Алгазин С.Д. Численные алгоритмы без насыщения в классических задачах математической физики. М. «АИСнТ», 2016, Издание третье, исправленное и дополненное, 390 с.
advertisement
Сергей Д. Алгазин
Численные алгоритмы
без насыщения
в классических задачах
математической физики
Издание третье, исправленное и дополненное
МОСКВА
«АИСнТ»
2016
Введение
УДК 519.6
ББК-22.193
А45
С. Д. Алгазин
А45 Численные алгоритмы без насыщения в классических задачах математической физики. - М.: Агенство Интеллектуальной Собственности на
транспорте, 2016. - 390 с.
ISBN 978-5904640-13-2
В книге рассматривается новый подход к конструированию алгоритмов математической физики. В основном рассматриваются спектральные задачи для
обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнения Лапласа (три краевых задачи) и бигармонического уравнения (две краевые задачи).
Классический подход, основанный на применении методов конечных разностей и конечных элементов, обладает существенными недостатками - он не реагирует на гладкость отыскиваемого решения. Для разностной схемы р-го порядка в независимости от гладкости отыскиваемого решения погрешность метода - 0(hp). Гладкость решения определяется входными данными задачи.
Рассматриваемые в книге алгоритмы свободны от этих недостатков. Предлагаемые алгоритмы автоматически настраиваются на гладкость отыскиваемого
решения и их точность тем выше, чем большим условиям гладкости отвечает
отыскиваемое решение. Для рассматриваемых задач на собственные значения
для обыкновенных дифференциальных уравнений экспериментально показано, что убывание погрешности - экспоненциально. Этого невозможно добиться методами конечных разностей и конечных элементов.
Для двумерных задач громоздкие вычисления затабулированы в таблицах небольшого объёма, что позволяет разработать компактные алгоритмы решения
поставленных задач.
Монография представляет интерес для студентов и аспирантов физико- технических и математических специальностей, специалистов по численным методам, а также для научных сотрудников и инженеров, интересующихся новыми
методами численного решения задач математической физики.
УДК 519.6
ББК- 22.193
ISBN 978-5904640-13-2
© Алгазин С. Д., 2016
© Издательство «АИСнТ», 2016
2
Введение
Sergey D. Algazin
Numerical algorithms without saturation
in classical tasks mathematical physics
FOREWORD
On graduating from the Faculty of Mechanics and Mathematics of the Lomonosov Moscow State University, I began working at the Keldysh Institute of Applied
Mathematics of the Russian Academy of Sciences. There I joined a team developing
novel algorithms for the classical problems of mathematical physics, the so-called
non-saturating numerical algorithms. We started out with one-dimensional problems
(the Sturm-Liouville problem, the Bessel equation, etc.), and later focused on the
eigenvalue problem for the Laplace equation. When analysing matrices emerging in
the discrete problem, I noticed that they typically had the following block structure:
h11 h12 ... h1m
H
h21 h22 ...h2 m
...................
hm1 hm 2 ...hmm
where h, = 1,2,…,m are symmetric circulants of the dimensions N×N, with N
= 2n + 1. This way, the first row of these matrices has the form b0, b1,…,bn,bn,…,b1,
while all the other rows are obtained from the first one by cyclic permutations. For
brevity, we refer to the matrices of this form as h-matrices. Here, m is the number of
circular grid lines, while N = 2n + 1 is the number of nodes on each circular line. It
then took me an evening of cogitation to prove a theorem on the properties of this
kind of matrix. Later, it became clear that matrices of this form and some of their
generalisations are encountered in numerous problems of mathematical physics. By
utilising these matrices’ properties, it is possible to reduce discretisation of a twodimensional problem to discretisation of a one-dimensional problem. Likewise,
three-dimensional discretisation can be reduced to two-dimensional, etc. Practical
applications of this approach make the central topic of this book. These applications
cover all the principal problems of numerical mathematical physics.
The book is intended for a broad scientific and engineer readership. It would be of
use to experts and advanced graduate students concentrating on numerical methods.
It would also be of help to all readers working in the areas of numerical hydro- and
aerodynamics, as well as in numerical elasticity theory, and on modeling of flutter.
3
Введение
Эта книга посвящается моим родителям,
Алгазину Дмитрию Александровичу
и Алгазиной Надежде Николаевне
Автор
Сергей Д. Алгазин
Российская Академия Наук
Институт Проблем Механики им. А. Ю. Ишлинского
Проспект Вернадского 101-1
Москва, 119526
Россия
algazinsd@mail.ru
ISBN 978-5904640-13-2
4
Введение
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ.
Со времени выхода в свет первого издания этой книги в 2002 году в издательстве «Научный Мир» прошло 14 лет. Второе издание книги вышло
в 2010 году в издательстве «Диалог МИФИ» под другим названием: «Численные алгоритмы классической математической физики». У автора опубликовано много новых результатов по численным методам без насыщения
в классических задачах математической физики. Эти результаты публиковались автором в препринтах Института проблем механики им. А. Ю.
Ишлинского и в разных российских журналах. Публикация в препринтах
началась в 2000 году. В настоящее время выпущено 46 препринтов. Список
препринтов с аннотациями приведён в конце книги. В книгу включены
наиболее важные из этих результатов. По сравнению с предыдущим изданием, книга существенно переработана. Исключены приложения, содержащие программы решения задач на собственные значения для операторов
Лапласа и Бигармонического. Теперь эти программы доступны в Российском Фонде алгоритмов и программ1. Добавлены две новые главы: Глава 9
«О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости» и Глава 10
«О спетральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда».
Главы 1, 5 и 6 не перерабатывались. Остальные главы подверглись в той
или иной степени переработке. В результате объём книги вырос примерно
на 240 страниц.
Автор, 21 ноября 2015 г.
––––––––––––––––––––––––
1
1). Вычисление собственных чисел и собственных функций оператора Лапласа
(Lap123) // СВИДЕТЕЛЬСТВО о государственной регистрации программы для ЭВМ
№ 2012617739. Автор Алгазин Сергей Дмитриевич (RU). Зарегистрирована в Реестре
программ для ЭВМ 27 августа 2012 г, 18 с.
2). Вычисление собственных чисел и собственных функций Бигармонического оператора (Big12) // СВИДЕТЕЛЬСТВО о государственной регистрации программы для ЭВМ
№ 2012617738. Автор Алгазин Сергей Дмитриевич (RU). Зарегистрирована в Реестре
программ для ЭВМ 27 августа 2012 г, 16 с.
5
Введение
ПРЕДИСЛОВИЕ
В 1973 г. я закончил механико-математический факультет МГУ
им. М. В. Ломоносова и был распределен в Институт прикладной математики
АН СССР в 12 отдел, а позднее перевелся в 4 отдел, которым тогда руководил
Константин Иванович Бабенко. Константин Иванович предложил мне заняться новыми алгоритмами (численными алгоритмами без насыщения) для
классических задач математической физики. Вначале мы рассмотрели одномерные задачи (задачу Штурма – Лиувилля, уравнение Бесселя и др.), а потом
занялись задачей на собственные значения для оператора Лапласа. Анализируя формулы для матрицы дискретной задачи Дирихле, я заметил, что эта матрица имеет следующую блочную структуру:
h11 h12 ... h1m
H
h21 h22 ...h2 m
...................
hm1 hm 2 ...hmm
где h, = 1,2,…,m – симметричные циркулянты размера N×N, N = 2n + 1,
т. е. матрицы, первая строка которых имеет вид: b0, b1,…, bn, bn,…, b1, а остальные строки получаются из первой циклической перестановкой. Для краткости
будем называть матрицы такого вида h-матрицами. Здесь m и N – параметры в
круге, m – число окружностей сетки, а N = 2n + 1 – число точек на каждой
окружности. За один вечер я доказал теорему о свойствах этой матрицы. Позднее стало ясно, что матрицы такого вида и некоторые их обобщения широко
встречаются в задачах математической физики. Их можно использовать при
дискретизации так, что дискретизация двумерной задачи сводится к дискретизации одномерной задачи, а дискретизация трехмерной задачи сводится к дискретизации двумерной задачи. Тому, как это сделать практически, посвящена
настоящая книга.
После каждой главы дается список дополнительной литературы, ссылки на
которую даются в квадратных скобках.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты № 95–01–00407, 97–01–00923, 05–01–
00250, 06–08–08169-офи, 08–01–00207-а, 09–08–00011-а, 16-01-00189.
6
Введение
ВВЕДЕНИЕ
В этой книге рассматриваются классические краевые и спектральные задачи для оператора Лапласа: одномерные, двумерные и трехмерные. Также
рассмотрены спектральные задачи для бигармонического оператора, флаттер
пластин и пологих оболочек, нестационарные задачи уравнения Навье –
Стокса и т. д.
Исследуемые ниже двумерные спектральные и краевые задачи для оператора Лапласа рассматриваются только в гладких областях. Решения этих задач
(собственные функции) бесконечно дифференцируемы либо даже аналитичны, и поэтому для создания эффективных алгоритмов необходимо учесть
эту колоссальную априорную информацию. Традиционные методы конечных
разностей и конечных элементов почти не используют информацию о гладкости решения, т. е. это методы с насыщением. Термин "насыщение" введен
К. И. Бабенко [1]. Для пояснения того, что это означает в нашем случае, рассмотрим абстрактную схему приведенных в этой книге алгоритмов.
Пусть T – замкнутый линейный оператор в банаховом пространстве B с областью определения D(T), а Pn – проектор на конечномерное подпространство
Ln D(Т). Назовем дискретизацией оператора Т оператор PnTPn. Пусть для оператора Т имеем задачу на собственные значения:
(В1)
Tu u, u 1 .
Если Н – матрица конечномерного оператора PnTPn в некотором базисе
l1 ,l2 ,...,ln Ln , то точное собственное значение Λ оператора Т удовлетворяет
соотношению вида
(В2)
Hu = λu + r.
Здесь H – матрица размера n n; u (u1 ,u2 ,...,un ) – вектор значений собственной функции в узлах сетки; r (r1 ,r2 ,...,rn ) – погрешность дискретизации. Заметим, что (В2) – точное соотношение, т. е. Λ – собственное значение
задачи (В1), а ui , i 1,2,...,n суть точные значения соответствующей собственной функции задачи (10.1) в узлах сетки. Отбрасывая в (В2) погрешность
дискретизации, получим приближенную конечномерную задачу на собственные значения
Hu u.
7
Введение
В гл. 1 будет показано, что вообще говоря порядка погрешности дискретизации r . Tаким образом точность приближенного определения собственных значений оператора T зависит от скорости, с которой r 0 при n
. Причем r r (u, ), т. е. имеет свое значение для каждой собственной
функции и соответствующего собственного значения. В алгоритмах, рассмотренных в книге, скорость стремления r (u, ) к нулю зависит от гладкости
собственной функции, и, чем выше гладкость u, тем быстрее r 0 при n
. Это и означает, что описанные алгоритмы не имеют насыщения. Разностные методы приводят также к соотношению вида (В2). Однако в этом слу-
чае r O(h p ), где h – шаг сетки, а p – порядок разностной схемы. Таким образом, скорость стремления r к нулю не улучшается, если увеличивается
гладкость собственной функции. Аналогичные утверждения справедливы и
для метода конечных элементов.
Целью книги является разработка и исследование алгоритмов без насыщения для названных выше классических задач.
Краткое изложение основ теории не насыщаемых численных методов содержится в первом издании книги К. И. Бабенко [1]. Отметим, что исследования в вычислительной математике в этом направлении недостаточно пропагандировались в России и мире и до сих пор за рубежом практически неизвестны.
Подтверждением тому служит тот факт, что уже в наши дни началось фактическое "переоткрытие" (по-видимому, независимое) этих же вычислительных методов на западе – под названием "спектральных" методов (S. Orszag, D.
Gotlieb [2], Е. Tadmor*, США), а также в виде современных (h – p) – специализаций метода конечных элементов (О. Widlund [3], США и S. Schwab[4, 5],
Швейцария), в которых при измельчении сетки (т. е. при h → 0) одновременно
увеличивается степень p полиномов, используемых при аппроксимации функций внутри одного конечного элемента. Остается лишь сожалеть, что к этому
моменту работы К. И. Бабенко и его учеников оказались практически забыты.
––––––––––––––––––––––––
* Eitan Tadmor Distinguished University Professor – Department of Mathematics Institute
for Physical Science & Technology Director, Center for Scientific Computation and Mathematical Modeling (CSCAMM). Email: tadmor@cscamm.umd.edu.
8
Введение
Проблема решения задач на собственные значения (краевых задач) разбивается на две: прежде всего, нужно бесконечномерную задачу свести к конечномерной; затем указать метод решения полученной алгебраической задачи на
собственные значения (системы линейных уравнений). Для двумерных и трехмерных задач решение соответствующей конечномерной задачи может представлять сложную проблему. В рассматриваемом случае исследование структуры конечномерной задачи позволило преодолеть эти трудности. Так, например, при исследовании двумерных задач в круге оказалось, что матрицы
соответствующих конечномерных задач имеют такую блочную структуру
h11 h12 ... h1m
(В3)
H
h21 h22 ... h2 m
.........................
,
hm1 hm 2 ... hmm
где h , = 1,2,…,m – симметричные циркулянты размера N×N, N = 2n + 1,
т. е. матрицы, первая строка которых имеет вид b0,b1,…,bn,bn,…,b1, а остальные
строки получаются из первой циклической перестановкой. Для краткости будем называть матрицы такого вида h-матрицами. Следовательно, в массиве H
всего m2(n + 1) различных элементов. Здесь m и N – параметры сетки выбираемой в круге для дискретизации соответствующих спектральных задач (m –
число окружностей, а N – число точек на каждой окружности), т. е. всего в
круге выбирается M = mN точек. Свойства матриц вида (В3) изучаются в гл. 3.
Оказывается, что они наследуют свойства соответствующих бесконечномерных задач. Причем, несмотря на большие размеры этих матриц (до 1230), удается вычислить у них все собственные значения даже на маломощной ЭВМ.
Для произвольной области применением конформного отображения задача
сводится к кругу, и поэтому матрица дискретной задачи по-прежнему имеет
достаточно простой вид. В результате, для вычисления собственных значений
возможно применить метод простой итерации в сочетании с методом исключения [6]. B качестве одного из примеров вычислены пять собственных частот
свободно опертой пластинки (с 7–8 знаками после запятой), граница которой
(эпитрохоида) имеет в 12 точках кривизну порядка 103.
Исследование структуры конечномерной задачи позволяет также создать
эффективный алгоритм решения уравнения Пуассона. Отметим, что быстрый
алгоритм решения уравнения Пуассона необходим при расчете движения
пучка заряженных частиц (плазмы) в самосогласованном электрическом поле,
т.к. на каждом шаге по времени требуется пересчитывать потенциал электрического поля, т. е. решать уравнение Пуассона.
9
Введение
Литература
1. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с.; 2-е изд.,
испр. и доп. / Под ред. А. Д. Брюно. М.; Ижевск: РХД, 2002. 847 с.
2. Orszag S. A., Gotlib D. Numerical Analysis of Spectral Methods. Theory and
Applications. Society for industrial and applied mathematics, 1977, 169 pp.
Philadelphia, pennsylvania 19103.
3. Andrea Toselli, Olof Widlund. Domain Decomposition Methods – Algorithms
and Theory. Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag
Berlin Heidelberg, 2005, 450 pp.
4. Cristoph Schwab. p – and Hp – Finite Element Methods theory and application
to solid and fluid mechanics. Oxford University, 1998.
5. C. Schwab, M. Suri, M. Suri, C. Xenophontos, C. Xenophontos,... The hp finite
element method for problems in mechanics with boundary layers (1996).
6. Фадеев Д. К., Фадеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры.
СПб.: Лань, 2002. 736 с.
10
ГЛАВА 1.
ФОРМАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМОВ И ОЦЕНКА
ПОГРЕШНОСТИ
В этой главе на основе регулярной теории возмущений [1] доказаны теоремы о локализации собственных значений замкнутого линейного оператора в
банаховом пространстве. Необходимые сведения из функционального анализа
формулируются в п. 1.1. Рассмотренные теоремы позволяют привести абстрактную схему оценки погрешности приближенных методов вычислений
собственных значений линейных операторов.
1.1. Формализация
Пусть X – банахово пространство. Будем обозначать B(X) множество линейных, ограниченных в X операторов. Если P,Q B(X) – пара проекторов (Р2
= Р,Q2 = Q) и
P Q 1 , то образы PX и QX изоморфны. В частности,
dimP = dimQ.
Теорема 1
Пусть Р(t) – проектор, непрерывно зависящий от параметра t, пробегающего (связную) область вещественной оси или комплексной плоскости. Тогда
образы P(t)X изоморфны при всех t. В частности, функция dimP(t)X постоянна.
Для доказательства достаточно заметить, что
P(t ) P(t ) 1
для достаточно близких t и t и поэтому сформулированные выше результаты применимы к паре проекторов Р( t ) и P( t ). Операторозначная функция
R(ζ) = R (ζ, T) = (T – ζI)-1
называется резольвентой оператора T (I – единичный оператор) и удовлетворяет резольвентному тождеству
R(1 ) R(2 ) (1 2 ) R(1 ) R(2 ),
из которого, в частности, получаем, что R(ζ) – голоморфная функция от параметра ζ. Особые точки R(ζ) суть собственные значения , 1,2,... оператора Т. Вычет резольвенты
Глава 1. Формальное описание алгоритмов и оценка погрешности
P
1
R ( ) d
2i
является оператором проектирования, т. е. P2 P . Если замкнутый контур Гν
не содержит других собственных значений оператора Т, кроме λv, то РvX называется алгебраическим собственным подпространством, а его размерность
dimРvX называется алгебраической кратностью собственного значения λv. Проектор Рv перестановочен с оператором T: TРv = РvT = РvTРv.
Среди неограниченных операторов выделяются операторы, которые называются замкнутыми. Обозначим D(T) область определения оператора T. Оператор T называется замкнутым, если для любой последовательности un D(T )
такой, что un u и Tun v вектор u принадлежит D(T) и Ти = v. Ограниченный oneратор замкнут тогда и только тогда, когда подпространство D(Т) замкнуто. Если оператор T обратим, то замкнутость T эквивалентна замкнутости
Т-1.
1.2. Теоремы локализации
Пусть B – банахово пространство, а T – замкнутый линейный оператор. Будем обозначать через (T) резольвентное множество оператора T, т. е. совокупность точек комплексной плоскости, для которых существует оператор (TI)-1, ограниченный и имеющий область определения, плотную в B. Если T –
замкнутый оператор, то R() определен на всем B. Для ограниченного оператора будем обозначать через спектральный радиус:
Spr T lim T n
1/ n
n
Теорема 2
Пусть T – замкнутый оператор в банаховом пространстве B с областью
определения D(T), а Tn – ограниченный оператор. Пусть – спрямляемый замкнутый контур (или конечная совокупность таких попарно не пересекающихся контуров), содержащих внутри m собственных значений оператора T,
сосчитанных с их алгебраической кратностью, и пусть выполнено условие
Sup Spr ( R()(Tn I ) I ) 1,
12
(1.1)
Глава 1. Формальное описание алгоритмов и оценка погрешности
то внутри лежит ровно m собственных значений оператора Tn, считая собственное значение столько раз, какова его алгебраическая кратность.
Доказательство основано на классической теории возмущений [1]. Введем
семейство операторов T() = T + T(10.1), T(10.1) = Tn-T, где – комплексное
число. Пусть (T), тогда T()-I = (T-I)(I + R()T(10.1)), где R() – резольвента оператора T. Заметим, что R()T(10.1) = R()(Tn -I) – I – ограниченный
оператор, и обозначим
r0 sup Spr ( R ()(Tn I ) I )
1
1.
(1.2)
При ||<r0 получаем
n
(T ( ) I ) 1 R () k R k (),
k 1
(1.3)
R k () (1) k ( R()T (1) ) k R(),
т. е. (T()) и (T () I )1 можно представить равномерно по сходящимся рядом (1.3). Причем коэффициенты этого ряда суть ограниченные операторы, а поэтому (T () I )1 – также ограниченный оператор, определенный на всем B. Интегрируя (1.3) почленно, получаем, что собственный проектор P() оператора T() определяется сходящимся при ||<r0 рядом:
P ( )
n
1
R(, )d P k P ( k ) ,
2i
k 1
P ( k ) R ( k ) ( ) d , P
1
R()d .
2i
В частности, P() непрерывен по , а следовательно внутри находятся m
собственных значений 1(),…,m() оператора T() при ||<r0, но r0>1, и теорема доказана.
Замечания
1) Вместо условия (1.1) можно ввести более грубое условие
sup R()(Tn I ) I 1.
(1.4)
При ограниченном операторе T соотношения (1.1) и (1.4) выполнены, если
выполнено
R ( )
Tn T 1,
13
,
Глава 1. Формальное описание алгоритмов и оценка погрешности
где R () – непрерывная функция на компактном подмножестве комплексной
плоскости.
2) Если (T) и Spr( R()(Tn I ) I ) 1, то (Tn).
3) Условие (1.1) означает, что резольвенты операторов T и Tn достаточно
близки.
Если в теореме 2 дополнительно предположить, что T – ограниченный оператор, то в соответствующем соотношении (1.1) можно поменять T и Tn местами. Например, если внутри Ã , где – простое собственное значение оператора Tn (найти и соответствующую изолирующую окрестность можно из
численных расчетов), нет других собственных значений оператора Tn и выполнено условие
Sup Spr ( Rn ()(T I ) I ) 1, Rn () (Tn I ) 1 ,
~
то внутри Ã лежит единственное собственное значение оператора T. Другими словами, используя результаты вычислений, можно доказать строгую математическую теорему о локализации собственных значений ограниченного
оператора. Проблема такого рода возникает в задаче Гаусса [2].
Покажем пример применения теоремы 2 в конечномерном случае. Пусть A
– матрица размера n×n с комплексными элементами aij. Обозначим A1 =
= diag(a11,…,ann), A2 = A-A1, A3() = (A1- I)-1 A2, т. е.
a1n
a12
...
0
a11
a11
a21
a2 n
0
...
a22
A3 () a22
................................................
an1
...
0
a
nn
(1.5)
где – точка границы области, образованной объединением кругов с центрами aii и радиусами ri ( может состоять из нескольких замкнутых, непере
14
Глава 1. Формальное описание алгоритмов и оценка погрешности
секающихся контуров). Пусть Pi | aij | , i = 1,…,n, тогда общеизвестен класi j
сический результат Гершгорина [3], что все собственные значения матрицы A
лежат внутри области, образованной объединением кругов с центрами aii и радиусами Pi. Этот результат без труда получается в виде следствия теоремы 2.
Действительно, пусть | A | max | aij | – Чебышевская норма матрицы, тогда
i
j
| A3 () | max
i
Если max
i
i j
| aij |
| aii |
max
i
Pi
.
ri
(1.6)
Pi
1, то внутри лежат все собственные значения матрицы A.
ri
Отсюда следует результат Гершгорина. Пусть ri = Pi + >0, тогда правая
часть (1.6) меньше единицы, но >0 произвольно, следовательно, при ri = Pi
внутри или на границе соответствующей области лежат все собственные значения матрицы A. Это и есть теорема Гершгорина.
Заметим, что в этих рассуждениях использовалось условие (1.4). Используя
более тонкое условие (1.1), получаем, что справедлива следующая теорема.
Теорема 3
Пусть A – матрица размера n×n с комплексными элементами aij, – спрямляемый контур (или конечная совокупность таких попарно непересекающихся
контуров), который содержит внутри себя диагональные элементы aii, i =
1,2,…,n матрицы A, тогда, если выполнено условие
sup Spr A3 () 1
по поводу обозначений см. (1.5), то внутри лежат все собственные значения
матрицы A.
Таким образом, результат, сформулированный в теореме 3, есть обобщение результата Гершгорина. Используя теорему 2, нетрудно получить и
другие результаты подобного типа. Заметим, что теоремы о локализации
собственных значений имеют большое значение при их практическом вычислении [4].
15
Глава 1. Формальное описание алгоритмов и оценка погрешности
1.3. Априорная оценка погрешности
в задачах на собственные значения
Теорема 4
Пусть выполнены условия теоремы 2, но в качестве контура выберем выпуклый контур , который содержит внутри себя собственное значение
оператора T алгебраической кратности m и не содержит других точек спектра
1
этого оператора. Обозначим max | |, а ˆ (1 ... m ) – среднее
m
арифметическое собственных значений оператора Tn, лежащих внутри , тогда выполняется неравенство
r 1
| ˆ | 0 1 ,
1 r0
где величина r0 определена в (1.2).
1
Доказательство. Функция ˆ ( ) 1 ( ) ... m ( ) (см. доказательство
m
теоремы 2) голоморфна при ||<r0, т. е.
ˆ ( ) ˆ 1 2ˆ 2 ... ,
(1.6)
причем, так как – выпуклый контур, то ˆ ( ) лежит внутри и для коэффициентов ряда (1.3.1) выполняются формулы Коши:
| ˆ | r k , k 1,2,... ,
k
0
но r0>1, и, следовательно, ряд (1.6) мажорируется сходящейся геометрической
прогрессией со знаменателем q r01. Отсюда следует утверждение теоремы.
Следствие. Пусть T – ограниченный оператор, тогда оператор T(10.1) = Tn-T
также ограничен. Допустим, что выполняется условие
R() T (1) 1, ,
тогда выполняется неравенство
| ˆ | Cn T (1) ,
(1.7)
где Cn R(0 ) (1 R(0 ) T (1) )1 , а 0 – точка, в которой достигается
максимум R () при .
16
Глава 1. Формальное описание алгоритмов и оценка погрешности
Не будет, видимо, большой ошибкой сказать, что существующие методы
вычисления собственных значений операторных уравнений (дифференциальных, интегральных и т. д.) сводятся в конце концов к конечномерной задаче
вида Av = v, получаемой из соотношения
(1.8)
Au u r,
где A – матрица размера n×n, а u и r – n-мерные векторы. Причем – точное
собственное значение соответствующего оператора T. Далее, u = (u1…un), где
ui – точные значения в узлах интерполяции (узлах сетки, коэффициенты разложения в ряд и т. д.) собственной функции исходного оператора, соответствующей собственному значению , r = (r1…rn) – погрешность дискретизации.
Причем r = r(u,), т. е. погрешность дискретизации, имеет свое значение для
каждой собственной функции.
Пусть – простое собственное значение оператора T, Pn – проектор на конечномерное подпространство LnB. Назовем дискретизацией оператора T
оператор Tn = PnTPn, а A обозначим матрицу конечномерного оператора
PnTPn Ln в некотором базисе l1,…,lnLn. Пусть выполнено соотношение (1.1),
где в качестве контура выберем контур , удовлетворяющий условиям теоремы 2. Таким образом, внутри лежит одно собственное значение оператора Tn. Отсюда следует, что внутри лежит одно собственное значение
матрицы A. Точное собственное значение исходного оператора T удовлетворяет соотношению вида (1.8). Введем в рассмотрение матрицу B = A(u,u)-1ru*, где u* (u1 ,...,un ) – матрица, сопряженная к матрице столбцу u, а
(u,v) ( u1v1 ... unvn ) – скалярное произведение в Cn. Нетрудно видеть, что
Bu = u, т. е. и u суть собственное значение и собственный вектор матрицы
B. Обозначим .
2
матричную норму, подчиненную норме вектора в Cn, тогда
A B 2 r 2 .
Итак, внутри лежит одно собственное значение матрицы A. Если выполнено условие
(1.9)
Sup Spr ( A I )( B I ) I ) 1,
то внутри нет других собственных чисел матрицы B, кроме . Заметим, что
условие (1.9) выполнено, если выполнено
R(, A)
2
r
2
1, .
17
Глава 1. Формальное описание алгоритмов и оценка погрешности
Таким образом, если погрешность дискретизации достаточно мала, то
внутри нет "паразитических" собственных чисел матрицы B, т. е. собственных чисел, отличных от . Теперь осталось применить следствие из теоремы
4, чтобы получить оценку погрешности
| - | Cn r 2 ,
Cn R(0 , A) 2 (1 R(0 , A)
2
r 2 ) 1 ,
где 0 – точка, в которой достигается максимум R(, A)
2
при . Пусть
теперь – полупростое собственное значение замкнутого оператора T кратности m, а M – соответствующее m-мерное геометрическое собственное подпространство, и dimPnM = m при достаточно большом n. В результате дискретизации задачи на собственные значения для оператора T получаем, вообще говоря, m конечномерных задач вида (1.3.3):
Aui = ui + ri , i = 1,2,…,m,
где (ui,uj) = ij. Если – контур, удовлетворяющий условиям теоремы 2, и
выполнено соотношение (1.1), то внутри лежит m собственных значений
1,…,m оператора Tn (матрицы A), считая каждое собственное значение
столько раз, какова его алгебраическая кратность. Введем в рассмотрение матрицу
B A r1u1* ... rmum* .
Нетрудно заметить, что матрица B имеет m-кратным собственным значением, а u1,…,um – соответствующие собственные векторы. Если выполнено
условие (1.3.4), то внутри нет других собственных значений матрицы B.
Обозначим R = A-B, тогда R 2 m max r 2 . Соотношение (1.3.4) выполнено,
i
если выполнено
R(, A)
2
R 2 1, .
Теперь так же, как для простого собственного значения, получаем оценку
| ˆ | C R ,
n
2
Cn R(0 , A) 2 (1 R(0 , A)
2
R 2 ) 1.
1
Здесь ˆ (1 ... m ) , 0 – точка, в которой достигается масимум
m
R(, A)
2
при .
18
Глава 1. Формальное описание алгоритмов и оценка погрешности
1.4. Апостериорная оценка погрешности
в задачах на собственные значения
Теоремы, доказанные в пп. 1.2 и 1.3, позволяют получить также апостериорную оценку погрешности в задачах на собственные значения для ограниченного оператора T. Действительно, пусть Tn – последовательность ограниченных операторов (дискретизация оператора T), у которых можно вычислить
собственные значения непосредственно. Например, если Tn = PnTPn (см.
п. 1.2), то задача о вычислении собственных значений оператора Tn эквивалентна вычислению собственных значений некоторой матрицы A размера n×n,
а для решения такой проблемы существуют надежные алгоритмы [4].
Пусть – простое собственное оператора Tn, а Ã – замкнутый контур,
содержащий внутри себя точку и не содержащий других точек спектра оператора Tn. Для того чтобы выяснить, с какой точностью является собственным значением оператора T, следует вычислить величину
r01 Sup Spr ( Rn ()(T I ) I ) 1,
~
Rn () (Tn I ) 1.
Если r 1 , то внутри Г лежит единственное собственное значение
1
0
оператора T и выполняется неравенство
| |
r01
, max | | .
Ã
1 r01
Важно заметить, что вычислять наибольшее по модулю собственное значение оператора Rn()(T – I) – I можно грубо. Необходимо только выяснить, что
Spr(Rn()(T– I) – I)<1, а также порядок этой величины.
1.5. Обобщения для пучка операторов
Пусть B – банахово пространство, а A,B – пара ограниченных операторов.
Обозначим P(A,B) резольвентное множество, т. е. множество комплексных чисел C, для которых существует ограниченный оператор (A – B)-1. Дополнение (A,B) = C–P(A,B) называется спектром пары операторов A,B. Если для
некоторого числа C имеется решение u 0 уравнения Au = Bu, тогда
называется собственным значением, соответствующим собственному вектору
u для пары операторов A,B. Собственные значения пары операторов A,B лежат
в спектре (A,B). Далее будем применять обозначения R() = (A – B)-1. Пусть
19
Глава 1. Формальное описание алгоритмов и оценка погрешности
– некоторое собственное значение пары операторов A,B, а P(A,B) –
спрямляемый контур, содержащий внутри себя только это собственное значение. Обозначим
1
E
R ()d .
2i
Оператор P = EB является проектором. Если пространство P(B) конечномерно, тогда dimP = dimP(B) называется алгебраической кратностью собственного значения [1].
Теорема 5
Пусть A,B – пара ограниченных операторов в банаховом пространстве B,
а An ,Bn – также пара ограниченных операторов. Пусть – спрямляемый замкнутый контур (или конечная совокупность таких попарно не пересекающихся контуров), содержащих внутри m собственных значений пары операторов A,B, сосчитанных с их алгебраической кратностью, и пусть выполнено условие
r01 Sup Spr ( R()( An Bn ) I ) 1,
(1.10)
то внутри лежит ровно m собственных значений пары операторов An,Bn, считая каждое собственное значение столько раз, какова его алгебраическая кратность.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2, с тем различием,
что теперь в отличие от классической теории резольвенты оператором проектирования на алгебраическое собственное подпространство является проектор
P = EB (см. п. 1.2).
Теорема 6
Пусть выполнены условия теоремы 5, но в качестве контура выберем выпуклый контур , который содержит внутри себя собственное значение
пары операторов A,B алгебраической кратности m и не содержит других точек
1
спектра этого оператора. Обозначим max | |, а ˆ (1 ... m ) –
m
среднее арифметическое собственных значений пары операторов An,Bn, лежащих внутри , тогда выполняется неравенство
r 1
| ˆ | 0 1 ,
1 r0
20
Глава 1. Формальное описание алгоритмов и оценка погрешности
где величина r0 определена в (1.10).
Доказательство дословно аналогично доказательству теоремы 4 (см. выше).
Смысл теоремы 5 состоит в том, что резольвенты пар операторов A,B и An,Bn
достаточно близки.
Литература
1. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.
2. Бабенко К. И., Юрьев С. П. О дискретизации одной задачи Гаусса //Докл.
АН СССР, 1978. Т. 240, 6. С. 1273–1276.
3. Гершгорин С. Uber die Abgrenzung der eigenwerte einer Matrix // Изв. АН
СССР, 1931. Т. 7. С. 749–754.
4. Уилкинсон Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.:
Наука, 1970. 564 с.
21
ГЛАВА 2.
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
2.1. Введение
Для численного решения задачи о собственных значениях имеется ряд конкурирующих методов. Это, прежде всего, проекционные методы: метод Ритца,
метод Бубнова – Галеркина и др. Известно немало о точности, которую дают
эти методы. Так, например, приближения для собственных значений самосопряженных задач, даваемые методом Ритца, лежат сверху точных значений.
Известен ряд результатов о сходимости, и в некоторых частных случаях установлены оценки погрешности проекционных методов [1].
Наряду с проекционными методами большое распространение получили и
разностные методы [2]. Однако при конструировании указанных численных
методов не учитывается ряд важных обстоятельств, что значительно снижает
их эффективность. Обычно при решении задачи на собственные значения мы
располагаем колоссальной априорной информацией. Чаще всего отыскиваемые решения бесконечно дифференцируемы либо даже аналитичны. Поэтому
они являются элементами функциональных компактов, довольно просто
устроенных. Как правило, для таких компактов хорошо известна асимптотика
их поперечников. С другой стороны, любой проекционный метод основан на
выборе некоторого набора конечномерных подпространств и тем самым некоторого способа приближения искомого решения (причем этот способ, как правило, не согласован c оптимальными способами, о которых говорилось выше).
Это, естественно, приводит к тому, что численный алгоритм, построенный на
таком проекционном методе, далек по своим свойствам от оптимального. Вместе с тем, положив в основу численного алгоритма рациональный способ приближения искомого элемента, получим алгоритм, близкий к оптимальному.
Этот подход будет развиваться ниже, и основан он на идеях работы [3]. Разностным методам присущи существенные недостатки [3] и, в частности, то,
что это методы с насыщением (вопросам точности этих методов посвящено
довольно много работ, и из них мы укажем лишь на [2, 4]). Поэтому и при
разностном методе решения задачи на собственные значения опять-таки игнорируется априорная информация о гладкости решения, а учитывая потерю
гладкости, присущую разностным методам, получаем алгоритмы, далекие от
оптимальности. Проблема построения численных методов решения задачи на
собственные значения разбивается на две. Прежде всего нужно бесконечномерную задачу свести к конечномерной задаче, а затем указать метод решения
Глава 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
полученной алгебраической задачи на собственные значения. В этой работе
рассматривается только первый этап, а полученная алгебраическая задача решается QR-методом.
Абстрактные теоремы об оценке погрешности в задачах на собственные
значения опубликованы в [5, 6]. Отметим, что в [6] рассматриваются только
компактные операторы, а в [5] – произвольные замкнутые операторы. В гл. 1
приведены результаты работы [5] и их обобщения на случай пучка ограниченных операторов.
Для пояснения, чем предлагаемые алгоритмы отличаются от классических,
рассмотрим классическую задачу Штурма – Лиувилля
y "( x) q( x) y( x) ( x) y( x),
x (1, 1),
y(1) y(1) 0.
(2.1)
(2.2)
Здесь q(x) и (x) – заданные функции, – спектральный параметр. Хочется
сказать, что задача (2.1) – (2.2) тривиальна для численного решения. Традиционным методом решения этой задачи является разностный метод. Его суть состоит в следующем: пусть h – шаг сетки; выберем на отрезке (-1, + 1) n узлов
xi = -1 + hi, h = 2/(n + 1), i = 1,2,…,n,
x0 = -1, xn + 1 = 1,
т. е. всего на замкнутом отрезке [-1,1] выбираем (n + 2) узла.
Если y(x) C3[-1,1], то
y( x)
y( x) 2 y( x) 3
y ( x h) y ( x )
h
h
h O(h 4 ),
1!
2!
3!
y( x)
y( x) 2 y( x) 3
y ( x h) y ( x )
h
h
h O(h 4 ).
1!
2!
3!
Складывая соотношения (2.3), (2.4), получим
y( x h) y( x h) 2 y( x) y( x)h2 O(h4 ),
(2.3)
(2.4)
Тогда
y( x h) 2 y( x) y( x h)
O(h2 ).
h2
Обозначим
y( x)
23
(2.5)
Глава 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
y( xi ) yi ,
y( xi ) yi,
тогда из (2.5) получаем
yi 1 2 yi yi 1
O(h 2 ), i 1, 2,..., n.
h2
(2.6)
Первый член в правой части соотношения (2.6) – это вторая разностная
производная. Таким образом, разностная производная аппроксимирует yi со
yi
вторым порядком, т. е. с точностью до O(h2). Подставим (2.6) в (2.3) и получим
для каждого узла сетки
yi 1 2 yi yi 1
qi yi i yi O(h2 ), i 1, 2,..., n,
h2
y0 yn1 0 .
Отбрасывая погрешность дискретизации O(h2), получим приближенную
конечномерную задачу для трехдиагональной симметричной матрицы. Возмущение (см. гл. 1), вносимое в собственные значения отбрасыванием O(h2), порядка погрешности дискретизации с коэффициентом, зависящим от расстояния, исследуемого собственного значения до остальной части спектра задачи
Штурма – Лиувилля. Таким образом, в независимости от гладкости решения
задачи Штурма – Лиувилля (2.1) – (2.2) погрешность определения собственного значения порядка O(h2). По терминологии К. И. Бабенко [3], разностный
метод решения задачи Штурма – Лиувилля имеет насыщение. Аналогичным
недостатком обладает и метод конечных элементов. Опишем теперь альтернативный метод решения задач на собственные значения, который не обладает
указанными недостатками.
2.2. Дискретизация классических спектральных задач
для обыкновенных дифференциальных уравнений
Рассматривается задача на собственные значения для нулевого уравнения
Бесселя, задача Штурма – Лиувилля, периодическая и антипериодическая задачи для оператора Штурма – Лиувилля. Вначале рассмотрим краевую задачу
для уравнения Бесселя:
(2.7)
( xy ' )' xy 0, x (0,1),
y(1) 0,
(2.8)
24
Глава 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
y(0) .
(2.9)
Решение этой задачи известно, и поэтому она удобна для проверки методики. Краевая задача (2.7) – (2.9) эквивалентна интегральному уравнению
1
x 1
x 1 1 1 1
y
,
y
G
d ,
2 2 2
2 2 1 2
G ( x, ) ln[( x x ) / 2].
Применим для функции [(ζ + 1)/2]у[(ζ + 1)/2] интерполяционную формулу
вида
n
( Pn f )( x) f ( xk )lk ( x) Rn ( x; f ),
(2.10)
k 1
где фундаментальные функции интерполяции суть
Tn ( x)
lk ( x)
, k 1, 2,..., n,
( x xk )Tn' ( xk )
Tn ( x) cos(n arccos x),
xk cos[(2k 1) / 2n],
где Rn(x;f) – погрешность интерполяции. Проводя вычисления, получаем
n
y j B jk yk rn ( x j ; y ),
(2.11)
k 1
B jk Bk ( x j ),
yk y( xk ),
k , j 1, 2,..., n,
где
Bk ( x)
k 1 1 x 1 1
G
,
lk ()d ,
4 1 2
2
1
rn ( x, y )
x 1 1 1
G
,
Rn ;
y d ,
2 1 2
2 2
Отбрасывая в (2.11) погрешность дискретизации, получаем приближенную
задачу на собственные значения
y By.
Здесь y – вектор приближенных значений искомой собственной функции у(х)
в узлах сетки, – приближенное собственное значение. Легко видеть ([3],
с. 189), что
25
Глава 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
max rn ( x; y ) c (1 n ) En ( y ),
x 1
где с – абсолютная постоянная, ( n O(ln(n)) – константа Лебега интерполяции, а Еn(у) – наилучшее приближение функции у многочленом степени не
выше (п-1) в норме С). Заметим далее, что собственные функции задачи
(2.7) – (2.9) целые, а поэтому [7, с. 254]
lim n En ( y ) 0 ,
n
т. е. величина погрешности дискретизации очень быстро стремится к нулю.
Возмущение, вносимое в собственные значения отбрасыванием погрешности
дискретизации, будет оценено ниже. Здесь обсудим результаты численных
расчетов. При п = 5 получим первое собственное значение с четырьмя знаками
после запятой, а третье собственное значение – с одним знаком после запятой.
При n = 20 первое собственное значение вычисляется с 22 знаками после запятой, а 14-е собственное значение вычисляется с одним знаком после запятой.
Последний расчет проводился на ЭВМ БЭСМ-6 с использованием двойной
точности (длина мантиссы 80 бит). Время расчета – 4 мин 40 с вместе с вычислением матрицы. В [8] опубликована программа BESSEL, по которой проводились эти расчеты, а также результаты расчета собственных функций краевой
задачи (2.7) – (2.9).
Теперь рассмотрим задачу на собственные значения для уравнения
у''(х) – q(х)у(х) = λρ(х)у(х), x (b1 , b2 ),
(2.12)
с краевыми условиями
y y x b 0,
(2.13)
1 y 1 y x b 0, 2 12 0.
2.14
1
2
Заменой независимой переменной задача сводится к интервалу (-1,1), поэтому в дальнейшем будем предполагать, что b1 = –1, b2 = 1. Будем также предполагать, что функции q(х) и ρ(х), входящие в уравнение (2.12), гладкие.
Сведем краевую задачу (2.12) – (2.14) к интегральному уравнению. Пусть
G(x,) – функция Грина оператора d2/dx2 с краевыми условиями (2.13), (2.14),
тогда получим
26
Глава 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1
y ( x) G ( x, )[q () () y ()]d .
(2.15)
1
Дискретизацию интегрального уравнения (2.15) произведем так же, как и
выше. Применив для функций yq и уρ интерполяционную формулу (2.10), получим
n
n
k 1
k 1
y( x)q( x) yk qk lk ( x) Rn ( x; yq), y ( x)( x) yk k lk Rn ( x; y),
Где yk y( xk ), k ( xk ), qk q( xk ), k 1, 2,..., n.
Подставляя эти соотношения в (2.15), имеем
n
n
k 1
k 1
yj Djkqkyk Djkkyk rn ( xj; yq ) rn ( xj ; y), j 1, 2,..., n,
здесь
1
D jk G ( x j , )lk ()d ,
j , k 1, 2,..., n,
(2.16)
1
1
rn ( x j ; yq ) G ( x j , ) Rn (, yq )d ,
j 1, 2,..., n,
(2.17)
j 1, 2,..., n.
(2.18)
1
1
rn ( x j ; y) G ( x j , ) Rn (, y)d ,
1
Окончательно приходим к алгебраической задаче на собственные значения
(2.19)
( An Bn ) y ra rb .
Здесь An = I-DQ, Bn = DP – матрицы размера n×n; Q = diag(q1,…,qn),
P = diag(1,…,n) – диагональные матрицы. Элементы матрицы D определяются по формуле (2.16), векторы погрешностей ra и rb имеют компоненты,
определяемые по формулам (2.17) и (2.18) соответственно. Заметим, что в соотношении (2.19) – точное искомое собственное значение, а y – вектор длины
n, компоненты которого содержат значения соответствующей собственной
функции в узлах сетки. Отбрасывая в (2.19) погрешности дискретизации ra и
rb, получаем приближенную задачу на собственные значения
( An Bn ) y 0,
27
Глава 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
где – приближенное собственное значение, а y – вектор длины n, компоненты которого содержат приближенные значения искомой собственной
функции в узлах сетки. Возмущение, вносимое в собственные значения отбрасыванием погрешностей дискретизации, будет оценено ниже, а сейчас рассмотрим некоторые результаты численных расчетов.
В [9] рассчитывались далекие собственные значения краевой задачи
у"(x) + (λ – x2) у(х) = 0, у (0) = у'(1) = 0.
Для 100-го собственного значения по асимптотической формуле получены
значения 97711.8842956852, а в результате вычислений – 97711.8846. Вычисления по описанной в этом параграфе методике дают значение 97711.884322.
Этот результат получен на сетке из п = 180 узлов. Он несколько точнее, чем в
[9]. Таким образом, описанная методика позволяет вычислять настолько далекие собственные значения, когда уже можно использовать асимптотические
формулы. Остальные результаты [9] приведены в табл. II (колонка (а) – асимптотическая формула, колонка (b) – расчеты):
Таблица II
Собственные значения, соответствующие далеким осциллирующим
собственным функциям уравнения Вебера (Weber), удовлетворяющего
граничному условию (5.4) (ii)
m
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
λm
(a)
97711.8842956852
392813.0560529779
885306.3153903790
1575191.6632255727
2462469.0988021103
3547138.6223169501
4829200.2341860869
6308653.9339494741
7985499.7216152999
9859737.5974535981
(b)
97711.8846
392813.0561
885306.3152
1575191.6632
2462469.0989
3547138.6223
4829200.2342
6308653.9340
7985499.7215
9859737.5975
––––––––––––––––––––––––
Eigenvalues Corresponding to Highly Oscillatory Eigcnfunctions of Weber’s Equation Satisfying Boundary Condition (5.4) (ii).
28
Глава 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Результаты расчетов по описанной выше методике на сетке из 3000 узлов
приводится ниже:
100 97711.8843105742
200 392813.055899344
300 885306.315512695
400 1575191.66314519
500 2462469.09880420
600 3547138.62249124
700 4829200.23417049
800 6308653.93392193
900 7985499.72187408
1000 9859737.59750380
В качестве второго численного примера рассмотрим краевую задачу
у"(x) + (λx – x4) у(х) = 0,
у'(1) – у (1) = у'(2) – 4у (2) = 0.
В [9] результаты расчета этого примера приведены в табл. VIII. В качестве
первого собственного значения приводится 2.00000000. Однако легко видеть,
что точное первое собственное значение –2. Оно соответствует собственной
функции у(х) = сехр(x3/3). Следующие четыре собственных значения больше
истинных на 6 единиц (дробная часть правильна). Правильные собственные
значения, полученные на сетке из n = 20 узлов суть: λ1 = –2.000000000005, λ2 =
7.4742107310, λ3 = 27.637864542, λ4 = 60.869801997, λ5 = 107.37160421. При п
= 2 получены собственные значения -2.20 и 7.46, т. е. с 10 % относительной
точностью первое собственное значение вычисляется на сетке из двух узлов.
Расчеты проводились по программе EIGVAL [8]. Отметим, что в этой программе ошибка, которая проявляется только при нечетном п. Правильное значение 6-й строки [5, с. 54] есть С1 = С0*(1-(-1)N) / N. Все примеры расчетов,
приведенные в [5], правильны.
В связи с полученными результатами отметим, что в [2, с. 335] приводится
следующий расчет: для того чтобы по разностной схеме 6-го порядка найти
пятое собственное значение с тремя верными знаками после запятой, нужно –
50 узлов сетки. В данном методе требуется 12–13 узлов интерполяции.
Далее рассмотрим краевую задачу для уравнения Матье:
w + {λ – 2q cos 2x} w = 0,
w (0) = w (π/2) = 0.
Для этой задачи в [9] получены результаты, которые приведены в табл. III:
29
Глава 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Таблица III
m
5
10
15
100
1000
q=1
λm
100.005050675
400.001253135
900.00055617
40000.0000
4000000.000000
q = 10
λm
100.5067695
400.1253382
900.0556195
40000.00
4000000.0000
q = 25
λm
Notea
400.78419
900.34769
40000.0
4000000.000
q = 100
λm
Notea
Notea
900.5836
40000.1
4000000.00
Результаты автора приводятся ниже в табл. IIIa. Они получены на сетке из
2000 узлов:
Таблица IIIa
m
5
10
15
100
1000
m
5
10
15
100
1000
q=1
λm
100.005050675217
400.001253135554
900.000556174255
40000.0000125259
3999999.99999857
q = 25
λm
103.225680042440
400.784185569627
900.347693024637
40000.0078127206
4000000.00007584
q = 10
λm
100.506769462940
400.125338231571
900.055619516845
40000.0012500580
3999999.99999750
q = 100
λm
126.442980323169
412.796652012942
905.583618703759
40000.1250033929
4000000.00124503
Таким образом, при q = 100 собственное значение 15 в указанной работе
вычислено с ошибкой. Это установлено сравнением с расчетами на сетке из
200 узлов. Получено, что 15 собственное значение равно 905.583618703766.
В качестве следующего численного примера рассмотрим уравнение параболического цилиндра
y''(x) + {λ + γ2x2}y(x) = 0, y(0) = y(10.1) = 0.
30
Глава 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
В табл. 2.1 для γ = 50 и γ = 100 приведены результаты расчета по описанной
выше методике. Там же для сравнения приводятся результаты работы [9].
Число точек n = 40 для γ = 50 и n = 100 для γ = 100.
Таблица 2.1
m
9
10
11
γ = 50
λm
Автор
[9] 100 т.
121.0784681
121.0785
279.0426771
279.0427
465.1662800
465.1663
m
17
18
γ = 100
λm
Автор
219.8930241
483.3507150
[9] 100 т.
219.893
483.351
Суть методики, описанной в [9], состоит в следующем. Заменой Прюфера задача сводится к системе 2-х уравнений 1-го порядка. Для определения собственных значений используется одно из этих уравнений (правая часть которого зависит от λ). Левое краевое условие дает начальное значение. По схеме Рунге – Кутта
6-го порядка можно построить для каждого λ решение этой задачи Коши. Используя правое краевое условие, получаем трансцендентное уравнение для определения собственных значений. Важным преимуществом этой методики является возможность вычислять далекие собственные значения.
Следующий пример для (2.12) с периодическим потенциалом q(х), q(х) =
= q(х + а) и р = 1. Будем рассматривать периодическую задачу
y(0) – у(а) = у'(0) – у'(а) = 0,
(2.20)
и антипериодическую задачу
у(0) + у(а) = y(0) + у'(а) = 0.
(2.21)
Пусть κ – вещественное число, тогда (2.12) можно переписать в виде
d 2 y / dx2 2 y ( q( x)) y( x),
2 .
Пусть G (х,ξ) – функция Грина оператора
d 2 y / dx 2 2
для граничных условий (2.20) либо (2.21). Тогда получаем интегральное уравнение
a
y ( x ) G ( x, )( q () y ()) d .
0
31
Глава 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Для интерполяции решения применим в периодическом случае интерполяционную формулу
2 2n
ak
Pn ( x; y)
y( xk ) Dn ( x xk ; a), xk
,
2n 1 k 0
2n 1
где Dn(х;а) – ядро Дирихле
Dn ( x; a)
sin[(n 0.5)2x / a ]
.
2sin(x / a)
В антипериодическом случае применим интерполяционную формулу
2 2n
Pn ( x; y )
y ( xk ) cos ( x xk ) Dn ( x xk ; a).
2n 1 k 0
a
Дальнейшие рассуждения аналогичны проделанным в задаче Штурма – Лиувилля. В результате получаем алгебраическую задачу на собственные значения вида (2.19). Отбрасывая погрешность дискретизации, получим приближенную задачу на собственные значения:
(2.22)
y By,
B ( I AQ)1 A.
Исследуем подробнее конечномерную задачу (2.22). Для периодических
краевых условий
G ( x, ) K ( x ),
2
cos
x
2 1
a
K ( x)
a 22 1 2 2
2
a
,
а поэтому
2
Aij
N
n
k 0
'
2k
( xi x j )
a
2
2k
2
a
cos
(2.23)
(штрих у знака суммы означает, что слагаемое, при k = 0, берется с коэффициентом ½), т. е. матрица A – симметричный циркулянт размера N×N.
Симметричным циркулянтом размера N×N (N = 2n + 1) называется действительная матрица, первая строка которой имеет вид: a0a1a2…anan-1…a1, а
остальные строки получаются из 1-й циклической перестановкой. Следова
32
Глава 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
тельно, в этой матрице всего n + 1 различных элементов. Свойства циркулянтов хорошо изучены [10]. А именно, все матрицы этого класса имеют одни и
те же собственные векторы
2j
x j (1, j ,..., j N 1 ), j exp(i j ), j
, j 0,1,..., 2n,
N
соответствующие собственные значения суть
n
j a0 2 ak cos k j , j 0,1,..., 2n.
k 1
Нетрудно понять, что λ0 – однократное собственное значение, а λ1,…,λn –
двукратные. Легко проверяется результат, что класс L симметричных циркулянтов размера N×N замкнут относительно алгебраических операций, т. е.
если A,BL, то A + BL, ABL, A-1L, если A-1 существует. Кроме того, AB =
= BA. При алгебраических операциях с матрицами класса L аналогичные операции совершаются с их собственными значениями. Заметим, что рассматриваются только действительные матрицы, а комплексная форма записи для собственного вектора x применяется для удобства. Она означает, что собственными векторами, соответствующими собственному значению Λj, являются Re
xj и Im xj.
В качестве численного примера рассмотрим уравнение Матье (q(x) =
= cos2x) на промежутке [0,2π] для периодического случая, и на промежутке
[0,π] для антипериодического. Обе эти задачи имеют общие собственные
функции (функции Матье ce2n + 1 и se2n). Результаты расчета при N = 21 приведены в табл. 2.2.
Таблица 2.2. Собственные числа уравнения Матье λ i
i
2
3
6
7
10
11
14
15
18
19
Пер. задача
–0.11024881701
1.85910807252
9.04773925990
9.0783688477
25.020840822
25.020854343
49.010413
49.010413
80.98
80.98
Антипер. задача
-0.11024881700
1.85910807252
9.04773925997
9.0783688472
25.020840824
25.020854342
49.010418
49.010418
81.01
81.01
33
Глава 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
В табл. 2.3 приведены результаты расчета при N = 101 (номером i в порядке
возрастания перенумерованы собственные значения λi периодической задачи,
т. е. собственные значения, соответствующие всем функциям Матье). Причем
в табл. 2.2 и 2.3 приведены только совпадающие знаки у собственных значений, рассчитанные по двум методикам.
Таблица 2.3
i
18
19
22
23
26
27
98
99
Собственные числа уравнения Матье λ i
Периодическая задача
Антипериодическая задача
81.0062503
81.0062507
81.0062503
81.0062507
121.004167
121.004167
121.004167
121.004167
169.002976
169.002978
169.002976
169.002978
2400.995
2401.001
2400.995
2401.001
Из рассмотрения табл. 2.3 усматривается асимптотический закон роста собственных значений рассматриваемого уравнения Матье
λ2k, λ2k + 1 ~ k2.
(2.24)
Таким образом, описанная методика позволяет для данной задачи вычислить настолько далекие собственные значения, что начинает c хорошей точностью выполняться асимптотическая формула (2.24).
2.3. Экспериментальное исследование скорости сходимости
Рассмотренный в п. 2.1 второй пример для задачи Штурма – Лиувилля позволяет экспериментально оценить скорость сходимости предложенной методики.
В этом примере имеется аналитически вычисляемое собственное значение -2. Проверялась скорость сходимости предложенного численного метода
на сетке из 2–17 узлов. Получены следующие значения погрешности: 8e-1, 5e1, 7e-2, 3e-2, 6e-3, 1e-3, 2e-4, 2e-5, 4e-6, 6e-7, 1e-7, 1e-8, 2e-9, 3e-10, 4e-11, 5e12. Эта табличная зависимость апроксимировалась аналитически. Получено
ε = exp(a+bn3), a = 0.013621586, b = -0.028013035.
34
Глава 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Таким образом, в отличие от классических разностных методов, где зависимость скорости сходимости от числа узлов сетки степенная, здесь имеем экспотенциальное убывание погрешности.
2.4. Вычисление с высокой точностью собственных значений для
уравнения Бесселя
Результаты п. 2.2 получены автором в соавторстве с К. И. Бабенко давно,
далее они уточняются с использованием современных вычислительных
средств. Сейчас появился транслятор с фортрана (Intel Visual Fortran 9.1), который позволяет вести расчеты с учетверенной точностью REAL*16. С использованием этого транслятора были проведены расчеты с числом точек
N = 3 – 23, N = 110. Эти расчеты сравнивались с табл. VI работы [11]. Ниже
приведены значения
i , i = 1,2,…,23 на сетке из N = 23 узлов: N = 23, EPS
= 0.33E-28, Собственные значения
2.40482555769577276862163187932315
5.52007811028631064959995531048766
8.65372791291101229166741865684604
11.7915344390140843686267083669051
14.9309177084599940892731158995010
18.0710639711203998901712950375023
21.2116367066011374633859922408520
24.3524696616047016958823129522958
27.4934601396705964187069258148688
30.6347976897899335897734472259312
33.7759497154294753471218322997414
36.9231498885250203330212676349967
39.9510270188728602686403023637232
Курсивом выделены знаки, совпавшие с табл. VI [11]. Таким образом, сетки
из N = 23 узлов достаточно, чтобы получить первое собственное значение со
всеми знаками из указанной таблицы (29 знаков после запятой). Расчеты на
сетке N = 110 дают 32 собственных значения (всю первую колонку табл. VI
[11]) со всеми знаками таблицы (28–29 знаков после запятой):
35
Глава 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
N = 10, EPS = 0.17E-28, Собственные значения
2.40482555769577276862163187932645
5.52007811028631064959660411281302
8.65372791291101221695419871266094
11.7915344390142816137430449119255
14.9309177084877859477625939973887
18.0710639679109225431478829756182
21.2116366298792589590783933505263
24.3524715307493027370579447631787
27.4934791320402547958772882346074
30.6346064684319751175495789268540
33.7758202135735686842385463467146
36.9170983536640439797694930632732
40.0584257646282392947993073739946
43.1997917131767303575240727287430
46.3411883716618140186857888791129
49.4826098973978171736027615331776
52.6240518411149960292512853803912
55.7655107550199793116834927734632
58.9069839260809421328344066346156
62.0484691902271698828525002646527
65.1899648002068604406360337425135
68.3314693298567982709923038399851
71.4729816035937328250630738561307
74.6145006437018378838205404693368
77.7560256303880550377393718912338
80.8975558711376278637721434908708
84.0390907769381901578796383480003
87.1806298436411536512618050690529
90.3221726372104800557177667776228
93.4637187819447741711905915439709
96.6052679509962687781216173239281
99.7468198586805964702799790000825
Далее проводились расчеты на сетках из N = 3 – 23 узлов. Ниже приведена
погрешность определения первого собственного значения: 3) 0.11; 4) 0.53e-02;
5) 0.37e-03; 6) 0.54e-04; 7) 0.2e-05; 8) 0.23e-06; 9) 0.64e-08; 10) 0.68e-09; 11)
0.15e-10; 12) 0.14e-11; 13) 0.27e-13; 14) 0.23e-14; 15) 0.36e-16; 16) 0.28e-17;
17) 0.39e-19; 18) 0.28e-20; 19) 0.35e-22; 20) 0.23e-23; 21) 0.26e-25; 22) 0.15e-26; 23)
0.33e-28. По этой таблице подбиралась аналитическая зависимость ε = ε(N).
Получено: ε(N) = a + bN + cN2 + dN3 + eN4 + fN5; a = 0.39307047, b = 0.58615539,
c = 0.40323914, d = –0.599229377, e = 0.12421718, f = –0.0076898089.
Таким образом, скорость убывания погрешности экспоненциальная. Как
уже отмечалось выше, метод конечных разностей и метод конечных элементов
дают только степенное убывание погрешности.
2.5. Вычисление функций Бесселя целого индекса.
Уравнение Бесселя имеет вид:
2
1
k
(v(r ) v(r )) v(r ) v(r ), v(1) 0, | v(0) | .
r
r
Поэтому легко видеть, что матрица дискретной задачи (матрица, у которой
необходимо вычислить собственные значения) имеет вид:
36
Глава 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Λ0 =B-1, где B – матрица дискретного оператора (обратного к оператору
Бесселя), построенная выше;
Λk = Λ0 +k2 R, k=1,2,…,n; R – диагональная матрица с числами (1/rν )2 rν =
(1+cos((2ν-1)π/2m))/2, ν = 1, 2, … , m на диагонали.
Рассмотрим результаты численных расчётов на сетке из 23 узлов получено:
m = 23, k =1;
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
i Собств. значения
3.83170597020751231561443588605205
7.01558666981561875353120866886788
10.1734681350627220491724007823358
13.3236919363142570433728670520907
16.4706300508824154776364636843869
19.6158585101973123876830625220157
22.7600843701865157377758772901100
25.9036722639552867175841920011564
29.0468258315682780761054280922193
32.1898292345730302050572370405816
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Вайнико Г. М. Асимптотические оценки погрешности проекционных
методов в порблеме собственных значений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1964. Т. 4, № 3. C. 405–425.
Приказчиков В. Г. Однородные разностные схемы высокого порядка
точности для задачи Штурма – Лиувилля // Журн. вычисл. математики
и мат. физики. 1964. Т. 4, № 3. C. 687–698.
Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с.
Hubbard B. E. Bounds for eigenvalues of the Sturm-Liouville problem by
finite difference methods //Arch. Ration. Mech. and Anal. 1962. Vol. 10,
№ 2, P. 171–179.
Алгазин С. Д. О локализации собственных значений, замкнутых линейных операторов // Сиб. мат. журн. 1983. Т. 24, № 2. С. 3–8.
Mersier B., Osborn J., Rappaz J., Raviart P. A. Eigenvalue aproximation by
mixed and hybryd methods // Math. Comput. 1981, V.
36, № 154.
P. 427–453.
Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций.
М.: Гостехтеориздат, 1954. 328 с.
37
Глава 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Алгазин С. Д., Бабенко К. И., Косоруков А. Л. О численном решении
задачи на собственные значения. М., 1975. 57 с. (Препр. ИПМ; № 108).
9. Hargrave B. A. Numerical Approximation of Eigenvalues of Sturm-Liouville
Systems // J. Сcomput. Phys. 1976, V. 20. P. 381–396.
10. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. 367 c.
11. Таблицы нулей функции Бесселя // Библиотека математических таблиц,
выпуск 44. ВЦ АН СССР, 1967. 95 с.
8.
38
ГЛАВА 3.
ГАРМОНИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА
3.1. Введение
В этой главе разработаны практические алгоритмы для трех классических
спектральных и краевых задач: Дирихле, Неймана и смешанной. Поскольку
алгоритмы, основанные на локальных методах приближения, насыщаемы [1],
то для дискретизации названных выше задач используется глобальная интерполяционная формула для функции двух переменных в круге. Задачи для уравнения Лапласа, рассматриваемые в одноcвязной области Г с гладкой границей
дГ, конформным отображением сводятся к кругу. Причем в описанных ниже
алгоритмах конформное отображение предполагается заданным. Отметим, что
для численного построения конформного отображения имеются надежные алгоритмы [2].
Классические методы – разностный и метод конечных элементов – приводят к разреженной матрице дискретной задачи, что является большим достоинством этих методов. Рассматриваемые ниже двумерные алгоритмы приводят к полностью заполненным матрицам. Однако внимательный анализ структуры матрицы конечномерной задачи позволяет довести эти алгоритмы до
высокого совершенства. Оказывается, что можно затабулировать громоздкие
вычисления в таблицах небольшого размера. В таком случае описанные алгоритмы можно трактовать как расшифровывающие алгоритмы, которые, используя начальные данные в виде таблиц небольшого объема, строят матрицу
дискретной задачи. Далее, если рассматривается задача на собственные значения, то остается вычислить у построенной матрицы собственные значения.
Если же требуется приближенно решить уравнение Пуассона, то оказывается,
что это можно экономно сделать в двумерной и некоторых трехмерных областях.
3.2. Интерполяционная формула для функции двух переменных в круге
и ее свойства
Для того, чтобы построить дискретизацию, обладающую нужными свойствами (не имеющую насыщения), применяется интерполяционная формула
Глава 3. Гармоническая проблема
К. И. Бабенко для функции двух переменных в круге. Свойства этой интерполяционной формулы таковы, что скорость убывания ее погрешности, с ростом
числа узлов интерполяции, тем выше, чем большим условиям гладкости удовлетворяет интерполируемая функция. Другими словами, построенная дискретизация не имеет насыщения.
Выберем в круге ||1 сетку, состоящую из узлов l = rexp(il), r =
= cos((2 – 1)/4/m), = 1,2,…,m, l = 2 l/N, N = 2n + 1, l = 0,1,…,2n, т. е. в
круге выбирается m окружностей с радиусами r, = 1,2,…,m, а на каждой
окружности через равные углы 2 выбирается N точек. Здесь r, =
= 1,2,…,m – положительные нули многочлена Чебышева T2m четной степени
2m. Всего в круге выбирается M = mN узлов.
По этим узлам построим интерполяционную формулу вида:
2n
m
( PM f )(r , ) f l Ll (r , ),
(3.1)
l 0 1
Lvl (r , )
2T2 m (r ) Dn ( l ) Dn ( l )
,
r r
NT2'm (r ) r r
n
Dn () 0.5 cos k , Tm (r ) cos(m arccos x).
k 1
Здесь Dn() – ядро Дирихле, Tm(r) – многочлен Чебышева степени m.
Суть этой интерполяции состоит в том, что на диаметре круга для рассматриваемой функции применяется интерполяционный многочлен Лагранжа с узлами в нулях полинома Чебышева степени 2m, а по применяется интерполяция тригонометрическим многочленом степени n. Ниже, часто вместо двух индексов, нумерующих узлы интерполяции, будет применяться один. В этом
случае узлы интерполяции нумеруются, начиная с первой окружности ( = 1),
против часовой стрелки (l = 0,1,…,2n).
Интерполяционная формула (3.1) обладает нужными свойствами. Действительно, формула (3.1) точна на многочленах от двух переменных степени =
min(n,m-1). Обозначим множество этих многочленов P, а E обозначим
наилучшее приближение функции f C[D] (D – единичный круг) многочленом
из P. Тогда определен проектор PM: C[D]LM, LM = L(L1,…, LM) и справедливо
классическое неравенство:
| f (r, ) (PM f )(r, ) | (1 | PM | ) E ( f ),
40
(3.2)
Глава 3. Гармоническая проблема
в котором |PM| – норма проектора PM. Так же, как в одномерном случае, неравенство (3.2) показывает, что соответствующая интерполяционная формула не
имеет насыщения. Норма проектора PM удовлетворяет соотношению
|PM| = O(ln2M),
(3.3)
причем не составляет труда уточнить эту оценку; медленный рост нормы |PM|
особенно важен для бигармонического уравнения.
Делая некоторые предположения о гладкости класса интерполируемых
функций, можно оценить скорость убывания наилучшего приближения E при
M и получить конкретные оценки погрешности интерполяционной формулы (3.1). Пусть
f(r,) = (PM f)(r,) + M(r,;f),
(3.4)
где M(r,;f) – погрешность интерполяционной формулы (3.1) (остаток). Тогда
справедлива следующая теорема К. И. Бабенко.
Теорема 7
Рассмотрим класс функций H M ( K ; D) C ( D), удовлетворяющих в круге
D условиям
k l f
K,
x k y l
k l ,
тогда, если f HM ( K ; D) , то
|M(. ;f)| c K M log2M,
(3.5)
где c – константа, зависящая от ..
Таким образом, из рассмотрения формулы (3.5) видно, что при одинаковом
числе узлов интерполяции M скорость убывания погрешности интерполяционной формулы (3.1) возрастает с ростом , т. е. с ростом гладкости интерполируемой функции f. Это означает, что полученная интерполяционная формула не имеет насыщения.
Основываясь на интерполяционной формуле (3.1), легко построить квадратурную формулу для вычисления определенных интегралов, когда областью
интегрирования является круг. В самом деле, заменяя подынтегральную функцию выражением (3.1), получим квадратурную формулу:
f (r, )d f (r , )c
D
,l
41
l
l
( f ),
(3.6)
Глава 3. Гармоническая проблема
где d – элемент площади, сl – весовые коэффициенты, а (f) – погрешность.
Для сνl имеем
cl Ll (r , )d ,
(3.7)
D
и они не зависят от l. Введем в рассмотрение блочно-диагональную матрицу
C = diag(c1, c2,…, cm),
(3.8)
где c, = 1,2,…,m – Диагональные матрицы размера N×N с одинаковыми числами на диагонали. Для погрешности квадратурной формулы имеем следующую оценку:
|(f)| 2E(f).
Заметим, что все cl положительны при достаточно большом числе узлов
интерполяции.
3.3. Дискретизация оператора Лапласа
В произвольной области Г R2 с достаточно гладкой границей Г рассмотрим задачи: (3.9), (3.10); (3.9), (3.11); (3.9), (3.12):
u(z) + f(z) = 0, z Г,
(3.9)
u|Г = 0 ,
(3.10)
u
0,
(3.11)
n
au
u
n
0.
(3.12)
Здесь функция f(z) либо задана, либо f(z) = [q(z) + p(z)]u(z), где q(z) и p(z) –
заданные функции, и в этом случае имеем задачу на собственные значения для
оператора Лапласа; а – заданная на границе дГ гладкая функция; n – единичный вектор внешней нормали к дГ. В дальнейшем будем считать, что f, q и p –
гладкие функции.
Пусть z = ||1 – конформное отображение единичного круга на область Г, тогда в плоскости формально получаем те же соотношения (3.9) –
(3.12), где, однако, вместо u(z) и f(z) следует писать u() = u(z()) и
||2f(z()), а вместо а- () a( z(ei )) | (ei ) | .
Обозначим через K (, )
1
ln | (1 ) /( ) |
2
42
Глава 3. Гармоническая проблема
функцию Грина оператора Лапласа в круге с краевым условием Дирихле. Из
(3.9) имеем
u ()
K (, ) | () |2 [ q() p()]u () d
2
K (, )()d ,
0
|| 1
0
1 2
K 0 (, )
,
2
2(1 2 cos( ))
(3.13)
i
e .
Здесь ψ(θ) – значение u на границе. Для задачи Дирихле, которая рассматривается в этом параграфе, ψ(θ) = 0, а для остальных задач должна быть выбрана с
учетом краевого условия.
Подставим соотношение (3.1) для функции F() = ||2f(), = r·exp(i) в
(3.13) и, проведя аналитические вычисления интегралов, получим
2n
m
u () H l () zl f l RM (, F ),
(3.14)
l 0 1
RM (; F )
K (, )M (; F ) d ,
(3.15)
||1
H l ()
K (, ) Ll ()d , r exp(i ).
(3.16)
||1
Если в (3.14) пробегает узлы интерполяции, то получаем конечномерную
задачу вида
HZf + R
(3.17)
Здесь u – вектор-столбец, компоненты которого содержат значения искомого решения (собственной функции) в узлах сетки; H – матрица размера
M×M, получаемая из соотношения (3.16), когда пробегает узлы сетки; Z –
диагональная матрица с числами z l, = 1,2,…,m; l = 0,1,…,2n на диагонали
(см. п. 3.3); f – либо заданный вектор-столбец, компоненты которого содержат
значения соответствующей функции в узлах сетки, либо f = (Q + P)u, где Q и
P – диагональные матрицы, содержащие на диагонали значения соответствующих функций в узлах сетки; в последнем случае имеем задачу на собственные значения; R – вектор погрешности дискретизации, содержащий значения
функции RM (;F ) (см. 3.15) в узлах сетки. Отбрасывая в (3.17) погрешность
43
Глава 3. Гармоническая проблема
дискретизации R, получаем приближенную конечномерную задачу. Возмущение, вносимое в собственное значение отбрасыванием погрешности дискретизации, будет оценено ниже. Оценка точности решения уравнения Пуассона
только абсолютной константой отличается от (3.5).
3.4. Теоремы об h-матрице
Теорема 8
Матрица H имеет следующий блочный вид:
h11 h12 ... h1m
H
h21 h22 ... h2 m
.........................
,
(3.18)
hm1 hm 2 ... hmm
где h , = 1,2,…,m – симметричные циркулянты размера N×N, N = 2n + 1,
т. е. матрицы, первая строка которых имеет вид: b0,b1,…,bn,bn,…,b1, а остальные
строки получаются из первой циклической перестановкой. Для краткости будем называть матрицы такого вида h-матрицами.
Доказательство. Вычисляя интегралы в (3.16), получаем
1
2 n
a 0 () ak () cos k ( l ),
N
N k 1
exp(il ), l 2l / N .
H l ()
(3.19)
Если в (3.19) пробегает узлы сетки, то получаем
H
2 n '
k hk ,
N k 0
(3.20)
где штрих у знака суммы означает, что слагаемое при k = 0 берется с коэффициентом ½; k , k = 0,1,…,n – матрица размера m×m:
k = ak(), = 1,2,…,m,
где – радиус -й окружности сетки в круге; hk, k = 0,1,…,n – матрица размера
N×N:
hkij = cos[k2(i – j)/N)], i,j = 1,2,…,N,
44
Глава 3. Гармоническая проблема
через обозначено кронекерово произведение матриц. Вид функций ak()
для доказательства теоремы не важен и поэтому не приводится (см. [3]).
Из (3.20) следует утверждение теоремы. Таким образом, в матрице H всего
m2(n + 1) различных элементов. Например, для матрицы размера 104×104
(8 окружностей по 13 точек) нужно хранить 448 элементов, а для матрицы
1230×1230 (30 окружностей по 41 точке) нужно хранить 18900 элементов.
Используя это свойство, можно вычислять собственные значения матрицы
HZ (т. е. приближенные собственные значения оператора Лапласа в произвольной плоской области) методом простых итераций в сочетании с методом
исключения.
Теорема 9
Пусть H – действительная h-матрица, тогда эта матрица ортогонально подобна блочно-диагональной матрице
= diag(0, 1, …, 2n),
где j – матрица размера m×m, элемент (k,l) которой есть j-е собственное значение матрицы hkl:
n
j b0 2 bp cos( p j ), j 2j / N , j 0,1,...., 2n,
(3.21)
p 1
где b0,b1,…,bn – первые элементы первой строки матрицы hkl , причем j =
=N-j, j = 1,2,…,n, т. е. среди клеток j все парные, кроме 0. Собственные векторы матрицы H можно представить в виде
y( k ) c( k ) x( k ) ,
где x( k ) [1,exp(ik 1 ,...,exp(ik 2 n )], j 2j / N ,
(3.22)
k 0,1,...,2n,
а c( k ) , = 1,2,…,m1, m1 m – собственный вектор матрицы k.
Доказательство. Рассмотрим вначале свойства симметричных циркулянтов
размера N×N, N = 2n + 1, т. е. матриц, первая строка которых имеет вид
b0,b1,…,bn,bn,…,b1, а остальные строки получаются из первой циклической перестановкой. Следовательно, в этой матрице всего (n + 1) различных элементов.
Все матрицы этого класса имеют одни и те же собственные векторы
x j (1, j ,..., Nj 1 ), j exp(i j ), j 2j / N , j 0,1,...,2n,
45
Глава 3. Гармоническая проблема
а соответствующие собственные значения суть
n
j b0 2 bp cos( p j ), j 0,1,...., 2n.
p 1
Нетрудно увидеть, что 0 – однократное собственное значение, а 1,2,…,n
– двукратные. Легко проверяется, что класс S симметричных циркулянтов размера N×N (N = 2n + 1) замкнут относительно алгебраических операций, т. е.
если A,BS, то A + BS, ABS, A-1S, если A-1 существует. Кроме того, AB =
BA. При алгебраических операциях с матрицами класса S аналогичные операции совершаются с их собственными значениями. Заметим, что рассматриваются только действительные матрицы, а комплексная форма записи для собственного вектора xj применяется для удобства. Она означает, что собственными векторами, соответствующими собственному значению j являются Re
xj и Im xj, j = 1,2,…,n.
Симметричный циркулянт можно представить в виде:
Bij
2
N
n
k 0
'
k cos[k 2(i j ) / N ], i, j 1, 2,..., N ,
(3.23)
где k, k = 0,1,…,n – собственные значения этой матрицы (см. 3.4.4), штрих у
знака суммы означает, что слагаемое при k = 0 берется с коэффициентом ½.
Обозначим xij (i = 1,2,…,N, j = 0,1,…,2n) i-ю компоненту ортонормированного собственного вектора xj симметричного циркулянта и рассмотрим ортогональную матрицу
x10 ...0 ... 0 ... x12 n ... 0
.......................................
xN 0 ..0 ... 0 ... xN 2 n ... 0
X ....................................... .
0..........x10 ........0..........x12 n
.......................................
0..........xN 0 .......0..........xN 2 n
Тогда легко проверяется соотношение
= X'HX
Таким образом, первое утверждение теоремы 9 доказано. Собственный вектор матрицы H представляется в виде
Y = XC,
(3.24)
46
Глава 3. Гармоническая проблема
где C – собственный вектор блочно-диагональной матрицы . Следовательно,
C можно представить в блочном виде:
c0
C ...
c
(3.25)
,
2n
где ci, i = 0,1,…,2n есть m-мерные векторы, причем в выражении (3.25) все ci =
0 при i k, а ck является собственным вектором матрицы k, k = 0,1,…,2n. Теперь второе утверждение теоремы 9 следует из соотношения (3.24).
Следствие 1. Если собственные значения матриц k простые, то соответствующая матрица H имеет m простых собственных значений, а остальные –
двукратные.
Следствие 2. Матрица H тогда и только тогда является h-матрицей, когда
она представляется в виде (3.20). Это следует из теоремы 8 и формулы (3.23)
для симметричного циркулянта.
Следствие 3. Пусть L – класс h-матриц и H1 ,H2L, тогда c1H1 + c2H2 L (c1,c2
– константы), H1H2 L, H1-1 L, если H1-1 существует. Причем H1-1 существует
тогда и только тогда, когда не вырождены матрицы j , j = 0,1,…,n, и в этом
случае H1-1 = X'-1X, -1 = diag(0-1,…, 2n-1) или
H11
2 n ' 1
k hk
N k 0
(3.26)
(сравнить с 3.20). Для примера рассмотрим вычисление собственных значений
для матрицы размера 1230×1230 (30 окружностей по 41 точке). В табл. 3.1 в
левой колонке приведены вычисления собственных значений матрицы Λ20 размера 30×30. В правой колонке приведены нули J20 из таблиц. Таким образом,
даже 20-й нуль функции J20 вычислен с точностью около 6,6 %.
Таблица 3.1
l
1
5
10
15
20
Результаты вычислений 1/ 20,l
Табличные значения нулей J20
25.4171408136
41.41306548
58.600
75.18
97.3
25.4171408141
41.4130655139
58.6020220738
75.0763080700
91.2635481625
47
Глава 3. Гармоническая проблема
3.5. Построение клеток h-матрицы с использованием дискретизации
уравнений Бесселя
Рассмотрим спектральную задачу Дирихле для оператора Лапласа при q = 0,
p = 1. Известно, что в круге собственные функции ukj(r,) и собственные значения kj связаны соотношением
ukj (r , ) J k ( kj r ) exp(ik ),
k 0,1,..., j 1, 2,... .
Из краевого условия следует, что
(3.27)
kj есть j-й нуль функции Бесселя Jk ,
причем 0j – простые собственные значения, а остальные двукратные. Смысл
теоремы 9 состоит в том, что соответствующая конечномерная задача наследует описываемые ниже свойства.
1. Двумерная задача на собственные значения для оператора Лапласа в
круге разделением переменных сводится к одномерным задачам (уравнениям
Бесселя); матрица H ортогонально подобна блочно-диагональной матрице ,
и вычисление ее собственных значений сводится к вычислению собственных
значений матриц j, j = 0,1,…,n размера m×m (m – число точек по радиусу).
2. Часть собственных значений оператора Лапласа с краевым условием Дирихле простые, а остальные – двукратные; это верно и для соответствующей
матрицы H: собственные значения матриц 0 простые, и, т.к. j = N-j, j =
1,2,…,n, то остальные собственные значения двукратные.
3. Наследуется вид собственных функций [сравните (3.27) и (3.22)].
4. k-ому уравнению Бесселя, решением которого является функция
J k ( kj r ), соответствует клетка k в блочно-диагональной форме матрицы H,
т. е. собственные значения kj этой матрицы являются приближениями для kj1
; а собственные векторы матрицы k: yj = (yj1… yjm)'– удовлетворяют приближенному равенству y jp const J k ( kj rp ), rp – радиус p-й окружности сетки в
круге.
Итак, вычисляя собственные векторы и собственные значения матрицы H,
получаем приближенные выражения для функций Бесселя и их нулей. Обратно, имея алгоритм вычисления функций Бесселя и таблицу их нулей, можно
построить соответствующие матрицы k , k = 0,1,…,n, а затем и матрицу H
48
Глава 3. Гармоническая проблема
(см. 3.4.3). Вычислить матрицы k можно также, проведя дискретизацию соответствующих уравнений Бесселя:
-[V(r) + (1/r)V(r)] + (k/r)2V(r) = V(r), V(1) = 0, |V(0)| <
на сетке r, = 1,2,…,m (см. п. 2).
В результате численных экспериментов выбран следующий способ построения матриц k:
1) матрицы 0 и 1 вычисляются по методике, описанной выше, а затем
вычисляются обратные к этим матрицам 0-1 и 1-1; таблицы этих массивов
при m = 3,5,7,9 приведены в [4];
2) 2k-1 = 0-1 + 4k2R, 2k + 1-1 = 1-1 + 4k(k + 1)R, k = 1,2,…,n, R = diag(r1-2,…,rm-2) –
диагональная матрица.
После вычисления этих матриц приближенное вычисление для H-1 получается по формуле (3.26).
Итак, построена матрица дискретного оператора – в круге с краевым условием Дирихле. Случай произвольной области сводится к кругу при помощи
конформного отображения:
Z-1H-1U = (Q + P)U
Здесь U = (ui,…,uM)’, M = mN – вектор, компоненты ui которого являются приближенными значениями собственной функции u() в i-м узле сетки (узлы в
круге нумеруются, начиная с первой окружности сетки против часовой
стрелки), т. е. ui u(i), а – приближенное значение соответствующего собственного значения; Z, Q и P диагональные матрицы, на диагонали у которых
стоят значения соответствующих функций z = ||2, q() и p() в узлах сетки.
Окончательно, для построения матрицы дискретной задачи Дирихле для
оператора Лапласа в круге требуется хранить два небольших массива чисел,
т. е. все громоздкие вычисления затабулированы, и матрица H-1 вычисляется
по простой формуле (3.20). В [4] для построения h-матрицы H-1 приведены две
небольшие подпрограммы на языке ФОРТРАН: HMATR (41 оператор) и
RASPAK (35 операторов). Заметим, что матрица H используется для вычисления матрицы дискретной задачи в бигармонической проблеме.
В [3] проводились тестовые расчеты по описанной в этом пункте методике.
Рассматривалась область, которая получается из круга ||1 при помощи конформного отображения
z = + ( 4), = r·exp(i),
49
Глава 3. Гармоническая проблема
и вычислялись первые собственные значения оператора - с краевым условием Дирихле. Результаты сравнивались с расчетом на сетке из 30 ×41=1230
узлов [3]. На сетке из 3 × 49 = 147 узлов первое собственное значение вычислено с тремя знаками после запятой, а 6-е собственное значение вычислено с
одним знаком после запятой (выписаны знаки, совпавшие с расчетом на мелкой сетке 30×41). Заметим, что для построения матрицы дискретной задачи в
этом расчете использовались две таблицы всего по 9 чисел. Результаты расчетов представлены в табл. 3.2.
Таблица 3.2
i
i 3×49 = 147 точек
1
2
3
4
5
6
2.382
3.7351
3.7351
4.64
5.24
5.6
5×29 = 145
точек
2.38439
3.73463
3.73483
4.6033
5.214
5.4101
7×21 = 147
точек
2.3844462
3.7346119
3.7346119
4.602969
5.21300
5.409670
9×15 = 135
точек
2.3844461
3.73479
3.73479
4.6028
5.212
5.409
30×41 = 1230
точек
2.38444650947
3.73461160260
3,73461160262
4.60299170652
5.21305408450
5.40967176981
3.6. Описание численных экспериментов
Первый расчет проводился для эпитрохоиды np = 4, ε = 1/6. В круге выбиралась сетка из 135 узлов с расположением точек по окружностям NL = 27, 25,
23, 21, 17, 9, 7, 3, 3 (начиная с первой окружности) [3]. В расчетах получено
много комплексных пар с мнимыми частями ~ 10-4. Второй расчет выполнялся
на равномерной сетке 9 15 = 135; все собственные значения получились действительными. Результаты расчетов представлены в табл. 3.3. Выписаны
знаки, совпавшие с расчетами на сетке 30 41 = 1230 (см. табл. 3.2). Результаты расчетов в третьей колонке табл. 3.2 хорошо совпадают с результатами
расчетов из табл. 3.3. Точность расчетов на неравномерной сетке гораздо хуже
(второй столбец табл. 3.3). Причины этого подробно анализируются в [3]. Коротко можно сказать, что во втором расчете дискретная задача наследует свойства бесконечномерной задачи.
50
Глава 3. Гармоническая проблема
Таблица 3.3
i
i
1
2
3
4
5
6
135
2.389
3.74
3.74
4.68
5.22
5.37
915 = 135
2.3844462
3.73479
3.73479
4.6028
5.2112
5.409
Вторая задача, которая рассматривалась, это задача на собственные значения в круге:
u e ar u 0, u r 1 0
2
Расчеты выполнялись на сетке 1531. Вычислялось первое собственное
значение. Во второй колонке приведены результаты расчетов Нестерова С. В.
Результаты в табл. 3.4.
Таблица 3.4
a
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.8
Автор
6.0355037914
6.1616424673
6.2878601882
6.4139790729
6.5400232874
6.7917939883
λ1
Нестеров С. В.
6.036051
6.1617386
6.2875
6.413976
6.540042
6.791812
Третий расчет касался вычисления далеких собственных значений в области, описанной в примере 1. Рассматривалась краевая задача:
u ( x) u ( x), x G, u G 0.
Для собственных значений справедлива асимптотическая формула
4
n
n O(n1/ 2 ln n),
mesG
51
Глава 3. Гармоническая проблема
где mesG – площадь области G. Для эпитрохоиды mesG = π(1 + ε2(np + 1)).
Конкретно асимптотическая формула разыскивалась в таком виде:
n a bn c n ln n. Зная λn для двух значений n, можно определить a и c.
В расчете на сетке 1531 при n = 100 и n = 200 получено a = –257.8878054, b =
3.51219512, c = 7.3121964. Затем расчеты по полученной формуле сравнивались с прямыми расчетами при 100< n <200. Отличие составляло 0.5 % –
4.7 %. Однако получить хорошее совпадение не удалось.
3.7. Быстрое умножение h-матрицы на вектор с использованием
быстрого преобразования Фурье
Для того чтобы оценить количество операций, необходимых для умножения h-матрицы H на вектор f, представим f в блочном виде:
f = (f1 f2… fm),
где векторы fRN, = 1,2,…,m, тогда
h11 f1 ... h1m f m
Hf
h21 f1 ... h2 m f m
............................
.
hm1 f1 ... hmm f m
Таким образом, задача сводится к построению быстрого алгоритма умножения симметричного циркулянта h на вектор fRN, = 1,2,…,m.
Представим компоненты этого вектора в виде:
n
f j a 0 [ak cos(k j ) bvk sin(k j )], j 2j / N ,
k 1
N 2n 1, j 0,1,..., 2n,
где
2n
a 0
1
N
f
ap
2
N
f
bp
2
N
f
j 0
,
j
cos( p j ),
2n
j 0
2n
j 0
(3.28а)
j
j
p 1, 2,..., n,
(3.28б)
sin( p j ), p 1, 2,..., n, 1, 2,..., m.
(3.28в)
52
Глава 3. Гармоническая проблема
Тогда
2n
h
j 0
ij
n
f j a 0 0 [p ap cos( pi ) p bp sin( pi )], i 0,1,..., 2n. 3.29
p 1
Следовательно, нужно уметь быстро вычислять суммы (3.7.1), а также
суммы, входящие в соотношение (3.29). Эти процедуры сводятся к вычислению сумм вида:
N 1
qj
Aq f j exp(2i ), q 0,1,..., N 1,
(3.30)
N
j 0
где N = 2n + 1 нечетно. Если N = 3, = 1,2,…, то для вычисления требуется
4N операций; доказательство аналогично классическому случаю.
Подсчитаем количество операций, необходимых для умножения h-матрицы на вектор. Надо вначале вычислить коэффициенты Фурье векторов f,
= 1,2,…,m по формулам (3.7.1), а затем умножить m2 циркулянтов на вектор по
формуле (3.29). Кроме того, требуется произвести Nm(m-1) сложений; всего
получаем O(m2NlogN) операций. Например, при N = 27 и больших m экономия
составляет 53 % операций по сравнению с непосредственным умножением
матрицы H на вектор.
Для того чтобы убедиться в устойчивости предложенного метода решения
уравнения Пуассона, следует оценить норму матрицы H. Заметим, что точное
решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в круге дается формулой
u ( ) H i () f i .
i
Так как при f 1 решение соответствующего уравнения Пуассона есть
u = 0.25(1-r2), то
1
i Hi (rei ) 4 (1 r 2 ), rei .
Если Hi() 0, то из последнего равенства нетрудно вывести, что
1
(2m 1)
(3.31)
| H | (1 rm2 ) 0.25, rm cos
,
4
4m
m – число окружностей сетки в круге. Численные эксперименты показывают,
что среди элементов матрицы H очень мало отрицательных и по модулю они
имеют величину порядка 10-8–10-12. Поэтому формула (3.31) дает практически
точную оценку для нормы матрицы H. Практические расчеты подтверждают
эту оценку.
53
Глава 3. Гармоническая проблема
3.8. Симметризация h-матрицы
Теорема 10
Матрица B = CH, C = diag(c1,…,cm) – асимптотически симметрична (см.
п. 3.4.1).
Доказательство. Обозначим K интегральный оператор в L2(D):
( Kf )( x) K ( x, ) f ()d ,
D
где K(x,) – функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге,
а D – круг единичного радиуса. Тогда
(Kf,v) = (f,Kv), f,vL2.
Здесь (,) обозначено скалярное произведение в L2(D). Положим,
f(x) = Lk(x), v(x) = Lj(x), j k
(см. 2.1), тогда
( Kf , v) H k () L j ()d .
(3.32)
D
Вычислим входящий в это выражение интеграл по квадратурной формуле
(3.6):
H
k
() L j ()d H jk c j M ( H k L j ),
(3.33)
D
где M – погрешность квадратурной формулы, а M – число узлов интерполяции. Аналогично получаем, что
( f , Kv) H kj ck M ( H j Lk ).
Обозначим Bil = Hilci , тогда из (3.32) – (3.33) имеем
B jk Bkj M ( H k Lj ) M ( H j Lk ).
(3.34)
(3.35)
Из равенства (3.35) следует утверждение теоремы.
Следствие.
B jk Bkj 2 E ( H k L j ) 2 E ( H j Lk ).
В табл. 3.5 приведены конкретные цифры, подтверждающие асимптотическую симметричность матрицы B = CH.
54
Глава 3. Гармоническая проблема
Таблица 3.5
M
max|Bjk-Bkj|
104 = 8×13
7.8×10-7
210 = 10×21
1.3×10-7
820=20×41
3.1×10-9
Пусть q 0, но, по-прежнему, рассматривается задача в круге (z1) при p1.
Заметим, что в описанном выше алгоритме при q0 обращается оператор ,
а при q 0 приближенно обращается оператор + q, т. е. если учесть ошибку,
с которой обращается этот оператор, то все остальные рассуждения сохранятся
без изменений, и, следовательно, матрица C(I-HQ)-1H – асимптотически симметрична.
Рассмотрим теперь произвольную область (z1) при p1, p p0>0, причем
предположим, что q0 (случай q0 рассматривается аналогично). Умножим
(3.17) на матрицу C слева и сделаем замену u = (ZPC)-1/2w, тогда получаем задачу на собственные значения для матрицы A = (ZPC)1/2B(ZPC)1/2, где B =
= CH, а матрица (ZPC)1/2 диагональная с числами
zi pi / ci на диагонали. Не-
трудно видеть, что матрица A так же, как и B, асимптотически симметрична.
3.9. Пример оценки погрешности для задачи Дирихле
Рассмотрим, например, случаи q(ς) = 0, т. е. задачу на собственные значения для оператора – Δ-1pz в единичном круге D, где Рz обозначен оператор
умножения на функцию p() () , Δ-1 обозначен оператор (интегральный) с
2
ядром K. Пусть η = 1/Λj – искомое собственное значение, тогда из (3.17) имеем
точное равенство
HPZu u R.
(3.36)
Отбрасывая в (3.36) погрешность дискретизации ηR получим приближенную задачу на собственные значения для матрицы HPZ.
Для того, чтобы оценить погрешность определения простого собственного
значения, воспользуемся оценкой (1.7):
ÑM R 2 .
Таким образом, относительная ошибка / определения соб M
ственного значения не превосходит величины ÑM R 2 , где R 2 Ri2 ,
i 1
1/ 2
55
Глава 3. Гармоническая проблема
а величины Ri RM (i ; pzu), z() () , i 1, 2,..., M определены в (3.15),
2
т. е. RM (; pzu) – решение уравнения Пуассона с правой частью M (, pzu) и
нулевым граничным условием Дирихле. В силу непрерывной зависимости решения уравнения Пуассона от правой части получим, что при достаточно большом M
R C M
,
где |.|∞ обозначена норма в С(D). Учитывая неравенство между векторными
нормами ||.||2 и |.|∞ , получим неравенство
ÑÑM KM (1) / 2 log 2 M .
(3.37)
Таким образом, чем большим условиям гладкости удовлетворяет функция
p () ()
2
u (), D, т. е. μ , тем меньше относительная погрешность
δη определения собственного значения. Следовательно, оценка (3.37) показывает, что описанный численный алгоритм не имеет насыщения.
3.10. Смешанная задача
В этом параграфе будет рассмотрена задача (3.9), (3.12). Для ее дискретизации воспользуемся соотношением (3.13), в которое входит неизвестная
функция ψ(θ). Эту функцию нужно подобрать так, чтобы удовлетворялось краевое условие (3.12).
Дискретизацию 1-го слагаемого в формуле (3.13) проведем также, как и в
параграфе 3, а для функции ψ(θ) применим интерполяцию тригонометрическим полиномом степени n:
()
2
N
2n
D ( )
j 0
n
j
j
n (; ), j ( j ), j
Dn ( j )
2j
, j 0,1,..., 2n,
N
1 n
cos k ( j ).
2 k 1
Здесь ρn – погрешность интерполяции, а N = 2n + 1 – число точек на границе круга, которое совпадает с числом точек по внутренним окружностям.
Обозначим
56
Глава 3. Гармоническая проблема
H 0j
2
N
2
K
0
(, ) Dn ( j )d
0
2 1 n L
i
cos L( j ) , e .
N 2 L 1
(3.38)
Тогда из (3.13) получим
M
2n
u () H p () f p H 0j () j RM (; f ) n (; ),
p 1
j 0
(3.39)
2
n (; )
K0 (, )n (; )d ,
0
а выражение для RM(ς;f) такое же, как в (3.15). Исключим из соотношения
(3.39) неизвестные величины ψj. Для этого продифференцируем (3.39) по ρ и
положим ρ = 1 в полученном соотношении. Учитывая, что
H p (ei ) |1 0,
2
Dn ( j ),
N
H 0j (ei ) |1
получим для определения вектора ψ = (ψ0ψ1…ψ2n) систему линейных уравнений:
2n
B H
j 0
ij
j
'
p
Bij i ij H 0j (i ),
(i ) f p i ,
i (i ),
p
H 0j (i )
H l (i )
n
2
N
L cos L(
i
L 1
1
2
a 0 (1)
N
N
n
a
k 1
k
j ),
(3.40)
(1) cos k ( ).
i
l
Штрих означает производную по аргументу в скобках. Для погрешности i нетрудно выписать явное выражение.
Обозначим С = B-1, т. е. матрицу обратную к матрице B, тогда из (3.40) получаем
2n
j C ji H p' (i ) f p i .
i 0
p
Подставим это выражение в (3.39) и получим
2n
2n
j 0
i 0
u () H p () f p H 0j () C ji H p' (i ) f p .
p
57
p
(3.41)
Глава 3. Гармоническая проблема
Пусть в (3.41) ς = ςq , q = 1,2,…,M пробегает узлы интерполяции, тогда
имеем
u ( H E ) f .
(3.42)
Здесь u = (u1,u2,…,uM)’ – вектор столбец, а ui = u(ςi), i = 1,2,…,M – значения
искомой функции в узлах сетки; f – либо заданный вектор, либо f = Z(Q + P),
где Z, Q и Р диагональные матрицы. Для погрешности нетрудно написать
явное выражение. Элементы матрицы E определяются по формуле
E pq H 0j ( q ) C ji H p (i ),
2n
2n
j 0
i 0
p, q 1, 2,..., M .
(3.43)
Отбросив в (3.42) погрешность дискретизации , получим приближенную
конечномерную задачу.
b1
b
Исследуем структуру матрицы E. Обозначим H 0 2 блочную матрицу.
...
bm
Здесь матрицы bν – симметричные циркулянты размера N×N. Для элементов
этих матриц имеем следующее выражение
1 2 n
bij rl cos l (i j ), i, j 1, 2,..., N ,
(3.44)
N N l 1
где rν – радиус ν-й окружности сетки в круге. Введем еще одну блочную матрицу
H1 (d1 d2 ... dm ),
где dν, ν = 1,2,…,m – симметричные циркулянты размера N×N и
1
2 n
dij a 0 (1) ak (1)cos k (i j ), i, j 1, 2,..., N ,
N
N k 1
ak (1)
d
ak ()
d
1
(3.45)
(см. п. 4.2). Для элементов матрицы B также нетрудно написать явные формулы (см. 3.10.3):
58
Глава 3. Гармоническая проблема
2 n
2i
l cos l (i j ), i
, i, j 1, 2,... , N , i j;
N l 1
N
n(n 1)
Bii i
, i 1, 2,... , N .
2n 1
Таким образом, если α const, то матрицы B, C = B-1 – симметричные циркулянты. С учетом введенных обозначений имеем для матрицы E следующее
выражение:
Bij
b1
b
E H 0 CH1 2 C d1 d 2 ... d m .
...
bm
Поэтому при α const матрица D = H-E является h-матрицей. Это следует
из правил обращения с циркулянтами и h-матрицами, сформулированными
в п. 3.4. Итак, для круга при Q = 0, P = 1 с краевым условием
u
const u
0
n r 1
структура матрицы конечномерной задачи полностью аналогична структуре
матрицы H задачи Дирихле. Следовательно, все свойства конечномерной задачи, сформулированные в пп. 3.4–3.6, переносятся и на этот случай. Остается
верным также утверждение о том, что матрица D близка к симметризуемой.
Максимальное число точек, с которым производились расчеты для
круга: 820 (20 окружностей по 41 точке). В табл. 3.6 в левой колонке приведены результаты расчета однократных собственных значений смешанной задачи с краевым условием
u
u
0.
(3.46)
r r 1
Таблица 3.6
i
i
1
5
10
Двумерная методика 820
точек
1.2557837116
13.398397486
29.08114
59
Одномерная методика
100 точек
1.25578371186
13.3983974896
29.0812215613
Глава 3. Гармоническая проблема
рактически для этого вычислялись собственные значения матрицы Λ0 размера 20×20. В правой колонке приведены результаты расчета (на 100 точках)
собственных значений следующей одномерной задачи:
d2 1 d
2
u u 0, 0 r 1, u u |r 1 0, где u – регулярна в нуле.
r dr
dr
Методика расчета этой задачи аналогична двумерной, которая описана
выше. Причем, в левой колонке приведены только знаки, совпадающие (кроме
последней цифры) с результатами расчетов по одномерной методике.
В табл. 3.7 приведены результаты расчета собственных значений матрицы
Λ1 размера 20×20. Для сравнения в правой колонке приведены значения нулей
функции Бесселя J0.
Таблица 3.7
i
i
1
5
10
Двумерная методика
820 точек
2.4048255574
14.9309177085
30.6347
Нули функции
Бесселя J0 из таблиц
2.404825557695773
14.930917708487786
30.634606468431957
Дело в том, что для круга собственные функции оператора Лапласа имеют
вид (3.27). Причем, для краевого условия (3.46) собственные значения λkj удовлетворяют уравнению
J () J () 0, .
n
n
kj
Здесь Jn – функция Бесселя. Однако
(J1 ) J 0 , и, следовательно,
1 j , j 1, 2, ... – нули функции J0. В рассматриваемой методике этим соб-
ственным значениям соответствуют собственные значения матрицы Λ1.
В табл. 3.8 приводятся результаты расчетов собственных значений матрицы Λ20. Причем, так как теоретического теста в этом случае нет, то удерживаем такое же количество знаков, как в табл. 3.5.
60
Глава 3. Гармоническая проблема
Таблица 3.8
i
i
1
5
10
Двумерная методика 820 точек
22.4446432826
39.6184129615
56.5866
В табл. 3.9 приведены результаты расчета собственных значений для области, получающейся из крута |ς|1 конформным отображением z =
ς·(1+0,0625·ς12). Граница этой области имеет в 12 точках кривизну равную -2710, т. е. порядка 103. В левой колонке приведены результаты расчета
на сетке из 99 = 9 × 11 точек (9 окружностей по 11 точек). В табл. 3.9 приведены результаты расчетов на 99 = 9 × 11 (левая колонка), 369 = 9 × 41 (средняя
колонка) и 615 = 15 × 41 точках (правая колонка). Причем в правой колонке
приведены результаты расчетов c 8 знаками после запятой, а в первой и второй
колонках приведены совпадающие знаки.
Таблица 3.9
i
i
1
5
10
15
20
100
99 = 9 × 11
точек
1.27
3.459
5.44
6.8
8.5
369 = 9 × 41
точек
1.306999
3.457197
5.39657
6.66864
7.84332
19.0
615 = 15 × 41
точек
1.30699932
3.45719393
5.39656302
6.66860961
7.84327034
18.7633305
3.11. Задача Неймана
В этом параграфе рассматривается задача (3.9), (3.11), т. е. задача Неймана.
Дискретизация этой задачи проводится аналогично п. 3.10, но теперь в соотношении (3.40) матрица
61
Глава 3. Гармоническая проблема
Bij
2 n
l cos l (i J ), i, j 1, 2,..., N
N l 1
(3.47)
вырождена (сумма элементов в каждой строке матрицы B равняется нулю). Таким образом, нужно решить систему линейных уравнений (3.47) с вырожденной матрицей.
Представим матрицу B в виде B = ΩΛΩ-1 , где Λ = diag(Λ1…ΛN) – диагональная матрица, у которой на диагонали стоят собственные значения матрицы B (λN = 0); Ω, Ω -1 – матрицы размера N×N, для элементов которых имеем
соотношение:
1
pq qp 1 , pq1 1p q , q exp(iq ), p, q 1, 2,..., N .
N
Следовательно, нужно решить вырожденную систему линейных уравнений
вида ΩΛΩ-1 = d, где правая часть d определена в (3.40). Пусть ξ =
= Ω -1ψ, η = Ω -1d, тогда
1
j
j , j 1, 2,..., N 1,
j
N
p pq q
q 1
N 1
q 1
pq
q N .
Отсюда, с учетом выражений для матриц Ω и Ω-1, получаем
p N
qp l
2 N n
Re
N l 1 q 1
q
dl .
Подставляя это соотношение в (3.29), имеем
2n
N
u () H i () fi H p0 ()( N C pq H i' (q ) f i 0 (),
i
p 0
q 1
i
p q
n
2
Cpq Re j , p, q 1, 2,..., N ,
N j 1
j
(3.48)
где δ0(ζ) – погрешность дискретизации, для которой нетрудно написать конкретное выражение.
Пусть в (3.48) ζ пробегает узлы интерполяции, тогда получаем
u (H E)Zf N e ,
62
(3.49)
Глава 3. Гармоническая проблема
Здесь u = (u1,u2,…,uM)' – вектор столбец, содержащий значения искомой собственной функции в узлах интерполяции; f – либо заданный вектор, либо f
= Z(Q + λP)u, где Z, Q и P – диагональные матрицы; ξN – неизвестный параметр; e = (1,1,…,1)' – вектор столбец, все элементы которого равны единице;
для матрицы E имеем представление, аналогичное (3.43), где матрица С – симметричный циркулянт и определена в (3.48). Справедливо также блочное представление E = H0CH1. Причем матрицы H0 и H1 определены в п. 3.10. Если решается уравнение Пуассона с краевым условием Неймана, то вектор f задан, а
соотношение (3.49) показывает, что (как и следовало ожидать) решение этой
задачи может быть получено только с точностью до константы. Для того же,
чтобы привести спектральную задачу (3.49) к стандартному виду, нужно исключить неизвестный параметр ξN. Для этого умножим соотношение (3.49)
слева на матрицу R вида
1 0 ... 0
1 1 ... 0
R
,
............
1 0 ... 1
получим
R(I (H E)ZQ)u R(H E)ZPu N e1 R.
(3.50)
Здесь e = (1,0,…,0)' – единичный вектор, т. е. неизвестный параметр ξN входит
теперь только в первое уравнение. Таким образом, для определения параметра
ξN требуется еще одно уравнение.
Это соотношение получим из условия разрешимости задачи Неймана
f ()d 0.
(3.51)
||1
Для дискретизации соотношения (3.51) применим квадратурную формулу,
описанную в п. 3.2. Тогда имеем
c f
i i
1 0,
fi Zi (Qi Pi ),
(3.52)
i
где коэффициенты квадратурной формулы определены в соотношении (3.7)
(δ1 – погрешность дискретизации).
Заменяя в (3.50) первую строку на (3.52), получим уравнение вида:
A1u = λA2u + δ2,
63
Глава 3. Гармоническая проблема
где матрицы A1 и A2 получаются из матриц R(I-(H-E)ZQ) и R(H-E)ZP заменой
первой строки на строки c1q1z1…cMqMzM и -c1p1z1…-c1p1zM соответственно. Обращая матрицу A1 и отбрасывая погрешность дискретизации, получим приближенную конечномерную задачу на собственные значения
u = λDu, D = A1-1A2.
(3.53)
Замечание. Если функция q = 0, то матрица A1 вырождена. Однако в этом
случае можно считать, что q = 1. Это эквивалентно сдвигу на единицу собственных значений.
Рассмотрим задачу Неймана в круге при q = 0, p = 1. В этом случае
nj
являются нулями J n' , т. е. нулями производных функций Бесселя. Причем λ0j
– однократные собственные значения (λ01 = 0), а остальные – парные. Проверим, как это выполняется в описанном выше приближенном методе. Умножим
соотношение (3.49) слева на блочно-диагональную матрицу B размера m×m: B
= diag(B…B), где матрица В размера N×N определена в (3.47). Легко видеть,
что вектор е – является собственным вектором матрицы B, а соответствующее
собственное значение нулевое. Следовательно, получаем
Bu B( H E ) f , B.
(3.54)
Матрицы B и B(Н-Е) являются h-матрицами и приводятся в одном и том же
базисе к блочно-диагональному виду. Причем соответствующие клетки Λ0
тождественно равны нулю. Поэтому из соотношения (3.11.8) можно приближенно определить только кратные собственные значения, а для определения
однократных собственных значений следует воспользоваться общим соотношение (3.53).
Максимальное число точек, с которым проводились расчеты для круга, 820
(20 окружностей по 41 точке). В табл. 3.10 приведены результаты расчета собственных значений матрицы (1/20)Λ20 размера 20×20 (Λ20 соответствующая
клетка в блочно-диагональной форме матрицы B(Н-Е), а diag(20…20) – соответствующая клетка блочно-диагональной формы матрицы B).
Таблица 3.10
i
20,i
1
2
3
22.21914648
27.71212684
31.97371525
Нули J20 из таблиц
'
22.21914648
27.71212684
31.97371522
64
Глава 3. Гармоническая проблема
4
5
6
7
8
9
10
35.6739414
39.58453
43.1765
46.688
50.13
53.6
56.6
35.87394150
39.58453089
43.17653646
46.68716642
50.13856248
53.54502716
56.91634767
Причем в правой колонке приведены значения нулей J20' из таблиц, а в левой колонке выписаны только совпадающие знаки, округленные по последней
цифре.
В качестве примера расчета для области, отличной от крута, рассмотрим
область G, получающейся из круга |ς| 1 конформным отображением z = ς(1+
+ 0,0625ς12). Граница этой области имеет в 12 точках кривизну -2710 т. е. порядка 103. В табл. 3.11 приведены результаты расчетов на 99 = 9 × 11 (левая
колонка), 369 = 9 × 41 (средняя колонка) и 615 = 15 × 41 точках (правая колонка). Причем в правой колонке приведены результаты расчетов c 9 знаками
после запятой, а в первой и второй колонках приведены совпадающие знаки.
3.12. Высокоточные вычисления собственных значений задачи Дирихле
Дискретизация нулевого уравнения Бесселя рассмотрена в гл. 2; оказывается, что этого достаточно, чтобы построить дискретизацию двумерной задачи
для уравнения Лапласа (см. п. 3.5). В круге радиуса 1 дискретный оператор
2 n '
Лапласа имеет вид: H k hk ,
N k 0
Таблица 3.11
i
2
6
11
16
21
101
i
99 точек
1.763
3.77
5.2
7.0
8.5
369 точек
1.7762353
3.731809
5.17767
6.47896
8.00561
19.16
65
615 точек
1.77623579
3.73180707
5.17765590
6.47893376
8.00557953
19.12050681
Глава 3. Гармоническая проблема
где штрих у знака суммы означает, что слагаемое при k = 0 берется с коэффициентом ½, k, k = 0,1,…,n – матрица размера m × m; hk, k = 0,1,…,n – матрица
размера N×N: hkij = cos[k2(i-j)/N)], i,j = 1,2,…,N, через обозначено кронекерово произведение матриц. Здесь по θ выбирается равномерная сетка: θ l =
2πl/N, N = 2n + 1, l = 0,1,…,2n. По r сетка может быть произвольна, в данном
случае выбираем rν = (1 + cos((2ν-1)π/2m))/2, ν = 1,2, … , m, т. е. в единичном
круге выбираем m окружностей, и на каждой окружности равномерную сетку
по θ.
Λ0 = B-1, где B – матрица дискретного оператора (обратного к оператору
Бесселя), построенная в гл. 2;
Λk = Λ0 + k2 R, , k = 1,2,…,n; R – диагональная матрица с числами (1/rν )2 , ν =
1, 2, … , m на диагонали.
В произвольной области матрица дискретного оператора Лапласа имеет
вид: Z-1H, где Z – диагональная матрица с числами zνl = | νl|2 , νl = rν exp(iθl),
ν = 1, 2, … , m; l = 0,1,…,2n (см. начало п. 3.3).
3.12.1. Примеры численных расчетов
Для аналитически заданного конформного отображения вычисления проводились для эпитрохоиды, т. е. области получающейся из круга конформным
отображением z (1 p ) , 1, <1/(np + 1); На сетке m = 50, N = 61 полуn
чено 73 первых собственных значения для ε = 1/6, np = 4. Часть результатов
представлено в табл. 3.12, жирным шрифтом выделены знаки, совпавшие с
расчетом на сетке 30×41.
3.12.2. Обсуждение полученных результатов
Расчеты производились на ПЭВМ Pentium IV с тактовой частотой 3,00 ГГц
и объемом оперативной памяти 1 Ггб. Время последнего расчета на сетке
50×61 около 12 часов. Предыдущий расчет на сетке 30×41 занимает около 30
минут. Как видно из сравнения результатов на двух последних сетках, надежно
с 6–7 знаками после запятой определяется 30 собственных значений. Первое
собственное значение определяется с 21 знаком после запятой. Расчеты проводились с учетверенной точностью REAL*16 с использованием транслятора
с фортрана Intel Visual Fortran 9.1.
66
Глава 3. Гармоническая проблема
Таблица 3.12
i
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2.3844465094960497051731750
3.7348116026433627030380059
3.7348116026433627030380059
4.6029917063634165090648667
5.2130540844763659441516736
5.4098717698334039964601540
5.9528402025495707426666766
5.9528402025495707426666766
6.8504624567584525200971484
6.8504624567584525200971484
7.1374506505907944326615851
7.2596423576208473978192810
7.4308969822852245038084399
8.2064159373748887201000207
k
0
1
1
1
Нули ф.
Бесселя
2.40483
3.83171
2
1
5.13562
0
3
2
1
5.52008
6.38016
1
2
7.01559
4
1
7.58834
2
2
8.41724
В приведенной выше таблице оставлены все знаки, которые дает учетверенная точность. Знакам, выделенным жирным шрифтом, можно определенно
верить. Первые 6 собственных значений посчитаны на сетке 30×41 на ЭВМ
БЭСМ-6 [табл. 3.2]. Все знаки, приведенные в этой таблице, совпали (кроме
последней цифры, по которой проводилось округление).
3.12.3. Пример численного расчета на другой сетке на супер компьютере
«Ломоносов».
Для аналитически заданного конформного отображения вычисления проводились для эпитрохоиды, т.е. области получающейся из круга конформным
отображением
z (1 p ) , 1, <1/(np+1); (В программе обозначаn
ются EPS1 и NP). На сетке m=30, N = 41 время счёта на PC 1000,594 сек. На
супер компьютере «Ломоносов» время счёта на этой сетке 408,800 сек. Ускорение в 2,44 раза (расчёты выполнялись с учетверённой точностью на сетках
50×61(время счёта 6159,660 сек), 70×81 (время счёта 38809,50 сек – примерно
10 часов), 90×101
(время счёта 157266,3 сек – примерно 43 часа) на двух
67
Глава 3. Гармоническая проблема
последних сетках получено 300 первых собственных значения (см. ниже) для
ε=1/6, np=4. Жирным шрифтом выделены знаки, совпавшие с расчётом на
сетке 70×81.
Таблица 3.13. NP = 4 , EPS = 1/6; MACHEP = 1.9E-0034
№
1
2
3
4
5
6
100
200
300
90×101
2.38444650949604970517317502179474
3.73481160264336270303800592883238
3.73481160264336270303800592967501
4.60299170636341650906486674922128
5.21305408447636594415170768430741
5.40987176983340399646015860904061
19.6935982073949172845427275838215
27.5366268437632376985348539305461
33.4891610185522664152764002680301
3.12.4. Обсуждение полученных результатов.
Расчёты производились на суперкомпьютере «Ломоносов». Как видно из
сравнения результатов на двух последних сетках, надёжно с 26-30 знаками после запятой определяется первые 6 собственных значений. 100-е собственное
значение определено с 8 знаками после запятой, а 200-е с тремя. В 300-ом собственном значении верен один знак после запятой. Расчёты проводились с
учетверённой точностью REAL*16 с использованием транслятора с фортрана
Intel FORTRAN 12.0. В приведённой выше таблице 3.13 оставлены все знаки,
которые даёт учетверённая точность. Знакам, выделенным жирным шрифтом,
можно определённо верить. Первые 6 собственных значений посчитаны на
сетке 30 × 41 на ЭВМ БЭСМ-6 [таблица 3.12, стр. 75]. Все знаки, приведённые
в этой таблице, совпали (кроме последней цифры, по которой проводилось
округление).
3.12.5. Применение регулярной теории возмущений
Приведенная выше таблица содержит результаты расчетов собственных
чисел для области, получающейся из круга конформным отображением:
68
Глава 3. Гармоническая проблема
z (1 z p ) , |z| ≤ 1. Рассмотрим несколько более общее отображение
n
ζ = z(1 + εφ(z)), где φ(z) регулярна в круге K = {z: |z|≤1}, причем z1, z2 K :
|z1φ(z1) – z2φ(z2)| ≤ M|z1 – z2|. Если |ε|≤1/M, то функция ζ(z) отображает однолистно круг K на область B с границей B { : ei (1 (ei ), 0 2}.
Для областей такого вида первые собственные функции и собственные значения можно получить с помощью теории возмущений, считая задачу решенной
для круга. Для анализа численных результатов приведем хорошо известные
формулы этой теории. Переходя от области B к кругу, получаем задачу в круге:
u | |2 u 0, | z | 1
(3.55)
u | z|1 0,
(3.56)
где
| |2 1 q1 ( z) 2 q2 ( z)
(3.57)
q1 ( z) 2(Re(( z)) Re( z( z))), q2 ( z) | ( z) |2 | z( z) |2 2Re( z( z)( z))
Пусть uk(z,ε) и λk(ε) – решение задачи на собственные значения (3.55),
(3.56). Тогда
(3.58)
uk ( z, ) uk 0 ( z) uk1 ( z) 2uk 2 ( z) ...
k () k 0 k1 2 k 2 ...
(3.59)
Подставляя (3.58) и (3.59) в (3.55) и приравнивая члены при одинаковых
степенях ε, получим:
uk 0 k 0 uk 0 0, uk 0
0
(3.60)
uk1 k 0uk1 F1 , uk1 K 0
(3.61)
K
где F1 = -λk1uk0-q1λk0uk0 и т. д. Задача (3.61) разрешима, если правая часть F1
удовлетворяет соотношению
Fu
1 k0
ds 0.
(3.62)
K
Пусть λk0 двукратное собственное значение и vk1, vk2 ортонормированные
по норме L2(K) собственные функции (точный вид этих функций известен, но
ниже не выписывается); тогда uk0 = c1vk1 + c2vk2 и из (3.62) получаем
(k1 k 0 p11 )c1 k 0 p21c2 0 , k 0 p12c1 (k1 k 0 p22 )c2 0
69
Глава 3. Гармоническая проблема
Условие разрешимости дает
p p22
k1 k 0 11
0.25( p11 p22 )2 p11 p22 p21 p12
2
(3.63)
где p11 (q1vk1, vk1 ), p21 (q1vk1, vk1 ), p12 (q1vk1, vk 2 ), p22 (q1vk 2 , vk 2 ).
Для однократных собственных значений получаем аналогично
k1 k 0 (q1uk 0 , uk 0 )
После того, как найдено λk1, для нахождения uk1 нужно решить уравнение
Гельмгольца (3.61).
Для частного случая ( z ) z
np
отображение ζ(z) однолистно в круге, когда
|ε|≤1/(np + 1). Для этого случая q1 ( z) 2(np 1)r p cos np , q2 ( z) (np 1)2 r
n
2 np
,а
vk1 cos J ( k r ), vk 2 sin J ( k r ), где k – номер собственного числа (в
порядке возрастания), m = m(k) некоторая функция. Для достаточно большого
номера k вид этой функции известен из таблиц [5]. Имеем
2
2
p11 I n , cos n cos 2 d , p22 p12 I n , cos n sin 2 d ,
0
0
2
1
1
0
0
0
p21 I n , cos n sin cos d , I n , 2( n 1) r n J 2 ( k r )dr / J 2 ( k r )dr. |
Отсюда получаем p11 p22 0, k1 k 0 p22 ( p21 p11 ). Если p21 = p11, то λk1 =
0, т. е. возмущения собственных чисел имеет порядок ε2. Нетрудно видеть, что
p21 p11 в единственном случае при = np/2. Для этого случая кратные собственные числа "расползаются" сильно, а в остальных случаях "расползание"
имеет порядок ε2. Этот тонкий факт можно ясно видеть в таблице, приведенной выше.
Приведем в порядке возрастания нули функций Бесселя из таблиц [5]:
(0,1) 2.40483; (1,1) 3.83171; (2,1) 5.13562; (0,2) 5.52008; (3,1) 6.38016; (1,2)
7.01559; (4,1) 7.58834; (2,2) 8.41724; (0,3) 8.65373; (5,1) 8.77148; (6.1) 9.3611;
(3.2) 9.76102; (1,3) 10.17347; (4.2) 11.064471; (10.7) 11.08637; (2,3) 11.61984;
(0,4) 11.79153; (8,1) 12.22509; (5,2) 12.33860; (3,3) 13.01520; (1,4) 13.32369;
(9,1) 13.35430; (6,2) 13.58929; (4,3) 14.37254
Здесь первый номер в скобках – номер функции Бесселя, а второй номер –
номер ее нуля. Жирным шрифтом выделены первый и второй нуль J 2. Им соответствуют пары с номерами 4,5 и 13,14 в вышеприведенной таблице. Эти
70
Глава 3. Гармоническая проблема
собственные значения имеют "расползание" порядка ε, а остальные собственные числа имеют порядок "расползания" ε2. Заметим также, что второе и третье собственные числа, видимо, кратные, во всяком случае, их значения совпадают со всеми доступными знаками.
3.13. О вычислении собственных значений оператора Лапласа в
двусвязной области
Выше рассматривались задачи на собственные значения для оператора
Лапласа в произвольной односвязной гладкой области с постоянными коэффициентами. Однако ряд задач математической физики приводит к задачам на
собственные значения для уравнения Лапласа в двусвязной области. В качестве примера рассмотрим задачу об обтекании кругового цилиндра вязкой
жидкостью [6].
Граничные условия в бесконечности сносятся на внешнюю границу кругового кольца большого радиуса. Для построения дискретизации уравнений Навье – Стокса в первую очередь требуется построить дискретизацию оператора
Лапласа в кольцевой области. Эта задача рассматривается далее. Более общая
задача (которая также рассматривается ниже) – это задача на собственные значения для оператора Лапласа в произвольной двусвязной области. Для построения алгоритма без насыщения требуется вначале построить конформное тображение кольца на заданную двусвязную область. В приведенном примере
расчета конформное отображение задается аналитической формулой. Отметим, что для численного построения конформного отображения кольца на
заданную двусвязную область и обратно, имеются надежные алгоритмы без
насыщения [7, 8]. Дискретизация оператора Лапласа в кольце строится на
основании теории h-матрицы (см. пп. 3.4–3.5).
3.13.1. Постановка задачи и дискретизация
В произвольной области ГR2 с достаточно гладкой границей Г =
= Г1 Г2 рассмотрим задачу
u(z) + f(z) = 0, zГ,
(3.64)
u |i 0
(3.65)
u
n
0
(3.66)
i
71
Глава 3. Гармоническая проблема
Au
u
n
0.
(3.67)
i
Здесь функция f(z) либо задана, либо f(z) = [q(z) + p(z)]u(z), где q(z) и p(z) –
заданные функции, и в этом случае имеем задачу на собственные значения для
оператора Лапласа. В дальнейшем будем считать, что f,A, q и p – гладкие функции.
Пусть z = w) ρ |w| R – конформное отображение кольца на область Г;
тогда в плоскости w формально получаем те же соотношения (3.64) – (3.67),
где, однако, вместо u(z) и f(z) следует писать u(w) = u(z(w)) и |w|2f(z(w)), а
вместо A – α(w) = A(z(w))|φ(w)|.
В кольце дискретный Лапласиан записывается h-матрицей (см.
пп. 3.4–3.5).
2 n '
H k hk ,
(3.68)
N k 0
где штрих у знака суммы означает, что слагаемое при k = 0 берется с коэффициентом ½, k, k = 0,1,…,n – матрица размера m×m (m – число окружностей
сетки в кольце, N = 2n + 1 – число точек на каждой окружности). Вычислить
матрицы k можно, проведя дискретизацию уравнений Бесселя (см. п. 2.4).
3.13.2. Результаты численных расчетов
Численные расчеты производились с целью проверки методики. Тестовый
расчет проводился для круговой области радиуса 1, из которой вырезан круг
радиуса 0.1 с центром в точке 0.2 на действительной оси. На внешней границе
задавалось условие Дирихле, а на внутренней условие Неймана. Конформное
отображение на кольцо осуществляется дробно-линейной функцией [9, с. 203,
фиг. 1]. Результаты расчетов представлены в табл. 3.13.
1 x1 x2 1 x1
z
; z
;
z 1
1
x1 x2
2
72
1 x
2
2
Глава 3. Гармоническая проблема
Фиг. 3.1. R
1 x1 x2
1 x 1 x
2
1
x1 x2
2
2
, ( x2 x1 )
Таблица 3.13
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100
200
300
400
500
N = 101 M = 40
5.76440210757410
14.5747911525768
14.6694560235128
26.5370120410139
26.5673295743309
30.1504923208563
41.1995752439943
41.3273782291153
46.5257064528378
50.7190239516203
435.845001932850
856.178194896293
1301.51827733956
1721.46674979217
2182.72634222189
73
N = 151 M = 40
5.76440211324461
14.5747911366198
14.6694560125607
26.5370120449611
26.5673295924867
30.1504923282571
41.1995752225500
41.3273782291731
46.5257064185371
50.7190239279168
435.845002040277
856.178194899004
1301.51827732829
1715.78405518922
2176.93758302320
Глава 3. Гармоническая проблема
Фиг. 3.2
Фиг. 3.3
На фиг. 3.2 представлена первая собственная форма описанной выше задачи, а на фиг. 3.3 представлены линии уровня этой собственной формы.
3.14. О вычислении собственных значений уравнения переноса.
Выше рассматривались задачи на собственные значения для оператора
Лапласа в произвольной гладкой области с постоянными коэффициентами. Однако ряд задач математической физики приводит к задачам на собственные
значения для уравнения второго порядка с переменными коэффициентами (см.
ниже). Для решения этих задач существует метод наискорейшего спуска [10],
который в частности сводит решение самосопряжённого уравнения второго
порядка к последовательности решения задач для уравнения Пуассона в этой
74
Глава 3. Гармоническая проблема
же области. Этот метод применяется также для решения нелинейных уравнений [11]. Однако рассмотренные там примеры численных расчётов не вызывают оптимизма в быстроте сходимости метода. Ниже построен численный алгоритм без насыщения в задаче на собственные значения для эллиптического
уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Для примера рассмотрено краевое условие Неймана.
3.14.1. Постановка задачи фильтрации газа в пористой среде.
Искомое уравнение имеет вид:
( m )
div ( v ) 0,
t
(3.69)
где m=Vпор./V – пористость (для реальных пластов лежит в пределах
0,15~0,22 ); mρ – концентрация;
жидкости).
v - скорость фильтрации (а не скорость
Это уравнение получается из обычного закона сохранения массы
d
d
d md 0,
dt Vп о р.
dt V
(3.70)
где Vпор. – объём пор, а V – полный объём, причём оба объёма подвижные. Из
(1.2) получаем, применяя формулу дифференцирования по подвижному
объёму [4]:
( m )
div (mw), v mw,
t
где v скорость фильтрации, а w скорость жидкости. В результате
получаем уравнение (3.69).
Закон Дарси (1856) справедлив для медленных движений жидкости в
изотропной пористой среде, т.е. для малых значений числа Рейнольдса Re
(Re<Reкр.)
v
k
qrad p,
75
(3.71)
Глава 3. Гармоническая проблема
где
k - коэффициент проницаемости, измеряемый в Дарси (1д = 10-8/0,981 см2).
Для реальных пористых сред k = 100 ~ 1000 мд (1мд=10-3д). Проницаемость
- геометрическая характеристика пористой среды, т. е. определяется
размерами частиц, их формой и упаковкой, μ – динамическая вязкость.
Уравнение состояния.
M p
, где M – молярный вес газа, R –
RT z ( p)
универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура; z(p) –
определяется экспериментально (z(p) =1 для совершенного газа), т.е. это
баротропный газ.
Уравнение (3.69) относится к случаю, когда в пласте нет источников газа
(скважин). В общем случае уравнение неразрывности имеет вид:
( m )
div ( v ) f ( z , t ), z G ,
t
(3.72)
где f(z,t) – заданная функция, G – двумерная область с гладкой границей
дGC. Пусть
z ( ), re i - конформное отображение единичного
круга на область G. Выпишем уравнение (1.5) в новых переменных [12]:
ds 2 (dr 2 r 2 d 2 ) | ( ) |2 g11 | ( ) |2 , g 22 r 2 | ( ) |2 ,
g | ( ) |2 r; grad p r
1 p
1
p
, grad p
.
| ( ) | r
| ( ) | r
Подставляя в (3.72) получим
(m )
| ( ) |2 L( w) f ( , t ), rei , 0 r 1, 0 2 ,| | 1;
t
(3.73)
L( w)
1
w 1
w
rk (r , )
2
k ( r , )
.
r r
r r
(3.74)
Здесь введены обозначения:m=m(r,θ)–пористость (известная функция
координат); p=p(r,θ,t) – давление (неизвестная функция координат и
времени) ; k k (r , , p) k (r , ) ( p) - проницаемость ( известная
функция координат и давления); ρ=ρ(p) – плотность ( известная функция
76
Глава 3. Гармоническая проблема
давления ); μ=μ(p) – вязкость ( известная функция давления);
w( p)
( p) ( p)
dp.
( p)
Размерность: (M – единица массы, L – единица длины, T – единица времени).
m,θ,ψ – безразмерные величины; [p]=M/LT2, [ρ]=M/L3, [μ]=M/LT, [k]=L2,
[w]=M/L3T,[r]=L f(,t)=f(r,θ,t) – плотность отбора газа, т.е. масса газа,
выделяющаяся в единицу времени в единице объёма в пласте. Если ввести
мощность пласта h=h(x,y) (т. е. высоту пласта в точке (x,y)G,
рассматриваемой области), то вид уравнения (1.5) не изменится, если заменить
m на mh, а k на kh. В этом последнем случае [f]=M/L2T, т.е. масса,
выделяющаяся из пласта в единицу времени и с единицы площади.
Таким образом, (3.73), (3.74) искомая постановка задачи фильтрации. К
этому уравнению нужно добавить граничное условие:
p
0,
n G
(3.75)
которое означает отсутствие потока газа через границу области дG (см. (3.71)).
Заметим, что функция w также удовлетворяет этому граничному условию.
3.14.2. Дискретизация по пространственным переменным.
Для дискретизации задачи (3.73) – (3.75) проведём вначале дискретизацию
оператора L(w). Рассмотрим спектральную задачу:
w
0.
r r 1
L( w) w 0,
Заметим,
что:
| | 1
L( w) wd
(3.76)
w 2 k w 2
k
2
d . Таким
r
r
| | 1
образом, краевая задача (3.76) эквивалентна следующей экстремальной задаче
w 2 k w 2
2
J ( w) k
2
w d min .
r r
| |1
77
(3.77)
Глава 3. Гармоническая проблема
Действительно, δJ (вариация функционала J) есть главная линейная часть
приращения J(w+h)-J(w), где h – произвольная гладкая функция. Нетрудно
получить, что
J 2
|
k
kwr hr r 2 w h wh d 2{krwr h r 1
| 1
1
1
(kw ) w]hd } 0
2
[ r r (rkw ) r
r
| |1
Так как h – произвольная функция, отсюда следуют соотношения (3.76). Итак,
при поиске минимума функционала (3.77) не нужно заранее удовлетворять
краевому условию Неймана, т. е. это краевое условие естественное. Для
дискретизации функционала (3.77) применим квадратурную формулу (см.
пункт (3.2)):
| | 1
f ( )d c l f l , f l f (r eil ),
,l
(2 1)
2 l
, 1, 2,..., m; l
,
4m
N
l 0,1,..., 2n; N 2n 1.
r cos
(3.78)
Эта квадратурная формула получается, если заменить подынтегральную
функцию интерполяционной формулой для функции двух переменных в круге
(см. пункт (3.2)).
Основываясь на этой интерполяционной формуле, легко построить квадратурную формулу для вычисления определённых интегралов, когда областью
интегрирования является круг.
Для коэффициентов квадратурной формулы (3.78) имеем выражение:
с
s 1
m 1
cos
4 r
2
t
cos
s
,
t
1/
(1
(
1)
s ),
s
s
m(2n 1) 2
s 3(2)
(2 1)
, s 1 нечётно.
4m
78
Глава 3. Гармоническая проблема
N
w
w
H l , p wp ,
Blp wp
r l , p
l p 1
Матрицы
B
и
H
подучаются
интерполяционной формулы (3.2.1)
Blp
2
N
n
k sin k
k 1
дифференцированием
2 (l p )
N
Для получения матрицы H продифференцируем
интерполяционную формулу (3.2.1). Обозначим
по
r
T2 m (r )
d
1 2m1 s cos s sin s
A
dr (r r )T2m (r ) r r m s 1
sin
(1)
(2)
A
s
T2 m (r )
d
1 2 m1 s(1) cos s sin s
dr (r r )T2m (r ) r r
m s 1
sin
Дифференцируя (3.2.1) по r получим
m
du (r , )
2 2 n (2)
(1)
A
u p A
Dn ( p l )u l
dr r r 1
N l 0
p
где Dn ( p l ) 0,5
n
(1)
k
k 1
(1)
H p ,l A
pl
cos k ( p l )
2 ( 2)
A Dn ( p l )
N
Нетрудно видеть, что H – h-матрица, см. (3.4), и, следовательно, представляется в виде
H
2
N
n
k 0
'
k hk ,
79
(3.79)
Глава 3. Гармоническая проблема
где штрих у знака суммы означает, что слагаемое при k=0 берётся с коэффициентом ½, k, k=0,1,…,n – матрица размера mm; hk, k=0,1,…,n – матрица размера N N: hkij=cos[k2(i-j)/N)], i,j=1,2,…,N, через обозначено кронекерово
произведение матриц. Конкретно матрицы k в этом случае имеют вид:
( 2)
(1)
k (1) k 1 A
A
Итак,
2 k ,
2 2 m 1 s cos s sin s
2 2 m 1 s cos s sin s
, 2 k 1,
.
m s 2(2)
sin
m s 1(2)
sin
Ниже будем обозначать эти матрицы -
(k) . Распишем формулу (3.79) по-
дробно:
H l , p
2 n ' (k )
2 ( p l )
2
cos k
, H l , l
N k 0
N
N
n
q 0
'
(q)
cos q
2 (l l )
.
N
Используя квадратурную формулу (3.78) функционал (3.77) преобразуем в
квадратичную форму:
2
w 2
kl w
J ( w) cl kl
2
w2l .
,l
r l r l
Дифференцируя (3.80) по w~~l получим
B
N
~~
l , p
(3.80)
wp A~lp w~p c ~ w~~l 0, где
,p
~
p 1
2n
2 ( p l )
2 (l l )
(k ) (q)
c
cos q
k l cos k
N
N
q 0 1
l 0
n
n
N
4 c
2 (l p)
2 (l l )
Alp 2 2 kq kl sin k
sin q
.
N r k 1 q 1 l 1
N
N
Bl , p
n
4
N 2 k 0
' n
'
m
Это есть дискретный аналог задачи на собственные значения
div(kqradw)+λw=0, r<1 ;
80
w
0.
r r 1
Глава 3. Гармоническая проблема
Оценка погрешности описанной дискретизации может быть получена по
схеме, описанной в главе 1. См. также [13].
3.14.3. Результаты численных экспериментов.
Проводились расчёты задачи (3.75) в круге (k=1), возмущённом круге
(эпитрохоида, k=1, k1). В круге собственные значения известны
, i 1,2,... - нуль производной функции Бесселя. Сравнение с таблицами
i
показывает, что даже на сетке 37 имеем в первых собственных значениях по
4 знака после запятой. Однако точность значительно хуже, чем по методике,
описанной выше в пункте 3.5 для уравнения с постоянными коэффициентами.
Второй расчёт проводился для эпитрохоиды (n), = 0.0625, n=12),
для которой выше в таблице (3.11) приведены вычисленные значения. Результаты расчётов представлены в таблице 3.1 (выписаны знаки, совпавшие с расчётами из [1]).
Таблица 3.14
№
2
6
11
16
811
1.76
3.77
5.2
6.9
1021
1.7751
3.72
5.16
6.5
1531
1.77623557
3.7317
5.1770
6.4787
Третий расчёт проводился для той же эпитрохоиды для функции
k(r,)=k0(0.1+r2)(sin12+1.1), k0=10-13/0.981 м2=0.1 дарси.
Результаты расчётов представлены в таблице 3.15.
Таблица 3.15
№
2
6
11
16
21
811
2.8451E-7
5.8268E-7
9.2409E-7
1.2075E-6
1.4927E-6
1021
2.5447E-7
6.5814E-7
9.3812E-7
1.3895E-6
1.5927E-6
1531
2.4840E-7
7.0164E-7
1.0838E-6
1.1905E-6
1.4384E-6
81
2041
2.6227E-7
7.2177E-7
9.8923E-7
1.1763E-6
1.4482E-6
30×41
2.5541E-7
7.1376E-7
9.5191E-7
1.0876E-6
1.4222E-6
Глава 3. Гармоническая проблема
Таким образом, можно констатировать, что точность вычисления собственных значений удовлетворительная и дискретизация по пространственным переменным построена правильно.
3.15. Вычисление собственных значений оператора Лапласа в
многоугольной области.
Рассматривается L – образная область:
Фиг. 3.4
Вычисление прообразов вершин в круге по методике [14] даёт значения,
приведенные в таблице 1 работы [15]. Ортогональная сетка приведена на Фиг.
3.5:
3.15.1. Отображение Шварца-Кристоффеля
Основная формула Шварца-Кристоффеля – позволяет построить конформное отображение f комплексной верхней полуплоскости (каноническая область) на внутренность многоугольника (физическая область). У "многоугольника" могут быть трещины или вершины в бесконечности. Его вершины обозначены w1,…, wn, и числа α1π,…, αnπ, - внутренние углы в вершинах2
––––––––––––––––––––––––
Более ранние версии комплекта инструментов, и большая часть литературы, вместо этого используют β1,…, βn, где βj = αj - 1.
82
2
Глава 3. Гармоническая проблема
прообразы вершин, или предварительные вершины, действительны и обозначены z1,…, zn. Они удовлетворяют
z1 z2 ... zn
Фиг. 3.5
Если вершина wj конечна, 0 j 2 . Если wj бесконечно, 2 j 0 .3
n
необходимое ограничение – это
j 1
j
n 2 . По существу, это означает,
что полный поворот 2π.
Формула Шварца-Кристоффеля для отображения f
z n 1
f ( z ) f ( z0 ) c ( z j )
j 1
d
z0 j 1
––––––––––––––––––––––––
3
Это совместимо в бесконечно удаленной точке с понятием "внутреннего
угла" как отмеченный угол, охваченный от коммуникабельного края, через
внутренность, к поступающему краю.
83
Глава 3. Гармоническая проблема
Главная практическая трудность с этой формулой состоит в том, что только
в частных случаях, предварительные вершины zj могут быть вычислены аналитически. Поскольку у преобразований Мебиуса есть три степени свободы,
три из предварительных вершин, включая уже фиксированное z n, могут быть
выбранными произвольно. Остающиеся n - 3 предварительных вершины тогда
определены единственным образом и могут быть получены решением системы нелинейных уравнений. Это известно как задача о параметре ШварцаКристоффеля, и ее решение - первый шаг в любом отображении Шварца-Кристоффеля. Как только задача параметра решена, мультипликативная постоянная c может быть найдена, и могут быть вычислены f и его инверсия.
Возможны много модификаций основной формулы Шварца-Кристоффеля.
Например, если фундаментальная область - единичный круг, а не верхняя полуплоскость, предварительные вершины z j расположены на единичном круге
против часовой стрелки, и получающаяся формула идентична за исключением
того, что у произведения есть n членов, а не n - 1. Другие изменения формулы
отображают от полосы 0 ≤ Im z ≤ 1 или от прямоугольника. Эти два изменения
особенно важны, когда целевая область чрезвычайно удлинена в одном
направлении.
Есть еще другая разновидность - внешнее отображение, в котором фундаментальная область - единичный круг, и целевая область - множество внешних
точек многоугольника. В этом случае у подынтегрального выражения есть дополнительная особенность во внутренности круга. Тогда только одна предварительная вершина может быть выбрана произвольно.
3.15.2. Результаты расчётов.
Для рассматриваемого случая конформного отображения круга на Lобразную область:
f ( z )
c
2
5
r
j 1
r 2 2 Re z 1
2
2
, r | z | , c и zj ,
2 Re( z j z ) | z j |
2
j=1,2, …,5 приведены в таблице 1 (см.[11]) (prevertex). Расчёты проводились
на сетках 9×21; 13×29 и 15×31. Результаты расчётов для задач Дирихле, смешанной задачи и задачи Неймана представлены в таблицах 3.16 - 3.19.
84
Глава 3. Гармоническая проблема
Таблица 3.16. Задача Дирихле u 0,
i
1
2
3
4
5
9×21
3.010995
3.516978
4.039762
5.182166
5.563178
13×29
3.06949
3.68429
4.16252
5.20029
5.50612
Таблица 3.17. Смешанная задача
i
1
2
3
4
5
9×21
1.370138
1.848781
2.398094
3.617647
3.725788
u
i
2
3
4
5
6
9×21
1.029578
1.774020
3.218832
3.352666
4.315531
i , i 1, 2,...,5.
15×31
1.369984
1.931273
2.473559
3.593342
3.678646
u
0,
n
13×29
1.069067
1.795943
3.101490
3.253050
4.169957
85
15×31
3.07455
3.72453
4.20417
5.21127
5.56601
u
0,
n
13×29
1.403374
1.916161
2.439161
3.532214
3.635840
Таблица 3.18. Задача Неймана
i , i 1, 2,...,5.
i , i 2,3,...,6.
15×31
1.186206
1.862299
3.186751
3.278788
4.059289
Глава 3. Гармоническая проблема
Таблица 3.194. Задача Неймана
i
2
3
4
5
6
10
20
40
60
100
9×21
1.029697
1.774435
3.220267
3.354595
4.315501
6.203102
9.859042
15.942992
22.299347
35.780509
13×29
1.069063
1.795940
3.101155
3.253143
4.169972
6.040525
9.610762
14.915758
19.529531
27.643100
u
0,
n
15×31
1.186191
1.862266
3.186634
3.278650
4.059282
6.245763
9.602040
14.697708
19.152386
27.321338
i , i 2,3,...,6.
20×41
1.274581
1.930056
3.211864
3.275811
3.924559
5.999534
9.222581
14.150585
18.292192
25.204997
30×41
1.274571
1.930048
3.211860
3.275806
3.924460
5.999541
9.222641
14.150657
18.276143
25.144150
3.15.3. Выводы.
Как видно из рассмотрения таблиц 3.16 - 3.19 надёжно с двумя-тремя знаками после запятой могут быть вычислены первые 5 собственных значений
(для задачи Неймана первые 100 собственных значений). Таким образом, описанная выше методика вычисления собственных чисел оператора Лапласа
применима к областям с кусочно-гладкой границей.
3.15.4. Расчеты на другой сетке для задачи Дирихле.
Выше описана методика решения задачи на собственные значения в L –
образной области. Высокой точности достигнуть не удалось из-за того, что
максимальная допустимая сетка для этой методики 15×31. Ниже проводились
расчёты по модернизированной методике [см. пункт 3.12, стр. 151]. Результаты расчётов на сетке 30×51 первых 6-ти собственных значений представлены ниже. Время счёта = 1867.250 секунд.
––––––––––––––––––––––––
Результаты расчётов по методике, основанной на вариационном принципе
описанной в пункте 3.14.
4
86
и
Глава 3. Гармоническая проблема
Собственные значения
0.96398517112E+01 0.15138869125E+02 0.19541790603E+02
0.28853623132E+02 0.31598813766E+02
0.41655233531E+02
Ниже приведены результаты Ллойда Н. Трефетэна и Timo Betcke. Совпадение результатов только для первых собственных значений. Повторить результаты этих авторов не удалось. При увеличении сетки до 70×81 точность
упала5.
3.16. Задача Стеклова.
Выше рассмотрено много классических спектральных задач. В настоящей работе эти идеи обобщаются на задачу Стеклова, в которой спектральный параметр входит в граничное условие.
3.16.1. Постановка задачи.
Рассмотрим ограниченную односвязную область Ω с гладкой границей дΩ. Пусть ρ – неотрицательная гладкая функция на границе, не равная
нулю тождественно. Задача на собственные значения с граничным условием
Стеклова определяется следующими соотношениями [18]:
u 0
u
u
n
в области ,
на границе ,
(3.81)
где д/дn – нормальная производная вдоль границы. Существуют различные
физические интерпретации задачи Стеклова [19,20]. В частности, она описывает свободные колебания мембраны, у которой вся масса M(Ω) сосредоточена
на границе дΩ и распределена на ней с плотностью ρ:
––––––––––––––––––––––––
Расчёты на сетке 70×81 с учетверённой точностью REAL*16 проводились на супер
компьютере «Ломоносов».
5
87
Глава 3. Гармоническая проблема
Фиг. 3.6. Девять собственных мод L- образной области, изученной L. Fox,
Henrici и Moler в 1967 [17]. Первые восемь мод соответствуют простым собственным значениям и, таким образом, однозначно определены, в то время
как последняя мода - произвольный представитель трехмерного собственного пространства, связанного с выродившейся тройкой.
M ( )
(s)ds.
Если ρ ≡ 1, то масса M () в точности равна длине границы области .
Задача Стеклова имеет дискретный спектр:
88
0 0 1 2 ... .
Глава 3. Гармоническая проблема
3.16.2. Дискретизация.
Если z=w(ζ), |ζ| ≤ 1 – функция, задающая конформное отображение единичного круга на область Ω, то в плоскости ζ граничное условие в соотношении
(1.1) приобретает вид:
u
( w(ei )) w(ei ) u .
r
(3.82)
В круге решение определяется формулой Пуассона:
u ( )
2
K ( ) ( )d ,
(3.83)
0
0
ψ - значение u на границе.
K0 ( , )
1
1 r2
, rei .
2 1 r 2 2r cos( )
Заметим, что
1 r2
r |n|eint , 0 r 1, t [0, 2 ] .
2
1 r 2r cos t n
Эта формула доказывается суммированием геометрической прогрессии со
it
знаменателем re .
Применим для ψ интерполяцию тригонометрическим полином степени n:
2n
( ) Pn ( ; )
2
N
j ( j ), j
2 j
,
N
D ( )
j 0
n
j 0,1,..., 2n; Dn ( j )
j
j
n ( ; ),
1 n
cos k ( j ).
2 k 1
Здесь ρn – погрешность интерполяции, N=2n+1 число точек на границе круга.
Легко получаем, что
89
Глава 3. Гармоническая проблема
H 0j ( )
2
K ( , ) D ( )d
0
n
j
0
2 1 n L
r cos L( j ) , rei .
N 2 L 1
Отсюда следует:
2n
2
j 0
0
u ( ) H 0j ( ) j n ( ; ), n ( ; )
K ( , ) ( ; )d .
0
n
Из граничного условия (3.81) получаем для определения вектора ψ=(ψ0,
2n
ψ1,…, ψ2n) систему линейных уравнений:
B
ij
j
Bij i | w(eii ) | ij H 0j ( i ), H 0j ( i )
2
N
j 0
i 0 , где i - погреш-
ность дискретизации,
n
L cos L(
L 1
i
j ) Cij .
В результате получаем приближённую дискретную задачу на собственные
значения:
Cψ=λρzψ.
(3.84)
Где C- матрица N×N, ρ и z – диагональные матрицы, на диагонали у которых стоят значения функций ρ и
| w(ei ) | на границе круга в узлах сетки.
3.16.3. Аналитическое решение для круга при ρ ≡ 1.
Спектральная задача (3.84) при ρ≡1 в круге имеет точные собственные значения λk=k, k=0,1,2,…,n; а соответствующие собственные вектора coskθj и
sinkθj,
j
2 j
j=0,1,…,2n. Это наталкивает на мысль, что λk=k, k=0,1,2,…
N
точные собственные значения дифференциальной задачи (3.81), а значение на
границе условия соответствующих собственных функций coskθ и sinkθ. Из инk ik
теграла Пуассона (3.83) тогда получаем, что uk r e
- собственные функ-
ции соответствующие собственному значению λk=k. Непосредственная проверка подтверждает это предположение.
90
Глава 3. Гармоническая проблема
3.16.4. Обсуждение свойств, применяемой дискретизации.
Исследуемая выше двумерная спектральная задача Стеклова для оператора
Лапласа рассматривается только в гладких областях. Решение этой задачи
(собственные функции) бесконечно дифференцируемы, либо даже аналитичны, и поэтому для создания эффективных алгоритмов необходимо учесть
эту колоссальную априорную информацию. Традиционные методы конечных
разностей и конечных элементов почти не используют информацию о гладкости решения, т. е. это методы с насыщением. Термин "насыщение" введен
К. И. Бабенко [1]. Рассмотрим, что это означает в рассматриваемом случае:
max n (; ) (1 2 n 1 ) En ( ),
Легко видеть [1], что
[0,2 ]
где 2n1 O(ln(n)) – константа Лебега интерполяции, а
En ( ) max | ( ) Pn ( ) | 6 – наилучшее приближение функции ψ
[0,2 ]
тригонометрическим многочленом степени не выше п в норме С. Скорость
стремления к нулю Еn даётся следующей теоремой [21, стр. 239]:
Теорема. Если f(x) – периодическая функция, которая имеет производную p – го порядка f (p)(x), удовлетворяющую условию Липшица
| f ( p) ( x) f ( p) ( x) | K | x x |,
то наилучшее тригонометрическое приближение её подчинено неравенству
C p 1 K где С - абсолютная постоянная.
,
n p 1
Таким образом, при том же самом числе узлов сетки применяемая интерполяция тем точнее, чем глаже интерполируемая функция. Более того a priori
гладкость функции можно не знать. Метод сам настроится на неё. Эффективность этой методики рассмотрим на конкретных примерах.
En ( f )
3.16.5. Вычислительные эксперименты.
В качестве примера рассмотрим область, ограниченную эпитрохоидой:
w(ζ)=ζ(1+εζm), m=12, ε=0.0625. Результаты расчётов приведены в таблицах
3.20 – 3.22:
––––––––––––––––––––––––
6
Pn ( ) -тригонометрический полином степени n,
рассматриваемом промежутке.
91
наименее отклоняющийся от ψ в
Глава 3. Гармоническая проблема
Таблица 3.20. Эпитрохоида m=12, ε=0.0625. Первые 11 Собств. значений.
№
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
N=161
0.837204
0.837209
1.6401311
1.6401311
2.3965038
2.3965038
3.0769456
3.0769456
3.606823
3.606829
N=321
0.83720667
0.8372066473
1.6401314034
1.6401314034
2.396504053
2.396504057
3.0769459320
3.0769459320
3.6068261310
3.606826130
N=641
0.837206647491
0.837206647499
1.640131403869
1.640131403872
2.396504055559
2.396504055560
3.076945932853
3.076945932858
3.606826131454
3.606826131458
Таблица 3.21. Эпитрохоида m=12, ε=0.0625. Вычисление далёких собственных значений.
№
100
101
200
201
300
301
400
401
500
501
N=641
42.86121433020
42.86121433025
85.2104437771
85.2104437772
127.254537080
128.600470841
170. 0
170. 0
-
N=1261
42.86121433026
42.86121433031
85.21044377729
85.21044377739
127.25453708059
128.60047084428
170.5739274371
170.5739274372
213.08236557370
213.0823655740
N=2561
42.8612143302754
42.8612143303380
85.2104437772412
85.2104437773712
127.254537080580
128.600470844300
170.573927437190
170.573927437190
213.082365573797
213.082365573979
Таблица 3.22. Эпитрохоида m=12, ε=0.0625. Вычисление очень далёких
собственных значений.
№
1000
1001
N=2561
426.1257592918
426.1257592925
N=5121
426.125759292050
426.125759292391
92
N=7121
426.125759292101
426.125759292433
Глава 3. Гармоническая проблема
1500
1501
2000
2001
2500
2501
3000
3001
639.1141120
639.2115412
-
639.114112192667
639.211541350273
852.213036288668
852.213036290034
1065.26548241862
1065.26548242129
1278.31651013740
1278.32022291914
639.114112192464
639.211541350335
852.213036288790
852.213036289717
1065.26548241924
1065.26548242067
1278.31651014143
1278.32022291494
Таким образом, возможно вычислить 3000 собственных значений с 9
знаками после запятой.
Далее проводилось сравнение с результатами работы [22]. Проверялось неравенство:
n ()M () 2 n
(собственные значения в этой работе нумеру-
ются с нуля). Неравенство выполняется, причём при n=1 оно близко к равенству. Таким образом, для первого собственного значения справедлива приближённая формула:
1 () 2 / M () .
3.17. Задача на собственные значения для оператора Лапласа в
прямоугольнике.
3.17.1. Двумерное уравнение Лапласа в прямоугольнике.
Рассмотрим задачу на собственные значения:
u u 0, u u ( x, y), ( x, y) 0; ( x, y) {[0, a] [0, b]},
u 0.
(3.85)
или
2u 2u
( x, y)u 0, u u( x, y).
x 2 y 2
(3.86)
Дискретизация краевой задачи (3.85) описана ниже в главе 6. В результате получаем дискретную задачу в виде:
( D2 I m I n D1 )u Ru ,
(3.87)
93
Глава 3. Гармоническая проблема
где m – число узлов дискретизации по x, n – число узлов дискретизации по y.
D1 – матрица дискретного оператора : 2
d 2u / dx2 размера m×m,; D2 – мат-
рица дискретного оператора : - d u / dy
2
размера n×n;
u - вектор длины
N=m·n, содержащий приближённые значения собственной функции u=u(x,y) в
узлах сетки, - приближённое собственное значение, R - диагональная матрица, содержащая на диагонали значения функции ρ=ρ(x,y)в узлах сетки. По х
выбирается сетка: x a 1 cos((2 1) / 2m) / 2, 1, 2,..., m. По y
выбирается сетка:
y b 1 cos((2 1) / 2n) / 2, 1, 2,..., n. В
прямоугольнике узлы нумеруются сначала по х = x , 1, 2,..., m , затем по
y= y ,
1, 2,..., n ; - знак кронекеровского произведения матриц; I m ,
I n - единичные матрицы размера m×m и n×n соответственно. Матрицы D1 и D2
– строятся программой для решения одномерной задачи Штурма-Лиувилля (
см. главу 2). При ρ≡1, собственные значения краевой задачи (1.1) известны в
аналитическом виде:
r 2 s2
2 , r , s 1, 2,3,... .
2
a b
2 2
3.17.2. Примеры расчёта для квадрата, a=b=1.
На сетке 5×5 проведены тестовые расчёты для квадратной пластины.
Собственные значения
0.19737471923E+02
0.80889438264E+02
0.12273762432E+03
0.76942401683E+03
0.80000000000E+03
0.91770709481E+03
0.94828307798E+03
0.15191105617E+04
0.18156767177E+04
0.50313455094E+02
0.92161641146E+02
0.12273762432E+03
0.76942401683E+03
0.84184818605E+03
0.91770709481E+03
0.99013126404E+03
0.16673936397E+04
94
0.50313455094E+02
0.92161641146E+02
0.16458581037E+03
0.80000000000E+03
0.84184818605E+03
0.94828307798E+03
0.99013126404E+03
0.16673936397E+04
Глава 3. Гармоническая проблема
Теоритические собственные значения
19.7392088021787
167.783274818519
78.9568352087149
49.3480220054468
256.609714428323
128.304857214162
98.6960440108936
49.3480220054468
197.392088021787
286.218527631591
177.652879219608
167.783274818519
315.827340834859
286.218527631591
493.480220054468
98.6960440108936
246.740110027234
197.392088021787
404.653780444664
335.566549637038
128.304857214162
335.566549637038
246.740110027234
256.609714428323
404.653780444664
3.17.3. Сравнение с результатами работы [16].
Результаты расчётов в этой работе помещены в таблицы 3.17.1, 3.17.2.
TABLE 3.17.1
Фундаментальные собственные частоты однородной (H)
мембраны и неоднородной мембраны (NH) с
c02 / c2 1 x
L
H
NH
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
4.44288
5. 02900
6.10616
8.45900
16.0190
3.61048
4.08151
6.70702
8.25861
16.5987
Ниже приведены результаты автора на сетке 10×10:
0.2:
L
H
NH: автор
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.44428829381E+01
0.50290020160E+01
0.61061585453E+01
0.84589970980E+01
0.16019042244E+02
0.36104838832E+01
0.40815066992E+01
0.49422143016E+01
0.82522028560E+01
0.12548430015E+02
0.6: 0.49422143016E+01 0.67070214063E+01;
0.12548430015E+02 (10×10) 0.12548430741E+02 (20×20)
95
Глава 3. Гармоническая проблема
0. 2 (20×20): 0.12548430741E+02 0.13837808305E+02
0.15125586361E+02 0.16598653501E+02
Выводы: При L= 0.6 в работе определена не первая частота, а вторая. При
L= 0.2 определена не первая частота, а четвёртая.
TABLE 3.17.2
Фундаментальные собственные частоты однородной (H) мембраны и
неоднородной мембраны по порядку номеров точного решения (NHE),
и неоднородной мембраны из возмущённого решения (NHP) с
c02 / c2 1 0.1x
L
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
H
NHE
4.44288
5.02900
6.10616
8.45900
16.0190
4.33538
4.90719
5.95790
8.25220
15.6133
NHP
% error
L
H
4.33581
4.90780
5.95900
8.25514
15.6330
NH: автор
0.010
0.013
0.019
0.036
0.13
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.44428829381E+01
0.50290020160E+01
0.61061585453E+01
0.84589970980E+01
0.16019042244E+02
0.43353840662E+01
0.49071861146E+01
0.59578959354E+01
0.82522028560E+01
0.15613341916E+02
Выводы: Результаты совпали.
3.17.4. Сравнение с результатами работы [17].
В этой работе рассматривается прямоугольная неоднородная мембрана с плотностью:
x
1
( x, y ) 1 . Результаты представлены
a 2
в таблицах 3.17.3 – 3.17.6. См. ниже:
Таблица 3.17.3. Результаты для первых 10 частот для b/ a = 1 и α = 0.1 (вторые и третьи столбцы) и α = 1 (четвертые и пятые столбцы).
96
Глава 3. Гармоническая проблема
n
N = 10
N = 12
N = 10
N = 12
1
4.335384404
4.335384227
3.610497303
3.610490268
2
6.853837244
6.853836545
5.670792660
5.670765953
3
6.856020159
6.856019330
5.755204660
5.755169941
4
8.672635329
8.672633652
7.290804774
7.290733907
5
9.690424142
9.690422167
7.942675413
7.942603436
6
9.696016734
9.696013642
8.146392098
8.146261520
7
11.05545104
11.05544646
9.299769374
9.299574120
8
11.05628129
11.05627781
9.305141208
9.304993459
9
12.63048727
12.63048290
10.24733083
10.24717742
10 12.64211438
12.64210427
10.62452059
10.62409026
Результаты автора представлены ниже:
т
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
N=40×40
4.3316235076
6.8391118091
6.8604137912
8.6813260550
9.6497055817
9.7035131843
11.066545922
11.073191181
12.544043693
12.6523125430
N=80×80
4.3316235075
6.8391118088
6.8604137914
8.6813260549
9.6497055820
9.7035131840
11.066545922
11.073191182
12.544043693
12.65231254202
N=40×40, 160
Neg. Eig.
3.4823680195
5.2840066039
5.8464793181
7.1798581721
7.3318706341
8.4065235181
9.0738422147
9.1384913045
9.5982741446
10.9594292192
N=80×80, 640
Neg. Eig.s
3.4823680194
5.2840066041
5.8464793183
7.1798581719
7.3318706341
8.4065235180
9.0738422147
9.1384913049
9.5982741444
10.9594292192
Таблица 3.17.4. Результаты для фундаментальной частоты прямоугольной мембраны с
плотностью ρ (x) =1 + α (x + 1/2) для α = 0.1 и α = 1, используя M=N = 4 0.
b/a
1
a = 0.1
a=1
4.335384227 3.610490268
0.8 4.907186348
4.08151588
0.6 5.957896353 4.942230449
0.4 8.252203964 6.797302677
0.2 15.61334941 12.54867967
97
Глава 3. Гармоническая проблема
Результаты автора представлены в таблице ниже:
α = 0.1
α=1
b/a
0.43316235076E+01
0.34823680195E+01
1
0.49017406335E+01
0.39053217874E+01
0.8
0.59481845290E+01
0.46600226161E+01
0.6
0.82267294069E+01
0.62306919168E+01
0.4
0.15460634740E+02
0.10959429219E+02
0.2
Таблица 3.17.5. Результаты для фундаментальной частоты прямоугольной
мембраны с плотностью ρ(x) = 1 + α sin π(x + 1/2) для α = 0.1, используя LSF
с N = 20 (второй столбец). Третий столбец - результаты ссылки [3].
b /a
LSF
Ref. [3]
1
4.265402726
4.26541
0.8 4.828066678
4.82806
0.6 5.862077020
5.86207
0.4 8.120442809
8.12044
15.3738
1
0.2 15.37382214
Результаты автора представлены ниже
b /a
1
0.8
0.6
0.4
0.2
α = 0.1;
m=n=40
4.4109026259
4.9920617475
6.0593798875
8.386757298
.15.815468733
α = 0.1;
m=n=60
4.4109026258
4.9920617474
6.0593798875
8.3867572987
15.815468733
α = 0.1;
m=n=80
4.4109026256
4.9920617474
6.0593798873
8.3867572988
15.815468733
Таблица 3.17.6. Сначала 11 частот квадратной мембраны с плотностью
ρ(x) =1+0.1 sin π(x + 1/2) использование LSF с N = 20 (второй столбец). Третий столбец - результаты ссылки [4].
98
Глава 3. Гармоническая проблема
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
LSF
4.265402726
6.743887484
6.797319723
8.597648785
9.536589305
9.624841722
1 0.95914134
1 0.97412691
12.43293737
12.55438511
12.91343471
Ref. [8]
4.265404
6.743888
6.797326
8.597662
9.536574
9.624849
1 0.95915
12.43285
12.55436
12.91349
-
Результаты автора представлены ниже):
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
α = 0.1;
m=n=40
4.4109026259
6.9687980359
7.2100025509
9.1174239644
9.8430659105
10.094089976
11.515840868
11.616852253
12.812854619
13.114843313
13.563312293
α = 0.1;
m=n=60
4.4109026258
6.9687980359
7.2100025509
9.1174239644
9.8430659105
10.094089976
11.515840868
11.616852253
12.812854619
13.114843313
13.563312293
α = 0.1;
m=n=80
4.4109026256
6.9687980357
7.2100025511
9.1174239643
9.8430659104
10.094089976
11.515840868
11.616852253
12.812854619
13.114843313
13.563312294
3.17.5. Результаты численного исследования свободных колебаний
мембраны, если известно конформное отображение квадрата на контур
мембраны.
Проводилось сравнение с результатами работы [18] (см. ниже) по методике, описанной выше в пункте (3.17). Результаты расчётов представлены
99
Глава 3. Гармоническая проблема
ниже. Давайте сделаем простую, но нетривиальную задачу этим методом.
Рассмотрите конформное отображение
z
w tan ,
2
которое отображает квадрат S: [-π/2, π/2] × [-π/2, π/2] в z - плоскости на область
R в w-плоскости, ограниченной дугами круга единичного радиуса и парой ортогональных кругов (см. Фиг. 3.7). Если z = x + iy, w = u + iv, то
v
Фиг. 3.7. Функция w = tan (z/2) отображает квадрат в z-плоскости на круглый волновод с круглыми выступами.
u
sin x
,
cos x cosh x
v
sinh y
,
cos x cosh y
и граница R задана так
u 2 v2 1 ,
sec h
2
| u | 1,
и
u 2 (v coth ) 2 csc h 2 ,
2
2
| u | sec h
2
.
Это отображение представляет круглый волновод с круглыми ребрами.
100
Глава 3. Гармоническая проблема
Так как
и
dw 1
z
sec 2 , имеем
dz 2
2
(3.17.
1)
на
R
dw
1
,
dz cos x cosh y
U U в S ,
эквивалентно
где
(cos x cosh y)2 .
Результаты расчётов методом Ритца для проекции и размеров усечения
(k, n) = (10,20), (20,60), (40,80) показывают в Таблице 3.17.7 для четно-четных
собственных значений, то есть присоединенные с собственными функциями,
симметричными на обеих осях.
ТАБЛИЦА 3.17.7.
Четно-четные собственные значения λ, в области на Фиг. 3.7. Нижние границы (n, k) - показывают усечение, а верхние границы, n-порядок метода Ритца.
Усечение порядка (n,k)
V
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(10,20) (20,60)
7.555
27.79
42.77
49.8
(40,80)
Порядок метода Ритца n
144
64
7.56
7.5694
7.5701
7.571
29.0
29.10971
29.1195
85
2
2
6 29.1332
44.7
44.8341
44.8425
44.8493
61566.43
67.802 1 67.863
67.91
42173.18
74.417
74.511
74.57
91.7
104.34
104.65
104.70
97.2
122.75
123.29
123.43
135.68
137.13
137.53
145.97
147.12
147.18
167.21
177.21
177.50
184.67
192.98
193.43
200.45
212.81
213.6
16
7.588
29.41
44.98
69.21
76.97
107.3
128.9
151.
162.
Таким образом, мы видели, что все методы, конечные разности, апостериорно-априорные неравенства, промежуточные задачи, используя усечение и
метод Рэлея - Ритца, дают хорошо совпадающие результаты на эквивалентной
задаче, следующей из конформного отображения. Последние три метода дают
границы, и последние два метода, используемые вместе, дают очень хорошие
оценки. Ни один из методов не трудно использовать практически. Многие конформные отображения доступны (см., например, [19]), которые приводят к
101
Глава 3. Гармоническая проблема
интересным областям. Метод конформного отображения вместе с вышеупомянутыми методами - очень полезный метод, у которого должно быть много
дальнейших применений.
ТАБЛИЦА 3.17.8.Четно-четные собственные значения λi, для области, показанной на Фиг. 3.7, полученные методом конечных разностей с малыми величинами h = π/n и экстраполяцией Ричардсона.
21
27
33
Экстраполируемые значе-
n/v
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7.552838
8
4
0
6
2
1
28.61367
44.0487
65.655
71.509
99.59
116.1
124.9
139.1
162.4
175.1
185.3
7.55937
9 28.80899
44.3597
66.540
72.641
101.56
119.04
129.47
142.27
168.19
182.18
196.67
7.562726
ния
7.569578
28.90936
44.5180
66.980
73.239
102.56
120.46
131.92
143.87
171.13
185.75
202.56
29.11569
44.8402
67.855
74.504
104.63
123.25
137.18
147.10
177.20
192.97
214.80
ТАБЛИЦА 3.17.9. Границы для четно-четных собственных значений A, области на Рис. 3.7 методом постериорно-априорного
неравенства (121 многочленная основная функция).
V
Lower
Upper
1
2
3
4
5
6
7.5694
29.092
44.825
67.682
74.381
101.82
7.5704
29.128
44.854
68.019
74.620
107.59
102
Глава 3. Гармоническая проблема
Результаты автора представлены ниже
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
M=N=20
7.5695769019
15.219280203
22.195760365
29.115433426
29.163772314
44.8401273
46.1186089
46.3626607
51.2202123
66.40982
67.85256
73.13516
74.499419
77.4775
90.0979
93.8956547
102.5166
104.633
105.474
109.529635
118.091
123.2597
133.056
137.0842
0.13879E+03
0.14622E+03
0.14713E+03
0.15039E+03
0.15620E+03
0.16789E+03
172.896
0.17696E+03
0.17760E+03
0.18605E+03
0.1886E+03
0.1931E+03
0.1956E+03
0.2065E+03
0.21278E+03
0.2167E+03
M=N=40
0.75695769018E+01
0.15219280203E+02
0.22195760360E+02
0.29115433426E+02
0.29163772305E+02
0.44840126924E+02
0.46118609295E+02
0.46362660134E+02
0.51220211630E+02
0.66409845888E+02
0.67852542361E+02
0.73135244768E+02
0.74499411607E+02
0.77477590429E+02
0.90097464197E+02
0.93895794495E+02
0.10251629181E+03
0.10462998229E+03
0.10547510947E+03
0.10952640408E+03
0.11809588259E+03
0.12325949518E+03
0.13306354528E+03
0.13708379695E+03
0.13885033419E+03
0.14627638060E+03
0.14710201032E+03
0.15036302873E+03
0.15630589506E+03
0.16778614238E+03
0.17289651171E+03
0.17692420947E+03
0.17717175815E+03
0.18616908594E+03
0.18805849772E+03
0.19293237085E+03
0.19611571228E+03
0.20735460952E+03
0.21274380827E+03
0.21742833684E+03
103
M=N=80
0.75695769018E+01
0.15219280203E+02
0.22195760361E+02
0.29115433426E+02
0.29163772305E+02
0.44840126924E+02
0.46118609299E+02
0.46362660130E+02
0.51220211631E+02
0.66409845895E+02
0.67852542355E+02
0.73135244766E+02
0.74499411606E+02
0.77477590430E+02
0.90097464198E+02
0.93895794496E+02
0.10251629181E+03
0.10462998229E+03
0.10547510947E+03
0.10952640408E+03
0.11809588259E+03
0.12325949517E+03
0.13306354528E+03
0.13708379695E+03
0.13885033419E+03
0.14627638060E+03
0.14710201032E+03
0.15036302873E+03
0.15630589507E+03
0.16778614238E+03
0.17289651170E+03
0.17692420947E+03
0.17717175815E+03
0.18616908594E+03
0.18805849773E+03
0.19293237084E+03
0.19611571228E+03
0.20735460952E+03
0.21274380827E+03
0.21742833684E+03
Глава 3. Гармоническая проблема
3.18. УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА.
Рассматривается уравнение Гельмгольца в теле вращения. Построен численный алгоритм без насыщения, который позволяет решить
спектральную задачу для однородного уравнения Гельмгольца, краевую задачу для неоднородного уравнения Гельмгольца и нестационарную задачу
(уравнение теплопроводности).
3.18.1. Постановка задачи.
( x, y, z) 2( x, y, z) F ( x, y, z), ( x, y, z) ,
(3.88)
0.
(3.89)
Здесь Ω – тело вращения вокруг оси Oz, дΩ – его граница. Если F ( x, y, z )
тождественно равно нулю, то рассматривается задача на собственные значения, в противном случае, если λ2 – не собственное значение, решается краевая
задача. Поскольку правая часть – произвольна, рассматриваемая задача трехмерна.
Введем криволинейную систему координат (r, θ, φ), связанную с декартовой системой координат (х, у, z) соотношениями
x=v(r,θ)cosφ, y=v(r,θ)sinφ, z=u(r, θ).
Если выполняются условия Коши-Римана v 1 u ,
r
r
(3.90)
u 1 v
,
r r
то система координат (r, θ, φ) ортогональна и в этой системе координат лапласиан скалярной функции имеет вид
r rv r
2
2
w (v / ) (u / ) 2 .
r
vw2
2
v 1
,
2
2
r v
(3.91)
Удобно считать, что (r, θ, φ) - сферические координаты, а соотношения
(3.90) задают отображение шара единичного радиуса на внутренность рассмат
104
Глава 3. Гармоническая проблема
риваемого тела вращения Ω. Обозначим через G область, получаемую меридиональным сечением тела вращения Ω (т. е. тело Ω получается вращением области G вокруг оси z). Пусть =(ξ), =u+iv, ξ=r·exp (iθ) - конформное отображение круга | ξ|≤1 на внутренность области G.
Тогда вместо задачи (3.88) - (3.89) имеем внутреннюю задачу в шаре единичного радиуса, для уравнения (3.91). Причем на его границе, ставится граничное условие Ф = 0. Далее будем считать, что конформное отображение
круга единичного радиуса на внутренность области G известно. Заметим, что
для численного построения конформного отображения имеются надежные алгоритмы7.
Для дискретизации лапласиана (3.91) с однородным краевым условием
(3.89) применим методику, описанную выше (подробнее, см. главу 6).
Таким образом, получаем дискретный лапласиан в виде h-матрицы:
l
2
H
L
'
(3.92)
k hk , L 2l 1.
k 0
Здесь штрих означает, что слагаемое при k=0 берется с коэффициентом 1/2; знак
кронекерово произведение матриц; h - матрица размера L × L
с элементами: hkij cos k 2 (i j ) , (i, j 1,2,..., L); Λk матрица дискретного
L
оператора, соответствующего дифференциальному оператору
r
vw2
rv
r
r
v
r
k 2
2 , k 0,1,..., l
v
(3.93)
с краевым условием: Ф|r=1 =0.
Для дискретизации дифференциального оператора (3.93), выберем по θ
сетку, состоящую из n узлов:
2
( y 1), y cos ,
(2 1)
, 1,2,..., n,
2n
а также применим интерполяционную формулу
––––––––––––––––––––––––
Казанджан Э.П. Об одном численном методе конформного отображения
односвязных областей //Препринт ИПМ АН СССР, №82, 1977 г.
7
105
Глава 3. Гармоническая проблема
n
g ( )
1
Tn ( x) g
1
, y (2 ),
(1) 1
n
( y y )
sin
(3.94)
g g ( ), 1,2,..., n; Tn ( x) cos (narccos( x)).
Первую и вторую производные по θ, входящие в соотношения (3.93), получим дифференцированием интерполяционной формулы (3.94).
По r выберем сетку, состоящую из m узлов:
1
(2 1)
( z 1), z cos ,
, 1,2,..., m,
2
2m
а также применим интерполяционную формулу
r
Tm (r )(r 1)qk
, q q(r ), z 2r 1.
1
(
1)
1
m
(r 1)( z z )
sin
m
q(r )
(3.95)
Первую и вторую производные по r, входящие в выражение (3.93), найдем
дифференцированием интерполяционной формулы (3.95).
Таким образом, вычисление собственных значений, рассматриваемой краевой задачи (3.88) – (3.89) сводится к вычислению собственных значений матриц k , т. е. задача сведена к двухмерной.
3.18.2. Методические эксперименты.
В качестве примера рассматривались три области: 1) шар; 2) область, получающаяся вращением вокруг оси z 4-х лепестковой эпитрохоиды; 3) область,
получающаяся вращением вокруг оси z 12-ти лепестковой эпитрохоиды;
Для задач 2 и 3 конформное отображение задаётся формулой
(z)=z(1+·zn), где n=4, =1/6, для задачи 2 и n=12, =1/16 для задачи 3. Результаты численных расчётов представлены ниже. Отметим, что для шара решение известно [20]:
Обозначим
1( n) , 2( n) ,..., m( n)
корни
трансцендентного
уравнения
J n 1/ 2 ( ) 0, находим собственные значения m,n m( n ) . Каждому соб2
ственному значению λn,m соответствует 2n+1 собственная функция. Введём
106
Глава 3. Гармоническая проблема
обозначение
n ( x)
2x
J n1/2 ( x). Тогда собственные функции рассмат-
риваемой задачи, можно представить в виде:
vn,m, j (r , , ) n m( n ) rYn( j ) ( , )
(n 0,1,...; m 1, 2,...; j n,..., 1,0,1,..., n)
Yn(0) ( , ) Pn (cos ), Yn( j ) ( , ) Pn( j ) (cos ) cos j , Yn( j ) ( , )
Pn( j ) (cos )sin j , ( j 1, 2,..., n).
Pn( j ) - присоединённая функция Лежандра j – го порядка.
Таблица 3.18.1. Простые собственные значения для шара и их возмущения.
Простые
собств. значения,
по описанной методике
3.14159265338230
6.28318530739746
9.42477796046934
= 1/6,
NP=4.
Сетка:
m=75, n=75
3.1213077810081
6.0390548865971
9.3369406937908
Нули функции
Бесселя J1/2 , посчитанные
на 640 узлах
3.14159265358978974
6.28318530717959346
9.42477796076936924
= 1/16,
NP=12.
Сетка:
m=75, n=75
3.14026789450478
6.26510708277732
9.47684969329311
Таблица 3.18.2. 3-х кратные собственные значения для шара и их возмущения.
3-х кратные
собств. значения,
по описанной методике
4.49340945793097
4.49340945797100
Нуль функции
Бесселя J3/2 , посчитанный
на 80 узлах
4.493409457909
= 1/6,
NP=4.
Сетка:
m=75, n=75
4.63688798340586
4.29048285997272
= 1/16,
NP=12.
Сетка:
m=75, n=75
4.49125487355551
4.48660651099072
Таблица 3.18.3. 5-ти кратные собственные значения для шара и их возмущения.
5-ти кратные
собств. значения,
посчитанные по
описанной методике
5.76345919716352
5.76345919695115
5.76345919696016
Нуль функции
Бесселя J5/2 , посчитанные
на 80 узлах
= 1/6,
NP=4.
Сетка:
m=75, n=75
= 1/16,
NP=12.
Сетка:
m=75, n=75
5.763459196894549
5.27467711330378
6.06424691146782
5.33115555060612
5.75968489000368
5.74772072146385
5.75053636518494
107
Глава 3. Гармоническая проблема
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Волевич Л. Р., Казанджан Э. П. Численный метод конформного отображения кругового кольца на двусвязную область. М., 1994.19 с. (Препр.
ИПМ им. М. В. Келдыша; № 101).
Лаврик В. И., Савенков В. Н. Справочник по конформным отображениям. Киев, "Наукова Думка", 1970. 252 с.
Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука,
1984, 752 с., [ стр. 572, 586].
Кошелёв А.И. Регулярность решений эллиптических уравнений и систем. М.: Наука, 1986, 239 с.
Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1, М.: Наука, 1970, 492 с.
Алгазин С. Д. О локализации собственных значений замкнутых линейных операторов // Сиб. мат. журн. 1983. Т.24. № 2. С. 3-8.
T. A. Driscoll and L. N. Trefethen. Schwarz-Christoffel Mapping. Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2002.
Алгазин С. Д. Численные алгоритмы классической математической физики. XXX. Вычисление собственных значений оператора Лапласа в
многоугольной области. М.: 2011. 16 с. (Препр. ИПМех; № 970).
Алгазин С. Д. Численные алгоритмы классической математической
физики. XI. О вычислении собственных значений уравнения переноса.
М.: 2006. 16 с. (Препр. ИПМех; № 801).
L. Fox, P. Henrici and C. Moler, Approximations and bounds for eigenvalues of elliptic operators, SIAM J. Numer. Anal. 4 (1967), 89-102.
W. Stekloff, Sur les problèmes fondamentaux de la physique mathèmatique,
Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 19 (1902), 455-490.
C. Bandle. Isoperimetric Inequalities and Applications. Pitman, Boston,1980.
L. Payne. Isoperimetric Inequalities and Their Applications. SIAM Rev.,
9:3 (1967), 453-488.
Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций.
М.: Гостехтеориздат, 1954. 328 с.
Жируар А., Полтерович И. Об оценках Херша-Пэйна-Шиффера для
собственных значений задачи Стеклова // Функциональный анализ и
его приложения, 2010, т. 44, вып. 2, с. 33-47.
108
Глава 3. Гармоническая проблема
16.
17.
18.
19.
20.
Masad J. A. Free vibrations of a non-homogeneous rectangular membrane //
Journal of Sound and Vibration (1996) 195(10.4), 674 – 678.
Paulo Amore. A new method for studying the vibration of nonhomogeneous
membranes // Preprint submitted to Elsevier, 3 February 2008 (Email address: paolo.amore@gmail.com).
Kuttler J. R. and Sigillito V. G. Eigenvalues of the Laplacian in Two Dimensions // SIAM Review, Vol. 26, No. 2 (Apr., 1984), pp. 163-193.
H. KOBER, Dictionary of Conformal Representation, Dover, New York,
1957.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, 5е
изд., 1977, 742 с.
109
ГЛАВА 4.
БИГАРМОНИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА
В четвертой главе результаты гл. 3 обобщаются на случай бигармонического уравнения. Рассматриваются задачи о свободных колебаниях пластинки
и основная бигармоническая проблема, т. е. краевая задача для бигармонического уравнения, когда на границе заданы значения решения и его нормальной
производной. Если рассматривается задача о свободных колебаниях, то для
круга матрица дискретной задачи является h-матрицей, и, следовательно, справедливы утверждения, сформулированные в теореме 9. В частности, эта матрица имеет большое количество повторяющихся элементов, и поэтому возможно организовать расчеты на сетке из большого числа точек. Это обстоятельство можно также использовать при решении краевой задачи, например,
основной бигармонической проблемы. Как известно, к основной бигармонической проблеме сводятся плоские задачи теории упругости, и поэтому она
имеет важное практическое значение.
Отметим, что задачи для бигармонического уравнения более трудные, чем для
уравнения Лапласа, и требуют для расчетов сетки с большим числом точек.
4.1. Постановка задачи и дискретизация
Рассматриваются алгоритмы численного
(4.1) – (4.3) и (4.1), (4.2), (4.4)
2u( z) F ( z), z G,
решения
краевых
задач
(4.1)
u G 0,
(4.2)
u
n
(4.3)
0,
G
2 u 1 u
2u
2
0.
n G
n 2
s
(4.4)
Здесь G – область в комплексной z – плоскости с достаточно гладкой границей
дG; n – единичный вектор внешней нормали к дG; д/дs – означает дифференцирование по длине дуги (длина отсчитывается против часовой стрелки); 1/ρ –
кривизна дG; ν – постоянная (коэффициент Пуассона). Функция F(z) либо задана, либо F(z) = (Q(z) + λP(z))u(z), где Q и Р – некоторые функции, и в этом
Глава 4. Бигармоническая проблема
случае имеем задачу на собственные значения для бигармонического уравнения. В частности, при Q = 0 и P = 1 получаем задачу о свободных колебаниях
пластинки, где собственная частота колебания ω связана со спектральным параметром λ соотношением
0 / D , 0 – плотность, а D – цилиндриче-
ская жесткость. Краевые условия (4.2) и (4.3) означают, что пластинка защемлена по краю, а краевые условия (4.2) и (4.4) означают опирание по краю.
Пусть z = φ(ζ), |ζ|1 – функция, задающая конформное отображение круга единичного радиуса на область G. Тогда в плоскости ζ получаем вместо
(4.1) – (4.4) следующие соотношения:
()
2
u () f (), rei , r 1,
2
(4.5)
u r 1 0,
(4.6)
u
r
(4.7)
0,
r 1
u
()
2u
( 1) Re
2
r
r
()
0.
(4.8)
r 1
Здесь f(ς) = F(z(ς)), а в граничном условии (4.8) учтено условие (4.6), т. е. положено д2u/дs2.
Для удачной дискретизации краевых задач (4.5) – (4.8) следует воспользоваться априорной информацией о решении – его аналитичностью. Чтобы в
полной мере использовать это обстоятельство, обратим дифференциальный
оператор, стоящий в левой части соотношения (4.5) и применим интерполяционную формулу (3.2.1) для функции двух переменных в круге. Подробно эта
процедура приводится ниже. Сначала обратим в (4.5) первый оператор
Лапласа, тогда получим
u () ()
2
K (, ) () f ()d ()
2
2
2
K (, )v e d S (). 4.9
i
0
||1
0
Здесь К(ς,ξ) – функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа, К0(ς,θ)
– ядро Пуассона (см. п. 3.3), а v ei ei
2
u (ei ) – неизвестная функция.
Обратим в (4.9) оператор Лапласа и получим, учитывая краевое условие (4.6):
111
Глава 4. Бигармоническая проблема
u ( )
K (, ) S ()d .
(4.10)
||1
Применим к функциям S(ξ) и () f () интерполяционную формулу
2
(3.2.1) для функции двух переменных в круге, а для v(eiθ) применим тригонометрическую интерполяцию
2 2n
2j
v(ei ) Dn ( j )v j rn (; v), j
.
(4.11)
N j 0
N
Здесь Dn – ядро Дирихле, N = 2n + 1 – число узлов интерполяции на границе
крута, а rn – погрешность интерполяции. Тогда получаем
2n
u () H j () z j H ji zi f i H j () z j H p0 ( j )v p (),
j
i
(4.12)
p 0
j
где величины H j (), H ji , H p0 (), z j определены в п. 3.3 и 3.10; δ – погрешность дискретизации; v0,v1,…,v2n – неизвестные величины. Для их определения
воспользуемся вторым граничным условием (4.7) или (4.8). Удобно рассмотреть несколько более общую задачу. Обозначим L дифференциальный оператор, стоящий в левой части второго граничного условия, а первое граничное
условие остается прежним (4.6). Применим к равенству (4.12) дифференциальный оператор L, положим в полученном соотношении ζ = eiθ, где θ пробегает
узлы интерполяции θj, j = 0,1,…,2n на границе круга (см. 4.1.11). Тогда для
определения вектора v = (v0,v1,…,v2n)’ получаем систему линейных уравнений
с матрицей A:
M
Apq H i1, p zi H q0 (i ),
p, q 1, 2,..., N ;
H 1j , p L( H j ()) | ei p ,
j 1, 2,..., M , p 1, 2,..., N
(4.13)
i 1
M
и правой частью R = (R0,R1,…,R2n)’, где R p H i1, p zi H ij z j 1 ; δ1 – погрешi, j
ность.
Пусть C = A-1, тогда v = CR. Подставим это выражение в (4.12) и пусть в
полученном соотношении ζ пробегает узлы интерполяции внутри круга. В результате имеем
u ( B 2 BEB) f .
(4.14)
Соотношение (4.14) – итог наших изысканий. Здесь u (u(1 ),...,u(M ))' – вектор
значений функции u(ζ) в узлах сетки; f – соответствующий вектор значений
112
Глава 4. Бигармоническая проблема
правой части бигармонического уравнения; B = НZ – матрица дискретной задачи Дирихле для уравнения Лапласа в рассматриваемой области G; для матрицы E имеем следующее выражение
2n
2n
p 0
q 0
Elj H p0 (l ) Cqp H i1, q zi , l , j 1, 2,...., M ,
(4.15)
i
где – погрешность дискретизации. Отбрасывая в (4.14) погрешность , получим приближенную конечномерную задачу. Таким образом, решение задачи
об изгибе пластинки сводится к умножению матрицы D = B2–BEB на вектор, а
задаче на собственные значения соответствует приближенная конечномерная
задача
u = (B2 – BEB)Z(Q + λP)u,
где Q = diag(q(ζ1)…q(ζM)), P = diag(p(ζ1)…p(ζM)), Z = diag(z(ζ1)…z(ζM)) – диагональные матрицы, у которых на диагонали стоят значения соответствующих
функций в узлах интерполяции. Для задачи о свободных колебаниях Q = = 0,
P = 1, т. е. эта задача сводится к вычислению собственных значений матрицы
D. Отметим, что вид второго краевого условия учитывается строением массива
E.
4.2. Вычисление матрицы конечномерной задачи
В алгоритме, описанном в п. 4.1, молчаливо предполагалось, что можно обратить с хорошей точностью матрицу (4.13). Однако это требует подробного
обоснования. Оказывается, что система линейных уравнений с этой матрицей
есть дискретизация некоторого одномерного интегрального уравнения первого рода. Поэтому этот вопрос сводится к вопросу о возможности численного
решения соответствующего интегрального уравнения. Трудность же решения
интегрального уравнения первого рода зависит от скорости, с которой его собственные значения стремятся к нулю.
Для примера рассмотрим краевое условие (4.3). Если ζ = reiφ, то, дифференцируя соотношение (4.10) по r и полагая затем r = 1, получаем для определения
v интегральное уравнение первого рода:
L(, )v(e
i
K0 ( y, ) | ( y) |2
| y |1
)d (), ()
K ( y, ) | () |2 f ()d dy,
||1
где для ядра L(φ,θ) имеем следующее соотношение:
113
Глава 4. Бигармоническая проблема
L(, )
K 0 ( y, ) K 0 ( y, ) | ( y) |2 dy.
| y |1
В частности, для круга (|φ(y)|2 = 1)
L(, ) L(, )
1 1 cos l ( )
2 2 l 1
l 1
и легко видеть, что в этом случае собственные функции оператора L суть
uk = exp(ikθ), k = 0,1,2,…, а соответствующие собственные значения λk = = 1/2(k
+ 1), k = 0,1,2,…. Если выполнено условие
0 p0 | () |2 p1, | | 1,
то в общем случае
p0
p1
k
, k 0,1, 2,... ,
2(k 1)
2(k 1)
т. е. λk~1/k. Численные расчеты подтверждают эти рассуждения. В практических расчетах число обусловленности матрицы А никогда не превосходило величины порядка 102 (максимальное n, с которым проводились расчеты, было
равно 20).
4.3. Исследование структуры конечномерной задачи
Покажем, что для круга матрица D = B2–BEB имеет структуру, аналогичную структуре матрицы Н задачи Дирихле, т. е. является h-матрицей. Вначале
рассмотрим краевое условие (4.3). Тогда матрицу A (см. 4.1.13) можно представить в следующем виде
b1
A (d1 z1 ... d m zm ) ... H1 ZH 0 d1 z1b1 ... d m zm bm ,
(4.16)
b
m
где bν и dν – симметричные циркулянты размера N×N (см. 3.10.7, 3.10.8); zν , ν =
1,2,…,m – диагональные матрицы, которые содержат на диагонали значения
функции |φ’(ζ)|2 в узлах интерполяции на ν-й окружности, Z = diag(z1…zm). Для
круга zν – единичные матрицы, а поэтому матрицы А и C = A-1 в этом случае
суть симметричные циркулянты. Далее имеем
114
Глава 4. Бигармоническая проблема
b1
E ... C (d1 z1 ... d m zm ) H 0CH1Z ,
b
m
(4.17)
а поэтому матрица Е для круга является h-матрицей. Следовательно, такого же
типа и матрица D. Теперь рассмотрим краевое условие (4.4). В этом случае
вместо матрицы H1 нужно подставить в (4.16) и (4.17) матрицу
H 2 (d10 d1 ... dm0 d m ) .
Здесь ψ = diag(ψ0…ψ2n ) – диагональная матрица, где
()
2j
j ( 1) Re
, j
, j 0,..., 2n,
(
)
N
i
e j
dν – симметричные циркулянты размера N×N и
d0ij
1 ''
2 n
a 0 a'' k (1) cos k (i j )
N
N k 1
(сравни с формулой 3.10.8). Для круга ψj = ν, а поэтому структура матрицы H2
аналогична структуре матрицы Н1 , т. е. соответствующая матрица D является
h-матрицей.
Итак, справедливы все свойства конечномерной задачи, сформулированные выше для уравнения Лапласа (см. теорему 9, гл. 3). Соображения об
асимптотической симметричности матриц конечномерной задачи также переносится и на этот случай.
4.4. Численное решение
основной бигармонической проблемы
Описанная выше методика применима также к численному решению краевых задач для бигармонического уравнения. Для примера рассмотрим основную бигармоническую проблему, т. е. краевую задачу (4.18) – (4.20)
115
Глава 4. Бигармоническая проблема
2u( z) F ( z),
z G,
(4.18)
u G ( z ),
(4.19)
u
( z ).
n G
(4.20)
Будем предполагать, что F, Χ, Ψ – достаточно гладкие функции, а G – область с гладкой границей дG; n – единичный вектор внешней нормали к дG.
Аналогично п. 4.1 переходим при помощи конформного отображения
z (), | | 1 к краевой задаче в круге:
()
2
u () f (), rei , r 1,
2
(4.21)
u r 1 (),
(4.22)
u
r
(4.23)
(),
r 1
Здесь f () F (()), () ((ei )), () | () | (()) ei . Переход от
задачи (4.21) – (4.23) к конечномерной задаче полностью аналогичен переходу
в п. 4.1. Будем обозначать
z () | () |2 , u (u1 ...uM ), f ( f1 ... f M ), (1 ... 2 n ), (1 ... 2 n )
векторы значений соответствующих функций в узлах интерполяции внутри
круга и на границе. Тогда имеем
u = Df + BH0Cψ + (H0 – BH0CB)χ + δ,
(4.24)
где δ – погрешность дискретизации, для которой нетрудно написать конкретное выражение. Матрицы D, B, H0 и C определены в п. 4.1, а элементы матрицы
B размера N×N определены в соотношении 3.10.3.
Таким образом, для того чтобы приближенно вычислить в узлах интерполяции значения решения краевой задачи (4.21) – (4.23), нужно умножить матрицы D, BH0C и H0–BH0CB на векторы f, ψ и χ соответственно. В выражении
(4.24) конкретный вид области учитывается заданием диагональной матрицы
diag(z1…zM), а вид правой части уравнения (4.18) и вид граничных условий
(4.19), (4.20) учитывается заданием соответствующих векторов. Остальные
массивы Н, H0, H1 и B вычисляются только один раз (они используются и в
116
Глава 4. Бигармоническая проблема
других задачах). Кроме того, эти массивы содержат большое число повторяющихся элементов и могут храниться в "упакованном" виде, т. е. хранить следует только различные элементы. Это обстоятельство позволяет производить
расчеты с большим числом точек, т. е. на частой сетке и, следовательно, рассмотреть задачи в сложных областях.
4.4.1. Вторая краевая задача плоской теории упругости
Пусть N {l , m} – вектор внешней нормали к рассматриваемой плоской области G. Для второй краевой задачи плоской теории упругости величины:
X l x m xy , Y m y l xy – заданы как функции s- длины дуги.
x
2
2
2
d
d
, y 2 , xy
X , Y ,
2
xy
ds y
ds x
y
x
так как l
(4.25)
dy
dx d
,m ,
l
m
. Проинтегрируем равенства (4.25)
ds
ds dn
x
y
по некоторой дуге s в положительном направлении (при котором область остается слева) от некоторой точки A до произвольной точки B. В результате получим значения производных функции Эри в произвольной точке B:
B
B
K Yds, N Xds,
x B
y B
A
A
(4.26)
где K и N – постоянные, равные значениям производных функции Эри в
начальной точке A дуги s.
d dx dy
d
,
l
m
(4.27)
ds x ds y ds
dn x
y
B
B
K Yds l N Xds) m
n
A
A
(4.28)
Интегрируя равенство (2.3) по дуге AB, получим
B
dx dy
M
ds ,
x ds y ds
A
(4.29)
где M – постоянная, равная значению функции Эри в начальной точке A дуги s.
Для односвязной области можно принять M = K = N = 0. Соотношения (4.28)
– (4.29) – искомые граничные условия для функции напряжений Эри.
117
Глава 4. Бигармоническая проблема
Пример. Круг единичного радиуса под действием равномерного давления P.
l cos , m sin ;
B
0
Xds
B
B
0
0
Yds
( P sin )d P(cos
B
( P cos )d P sin
0
B
B
4.30
1)
P(cos 1).
n
dx
dy
sin ,
cos ;
ds
ds
x
B
P sin d P(cos
B
1);
0
B
P cos d P sin B P(cos 1).
y
0
4.31
Легко видеть, что тогда решение бигармонического уравнения для функ-
r2 1
, Δφ = -P, Δ2φ = 0, σr = -P,
2
σθ = -P, σrθ = 0. Ниже эти соотношения проверяются численно.
ции напряжений φ есть: (r , ) Pr cos P
4.4.2. Результаты расчетов
M=
3
LAMDA0
411.941825936000 -45.1418752798000 35.1897397936000
-61.1418752812000 29.3333333334000 -24.1914580529000
7.47692687292000 -8.19145805268000 14.7248407322000
LAMDA1
457.798232344000 -58.2837505577000 26.6666666663000
-80.1401570151000 37.3333333328000 -21.4734903555000
26.6666666637000 -15.6170838946000 32.8684342717000
H
3.072703287102967E-003 4.897108054159670E-005 7.912661629519048E-003
9.225931542088425E-004 1.851480750724176E-003 9.834251950685169E-004
5.091108187864103E-003 7.422023971035210E-006 5.864197530894739E-002
1.003086419751928E-002 2.637849805529612E-002 7.405923002689522E-003
8.491365332530898E-004 -1.891902224943439E-005 5.271915806639309E-002
2.663186736894871E-002 7.022976584898476E-002 2.811460916650774E-002
H0
0.977283884192709 1.135805790356844E-002 0.804737854124341
9.763107293777336E-002 0.505879363401625 0.247060318299167
118
Глава 4. Бигармоническая проблема
H1
-0.108587098243639 -1.262006433727989E-003 -0.223538292812323
-2.711974248272058E-002 -5.620881815570976E-002 -2.745114647766744E-002
Вычисленные значения
-5.805246567609952E-004 -1.44946926409002 -1.44946926409134
-4.289321881254655E-002 -1.10355339059199 -1.10355339059296
-0.274674603947669 -0.662903171601183 -0.662903171601538
Точные решения бигармонического уравнения
-5.805246570408373E-004 -1.44946926409023 -1.44946926409155
-4.289321881341146E-002 -1.10355339059312 -1.10355339059409
-0.274674603951133 -0.662903171605274 -0.662903171605630
Вычисленные значения SR
-0.999999999995613 -0.999999999996407 -0.999999999996634
-1.00000000000812 -1.00000000000960 -1.00000000001144
-1.00000000002038 -1.00000000002165 -1.00000000002718
Вычисленные значения ST
-0.999999999943313 -0.999999999939767 -0.999999999930829
-0.999999999976463 -0.999999999979729 -0.999999999979501
-1.00000000001654 -1.00000000001965 -1.00000000002134
Вычисленные значения SRT
9.653502482184841E-013 5.162537064506978E-013 -1.480371381035184E-012
-9.150363476285156E-013 1.972200180944128E-012 -1.057376408652999E-012
-9.286324583257371E-013 3.566924533515703E-012 -2.639222174138922E-012
4.4.3. Выводы
Для решения тестовой задачи потребовались три таблицы H – 18 чисел, H0
– 6 чисел, H1 – 6 чисел. Таким образом, можно констатировать, что решена
задача табулирования.
4.5. Примеры численных расчетов
Вначале рассмотрим примеры численных расчетов для круга. Максимальное число точек, с которым производились расчеты для круга – 820 (20 окружностей по 41 точке). Как уже говорилось выше, вычисление собственных значений матрицы 820×820 сводится к вычислению собственных значений 21
матрицы размера 20×20. А поэтому можно вычислить все собственные значения исходной матрицы. В табл. 4.1 приведены однократные собственные значения соответствующей матрицы дискретной задачи (1-я и 3-я колонки), а рядом для сравнения приведены результаты расчета по одномерной методике на
100 точках (в круге разделением переменных задача на собственные значения
119
Глава 4. Бигармоническая проблема
для бигармонического уравнения сводится к одномерным задачам, методика
решения которых аналогична методике для двумерных задач). Коэффициент
Пуассона ν принимался равным 0.25 (для 2-й краевой задачи). Результаты расчета по одномерной методике приводятся в табл. 4.1 с 12-значащими цифрами,
а для расчетов по двумерной методике приводятся совпадающие знаки, т. е.
только верные знаки.
Таблица 4.1
λi
i
1
2
3
4
5
1-я краевая задача Одномерная мето820 точек
дика 100 точек
104.3631056
104.363105916
1581.744
1581.74636379
7939.549
7939.54527889
25022.26
25022.1915197
61012.
61014.1567852
2-я краевая задача 820 точек
23.62085804
879.8434
5491.016
19117.1548
49356.
Одномерная методика 100 точек
23.6208580299
879.843510932
5491.02409476
19117.1544172
49357.5252428
Интересно сопоставить эти результаты с расчетами на редкой сетке. Например, для сетки в круге из 9 = 3 × 3 точек получаем для первого собственного
значения первой и второй краевых задач значения 103.1 и 23.66 соответственно. Причем при построении матрицы D дискретной задачи массив H вычисляется по методике, описанной в п. 3.5. Отметим, что в работе [1] вычислено по семь первых собственных значений для обеих краевых задач. Результаты этих расчетов приводятся в табл. 4.2. Здесь 1-е и 4-е собственные
значения однократные и соответствуют 1-му и 2-му собственным значениям
табл. 4.1. Таким образом, расчеты работы [1] неточны (в особенности при краевом условии свободного опирания). Для примера приведем еще для второй
краевой задачи 1-ое собственное значение клетки Λ4 – 3224.568989. Этому собственному значению соответствует седьмое собственное значение табл. 4.2.
Таблица 4.2
i
1х
2
3
4х
5
6
7
Результаты [1]
1-ая краевая задача
2-ая краевая задача
104.344
24.774
452.044
194.192
1216.673
658.139
1561.306
885.481
2604.748
1594.386
3699.608
2353.339
4854.245
3259.626
120
Глава 4. Бигармоническая проблема
Теперь рассмотрим результаты расчетов для области, отличной от круга. А
именно для области, для которой в табл. 3.2 приведены результаты расчетов
задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Опять же применялся метод простой
итерации. Однако теперь проводится больше расчетов. А именно, для числа
точек: 104 (8 окружностей по 13 точек), 205 (5 окружностей по 41 точке), 410
(10 окружностей по 41 точке) и 1230 (30 окружностей по 41 точке).
Результаты расчетов для 1-й краевой задачи приведены в табл. 4.3. В последней колонке приведены результаты с 12 значащими цифрами, а в остальных колонках приведены только знаки, совпадающие с этим расчетом. Напомним, что граница этой области имеет в 4-х точках кривизну порядка 102. Несмотря на это, погрешность вычисления 1-го собственного значения 10-9.
Таблица 4.3
λi
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
104 точки 205 точек
119.
122.58
452.
461.80
459.
461.84
827.
827.0
1329.
1326.
1657.
1698.
1991.
2041.
2018.
2042.
3263.
3654.
3428.
3653.
410 точек
122.60360
461.8863
461.9195
827.2752
1329.6928
1701.433
2036.1185
2036.3867
3639.464
3639.159
820 точек
122.603650158
461.886402882
461.9195728
827.275347
1329.69367744
1701.4343766
2036.11887
2036.3871404
3639.46578
3639.16092
1230 точек
122.603650157
461.886402889
461.919572661
827.275346369
1329.69367746
1701.43437638
2036.11887644
2036.38714010
3639.46577182
3639.16089134
Результаты расчетов для 2-й краевой задачи в той же области приведены в
табл. 4.4.
Таблица 4.4
i
1
2
3
4
5
205 точек
66.7
247.
244.
388.
–
410 точек
68.283
245.203
242.702
389.321
726.904
λi
820 точек
68.28134302
245.197378
242.6973158
389.3203381
726.9001235
121
1230 точек
68.2813430387
245.197370928
242.697315693
389.320337997
726.900124761
Глава 4. Бигармоническая проблема
В табл. 4.5 приведены результаты расчета собственных значений второй
краевой задачи для области, получающейся из круга конформным отображением z = ζ(1 + 0,0625ζ12). Граница этой области (эпитрохоида) имеет в 12 точках кривизну -2710,т. е. порядка 103.
Таблица 4.5
i
1
2
3
4
5
λi
410 точек
820 точек
10.57
10.64343900
95.6
95.7918066
272.6
272.32445319
470.6
471.2710702
587.6
587.1410688
1230 точек
10.6434390886
95.7918067703
272.324453259
471.271070279
587.141069472
Последний пример, который будет рассмотрен, это вычисление основной
частоты защемленной эллиптической пластинки. Конформное отображение
круга на эллипс проводилось численно [2] (на 141 точке). В табл. 4.6 приводится сравнение полученных результатов с результатами работ [6–7] (a, b обозначают полуоси эллипса). Результат автора содержится в последней строке
табл. 4.6 и получен для 1-й колонки на 104 точках (8 окружностей по 13 точек),
а для второй на 410 точках (10 окружностей по 41 точке).
Таблица 4.6
i
Автор
[6]
[7]
x
a = 1, b = 0.5
28.5148
27.5
27.2
a = 1, b = 1/3
60.3179
56.9
56.4
4.5.1. Описание дальнейших вычислительных экспериментов
Первый расчет был выполнен для эпитрохоиды (n = 4, ε = 1/6). Первая краевая задача. В круге выбиралась сетка из 9 окружностей с расположением точек по окружностям NL = 27,25,23,21,17,9,7,3,3 общее число узлов NT = 135;
число узлов на границе круга NG = 31. Результаты расчетов представлены в
122
Глава 4. Бигармоническая проблема
табл. 4.7 (первая колонка), во второй колонке представлены расчеты на сетке
1531, в третьей колонке расчеты на сетке 3041 из табл. 4.3.
Таблица 4.7
i
1
2
3
4
5
6
117.
391.
391.
845.
1304.
1305.
λi
122.3
461.2
461.2
827.1
1329.1
1698.
122.6037
461.8864
461.9196
827.2753
1329.6937
1701.4344
Из рассмотрения таблицы видно, что точность расчетов невелика. Это объясняется трудностью задачи. Второй расчет был выполнен для этой же области. Вторая краевая задач (коэффициент Пуассона принимался равным 0.25).
В табл. 4.8 в первой колонке приведены результаты расчетов на сетке 1531,
во второй колонке расчеты на сетке 3041 из табл. 4.4.
Таблица 4.8
i
1
2
3
4
5
60.
227.
235.
389.2
717.
λi
68.2813
242.6973
245.1974
389.3203
726.9001
Точность еще меньше. Это объясняется тем, что вторая краевая задача более сложная для вычислений.
Примечание. При вычислении собственных чисел матрицы D программа
пакета EISPACK HQR2 дает ошибку, связанную с достижением максимального
числа итераций 31. Эта программа модернизировалась, и максимальное число
итераций принималось равным 100. Модернизированная подпрограмма называется HQR2M. Последний расчет, который мы рассмотрим, это первая крае2
u
0. Вычислялось первое
вая задача в круге: 2 u e ar u 0, u r 1
r r 1
собственное значение на сетке 1325. Результаты расчетов приведены в табл.
4.9 во второй колонке. В третьей колонке приведены результаты Нестерова С.
В. Расчеты проводились по программе BIG12P [16].
123
Глава 4. Бигармоническая проблема
Таблица 4.9
a
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
λi
105.99635034
107.63336375
109.27398562
110.91806178
112.56544328
114.21598673
115.86955396
117.52601185
119.18523224
120.84709172
124.17825731
127.51861130
130.86732337
134.22362586
137.58680951
105.996279
107.6332949
109.2739274
110.91801
112.56540
114.222951
115.869517
117.5259747
119.1851870
120.8686813
124.178184
127.518526
130.866855
134.223645
137.58700
4.5.2. Продолжение численных экспериментов
Проводились расчеты для защемленной эллиптической пластинки при разных значениях эксцентриситета. Они сравнивались с результатами работы [3].
В частности, с экспериментом. При e = 0.866 получено
1 27.3714 . Экспе-
римент дает значение 27.281. Ошибка составляет 0,3 %. В [3] в результате расчетов получено завышенное значение 27.737. Для этого же значения эксцентриситета получено
2 39.4700 . Эксперимент дает значение 38.86.
Ошибка составляет 1,5 %. В [3] в результате расчетов получено завышенное
значение 40.477. Расчеты для других значений эксцентриситета также совпали
с расчетами из [3], кроме значения e = 0.95. Результаты этих расчетов приведем в табл. 4.10.
124
Глава 4. Бигармоническая проблема
Таблица 4.10
i
1
2
3
i
Автор 1531
62.6414
69.5722
86.4613
Автор 1325
61.7282
68.0335
88.4150
[2]
66.505
85.940
Таким образом, в [3] определена не вторая собственная частота, а третья.
Примечания.
Расчеты для вытянутого эллипса трудны для описанной методики. Выбирая в круге равномерную сетку по θ, получаем, что узлы сетки в эллипсе сгущаются к мнимой оси. Этим объясняется расхождение в расчетах на сетках
1531 и 1325.
4.6. Колебания пластины переменной толщины со сводными
краями произвольной формы в плане.
Выше краевые условия свободного края не рассматривались. В этом пункте
проведем исследованию свободных колебаний пластин переменной толщины
произвольной формы в плане. Рассматривается только одно граничное усло
вие – свободный край. В недавней работе [4] рассмотрены колебания суперэллиптических пластин переменной толщины с защемленным и свободно опёртым краем. Супер эллиптичные пластины это пластины с границей определяемой
x2n y 2n
1 , где n – степень супер эллипса.
a 2 n b2 n
К сожалению, в этой работе не рассмотрено краевое условие свободного
края, но обширный список цитированных работ (из этих двух приложений)
позволяет оценить состояние исследуемого вопроса. Классической книгой по
теории колебаний является труд Лорда Релея [5]. Колебания пластин рассмотрены в 10 главе первого тома. Очень часто цитируемой работой является книга
Лейса [7]. В настоящее время эта работа доступна в Интернете. Наиболее близкие результаты, к настоящей работе, содержатся в [8]. Экспериментальные работы по определению частот свободных колебаний круглых пластин со свободным краем рассмотрены в [9–11]. К сожалению, сравнения не получилось,
уравнением:
125
Глава 4. Бигармоническая проблема
так как результаты экспериментов представлены в размерной форме, а константы материала не сообщаются. Из изучения обширного списка этих работ
данного делаем вывод, что пластина переменной толщины произвольной
формы в плане ранее не рассматривалась. Исследования ограничены пластинами: супер эллиптичными (в частном случае эллиптичными и круглыми) и
прямоугольными. Ниже этот пробел восполняется.
4.6.1. Вывод уравнения поперечных колебаний упругой изотропной
пластины переменной толщины и граничных условий.
Рассмотрим упругую изотропную пластину переменной толщины h(x,y),
ограниченную контуром произвольной формы и совершающую малые поперечные колебания под действием начального отклонения или внешней силы.
Будем считать выполненными все допущения теории малых упругих колебаний тонких пластин [12, 13]. Нейтральная поверхность разделяет растянутую
и сжатую зоны изогнутой пластины. В качестве системы координат выбирается правовинтовая прямоугольная система координат, плоскость xy которой
совмещена с нейтральной поверхностью в недеформированном состоянии,
а ось z направлена вниз. Перемещения w(x,y) точек нейтральной поверхности,
отсчитываемые по оси z, будем называть прогибами пластины, wmax hmin . В
этих предположениях перемещение точки (x,y,z) пластины, отстоящей на расстоянии z от нейтральной поверхности будет [12, 13]:
w
w
u z
, v z
,
w w( x, y ).
x
y
Компоненты тензора деформаций в случае малых деформаций определяются формулами
xx z
2w
2w
2w
,
z
,
z
,
yy
xy
yx
x 2
y 2
xy
xz yz 0, zz 0.
Компоненты тензора напряжений определяются законом Гука [12, 13]
xx
E
Ez 2 w
2 w
,
xx
yy
1 2
1 2 x 2
y 2
yy
E
Ez 2 w
2 w
,
yy
xx
1 2
1 2 y 2
x 2
126
Глава 4. Бигармоническая проблема
xy yx
E
Ez 2 w
xy
,
1
1 xy xz yz zz 0
(согласно гипотезе Кирхгоффа о плоском напряженном состоянии), где E –модуль упругости, – коэффициент Пуассона материала плиты.
Потенциальная энергия элементарного объема при упругой деформации
пластины равна [12, 13]:
1
dFn xx xx yy yy 2 xy xy dxdydz.
2
откуда следует
2 w 2 2 w 2 w
Ez 2
2
dxdydz.
w
2(1
)
2
2
x
y
2(1 2 )
x
y
Полная потенциальная энергия пластинки равна интегралу от этой величины по всему объему пластинки V. Переходя от тройного интеграла к повтор
ному и интегрируя по z от нижней z z1 ( x, y) до верхней z z2 ( x, y) поверхdFn
ности пластины, находим полную потенциальную энергию деформированной
пластины
2 w 2 2 w 2 w
1
2
dxdy,
Fn D w 2 1
2
2
2 S
xy x y
где D
E z13 ( x, y ) z23 ( x, y )
3 1 2
, S – проекция области V на нейтральную поверх-
ность.
1
w
h dxdy. Для задачи о
2
t
S
2
Кинетическая энергия всей пластины K
свободных колебаниях: U + K = const → δ(U + K) = 0, w w( x, y)eit ,
w
2
i 2 t
w( x, y )e . Искомое уравнение:
t
2
2 w 2 2 w 2 w
2
2
2
D w 2 1
hw
dS 0.
xy x 2 y 2
S
127
4.32
Глава 4. Бигармоническая проблема
В дальнейшем крышку над w опускаем. Проведем обезразмеривание соотношения (4.32).
Характерные величины:
Ω, сек-1 – характерная частота, конец расчетного диапазона;
L, м – характерный линейный размер (диаметр области);
p0, н/м2 – характерное давление (1 физическая атмосфера);
Введем безразмерные величины (со штрихами) по формулам:
x xL, y yL, w wL, z1 z1 L, z2 z2 L, h hL, D Dp0 L3 , , p0 / L22
Подставляя в (4.32) получаем, что это соотношение в безразмерном виде
сохраняет прежний вид. В дальнейшем штрихи у безразмерных величин опускаем.
4.6.2. Дискретизация.
Вместо того чтобы варьировать соотношение (4.32) и получить сложное
уравнение 4-го порядка в частных производных, с граничными условиями 2-го
и 3-го порядка, поступим по-другому: проведем дискретизацию, выписанного
в (4.32) квадратичного функционала и получим задачу о стационарном значении квадратичной формы. Заметим, что краевым условиям свободного края
удовлетворять не нужно. Эти краевые условия – естественные и получаются
автоматически, если приравнять нулю вариацию функционала. Для дискретизации функционала (4.32) перейдем сначала от произвольной области к кругу.
Пусть z = ψ(ς), ς = reiθ, конформное отображение круга |ς|≤1 на область S, z = x
+ iy, x = u(r,θ), y = v(r,θ). Причем выполняются условия Коши – Римана:
u 1 v v
1 u
,
r r r
r
Пусть Φ(x,y) = Φ(u(r,θ),v(r,θ), тогда
2
2
2
2
x
r
2
2
1
1
A
3
6
xy
r r | () |
2
2
2
2
y
c1
c2 ,
c
3
128
(4.33)
Глава 4. Бигармоническая проблема
где
2u v
u2
2
v
r
r2
v2 u2 v u
1
A1 2
u
v
,
r
r | () |4
r2
2u v
v2
2
u
r
r2
(4.34)
c1 r d11 d12
d 21
d 212
c2
r
c3 r d 31 d 312
(4.35)
e1( r ) v ur2 u vr2
( r )
e2 v ur u vr
(r )
e3 v u2 u v2
(4.36)
() 1
e1 r (u ur2 v vr2 )
() 1
e2 (u ur v vr )
r
() 1
e3 r (u u2 v v2 )
(4.37)
129
Глава 4. Бигармоническая проблема
2u v ( r ) u2 ( r )
2 (r )
e2 2 e3
d11 v e1
r
r
2u v ( ) u2 ( )
2 ( )
e2 2 e3
d12 v e1
r
r
u2 v2 ( r ) v2 u2 ( r ) v u ( r )
e1
e2 2 e3
d 21
r
r
r
2
2
2
2
u
u
v
v
u
v
d
e1( )
e2( ) 2 e3( )
22
r
r
r
2
2
u
v
v
d u 2 e ( r ) e ( r ) e ( r )
1
2
3
31
r
r2
2
d u 2 e( ) 2u v e( ) v e( )
1
2
3
32
r
r2
(4.38)
Для дискретизации функционала (4.32) применим квадратурную формулу
(см. п. 3.2):
|| 1
r cos
ñ
f ()d cl f l , f l f (r eil ),
,l
(2 1)
2l
, 1, 2,..., m; l
, l 0,1,...,2 n; N 2n 1.
4m
N
(4.39)
4r cos m1
ts cos s ,
m(2n 1) 2
s 3(2)
s 1
2
(2 1)
, s 1 í å÷¸òí î .
4m
В результате получаем задачу о стационарном значении квадратичной
формы:
ts 1/(1 (1)
J ( w) (
,l
s),
cl
2(1 )
( D ( xy ) w) 2l ( D ( xx ) w) l ( D ( yy ) w) l
Dl ( Hw)2l 4
2
4
| (l ) |
r | (l ) |
cl 2 | (l ) |2 hl w2l ),
где ( Hw)2l ( H l ,k wk ) 2 , H – матрица дискретного оператора Лапласа, полу,k
чающаяся подстановкой интерполяционной формулы (2.9) в выражение для пло-
130
Глава 4. Бигармоническая проблема
1 w
1 2 w
(r ) 2 2 ; D( xy ) , D( xx ) è D( yy ) – матr r r
r
рицы численного дифференцирования по x,y; x,x и y,y – соответственно. Фор1
мулы для этих матриц определяются из (4.34) (без множителя 2
).
r | () |4
сого оператора Лапласа: w
Матрицы численного дифференцирования по r и θ – определяются численным
дифференцированием интерполяционной формулы (3.2.1), см. гл. 3.
Введем в рассмотрение матрицы A и B (диагональная):
cl
2(1 )
Al ,k (
Dl {H l ,k H l ,vl 4
[2 D(lxy,)k D(lxy,)l
2
4
r | ( l ) |
,l | ( l ) |
D(lyy,)k D(lxx,)l D(lxx,)k D(lyy,)l ]},
Bl diag (c hl | (l ) |2 ) .
Получаем задачу на собственные значения:
Aw – ω2Bw = 0,
(4.40)
где A – симметричная матрица, B – положительно определенная диагональная.
1
1
Пусть w B 1/ 2 w B 2 AB 2 w 2 w , тогда задача сводится к стандартной алгебраической проблеме собственных значений.
4.6.3. Методические эксперименты.
Для проверки методики были проведены расчеты собственных частот для
круглой пластинки диаметром 6.3 см и толщиной 1.00 см. [8, табл. 1, первая
строка]. Принимались следующие константы материала: σ = 0.25 – 0.33, E =
0.7·106 кГ/см2, ρ = 2.7 г/см3; характерное давление 1 атм (физическая) =
= 1.0133·105 н/м2 = 1.0333 кГ/см2. Вначале рассмотрим результаты для круга
постоянной толщины:
Круглая пластина постоянной толщины, h = 0.318, σ = 0.25, M = 3, N = 7.
Ниже приведены 3 частоты в герцах (начиная с четвертой частоты). Жирным шрифтом выделены знаки, совпавшие с расчетом на сетке 30×41:
269.23250 269.23250 439.09552
Первые три частоты близки к нулю. Это частоты, которые получаются из-за
того, что пластина со свободным краем и может двигаться, как твердое тело. Рассмотрение ведем с четвертой частоты (результаты представлены в герцах).
131
Глава 4. Бигармоническая проблема
Теперь рассмотрим результаты для двух эпитрохоид. Эта область получается при качении малого круга радиуса ε по большому кругу радиуса a. Точка,
связанная с малым кругом, описывает кривую, называемую эпитрохоидой.
Конформное отображение единичного круга на эту область задается формулой: ψ(ζ) = ζ(a + εςn), n – число лепестков эпитрохоиды. Расчеты велись при 2a
= 6.3, n = 4, ε = 1/6 и n = 12, ε = 0.0625 (см. ниже):
Эпитрохоида пост. толщины h = 0.318, σ = 0.25, n = 4, ε = 1/6, M = 20, N = 41
Ниже приведены 12 частот. Жирным шрифтом выделены знаки, совпавшие
с расчетом на сетке 30×41:
249.98432
286.58432
610.3171267 610.3171284
983.38949
1054.6050946
1573.1528
1654.386155
432.21804750
983.38949
1093.614265
1654.386156
Эпитрохоида постоянной толщины h = 0.318, σ = 0.25, n = 12,
ε = 0.0625, M = 20, N = 41.
274.76467
628.72562
999.50130
1664.890300
282.46650
628.96825
1089.71384
1665.182139
442.44778
999.33410
1094.15783
1714.69855
Мы видим, что кратные частоты "расползлись" на близкие пары. Но теперь
надежные результаты получились на сетке из 820 = 20 × 41 точек. Жирным
шрифтом выделены знаки, совпавшие с расчетом на сетке 30×41.
Рассмотрим теперь результаты для пластины в форме круга и эпитрохоиды
с переменной толщиной: h = h0(1 + α1X + β1 X2), X = x/a, 0 ≤ x ≤1 и h = = h0(1
+ + α2R + β2R2), R = r/a, где a – радиус круга.
Результаты для круга переменной толщины.
Круглая пластина переменной толщины: диаметр 6.3 см, толщина h0 =
= 0.318, σ = 0.25; α2 = 0.1, β2 = 0.1; M = 20, N = 41. Жирным шрифтом выделены
знаки, совпавшие с расчетом на сетке 30×41.
290.02341
290.02341
461.93981
693.530831 693.530832
1076.10515
1076.10515
1233.4883564
1233.4883572
1884.49196
1884.4919585
1906.3167562
132
Глава 4. Бигармоническая проблема
Круглая пластина переменной толщины: диаметр 6.3 см, толщина h 0 =
= 0.318 см, σ = 0.25; α1 = 0.1, β1 = 0.1; M = 20, N = 41. Жирным шрифтом выделены знаки, совпавшие с расчетом на сетке 30×41.
272.55564
636.0964767
1011.598798
1717.0494301
272.74075
636.1006314
1118.4873967
1717.0494804
439.0075730
1008.212643
1118.4874047
1751.7049
Результаты для эпитрохоиды переменной толщины.
Эпитрохоида (n = 4, ε = 1/6) переменной толщины: диаметр 6.3 см, толщина
h0 = 0.318, σ = 0.25; α2 = 0.1, β2 = 0.1; M = 20, N = 41. Жирным шрифтом выделены знаки, совпавшие с расчетом на сетке 30×41.
269.09249
309.366392
462.14594
679.58259227
679.5825944
1065.492631
1065.4926323
1193.63349140 1236.9011127
1725.5219004
1888.45935906 1888.4593596
Эпитрохоида (n = 12, ε = 0.0625) переменной толщины: диаметр 6.3 см, толщина h0 = 0.318, σ = 0.25; α2 = 0.1, β2 = 0.1; M = 20, N = 41. Жирным шрифтом
выделены знаки, совпавшие с расчетом на сетке 30×41.
297.51424
701.9747975
1080.968931
1875.969
307.73714
702.2925777
1234.025467
1885.326695
473.625763
1080.75867
1240.090962
1903.508756
Эпитрохоида (n = 4,ε = 1/6) переменной толщины: диаметр 6.3 см, толщина
h0 = 0,318, σ = 0.25; α1 = 0.1, β1 = 0.1; M = 20, N = 41. Жирным шрифтом выделены знаки, совпавшие с расчетом на сетке 30×41.
253.05042
623.1580054
997.4405256
1600.7515
290.61214
624.0741876
1083.85153997
1699.24349
437.5027117
996.09292
1122.0056954
1703.85095
Эпитрохоида (n = 12, ε = 0.0625) переменной толщины: диаметр 6.3 см, толщина h0 = 0.318, σ = 0.25; α1 = 0.1, β1 = 0.1; M = 20, N = 41. Жирным шрифтом
выделены знаки, совпавшие с расчетом на сетке 30×41.
278.76546
642.114048
287.07494
643.929967
448.15796
1012.16454
133
Глава 4. Бигармоническая проблема
1014.09035
1711.460192
1118.8802149
1715.8002855
1123.1979990
1743.5563
Собственная форма фиг. 4.1.
Фиг. 4.1
Остальные собственные формы качественно похожи. Сравнение с результатами [14] показывает, что они также похожи на формы с другими условиями
закрепления границы пластины.
4.6.4. Сравнение с результатами работы
"Круги в песке: методы для воспроизведения фигур Хладни"
Таблица. Результаты для круглых пластин согласно Кирхгофу
v
0
1
2
3
n=0
n=1
1.6131
6.9559
15.9031
3.7032
10.8383
21.25?
n=2
1.0000
6.4033
15.3052
n=3
2.3124
9.6445
20.3249
n=4
4.0485
13.3927
где n – число узловых диаметров, ν – число узловых кругов.
Результаты сравнения таблицы с результатами автора:
1.00000000000000
2.39129260188748
1.00000000690236
2.39129260455010
1.59276733305282
3.71040792642247
––––––––––––––––––––––––
Circles in the sand: methods for reproducing Chladni’s figures.
Pitch of round plates according to Kirchhoff.
134
n=5
6.1982
17.6304
Глава 4. Бигармоническая проблема
3.71040792906338
6.49772364184144
6.57297549356766
9.34245234873495
10.8770153912733
12.5554639289988
15.4415905776266
16.2075492763326
18.2917264168141
20.6224696357118
4.25306482247617
6.49772364323961
6.94959020796884
9.88264574577113
10.8770153932567
13.8214197757863
15.4415905780936
16.2075492772548
20.2952657849996
20.6224696360315
4.25306482516895
6.57297549215343
9.34245234804938
9.88264574635396
12.5554639284132
13.8214197760883
15.9300497273309
18.2917264165998
20.2952657854297
21.6484169060863
Как видно из приведенных результатов, отношения частот совпадают с 1–
2 знаками после запятой.
4.6.5. Сравнение с результатами работы [7].
В табл. 2.5[7] и 2.6[7] приведены безразмерные значения λ2 = ωa2(ρ/D)1/2,
где ω – частота колебания, a – радиус круга, ρ – масса единицы площади пластины, D = Eh3/12/(1-ν2) – цилиндрическая жесткость (E – модуль Юнга, ν –
коэффициент Пуассона). Результаты расчетов должны совпадать с приведенными в этих таблицах данными с точностью до безразмерного множителя.
Принимая значения 5.253 (табл. 2.5[7]) и 5.513 (табл. 2.6[7]) за точные, получаем в результате расчетов на сетке 20 × 41 = 820.
Табл. 2.5[7]. Значения 2 a 2 p / D для круглой пластины
со свободным краем, коэффициент Пуассона = 0,33
s
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
–
9.084
38.55
87.80
157.0
245.9
354.6
483.1
631.0
798.6
986.0
1
–
20.52
59.86
119.0
198.2
296.9
415.3
651.8
711.3
888.6
1086
λ2 в зависимости от n
2
3
4
5.253
12.23
*21.6
35.25
52.91
*73.1
83.9
111.3
142.8
154.0
192.1
232.3
242.7
290.7
340.4
350.8
408.4
467.9
479.2
546.2
615.0
627.0
703.3
781.8
794.7
880.3
968.5
981.6
1076
1175
1188
1292
1401
135
5
33.1
*95.8
175.0
274.6
392.4
529.5
686.4
864.4
1061
1277
1513
6
46.2
*121.0
210.3
319.7
447.3
593.9
760.1
952.3
1158.7
1384
1631
Глава 4. Бигармоническая проблема
*Значения, верные в пределах 2 % (см. 2.20 в списке литературы цитируемого отчета)
5.25300000000000
12.2234457145118
20.4787856007138
33.0066285792139
35.1819579211334
46.7305422775387
59.7583443348978
62.6346154295291
80.6975152336160
84.2283965657074
5.25300002193884
12.2234457315495
21.4912658398257
33.0066285911297
38.4425185282400
52.8326046977284
59.7583443413796
73.2557632678084
80.6975152363994
9.05375231514319
20.4787855881113
21.4912658464321
35.1819579171347
46.7305422735518
52.8326047003752
62.6346154276106
73.2557632689215
84.2283965643563
Табл. 2.6[7]. Значения 2 a 2 p / D для круглой пластины со
свободным краем, коэффициент Пуассона, = 0,25
s
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
–
8.892
38.34
87.65
156.73
245.52
354.08
482.37
630.41
798.23
5.51300000000000
12.7492269242642
20.4169965201104
34.1727794983379
35.3011631728132
48.2639909328545
59.7538502261771
λ2 в зависимости от n
1
2
–
5.513
20.41
35.28
59.74
84.38
118.88
153.29
196.67
241.99
296.46
350.48
414.86
478.73
553.00
626.75
710.92
794.51
888.58
982.01
5.51300004671415
12.7492269293874
22.3205298280694
34.1727795054332
38.3499809104209
53.1729139899471
59.7538502350771
136
3
12.75
53.16
112. 36
191.02
289.51
408.16
545.83
703.63
881.20
1078.5
8.89330760984207
20.4169965125856
22.3205298392738
35.3011631704333
48.2639909290734
53.1729139914736
64.5636837621202
Глава 4. Бигармоническая проблема
64.5636837662562
83.0489818605929
84.3739854705684
73.8433812569470
83.0489818652054
73.8433812586368
84.3739854682652
4.6.6. Сравнение с результатами работы [8].
Данные расчетов этой работы приведены в табл. 1[8]–7[8]. Ниже приводится сравнение с результатами, полученными по описанной выше методике
для круглой пластинки постоянной и переменной толщины.
Таблица 1[8]. Результаты для пластины постоянной толщины (ν = 0.3)
со свободным краем
F
F
F
F
Present
Exact
[27]*
[5]**
5.3583
5.3583
5.513
5.253
9.0031
9.0031
8.892
9.084
12.439
12.439
12.75
12.23
20.475
20.475
20.41
20.52
* ν = 0.25
** 0.33.
M = 30 N = 41, Коэффициент Пуассона ν = 0.3
5.35821033099024 5.35821050604358 9.00313639025165
12.4389878097456 12.4389879091879 20.4745414427208
20.4745415969835 21.8351625266926 21.8351626051079
33.4949314843156 33.4949315460849 35.2593124700112
Коэффициент Пуассона ν = 0.33
5.26191979848889 5.26192010586215 9.06889749411773
12.2438907848989 12.2438908941195 20.5130769693259
20.5130771676494 21.5272151458138 21.5272152697727
33.0618418265923 33.0618418668024 35.2417793317563
Коэффициент Пуассона ν = 0.25
5.51105186396318 5.51105210695181 8.88989471034279
12.7443333086226 12.7443334381724 20.4091891336574
20.4091891964617 22.3119598126259 22.3119598372450
34.1596580629660 34.1596582116240 35.2887640958267
––––––––––––––––––––––––
Results for uniform thickness (ν = 0.3).
137
Глава 4. Бигармоническая проблема
Таблица 2[8]. Первые пять собственных частот α1 = 0 . 1 , β1= 0
F
5.375
9.021
12.49
20.52
21.94
Коэффициент Пуассона ν = 0.3; α1 = 0.1, β1 = 0.0
5.35904498410518 5.35904953375535 9.00407486376741
12.4200221798616 12.4200228749320 20.4449698441097
20.4598354597854 21.7875004345318 21.7875004816792
33.4102572455602 33.4102575309901 35.2007110280961
Таблица 3[8]. Первые пять собственных частот α1 = 0 , β1 = 0.1
F
5.429
9.096
12.73
20.75
22.47
Коэффициент Пуассона ν = 0.3; α1 = 0.0, β1 = 0.1
5.42889963209096 5.43138351210372 9.09492086539602
12.7359490973689 12.7360356800276 20.7388651685036
20.7752960097401 22.4658528132978 22.4658535550569
34.5648851555082 34.5648854137330 35.8796636077262
Таблица 4[8]. Первые пять собственных частот α1 = 0, β1 = 0.1
F
5.444
9.114
12.78
20.82
22.57
Коэффициент Пуассона ν = 0.3; α1 = 0.1 β1 = 0.1
5.42858490111721 5.43176446369384 9.09572511640332
12.7175646503886 12.7176461829392 20.7110433338299
20.7606675467376 22.4212440155523 22.4212441904947
34.4865575699206 34.4865581190285 35.8258410445658
Таблица 5[8]. Первые пять собственных частот α2 = 0.1, β2 = 0
F
5.621
5.620
9.376
13.27
21.54
Коэффициент Пуассона ν = 0.3; α2 = 0.1, β2 = 0.0
5.62019561725068 5.62019577541118 9.37283216686625
13.2687898761595 13.2687899999075 21.5128829399769
21.5128830097989 23.4638938486293 23.4638939675125
36.1447158082075 36.1447158602994 37.2616578755316
Таблица 6[8]. Первые пять собственных частот α2 = 0, β2 = 0.1
F
5.510
9.179
13.04
––––––––––––––––––––––––
First five frequencies for.
138
21. 06
23.57
Глава 4. Бигармоническая проблема
Коэффициент Пуассона ν = 0.3; α2 = 0.0, β2 = 0.1
5.51009739899146 5.51009769494616 9.17675716244429
13.0389589685491 13.0389591778323 21.0384780393279
21.0384781287549 23.1104037017769 23.1104038919022
35.6619850737445 35.6619851664199 36.5241569978989
Таблица 7[8]. Первые пять собственных частот α2 = 0.1, β2 = 0.1
F
5.783
9.564
13.88
22.13
25.31
Коэффициент Пуассона ν = 0.3; α2 = 0.1, β2 = 0.1
5.78237094152123 5.78237155338917 9.55701485174215
13.8811739486531 13.8811739914088 22.0780817754477
22.0780818535063 24.7518409042676 24.7518409915627
38.3238851484576 38.3238851750690 38.5227913752173
Результаты расчетов в основном совпали с приведенными в табл. 1[8]–7[8]
цитированной выше работы. Однако результаты таблиц все равно нельзя считать верными. Дело в том, что часть собственных частот круглой пластины
постоянной толщины со свободным краем – кратные (см. табл. 1[8]–7[8]). При
возмущении толщины они распадаются на две близкие частоты. В табл. 1[8]–
7[8] приведена только одна частота из пары (кроме первой пары табл. 5[8], последняя строка), что является ошибкой. Это разные частоты, хотя и близкие.
4.6.7. Сравнение с результатами работы [4]
Сравнение проводилось с табл. 6[4] (n = 1,a/b = 1). Расчеты велись по методике, описанной в п. 4.1.
Таблица 6[4]. Параметры частоты, 2 b2 h / D , для свободно
опёртых супер-эллиптичных пластин постоянной толщины
n a/
b
12
22
32
ν = .1 ν =.2 ν = .3 ν = 0.1 ν = 0.2 ν = 0.3 v = 0.1 ν = 0.2 ν = 0.3
1 1.0 4.619 4.782 4.935 13.720 13.856 13.898 25.375 25.498 25.618
2
6
1
8
4
5
7
8
8
––––––––––––––––––––––––
2
2
Frequency parameters, b h / D , for simply supported super elliptical plates
with constant thickness.
139
Глава 4. Бигармоническая проблема
POISSON'S RATIO 0.1
GRID:M = 13 N = 27
Квадртные корни из первых 8 собственных значений
THE FIRST 8 EIGENVALUES
0.46192341344E + 01 0.13638351202E + 02 0.13638351202E + 02
0.29484982369E + 02 0.25370665304E + 02 0.25370665304E + 02
0.39723589528E + 02 0.39723589528E + 02
POISSON'S RATIO 0.2
GRID:M = 13 N = 27
Квадртные корни из первых 8 собственных значений
THE FIRST 8 EIGENVALUES
0.47825798840E + 01 0.13770540281E + 02 0.13770540281E + 02
0.29603706066E + 02 0.25493516817E + 02 0.25493516817E + 02
0.39841631798E + 02 0.39841631798E + 02
POISSON'S RATIO 0.3
GRID:M = 13 N = 27
Квадратные корни из первых 8 собственных значений
THE FIRST 8 EIGENVALUES
0.49351490454E + 01 0.13898165073E + 02 0.13898165073E + 02
0.29720004735E + 02 0.25613296726E + 02 0.25613296726E + 02
0.39957314118E + 02 0.39957314118E + 02
Результаты совпали с точностью до замечания, сформулированного в конце
предыдущего пункта.
4.6.8. Сравнение с результатами работы [15]
В книге [15, с. 46] приведены две таблицы, которые содержат результаты
расчетов частот свободных колебаний для круглой пластинки постоянной толщины со свободным краем (k4 = ρha4ω2/D), ниже приведены расчеты однократных значений k при ν = 0.333 (табл. 2.7, второй столбец): n = 0: 3,014; 6,209;
9,370; 12,53; 15,68; 18,83; 21,98; 25,12; 28,26; 31,40. В результате расчетов по
описанной выше методике на сетке 20×41 получено:
3.01291163694831; 6.20666673566053; 9.37226290820142;
2.5267040301146; 15.6762237399511; 18.8229688902190;
21.9653378325853; 25.0951180023060; 28.2123896192012;
140
Глава 4. Бигармоническая проблема
31.3151943454288.
4.6.9. Выводы.
В результате проведенных численных экспериментов показано, что построенный алгоритм обладает высокой эффективностью. Так, например, для получения двух первых частот свободного колебания круглой пластины постоянной толщины с двумя знаками после запятой достаточно сетки из 21 узла. Проведены сравнения с результатами других авторов. Показано, что в их расчетах
есть неточности. Из двух близких частот приводится только одна. Видимо, у
этих авторов эти частоты определяются как кратные.
Литература
1. Гликман Б. Т. Свободные колебания круглой пластинки со смешанными
граничными условиями // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. № 1. С. 135–140.
2. Казанджан Э. П. Об одном численном методе конформного отображения
односвязных областей. М., 1979. (Препр. ИПМ; 82).
3. Акуленко Л. Д., Нестеров С. В. Собственные колебания защемленной по
краю эллиптической пластины // Изв. РАН. МТТ. 2001. № 1. С. 174–180.
4. Seyit Ceribasi, Gulay Altay. Free vibration of super elliptical plates with constant and variable thickness by Ritz method // Journal of Sound and Vibration
319 (2009) P. 668–680.
5. Дж. В. Стретт (лорд Релей). Теория звука. Т.1. М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1955. 503 с.
6. Sundararajan C. An approximate solution for the fundamental frequen
cy
of Plates // Trans. of the ASME. Journal of applied mechanics, 1978, 45, 12.
7. Leissa A. W. Vibration of Plates-NASA SP-160, US Government Printing Office, Washington, DC, 1969.
8. Singh B., Chakraverty S. Use of characteristic orthogonal polynomials in two
dimensions for transverse vibration of elliptic and circular plates with variable
thickness (Использование характеристических двумерных ортогональных
многочленов для исследования поперечной вибрации эллиптических и круговых пластин переменной толщины) // Journal of Sound and Vibration
(1994) 173 (10.3). С. 289 – 299.
9. By A. B. Wood, D.Sc., F. Inst. P. An experimental determination of the frequencies of free circular plates // Proc. Phys. Soc. 47, 794 (1935).
10. Waller, Mary D., Inst P. Vibration of free circular Plates. Part I: Normal Modes
// Proc. Phys. Soc. 50, (1937), pp. 70–76; Part II: Compounded
Normal
Modes, pp. 77 82; Part 3: A Study of Chladni’s original figures. P. 83–86.
141
Глава 4. Бигармоническая проблема
11. Waller, Mary D. Vibration of free Elliptical Plates // Proc. Phys. Soc. 63, (1950).
P. 451–456.
12. Огибалов П. М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок. M.: Изд-во
Моск. ун-та, 1958. 389 с.
13. Бабаков И. М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968. 559с.
14. Analytical investigation of the acoustic radiation from linearly-varying thin circular plates by walter wanyama, b.s.a.e., m.s.m.e. a dissertation
in mechanical engineering. Submitted to the Graduate Faculty of Texas Tech University in
Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of doctor of philosophy
Approved. August, 2000.
15. Готкевич В. С. Собственные колебания пластинок и оболочек. Справочное
пособие. Киев: Наукова Думка, 1964. 288 с.
16. Алгазин С. Д. Численные алгоритмы классической матфизики. II. Спектральные задачи для бигармонического уравнения . М., 2001. 27 с. (Препр.
ИПМех; № 678).
142
ГЛАВА 5
ФЛАТТЕР ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
В этой главе рассматривается состояние проблемы исследования задач панельного флаттера. Изложение ведется с основополагающей работы
А. А. Ильюшина [1], на основе которой стала возможной достаточно простая
постановка задачи о флаттере пластин и пологих оболочек [2]. Суть подхода
А. А. Ильюшина, И. А. Кийко, которая излагается в этой работе, состоит в том,
что сложная задача о взаимодействии сверхзвукового потока газа и упругой
оболочки сводится к несамосопряженной задаче на собственные значения,
имеющей гладкие решения. Описывается численный алгоритм без насыщения,
т. е. алгоритм, использующий эту гладкость (в отличие от классических алгоритмов: разностных и метода конечных элементов). Это позволяет решать задачи панельного флаттера на ПЭВМ средней производительности типа
Pentium – 100.
5.1. О постановке задачи панельного флаттера с использованием
теории плоских сечений А. А. Ильюшина.
Панельным флаттером называется явление весьма интересное и существенное для техники больших скоростей и состоящее в том, что обшивка и другие
тонкостенные элементы конструкций типа пластин и оболочек, обтекаемые
сверхзвуковым потоком газа, при определенных критических скоростях приходят в колебательное движение с интенсивно нарастающими амплитудами,
которое может привести конструкцию к разрушению.
Теоретическое исследование панельного флаттера в корректной, в физикоматематическом смысле, постановке стало возможным после того, как в 1947
г. был установлен закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей [1].
Анализируя движения тонких твердых тел с большими сверхзвуковыми
скоростями в различных средах, А. А. Ильюшин обнаружил следующее общее
свойство, названное им законом плоских сечений: "Если вектор скорости какой-нибудь точки тела правильной аэродинамической формы есть V и если поперечные скорости других его точек порядка не более V, то при установившемся и неустановившемся движениях тело вызывает в окружающей среде
только поперечные возмущения, причем давление в любой точке поверхности
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
тела, рассчитанное согласно этому закону, может отличаться от истинного на
величину порядка не более
1 e2 1 2
1
( 2 )
2
2
2M
M
по сравнению с единицей". Здесь M 2
V
V2
1 , где M – число Маха, e
2
c0
c0
– параметр Ильюшина, выражающийся через скорость движения тела V,
наклон нормали к площадке и скорость звука в невозмущенной среде c0, т. е.
скорость звука в газе на бесконечности; этот параметр имеет фундаментальное
значение, поскольку в линеаризованной и нелинеаризованной теориях при
наличии вихрей и ударных волн давление на поверхности тела определяется
только этим параметром и формой тела.
Следовательно, если перед телом двумя соседними параллельными плоскостями выделить слой физических частиц среды, перпендикулярный вектору
скорости V тела, то при расчете давления с указанной степенью точности
можно считать, что частицы среды будут совершать движения, параллельные
плоскостям, так что плоскости для них будут как бы жесткими непроницаемыми стенками.
Закон плоских сечений позволил дать новую постановку задач сверхзвуковой
аэродинамики (и метод аэродинамического моделирования); вместе с тем он сделал возможным свести задачу расчета при установившемся и неустановившемся
движениях к простейшей задаче о движении поршня в трубе постоянного сечения,
причем поршень движется по заданному закону v = v(t), и это та скорость, с
которой в неподвижном столбике разрезающая его поверхность сжимает газ.
Она для любой точки поверхности равна проекции вектора абсолютной скорости элемента поверхности на нормаль к этому элементу.
Таким образом, стало возможным в корректной форме и удобном для практических приложений виде теоретически исследовать важные задачи, относящиеся к движению тонкостенных конструкций в газе, определять давления, а
следовательно, и все аэродинамические силы, действующие на
несущую поверхность при больших сверхзвуковых скоростях, наличий ударных волн и переменной энтропии газа. Особенно прост расчет в линеаризованной теории, в этом случае, например, избыточное давление p = p-p0 на любой
площадке поверхности равно давлению в неподвижном газе p0 , умноженному
144
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
на показатель политропы k, на отношение нормальной составляющей вектора
скорости этой площадки v(t) к скорости звука в невозмущенном газе c0
v(t )
p kp0
c0
Выписанное выражение – это линейное приближение для давления на
поршне, подсчитанного соответственно по теории простых или ударных волн
k
k 1
2k
p p0 1
, k
2 c0
k 1
k (k 1) 2 k (k 1) 2 2 1/ 2
p p0 1
1
4
c02 c0
16 c02
Первая формула справедлива, когда поршень постепенно ускоряется до
скорости v, вторая – когда поршень мгновенно получает постоянную скорость v и далее движется с этой скоростью; в области скоростей v/c0 2 обе
формулы дают близкие значения. Теория флаттера строится далее на равенстве
w
w
v
V
,
x
t
которое является следствием условия непроницаемости; w – нормальный
прогиб оболочки, V – скорость потока (ось Ox параллельна вектору скорости).
Формула для избыточного давления принимает вид
p
p0 w w
V
c0 x t
5.2. Флаттер пластины.
В этой главе разработанный выше аппарат дискретизации и исследования
задач на собственные значения применяется к задаче о флаттере пластины произвольной формы в плане. Математически проблема сводится к несамосопряженной задаче на собственные значения для бигармонического уравнения с
младшими членами. Для решения этой проблемы разработан численно-аналитический алгоритм без насыщения, который позволяет решить поставленную
задачу за время от нескольких минут до нескольких десятков минут на ПЭВМ
средней производительности типа Pentium-100. Для надежности расчеты проводятся на двух сетках: крупной 9×15 (9 окружностей по 15 точек на каждой
145
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
окружности) и мелкой 15×31 (15 окружностей по 31 точке на каждой окружности). Совпадение результатов вычислений критической скорости флаттера
на этих сетках является критерием правильности расчета. Кроме того, отдельно рассмотрена задача флаттера прямоугольной пластины, дискретизация
которой имеет особенности по сравнению с общим случаем (пластина с гладкой границей).
Рассматривались два типа граничных условий: защемление и свободное
опирание. Производились исследования критической скорости флаттера от
толщины (при разных типах краевых условий и углах направления вектора
скорости потока). Обнаружено, что эта зависимость имеет вид vкр. = a + bh3,
где a и b – константы, зависящие от параметров задачи. Это свойство имеет
большое значение. Достаточно вычислить vкр. для двух толщин, определить a
и b и для остальных толщин пользоваться простой формулой, приведенной
выше.
Отметим также, что дискретизация уравнения для пластины произвольной
формы в плане, требует решения плохо обусловленной задачи (при удовлетворении второму краевому условию) и поэтому должна проводится особенно аккуратно.
5.2.1. Флаттер пластины произвольной формы в плане.
Ниже используется новая постановка этой задачи А. А. Ильюшина,
И. А. Кийко [2]:
D 2 (v , grad ) , ( z ), z K ,
5.1
K 0,
(5.2)
0,
n K
(5.3)
2
2
(
) 0.
2
2
n
s
n K
(5.4)
Здесь K – область в комплексной z – плоскости с достаточно гладкой границей
K, n – единичный вектор внешней нормали к K, s означает дифференцирование по длине дуги (длина отсчитывается против часовой стрелки); – кривизна K; – постоянная (коэффициент Пуассона); D = Eh3/12(1– 2) – цилиндрическая жесткость пластины (h – толщина пластины, E – модуль Юнга); =
kp0 /c0 (k – показатель политропы, p0, c0 – давление и скорость звука в невозму-
146
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
щенном потоке); h2 – ( – комплексная частота, – плотность материала пластины, h и определены выше); v – вектор скорости потока воздуха. Имеется в виду, что уравнение состояния газа принимается в виде:
k
p p0 , k 1,
0
тогда скорость звука в воздухе определяется соотношением c2 = dp/d.
Краевые условия (5.2), (5.3) означают, что пластина защемлена по краю, а
краевые условия (5.2) и (5.4) означают, что пластина свободно оперта по краю.
В дальнейших рассуждениях вид второго краевого условия неважен, и мы будем обозначать его
(5.5)
L|K 0,
т. е. методика будет описана для произвольного L (при этом первое краевое
условие принимается в виде (5.2)).
Для удобства исследования перейдем к безразмерным переменным. Введем
характерные величины: d – характерный линейный размер, p0 – давление воздуха в невозмущенном потоке, c0 – скорость звука в невозмущенном потоке.
Введем безразмерные параметры (со штрихами): E = Ep0 , h = hd,
p0 /c02, c0 /d, v = vc0 , d, x = xd, y = yd, /d. Подставив в (5.1) –
(5.4), убеждаемся, что в безразмерной форме система сохраняет свой вид, если
параметр заменить на безразмерный параметр k. В дальнейшем изложении
штрихи будем опускать. Колебания пластины будут устойчивыми или нет в
зависимости от того, будет ли Re > 0 или Re < 0; если 1 = 1 + 1i – собственное значение, то выписанным неравенствам соответствует F(1,1) > 0
или F(1,1) < 0, где F(1,1) = 1k2 – h12. Пусть 1 – первое из собственных
чисел, удовлетворяющих условию F = 0; речь идет, следовательно, о нахождении нулей функции F(1(v),1(v)) при заданном направлении вектора скорости потока.
Итак, колебания пластины будут устойчивыми или нет в зависимости от
того, находятся ли собственные значения рассматриваемой спектральной задачи внутри параболы или нет.
y2
k2
x
h
(5.6)
Конкретные расчеты проводились для данных: p0 = 1.0333 кГ/см2, 0 =
= 1.2928 кг/м3, = 0.33, k = 1.4, E = 0.7106 кГ/см2, = 2.7·103 кг/м3. Безразмерная плотность = k0, поэтому параметр параболы k0/h. Для толщины
147
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
пластины 0.003 получаем 0.2234. Парабола устойчивости имеет вид: y2 =
= 0.2234x, т. е. исследуемая парабола прижата к действительной оси. С ростом
h коэффициент при x в параболе устойчивости уменьшается.
Впервые флаттер прямоугольной свободно опертой пластины рассмотрел
А. А. Мовчан [3] в 1955 г. В то время невозможно было решить задачу в точной
постановке, т. е. численно решить уравнение F(1(v),1(v)) = 0 и найти критическую скорость флаттера. А. А. Мовчан отслеживал, когда с ростом скорости
v у рассматриваемой спектральной задачи появлялось комплексное число. Какое еще приращение скорости нужно дать, чтобы это число вышло на параболу
устойчивости, он не рассматривал. Сравнение с расчетами А. А. Мовчана приведено ниже в п. 5.2. Здесь только отметим, что совпадение, на удивление, хорошее. Это, конечно, объясняется видом параболы устойчивости (5.6). Практические расчеты показывают, что с ростом v, у рассматриваемой спектральной задачи появляется единственная комплексная пара собственных значений
(она является минимальной по модулю), и именно она выходит на параболу
устойчивости. Таким образом, расчеты подтверждают, что для круглой пластины (и пластины, близкой к кругу) исследование устойчивости можно проводить по первому (минимальному по модулю) собственному значению.
Введем вместо декартовых координат (x,y) криволинейные координаты
(r,) по формулам x = U(r,), y = V(r,); Если выполнены условия Коши – Римана
U 1 V V
1 U
,
,
r r
r
r
то система координат (r,) ортогональна. Выберем теперь функции U(r,) и
V(r,) таким образом, чтобы функция
U(r,) + iV(r,), = rexp(i)
задавала конформное отображение круга || = r 1 на область K. Тогда в координатах (r,) уравнение (5.1) имеет вид:
1
D(| '() |2 ) k ((vxU r v yVr ) (v yU r Vr vx ) ) | '() |2 ,
r r
'()
'()
5.7
U r Re
, Vr Im
.
r
r
Граничные условия (5.2) – (5.4) принимают вид:
|r1 0,
(5.8)
148
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
0,
r r 1
(5.9)
''()
2
( 1) Re
0.
r
r 2
'() r r 1
5.10
Заметим, что в (5.10) учтено граничное условие (5.8), т. е. положено
2 s2 = 0.
Соотношения (5.7) – (5.10) суть искомая постановка задачи на собственные
значения.
5.2.2. Дискретизация.
Обозначим
f (r, ) k ((vxU r vyVr )
1
(v yU r Vr vx ) ) | '() |2
r r
и перейдем от дифференциального уравнения (5.7) к интегральному:
D | '() |2
2
K (, ) f ()d | '() |2
||1
K (, )w(e
0
i
)d .
0
Здесь K() – функция Грина оператора Лапласа в круге с краевым условием
(5.8), K 0 (, )
1
1 r2
, rei – ядро Пуассона,
2
2 1 r 2r cos( )
w(ei ) | '() |2 () | ei .
Пусть
R() | '() |2
K (, ) f () d ,
(5.11)
||1
2
S () | '() |2
K
0
(, ) w(ei ) d .
(5.12)
0
Получаем D = R() + S(). Обращая еще раз оператор Лапласа, имеем
()
1
1
K (, q)[ R(q) S (q)]dq
D |q|1
D
149
2
K
0
0
(, )(ei )d .
5.13
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
Последний интеграл обращается в нуль в силу граничного условия (5.8).
Далее мы должны определить в соотношении (5.13) неизвестную функцию
w(ei), исходя из граничного условия (5.9) или (5.10). Применим для функции
w(ei) тригонометрическую интерполяцию:
n
2 2n
w(ei ) Dn ( j ) w j n ( ; w) , Dn () 0.5 cos k ,
N j 0
k 1
где n(;w) – погрешность интерполяционной формулы. Для функций S(q)
и R(q) применим интерполяционную формулу (3.2.1). Тогда получим
| q| 1
K (, q) S (q)dq H l () Sl RM (; S ),
,l
где величины Hl () определены в (3.16),
RM (; S )
K (, q)M (q, S )dq,
| q |1
M (q, S ) – погрешность интерполяционной формулы (3.2.1),
2
S l z l
2 z l
N
i
K0 (l , )w(e )d
0
2
K 0 (l , ) Dn ( j )d w j
j 0 0
2n
2
Rn (l ; w), Rn (l ; w)
K
0
(l , )n (; w)d , zl | '( l ) |2 .
0
Обозначим H 0j ( l )
2
N
2
K
0
( l , ) Dn ( j ) d .
0
Для этого интеграла нетрудно написать явную формулу. Таким образом,
| q|1
2n
K (, q) S (q)dq H l () zl H 0j1 (l )w j1 H l () Rn (l ; w) RM (, S ),
,l
j1 0
,l
(5.14)
| q | 1
K (, q ) R(q)dq H l () Rl
,l
Rl zl
K (, q ) RM (q; R )dq,
| q| 1
5.15
K (l , ) f ()d .
|| 1
Применим для функции f() ту же интерполяционную формулу и подставим в соотношение (5.15)
| q | 1
K (, ) f ()d H j () f j
j
150
| q| 1
K (, ) RM ( ; f )d .
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
Отсюда
Ri zi H j (i ) f j zi
j
5.16
K (i ,) RM (; f )d .
||1
Здесь вместо 2 индексов ,l введен один i, т. е. точки сетки в круге нумеруются,
начиная с первой окружности против часовой стрелки; Hij = Hj(i) – матрица
задачи Дирихле для оператора Лапласа в круге. Подставим теперь (5.16) в
(5.15) и получим
| q|1
K (, q) R(q)dq H i () zi H ij f j
i
H i () zi
i
j
K (i , ) RM (; f )d
||1
K (, q) RM (q; R)dq.
5.17
| q| 1
Подставим теперь (5.17) и (5.14) в (5.13) и получим
()
2n
1
1
H i () zi H ij f j H i () zi H 0j1 (i ) w j1
D i
D i
j
j1 0
Rn , M (; f , R, S ), Rn , M (; f , R, S )
1
H i () zi K (i , ) RM (; f )d K (, q) RM (q, R)dq
D j
|| 1
| q| 1
1
H i () Rn (i ; w) RM (; S ) .
D i
5.18
В соотношении (5.18) мы должны так определить w = (w0, w1,…, w2n), чтобы
удовлетворить граничному условию (5.3) или (5.4). Обозначим L – дифференциальный оператор, стоящий в левой части граничного условия. Тогда, применяя этот оператор к (5.18), получим:
L( H ()) z H
i
i, j
i
2n
ij
f j L(H i ()) zi H 0j1 (i ) w j1
j1 0
i
LRn ,M (; f , R, S ) L().
Введем обозначения:
L( H i ()) ei j2 H i , j2 , j2 0,1,...., 2n, H i , j2 zi H ij f j R j2 ,
i, j
151
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
H
i
i , j2
zi H 0j1 (i ) B j2 , j1 , j2 LRn , M (; f , R, S ) ei j2 .
Таким образом, для определения вектора w = (w0, w1,…, w2n) имеем систему
линейных уравнений:
2n
B
j1 0
Откуда получаем w j1
j2 , j1
2n
C
j2 0
j1 , j2
w j1 R j2 j2 .
( R j2 j2 ), C B 1 .
Подставляя в (5.18), получим
2n
2n
1
1
() H i () zi H ij f j H i () zi H 0j1 (i ) C j1 , j2 ( R j2 j2 )
D i, j
D i
j1 0
j2 0
Rn , M (; f , R, S ).
(5.19)
Здесь
1
f j z j j j , j k (vxU r v yVr ) (v yU r Vr vx )
, j 1,..., M .
r
r
j
Пусть пробегает узлы интерполяции i, i = 1,2,…,M, тогда получаем
i
1
( Bij2 Bil Elj ) j ( Bil H lj Bil Elj* ) j Ri
D j
D j l
l
l
2n
2n
j1 0
j2 0
2n
2n
j1 0
j2 0
5.20
Elj H 0j1 (l ) C j1 , j2 H i , j2 zi Bij ,
i
Elj* H 0j1 (l ) C j1 , j2 H i , j2 zi H ij ,
i
2n
2n
1
Ri Rn ,M (i ; f , R, S ) Bil H 0j1 (l ) C j1 , j2 j2 .
D D l
j1 0
j2 0
Обозначим G = B2-BE, тогда (5.20) принимает вид
1
i Gij z j 1 j Gij j Ri , i 1, 2,..., M .
D j
D j
(5.21)
Обозначим D(r) и D() матрицы дифференцирования по r и , получающиеся
дифференцированием интерполяционной формулы (3.2.1), тогда
152
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
j a j D (jlr ) l (jr ) b j D (jl) l (j) , j 1, 2,..., M ,
l
l
k
a j k (vxU r v yVr ) | j , b j (v yU r vxVr ) | j ,
r
a и b будем обозначать соответствующие диагональные матрицы.
Тогда из (5.21) в матричной форме
1
1
GZ 1 (aD ( r ) bD ( ) ) G R , GZ 1 (a( r ) b( ) ).
D
D
D
5.22
1
GZ 1 (aD ( r ) bD ( ) ) .
D
Тогда, обращая в (5.2) матрицу A, получим
Обозначим A I
1
A G R* , R* A1 ( R ).
(5.23)
D
Отбрасывая в (5.23) погрешность дискретизации R*, получим приближенную задачу на собственные значения. Исследованию этой задачи посвящается
следующий пункт.
5.2.3. Численное исследование спектральной задачи.
В этом пункте исследуется спектральная задача (5.1) – (5.4) для круглой
пластинки единичного радиуса. Данные для расчета такие же, как в п. 5.2. Относительная толщина пластины принималась равной 0.003. Были рассчитаны
24 варианта. Для значения скорости от v = 0 до v = 0.4 и 5 собственных значений. Варианты этих расчетов приведены ниже:
V = 0.00
V = 0.01
0.178514E + 00 0.0000000E + 00 0.1795529E + 00 0.0000000E + 00
0.773161E + 00 0.0000000E + 00 0.7731649E + 00 0.0000000E + 00
0.773161E + 00 0.0000000E + 00 0.7737315E + 00 0.0000000E + 00
0.208068E + 01 0.0000000E + 00 0.2080810E + 01 0.0000000E + 00
0.208068E + 01 0.0000000E + 00 0.2080810E + 01 0.0000000E + 00
V = 0.05
V = 0.1
0.204827E + 00 0.0000000E + 00 0.2893258E + 00 0.0000000E + 00
0.772916E + 00 0.0000000E + 00 0.7671301E + 00 0.0000000E + 00
0.787438E + 00 0.0000000E + 00 0.8307226E + 00 0.0000000E + 00
0.208370E + 01 0.0000000E + 00 0.2091960E + 01 0.0000000E + 00
153
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
0.208374E + 01 0.0000000E + 00 0.2092567E + 01 0.0000000E + 00
V = 0.15
V = 0.16
0.467860E + 00 0.0000000E + 00 0.5367171E + 00 0.0000000E + 00
0.721530E + 00 0.0000000E + 00 0.6859869E + 00 0.0000000E + 00
0.904503E + 00 0.0000000E + 00 0.9231474E + 00 0.0000000E + 00
0.210292E + 01 0.0000000E + 00 0.2105080E + 01 0.0000000E + 00
0.210600E + 01 0.0000000E + 00 0.2109058E + 01 0.0000000E + 00
V = 0.161
V = 0.162
0.546201E + 00 0.0000000E + 00 0.5567974E + 00 0.0000000E + 00
0.679959E + 00 0.0000000E + 00 0.6728446E + 00 0.0000000E + 00
0.925086E + 00 0.0000000E + 00 0.9270390E + 00 0.0000000E + 00
0.210529E + 01 0.0000000E + 00 0.2105500E + 01 0.0000000E + 00
0.210936E + 01 0.0000000E + 00 0.2109678E + 01 0.0000000E + 00
V = 0.163
V = 0.164
0.569116E + 00 0.0000000E + 00 0.5847359E + 00 0.0000000E + 00
0.664029E + 00 0.0000000E + 00 0.6519364E + 00 0.0000000E + 00
0.929005E + 00 0.0000000E + 00 0.9309856E + 00 0.0000000E + 00
0.210570E + 01 0.0000000E + 00 0.2105914E + 01 0.0000000E + 00
0.210998E + 01 0.0000000E + 00 0.2110301E + 01 0.0000000E + 00
V = 0.1645
V = 0.1648
0.595469E + 00 0.0000000E + 00 0.6047802E + 00 0.0000000E + 00
0.642974E + 00 0.0000000E + 00 0.6347301E + 00 0.0000000E + 00
0.931980E + 00 0.0000000E + 00 0.9325796E + 00 0.0000000E + 00
0.210601E + 01 0.0000000E + 00 0.2106079E + 01 0.0000000E + 00
0.211045E + 01 0.0000000E + 00 0.2110550E + 01 0.0000000E + 00
V = 0.1649
V = 0.16495
0.609408E + 00 0.0000000E + 00 0.6126738E + 00 0.0000000E + 00
0.630457E + 00 0.0000000E + 00 0.6273703E + 00 0.0000000E + 00
0.932779E + 00 0.0000000E + 00 0.9328794E + 00 0.0000000E + 00
0.210609E + 01 0.0000000E + 00 0.2106110E + 01 0.0000000E + 00
0.211058E + 01 0.0000000E + 00 0.2110597E + 01 0.0000000E + 00
V = 0.16497
V = 0.16499
0.614464E + 00 0.0000000E + 00 0.6171668E + 00 0.0000000E + 00
0.625650E + 00 0.0000000E + 00 0.6230197E + 00 0.0000000E + 00
0.932919E + 00 0.0000000E + 00 0.9329595E + 00 0.0000000E + 00
0.210611E + 01 0.0000000E + 00 0.2106118E + 01 0.0000000E + 00
0.211060E + 01 0.0000000E + 00 0.2110610E + 01 0.0000000E + 00
V = 0.164995
V = 0.164997
0.618404E + 00 0.0000000E + 00 0.6193236E + 00 0.0000000E + 00
0.621800E + 00 0.0000000E + 00 0.6208878E + 00 0.0000000E + 00
0.932969E + 00 0.0000000E + 00 0.9329735E + 00 0.0000000E + 00
154
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
0.210611E + 01 0.0000000E + 00 0.2106119E + 01 0.0000000E + 00
0.211061E + 01 0.0000000E + 00 0.2110612E + 01 0.0000000E + 00
V = 0.164998
V = 0.164999
0.615611E + 00 0.0000000E + 00 0.6201093E + 00-0.1288604E-02
0.624539E + 00 0.0000000E + 00 0.9329775E + 00 0.0000000E + 00
0.932939E + 00 0.0000000E + 00 0.2106120E + 01 0.0000000E + 00
0.210611E + 01 0.0000000E + 00 0.2110613E + 01 0.0000000E + 00
0.211060E + 01 0.0000000E + 00 0.2743295E + 01 0.0000000E + 00
V = 0.165
V = 0.17
0.620111E + 00-0.1672301E-02 0.6291597E + 00-0.7610678E-01
0.932979E + 00 0.0000000E + 00 0.9431576E + 00 0.0000000E + 00
0.210612E + 01 0.0000000E + 00 0.2107125E + 01 0.0000000E + 00
0.211061E + 01 0.0000000E + 00 0.2112181E + 01 0.0000000E + 00
0.274329E + 01 0.0000000E + 00 0.2745945E + 01 0.0000000E + 00
V = 0.20
V = 0.2798
0.689641E + 00-0.2130506E + 00 0.9049170E + 00-0.4511531E + 00
0.101179E + 01 0.0000000E + 00 0.1269552E + 01 0.0000000E + 00
0.211207E + 01 0.0000000E + 00 0.2106709E + 01 0.0000000E + 00
0.212159E + 01 0.0000000E + 00 0.2136002E + 01 0.0000000E + 00
0.276452E + 01 0.0000000E + 00 0.2842563E + 01 0.0000000E + 00
V = 0.3
V = 0.4
0.972456E + 00-0.5110125E + 00 0.1364564E + 01-0.8722558E + 00
0.135808E + 01 0.0000000E + 00 0.2001214E + 01-0.3055128E + 00
0.209906E + 01 0.0000000E + 00 0.2059245E + 01 0.0000000E + 00
0.213166E + 01 0.0000000E + 00 0.3072732E + 01 0.0000000E + 00
0.287062E + 01 0.0000000E + 00 0.4516915E + 01 0.0000000E + 00
Первый расчет проводился для значения скорости v = 0. Как и должно
быть, первое собственное значение – простое, а два других – кратные (это доказано в п. 5.2.2). С ростом скорости кратные собственные значения расщепляются, но остаются действительными. Затем первое и второе собственные
значения начинают сближаться (видимо, наступит момент, когда они сольются
полностью и собственное значение станет кратным, но такие исследования не
проводились). При v = 0.164999 появляется комплексная пара с малой мнимой
частью (в таблице приведено только собственное значение с отрицательной
мнимой частью). Действительная часть этой комплексной пары близка к действительным собственным значениям при предыдущем значении скорости v =
0.164998. При дальнейшем росте скорости модуль комплексной пары растет
(заметим, что эта комплексная пара остается единственной) и при v = 0.2798
она выходит на параболу устойчивости. Это – критическая скорость флаттера.
155
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
При v = 0.4 появляется вторая комплексная пара, но она лежит внутри параболы устойчивости.
Итак, проясняется механизм флаттерной неустойчивости. Для круглой пластины исследование условий возникновения флаттерной неустойчивости проводилось по первому собственному значению. Условие возникновения флаттера по появлению у рассматриваемой спектральной задачи комплексной пары
дает заниженное значение. Проясняется также вид возмущения спектра рассматриваемой спектральной задачи с ростом скорости потока.
5.2.4. Результаты численных расчетов.
В этом пункте рассматриваются результаты вычислений критической скорости флаттера для круглой пластинки и пластинки, получающейся из круга
конформным отображением z = + n), || 1. Получающаяся при этом
кривая называется эпитрохоидой. При = 1/n эта кривая имеет n угловых точек, поэтому все расчеты проводились при < 1/n. Конкретно рассматривались
две области: n = 4, = 0.1, 0.2, 0.24; n = 12, = 0.0625 и две краевые задачи:
защемление и свободное опирание. Вид первой из этих областей представлен
на фиг. 5.1.
Вторая область имеет 12 лепестков. Ее вид не приводится. Вначале рассматривалась круглая пластинка с защемленным краем. Расчеты проводились
на сетках 9×15 и 15×31 (первая цифра означает число окружностей сетки,
а вторая – число точек сетки на каждой окружности). На обеих сетках получено одно значение критической скорости v = 0.2798. Второй расчет проводился для четырех лепестковой эпитрохоиды при = 0.1. При = 0 ( – угол
вектора скорости потока с осью ox) получено тоже значение критической скорости. Первым на параболу устойчивости выходит минимальное по модулю
собственное значение = (0.935906, 0.457245). На фиг. 5.2 приведены графики
Re(x,0) и Re(0,y).
156
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
Фиг. 5.1. Вид пластины в
плане: эпитрохоида, n = 4,
= 0.1
Фиг. 5.2. График Re φ(x,0) и Re φ(0,y), v =
0,2798 для эпитрохоиды n = 4, = 0.1
Кривая, не имеющая пересечений с осью ox, – это Re(0,y). Другая кривая –
это Re(x,0). Таким образом, Re(x,0) пересекает ось ox, затем плавно стремится к нулю. Для /4 получено значение критической скорости v =
= 0.2789. Таким образом, критическая скорость флаттера для данной области
слабо меняется в зависимости от направления вектора скорости потока. Второй расчет проводился для той же области при = 0.2. На сетке 9×15 получено
значение критической скорости флаттера v = 0.2771. На мелкой сетке получено
близкое значение v = 0.2796. Графики Re собственной функции приведены на
фиг. 5.3. Первым на параболу устойчивости выходит минимальное по модулю
собственное значение = (0.996053, 0.471697). Итак, первое собственное значение и критическая скорость флаттера по сравнению с предыдущим расчетом
изменились незначительно. Вид собственной функции (сравните фиг. 5.2 и
фиг. 5.3) изменился, но осцилляции Re(x,0) у правой границы области можно
отнести, видимо, к неточности счета (заметим, что граница этой области имеет
в четырех точках большую кривизну).
Для /4 на обеих сетках получено значение критической скорости v =
= 0.2826. Первым на параболу устойчивости выходит минимальное по модулю
собственное значение = (0.940322, 0.458382). Последний расчет для этой области с краевым условием защемления проводился при = 0.24. Получено для
= 0 на сетке 9×15 v = 0.2724 и на сетке 15×31 v = 0.2751. Устойчивость определялась по первому собственному значению = (0.987082, 0.469646). Для =
/4 на сетке 9×15 получено v = 0.2821, а на сетке 15×31 получено близкое значение v = 0.2809. Устойчивость определялась по первому собственному значению = (0.940836, 0.458527).
157
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
Фиг. 5.3. График Re собственной функции
для θ = π/4, v = 0,2796, n = 4, = 0,.2
Далее рассматривалась вторая краевая задача при = 0.2, n = 4. Эта задача
гораздо труднее для расчета, чем первая. Поэтому расчеты проводились на сетках 13×25 и 15×31. При = 0 на первой сетке получено v = 0.2653, а на второй
v = 0.2581. Интересно отметить, что для этой задачи первое собственное значение действительно 1 = 0.63323, а устойчивость определяется по второму
собственному значению 2 = (0.680571, 0.390052). График Re собственной
функции приведен на фиг. 5.4.
Фиг 5.4. График Re φ (вторая краевая задача),
v = 0,2581, n = 4, = 0.2
Таким образом, для пластины, отличной от круга, не обязательно устойчивость определяется по первому собственному значению. Однако для /4
устойчивость определялась по первому собственному значению. На сетке
13×25 получено v = 0.2611, а на сетке 15×31 получено v = 0.2613, 1 =
= (0.610680, 0.369400) – собственное значение, по которому определялась
устойчивость. Интересно отметить, что график Re собственной функции (см.
фиг. 5.4) имеет качественное отличие: Re(0,y) имеет нули. Это вызвано тем,
что в данном случае устойчивость определяется по второму собственному значению.
Далее рассматривалась область ограниченная эпитрохоидой с 12 лепестками (n = 12, = 0.0625) при двух краевых условиях: защемление и свободное
опирание. Вектор скорости потока воздуха составлял с осью ox углы = 0,
158
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
. В силу симметрии значения критической скорости для двух последних
значений углов должны совпадать. Одной из целей расчетов являлась проверка
этого факта. Вначале рассматривалась первая краевая задача. Для = 0 на
сетке 9×15 получено значение критической скорости флаттера v = 0.2805, а на
сетке 15×31 v = 0.2848. Устойчивость определялась по первому собственному
значению = (0.940611, 0.458456). Графики Re собственной функции приведены на фиг. 5.5.
Фиг. 5.5. График Re (первая краевая задача),
v = 0,2848, n = 12, = 0,0625
Второй расчет проводился для /12. На сетке 9×15 получено значение
критической скорости v = 0.2803, а на сетке 15×31 получено значение v =
= 0.2849. Устойчивость определялась по первому собственному значению =
= (0.940768, 0.458494). При /4 на сетке 9×15 получено v = 0.2796, а на
сетке 15×31 получено v = 0.2851. Таким образом, результаты двух последних
расчета практически совпали, что говорит о надежности методики расчета.
Далее для этой области рассматривалась вторая краевая задача. При = 0
на сетке 9×15 получено v = 0.2152 а на сетке 15×31 получено v = 0.2291.
Устойчивость определялась по первому собственному значению =
= (0.618777, 0.371835). График Re собственной функции приведен на фиг. 5.6.
159
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
Фиг. 5.6. График Re φ (вторая краевая задача), ν = 0.2291, n = 12, = 0.0625
Следующий расчет для этой области и краевом условии свободного опирания проводился при /12. На сетке 13×25 получено v = 0.2351, а на сетке
15×31 получено v = 0.2305. Устойчивость определялась по первому собственному значению = (0.634463, 0.373240). При /4 сетке 15×31 получено
значение v = 0.2385. Как видно, два последних расчета совпадают с хорошей
точностью.
Описанные в этом пункте расчеты носят методический характер. Они показывают возможности методики расчета критической скорости флаттера. В следующем пункте будет рассмотрена конкретная исследовательская задача.
5.2.5. Исследование зависимости критической скорости флаттера от
толщины пластины.
В этом пункте описаны вычислительные эксперименты по исследованию
зависимости критической скорости флаттера от толщины пластины. Принята
следующая схема исследования: для круглой пластины и пластины, ограниченной эпитрохоидой ( = 0.1, n = 4), варьировалась толщина пластины от
h= 0.001 до h = 0.01 с шагом 0.001, затем по полученным значениям критической скорости подбиралась аналитическая зависимость v = v(h). Расчеты проводились для тех же параметров задачи, что и в предыдущем пункте.
Для круглой пластины, защемленной по контуру, получены следующие
значения критической скорости: 0.1404 (10.3), 0.1544 (10.2), 0.2791 (10.1),
0.4801 (10.1), 0.8361 (10.1), 1.3806 (10.1), 2.1482 (10.1), 3.1745 (10.1), 4.4955
(10.1), 6.1476 (10.1). Здесь в скобках указан номер собственного значения, по
которому определялась устойчивость. Интересно отметить факт, что для тонкой пластинки устойчивость определяется не по первому собственному значению (сравни с расчетами из предыдущего пункта). Оказалось, что зависимость
критической скорости флаттера от толщины имеет вид: v = a + bh3. Значение
160
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
констант a и b приведены на фиг. 5.7. Из рассмотрения этого графика видно,
что выписанная аналитическая зависимость аппроксимирует экспериментальные данные очень точно.
Фиг. 5.7. Исследование зависимости критической скорости флаттера от
толщины пластины (круглая пластина, защемленная по контуру);
v = а + bh3, а = 0,091048718; b = 6124609,2
Второй расчет проводился для круглой пластины, свободно опертой по
контуру. Получены следующие значения критической скорости флаттера:
0.1283 (10.3), 0.1306 (10.3), 0.2241 (10.1), 0.3236 (10.1), 0.5237 (10.1), 0.8386
(10.1), 1.2862 (10.1), 1.8870 (10.1), 2.6618 (10.1), 3.6317 (10.1). Зависимость v =
v(h) имеет тот же вид, что и в первом расчете, но с другими константами a и b
(фиг. 5.8).
Фиг. 5.8. Исследование зависимости критической скорости флаттера от
толщины пластины (круглая пластина, свободно опертая по контуру);
v = а + bh3, а = 0,10004173; b = 6028457
161
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
Последний расчет проводился для пластинки с контуром в виде эпитрохоиды ( = 0.1, n = 4) с краевым условием защемления (вектор скорости потока
воздуха был направлен по оси ox). Получены следующие значения критической скорости флаттера: 0.08913 (10.3), 0.1531 (10.2), 0.2797 (10.1), 0.4878
(10.1), 0.8487 (10.1), 1.4001 (10.1), 2.1776 (10.1), 3.2171 (10.1), 4.5553 (10.1),
6.2289 (10.1). Зависимость v = v(h) имеет тот же вид, что и в первом расчете,
но с другими константами a и b (фиг. 5.9).
Фиг. 5.9. Исследование зависимости критической скорости флаттера от
толщины пластины (пластина с контуром в виде эпитрохоиды (е = 0,1, п =
4) с краевым условием защемления, вектор скорости потока воздуха
направлен по оси Ox); v = а + bh3, а = 0,10124565; b = = 3511783
Все приведенные расчеты выполнялись на сетке 9×15. Для контроля при
h = 0.01 выполнялись расчеты на сетке 15×31. Для круглой пластинки значения критической скорости совпали со всеми выписанными знаками. Для
эпитрохоиды получено близкое значение 6.2310 (10.1). Забегая вперед, скажем, что для прямоугольной пластины (см. п. 5.3), зависимость v = v(h) имеет
тот же вид, что и в описанных выше расчетах, но с другими константами a и
b. Полученный результат имеет большое практическое значение. Достаточно
вычислить критическую скорость флаттера для двух толщин, определить a и
b, а затем пользоваться формулой v = a + bh3. Это значительно экономит время
вычислений.
5.3. Флаттер прямоугольной пластины
Исследования по панельному флаттеру прямоугольных пластин в подавляющем большинстве случаев проводились в частной постановке [3], когда вектор скорости потока параллелен одной из сторон пластины (см. обзор [4]). В
162
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
работах [5, 6], которые можно считать исключением из этой постановки, обоснование вывода используемых уравнений не приведено. В публикациях [7, 1]
проблема панельного флаттера пологих оболочек и пластин рассмотрена в общем виде на основе закона плоских сечений в сверхзвуковой аэродинамике;
там же приведены постановки новых задач. Традиционные методы численного
решения этих задач (разностные, МКЭ – методы с насыщением [8]) оказываются мало эффективными [9]; степень достоверности метода Бубнова – Галеркина по отношению к этим задачам не исследована.
В этом пункте разработанный выше в п. 5.1 численно-аналитический алгоритм без насыщения для изучения флаттера пластин с произвольным гладким
контуром обобщается на случай прямоугольной пластины с произвольно ориентированным вектором скорости потока. Приводятся результаты конкретных
расчетов; они сравниваются с результатами, полученными методом Бубнова –
Галеркина в восьмичленном приближении и результатами А. А. Мовчана [10].
5.3.1 Постановка задачи.
Задача о флаттере прямоугольной пластины, занимающей в плоскости xy
область K: {|x| 1,|y| b}, приводится к определению собственных функций из
системы [1, 9]:
D2 – knvgrad , (x,y), x,y K,
(5.24)
K 0,
(5.25)
0,
0,
x | x|1
y | x|b
(5.26)
2
2
0,
0.
2
x | x| 1
y 2 | x| b
5.27
Здесь D = Eh3/(12(1– 2)p0 a3) – безразмерная жесткость пластины, E, – модуль
Юнга и коэффициент Пуассона ее материала, h – толщина, a – половина длины
в направлении оси x; k – показатель политропы газа, p0 – давление в невозмущенном потоке; V = {vcos, vsin} – вектор скорости потока, отнесенный к
скорости звука в нем; v = |V|, вектор n = {cos, sin} определяет направление
V. Функция (x,y) – это амплитудное значение прогиба w = = exp( t),
поэтому в (5.24) определяется соотношением
h 2 – k,
(5.28)
в котором – безразмерная плотность материала пластины, отнесенная к параметру p0 / c02 , а толщина h отнесена к a. Граничные условия (5.25), (5.26)
163
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
означают, что пластина защемлена по краю, а граничные условия (5.25), (5.27)
означают свободное опирание.
Колебания пластины будут устойчивыми или нет в зависимости от того,
будет ли Re < 0 или Re > 0. В комплексной плоскости i области
устойчивых и неустойчивых колебаний разделяет в соответствии (5.28), парабола устойчивости [10] F() = k2 h2 = 0; поскольку (v,),
= (v,), уравнение F((v,), (v,)) f(v,) = 0 в плоскости параметров v,
определяет нейтральную кривую, отделяющую область их докритических значений.
Известны общие свойства собственных значений задачи (5.24) – (5.27)
[9–11]: 1) Re > 0; 2) колебания соответствующие действительным устойчивы; 3) при фиксированном с ростом v собственные значения последовательно выходят в комплексную область; при заданном v число комплексных
конечно. В соответствии с этим принята следующая схема исследования:
а) в соответствие задаче (5.24) – (5.27) ставится ее дискретный аналог;
б) при фиксированном определяется критическая скорость по первому
собственному значению;
в) при этой критической скорости проводится анализ устойчивости по другим комплексным собственным значениям;
г) если находится комплексное вне параболы устойчивости, вычисляется
критическая скорость по этому собственному значению;
д) из всех найденных таким образом критических скоростей выбирается
наименьшая.
5.3.2 Дискретизация.
Вначале построим дискретный лапласиан H с краевым условием (5.25); построение проведем по методике, описанной в пункте 3.2.
Выберем в плоскости (x,y) сетку, состоящую из узлов:
x = cos((2 – 1)/2n), = 1,2,…,n;
y = bcos((2 –1)/2m), = 1,2,…,m;
(5.29)
(5.30)
Пусть A–матрица дискретного оператора, соответствующего дифференциальному оператору 2 / x2 с краевым условием (-1) = (10.1) = 0 на сетке
(5.29); B – матрица дискретного оператора, соответствующего дифференциальному оператору 2/ y2 с краевым условием (-b) = (b) = 0 на сетке (5.30).
Тогда дискретный лапласиан примет вид:
164
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
H = Im A + BIn,
(5.31)
где In и Im – единичные матрицы размера n×n и m×m; знаком обозначено кронекеровское произведение матриц. Собственный вектор матрицы H имеет вид
u = wv, где v – собственный вектор матрицы A, w – собственный вектор матрицы B. При этом узлы сетки нумеруются сначала по x, потом по y (справа
налево, снизу вверх). Можно сказать, что матрица (5.31) наследует свойство
разделения переменных дифференциального оператора Лапласа (подробнее об
этом см. гл. 3).
Дискретизация оператора 2/x2 с краевым условием (a) = (b) = 0 проводится следующим образом: а) на сетке (5.29) (a = -1, b = 1) или (5.30) (a =
= -b, b = b) выписывается интерполяционная формула Лагранжа, удовлетворяющая краевым условиям; б) значения вторых производных в узлах сетки получаются дифференцированием интерполяционной формулы. В результате
получаем:
2
2
Dij
2
b a k sin j
k 1
cos(q
q 0
3q cos i
j
)[(2 q 2 ) cos qi 3q cos i
5.32
sin qi
(2 j 1)
], j
, i, j 1, 2,..., k.
sin i
2k
Здесь k = n, a = -1, b = 1 для матрицы A; k = m; a = -b, b = b для матрицы B.
Дискретизация производных x и y проводится аналогично. На соответствующей сетке (5.29) или (5.30) выписывается интерполяционный многочлен Лагранжа, значение производных в узлах сетки получается дифференцированием этой интерполяционной формулы. В результате получаем матрицу дифференцирования
D
k 1
q cos q m sin q
4
(2 1)
,
, , 1, 2,..., k.
k (b a) q 0
sin
2k
5.33
При k = n, a = -1, b = 1 получаем матрицу Dx дифференцирования по x; при
k = m, a = -b, b = b получаем матрицу Dy дифференцирования по y. Для того,
165
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
чтобы получить производные функции в узлах сетки, нужно умножить матрицу D на вектор значений функции в узлах сетки. Следствием краевых
условий (5.25), (5.27) является условие:
5.34
G 0,
а в этом случае матрица бигармонического оператора с краевым условием
(5.25), (5.34) есть H2. Это легко понять, так как матрица H2 имеет те же собственные векторы, что и матрица H, и соответствующие собственные значения
i2 , i 1, 2,.., N , где i – собственные значения матрицы H размера N × N (N =
mn).
Теперь рассмотрим дискретизацию уравнения (5.24) с краевыми условиями
(5.25), (5.26), т. е. защемленную по контуру пластинку.
Применим для функции (x,y) в прямоугольнике интерполяционную
формулу:
(x,y) =
n
m
j 1
i 1
M
i0
( z ) L j 0 ( x)( x j , yi ),
(5.35)
y = bz, z [1,1], x [1,1] .
L j 0 ( x)
l ( x)
, l ( x) ( x 2 1) 2 Tn ( x), Tn ( x) cos n arccos x,
l ' ( x j )( x x j )
x j cos j , j (2 j 1) / 2 / n, j 1, 2,..., n; M i 0 ( z )
M ( z)
,
M ' ( zi )( z zi )
M ( z ) ( z 2 1) 2 Tm ( z ), zi cos i , i (2i 1) / 2m, i 1, 2,..., m.
Интерполяционная формула (5.35) удовлетворяет краевым условиям защемления. Для получения матрицы дискретного бигармонического оператора
H требуется применить бигармонический оператор к интерполяционной формуле (5.35), т. е. четыре раза дифференцировать по x и y формулу (5.35). В результате получим несимметричную матрицу H размера N×N, N = = mn. Пронумеруем узлы в прямоугольнике (xj,yi) сначала по y, потом по x, т. е. сверху
вниз, справа налево. В результате получим, что 2 приближенно заменяется
соотношением H, где – вектор значений функции (x,y) в узлах сетки.
Заметим, что матрица H – несимметрична, хотя рассматриваемый бигармонический оператор самосопряженный. Следовательно, матрица H может иметь
166
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
комплексные собственные значения. Наличие у дискретного бигармонического оператора комплексных собственных значений (в результате погрешности дискретизации) нежелательно для задач исследования устойчивости. Поэтому потребовалась модернизация применяемого подхода. Вместо матрицы
H рассматривалась матрица (H + H)/2. Этот прием можно прокомментировать
так. Исходная задача – самосопряженная (бигармоническое уравнение с краевым условием защемления). Но в результате дискретизации получается несимметричная матрица H. Представим H в виде
H = (H + H)/2 + (H – H)/2
и отнесем несимметричную часть к погрешности дискретизации. Возмущение,
которое при этом вносится в собственные значения матрицы H, зависит от
того, насколько близки резольвенты матриц H и (H + H)/2 в той части комплексной плоскости, которая нас интересует для исследования устойчивости
потока. Это возмущение может быть оценено теоритически по схеме, описанной в главе 1, я же предпринял численную проверку.
Матрица H (при b = 1) размера 361×361 (361 = 19 × 19) имеет первое собственное значение
1 /2 = 2.4902; оно сравнивалось с расчетом из [12]
/2 = 2.489 матрица (H + H)/2 имеет собственное значение
1*
1 /2 = = 2.3961.
Таким образом, возмущение, вносимое в собственные значения симметризацией матрицы H, приемлемо.
Дискретизация qrad в краевой задаче (5.24) – (5.26) проводилась аналогично.
5.3.3. Результаты численных расчетов.
В этом пункте рассмотрим результаты расчетов для свободно опертой пластинки. Значения механических параметров такие же, как в 5.2.4. Варьировались (относительные) размер b, толщина h, скорость потока v и угол .
1. Расчеты для квадратной пластины (b = 1, h = 0.003) носили методический
характер. Получены результаты: vкр.(0) = vкр.( /2) = 0.2103, vкр.( /4) = = 0.2001;
во всех случаях vкр. определено по первому собственному значению (здесь и
далее k пронумерованы в порядке возрастания их модулей). Графики кривых
Re(x,0) и Re(0,y) тождественны.
2. Результаты расчетов для пластины с размерами b = 0.5, h = 0.003 приведены в табл. 5.1; в скобках около значения критической скорости указан номер
собственного значения.
167
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
Таблица 5.1. b = 0.5, h = 0.003
Vкр.
V*кр.
0
/8
/4
5/16
3/8
15/32
/2
0.3546 (1) 0.3737(1) 0.4346(1) 0.4801(1) 0.5235(1) 0.5275(2) 0.5257(2)
0.3042
0.3307
–
0.4207
–
0.4022
0.4121
Отметим одно обстоятельство, которое может оказаться существенным при
численном анализе задач флаттера: оказалось, что |1| = 1.5658 и |2| = = 1.56660
очень близки, однако 1 > 0 действительно и не порождает неустойчивой формы
колебаний. В третьей строке таблицы приведены значения v*кр. Найденные методом Бубнова – Галеркина в восьмичленном приближении; видно, что этот метод
дает сильно заниженные результаты (о возможности метода Бубнова – Галеркина
в рассматриваемой задаче будет еще сказано).
Два обстоятельства заслуживают быть отмеченными:
а) сравнительно резкий рост критической скорости в диапазоне углов
и плавное ее изменение при других значениях углов;
б) максимум критической скорости флаттера находится вблизи точки
15/32: это так называемый эффект стабилизации колебаний пластины по
отношению к флуктуациям направления вектора скорости в окрестности
/2.
Заметим, что раньше [13] этот эффект был обнаружен в задаче о флаттере
полосы. На фиг. 5.10–5.12 показаны действительные части собственных функций при различных углах (/4, 5/16, 3/8) и при v = vкр..
Проведены расчеты для удлиненной пластины с размерами b = 0.25,
h = 0.0015 (отношение толщины к меньшей стороны пластины то же, что и в
предыдущем пункте); результаты сведены в табл. 5.2.
Таблица 5.2. b = 0.25; h = 0.0015
Vкр.
Vкр.
0
0.2655(3)
3/8
0.4803(1)
/8
0.2832(3)
7/16
0.4912(2)
168
/4
0.3453(1)
15/32
0.4867(3)
5 /16
0.4014(1)
/2
0.4851(4)
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
Фиг. 5.10. Прямоугольная пластина (b = 0,5, h = 0,003), действительная
часть собственной функции при угле θ = π/4 и при v = vкр; v = 0,4346
Фиг. 5.11. Прямоугольная пластина (b = 0,5, h = 0,003), действительная
часть собственной функции при угле θ = 5π/16 и при v = vкр; v = 0,4801
Фиг. 5.12. Прямоугольная пластина (b = 0,5, h = 0,003), действительная
часть собственной функции при угле θ = 3π/8 и при v = vкр; v = 0,5235
169
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
Фиг. 5.13. Прямоугольная пластина (b = 0,25, h = 0,0015), действительная
часть собственной функции при угле θ = 0 и при
v = vкр; v = 0,2665
Фиг. 5.14. Прямоугольная пластина (b = 0,25, h = 0,0015), действительная
часть собственной функции при угле θ = π/4 и при v = vкр; v = 0,3541
Фиг. 5.15. Прямоугольная пластина (b = 0,25, h = 0,0015), действительная
часть собственной функции при угле θ = 5π/16 и при v = vкр; v = 0,4014
170
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
Фиг. 5.16. Прямоугольная пластина (b = 0,25, h = 0,0015), действительная
часть собственной функции при угле θ = 3π/8 и при v = vкр; v = 0,4803
Фиг. 5.17. Прямоугольная пластина (b = 0,25, h = 0,0015), действительная
часть собственной функции при угле θ = 7π/16 и при v = vкр; v = 0,4912
5.3.4. Метод Бубнова – Галеркина (Б.-Г.)
Считается, что в задаче о флаттере прямоугольной пластины (при традиционной постановке V = {vx,0} ) метод Бубнова – Галеркина доставляет приемлемый результат для критической скорости даже в двухчленном приближении.
Однако, уже в [4] было отмечено, что в случае удлиненной вдоль потока пластинки эффективность метода резко падает, и для достижения приемлемой
точности необходимо в аппроксимирующей сумме удерживать значительное
(заранее, вообще говоря, неизвестное) число слагаемых. Применимость метода Б.-Г. к задачам флаттера пластины в общей постановке до сих пор не исследована; приводимые ниже результаты в известной степени восполняют
этот пробел. На приведенных рисунках хорошо видно, что характерный размер возмущения порядка половины меньшей стороны пластины, поэтому приближенное решение было принято в виде: = = cmnsinmysinx, m = 1,2; n =
171
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
1,…,4 (пластина занимает область K = {0 x 1/, 0 y 1}). Обычная процедура по отношению к уравнению (5.24) приводит к исследованию корней
характеристического определителя восьмого порядка, который вследствие
громоздкости не выписывается. Цель вычислений – установить зависимость
(v,). Результаты вычислений приведены в третьем столбце табл. 5.3 и 5.4
для пластины с размерами b/a = 0.5, h/a = = 0.003.
Таблица 5.3. b = 0.5, h = 0.003, = 0; vкр. = 0.3546, v*кр. = 0.3041
0.2
0.5
0.8
1.0
2.0
Re
0.3054; 0
0.6758; 0
0.6381; 0.0666
1.7361; 0
0.9426; 0.3118
1.6468; 0
1.2452; 0.5275 (*)
1.5355; 0
3.1764; 0.7483
2.6887; 2.0591 (*)
4.9558; 0.1886
6.8751; 0
Im
0.2933; 0
0.6723; 0
0.5159; 0
0.6522; 0
0.7525; 0.2822
1.9168; 0
0.8601; 0.4384 (*)
2.5660; 0.4498
1.0475; 1.1202 (*)
2.3787; 3.0369 (*)
4.2831; 0.5942
7.8906; 1.7927
Таблица 5.4. /4; vкр. = 0.4346; v*кр = 0.4121
0.5
1.0
2.0
0.7066;
1.8095;
1.5252;
1.8760;
3.4437;
4.0025;
4.8677;
7.1122;
Re
0.02435
0
0.5838 (*)
0
2.5618 (*)
1.6035 (*)
0.3876
0
Im
0.6499; 0
0.7027; 0
1.3085; 0.5407 (*)
2.7396; 0.3776
2.8552; 0.1886
2.3907; 2.3365 (*)
3.3375; 3.2750 (*)
7.0163; 1.1392
Первая колонка чисел – это Re, вторая – Im, знаком (*) отмечены , вышедшие на параболу устойчивости или находящиеся вне ее. Относительная
скорость потока v/v*кр. обозначена в первом столбце таблиц. Второй столбец
таблиц – это собственные значения, найденные описанным в статье методом;
172
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
они относятся к значениям относительной скорости v/vкр.. Анализ результатов
приводит к выводам:
а) метод Б.-Г. приводит к удовлетворительным оценочным значениям для
*
v кр., если число слагаемых в формуле для выбирать не меньше чем N~4a/b
(две "полуволны" вдоль меньшей стороны и 2a/b "полуволн" – вдоль большей);
б) в установленной зависимости = (v,), а следовательно, и при определении форм колебаний, метод Б.-Г. приводит к погрешностям качественного
характера, и они возрастают с увеличением скорости потока.
Разумеется, эти выводы не являются окончательными; исследования надо
продолжить для пластин другой геометрии и других комбинаций граничных
условий.
5.3.5 Сравнение с результатами А. А. Мовчана.
В 1955 г. [10] А. А. Мовчан опубликовал расчеты критической скорости
флаттера свободно опертой квадратной пластины в частной постановке, когда
вектор скорости потока направлен параллельно стороне пластины. В то время
невозможно было решить выписанное выше трансцендентное уравнение для
определения критической скорости флаттера. А. А. Мовчан отслеживал появление у спектральной задачи комплексного собственного значения. Какое приращение скорости нужно еще дать, чтобы собственное значение вышло на параболу устойчивости, он не выяснял. В этом пункте проведены расчеты по
описанной выше методике и дано сравнение с результатами А. А. Мовчана.
Расчеты проводились при следующих значениях параметров: p0 = 1.0333
кГ/см2, 0 = 1.2283 кг/м3, = 0.3, k = 1.4, E = 0.2039·107 кГ/см2, = 7.8· 103 кг/м3.
Варьировалась толщина пластины. Результаты расчетов сведены в табл. 5.5.
Здесь в первом столбце приведена относительная толщина квадратной пластины (b = 1). Параметр E-3 означает множитель 10-3 (запись числа в стандарте
Фортрана). Во второй колонке приведено значение, найденное А. А. Мовчаном. В третьей и четвертой колонках приведено значение, рассчитанное по методике п. 5.2, на сетках 9×9 и 19×19 соответственно. В скобках указан номер
собственного значения, по которому рассчитывалась устойчивость. Как видно
из рассмотрения таблицы, совпадение очень хорошее. Это, конечно, объясняется видом параболы устойчивости (5.6) при заданных значениях параметров.
Наибольшая относительная погрешность достигается в последней строке и составляет 3,8 .
173
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
Таблица 5.5
h
5.0000 E-3
6.3091 E-3
7.2202 E-3
7.9365 E-3
8.5470 E-3
9.0909 E-3
9.5694 E-3
1.0000 E-2
1.0417 E-2
Мовчан А. А.
1.0000
2.0029
3.0029
4.0029
5.0059
6.0059
7.0059
8.0088
9.0088
9×9
1.0615 (10.1)
2.0991 (10.1)
3.1325 (10.1)
4.1523 (10.1)
5.1806 (10.1)
6.2296 (10.1)
7.2627 (10.1)
8.2853 (10.1)
9.3632 (10.1)
19×19
1.0615 (10.1)
2.0991 (10.1)
3.1324 (10.1)
4.1523 (10.1)
5.1805 (10.1)
6.2295 (10.1)
7.2626 (10.1)
8.2851 (10.1)
9.3630 (10.1)
5.3.6. Исследование зависимости критической скорости флаттера от
толщины пластины.
Конкретные расчеты проводились для прямоугольной пластины с отношением сторон (1:2) и том же значении параметров, что и в п. 5.2.5. Для трех
направлений вектора скорости 2 (это угол вектора скорости с
осью ox). Во всех случаях подтвердилась зависимость vкр. = a + bh3. Значения
a и b приведены в табл. 5.6 (защемленная пластина) строки 1, 2, 3 и табл. 5.7
(свободно опертая пластина) строки 1, 2, 3.
Таблица 5.6
№
1
2
3
а
0.18086698
0.28562681
0.088122509
b
88565587
16948368
29134275
Таблица 5.7
№
1
2
3
a
0.15705135
0.23725284
0.075931991
b
6172557.5
10966926
17242086
Графики этой зависимости аналогичны п. 5.2.4 и поэтому не приводятся.
174
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
5.3.7. Исследование зависимости критической скорости флаттера от
высоты над уровнем моря.
В качестве примера рассмотрим прямоугольную свободно опертую пластину с отношением сторон 1:2 (b = 0.5) и относительной толщиной 0.005.
Пусть вектор скорости потока направлен по оси x. Данные о давлении и плотности воздуха, ускорении свободного падения, скорости звука в зависимости
от высоты над уровнем моря приведены в [14]. Остальные параметры оставались такими же, как и в пункте 5.3.3. Проводились расчеты критической скорости флаттера для высот от 0 до 11 километров над уровнем моря с шагом в
1 километр. Как и ранее, расчеты проводились на двух сетках 9×9 и 19×19.
Полученные результаты расчетов совпали в пределах точности вычисления
корня трансцендентного уравнения устойчивости. Во всех случаях устойчивость определялась по первому собственному значению. Были получены следующие значения критической скорости флаттера: 0.9322, 1.0181, 1.1203,
1.2416, 1.3853, 1.5556, 1.7577, 1.9997, 2.2836, 2.6249, 3.0340, 3.5261. Таким образом, критическая скорость флаттера растет с высотой над уровнем моря. Полученные данные хорошо апроксимируются аналитической зависимостью v =
(a + cx + ex2 + gx3 + ix4 + kx5)/(1 + bx + dx2 + fx3 + hx4 + jx5), где v-скорость
флаттера, x-высота над уровнем моря. Здесь a = 0.93220144,
b = -0.03922232, c = 0.041901991, d = -0.0019833293, e = 0.002180686,
f = 0.0002874881, g = 0.00012557829, h = -2.2255284e-5, i = 2.7092604e-6, j =
= 6.2616321e-7, k = -9.2719828e-7. Как видно, эта аналитическая зависимость
сложная и не дает ясного представления о росте критической скорости флаттера. Поэтому применялась также более простая аналитическая аппроксимация расчетных данных v = a + bxc, a = 1.0064589, b = 0.021827843,
c = = 1.9714133. На высотах до одного километра эта аппроксимация дает погрешность в несколько процентов, для больших высот качество аппроксимации лучше. Таким образом, зависимость критической скорости от высоты почти квадратичная.
5.4. Флаттер пологих оболочек.
В этом пункте рассматривается численное исследование флаттера пологих
оболочек. Вначале рассматривается флаттер круговой в плане сферической пологой оболочки. Методом вычислительного эксперимента исследуется зависимость критической скорости флаттера от толщины. Показывается, что эта зависимость имеет вид v = a + bhc, где a, b и c – постоянные, зависящие от параметров задачи.
175
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
Далее рассматривается произвольная пологая оболочка прямоугольная в
плане.
В публикации [2] дана новая постановка задачи о флаттере пологой оболочки в предположении, что избыточное давление на оболочку определяется
в рамках закона плоских сечений в сверхзвуковой аэродинамике [1]. Математически задача приводится к проблеме собственных значений для системы из
двух уравнений с бигармоническими старшими операторами относительно амплитудной функции прогибов и функции напряжений F. Для некоторых типов краевых условий функцию напряжений F можно (численно) исключить;
оставшееся уравнение для будет содержать две безразмерные константы порядков 10-3 и 102 (при характерных значениях параметров) при старших производных, и это предопределяет плохую обусловленность задачи. С другой стороны, наличие у решения пограничного слоя указывает на необходимость сгущать сетку вблизи контура.
Для преодоления указанных вычислительных трудностей идеально подходит метод без насыщения К. И. Бабенко; он с успехом был применен к исследованию флаттера пластины произвольной формы в плане (см. п. 5.2). В этой
главе метод обобщается для задачи о панельном флаттере прямоугольных в
плане пологих оболочек; конкретные расчеты проводились для цилиндрической и сферической оболочек.
5.4.1. Флаттер круговой в плане пологой сферической оболочки.
В пп. 5.2.5 и 5.3.5 исследовалась зависимость критической скорости флаттера пластины произвольной формы в плане от толщины. Показано, что эта
зависимость имеет вид: v = a + bh3, где a и b – постоянные ,зависящие от параметров пластины. В настоящей главе аналогичные исследования продолжены для круговой в плане пологой сферической оболочки. Оказывается, что
зависимость v = v(h) имеет более сложный вид v = a + bhc, где a,b и c – постоянные, зависящие от параметров оболочки. В частности, c зависит от условий
закрепления оболочки, т. е. от краевых условий. Для пластины это не так.
В изученных выше задачах получено c = 3. Метод исследования – вычислительный эксперимент. Проведена серия расчетов, а затем по этим результатам
подобрана аналитическая зависимость указанного выше типа. Подробно эти
эксперименты описаны ниже.
176
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
5.4.2. Постановка задачи и численный алгоритм.
Колебания круговой в плане пологой сферической оболочки будем исследовать на основе уравнения [15]:
D2w + (Eh/R2)w + (p0/c0)(Vgradw + w/ t) + h 2w/t2 = 0,
(5.36)
где R – радиус сферы, E – модуль Юнга материала оболочки, D – цилиндрическая жесткость, h- толщина оболочки, k – показатель политропы воздуха, p0 –
давление воздуха в невозмущенном потоке, c0 – скорость звука в невозмущенном потоке, – плотность материала оболочки. Примем тот же, что и в (5.1)
базис обезразмеривания: E = Ep0, h = hl, p0/c02, c0/l, V = = Vc0, w
= wl, x = xl, y = yl, R = Rl, t = tl/c0, где l – радиус опорного круга. В дальнейшем изложении штрихи над безразмерными величинами опускаем. Положим
w = exp( t); из (5.36) получим:
D2 + Vgrad ,
(5.37)
2
2
h – -b, b = Eh/R
(5.38)
В дальнейшем примем два типа граничных условий:
1) жесткое защемление (заделка)
(x,y) n = 0,
(5.39)
2) шарнирное опирание
(x,y) l)n = 0
(5.40)
Здесь – коэффициент Пуассона материала пластины, – граница опорного
круга, n – внешняя нормаль к нему. Уравнения (5.37) – (5.38) вместе с одной
из групп выписанных граничных условий (5.39) или (5.40) составляют задачу
на собственные значения.
Колебания пластины будут устойчивыми или нет в зависимости от того,
будет ли Re или Re > 0; если 1 = 1 + 1i – собственное значение, то
выписанным неравенствам соответствует F(1, 1) >0 или F(1, 1)<0, где
F(1, 1) = (b + 1) – h12.
(5.41)
Пусть 1 – первое из собственных чисел, удовлетворяющих условию F =
= 0; речь идет, следовательно, о нахождении нулей функции F(1(V),1(V))
при заданном направлении вектора скорости потока. Как видно, задачи на собственные значения для пологой оболочки и пластины совпадают, однако парабола устойчивости в задаче об оболочке, вследствие (5.41), сдвинута влево на
величину b: (b + Re) = h(Im)2, и это приводит к новым результатам качественного характера, которые подробно описаны ниже.
177
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
5.4.3. Вычислительные эксперименты.
Расчеты проводились для тех же значений параметров, что и в п. 5.2.1. За
характерный линейный размер принимался радиус опорного круга. Варьировалась относительная толщина пластины в диапазоне от 0.003 до 0.01 с шагом
0.001 и радиус сферы R. Методика расчетов подробно описана в гл. 5. Отметим
только ее качественные особенности: построенный там алгоритм не имеет
насыщения, т. е. автоматически настраивается на гладкость решения рассматриваемой задачи (скорость сходимости его тем выше, чем большим условиям
гладкости удовлетворяет рассматриваемое решение). Поскольку решения линейных эллиптических уравнений – гладкие функции, то применяемая методика расчета весьма эффективна и позволяет добиться приемлемого по точности результата на достаточно редких сетках.
Первый расчет проводился для сферы радиуса 2.6, это соответствует высоте оболочки 0.2. Принималась следующая тактика вычислений: на редкой
сетке 11×19 (11 окружностей по 19 точек на каждой окружности) с шагом 0.01
по V отслеживалась перемена знаков функции устойчивости (5.41) по первым
20 собственным значениям. После нахождения интервала, на концах которого
функция устойчивости для некоторого номера собственного значения n имеет
разные знаки, запускалась процедура нахождения корня нелинейного уравнения F(n(V),n(V)) = 0. Корень искался методом деления отрезка пополам в
комбинации с методом секущих. Далее для контроля в этом же интервале проводились расчеты на сетке 15×31 для этого же номера собственного значения
n. При этом, если функция устойчивости на новой сетке не имеет на концах
интервала разных знаков, то вычисления в этом интервале продолжались для
всех 20 собственных значений. Если же и для остальных собственных значений функция устойчивости не имеет разных знаков на концах заданного интервала, то поиски корня нелинейного уравнения F = 0 продолжались справа
и слева от найденного интервала (практически в этой задаче этого не потребовалось). В рассматриваемом примере критическая скорость флаттера, определенная на двух расчетных сетках, совпала с четырьмя знаками после запятой
(с такой точностью искался корень нелинейного уравнения). Для первой краевой задачи (защемление) при изменении h в указанном выше интервале определена соответственно критическая скорость флаттера: 1.5949(10.5),
2.1364(10.2), 2.7418(10.2), 3.4898(10.1), 4.3639(10.1), 5.2117(10.1), 6.2067(10.1),
7.5282(10.1). Здесь в скобках стоит номер собственного значения, которое пер
178
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
вым выходит на параболу устойчивости. По найденным значениям критической скорости флаттера подбиралась аналитическая зависимость V = V(h).
Оказалось, что эта зависимость имеет вид: V = a + bhc (фиг. 5.18). На этой
фигуре точками нанесены значения найденной критической скорости. Параметры a, b и c также приведены на фиг. 5.18.
Второй расчет при тех же значениях параметров проводился для второй
краевой задачи (шарнирное опирание). Получены следующие значения критической скорости флаттера: 1.5672(10.7), 2.0654(10.4), 2.6274(10.2),
3.1994(10.3), 3.9113(10.2), 4.7885(10.1), 5.5826(10.1), 6.3013(10.1). Зависимость
V = V(h) оказалась такой же, как и для первой краевой задачи, но с другими
значениями параметров (фиг. 5.19).
Фиг. 5.18. Подбор аналитической зависимости V = a + bhc a = 0.9073437,
b = 31296.665, c = 1.839571 для критической скорости флаттера круговой в
плане пологой защемленной сферической оболочки
179
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
Фиг. 5.19. Подбор аналитической зависимости V = a + bhc, a = 0.65753604,
b = 6759.6866, c = 1.5366793 для критической скорости флаттера круговой
в плане пологой шарнирно опертой сферической оболочки.
Для выяснения вопроса, насколько общей является зависимость критической скорости флаттера от толщины оболочки, найденная выше, проводился
третий расчет. Выбиралось R = 2, что соответствует высоте оболочки 0.2679.
Рассматривалась вторая краевая задача. Расчеты проводились на сетках 13×21
и 15×31. Значения критической скорости, найденные на этих сетках, совпали
в пределах точности вычисления корня нелинейного уравнения. Были получены следующие значения критической скорости: 1.8782(9), 2.4620(10.6),
3.0935(10.4), 3.7760(10.3), 4.5015(10.2), 5.4443(10.1), 6.4914(10.1), 7.3992(10.1).
Зависимость V = V(h) оказалась такой же, как и выше (фиг. 5.20), но с другими
значениями параметров a, b и c.
180
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
Фиг. 5.20. Подбор аналитической зависимости V = a + bhc, a = 1.0363245,
b = 13385.075, c = 1.6602728 для критической скорости флаттера круговой
в плане пологой шарнирно опертой сферической оболочки (R = 2).
Отметим интересный факт, который не имеет место для пластины. На фиг.
5.21 приведены значения Re(x,0) и Re(0,y) для V = 2.4620(10.6) соответствующей h = 0.004 для третьего расчета. Как видно, эти графики имеют сложный
вид.
Фиг. 5.21. Значения Re(x,0) и Re(0,y) для скорости V = 2.4620(10.6),
соответствующей h = 0.004 для третьего расчета (R = 2).
При h = 0.005 аналогичные графики приведены на фиг. 5.22 (V =
= 3.0935(10.4)). Вид графиков резко изменился и аналогичен случаю пластины. Таким образом, при малых значениях толщины h потеря устойчивости
оболочки происходит по высшим модам (для пластины потеря устойчивости
181
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
происходит, как правило, по первой моде). Аналогичные результаты имеют
место для двух других расчетов, но при h = 0.003.
Фиг. 5.22. Значения Re(x,0) и Re(0,y) для скорости V = 3.0935(10.4),
соответствующей h = 0.005 для третьего расчета (R = 2).
5.4.4. Выводы.
Проведенные многочисленные расчеты подтвердили факт, что зависимость
критической скорости флаттера от толщины оболочки имеет простую степенную зависимость V = a + bhc, где коэффициенты a, b и c зависят от типа краевого условия и параметров задачи. Заметим, что для пластины зависимость V
= V(h) аналогична, но с = 3. Для оболочки, как показали проведенные расчеты,
с < 3. Таким образом, критическая скорость флаттера для сферической пологой оболочки круглой в плане растет с ростом толщины оболочки медленнее,
чем для круглой пластины с теми же параметрами задачи, но сама критическая
скорость для оболочки выше при одинаковой толщине с пластиной.
Полученный результат имеет важное практическое значение: достаточно
определить три параметра a, b и c и задача зависимости от толщины критической скорости флаттера пологой сферической оболочки круглой в плане решена. Для определения параметров a, b и c достаточно найти критическую скорость флаттера для трех толщин.
5.4.5. Численное исследование флаттера пологой оболочки.
Исследуется задача об устойчивости колебаний прямоугольной в плане пологой оболочки в потоке газа при произвольном направлении вектора скорости потока. Показано, что математически задача сводится к плохо обусловленной вычислительной проблеме. Для решения этой проблемы предложен численный алгоритм без насыщения, который позволяет получить приемлемое по
точности решение на сетке из 169 = 13 ×13 узлов. В конкретных расчетах для
182
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
цилиндрической и сферической пологих оболочек обнаружены новые механические эффекты, касающиеся форм колебаний и зависимости критической скорости флаттера от направления вектора скорости потока.
5.4.6. Постановка задачи.
В безразмерном виде исходная система дифференциальных уравнений
имеет вид [2]:
D 2 – hL(F) – k(v,grad )
(5.42)
2 F EL() 0
(5.43)
h k
(5.44)
2
L(f) = ky
2 f
2 f
k
,
x
x 2
y 2
(5.45)
где D Eh3 /12(1- v 2 ) – цилиндрическая жесткость, E – модуль Юнга, – коэффициент Пуассона, k – показатель политропы, v – скорость потока воздуха,
h – толщина оболочки, – плотность материала оболочки, – комплексная
частота колебаний; k x и k y - главные кривизны (линии главных кривизн совпадают с координатными линиями); ( x, y) – прогиб оболочки, F
= F(x,y) – функция напряжений. Все названные величины – безразмерные.
Обезразмеривание проведено аналогично п. 5.1.
Выписанные уравнения рассматриваются в области G = {-1 x 1,-b y b},
т. е. в прямоугольнике, линии главных кривизн оболочки совпадают с координатными линиями.
Решение уравнений (5.42) – (5.44) рассматриваем в дальнейшем при двух
типах краевых условий:
1) шарнирное (свободное) опирание:
x = 1,-1: 0,
2
2 F
2 F
0,
0.
=
0,
xy
y2
x2
(5.46)
y = b,-b: 0,
2
2 F
2 F
0,
0.
=
0,
xy
y2
x2
(5.47)
2) заделка с проскальзыванием:
x = 1,-1: 0,
2 F
2 F
0,
0.
= 0,
2
xy
y
x
183
(5.48)
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
y = b,-b: 0,
2 F
2 F
0,
0.
= 0,
xy
y
x2
(5.49)
Нетрудно показать, что краевые условия, накладываемые на функцию
напряжений F, без потери общности могут быть заменены эквивалентными
[16]:
F
( x, y ) G, F 0,
0,
(5.50)
n
где n – внешняя нормаль к контуру оболочки. Колебания оболочки будут
устойчивыми или нет в зависимости от того, будет ли Re 0 или Re 0;
если = + i – собственное число сформулированной выше задачи, то вследствие (2.3) выписанные неравенства означают f( > 0 или f() < 0, где
f( = k2–h2. Поскольку (vx,vy), (vx,vy), где vx = vcos , vy = vsin, v
= |v|, то уравнение f() = 0 определяет на комплексной плоскости нейтральную кривую (параболу устойчивости) и соответсвующую ей критическую скорость флаттера v при заданном .
При v = 0 все собственные значения действительны; с ростом скорости потока некоторые из собственных значений выходят в комплексную плоскость;
задача, следовательно, состоит в том, чтобы найти (при заданном ) комплексное собственное число, которое первым попадет на параболу устойчивости.
Тем самым будет определена критическая скорость и соответсвующая ей
форма колебаний (собственная функция). Отсюда следует, что для корректного решения задачи необходимо определять достаточно длинный начальный
отрезок спектра.
Таким образом, при нахождении корня уравнения f() = 0 нужно на каждом шаге итерационного процесса решать полную проблему на собственные
значения для несимметричной матрицы размера N×N, где N – число узлов
сетки. Возникающие при этом трудности обходятся применением метода без
насыщения, который для гладких решений дает достаточную точность на
сетке из сравнительно небольшого числа узлов. Собственные значения матрицы вычислялись с помощью QR – алгоритма (программная реализация в пакете EISPACK).
5.4.7. Дискретизация.
Для дискретизации описанных краевых задач нужно провести дискретизацию бигармонических операторов 2 и 2 F с краевыми условиями свободного опирания (защемления) и краевым условием защемления соответственно.
184
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
Кроме того, нужно провести дискретизацию оператора L(f) и членов с первыми производными k(v,grad ).
Примем, что k x и k y – константы. Для цилиндрической оболочки
kx 0, k y 1/ R, а для сферической kx k y 1/ R, где R – радиус оболочки. То-
гда нужно провести дискретизацию оператора L(f) с однородным краевым
условием Дирихле. Эта дискретизация проводится по методике, описанной в
гл. 3. Так же аналогично проводится дискретизация членов с первыми производными k(v,grad ) . Заметим, что при дискретизации оператора L(f), поскольку это оператор второго порядка, достаточно удовлетворить только одному краевому условию f = 0 на G. При дискретизации членов с первыми
производными, поскольку узлов на границе нет, применялась интерполяционная формула, не удовлетворяющая (принудительно) краевому условию = 0
на G. При дискретизации же бигармонических операторов удовлетворялись
оба краевых условия. Как показали вычисления (см. ниже), в результате полученное решение для удовлетворяет краевым условиям.
Дискретизация бигармонического оператора с краевым условием свободного опирания и с краевым условием защемления (5.50) описана в п. 5.2.2.
Применим для функции F = F(x,y) в прямоугольнике интерполяционную формулу:
F(x,y) =
n
m
j 1
i 1
M
i0
( z ) L j 0 ( x) F ( x j , yi ),
y = bz, z [1,1], x [1,1] . L j 0 ( x)
(5.51)
l ( x)
, l ( x) ( x 2 1) 2 Tn ( x),
l ( x j )( x x j )
x j cos j , j (2 j 1) / 2 / n, j 1, 2,..., n; M i 0 ( z )
M ( z)
,
M ( zi )( z zi )
M ( z ) ( z 2 1)2 Tm ( z ), zi cos i , i (2i 1) / 2m, i 1, 2,..., m.
Интерполяционная формула (5.51) удовлетворяет краевым условиям (5.50).
Пронумеруем узлы в прямоугольнике ( x j , yi ) сначала по y, потом по x, т. е.
сверху вниз, справа налево, и подставим (5.51) в (5.42), (5.43). В результате
получим:
185
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
H hLh F
(5.52)
H 3 F EL 0
(5.53)
h
Здесь H – матрица размера N×N, N = mn – матрица дискретной задачи для пластины. Ее построение для случая свободного опирания описано в п. 5.2.1. Разрешая (5.53) относительно F и подставляя в (5.52), получим:
( H hLh H31Lh )
(5.54)
В (5.54) – вектор, который содержит в узлах сетки приближенные значения прогиба оболочки в узлах сетки; – приближенное собственное значение;
Lh и H 3 – матрицы размера N×N, получающиеся в результате дискретизации
операторов L (см. (5.45)) и 2 F .
Дальнейшие исследования проводились с конечномерной задачей на собственные значения (5.54). Как уже говорилось во введении, эта задача содержит большой параметр hE (~10 2 для конкретных данных, при которых проводились расчеты). Матрица при этом параметре несимметрична и может, следовательно, иметь комплексные собственные значения при скорости потока v
= 0. Это и обнаружилось в конкретных расчетах. Поэтому потребовалась модернизация применяемого подхода. Вместо матрицы H 3 в (5.54) подставлялась матрица H3 0.5( H3 H3© ) . Этот прием можно прокомментировать так
же, как и в п. 5.3.2. Аналогичная симметризация применялась к матрицам Lh
и H0 (H0 матрица дискретного бигармонического оператора для прогиба ).
После этого матрица Lh H 31 Lh стала симметричной с погрешностью 106. Однако этого оказалось недостаточно, и дискретная задача по-прежнему при v =
0 имела комплексные собственные значения. В результате повторной симметризации матрицы Lh H 31 Lh собственные значения дискретной задачи при v = 0
стали действительными и положительными. При вычислении критической
скорости наблюдалась сходимость.
5.4.8. Результаты численных расчетов.
Конкретные расчеты проводились при тех же значениях параметров, что и
в п. 5.2.1, относительная толщина оболочки 310-3. Радиус оболочки принимался равным 2.5 (безразмерный). Предварительные расчеты на сетках из 9×9,
186
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
13×13, 19×19 узлов показали, что на сетках 13×13 и 19×19 результаты оказываются близкими. Ниже приводятся значения критической скорости, полученной на сетке 19×19.
Расчеты для сферической пологой оболочки квадратной в плане можно
считать тестовыми. При углах 0, , /4, 3/8, /2 получены соответствующие значения критической скорости 1.4263 (20), 1.4924 (18), 1.5813 (18),
1.4924 (18), 1.4263 (20). Здесь, в скобках, указан номер собственного значения,
которое первым выходит на параболу устойчивости. Как и следовало ожидать
из симметрии задачи, значения критической скорости симметрично относительно прямой /4. Этот факт свидетельствует в пользу правильности методики и разработанной программы. Далее, для контроля вычислений выводились на печать два графика: вид функции прогиба Re(x, 0) и Re(0, y) и вид
двумерной функции Re(x, y). При /4 графики кривых Re(x, 0) и Re(0,
y) совпали, что свидетельствует о правильности расчетов. Собственные формы
Re(x, y) при углах = 0 и /2 также тождественны. Все это свидетельствует о правильности расчетов.
Для сферической пологой оболочки, защемленной по краю, при тех же
направлениях вектора скорости потока получены значения критической скорости: 1.6424 (20), 1.7038 (16), 1.6876 (17), 1.7038 (16), 1.62384 (20). Общий
характер результатов такой же, как и в предыдущем случае.
Проведены расчеты для сферической пологой оболочки прямоугольной в
плане (b = 0.5). При свободном опирании получены следующие значения критической скорости для тех же значениях углов : 1.7752 (9), 1.8787 (9), 1.8414
(10.5), 1.8558 (10.4), 1.7469 (10.4). При граничных условиях защемления получено соответственно: 1.6138 (9), 1.6902 (9), 1.8935 (10.5), 1.7335 (10.5), 1.6602
(10.5).
Дальнейшие расчеты проведены для цилиндрической свободно опертой
оболочки, квадратной в плане. Для тех же значений углов получены значения
критической скорости: 2.7654 (10.7), 0.5606 (10.1), 0.3004 (10.1), 0.2205 (10.1),
0.2120 (10.1). Как видно, результат принципиально отличается от предыдущих: скорость резко убывает при углах , приближающихся к /2. Заметим,
что для квадратной пластины критическая скорость при = 0, /2 равна 0.2103.
Таким образом, для цилиндрической оболочки критическая скорость флаттера
на порядок выше при обтекании вдоль образующей по сравнению с обтеканием поперек нее. Этот эффект легко объясним: жесткость на изгиб цилиндрической оболочки вдоль образующей значительно выше, чем поперек. Эволюция собственных форм представлена на фиг. 5.23–5.27.
187
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
Фиг. 5.23. Расчеты для цилиндрической свободно опертой оболочки,
квадратной в плане, θ = π/2, v = 0,2120
Фиг. 5.24. Расчеты для цилиндрической свободно опертой оболочки,
квадратной в плане, θ = 3π/8, v = 0,2295.
188
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
Фиг. 5.25. Расчеты для цилиндрической свободно опертой оболочки,
квадратной в плане, θ = π/4, v = 0,3004.
Фиг. 5.26. Расчеты для цилиндрической свободно опертой оболочки,
квадратной в плане, θ = π/8, v = 0,5606.
189
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
Фиг. 5.27. Расчеты для цилиндрической свободно опертой оболочки,
квадратной в плане, θ = 0, v = 2,7654.
Далее были проведены еще два расчета для рассматриваемой цилиндрической оболочки при тех же углах направления вектора скорости потока для радиуса оболочки 10 и 40. Получены следующие значения критической скорости: 0.8216 (10.12), 0.4629 (10.1), 0.2287 (10.1), 0.1727 (10.1), 0.1591 (10.1) для
радиуса, равного 10; 0.3378 (10.6), 0.3439 (10.1), 0.2433 (10.1), 0.1673 (10.1),
0.1514 (10.1) для радиуса, равного 40. Таким образом, критическая скорость
флаттера уменьшается при R как при обтекании вдоль образующей, так и
поперек. Последний вывод очень важен: оказывается, что небольшая начальная выпуклость оболочки при поперечном обтекании (для радиуса, равного 40,
подъем цилиндрической оболочки равен 0.0125) вызывает понижение критической скорости флаттера.
5.4.9. Выводы.
Описан экспериментальный алгоритм для сложной вычислительной проблемы-расчета критической скорости флаттера пологой оболочки. Проведенные расчеты показывают приемлемую точность расчета на сетке из 169 =
= 13×13 узлов. Этих результатов удалось добиться применением метода дискретизации без насыщения К.И. Бабенко. Все результаты, полученные по механике, новые. Флаттер сферической пологой оболочки ранее исследовался в
[17] методом Бубнова – Галеркина. Как известно, этот метод дает заниженные
значения для критической скорости. Обнаружен новый механический эффект
для цилиндрической панели: резкое изменение критической скорости при изменениях угла .
190
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Ильюшин А. А. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей // ПММ. 1956. Т. 20. В. 6. С. 733–755.
Ильюшин А. А., Кийко И. А. Новая постановка задачи о флаттере пологой
оболочки // ПММ. 1994. Т. 58. В. 3. С. 167–171.
Мовчан А. А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе // ПММ. 1956.
Т. 20. В. 2. С. 231–243.
Новичков Ю. Н. Флаттер пластин и оболочек // Механика деформируемого твердого тела. М., 1978. С. 67–122. (Итоги науки техники, ВИНИТИ;
Т.11).
Метсавээр Я. А. О флаттере защемленных пластин // Изв. АН СССР.
МТТ. 1969. № 4. С. 179–180.
Эйсли Д., Льюэсент. Флаттер тонких пластинок при совместном действии
сдвигающих и нормальных усилий на краях // Ракетная техника и космонавтика. 1967. Т. 5, № 1.
Измайлов А. А. О нахождении критических скоростей при несимметричном обтекании пластин и оболочек в сверхзвуковом потоке газа // Вестн.
МГУ. Математика и механика. 1969. № 5. С. 73–76.
Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 С.
Алгазин С. Д., Кийко И. А. Численно-аналитическое исследование флаттера пластины произвольной формы в плане // Прикл. математика и механика. 1997. Т. 60. В. 1. С. 171–174.
Мовчан А. А. Некоторые вопросы колебаний пластинки движущейся в
газе // Тр. Ин-та механики АН СССР. 1955. В. 1. С. 34.
Алгазин С. Д., Кийко И. А. Исследование собственных значений оператора в задачах панельного флаттера // Изв. РАН. МТТ. 1999. № 1. С. 170–
176.
Голосков Е. Г., Дмитренко В. В. К вопросу о нестационарном флаттере
панелей //Динамика и прочность машин: Респ. межвед. темат. науч.-техн.
сб. 1972. В. 16. С. 17–23.
Измайлов А. А. Некоторые вопросы устойчивости пластин и оболочек в
сверхзвуковом потоке газа // Упругость и неупругость. М., 1971. В. 1. С.
265.
Атмосфера стандартная. ГОСТ 4401–81. Гос. Стандарт союза ССР. М.,
1981.
191
Глава 5. Флаттер пластин и пологих оболочек
15. Власов В. З., Леонтьев Н. Н. Балки плиты и оболочки на упругом основании. М.: Физматгиз, 1960, 491 с.
16. Справочник по теории упругости /Под ред. П. М. Варвака, А. Ф. Рябова.
Киев: Будiвельник, 1971.
17. Огибалов П. М.: Колтунов М. А. Оболочки и пластины. М.: Моск. ун-т.
1969. 695 с.
192
ГЛАВА 6.
ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ.
Способ дискретизации оператора Лапласа, описанный в гл. 3, основан на
том факте, что дискретная задача наследует свойства дифференциальной задачи. В частности, наследуется свойство разделения переменных. Возникает
вопрос, как перенести этот способ дискретизации на другие уравнения математической физики с разделяющимися переменными. Это существенно для
построения дискретного бигармонического оператора в прямоугольной области с краевым условием свободного опирания.
6.1. Уравнения общего вида с разделяющимися переменными.
Пусть линейный оператор S в функциональном банаховом пространстве B
имеет собственную функцию вида uk = vk(. )exp(ik), k = 0,1,…, где через vk(. )
обозначена функция одного или нескольких аргументов, .
Свойство разделения переменных означает, что
Suk = (skvk)exp(ik),
(6.1)
где sk – некоторый линейный оператор. Будем также предполагать, что линейные операторы S и sk имеют действительные коэффициенты, тогда
S(Reuk) = (skvk)Re(exp(ik)).
(6.2)
Из линейности операторов S и sk следует, что свойства (6.1) и (6.2) выполняются также для экспонент вида exp[ik(p)], где p – некоторое число.
Пусть uB. Применим следующую интерполяцию по :
2 2n
u u p Dn ( p ), N 2n 1, p 2p / N .
N p 0
Здесь up = u(. ,p), точкой обозначена одна или несколько переменных.
n
Dn ( p ) ' cos[k ( p )],
k 0
штрих у знака суммы означает, что слагаемое при k = 0 берется с коэффициентом ½. Тогда имеем
2 n 2n
u '{ u p cos[k ( p )]},
N k 0 p 0
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
2 n ' 2n
{ (sk u p ) cos[k ( p )]}.
N k 0 p 0
Проведем дискретизацию оператора sk. Для этого применим для функции up
интерполяцию вида:
Su
m
u p lq (.)uqp ,
q 1
где lq , q = 1,2,…,m – фундаментальные функции интерполяции; m – число узлов сетки; uqp – значение функции up в q-ом узле сетки. Обозначим
aqk ( . ) sk lq ( . ),
H qp ( . , )
2 n '
aqk ( . ) cos[k ( p )],
N k 0
(6.3а)
(6.3б)
тогда
m
2n
Su H qp ( . , )uqp .
q 1 p 0
Если (. ) и пробегают узлы сетки, то из (6.3) получаем SuHu, где H есть
h-матрица, u – вектор столбец, содержащий значения соответствующей функции в узлах сетки (узлы нумеруются сначала по , потом по остальным пространственным переменным). Для построения клеток h-матрицы k, k =
= 0,1,…,n требуется произвести дискретизацию операторов sk.
Описанный в этом параграфе метод дискретизации уравнений с разделяющимися переменными применяется ниже для быстрого решения уравнения
Пуассона в торе и во внешности тела вращения, при этом правая часть уравнения Пуассона – произвольна, т. е. рассматриваются трехмерные задачи; для
приближенного решения уравнения Пуассона использовались свойства h-матрицы.
6.2. Дальнейшие обобщения.
Следующим логическим обобщением метода дискретизации, описанного в
предыдущем параграфе, является случай, когда собственная функция рассматриваемого линейного оператора представляется в виде произведения функции
от нескольких переменных на функцию от одной переменной (в п. 6.1 функция
194
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
одной переменной имела вид exp(ik)). В качестве примера рассмотрим уравнение Пуассона в прямоугольнике G = {[-1,1]×[-b,b]}. Требуется найти матрицу, которая наследовала бы свойство разделения переменных для собственной функции оператора Лапласа в прямоугольнике; такая матрица имеет следующий вид:
C = In A + BIm.
(6.4)
Здесь n – число узлов сетки по высоте прямоугольника; m – число узлов сетки
по ширине прямоугольника; In – единичная матрица размера n×n; A – матрица
размера m×m (одномерный дискретный лапласиан на отрезке [-1,1]); B – матрица размера n×n (одномерный дискретный лапласиан на отрезке [-b,b]); Im –
единичная матрица размера m×m.
Для построения матриц A и B следует произвести дискретизацию одномерной спектральной задачи u = u с краевыми условиями u(-1) = u(10.1) = 0 и
u(-b) = u(b) = 0 соответственно. Дискретизация этой задачи производится по
методике, описанной в п. 2.2.
Собственным значением матрицы C является сумма собственных значений
матриц A и B, а соответствующий собственный вектор представляется в виде
кронекерова произведения собственных векторов этих матриц.
Последнее свойство показывает, что дискретный лапласиан наследует
свойства дифференциального оператора Лапласа. Представлению собственной функции дифференциального оператора Лапласа в виде произведения
двух функций от одной переменной соответствует кронекерово произведение
собственных векторов матриц A и B.
Это свойство матрицы (6.4) показывает, что вместо оператора Лапласа может быть рассмотрен другой линейный оператор математической физики, а
вместо прямоугольника G – другая область, в которой собственная функция
рассматриваемого оператора представляется в виде произведения двух функций (например, в виде произведения функции от двух переменных и функции
от одной переменной).
Далее возникает вопрос, в какой мере свойства класса h-матриц распространяются на матрицы (6.4). А именно, как аналитически обратить матрицу
C, и возможен ли быстрый алгоритм умножения матрицы C-1 на вектор. Перейдем к рассмотрению этих вопросов. Пусть
n
B k bk , bk2 bk ,
k 1
195
bk bp 0, k p,
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
есть спектральное разложение матрицы B. Такое разложение всегда можно построить, если B – матрица простой структуры, т. е. имеет полную систему собственных векторов; именно этот случай будем иметь в виду в дальнейших рассуждениях. Здесь bk , k = 1,2,…,n – собственные проекторы на одномерное инвариантное подпространство, k – соответствующее собственное значение. В
практических расчетах размер матрицы B невелик (n 19) и спектральное разложение можно построить, решив полную проблему собственных значений
для матриц B и B.
n
Заметим, что
b
k 1
k
I n , т.к. матрица
n
b
k 1
k
совпадает со своей обратной, и
преобразуем соотношение (6.4) следующим образом:
n
n
n
n
C bk A k bk I m (bk A k bk I m ) bk ( A k I m ).
k 1
k 1
k 1
k 1
Тогда имеем следующую формулу для обратной к матрице C:
n
C 1 bk ( A k I m )1 ,
(6.58)
k 1
которая проверяется непосредственным умножением. Формула (6.58) является
обобщением формулы (см. п. 3.4.9).
Случай, когда возможно быстрое умножение матрицы C-1, на вектор (круговой цилиндр) подробно описан ниже.
6.3. Дискретизация оператора Лапласа и быстрое решение уравнения
Пуассона в торе.
При расчете движения пучка заряженных частиц (плазмы) в самосогласованном электрическом поле требуется на каждом шаге по времени пересчитывать потенциал электрического поля, т. е. решать уравнение Пуассона. Для
того чтобы расчет проводился за приемлемое время, необходим быстрый алгоритм решения уравнения Пуассона. В особенности это актуально для трехмерных задач. В этом параграфе описывается алгоритм, которым дискретное
уравнение Пуассона в торе решается за O( Nr2 N2 N log N ) операций, где
Nr ,N ,N число узлов сетки по переменным r, θ, φ некоторой криволинейной
системы координат.
196
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
6.3.1. Постановка задачи и дискретизация.
Пусть рассматриваемый тор Т получается вращением круга единичного радиуса вокруг оси z некоторой декартовой системы координат (x,y,z). Причем
центр круга лежит в плоскости (x,у) на расстоянии R от оси z и плоскость круга
перпендикулярна плоскости (х,у).
Рассмотрим в этой области, например, задачу Дирихле для уравнения Пуассона
2u 2u 2u
f ( x, y , z ), ( x, y , z ) T , u G 0.
x 2 y 2 z 2
В криволинейных координатах (r,θ,φ), связанных с декартовой системой
координат (x,у z) соотношениями
x ( R r cos )cos , y ( R r cos )sin , z r sin ,
0 2, 0 2, 0 r 1,
оператор Лапласа Δu = div grad u записывается в виде
u2
u sin rur cos
1
1
u r ,u
, r , (rur )r 2 u2 .
r ( R r cos )
r
( R r cos ) 2
r
Для построения дискретного Лапласиана в торе рассмотрим вспомогательную спектральную задачу
u(r, , ) u(r, , ) 0, (r, , ) T ,
(6.6а)
u r 1 0.
(6.6б)
Здесь можно отделить переменную по φ и представить собственную функцию в виде
uk (r, , ) vk (r, )eik , k 0, 1, 2,... ,
где функция vk(r,θ) удовлетворяет уравнению
v sin rvlk cos
k 2 vk
r , vk k
vk 0,
r ( R r cos )
( R r cos ) 2
vk |r 1 0.
(6.7а)
(6.7б)
Построим дискретизацию спектральной задачи (6.7). Для этого введем
сетку по переменным (r,θ), состоящую из точек (rν,θp):
197
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
r cos
(2 1)
,
4 Nr
1, 2,..., N r ,
p
2p
,
N
N 2n 1, p 0,1,..., 2n .
(6.8)
Для дискретизации на этой сетке двумерного оператора Лапласа Δrθ применим методику, описанную в гл. 3, а для дискретизации младших членов в (6.7а)
применим интерполяционную формулу (3.2.1). При этом значения производных по r и θ в узлах сетки получаем дифференцированием указанной интерполяционной формулы. В результате получаем приближенную дискретную задачу на собственные значения:
k vk vk 0,
где Λk – матрица размера m m, m Nr N , vk R m – вектор, компоненты которого содержат приближенные значения соответствующей собственной
функции краевой задачи (6.7) в узлах сетки (6.8). При этом узлы нумеруются,
начиная с первой окружности ν = 1, против часовой стрелки р = = 0,1,..,2пθ.
Теперь для дискретизации спектральной задачи (6.7) введем по φ сетку из
N точек
2q
q
, q 0,1,..., 2n,
N
и, учитывая сказанное в п. 6.1, получаем приближенную задачу на собственные значения в виде h-матрицы:
Hu + λu = 0.
Здесь u R M , M mN – вектор, компоненты которого содержат приближенные значения соответствующей собственной функции в узлах сетки. Причем
узлы (rν,θp,φq) нумеруются в следующем порядке: ν = 1,2,…,Nr , р =
= 0,1,…,2nθ , q = 0,1,…,2n, т. е. быстрее всего меняется индекс ν, затем р и Q.
Оценка погрешности описанного приближенного метода решения спектральной задачи (6.6) получается стандартным способом (см. гл. 1). После того как
дискретный Лапласиан построен для приближенного решения уравнения
Пуассона, требуется решить систему линейных уравнений
Hu = f.
(6.9)
Здесь u,f R M , M mN – векторы, компоненты которых содержат приближенные значения решения уравнения Пуассона и его правой части в узлах сетки.
Оценка погрешности отклонения решения дискретного уравнения Пуассона от
198
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
точного может быть получена стандартным способом. Отметим только некоторые качественные особенности. Применяемая дискретизация основана на
интерполировании решения многочленами (алгебраическими и тригонометрическими). Известно [1], что точность этой интерполяции тем выше, чем глаже
интерполируемая функция. Таким образом, описанный алгоритм не имеет
насыщения. Указанное обстоятельство позволяет проводить расчеты уравнения Пуассона с гладкой правой частью на редкой сетке.
6.3.2. Быстрое решение дискретного уравнения Пуассона.
Для того чтобы решить дискретное уравнение Пуассона (6.9), необходимо
обратить h-матрицу Н. Это делается по формуле (3.26). Затем производится
быстрое умножение этой матрицы на вектор (см. п. 3.7).
Например, при N = 27 требуется 678Nr2 N2 271Nr N операций, а прямое
умножение матрицы H-1 на вектор требует 1458Nr2 N2 27 Nr N операций. При
больших Nr и Nθ экономия составляет около 53 % операций.
Для того чтобы убедиться в устойчивости предложенного метода, следует
оценить норму матрицы H-1. Обозначим через ||.||2 спектральную норму матрицы. Тогда
H 1
2
max k1 .
2
Вычисления при R = 5 показывают, что максимум достигается при k = 0,
слабо зависит от числа узлов по переменным (r,θ) и имеет значение, близкое
к 0.1928.
6.3.3. Заключение.
Применение дискретного преобразования Фурье для быстрого решения
уравнения Пуассона в классическом двумерном случае [2] основано на том,
что разностный оператор Лапласа наследует вид собственных функций оператора Лапласа. Настоящая работа основана на аналогичном приеме: h-матрица
наследует спектральные свойства двумерного и трехмерного оператора
Лапласа. Для примера рассмотрено уравнение Пуассона в торе, но аналогичные результаты справедливы и для других задач, в результате дискретизации
которых получается конечномерная задача с h-матрицей.
199
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
6.4. Дискретизация оператора Лапласа и быстрое решение
уравнения Пуассона для внешности тела вращения.
Рассмотрим уравнение Пуассона во внешности односвязного тела вращения Ω:
2 2 2
2 2 f ( x, y, z ).
x 2
y
z
(6.10)
Пусть на границе тела вращения дΩ задано краевое условие Дирихле
Ф|дΩ = 0.
Потребуем также, чтобы решение обращалось в нуль в бесконечности. Введем криволинейную систему координат (r,θ,φ), связанную с декартовой системой координат (х,у,z) соотношениями
x = v(r,θ)cosφ, y = v(r,θ)sinφ, z = u(r,θ).
(6.11)
Если выполняются условия Коши – Римана
v
1 u
u 1 v
,
,
r
r
r r
то система координат (r,θ,φ) ортогональна и в этой системе координат лапласиан скалярной функции имеет вид
v 1 2
r rv r r v 2 2 ,
2
2
2
w (v / ) (u / ) .
r
vw2
(6.12)
Удобно считать, что (r,θ,φ) – сферические координаты, а соотношения
(6.11) задают отображение шара единичного радиуса на внешность рассматриваемого тела вращения Ω. Обозначим через G область, получаемую меридиональным сечением тела вращения Ω (т. е. тело Ω получается вращением области G вокруг оси z). Пусть ψ = ψ(ξ), ψ = u + iv, ξ = r exp(iθ) – конформное
отображение круга |ξ| 1 на внешность области G, причем центр круга переходит в бесконечность. Тогда вместо внешней задачи для уравнения (6.10)
имеем внутреннюю задачу в шаре единичного радиуса, проколотом в центре,
для уравнения (6.12). Причем в центре шара и на его границе, т. е. при z = 0 и
z = 1, ставится граничное условие Ф = 0. Далее будем считать, что конформное
отображение круга единичного радиуса на внешность области G известно. Заметим, что для численного построения конформного отображения имеются
надежные алгоритмы (см. [3, 4]).
Сделав в (6.12) замену переменных ζ = cos θ, получим
200
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
r
1 2
2 v
2
rv
1
1
,
vw2 r r
r
v 2 2
Система
координат
(6.13)
(r,,), 0 r 1, 1 1, 0 2 наиболее
удобна для поставленной выше задачи.
Для дискретизации соотношения (6.10), т. е. для построения дискретного
лапласиана, воспользуемся результатами из п. 6.1. Рассмотрев вспомогательную спектральную задачу
ΔΦ + λΦ = 0, Φ|r = 1 = 0, Φ|r = 0 = 0
и, отделив переменную по φ, получим дискретный лапласиан в виде h-матрицы:
H
2 l '
k hk , L 2l 1,
L k 0
(6.14)
где L – число узлов сетки по переменной φ (φk = 2πk/L, k = 0,1,…,L-1 – узлы
сетки), символ обозначает кронекерово произведение матриц Λk и k размера
M×M и L×L соответственно. Матрицы Λk размера M×M, M = тп получены дискретизацией дифференциального соотношения, зависящего от k:
r
vw2
1
k2
2 v
2 1
rv
1
1
1 ,
r
r
v 2
r
(6.15)
где m – число узлов сетки по r, n – число узлов сетки по ζ, Φ(r,ζ,φ) =
= Φ1(r,ζ) Φ2(φ). Штрих у знака суммы означает, что слагаемое при k = 0 берется с коэффициентом ½.
Другими словами, построена h-матрица со свойствами, аналогичными
свойствам лапласиана от скалярной функции.
Рассмотрим подробно дискретизацию дифференциального выражения
(6.15). Выберем по r сетку, состоящую из т точек,
1 1
(2 1)
r cos ,
, 1, 2,..., m,
2 2
2m
и построим интерполяционную формулу
1
m(1)1
(r ) Tm ( x)(r 1)r
(r 1)r ( x x ) , (r ),
1
sin
m
где х = 2r–1, хν = rν–1, Tm (x) = cos(m arccos х).
201
(6.16)
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
Первую и вторую производные по r, входящие в соотношения (6.15), получим дифференцированием интерполяционной формулы. По ζ выберем сетку,
состоящую из п точек,
j cos j , j (2 j 1) /(2n), j 1, 2,..., n,
и применим интерполяционную формулу
1
n(1) j 1
(6.17)
() Tn () j
( j ) , j ( j ).
j 1
sin j
Нетрудно показать, что порядок аппроксимации построенной таким образом дискретизации лапласиана зависит от гладкости решения уравнения Пуассона. Причем аппроксимация тем лучше, чем большим условиям гладкости
удовлетворяет решение уравнения Пуассона. Это следует из теорем о приближении гладких функций многочленами [11]. Другими словами, построенный
алгоритм не имеет насыщения [3]. Для небольших m и n аппроксимация интерполяционными многочленами (6.16) и (6.17) практически совпадает с многочленом наилучшего приближения в норме С. Соответственно, скорость убывания с ростом m и n погрешности дискретизации этими многочленами совпадает со скоростью стремления к нулю наилучшего приближения гладкой
функции в норме С.
Итак, для приближенного решения уравнения Пуассона (6.10) нужно решить систему линейных уравнений
HФ = f,
(6.18)
n
где матрица Н определена в (6.14), а Ф и f – векторы, компоненты которых
содержат значения соответствующих функций в узлах сетки. В гл. 3 показано,
что
2 l '
H 1 1k hk , L 2l 1,
L k 0
т. е. обращение h-матрицы сводится к обращению n + 1 матриц, Λk, k = 0,1,.. ,l и в
результате получаем также h-матрицу. Матрицы Λk вычисляются для заданной
области один раз, и поэтому требуемое для этого количество операций можно
не учитывать. Следовательно, решение дискретного уравнения Пуассона (6.6)
сводится к умножению h-матрицы H-1 на вектор. В практическом алгоритме
умножения Н-1 на вектор при N = 3μ, μ = 1,2,.. можно применить быстрое преобразование Фурье, тогда количество операций составит
m2n2(L + 8Llog3L + 2) + mn(mn – 1) + 4mn(Llog3L – l).
202
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
При μ = 3 и больших т и п получаем, что экономия числа операций составляет 53 % по сравнению с числом операций, необходимых для непосредственного умножения матрицы Н-1 на вектор. С возрастанием μ эффективность алгоритма увеличивается.
В качестве численного примера рассматривалось уравнение Пуассона во
внешности эллипсоида вращения
x 2 / b2 y 2 / b2 z 2 / a 2 1
с правой частью
2
2
2
6 2 x 2 y 2 z 2
1 4 2
2
f ( x, y, z ) 3 4 2 2 2 3 2 2 2 ,
R
R
b
b
a
R
R
b a
где R( x, y, z) x2 / b2 y 2 / b2 z 2 / a2 .
Аналитическое решение этой задачи известно:
Ф(х,у,z) = 1/R–1/R2.
Известно также конформное отображение
()
1
a b
( a b)
, | | 1.
2
Расчеты проводились на сетке из 225 (т = п = 5, L = 9) точек и на сетке из
900 (т = п = 10, L = 9) точек при а = 1, b = 0.5. В последнем случае совпадение
точного и приближенного решений составляет 4-5 знаков после запятой.
6.5. Численное исследование задачи об обтекании под углом
атаки тела вращения потенциальным потоком идеальной несжимаемой
жидкости.
Численное исследование задачи об обтекании автомобиля имеет важное
значение. В настоящее время такие исследования проводятся в аэродинамической трубе обдуванием готового автомобиля или его модели. Натурные эксперименты дороги, кроме того, требуют изготовления опытного экземпляра модели или целого автомобиля. Представляется перспективным заменить натурный эксперимент численным и исследовать аэродинамику автомобиля на
стадии проектирования. Для этого требуется выбрать математическую модель
и решить численно выписанные уравнения. Поскольку скорости движения автомобиля невысоки по сравнению со скоростью звука и составляют примерно
третью его часть, то обычно выбирается модель несжимаемой жидкости.
Кроме того, обычно предполагается, что жидкость идеальная и течение явля203
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
ется потенциальным. В такой постановке рассматриваемая задача решается панельным методом [5]. Недостатком этого метода является его насыщаемость,
т. е. он не использует информацию о гладкости решаемого уравнения Лапласа.
В настоящей работе отрабатывается методика построения алгоритма без насыщения на примере тела вращения, обтекаемого потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Построенный алгоритм использует априорную информацию о гладкости решения уравнения Лапласа. Проведенные расчеты показывают перспективность его применения в задаче об обтекании
автомобиля потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Количество узлов сетки по сравнению с методом конечных элементов может
быть уменьшено в 10 раз при получении в результате такой же точности.
Осесимметричная задача, т. е. обтекание тела вращения под нулевым углом
атаки, решалась в [3] методом конечных элементов. Точность полученного решения невысока. В настоящей работе исследуется более общее течение под
ненулевыми углами атаки. Предложенный численный алгоритм не имеет
насыщения [3], т. е. его точность автоматически реагирует на гладкость решения. Это позволяет проводить расчеты с высокой точностью на редкой сетке.
Задача обтекания тела Т потенциальным потоком идеальной несжимаемой
жидкости сводится к отысканию потенциала скорости Ф = Ф(х1,х2,х3) – функции гармонической вне обтекаемого тела Т:
(6.19)
0,
0,
n T
(6.20)
grad V , при x ,
(6.21)
где n – внутренняя нормаль к телу, дT – граница тела Т, V – скорость потока
в бесконечности, |х| – длина вектора (х1,х2,х3).
Без ограничения общности можно принять, что скорость на бесконечности
V = (1,0,0). В случае шара Т = {х:|х| 1}, потенциал имеет вид Ф = х1 +
+ х1/(2|х|3).
Как окончательный выход алгоритма интересен не только потенциал скорости, но и давление и вектор скорости, особенно на поверхности обтекаемого
тела. Давление вычисляется по формуле, вытекающей из интеграла Бернулли:
1
1
p1 V 2 p 1 V 2 , V grad ,
2
2
204
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
где р – давление на бесконечности, ρ – плотность, V, V – модули скорости.
Если в соотношениях (6.19) – (6.21) произвести замену Ф = х1– Ф1, то Ф
гармонична в области Ω = R3\T:
1
(6.22)
cos(n, x1 ),
n
(6.23)
1 0 при | x | .
Так же, как в п. 6.4 введем криволинейную систему координат (r,θ,φ), связанную с декартовыми координатами (х1,х2,х3) соотношениями:
x1 = v(r,θ)cosφ, x2 = v(r,θ)sinφ, x3 = u(r,θ).
Если выполняются условия Коши – Римана:
v
1 u
u 1 v
,
,
r
r
r r
(6.24)
то система координат (r,θ,φ) ортогональна, и в этой системе координат Лапласиан скалярной функции имеет вид
v 1 2
2
2
2
r rv r r v 2 2 , (v / ) (u / ) .
Обозначим G область, получаемую меридиональным сечением тела вращения Т. Пусть ψ = ψ(ξ), ψ = u + iv, ξ = rexp(iθ) – конформное отображение круга
|ξ| 1 на внешность области G, причем центр круга переходит в бесконечность,
тогда r | () | .
r
v2
Удобно считать, что (r,θ,φ) – сферические координаты, тогда соотношения
(6.24) задают отображение проколотого в центре шара единичного радиуса на
внешность рассматриваемого тела Т. В результате замены (6.24) соотношения
(6.22), (6.23) принимают вид
1
r
| | f (, ) f1 (, ),
(6.25)
r 1
1 r 0 0,
(6.26)
где f(θ,φ) получается из соs(п,х1) заменой (6.24).
Знак в формуле (6.25) выбран с учетом того, что при отображении (6.24)
внутренняя нормаль к телу переходит во внешнюю.
Произведем еще одну замену:
Φ2(r,θ,φ) = Φ1(r,θ,φ) – rf1(θ,φ),
205
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
тогда из соотношения (6.25), (6.26) получаем
2
r
2
0,
(6.27)
r 1
r 0
0.
(6.28)
Теперь функция Φ2(r,θ,φ) не гармоническая, а удовлетворяет уравнению
Пуассона
(6.29)
2 (rf1 (, ) F (r, , )
с однородными краевыми условиями (6.27), (6.28).
Рассмотрим, например, эллипсоид вращения
x12 x22 x32
1 0.
b2 b2 a 2
Тогда:
1
ab
u (r , ) (a b)r
cos ,
2
r
1
ab
v(r , ) (a b)r
sin ,
2
r
2
2
1
( a b) 2
1
( a b) 2
2
2
2 (a b)r
sin
(
a
b
)
r
cos ,
4
r
4
r
f1 (, ) a sin cos ,
F (r , , ) a
r cos
1
ab 2
(b a) sin 2 (b a) r
cos
2
r
2 v
r sin cos
.
v2
Например, для шара (а = 1,b = 1) F (r, , ) 2 x3 sin cos , а решение кра r2
евой задачи (6.27) – (6.29) есть 2 (r , , ) r sin cos .
2
Если Φ2 найдено, то для эллипсоида Ф = v(r,θ)cosφ-Φ1(r,θ,φ).
Для дискретизации краевой задачи (6.27) – (6.29) применим подход, предложенный в п. 6.1. Таким образом, получаем дискретный Лапласиан в виде hматрицы:
2 l '
H k hk , L 2l 1,
L k 0
206
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
где штрих у знака суммы означает, что слагаемое при k = 0 берется с коэффициентом 1/2, символ обозначает кронекерово произведение матриц Λk и hk
размера M×M и L×L соответственно. Матрицы Λk размера M×M, M = тп получены дискретизацией дифференциального соотношения, зависящего от k:
r
v2
2 v 2 k 2
r rv r r 2 2 , k 0,1,..., L 1
v
(6.30)
с краевыми условиями (6.27), (6.28), где m – число узлов сетки по r, n – число
узлов сетки по θ.
Для дискретизации дифференциального оператора (6.30) выберем по θ
сетку, состоящую из n узлов:
(2 1)
( x 1), x cos ,
, 1, 2,..., n,
2
2n
и применим интерполяционную формулу
n
Tn ( x) f
1
f ()
, x (2 ), f f ( ), 1, 2,..., n;
1
(
1)
1
n
( x x )
(6.31)
sin x
Tn ( x) cos (n arc cos( x)).
Первую и вторую производные, входящие в соотношения (6.30), получим
дифференцированием интерполяционной формулы (6.31).
По r выбираем сетку, состоящую из m узлов:
1
(2 1)
r ( y 1), y cos ,
, 1, 2,..., m,
2
2m
и рассмотрим интерполяционную формулу
n
m
1
p 0
'
g (r ) l (r ) g , g g (r ), l (r ) p rTp (2r 1) cm r (r 1)Tm ,
p
(6.32)
m 1
4 cos
, cm p (1 2 p 2 ).
m(cos 1)
p 0
Заметим, что l (0) 0, l (1) 0, т. е. краевые условия (6.27), (6.28) выполнены. Первую и вторую производные, входящие в соотношение (6.30), получим дифференцированием интерполяционной формулы (6.32).
207
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
После того, как матрицы Λk , k = 0,1,..,l построены для приближенного решения краевой задачи (6.27) – (6.29) требуется решить систему линейных уравнений
HФ2 = F,
(6.33)
где Ф2 и F – векторы, компоненты которых суть значения соответствующих
функций в узлах сетки (по φ выбирается сетка из узлов (φk = 2πk/L, k =
= 0,1,…,L-1).
В гл. 3 показано, что для обращения h-матрицы справедлива формула
2 l '
H 1 1k hk , L 2l 1,
(6.34)
L k 0
т. е. для решения системы линейных уравнений (6.33) достаточно обратить
матрицы Λk, k = 0,1,..,l после чего задача сводится к умножению h-матрицы
(6.34) на вектор.
Оценку погрешности построенной дискретизации можно получить стандартными средствами. Отметим только ее качественные особенности. Для дискретизации использовалась интерполяция решения многочленами. Известно
[1, 3] свойство приближения гладких функций интерполяционными многочленами. Это приближение тем точнее, чем большим условиям гладкости отвечает приближаемая функция. Таким образом, построенный алгоритм не имеет
насыщения, т. е. точность полученного приближенного решения тем выше,
чем большим условиям гладкости отвечает точное решение.
Конкретные расчеты проводились для шара (а = 1,b = 1) и эллипсоида (а =
1,b = 0.5) на сетке m = 7, n = 10, L = 9, т. е. состоящей из 630 узлов. Оказалось,
что для шара матрица Λ0 плохо обращается методом Гаусса. Норма (Λ0Λ0-1-I)
оказалась порядка 10-3. Пришлось применить итерационное уточнение обратной матрицы [2], после чего норма (Λ0Λ0-1–I) уменьшилась до 10-8. Однако непосредственным умножением матрицы (6.34) на вектор получить решение не
удается. Дело в том, что норма Λ0-1 оказалась порядка 1016. Норма остальных
матриц Λ1, Λ2, Λ3, Λ4 суть 105, 104, 103, 103. Пришлось применить масштабирование с коэффициентом 1010. После этого мантисса полученного приближенного решения совпала с мантиссой точного решения с 7-ю знаками после запятой (порядок отличался на 10 в соответствии с выбранным масштабным
множителем). Для эллипсоида матрица Λ0 обращалась хорошо, и итерационное уточнение обратной матрицы не потребовалось. Нормы матриц Λ0, Λ1, Λ2,
208
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
Λ3, Λ4 имели величину порядка 106, 104, 103, 103, 103, соответственно масштабирование не потребовалось (разумеется, правая часть уравнения Пуассона
(6.29) должна быть вычислена с 6–7 запасными знаками).
Отметим, что для умножения матрицы Н-1 на вектор требуется
O(m2n2LlogL) операций.
Итак, проведенные расчеты показали, что дискретная задача может быть
плохо обусловленной. Поэтому при практическом применении алгоритма следует следить за качеством обращения клеток h-матрицы Λ0, Λ1,…,Λl. В случае
необходимости применять итерационное уточнение обратной матрицы. Также
следует следить за нормой полученных матриц Λ0-1,Λ1-1,…,Λl-1и применять,
если потребуется, масштабирование и вычисление правой части уравнения
Пуассона с запасными знаками.
6.6. Численное исследование уравнений Стокса.
Рассматривается внешняя задача для линеаризованных стационарных уравнений Навье – Стокса (уравнений Стокса) при обтекании тела вращения с малыми числами Рейнольдса. Относительно направления вектора скорости в невозмущенном потоке не делается никаких предположений. Таким образом, в
общем случае задача трехмерна. В результате численного исследования этих
уравнений установлена их плохая обусловленность. Предложен численный алгоритм решения плохо обусловленных уравнений Стокса, который не имеет
насыщения, т. е. его точность тем выше, чем большим условиям гладкости
удовлетворяет искомое решение.
6.6.1. Постановка задачи и выбор системы координат.
В декартовых координатах (х1,х2,х3) система уравнений Стокса имеет вид
p
1
vi , i 1, 2,3,
(6.35)
xi Re
v1 v 2 v 3
0,
x1 x2 x3
(6.36)
где Re – число Рейнольдса; (v1,v2,v3) – вектор скорости; р – давление. Входящие
в уравнения (6.35), (6.36) зависимые и независимые переменные обезразмерены стандартным способом. За характерные величины принимаются харакерный линейный размер La и модуль вектора скорости потока в бесконечности
v , тогда, например, p ( P p ) /(v2 ) (Р – размерное давление, ρ – плотность жидкости, p – давление в невозмущенном потоке (в бесконечности)).
209
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
Таким образом, для определения параметров потока, вектора скорости
(v1,v2,v3) и давления р требуется найти решение системы уравнений (6.35),
(6.36), удовлетворяющее следующим граничным условиям:
vi
0, i 1, 2,3, vi
vi , i 1, 2,3, p 0.
Здесь Ω – рассматриваемое тело вращения вокруг оси х3; дΩ – его граница;
vi (i 1, 2,3) скорость жидкости в невозмущенном потоке (в бесконечности).
Следствием уравнений (6.35), (6.36) будет соотношение
Δр = 0
(6.37)
т. е. давление является гармонической функцией вне тела вращения. Это обстоятельство используется ниже.
Введем систему криволинейных координат (r,θ,φ), связанную с декартовыми координатами (х1,х2,х3) соотношениями
x1 = v(r,θ)cosφ, x2 = v(r,θ)sinφ, x3 = u(r,θ).
(6.38)
Обозначим G область, получаемую меридиональным сечением тела Ω, и
выберем функции и и v следующим образом. Пусть ψ = ψ(z), ψ = u + iv,
z = rexp (iθ) – конформное отображение круга |z| 1 на внешность области G,
причем центр круга переходит в бесконечно удаленную точку. Удобно считать
(r,θ,φ) сферическими координатами, тогда соотношения (6.38) задают отображение шара единичного радиуса на внешность тела Ω.
Для эллипсоида вращения вокруг оси х3
x12 x22 x32
1 0
b2 b2 a 2
(6.39)
функции u и v известны в аналитическом виде (см. п. 6.4). Поверхность шара единичного радиуса переходит при отображении (6.38) в поверхность тела Ω. Тогда
краевые условия, заданные на дΩ, переносятся на поверхность шара, а краевые
условия, заданные в бесконечности, переносятся в центр шара.
Обычно при использовании криволинейных координат уравнения для векторных величин записываются в проекциях на оси собственного базиса, координатные векторы которого направлены по касательным к координатным линиям. Этот базис зависит от координат точки пространства. В данном случае
такой подход неудобен, так как отображение (6.38) теряет однозначность на
оси х3 (если v = 0, то φ любое). Это вызывает появление особенностей в реше-
210
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
нии, которые вызваны не существом дела, а "плохой" системой координат. Отметим, что сферическая система координат обладает аналогичным недостатком.
Выход из этого положения следующий: оставим в качестве искомых функций проекции вектора скорости Vi(i = 1,2,3) на оси декартовой системы координат, а независимые переменные х1, х2, х3 заменим подстановкой (6.38) на r,
θ, φ. Тогда получаем
p
p 1
p
1
cos cos sin
(V 1 f1 ),
(6.40)
r
v
Re
sin
p
p 1
p
1
sin cos
(V 2 f 2 ),
r
v
Re
(6.41)
rv p rvr p 1
2
(V 3 f3 ),
2
w r w Re
cos
(6.42)
V 1
V 1 1
V 1
V 2
V 2
cos
sin
sin
sin
r
v
r
rv p rvr p
1
V 2
cos
2
f4 ,
v
w r w2
(6.43)
Где
(r , ) ru / w2 , ( w2 u2 v2 );
(r , ) (1 ru vr / w2 ) / v ;
f i rvi (1 rvr / v) / w2 , (i 1, 2,3);
(6.44)
f 4 v cos v sin v rv / w ;
1
2
3
2
v i (1 r )vi V i , (i 1, 2,3).
i
Замена искомых функций vi на V (i = 1,2,3) по формуле (6.44) произведена
для того, чтобы сделать краевые условия для скорости однородными:
V i |r = 0 = V i |r = 1 = 0, i = 1,2,3.
(6.45)
Это требуется для более удобной дискретизации лапласиана. Для давления
имеем краевое условие
p|r = 0 = 0.
(6.46)
Лапласиан от функций Vi(i = 1,2,3) для переменных (r, θ, φ) принимает вид
211
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
V i v V i 1 2V i
(6.47)
.
rv
r r v 2 2
r
Итак, требуется решить уравнения (6.40) – (6.43) в шаре единичного радиуса с краевыми условиями (6.45), (6.46).
V i
r
vw2
6.6.2. Дискретный лапласиан и дискретные уравнения Стокса.
Для дискретизации лапласиана (6.47) с однородными краевыми условиями
(6.45) применим методику, описанную в п. 6.1.
Таким образом, получаем дискретный лапласиан в виде h-матрицы:
2 l '
H k hk , L 2l 1.
(6.48)
L k 0
Здесь штрих означает, что слагаемое при k = 0 берется с коэффициентом 1/2;
знак кронекерово произведение матриц; h-матрица размера L х L с элементами
2(i j )
hkij cos k
, i, j 1, 2,..., L;
L
Λk – матрица дискретного оператора, соответствующего дифференциальному оператору
r
vw2
v k 2
r rv r r 2 , k 0,1,..., l
v
(6.49)
с краевыми условиями
Ф|r = 0 = Ф|r = 1 = 0.
(6.50)
Для дискретизации дифференциального оператора (6.49), (6.50) выберем
по θ сетку, состоящую из n узлов:
(2 1)
( y 1), y cos ,
, 1, 2,..., n,
2
2n
а также применим интерполяционную формулу
n
Tn ( x) g
1
g ()
, y (2 ),
1
(1)
1
n
( y y )
sin
g g ( ), 1, 2,..., n; Tn ( x) cos(narc cos( x)).
212
(6.51)
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
Первую и вторую производные по θ, входящие в соотношения (6.49), получим дифференцированием интерполяционной формулы (6.51).
По r выберем сетку, состоящую из m узлов:
1
(2 1)
r ( z 1), z cos ,
, 1, 2,..., m,
2
2m
а также применим интерполяционную формулу
Tm (r )(r 1)rqk
, q q (r ),
(1)1
1
m
(r 1)r ( z z )
sin
m
q(r )
z 2r 1.
(6.52)
Первую и вторую производные по r, входящие в выражение (6.49), найдем
дифференцированием интерполяционной формулы (6.52). Дифференцированием интерполяционных формул (6.51), (6.52) получим значения производных
по θ и r, входящих в левую часть уравнения неразрывности (6.43).
Для дискретизации производных от давления по r используем интерполяционную формулу
m
Tm (r )rq
q(r )
.
(6.53)
1
(
1)
1
m
r ( z z )
sin
Величины, входящие в формулу (6.53), определены выше. Значения первой
производной от давления по r, входящие в левую часть соотношений
(6.40) – (6.42), получим дифференцированием интерполяционной формулы
(6.53).
Для построения формулы численного дифференцирования по φ рассмотрим интерполяционную формулу
2 2l
s() Dl ( k ) sk , L 2l 1, sk s(k ),
L k 0
(6.54)
k 2k / L, k 0,1,..., 2l;
l
Dl ( k ) 0,5 cos j ( k ).
j 1
Значения производных по φ определим дифференцированием формулы
(6.54).
213
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
Для получения дискретных уравнений Стокса нужно в уравнениях (6.40) –
(6.43) заменить производные дискретными производными, найденными дифференцированием соответствующих интерполяционных формул (6.51) –
(6.54); лапласиан заменяется на матрицу Н. Вместо функций V1, V2, V3 и р в
дискретные уравнения Стокса войдут значения этих функций в узлах сетки
( , r , k ), 1, 2,..., n, 1, 2,..., m, k 0,1,..., 2l. В результате имеем систему из 4тпL линейных уравнений. В явном виде система дискретных уравнений не выписывается из-за ее громоздкости. Например, при т = п = 0, L = 9
порядок системы уравнений 3600.
Для исследования числа обусловленности этой системы линейных уравнений вычислялись собственные значения оператора Лапласа с однородными
краевыми условиями (6.45). Для этого достаточно вычислить собственные значения матриц Λk , k = 0,1,…,l. Вычислительные эксперименты показали, что
собственные значения оператора Лапласа имеют две точки сгущения: 0 и
. Таким образом, нормы матриц H и Н-1 имеют большие значения, которые
быстро растут с увеличением числа узлов сетки. В этом состоит отличие внешних задач по сравнению с внутренними.
Матрица дискретных уравнений Стокса имеет блочный вид
H 0 0 P1
A
0 H 0 P2
0 0 H P3
,
u1 u2 u3 0
где H – дискретный лапласиан; Рi (i = 1,2,3) – матрицы, получаемые при дискретизации членов с давлением; ui (i = 1,2,3) – матрицы, получаемые при дискретизации уравнения неразрывности. Все эти матрицы размера R × R (R =
= тпL – число узлов сетки). Обозначим
H 0 0
An 1 0 H 0 , vn (u1 , u2 , u3 ), un ( P1 , P2 , P3 ),
0
0 H
и будем разыскивать матрицу, обратную матрице А, в виде
A1
Pn 1 rn
qn
214
n1
.
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
Здесь Рn-1 – матрица размера 3R×3R; qп = (q1,q2,q3), где qi (i = 1,2,3) – матрицы
размера R × R; rп = (r1,r2,r3)', где ri (i = 1,2,3) – матрицы размера R×R. Тогда
получаем
qn n1vn An11 , Pn 1 An11 An11un n1vn An11 , rn An11un n1
( n u1 H 1 p1 u2 H 1 p2 u3 H 1 p3 – матрица размера R×R).
Таким образом, легко видеть, что из-за описанных выше свойств матриц H
и Н-1 норма матриц А и А-1 имеет большое значение, которое растет с увеличением числа узлов сетки, т. е. система дискретных уравнений Стокса плохо обусловлена. Это является следствием плохой обусловленности дифференциальных
уравнений Стокса в неограниченной области (внешности тела вращения) и вызвано строением спектра оператора Лапласа в данной области.
Ниже будет рассмотрен приближенный метод решения плохо обусловленных дискретных уравнений Стокса, а сейчас обсудим свойства проведенной
дискретизации. Классический подход к дискретизации уравнений математической физики состоит в замене производных конечными разностями. Этот подход обладает существенным недостатком: он не реагирует на гладкость решения рассматриваемой задачи математической физики, т. е. погрешность дискретизации не зависит от гладкости разыскиваемого решения. Другими
словами, разностные алгоритмы приводят к численным методам с насыщением [3]. Поэтому выше для дискретизации уравнений Стокса применялась
интерполяция решения многочленами (алгебраическими или тригонометрическими). Производные от искомых функций, входящие в уравнения Стокса, вычислялись дифференцированием интерполяционных формул. Данный метод
дискретизации не имеет насыщения, поскольку интерполяционный многочлен
приближает искомую функцию тем точнее, чем большим условиям гладкости
она удовлетворяет [1]. Такое свойство алгоритма позволяет вести расчеты на
достаточно редкой сетке, когда число обусловленности дискретных уравнений
Стокса не очень велико.
6.6.3. Определение давления.
Выше указывалось (см. п. 6.3), что давление – гармоническая функция. Рассмотрим более общую задачу на собственные значения для оператора Лапласа
в проколотом в центре шаре единичного радиуса:
p p,
p r 0 0.
(6.55)
При этом нас интересуют собственные функции краевой задачи (6.55), соответствующие нулевому собственному значению λ = 0. Замена соотношения
215
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
(6.37) на более общую задачу (6.55) объясняется тем, что методы решения конечномерных задач на собственные значения хорошо разработаны [6], так же
как и методы дискретизации лапласиана (см. гл. 3).
В дискретном виде краевая задача (6.55) сводится к вычислению собственных значений h-матрицы, т. е. к решению алгебраической проблемы собственных значений:
Hp = λp
(6.56)
где р – вектор длины птL, компоненты которого содержат значения искомого
давления в узлах сетки. Матрица Н строится по формуле (6.48). Однако для
численного дифференцирования по r применяется интерполяционная формула
(6.53), удовлетворяющая краевому условию (см. 6.21). Решая конечномерную
задачу (6.56), определяем собственные значения, близкие к нулю. Соответствующий собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя с. Подставив найденное давление в дискретные уравнения Стокса,
легко определим из уравнений движения компоненты скорости. Для этого требуется обратить h-матрицу по формуле
2 l '
H 1 1k hk , L 2l 1,
L k 0
и вычислить произведение полученной матрицы на некоторые векторы. Эта
формула проверяется непосредственным умножением.
Теперь осталось подобрать константу с так, чтобы выполнялось уравнение
неразрывности. Подставим в уравнение неразрывности найденные компоненты скорости и для определения константы с получим R = тпL уравнений,
т. е. переопределенную систему линейных уравнений, которая служит для отбраковки "лишних" решений и нахождения константы с. Для искомого решения константы с, определяемые из дискретного уравнения неразрывности, обязательно должны быть примерно равными, и за искомую константу с можно
принять любую из них или среднее арифметическое всех полученных констант. Для посторонних решений константы с сильно отличаются, и такие решения должны быть отброшены.
Заметим, что вычисление собственных значений и собственных векторов
h-матрицы сводится к вычислению собственных значений и собственных векторов матриц Λk , k = 0,1,..,l меньшего размера. Таким образом, удается определить все собственные значения и собственные векторы h-матрицы размера
900×900.
216
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
6.6.4. Результаты численных экспериментов.
Численные расчеты проводились для шара с а = b = 1 и эллипсоида вращения
с а = 1, b = 0,5; 0,95 (см. 6.5) на сетке, состоящей из 225 узлов (m = п = 5, L =
9), 900 узлов (m = п = 0, L = 9) и 2025 узлов (m = п = 15, L = 9). В качестве
граничного условия по скорости в невозмущенном потоке (в бесконечности)
рассматривалось течение с параметрами v1 1, v2 v3 0. Во всех расчетах
принималось Rе = 0,01.
Вначале обсудим результаты расчетов для шара. На сетке из 225 узлов (m =
п = 5, L = 9) у матрицы Λ0 определены два близких к нулю собственных значения: Λ24 = -0,3×10-5 и Λ23 = -0,7×10-18, остальные собственные значения
имели порядок от 10-2 до 102. У матрицы Λ1 определено одно собственное значение, близкое к нулю: Λ24 =
-0,5×10-5. Остальные собственные значения
-2
3
порядка 10 -10 . Матрицы Λ2, Λ3, Λ4 имеют собственные значения порядка 102
-103, 10-1-104, 10-1-104 соответственно, и, следовательно, у них нет собственных значений, которые можно интерпретировать как близкие к нулю. Второй
расчет проводился на сетке из 900 узлов (m = п = 10, L = 9). Матрица Λ0 имеет
два действительных собственных значения, близких к нулю: Λ99 = = 0,2×10-11
и Λ100 = -0,4×10-18. Кроме того, имелась также комплексная пара собственных
значений, близкая к нулю, с действительными частями собственных значений
Λ97 = Λ98 = -0,5×10-7. Остальные собственные значения имели порядок 10-3103. Матрица Λ1 имеет близкое к нулю действительное собственное значение
Λ100 = -0,2×10-12. Кроме того, есть близкая к нулю комплексная пара с действительными частями собственных значений Λ98 = = Λ99 = -0,2×10-8. Остальные
собственные значения порядка 10-4-104. Собственные значения матриц Λ2, Λ3,
Λ4 имели порядок 10-6–105, 10-4–105, 10-3–105 соответственно. Итак, проведенные расчеты показывают, что для шара единичного радиуса у h-матрицы четыре семейства собственных векторов, дающих близкие к нулю собственные
значения (заметим, что собственное значение матрицы Λ1) двукратное.
Вычисление собственных векторов h-матрицы для шара проводилось на
сетке из 900 узлов (m = п = 10, L = 9). Искомые четыре семейства собственных
функций задачи (6.55) для шара единичного радиуса легко угадываются. Собственные векторы h-матрицы, отвечающие близким к нулю действительным
собственным значениям матрицы Λ0, дают два семейства собственных функций, не зависящих от φ.
p1 = cr
(6.57)
соответствует собственному значению Λ100 матрицы Λ0, а
217
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
p2 c1r ln((1 cos ) /(1 cos )) c2 r
(6.58)
соответствует собственному значению Λ99 матрицы Λ0. Точнее говоря, одно из
инвариантных подпространств оператора Лапласа (6.55), отвечающее нулевому собственному значению, имеет вид (6.58), т. е. двумерно. В расчетах получается два близких к нулю собственных значения матрицы Λ0 размера
100×100 (Λ100 и Λ99). Как уже говорилось выше, собственному значению Λ100
соответствует собственная функция вида (6.57) (это подтверждается численными расчетами), а собственному значению Λ99 – некоторая собственная
функция из семейства (6.58).
Собственные векторы h-матрицы, отвечающие действительному близкому
к нулю собственному значению Λ100 матрицы Λ1, дают два семейства собственных функций, зависящих от φ.
(6.59)
p3 c3 r 2 sin cos ,
p4 c4 r 2 sin sin .
(6.60)
Семейство собственных функций (6.59) соответствует решению, приведенному в [7] для шара. Семейства (6.57), (6.58), (6.60) дают посторонние решения, не удовлетворяющие уравнению неразрывности (см. п. 3).
Далее проводилось вычисление константы с3 из уравнения неразрывности
(см. п. 3). За искомую константу принималось среднее арифметическое близких друг к другу констант, определяемых из дискретного уравнения неразрывности. Получено значение с3 = 144,09 (собственный вектор матрицы Λ1, отвечающий собственному значению Λ100, нормировался по максимуму модуля).
Найденное приближенное решение сравнивалось с точным [27]. Вычисления
показывают, что максимальная относительная погрешность составляет
0,26 %.
Второй расчет проводился для эллипсоида с полуосями а = 1, b = 0,5. На
сетке из 225 узлов (m = n = 5, L = 9) получено, что у матрицы Λ0 есть одно
собственное значение, близкое к нулю: Λ25 = -0,3×10-5. Остальные собственные значения были порядка 10-2-102. Собственные значения матриц Λ1, Λ2, Λ3,
Λ4 имели порядок 10-2–103, 10-2–104, 10-1-104, 10-1-105. Таким образом, число
узлов сетки явно недостаточно. На сетке из 900 узлов (m = n = 10, L = 9) матрица Λ0 имеет два близких к нулю собственных значения: Λ99 = = 0,4×10-6, Λ100
= 0,2×10-9, остальные собственные значения порядка 10-3-104. Матрица Λ1
имеет одно собственное значение, близкое к нулю: Λ94 = 0,3×10-5, остальные
собственные значения порядка 10-3–104. Матрицы Λ2, Λ3, Λ4 имеют собственные значения порядка 10-3–105, 10-3–105, 10-2–106.
218
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
Далее проводились расчеты на сетке из 2025 узлов (m = n = 15, L = 9). Вычислялись собственные значения матриц Λ0 и Λ1. Матрица Λ0 имеет два близких к нулю собственных значения: Λ224 = -0,1×10-9, Λ225 = -0,2×10-13. Остальные собственные значения порядка 10-5-104. Матрица Λ1 имеет одно собственное значение, близкое к нулю: Λ221 = -0,1×10-8. Остальные собственные
значения порядка 10-4-105. Таким образом, h-матрица для эллипсоида также
имеет четыре семейства собственных векторов, соответствующих близким к
нулю собственным значениям матриц Λ0 и Λ1. Нас интересует четная по φ собственная функция, отвечающая близкому к нулю собственному значению
матрицы Λ1 (возмущение соответствующей собственной функции для шара).
Приближенное вычисление этой собственной функции проводилось на сетке
из 900 узлов (m = n = 10, L = 9).
Результаты расчета показывают, что константы сi (i = 1,2,..,900) достаточно
сильно отличаются друг от друга со средним значением 318,31. Очевидно, что
900 узлов недостаточно для нахождения этой собственной функции (напомним, что собственное значение матрицы Λ1, отвечающее искомому собственному вектору, имеет порядок 10-5, т. е. недостаточно близко к нулю). Для проверки этой гипотезы были проведены расчеты для эллипсоида с полуосями а
= 1, b = 0,95 на сетке из 900 узлов. Вычислялись собственные значения матриц
Λ0 и Λ1. Оказалось, что матрица Λ0 имеет два близких к нулю собственных значения: Λ99 = 0,2×10-11 и Λ100 = 0,1×10-16. Кроме того, имелась близкая к нулю
комплексная пара собственных значений с действительными частями собственных значений Λ97 = Λ98 = -0,6×10-7. Остальные собственные значения
были порядка 10-3 – 103. Матрица Λ1 имеет одно действительное близкое к нулю
собственное значение Λ100 = 0,2×10-12 и комплексную пару с действительными
частями собственных значений Λ98 = Λ99 = -0,2×10-8. Вычисление собственного вектора проводилось для собственного значения Λ100 матрицы Λ1. Разброс сi (i = 1,2,..,900) составил от 147,85 до 160,57 со средним значением с =
152,36. Максимальная относительная погрешность отличия полученного решения от решения в шаре 6 %. Таким образом, для применения этого приближенного решения дискретных уравнений Стокса расчетная сетка должна быть
такова, чтобы близкие к нулю собственные значения h-матрицы (6.56) были
порядка 10-12.
Расчеты проводились на ПЭВМ типа АТ-386 с тактовой частотой 25 МГц
и объемом оперативной памяти 640 килобайт. Как видно из описанных выше
расчетов, для численного исследования доступны задачи об обтекании тел,
близких к шару при малых числах Рейнольдса, потоком вязкой несжимаемой
219
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
жидкости. Для изучения обтекания тел сложной формы необходимо использовать более мощную ЭВМ.
6.7. Об уравнении Пуассона в цилиндре.
Рассматривается трехмерное уравнение Пуассона в цилиндре с неоднородными краевыми условиями и правой частью обеспечивающими гладкость решения. Для приближенного нахождения этого решения построен численный
алгоритм без насыщения. Указан эффективный способ решения соответствующей дискретной задачи.
6.7.1. Введение.
Выше в п. 6.2 описана дискретизация уравнения Пуассона в прямоугольнике с однородными краевыми условиями. В этой методике требование однородности краевых условий существенно, поскольку идея дискретизации состоит в построении конечномерной задачи со спектральными свойствами, аналогичными дифференциальной задаче. Вместе с тем практические задачи
часто приводят к уравнению Пуассона с неоднородными краевыми условиями.
В качестве примера можно привести задачу о деформации горного массива
над нефтяным пластом, вызванную падением давления в пласте после откачки
нефти. Если считать горный массив упругим телом, то объемное расширение
удовлетворяет уравнению Пуассона. В качестве области, в которой это уравнение рассматривается, можно выбрать цилиндр с достаточно большим радиусом основания, снося на его поверхность граничные условия из бесконечности.
Ниже построен численный алгоритм без насыщения [3] для уравнения
Пуассона в цилиндре с неоднородными краевыми условиями. Особенности
численных алгоритмов без насыщения является то, что они в отличие от разностных методов приводят к дискретной задаче с полностью заполненной матрицей, эффективное решение которой и представляет основную трудность.
Ниже подробно описан прием, позволяющий свести обращение матрицы большого размера к обращению нескольких матриц меньшего размера. Можно сказать, что, вместо решения трехмерной задачи, решается несколько двумерных
задач. В случае кругового цилиндра задача еще упрощается и сводится к решению нескольких одномерных задач.
Описание методики проведем для случая кругового цилиндра. По ходу изложения будет сказано, как обобщить эти результаты на случай цилиндра с
произвольным основанием.
220
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
6.7.2. Постановка задачи и дискретизация.
Рассматривается уравнение Пуассона с краевым условием Дирихле
(6.61)
u f 0 ,
u G g .
(6.62)
Решение ищется в круговом цилиндре единичного радиуса, т. е. в области
G = {r 1;a z b} , где (r, ,z) – цилиндрические координаты. Для примера
рассмотрено краевое условие Дирихле. Проведенные ниже рассуждения без
труда обобщаются на другие типы краевых условий.
Будем обозначать: ga = ga (r, ) – граничное условие на донышке цилиндра
(z = a); gb = gb (r, ) – граничное условие на крышке цилиндра (z = b); gc = gc (
, z) – граничное условие на боковой поверхности цилиндра.
u r ,u
2u
,
z 2
(6.63)
где r , – плоский оператор Лапласа. Из (6.63) следует
u(,z) = -
2
2u
K
(
,
)
f
(
,
z
)
d
0 K0 (, ) gc (, z)d .
z 2
||1
(6.64)
1
ln (1 ) /( ) , exp(i), r exp(i) – функция
2
Грина оператора Лапласа с краевым условием Дирихле (однородным);
Здесь K (, )
K 0 (, )
1
1 2
, exp(i) – ядро Пуассона.
2 1 2 2 cos( )
Выберем в круге (сечение цилиндра плоскостью z = const) сетку из m
окружностей и N = 2n + 1 точек на каждой окружности. На границе круга
также выберем N = 2n + 1 точек. Причем радиус -й окружности
r = cos(2 1) / / 4m), 1,2,...,m. По окружностям узлы располагаются через равные углы l 2 l/N, l = 0,1,..,2n.
Применим для функции
F (, z ) f (, z )
221
2u
z 2
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
интерполяционную формулу К. И. Бабенко для функции двух переменных в
круге 3.2.1, а для функции gc ( , z) применим интерполяцию тригонометрическим многочленом (здесь z – фиксировано), тогда из (6.64) получаем приближенное значение u(, z) для функции u(, z)
u(, z) =
2n
H ( ) F ( , z ) H
i
i
j 0
i
0
j
( ) g c ( j , z ),
(6.65)
где
H i ( )
K (, )li ()d , H 0j
||1
n
2
(0.5 l cos l ( j )), exp(i).
N
l 1
Здесь li () , i = 1,2,..,R, R = mN – фундаментальные функции интерполяционной формулы К. И. Бабенко в круге. Конкретный вид этих функций приведен
в гл. 3. Для дальнейших рассуждений он неважен.
Проведем теперь дискретизацию 2 v / z по z. Выберем для v(, z) интерполяционную формулу по k узлам
(, z )
(1) k 1 ( x 1)
2(1 x 2 ) k
1
Tk ( x) g a ()
2
2
k
j 1 sin j
k 1
q 0
'
~
cos(q j )Tq ( x) v(, z j )
( x 1)
Tk ( x) g b ().
2
(6.66)
Здесь
(, z)
–
приближенное
значение
функции
v(, z),
Tk ( x)
cos(k arccos x) – многочлен Чебышева степени k; z = ((b –a)x + a + b)/2;
j (2 j 1) / 2k , x j cos j ; z j ((b a) x j a b) / 2, j = 1,2,..,k; штрих у
знака суммы означает, что слагаемое при q = 0 берется с коэффициентом ½.
Обозначим
La ( x)
2(1 x 2 ) 1
(1)k 1 ( x 1)
Tk ( x), L j ( x)
k
sin 2 j
2
k 1
cos(q )T ( x),
'
q 0
j
q
( x 1)
Tk ( x).
2
Дифференцируя (6.66) два раза по z, получим
Lb ( x)
~
k
~
2 v
4
( L''a ( x) ga () L''j ( x) v(, z j ) L''b ( x) gb ()).
2
2
z
(b a)
j 1
222
(6.67)
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
Обозначим
(, z ) H p ( )[ f ( p , z )
p
4
{L''a ( x) g a ( p )
(b a ) 2
2n
L ( x ) g b ( p )]} H ( ) g c (q , z ),
''
b
Dij
q 0
(6.68)
0
q
4
Lj ( xi ); i,j = 1,2,..,k
(b a)2
матрицу размера k×k. Тогда из (6.65), (6.67) получаем
k
~
u ( q , zi ) H qp Dij u ( p , z j ) ( q , z j ).
p
(6.69)
j 1
Здесь H qp H p ( q ), где p,q = 1,2,..,R пробегают узлы интерполяции в круге,
т. е. H – матрица дискретной задачи Дирихле для плоского оператора Лапласа
; zi ,i 1,2,...,k пробегает узлы интерполяции по z. Эффективный способ вычисления элементов матрицы H qp указан в гл. 3.
6.7.3. Исследование структуры конечномерной задачи.
Перенумеруем узлы в цилиндре сначала по z, а затем по , т. е. быстрее
всего меняется индекс i, потом q. Тогда имеем из соотношений (6.69) в матричной форме
(6.70)
u H Du ,
где u – вектор столбец, содержащий приближенные значения искомого решения в узлах сетки; – вектор столбец, содержащий значения соответствующей функции, см. (6.68) в узлах сетки; знаком обозначено кронекеровское
произведение матриц H и D. Размерность этих векторов N g Rk равна числу
внутренних узлов сетки. Решив конечномерную задачу (6.70), получим приближенное значение решения в узлах сетки. В остальных точках цилиндра решение может быть восстановлено по используемым в гл. 2 интерполяционным
формулам.
Таким образом, для решения системы линейных уравнений (6.70) требуется обратить матрицу I H D большого размера N g N g . Например, для
сетки m = 5, N = 11, k = 10 эта матрица 550×550, и она полностью заполнена.
Современные персональные ЭВМ позволяют работать с такими матрицами, но
223
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
время обращения достаточно большое. На ПЭВМ типа Pentium с тактовой частотой 90 Мгц время обращения матрицы 550 × 550 по стандартной программе
занимает примерно 7 мин. Кроме этого, требуется много памяти для хранения
полностью заполненной матрицы. В этом параграфе описано как преодолеть
эти трудности.
Пусть
k
D q bq , bq2 bq , bq bp 0, q p
(6.71)
q 1
есть спектральное разложение матрицы D. Такое разложение всегда можно построить, если D – матрица простой структуры, т. е. имеет полную систему собственных векторов. Поскольку по построению D – это матрица дискретного
оператора, соответствующего дифференциальному оператору d 2 dz 2 с однородными краевыми условиями при z = a и z = b, то это условие выполняется.
Далее в (6.71) bq ,q 1,2,...,k – собственные проекторы на одномерное инвариантное подпространство, q – соответствующее собственное значение. В
практических расчетах размер матрицы D невелик (k = 6 20) и спектральное
разложение можно построить, решив полную проблему собственных значений
для матриц D и D'.
k
Заметим, что I I R I k ; I k bk , тогда
q 1
k
k
k
q 1
q 1
q 1
I H D I R ( bq ) H ( q bq ) ( I R q H ) bq .
В таком случае имеем следующую формулу для обратной к матрице
I H D:
k
( I H D) 1 ( I R q H ) 1 bq ,
(6.72)
q 1
которая проверяется непосредственным умножением.
Таким образом, вместо обращения матрицы размера N g N g требуется
обратить k матриц размера R×R, т. е. размера, равного числу узлов сетки в
круге. Отметим, что I R q H – h-матрица и ее обращение сводится к обращению (n + 1) матриц размера m×m. Кроме того, для хранения h-матрицы
224
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
требуется хранить всего m2 (n 1) элементов. Теперь для того, чтобы решить систему линейных уравнений (6.70), нужно умножить правую часть
соотношения (6.72) на вектор. Если N 3 , 1,2,..., то для умножения
h-матрица на вектор можно, для уменьшения количества операций, использовать быстрое преобразование Фурье (см. гл. 3). Следовательно, для кругового цилиндра формула (6.72) дает исчерпывающее решение поставленной задачи.
Обсудим теперь изменения, которые следует внести в методику, чтобы рассмотреть цилиндр с произвольным основанием в виде области G, с гладкой
границей G. Пусть ( z), | z | 1 конформное отображение круга на область
G. Обозначим Z diag (| ' (1 ) |2 ,...,| ' ( R ) |2 ). Тогда аналогично получаем,
что в формулы этого параграфа вместо H нужно подставить матрицу HZ. Изменится также правая часть соотношения (6.71). Вместо f ( p ,z ) в (6.68)
войдет | '( p ) |2 f ( p ,z ). Эти изменения приведут к тому, что в формуле
(6.72) придется численно обращать k матриц размера R×R. Полученная после
обращения матрица будет матрицей общего вида и, для ее умножения на вектор не удастся использовать быстрое преобразование Фурье.
6.7.4. Обсуждение методики и численный пример.
Для того чтобы оценить погрешность предложенной методики, нужно выписать применяемые интерполяционные формулы с остатком и оценить погрешность дискретизации. Это делается стандартными приемами и поэтому не
рассматривается. Исследование устойчивости проводится ниже при рассмотрении конкретных расчетов. Отметим качественную характеристику методики. Выше применялась интерполяция решения многочленами: алгебраическими и тригонометрическими. Известно [1, 3] что интерполяционный многочлен приближает гладкую функцию тем точнее, чем большим условиям
гладкости она удовлетворяет, т. е. мы получили метод без насыщения. Он автоматически настраивается на гладкость решения. Гладкость решения определяется входными данными: граничными условиями и правой частью.
В качестве численного примера рассматривалось решение уравнения Пуассона в круговом цилиндре единичного радиуса при a 0, b .
Пусть u(r, , z) r 3 z 6 cos5, тогда это решение удовлетворяет соотношениям (6.61), (6.62), если
225
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
f (r, , z) (9rz 6 25rz 6 30r 3 z 4 ) cos5;
ga (r, ) 0; gb (r, ) r 3 cos5; gc (, z) z 6 cos5.
6
Расчеты проводились на сетках: m = 3, N = 11, k = 6; m = 3, N = 11, k = 8; m =
5, N = 11, k = 10; m = 3, N = 11, k = 7. Во всех случаях отклонение точного
решения от приближенного было величиной порядка 109. Получить такую
точность, используя разностную схему, практически невозможно.
Второй расчет проводился для этого цилиндра с правой частью f = 10 и
теми же граничными условиями. Приближенное решение определялось на
сетке k = 6, m = 13, N = 15. Затем по интерполяционной формуле К. И. Бабенко
вычислялись значения на оси z в точках: 0,h,2h,.., , h /10. Были получены
следующие значения 0.8269×10 2 , 1.243, 1.901, 2.211, 2.332, 2.361, 2.332,
2.211, 1.901, 1.243, 0.8269×10 2 . Дальнейшие расчеты проводились на сетках:
8×7×11; 8×7×13; 10×11×11; 9×11×11; 20×7×7; 15×9×9; 13×9×9; 5×15×15;
7×13×13. Результаты интерполировались на равномерную сетку по оси z (см.
выше). Отклонение решений во внутренних узлах сетки во всех случаях составляло величину порядка 10 2 . Из этого можно сделать вывод, что решение
не обладает высокой гладкостью. Одновременно вычислялась Чебышевская
норма матрицы ( I H D)1 . Во всех случаях эта величина была порядка 10 3
Таким образом, при численном счете существенного накопления погрешности
не происходит.
Последний рассматриваемый пример – определение объемного расширения упругого цилиндра, находящегося под действием собственного веса:
e 0, ea 0, eb (1 2)gb / E, ec (1 2)gz / E.
Решение этой задачи известно (поскольку известно решение задачи о деформации цилиндра под действием собственного веса):
e gz(1 2) / E.
Здесь , , g , E коэффициент Пуассона, плотность, ускорение свободного падения и модуль Юнга. Этот пример интересен тем, что показывает наличие
гладких решений у уравнения Пуассона в цилиндре в практически важных задачах. Расчеты проводились при реальных константах горного массива на сетках: k = 6, m = 3, N = 11; k = 3, m = 3, N = 11; k = 2, m = 3, N = 3; k = 1, m = 3,
226
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
N = 3. Абсолютная погрешность отклонения точного решения от приближенного была величиной порядка 10-15 – 10-16. Таким образом, подтверждается высокая точность методики для гладких решений.
6.8. О прогнозировании динамики ядерного реактора.
Описывается методика для численного решения уравнений трехмерной кинетики ядерного реактора с обратной связью по температуре топлива. Математически задача сводится к системе трех дифференциальных уравнений: для
плотности быстрых нейтронов, плотности ядер предшественников запаздывающих нейтронов и температуры топлива. Причем коэффициент в уравнении
для плотности быстрых нейтронов зависит от температуры топлива, и, таким
образом, рассматриваемая система дифференциальных уравнений нелинейная. Уравнение для плотности быстрых нейтронов есть следствие закона сохранения количества нейтронов в произвольном объеме с учетом процессов
рождения и захвата нейтронов. Уравнение для запаздывающих нейтронов есть
следствие аналогичного закона сохранения, но без учета диффузии медленных
нейтронов. Наконец, в уравнении теплопроводности также не учитывается
диффузия тепла, а мощность источников тепла принимается пропорциональной относительной плотности быстрых нейтронов. Начальными условиями
служат стационарные решения этих уравнений, а граничное условие третьего
рода описывает утечку нейтронов из активной зоны ядерного реактора. Меняя
параметр управления u, входящий в коэффициент уравнения для быстрых
нейтронов, можно моделировать переход реактора в нестационарный режим.
Предлагаемый численный алгоритм основан на оригинальной дискретизации
Лапласиана в цилиндрической области. Суть этого подхода состоит в использовании структуры матрицы конечномерной задачи, т. е. строится матрица, которая обладает свойствами аналогичными свойствам трехмерного оператора
Лапласа. При этом задача сводится к построению дискретизации двумерного
и одномерного операторов Лапласа. Если плоская область, лежащая в основании цилиндра, гладкая, то для таких задач имеются эффективные алгоритмы
[3]. Счет по времени осуществлялся по методике, описанной в [8]. Конкретные
расчеты проводились для кругового цилиндра на сетке из 60 узлов (4 сечения
по высоте цилиндра и по 15 точек в каждом плоском сечении) и доказали эффективность построенной дискретизации.
227
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
6.8.1. Математическая постановка задачи.
Пусть N = N (r, t) – плотность нейтронов; С = С (r, t) – плотность ядер предшественников запаздывающих нейтронов. Для их определения имеем систему
двух дифференциальных уравнений с начальными и граничными условиями
[9]:
N
(6.73)
l
M 2 N (1 )r N lC N , r ,
t
l
C
r N lC ,
t
C t 0 C0 (r ), N t 0 N 0 (r ),
N
DN
n
0, D 0
(6.74)
(6.75)
(6.76)
в некоторой цилиндрической области Ω. Здесь коэффициент реактивности
r r (r, T , u) , т. е. зависит от пространственной координаты r, температуры
топлива Т и параметра управления u. Для температуры топлива имеем уравнение
dT (r , t )
N (r , t )
T (r , t ) Tâ (r ) (T0 (r ) Tâ ( r ))
.
(6.77)
dt
N 0 (r )
Здесь τ – характерное время остывания среды
T |t 0 T0 (r ).
(6.78)
Причем величины Т0(r) и Тв(r) связаны некоторой физической зависимостью. Смысл остальных параметров в уравнениях (6.73) – (6.76) следующий:
l – среднее время жизни быстрого нейтрона до его поглощения; М – длина
диффузии нейтрона (М2 – площадь миграции); β – доля запаздывающие
нейтронов; Λ – постоянная распада (среднее количество запаздывающие
нейтронов, выпускаемых на 1 секунду осколками деления); 1/D – длина экстраполяции.
В уравнениях (6.73), (6.74) принимается, что плотность нейтронов
N = = N(r,t) и плотность ядер предшественников запаздывающих нейтронов
С = С(r,t) зависит от координаты r (точки внутри цилиндра Ω) и времени t.
Пусть Тx – характерное время, L – характерный линейный размер. Обозначим
a
M 2Tx
T
T
, b x , c x , d
.
2
l
l
Tx
L l
228
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
За безразмерными зависимыми и независимыми переменными и постоянной τ оставим прежние обозначения. Тогда вместо уравнений (6.73) и (6.74)
получим
N
(6.79)
aN (b(r 1) cr ) N dC, r ,
t
C
cr N dC.
t
Внешний вид остальных уравнений не меняется.
(6.80)
6.8.2. Дискретизация Лапласиана.
Опишем структуру дискретного оператора Лапласа в цилиндрической области Ω = {S×[0,l]}, где S – плоская область (основание цилиндра), l – высота
цилиндра.
В цилиндрических координатах (ρ,φ,z) трехмерный оператор Лапласа представляется в виде
,
d2
,
dz 2
(6.81)
где Δρ,φ – плоский оператор Лапласа. Собственные значения оператора Δ описываются формулой
λpq = μp + νq, p,q = 1,2,…,
где μp и νq – обственные значения оператора Δρ,φ и оператора d2/dz2 соответственно, а собственная форма является произведением соответствующие собственных форм.
Пусть h – матрица размера R×R, и В – матрица размера L×L являются дискретными аналогами плоского оператора Лапласа Δρ,φ и одномерного оператора d2/dz2 соответственно.
Эти матрицы получены в результате некоторой дискретизации из соотношений следующего вида:
hv = μv + Rh(v),
(6.82)
Bw = νw + Rb(w),
(6.83)
где v и w векторы размерности R и L соответственно, a Rh и Rb -погрешности
дискретизации. Отметим, что в соотношениях (6.82) и (6.83) μ и ν – точные
собственные значения соответствующих операторов, а v и w-точные значения
в узлах сетки соответствующих собственных форм. Рассмотрим матрицу
(6.84)
H IL h B IR ,
229
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
где IL и IR – единичные матрицы, а символ обозначает кронекерово произведение матриц. Проверим, что собственный вектор матрицы Н представляется в виде y = w v Действительно,
Hy = ( I L h B I R )(w v) = (μ + ν)y + RH, RH = w Rh + Rb v.
(6.85)
Заметим, что соотношению (6.85) удовлетворяют точные значения собственной функции оператора Δ в узлах сетки, а (μ + ν) – соответствующее точное собственное значение. Таким образом, матрица Н является дискретным
аналогом пространственного оператора Δ (дискретным оператором Лапласа).
6.8.3. Дискретизация по пространственным переменным и оценка
погрешности.
Параметры N, С и Т обозначают векторы, компоненты которых суть значения соответствующих функций в узлах сетки.
В результате дискретизации Лапласиана краевая задача (6.73) – (6.78) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
N a11 a12 0 N R( N )
d
C a21 a12 0 C 0 ,
dt
T a31 0 a33 T Tb l
(6.86)
где l = (11..1)' – вектор размерности Q (Q – число узлов сетки в цилиндре);
a11,a12,a21,a31 и a33 – матрицы размерности Q×Q. Конкретный вид этих матриц
пока не важен. Заметим, что a11 = a11(Т), a21 = a21(Т), т. е. матрицы зависят от
решения. Остальные матрицы от решения не зависят. Причем a11 – разреженая
матрица, а остальные матрицы – диагональные. Погрешность дискретизации
R = R(N) зависит от решения N. Получить для погрешности дискретизации R
конкретное выражение, можно разложив решение в ряд по собственным функциям оператора Лапласа и оценив, исходя из соотношения (6.85), погрешность
определения собственных функций. Практически решение N почти первая
собственная форма оператора Лапласа и поэтому приближается хорошо на достаточно редкой сетке.
Отбросив погрешность дискретизации R(N), получим приближенную конечную задачу. Пусть N , C è T – ее решение. Обозначим
N N N , c C C , T T T .
230
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
Для этих величин можно написать нелинейную систему дифференциальных уравнений, аналогичную (6.86). Откуда получим
d N
dt
R ( N 0 ),
t 0
d c
dt
0,
t 0
d T
dt
0.
t 0
Таким образом, в первом приближении T T , C C , а для величины
εN (при постоянном управлении u) имеем соотношение
dN
(aH bI Q (b c)r (T ) I Q ) N R,
dt
N t 0 0.
Обозначим
t
A(t ) aH bI Q (b c)r (T ) I Q , F (t ) A(t )dt ,
0
тогда
t
N (t ) e F ( t ) e F ( ) Rd .
0
Результаты расчетов. Конкретные расчеты производились для кругового
цилиндра с реальными ядерно-физическими константами на сетке из 60 узлов.
Причем по высоте выбиралось четыре сечения, а в каждом сечении выбиралось 15 точек (3 окружности по 5 точек). Дискретизация плоского оператора
Лапласа производилась по методике, описанной в гл. 3. Дискретизация по z
производилась по методике, описанной в гл. 2. Счет по времени проводился
неявным методом. Проведенные расчеты показали высокую эффективность
описанной дискретизации.
Программа для описанной задачи реализована так, что использует в качестве начальных данных небольшие массивы (матрицы плоского и одномерного дискретных операторов Лапласа). Следовательно, если расчеты проводятся
на постоянной сетке, то громоздкие вычисления по построению дискретного
оператора Лапласа можно затабулировать.
Например, для сетки из 4×3×5 = 60 узлов требуется два массива по 9 чисел
и один массив из 16 чисел, т. е. всего требуется хранить 34 числа. Написанную
для этой задачи программу можно рассматривать как расшифровывающий алгоритм. Если имеется достаточно эффективная программа для счета по времени [8, 10], то расчеты можно производить на PC. Время счета сравнимо со
231
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений математической физики с разделяющимися переменными
временем реального процесса. Таким образом, можно утверждать, что решена
задача табулирования решения трехмерных уравнений кинетики ядерного реактора.
Литература
Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций. М.:
Гостехтеориздат, 1954. 328 с.
2. Вычислительные методы в физике плазмы / Под ред. Б. Олдера и др. М.:
Мир, 1974.
3. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986, 744 с.
4. Казанджан Э. П. Об одном численном методе конформного отображения
односвязных областей. М.: 1979. 60 с. (Препр. ИПМ; № 82).
5. Аэродинамика автомобиля / Под ред. Э. И. Григолюка. М.: Машиностроение, 1984. 424 с.
6. Фадеев Д. К., Фадеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры.
СПб.: Лань, 2002. 736 с.
7. Седов Л. И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1976. Т. 2. 568 с.
8. Hindniarah Alan С. LSODE and LSODI two initial value ordinary differential
equation solvers. ASH – Signum Newsletter, 1980, vol. 15, n.
4, p. 10–11.
9. Хетрик Д. Динамика ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1975, 400 с.
10. Лебедев В. И. Явные разностные схемы с переменными шагами по времени для решения жестких систем уравнений. М., 1987. 39 с. (Препр.
ОВМ АН СССР; № 177).
1.
232
ГЛАВА 7.
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ
Выше рассмотрены численные алгоритмы без насыщения для решения стационарных задач математической физики. В настоящей главе эти результаты
обобщаются на нестационарные задачи. Вначале для примера рассмотрено одномерное уравнение теплопроводности, но по ходу изложения будет показано,
что размерность здесь несущественна.
7.1. Постановка задачи.
В прямоугольнике D = {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1} рассмотрим уравнение теплопроводности:
u ( x, t ) 2u ( x, t )
f ( x, t ), ( x, t ) D;
t
x 2
(7.1)
u t 0 u0 ( x);
(7.2)
u x 0 u x 1 0.
(7.3)
Очевидно, что, не нарушая общности, можно положить u0(x) ≡ 0.
7.1.1. Дискретизация.
По x приблизим искомую функцию u(x,t) многочленом: для этого по x выберем сетку, состоящую из m узлов:
1
(2 1)
x ( z 1), z cos ,
, 1, 2,..., m,
2
2m
и применим интерполяционную формулу
m
Tm ( x)( x 1) xqk
q( x)
, q q( x ), z 2 x 1.
(1)1
1
m
( x 1) x ( z z )
sin
(7.4)
Вторую производную по x, входящую в уравнение (7.1), найдем дифференцированием интерполяционной формулы (7.4).
По t выберем сетку, состоящую из k узлов:
1
(2 1)
t ( z 1), z cos ,
, 1, 2,..., k ,
2
2k
и также применим интерполяцию многочленом:
Глава 7. Нестационарные задачи
k
Tm (t )tq
.
(1)1
1
m
t ( z z )
sin
q (t )
(7.5)
Величины, входящие в формулу (7.5), определены выше. Значения первой
производной от u(x,t) по t, входящие в левую часть соотношений (7.1), получим
дифференцированием интерполяционной формулы (7.5).
Пусть A матрица дискретного оператора
= u(xμ,tν),
d2
, тогда обозначив uμν
dx 2
μ = 1,2,…,m; ν = 1,2,…,k и получим
u ( x , t ) m
Ap u ( x p , t ) f ( x , t ).
t
p 1
Пусть B – матрица численного дифференцирования по t на [0,1]. В результате получим:
k
B
q 1
m
u Ap u p f .
q q
(7.6)
p 1
Занумеруем узлы сетки одним индексом по строкам, [т. е. быстрее всего
меняется первый индекс I → (μ,ν) = (ν – 1)m + μ]. Тогда получаем дискретную
задачу:
(7.7)
(B I m I k A)u f ,
где B – матрица размера k×k – дифференцирование по t; A – матрица размера
m×m – второе дифференцирование по x; Im,Ik – единичные матрицы; Представим A в виде:
A p hp , hp2 hp , hp hl 0, p l
p
h
p
Im
p
B hp I k ( p h p ) ( B p I k ) hp
p
p
p
1
( B I m I k A)
(B
I ) 1 hp (см. п. 6.2).
p k
(7.8)
p
Таким образом, решение дискретной задачи (7.6) получим умножением
матрицы (7.8) на вектор правой части. Заметим, что для построения обратной
к (7.6) матрице достаточно обратить m матриц размера k×k, где k – число узлов
интерполяции по времени. Отметим также, что нигде не использовалась специфика матрицы A, т. е. A – может быть матрицей двумерной, трехмерной и
234
Глава 7. Нестационарные задачи
любой другой задачи. Необходимо только, чтобы матрица имела полную систему собственных векторов и собственные значения были действительны.
7.1.2. Численный пример.
В качестве численного примера рассмотрим задачу (7.1) – (7.3) с правой
частью: f(x,t) = (cost + π2sint)sinπx, тогда решение u(x,t) = sin(t)sin(πx). Результаты расчетов на сетках 5×5 и 10×10 представлены ниже:
M=5K=5
Норма матрицы дискретной задачи
BNORM = 0.181397574207915
Норма разности
RNORM = 8.498969703851778E-005
M = 10 K = 10
Норма матрицы дискретной задачи
BNORM = 0.156331288248615
Норма разности
RNORM = 1.533128068942347E-010
7.2. Численное исследование однофазной фильтрации газа в пористой
среде.
Выше и в гл. 3 рассматривались задачи на собственные значения для оператора Лапласа в произвольной гладкой области с постоянными коэффициентами. Однако ряд задач математической физики приводит к задачам на собственные значения для уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. В [1, 2] построен численный алгоритм без насыщения в задаче на
собственные значения для эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. В [3] построена новая дискретизация по пространственным переменным для эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, и на ее основе построен алгоритм решения нестационарной задачи (уравнения теплопроводности). Для примера рассмотрено
краевое условие Неймана. Для решения задач с переменными коэффициентами существует метод наискорейшего спуска [5], который, в частности, сводит решение самосопряженного уравнения второго порядка к последовательности решения задач для уравнения Пуассона в этой же области. Этот метод
применяется также для решения нелинейных уравнений [6]. Однако рассмотренные там примеры численных расчетов не вызывают оптимизма в быстроте
сходимости метода. В настоящей работе на основе дискретизации [3] по пространству рассматривается двумерная нестационарная задача о фильтрации
газа в пористой среде. По этому вопросу имеется обширная литература [7–51].
235
Глава 7. Нестационарные задачи
Ранее [52] для решения нестационарной задачи применялся метод прямых,
т. е. задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Последняя задача решается по стандартной программе методом Гира [53]. Вычислительные эксперименты с этой методикой не дали обнадеживающих результатов. Поэтому в настоящей работе для дискретизации по времени применяется численный алгоритм без насыщения [54], который позволяет построить
решение по времени сразу на характерном участке.
7.2.1. Постановка задачи фильтрации газа в пористой среде.
Искомое уравнение имеет вид:
(m)
div(v ) 0,
t
(7.9)
где m = Vпор./V – пористость (для реальных пластов лежит в пределах 0,15
~ 0,22 ); mρ – концентрация; v – скорость фильтрации (а не скорость жидкости).
Это уравнение получается из обычного закона сохранения массы
d
d
d md 0,
(7.10)
dt Vпор .
dt V
где Vпор. – объем пор, а V – полный объем, причем оба объема подвижные. Из
(7.10) получаем, применяя формулу дифференцирования по подвижному объему [4]:
(m)
div(mw), v mw,
t
где v скорость фильтрации, а w скорость жидкости. В результате получаем
уравнение (7.9).
Закон Дарси (1856) справедлив для медленных движений жидкости в изотропной пористой среде, т. е. для малых значений числа Рейнольдса
Re (Re<Reкр.)
v
k
qrad p,
(7.11)
где k – коэффициент проницаемости, измеряемый в Дарси (1 д = 10-8/0,981 см2).
Для реальных пористых сред k = 100 ~ 1000 мд (1мд = 10-3д). Проницаемость
236
Глава 7. Нестационарные задачи
– геометрическая характеристика пористой среды, т. е. определяется размерами частиц, их формой и упаковкой, μ – динамическая вязкость.
Уравнение состояния.
M p
,
RT z ( p )
где M – молярный вес газа, R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура; z(p) – определяется экспериментально (z(p) = 1 для совершенного газа), т. е. это баротропный газ.
Уравнение (7.9) относится к случаю, когда в пласте нет источников газа
(скважин). В общем случае уравнение неразрывности имеет вид:
(m)
(7.12)
div(v ) f ( z, t ), z G,
t
где f(z,t) – заданная функция, G – двумерная область с гладкой границей
дGC. Пусть z (), rei – конформное отображение единичного круга
на область G. Выпишем уравнение (7.13) в новых переменных [4]:
ds 2 (dr 2 r 2 d 2 ) | () |2 g11 | () |2 ,
g 22 r 2 | () |2 , g | () |2 r.
grad p r
1 p
1
p
, grad p
.
| () | r
| () | r
Подставляя в (7.12) получим
(m)
| () |2 L( w) f (, t ), rei ,0 r 1,0 2,| | 1;
t
1
w 1
w
L( w)
rk (r , ) 2
k (r , ) .
r r
r r
(7.13)
(7.14)
Здесь m = m(r,θ) – пористость (известная функция координат); p = p(r,θ,t) –
давление (неизвестная функция координат и времени);
k k (r , , p)
k (r, )( p) – проницаемость (известная функция координат и давления); ρ =
ρ(p) – плотность (известная функция давления ); μ = μ(p) – вязкость (известная
( p)( p)
dp.
функция давления ); w( p )
( p )
Размерность: M – единица массы, L – единица длины, T – единица времени).
m,θ,ψ – безразмерные величины; [p] = M/LT2, [ρ] = M/L3, [μ] = M/LT, [k] = L2,
237
Глава 7. Нестационарные задачи
[w] = M/L3T, [r] = L; f(,t) = f(r,θ,t) – плотность отбора газа, т. е. масса газа,
выделяющаяся в единицу времени в единице объема в пласте. Если ввести
мощность пласта h = h(x,y) (т. е. высоту пласта в точке (x,y)G рассматриваемой области), то вид уравнения (7.13) не изменится, если заменить m на mh, а
k на kh. В этом последнем случае [f] = M/L2T, т. е. масса, выделяющаяся из пласта в единицу времени и с единицы площади. Таким образом, (7.13), (7.14) искомая постановка задачи фильтрации. К этому уравнению нужно добавить граничное условие
p
0,
(7.15)
n G
которое означает отсутствие потока газа через границу области дG [см. (7.11)].
Заметим, что функция w также удовлетворяет этому граничному условию.
M
p – соНиже рассматривается случай, когда ( p) 1, ( p) const, ( p)
RT
вершенный газ, где M – молярный вес газа (16 г/моль – для Метана); R = 8,314
Дж/(К·моль) – универсальная газовая постоянна; T = 273K – абсолютная температура. Поскольку давление в пласте медленно убывающая функция, мы положим P = P0-α и пренебрежем величинами с α2. В результате получим линейное уравнение теплопроводности с переменными коэффициентами:
(m) | () |2 P0
R T
L ( )
f (, t ),
t
M
(7.16)
i
re , 0 r 1, 0 2,| | 1;
n
0,
(7.17)
t 0 0.
(7.18)
G
7.2.2. Дискретизация по пространственным переменным.
Для дискретизации задачи (7.2. 8) – (7.18) проведем вначале дискретизацию
оператора L(w). Рассмотрим спектральную задачу:
w
L( w) w 0,
0.
(7.19)
r r 1
Заметим, что
238
Глава 7. Нестационарные задачи
L(w)wd
||1
w 2 k w 2
k r r 2 d .
||1
Таким образом, краевая задача (7.19) эквивалентна следующей экстремальной задаче
J (w)
2
2
w kï ðî í w
2
k
ï ðî í
w d min.
2
r
r
||1
(7.20)
Действительно, δJ (вариация функционала J) есть главная линейная часть
приращения J(w + h) – J(w), где h – произвольная гладкая функция. Нетрудно
получить, что
kï ðî í
kï ðî í wr hr 2 w h wh d 2{kï ðî í rwr h r 1
r
|| 1
1
1
[
(rkï ðî í wr ) 2
(kï ðî í w ) w]hd } 0
r r
r
|| 1
J 2
||1
f ()d cl f l , f l f (r eil ),
,l
(2 1)
2l
, 1, 2,..., m; l
,
2m
N
l 0,1,..., 2n; N 2n 1.
r 0.5 0.5cos
(7.21)
Эта квадратурная формула получается, если заменить подынтегральную функцию интерполяционной формулой для функции двух переменных в круге:
2n
m
( PM точек f )(r , ) f l Ll (r , ), f l f (r , l ) ,
(7.22)
l 0 1
Lvl (r , )
n
Tm (2r 1)
Dn ( l ), Dn () 0,5 cos k ,
NT (2r 1)(r r )
k 1
'
m
Tm ( x) cos(m arccos x).
Основываясь на интерполяционной формуле (7.22), легко построить квадратурную формулу для вычисления определенных интегралов, когда областью
интегрирования является круг. В самом деле, заменяя подынтегральную функцию выражением (7.22), получим квадратурную формулу (7.21), где d – элемент площади, сl – весовые коэффициенты, а (f) – погрешность. Для сνl имеем
cl Ll (r , )d ,
D
239
Глава 7. Нестационарные задачи
и они не зависят от l. Введем в рассмотрение блочно-диагональную матрицу
C = diag(c1, c2,…, cm),
где c , = 1,2,…,m – диагональные матрицы размера N×N с одинаковыми числами на диагонали. Для коэффициентов квадратурной формулы (7.21) имеем
выражение:
ñ
m 1
m 1
r
cos l
2
(1) 1
sin 1 2
2
1
2
N
m
(
m
1)
m
(
1)
l 2(2) 1 l
1 cos
,
, r
2
(2 1)
.
2m
m
N
w
(r )
D
wl ;
Blp wp
l p 1
1
w
r l
Матрицы B и D(r) получаются дифференцированием измененной интерполяционной формулы (7.22). По r применяется интерполяционная формула, удовлетворяющая при r = 1 краевому условию Неймана:
Tm ( x)
f , x cos ; (2 j 1) ,
Pm ( x; f )
A
T
(
x
)
j m
j
j
j 1
j j
(
1)
2m
j 1
(x x j )
m
sin j
j 1, 2,..., m; x 2r 1;
m
Aj выберем так, чтобы удовлетворялось краевое условие f ’(10.1) = 0.
Используя квадратурную формулу (7.21) функционал (7.20) преобразуем в
квадратичную форму:
w 2
k
J ( w) cl kl
2l
,l
r l r
2
w
w2l .
l
Дифференцируя (7.23), по wl получим
n
B
p 1
где B*l , p
c
r2
l 1
m
wp A*l , wl c wl ,
1
m
N
k
*
l , p
l
Blp Bll ;
(r ) (r )
A*l , c kl D
D .
1
Это есть дискретный аналог задачи на собственные значения
div(k qrad w) + λw = 0, r < 1
240
(7.23)
Глава 7. Нестационарные задачи
w
0.
r r 1
Оценка погрешности описанной дискретизации может быть получена по
схеме, описанной в гл. 1.
7.2.3. Дискретизация по времени.
1
По t выберем сетку, состоящую из k узлов: t ( z 1), z cos ,
2
(2 1)
, 1,2,..., k , и применим интерполяцию многочленом:
2k
k
Tk (t )tq
q (t )
.
(7.24)
(1) 1
1
k
t ( z z )
sin
Величины, входящие в формулу (7.24), определены выше. Значения первой
производной от α(ζ,t) по t, входящие в левую часть соотношений (7.2.1.8), получим дифференцированием интерполяционной формулы (7.24).
Пусть A – матрица дискретного оператора - | () |2 L() , тогда обозначив
αμν = α(ζμ,tν), μ = 1,2,…,Nt; ν = 1,2,…,k, получим
( , t ) Nt
A p ( p , t ) F ( , t ).
t
p 1
Пусть B – матрица численного дифференцирования по t на [0,1]. В результате получим:
k
B
q 1
q
Nt
q Ap p f .
p 1
Занумеруем узлы сетки одним индексом по строкам, т. е. быстрее всего меняется первый индекс I → (μ,ν) = (ν-1)Nt + μ. Тогда получаем дискретную задачу:
( B I Nt I k A) f ,
(7.25)
где B – матрица размера k×k – дифференцирование по t; A – матрица размера
Nt × Nt – дискретный оператор - | () |2 L(u) ; I N t , Ik – единичные матрицы;
Далее рассуждения аналогичны п. 7.1.1. В результате получаем
( B I Nt I k A) 1
(B
p
241
I ) 1 hp .
p k
(7.26)
Глава 7. Нестационарные задачи
Заметим, что оператор - | () |2 L() вырожденный, т. е. имеет нулевое
собственное значение. В этом случае приходится обращать матрицу численного дифференцирования, которая также является вырожденной. Но обратная
существует, это – интегрирование. Рассмотрим эту процедуру подробно.
Формулы для численного интегрирования функции, удовлетворяющей краевому условию u t 0 0 на отрезке [0,1]. По t выберем сетку, состоящую из m
узлов:
1
(2 1)
r ( x 1), x cos ,
, 1, 2,..., m, x = 2r– 1
2
2m
и применим интерполяцию многочленом:
m
Tm ( x )ru
u (r )
.
(1) 1
1
m
r ( x x )
sin
Далее имеем:
Tm ( x)u
2 m 1
2 m m 1
r
. ' cos l Tl ( x) u (r ) ' cos l Tl ( x)
1
m
(
1)
m
r
1
l 0
1 l 0
m
( x x )
sin
m
u
r
Для вычисления u ( r ) dx нужно вычислить интеграл
0
r
I l (r ) Tl ( x)rdr , x 2r 1:
0
I 0 (r )
l ≥ 3, 4 I l (r )
2
r2
r
8
1
; I1 (r ) r 3 ; I 2 (r ) 2r 4 r 3 r 2 ,
3
2
2
3
2
2
x 2Tl ( x) xTl ( x) xTl 1 ( x) lTl 1 ( x) Tl 2 ( x) (1)l (1)l
2
2
l2
l 1
l2
l 1
l 4 l 2 4 l 2 1
Матрица численного интегрирования:
m
2 m 1 ' cos l I l (r )
(r )
u .
u (r )dr I
m l 0
r
1
0
r
(r )
I
Таким образом, решение дискретной задачи (7.25) получим умножением
матрицы (7.26) на вектор правой части. Заметим, что для построения обратной
к матрице (7.25) достаточно обратить Nt матриц размера k×k, где k – число узлов интерполяции по времени. Отметим также, что нигде не использовалась
242
Глава 7. Нестационарные задачи
специфика матрицы A, т. е. A – может быть матрицей двумерной, трехмерной
и любой другой задачи. Необходимо только, чтобы матрица имела полную систему собственных векторов и собственные значения были действительны.
7.2.4. Моделирование скважин (точечных источников).
Задача об установившейся плановой напорной фильтрации жидкости к
скважине из однородного ограниченного пласта сводится к нахождению решения уравнения Лапласа в двухсвязной области, внешней границей которой
является контур области фильтрации, а внутренней границей – контур скважины [57].
В связи с тем, что размеры области фильтрации много больше размеров
скважины, при решении указанной задачи методом сеток, нецелесообразно аппроксимировать область фильтрации сеточной областью так, чтобы учесть
размеры и форму скважины, ибо для этого потребовалось бы чрезвычайно
большое число узлов сетки. Поэтому при решении таких задач, когда на контуре скважины задан расход (граничное условие 2-го рода), обычно пренебрегают размерами скважины, считая ее точечным источником с мощностью, равной расходу реальной скважины, и уже эту задачу аппроксимируют на сетке.
При этом возникают вопросы о способе аппроксимации точечного источника
на сетке и о близости сеточного решения к решению предельной задачи. Последний вопрос не является тривиальным, из-за наличия логарифмической
особенности у решения, что не позволяет использовать для оценки точности
общие результаты теории разностных схем. Ситуация существенно осложняется, если на контуре скважины задано давление (граничное условие 1-го
рода). В этом случае контур скважины стягивать в точку нельзя [58].
Если при решении указанной задачи методом сеток скважину все же считать точечной, то возникает необходимость построения специальных аппрокимаций уравнения в окрестности точки-скважины. Вопрос о близости сеточного
решения к решению исходной задачи не менее сложен, чем в первой задаче.
Аналогичные обстоятельства имеют место и в случае несовершенной скважины, т. е. когда на контуре скважины задано граничное условие 3-го рода
[59–61].
Из работ иностранных авторов отметим известную работу Письмена
1978 г. [63], а также более позднюю работу других авторов [64].
В настоящей работе применяется другая методика моделирования скважин. Итак, пусть в рассматриваемой области G, φn – полная и нормированная
система собственных функций оператора L(w), тогда
243
Глава 7. Нестационарные задачи
( x0 , x) n ( x)n ( x0 ).
n 1
Сходимость этого ряда понимается как слабая. Таким образом, точеный источник замещается источниками и стоками в узлах сетки. Результаты численных расчетов показали хорошие результаты для одиночной скважины (см.
ниже).
7.2.5. Вычислительные эксперименты.
Ниже приводятся результаты расчетов для круглого пласта с одиночной
скважиной в центре на сетке 3×7×5. То есть в круге выбиралась сетка из
21 узла (три окружности по 7 точек). По времени выбиралось 5 узлов. Всего
узлов для решения этой нестационарной задачи – 105. Проводилось проверка
точности представления δ-функции. Для этого вычислялся интеграл от δ-функции по области. Получено значение 0.9964. Далее вычислялась свертка δфункции с пробной функцией. Полученное значение 1.000 совпадает с точным. Решение (на сетке из 21 = 3×7 узла) представлено слоями по времени в
обратном порядке (5-й слой самый верхний и т. д.). Ниже проводится сравнение этого решения с аналитическим решением.
В [68, с. 362] приведено аналитическое решение для цилиндра 0 ≤ r ≤ a. В момент t = 0 на поверхности r r действует единичный мгновенный поверхностно
цилиндрический источник. Граничное условие при r = a имеет вид:
v
k hv 0, k 0, h 0.
r
2
J (r n ) J 0 (r n )
1
v 2 ent 2 0
,
(7.27)
a n 1
J 0 (a n ) J 12 (a n )
где αn – положительные корни уравнения: kJ1 (a) hJ0 (a) 0. Если h = 0,
то к правой части (10.6) нужно прибавить член 1/πa2.
В нашем случае k = 1, h = 0, a = 1, и при r r = 0.15E-4 действует
источник постоянной интенсивности –q. Тогда из (7.27) легко получаем:
2
J (r n ) J 0 ( r n )
1 1 q
v 2 (1 e nt ) 0
, n – положительный корень 1-й
n n 1
J 02 ( n )
функции Бесселя J1. Это соотношение суть решение краевой задачи:
244
Глава 7. Нестационарные задачи
v
v
2 v q;
t
r
r 1
0; v t 0 0.
В рассматриваемом случае: q = -10661.4691524394, κ = 30621062.0437106.
В результате расчетов получены значения v на 5-м слое по времени (верхняя
строка – аналитическое решение, а нижняя – численное решение):
0.999999987667680, 0.999999987668874, 0.999999987670155
0.999872
0.999872
0.999872
на 4-м слое по времени:
0.999999987667680, 0.999999987668874, 0.999999987670155
0.999896
0.999896
0.999896
на 1-м слое по времени:
0.999999987667680, 0.999999987668874, 0.999999987670155
0.999997
0.999997
0.999997
Таким образом, полученное аналитическое решение практически совпадает с приведенным выше численным решением. Это доказывает возможность
моделирования точечных источников способом, описанным в п. 7.2.4.
7.3. Многослойный, неявный, параллельный алгоритм для уравнения
теплопроводности в параллелепипеде.
Выше в пукте 7.2 рассмотрены численные алгоритмы без насыщения для
решения двумерного уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами. Для использования этой методики необходимо вычислить собственные значения и собственные векторы матрицы дискретной задачи. Причём,
собственные значения должны быть действительны, а собственные векторы
образовывать полную систему. Для трёхмерных задач такие вычисления могут быть затруднительны. Однако есть исключение - уравнение теплопроводности в параллелепипеде. Тогда собственные значения и собственные векторы
дискретной задачи и известны в аналитическом виде [69] и для решения уравнения теплопроводности может быть использована методика, описанная
выше. Далее рассмотрено одномерное, двумерное и трёхмерное уравнение
теплопроводности в параллелепипеде. Рассмотрение ведётся для одномерной
задачи, но по ходу изложения будет показано, что размерность здесь несущественна.
7.3.1. Постановка задачи.
В прямоугольнике D = {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1 } рассмотрим уравнение теплопроводности (7.1)-(7.3).
245
Глава 7. Нестационарные задачи
7.3.2. Дискретизация.
По x выберем сетку, состоящую из m узлов: пусть h - шаг сетки; выберем
на отрезке (0,1) m узлов xi = hi, h=2/(n+1), i=1,2,…,m, x0= 0, xn+1=1, т.е. всего на
замкнутом отрезке [0,1] выбираем (m+2) узла. Если y(x) C3[0,1], то аналогично пункту 2.1, если обозначить y( x i ) y i ,
y i''
y '' ( x i ) y i'' , то
y i 1 2 y i y i 1
O (h 2 ),
2
h
i 1, 2,..., m.
(7.28)
Первый член в правой части соотношения (7.28) - это вторая разностная
производная. Таким образом, разностная производная аппроксимирует yi’’ со
вторым порядком, т.е. с точностью до O(h2). Дискретизация по времени аналогична пункту 7.1.1. Далее рассуждения аналогичны пункту 7.1.1.
Пусть A матрица дискретного оператора
d2
, тогда обозначив
dx 2
uμν=u(xμ,tν), μ=1,2,…,m; ν=1,2,…,k и получим
u ( x , t )
t
m
Apu ( x p , t ) f ( x , t ). Пусть B – матрица численp1
ного дифференцирования по t на [0,1]. В результате получим:
k
m
q 1
p1
Bquq Apu p f . Занумеруем узлы сетки одним индексом по
строкам, т.е. быстрее всего меняется первый индекс I → (μ,ν)=(ν-1)m+μ. Тогда получаем дискретную задачу:
( B I m I k A)u f , где B – матрица
размера k×k – дифференцирование по t; A – матрица размера m × m – вторая
разностная производная.
( B I m I k A)1 ( B p I k )1 hp (см. выше
p
пункт 7.1). (7.29)
Таким образом, решение дискретной задачи получим умножением
матрицы (7.29) на вектор правой части. Очевидно, что вычисления можно вести параллельно. Каждое слагаемое в сумме (7.29) можно адресовать одному
потоку. Заметим, что для построения обратной к матрице (7.29) достаточно
246
Глава 7. Нестационарные задачи
обратить m матриц размера k×k, где k – число узлов интерполяции по времени.
Отметим также, что нигде не использовалась специфика матрицы A, т.е. A –
может быть матрицей двумерной, трёхмерной и любой другой задачи. Необходимо только, чтобы матрица имела полную систему собственных векторов
и собственные значения были действительны.
Для одномерной задачи обозначим y xx ,i
yi 1 2 yi yi 1
, и расh2
смотрим задачу на собственные значения:
yxx ,i yi 0, i 1, 2,..., m, y0 ym1 0. Тогда [69]:
j
4
jh
sin 2
, j соответствует собственная функция
2
h
2
y j (i) 2h sin( jxi ), xi ih, i 0,1, 2,..., m 1.
Двумерную задачу рассмотрим в прямоугольнике G={[0,1]×[-b,b]}. Требуется найти матрицу, которая наследовала бы свойство разделения переменных
для собственной функции оператора Лапласа в прямоугольнике. Такая матрица имеет следующий вид: C=In A+BIm . Здесь n - число узлов сетки по
высоте прямоугольника; m - число узлов сетки по ширине прямоугольника; In
- единичная матрица размера n×n; A - матрица размера m×m (одномерный дискретный лапласиан на отрезке [0,1]); B - матрица размера n×n (одномерный
дискретный лапласиан на отрезке [-b,b]); Im - единичная матрица размера m×m.
Для построения матриц A и B следует произвести дискретизацию одномерной
спектральной задачи u=u с краевыми условиями u(0)=u(10.1)=0 и u(b)=u(b)=0 соответственно. Собственным значением матрицы C является
сумма собственных значений матриц A и B, а соответствующий собственный
вектор представляется в виде кронекерова произведения собственных векторов этих матриц [70]. Обобщения на трёхмерный и многомерный случаи очевидны. Подробно см. пукт 6.2.
7.3.2. Вычислительные эксперименты.
В качестве численного примера рассмотрим задачу (7.1) – (7.3) с правой
частью: f(x,t)=(cost+π2sint)sinπx, тогда решение u(x,t)=sint·sinπx. Для двумер247
Глава 7. Нестационарные задачи
ной задачи u(x,t)=sint·sinπx·sinπy с соответствующей правой частью. Для трёхмерной задачи u(x,t)=sint·sinπx·sinπy·sinπz с соответствующей правой частью.
Результаты расчётов представлены ниже:
Таблица 7.1. Одномерное уравнение теплопроводности.
Число
узлом M (K=10)
10
100
1000
10000
Погрешность
Время
счёта (сек.)
0.0E+0
1.56E-2
1.4375
139.109
5.2E-003
6.24E-005
6.36E-007
6.37E-009
Таблица 7.2. Двумерное уравнение теплопроводности.
Число
узлом M=N (K=10)
10
100
500
Погрешность
Время
счёта (сек.)
0.0E+0
128.687
77914.7
5.4E-003
6.5E-005
2.6E-006
Таблица 7.3. Трёхмерное уравнение теплопроводности.
Число
узлом
M=N=L
(K=10)
10
25
50
100
Погрешность
Время
счёта (сек.)
5.4E-3
9.97E-4
2.59E-4
6.60E-5
1.421875
326.2188
21067.36
Время параллельного
счёта (сек.)
0.065
29.726
2410.01
1804364.16
-
Коэффициент
ускорения
21.875
10.97
9.12
-
Расчёты проводились на PC:
Процессор Intel® Core™ i7 CPU
920@267GHz 267GHz, 8-ми ядерный. Память (RAM) 12 Гб. Распараллеливание было проведено для трёхмерной задач Данилой Ерёминым (программа
написана на алгоритмическом языке C++) . За это автор выражает ему искреннюю благодарность.
248
Глава 7. Нестационарные задачи
7.3.3. Устойчивость. Для того, чтобы убедиться в устойчивости вычислений нужно оценить норму матрицы (8). Вычисления дают, что для трёхмерной задачи норма этой матрицы примерно 6·10 -2 (для расчёта в последней
строке таблицы 7.3).
7.3.4. Примечание. Обращение матрицы в (7.29) эквивалентно решению задачи Коши: y( x) y( x) g ( x), y(0) 0 , для которой нетрудно
выписать аналитическое решение. Однако счёт по этой методике неустойчив,
т. к. в аналитическое решение входят быстро растущие экспоненты. Применялось численное обращение матрицы. Очевидно, что счёт по формуле (7.29) может осуществляться параллельно. Программы опубликованы в [71].
7.3.5. Вычислительный пример и сравнение с экспериментом.
В качестве вычислительного примера рассмотрим одномерное уравнение
теплопроводности для гипсового параллелипипеда:
u ( x, t )
2 u ( x, t )
a
,a .
2
t
c
x
(7.30)
Здесь a – коэффициент температуропроводности (м2/сек); λ – коэффициент
теплопроводности , 0.3 Вт/м·К , ρ – плотность , 1650 кг/м3, c - удельная теплоёмкость, 800 Дж/кг·К. Примем за характерные величины L=0.05м, высоту
параллелипипеда, T – время эксперимента (30 минут). Тогда безразмерный коэффициент в уравнении теплопроводности (7.30) равен 0.1636. Примем, что
боковые стороны параллелипипеда и нижняя грань находятся при нулевой
температуре, а на верхней грани температура изменяется по закону:
f(t)=4·39·t·(1-t), т.е. при t=1/2 достигает максимума в 39°, а затем при t=1
(окончание эксперимента), обращается в нуль. При t=0.7265, когда температура упала до 31°, проводились наблюдения. Сделаем в уравнении (7.30) замену искомой функции v(x,t)=u(x,t) - f(t)·x. Тогда функция v(x,t) удовлетворяет
уравнению (7.30) с однородными краевыми условиями, но с соответсвующей
правой частью: F(x,t) = f (t ) x . Начальные условия тоже нулевые. Ниже
представлено в графической форме решение уравнения теплопроводности при
t=0.7265 : [0.914; 1.984; 3.371; 5.232; 7.711; 10.909; 14.842; 19.375; 24.143;
28.436]
249
Глава 7. Нестационарные задачи
30
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Фиг. 7.1
Подробно результаты эксперимента описаны в [72].
Литература.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Алгазин С. Д. О вычислении собственных значений уравнения переноса
// ЖПМТФ. 2004. Т. 45, № 46. С. 107–113.
Алгазин С. Д. Численные алгоритмы классической матфизики. XI. О вычислении собственных значений уравнения переноса. М., 2006. 16 с.
(Препр. ИПМех РАН, № 801).
Алгазин С. Д. Численные алгоритмы классической матфизики. XXII.
Двумерное уравнение теплопроводности. Новая программа. М., 2008. 25
с. (Препр. ИПМех; № 883).
Седов Л. И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1976. Т. 1.492 с.
Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука,
1984. 752 с., [ с. 572, 586].
Кошелев А.И. Регулярность решений эллиптических уравнений и систем. М.: Наука, 1986. 239 с.
Численные методы решения задач многофазной несжимаемой жидкости.
ВЦ СО АН СССР, 1975, 318 с.; 1972, 227 с.
Чарный И. А. Подземная гидродинамика. М.: Гостехиздат, 1967.
Эфрос Д. А. Исследования фильтрации неоднородных систем. Л.: Гостоптехиздат, 1963. 351 с.
250
Глава 7. Нестационарные задачи
10. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. 2-е изд.
Главная редакция физико-математической литературы. М.: Наука, 1977.
664 с.
11. Аравин В. И., Нумеров С. Н. Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой пористой среде. М.: ГИТЛ, 1953. 552 с.
12. Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы. М.: Мир,
1964. 350 с.
13. Саульев В. К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. М.: Физматгиз, 1960. 324 с.
14. Самарский А. А. // ЖВМ и МФ, т. 2, № 4, 1961; т. 2, 34, 1962; т. 3, № 1,
1963.
15. Агапов, Колосов. Численные методы решения системы многомерных
нелинейных уравнений диффузионного типа. М., 1978 (Препр. ИКИ АН
СССР, № 428).
16. Повещенко Ю. А., Попов Ю. П. Пакет программ для решения тепловых
задач. М., 1978 (Препр. ИПМ АН СССР № 65).
17. Кричлоу Генри Б. Современная разработка нефтяных месторождений –
проблемы моделирования. М.: Недра, 1979. 303 с.
18. Ширковский А. И. Разработка и эксплуатация газовых и газоконденсатных месторождений. М.: Недра, 1979. 303 с.
19. Лейбензон Л. С. Подземная гидродинамика. Собр. трудов, т. II, Изд-во
АН СССР, 1953. 544 с.
20. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. Пер. с
англ., М.: Гостехиздат, 1949. 628 с.
21. Мирзаджанзаде А. Х., Гусейн-Заде М. А. Решение задач нефтегазопромысловой механики. М.: Недра, 1971. 199 с.
22. Баренблат Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Теория неустановившейся
фильтрации жидкости и газа. М.: Недра, 1972. 218 с.
23. Закиров С. Н., Лапук Б. Б. Проектирование и разработка газовых месторождений. М.: Недра, 1974. 376 с.
24. Шейдегер А. Е. Физика течения жидкости через пористые среды. М.:
Гостехиздат, 1960.
25. Минский Е. М. Статистическое обоснование уравнений фильтрационного движения // Докл. АН СССР, 1958. Т. 118, № 2.
26. Бариковецкий П. Г., Дорфман Е. Я. Нелинейные волны в процессах
двухфазной трехкомпонентной фильтрации // Докл. АН СССР, 1982, Т.
264, № 1. С. 60–65.
251
Глава 7. Нестационарные задачи
27. Веригин Н. Н., Саркисян В. С. О фильтрации двух жидкостей с разной
плотностью и вязкостью при закачке в галерею с постоянным расходом
// Докл. АН СССР, 1974, Т. 218, № 3. С. 536–539.
28. Веригин Н. Н., Саркисян В. С. О фильтрации двух неоднородных жидкостей при упругом режиме. // Докл. АН СССР, 1975, Т. 221, № 2. С.
305–308.
29. Веригин Н. Н., Саркисян В. С. , Шибанов А. В. Об определении границы
раздела двух несмешивающихся жидкостей в пористой среде. // Изв. АН
СССР. Сер. механика жидкости и газа, 1973, № 6. С. 155–163.
30. Данилов В. Л., Кац Р. М. Гидродинамические расчеты взаимного вытеснения жидкости в пористой среде. М.: Недра, 1980. 264 с.
31. Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости // ВЦ СО АН СССР. Новосибирск, 1977. С. 87 – 96.
32. Коздоба Л. А. Решение нелинейных задач теплопроводности. Киев: Наукова думка, 1976. 136 с.
33. Лебедева Л. Н., Филиппов М. В. О движении границы раздела 2-х жидкостей с образованием зоны двухфазного течения. // Изв. АН СССР.
Сер. механика жидкости и газа, 1981, № 6. С. 78–83.
34. Нигматулин Р. И. Математическое моделирование процесса мицелярнополимерного заводнения // Докл. АН СССР, 1980, Т. 255, № 1. С. 52–56.
35. Розенберг М. Д., Киндин С. А. Многофазная многокомпонентная фильтрация при добыче нефти и газа. М.: Недра, 1976. 335 с.
36. Рубинштейн Л. И. Проблема Стефана. Рига, 1967. 457 с.
37. Середницкий Л. М. О перемешивании взаиморастворимых жидкостей в
пористой среде. // Прикл. Мех. 1967, Т. 3, вып. 4. С. 103–110.
38. Теплов Ю. А. О перемещении водо-нефтяного контакта в неоднородном
пласте. // Изв. АН СССР. Сер. Механика жидкости и газа, 1967, № 5. С.
160–164.
39. Токарева И. А., Цынкова О. Э. Модель 3-х фазной фильтрации при лицемерном заводнении нефтяных пластов. // Изв. АН СССР. Сер. Механика
жидкости и газа, 1981, № 5. С. 72–80.
40. Азис Х., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем,
Москва, Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2004. 416 с.
41. Яненко Н. Н., Сучков В. А., Погодин Ю. Я. О разностном решении уравнения теплопроводности в криволинейных координатах // Докл АН СССР,
1959, Т. 128, № 5.
42. Федорова О. А. Вариационно-разностная схема для однородного уравнения диффузии. // Мат. заметки, 17, 6(1975).
252
Глава 7. Нестационарные задачи
43. Яненко Н. Н., Бояринцев Ю. Е.. О сходимости разностных схем для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами // Докл. АН СССР,
1961. Т. 139, № 6.
44. Булев Н. И. Численный метод решения двумерных и трехмерных уравнений диффузии // Мат. сб. 1960, Т. 51. № 2.
45. Софронов И. Д. Разностная схема с диагональными направлениями прогонок для решения уравнения теплопроводности // Журн. Вычисл. математики и мат. физики. 1965. Т. 5. № 2.
46. Андреев В. Б. О разностных схемах с расщепляющим оператором для
общих p-мерных параболических уравнений второго порядка со смешанными производными // Журн. Вычисл. математики и мат. физики.
1967. Т. 7. № 2.
47. Ильин В. П. О расщеплении разностных уравнений параболического и
эллиптического типов // Сиб. Мат. журнал. 1965. Т. 6, № 1.
48. Самарский А. А. Об одном экономичном разностном методе решения
многомерного параболического уравнения в произвольной области //
Журн. Вычисл. математики и мат. физики. 1962. Т. 2, № 5.
49. Яненко Н. Н. Об одном разностном методе счета многомерного уравнения теплопроводности // Докл. АН СССР, 1959. Т. 125. № 6.
50. Яненко Н. Н. О неявных разностных методах счета многомерного уравнения теплопроводности // Изв. вузов, Математика. 1961. Т. 4. № 23.
51. Яненко Н. Н. О сходимости метода расщепления для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами // Журн. Вычисл. математики и мат. физики. 1962. Т. 2. № 5.
52. Алгазин С. Д. Численные алгоритмы классической матфизики. XV. Программа АМАЛИЯ – двумерная однофазная фильтрация газа в пористой
среде. Версия 1/Февраль 2007 г. М., 2007. 62 с. (Препр. ИПМех РАН, №
828).
53. Gear C. V. Algoritm 407. DIFSUB for Solution of Ordinary Differential
Equations [D2] // Communications of the ACM. March 1971, V. 14, № 3. Pp.
185–190.
54. Алгазин С. Д. Численный алгоритм без насыщения для решения нестационарных задач // НАН Беларуси, Инженерно-физический журнал, 2009. Т. 82,
№ 5. С. 950–960.
55. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. Издание
второе, исправленное и дополненное / Под ред. А. Д. Брюно. МоскваИжевск, НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002.
253
Глава 7. Нестационарные задачи
56. Nordsiek A. On Numerical Integration of Ordinary Differential Equations //
Math. Comp. 1962. V. 16, № 24.
57. Чарный И. А. Подземная гидрогазодинамика, М.: Гостоптехиздат, 1963.
397 с.
58. Андреев В. Б., Кряквина С. А. Сеточные аппроксимации задачи о скважине // Численные методы решения задач многофазной несжимаемой
жидкости. СО АН СССР, Выч. центр, Новосибирск, 1975. C. 51.
59. Самарский А. А. О влиянии закрепления на собственные частоты замкнутых объемов // Докл. АН СССР, 1948. Т. 63, № 6. С. 631– 638.
60. Андреев В. Б., Кряквина С. А. О функции источника сеточного оператора Лапласа // Журн. Вычисл. математики и мат. физики. 1972. Т. 18,
№ 2. С. 364–373.
61. Андреев В. Б., Кряквина С. А. О фундаментальном решении одно параметрического семейства разностных аппроксимаций оператора Лапласа
на плоскости // Журн. Вычисл. математики и мат. физики. 1973. Т. 13, №
2. С. 325–337.
62. Андреев В. Б., Кряквина С. А. Аппроксимация задачи о несовершенной
скважине // Исследования по теории разностных схем для эллиптических и параболических уравненийю. М.: Изд-во МГУ, 1973.
63. Peaceman, D. W.:”Interpolation jf Well-Block Pressures in numerical Reservoir Simulation,” SPEJ (June 1978) 183; Trans., AIME, 265.
64. Aavatsmark I., Klausen R. A.: "Well Index in Reservoir Simulation for
Slanted and Slightly Curved Wells in 3D Grids" SPEJ (March, 2003) 41.
65. Huges M. H., Roberts K. V. Olympus convection // Comp. Phys. Comm.
29(1983) 15–43.
66. Гайфулин С. А., Карпов В. Я., Мищенко Т. В. САФРА. Функциональное
наполнение. Система OLYMPUS. М., 1980. (Препр. ИПМ АН СССР,
№ 27).
67. Бартеньев О. В. Современный FORTRAN. М.: Диалог МИФИ, 2000.
448 с.
68. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964.
488 с.
69. Самарский А. А. Теория разностных схем.- 3-е изд., испр. – М.: Наука,
1989 – 616 с.
70. Беллман Р. Введение в теорию матриц. – М.: Наука, 1969 -368 с.
71. Алгазин С. Д. Численные алгоритмы классической матфизики. XLII. Об
уравнении теплопроводности в параллелепипеде. М., 2014. 16 с. (Препр.
ИПМех; № 1070).
254
Глава 7. Нестационарные задачи
72. R. V. Goldstein, A. L. Popov, V. M. Kozintsev, D. A. Chelubev. Some new
applications of ESPI at the mechanical test // Meccanica, 2015( 50), 2, pp.
389-399.
255
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
ГЛАВА 8.
УРАВНЕНИЯ СТОКСА И НАВЬЕ – СТОКСА.
8.1. Введение.
Рассматриваются линеаризованные и полные нелинейные, несжимаемые
уравнения Навье – Стокса во внешности тела вращения, когда вектор скорости
потока направлен произвольно относительно оси вращения, т. е. в общем случае задача трехмерная:
u u u p 0, x R 3 \
u 0
(8.1)
Система обозначений в (8.1) – обычного векторного анализа. Решение
u(x) – скорость движения несжимаемой жидкости (вектор), p(x) – давление.
Постоянная μ является коэффициентом вязкости жидкости, ρ обозначает плотность жидкости, Ω – рассматриваемая область, уравнения (8.1) определены во
внешности этой области, дΩ – граница области Ω. Второе соотношение означает, что ρ является постоянным.
К системе дифференциальных уравнений (8.1) присоединяются граничные
условия:
u u при | x | ;
(8.2)
u 0.
p p при | x | ;
(8.3)
В литературе обычно рассматривается задача (8.1) – (8.2). Легко видеть, что
тогда решение не единственно (p – определяется с точностью до константы).
Поэтому ниже рассматривается задача (8.1) – (8.3), т. е. принимается, что в
бесконечности давление постоянно в независимости от x.
Здесь мы должны обратиться к известной работе Лере [1], изданной в
1933 г. Согласно некоторым физически приемлемым предположениям, Лере
установил существование строгих решений внутренней задачи и внешней задачи с u∞ = 0. Для внешней задачи с u∞ ≠ 0, его решение удовлетворило (8.1) –
(8.2), но вместо первого соотношения в (8.2) выполняются более слабые условия
256
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
| u ( y ) u |2
R | x y |2 dy K
2
| u | dx ,
R
(8.4)
с постоянным К, независимым от x. Р. Финн [2] доказал, что решение Лере
фактически удовлетворяет условию в бесконечности также в случае u∞ ≠ 0.
Другие варианты доказательства принадлежат О. А. Ладыженской [3] и
Х. Фужита [4]. Отметим, что система Навье – Стокса является эллиптической,
согласно определению Douglis-Nirenberg [5] и, следовательно, и и p, как известно, являются гладкими до некоторой степени.
Характер поведения решения при больших |х| представляет существенный
интерес. В самом деле, согласно принятой в гидродинамике концепции пограничного слоя - течение потенциально вне следа и малой окрестности тела; внутри
следа течение существенно вихревое и порядок стремления к нулю разности
u – u∞ иной, чем вне следа.
До последнего времени даже не удалось уточнить соотношение (8.2) в
смысле порядка убывания величины u – u∞. Ввиду возникших трудностей
Р. Финн [6–8], постулируя соотношение
u(x) – u∞ = 0(|x|-α),
(8.6)
установил, что при α > 1/2 решение u(х) обладает асимптотикой
3
2
u ( x) u F H ( x) O(| x |
),
(8.7)
где F – вектор силы, с которой поток действует на тело, Н(х) – некоторый тензор, связанный с системой (8.1), а δ > 0 – сколь угодно малая величина. Из
этой асимптотики вытекает, что имеется параболоидальная область следа в
направлении u∞ и затухание разности u(х) – u∞ происходит наиболее медленно
внутри следа.
К. И. Бабенко, исследуя плоскую задачу обтекания, установил, что предположение (8.6) (в плоском случае достаточно считать α > 1/4) влечет экспоненциальное убывание вихря вне следа [9]. Затем К. И. Бабенко и М. М. Васильев
[10] в предположении (8.6) уточнили асимптотику (8.7) и установили экспоненциальное убывание вихря вне следа. Аналогичный результат для вихря получил Д. Кларк [11]. Таким образом, предположение (8.6) с α >/2 позволяет
установить структуру решения, вполне согласующуюся с картиной, обрисованной выше.
Итак, вопрос о структуре стационарных решений задачи обтекания свелся
к выяснению условий, гарантирующих выполнение (8.6) с α >/2. В работе [6]
257
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
Р. Финн показал, что при малых числах Re существуют решения задачи обтекания, для которых имеет место (8.6) с α > 1/2. В. Пухначев [12] в случае осесимметрических течений с конечным интегралом Дирихле вывел, что условие
(8.6) с α > 1/2 вытекает из некоторого одностороннего неравенства.
В [13] К. И. Бабенко доказал, что соотношение (8.6) с α > 1/2 выполняется
для любого решения задачи обтекания с конечным интегралом Дирихле.
Литература, посвященная численным решениям уравнений Навье – Стокса,
труднообозрима. Наиболее близок к этой работе препринт К. И. Бабенко и др.
[14]. В нем рассматривается двумерная задача об обтекании цилиндра потоком
вязкой несжимаемой жидкости. Граничные условия в бесконечности сносятся
на окружность большого диаметра и для решения, полученных в результате
дискретизации нелинейных уравнений, применяется метод установления по
времени. Отметим, что, таким образом, при увеличении радиуса внешней
окружности R, нельзя добиться сходимости к решению внешней задачи. Дело
в том, что во внешности круга оператор Лапласа, который входит в уравнения
Навье – Стокса, имеет непрерывный спектр, заполняющий интервал (–, 0). В
расчетах, конечно, получается спектр дискретный, но собственные значения
соответствующей матрицы (матрицы дискретного оператора Лапласа) имеют
две точки сгущения 0 и –. Таким образом, норма матрицы дискретного оператора Лапласа имеет большую величину (также как и норма обратной матрицы). В результате в пределе при R→ получаем, что метод установления
по времени неустойчив.
Наиболее распространенным методом решения уравнений Навье – Стокса
является метод конечных элементов. Из работ Российских авторов отметим
работы Пальцева Б. В. (см. [15] и приведенную там библиографию). Основной
трудностью, возникающей при применении метода конечных элементов, является решение полученной системы нелинейных уравнений большого размера.
Поэтому в настоящей работе применяется альтернативная методу конечных
элементов дискретизация – без насыщения [16]. Дело в том, что при малых
числах Рейнольдса решения уравнений Навье – Стокса – гладкие функции, и
нужно суметь воспользоваться этим обстоятельством, т. е. построить алгоритм, реагирующий на гладкость решения [16].
Ранее автором этой работы были рассмотрены уравнения Стокса [17–19] и
уравнения Навье – Стокса [20–21]. Для уравнений Стокса был предложен оригинальный алгоритм, основанный на том, что давление в этой задаче – гармоническая функция. Таким образом, на маломощной ПЭВМ типа AT-386 уда258
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
лось решить задачи для тел вращения, близких к шару. Прогресс вычислительной техники и появление нового программного обеспечения (Intel Fortran
11.1.054 с библиотекой MKL) позволяет в настоящее время непосредственно
решать плохо обусловленную линейную систему дискретных уравнений
Стокса. Используя подпрограмму PARDISO, из библиотеки MKL Intel Fortran,
удается на ПЭВМ Intel Core Quad CPU Q6600 @ 2.40 GHz, 2 Гб ОЗУ решать
систему с разреженной матрицей из 18000 уравнений. Время решения 1–2 мин.
Таким образом, как будет показано ниже, вопрос с численным решением уравнений Стокса можно считать закрытым для широкого класса тел (тел вращения с гладкой границей).
По другому обстоит дело с нелинейными уравнениями Навье–Стокса. Построенная в [20–21] дискретизация уравнений Навье – Стокса, сводит решение
этих уравнений к системе нелинейных алгебраических уравнений. В цитированных выше работах эта система решалась по стандартной программе из библиотеки IMSL 5.0. Таким образом, удалось решить систему из 3600 нелинейных уравнений и решить дискретные уравнения Навье–Стокса для чисел Рейнольдса порядка единицы. Увеличить число узлов сетки в таком подходе
невозможно из-за авоста стандартной программы. Поэтому в настоящей работе была предпринята другая попытка. Был рассмотрен итерационный алгоритм решения нелинейных уравнений Навье–Стокса, когда в выражении конвективной производной, значение скорости при производной по координате
считалось известным с предыдущей итерации (на первом шаге подставлялось
решение уравнений Стокса). Таким образом, задача сводится к решению последовательности линейных задач. Однако оказалось, что этот итерационный
алгоритм сходится только при очень малых числах Рейнольдса. Подробности
смотри ниже.
8.2. Постановка задачи.
Во внешности тела вращения Ω рассмотрим полные стационарные уравнения Навье–Стокса, которые в координатной форме имеют вид [22]:
u1
u1
u1
u1
1 p
u2
u3
2 u1 ,
x1
x2
x3
x1
(8.8)
u1
u 2
u 2
u 2
1 p
u2
u3
2 u 2 ,
x1
x2
x3
x2
(8.9)
259
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
u 3
u 3
u 3
1 p
u2
u3
2 u 3 ,
x1
x2
x3
x3
u1
u1 u 2 u 3
0.
x1 x2 x3
(8.10)
(8.11)
Здесь обозначения совпадают с общепризнанными: ( u1 , u2 , u3 ) – вектор скорости, ui, i = 1,2,3 – проекции вектора скорости на оси декартовой системы
координат (x1,x2,x3); ρ – плотность жидкости, p – давление, ν = μ/ρ – кинематическая вязкость; 2 – оператор Лапласа.
К системе уравнений (8.8) – (8.11) нужно присоединить граничные условия
для u i, i = 1,2,3 и давления p.
Введем безразмерные величины. Будем обозначать безразмерные величины без черты сверху, а размерные с чертой:
xi
xi
p p
ui
, ui
,p
,
La
u
v2
где La – характерный линейный размер, u - модуль скорости потока в бесконечности, p - давление в бесконечности. Тогда система уравнений (8.8) –
(8.11) принимает вид:
u1
u1
u1
p
1 2 1
u2
u3
u ,
x1
x2
x3
x1 Re
(8.12)
u1
u 2
u 2
u 2
p
1 2 2
u2
u3
u ,
x1
x2
x3
x2 Re
(8.13)
u1
u 3
u 3
u 3
p
1 2 3
u2
u3
u ,
x1
x2
x3
x3 Re
(8.14)
u1
u1 u 2 u 3
0,
x1 x2 x3
где
(8.15)
1
– безразмерный параметр, Re – число Рейнольдса. Таким обраRe La u
зом, для определения параметров потока, вектора скорости (u1, u 2, u 3) и давления р требуется найти решение системы уравнений (8.12) – (8.15), удовлетворяющее следующим граничным условиям:
ui
0, i 1, 2,3, u i
ui , i 1, 2,3, p 0.
260
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
Здесь Ω – рассматриваемое тело вращения вокруг оси х3; дΩ – его граница;
ui (i 1, 2,3) скорость жидкости в невозмущенном потоке (в бесконечности).
Введем систему криволинейных координат (r, θ, φ), связанную с декартовыми координатами (х1,х2,х3) соотношениями
x1 = V(r,θ)cosφ, x2 = V(r,θ)sinφ, x3 = U(r, θ)
(8.16)
Обозначим G область, получаемую меридиональным сечением тела Ω, и
выберем функции U и V следующим образом. Пусть ψ = ψ(z), ψ = U + iV, z =
r exp (iθ) – конформное отображение круга |z|1 на внешность области G, причем центр круга переходит в бесконечно удаленную точку (для единственности конформного отображения потребуем, чтобы в нуле направление по действительной оси переходило в такое же направление). Соотношения (8.16) задают отображение шара единичного радиуса на внешность тела Ω.
Для эллипсоида вращения вокруг оси х3:
x12 x22 x32
1 0 ,
b2 b2 a 2
функции U и V известны в аналитическом виде (см. [23]). Поверхность шара
единичного радиуса переходит при отображении (8.16) в поверхность тела Ω.
Тогда краевые условия, заданные на дΩ, переносятся на поверхность шара,
а краевые условия, заданные в бесконечности, переносятся в центр шара. Отметим, что при этом отображении внешняя нормаль к телу переходит во внутреннею. Это важно для вычисления силы сопротивления (см. ниже).
Обычно при использовании криволинейных координат, уравнения для векторных величин записываются в проекциях на оси собственного базиса, координатные векторы которого направлены по касательным к координатным линиям. Этот базис зависит от координат точки пространства. В данном случае
такой подход неудобен, так как отображение (8.16) теряет однозначность на
оси х3 (если V = 0, то φ любое). Это вызывает появление особенностей в решении, которые вызваны не существом дела, а "плохой" системой координат. Отметим, что сферическая система координат обладает аналогичным "недостатком".
Выход из этого положения следующий: оставим в качестве искомых функций проекции вектора скорости ui (i = 1,2,3) на оси декартовой системы координат, а независимые переменные х1,х2,х3 заменим подстановкой (8.16) на r, θ,
φ. Тогда частные производные по декартовым координатам xi, i = = 1,2,3 – выразятся через производные по r, θ и φ: Φ(x1,x2,x3) = Φ (Vcosφ,Vsinφ,U)
261
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
1
cos
cos
sin
r
V
x1
1
sin
sin
cos
r
V
x2
rV rV
2
2r
x
r
w
w
3
где
(8.17)
(r, ) rU / w2 , (w2 U 2 V2 ); (r, ) (1 rU Vr / w2 ) / V;
В результате получаем:
rV u1
)
w2 r
rV u1
(u1 cos u 2 sin u 3 2r )
w
1
1
u1
( sin u1 cos u 2 )
V
V
p
p 1
p
1 2 1
( cos cos sin )
u;
r
V
Re
(8.18)
rV u 2
)
w2 r
rV u 2
(u1 cos u 2 sin u 3 2r )
w
1
1
u 3
( sin u1 cos u 2 )
V
V
p
p 1
p
1 2 2
( sin sin cos )
u ;
r
v
Re
(8.19)
(u1 cos u 2 sin u 3
(u1 cos u 2 sin u 3
3
rV u 3
1
2
3 rVr u
)
(
u
cos
u
sin
u
)
w2 r
w2
(8.20)
3
rV p rVr p
1
1
1 2 3
1
2 u
( sin u cos u )
( 2
)
u ;
V
V
Re
w r w2
(u1 cos u 2 sin u 3
cos
u1
u1 1
u1
u 2
u 2
cos
sin
sin
sin
r
V
r
rV u 3 rVr u 3
1
u 2
cos
2
0.
V
w r w2
262
(8.21)
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
Приведем соотношения (8.18) – (8.21) к однородным уравнениям по скорости:
u i (1 r )ui u i , i 1, 2,3;
i
i
u r 0 u r 1 0;
i
i
u u i u , i 1, 2,3;
r
r
V
r
u i u i
(1 r r )ui .
2
w
V
(8.22)
Замена искомых функций ui на u i (i = 1,2,3) по формуле (8.22) произведена
для того, чтобы сделать краевые условия для скорости однородными:
u i |r = 0 = u i |r = 1 = 0, i = 1,2,3.
(8.23)
Это требуется для более удобной дискретизации лапласиана. Для давления
имеем краевое условие
p|r = 0 = 0.
(8.24)
Лапласиан от функций u i (i = 1,2,3) в переменных (r, θ, φ) принимает вид:
u i V u i 1 2u i
.
(8.25)
rV
r r V 2 2
r
Итак, требуется решить уравнения (8.18) – (8.21) в шаре единичного радиуса с
краевыми условиями (8.23), (8.24).
u i
r
Vw2
8.3. Дискретный лапласиан.
Для дискретизации лапласиана (8.25) с однородными краевыми условиями
(8.23) применим методику, описанную в гл. 6. Суть этой методики состоит в
следующем:
1. В Лапласиане (8.25) можно методом разделения переменных свести вычисление собственных значений трехмерного дифференциального оператора
к вычислению собственных значений двумерных дифференциальных операторов.
2. Дискретная задача наследует эти свойства, и дискретизация трехмерного
дифференциального оператора сводится к дискретизации ряда двумерных операторов.
Таким образом, получаем дискретный лапласиан в виде h-матрицы:
2 l '
H k hk , L 2l 1.
(8.26)
L k 0
263
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
Здесь штрих означает, что слагаемое при k = 0 берется с коэффициентом 1/2;
знак кронекерово произведение матриц; h – матрица размера L×L с элементами
2(i j )
hkij cos k
, (i, j 1, 2,..., L);
L
Λk матрица дискретного оператора, соответствующего дифференциальному оператору
V k 2
r
rV
, k 0,1,..., l
r r V 2
Vw2 r
(8.27)
с краевыми условиями
Ф|r = 0 = Ф|r = 1 = 0.
(8.28)
Дискретизация дифференциального оператора (8.27), (8.28) подробно описана в п. 6.6.1. Для получения дискретных уравнений Навье – Стокса нужно в
уравнениях (8.18)–(8.21) заменить производные дискретными производными,
найденными дифференцированием соответствующих интерполяционных формул [20, 21, 24]; лапласиан заменяется на матрицу Н. Вместо функций u1, u 2, u
3
и р в дискретные уравнения Стокса войдут значения этих функций в узлах
сетки ( , r , k ), 1, 2,..., n; k 0,1,...,2l . В результате имеем систему из
4тпL, L = 2l + 1 нелинейных уравнений. В явном виде система дискретных
уравнений не выписывается (см. [20, 21]). Например, при т = п = 10, L = 9
порядок системы уравнений 3600.
Поясним суть примененной дискретизации Лапласиана. Применяется интерполяция решения многочленами. Известно [16], что такая интерполяция реагирует на гладкость решения, она приближает интерполируемую функцию
тем точнее, чем большим условиям гладкости она отвечает. Причем априори
гладкость решения не нужно знать. В этом состоит суть численных алгоритмов
без насыщения [16]. В исследуемой задаче, как отмечалось во введении, решение состоит из гладких функций. Как показано ниже, это обстоятельство
можно эффективно использовать и построить алгоритм, который имеет приемлемую точность на редкой сетке.
8.4. Результаты расчетов для уравнений Навье – Стокса.
Конкретные расчеты для нелинейных уравнений Навье–Стокса проводились для шара радиуса 1, вектор скорости в бесконечности равен v = (1,0,0), на
264
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
сетках из 900 = 10×10×9, 3600 = 20×20×9 и 4500 = 20×25×9 узлов. Был реализован итерационный алгоритм, в котором в конвективной производной значение скорости при производной по координате считалось известным с предыдущей итерации (на нулевой итерации подставлялось решение линеаризованной задачи). Проводилось вычисление коэффициента сопротивления cx.
Проекция силы, действующей на шар, на ось x равна Fx ( p11n1
p12 n2 p13n3 )d , где pij – компоненты тензора напряжений. Для шара n1 =
= sinθ·cosφ, n2 = sinθ·sinφ, n3 = cosθ; p11 p 2
u1
,
x1
u1 u 3
u1 u 2
Fx
p12
.
, cx 1
, p13
x2 x1
x3 x1
u2 R 2
2
Результаты расчетов представлены ниже.
Таблица 8.1. Шар R = 1,Re = 0.02655, сетка: 20×25×9; V = (1,0,0)
№
0
1
2
3
4
5
6
7
Число ненулевых элементов
матрицы дискретной задачи
1945158
2400226
2408142
2408083
2408076
2408084
2408086
2408086
Cx
272,36319
265,85810
265,83032
265,84891
265,85120
265,85081
265,85077
265,85078
Линеаризованная задача решалась подпрограммой PARDISO [20] из библиотеки MKL Intel Fortran 11.1.054. Как видно из рассмотрения табл. 8.1, при
выбранном числе Рейнольдса наблюдается быстрая сходимость. Отличие нулевой итерации (уравнения Стокса) от точного решения составляет 0,28 %. Отличие этой итерации от первой – 18 %. Таким образом, даже при таком малом
числе Рейнольдса нельзя пользоваться уравнениями Стокса (линейное приближение). Отличие решения линеаризованной задачи от решения полной нелинейной задачи [20, 21] составляло 3,95 %.
265
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
При больших числах Рейнольдса (Re = 0.12185, 0.36385, 0.7465) предложенный итерационный метод не обнаружил сходимости. Таким образом, расчеты нужно проводить с 1–2 итерациями. Увеличение числа узлов сетки может
только ухудшить ситуацию.
8.5. Прямое решение полностью нелинейных уравнений Навье –
Стокса.
Результаты расчетов для шара единичного радиуса на сетке из 900 узлов
приведены в табл. 8.2
Таблица 8.2
Re
0.02655
0.12185
0.36385
0.7465
Расчет
277.55
63.73
23.99
13.60
cx
Опыт [22]
476.6
109.6
38.82
19.40
Как видно из рассмотрения таблицы, расхождение с опытом от 30 % до 40 %.
8.6. Новый алгоритм для численного исследования уравнений Стокса.
Выше в пункте 6.6 рассмотрен алгоритм для численного исследования
уравнений Стокса. В то время решить непосредственно дискретные уравнения
Стокса на имеющейся у автора ПЭВМ было невозможно. Трудности вычисления решения уравнений Стокса общеизвестны. Дело в том, что во внешности
тела вращения оператор Лапласа, который входит в уравнения Стокса, имеет
непрерывный спектр, заполняющий интервал (- , 0). В расчетах, конечно,
получается спектр дискретный, но собственные значения соответствующей
матрицы (матрицы дискретного оператора Лапласа) имеют две точки сгущения 0 и - . Таким образом, норма матрицы дискретного оператора Лапласа
имеет большую величину (также, как и норма обратной матрицы). В результате получаем плохо обусловленную систему дискретных линейных уравнений Стокса.
Ниже проводится непосредственное решение плохо обусловленных
дискретных уравнений Стокса при помощи солвера PARDISO из библиотеки
MKL Intel Fortran 11.1.054. Литература, посвящённая уравнениям Стокса,
трудно обозрима. Из работ Российских авторов отметим работы Пальцева Б.
266
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
В. и др. [26-43]. Из иностранных работ отметим работы [44-46]. Основной
трудностью, возникающей при применении метода конечных разностей и метода конечных элементов, является решение полученной системы линейных
уравнений большого размера. Поэтому в настоящей работе применяется альтернативная дискретизация – без насыщения. Дело в том, что решения уравнений Стокса – гладкие функции [46], и нужно суметь воспользоваться этим обстоятельством, т. е. построить алгоритм, реагирующий на гладкость решения.
В результате трёхмерная задача об обтекании тела вращения под углом атаки
доступна для численного исследования на сетке из 4500 = 20×25×9 узлов. Полученная система из 18000 линейных уравнений решается по стандартной программе.
8.6.1. Постановка задачи. Во внешности тела вращения Ω рассмотрим уравнения Стокса, которые имеют вид (6.35)-(6.36). Для получения дискретных уравнений Стокса нужно в уравнениях (6.40)-(6.43) заменить производные дискретными производными, найденными дифференцированием соответствующих интерполяционных формул (6.51)-(6.54); лапласиан заменяется
на матрицу Н. Вместо функций v1, v2, v3 и р в дискретные уравнения Стокса
войдут значения этих функций в узлах сетки ( , r , k ),
1,2,..., m; k 0,1,...,2l.
1, 2,..., n;
В результате имеем систему из 4тпL линейных
уравнений. В явном виде система дискретных уравнений выписывается ниже.
Например, при т = п = 10, L = 9 порядок системы уравнений 3600.
8.6.2. Дискретные уравнения Стокса.
Пусть в (6.40)-(6.41) (θ, r, φ) – пробегают узлы сетки (θν, rμ, φk),
ν=1,2,…,N;
μ =1,2,…,M; k=0,1,…,2l, L=2l+1. Тогда получаем дискретные
уравнения Стокса:
267
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
m
n
( pr )
cos k ( D
p k ) cos k ( D( ) p k )
1
1 1
1
1
1 1
1
2l
1
1 n m 2l
sin k ( Dkk(1) p k1 )
( H k ,11k1 u111k1
v
Re
k1 0
1 1 1 1 k1 0
v
r
(1 r r )
u1 ),
2
r
r
w
v
(8.29)
m
n
( pr )
sin k ( D
p k ) sin k ( D( ) p k )
1
1 1
1
1
1 1
1
2l
1
1 n m 2l
cos k ( Dkk(1) p k1 )
( H k ,11k1 u211k1
v
Re 1 1 1 1 k1 0
k1 0
v
r
(1 r r )
u2 ),
2
w
v r r
(8.30)
rv
w2
m
r r
( pr )
( D
p1k )
1
1 1
rvr
w2
n
r r
( D(1) p1 k )
1 1
(8.31)
v
1 n m 2l
r
( H k ,11k1 u311k1 2 (1 r r )
u3 ),
Re 1 1 1 1 k1 0
w
v r r
m
n
(r ) 1
cos k ( D
u k ) cos k ( D( )u1 k )
1 1
1
1
1
1
2l
m
1
1
(r ) 2
sin k ( Dkk(1)u
)
sin
(
k1
k D1 u1k )
v
k1 0
1 1
n
sin k ( D(1)u21 k )
1 1
1 1
rvr
w2
2l
rv
1
cos k ( Dkk(1)u2 k1 ) 2
v
w
k1 0
n
r r
m
r r
( D(1)u3 k ) (u1 cos k u2 sin k u3
1 1
1
( pr ) 3
( D
u k )
1
rv
w2
1
1 1
r r
) 0.
( 8.32)
268
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
Из
уравнений
(8.29)
–
(8.32)
требуется
определить
вектор
x (u , u , u , p ) , где u и p векторы значений соответствующих функций
1
2
3
i
в узлах сетки, см. (8.2).
Примечание. D(r),D(pr),D(θ),D(φ)- матрицы численного дифференцирования, которые получаются дифференцированием интерполяционных формул
(6.51)-(6.54))соответственно. Программы для их вычисления описаны в [47].
8.6.3. Результаты расчётов. Конкретные расчёты производились для шара
радиуса 1, вектор скорости в бесконечности равен v = (1,0,0), эллипсоида A=1,
B = 0.5 при двух направлениях вектора скорости в бесконечности v = (1,0,0) и
v = (1,1,1)/sqrt(10.3) на сетках из 3600 = 20×20×9 и 4500 = 20×25×9 узлов. Выводились на печать значения давления на теневой стороне шара (эллипсоида)
при θ пробегающем узлы сетки и φ=0. Для шара проводилось сравнение с известным аналитическим решением. Отличие точного решения от решения, полученного в результате расчётов, составляет 0,3 – 0,4 % (в зависимости от
числа Рейнольдса) на сетке из 20×20×9=3600 узлов. Результаты расчётов для
эллипсоида представлены ниже:
V=
Эллипсоид A=1, B=0,5; V=(1,0,0)
Re = 2.655E-002; A = 1.0 ; B = 0.5
1.0,0.0,0.0 M = 20 N = 20 L = 8 NP =
14400
Проверка сиимметричности давлениия на сфере
0.991151596533241
9.12727623800643
24.2661975777372
42.0518727303980
55.5329009354851
61.0128175200914
60.4662144686689
57.5845494015413
54.7284546943398
53.0880630785169
53.0880630783447
54.7284546945149
57.5845494013498
60.4662144688813
61.0128175198603
55.5329009357773
42.0518727300358
24.2661975781164
9.12727623715685
0.991151596987193
269
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
Re =
2.655E-002; A = 1.0; B = 0.5
V =
1.0, 0.0, 0.0 M = 25 N = 20 L = 8 NP = 18000
Проверка сиимметричности давлениия на сфере
1.09092221481132
9.33178163329270
24.7092667886719
42.7726169651092
56.4558132489897
62.0099606107020
61.4231888517138
58.4798675996074
55.6477628564221
54.0401865818159
54.0401865816202
55.6477628566189
58.4798675993859
61.4231888519493
62.0099606104263
56.4558132493101
42.7726169646920
24.7092667890858
9.33178163237857
1.09092221527736
270
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
Эллипсоид A=1, B=0,5;
V=(1,1,1)/sqrt(3.0) Re =
2.655E-002 A = 1.0 B = 0.5
V = 0.577350269189626
0.577350269189626
0.577350269189626
M = 25 N = 20 L = 8 NP = 18000
Давление на теневой стороне сферы в узлах сетки по θ:
52.8053907962807
57.2395157258637
63.9730623171681
68.5571398009047
67.1334341178151
60.2073778504957
51.3936387426128
43.4385485239197
37.2868894330667
32.8097691996257
29.5904633293959
26.9696122887139
24.0881860736651
19.5317504939471
11.3955570546165
-1.94387615994104
-19.1675759594495
-35.4412586491923
-46.4641024479696
-51.5457023257460
8.6.4. Вычисление сопротивления. Для шара радиуса 1 проводилось
вычисление коэффициента сопротивления cx и сравнение полученных данных
с экспериментом [48]. Проекция силы, действующей на шар на ось x, равна
Fx ( p11n1 p12n2 p13n3 )d , где pij – компонеты тензора напряжений.
Для шара n1=sinθcosφ, n2=sinθsinφ, n3=cosθ;
u1 u 3
u1 u 2
u1
p11 p 2
, p12
.
, p13
x1
x2 x1
x3 x1
Частные производные по xi выражаются через производные по r,θ и φ по
формуле дифференцирования сложной функции (8.17). Учитывая, что на поверхности сферы производные по θ и φ равны нулю, в силу граничных условий, получаем:
271
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
p1 j n j p sin cos [(sin 2 cos 2 cos 2 )
sin 2 sin cos
u1
r
u 2
u 3
sin cos cos
], d R 2 Sin d d .
r
r
2
0
0
Fx (sin p1 j n j d )d
2
L
n
2l
1
k 0
c fk ,
где сν – коэффициенты квадратурной формулы по θ на [0,π]:
c
n
cos l
(2 1)
),
, 1,2,..., n.
2
2n
l 2 ( 2 ) l 1
n1
(1 2
1
u1
3
2
f p sin cos
[(sin cos cos 2 sin )(1
)
Re
r
u 2
u 3
sin 3 sin cos
sin 2 cos cos
]
r
r
2l
Fx
4 n
cx
c fk .
1
U 2 R 2 L 1 k 0
2
2
Замечание. При расчёте по этой формуле коэффициент сопротивления получается отрицательным. Дело в том, что при отображении (8.16) внешняя
нормаль к шару переходит во внутреннею. В программе это учтено (изменён
знак f).
Осталось привести формулу для вычисления p и производных от компонент скорости на поверхности шара:
p(1)
m 1
4 m c p
,
c
0.5
cos l , x cos ,
m 1 1 x
l 1
u(1)
m 1
8 m c u
,
c
0.5
cos l , x cos ,
m 1 x2 1
l 1
(2 1)
1, 2,..., m;
2m
272
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
Примечание. pν и uν – значения давления и скорости в узлах сетки по r.
Результаты расчётов на сетке из 3600 = 20×20×9 узлов приведены в таблице
8.3.
Таблица 8.3
Re
cx
Расчёт из
Расчёт по
Опыт
Табл. 8.2
описанной ме[22 ]
тодике
0.02655
277.55
270.58
476.6
0.12185
63.73
58.94
109.6
0.36385
23.99
19.75
38.82
0.7465
13.60
9.62
19.40
Как видно из рассмотрения таблицы расхождение с опытом от 30% до
40%.
8.6.5. Выводы.
На современных ПЭВМ большой производительности и большим объемом
оперативной памяти для широкого класса областей (внешность тела вращения
с гладкой границей) проблема с решением уравнений Стокса может считаться
закрытой. Уравнения Навье – Стокса (во внешности тела вращения) допускают решение (по описанной автором методике) только для чисел Рейнольдса
порядка единицы. В работах [24, 25] опубликованы программы для решения
уравнений Стокса и Навье – Стокса.
8.7. Нестационарные уравнения Стокса.
Выше рассмотрены стационарные уравнения Стокса. Здесь эти результаты
обобщаются на нестационарные уравнения Стокса. Рассматриваются линейные, несжимаемые нестационарные уравнения Стокса во внешности тела вращения, когда вектор скорости потока направлен произвольно относительно
оси вращения, т.е. в общем случае задача трёхмерная.
8.7.1. Постановка задачи. Во внешности тела вращения Ω рассмотрим
полные стационарные уравнения Навье-Стокса, которые имеют вид [22]:
273
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
u i
1 p
u1 u 2 u 3
2u i , i 1, 2,3;
0
x1 x2 x3
t
xi
1
(8.33)
2
3
Здесь обозначения совпадают с общепризнанными: ( u , u , u ) – вектор
скорости, ui, i=1,2,3 – проекции вектора скорости на оси декартовой системы
координат (x1,x2,x3); ρ – плотность жидкости, p – давление, ν – вязкость; оператор Лапласа.
К системе уравнений (1.1) – (1.4) нужно присоединить граничные и
начальные условия для u i, i=1,2,3 и граничные условия для давления p.
Введём безразмерные величины. Будем обозначать безразмерные величины без черты сверху, а размерные с чертой:
2
tt
x
u
p p
ui
, xi i , u i , p
, где La – характерный лиLa
La
u
v2
нейный размер,
u - модуль скорости потока в бесконечности, p - давление
в бесконечности. Тогда система уравнений (8.3.3) принимает вид:
u i
p 1 2 i
u , i 1, 2,3;
t
xi Re
где
u1 u 2 u 3
0
x1 x2 x3
(8.34)
1
- безразмерный параметр, Re – число Рейнольдса. Таким
Re La u
образом, для определения параметров потока, вектора скорости (u1, u 2, u 3) и
давления р требуется найти решение системы уравнений (8.3.4), удовлетворяющее следующим граничным условиям:
ui
0, i 1,2,3, u i
ui , i 1,2,3, p 0.
В качестве начальных условий будем рассматривать
ui
t 0
ui , i 1, 2,3.
(8.35)
Здесь Ω - рассматриваемое тело вращения вокруг оси х3; дΩ — его граница;
u (i 1,2,3) скорость жидкости в невозмущенном потоке (в бескоi
нечности).
274
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
Введем систему криволинейных координат (r, θ, φ), связанную с декартовыми координатами (х1,х2,х3) соотношениями x1=V(r,θ)cosφ, x2=V(r,θ)sinφ,
x3=U(r, θ).
Далее рассуждения аналогичны пункту 8.2. В результате получаем:
u1
p
p 1
p
1 2 1
( cos cos
sin )
u ; (8.36)
t
r
V
Re
u 2
p
p 1
p
1 2 2
( sin sin
cos )
u ; (8.37)
t
r
v
Re
rV p rVr p
u 3
1 2 3
( 2
2
)
u;
t
w r w
Re
u1
u1 1
u1
u 2
cos
cos
sin
sin
r
V
r
rV u 3 rVr u 3
u 2 1
u 2
sin
cos
2
0.
V
w r w2
(8.38)
(8.39)
где
(r, ) rU / w2 , (w2 U 2 V2 ); (r, ) (1 rUVr / w2 ) / V;
Приведём соотношения (8.36) – (8.39) к однородным уравнениям по скорости:
u i (1 r )ui u i , i 1, 2,3;
i
i
u r 0 u r 1 0;
i
i
u u i u , i 1, 2,3;
r
r
u i u i r (1 r Vr )ui .
w2
V
i
(8.40)
Замена искомых функций ui на u (i = 1,2,3) по формуле (8.3.10) произведена для того, чтобы сделать краевые условия для скорости однородными:
275
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
u i |r=0 = u i |r=1 =0, i =1,2,3.
(8.41)
Это требуется для более удобной дискретизации лапласиана. Для давления
имеем краевое условие
p|r=0 =0.
Лапласиан от функций u
u i
r
Vw2
i
(8.42)
(i = 1,2,3) в переменных (r, θ, φ) принимает вид:
u i
rV
r
r
V u i 1 2u i
2
.
2
r V
Итак, требуется решить уравнения (8.36)-(8.39) в шаре единичного радиуса с краевыми условиями (8.41), (8.42) и начальными условиями (8.35).
Дискретизация Лапласиана описана в пункте 8.3.
8.7.2.
Интерполяционная формула численного дифференцирования по
времени для функции y=y(t), t [0,1], y(0) 1.
По t выберем сетку
t
1
(2 1)
( z 1), z cos ,
, 1,2,..., k , и применим
2
2k
интерполяционную формулу:
y( z )
Tk ( z ) k
Tk ( z )( z 1) y
, Tk ( z ) cos(k arccos z ),
k
(1) 1 Tk( z )( z 1)( z z )
тогда формула численного дифференцирования
k
y(t ) b(5) D(5) y , 1, 2,..., k ;
1
вычисления проводит подпрограмма Diff_t (K,D,B):
SUBROUTINE DIFF_T(K,D,B)
IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z)
INTEGER Q
DIMENSION D(K,K),B(K)
PI=3.141592653589D0
DO MU=1,K
TMU=(2.D0*MU-1.D0)*PI/2.D0/K
B(MU)=2.D0*K*(-1)**(MU-K-1)/SIN(TMU)
276
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
DO NU=1,K
TNU=(2.D0*NU-1.D0)*PI/2.D0/K
P=(-1)**(MU-NU)*SIN(TNU)/SIN(TMU)/(COS(TNU)+1.D0)
DO Q=1,K-1
P=P+COS(Q*TNU)*(SIN(Q*TMU)*Q/SIN(TMU))*2.D0/K
ENDDO
D(MU,NU)=2.D0*P
ENDDO
ENDDO
RETURN
END
8.7.3. Дискретные нестационарные уравнения Стокса.
Для получения дискретных уравнений Навье-Стокса нужно в уравнениях (8.36) - (8.39) заменить производные дискретными производными,
найденными дифференцированием соответствующих интерполяционных формул; Лапласиан заменяется на матрицу Н. Вместо функций u1, u 2, u 3 и р в дискретные уравнения Стокса войдут значения этих функций в узлах сетки
( , r , k ), 1, 2,..., n;
1, 2,..., m;
k 0,1,..., 2l. В результате
имеем систему из 4тпLkt линейных уравнений. В явном виде система дискретных уравнений выписывается ниже. Например, при т = п = 10, L = 9, kt=5
порядок системы уравнений 18000.
Пусть в (8.36) - (8.39) (θ, r, φ, t) – пробегают узлы сетки (θν , rμ , φk , ti),
ν=1,2,…,N;μ =1,2,…,M; k=0,1,…,2l, L=2l+1; i=1,…,kt;. Тогда получаем дискретные нестационарные уравнения Стокса:
kt
D
q 1
m
(5) 1
iq k , q
u
n
( pr )
cos k ( D
p1k ,i ) cos k ( D(1) p1 k ,i )
1
1 1
1 1
V
1
1
r
sin k ( Dkk(1) p k1 ,i ) ( H k ,11k1 u111k1 ,i 2 (1 r r )
u1 ) 0,
r
r
v
Re
w
V
k1 0
1 1 1 1 k1 0
2l
n
m
2l
(8.43)
277
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
kt
D
q 1
m
(5) 2
iq k , q
u
n
( pr )
sin k ( D
p1k ,i ) sin k ( D(1) p1 k ,i )
1
1 1
1 1
V
1
1
r
cos k ( Dkk(1) p k1 ,i )
( H k ,11k1 u211k1 ,i 2 (1 r r )
u2 ) 0,
r
r
v
Re
w
V
k1 0
1 1 1 1 k1 0
2l
n
m
2l
(8.44)
kt
D
q 1
(5) 2
iq k , q
u
rV
rV
( pr )
( D
p1k , i ) 2r
( D( ) p k ,i )
2
1
w r r 1 1
w r r 1 1 1 1
m
n
V
1
r
( H k ,11k1 u311k1 ,i 2 (1 r r )
u3 ) 0,
r
r
Re 1 1 1 1 k1 0
w
V
n
m
2l
(8.45)
m
n
(r ) 1
cos k ( D
u k ,i ) cos k ( D( )u1 k ,i )
1 1
1
1
1 1
1
1
2l
m
1
( ) 1
(r ) 2
sin k ( Dkk1 u k1 ,i ) sin k ( D
u
)
1 1k ,i
v
k1 0
1 1
n
sin k ( D(1)u21 k ,i )
1 1
2l
1
cos k ( Dkk(1)u2 k1 ,i )
v
k1 0
(8.46)
m
n
rV
rVr
( pr ) 3
(
D
u
)
(
D(1)u3 k ,i )
1 1k ,i
2
2
1
r
r
r
r
w
w
1 1
1 1
(u1 cos k u2 sin k u3
rV
) 0.
w2 r r
i
Из этих уравнений требуется определить вектор (u , u , u , p ) , где u и
1
2
3
p векторы значений соответствующих функций в узлах сетки по пространственным переменным и времени.
Примечание. D(r),D(pr),D(θ),D(φ)- матрицы численного дифференцирования,
которые получаются дифференцированием интерполяционных формул (2.5)
,(2.6), (2.4), (2.7)соответственно. Программы для их вычисления описаны в
[18].
278
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
8.7.4.
Портрет матрицы дискретной задачи.
Узлы сетки перенумерованы слоями по времени. Так что для трёхслойной
схемы по времени имеем вектор решения в виде:
u (t ), u (t ), u (t ), u (t ), u (t ), u
1
1
1
1
2
2
3
2
1
2
2
(t3 ), u 3 (t1 ), u 3 (t 2 ), u 3 (t3 ), p (t1 ), p (t 2 ), p (t3 ) ,
здесь ui(tj), p(tj) i,j=1,2,3; векторы значений соответствующих функций в узлах сетки (узлы по пространственным переменным перенумерованы в порядке, указанном выше). Заметим, что t1 – последний слой по времени (так занумерованы узлы сетки по t, см. пункт 3).
Система линейных уравнений (8.43)-(8.46) имеет разреженную матрицу (см. ниже):
××× ×00 ×00 000000000 000000000 ××× 000 000
××× 0×0 0×0 000000000 000000000 ××× 000 000
××× 00× 00× 000000000 000000000 ××× 000 000
×00 ××× ×00 000000000 000000000 000 ××× 000
0×0 ××× 0×0 000000000 000000000 000 ××× 000
00× ××× 00× 000000000 000000000 000 ××× 000
×00 ×00 ××× 000000000 000000000 000 000 ×××
0×0 0×0 ××× 000000000 000000000 000 000 ×××
00× 00× ××× 000000000 000000000 000 000 ×××
000000000 ××× ×00 ×00 000000000 ××× 000 000
000000000 ××× 0×0 0×0 000000000 ××× 000 000
000000000 ××× 00× 00× 000000000 ××× 000 000
000000000 ×00 ××× ×00 000000000 000 ××× 000
000000000 0×0 ××× 0×0 000000000 000 ××× 000
000000000 00× ××× 00× 000000000 000 ××× 000
279
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
000000000 ×00 ×00 ××× 000000000 000 000 ×××
000000000 0×0 0×0 ××× 000000000 000 000 ×××
000000000 00× 00× ××× 000000000 000 000 ×××
000000000 000000000 ××× ×00 ×00
000000000 000000000 ××× 0×0 0×0
000000000 000000000 ××× 00× 00×
××× 000 000
××× 000 000
××× 000 000
000000000 000000000 ×00 ××× ×00
000000000 000000000 0×0 ××× 0×0
000000000 000000000 00× ××× 00×
000 ××× 000
000 ××× 000
000 ××× 000
000000000 000000000 ×00 ×00 ×××
000000000 000000000 0×0 0×0 ×××
000000000 000000000 00× 00× ×××
000 000 ×××
000 000 ×××
000 000 ×××
××× 000 000 ××× 000 000 ××× 000 000 000000000
××× 000 000 ××× 000 000 ××× 000 000 000000000
××× 000 000 ××× 000 000 ××× 000 000 000000000
000 ××× 000 000 ××× 000 000 ××× 000 000000000
000 ××× 000 000 ××× 000 000 ××× 000 000000000
000 ××× 000 000 ××× 000 000 ××× 000 000000000
000 000 ××× 000 000 ××× 000 000 ××× 000000000
000 000 ××× 000 000 ××× 000 000 ××× 000000000
000 000 ××× 000 000 ××× 000 000 ××× 000000000
Таким образом, для решения этой системы линейных уравнений можно
применять специализированные методы для решения больших линейных систем с разреженными матрицами. Применялась программа PARDISO из библиотеки MKL Intel Fortran 11.1.054.
8.7.5. Результаты расчётов. Конкретные расчёты производились для шара
радиуса 1 и эллипсоида a=1, b=0,5. Вектор скорости в бесконечности равен v
280
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
= (1,0,0). Сетка из 4500 = 10×10×9×5 узлов. Таким образом, решалась система
из 18000 линейных уравнений. Выводились на печать значения давления на
теневой стороне сферы в узлах сетки по θ. См. ниже:
Re = 2.655E-002 A = 1.0 B = 1.0
V = 1.0
0.0 0.0
Проверка симметричности давления на сфере:
9.74807304167376
96.6961005106735
252.534325877165
431.190576204105
553.889641895161
553.889641893059
431.190576205507
252.534325874930
96.6961005132894
9.74807304271043
Re = 2.655E-002 A = 1.0
B = 0.5
V = 1.0 0.0 0.0
M = 10 N = 10 L = 8 KT = 5
Проверка симметричности давления на эллипсоиде:
1.52818129056406
74.2005954613102
222.251850768886
404.634071386700
505.069736109642
505.069736108130
404.634071390118
222.251850765980
74.2005954664588
1.52818129102373
Как видно из результатов расчётов, представленных выше, давление - симметрично с 10 знаками после запятой.
281
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
8.7.5.
Расчёты по программе FGMRES.
Итак, требуется решить уравнения (8.36)-(8.39) в шаре единичного радиуса
с краевыми условиями (8.41), (8.42) и начальными условиями (8.35). Дискретизация этой задачи описана выше. Далее проводятся вычислительные эксперименты. Для решения этой системы линейных уравнений можно применять
специализированные методы для решения больших линейных систем с разреженными матрицами. Применялась программа PARDISO из библиотеки MKL
Intel Fortran 11.1.070 и итеративный метод решения больших систем линейных
уравнений FGMRES из той же библиотеки.
Конкретные расчёты производились для шара радиуса 1 и эллипсоида
a=1, b=0,5. Вектор скорости в бесконечности либо равен v = (1,0,0) или
(1/ 3, 1/ 3, 1/ 3) . Применялась сетка из 4500 = 10×10×9×5 узлов для
программы PARDISO и сетка из 9000 = 20×10×9×5 узлов для программы
FGMRES. Таким образом, решалась система из 18000 и 36000 линейных уравнений. Выводились на печать значения давления на теневой стороне сферы в
узлах сетки по θ. Число Рейнольдса во всех расчётах Re=0,02655. Применялась
следующая тактика вычислений: 1) Вначале на сетке из 4500 = 10×10×9×5 узлов проводились расчёты по программе PARDISO. Увеличить число узлов
сетки оказалось невозможным из-за ограничений по памяти этой программы.
2). Решение переинтерполировалось на сетку из 9000 = 20×10×9×5 узлов (подпрограммой функцией Rint) и это значение использовалось как начальное в
методе FGMRES. Проводилось 500 итераций методом FGMRES. Результаты
расчётов представлены в таблицах 8.4-8.6. Как видим, результаты этих расчётов совпадают с 3-4 знаками после запятой. Также отметим, что давление симметрично относительно оси x.
Примечание. Безразмерное давление в бесконечности полагалось равным
нулю.
Таблица 8.4
Re = 2.655E-002 A = 1.0 B = 1.0 V = (1.0 , 0.0, 0.0)
Давление на теневой стороне сферы в узлах сетки по θ,
на последнем (пятом) слое по времени
282
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
PARDISO
4500 = 10×10×9×5
9.74807304167376
96.6961005106735
252.534325877165
431.190576204105
553.889641895161
553.889641893059
431.190576205507
252.534325874930
96.6961005132894
9.74807304271043
FGMRES
9000 = 20×10×9×5
9.74779430214496
96.6941636796361
252.529461385297
431.182296294918
553.878989329383
553.879143101721
431.182607438993
252.529738657706
96.6943518754592
9.74787544571466
Таблица 8.5
Re = 2.655E-002 A = 1.0 B = 0.5V = (1.0 , 0.0, 0.0)
Давление на теневой стороне сферы в узлах сетки по θ,
на последнем (пятом) слое по времени
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
PARDISO
4500 = 10×10×9×5
1.52818129053586
74.2005954613476
222.251850768858
404.634071386642
505.069736109450
505.069736107899
404.634071389939
222.251850765945
74.2005954664099
1.52818129106923
FGMRES
9000 = 20×10×9×5
1.52799523451699
74.1991897094661
222.249110590326
404.630817963481
505.066438095154
505.066482827579
404.630982561485
222.249370987811
74.1993878305068
1.52803686463484
Таблица 8.6
Re = 2.655E-002 A =
1.0
B = 0.5 V =
(1/ 3, 1/ 3, 1/ 3)
Давление на теневой стороне сферы в узлах сетки по θ,
на последнем (пятом) слое по времени
283
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
PARDISO
4500 = 10×10×9×5
457.289311774362
490.128566524758
502.167509200506
470.890441008332
367.478405897193
215.725890460821
-3.65926087189185
-245.533177482412
-404.449099022159
-455.524720018681
FGMRES
9000 = 20×10×9×5
457.285525211081
490.123996675348
502.162813735031
470.886525113368
367.475445491974
215.723832182666
-3.66021475994673
-245.532482826133
-404.446436660389
-455.521004528652
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Leray J. Etude de diverses equations, integrates non lineaires et de quelques
problemes que pose l'hydrodynamique // J. Math. Pures Appl.
1933. V.
12, Ser. 9. P. 1–82.
Finn R. On the steady state solutions of the Navier – Stokes partial differential
equations // Arch. Rat. Mech. Anal. 1959. V. 3. P. 381–396.
Ладыженская О. А. Исследование уравнения Навье – Стокса в случае стационарного движения несжимаемой жидкости // Успехи Мат. Наук. 1959.
Т. 14. С. 75–97.
Fujita H. On the existence and regulaty of th steady-state solution of the NavierStokes equation // J. Fac. Sci. Univ. of Tokyo. 1961. V. 9. P. 59–102.
Douglis A., Nirenberg L. Interior estimates for elliptic systems of partial differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1955. V. 8. P. 503–538.
Finn R. Estmates at infinity for stationary solutions of the Navier – Stokes
equations // Bull. Math, de la Soc. Sc, Math.Phys. de la RPR. 1959. V. 51,
№ 3. P. 387–418.
Finn R. Stationary solutions of the Navier – Stokes equations // Proc. Symp.
Appl. Math., Amer. Math. Soc. 1965. V. 19.
R. Finn. On exterior stationary problem for the Navier – Stokes equation and
associated perturbation problems // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. V. 19. P.
363–406.
284
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
К. И. Бабенко, Об асимптотическом поведении вихря вдали от телапри обтекании его плоским потоком вязкой жидкости // Прикл. матем. и мех. 1970. Т.
34. С. 911–925.
К. И. Бабенко, М. M. Васильев, Асимптотическое поведение решения задачи обтекания конечного тела вязкой жидкостью. М., 1971. (Препр.
ИПМ АН СССР, № 84).
Clar D. The vorticity at infinity for solutions of the stationary Navier – Stokes
equations in exterior domains // Indiana Math. J. 1971. V. 20, № 7. P. 633-654.
Пухначев В. В. Оценка скорости убывания вихря вдали от телавращения
при осесимметрическом обтекании его потоком вязкой несжимаемой
жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1971, вып. VIII. С.
33–48.
Бабенко К. И. О стационарных решениях задачи обтекания тела вязкой
несжимаемой жидкостью // Мат. Сборник. 1973. Т. 91(133), № 1(10.5). С.
3–26.
Бабенко К. И., Введенская Н. Д., Орлова М. Г. О стационарном обтекании
кругового цилиндра вязкой жидкостью. М., 1969. 36 с. (Препр. ИПМ АН
СССР, № 41).
Пальцев Б. В., Чечель И. И. Конечно-элементная реализация итерационных методов с расщеплением граничных условий для систем Стокса и
типа Стокса в шаровом слое обеспечивающие 2-й
порядок точности
вплоть до оси симметрии // Журнал. вычисл. Ма
тематики и матем.
физ. 2005. Т. 45, № 5. С. 846–889.
Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с.; Издание второе, исправленное и дополненное / Под ред. А. Д. Брюно. МоскваИжевск: РХД, 2002. 847 с.
Алгазин С. Д. Численные алгоритмы без насыщения в классических задачах математической физики. М.: Научный мир, 2002. 155 с.
Алгазин С. Д. Численные алгоритмы классической матфизики. V. Уравнения Стокса. 2002. 40 с. (Препр. ИПМех РАН, № 700).
Алгазин С. Д. Численное исследование уравнений Стокса // ЖПМТФ.
1995. Т. 36, №5. С. 48–56.
Алгазин С. Д. Численные алгоритмы классической матфизики. XIII.
Уравнения Навье–Стокса. М., 2006, 34 с. (Препр. ИПМех РАН, № 805).
Алгазин С. Д. Численное исследование уравнений Навье–Стокса //
ЖПМТФ. 2007. Т. 48, № 5. С. 43–52.
Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. 418 с.
285
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
23. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1978. 831 с.
24. Алгазин С. Д. Численные алгоритмы классической матфизики. XXVI. Новый алгоритм для численного исследования уравнений
Стокса.
М., 2010. 28 с. (Препр. ИПМех РАН, № 924).
25. Алгазин С. Д. Численные алгоритмы классической матфизики. XXVI. Новый алгоритм для численного исследования уравнений
Навье
–
Стокса. М., 2010. 32 с. (Препр. ИПМех РАН, № 925).
26. Меллер Н.Л., Пальцев Б.В., Хлюпина Е.Г. О конечно-элементных реализациях итерационных методов с расщеплением граничных условий для систем Стокса и типа Стокса в шаровом слое. Осесимметричный случай //
Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. № 1. С. 98-123.
27. Меллер НА., Пальцев Б.В., Хлюпина Е.Г. О билинейной конечно-элементной реализации метода с расщеплением граничных условий для системы
Стокса в шаровом слое в осесимметричном случае // Юбилейный (электронный) сб. тр. членов и сотрудников ОИВТА РАН, посвященный 275летию РАН. М., 1999. Разд. 1.8 с.
28. Меллер НА.. Пальцев Б.В.. Хлюпина Е.Г. О численном методе с расщеплением граничных условий для стационарной системы Навье-Стокса в шаровом слое в случае осевой симметрии //Тезисы Международ. конф.
"Differential Equations and Related Topics", посвященной 100-летию со дня
рождения акад. И.Г. Петровского. М.: МГУ, 2001. С. 311-313.
29. Пальцев Б.В. О быстросходящихся итерационных методах с расщеплением граничных условий для многомерной системы типа Стокса. Периодические "течения" между параллельными стенками // Докл. РАН. 1992.
Т. 325. № 5. С. 926-931.
30. Пальцев Б.В. О быстросходящихся итерационных методах с неполным
расщеплением граничных условий для многомерной сингулярно возмущенной системы типа Стокса // Матем. сб. 1994. Т. 185. №4. С. 101-150.
31. Пальцев Б.В. О быстросходящихся итерационных методах с полным расщеплением граничных условий для многомерной сингулярно возмущенной системы типа Стокса // Матем. сб. 1994. Т. 185. № 9. С. 109-138.
32. Пальцев Б.В.. Чечель И.И. О точных оценках скорости сходимости итерационных методов с расщеплением граничных условий для системы типа
Стокса в слое с условием периодичности // Ж. вычисл. матем. и матем.
физ. 2000. Т. 40. № 12. С. 1823-1837.
286
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
33. Пальцев Б.В. О методах с расщеплением граничных условий для системы
типа Стокса в областях с круговой симметрией // Функциональные пространства. Дифференц. операторы. Пробл. матем. образования. Тр. Междунар. конф., посвященной 75-летию чл.-корр. РАН, проф. Л.Д. Кудрявцева. М.: Изд-во РУДН. 1998. Т. 2. С. 124-128.
34. Пальцев Б.В. Об условиях сходимости итерационных методов с полным
расщеплением граничных условий для системы Стокса в шаре и шаровом слое // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35. № 6. С. 935-963.
35. Пальцев Б.В. Оптимизация значений релаксационных параметров одношагового варианта итерационного метода с расщеплением граничных
условий для системы Стокса в шаровом слое // Вестн. РУДН. 2001. Т. 8.
Вып. 2. С. 74-90.
36. Пальцев Б.В.. Чечель И.И. Алгоритмы численных реализаций на основе
билинейных конечных элементов итерационных методов с расщеплением граничных условий для системы типа Стокса в полосе при условии
периодичности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. № 7. С.
799-815.
37. Пальцев Б.В., Чечель И.И. О реальных качествах билинейных конечноэлементных реализаций методов с расщеплением граничных условий для
системы типа Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. №2.
С. 247-261.
38. Пальцев Б.В.. Чечель И.И. О некоторых способах повышения скорости
сходимости на высоких гармониках билинейных конечно-элементных
реализаций итерационных методов с расщеплением граничных условий
для системы типа Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38.
№ 6. С. 956-970.
39. Лозинский АС. Об ускорении конечно-элементных реализаций итерационных процессов с расщеплением граничных условий для системы типа
Стокса в слое с условием периодичности // Ж. вычисл. матем. и матем.
физ. 2000. Т. 40. № 9. С. 1339-1363.
40. Пальцев Б.В.. Чечель И.И. О конечно-элементных типа линейных, второго порядка точности вплоть до полюсов аппроксимациях операторов
Лапласа-Бельтрами, градиента и дивергенции на сфере в IR в осесимметричном случае // Докл. РАН. 2004. Т. 395. № 3. С. 308-315.
41. Пальцев Б.В.. Чечель И.И. Повышение скорости сходимости билинейных
287
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье-Стокса
конечно-элементных реализаций итерационных методов с расщеплением
граничных условий для системы типа Стокса при больших значениях
сингулярного параметра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44. №
11. С. 2049-2068.
42. Belash V.O.. Pal'tsev B.V.. Chechei' I.I. On convergence rate of some iterative
methods for bilinear and bicubic finite clement schemes for the dissipative
Helmholtz equation with large values of a singular parameter// Russ. J. Numer.
Analys. Math. Modelling. 2002. T. 17. № 6. P. 485-520.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
Пальцев Б.В. О смешанной задаче с неоднородными граничными условиями для эллиптических с параметром уравнений второго порядка в липшицевых областях // Матем. сб. 1996. Т. 187. №4. С. 59—116.
Мс CormickS.F.. RugeJ.W. Multigrid methods for variational problems //
S1AM J. Numer. Analys. 1982. V. 19. Mb 5. P. 924-929.
Г. Ламб. Гидродинамика. Гос. изд-во технико-теоритической литературы, Москва 1947 Ленинград, 928 стр.
Р. Темам. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. Изд-во
«Мир», 1981, 408 стр.
Алгазин С. Д. Численные алгоритмы классической матфизики. V. Уравнения Стокса // Препринт № 700, ИПМех РАН, 2002 г.,40 стр.
Алгазин С. Д. Численные алгоритмы классической матфизики. XIII. Уравнения Навье-Стокса // Препринт № 805, ИПМех РАН, 2006 г.,34 стр.
288
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
ГЛАВА 9.
О СПЕКТРЕ КОССЕРА ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.
Рассматривается трёхмерная задача о вычислении спектра Коссера первой
краевой задачи теории упругости в теле вращения. На доступных для вычислений сетках из 900 и 3600 узлов получены качественные результаты: найденная Э. и Ф. Коссера в 1898 году последовательность собственных значений не
описывает всего спектра.
Введение. В векторном уравнении статической теории упругости для
однородной изотропной среды:
u graddivu F ( x), x либо x R3 \
(9.1)
где ω = (1 - 2σ)-1 и σ - постоянная Пуассона, ω рассматривается как спектральный параметр. Ставится задача: исследовать спектр пучка операторов в левой
части уравнения (9.1) при краевых условиях первой задачи:
9.2
u 0.
Здесь Ω тело вращения вокруг оси (O, x3), x = (x1, x2, x3), G – его меридиональное сечение. Эта задача была поставлена в конце XIX века Эженом Коссера и
Франсуа Коссера; ее исследованием в 70-е годы прошлого века этой задачей
занимались С. Г. Михлин [42-49] и В. Г. Мазья. В последнее время этой задачей занималась Xanthippi Markenscoff с соавторами (W. Liu, М. Паукшто), [3141].
Основные результаты получены для упругой области Ω, конечной или
бесконечной, с достаточно гладкой конечной границей. В случае первой краевой задачи пучок операторов теории упругости имеет счетную систему собственных векторов, ортогональных в метрике интеграла Дирихле; эта система
полна в L2 (Ω) и
H1 W
(1)
2
() . Собственные числа сгущаются к трем точкам
ω = -1, -2, ∞; точки ω = -1 и ω = ∞ суть изолированные собственные числа
бесконечной кратности.
Изучение спектра пучка операторов теории упругости началось задолго
до появления какой бы то ни было общей спектральной теории операторов. В
289
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
1898 -1901 гг. французские математики Эжен и Франсуа Коссера опубликовали серию статей [4 - 12], в которых исследовались собственные числа и собственные векторы пучка операторов (9.1) при краевых условиях, указанных
выше, а также при некоторых чуть более общих условиях, и даны приложения
к решению основных задач теории упругости.
Из закона сохранения энергии вытекает известное неравенство для постоянной Пуассона, -1 < σ < 1/2, справедливое для любой реальной упругой среды
(упругие среды с отрицательной σ фактически не известны). Для этих значений σ хорошо известны теоремы существования, единственности и корректности основных краевых задач; из названных теорем сразу вытекает следующее: спектру Коссера первой краевой задачи теории упругости могут принадлежать лишь значения ω, лежащие вне интервала (1/3, ∞); последний
соответствует интервалу -1 < σ < 1/2. Это же утверждение верно и для второй
задачи, если ограничиться решениями, ортогональными к произвольному
жесткому смещению.
Непосредственно проверяется, что числа ωn = -( 2 п + 1 ) / n и вектор функции
un ( x) cn (| x |2 a 2 ) grad Fn ( x), сп const(п 1, 2, . . .)
9.3
суть собственные числа и собственные векторы Коссера первой задачи для
шара радиуса a, Fn(x)- однородный гармонический полином степени n.
9.1. Исследования Эжена и Франсуа Коссера (1898 - 1901).
Упомянутые выше статьи [4-12] представляют собой краткие заметки, в которых почти отсутствуют доказательства; содержание этих статей излагается
ниже в порядке их публикации. Переводы этих статей автором монографии
даны в приложении 1.
1 . В заметке [4] авторы рассматривают первую краевую задачу теории
упругости для шара при отсутствии объемных сил:
Δ и + ω grad div и = 0, | х | < а ,
и ||х|=а = φ(x).
(9.4)
(9.5)
Решение задачи (9.4) - (9.5) к тому времени было известно (по этому поводу
см. [70]). Это решение (по-видимому, авторы использовали его представление
в виде некоторого разложения по сферическим функциям) Э. и Ф. Коссера
приводят к следующему виду. Пусть u 0 ( х ) — вектор, гармонический в шаре
290
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
| х | < а и удовлетворяющий условию (9.5). Гармоническую функцию div
u 0 разложим в ряд
div u0 Fn ( x),
9.6
n 0
в котором F n ( x ) — однородный гармонический полином степени п . При
п > 0 положим
ип х
1
2n 1
(| x |2 a 2 ) grad Fn ( x), n
.
2(2n 1)
n
9.7
Решение задачи (9.4) - (9.5) можно привести к виду
и х u0 х
nun ( x)
n 1
.
9.8
n
Очевидно, что uп ( х ) | | х | = а = 0; легко проверить также, что и п ( х ) удовлетворяет однородному уравнению теории упругости (9.4) при ω = ωn. Отсюда
видно, что числа ωn = -( 2 п + 1 ) / n суть собственные числа пучка операторов
теории упругости для первой краевой задачи в случае шара; соответствующие
собственные векторы и п ( х ) определяются формулой (9.7). Кратность собственного числа ωn равна 2 п + 1 - числу линейно независимых гармонических
однородных полиномов степени п в трехмерном пространстве.
Формулы (9.7) и (9.8) нетрудно получить, не предполагая известным заранее решение задачи теории упругости для шара. Рассмотрим общий случай
m-мерного, т ≥ 3. Непосредственно проверяется, что числа ωn = -( 2 п + т 2 ) / n и вектор - функции
ип х cn (| x |2 a 2 ) grad Fn ( x), сп const(п 1, 2, . . .)
9.9
суть собственные числа и собственные векторы Коссера первой задачи для
шара. Решение задачи (1.1) - (1.2) будем искать в виде
и х u 0 х cnun ( x);
9.10
n 1
вектор и 0 ( х ) определен выше. Функция (9.10) удовлетворяет краевому условию (9.5) и остается подобрать коэффициенты а п так, чтобы удовлетворить
уравнению (9.4). Подстановка в уравнение дает
291
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
div u0 an ( n )div un const.
n 1
Для функции divи 0 ( х ) напишем разложение в ряд по однородным гармоническим полиномам. Пусть полиномы F n ( х ) в формуле (9.9) подобраны
так, что указанное разложение имеет вид (9.7).
Тогда cn1 2(2n m 2),
an n /( n ) , что приводит к формуле (9.8).
В статье [5] сделан еще один важный шаг в исследовании спектра пучка
(9.1): для произвольной области указан класс решений уравнения (9.4) при значении параметра ω = -1. Это - решения вида
и = х × grad φ + grad ,
(9.11)
где косой крест означает векторное произведение, а φ и суть гармонические
функции. Среди векторов (9.11) бесконечно много таких, которые, будучи линейно независимыми, удовлетворяют краевому условию (9.2); отсюда следует,
что, во всяком случае, для первой задачи значение параметра ω = -1 есть собственное число бесконечной кратности.
Заметим, что класс (9.11) не исчерпывает всех решений однородных уравнений теории упругости при ω = -1.
В заметке [6] намечено построение спектра первой задачи для эллипсоида. Дается способ построения собственных векторов, имеющих вид полинома
любой заданной степени; при этом вычисляются и соответствующие собственные числа. Именно, пусть
x12 x22 x32
Ф х 2 2 2 1
a1 a2 a3
и Ф ( х ) = 0 есть уравнение данного эллипсоида. Собственные векторы
ищутся как произведения Ф ( х ) и полиномов степени п - 1. Подстановка в
дифференциальное уравнение приводит к однородной линейной системе,
определитель которой при п > 1 имеет один корень ω = -1; все остальные
корни - вещественные и различные (в том числе и при п = 1). Если оставить в
стороне корень ω = -1, то утверждается, что остальные корни дают 2 п + 1
полиномов степени п + 1, которые и являются собственными векторами первой задачи для эллипсоида. Для п = 1 и п = 2 собственные числа и векторы
вычислены. Так, е с л и п = 1, то
292
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
1 1 1
u1 х Ф х ,0,0 , 1 a12 2 2 2
a1 a2 a3
и аналогично для и 2 , ω2 и и 3 , ω3.
Два важных результата содержатся в заметке [7], в которой рассматривается первая краевая задача теории упругости для произвольной конечной области. Доказывается, что если u k ( x ) и и п ( х ) - собственные векторы первой
задачи, отвечающие различным собственным числам, то
9.12
div u ( x) div u ( x)dx 0;
k
n
здесь Ω - упругая область. Далее, при некоторых ограничениях (мы не будем
на них останавливаться), доказывается теорема, по которой решение первой
задачи теории упругости
u graddivи F(x), х ,
u|дΩ = g(x),
(9.13)
есть однозначная аналитическая функция от ω; ее особые точки вещественны
и лежат в промежутке [-∞, -1]. При доказательстве этой теоремы существенным является установление того факта, что при | ω | < 1 решение задачи (1.10)
разлагается в ряд по степеням ω. В этом месте Э. и Ф. Коссера допустили
ошибку, исправленную С. Г. Михлиным в статье [43].
Отметим два следствия из теоремы Коссера: 1) спектр первой задачи для
пучка операторов теории упругости расположен в промежутке [-∞, - 1]; 2)
если
| ω | < 1, то задачу (9.10) можно решать итерациями по формулам
u (0) F ( x), u (0) g ( x),
(n)
n 1, u grad div u ( n1) , u ( n ) 0.
9.14
Если σ вещественно, то условие | ω | < 1 означает, что либо σ > 1, либо σ
< 0. Закону сохранения энергии может соответствовать лишь вторая возможность; однако, как было отмечено выше, упругие среды с отрицательной постоянной Пуассона неизвестны.
Некоторое усиление второго следствия дано в заметке [8], где доказано,
что решение первой задачи теории упругости можно разложить в некоторый
1
ряд, который сходится при условии, что К (3 3 | | 2) | 2 | < 3.
293
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
Если ω < 0, то σ > 1/2, и это не соответствует никакой упругой среде. Если
же ω > 0, условие k 3 дает 2( 3 1) / 3 , или
(7 3 3) / 8 0, 225.
В заметке [9] рассмотрена вторая краевая задача теории упругости для
шара | х | < а . Приводятся формулы для собственных чисел и собственных
векторов:
a 2 3 | x |2
un ( x) xFn ( x) 2(2n 1) grad Fn ( x ),
2n 1
(n 0,1, 2,...);
n
2
2n 4n 3
(9.15)
здесь, как и выше, F n ( x ) - однородный гармонический полином степени п .
Решение второй задачи для шара
Δ и + ω grad div и = 0, | х | < а ,
u j uk
( 1) j div u
x
x j
k
k h j ( x) ( j 1, 2,3), | x | a,
получается в виде
nun ( x)
,
n 0 n
u u0
9.16
где u 0 (х) - гармоническая вектор-функция, которая на сфере | х | = а
удовлетворяет некоторым краевым условиям, зависящим от вектора h ( x ) .
Заметка [10] посвящена задачам теории упругости для шарового слоя.
Для собственных чисел первой задачи получается квадратное уравнение
2n 1
2n 1 (2n 1)(2n 3)
( a 2 a 2 ) 2
n 2 ;
n
n
2 n 3
2 n 3
2 n 1
2 n 1
n
n 1
4
(a
a )(a
a
)
(9.17)
294
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
а и a' - радиусы граничных сфер8. При
п уравнение (9.14) переходит в
n 2
n
следующее: (ω∞ + 2)2 = 0. Отсюда следует, что
, при
. Далее знаменатель в (1.14) отрицателен, поэтому корни указанного уравнения лежат в промежутке:
2n 1
2n 1
n
n
n 1 ,
и легко видеть, что конечнократные собственные числа лежат в промежутке 3 < ωn < -2.
Собственные числа второй задачи удовлетворяют несколько более громоздкому квадратному уравнению, из которого можно видеть, что с возрастанием номера эти числа стремятся к нулю и что они заключены в сегменте [-1,
1/3].
Некоторые результаты получены и для более общей задачи («смешанной»), когда на границе области задана линейная комбинация напряжений и
смещений. Эта же задача рассмотрена в [11] для эллипсоида, для которого вычислено несколько первых собственных чисел и векторов.
В последней заметке [12] Э. и Ф. Коссера доказывают, что значение ω =
1/3 есть собственное число второй задачи для любой конечной области. Резюмируем результаты Э. и Ф. Коссера.
а) Для некоторых областей (шар, шаровой слой, эллипсоид) доказано
существование конечнократного спектра пучка операторов первой и второй
краевых задач теории упругости; некоторые результаты получены и для
смешанной задачи.
б) Для указанных выше областей выяснено, что конечнократные собственные числа первой задачи сгущаются к точке ω = - 2, второй - к точке ω =
0; указаны конечные промежутки, содержащие все конечнократные собственные числа.
в) Дано представление решений первой и второй задач для шара через
собственные векторы, соответствующие конечнократным собственным числам.
г) Для первой краевой задачи число ω = -1 есть собственное число бесконечной кратности.
––––––––––––––––––––––––
8
Здесь у С. Г. Михлина [47] ошибка, см. приложение 1.
295
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
д) Собственные числа первой краевой задачи, отвечающие различным
конечнократным собственным числам, удовлетворяют соотношению ортогональности (9.12).
е) Решение первой краевой задачи теории упругости для произвольной
области есть аналитическая функция, от ω, особые точки которой лежат в промежутке [-∞, -1].
ж) Если | ω | < 1, то первую задачу можно решать итерациями по формулам (9.14).
9.2. Первая краевая задача для конечной области.
При всех конечных значениях ω, кроме ω = -1, оператор Δ* = Δ +
+ ω grad div эллиптичен. Следовательно, решения первой краевой задачи теории упругости достаточно гладкие. Чтобы воспользоваться этой гладкостью,
ниже построен метод дискретизации первой краевой задачи теории упругости,
не имеющий насыщения [68, 69]. Наиболее распространённым в настоящее
время методом решения задач механики деформируемого твёрдого тела является метод конечных элементов. Его недостатки общеизвестны: аппроксимируя перемещение кусочно-линейной функцией, мы получаем, что напряжения
разрывные. Вместе с тем, следует заметить, что большинство задач механики
деформируемого твёрдого тела описывается уравнениями эллиптического
типа, которые имеют гладкие решения. Представляется актуальным разработать алгоритмы, которые учитывали бы эту гладкость. Идея таких алгоритмов
принадлежит К. И. Бабенко [69]. Эта идея высказана им в начале 70-х годов
прошлого века. Многолетнее применение этой методики в эллиптических задачах на собственные значения автором настоящей работы доказали их высокую эффективность. Например, рассматривалась задача на собственные значения для нулевого уравнения Бесселя, на сетке из 23 узлов первое собственное
значение этой задачи определено с 28 знаками после запятой. В отличие от
классических разностных методов и метода конечных элементов, где зависимость скорости сходимости от числа узлов сетки степенная, здесь имеем экспоненциальное убывание погрешности.
Обозначим через А векторный оператор -Δ при краевом условии
u |дΩ = 0. Задача ( 9 . 1 ) - ( 9 . 2 ) равносильна следующей:
A 1graddivи -и 0, -1/ .
296
9.18
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
o
В пространстве H1 = W (1)
2 (Ω) введем скалярное произведение и норму по
формулам
u v
dx, | u |2 [u , u ].
xk xk
[u, v]
9.19
Заметим, что скалярное произведение и норма (9.19) совпадают с энергетическим произведением и энергетической нормой введенного выше оператора
А . Доказывается [47], что при таком выборе скалярного произведения оператор В = - A -1 grad div в пространстве H1 симметричен, неотрицателен и ограничен.
Пусть 1, 2, , тогда оператор Р ω = Δ + ω grad div эллиптичен
[47]. В этом случае собственные векторы Коссера пучка Р ω совпадают с обычными собственными векторами оператора В ; последние, в частности, аналитичны.
9.3. Дискретизация.
Введем систему криволинейных координат (r,θ, φ), связанную с декартовыми координатами (х1,х2,х3) соотношениями
x1=v(r,θ)cosφ, x2=v(r,θ)sinφ, x3=u(r, θ)
(9.20)
Обозначим G область, получаемую меридиональным сечением тела Ω, и выберем функции и и v следующим образом. Пусть ψ=ψ(z), ψ=u+iv, z=r·exp(iθ) конформное отображение круга |z| 1 на внутренность области G. Удобно считать
(r, θ, φ) сферическими координатами, тогда соотношения (2.3) задают
отображение шара единичного радиуса на внутренность тела Ω. Поверхность
шара единичного радиуса переходит при отображении (9.20) в поверхность
тела Ω. Тогда краевые условия, заданные на дΩ, переносятся на поверхность
шара.
Обычно при использовании криволинейных координат уравнения для векторных величин записываются в проекциях на оси собственного базиса, координатные векторы которого направлены по касательным к координатным линиям. Этот базис зависит от координат точки пространства. В данном случае
такой подход неудобен, так как отображение (9.20) теряет однозначность на
оси х3 (если v = 0, то φ любое). Это вызывает появление особенностей в решении, которые вызваны не существом дела, а «плохой» системой координат.
297
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
Отметим, что сферическая система координат обладает аналогичным «недостатком». Выход из этого положения следующий: оставим в качестве искомых
функций проекции вектора скорости ui (i = 1,2,3) на оси декартовой системы
координат, а независимые переменные х1,х2,х3 заменим подстановкой (9.20) на
r,θ, φ. Тогда частные производные по декартовым координатам xi , i=1,2,3 –
выразятся через производные по r, θ и φ: U(x1,x2,x3)=U(v·cosφ,v·sinφ,u)
U
U
U 1
U
cos
cos
sin
x
r
v
1
U
U
U 1
U
sin
sin
cos
,
x
r
v
2
U rv U rvr U
2
2
x3 w r w
где
(9.21)
(r, ) ru / w2 , (w2 u2 v2 ); (r, ) (1 ru vr / w2 ) / v ;
Так как выполняются условия Коши-Римана:
v
1 u
,
r
r
u 1 v
, то система координат (r, θ, φ) ортогональна и в
r r
этой системе координат лапласиан скалярной функции имеет вид
r v 1 2
,
rv
vw2 r r r v 2 2
w2 (v / ) 2 (u / ) 2
(9.22)
Тогда вместо задачи (9.1) - (9.2) имеем внутреннюю задачу в шаре единичного радиуса для уравнения (9.18). Причем на его границе ставятся нулевые
граничные условия. Далее будем считать, что конформное отображение круга
единичного радиуса на внутренность области G известно. Заметим, что для
численного построения конформного отображения имеются надежные алгоритмы.
Для дискретизации лапласиана (9.22) с однородным краевым условием
применим методику, описанную в [68].
Таким образом, получаем дискретный лапласиан в виде h-матрицы:
l
2
H
L
'
k hk , L 2l 1.
k 0
298
(9.23)
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
Здесь штрих означает, что слагаемое при k=0 берется с коэффициентом 1/2; знак кронекерово произведение матриц; h - матрица размера L × L
с элементами
h kij =cosk
2π(i-j)
, (i,j=1,2,...,L);
L
Λk матрица дискретного оператора, соответствующего дифференциальному оператору
r
vw 2
v k 2
r rv r r v 2 , k 0,1,..., l
(9.24)
с краевым условием
Ф|r=1=0.
(9.25)
Для дискретизации дифференциального оператора (9.24), (9.25) выберем
по θ сетку, состоящую из n узлов:
2
( y 1), y cos ,
(2 1)
, 1,2,..., n,
2n
а также применим интерполяционную формулу
n
Tn ( y ) g
1
, y (2 ),
1
(
1)
1
n
( y y )
sin
g ( )
(9.26)
g g ( ), 1, 2,..., n; Tn ( y ) cos ( narccos( y )).
Первую и вторую производные по θ, входящие в соотношения (9.24), получим дифференцированием интерполяционной формулы (9.26).
По r выберем сетку, состоящую из m узлов:
1
(2ν-1)π
rν = (z ν +1), z ν =cosχ ν , χ ν =
, ν=1,2,...,m,
2
2m
а также применим интерполяционную формулу
299
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
Tm (r )(r 1)qk
, q q(r ), z 2r 1.
(1) 1
1
m
(r 1)( z z )
sin
m
q(r )
(9.27)
Первую и вторую производные по r, входящие в выражение (9.24), найдем
дифференцированием интерполяционной формулы (9.27). Далее (3.26) имеем
формулу для обращения дискретного Лапласиана:
H 1
2 l ' 1
k hk , L 2l 1.
L k 0
(9.28)
9.3.1. Исходная система:
u (1)
cos
0, u (2)
0, u (3)
0,
x1
x2
x3
u (1) u (2) u (1)
x1
x2
x3
(9.29)
u (1)
u (1) 1
u (1)
u (2)
cos
sin
sin
r
v
r
u (2) 1
u (2) rv u (3) rvr u (3)
sin
cos
2
2
v
w r
w
(9.30)
В дискретном виде на сетке
( , r , k ), 1, 2,..., n; 1, 2,..., m; k 0,1,..., 2l получаем:
m
1 1
n
2l
1
sin k Dkk(1)u(1)k1
v
k1 0
( r ) (1)
cos k D
u k cos k D( )u(1) k
1 1
1
1
1
1
m ( r ) (2)
n ( ) (2) 1
2l ( ) (2)
sin k D
u
sin
D
u
cos
Dkk1 u k1
k
k
k
k
1
1
1
1
1 1
1 1
v
k1 0
m ( r ) (3) rvr n ( ) (3)
rv
2
D u k 2 D u k k
w r r 1 1 1 1 w r r 1 1 1 1
(9.31)
В криволинейной системе координат (9.20) уравнения (9.29) выглядят так:
300
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
1
u (1) cos
cos
sin
0,
r
v
(9.32)
1
u (2) sin
sin
cos
0,
r
v
(9.33)
rv
u (3) 2
w
(9.34)
rvr
2 0.
r w
лВ дискретном виде:
m
n
1
2l
Hu (1) cos k D( ,2r )2k cos k D(2) 2 k sin k Dkk(2)k2 0,
2 1
2 1
v
k2 0
(9.35)
m
n
1
2l
Hu (2) sin k D( ,2r )2k sin k D(2) 2 k cos k Dkk(2)k2 0,
2 1
2 1
v
k2 0
(9.36)
Hu
(3)
m ( ,r )
rvr
n ( )
rv
2
D
D 0.
w r r 2 1 2 2 k w2 r r 2 1 2 2 k
(9.37)
С учётом (9.32) имеем:
Hu (1) b (1,1)u (1) b (1,2)u (2) b(1,3)u (3) ,
(2)
(2,1) (1)
(2,2) (2)
(2,3) (3)
Hu b u b u b u ,
(3)
(3,1) (1)
(3,2) (2)
(3,3) (3)
Hu b u b u b u .
Распишем формулы для b(i,j), i = 1, 2, 3 ; j =1, 2, 3 :
301
(9.38)
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
b(1,1) :
( , r )
cos k D
cos k kk D(r ) D( ,r ) cos k kk D( )
m
2 1
2
2
1
1
2 1
1
1
1
1
1
sin k 1 Dkk(1)
v1
n
1
(r )
cos k D(2) cos k 1 kk1 D(2)1 D(1) 1 cos k kk1 D
sin k 1 Dkk(1)
1
2
2 1
v1
2l
1
1
(r )
sin k Dkk(2)
sin k2 1 1 Dk(2k)1 Dkk(1) cos k11 D
cos k1 1 D(1)
1
v
v
k
0
2
(1,2)
b
:
( , r )
cos k D
sin k kk D(r ) D( ,r ) sin k kk D( )
m
2 1
2
2
1
1
2 1
1
1
1
1
1
cos k 1 Dkk(1)
v1
n
1
(r)
cos k D(2) sin k 1 kk1 D(2)1 D(1) 1 sin k kk1 D
cos k 1 Dkk(1)
1
2
2 1
v1
2l
1
1
(r)
sin k Dkk(2)
cos k2 1 1 Dk(2k)1 Dkk(1) sin k11 D
sin k1 1 D(1)
1
v
v
k
0
2
b(1,3) :
m
( , r ) rv
(r )
( , r ) rvr
( )
cos k D2 2
D
D 2
D
1
1
w r r 2 1 kk1 2 1
w r r1 kk1 1
2
n
rv
( )
( ) rv
(r )
cos k D(2) 2r
D
D
D
1
1
w2 r r kk1 1
w r r 1 kk1 21
2
2
1
1
rv
(r )
sin k Dkk(1) 2 1 D
1
r r
v
w
rv
2r
D(1) 1
w r r
302
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
b(2,1) :
( , r )
sin k D
cos k kk D(r ) D( ,r ) cos k kk D( )
m
2 1
2
2
1
1
2 1
1
1
1
1
1
sin k 1 Dkk(1)
v1
n
1
(r )
sin k D(2) cos k 1 kk1 D(2)1 D(1) 1 cos k kk1 D
sin k 1 Dkk(1)
1
2
2 1
v1
2l
1
1
(r )
cos k Dkk(2)
sin k2 1 1 Dk(2k)1 Dkk(1) cos k11 D
cos k1 1 D(1)
1
v
v
k
0
2
b(2,2) :
( , r )
sin k D
sin k kk D(r ) D( ,r ) sin k kk D( )
m
2 1
2
2
1
1
2 1
1
1
1
1
1
cos k1 Dkk(1)
v1
n
1
(r )
sin k D(2) sin k 1 kk1 D(2)1 D(1) 1 sin k kk1 D
cos k 1 Dkk(1)
1
2
2 1
v1
2l
1
1
(r )
cos k Dkk(2)
cos k2 1 1 Dk(2k)1 Dkk(1) sin k11 D
sin k1 1 D(1)
1
k2 0
v
v
b(2,3) :
rv
(r )
( , r ) rvr
( )
D
D
D
1
w2 r r 2 1 kk1 2 1
w2 r r1 kk1 1
( , r )
sin k D
m
1
2
2
n
( ) rvr
( )
( ) rv
(r )
sin k D 2 2
D
D1 2
D
1
w r r kk1 1
w r r 1 kk1 21
2
2
1
1
rvr
( ) rv
(r )
( )
cos k Dkk1 2 1 D1 2
D1 1
r
r
r
r
v
w
w
303
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
b(3.1):
rv
2 r r
w
m ( ,r )
1
( , r )
( )
D2 2 cos k 1 kk1 D( r2 ) 1 D
sin k 1 Dkk(1)
cos k kk1 D1
1
1
2 1
v
1
n ( )
1
(r )
D 2 cos k 1 kk1 D(2)1 D(1) 1 cos k kk1 D
sin k 1 Dkk(1)
1
2
2 1
v1
rv
2r
w r r
b(3.2):
rv
2 r r
w
m ( ,r )
1
( , r )
( )
D2 2 sin k 1 kk1 D( r2 ) 1 D
cos k 1 Dkk(1)
sin k kk1 D1
1
1
2 1
v1
rv
2r
w r r
n ( )
1
(r )
D 2 sin k 1 kk1 D(2)1 D(1) 1 sin k kk1 D
cos k 1 Dkk(1)
1
2
2 1
v1
b(3.3) :
m
rv
( , r ) rv
(r )
( , r ) rvr
( )
D
D
D
D
1
2 r r 2 2 r r 1 kk1 2 1
w2 r r1 kk1 1
w 2 1
w 2
n
rvr
( ) rvr
( )
( ) rv
(r )
2
D 2 1 kk1 D 21 D1 w2 r r kk1 D1
w r r 2 1 2 w r r
2
1
Здесь
D ( ,r ) , D ( r ) , D( ) и D( ) - матрицы численного дифференцирования: по
r без удовлетворения краевым условиям, по r с нулевым краевым условием
при r=1, по θ и φ. Формулы для них приведены выше, см. 9.3; δ – дельта Кронекера.
9.3.2. Результаты численных расчётов.
На PC расчёты проводились на сетке из 900 = 10×10×9 узлов. Таким образом, размер решаемой спектральной задачи 2700×2700. Вначале были произведены расчёты на PC9 время счёта: 769,5649 сек. Затем были проведены
расчёты на супер компьютере «Ломоносов», время счёта - 79,23 сек. Таким
образом, достигнуто ускорение в 9,71 раза. Как было сказано выше, вычисляемые собственные значения η оператора B действительны и расположены на
––––––––––––––––––––––––
Расчёты производились на ПЭВМ Pentium IV с тактовой частотой 3,00 ГГц и
объёмом оперативной памяти 1 Ггб.
9
304
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
отрезке [0,1], числа η=1 и η=0 суть собственные значения бесконечной кратности, конечнократные собственные значения могут сгущаться только к точке
½. Доступная для практической реализации алгоритма сетка из 900 узлов позволяет получить только качественные результаты. Выводились на печать
только действительные собственные значения. Для шара таких оказалось 380.
Наибольшие собственные значения: 1.66505293906326, 1.66505293906393 , видимо - это двукратное собственное значение. Далее собственные значения заполняют равномерно интервал от этого собственного значения до нуля. Среди
малых собственных значений есть отрицательные (это возмущение бесконечно кратного нулевого собственного значения). Заметим, что оператор теории упругости при ω= -1 (η=1) теряет эллиптичность и видимо, поэтому первое
собственное значение достаточно сильно отличается от 1. Определённо можно
сделать вывод, что найденная Э. и Ф. Коссера последовательность собственных значений ηn = n/(2n+1), n=1,2,… не исчерпывает всех собственных значений. Опишем более подробно структуру спектра Коссера для шара.
1. Вначале идут 78 собственных значений близких к нулю, среди которых
есть отрицательные (малые по абсолютной величине). Это возмущение бесконечнократного нулевого собственного значения.
2. Далее следует изолированная группа малых собственных значений (см.
приложение в [10]).
Расчёты на сетке из 3600 = 20×20×9 узлов (размер конечномерной задачи
10800×10800)10 выполнялись на супер компьютере «Ломоносов». Время счёта
5892,820 сек (примерно полтора часа). Полностью результаты расчётов приведены в [14]. Ниже приведено сравнение результатов расчёта простых собственных значений на двух сетках для шара. Выпишем стабилизировавшиеся
собственные значения: 0.1179, 0.1996, 0.33333333331 (точное собственное значение 1/3), 0.3500, 0.4205 (точное собственное значение 0.428571428571429),
0.4602 (точное собственное значение 0.444444444444444), 0.7622, 0.9164,
0.9495, 0.9847, 1.0109, 1.0412, 1.0523, 1.0963, 1.2435, 1.2519, 1.3198, 1.3813. По
сравнению с классическим решением получены значения меньшие 1/3: 0.1179,
0.1996, а также большие 0.444444444444444: 0.7622, 0.9164, 0.9495. Дальнейшие полученные собственные значения: 0.9847, 1.0109, 1.0412, 1.0523, 1.0963,
1.2435, 1.2519, 1.3198, 1.3813 это — возмущения бесконечнократного собтвенного значения η=1. Определённо можно сделать вывод: описанная Эженом и
––––––––––––––––––––––––
Больше увеличить сетку не удаётся из-за ограничений на размер массивов в Intel
FORTRAN.
10
305
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
Франсуа Коссера последовательность собственных значений не описывает
всего спектра.
Для области близкой к шару (с 12-ти лепестковой эпитрохоидой в меридиональном сечении) получены аналогичные результаты. Максимальное действительное собственное значение образует пару: 1.78165692925103,
1.78165692925173 видимо это двукратное собственное значение. Далее собственные значения заполняют равномерно интервал от этого собственного
значения до нуля (см. [1]). Среди малых собственных значений есть отрицательные (это возмущение бесконечно кратного нулевого собственного значения). Расчёты на сетке из 3600 = 20×20×9 узлов (размер конечномерной задачи
10800×10800)11 выполнялись на супер компьютере «Ломоносов». Время счёта
5892,820 сек (примерно полтора часа). В таблице 2 приведено сравнение результатов расчёта простых собственных значений на двух сетках для 12 лепестковой эпитрохоиды. Выпишем стабилизировавшиеся собственные значения (в скобках приведены значения для шара): 0.1262 (0.1179), 0.2097
(0.1996), 0.2659, 0.3443 (0.33333333331), 0.5473 (0.4205),
0.5661 (0.4602), 0.8296 (0.7622), 0.8488, 0.9340 (0.9164),
0.9808 (0.9495), 0.9890 (0.9847), 1.0072 (1.0109), 1.0153
(1.0412), 1.0289 (1.0523), 1.5517 (1.3813).
Таблица 2. Простые собственные значения, эпитрохоида NP=12,ε =0.0625
10×10×9
0.110804279880
0.112671104761
0.125615323544
0.202654236338
0.237715767360
20×20×9
10×10×9
0.929372618
0.126237976964
0.128788316065
0.130340650605
0.152821967181
0.165460836560
0.1715028124632
0.2096685763399
0.2659168479996
0.2810885378173
0.2883133430897
0.2959906150213
0.98206019
0.98687720
1.03711966
1.05818609
1.06057623
20×20×9
0.9339542789641
0.9474212342821
0.9536364205269
0.9640251764548
0.9729066284847
0.9808320563927
0.9890448889319
0.9916090639699
0.9974511732695
0.9975354075578
1.0071697227669
1.0153039666675
1.0289116590241
––––––––––––––––––––––––
Больше увеличить сетку не удаётся из-за ограничений на размер массивов в Intel
FORTRAN.
11
306
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
0.349006695944
0.517759965601
0.559182399868
0.591972578002
0.816694242370
0.843983207650
0.3443250017232
0.4585682473749
0.4593625334243
1.0472402656802
1.0795073722491
1.0907467041334
1.1004688406588
1.1071902949080
1.1184842503534
1.1333842202682
1.1544691576277
0.5472877119754
0.5661489486371
0.6133387404089
0.6193249299676
0.6297181804297
0.6410228977693
0.6537065505581
0.7406793635111
0.7517422428029
0.7732309788926
0.7855278847811
0.7931741171088
0.8296379017843
0.848847970319254
0.858908470658364
0.877741637448348
1.20748497
1.21447433
1.3271055800203
1.3327473379989
1.4858721649876
1.4904642467473
1.52087536
1.56855202
1.55171444890069
1.71692143837667
Таблица 3. Простые собственные значения, эпитрохоида NP=4,ε = 1/6
Эпитрохоида
10×10×9
0.19902774554
0.24506295743
0.28187720223
Эпитрохоида
20×20×9
0.1035408679699
0.1154231440690
0.116717233948
0.118600499967
0.121716126192
0.125412475021
0.154819716091
0.162012199121
0.178942464034
0.189536378042
0.204998754378
0.241136113229
0.282775084542
Эпитрохоида
10×10×9
0.756397242359
0.823847218698
0.982703737490
307
Эпитрохоида
20×20×9
0.752524795195
0.803397447945
0.844917732416
0.868843549184
0.889250218386
0.906199038964
0.920781689616
0.939586242293
0.946749668183
0.952912691609
0.964340463687
0.970394282580
0.977861419265
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
0.31967674908
0.34090411660
0.42453896671
0.47962106102
0.57011057394
0.63630003546
0.286265097209
0.308604121891
0.319149432718
0.344242768815
0.376718653963
0.406243384829
0.439072936972
0.492726040925
0.535100613984
0.546646809746
0.588086711155
0.620521901910
0.631005757842
0.705272394085
0.728108446906
1.030528019981
1.0566319614402
1.1180494793756
1.2485019115524
1.3880137173955
1.4005167182565
1.5262098570043
1.5762759261413
0.978576348258
0.983963216524
0.988587109824
0.997919725292
0.998089173141
0.999068064817
0.999708987653
1.007439266026
1.013612679176
1.023590794974
1.031366332024
1.041462041275
1.0538998764685
1.0702574828207
1.1231473425964
1.16327915287920
1.19203615554715
1.25616801492879
1.28222528515331
1.29610018450806
1.32561491935981
1.40075402693148
1.42128545010060
1.49518018358125
1.51996472266768
1.65548885385176
1.76360803748526
В таблице 3 приведено сравнение результатов расчёта простых собственных значений на двух сетках для 4 лепестковой эпитрохоиды. Выпишем стабилизировавшиеся собственные значения (в скобках приведены значения для
308
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
шара): 0.1895 (0.1179), 0.2411 (0.1996), 0.2827, 0.3191 (0.33333333331), 0.3442,
0.4390 (0.4205), 0.4927 (0.4602), 0.5466, 0.6310, 0.7525 (0.7622), 0.8449 (0.8488),
0.9339 (0.9164), 0.9778 (0.9847), 1.0136, 1.0538 , 1.1231, (1.3813).
Выводы: Определённо можно сделать вывод, что найденная Э. и Ф.
Коссера последовательность собственных значений для шара ηn = n/(2n+1),
n=1,2,… не исчерпывает всех собственных значений.
Литература.
Bakhvalov, NS., Knyazev, AV., Parashkevov, R R. Extension theorems
for Stokes and Lamé equations for nearly incompressible media and their
applications to numerical solution of problems with highly discontinuous
coefficients // Numer. Linear Algebr. 2002. No. 9. P. 115-139.
2. Chizhonkov, EV. Application of the Cosserat spectrum to the optimization of a method for solving the Stokes problem // Russ. J. Numer. Anal.
Math. Modelling. 1994. V. 9. No. 3. P. 191-199.
3. Chizhonkov, EV. Numerical solution to a stokes interface problem //
Comp. Math. 2009. V. 49. P. 105- 116.
4. Eugéne et François C o s s e r a t , Sur les équations de la théorie de
l'élasticité // C.R. Acad. Sci. (Paris). 1898. V. 126. P. 1089-1091.
5. Eugéne et François C o s s e r a t , Sur les fonctions potentielles de la
théorie de l'élasticité // C.R. Acad. Sci. (Paris) 1898. V. 126. P. 11291132.
6. Eugéne et François C o s s e r a t , Sur la déformation infiniment petite
d'un ellipsoide élastique // C.R. Acad. Sci. (Paris) 1898. V. 127. P. 315318.
7. Eugéne et François C o s s e r a t , Sur la solution des équations de
l'élasticité dans le cas oú les valeurs des inconnues à la frontiére somt
données // C.R. Acad. Sci. (Paris) 1901. V.133. P. 145-147.
8. Eugéne et François C o s s e r a t , Sur une application des fonctions
potentielles de la théorie de l'elasticité // C.R. Acad. Sci. (Paris) 1901.
V.133. P. 210-213.
9. Eugéne et François C o s s e r a t , Sur la déformation infiniment petite
d'un corps élastique soumis à des forces donnees // C.R. Acad. Sci.
(Paris) 1901. V.133. P. 271-273.
10. Eugéne et François C o s s e r a t , Sur la déformation infiniment petite
d'un ellipsoide élastique soumis à des efforts données sur la frontiére //
C.R. Acad. Sci. (Paris) 1901. V.133. P. 361-364.
1.
309
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
11. Eugéne et François C o s s e r a t , Sur la déformation infiniment petite
d'une enveloppe sphérique élastique // C.R. Acad. Sci. (Paris) 1901.
V.133. P. 326-329.
12. Eugéne et François C o s s e r a t , Sur un point critique particulier de la
solution des équations de l'élasticité dans le cas oú les efforts sur la
frontiére sont données // C. R. Acad. Sci (Paris) 1901. V.133. P. 382384.
13. Costabel, M., Dauge. M. On the Cosserat spectrum in polygons and polyhedra // 2000. IRMAR Conference, Lausanne.
14. Crouzeix, M. On an operator related to the convergenceof Uzawa's algorithm for the Stokes equation. In: M. O. Bristeau, G. Etgen, W. Fitzgibbon, J. L. Lions, J. Pèriaux and M. F. Wheeler, editors, Computational
Science for the 21st Century, Wiley, Chichester, 1997, pp: 242-249.
15. Ernst, E. On the existence of Positive Eigenvalues for the Isotropic Linear Elasticity System with Negative Shear Modulus // Commun. Part
Diff. Eq., 2004. V. 29. P. 1745 – 1753.
16. Faierman, M., Fries RJ., Mennicken, R., Möller, M. On the essential
spectrum of the linearized Navier-Stokes operator // Integr. Equat. Oper.
Th. 2000. V. 38. P. 9-27.
17. Кожевников А. Н. Об операторе линеаризованной стационарной задачи Навье-Стокса // Мат. сборник. 1984. Т. 125, № 1. С. 3-18.
18. Кожевников А. Н. О второй и третьей краевых задачах статической
теории упругости // Докл. АН СССР. 1988. Т. 302. № 6. С. 1308 1311.
19. Kozhevnikov, A. The basic boundary value problems of static elasticity
theory and their Cosserat spectrum // Math. Z. 1993. V. 213. No. 1. P.
241-274.
20. Kozhevnikov, A. On the first stationary boundary-value problem of elasticity in weighted Sobolev spaces in exterior domains of R3 // Appl.
Math. Optim. 1996. V. 34. No. 2. P. 183-190.
21. Kozhevnikov, A., Skubachevskaya, T. Some applications of pseudo-differential operators to elasticity // Hokkaido Math. J. 1997. V. 26. P. 297322.
22. Kozhevnikov, A., Lepsky, O. Power series solutions to basic stationary
boundary value problems of elasticity // Integr. Equat. Oper. Th. 1998.
V. 31. P. 449-469.
310
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
23. Kozhevnikov, A. A history of the Cosserat spectrum. In The Maz'ya anniversary collection (1999. Vol. 1 Rostock,), Operator Theory: A. M. S.
A., 109: 223-234.
24. Kozhevnikov, A. On a Lower Bound of the Cosserat Spectrum for the
Second Boundary Value Problem of Elastostatics, Boundary Value Problem of Elastostatics, Applicable Analysis // An Int. J. 2000. V. 74. P.
301-309.
25. Kucher,VA., Markenschoff, X., Paukshto, MV. The ũ(-1) Cosserat Eigenfunctions for Spherical Geometry with Application to Poroelasticity //
Math. Mech. Solids. 2004. V. 9. No. 4. P. 399-410.
26. Kucher, VA., Markenscoff, X. The Cosserat eigenfunctions for the elliptic exterior problem with applications to thermoelasticity and Stokes
flow // Z. Angew. Math. Phys. 2004. V. 55. No. 6. P. 1065-1073.
27. Levitin, MR. On the spectrum of a generalized Cosserat problem // C.R.
Acad. Sci. Paris. 1992. V. 315, 925-930.
28. Liu, W., Markenscoff, X. The Cosserat Spectrum Theory in Thermoelasticity and Application to the Problem of Heat Flow Past a Rigid Spherical Inclusion // J. Appl. Mech. 1998. V. 65. P. 614-618.
29. Liu, W. The Cosserat spectrum theory and its applications, University of
California, San Diego and San Diego State University // 1998. PhD thesis.
30. Liu, W., Plotkin, A. Application of the Cosserat Spectrum Theory to
Stokes Flow // J. Appl. Mech. 1999. V. 66. No. 3. P. 811-814.
31. Liu, W., Markenscoff, X., Paukshto, M. The Cosserat spectrum theory
for two-dimensional thermoelastic problems // J. Therm. Stresses. 1999.
V. 22. No. 2. P. 225 - 239.
32. Liu, W., Markenscoff, X., Paukshto, M. The Discrete Cosserat Eigenfunctions for a Spherical Shell // J. Elasticity. 1998. V. 52. P. 239-255.
33. Liu, W., Markenscoff, X., Paukshto, M. The Cosserat Subspace ũ(-1) for
Bodies of Spherical Geometry, Physics and Astronomy // J. Elasticity.
1999. V. 54. P. 113-128.
34. Liu, W., Markenscoff, X. The Cosserat spectrum for cylindrical geometries: (Part 1: discrete subspace) // Int. J. Solids Struct. 2000. V. 37. P.
1165-1176.
35. Liu, W., Markenscoff, X. The Cosserat spectrum for cylindrical geometries: (Part 2: ũ(-1) subspace and applications) // Int. J. Solids Struct. 2000.
V. 37. P. 1177-1190.
311
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
36. Liu, W., Plotkin, A. Application of Cosserat-spectrum theory to the
weakly compressible Stokes flow past a sphere // J. Eng. Math. 2000.
V. 38. P. 155-172.
37. Markenscoff, X., Paukshto, M. The correspondence between cavities and
rigid inclusions in three-dimensional elasticity and the cosserat spectrum
// Int. J. Solids Struct., Special topics in the theory of elastic: A volume
in honour of Professor John Dundurs. 1995. V. 32. P. 431-438.
38. Markenscoff, X., Paukshto, M. On the Cavities and Rigid Inclusions
Correspondence and the Cosserat Spectrum // Math. Nachr. 1996. V.
177. P. 183-188.
39. Markenscoff, X., Paukshto, MV. The Cosserat spectrum in the theory of
elasticity and applications // Proc. R. Soc. Lond. A. 1998. V. 454. P. 631643.
40. Markenscoff, X., Liu, W., Paukshto, M. Application of the cosserat spectrum theory to viscoelasticity // J. Mech. Phys. Solids. 1998. V.46. No.10.
P. 1969-1980.
41. Markenscoff, X. Stress Independence of Poisson's Ratio and Divergence-Free Body Forces // J. Elasticity. 2006. V. 83. No. 1. P. 65-74.
42. В. Г. М а з ь я, С. Г. М и х л и н , О спектре Коссера уравнений
теории упругости, Вестн. ЛГУ, вып. 3 (1967), 58-63.
43. С. Г. М и х л и н , О функциях Коссера, В сб. «Проблемы матем,
анализа. Краев.задачи и интегр. уравнения», Изд. ЛГУ (1966), 59 69.
44. С. Г. М и х л и н, Дальнейшее исследование функций Коссера,
Вестн. ЛГУ, № 2 (1967), 98 -102.
45. С. Г. М и х л и н , Некоторые свойства спектра Коссера пространственных и плоских задач теории упругости, Вестн. ЛГУ, № 7
(1970), 31- 45.
46. С. Г. М и х л и н, Спектр Коссера статических задач теории упругости и его приложения, В сб. «Проблемы механики твердого деформируемого тела», Л., «Судостроение» (1970), 265-271.
47. С. Г. М и х л и н. Спектр пучка операторов теории упругости // УМН, 1973, т.
XXVIII, 3 (171), стр. 43 – 82.
48. С. Г. М и х л и н, Спектр Коссера задач теории упругости для бесконечных областей, В сб. «Исследования по упругости и пластичности», № 9 (1973), 41-50.
312
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
49. Mikhlin, SG., Morozov, NF., Paukshto, MV. 1995. The integral equations of the theory of elasticity, Teubner-Texte zur Mathematik. 135.
Leipzig: Teubner Verlagsges. 375 p.
50. Ольшанский М. А., Чижонков Е. В. О наилучшей константе в infsup-условии для вытянутых прямоугольных областей // Мат. заметки. 2000. Т. 67. Вып. 3. С. 387 – 396.
51. Paukshto, M. On Some Applications of Integral Equations in Elasticity,
(Proc. of 4th Int. Conference in Integral Methods in Science and Engineering, IMSE 96, 1996, Oulu, Finland), Integral methods in science and
engineering, Volume 1, analytic methods. // Pitman Res. Notes Math.
Ser. 1997. V. 374. P. 9-17.
52. Pelissier, MC. Rèsolution numèrique de quelques problèmes raides en
mècanique des milieux faiblement compressibles // Calcolo. 1975. V.
12. No. 1. P. 275-314.
53. Pobedrya, BE. Approximation methods in viscoelasticity theory // Russ.
J. Math. Phys. 2007. V.14. No. 1. P. 110-114.
54. Riedl, T. Cosserat Operators of Higher Order and Applications, Universität Bayreuth // 2010. PhD thesis.
55. Sherman, DI. Sur la distribution des nombres caractéristiques
d'équations intégrales du problème plan de la théorie d'élasticité // 1938.
(Russian) Publ. Inst. Séismol. Acad. Sci. URSS, 82: 1-24
56. Simader, CG., Weyers, S. An operator related to the Cosserat spectrum.
Applications // Analysis. 2006. V. 26. No. 1. P. 169-198.
57. Simader, CG., Wahl, W. Introduction to the Cosserat problem // Analysis. 2006. V. 26. P. 1-7.
58. Simader, CG. The weak L^{q}-Cosserat spectrum for the first boundary
value problem in the half-space. Applications to Stokes' and Lamé's system // Analysis. 2006. V. 26. No. 1. P. 9-84.
59. Simader, CG. The Cosserat problem related to the curl and a complete
characterization of all solenoidal vector fields vanishing at the boundary
in case of space dimension n=2 // Analysis. 2009. V. 29. No. 4. P. 355364.
60. Simader, CG. Weak L²-solutions to a Stokes-like system of fourth order
in bounded Lipschitz domains // Appl. Anal. 2011. V. 90. P. 215 – 226.
61. Simader, CG. A New Approach to the Regularity of Weak Lq-Solutions
of Stokes and Similar Equations via the Cosserat Operator. Advances in
Mathematical Fluid Mechanics. 2010. P. 553-572.
313
Глава 9. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости
62. Valeev, VE. The Cosserat spectrum of a boundary-value problem of elasticity theory. (English. Russian original) // Vestn. St. Petersbg. Univ.
2000. Math., 33: 10-15; translation from Vestn. St-Peterbg. Univ., Ser. I,
Mat. Mekh. Astron., 3: 14-21, 2000.
63. Velte, W. On optimal constants in some inequalities. The Navier-Stokes
equations theory and numerical methods, Proc. Conf., Oberwolfach/FRG
, Lect. Notes Math. 1990. 1431: 158-168.
64. Velte, W. On inequalities of Friedrichs and Babuška-Aziz // Meccanica.
1996. V. 31. P. 589- 596.
65. Velte, W. On inequalities of Friedrichs and Babuška-Aziz in dimension
three // Z. Anal. Anwend. 1998. V. 17. No. 4. P. 843-857.
66. Weyers, S. L^{q}-solutions to the Cosserat spectrum in bounded and exterior domains // Analysis. 2006. V. 26. No.1. P. 85-167.
67. Zernov, V., Pichugin, AV., Kaplunov, J. Eigenvalue of a semi-infinite
elastic strip // Proc. R. Soc. 2006. V. 462. No. 8. P. 1255-1270
68. Алгазин С. Д. Численные алгоритмы классической математической физики. – М.: Диалог-МИФИ, 2010. – 240 с.
69. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744
С.
70. А. Л я в. Математическая теория упругости, М.-Л., ОНТИ, 1935.
314
Глава 10. О спектральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда
ГЛАВА10.
О СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ОРРАЗОММЕРФЕЛЬДА.
Введение. Запишем полную систему уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости, состоящую из уравнения неразрывности и трёх уравнений Навье-Стокса:
div 0;
di
i p i
dt
(10.1)
Неизвестными являются три компонента
вектора скорости u, , w}и давление р.
Обезразмерим уравнения, выбрав в качестве размерно-независимых параметров характерную длину, скорость и плотность жидкости L, U и . Тогда в
системе останется единственный безразмерный параметр - число Рейнольдса
R LU / . Раскрывая производные, получаем следующую систему
уравнений:
u w
0
x y z
u
u
u
u
p 1 2u 2u 2u
u
w
2 2 2
t
x
y
z
x R x
y
z
(10.2)
p 1
u
w
2 2 2
t
x
y
z
y R x
y
z
2
2
2
w
w
w
w
p 1 2 w 2 w 2 w
u
w
2 2 2
t
x
y
z
z R x
y
z
Будем
рассматривать
малые
возмущения
установившегося плоскопараллельного течения
315
некоторого
заданного
Глава 10. О спектральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда
u u0 z , 0, w 0,
p p0 , вектор скорости которого параллелен
оси х и зависит только от координаты z , а давление постоянно. Возмущённое
движение имеет вид:
u u0 z u x, y, z , t , x, y, z , t , w w x, y , z , t ,
p p0 p x, y, z , t ,
здесь штрихом обозначены возмущённые величины, причём
u , , w max u0 , p p0 Устойчивость будем изучать в
линейном приближении. Для этого подставим эти выражения в (10.2),
линеаризуем и вычтем те же уравнения для невозмущённого течения. В
результате получим следующую систему линейных уравнений относительно
возмущенных величин:
u w
0
x y z
u
u
u
p 1 2u 2u 2u
u0
w 0
t
x
z
x R x 2 y 2 z 2
(10.3)
p 1
u0
t
x
y R x 2 y 2 z 2
2
2
2
w
w
p 1 2 w 2 w 2 w
u0
2 2
t
x
z R x 2
y
z
Эта система, дополненная граничными и начальными условиями, определяет
поведение малых возмущений течения.
Заметим, во-первых, что хотя физическая постановка задачи
предполагает, что возмущения действительны, в силу линейности уравнений
можно рассматривать и комплексные решения. Такие решения предполагают,
что физический смысл имеет их действительная и мнимая части, а
комплексная форма используется исключительно из-за математического
удобства.
Во-вторых, полученная линейная система имеет коэффициенты,
зависящие только от z и, следовательно, имеет решения, экспоненциальные
по х, у и t . Это свойство используется в основном методе исследования
устойчивости - методе нормальных (или собственных) мод, который
316
Глава 10. О спектральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда
заключается в следующем. Рассматриваются не произвольные возмущения с
начальными условиями, а возмущения специального вида:
u z
u x, y , z , t
x, y, z , t z i x y t
e
w
x
,
y
,
z
,
t
w z
p x, y , z , t
p z
(10.4)
и
Здесь
. - заданные вещественные числа. Такие решения, называемые
модами, являются бегущими волнами: их вещественные (и мнимые) части
имеют вид:
i x y t
Re f x, y, z , t Re f z e
Im t
Re f z cos x y Re t Im f z cos x y Re t e
f z cos x y z Re t e Im t
(10.5)
В каждом слое z = const движение имеет вид волны, перемещающейся без
деформации в направлении, заданном α и β. Одновременно происходит
усиление или затухание волны, зависящее от знака
называются волновыми числами; вектор
Im . Величины α и β .
, в плоскости x y называется
волновым вектором. Направление волнового вектора задает направление
движения волны, а его длина определяет длину волны :
2 2
2
.
Величина называется частотой волны. Она должна находится из решения
системы (10.3) после подстановки туда (10.4), как будет показано ниже. Таким
, . Если Im , 0 для каких-нибудь и , то
течение неустойчиво. Если же Im , 0 для всех , R , то можно
образом,
говорить лишь об устойчивости возмущения вида (10.4). Однако, часто из
этого следует и устойчивость возмущений произвольного вида.
317
Глава 10. О спектральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда
Итак, поведение возмущений в виде бегущей волны (10.4) часто
определяют устойчивость течения по отношению к произвольным
возмущениям, поэтому сначала остановимся на исследовании таких
возмущений; возмущения произвольного вида будут рассмотрены позднее.
Подставим (10.4) в (10.3), введя для удобства вместо
называемую фазовой скоростью:
величину c / ,
w
i u i
0
z
u0
1 2
2 u
2
i u0 c u w
i p
u u 2
z
R
z
(10.6)
1 2
2
2
i u0 c i p
2
R
z
p 1 2
2 w
2
i u0 c w
w w 2
z R
z
Граничные условия для этой системы зависят от рассматриваемого основного
течения. Если, например, это течение между двумя твёрдыми стенками
z z1 , z2 , это условия прилипания
u w 0, z z1 , z2 .
Тривиальное решение (10.6) с однородными граничными условиями нулевое. Очевидно, нас интересуют решения, отличные от нуля; они
существуют лишь при некоторых определённых значениях c. Таким образом,
получаем задачу на собственные значения для спектрального параметра c,
которые могут быть выражены в виде
F , , c, R 0 .
(10.7)
Целью исследования уравнения (10.7) является определение такого числа
Рейнольдса
Rcr , что течение устойчиво при R Rcr и неустойчиво при
R Rcr . Такое исследование упрощается благодаря теореме Сквайера,
318
Глава 10. О спектральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда
который показал, что достаточно исследовать только плоские возмущения
(т.е. возмущения с 0 ), поскольку они являются наиболее неустойчивыми.
Теорема Сквайера. Для вычисления критического числа Рейнольдса
Rcr
течения вязкой жидкости достаточно рассматривать только плоские
возмущения.
Уравнения Орра-Зоммерфельда и Рэлея. Таким образом, дальше
будем рассматривать плоские возмущения. Система (10.6) принимает вид
w
i u
0
z
u0
1 2 2 u
i u0 c u w
i p
u 2
z
R
z
(10.8)
p 1 2 2 w
i u0 c w
w 2
z R
z
Преобразуем её к одному уравнению относительно
уравнения
w . Выразим u из первого
i w
u
z
(10.9)
и подставим во второе:
w i u0 1 w 1 3 w
p u0 c
w
2
z z R z z 3
i
Подставляя p в третье уравнение, получаем
2
u
1 4 w
w
2 w
4
2
w u0 c
w 0 2 u0 c w
4
2
z
iR z
z
z
z
(10.10)
319
Глава 10. О спектральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда
Это уравнение называется уравнением Орра-Зоммерфельда. Часто его
записывают в операторной форме
2u0
1
2
2 2
2
2
D
w
u
c
D
w
z 2 w,
0
iR
(10.11)
где D / z.
Граничное условие прилипания на твёрдых стенках в силу (10.9)
формулируется так:
w
w
0,
z
z z1 , z2 .
С этими граничными условиями уравнение Орра-Зоммерфельда определяет
задачу на собственные значения c .
В случае невязкой жидкости R и уравнение Орра-Зоммерфельда
вырождается в уравнение, называемое уравнением Рэлея
w u0
u
c
w
2 u0 c w 0
o
z
z
z
(10.12)
или
u0 c D 2 2 w
2u0
w0
z 2
(10.13)
Поскольку оно имеет не 4-й, а 2-й порядок, то ставится лишь по одному
граничному условию на жёстких стенках - условию не протекания
w 0,
z z1 , z2 .
Итак, мы получили два уравнения, описывающие поведение возмущений:
в вязкой жидкости это уравнение Орра-Зоммерфельда, в невязкой - уравнение
Рэлея. Каждое из них вместе с граничными условиями определяет задачу на
собственные значения для спектрального парамет c . Если существует
такое, что
R
Im c 0 , то течение неустойчиво. В противном случае течение
320
Глава 10. О спектральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда
устойчиво, при этом различают два типа устойчивости: если
устойчивость
аси мп то тич е ска я
затухает), если же
(возмущение
Im c 0 , то
экспоненциально
Im c 0 , то такая устойчивость называется
нейт ра ль но й - амплитуда возмущения не растёт и не затухает.
10.1. Численный алгоритм без насыщения для уравнения ОрраЗоммерфельда.
Уравнение для собственных функций. Пусть l
d2
dx
2
2 ; тогда
l2 i R U Ul Rl 0, 1 1 0.
(10.14)
- вещественный параметр; R-число Рейнольдса; U= 1 y 2 -невозмущенный профиль; - спектральный параметр (неустойчивому течению соответствуют с положительной мнимой частью). Запишем уравЗдесь
x px x qx где
p x 2 2 R i RU x , q x 4 i RU i 3 RU R
нение (10.14) в виде:
Пусть
IV
Kx, y функция Грина оператора
условиями
1 1 0. Тогда
1
d4
dx 4
с граничными
1
x Ax, y y dy Bx , y y dy
1
1
A x, y i RU y K x, y 2 i RU y K y x, y
4
3
2 2 i RU y K yy x, y ; B( x, y ) R [ K yy ( x, y ) 2 K ( x, y )].
Причем
321
Глава 10. О спектральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда
1
2
2
24 (1 x) (1 y ) (1 2 y 2 x xy ),
K ( x, y )
1 (1 x) 2 (1 y ) 2 (1 2 x 2 y xy ),
24
yx
yx
1 x 2
1 2y xy y x
4
K yy x, y
1 x 2
1 2y xy y x
4
1 x 2 1 y
x 2 y xy y x
8
K y x, y
1 x 2 1 y
x 2 y xy y x
8
10.2. Дискретизация.
n
x ln j x j , ln j x
j 1
Tn x
,
x x j Tn x j
x j cos
2j 1
,
2n
j 1,2,3.....
1
1
i A xi , y ln j y dy j B xi , y ln j y dy j i
j 1
1
aij
A xi , y ln j y dy,
1
j 1
1
bij B xi , y ln j y dy,
1
i приближенные значения собственных функций в узлах , собственные
322
Глава 10. О спектральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда
значения дискретной задачи, 1 , 2 ,.... n
A B.
I A B 0
(10.15)
Получаем алгебраическую задачу на собственные значения
1
1
I I A B 0
(10.16)
10.3. Уравнение Орро-Зоммерфельда. Формулы для программирования.
веществ, R-число Рейнольдса, m-размер матрицы
" " чётный случай
(n=2m), 1
.
" " нечётный случай
Входные параметры:
Конечномерная задача имеет вид: A B, где A и В матрицы размера m m :
Ai j =
j
1 2 m 1 '
k
1 1 cos k j I mk xi ,
m k 0
2 j 1 2 j 1
2n
4m
,
j 1, 2,3,..., m;
xi cosi , i 1, 2,3,..., m; причем “+” для четных собственных функций
и “-“ для нечетных, штрих у знака суммы означает, что слагаемое при k=0 берётся с коэффициентом ½. Формулы для I mk
xi :
I mk xi 2 2 I1k xi 4 I 4 k xi
i RI 2 k xi 2 RI 3k xi 3 RI 5k xi .
323
Глава 10. О спектральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда
Поэтому
следует
Re A и Im A .
написать
две
подпрограммы
для
вычисления
Четный случай 2 сумма с 0
Нечетный 2 сумма с 1
Bij
1 2 m1 '
k
1 1 cos k j I nk xi , I nk xi
m k 0
i 3 RI 4 k xi RI1k xi
Таким образом матрица B-чисто мнимая.(Сравни с Re A !)
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
I jk , j 1, 2,3...5.
I1k x
1
1 x 2 I k 0 x x 2 I k1 x
4
1
2
1 x J k 0 x 2 x J k1 x
4
1
I 2 k x 1 x 2 I k 2 x x 2 I k 3 x
4
1
2
1 x J k 2 x 2 x J k 3 x I1k
4
1
I 3k x 1 x 2 xI k1 x 2 I k 2 x 2 x I k 3 x
4
1
2
1 x xJ k1 x 2 J k 2 x 2 x J k 3 x
4
1
I 4 k x 1 x 2 1 2 x I k 0 x 3xI k1 x 3I k 2 x 2 x I k 3 x
24
1
2
1 x 1 2 x J k 0 x 3xJ k1 x 3J k 2 x 2 x J k 3 x
24
324
Глава 10. О спектральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда
I5k x I 4k x
1
1 x2 1 2 x I k 2 x 3xI k 3 x 3I k 4 x 2 x I k 5 x
24
1
2
1 x 1 2 x J k 2 x 3xJ k 3 x 3J k 4 x 2 x J k 5 x
24
Рекуррентные формулы для вычисления интегралов
I kj , J kj , j 0,1,...5 .
Обозначим
J k cos
Tk y J k y
yTk y kTk 1 y
2
,
k 1
k 1
cos cos k k cos(k 1)
(1) k
,
J
(
1)
k
k 1
k 2 1
k 2 1
Тогда, интегрируя по частям получим
I kj x
x
y jTk y dy y j J k y
x
x
1
1
I kj x
j J k y y j 1dy , y j J k y
1
k 1
k 1 j
k2
jk
I k 1, j 1
k 1 k 1 j
j1
j
j 1
x
y j 1 x x 1
j
,
I 0 j y dy
j 1 1
j 1
1
j
j2
x
y j 2 x x 1
j 1
I1 j y dy
j 2 1
j2
1
j
j
x J k x 1 J k 1 ,
I x J x J 1 .
k
k
k0
Аналогичные рекуррентные формулы получаем для
325
J kj .
x
1
Глава 10. О спектральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда
J kj x
k 1
k 1 j
y j Jk y
1
x
1
J0 j
y j dy
x
jk
J
, k 2, j 1.
k 1 k 1 j k 1, j 1
J k 1 J k x x j ,
1 x j 1
, J1 j
j 1
1
J k 1
y j 1dy
x
1
k 1
2
1 x j 2
j2
J k 0 J k 1 J k x
Исследуем рекуррентные формулы.
jk
1, если k 2 j 1
k 1 k 1 j
Так как j 0,1,...5, то счет устойчив при k 3 и, следовательно, случай
k=2
должен быть рассмотрен непосредственно.
x
j 3
j 1
x
I y j 2 y 2 1 dy 2 y y
1
2 j 1
j 3 j 1
j
j
2 x j 3 x j 1
1 1
2
j 3
j 1
j 3 j 1
j 3
2
1
x j 3 x j 1 2 1 x x j 1 1
y j 3 y j 1 1
2
J2 j 2
j 3 j 1
j 3 j 1
j 3
j 1
j 3 j 1
x
I2 j
x
2
j
x j 3 1
j 3
j 1
1
j
j 1
1
Вычисление интегралов.
, J2 j
2
x j 1 1
1 x j 3
j 3
j 1
I mk x M x, y Tk y dy ; Обозначим
1
326
Глава 10. О спектральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда
1
1
1
1
1
I1k x K yy x , y Tk y dy , I2k x K yy x , y Uy Tk y dy ,
1
I3k x K y x , y Uy Tk y dy , I4k x K x , y Tk y dy ,
1
1
1
I5k x K x , y Uy Tk y dy .
1
Тогда
I mk x 2 2 I1k x iRI 2 k x 2i RI 3k x 4 I 4 k x i 3 RI 5k x
Вычисление интеграла
1
Ink x Nx , y Tk y dy iRI1k x i3RI 4k x
1
J kj , Ikj , j 1,2,3,4,5.
Выпишем формулы для интегралов
Введем обозначения:
I kj x
x
y jTk y dy , J kj x
1
1
y T y dy, j 0,1,...,5. ;
j
k
x
C учетом этих обозначений
x1
I1k x
14
1 x 2 1 2 y xy Tk y dy
1 1
x 4
1 x 2 1 2 y xy Tk y dy
1
1
2
2
1 x I K 0 x x 2 I k1 x 1 x J k 0 x 2 x J k1 x
4
4
I 2 k I1k
1
1
2
2
1 x I k 2 x x 2 I k 3 x 1 x J k 2 x 2 x J k 3 x
4
4
327
Глава 10. О спектральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда
x
1
1 x2 y 1 y x 2 y xy Tk y dy
4
1
I 3k x
1
x
1
2
1 x y 1 y x 2 y xy Tk y dy
4
1
2
1 x xI k1 x 2I k 2 x 2 x I k 3 x
4
1
2
1 x xJ k1 x 2 J k 2 x 2 x J k 3 x
4
I 3k x
1
1 x
4
I 4k x
1
x
2
xJ k1 x 2 J k 2 x 2 x J k 3 x
x
1
1 24 1 x
1 y 1 2 x 2 y xy T y dy
2
2
k
1
2
2
1 x 1 y 1 2 y 2 x xy Tk y dy
24
I 4k
1
1 x 2 xI k1 x 2 I k 2 x 2 x I k 3 x
4
1
2
1 x 1 2 x I k 0 x 3xI k1 x 3I k 2 x 2 x I k 3 x
24
1
2
1 x 1 2 x J k 0 x 3xJ k1 x 3J k 2 x 2 x J k 3 x
24
1
x
1
1
I 5 k x u1 y 1 y 2 Tk y dy u2 y 1 y 2 Tk y dy
24
24
1
x
I 5 k x I 4 k x
-
1
1 x 2 1 2x ~Ik 2 x 3x~Ik 3 x 3~Ik 4 x 2 x ~Ik 5 x
24
1
1 x 2 1 2x ~Jk 2 x 3x~Jk 3 x 3~Jk 4 x 2 x ~Jk 5 x
24
328
Глава 10. О спектральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда
Вычисление интегралов:
x
I kj x
y T y dy,
j
k
J kj x
1
1
x
I 0 j x y j dy
1
y j 1
j2
x
1
y T y dy,
j
k
x
x j 1 1
j 1
j 1
, I1 j x
x
j 1
y dy
1
y j 2
j 1
x
1
x j 2 1
j2
j 2
~
~
~
Ik 1, j 2 Ik, j1 Ik 1, j
Аналогично:
J0 j x
1
x
1
x j 1 1
y j2 1
j 1
y dy
, J1 j x y dy
,
j 1
j2
x
~
~
~
Jk 1, j 2 Jk, j1 Jk 1, j
j
10.4. Результаты численных расчётов.
Сравнение с результатами Скороходова С. Л. [1]. R = 31956.451004, λ1(R) =
0.19201999. В расчётах получено (левая колонка); R=5814.828757, λ1(R) =
0.26123274 (правая колонка):
0.13147890
0.19267135
0.25526053
0.24898644
0.33838680
0.34682927
0.41496973
0.44564255
0.41165669
0.50047924
0.43536733
0.54886296
0.45689655
0.58783996
0.55451480
0.63697020
-0.13556237
-0.00050067
-0.07201718
-0.17928173
-0.14016247
-0.21589906
-0.19192612
-0.20328433
-0.26571195
-0.20277414
-0.34177331
-0.19042920
-0.41728055
-0.19573954
-0.32827722
-0.17275289
0.26140274
0.22935475
0.40126500
0.44716751
0.54950137
0.59659426
0.63329642
0.70939525
0.63239887
0.78965988
0.66931825
0.72834927
0.67531786
0.80003362
0.87579889
0.66676503
329
-0.00001821
-0.20793086
-0.15325832
-0.27001172
-0.24508728
-0.32369270
-0.24627950
-0.17720613
-0.39167652
-0.11041906
-0.45466787
-0.39677135
-0.51781242
-0.31565892
-0.04616825
-0.57319024
Глава 10. О спектральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда
Результаты расчётов первых 16 собственных значений (в порядке возрастания
модуля) для течения Пуазейля, при R = 10000, α=1 приведены в таблицах
10.1,10.2.
Спектральный портрет при R =1, α=1 для течения Пуазейля приведён на Фиг.
10.1. На Фиг.10.2 приведён спектральный портрет модельной задачи (см.[2]) с
потенциалом q(x)=1-x2.
0
-500
0
0,2
0,4
0,6
0,8
-1000
-1500
Ряд1
-2000
-2500
-3000
Фиг. 10.1
0
-5000
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
-10000
-15000
Ряд1
-20000
-25000
-30000
Фиг. 10.2
330
Глава 10. О спектральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда
Таблица 10.1
№
N=30
0.00363123
N=50
0.23799182
0.00361889
N=100
0.23799108
0.00361924
N=200
1
0.23799776
2
0.19267357 -0.14622995
0.19106277 -0.18294980
0.19110314 -0.18307713
0.19110268 -0.18307689
0.19110260 -0.18307654
3
0.14103744 -0.25957150
0.34628159 -0.12333138
0.34766614 -0.12365884
0.34766962 -0.12365949
0.34767192 -0.12365256
4
0.30769160 -0.08813990
0.33307974 -0.21193889
0.37011101 -0.23875923
0.37013980 -0.23876453
0.37012503 -0.23871115
5
0.39464544 -0.06632829
0.28149968 -0.31385394
0.47239858 -0.20754428
0.47202516 -0.20777054
0.47240096 -0.20770591
6
0.51337778 -0.05398675
0.41553948 -0.16154725
0.51204380 -0.28867694
0.51327622 -0.28797776
0.51569656 -0.28578515
7
0.59883430 -0.05228412
0.47761032 -0.14818155
0.55720580 -0.27004416
0.56961712 -0.25892591
0.57278814 -0.29502575
8
0.07135895 -0.67456036
0.22749174 -0.47874258
0.62199251 -0.24875287
0.56572387 -0.36976423
0.59860195 -0.25460645
9
0.71912871 -0.03344909
0.55291508 -0.12806316
0.54038755 -0.40296222
0.65311753 -0.24080453
0.57587809 -0.39891683
10
0.78406419 -0.04956294
0.61245609 -0.13073922
0.66005680 -0.24822600
0.64172391 -0.26997944
0.66193767 -0.23817927
11
0.87906620 -0.01551382
0.67848073 -0.10734963
0.71459124 -0.18966336
0.71482095 -0.18605935
0.71485276 -0.18602226
12
0.92640505 -0.05977478
0.16921552 -0.72598371
0.69992792 -0.30738583
0.58683428 -0.48397664
0.70435503 -0.33929751
13
0.99543567 -0.02206341
0.73979488 -0.11610589
0.56030136 -0.54467087
0.77490635 -0.13386015
0.77496336 -0.13363923
14
0.02354287 -3.83274957
0.78945544 -0.09847099
0.77383809 -0.13477086
0.74613035 -0.34331148
0.59096825 -0.52853856
15
0.83609654 -0.08411156
0.83618311 -0.08298501
0.73439900 -0.39407080
0.74300907 -0.36906434
16
0.87662737 -0.12966219
0.76063243 -0.37022120
0.83665705 -0.08231941
0.83675201 -0.08215348
331
0.23799110
0.00361938
N=400
0.23799112
0.00361950
Глава 10. О спектральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда
Таблица 10.2.
№
N=800
N=1600
N=3200
N=6400
1
0.23799112
0.00361943
0.23799104
0.00361944
0.23799104
0.00361945
0.23799107
0.00361947
2
0.19110280
-0.18307656
0.19110245
-0.18307655
0.19110252
-0.18307656
0.19110253
-0.18307651
3
0.34767105
-0.12365168
0.34766903
-0.12364840
0.34767029
-0.12365004
0.34767069
-0.12365011
4
0.37012248
-0.23871492
0.37010756
-0.23871040
0.37011494
-0.23871493
0.37011880
-0.23871341
5
0.47235048
-0.20772369
0.47249873
-0.20769329
0.47240814
-0.20769820
0.47243804
-0.20773126
6
0.51386214
-0.28665421
0.51534462
-0.28640052
0.51504248
-0.28675684
0.51500347
-0.28611933
7
0.57606195
-0.26388673
0.58275173
-0.26786660
0.58365701
-0.26431609
0.58436728
-0.26380747
8
0.57521735
-0.36990413
0.61289418
-0.29739727
0.60570755
-0.31101578
0.61012306
-0.30917541
9
0.63332059
-0.27601349
0.65593502
-0.23812928
0.65601043
-0.23857570
0.65658206
-0.23861241
10
0.65575223
-0.24293656
0.60974885
-0.37036780
0.65079778
-0.34492824
0.62584297
-0.37405354
11
0.71517955
-0.18576142
0.71527647
-0.18584546
0.71512102
-0.18582768
0.71510513
-0.18583894
12
0.59952704
-0.49191213
0.63067602
-0.46551191
0.61834768
-0.42228899
0.66953878
-0.38406069
13
0.77496308
-0.13361008
0.77496949
-0.13358301
0.77498308
-0.13357998
0.77498563
-0.13357764
14
0.72890922
-0.35815400
0.70651123
-0.38592292
0.70624518
-0.42782950
0.64977957
-0.48631425
15
0.73133141
-0.38121562
0.73627927
-0.36294593
0.74272217
-0.36347190
0.74119848
-0.36521761
16
0.83677349
-0.08210839
0.83677810
-0.08209855
0.83677758
-0.08209597
0.69823936
-0.44666027
332
Глава 10. О спектральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда
Спектральный портрет при R =10000, α=1 для течения Пуазейля приведён на
Фиг. 10.3. На Фиг. 10.4 приведён спектральный портрет модельной задачи
(см.[2]) с потенциалом q(x)=1-x2.
2
0
-2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-4
Ряд1
-6
-8
-10
-12
Фиг. 10.3
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-0,5
-1
-1,5
Ряд1
-2
-2,5
-3
Фиг. 10.4
Сравнение с результатами Курочкина С. В. [3]:
λ = 0.2621652250+0.0003589185941i
333
Глава 10. О спектральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда
N=
800 R = 6000.
ALFA = 1.02 IP = 1
0.26242603
0.22620471
0.39727756
0.43940425
0.54268603
0.59280588
0.64193966
0.62002018
0.71623229
0.66469264
0.79458773
0.73584273
0.67782783
0.66662117
0.80550527
0.87863910
N=
1600 R = 6000.
ALFA = 1.02 IP = 1
0.00032484
-0.20669626
-0.14904078
-0.26801449
-0.23999270
-0.30986250
-0.23863668
-0.36960581
-0.17241599
-0.43567427
-0.10729221
-0.38620346
-0.48839918
-0.54111253
-0.30779396
-0.04464217
0.26242590
0.22620448
0.39728162
0.43940187
0.54265004
0.59304570
0.64172158
0.62074199
0.71624508
0.66399276
0.79459082
0.73599648
0.67693908
0.66764811
0.80552246
0.87864299
N = 3200 R = 6000.
ALFA = 1.02 IP = 1
0.26242594
0.22620462
0.39728016
0.43940467
0.54261861
0.59292663
0.64175935
0.62090333
0.71624491
0.66358227
0.79459191
0.73591565
0.67777033
0.66715615
0.80551966
0.87864398
0.00032481
-0.20669622
-0.14903938
-0.26800828
-0.24000823
-0.31053710
-0.23853215
-0.36877313
-0.17240466
-0.43540740
-0.10727873
-0.38661345
-0.48841323
-0.54121983
-0.30781630
-0.04463528
334
0.00032476
-0.20669626
-0.14903633
-0.26799739
-0.24003785
-0.31075648
-0.23855215
-0.36795704
-0.17241598
-0.43641475
-0.10728068
-0.38657285
-0.48842949
-0.54047669
-0.30781038
-0.04463677
Глава 10. О спектральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда
Литература.
1.
2.
3.
Скороходов С. Л. Численный анализ спектра задачи ОрраЗоммерфельда // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007, 47, №10. С.
1672-1691.
Шкаликов А. А. Спектральные портреты оператора ОрраЗоммерфельда при больших числах Рейнольдса // Современная математика. Фундаментальные направления. Том 3(2003). С. 89-112.
Курочкин С.В. Метод выявления неустойчивости и поиска
неустойчивсых собственных значений в задаче Орра-Зоммерфельда //
Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41. № 1. С. 86-94.
335
Приложение 1
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. РАБОТЫ Э. И Ф. КОССЕРА (1898 – 1901) В ПЕРЕВОДЕ
АВТОРА С ФРАНЦУЗСКОГО ЯЗЫКА.
(io89)
МЕХ АН И К А. — На уравнениях теории упругости. Примечание ГОСПОД
ЭЖЕНОВ и Ф РАНСУА C OSSERAT , представленное г. Эмилем Пикаром.
« Наиболее простые задачи теории упругости состоят в том,
чтобы определять три интеграла известной системы
2u
0, 2v
0, 2 w
0,
x
y
z
(i)
отвечающие условиям непрерывности, и, проверяя на границе данной
области условия, которые могут сильно варьироваться. Исследования
итальянских геометров, в частности, значительные работы Betti и г.
Сомигляна, обнаружили аналогию, которая существует между этой
системой и уравнением Лапласа. Мы искали продвижение в этом
направлении и вот, что у нас получилось. Для определённости давайте
предположим, что u , v , w принимают на границе заданные значения.
Если, как это сделали господа Пикары и Пуанкаре для более простых
задач, мы рассматриваем ξ как параметр, который может, впрочем,
быть комплексным, u , v , w будут функции ξ . Мы намереваемся проделать углубленное изучение этих функций от ξ. Задавая, таким образом, вопрос, рассматриваем все работы на эту тему; в частности интересные
исследования г. Lauricella (Лориселла), суть которых разложение этих
функций в окрестности ξ = o. Но пробел в исследованиях г. Лориселла
состоит в том, что единственное существование решения рассмотренной задачи не было установлено, действительно Betti считает, что этот
пробел должен быть вначале устранён для значений ξ > 1/2.»
В Списке, deBorchardt, опубликованном в 1 8 7 3 , оказывается любопытный результат вычислений, который был напомнен г. Сезаро и который мы можем объяснить и обобщить в приложении к общей идее,
которая уже вдохновила г. Пикара. Рассматрива емая система ( i ) м о ж е т б ы т ь с ф о р м у л и р о в а н а к а к задача вариационного исчисления,
давайте будем искать функцию от x,y,z, которая была бы квадратичной
336
Приложение 1
формой по отношению к первым производным u , v , w , с коэффициентами в виде функций от x , y , z и такой, что метод вариаций, применён-
к интегралу dxdydz
ный
, привел бы к уравнениям ( i ) . З а д а ч а неопределенная и у нас есть интересное решение
2 2 X
D(v, w)
D( w, u )
D(u, v)
2Y
2Z
1u 1v 1w,
D( y, z )
D( z , x)
D( x, y)
X , Y , Z - т р и произвольные функции, зависящие соответственно
только x , y , z . Эта неопределенность функции σ з н а ч и т е л ь н а и нас
привела, между прочим, к результатам ценной модификации формул
Betti и г. Сомигляна. Давайте положим X = Y = Z = 1 , мы обнаруживаем выражение Borchardt, и мы из этого выводим, что, если u , v , w
удовлетворяют уравнениям ( i ) , и так же как основным условиям непрерывности в замкнутой области, на границе которой эти функции
обращаются в нуль и имеют непрерывные первые производные, имеем
[4(
2
1
22 32 ) ( 1) 2 ]dxdydz 0,
где τ 1 , τ 2 , τ 3 - компоненты вращения; видим, что, если ξ+1 положителен, т о w , v , w - гармонические функции, которые, будучи нулевыми на
границе, нулевые тождественно.
» Случай, где ξ+1 = 0 должен привлечь внимание. Система ( i ) т о г д а п р и о б р е т а е т исключительную общность, и ясно, что, в этом
случае, будут нормально существовать интегралы, обращающиеся в
нуль на границе замкнутой области; исчезает особенность, приводящая
к тому, что u , v , w обращают в нуль Δ 2 θ и имеют непрерывные третьи
производные в области; эти дополнительные условия проверены ими самими для значений ξ, отличных от - 1 , и позволяют расширить на значение - 1 в ы с к а з ы в а н и е о единственном существования.
» Для того, чтобы ясно указать цель, которой мы старались достигнуть по отношению к функциям от ξ, мы приведем простой пример.
Решение проблемы для уравнений Ламе в шаре, когда на поверхности
наложены усилия, была рассмотрена лордом Кельвином, к о т о р ы й
о б р а б о т а л также случай, куда на границе даны перемещения; та же
задача затем явилась предметом исследований Borchardt и господ Серрюти, Somigliana, Marcolongo, и, наконец, работы господина Almansi
337
Приложение 1
привели к особенно элегантному решению, которое, однако, существенно не отличается от решения лорда Кельвина. Можем представить это решение следующим образом: пусть u 0 , v 0 , w0 - гармонические
функции, которые являются заданными значениями для u , v , w на границе сферы радиуса a , и м е ю щ е й в качестве центра начало координат;
давайте
образуем
разложение
u0 v0 w0
по сферических многочленам Fi ; давайте определим
x y
z
числа k i и многочлены U i , формулами:
ki
F
2i 1
1
, Ui
( x2 y 2 z 2 ) i ,
i
2(2i 1)
x
затем два других ряда многочленов V i , W i , следуя кр уго во й п ер ес т а но вк е x, y, z ; имеем
i
kiU i
i 1 ki
u u0
ii
и а на ло г ич ные формулы д ля v, w, з ам е н яя u 0 , U i , на v 0 , V i , за тем
w 0 , W i . Э т и фо р м ул ы по каз ыв аю т, что u , v, w яв л яю тс я однозначные
функции ξ, до п ус ка ющ ие те же кр и т иче с к ие то ч к и, з н ая существенно особую точку - 2 и простые полюса k 1 , k 2 ,… , г де в ычет ы
полюса ki ,функции ki2Ui , ki2Vi , ki2Wi , - которые обращаются в нуль на границе и удовлетворяют уравнениям (i), при ξ = k i .
» В пр о чем , можем в ы р аз ит ь и на че пр ед ы д у щи е результаты.
Есл и G о бо з на чае т функцию Грина д л я сферы, гармонические функции F i ( ко то р ые я в ля ю т ся др уг и м и, чем сф ер ич еск и е многочлены)
уд о в л ет во р яю т функциональному уравнению
G Fi G Fi G Fi
4 Fi ( x, y, z ) ki
dxdydz .
x
x
y
y
z
z
уравнениям (i), г де ξ = ki и да д ут по во д формулам та к им ка к (ii).
» У эт и х р е з ул ь та то в е сть некоторая а на ло г ия с р ез ул ь та там и,
полученными господами Пикарами и П уа н кар е; но своеобразие пр е д ста в л яе тс я в существовании существенно особой точки, что
приводит к соотношениям: Fi Fk dxdydz 0, (i k );
338
о пр е де л я ют ся
Приложение 1
функции U i , Vi, Wi , о бр а щаю щ ие ся в н ул ь на границе, и, д ифф ер е н ц иа ль н ые пар ам е тр ы в то р о го по р яд к а ко то р ы х, со о т ве тс т ве н но
бы л и р а в ны первым производным F i , э т и ф ун к ц и и уд о в ле тво р я ют
уравнениям (10.1), где ξ = ki и дадут повод формулам таким, как (ii).
З н а е м о во зр а же н и и, сд е ла н но м к до к аза те ль ст в у принципа
Дирихле, д а нно м у Риманом, о во зр а же н и и, ко т о р о е не до с т и гае т
окончательного результата. З д есь у нее е ст ь бо л ьше до ся га ем о с т и.
интеграл ( u v w)dxdydz
1
1
1
Есл и м ы р асс м а тр ив ае м
, гд е
функции u , v, w о бр а щ аю тс я в н ул ь на границе, уд о в л ет во р яю т
ус ло в и ям не пр ер ыв но ст и о сно в ны е и условию нормировки:
2
dxdydz 1, у н его ес ть минимум 1, ко то р о го о н до с т и га ет ;
ес л и пр и со е д ин я ют ся дополнительные условия, ука за н ные вы ше,
ср ед и ко то р ы х о каз ыв а етс я Δ 2 θ = o , на э то т р а з минимум не достигается.
» Мы хо т им видеть, в ка к о й м ер е пр е ды д ущ и е р а сс уж д е ни я р ас пр о с тр а н я ют ся на о б щ и й с л уча й ; отображение рассуждений, уп о тр е б ле н ны х в по с ле д не е вр ем я господами Пикарами и П уа н к ар е и
г. Ле Ройем пр ед л ага ет и н тер е с ные затруднения, ко то р ые нас по б уж д аю т возобновлять изучение методов, а на л о ги ч ны х изучению
Неймана, пр ед ло же н н ы х г. Лориселла и г. Пуанкаре. »
( II29)
- На потенциальных функциях теории упругости. Примечание ГОСПОД ЭЖЕНОВ и Ф РАНСУА C OSSERAT , представленное г. Эмилем Пикаром.
МЕХАНИКА .
« Г. Сомигляна видимо первым заметил, что интегралы системы
2u
0, 2v
0, 2 w
0,
x
y
z
(i)
удовлетворяющие в области основным условиям непрерывности аналитические функции. В случае, если ξ+ 1 = 0, эти интегралы определены формулой
339
Приложение 1
u ( z z0 )
( y y0 )
y
z x
ii
и двумя другими аналогичными формулами, φ - гармоническая функция, а - произвольная функция; оттуда следует, что, если обозначить
f ( x ) функцию, производная которой обращается в нуль для x = 0, первые производные функции f ( α ) дают интегралы системы ( i) , где ξ+ 1
= 0, которые обращается в нуль в какой-то точке поверхности при α=0.
Из формул, таких как ( 1 0 .2 ) следует, что уравнение Лапласа обладает
инфинитезимальными преобразованиями
(a hx qz ry )
(b hy rx pz ) (c hz py qx) ;
x
y
z
К тому же замечанию можем связать многочисленные формулы, которые явно выражают, при
1 0 , все аналитические интегралы си-
стемы ( i) посредством гармонических функций.
» Давайте обратим внимание на сильную аналогию, которая существует между системой ( i ) и уравнением Лапласа. Решения уравнения
Лапласа, которые наиболее интересны, однородные относительно x a , y - b , z - c , происходят из единственного из них, если известна обратная величина расстояния r обеих точек ( x , y , z) , ( a , b , c ) ; аналогичные решения системы (i) определяются для произвольного ξ формулой
ui U i
2[ (i 1) 2i 1]
r2
U i Vi Wi
x x
y
z
iii
и две другие подобные формулы, где U i ,V i ,W i , - решения уравнения
Лапласа, однородные относительно x - a , y - b , z - c, дают также единственное решение ( u ', v ', w '), которое получается при
i 1, U i
kA
kB
kC
3(2 3)
, Vi
, Wi
, k
,
r
r
r
1
340
Приложение 1
A, B и C - произвольные постоянные. Там не ограничивается значимость направленной функции (u', v ' , w ' ) ; она играет в теории упругости
точно роль обратного объекта r в теории потенциала Ньютона; ее применения на основе исследований итальянских геометров приводит к
более поразительным многочисленным аналогиям, которые они установили между системой ( i) и уравнением Лапласа, и у нас есть способ
рассмотреть много других.
» Система (i) получается варьированием σ из нашей предыдущей
заметки; давайте обозначим - ρX, - ρ Y, - ρ Z - левые части этой системы
и давайте определим три функции F , G , H формулами, такими, как
F= l
m
n
u
u
u
x
y
z
(iiii) ,
где l , m, n - направляющие косинусы внешней нормали на поверхности
области; затем давайте образуем для второго перемещения ( u i , v i , w i )
аналогичные выражения -ρX i , - ρY i , - ρ Z i , Fi , G i , H i ; у нас будет
соотношение
∫∫∫∑ ρXu i dτ+∫∫ ∑F u i ds =∫∫∫ ∑ρX i u dτ+∫∫ ∑F i u ds,
( ii ii i )
которое существенно не отличается от формул Betti, в случае, если X
= Y = Z = - 1 . Здесь теория основана на направленной функции
(u', v ', w '), которая разлагается для уравнения Лапласа с обратным объектом r, получаем соотношения
4 π( Au +B v+ C w) =
Xud Fuds F uds , ( ii i iii )
которые дают полезную модификацию формул г. Сомигляна.
» Каждый из трех интегралов правой части ( i ii ii i ) может быть представлен в форме 4 π ( Au + Bv+ C w) ; направленная функция (U, V, W) в трех
случаях, соответственно аналог ньютонов потенциала массы в трех измерениях, потенциала простого слоя и потенциала двойного слоя. Первая интегральная сумма в ( i ii ii i ) была замечена лордом Кельвином;
господа Вольтерры и Lauricella установили, что она пользуется по отношению к системе (i) теми же свойствами, как ньютонов потенциал
341
Приложение 1
по отношению к уравнению Лапласа. Давайте представим, что постоянные 4 π A, 4 πB , 4 π C могут быть интерпретированными как компоненты силы в точке, где перемещения суть (u', v ', w ') и, что три интеграла
∫∫F ' ds, ∫∫G ' ds, ∫∫H' ds, которые образуют понятие, аналогичное Гауссову
интегралу, обращаются в нуль, соответственно равны 4 π A, 4 πB , 4 π C,
или равны 2 π A, 2 πB , 2 π C, если точка ( a , b , c) является внешней по
отношению к поверхности интегрирования, или внутренней или лежащей на ней. Второй интеграл в ( ii ii ii ) тождественен для X = Y = Z= 1. В рассматриваемом решении предложенном в 1 8 9 5 г. Пуанкаре; Г.
Лориселла также доказал в этом случае свойства этого решения, которые из этого делают аналог п о т е н ц и а л а п р о с т о г о с л о я ; э т и
с в о й с т в а остаются справедливыми в общем случае, который мы
рассматриваем. Наконец, давайте обозначим 4 πΦ(a, b , c ) третий интеграл ( ii ii ii ) , 4 πΦ s его значение в точке s на поверхности интегрирования, 4 πΦ is его предел, когда ( a , b, c) стремятся к s внутри поверхности,
4 πΦ cs предел, когда (a, b , c ) стремятся к s снаружи; имеем
Φ is= Φ s +1/2(Au s +Bv s +Cw s ), Φ es= Φ s -1/2(Au s +Bv s +Cw s );
обратно, функции, определенные формулами, такими как ( i ii i) для U,
V, W непрерывны при проходе поверхности, с известными ограничениями; эти свойства, доказанные г. Лориселла в частном случае, где X,
Y, Z равны отношению - ξ и ξ+2, для него служили в его исследовании
обобщениями метода Неймана. Среди отображений потенциальных
функций (U, V, W) давайте рассмотрим следующие: можем приложить
силу в точке, расположенную внутри сферы, силу на поверхности, которая снаружи даёт то же перемещение; у нас есть, таким образом, аналог одного из высказываний, на которых основывается метод з а м е тания
г. Пуанкаре. Можем записать также почти
интуитивно функциональное уравнения Робина. Силе в
точке отвечает перемещение, которое порождает в неопределенной упругой среде статическую систему; давайте будем делить эту среду плоскостью на две части,
из которых одна содержит точку приложения силы;
вторая часть не претерпит деформации, если снова отправляется по плану сил, данных объёмом понятия
уравнения Робина; эти силы порождают в свою очередь
статическую систему. »
342
Приложение 1
( 3i5)
МЕХ АН И К А. - На бесконечно малой деформации упругого эллипсоида.
Пр и м еча н и е Г О СП ОД ЭЖ ЕН ОВ и Ф РАНСУА C OSSERAT , пр е дс та в ле н но е г. С ар р о .
« С л уч ае в, в ко то р ы х б ыл а де йс т ви т е ль но р е ш ен а за да ча бе с ко неч но м ало й де фо р м ац и и, уп р уг о го те ла о ч ен ь м а ло . Пр о до л жа я р а ссм о тр е н и я, ко т о р о е м ы ук аз ал и в на ше й зам е тк е о т 1 2
чи сл а пр о ш ло го а пр е л я , м ы см о г л и с ум е ть о бр або та ть нес ко ль ко
сл уч ае в, ко то р ые р а не е не р а ссм а тр и ва л ис ь. Мы с ко р о по з на ко м им по л но с эт им и но в ым и р е з ул ь та там и ; в н асто я щ ий м о м е нт ,
д ля то го , ч то бы н е о т х о д ит ь да ле ко о т на ш и х пр е ды д ущ и х ис сл едо ва н и й, м ы р ассм о тр им то ль ко с л уча й тр ёхо с но го эл л и п со и да. » Да ва й те пр е д по л о ж им , д л я о пр е де лё н но ст и, что м ы н ам е р ева ем с я о пр ед е л ит ь т р и ф ун к ц и и u, v, w о т ве ч ающ им и о с но в ным
ус ло в и ям не пр ер ы в но с т и по о т но ше н и ю к о б л аст и , со ст ав л е н но й
тр ё хо с н ым э л л и псо и до м , с за д ан н ым и з на че н и ям и на гр а н и це
x2 y 2 z 2
1 0
a 2 b2 c2
э то го э лл и п со ид а, и , у до в л ет во р яю щ ие ур ав н ен и ям
2u
0, 2v
0, 2 w
0,
x
y
z
» С э то й то ч к и зр е н и я , г ла в на я тр уд н о с т ь за дач и со с то ит в
фак т ич ес ко м о пр е де ле н и и р я да ч ис е л ki, при р аз л ич ны х - i, с ка ж дым из ко то р ы х м о жем ассо ц и ир о в а ть, по кр а й не й м ер е, с ис те м у
тр е х ф ун к ц и й U i , V ; W i , о бр ащ аю щ им ис я в н ул ь н а г р а н и це и
уд о в л ет во р яю щ ие ур ав не н и ям
2U i ki
i
0,
x
2Vi ki
i
0,
y
343
2Wi ki
i
0
z
(i )
Приложение 1
Нам б уд е т до с та то ч но , с ле до в ат е ль но , д ат ь р еше н ие э то го по сл ед н его во пр о са. И та к , э то р е ше н и я н а ибо л ее пр о с ты е и м о г ут
бы ть пр ед ст ав л е ны в с ле д ую ще й фо р м е :
» Ф ун к ц и и U i ,V i , W i , ко т о р ы е м ы ищ ем , зд есь т р и ц е лые р а ц и о на л ьн ые ф ун к ц и и о т x , y , z , р авны е со о т ве тс тв е н но пр о из ве де н и ям
x2 y 2 z 2
2 2 2 1
a
b
c
с тр ем я но в ым и це лым и р а ц ио на л ьн ым и ф ун к ц и ям и
Ui , Vi, Wi .
Есл и по дс та в им тр и та к и х м но го ч л ен а U i ,V i , W i в ур а вн е н ия ( i),
на хо д им д л я о пр е де л е н и я ко э ф ф иц и е нто в
Ui , Vi, Wi , сис тем у л и -
не й ны х и о д но р о д н ы х у р ав не н и й, ч ис ло ко то р ых о че в и дно р а в но
чи сл у э т и х ко эф ф и ци е н то в ; о бр ащ ая в н ул ь о пр е де л и те л я э то й
си ст ем ы, им еем д ля о п р еде л е н ия со о т ве тс т в у юще го ч ис л а ki, ко то р о е ф иг ур ир уе т в ур ав не н и я х ( i) , це ло е а лг ебр а и чес ко е ур а в не н ие ; э то ур а в не н ие им е ет ко р е нь - 1 , ка к и с л едо ва ло о ж и да ть, а др уг и е ко р н и де йс т в ит е ль ны и р аз л ич н ы. Ле г ко до хо д им
до з ак л юч ен и я, ч то с у щес т в ую т тр и с ис тем ы м но го ч ле но в в то р о го по р я дк а, пя ть с и с тем м но го ч ле но в тр е ть его по р я д ка и, во о бщ е, 2 n+1 - с ис т ем ы м но го ч ле но в с те пе н и n +1 со о т ве тс т в ую щ и х
ус ло в и ям , ук аз а н ным в ыше.
» Т р и с и ст ем ы м но го ч ле но в в то р о го по р я д ка со о т ве тс т ве н но
да ны тр ем я с ис тем ам и фо р м ул
U= A Ω , V =o
,
W =o ,
U = o,
V =B Ω ,
W =o ,
U = o,
V =o
w = C Ω,
,
гд е A, B, C - пр о из во ль ны е по с то я н ные ; тр и со о тв е тс тв ую щ и х
зн аче н и я k со о тв ет с тв е н но
344
Приложение 1
1 1 1
2 2
2
a
b c ,
1
a2
1 1 1
2 2
2
a
b c ,
1
b2
1 1 1
2 2
2
a
b c .
1
c2
» П я ть с и ст ем м но го ч ле но в тр е тье го гр ад ус а были определены
сл ед ую щ им о бр азо м : д ва и з зн аче н и й k ес т ь ко р н и ур ав н ен и я
вто р о й с те пе н и :
1 3 1 1
a 2 a 2 b2 c2
2k 3 1 1
a 2 a 2 b2 c2
1 1
3 1
2 2
2 2
b a b c
2k 1
3 1
b2 a 2 b2 c2
1 1 1 3
c2 a2 b2 c2
0,
2k 1 1 3
c2 a 2 b2 c2
и о бе с ис тем ы со о тв е тс т в ую щ и х м но го чл е н о в по л уча ю тс я
по дс та но в ко й эт и х з на че ни я k в фо р м ул ы :
x
y
z
2
2
2
a
b
c
UA
,V A
, WA
.
2k 3 1 1
2k 1
3 1
2k 1
1 3
a 2 a 2 b2 c2
b2 a 2 b2 c2
c2 a 2 b2 c2
тр и др уг ие с ис тем ы о п р еде л е ны фо р м ул а м и
UA
y
x
, VA
, W 0
1
3 1
3 1 1
a 2 b2 c 2
a 2 b2 c 2
и дв а а на ло га, до с т иг н ут ые ц и к л иче с ко й п ер е ста но в ко й; з н а че ни я k со о т ве тс тв е н но да ны тр ем я фо р м ул ам и, та к им и к ак с л е д ую ща я:
1
1
2
1
a
b2
.
1
3 1
3 1 1
k
a 2 b2 c2 a 2 b2 c2
345
Приложение 1
» Пр ед ыд ущ и е р а сс уж д ен и я м о г ут , ка к в с л уч ае сфер ы, пр и н ят ь др уг ую фо р м у. В ыр а же н ие θ i н ам дае т д л я р аз л ич ны х з на че ни й i м но го ч ле ны, уд о в л ет во р яю щ ие ур а в не н и ю Ла п л аса и
уд о в л ет во р яю щ ие ф ун к ц ио на ль но м у ур а в не н и ю:
G i G i G i
4i ( x, y, z ) ki
dxdydz,
x x y y z z
гд е G - ф ун к ц и я Гр и н а ; э т и м но го ч ле ны, ко то р ые удо в ле т во р яю т со о т но ше н и ям :
dxdydz 0,
i
j
(i j )
и со о т ве тс т в ую т, та к им о бр азо м , по о т но ше н и ю к э л л ип со ид у
сво йс т вам , о ко то р ы х м ы упо м и н а ли д л я с фер и чес к и х м но го чл е но в по о т но ше н и ю к сф ер е, пр е дс та в л яю т на и б о ле е т ес н ую с вя зь
с м н о го ч л ен ам и Лам е.
» За дач а бе ско н еч но м а ло й д ефо р м а ц и и уп р уг о го э л л и псо и да
р ешае т ся т ак им же о бр азо м пр и др уг и х д а н ны х н а гр а н и це; ес л и
зад ад им , на пр им ер , ус и л ия на по вер х но с т и, н уж н о о пр ед е ля ть
ф ун к ц и и U i ,V i , W i , - и по сто я н ные ki та к им о бр а з о м , что бы уд о в ле тво р я ть ур ав н е н иям ( i) и о бр а ща ть в н ул ь ус и л и я на гр а н и це. »
(145)
МЕХАНИКА. - На решении уравнений упругости, в случае если значения
неизвестных величин на границе даны. Примечание ГОСПОД ЭЖЕНА и
ФРАНСУА COSSERAT.
« В нашем Примечании от1 2 апреля 1898, мы указали подходы для
изучения интегралов уравнений теории упругости, с соответс твующими условиями на границе.
» Мы сегодня рассмотрим случай, когда интегралы принимают на
границе известные значения, и мы будем формулировать, аналогично
первому утверждению в предыдущем Примечании, следующее высказывание:
» Пусть X, Y, Z заданные функции, x , y, z ; а u , v , w функции от x , y ,
z, которые удовлетворяют уравнениям
346
Приложение 1
2u
X , 2v
Y , 2w
Z,
x
y
z
(i)
при условиях непрерывности в ограниченной области, и, которые имеют
на границе этой области заданные значения, как функции ξ, аналитические и
равномерные, и их особые точки - любые действительные числа и расположенные на части оси ξ, заключённой между - 1 и -∞.
» Мы смогли до сих пор доказать это высказывание только делая
подходящие гипотезы о функциях X, Y , Z на границе и о данных на
границе; но эти ограничения, по крайней мере частично, были навязаны самим методом, который мы применяли.
» Вот существенные черты этого метода.
» Уравнения (i) могут быть записаны в форме:
3 2
( 1) 2u 2
X,
y
z
1 3
( 1) 2 v 2
Y,
z x
( 1) 2 w 2 2 1 Z ,
x y
(ii )
( 1 , 2 , 3 ) будучи вращениями, относительными к перемещению
( u , v , w ) . Эта форма уравнений показывает, что, если функции
1, 2 , 3 известны,
можно определить функции u , v , w просто решая
задачу Дирихле.
» При таком положении давайте будем искать представления u , v ,
w рядами по положительным степеням с целым показателем по ξ, и
давайте заменим аналогичные постоянные постоянными из интеграла
г. Шварца:
Wm,n mn dxdydz,
347
Приложение 1
где
m обозначает
объемное расширение, относительное к перемеще-
нию, компоненты которого являются коэффициентами ξ m в предыдущих рядах.
» Констатируем, что W m,n зависит только от суммы m + n, и, вводя
обозначение W m +n , вместо W m,n , устанавливаем, что числа W 1 , W 2 ,… ,
W n , … положительны и образуют не возрастающую последовательность, в которой отношение члена ранга n в предшествующем элементе
не убывает, когда n возрастает и стремится при n стремящемся к бесконечности, к пределу, который меньше или равен единице; откуда следует, что ряды, которые представляют
1, 2 , 3 , абсолютно
и равно-
мерно сходящиеся в кругах с центром в начале координат и проходящие через точку ξ = - 1 , или содержат эту точку в ее внутренней части;
дела обстоят так же в отношении рядов, которые представляют u , v ,
w и которые удовлетворяют данным условиям.
« Это первый установленный результат. Давайте теперь дадим ξ
комплексные значения; ряды, которые были рассмотрены только что
для u , v , w определяют элементы аналитических функций, для которых возможно произвести продолжение. Действительно, рассмотрим
сначала действительное значение ξ = - 1 , для которого доказано существование решения; давайте будем искать разложения u , v , w по степеням ξ - a ; рассуждая как и прежде и вводя постоянные W аналогично
выше рассмотренным, приходим к заключению, что ряды для u , v , w
являются абсолютно и равномерно сходящиеся в кругах с центром в
начале координат, и проходящем через точку - 1, или содержащими эту
точку в их внутренней части. Пусть затем ξ имеет чисто мнимое значение; радиус круга сходимости тогда больше или равен расстоянию от
точки ai на оси ξ.
» Сформулированное высказывание, очевидно, следует из того
факта, что решение уравнения (ii) единственное, когда ξ действительно
и больше чем - 1 , и что дела обстоят так же, когда ξ мнимо согласно
формуле:
dxdydz 0,
348
Приложение 1
который связывает два фундаментальных решения, то есть две системы перемещений, обращающихся в нуль на г р а н и ц е и у д о в л е т в о р я ю щ и х у р а в н е н и я м ( i ) , где предполагаем нулевые правые части X , Y , Z. »
(210)
МЕХ АН И К А. - На отображении потенциальных функций теории упругости. Примечание ГОСПОД ЭЖЕНОВ и Ф РАНСУА C OSSERAT .
« Метод для нахождения решения уравнений упругости, принимающие заданные значения на границе области, к которому мы возвратились в наше последнем Примечании, приводит к изучению трех однозначных функций параметра ξ.
» Следующий метод аналогичен методу Робина для решения задачи
Дирихле, дает другой способ нахождения этих функций; условие, или
необходимое, или, по крайней мере, достаточное, для своей истинности, чтобы параметр ξ принимал значения такие, что выражение
k
3 3 | | 2
| 2|
(i)
останется меньше чем 3 , то есть аффикс ξ был внутри одной из петель
овала Декарта. Ограничиваясь действительными значениями ξ, новое
решение, следовательно, приемлемо, когда ξ содержится между
4
4
и
, тем более, между - 0, 48 и 1,82.
3( 3 1) 3( 3 1)
» Задача, которую мы хотим решить - следующая: три функции u ,
v, w, удовлетворяющие уравнениям
2u
0, 2v
0, 2 w
0,
x
y
z
должны удовлетворять основным условиям непрерывности внутри выпуклой замкнутой поверхности S; кроме того, они непрерывны на поверхности, то есть имеем равенства u i = u s , vi = vs, wi =ws в точке Ms
поверхности, и u i , v i , w i , значения в точке Mi , расположенной на внутренней нормали в M s и бесконечно близкой к M s . Идет речь о том,
349
Приложение 1
чтобы определять значения u , v, w в точке M внутренней по отношению к поверхности S, зная значения u s , v s , ws на этой поверхности.
» Давайте сохраним обозначения наших Примечаний 12 и 18 апреля
1898, и давайте рассмотрим обобщённую формулу Somigliana:
4 π( Au + Bv+ C w) = ∫∫ ∑u s F ' ds -∫∫∑ F i u ' ds,
что мы запишем еще так:
2 (u , v , w ) = ( U , V, W) (u s , v s , w s ) - (U,V,W)(Fi , Gi ,Hi ).
(ii)
» Потенциальная функция (U, V, W) (u s , v s ,w s ) - аналог ньютонова
потенциала двойного слоя; она разрывная на поверхности S; пусть (Us ,
V s , W s ) (u s , vs, w s ) значение в точке M s на этой поверхности, и (Ui , V i ,
Wi ) (u s , v s ,w s ) значение в точке Mi , расположенной на внутренней нормали точки M s , и бесконечно близкий M s ; тогда имеем
(Ui, Vi, W i ) (u s , v s ,w s ) = (Us , V s , W s ) (u s , vs, w s ) + (u s , vs, w s ) .
(iii)
» Напротив, воздействие (Fi , Gi , H i ) относительно перемещения (Ui,
Vi, W i ) непрерывно при переходе поверхности S, и имеет
(Fi , Gi , H i ) (u s , v s ,w s ) = (Fs , G s , H s ) (u s , vs, w s ) .
(iiii)
» Чтобы упростить обозначения, давайте запишем
( U , V, W) (Us , V s , W s )(u s , v s , w s ) = (U ,V ,W )(u s , v s , w s )
и, в более общем виде,
(U ,V ,W )(U s( n1) ,Vs( n1) ,Ws( n1) )(us , vs , ws ) (U ( n) ,V ( n) ,W ( n) )(us , vs , ws )
Формулы (10.2) выведены при помощи выбора подходящим образом произвольных функций, которые входят в обобщённую формулу
Somigliana, так что
2(Fi , Gi ,Hi )= (Fi , Gi , H i )(u s , v s , w s ) - (U i , V i ,W i ) (Fi , Gi ,Hi ),
(Fi , Gi ,Hi ) - воздействие относительно перемещения ( u i , v i , w i ). Откуда принимая в расчет ( 1 0 .3 ) и ( 1 0 .4 )
(Fi , Gi ,Hi )=(1/3) (F s , G s H s )(u s , v s , w s ) –(1/3) (U s , V s ,W s ) (Fi , Gi ,Hi ),
350
Приложение 1
» Кельтской подстановкой уравнение (10.2) преобразовывается к
виду
2 ( u , v, w) = ( U, V, W)(u s , v s , w s ) - (1/3)(U,V,W)(F s , G s H s )(u s , v s , w s )
+ (1/3)(U,V,W)( U s , V s ,W s ) (Fi , Gi ,Hi ) .
» Повторяя n-1 - раз это преобразование, получаем формулу
2 ( u , v, w) = ( U , V , W)(u s , v s , w s ) - (1/3)(U,V,W)(F s , G s H s )(u s , v s ,
w s ) +… ± (1/3 n+2 )(U,V,W)( U s (n) , V s (n) ,W s (n) ) )(F s , G s H s )(u s , v s , w s )
(1/3 n+2 )(U,V,W)( U s (n+1) , V s (n+1) ,W s (n+1) ) )(Fi , Gi ,Hi ) .
» Мы должны выбрать произвольные функции, которые входят в
обобщённую формулу Somigliana так, чтобы
U
1
1
y b
z c xa
xa
2us 3 us
vs
ws
d,
2 2
r
r
r r
dω, будучи пространственным углом, под которым элементы ds поверхности S виден из точки M, и аналогичные выражения для V и W.
« Если обозначаем D наиболее большой из максимумов |u s |, |vs|,
|w s | находим, что k определен формулой (i), так что
|U|, |V|,|W|≤kD
и, как правило,
|U(n)|, |V(n)|,|W (n) |≤k n+1 D
» В результате видим, что ряд
2 ( u , v, w) = ( U, V, W)(u s , v s , w s ) - (1/3)(U,V,W)(F s , G s , H s )(u s , v s , w s )
+ (1/3 2 )(U,V,W)( U s (n) , V s (n) ,W s (n) ) )(F s , G s , H s )(u s , v s , w s )- …
сходящийся, когда k меньше 3.
» Предыдущие размышления естественно дают повод наблюдениям,
аналогичным тем, которые могут быть сделаны по отношению к методу
Робина; эти наблюдения имеют отношение в том, как ведут себя на
границе производные неизвестных величин, и, в частности, воздей351
Приложение 1
ствия; они показывают препятствия более трудные, чем в задаче Дирихле, которые составляют, по большей части, трудность, присущую задачам, относящуюся к равновесию упругого тела. »
(27i)
МЕХ АН И К А. - На бесконечно малой деформации упругого тела, подчиненного данным силам. Примечание ГОСПОД ЭЖЕНОВ и Ф Р А Н С У А
COSSERAT.
« В указаниях, которые мы дали до сих пор по исследованиям, которые мы предприняли по отношению к интегралам уравнений
2u
X , 2v
Y , 2w
Z,
x
y
z
(i)
мы рассмотрели только решения, которые даны на поверхность области.
» Давайте предположим теперь, что задаются компоненты воздействия на поверхность, и давайте обозначим F , G , H эти компоненты,
разделённые на постоянной Ламе μ; мы имеем
( 1)l
u
u
v
w
l
m n
N
x
x
x
(ii)
и две аналогичные формулы. Функции, которые мы должны определить - функции от ξ, по отношению к которым мы можем рассуждать
так же, как в случае перемещений, заданных на границе.
» Первый вопрос, который ставится: решение, единственное ли
оно? Знаем, что Betti и Rirchhoff доказали, для ξ > 1/3, решение существует при бесконечно малом возмущении, которое можно зафиксировать некоторыми геометрическими условиями. Но остается рассмотреть случай, если ξ ≤ 1/3. Для существования трёх функций u , v , w ,
удовлетворяющих уравнениям (i), где X = Y = Z = 0, обращают в нуль
правые части уравнений ( i i ) и, не сводятся к компонентам перемещения бесконечно малого возмущения.
» Мы ответим в ближайшее время обобщенно на этот вопрос; рассмотрим сегодня только первый частный случай: тело - сфера радиуса
a с центром в начале координат.
352
Приложение 1
» Для такого тела решения уравнений ( i ) , где X = Y = Z = 0, которое
соответствует условиям ( i i ) , впервые было дано Ламе и вскоре после
этого независимо лордом Кельвином. Мы представим решение, предложенное лордом Кельвином в следующем виде:
i
kiU i
i 1 ki
u u0
(iii)
и а н а ло г ич н ые формулы д л я v, w, зам е ня я u 0 , U i , н а v 0 , V i , з а тем
w0, Wi.
» Функции u 0 , v 0 , w0 - три гармонические функции, которые соответствуют условиям ( i i ) , где полагаем ξ = 0 и, которые, кроме того,
являются такими, как
0
u0 v0 w0
0,
x y
z
u0 , v0 , w0 - три гармонические функции, которые принимают значения
a F , a G , a H на поверхности сферы.
» Давайте образуем, с другой стороны, разложение θ o последовательностью сферических многочленов Fi ; числа ki и многочлены Ui будут определены формулами
ki
2i 1
a 2 3r 2 Fi
,
U
xF
, (r 2 x 2 y 2 z 2 ),
i
i
2
2i 4i 3
2(2i 1) x
два других ряда многочленов V i , W i , получаются из Ui, циклической
перестановкой x , y, z.
» Эти формулы выявляют, что u , v , w - однозначные функции, допускающие те же особые точки ξ, простые полюса k 0 , k 1 , k 2 ,…; вычеты
функции k 2U , k 2V , k 2W ,
i
i
i i
i
i которые обращают в нуль на границе
полюса k i правые части ( i i ) для ξ = k i и удовлетворяют для того же значения ξ уравнениям ( i ) при X = Y = Z = 0.
353
Приложение 1
» Предыдущие результаты могут высказаться иначе. Давайте рассмотрим
эффект воздействия (F , G , H ) относительно какого-нибудь перемещения u , v , w на элементах нормальной плоскости к прямой, выходящей
из начала координат; мы будем иметь
F r = ( 1) x r
u
u
v
w
x
y z
r
x
x
x
и две аналогичные формулы. Господа Фонтано и Almansi заметили,
что имеем
0,
r x
Δ2(Gr)+ 2 r
0,
r y
Δ2(Fr)+ 2 r
Δ2(Hr)+ 2 r
0,
r z
дFr/дx + дGr/дy + дHr/дz =(3ξ-1)θ.
» Давайте отобразим эти отношения к перемещениям ( U i , V i , W i ),
которые удовлетворяют свойствам, сформулированным выше.
» Обозначая G функцию Грина для сферы, мы будем иметь
2 Fi ( x, y, z )
G Fi G Fi G Fi
ki
r
r
r
dxdydz .
3ki 1 x r x y r y z r z
» Следовательно, для сферы существуют гармонические функции Fi
(которые являются другими, чем сферические многочлены) , удовлетворяющие предыдущему функциональному уравнению, из которого
следуют соотношения:
F F dxdydz 0,
i
k
(i k );
им соответствуют функции U i , V i , W i , обращающие в нуль воздействие на границе, и дифференциальные параметры второго порядка ко354
Приложение 1
торой соответственно равны первым производным Fi ; эти функции удовлетворяют уравнениям ( i ) , где ξ = k i и X = Y = Z = 0 и дают формулы
такие, как (iii). »
(326)
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА . - На бесконечно малой деформации упругой
сферической оболочки. Прим е ча н ие ГО С ПО Д Э ЖЕ НОВ и Ф РАНСУА
C OSSERAT , пр е дс та в ле н но е г. Ап п е лем .
« Да ва й те р а ссм о тр им с Лам е ур ав н ен и я уп р у го с т и в по л яр ны х ко о р д и н ат а х и да в ай те со хр а ни м е го о б о зн аче н и я (L E Ç O N S
S U R L E S C O O R D O N N É E S C U R V I L I G N E S , p . 299 et s u iv - Уроки на криволинейных координатах, ст р . 299) , о дн ако , в во д я ко ли чес т во ξ из
на ш и х пр е ды д ущ и х Пр им е ча н и й, Лам е, ка же т ся, н е зам ет и л, что
с ущес т во ва л и р е ше н и я э т и х ур а в не н и й, в ко то р ых че тыр е ф ун к ц и и θ, U, V, W им ею т о д но вр ем е н но с л ед ую щ ие фо р м ы :
θ = R 0 Q 0 P 0 , U = R 1 Q 1 P 1 , V= R 2 Q 2 P 2 ,
W = R3Q 3P 3
(i)
R, Q, P я в л яю тс я со о т в етс т ве н но ф ун к ц и я м и е д и нс тв е н но й из
ко о р д ин а т r , , φ.
» С р е д и пр е ды д ущ и х р еше н и й м ы м о жем вы д ел и ть те, ко то р ые з ав и ся т о т че тыр е х пр о из во ль н ы х по с то я н ны х A, B , C, D о т
по ло ж ит е ль но го и л и о т р и ца те л ьно го це ло го ч ис л а i, и те , ко то р ые удо в ле т во р я ю т с л ед ую щ им с во йс т вам : N, M, L -ко м по не н ты
ус и л и й, р аз де л ё н ным и на по сто я н н ую Лам е μ , во зд е йс тв и я на
им е ющ и х ся э лем е н та х по вер х но с т и с фер ы с це н тр о м в на ча ле
ко о р д ин а т, им е ем т а к ж е
h1U+ h1 N =R1Q1P1,
h2V+ h2 M =R2Q2P2,
h3W+ h3 L = R3Q3P3,
(ii)
R ф ун к ц и я ед и н ст ве н н о й ко о р д и н ат ы r , h и h ' - константы и л и
бо лее о б щ и й сл уча й, з ада н н ые ф ун к ц и и о т r. У ф ун к ц и й R1, R2,
R3 ес ть с ле д ую щ ие зн ач ен и я:
355
Приложение 1
Ci[h1r 2(i 1)h1]r i 2
i
A{( i 2)h r 2[ (i 2 i 3) 1]h} r
1
1
2(2i 3)
R1 =
i 3
D (i 1)[h1r 2(i 2)h1]r
r i 1
B{[ (i 1) 2]h1r 2[ (i 2 3i 1) 1]h1}
,
2(2i 1)
C[h2 r 2(i 1)h2 ]r i 2
ri
A{[ (i 3) 2]h r 2[ i(i 2) 1]h }
2
2
2(i 1)(2i 3)
R2 =
i 3
D[h2 r 2(i 2)h2 ]r
r i 1
B{[ (i 2) 2]h2 r 2[ (i 2 1) 1]h2 }
,
2i (2i 1)
R3 по л уча ет ся за м е но й со о т ве тс т ве н но h 2 , h 2 ' н а - h 3 , - h 3 ' в R2.
» Д а ва й те р ассм о тр им з ада ч у, в ко то р о й да ем н а гр а ни ц е сфе р ич ес ко й о бо ло ч к и, о гр а н иче н но й д в ум я ко н це н тр иче ск им и
сфер ам и р а ди ус о в, a , a ' , знач е н ия выр а же н и й
h1U+ h1 N ,
h2V+ h2 M ,
h3W+ h3 L ,
пр е д по ла га я, ч то пр о и з ве де н и я h 2 h 2 ' и h 2 'h 3 п р и н им а ю т в то ж е
сам о е вр ем я на к а ждо й сфер е то же сам о е зн ач ен и е. Р е ше н ие б у де т о бр азо ва но о д но з н ач ным и ф ун к ц и я м и о т ξ , а на ло г и ч ным и
о д но з нач н ым ф ун к ц и я м о т ξ и з на ше й по с л ед не й З ам е т к и, и
пр е ды д ущ и е р ез ул ь та т ы по з во ля ю т выч и с ли ть пр ям о по лю са
э т и х ф ун к ц и й и со о т ве т ст в ую щ ие выч е ты. Э т и по с л ед н ие пр едо ста в ле н ы де йс т в ит е ль н о пр ед ыд ущ и м и фо р м ул ам и, в ко то р ы х
о пр е де л е ны че т ыр е по с то я н н ые A, B, C, D т ак и м о бр азо м , ч то б ы
о бр а ща ть в н ул ь R1, R2, R3 на о бе и х сфер а х р а д и усо в a , a ' . Если
за пи сы вае м , ч то че тыр е н е по л но ст ью н ул е вы е по сто я н ные A, B,
C, D уд о вл е тво р я ют э т им ус ло в иям , н а хо д им , что н ео б хо д им о и
356
Приложение 1
до с та то ч но , ч то бы ξ уд о в ле тво р я ло ур а вн е н и ю в то р о го по р я д ка,
о т ко то р о го з ав ис я т ко э фф и ц ие н ты i, a , a ' и з на че н ия h н а о б е и х
сфер а х.
» Д а ва й те р ассм о тр им сл уч а й, г де h 1 ' = h 2 ' = h'3 = 0 ; о н со о т ве т ст в уе т з ад аче, г де п ер е м еще н и я на ло же н ы на о бе и х ко н це н тр и чес к и х сфер а х, ко то р ы е о гр а н ич и ва ют с фер и чес к ую о бо ло ч к у.
Ур ав н е ни е в то р о й с те пе н и, ко то р о м у уд о в ле тво р яе т ξ с ле д ую щее :
2i 1
2i 1 (2i 1)(2i 3)
( a 2 a 2 ) 2
2.
i
i 1
4
(a2i 3 a 2i 3 )(a2i 1 a 2i 1 )
» Д ля i, равном бес ко не чно ст и, ур а в не н ие о б л ада ет дв ук р ат ным ко р не м ξ = - 2 ; ле г ко ув и д ет ь, ч то о ба ко р н я ур а в не н ия д л я
др уго го це ло го з нач ен и я i ко не ч ны и отделены от з наче н и я ξ = - 2.
Полюса в решении рассмотренной проблемы, следовательно, распределены на
ограниченном сегменте, который снова содержит в его внутренней части существенно особую точку.
» Д е ла о бс то я т та к же в по л но с т ью др уг и х г и п о тез а х, с д ел а н ны х о h , h ', о тно с я щ ие ся к р аз ны м з ад ачам , к о т о р ы е м о ж е м
ставить на сферической оболочке. Давайте рассмотр и м , н а п р и м е р , с л у ч а й , г д е h1= h 2 =h 3 =0, ЧТО со о тв ет ст в уе т
зад аче с н а ло же н ным и во з де йс т в иям и н а о б е и х с фер а х, ко то р ы е
о гр а н ич и ва ют о бо ло ч к у. Ур а в не н и е в то р о й с т еп е ни , к о т о р о м у
должно удовлетворять ξ есть
2i 1
2i 1
2
2
2i 4i 3
2i 1
(i 1)i (i 1)(i 2)(2i 1)(2i 3)
( a 2 a 2 ) 2
2.
2
2
2i 3
(2i 4i 3)(2i 1)
(a a 2i 3 )(a2i 1 a 2i 1 )
» Здесь точка ξ=0 существенно особая; э то т р ез ул ь та т по к азы вае т,
ка к ие за тр уд н е н и я бы л и б ы вс тр е че ны, е с ли б ы бы ло нача то из уче ни е ф ун к ц и й U , V , W о т ξ в о кр е ст но ст и ξ = 0 . Др уго й з нач и те ль н ы й вы во д , к ко то р о м у м ы на м ер е ва ем с я во з вр а т и тьс я, со сто и т в то м , ч то во в то р о м с л учае концевые точки сегмента, который
содержит критические точки c ξ = - 1 , ξ = 1/3, не зависят от радиусов a, a
'.
357
Приложение 1
» Д а ва й те во з вр а т им с я в о бщ и й с л уча й , ко г да зас та в ля ем о д но вр ем е н но м е н я тьс я o т 0 до ∞ с оо т но ше н и я
h1 h2
, сегм е н т
,
h1 h2
кр и ти чес к и х то че к пер ем ещ ае тс я в с то р о н у п о ло ж и те ль н о й о с и
ξ и с ущ ес т ве н но о со ба я то ч ка пр о хо д и т чер е з вс е пр о м е ж ут о ч ны е з нач е ни я м е ж д у - 2 и 0 ; сегм е н т не со д ер ж и т н и ко гд а то ч к у
ξ = 1/3, то , что со г лас уе тс я с выс к азы ва н ием B ett ie t d e K irc h ho ff
о т но с и те ль но с ущ ес тво ва н и я е д и нс тв е н но го р еше н и я.
» Б уд ем на б л юд ат ь, ч т о , ес л и по л ага ем a = 0 в пр ед ыд ущ и х
ур а в не н и я х, то н е о б н ар уж и ва ем р ез ул ь та то в , да н ны х в наш и х
Пр и м еча н и я х 1 2 апр е л я 1898 и 29 и юл я 1901; з д есь де йс т в ит е ль но
на к ла ды ва ет ся до по л н и те ль но е ус ло в ие в це н т р е сферы. »
(361)
МЕХАНИКА. - На бесконечно малой деформации у п р у г о г о э л л и п с о ида, подчиненного воздействиям, заданным на границе.
Примечание ГОСПОД ЭЖЕНОВ и Ф Р А Н С У А C O S S E R A T , представленное г. Аппелем.
« Наиболее простые задачи, относительно бесконечно малой деформации упругого эллипсоида, поверхность которого имеет уравнение
x2 y 2 z 2
1 0
a 2 b2 c2
следующие: определять ряд чисел k i и перемещений (U i , V i , W i ), которые к ним ассоциируются, проверяя внутри эллипсоида уравнения
2U i ki
i
0,
x
2Vi ki
i
0,
y
2Wi ki
i
0
z
i
.
и на границе три условия такие, как следующие:
x
x U i y Vi U i z Wi U i
hU
1 i h1 ( ki 1) 2 i 2 2
0,
a
a x b 2 x
y c 2 x
z
h, h ' заданные постоянные.
358
(ii )
Приложение 1
» В нашем Примечании 8 августа 1 8 9 8 мы уже познакомили читателей о том, что в случае, если постоянные h1, h2 , h3 нулевые, функции
U i ,V i , W i - целые рациональные функции от x, y, z .
» Дела обстоят так же в общем случае.
» Если выражаем, действительно, что три целые рациональные
функции U i , V i , W i , удовлетворяющие уравнениям ( i) и условиям на
границе (ii), находим для определения коэффициентов этих многочленов систему линейных и однородных уравнений, число которой равно
числу коэффициентов; обращение в нуль определителя этой системы
позволяет определить число ki, которое фигурирует в уравнениях (i) и
(ii), целое алгебраическое уравнение; это уравнение вообще допускает
корень - 1 , как и должны быть, а другие корни действительны и различны. Легко получаем заключение, что существует система многочленов первого порядка, три системы многочленов второго порядка,
пять систем многочленов третьего порядка, и, вообще, 2 n + 1 системы
многочленов степени n+1, удовлетворяющие условиям, указанным
выше и соответствующие различным числам ki , отличным от - 1 .
» Давайте предположим, что постоянные h 1 , h 2 , h 3 были нулевые, и рассматривается задача, когда даны воздействия на границе эллипсоида.
» Вот, в этом случае, результаты, относительно многочленов первых трех степеней.
» Система многочленов первого порядка есть
U = A x , V = Ay,
W = Az,
где A произвольная постоянная и соответствующее значение k есть
1/3.
» Три системы многочленов второго порядка соответственно даны
тремя системами формул:
U = A (x 2 -y 2 -z 2 ) , V = 2Axy, W=2Azx,
A - произвольная постоянная, соответствующие значения k равным
1/3.
» Пять систем многочленов третьего порядка разделяются на две
группы.
» Первая группа содержит решение, определенное формулами
U = Akxyz,
359
Приложение 1
1
1
k ( x2 z 2 c2 )
k
k 1 2 1 2
3
2
,
V Az x 2
(y z )
3
1
1
2
4
3
2
c 2 2 2
a b c
1
1
k ( x2 y 2 b2 )
k
k 1 2 1 2
3
2
,
V Ay x 2
(z y )
3
1
1
2
4
3
2
b 2 2 2
a b c
и два аналогичных решения, соответствующие значения k даны тремя
формулами, такими, как следующая:
k
1
.
4a 2
3
3 1 1
b2c 2 2 2 2
a b c
» У решений второй группы есть слишком длинные выражения ,
чтобы фигурировать в этом сообщении; мы будем наблюдать, что они
непосредственно приведут к частным результатам, достигнутым г.
Гре 12 в 1 8 9 5 , и мы ограничимся тем, что дадим следующие указания.
Давайте будем обозначать
––––––––––––––––––––––––
G. CHREE, The equilibrium of an isotropic elastic solid ellipsoïd under the action of normal surface forces of the second degree and bodily forces derived from a
potential of the second degree (Quarterly Journal, vol. XXVII, p. 338-353 ;
12
1895).
360
Приложение 1
Ha
8k 1
1 3 1 1 1 1
3 1 1 1
1 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,
4
3k 1 a
a a
b
c b a
b
c c a
b
c
с аналогичными формулами для H b , H c , полученными циклической перестановкой a , b , c , и
1 1 1 1 3
a 2 c2 a 2 b2 c2
1
Ka 2
Hb
b
1 1
3 1
2 2
2 2
b a b c
1 3 1 1
a 2 a 2 b2 c2
1 1 3 1 1
c2 a 2 a 2 b2 c2
Hc
с аналогичными формулами для K b , K c , также полученными циклической перестановкой a , b , c . Значения для k , соответствующие решениям второй группы - корни уравнения второй степени
1 3 1 1
1 1
3 1
1 1
1 3
K a 2 2 2 2 K b 2 2 2 2 K c 0.
a 2 a 2 b2 c2
b a b c
c a b c
Шесть компонент усилий в точке эллипсоида даны формулами следующего вида:
x2 y 2 z 2 1
1
A 2 2 2 1 2 ( K a K b K c ) 2 ( K a K b K c )
b
c
c
a
b
N1=
,
y2
z2
2 A 4 ( K a Kb K c ) 2 A 4 ( K a Kb K c )
b
c
L1= 2 A
y2
( K a Kb K c ) yz.
b2c 2
» Предыдущий метод, когда мы последовательно определяем числа
ki и функции U i , V i , W i , которые к ним ассоциируются, таким образом,
чтобы удовлетворять ( i ) и (ii), т. е. решениям уравнений теории упругости, представляются тремя рациональными функциями от ξ. Мы покажем в ближайшее время, в общем случае, интерес, который могут
представить такие данные. »
(382)
361
Приложение 1
МЕХ АН И К А. - Частные решения уравнений упругости, в случае если на
границе заданы усилия. Примечание Господ ЭЖЕНОВ и Ф РАНСУА C OSSERAT ,
представленное г. Аппелем.
« Если мы рассматриваем как функции параметра ξ, интегралы системы
2u
0, 2 v
0, 2 w
0,
x
y
z
(i)
для которых задана постоянная Ламе μ, то ставятся многочисленные очень
простые задачи.
» Может случиться, чтобы эти функции были независимы от вопроса: воздействия на границе могут ли быть выбранными таким образом, чтобы иметь
θ = 0 ? Эта задача была рассмотрена Barré de Saint-Venant в его работе «О кручении призм», и потом г. Олофом Жозефсон (M. Olof Josephson), в случае, если
граница - поверхность вращения.
» Мы возвратимся позже к этой первой задаче, и мы настоим, главным образом, здесь на втором следующем вопросе. Мы показали, что задача для сферической оболочки трёхосного эллипсоида решение уравнений (i), когда на
границе заданы усилия, обладает полюсом ξ= 1/3, и, что соответствующие вычеты были определены формулой
U = a 0 x +(1\2) a 1 (x 2 - y 2 - z 2 ) +b 1 x y + c 1 z x ,
(ii)
и двумя аналогичными формулами для V и W, достигнутыми циклической
перестановкой величин a1, b1, c1, и x , y, z ; a 0 , a 1 , b 1 c 1 , бывших четырьмя
постоянными. Важно заметить, что для значения ξ= 1/3, существуют, в случае
тела, ограниченного какой-то замкнутой поверхностью, функции, которые
удовлетворяют уравнениям (i) и, которые обращают в нуль воздействие на
границе; это - точно предыдущие функции U, V, W.
» Это нас приводит к понятию усилия на границе, для которого решение
уравнений упругости равномерно с единственным полюсом ξ= 1/3, и представляется в форме:
1
1
u u0 3 U , v v0 3 V ,
1
1
3
3
,
362
1
w w0 3 W
1
3
(iii )
Приложение 1
где U, V, W определены формулами (ii) и где u 0 , v 0 , w0 - три другие функции
x, y, z.
» Мы можем сформулировать следующее высказывание:
» Для компонент усилия F, G , H, разделённых на постоянную Ламе μ, на
элементах границы, с внешней нормалью N с направляющими косинусами l, m ,
n, имеем:
F l 0
u0
u
v
w
l 0 m 0 n 0
N
x
x
x
(iiii )
и две аналогичные формулы, обозначая ( u 0 , v 0 , w 0 ) перемещение, компоненты которого являются тремя гармоническими функциями, и, для объемного расширения θ которого есть простая формула
θ0 = - ( a 0 + a1 x + b 1 y + c 1 z ).
(iiiii)
» Большая часть классических решений выражается формулой (iii).
» Давайте оставим в стороне решения, относящиеся к сфере и к сферической оболочке, которые явились предметом наших предшествующих Примечаний, и вначале давайте рассмотрим две следующие задачи согласно работе
Ламе «L e ç o n s s u r l a t h é o r i e d e l ' é l a s t i c i t é » ( на уроках по теории
упругости).
» i° Либо какое-то тело, на поверхности которого заданы постоянные нормальные воздействия. Решение уравнений (i) получается, полагая в формулах
(iii)
u 0 = ( 1\3)a0x,
v0 = - (1\3)a0y,
w 0 = - (1\3)a0z,
a1=b1=c1=0.
» 2 0 Либо тело, ограниченное двумя концентрическими цилиндрами вращения радиусов r0, r1, и двумя перпендикулярными оси вращения плоскостями, выбранной в качестве оси z , подчиненной на цилиндрических поверхностях r0, r1, постоянным нормальным воздействиям –P0/μ, –P1/μ, и на каждой
из крышек цилиндров в нормальном воздействии F/μ, у нас есть также решение формы (iii), где
363
Приложение 1
u0
2
2
1 Pr
1 P1 P0
1
1 1 P0 r0
x
log r Fx,
2
2
1
1
2 r1 r0
2 x
2
2
2
r1 r0
2
2
1 Pr
1 P1 P0
1
1 1 P0 r0
v0
y
log r Fy,
2
2
2 r1 r0
2 1 1 y
2
r12 r02
u0
a0 2
2
2
Pr
1 1 P0 r0
r12 r02
2
2
Pr
1 1 P0 r0
r12 r02
z,
F , a1 b1 c1 0.
» Теперь давайте рассмотрим часть решения задачи p r o b l è m e d e B a r r é
d e S a i n t - V e n a n t о равномерном изгибании прямого цилиндра в каком-то
поперечном сечении. Если мы возьмем ось z, параллельную образующим цилиндра, у нас есть еще раз решение формы (ii), где
1
1
u0 a0 x a1 ( y 2 x 2 ),
2
4
w0 0,
1
1
v0 a0 y a1 xy ,
2
2
b1 c1 0.
» Предыдущие указания позволяют, как видно, группировать под единственным центром проекции решения задачи p r o b l è m e d e B a r r é d e
S a i n t - V e n a n t в различных формах и очень различными путями.
» Они могут распространиться на случай, когда правые части уравнений
( iii) вместо того, чтобы быть нулевыми, являются данными функциями X , Y,
Z от x , y , z .
« Решение будет еще формы ( 1 0 . 3 ) , если у нас есть формулы ( iiii) и
( iiiii) и u 0 , v 0 , w 0 вместо того, чтобы быть гармоническими, имеют свои
дифференциальные параметры второго порядка, соответственно равные параметрам X , Y, Z .
» Очень простой пример относительно этого последнего высказывания последующий элемент: тяжелое упругое тело, погруженное в совершенную
364
Приложение 1
жидкость той же плотности, подчиненную данному внешнему давлению, претерпевает деформации, определенной формулами ( iii) ; выбирая подходящим
образом оси, мы имеем
1
1
u0 a0 x a1 ( x 2 y 2 z 2 ),
3
6
1
1
w0 a0 z a1 zx,
3
3
365
1
1
v0 a0 y a1 xy,
3
3
b1 c1 0.
Список препринтов автора, которые содержат программы для описанных в книге
алгоритмов13.
I.
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА.
Аннотация.
Рассматриваются спектральные задачи для уравнения Лапласа в произвольной
гладкой области. Приводятся программы на Фортране для численного решения поставленных задач. Программы устроены таким образом, что если известны параметрические уравнения границы области, то возможно вычислить
до ста первых собственных значений и соответствующих им собственных
функций.
Препринт 1(671), 2000.
II.
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ БИГАРМОНИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ.
Аннотация.
Рассматриваются спектральные задачи для бигармонического уравнения в
произвольной гладкой области. Приводятся программы на Фортране для численного решения поставленных задач. Программы устроены таким образом,
что, если известны параметрические уравнения границы области, то возможно
вычислить до ста первых собственных значений и соответствующих им собственных функций.
Препринт 2( 678), 2001.
III.
Флаттер пластины произвольной формы в плане.
Аннотация.
Рассматривается задача о флаттере пластины произвольной формы в плане.
Программа устроена таким образом, что если известны параметрические уравнения границы области, то можно вычислить критическую скорость флаттера
––––––––––––––––––––––––
13
Препринты доступны на сайте htpp://www.twirpx.com/
366
при любом направлении вектора скорости потока относительно сторон пластины. Приводится описание программного комплекса.
Препринт 3(689), 2001.
IV.
Уравнение Пуассона.
Аннотация.
Рассматривается уравнение Пуассона в торе и внешности тела вращения. Построены численные алгоритмы без насыщения. Для решения соответствующей
дискретной задачи применяется быстрое преобразование Фурье. Это позволяет решать уравнение Пуассона быстрее, чем матрица дискретной задачи
умножается на вектор. Приводятся программы на Фортране.
Препринт 4(698), 2002.
V.
Уравнения Стокса.
Аннотация.
Рассматриваются линеаризированные, стационарные уравнения Навье Стокса
(уравнения Стокса) во внешности тела вращения, когда вектор скорости ориентирован произвольно по отношению к оси вращения, т.е. в общем случае
задача – трёхмерная. Приводятся программы на Фортране.
Препринт 5(700) , 2002.
VI.
Потенциальное обтекание тела вращения потоком несжимаемой
жидкости.
Аннотация.
Рассматривается задача о потенциальном обтекании тела вращения потоком
несжимаемой жидкости. Оказывается, что задача плохо обусловлена. Приводится численный алгоритм и программы на Фортране.
Препринт 6(706), 2002.
367
VII.
Об уравнении Пуассона в цилиндре.
Аннотация.
Рассматривается трёхмерное уравнение Пуассона в цилиндре с неоднородными краевыми условиями и правой частью обеспечивающими гладкость решения. Для приближенного нахождения этого решения построен численный
алгоритм без насыщения. Указан эффективный способ решения соответствующей дискретной задачи.
Препринт 7(722 ), 2003
VIII. Трёхмерная кинетика ядерного реактора с учётом обратных
связей по температуре топлива.
Аннотация.
Рассматривается трёхмерная кинетика ядерного реактора с учётом обратных
связей по температуре топлива. Алгоритм устроен таким образом, что громоздкие вычисления табулированы в таблицах небольшого объёма, что позволяет опубликовать компактные программы на Фортране.
Препринт 8(725), 2003
IX.
Численное исследование свободных колебаний стержня с
осцилляторами.
Аннотация.
Рассматривается задача о свободных колебаниях стержня с осцилляторами.
Приводятся программы на Фортране и примеры расчёта собственных значений и собственных функций.
Препринт 9(755), 2004
368
X.
Численное исследование свободных колебаний балки с
осцилляторами.
Аннотация.
Рассматривается задача о свободных колебаниях балки с осцилляторами. Оказывается, что в этой колебательной системе возможны параметрические резонансы. Приводятся программы на Фортране и примеры расчёта собственных
значений и собственных функций.
Препринт 10(773), 2005
XI.
О вычислении собственных значений уравнения переноса.
Аннотация.
Рассматривается задача на собственные значения для уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Построен численный алгоритм без
насыщения. Приводится текст программы на Фортране-77.
Препринт 11(801), 2006
XII.
О вычислении собственных чисел оператора Лапласа в двусвязной
области.
Аннотация.
Рассматривается задача на собственные значения в гладкой двусвязной области. Построен численный алгоритм без насыщения, который позволяет определить с 6-7 знаками после запятой около 300 первых собственных значений.
Приводятся программы на Фортране-77.
Препринт 12(802), 2006
XIII. Уравнения Навье-Стокса.
Аннотация.
Рассматривается задача об обтекании тела вращения под углом атаки потоком
вязкой несжимаемой жидкости, которая описывается уравнениями Навье369
Стокса. Для малых чисел Рейнольдса решения этих уравнений – гладкие функции. Построен численный алгоритм без насыщения, который реагирует на
гладкость решения. Конкретные расчёты проводились для сетки из
900=10x10x9 и 700=10x10x7 узлов. Таким образом, в первом случае по стандартной программе решалась система из 3600 нелинейных уравнений. Сравнивались значения давления на теневой стороне тела вращения. Оказалось, что
доступны для численного исследования (на этой сетке) задачи с Re ~ 1. Для
больших чисел Рейнольдса необходимо увеличить число узлов сетки.
Препринт 13(805), 2006
XIV.
Численный алгоритм без насыщения для решения уравнения
теплопроводности.
Аннотация.
Рассматривается численный алгоритм без насыщения для уравнения теплопроводности. Предполагается, что оператор Лапласа имеет дискретный, действительный спектр, а соответствующая матрица дискретного оператора
Лапласа имеет полную систему собственных векторов. Для примера рассмотрено одномерное уравнение теплопроводности, но в процессе изложения показано, что размерность здесь несущественна. Приводятся тексы программ на
Фортране-77.
Препринт 14(816), 2006
XV.
Программа АМАЛИЯ – двумерная однофазная фильтрация газа в
пористой среде. Версия 1/Февраль 2007 г.
Аннотация.
На основе ранее построенной дискретизации без насыщения по пространственным переменным построен численный алгоритм для решения двумерной задачи об однофазной фильтрации газа в пористой среде. Приводится
структурная программа на Фортране-77.
Препринт 15(828), 2007
370
XVI.
Вычисление с высокой точностью собственных значений
нулевого уравнения Бесселя.
Аннотация.
В работе приводится методика вычисления собственных значений обыкновенных дифференциальных уравнений. Для примера рассмотрено нулевое уравнение Бесселя. Показано, что на сетке из 23 узлов первое собственное значение
получается с 29 знаками после запятой. На сетке из 110 узлов получены 32
первых собственных значения с 28-29 знаками после запятой.
Препринт 16(831), 2007
XVII. Вычисление с высокой точностью собственных значений
оператора Лапласа.
Аннотация.
В работе приводится методика вычисления собственных значений оператора
Лапласа. Показано, что дискретизация двумерной задачи сводится к дискретизации одномерной задачи (уравнения Бесселя). Приводятся примеры расчётов, из которых следует, что на сетке 30×41=1230 первое собственное значение получено с 20 знаками после запятой. Приводятся тексты программ на
Intel фортране (расширение Фортрана 95, с элементами Фортрана 2003).
Препринт 17(832), 2007
XVIII. Вычисление далёких собственных значений в задаче ШтурмаЛиувилля.
Аннотация.
В работе приводится методика вычисления собственных значений классической задачи Штурма-Лиувилля. Приводятся примеры расчётов, из которых
следует что на сетке 2000 – 3000 узлов надёжно определяется 1000 собственных значений исходной дифференциальной задачи. Приводятся тексты программ на Intel фортране (расширение Фортрана 95, с элементами Фортрана
2003).
Препринт 18(839 ), 2007
371
XIX.
Основная бигармоническая проблема.
Аннотация.
В работе приводится методика численного решения основной бигармонической проблемы. Построен численный алгоритм без насыщения, который позволяет для большого класса областей построить решение с высокой точностью на редкой сетке. Приводятся тексты программ на Intel Фортране (включающем Фортран 90, Фортран 95 и элементы Фортрана 2003). Таким
образом, решена задача табулирования решений основной бигармонической
проблемы в гладких областях.
Препринт19(854), 2008
XX.
Двумерное уравнение теплопроводности.
Аннотация.
В работе приводится методика численного решения двумерного уравнения
теплопроводности. Построен численный алгоритм без насыщения, который
позволяет для большого класса областей построить решение с высокой точностью. Приводятся тексты программ на Intel Фортране (включающем Фортран 90, Фортран 95 и элементы Фортрана 2003).
Препринт 20(870), 2008
XXI.
О табулировании решений второй краевой задачи плоской теории
упругости.
Аннотация.
В работе приводится методика численного решения второй краевой задачи
плоской теории упругости. Громоздкие вычисления затабулированы в виде
таблиц небольшого объёма. Приводятся тексты программ на Intel Фортране
(включающем Фортран 90, Фортран 95 и элементы Фортрана 2003), которые
можно рассматривать как расшифровывающие алгоритмы к этим таблицам.
Препринт 21(874), 2008
372
XXII. Двумерное уравнение теплопроводности. Новая программа.
Аннотация.
В работе приводится методика численного решения двумерного уравнения
теплопроводности. Построен численный алгоритм без насыщения, который
позволяет для большого класса областей построить решение с высокой точностью. Приводятся тексты программ на Intel Фортране (включающем Фортран
90, Фортран 95 и элементы Фортрана 2003).
Препринт 22(833), 2008
XXIII. Колебания пластины переменной толщины со сводными краями
произвольной формы в плане.
Аннотация.
В работе рассматриваются свободные колебания пластины переменной толщины со свободными краями произвольной формы в плане. Для решения
этой задачи разработан численный алгоритм без насыщения, который позволяет получить надёжные результаты на редкой сетке. Проводится сравнение
с расчётами других авторов. Приводятся результаты экспериментов и программы на Фортране.
Препринт 23(899), 2009
XXIV. h-матрица – новый математический аппарат для дискретизации
многомерных уравнений математической физики.
Аннотация.
В работе рассматривается новый подход к дискретизации уравнений математической физики. Его суть состоит в том, что дискретизация двумерной задачи сводится к дискретизации одномерной задачи, а дискретизация трёхмерной задачи сводится к дискретизации двумерной задачи. Рассматриваются
многочисленные примеры.
Препринт 24(902), 2009
XXV.
Численное исследование уравнения Лейбензона.
Аннотация.
373
Рассматривается радиально-симметричная задача о падении давления газа в
круглом пласте с одиночной совершенной скважины конечного размера в
центре. Распределение давления описывается нелинейным уравнением Лейбензона. Проводится линеаризация уравнения Лейбензона в окрестности
начального давления в пласте. В результате численных экспериментов установлено, что на начальном этапе разработки линейное приближение достаточно точно отражает падение давления в пласте. Для бесконечного пласта
исследуется автомодельное решение.
Препринт 25(916)
XXVI. Новый алгоритм для численного исследования уравнений
Стокса.
Аннотация.
Рассматриваются линеаризированные, стационарные уравнения Навье Стокса (уравнения Стокса) во внешности тела вращения, когда вектор скорости ориентирован произвольно по отношению к оси вращения, т.е. в общем
случае задача – трёхмерная. Приводятся программы на Интел фортране
11.1.054.
Препринт 26(924), 2010
XXVII. Новый алгоритм для численного исследования уравнений
Навье-Стокса.
Аннотация.
Проводятся вычислительные эксперименты с предложенным итерационным
алгоритмом решения нелинейных уравнений Навье - Стокса во внешности
тела вращения. Вектор скорости потока направлен произвольно по отношению к оси вращения, так что задача в общем случае трёхмерная. Показано,
что итерационный алгоритм быстро сходится только при малых числах Рейнольдса. Приводятся программы на Интел фортране 11.1.054.
Препринт 27(925), 2010
XXVIII. Численное исследование нестационарных уравнений Стокса.
Аннотация.
Проводятся вычислительные эксперименты с предложенным алгоритмом решения линейных нестационарных уравнений Стокса во внешности тела вращения. Вектор скорости потока направлен произвольно по отношению к оси
374
вращения, так что задача в общем случае трёхмерная. Получены предварительные результаты. Приводятся программы на Интел фортране 11.1.054.
Препринт 28(927), 2010
XXIX. Программа АМАЛИЯ – двумерная однофазная фильтрация газа
в пористой среде. Версия 2.0 /Февраль 2010 г.
Аннотация.
Описывается методика численного решения уравнения однофазной, нестационарной фильтрации газа в пористой среде. Проводится линеаризация классического уравнения Лейбензона. Для полученного линейного уравнения построен численный алгоритм без насыщения по пространственным переменным и времени. Показано, что построенный алгоритм обладает высокой
эффективностью.
Препринт 29(929), 2010
XXX.
Вычисление собственных значений оператора Лапласа в
многоугольной области.
Аннотация.
Описывается методика численного вычисления собственных чисел оператора
Лапласа в многоугольнике. В качестве примера рассмотрена L – образная область. Строится конформное отображение круга на эту область при помощи
интеграла Кристоффеля-Шварца. В круге задача решается по ранее разработанной автором (совместно с К. И. Бабенко) методике без насыщения. Вопрос
состоит в том, применима ли эта методика к кусочно-гладким границам (конформное отображение имеет на границе особенности). Проделанные вычисления показывают, что можно вычислить около 5 собственных значений оператора Лапласа в этой области с двумя-тремя знаками после запятой.
Препринт 30(970), 2011
XXXI. Задача Стеклова.
Аннотация.
Рассматривается задача Стеклова в плоской области с гладкой границей. Построен численный алгоритм без насыщения, который позволяет вычислить
375
3000 собственных значений с 9 знаками после запятой. Приводится текст программы на Фортране.
Препринт 31(972), 2011
XXXII. Вычислительные эксперименты с нестационарными
уравнениями Стокса.
Аннотация.
Проводятся вычислительные эксперименты с предложенным алгоритмом решения линейных нестационарных уравнений Стокса во внешности тела вращения. Век-тор скорости потока направлен произвольно по отношению к оси
вращения, так что задача в общем случае трёхмерная. Получены предварительные результаты. Приводятся программы на Интел фортране 11.1.070.
Препринт 32(973), 2011
XXXIII. Фильтрация газа в пористой среде со скважиной конечного
размера.
Препринт 33(989), 2011
XXXIV. О вычислении нулей функций Бесселя.
Аннотация.
Приводится программа вычисления нулей функций Бесселя, которая позволяет вычислить несколько первых десятков нулей с 15-30 знаками после запятой.
Препринт 34(1007), 2012
XXXV. УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА.
Аннотация.
Рассматривается уравнение Гельмгольца в теле вращения. Построен численный алгоритм без насыщения, который позволяет решить спектральную задачу для однородного уравнения Гельмгольца, краевую задачу для неоднородного уравнения Гельмгольца и нестационарную задачу (уравнение теплопроводности). Приводятся тексты программ на Intel Фортране.
Препринт 35(1008), 2012
376
XXXVI. О спектре Коссера первой краевой задачи теории упругости.
Аннотация.
Рассматривается трёхмерная задача о вычислении спектра Коссера первой
краевой задачи теории упругости в теле вращения. На доступной для вычислений сетке из 900 узлов получены качественные результаты: найденная Э. и
Ф. Коссера в 1898 году последовательность собственных значений не описывает всего спектра.
Препринт 36(1010), 2012
XXXVII. Вычислительные эксперименты на суперкомпьютере
«Ломоносов». Задачи на собственные значения.
Аннотация.
Рассматриваются две задачи на собственные значения: 1). Трёхмерная задача
о вычислении спектра Коссера первой краевой задачи теории упругости в теле
вращения. На доступной для вычислений сетке из 900 и 3600 узлов получены
качественные результаты: найденная Э. и Ф. Коссера в 1898 году последовательность собственных значений не описывает всего спектра; 2). Рассматривается методика вычисления собственных значений оператора Лапласа. Показано, что дискретизация двумерной задачи сводится к дискретизации одномерной задачи (уравнения Бесселя). Приводятся примеры расчётов, из которых
следует что на сетке 90×101=9090 узлов первое собственное значение получено с 26 знаками после запятой. Расчёты проводились на Intel Фортране (расширение Фортрана 95, с элементами Фортрана 2003) с учетверённой точностью REAL*16.
Препринт 37(1017), 2012
XXXVIII. ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ БЕЗ НАСЫЩЕНИЯ ДЛЯ
ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ.
Аннотация.
Рассматривается численный алгоритм без насыщения для волнового уравнения. Предполагается, что оператор Лапласа имеет дискретный, действительный спектр, а соответствующая матрица дискретного оператора Лапласа имеет
377
полную систему собственных векторов. Для примера рассмотрено одномерное
волновое уравнение, но в процессе изложения показано, что размерность здесь
несущественна. Приводятся тексты программ на Фортране-77.
Препринт 28(927), 2010
XXXIX. Numerical algorithms of classical mathematical physics.
Аннотация.
В этой обзорной статье рассматривается новый подход к конструированию алгоритмов математической физики. Кроме спектральных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнения Лапласа (три краевых задачи)
и бигармонического уравнения (две краевые задачи), рассматривается флаттер
пластин и пологих оболочек. Для двумерных задач громоздкие вычисления затабулированы в таблицах небольшого объёма, что позволяет разработать компактные алгоритмы решения поставленных задач. Препринт представляет интерес для студентов и аспирантов физико-технических и математических специальностей, специалистов по численным методам, а также для научных
сотрудников и инженеров, интересующихся новыми методами численного решения задач математической физики.
Препринт 39(1034), 2013
XL. Численное исследование свободных колебаний мембраны.
Аннотация.
Рассматриваются задачи о свободных колебаниях прямоугольной неоднородной мембраны, мембраны L-образной формы, мембраны, контур которой получается конформным отображением квадрата. Для названных задач построены численные алгоритмы без насыщения. Проводится сравнение с результатами, опубликованными в литературе. Приводятся тексты программ на Intel
Фортране.
Препринт 40(1041), 2013
XLI. О спектральной задаче для оператора Орра-Зоммерфельда.
Аннотация.
Методом вычислительного эксперимента исследуется задача о распределении
собственных значений оператора Орра-Зоммерфельда. Проводится сравнение
с ранее опубликованными результатами.
378
Препринт 41(1069), 2014
XLII. Об уравнении теплопроводности в параллелепипеде.
Аннотация.
Методом вычислительного эксперимента исследуется задача о распределении
тепла в параллелепипеде. Показано, что трёхмерная задача может быть решена
на PC.
Препринт 42(1070), 2014
XLIII. Колебания мембраны с кусочно-гладким контуром и
смешанными краевыми условиями.
Аннотация.
Методом вычислительного эксперимента исследуется задача о колебаниях
мембраны с кусочно-гладким контуром. Показано, что на сетке 10×10 можно
определить до 10 собственных частот с приемлемой для практики точностью.
Препринт 43(1099), 2015
XLIV. Высокоточные вычисления собственных значений оператора
Лапласа (с краевым условием Неймана) в гладкой двумерной области.
Аннотация.
Методом вычислительного эксперимента исследуется задача о колебаниях
неоднородной мембраны с гладким контуром и краевым условием Неймана.
Показано, что на сетке 50×81 первые 100 собственных частот определяются с 5-7 знаками после запятой. Приводятся результаты расчётов и программы на Intel фортране.
Препринт 44(1101), 2015
XLV. Об одной дискретной задаче Штурма-Лиувилля.
Аннотация.
Исследуется дискретная задача Штурма-Лиувилля. Идея алгоритма принадлежит К. И. Бабенко. Показано, что при дискретизации возникают центросимметричные матрицы, т. е. матрицы, элементы которых симметричны относительно центра матрицы. Матрицы этого вида обнаружены и изучены автором препринта в 1973 году, но по не зависящим от него причинам результаты
379
не были опубликованы. В настоящей работе этот пробел восполняется. Приведены ссылки на западные работы, в которых исследуется этот вид матриц.
Препринт 45(1104), 2015
XLVI. Свободные колебания прямоугольной пластины.
Аннотация.
Автор решил опубликовать работу по вычислению собственных частот
прямоугольной пластины, во-первых из-за её важности, во-вторых из-за того,
что работы по вычислению частот прямоугольной пластины продолжают появляться в литературе (см. библиографию к препринту). Вместе с тем в 2013
году автор опубликовал работу о флаттере прямоугольной пластины (Наука,
ПМТФ, Т. 44, №4, 2003, с. 35-42), где как промежуточный результат вычислялись собственные значения бигармонического оператора в прямоугольнике,
т.е. собственные частоты защемлённой прямоугольной пластины. В настоящем препринте приводится обзор по работам о вычислении частот свободных
колебаний прямоугольной пластины и программа для их вычисления.
Препринт 46(1105), 2015
380
Оглавление
Оглавление
С. Д. Алгазин ...................................................................................................2
Foreword ............................................................................................................3
Предисловие к третьему изданию. ..................................................5
Предисловие ...................................................................................................6
Введение............................................................................................................7
Литература ................................................................................................. 10
Глава 1. Формальное описание алгоритмов и оценка
погрешности ..................................................................................... 11
1.1. Формализация .................................................................................. 11
Теорема 1 ............................................................................................. 11
1.2. Теоремы локализации .................................................................. 12
Теорема 2 ............................................................................................. 12
Теорема 3 ............................................................................................. 15
1.3. Априорная оценка погрешности в задачах на
собственные значения .......................................................................... 16
Теорема 4 ............................................................................................. 16
1.4. Апостериорная оценка погрешности в задачах на
собственные значения .......................................................................... 19
1.5. Обобщения для пучка операторов ......................................... 19
Теорема 5 ............................................................................................. 20
Теорема 6 ............................................................................................. 20
Литература .......................................................................................... 21
Глава 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
................................................................................................................... 22
2.1. Введение ............................................................................................ 22
2.2. Дискретизация классических спектральных задач
для обыкновенных дифференциальных уравнений ............... 24
2.3. Экспериментальное исследование скорости сходимости
......................................................................................................................... 34
2.4. Вычисление с высокой точностью собственных
значений для уравнения Бесселя .................................................... 35
2.5. Вычисление функций Бесселя целого индекса. .............. 36
Литература .......................................................................................... 37
Глава 3. Гармоническая проблема ................................................ 39
3.1. Введение ............................................................................................ 39
381
Оглавление
3.2. Интерполяционная формула для функции двух
переменных в круге и ее свойства ................................................. 39
Теорема 7 ............................................................................................. 41
3.3. Дискретизация оператора Лапласа ....................................... 42
3.4. Теоремы об h-матрице ................................................................. 44
Теорема 8 ............................................................................................. 44
Теорема 9 ............................................................................................. 45
3.5. Построение клеток h-матрицы с использованием
дискретизации уравнений Бесселя ................................................. 48
3.6. Описание численных экспериментов .................................... 50
3.7. Быстрое умножение h-матрицы на вектор
с использованием быстрого преобразования Фурье .............. 52
3.8. Симметризация h-матрицы ........................................................ 54
Теорема 10 .......................................................................................... 54
3.9. Пример оценки погрешности для задачи Дирихле ......... 55
3.10. Смешанная задача ...................................................................... 56
3.11. Задача Неймана ............................................................................ 61
3.12. Высокоточные вычисления собственных значений
задачи Дирихле ........................................................................................ 65
3.12.1. Примеры численных расчетов .................................... 66
3.12.2. Обсуждение полученных результатов .................... 66
3.12.4. Обсуждение полученных результатов. ..... 68
3.12.5. Применение регулярной теории возмущений ..... 68
3.13. О вычислении собственных значений оператора
Лапласа в двусвязной области ......................................................... 71
3.13.1. Постановка задачи и дискретизация ....................... 71
3.13.2. Результаты численных расчетов ............................... 72
3.14. О вычислении собственных значений уравнения
переноса. .................................................................................................... 74
3.14.1. Постановка задачи фильтрации газа в
пористой среде. ............................................................................. 75
3.14.2. Дискретизация по пространственным
переменным. ................................................................................... 77
3.14.3. Результаты численных экспериментов. ...... 81
3.15. Вычисление собственных значений оператора
Лапласа в многоугольной области. ................................................. 82
3.15.1. Отображение Шварца-Кристоффеля ............ 82
3.15.2. Результаты расчётов. ...................................................... 84
3.15.3. Выводы. ............................................................................ 86
3.15.4. Расчеты на другой сетке для задачи Дирихле. .. 86
382
Оглавление
3.16. Задача Стеклова. .................................................................. 87
Глава 4. Бигармоническая проблема ......................................... 110
4.1. Постановка задачи и дискретизация .................................. 110
4.2. Вычисление матрицы конечномерной задачи ................ 113
4.3. Исследование структуры конечномерной задачи ......... 114
4.4. Численное решение основной бигармонической
проблемы .................................................................................................. 115
4.4.1. Вторая краевая задача плоской теории упругости
................................................................................................................ 117
4.4.2. Результаты расчетов ........................................................ 118
4.4.3. Выводы .................................................................................. 119
4.5. Примеры численных расчетов ............................................... 119
4.5.1. Описание дальнейших вычислительных
экспериментов ................................................................................. 122
4.5.2. Продолжение численных экспериментов .............. 124
4.6. Колебания пластины переменной толщины со
сводными краями произвольной формы в плане. .................. 125
4.6.1. Вывод уравнения поперечных колебаний упругой
изотропной пластины переменной толщины и граничных
условий. .............................................................................................. 126
4.6.2. Дискретизация. .................................................................. 128
4.6.3. Методические эксперименты. ..................................... 131
4.6.4. Сравнение с результатами работы "Круги в
песке: методы для воспроизведения фигур Хладни" .... 134
4.6.5. Сравнение с результатами работы [7]. .................. 135
4.6.6. Сравнение с результатами работы [8]. .................. 137
4.6.7. Сравнение с результатами работы [4] .................... 139
4.6.8. Сравнение с результатами работы [15] ................. 140
4.6.9. Выводы. ................................................................................. 141
Литература ........................................................................................ 141
Глава 5 Флаттер пластин и пологих оболочек ..................... 143
5.1. О постановке задачи панельного флаттера
с использованием теории плоских сечений А. А. Ильюшина.
....................................................................................................................... 143
5.2. Флаттер пластины. ....................................................................... 145
5.2.1. Флаттер пластины произвольной формы в плане.
................................................................................................................ 146
5.2.2. Дискретизация. .................................................................. 149
5.2.3. Численное исследование спектральной задачи. 153
5.2.4. Результаты численных расчетов. .............................. 156
383
Оглавление
5.2.5. Исследование зависимости критической скорости
флаттера от толщины пластины. ............................................ 160
5.3. Флаттер прямоугольной пластины ....................................... 162
5.3.1 Постановка задачи. ........................................................... 163
5.3.2 Дискретизация..................................................................... 164
5.3.3. Результаты численных расчетов. .............................. 167
5.3.4. Метод Бубнова – Галеркина (Б.-Г.) .......................... 171
5.3.5 Сравнение с результатами А. А. Мовчана. ............. 173
5.3.6. Исследование зависимости критической скорости
флаттера от толщины пластины. ............................................ 174
5.3.7. Исследование зависимости критической скорости
флаттера от высоты над уровнем моря. .............................. 175
5.4. Флаттер пологих оболочек. ..................................................... 175
5.4.1. Флаттер круговой в плане пологой сферической
оболочки. ........................................................................................... 176
5.4.2. Постановка задачи и численный алгоритм. .......... 177
5.4.3. Вычислительные эксперименты. ................................ 178
5.4.4. Выводы. ................................................................................. 182
5.4.5. Численное исследование флаттера пологой
оболочки. ........................................................................................... 182
5.4.6. Постановка задачи. .......................................................... 183
5.4.7. Дискретизация. .................................................................. 184
5.4.8. Результаты численных расчетов. .............................. 186
5.4.9. Выводы. ................................................................................. 190
Литература ........................................................................................ 191
Глава 6. Дискретизация линейных уравнений
математической физики с разделяющимися
переменными. ............................................................................... 193
6.1. Уравнения общего вида с разделяющимися
переменными. ......................................................................................... 193
6.2. Дальнейшие обобщения. .......................................................... 194
6.3. Дискретизация оператора Лапласа и быстрое решение
уравнения Пуассона в торе. ............................................................. 196
6.3.1. Постановка задачи и дискретизация. ...................... 197
6.3.2. Быстрое решение дискретного уравнения
Пуассона. ........................................................................................... 199
6.3.3. Заключение. ........................................................................ 199
6.4. Дискретизация оператора Лапласа и быстрое решение
уравнения Пуассона для внешности тела вращения. .......... 200
384
Оглавление
6.5. Численное исследование задачи об обтекании под
углом атаки тела вращения потенциальным потоком
идеальной несжимаемой жидкости. ............................................. 203
6.6. Численное исследование уравнений Стокса. ................. 209
6.6.1. Постановка задачи и выбор системы координат.
................................................................................................................ 209
6.6.2. Дискретный лапласиан и дискретные уравнения
Стокса. ................................................................................................ 212
6.6.3. Определение давления. ................................................. 215
6.6.4. Результаты численных экспериментов. .................. 217
6.7. Об уравнении Пуассона в цилиндре. .................................. 220
6.7.1. Введение. .............................................................................. 220
6.7.2. Постановка задачи и дискретизация. ...................... 221
6.7.3. Исследование структуры конечномерной задачи.
................................................................................................................ 223
6.7.4. Обсуждение методики и численный пример. ....... 225
6.8. О прогнозировании динамики ядерного реактора. ...... 227
6.8.1. Математическая постановка задачи. ....................... 228
6.8.2. Дискретизация Лапласиана. ........................................ 229
6.8.3. Дискретизация по пространственным переменным
и оценка погрешности. ................................................................ 230
Литература ........................................................................................ 232
Глава 7. Нестационарные задачи ................................................. 233
7.1. Постановка задачи. ..................................................................... 233
7.1.1. Дискретизация. .................................................................. 233
7.1.2. Численный пример. .......................................................... 235
7.2. Численное исследование однофазной фильтрации газа
в пористой среде. .................................................................................. 235
7.2.1. Постановка задачи фильтрации газа в пористой
среде. ................................................................................................... 236
7.2.2. Дискретизация по пространственным
переменным...................................................................................... 238
7.2.3. Дискретизация по времени. ......................................... 241
7.2.4. Моделирование скважин (точечных источников).
................................................................................................................ 243
7.2.5. Вычислительные эксперименты. ................................ 244
7.3. Многослойный, неявный, параллельный алгоритм для
уравнения теплопроводности в параллелепипеде. ............... 245
7.3.1. Постановка задачи. .................................................... 245
7.3.2. Дискретизация. ............................................................. 246
385
Оглавление
7.3.2. Вычислительные эксперименты. ...................... 247
7.3.3. Устойчивость. ................................................................. 249
7.3.4. Примечание. .................................................................... 249
Литература. .................................................................................... 250
Глава 8. Уравнения Стокса и Навье – Стокса. ...................... 256
8.1. Введение. ......................................................................................... 256
8.2. Постановка задачи. ..................................................................... 259
8.3. Дискретный лапласиан. ............................................................ 263
8.4. Результаты расчетов для уравнений Навье – Стокса. 264
8.5. Прямое решение полностью нелинейных уравнений
Навье – Стокса. ...................................................................................... 266
8.6.5. Выводы. ........................................................................................ 273
Литература ........................................................................................ 284
Глава 9. ........................................................................................................... 289
О спектре Коссера первой краевой задачи теории
упругости. ........................................................................................ 289
9.1. Исследования Эжена и Франсуа Коссера (1898 - 1901).
....................................................................................................................... 290
9.2. Первая краевая задача для конечной области. ............. 296
9.3. Дискретизация. ............................................................................. 297
9.3.1. Исходная система:........................................................ 300
9.3.2. Результаты численных расчётов. .................... 304
Глава 10. ........................................................................................................... 315
О СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ОРРАЗОММЕРФЕЛЬДА.......................................................................... 315
Введение. .................................................................................................. 315
Теорема Сквайера. .................................................................... 319
Уравнения Орра-Зоммерфельда и Рэлея. Таким образом, дальше
будем рассматривать плоские возмущения. Система (10.6) принимает вид
....................................................................................................................... 319
10.1. Численный алгоритм без насыщения для уравнения
Орра-Зоммерфельда. ........................................................................... 321
10.2. Дискретизация. ........................................................................ 322
10.3. Уравнение Орро-Зоммерфельда. Формулы для
программирования. .............................................................................. 323
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
I jk , j 1, 2,3...5. ................................................................................ 324
386
Оглавление
Рекуррентные формулы для вычисления
интегралов ...................................................................................... 325
Вычисление интегралов........................................................ 326
10.4. Результаты численных расчётов. ....................................... 329
Литература. .............................................................................................. 335
Приложение 1. Работы Э. и Ф. Коссера (1898 – 1901)
в переводе автора с французского языка. ....... 336
Список препринтов автора, которые содержат программы для
описанных в книге алгоритмов................................................................ 366
I. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА. ... 366
Препринт 1(671), 2000. ............................................................... 366
II. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ БИГАРМОНИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ. ............................................................................................. 366
Препринт 2( 678), 2001. ............................................................. 366
III. Флаттер пластины произвольной формы в плане. .... 366
Препринт 3(689), 2001. ............................................................... 367
IV.
Уравнение Пуассона. .............................................................. 367
Препринт 4(698), 2002. ............................................................... 367
V.
Уравнения Стокса. .................................................................... 367
Препринт 5(700) , 2002. ............................................................. 367
VI.
Потенциальное обтекание тела вращения потоком
несжимаемой жидкости. ..................................................................... 367
Препринт 6(706), 2002. ............................................................... 367
VII. Об уравнении Пуассона в цилиндре. .............................. 368
Препринт 7(722 ), 2003 ............................................................... 368
VIII. Трёхмерная кинетика ядерного реактора с учётом
обратных связей по температуре топлива. ............................... 368
Препринт 8(725), 2003 ................................................................ 368
IX.
Численное исследование свободных колебаний
стержня с осцилляторами. ................................................................ 368
Препринт 9(755), 2004 ................................................................ 368
X. Численное исследование свободных колебаний балки
с осцилляторами. ................................................................................... 369
Препринт 10(773), 2005 .............................................................. 369
XI.
О вычислении собственных значений уравнения
переноса. .................................................................................................. 369
XII. О вычислении собственных чисел оператора Лапласа
в двусвязной области.......................................................................... 369
Препринт 12(802), 2006 .............................................................. 369
XIII. Уравнения Навье-Стокса. ..................................................... 369
387
Оглавление
Препринт 13(805), 2006 .............................................................. 370
XIV. Численный алгоритм без насыщения для решения
уравнения теплопроводности. ........................................................ 370
Препринт 14(816), 2006 .............................................................. 370
XV.
Программа АМАЛИЯ – двумерная однофазная
фильтрация газа в пористой среде. Версия 1/Февраль 2007
г. .................................................................................................................... 370
Препринт 15(828), 2007 .............................................................. 370
XVI. Вычисление с высокой точностью собственных
значений нулевого уравнения Бесселя. ..................................... 371
Препринт 16(831), 2007 .............................................................. 371
XVII. Вычисление с высокой точностью собственных
значений оператора Лапласа. ......................................................... 371
Препринт 17(832), 2007 .............................................................. 371
XVIII. Вычисление далёких собственных значений в задаче
Штурма-Лиувилля. ................................................................................ 371
XIX. Основная бигармоническая проблема. ......................... 372
Препринт19(854), 2008 ............................................................... 372
XX.
Двумерное уравнение теплопроводности. ................... 372
Препринт 20(870), 2008 .............................................................. 372
XXI. О табулировании решений второй краевой задачи
плоской теории упругости. ............................................................... 372
Препринт 21(874), 2008 .............................................................. 372
XXII. Двумерное уравнение теплопроводности. Новая
программа................................................................................................. 373
Препринт 22(833), 2008 .............................................................. 373
XXIII. Колебания пластины переменной толщины со
сводными краями произвольной формы в плане. .................. 373
Препринт 23(899), 2009 .............................................................. 373
XXIV. h-матрица – новый математический аппарат для
дискретизации многомерных уравнений математической
физики. ...................................................................................................... 373
Препринт 24(902), 2009 .............................................................. 373
XXV. Численное исследование уравнения Лейбензона. . 373
Препринт 25(916) ........................................................................... 374
XXVI. Новый алгоритм для численного исследования
уравнений Стокса. ................................................................................ 374
Препринт 26(924), 2010 .............................................................. 374
XXVII. Новый алгоритм для численного исследования
уравнений Навье-Стокса. .................................................................. 374
388
Оглавление
XXVIII. Численное исследование нестационарных
уравнений Стокса. ................................................................................ 374
Препринт 28(927), 2010 .............................................................. 375
XXIX. Программа АМАЛИЯ – двумерная однофазная
фильтрация газа в пористой среде. Версия 2.0 /Февраль
2010 г. ........................................................................................................ 375
Препринт 29(929), 2010 .............................................................. 375
XXX. Вычисление собственных значений оператора
Лапласа в многоугольной области. ............................................... 375
Препринт 30(970), 2011 .............................................................. 375
XXXI. Задача Стеклова. ................................................................... 375
Препринт 31(972), 2011 .............................................................. 376
XXXII. Вычислительные эксперименты с нестационарными
уравнениями Стокса. ........................................................................... 376
Препринт 32(973), 2011 .............................................................. 376
XXXIII. Фильтрация газа в пористой среде со скважиной
конечного размера. .............................................................................. 376
Препринт 33(989), 2011 .............................................................. 376
XXXIV. О вычислении нулей функций Бесселя. .................... 376
Препринт 34(1007), 2012 ........................................................... 376
XXXV. УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА. ............................................. 376
XXXVI. О спектре Коссера первой краевой задачи теории
упругости. ................................................................................................. 377
Препринт 36(1010), 2012 ........................................................... 377
XXXVII. Вычислительные эксперименты на
суперкомпьютере «Ломоносов». Задачи на собственные
значения. .................................................................................................. 377
Препринт 37(1017), 2012 ........................................................... 377
XXXVIII. ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ БЕЗ НАСЫЩЕНИЯ ДЛЯ
ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. .................................................................. 377
Препринт 28(927), 2010 .............................................................. 378
XXXIX. Numerical algorithms of classical mathematical
physics. ....................................................................................................... 378
Препринт 39(1034), 2013 ........................................................... 378
XL. Численное исследование свободных колебаний
мембраны. ................................................................................................. 378
Препринт 40(1041), 2013 ........................................................... 378
XLI. О спектральной задаче для оператора ОрраЗоммерфельда. ....................................................................................... 378
389
Оглавление
XLII. Об уравнении теплопроводности в параллелепипеде.
....................................................................................................................... 379
Препринт 42(1070), 2014 ........................................................... 379
XLIII. Колебания мембраны с кусочно-гладким контуром и
смешанными краевыми условиями. .............................................. 379
Аннотация. ................................................................................................ 379
Препринт 43(1099), 2015 ........................................................... 379
XLIV. Высокоточные вычисления собственных значений
оператора Лапласа (с краевым условием Неймана) в
гладкой двумерной области. ............................................................ 379
Препринт 44(1101), 2015 ........................................................... 379
XLV. Об одной дискретной задаче Штурма-Лиувилля. ........ 379
Препринт 45(1104), 2015 ........................................................... 380
XLVI. Свободные колебания прямоугольной пластины. ...... 380
Препринт 46(1105), 2015 ........................................................... 380
390
Научно-производсвенное издание
Сергей Д. Алгазин
Численные алгоритмы без насыщения
в классических задачах математической физики
Редактор С. Д. Алгазин
Оформление и вёрстка М. А. Соснина
Подписано в печать 13.10.2015 г.
Формат 84×108/32 усл. 18,37
Тираж 1000 экз., Заказ №1676
Общество с ограниченной ответственностью
«Агенство интелектуальной собственности на транспорте»
(ООО АИСнТ)
129323, Москва, пр. Русанова, 2
aisnt@mail.ru, aisnt.dir@gmail.com
Отпечатано ООО «АИСнТ»
Замечания и предложения просьба направлять по адресу:
info@vpm770.ru
