МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
УНИВЕРСИТЕТСКИЙ КОЛЛЕДЖ
федерального государственного бюджетного образовательного учреждения
высшего образования
«Оренбургский государственный университет»
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ОРГАНИЗАЦИИ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ
ЗАНЯТИЙ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ОУД.11 «МАТЕМАТИКА»
Оренбург
2021
Методические рекомендации по организации теоретических занятий по
дисциплине Математика /сост. М. В. Безрукова – Оренбург: Университетский
колледж ОГУ, 2021. – 288с.
Методические рекомендации предназначены
для обучающихся
Университетского колледжа ОГУ
и составлены с учетом федерального
государственного образовательного стандарта среднего профессионального
образования по специальности 11.02.02 Техническое обслуживание и ремонт
радиоэлектронной техники (по отраслям).
Методические рекомендации предназначены для проведения теоретических
занятий, обеспечивающих учебный процесс по дисциплине Математика, для
обучающихся 1 курса в первом и во втором семестрах по специальностям 11.02.02
Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям).
Содержание
1 семестр
Раздел 1. Введение
Занятие 1 (2/2) Математика в науке, технике, экономике, информационных
технологиях и практической деятельности.
Раздел 2. Развитие понятия о числе
Занятие 2 (2/4) Целые и рациональные числа. Действия с целыми и
рациональными числами.
Занятие 3 (2/6) Действительные числа. Действия с действительными
числами.
Занятие 4 (2/8) Приближенные вычисления. Нахождение приближенных
значений величин и погрешностей.
Занятие 5 (2/10) Комплексные числа. Работа с комплексными числами.
Занятие 6 (2/12) Операции с комплексными числами. Решение квадратных
уравнений с помощью комплексных чисел.
Раздел 3. Основы тригонометрии
Занятие 7 (2/14) Измерение углов. Единичная окружность, формулы
перевода угловых мер.
Занятие 8 (2/16) Определение тригонометрических функций. Свойства
тригонометрических функций.
Занятие 9 (2/18) Основные тождества тригонометрии. Решение задач на
основные тождества тригонометрии.
Занятие10 (2/20) Формулы сложения аргументов и тригонометрических
функций.
Занятие 11 (2/22) Формулы приведения. Преобразование
тригонометрических выражений.
Занятие 12 (2/24) Формулы двойных и половинных углов. Решение задач.
Занятие 13 (2/26) Решение задач на применение основных
тригонометрических тождеств.
Занятие 14 (2/28) Обратные тригонометрические функции arcsina, arccosa,
arctga, arcctga.
Занятие 15 (2/30) Преобразование тригонометрических выражений с
обратными тригонометрическими функциями.
Занятие 16 (2/32) Простейшие тригонометрические уравнения sinx=a,
cosx=a, tgx=a, ctgx=a.
Занятие 17 (2/34) Решение квадратных тригонометрических уравнений.
Занятие18 (2/36) Однородные тригонометрические уравнения 1и 2порядка.
Занятие 19 (2/38) Простейшие тригонометрические неравенства.
Занятие 20 (2/40) Решение тригонометрических уравнений и неравенств.
Занятие 21 (2/42) Решение задач. Подготовка к проверочной работе по
тригонометрии.
Занятие 22 (2/44) Проверочная работа №1 по теме «Тригонометрические
функции».
Раздел 4. Корни, степени и логарифмы
Занятие 23 (2/26) Корень n-ой степени и его свойства. Преобразование
выражений содержащих корень n-ой степени.
Занятие 24 (2/28) Иррациональные уравнения. Решение иррациональных
8
11
13
15
17
19
21
21
23
26
28
30
32
34
36
37
38
41
42
43
45
46
47
48
51
уравнений.
Занятие 25 (2/50) Степень с рациональным показателем. Преобразование
выражений с рациональным показателем.
Занятие 26 (2/52) Показательные уравнения. Решение простейших
показательных уравнений.
Занятие 27 (2/54) Решение показательных уравнений разных видов.
Занятие 28 (2/56) Показательные неравенства. Решение показательных
неравенств.
Занятие 29 (2/58) Логарифмы и их свойства. Десятичные и натуральные
логарифмы.
Занятие 30 (2/60) Преобразование и вычисление значений логарифмических
выражений.
Занятие 31 (2/62) Логарифмические уравнения. Основные способы решения
логарифмических уравнений.
Занятие 32 (2/64) Логарифмические неравенства. Решение логарифмических
неравенств.
Занятие 33 (2/66) Решение показательных и логарифмических неравенств.
Занятие 34 (2/68) Проверочная работа №2 по теме «Корни, степени и
логарифмы».
Занятие 35 (2/70) Заключительное занятие. Итоговый тест.
2 семестр
Раздел 5. Прямые и плоскости в пространстве
Занятие 1 (2/2) Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом стереометрии.
Занятие 2 (2/4) Параллельные прямые в пространстве. Признак
параллельности прямых в пространстве.
Занятие 3 (2/6) Параллельность прямой и плоскости. Признак
параллельности прямой и плоскости.
Занятие 4 (2/8) Параллельные плоскости. Признак параллельности
плоскостей.
Занятие 5 (2/10) Перпендикулярность прямых в пространстве. Признак
перпендикулярности прямой и плоскости.
Занятие 6 (2/12) Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.
Занятие 7 (2/14) Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех
перпендикулярах. Угол между прямой и плоскости.
Занятие 8 (2/16) Решение задач на параллельность и перпендикулярность
прямых и плоскостей в пространстве.
Занятие 9 (2/18) Проверочная работа №3 по теме «Прямые и плоскости в
пространстве».
Раздел 6. Координаты и векторы
Занятие 10 (2/20) ПДСК в пространстве. Координаты точек в ПДСК.
Расстояние между точками. Координаты середины отрезка.
Занятие 11 (2/22) Вектор в пространстве. Модуль вектора. Равенства
векторов. Координаты вектора.
Занятие 12 (2/24) Действия над векторами. Деление отрезка в данном
отношении.
Занятие 13 (2/26) Скалярное произведение векторов. Решение задач на
вычисление угла между векторами и произведения.
Занятие 14 (2/28) Проверочная работа по теме «Координаты и векторы в
пространстве».
Раздел 7. Многогранники и круглые тела
53
54
55
56
58
60
61
62
64
66
68
68
73
75
80
84
88
91
93
94
96
98
99
105
110
Занятие 15 (2/30) Многогранники. Призма. Виды призм. Площадь
поверхности.
Занятие 16 (2/32) Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед.
Свойства параллелепипеда.
Занятие 17 (2/34) Пирамида, свойства пирамид. Площадь поверхности
пирамид.
Занятие 18 (2/36) Цилиндр. Сечение цилиндра плоскостью.
Занятие 19 (2/38) Конус. Сечение конуса плоскостью.
Занятие 20 (2/40) Шар и сфера. Сечение шара плоскостью.
Занятие 21 (2/42) Решение задач на тела вращения.
Занятие 22 (2/44) Понятие объема многогранника. Объем параллелепипеда.
Занятие 23 (2/46) Объем призмы и пирамиды. Решение задач на вычисление
объема призмы и пирамиды.
Занятие 24 (2/48) Поверхности и объемы тел вращения (цилиндра, конуса,
усеченного конуса, шара).
Занятие 25 (2/50) Решение задач на вычисление поверхностей и объемов.
Занятие 26 (2/52) Решение задач. Подготовка к проверочной работе.
Занятие 27 (2/54) Проверочная работа по теме «Многогранники и круглые
тела».
Раздел 8. Функции и графики
Занятие28 (2/56) Функции и их графики.
Занятие 29 (2/58) Преобразование графиков.
Занятие 30 (2/60) Четные и нечетные функции. Определение четных и
нечетных функций.
Занятие 31 (2/62) Возрастание и убывание функций. Определение
промежутков монотонности функций.
Занятие 32 (2/64) Экстремумы функций. Исследование функции построение
графика.
Занятие 33 (2/66) Обратные функции. Область определения и область
значения обратных функций. Графики.
Занятие 34 (2/68) Тригонометрические функции y=sinx, y=cosx, y=tgx,
y=ctgx.
Занятие 35 (2/70) Логарифмическая функция, ее свойства и график.
Занятие 36 (2/72) Проверочная работа по теме «Функции и графики».
Раздел 9. Начала математического анализа
Занятие 37 (2/74) Определение числовой последовательности, ее свойства и
способы задания. Предел. Предел последовательности.
Занятие 38 (2/76) Сумма бесконечной геометрической последовательности.
Предел функции в точке и на бесконечности.
Занятие 39 (2/78) Приращение аргумента и функции. Понятие производной.
Физический смысл производной.
Занятие 40 (2/80) Производная постоянной, переменной, линейной, степен
ной, показательной, логарифмической и тригонометрической функций.
Занятие 41 (2/82) Формулы дифференцирования. Упражнения на
дифференцирование.
Занятие 42 (2/84) Сложная функция. Производная сложной функции.
Решение задач.
Занятие 43 (2/86) Геометрический смысл производной. Уравнение
касательной.
Занятие 44 (2/88) Исследование функции с помощью производной на
112
115
118
120
122
124
126
130
132
134
136
137
139
141
143
146
149
151
154
156
161
165
166
168
170
172
175
178
179
181
монотонность. Экстремумы функций.
Занятие 45 (2/90) Применение производной к исследованию функций и
построение графиков.
Занятие 46 (2/92) Наибольшее и наименьшее значение функции на
промежутке. Вторая производная функции.
Занятие 47 (2/94) Решение задач на вычисление производных. Подготовка к
проверочной работе.
Занятие 48 (2/96) Проверочная работа по теме «Производная и ее
применение».
Раздел 10. Интеграл и его применение
Занятие 49 (2/98) Первообразная. Таблица первообразных. Правила
нахождения первообразных.
Занятие 50 (2/100) Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные
интегралы.
Занятие 51 (2/102) Упражнения на интегрирование неопределенного
интеграла. Решение интеграла разными способами.
Занятие 52 (2/104) Решение неопределенного интеграла разными способами.
Занятие 53 (2/106) Определенный интеграл, его свойства. Геометрический
смысл. Формула Ньютона-Лейбница.
Занятие 54 (2/108) Криволинейная трапеция. Вычисление площади
криволинейной трапеции.
Занятие 55 (2/110) Вычисление площади фигур и объемов тел с помощью
интеграла.
Занятие 56 (2/112) Решение упражнений на вычисление интегралов.
Подготовка к проверочной работе.
Занятие 57 (2/114) Проверочная работа по теме «Интеграл и его
приложения».
Раздел 11. Уравнения и неравенства.
Занятие 58 (2/116) Равносильность уравнений и неравенств.
Занятие 59 (2/118) Уравнения и неравенства. Системы уравнений и
неравенств. Основные методы их решения.
Занятие 60 (2/120) Решение уравнений, неравенств, их систем.
Занятие 61 (2/122) Решение уравнений и неравенств, тестирование.
Занятие 62 (2/124) Решение показательных уравнений, неравенств и их
систем.
Занятие 63 (2/126) Решение логарифмических уравнений, неравенств и их
систем.
Занятие 64 (2/128) Решение рациональных уравнений, неравенств и их
систем.
Занятие 65 (2/130) Решение иррациональных уравнений, неравенств и их
систем.
Занятие 66 (2/132) Решение тригонометрических уравнений, неравенств и
их систем.
Занятие 67 (2/134) Повторение пройденного материала. Решение уравнений
неравенств. Тестирование
Занятие 68 (2/136) Проверочная работа по теме «Уравнения и неравенства»
Раздел 12. Комбинаторика
Занятие 69 (2/138) Введение в комбинаторику. Примеры комбинаторных
задач.
Занятие 70 (2/140) Перестановка, размещение и сочетания.
183
186
188
189
190
193
195
197
199
202
203
207
209
211
213
217
224
226
230
233
237
240
241
243
245
248
Занятие 71 (2/142) Задачи на подсчет числа размещений, перестановок,
сочетаний, перебор вариантов.
Занятие 72 (2/144) Бином Ньютон. Решение задач.
Занятие 73 (2/146) Решение комбинаторных задач и задач на нахождение
биноминальных коэффициентов
Занятие 74 (2/148) Проверочная работа по теме «Комбинаторика».
Раздел 13. Элементы теории вероятностей и математической
статистики.
Занятие 75 (2/150) События, вероятность событий. Случайные величины.
Занятие 76 (2/152) Действия над событиями и вероятностями. Вычисление
вероятностей.
Занятие 77 (2/154) Решение задач на события, вероятность событий и
действия над ними.
Занятие 78 (2/156) Дискретная случайная величина.
Занятие 79 (2/158) Числовые характеристики дискретной случайной
величины.
Занятие 80 (2/160) Повторение пройденного материала и решение задач
Занятие 81 (2/162) Проверочная работа по теме «Элементы теории
вероятностей и математической статистики».
Занятие 82 (2/164) Итоговое занятие.
252
254
255
257
258
262
267
270
272
274
281
282
Раздел 1. Введение
Занятие 1 (2/2)
Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях
и практической деятельности
В сегодняшнее время математическая подготовка дает основу для понимания принципов
устройства и использования современной техники, восприятие научных и технических понятий и идей. В
любой профессии сейчас важно владеть достаточно высокой техникой вычислений, уметь использовать
теоретические знания на практике.
Математика тесно связана с вычислениями на ЭВМ, информатикой, программированием. Без
четких знаний основ математических вычислений невозможно освоить компьютер, ксерокс, другую
современную организационную технику, без которой трудно себе представить труд коммерсанта,
бухгалтера, кассира, продавца, калькулятора и т.д.
Практические умения и навыки математического характера нужны не только для рабочего, с
высочайшей точностью штампующего или вытачивающего деталь, но и для трудовой и
профессиональной подготовки каждого обучающегося. Они необходимы при изготовлении самых
распространенных инструментов: молотка, гаечного ключа, отвертки. Для девушек математические
расчеты просто необходимы при шитье, кройке, вязании, а также при приготовлении разного рода
кулинарных изделий.
В работе разного рода баз, магазинов, коммерческих организаций также не обойтись без
математических расчетов.
В повседневной жизни любой человек любой профессии решает математические задачи.
Он ходит в магазин, рассчитывает свой бюджет, оплачивает счета, выбирает тариф интернета,
телефонной сети, рассчитывает выгодные покупки, планирует, участвует в ремонте,
строительстве, берет кредит и т.д.
Строитель (Строителю нужно знание математики, чтобы правильно читать чертежи, знать
и уметь рассчитать долю воды и цемента, или других строительных смесей и т.д.)
-Инженер – конструктор (Инженеру-конструктору нужно хорошо знать математику,
чтобы правильно сделать чертеж, выполнить верные расчеты. Эта профессия сложная, здесь
нельзя ошибаться, ведь от этого зависит жизнь и безопасность человека)
-Столяр, плотник, дизайнер мебели (В этих профессиях необходимо уметь хорошо
чертить, понимать и читать схемы, считать, знать свойства материалов и их совместимость и
многое другое)
-Портной, закройщик, модельер (Профессия эта не простая. Здесь без математики не
обойтись: нужно правильно снимать мерки, рассчитывать, использовать формулы, строить
чертежи, выкройки, пользоваться современным оборудованием для шитья)
Решение задач, связанных с жизнью и выбранной профессией.
1) Мебельная фабрика еженедельно заказывает для вывоза опилок 2 грузовых
автомобиля грузоподъемностью 4 тонны. Сколько тонн опилок вывозится за месяц?
2) Закройщик на каждые 3 рубашки расходует 10 метров ткани .Сколько рубашек
скроит закройщик из 50 метров ткани?
3) Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в
течение 8 дней. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,25 г. Какого наименьшего
количества упаковок хватит на весь курс лечения? Ответ: 5 упаковок.
4) Аня купила месячный проездной билет на автобус. За месяц она сделала 45
поездок. Сколько рублей она сэкономила, если проездной билет стоит 750 рублей, а разовая
поездка 25 рублей? 28 рублей? Ответ: 375 руб.; 510 руб
5) В супермаркете проходит рекламная акция: заплатив за две шоколадки, покупатель
получает три шоколадки (одна шоколадка в подарок). Шоколадка стоит 36 рублей. Какое
наибольшее число шоколадок можно получить на 200 рублей? Ответ: 7 шоколадок.
6) Света отправила SMS-сообщения к 1 сентября своим 26 друзьям. Стоимость
одного SMS-сообщения 1 рубль 20 копеек. Перед отправкой сообщений у Светы оставалось
50 рублей. Сколько рублей останется у Светы после отправки всех сообщений? Ответ: 18
руб. 80 коп.
7) Для ремонта квартиры купили 42 рулона обоев. Сколько пачек обойного клея
нужно купить, если одна пачка клея рассчитана на 8 рулонов? Ответ: 6 пачек.
8) Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.
Тарифный
Абонентская
Плата за 1 минуту
план
плата
разговора
1. Повременный
нет
0,35 руб.
140 руб. за 350 минут в месяц Свыше 350 минут в месяц
2. Комбинированный
– 0,3 руб. за каждую
минуту
3. Безлимитный
300 руб.
0 руб.
Абонент выбрал наиболее дешевый тарифный план, исходя из предположения, что общая
длительность телефонных разговоров составит 800 минут в месяц. Какую сумму он должен
заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет
равна 800 минутам? Ответ дайте в рублях.
Решение
1) 800 · 0,35 = 280 (руб.) стоимость 800 минут по 1 тарифу
2) 800 – 350 = 450 (мин.)
450 · 0,3 = 135 (руб.)
140 + 135 = 275 (руб.) стоимость 800 минут по 2 тарифу
3) 300 руб. стоимость 800 минут по 3 тарифу.
Ответ: 275 рублей.
9) Семья из четырех человек планирует поездку из Москвы в Анапу. Можно ехать
поездом, а можно – на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 1510 рублей.
Автомобиль расходует 11 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно
1500 км, а цена бензина - 30 руб. за литр. Сколько рублей будет стоить самая дешевая поездка
для этой семьи?
а) Если поедут все четверо;
б) Если поедут трое?
Решение
а) На поезде, 4 человека: 1510 · 4 = 6040 (руб.)
б) На поезде, 3 человека: 1510 · 3 = 4530 (руб.)
На машине:
100 км -- 11 литров
1500 км -- 11 · 15 = 165 (литров) на всю дорогу
165 · 30 = 4950 (руб.)стоимость поездки на машине
Ответ: а) выгоднее ехать на машине, 4950 рублей.
б) выгоднее ехать на поезде, 4530 рублей.
10)
Сколько в связке электродов для электросварки, если их общее масса 5 кг, а
каждый электрод- кусок стальной проволоки длиной 45 см и диаметром 5 мм?
11)
Сколько из листа оцинкованного железа прямоугольной формы размером 150х100
можно сделать бидонов с крышками, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда
длиной 20 см, шириной 15 см, высотой 30 см, если расход на швы составляет 0,4% всей площади
листа?
Домашнее задание
1) Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети
Интернет) предлагает три тарифных плана.
Тарифный план
Абонентская плата
Плата за трафик
1. План "0"
Нет
2,5 р. за 1 Mb.
2. План "500"
550 р. за 500 Мb трафика в месяц
2 р. за 1 Mb сверх 500 Mb.
3. План "800"
700 р. за 800 Mb трафика в месяц
1,5 р. за 1 Mb сверх 800 Mb.
Пользователь планирует, что его трафик составит 600 Mb и, исходя из этого, выбирает
наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его
трафик действительно будет равен 600 Mb?
2) Семья из трех человек едет из Томмота в Якутск. Можно ехать поездом, а можно — на
своей машине. Билет на поезд стоит 780 рублей на одного человека. Автомобиль расходует 9
литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна
18 руб. за литр. Сколько рублей придется заплатить за наиболее дешевую поездку на троих?
Раздел 2. Развитие понятия о числе
Занятие 2 (2/4)
Целые и рациональные числа. Действия с целыми и рациональными
числами
Первоначально под числом понимали лишь натуральные числа. Их было
достаточно для счёта отдельных предметов.
Множество N = 1;2;3;... натуральных чисел замкнуто относительно
операций сложения и умножения. Это значит, что сумма и произведение
натуральных чисел являются числами натуральными. Однако разность двух
натуральных чисел уже не всегда является натуральным числом. 5 – 5 = 0; 5 – 7 = 2, числа 0 и – 2 не являются натуральными).
Так, результат вычитания двух одинаковых натуральных чисел приводит к
понятию нуля и введению множества целых неотрицательных чисел Z0 =
0;1;2;... .
Чтобы сделать выполнимой операцию вычитания, вводят отрицательные
целые числа, то есть числа, противоположные натуральным. Таким образом
получают множество целых чисел Z = ...;3;2;1;0;1;2;... .
Чтобы сделать выполнимой операцию деления на любое число, не равное
нулю, необходимо к множеству всех целых чисел присоединить множество всех
положительных и отрицательных дробей. В результате получается множество
рациональных чисел Q = m Z , n N .
m
n
При выполнении четырёх арифметических действий (кроме деления на нуль)
над рациональными числами всегда получаются рациональные числа.
Каждое рациональное число можно представить в виде периодической
десятичной дроби.
Периодическая дробь- это бесконечная десятичная дробь, у которой начиная
с некоторого десятичного знака повторяется одна и та же цифра или несколько
цифр – период дроби. Например, 0,3333…= 0,( 3); 1,057373…=1,05(73).
Читаются эти дроби так : «0 целых и 3 в периоде», «1 целая, 5 сотых и 73 в
периоде».
Запишем рациональные числа в виде бесконечной периодической десятичной
дроби: натуральное число 25 = 25,00…= 25,(0); целое число -7 = -7,00…= -7,(0);
обыкновенная дробь
23
23
= -2,300…= - 2,3(0); = 1,533…=1,5(3)
10
15
(пользуемся алгоритмом деления уголком).
Справедливо и обратное утверждение: каждая бесконечная периодическая
десятичная дробь является рациональным числом, так как может быть
представлена в виде дроби
m
, где m – целое число, n – натуральное число.
n
1)
Пусть x= 0,2(18) умножая на 10, получаем 10x = 2,1818…(Нужно
умножить дробь на 10n, где n – количество десятичных знаков, содержащихся в
записи этой дроби до периода: x10n).
2)
Умножая обе части последнего равенства на 100, находим
1000x = 218,1818…(Умножая на 10k, где k – количество цифр в периоде
x10n10k=x10n+k).
3)
Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 990x = 216, x =
216
=
990
12
.
55
Решение задач
1. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь:
а) -2,3(82) – преподаватель показывает на доске решение, опираясь на алгоритм:
X = -2,3(82) = -2,3828282…
10x = -23,828282…
1000x = -2382,8282…
1000x – 10x = -2382,8282…- (-23,828282…)
990x = - 2359
X=-
2359
379
= -2
.
990
990
б) 0,(6); в) 0,1(2);
г) -3,(27)
2. Вычислить:
а) (20,88 : 18 + 45 : 0,36) : (19,59 + 11,95);
9 5
7
11
.
9 + 8 +
36
32 10 18
3 2
4
в) (3 + 0,24)2,15 + (5,1625 - 2 )
16 5
25
б)
Домашнее задание
1.Записать в виде десятичной дроби:
а)
13
3
8
; б) - ; в) .
11
4
99
2. Выполнить действия и записать результат в виде десятичной дроби:
а)
7
1
8 2
+ ; б) +0,33; в) 1,7.
13 3
9
6
3. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь:
а) 1,(55); б) -0,(8).
4.Вычислить:
0,364 :
1
7
5
+ :0,125 + 2 0,8.
16
25
2
Раздел 2. Развитие понятия о числе
Занятие 3 (2/6)
Действительные числа. Действия с действительными числами
Действительные числа (вещественные) – числа, которые применяются для
измерения непрерывных величин. Множество действительных чисел обозначается
латинской буквой R . Действительные числа включают в себя рациональные и
иррациональные числа.
Иррациональные числа – числа, которые получаются в результате
выполнения различных операций с рациональными числами (н-р, извлечение
корня, вычисление логарифмов), но при этом не являются рациональными.
Примеры иррациональных чисел: 2 ; 3; .
Любое действительное число можно отобразить на числовой прямой.
Вывод: Для множеств чисел справедливо следующее
N Z Q R,
высказывание:
то есть, множество натуральных чисел входит во множество целых чисел.
Множество целых чисел входит во множество рациональных чисел. А множество
рациональных чисел входит во множество действительных чисел.
Модуль действительного числа x обозначается x и определяется так же,
x, x 0,
x, x 0.
как и модуль рационального числа: x
Свойства модулей:
1) a a 2 ,
2) a 0 a 0;
3) a 0;
4) a a ;
5) a b a b ;
6) a a 2 ;
2
7)
a
a
, b 0;
b
b
8) a b a b ;
9) a b a b .
Решение задач
1. Выяснить каким числом (рациональным или иррациональным) является
числовое значение выражения:
1) (√8 − 3)(3 + 2√2)
2) (√27 − 2)(2 − 3√3)
3) (√50 + 4√2)√2
4) (5√3 + √27): √3
2
5) (√3 − 1) + (√3 + 1)
2
2
2
6) (√5 − 1) − (2√5 + 1)
2. Вычислите:
1) √63 ∙ √28 ; 2) √20 ∙ √5 ; 3) √50 ∶ √8 ; 4) √12 ∶ √27
3. Вычислите:
а)
3 4
8 9
3 ∗ +9,54
б)
5,1−2,8
3
10
4. Запишите без знака модуля:
а)|1 +6х|
Домашнее задание
1. Вычислите
а)
2
7
1
3
(3 +2 )∙2,1
14,1−2,3
3
2
4
3
4
+ (− )
б) − + (− )
2. Записать без знака модуля
а) |4 − 7𝑥|; б) |9 + 𝑥|
5
б)|1 −х| + х
Раздел 2. Развитие понятия о числе
Занятие 4 (2/8)
Приближенные вычисления. Нахождение приближенных значений
величин и погрешностей
Пусть результат измерения или вычисления величины x с некоторой
точностью равен a . Тогда a называется приближенным значением (или
приближением) величины x . Причем, если a x, то a называется приближенным
значением с недостатком (или приближением снизу), а если a x, то a называется
приближенным значением с избытком (или приближением сверху) величины x .
Разность точного и приближенного значений величины называется
погрешностью приближения.
Так, если x - точное значение, a - приближенное значение, то разность x a погрешность приближения. Если ее обозначим через x, то получим
x a x,
т.е. истинное значение равно сумме приближенного значения и погрешности
приближения.
Модуль разности точного и приближенного значений величины называется
абсолютной погрешностью приближения.
Следовательно, если x x a - погрешность приближения, то x x a абсолютная погрешность приближения.
Во многих практически важных случаях нельзя найти абсолютную
погрешность приближения из-за того, что неизвестно точное значение величины.
Однако можно указать положительное число, больше которого эта абсолютная
погрешность быть не может.
Любое положительное число, которое больше или равно абсолютной
погрешности, называется границей абсолютной погрешности.
Следовательно, если x - точное значение, a - приближенное значение, то
разность x x a - погрешность приближения, то любое число h ,
удовлетворяющее неравенству
является границей абсолютной
x h,
погрешности. В этом случае говорят, что величина x приближенно с точностью до
h равна a , и пишут
x a с точностью до h
или x a h. Запись x a h означает, что истинное значение величины x
заключено между границами a h и a h, т. е.
a h x a h.
Если известно, что a является приближенным значением величины x , и
требуется определить границу абсолютной погрешности этого приближенного
значения, то эту задачу обычно формулируют так: «Определить (найти) точность
приближенного равенства x a ».
Относительная погрешность. Граница относительной погрешности.
Отношение
абсолютной
погрешности
приближения
к
модулю
приближенного значения величины называется относительной погрешностью
приближения.
Следовательно, если x - точное значение, a - приближенное значение, то
отношение
x
a
xa
a
является относительной погрешностью приближения.
Относительную погрешность часто выражают в процентах.
В отличие от абсолютной погрешности, которая чаще всего бывает
размерной величиной, относительная погрешность является безразмерной
величиной.
Любое положительное число, которое больше или равно относительной
погрешности, называется границей относительной погрешности.
Следовательно, если x - погрешность приближения, то любое число ,
удовлетворяющее
неравенству
x
a
, является
границей
относительной
погрешности. В частности, если h - граница абсолютной погрешности, то число
h
является границей относительной погрешности приближения a. Отсюда,
a
зная границу относительной погрешности, можно найти границу абсолютной
погрешности: h a .
Округление и погрешность округления.
Абсолютная погрешность, допускаемая при округлении, называется
ошибкой округления.
Существуют три способа округления положительных десятичных дробей:
округление с недостатком, округление с избытком и округление с наименьшей
ошибкой.
Округление с недостатком до единиц до некоторого разряда состоит в
отбрасывании единиц всех младших разрядов. При таком округлении все цифры
десятичной дроби до данного разряда включительно не меняются, а цифры
младших разрядов заменяются нулями.
Например, если x 23,467, то округления с недостатком до сотых, десятых, единиц,
десятков соответственно равны 23,46;
23,4; 23; 20. Ошибки округления
соответственно равны 0,007; 0,067; 0,467; 3,467.
Округление с избытком до единиц некоторого разряда отличается от
округления с недостатком тем, что число единиц данного разряда увеличивается на
единицу.
Например, если x 23,467, то округление с избытком до сотых, десятых, единиц,
десятков соответственно равны 23,47; 23,5; 24; 30.
Ошибки округления соответственно равны 0,003; 0,033; 0,533; 6,533.
Самым распространенным округлением является округление с наименьшей
погрешностью. Оно производится по следующим правилам:
1) Единицы младших разрядов отбрасываются;
2) число единиц данного разряда не меняется, если следующая цифра данной
дроби меньше 5, и увеличивается на единицу, если следующая цифра больше или
равна 5.
Например, если x 23,467, то округления с наименьшей погрешностью до
сотых, десятых, единиц и десятков соответственно равны 23,47; 23,5; 23; 20.
Ошибки округления соответственно равны 0,003; 0,033; 0,467; 3,467.
Раздел 2. Развитие понятия о числе
Занятие 5 (2/10)
Комплексные числа. Работа с комплексными числами
Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа,
записываются в виде bi, где i – мнимая единица, причем i2 = - 1.
Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.
Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b действительные числа.
Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой
комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b –
действительное число.
Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его
действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0
Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с
действительным числом a: a + 0i = a.
Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и
обозначается bi: 0 + bi = bi.
Два комплексных числа z = a + bi и z = a – bi, отличающиеся лишь
знаком мнимой части, называются сопряженными.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Суммой комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называется
комплексное число z,
действительная
часть
которого
равна сумме
действительных частей z1 и z2, а мнимая часть - сумме мнимых частей чисел z1
и z2, то есть z = (a1 + a2) + (b1 + b2)i.
Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит найти такое
комплексное число z, что z + z2 = z1.
Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.
Произведением комплексных чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i называется
комплексное число z, определяемое равенством: z = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i.
На практике умножение комплексных чисел производят по правилу
умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.
Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i).
(2 + 3i) (5 – 7i) = 2 5 + 2 (- 7i) + 3i 5 + 3i (- 7i) = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 +
i.
Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит найти
такое комплексное число z, что z · z2 = z1.
На практике частное комплексных чисел находят путем умножения
числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.
Пример 4. Найти частное 2 3i .
5 2i
2 3i 2 3i 5 2i 10 4i 15i 6 4 19i 4 19 .
i
2
5 2i 5 2i 5 2i
25 4 29 29
5 2 2i
Возведение в целую положительную степень. Степени мнимой единицы.
Пользуясь равенством i2 = -1, легко определить любую целую
положительную степень мнимой единицы. Имеем:
i3 = i2 i = -i,
i4 = i2 i2 = 1,
i5 = i4 i = i,
i6 = i4 i2 = -1,
i7 = i5 i2 = -i,
i8 = i6 i2 = 1 и т. д.
Пример 5. Вычислите: (i 36 + i 17) · i 23.
i 36 = (i 4)9 = 19 = 1,
i 17 = i 4 4+1 = (i 4)4 i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 5+3 = (i 4)5 i3 = 1 · i3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.
Возведение комплексного числа в целую положительную степень
производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень,
так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых
комплексных сомножителей.
Пример 6. Вычислите: (4 + 2i)3
(4 + 2i)3 = 43 + 3 42 2i + 3 4 (2i)2 + (2i)3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
Геометрическое изображение комплексных чисел.
а) Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему
правилу: a + bi = M (a; b) (рис.1).
Рисунок 1
б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в
точке О и конец в данной точке (рис.2).
Рисунок 2
Пример 7. Постройте точки, изображающие комплексные числа: 1; - i; - 1 + i;
2 – 3i (рис.3).
Рисунок 3
Раздел 2. Развитие понятия о числе
Занятие 6 (2/12)
Операции с комплексными числами. Решение квадратных
уравнений с помощью комплексных чисел
1 Даны комплексные числа z1 = 2 + 3i, z2 = 5 – 7i .
Найти: а)z1 + z2; б) z1 – z2;
в) z1z2.
а) z1 + z2 = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i;
б) z1 – z2 = (2 + 3i) – (5 – 7i) = 2 + 3i – 5 + 7i = (2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i;
в) z1z2 = (2 + 3i)(5 – 7i) = 10 – 17i + 15i – 21i2 = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 +i
2 Выполнить действия:
а) (2 + 3i)2 б) (3 – 5i)2
в) (5 + 3i)3.
а) (2 + 3i)2 = 4 + 12i – 9 = – 5 + 12i;
б) (3 – 5i)2 = 9 – 30i – 25 = – 16 – 30i;
в) (5 + 3i)3 = 125 + 225i – 135 – 27i = – 10 + 198i.
3 Выполнить действия:
а) (5 + 3i)(5 – 3i) б) (2 + 5i)(2 – 5i) в) (1 + i)(1 – i).
а) (5 + 3i)(5 – 3i) = 52 – (3i)2 = 25 – 9i2 = 25 + 9 = 34;
б) (2 + 5i)(2 – 5i) = 22 – (5i)2 = 4 + 25 = 29;
в) (1 + i)(1 – i) = 12 – i2 = 1 + 1 = 2.
4 Выполнить деление
Решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен
5 Решите уравнения
а) x2 – 6x + 13 = 0; б) 9x2 + 12x + 29 = 0.
а) Найдем дискриминант по формуле D = b2 – 4ac.
D = 36 – 52 = – 16;
Корни уравнения
б) D = b2 – 4ac = – 900,
Находим корни уравнения:
Замечаем, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то
квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.
6 Решите уравнения
а) x2 – 4x + 13 = 0; б) x2 + 3x + 4 = 0; в) 2,5x2 + x + 1 = 0; г) 4x2 – 20x + 26 = 0.
Домашнее задание:
1. Даны два комплексных числа z1= (4 + 2i ) и z2=(1 – 3i ). Найти их сумму,
разность, произведение и частное.
2. Даны два комплексных числа z1= (5 + 2i ) и z2=(2 – 5i ). Найти их сумму,
разность, произведение и частное.
3. Вычислить: (1 + 𝑖)(2 + 𝑖) +
5
1+2𝑖
Ответ:a) 2 + i
Раздел 3. Основы тригонометрии
Занятие 7(2/14)
Измерение углов. Единичная окружность, формулы перевода угловых
мер
В тригонометрии мы рассматриваем угол как фигуру, полученную
поворотом луча вокруг его начальной точки Луч может вращаться против часовой
стрелки – тогда получаем положительные углы. Если луч вращается по часовой
стрелке, то угол считается отрицательным. Таким образом мы можем получить
углы любой величины. При этом разные по величине углы могут иметь
одинаковые начальные и конечные стороны.
Радианная и градусная мера угла
Углы измеряются в градусах и радианах. Один градус ( обозначение 1° ) – это
поворот луча на 1 / 360 часть одного полного оборота. Таким образом, полный
оборот луча равен 360°. Один градус состоит из 60 минут ( их обозначение 1‘ );
одна минута – соответственно из 60 секунд ( обозначаются 1“ ).
Угол в 1 радиан, это центральный угол, который опирается на дугу окружности,
длина которой равна длине радиуса.
Чтобы найти радианную меру угла надо найти отношение длины дуги,
проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла,
к радиусу дуги.
Справедливы формулы зависимости между радианной и градусной мерой.
Если угол содержит a радиан, то его градусная мера равна
И наоборот
Таблица значений наиболее часто встречающихся углов в градусах и
радианах:
Углы в
30º
градусах
Углы в
радианах 6
45º
60º
90º
180º
270º
360º
4
3
2
3
2
2
Тригонометрический круг. Поворот точки вокруг начала координат
Для понимания тригонометрии необходимо освоить понятия, связанные с,
так называемым, тригонометрическим кругом. Тригонометрический круг —
построенная на плоскости с прямоугольными декартовыми координатами
окружность, имеющая центр в точке начала координат и радиус, равный 1.
В этой окружности рассматривают два диаметра: горизонтальный AA’ и
вертикальный BB’. Они делят плоскость на четыре координатные четверти. У всех
рассматриваемых углов начальная сторона будет совпадать с лучом ОА. Если
конечная сторона угла лежит в какой-то четверти, то говорим, что это угол лежит в
этой четверти.
Каждому углу на единичной окружности соответствует единственная точка
P , полученная поворотом точки P0 (1;0) на угол .
Если углы равны, то точки совпадают, но если точки совпали, то углы
отличаются на 2k , где k- некоторое целое число.
Каждому числу t на числовой прямой мы можем сопоставить точку Pt на
единичной окружности. Для этого необходимо повернуть точку P0 (1;0) на угол t
радиан.
Раздел 3. Основы тригонометрии
Занятие 8 (2/16)
Определение тригонометрических функций. Свойства
тригонометрических функций
Рассмотрим на координатной плоскости окружность единичного радиуса с
центром O в начале координат. Повернем точку P0 (1;0) на угол . Получим точку
P .
Косинусом угла α называется абсцисса x точки P .Синусом угла α называется
ордината y точки P .При этом тангенсом угла α называется отношение синуса
этого угла к косинусу, а котангенсом угла α называется отношение косинуса этого
угла к его синусу.
tg
sin
cos
ctg
cos
sin
Вычисление значений тригонометрических функций.
Используя определения тригонометрических функций можно найти значения
тригонометрических функций часто используемых в тригонометрии углов.
0
sin 0
co 1
s
tg 0
сtg
Не
определен
о
4
6
1
2
3
2
1
3
3
2
2
2
2
1
1
3
2
3
2
1
2
1
0
1
0
0
1
0
1
3
1
3
3
2
0
Не
определен
о
0
Знаки синуса, косинуса и тангенса.
2
0
Не
определен
о
0
Не
определен
о
Не
определен
о
Из определения тригонометрических функций следует, что синус положителен
там, где положительна ордината, то есть в 1 и 2четверти. Косинус положителен в 3
и 4 четвертях, а тангенс в 1 и 3.
Синус, косинус и тангенс углов и - .
Из определения тригонометрических функций следует, что косинус -функция
четная, а синус, тангенс и котангенс – нечетные, то есть
cos( ) cos
sin( ) sin
tg ( ) tg
ctg ( ) ctg
Решение задач
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
1. Найти значение выражения 𝑡𝑔2 + 2𝑡𝑔 𝑐𝑡𝑔 − 𝑐𝑜𝑠
3
4
4
3
Находим в таблице значения тригонометрических функций нужных нам углов и
2
1
1
2
2𝜋
2
подставляем их в данное выражение (√3) + 2 ∙ 1 ∙ 1 − = 3 + 2 + = 5,5
2. Определить знак числа (𝑠𝑖𝑛
23𝜋
12
=
24𝜋−𝜋
12
= 2𝜋 −
𝜋
12
23𝜋
12
𝜋
7𝜋
6
6
− 𝑠𝑖𝑛 ) (𝑠𝑖𝑛
𝜋
− 𝑠𝑖𝑛
3
)углы на окружности
- это угол в 4 четверти. −это угол в 1 четверти
2𝜋
3
6
𝜋
отрицательное число, −𝑠𝑖𝑛 отрицательное число,
значит (𝑠𝑖𝑛
𝜋
23𝜋
12
𝜋
6
− 𝑠𝑖𝑛 ) отрицательное число.
7𝜋
6
6
=
6𝜋+𝜋
6
𝜋 + - это угол 3 четверти
2𝜋
3
7𝜋
6
6
3𝜋−𝜋
=
3
𝜋
= 𝜋 − - это угол 2 четверти
3
отрицательное число
−𝑠𝑖𝑛
2𝜋
2𝜋
3
отрицательное число, значит (𝑠𝑖𝑛
7𝜋
6
−
𝑠𝑖𝑛 )тельное число.
3
Произведение двух отрицательных чисел положительно,
=
значит (𝑠𝑖𝑛
23𝜋
12
𝜋
7𝜋
6
6
− 𝑠𝑖𝑛 ) (𝑠𝑖𝑛
− 𝑠𝑖𝑛
2𝜋
3
)ительное
3. Расположить в порядке возрастания
sin
2
5
5
, cos
, sin(- ) .
3
4
12
Найдем все углы на окружности
2 3
. это угол второй четверти
3
3
3
5 4
. это угол третьей четверти
4
4
4
5
6
( ). это угол четвертой четверти
12
12
2 12
5
2
Ясно, что sin
число положительное, а cos
и
4
3
5
sin(- ) отрицательны.
12
5
5
По рисунку видно, что cos
больше чем sin(- )
12
4
5
5
2
Ответ sin(- ) , cos , sin
12
4
3
3
4
4. Вычислить 24 2 cos( ) sin( )
По свойству четности для косинуса и свойству нечетности для синуса получаем
1
cos( ) cos
3
3 2
1
2
2
sin( ) sin
. Тогда 24 2 cos( ) sin( ) 24 2 ( ) 12
4
3
4
4
2
2
2
5.Расположить в порядке возрастания cos 2,cos 4,cos 270
Найдем все углы на окружности
Вспомним, что 1 радиан 57 Тогда
2 радиана – это примерно 114º -это угол второй четверти, 4 радиана –это примерно
228º -это угол третьей четверти, cos 270 0
По рисунку видно, что cos 4 < cos 2 < cos 270
Ответ cos 4 , cos 2 , cos 270
Раздел 3. Основы тригонометрии
Занятие 9 (2/18)
Основные тождества тригонометрии. Решение задач на основные
тождества тригонометрии
sin 2x + cos 2x = 1
tgx
1 + tg 2 x =
sin x
cos x
1
cos 2 x
ctgx
cos x
sin x
1 + ctg 2 x =
1
sin 2 x
tgx ctg x = 1
С помощью данной группы формул и знания знака тригонометрических
функций можно находить значения всех тригонометрических функций угла по
значению одной из них.
Решение задач
1.Найти значения синуса, тангенса и котангенса угла , если cos
< < 2
Рассмотрим основное тригонометрическое тождество для угла
cos 2 = 1 и подставим в него вместо cos его значение
Получим
3
1
и
2
3
sin 2 +
1
.
3
1
3
sin 2 + ( ) 2 = 1
1
3
Тогда sin 2 = 1- ( ) 2 ;
1
9
sin 2 = 1 ;
sin 2 =
8
9
Будем извлекать квадратный корень с учетом того, что
3
< < 2 ( то есть
2
sin =
угол лежит в 4 четверти), а синус в этой четверти отрицателен. Получаем
2 2
8
=
3
9
Найдем
tg
теперь
тангенс
угла
2 2
3 2 2
.
1
3
Так как tg ctg = 1, то ctg
sin =
1
2 2
2 2
1
; tg 2 2 ; ctg
3
2 2
.
Имеем
tg
sin
,
cos
то
есть
5
4
и
1
cos 2
и
2. Найти значения синуса, косинуса и котангенса угла , если tg
3
< < 2
2
Так как tg ctg = 1, то ctg
4
5
Рассмотрим тригонометрическое тождество для угла 1+tg 2 =
5
4
5
4
подставим в него вместо tg его значение . Получим 1 ( ) 2
1
25
;
1
2
16
cos
1
16
41
; cos 2 .
2
41
cos 16
Будем извлекать квадратный корень с учетом того, что
угол лежит
cos
4
41
1
. Тогда
cos 2
3
< < 2 ( то есть
2
в 4 четверти), а косинус в этой четверти положителен. Получаем
.
Для
того,
чтобы найти синус
угла
рассмотрим
основное
2
2
тригонометрическое тождество для угла sin + cos = 1 и подставим в него
вместо cos
его значение
Тогда sin 2 = 1- (
4
41
)2 ;
4
41
. Получим
sin 2 = 1
16
;
41
sin 2 + (
sin 2 =
4
41
)2 = 1
25
41
3
< < 2 ( то есть угол
2
25
лежит в 4 четверти), а синус в этой четверти отрицателен. Получаем sin =
41
5
=
41
4
5
4
; sin
ctg ; cos
5
41
41
Будем извлекать квадратный корень с учетом того, что
Раздел 3. Основы тригонометрии
Занятие 10 (2/20)
Формулы сложения аргументов и тригонометрических функции
sin ( х + у ) = sin х cos у + cos х sin у
sin ( х у ) = sin х cos у cos х sin у
cos ( х у ) = cos х cos у + sin х sin у
cos ( х + у ) = cos х cos у sin х sin у
tgx tgy
1 tgx tgy
tgx tgy
tg ( x y )
1 tgx tgy
tg ( x y )
sin sin 2 sin
cos
,
2
2
sin sin 2 sin
cos
2
2
,
cos cos 2 cos
cos
2
2
cos cos 2 sin
sin
2
2
Решение задач
1. Найти sin 75
sin 75 sin( 45 30) sin 45 cos 30 sin 30 cos 45
2 3 1 2
6
2
2 2 2 2
4
4
6 2
4
2.Вычислить cos11 cos 34 sin 11 sin 34
cos11 cos 34 sin 11 sin 34 cos(11 34) cos 45
2
2
3. Найти tg15
tg15 tg (45 30)
tg 45 tg30
1 tg 45 tg30
1
1
( 3 1) 3
3 1 ( 3 1)( 3 1) 3 2 3 1
3
1
3 1
(
3
1
)
3
3
1
(
3
1
)(
3
1
)
1 1
3
42 3
2 3
2
4.
Вычислите:
(используют
формулы
тригонометрических функций в произведение)
sin
преобразования
сумм
5
7
+ sin – sin
18
18
18
По формулам преобразования сумм тригонометрических функций в
произведение:
5 7
5 7
7
5
sin – sin = 2cos 18 18 sin 18 18 =–2 sin cos =–sin ,
2
2
18
18
18
18
3
5
7
тогда sin + sin – sin = sin –sin =0.
18
18
18
18
18
5. Вычислите (используют формулы двойного угла)
0
0
1
1
2 sin 80 tg 40
2 0
2
0
2
0
sin 40 cos 40 1 tg 40
cos 2 400 sin 2 400 2 2 sin 400 cos 400 tg 400
2 2 tg 400
cos 800
2
0
2
0
2
0
sin 400 cos 400 1 tg 2 400
sin
40
cos
40
1
tg
40
0
0
0
cos 80
4 2 tg 40
cos 80
4tg800 ctg800 4tg800 4 1 4.
=
0
0
0
2
0
sin
2
sin
80
40
cos
40
1
tg
40
6. Упростите выражение
sin 3 sin cos 2
sin 3 sin
По формулам сложения находим:
sin 3 = sin( 2 )=sin cos2 + cos sin2 .
По формулам преобразования сумм тригонометрических функций в произведение:
4
2
cos = 2sin2 cos .
2
2
sin 3 sin cos 2 sin cos 2 cos sin 2 sin cos 2
cos sin 2
1
Тогда
=
.
sin 3 sin
2 sin cos
2 sin cos 2 2
sin 3 + sin =2sin
7. Упростите выражение
sin 2 sin 4 sin 6 sin 8
cos 2 cos 4 cos 6 cos 8
Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе дроби:
(sin 2 sin 8 ) (sin 6 sin 4 )
=
(cos 2 cos 8 ) (cos 6 cos 4 )
(2 sin 5 cos 3 ) (2 sin 5 cos )
2 sin 5 (cos 3 cos )
tg5 .
(2 cos 5 cos 3 ) (2 cos 5 cos ) 2s cos 5 (cos 3 cos )
Домашнее задание
1. Упростите:
2.Вычислите:
4 sin 250 sin 650
cos 400
sin 920 sin 20
(ответ: 2.)
9 2 cos 470 2 sin 430
(ответ: 1/10)
Раздел 3. Основы тригонометрии
Занятие 11 (2/22)
Формулы приведения. Преобразование тригонометрических
выражений
Во всех справочных таблицах по тригонометрии указаны значения
тригонометрических функций для углов от 0 до 90 градусов. Почему?
Потому что значения всех других углов могут быть приведены к значениям
функций от углов от 0 до 90 градусов. Помогают в этом так называемые формулы
приведения и периодичность тригонометрических функций.
Действительно, благодаря периодичности значение тригонометрических
функций от любого угла равно значению той же функции от угла в пределах от 0
до 2 . А любой угол из интервала от 0 до 2 может быть представлен в одном их
восьми видов
2
3
2
2 , где некоторый острый угол
С помощью формул сложения можно вывести 32 формулы, которые и
называются
формулами приведения.
В таблице даны формулы приведения для тригонометрических функций.
Функция (угол в
º)
90º α
90º +
α
180º α
180º +
α
270º α
270º +
α
360º α
360º +
α
Sin
cos α
cos α
sin α
-sin α
-cos α
-cos α
-sin α
sin α
Cos
sin α
-sin α -cos α
-cos α
-sin α
sin α
cos α
cos α
Tg
ctg α
-ctg α -tg α
tg α
ctg α
-ctg α
-tg α
tg α
Ctg
tg α
-tg α
-ctg α
ctg α
tg α
-tg α
-ctg α
ctg α
Функция (угол в
рад.)
π/2 –
α
π/2 +
α
π–α
π+α
3π/2 –
α
3π/2 +
α
2π – α
2π + α
Отметим закономерности в этих формулах: всегда получается либо та же
самая функция, либо кофункция от угла
В правой части формулы стоит либо знак « + » либо знак «»
Для того, чтобы не запоминать 32 формулы ,запомним правило
1.Правило выбора названия функции. Если в формуле содержатся углы вида
2
или
3
, то есть угол
2
отложен от «вертикального» диаметра, то
название функции меняется, а если в формуле содержатся углы вида , или
то есть угол отложен от «горизонтального» диаметра, то название
функции не меняется
2. Правило выбора знака. Для того чтобы определить знак в правой части
формулы достаточно определить знак левой части формулы, считая угол
острым.
2 ,
Решение задач
1. Упростить выражение
Воспользуемся
2 sin( 7 ) cos(
sin( )
нечетностью
3
)
2
синуса
и
его
периодичностью6
sin( 7 ) sin( 7 ) sin( 6 ) sin( ) = sin
3
cos(
) sin
2
sin( ) sin
Подставим
все
в
3
)
2 sin sin sin
2
1
sin( )
sin
sin
2 sin( 7 ) cos(
4 cos147
sin 33
4 cos147 4 cos(180 33) 4( cos 33)
4
cos 33
cos 33
cos 33
2.Упростить выражение
3. Найти значение выражения
4. Найти значение выражения
5. Вычислить
6. Вычислить
7. Вычислить
8. Вычислить
9. Вычислить
10. Вычислить
Домашнее задание
1. Вычислить
2. Вычислить
3. Вычислить
.
исходное
выражение
Раздел 3. Основы тригонометрии
Занятие 12 (2/24)
Формулы двойных и половинных углов. Решение задач.
Синус, косинус и тангенс двойного
угла.
Синус, косинус и тангенс половинного
угла
sin 2 2 sin cos
cos 2 cos 2 sin 2
2tg
tg 2
1 tg 2
1 cos
2
2
1
cos
sin 2
2
2
1 cos
tg 2
2 1 cos
cos 2
Решение задач
1. Дано:
𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 0,6, 0° < 𝛼 < 90°
Найти:
𝑠𝑖𝑛 2𝛼, 𝑐𝑜𝑠 2𝛼, 𝑡𝑔2𝛼.
Решение:
1) Зная sinα, по основному тригонометрическому
тождеству, найдем cos 𝛼:
𝑐𝑜𝑠 2𝛼 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼
𝑐𝑜𝑠 2𝛼 = 1 − 0,36 = 0,64, т.к. 𝛼 ∈ I четверти, то
𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 0,8
sin 𝛼
0,6
3
Tg𝛼 =
, tg 𝛼 =
= = 0,75
cos 𝛼
0,8
4
2) По формулам двойного угла:
sin 2𝛼 = 2sin 𝛼 cos 𝛼
sin 2𝛼 = 2 ∙ 0,6 ∙ 0,8 = 0,96
𝑐𝑜𝑠 2𝛼 = 1 − 2 𝑠𝑖𝑛2 𝛼
𝑐𝑜𝑠 2𝛼 = 1 − 2 ∙ (0,6)2 = 0,28
2 𝑡𝑔 𝛼
tg 2𝛼 =
2
𝑡𝑔2𝛼 =
tg 2𝛼 =
tg 2𝛼 =
2. Дано:
𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 0,6, 0° < 𝛼 < 90°
𝛼
𝛼
𝛼
Найти: 𝑠𝑖𝑛 , 𝑐𝑜𝑠 , 𝑡𝑔 .
2
2
2
1−𝑡𝑔 𝛼
2∙0,75
1−(0,75)2
=
1,5
0,4375
≈ 3,43 или
𝑠𝑖𝑛 2𝛼
𝑐𝑜𝑠 2𝛼
0,96
0,28
= 3,43
Ответ: sin 2𝛼 = 0,96, 𝑐𝑜𝑠 2𝛼 = 0,28,
tg 2𝛼 ≈ 3,43.
Решение:
1) Зная sinα, по основному тригонометрическому
тождеству, найдем cos 𝛼:
𝑐𝑜𝑠 2𝛼 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼
𝑐𝑜𝑠 2𝛼 = 1 − 0,36 = 0,64, т.к. 𝛼 ∈ I четверти, то
𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 0,8
2) По формулам половинного угла:
𝑠𝑖𝑛2
𝑎 1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝛼
1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼
=
≤> 𝑠𝑖𝑛 = √
2
2
2
2
𝑠𝑖𝑛
𝛼
1 − 0,8
=√
= √0,1
2
2
с𝑜𝑠
𝛼
1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼
=√
2
2
с𝑜𝑠
𝛼
1 + 0,8
=√
= √0,9
2
2
𝑡𝑔2
𝑎 1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑎
1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼
=
≤> 𝑡𝑔 = √
2
1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼
2
1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑡𝑔
𝑎
1 − 0,8
0,2
1 1
=√
=√
=√ =
2
1 + 0,8
1,8
9 3
𝛼
𝛼
𝑎
1
Ответ: 𝑠𝑖𝑛 = √0,1; с𝑜𝑠 = √0,9; 𝑡𝑔 = .
2
2
2
3
3. Упростите выражение
sin 2 ∙ 2𝛼 sin 4𝛼
2 sin 𝛼 ∙ cos 𝛼 ∙ (𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 ) = sin 2𝛼 ∙ cos 2𝛼 =
=
2
2
5𝜋
4. Найдите 𝑡𝑔 .
8
𝛼
1−𝑐𝑜𝑠𝛼
2
𝑠𝑖𝑛 𝛼
𝑡𝑔 =
𝜋
5𝜋
𝜋
√2
1 − cos (𝜋 + ) 1 + cos
1+
5𝜋 1 − cos 4
4
4
2 = 2 + √2 =
𝑡𝑔
=
=
=
=
𝜋
𝜋
5𝜋
8
−√2
√2
− sin
sin (𝜋 + )
sin
−
4
4
4
2
= −√2 − 1
Домашнее задание
Задание 1
1вариант
𝑎)Вычислите 𝑠𝑖𝑛 2𝛼, 𝑐𝑜𝑠 2𝛼, 𝑡𝑔2𝛼, если cos 𝛼 = −
5
𝛼
𝛼
𝛼
13
4
2
2
2
5
и𝜋 < 𝛼 <
𝑏) Вычислите 𝑠𝑖𝑛 , 𝑐𝑜𝑠 , 𝑡𝑔 , если sin 𝛼 = − , 𝛼 ∈ (𝜋;
3𝜋
2
3𝜋
2
)
𝑎)Вычислите 𝑠𝑖𝑛 2𝛼, 𝑐𝑜𝑠 2𝛼, 𝑡𝑔2𝛼, если sin 𝛼 = −0,1, 𝛼 ∈
𝛼
𝛼
𝛼
3𝜋
1
2вариант 𝑏) Вычислите 𝑠𝑖𝑛 2 , 𝑐𝑜𝑠 2 , 𝑡𝑔 2 , если sin 𝛼 ( 2 ; 2𝜋) cos 𝛼 = − 3 , 𝛼 ∈
𝜋
( ; 𝜋)
2
Задание 2
Упростить:
1вариант 𝑠𝑖𝑛 2𝛼 + (𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝑠𝑖𝑛 𝛼 )2
sin 2𝛼
2 вариант
1 + cos 2𝛼
Раздел 3. Основы тригонометрии
Занятие 13 (2/26)
Решение задач на применение основных тригонометрических
формул
№
Условие и решение.
задания
Вычислите с помощью формул
1
приведения синус, косинус, тангенс и
котангенс 2400.
sin 2400 =
cos 2400 =
tg 2400 =
ctg 2400 =
2
3.
Указание
1. Выясним в какой
четверти находится угол
2400 (3 четверть).
2. Определим границы
четверти 900< 𝛼 < 1800 .
3.Запишем
2400 = 1800 + 600 или
2400=2700 - 300
4. Применим формулы
приведения
Упростите выражения:
Применим правило
𝜋
запоминания формул
sin ( + 𝛼) =
2
приведения: функция в
3𝜋
cos ( − 𝛼) =
правой части равенства
2
𝜋
берется с тем же знаком,
tg ( − 𝛼) =
2
какой имеет исходная
sin(𝜋 + 𝛼 ) =
функция, если считать,
cos(𝜋 − 𝛼 ) =
что угол 𝛼 является
𝜋
углом 1 четверти;
tg ( + 𝛼) =
2
для углов 𝜋 ± 𝛼 и 2𝜋 ±
ctg(𝜋 − 𝛼 ) =
𝛼 название исходной
функции сохраняется;
для углов
𝜋
3𝜋
±𝛼и
± 𝛼 название
2
2
исходной функции
заменяется на
кофункцию.
Найдите значение выражения
Используем формулы
0
0
0
0
а) sin 22 ∙ cos 23 + sin 23 ∙ cos 22 = сложения
2
4
√
= sin(220 + 230 )= sin 450 = .
2
0
0
0
б) cos 110 ∙ cos 20 + sin 110 ∙ sin 200
= cos(1100 − 200 ) = cos 900 = 0.
Упростите выражение
а) sin 9𝛼 ∙ cos 𝛼 − cos 9𝛼 ∙ sin 𝛼 =
б) sin 15𝛼 ∙ sin 𝛼 − cos 15𝛼 ∙ cos 𝛼 =
Используем формулы
сложения
в)
1+ tg9α ∙ tgα
= tg(9α + α) = tg10α.
tg 12𝛼+tgα
г)
5
tg 9𝛼 −tgα
1− tg12α ∙ tgα
= tg(12α − α) = tg11α
Упростите выражение
а)
б)
sin 1300
cos 650
𝜋
sin7
𝜋
cos
7
2 sin 650 cos 650
=
cos 650
Используем формулы
двойного аргумента
= 2 sin 650 .
π
= tg ,
7
0
в) cos 64 + sin2 320 =
= cos 2 320 – sin2 320 + sin2 320 =
= cos 2 320 .
г) tg800 ∙ (1 − 𝑡𝑔2 400 ) =
2∙tg400
∙ (1 − 𝑡𝑔2 400 ) = 2 ∙ tg400 .
1−𝑡𝑔2 400
Используем формулы
двойного аргумента и
формулы сложения
Домашнее задание
Вычислите
1. 2sin 220 30΄ cos 2230 30΄ = sin 450 =
𝜋
𝜋
2𝜋
𝜋
1
√2
2
2. cos 2 – sin2 = sin = sin = .
12
12
12
6
2
3. Sin(750 ) = sin(300 + 450 ) =
= sin 300 ∙ cos 450 + cos 300 ∙ sin 450 =
1 √2
2 2
= ∙
+
√3
2
∙
√2
2
=
√2
4
(1 + √3).
Раздел 3. Основы тригонометрии
Занятие 14 (2/28)
Обратные тригонометрические функции arcsina, arccosa, arctga,
arcctga
Арксинусом числа a [1;1] называется такое число [ ; ] , синус
которого равен а: arcsin a , если sin a и
2
2
2 2
.
- эта формула позволяет находить значения арксинусов
отрицательных чисел через значения арксинусов положительных чисел.
Арккосинусом числа a [1;1] называется такое число [0; ] , косинус
которого равен а: arccos a , если cos a и 0 .
arccos( a) arccos a - эта формула позволяет находить значения арккосинусов
отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел.
arcsin( a) arcsin a
Арктангенсом числа a R называется такое число [ ; ] , тангенс
которого равен а: arctga , если tg a и
2
2
2 2
.
- эта формула позволяет находить значения арктангенсов
отрицательных чисел через значения арктангенсов положительных чисел.
Арккотангенсом числа a R называется такое число (0; ) , котангенс
которого равен а: arcctga , если ctg a и 0 .
arcctg (a) arcctga - эта формула позволяет находить значения арккотангенсов
отрицательных чисел через значения арккотангенсов положительных чисел.
Вычислите значения выражений
1
1
1. 2arccos - 6arcsin ;
arctg (a) arctga
2. arctg
2
√3
–
3
1
arcctg
3. arcsin + arcsin
2
4. arctg √3 - arcctg
5.
6.
7.
8.
2
√3
;
3
√3
2
1
√3
;
;
arcsin 0 + arcctg 0;
10arcsin (-1) + arccos 1;
5arccos 1 + arctg 0;
arccos 0 + arcsin 1;
1
√3
);
2
√2
arccos ;
2
9. arcsin + arccos (−
2
1
10. arcsin (- ) +
2
11. 3arctg (−√3) + arcctg (-1) ;
12. 4arctg √3 + arcctg (-√3) ;
13. arcctg (-√3) + arcctg √3;
14. 6arcsin 1 – arctg 1;
15. -2arcsin
1
2
- arccos
√2
2
Раздел 3. Основы тригонометрии
Занятие 15 (2/30)
Преобразование тригонометрических выражений с обратными
тригонометрическими функциями
Самостоятельная работа
Вариант 1
1. Найдите значение выражения:
1
3
а) arccos 1 arccos arccos ;
2
б)
2
2
3 ;
1
arcsin arcsin
arcsin
2
2
2
3
в) arctg 2 sin ; г) tg arcctg ;
6
2
д)
3
sin arcsin
arccos 1 ;
2
1
е) tg arccos .
3
2. Найти область определения функции:
а) y 2 arccos x arcsin x 2 5 ;
3
б)
y arctg x arcctg
1
.
x5
Вариант 2
1. Вычислите:
а)
б)
в)
3
2;
arccos
arccos 1 arccos
2
2
2
arcsin 1 2 arcsin 0 ;
arcsin
2
arctgcos 0 ;
г) ctg arctg( 3) ;
1
д) cos arcsin arcsin 1 ;
2
2
е) ctg arccos .
3
2. Найти область определения функции:
2
а) y 2 arcsin( x 1) arccos x 2 ;
1
1
.
б) y arcctg arcctg
x
3 x
2
Раздел 3. Основы тригонометрии
Занятие 16(2/32)
Простейшие тригонометрические уравнения sinx=a, cosx=a, tgx=a,
ctgx=a
Уравнение
Решение
Частные случаи
sin x 0, x k , k
sinx=a
x 1 arcsin a k ,
k
cosx=a
x arccos a 2k ,
k
k
2k , k
2
sin x 1, x 2k , k
2
cos x 0, x k , k
2
cos x 1, x 2k , k
cos x 1, x 2k , k
sin x 1, x
Примечания
a 1
arcsin a ;
2 2
arcsin a arcsin a
a 1
arccos a 0;
arccos a arccos a
a любое
tgx=a
x arctga k ,
k
tgx 0, x k , k
ctgx=a
x arcctga k ,
k
ctgx 0, x k , k
2
Решение задач
Решите уравнение:
1. cos x
1
2
1
x arccos 2k , k
2
x
3
2k , k
2. sin x
2
2
2
k
k , k
x 1 arcsin
2
k
x 1 k , k ; x 1k 1 k , k
4
4
3. tgx 3
x arctg 3 k , k
arctga ;
2 2
arctg a arctga
a любое
arcctga 0;
arcctg a arcctga
x
k , k
3
4. ctgx
x
1
x arctg
k , k
3
1
3
2
k ,
3
k
5. 2 sin x 3 0
2 sin x 3 ;
sin x
3
k
k ,
x 1 arcsin
2
x 1
k 1
3
3
2
k
k , k
3tgx 1 0
6.
1
3
tgx
1
x arctg
k , k
3
x
k , k
6
1
7. cos 2 x ,
2
1
arccos 2k , k
4
2
2x
2x
4
2x
x
4
4
8
2
2k , k
3
2
2k , k
3
3
k ,
8. sin
x
2
k
1
10 2
x
1
k
1 arcsin k ,
2 10
2
x
k
1 k ,
2 10
6
k
k
x
k
1 k , k
2
10
6
x 1
k
3
5
2k ,
k
Задания для самостоятельного решения
1. Решите уравнение:
а) cos x
2
;
2
3
б ) cos x
;
2
в ) cos x 1;
г ) sin x
1
;
2
д) sin x
ж)tgx
3
;
2
и )ctgx
1
;
3
к )ctgx 1.
з )tgx 1;
е) sin x 1;
2. Решите уравнение:
а)2 cos x 3 0;
б ) 2 cos x 1 0;
в) 2 sin x 1 0;
г )2 sin x 2 0;
ж)ctgx 1 0;
д) 3tgx 1 0;
з) 3ctgx 1 0;
е)tgx
3 0;
3. Решите уравнение:
а) sin 2 x
б ) cos
2
;
2
x
1
;
3
2
в ) sin
x
0;
4
г ) cos 4 x 0;
д)tg 4 x
1
;
3
x
е)ctg 1.
2
4. Решите уравнение:
x
а )2 cos 3;
2 6
б )2 sin 3 x 2 ;
6
x
в ) 3 tg 3;
3 3
x
г ) sin 1 0;
2 6
x
ж )tg 1;
4 2
д) cos 2 x 1;
6
з)2 cos 3x 2.
4
x
е)2 sin 3;
3 4
3;
Раздел 3. Основы тригонометрии
Занятие 17(2/34)
Решение квадратных тригонометрических уравнений
Очень часто тригонометрическое уравнение по внешнему виду напоминает
квадратное уравнение. Выполнив в уравнении соответствующую замену
переменной, можно легко найти его решение.
Решите уравнения
1. 2 sin 2 x sin x 1 0
2t 2 t 1 0
a 2, b 1, c 1
Замена sin x t
D b 2 4ас 1 4 2 1 9
2
t1
b D 1 3
b D 1 3 1
1; t2
.
2a
22
2a
22
2
Обратная замена: sin x 1
x
2
или
2k , k
1
2
n
x 1 n, n
6
sin x
В некоторых уравнениях требуется сделать дополнительное преобразование,
чтобы уравнение свелось к квадратному:
2. 2 cos 2 x 14 cos x 3 sin 2 x
2
2
Заменим sin x на 1 cos x.
2 cos2 x 14 cos x 3 1 cos2 x 0
Замена: cos x t.
5 cos 2 x 14 cos x 3 0
5t 2 14t 3 0
Решив уравнение, найдем t 1 и t 3 Обратная замена: cos x 1
1
5
5
2
или cos x 3
-
уравнение не имеет решения, т.к. cos x 1
1
arccos 2k, k .
5
3. tgx 2ctgx 3
Заменим
ctgx
Учитывая, что
tgx
на
1 ,
tgx
tgx 0 ,
и выполним домножение обеих частей уравнения на tgx .
имеем:
2
3 0
tgx
tg 2 x 3tgx 2 0 Замена: tgx t.
t 2 3t 2 0 .
t1 1 ,
t2 2
Обратная замена:
x
4
tgx 1 или tgx 2
k , k
x arctg 2 n,
n
4. sin 2 x 5 sin x 2 0;
7. 2 cos 2 x sin x 1 0;
5. 6 cos 2 x cos x 1 0;
8. 3tg 2 x 2tgx 1 0;
9. 2ctgx 3tgx 5 0.
6. 5 sin 2 x 6 cos x 6 0;
Раздел 3. Основы тригонометрии
Занятие 18 (2/36)
Однородные тригонометрические уравнения 1 и 2 порядка
Однородные тригонометрические уравнения разделяются на два вида:
1)
2)
- однородное уравнение первой степени;
a sin x b sin x cos x c cos 2 x 0 - однородное уравнение второй степени.
Разделив обе части уравнения 1) на cosx; 2) на cos 2 x , с учетом, что
a sin x b cos x 0
2
cos x 0, т.е.
x
k , k , получим уравнения:
2
- простейшее;
2) a tg x b tgx c 0 - квадратное.
1)
a tgx b 0
2
Решение задач
Решите уравнения
1. 8 sin x 7 cos x 0
: cos x ;
8 sin x 7 cos x 0
x arctg
7
k ,
8
: cos x
8tgx 7 0
tgx
7
8
k
2. sin 2 x 2 sin x cos x 3 cos 2 x 0 : cos 2 x
sin 2 x 2 sin x cos x 3 cos 2 x 0 : cos 2 x
tg 2 x 2tgx 3 0 Решив это уравнение, получим
tgx 1
x
или
k , k
4
tgx 3
x arctg 3 n, n
x arctg 3 n, n
Если в однородном уравнении второй степени присутствует свободный член
R , то его можно заменить R R 1 R sin 2 x cos2 x .
3. 6 sin x 4 sin x cos x 1
2
6 sin 2 x 4 sin x cos x sin 2 x cos2 x 0
5 sin x 4 sin x cos x cos x 0 , откуда
1
tgx
или
tgx 1 ,
2
2
5
x arctg
1
k , k
5
x
n, n
4
4. 3sin 2 x sin x cos x 2 cos 2 x;
5. 2 cos 2 x 3sin x cos x sin 2 x 0;
9. 9 sin x cos x 7 cos 2 x 2 sin 2 x;
10. 2 sin 2 x sin x cos x cos 2 x.
6. 4 sin 2 x sin 2 x 3;
11. sin 4
7. cos 2 x 2 cos x 1;
8. sin 2 x 2 cos 2 x 1;
x
x 1
cos 4 ;
4
4 2
12. 3sin 2 x cos 2 x 2 cos 2 x;
Раздел 3. Основы тригонометрии
Занятие 19 (2/38)
Простейшие тригонометрические неравенства
Простейшими тригонометрическими неравенствами называют неравенства вида:
Алгоритм решения тригонометрических неравенств с помощью единичной
окружности:
1. На оси, соответствующей заданной тригонометрической функции, отметить
данное числовое значение этой функции.
2. Провести через отмеченную точку прямую, пересекающую единичную
окружность.
3. Выделить точки пересечения прямой и окружности с учетом строгого или
нестрогого знака неравенства.
4. Выделить дугу окружности, на которой расположены решения неравенства.
5. Определить значения углов в начальной и конечной точках дуги окружности.
6. Записать решение неравенства с учетом периодичности заданной
тригонометрической функции.
Решение задач
Решите неравенства
1. sin x - 1
2
2. sin 3x
3. cos 2x 4. cos 2x
2
2
5. tg x - 1
6. tg x -
3
2
3
2
3
3
7. cos (x + ) <
3
1
2
8. cos (3x - ) <
3
3
2
Раздел 3. Основы тригонометрии
Занятие 20 (2/40)
Решение тригонометрических уравнений и неравенств
1. Решите уравнения
1)
cos x
cos x
7)
sin
1
;
2
2)
sin
x
1 ;
2
3)
tg 2 x 1 ;
4)
sin x
x
5) cos 1 ;
2
1
;
2
6)
3
2
x
1;
2
8) tg x 1 ;
9) cos x 2 0 10) cos x
2
3
2
11) 2 sin x 2 0
2. Решить уравнение, используя метод замены переменной и сводя его к
квадратному
1)
2 sin 2 x 5 sin x 2 0 ;
4)
2tg x 2ctgx 5 ;
5)
2)
2 cos 2 x 5 sin x 4 0 ;
tg x 2ctg x 3 ;
3)
cos 2 x 5 sin x 3 0 ;
2
7) 2 sin x 1 cos x ;
6) 2 cos2 x 1 sin x ;
3. Решите однородные уравнения
1)
2 sin 2 x 5 sin x cos x 5 cos 2 x 0 ;
2) sin x 3 cos x 0 ; 3)
4)
sin 2x sin x cos x 3 cos 2 x 0 ;
sin 2 x 5 sin x cos x 4 cos 2 x 0
5)
sin 2 x 3 sin x cos x 2 cos2 x 0 ;
4. Решите неравенства
1) 2 sin x 3
2) sin x
3
;
2
3)
cos
x
1
2
4)
tg 2 x 1
5) ctg x 1
2
Раздел 3. Основы тригонометрии
Занятие 21 (2/42)
Решение задач. Подготовка к проверочной работе по
тригонометрии
1) Упростите выражение:
sin 𝛼 2
cos 𝛼 2
𝑡𝑔 𝛼
𝑐𝑡𝑔 𝛼
а) (
) +(
) − 2 sin2 𝛼
б)
sin 𝛼−sin 3𝛼
cos 𝛼−cos 3𝛼
(1 − cos 4𝛼 )
2) Решите уравнение
а) sin 7𝑥 = sin 5𝑥
б) cos 6𝑥 = cos 4𝑥
3) Докажите тождество
а) 𝑡𝑔 2𝛼
1−𝑡𝑔2 𝛼
1+𝑡𝑔2 𝛼
б) 𝑐𝑡𝑔 2𝛼
= sin 2𝛼
2 𝑡𝑔 𝛼
1+𝑡𝑔 2 𝛼
= sin 2𝛼
4) Вычислите
а)
sin 50𝑜 +sin 10𝑜
cos 25𝑜 cos 5𝑜 +sin 25𝑜 sin 5𝑜
б)
cos 25𝑜 cos 15𝑜 −sin 25𝑜 sin 15𝑜
cos 100𝑜 +cos 20𝑜
5) Найдите корни уравнения
sin 𝑥 + √3 = 1 на отрезке [−2𝜋; 4𝜋]
6) Найдите значение х и выразите его в радианах, если 90𝑜 < 𝑥 𝑜 < 180𝑜 и
cos 62𝑜 − cos 18𝑜 = −2 sin 𝑥 sin 22𝑜
Раздел 3. Основы тригонометрии
Занятие 22 (2/44)
Проверочная работа №1 по теме «Тригонометрические функции»
Вариант № 1
Вариант № 2
1) Упростите выражение:
𝑡𝑔2 𝛼 + sin2 𝛼 −
1
cos 2 𝛼
2) Решите уравнение
1) Упростите выражение:
𝑐𝑡𝑔2 𝛼 + cos 2 𝛼 −
2) Решите уравнение
sin 5𝑥 = sin 3𝑥
3) Докажите тождество
1 − 𝑡𝑔2 𝛼 =
cos 2𝛼
cos 2 𝛼
4) Вычислите
2 sin
cos 8𝑥 = cos 6𝑥
3) Докажите тождество
𝑐𝑡𝑔2 𝛼 − 1 =
cos 2𝛼
sin2 𝛼
4) Вычислите
2𝜋
𝜋
− 𝑐𝑡𝑔
3
6
5) Найдите корни уравнения
2 cos
5𝜋
𝜋
+ 𝑡𝑔
6
3
5) Найдите корни уравнения
√3 sin 𝑥 + cos 𝑥 = 1
√3 sin 𝑥 − cos 𝑥 = 1
на отрезке [−3𝜋; 3𝜋]
на отрезке [−3𝜋; 3𝜋]
Вариант № 3
1) Упростите выражение:
cos 3𝛼 + cos 𝛼
+ 2 sin2 𝛼
2 cos 𝛼
2) Известно, что
cos (
1
sin2 𝛼
3𝜋
√2
+ 𝛼) =
, найдите cos 2𝛼
2
2
3) Докажите тождество
2 cos 2(45𝑜 + 4𝛼) + sin 8𝛼 = 1
4) Вычислите
sin 56𝑜 cos 34𝑜 + cos 56𝑜 sin 34𝑜
5) Найдите значение х и выразите его в
радианах, если 0𝑜 < 𝑥 𝑜 < 90𝑜 и
sin 32𝑜 + sin 28𝑜 = 2 sin 𝑥 cos 2𝑜
Вариант № 4
1) Упростите выражение:
sin 5𝛼 − sin 𝛼
𝑐𝑡𝑔 𝛼 − 1
2 cos 3𝛼
2) Известно, что
√2
, найдите cos 2𝛼
2
3) Докажите тождество
sin(𝜋 − 𝛼) =
2 sin2 (45𝑜 − 2𝑡) + sin 4𝑡 = 1
4) Вычислите
cos 111𝑜 cos 69𝑜 − sin 111𝑜 sin 69𝑜
5) Найдите значение х и выразите его
в радианах, если 0𝑜 < 𝑥 𝑜 < 90𝑜 и
cos 74𝑜 + cos 16𝑜 = 2 cos 𝑥 cos 29𝑜
Раздел 4. Корни, степени и логарифмы
Занятие 23 (2/46)
Корень n-й степени и его свойства. Преобразование выражений содержащих
корень n-ой степени
Степенью называется выражение вида: , где:
— основание степени;
— показатель степени.
Степень с натуральным показателем {1, 2, 3,...}
Определим понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и
положительное).
1. По определению:
.
2. Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя:
3. Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза:
.
Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себя раз:
Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}
Если показателем степени является целое положительное число:
,n>0
Возведение в нулевую степень:
,a≠0
1
Если показателем степени является целое отрицательное число: 𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛 , a ≠ 0
Прим: выражение
не определено, в случае n ≤ 0. Если n > 0, то
2 −2
1
Пример 1. Вычислить: а) 5−1 = 5 = 0,2; б) (3)
9
= 4.
n
m
n
Определение степени с дробным и отрицательным показателем: a a ;
m
n
a
n
1
.
a
Свойства степени:
a n a m a nm
n
m
nm
2. a : a a
n m
nm
3. a a
1.
4.
a b
n
a n bn
n
an
a
5. n
b
b
0
6. a 1
Корнем п –ой степени из числа а называет такое число, п-ая степень которого равна а:
n
a x xn a
1
0, 75
Пример 1. Вычислить: 81
125
3
4
1
3
3
5
1
3
3
1 5
.
32
5 2
Решение: 81 125 32 3
Пример 2.
3
4 4
1
3 3
3
5 5
33 5 2 3 27 5 8 24.
Пример 3.
Преобразование выражений содержащих корень n-ой степени
1) Вычислить
2) Вычислить
3) Вычислить
4) Вычислить
5) Упростить
6Упростить
7) Решить уравнение
8) Упростить
9) Вычислить
10) Вычислить
11) Упростить
12) Вычислить
Задания зачетного рубежа:
1) Вычислить
2) Вычислить
3) Вычислить
4) Вычислить
5) Упростить
6) Упростить
7) Решить уравнение
8) Упростить
9) Вычислить
10) Вычислить
11) Вычислить
12) Вычислить
Ответы на задания исходного рубежа
5; 84;14,4; 4;
;
;
;
;
; 4;
Ответы на задания зачетного рубежа: -102; 18,1; 11,5; -1;
; -2; 3; 130; -26,5.
; 3.
;
;
;
Раздел 4. Корни, степени и логарифмы
Занятие 24 (2/48)
Иррациональные уравнения. Решение иррациональных уравнений
Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными.
Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены
(с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением,
которое либо эквивалентно исходному иррациональному уравнению, либо является его
следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень.
При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:
1) если показатель корня - четное число, то подкоренное выражение должно быть
неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным (определение корня с
четным показателем степени);
2) если показатель корня - нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым
действительным числом; в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного
выражения.
Решение задач.
Пример 1. Решить уравнение: √𝑥 2 − 3 = 1
Решение.
Возведем обе части уравнения в квадрат: 𝑥 2 − 3 = 1 ⇒ 𝑥 2 − 4 = 0 ⇒ (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0 ⇒
𝑥 =2
𝑥−2=0
[
⟺[ 1
. Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня -2 и 2.
𝑥2 = −2
𝑥+2=0
Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений
переменной x в исходное уравнение. Проверка: При 𝑥1 = 2 ⇒ √22 − 3 = √4 − 3 = 1 - истинно.
При 𝑥2 = −2 ⇒ √(−2)2 − 3 = √4 − 3 = 1 - истинно. След-но иррациональное уравнение имеет
два корня -2 и 2. Ответ: 𝑥1 = 2 и 𝑥2 = −2.
Пример 2. Решить уравнение:√𝑥 − 9 = √1 − 𝑥.
Решение:
ОДЗ:
𝑥−9 ≥0
𝑥≥9
{
⟺{
- ОДЗ данного уравнения: 𝑥 ∈ ∅.
1−𝑥 ≥0
𝑥 ≤ −1
Ответ: корней нет.
Пример 3. Решить уравнение: √𝑥 3 + 4𝑥 − 1 − 8√𝑥 4 − 𝑥 = √𝑥 3 − 1 + 2√𝑥.
Решение: Возведем обе части уравнения во вторую степень (↑2 ) и получим 𝑥 3 + 4𝑥 − 1 −
8√𝑥 4 − 𝑥 = 𝑥 3 − 1 + 4√𝑥 3 − 1√𝑥 + 4𝑥 ⇒ −8√𝑥 4 − 𝑥 = 4√𝑥 3 − 1√𝑥 ↑2 ⇒ 64(𝑥 4 − 𝑥 ) −
𝑥 =0
𝑥=0
16(𝑥 4 − 𝑥 ) = 0 ⟹ 𝑥 4 − 𝑥 = 0 ⇒ [ 3
⟹[ 1
.
𝑥2 = 1
𝑥 −1 =0
Произведя проверку, устанавливаем, что x1=0 лишний корень. Ответ: x2=1.
Пример 4. Решить уравнение 𝑥 = √𝑥 + 1.
Решение.
Найдем ОДЗ этого уравнения: ОДЗ: 𝑥 + 1 ≥ 0 ⇒ 𝑥 ≥ −1
Возведем обе части этого уравнения во вторую степень, в результате получим уравнение𝑥 2 =
1−√5
1+√5
𝑥 + 1 ⇒ 𝑥 2 − 𝑥 − 1 = 0. Корни этого уравнения:𝑥1 = 2 и 𝑥2 = 2
Произвести проверку найденных корней трудно. Но, несмотря на то, что оба корня
принадлежат ОДЗ утверждать, что оба корня являются корнями исходного уравнения нельзя. Это
приведет к ошибке. В данном случае иррациональное уравнение равносильно совокупности двух
𝑥+1 ≥0
неравенств и одного уравнения:[ 𝑥 ≥ 0 , из которой следует, что отрицательный корень для
𝑥2 = 𝑥 + 1
1+√5
иррационального уравнения является посторонним и его нужно отбросить. Ответ: 𝑥2 = 2
Пример 5 .Решить уравнение: √𝑥 + 5 + √20 − 𝑥 = 7.
Решение.
Возведем обе части уравнения в квадрат и выполним тождественные
преобразования и умножение обеих частей на 0,5. В результате мы получим
уравнение:√𝑥 + 5√20 − 𝑥 = −12 (*), являющееся следствием исходного. Снова возведем обе
части уравнения во вторую степень. Получим уравнение (𝑥 + 5)(20 − 𝑥 ) = 144, являющееся
следствием исходного. Полученное уравнение приводится к виду 𝑥 2 − 15𝑥 + 44 = 0. Это
уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни 𝑥1 = 4 и 𝑥2 = 11. Оба корня,
как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению. Ответ: 𝑥1 = 4 и 𝑥2 = 11.
Замечание. При возведении уравнений в квадрат учащиеся нередко в уравнениях типа (*)
производят перемножение подкоренных выражений, т. е. вместо уравнения√𝑥 + 5√20 − 𝑥 =
−12, пишут уравнение√(𝑥 + 5)(20 − 𝑥 ) = −12. Это не приводит к ошибкам, поскольку
уравнения являются следствиями уравнений. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае
такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения.
В рассмотренных выше примерах можно было сначала перенести один из радикалов в правую
часть уравнения. Тогда в левой части уравнения останется один радикал и после возведения
обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональная функция.
Такой прием (уединение радикала) довольно часто применяется при решении иррациональных
уравнений.
Пример 6 . Решить уравнение: √𝑥 2 + 5𝑥 + 2 − √𝑥 2 − 3𝑥 + 3 = 3.
Решение. Уединив первый радикал, получаем уравнение √𝑥 2 + 5𝑥 + 2 = √𝑥 2 − 3𝑥 + 3 + 3,
равносильное исходному. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение
𝑥 2 + 5𝑥 + 2 = 𝑥 2 − 3𝑥 + 3 + 6√𝑥 2 − 3𝑥 + 3, равносильное уравнению 4𝑥 − 5 = 3√𝑥 2 − 3𝑥 + 3
(*). Это уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части уравнения во
вторую степень, приходим к уравнению 16𝑥 2 − 40𝑥 + 25 = 9𝑥 2 − 27𝑥 + 27 или 7𝑥 2 − 13𝑥 −
2 = 0. Это уравнение является следствием уравнения (*) (а значит, и исходного уравнения) и
1
1
имеет корни: 𝑥1 = 7 и 𝑥2 = 2. Проведя проверку корней, получим: 𝑥1 = 7 − не удовлетворяет
уравнению и 𝑥2 = 2 − удовлетворяет уравнению. Ответ: 𝑥2 = 2.
Заметим, что, если бы мы сразу, не уединив один из радикалов, возводили обе части
исходного уравнения в квадрат нам бы пришлось выполнить довольно громоздкие
преобразования.
При решении иррациональных уравнений, кроме уединения радикалов используют и другие
методы. Рассмотрим пример использования метода замены неизвестного (метод введения
вспомогательной переменной).
Пример 7. Решить уравнение: 2𝑥 2 − 6𝑥 + √𝑥 2 − 3𝑥 + 6 + 2 = 0.
Решение. Введем вспомогательную переменную. Пусть 𝑦 = √𝑥 2 − 3𝑥 + 6, где 𝑦 ≥ 0,
5
подставив в исходное уравнение получим уравнение 2𝑦 2 + 𝑦 – 10 = 0; где 𝑦1 = 2 и 𝑦2 = − 2.
Второй корень не удовлетворяет условию 𝑦 ≥ 0. Возвращаемся к обратной замене 𝑥 получим:
Проверкой
√𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 2 ↑2 ⇒ 𝑥 2 − 3𝑥 + 6𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0 ⇒ 𝑥1 = 1 и 𝑥2 = 2.
устанавливаем,
что
оба
корня
являются
корнями
исходного
уравнения.
Ответ: 𝑥1 = 1 и 𝑥2 = 2.
3
Пример 8. Решить уравнение: √
3
Решение: Положим√
12−2𝑥
𝑥−1
12−2𝑥
𝑥−1
3
𝑥−1
5
+ √12−2𝑥 = 2
1
5
= 𝑡, тогда уравнение примет вид 𝑡 + 𝑡 = 2 откуда получаем
следствие: 2𝑡 2 − 5𝑡 + 2 = 0 Решая это квадратное уравнение, находим два корня:𝑡1 = 2 и 𝑡2 =
1
3
. Перейдем к обратной замене получим два уравнения: √
2
12−2𝑥
𝑥−1
3
= 2 (∗)и √
12−2𝑥
𝑥−1
1
= 2 (**) Возводя
обе части уравнения (*) в куб, получаем 12 – 2𝑥 = 8𝑥 – 8; 𝑥1 = 2. Аналогично, решив (**),
97
находим 𝑥2 = 17 . Оба найденных корня удовлетворяют исходному уравнению, так как в
процессе решения мы использовали (кроме замены неизвестного) только преобразование вида
[𝑓(𝑥 ) = 𝑔(𝑥 )] → [𝑓 𝑛 (𝑥 ) = 𝑔𝑛 (𝑥 )], а при таком преобразовании, как было отмечено выше,
97
получается равносильное уравнение. Ответ:𝑥1 = 2 и 𝑥2 = 17.
Раздел 4. Корни, степени и логарифмы
Занятие 25 (2/50)
Степень с рациональным показателем. Преобразование выражений с
рациональным показателем
𝑚
Степенью числа 𝑎 > 0 с рациональным показателем 𝑟 = 𝑛 , где 𝑚 – целое число, а 𝑛 –
𝑛
натуральное (𝑛 > 1), называется число √𝑎𝑚 .
𝑚
𝑛
Итак, 𝑎 𝑛 = √𝑎𝑚 .
1
5
6
7
15
1
Например, 74 = √7 ; 26 = √25 = √32; 𝑎−15 = √𝑎−7 = √ 7
𝑎
4
6
15
Степень числа 0 определена только для положительных показателей, по определению 0𝑟 = 0 ,
для любого 𝑟 > 0.
Замечания:
1. Из определения степени с рациональным показателем следует, что для любого
положительного а и любого рационального 𝑟 число 𝑎𝑟 положительно.
𝑚
𝑚𝑘
2. Любое рациональное число допускает различные записи его в виде дроби, поскольку 𝑛 = 𝑛𝑘
для любого натурального 𝑘. Значение 𝑎𝑟 также не зависит от формы записи рационального числа
𝑟.
3. При 𝑎 < 0 рациональная степень числа 𝑎 не определяется.
Свойства степени с рациональным показателем:
Для любых рациональных чисел p, q и любых a>0 и b>0 верны следующие равенства:
𝑎𝑝
1.𝑎𝑝 𝑎𝑞 = 𝑎𝑝+𝑞 ;
2. 𝑞 = 𝑎𝑝−𝑞 ;
3. (𝑎𝑝 )𝑞 = 𝑎𝑝𝑞 ;
4. (𝑎𝑏
)𝑝
𝑎
𝑎 𝑝
𝑝 𝑝
=𝑎 𝑏 ;
Пример 1. Преобразовать в дробь степень: (
Решение:(
𝑎 −𝑝
𝑎𝑝
5. (𝑏 ) = 𝑏𝑝 , где 𝑏 ≠ 0.
(𝑥+1)2 (𝑥−1)5
(𝑥+2)3
−2
)
(𝑥+2)3
(𝑥+1)2 (𝑥−1)5
(𝑥+2)3
2
= ((𝑥+1) 2(𝑥−1)5 ) =
6. (𝑏 )
−2
𝑏 𝑝
= (𝑎 )
)
(𝑥+2)6
(𝑥+1)4 (𝑥−1)10
(𝑥+2)6
Ответ: (𝑥+1)4 (𝑥−1)10
Корень n-ной степени
19
20
Пример 1.Упростить: a) √7 32; б) √ 6√𝑎 ; в) √𝑎5 .
5
19
5
5
4
243
Решение: a) √7 32 = √ 32 =
3
24
5
√243
5
√32
3
20
5∙4
= 2 . б) √ 6√𝑎 = 4∙6√𝑎 = 24√𝑎. в) √𝑎5 = √𝑎5 = 4√𝑎 .
4
4
Ответ: a) 2 . б) √𝑎. в) √𝑎 .
4
8
12
Пример 3. Упростите выражения 𝑎) 4√𝑎 √𝑎5 ; б) 4√𝑥 √𝑥; в) √𝑥 3 √𝑥 7 .
4
4
4
4
2
3
4
4
4
Решение: 𝑎) 4√𝑎 √𝑎5 = √𝑎 ∙ 𝑎5 = √𝑎6 = 𝑎6 = 𝑎3 = √𝑎2 ; б) 4√𝑥 √𝑥 = 4√𝑥 √𝑥 2 = √𝑥 ∙ 𝑥 2 = √𝑥 1+2 =
4
8
12
24
24
24
24
√𝑥 3 ; в) √𝑥 3 √𝑥 7 = √𝑥 9 √𝑥 14 = √𝑥 9+14 = √𝑥 23 .
3
4
24
Ответ: 𝑎) √𝑎2 ; б) √𝑥 3 ; в) √𝑥 23 .
Степень с произвольным показателем.
Пример 1.
1
3
3
4
1
−
1
2
−
Вычислить 𝑎) 27 ; б) 81 ; в) (16) .
1
3
3
Решение: 𝑎) 27 = √27 =
1
1
1
( )2
16
=
1
1
√
16
=
1
1
4
3
√33
= 3; б) 81
3
4
−
=
1
3
814
= 4.
Ответ: 𝑎) 3; б)
1
27
; в) 4.
=
1
4
√813
=
1
4
√(34 )3
=
1
4
√(33 )4
1
1
1
= 33 = 27 ; в) (16)
1
2
−
=
Преобразование выражений с рациональным показателем
1
Пример 1. Упростите выражение:
1
3
9𝑚 2 𝑚 2
𝑥 3 −1
𝑚 −3
1
.
Пример 2. Сократить дробь: (𝑥−1)(𝑥−2) .
Решение:
1
3
9𝑚 2𝑚 2
1
1
= 9𝑚2+32−(−3) = 9𝑚7 Ответ: 9𝑚7 .
𝑚 −3
𝑥 3−1
(𝑥−1)(𝑥 2+𝑥+1)
Решение: (𝑥−1)(𝑥−2) =
(𝑥−1)(𝑥−2)
=
𝑥 2 +𝑥+1
𝑥−2
.Ответ:
𝑥 2+𝑥+1
𝑥−2
𝑎 2 −9
𝑎 2 −9
(𝑎−3)(𝑎+3)
Пример 3. Сократить дробь: 𝑎+3 .
Решение:
Пример 4. Упростить: 𝑥−5 + 5−𝑥.
Решение: 𝑥−5 + 5−𝑥 = 𝑥−5 − 𝑥−5 = 𝑥−5. Ответ: 𝑥−5.
Пример 5. Упростить:
Решение:
6
2
3𝑦 2 −6𝑦
𝑦 2−4
2
.
4
𝑎+3
6
=
𝑎+3
6
2
3𝑦 2 −6𝑦
= 𝑎 − 3. Ответ: 𝑎 − 3.
2
4
3𝑦(𝑦−2)
4
3𝑦
3𝑦
= (𝑦−2)(𝑦+2) = 𝑦+2. Ответ: 𝑦+2.
𝑦 2−4
2
4
2−4𝑥
Решение: 𝑥 2 − 𝑥 =
Пример 7. Упростить: 𝑥 2−25 : 𝑥 2 .
Решение: 𝑥 2−25 : 𝑥 2 = (𝑥−5)(𝑥+5)𝑥 2 = 𝑥(𝑥+5). Ответ:
𝑥 2−5𝑥
𝑥 2−5𝑥
1
𝑥(𝑥+5)
𝑥
Пример 8. Упростить: (2𝑦 )
3 8𝑦 3
𝑥
24
Пример 10. Упростить
выражение: (8√18 + 6√24 − √72): 2√6.
𝑥(𝑥−5)
3 8𝑦 3
3𝑥
𝑥 38𝑦 3
= 8𝑦 33𝑥 =
1
𝑥2
. Ответ:
3
24
𝑥2
3
49
.
7
1,4 − 0,9 = 0,5. Ответ: 0,5.
Решение:(8√18 + 6√24 − √72): 2√6 =
(8√3∙6+6√4∙6−√12∙6)
2√6
2√6(4√3+3√4−√3)
=
(8√3√6+6√4√6−√4∙3√6)
2√6
=
= 3√3 − 6. Ответ: 3√3 − 6.
64−𝑡
Решение: 8−
√
.
Решение: √1 25 − 3√0,09 = √25 − 3 ∙ 0,3 = 5 − 0,9 =
2√6
Пример 11. Сократить дробь:
64−𝑡
, если √𝑡 ≠ 8.
8− 𝑡
𝑥2
.
Решение: (2𝑦 )
.
3𝑥
Пример 9. Вычислить:√1 25 − 3√0,09.
√
=
𝑡
82 −(√𝑡)
8−√𝑡
2
=
(8−√𝑡)(8+√𝑡)
8−√𝑡
= 8 + √𝑡.
Ответ: 8 + √𝑡.
Самостоятельная работа:
ВАРИАНТ - II
ВАРИАНТ – I
2𝑚+1
𝑥2
. Ответ:
2−4𝑥
Пример 6. Упростить: 𝑥 2 − 𝑥.
2𝑚−1
4𝑚
𝑥+3
𝑥+3
𝑥−3
1. Упростите выражение:(2𝑚−1 − 2𝑚+1) : 10𝑚−5
1. Упростите выражение:𝑥 2 +3 ∙ (𝑥−3 + 𝑥+3).
2. Найдите значение выражения: 1410 ∙ 136 84
3. Представьте степень с дробным показателем в
2. Найдите значение выражения:23 ∙44 .
3. Представьте степень с дробным показателем в
28 ∙79
2
1
265 ∙210
3
виде корня: с3 ; 𝑚2 ; 𝑑 7 .
4. Привести указанное выражение к виду 𝑎√𝑏 , где
𝑎 − рациональное число, b – натуральное число:
1
1
; .
3
√
√5
3
3
5. Упростить: √2𝑎 ∙ √4𝑎 ; √121 ∙ 36.
6. Замените арифметические корни степенями с
11
3
дробным показателем: √2𝑎3 ; 10√𝑥 ; √𝑏2 .
7. Представьте выражение в виде дроби,
знаменатель которой не содержит знака корня:
3
.
7−√5
√
8. Сократите дробь:
𝑏−9
√𝑏+3
∙
125
3
5
√
√
3
3
5. Упростить:√25 ; √ √5.
6. Замените арифметические корни степенями с
3
11
7
дробным показателем: √𝑛8 ; √26 ; √𝑡 5 .
7. Представьте выражение в виде дроби,
𝑎−√2
знаменатель которой не содержит знака корня: 𝑎+ 2.
√
8. Сократите дробь:
9. Выполните действие: (√8 − √24)√2.
5𝑦 2
1
10. Выполните действие: 1−𝑦 2 (1 − 1−𝑦 ).
1
виде корня: 𝑥 4 ; 𝑦 −4 ; 𝑧 3.
4. Привести указанное выражение к виду 𝑎√𝑏 , где
𝑎 − рациональное число, b – натуральное число:
8
𝑏
; 12.
10
√7−7
.
√7−1
9. Выполните действие: √2(√2 − √22).
𝑥
1+𝑥
10. Выполните действие:(𝑥+1 + 1) ∙ 2𝑥−1.
Раздел 4. Корни, степени и логарифмы
Занятие 26 (2/52)
Показательные уравнения. Решение простейших показательных уравнений
Простейшее показательное уравнение – это уравнение вида 𝑎 𝑥 = 𝑏, где 𝑎 > 0.
Уравнение не имеет корней при 𝑏 ≤ 0,при 𝑏 > 0 имеет единственный корень: x ≠ 1.
Схема решения показательных уравнений:
1.
Перевести все степени к одинаковому основанию.
2.
В уравнениях, где есть умножение или деление, надо выполнить эти действия.
3.
Получим уравнение вида 𝑎 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑎 𝑔 ( 𝑥) , где 𝑎 — любое действительное число.
Его
можно отбросить,
поскольку показательная
функция
монотонна.
Получим
уравнение 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑔 ( 𝑥).
2.
Решение задач
Пример 1. Решите уравнение: 4𝑥 = 1 .
256
Решение: 4𝑥 = 1 , приведем правую часть уравнения к основанию 4, то есть 4𝑥 = 4−4 .
256
Так как основания одинаковые, то можно приравнять и показатели (степени), то есть 𝑥 = −4.
Ответ: -4.
Пример 2. Решите уравнение: 92𝑥 = 1 .
27
Решение: 92𝑥 =
1
27
. Приведем и правую и левую части уравнения к основанию 3, то есть
34𝑥 = 3−3 , так как основания равны, то приравняем и показатели (степени) 4𝑥 = −3 ⇒
𝑥 = −0,75.
Ответ -0,75.
Задания для самостоятельного решения.
1. 7𝑥+10 = 49.
2. 3 − 4𝑥+5 = 2.
3. 3𝑥 + 3𝑥+1 = 4.
4. 4𝑥 − 3 ∙ 2𝑥 = 4.
5. (15𝑥
2+𝑥−2
6. (17√𝑥
√𝑥−4
)
2+2𝑥−8
)
= 1.
√𝑥−4
7. 8𝑥−9 = 64.
8. 16𝑥−9 − 8 = −7.
=1
Раздел 4. Корни, степени и логарифмы
Занятие 27 (2/54)
Решение показательных уравнений разных видов
A0 a mx k0 A1 a mx k1 ... An a mx kn M , где M , A0 , A1 ,..., An , a, m, k 0 ,...k n
I.Уравнения вида
постоянные величины, решаются вынесением за скобки общего множителя.
Пример 4. Решить уравнение
x 1
23 x 3 23
20
2 3 20 ,
23
3 x 1 2 , отсюда
х=1
Решение.
2
3 x 1
x 1
4 , 23
x 1
22 ,
Ответ: 1.
Пример1. Решить уравнение.
42x 3
Решение.
2 x
1
2
3
2 x
1
2
2 4 x 1
2 4 x 2 4 x 1 3
4 x 1
2 1 3
2 x
1
2
2 x
1
2
3
2 x
1
2
3 1 ,
2 4 x 1 3 3
Разделив обе части на 12, имеем
2
2 4 x 3 3
2 x
Ответ: x
3
2
,
4
3
2 x
3
2
2 x
1
2
22
1 , отсюда 2 x 3 0, x 3
2
4
3
4
2 f x 0
II. Уравнения вида A0 a
к квадратному уравнению
A1a f x A2 0 при помощи подстановки
a f x y1 сводятся
A0 y 20 A1 y A2 0
Решив это уравнение, найдем корни y1 и y 2 . После этого решение исходного уравнения
сводится к решению. Таких двух уравнений:
a f x y1 и a f x y 2 .
Пример 2. Решить уравнение
9
x 2 2 x x
73
x 2 2 x x 1
2.
Решение. Запишем уравнение в виде
3
2 x 2 2 x x
7
3
3
x 2 2 x x
2
И обозначим
3
x 2 2 x x
y, y 0
Получим уравнение
y1 3 и y 2
2
.
3
3 y 2 7 y 6 0 , имеющее корни
Второй корень не удовлетворяет заданному условию. Таким образом, исходное уравнение в
области допустимых значений неизвестного равносильно уравнению 3
x2 2 x x
3 , а последнее
уравнение равносильно уравнению x 2 2 x x 1 .
Возведя обе части в квадрат, найдем х=-0,25. Поскольку при возведении обеих частей
уравнения в четную степень могут появится посторонние корни, проверка необходима именно на
этом этапе. Подстановка найденного х в иррациональное уравнение показывает, что значение х=
- 0,25 удовлетворяет ему, а значит, и исходному уравнению.
Ответ: -0,25
x
x
III. Уравнение вида A0 a x A1 a 2 b 2 A2 0 , легко сводится к предыдущим уравнениям
делением обеих частей на b x 0 .
Тогда получим
x
x
a
a 2
A0 A1 A2 0
b
b
x
a 2
Обозначив y , имеем
b
A0 y 2 A1 y A2 0
Решив уравнение, найдем y1 и y 2 , после чего возвращаемся к подстановке:
x
x
a 2
a 2
y1 или y 2 .
b
b
Пример 3. Решить уравнение.
3 16 x 2 81x 5 36 x
x
x
16
36
Решение. Поскольку 81x 0 , то данное уравнение равносильно уравнению 3 2 5 ,
81
81
x
x
4
4
или 3 2 5 .
9
9
x
4
Пусть y , приходим к квадратному уравнению
9
3y 2 5y 2 0 .
2
Его корни y1 1 , y 2 . Решая уравнение
3
2
а во втором
3
Ответ: 0;
1
.
2
2x
2
1
, т.е. 2х=1, или x
3
2
x
x
2
4
4
1 и , получим в первом случае х=0,
3
9
9
Раздел 4. Корни, степени и логарифмы
Занятие 28 (2/56)
Показательные неравенства. Решение показательных неравенств
Простейшими показательными неравенствами являются неравенства следующего вида:
𝑎 𝑓(𝑥) > 𝑎 𝑔(𝑥) , 𝑎 𝑓(𝑥) ≥ 𝑎 𝑔(𝑥) , 𝑎 𝑓(𝑥) < 𝑎 𝑔(𝑥) , 𝑎 𝑓(𝑥) ≤ 𝑎 𝑔(𝑥) , где 𝑎 – основание, 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) –
показатели.
Правило решения показательных неравенств:
𝑎 𝑓(𝑥) > 𝑎 𝑔(𝑥) => 𝑓(𝑥 ) > 𝑔(𝑥 ) (при 𝑎 > 1)
𝑎 𝑓(𝑥) ≥ 𝑎 𝑔(𝑥) => 𝑓 (𝑥 ) ≥ 𝑔(𝑥) (при 𝑎 > 1)
𝑎 𝑓(𝑥) > 𝑎 𝑔(𝑥) => 𝑓 (𝑥 ) < 𝑔(𝑥), при 0 < 𝑎 < 1
𝑎 𝑓(𝑥) ≥ 𝑎 𝑔(𝑥) => 𝑓 (𝑥 ) ≤ 𝑔(𝑥), при 0 < 𝑎 < 1
Решение задач.
𝑥
6
1. Решить неравенство: (0,3)𝑥−2 < (0,3)𝑥−1
Решение:
𝑥
6
(0,3)𝑥−2 < (0,3)𝑥−1 Так как основание степеней 𝑎 = 0,3 > 1, при переходе к выражениям,
стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный:
𝑥
6
𝑥
6
𝑥 (𝑥 − 1) − 6 (𝑥 − 2)
𝑥 2 − 7𝑥 + 12
>
⇒
−
>0⇒
>0⇒
>0
𝑥−2 𝑥−1 𝑥−2 𝑥−1
(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)
𝑥=3
2
𝑥 − 7𝑥 + 12 = 0
𝑥=4
Данное неравенство сводится к решению системы: {
⟺{
(𝑥 − 2)(𝑥 − 1) ≠ 0
𝑥≠1
𝑥≠2
Нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось и расставим знаки:
Ответ: 𝑥 < 1, 2 < 𝑥 < 3, 𝑥 > 4
2. Решить неравенство: 25𝑥 < 6 ∙ 5𝑥 − 5 < 0.
Решение: 25𝑥 < 6 ∙ 5𝑥 − 5 < 0. Перенесем все слагаемые влево и разложим основания степеней
на простые множители по свойству степеней:(5𝑥 )2 − 6 ∙ 5𝑥 + 5 < 0. Решим с помощью замены
переменной. Пусть 𝑡 = 5𝑥 , 𝑡 > 0
2
1<𝑡<5
Получим систему неравенств: {𝑡 − 6𝑡 + 5 < 0 ⇒ {
⟹ 1 < 𝑡 < 5. Перейдем к обратной
𝑡>0
𝑡>0
𝑥
5 > 1 {𝑥 > 0
замене: 1 < 5𝑥 < 5 ⇒ { 𝑥
⇒
𝑥<1
5 <5
Ответ: 𝑥 > 0; 𝑥 < 1
Задания для самостоятельного решения
Решить неравенства:
1 𝑥−1
1. 23𝑥+6 ≥ (4) ;
2. 5𝑥+2 − 5𝑥+1 > 2𝑥+2 + 2𝑥+4 ;
5. 3𝑥 ≥ −𝑥 + 4 (данное неравенство решить графически);
6. 45𝑥−1 > 163𝑥+2 ;
1 1−3𝑥
1
𝑥+3
7. (7)
≥ (49)
;
1−7𝑥
−2𝑥−10
8. 11
≤ 121
;
5𝑥−1
𝑥+7
9. 0,09
< 0,3 ;
2𝑥−3
10. 5 𝑥+2 ≥ 1;
11. 0,36
7𝑥+1
2−𝑥
< 1;
12. 19
𝑥
𝑥+3
3𝑥−1
≤ 19;
13.
4 8𝑥+5
( )
9
9
> .
4
Раздел 4. Корни, степени и логарифмы
Занятие 29 (2/58)
Логарифмы и их свойства. Десятичные и натуральные логарифмы
Логарифм положительного
числа 𝑏 по
основанию 𝑎 (обозначается log 𝑎 𝑏)
—
это
показатель степени 𝑐, в которую надо возвести 𝑎, чтобы получить 𝑏, где 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0.
Коротко: log 𝑎 𝑏 = 𝑐 ⇔ 𝑎𝑐 = 𝑏.
1
1
Пример: 𝑎) log 2 8 = 3, так как 23 = 8. б) log5 5 = −1, так как 5−1 = 5 .
Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10, который обозначается как 𝑙𝑔.
Например: 𝑙𝑔100 = 2, так как 102 = 100.
Натуральный логарифм — логарифм по основанию 𝑒, обозначается .
Математическая константа е является основанием натурального логарифма. Натуральный
логарифм, ранее известный как гиперболический логарифм, является логарифмом с основанием
е, где е – иррациональная константа, приблизительно равная 2.718281828459.
Свойства логарифмов:
Свойство
Примеры
𝒍𝒐𝒈
𝒃
𝒂
1 Основное логарифмическое тождество: 𝒂
=𝒃
2log2 3 = 3
2 Логарифм произведения равен это сумме логарифмов:
log 3(3 ∙ 9) = log 3 3 +
𝒍𝒐𝒈𝒂(𝒃𝒄) = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃 + 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒄
log 3 9 = 1 + 2 = 3
16
3 Логарифм частного равен разности логарифмов:𝒍𝒐𝒈 𝒃 = 𝒍𝒐𝒈 𝒃 −
𝒂𝒄
𝒂
log 2 4 = log 2 16 − log 2 4
𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒄
= 4 − 2 = 2.
4 Показатель степени логарифмируемого числа: log𝒂 𝒃𝒎 = 𝒎 log 𝒂 𝒃
5 Показатель степени основания логарифма:log 𝑎𝑛 𝑏 = 1 ∙ log 𝑎 𝑏
𝑛
6 Показатель степени и основания логарифма: log an bm = m ∙ log a b
n
2
log 3 9 = 2 ∙ log 3 9 = 2 ∙ 2
=4
1
log 52 125 = ∙ log 5 125
2
1
= ∙ 3 = 1,5
2
3
2
4
=
∙ log2 4
log 23
4
= 0,75 ∙ 2 = 1,5
7 Переход к новому основанию:
𝑎) log 𝑎 𝑏 =
log 𝑐 𝑏
log 𝑐 𝑎
б) log 𝑎 𝑏 =
1
log 𝑏 𝑎
8 В частности:loga a = 1
Решение задач
Упростить выражения:
a)
б)
в)
Ответ. a)
; б)
; в)
Решить устно.
Найти логарифм по основанию a числа представленного в виде степени с основанием a
Упростите выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством.
1)
2)
3)
4)
Раздел 4. Корни, степени и логарифмы
Занятие 30 (2/60)
Преобразование и вычисление значений логарифмических выражений
Пример 1. Найти значения выражений:
a) log6 270 − log6 7,5
Решение: Первое выражение преобразуется как разность логарифмов: log6 270 − log6 7,5 =
log6 (270 : 7,5) = log6 36 = 2;
27
б)log 9 log 2 √2.
Решение: Для вычисления данного выражения необходимо выделять степени - как в основании,
27
1
так и в аргументе. Для начала найдем внутренний логарифм: log 2 √2 = log2 (227 ) =
1
27
1
. Затем — внешний: log 9 27 = log 32 3−3 =
−3
2
1
27
log 2 2 =
log 2 2 = −1,5
Ответ: а) 2; б) −1,5.
Пример 2. 5 log7 2 .
Решение: для вычисления данного логарифма воспользуемся формулой степени у аргумента
логарифма 5 ∙ 𝑙𝑜𝑔 7 2 = 𝑙𝑜𝑔 7 25 = 𝑙𝑜𝑔7 32.
Пример3. Найти значения выражений:
33
А) 5 ∙ 49log73 ; б) 3log3 11 + 2log8 125 ; в) 5log25121
Решение. Будем действовать по схеме. Для первого выражения все очевидно:
а)
б)
Поэтому имеем:
3
1
3
2log2 11 + 2log8 125 = 11 + 2log23 5 = 11 + 23 log2 5 = 11 + 5 = 16
в)
В результате получим:
33
5log25 121
=
33
=3
11
Ответ: а) 45; б) 16; в) 3.
Раздел 4. Корни, степени и логарифмы
Занятие 31 (2/62)
Логарифмические уравнения. Способы решения логарифмических уравнений
Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется
логарифмическим.
Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑐 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1).
Способы решения логарифмических уравнений:
1.
Решение уравнений на основании определения логарифма
2.
Метод потенцирования
3.
Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества
4.
Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию
1. Решение уравнений на основании определения логарифма.
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑐 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) имеет решение 𝑥 = 𝑎𝑐 .
На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:
по данным основаниям и числу определяется логарифм(Пример 1),
по данному логарифму и основанию определяется число (пример 2),
по данному числу и логарифму определяется основание(Пример 3).
Пример 1
Пример 2
Пример 3
3
𝑙𝑜𝑔2 128 = 𝑥
𝑙𝑜𝑔𝑥 27 = 3
𝑙𝑜𝑔16 𝑥 =
2𝑥 = 128
𝑥 3 = 27
4
3
𝑥
7
2 =2
𝑥 3 = 33
𝑥 = 164
𝑥=7
𝑥=3
4
𝑥 = (23 )3
Ответ: 7
Ответ: 3
𝑥 = 23
𝑥=8
Ответ: 8
2. Метод потенцирования.
Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не
содержащему их т.е. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥) , то 𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥), при условии, что 𝑓(𝑥) > 0, 𝑔(𝑥) > 0, 𝑎 >
0, 𝑎 ≠ 1.
Пример: Решите уравнение 𝑙𝑜𝑔1 (3𝑥 − 1) = 𝑙𝑜𝑔1 (6𝑥 + 8)
2
2
3𝑥 − 1 = 6𝑥 + 8
−3𝑥 = 9
𝑥 = −3
1
−3 > 3 - неверно
Ответ: решений нет.
ОДЗ:
1
𝑥>
3𝑥 − 1 > 0
3 => 𝑥 > 1
{
=> {
−8
6𝑥 + 8 > 0
3
𝑥>
6
3. Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества.
2
Пример: Решите уравнение 𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑥 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2 (6 − 𝑥)
ОДЗ:
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 2 = 𝑙𝑜𝑔2 (6 − 𝑥)
6−𝑥 > 0
𝑥2 = 6 − 𝑥
𝑥<6
𝑥>0
2
𝑥 +𝑥−6= 0
𝑥 ≠ 1 => {𝑥 > 0 => 𝑥 ∈ (0; 1) ∪ (1; 6)
𝑥 = −3 – не принадлежит ОДЗ
𝑥≠1
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 2 > 0
𝑥>0
𝑥 = 2 – принадлежит ОДЗ
2
{ 𝑥 >0
Ответ: х=2
4. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.
Пример: Решите уравнение 𝑙𝑜𝑔16 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔4 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 7
𝑙𝑜𝑔24 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔22 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 7
ОДЗ:
1
1
x>0
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 7
4
2
1 1
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 ( + + 1) = 7
4 2
7
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 7
4
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 4
𝑥 = 24
𝑥 = 16 – принадлежит ОДЗ
Ответ: x = 16.
Раздел 4. Корни, степени и логарифмы
Занятие 32 (2/64)
Логарифмические неравенства. Решение логарифмических неравенств
Определение. Неравенство, содержащее переменную под знаком логарифма, называется
логарифмическим неравенством.
Всякое значение переменной, при котором данное логарифмическое неравенство обращается в верное
числовое неравенство, называется решением логарифмического неравенства.
Решить логарифмическое неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.
Два логарифмических неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих
неравенств совпадают или оба не имеют решения.
Решение логарифмических неравенств в основном сводится к решению неравенства вида 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) >
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥) или 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) < 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥).
Для решения таких неравенств, учитывая область определения логарифмической функции и её свойства,
воспользуемся следующими утверждениями:
1) При 𝑎 > 1 неравенство 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) > 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥) равносильно системе неравенств:
𝑓(𝑥) > 0
{ 𝑔(𝑥) > 0
𝑓 (𝑥) > 𝑔(𝑥)
2) При 0 < 𝑎 < 1 неравенство 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) > 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥) равносильно системе неравенств:
𝑓(𝑥) > 0
{ 𝑔(𝑥) > 0
𝑓 (𝑥) < 𝑔(𝑥)
Пример 1. Решить неравенство:
log 1 (𝑥 + 4) > log 1 (𝑥 2 + 2𝑥 − 2)
3
Решение: log 1(𝑥 + 4) > log1 (𝑥 2 + 2𝑥 − 2)
3
3
3
Так как основания логарифмов в обеих частях неравенства одинаковые, то перейдем к системе
изменив знак неравенства:
2
2
{𝑥 + 4 < 𝑥 + 2𝑥 − 2 ⇔ {𝑥 + 𝑥 − 6 > 0
𝑥+4 >0
𝑥 > −4
Выпишем квадратное неравенство и решим его методом интервалов:
𝑥 2 + 𝑥 − 6 > 0 ⇒ 𝑥 2 + 𝑥 − 6 = 0 ⇒ 𝑥1 = −3; 𝑥2 = 2. ⇒
Таким образом: 𝑥 ∈ (−4; 3) ∪ (2; +∞).
Ответ: 𝑥 ∈ (−4; 3) ∪ (2; +∞).
Пример 2. Решить неравенство: log 2 (2 − 𝑥 ) + log 1(𝑥 − 1) > log √2 3
Решение: log 2(2 − 𝑥 ) + log 1(𝑥 − 1) > log√2 3.
2
1
Приведем логарифмы к одному основанию, используя свойство степени основания:
Log 2(2 − 𝑥 ) − log 2(𝑥 − 1) > 2log 2 3 ⇒ log 2(2 − 𝑥 ) − log2 (𝑥 − 1) > log2 32 ⇒
log2 (2 − 𝑥 ) > log 2 9 + log 2(𝑥 − 1) ⇒ log 2 (2 − 𝑥 ) > log2 9 (𝑥 − 1)
2 − 𝑥 > 9(𝑥 − 1)
10𝑥 < 11
𝑥 < 1,1
⇒{
⟺{
⟺{
⇒ 𝑥 ∈ (1; 1,1).
𝑥>1
𝑥>1
𝑥−1 >0
Ответ: 𝑥 ∈ (1; 1,1).
Пример 3. Решить неравенство: 𝑙𝑜𝑔22 (𝑥 − 𝑥 2 + 2) + 3 log2 (𝑥 − 𝑥 2 + 2) ≤ −2
Решение: 𝑙𝑜𝑔22 (𝑥 − 𝑥 2 + 2) + 3 log 2(𝑥 − 𝑥 2 + 2) ≤ −2
Введем новую переменную: log 2(𝑥 − 𝑥 2 + 2) = 𝑡
𝑡≤2
Получим квадратное неравенство: 𝑡 2 + 3𝑡 ≤ −2 ⇒ 𝑡 2 + 3𝑡 + 2 ≤ 0 ⇒ {
𝑡≥1
Перейдем
к
обратной
замене:
{
log 2(𝑥 − 𝑥 2 + 2) ≤ 2
log2 (𝑥 − 𝑥 2 + 2) ≤ log 2 22
{
⟺
⟺
log 2(𝑥 − 𝑥 2 + 2) ≥ 1
log 2(𝑥 − 𝑥 2 + 2) ≥ log 2 2
2
{𝑥 − 𝑥 2 + 2 ≤ 4 ⇒
𝑥−𝑥 +2≥2
Выпишем каждое неравенство и решим его:
𝑥 − 𝑥2 − 2 ≤ 0
𝑥 − 𝑥2 ≥ 0 ⇒ 𝑥2 − 𝑥 ≤ 0 ⇒
Найдем корни, приравняв его к нулю:
⇒ 𝑥(𝑥 − 1) ≤ 0
𝑥 2 − 𝑥 + 2 = 0 ⇒ 𝐷 = −7 < 0 ⇒ 𝑥 ∈ ℛ Найдем корни, приравняв его к нулю: 𝑥(𝑥 − 1) = 0 ⇒
𝑥=0
[
⇒
𝑥=1
+
0
-
+
1
x
Таким образом 𝑥 ∈ [0; 1]
Ответ: 𝑥 ∈ [0; 1]
Задания для самостоятельного решения:
Решите неравенства:
а) log 1 (6 0,3 х) 1.
9
б)
log0,2 (1 2,4 х) 2.
в) lg 2х lg( x 1).
г) log 0,8 (0,25 0,1х) 1.
д) log 1 (7 0,5 х) 3.
3
е)
log0,4 (2х 5) log0,4 ( x 1).
ж)
log7 (2 х 1) log7 (3x 4).
з)
log (3х 2) log ( x 1).
и) log 3(х + 7) < log 3 (5 − х) − log 1(3 − х).
3
к) log 2 24 ≥ log2 (16 − х) + log 2 (2х − 6).
л) log 2(7 − 𝑥) − log 1 𝑥 ≥ 1 + log 2 3.
2
л) log 1 𝑥 + log 1 (10 − 𝑥 ) ≥ −1 + log 1 4,5.
2
2
2
Раздел 4. Корни, степени и логарифмы
Занятие 33 (2/66)
Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств
Пример 1. Решите уравнения:
а) 63х−4 =36
1
1
б) ( )х +8( )х - 9=0
9
3
Решение:
а) 63х−4 = 36 ⟺ 63х−4 = 62 ⟺ 3𝑥 − 4 = 2 ⟺ 3𝑥 = 6 ⟺ 𝑥 = 2.
Ответ: 2.
1 𝑥
1 𝑥
1 2𝑥
3
3
б) ( ) + 8 ∙ ( ) − 9 = 0 ⟺ ( )
9
1 𝑥
1 𝑥
+8∙( ) −9 = 0
3
Пусть ( ) = 𝑡, 𝑡 > 0
3
2
Тогда 𝑡 + 8𝑡 − 9 = 0 ⟺ (𝑡 − 1)(𝑡 + 9) = 0 ⟺ [
[
𝑡=1
𝑡 = −9 не удовл. , так как 𝑡 > 0
1 𝑥
1 𝑥
𝑡−1=0
⟺
𝑡+9=0
1 0
Обратная замена: ( ) = 1 ⟺ ( ) = ( ) ⟺ 𝑥 = 0.
3
3
3
Ответ: 0.
Пример 2. Решите неравенства:
а) 5х+2 -215х 20
б) 64х +78х – 8 0
Решение:
а) 5𝑥+2 − 21 ∙ 5𝑥 < 20 ⟺ 52 ∙ 5𝑥 − 21 ∙ 5𝑥 < 4 ∙ 51 ⟺ 5𝑥 (25 − 21) < 4 ∙ 51 ⟺ 4 ∙
5𝑥 < 4 ∙ 51 ⟺ 5𝑥 < 51 , так как 5 > 1 ⟹ 𝑥 < 1.
Ответ: 𝑥 < 1.
б) 64𝑥 + 7 ∙ 8𝑥 − 8 ≤ 0 ⟺ 82𝑥 + 7 ∙ 8𝑥 − 8 ≤ 0
Пусть 8𝑥 = 𝑡, 𝑡 > 0.
Тогда 𝑡 2 + 7𝑡 − 8 ≤ 0
Решим данное неравенство методом интервалов, для этого приравняем его к нулю
и решим его относительно 𝑡.
𝑡−1 = 0
𝑡=1
𝑡 2 + 7𝑡 − 8 = 0 ⟺ (𝑡 − 1)(𝑡 + 8) = 0 ⟺ [
⟺[
𝑡+8 = 0
𝑡 = −8
+
+
-8
1
𝑡>0
−8 ≤ 𝑡 ≤ 1
⟹{
𝑡≤1
𝑡>0
𝑥∈ℝ
𝑥∈ℝ
8𝑥 > 0
Обратная замена: { 𝑥
⟺{ 𝑥
⟺ 𝑥 ≤ 0.
0 ⟺{
8 ≤8
𝑥≤0
8 ≤1
Ответ: 𝑥 ≤ 0.
⟹{
Пример 3. Решите уравнения:
а) (log 3 𝑥)2 - 2 log 3 𝑥=3
б) log 2 х + 6 log 4 х=8
Решение:
а) (log 3 𝑥)2 - 2 log 3 𝑥=3
Пусть log 3 𝑥 = 𝑡
𝑡+1=0
𝑡 = −1
Тогда 𝑡 2 − 2𝑡 − 3 = 0 ⟺ (𝑡 + 1)(𝑡 − 3) = 0 ⟺ [
⟺[
𝑡−3=0
𝑡=3
log 3 𝑥 = −1
Обратная замена: [
log 3 𝑥 = 3
ОДЗ: 𝑥 > 0
1
−1
log 3 𝑥 = −1
𝑥=
𝑥
=
3
3
[
⟺: [
⟺[
log 3 𝑥 = 3
𝑥 = 33
𝑥 = 27
1
Ответ: ; 27.
3
6
б) log 2 𝑥 − 6 log 4 𝑥 = 8 ⟺ log 2 𝑥 − log 2 𝑥 = 8 ⟺ log 2 𝑥 − 3 log 2 𝑥 = 8 ⟺
−8
log 2 𝑥 = −8 ⟹ 𝑥 = 2
Ответ:
1
⇒𝑥=
1
2
.
256
.
256
Пример 4. Решите неравенства:
а) log 0,3 х 2
б) log 3(2х + 1) 3
Решение:
𝑥 ≥ 0,09
а) log 0,3 𝑥 ≤ 2 ⟺ log 0,3 𝑥 ≤ log 0,3(0,3)2 ⟺ {
⟹ 𝑥 ≥ 0,09.
𝑥>0
Ответ: 𝑥 ≥ 0,09.
𝑥 < 13
2𝑥 + 1 < 27
б) log 3(2х + 1) < 3 ⟺ log 3 (2𝑥 + 1) < log 3 33 ⟺ {
⟺{
⟺
𝑥 > −0,5
2𝑥 + 1 > 0
−0,5 < 𝑥 < 13.
Ответ: −0,5 < 𝑥 < 13.
Задания для самостоятельного решения
1. Решите уравнения:
а) 4х+3 + 4х =260
б) 4х - 32х +2=0
2. Решите неравенства:
3
9
а) ( )3х+4
7
49
б) 3 9х - 103х +3 0
3. Решите уравнения:
а) 4 - 𝑙𝑔2 x=3 lgx
б) log 3 х + 4 log 9 х=9
4. Решите неравенства:
а) log 2 х 2
б) log 0,2 (х + 2) -1
Раздел 4. Корни, степени и логарифмы
Занятие 34 (2/68)
Проверочная работа №2 по теме: «Корни, степени и логарифмы»
Проверочная работа №2 по теме: «Корни, степени и логарифмы»
ВАРИАНТ 1
1.Вычислите:
4
4,5
1 3 5
а) 3 81 49 3 24; б ) 91,5 (1,2) 4,5 ; в) log 3 36 – log3 log 318.
8
6
2.Решить уравнения:
25 ;
а) 0,2
б)
3. Решите неравенства:
2 3х
а)
х 6
5
25;
log 2 (3x 6) log 2 (2 x 3).
б ) log 2 (3x 1) 2.
4.Решите уравнения методом введения новой переменной:
а) 4 х 12 2 х 32 0; б ) log 22 x 12 7log 2 x; в)
3
x 6 x 2 0.
5.Решите неравенства применяя теоремы о равносильности:
4 x 9 7 x 9; б ) log 0,2 (16 x 2 8) log 0,2 ( x 2 1); в) 1,47 x9 1,4 x 6.
2
а)
Проверочная работа №2 по теме: «Корни, степени и логарифмы»
ВАРИАНТ 2
1.Вычислите:
1
а) 125 32 5 ; б) 4
9
5
1
2
2,5
1,5
3,5
25
1
3,5
5
0,8 ; в) log 218 log 2 log 2 .
9
25
4
2.Решить уравнения:
32; ;
а) 0,5
б)
3. Решите неравенства:
а)
x1
4
х 7
16;
log3 (4 x 7) log 3 (3 x 4).
б ) log 2 (3x 1) 2.
4.Решите уравнения методом введения новой переменной:
а) 4 х 6 2 х 8 0; б ) log 22 x 3 4log 2 x; в)
5
x 10 x 2 0.
5. Решите неравенства, применяя теоремы о равносильности:
а)
2 x 7 5 x 7; б ) log 0,2 (15 x 2 5) log 0,2 ( x 2 2); в) 1,22 x3 1,2 x 2.
2
Критерии оценки:
«5» - работа выполнена полностью; в логических рассуждениях и обосновании решения
нет пробелов и ошибок; в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность,
описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).
«4» - работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны;
допущены одна ошибка или есть два – три недочёта в выкладках.
«3» - допущено более одной ошибки или более двух – трех недочетов в выкладках,
чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой
теме.
«2» - допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает
обязательными умениями по данной теме в полной мере
Раздел 4. Корни, степени и логарифмы
Занятие 35 (2/70)
Заключительное занятие. Итоговый тест.
1. Вычислите:(8 − 5𝑖)(6𝑖 − 3).
2.Найдите значение числового выражения: √
0,6∙√6
.
√0,1
3.Упростите выражение: cos(2𝜋 − 𝑡).
4.Найдите значение cos 𝛼, если sin 𝛼 = −0,8 и 𝜋 < 𝛼 <
3𝜋
2
.
1
5.Решите уравнение:sin 𝑥 = − .
2
6.Решите уравнение:8𝑥 = √
1
.
128
𝜋
7.Найдите значение выражения:12 sin − 4 cos 600.
6
8.Решите уравнение: log11 𝑥 = 2.
9. Вычислите:
log4 343
log4 7
.
10.Вычислите: сtg (arcsin
√2
).
2
Часть 2
10.Решите уравнение: √14 − 5𝑥 = 3.
11.Найдите значение выражения: : log 3
27
𝑏2
, если log 3 𝑏 = 2.
𝑥 9,4 ∙𝑥 5,1
12.Упростите выражение: (𝑥 4,5 )−3 .
13.Решите неравенство: 212−5𝑥 >
1
.
128
14.Решите уравнение: log 4(15𝑥 − 9) = log 4 (5𝑥 + 6).
15.Упростите выражение: 2 cos 2 𝛼 − cos2𝛼.
16.Решите неравенство: log 1 (7𝑥 − 4) ≥ −1.
3
17.Решите уравнение:4𝑥 − 6 ∙ 2𝑥 + 8 = 0.
18.Решите уравнение: 3 sin2 𝑥 − 4 sin 𝑥 cos 𝑥 + cos 2 𝑥 = 0.
𝜋
𝑥
8
4
19.Решите неравенство: 2sin ( − ) ≥ √3.
20.Решите уравнение: 3log 24 𝑥 − 7 log 4 𝑥 + 2 = 0.
2 семестр
Раздел 5. Прямые и плоскости в пространстве
Занятие 1 (2/2)
Аксиомы стереометрии. Следствия из основных аксиом стереометрии
Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.
Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» - объёмный, пространственный и
«метрио» - измерять.
Основные неопределяемые понятия стереометрии: точки, прямые, плоскости. В «Началах»
Евклида даны следующие формулировки:
-Точка есть то, что не имеет частей.
-Линия есть длина без ширины.
-Границы линии суть точки.
-Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
-Границы поверхности суть линии.
Эти определения Евклида являются лишь описаниями геометрических образов. Для
доказательства теорем в «Началах» эти определения не применялись.
Современное строго дедуктивное изложение геометрии, отражённое, например, в системе
Гильберта не даёт прямого определения основным объектам геометрии: точке, прямой,
плоскости, а также отношениям: принадлежит, между, конгруэнтный (совместимый при
наложении).
Современные обозначения также введены Гильбертом в «Основаниях геометрии». Гильберт
обозначает точки прописными латинскими буквами (А, В, С, …), прямые - маленькими
латинскими буквами (a, b, c, …), плоскости – малыми латинскими (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, … ) или греческими
(𝛼, 𝛽, 𝛾, … ) буквами.
Рассмотрим случаи комбинации между собой прямых, точек и плоскостей, их условные
изображения:
Точки А и В, плоскость α, причем точка А
лежит в плоскости α, а точка В не
лежит в плоскости α.
Прямые c, k, m расположены по отношению к
плоскости α следующим образом:
-прямая c не лежит в плоскости α
-прямая k лежит в плоскости α;
-прямая m пересекает плоскость α в точке А.
Плоскости α и β пересекаются по прямой а.
Вывод. Различные случаи взаимного расположения прямых, прямых и плоскостей, плоскостей в
пространстве изучает стереометрия.
Наряду с этими фигурами рассматриваются геометрические тела и их поверхности. Примеры
простейших геометрических тел: куб, шар, цилиндр, призма, конус, пирамида.
Изучая свойства геометрических фигур – воображаемых объектов, мы получаем представление о
геометрических свойствах реальных предметов и можем использовать их практической
деятельности, в частности: в строительстве, архитектуре, машиностроении и других.
Аксиомы стереометрии.
Аксиома – это высказывание, истинность которого принимается без доказательства (аксиома греческое слово, означающее «бесспорное положение»).
А1: Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой проходит плоскость, и притом только одна.
А2: если две точки прямой лежат в плоскости, то
все точки этой прямой лежат в плоскости.
А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей. Говорят, что плоскости
пересекаются по прямой, проходящей через эту
точку.
Следствия:
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Дано:
Доказательство:
Рассмотрим прямую a и не лежащую на
ней точку B. Нам необходимо доказать,
что через прямую a и точку B проходит
плоскость. Отметим на прямой a две
точки C и D. Точки B, C, D не лежат на
одной прямой, поэтому согласно первой аксиоме, (а именно, тому что через
любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и
притом только одна) через эти точки проходит некоторая плоскость α.
Поскольку точки C и D прямой a лежат в плоскости, то по второй аксиоме
(если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой
плоскости) вся прямая a лежит в плоскости α.
Теперь давайте докажем единственность этой плоскости. Любая плоскость,
которая проходит через прямую a и точку B проходит через точки B, C, D.
То есть она совпадает с плоскостью α, поскольку по первой аксиоме,
плоскость, которая проходит через три точки, не лежащие на одной прямой –
единственная.
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Доказательство.
Рассмотрим прямые a и b, которые пересекаются в точке А. Тогда нам
необходимо доказать, что через эти
прямые проходит плоскость, и притом
только одна. Отметим на прямой b точку
B, не совпадающую с точкой А. Тогда из
первого следствия, через прямую a и точку
B можно провести плоскость α. Так как точки А и B прямой b лежат в
плоскости α, то по второй аксиоме мы получим, что вся прямая b лежит в
плоскости α. Поскольку через прямую и не лежащую на ней точку можно
провести только одну плоскость, то значит, любая плоскость, проходящая
через прямые a и b совпадает с плоскостью α.
Решение задач.
Задача. Две прямые пересекаются в точке В. Доказать, что все прямые, которые пересекают
данные прямые и не проходят через точку В, лежат в одной плоскости.
Дано:
Доказательство:
По второму следствию из аксиом
𝑎∩𝑏=𝐵
стереометрии через две пересекающиеся
прямые проходит плоскость, и притом только
одна. Значит, через данные прямые проведем
плоскость альфа.
Проведем прямую, которая будет пересекать прямые, но не проходит через
точку B. Эта прямая с каждой из данных прямых имеет по одной общей
точке. Эти точки принадлежат построенной плоскости, поскольку прямые
принадлежат этой плоскости. Получаем, что две точки прямой принадлежат
плоскости, значит, по второй аксиоме, вся прямая лежит в этой же
плоскости. Поскольку прямую мы проводили произвольно, то, очевидно, что
каждая из прямых, которые будут пересекать исходные прямые будет лежать
в этой же плоскости, что и требовалось доказать.
Задача. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости; б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся
окружность лежит в этой плоскости?
Решение.
Первое утверждение неверно, так как окружность и плоскость имеют две общие точки, если они
пересекаются. То есть окружность не лежит в плоскости, а только пересекает ее.
Перейдем ко второму утверждению. По первой аксиоме через три точки, не лежащих на одной
прямой можно провести плоскость и притом только одну. Точки окружности не могут лежать на
одной прямой, поэтому проведем через них плоскость. Очевидно, что эти точки лежат в
плоскости окружности, но поскольку аксиома говорит о том, что такая плоскость единственная,
значит, окружность будет принадлежать этой плоскости. То есть второе утверждение верно.
Задача. Пусть точки А, В, С не лежат на одной прямой. Отметим на прямой АВ точку D, а на
прямой AC – точку E. Доказать, что точка F прямой DE лежит в плоскости ABC.
Решение.
По первой аксиоме через точки А, B, C проведем плоскость α. Так как прямая АB лежит в
плоскости α, значит, точка D лежит в плоскости α. Аналогично, поскольку прямая АC лежит в
плоскости α, то и точка Е лежит в плоскости α. Получаем, что две точки прямой DE лежат в
плоскости α. Применим вторую аксиому и получим, что вся прямая DE лежит в плоскости α.
Тогда точка F прямой DE тоже лежит в плоскости α. Что и требовалось доказать.
Задача. Пусть стороны AB и AC треугольника ABC лежат в плоскости α. Доказать, что и
медиана AM лежит в плоскости α.
Доказательство.
Поскольку стороны AB и АC лежат в плоскости α, значит, точки B и C лежат в этой плоскости,
то есть, по второй аксиоме, сторона BC тоже лежит в этой плоскости. Точка M лежит на прямой
BC, значит, она лежит в плоскости α, что и требовалось доказать.
Плоскость проходит через точки А, В, и С. Можно сказать, что эти три точки задают плоскость
АВС.
ВОПРОСЫ:
-всегда ли три точки лежат в одной плоскости? (ДА)
-всегда ли четыре точки лежат в одной плоскости? (Нет)
-всегда ли через три точки проходит плоскость, и притом только одна? (нет)
-сколько плоскостей можно провести через две точки? (множество)
Точки А и В лежат в плоскости α, значит и точка С лежит в плоскости α потому, что она лежит
на прямой АВ.
ВОПРОСЫ: верно ли утверждение:
-если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?
(Нет)
-если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?
(Да)
-если прямая пересекает две стороны треугольника, то она лежит в плоскости данного
треугольника? (Да)
-если прямая проходит через одну из вершин треугольника, то она лежит в плоскости данного
треугольника? (Нет)
-если две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в
плоскости, то и две другие вершины тоже лежат в этой плоскости? (Да)
-если две противоположные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в
плоскости, то и две другие вершины тоже лежат в этой плоскости? (Нет)
ВОПРОСЫ:
могут ли две плоскости иметь:
-только одну общую точку? (Нет)
-только две общие точки? (Нет)
-только одну общую прямую? (Да)
-могут ли две пересекающиеся плоскости иметь общую точку, не принадлежащую линии
пересечения этих плоскостей?
Раздел 5. Прямые и плоскости в пространстве
Занятие 2 (2/4)
Параллельные прямые в пространстве. Признак параллельности прямых в
пространстве
Две прямые в пространстве называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не
пересекаются.
Параллельность прямых a и b обозначается так: a∥b или b∥a.
Teорема 1. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и при том только одну.
Доказательство:
1. Так как прямые a и b параллельны, из определения следует, что через них можно провести
плоскость α.
2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой a обозначаем точки B и C, а на
прямой b точку A.
3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну
плоскость (2 аксиома), то α является единственной плоскостью, которой принадлежат
прямые a и b.
Теорема 2. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую,
параллельную данной прямой, и при том только одну.
Доказательство:
1. Через данную прямую a и точку M, которая не лежит на прямой, проводится плоскость α.
2. Такая плоскость только одна (т.к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести
плоскость, и притом только одну).
3. А в плоскости α через точку M можно провести только одну прямую b, которая параллельна
прямой a.
Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая
прямая пересекает эту плоскость.
(1. рис.)
(2. рис.)
Доказательство:
Рассмотрим две параллельные прямые a и b и допустим, что прямая b пересекает плоскость α в
точке M (1. рис.).
Из 1-ой теоремы известно, что через параллельные прямые a и b можно провести только одну
плоскость β.
Так как точка M находится на прямой b, то M также принадлежит плоскости β(2. рис.). Если у
плоскостей α и β есть общая точка M, то у этих плоскостей есть общая прямая c, которая
является прямой пересечения этих плоскостей (4 аксиома).
Прямые a, b и c находятся в плоскости β.
Если в этой плоскости одна из параллельных прямых b пересекает прямую c, то вторая
прямая a тоже пересекает c.
Точку пересечения прямых a и c обозначим за K.
Так как точка K находится на прямой c, то K находится в плоскости α и является единственной
общей точкой прямой a и плоскости α.
Значит, прямая a пересекает плоскость α в точке K.
Теорема 4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Дано: a∥cиb∥c
Доказать: a∥b
Доказательство:
Выберем точку M на прямой b.
Через точку M и прямую a, которая не содержит эту точку, можно провести только одну
плоскость α (Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).
Возможны два случая:
1) прямая b пересекает плоскость α или 2) прямая b находится в плоскости α.
Пусть прямая b пересекает плоскость α.
Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость α. Так как a∥c, то
получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать
плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно,
предположение, что прямая b пересекает плоскость α, является неверным.
Значит, прямая b находится в плоскости α.
Теперь нужно доказать, что прямые a и b параллельны.
Пусть у прямых a и b есть общая точка L.
Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b, которые параллельны прямой c. Но
по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют
общих точек.
Так как прямые a и b находятся в одной плоскости α и у них нет общих точек, то они
параллельны.
Всё множество прямых в пространстве, которые параллельны данной прямой, называется пучком
параллельных прямых.
Выводы:
1) Любые две прямые пучка параллельных прямых параллельны между собой.
2) Параллельности прямых в пространстве присуща транзитивность: если a∥b и b∥c, то a∥c.
Пример:
Одна сторона параллелограмма пересекает плоскость. Докажите, что прямая, которая
содержит противоположную сторону параллелограмма, тоже пересекает эту плоскость.
Допустим, что у
параллелограмма ABCD сторона AD пересекает
плоскость α в точке K.
Так как противоположные стороны параллелограмма
параллельны, то, согласно третьей теореме, прямая, которая
содержит сторону CD, тоже пересекает плоскость α.
Раздел 5. Прямые и плоскости в пространстве
Занятие 3 (2/6)
Параллельность прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и
плоскости
Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих
точек (а || )
Признак параллельности прямой и плоскости.
Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой,
лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
Замечания.
1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную
другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения
плоскостей параллельна данной прямой.
2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной
плоскости, а другая прямая имеет с плоскостью общую точку, то эта
прямая лежит в данной плоскости.
Выводы.
Случаи взаимного расположения прямой и плоскости:
а) прямая лежит в плоскости;
б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку;
в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.
Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не
имеют общих точек.
Параллельность плоскостей и обозначается так:
признак параллельности двух плоскостей.
|| . Рассмотрим
Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости
соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти
плоскости параллельны.
Случаи взаимного расположения плоскостей:
плоскости
и
пересекаются.
плоскости
и
параллельны.
Свойства параллельных плоскостей:
1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их
пересечения параллельны.
2. Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными
плоскостями, равны.
Фронтальный опрос
1) Какие прямые в пространстве называются параллельными?
2) Всегда ли через две параллельные прямые можно провести - плоскость? А через две
пересекающиеся прямые? (Да, да.)
3) В пространстве дано число n параллельных между собой прямых. Известно, что никакие три
из них не лежат в одной плоскости. Сколько различных плоскостей можно провести через эти
прямые? (Число n плоскостей.)
4) Сформулируйте лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми.
5) Каково может быть взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве?
6) В каком случае прямая параллельна плоскости?
Решение задач
Задача № 1
Дано: A ∈ α, В ∈ α, С ∈ α; AM = МС; BN = NC.
Доказать: MN || α.
Доказательство: MN || АВ (по свойству средней линии), АВ ∈ α; MN || α по признаку.
Перед решением задачи № 26 дать понятие отрезка, параллельного плоскости.
«Отрезок параллелен плоскости, если прямая, содержащая этот отрезок, параллельна плоскости».
Задача № 2
Дано: АС || α, АВ ∩ α = М; СВ ∩ α = N (рис. 1).
Доказать: ΔАВС ~ ΔMBN.
Доказательство:
1. Докажем, что AC || MN;
(по определению).
2. Так как АС || MN ⇒ ΔАВС ~ ΔMBN.
2) Самостоятельное решение задач по уровням
I уровень
Отрезок АВ не пересекает плоскость α. Через середину отрезка С и концы отрезка А и В
проведены прямые, параллельные между собой и пересекающие плоскость α в точках А1, В1, С1.
Вычислить длину отрезка СС1, если АА1 = 5, BB1 = 7.
Дано:
Найти: СС1.
АА1 = 5 см, ВВ1 = 7 см (рис. 2).
Решение:
1. Докажем, что A1, С1 и В1 лежат на одной прямой. (АА1, ВВ1) = β, β ∩ а = А1В1. Докажем, что
С1 ∈ А1В1.
2. Пусть С1 ∈ А1В1, тогда CC1 ∩ β = c, с - прямая пересечения;
Получили противоречие, значит, С1 ∈ А1В1.
3. Так как А1А || ВВ1, значит, А1АВВ1 - трапеция, СС1 - средняя
по лемме АА1 ∩ β.
линия
(Ответ: 6 см.)
II уровень
Точка М лежит на отрезке АВ. Отрезок АВ пересекается с плоскостью α в точке В. Через А и М
проведены параллельные прямые, пересекающие α в точках А1 и M1.
а) Докажите, что А1, М1 и В лежат на одной прямой.
б) Найдите длину отрезка АВ, если АА1 : ММ1 = 3 : 2, AM = 6.
Дано:
(рис. 3).
Докажите: М1 ∈ А1В.
Найдите: АМ = 6.
Решение:
1.
Предположим, М1 ∈ А1В, тогда
противоречит условию.
значит,
2.
(Ответ: 12 см.)
Домашнее задание
что
Задача № 1
Дано: ABCD - трапеция М ∉ (ABC) (рис. 4).
Доказать: AD || (ВМС).
Доказательство: AD || ВС (по определению трапеции); ВС ∈ (ВМС), значит AD || (ВМС) по
признаку.
Задача № 2
Дано: D ∈ AB, Е ∈ AC, DE = 5;
Найдите: ВС.
(рис. 5).
Решение:
1)
2)
по определению.
3) ΔАВС ~ ΔADE (по двум углам)
(Ответ:
Задача № 3
Дано: α || ВС, АК = ВК, К ∈ α (рис. 6).
Доказать: α ∩ АС = М; АМ = СМ.
Доказательство:
)
Раздел 5. Прямые и плоскости в пространстве
Занятие 4 (2/8)
Параллельные плоскости. Признак параллельности плоскостей
Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
На рисунке изображены параллельные плоскости.
Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве: две плоскости в
пространстве либо имеют общие точки, т.е. пересекаются, либо не имеют
общих точек, т.е. параллельны.
Признак параллельности двух плоскостей.
Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости
соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти
плоскости параллельны.
Свойства параллельных плоскостей.
Свойство 1.Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то
линии их пересечения параллельны.
Если α∥β и они пересекаются с γ, тоа∥
Свойство 2. Отрезки параллельных прямых, заключённые между
параллельными плоскостями равны.
Если α∥β и AB∥CD, то АВ = CD.
Свойство 3. Если прямая пересекает плоскость, то она пересекает также
любую плоскость параллельную данной.
Свойство 4.Если плоскость пересекает одну из параллельных
плоскостей, то она пересекает и другую.
Свойство 5. Через точку не лежащую в данной плоскости проходит
плоскость параллельная данной и притом только одна.
Свойство 6. Если две плоскости параллельны третьей, то они
параллельны между собой.
Решение задач
Задача:
Три отрезка
,
и , не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину.
Докажите, что плоскости
и
параллельны.
Решение.
Пусть O– точка пересечения отрезков , и . Рассмотрим четырёхугольник
.В
этом прямоугольнике диагонали
и
точкой пересечения делятся пополам, а значит
прямоугольник
– параллелограмм. Тогда стороны
и
параллельны.
Аналогично доказывается параллельность
и
.
В итоге получаем, что две пересекающиеся прямые
и
параллельны двум
пересекающимся прямым
и
, значит по признаку параллельности двух плоскостей
плоскости
и
параллельны.
4. Теорема (Признак параллельности двух плоскостей) и доказательство
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым
другой плоскости, то плоскости параллельны.
Доказательство
Проведем в плоскости две пересекающиеся прямые а и b в точке М, а в плоскости
пересекающиеся прямые а1 и b1,причем прямая а1 параллельна прямой а, а
прямая b1 параллельна прямой b (Рис. 3.). Докажем, что плоскости
и параллельны.
Рис. 3.
Прямая а принадлежит плоскости , прямая а1 принадлежит плоскости , а
прямая а параллельна прямой а1. Значит, прямая а параллельна плоскости , по признаку
параллельности прямой и плоскости. Аналогично, прямая b параллельна прямой b1 из
плоскости . Значит, прямая b параллельна плоскости .
Предположим, что плоскости и не являются параллельными, то есть они пересекаются по
некоторой прямой, назовем ее с (Рис. 4.).
Рис. 4.
Плоскость проходит через прямую а, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость
по прямой с. Согласно опорному факту, прямая а параллельна прямой с. Аналогично,
плоскость проходит через прямую b, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость
по прямой с. Согласно опорному факту, прямая b параллельна прямой с. Получаем, что через
одну точку М проходит две прямые, параллельные прямой с, что невозможно. Получили
противоречие. Значит, предположение о том, что плоскости пересекаются, было неверным.
Значит, плоскости не пересекаются, то есть параллельны, что и требовалось доказать.
Задача 1
Плоскости
и
параллельны, прямая m лежит в плоскости .
Докажите, что прямая m параллельна плоскости .
Доказательство
Предположим, что прямая m пересекается с плоскостью
точка М принадлежит и плоскости , и плоскости
в некоторой точке М (Рис. 5.). Тогда
(так как точка М лежит на прямой m, а
прямая m принадлежит плоскости ). Но это невозможно, так как плоскости
и
по условию
параллельны. Значит, прямая m параллельна плоскости .
Рис. 5.
Задача 2
Докажите, что плоскости
и
параллельны, если прямые m и n плоскости
параллельны
плоскости .
Доказательство
Предположим, что плоскости
и
пересекаются по прямой с (Рис. 6.). Плоскость
проходит
через прямую m, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с. Значит,
прямая m параллельна прямой с. Аналогично, плоскость
проходит через
прямую n, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с. Согласно
опорному факту, прямая n параллельна прямой с. Получаем, что через одну точку М проходит
две прямые m и n, параллельные прямой с, что невозможно. Получили противоречие. Значит,
предположение о том, что плоскости пересекаются, было неверным. Значит, плоскости
пересекаются, то есть параллельны, что и требовалось доказать.
и
не
Рис. 6.
Задача 3
Две стороны треугольника параллельны плоскости . Докажите, что и третья сторона
параллельна плоскости .
Доказательство
Дан треугольник АВС и плоскость . Стороны АВ и АС параллельны плоскости
(Рис. 7.).
Докажем, что и сторона ВС параллельна плоскости .
Через две пересекающиеся прямые АС и АВ проходит плоскость
Плоскость
и притом только одна.
параллельна плоскости , так как прямые АС и АВ параллельны плоскости
задачи 2). Но прямая ВС лежит в плоскости , а значит ВС параллельна плоскости
1).
Рис. 7.
(из
(из задачи
Раздел 5. Прямые и плоскости в пространстве
Занятие 5 (2/10)
Перпендикулярность прямых в пространстве. Признак перпендикулярности
прямой и плоскости
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 o.
Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть
скрещивающимися.
Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к
третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если
она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости.
Говорят также, что плоскость перпендикулярна к прямой а.
Если прямая а перпендикулярна к плоскости , то она, очевидно,
пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала
плоскость , то она лежала бы в этой плоскости или была бы параллельна
ей.
Но в том и в другом случае в плоскости имелись бы прямые, не
перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что
невозможно. Значит, прямая а пересекает плоскость .
Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к
плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
2. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Теорема. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым,
лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Пример 1. Прямая OA перпендикулярна к плоскости ОВС, и точка O является серединой отрезка
AD. Докажите, что:
а) AB = DB; б) AB = AC, если OB = OC; в) OB = OC, если AB = AC.
Пример 2. Прямая а перпендикулярна к плоскости α и перпендикулярна к прямой b, не лежащей
в этой плоскости. Докажите, что b||α.
Пример 3. Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника АВCD.
Докажите, что треугольники AMD и MCD прямоугольные.
Задача: Прямая CD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС. Через центр О
этого треугольника проведена прямая ОК, параллельная прямой CD. Известно, что AB = 16√3 см,
ОК = 12 см, CD = 16 см. Найдите расстояния от точек D и K до вершин А и В треугольника.
Раздел 5. Прямые и плоскости в пространстве
Занятие 6 (2/12)
Свойства перпендикулярных прямой и плоскости
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она
перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку
пересечения.
ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости,
проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна
плоскости.
1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна
и другой.
2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
Решение задач
Вариант 1.
1. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если
2. Если одна из параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то ….
3. Точка Е не принадлежит плоскости прямоугольника АВСD, ВЕ АВ, ВЕ ВС. Тогда прямая и
плоскость ВСЕ:
а) параллельны, б) перпендикулярны, в) скрещиваются, г) прямая лежит в плоскости, д)
перпендикулярны, но не пересекаются.
.
4. Назовите:
1) рёбра, перпендикулярные к плоскости (DCC1)
2) плоскости, перпендикулярные ребру BB1
5. Определите взаимное расположение:
1) прямой CC1 и плоскости (DСВ)
2) прямой D1C1 и плоскости (DCB)
6. Через вершину острого угла прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С проведена
прямая AD, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояния от точки D до
вершин B и C, если AC=a, BC=b, AD=c.
Вариант 2.
1.Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если……
2. Если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она…
3. Расстояния от точки М до сторон прямоугольного треугольника АВС (угол С равен 90°)
равны. Какое из следующих утверждений верно?
а) плоскости МАВ и АВС перпендикулярны, б) плоскости МВС и АВС перпендикулярны, в)
плоскости МАС и АВС перпендикулярны, г) плоскости МАС и МВС перпендикулярны, д)
условия в пунктах а - г неверны
4. Назовите:
1) рёбра, перпендикулярные к плоскости (BCC1)
2) плоскости, перпендикулярные ребру AA1
5. Определите взаимное расположение:
1) прямой DD1 и плоскости (DСВ)
2) прямой D1C1 и плоскости (BCB1)
6. . Отрезок BM перпендикулярен к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD
перпендикулярна к плоскости MBC.
Вариант 3.
1. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они…
2. Если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то они… (
3. Прямаяа перпендикулярна к прямым с и в, лежащим в плоскости , прямая аперпендикулярна к
плоскости . Каково взаимное расположение прямых с и в?
а) параллельны, б) пересекаются, в) параллельны или пересекаются, г) совпадают, д) определить
нельзя.
4. Назовите:
1) рёбра, перпендикулярные к плоскости (DCA)
2) плоскости, перпендикулярные ребру BA
5. Определите взаимное расположение:
1) прямой CA и плоскости (DСВ)
2) прямой D1C1 и плоскости (AA1D)
6. Прямые PP1 и QQ1 перпендикулярны плоскости и пересекают плоскость соответственно в
точках P1 и Q1. Известно, что PP1=21.5, QQ1=33.5, PQ=15. найти расстояние между прямыми
PP1 и QQ1.
Раздел 5. Прямые и плоскости в пространстве
Занятие 7 (2/12)
Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах. Угол между
прямой и плоскостью
Точка а не лежит в плоскости , проведём через неё прямую а, перпендикулярную к (АН).
Отрезок АН называется перпендикуляром, проведённым из А к , точка Н - основание
перпендикуляра. М - точка плоскости , отличная от Н. Отрезок АМ - наклонная к плоскости ,
М - её основание, отрезок НМ - проекция наклонной на плоскость .
Перпендикуляр АН меньше наклонной АМ.
Длина АН называется расстоянием от точки А до плоскости .
Замечания.
1. Если прямая параллельна плоскости, то расстояние от произвольной точки прямой до
плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.
2. Если две плоскости параллельны, то расстояние от произвольной точки одной из
плоскостей до другой называется расстоянием между данными плоскостями.
3. Если две прямые скрещиваются, то расстояние между одной из этих прямых и
плоскостью, проведённой через другую прямую параллельно первой, называется
расстоянием между скрещивающимися прямыми.
Теорема о трёх перпендикулярах. Прямая, проведённая в плоскости через
основание наклонной перпендикулярно к её проекции, перпендикулярна и
к самой наклонной.
Обратная теорема. Прямая, проведённая в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.
Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой
точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если точка лежит в плоскости.
Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая.
Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту
прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и её
проекцией на плоскость.
Тест:
1. AFa. Не верно, что...
1)FM>AF;
2)FK>FM;
3)AK
2.BF (ABC). Прямые CD и CF не будут
перпендикулярными, если ABCD будет...
1. прямоугольником;
2. ромбом;
3. квадратом.
3. AD(ABC). Прямые DM и ВС будут перпендикулярными,
если AM будет...
1. биссектрисой;
2. медианой;
3. высотой.
4. ABCD - прямоугольник, ACBD=O.
SOAC, SOBD. Тогда угол между прямой CSи плоскостью (ABC) - это угол между прямой CS и...
1) C D 2) ОС; 3) BD.
5. Точка М равноудалена от вершин треугольникаABC. Тогда проекция точки М на плоскости С
есть точка пересечения...
1. высот треугольника;
2. биссектрис углов треугольника;
3. серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
6. В треугольнике ABC AM - медиана, AD - биссектриса, АН- высота. AF (ABC). Тогда
расстояние от точки F до прямой ВС- это длина отрезка...
1)FM; 2)FD; 3)FH.
7. ABCD - параллелограмм, ACBD = 0. FO(ABC). FO - расстояние от
точки F до прямой АС. Тогда ABCDне может быть...
1) прямоугольником;
2. ромбом;
3. квадратом.
8. ABC. FK AC, FN BC, FK=FN. FO (ABC), OCM.Тогда CM-...
1. биссектриса;
2. медиана;
3. высота.
Раздел 5. Прямые и плоскости в пространстве
Занятие 8 (2/16)
Решение задач на параллельность и перпендикулярность прямых и
плоскостей в пространстве
Параллельность прямых и плоскостей
1) Основание АD трапеции АВСD лежит в плоскости . Через точки В и С
проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках Е и F
соответственно.
а) Каково взаимное расположение прямых ЕF и АВ?
б) Чему равен угол между прямыми ЕF и АВ, если ABC 150 ? Ответ обоснуйте.
2) Дан пространственный четырёхугольник АВСD, в котором диагонали АС и ВD
равны. Середины сторон этого четырёхугольника соединены последовательно
отрезками.
а) Выполните рисунок к задаче.
б) Докажите, что полученный четырёхугольник – ромб.
«Параллельность прямых и плоскостей»
1) Прямые a и b лежат в параллельных плоскостях и β. Могут ли эти прямые
быть параллельными; скрещивающимися? Сделайте рисунок для каждого
возможного случая.
2) Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями и , проведены
прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости и β в точках A1 и A2
соответственно, прямая m – в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка A2В2, если
А1 В1 12см, В1О : ОВ2 3 : 4.
3) Дан параллелепипед АВСDA1B1C1D1. Постройте сечение параллелепипеда
плоскостью, проходящей через точки М, N и К, являющиеся серединами рёбер
АВ, ВС и DD1.
«Перпендикулярность прямых и плоскостей»
1) Диагональ куба равна 6см. Найдите:
а) Ребро куба.
б) Косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.
2) Сторона АВ ромба АВСD равна р, а один из углов ромба равен 60 . Через
сторону АВ проведена плоскость на расстоянии р/2 от точки D.
а) Найдите расстояние от точки С до плоскости .
б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла DАВМ, M .
в) Найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью .
Раздел 5. Прямые и плоскости в пространстве
Занятие 9 (2/18)
Проверочная работа № 3 по теме «Прямые и плоскости в пространстве»
1 вариант
1. Какие прямые называются параллельными?
А) Две прямые называются параллельными, если они не имеют общей точки или совпадают.
Б) Две прямые называются параллельными, если они не имеют общей точки и лежат в одной
плоскости.
В) Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости, не имеют общей
точки и не совпадают.
Г) Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
2. Если две прямые параллельны третьей, то они …
А) скрещиваются между собой;
Б) параллельны между собой;
В) пересекаются между собой;
Г) не параллельны между собой
3.Прямая и плоскость называются параллельными, если они…
А) имеют одну общую точку;
Б) не имеют общей точки;
В) имеют две общие точки;
Г) имеют три общие точки.
4. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту
плоскость, то линия пересечения плоскостей …
А)параллельна данной прямой;
Б) скрещивается с данной прямой
В) не параллельна данной прямой;
Г) параллельна данной плоскости.
5. Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда …
А) эта прямая перпендикулярна каждой прямой;
Б) плоскость перпендикулярна проекции наклонной;
В) эта прямая не перпендикулярна проекции наклонной;
Г) эта прямая перпендикулярна проекции наклонной.
6.Если прямая …, то эта прямая перпендикулярна данной плоскости.
А) перпендикулярна каждой из двух скрещивающихся прямых;
Б) перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в этой плоскости;
В) не перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в этой плоскости;
Г) перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости
7. Если две пересекающиеся прямые плоскости α … двум прямым плоскости β , то эти плоскости
параллельны.
А) скрещиваются и параллельны;
Б) параллельны;
В) соответственно параллельны;
Г) соответственно скрещиваются и параллельны.
8. Концы отрезка АВ не пересекающего плоскость, удалены от нее на расстоянии 7,4 м и 2,6 м.
Найдите расстояние от середины М отрезка АВ до этой плоскости.
9. Перекладина длиной 8 м своими концами лежит на двух вертикальных столбах высотой 3 м и 7 м.
Каково расстояние между основаниями столбов?
10. Из вершины равностороннего треугольника АВС восстановлен перпендикуляр АD к плоскости
треугольника. Чему равно расстояние от точки D до прямой Вс, если АD = 3 дм, ВС = 6 дм.
11. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в
точке А1 , а сторону ВС – в точке В1 . Найдите длину отрезка А1В1 , если АВ = 8 см и
АА1 : А1С = 5 : 3.
2. Вариант
1.Какие прямые называются скрещивающимися?
А) Две прямые называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не лежат в одной
плоскости.
Б) Две прямые называются скрещивающимися, если они не пересекаются и лежат в разных
плоскостях.
В) Две прямые называются скрещивающимися, если они не параллельны и не лежат в разных
плоскостях.
Г) Две прямые называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны.
2.Если прямая параллельна плоскости, то эта прямая …любой прямой, лежащей в этой плоскости.
А) параллельна и совпадает с ;
Б) скрещивается;
В) параллельна или скрещивается с;
Г) параллельна.
3.Если прямая параллельна какой-либо прямой, … , то данные прямая и плоскость параллельны.
А) не лежащей в плоскости;
Б) лежащей в плоскости;
В) не принадлежащей плоскости;
Г) принадлежащей плоскости.
4. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то …
А) другая не перпендикулярна этой плоскости;
Б) другая параллельна этой плоскости;
В) другая не пересекает эту плоскость;
Г) и другая перпендикулярна этой плоскости.
5.Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они …
А) пересекаются;
Б) скрещиваются;
В) не параллельны;
Г) параллельны.
6.Вставьте пропущенные слова: Плоскости α и β называются параллельными, если они ….
А) имеют общую точку или совпадают;
Б) не имеют общей точки или не совпадают;
В) не пересекаются;
Г) имеют общую точку или не совпадают.
7. Плоскости α и β пересекаются, если они …
А) имеют общую точку;
Б) различны и имеют общую точку;
В) различны и не имеют общей точки;
Г) совпадают.
8.Точка А лежит в плоскости, точка В на расстоянии 12,5 см от этой плоскости. Найдите расстояние
от середины отрезка АВ до плоскости.
9.Какой длины нужно взять перекладину, чтобы ее можно было положить концами на две
вертикальные опоры высотой 4 м и 8 м, поставленные на расстоянии 3 м одна от другой?
10. Из вершины квадрата АВСD восстановлен перпендикуляр АЕ к плоскости квадрата. Чему равно
расстояние от точки Е до прямой ВD, если АЕ = 2 дм, АВ = 8 дм?
11. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в
точке А1 , а сторону ВС – в точке В1 . Найдите длину отрезка А1В1 , если В1С = 10 см и
Раздел 6. Координаты и векторы.
Занятие 10 (2/20)
ПДСК в пространстве. Координаты точек в ПДСК. Расстояние между
точками, Координаты середины отрезка
Прямоугольной системой координат в пространстве называется тройка взаимно
перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат. Общее начало координат
обозначается буквой O.
Ох – ось абсцисс,
Оу – ось ординат,
Оz – ось аппликат
Три плоскости, проходящие через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются
координатными плоскостями: Оху, Оуz, Оzх.
В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел
– её координаты.
М (х,у,z), где х – абсцисса, у – ордината, z - аппликата.
Система координат в пространстве
Координаты точки
Расстояние между точками
Есть две произвольные точки A1(x1;y1;z1) и A2(x2 ;y2 ;z2)
Тогда расстояние между точками A1 и A2 вычисляется так:
Координаты середины отрезка в пространстве
Есть две произвольные точки A1(x1;y1;z1) и A2(x2 ;y2 ;z2). Тогда серединой отрезка A1A2 будет
точка С с координатами x, y, z, где
1.
2.
3.
4.
5.
Решение задач
1) Найдите координаты ортогональных проекций точек A(1, 3, 4) и
B(5, -6, 2) на:
а) плоскость Oxy; б) плоскость Oyz; в) ось Ox; г) ось Oz.
Ответ: а) (1, 3, 0), (5, -6, 0); б) (0, 3, 4), (0, -6, 2); в) (1, 0, 0), (5, 0, 0);
г) (0, 0, 4), (0, 0, 2).
2) На каком расстоянии находится точка A(1, -2, 3) от координатной плоскости:
а) Oxy; б) Oxz; в) Oyz?
Ответ: а) 3; б) 2; в) 1
3)Найдите координаты середины отрезка:
а) AB, если A(1, 2, 3) и B(-1, 0, 1); б) CD, если C(3, 3, 0) и D(3, -1, 2).
Ответ: а) (1, 1, 2); б) (3, 1, 1).
Вопросы:
Как вводится, декартова система координат? Из чего она состоит?
Как определяются координаты точки в пространстве?
Чему равна координата точки пересечения координатных осей?
Чему равно расстояние от начала координат до заданной точки?
Назовите формулу координат середины отрезка и расстояния между точками в пространстве?
Раздел 6. Координаты и векторы.
Занятие 11 (2/22)
Вектор в пространстве. Модуль вектора. Равенство векторов. Координаты
вектора
Определение 1. Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в выбранной
системе единиц, называется скалярной или скаляром.
(Масса тела, объем, время и т.д.)
Определение 2. Величина, характеризуемая числовым значением и направлением,
называется векторной или вектором.
(Перемещение, сила, скорость и т.д.)
Обозначения: ,
или
,
.
Геометрический вектор – это направленный отрезок.
Для вектора
– точка А – начало, точка В – конец вектора.
Определение 3. Модуль вектора – это длина отрезка AB.
Определение 4. Вектор, модуль которого равен нулю, называется нулевым, обозначается .
Определение 5. Векторы, расположенные на параллельных прямых или на одной прямой
называются коллинеарными. Если два коллинеарных вектора имеют одинаковое направление, то
они называются сонаправленными.
Определение 6. Два вектора считаются равными, если они сонаправлены и равны по модулю.
Например, если точки А(4; 0; 3) и B(0; 6; 4) — начало и конец направленного отрезка
а1 = 0 - 4 = -4, а2 = 6 - 0 = 6, а3 = 4 - 3 = 1.
, тогда
Значит, направленному отрезку
соответствует вектор
(-4; 6; 1)
Пример. Определить какие из векторов равны a = {1; 2; 4}, b = {1; 2; 2}, c = {1; 2; 4}.
Решение:
a = c - так как их координаты равны,
a ≠ b - так как их координаты не равны,
b ≠ c - так как их координаты не равны.
Задача для самостоятельного решения . При каком значении параметра n вектора a = {1; 2; 4}
и b = {1; 2; 2n} равны.
Решение:
Проверим равенство компонентов векторов
ax = bx = 1
ay = by = 2
az = bz => 4 = 2n => n = 4/2 = 2
Ответ: при n = 2 вектора a и b равны
Раздел 6. Координаты и векторы.
Занятие 12 (2/24)
Действия над векторами. Деление отрезка в данном отношении
Формулы сложения и вычитания векторов для пространственных задач:
В случае пространственной задачи сумму и разность векторов
a = {ax ;ay ; az}
b = {bx ; by ; bz}
можно найти воспользовавшись следующими формулами:
a + b = {ax + bx; ay + by; az + bz}
a - b = {ax - bx; ay - by; az - bz}
Решение задач
Пример .
1. Найти сумму векторов a = {1; 2; 5} и b = {4; 8; 1}.
Решение:
a + b = {1 + 4; 2 + 8; 5 + 1} = {5; 10; 6}
2. Найти разность векторов a = {1; 2; 5} и b = {4; 8; 1}.
Решение: a - b = {1 - 4; 2 - 8; 5 - 1} = {-3; -6; 4}
3. На рисунке изображен параллелепипед АВСДА1В1С1Д1. Назовите
вектор, начало и конец которого является вершинами параллелепипед,
равный сумме векторов:
а)
б)
в)
г)
д)
4. Тетраэдр АВСД. Докажите, что
Дано: АВСД–тетраэдр
Докажите, что
.
.
Решение:
,
.
Следовательно,
.
5. Дан тетраэдр АВСД. Найдите сумму:
а)
б)
в)
В параллелограмме АВСD укажите векторы:
а)
б)
в)
г)
д)
Умножение вектора на число
Сформулируем правило умножения вектора на число:
Если
, то
при
Если
, то
,
.
.
при
;
;
Точки E и F – середины сторон АВ и ВС параллелограмма АВСД, а О –
6.
точка произвольная точка пространства. Выразите вектор
вектор
через
.
Решение:
Так как EF – средняя линия треугольника АВС, EF|| АС и EF = 1/2 АС.
Поэтому
,
,
7. Найти произведение вектора a = {1; 2; -5} на -2.
Решение: (-2) · a = {(-2) · 1; (-2) · 2; (-2) · (-5)} = {-2; -4; 10}.
8. Даны векторы
и
. Найти
и
Компланарные векторы. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
Векторы,
параллельные
одной
плоскости
или
лежащие
на
одной
плоскости
называют компланарными векторами.
Условия компланарности векторов
Для 3-х векторов. Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.
Для 3-х векторов. Три вектора компланарны если они линейно зависимы.
Для n векторов. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых
векторов.
Задача: Даны точки: А(1;0), В(3;1), С(2;5)
1. Найти координаты векторов
.
Решение: Для того, чтобы найти координаты вектора, следует из координат конца вектора (вторая
указанная в его названии точка) вычесть координаты начала (первая точка):
;
;
2. Найти четвертую вершину параллелограмма ABCD.
Решение: Для того, чтобы четырехугольник АВСD был
параллелограммом,
необходимо
и
достаточно,
чтобы
противолежащие стороны были параллельны и равны по длине.
Иными словами, векторы, образующие противолежащие стороны,
должны
быть
равны:
.
Для
этого
векторов:
должны
быть
равны
координаты
этих
,
следовательно,
, откуда
Таким образом, искомая точка D(0;4)
.
3. Даны векторы:
.
Формулы деления отрезка в данном отношении на плоскости
Если известны две точки плоскости
делит
отрезок
Пример 1
Найти координаты
точки
в
точки
, то координаты точки
отношении
,
делящей
Решение: В данной задаче
,
отрезок
, которая
выражаются
в
отношении
формулами:
,
если
известны
. По формулам деления отрезка в данном отношении,
найдём
точку
Ответ:
Пример 2
Даны точки
. Найти:
а) точку
, делящую отрезок
в отношении
;
б) точку , делящую отрезок
в отношении
.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Иногда встречаются задачи, где неизвестен один из концов отрезка:
Пример 3
Точка
принадлежит отрезку
. Известно, что отрезок
в два раза длиннее отрезка
Найти точку
, если
.
Решение: Из условия следует, что точка
вершины , то есть, справедлива пропорция:
отношении:
делит отрезок
в отношении
:
.
, считая от
. По формулам деления отрезка в данном
Сейчас нам неизвестны координаты точки
:
, но это не является особой проблемой, так
как их легко выразить из вышеприведённых формул. В общем виде выражать ничего не стОит, гораздо
проще подставить конкретные числа и аккуратно разобраться с вычислениями:
Ответ:
Для проверки можно взять концы отрезка
и, пользуясь формулами в прямом
порядке, убедиться, что при соотношении
действительно получится точка
. И,
конечно же, конечно же, не лишним будет чертёж. А чтобы окончательно убедить вас в пользе
клетчатой тетради, простого карандаша да линейки, предлагаю хитрую задачу для самостоятельного
решения:
Пример 4
Точка
. Отрезок
в полтора раза короче отрезка
. Найти точку , если известны
координат точек
.
Решение в конце урока. Оно, кстати, не единственное, если пойдёте отличным от образца путём,
то это не будет ошибкой, главное, чтобы совпали ответы.
Формулы деления отрезка в данном отношении в пространстве
Для пространственных отрезков всё будет точно так же, только добавится ещё одна координата.
Если известны две точки пространства
точки
, то координаты
, которая делит отрезок
в отношении
, выражаются формулами:
.
Пример 5
Даны точки
если известно, что
. Найти координаты точки
, принадлежащей отрезку
,
.
Решение: Из условия следует отношение:
. Данный пример взят из реальной
контрольной работы, и его автор позволил себе небольшую шалость (вдруг кто споткнётся) –
пропорцию в условии рациональнее было записать так:
.
По формулам координат середины отрезка:
Ответ:
Трёхмерные чертежи в целях проверки выполнять значительно сложнее. Однако всегда можно
сделать схематический рисунок, чтобы разобраться хотя бы в условии – какие отрезки необходимо
соотносить.
Что касается дробей в ответе, не удивляйтесь, обычное дело. Много раз говорил, но повторюсь: в
высшей математике принято орудовать обыкновенными правильными и неправильными дробями.
Ответ в виде
пойдёт, но вариант с неправильными дробями более стандартен.
Разминочная задача для самостоятельного решения:
Пример 6
Даны точки
. Найти координаты точки , если известно, что она делит
отрезок
в отношении
.
Решение и ответ в конце урока. Если трудно сориентироваться в пропорциях, выполните
схематический чертёж.
В самостоятельных и контрольных работах рассмотренные примеры встречаются как сами по
себе, так и составной частью более крупных задач. В этом смысле типична задача нахождения центра
тяжести треугольника.
Разновидность задания, где неизвестен один из концов отрезка, разбирать не вижу особого
смысла, так как всё будет похоже на плоский случай, разве что вычислений чуть больше. Лучше
вспомним годы школьные:
Формулы координат середины отрезка
Даже неподготовленные читатели могут помнить, как разделить отрезок пополам. Задача деления
отрезка на две равные части – это частный случай деления отрезка в данном отношении. Двуручная
пила работает самым демократичным образом, и каждому соседу за партой достаётся по одинаковой
палке:
В этот торжественный час стучат барабаны, приветствуя знаменательную пропорцию
общие формулы
и
.И
чудесным образом преображаются в нечто знакомое
простое:
Удобным моментом является тот факт, что координаты концов отрезка можно безболезненно
переставить:
В общих формулах такой роскошный номер, как понимаете, не проходит. Да и здесь в нём нет
особой надобности, так, приятная мелочь.
Для пространственного случая справедлива очевидная аналогия. Если даны концы
отрезка
,
то
координаты
его
середины
выражаются
формулами:
Пример 7
Параллелограмм
задан координатами своих вершин
. Найти
точку пересечения его диагоналей.
Решение: Желающие могут выполнить чертёж. Граффити особенно рекомендую тем, кто
капитально забыл школьный курс геометрии.
По известному свойству, диагонали параллелограмма своей точкой пересечения
делятся
пополам, поэтому задачу можно решить двумя способами.
Способ первый: Рассмотрим противоположные вершины
. По формулам деления
отрезка
пополам
найдём
середину
диагонали
:
В результате:
Способ второй: Рассмотрим противоположные вершины
отрезка
пополам
найдём
Таким образом:
Ответ:
середину
. По формулам деления
диагонали
:
Раздел 6. Координаты и векторы.
Занятие 13 (2/26)
Скалярное произведение векторов. Решение задач на вычисление угла между
векторами и произведения
Рассмотрим свободные ненулевые векторы
точки
и
. Отложим данные векторы от произвольной
Угол между векторами
может принимать значения от 0 до 180 градусов (от 0 до
радиан) включительно. Аналитически данный факт записывается в виде двойного
неравенства:
В литературе значок угла
либо
(в радианах).
часто пропускают и пишут просто
.
Определение: Скалярным произведением двух векторов
и
называется ЧИСЛО, равное
произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
Обозначение: скалярное произведение обозначается через
или просто
.
Результат операции является ЧИСЛОМ: Умножается вектор на вектор, а получается число.
Действительно, если длины векторов
произведение
– это числа, косинус угла – число, то их
тоже будет числом.
Решение задач
Пример 1
Найти скалярное произведение векторов
Решение: Используем формулу
и
, если
. В данном случае:
Ответ:
Значения косинуса можно найти в тригонометрической таблице.
Пример 2
Найти
, если
, а угол между векторами равен
.
Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока.
Угол между векторами и значение скалярного произведения
В Примере 1 скалярное произведение получилось положительным, а в Примере 2 –
отрицательным. Выясним, от чего зависит знак скалярного произведения. Смотрим на нашу
формулу:
. Длины ненулевых векторов всегда
положительны:
, поэтому знак может зависеть только от значения косинуса.
Как уже отмечалось, угол между векторами может изменяться в пределах
этом возможны следующие случаи:
1) Если угол между векторами острый:
, и при
(от 0 до 90 градусов), то
и скалярное произведение будет положительным:
,
. Особый случай: если
векторы сонаправлены, то угол между ними считается нулевым
, и скалярное
произведение также будет положительным. Поскольку
, то формула
упрощается:
.
2) Если угол между векторами тупой:
(от 90 до 180 градусов), то
, и, соответственно, скалярное произведение отрицательно:
. Особый случай: если
векторы направлены противоположно, то угол между ними считается развёрнутым:
(180 градусов). Скалярное произведение тоже отрицательно, так как
Справедливы и обратные утверждения:
1) Если
, то угол между данными векторами острый. Как вариант, векторы сонаправлены.
2) Если
, то угол между данными векторами тупой. Как вариант, векторы направлены
противоположно.
Но особый интерес представляет третий случай:
3) Если угол между векторами прямой:
(90 градусов), то
и скалярное
произведение равно нулю:
. Обратное тоже верно: если
, то
.
Компактно утверждение формулируется так: Скалярное произведение двух векторов равно нулю
тогда и только тогда, когда данные векторы ортогональны. Короткая математическая
запись:
Свойства скалярного произведения
Для произвольных векторов
1)
и любого числа
справедливы следующие свойства:
– переместительный или коммутативный закон скалярного произведения.
2)
– распределительный или дистрибутивный закон скалярного
произведения. Попросту, можно раскрывать скобки.
3)
Пример 3
– сочетательный или ассоциативный закон скалярного произведения.
Найти скалярное произведение векторов
что
и
, если известно,
.
Решение: Сумма векторов
и
представляет собой вполне определенный вектор, который
и обозначен через . Геометрическую интерпретацию действий с векторами можно найти в
статье. Та же петрушка с вектором
– это сумма векторов
Итак, по условию требуется найти скалярное произведение
рабочую формулу
и
.
. По идее, нужно применить
, но беда в том, что нам неизвестны длины
векторов
и угол между ними. Зато в условии даны аналогичные параметры для
векторов
, поэтому мы пойдём другим путём:
(1) Подставляем выражения векторов
.
(2) Раскрываем скобки по правилу умножения многочленов,
(3) В первом и последнем слагаемом компактно записываем скалярные квадраты
векторов:
. Во втором слагаемом используем перестановочность скалярного
произведения:
.
(4) Приводим подобные слагаемые:
.
(5) В первом слагаемом используем формулу скалярного квадрата
, о которой не так
давно упоминалось. В последнем слагаемом, соответственно, работает та же штука:
Второе слагаемое раскладываем по стандартной формуле
(6) Подставляем данные условия
окончательные вычисления.
.
.
, и ВНИМАТЕЛЬНО проводим
Ответ:
Отрицательное значение скалярного произведения констатирует тот факт, что угол между
векторами
Пример 4
является тупым.
Найти скалярное произведение векторов
что
Пример 5
, если известно,
.
Найти длину вектора
Решение будет следующим:
, если
(1) Поставляем выражение вектора
(2) Используем формулу длины:
целое выражение
и
.
.
, при этом в качестве вектора «вэ» у нас выступает
.
(3) Используем школьную формулу квадрата суммы
как она здесь любопытно работает:
. Обратите внимание,
–
фактически это квадрат разности, и, по сути, так оно и есть. Желающие могут переставить
векторы местами:
точностью до перестановки слагаемых.
(4) Дальнейшее уже знакомо из двух предыдущих задач.
– получилось то же самое с
Ответ:
Коль скоро речь идёт о длине, не забываем указать размерность – «единицы».
Пример 6
Найти длину вектора
, если
.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Угол между векторами
Продолжаем выжимать полезные вещи из скалярного произведения. Снова посмотрим на нашу
формулу
левой части:
. По правилу пропорции сбросим длины векторов в знаменатель
А части поменяем местами:
В чём смысл данной формулы? Если известны длины двух векторов и их скалярное
произведение, то можно вычислить косинус угла между данными векторами, а, следовательно, и
сам угол.
Скалярное произведение
дробь
– это число? Число. Длины векторов
тоже является некоторым числом
угла:
– числа? Числа. Значит,
. А если известен косинус
, то с помощью обратной функции легко найти и сам
угол:
Пример 7
.
Найти угол между векторами
и
Решение: Используем формулу:
, если известно, что
.
На заключительном этапе вычислений использован технический приём – устранение
иррациональности в знаменателе. В целях устранения иррациональности я домножил числитель
и знаменатель на
Итак, если
Ответ:
Пример 8
.
, то:
Найти скалярное произведение векторов:
а)
и
б)
и
Решение:
, если даны точки
а) Здесь даны векторы плоскости. По формуле
:
К слову: скалярное произведение получилось отрицательным, значит, угол между данными
векторами является тупым. Пытливые умы могут отложить на плоскости векторы
точки, и убедиться, что это действительно так.
б) А тут речь идёт о точках и векторах пространства. Сначала найдём векторы:
от одной
Надеюсь, эта простейшая задача у вас уже отработана.
По формуле
вычислим скалярное произведение:
К слову: скалярное произведение положительно, значит, угол между пространственными
векторами
является острым.
Ответ:
При некотором опыте скалярное произведение можно приноровиться считать устно.
Проверка векторов на ортогональность с помощью скалярного произведения
векторы и
ортогональны тогда и только тогда, когда
. В координатах данный факт
запишется следующим образом:
(для векторов плоскости);
(для векторов пространства).
Пример 9
а) Проверить ортогональность векторов:
и
б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки
и
,
если
Решение:
а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное
произведение:
, следовательно,
б) Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости (в чём сходство и различия вектора и
отрезка, я очень подробно разъяснил на первом уроке). Речь идёт об обычных отрезках, а задача
всё равно решается через векторы. Найдём векторы:
Вычислим их скалярное произведение:
, значит, отрезки
и
не перпендикулярны.
Раздел 6. Координаты и векторы.
Занятие 14 (2/28)
Проверочная работа по теме : «Координаты и векторы в пространстве»
1 вариант
Часть 1
1. ABCDA1B1C1D1 –прямоугольный параллелепипед. Назовите вектор, равный сумме
векторов
;
2. Изобразите систему координат в пространстве и A(-2; 3; -4).
3. Найдите длину вектора
.
4. Найдите координаты
если
.
5. Выясните, при каких значениях s и , вектора
- коллинеарны.
6. Найдите координаты точки K, если A(0;3;4); В(1;4;4), а точка К-середина АВ.
7. Найдите скалярное произведение векторов
.
Часть 2
1. Найдите расстояние от точки P(-2; 3; 1) до оси абсцисс.
2. Вычислите угол между векторами
, если M(3;-2;4), N(4;-1;2), K(6;-3;2), P(7;-3;1).
3. В тетраэдре ABCD точка M – середина ребра BC.
Выразите
4. Точка A(2;-1;5), точка B симметрична точке A относительно начала координат,
точка C симметрична точке Bотносительно плоскости Oxz. Найдите расстояние между
точками A и С.
2 вариант
Часть 1
1. ABCDA1B1C1D1 –прямоугольный параллелепипед. Назовите вектор, равный сумме
векторов
;
2. Изобразите систему координат в пространстве и A(1; -2; 4).
3. Найдите длину
.
4. Найдите координаты
если
.
5. Выясните, при каких значениях g и , вектора
- коллинеарны.
6. Найдите координаты точки М, если А(3;-2;1); С(-1;2;2), а точка М-середина АС.
7. Найти скалярное произведение векторов
.
Часть 2
1. Найдите расстояние от точки F(-4; 2; 1) до плоскости Охz.
2. Вычислите угол между векторами
, если А(5;-8;-1), В(6;-8;-2), С(7;-5;-11), D(7;7;-9).
3. В тетраэдре ABCD точка M – середина ребра AC.
Выразите
4. Точка D(-2;1;4), точка В симметрична точке D относительно оси Оy, точка С симметрична
точке В относительно начала координат. Найдите расстояние между точками D и С.
3 вариант
Часть 1
1. ABCDA1B1C1D1 –прямоугольный параллелепипед. Назовите вектор, равный сумме
векторов
;
2. Изобразите систему координат в пространстве и A(-3; -2; 1).
3. Найдите длину вектора
.
4.
5.
6.
7.
Найдите координаты
если
.
Выясните, при каких значениях s и , вектора
- коллинеарны.
Найдите координаты точки K, если A(1;-2;2); В(-1;4;1), а точка К-середина АВ.
Найдите скалярное произведение векторов
.
Часть 2
1. Найдите расстояние от точки P(5; 2; -1) до оси аппликат.
2. Вычислите угол между векторами
, если M(-2;3;4), N(-1;4;2), K(2;-3;6), P(1;-3;7).
3. В тетраэдре ABCD точка M – середина ребра CD.
Выразите
4. Точка A(3;1;2), точка B симметрична точке A относительно начала координат,
точка C симметрична точке B относительно оси Oy. Найдите расстояние между
точками A и С.
Раздел 7 Многогранники и круглые тела
Занятие 15 (2/30)
Многогранники. Призма. Виды призм. Площадь поверхности.
Определение. Многогранник- это тело, поверхность которого состоит из конечного числа
плоских многоугольников.
Определение. Многогранник называется правильным, если все его грани - равные
правильные многоугольники, а все многогранные углы имеют одинаковое число граней. Все
ребра правильного многогранника - равные отрезки, все плоские углы правильного
многогранника также равны.
Определение. Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от
плоскости любой его грани.
Определение. Отрезок, соединяющий две вершины многогранника, не принадлежащие одной
грани, называется диагональю многогранника.
Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если:
1) все его грани – равные правильные многоугольники;
2) в каждой вершине сходится одинаковое количество граней;
3) все его двугранные углы равны.
Следствия. В правильном многограннике равны:
а) все ребра;
б) все плоские и многогранные углы и в каждой вершине сходится одинаковое количество
ребер.
Существует всего пять правильных многогранников:
Правильный
тетраэдр
Правильный
октаэдр
Правильный
икосаэдр
Куб (гексаэдр)
Правильный
додекаэдр
Составлен из
четырёх
равносторонних
треугольников
Составлен из
восьми
равносторонних
треугольников.
Составлен из
двадцати
равносторонних
треугольников
Составлен из
шести квадратов
Составлен из
двенадцати
правильных
пятиугольников
Следствие. Выпуклых многогранников, у которых в каждой грани больше пяти ребер или в
каждой вершине сходится более пяти ребер не существует.
Теорема Эйлера: Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер,
увеличенному на 2. Г + В = Р + 2
Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике равно 2.
Г+ВР=2
Правильный многогранник
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр
Число
граней
4
6
8
12
20
вершин
4
8
6
20
12
рёбер
6
12
12
30
30
Призма. Виды призм. Площадь поверхности призмы
Определение. Призмой называется многогранник, составленный из двух равных
многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях, и параллелограммов_
А1 А2…АnВ1В2Вn – _призма_
Многоугольники: А1А2…Аn и В1В2…Вn –
основания призмы_
Параллелограммы: А1А2В2В1,
А1 А2В2В1,…АnА1В1Вn – _боковые грани
Отрезки А1В1, А2В2…АnBn – боковые ребра
призмы.
Общие свойства призмы
1. Основания призмы равны
2. Основания призмы лежат в параллельных
плоскостях
3. У призмы боковые рёбра параллельны и
равны
4. Любая боковая грань является
параллелограммом
Определение. Перпендикуляр,
проведенный из какой-нибудь точки
основания к плоскости другого основания,
называется высотой призмы (рис.1)
Рис.1
Определение. Если боковые ребра
перпендикулярны к основаниям, то призма
называется прямой (рис. 2), в противном случае
призма называется наклонной (рис.3)
Высота прямой призмы равна ее боковому
ребру.
Рис.2
Рис.3
Название призмы зависит от того, какие многоугольники лежат в её основаниях:
треугольники – треугольная призма, пятиугольники – пятиугольная и т.д. Четырёхугольная
призма является параллелепипедом.
В основании
равносторонний
треугольник
Определение. Прямая призма называется
правильной, если ее основания – правильные
многоугольники.
Замечание: У правильной призмы все
В основании
квадрат
В основании
правильный
6-угольник
Диагонали призмы.
Определение. Диагональю призмы
называется отрезок, соединяющий две вершины
не принадлежащие оной грани.
боковые грани –равные
прямоугольники.(Рис.4)
B1
C1
A1
D1
B
Рис.4
C
A
D
Диагональное сечение призмы
Определение. Сечение призмы плоскостями,проходящими через два боковых ребра, не принадлежащих одной
грани, называются диагональными сечениями.
Замечание. Диагональные сечения призмы являются параллелограммы.
D
E1
A1
A1
C
A
A1
D
E
A
C
C
B1
B1
D
E
C
B
B
A1
C
B1
A
D
E
C
B
D
E1
D
E1
C
B1
E
D
E1
A
D
C
B
Определение.Площадью полной поверхности призмы- сумма площадей всех ее граней
Sполн = Sбок + 2Sосн
Определение. Площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней
и обозначается Sбок.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на
высоту призмы: Sбок
Росн Н
Домашнее задание. Решение задач на готовых чертежах
Раздел 7 Многогранники и круглые тела
Занятие 16 (2/32)
Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед. Свойства
параллелепипеда.
Определение. Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и А1В1С1D1 и четырех параллелограммов АВВ1А1, ВСС1В1, СDD1С1,
DАА1D1, называется параллелепипедом (рис. 1).
То есть: имеем два равных параллелограмма АВСD и А1В1С1D1 (основания), они
лежат в параллельных плоскостях так, что боковые ребра АА1, ВВ1, DD1, СС1 параллельны. Таким образом, составленная из параллелограммов поверхность называется параллелепипедом.
Рис. 1 Параллелепипед
Таким образом, поверхность параллелепипеда - это сумма всех параллелограммов, из которых составлен параллелепипед.
Свойства параллелепипеда
1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
(фигуры равны, то есть их можно совместить наложением)
Например:
АВСD = А1В1С1D1 (равные параллелограммы по определению),
АА1В1В = DD1С1С (так как АА1В1В и DD1С1С – противоположные грани параллелепипеда),
АА1D1D = ВВ1С1С (так как АА1D1D и ВВ1С1С – противоположные грани параллелепипеда).
2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Диагонали параллелепипеда АС1, В1D, А1С, D1В пересекаются в одной точке О, и каждая диагональ делится этой
точкой пополам (рис. 2).
Рис. 2
3. Имеются три четверки равных и параллельных ребер параллелепипеда: 1 – АВ, А1В1, D1C1, DC, 2 – AD, A1D1,
B1C1, BC, 3 – АА1, ВВ1, СС1, DD1.
Прямой параллелепипед
Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны основаниям.
Пусть боковое ребро АА1 перпендикулярно основанию (рис. 3). Это означает, что прямая АА1 перпендикулярна прямым АD и АВ, которые лежат в плоскости основания. А, значит, в боковых гранях лежат прямоугольники. А в основаниях лежат произвольные параллелограммы. Обозначим, BAD = φ, угол φ может быть любым.
Рис. 3 Прямой параллелепипед
Итак, прямой параллелепипед - это параллелепипед, в котором боковые ребра перпендикулярны основаниям параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед
Определение. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. Основания являются прямоугольниками.
Параллелепипед АВСDА1В1С1D1 – прямоугольный (рис. 4), если:
1. АА1⊥ АВСD (боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть параллелепипед прямой).
2.
ВАD = 90°, т. е. в основании лежит прямоугольник.
Рис. 4 Прямоугольный параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда. Но есть дополнительные свойства, которые выводятся из определения прямоугольного параллелепипеда.
Итак, прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию. Основание прямоугольного параллелепипеда - прямоугольник.
Свойства прямоугольного параллелепипеда
1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.
АВСD и А1В1С1D1 – прямоугольники по определению.
2. Боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, все боковые грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.
3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.
Рассмотрим, например, двугранный угол прямоугольного параллелепипеда с ребром АВ, т. е. двугранный угол
между плоскостями АВВ1 и АВС.
АВ – ребро, точка А1 лежит в одной плоскости – в плоскости АВВ1, а точка D в другой – в плоскости А1В1С1D1.
Тогда рассматриваемый двугранный угол можно еще обозначить следующим образом: ∠А1АВD.
Возьмем точку А на ребре АВ. АА1 – перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВВ1, AD перпендикуляр к ребру АВ в
плоскости АВС. Значит, ∠А1АD – линейный угол данного двугранного угла. ∠А1АD = 90°, значит, двугранный
угол при ребре АВ равен 90°.
∠(АВВ1, АВС) = ∠(АВ) = ∠А1АВD= ∠А1АD = 90°.
Аналогично доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.
Теорема.Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Примечание. Длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда, являются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Их иногда называют длина, ширина, высота.
:.
Следствие - Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны
Определение. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.
Все грани куба – это равные квадраты.
Задача 1 Найти диагональ куба
Найти диагональ куба с ребром 1 (рис. 7).
Рис. 7
Решение:
см.
Ответ:
см.
Задача 2
Рисунок
Дан куб АВСDА1В1С1D1 (рис. 8). Докажите, что плоскости АВС1 и А1В1D перпендикулярны.
Рис. 8
Доказательство:
Прямые ВС1 и В1С перпендикулярны как диагонали квадрата ВВ1С1С.
Прямая DC перпендикулярна плоскости ВВ1С1, а значит, и прямой ВС1, которая лежит в этой плоскости.
Имеем, прямая ВС1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым В1С и DC плоскости, значит А1В1D. Значит,
прямая ВС1 перпендикулярна плоскости А1В1D.
Плоскость АВС1 проходит через перпендикуляр ВС1 ко второй плоскости А1В1D, значит, плоскости АВС1 и А1В1D
перпендикулярны по признаку, что и требовалось доказать.
Раздел 7 Многогранники и круглые тела
Занятие 17 (2/34)
Пирамида, свойства пирамид. Площадь поверхности пирамид.
Построение пирамиды
построить основания пирамиды (n-угольник)
за вершину можно принять любую точку, не принадлежащую сторонам основания
соединить отрезками вершину пирамиды со всеми вершинами основания
В случае правильной пирамиды:
высота изображается вертикальным отрезком
основание высоты является центром окружности,
описанной около основания
Пирамида – многогранник, составленный из n - угольника А1А2…Аn и n треугольников
Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника-основания
пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания-вершины пирамиды, и всех отрезков,
соединяющих вершину пирамиды с точками основания.
Элементы пирамиды.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость
основания.
Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми
ребрами.
Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник.
Треугольная пирамида называется также тетраэдром.
Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок,
соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.
Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными
равнобедренными треугольниками
Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины
Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу
Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды: Sбок = 1/2 Pосн * а
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра
основания на апофему
Усеченная пирамида
Усеченной пирамидой называется многогранник, у которого вершинами служат вершины
основания и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию.
Свойства усеченной пирамиды:
Основания усеченной пирамиды — подобные многоугольники.
Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции.
Боковые ребра правильной усеченной пирамиды равны и одинаково наклонены к основанию
пирамиды.
116
Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные между собой равнобедренные
трапеции и одинаково наклонены к основанию пирамиды.
Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды равны.
Сечение пирамиды
Основные формулы
Пирамида:
Sполн = Sосн + Sбок
V = 1/3 Sосн * H
Правильная пирамида:
5. Закрепление изученного материала (решение задач)
№ 1. (устно) по готовому рисунку: Дана пирамида. Найти боковое ребро, если известна высота –
6, угол, образованный боковым ребром с плоскостью основания ? = 30°.(Cлайд 10) – свойство в
прямоугольном треугольнике
№ 2. В основании пирамиды Хеопса – квадрат со стороной 230м, тангенс угла наклона боковой
грани к основанию равен 1,2. Найти высоту самой высокой египетской пирамиды, если основание ее
лежит в центре квадрата.
№ 3. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с плоскостью основания
угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если сторона основания равна а.
№ 4. В правильной четырехугольной пирамиде найдите сторону основания, если боковое ребро
равно 5 см, а полная поверхность 16 см2
№ 5. Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если ее апофема
равна 4 см, а угол между апофемой и высотой пирамиды равен 30°.
117
Раздел 7 Многогранники и круглые тела
Занятие 18 (2/36)
Цилиндр. Сечение цилиндра плоскостью.
Рассмотрим рисунок: две параллельные плоскости
и и окружность L с центром O радиуса r ,
расположенную в плоскости . Через каждую точку
окружности L проведем прямую перпендикулярную к
плоскости . Отрезки этих прямых, заключенные
между плоскостями и , образуют
цилиндрическую поверхность. Сами отрезки
называются образующими цилиндрической
поверхности (на рис.1 AA1, MM1 – образующие).
По построению концы образующих, расположенные
в плоскости , заполняют окружность L. Концы же образующих, расположенные в плоскости ,
заполняют окружность L1 с центром O1 радиуса r, где O1 – точка пересечения плоскости с прямой,
проходящей через точку O перпендикулярно к плоскости .
Справедливость этого утверждения следует из того, что множество концов образующих, лежащих
в плоскости , получается из окружности L параллельным переносом на вектор OO1 .
Рассмотрим рисунок 2:
Определение. Тело, ограниченное цилиндрической
поверхностью и двумя кругами с границами L и L1 называется
цилиндром.
Определение. Цилиндрическая поверхность называется
боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями
цилиндра. Определение. Образующие цилиндрической
поверхности называются образующими цилиндра.
Все образующие параллельны и равны друг другу как
отрезки параллельных прямых, заключенных между
параллельными
плоскостями и
. Длина образующей называется высотой цилиндра, а
радиус основания – радиусом цилиндра.
Рассмотрим рис. 3:
Цилиндр может быть получен вращением
прямоугольника
вокруг одной из
его сторон. На
рисунке изображен
цилиндр,
полученный
вращением
прямоугольника ABCD вокруг стороны AB.
Рассмотрим рис 4:
Здесь представлены сечения цилиндра различными
плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось
цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, а
сечение называется осевым. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение
является кругом.
На практике нередко встречаются цилиндры более сложной формы.
118
Рассмотрим рисунок 5:
Здесь изображен цилиндр, в
основании которого фигура,
ограниченная параболой и отрезком.
Рассмотрим рисунок 6:
На нём изображен цилиндр, у
которого основания – круги, но
образующие не перпендикулярны
основаниям.
Площадь поверхности цилиндра.
Рассмотрим рисунок 7:
Представим себе, что боковую
поверхность цилиндра разрезали по
образующей AB и развернули таким
образом, чтобы все образующие лежали
в некоторой плоскости . В результате
в плоскости получается
прямоугольник ABB A . Этот
прямоугольник называется разверткой
боковой поверхности цилиндра. AA –
развертка окружности основания,
поэтому AA 2r . AB h – высота цилиндра.
За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки.
Поэтому
Sбок 2rh .
Площадь полной поверхности равна: S цил 2r ( r h ) .
Ршение задач.
№1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой
диагональю и образующей цилиндра равен 60 . Найдите: а) высоту цилиндра; б)
радиус цилиндра; в) площадь основания цилиндра.
№2. Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь
сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между
этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см.
119
Раздел 7 Многогранники и круглые тела
Занятие 19 (2/38)
Конус. Сечение конуса плоскостью.
Конус
Опр. Конусом называется тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей
в плоскости этого круга – вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с
точками основания.
Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называют
образующими конуса (рис. 1). Образующие конуса равны.
рис. 1
рис. 2
рис. 3
рис. 4
рис. 5
Опр. Радиусом конуса называется радиус его основания.
Опр. Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость
основания.
Опр. Сечение конуса плоскостью, проходящей через его
ось, называется осевым сечением.
Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник,
основание которого равно 2R, а боковые стороны – l (рис. 2)
Любое сечение конуса, проходящее через его вершину,
представляет собой равнобедренный треугольник (рис. 3).
Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию – круг, подобный основанию (рис. 4)
Плоскость, пересекающая конус параллельно его основанию, отсекает от него меньший конус.
Оставшаяся часть называется усеченным конусом (рис. 5)
Площадь поверхности конуса.
Боковая поверхность конуса составлена из образующих.
Полная поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.
Sполн = Sосн + Sбок; Sосн = П∙R2; Sбок = П∙R∙l
Sполн = ПR∙(R +l)
для усеченного конуса Sбок = Пl∙(R +r), где l – образующая усеченного конуса, R – радиус
нижнего основания, r – радиус верхнего основания.
Практическая часть:
№1. Образующая конуса равна 8см, а радиус – 2см. Найдите высоту и полную поверхность
конуса.
№2. В конусе высота равна 15см, а образующая наклонена к основанию под углом 45 . Найдите
боковую поверхность конуса.
№3. Найдите боковую поверхность конуса, диаметр основания которого равен 6м, а высота – 4м.
№4. Радиус основания конуса 3м, высота 4м. Найдите образующую конуса.
№5. Радиусы оснований усеченного конуса равны 3м и 6м, высота 4м. Найдите образующую.
№6. Радиусы оснований усеченного конуса равны 3дм и 7дм, образующая 5дм. Найдите площадь
осевого сечения.
№7. Конусообразная палатка высотой 3,5м с диаметром основания 4м покрыта парусиной.
Сколько
квадратных метров парусины пошло на палатку?
№8. Крыша силосной башни имеет форму конуса. Высота крыши 2м, диаметр башни 6м. Найдите
поверхность крыши.
120
Раздел 7 Многогранники и круглые тела
Занятие 20 (2/40)
Шар и сфера. Сечение шара плоскостью.
Определение. Шаром называется тело, которое состоит из всех точек
пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки Эта
точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара.
Определение. Отрезок, соединяющий центр шара с точкой на его поверхности,
называется радиусом шара.
Определение. Отрезок, соединяющий две точки на поверхности шара и проходящий через центр,
называется диаметром шара, а концы этого отрезка – диаметрально противоположными точками
шара.
Центр шара является его центром симметрии.
Определение. Множество точек пространства, равноудалённых от данной точки,
называется сферой (рис. 2). Другое название сферы – шаровая поверхность.
Отрезок, соединяющий центр сферы с точкой на его
поверхности, называется радиусом сферы.
Определение. Точки, лежащие на сфере, Рис.2
называются точками сферы.
Определение. Отрезок, соединяющий центр сферы с точкой на его поверхности,
называется радиусом сферы.
Определение. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр,
называется диаметром сферы, а концы этого отрезка – диаметрально
противоположными точками сферы.
Определение. Отрезок, соединяющий две точки, принадлежащие сфере, называется
хордой сферы.
Шар получен вращением полукруга вокруг оси, содержащей его диаметр.
Сфера получена вращением полуокружности вокруг оси, содержащей её диаметр. (рис. 3)
Сечения шара (сферы) плоскостью.
Определение: Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью.
Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы
– большой окружностью
Теорема. Любое сечение шара плоскостью есть круг. Перпендикуляр, опущенный из
центра шара на секущую плоскость, попадает в центр этого круга (рис. 5).
Рис. 5
Наибольший радиус сечения получается, когда плоскость проходит
через центр шара. Круг, получаемый в этом случае, называется большим кругом.
Большой круг делит шар на два полушара (рис. 6).Чем меньше расстояние от центра
шара до плоскости, тем больше радиус сечения.
Рис. 6
d1 d2 r1 r2
r R2 d 2плоскость
d 2 OO
d1 OO
2
1
Любая диаметральная
шара
является
плоскостью
его симметрии. Центр
шара является его центром симметрии
Плоскость, касательная к шару (сфере).
Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности, называется
касательной плоскостью к шару. Точка А – точка касания.
Касательная плоскость с шаром имеет только одну точку касания. Прямая,
проходящая через эту точку, называется касательной к шару в
этой точке (рис. 7)
Рис. 7
Теорема: Касательная плоскость имеет со сферой одну общую точку (точку касания
А) и перпендикулярна к радиусу сферы, проведённому в эту точку.
Определение Прямая называется касательной, если она имеет со сферой ровно
одну общую точку (рис. 8). Эта прямая перпендикулярна радиусу, проведенному в
121
точку касания. Через любую точку сферы можно провести бесчисленное множество касательных
прямых.
Рис. 8
Взаимное расположение двух шаров.
Если два шара или сферы имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются. Их
общая касательная плоскость перпендикулярна линии центров (прямой, соединяющей центры обоих
шаров). Касание шаров может быть внутренним и внешним (и рис.10)
рис. 10
Взаимное расположение шара (сферы) и плоскости.
Исследуем взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между
радиусом сферы и расстоянием от ее центра до плоскости. Введем прямоугольную систему
координат Oxyz. Построим плоскость α, совпадающую с плоскостью Оху. Изобразим сферу с
центром в точке С, лежащей на положительной полуоси Oz и имеющей координаты (0;0;d), где d расстояние (перпендикуляр) от центра сферы до плоскости α.
Введем обозначения:
R – радиус сферы; d – расстояние от центра сферы до плоскости α; С – центр сферы.
В зависимости от соотношения d и R возможны 3 случая.
Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса
1 случай:
d R этой сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность.
В этом случае плоскость называется секущей по отношению к
сфере. Сечение шара плоскостью есть круг. Радиус сечения
выражается через радиус шара R и расстояние d от центра шара до
2 случай:
плоскости сечения следующим образом: r R d
Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу этой
сферы, то сфера и плоскость имеют ровно одну общую точку.
3случай:
Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса
этой сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.
2
d R
d R
2
Уравнение сферы.
Уравнения с тремя переменными x, y, z а прямоугольной системе координат называется
уравнением поверхности F.
В прямоугольной системе координат сфера радиуса R с центром C (x0;y0;z0) имеет уравнение:
( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z 0 ) 2 R 2
Если центр сферы находится в начале координат, то уравнение сферы x² + y² + z² = R²
2
Площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле S 4 R
122
Раздел 7 Многогранники и круглые тела
Занятие 21 (2/42)
Решение задач на тела вращения.
1. Радиус основания цилиндра 2 м, а высота 3 м. Найдите диагональ осевого сечения.
Решение:
2.Осевое сечение цилиндра-квадрат, площадь которого Q. Найдите площадь основания
цилиндра.
3.Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см. Найдите площадь сечения, проведенного
параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от нее.
Решение:
123
4.Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найдите образующую l.
Решение:
5.Радиусы оснований усеченного конуса 3 дм и 7 дм, образующая 5 дм. Найдите площадь
осевого сечения.
Решение:
6.Шар, радиус которого 41 дм, пересечен плоскостью на расстоянии 9 дм от центра.
Найдите площадь сечения.
Решение:
124
Задачи для самостоятельного решения:
1. Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр пересечен плоскостью
так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от этого сечения до оси.
2. Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Концы отрезка АВ, равного 10
дм, лежат на окружностях обоих оснований. Найдите кратчайшее расстояние от него
до оси.
3. В равностороннем цилиндре (диаметр равен высоте цилиндра) точка
окружности верхнего основания соединена с точкой окружности нижнего основания.
4. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между
диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте
цилиндра.
5. Высота цилиндра 2 м. Радиус основания 7 м. В этот цилиндр наклонно вписан
квадрат-так, что все вершины его лежат на окружностях оснований. Найдите сторону
квадрата.
6. Образующая конуса l наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите
высоту.
7. Радиус основания конуса R. Осевым сечением конуса является прямоугольный
треугольник. Найдите его площадь.
8. В равностороннем конусе (осевое сечение-правильный треугольник) радиус
основания R. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол
между которыми равен α.
9. Высота конуса 20, радиус его основания 25. Найдите площадь сечения,
проведенного через вершину, если расстояние от него до центра основания конуса
равно 12.
10. Радиус основания конуса R, а образующая наклонена к плоскости основания под
углом α. Через вершину конуса проведена плоскость под углом φ к его высоте.
Найдите площадь полученного сечения.
11. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии d от
вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса r, а высота h
12. Высота конуса h. На каком расстоянии от вершины надо провести плоскость,
параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади
основания
13. Через середину высоты конуса проведена прямая, параллельная образующей l.
Найдите длину отрезка прямой, заключенной внутри конуса.
14. Образующая конуса 13 см, высота 12 см. Конус пересечен прямой, параллельной
основанию, расстояние от нее до основания равно 6 см, а до высоты-2 см. Найдите
отрезок прямой, заключенный внутри конуса.
15. Радиусы оснований усеченного конуса 3 м и 6 м, высота 4 м. Найдите
образующую.
16. Радиусы оснований усеченного конуса R и r, образующая наклонена к
основанию под углом 45°. Найдите высоту h.
17. Образующая усеченного конуса равна 2a и наклонена к основанию под углом
60°. Радиус одного основания вдвое больше радиуса другого основания. Найдите
радиусы.
18. Площади оснований усеченного конуса 4 дм2 и 16 дм2, через середину высоты
проведена плоскость, параллельная основаниям. Найдите площадь сечения.
125
19. Площадь оснований усеченного конуса M и m. Найдите площадь среднего
сечения, параллельного основаниям.
20. У пирамиды все боковые ребра равны. Докажите, что она является вписанной в
некоторый конус.
21. В конусе даны радиус основания R и высота H. Найдите ребро вписанного в него
куба.
22. В конусе даны радиус основания R и высота H. В него вписана правильная
треугольная призма, у которой боковые грани-квадраты. Найдите ребро призмы.
23. Полушар и вписанный в него конус имеют общее основание и общую высоту.
Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Докажите, что
площадь сечения, заключенного между боковой поверхностью конуса и поверхностью
полушара. равна половине площади основания.
24. Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как
относится площадь полученного сечения к площади большого круга?
25. Радиус шара R. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 60° к нему.
Найдите площадь сечения.
26. Радиус земного шара R. Чему равна длина параллели, если ее широта 60°?
27. Город N находится на 60° северной широты. Какой путь совершает этот пункт в
течение 1 ч. вследствие вращения Земли вокруг своей оси?
28. На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними
6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара 13 см. Найдите расстояние от центра до плоскости,
проходящей через эти точки.
29. Диаметр шара 25 см. На его поверхности даны точка А и окружность, все точки
которой удалены (по прямой) от А на 15 см. Найдите радиус этой окружности.
30. Радиус шара 7 см. На его поверхности даны две равные окружности, имеющие
общую хорду длиной 2 см. Найдите радиусы окружностей, зная, что их плоскости
перпендикулярны.
31. Дан шар радиуса R. Через одну точку его поверхности проведены две плоскости:
первая-касательная к шару, вторая-под углом 30° к первой. Найдите площадь сечения.
32. Имеется тело, ограниченное двумя концентрическими шаровыми поверхностями
(полый шар). Докажите, что его сечение плоскостью, проходящей через центр,
равновелико сечению, касательному к внутренней шаровой поверхности.
33. Шар радиуса R касается всех сторон правильного треугольника со стороной a.
Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника
34. Стороны треугольника 13 см, 14 см и 15 см. Найдите расстояние от плоскости
треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара 5
см.
35. Диагонали ромба 15 см и 20 см. Шаровая поверхность касается всех его сторон.
Радиус шара 10 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости ромба.
36. Через касательную к поверхности шара проведены две взаимно
перпендикулярные плоскости, пересекающие шар по кругам радиусов r1 и r2 Найдите
радиус шара R.
37. Шар радиуса R вписан в усеченный конус. Угол наклона образующей l к
плоскости нижнего основания конуса равен α. Найдите радиусы оснований и
образующую усеченного конуса.
126
38. Два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на
поверхности другого. Найдите длину линии l, по которой пересекаются их
поверхности.
39. Радиусы шаров 25 дм и 29 дм, а расстояние между их центрами 36 дм. Найдите
длину линии l, по которой пересекаются их поверхности.
40. Найдите радиус шара, описанного около куба с ребром a
41. Докажите, что центр шара, описанного около правильной пирамиды, лежит на ее
оси.
42. Докажите, что центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на ее
высоте.
43. Найдите радиус шара, описанного около правильного тетраэдра с ребром a
44. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна a, а плоский
угол при вершине равен α. Найдите радиусы вписанного и описанного шаров.
45. В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоскими углами
α при ее вершине. Найдите высоту пирамиды.
46. Правильная n-угольная призма вписана в шар радиуса R. Ребро основания
призмы равно a. Найдите высоту призмы при: 1) n=3; 2) n=4; 3) n=6.
47. Сторона основания правильной n-угольной пирамиды равна a, двугранный угол
при основании равен φ. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду.
48. Найдите радиус шара, описанного около правильной n-угольной пирамиды, если
сторона основания равна a, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под
углом α.
127
Раздел 7 Многогранники и круглые тела
Занятие 22 (2/44)
Понятие объема многогранника. Объем параллелепипеда.
1) Понятие объема тела
Еще в глубокой древности у людей возникла необходимость в измерении количества
различных веществ. Сыпучие вещества и жидкости можно было мерить, наполняя ими сосуды
определенной вместимости, т.е. определяя их количество по объему. Понятие объема в
стереометрии вводится аналогично понятию площади в планиметрии. В планиметрии мы
определяли площадь так: площадь многоугольника – это величина той части плоскости,
которую занимает многоугольник. Сформулировать аналогично данному понятию понятие
объема. Величина части пространства, занимаемого геометрическим телом, называется объемом
этого тела.
2) Единицы измерения объема
В повседневной жизни нам часто приходится определять объемы различных тел. Например,
коробки, банки. В житейской практике единицами объема служили меры емкости, используемые для
хранения сыпучих и жидких тел.Среди них английские меры:
Бушель – 36,4 дм3
Галлон – 4,5 дм3
Баррель (сухой) – 115,628 дм3
Баррель (нефтяной) – 158,988 дм3
Английский баррель для сыпучих веществ 163,65 дм 3.
В Киевской Руси существовала мера зерна – кадь. ( Это примерно 230 кг ржи) Жидкости же
мерили бочками и ведрами. В XIX в. система мер жидкости имела вид:
Ведро – 12 дм3
Бочка – 490 дм3
Штоф – 1,23 дм3 = 10 чарок
Чарка – 0,123 дм3=0,1 штофа = 2 шкалика
Шкалик – 0,06 дм3 = 0,5 чарки.
Для того, чтобы определить какая из двух емкостей вместительнее, можно заполнить одну из них
водой, а затем проверить, вся ли вода поместится в другую, и если вся, то заполнит ли она ее
полностью. Однако решить эту задачу иначе – вычислить объем каждой емкости. Для этого нам
нужны единицы объемов. Когда в планиметрии мы вводили единицы площади, то за единицу
площади брали квадрат со стороной 1 см (1 см2). Аналогично, за 1см3 принимаем куб с ребром 1 см.
Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. Число измерения
(единичных кубов) и частей единицы, содержащихся в данном теле, принимается за числовое
значение объема при выбранной единице измерения. Это число может быть как рациональным (в
частности, целым), так и иррациональным.
3) Свойства объемов
Аналогичны свойствам площадей в планиметрии.
1.
Равные тела имеют равные объемы. (Понятие определяется на основе понятия наложения).
2.
Объем тела, состоящего из некоторых частей, равен сумме объемов этих частей.
3.
Объем куба с ребром а равен а3.
4) Объем прямоугольного параллелепипеда
128
Поиск формул,
позволяющих вычислять
объемы
различных тел,
был
долог.
В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для
нахождения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной
пирамиды.
Определять объемы призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки еще задолго до
Архимеда. Но только он имел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем.
Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам ученый определил с помощью своего
метода площади, объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. На
могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным шаром, а
эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда – о том, что объемы
этих тел относятся как 3 : 2.Когда Римский оратор и общественный деятель
Цицерон, живший в 1 в. до н.э., был в Сицилии, он еще видел этот заросший
кустами и терновником памятник с шаром и цилиндром.
Мы будем находить объем прямоугольного параллелепипеда, используя
следующую теорему (давно знакомая вам формула,
попробуйте
сформулировать эту теорему):
Теорема: Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению
трех его измерений: V = abc
5) Следствия
Рассмотрим следствия из данной теоремы
1. Объем прямоугольного параллелепипеда, равен произведению площади основания на высоту.
2. Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен
произведению площади основания на высоту.
Решение задач
Задача 1Сколько пакетов с соком войдет в коробку?
Задача 2Сколько литров воды вмещает бак, имеющий форму куба с ребром 6 дм?
Задача 3За сутки человек совершает вдох и выдох примерно 23 000 раз. За один вдох в легкие
поступает 500 см3 воздуха. Какой объем воздуха ( в литрах) проходит через легкие человека за
сутки?
Задача 4Больному прописали глазные капли, по 2 капли 3 раза в день в оба глаза. Во флаконе 10
мл лекарства. Объем капли 1/9 мл. Хватит ли одного флакона на неделю?
Задача6.Найти
объём многогранника
(все двугранные углы прямые)
129
Задача7Прямоугольн
Задача8Найти
ый параллелепипед
объём многогранника
описан около цилиндра, (все двугранные углы радиус основания и
прямые)
высота которого
Задача9Прямоугольн
ый параллелепипед
описан около цилиндра,
радиус основания и
высота которого равны
2. Найдите объём
параллелепипеда.
130
Раздел 7 Многогранники и круглые тела
Занятие 23 (2/46)
Объем призмы и пирамиды. Решение задач на вычисление объема призмы и пирамиды.
Объем призмы - это произведение площади её основания на высоту. Если в основании
треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата.
Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.
Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды —
это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.
Объем усеченной пирамиды - разность объемов полной пирамиды и той, что отсечена от нее
плоскостью, параллельной основанию
Призма
Пирамида
Усеченная пирамида
V Sосн h
1
V Sосн h
3
1
V ( S1 S2 S1 S2 )
3
Решение задач.
Решить задачи по готовым чертежам.
Задача 1. (рис. 3)
Дано: АВСD – правильная пирамида, АВ =3; AD=
Задача 2. (рис. 4)
Дано: АВСDF – правильная пирамида,
Задача 3. (рис. 5)
Дано : АВСDEKF – правильная пирамида,
Найти: а) Sосн; б) V.
Задача 4. (рис. 6)
Найти: V..
Pабота в форме теста.
131
. Найти: а)Sосн; б) АО; в) DO г) V.
.
1.В наклонной призме боковое ребро равно 7 см, перпендикулярное сечение - прямоугольный
треугольник с катетами: 4 см и 3 см. найдите объем призмы.
а) 10 см3, б) 42 см3, в) 60 см3, г) 30 см3.
2. В правильной шестиугольной пирамиде сторона ее основания 2 см. Объем пирамиды равен 6
см3. Чему равна высота?
3. Объем пирамиды равен 56 см3, площадь основания 14 см2. Чему равна высота?
а) 14 см, б) 12 см, в) 16 см.
4. В правильной треугольной пирамиде высота равна 5 см, стороны основания 3 см. Чему равен
объем пирамиды?
5. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 9 см. Сторона основания 4 см. найдите
объем пирамиды.
а) 50 см3, б) 48 см3, в) 16 см3.
6. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 27 см 3, высота 9 см. найти сторону
основания.
а)12 см, б) 9 см, в) 3 см.
7. Объем усеченной пирамиды равен 210 см3, площадь нижнего основания 36 см2, верхнего 9 см2.
Найдите высоту пирамиды.
а) 1см, б) 15 см, в) 10см.
8. Равновеликие призма и правильная четырехугольная пирамида имеют равные высоты. Чему
равна сторона основания пирамиды, если площадь основания призмы равна S?
132
Раздел 7 Многогранники и круглые тела
Занятие 24 (2/48)
Поверхности и объемы тел вращения(цилиндра, конуса, учеченного конуса, шара)
ЦИЛИНДР
1. Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов,
совмещаемых параллельным переносом и отрезков, соединяющих
соответствующие точки кругов.
Круги – основания цилиндра.
Отрезки – образующие цилиндра.
ВС – радиус (радиусом цилиндра называется радиус его основания).
АВ – высота (высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его
оснований). Ось цилиндра (осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры
оснований).
2. Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.
3. Цилиндр – тело, полученное от вращения прямоугольника вокруг его стороны как оси.
4. Сечение, проходящее через ось, называется осевым.
5. Сечение, перпендикулярное оси – круг.
6. Sб.=C∙H;
Snn=2∙Sосн.+Sбок.;
V=Sосн.∙Н;
Sб. =2𝜋R∙H;
Snn=2𝜋R2+2𝜋RH;
V=𝜋R2∙H.
R – радиус цилиндра, Н – высота. Поверхность цилиндра состоит из
оснований и боковой поверхности.
КОНУС
1. Конусом называется тело, которое состоит из круга (основания конуса), точки, не
лежащей в плоскости круга (вершины) и всех отрезков, соединяющих вершину с точками
основания (образующих).
2.
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из
его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с
центром основания.
3.
Конус – тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его
катета как оси.
4.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через ось, называется осевым сечением. Осевым сечением конуса
является равнобедренный треугольник.
5.
Сечение, перпендикулярное оси конуса – круг.
6. Плоскость, перпендикулярная оси, отсекает меньший конус.Оставшаяся часть – усечённый
конус.
7. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности:
1
Snn=Sосн.+Sбок.; Snn=𝜋R2+𝜋RL; V=3 𝜋R2H.
Усеченный конус V
1
( S1 S2 S1 S2 )
3
ШАР
1.
Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на
расстоянии не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное
расстояние – радиусом шара.
2. Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой.
3. Точки сферы – это точки шара, удалённые от центра на расстояние равное радиусу.
4. Отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, называется
радиусом.
5. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара
– диаметр.
6. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.
7. Шар, получается, от вращения полукруга вокруг диаметра как оси.
8. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание
перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
133
9. Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью.
10. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом. Сечение сферы – большой окружностью.
11. Площадь сферы: S=4𝜋R2, где R – радиус сферы.
4
12. Объём шара: V=3πR3, где R – радиус шара.
Рассмотри задачи:
Дано:
Цилиндр
d = 20 см
H=4м
2,5% на швы
Найти:Sбок.п + 2,5% Sб.п.
134
Решение:
Sбок. = 2πRH = 2 × 3,14 × 10 × 400 = 25120 (см2)
25120см²÷ 100%∙ 2,5% = 628 (см²)
Sбок.п + 2,5% Sб.п. = 25120 + 628 = 25748 см²≈ 2,58 м²
Ответ: На изготовление трубы необходимо 2,58 м2
Дано:
Конус
d=4м
5% на
швы
Найти:
Sбок. к. + 5% Sпарусины
Решение:
Дано:
Полушар
R=6/√π м
На 1 м²- 6кг
клея
1 мешок –
30кг клея
Найти:
n- мешков
Решение:
S = ½∙4πR² = 2πR² = 2π∙36/π = 72 (м²)
72∙6 = 432 (кг)
n = 432÷30 = 14,4 мешка ≈15 мешков
Ответ: 15 мешков.
Sбок. к = πRL
SA = L. Из ∆SOA по т. Пифагора найдем
SA = SO2 + AO2 = 16,25
Sбок. к = 3,14 × 2 16,25 ≈ 25 м2
25 м2 – 95%
X – 100%
X = 25×100÷95 ≈ 26,3 (м2)
Ответ: Для палатки необходимо 26,3 м2 парусины.
Раздел 7 Многогранники и круглые тела
Занятие 25 (2/50)
Решение задач на вычисление поверхности и объемов.
Справочный материал
1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна √6 и образует углы 30о, 45о и 60о с плоскостями
граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.
2. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8,
боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
3. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого
равны 2. Найдите объем параллелепипеда.
4. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро
параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.
5. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ
параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.
6. Найдите объем правильной треугольной призмы, все ребра которой равны√3.
7. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем
призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро.
8. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота
равна√3. 9. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них
равно 3. Найдите объем пирамиды.
13. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 8. Боковое ребро равно 5. Найдите
объем пирамиды.
14. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро
пирамиды.
135
Раздел 7 Многогранники и круглые тела
Занятие 26 (2/52)
Решение задач. Подготовка к проверочной работе.
Справочный материал
Вариант 1
1.На рисунке изображен прямой параллелепипед ABCDA1 B1C1 D1 . Точки Р и P1 принадлежат
ребрам ВС и B1C1 соответственно. Площадь боковой поверхности треугольной призмы ABPA1 B1 P1
равна:
а) S бок PABP AP1 ;
б) S бок PAPCD BB1 ;
в) S бок PABP AA1 ;
г) S бок PABD AB.
2. Найдите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 6 см, 8
см, и 10 см.
3.У прямого параллелепипеда стороны основания длиной 6 см и 4 см образуют угол 30 0 , боковое
ребро равно 3 см. Найдите площадь полной поверхности этого параллелепипеда.
4.У правильной четырехугольной пирамиды длина стороны основания равна 8 см, а высота - 3 см.
Найдите площадь полной поверхности этой пирамиды.
136
5. Найдите площадь полной поверхности прямой призмы, в основании которой – параллелограмм
с площадью 24 см 2 , одна сторона которого на 2 см больше другой и угол между ними 300 . Высота
призмы равна меньшей высоте основания.
Вариант 2
1.На рисунке изображен прямой параллелепипед ABCDA1 B1C1 D1 . Точки К и K1 принадлежат
ребрам DС и D1C1 соответственно. Площадь боковой поверхности треугольной призмы BCKB1C1 K1
равна:
а) S бок PBKC BK 1 ;
б) S бок PBKC KK1 ;
г) S бок PABCD BB1 .
в) S бок PDBC CC1 ;
2. Найдите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 12 см,
5 см, и 13 см.
3.У прямого параллелепипеда стороны основания длиной 6 см и 8 см образуют угол 30 0 , боковое
ребро равно 5 см. Найдите площадь полной поверхности этого параллелепипеда.
4.У правильной четырехугольной пирамиды длина стороны основания равна 6 см, а высота - 4 см.
Найдите площадь полной поверхности этой пирамиды.
5.Основание прямого параллелепипеда – ромб, площади диагональных сечений параллелепипеда
равны 4 и 3. Найдите полную поверхность параллелепипеда, если диагонали меньшего
диагонального сечения параллелепипеда взаимно перпендикулярны.
Вариант1
Вариант 2
137
№1
В
Б
№2
10√2
13√2
№3
84
188
№4
144
96
№5
132
14
Раздел 7 Многогранники и круглые тела
Занятие 27 (2/54)
Проверочная работа по теме «Многогранники и круглые тела»
ВАРИАНТ № 1.
1. Что изображено на рисунке:
а) Треугольная призма
б) Наклонный параллелепипед
в) Прямой параллелепипед
2. Боковыми гранями прямой призмы являются:
а) Прямоугольники
б) Прямоугольные трапеции
в) Треугольники
3. У параллелограмма сторона равна 10см и высота, опущенная на эту сторону равна 8см.
Площадь параллелограмма равна
а) 18см2
б) 40см2
в) 80см2
4. Ребро куба равно 3см. Площадь полной поверхности куба равно
а) 36см2
б) 9см2
в) 54см2
5. Какая фигура является основанием цилиндра?
а) Овал
б) Круг
в) Квадрат
6. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 см вращается вокруг большего катета.
Найдите боковую поверхность полученного тела вращения
7. По какой формуле можно вычислить полную поверхность цилиндра?
а) πR2h
б) 2πRh
в) 2πR(h+R)
8. Радиус основания цилиндра равен 7, высота равна 10. Найдите площадь боковой поверхности
цилиндра, деленную на .
9. Высота конуса 4 см, образующая 5см. Найдите объем конуса.
10. Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 10648. Найдите
радиус сферы.
138
ВАРИАНТ № 2.
1. Что изображено на рисунке:
а) Треугольная призма
б) Наклонный параллелепипед
в) Прямой параллелепипед
2. В основании правильной треугольной призмы лежит
а) Квадрат
б) Равносторонний треугольник
в) Равнобедренный треугольник
3. Площадь правильного треугольника со стороной 3см равна
а) 9см
б) 9√2/4см в) 9√3/4см
4. Какая фигура является основанием цилиндра?
а) Овал б) Круг в) Квадрат
5. Чему равна площадь основания цилиндра с радиусом 2см?
а) 4π б) 8π в) 4
6. По какой формуле можно вычислить боковую поверхность цилиндра?
а) 2πRh
б) 2πR(h+R)
в) πR2h
7. Прямоугольник со сторонами 4 и 8 см вращается вокруг меньшей стороны. Найдите
боковую поверхность полученного тела вращения
8. Площадь осевого сечения цилиндра равна 23. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра,
деленную на .
9. Высота конуса равна 12, образующая равна 14. Найдите его объем, деленный на
.
10. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 81. Найдите площадь
поверхности шара.
139
Раздел 8. Функции и графики
Занятие 28 (2/56)
Функции и их графики
Пусть X и Y некоторые числовые множества X R; Y R .Если каждому x X по
некоторому правилу F ставится в соответствие единственный элемент y Y то говорят, что задана
функция. Обозначается: y f ( x)
Где Х – аргумент или независимая переменная функции; У – значение функции или
зависимая переменная.
Множество Х значений независимой переменной называется областью определения
функции и обозначается D( y ) или D ( f ) , т.е. это множество всех допустимых значений 𝑥.
Множество всех значений зависимой переменной Y называется множеством значений
функции и обозначается E( y ) или E ( f ) ,т.е. это множество всех допустимых значений 𝑦.
Отметим особенности нахождения области определения некоторых функций:
P( x)
1) область определения D( y ) дробно-рациональной функции y
, где P(X), Q(X) – некоторые
Q( x)
многочлены, которые определяется условием: Q ( x) 0 .
x 1
Например, пусть задана функция y
. Очевидно, что это дробно-рациональная функция, область
x3
определения которой D(y) : x 3 0, x 3, x (, 3) (3, ) или D(y) : x R / {3}.
2) если аналитическое выражение функции содержит квадратный корень, т. е. задана функция
y
f ( x) , то
D(y) : f ( x) 0 .
Например, пусть задана функция y
определения которой
x 2 2 x 3 . Очевидно, что это дробно-рациональная функция, область
D(y) : x 2 2 x 3 0, x (, 3) (1, ) или D(y) : x R / {3},{1} .
3) в случае задания функции формулой y f ( x) ее область определения D( y ) – это ОДЗ (область
допустимых значений) выражения f ( x ) .
Например, пусть дана функция
y x3 1 . Очевидно, что, область определения D( y )
данной функции является
множество действительных чисел 𝑅, т.е. D(y) : x (, ) или D(y) : x R .
Графиком
функции y f ( x) называется
множество
всех
точек
плоскости
с
координатами ( x; y ) где x D( y ), а y f ( x) .
Способы задания числовой функции:
1) Табличный – указываются значения переменной Х и соответствующие им значения
переменной Y, составляется таблица (можно использовать для записи наблюдений);
2) Аналитический – указывается область определения функции D( y ) и задается формула, по
которой каждому значению x D( y ) ставится в соответствие y E ( f )
3) Графический – задается график функции.
Основные свойства функций.
1) Область определения функции и область значений функции.
2) Область значений функции
3) Нули функции – значение аргумента 𝑥, при котором значение функции равно нулю.
4) Промежутки знакопостоянства функции – множества значений аргумента, на которых
значения функции только положительны или только отрицательны.
5) Монотонность функции.
- Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему
значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
- Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению
аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
6) Четность (нечетность) функции.
140
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно
начала координат и для любого 𝑥 из области определения выполняется равенство 𝒇(−𝒙) = 𝒇(𝒙).
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно
начала координат и для любого 𝒙 из области определения справедливо равенство 𝒇(−𝒙) = − 𝒇(𝒙).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
7) Ограниченная и неограниченная функции.
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что
|𝑓(𝑥)| ≤ 𝑀 для всех значений 𝑥 . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
8) Периодичность функции.
Функция - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого 𝑥
из области определения функции имеет место: 𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓 (𝑥 ). Такое наименьшее число
называется периодом функции.
Вопросы для самоконтроля
1.
2.
3.
4.
141
Дать определение функции.
Дать определение графика функции.
Перечислить свойства функции
Назвать способы задания функции.
Раздел 8. Функции и графики
Занятие 29 (2/58)
Преобразование графиков.
Преобразования графиков функций - это линейные преобразования функции y = f(x) или её
аргумента x к виду y = ± k1 f ( ± k2 (x + a))+b, а также преобразование с применением модуля.
В чистом виде основные элементарные функции встречаются достаточно редко. Намного
чаще в практической деятельности встречаются элементарными функциями, образованными из
основных элементарных при помощи добавления констант и коэффициентов.
Применив геометрические преобразования,
появляется возможность
из графика
функции f(x) получить график произвольной функции типа: ± k1 f ( ± k2 (x + a))+b, где k1 > 0, k2 > 0 коэффициенты сжатия или растяжения вдоль осей oy и ox соответственно;
знаки «минус» перед коэффициентами k1 и k2 указывают на симметричное отображение
графика относительно координатных осей, а и b указывают на сдвиг относительно осей абсцисс и
ординат соответственно.
Выделяют три этапа геометрических преобразований графика функции:
- масштабирование (сжатие или растяжение);
- симметричное (зеркальное) отображение;
- параллельный перенос (сдвиг).
Рассмотри основные преобразования графиков функций через таблицу.
Функция
𝒚 = − 𝒇(𝒙)
𝒚 = 𝒇(− 𝒙)
График
Основные виды преобразования графиков функций
Описание
Пример
преобразования
Симметричное
отражение графика
функции у = f(х)
относительно оси
Ох
Симметричное
отражение графика
функции у = f(х)
относительно оси
Оу
Параллельный
перенос графика
функции у = f(х)
вдоль оси Ох:
𝒚 = 𝒇(𝒙 − 𝒂)
142
- на а единиц вправо,
если а>0;
- на |а| единиц влево,
если а <0
𝒚 = 𝒇(𝒙) + 𝒃
𝒚 = 𝒌𝒇(𝒙)
𝒚 = 𝒇(𝒌𝒙)
𝒙 = 𝒇(𝒚)
𝒚 = |𝒇(𝒙)|
143
Параллельный
перенос графика
функции у = f(х)
вдоль оси Оу:
- на b единиц вверх,
если b>0;
- на |b| единиц вниз,
если b <0
Растяжение
графика функции у =
f(х) вдоль оси Оу
относительно оси
Ох в k раз, если k>1;
Сжатие графика
вдоль оси Оу
относительно оси
1
Ох в раз, если
k
0<k<1
Сжатие графика
функции у = f(х)
вдоль оси Ох
относительно оси
Оу в k раз, если k>1;
Растяжение
графика вдоль оси
Ох относительно
1
оси Оу в раз, если
k
0<k<1
График функции
x=f(y) симметричен
относительно
прямой у=x графику
функции у=f(x).
У функции x=f(y):
у-независимая
переменная, а х зависимая
переменная.
Часть графика
функции у= f(х),
расположенная
ниже оси Ох,
симметрично
отражается
относительно оси
Ох, остальная часть
графика остаётся
без изменения
𝒚 = 𝒇(|𝒙|)
144
Часть графика
функции
у= f(х),
расположенная в
области х ≥0,
остаётся без
изменения, а часть
графика,
расположенная в
области х≤0,
заменяется
симметричным
отображением
части графика для
х ≥0 относительно
оси Оу
Раздел 8. Функции и графики
Занятие 30 (2/60)
Четные и нечетные функции. Определение четных и нечетных функций.
2Определение 1.Функцию у = 𝑓 (х), х Х, называют четной, если для любого значения х из
множества Х выполняются следующие условия:
1) 𝑓(– х) = 𝑓(х);
2) график функции у = 𝑓(х) симметричен относительно оси ординат.
Например. y cos x - четная функция, y ( x) cos( x) cos x y ( x) и график функции симметричен
относительно оси ординат(рис 1.)
Рис 1
Определение 2
Функцию у = 𝑓 (х), х ∈ Х, называют нечетной, если для любого значения х из множества Х
выполняются следующие условия:
1) 𝑓(– х) = – 𝑓(х);
2) График функции у = 𝑓(х), х ∈ Х симметричен относительно начала координат.
Например, y sin x - нечетная функция, так как:
1. y ( x) sin( x) sin x y ( x) .
2. Ее график симметричен относительно начало координат(рис2)
Рис2.
Замечание. Для любой функции вида у = х𝑛, где n – натуральное число, справедливо одно уз
утверждений:
- если n – нечетное число, то функция у = х𝑛 – нечетная;
- если же n – четное число, то функция у = х𝑛 – четная.
Например,
1) у x 2 , так как 2 – четное число, то у x 2 - четная функция.
2) у x 3 , так как 3 – нечетное число, то у x 3 - четная функция.
Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными.
Например, каждая из функций у = 2х + 3, у = х4 + х, у = 3х + 1, у = х , у = (х – 1)2 не является
ни четной, ни нечетной.
Изучение вопроса о том, является ли заданная функция четной или нечетной, обычно называют
исследованием функции на четность.
Если числовое множество Х вместе с каждым своим элементом х содержит и
противоположный элемент – х, то Х называют симметричным множеством.
145
Например, (– 2; 2); [– 5; 5], (– ∞; + ∞) – симметричные множества; в то время как [0; + ∞), (–
2; 3), [– 5; 5) – несимметричные множества.
«Если функция у = f(х) – четная или нечетная, то ее область определения D(f) – симметричное
множество».
Задания для самопроверки:
Исследовать функции на четность:
1) у = 2х8 – х6; f(х) = 2х8 – х6;
f(–х) = 2(– х)8 – (– х)6 = 2х8 – х6 = f(х) четная функция;
2) у = f(х) = 5х2 + х10;
f(–х) = 5(– х)2 + (– х)10 = 5х2 + х10 = f(х) четная функция.
3) у = f(х) = х(5 – х2);
f(–х) = – х · (5 – (– х)2) = – х(5 – х2) = – f(х) нечетная.
3х
;
6
4) у = f(х) = х 2
3 ( х)
3х
6
f ( х)
6
(
х
)
2
х
2
f(–х) =
нечетная.
у = f(х) = х2 + х;
f(–х) = (– х)2 + (– х) = х2 – х = – (– х2 + х) функция ни четная, ни нечетная.
5) у = f(х) =
х 5;
х 5 ( х 5) функция ни четная, ни нечетная;
х2
;
2
6) у = f(х) = х 16
х 2
х 2
х2
2
2
х 2 16 ни четная, ни нечетная.
f(–х) = ( х) 16 х 16
f(–х) =
7) у = f(х) = 4х – 2х3 + 6х5;
f(–х) = 4 · (– х) – 2(– х)3 + 6(– х)5 = – 4х + 2х3 – 6х5 = – (4х – 2х3 + 6х5) =
= – f(х) функция нечетная;
146
8) у = f(х) =
х2 8
;
х2 9
( х) 2 8 х 2 8
2
f ( х)
2
(
х
)
9
х
9
f(–х) =
четная функция.
Домашнее задание.
1. Выяснить чётность и нечётность функции.
|x|
а) f ( x) x 3 2 x sin x ; б) y ( x)
.
cos x
2. Определить по графику чётность и нечётность функции.
3. Исследовать функцию на чётность и нечётность и построить её график.
у 1
147
х2
.
х2
Раздел 8. Функции и графики
Занятие 31 (2/62)
Возрастание и убывание функций. Определение промежутков монотонности функций.
С помощью производной можно находить промежутки монотонности функции. Условимся термин
«промежуток» использовать для обозначения таких числовых множеств, как отрезок [a;b], интервал (a;b),
полуинтервалы [a;b) и (a;b].
При этом точки a и b называют граничными точками, а все остальные точки интервала (a;b)-внутренними точками
промежутка.
Функция f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента
соответствует большее значение функции, т.е. для любых точек x1 и x2 из этого промежутка, таких, что x2>x1, выполняется
неравенство f(x2)>f(x1).
Если для любых точек х1 и х2 данного промежутка, таких, что х2>x1, выполняется неравенство f(x2)<f(x1), то
функция f(x) называется убывающей на этом промежутке.
Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности этой функции.
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда если f'(x)>0 для всех
xϵ(a;b), то функция f(x) возрастает на отрезке [a;b], а если f'(x)<0, то она убывает на этом отрезке.
Применяя определение возрастающей (убывающей) функции трудно найти промежутки монотонности, поэтому
мы будем изучать признаки монотонности функции, использующие понятие производной.
При доказательстве теорем о достаточных условиях возрастания или убывания функции используется следующая
теорема, которая называется теоремой Лагранжа.
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда существует точка,
такая cϵ(a;b), что f(b)–f(a)=f'(c)(b–a).
Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания:
1. Находим производную функции.
2. Находим, при каком значении х, производная функции равна нулю.
3. Находим промежутки, на которые найденная точка разбивает ось Ох, и находим значение производной
функции в какой - нибудь точке каждого из интервалов.
4. Находим промежутки возрастания и убывания функции.
Рассмотрим функцию f(x)=2х2+4х-4.
Сначала находим производную этой функции.
f '(x)= (2х2+4х-4)'=4x+4.
Затем производную f'(x) приравниваем к нулю и находим значение х.
f '(x)=0, т.е. 4х+4=0; х=-1.
После этого отмечаем значение х на числовой оси и выясняем какие знаки будут на интервалах.
Делаем вывод: т.к. f '(x)>0 на интервале (-∞;-1), то функция f(x) - возрастает;
а на интервале (-1; +∞) функция f(x) -убывает, т.к. f '(x)<0.
Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности этой функции.
При доказательстве теорем о достаточных условиях возрастания или убывания функции используется следующая
теорема, которая называется теоремой Лагранжа.
Теорема 1. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда
существует точка, такая cϵ(a;b), что f(b)–f(a)=f'(c)(b–a).
.
Теорема 2. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда если
f'(x)>0 для всех xϵ(a;b), то функция f(x) возрастает на отрезке [a;b], а если f'(x)<0, то она убывает на этом отрезке.
Функция сложная, представляет собой сумму нескольких функций, значит найдем производные каждого из
слагаемых
f(x)=5x2-3x-1
f '(x)=(5x2-3x-1)'=(5x2)-(3x)-1=10x-3
Найдем ,при каком значении х, производная функции равна нулю: f '(x)=0; 10x-3=0; x=0,3.
148
Определяем промежутки возрастания и убывания функции: на интервале (-∞; 0,3) – функция f(x) – убывает, т.к. f
'(x)<0; на интервале (0,3; +∞) – функция возрастает, т.к. f '(x)>0.
Функция сложная, представляет собой сумму нескольких функций, значит найдем производные каждого
из слагаемых
f '(x)=( 2х3+3х2-4)'=( 2х3)'+(3х2)'-(4)' =6х2+6х
Найдем, при каком значении х, производная функции равна нулю: f '(x)=0; 6х2+6х =0; 6х(х+1)=0; x1=0,
х2=-
Определяем промежутки возрастания и убывания функции.
Ответ: на интервалах (-∞; -1) и (0; +∞) – функция f(x) возрастает, т.к. f '(x)>0;
на интервале (-1;0) – функция убывает, т.к. f '(x)<0.
Ответ: на интервале (-∞; 1,5) – функция f(x) – убывает, т.к. f '(x)<0.
149
Раздел 8. Функции и графики
Занятие 32 (2/64)
Экстремумы функций. Исследование функции и построение графиков.
Пусть функция y f ( x) определена на множестве X ℝ, x0 X , x0 – внутренняя точка
X (т.е. существует некоторая окрестность точки x0 , целиком лежащая во множестве X ).
Определение. Точка x0 называется точкой максимума функции f (x) если существует
такая -окрестность U ( x0 ; ) точки x0 , что f ( x) f ( x0 ) , x U * ( x0 , δ ) . Значение
функции в точке максимума называется максимумом функции.
Точка x0 называется точкой минимума функции f (x) если существует такая
-
окрестность U ( x0 ; ) точки x0 , что f ( x) f ( x0 ) , x U ( x0 , ) . Значение функции в
точке минимума называется минимумом функции.
Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума.
Замечания:
1) Понятия минимум и максимум функции близки к понятиям наименьшее и наибольшее
значения функции. По сути, они отражают одно свойство функции: они показывают, в каком
отношении находятся значение функции в данной точке и значения функции в других точках.
Различие в области действия этих понятий. Наибольшее и наименьшее значения – понятия
глобального характера (« x D( f ) »), максимум и минимум – понятия локального характера («
*
x U * ( x0 , ) »). Чтобы подчеркнуть эту взаимосвязь понятий, в некоторой литературе
употребляют термины «глобальный максимум (минимум)» вместо наибольшего (наименьшего)
значения функции и «локальный максимум (минимум)» – вместо максимум (минимум) функции.
2) В силу локального характера понятий максимума и минимума, функция может иметь в
своей области определения несколько точек максимума и минимума. y
Причем, некоторые минимумы функции могут быть больше ее
максимумов (см. рис. 1).
Для функции, дифференцируемой в точке x0 , справедлива
следующая теорема.
Теорема 2 (необходимое условие экстремума, теорема Ферма). Если
x0 – точка экстремума функции f (x) и f (x) – дифференцируема в
точке x0 , то ее производная в этой точке равна нулю.
Геометрический смысл теоремы 2. Если x0 – точка экстремума
функции f (x) и кривая y f (x) имеет невертикальную касательную в
x2
x1
рис. 1
x
y
точке M 0 ( x0 , f ( x0 )) , то эта касательная – горизонтальная (см. рис 2).
Точки, в которых производная функции f (x) равна нулю, называются
стационарными точками функции f (x) .
Очевидно, что не любая стационарная точка функции является ее точкой
экстремума. Например, функция y x
3
x0
рис. 2
x
имеет стационарную точку x0 0 , которая не является
ее точкой экстремума. Для функции, дифференцируемой в точке x0 , справедлива следующая
теорема.
Теорема 3 (первое достаточное условие экстремума функции). Пусть x0 – внутренняя точка
области определения функции
f (x) , f (x) непрерывна в окрестности точки x0 и
дифференцируема в некоторой ее окрестности, за исключением, возможно, самой точки x0 . Если
при переходе через точку x0 производная функции f (x) меняет знак, то x0 является точкой
150
экстремума. При этом, если производная меняет знак с плюса на минус, то x0 – точка максимума,
если с минуса на плюс – то x0 – точка минимума.
Замечание. Из теоремы 3 следует, что точками экстремума могут быть не только
стационарные точки, но и точки, в которых функция не имеет производной (точки разрыва
производной).
Стационарные точки функции f (x) и точки, в которых производная функции f (x) не
существует, называются критическими точками I рода.
x
Пример. Найти экстремумы функции y x e .
Решение
1) Находим область определение функции:
D( y ) ℝ.
2) Находим производную функции и ее критические точки:
2
y 2 x e x x 2 e x (2 x x 2 ) e x ;
y 0 : 2x x 2 0 , ⇒ x 0 , x 2 ;
y : таких точек нет.
3) Определяем знак y :
Таким образом,
x 0 – точка минимума функции y x 2 e x ,
x 2 – точка максимума функции y x 2 e x ,
y min y (0) 0 ,
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
y max y (2) 4 e 2 0,54 .
Исследование функции с помощью производной.
Схема исследования функции.
Найти область определения функции.
Точки пересечения с осями координат.
Проверить на четность (нечетность). Четная функция симметрична относительно оси ординат,
нечетная – относительно начала координат.
Производную.
Стационарные точки.
Промежутки возрастания и убывания.
Точки экстремума и значения функции в этих точках.
Результаты исследования занести в таблицу.
Пример. Построить график функции y = 1 + 2x2 – x4.
1. Область определения: x R
2. x = 0, y = 1: A( 0, 1);
3. y(-x) = 1 + 2(-x)2 – (-x)4 = 1 + 2x2 – x4 – функция четная.
4. y’ = 4x – 4x3 = 4x(1 – x2) = 4x(1 – x)(1 + x)
5. y’ = 4x(1 – x2) = 0; x1 = 0, y1 = 1; x2 = 1, y2 = 2; x3 = - 1, y3 = 2
6. 4x(1 – x)(1 + x) = 0
-1
0
1
Возрастает при y’ > 0, т.е. x < -1, 0 < x < 1
Убывает при y’ < 0, т.е. – 1 < x < 0, x > 1
7. Точки ( -1, 2) и (1, 2) точки max; (0, 1) – min.
8. Заполняем таблицу:
151
𝑥
𝒙 < −1
-1
–𝟏 < 𝒙 < 0
0
𝟎 < 𝒙 < 1
1
𝒙 > 1
𝑓 ‘(𝑥 )
+
0
-
0
+
0
-
𝑓 (𝑥 )
152
2
1
2
2
-7
Раздел 8. Функции и графики
Занятие 33 (2/66)
Обратные функции. Область определения и область значения обратных функций. Графики.
Определение 1. Функцию 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ), 𝑥 ∈ 𝑋 называют обратимой, если любое свое значение
она принимает только в одной точке множества X.
Теорема. Если функция 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ) монотонна на множестве X, то она обратима.
Замечание. Монотонность функции, является достаточным условием существования
обратной функции. Но оно не является необходимым условием.
Определение 2. Пусть обратимая функция y=f(x) определена на множестве Х и область ее
значений Е(f)=Y. Поставим в соответствие каждому y из Y то единственное значение х, при
котором f(x)=y. Тогда получим функцию, которая определена на Y, а Х – область значений функции.
Эту функцию обозначают x=f -1(y), 𝑦 ∈ 𝑌 и называют обратной по отношению к функции y=f(x), 𝑥 ∈
𝑋.
Алгоритм составления обратной функции для функции y=f(x), 𝒙 ∈ 𝑿.
1. Убедиться, что функция y=f(x) обратима на промежутке Х.
2. Выразить переменную х через у из уравнения y=f(x), учитывая при этом, что 𝑥 ∈ 𝑋.
3. В полученном равенстве поменять местами х и у. Вместо х=f -1(y) пишут y=f -1(x).
Пример 1. Показать, что для функции y=2x-5 существует обратная функция, и найти ее
аналитическое выражение.
Решение. Линейная функция y=2x-5 определена на R, возрастает на R и область ее значений
есть R. Значит, обратная функция существует на R. Чтобы найти ее аналитическое выражение,
𝑦+5
решим уравнение y=2x-5 относительно х; получим 𝑥 = 2 . Переобозначим переменные, получим
𝑥+5
искомую обратную функцию 𝑦 = 2 . Она определена и возрастает на R.
Пример 2. Показать, что для функции y=x2, х ≤ 0 существует обратная функция, и найти ее
аналитическое выражение.
Решение. Функция непрерывна, монотонна в своей области определения, следовательно, она
обратима. Проанализировав области определения и множества значений функции, делается
соответствующий вывод об аналитическом выражении для обратной функции, которая имеет вид
𝑦 = −√𝑥.
Свойства взаимно обратных функций.
Свойство 1. Если g – функция обратная к f, то и f – функция обратная к g (функции взаимно
обратные), при этом D(g)=E(f), E(g)=D(f).
Свойство 2. Если функция 𝑦 = 𝑓 (𝑥 ) возрастает (убывает) на множестве Х, а У – область
значений функции, то обратная функция 𝑥 = 𝑓 −1 (𝑦) возрастает (убывает) на У.
Свойство 3. Чтобы получить график функции 𝑦 = 𝑓 −1 (𝑥 ), обратной по отношению к
функции 𝑦 = 𝑓(𝑥 ), надо график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥 ) преобразовать симметрично относительно
прямой у=х.
Свойство 4. Если нечетная функция обратима, то обратная ей тоже нечетная.
Свойство 5. Если функции f(x) и 𝑔(𝑥 ) взаимно обратные, то для любого 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)
справедливо 𝑔(𝑓(𝑥 )) = 𝑥, а для любого 𝑥 ∈ 𝐷(𝑔) справедливо 𝑓(𝑔(𝑥 )) = 𝑥.
Пример 3. Построить график функции обратной 𝑦 = 𝑥 2 , если это возможно.
Решение. На всей своей области определения данная функция не имеет обратной, поскольку она не
2
монотонна. Поэтому рассмотрим промежуток, на котором функция монотонна: {𝑦 = 𝑥 , значит,
𝑥≥0
существует обратная. Найдем ее. Для этого выразим x через y : 𝑥 = √𝑦 . Переобозначим 𝑦 = √𝑥 обратная функция. Построим графики функций (рис. 5) и убедимся, что они симметричны
относительно прямой y=x.
153
Рис. 5
Пример 4. Найдите множество значений каждой из взаимно обратных функций 𝑓 (𝑥 ), 𝑔 (𝑥 ),
если известно, что 𝐷(𝑓) = (0; +∞), 𝐷(𝑔) = (−∞; −1].
Решение. Согласно свойству 1 взаимно обратных функций, имеем 𝐸 (𝑔) = (0; +∞), 𝐸 (𝑓) =
(−∞; −1].
Домашнее задание.
1. Разобраться с материалом лекции, выучить основные определения и формулировки теорем.
2. Доказать свойства взаимно обратных функции.
Задание 1.
Является ли функции обратимыми на всей области определения? Если да, то найдите обратную к
ней.
2
a) 𝑦 = 𝑥 5 ;
b) 𝑓 (𝑥) = (𝑥 − 3)2 ;
c) 𝑦 = 𝑥+3.
Задание 2.
Являются ли взаимно обратными функции:
7
3
3
7
а) 𝑓(𝑥 ) = 3 𝑥 + 7
и
𝑔 (𝑥 ) = 7 𝑥 + 3 ;
b) 𝑓(𝑥 ) = 2𝑥 + 3
и
𝑔(𝑥 ) = 0,5𝑥 − 1,5.
Задание 3.
Рассмотрите функцию 𝑦 = 𝑥 2 − 2 на каждом из указанных промежутков, если на этом промежутке
функция обратима, то задайте обратную ей аналитически, укажите область определения и область
значений:
a) R;
b) [1;2);
c) (-1; 5];
d) [-2;0].
Задание 4.
Докажите, что функция 𝑔(𝑥 ) = 𝑥 2 − 6𝑥 + 10 необратима. Найдите функцию обратную ей на
промежутке [3; +∞) и постройте ее график.
Задание 5.
Постройте график функции и определите, существует ли для нее обратная функция. Если да, то на
том же чертеже постройте график обратной функции и задайте ее аналитически:
a) 𝑦 = 3𝑥 + |𝑥|;
b) 𝑦 = 𝑥 2 + 2|𝑥 |.
154
Раздел 8. Функции и графики
Занятие 34 (2/68)
Тригонометрические функции y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx. Свойства и графики
тригонометрических функций
y sin x
1. Область определения – множество всех действительных чисел.
2. Область изменения (множество значений) – промежуток
3. Функция
4. Функция
1;1.
sin x нечетная: sin x sin x .
sin x
периодическая.
Наименьший
положительный
sin x 2 sin x .
5. Нули функции:
sin x 0 при x n, n Z .
6. Промежутки знакопостоянства:
sin x 0 при x 2n; 2n , n Z ,
sin x 0 при x 2n;2 2n , n Z .
7. Функция
sin x
возрастает при x 2n; 2n , n Z
2
2
и убывает при x 2n; 3 2n , n Z .
2
8. Функция
2
sin x принимает
минимальные значения, равные -1, при x
и максимальные значения, равные 1, при x
2
2
2n, n Z ,
2n, n Z .
График функции y sin x называют синусоидой.
y cos x
1. Область определения – множество всех действительных чисел.
2. Область изменения (множество значений) – промежуток
3. Функция
155
cos x четная: cos x cos x .
1;1.
период
равен
2:
4. Функция
cos x
периодическая.
Наименьший
положительный
период
равен
2:
cos x 2 cos x .
5. Нули функции:
cos x 0 при x
2
n, n Z .
6. Промежутки знакопостоянства:
2n; 2n , n Z ,
2
2
cos x 0 при x
3
2n;
2n , n Z .
2
2
cos x 0 при x
7. Функция
cos x
возрастает при
x 2n;2n , n Z
и убывает при
x 2n; 2n , n Z .
8. Функция
cos x принимает
минимальные значения, равные -1, при
x 2n, n Z ,
и максимальные значения, равные 1, при
График функции
1. Область
x
2
x 2n, n Z .
cos x также называют синусоидой.
y tgx
определения
–
множество
всех
действительных
чисел,
кроме
чисел
n, n Z .
2. Область изменения (множество значений) – множество всех действительных чисел.
tg x tgx .
3. Функция
tgx
нечетная:
4. Функция
tgx
периодическая. Наименьший положительный период равен :
.
5. Нули функции:
tgx 0 при x n, n Z .
6. Промежутки знакопостоянства:
tgx 0 при x n; / 2 n , n Z ,
tgx 0 при x / 2 n; n , n Z .
156
tgx tgx
7. Функция
tgx
График функции
n; n , n Z .
2
2
возрастает в каждом из промежутков
tgx
называют тангенсоидой.
y ctgx
1. Область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел
x n, n Z .
2. Область изменения (множество значений) – множество всех действительных чисел.
3. Функция
4. Функция
ctgx
нечетная:
ctgx
ctg x ctgx .
периодическая.
Наименьший
положительный
период
ctgx ctgx .
5. Нули функции:
ctgx 0 при x / 2 n, n Z .
6. Промежутки знакопостоянства:
ctgx 0 при x n; / 2 n , n Z ,
ctgx 0 при x / 2 n; (n 1), n Z .
7. Функция
ctgx
убывает в каждом из промежутков
n; (n 1), n Z .
Преобразование графиков тригонометрических функций.
Функция
157
Основные виды преобразования графиков функций
График
Описание
Пример
преобразования
равен
:
𝒚 = − 𝒇(𝒙)
𝒚 = 𝒇(− 𝒙)
Симметричное
отражение графика
функции у = f(х)
относительно оси
Ох
Симметричное
отражение графика
функции у = f(х)
относительно оси
Оу
Параллельный
перенос графика
функции у = f(х)
вдоль оси Ох:
𝒚 = 𝒇(𝒙 − 𝒂)
𝒚 = 𝒇(𝒙) + 𝒃
𝒚 = 𝒌𝒇(𝒙)
158
- на а единиц вправо,
если а>0;
- на |а| единиц влево,
если а <0
Параллельный
перенос графика
функции у = f(х)
вдоль оси Оу:
- на b единиц вверх,
если b>0;
- на |b| единиц вниз,
если b <0
Растяжение
графика функции у =
f(х) вдоль оси Оу
относительно оси
Ох в k раз, если k>1;
Сжатие графика
вдоль оси Оу
относительно оси
1
Ох в раз, если
k
0<k<1
𝒚 = 𝒇(𝒌𝒙)
𝒙 = 𝒇(𝒚)
Сжатие графика
функции у = f(х)
вдоль оси Ох
относительно оси
Оу в k раз, если k>1;
Растяжение
графика вдоль оси
Ох относительно
1
оси Оу в раз, если
k
0<k<1
График функции
x=f(y) симметричен
относительно
прямой у=x графику
функции у=f(x).
У функции x=f(y):
у-независимая
переменная, а х зависимая
переменная.
𝒚 = |𝒇(𝒙)|
Часть графика
функции у= f(х),
расположенная
ниже оси Ох,
симметрично
отражается
относительно оси
Ох, остальная часть
графика остаётся
без изменения
𝒚 = 𝒇(|𝒙|)
Часть графика
функции
у= f(х),
расположенная в
области х ≥0,
остаётся без
изменения, а часть
графика,
расположенная в
области х≤0,
заменяется
симметричным
отображением
части графика для
х ≥0 относительно
оси Оу
159
Раздел 8. Функции и графики
Занятие 35 (2/60)
Логарифмическая функция.
1.Показательная функция, ее свойства и график.
Зафиксируем некоторое неизменное число а>0, и поставим в соответствие каждому числу
m
n
x
m
n
из множества рациональных чисел число a . Тем самым мы можем говорить о функции f(x) = a .
Чтобы познакомиться с данной функцией и ее свойствами, рассмотрим случаи при а=2 и 𝑎 =
1
.
2
1.
Функции 𝑦 = 2𝑥
Свойства функции y = 2x :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
D(f) =(−∞; +∞);
E(f) = (0; +∞);
Не является ни четной, ни нечетной;
Возрастает;
Не ограничена сверху, ограничена снизу;
Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
Непрерывна;
Выпукла вниз.
2.
Функции 𝑦 = (2)
1 𝑥
1 x
Свойства функции y = (2) :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
D(f) =(−∞; +∞);
E(f) = (0; +∞);
Не является ни четной, ни нечетной;
Убывает;
Не ограничена сверху, ограничена снизу;
Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
Непрерывна;
Выпукла вниз.
На данное задание отводится 10-12 минут.
Итог: определение показательной функции и основные свойства.
Определение: Функцию вида y = ax , где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.
Основные свойства показательной функции.
160
Задание 1: найти показательную функцию среди предложенных графиков.
Задание 2: найти показательную функцию среди предложенных формул.
𝑦 = 𝑥2
𝑦 = 8𝑥
𝑦 = (𝑥 + 5)3
𝑦 = √𝑥 3
𝑦 = 2𝑥
1 𝑥
𝑦 = (4)
𝑦 = 2𝑥 −4
𝑦 = 𝑥6
𝑦 = 3𝑥+5
𝑦 = 1𝑥
𝑦 = 3𝑥 + 2
𝑦 = (𝑥 − 4)6𝑥
Задание 3: укажите, какие из данных функций возрастают, а какие убывают, и изобразите
эскизы графиков этих функций.
1)
2)
161
2 𝑥
𝑥
𝑦 = ( 3)
3) 𝑦 = (√3)
𝑦 = 4𝑥
4) 𝑦 = (√5 − 2)
5) 𝑦 = 𝜋𝑥
𝑥
2 𝑥
6) 𝑦 = ( )
5
2.Логарифмическая функция, ее свойства и график.
Определение: Функцию, заданную формулой у=logax называют логарифмической с
основанием а (а>0, а 1).
Основные свойства логарифмической функции:
1. Областью определения функции у=logax будет являться все множество положительных
действительных чисел. Для краткости его еще обозначают R+. Очевидное свойство, так как
каждое положительное число имеет логарифм по основанию а.D(f)=R+
2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество
действительных чисел.E(f)= (-∞; +∞)
3. График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).
4.Логарифмическая функция возрастает при а>1, и убывает при 0<х<1.
5. Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция
общего вида.
6. Функция не имеет точек максимума и минимума, в области определения непрерывна.
На следующем рисунке представлен график убывающей логарифмической функции (0<a<1)
Если построить в одной оси координат показательную и логарифмическую функции с
одинаковыми основаниями, то графики этих функций будут симметричны относительно прямой y
= x. Данное утверждение показано на следующем рисунке.
Изложенное выше утверждение будет справедливо, как для возрастающих, так и для
убывающих логарифмических и показательных функций.
Рассмотрим пример: найти область определения логарифмической функции f(x) =
log8(4 - 5x).
Исходя из свойств логарифмической функции, областью определения является все
множество положительных действительных чисел R+. Тогда заданная функция будет определена
для таких х, при которых 4 - 5x>0. Решаем это неравенство и получаем x<0.8. Таким образом,
162
получается, что областью определения функции f(x) = log 8(4 - 5x) будет являться промежуток (∞;0.8)
Графики логарифмической функции
1) натуральный логарифм y = ln (x)
2) десятичный логарифм y = lg (x)
3) логарифм по основанию 2 y = ld (x)
Задания.
Применяя полученные свойства логарифмической
функции решим следующие задания:
1. Найти область определения функции:
у=log8(4-5x);у= log0,5(2х+8);.
3. Схематично построить графики функций:у=log2(х+2) -3 у= log2(х) +2
2. На каком из рисунков изображен график функции y log x .
3
Укажите этот рисунок.
1
2
y
1)
y
2)
1
1
x
0 1
3)
0
4)
y
163
y
1
1
0 1
x
1
x
0 1
x
Раздел 8. Функции и графики
Занятие 36 (2/72)
Проверочная работа по теме «Функции и графики»
ВАРИАНТ 1
1. Найдите область определения функции
x 1
x 4
f(x)
2. Найдите область значений функции f ( x )
2
.
4x .
3 x
3. Функция y=f(x) периодическая, с периодом T=4. Известно, что f(1)=2. Вычислите 3f(9).
4. Исследуйте на чётность и нечетность функцию
а)
f(x)
2 cos x
; б) f ( x ) 6 x 2 x 4 sin 2 x cos x .
2
3x 5
5. Постройте график функции y x 3 1. Пользуясь графиком, найдите
2
промежутки возрастания и убывания функции, экстремум функции.
у 2x 1 .
6. Найдите функцию, обратную к функции
Постройте график данной функции и график обратной к данной функции;
укажите область определения и множество значений каждой из них.
ВАРИАНТ 2
1. Найдите область определения функции
2. Найдите область значений функции
f(x)
f(x)
x4
.
x 2 25
2x
.
3 x
3. Функция y=f(x) периодическая, с периодом T=5. Известно, что f(1)=3. Вычислите 7f(6).
4. Исследуйте на чётность и нечетность функцию
а)
f(x)
2 sin x
4
5
; б) f ( x ) 6 x x cos 2 x sin x .
2
7x 4
5. Постройте график функции
y x 5 2 . Пользуясь графиком, найдите
2
промежутки возрастания и убывания функции, экстремум функции.
x
6. Найдите функцию, обратную к функции y 1 1.
2
Постройте график данной функции и график обратной к данной функции;
укажите область определения и множество значений каждой из них.
164
Раздел 9. Начала математического анализа
Занятие 37 (2/74)
Определение числовой последовательности, ее свойства и способы задания. Предел.
Предел последовательности
Функцию у = f(x), x N называют функцией натурального аргумента или числовой
последовательностью и обозначают: у = f(n), или у1, у2, у3..., уn или у(n) или а1 , а2,…, аn… или а(n).
Способы задания последовательностей:
1. Словесно (описание словами, без указания формулы)
2. Аналитический способ (формулой)
3.Рекуррентный способ задания последовательности
Примеры
1. уn = n2 - аналитическое задание последовательности
1,4,9,16,…, n2, …, где n – номер элемента последовательности
У1 = 12 =1, У2 = 22 = 4 и т.д.
2. уn = С - последовательность С, С, С, …., С, …. . Такую последовательность называют постоянной (или
стационарной).
3. Рекуррентный способ задания последовательности - указывается правило, позволяющее вычислить
последующий элемент последовательности, если известны предыдущие.
а 1, = а, аn+1 = аn+ d - арифметическая прогрессия
b 1, = b, bn+1 = bn·q - геометрическая прогрессия
Решение задач
1. Вычислите у1, у2, у3, у4, у5 и запишите в виде ряда чисел:
а)
y n 3 2n
б)
y n 2n 2 n
в)
yn n 3 1
2. а)
б)
y n (1) n
yn
(2) n
n2 1
Предел числовой последовательности
1 1 1
2 3 4
..................
Рассмотрим числовую последовательность
(уn) 1; , , ,....
1
,....
2n
Изобразив элементы этой последовательностей точками на координатной прямой, замечаем, что все
числа последовательности (уn) «сгущаются» около точки 0. Говорят, последовательность сходится к числу 0,
«точка сгущения» является пределом последовательности
Число b называется пределом последовательности (уn), если в любой заранее выбранной окрестности
точки b содержится все элементы последовательности, начиная с некоторого номера.
Пишут так: уn→b или lim y n b
n
Предел последовательности уn при стремлении n к бесконечности равен b.
Необходимое условие сходимости произвольной числовой последовательности:
Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была ограниченной.
165
Достаточное условие сходимости последовательности:
Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.
Теоремы об арифметических операциях над пределами:
Если 𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑛 = 𝑎 𝑙𝑖𝑚 𝑏𝑛 = 𝑎, то
𝑛→∞
𝑛→∞
1) 𝑙𝑖𝑚 (𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛 ) = 𝑎 ± 𝑏
𝑛→∞
2) 𝑙𝑖𝑚 (𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 ) = 𝑎 ∙ 𝑏
𝑛→∞
3) 𝑙𝑖𝑚 (
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑎
)=
𝑏𝑛
𝑏
Решение задач
Вычислите
8𝑛−3
3. 𝑙𝑖𝑚 13−7𝑛
𝑛→∞
4. 𝑙𝑖𝑚
8𝑛 3−3𝑛−1
𝑛→∞ 4−5𝑛−𝑛 3
2𝑛 4
1
5. 𝑙𝑖𝑚 (2𝑛4 + 3𝑛+7𝑛2)
𝑛→∞
Домашнее задание
Вычислите
1. lim
3𝑥 2−4𝑥+5
𝑥→∞ 2𝑥 2 +𝑥+1
2. lim
𝑥→∞
166
√𝑥 2+2𝑥+3
𝑥2
Раздел 9. Начала математического анализа
Занятие 38 (2/76)
Сумма бесконечной геометрической последовательности. Предел функции в точке и на
бесконечности
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой,
начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.
Формула n-го члена геометрической прогрессии
bn 1 bn q, bn 0 bn 1 b1 q n 1
Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.
Sn
b1 q n 1
,q 1
q 1
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы
q 1.
С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно
убывающей или нет.
Решение задач
1. Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна
формулой:
10
n2
;
б)bn 4 .
n
7
10
а )bn n . Найдем q.
7
10 10 1 1
10
10
1.
; q
b1 ; b2
: ;
49 7 7 7
49
7
а )bn
данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.
б) данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
2. Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д.
площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:
Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна
1.
Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.
Рассмотрим сумму n первых слагаемых.
По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна
Если n неограниченно возрастает, то
1
1
0 . Поэтому lim 1 n 1 , т.е. lim S n 1 .
n
n
n 2
n
2
или lim
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности частичных сумм S1,
S2, S3, …, Sn, … .
1 1
1
1
Например, для прогрессии
1, , , ,..., где b1 1, q ,
3 9 27
3
имеем S1 1, S 2 1
167
1 2
1 1 7
, S3 1 ,...,
3 3
3 9 9
1 n
n
1 1
n
3 3 3
1
3
1
Так как lim 0, то lim S n .
Sn
,...
n
n
4
3
4 4 3
1
1
3
Предел функции
Пусть функция f (x ) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, может быть, самой точки а.
Число В называется пределом функции f (x ) в точке а (или при
значений аргумента
х а ), если для любой последовательности
хn ( xn a), n N , последовательность соответствующих значений функции, сходится к числу В.
Основные свойства пределов функций:
1. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют:
lim ( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
xa
xa
xa
2. Предел произведения функций равен произведению их пределов, если последние существуют:
lim ( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
xa
xa
x a
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
3. Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя
отличен от нуля: lim
xa
f ( x)
f ( x) lim
xa
, если lim g ( x ) 0 .
xa
g ( x) lim g ( x)
xa
При вычислении пределов используют следующие правила:
1. Чтобы раскрыть неопределенность вида
последующим сокращением.
2. Чтобы раскрыть неопределенность вида
0
, надо числитель и знаменатель дроби разложить на множители с
0
, надо числитель и знаменатель дроби разделить на старшую
степень неизвестного.
Решение задач
Вычислить пределы:
1.
lim (9 x 2 6 x 8) 9 (lim x) (lim x) 6 lim x lim 8 9 6 8 11;
x1
x1
x1
x1
x1
x 5x 6
( x 2)( x 3)
lim
lim ( x 3) 1
x 2
x 2
x 2
x2
x2
x 1
( x 1)( x 1)
( x 1)( x 1)
3. lim
lim
lim
lim ( x 1) 2
x 1
x 1
x 1
x 1
( x 1)
x 1
( x 1)( x 1)
2
2. lim
4.
5.
6.
7.
8.
4x 2 7x 2
lim
x2 5 x 2 9 x 2
х2 9
lim
х3 х 3
5
lim
x 3 x 1
2 x 2 5x 4
lim
x
20 x 5
1 x4
lim
x 1 x 2 8 x 4
168
Раздел 9. Начала математического анализа
Занятие 39 (2/78)
Приращение аргумента и функции. Понятие производной. Физический смысл производной
Рассмотрим функцию у = f(x). Пусть х – произвольная точка, лежащая в некоторой
окрестности фиксированной точки х0. Разность х - х0 называется приращением независимой
переменной (или приращением аргумента) в точке х0 и обозначается ∆х. Таким образом, ∆х= х -х0,
откуда следует, что х = х0+∆х.
Говорят также, что первоначальное значение аргумента х0 получило приращение ∆х.
Вследствие этого значение функции f изменится на величину f(x) - f(x0) = f(х0 + х)– f(x0).
Эта разность называется приращением функции f в точке х0, соответствующим приращению
∆х, и обозначается ∆y, т. е. по определению
∆y= f (х0+∆х) – f(x0), откуда f (х0 +∆х) = f(x0) +∆f.
Задача о скорости движения.
Рассмотрим прямолинейное движение некоторого тела. Закон движения задан формулой S = S(t), т.е.
каждому моменту времени t соответствует определённое значение пройденного пути S. Найти
скорость движения тела в момент времени t.
Пусть в момент времени t тело находится в точке М. Дадим
аргументу t приращение Δt, за это время тело переместится в
некоторую точку Р, т.е. пройдёт путь ΔS. Итак, за время Δt тело
прошло путь ΔS.
Что можно найти, зная эти два значения?
∆𝑆
𝑣ср. = ∆𝑡 , т.е. среднюю скорость движения тела за промежуток времени [𝑡; 𝑡 + ∆𝑡].
Средней скоростью движения тела называется отношение пройденного пути ко времени, в
течение которого этот путь пройден.
В физике часто идёт речь о скорости v(t), т.е. скорости в определённый момент времени t, часто её
называют мгновенной скоростью.
Можно рассуждать так: мгновенную скорость получим если Δt → 0, т.е. Δt выбирается всё
∆𝑆
меньше и меньше, т.е. 𝑣мгнов. = lim 𝑣ср. = lim ∆𝑡 .
∆𝑡→0
∆𝑡→0
Можно указать ещё много задач из физики, геометрии, для решения которых необходимо
отыскать скорость изменения соответствующей функции.
Например, отыскание угловой скорости вращающегося тела, отыскание теплоёмкости тела
при нагревании, линейный коэффициент расширения тел при нагревании, скорость химической
реакции в данный момент времени и т.п.
Все эти задачи требуют для своего решения нахождения скорости изменения соответствующей
функции.
169
Ввиду обилия задач, приводящих к вычислению скорости изменения функции или, иначе, к
вычислению предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение
аргумента стремится к нулю, оказалось необходимым выделить такой предел для произвольной
функции и изучить его основные свойства.
Производной функции y = f(x) в данной точке x0 называется предел отношения приращения
функции в этой точке к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к
нулю.
∆𝑦
∆𝑓
Обозначение производной: 𝑦 ′ (𝑥0 ) или 𝑓 ′ (𝑥0 ). Тогда 𝑓 ′ (𝑥0 ) = lim ∆𝑥 или 𝑓 ′ (𝑥0 ) = lim ∆𝑥
Пример Найти производную функции y = x.
f(x) = x.
1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.
2.∆𝑓 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥 ) − 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥 = ∆𝑥.
∆𝑓
∆𝑥
3.∆𝑥 = ∆𝑥 = 1.
∆𝑓
4.𝑓 ′ (𝑥 ) = lim ∆𝑥 = lim 1 = 1.
∆𝑥→0
∆𝑥→0
Значит, (𝑥 )′ = 1.
170
∆𝑥→0
∆𝑥→0
Раздел 9. Начала математического анализа
Занятие 40 (2/80)
Производная постоянной, переменной, линейной, степенной, показательной, логарифмической и
тригонометрической функций
С помощью определения производной, можно найти производную любой функции. Найдем
производные элементарных функций и запишем их в таблицу, которой в дальнейшем будем
пользоваться.
Пример 1.
Найти производную функции y = C.
Решение: f(x) = C.
1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.
2.∆𝑓 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥 ) − 𝑓 (𝑥 ) = 𝐶 − 𝐶 = 0.
∆𝑓
0
3.∆𝑥 = ∆𝑥 = 0.
∆𝑓
4.𝑓 ′ (𝑥 ) = lim ∆𝑥 = lim 0 = 0.
∆𝑥→0
∆𝑥→0
Значит, (𝐶 )′ = 0 или производная постоянной равна нулю.
Пример 2.
Найти производную функции y = x.
Решение: f(x) = x.
1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.
2.∆𝑓 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥 ) − 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥 = ∆𝑥.
∆𝑓
∆𝑥
3.∆𝑥 = ∆𝑥 = 1.
∆𝑓
4.𝑓 ′ (𝑥 ) = lim ∆𝑥 = lim 1 = 1.
∆𝑥→0
∆𝑥→0
Значит, (𝑥 )′ = 1.
Пример 3.
Найти производную функции y = x2.
Решение: f(x) = x2.
1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.
2.∆𝑓 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥 ) − 𝑓 (𝑥 ) = (𝑥 + ∆𝑥 )2 − 𝑥 2 = 𝑥 2 + 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2 − 𝑥 2 = ∆𝑥(2𝑥 + ∆𝑥 ).
∆𝑓(𝑥)
∆𝑥(2𝑥+∆𝑥)
3. ∆𝑥 =
= 2𝑥 + ∆𝑥.
∆𝑥
4.𝑓 ′ (𝑥 ) = lim
∆𝑓
∆𝑥→0 ∆𝑥
2 )′
Значит, (𝑥
= lim (2𝑥 + ∆𝑥 ) = lim 2𝑥 + lim ∆𝑥 = 2𝑥.
∆𝑥→0
∆𝑥→0
∆𝑥→0
= 2x.
Пример 4.
Найти производную функции y =𝑘𝑥 + 𝑚.
Решение: f(x) = 𝑘𝑥 + 𝑚.
1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.
2.∆𝑓 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥 ) − 𝑓 (𝑥 ) = 𝑘(𝑥 + ∆𝑥 ) + 𝑚 − 𝑘𝑥 − 𝑚 = 𝑘𝑥 + 𝑘∆𝑥 − 𝑘𝑥 = 𝑘∆𝑥.
∆𝑓(𝑥)
𝑘∆𝑥
3. ∆𝑥 = ∆𝑥 = 𝑘.
∆𝑓
4.𝑓 ′ (𝑥 ) = lim ∆𝑥 = lim 𝑘 = 𝑘.
∆𝑥→0
∆𝑥→0
Значит, (𝑘𝑥 + 𝑚)′ = k.
Пример 5.
1
Найти производную функции y =𝑥.
1
Решение: f(x) = 𝑥.
1.Возьмём два значения аргумента x
171
и x + Δx.
1
2.∆𝑓 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥 ) − 𝑓 (𝑥 ) =
∆𝑓(𝑥)
3.
∆𝑥
∆𝑥
1
𝑥−𝑥−∆𝑥
−∆𝑥
− 𝑥 = 𝑥(𝑥+∆𝑥) = 𝑥(𝑥+∆𝑥) .
𝑥+∆𝑥
−∆𝑥
−1
= − 𝑥(𝑥+∆𝑥) : ∆𝑥 = 𝑥(𝑥+∆𝑥)∆𝑥 = 𝑥(𝑥+∆𝑥) .
4.𝑓 ′ (𝑥 ) = lim
∆𝑓
−1
= lim
∆𝑥→0 ∆𝑥
1 ′
1
∆𝑥→0
= −1 lim
𝑥(𝑥+∆𝑥)
∆𝑥→0
1
𝑥 2+𝑥∆𝑥
=−
lim 1
∆𝑥→0
lim 𝑥 2 + lim 𝑥∆𝑥
∆𝑥→0
∆𝑥→0
1
= − 𝑥2 .
Значит, (𝑥) = − 𝑥 2 .
Пример 6.
Найти производную функции y =√𝑥.
Решение: f(x) = √𝑥.
1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.
2.∆𝑓 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥 ) − 𝑓 (𝑥 ) = √𝑥 + ∆𝑥 − √𝑥 .
∆𝑓(𝑥)
3.
∆𝑥
=
√𝑥+∆𝑥−√𝑥
.
∆𝑥
∆𝑓
4.𝑓 ′ (𝑥 ) = lim
∆𝑥→0 ∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
√𝑥+∆𝑥−√𝑥
∆𝑥
0
= (0) =∗
Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое числителю
2
2
(√𝑥 + ∆𝑥 − √𝑥) ∙ (√𝑥 + ∆𝑥 + √𝑥)
(√𝑥 + ∆𝑥) − (√𝑥)
𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥
∗= lim
= lim
= lim
=
∆𝑥→0
∆𝑥→0 ∆𝑥 ∙ (√𝑥 + ∆𝑥 + √𝑥)
∆𝑥→0 ∆𝑥 ∙ (√𝑥 + ∆𝑥 + √𝑥)
∆𝑥 ∙ (√𝑥 + ∆𝑥 + √𝑥)
= lim
∆𝑥→0 √𝑥
1
+ ∆𝑥 + √𝑥
′
Значит, (√𝑥) =
1
2√𝑥
=
1
√𝑥 + √𝑥
=
1
2 √𝑥
.
Таблица производных
у f x
Вид функции
Степенная
Её следствия,
или
наиболее
часто
встречающиеся
функции
Производная
у f x
2.)
f x x 2
f x x 1
f x 2 х
3.)
f x x
f x 1
4.)
f x x
f x
5.)
f x
1.) f x x
1
2 x
1
f x 2
x
f x 0
6.)
1
x
f x C , где C const
Показательная
7.)
f x a x
Экспоненциальная
8.)
f x e x
f x a x ln a
f x e x
9.)
f x log a x
f x
10.)
f x ln x
Логарифмическая
172
.
1
x ln a
1
f x
x
Тригонометрические
Обратные
тригонометрические
173
11.)
f x sin x
12.)
f x cos x
f x cos x
f x sin x
13.)
f x tgx
f x
14.)
f x сtgx
15.)
f x arcsin x
16.)
f x arccos x
17.)
f x arctgx
18.)
f x arcctgx
1
cos 2 x
1
f x
sin 2 x
1
f x
1 x2
1
f x
1 x2
1
f x
1 x2
1
f x
1 x2
Раздел 9. Начала математического анализа
Занятие 41 (2/82)
Формулы дифференцирования. Упражнения на дифференцирование
u v
u v
Основные правила нахождения производных.
u v
Производная суммы(разности) есть сумма(разность) производных
u v u v
Производная произведения равна сумме произведений
производной первого множителя на второй и первого множителя
на производную второго
C u Cu где С=cоnst
Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
u u v u v
v2
v
Производная дроби равна отношению разности произведений
производной числителя на знаменатель и числителя на
производную знаменателя к квадрату знаменателя
Решение задач
1. Вычислить производные данных функций, пользуясь таблицей
соответствующими правилами дифференцирования
x3
x
а) f ( x)
4 x 2 14 x e 5 , найти f (4) :
9
3
x3
( x 3 )
( x)
x
2
5
4( x 2 )
14( x ) ( e 5 )
f ( x) 4 x 14 x e
3
9
3
9
2
2
3 x
1
1
x
1 7
;
4 2 x 14
0
8x
9
3
3
3
2 x
x
производных и
f ( 4)
42
1 7 16
1 7 16 1
8 4
32
32 3.5 40.5
3
3
3 2
3
4 3
5
5
4
б) f ( x)
x , найти f ( x ) :
5
4 5 x4 4 x
5 5 5 4 1
1
1
.
f ( x)
x
x
1 x
4
9
5
5
4
4
5
x
4
x
x
2
3 ex
2 2 x 6 log 3 x , найти f ( x ) :
в) f ( x) ctgx
5
4
4
4
5
5
4
4
5
2
3 ex
f ( x) ctgx
2 2 x 6 log 3
5
4
5
9
5
9
5
x
2
3 e
2 2 x 6 log 3 x
x ctgx
4
5
2
1 3 ex
1
2
3e x
6
x
2 2 x ln 2
2 2 ln 2 6
.
2
2
4
x ln 3
5 sin x
4
x ln 3
5 sin x
2.
Вычислить
производные
данных
функций,
пользуясь
соответствующими
правиламидифференцирования:
а) f ( x) cos x 4 x , найти f ( x ) :
174
(u v) u v v u
u cos x u sin x
f ( x) cos x 4 x
v4 x x
sin x 4 x
1
4 x
4
3
1
4
v 1 4 x
cos x sin x 4 x
1
4 1
cos x
4 4 x3
14 x 4
3
1
1
3
4
4
4x
4 x3
.
4x
, найти f ( x ) :
3 sin x
u u v v u
v2
v
x
4
4 x ln 4 3 sin x 3 cos x 4 x
u 4 x u (4 x ) 4 x ln 4
f ( x)
(3 sin x ) 2
3 sin x v 3 sin x v 3(sin x) 3 cos x
б) f ( x )
4 x 3 (sin x ln 4 4 x cos x ) 4 x (sin x ln 4 4 x cos x )
.
3 sin 2 x
9 sin 2 x
3. Решить уравнение: f ( x ) f (5) f (1) , если f ( x )
x2 2x 1
.
x3
u u v v u
v2
v
2
x 2x 1
(2 x 2)( x 3) 1 ( x 2 2 x 1)
u x 2 2 x 1 u 2 x 2
1) f ( x )
( x 3) 2
x3
v x 3 v 1
D 36 28 64
( x 7)( x 1)
2x 2 6x 2x 6 x 2 2x 1 x 2 6x 7
=
.
68
68
2
2
( x 3) 2
( x 3)
( x 3)
x1
7 x2
1
2
2
(1 7)(1 1) 6 2
(5 7)(5 1) 2 6
3 , f (5) f (1) 3 ( 3) 0 ,
3 , f (1)
2) f (5)
2
(1 3) 2
4
(5 3)
4
( x 7)( x 1) 0
( x 7)( x 1)
0
3) Имеем уравнение: f ( x ) f (5) f (1)
2
2
( x 3)
( x 3) 0
x 7 или x 1
. Ответ: -1 или 7.
x3
1
5
4. Решить неравенство: f ' ( x ) 0 , если f ( x ) x 5 x 3 6 x .
5
3
5. Решить неравенство: f ( x ) f ( x ) 0 , если f ( x ) x 2 4 x 3 .
1) f ( x) x 2 4 x 3 2 x 4 .
2
2) Имеем неравенство: x 4 x 3 (2 x 4) 0 . Неравенство степени больше второй решается
методом интервалов.
Пусть h( x ) x 2 4 x 3 (2 x 4) . Нули функции: x 2 4 x 3 (2 x 4) 0
175
x2 4x 3 0
2x 4 0
или
D 16 12 4
x2
42
42
x1
3 x2
1
2
2
Отметим найденные значения на оси Ох и определим знаки на полученных интервалах:
h(0) 02 0 3 (0 4) 12 0
Корни не повторяются – знаки чередуются.
Ответ: x ( ;1] [3;)
176
Раздел 9. Начала математического анализа
Занятие 42 (2/84)
Сложная функция. Производная сложной функции. Решение задач
Функция вида y = f ( g (x) )
f u g, или суперпозицией функций f и g.
называется сложной функцией, составленной из функ ций
Пример Функция у =ln(sin x) есть сложная функция, составленная из функций у = ln u и u = sin x .
Поэтому сложную функцию часто пишут в виде y = f(u),
где u = g(x)
Внешняя функция
Промежуточная функция При этом
аргумент х называют независимой переменной, а u - промежуточным аргументом.
Теорема: Если
функция u
=
g(x) дифференцируема
в
некоторой
точке х0,
а
функция y=f(u)дифференцируема в точке u0 = g(x0), то сложная функция у=f(g(x)) дифференцируема в данной
точке x0.
Решение задач
Найти производную функций:
1. y=(2x+3)100.
2. у=(2x-7)14
3. у=(3+5x)10
2
4. у x 3x 1
8
5. у ctgx
6. у ln arcsin x
7. у sin x
3
8. у arcsin x
2
9. у arctg x
10. у sin x
4
11. у arcsin x
3
12. у arcctg
x
Домашнее задание:
Найти производную функции: 1) у=( 5x-7)17; 2) у=( 7x+6)14; 3) y=√𝒙𝟐 − 𝟐𝟓; 4) y=√𝟒𝒙𝟐 − 𝟑𝟔
177
Раздел 9. Начала математического анализа
Занятие 43 (2/86)
Геометрический смысл производной. Уравнение касательной
Пусть дана некоторая кривая и точка А на ней. Возьмем на этой кривой другую точку В и
проведем прямую через точки А и В. Эту прямую обычно называют секущей. Станем приближать
точку В к А.
Положение секущей АВ будет меняться, но с приближением В к А начинает
стабилизироваться. Предельное положение секущей АВ при стремлении точки В к точке А будет
касательной к кривой в точке А.
k кас lim k сек lim
x0
x0
f ( x0 x) f ( x0 )
y
lim
f ( x0 )
x0 x
x
Таким образом, производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной.
Выведем уравнение касательной.
Уравнение произвольной прямой может быть записано в виде 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 (1). Известно, что
𝑘 = 𝑡𝑔𝛼 = 𝑓 (𝑥0 ), поэтому уравнение примет вид𝑦 = 𝑓 (𝑥0 ) ∙ 𝑥 + 𝑏 (2).
Т.к. касательная проходит через точку с координатами (х0; f(x0)) , подставим ее координаты в
уравнение (2) и найдем b
f(x0)=f' (x0 )x0+ b b =f(x0) – f' (x0 )x0
Подставим в уравнение (2) значение b и выполним соответствующие преобразования,
получим у = f(x0) + f '(x0)(х – х0)
Запишем алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y=f(x) в точке с
абсциссой х0 :
1 Находим значение функции в данной точке f(x0)
2 Находим производную данной функции f '(x)
3 Находим значение производной функции в данной точке f '(x0)
4 Подставляем данные в уравнение касательной к графику функции у = f(x0) + f '(x0)(х – х0)
Решение задач
1.Составьте уравнение касательной к графику функции y= x2 +4 x в точке с абсциссой х0= 2.
1) х0 = 2
2) f(2) = 22 + 4*2 = 12
3) f '( x )=2 x+4; f '(2 ) = 4 + 4 = 8
4) у = 12 + 8(х – 2); у = 8х – 4
178
2. Найдите tg α угла наклона касательной к графику функции f(x) = 2x2 + 8x – 3 в точке х0=-3
1
3. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = 3 x3 – 2х в точке М (3;3)
4. Составьте уравнение той касательной к графику функции y= -x3 , которая параллельна
прямой у =1 – 3х.
Домашнее задание
1. К графику функции y=6√x проведите касательную так, чтобы она составляла с осью Ох
угол 45о.
2. Проведите касательную к графику функции y=3−2x2, проходящую через точку А(–2; –5).
179
Раздел 9. Начала математического анализа
Занятие 44 (2/88)
Исследование функции с помощью производной на монотонность. Экстремум функции
Исследование функций на монотонность
Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f'(x) ≥ 0
(причем равенство f'(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве
точек), то функция у = f(х) возрастает на промежутке X.
Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f'(x) ≤ 0
(причем равенство f'(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве
точек), то функция у = f(х) убывает на промежутке X.
Возрастающая функция, f'(x) ≥ 0Убывающая функция, f'(x) ≤ 0
Пример
Исследуем на монотонность функцию f(х) = 3х5 + 2х3 + 4х.
Найдем производную функции: f'(x) = 15х4 + 6х2 + 4. Видно, что при всех значениях х производная
f'(х) > 0. Тогда функция f(х) возрастает на всей числовой прямой.
Точки экстремума функции
Точку х = х0 называют точкой минимума функции y= f(x), если у этой точки существует
окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(х) ≥ f(х0).
Точку х = х0 называют точкой максимума функции y = f(x), если у этой точки существует
окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(х) ≤ f(х0).
Точки максимума и минимума функции называют общим термином - точки экстремума.
На рисунках видно, что экстремум достигается в точке x0, где производная f'(x0) = 0 (рис. а),
или производная не существует (рис. б). Это же подтверждает следующая теорема.
Теорема 3. Если функция у = f(х) имеет экстремум в точке x= x0, то в этой точке производная
функции или равна нулю, или не существует.
Теорема 4. Пусть функция у = f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри промежутка
стационарную или критическую точку х = х0. Тогда:
а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х < х0 выполняется неравенство
f'(x) < 0, а при х > х0 - неравенство f(x) > 0, то х = х0 - точка минимума функции у = f(х);
б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х < х0 выполняется неравенство
f’(x) > 0, а при х > х0 - неравенство f’(x) < 0, то х = х0 - точка максимума функции у = f(х);
в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева и справа от точки хо знаки
производной одинаковы, то в точке х0 экстремума нет (происходит изменение кривизны графика
функции).
180
Для исследования непрерывной функции у = f(х) на монотонность и экстремумы приведем
алгоритм.
1. Найти производную f'(x).
2. Найти стационарные (f’(x) = 0) и критические (f'(x) не существует) точки функции у = f(x).
3. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки
производной на получившихся промежутках.
4. Сделать выводы о монотонности и точках экстремума функции.
Решение задач
1. Исследовать на монотонность функцию f(х) = 2х3 - 15х2 + 36х - 7.
f'(х) = 6х2 - 30х + 36 = 6(х2 - 5х + 6)
6(х2 - 5х + 6) = 0
х1 = 2 и х2 = 3.
Отметим их на числовой прямой и определим знаки производной. Видно, что на промежутках (-∞;
2]U[3; ∞) производная f(x) ≥ 0. Поэтому функция f(х) возрастает на промежутках (-∞; 2] и [3; ∞).
На промежутке [2; 3] производная f'(х) ≤ 0. Следовательно, функция f(х) убывает на промежутке [2;
3].
2. Найти экстремумы функции
6(х2 + х - 2) = 0,
x1 = -2 и х2 = 1.
Отметим стационарные точки на координатной оси и построим диаграмму знаков производной f'(x).
Видно, что в точке х = -2 знак производной меняется с минуса на плюс. Поэтому критическая точка х
=
-2
точка
минимума.
Найдем
минимум
функции:
В точке x = 1 знак производной меняется с
плюса на минус. Поэтому критическая точка х = 1 - точка максимума. Найдем максимум функции:
181
Раздел 9. Начала математического анализа
Занятие 45 (2/90)
Применение производной к исследованию функции и построению графиков
Алгоритм исследования функции
1.Найти область определения функции.
2.Исследовать функцию на четность:
- если f(-х)= f(х), то функция четная и ее график симметричен относительно оси у,
- если f(-х)= -f(х), то функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат.
3.Найти критические (точки, в которых производная равна нулю или не существует) точки
функции:
- найти производную функции,
- приравнять ее к нулю,
-решить полученное уравнение.
- корни уравнения и точки, в которых производная не существует – критические точки.
4. Найти промежутки монотонности функции:
- отметить на числовой прямой критические точки,
- определить знак производной на каждом промежутке:
если f '(х) < 0, то функция убывает,
если f '(х) > 0, то функция возрастает
5.Найти экстремумы функции:
- если в точке производная функции меняет свой знак с «-» на «+», то в этой точке min,
- если в точке производная функции меняет свой знак с «+» на «-», то в этой точке mах.
6.Найти значения функции в критических точках.
7.Найти вертикальные и горизонтальные асимптоты графика функции:
-если 𝑙𝑖𝑚 𝑓 (х) = 𝑏, то прямая у = b - горизонтальная асимптота.
х→∞
𝑝(х)
-если f(х)=𝑔(х) ипри х = а знаменатель обращается в нуль, а числитель
отличен от нуля, то х = а – вертикальная асимптота.
8. Найти точки пересечения графика функции с осями координат:
( с осью х, у = 0; с осью у, х = 0)
9.Найти дополнительные точки графика функции.
10.Построить график функции.
Пример Исследовать функцию у = х3 – 3х2 + 2 и построить ее график
1. Область определения функции – вся числовая прямая.
2. у(-х) = (-х)3 – 3(-х)2 + 2 = -х3 – 3х2 + 2, значит, функция является ни четной, ни нечетной и график
ее не симметричен.
3. у '(х) = 3х2- 3·2х + 0 = 3х2- 6х
Производная существует везде, значит станционарных точек нет.
Найдем критические точки:
3х2- 6х = 0
3х( х – 2) = 0
3х = 0; х – 2 = 0
х = 0, х = 2 – критические точки
4.
+
0
+
2
5.Точка х = 0 - mах, точка х = 2 - min.
182
6. у(0) = 03 – 3·02 + 2 = 2, точка максимума(0;2)
у(2) = 23 – 3·22 + 2 = 8 – 12 + 2 = -2, точка минимума (2;-2)
7. lim у(х) = ∞, значит, горизонтальных асимптот нет
х→∞
вертикальных асимптот тоже нет.
8. С осью х, у = 0: х3 – 3х2 + 2= 0
(х – 1)(х2 -2х – 2) = 0
х – 1 = 0; х2 -2х – 2 = 0
х=1
D = 12;
х1,2 =
2 ±√12
2
=
2 ±2√3
= 1±√3,
2
значит, график функции пересекает ось х точках (1;0); (1 -√3; 0 ); (1 +√3; 0 )
с осью у, х = 0: у = 2 значит, график функции пересекает ось у точке (0;2)
9.
х -2
у -18
10.
-1
-2
1
0
3
2
4
18
у
у = х3 – 3х2 + 2
Mах(0;2)
1 -√3
1
1 +√3
х
Min(2;-2)
Задания для практической работы:
1 уровень
1. Исследовать функцию у = 7 - х – 2х2и построить ее график.
2. Постройте эскиз графика какой-нибудь функции, обладающей следующими свойствами:
а) функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной;
б) функция возрастает при х≤ 1 иприх ≥ 5 иубывает на промежутке[1; 5]; точка х = 1 является
критической.
2 уровень
1. Исследовать функцию у = 60 +45х – 3х2 –х3 и построить ее график.
2. На рисунке изображен график функции
, определенной на интервале
Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
183
.
3 уровень
1. Исследовать функцию у =-
х3
3
5
+ х2 − 3х + 3 и построить ее график.
2. На рисунке изображен график производной функции
, определенной на интервале
.
Найдите промежутки возрастания функции
. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в
эти промежутки.
184
Раздел 9. Начала математического анализа
Занятие 46 (2/92)
Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке. Вторая производная функции
Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a; b]. В этом случае она принимает как
наибольшее, так и наименьшее значения на этом отрезке. Во многих прикладных вопросах важно
найти те точки отрезка [a; b], которым отвечают наибольшее и наименьшее значения функции.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции y = f (x),
достаточно:
1. Найти все критические точки, принадлежащие [a; b], и вычислить значения функции в этих
точках.
2. Вычислить значения функции на концах отрезка [a; b], то есть найти f (a) и f (b).
3. Сравнить полученные результаты: наибольшее из найденных значений является наибольшим
значением функции на отрезке [a; b]; аналогично, наименьшее из найденных значений является
наименьшим значение функции на этом отрезке.
Решение задач
1. Найти наибольшее значение функции y = x3 + 3x2 − 9x – 7 на отрезке [−5; 0].
y' = (x3 + 3x2 − 9x − 7)' = 3x2 + 6x − 9.
y' = 0 ⇒ 3x2 + 6x − 9 = 0 ⇒ ... ⇒ x = −3; x = 1.
Вычеркиваем корень x = 1, потому что он не принадлежит отрезку [−5; 0].
Осталось
вычислить
значение
функции
на концах
отрезка
y(−5) = (−5)3 + 4·(−5)2 − 9·(−5) − 7 = −12;
y(−3) = (−3)3 + 4·(−3)2 − 9·(−3) − 7 = 20;
y(0) = 03 + 4·02 − 9·0 − 7 = −7.
Очевидно, наибольшее значение равно 20 — оно достигается в точке x = −3.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
5 3
f (x) = 2x3 – 6x + 5 на отрезке ; .
2 2
и в точке x = −3:
f (x) = 6x2 – 6 = 6(x2 – 1), 6(x2 – 1) = 0, x1 = –1, x2 = 1.
f (–1) = 2 (–1)3 – 6 (–1) + 5 = 9; f (1) = 2 13 – 6 1 + 5 = 1.
3
1
5
5
5
f 2 6 5 11 ;
4
2
2
2
3
3
3
3
3
f 2 6 5 2 .
4
2
2
2
Наибольшее значение данной функции на рассматриваемом отрезке есть f (–1) = 9, а наименьшее
1
5
f 11 .
4
2
3. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
4. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
При решении прикладных задач на нахождение наибольшего или (и) наименьшего
значения некоторой величины можно использовать следующую схему:
1) Одну из величин обозначаем за х и по содержанию задачи накладываем ограничения на х.
2) Величину больше или (и) наименьшее значение которой требуется найти выражаем через х;
185
3) Находим наибольшее или (и) наименьшее значение полученной функции при наложенных
ограничениях на х;
4) Выясняем какой практический смысл полученный результат.
При решении некоторых практических задач необходимо найти наибольшее или (и)
наименьшее значение непрерывной функции не на промежутке [а;b], а на интервале (а;b). Как
правило, в таких случаях на интервале (а;b) функция имеет одну критическую точку. Если эта точка
максимума, то именно в этой точке на интервале (а;b) функция имеет наибольшее значение, а если
это точка минимума, то наименьшее.
Задача Забором, длина которого 120 м, надо огородить огород наибольшей площади.
Найдите размеры огорода.
1) Обозначим через х (м) одну из двух параллельных сторон забора, тогда другая сторона будет
равна 120 - 2х (м),
2) Площадь огорода: S(x) = х*(120 - 2х).
S(x) = 120х - 2x2.
3) Найдем наибольшее значение функции:
S(x) = 120х - 2х2 при условии х принадлежит (0;60).
S'(x)= 120 - 2 ∙ 2x = 120 - 4x; S'(x) = 0, когда х = 30. Имеем хmах = 30
4) Поскольку S(x) = 120 - 2х2 непрерывна на (0;60) и имеет точку максимума х mах = 30, то именно в
этой точке S(x) достигает наибольшего значения. Следовательно, размер огорода 30 м и
120 - 2 ∙ 30 = 60 (м).
Домашнее задание
1. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
2. Необходимо изготовить открытый резервуар цилиндрической формы, объем которого равен
64π дм3. При каких размерах резервуара (радиусе основания и высоте) на его изготовление тратится
наименьшее количество металла?
186
Раздел 9. Начала математического анализа
Занятие 47 (2/94)
Решение задач на вычисление производных. Подготовка к проверочной работе
Тренировочные упражнения по теме «Производная функции»
Вариант 1
1. Найдите производную функции:
1
а) f (x) = 2 x4 – x3 + 5;
1
б) f (x) = 4x – 𝑥 3.
2. Найдите:
𝜋
а) f ′( 2 ), если f (x) = x cos x;
б) f ′(– 1), если f (x) = (3x + 4)5.
3. Найдите все значения x, при которых f ′ (x) = 0, если f (x) = cos 2x + √3𝑥.
4. Исследуйте функцию f (x) = 6x – x3 и постройте ее график.
Вариант 2
1. Найдите производную функции:
1
а) f (x) = 4 – x4 – 3 x6;
2
б) f (x) = 𝑥 2 + x.
2. Найдите:
а) f ′(– 2), если f (x) = (5 + 2x)4;
sin 𝑥
б) f ′(𝜋), если f (x) = 𝑥 .
3. Найдите все значения x, при которых f ′ (x) = 0, если f (x) = 2√2𝑥 – sin 4x .
1
4. Исследуйте функцию f (x) = 6x3 – 0,5x2 и постройте ее график.
187
Раздел 9. Начала математического анализа
Занятие 48 (2/96)
Проверочная работа по теме «Производная и ее применение»
Вариант 1
1) Найдите производную заданной функции
а)
б)
f ( x) x7 5x 4 12 x 2 0,5x 125
f ( x) x 3 cos x
в) f ( x)
tgx
x 4
2
2
x
x0
4
3 4
1 4 1 3
2
б) y x x 2 x x 1 x0 1
4
3
3) Решите уравнение: f ( x ) 0
а) y sin
f ( x) x 2 4 x 3
4) Решите неравенство: f ( x ) 0
f ( x)
а)
f ( x) 3x8 3x5 11x 2 0,3x 127
б)
f ( x) x 4 sin x
в) f ( x)
г) f ( x) sin x 4 x 5 x 14
2) Найдите значение производной функции в заданной
точке
3
Вариант 2
1) Найдите производную заданной функции
1 3
x 2 x 2 3x 8
3
ctgx
x3
г) f ( x) cos x 4 x 4
2) Найдите значение производной функции в заданной
точке
4
а) y cos 2 x
3
x0
6
6
1 5 1 2
x x 3 x 2 2 x0 1
5
2
3) Решите уравнение: f ( x ) 0
б) y
f ( x) x 2 2 x 8
4) Решите неравенство: f ( x ) 0
f ( x)
1 3
x x 2 8 x 12
3
5) Исследуйте функцию по схеме и постройте график:
5) Исследуйте функцию по схеме и постройте график:
y х 12 х 36
y х4 4x2 4
4
188
2
Раздел 10. Интеграл и его применение
Занятие 49 (2/98)
Первообразная. Таблица первообразных. Правила нахождения первообразных
Рассмотрим следующую задачу: пусть дана функция f ( x) x 2 , для которой требуется
найти такую функцию F (x), чтобы F ( x) f ( x).
Данная функция f ( x) x 2 является степенной с натуральным показателем.
Нам также известно, что при дифференцировании степенной функции получается степенная
функция с показателем степени на 1 меньше, чем у данной функции. Поэтому естественно начать с
того, чтобы испытать на пригодность степенную функцию x 3 .
Дифференцируя x 3 , находим: ( x 3 ) 3x 2 . Нам мешает коэффициент 3. Чтобы избавиться от
1
этого коэффициента, появляющегося при дифференцировании, достаточно положить F ( x) x 3 .
3
1 3
Таким образом, подобранная функция F ( x) x удовлетворяет условию, что F ( x) f ( x). В
3
1 1
самом деле, x 3 * 3x 2 x 2 .
3 3
В этой задаче мы восстановили (отыскали) такую функцию F (x), чтобы её производная
F ( x) f ( x). Задачи, сходные с этой часто встречаются не только в математике, но и в других
науках и технике (механике, физике, электротехнике). Поэтому целесообразно рассмотреть её
решение в общем виде.
Итак, пусть на отрезке a; b задана непрерывная функция f (x ) , для которой требуется найти
функцию F (x) такую, что F ( x) f ( x).
Функция F (x) называется первообразной
функцией для данной функции f (x ) , если
F ( x) f ( x).
1
Согласно определению, для функции x 2 функция x 3 является первообразной.
3
1 3
1
1
х 1 , так как х 3 1 х 3 (1) х 2 ;
3
3
3
1 3
1 3 1 3
х 1 , так как х 1 х (1) х 2 ;
3
3
3
1 3
1 3
1 3
х 2 , так как х 2 х ( 2 ) х 2 ;
3
3
3
1 3
1 3
1 3
х , так как х х ( ) х 2 ;
3
3
3
1 3
1
1
х С , так как х 3 С х 3 (С ) х 2 .
3
3
3
Теорема (основное свойство первообразной функции):
Если F(x) - первообразная для функции f(x), то F(x)+C , где C - произвольная постоянная,
также является первообразной для f(x).
Справедливо и обратное утверждение.
Если F(x) и Ф(х) - две какие-нибудь
Ф(х)=F(x)+C, где C - произвольная постоянная
189
первообразные
функции для функции f(x) , то
Геометрически основное свойство первообразной Ф(х)=F(x)+C для некоторой функции можно
проиллюстрировать следующим образом: график любой первообразной F(x)+C можно получить
из графика первообразной F(x) при помощи параллельного переноса
Таблица первообразных
Функция
Общий вид первообразных
k (постоянная)
kx+c
𝑥 𝑛 (𝑛 ∈ 𝑍, 𝑛 ≠ −1)
𝑥 𝑛+1
+𝑐
𝑛+1
1
2 √𝑥 + 𝑐
√𝑥
sin 𝑥
− cos 𝑥 + 𝑐
cos 𝑥
sin 𝑥 + 𝑐
1
cos 2 𝑥
tg 𝑥 + 𝑐
1
sin2 𝑥
1
𝑥
− ctg 𝑥 + 𝑐
𝑒𝑥
𝑒𝑥 + 𝑐
𝑎𝑥
𝑎𝑥
+𝑐
ln 𝑎
ln|𝑥 | + 𝑐
Правила нахождения первообразных.
1. Если F есть первообразная для f , а G- первообразная для g , то F+G есть первообразная
для f+g.
2. Если F есть первообразная для f , а k – постоянная, то функция kF-первообразная для kf.
1
3. Если F(x) есть первообразная для f(x) , а k и b -постоянные, причем k
0, то 𝑘 F(kx+b)
есть первообразная для f(kx+b) .
Решение задач
1. Как из семейства парабол y x 2 C выбрать такую, которая проходила бы через точку
(1;2).
y x 2 C; 2 12 C;
2 1 C;
C 1.
Парабола y x 2 C проходит через точку (1;2).
2. Докажите, что функция F(x) есть первообразная
промежутке, если: F ( x) 3x 4 , f ( x) 12 x 3 , (; ).
Функция F ( x) 3x 4 одна из первообразных
функции
F ( x) (3x ) 12 x f ( x) для любых x (; ).
4
190
3
для функции f(x) на заданном
f ( x) 12 x 3 для
x (; ), так как
3. Докажите,
что функция
F(x) есть первообразная
1
промежутке, если: F ( x) x , f ( x)
, (;0).
2 x
Функция F ( x) x одна из первообразных функции
F ( x) ( x )
для функции f(x) на заданном
f ( x)
1
2 x
для x (;0), так как
1
f ( x) для любых x (;0).
2 x
4. Для данной функции f(x) найдите первообразную, график которой проходит через
заданную точку А а) f ( x) x 4 ; А(-1;0), постройте график функции f(x).
x5
C множество всех первообразных функции f(x). По условию задачи F (1) 0,
5
(1) 5
1
x5 1
значит,
C 0, C . F ( x)
.
5
5
5 5
б) f ( x) cos x; А ;2 , постройте графики функций f(x) и F(x).
2
Домашнее задание
1. Докажите, что функция F(x) есть первообразная для функции f(x) на заданном промежутке,
если: б) F ( x) 4 x 5 , f ( x) 20 x 4 , (; ).
2. Докажите, что функция F(x) есть первообразная для функции f(x) на заданном промежутке,
если: б) F ( x) sin x 1, f ( x) cos x, (; ).
3. Для данной функции f(x) найдите первообразную, график которой проходит через заданную
точку А, если f ( x) sin x; А ( ;2).
4. Для данной функции f(x) найдите первообразную, график которой проходит через заданную
точку А, если f ( x) 5; А (2;12), постройте графики функций f(x) и F(x).
F ( x)
191
Раздел 10. Интеграл и его применение
Занятие 50 (2/100)
Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные интегралы
Совокупность всех первообразных функции f(x) на некотором множестве называется ее
неопределенным интегралом.
Обозначение: f ( x)dx F ( x) C .
f(x) при этом называется подынтегральной функцией, а f(x)dx – подынтегральным выражением.
Свойства неопределенного интеграла.
1. d f ( x)dx d ( F ( x) C ) F ( x)dx f ( x)dx.
2. dF ( x) F ( x)dx f ( x)dx F ( x) C.
3. ( f ( x) g ( x)) dx f ( x)dx g ( x)dx.
Действительно, ( f ( x) g ( x)) dx F ( x) G ( x) C , а
f ( x)dx g ( x)dx F ( x) C
1
G ( x) C 2
. Но, поскольку С1+С2 – произвольная постоянная, выражения в левой и правой частях равны.
C
4. kf ( x)dx kF( x) C1 k ( F ( x) 1 ) k ( F ( x) C ) k f ( x)dx.
k
Замечание. Все перечисленные свойства формулировались и доказывались в предположении,
что на некотором множестве существуют первообразные функций f(x) и g(x), равные соответственно
F(x) и G(x).
Табличные интегралы.
Из определения первообразной и неопределенного интеграла следует, что таблицу основных
интегралов можно получить из таблицы основных производных, считая производные табличных
функций подынтегральными функциями, а сами функции – их первообразными.
x 1
dx
1. x dx
2.
C , 1.
ln | x | C.
x
1
ax
3. a x dx
3΄. e x dx e x C.
C , a 0, a 1.
ln a
4. sin xdx cos x C.
5. cos xdx sin x C.
6.
dx
cos
2
tgx C.
x
dx
1
x
1
x
8. 2
arctg C arcctg C.
2
a
a
a
a
x a
dx
x
x
9.
arcsin C arccos C.
a
a
a2 x2
10.
x
11.
7.
dx
sin
2
x
ctgx C.
dx
1
xa
ln
C.
2
2a x a
a
dx
ln | x x 2 a 2 | C.
2
2
x a
2
Решение задач
1
2
1
1
1
3
1
1
1
3 3
4 4
3
2
4
2
dx x dx x dx x dx 2 x C1 x C 2 x C3
1.
2
3
x 3 x 4 x
3
4
2 x 3 x 2 4 x 3 C.
2
3
192
2.
tg
2
xdx
sin
cos
2
2
x
dx
x
3. ∫(3x 4 − 2х6 )dx
4. ∫(9t 7 + 4t 5 + t + 2)dt
5. ∫(18x −8 + 6x 8 + 4x)dx
1
6. ∫(6x 2 + 8x −3 − 5x)dx
7. ∫(4x − 8ex )dx
8. ∫(8t − 4et )dt
1
9. 12 ∫ x dx
10. ∫(5sint − 28)dt
Домашнее задание
Вычислить интегралы:
1.∫(25x + 4 cosx)dx
2. ∫
3. ∫
193
x6 +x9
x2
dx
2x3 +x5 +2
x
dx
1 cos 2 x
cos 2 x
dx
dx
cos
2
x
dx tgx C 1 x C 2 tgx x C.
Раздел 10. Интеграл и его применение
Занятие 51 (2/102)
Упражнения на интегрирование неопределенного интеграла. Решение неопределенного
интеграла разными способами
Замена переменной в неопределенном интеграле.
Пусть функция f(x) определена на множестве Х, а функция φ(t) – на множестве Φ, причем
(t ) X t . Тогда, если функция f(x) имеет первообразную F(x) на Х, а φ(t) дифференцируема
на Φ, то f ( (t )) (t )dt f ( x)dx. (1)
Замечание 1. Формулу (1) называют формулой интегрирования подстановкой.
Замечание 2. Часто удобно бывает использовать формулу (1) «в обратную сторону»:
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt , (2)
то есть заменять переменную х функцией новой переменной t. Формула (2) носит название формулы
интегрирования заменой переменной.
Решение задач
1. sin t cos tdt sin t (sin t )dt x 2 dx
2
2
x3
sin 3 t
C
C. При этом была сделана подстановка x
3
3
= sin t.
1 t
dt
dt 2 dt 2(ln | t | t ) C
1 x
1 t 2
1 t
dx 2 (t )dt 2 2tdt 2 t
2.
t
x
t
t
2(ln x x ) C ln x 2 x C.
Интеграл был вычислен с помощью замены переменной: x = t².
3. ∫(2х2 − 1)4 x dx
4. ∫ 6(2х2 + 3)7 x dx
5. ∫(х3 − 3)3 x 2 dx
6. ∫ 2(6 − 2х2 )5 x dx
7. ∫ sin9 x cosx dx
8. 4 ∫ cos 4 x sinx dx
9. 2 ∫ esinx cosx dx
10. 9 ∫ e6𝑥 dx
11. ∫ sin4x dx
Формула интегрирования по частям.
Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке, и на нем существует
интеграл vdu , то на нем существует и интеграл udv, причем
udv uv vdu.
12. x cos xdx xd (sin x) x sin x sin xdx x sin x cos x C.
13.
ln x
dx.
x2
Пусть u ln x , dv
194
dx
dx
, тогда du
,
2
x
x
dx
dv x
2
x 2 dx
1
1
, v
x
x
ln x
ln x
1 dx
ln x
ln x 1
dx
x 2 dx
C
2
x
x x
x
x
x
x
14. ( x 2 2 x 7)e 2 x dx
1 2x
e
2
1 2
1 2x
1 2
2x
2
2x
2x
2x
( x 2 x 7)e dx 2 ( x 2 x 7)e 2 e (2 x 2)dx 2 ( x 2 x 7)e ( x 1)e dx C
1
1 2x
1
1 2x
2x
2x
2x
( x 1)e dx 2 ( x 1)e 2 e dx 2 ( x 1)e 4 e C
1
1 2
1 2x
1 2x
1
2
2x
2x
2x
( x 2 x 7)e dx 2 ( x 2 x 7)e 2 ( x 1)e 4 e C 2 x2 3x 8 2 e C
15.
dx
ln xdx u ln x; dv dx; du ln x dx x ; v dx x
dx
x ln x x
x ln x dx x ln x x C.
x
16.
dx
arctgxdx u acrtgx; dv dx. du arctgx dx 1 x 2 ; v x
x dx
1
2x
1
x arctgx
xarctgx
dx xarctgx ln( 1 x 2 ) C
2
2
2 1 x
2
1 x
Пусть u x 2 2 x 7 , dv e 2 x , тогда du (2 x 2)dx , v
Домашнее задание
1. ( x 3) sin xdx
2. ln 2 xdx
3. ( x 2)е x dx
195
Раздел 10. Интеграл и его применение
Занятие 52 (2/104)
Решение неопределенного интеграла разными способами
Замена переменной в неопределенном интеграле.
Пусть функция f(x) определена на множестве Х, а функция φ(t) – на множестве Φ, причем
(t ) X t . Тогда, если функция f(x) имеет первообразную F(x) на Х, а φ(t) дифференцируема
на Φ, то f ( (t )) (t )dt f ( x)dx. (1)
Замечание 1. Формулу (1) называют формулой интегрирования подстановкой.
Замечание 2. Часто удобно бывает использовать формулу (1) «в обратную сторону»:
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt , (2)
то есть заменять переменную х функцией новой переменной t. Формула (2) носит название формулы
интегрирования заменой переменной.
Решение задач
1.
2
2
2
sin t cos tdt sin t (sin t )dt x dx
x3
sin 3 t
C
C. При этом была сделана подстановка x
3
3
= sin t.
1 t
dt
dt 2 dt 2(ln | t | t ) C
1 x
1 t 2
1 t
dx 2 (t )dt 2 2tdt 2 t
2.
t
x
t
t
2(ln x x ) C ln x 2 x C.
Интеграл был вычислен с помощью замены переменной: x = t².
3. ∫(2х2 − 1)4 x dx
4. ∫ 6(2х2 + 3)7 x dx
5. ∫(х3 − 3)3 x 2 dx
6. ∫ 2(6 − 2х2 )5 x dx
7. ∫ sin9 x cosx dx
8. 4 ∫ cos 4 x sinx dx
9. 2 ∫ esinx cosx dx
10. 9 ∫ e6𝑥 dx
11. ∫ sin4x dx
Формула интегрирования по частям.
Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке, и на нем существует
интеграл vdu , то на нем существует и интеграл udv, причем
udv uv vdu.
12. x cos xdx xd (sin x) x sin x sin xdx x sin x cos x C.
13.
ln x
dx.
x2
Пусть u ln x , dv
196
dx
dx
, тогда du
,
2
x
x
dx
dv x
2
1
1
x 2 dx , v
x
x
ln x
ln x
1 dx
ln x
ln x 1
dx
x 2 dx
C
2
x
x x
x
x
x
x
14. ( x 2 2 x 7)e 2 x dx
1 2x
e
2
1 2
1 2x
1 2
2
2x
2x
2x
2x
( x 2 x 7)e dx 2 ( x 2 x 7)e 2 e (2 x 2)dx 2 ( x 2 x 7)e ( x 1)e dx C
1
1 2x
1
1 2x
2x
2x
2x
( x 1)e dx 2 ( x 1)e 2 e dx 2 ( x 1)e 4 e C
1
1 2
1 2x
1 2x
1
2
2x
2x
2x
( x 2 x 7)e dx 2 ( x 2 x 7)e 2 ( x 1)e 4 e C 2 x2 3x 8 2 e C
15.
dx
ln xdx u ln x; dv dx; du ln x dx x ; v dx x
dx
x ln x x
x ln x dx x ln x x C.
x
16.
dx
arctgxdx u acrtgx; dv dx. du arctgx dx 1 x 2 ; v x
x dx
1
2x
1
x arctgx
xarctgx
dx xarctgx ln( 1 x 2 ) C
2
2
2 1 x
2
1 x
Пусть u x 2 2 x 7 , dv e 2 x , тогда du (2 x 2)dx , v
197
Раздел 10. Интеграл и его применение
Занятие 53 (2/106)
Определенный интеграл, его свойства. Геометрический смысл. Формула Ньютона- Лейбница
Задача о площади криволинейной трапеции.
Пусть на отрезке [ a; b] определена непрерывная и неотрицательная функция y f (x) .
Криволинейной трапецией называется часть плоскости, ограниченная графиком функции
y f (x) , осью Ох ( y 0 ) и отрезками прямых x a , x b .
Пусть требуется найти площадь криволинейной трапеции.
Для этого разобьём отрезок [ a; b] точками
y
a x0 x1 xn b
на
n
частичных
B
y f (x)
xk xk xk 1 ,
отрезков
и
положим
k 1, 2, , n . Наибольшую из этих разностей
обозначим через : max xk . На каждом
[ xk 1 ; xk ]
частичном
отрезке
выберем
произвольную
точку
ck [ xk 1 ; xk ] .
ck :
Произведение
даст
площадь
f (ck ) xk
прямоугольника с основанием x k и высотой
тогда приближённо площадь
f ( ck ) ,
S
криволинейной трапеции aABb равна сумме:
A
О
a x0 x1
f ( ck )
ck
xk 1
xk
xn b
x
n
S f (ck ) xk , k 1, n .
k 1
Эта сумма называется интегральной суммой.
Если увеличить количество частичных отрезков так, что длина любого из них будет стремиться
к нулю, то данная интегральная сумма будет стремиться к площади S криволинейной трапеции:
n
S lim f (ck )xk ,
0 k 1
max xk
Если предел интегральной суммы существует, не зависит от способа разбиения отрезка [ a; b] на
части и от выбора точек ck в них, то этот предел называется определённым интегралом от функции
b
f (x ) на отрезке [ a; b] и обозначается f ( x ) dx .
a
b
n
a
k 1
Таким образом, f ( x)dx lim f (ck )xk .
0
При этом функция f (x ) называется подынтегральной функцией, f ( x)dx – подынтегральным
выражением, числа a и b – пределами интегрирования (a – нижний предел, b – верхний предел), x переменной интегрирования.
b
Функция y f (x) , для которой на отрезке [ a; b] существует определенный интеграл f ( x ) dx ,
a
называется интегрируемой на этом отрезке.
Геометрический смысл определенного интеграла: если функция
неотрицательна на отрезке [ a; b] , то
f (x )
непрерывна и
b
f ( x ) dx геометрически представляет собой площадь
a
криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y f (x) , снизу – отрезком [ a; b]
оси Ox , с боков – отрезками прямых x a , x b .
Свойства определённого интеграла
198
Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая подынтегральную функцию
f (x ) интегрируемой на отрезке [ a; b] .
1. При перестановке пределов интегрирования знак определённого интеграла изменяется:
b
a
a
b
f ( x)dx f ( x)dx .
2. Определённый интеграл от функции с равными пределами интегрирования равен нулю:
a
f ( x)dx 0 .
a
3. Постоянный множитель можно вынести за знак определённого интеграла:
b
b
a
a
kf ( x)dx k f ( x)dx , k const .
4. Определённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической
сумме определённых интегралов от этих функций:
b
b
b
a
a
a
( f ( x) g ( x)) dx f ( x)dx g ( x)dx .
5. Определённый интеграл по отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям:
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx , где a c b .
6. Если функция f (x ) - чётная на отрезке [ a; a ] , то выполняется равенство
a
a
a
0
f ( x)dx 2 f ( x)dx .
7. Если функция f (x ) - нечётная на отрезке [ a; a ] , то выполняется равенство
a
f ( x)dx 0 .
a
Вычисление определенного интеграла
Если функция f (x ) интегрируема на отрезке [ a; b] и F (x) – первообразная функции f (x ) на
b
этом отрезке, то имеет место формула Ньютона–Лейбница: f ( x)dx F (b) F (a) .
a
b
b
f ( x)dx F ( x) a .
a
Метод замены переменной (метод подстановки)
При вычислении определенного интеграла методом подстановки новая переменная вводится
подобно случаю неопределенного интеграла. Однако в отличие от неопределенного интеграл а, где в
полученном результате мы снова возвращались к прежнему переменному, здесь этого делать не
надо.
Интегрирование по частям
Если функции u(x) и v(x) и их производные u(x) и v(x) непрерывны в промежутке a x b , то
b
b
b
a
a
a
формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид: u dv u v v du
Решение задач
5
1. 2 xdx
1
x 2 50 52
0 25
2
6.
0
2
2. cos xdx sin x
0
199
3 dx
x 3
0
2
0
sin
2
sin 0 1
5
7. (4 x)3 dx
4
4
2
3. (5 x3 6) dx
8.
6
0
1
(x
4.
3
9. cos 4 x dx
2 x) dx
1
0
6
3
dx
5.
3 x
10.
3
dx
1.
9 x2
0
3.
2
x cos x dx
0
200
0
Домашнее задание
2.
cos (2 x 6 ) dx
1
4.
4 x sin x
dx
x
2
dx
e
0
2x
dx
9 x2
Раздел 10. Интеграл и его применение
Занятие 54 (2/108)
Криволинейная трапеция. Вычисление площади криволинейной трапеции
Фигура, ограниченная графиком непрерывной функции f ( x) 0 , прямыми x a , x b (a b) и
осью ох, называется криволинейной трапецией (с основанием на оси ох).
Площадь криволинейной трапеции с основанием на оси ох вычисляется по формуле
y
y f ( x)
b
S f ( x )dx
a
x a
0
x b
Если
x
x
f ( x) 0 ,
x a
x b
0
т.е. криволинейная трапеция расположена ниже оси ох, то её площадь вычисляется
по формуле
.
y
b
S f ( x)dx
y f ( x)
a
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y x 2 1 , x 2 , y 0 , x 0 .
Построим линии, ограничивающие фигуру.
y x 2 1 – парабола, симметричная относительно оси оу, вершина (0;1).
x 2 – прямая, проходящая через точку (2;0), параллельная оси оу.
y 0 – аналитическое выражение оси ох.
x 0 – аналитическое выражение оси оу.
y
5
2
1
0
1
2
x2
x
Построенная фигура является криволинейной трапецией с основанием на оси ох, поэтому её
площадь вычисляется по формуле
b
S f ( x)dx .
a
f ( x) x 2 1 , a 0 , b 2 .
Тогда
2
S ( x 2 1)dx
0
201
2
x3
8
2
2
2
x0 22 24
3 0
3
3
3
(кв. ед.).
Раздел 10. Интеграл и его применение
Занятие 55 (2/110)
Вычисление площади фигур и объемов тел с помощью интеграла
Если для всех x [a; b] выполняется условие f 2 ( x) f1 ( x) , т.е. f 2 ( x) f1 ( x) 0 , то площадь фигуры,
ограниченной графиками непрерывных функций y f1 ( x) , y f 2 ( x) и прямыми x a , x b , a b ,
вычисляется по формуле
y
y f ( x)
2
b
S ( f 2 ( x) f1 ( x)) dx
y f ( x)
1
0
x a
x b
a
x
Заметим, что одна из прямых (или обе) могут «стягиваться» в точку.
Если плоская фигура не является криволинейной трапецией указанных видов, то её разбивают на
криволинейные трапеции прямыми, параллельными оси ох и применяют соответствующие формулы.
Решение задач
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y x2 , y x 2
Построим линии, ограничивающие фигуру.
y x 2 – парабола, симметричная относительно оси оу, вершина (0;0).
y x 2 – прямая, если x 0 , то y 2 ,
если y 0 , то x 2 .
Найдём точки пересечения линий:
x2 x 2
y x2 ,
x2 x 2 0
y
x
2
x 1, x 2
Т.о. 1 x 2, a 1, b 2
f1 ( x) x 2 , f 2 ( x) x 2, f 2 ( x) f1 ( x)
y
y x2
y x2
2
-2 -1 0
b
2
x
2
S ( f 2 ( x) f1 ( x)) dx ( x 2 x 2 )dx
1
a
3 2
x
3
1
x2
2
2
2 x 1
2
1
2
1
1
3
(4 1) 2(2 1) (8 1) 6 3 4,5 (ед ).
2
3
2
Задания для самостоятельного решения
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
1. y x 2 , x 1, x 3, y 0.
Ответы
2
2
8 ед
2. x 2 y 12 0, y 1, y 4, x 0.
21 ед2
3. y 2 x x 2 , y x.
1
ед2
6
202
3
4. y 1 x 2 , y 4 x.
18 ед2
5. x 2 y 4 0, x y 5 0, y 0.
13
6. y 2 9 x, x 1, x 9.
7. xy 2, x 0, y 1, y 4.
8. y ln x, y 0, x 2.
104 ед2
2
2 ln 4 ед
9. y x 3, y x 2 1.
9
2
2
2 ln 2 1 ед2
10. y sin x, x , x , x 0.
4
1 ед2
2
3
11. x 4 y 2 , x 0.
12. x y , y 1, y 4, x 0.
ед2
3 2 ед2
2
2 ед2
10
3
2 ед2
4
3
15
4 ln 4 ед2
2
4,25 ед2
13. xy 4, x y 5.
14. y x3 , x 2, x 1, y 0.
1
3
15. y x 2 , y 2 x.
ед2
Объём тела, образованного вращением вокруг оси ох криволинейной трапеции, ограниченной
непрерывной линией y f (x) , отрезком оси абсцисс a x b и прямыми x a, x b , вычисляется
по формуле
b
V x f 2 ( x )dx .
a
Объём тела, образованного вращением вокруг оси оу криволинейной трапеции, ограниченной
непрерывной линией x ( y ) , отрезком оси ординат c y d и прямыми y c, y d , вычисляется
по формуле
d
V y 2 ( y )dy .
c
2. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной
линиями y x , x 4, y 0.
Построим ограничивающие линии.
y x - ветвь параболы, расположенная выше оси OX, т.к. x 0 ;
x 4 - прямая, параллельная оси OY;
y 0 - ось OX.
y
y x
2
1
0
-2
1
2
3
4
y0
x
x4
При вращении криволинейной трапеции вокруг оси ох образуется тело вращения.
Т. к. по условию криволинейная трапеция вращается вокруг оси ох, то объём тела вращения
b
вычислим по формуле Vx f 2 ( x)dx .
a
По условию y x , т.е. f ( x) x , тогда f 2 ( x) ( x ) 2 x. При этом 0 x 4 , т.е. a 0, b 4.
203
4
Тогда Vx xdx x
2 4
2
0
0
2
(4 2 0) 8 (ед
3
.)
3. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной
линиями y x 2 , y 2 x.
Построим ограничивающие линии.
y x 2 - парабола с вершиной в точке 0; 0 , симметрична относительно оси OY;
x y 2 - парабола с вершиной в точке 0; 0 , симметрична относительно оси OX.
- прямая, параллельная оси OX;
x 0 - ось OY.
y4
y
y x2
y2 x2
1
0
1
x
При вращении криволинейной трапеции вокруг оси OX образуется тело вращения.
По условию фигура вращается вокруг оси OX. Тогда искомый объём равен разности двух
объёмов: объёма Vx1, полученного от вращения вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями
y 2 x, y 0, x 1, и объёма Vx2, полученного от вращения вокруг оси OX фигуры, ограниченной
линиями y x 2 , y 0, x 1. Т.о. Vx Vx1 Vx 2
b
Вычислим Vx1 f 2 ( x)dx .
a
Для Vx1: y 2 f 2 ( x) x , при этом 0 x 1 . Тогда
1
3
x2
Vx1 xdx
(ед .)
2 0 2
0
1
b
Вычислим Vx 2 f 2 ( x)dx .
a
1
Для Vx2: y x 2 ,т. е f ( x) x 2 f 2 ( x) x 4 . Тогда Vx 2 x 4 dx x
0
Т.о.
3
5 2
Vx
0,3 (ед .)
2 5
10
Задания для самостоятельной работы
Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох
фигуры, ограниченной линиями:
1. y 3 x, x 0, y 0.
2. y 2 4 x, y 0, x 3.
5 1
5
0
(ед3.)
5
Ответы
3. y sin x,0 x .
9π ед3
18π ед3
2 ед3
4. y 1 , x 1, x 3, y 0.
x
2
3
ед
3
5. y e2 x , x 0, y 0, x 2.
2
8
(e 1)
4
Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси оу
фигуры, ограниченной линиями:
1. y x 2 , y 4.
2. xy 6, y 1, y 6, x 0.
8π ед3
30π ед3
2
3. y x , x 0, y 2 2.
8π ед3
2
204
ед3
4. x y 1, y 2, y 5, x 0.
5. y x3 , y 8, x 0.
205
7,5 ед3
96 ед3
5
Раздел 10. Интеграл и его применение
Занятие 56 (2/112)
Решение упражнений на вычисление интегралов. Подготовка к проверочной работе
Вариант 1
1. Выберите первообразную для функции f ( x ) 4 х 1.
1) F ( x) 16 х x
2) F ( x) 2 х
2
3) F ( x) 2 х x 1
2
2
4) F ( x) 16 х
f ( x) sin 2 x ?
2. Какая из данных функций не является первообразной для функции
1
2
1
2
1) F ( x) cos 2 x
2
1
2
3) F ( x) 2 cos 2 x 4) F ( x) 4 cos 2 x
2) F ( x) 2 cos 2 x
f ( x) 5 .
3) 5 C
3. Найдите общий вид первообразных для функции
1)
5x C
2)
5x
4)
5x C
4. Вычислите интеграл
cos xdx .
1)
2)
0
3) 1
4) 2
1)
2
7
2)
0
3)
1
7
4) 1
0
1
5. Вычислите интеграл
6
x dx .
1
2
6. Вычислите интеграл
1)
9
2)
7
24dx
.
x2
1
3) 8
7
4)
7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у sin x, y 0, x 0, x .
1)
2)
0
4) 2
3) 1
Вариант 2
1. Выберите первообразную для функции f ( x) 2 х .
1) F ( x) 2 х 2 х
2
2) F ( x) 0,5 х 2 х 1
2
3) F ( x) 2 х
2
4) F ( x) 0,5 х
2. Какая из данных функций не является первообразной для функции f ( x) cos 3x ?
1
3
1) F ( x) 2 sin 3x
1
3
2) F ( x) sin 3 x
1
3
1
3
3) F ( x) 2 sin 3 x 4) F ( x) 4 sin 3x
f ( x) 5 .
3) 5 C
3. Найдите общий вид первообразных для функции
1)
5x C
2)
5x
2
4. Вычислите интеграл
sin xdx .
1)
0
0
5. Вычислите интеграл
x dx .
1)
16dx
.
x3
1
1)
5
1
2
6. Вычислите интеграл
206
0
2)
2
1
6
11
4
3) 1
5x C
4) 2
5
6
3)
1
6
4) 1
15
4
3)
13
4
4)
2)
2)
4)
17
4
2
7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у cos x, y 0, x 0, x
1)
2)
0
Вариант
1
2
207
3) 1
1
3
2
2
3
3
4) 2
3
1
3
4
2
4
5
1
1
6
4
2
7
4
3
2
.
Раздел 10. Интеграл и его применение
Занятие 57 (2/114)
Проверочная работа по теме «Интеграл и его приложение»
І вариант
Группа А. Тестовые задания
1.
Какая из функций F(x) – первообразная для f(x)= 2x + 3x²:
a) F ( x) x 2 x 3 ;
б) F ( x)
1 2 1 3
x x ;
2
3
в) F ( x) 3x 2 2 x 3 ;
г) F ( x) 2 3x ?
2.
Найдите первообразную функции f(x) = 4sinx, проходящую через точку А( ;2) .
3.
Напишите общий вид первообразных для функции f ( x)
4.
Вычислите интеграл 3 x 2 dx
1
.
cos 2 x
2
1
Группа Б. Задания с подробным решением и объяснениями последовательных логических
действий.
5.
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
у = х² + 4х + 4, у = х + 4.
6.
Вычислить интеграл
4
1
x 2 3x 4
x x
dx.
ІІ вариант
Группа А. Тестовые задания
1
1.
Какая из функций F(x) – первообразная для f(x)= -4x + x²:
1
3
1
6
б) F ( x) 2 x 2 x 3 ;
a) F ( x) 4 x 2 x 3 ;
2
1
в) F ( x) x 2 2 x 3 ;
2
г)
F ( x) 4 2 x ?
Найдите первообразную функции f(x) = -3cosx, проходящую через точку А( ;3) .
2.
2
3.
Напишите общий вид первообразных для функции f ( x)
4.
2
Вычислите интеграл
1
1
sin 2 x
2 x dx
3
1
Группа Б. Задания с подробным решением и объяснениями последовательных
логических действий.
208
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
у = 2х² - 3х + 3, у = 3 - x².
Вычислить интеграл
5.
6.
x 4 2x3 3
1 3х 2 dx.
3
209
Раздел 11. Уравнения и неравенства
Занятие 58(2/116)
Равносильность уравнений и неравенств.
Выполнение некоторых действий с правой и/или левой частью неравенства или с их
отдельными слагаемыми может давать новые неравенства, имеющие те же решения, что и исходное
неравенство. Замену исходного неравенства на новое равносильное ему неравенство при помощи
таких действий назвали равносильным преобразованиям неравенства. Равносильное преобразование
неравенства – это его замена другим равносильным ему неравенством, то есть, неравенством,
имеющим то же множество решений. Сами преобразования, приводящие к равносильному
неравенству, также называют равносильными преобразованиями.
Возникает логичный вопрос: «Зачем вообще нужны эти равносильные преобразования
неравенств»? Например, они позволяют решать неравенства: с их помощью от решения исходного
неравенства можно перейти к решению более простого, но равносильного неравенства (далее
учащиеся записывают определения в тетради).
Определение1. Два неравенства с одной переменной 𝑓(𝑥 ) > 𝑔(𝑥 ) и 𝑝(𝑥 ) > ℎ(𝑥 ) называют
равносильными, если их решения совпадают.
Определение2. Если общее решение неравенства 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) содержится в общем решении
неравенства 𝑝(𝑥) > ℎ(𝑥 ), то второе неравенство называют следствием первого
Например
х2>9 –это неравенство - следствие неравенства 2х>6.
2х<6 – следствие неравенства х2<9
Теперь можно перейти к знакомству с основными и наиболее часто используемыми
равносильными преобразованиями неравенств, которые иногда называют свойствами неравенств. Им
стоит уделить должное внимание – без их использования не обходится решение почти ни одного
неравенства. Заметим, что они похожи на равносильные преобразования уравнений. Принцип их
доказательства тоже аналогичен, только здесь в основе доказательства будут лежать, естественно,
свойства числовых неравенств, а не свойства числовых равенств.
Итак, приступим (учащиеся записывают краткие формулировки теорем) .
Теорема1. Если какой-либо член неравенства перенести из одной части неравенства в
другую с противоположным знаком, оставив знак неравенства без изменения, то получится
неравенство, равносильное данному неравенству.
𝑓 ( 𝑥 ) > 𝑔 (𝑥 ) ⇔ 𝑓 (𝑥 ) − 𝑔 ( 𝑥 ) > 0
Прибавление (или вычитание) из обеих частей неравенства одного и того же числа является
равносильным преобразованием. К примеру, оно позволяет от неравенства 3x>12+5х перейти к
равносильному неравенству 3x – 5х>12.
Теорема 2.Если обе части неравенства возвести в одну и ту же нечетную степень, оставив
знак неравенства без изменения, то получится неравенство равносильное данному.
2𝑛−1
2𝑛−1
𝑓(𝑥 ) > 𝑔(𝑥 ) ⇔ (𝑓(𝑥))
> (𝑔(𝑥))
5
Пример: √3х − 4 ≥ 2 ⇔ 3х − 4 ≥ 25
Теорема 3. Показательное неравенство a f ( x ) a g ( x ) ) равносильно:
а) неравенству того же смысла 𝑓 (𝑥 ) > 𝑔(𝑥), если а > 1,
б) неравенству противоположного смысла 𝑓(𝑥 ) < 𝑔(𝑥 ), если 0 < а < 1
a f ( x ) a g ( x ) ⇔ 𝑓 (𝑥 ) > 𝑔(𝑥 ), если а>1 и a f ( x ) a g ( x ) ⇔ 𝑓 (𝑥 ) < 𝑔(𝑥 ), если 0 < а < 1
Примеры: 3х > 35 ⇔ х > 5 и 0, 3х > 0, 35 ⇔ х < 5
Теорема4. 1)Если обе части неравенства 𝑓 (𝑥 ) > 𝑔(𝑥 ) умножить на одно и то же выражение
h(x), положительное при всех х из области определения неравенства 𝑓(𝑥 ) > 𝑔(𝑥), оставив при этом
знак неравенства без изменения, о получится неравенство 𝑓(𝑥 )ℎ(𝑥 ) > 𝑔(𝑥 )ℎ(𝑥), равносильное
данному.
2) Если обе части неравенства 𝑓 (𝑥 ) > 𝑔(𝑥 ) умножить на одно и то же выражение h(x),
отрицательное при всех х из области определения неравенства 𝑓(𝑥 ) > 𝑔(𝑥 ), изменив при этом знак
неравенства на противоположный, то получится неравенство 𝑓(𝑥 )ℎ(𝑥 ) < 𝑔(𝑥 )ℎ(𝑥 ), равносильное
данному.
210
Если h(x)>0 на ОДЗ неравенства f(x)>g(x), то f(x)>g(x) ⇔ f(x)h(x) > g(x)h(x)
Если h(x)<0 на ОДЗ неравенства f(x)>g(x), то f(x)>g(x) ⇔ f(x)h(x) < g(x)h(x)
Примеры: 2х>4⇔х>2 и х(-х2-1) >-х2-1⇔х<1 (слайд 10)
Теорема5.Если обе части неравенства f(x)>g(x) неотрицательны в области его определения, то
после возведения обеих частей неравенства в одну и ту же четную степень получится неравенство
того же смысла (f(x))2n > (g(x))2n, равносильное данному в его ОДЗ.
Если f(x)≥0 и g(x)≥0, то f(x)>g(x)⇔ (f(x))2n > (g(x))2n
Пример: х2≥9⇔х≥3 при х≥0 (слайд11)
f(x) > 0,
Теорема 6. Пусть Х – решение системы неравенств {
g(x) > 0.
Тогда логарифмическое неравенство 𝑙𝑜𝑔а f(x) > 𝑙𝑜𝑔а g(x) равносильно на множестве Х:
а) неравенству того же смысла f(x)>g(x), если а>1,
б) неравенству противоположного смысла f(x)<g(x), если 0<а<1.
2х > 0
Пример: если {
то 𝑙𝑜𝑔5 (2𝑥) > 𝑙𝑜𝑔5 (𝑥 + 4) ⇔ 2х > х + 4, так как 5 > 1,
х + 4 > 0,
2х > 0
если {
то 𝑙𝑜𝑔0,5 (2𝑥 ) > 𝑙𝑜𝑔0,5 (𝑥 + 4) ⇔ 2х < х + 4, так как 0 < 0,5 < 1 (слайд12)
х + 4 > 0,
Замена выражения в левой и/или правой части неравенства тождественно равным
выражением на области допустимых значений (ОДЗ) переменных исходного неравенства является
равносильным преобразованием неравенства.
Отдельно подчеркнем важность учета ОДЗ при замене частей неравенства тождественно
равными им выражениями: если ОДЗ полученного неравенства будет отличаться от ОДЗ исходного
неравенства, то это неравенство может быть не равносильно исходному. Этот момент критически
важен, он может приводить к неверным ответам при решении неравенств. Не менее важен и момент,
касающийся замены на именно тождественно равное выражение
Возьмем неравенства
2
1) x>−2 и - х < 1 . Решением первого является промежуток (−2, +∞), а второго – (-∞; -2) ∪
(0; +∞).
2) 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 < 1 и х<5. Решением первого является промежуток (0; 5), а второго – (-∞; 5)
Вывод: Признаком возможного неравносильного преобразования неравенства является
сужение или расширение ОДЗ. Наиболее часто неравносильные переходы при решении неравенств
возникают при неаккуратном применении свойств корней, логарифмов и модуля. На этом мы особо
заострим внимание, когда будем разбираться с решением неравенств соответствующих видов
2
Решим неравенство (х − 1)3х ≥ (х − 1)35х−6 , применяя теоремы равносильности
Ответ: [1; 2]∪ [3; +∞)
211
Раздел 11. Уравнения и неравенства
Занятие 59(2/119)
Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Основные методы их
решения.
Основные методы решения уравнений.
f(x) = g(x),
Метод 1.Замена уравнения u(f(x)) = u(g(x)), системой: {
, где u(x) – монотонная функция.
ОДЗ.
f(x) = 0,
[ ( )
Метод 2.Разложение на множители: f(x) ∙g(x) … = 0 ⟺ { g x = 0,
⋮
ОДЗ.
Метод 3.Введение новой переменной: в уравнении f(v(x)) = g(v(x)) можно ввести подстановку t =
f(t) = g(t),
v(x) и перейти к системе {
.
ОДЗ.
Метод 4.Графический метод. Решением уравнения f(x) = g(x) являются абсциссы точек
пересечения графиков функций у = f(x) и у = g(x).
Решением уравнения с двумя переменными р(х; у) = 0называют всякую пару чисел(х; у), которая
обращает уравнение в верное равенство. При решении уравнения с двумя переменными
применяется теория делимости целых чисел.
Решение неравенств с одной переменной.
При решении неравенств применяются такие же общие методы, как и при решении уравнений и
были рассмотрены ранее.
Напомним метод интервалов и соотношения, применяемые для решения и доказательстве
неравенств.
Метод интервалов:(х – х1 ) (х – х2 ) … (х – х𝑛 ) > 0,
+
●
−
●
+
−
●
●
+
X
Неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля:
f(x) <– a,
|f(x)| >a⟺ [
;
|f(x)| <a⟺ – а<f(x) <а.
f(x) > 𝑎.
Полезные неравенства:
Для а ≥ 0 и b≥ 0 справедливы соотношения:
a≤
𝑎 2+1
2
;
𝑎+𝑏
2
≥ √𝑎𝑏;
𝑎+𝑏
2
≤√
𝑎 2+𝑏2
2
1
; a + 𝑎 ≥ 2 (a> 0); a
У
р(х; у) > 0
+
1
𝑎
≤ – 2 (a< 0).
Решением неравенства с двумя переменными р(х; у) > 0
Х
р(х; у) = 0
(р(х; у) < 0)
называют всякую пару чисел(х; у), которая обращает
Рис. 1
неравенство в верное числовое неравенство.
Графическая интерпретация: решить неравенство с двумя переменными – значит найти
множество всех точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют заданному
неравенству (рис. 1).
Системы уравнений.Системы уравнений появляются при решении задач, в которых
неизвестными являются несколько величин. Эти величины связаны определенной зависимостью,
которые записываются в виде уравнений.
Уравнение, левая и правая части которого есть рациональные выражения относительно х и у,
называют рациональным уравнением с двумя неизвестными х и у.
Если надо найти все пары чисел х и у, каждая из которых является решением каждого из
данных уравнений с двумя неизвестными х и у, то говорят, что надо решить систему уравнений с
двумя неизвестными х и у и каждую такую пару называют решением этой системы.
212
Неизвестные могут обозначаться и другими буквами. Аналогично определяется система уравнений,
число неизвестных в которой больше двух.
Если каждое решение первой системы уравнений является решением второй системы, а
каждое решение второй системы уравнений является решением первой системы, то такие системы
называют равносильными. В частности, равносильными считаются две системы, не имеющие
решений.
Например, равносильны системы
x y 1
x y 1
y 7 x y 7 x
, 2
и
и 2
2
2
xy 10 x(7 x) 10 x y 1 x y x y 0
1).Способ подстановки.
ПРИМЕР 1. Решим систему уравнений
3x y 1
2
2
5 x 4 xy 3 y 9
Выразив у через х из первого уравнения системы, получим уравнение:
у = 3х - 1.
y 3x 1
y 3x 1
2
2
2
2
5x 4 xy 3 y 9 5x 4 x(3x 1) 3(3x 1) 9
Решив уравнение 5x2-4(3x-1)+3(3x-1)2=9, найдем его корни х1 = 1 и х2 =
6
. Подставив найденные
7
числа х1 и х2 в уравнение у = 3х - 1 , получим у1 = 2
11
6 11
иу=
Следовательно, система имеет два решения: (1; 2) и ( ;
)
7
7 7
6 11
Ответ. (1; 2), ( ; )
7 7
2).Метод алгебраического сложения.
ПРИМЕР 2. Решим систему уравнений
2
x 3 xy 2
2
y 5 xy 11
Оставив без изменения первое уравнение системы и сложив первое уравнение со вторым, получим
систему равносильную системе.
2
2
2
x 3xy 2
x 3 xy 2
x 3xy 2
2
2
2
2
2
y 5 xy x 3xy 11 2
y 2 xy x 9
( x y ) 9
Все решения системы есть объединение всех решений двух систем:
2
2
x 3 xy 2 x 3xy 2
и
x y 3
x y 3
Решив каждую из этих систем, найдем все решения системы :
3
1 3 1
(2; 1), (-2; -1), ;2 ; ;2
4
4 4 4
3
1 3 1
Ответ. (2; 1), (-2; -1), ;2 ; ;2 .
4
4 4 4
3).Метод введение новых неизвестных.
ПРИМЕР 3. Решим систему уравнений
xy x y 1
2 2
2
2
2 x y 3x 6 xy 3 y 2
213
Обозначив u = ху, v = х - у, перепишем систему в виде
u v 1
2
2
2u 3v 2
Найдем ее решения: u1= 1, v1 = 0 и u2 = 5, v2 = 4. Следовательно, все решения системы есть
объединение всех решений двух систем:
xy 1
xy 5
и
x y 0 x y 4
Решив методом подстановки каждую из этих систем, найдем ее решения системы: (1; 1), (-1; -1), (5;
1), (-1; -5).
Ответ. (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).
4). Уравнение вида ах2+ bху + су2 = 0, где а, b, с — данные неравные нулю числа, называют
однородным уравнением относительно неизвестных х и у.
Рассмотрим систему уравнений, в котором есть однородное уравнение.
ПРИМЕР 4. Решим систему уравнений
x 2
x
4
3 0
2
2
x 4 xy 3 y 0
y
x
2
x 2 x y 1,25
5
2
x 2 x y 4
x
, перепишем первое уравнение системы в виде t2+4t+3=0.
y
Уравнение имеет два корня t1 = -1 и t2 = -3, поэтому все решения системы есть объединение всех
решений двух систем:
x
x
1
3
y
y
и
x2 2x y 5 x2 2x y 5
4
4
Решив каждую из этих систем, найдем все решения системы:
5 5
(2,5; -2,5), (0,5; -0,5), ; ,(1,5;-0,5).
6 18
5 5
Ответ. (2,5; -2,5), (0,5; -0,5), ; ,(1,5;-0,5).
6 18
При решении некоторых систем помогает знание свойств симметрических многочленов.
x y 5
Пример. 4
4
x y 97
Введем новые неизвестные α = х + у и β= ху, тогда, х4+у4= α4-4 α2 β+2 β2
Поэтому систему можно переписать в виде
5
5
5
5
2
2
4
2
2
2
4 2 97
625 100 2 97
2 100 528 0 50 264 0
Решим квадратное уравнение относительно β: β1=6, β2=44.
Следовательно, все решения системы являются объединением
x y 5 x y 5
и
всех решении двух систем:
xy 6
xy 44
Первая система имеет два решения х1= 2, у1 = 3 и х2= 3, у2=2, а вторая система не имеет
действительных решений. Следовательно, система имеет два решения: (х:1; у1) и (х2;у2)
Обозначив t =
214
Ответ. (2; 3), (3; 2).
Определение. Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему
неравенств, если ставится задача найти все одинаковые частные решения заданных неравенств.
Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое
неравенство, называют частным решением системы неравенств. Множество всех частных решений
системы неравенств называют решением системы неравенств.
Решение системы неравенств представляет собой пересечение решений неравенств,
образующих систему (неравенства записывают, объединяя вместе фигурной скобкой).
Пример: Решите систему неравенств. (Ответ: [5; +∞)) (слайд16)
Определение4. Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют
совокупность неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из
которых является частным решением хотя бы одного из заданных неравенств. Каждое такое
значение переменной называют частным решением совокупности неравенств. Множество всех
частных решений совокупности неравенств называют решением совокупности неравенств.
Решение системы неравенств представляет собой объединение
решений неравенств,
образующих совокупность (неравенства записывают, объединяя вместе квадратной скобкой).
Пример: Решите совокупность неравенств. (Ответ: (4; +∞)) (слайд 17)
215
Раздел 11. Уравнения и неравенства
Занятие 60(2/120)
Решение уравнений, неравенств и их систем.
Теорема Безу и следствия из нее.
Если коэффициенты приведенного уравнения х n a1 x n 1 a 2 x n 2 ... a n 0 , где a1 , a 2 ,… целые числа, то целые корни уравнения следует искать среди делителей свободного члена.
Если целый корень х1 подбором найден, то делим многочлен на х х1 . Частное от деления –
многочлен (n-1)-й степени. Аналогично ищем его корень.
Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не получим после деления многочлен второй степени.
Приравняв его к нулю, получаем уравнение второй степени, корни которого находим, решая
квадратное уравнение.
Пример1. Решить уравнение
х 4 х3 х 2 7х 6 0
Решение. Целые корни ищем среди делителей числа -6, т.е. среди чисел 1;2;3;6 Подставляя
эти числа в уравнение, находим корень х1 =-1. Делим данный многочлен на х+1:
х 4 х3 х 2 7х 6 х 1
х4 х3
х2 7х
х2 х
6х 6
6х 6
0
х 3 х 6 =0. Находим корень среди делителей свободного члена
Решаем полученное уравнение
хна3
х получим
6
методом подбора. Имеем х2 2 . Выполним деление:
х-2,
х 2 2х 3 .
Решая уравнение х 2 2 х 3 =0, находим, что оно не имеет корней.
Ответ: -1; 2.
Деление может быть упрощено по правилу, которое имеет название схемы Горнера:
Уравнение, имеющее рациональные корни
а0 х n a1 x n 1 ... a n 1 x a n 0 , где a 0, a1 ,…, a n - целые числа, сводится к уравнению,
имеющему целые корни.
n 1
Умножим почленно обе части уравнения на а0 . Получим
a0 x n a1a0
n
n 1
x n1 ... an1a0
n 1
n 1
x a0 a n 0
Обозначим a0 x y . Тогда
n2
n 1
y n a1 y n1 ... an1a0 y a0 an 0 .
Если данное уравнение имело рациональные корни, то полученное имеет целые корни, которые, как
и в предыдущем случае следует искать среди делителей свободного члена.
Решив полученное уравнение, возвращаемся к подстановке и находим корни данного уравнения.
Пример 2. Решить уравнение
5 х 3 6 х 2 11х 2 0
Решение. Умножим обе части уравнения на 5 2 . Имеем:
5 3 х 3 6 5 2 х 2 55 5 х 50 0 . Обозначим
5х=у,
тогда уравнение примет вид
у 3 6 у 2 55 у 50 0 .
Целые корни его ищем среди делителей числа 50, т. е. среди чисел
1,2,5,10,25,50 . Имеем: y1 1 . Возвращаясь к подстановке, получим х
Симметрические уравнения
216
1
.
5
Симметрическим называется целое рациональное
уравнение вида
а0 х n a1 x n 1 a 2 x n 2 ... a 2 x 2 a1 x a0 0 .
Симметрическое уравнение третьей степени имеет вид ax 3 bx 2 bx a 0 и решается
группировкой:
a( x 3 1) bx( x 1) 0 ,
откуда ( x 1)(ax 2 (a b) x a) 0 .
Решаем совокупность уравнений:
х+1=0 и ax 2 (a b) x a 0 .
Уравнения вида: ax 4 bx 3 cx 2 bx a 0 и ax 4 bx 3 cx 2 bx a 0 где а 0, называются
симметрическими уравнениями четвертой степени.
Так как х=0 не является их корнем, то, разделив уравнения
на x 2 , получим равносильные уравнения:
1
1
a x 2 2 b x c 0 и
x
x
1
1
a x 2 2 b x c 0
x
x
2
1
1
1
1
1
Замена x t или x z . Так как t 2 x x 2 2 2 , то x 2 2 t 2 2 ,
x
x
x
x
x
1
а x2 2 z2 2 .
x
Подставляем в уравнение: a t 2 2 bt c 0 или a z 2 2 bz c 0 .
Таким образом, если t1 и t 2 или z1 и z 2 - корни уравнения,
то исходные уравнения эквивалентны совокупностям
Пример 1. Решить уравнение x 4 2 x 3 x 2 2 x 1 0
2 1
Решение. Делим все слагаемые уравнения на x 2 , получаем: x 2 2 x 1 2 0 , группируем:
x x
1
1
1
2
x 2 2 x 1 0 , заменим x t
x
x
x
Получаем: t 2 2t 3 0 , t1 3, t 2 1 или
1
x
3
x
x 1 1
x
3 5
1
x 2 3x 1 0 , x1, 2
3 0,
2
x
1
x 1 0, x 2 x 1 0 , Д<0,
2)
x
Решений нет на множестве R.
3 5
Ответ: x1, 2
2
Возвратно симметрическим четвертой степени называется уравнение вида
1) x
a b
ax bx cx dx e 0 , в котором выполняется зависимость между коэффициентами
e d
4
217
3
2
2
Решение. Разделим обе части уравнения на x 2 и сгруппируем первый член уравнения с пятым,
второй – с четвертым:
d
2 e
ax 2 bx c 0
x
x
1
1
a
b
e x 2 2 d x c 0
x
x
e
d
Используя зависимость между коэффициентами уравнения, запишем его в виде:
b2
1
1
b
(*)
e 2 x 2 2 d x c 0
x
x
d
d
Вводим вспомогательную переменную:
b
1
(**)
x y
d
x
Возводим обе части уравнения (**) в квадрат и выделяем квадрат первого и квадрат второго
выражения:
b2 2 1
2b
(***)
x 2 y2
2
d
d
x
Подставив значения (**) и (***) в уравнение (*), получим
2be
уравнение ey 2 dy c
0 , которое и решим. Затем возвращаемся к подстановке.
d
Пример1. Решить уравнение
4 x 4 16 x 3 7 x 2 32 x 16 0
Решение. Убеждаемся, что уравнение возвратное:
4 16
- равенство выполняется. Разделим обе части уравнения на x 2 . После группировки
16 32
получим
4
2
4 x 2 2 16 x 7 0
x
x
2
Обозначим x y , откуда
x
4
(*)
x2 2 y2 4
x
Подставив (*) в уравнение, получим
4 y 2 4 16 y 7 0 , или 4 y 2 16 y 9 0 .
1
9
1
Отсюда y1 ,
y 2 . Возвращаемся к подстановке и получаем, что x1 4 а x 2
2
2
2
1
Ответ: x1 4 , x 2 .
2
Метод выделения полного квадрата.
Некоторые уравнения удобно решать дополнением левой части до полного квадрата суммы или
разности двух выражений.
Пример 1. Решить уравнение
2
2
x
x2
8 ОДЗ: х≠1
x 1
Решение.
2
2
x
x
x
x
2
x
8 или
2 x
x 1 x 1
x 1
218
2
2
x
x2
x2
x2
2
8 или
8 0
x
2
x 1
x 1
x 1
x 1
x2
Замена t
приводит к квадратному уравнению
x 1
t 2 2t 8 0 , t1 4 , t 2 2 или возвращаясь к подстановке, получим
x2
4 или
x 1
x2
2 . Откуда x1 2 x 2 1 3
x 1
Ответ: x1 2 , x 2 1 3 .
Пример 2. Решить уравнение x 4 8 x 7 0
Решение. Запишем уравнение в виде
x 4 1 8 x 8 . Дополним левую часть до полного квадрата суммы, прибавив к обеим частям 2x 2 .
Имеем x 4 2 x 2 1 2 x 2 8 x 8 .
Получим x 2 1 2x 22 . Отсюда
2
x 2 1 2 x 2 . Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:
x 2 2x 1 2 2 0
и x 2 2x 1 2 2 0
2 8 2 2
2
Однородные уравнения
Уравнение вида A0 f n x A1 f
Ответ:
n 1
x g x ... An1 f x g n1 x An g n x 0 ,
(*)
где n 1-натуральное число, A0 0, An 0 , f(x) и g(x)- некоторые функции, называется
однородным относительно функций f(x) и g(x).
f x
Делением на f n x 0 и заменой y
это уравнение сводится к уравнению вида:
g x
A0 y n A1 y n 1 ... An 1 y An 0
Пример 1. Решить уравнение
2 x 2 x 1 7x 1 13 x 3 1
2
2
Это однородное уравнение, в котором f x x 2 x 1 , а g x x 1 ;
f x g x x 3 1 . Разделим уравнение на g 2 x x 12 0 .
2
x2 x 1
x2 x 1
x2 x 1
13
7 0 , замена t
2
x 1
x 1
x 1
1
Приводит к квадратному уравнению 2t 2 13t 7 0 , находим корни t1 7, t 2 , или
2
2
x x 1
7
1
x
1
=> x1 2, x2 4, x3 1, x 4 .
2
2
x x 1
1
x 1
2
1
Ответ: x1 2, x2 4, x3 1, x 4
2
Уравнения вида x ax bx cx d A , где
a<b<c<d и b-a=d-c.
Уравнения такого вида можно решать, используя замену переменных (симметризацию
уравнения):
219
y
x a x b x c x d x a b c d
4
Пример Решить уравнение
4
12x 16x 14x 13x 1 5
Решение.
1
1
1
1
5
x x x x
12
6
4
3 12 6 4 3
1 1 1 1
1 1 1 1
Так как
и
, то введем новую переменную:
12 6 4 3
6 12 3 4
1 1 1 1 1
5
5
y x x
, т. е. x y
4 12 6 4 3
24
24
Подставим в уравнение:
3
1
1
3
5
. Отсюда находим
y y y y
24
24
24
24 12 6 4 3
49
1
1
7
. Возвращаясь к подстановке, имеем: x1 , x 2
y 2 2 , т. е. y1, 2
12
24
2
24
1
1
Ответ: x1
x2 .
2
12
Уравнения вида x a x bx c x d f x 2 ,
где a b c d .
Решение. Объединим сомножители: x 2 a bx ab x 2 c d x cd f x 2 и разделим обе
части на x 2 0 . Получим:
ab
cd
a b x
cd f
x
x
x
ab
Введем замену переменных, обозначив t x
, получим квадратное уравнение, из которого
x
найдем t.
Решение.
Так как 2•12=3∙8, то перегруппируем сомножители
x 2x 12x 3x 8 4 x 2 или
Перепишем уравнение в виде:
x
2
14 x 24 x 2 11x 24 4 x 2
Разделим на x 0
24
24
x 14 x 11 4 , введем замену
x
x
24
, получим квадратное уравнение:
t x
x
24
x
15
x 2 15 x 24 0
x
2
t 25t 150 0 , t1 15 t 2 10 . Т.е.
=> 2
=>
x 10 x 24 0
x 24 10
x
15 129
x1, 2
2
x3 4; x 4 6
2
220
15 129
x1, 2
Ответ:
2
x3 4; x 4 6
Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
Чтобы решить уравнение или неравенство, содержащее переменную под знаком модуля, надо
освободиться от знака модуля, используя его определение.
x, если..x 0
x
x, если..x 0
На практике это делается так:
1) находят критические точки, то есть значения переменной при которых выражения, стоящие
под знаком модуля обращаются в нуль;
2) разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых
выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;
3) на каждом из найденных промежутков решают уравнения без знака модуля.
Совокупность решений указанных промежутков и составляют все решения рассматриваемого
уравнения.
При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, также
содержащее модуль, следует сначала освободиться от внутренних модулей, а затем в
полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули.
Пример 1. Решить уравнение. x 5 x 3 8
Решение. Найдем критические точки.
х+5=0
х-3=0
х=-5
х=3
Тогда числовая ось разбивается на три интервала:
;5, 5;3, 3;
1) Если x ;5
-х-5+х-3=8
-8=8
Уравнение решений не имеет.
2) Если x 5;3
х+5+х-3=8
2х=6
х=3 5;3
3)Если x 3;
х+5-х+3=8
8=8
Уравнение выполняется при всех х из рассматриваемого промежутка.
Ответ: x 3;
Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, решаются с помощью
определения модуля.
1. f x a .
а) Если a 0 , неравенство решений не имеет;
б) Если a 0 , то данное неравенство эквивалентно неравенству a f x a .
2. f x a
а) Если a 0 , то неравенство равносильно совокупности неравенств f x a, f x a
б) Если a 0 , то решением неравенства будет область определения функции f(x).
Пример 1. Решить неравенство
221
3x
1
x 4
2
x 4
x 2 2 x 3 x 1 x 3 3x 12
т.е. решений нет.
Ответ: решений нет.
222
x 4
,
x 3,5
Раздел 11. Уравнения и неравенства
Занятие 61(2/122)
Решение уравнений и неравенств, тестирование
1. Решение какой из перечисленных систем изображено на рисунке 1?
𝑦−𝑥−1 =0
А) { 2
𝑥 + 𝑦2 − 1 = 0
𝑦+𝑥−1 =0
Б) { 2
𝑦 +𝑥 = 0
𝑥−1+𝑦 =0
В){
𝑦 + 𝑥2 = 0
2. Решение какого из перечисленных уравнений изображено на рисунке 2?
1
3
6
А) 𝑥 2 − 𝑥 − = 0
2
1
2
5
3
6
5
Б) 2 𝑥 + 5 + 5 = 0
1
3
6
В)− 2 𝑥 2 − 5 𝑥 − 5 = 0
Решить графически уравнение
А) -1
Б) -1; 1
В) 1
Г) нет решений
Решите неравенство: −𝑥 2 + 10𝑥 − 21 < 0
А) x∈ (−∞;+∞)
Б) x∈(−∞;3)∪(7;+∞)
В) x∈ (3;7)
𝑥 2 + 𝑦 2 = 25
4. Решите систему уравнений: {
𝑥−𝑦 =1
А) (4;3) и (-3;-4)
Б) (-4;-3) и (-3;-4)
В) (4;-3) и (3;-4)
Г) (-4;3) и (-3;4)
3.
5. Решите неравенство: | 𝑥 2 − 5𝑥 − 6| < 𝑥 + 10
А) (-2;-2) ∪ (2;8)
Б) (-2;2] ∩ (2;8]
В) (-2;2) ∪ (2;8)
Г) (-2;0) ∩ (2;8)
6. Решите неравенство: |𝑥 2 − 7𝑥 + 6| > 𝑥 2 + 𝑥 − 2
А) (−∞; 1) ∩ (1; 2)
Б) (1; 2)
В)(−∞; 1) ∪ (1; 2)
7. Решите уравнение: 4𝑥 3 − 11𝑥 + 3 = 0
−3±√17
4
−3±√17
А) 1;5;
Б) 4
В) нет решений
−3±√17
Г)1, 4
8. Решите уравнение: 𝑥 4 − 2𝑥 3 − 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = 0
223
А) нет решений
3±√5
Б) 2
В)1
Г) -1
9. Решить уравнение методом неопределенных коэффициентов: 𝑥 4 − 6𝑥 3 + 6𝑥 2 + 10𝑥 − 3 = 0
А) -1; 3; 2 ± √3
Б) -1; 3
В) 2 ± √3
Г) нет решений
Ключ к тесту:
1. А
2. А
3. В
4. Б
5. А
6. В
7. В
8. А
9. Б
10. А
224
Раздел 11. Уравнения и неравенства
Занятие 62(2/124)
Решение показательных уравнений, неравенств и их систем.
Показательные уравнения
Простейшим показательным уравнением является уравнение вида
a x b , где a 0 и a 1 . Очевидно, что при b 0 это a x b уравнение корней не имеет ( в области
действительных чисел), поскольку a x 0 для всех действительных значений х.
I. Решением уравнения вида
a f x 1 ( по определению степени с нулевым
показателем ) будет f(x)=0
Пример 1. Решить уравнение 5 4 x 3 x 1
Решение. По определению степени с нулевым показателем имеем: 4 x 3 x 0 , то есть
4 x 3 x откуда
x 2 16 x 48 0 , решая полученное уравнение, получим
x1 4 , x2 12
Ответ: x1 4 , x2 12
x 5
x 7
Пример 2. Решить уравнение 32
0,25 128
Решение. Запишем данное уравнение в виде
2
5
x 5
x 7
2
7
x 17
x 3
x 17
2
x 3
5 x 25 7 x 119
2 равносильно данному.
x7
x3
Решая полученное уравнение, находим х=10.
Тогда уравнение
Ответ: 10.
mx k
mx k
mx k
0
A1 a 1 ... An a n M , где
II.Уравнения вида A0 a
величины, решаются вынесением за скобки общего множителя.
Пример 4. Решить уравнение
23 x 3 2 3 x 1 20
3 x 1
Решение. 2
2 3 20 , 23
3 x 1 2 , отсюда
x 1
4 , 23
x 1
22 ,
х=1
Ответ: 1.
Пример5. Решить уравнение.
42x 3
2 x
1
2
3
2 x
1
2
2 4 x 1
Решение.
2 4 x 2 4 x 1 3
2
4 x 1
2 1 3
2 x
1
2
2 x
3 1 ,
1
2
3
2
2 x
4 x 1
1
2
3 3
2 x
1
2
22
Разделив обе части на 12, имеем
2
4 x 3
3
Ответ: x
225
2 x
3
4
3
2
4
,
3
2 x
3
2
1 , отсюда 2 x
3
3
0, x
2
4
M , A0 , A1 ,..., An , a, m, k 0 ,...k n постоянные
III. Уравнения вида A0 a 2 f x 0 A1a f x A2 0 при помощи подстановки
квадратному уравнению
A0 y 20 A1 y A2 0
a f x y1 сводятся к
Решив это уравнение, найдем корни y1 и y 2 . После этого решение исходного уравнения сводится к
решению. Таких двух уравнений:
a f x y1 и a f x y 2 .
Пример 6. Решить уравнение
9 x 2 x x 7 3 x 2 x x 1 2 .
Решение. Запишем уравнение в виде
2 x 2 2 x x
2
7
3
3 x 2 x x 2
3
И обозначим
2
2
x 2 2 x x
3
y, y 0
Получим уравнение 3 y 2 7 y 6 0 , имеющее корни
2
y1 3 и y 2 .
3
Второй корень не удовлетворяет заданному условию. Таким образом, исходное уравнение в области
допустимых значений неизвестного равносильно уравнению 3
x2 2 x x
3 , а последнее уравнение
равносильно уравнению x 2 x x 1 .
Возведя обе части в квадрат, найдем х=-0,25. Поскольку при возведении обеих частей уравнения в
четную степень могут появится посторонние корни, проверка необходима именно на этом этапе.
Подстановка найденного х в иррациональное уравнение показывает, что значение х= - 0,25
удовлетворяет ему, а значит, и исходному уравнению.
Ответ: -0,25
2
x
x
IV. Уравнение вида A0 a x A1 a 2 b 2 A2 0 , легко сводится к предыдущим уравнениям делением
обеих частей на b x 0 .
Тогда получим
x
x
a
a 2
A0 A1 A2 0
b
b
x
a 2
Обозначив y , имеем
b
2
A0 y A1 y A2 0
Решив уравнение, найдем y1 и y 2 , после чего возвращаемся к подстановке:
x
x
a 2
a 2
y1 или y 2 .
b
b
Пример 7. Решить уравнение.
3 16 x 2 81x 5 36 x
x
x
16
36
Решение. Поскольку 81 0 , то данное уравнение равносильно уравнению 3 2 5 ,
81
81
x
x
x
4
4
или 3 2 5 .
9
9
226
x
4
Пусть y , приходим к квадратному уравнению
9
3y 2 5y 2 0 .
2
Его корни y1 1 , y 2 . Решая уравнение
3
x
x
2
4
4
1 и , получим в первом случае х=0, а
3
9
9
2x
2
1
2
во втором , т.е. 2х=1, или x
3
2
3
1
Ответ: 0; .
2
Показательные неравенства
Решение простейших показательных неравенств основывается на использовании свойств
монотонности показательной функции.
1. Неравенство вида a x c, гдеa 0, a 1 ;
а) если с 0 , то неравенство выполняется при произвольном значении х ( поскольку для
любого значения х
a x 0 );
б) если c>0, то, записав неравенство в виде
a x a loga c ,
получим:
x log a c
если а>1,
если 0<a<1,
x log a c
a x c, гдеa 0, a 1 :
Неравенство
а) если с 0 , то неравенство не имеет решений;
б) если c>0 , то, записав неравенство в виде
a x a loga c , получим:
x log a c
Если
а>1,
2.
Если
0<a<1,
x log a c
Пример 1. Решить неравенство
0,2 x 0,5
5
0,04 x
25
Решение.
Запишем неравенство в виде
5 x 0,5 5 2 x
2 , или 5 x 1 5 2 x 2 , откуда –х-1>-2х-2, х>-1
5 0,5
5
Ответ:
х>-1
x
1 сводится к решению двух систем:
Решение неравенства f x
0 f x 1
f x 1
и
x 0
x 0
x
Решение неравенства f x 1 сводится к решению таких систем:
f x 1
0 f x 1
и
x 0
x 0
Пример 4. Решить неравенство x 2
1
Решение. Используя монотонность показательной функции, заменим данное неравенство
равносильной совокупностью двух систем:
0 x 2 1
x 2 1
1) 2
2) 2
x 6x 8 0
x 6x 8 0
Решением первой системы является неравенство х>4
227
x 2 6 x 8
Решением второй системы является неравенство 2<x<3.
Ответ: х>4, 2<x<3.
228
Раздел 11. Уравнения и неравенства
Занятие 63(2/126)
Решение логарифмических уравнений, неравенств и их систем.
Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется
логарифмическим.
Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑐 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠
1).
Способы решения логарифмических уравнений:
5.
Решение уравнений на основании определения логарифма
6.
Метод потенцирования
7.
Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества
8.
Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию
5.
Решение уравнений на основании определения логарифма.
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑐 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) имеет решение 𝑥 = 𝑎𝑐 .
На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:
по данным основаниям и числу определяется логарифм(Пример 1),
по данному логарифму и основанию определяется число (пример 2),
по данному числу и логарифму определяется основание(Пример 3).
Пример 1
Пример 2
Пример 3
3
𝑙𝑜𝑔2 128 = 𝑥
𝑙𝑜𝑔𝑥 27 = 3
𝑙𝑜𝑔16 𝑥 =
2𝑥 = 128
𝑥 3 = 27
4
3
𝑥
7
2 =2
𝑥 3 = 33
𝑥 = 164
𝑥=7
𝑥=3
4
𝑥 = (23 )3
Ответ: 7
Ответ: 3
𝑥 = 23
𝑥=8
Ответ: 8
6.
Метод потенцирования.
Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к
равенству, не содержащему их т.е. 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥 ) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥 ), то 𝑓(𝑥 ) = 𝑔(𝑥 ), при условии, что 𝑓(𝑥 ) >
0, 𝑔(𝑥 ) > 0, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1.
Пример: Решите уравнение 𝑙𝑜𝑔1 (3𝑥 − 1) = 𝑙𝑜𝑔1 (6𝑥 + 8)
2
3𝑥 − 1 = 6𝑥 + 8
−3𝑥 = 9
𝑥 = −3
1
−3 > 3 - неверно
Ответ: решений нет.
2
ОДЗ:
1
3𝑥 − 1 > 0
3 => 𝑥 > 1
{
=> {
−8
6𝑥 + 8 > 0
3
𝑥>
6
7.
Уравнения, решаемые с помощью применения
тождества.
2
Пример: Решите уравнение 𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑥 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2 (6 − 𝑥 )
ОДЗ:
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 2 = 𝑙𝑜𝑔2 (6 − 𝑥 )
2
6
−
𝑥
>0
𝑥 =6−𝑥
𝑥
2
𝑥>0
𝑥 +𝑥−6 =0
𝑥 ≠ 1 => {𝑥
𝑥 = −3 – не принадлежит ОДЗ
𝑥
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 2 > 0
𝑥 = 2 – принадлежит ОДЗ
𝑥
{ 𝑥2 > 0
Ответ: х=2
𝑥>
основного
<6
>0
=> 𝑥 ∈ (0; 1) ∪ (1; 6)
≠1
>0
8.
Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.
Пример: Решите уравнение 𝑙𝑜𝑔16 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔4 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 7
229
логарифмического
𝑙𝑜𝑔24 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔22 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 7
1
1
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 7
4
2
1 1
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 ( + + 1) = 7
4 2
7
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 7
4
𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 4
𝑥 = 24
𝑥 = 16 – принадлежит ОДЗ
Ответ: x = 16.
ОДЗ:
x>0
2.Решение логарифмических неравенств.
Определение. Неравенство, содержащее переменную под знаком логарифма, называется
логарифмическим неравенством.
Всякое значение переменной, при котором данное логарифмическое неравенство обращается в
верное числовое неравенство, называется решением логарифмического неравенства.
Решить логарифмическое неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.
Два логарифмических неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения
этих неравенств совпадают или оба не имеют решения.
Решение логарифмических неравенств в основном сводится к решению неравенства вида
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥 ) > 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥 ) или 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥 ) < 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥 ).
Для решения таких неравенств, учитывая область определения логарифмической функции и её
свойства, воспользуемся следующими утверждениями:
3) При 𝑎 > 1 неравенство 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥 ) > 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥 ) равносильно системе неравенств:
𝑓 (𝑥 ) > 0
{ 𝑔 (𝑥 ) > 0
𝑓 (𝑥 ) > 𝑔 (𝑥 )
4) При 0 < 𝑎 < 1 неравенство 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥 ) > 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥 ) равносильно системе неравенств:
𝑓 (𝑥 ) > 0
{ 𝑔 (𝑥 ) > 0
𝑓 (𝑥 ) < 𝑔 (𝑥 )
Решение систем логарифмических неравенств
При решении систем логарифмических уравнений используют те же способы, что и при решении
алгебраических систем. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Решите систему уравнений:
Решение
Добавим и вычтем почленно уравнения системы, тогда получим:
230
Ответ: (106; 10-1).
Пример 2. Решите систему уравнений
Решение
или
Проверкой убеждаемся, что(9; 7), (7; 9) - развязки системы.
Ответ: (9; 7), (7; 9).
231
Раздел 11. Уравнения и неравенства
Занятие 64(2/128)
Решение рациональных уравнений, неравенств и их систем.
Определение. Многочленом n - ой степени ( n Z , n 0 ) от переменной x называется
выражение Pn x a0 x n a1 x n1 an1 x an , где a0 , a1,, аn – заданные действительные числа,
причем a0 0 .
Многочленами нулевой степени являются отличные от нуля действительные числа. Число 0
единственный многочлен, степень которого не определена.
Уравнение Pn x 0 , где Pn x – многочлен n -ой степени, n 1 , называется алгебраическим
уравнением n -ой степени.
Если х 0 – корень многочлена Pn x , т.е. Pn x0 0 , то Pn x без остатка делится на ( x x0 ):
Pn x x x0 Pn1 x ,
где Pn1 x – многочлен степени n 1 . Многочлен Pn1 x можно найти либо делением «уголком»
многочлена Pn x на( х х0 ), либо группировкой слагаемых многочлена Pn x и выделением из них
множителя х х0 .
Основными методами решения уравнения Pn x 0 , где Pn x – многочлен степени n ( n 2) ,
являются метод разложения левой части уравнения на множители и метод введения новой
переменной.
P x
Определение.Уравнение вида m
0 , где Pm x и Qn x многочлены, называется
Qn x
P x 0 ,
рациональным. Это уравнение равносильно системе m
Qn x 0.
Определение.Рациональные неравенства – это неравенства вида
Pm x
0 , , 0 , где Pm x
Qn x
и Qn x многочлены. Основной метод решения рациональных неравенств – метод интервалов.
Рассмотрим сначала неравенство Pm x 0 . Находим корни уравнения Pm x 0 . Пусть
a1 , a 2 ,, a k корни этого уравнения, расположенные в порядке возрастания.
Числовая прямая точками a1 , a 2 ,, a k разбивается на интервалы, в каждом из которых функция
Pm x сохраняет знак.
a1 a 2
ak
Для определения знаков значений функции в полученных интервалах достаточно найти знак
значения функции в любой точке соответствующего интервала.
Множеством всех решений неравенства Pm x 0 будет объединение всех промежутков, в
которых функция Pm x сохраняет отрицательный знак.
Имеют место следующие соотношения:
Pm x
0 Pm x Qn x 0 ,
Qn x
232
Pm x
0
Qn x
Pm x Qn x 0 ,
Pm x 0 ,
Qn x 0.
Pm x
0
Qn x
Пример 1. Решить уравнение х 3 х 2 2 0 .
Аналогично решаются неравенства вида
0 .
Решение. Перепишем уравнение в виде х 3 1 х 2 1 0 . Но x 3 1 x 1 x 2 x 1 и
x 2 1 x 1x 1 . Поэтому получаем: x 1 x 2 x 1 x 1x 1 0
x 1 0 ,
x 1,
x 1x 2 2 x 2 0 2
2
x 2x 2 0
x 2 x 2 0.
Квадратное уравнение x 2 2 x 2 0 корней не имеет
(т.к. D 4 0 ). Следовательно, исходному уравнению удовлетворяет только значение x 1 .
Ответ: – 1.
Пример 2. Найти сумму корней уравнения:
х 1х 2х 3х 4 24 .
Решение. Так как х 1х 2х 3х 4
х 1х 4 х 2х 3 х 2 5х 4 х 2 5х 6 , то исходное уравнение принимает вид:
х 2 5х 4 х 2 5х 6 24 .
(3)
Обозначим х 2 5х 4 у . Тогда уравнение (3) принимает вид:
у 6 ,
у у 2 4 у 2 2 у 24 0
y 4.
Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:
2
x 5x 4 4 ,
x 2 5x 0 ,
2
2
x 5 x 4 6
x 5 x 10 0.
Первое уравнение имеет корни x1 0 , x2 5 , а второе уравнение корней не имеет (
D 15 0 ). S 0 5 5 .
Ответ: – 5.
Пример 3. Решить уравнение
x
1
6x 3
.
(4)
2
x 1 x 2 x x 2
Решение. Квадратный трехчлен x 2 x 2 обращается в нуль при x 2 и x 1; поэтому
x 2 x 2 x 1x 2 .
(4) x 1
x 1
x2
32 x 1
x
1
32 x 1
0
x 1x 2 x 1 x 2 x 1x 2
x 1,
x 2 3x 2 0 ,
xx 2 x 1 32 x 1
x 2 3x 2
x 2 , x 2.
0
0
x 1x 2
x 1x 2
x 1x 2 0
x 2 ; 1
Ответ: 2.
Пример 4. Найти сумму корней уравнения
х 3 х 2 17 х 30
2х 3 .
(5)
х2
Решение. ОДЗ уравнения (5): х 2 .
233
При х 2 числитель дроби, стоящей в левой части уравнения, обращается в 0 :
2 2 17 2 30 0 . Следовательно, многочлен х 3 х 2 17 х 30 без остатка делится на х 2 :
3
2
х 3 х 2 17 х 30
х2
х 2х
х 2 х 15
3
2
х 2 17 х 30
х 2 2х
15 х 30
15 х 30
0
х х 17 х 30 х 2 х 2 х 15 .
3
2
Уравнение (5) можно представить в виде:
х 2 х 2 х 15 2 х 3 .
х2
При х 2 это уравнение равносильно уравнению х 2 х 15 2х 3 х 2 х 12 0 . Корни
последнего уравнения: х1 4 , х2 3 . S 4 3 1.
Ответ: 1.
Пример 5. Найти сумму целых решений неравенства
5х 1
1 .
(6)
2
х 3х 4
5х 1
x 2 2x 3
Решение. (6) 2
1 0 2
0
х 3х 4
x 3x 4
x 1x 3 0 x 1x 3x 1x 4 0 .
x 1x 4
-+
-+
+
114
3Решениями последнего
неравенства являются
все числа из множества 3;1 1;4.
Целые решения неравенства (6): 2 ; 2 ; 3. S 2 2 3 3.
Ответ: 3.
Пример 6. Найти наименьшее целое решение неравенства:
15 х 15
(7)
6 x.
х 2 3х 2
Решение.
15 х 15
x 3 3x 2 x 3
х6 0
0
(7) 2
х 3х 2
x 2 3x 2
x 3x 1x 1 0
х 2 х 3 х 3
0
х 1х 2
x 1x 2
2
x 3x 1 x 1x 2 0 .
1
2
1
3
Применяя метод интервалов,
получим множество решений
исходного неравенства: х 2;1 1;1 3; .
Наименьшее целое решение: х 0 .
234
Ответ: 0.
Заметим, что в процессе решения предыдущей задачи может возникнуть желание упростить
неравенство
x 3x 1x 1 0 ,
(8)
x 1x 2
сократив числитель и знаменатель дроби на х 1 . Такое упрощение, сделанное без всяких
x 3x 1 0 неравносильно неравенству (8), так
ограничений, приведет к ошибке. Неравенство
х2
как число 1 входит в множество его решений, не являясь в то же время решением неравенства (8).
235
Раздел 11. Уравнения и неравенства
Занятие 65(2/130)
Решение иррациональных уравнений, неравенств и их систем.
Решение иррациональных уравнений
Иррациональным называется уравнение, содержащее переменную под знаком радикала.
Решение иррациональных уравнений состоит в приведении их к соответствующим рациональным
уравнениям, которые являются
следствиями данных иррациональных уравнений. Одним из стандартных способов решения
иррациональных уравнений есть освобождение их от корней при помощи последовательного
возведения обеих частей уравнения в соответствующую степень.
Заметим, что когда при решении иррациональных уравнений обе его части возводятся в четную
степень, возможно нарушение равносильности и появление посторонних корней, которые
исключаются при помощи проверки.
Пример 1. Решить уравнение
9 5 x 3x 2 x
Решение. I- способ
Возведем обе части уравнения в квадрат:
9 5x 3x 2 2 27 x 18 15x 2 10 x x , откуда
7 3x 2 15x 2 37 x 18
Снова возведем в квадрат:
49 9 x 2 42 x 60 x 2 148 x 72 ,
То есть
69 x 2 190 x 121 0
121
121
Откуда x1
-посторонний корень, а x 2
x2 1 . Делаем проверку и убеждаемся, что x1
69
69
удовлетворяет уравнению.
Ответ: 1.
II-способ. Запишем уравнение в виде : 9 5x 3x 2 x
9 5 x 0
3x 2 0
Это уравнение равносильно системе:
x0
9 5 x 2 3x 2 x
2
9
2
3 x 5
Откуда
11 9 x 2 3x 2 2 x
Правая часть уравнения при любом значении x неотрицательна, то есть дополняем систему еще
одним дополнительным условием:
9
2
3 x 5
11 9 x 0
2
2
11 9 x 43x 2 x
11
2
x
Или 3
(*)
9
69 x 2 190 x 121 0
236
11
2
11
x
2
3
x
9
9 , или
3
x 1
x 121
69
Система (*) имеет одно решение х=1, которое и является корнем уравнения.
Ответ: 1.
Пример 2 Решить уравнение
5x 2 3 5x 2 2
3
Решение. Уравнение такого вида решается возведением обеих частей в третью степень по формуле:
a b 3 a 3 b 3 3aba b .
Получим 5 x 2 5 x 2 33 25x 2 4 3 5x 2 3 5 x 2 8
Учитывая, что по условию
3
5x 2 3 5x 2 2 , имеем:
2
25 x 2 4 ,
3
2 3
8
Откуда 25 x 2 4 , x
9
27
2 3
Ответ: x
.
9
В некоторых случаях целесообразно заменить иррациональное уравнение равносильной
рациональной системой при помощи введения нескольких вспомогательных неизвестных.
Пример 3. Решить уравнение
4 63 25x 2 4 8 ,
3
3
2 x x 1 1
Решение. Обозначим 2 x a 3 ; x 1 b 2
Сложим почленно левые и правые части этих уравнений и введем их в условие уравнения. Получим
систему уравнений, которую решаем:
b 1 a
a 3 b 2 1
, 3
2
a 1 a 1
a b 1
Решив второе уравнение системы, найдем a1 0 , a 2 1 ,
a3 2 и, возвращаясь к подстановке, получим
x1 1, x2 2 , x3 10
Ответ: 1;2;10.
Иррациональные неравенства.
Иррациональными называются неравенства, у которых переменная стоит под знаком радикала,
причем рассматриваются только арифметические корни, если корень четной степени.
Основным методом решения иррациональных неравенств является метод приведения исходного
неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем.
Но необходимо помнить.
1. Возведение обеих частей неравенства в нечетную степень с сохранением знака неравенства
всегда является равносильным преобразованием.
2. Если обе части неравенства на некотором множестве Х определены и имеют только
положительные значения, то можно возвести обе части неравенства в квадрат или другую
четную степень с сохранением знака исходного неравенства, поскольку получим
неравенство, равносильное исходному на множестве Х.
3. Для иррациональных неравенств вида 2n f x qx , где
q(x)<0, возводить в четную степень обе части неравенства нельзя. Необходимо учитывать
дополнительные условия.
Методы решения иррациональных неравенств.
237
1)
2 n 1
f x qx f x q 2n1 x ;
2)
2 n 1
f x qx f x q 2n1 x ;
f x 0
3) 2 n f x q x q x 0
;
f x q 2 n x
q x 0
f x 0
4) 2 n f x qx
q x 0
f x q 2 n x
Примечание. Чтобы избежать ошибок при решении неравенств общего вида, необходимо
прежде всего найти область определения исходного неравенства, а потом осуществлять
равносильный переход на области определения или ее части.
Пример 1. Решить неравенство.
x 2 8 x2
Решение.
2 2 x 2 2
2
2 2 x 2 2 x 0
8 x 0
; 2
; x 3
2
x x 6 0
x 2 8 x
x 2
Таким образом, решением системы, а следовательно и исходного неравенства являются все
числа из промежутка
2 x2 2
Ответ: 2;2 2
Пример 2. Решить неравенство.
2 x 2 5 x 6 2 3x
Решение.
2 3 x 0
I. 2
2
2 x 5 x 6 2 3 x
2
x 3
I.
1 x 10
7
5 73
;
Итак, x
4
5 73
; .
Ответ:
4
238
2 3x 0
и II
2
2 x 5 x 6 0
2
x 3
5 73
II x
4
5 73
x
4
Раздел 11. Уравнения и неравенства
Занятие 66(2/132)
Решение тригонометрических уравнений, неравенств и их систем.
1)
2)
3)
4)
А1. Решить уравнение: 4 sin2 x – 5 sin x + 2 cos2 x = 0.
(–1)nπ/6 + 2 π n, nЄZ
(–1)nπ/6 + π n, nЄZ
π/6 + π n, nЄZ
(–1)nπ/3 + π n, nЄZ
1)
2)
3)
4)
А2.Вычислите сумму большего и меньшего корней уравнения
2 sin x + tg x ctg x = 0 на промежутке (–π;π).
π
0
–2π
–π
1)
2)
3)
4)
А3. Найдите сумму корней уравнения: cos2 x– 2 cos x = 3 на промежутке(–5π;8π).
–4π
4π
0
12π
I.
II.
III.
IV.
В1. Решить уравнение: (1+cos 2x) / (2cos x ) = ( sin 2x ) / ( 1– cos 2x ).
V.
B2. Решить уравнение: ( cos 6x – 1) ctg 3x = sin 3x.
VI.
C1. Решить уравнение: 7 tg x + cos2 x + 3 sin 2x = 1.
Найти все решения системы
sin( 2𝑥 + 𝑦) = 0,
{
cos(𝑥 + 𝑦 ) = 1,
удовлетворяющие условиям : –π ≤ х ≤ π, – 2π ≤ у ≤ – π.
VII. (МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, 1972 год)
Решить неравенство: (1/cos2 x) –1≥(│tg x– √3│+√3) /ctg x.
239
Раздел 11. Уравнения и неравенства
Занятие 67(2/134)
Повторение пройденного материала. Решение уравнений и неравенств. Тестирование.
1. Решите уравнение
0,25 325 х
1
.
108
3 2 х 2 х1 160 .
х
х2
64 .
3. Решите уравнение 4 3 2
2. Решите уравнение
4. Найдите наименьший корень уравнения
5. Решите уравнение
6. Решите уравнение
7. Решите уравнение
3 х1 7 х1 .
5 43 х1 1280 .
7 3 х1 3 х1 186 .
8. Решите уравнение (0,5)
2х
6 (0,5) х 16 0 .
9. Найдите наименьший корень уравнения
10. Решите уравнение
11. Решите уравнение
12. Решите уравнение
13. Решите уравнение
14. Решите уравнение
3 9х 5 6х 2 4х 0
5 32 х 8 15х 3 52 х 0 .
2 2 х 1 3 9 х .
õ 2 õ 4.
15 õ 3 õ 6 .
5 õ3 10 õ2 õ 2 0 .
2
1
6
.
3 õ 2 õ( 3 õ )
9 86 õ 3 õ 0.
õ õ 4 õ 9
0.
16. Найдите наибольший корень уравнения
2 õ 18
15. Решите уравнение
17. Решите уравнение
2 õ2 21õ 4 2 11õ .
18. Решите уравнение
õ2 6 õ 7
19. Найдите сумму корней уравнения
õ1 0.
õ3 3 õ2 4 õ 12 0 .
õ 2 1 õ2 1
20. Найдите положительный корень уравнения
23 .
õ4
õ3
21. Решите уравнение
2 8 õ 3 4 õ.
22. Найдите наибольший корень уравнения
23. Решите уравнение
24. Решите уравнение
х3
õõ 4 õ 6
0.
2 õ 12
х 2 2х 7 .
3 9 х 1 2 3 х 1 1 0.
25. Найдите произведение корней уравнения
26. Найдите число корней уравнения
3 2 log 11 x 4 3 log 11 x 3 0.
2
2
sin6x ctg3x cos6x cos3x
;2 .
2
27. Решите уравнение 3х-5 = 8. В ответе укажите ближайшее целое число.
2
28. Найдите наименьший корень уравнения log 3 x 4 x 12 2
240
на промежутке
29. Решите уравнение
cos 3x 1 . В ответе укажите число корней этого уравнения на
6
3
отрезке 0; .
2
30. Решите уравнение log 4 3 log 4 х log 4 21 .
2
31. Решите уравнение log 3 x 7 log 3 2 х 1 .
32. Решите уравнение log8 x 7
log 2 2 х 1
1
.
9
log3 8
2
33. Решите уравнение log 5 х 4,5 log 25 х .
3cos 4x 1 0 на отрезке ; .
2 2
34. Найдите количество корней уравнения
5sin 2 x 3 на отрезке 0;
35. Найдите количество корней уравнения
36. Найдите количество корней уравнения
sin 2 x 2sin x cos x 1 , принадлежащих отрезку ;
.
.
7 5х 1 5х 2 170 при х 3 .
37. Решите неравенство :
х
х 2
1 1
36 .
9 3
31 х 21 х 3х 2 х 10,5 .
38. Укажите наибольшее целое решение неравенства
39. Укажите наибольшее целое решение неравенства
2 х
1
2
10 27
2
х
3
40. Укажите наименьшее целое решение неравенства
9
41. Укажите наибольшее целое решение неравенства
5
3
.
4 3 3 4х
42. Найдите сумму всех целых решений неравенства
11
.
3
х
log4 x 7 log4 20 x 1 .
43. Найдите количество всех целых решений неравенства
log0,5 2 x 7 log0,5 10 x 1.
log 1 log 4 x2 5 0 при х 3 .
44. Решите неравенство
3
1
2lg x 5
.
1 lg x 1 lg x
log
3
log
х
46. Найдите количество всех целых решений неравенства
2
1 2 .
3
45. Укажите наименьшее целое решение неравенства
№
вопроса
Ответ
№
вопроса
Ответ
№
вопроса
Ответ
241
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1
19
5
20
2
21
-1
22
-1
23
1
24
2
25
-3
26
0
27
-0,5
28
6
29
-1
30
2
31
4
32
1
33
4
34
0
35
1
36
-3
37
5
38
1
4
4
7
7
-3
2
43
44
45
7
46
7
0,8
125
4
2
4
3
-3
39
40
-2
41
1
42
0
1
0
17
5
-3
11
26
Раздел 11. Уравнения и неравенства
Занятие 64(2/128)
Проверочная работа по теме «Уравнения и неравенства»
ВАРИАНТ 1
1.Решить уравнения:
а) 2 х 2 7 2 х;
б ) х 5 10 х 3;
в ) х 3 4 х 10 0;
2.Решить неравенства:
а) х 2 х 2 2
б )( х 2) х 14
3.Найти длину отрезка, являющегося решением неравенства: х 7 7
2
х
2х
0.
4.Найти наименьшее целое решение неравенства: 3 х 2 х 1 2 х 2 3 х 1 2 х 3 0 .
5. Решить систему уравнений:
5 х 3 2 у 6
lg( x y ) 1,
а)
б)
5 2 у 2 5 х 1 lg x lg y 2
6.Решите систему неравенств:
11х 121
1 х 14 1
1000
10
ВАРИАНТ 2.
1.Решить уравнения:
а) 5 х 2 х 3
б ) х 9 х 16 1
в)3 х 3 6 х 18 0
2.Решить неравенства:
а) х 2 х 1 1
б )( х 3) х 27
3.Найти длину отрезка, являющегося решением неравенства: х
4.Найти наименьшее целое решение неравенства: 2
5.Решить систему уравнений:
242
х2
2
5 х 5 2 х 0 .
2 х 3 2 х 4 5 х1 5 х 2
х у 10 log 2 ( x y) 3,
а)
б)
х у 40
log 15 x log 15 y 1
6.Решите систему неравенств:
6 х 36
1 х 5 1
49
7
243
Раздел 12. Комбинаторика.
Занятие 69 (138)
Введение в комбинаторику. Примеры комбинаторных задач.
Историческая справка.
Комбинаторика возникла в XVI веке. Первоначально она, как и теория вероятностей,
применялась для расчета шансов на выигрыш в различных азартных играх: рулетке, игре в кости, а
также в карточных играх. Теоретические исследования вопросов комбинаторики предпринимали
итальянские математики Тарталья и Кардано, французы Паскаль и Ферма, причем в работах
последних были уже заложены основы теории вероятностей. Постепенно комбинаторные методы
стали тем аппаратом, с помощью которого удалось получить замечательные результаты в теории
вероятностей.
К концу XVI века накопились знания, относящиеся к:
1.
2.
3.
свойствам фигурных чисел,
построению магических (и иных числовых) квадратов,
свойствам биномиальных коэффициентов.
Термин "комбинаторика" был введён в математический обиход знаменитым Лейбницем.
Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1.07.1646 - 14.11.1716) - всемирно известный немецкий учёный,
занимался философией, математикой, физикой, организовал
Берлинскую академию наук и стал её первым президентом. В
математике он вместе с И. Ньютоном разделяет честь создателя
дифференциального и интегрального исчислений.
Комбинаторику он понимал весьма широко, именно, как
составляющую любого исследования, любого творческого акта,
предполагающего сначала анализ (расчленение целого на части), а
затем синтез (соединение частей в целое). Мечтой Лейбница,
оставшейся, увы, неосуществлённой, оставалось построение общей
комбинаторной теории. Комбинаторике Лейбниц предрекал блестящее будущее, широкое
применение.
В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались выдающиеся математики. Так,
Леонард Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о циклических
расстановках, о построении магических и латинских квадратов.
Постепенно комбинаторные методы стали тем аппаратом, с помощью которого удалось
получить замечательные результаты в теории вероятностей. Здесь можно отметить работы Я.
Бернулли (27.12.1654 16.8.1705), который комбинаторными методами доказал первую
содержательную теорему теории вероятностей – так называемый закон больших чисел.
В 1713 году было опубликовано сочинение Я. Бернулли "Искусство предположений", в
котором с достаточной полнотой были изложены известные к тому времени комбинаторные факты.
"Искусство предположений" появилось после смерти автора, и не было автором завершено.
Якоб Бернулли
Сочинение состояло из 4 частей, комбинаторике была посвящена
вторая часть, в которой содержатся формулы:
для числа перестановок из n элементов,
для числа сочетаний (называемого
Бернулли классовым
числом) без повторений и с повторениями,
для числа размещений с повторениями и без повторений.
Для вывода формул автор использовал наиболее простые и наглядные
методы, сопровождая их многочисленными таблицами и примерами.
244
Сочинение Я. Бернулли превзошло работы его предшественников и современников
систематичностью, простотой методов, строгостью изложения и в течение XVIII века пользовалось
известностью не только как серьёзного научного трактата, но и как учебно-справочного издания. В
работах Я. Бернулли и Лейбница тщательно изучены свойства сочетаний, размещений, перестановок.
Перечисленные комбинаторные объекты относятся к основным комбинаторным конфигурациям.
Серьезный вклад в разработку теории вероятностей сделали русские и советские математики
П.Л. Чебышев, А.А.Марков, А.М.Ляпунов, А.Н.Колмогоров и другие. И хотя ее аппарат чрезвычайно
расширился и усложнился по сравнению с аппаратом теории вероятностей XIX века, комбинаторные
методы сохраняют свое значение и сегодня.
В математике, в других науках, в повседневной жизни приходится решать задачи, в которых
требуется из элементов некоторого конечного множества составить различные комбинации,
удовлетворяющие каким-либо условиям, и подсчитывать число таких комбинаций. Такие задачи
получили название комбинаторных, а раздел математики, занимающейся решением таких задач,
комбинаторикой.
Слово «Комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое означает
«соединять, сочетать».
Появление компьютеров резко увеличило возможности комбинаторики и расширило сферу ее
применения. Комбинаторные методы применяются в теории управляющих систем, в физике, химии,
биологии, экономике, лингвистике и многих других науках.
Хотя отдельными комбинаторными задачами занимались еще древнегреческие математики,
основы комбинаторики как науки были заложены математиками XVII и XVIII веков, прежде всего
Паскалем (1623-1662), Лейбницем (1646-1716) и Бернулли (1654-1705).
Рассмотрим задачу.
В одной пачке лежит 10 тетрадей в клеточку, в другой – 15 тетрадей в линию.
Сколькими способами можно выбрать 1 тетрадь в клетку или 1 тетрадь в линию?
Решение. Из первой пачки тетрадь в клетку можно взять 10 способами, а из второй – 15
способами. Значит, всего существует 10+15=25 способов.
Поэтому, если объект а можно выбрать п способами, а объект в – т способами, то выбор
«или а или в» можно осуществить (п+т) способами.
Это правило в комбинаторике получило название «правило суммы».
Задача 2. В первой пачке 10 тетрадей зеленого цвета, во второй 15 тетрадей желтого
цвета. Сколькими способами можно взять 1 зеленую и 1 желтую тетрадь?
Решение: Зеленые тетради можно выбрать 10 способами, а желтые – 15 способами. Значит, 1
зеленую и 1 желтую тетрадь можно выбрать 10×15=150 способами.
Поэтому, если объект а можно выбрать п способами, а объект в – т способами, то выбор
« а и в» можно осуществить (n m) способами.
Это правило в комбинаторике получило название «правило произведения».
2. Примеры комбинаторных задач.
Задача 1. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 2;3;4.
Решение.
Имеем:
22
23
24
32
33
34
42
43
44
Числа разбились на 3 группы по 3 числа в каждой – отсюда и правило умножения при
подсчете таких комбинаций.
Ответ: 3×3=9
Задача 2: ( стр. 39, пример 3) Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С
– 3 дороги, из города С до пристани - две дороги (см. рис.1). Туристы хотят проехать из города А
через город В и С к пристани. Сколькими способами, они могут выбрать маршрут?
245
А
В
С
Пристань
Решение.
рис.1
2×3×2=12 (способов)
Ответ: 12.
Задача 3.(с помощью геометрической интерпретации –
«деревом
возможных
вариантов»)
Пусть существует 3 кандидата: С1, С2, С3 на место старосты класса и 2 кандидата на место его
заместителя: З1 и З2. Сколькими способами можно избрать актив класса, состоящий из старосты и его
заместителя?
Решение. Старосту можно выбрать 3 способами, 2 способами его заместителя. Поэтому общее
число способов равно 3×2=6
Правило умножения для трех и более испытаний можно объяснить с помощью
геометрической модели, которую называют «деревом возможных вариантов».
(С1;З1
)
С
(С1;З2
З2
1
)
Начало
(С2;З1
З1
О
С
)
(С2;З2
З
2
2
)
З1
(С3;З1
С
)
З2
(С3;З2
3
Данный способ решения позволяет все учесть )и наглядно убедиться в правильности решения.
З1
3. В столовой предлагают 2 различных первых блюда А1 и А2, 3 различных вторых блюда В1,
В2 и В3 и два вида десерта С1 и С2. Сколько различных обедов из 3х блюд может предложить
столовая?
Найти решение с помощью «дерева возможных вариантов»
(А1,В1,С1);(А1,В1,С2);
(А1,В2,С2);(А1,В2,С3)(А1,В3,С1);
(А1,В3,С2);(А2,В1,С1);
(А2,В1,С2);(А2,В2,С1)
(А2,В2,С2);(А2,В3,С1);(А2,В3,С2).
Ответ: 12=2×3×2
246
Раздел 12. Комбинаторика.
Занятие 70 (140)
Перестановка. Размещение и сочетания
1.Размещения.
Из различных элементов множества, содержащего n элементов можно образовывать группы
или выборки элементов. Если в каждую выборку элементов входит одно и то же число элементов,
например k , то говорят, что они образуют соединения из n элементов по k в каждом. В
зависимости от того, входят ли в соединения все элементы данного множества или только часть их,
играет ли роль порядок элементов или не играет, различают 3 вида соединений: размещения,
перестановки и сочетания.
Понятие «факториал».
Для удобства записей вводится специальный символ.
Определение. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n обозначается n! и читается
«эн факториал», т.е. n! 1 2 3 n 1n .
Так, 1! 1 ,
2! 1 2 ,
3! 1 2 3 6 .
Для удобства условились считать 0! 1 .
Название происходит от английского математического термина factor – «сомножитель».
n! растет с увеличением n очень быстро 5! 1 2 3 4 5 120; 10! 3628800.
Понятие «размещение».
При решении различных задач возникает вопрос о том, сколькими способами можно выбрать
и разместить по k различным местам k из n различных предметов? Количество таких способов
k
принято обозначать An (читается «число размещений из n по k »). А – первая буква французского
слова arrangement – размещение.
Определение. Размещениями из n элементов по k называется любой выбор k элементов,
взятых в определенном порядке из n элементов.
Задача 1. Сколькими различными способами собрание, состоящее из 50 человек, может
выбрать из своей среды председателя собрания, его заместителя и секретаря?
Решение.
Существует 50 спо собов выбора
одного кандидата на должность председателя собрания, далее имеется 49 кандидатов на должность
заместителя и, наконец, одного из оставшихся 48 человек можно выбрать на должность секретаря.
Согласно правилу произведения для этого существует 50 49 48 117600 способов.
Итак, существует n способов выбора первого элемента. После того, как он выбран,
остается n 1 способ для выбора второго элемента. После выбора первого и второго элементов
остается n 2 способа для выбора третьего элемента. Тогда, разместить на 3 разных места три из n
разных элементов можно nn 1n 2 способами, т.е.
An3 nn 1n 2
Рассуждая аналогично,
An4 nn 1n 2n 3,
An5 nn 1n 2n 3n 4,
Ank nn 1n 2n 3n k 1 или
Ank nn 1n 2n 3n k 1.
Важно понимать структуру этой формулы и уметь применять при решении задач
соответствующую словесную формулировку: число размещений из n элементов по k равно
произведению k последовательных натуральных чисел, из которых наибольшим является n .
247
Например, число размещений из 16 элементов по 5 равно произведению 5 множителей,
первый из которых 16, а каждый следующий на один меньше предыдущего, т.е.
A165 16
1514
13
12 524160 .
5 множителей
Поскольку Ank nn 1n 2n k 1
Ank
n!
nn 1n 2n k 1n k n k 1 2 1
,
n k n k 1 2 1
n k !
то
n!
n k ! .
1)
Самостоятельное чтение по учебнику примеров 1 и 2 стр. 45-46.
Пример 1: Вычислить:
50! 30!
100! 99!
7 !5!
а) 7 !; б)
в)
г)
.
;
;
48! 28!
99! 98!
4!
Решение:
7 !5! 5!7 6 1
5 41 205;
а) 7 ! 1 2 3 7 5040; б)
4!
4!
50 ! 30 !
50 49 30 29 10 5 49 3 29 1580.
г)
48 ! 28 !
Пример 2: Найти все натуральные n , удовлетворяющие условию:
Решение:
n!
6,
n 2!
An2 6 .
nn 1 6,
n 2 n 6 0,
n1 3, n2 2 N
Ответ: n 3 .
2.Размещения с повторениями.
Выбор элементов размещения Ank может состоять как из различных элементов, так и из
повторяющихся.
Пример. Сколькими способами можно разместить по k различным местам любые k
предметов, выбранных из n различных предметов с повторениями каждого из них любое число раз,
но не более k ?
Количество всех таких способов обозначается Ank , т.е. Ank - размещения без повторений,
Ank n n 1n 2n k 1 , Ank - размещения с повторениями.
Из правила произведения вытекает, что число размещений с повторениями из n элементов
по k равно произведению k сомножителей, каждый из которых равен n :
Ank nk .
Пример1.: Вычислить: A53 ; A35 .
Решение: Имеем A5 5 125 ; A3 3 243 .
Пример 2.: Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 2, 6, 7, 8 и 9,
если каждая цифра может входить в комбинацию несколько раз?
Решение. Здесь порядок цифр существенен (2678 и 6278 – это разные числа). Поэтому каждый
знак четырехзначного числа можно выбрать пятью способами (цифр ровно пять). Следовательно,
3
3
5
5
5
5
число различных комбинаций равно A4 4 1024 .
Ответ: 1024.
3.Перестановки.
248
Рассмотрим такой пример: Курьер должен разнести пакеты в три различных учреждения.
Сколько маршрутов он может выбрать?
Обозначим учреждения буквами А, В и С. Составим
все возможные комбинации маршрутов.
АВС, АСВ, ВСА, ВАС, САВ, СВА.
Видим, что эти комбинации отличаются друг от друга только порядком расположения
элементов и таких комбинаций 6.
Определение: Выборки из п элементов, которые отличаются друг от друга только
порядком расположения элементов называются перестановками.
Число перестановок из п элементов обозначается символом Р𝑛 . Читают «Р из п». Р –
первая буква французского слова «penmutation» - перестановка.
Перестановки являются частным случаем размещений, действительно, если в размещениях
рассмотреть случай, когда k = n, то мы получим, что размещения отличаются друг от друга только
порядком следования элементов, т.е. являются перестановками. Отсюда можно получить формулу
для вычисления перестановок.
𝑛!
𝑛!
𝑛!
Р𝑛 = 𝐴𝑛𝑛 = (𝑛−𝑛)! = 0! = 1 = 𝑛! Следовательно, Р𝑛 = 𝑛!.
Вернёмся к рассмотренному примеру. Согласно формуле, число перестановок из трех
элементов составляет
Р3 = 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6.
Действительно, на первое место можно поставить любой из трех элементов, на второе любой из
оставшихся двух и остается единственная возможность выбора элемента на третье место. Значит,
согласно правилу произведения, число перестановок из трех элементов равно 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 = Р3 .
Пример 1: Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, при условии,
что цифры в записи числа не повторяются? Сколько среди них: а) кратных 5; б) больших 400 000?
Решение: Всего чисел Р6 = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720.
а) Полученное число будет кратно 5, если его запись оканчивается цифрой 5. Остальные
пять цифр на пяти местах могут стоять в произвольном порядке. Значит, пятизначных чисел,
кратных 5, будет
Р5 = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120.
б) Существует 3 способа выбора первой цифры (4, 5, 6). Оставшиеся 5 цифр можно
выбрать Р5 = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 способами. Всего чисел больших 400 000 будет, по правилу
произведения, 3∙ 120 = 360.
4.Перестановки с повторениями
Рассмотрим слово "КВАНТ", состоящее из пяти различных букв. Если менять порядок букв,
получим 5! =120 перестановок, т.е. 120 новых слов. (Словом будем называть любую комбинацию
букв). Если проделать то же со словом "АТАКА", то перестановок будет меньше, потому что, меняя
местами первую, третью и пятую буквы, будем получать то же самое слово. И, так как три буквы "А"
можно менять местами 3! = 6 способами, то и перестановок в слове "АТАКА" будет в 6 раз меньше,
5!
20.
6
т.е.
А теперь рассмотрим общий случай. Пусть дана выборка
aaa...a bbb...b ..... ccc...c состоящая из
n1
n2
nk
n элементов, причем, элемент а повторяется n1 раз, элемент b - n2 раз, и т.д., элемент с -nk раз и n1 +
n2 +...+ nk = n. Перестановки в такой выборке, где есть одинаковые элементы, называются
перестановками с повторениями и число перестановок с повторениями обозначается
P(n1,n2,....,nk) Из приведенных выше рассуждений следует формула:
Пример 1... Сколько различных перестановок можно сделать из букв слова «Математика»?
Решение: В этом слове 10 букв, но некоторые из букв повторяются. Это слово имеет состав:
м – 2 повтора, а – 3, т – 2, е -1, и – 1, к – 1. Таким образом в задаче идет речь о перестановках из 11
элементов с повторениями
(2,3,2,1,1,1). Число таких перестановок найдем по формуле
.
Ответ: 151200.
249
5. Сочетания без повторений.
В некоторых задачах по комбинаторике не имеет значения порядок расположения объектов
во множестве. Важно лишь то, какие именно элементы составляют множество.
К примеру, представим себе школьный класс, который пришел в спортзал. Ребята могут
выстроиться в шеренгу, а могут бегать, прыгать или лазать по канату – все равно они останутся тем
же множеством учеников класса. А теперь представим, что часть из них перевели а соседнее
помещение, где им также разрешается заниматься спортом. Такая выборка элементов, при которой
их порядок совершенно не важен, называется сочетанием.
Если в нашем примере в классе было 28 человек, а в другое помещение перешли 15, то это
сочетание из 28 элементов по 15.
Определение – Сочетаниями без повторений из n элементов по k называются такие выборки,
которые одна от другой отличаются хотя бы одним элементом.
Замечание: То есть порядок расположения элементов не важен; значение имеет только состав
выборки.
Число сочетаний из n элементов по k, где k n , обозначают Cn и вычисляют по формуле
k
Cnk
n!
k!n k !
Рассмотрим задачи, которые решаются с помощью сочетаний.
Пример 1. В классе 30 учеников. Нужно избрать 5 человек на городской слет активистов.
Сколькими способами это сделать?
Решение:
Так как все делегаты обладают равными правами и обязанностями, то порядок в выборке не
важен. Эти множества из пяти элементов будут отличаться друг от друга только составом. Значит,
мы имеем дело с сочетаниями.
5
С28
28!
28 27 26 25 24
98280
28 5!5!
5 4 3 2 1
Ответ: 98280 способов.
Пример 2. Сколько различных стартовых шестерок можно образовать из числа 10
волейболистов? Решение:
Так как при игре в волейбол функции игроков практически равны, то значение имеет только
состав шестерки.Тогда С106 10! 10 9 8 7 630 210
10 6!6! 4 3 2 1
3
Ответ: 210 стартовых шестерок.
6.Сочетания с повторениями
1. И перестановки, и размещения могут быть с повторениями. Имеет смысл говорить и о
сочетаниях с повторениями.
2. Рассмотрим задачу: В продажу поступили постеры 10 видов. Сколькими способами можно
образовать набор из 12 постеров?
Решение:
Так как количество постеров в наборе (12) превышает количество их видов (10), то ясно, что
любой набор будет содержать одинаковые постеры. То есть выборки по 12 из 10 будут содержать
повторяющиеся элементы.
Такие выборки объема k из повторяющихся элементов n, которые отличаются одна от другой
только составом элементов (хотя бы одним), называются сочетания с повторениями. Обозначаются
С nk . Вычисляются по формуле С kn (k n 1)! .
k!n 1!
Значит, наша задача будет решаться по формуле С12 12 10 1! 21! 293930 (способов)
10
12!10 1! 12!9!
Ответ: 293930 способов.
3. Итак, формулы для перестановок, размещений и сочетаний (с повторениями и без)
обнаруживают тесную связь между основными понятиями комбинаторики. Эти формулы составляют
своего рода азбуку комбинаторики, поскольку на них основываются решение большинства
школьных комбинаторных задач.
250
Раздел 12. Комбинаторика.
Занятие 71 (142)
Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний, перебор вариантов.
1.
Вычислить:
а)
А519 +А620
А418
;
б)
Р6 +Р5
5!
;
в)
20!
;
5!16!
Упростите:
2.
Р
а) А𝑛−1𝑘+1
∙Р
𝑘−𝑛
𝑘−1
, 𝑛 ≥ 𝑘; б)
А𝑘
𝑛 ∙(𝑛−𝑘)!
(𝑛−1)!
, 𝑛 ≥ 𝑘; в)
3.Докажите тождества:
а) Р𝑛 = (𝑛 − 1)(Р𝑛−1 + Р𝑛−2 );
4.
Найдите п, если:
а) А5𝑛 = 18 ∙ А4𝑛−2 ;
б) А4𝑛 ∙ Р𝑛−4 = 42 ∙ Р𝑛−2
5
x
в) A 336C
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
н)
А5𝑛 ∙Р𝑛−5
А620 +А520
А420
А𝑛−4
−А𝑛−2
𝑛
𝑛
А𝑛−3
𝑛
;
; г)
д)
Р6 (С57 +С47 )
А710
𝑛+1
С𝑛+2
2𝑛 +С2𝑛
С𝑛
2𝑛
.
.
𝑚−1
𝑚
б) А𝑚
𝑛−1 = А𝑛 − 𝑚 ∙ А𝑛−1 .
x 5
x 2
г) А𝑛−1
𝑛+1 + 2Р𝑛−1 =
Р𝑛+3
г)
30
7
∙ Р𝑛 ;
= 720;
Р𝑛+2 = 132А𝑘𝑛 ∙ Р𝑛−𝑘 , (𝑛 ≥ 𝑘);
(𝑛 + 5)! = 240(𝑛 − 𝑘)! ∙ А𝑘+3
𝑛+3 , (𝑛 ≥ 𝑘);
А𝑛−3
=
𝑛
∙
Р
;
.
𝑛
𝑛−2
2
12С𝑛−1
𝑛+3 = 55 ∙ А𝑛+1 ; .
2
2
А𝑛+3 + С𝑛+2 = 126;
𝑛
С3𝑛 + С4𝑛 = 11 ∙ С𝑛+1 ; м) С𝑛+1
𝑛+4 − С𝑛+3 = 15(𝑛 + 2);
1
1
1
= С𝑛 + С𝑛 ;
С𝑛
4
5
6
о) А24 ∙ С3𝑛+1 = 𝑛 ∙ (𝑛 + 1) ∙ С𝑛−4
𝑛−1 ;
Р𝑛+2
п) Р = 72;
𝑛
р) А4𝑛 = 6 ∙ А2𝑛−2 ;
3
с) С2𝑛+3
2𝑛+8 = 13 ∙ А2𝑛+6 ;
Р𝑛+2
т) А𝑘 ∙Р
= 132, (𝑛 ≥ 𝑘);
𝑛
𝑛−𝑘
6.
Из цифр 0,1,2,3 составлены все возможные четырехзначные числа так, что в числе нет
одинаковых цифр. Сколько получилось чисел? Сколько среди них четных?
7.
Сколько различных натуральных чисел можно составить из цифр 0,1,3,4, при условии,
что цифры в записи числа не повторяются?
8.
Сколько четырехзначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 0,1,3,5,7, если
каждое число не содержит одинаковых цифр? Ответ: 42.
9.
Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в этот день
пять уроков: алгебра, геометрия, история, география и литература? Причем, алгебра и литература не
должны следовать друг за другом.
10.
На книжной полке стоит собрание сочинений в тридцати томах. Сколькими способами
их можно расставить, чтобы: а) первый и второй тома стояли рядом? б) третий и четвертый рядом
не стояли?
11.
Сколькими способами можно составить расписание занятий спортивных секций, если в
этот день занимается восемь секций, чтобы секции гимнастики и баскетбола не стояли в расписании
рядом?
11.Из 10 рабочих надо выбрать трех для работы на определенном участке. Сколькими
способами это можно сделать
12.Сколько различных трехцветных флагов с тремя горизонтальными полосами можно
получить, если использовать красный, синий и белый цвет?
251
13.Сколько словарей надо издать, чтобы непосредственно выполнять переведы с любого из
пяти языков: русский, немецкий, английский, французский, итальянский на любой другой из этих
языков?
14. В цветочном киоске продаются цветы 6 видов. Сколько можно составить различных
букетов по 3 цветка в каждом?
15. Четыре студента сдают экзамен. Сколько может быть вариантов распределения оценок,
если известно, что так или иначе все они экзамен сдали?
16. 25 выпускников обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано
фотокарточек?
17. Сколько существует прямоугольников на плоскости таких, что длина каждой стороны
выражается целым числом от 1 до 12 ?.
18.Сколько существует пятизначных телефонных номеров, если они не могут начинаться с
цифр 0и8?
19. В конкурсе красоты участвуют 20 девушек. Сколько может быть вариантов распределения
пяти призовых мест в этом конкурсе?
20. В коробке находятся фишки четырех разных цветов. Игрок должен сделать набор из 7
фишек. Сколькими способами он может это сделать?
21. Сколько хорд можно получить, попарно соединяя 18 точек, лежащих на одной
окружности?
22. В соревнованиях участвуют 12 гимнастов. Сколько может быть вариантов распределения
трех призовых мест в этих соревнованиях?
23. Пятнадцать республик СССР стали самостоятельными государствами. Сколько надо
построить посольств, чтобы в каждом государстве было посольство каждого государства?.
24. Сколькими способами 10 монет можно разложить в два кармана, чтобы в одном было 3, а
в другом - 7 монет.
25. В подразделении 60 солдат и 5 офицеров. Сколькими способами можно составить караул,
состоящий из 3 солдат и 1 офицера
26. В ящике 10 красных и 6 синих шаров. Сколькими способами можно выбрать из ящика
а) 2 красных шара;
б) 2 шара одного цвета;
в) 2 шара разных цветов?
27. Найти число различных перестановок в слове "перешеек".
28. Сколько букв азбуки Морзе можно составить из точек и тире, если каждая буква может
содержать от 1 до 4 символов?
29. Даны две параллельные прямые. На одной из них имеется 10 точек, а на другой - 20.
Сколько существует треугольников с вершинами в данных точках?
30. Даны две параллельные прямые. На одной из них 7 точек, а на другой - 5 точек. Сколько
существует трапеций с вершинами в этих точках?
31. В магазине имеются красные, синие и зеленые надувные шарики. Сколькими способами
можно купить набор из 10 шариков?
32. Сколько автомобилей можно обеспечить номерами, если номер состоит из трех букв
(используются 20 букв русского алфавита) и четырех цифр (используются 10 цифр)? Буквы и цифры
могут повторяться.
33. В вагоне электрички имеются два противоположных дивана по 5 мест на каждом. Из 10
пассажиров четверо желают сидеть лицом по ходу движения, трое - против хода, а остальным
безразлично, как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры с учетом их желаний?
34.
На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей.Сколькими способами
можно выбрать из них 4 пары для танца?
35.
У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день в течение девяти дней она
выдает сыну по одному фрукту. Сколько может быть вариантов такой выдачи?
252
Раздел 12. Комбинаторика.
Занятие 72 (142)
Бином Ньютон. Решение задач
1. Бином Ньютона.
Для подсчета числа сочетаний используется числа С m
n
n!
, которые называются
m!(n m)!
биноминальные коэффициенты.
Выясним, какими свойствами обладают эти числа.
m
Задача1. Найти С5 , где m = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Решение.
С50 1 , С1 5! 5 , С52 5! 10 , С53 5! 10 , С54 5! 5 , С55 1 .
5
2!3!
4!1!
3!2!
1!4!
Анализируя полученные результаты, можно сделать следующие выводы:
nm
1) Коэффициенты, равностоящие от начала и конца, равны между собой, т.е. Сn Cn
m
.
n
2) Сумма всех коэффициентов равно 2 .
3) Сумма коэффициентов, стоящих на четных местах равна сумме коэффициентов, стоящих на
нечетных местах.
Для нахождения биноминальных коэффициентов существует еще один способ, который
называется треугольник Паскаля. Рассмотрим его.
Напишем в первой строке число 1.
Под ним еще две единицы.
Для построения треугольника Паскаля пользуемся правилом: каждое число в треугольнике равно
сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке.
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
В данном треугольнике, первая строка считается нулевой и первый элемент в строки тоже.
Тогда, в пятой строке треугольника Паскаля можно найти все те коэффициенты, которые мы
нашли в предыдущей задаче.
Биноминальные коэффициенты играют в математике большую роль. Именно они являются
коэффициентами многочлена при возведении в степень любого двучлена. Всем известно формула
сокращенного умножения: ( a b) a 2ab b . Коэффициенты перед одночленами в
данном трехчлене можно найти во второй строке треугольника Паскаля. Аналогично, при
2
2
2
возведении в третью степень получаем: (a b) a 3a b 3ab b . Сделать это
значительно проще, чем умножать между собой три скобки, а потом приводить подобные
слагаемые. Степени a и b в искомом многочлене располагаются по следующей зависимости:
степень a начинается с 3 и уменьшается до 0, степень b наоборот.
Упражнения.
1. Возвести в степень двучлены:
3
3
2
2
3
2. (a b) , 2) (a b) .
5
4
3. Сколько раз встретится одночлен a b при возведении (a b) в степень n, если:
1) n = 7, m = 2, k = 5; 2) n = 8, m = 6, k = 2; 3) n = 10, m = 3, k = 7; 4) n = 12, m = 5, k = 7.
4. Чему равна сумма коэффициентов в разложении:
m k
1) (a b) ,
6
253
2) ( a b) .
8
Раздел 12. Комбинаторика.
Занятие 73 (146)
Решение комбинаторных задач и задач на нахождение биноминальных
коэффициентов.
4
1.Записать разложение 4-й степени бинома a b .
Решение: Коэффициенты разложения берем из 4-й строки треугольника Паскаля и используем формулу Ньютона:
a b 4 a 4 4a 3b 6a 2 b 2 4ab 3 b 4 .
5
2. Записать разложение 2m 3n .
Решение: Используем 5-ю строку треугольника Паскаля.
2m 3n5 2m5 52m4 3n 102m3 3n2 102m2 3n3 52m 3n4 3n5
32m 5 240m 4 n 720m 3 n 2 1080m 2 n 3 810mn 4 243n 5 .
3. Найдите член разложения
y 4 y
20
, содержащий
y7 .
Решение: Из формулы разложения бинома Ньютона формула
k 1 й
член имеет
nk
вид : Tk 1 1 C a x
.
Запишем общий вид разложения:
k
k
Tk 1 C 20
n
k
y y
По условию,
20 k
k
4
y
40 k
4
Отсюда находим
k
k
k
C 20
y4 y
y 7 , т.е.
k 12
20 k
2
k
C 20
y
40 k
4
40 k
7.
4
и искомый член
T121 C y C y 216970 y 7 .
4. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?
Решение: P9 9! 362880.
5. На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами
это можно сделать (в латинском алфавите 26 букв)?
5
26 25 24 23 22 7893600.
Решение: A26
6. В магазине продается 8 различных наборов марок. Сколькими способами можно выбрать из них 3
набора?
876
Решение: C83
56 способов.
1 2 3
7. Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно выбрать:
а) двух дежурных
24!
2
Решение: C 24
23 12 276
2!22!
б) старосту и его заместителя
24!
2
Решение: A24
24 23 552
22!
8. Пусть имеется множество, содержащие 4 буквы: {А,В,С,Д}. Записать все возможные сочетания из
указанных букв по три.
Решение: Таких сочетаний будет 4: АВС; АСД; АВД; BCД. Здесь в число сочетаний не включены,
например АВС, ВСА, т.к. у нас уже есть АВС, потому что порядок элементов в сочетании не
учитываются.
4!
C43
4.
3!(4 3)!
9. Сколько можно записать четырехзначных чисел, используя без повторения все 10 цифр?
Решение:
12
20
254
7
8
20
8
1) A104
10!
5040 .
6!
2) т.к. есть среди чисел 0, который не может стоять впереди, поэтому надо еще найти A93
9!
504 .
6!
3) A104 A93 5040 504 4536 .
10. Нужно выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся книг. Сколькими способами это можно сделать?
Решение:
10!
10!
C104
210.
4!(10 4)! 4!*6!
11. Сколькими способами можно расставить 9 различных книг на полке, чтобы определенные 4
книги стояли рядом?
Решение: если обозначить 4 определенные книги как одно целое, то получается 6 книг, которые
можно переставлять.
P6 6! 1 2 3 4 5 6 720 переставляются, 4 определенные книги можно переставлять
Тогда
всего
перестановок
по
правилу
умножения
будет
P4 4! 1 2 3 4 24 .
P6 P4 720 24 17280.
12. Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров, чтобы среди
них были 3 черных.
Решение: 7ш 3ч 4б .
10!
210
4!6!
5!
Черных шаров C53
10
3!2!
Тогда C104 C53 20 10 2100
Белые шары C104
255
Раздел 12. Комбинаторика.
Занятие 74 (148)
Проверочная работа по теме «Комбинаторика»
ВАРИАНТ 1
1. Сколькими способами 6 детей можно рассадить на 6 стульях?
2. Сколько трехзначных чисел с разными цифрами можно составить изцифр 0, 1, 3, 6, 7, 9?
3. Из 10 членов команды надо выбрать капитана и его заместителя.Сколькими способами это
можно сделать?
3
4. Вычислите 3P3 2 A10
C32 .
5. Запишите разложение бинома (x+1)7.
6. В отделе работают 9 ведущих и 12 старших научных сотрудников. Вкомандировку надо
послать двух ведущих и трех старших научныхсотрудников.Сколькими способами может быть
сделан выбор сотрудников, которыхнадо послать в командировку?
ВАРИАНТ 2
1. Сколькими способами 5 детей можно рассадить на 5 стульях?
2. Сколько трехзначных чисел с разными цифрами можно составить изцифр 0, 3, 4, 5, 8?
3. Из 10 членов команды надо выбрать капитана и его заместителя.Сколькими способами это
можно сделать?
4. Вычислите P4 2 A92 3C82
5. Запишите разложение бинома (x-1)6
6. В 1группе учатся 25 учащихся, во2 - 20 учащихся, а в 3- 18 учащихся. Для работы на
участке надо выделитьтрех учащихся из1 группы двух – из второй и одного – из третей. Сколько
существует способов выбора учащихся для работы на пришкольномучастке?
256
Раздел 13. Элементы теории вероятностей и математической статистики.
Занятие 75 (2/150)
Событие, вероятность события, сложение и умножение событий, вероятностей.
В теории вероятностей рассматриваются такие явления или опыты, конкретный исход которых не
определяется однозначно условиями опыта (случаен), но по результатам большого числа
экспериментов в среднем может быть предсказан (свойство статистической устойчивости).
Определение. Элементарным событием (элементарным исходом) называется любое событие исход опыта, которое нельзя представить в виде объединения других событий. Так как исход опыта
случаен, то и любое элементарное событие случайно, далее будем говорить просто о событиях, не
подчеркивая их случайность.
Определение.Пространством элементарных событий (исходов) называется множество всех
элементарных событий (исходов). {1, …n …}, если в результате опыта обязательно наступает
какой-либо из элементарных исходов и только один (один исход исключает любой другой).
Пространство элементарных событий может содержать конечное, счетное и даже бесконечное
множество элементарных событий.
Определение.Случайным событием (событием) называется подмножество пространства
элементарных событий. Любое множество – это совокупность элементов. Элементами события
являются элементарные события, образующие это событие.
Пример. Бросается одна монета, она может упасть гербом (1 =Г) или решкой (1 =Р). =(Г,Р).
Пример. Бросаются две монеты = {(Г, Г), (Г,Р), (Р,Г), (Р,Р)}
Пример. Капля дождя падает на прямоугольную площадку:= {(x,y), a<x<b, c<y<d}
Определение. Достоверное событие – событие, которое всегда происходит в результате данного
опыта, оно содержит все элементарные события и обозначается .
Определение.Невозможное событие – событие, которое не может произойти в результате данного
опыта, оно не содержит элементарных событий и обозначается .
Классификация событий
Событие, состоящее из всех элементарных событий, не содержащихся в А, обозначим А и будем
называть противоположным событием.
Пример. А –выбор червонной карты; А –выбор любой карты другой масти.. А = \А
Определение.Два события А и В называют совместными, если каждое из них содержит хотя бы
одно общее элементарное событие, т.е если АВ Ø и несовместными, если АВ = Ø.
Пример. А – выбор червонной карты и В – выбор десятки – совместные события, так как АВ =
выбор червонной десятки Ø
Пример. А – выпадение четного числа очков А = {2, 4, 6}. В – выпадение нечетного числа очков В =
{1, 3, 5}. Очевидно, что А и В несовместны.
Определение.Полная группа событий – это совокупность n событий А1, А2, …, Аn, одно из которых
n
обязательно произойдет, т.е.
А
i 1
i
Свойства операций над событиями
Если А В, то А + В = В, АВ = А.
Отсюда следует:
3.А+А = А
5.А + Ø = А
7.А Ø = Ø
1.
2.А+А=А
4. А + =
6. A A
8. А A = А
Коммутативность операций: А + В = В + А; А В = В А
Ассоциативность операций; А + (В + С) = (А + В) + С = А + В + С,
А(В С) = (А В) С = А В С
Дистрибутивность: А (В + С) = А В + А С
А + (В С) = (А + В)(А + С)
257
9. А А
10. А А = Ø
Пример. Вычислим (A+B)(A+C)=AA+BA+AC+BC=A+BC.Так как, BAA, ACA, AA=A, тогда
AA+BA=A, следовательно: A+AC=A.
k 1
k 1
Правило двойственности (теорема де Моргана): Ak Ak ,
k 1
k 1
Ak Ak
Пример. А В А B и АВ А В
Вероятность.
Классическое определение вероятности события
Определение.Случаями называются равновозможные, несовместные события, составляющие
полную группу.
Пусть пространство элементарных событий Ω содержит конечное число случаев.
Пусть N – общее число случаев в Ω, а NА – число случаев, образующих событие А (или, как говорят,
благоприятствующих событию А).
N
Определение.Вероятностью события А называется отношение: P (A) A . Это - классическое
N
определение вероятности.
Примеры. 1.Бросание игральной кости. Ω = 1, 2,…,6
N = 6.
2 1
А – количество очков кратно трем А = 3,6 NA = 2. Р ( А) .
6 3
2.В урне а белых и b черных шаров. Опыт – вынимается один шар.
А – шар черный.
b
Р( А)
.
ab
Свойства вероятности:
1) Р(Ω) = 1 (NA = N);
2) 0 Р ( А) 1 ( 0 N A N ) ;
3) Если А В = Ø, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В) ( N A+B=NA+NB)
Следствия
4) Р(Ø) = 0 (NØ) = 0;
5) Р( А ) = 1- Р(А) ( А А , АА = Ø, Р(А) + Р( А ) = 1);
6) Если А В , то Р(А) Р(В) (NA NB).
Для определения общего числа равновозможных исходов и числа благоприятствующих исходов.
используется основной принцип комбинаторики: пусть некоторая операция Р представляет собой
последовательность n операций Pk (k=1, …n), каждая из которых может быть выполнена mr
способами. Тогда операция Р может быть выполнена m1 m2 ... mn способами.
Пусть мы делаем выборку поочередно m элементов (например, шаров) из n элементов. Мы можем
возвращать очередной шар (в число n шаров), тогда при каждом очередном выборе мы будем иметь
все те же n шаров. Такая выборка называется выборкой с возвращением. А можем и не возвращать
шар, тогда при каждом выборе мы будем выбирать из все меньшего числа шаров. Такая выборка
называется выборкой без возвращения. С другой стороны, если учитывать порядок появления шаров,
то выборка называется упорядоченной или размещением из n шаров по m шаров. Если порядок
шаров не учитывать (важно, какие шары выбраны, но не важно, в каком порядке), то такая выборка
называется неупорядоченной или сочетанием из n шаров по m шаров. Выясним, сколькими
способами можно произвести ту или иную выборку
Сочетания
Размещения
n n 1 ... n m 1
n!
Без
C
Anm nn 1...n m 1
m!
m ! ( n m )!
возвращения
m
n
С
возвращением
258
C nm C nm m 1
Anm n m
Формулы для размещений легко получаются из принципа комбинаторики. Для того, чтобы перейти
от размещений (без возвращений) к сочетаниям (без возвращений), нужно упорядочить выборки, т.е.
исключить те из них, которые отличаются только порядком элементов.
Определение.Выборки, отличающиеся только порядком элементов, называются перестановками.
Anm
m
n
P
A
m
!
Число перестановок из m элементов равно m
/Поэтому С т
.
m
Pm
Пример. Производится выборка двух шаров (m=2) из урны, в которой находится n=3 шара.
Размещения с возвращением:(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) A32 = 32 = 9.
2
Размещения (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) A3 6 .
Сочетания с возвращением (1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3)
C 2231 C 42 6
Сочетания (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,3) C 3 3 .
Пример. Задача о выборке «бракованных» деталей.
В партии из N одинаковых деталей M бракованных. Выбирается (не возвращая) n деталей. Какова
вероятность того, что среди них окажется ровно m бракованных?
n
Общее количество случаев (сочетания из N деталей по n) равно C N . Мы выбираем m бракованных
деталей среди M бракованных, но и одновременно выбираем (n-m) деталей без брака среди N-M
деталей без брака. Тогда, по основному принципу комбинаторики, такому выбору благоприятствует
С m C nm
C Mm C NnmM случаев. Поэтому искомая вероятность равна Р M nN M .
CN
Геометрическая вероятность
Формула классической вероятности применяется только в схеме случаев, что встречается довольно
N
редко. Отношение P ( A) A
представляет собой «долю» благоприятных исходов среди всех
N
возможных исходов. Аналогичным образом подсчитывают вероятность события в некоторых более
сложных случаях, когда имеется бесконечное число равновозможных исходов.
Пример. Задача о встрече. Два студента договорились встретиться от 10 до 11 часов на
определенном месте, причем первый студент, пришедший на место, ждет товарища 15 минут и
уходит. Какова вероятность встречи?
Выберем начало системы координат в точке (10, 10). Отложим по осям системы координат x- время
прихода первого студента, y – время прихода второго студента.
1
1
Тогда множество x y , 0 x 1, 0 y 1 содержит точки (события)
4
2
7
3
встречи
студентов.
Его
мера
A
(площадь):
mesA
1
1
4 16 Так как mes
4
7
=1, то P ( A) .
1
1
16
4
Статистическая вероятность
Формулы классической вероятности и геометрической вероятности справедливы только для случая
равновозможных исходов. В действительности мы на практике имеем место с неравновозможными
исходами. В этих случаях можно определить вероятность случайного события, используя понятие
частоты события. Пусть надо определить вероятность того, что в испытании произойдет событие А.
Для этого в одинаковых условиях проводятся испытания, в каждом из которых возможны два
исхода: А и А . Частотой события А будем называть отношение числа NA испытаний, в которых
зафиксировано событие А к ощему числу N испытаний.
N
Определение.Статистической вероятностью события А называется P ( A) lim A
n N
Аксиоматическое определение вероятности (по А.Н.Колмогорову).
2
259
Определение.Вероятностью P(A) называется числовая функция, заданная на сигма – алгебре
событий, удовлетворяющая трем аксиомам:
1)не отрицательность P(A)0, A - сигма – алгебре событий на
2)нормировка P() = 1
3)расширенная аксиома сложения: для любых попарно несовместных событий A1, … An …
выполнено P(A1+ …+An+ …) = P(A1) + …+P(An) +… (счетная аддитивность).
Итак, по А.Н. Колмогорову вероятность (вероятностная мера) это числовая неотрицательная
нормированная счетно - аддитивная функция (множества – события), заданная на сигма – алгебре
событий.
Если состоит из конечного или счетного числа событий, то в качестве сигма – алгебры может
рассматриваться алгебра S событий. Тогда по аксиоме 3 вероятность любого события A равна сумме
вероятностей элементарных событий, составляющих A.
Определение.Вероятностным пространством называется тройка (, , P).
Свойства вероятности
P ( A) 1 P ( A) . В самом деле, A A , A, A несовместны. По аксиоме 3
P ( A A)
P( A) P( A) P() 1 .
P() = 0. Так как A A+ = A, по аксиоме 3 P(A+) = P(A) + P() = P(A) P() = 0
Если A B, то P(A) P(B). Так как B = A+ B\A, по аксиоме 3 P(B) = P(A) + P(B\A), но по аксиоме 1
P(B\A)0
Пример. Из урны с четырьмя шарами с номерами 1, 2, 3, 4 три раза наугад вынимают шар и
записывают его номер а) возвращая шары б) не возвращая шары. Какова вероятность 1) получить
комбинацию 111, 2) из номеров шаров составить возрастающую последовательность?
В случае а) имеем размещения с возвращением, N = 43,
3
1
1) NA=1, P = ,
4
3
2) NA = C 4 , так как возрастающую последовательность можно составить всегда из не
повторяющихся номеров, P =
C 43
.
43
3
В случае б) N = C 4 ,1) P = 0, так как номера шаров не повторяются, то NA =0, 2) P = 1, так как N = NA
3
= C4 .
Пример. Пять человек садятся в поезд метро, состоящий из пяти вагонов. Какова вероятность того,
что они окажутся в разных вагонах?
Общее число элементарных событий равно числу размещений с повторением из пяти элементов по
5!
пять N = 55. Число элементарных событий, составляющих А, равно 5! Поэтому P 5 .
5
Условная вероятность.
Определение. Вероятность события А при условии, что событие В наступило называют условной и
A
B
обозначать P
Определение.Если никаких дополнительных условий не накладывается, то вероятность называется
безусловной. Это – обычная, определенная выше вероятность.
Мы рассмотрели частный случай. Введем в общем случае следующее формальное определение.
В общем случае будем называть условной вероятностью события А при условии В
260
Р( А / В)
Р( АВ)
Р( В)
Раздел 13. Элементы теории вероятностей и математической статистики.
Занятие 76 (2/152)
Действия над событиями и вероятностями. Вычисление Вероятностей.
События определены как множества, поэтому действия над ними аналогичны действиям над
множествами и хорошо иллюстрируются диаграммами Венна.
Пространство будем обозначать прямоугольником, элементарное событие – точкой
прямоугольника, а каждое событие – подмножеством точек этого прямоугольника. Результат
операции над событиями будем заштриховывать.
Пусть выбираются карты из колоды карт. Событие А – выбор червонной карты, событие В – выбор
десятки
Суммой двух событий А и В называется событие
С = А + В (или С = А В), состоящее из элементарных
событий, принадлежащих либо А, либо В.
Пример.
С = А + В – выбор любой червонной карты или любой
десятки
Произведением двух событий А и В называется событие D =
AB (или D = A B), состоящее из элементарных событий,
принадлежащих и А и В.
Пример. АВ – выбор десятки червей
Разностью двух событий А и В называется событие
А\В, состоящее из элементарных событий, принадлежащих
А и не принадлежащих В.
Пример. А\В –выбор любой червонной карты, кроме
десятки
Действия над вероятностями. Вычисление вероятностей.
Формула вероятности произведения событий
Теорема умножения вероятностей Р(АВ) = Р(В)·Р(А/В) = Р(А)·Р(В/А).
Вероятность совместного наступления двух событий (вероятность произведения этих событий) равна
произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.
Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий.
n
n 1
i 1
i 1
Р( Аi ) Р( А1 ) Р( А2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 ) ... P( An / Ai )
.
Определение. Событие А будем называть независимым от события В, если P(A/B) = P(A),
т.е.
если условная вероятность равна безусловной.
Определение.Два события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет
вероятность другого. В противном случае события называются зависимыми.
Определение.События А1, А2,…, Аn называются независимыми в совокупности, если вероятность их
произведения равна произведению их вероятностей:
n
n
i 1
i 1
Р( Аi ) Р( Аi )
.
Можно показать, что из попарной независимости не вытекает независимость в совокупности.
Пример 1. Наугад вытаскивается одна карта из тщательно перетасованной колоды в 36 карт.
261
А – вытащенная карта – дама; P ( A)
4 1
.
36 9
1) Дополнительная информация: произошло событие В – вытащена карта бубновой масти, Р ( B )
1
,
4
1
P ( AB ) 36 1
1
; P ( A) Р ( A / B ) А и В – независимы.
, P( A / B)
P AB
1 9
P( B)
36
4
2) Дополнительная информация: произошло событие С – вытащена «картинка» (валеты, дамы,
4
P ( AС ) 36 1 1
4
12
; P ( A) Р ( A / C ) А и C –
короли), P C , P AC
. P( A / С )
P (С ) 12 3 9
36
36
36
зависимы.
Пример 2. На плотной бумаге написано слово «стипендия»
С Т И П Е Н Д И Я
Разрезав надпись на буквы и перемешав их, вытаскиваем наугад шесть букв.
Какова вероятность того, что из вытащенных букв в порядке вытаскивания получится слово
«пенсия»?
1 1 1 1 1 1
1
Решая
P (пенсия) P (п) P (е/ п) P (н/ пе) P (с/ пен) P (и/ пенс) P (я/ пенси)
9 8 7 6 5 4 30240
эту задачу методами комбинаторики, получим
Р2
2!
1
.
6
А9 9 8 7 6 5 4 30240
Формула вероятности суммы совместных событий
Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме
вероятностей этих событий и вероятность их произведения Р( А В) Р( А) Р( В) Р( АВ) .
P (пенсия)
Пример. По мишени один раз стреляют два стрелка. Вероятность попадания первого стрелка в
мишень р1 = 0,7, второго – р2 = 0,8. Какова вероятность того, что кто-нибудь из них попадет в
мишень?
А = А1 + А2, А попадание в мишень; А1 – попал первый стрелок; А2 – попал второй стрелок.
Р(А)=Р(А1 + А2)=Р(А1)+ Р(А2) –Р(А1А2)=Р(А1)+Р(А2) – Р(А1 )Р(А2)= 0.7+ 0,8–0,7·0,8 = 0,94.
Вероятность суммы трех совместных событий.
P A B C P A B PC P( A B)C P A PB P AB PC P AC
PBC P ABC , так как ACBC ABC
Обобщая полученный результат на сумму n совместных событий, получим формулу
n
n
i 1
i 1
Р( Аi ) P( Ai ) P( Ai A j )
i j
n
P( Ai A j Ak ) (1) n1 P( Ai )
i j k
i 1
Формула полной вероятности
Пусть требуется определить вероятность события А, которое может произойти в сочетании с одним
n
из событий Н1, Н2,…, Н n, образующих полную группу несовместных событий ( H i , H i H j
i 1
n
Ø,
i j ). Эти события будем называть гипотезами.
Р ( А) P ( H i ) P ( A / H i ) i 1
полная вероятность
Пример. Из n экзаменационных билетов студент знает m («хорошие билеты»). Что лучше: брать на
экзамене билет первым или вторым?
262
Решение. Введем событие А – студент взял «хороший» билет.
m
Студент берет билет первым. В этом случае Р ( А) .
n
Студент берет билет вторым. Введем две гипотезы:
Н1 – первый студент взял «хороший» билет, Н2 = Н1 .
m m 1
m
m
m
Р ( А) Р ( Н 1 ) Р ( А / H 1 ) P ( H 2 ) P ( A / H 2 )
(1 )
.
n n 1
n n 1 n
Вывод: безразлично, брать билет первым или вторым.
Формула Байеса (теорема гипотез)
n
Р( А / Hi )
P( Hi )P( A / H i )
P ( H i / A) P ( H i )
n
, где Р ( А) P ( H i ) P ( A / H i )
P ( A)
i 1
P( Hi )P( A / H i )
i 1
Это следствие из теоремы умножения и формулы полной вероятности называется формулой Байеса
или теоремой гипотез.
Вероятности гипотез Р(Нi), входящие в формулу полной вероятности, называют априорными, т.е.
«до опытными». Пусть опыт произведен и его результат известен, т.е. мы знаем, произошло или не
произошло событие А. Получившийся результат мог произойти при осуществлении какой-то одной
гипотезы Нi. Дополнительная информация об исходе опыта перераспределяет вероятности гипотез.
Эти перераспределенные вероятности гипотез Р(Нi/A) называют апостериорными , т.е. «после
опытными».
Пример. В одной из корзин 1 камешек и 4 кусочка хлеба, во второй – 4 камешка и 1 кусочек хлеба.
Мышка наугад выбирает корзину, бежит к ней и вытаскивает кусочек хлеба - событие А
(предполагается, что он затем вновь возвращается в корзину). Какова вероятность события А?
Каковы вероятности того, что второй раз мышка побежит к первой корзине, ко второй корзине?
Какова вероятность того, что она второй раз вытащит кусочек хлеба?
Рассмотрим гипотезы
Н1 – мышка бежит к первой корзине,
Н2 – мышка бежит ко второй корзине.
Р(Н1) =1/2 = Р(Н2) (априорные вероятности)
Р( А / H1 ) 4 / 5 P( A / H 2 ) 1/ 5 . P A 4 / 5 1/ 2 1/ 5 1/ 2 1/ 2
Р(Н1/A)
P ( H1 ) P ( A / H1 )
2
P( H )P( A / H )
i 1
Р(Н2/A)
i
P( H2 )P( A / H2 )
P( H )P( A / H )
i
1/ 2 4 / 5
4/5
1/ 2
1 / 21 / 5
1/ 5
1/ 2
i
2
i 1
(апостериорные вероятности).
i
При втором подходе P A 4 / 5 4 / 5 1 / 51 / 5 16 / 25 1 / 2
Мышка обучилась, второй раз она выберет первую корзину с большей вероятностью и добьется
большего успеха.
Заметим, что это – один из основных принципов обучения кибернетических систем.
*Дополнительно.
Повторные испытания.
Пусть производится n опытов (испытаний), в каждом из которых может наступить один из N
исходов. Если результаты одного испытания не зависят от результатов других испытаний, то такие
испытания называются независимыми.
Например, стрелок делает n выстрелов в мишень, в которой N колец: десятка, девятка и т.д.
Возможны две ситуации: условия проведения испытаний не меняются (ситуация А) или
меняются от испытания к испытанию (ситуация В).
Рассмотрим ситуацию А.
263
Пусть число исходов равно двум (N = 2). Схема независимых испытаний с двумя исходами
называется схемой Бернулли.
Два исхода соответствуют в приведенном примере попаданию (успеху) или не попаданию в
мишень, причем в каждом выстреле вероятность попадания равна p, а вероятность промаха равна q
= 1 – p. Обозначим вероятность попасть m раз из n выстрелов P(m,n). P(0, n) q , так как в каждом
n
опыте стрелок промахивается. Вероятность попасть один раз равна P1, n npq
n 1
, так как стрелок
может попасть при первом, втором, … n ом выстреле. P2, n C p q ,так как два попадания
(порядок не важен) должны быть размещены (выборки без возвращения) среди n выстрелов.
Аналогично
Pm, n Pn m C nm p m q n m - формула Бернулли.
2
n
2
n2
m m nm
Само распределение Pn m C n p q
называют биномиальным.
Из формулы Бернулли вытекают два следствия:
1) Вероятность появления успеха в n испытаниях не более m1 раз и не менее m2 раз равна
Pm1 m m2
2) Вероятность
m2
C
m m1
хотя
m
n
p m q nm ,
бы
одного
успеха
в
n
испытаниях
равна
m1 1, m2 n
n
Pm 1 C nm p m q n m 1 C n0 p 0 q n 1 q n .
m 1
Pm1 .....m N , n
n!
p m1 p m2 ...p mN . Это – полиномиальное распределение.
m1!m2 !...m N !
Примеры.
1) Какова вероятность с пяти раз вытащить из колоды в 36 карт а)три туза, б)не менее одного туза?
3
2
5
8
3 1 8
а) P3,5 C 5 , б) R1,5 1 P0,5 1 .
9 9
9
2) Мишень для опытного стрелка содержит три круговых кольца: 10, 9, пусто. Вероятность попасть
при одном выстреле в десятку – 0,2, в девятку – 0,7, в «пусто» – 0,1. Какова вероятность в серии
из 10 выстрелов попасть в «пусто» два раза, в девятку 4 раза, в десятку 4 раза?
P2,4,4, 10
10!
0,12 0,7 4 0,24
2! 4! 4!
3) Производится три выстрела в мишень. При первом выстреле вероятность попасть в мишень равна
0,5, не попасть 0.5. При втором выстреле – соответственно 0,4 и 0.6, при третьем выстреле 0,3 и
0,7. Какова вероятность два раза попасть в мишень?
z 0,5 0,5z 0,6 0,4 z 0,7 0,3z 0,21 0,44 z 0,29 z 2 0,06 z 3 .
Вероятность не попасть ни разу 0,21, один раз – 0,44, два раза – 0,29, три раза – 0,06.
Распределения, связанные с повторными испытаниями.
Геометрическое распределение.
Рассмотрим схему Бернулли. Обозначим Х – число испытаний до первого успеха, если
вероятность успеха в одном испытании р., если Х = n , то все испытания до n-ого неудачны и
P X n q n p . Составим ряд распределения случайной величины Х
n
0
1
2
…
…
X
2
n
p
p
qp
…
q p
q p …
Случайная величина с таким рядом распределения имеет геометрическое распределение.
Проверим условие нормировки p qp q 2 p ... q n p ... p1 q q 2 ...
Гипергеометрическое распределение.
264
p
p
1.
1 q p
Pm1 , m2 ,...mN ,n
C nm11 C nm22 ...C nmNN
.
C nm
В частности, при N=2 (m2=m-m1, n2=n-n1) (задача о бракованных деталях)
C m1 C mm1
Pm1 , n m mn m
Cn
Формула Пуассона и распределение Пуассона.
Пусть число испытаний n велико, вероятность p мала и np мало. Тогда вероятность
наступления m успехов в n испытаниях можно приближенно определить по формуле Пуассона:
m
Pm, n
e .
m!
Заметим, что по формуле Пуассона можно считать вероятность неуспеха, если q мало, приняв
nq.
m
Случайная величина с рядом распределения m,
имеет распределение Пуассона.
Pm, n
m!
e
Чем больше n, тем формула Пуассона точнее. Для грубых расчетов формулу применяют при n =10,
0 – 2, при n = 100 0 – 3. При инженерных расчетах формулу применяют при n = 20, 0 – 3,
n =100, 0 – 7. При точных расчетах формулу применяют при n = 100, 0 – 7, n =1000, 0 –
15.
Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей
распределение Пуассона.
m
m1
k
e e
e e e ,
m!
m 0
m1 m 1!
k 0 k!
m
m 2
M X X 1 mm 1 e 2
e 2
m!
m 0
m 2 m 2!
2
2
M X X 1 M X M X , M X 2 2 ,
M X m
D X M X 2 M X 2 2
265
2
Раздел 13. Элементы теории вероятностей и математической статистики.
Занятие 77 (2/154)
Решение задач на события, вероятность, вероятность событий и действий над ними.
Задача 1. В коробке находится 30 пронумерованных шаров. Установить, какие из следующих
событий являются невозможными, достоверными, противоположными:
достали пронумерованный шар (А);
достали шар с четным номером (В);
достали шар с нечетным номером (С);
достали шар без номера (Д).
Какие из них образуют полную группу?
Решение. А - достоверное событие; Д - невозможное событие;
В и С - противоположные события.
Полную группу событий составляют А и Д, В и С.
Задача 2. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему
равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
Решение. Общее число различных исходов есть n=1000. Число исходов, благоприятствующих
получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле, получим
.
Ответ: 0,2
Задача 3. В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти
вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными.
Решение. Число всех равновозможных независимых исходов n равно числу сочетаний из 18 по 5 т.е.
Подсчитаем число m, благоприятствующих событию А. Среди 5 взятых наугад деталей должно быть
3 качественных и 2 бракованных. Число способов выборки двух бракованных деталей из 4
имеющихся бракованных равно числу сочетаний из 4 по 2:
.
Число способов выборки трех качественных деталей из 14 имеющихся качественных равно
.
Любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой бракованных деталей,
поэтому общее число комбинаций m составляет
.
Искомая вероятность события А равна отношению числа исходов m, благоприятствующих этому
событию, к числу n всех равновозможных независимых исходов:
.
Ответ:≈0,255
Задача 4. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20000
руб., на 10 - по 15000 руб, на 15 - по 10000 руб., на 25 - по 2000 руб. и на остальные ничего. Найти
вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10000 руб.
Решение. Пусть А, В, и С- события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш,
равный соответственно 20000, 15000 и 10000 руб. так как события А, В и С несовместны, то
.
Ответ:0,3.
266
Задача 5. На заочное отделение техникума поступают контрольные работы по математике из
городов А, В и С. Вероятность поступления контрольной работы из города А равна 0,6, из города В 0,1. Найти вероятность того, что очередная контрольная работа поступит из города С.
Решение. События "контрольная работа поступила из города А", "контрольная работа поступила из
города В" и "контрольная работа поступила из города С" образуют полную систему, поэтому сумма
их вероятностей равна единице:
, т.е.
.
Ответ:0,3.
Задача 6. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20000
руб., на 10 - по 15000 руб, на 15 - по 10000 руб., на 25 - по 2000 руб. и на остальные ничего. Найти
вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10000 руб.
Решение. Пусть А, В, и С- события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш,
равный соответственно 20000, 15000 и 10000 руб. так как события А, В и С несовместны, то
.
Ответ:0,3
Задача 7. На заочное отделение техникума поступают контрольные работы по математике из
городов А, В и С. Вероятность поступления контрольной работы из города А равна 0,6, из города В 0,1. Найти вероятность того, что очередная контрольная работа поступит из города С.
Решение. События "контрольная работа поступила из города А", "контрольная работа поступила из
города В" и "контрольная работа поступила из города С" образуют полную систему, поэтому сумма
их вероятностей равна единице:
, т.е.
.
Ответ:0,3
Задача 8. Вероятность того, что день будет ясным,
Найти
вероятность того, что
день будет облачным.
Решение. События "день ясный" и "день облачный" противоположные, поэтому
, т.е
.
Ответ: 0,15.
Задача 9. Вычислить вероятность того, что в семье, где есть один ребенок- мальчик, родится второй
мальчик.
Решение. Пусть событие А состоит в том, что в семье два мальчика, а событие В - что один мальчик.
Рассмотрим все возможные исходы: мальчик и мальчик; мальчик и девочка; девочка и мальчик;
девочка и девочка.
Тогда
и по формуле находим
,
.
Ответ: 0,3.
Задача 10. В первой урне находится 6 черных и 4 белых шара, во второй- 5 черных и 7 белых шаров.
Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся
белыми.
Решение. Пусть
- из первой урны извлечен белый шар;
Очевидно, что события
Так как
и
.
267
независимы.
, то по формуле
,
- из второй урны извлечен белый шар.
находим
7
.
30
Задача 11. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из
строя первого элемента равна 0,2; вероятность выхода из строя второго элемента равна 0,3. Найти
вероятность того, что: а) оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента будут работать.
Решение. Пусть событие А- выход из строя первого элемента, событие В- выход их строя второго
элемента. Эти события независимы (по условию).
а) Одновременное появление А и В есть событие АВ. Следовательно,
Ответ:
.
б) Если работает первый элемент, то имеет место событие
(противоположное событию А- выходу
этого элемента из строя); если работает второй элемент- событие В. Найдем вероятности событий
и :
;
.
Тогда событие, состоящее в том, что будут работать оба элемента, есть
.
Ответ:0,56.
268
и, значит,
Раздел 13. Элементы теории вероятностей и математической статистики.
Занятие 78 (2/156)
Дискретная случайная величина.
Определение:Случайная величина – это величина (число), которая в результате опыта может
принимать то или иное значение.
Более строго, случайная величина – это числовая функция случайного события. X X ,
Определение.Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или
счетно. Например, число очков на грани брошенной кости, число бросков монеты до появления
герба – дискретные случайные величины.
Определение.Случайная величина называется непрерывной, если ее значения заполняют некоторый
интервал, возможно, бесконечный. Например, расстояние от центра мишени при стрельбе, время до
отказа прибора, ошибка измерения – непрерывные случайные величины.
x1 ,...xn . Имеем полную
X x1 ,...,X xn . Вероятности этих
группу (иначе, не все значения учтены) несовместных событий
p ,... pn p1 ... pn 1 . Будем говорить, что дискретная случайная
событий равны соответственно 1
Рассмотрим дискретную случайную величину, принимающую значения
x ,...xn с вероятностями p1 ,... pn .
величина X принимает значения 1
Законом распределения дискретной
случайной
величины называется любое соотношение,
p ,... p
x ,...x
1
n , с которыми
n и вероятностями
устанавливающее зависимость между ее значениями 1
эти значения достигаются.
Основные формы закона распределения дискретной случайной величины:
1)ряд распределения – таблица
xi
x1
pi
p1
…..
xn
…..
pn
2)многоугольник распределения
p3
p2
p1
pn
x1 x2
x3 …xn
Функция распределения дискретной случайной величины. Ее график будет графиком
ступенчатой функции со скачками в pi в точках xi , непрерывной слева в этих точках.
F(x)
1
p3
p2
p1
x
x1
x2
x3
xn
Функцией распределения непрерывной случайной величины F x называется вероятность
события X x . F x = P X x .
269
Свойства функции распределения.
1)
0 F x 1 по аксиомам вероятности,
2)
F x1 F x2 , если x1 x2 , т.е. функция распределения – неубывающая функция. В
самом деле, X x1 X x2 , следовательно, F x1 P X x1 P X x2 F x2 .
lim x F x 0, lim x F x 1 В самом деле, событие X - невозможное, и его
3)
вероятность нулевая. Событие X - достоверное, и его вероятность равна 1.
4)
Pa X b F b F a . Так как события A X a и B a X b несовместны и
событие
есть
сумма
этих
событий,
то
C X b
F b P X b PC P A PB F a Pa X b .
График функции распределения имеет, примерно, следующий вид
F(x)
1
x
Функцию распределения можно определить и для дискретной случайной величины. Ее график будет
графиком ступенчатой функции со скачками в pi в точках xi , непрерывной слева в этих точках.
F(x)
1
p3
p2
p1
x
x1
270
x2
x3
xn
Раздел 13. Элементы теории вероятностей и математической статистики.
Занятие 79 (2/158)
Числовые характеристики случайных величин.
Начальный момент s-го порядка
n
s
Для дискретных случайных величин αs xi pi .
i 1
Математическим ожиданием случайной величины называется ее первый начальный момент mx =
M(x) = 1 ( x) .
Для дискретных случайных величин mx x1 p1 ... xn pn . Если на числовой оси расположить точки
x1 ,...xn с массами p1 ,... pn , то m x - абсцисса центра тяжести системы точек.
Свойства математического ожидания.
1)
M (C ) = C.
2)
M(CX) = С M(X). В самом деле, константу можно вынести из суммы в дискретном случае и
из под интеграла в непрерывном случае.
3)
M(X+Y) = M(X) + M(Y). (без доказательства).
4)
M(|X|) = |M(X)| (без доказательства).
Математическое ожидание функции случайной величины вычисляют по формулам
n
M f X f xi pi для дискретной случайной величины,
i 1
0
Центрированной случайной величиной называется x x m x x M X .
Центральный момент s-го порядка
n
0
s
Для дискретной случайной величины s ( x) i pi .
i 1
Дисперсией
называется
второй
центральный
момент
случайной
величины.
0
D x D( X ) M (( x) 2 ) M (( x m x ) 2 )
2
2
2
2
2
По свойствам математического ожидания получим D x M ( X ) 2(m x ) (m x ) M ( X ) (m x ) .
Эта формула часто применяется. Дисперсия – это характеристика рассеяния, она характеризует
концентрацию кривой распределения (графика плотности распределения) около математического
ожидания. Если на числовой оси расположить точки xi с массами pi, то дисперсия – это момент
инерции системы материальных точек относительно центра тяжести mx.
n
2
Для дискретных случайных величин D x ( xi m x ) pi .
i 1
Свойства дисперсии.
Dx 0 (под интегралом стоит квадрат функции).
1)
2)
DC 0 ( mC C ) .
3)
DCx C 2 D x (выведите сами, вынося C 2 из под суммы или из под интеграла).
Средним квадратическим отклонением называется ( x) Dx .
Кроме этих основных числовых характеристик используются коэффициент асимметрии s k
эксцесс
–
мера островершинности
0
распределения
Ex
4
3,
4
среднее
3
,
3
арифметическое
отклонение M (| x |) , мода – наиболее вероятное значение для дискретных величин или значение,
где плотность максимальна для непрерывных величин, медиана Me – абсцисса точки, в которой
271
площадь, ограниченная кривой плотности распределения, делится пополам (точка, в которой F(x) =
½).
Пример. Стрелок делает один выстрел и с вероятностью p попадает в мишень. Пусть X – количество
попаданий в мишень. Это – дискретная случайная величина, принимающая два значения х1 = 0 и х2
= 1 с вероятностями q = 1-p, p соответственно. Построим ряд распределения Х
xi
0
1
pi
Q
p
0, x 0
Функция распределения равна F x q, 0 x 1 ,
1 1 x
Математическое ожидание равно M(X) = mx = 0 q + 1 p = p.
Если составить ряд распределения для случайной величины X2, то мы получим ту же таблицу (так
как 02 = 0 и 12 =1). Поэтому M(X2) = p, а дисперсию можно вычислить по формуле D(X) = M(X2) –
(mx)2 = p – p2 = p(1-p) = pq.
Распределение называется равномерным на отрезке [a,b], если плотность случайной величины X
постоянна на отрезке [a,b] p(x) = p и равна нулю вне этого отрезка.
Из условия нормировки для плотности вероятности следует
b
1
- плотность равномерного распределения.
1 pdx p(b a) . Отсюда следует, что p
ba
a
Функция распределения величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b], равна
0, x a
x
x a
F ( x) p ( x)dx
a x b . Вычислим математическое ожидание и дисперсию величины,
b
a
1 x b
распределенной равномерно на отрезке [a,b].
b
x
1 x2 b b2 a2
ab
,
dx
ba
b a 2 a 2(b a)
2
a
mx
2
2
b
2
a b
b 3 a 3 a b b 2 a 2 a b b a
ab
dx p(
Dx x
)=
p dx p x a b x
2
4
3
2
4
a
a
a 2 ab b 2 a 2 2ab b 2 a 2 2ab b 2
3
2
4
b
1
4a 2 4ab 4b 2 6a 2 12ab 6b 2 3a 2 6ab 3b 2
12
b a 2
1 2
b 2ab a 2
=
12
12
272
Раздел 13. Элементы теории вероятностей и математической статистики.
Занятие 80 (2/160)
Повторение пройденного материала и решение задач.
Тест №1
«Элементы комбинаторики»
1.
Перестановки вычисляются по формуле
А) Pn n !
n!
(n m)!m!
n!
B) Anm
(n m)!
Б) Cnm
m
n
2.
Порядок не важен при использовании
А) размещений
Б) перестановок
В) сочетаний
Г) перестановок и размещений
15!
3.
Вычислить
12!
А) 12 13 14 15=32760
Б) 13 14 15=2730
В) 12 13 14=2184
Г) 14 15=210
4.
Сочетание из n элементов по m-это
А) число подмножеств, содержащих m элементов
Б) количество изменений места элементом данного множества
В) количество способов выбора m элементов из n c учетом порядка
Г) количество способов выбора m элементов из n без учета порядка
5.
Сколько существует способов, чтобы рассадить квартет из одноименной басни И.А.Крылова?
А) 24
Б) 4
В) 8
Г) 6
6.
Сколькими способами можно выбрать в группе из 30 человек одного старосту и одного физорга?
А) 30
Б) 870
В) 435
Г) 30!
2
С30
7.
Вычислить 6 Р3
А10
29
А)
1680
87
Б)
7
29
В)
112
29
Г)
7
Г) P(A)=
273
Сократить дробь
8.
А)
т!
(m 2)!
1
(m 2)( m 1)
Б) (m-2)(m-1)m
B) (m-1)m
Г) (m-2)(m-1)
9.
Сколькими способами можно в группе из 30 человек послать 5 человек участвовать в
колледжном пробеге?
А) 17100720
Б) 142506
В) 120
Г) 30!
10.
Восемь студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?
А) 40320
Б) 28
В) 16
Г) 64
11.
Сколькими способами можно выбрать 3 книги из 9 предложенных?
3
А) С9
Б) А9
В) Р9
Г) 3Р9
12.
В вазе 5 красных и 3 белых розы. Сколькими способами можно взять 4 цветка?
4
3
А) С8 С8
3
4
Б) А8
3
4
В) А4 А5
Г) С8
13.
В вазе 8 красных и 3 белых розы. Сколькими способами можно взять 2 красных и 1белую розы?
3
А) С11
4
Б) А11
3
2
1
В) С8 С3
2
1
Г) А8 А3
14.
Решить уравнение
(n 2)!
110
n!
А) 110
Б) 108
В) -12
Г) 9
15.
В почтовом ящике 38 отделений. Сколькими способами можно положить в ящик 35 одинаковых
открыток так, чтобы в каждом ящике было не более одной открытки?
35
А) А38
Б) 35!
35
В) С38
Г) 38!
16.
Сколько различных перестановок можно образовать из слова «слон»?
А) 6
Б) 4
274
В) 24
Г) 8
17.
Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?
А) 10!
Б) 90
В) 45
Г) 100
18.
Сколько различных двузначных чисел можно образовать из цифр 1,2,3,4?
А) 16
Б) 24
В) 12
Г) 6
19.
На 5 сотрудников выделены 3 путевки. Сколькими способами их можно распределить, если все
путевки различны?
А) 10
Б) 60
В) 125
Г) 243
Решить неравенство (n 1)! 20
20.
(n 3)!
А) (6;+ )
Б) (- ;6)
В) (0; + )
Г) (0;6)
21.
Записать формулой фразу «число сочетаний из n элементов по 4 относится к числу сочетаний из
5
n+2 элементов по 5 как »
8
4
C
5
А) 5n
Cn 2 8
Б)
C4n
5
n2
C5
8
В) Cn4 C5n 2
5
8
Cn4 2 5
Г)
Cn5
8
22.
Найти n, если Аn 2 20
А) 4
Б) 3
В) 2
Г) 5
23.
Записать формулой фразу «число сочетаний из n элементов по 3 в 5 раз меньше числа сочетаний
из n+2 элементов по 4 »
C4
1
А) n 3 2
Cn
5
2
Б)
Cn4 2
5
Cn3
C4n 2
5
В)
Cn3
275
Cn4 2
5
C3n
24.
Сколькими способами можно рассадить 28 студентов в лекционном зале?
А) 2880
Б) 5600
В) 28!
Г) 7200
25.
Сколькими способами из 25 рабочих можно составить бригады по 5 человек в каждой?
А) 25!
5
Б) А25
Г)
В) С25
Г) 125
26.
В группе 26 студентов. Сколькими способами можно выделить 2 человека для дежурства так,
чтобы один из них был старшим?
2
А) А26
5
Б) С26
В) 24!
Г) 52
3
27.
Решить уравнение А7 42 x
А) 6
Б) 5
35
В)
42
Г) 15
28.
Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5 без повторений?
А) 24
Б) 6
В) 120
Г) 115
29.
Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5 так, чтобы 3 и 4 были рядом?
А) 120
Б) 6
В) 117
Г) 48
30.
Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента общества, вице-президента,
ученого секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член
общества должен занимать только один пост?
А) 303600
Б) 25!
В) 506
Г) 6375600
( n 3)!
31.
Сократить дробь
n!
А) (n-4)(n-5)
Б) (n-2)(n-1)n
2
1
(n 2)( n 1)n
1
Г)
(n 2)( n 1)
В)
276
32.
Решить уравнение
x
1
3
Ax 12
А) -2
Б) -3
В) 2
Г) 5
33.
Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли
бить друг друга?
А) 70
Б) 1680
В) 64
Г)40320
34.
А)
Сократить дробь 2m(2m 1)
(2m)!
1
(2m 2)!
Б) (2m-1)
В) 2m
Г) (2m-2)!
35.
Сократить дробь n(n 1)( n 2)( n 3)( n 4)
(n 3)!
А) (n-5)!
Б) (n 3)(n 4)
(n 1)!
n(n 1)( n 2)
В)
(n 5)!
Г) n(n-1)(n-2)
36.
Решить уравнение Аm3 1 5m(m 1)
А) 6
Б) 4
В) 5
Г) 3
Аx4 Ax2
13
37.
Решить уравнение
Ax2
А) -1
Б) 6
В) 27
Г)-22
38.
Решить уравнение А23x 14 Ax3
А) 1
Б) 0
В) 3
Г) 4
A5 A4
39.
Вычислить 6 3 6
A6
А) 9
Б) 0.5
В) 1.5
Г) 0.3
40.
Сочетание вычисляется по формуле
277
А) Pn n !
n!
(n m)!m!
m
B) P(A)=
n
n!
Г) Anm
(n m)!
41.
Размещения вычисляются по формуле
m
А) P(A)=
n
n!
Б) Cnm
(n m)!m!
n!
B) Anm
(n m)!
Г) Pn n !
42.
Перестановки из n элементов –это
А) выбор элементов из множества «n»
Б) количество элементов в множестве «n»
В) подмножество множества из n элементов
Г) установленный порядок во множестве «n»
43.
Размещения применяются в задаче, если
А) происходит выбор элементов из множества с учетом порядка
Б) происходит выбор элементов из множества без учета порядка
В) необходимо осуществлять перестановку во множестве
Г) если все отобранные элементы одинаковы
44.
В урне 6 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно вынуть из нее 2 белых и 3
черных шара?
А) А53 А62
Б) Cnm
Б) А115
В) С53 С62
Г) С115
45.
Среди 100 лотерейных билетов 45 выигрышных. Сколькими способами можно из трех
купленных билетов получить выигрыш на одном?
3
А) 45 С100
1
2
С55
Б) С45
3
В) А45
1
А552
Г) А45
Ответы к тесту №1
1
А
16
278
2
В
17
3
Б
18
4
Г
19
5
А
20
6
Б
21
7
А
22
8
В
23
9
Б
24
10
Б
25
11
А
26
12
Г
27
13
В
28
14
Г
29
15
В
30
В
31
В
1
А
16
А
31
Б
279
В
32
Г
2
Б
17
Б
32
В
А
33
Г
3
Б
18
Г
33
А
Б
34
А
4
А
19
Б
34
В
Г
35
В
5
В
20
В
35
Г
А
36
А
6
Г
21
Б
36
Б
Б
37
Б
7
В
22
А
37
А
Б
38
Г
В
39
А
В
40
Б
Ответы к тесту №2
8
9
10
В
А
Б
23
24
25
А
Б
Г
38
39
40
В
Г
Б
А
41
В
Б
42
Г
В
43
А
Г
44
В
А
45
Б
11
Г
26
Б
41
В
12
В
27
В
42
А
13
А
28
А
43
Б
14
Б
29
В
44
Г
15
Г
30
Г
45
В
Раздел 13. Элементы теории вероятностей и математической статистики.
Занятие 81 (2/162)
Проверочная работа по теме «Элементы теории вероятностей и математической
статистики»
ВАРИАНТ 1
1.
В ящике лежат 20 шариков, 12 из которых черные. Какова вероятность вытащить наугад:
а) черный шарик? б) три черных шарика за один раз?
2.
Дана выборка результатов внешнего оценивания по математике нескольких человек (в
баллах):167, 197, 167,145, 145, 180, 150, 195, 167,137. Найдите:
а) объем выборки;
б) размах выборки;
в) моду, медиану, среднее значение выборки;
г) дисперсию выборки;
д) среднее квадратичное выборки;
е) постройте полигон частот.
3.
В коробке лежаткарточки, на которых записаны буквы слова ОСНОВАТЕЛЬНОСТЬ.
Какова вероятность того, что на наугад взятой карточке будет записана буква: а) О; б) согласная
буква?
ВАРИАНТ 2
1.
В вазе лежат 15 конфет, пять из которых шоколадные. Какова вероятность вытащить
наугад: а) шоколадную конфету? б) три шоколадные конфеты за один раз?
2.
Дана выборка количества новорожденных в городе А на протяжении нескольких дней: 56,
45, 51, 46, 48, 50, 46, 48, 49, 51. Найдите:
а) объем выборки;
б) размах выборки;
в) моду, медиану, среднее значение выборки;
г) дисперсию выборки;
д) среднее квадратичное выборки;
е) постройте гистограмму частот.
В коробке лежат 30 карточек, на которых записаны числа от 1 до 30. Какова вероятность того, что
на наугад взятой карточке будет записано число, которое: а) кратно 7; б) не кратно ни числу 2, ни
числу 3, ни числу 5?
280
Раздел 13. Элементы теории вероятностей и математической статистики.
Занятие 82 (2/164)
Итоговое занятие
1.
Случайным событием называется
А) такой исход эксперимента, при котором ожидаемый результат может произойти, а может не
произойти
Б) такой исход эксперимента, который уже известен заранее
В) такой исход эксперимента, который нельзя определить заранее
Г) такой исход эксперимента, который при сохранении условий эксперимента постоянно
повторяется
2.
Союз «и» означает
А) сложение вероятностей событий
Б) умножение вероятностей событий
В) разность вероятностей событий
Г) деление вероятностей событий
3.
Союз «или» означает
А) деление вероятностей событий
Б) сложение вероятностей событий
В) разность вероятностей событий
Г) умножение вероятностей событий
4.
События, при которых наступление одного из них исключает наступление другого,
называются
А) несовместными
Б) независимыми
В) зависимыми
Г) совместными
5.
Полную группу событий образует
А) совокупность независимых событий, если в результате единичных испытаний произойдет
обязательно одно из этих событий
Б) совокупность независимых событий, если в результате единичных испытаний произойдут
обязательно все эти события
В) совокупность несовместных событий, если в результате единичных испытаний произойдет
обязательно одно из этих событий
Г) совокупность несовместных событий, если в результате единичных испытаний произойдут
обязательно все эти события
6.
Противоположными называются
А) два независимых, образующих полную группу, событий
Б) два независимых события
В) два несовместных события
Г) два несовместных, образующих полную группу, событий
7.
Независимыми называются два события
А) которые в результате испытания обязательно произойдут
Б) которые в результате испытания никогда не происходят вместе
В) в которых исход одного из них не зависит от исхода другого события
Г) в которых исход одного из них полностью зависит от исхода другого события
8.
Событие, которое в результате испытания обязательно произойдет
А) невозможное
Б) точное
В) достоверное
Г) случайное
9.
Событие, которое в результате испытания никогда не произойдет
А) невозможное
281
Б) точное
В) достоверное
Г) случайное
10.
Наибольшее значение вероятности равно
А) 100%
Б) 1
В) бесконечность
Г) 0
11.
Сумма вероятностей противоположных событий равна
А) 0
Б) 100%
В) -1
Г) 1
12.
Фраза «хотя бы один» означает
А) только один элемент
Б) ни одного элемента
В) один, два, три, четыре и так далее до общего числа заданных элементов
Г) один, два и не больше элементов
13.
Классическое определение вероятности
А) вероятностью события называется отношение числа исходов, благоприятствующих
наступлению события, к числу всех несовместных, единственно возможных и равновозможных
исходов, образующих полную группу событий.
Б) Вероятность есть мера возможности наступления события в том или ином испытании
В) Вероятностью называется отношение числа испытаний, при которых событие произошло, к
числу всех испытаний, при проведении которых событие могло произойти или не произойти.
Г) Каждому случайному событию А из поля событий ставится в соответствие неотрицательное
число Р(А), называемое вероятностью.
14.
Вероятность есть мера возможности наступления события в том или ином испытании
Это определение вероятности
А) классическое
Б) геометрическое
В) аксиоматическое
Г) статистическое
15.
Вероятностью называется отношение числа испытаний, при которых событие
произошло, к числу всех испытаний, при проведении которых событие могло произойти или не
произойти. Это определение вероятности
А) классическое
Б) геометрическое
В) аксиоматическое
Г) статистическое
16.
Условная вероятность вычисляется по формуле
Р ( АВ)
А) Р(А/В)=
Р( В)
Б) Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
В) Р(АВ)=Р(А)Р(В)
Г) Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
17.
Эта формула Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)применяется для двух
А) несовместных событий
Б) совместных событий
В) зависимых событий
Г) независимых событий
282
18.
Для каких двух событий применяется понятие условной вероятности
А) невозможных
Б) достоверных
В) совместных
Г) зависимых
19.
Формула полной вероятности
P( A / H I ) P( H I )
А) Р(HI/A)=
P( A / H1 ) P( H1 ) P( A / H 2 ) P( H 2 ) ... P( A / H n ) P( H n )
Б) Р(А)=Р(А/H1)P(H1)+ Р(А/H2)P(H2)+…+ Р(А/Hn)P(Hn)
В) Pn(m)= Сnm p m q n m
m
Г) Р(А)=
n
20.
Pn(m)= Сnm p m q n m
А) формула полной вероятности
Б) теорема Байеса
В) схема Бернулли
Г) классическое определение вероятности
P( A / H I ) P( H I )
21.
Р(HI/A)=
P( A / H1 ) P( H1 ) P( A / H 2 ) P( H 2 ) ... P( A / H n ) P( H n )
А) формула полной вероятности
Б) теорема Байеса
В) схема Бернулли
Г) классическое определение вероятности
22.
Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков
равна 6
5
А) Р(А)=
36
5
Б) Р(А)=
6
1
В) Р(А)=
36
1
Г) Р(А)=
6
23.
Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков
11, а разность 5
А) Р(А)=0
Б) Р(А)=2/36
В) Р(А)= 1
Г) Р(А)=1/6
24.
Прибор, работающий в течение суток, состоит из трех узлов, каждый из которых
независимо от других, может за это время выйти из строя. Неисправность любого из узлов
выводит из строя весь прибор. Вероятность исправной работы в течение суток первого узла
равна 0,9, второго-0,85, третьего-0,95. С какой вероятностью прибор будет работать в течение
суток безотказно?
А) Р(А)=0,1·0,15·0,05=0,00075
Б) Р(А)=0,9·0,85·0,95=0,727
В) Р(А)=0,1+0,85·0,95=0,91
Г) Р(А)=0,1·0,15·0,95=0,014
283
25.
Задумано двузначное число, цифры которого различны. Найти вероятность того, что
окажется равным задуманному числу случайно названное двузначное число?
А) Р(А)=0,1
Б) Р(А)=2/90
В) Р(А)= 1/100
Г) Р(А)=0,9
26.
Двое стреляют по мишени с одинаковой вероятностью попадания равной 0,8. Какова
вероятность поражения мишени?
А) Р(А)=0,8·0,8=0,64
Б) Р(А)=1-0,2·0,2=0,96
В) Р(А)=0,8·0,2+0,2·0,2=0,2
Г) Р(А)=1-0,8=0,2
27.
Два ученика ищут нужную им книгу. Вероятность того, что книгу найдет первый
ученик, равна 0,6, а второй 0,7. Какова вероятность того, что только один из учеников найдет
нужную книгу?
А) Р(А)=1-0,6·0,7=0,58
Б) Р(А)=1-0,4·0,3=0,88
В) Р(А)=0,6·0,3+0,7·0,4=0,46
Г) Р(А)=0,6·0,7+0,3·0,4=0,54
28.
Из колоды в 32 карты взяты наудачу одна за другой две карты. Найти вероятность
того, что взяты два короля?
А) Р(А)=0,012
Б) Р(А)= 0,125
В) Р(А)=0,0625
Г) Р(А)=0,031
29.
Три стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в
цель для первого стрелка равна 0,75, для второго 0,8, для третьего 0,9. Найти вероятность того,
что в цель попадет хотя бы один стрелок?
А) Р(А)= 0,25·0,2·0,1=0,005
Б) Р(А)=0,75·0,8·0,9=0.54
В) Р(А)=1-0,25·0,2·0,1=0,995
Г) Р(А)=1-0,75·0,8·0,9=0,46
30.
В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами от №1 до №10. Наудачу
берут 6 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей будет деталь №5?
А) Р(А)= 5/10=0,2
С1
1
Б) Р(А)= 65
С10 42
В) Р(А)= 1/10=0,1
С5
Г) Р(А)= 96 0,6
С10
31.
Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 4 изделий 3 будет с браком, если в
партии из 100 изделий 10-бракованных.
С3
А) Р(А)= 104
С100
Б) Р(А)=
1
С103 С90
4
С100
В) Р(А)=
1
С43 С10
4
С100
284
С43
90
С100
32.
В вазе 10 белых и 8 алых роз. Наудачу берут два цветка. Какова вероятность того.
Что они разного цвета?
А1 А1
А) Р(А)= 10 2 8
А18
Г) Р(А)=
Б) Р(А)=
С82
С182
1
С10
С81
С182
Г) Р(А)= 2/18
33.
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 1/8. Какова вероятность
того, что из 12 выстрелов не будет ни одного промаха?
1
7
12
А) Р12(12)= С12
( )12 ( )0
8
8
1
7
1
Б) Р12(1)= С12
( )1 ( )11
8
8
1 11
В) Р(А)= ( )
8
1
7
Г) Р(А)= ( )1 ( )11
8
8
34.
Вратарь парирует в среднем 30% всех одиннадцатиметровых штрафных ударов.
Какова вероятность того, что он возьмет 2 из 4 мячей?
А) Р4(2)= С42 302 702
В) Р(А)=
Б) Р4(2)= С42 0,32 0,74
В) Р4(2)= С42 0,32 0,72
Г) Р4(2)= С42 0,34 0,70
35.
В питомнике 40 вакцинированных кроликов и 10 контрольных. Осуществляют
проверку подряд 14 кроликов, результат регистрируют и отправляют кроликов обратно.
Определить наивероятнейшее число появления контрольного кролика.
А) 10 0,2 0,8 m0 14 0.2 0,2
Б) 14 0,8 0,2 m0 14 0.2 0,2
В) 14 0,25 0,75 m0 14 0.25 0,25
Г) 14 0,2 0,8 m0 14 0.2 0,2
36.
Изделия высшего сорта на обувной фабрике составляют 10% всей продукции.
Сколько пар сапог высшего сорта можно надеяться найти среди 75 пар, поступивших с этой
фабрики в магазин?
А)75 0,4 0,6 m0 75 0.4 0,4
Б) 75 0,1 0,9 m0 75 0.1 0,1
В) 75 0,1 0,9 m0 75 0.1 0,1
Г) 75 0,4 0,6 m0 75 0.4 0,4
( x)
m np
37.
Рn(m)=
,x
npq
npq
285
А) Локальная формула Лапласа
Б) Интегральная формула Лапласа
В)формула Муавра- Лапласа
Г) Схема Бернулли
38.
При решении задачи «Вероятность появления брака в серии деталей равна 2%.
Какова вероятность того, что в партии из 600 деталей окажется 20 бракованных?» более
применима
А) схема Бернулли
Б) формула Муавра – Лапласа
В) локальная формула Лапласа
Г) интегральная формула Лапласа
39.
При решении задачи «В каждом из 700 независимых испытаний на брак, появление
стандартной лампочки происходит с постоянной вероятностью 0,65. Найти вероятность того,
что при таких условиях, появление бракованной лампочки произойдет чаще, чем в 230
испытаниях, но реже, чем в 270 случаях» более применима
А) схема Бернулли
Б) формула Муавра – Лапласа
В) локальная формула Лапласа
Г) интегральная формула Лапласа
40.
Набирая номер телефона, абонент забыл цифру и набрал ее наудачу. Найти
вероятность того, что набрана нужная цифра?
А) Р(А)=1/9
Б) Р(А)=1/10
В) Р(А)=1/99
Г) Р(А)=1/100
41.
Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное число очков?
А) Р(А)= 5/6
Б) Р(А)=1/6
В) Р(А)=3/6
Г) Р(А)=1
42.
В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают
одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной?
А) Р(А)=0,1
1
Б) Р(А)= 5
С50
1
В) Р(А)= 5
А50
Г) Р(А)=0,3
43.
В урне 3 белых и 9 черных шаров. Из урны одновременно вынимают 2 шара. Какова
вероятность того, что оба шара белые?
2
А) Р(А)= 3
С9
С32
Б) Р(А)= 2
С12
В) Р(А)=2/12
2 2 4
Г) Р(А)=
3 9 27
44.
10 различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того,
что 3 определенные книги окажутся поставленные рядом?
286
1 1
Р8 8!
8!
Б) Р(А)=
10!
1
В)Р(А)=
10!
8!3!
Г) Р(А)=
10!
45.
Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти
вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5?
А) Р(А)=5/100
Б) Р(А)=1/100
99
В) Р(А)=
100
88
Г) Р(А)=
100
А) Р(А)=
287
