — + ^ = 1.
'
9
36
' 28
64
^
36
100
3. 1) а - 4. Ь - 3; (4; 0), (-4; 0), (0; 3), (0; -3); F,( ^7 ; 0).
^’,(->/7 ; 0); 2) а - 3 , <)-4; (3; 0), (-3; 0), (0; 4), (0; -4);
^■,(0; Л ). F,(0; - >/7 ); 3) а - 1 , Ь-3; ( ^ ; 0), ( - 1 ; 0), (0; 3),
(0; -3); F,(0; Щ ), F,(0; ^
(0; |), (0; - | ) ; F , ( ^ ; 0),
(^ ; 0),
0), (0; ^), (0;
); 4) а-2, Ь -1 ; (2; 0), (-2; 0),
0); 5) а 0),
6) а - 2, b - 1; (2; 0), ( - 2; 0), (0; 1), (0; - 1); F,(
60);
0),
Л ; 0); 4. ^ + ^ = 1. 5. 2a - 10, 2b - 6, 2c - 8; F,(4; 0),
11. 2a - 14, 2b - 10; F,(2 ^6 ; 0), F,(-2 7б ; 0). 12. y + ^ = 1.
13. (-3; j ) , (-3; -| ). 14. x*+ 3y*- 164). 15. 3 и 7 . 16. ( ^ ; 2 ) ,
386
2
2,.
-2). ( - 4 I: - 2). .7.
2
2
.
a^
Зл:-У - 1 2 -0 . 20. При Л < 5
или R > б не пересекаются; при Д - 5 или Л - 6 — 2 точ­
ки пересечения; при 5 < Я < 6 — 4 точки пересечения.
21.
+
8
=
22. (- 2 ; -3 ). (2; 3), ( - 2 ; 3).
4
и'
х' у'
jc' у’
^ j= 1 .2 5 .1 )^ j + ^ - . l ; 2 ) - 4 - ^ = 1 . 2 e , l ) 4 ; 2) 5.
9 25
у'
г’ у'
27. 1) — + — = 1; 2) —+ ^ = 1.
М б 12
' 12 16
23.
§ 13.5.
1. 1) (15; 8 ^ 2 ). (15; - 8 Л ) ; 2) (5; 0), ( -5 ; 0); 3) не
существуют: 4) (5 ^2 : 4, (5 ^2 ; ~4). (-5 ^2 : 4). (-5 ^2 : “ 4).
4. 1) =67*23'; 2) 24 кв. ед. 5. v “ 7T = ‘ О
х’
J C »-y »-4 ;
9
у’
х'
у'
х'
у'
8 . 1 ) i - ^ =- , ; 2 ) ^ - ^ = - l .9 .1 ) a - 4 ,6 - 3 ; 2 ) а - ^ .
6 -1 ; 3 )а -3 ,Ь -1 ;4 )а -7 ,Ь - !;5 )a -2 ,fe -2 ;6 )a -4 .
4
3
Ь - 3. 10. 1) а - 4. ft - 3; 2) F,(5; 0), Fj(-5; 0); 3) (4; 0). (-4 ; 0);
4) у = ± | х . 11. 1) &- 4. а - 3; 2) (0 ;-4 ), (0; 4); 3) F,(0; 5).
F,(0; - 5 ) ; 4) У = ± ^ х . 12.
14. F,(5; 0). F ,(-5; 0); (4; 0), (-4 ; 0);
‘
3
15.
= 1.
387
16.
дг* V*
— -9 + W5
17. а - h. 18. 1) нет; 2 )(-1 + 3 ^ ; -----
(-1 -з 7 з ; —
20.
3) (5; ^ )
=
23.
25
21.
7 = *- 22. (-6; 4^3) и (-6 -4 ^ 3 )=
16
— точка касания.
24.
144
25
§ 13.6.
1. (-1; -2). 2. 1) (0; 1). х - 0; 2) (-1; 2). х - -1 ; 3) (2; 1).
х - 2 ; 4)
X
- * . 5. 1) (1; 1); 2) (0; -1 ). (-1; -3);
3) (4; 7). (1; 1). 6. 1) Ле Д; 2) |к| < 4. 7. 1) у - (х - 2)*+ 1;
2) у - - 2 ( х - 4 ) * + 3. 8. 1) х * - 8у; 2) х * --1 2 у ; 3) у * - 6х;
4) у^ ^ -Ю у. 9. х * --1 2 у . 10. у * --2 4 х . 11. х *-1 б у .
12. X * - |у. 13. 1) (0; 0), (5; 0); 2) (0; 0). (0; 3); 3) (0; 0).
(-2.5; 0): 4) (0; 0). (^; 0); 5) (0; 0), (0; -1); 6) (0; 0), (0; ^).
15. х - - у . 16. у * + 9 х - 3 6 - 0 . 17. у ^ -1 ,8 х . 18. у > -8х.
19. у * - - 1 2 ( - х - 3). 20. у * -4 х . 21. (у - 5 ) * - 8(х + 4).
22. (у + 4)*- -4(х + 2); ( - 6; 0). 23. 1) (0; 0). (4; 4); 2) (0; 0).
(-4; 4); 3) (4; 4). (-2 ; 1); 4) (2; 2). (8; 16). 24. (4; 2).
25. { - А ,
4
2
4
2
26- ( - 6; 9); (10; 9); (х - 2 )* - 16(i/ - 5).
27. X - 2|/+ 6 - 0.
Г л а в а 14
§ 14.1.
1. Да. 2. 1) А С -Ь ; 2) СА; 3) 0; 4) 0. 3. Ь -а , ^ (а -Ь ),
а + Ь, - —( а - Ь ) . 4. Ь - а , а - Ь , Ь —2а, а - -Ь ,Ь - 2а.
388
5. 2а + 2b
• + Ь ~ 2®’
^
1) ^ “ i 1 •
2) itl > 1; 3) к < 1. 12. 1) n ; 2) - - . 13. -^ P M ,
'
5
H
2
14. 1) ± ,^; 2) n . 15.-2CB. 17. b - a , a - b. b - 2a.
!a|
И
6 14.2.
1. 1) c ( -3 ; 19); d (-6 ; 1); 2) a и c. b и d. 2. 1) к (27; 13),
p (1; 7); 2) все, кроме n и p. 3. 1) 3i + lOj; 2) a и c, b и d.
4. 1) p - -6 i + oj; 2) m и n; m и p; n и p; n и k, p и k.
5. 1) AO - -2 i + j; 2) 90\ 6. 1) lOi + j; 2) 180*. 7. b - a; -a ;
a - b ; b - 2 a . 9. 11; 1. 10. -6 . 11. -1 4 . 12. ( - ^ ; ^ ) .
13. 8i + 6j. 14. 1) Si; 2) 6i + 8j; 3) 6i; 4) 6i; 5) -6i; 6) -6 i + 8j.
15. 1)
a + ^ b; 2) i (a + b); 3) a; 4) ^ (a - b); 5 ) - ^ (a + b);
3
6) a + b; 7)
1
4
1
~2*"2
+
’
16. 1) 45* и 45’; 2) 45' и 135’; 3) - 5619' и * 33‘4Г; 4) - 36’52'
и » 126 52'. 17.1)ОА(-1; 2), АВ (5; 3), BD (-2; 1); 2) ОВ (4; 5),
АС(0; -5 ). ВС(-5; -8). 18. 1) (0; 1); 2) (-2 ; 0); 3) (-5 ; -3 );
4) (-1 ; -1). 19. 0. 20. Нет. 21. 5; З^З- 22. 1) да; 2) да.
23. 1) да; 2) да. 24. 1) параллелограмм; 2) квадрат.
25. m - ± 12, п - ± 7. 28. 1) с (-3 ; 4), |с|- 5; 2) с (-6 ; 8),
С - 10. 29. 1) с(5; -1 2 ),
\с\-
13; 2) с (-6 ; 8), [с\ - 10.
31. с(-6 ; -8 ), |с|-10. 32. 1) ± ^ ; 2) ± 1 ; 3) ± ^ . 33. ш - 2.
34. Я = —1 •Ц~ 0. 35. а. с и d - единичные векторы, a n d —
коллинеарны. 36. I (0,6; 0,8). 37. (2; -3 ).
§ 14.3.
2. 90". 3. У к а з а н и е : |а + Ь|*-(а + Ь)*; >/3 . 4. 30*.
5. COSЛ - 0,6, COS В - О, cos С - 0,8. 6. ZA - 30’, ZB - 60",
389
АС - 90\ 8. - - . 9. X - -1. 14. 1) 0; 2; 0; 2) 48‘; 16‘ ; 16\
15. 1) 0. 3, -4 ; 2) 56\ * 30*31'. 16. 0.2. 17. 1) 56,0; 2) л:,- О,
х - 3 ; *113'12' или =104*2'. 18. у ~ 2 , у ,- - 3 ; =107*6',
= 117*54'. 19. 1) центр расположен вне треугольника;
2) А(0; 2). 20. 1) центр расположен внутри треугольника;
2) £(1; 0). 21. 1) 7 см. 2 2 . ^ см. 23. 135*. 24. 1) m - -4а + 2Ь
или ш - -1а - 2Ь. 25.1) С£ - 2 см; 2) 5д = - кв. ед. 26.1)
2) 2 кв. ед. 27. -1 и
;
28. 1) 90*; 2) 0 < ф < 9 0 ‘ ;
3) 90*<ф<180*; 4) -а*; 5) ка*. 29. 45*. 30. 2^3- 31. 6.
3
3
32. 1) cos ф - j ; 2) COSФ- ~ . 33. 25 кв. ед. 34. 3. 35. 1) да;
2) да. 36. 1) « 2,23 м/сек, = 26*34'; 2) » 5м/сек, = 53*8'.
37. 1) 45*; 2) 45*; 3) =34*42'; 4) » 13Г44'; 5) =105*15'.
38. « 5*54'. = 122*28'. = 49*24'.
§ 14.4.
5. сов А -
6.
BD-2(b-a),
AD
- ^b8
8
(-о о ;
О) и (1; “ ). 7. (-оо; -1) U (0; 2). 8.
4.
A D --b --a .9 .
AB-ga-gb,
а , MN- b - a. B D - ^ b - ^ a . 10. 5 кв. ед.
Z
л
11. 120*. 12. DK - -A B - AD. 1DK| : \AB\ =
14
К В .6Д .
16.
-sS
____
. 13. -29;
14. -1.5. 15. AB - 5. S - 5 кв. е д . , ом = 2.5 •
-. 17. 3(0*+ ft* -с*). 18. 0. 19. cos a =— /— ■ 21. c*.
vio
29
22. S - у
390
2
KB.
ед. 23. S - 20
kb.
ед.
Глава 16
§ 16.3.
2R{ p - b)
Y T r T T ? ' ^ ' 1 ^ - ^ ' ylR^Mp-n)^
"
lR^-{p~bf *
где P = — у — ; R ~ ^ p ( p . „ ^ p . b ) ( p - c ) - 5- V / ? 4 5 - / f .
k + l + ni
6. ( P - a ) r ,
7-
где
/>=
2
8- т:г^- 9.
I
■Jp{p-(t)(p-b)(p-c)
!
^--------------•
10. - . 11. 2 ^ ;
2Rr
2 r ,^ ^ ,
'Jab
>»• Ш Т 7 7 7 -
a
^ 7 Г ь - >>• 5-
16. Возможны три круга радиусами: —(.R+ r) ;
R
•^(/f + O . 17./?V2A
V
19- " J a U b ^ - l b y l a ^ - A d ^ .
4fl
5
20. г(л /б±> /2± 1). 21. (т»'»+л*^»)='/*. 22. ^5, 24.
25.
V
29. ^V t3. 30. ^ ( 3 ( а '+ Ь ') - 2 6 ^ 2 ( а '+ Ь ') ) . 31.
8
32. — . 33.
a
3
7
-
34. т п Я . 35.
a+b
5
. 23. 6.4.
26. 2 ( 2 - S ) a . 27. 5. 28.
2
2
R + г;
^
^
40. ( Д + V ^ + V ^ y -
-
a+b
о
Л+ Г
.
. 36. > / 2 - 1 .
+
41.
42.
391
± ,± -±
j h^ h, h^
± , ± . ±
1*2
*3
44. ■^•^(//1, + »ii + WjK«i, + wij - //tjX'Hj + «>3 ~ »>,К'ч, + «*1 ~ »ii).
45. 2S.
46. sin^ = T—
2 b+a '
47. cosa-
48. 2^/?'-fl'/?4^sin*2a . 49.
51.
56.
4
52. E F - B C . 53.
R+ r
. 50. у ( я + 3-3>/3).
54. 3a. 55,
a + /»
W . 57. г Д ^ Г Т ) . 58.
8
59. Vl25:5.
^3
^
*4^6
60. — (9 + 3V5). 61. ——. 62. Центр описанного круга лео
3
жит внутри трапеции; 5
A D -6;S -5^ .
64. -кав.
66.
^ЫЬ + с ) .
67.
gg
2 № ja W fS I i> .
3
. 63. ЛВ - CD - 2; ВС- 4 ;
65.
+ 2аг - г(а й 4г) •
68.
AO:OD~yf2.
70.
^-Лз.
а +6
4
71
5
nuФ
. n-- 445
V . 72
-«Х />-*Х р-с) .
71. •>«„------^
— n
при
72. М / >--------------------
75.
392
= a r c s in - i ;
5
= arcsin |
5
. 76.
f
Л1+ /I
78.
n .D O -.B O -^ .
80.
wi* +н*
Я+ г
81. А ^ с ы ' .
=
82. AC:BD ~ ^
•83. а = arcff —j - . 84. DM - 10 см;
AM - 4 см или DM - 12 см; AM —2 см. 85. 4 см* или 2см*.
а /
>----------- (о + 6)а6
8в. - > № + 2а* - а’ ) .
89.
RrJl
87. 6 см*.
Г-90-
88. ~ 2 (Г -^
-U .
39
93. >-:х = 3 - Л • 94.
’
= 42jm^. 95. 70\ 96. ZA - 90';
3
4
ZB -arccos^ ; Z C -a rccos^ .
________ 25________
97. 24 + 4<2>/б-2>/2->/з) ‘
98. 3.99. 6- ^ Л . 100. 7 3 -1 - 1013
4
102. 2,4 кв.ед.
103. I . 104. 7,2 кв.ед. 105. 5 кв. ед. 106. ^
=
^л1к
8
107.
J КВ.
ед.
108. ЛС: В С -| > /б.
. 111. (> /5 ,+ 7 ^ )^ 112. а-"‘
*
а + Ь’
110. DC : BD
atg -
° 4
2sin-
109.
Г
113. , . а . 114. М
117. Rr.
V
118. 13 и 15.
121. а*-с(с + 6).
119.
1 2 2 .6 * -
2
I
2100
169 •
С08 Д
I
С08 Л ^
393
СжЯ
2
У
сое А
—
Y ----С08 А
4 p sm (--(p )
2р
С - . +<Р; а = -T.I.
3
4 /> s in (" + < p )
^ ^ ^ —
V3(l + 2cos<())
3
г=
l + 2cos«>
.^/3(l + 2cosv>) ’
124. Я -2 А ; п - 2 В \ Л - 2 С - 125. А = ^ +arcsin(*'^^);
о
^
*
Т ‘ Т"2
126.
/ sin V .
<(> 1
sin о
— - ) ; С = ^ - - arcs.n( - ^ ) .
две другие стороны —
127. - . 128. У к а з а н и е . Спроектировать ломаную ОЛС
и ее замыкающую ОС, затем ломаную ОАС'и ее замыкаю­
щую ОС' на ОА' и на OB'
СО3
аа'
0=
+ (аЬ'
+ a 'b ^ c o s а + ЬЬ'
+ Ь* + 2abcosa
+ (б')* + 2o't»'cosa
129. ctg а = ctg А + ctg В + ctg С. 130. 90'.
sin С
131. cfgZCAD = c/gA + —
sin/tsmd
133. 15-; 105*.
138
134. ^ 7 7 ^ .
A'i + 'i)
jR '* r-± j6 R 'r'-r‘ -R'
2
'■/2
j о
132. 777- V 7 COS 2 •
(v'i+v'j)
2
135.
,3 ,
cosa
„
4«6r
138. 4nVrVcos’ ^ . 139. cosZ45g= у .
^
.
2
2>/2t' +2я’ - A’ •V2c’ +2i' - д’
4
394
п
1
2
2
--------- arcsin^
Г4
a cosa + b
-tga . 142. O P -------:----- ; O Q -
-
sin a
П ,
cos a
, 43. ,('’ ♦ '5 2. 144. Бел» B >C ,
a
sina
„
bcosa + a
/*+fl’ V2
^
4
n
--- ------arccosUl VV4/i>
C—
MIWVV/J
.
(;
TO В - — 4-arccos--------;—
2 fl'
2
_ 2 7 c o s ’ ;0
2
165-229sin*/3 '
25/^a - 43rgfl •
^
149. 4 ( / ? , Ч л л + /?=)•
2a
sin 2(g - ^)cos(a -
■
148.
t^+a^yfl
)sin /3
sina
2r^in’ (a + ^)sin^
-------- ------------- .
25
l + cosa + V3 sina
151. sin A : sin Д : sinC = Vs : 2V 2 : 3.
152.
395
ОГЛАВЛЕНИЕ
От авторов ........................................................................ 3
Глава 1. Треугольники ................................................... 5
§ 1.1. Прямая л и н и я ..................................................6
§ 1.2. Смежные и вертикальные у г л ы ................9
§ 1.3. Признаки равенства
тр еугол ьн и к ов............................................................... 13
§ 1.4. Зависим ость между сторонами и
углами треугольника. Перпендикуляр и
наклонные. Признаки равенства пря.мо
угольны х тр еу гол ь н и к ов.......................................... 17
§ 1.5. Геометрические места т о ч е к ..................... 21
§ 1.6. Четырехугольники.
М ногоугольники............................................................ 22
Глава 2. Г еом етрические построения
с пом ощ ью циркуля и л и н ей ки .................................. 25
Глава 3. П араллельны е п р я м ы е .............................. 28
§ 3 .1 . Признаки параллельности
прямых ............................................................................
§ 3 .2 . Углы с соответствен н о параллель­
ными или соответственно перпендикуляр­
ными стор он а м и ...........................................................
§ 3 .3 . Сум.ма углов треугольника ......................
§ 3 .4 . Сумма углов вы пуклого
п -у гол ь н и к а ...................................................................
28
33
36
42
Глава 4. Ч еты р ех у гол ь н и к и ....................................... 4 5
§
§
§
§
§
§
§
396
4 .1 .
4 .2 .
4.3.
4.4.
4 .5 .
4.6 .
4 .7 .
Параллелограмм и его св ой ств а ............
П рямоугольник и его св о й ств а ...............
Ромб и его свойства ...................................
Квадрат и его свойства .............................
Трапеция ..........................................................
Средняя линия треугольника .................
Средняя линия тр ап ец и и ..........................
46
51
54
57
59
63
66
Глава 5. О круж ность и круг ...................................... 71
§ 5.1. Диаметр, хорда и ее расстояние
от центра. Секущая и касательн ая.....................
§ 5.2. Взаимное располож ение двух
окруж ностей...................................................................
§ 5.3. Измерение углов д у га м и ............................
§ 5.4. Вписанные и описанные
треугольники и четырехугольники .....................
72
78
81
86
Глава 6. Движение ......................................................... 92
Глава 7. П одобие фигур .............................................. 100
§ 7.1. Подобие тр е у го л ь н и к о в ............................101
§ 7.2. Подобие м н огоу гол ьн и к ов .......................108
§ 7.3. Пропорциональные отрезки.
Свойства биссектрисы внутреннего и
внешнего угла треугол ьн и к а................................. 111
§ 7.4. М етрические соотнош ения
в прямоугольном треугольнике.
Теорема П иф агора...................................................... 117
§ 7.5. Смешанные задачи
на прямоугольный тр еу гол ь н и к ........................... 126
§ 7.6. Пропорциональные отрезки
в круге............................................................................. 13 3
§ 7.7. Косоугольный треугольник.
Свойства длин диагоналей параллелограмма
и трапец ии......... ........................................................... 1 3 9
Глава 8. Задачи па построение ............................... 1 4 6
Глава 9. Т ригоном етрические функции
остр ого угла ...................................................................... 1 5 4
§ 9.1. Решение прямоугольных
треугольников.............................................................. 1 5 5
§ 9.2. Теоремы косин усов и с и н у со в ................ 1 6 2
§ 9.3. Теоремы Стюарта, Менелая и Ч е в ы ...... 1 6 7
Глава 10. П равильные м ногоугольники .............. 1 7 1
§ 10.1. Общие понятия о правильных
м ногоугольн иках......................................................... 1 7 2
397
§ 10.2. Выражение сторон правильных
п-угольников через радиусы вписанного
или описанного круга......................................... 176
Глава 11. Площади плоских ф и гур..................... 184
§ 11.1. Площади квадрата,прямоугольника,
параллелограмма и ромба.................................. 185
§ 11.2. Площадь треугольника........................194
§ 11.3. Площадь трапеции...............................203
§ 11.4. Площади многоугольников................ 208
§ 11.5. Отношение площадей подобных
фигур.......................................................................213
Глава 12. Длина окружности и площадь
круга ............................................................................220
Глава 13. Декартова система координат...........232
§ 13.1. Расстояние между двумя точками.
Деление отрезка в данном отношении............233
§ 13.2. Уравнение окруж ности....................... 245
§ 13.3. Уравнение прямой................................251
§ 13.4. Уравнение эллипса...............................262
§ 13.5. Гипербола ............................................... 267
§ 13.6. Парабола................................................ 274
Глава 14. Векторы ...................................................279
§ 14.1. Действия над векторами
в геометрической форме......................................279
§ 14.2. Действия над векторами
в координатной форме......................................... 295
§ 14.3. Скалярное произведение векторов
и его применение................................................. 302
§ 14.4. Решение геометрических задач
векторным методом....... ..................................... 310
Глава 15. Геометрические построевия .............. 316
Глава 1в. Задачи повышенной трудвостя ..........331
§ 16.1. Задачи на доказательство...................331
§ 16.2. Задачи на построение..........................340
§ 16.3. Задачи на вычисление.........................345
О тветы ........................................................................ 368
398
Учебное издание
1АБДУЛЛЛЕВ КОСИМАЛИ ХУСИ^НОВИЧ I.
ЗМИЕВСКАЯ ЛЮДМИЛА ЕФИМОВНА.
НИЗАМЕТДИНОВА МИСБОХАТ АНВАРОВНА.
ХУСАНОВ ЖУМАНАЗАР ХУСДНОВИЧ
СБОРНИК з а д а ч п о г е о м е т р и и
Планиметрия
Экспериментальный задачник
для академических лицеев
с углубленным изучением математики
Ташкент *9цитувчи» 2004
Зав. редакцией Г. Полещинова
Редакторы Г. И. Александрова, О. Вульф
Художественный редактор М. Кудряшова
Технический редактор Т. Грешникова
Компьютерная верстка Г. Полещиковой
Корректор В. Тараненко
И Б8284
Подписано в печать с оригинала-макета 2.02.2004. Фо)’“ *’ ^
84х108*/„. Кегль 11 н/шпон. Гарнитура Школьная.
чать офсетная. Печатные листы 25,0. у^л. п. л. 21‘
Изд. л. 21,0. Тираж 5 000 экз. Заказ N«197.
Издательство «1^китувчи*. Ташкент, 129 ул. Навои )^®'
Договор № 14Л27-03.
Книжно-журнальная фабрика Узбекского агентства п^Му*
чати и информации. Ташкент, массив Юнусабвд, уя.
радова, д. 1. 2004.