Дисциплина «Математика» (4 семестр) Задание: выполнить один вариант заданий на ваш выбор. Вариант 1 Часть 1 1.Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 15 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пакетиков нужно купить хозяйке для приготовления7 литров маринада? Ответ: _11_ 2. Найдите площадь сектора круга радиуса 2, длина дуги которого равна 4. Ответ: _4__ 3.Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована. Ответ: _0,0296_ 4. Решите уравнение 3x2 x 2 x 1 √3x 2 − x − 2 = x − 1 3x 2 − x − 2 ≥ 0 𝑥−1≥0 2 3x − x − 2 = 0 Д = 1 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−2) = 1 + 24 = 25 1±5 𝑥1,2 = 6 6 4 2 x1 = = 1 x2 = − = − 6 6 3 2 3(x − 1)(x + ) ≥ 0 3 2 (x ⊢ 1) (x + ) ≥ 0 3 2 x ≤ − ;x ≥ 1 3 2 x ≤ − ;x+1 3 x≥1 3x 2 − x − 2 = (x − 1)2 3x 2 − x − 2 = x 2 − 2x + 1 2x 2 + x − 3 = 0 Д = 1 − 4 ⋅ 2(−3) = 1 + 24 = 25 −1±5 x1,2 = 4 4 x1 = = 1 4 −1−5 6 3 x2 = =− =− 4 4 2 1 т.к. x ≥ 1, то х = 1 Ответ: _х = 11_ 5. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на _2_ 6. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы 30°, 30° и 45° с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда. . Ответ: 5 7 cos 2 Ответ:_𝟕_ 7. Найдите значение выражения 𝟒 4 sin 7 8. Eмкоcть выcоковольтного конденcатора в телевизоре Ф. Параллельно c конденcатором подключeн резиcтор c cопротивлением Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденcаторе кВ. Поcле выключения телевизора напряжение на конденcаторе убывает до значения U (кВ) за время, 𝑈 определяемое выражением𝑡 = 𝛼𝑅𝐶 log 2 0(c), где𝛼 − 0,7 – поcтоянная. Определите 𝑈 (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденcаторе, еcли поcле выключения телевизора прошло не менее 21 c? Ответ: _U ≤ 2кв._ 9. Саша отвечает за 1 час на 10 вопросов теста, а Денис – на 12. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Саша закончил тест позже Дениса на 15 минут. Сколько вопросов содержит тест. Ответ: _15 вопросов_ y 2 log 0, 25 3 x log 02, 25 3 x 1 . 10. Найдите наибольшее значение функции Ответ: _2_ Часть 2 11. Решите уравнение 2 sin x 5 cos x 4 . Укажите корни на отрезке 3 ; 0 2 2 sin 2 x 5 cos x 4 2 (1 − cos 2 𝑥) + 5 cos 𝑥 = 4 2 − cos 2 х + 5 cos 𝑥 − 4 = 0 −2 cos 2 x + 5 cos x − 2 = 0 2 cos 2 𝑥 − 5 cos 𝑥 + 2 = 0 пусть cos 𝑥 = 𝑡 тогда 2𝑡 2 − 5𝑡 + 2 = 0 Д= (−5)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 25 = 16 = 9 5±3 5+3 5−3 1 𝑡1,2 = , 𝑡1 = = 2 , 𝑡2 = = 4 4 4 2 𝑡1 не существует 1 т.к. 𝑡2 = 1, cos 𝑥 = 2 𝜋 𝜋 𝑥1 = (2𝜋 + ) + 2𝜋𝑘 = + 2𝜋𝑘 3 3 𝜋 5𝜋 𝑥2 = (2𝛱 − ) + 2𝜋𝑛 = + 2𝜋𝑛 3 3 2 12. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M, N, P – середины ребер A1B1, B1C1, DC . Найдите угол между прямыми MN и A1P . Поместили куб в систему координат вершиной B в начало, стороной АВ по оси Ох, стороной ВС по оси Оy. Определим координат точек М (1; 0;0), N (0;1;2). Вектор MN (-1;1;2), А1(2;0;2), P(1;2/0). Вектор А1Р=(-1;2;-2) |ab|=|(1+2-4)|=|-1|=1 Угол ЬТ_A1P Модуль а*b = √(1+1+4)*√(1+4+4)=√6*3=7,34847. Сos ab=1/(3√6)=0,1361 a…b радиан = 1,4343 a…b градус = 82,1788 1x 4 16 x 2 13. Решите неравенство 0 log 4 x 2 x 1 𝟏 Ответ: 𝐱 ∈ ( ; 𝟏) ∪ [𝟐; +∞) 𝟐 3
