Задача С1 Определение реакций связи плоской конструкции Определить реакции связей заданной плоской конструкции. 3 2 q A M B G a Рисунок 1.1 Исходные данные: G = 10 кН М = 4 кНм q = 3 кН/м 1м a 450 Найти: RAx ? RAy ? RB ? Решение: Введем систему координат как показано на рисунке 1.2. Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, проложенных к балке. 3 Q RAy M RB С A a B RAx G x y Рисунок 1.2 Действие связей заменяем их реакциями: составляющие реакции неподвижного шарнира А RAx и RAy , направленные вдоль координатных осей; реакция подвижной опоры В RВ , направленная плоскости, по которой может двигаться эта опора. 1 перпендикулярно Равномерно-распределенную нагрузку q заменим равнодействующей силой Q, приложенной к середине отрезка, к которому приложена эта нагрузка, и численно равной: Q q 2 3 2 1 6кН Для полученной плоской системы сил составим уравнения равновесия: уравнение моментов сил относительно точки А: m F 0 A k Q 2 G 3 M RB cos a 6 0 RB cos a 6 Q 2 G 3 M RB Q 2 G 3 M cos a 6 RB 6 2 1 10 3 1 4 10,842кН cos 450 6 1 уравнение проекций сил на ось Ох: F kx 0 RAx RB sin a 0 RAx RB sin a RAx 10,842 sin 450 7, 666кН уравнение проекций сил на ось Оy: F ky 0 RAy Q G RB cos a 0 RAy Q G RB cos a RAy 6 10 10,842 cos 450 8,333кН Проверим полученные результаты, составив уравнение моментов сил относительно точки С. m F 0 С k RAy 3 M Q RB cos a 3 0 2 8,333 3 1 4 6 1 10,842 cos 450 3 1 0, 0003 Следовательно, расчеты проведены верно. Ответ: RAx 7,666кН , RAy 8,333кН , RB 10,842кН 3 Задача С2 Определение характеристик действия пространственной системы сил Определить модули главного вектора и главного момента относительно центра О пространственной системы сил (𝐹⃗ 1,𝐹⃗ 2,𝐹⃗ 3). Силы приложены к вершинам прямоугольного параллепипеда с ребрами а = 1 м, в = с = 3м, причем F1 = 2кН, F2 = 3кН, F3= 5кН. Z a1 c F1 a2 F2 F3 a Y X b Рисунок 2.1 Решение: Найдем значения тригонометрических функций углов 1 10 a 2 b2 12 32 b 3 3 sin a1 10 a 2 b2 12 32 b 3 3 cos a 2 2 2 2 2 3 2 b c 3 3 c 3 3 sin a 2 2 2 2 2 3 2 b c 3 3 cos a1 a 1 a1 и a 2 : 1 2 1 2 Разложим силы F1 и F2 на составляющие вдоль осей координат: 4 Z F1y F1x F1 a1 F2y c a2 F2z F3 F2 a Y X b Рисунок 2.2 F1 F1X F1Y F1 X F1 cos a1 2 1 10 3 F1Y F1 sin a1 2 10 F2 F2Y F2 Z 2 кН 10 6 кН 10 1 2 1 F2 Z F2 sin a 2 3 2 3 кН 2 3 кН 2 F2Y F2 cos a 2 3 Проекции главного вектора на оси координат: 2 0,632кН 10 6 3 FY Fky F1Y F2Y 0, 224кН 10 2 FX Fkx F1x 5 FZ FkZ F2 Z F3 3 5 2,879кН 2 Модуль главного вектора: F FX2 FY2 FZ2 0,6322 0, 224 2,8792 2,956кН 2 В соответствии с принципом суперпозиции (наложением) величина главного момента M0 системы сил относительно центра O (начала координат) и его проекции (главные осевые моменты) вычисляются по формулам: M X yk Fkz zk Fky n k 1 n M Y zk Fkx xk Fkz k 1 M Z xk Fky yk Fkx n k 1 6 5 3 9,308кН м 10 3 2 M Y a F2 z с F1х 1 3 4,019кН м 2 10 3 M Z a F2Y 1 2,121кН м 2 M X c F1 y b F3 3 Модуль главного момента: M M X2 M Y2 M Z2 9,3082 4, 0192 2,1212 10,358кН м Ответ: F 2,956кН , M 10,358кН м 6 Задача К1 Плоскопараллельное движения твердого тела Для заданного положения механизма найти скорости точек В и С, угловую скорость звена, которому принадлежат эти точки, а также ускорение точки В. РАВ wАВ О wОА VВ а Аn A n аВА В 600 600 С VC VA Х аВ аВn аВА О1 Исходные данные: О1В = 30 см = 0,3 м ОА = 0,3 м АВ = 0,4 м АС = 0,2 м wOA = 2 c-1 Кривошип ОА совершает вращательное движение вокруг точки О и поэтому скорость точки А VA будет направлена перпендикулярно ОА в соответствии с направлением wOA и численно равна: VA wOA OA 2 0,3 0, 6 м с Кривошип О1В совершает вращательное движение вокруг точки О1, поэтому скорость точки В VВ будет перпендикулярна О1В. Для определения скорости точки В найдем положение мгновенного центра скоростей РАВ. Для чего покажем направление скоростей точек А и В, восстановив перпендикуляры к скоростям VA и VВ. 7 Так как РАВ 60 и РВА 60 , то треугольник АРВ – равносторонний. Тогда: АВ = АР =РВ =0,4 м Угловая скорость звена АВ направлена против часовой стрелки в соответствии с направлением скорости VА и численно равна: 0 w АВ 0 VA 0,6 1,5с 1 АР 0, 4 Тогда скорость точки В: м с VВ РВ w АВ 0, 4 1,5 0, 6 Скорость точки С будет направлена в соответствии с угловой скоростью звена АВ. Так как АС=АВ и треугольник равносторонний, то РС в данном треугольнике будет и медианой, и биссектрисой, и высотой, а значит скорость точки С будет направлена вдоль звена АВ и численно равна: VС РС wАВ РС АР2 АС 2 0, 42 0, 22 0,35 м м VС 0,35 1,5 0,525 с Найдем угловую скорость стержня О1В: wО1В VВ 0, 6 2с 1 О1 В 0,3 Ускорение точки В аВ состоит из нормального аВn и касательного аВ ускорений: аВ аВn аВ Нормальное ускорение точки В направлено от точки В к точке О1 и равно: аВn wО21В О1В 22 0,3 1, 2 м с2 Касательное ускорение точки В неизвестно, но перпендикулярно О1В. Ускорение точки А состоит только из нормального ускорения, так как вращение стержня ОА происходит с постоянной угловой скоростью 8 wОА : а Аn wО2 А ОА 22 0,3 1, 2 Вектор а Аn м с2 направлен от точки А к точке О. Ускорение точки В при вращении вокруг полюса А может состоять из двух векторов: n аВА Вектор и n аВА аВА . направлен от точки В к точке А и равен: n 2 аВА w АВ АВ 1,52 0, 4 0,9 м с2 Вектор а ВА перпендикулярен АВ. Введем систему координат так, чтобы ось Вх лежала на АВ. Тогда в проекции на ось Х получаем: n аВn cos 600 аВ cos 300 а Аn cos 600 аBA Из этого уравнения находим касательное ускорение точки В: n а Аn cos 600 аBA аВn cos 600 а 0 cos 30 1, 2 cos 600 0,9 1, 2 cos 600 м 1, 04 cos 300 с2 В Следовательно ускорение точки В равно: м с2 м м м V 0, 6 V 0, 6 V 0,525 В С Ответ: A с; с; с; м 1 а 1,59 w АВ 1,5с В с2 аВ а а n 2 В 2 В 1, 22 1, 042 1,59 9 Задача Д1.3 Теорема об изменении кинетической энергии Снаряд массой т вылетает из ствола орудия со скоростью V1 . Длина ствола орудия l. Найти силу среднего давления газов на снаряд. V a Х F Скорость вылета снаряда из ствола – это конечная скорость, начальная скорость υ0 = 0. Для снаряда длина орудия – это перемещение снаряда, т.е. Δr = l. Направим ось 0Х вдоль скорости. Ускорение направлено в сторону движения и в сторону равнодействующей силы. Зная перемещение, начальную и конечную скорости, можно найти ускорение. Ускорение и сила связаны соотношением: FX maX , Где FX F - сила давления aX a - ускорение x2 02x rX 2a x где (1) x2 2 02x 02 0 rX ax а , (2) - конечная скорость снаряда - начальная скорость снаряда - длина орудия - ускорение снаряда Тогда выражение (1) приобретает вид: 2 2 а 2a 2 Полученное выражение подставим в (1): m 2 F ma 2 Ответ: сила среднего давления газов на снаряд 10 m 2 F 2 Задача Д2.3 Принцип Даламбера Тонкое однородное проволочное кольцо массой т, радиусом R вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси О, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости. Наибольшее усилие, которое выдерживает проволока при растяжении, равно S. С какой наибольшей угловой скоростью ω может вращаться кольцо без разрыва? Расстояние от центра О до центра тяжести полуокружности xc=2R/3π. Рисунок 4.1 Рисунок 4.2 Решение. Это кольцо вращается с угловой скоростью ω в плоскости вокруг оси, проходящей через его центр. Определиv силу натяжения, возникающую в кольце. Каждый элемент кольца при вращении имеет своё направление центростремительного ускорения, а значит, сила, действующая на каждый элемент, меняет своё направление от элемента к элементу. Метод заключается в разбиении кольца на бесконечное количество малых элементов, которые практически прямолинейны в силу малости их размеров. Применим для решения задачи принцип Даламбера. Приложим к кольцу силы реакций Fупр. Силы инерции точек стержня заменим равнодействующей нормальной силой инерции ⃗⃗⃗ Ф, приложенной в точке C, причем Ф = ∆𝑚 ∙ 𝑎𝐶𝑛 = ∆𝑚 ∙ 𝜔2 ∙ 𝑅; Получена уравновешенная в любой момент времени система сил 11 Ф) , (𝐹⃗упр1 , 𝐹⃗упр2 , ⃗⃗⃗ ∞0 𝑎𝐶𝑛 = 𝜔2 ∙ 𝑅 - нормальное ускорение центра элемента кольца. Согласно принципу Даламбера полученная система сил должна быть уравновешенной. Ф − 𝐹⃗упр1 ∙ sin ∆𝑚 = 𝛼 𝛼 𝛼 − 𝐹⃗упр2 ∙ sin = 0; 2 ∙ 𝐹⃗упр ∙ sin = ∆𝑚 ∙ 𝜔2 ∙ 𝑅; 2 2 2 𝑚 𝛼 𝛼 𝛼 𝑚 ∙ 𝛼; 𝐹⃗упр = 𝑆; sin ≈ при 𝛼 → 0 ⟹ 2 ∙ 𝑆 ∙ = ∙ 𝜔2 ∙ 𝑅 ∙ 𝛼; 2∙𝜋 2 2 2 2∙𝜋 𝑚 ∙ 𝜔2 ∙ 𝑅 𝑆= ; 2∙𝜋 Ответ. 2∙𝜋∙𝑆 𝜔=√ . 𝑚∙𝑅 12
