Дальневосточный федеральный университет
Политехнический институт
А.А. Бочарова, Н.Ю. Зайко
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
Учебное электронное издание
Учебное пособие для вузов
Владивосток
2022
Дальневосточный федеральный университет
Политехнический институт
А.А. Бочарова, Н.Ю. Зайко
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
Учебное электронное издание
Учебное пособие для вузов
Владивосток
Издательство Дальневосточного федерального университета
2022
УДК 621.372:51(075.8)
ББК 32.811.3:22.1я73
Б72
Рецензенты: Н.А. Луценко, д.ф.-м.н., заведующий лабораторией Института автоматики и процессов управления (ДВО РАН, Владивосток); В.В. Петросьянц, к.т.н., профессор Департамента электроники, телекоммуникаций и приборостроения Политехнического института (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток).
Авторы
Бочарова Анна Альбертовна, к.ф.-м.н., доцент
Зайко Надежда Юрьевна, старший преподаватель
Отделение машиностроения, морской техники и транспорта
Инженерного департамента Политехнического института
Дальневосточный федеральный университет (Владивосток)
Бочарова А.А., Зайко Н.Ю. Математические основы обработки сигналов: учебное пособие
для вузов / Политехнический институт ДВФУ. – Владивосток: Изд-во Дальневост. федерал. ун-та,
2022. – 1 CD. [80 с.]. – Систем. требования: Adobe Acrobat Reader, Foxit Reader либо другой их
аналог. – ISBN 978-5-7444-5296-4. – Текст: электронный.
В учебном пособии рассматриваются математические методы анализа и преобразования непрерывных сигналов: разложение в ряды по ортогональным системам функций, полиномы Лежандра,
Чебышева, функции Радемахера, Уолша, непрерывное преобразование Фурье, вейвлетпреобразование, фильтры, а также дискретизация сигналов, дискретное преобразование Фурье,
теорема Котельникова. Изложены теоретические основы рассматриваемых методов, подробно
рассмотрены примеры преобразований с использованием вычислительной системы Mathcad Prime.
Учебное пособие предназначено для магистрантов направления подготовки 11.04.02
Инфокоммуникационные технологии и системы связи, изучающих дисциплину «Специальные главы
прикладной математики».
Ключевые слова: цифровая обработка сигналов, преобразование Фурье, вейвлетпреобразование, частотно-временной анализ.
Keywords: digital signal processing, Fourier transform, wavelet transform, time-frequency analysis.
Редактор И.А. Гончарук
Компьютерная верстка Г.П. Писаревой
Дизайн CD Г.П. Писаревой
Опубликовано: 30.06.2022
Формат PDF
Объем 6,1 МБ [Усл. печ. л. 9,3]
Тираж 10 экз.
Издание подготовлено редакционно-издательским отделом
Политехнического института ДВФУ
[Кампус ДВФУ, корп. С, каб. 714]
Дальневосточный федеральный университет
690922, Владивосток, о. Русский, пос. Аякс, 10
Изготовитель CD: Дальневосточный федеральный университет
(типография Издательства ДВФУ
690091, Владивосток, ул. Пушкинская, 10)
Защищено от копирования
© ФГАОУ ВО «ДВФУ», 2022
ISBN 978-5-7444-5296-4
2
ВВЕДЕНИЕ
Анализ и обработка сигналов в настоящее время имеют важную практическую значимость для таких современных технологий, как телекоммуникации, обработка аудио- и видеосигналов, управление техническими системами, навигация аэрокосмических объектов, связь,
биомедицинские технологии.
В данном пособии компактно изложены теоретические сведения по математическим
основам обработки сигналов: разложение в ряды по ортогональным системам функций,
полиномы Лежандра, Чебышева, функции Радемахера, Уолша, преобразование Фурье,
вейвлет-преобразование, фильтрация на примере обработки аналоговых сигналов.
Рассматриваются математические основы дискретизации аналоговых сигналов по времени,
квантования по уровню, дискретное преобразование Фурье, теорема Котельникова.
Теоретический материал сопровождается большим количеством примеров, выполненных
с помощью системы компьютерной математики Mathcad Prime. Применение вычислительной
системы Mathcad обусловлено простотой ее использования, не требующей специальных
навыков программирования, что позволяет закрепить теоретические знания и расширить
знакомство с современными вычислительными методами, применяющимися для обработки
различных сигналов. При подготовке пособия и отборе материала авторы руководствовались
задачей формирования у обучающихся практических навыков применения основных
методов и алгоритмов анализа и обработки сигналов на основе современных
вычислительных средств.
В настоящее время имеется большое количество учебников и учебных пособий, интернет-ресурсов по различным разделам, относящимся к математическим основам обработки
аналоговых и цифровых сигналов. В списке литературы и тексте пособия приводятся ссылки
на интернет-ресурсы, содержащие дополнительные сведения по соответствующим разделам.
Учебное пособие рекомендуется студентам, обучающимся по направлению
подготовки 11.04.02 Инфокоммуникационные технологии и системы связи, а также
по другим направлениям, учебный план которых предусматривает изучение дисциплин,
связанных с математическими основами обработки сигналов. Материалы пособия могут
быть использованы студентами при выполнении самостоятельной работы, контрольных
заданий и проектов.
3
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
Анализ математических аспектов обработки сигналов имеет важное практическое значение для повышения эффективности функционирования таких технических информационных систем, как системы связи, управления, биоинженерные системы.
Передаваемая информация отображается в виде сигнала, который преобразуется к виду
наиболее удобному и надежному для передачи по каналам связи. Сигнал как функция времени
– x(t) может быть аналоговым (непрерывным) и дискретным, заданным в виде набора значений
или измерений в фиксированные моменты времени. Аналоговый сигнал описывается непрерывной или кусочно-непрерывной функцией. Рассматриваются модели детерминированных
сигналов, значение которых в любой момент времени точно определено.
Удобная математическая модель сигнала – его представление в виде суммы бесконечного ряда базисных функций, которые представляют собой ортогональную систему функций.
РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛА ПО СИСТЕМЕ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
Скалярным произведением функций f(x) и g(x), непрерывных и интегрируемых с квадратом на [a,b], называется
b
( f , g ) (x) f ( x) g ( x)dx ,
a
(1)
здесь весовая функция (x) непрерывна на (a,b), говорят, что функции f(x) и g(x) принадлежат
функциональному пространству L2 (R) на множестве вещественных чисел R.
Справедливы следующие свойства скалярного произведения.
1. ( f1 , f 2 ) = ( f 2 , f1 ) .
2. ( 1 f1 2 f 2 , q ) = 1 ( f1 , q) + 2 ( f 2 , q) .
2. ( f , f ) =
b
a ( x) f
2
( x)dx 0 , (x) > 0.
3. f ( x) ( f , f ) называется нормой функции f(x).
Если норма f ( x) 1, то функция называется нормированной.
Функции f(x) и g(x) называются ортогональными, если их скалярное произведение (f,g) = 0.
b
( f , g ) (x) f ( x) g ( x)dx .
a
Система функций
(2)
n (x), n = 1, 2, … называется ортогональной, если:
0, n m
.
0, n m
Примеры ортогональных систем функций: n x sin nx ; cos nx с весом (x) 1 , на
( n , m ) =
отрезке [- ; ].
Представим сигнал f(x) в виде обобщенного ряда Фурье по ортогональной системе базисных функций
n ( x) :
f(x) =
a
n 1
n
n
( x) ,
(3)
здесь коэффициенты an составляют дискретный спектр сигнала, само разложение называется
спектральным и представляет собой метод спектрального анализа, который широко применяется в различных инженерно-технических приложениях.
4
Выведем формулы для коэффициентов обобщенного ряда Фурье. Домножим обе части
равенства (4) скалярно на m (x) и согласно определению получим:
(f, m ) =
если система функций
an ( n , m ) am ( m , m ) ,
am
n 1
( f , m )
;
|| m ||2
(4)
n нормированная, то коэффициенты будут равны: an ( f , n )
n
Ряд (4) сходится равномерно, если | f(x) – ak k ( x) | 0 .
n
k 1
Ряд (4) сходится в смысле среднего квадратического, если норма
n
||f(x)- ak k ( x) || 0
n
k 1
x [a;b].
(5)
Можно показать, что минимальное значение нормы (5) достигается при коэффициентах
Фурье. Пусть || k || = 1 для k, тогда:
n
n
n
k 1
k 1
|| f- ak k || = (f – ak k )( f – ak k ) = (f, f)+
2
k 1
n
n
n
n
k 1
k 1
k 1
a k 2 – 2 ak ( f , k ) + ( f , k ) 2 –
n
n
n
k 1
k 1
k 1
( f , k ) 2 = (( f , k ) ak ) 2 + (f, f) – ( f , k ) 2 = (f, f) – ak 2 .
k 1
Условие сходимости в смысле среднего квадратического:
n
|| f –
n
ak k || n 0
(f, f) – ak 2 0.
k 1
Значит, верно, что (f, f) =
ak
2
k 1
n
– равенство Парсеваля – выполняется для любой ин-
k 1
тегрируемой с квадратом функции f(x).
Примеры ортогональных систем функций – классические ортогональные полиномы Чебышева, Лежандра, Лагерра, Эрмита, которые используются при решении задач математической физики, аппроксимации функций, построении квадратурных формул, в задачах фильтрации сигналов, теории антенн, теории управления.
Разложение сигналов по системе гармонических базисных функций n x sin nx ;
cos nx ; e jnx называется гармоническим спектральным анализом.
Полнота системы функций
Ортогональная на [a,b] система функций называется полной, если для всякой интегрируемой с квадратом на [a,b] функции f(x) ее ряд Фурье по системе этих функций сходится в
смысле среднего квадратического. В этом случае система функций образует базис в пространстве функций, интегрируемых с квадратом. Необходимое и достаточное условие полноты системы функций – выполнение равенства Парсеваля для любой функции, принадлежащей
этому пространству.
5
ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
Полиномы Лежандра образуют полную систему ортогональных полиномов, которые
являются ограниченными на отрезке [-1, 1] решениями дифференциального уравнения Лежандра:
𝑑2𝑦
𝑑𝑦
(1 − 𝑥 2 ) 2 − 2𝑥
+ 𝑛(𝑛 + 1)𝑦 = 0.
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Полиномы Лежандра также определяются по формуле Родрига:
1
𝑑𝑛
𝑃𝑛 (𝑥) = 2𝑛 𝑛! 𝑑𝑥 𝑛 (𝑥 2 − 1)𝑛 .
Общий вид полинома Лежандра порядка n задается суммой ряда:
𝑀
𝑃𝑛 (𝑥) = ∑ (−1)𝑚
𝑚=0
(2𝑛 − 2𝑚)!
𝑥 𝑛−2𝑚 .
− 𝑚)! (𝑛 − 2𝑚)!
2𝑛 𝑚! (𝑛
Первые пять полиномов представлены ниже (рис. 1):
1
𝑃0 (𝑥) = 1; 𝑃1 (𝑥) = 𝑥; 𝑃2 (𝑥) = (3𝑥 2 − 1);
2
1
1
P3 (𝑥) = 2 (5𝑥 3 − 3𝑥); P4 (𝑥) = 8 (35𝑥 4 − 30𝑥 2 + 3).
Рис. 1. Графики первых пяти полиномов Лежандра
Сумма коэффициентов полинома Лежандра любого порядка равна 1.
Свойства полиномов Лежандра
В зависимости от порядка n полином может быть как чётным, так и нечётным:
Pn ( x) (1)n Pn ( x).
Полиномы Лежандра на границах интервала [-1, 1] принимают значения: 𝑃𝑛 (1) =
1, 𝑃𝑛 (−1) = (−1)𝑛 .
Полиномы Лежандра ортогональны с весом ( x) 1 на отрезке [1, 1] :
k n,
0,
.
Pn ( x) Pk ( x)dx 2
, k n
1
2n 1
1
6
1
1
Норма системы полиномов Лежандра P ( x) ( P ( x) P ( x)dx) 2
n
n
k
1
Полином Лежандра Pn (x) имеет ровно
2 .
2n 1
n корней на интервале 1,1 ,
Pn ( x) 1 , для x 1,1 .
Пример 1. Построим первые четыре ортонормированных полинома Лежандра путём
полиномы любого порядка ограничены
ортогонализации системы линейно независимых степенных функций k = x k , k = 0,1,...,:
0 = 1, 1 = x, 2 = x 2 , 3 = x 3 . В качестве первой функции системы выберем 1 и нормируем
1
1
dx ) 2 =
1
2.
1
Будем искать следующую функцию в виде линейной комбинации вида
f 0 подберем значение из условия ( f , f ) = 0, для этого домножим обе
f1 1
1 0
1 f 0 ,
ее: f 0 0 , || 0 || = (
|| 0 ||
2 , P0 =
части равенства скалярно на функцию f 0 :
( f1, f 0 ) = ( 1, f 0 )+ ( f 0 , f 0 ), откуда получим значение коэффициента:
= – ( f 0 ,1 ) = –
1
x
1
1
dx =
2
0, тогда f1 1
|| 1 ||
1
1
3
2x
2
1
|| 1 || = ( x dx ) 2 = (
|0 ) 2 =
3
1
1
2
, P 1 (x) =
3
3
x.
2
Аналогично далее: f 2 2 1 f1 2 f 0 2 1 f1 2 f 0 , домножим скалярно обе части равенства на f 0 и f1 , получим:
1
2
( f 2 , f 0 ) = ( 2 , f 0 ) + 1 ( f1, f 0 ) + 2 ( f 0 , f 0 ), 2 = – ( 2 , f 0 ) = – 1 x 2 dx = –
,
2
3
1
( f 2 , f1 ) = ( 2 , f1 ) + 1 ( f1, f1 ) + 2 ( f 0 , f1 ), 1 = – ( 2 , f1 ) = 0, || x 2 1 || 2 2 , тогда
3
3 5
P 2 (x) = 3 5 ( x 2 1 )
2 2
3 .
Аналогично:
f 3 3 1 f 2 2f 3 f 0 3 1 f 2 2f 3 f 0 ,
3 = –( 3 , f 0 ) = 0, 2 = –( 3 , f1 )= – 1 , 1 = –( 3 , f 2 ) = 0. Таким образом, получим
2 2
3
формулу: f 3 ( 3 , f 0 ) f 0 ( 3 , f1 ) f1 ( 3 , f 2 ) f 2 ; || x 3 x ||= 2 2 , P 3 =
3
2
5
5 7
|| 3 ( 3 , f k ) f k ||2
k 0
Общая схема ортогонализации Грама-Шмидта имеет вид:
k 1
k ( k , f i ) f i
f k ( x)
i 0
k 1
|| k ( k , f i ) f i ||
i 0
7
.
1 7
2 2
( 5x3 3x ).
Пример 2. Разложить функцию 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 − 1 по системе нормированных полиномов Лежандра: P 0 =
1
P 1 (x) = 3 x. P 2 (x) = 3 5 ( x 2 1 ) P 3 = 1 7 ( 5x3 3x ).
2 2
2
2
2 2
3 ,
Найдём коэффициенты разложения функции f(x) в обобщенный ряд Фурье:
Составим сумму ряда из четырех слагаемых и убедимся, что поскольку заданная функция является полиномом третьей степени, то она раскладывается в конечный отрезок ряда
Фурье:
Пример 3. Используя встроенные в вычислительном пакете MathCAD полиномы Лежандра (Leg(n, x)), разложим функции синуса, косинуса и меандра на промежутке [-1,1] в
обобщенный ряд Фурье по системе ортогональных полиномов. Оценим сходимость в смысле
среднего квадратического.
Ниже приведён MathCAD листинг 1.
Рассмотрим сигнал: f ( x) : sin( x) .
Оценим среднеквадратическую погрешность:
1
2
𝜎𝑁 = ∫−1(𝑥(𝑡) − ∑𝑁
𝑛=0 𝑎𝑛 𝐿𝑒𝑔(𝑛, 𝑥) 𝑑𝑥.
Показать, что достаточно взять N = 8, 10, чтобы значение стало 𝜎𝑁 < 0,0001.
Пример листинга Mathcad для аппроксимации меандра.
8
Найдём коэффициенты разложения
Проверим на сходимость
9
ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ РАДЕМАХЕРА И УОЛША
В ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ
Система функций Уолша (1923 г.) – полная система ортонормированных кусочно-постоянных функций, принимающих значения +1 и -1 на области определения. Применение для
преобразований таких систем функций в качестве базисных позволяет сократить время обработки сигналов за счет исключения операций умножения. К таким преобразованиям относятся
преобразования Уолша и Хаара, которые широко применяются в управлении техническими
системами и в системах связи.
Функции Уолша получили широкое распространение в радиосвязи, с их помощью осуществляется кодовое разделение каналов (CDMA), например, в таких стандартах сотовой
связи, как IS-95, CDMA2000 или UMTS; также они используются в цифровой обработке изображений, речевых сигналов.
Существуют различные способы определения функций Уолша. Рассмотрим способ, основанный на взаимосвязи функций Уолша с функциями Радемахера.
Функции Радемахера могут быть получены с помощью соотношения:
𝑟𝑘 = 𝑠𝑖𝑔𝑛[sin(2𝑘 ∙ 𝜋 ∙ 𝜃], 0 < 𝜃 < 1,
где аргумент θ = t/T0 есть безразмерное время, т.е. время, нормированное к произвольному
интервалу T0, а целое положительное число k = 0,1,2…– порядок функции,
1 при 𝑥 > 0,
𝑠𝑖𝑔𝑛 = {
−1 при 𝑥 < 0.
В соответствии с определением функции Радемахера, принимающие одно из двух значений ±1, имеют вид меандра. Функции Радемахера порядка 1-4 изображены на рис. 1.
Рис. 2. Функции Радемахера
Функции Радемахера ортогональны и ортонормированы с единичной весовой функцией на интервале 0 < θ < 1. Действительно, для любых двух функций r m(θ), rn(θ) имеет место
соотношение:
1
∫ 𝑟𝑚 (𝜃)𝑟𝑛 (𝜃)𝑑𝜃 = {
0
1 при 𝑚 = 𝑛,
0 при 𝑚 ≠ 𝑛.
Все функции Радемахера являются нечетными относительно середины интервала определения и, следовательно, не могут быть использованы для аппроксимации сигналов s(θ), четных относительно момента θ = ½, что означает, что система функций Радемахера неполная.
Функции Уолша (Walsh) образуют полную ортонормированную систему и могут быть
получены путем перемножения степеней соответствующих функций Радемахера. Первые восемь функций Уолша изображены на рис. 3.
10
Рис. 3. Первые восемь функций Уолша
Сопоставление этих функций с функциями Радемахера позволяет составить соотношения:
𝑤𝑎𝑙(0, 𝜃) = 𝑟10 (𝜃)𝑟20 (𝜃) = 1,
𝑤𝑎𝑙(1, 𝜃) = 𝑟1 (𝜃)𝑟20 (𝜃) = 𝑟1 (𝜃),
𝑤𝑎𝑙(2, 𝜃) = 𝑟1 (𝜃)𝑟2 (𝜃),
𝑤𝑎𝑙(3, 𝜃) = 𝑟10 (𝜃)𝑟2 (𝜃) = 𝑟2 (𝜃),
𝑤𝑎𝑙(4, 𝜃) = 𝑟10 (𝜃)𝑟2 (𝜃)𝑟3 (𝜃) = 𝑟2 (𝜃)𝑟3 (𝜃),
𝑤𝑎𝑙(5, 𝜃) = 𝑟1 (𝜃)𝑟2 (𝜃)𝑟3 (𝜃),
𝑤𝑎𝑙(6, 𝜃) = 𝑟1 (𝜃)𝑟20 (𝜃)𝑟3 (𝜃) = 𝑟1 (𝜃)𝑟3 (𝜃),
𝑤𝑎𝑙(7, 𝜃) = 𝑟10 (𝜃)𝑟20 (𝜃)𝑟3 (𝜃) = 𝑟3 (𝜃).
Итак, каждая функция Уолша − wal(w, θ), входящая в систему из N = 2n функций, является произведением степеней первых n функций Радемахера, причем rn0(θ) = 1. Принцип
нахождения показателей этих степеней поясняется на рис. 3 на примере N = 23 = 8.
Рис. 4. Нахождение показателей степеней функций
В этой таблице использованы обозначения: w – номер функции в системе; wm – m-й
разряд представления числа w в двоичной системе счисления, т.е.
𝑤 = (𝑤1 𝑤2 … 𝑤𝑚 … 𝑤𝑛 )2 == 𝑤1 ∙ 2𝑛−1 + 𝑤2 ∙ 2𝑛−2 + ⋯ + 𝑤𝑚 ∙ 2𝑛−𝑚 + ⋯ + 𝑤𝑛 ∙ 20 =
𝑛
𝑛
𝑛−𝑚
= ∑ 𝑤𝑚 ∙ 2
𝑚=1
𝑚−1
= ∑ 𝑤𝑛−𝑚+1 ∙ 2
𝑚=1
11
,
(6)
𝑤𝑚 = 0,1; 𝑤0 = 1.
Символ ⊕ обозначает символ поразрядного суммирования по модулю 2 по правилам:
1 ⊕1 = 0,0 ⊕ 0 = 0,1 ⊕ 0 = 1,0 ⊕1 = 1.
Показанный способ построения функций Уолша можно выразить аналитически для любого N = 2n в виде соотношения:
n
𝑤𝑎𝑙(𝑤, 𝜃) = ∏[rk (θ)]wn−k+1 ⨁wn−k .
(7)
k=1
Поясним применение (6) на примере шестой функции Уолша (w = 6), входящей в систему размером N = 23 = 8.
Произведение в (7) состоит из трех множителей (при k = 1, 2, 3) вида
[𝑟1 (𝜃]𝑤3 ⨁𝑤2 , [𝑟2 (𝜃]𝑤2 ⨁𝑤1 и [𝑟3 (𝜃]𝑤1 ⨁𝑤0 .
Подстановкой в (6) w = 6 и n = 3 получаем: 6 = w1·22 + w2·21 + w3·20, отсюда следуют
равенства:
𝑤1 = 1, 𝑤2 = 1, 𝑤3 = 0, так как 6 = 1 · 4 + 1 · 2 + 0 · 1.
Тогда w3 ⊕ w2 = 0 ⊕ 1 = 1, w2 ⊕ w1 = 1 ⊕ 1 = 0, w1 ⊕ w0 = 1⊕0 = 1 и по
формуле (7): 𝑤𝑎𝑙(6, 𝜃) = 𝑟1 (𝜃) ∙ 𝑟20 (𝜃) ∙ 𝑟3 (𝜃) = 𝑟1 (𝜃) ∙ 𝑟3 (𝜃).
Из рис. 3 видно, что четным относительно середины интервала определения (θ = 0,5)
функциям wal (w, θ) соответствуют четные номера w, а нечетным функциям – нечетные номера.
Такое взаимно однозначное соответствие между четностью функций wal(w, θ) и четностью их номеров w аналогично свойствам тригонометрических функций cos(k·t·2π/T) и
sin(k·t·2π/T). Поэтому иногда применяются обозначения cal(i, θ) для четных (симметричных)
и sal(i, θ) для нечетных (асимметричных) функций Уолша. Начальные буквы s и c («синусоидальные» и «косинусоидальные») используются для обозначения, соответственно, нечетных
и четных функций Уолша, а буквы al составляют часть фамилии Walsh. Эти обозначения и
соответствующие тригонометрические функции приведены на рис. 5, а, в.
Рис. 5. Нумерация функций по Уолшу, Пэли и Адамару
Способ нумерации функций в системе называется упорядочением. Функции Уолша,
сформированные посредством выражения (7), упорядочены по Уолшу (рис. 5, а). Часто применяются системы функций Уолша, упорядоченные по Пэли [pal(p, θ)] и по Адамару [had(h,
θ)] (рис. 5, б).
Независимо от упорядочения функции Уолша, составляющие систему из N = 2n функций,
всегда можно представить в виде произведения степеней первых n функций Радемахера. Однако
принцип нахождения показателей этих степеней индивидуален для каждого упорядочения.
12
Так, для упорядочения Пэли принцип нахождения данных степеней поясняется на рис. 5
на примере N = 23 = 8.
Рис. 6. Принцип нахождения степеней для упорядочения Пэли
В этой таблице номер p функции pal (p, θ) имеет двоичное представление:
𝑝 = (𝑝1 𝑝2 , … , 𝑝𝑚 , … , 𝑝𝑛 ) = ∑𝑛𝑚=1 𝑝𝑛−𝑚+1 ∙ 2𝑚−1.
(8)
Очевидно, что аналитическая запись функций Уолша в упорядочении Пэли имеет вид:
𝑝𝑎𝑙(𝑝, 𝜃) = ∏𝑛𝑘=1[𝑟𝑘 (𝜃)]𝑝𝑛−𝑘+1 .
(9)
Сравнивая способы образования показателей степеней функций Радемахера на примерах рис. 4 и 6, приходим к выводу, что двоичные разряды номеров функций Уолша, упорядоченных по Пэли, связаны с двоичными разрядами номеров функций Уолша, упорядоченных
по Уолшу, соотношением:
(10)
𝑝𝑚 = wm−1 ⨁wm .
Итак, переход от упорядочения по Уолшу к упорядочению этих функций по Пэли выражается в перестановке этих функций в системе по закону (10).
Для представления функций Уолша часто используют матрицы Адамара, которые
определяются следующим образом.
𝐻
𝐻𝑁
𝐻2𝑁 = | 𝑁
|,
𝐻𝑁 −𝐻𝑁
где HN – квадратная матрица Адамара порядка N (число строк равно числу столбцов N), а H2N –
матрица Адамара порядка 2N.
В соответствии с этим матрицу Адамара порядка N можно построить рекурсивно, т. е.
𝐻𝑁/2 𝐻𝑁/2
|.
𝐻𝑁/2 −𝐻𝑁/2
Матрица Адамара 𝐻𝑁 это квадратная матрица размера N×N, составленная из чисел 1 и −1,
столбцы которой ортогональны, так что справедливо соотношение: 𝐻𝑁 𝐻𝑁𝑇 = 𝑁𝐸𝑁 , где 𝐸𝑁 –
единичная матрица. Матрицы Адамара используются при кодировании информации,
Полагая H1 = 1, получаем матрицы порядка 2 и 4:
𝐻
𝐻1
1 1
𝐻2 = | 1
|=|
|,
𝐻1 −𝐻1
1 −1
1
11
1
𝐻2 𝐻2
𝐻4 = |
| = |1 −11 −1|.
(11)
𝐻2 −𝐻2
1
11
1
1 −11 −1
Функция Уолша, упорядоченная по Адамару, т.е. had(h, θ) с номером h, является последовательностью прямоугольных импульсов с единичными амплитудами и полярностями, соответствующими знакам (±) элементов h-й строки матрицы Адамара при замене 1 на (+), а –1
на (–). Под длительностью импульсов подразумевается (1/N)-я доля полуоткрытого интервала
θ – [0, 1].
𝐻𝑁 = |
13
Нумерация первых восьми функций Уолша при различных способах упорядочения
дана в таблице, приведенной на рис. 5, б.
Заметим, что в матрице Адамара (11) любая строка, кроме первой, содержит равное
число 1 и –1. Кроме того, эта матрица является симметрической, т. е. не изменяется, если
строки и столбцы поменять местами. Таким образом, в качестве кодовых последовательностей
системы Уолша можно брать строки или столбцы матрицы Адамара. Число кодовых последовательностей равно порядку матрицы N. Следовательно, объем системы Уолша равен N.
Для примера на рис. 7 изображены функции Уолша при объеме системы, равном 16, и
рядом дана таблица упорядочения для функций Пэли и Адамара.
Рис. 7. 16 функций Уолша с нумерацией по Пэли и Адамару
Независимо от способа упорядочения функции Уолша обозначают символом wal(i, θ).
Перечислим ряд свойств функций Уолша.
1. Кодовые последовательности Уолша являются ортогональными, т.е. выполняется равенство
0 при 𝑖 ≠ 𝑘,
∑𝑁−1
(12)
𝑛=0 𝑊𝑖 (𝑛)𝑊𝑘 (𝑛) = {𝑁 при 𝑖 = 𝑘,
где Wi, Wk – соответственно, i-я и k-я последовательности Уолша; Wi(n), Wk(n) – соответствующие n-е символы последовательностей.
2. Поскольку на интервале определения в систему функций Уолша входит N ортогональных функций, то она является полной. Это значит, что ее нельзя дополнить на этом интервале ни одной новой функцией, которая была бы ортогональна одновременно ко всем другим функциям, входящим в систему.
3. Функции Уолша обладают свойством мультипликативности, т.е. перемножение двух
функций Уолша дает новую функцию из той же системы:
𝑤𝑎𝑙(𝑘, 𝜃) ∙ 𝑤𝑎𝑙(𝑖, 𝜃) = 𝑤𝑎𝑙(𝑐, 𝜃),
(13)
причем c = k ⊕ i, при этом k и i должны быть выражены в двоичном виде записи. Выражение
(13) носит название теоремы умножения.
Следовательно, результат поэлементного перемножения двух строк матрицы любой системы функций Уолша является строкой той же матрицы.
4. Функции Уолша wal (i, θ) обладают свойством симметрии, проявляющимся в том,
что все выводы относительно i (номера строки матрицы) справедливы также и относительно
θ (номера столбца матрицы). Например, свойство мультипликативности (13) с учетом свойства
симметрии записывается в виде:
𝑤𝑎𝑙(𝑖, 𝜃1 ) ∙ 𝑤𝑎𝑙(𝑖, 𝜃2 ) = 𝑤𝑎𝑙(𝑖, 𝜃1 ⨁𝜃2 ).
(14)
14
5. Умножение любой функции Уолша на себя саму дает функцию нулевого порядка wal
(0, θ), так как в результате получаются только произведения вида (+1)·(+1) и (–1)·(–1).
Таким образом:
𝑤𝑎𝑙(𝑖, 𝜃) ∙ 𝑤𝑎𝑙(𝑖, 𝜃) = 𝑤𝑎𝑙(0, 𝜃)
(15)
и модуль функции Уолша равен единице: |wal (i, θ)| = 1.
Очевидно также, что умножение wal (i, θ) на wal (0, θ) не изменяет функцию wal (i, θ).
6. Функция Уолша – периодическая с периодом N:
𝑤𝑎𝑙(𝑖, 𝜃 ± 𝑁) = 𝑤𝑎𝑙(𝑖, 𝜃).
(16)
7. Функция Уолша при всех i ≠ 0 имеет нулевое среднее значение:
∑𝑁−1
𝜃=0 𝑤𝑎𝑙(𝑖, 𝜃) = 0, 𝑖 ≠ 0.
(17)
Это свойство находит свое выражение в том, что каждая строка (кроме нулевой) матрицы системы функций Уолша содержит равное количество +1 и –1.
Последовательности Уолша имеют много общего с тригонометрическими функциями.
Но в отличие от тригонометрических функций последовательности Уолша позволяют широко
и просто использовать цифровую технику при формировании и обработке сигналов, что и обусловило их применение в системах связи с кодовым разделением каналов.
Задание по теме: Разложение сигналов по системе функций Уолша
с применением Mathcad
Для формирования функций Уолша в первую очередь необходимо сформировать функции Радемахера и построить графики для n = 3, 4 в программе Mathcad Prime:
𝑟0 = 1; 𝑟𝑛 = 𝑠𝑖𝑔𝑛(sin(2𝑛 𝜋𝑡)), 𝑛 = 1,2 ….
Функции Уолша представляются произведением степеней первых функций Радемахера. В задании рассмотрим нумерацию функций Уолша (упорядочение) по Уолшу и по Пэли.
Для этого сформируем матрицу бинарного кода и кода Грея. Для реализации программы будут использоваться двоичные числа, принадлежащие первой, второй и третьей пачкам, где mй пачкой называется множество чисел от 2𝑚 до 2𝑚+1.
Систему функций Уолша получим по формулам:
При этом матрица A1 является матрицей бинарного кода, A2 матрицей кода Грея,
i = 0,1, … N-1, N = 16.
Для проверки правильности вычислений следует сверить выборочно функции Уолша с
функциями, представленными в теоретическом разделе.
Система функций Уолша является ортонормированным базисом и позволяет раскладывать сигналы произвольной формы в обобщённый ряд Фурье: пусть сигнал задан на интервале
2∙𝜋∙𝑡
[0,T) 𝑦(𝑡) ≔ sin( 𝑇 ), при этом T = 2. Построить график сигнала, вычислить коэффициенты
разложения сигнала в базисе функций Уолша для двух систем, упорядоченных по Пэли и по
Уолшу:
𝑇
1
𝑡
С𝑛 = ∙ ∫ 𝑦(𝑡) ∙ 𝑤𝑎𝑙𝑠ℎ(𝑛, )𝑑𝑡.
𝑇
𝑇
0
15
Вычислив коэффициенты 𝐶𝑛 , n = 0, 1, …, N-1 разложения заданной функции 𝑦(𝑡) в
базисе функций Уолша, можем построить график конечной суммы, которая представляет собой аппроксимирующий сигнал:
𝑥(𝑡) ≔ ∑15
𝑛=0 𝐶𝑛 ∙ 𝑤𝑎𝑙𝑠ℎ(𝑛, 𝑡/𝑇).
Построить спектральную диаграмму исследуемого сигнала y(t); рассчитать значение
среднеквадратической ошибки:
𝑇
2
∫(𝑦(𝑡) − 𝑥(𝑡)) 𝑑𝑡.
0
Подобрать количество членов разложения в ряде Фурье по системе функций Уолша
таким, чтобы получить значение среднеквадратичной погрешности, не превышающее 0,01.
Вектор первых 16 функций, упорядоченных по Уолшу:
16
Формируем бинарный код и код Грея:
Построим графики заданных сигналов:
Получим разложение в ряд по двум системам функций Уолша:
Получим погрешность:
17
Задание по теме:
Разложение сигналов по системе функций Хаара
Функции Хаара являются также кусочно-постоянными, заданными на интервале [0,1),
но в отличие от функций Уолша принимают значения, отличные от нуля на отдельных участках рассматриваемого интервала. Для функций Хаара используется как порядковая (одинарная) нумерация, так и двойная. В каждой группе с номером m содержится 2m функций:
ℎ𝑚𝑘 (𝜃) , m =1,2…; k = 0,1,… 2m.
Первые две функции системы Хаара совпадают с первыми функциями системы Уолша,
упорядоченными по Уолшу или Пэли;
ℎ0 (𝜃) ≡ 1, 𝜃 ∈ [0,1); ℎ00 (𝜃) = {
1, 𝜃 ∈ [0, 1⁄2)
}.
1
−1, 𝜃 ∈ ( ⁄2 ,1)
Вторая группа содержит две функции m = 1, k = 0, 1; третья – четыре: m = 2, k = 0, 1, 2, 3.
Для формирования системы функций Хаара используется формула:
𝑘
√2𝑚 , 𝜃 ∈ [2𝑚 ,
ℎ𝑚𝑛 (𝜃) =
√2𝑚 , 𝜃 ∈ [
𝑘+1⁄2
)
2𝑚
𝑘+1⁄2 𝑘+1
𝑘
2𝑚
;
2𝑚
𝑘+1
)
.
{0, 𝜃 ∈ [0 , 2𝑚 ) ∪ [ 2𝑚 ; 1)}
Построить графики функций ℎ0 (𝜃), ℎ00 (𝜃), ℎ10 (𝜃), ℎ11 (𝜃), ℎ1𝑘 (𝜃), k = 0, 1, 2, 3. Построить графики функций: ℎ0 (2𝜃), ℎ0 (2𝜃 − 1), показать, что
ℎ0 (2𝜃) − ℎ0 (2𝜃 − 1) = ℎ00 (𝜃) .
Таким образом, меняя масштаб и сдвигая функцию ℎ00 (𝜃), можно получить все функции системы Хаара подобно тому, как это введено в теории вейвлет-анализа. При этом функция ℎ00 (𝜃) называется «материнский вейвлет». Преобразование имеет вид:
ℎ𝑚𝑘 (𝜃) = √2𝑚 ℎ00 (2−𝑚 𝜃 − 𝑘) , m = 0, 1, 2…, k = 0,1, … 2m.
Для работы в программе Mathcad Prime предлагается ввести материнский вейвлет h(t)
как кусочно-постоянную функцию с помощью элементов программирования, операторов if,
else и задав функции системы Хаара, как h(m,k,t):
ℎ(𝑚, 𝑘, 𝑡) = √2𝑚 ℎ(2𝑚 𝜃 − 𝑘).
18
Разложить заданный непрерывный сигнал x(t), на интервале [0,T), в ряд по системе ортогональных функций Хаара ℎ(𝑚, 𝑘, 𝑡), который при использовании двойной нумерации
функций будет иметь вид:
∞ 2𝑚 −1
𝑡
𝑥(𝑡) = 𝑐0 + ∑ ∑ 𝑐𝑚𝑘 ℎ𝑚𝑘 ( )
𝑇
𝑚=0 𝑘=0
𝑐𝑚𝑘 =
1 1
∫ 𝑥(𝑡)ℎ𝑚𝑘
𝑇 0
𝑡
(𝑇) 𝑑𝑡.
При использовании сквозной (одинарной) нумерации для системы функций Хаара получим:
ℎ0 (𝜃) ≡ 1, ℎ𝑛 (𝜃) , 𝑛 = 2𝑚 + 𝑘, 𝜃 ∈ [0,1); m = 0, 1, 2…, k = 0, 1 ,… 2m.
Соответственно, возможно разложить сигнал в ряд по системе функций ℎ𝑛 (𝜃).
Применение функций Хаара эффективно при анализе сигналов с резко выраженными
локальными особенностями в виде всплесков и колебаний.
19
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
Представление произвольного сигнала в виде суммы гармонических колебаний называют гармоническим анализом сигнала.
Периодическим с периодом T называют непрерывный по времени t сигнал x(t), для которого верно: 𝑥(t + nT) = 𝑥(t), где n – целое число. Достаточные условиям Дирихле: если
функция 𝑥(t) на отрезке [-T/2; T/2] имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок [-T/2; T/2] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них
функция f (x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях x, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма
равна среднему арифметическому предельных значений слева и справа:
𝑥(𝑡) =
𝑎0
2
+ ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠
2𝜋𝑛𝑡
𝑇
+ 𝑏𝑛 𝑠𝑖𝑛
2𝜋𝑛𝑡
𝑇
;
(18)
коэффициенты ряда определяются по формулам:
𝑎0 =
2
𝑇
2
−𝑇
2
∫ 𝑥(𝑡)𝑑𝑡, 𝑎𝑛 =
𝑇
𝑇
2
2𝜋𝑛𝑡
2
𝑥(𝑡)𝑐𝑜𝑠 (
∫−𝑇
𝑇
2
𝑇
) 𝑑𝑡, 𝑏𝑛 =
2
𝑇
2𝜋𝑛𝑡
2
𝑥(𝑡)𝑠𝑖𝑛 (
∫−𝑇
𝑇
2
𝑇
) 𝑑𝑡.
(19)
Периодические сигналы, удовлетворяющие условиям Дирихле, могут быть разложены
2𝜋𝑛
в сходящийся ряд по гармоническим функциям с частотами 𝜔𝑛 =
, кратными основной
2π
𝑇
a0
частоте ω1 = T , 2 – постоянная составляющая периодического сигнала.
Используя тригонометрические формулы, можно каждую гармонику преобразовать к виду:
𝑥(𝑡) =
𝑏
𝐴0
2
+ ∑∞
𝑛=1 𝐴𝑛 cos(𝑛𝜔1 𝑡 + 𝜑𝑛 ),
(20)
где 𝐴𝑛 = √𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛2 , 𝜑𝑛 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑎𝑛 , амплитуда и начальная фаза n-й гармоники, аргумент
𝑛
𝑛𝜔1 𝑡 + 𝜑𝑛 называется текущей фазой. Такое представление сигнала называется спектральным, или частотным, разложением Фурье, совокупность всех амплитуд гармоник 𝐴𝑛 называется амплитудным спектром, фаз 𝜑𝑛 – фазовым спектром.
Пример 1. Для построения графика сигнала следует сформировать в среде MathCAD математическую модель сигнала f(x), используя элементы программирования и операторы if, else:
На рис. 8 приведен график сигнала, заданный в программе MathCAD.
Рис. 8. График исследуемого сигнала
20
Для восстановления сигнала на практике используется конечная сумма ряда Фурье, содержащая N гармоник:
𝑥1(𝑡) =
𝑎0
2
+ ∑𝑁
𝑛=1 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠
2𝜋𝑛𝑡
𝑇
+ 𝑏𝑛 𝑠𝑖𝑛
2𝜋𝑛𝑡
𝑇
.
2𝜋𝑛𝑡
2𝜋𝑛𝑡
Известно, что система тригонометрических функций с𝑜𝑠 𝑇 ; 𝑠𝑖𝑛 𝑇 𝑛 = 0,1, … является полной ортогональной системой функций и может быть использована в качестве базиса. Согласно теореме о минимуме нормы среднеквадратическая ошибка имеет минимальное
значение для коэффициентов ряда Фурье, определенных по формулам (19), и стремится к
нулю с увеличением количества гармоник N.
Далее оценим приближение периодического сигнала конечной суммой ряда Фурье при
различном числе гармоник (рис. 9).
а
б
Рис. 9. График аппроксимирующего сигнала x1(t): а) N = 10; б) N = 128
На рис. 9 наблюдается эффект Гиббса, который состоит в том, что график частичной
суммы ряда Фурье функции x1(t) имеет «выбросы» слева и справа от точек разрывов, которые
сдвигаются к точке разрыва с увеличением, но величина выброса при этом не изменяется и
составляет 18% .
Также при анализе гармонического сигнала требуется иметь представление о спектре
амплитуд и фаз. Данные диаграммы являются функциями, зависящими от номера гармоники
k. Графически они изображаются в виде отрезков Ak и φk , проведенных перпендикулярно к
оси, на которую наносятся значения ω = kω1 . Амплитуды и фазы гармонических составляющих вычисляют по формулам (20).
21
Построенные амплитудная и фазовая спектральные диаграммы представлены на
рис. 10, а, б.
Рис. 10a. Амплитудная спектральная диаграмма
Рис. 10б. Фазовая спектральная диаграмма
Графики представлены вертикальными отрезками, спектры периодического сигнала являются дискретными, расстояние между значениями соответствует основной частоте ω1 . Амплитудная диаграмма позволяет судить о процентном содержании тех или иных гармоник в
спектре периодического сигнала.
Ряд Фурье содержит бесконечное число гармоник, поэтому теоретически ширина спектра бесконечна; на практике для определения ширины спектра можно использовать разные
подходы. Например, можно отбрасывать все гармоники с амплитудами, меньшими, чем 1 %
от максимальной амплитуды в спектре. Соответственно, на ширину спектра влияет характер
убывания коэффициентов Фурье, который зависит от свойств сигнала.
Ряд Фурье можно записать в комплексной форме, выразив тригонометрические функции через экспоненту с мнимым показателем по формуле Эйлера, тогда получим:
𝑖𝜔𝑛 𝑡
𝑥(𝑡) = ∑∞
, 𝐶𝑛 =
𝑛=1 𝐶𝑛 𝑒
𝑎𝑛 −𝑖𝑏𝑛
2
, 𝑛 = ⋯ , −1,0,1,2, ….
Комплексные коэффициенты 𝐶𝑛 определяются по формуле:
𝐶𝑛 =
2
𝑇
∫2 𝑥(𝑡)𝑒 𝑖𝑛𝜔𝑛т 𝑑𝑡.
𝑇 −𝑇
2
Ряд представляет разложение по ортогональной системе функций 𝑒 𝑖𝑛𝜔1𝑡 , 𝑛 = ⋯ ,
−1,0,1,2, …. Отрицательным 𝑛 соответствуют отрицательные частоты −𝑛𝜔1 , которые возникают вследствие формального представления гармонических функций комплексными. Физический спектр соответствует положительным частотам.
Ряд Фурье в комплексной форме широко используется в теоретических исследованиях
в силу компактности записи.
22
Задания для самостоятельной работы
1. Построить амплитудный спектр последовательности единичных прямоугольных им𝑇
пульсов длительности 𝜏, периода T, четных относительно 𝑡 = 0. Параметр 𝑞 = называется
𝜏
скважностью последовательности импульсов. Показать, что в спектре отсутствуют гармоники
с номерами, кратными скважности. Определить, как влияет протяженность сигнала 𝜏 на ширину спектра.
2. Как меняется спектр при смещении сигнала по времени относительно нуля?
Рассмотрим поведение спектра при совершении над ним операций – свойства периодических сигналов.
1. Свойство линейности гласит о том, что спектр суммы периодических сигналов равен
сумме их спектров.
𝑇
1 2
𝑆(𝜔𝑛 ) = ∫ (𝑎(𝑡) + 𝑏(𝑡)) exp(−𝑗𝜔т 𝑡) 𝑑𝑡
𝑇 −𝑇
2
𝑇
2
𝑇
1
1 2
= ∫ 𝑎(𝑡) exp(−𝑗𝜔𝑛 𝑡) 𝑑𝑡 + ∫ 𝑏(𝑡) exp(−𝑗𝜔𝑛 𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐴(𝜔𝑛 ) + 𝐵(𝜔𝑛 ).
𝑇 −𝑇
𝑇 −𝑇
2
2
Следствием свойства линейности является свойство умножения на константу:
1
𝑇
2
𝑇
−
2
𝑆(𝜔𝑛 ) = 𝑇 ∫ 𝛼𝑎(𝑡) exp(−𝑗𝜔𝑛 𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛼𝐴(𝜔𝑛 ).
2. Свойство циклического временного сдвига. Рассмотрим сигнал s(t) как результат
циклического временного сдвига исходного сигнала a(t), как это показано на рис. 11 для
положительных и отрицательных значений 𝜏.
Рис. 11. Осциллограмма временного сдвига сигнала a(t)
Спектр 𝑆(𝜔𝑛 ) сигнала s(t) с циклическим временным сдвигом равен:
1
𝑇
2
𝑇
−
2
𝑆(𝜔𝑛 ) = 𝑇 ∫ 𝑎(𝑡 − 𝜏) exp(−𝑗𝜔𝑛 𝑡) 𝑑𝑡.
Таким образом, циклический временной сдвиг периодического сигнала на величину 𝜏
приводит к умножению спектра на фазовый множитель exp(−𝑗𝜔𝑛 𝑡).
3. Свойство циклической свертки спектра сигналов означает, что спектр заданного периодического сигнала пропорционален произведению спектров сигналов, участвующих в свертке:
𝑇
𝑠(𝑡) = ∫2𝑇 𝑎(𝜏)𝑏(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏;
−
𝑇
2
𝑇
2
2
2
2
𝑇
1
1 2
𝑆(𝜔𝑛 ) = ∫ 𝑎(𝜏) ∫ 𝑏(𝑡 − 𝜏) exp(−𝑗𝜔𝑛 𝑡) 𝑑𝑡𝑑𝜏 == 𝑇𝐵(𝜔𝑛 ) ∫ 𝑎(𝜏) exp(−𝑗𝜔𝑛 𝑡) 𝑑𝜏
𝑇
𝑇 −𝑇
𝑇 −𝑇
−
2
= 𝑇𝐵(𝜔𝑛 )𝐴(𝜔𝑛 ).
23
4. Свойство спектра произведения сигналов гласит о том, что спектр произведения периодических сигналов равен линейной свертке спектров этих сигналов:
𝑇
1 2
𝑆(𝜔𝑛 ) = ∫ 𝑎(𝑡) 𝑏(𝑡)exp(−𝑗𝜔𝑛 𝑡) 𝑑𝑡 ;
𝑇 −𝑇
1
𝑇
2
𝑇
−
2
2
𝑆(𝜔𝑛 ) = 𝑇 ∫ (∑∞
𝑘=−∞ 𝐴(𝜔𝑛 )exp(−𝑗𝜔𝑛 𝑡))𝑏(𝑡)𝑒𝑥𝑝(−𝑗𝜔𝑛 𝑡) 𝑑𝑡 .
∞
𝑆(𝜔𝑛 ) = ∑ 𝐴(𝜔𝑛 )𝐵(𝜔𝑛 − 𝜔𝑘 ).
𝑘=−∞
5. Симметрия спектра вещественного сигнала. Амплитудный спектр вещественного периодического сигнала всегда симметричен относительно нулевой частоты, т.е. отрицательные
и положительные частоты симметричны относительно 0, как показано на рис. 12, а фазовый
спектр антисимметричен.
Рис. 12. Симметричная частотная диаграмма сигнала
1
𝑇
1
𝑇
1
𝑇
𝑆(𝜔𝑛 ) = 𝑇 ∫2𝑇 𝑠(𝑡) exp(−𝑗𝜔𝑛 𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑇 ∫2𝑇 𝑠(𝑡) cos(𝜔𝑛 𝑡) 𝑑𝑡 − 𝑗 𝑇 ∫2𝑇 𝑠(𝑡) sin(𝜔𝑛 𝑡) 𝑑𝑡.
−
−
2
−
2
2
6. Свойство частотного сдвига. Умножение сигнала на комплексную экспоненту exp
(jωt) переносит спектр сигнала на частоту 𝜔0 . При этом сигнал становится комплексным, а его
спектр – несимметричным относительно нулевой частоты.
Пусть сигнал s(t) = a(t) exp(𝑗𝜔0 𝑡) представляет собой произведение сигналов a(t) и ком2𝜋𝑘
плексной экспоненты с частотой 𝜔0 = 𝛥𝜔𝑘 = 𝑇 , где k – произвольное целое число. Выбор
частоты 𝜔0 = 𝛥𝜔𝑘 обеспечивает периодичность сигнала s(t), поскольку на одном периоде
укладывается целое число оборотов комплексной экспоненты exp(𝑗𝜔0 𝑡). Таким образом, сигнал s(t) удовлетворяет условиям Дирихле и его спектр равен:
𝑇
𝑇
2
2
1 2
1 2
𝑆(𝜔𝑛 ) = ∫ 𝑎(𝑡) exp(𝑗𝜔0 𝑡) exp(−𝑗𝜔𝑛 𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑎(𝑡) exp(−𝑗(𝜔𝑛 − 𝜔0 )𝑡)𝑑𝑡
𝑇 −𝑇
𝑇 −𝑇
= 𝐴(𝜔𝑛 − 𝜔0 ).
На рис. 13 показан пример частотного сдвига сигнала при умножении a(t) на комплексную экспоненту exp(𝑗𝜔0 𝑡) при круговой частоте 10π рад/с. Можно видеть, что спектр 𝑆(𝜔𝑛 )
смещенного по частоте сигнала 𝑠(𝑡) = 𝑎 (𝑡) exp(𝑗𝜔0 𝑡) есть смещенная на частоту 𝜔0 копия
спектра 𝐴(𝜔𝑛 ). При этом важно отметить, что сам сигнал s(t) стал комплексным (на графике
показана отдельно реальная и мнимая части сигнала), его амплитудный спектр при этом перестал быть симметричным, а фазовый – антисимметричным относительно нулевой частоты.
7. Равенство Парсеваля: определим среднюю мощность периодического сигнала, который может представлять изменяющееся во времени значение тока или напряжения:
𝑇
1 2
𝑃𝑐𝑝 = ∫ |𝑠(𝑡)|2 𝑑𝑡.
𝑇 −𝑇
2
24
Рис. 13. Частотный сдвиг спектра a(t)
После преобразований получим равенство Парсеваля:
𝑇
∞
2
𝑛=−∞
1 2
∫ |𝑠(𝑡)|2 𝑑𝑡 = ∑ |𝑆(𝜔𝑛 )|2.
𝑇 −𝑇
Это означает, что средняя мощность, выделяемая на сопротивлении 1 Ом за один период повторения сигнала, равна сумме квадратов модулей спектральных составляющих этого
сигнала, при этом суммирование идет для n от минус бесконечности до бесконечности. Это
означает, что компоненты с отрицательными частотами также вносят вклад в среднюю мощность сигнала.
Если учесть, что у вещественного периодического сигнала амплитудный спектр является
симметричным относительно нулевой частоты, то можно заключить, что спектральные составляющие в отрицательной области частот несут ту же мощность, что и спектральные составляющие с положительными частотами. Поэтому отрицательные частоты, которые появились при
переходе к ряду Фурье в комплексной форме, это не просто математическая абстракция, а физическая сущность, несущая практически половину мощности вещественного сигнала.
Задание для самостоятельной работы
Рассмотреть свойства спектров периодических сигналов: линейность, свойства временного и частотного сдвигов, спектр свертки и произведения сигналов.
Продемонстрировать на примерах свойство симметрии спектра вещественного сигнала, показать, что амплитудный спектр периодического сигнала является симметричным, а
фазовый спектр – антисимметричным относительно нулевой частоты. Сформулировать равенство Парсеваля, которое устанавливает соотношение средней мощности сигнала во временной
и частотной областях, проверить практически для выбранного сигнала равенство Парсеваля
путем вычисления соответствующих компонентов.
25
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Большинство сигналов, описывающих изменение во времени электрического тока или
напряжения в радиотехнике, связи, автоматике, являются непериодическими. Особенностью
гармонического анализа непериодических сигналов является то, что связь между временной
функцией x(t) и ее образом X(w) в области частот определяется интегральными соотношениями, составляющими пару преобразований Фурье.
Цель работы – изучение прямого и обратного преобразований Фурье и приобретение
практических навыков их использования для расчета спектральной характеристики X(w) сигнала x(t) и восстановления функции x(t) по спектральной характеристике X(w).
Основные понятия и расчетные формулы
Пусть сигнал описывается функцией времени x(t), заданной на интервале (t1, t2) (рис. 14).
Для функции выполняется условие абсолютной интегрируемости:
𝑡
2
∫𝑡 |𝑥(𝑡)|𝑑𝑡 = 𝑀 < ∞.
1
(21)
Рис. 14. Образование вспомогательной периодической функции:
а) непериодическая функция; б) периодическая функция
Путем повторения функции x(t) с периодом T > t2 - t1 образуем вспомогательную периодическую функцию:
∞
𝑥п (𝑡) = ∑ 𝑥(𝑡 − 𝑘𝑇).
(22)
𝑘= −∞
Фрагмент функции 𝑥п (𝑡) показан на рис. 1, б. Очевидно, что:
𝑥(𝑡) = lim 𝑥п (𝑡).
𝑇→∞
(23)
Периодическую функцию 𝑥п (𝑡) можно разложить в ряд Фурье в комплексной форме:
∞
𝑥п (𝑡) = ∑ 𝑐𝑛 𝑒 𝑗𝑛𝜔1 𝑡 ,
где 𝜔1 =
2𝜋
𝑇
(24)
𝑛= −∞
, а коэффициенты 𝑐𝑛 рассчитываются по формуле:
𝑡2
1
𝑐𝑛 = ∫ 𝑥п (𝑡) 𝑒 −𝑗𝑛𝜔1 𝑡 𝑑𝑡.
𝑇
(25)
𝑡1
2𝜋
Подставив (25) в (24) и заменив 𝑇 = 𝑤 , получим:
1
1 𝑡2
∞
𝑥п (𝑡) = ∑ [
𝑛= −∞
2𝜋
∫ 𝑥п (𝜏)𝑒 −𝑗𝑛𝜔1 𝜏 𝑑𝜏] 𝑒 𝑗𝑛𝜔1 𝑡 ∙ 𝜔1 .
𝑡1
26
(26)
2𝜋
В пределе при 𝑇 → ∞ угловая частота 𝜔1 = 𝑇 переходит в бесконечно малое приращение частоты d – нечетной функцией частоты, частота n-й составляющей 𝑛𝜔1 – в текущую частоту 𝜔, а операция суммирования – в операцию интегрирования. При этом расстояние между
спектральными линиями, равное основной частоте 𝜔1, становится бесконечно малым, а спектр –
непрерывным.
Таким образом, при 𝑇 → ∞ получим:
𝑡2
∞
1
𝑥(𝑡) =
∫ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 [ ∫ 𝑥(𝜏)𝑒 −𝑗𝜔𝜏 𝑑𝜏] 𝑑𝜔.
2𝜋
−∞
(27)
𝑡1
Поскольку значения t2 и t1 не определены, запишем:
∞
𝑋(𝜔) = ∫ 𝑥(𝑡) 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡.
(28)
−∞
Тогда
∞
1
𝑥(𝑡) =
∫ 𝑋(𝑗𝜔) 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔.
2𝜋
(29)
−∞
Формулы (28) и (29) устанавливают однозначное соответствие между сигналом x(t) во
временной области и его Фурье-образом X(w) в области частот 𝑋(𝜔) = 𝐹(𝑥(𝑡)). Формула (28)
осуществляет прямое преобразование и позволяет найти спектральную характеристику (спектральную плотность) X(w) функции x(t) 𝑥(𝑡) = 𝐹 −1 (𝜔). При известной спектральной характеристике X(w), по формуле (29) выполняется обратное преобразование и вычисляется мгновенное значение сигнала x(t). Таким образом, имеет место взаимно однозначное соответствие
между сигналом и его Фурье-образом:
𝑥(𝑡) ↔ 𝑋(𝜔).
Установлено, что сигналу x(t) можно сопоставить его спектральную характеристику
X(w) в том случае, если этот сигнал описывается интегрируемой функцией, т.е. существует
интеграл:
∞
∫ |𝑥(𝑡)|𝑑𝑡 < ∞.
(30)
−∞
Это условие существенно снижает класс допустимых сигналов. Однако имеются математические приемы, с помощью которых удается получать спектральные характеристики
неинтегрируемых сигналов. Эти спектральные характеристики являются обобщенными
функциями.
Спектральную характеристику X(w) сигнала x(t), используя формулу Эйлера, можно
записать в виде:
∞
∞
∞
𝑋(𝑤) = 𝑋(𝜔)𝑒 𝑗𝜑(𝜔) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑥(𝑡)cos(𝜔𝑡) ∙ 𝑑𝑡 − 𝑗 ∫ 𝑥(𝑡) sin(𝜔𝑡) ∙ 𝑑𝑡
−∞
−∞
−∞
(31)
= 𝑎(𝜔) − 𝑗𝑏(𝜔).
Действительная часть спектральной характеристики является четной функцией частоты:
∞
𝑎(𝜔) = ∫ 𝑥(𝑡)cos(𝜔𝑡) ∙ 𝑑𝑡,
−∞
а мнимая часть – нечетной функцией частоты:
27
(32)
∞
𝑏(𝜔) = ∫ 𝑥(𝑡)sin(𝜔𝑡) ∙ 𝑑𝑡.
(33)
−∞
Модуль спектральной характеристики называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) и является четной функцией частоты:
(34)
𝑋(𝜔) = |𝑋(𝜔)| = √𝑎2 (𝜔) + 𝑏 2 (𝜔).
Аргумент спектральной плотности называется фазово-частотной характеристикой
(ФЧХ) и является нечетной функцией частоты:
𝜑(𝜔) = arg 𝑋(𝜔) = arg[𝑎(𝜔) − 𝑗𝑏(𝜔)].
(35)
Спектральную характеристику 𝑋(𝜔) можно изобразить на комплексной плоскости в
виде годографа (рис. 2, а). Чаще же спектральную характеристику X(w) представляют в виде
амплитудно-частотной X(w) и фазо-частотной φ(w) спектральных характеристик (рис. 15, б,
в). Учитывая симметричность спектральных характеристик при положительных и отрицательных значениях частоты w, как правило, их строят только в интервале положительных значений
частоты w.
Формула (29) обратного преобразования Фурье предполагает интегрирование комплексных функций и поэтому не всегда удобна для непосредственных вычислений. При помощи формулы Эйлера и выражения (31) формулу обратного преобразования можно привести
к виду:
∞
1
𝑥(𝑡) = ∫ [𝑎(𝜔) cos(𝜔𝑡) + 𝑏(𝜔) sin(𝜔𝑡) 𝑑𝜔.
𝜋
(36)
0
Рис. 15. Спектральные характеристики:
а) годограф; б) амплитудная; в) фазовая
Энергия сигнала
∞
𝐸𝑥 = ∫ 𝑥 2 (𝑡) 𝑑𝑡.
(37)
−∞
Для расчета энергии сигнала через его спектральную характеристику можно применить
теорему Парсеваля, которая говорит о том, что интеграл квадрата функции равен интегралу
квадрата результата преобразования этой функции. Таким образом:
∞
𝐸𝑥 = ∫ 𝑥
−∞
∞
2 (𝑡)
∞
1
1
𝑑𝑡 =
∫ 𝑋(𝑗𝜔)2 𝑑𝜔 = ∫ |𝑋(𝑗𝜔)|2 𝑑𝜔.
2𝜋
𝜋
−∞
(38)
0
Пример 1. Задание: выполнить преобразование Фурье для заданного сигнала, определить аналитическое выражение для спектральной плотности, найти с помощью средств
Mathcad амплитудно-частотную и фазово-частотную характеристики, построить их графики.
Выполнить обратное преобразование Фурье для различных интервалов вычисления интеграла.
28
Оценить погрешность, построив график восстановленного сигнала.
29
На рассмотренном примере четного сигнала видим, что спектральная плотность является вещественнозначной, следовательно, фаза принимает только для значения 0, 𝜋.
Пример 2. Формируется математическая модель сигнала x(t), представляющий собой
импульс заданной формы.
Рис. 16. График сигнала,
заданного с помощью элементов программирования Mathcad
Составляется функция вычисления спектральной характеристики X(w). По данной
функции строится годограф, амплитудная А(w) и фазовая Ф(w) спектральные характеристики
на интервале от 0 до wc. (рис. 17 а, б). Пределы интегрирования берутся от 0 до Tc. Прямое
преобразование Фурье для вычисления спектральной плотности:
30
Строим годограф спектральной характеристики на комплексной плоскости.
Рис. 17а. Амплитудная спектральная характеристика
Рис. 17б. Фазовая спектральная характеристика
Правая граница частотного интервала [0, wc] подбирается так, чтобы амплитуды отбрасываемых гармонических составляющих не превышали 5% от максимального значения.
Составляется функция восстановления сигнала x(t) с помощью обратного преобразования
2𝜋
Фурье, интегрирование будет выполняться на интервале от 0 до 𝑤𝑐 = 𝑇 .
31
Рис. 18а. Восстановленный исходный сигнал
Сравнивая между собой исходный сигнал (рис. 16) и восстановленный сигнал (рис. 18,
а, б), можно заметить, что сигналы значительно отличаются друг от друга.
Для оценки зависимости качества восстановленного сигнала от интервала интегрирования повысим wc до 3 wc.
Рис. 18б. Восстановленный исходный сигнал при 3wc
Таким образом, можно сделать вывод, что чем больше wc, тем меньше погрешность при
восстановлении сигнала. Проведем расчет энергии сигнала:
Оценка энергии сигнала с помощью амплитудной спектральной характеристики при
различных значениях wc:
32
Отсюда можно сделать вывод, что чем шире интервал интегрирования, тем выше точность энергии сигнала.
Преобразование Фурье обобщается на случай двух и более переменных.
Свойства преобразования Фурье.
если
1. Линейность:
𝑋1 (𝜔) = 𝐹(𝑥1 (𝑡)), 𝑋2 (𝜔) = 𝐹(𝑥2 (𝑡)), то
𝐹𝐶1 𝑥1 (𝑡) + 𝐶2 𝑥2 (𝑡)) = 𝐶1 𝑋1 (𝜔) + 𝐶2 𝑋2 (𝜔).
2. Теорема запаздывания:
если 𝑋(𝜔) = 𝐹(𝑥(𝑡)), то 𝐹(𝑥(𝑡 − 𝑡0 )) = 𝑋(𝜔)𝑒 −𝑖𝜔𝑡0 .
Теорема запаздывания позволяет определять спектральную плотность запаздывающего
сигнала по спектральной плотности сигнала 𝑥(𝑡).
3. Теорема смещения:
𝐹(𝑥(𝑡)𝑒 𝑖𝜔0 𝑡 ) = 𝑋(𝜔 − 𝜔0 ).
Из теоремы смещения следует, что спектр сигнала 𝑥(𝑡)𝑒 𝑖𝜔0 𝑡 на несущей частоте 𝜔0 и
огибающей 𝑥(𝑡) совпадает со спектром функции 𝑥(𝑡), сдвинутым по оси частот на 𝜔0 .
4. Формула свертки:
∞
𝐹(𝑥1 (𝑡)𝑥2 (𝑡)) = ∫ 𝑋1 (𝜔 − 𝜗)𝑋2 (𝜗) 𝑑𝜗.
−∞
Формула свертки означает, что Фурье-образом произведения функций 𝑥1 (𝑡)𝑥2 (𝑡) является свертка образов сомножителей 𝑋1 (𝜔)𝑋2 (𝜔).
33
ОКОННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Гармонический анализ – основное средство, позволяющее изучить реальные сигналы
посредством разложения их на гармонические составляющие или представления в виде интегралов Фурье. Преобразование Фурье отображает данные о частотах гармонических составляющих сигналов, но не дает представления о локальных особенностях сигналов. Например,
преобразование Фурье не позволяет отличить стационарный сигнал, равный сумме двух гармонических функций от нестационарного сигнала, состоящего из двух последовательных гармоник с теми же частотами. Преобразование Фурье не позволяет анализировать зависимость
частоты сигнала от времени.
Для анализа временного поведения сигнала можно использовать так называемое оконное
преобразование Фурье, которое представляет собой преобразование Фурье, выполняемое последовательно по каждому подинтервалу, выделенному движущейся по сигналу оконной функцией. В результате получается семейство спектров. Если в каком-то окне существовали частотные составляющие ряда, то они будут присутствовать и в спектре. В противном случае частотных составляющих не будет наблюдаться. Формула прямого преобразования Фурье имеет вид:
∞
𝑋(𝜔, 𝑡) = ∫ 𝑥(𝜏)𝑤(𝜏 − 𝑡)𝑒 −𝑖𝜔𝜏 𝑑𝜏,
(39)
−∞
где
𝑤(𝜏 − 𝑡) – оконная функция, которая определена на интервале времени длительностью
и равна нулю за пределами этого интервала. Для того чтобы получить представление об изменении спектральной характеристики X (, t) по времени, t задают последовательно значения 0, ,
2, ... . При этом оконная функция перемещается дискретно вдоль оси времени и получается
набор спектральных характеристик, позволяющий судить об изменении спектра сигнала во
времени.
Используются следующие типы оконных или весовых функций, для всех верно: 𝑤(𝑡) =
0, 𝑥 ∈ (−∞, 0) ∪ (1, ∞) (табл. 1).
Таблица 1
Оконные функции
𝑤(𝑡) = 1,
Прямоугольное окно
Треугольное окно (Бартлетта)
𝑡 ∈ [0,1]
𝑤(𝑡) = 1 − |1 − 2𝑡|,
𝑤(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛2 (𝜋𝑡),
окно Ханна (Хенинга)
Окно Хэмминга
𝑡 ∈ [0,1]
𝑡 ∈ [0,1]
𝑤(𝑡) = 0,54 − 0.46𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑡),
𝑡 ∈ [0,1]
Окно Наттола
𝑤(𝑡) = 0,355768 − 0,487396𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑡) −
0,144232𝑐𝑜𝑠(4𝜋𝑡) + 0,012644 𝑐𝑜𝑠(6𝜋𝑡), 𝑡 ∈ [0,1]
Окно Блекмана
𝑤(𝑡) = 0.42659 − 0.49656𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑡) −
0,076849𝑐𝑜𝑠(4𝜋𝑡) , 𝑡 ∈ [0,1]
Окно Гаусса
𝑤(𝑡) = 𝑒𝑥𝑝(−
(∝ (2𝑡 − 1))2
),
2
𝑡 ∈ [0,1]
Представленные оконные функции симметричны относительно середины интервала
t = 0,5, которым ограничены ненулевые значения функции, вне этого интервала значения
функции равны нулю.
Различные технические и инженерные задачи требуют конструирования оконных функций, удовлетворяющих необходимым требованиям. Например, задача улучшения характеристик диаграмм направленности антенных решёток; частотно-временной анализ электромагнитных сигналов, генерируемых при развитии деструктивных процессов в шахтных сооружениях;
сигналов, получаемых при исследовании турбулентных течений, и др. Известно, что при использовании оконных функций низкий уровень боковых лепестков способствует лучшей фильтрации от побочных спектральных составляющих, порожденных эффектом Гиббса. Но в то же
34
время низкий уровень боковых лепестков приводит к большим потерям на краях анализируемой дискретной выборки сигнала во временной области, соответственно, при обработке каждой выборки часть сигнала будет необратимо потеряна. Созданию весовых или оконных функций, оптимальных по тем или иным критериям, посвящено большое число публикаций.
Для количественных оценок различных окон используется комплекс показателей:
– ширина полосы на уровне половинной мощности, т.е. на уровне, который на 3 дБ
ниже максимума главного лепестка;
– эквивалентная ширина полосы;
– пиковый уровень боковых лепестков, позволяющий сделать вывод о подавлении
«просачивания» частот в области боковых лепестков;
– скорость спадания боковых лепестков, которая позволяет сделать вывод о скорости
спадания в области «просачивания» (измеряется в дБ/октава).
Matcad Prime имеет хорошо развитый инструментарий для применения оконных функций к анализу дискретных сигналов:
• функция blackman(n) возвращает окно Блэкмена ширины n;
• функция cheby(n, b) возвращает окно Чебышева ширины n с неравномерностью в боковых лепестках b;
• функция costaper(n, a) возвращает окно косинусного тайпера длины n с относительной
величиной приподнятого косинуса, заданной параметром a;
• функция gaussian(n, a) возвращает окно Гаусса ширины n. Параметр a определяет ширину пика;
• функция hamming(n) возвращает окно Хэмминга ширины n;
• функция hanning(n) возвращает окно Хенинга ширины n;
• функция kaiser(n, b) возвращает окно Кайзера ширины n с параметром b;
• функция nuttall(n) возвращает окно Нуттела ширины n;
• функция taprect(n) возвращает трапециевидное окно ширины n;
• функция triangular(n) возвращает треугольное окно ширины n;
Все эти функции возвращают вектор длины n, содержащий соответствующие значения
окна данных дискретного времени.
В Matcad Prime имеется возможность выбора вида оконной функции, задания параметров, введения пользовательской оконной функции, также имеется набор примеров, показывающих использование оконных функций. URL: http://support.ptc.com/help/mathcad/ru/index.html#page/PTC_Mathcad_Help%2Fexample_signal_windowing.html%23
Задание для самостоятельной работы
Построить график выбранной оконной функции (для окна Гаусса выбирать значения
∝ = 1.2; 1.7; 2.2). Построить график амплитудного спектра оконной функции, оценить основные показатели ОФ: ширину главного лепестка по уровню -3 дБ, ширину главного лепестка
по нулевому уровню, максимальный уровень боковых лепестков, коэффициент ослабления
оконной функции.
При выполнении свертки с оконной функцией амплитуда результирующей функции
будет отличаться от исходной. Для возможности учета и коррекции данного эффекта применяют так называемый коэффициент ослабления оконной функции, равный отношению постоянной составляющей оконной функции к постоянной составляющей прямоугольного окна,
равного площади:
1 𝑇
(40)
𝛽 = 𝑇 ∫0 𝑤(𝑡) 𝑑𝑡.
С учетом коэффициента ослабления оконное преобразование Фурье можно записать в
виде:
1
∞
𝑋(𝜔, 𝑡) = 𝛽 ∫−∞ 𝑥(𝜏)𝑤(𝜏 − 𝑡)𝑒 −𝑖𝜔𝜏 𝑑𝜏.
35
(41)
Провести анализ сигнала 𝑥(𝑡) = sin(𝑡 3 ) , 𝑡 ∈ [0,2𝜋] с помощью оконного преобразования Фурье, используя окна Хэмминга, Гаусса, Блекмана.
Вейвлет-анализ сигналов
Английское слово “wavelet” переводится как «короткая (маленькая) волна» или
«всплеск». Основные положения вейвлет-анализа были сформулированы в работах Ж. Морле
и А. Гроссмана (1983 г.) и широко применяются при анализе и синтезе сигналов в сейсмической геофизике, астрофизике, медицине, для обработки больших объемов информации, фильтрации сигналов, анализа турбулентности. Вейвлет-преобразование применяется также для
сжатия больших объемов информации.
В дискретном вейвлет-преобразовании наиболее значимая информация в сигнале содержится при высоких амплитудах, а менее полезная – при низких. Сжатие данных может быть
получено за счет отбрасывания низких амплитуд. Вейвлет-преобразование позволяет получить
высокое соотношение сжатия в сочетании с хорошим качеством восстановленного сигнала.
Вейвлет-преобразование было выбрано для стандартов сжатия изображений JPEG2000 и ICER.
Однако при малых сжатиях вейвлет-преобразование уступает по качеству в сравнении с оконным Фурье-преобразованием, которое лежит в основе стандарта JPEG.
Все вейвлет-преобразования могут рассматриваться как разновидность временно-частотного представления сигналов и, следовательно, относятся к предмету гармонического анализа. Первым и наиболее простым вейвлетом можно считать вейвлет Хаара.
Вейвлеты, образующие дискретное вейвлет-преобразование, могут рассматриваться
как разновидность фильтра конечного импульсного отклика.
Вейвлет-преобразование (ВП) сигнала – это его представление в виде обобщенного
ряда или интеграла Фурье по системе базисных функций. Семейство вейвлетов получается на
основе материнского вейвлета путем сдвига по времени и растяжения (сжатия) или масштабирования и образует систему базисных функций, которую можно использовать для представления сигнала в виде обобщенного ряда или интеграла Фурье:
1
𝑡−𝑏
(42)
𝜓𝑎𝑏 (𝑡) =
𝜓(
)
𝑎
√𝑎
материнского (исходного) вейвлета 𝜓(𝑡), обладающего определенными свойствами за счет
1
операций сдвига во времени (𝑏) и изменения временного масштаба (𝑎) (рис. 1). Множитель 𝑎
√
обеспечивает независимость нормы этих функций от масштабирующего числа 𝑎.
Итак, для заданных значений параметров 𝑎 и 𝑏 функция 𝜓𝑎𝑏 (𝑡) и есть вейвлет, порождаемый материнским вейвлетом 𝜓(𝑡).
На рис. 19 в качестве примера приведены вейвлет «мексиканская шляпа» (а) и модуль
его спектральной плотности (б).
Рис. 19а, б. Вейвлет «мексиканская шляпа» и модуль его спектральной плотности
В частотной области спектры вейвлетов похожи на всплески с пиком на частоте 𝜔0 и
полосой Δω, т.е. имеют вид полосового фильтра; при этом 𝜔0 и Δω уменьшаются с ростом
параметра a. Малые значения параметра а соответствуют высоким частотам (ω ~ 1/ a ), большие значения параметра a – крупному масштабу 𝜓𝑎𝑏 (𝑡), т.е. растяжению материнского
36
вейвлета 𝜓(𝑡) и сжатию его спектра. С увеличением параметра 𝑎 происходит растяжение базисной функции 𝜓[(𝑡 − 𝑏)/𝑎] и, соответственно, уменьшение полосы частотного «окна».
Вейвлеты локализованы как во временной, так и в частотной областях.
Следует отметить, что спектральное представление (Фурье-образ) вейвлетов аналогично заданию окна в оконном преобразовании Фурье. Но отличие состоит в том, что свойства
окна (его ширина и перемещение по частоте) присущи самим вейвлетам. Поэтому с помощью
вейвлетов можно осуществить анализ и синтез локальной особенности любого сигнала x(t).
В качестве базисных функций, образующих ортогональный базис, можно использовать
широкий набор вейвлетов. При этом исходная функция должна обладать следующими свойствами.
Ограниченность. Квадрат нормы функции должен быть конечным:
∞
‖𝜓‖2 = ∫ |𝜓(𝑡)|2 𝑑𝑡 < ∞.
−∞
Локализация. Вейвлет-преобразование в отличие от преобразования Фурье использует
локализованную исходную функцию и во времени, и по частоте. Для этого достаточно, чтобы
выполнялись условия:
|𝜓(𝑡)| ≤ 𝐶(1 + |𝑡|)−1−𝜀 и |𝑆𝜓 (𝜔)| ≤ 𝐶(1 + |𝜔|)−1−𝜀 , при 𝜀 > 0.
Например, дельта-функция δ(t) и гармоническая функция не удовлетворяют необходимому условию одновременной локализации во временной и частотной областях.
Нулевое среднее. График исходной функции должен осциллировать (быть знакопеременным) вокруг нуля на оси времени (см. рис. 1) и иметь нулевую площадь:
∞
∫ 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 = 0.
−∞
Равенство нулю площади функции 𝜓(𝑡) , т.е. нулевого момента, приводит к тому, что
фурье-преобразование 𝑆𝜓 (𝜔) этой функции равно нулю при ω = 0 и имеет вид полосового
фильтра. При различных значениях 𝑎 это будет набор полосовых фильтров.
Часто для приложений бывает необходимо, чтобы не только нулевой, но и все первые
n моментов были равны нулю
∞
∫ 𝑡 𝑛 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 = 0.
−∞
Вейвлеты n-го порядка позволяют анализировать более тонкую (высокочастотную)
структуру сигнала, подавляя медленно изменяющиеся его составляющие.
Автомодельность. Характерным признаком ВП является его самоподобие. Все вейвлеты конкретного семейства 𝜓𝑎𝑏 (𝑡) имеют то же число осцилляций, что и материнский вейвлет
𝜓(𝑡), поскольку получены из него посредством масштабных преобразований (𝑎) и сдвига (𝑏).
Примеры материнских вейвлетов
Основные вейвлетообразующие функции, или материнские вейвлеты, приведены в табл. 2.
Наиболее распространенные вещественные базисы конструируются на основе произ𝑡2
водных функции Гаусса (𝑔0 (𝑡) = exp(− 2 )). Это обусловлено тем обстоятельством, что функция Гаусса имеет наилучшие показатели локализации как во временной, так и в частотной
областях.
На рис. 20 показаны вейвлеты первых четырех порядков и модули их спектральной
плотности. При n = 1 получаем вейвлет первого порядка, называемый WAVE-вейвлетом с равным нулю нулевым моментом. При n = 2 получаем MHAT-вейвлет, называемый «мексиканская шляпа» (“mexican hat” – «похож на сомбреро»). У него нулевой и первый моменты равны
нулю, он имеет лучшее разрешение, чем WAVE-вейвлет.
37
Основные вейвлетообразующие функции
Таблица 2
Рис. 20. Вейвлеты первых четырех порядков и модули их спектральных плотностей
Непрерывное вейвлет-преобразование
Непрерывное вейвлет-преобразование (НВП или СWT – continuous wavelet transform).
Сконструируем базис 𝜓𝑎𝑏 (𝑡) с помощью непрерывных масштабных преобразований (𝑎) и
38
переносов (𝑏) материнского вейвлета 𝜓(𝑡) с произвольными значениями базисных параметров
𝑎 и 𝑏 в формуле (1). Тогда непрерывное прямое вейвлет-преобразование, равное скалярному
произведению сигнала 𝑥(𝑡) и функции 𝜓𝑎𝑏 (𝑡), и обратное имеют вид:
∞
1
(43)
𝑡−𝑏
𝑊𝑥 (𝑎, 𝑏) = (𝑥(𝑡), 𝜓𝑎𝑏 (𝑡)) =
∫ 𝑥(𝑡)𝜓 (
) 𝑑𝑡,
𝑎
√𝑎
∞
𝑥(𝑡) =
∞
−∞
1
𝑑𝑎𝑑𝑏
∫ ∫ 𝑊𝑠𝑥 (𝑎, 𝑏)𝜓𝑎𝑏 (𝑡) 2 ,
𝐶𝜓
𝑎
(44)
−∞ −∞
∞
∫−∞|Ψ(𝜔)|2 |𝜔|−1 𝑑𝜔
где 𝐶𝜓 =
< ∞ – нормирующий коэффициент, (𝑥(𝑡), 𝜓𝑎𝑏 (𝑡))– скалярное
произведение соответствующих сомножителей, Ψ(𝜔) – фурье-преобразование вейвлета 𝜓(𝑡).
Для ортонормированных вейвлетов 𝐶𝜓 = 1. Использование локализованных по времени и по
частоте базисных функций позволяет анализировать особенности сигналов, меняющихся во
времени, и строить вейвлет-спектр 𝑊𝑥 (𝑎, 𝑏) как функцию двух независимых аргументов: первый аргумент 𝑎 (временной масштаб) аналогичен периоду осцилляций, т.е. обратен частоте, а
второй 𝑏 – аналогичен смещению сигнала по оси времени.
Если исследуемый сигнал 𝑥(𝑡) представляет собой одиночный импульс длительностью
𝜏𝑢 , сосредоточенный в окрестности 𝑡 = 𝑡0 , то его вейвлет-спектр будет иметь наибольшее значение в окрестности точки с координатами 𝑎 = 𝜏𝑢 , 𝑏 = 𝑡0 .
Способы представления (визуализации) вейвлет-спектра 𝑊𝑥 (𝑎, 𝑏) могут быть либо поверхностью в трехмерном пространстве, либо графиком контурного типа, представляющим
проекцию 𝑊𝑥 (𝑎, 𝑏) на плоскость 𝑎𝑏 с изоуровнями, показывающими изменение интенсивности амплитуд ВП на разных масштабах (𝑎) и во времени (𝑏).
Matcad Prime имеет функции, позволяющие проводить вейвлет-преобразование дискретных сигналов:
• wave(v) – возвращает вейвлет-преобразование данных в векторе v, используя
вейвлет-фильтр Добеши с четырьмя коэффициентами.
• iwave(u) – возвращает обратное дискретное вейвлет-преобразование данных в векторе u.URL: http://support.ptc.com/help/mathcad/ru/index.html#page/PTC_Mathcad_Help%2Fwav
elet_transforms.html%23
Примеры вейвлет-преобразований тестовых сигналов
Пример 1. Гармоническое колебание s(t):
;
.
Зададим одну из основных вейвлетообразующих функций MHAT(t), выполним
вейвлет-преобразование, N = 256, и построим 3-d график вейвлет-спектра и график изолиний:
;
W( a b )
N
( a b t) s ( t) dt N
N
39
a b
W( a b ) .
N
N
Пример 2. Сумма двух гармонических колебаний. Зададим сигнал в виде суммы двух
гармонических колебаний:
s ( t) A sin t A sin t ;
1
1
2
2
Построим график сигнала s(t):
2
1
s( t )
0
1
2
0
100
200
t
Получим вейвлет-спектр:
N
t b
( a b t) s ( t) dt;
( a b t) MHAT
W( a b )
a
N
.
График в виде изоуровней:
N
40
На приведенном ниже рисунке представлены «сечения» вейвлет-спектра для двух значений параметра 𝑎. При относительно небольшом параметре временного масштаба 𝑎, т.е. при
𝑎1 = 2 (𝑎1 : 1/𝜔2 ), сечение спектра несет информацию только о высокочастотной составляющей сигнала, отфильтровывая (подавляя) его низкочастотный компонент. С ростом 𝑎 происходит растяжение базисной функции 𝜓[(𝑡 − 𝑏)/𝑎] и, следовательно, сужение ее спектра, т.е.
уменьшение полосы частотного «окна». В результате при 𝑎2 = 15 (𝑎2 : 1/𝜔1 ) сечение спектра
представляет собой лишь низкочастотный компонент сигнала. При дальнейшем увеличении 𝑎
полоса окна еще уменьшается и уровень этого низкочастотного компонента убывает до постоянной составляющей (при 𝑎 > 25), равной нулю для анализируемого сигнала.
30
20
10
N2 b
N15 b
0
10
20
30
0
10
20
30
40
50
b
На следующем рисунке представлены сечения вейвлет-спектра 𝑊(𝑎, 𝑏), характеризующие текущий спектр сигнала при 𝑏1 = 13 и 𝑏2 = 17.
Итак, очевидно, что спектр рассматриваемого сигнала в отличие от гармонического содержит еще высокочастотный компонент в области малых значений временного масштаба
𝑎 (𝑎: 1 … 3), который соответствует второй составляющей сигнала, т.е. 𝐴2 sin(𝜔2 𝑡).
Пример 3. Прямоугольный импульс. Зададим прямоугольный импульс и построим
его график:
s ( t) U if t0 t t0 ;
0 otherwise
.
41
6
4
s( t )
2
0
0
50
100
t
Выполним остальные операции аналогично:
( a b t) MHAT
t b
a
W( a b )
N
( a b t) s ( t) dt;
N
.
N
b a
W( a b ).
N
N
42
Как видно из рисунка, вейвлет-спектр хорошо передает тонкие особенности сигнала –
его скачки на отсчетах 𝑏 = 20 и 𝑏 = 80 (при 𝑎: 1 … 5).
Задание для самостоятельной работы
Для того чтобы изучить основные отличия между гармоническим анализом и вейвлетанализом, в работе предлагается построить спектральные характеристики и вейвлет-спектрограммы тестовых сигналов, описываемых функциями:
Для анализа данных сигналов в лабораторной работе используются рассмотренные
выше вейвлеты MHAT и DOG. Для построения вейвлет-функций необходимо определить пределы изменения параметров a, b и интервалы их дискретизации. Чёткие рекомендации по выбору указанных параметров дать трудно. Обычно они подбираются в процессе анализа с учётом сохранения возможности восстановления сигнала из его вейвлет-спектрограммы.
43
В среде MathCAD записываются функции x1 (t) и x2 (t), описывающие заданные сигналы S = 0,3. Параметры сигналов D1 = 1, D2 = 0,3 T1 = 0,5 , T2 = 3:
Графики функций:
С помощью преобразования Фурье получим амплитудные спектральные характеристики сигналов:
Амплитудные и фазовые спектральные характеристики сигналов:
44
На спектральной диаграмме можно выделить частоты:
45
Очевидна продолжительность сигнала в течение 10 с и смена частоты.
Из анализа графиков очевидно наличие в сигнале двух частот. Из графиков видно, как
влияют значения параметров a и b на вид вейвлета: параметр а меняет амплитуду (масштаб)
материнского вейвлета, параметр b обеспечивает временной сдвиг. Также видно, что вейвлеты
локализованы во временной области.
Построим вектор-спектрограммы сигналов x1 (t) и x2 (t) в виде поверхности с использованием 3-D графики, а ее проекцию на плоскость (a, b) в виде линий уровня.
В результате получаем графики (используются вейвлеты MHAT):
При использовании вейвлетов DOG графики спектров аналогичны.
Рассмотрим пример функции с динамическим спектром.
.
Амплитудный и фазовый спектры:
46
Вектор-спектрограммы сигналов:
а) при использовании MHAT-вейвлетов
б) при использовании DOG-вейвлетов
Таким образом, непрерывное вейвлет-преобразование представляет собой разложение
сигнала по всем возможным сдвигам и сжатиям/растяжениям некоторой локализованной
функции – вейвлета. При этом переменная a определяет масштаб вейвлета и эквивалентна частоте в преобразованиях Фурье, а переменная b – сдвиг вейвлета по сигналу от начальной
точки в области его определения, шкала которого полностью повторяет временную шкалу анализируемого сигнала. Отсюда следует, что вейвлетный анализ является частотно-пространственным анализом сигналов.
Результирующий вейвлетный спектр непрерывного вейвлет-преобразования показывает точное положение на временной оси b максимумов и минимумов сигнала.
47
АНАЛОГОВЫЕ ФИЛЬТРЫ ВЕРХНИХ И НИЖНИХ ЧАСТОТ
Аналоговые фильтры используются главным образом для обработки сигналов в электронике. Среди их наиболее популярных приложений отмечают антиалиасинг-обработку, выборку определённой радиостанции в радиоприёмниках, разделение звукового сигнала перед
воспроизведением и др. URL: https://portal.tpu.ru/SHARED/v/VOS/study/disc1/Tab/tema06.pdf
Обработка сигналов с помощью фильтров позволяет подавлять шумы, устранять искажения, проводить разделение сигналов и т.д., при этом фильтрация должна менять частотный
спектр сигнала, подавляя или выделяя требуемые частотные составляющие.
По виду амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) фильтры можно классифицировать: фильтры нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ), полосно-пропускающие, или полосовые (ПП), и полосно-задерживающие (ПЗ). АЧХ идеального фильтра имеет вид прямоугольника, соответственно, его типа, но реализовать фильтр с идеальными характеристиками
невозможно.
Задача проектирования оптимального фильтра по заданным требованиям к частотным
характеристикам является достаточно сложной и многоэтапной. На первом этапе решается задача аппроксимации, которая заключается в определении передаточной функции 𝐻н (𝑠) устойчивого и физически реализуемого фильтра, АЧХ которого наилучшим образом приближается
к определенной идеальной характеристике.
Получить идеальные характеристики у фильтров, удовлетворяющих приведенным
выше условиям, на практике не удается. Поэтому обычно при проектировании аналоговых
фильтров задаются определенные требования к частотным характеристикам, которые определяют степень их отклонения от идеальных. Передаточная функция устойчивого и физически
реализуемого фильтра должна удовлетворять условиям:
– число нулей и полюсов передаточной функции должно быть конечным;
– число нулей не должно превышать число полюсов;
– полюсы должны располагаться в левой полуплоскости.
На рис. 21 показана АЧХ реального ФНЧ, физически реализуемый фильтр всегда имеет
переходную полосу между полосами пропускания и задерживания. Она расположена между
частотой среза 𝜔𝑐 и граничной частотой полосы задерживания 𝜔𝑠 . Отношение 𝜔𝑠 /𝜔𝑐 характеризует избирательность фильтра.
Рис. 21. АЧХ реального ФНЧ
К характеристикам фильтров относятся: передаточная функция, амплитудно-частотная
характеристика, фазово-частотная характеристика, частота среза ωср (fср), постоянная времени τ, полоса пропускания (подавления) Δω (Δf), резонансная частота; добротность.
48
Передаточная функция – это отношение изображения по Лапласу выходного сигнала к
изображению по Лапласу входного сигнала:
𝐿{𝑈вых (𝑡)}
𝐻н (𝑠) =
.
𝐿{𝑈вх (𝑡)}
В практике проектирования фильтров широко используется понятие нормированного
фильтра. Передаточная функция фильтров Баттерворта и Чебышева представлены в виде:
𝑏0
𝑏0
(45)
𝐻н (𝑠) =
= 𝑛
.
𝑛−1
𝐴(𝑠) 𝑠 + 𝑎𝑛−1 𝑠
+ ⋯ + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0
Полоса частот, в которой сигналы пропускаются (усиливаются) фильтром, называется
полосой пропускания. Полоса частот, где сигналы подавляются (ослабляются) фильтром,
называется полосой задерживания. Частоты, лежащие на границе полос пропускания и задерживания, называются граничными частотами.
Так как фильтр реализуют в виде последовательного соединения звеньев первого и второго порядка, то знаменатель передаточной функции 𝐴(𝑠) можно представить в виде произведения сомножителей не выше второго порядка (формула (46)).
𝑛/2
∏(𝑠 2 + 𝛼1𝑖 𝑠 + 𝛼2𝑖 ), при чётных 𝑛;
𝑖=1
(𝑛−1)/2
𝐴(𝑠) =
{
(46)
(𝑠 − 𝛼0 ) ∏ (𝑠 2 + 𝛼1𝑖 𝑠 + 𝛼2𝑖 ), при нечётных 𝑛.
𝑖=1
Фильтр Баттерворта
Нормированная передаточная характеристика фильтра Баттерворта задаётся формулой:
1
(47)
𝐻(𝑠) =
,
𝐵𝑛 (𝑠)
где 𝐵𝑛 (𝑠) − нормированный полином Баттерворта порядка n.
При этом нормированные полиномы Баттерворта задаются выражением, представленным в виде:
𝑛/2
∏ [𝑠 2 − 2𝑠𝑐𝑜𝑠 (
𝐵𝑛 (𝑠) =
𝑘=1
𝑛−1/2
𝜋(2𝑘 + 𝑛 − 1)
) + 1] , при 𝑛 − четное
2𝑛
(48)
𝜋(2𝑘 + 𝑛 − 1)
(𝑠 − 1) ∏ [𝑠 2 − 2𝑠𝑐𝑜𝑠 (
) + 1] , при 𝑛 − нечетное
2𝑛
{
𝑘=1
Фильтр Баттерворта имеет АЧХ, которая может быть получена из передаточной характеристики. АЧХ описывается выражением, представленным в виде:
1
𝐺(𝜔) = |𝐻(𝑗𝜔)| =
,
(49)
√1 + (𝜔/𝜔𝑐 )2𝑛
где 𝜔𝑐 − частота среза, 𝑛 − порядок фильтра.
АЧХ фильтров Баттерворта максимально гладкая на частотах полосы пропускания, а в
полосе задерживания характеристика монотонна; графики АЧХ фильтров Баттерворта представлены для 𝑛 = 2, 3, 6 на рис. 22.
При увеличении порядка фильтра Баттерворта (𝑛) коэффициент передачи полосы пропускания начинает стремиться к единице. При этом форма остается АЧХ остается неизменной.
То есть если 𝑛 → ∞, то АЧХ фильтра Баттерворта становится прямоугольной функцией.
49
Рис. 22. АЧХ нормированных фильтров Баттерворта
Фильтр Баттерворта обладает следующими особенностями.
1. При любом 𝑛 справедливо:
𝐻(0) = 0;
𝐻(𝜔𝑐 ) = 1/√2;
lim 𝐻(𝜔) = 0.
𝜔→0
2. АЧХ имеет максимальное значение при 𝜔 = 0, так как функция |𝐻(𝜔)| монотонно
убывает.
3. Фильтр Баттерворта – фильтр с максимально плоской АЧХ, так как первые (2𝑛 − 1)
производные АЧХ равны нулю при 𝜔 = 0.
дБ
4. Крутизна фильтра 𝑛 − го порядка на высоких частотах 20𝑛 .
дек
5. Фазочастотная характеристика фильтра Баттерворта n-го порядка при изменении ча𝑛𝜋
стоты 𝜔 от 0 до ∞, соответственно, изменяется от 0 до − 2 .
Передаточная функция фильтра Баттерворта не имеет нулей (50), полюсы расположены на круге радиусом 𝜔𝑐 в левой полуплоскости, а их количество определяется порядком
фильтра 𝑛:
𝑏0
𝜔𝑐𝑛
(50)
𝐻(𝑠) =
=
,
𝐴(𝑠) 𝐴(𝑠)
Полюсы фильтра Баттерворта можно определить по формуле:
2𝑘 − 1
2𝑘 − 1
(51)
𝑠𝑘 = − sin (
𝜋) 𝜔𝑐 + 𝑖cos (
𝜋) 𝜔𝑐 ,
2𝑛
2𝑛
где 𝜔𝑐 − граничная частота, 𝐴(𝑠) − характеристический полином n-го порядка, 𝑘 = 1, 2, … , 𝑛.
Полюсы нормированного фильтра Баттерворта располагаются на полуокружности с радиусом, равным единице.
Из этого следует, что выбор параметров 𝜔𝑐 и 𝑛 позволит получить требуемый набор
характеристик фильтра в полосе пропускания и полосе задерживания.
Фильтр Чебышева первого рода
Амплитудно-частотная характеристика ФНЧ Чебышева первого рода определяется выражением:
50
1
𝐻(𝜔) =
,
(52)
2
√1 + 𝜀 2 𝑉𝑛 (𝜔𝜔𝑐 )
где Vn – полином Чебышева порядка n, который может быть образован с помощью рекуррентной формулы:
(53)
𝑉𝑛+1 (𝑥) − 2 ∗ 𝑥𝑉𝑛 (𝑥) + 𝑉𝑛−1 (𝑥) = 0.
Здесь первые два полинома принимаются: V0 (x) = 1; V1 (x) = x.
В фильтрах Чебышева первого рода АЧХ имеет равновеликие пульсации в полосе пропускания и монотонную характеристику в полосе задерживания. Размах пульсации АЧХ определим на формуле:
1
𝛿 = √1+𝜀2 .
(54)
Таким образом, ε представляет собой свободный параметр, который устанавливает величину неравномерности передачи в полосе пропускания. Чем меньше значение ε, тем меньше
ширина полосы, в которой колеблется АЧХ в полосе пропускания.
Рис. 23. АЧХ нормированного фильтра Чебышева первого типа
Фильтр Чебышева имеет следующие свойства.
1. АЧХ удовлетворяет условиям:
1
𝐻(𝜔) =
;
√1 + 𝜀 2
(55)
1, если 𝑛 нечетно;
𝐻(0) = { 1
, если 𝑛 четно .
√1 + 𝜀 2
1
2. На интервале [0, ωс] значения функции H (ω) лежат в пределах от √1+𝜀2 до 1. На этом
интервале имеется n критических точек, в которых функция H (ω) достигает минимального
1
значения √1+𝜀2 или максимального значения, равного 1.
При ω ≥ ωс функция 𝐻(𝜔) монотонно убывает и стремится к нулю. Крутизна спада на
высоких частотах составляет 20n дБ/дек. Выбирая значения n и ε, можно удовлетворить заданный набор требований к фильтру в полосе пропускания и полосе задерживания. Передаточная
функция фильтра Чебышева первого рода не имеет нулей. Полюсы размещены в левой полуплоскости на эллипсе, большая ось которого располагается на оси ординат, а малая – на оси
абсцисс.
Проектирование стандартных типов фильтров начинается с определения передаточной
функции ФНЧ с нормированной характеристикой, которая означает, что частота среза 𝜔𝑐 = 1.
Далее передаточная функция нормированного фильтра преобразуется в передаточную функцию требуемого фильтра с помощью операций денормирования (масштабирование по частоте) и трансформации (преобразование типа фильтра).
51
Денормирование заключается в переходе от нормированных параметров к истинным.
В передаточной функции нормированного ФНЧ оператор 𝑠 заменяют на оператор 𝑠/𝜔𝑐 . При
этом амплитудно-частотные характеристики нормированного и денормированного фильтров
Баттерворта отличаются только масштабом по оси частот:
𝐻ФНЧ (𝑠) = 𝐻н (𝑠/𝜔𝑐 ).
(56)
Задание для самостоятельной работы
Рассмотрим методы расчета ФНЧ Баттерворта и Чебышева по заданным требованиям
амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и исследуем частотные и временные характеристики рассчитанных фильтров. Изучим применение встроенных функций Mathcad Prime
для расчета характеристик фильтров. Определим передаточную функцию фильтра:
𝐻(𝑗𝜔) = 𝐻(𝑠)𝑠=𝑗𝜔 .
Частота 𝜔 выбирается в диапазоне от 0 до 3𝜔с . АЧХ рассчитывается по формуле:
𝐺(𝜔) = |𝐻(𝑗𝜔)|.
(57)
При расчёте ФЧХ в системе MathCAD используется формула:
𝜑(𝜔) = 𝑎𝑟𝑔(𝐻(𝑗𝜔)).
(58)
Для расчёта полюсов в системе MathCAD применяют функцию polyroots(v).
Пример расчета ФНЧ Баттерворта
1. Выполним расчёт передаточных функций ФНЧ Баттерворта 2 и 3-го порядка с заданным значением частоты среза (𝜔𝑐 = 1). Передаточная характеристика ФНЧ Баттерворта представлена на рис. 24 для 𝑛 = 2 и 3.
.
Рис. 24. Передаточная характеристика: слева – 𝑛 = 2, справа – 𝑛 = 3
Составим программу расчета передаточной характеристики (H(p)), АЧХ (G(ω)) (рис. 25)
и ФЧХ (φ(ω)). Нормированный полином Баттерворта при чётном n и нечетном n:
52
Нормированная передаточная характеристика фильтра Баттерворта для чётного и нечётного порядков фильтра и формулы для АЧХ:
.
Рис. 25. АЧХ фильтра Баттерворта 2, 3-го порядков
Формулы, описывающие ФЧХ:
Находятся полюса фильтров для n =2, 3:
.
53
Используя функцию polyroots(v), где v – вектор – столбец, состоящий из коэффициентов полинома, найти полюса наших фильтров, изобразить их на комплексной плоскости. Так
как все корни находятся в левой полуплоскости, то фильтр можно считать устойчивым и реализуемым на практике.
ФНЧ Чебышева 1-го рода
1. Составим программу для расчета АЧХ и ФЧХ ФНЧ Чебышева 1-го рода. Программа
представлена для 2 и 3-го порядков фильтра соответственно.
Программа расчета АЧХ и ФЧХ ФНЧ Чебышева 2-го порядка
54
Программа расчета АЧХ и ФЧХ ФНЧ Чебышева 3-го порядка
1. Используя программу, построим АЧХ и ФЧХ фильтров Баттерворта 2 и 3-го порядков (рис. 26 и 27 соответственно).
Рис. 26. АЧХ ФНЧ Баттерворта: красный – 𝑛 = 2, синий – 𝑛 = 3
Рис. 27. ФЧХ ФНЧ Баттерворта: красный – 𝑛 = 2, синий – 𝑛 = 3
1. Полюса найдем аналогично ФНЧ Баттерворта. Программа рассчета полюсов и их
графическое отображение представлены на рис. 28.
55
Рис. 28. ФЧХ ФНЧ Баттерворта:
красный – 𝑛 = 2, синий – 𝑛 = 3
Сведения о функциях полосовой фильтрации в Matcad Prime. URL: http://support.ptc.com/help/mathcad/ru/#page/PTC_Mathcad_Help%2Fabout_digital_filtering_functions.html%23
Следующие функции используются при создании фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ) и бесконечной импульсной характеристикой (БИХ).
• gain – возвращает коэффициент усиления фильтра;
• response, fftfilt – возвращает отклик вектора на фильтр с импульсной характеристикой
конечной длительности или фильтр с бесконечной импульсной характеристикой;
• bandpass, bandstop, highpass, lowpass – возвращает коэффициенты для полосы пропускания, полосы затухания, верхних частот или нижних частот фильтра с импульсной характеристикой конечной длительности;
• remez – возвращает коэффициенты для фильтра с импульсной характеристикой конечной длительности, созданного перестановочным алгоритмом Ремеза;
• bessel, butter, cheby1, cheby2 – возвращает коэффициенты для фильтра Бесселя, фильтра Баттерворта или фильтра Чебышева I или II рода;
• iirhigh, iirlow, iirpass, iirstop – возвращает коэффициенты для верхних частот, нижних
частот, полосы пропускания, полосы затухания фильтра с бесконечной импульсной характеристикой;
56
• filtfilt – возвращает отклик фильтра при нулевой фазе;
• grpdelay – возвращает групповую задержку, создаваемую фильтром;
• upsample, multirate, resample – производит интерполяцию, а затем повторную выборку
массива.
Используйте функции bessel, butter, cheby1, cheby2, iirlow, iirhigh, iirpass и iirstop,
чтобы создать коэффициенты для аналогового фильтра нижних частот данного типа. Используйте коэффициенты как аргументы одной из функций iir, которые масштабируют и выполняют билинейное преобразование, чтобы создать требуемую частотную характеристику.
Для фильтров верхних и нижних частот с четным порядком n все срезы являются срезами второго порядка с тремя коэффициентами в каждом столбце. Если порядок нечетный,
последний срез будет срезом первого порядка. Для полосовых и заградительных фильтров
преобразование в цифровой фильтр продублирует порядок каждого среза.
Функции gain и response принимают массивы коэффициентов в той форме, в какой они
были созданы этими функциями. Комплексное усиление находится перемножением усилений
срезов, а отклик – передачей отклика каждого среза на следующий срез.
Задание для самостоятельной работы
Для построения ФНЧ Чебышева 1 типа, 2 типа, Бесселя, полосовой фильтр Баттерворта,
ФВЧ Баттерворта использовать примеры по ссылке. URL: http://support.ptc.com/help/mathcad/ru/#page/PTC_Mathcad_Help%2Fexample_iir_filter_design.html%23
Фильтр нижних частот Чебышева I типа
1. Определите порядок, параметр пульсации и частоту среза.
.
2. Используйте функции iirlow и cheby1, чтобы создать коэффициенты фильтра.
;
.
Постройте график величины усиления и используйте горизонтальный маркер, чтобы
отметить уровень пульсации.
;
;
.
57
Поскольку функция преобразования дана как произведение квадратичных множителей,
отображение полюсов на комплексной плоскости не требует дополнительных разъяснений.
4. Найдите комплексные корни каждого коэффициента делителя:
.
Поскольку функция преобразования является произведением квадратичных множителей, найдем комплексные корни каждого квадратичного полинома:
.
Полюсами функции преобразования фильтра A являются корни квадратных уравнений
с коэффициентами, приведенными в нечетных столбцах A, с коэффициентом квадратичного
члена впереди.
5. Найдем один комплексный корень для каждого квадратичного полинома:
;
.
1. Введем сопряженные корни:
.
7. Покажите полюса функции преобразования и отобразите их на комплексной плоскости. Добавьте единичную окружность для сравнения:
.
;
.
58
На графике полюсов видно, что все восемь полюсов находятся внутри единичной
окружности, поэтому фильтр, как и требуется, устойчив.
8. Используйте функцию max, чтобы численно проверить, что все восемь полюсов лежат внутри единичной окружности:
.
9. Примените функцию response и постройте график импульсной характеристики
фильтра A. Придайте ему вектор длины 1, представляющий единичный импульс как первый
аргумент:
;
.
Хотя длина характеристики бесконечна, она снижается почти до 0 после первых 80 членов. Условие устойчивости гарантирует ограниченность суммы абсолютных значений отклика.
Функция gain возвращает усиление на одной частоте. При использовании вектора частот функция возвращает вектор усилений (функция переноса). Это удобно для отображения.
Усиление фильтра
Усиление фильтра нижних частот
1. Используйте функцию iirlow, чтобы получить коэффициенты 2-го порядка, аналог
фильтра IIR нижних частот Баттерворта с частотой обрезания f:
;
.
Матрица A содержит коэффициенты фильтра, так что функцией переноса является:
.
2. Используйте функцию gain, чтобы вычислить усиление фильтра на частоте x:
.
3. Выполните график величины усиления частот, находящихся в диапазоне от 0 до 0.5
пробной частоты:
.
59
Усиление при частоте обрезания падает до 0,707.
4. Промасштабируйте частоту так, чтобы пробная частота была представлена как 2π, а
затем разделите на 2π аргумент частоты на функцию усиления:
.
Частота обрезания при 0,2 полного масштаба x теперь происходит при 0,4 полного ω
масштаба или 0,4 π.
Фильтры нижних частот высших порядков
1. Используйте функцию iirlow, чтобы получить коэффициенты 6-го порядка, аналог
фильтра IIR нижних частот Баттерворта с частотой обрезания f:
;
;
.
2. Используйте функцию gain, чтобы вычислить усиление фильтра на частоте x:
.
3. Выполните график величины усиления частот, находящихся в диапазоне от 0 до 0.5
пробной частоты:
;
.
60
4. Сравните отклик двух фильтров, отобразив оба отклика на одном графике.
Отклик фильтра 6-го порядка уменьшается гораздо быстрее, чем для фильтра второго
порядка. Оба фильтра имеют одинаковое усиление при частоте среза, равной 0,2.
61
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИСКРЕТНОГО СИГНАЛА
Для математически корректного описания таких идеализированных понятий, как
плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, интенсивность мгновенного источника, используется понятие обобщенных функций, которые эмпирически ввел
П. Дираком (1912), фундаментальные идеи были сформулированы С.Л. Соболевым (1935) и
Л. Шварцем.
Рассмотрим прямоугольный импульс пτ (𝑡) длительности τ, отличный от нуля в окрестности 𝑡 = 0:
1, при |𝑡| < τ/2,
пτ (𝑡) = {1/2, при |𝑡| = τ/2
(59)
0, при |𝑡| > τ/2.
Тогда при нормировке амплитуды импульса к длительности τ, получим прямоугольный
1
импульс τ пτ (𝑡), площадь которого равна единице при любом конечном значении τ:
∞ 1
1
∫−∞ τ пτ (𝑡)𝑑𝑡 = 1.
(60)
Семейство сигналов τ пτ (𝑡) показано на рис. 29 пунктирными и сплошной линиями для
различного значения длительность τ.
Рис. 29. Прямоугольный импульс единичной площади
Если мы устремим длительность импульса τ к нулю, то прямоугольный импульс перейдет в так называемую сингулярную функцию 𝛿(𝑡):
1 ∙ ∞, при 𝑡 = 0,
1
𝛿(𝑡) = lim τ пτ (𝑡) = {
,
(61)
0, при 𝑡 ≠ 0.
τ→0
При этом свойство единичной площади будет сохраняться и для функции (61):
∞
(62)
∫−∞ 𝛿(𝑡)𝑑𝑡 = 1.
Обозначение 1 ∙ ∞ вместо бесконечности сделано, чтобы подчеркнуть свойство (62).
Если умножить 𝛿(𝑡) на произвольную константу 𝛼, то можно записать: 𝛼 ∙ 𝛿(0) = 𝛼 ∙ ∞.
Впервые дельта-функция Дирака 𝛿(𝑡), одновременно обладающая свойствами (61) и
(62), была использована Полем Дираком, в честь которого и названа.
Свойства дельта-функции Дирака следующие.
• Дельта-функция Дирака четная: 𝛿(−𝑡) = 𝛿(𝑡).
• Скалярное произведение непрерывного сигнала 𝑥(𝑡) и дельта-функции Дирака 𝛿(𝑡)
∞
∞
1
(𝑥(𝑡), 𝛿(𝑡)) = ∫−∞ 𝑥(𝑡)𝛿(𝑡)𝑑𝑡 = ∫−∞ 𝑥(𝑡) lim τ пτ (𝑡) 𝑑𝑡 .
τ→0
(63)
Представим интеграл (63) по определению Римана в виде предела суммы площадей
прямоугольных импульсов 𝑥(𝑛𝜏) длительности 𝜏, тогда получим:
62
∞
∞
∞
𝑛=−∞
𝑛=−∞
1
1
lim ∫ 𝑥(𝑡) пτ (𝑡)𝑑𝑡 = lim ∑ 𝑥(𝑛𝜏) пτ (𝑛𝜏) = lim ∑ 𝑥(𝑛𝜏)пτ (0) = 𝑥(0) . (64)
τ→0 −∞
τ→0
τ→0
τ
τ
Поскольку пτ (𝑛𝜏) отличен от нуля только для 𝑛 = 0, пτ (0) = 1 и от суммы (64) останется только одно слагаемое, соответствующее 𝑛 = 0.
Таким образом, скалярное произведение сигналов 𝑥(𝑡) и 𝛿(𝑡) возвращает значение сигнала 𝑥(0) при 𝑡 = 0.
– Фильтрующее свойство дельта-функции. Рассмотрим скалярное произведение 𝑥(𝑡) и
сдвинутой на 𝑡0 дельта-функции 𝛿(𝑡 − 𝑡0 ):
∞
(𝑥(𝑡), 𝛿(𝑡 − 𝑡0 ) = ∫−∞ 𝑥(𝑡) 𝛿(𝑡 − 𝑡0 )𝑑𝑡.
(65)
Заметим, что 𝛿(𝑡 − 𝑡0 ) равна нулю везде, за исключением 𝑡 = 𝑡0 . Тогда бесконечные
пределы интегрирования (65) могут быть изменены на любой конечный интервал Δ𝑡 в окрестности 𝑡0 , включающий данную точку:
∞
𝑡 +Δ𝑡/2
0
∫−∞ 𝑥(𝑡) 𝛿(𝑡 − 𝑡0 )𝑑𝑡 = ∫𝑡 −Δ𝑡/2 𝑥(𝑡) 𝛿(𝑡 − 𝑡0 )𝑑𝑡 = 𝑥(𝑡0 ) .
0
(66)
– Свертка с дельта-функцией. Рассмотрим интеграл свертки некоторого сигнала 𝑥(𝑡) и
дельта-функции 𝛿(𝑡):
∞
𝑥(𝑡) ∗ 𝛿(𝑡) = ∫−∞ 𝑥(𝜉) 𝛿(𝑡 − 𝜉)𝑑𝜉 .
(67)
В силу четности дельта-функции, а также используя фильтрующее свойство можно
представить (67) в виде:
∞
(68)
∫−∞ 𝑥(𝜉) 𝛿(𝜉 − 𝑡)𝑑𝜉 = 𝑥(𝑡).
Таким образом, свертка с дельта-функцией не искажает и не задерживает сигнал. Выражение (68) называют динамическим представлением сигнала 𝑥(𝑡).
Способ получения выборки дискретных значений аналогового сигнала 𝑥(t) состоит в
том, что генератор импульсов формирует равноотстоящие стробирующие импульсы
1
∑+∞
n=-∞ τ ∙пτ (𝑡 − 𝑛𝑇) отличные от нуля в малой окрестности точек 𝑡 = 𝑛𝑇, в результате чего
формируются короткие выборки сигнала длительности τ, взятые через интервал дискретизации T. Таким образом, оценка дискретного сигнала может быть представлена в виде:
1
𝑥(𝑡) ∑+∞
n=-∞ τ ∙пτ (𝑡 − 𝑛𝑇),
(69)
где пτ (𝑡) – прямоугольный импульс длительности единичной амплитуды. При конечной величине τ можно говорить об оценке значения сигнала в момент времени 𝑡𝑛 = 𝑛𝑇 с некоторой
погрешностью, ввиду изменения сигнала 𝑥(𝑡) на интервале τ. При уменьшении длительности
τ, погрешность оценки будет уменьшаться, и в пределе дискретный сигнал будет иметь вид:
1
1
+∞
+∞
𝑥д (t)= lim 𝑥(𝑡) ∑+∞
n=-∞ τ ∙пτ (𝑡 − 𝑛𝑇), = x(t) ∑n=-∞ lim τ ∙пτ (𝑡 − 𝑛𝑇) = x(t) ∑n=-∞ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇),
τ→0
τ→0
(70)
где 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇) – смещенная на 𝑛𝑇 дельта-функция Дирака. Бесконечная сумма смещенных
дельта-функций называется решетчатой функцией и обозначается ш 𝑇 :
(71)
ш𝑇 (𝑡) = ∑+∞
n=-∞ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇),
где индекс 𝑇 – временной интервал следования дельта-функции.
Тогда математической моделью дискретного сигнала будет произведение исходного
аналогового сигнала на решетчатую функцию:
𝑥д (t) = 𝑥(𝑡) ∑+∞
n=-∞ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇).
(72)
Заметим, что (72) уже не является приближенной оценкой, а представляет собой истинную модель дискретного сигнала.
Для получения численных значений xд (𝑛𝑇) дискретного сигнала необходимо проинтегрировать дискретный сигнал (72) в окрестности точки 𝑡𝑛 = 𝑛𝑇:
63
xд (𝑡𝑛 ) = ∫
nT+ε
nT−ε
x(t) ∙ шT (t) dt ,
(73)
где 𝜀 < 𝑇 – конечный интервал интегрирования дискретного сигнала в окрестности 𝑡𝑛 = 𝑛𝑇.
Данная модель дискретного сигнала широко используется для перехода от аналоговых
сигналов к цифровым.
С лекционным материалом по теме «Дискретные модели сигналов» подробнее можно
познакомиться по ссылкеURL: https://portal.tpu.ru/SHARED/v/VOS/study/disc1/Tab/tema07.pdf
Примеры дискретных сигналов
Если переменная t дискретизируется, т.е. x(t) определяется в дискретные значения
времени 𝑡𝑛 тогда 𝑥(𝑡𝑛 ) является дискретным сигналом, часто обозначаемым как x(n), где
𝑡𝑗 = 𝑛, 𝑛 = 0,1, … 𝑁 – целое число. Дискретный сигнал x(n) может быть получен путем выборки непрерывного сигнала x(t) при t = nT, где T представляет собой период выборки.
В следующих примерах рассматриваются часто встречающиеся дискретные сигналы и
спсобы их задания в Mathcad.
В системе Mathcad Prime используются для записи дискретных сигналов кусочно-определенные функции:
• δ, Φ – дельта-функция Кронекера (импульс) и ступенчатая функция Хевисайда.
• δ(m, n): возвращает 1, если m = n; в противном случае возвращает 0.
• Φ(x): возвращает 0 для отрицательных значений переменной x, 1 – для положительных значений переменной x и 0.5, когда переменная x равна 0.
Единичный ступенчатый сигнал
1. Задайте единичную ступенчатую функцию с помощью ступенчатой функции Хевисайда: 𝑛 ∶= −10. .20; 𝑈𝑛+10 ∶= Ф(𝑛).
Ступенчатая функция Хевисайда Ф(𝑛) устанавливает, что Ф(0) = 0,5.
1, 𝑛 > 0
1 ∙ ∞, при 𝑡 = 0,
1
Ф(𝑛) = { 1, 𝑛 < 0, }; 𝛿(𝑡) = lim пτ (𝑡) = {
.
τ
0, при 𝑡 ≠ 0.
τ→0
0.5, 𝑛 = 0
Определите область дискретных значений и постройте график единичной ступенчатой
функции 𝑛 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛+10 ∶= 𝑛 (рис. 30).
.
Рис. 30. График единичной ступенчатой функции
64
Единичный импульсный сигнал
𝛿(𝑛) = {
1, при 𝑛 = 0,
,
0, при 𝑛 ≠ 0.
Задайте единичную импульсную функцию с помощью оператора if и постройте ее
график:
.
Задайте значение k для сдвига импульса на k выборок вправо: 𝑘 ∶= 3 (рис. 31) .
Рис. 31. График единичного импульса
.
Пример. Квантование сигнала
Используйте функцию quantize для квантования аналогового сигнала. Квантование
осуществляется путем представления сигнала в виде некоторого числа равноудаленных дискретных уровней.
Квантование гиперболического сигнала
1. Задайте число уровней квантования:
.
2. Задайте диапазон и уравнение, представляющее гиперболический сигнал:
;
;
65
.
3. Рассчитайте высоту каждого уровня квантования:
;
.
4. Используйте функцию quantize – для квантования сигнала или изображения
.
Уровни квантования могут иметь различную длительность по времени. Исходный сигнал необязательно должен пересекаться с квантованным сигналом в своей средней точке.
В большинстве аппаратных реализаций методов обработки цифровых сигналов обработка начинается с микросхемы аналого-цифрового преобразователя, в которой осуществляется квантование аналогового сигнала. Если частота входного сигнала существенно меньше
обратного значения интервала квантования, то квантование обеспечивает хорошую аппроксимацию исходного аналогового сигнала при использовании указанного выше метода выбора
уровней квантования. В противном случае потребуется использовать методы обработки сигнала для восстановления его структуры.
Фильтрация и восстановление квантованного сигнала
1. Используйте синусоидальный сигнал, квантованный на 8 уровней.
;
;
;
.
2. Квантуйте сигнал.
.
3. Постройте графики исходного и квантованного сигналов.
66
4. Используйте фильтр нижних частот с импульсной характеристикой конечной длительности с 15 коэффициентами с применением окна Хенинга (окно задается третьим аргументом в функции ниже) и подберите подходящую частоту отсечки:
.
Частоте отсечки задано значение 0,12, а окну тайпера – значение 4.
5. Отфильтруйте квантованный сигнал с помощью функции response:
.
6. Постройте график фильтрованного восстановленного сигнала s и исходного сигнала a:
;
.
67
ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ:
ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА
Рассмотрим пример практического задания на определение периода дискретизации непрерывного сигнала с помощью теоремы Котельникова (Найквиста – Шеннона), теоремы отсчетов. Рекомендуется изучить теорию по практикуму [1], тема «Представление сигнала при
помощи ряда Котельникова».
Пример листинга в Mathcad.
Представим сигнал с помощью элементов программирования:
Построим график отсчетной функции при n = 5.
Спектральные характеристики отсчетной функции:
68
Определим значение частоты 𝜔в :
Восстановим:
69
.
Определим максимальное значение ошибки:
.
Дискретное преобразование Фурье
Преобразование Фурье – операция, сопоставляющая с одной функцией вещественной
переменной другую ее функцию. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды
гармоник») при разложении исходной функции на элементарные составляющие – гармонические колебания с разными частотами. Для перехода сигнала из временной области в частотную
используются периодические функции. Поэтому мы можем заменить сигнал набором спектральных гармоник путем разложения в ряд Фурье:
∞
1
2𝜋
x(𝑡) = ∑ 𝑋(𝑤𝑛 ) exp(𝑗𝑤𝑛 𝑡), 𝑤𝑛 = ∆𝑤𝑛 =
𝑛;
𝑇
𝑇
(74)
𝑛=−∞
𝑇
1 2
𝑋(𝑤𝑛 ) = ∫ x(𝑡) exp(−𝑗𝑤𝑛 𝑡)𝑑𝑡,
𝑇 −𝑇
(75)
2
1
где T – период повторения сигнала, 𝑓 = 𝑇 – частота. Спектр состоит из дискретных гармоник,
равноотстоящих по частоте с шагом рад/с, 𝑤𝑛 − дискретные частоты сигнала.
Обобщенная формула прямого и обратного преобразования Фурье записывается в виде:
∞
𝑋(𝑓) = ∫ exp(−2𝑗𝜋𝑓𝑡) · 𝑥(𝑡)𝑑𝑡 ;
(76)
−∞
1 ∞
𝑥(𝑡) =
∫ exp(2𝑗𝜋𝑓𝑡) · 𝑋(𝑓)𝑑𝑓.
(77)
2𝜋 −∞
В формуле прямого преобразования Фурье (75) используется интегрирование по времени от минус бесконечности до бесконечности. В реальных условиях мы можем провести
интегрирование от данного момента времени, который мы можем обозначить за 0, до момента
времени T. Формула прямого преобразования Фурье при этом будет иметь вид:
𝑇
𝑋(𝑓) = ∫0 exp(−𝑗𝜋𝑓𝑡) · 𝑥(𝑡)𝑑𝑡 .
(78)
В результате существенно меняются свойства преобразования Фурье. Спектр сигнала
вместо непрерывной функции становится дискретным рядом значений. Теперь минимальной
частотой и одновременно шагом частотных значений спектра сигнала становится:
2𝜋
1
𝑓𝑚𝑖𝑛 = ∆𝑓 = , 𝑤 =
.
𝑇
𝑇
Функции синуса и косинуса c частотами k/T являются ортогональными, набор первых
функций разложения в ряд Фурье приведен на рис. 32. При этом длина интервала
рассмотрения функций совпадает с длительностью анализа T.
70
Рис. 32. Функции разложения в ряд Фурье
Теперь спектр сигнала будет выглядеть так, как это показано на рис. 33.
Рис. 33. Спектр функции x(t) при анализе на ограниченном интервале времени
Пусть исходный дискретный сигнал 𝑥д (𝑡) ограничен во времени и содержит N ненулевых отсчетов, взятых с интервалом дискретизации T, с. Данное предположение на практике
всегда выполняется, потому что мы не можем получить бесконечное число отсчетов сигнала.
Тогда длительность дискретного сигнала равна NT секунд и 𝑥д (𝑡) можно записать как:
𝑁−1
xд (𝑡) = ∑ 𝑥(𝑡) δ(𝑡 − 𝑛𝑇),
𝑛=0
где δ(t) − дельта − функция Дирака.
При разложении периодически повторенного сигнала xд (𝑡) в ряд Фурье получим дискретный спектр 𝑋(𝑘∆𝑤), состоящий из гармоник кратных ∆𝑤 = 2𝜋/(𝑁𝑇) рад/с, 𝑘 – произвольное целое число. Тогда коэффициенты разложения в ряд Фурье 𝑆(𝑘∆𝑤) равны:
1
𝑇𝑁
𝑋(𝑘∆𝑤) = 𝑁𝑇 ∫0 xд (𝑡) exp(−𝑗𝑘∆𝑤𝑡)𝑑𝑡.
(79)
Подставив верхнее выражение, получим:
1
𝑇𝑁
𝑋(𝑘∆𝑤) = 𝑁𝑇 ∫0 ∑𝑁−1
𝑛=0 𝑥(𝑡) δ(𝑡 − 𝑛𝑇) .
(80)
Поменяв местами операции суммирования и интегрирования, применим фильтрующее
свойство дельта-функции:
71
1
𝑋(𝑘∆𝑤) = 𝑁𝑇 ∑𝑁−1
𝑛=0 𝑥(𝑛𝑇) exp(−𝑗𝑘∆𝑤𝑇𝑛).
(81)
Учтем, что ∆𝑤𝑇 = 2𝜋/𝑁, тогда окончательно можно записать:
1
𝑋(𝑘∆𝑤) = 𝑁𝑇 ∑𝑁−1
𝑛=0 𝑥(𝑛𝑇) exp (−𝑗
2𝜋
𝑁
𝑘𝑛).
(82)
Заметим, что показатели комплексных экспонент в выражении (78) не зависят от интервала дискретизации T, а только от индексов n и k, указывающих порядковый номер временного и спектрального отсчетов. Это свойство позволяет реализовать универсальную программу расчета для любой частоты дискретизации, используя лишь индексы n и k.
Выражение справедливо для любого целого k, однако вспомним, что исходный сигнал
xд (𝑡) был дискретным, поэтому спектр 𝑋(𝑘∆𝑤) является периодическим и повторяется каждые N отсчетов. Это очень легко проверить, если подставить 𝑘 + 𝑁 вместо k, тогда:
𝑋((𝑘 + 𝑁)∆𝑤)
(83)
𝑁−1
=
1
2𝜋
∑ 𝑥(𝑛𝑇) exp (−𝑗
𝑘𝑛(𝑘 + 𝑁))
𝑁𝑇
𝑁
𝑛=0
𝑁−1
1
2𝜋
=
∑ 𝑥(𝑛𝑇) exp (−𝑗
𝑘𝑛) exp(−𝑗2𝜋𝑛) = 𝑋(𝑘∆𝑤).
𝑁𝑇
𝑁
𝑛=0
Таким образом, нет необходимости рассчитывать спектральные отсчеты для всех индексов k, а достаточно рассчитать лишь N спектральных отсчетов 𝑋(𝑘∆𝑤), 𝑘 = 0 … 𝑁 − 1.
Выражение (83) является дискретным преобразованием, которое ставит в соответствие
N отсчетам исходного дискретного сигнала 𝑥(𝑛𝑇) N спектральных отсчетов 𝑋(𝑘∆𝑤) на одном
периоде повторения спектра.
Заметим, что выражение (83) является именно спектром, а не спектральной плотностью, потому, что мы получили 𝑋(𝑘∆𝑤) как результат разложения в ряд Фурье. Это означает,
что единицы измерения 𝑋(𝑘∆𝑤) совпадают с единицами измерения исходного сигнала:
1
𝑋(𝑘) = 𝑁 ∑𝑁−1
𝑛=0 𝑥(𝑛) exp (−𝑗
2𝜋
𝑁
𝑘𝑛) , 𝑘 = 0 … 𝑁 − 1.
(84)
Если мы будем оперировать только с индексами входного сигнала и спектральных отсчетов (положив T = 1), то получим выражение дискретного преобразования Фурье:
1
𝑋(𝑘) = 𝑁 ∑𝑁−1
𝑛=0 𝑥(𝑛) exp (−𝑗
2𝜋
𝑁
𝑘𝑛) , 𝑘 = 0 … 𝑁 − 1.
(85)
Обратное дискретное преобразование Фурье
При рассмотрении обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) применим
тот же прием, что мы использовали в предыдущем разделе при выводе формулы обратного
дискретно-временного преобразования Фурье. Учтем, что ДПФ возвращает один период дискретного периодического спектра 𝑋(𝑘∆𝑤), где 𝑘 = 0 … 𝑁 − 1. Тогда дискретный спектр ДПФ
на одном периоде можно записать, используя дельта-функцию:
𝑋дпф (𝑤) = ∑𝑁−1
𝑘=0 𝑋(𝑤) δ(𝑤 − 𝑘∆𝑤).
(86)
Спектр 𝑋дпф (𝑤) является периодической функцией и может быть разложен в ряд Фурье
вида:
𝑋дпф (𝑤) = ∑∞
𝑚=−∞ 𝑝(𝜉𝑚 ) e𝑥𝑝(𝑗𝜉𝑚 𝑤),
2𝜋𝑚
(87)
где 𝜉𝑚 = 𝑊 = 𝑚𝑇 имеет смысл dhtvtyys[отчетов, так как мы раскладываем в ряд функцию
частоты, а 𝑝(𝜉𝑚 ) – коэффициенты разложения в ряд Фурье:
𝑊
𝑝(𝜉𝑚 ) = 𝑝(𝑚𝑇) = ∫ Xдпф (𝑤) exp(−𝑗𝑚𝑤𝑇)𝑑𝑤.
0
72
Поменяем местами операторы интегрирования и суммирования и применим фильтрующее свойство дельта-функции:
𝑝(𝑚𝑇) = ∑𝑁−1
𝑛=0 𝑋(𝑘∆𝑤) exp (−𝑗
2𝜋
𝑁
𝑘𝑚) .
(88)
Подставим в (88) выражение (82) для 𝑋(𝑘∆𝑤):
𝑁−1
𝑁−1
𝑛=0
𝑛=0
1
2𝜋
2𝜋
𝑝(𝑚𝑇) = ∑
∑ 𝑥(𝑛𝑇) exp (−𝑗
𝑘𝑛) exp (−𝑗
𝑘𝑚).
𝑁𝑇
𝑁
𝑁
Можно заметить, что сумма комплексных экспонент с комплексным показателем
равна:
𝑁−1
∑ exp (−𝑗
𝑘=0
2𝜋
𝑘(𝑛 + 𝑚)) = 𝑁,
𝑁
при 𝑛 = −𝑚.
При 𝑛 ≠ −𝑚 сумму комплексных экспонент можно рассматривать как сумму первых
𝑁 членов геометрической прогрессии со знаменателем:
𝑞 = exp (−𝑗
2𝜋
𝑁
𝑘(𝑛 + 𝑚)).
Используя формулу суммы первых 𝑁 членов геометрической прогрессии, получим для
𝑛 ≠ −𝑚:
∑𝑁−1
𝑘=0 exp (−𝑗
2𝜋
𝑁
𝑘(𝑛 + 𝑚)) =
𝑏0 (𝑞 𝑁 −1)
𝑞−1
= 0, при 𝑛 ≠ −𝑚;
𝑥(𝑛𝑇) = 𝑇𝑝(−𝑛𝑇) = 𝑇 ∑𝑁−1
𝑘=0 𝑋(𝑘∆𝑤)exp (−𝑗
2𝜋
𝑁
𝑘𝑛).
Опустив ∆𝑤 и приняв 𝑇 = 1 можно перейти к паре дискретных преобразований Фурье,
которые оперируют только с индексами входного дискретного сигнала 𝑥(𝑛) и его спектра
𝑋(𝑘):
2𝜋
𝑥(𝑛) = ∑𝑁−1
(89)
𝑘=0 𝑋(𝑘)exp (𝑗 𝑁 𝑘𝑛) , 𝑛 = 0 … 𝑁 − 1;
1
𝑋(𝑘) = 𝑁 ∑𝑁−1
𝑛=0 𝑥(𝑛) exp (−𝑗
2𝜋
𝑁
𝑘𝑛) , 𝑘 = 0 … 𝑁 − 1.
(90)
Заметим, что мы ограничили индексы 𝑛 и 𝑘 значением 𝑁 − 1 . На самом деле этого
можно не делать, но из-за периодического характера сигнала и спектра их значения будут повторяться с периодом 𝑁.
Важно отметить, что на практике гораздо чаще требуется рассчитывать прямое ДПФ,
чем обратное. Поэтому принято нормировочный множитель 1/𝑁 учитывать в обратном преобразовании, а не в прямом.
Спектр сигнала при этом является периодическим, потому, что исходный сигнал дискретный, и дискретным, потому, что исходный сигнал периодический.
73
ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ:
ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Функции, реализующие дискретного преобразования Фурье для данных в Mathcad
Prime, следующие.
Функции dft(A), idft(Z) – возвращают прямое или обратное преобразование Фурье для
вектора, состоящего из комплексных значений.
• Если вывод dft является вектором V длины r, то:
– вывод dft(V) – это вектор Z, имеющий длину r;
– вывод idft(Z) – это вектор, имеющий длину r.
Функции dftr(B), idftr(Z) возвращают прямое или обратное преобразование Фурье для
вектора, состоящего из вещественных значений.
• Если вывод dftr являются вектором V длины r, то:
– вывод dftr(V) представляет собой вектор Z длины L, где = floor(r/2) + 1;
– элементы Z идентичны первым L элементам выходного параметра функции dft(V);
– вывод idftr(Z) является вектором длины r = 2(L-1).
Аргументы
• A – вектор любого размера с комплексными значениями.
• B – вектор действительных значений. Любая мнимая часть игнорируется. Если B – это
вектор, число строк должно быть кратным 2.
• Единицы измерения данных для A и B должны быть совместимыми.
Преобразование Фурье для векторов
Если A – вектор, имеющий размерность m, то u-й элемент одномерного (1D) прямого
преобразования вектора A определяется как Zu следующим образом.
𝑚−1
𝑍(𝑢) = ∑ 𝐴(𝑝) exp (𝑗
𝑝=0
2𝜋
𝑢𝑝),
𝑚
где m – число строк, а u определяется как
; i – мнимая единица, wm определяется как:
Вычисление 𝑍(𝑢) эквивалентно применению функции dft к вектору A.
Если Z – вектор, имеющий размерность m, то u-й элемент одномерного обратного преобразования вектора Z определяется как Au следующим образом.
𝑚−1
1
2𝜋
𝐴(𝑢) = ∑ 𝑍(𝑝) exp (𝑗
𝑢𝑝),
𝑚
𝑚
𝑝=0
где переменные m, u и wm определены выше.
Вычисление A эквивалентно применению функции idft к вектору Z.
Дополнительная информация
• Функции преобразования Фурье выполняются быстрее, если число строк векторов и
число столбцов в случае матриц является степенью числа 2.
• Новые функции dft/idft заменяют функциональность устаревших функций cfft/icfft
и CFFT/ICFFT и значительно повышают производительность, особенно для наборов больших данных и в случаях, когда размер не является степенью числа 2.
• Новые функции dftr/idftr заменяют функциональность устаревших функций fft/ifft
и FFT/IFFT.
74
• Функция dftr оперирует с вещественными векторами, длина которых является четным числом, либо с матрицами, имеющими четное число столбцов.
• Функции fft/FFT оперируют только с вещественными векторами, длина которых является степенью числа 2.
• Выходные параметры функций ifft/IFFT имеют длину, равную только половине
длины входного вектора плюс 1, или 2k-1+ 1, где k – целое число > 1. Оставшаяся половина,
являющаяся сопряжением первой части с обратным порядком чисел, должна быть преобразована вручную. Функции dft/idft возвращают результат полной длины.
• Функции dft/idft отличаются от устаревших функций fft/ifft, FFT/IFFT и cfft/icfft,
CFFT/ICFFT как коэффициентом масштабирования, так и знаком показателя степени.
Пример задания по теме:
Прямое дискретное преобразование Фурье
Задайте количество точек N. Создайте комплексный набор данных моделирования длиною N с шагом выборки T. Используйте функции Re и Im, чтобы извлечь и построить график
действительного и мнимого компонентов как функции времени:
;
.
Определите время T, за которое собираются выборки
для преобразования данных в частотную область:
. Примените функцию dft
.
Примените функцию dft для преобразования данных в частотную область:
.
Соберите абсолютные значения D в новый массив:
.
Задайте частоту выборки и частоту, соответствующую n-ой записи в преобразуемом
векторе:
;
Используйте функции match и max, чтобы найти пик и соответствующую частоту в
преобразованном сигнале:
75
Постройте график преобразованного вектора и используйте вертикальные и горизонтальные маркеры, чтобы отметить частоту, при которой амплитуда достигает максимума.
Верхняя половина выборок частотной области представляет отрицательные частоты.
Этот комплексный сигнал не имеет отрицательного значения частоты.
Дополнительная информация
• Для действительного вектора данных v вектор dft(v), в основном, является комплексно
и сопряженно симметричным относительно среднего значения.
• Согласно теореме о выборке Найквиста (Котельникова), частота выборки должна
быть, по меньшей мере в два раза, больше самой высокой частоты, которую нужно разрешить
за счет преобразования Фурье.
• Алгоритм простого делителя, используемый в быстром преобразовании Фурье, замедляется, если число точек данных является большим простым числом.
76
БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ (БПФ)
Пример выполнения БПФ через встроенные функции Mathcad
Быстрое преобразование Фурье (FFT) является численным методом выражения частотного содержимого набора данных, измеренного во времени. Данные часто непрерывны и представляют собой форму сигнала. Чтобы с данными можно было работать численно, делается их
выборка через регулярные интервалы времени с определенной частотой выборки. Рисунки
ниже иллюстрируют выборки некоторых форм сигналов и величины их преобразований
Фурье, выведенные на график относительно частоты.
Дискретизированный синусоидальный сигнал
1. Используйте функцию sin, чтобы определить синусоидальный сигнал:
;
.
2. Задайте число точек данных.
;
.
3. Задайте расстояние между выборками.
;
.
4. Задайте частоту выборки:
;
.
5. Постройте график полученной функции.
Используйте функцию dft, чтобы вычислить дискретное преобразование Фурье:
77
,
где X1 – вектор из вещественных и комплексных чисел.
7. Найдите частоты, на которых встречаются максимальные величины:
;
;
;
;
.
8. Постройте график преобразованного сигнала и используйте маркеры, чтобы показать
частоту и величину пиков.
78
СПИСОК ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСОВ
1. Библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов. URL: https://ru.dsplib.org/dspl/
2. Гармонический анализ периодических сигналов. URL: http://portal.tpu.ru:7777/SHARED/v/VOS/study/disc1/Tab/tema02.pdf.
3. Представление периодических сигналов рядом Фурье URL: http://ru.dsplib.org/content/fourier_series/fourier_series.html.
4. Дискретное преобразование Фурье. URL: http://ru.dsplib.org/content/dft/dft.html
5. Быстрое преобразование Фурье. URL: https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%
D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8
%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: ЛЕНАНД, 2016. 528 c.
2. Вадутов О.С. Математические основы обработки сигналов: учебное пособие. 3-е изд.,
испр. и доп. Томск: Изд-во Томск. политехн. ун-та, 2014. 102 с.
3. Гришенцев А.Ю., Коробейников А.Г. Цифровые системы широкополосной связи. Ч. 2.
Оконные и вейвлет-функции и преобразования. СПб.: ИТМО, 2019. 42 с.
4. Магазинникова А.Л. Основы цифровой обработки сигналов. М.: Лань, 2016. 132 с.
79
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ............................................................................................................................................. 3
Спектральный анализ сигналов ........................................................................................................ 4
Разложение сигнала по системе базисных функций. Ортогональные системы функций .......... 4
Полиномы Лежандра ......................................................................................................................... 6
Применение функций Радемахера и Уолша в обработке сигналов ............................................ 10
Гармонический анализ. Тригонометрические ряды Фурье ......................................................... 20
Гармонический анализ непериодических сигналов. Преобразование Фурье ............................ 26
Оконное преобразование Фурье ..................................................................................................... 34
Аналоговые фильтры верхних и нижних частот .......................................................................... 48
Математическая модель дискретного сигнала .............................................................................. 62
Задание для самостоятельной работы по теме: Теорема Котельникова..................................... 68
Задание для самостоятельной работы по теме: Дискретное преобразование Фурье ................ 74
Быстрое преобразование Фурье (БПФ).......................................................................................... 77
Список интернет-ресурсов .............................................................................................................. 79
Список литературы ..........................................................................................................................79
80
