ПЗ №6

СЕМИНАР 6. Цепи несинусоидального тока
1. Основные понятия. Разложение функции в ряд Фурье
Рассмотрим расчет токов и напряжений в линейных цепях при действии
периодических несинусоидальных источников напряжения и тока или при действии
синусоидальных источников разной частоты. Форма кривых токов и напряжений может
быть самой различной (кусочно-линейной, кусочно-синусоидальной и т.д.), но все они –
периодические, т. е. выполняется условие x(t ) = x(t + T )
К основным понятиям периодической функции относится: период (в секундах) Т,
основная (первая) частота (в Герцах) f и основная угловая частота (в радиан в секунду)
ω.
f =
2
1
,  = 2 f =
T
T
Другим основным понятием является понятие гармоники (гармонической
составляющей). Гармоникой называется синусоидальная функция вида:
Akm sin(k t +  k ) , k = 1,2, , k = k1 = k
Для периодической функции, удовлетворяющей условиям Дирихле возможно
разложение в тригонометрический ряд Фурье:

m
k =1
k =1
x(t ) = A0 +  Akm sin(kt + k ) =A0 +  ( Bkm sin kt + Ckm cos kt )
A0 - постоянная составляющая
1
A0 =
2
 x(t )d(t )
−
( Bkm )
Akm =
Bkm =

1

2
+ ( Ckm ) , k = arctg
2
Ckm
, k = 1,2,...
Bkm

 x(t )sin ktd(t )
−
Ckm =

1

 x(t )cos ktd(t )
−
Пример. Разложить в тригонометрический ряд периодическую функцию напряжения,
выражаемую кривой, представленной на рисунке:
меандр, симметричный относительно оси абсцисс
U max
u (t ) = 
−U max
1
U0 =
2
0  t  
  t  2
2
 u(t )d(t ) = 0
0
1
2

2

1
B1m =  u (t )sin td(t ) =   U max sin td(t ) +  (−U max )sin td(t )  =
 0
 0



2
 U
U 

2
= max   sin td(t ) −  sin td(t )  = max (− cos t ) 0 − (− cos t )   =

 
 0


U
4U max
= max  (− cos  ) + cos0 − (− cos 2 ) + (− cos  )  =
1


2
2
1
Bkm =  u (t )sin ktd(t ) =
u (t )sin ktd(kt ) =
k 0
 0
U
4U max
= max  (− cos k ) + cos0 − (− cos 2k ) + ( − cos k )  =
k
k
 4U max
, k = 3,5,...,2 N + 1

Bkm =  k

0, k = 2,4,...,2 N
2

2

1
1
C1m =  u (t )cos td(t ) =   U max cos td(t ) +  (−U max )cos td(t )  =
 0
 0


U

2
= max (sin t ) 0 − (sin t )   = 0 , Ckm = 0, k = 1, 2,...

 
4U sin t 4U max sin 3t
4U max sin(2 N − 1)t
u (t ) = max
+
+ ... +
, N = 1,2,

1

3

2N − 1
1
Представив все ЭДС и токи источников в виде рядов Фурье, можно затем произвести
расчет цепи отдельно по каждой из гармоник – по нулевой гармонике (постоянному току),
когда ЭДС и токи источников тока учитываются только их постоянными составляющими,
по первой гармонике, когда источники считаются синусоидальными с частотой ω и т.д. В
результате определяются постоянная и гармонические составляющие токов и напряжений
цепи, которые затем в соответствии с принципом суперпозиции суммируются.
Определяется (или задано) число гармоник N
i (t ) = I 0 + i (1) + i (2) +
+ i(k ) +
= I 0 + i (1) + i (2) +
+ i(N )
2
Расчет каждой гармонической составляющей проводится по расчетной схеме, для
постоянной составляющей – чисто резистивной, для k – гармоники по комплексной схеме
для частоты kω.
2. Расчет цепей несинусоидального тока
Задание 1. Определить мгновенное значение тока, если действует источник
e(t ) = 100sin t + 100sin 2t B ,  = 1000 рад/с , сравнить отношение I 2 m I1m для
схемы а) и схемы б).
а) активно-индуктивный приемник L=0,1 Гн, R=100 Ом.
B , Em(2) =
B
Решение: в составе две гармоники Em(1) =
1) для 1 гармоники Z (1) =
Em(1)
1000
(1)
I Lm = (1) =
=
100 + j100
Z
2) для 2 гармоники Z (2) =
Em(2)
1000
(2)
I Lm = (2) =
=
100 + j 200
Z
мгновенное значение iL (t ) = ______ sin(t − __ ) + ______ sin(__ t − __ ), A
I
отношение амплитуд 2 m =
I1m
б) активно-емкостной приемник С=10 мкФ, R=100 Ом.
B
B , Em(2) =
Решение: в составе две гармоники Em(1) =
1
=
1) для 1 гармоники Z (1) =R − j
C
Em(1)
1000
(1)
ICm = (1) =
=
100 − j100
Z
1
2) для 2 гармоники Z (2) =R − j
2C
(2)
E
1000
(2)
ICm
= m(2) =
=
100 − j 50
Z
мгновенное значение iC (t ) = ______ sin(t + __ ) + ______ sin(__ t + __ ), A
I
отношение амплитуд 2 m =
I1m
амплитудный спектр
3
Задание 2. Определить показание вольтметра и активную мощность цепи,
если действует источник J (t ) = 2sin t + 1sin3t A для схемы а) и схемы б).
а) активно-индуктивный приемник  L = 12 Ом , R = 12 Ом
A , J m(3) =
Решение: в составе две гармоники J m(1) =
1) для 1 гармоники Z (1) =
A
U m(1) =J m(1) Z (1) = 20  16,9745 =
2) для 3 гармоники Z (3) =
U m(3) =J m(3) Z (3) = 10  37,9571,6 =
мгновенное значение
uab (t ) = ______ sin(t + __ ) + ______ sin(__ t + __ ), A
показание вольтметра
2
U  U 
U =  1m  +  3m 
 2  2
активная мощность
2
2
 33,94   37,95 
= 
 +

 2   2 
33,94

2
37,95
=

2
P (1) = U (1)  J (1)  cos  (1) =
P (3) = U (3)  J (3)  cos  (3)
2
=
2
 cos 45
2
1
 cos71, 6 =
2
P=
Проверка
б) активно-емкостной приемник 1 C = 12 Ом , R = 12 Ом
A , J m(3) =
Решение: в составе две гармоники J m(1) =
A
4
1) для 1 гармоники
1
Z (1) =R − j
=
C
U m(1) =
= 20  16,97 − 45 =
2) для 3 гармоники
1
Z (3) =R − j
=
3C
U m(3) =
= 10  12,6 − 18,4 =
мгновенное значение
uab (t ) = ______ sin(t − __ ) + ______ sin(__ t − __ ), A
показание вольтметра
2
U  U 
U =  1m  +  3m 
 2  2
активная мощность
2
2
 33,94   12,6 
= 
 +

 2   2 
2
=
33,94 2

 cos 45
2
2
12,6 1
12,6 1
P (3) =

 cos18,4
=

 cos18,4 =
2
2
2
2
=
P=
Проверка
P (1) =U (1)  J (1)  cos  (1) =
Задание 3. К генератору с ЭДС e(t ) = 100cos t + 50cos2t + 10cos3t B
присоединены параллельно две ветви: в одной последовательно RA и L, в
другой последовательно RB и C. RA = RB = 20 Ом, ωL = 1/ωC = 15 Ом. В
какой ветви потребляемая мощность больше?
e(t ) = 100cos t + 50cos2t + 10cos3t B
RA = RB = 20 Ом, ωL = 1/ωC = 15 Ом.
В какой ветви потребляемая мощность
больше?
Решение.
Входное напряжение представлено суммой гармоник:
e(t ) = 100cos t + 50cos2t + 10cos3t B
Расчет проводим по методу наложения:
5
Первая гармоника:
E
(1)
=
100
90 В,
2
X L(1) =
X С(1) =
1
= 15 Ом,
С
ZA =
= 20 + j15 = 2537 Ом
ZB =
= 20 − j15 = 25 − 37 Ом
(1)
(1)
I
(1)
A
E
10090
= (1) =
=
ZA
2  2537
I
(1)
B
E
10090
= (1) =
=
ZB
2  25 − 37
(1)
(1)
Вторая гармоника:
E
(2)
=
В, X L(2) =
Ом, X С(2) =
ZA =
= 20 + j 30 = 36,0656 Ом
ZB =
= 20 − j 7,5 = 21,36 − 21 Ом
(2)
( 2)
I
(2)
A
E
5090
= (2) =
=
ZA
2  36,0656
I
(2)
B
E
5090
= (2) =
=
ZB
2  21,36 − 21
Ом,
(2)
(2)
Третья гармоника:
(3)
E =
В, X L(3) =
Ом, X С(3) =
ZA =
(3)
= 20 + j 45 = 49,2466 Ом
ZB =
= 20 − j 5 = 20,62 − 14 Ом
( 3)
I
(3)
A
E
1090
= (3) =
=
ZA
2  49,2466
I
(3)
B
E
1090
= (3) =
=
ZB
2  20,62 − 14
Ом,
(3)
(3)
6
Потребляемая мощность

PA = ( I )  RA + ( I )  RA + ( I )  RA = 20  



PB = ( I B(1) ) 2  RB + ( I B(2) )2  RB + ( I B(3) )2  RB = 20  


В ветви
активная мощность больше.
(1) 2
A
(2) 2
A
(3) 2
A
2
2
2
4   1,39   0,2  
 +
 
 =
2   2   2  
2
2
2
4   2, 34   0,48  
 +
 
 =
2   2   2  
7
Задание 4. Найти показания приборов, мгновенное значение токов в ветвях
с источниками
e(t ) = 12 2 sin t + 10 2 sin 2t B
E = 12 B
R = R1 = 40 Oм
R3 = 10 Oм
 L1 = 40 Oм
1 C2 = 20 Oм
 L3 = 10 Oм
Решение:
а) ключ разомкнут
Расчет проводим по методу наложения
2
uab (t ) = U
(0)
ab
+u
(1)
ab
+u
(2)
ab
i3 (t ) = 0
U  U 
U ab = U +  1m  +  2 m 
 2  2 
I3 = 0
2
2
0
Расчет постоянной составляющей:
I (0) =
E
12
=
=
R + R1 40 + 40
I1(0) =
(0)
U ab
=
Расчет первой гармоники:
Комплексный метод
E (1) =
X 1(1) =
X 2(1) =
8
(1)
𝑈̱𝑎𝑏 =
𝐸̱ (1)
12
(1)
𝑅1 + 𝑗𝑋1
40 + 𝑗40
=
=
= −𝑗4 =
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
𝑅 𝑅 + 𝑗𝑋 (1) (−𝑗𝑋 (1) )
40 40 + 𝑗40 (−𝑗20)
1
1
2
(1)
𝜑𝑎
𝐼̱ (1) =
(1)
=
(1)
=
𝐼̱2
𝐼̱1
Составляющие первой гармоники:
= ______ 𝑠𝑖𝑛( 𝜔𝑡 − ___°) B
(1)
𝑢𝑎𝑏 (𝑡)
(1)
𝑖
(𝑡) = _______ 𝑠𝑖𝑛( 𝜔𝑡 + ___°) A
(1)
𝑖1 (𝑡)
= _______ 𝑠𝑖𝑛( 𝜔𝑡 − ___°) A
Расчет второй гармоники:
Комплексный метод
E (2) =
X 1(2) =
X 2(2) =
(2)
𝑈̱𝑎𝑏
𝐸̱ (2)
10
(2)
𝑅1 + 𝑗𝑋1
40 + 𝑗80
=
=
=
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
𝑅 𝑅 + 𝑗𝑋 (2) (−𝑗𝑋 (2) )
40 40 + 𝑗80 (−𝑗10)
1
1
2
(2)
𝐼̱
(2)
(2)
𝐼̱2
(2)
𝐼̱1
𝑈̱
1,179∠ − 135°
= − 𝑎𝑏 = −
=
𝑅
40
(2)
𝑈̱𝑎𝑏
1,179∠ − 135°
=
=
=
(2)
10∠ − 90°
−𝑗𝑋2
(2)
= 𝐼̱2 − 𝐼̱ (2) = 0,118∠ − 45° − 0,029∠ − 135° =
9
Составляющие второй гармоники:
= ______ 𝑠𝑖𝑛( __𝜔𝑡 − ___°) B
(2)
𝑢𝑎𝑏 (𝑡)
(2)
𝑖
(𝑡) = _______ 𝑠𝑖𝑛( __𝜔𝑡 + ___°) A
(2)
𝑖1 (𝑡) = _______ 𝑠𝑖𝑛( __𝜔𝑡 − ___°) A
Ответ:
𝑢𝑎𝑏 (𝑡) =
𝑢𝑎𝑏 (𝑡) =
𝑖(𝑡) =
𝑖(𝑡) =
𝑖1 (𝑡) =
𝑖1 (𝑡) =
𝑈𝑎𝑏 =
√𝑈02
𝑈2𝑚 2
+(
) +(
) =
√2
√2
𝑈1𝑚
2
𝑖3 (𝑡) =
3. Резонансные явления в цепях несинусоидального тока
Задание 5. Найти показания приборов, мгновенное значение токов в ветвях
с источниками
u (t ) = 100 + 100 2 sin t + 60 2 sin 2t
R =20 Ом, XL = 5 Ом, XC = 10 Ом
Определить:
i(t), IA, P, Q, S
Решение:
Расчет проводим по методу наложения
2
I  I 
i (t ) = I + i (t ) + i (t )
I А = I +  1m  +  2 m 
 2  2
Расчет постоянной составляющей: U = 100 В
(1)
(2)
2
2
0
I (0) =
P (0) =
E
100
=
=
R + R1
20
= 20  52 =
10
Расчет первой гармоники:
Комплексный метод
U(1) =
X L(1) =
X C(1) =
Z вх =
(1)
𝐼̱ (1) =
P (1) =
Q (1) =
S (1) =
𝑖 (1) (𝑡) =
Расчет второй гармоники:
Комплексный метод
U(2) =
X L(2) =
X C(2) =
Z вх =
(2)
𝐼̱ (2) =
P (2) =
Q (2) =
S (2) =
𝑖 (2) (𝑡) =
Ответ:
𝑖 (𝑡) = 𝐼 (0) + 𝑖 (1) (𝑡) + 𝑖 (2) (𝑡) = 5 + 4√2 𝑠𝑖𝑛( 𝜔𝑡 − 37°) + 3√2 𝑠𝑖𝑛 2𝜔𝑡 A
P = P(0) + P(1) + P(2) = 500 + 320 + 180 = 1000 Вт
Q = Q(1) + Q(2) = 240 + 0 = 240 вар
S = UI =
11
Задачи для самостоятельного решения
Задание 1. Решить задачу №4 при замкнутом ключе.
Задание 2. На вход цепи с параметрами элементов: R =30 Ом, R1 = 18 Ом,
L = 60 мГн приложено напряжение u (t ) = 120 + 200sin t + 50sin(3t + 30 ) В.
Частота основной гармоники f = 50 Гц. Определить мгновенное значение тока
i(t), напряжение uab(t), показания приборов.
f(1) = 50 Гц
u (t ) = 120 + 200sin t + 50sin(3t + 30 )
R =30 Ом, R1 = 18 Ом, L = 60 мГн
Определить:
i(t), uab(t), UV1, IA
Задание 3. Определить показание амперметра
Задание 4*. Подобрать емкости С1 и С2 так, чтобы цепь была настроена на
резонанс напряжений для первой гармоники и не пропускала токи третьей
гармоники. Угловая частота тока основной гармоники ω = 5000 рад/с.
Параметры цепи R1 = 50 Ом, L = 2 мГн. Найти мгновенные значения токов и
напряжения uab(t), если u(t ) = 20sin t + 10sin 3t В. Определить действующие
значения токов, напряжения Uab и мощность, расходуемую в цепи.
Задание 5*.
Дано:
ω = 1000 рад/с, L = 0,1 Гн,
u(t ) = 40cos(t + 30 ) + 6sin 3t В.
Найти С1 и С2, при которых
uR (t ) = 40 cos(t + 30 ) .
12