спектральной плотностью.

ТЕОРИЯ
СИГНАЛОВ
Презентация лекции по курсу «Общая теория связи»
© Д.т.н., проф. Васюков В.Н., [email protected]
Новосибирский государственный технический
университет, Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
Факультет Радиотехники и электроники
Кафедра теоретических основ радиотехники
Непрерывные представления сигналов
Вместо ряда, т.е. суммы бесконечного счетного множества базисных
функций, умноженных на спектральные коэффициенты, можно
использовать интеграл от функции двух переменных (которая
представляет собой как бы несчетное множество базисных функций),
умноженной на функцию одной переменной, называемой
спектральной плотностью.
vk (t ), k  , 
v ( s, t )
базис (необязательно
ортогональный)
базисное ядро интегрального
представления
 k , k  , 
 (s)
спектр сигнала
относительно
выбранного базиса
x(t ) 

  k vk (t )
k 
спектральная плотность
сигнала относительно
выбранного ядра

x(t ) 
  (s)v(s, t )ds

2
Дискретное и непрерывное представления
4 n
2
3
kk
1

vn (t )
v2 (t )
v1 (t )
v4 (t )
v3 (t )
t
t
s
s
t
t
 (s)
t
v ( s, t )

t
3
Непрерывные представления сигналов
 k   x, wk  


 ( s) 
x(t ) wk* (t )dt

формула нахождения
спектральной плотности с
использованием сопряженного
ядра
wk (t ), k  , 
 vk , wm    km

x(t ) w* ( s, t )dt

формула нахождения
спектрального коэффициента с
использованием сопряженного
(взаимного) базиса
условие взаимности
(сопряженности) базисов:

w( s, t )
условие сопряженности
ядер

v( s, t ) w* ( , t )dt   ( s   )

4
Непрерывные представления сигналов

 uk , um    km

условие самосопряженности
базиса
uk (t ), k  , 
x(t ) 
k 
 k uk (t )
условие самосопряженности
базисного ядра u ( s, t )



x(t ) 
  (s)u(s, t )ds

обобщенный ряд Фурье
(представление сигнала
в ортонормальном
базисе)
 k   x, u k  




u ( s, t )u* ( , t )dt   ( s   )
x(t )uk* (t )dt
интегральное представление
сигнала относительно
самосопряженного базисного
ядра
 ( s) 



x(t )u* ( s, t )dt
5
Пример 1. Преобразование Фурье
L2 (, )
u( f , t )  e j 2 ft
Для представления сигналов из пространства
очень часто используется базисное ядро
Условие самосопряженности


*

u ( f , t )u ( , t )dt 
 T
 lim
T 


s f
e j 2 ft e j 2t dt 

e j 2 ( f  )t dt  lim 2T
T 
T
sin 2 ( f   )T
  ( f  )
2 ( f   )T
Формула для спектральной плотности


X(f ) 
x(t )e j 2 ft dt
 ( s)  X ( f )
(прямое) преобразование Фурье


x(t ) 


X ( f )e j 2 ft df
обратное преобразование Фурье
6
Вещественная часть ядра
u( f , t )  e j 2 ft
1
0.5
0
-0.5
-1
0
1
0.2
0.8
0.4
0.6
0.6
0.4
0.8
0.2
1
0
7
Мнимая часть ядра
u( f , t )  e j 2 ft
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.2
1
0.4
0.8
0.6
0.6
0.4
0.8
0.2
1
0
8
Преобразование Фурье
Форма преобразования Фурье


X(f ) 
x(t )e j 2 ft dt
(прямое) преобразование Фурье
X ( f )e j 2 ft df
обратное преобразование Фурье

x(t ) 


Форма преобразования Фурье для круговой частоты
X ( ) 
1
x(t ) 
2


x(t )e jt dt

X ( )e jt d


(прямое) преобразование Фурье
обратное преобразование Фурье

9
Обобщенная формула Рэлея

( x, y ) 

x(t ) y* (t )dt 

 
 

X ( )e j 2t d
 
 

 

 
 
X ( )Y * ( f )
 


Y * ( f )e j 2 ft df dt 



e j 2 (  f )t dtdfd 

X ( )Y * ( f ) (  f )dfd 
 

X ( f )Y * ( f )df


Итак,




x(t ) y* (t )dt 


X ( f )Y * ( f )df
10
Равенство Парсеваля
При
y(t )  x(t )



получаем

| x(t ) |2 dt 

| X ( f ) |2 df

Симметричная форма левых и правых частей выражений
должна наводить на мысль:
«естественное» временнóе представление сигнала есть
на самом деле представление относительно некоторого
самосопряженного ядра!
Справедливость такого утверждения устанавливается в
следующем примере
11
Пример 2. Динамическое представление сигнала
L2 (, )
Для пространства сигналов
s 
u (t , )   (t   )
Спектральная плотность
x( ) 

x(t ) 
 ( s)  x( )

x(t ) (t   )dt

x( ) (t   )d


примем ядро
и обратно

Это выражение, совпадающее с динамическим представлением
сигнала , явно демонстрирует тот факт, что обычное временнóе
представление сигнала можно рассматривать, как интегральное
(спектральное) представление относительно базисного ядра  (t
 )
12
Пример 3. Преобразование Гильберта
Для пространства сигналов
u (t , ) 
1
 (  t )
Спектральная плотность
xˆ ( ) 
x(t ) 
1

1



x(t )
dt
 t

xˆ ( )
d
 t



L2 (, )
примем ядро
s 
 ( s)  xˆ ( )
и спектральное представление
(ядро самосопряженное)
Это пара преобразований Гильберта (прямое и обратное),
используется, в частности, для описания узкополосных
детерминированных и случайных колебаний
13
Пример 4. Преобразование Фурье дискретного
сигнала
Для представления дискретных сигналов из пространства
u( f , n)  e j 2 fn
Спектральная плотность
X(f ) 


n 
s f
l2
t n
 ( s)  X ( f )
x[n]e j 2 fn , 1  f  1
интегральное представление
0.5
x[n] 

X ( f )e j 2 fn df , n  , 
0.5
Это пара преобразований Фурье для последовательностей; широко
используется в цифровой обработке сигналов
14
Корреляционно-спектральные характеристики
детерминированных сигналов


*
( x, y )  x(t ) y* (t )dt



 X ( f )Y
( f )df

Wxy ( f )
Wxy ( f )  X ( f )Y ( f )
*
Wx ( f )  X ( f )
2
Взаимная спектральная
плотность
энергетический спектр сигнала
(спектральная плотность энергии)


E x  ( x, x ) 


X ( f ) X * ( f )df 
 Wx ( f )df

Корреляционно-спектральные характеристики
детерминированных сигналов
Обратное преобразование Фурье взаимной спектральной
плотности
Bxy ( ) 

j 2 f 
W
(
f
)
e
df 
 xy

*
Y ( f )e
j 2 f 
Bxy ( ) 
 X ( f )Y
*
 X ( f )Y
взаимно корреляционная функция
df
Y ( f )
 j 2 f 

( f )e
j 2 f 
*
 Y ( f )
( f )df 
*

*
Y ( f )  Y ( f )e


теорема
сдвига

 x(t ) y (t   )dt  ( x, y )
*

Корреляционно-спектральные характеристики
детерминированных сигналов
аналогично




j 2 f 
W
(
f
)
e
df 
 x
Bx ( ) 
Bx ( ) 

 X ( f ) X

*
( f )df 




X ( f ) X * ( f )e j 2 f  df
x(t ) x* (t   )dt  ( x, x )

автокорреляционная функция
Свойства автокорреляционной функции
Достигает максимума в нуле
Bx (0)  max Bx ( )  Ex

Обладает свойством сопряженной симметрии
Bx ( ) 


x(t ) x* (t   )dt 




x(   ) x* ( )d 

*


*
   x( ) x (   )d   Bx* ( )
 

В частности, для вещественного сигнала АКФ  чётная функция
Пример использования АКФ и ВКФ при
синхронизации систем связи
0

x(t )

x(t   )


УВМ

x(t  2 )

x(t  n )

  arg max( x, xk )
k
Пример. АКФ прямоугольного импульса
B x ( )
Максимальное значение
равно
2
)
- и
A и
и

Пример. АКФ пилообразного импульса
Пример. Сигнал Баркера
N  2,3, 4,5,7,11,13
N 5
x (t )
Последовательности Баркера
A
2
3
4
5
7
11
13
t
5 0
2 0
0
Bx ( )
N 0 A2
Уровни боковых лепестков в N
)
Уровень главного лепестка

 3 0
+1 −1
− 1 +1
+1 +1 −1
+1 −1 +1 +1
+1 −1 −1 −1
+1 +1 +1 −1 +1
+1 +1 +1 −1 −1 +1 −1
+1 +1 +1 −1 −1 −1 +1 −1 −1 +1 −1
+1 +1 +1 +1 +1 −1 −1 +1 +1 −1 +1 −1 +1
 0
0
раз меньше главного
3 0
Для m-последовательностей длина в принципе не
ограниченна, но уровень боковых лепестков 1/
N