IX Республиканская олимпиада имени А. М. Красникова МАТЕМАТИКА 9 класс Заочный тур Задание №1. Решить уравнение в целых числах: 2у²-2x²+3xy-2y+x=2; Задание №2. На какое целое положительное число надо разделить 180, чтобы остаток от деления составлял 25% от частного? Задание №3. Решить уравнения x³-6x²-39x-10=0 и x³+x²-20x-50=0 воспользовавшись тем , что один из корней первого уравнения в два раза больше одного из корней второго уравнения. Задание №4. Пусть max{f(x), g(x)} обозначает наибольшее из значений функции f(x) и g(x) для данного x. Найдите все x для которых выполняется неравенство max { 1/x; 5x-4 }≥x². Задание №5. Некоторое двузначное число кратно трем. Если между его цифрами вставить 0 и к полученному трехзначному числу прибавить удвоенную цифру его сотен, то получится число, в 9 раз большее первоначального. Найдите исходное двузначное число. Задание №6. На окружности расставлены 20 точек. За ход разрешается соединить любые две из них отрезком, не пересекающим отрезков, проведенных ранее. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет и при какой стратегии? Задание №7. Квадратная площадь размером 100x100 выложена квадратными плитами 1x1 четырех цветов: белого, красного, черного и серого - так , что никакие две плиты одинакового цвета не соприкасаются друг с другом ( т.е. не имеют общей стороны или вершины ). Сколько может быть красных плит? Задание №8. Из одного и того же пункта одновременно в одном направлении по прямолинейному участку шоссе с постоянными, но различными скоростями вышли два пешехода. Через 2 ч расстояние между ними было S км. После этого пешеходы стали идти быстрее и затрачивать на каждый километр пути на 10 мин меньше. Еще через 2 ч расстояние между ними стало 3S км. Найдите расстояния, пройденные пешеходами за первые два часа. Задание №9. Прямая, параллельная основаниям данной прямоугольной трапеции, рассекает ее на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Найти основания исходной трапеции, если ее боковые стороны равны c и d, причем c<d. Задание №10. Из каждой вершины, принадлежащей основанию равностороннего треугольника со стороной a , проведены во внутреннюю область треугольника по два луча, образующих с основанием треугольника углы 15°и 30°. Найти площадь четырехугольника, вершинами которого являются точки пересечения построенных лучей.