§ Импликация и эквиваленция высказываний
2.1 – Определение: Импликацией высказываний А и В называется
высказывание «Если А, то В», принимающее ложное значение тогда и только
тогда, когда А – истинное и В – ложное, в остальных случаях принимающее
истинное значение. Импликацию высказываний А и В обозначают как
«А ⇒ В».
Таблица истинности импликации выглядит следующим образом
А
1
1
0
0
В
1
0
1
0
А⇒В
1
0
1
1
1 – пример. Пусть нам даны высказывания: А – «число 18 делится на
число 9», В – «число 18 делится на число 3», С – «число 18 делится на число
8», D – «число 18 делится на число 4». В таком случае, А=1, В=1, С=0, D=0 и
следовательно А ⇒ В=1, А ⇒ С=0, А ⇒ D=0, В ⇒ С=0, В ⇒ D=0. С ⇒ D=1.
2.2 – Определение: Эквиваленцией высказываний А и В называется
высказывание «Если А, то В и если В, то А», принимающее истинное значение
тогда и только тогда, когда А и В принимают одинаковые значения, в
остальных случаях принимающее ложное значение. Эквиваленцию
высказываний обозначают как «А ⇔ В».
Также А ⇔ В можно прочитать как «Для того, чтобы А необходимо и
достаточно В»
Таблица истинности эквиваленции выглядит следующим образом
А
В
А⇔В
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2 – пример. Пусть даны высказывания: А – «8+4=4+8», В – «8*4=4*8»,
С – «8:4=4:8», D – «8-4=4-8». Найдите истинность или ложность (значение)
высказываний: А⇔В, А⇔С, А⇔D, В⇔С, В⇔D, C⇔D.
Решение: Дано А=1, В=1, С=0, D=0. Из этого и из определения
эквиваленции следует, что А⇔В=1, А⇔С=0, А⇔D=0, В⇔С=0, В⇔D=0,
С⇔D=1. Высказывание А⇔В читается как «Для того, чтобы 8+4=4+8
необходимо и достаточно 8*4=4*8.
Упражнение
1.1 Какие из этих предложений являются высказываниями
1. 15*4=60
2. (4+7)*3-12:3=62
3. 29 – простое число
4. НОД (956, 576) =12
5. Ташкент – красивый город.
6. 1000000 – очень большое число
7. Площадь квадрата равна квадрату одной из его сторон
8. Многоугольник, все углы которого равны между собой, будет
правильным
9. Квадратное уравнение х2 -7х+5=0 не имеет корней
10. Делится ли число 249 на 9?
11. Откройте 10 страницу книги!
12. Корень уравнения х+5=12 равен 7
13. Если к х прибавить 5, получится 12
14. Четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны,
называется параллелограммом.
1.2 Напишите 12 предложений, из которых 4 будут истинными
высказываниями, 4 ложными высказываниями и оставшиеся 4 не будут
высказываниями вообще.
1.3 Составьте конъюкцию, дизъюнкцию, отрицание, импликацию и
эквиваленцию высказываний А – «5=6» и В – «8<10» и найдите их значение.
1.4 Составьте конъюкцию, дизъюнкцию, отрицание, импликацию и
эквиваленцию высказываний А – «Земля вращается вокруг Солнца» и В –
«Солнце вращается вокруг Земли» и найдите их значение.
1.5 Пусть даны А – «sinx – периодическая функция, В – «sinx – четная
функция». Прочитайте следующие высказывания и найдите их значение.
̅ ∨В, 6.В
̅̅̅̅̅̅̅
̅ ∧В, 9. А
̅̅̅̅̅̅̅
̅ ∧В
̅, 5. А
̅,
1. А, 2. В, 3. А∨В 4. А∨В
∨ А, 7. А∧В, 8. А
∧ В, 10. А
̅ ⇒В, 13. А⇔В
̅ ⇒В
̅ , 16. В⇒А, 17. В
̅,
̅, 14. А
̅, 15. В⇒А
̅⇒А, 18. В
̅⇒А
11. А⇒В, 12. А
̅ ⇒В, 21. А
̅ ⇒В
̅ ⇔В.
̅, 22. А
19. А⇔В, 20. А
1.6 Выполните упражнение 1.5 с высказываниями А – «tgx –
возрастающая функция», В – «ctgx – убывающая функция».
1.7 Напишите следующие высказывания с помощью логических
операций и определите их значения.
1. Число 15 делится на 3 и число 12 делится на 2
2. Число 15 делится на 7 или число 12 делится на 2
3. tgx – четная функция или 7 не равно 12
4. Противоположные углы параллелограмма равны и диагонали ромба
перпендикулярны.
5. 8 – простое число или 18 – составное число
6. Число 136 делится на 6 или число 136 делится на 4
7. Если 4=-4, то 42 =(−4)2
8. Если 42 =(−4)2 , то 4=-4
9. Если число 15 делится на 3, то число 16 делится на 6
10. Если 45>17, то 45-17>0
11. Если 56>18, то 56-10>0
12. Чтобы 3*6 было больше 15, необходимо и достаточно, чтобы 6 было
меньше 5
13. Чтобы функция sinx была периодической функцией, необходимо и
достаточно, чтобы она была тригонометрической функцией.
14. Чтобы tgx была четной функцией необходимо и достаточно, чтобы tgx
была непрерывной функцией
15. То, что ctgx не является непрерывной функцией необходимо и
достаточно для того, чтобы ctgx было нечетной функцией.
1.8 С помощью союзов «и», «или», «не» составьте по одному
высказыванию из следующих групп высказываний.
1. При уменьшении знаменателя, значение дроби увеличивается; При
уменьшении числителя, значение дроби увеличивается.
2. Число 0 меньше любого положительного числа; Число 0 больше
любого отрицательного числа
3. Если а=0, то а*v=0; Если v=0, то а*v=0
4. Если а≠0, то а2 +𝑣 2 ≠0; Если а>0, то а3 >0
5. 2х – возрастающая функция; 2х – убывающая функция
6. Площадь треугольника равна произведению высоты на основание;
Площадь треугольника равна произведению средней линии на основание.
7. Площадь треугольника равна произведению высоты на среднюю
линию; Площадь трапеции равна произведению оснований.
8. 7268+14253=726814253; 628+72=700
9. а53LS+14253=726814253; 626+72=700
10. {3, 5, 2} ⋃ {1, 3, 5} = {5, 1, 3, 4}, {5, 8, 4} ⊂ {2, 4, 6, 8}
11. Квадратное уравнение х2 +4х+7=0 имеет действительные корни
12. Корни уравнения х2 -zх+2=0 больше нуля
13. Система {
3х − 5у = 2
имеет несколько решений
6х − 10у = 4
14. Система {
4х + 7у = 2
имеет бесконечно много решений
5х − 6у = 3
1.9 Вставьте вместо точек союзы «если», «то», «если, то», «и», «или»,
«не» так, чтобы получились истинные высказывания (а и b
действительные числа):
1. Если …а≠0 …b≠0 …ba≠0;
2. …а>0 …b≠0 …то …ab>0…;
3. …ab<0… , …а<0 …b>0… а>0 …b<0
4. Если а≠b…, то а>b…. а<b…;
5. …основание треугольника … при увеличении высоты, … площадь
треугольника увеличивается
6. Если уменьшаемое меньше вычитаемого… их разность – отрицательное
число
7. tgx – периодическая функция …1/(х-1) непрерывная …функция …;
8. Средняя линия треугольника равна его основанию …параллельна его
основанию…;
9. Средняя линия трапеции равна сумме его оснований …;
10. …а/b=5 …, то b=0… .
1.10 Является ли одно из данных высказываний отрицанием другого?
1. 2>7, 2<7;
2. 1<2, 2 – составное число
3. 5 – положительное число, 5 – не положительное число;
4. 2х – возрастающая функция, 2х – убывающая функция;
5. f(x) – четная функция, f(x) – нечетная функция;
6. 10х – периодическая функция, 10х – не периодическая функция;
7. Диагонали квадрата не перпендикулярны, диагонали квадрата
перпендикулярны.
1 § Аксиоматические теории. Исчисление высказываний.
Формулы исчисления высказываний.
Аксиоматический метод, применяемый при создании аксиоматических
теорий - позволяет математическим наукам точно выражать простейшие
свойства между объектами, поскольку математическая теория основана на
этом. Эти простейшие свойства называются аксиомами и исходя из них
доказываются теоремы.
Для того, чтобы дать определение какому-то понятию в математике,
используются другие более простые понятия. Но вполне естественно, что
могут использоваться другие понятия для представления этих более простых
понятий. Следовательно, мы вынуждены принимать некоторые понятия без
определения. Эти понятия называются основными понятиями
аксиоматической теории.
При доказательстве математического утверждения, мы используем
другие доказанные утверждения, в то время как доказанные утверждения, в
свою очередь, доказываются на основе других утверждений и т. д. поэтому
мы вынуждены принимать утверждения без доказательств, правильность
которых не вызывает сомнений. Эти утверждения называются аксиомами.
Теоремы доказываются исходя из аксиом. Это составляет содержание
аксиоматической теории.
Аксиоматические теории делятся на два типа, которые называются
формальные и содержательные (неформальные) аксиоматические теории.
В содержательной аксиоматической теории правила вывода четко не
определены, и это скорее теория, основанная на интуиции. То есть в этой
теории теоремы доказываются с помощью правил, основанных на интуиции.
Примером содержательной аксиоматической теории является теория
натуральных чисел, теория целых чисел, теория рациональных чисел, теория
действительных чисел.
Теория натуральных чисел
Для выражения теории натуральных чисел достаточно константы 1;
функциональных символов: +, ∙, ‘ (сложение единицы); символа предиката "=".
Специальными аксиомами этой теории являются:
1.
2.
3.
4.
5.
х1 = х2
х1 = х2 ⇒ х𝟐 = х𝟏
х1 = х2 ⇒ (х𝟏 = х𝟑 ⇒ х𝟐 = х𝟑 )
х1 = х2 ⇒ х𝟏′ = х𝟐′
1 ≠ (х1 ) ′
6. х1′ = х′2 ⇒ х𝟏 = х𝟐
7. х1 + 1 = х1′
8. х1 + х′2 = (х1 + х2 )′
9. х1 ∙ 1 = х1
10. х1 ∙ х′2 = х1 ∙ х2 ∙ х1
11. А(1) ⇒ ( ∀х (А(х) ⇒ А(х′ )) ⇒ ∀х А(х)),
где А(х) – произвольная формула теории натуральных чисел.
Аксиома 11 – это схема, которая содержит в себе бесконечно много
аксиом. Обычно её называют принципом математической индукции.
Формальная аксиоматическая теория строится по следующей схеме:
Задаётся алфавит этой теории
Даётся определение понятия формулы
Некоторые формулы объявляются аксиомой
Перечисляются правила вывода
Примером формальной аксиоматической теории является исчисление
высказываний.
Исчисление высказываний
1. Алфавит исчисления высказываний:
A, B, C, …, X, Y, Z, … - пропозициональные переменные.
−, ∧, ∨, ⇒, ⇔ - логические операции
(, ) – левая и правая скобка.
2. Определение понятия формула в исчислении высказываний
1-определение: 1) А, B, C, …, X, Y, Z, … - пропозициональные
переменные есть формулы
̅ , (А ∧ В), (А ∨ В), (А ⇒ В), (А ⇔ В) –
2) Если А и В – формулы, то А
тоже формулы.
3) Все формулы строятся только по 1) и 2) пунктам.
Формулы, состоящие из пропозициональных переменных: А, В, C, …,
называются элементарными
Частями формулы (A*B) считаются формулы A, B, (A*B), где символ *
— один из символов ∧, ∨, ⇒, ⇔. Части формулы A состоят из формул A, (A)
и частей формулы A.
3. Аксиомы исчисления высказываний:
I. группа аксиом:
1) А⇒(В⇒А)
2) (А⇒(В⇒C)) ⇒((A⇒B) ⇒(A⇒C))
II. группа аксиом:
1) А∧В⇒А
2) А∧В⇒В
3) (A⇒B) ⇒((A⇒C) ⇒(A⇒В∧C))
III. группа аксиом:
1) А⇒А∨В
2) В ⇒А∨В
3) (А⇒С) ⇒((В⇒С) ⇒(А∨В⇒ С))
IV. группа аксиом:
̅)
̅⇒А
1) (А⇒ В) ⇒ (В
̅
2) А⇒ А
̅⇒А
3) А
4. Правила вывода
1) Правило подстановки:
Пусть даны F(A) и B – формулы исчисления высказываний. Правилом
подстановки называется правило приведения формулы F(B) к производной,
поставив формулу D вместо пропозициональной переменной A в формуле
F(A).
Пусть F(A) – Выводимая формула исчисления высказываний, тогда
F(B) тоже выводимая формула исчисления высказываний.
Это правило обозначается как
𝐹(𝐴)
𝐹(𝐵)
2) Правило заключения:
Из формул A и A ⇒ В образуется формула B. Это правило называется
правилом заключения и обозначается как (A, A⇒В)/B или
(M (A, A⇒В) = B).
2-§ Выводимые формулы исчисления высказываний. Теорема
Дедукции
2.1-определение выводимой формулы:
1. Все аксиомы есть выводимые формулы исчисления высказываний
2. Формула, полученная в результате применения правила подстановки к
выводимой формуле исчисления высказываний, является выводимой
формулой исчисления высказываний.
3. Формула, полученная в результате применения правила заключения к
выводимой формуле исчисления высказываний, является выводимой
формулой исчисления высказываний.
4. Других выводимых формул исчисления высказываний не существует.
2.2-определение:
Если в конечной последовательности формул 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 , . . ., 𝐴𝑛
каждая 𝐴𝑖 (𝑖 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛) формула является либо выводимой формулой
исчисления высказываний, либо формулой, образованной с помощью
правил подстановки или заключения из предыдущих формул, то эта
последовательность называется формальным доказательством последней
формулы 𝐴𝑛 , а n – длиной доказательства.
Аксиомы счета рассуждения можно рассматривать как Формулы, длина
доказательства которых равна 1. Доказуемые формулы расчета
рассуждения, длина доказательства которых больше 1, назовем
теоремами.
Кратко обозначим предложение” формула F – выводимая формула
исчисления высказываний" символом ⊢ F.
2.1-теорема: Пусть В – произвольно выбранная формула исчисления
высказываний. В таком случае ⊢В⇒В.
Доказательство: Формальным доказательством формулы ⊢B ⇒B будет
следующая последовательность выводимых формул:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
A⇒(B⇒ A).
(A⇒ (B ⇒ A) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ A)).
(A⇒ B) ⇒ (A ⇒ A).
(A⇒ (B ⇒ A)) ⇒ (A ⇒ A).
A⇒ A.
B⇒ B.
Действительно,
А⇒ (В ⇒ А) формула – Ι1 аксиома;
(A⇒(B⇒ A)) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ A)) формула образована с помощью
замены С в Ι2 аксиоме на А;
(A⇒В) ⇒(А⇒А) формула образована путем применения правила
заключения к формулам 1 и 2;
(A⇒(B⇒A)) ⇒(A⇒A) формула образована заменой B на B⇒A в
формуле 3;
A⇒A формула образована путем применения правила заключения к
формуле 1 и формуле 4;
B⇒B формула образована путем подстановки B вместо A в формуле 5.
Значит, ⊢ B⇒ B. Теорема доказана.
Далее выводимые формулы исчисления высказываний обозначим
буквой R, а 𝑅̅ – буквой Y.
2.2-Теорема: Пусть F произвольная формула исчисления
высказываний. Тогда F⇒R будет выводимой формулой исчисления
высказываний, то есть ⊢ F ⇒ R .
Доказательство:
1.
2.
3.
4.
5.
R.
A ⇒(B⇒A).
R⇒(B⇒R).
B⇒R.
F⇒R.
Эта последовательность является формальным доказательством
теоремы. Действительно, формула 1 основана на условии теоремы ⊢ R.
Формула 2 – Ι1 аксиома. Формула 3 образована заменой A на R из формулы
3. Формула 4 образована с помощью применения к формулам 1 и 3 правила
заключения. А формула 5 образована заменой B в формуле 4 на формулу F.
2.3-Теорема: Пусть F – произвольная формула исчисления
высказываний. Тогда Y⇒ 𝐹̿
Доказательство: 1. (A⇒B) ⇒(𝐵̅ ⇒ 𝐴̅) - 𝐼𝑉1 аксиома
2. (𝐴̅ ⇒ B) ⇒(𝐵̅ ⇒ 𝐴̿).
3. (𝐴̅ ⇒ R) ⇒(𝑅̅ ⇒ 𝐴̿).
4. 𝐴̅ ⇒ R (2.2-теорема).
5. 𝑅̅ ⇒ 𝐴̿.
6. Y⇒ 𝐴̿.
7. Y⇒ 𝐴̿.
Пусть дан список формул 𝐹1 , …, 𝐹𝑛 (1).
3.1-Описание: 1. Каждая формула 𝐹𝑖 (i = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛) – это выводима формула
из списка (1).
2. Любая выводимая формула исчисления высказываний является
выводимой формулой исчисления высказываний из списка (1).
3. Если формула F, F⇒B является выводимой формулой из списка (1),
то формула B также является выводимой формулой из списка (1).
4. Если из списка (1) выводится формула В, то записываем в виде
𝐹1 , …, 𝐹𝑛 ⊢ 𝐵.
Теорема Дедукции:
Если из списка 𝐹1 , …, 𝐹𝑛 выводится формула B, то
𝐹1 ⇒ (𝐹2 ⇒ (. . . (𝐹𝑛 ⇒ B)…))
формула будет выводимой формулой исчисления высказываний.
Доказательство: Сначала докажем, что если 𝐹1 , . . . , 𝐹𝑛 , ⊢ 𝐵 то,
𝐹1 , . . . , 𝐹𝑛−1 ⊢ 𝐹𝑛 ⇒ B.
Предположим, что B является выводимой формулой исчисления
высказываний. Тогда по 2.2-теореме во 2§ для произвольной формулы F
⊢ 𝐹 ⇒ 𝐵 в частности, ⊢ 𝐹𝑛 ⇒ 𝐵. Следовательно, 𝐹1 , … , 𝐹𝑛−1 ⊢ 𝐹𝑛 ⇒ 𝐵.
Теперь пусть формула B является одной из формул 𝐹1 , … , 𝐹𝑛 . Для точности,
пусть формула B состоит из формулы 𝐹𝑖 (𝑖 ∈ {1, … , 𝑛}). Тогда по Ι1 аксиоме
⊢F_i⇒(B⇒F_i). Если мы заменим B на 𝐹𝑛 , то ⊢ 𝐹𝑖 ⇒ (𝐹𝑛 ⇒ 𝐹𝑖 ).
Поскольку полученная формула является выводимой формулой
исчисления высказываний, она выводимая формула из списка 𝐹1 , … , 𝐹𝑛 .
А формула 𝐹1 есть в списке, значит, она тоже будет выводимой формулой из
данного списка. Отсюда, согласно правилу заключения, 𝐹𝑛 ⇒ 𝐹𝑖 также
является формулой, выводимой из заданного списка, то есть
𝐹1 , … , 𝐹𝑛−1 ⊢ 𝐹𝑛 ⇒ 𝐹𝑖 . Теперь предположим, пусть утверждение верно для
формул F, F⇒B, то есть 𝐹1 , … , 𝐹𝑛−1 ⊢ 𝐹𝑛 ⇒ 𝐹 и 𝐹1 , … , 𝐹𝑛−1 ⊢ 𝐹𝑛 ⇒ (𝐹 ⇒ 𝐵).
Тогда мы докажем, что 𝐹1 , … , 𝐹𝑛−1 ⊢ 𝐹𝑛 ⇒ 𝐵. Если в Ι2 аксиоме мы заменим
A на 𝐹𝑛 , B на F, а C на B, то получим:
(𝐹𝑛 ⇒ (𝐹 ⇒ 𝐵)) ⇒ ((𝐹𝑛 ⇒ 𝐹) ⇒ (𝐹𝑛 ⇒ 𝐵)). Применив правило
заключения дважды, мы получим 𝐹1 , … , 𝐹𝑛−1 ⊢ 𝐹𝑛 ⇒ 𝐵. Таким образом, мы
доказали, что если 𝐹1 , … , 𝐹𝑛 ⊢ 𝐵, то 𝐹1 , … , 𝐹𝑛−1 ⊢ 𝐹𝑛 ⇒ 𝐵. Применив это
утверждение еще раз к последнему выражению, мы получим
𝐹1 , … , 𝐹𝑛−2 ⊢ 𝐹𝑛−1 ⇒ (𝐹𝑛 ⇒ 𝐵). После конечного шага образуется:
⊢ 𝐹1 ⇒ (𝐹2 ⇒ (… (𝐹𝑛 ⇒ 𝐵) … ). Теорема доказана.
Результат: когда n=1, из теоремы дедукции следует, что если F⊢B, то
⊢ 𝐹 ⇒ 𝐵.
Примеры выводимых формул
2.4-теорема. ⊢ (𝐴 ∼ 𝑅) ∼ 𝐴.
Доказательство. Докажем, что ⊢ (𝐴 ∼ 𝑅) ⇒ 𝐴. Поскольку R является
выводимой формулой, R⇒ 𝐴 ⊢ 𝐴. Тогда, согласно теореме дедукции, ⊢
(𝑅 ⇒ 𝐴) ⇒ 𝐴. Следовательно, ⊢ (𝑅 ∼ 𝐴) ⇒ 𝐴. Из этого следует ⊢ (𝐴 ∼ 𝑅) ⇒
𝐴. Теперь покажем, что будет ⊢ 𝐴 ⇒ (𝐴 ∼ 𝑅). Поскольку ⊢ 𝐴 ⇒ 𝑅,
⊢ 𝐴 ⇒ (𝐴 ⇒ 𝑅), кроме того, согласно Ι1 аксиоме, ⊢ 𝐴 ⇒ (𝑅 ⇒ 𝐴). Значит, ,
⊢ 𝐴 ⇒ (𝑅 ⇒ 𝐴). Следовательно, (𝐴 ∼ 𝑅) ∼ 𝐴.
2.5-теорема. ⊢ (𝐴 ∼ 𝑌) ∼ 𝐴̅.
Доказательство. Сначала покажем, что будет ⊢ (𝐴 ∼ 𝑌) ⇒ 𝐴̅.
Согласно IV1 аксиоме, ⊢ (𝐴 ⇒ 𝑌) ⇒ (𝑌̅ ⇒ 𝐴̅), то есть, ⊢ (𝐴 ⇒ 𝑌)(𝑅 ⇒ 𝐴̅)
(1). Поскольку R – выводима формула, R⇒ 𝐴̅ ⊢ 𝐴̅.
По теореме дедукции,
⊢ (𝑅 ⇒ 𝐴̅) ⇒ 𝐴̅
(2)
Применив правило силлогизма к формулам (1) и (2), получим
⊢ (𝐴 ⇒ 𝑌) ⇒ 𝐴̅
В таком случае,
⊢ (𝐴 ∼ 𝑌) ⇒ 𝐴̅
(3)
Теперь покажем, что будет, 𝐴̅ ⇒( 𝐴 ∼ 𝑌).
По Ι1 аксиоме:
𝐴̅ ⇒( 𝑅 ⇒ 𝐴̅)
(4)
По IV1 аксиоме:
⊢ (𝑅 ⇒ 𝐴̅) ⇒ (𝐴̿ ⇒ 𝑅̅) yoki ⊢ (𝑅 ⇒ 𝐴̅) ⇒ (𝐴 ⇒ 𝑌) (5)
Применив правило силлогизма к формулам (4) и (5), получим
⊢ 𝐴̅ ⇒ (𝐴 ⇒ 𝑌).
Поскольку ⊢ 𝑌 ⇒ 𝐴, будет ⊢ 𝐴̅ ⇒ (𝑌 ⇒ 𝐴). Тогда по правилу вставки
конъюнкции:
⊢ (𝐴̅ ⇒ (𝐴 ⇒ 𝑌)) ∧ (𝐴̅ ⇒ (𝑌 ⇒ 𝐴))
Следовательно, ⊢ 𝐴̅ ⇒( 𝐴 ∼ 𝑌). Из этого и из (3) следует
доказательство теоремы.
Теорема доказана.
Проблемы непротиворечивости, полноты, разрешимости
математической теории.
Проблема непротиворечивости.
̅ являются выводимыми
Если в математической теории А и А
формулами, то такие математические теории называются
противоречивыми математическим теориям. Нет смысла строить
противоречивую теорию, потому что в такой теории любая формула будет
выводимой формулой.
Действительно, если ⊢ 𝐴 и ⊢ 𝐴̅, то ⊢ 𝐴 ∧ 𝐴̅. Отсюда следует, что для
произвольной формулы B, ⊢ 𝐴 ∧ 𝐴̅ ⇒ 𝐵. Если мы применим правило
заключения к этой формуле, получим ⊢ 𝐵.
3.2-описание. В математической теории, когда хотя бы одна из
формул A и 𝐴̅ не является выводимой, такая теория называется
непротиворечивой теорией.
Чтобы показать противоречивость математической теории,
достаточно показать модель этой теории, в которой известна хотя бы одна
противоречивость.
Действительно, если данная теория противоречивая теория, тогда
найдется такая формула A, для которой существуют ⊢A и ⊢ 𝐴̅. Тогда, 𝐴ꞌ ,
̅ꞌ , подходящая для формулы 𝐴̅ в
подходящая для формулы A в модели, и 𝐴
модели тоже являются выводимыми, а модель является противоречивой.
Действительно, если бы данная теория была противоречивой
теорией, то была бы найдена такая формула А, что существовало ⊢A и ⊢ 𝐴̅.
̅ꞌ , соответствующих формуле А в модели, также
Тогда для формул 𝐴ꞌ , 𝐴̅, 𝐴
нашлись бы выводимые формулы, и модель была бы противоречивой.
3.3-пример. Теория групп является непротиворечивой теорией.
Действительно, например, двухэлементная мультипликативная группа
G={-1,1} будет непротиворечивой моделью для теории групп.
Проблема полноты.
3.4. Полнота математической теории в широком смысле.
Если для произвольной формулы А в математической теории хотя бы
одна из формул А или 𝐴̅ является производной формулой, то такую
аксиоматическую теорию в широком смысле называют полной теорией.
Если математическая теория является полной в широком смысле, то
произвольная формула А этой теории или её отрицание в произвольной
модели будет выводимой формулой.
3.5. Полнота математической теории в узком смысле.
Если в систему аксиом математической теории добавить к этой
теории в качестве аксиомы недоказуемую формулу и оставить правила
вывода неизменными, в результате чего полученная теория будет являться
противоречивой теорией, то математическую теорию называют полной в
узком смысле.
3.6. Проблема разрешимости в математической теории.
Это алгоритмический вопрос, который выражается в следующем.
Существует ли алгоритм математической теории, определяющий,
является ли доказуемой (выполняемой) формула A для произвольной
формулы A или нет?
Вопросы для повторения
1.
Назовите аксиомы исчисления высказываний.
2.
Приведите правила вывода.
3.
Дайте определение выводимой формуле исчисления
высказываний.
4.
Что такое формальное доказательство формул.?
5.
Как определяется длина доказательства?
6.
Что называют гипотезами?
7.
Какая формула называется формулой, выведенной из
списка гипотез?
Примеры.
1.
2.
3.
4.
5.
Докажите. ⊢ 𝐴 ∧ (𝐵 ⇒ 𝐶) ⇒ 𝐴.
Докажите. ⊢ ((𝐴 ∨ 𝐵) ∧ 𝐵 ⇒ 𝐴 ∨ 𝐵).
Докажите. ⊢ (𝐴̅ ∨ 𝐵 ∧ 𝐶) ⇒ (𝐵̅ ∨ 𝐶̅ ⇒ 𝐴̅).
̅̅̅̅̅̅̅
Докажите. ⊢ (𝐴
∨ 𝐵 ∨ ̅̅̅̅̅̅̅
𝐴̅ ∨ 𝐵) ∧ 𝐶.
Докажите. ⊢ (𝐴 ⇒ 𝐵) ∧ 𝐶 ⇒ (𝐴̅ ∨ 𝐵).
5-§. Применение алгебры предикатов
Знание предмета математической логики, ее законов, формул
уравнений, примеров и примеров этих формул для решения задач,
наглядного воплощения содержания сложных рассуждений важно не только
учителям старших классов, но и учителям начальных классов. В противном
случае учителя-предметники могут допустить ошибки и упущения. Важность
использования равносильных формул алгебры предикатов для раскрытия
смысла сложных высказываний мы рассмотрим в следующей простой задаче.
1-пример. Директор школы дала задание учителю начальных классов
“составить список учеников, которые не посещают кружки родного языка и
спорта в вашем классе”. Когда учитель начальных классов выполнил это
задание и передал составленный список директору, директор, увидев
составленный список, сказал: “даже простой список вы делаете неправильно,
не понимаете смысла того, что я сказал, будучи учителем родного языка,
выполняете задание правильно” – и вернул составленный список учителю.
Этот учитель попросил своих коллег найти ошибку. Один из преподавателей
алгебры предикатов сказал, что для составления правильного списка нужно
использовать формулы (рисунок 2, а не рисунок 1).
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅(𝑥) ∨ 𝐵̅(𝑥)
𝑈(𝑥) ∧ 𝐵(𝑥) ≡ 𝑈
̅𝑢∧𝐵
𝐸𝑢∧𝐵
̅̅̅̅̅̅ = 𝐸
1-рисунок
2-рисунок
Список учащихся, составленный на основе 2-рисунка, был принят
директором как правильный.
Из рассмотренного примера видно, что Формулы алгебры предикатов
могут использоваться не только для повышения эффективности уроков
математики, но и для повышения эффективности уроков родного языка,
чтения, природы и других.
Ниже мы рассмотрим применение алгебры предикатов к решению
уравнений, неравенств, систем неравенств и доказательству теорем. Для
решения уравнений и неравенств воспользуемся формулами (2) - (1),
приведенными в § 5 алгебры предикатов, и формулами уравнений,
изученными в § 4.
1-пример. Дан предикат P(x)⇌ ((3𝑥 − 18) ∙ (20 − 4𝑥) = 0),
определенный в множестве натуральных чисел
a)
P(3); P(4); P(5); P(6); P(7) определите истинность и ложность
высказываний.
(∀𝑥 ∈ 𝑁) 𝑃(𝑥), (∃𝑥 ∈ 𝑁) 𝑃(𝑥) определите истинность и
b)
ложность высказываний.
c)
𝐸𝑝 =? , 𝐸𝑝̅ =?
Решение.
a) 𝑃(3) ≡ ((3 ∙ 3 − 18) ⋅ (20 − 4 ⋅ 3) = 0) ≡ (−9 ⋅ 8 = 0) ≡ (−72 = 0) –
ложное высказывание,
𝑃(4) ≡ ((3 ⋅ 4 − 18) ⋅ (20 − 4 ⋅ 4) = 0) ≡ ((−6) ⋅ 4 = 0) ≡ (−24 = 0) –
ложное высказывание,
𝑃(5) ≡ ((3 ∙ 5 − 18) ⋅ (20 − 4 ⋅ 5) = 0) ≡ ((−3) ∙ 0 = 0) ≡ (0 ≡ 0) –
истинное высказывание,
𝑃(6) ≡ ((3 ∙ 6 − 18) ⋅ (20 − 4 ⋅ 6) = 0) ≡ (0 ∙ (−4) = 0) – истинное
высказывание. Следовательно P(3)=0; P(4)=0; P(5)=1; P(6)=1.
b) (∀𝑥 ∈ 𝑁) 𝑃(𝑥) ≡ (∀𝑥 ∈ 𝑁)((3𝑥 − 18) ∙ (20 − 4) = 0) – ложное
высказывание.
(∃𝑥 ∈ 𝑁) 𝑃(𝑥) ≡ ((∃𝑥 ∈ 𝑁)(3𝑥 − 18) ⋅ (20 − 4𝑥) = 0) – истинное
высказывание.
((3𝑥 − 18) ⋅ (20 − 4𝑥) = 0) ≡ ((3𝑥 − 18 = 0) ∨ (20 − 4𝑥 = 0)) ≡
≡ (𝑥 = 6) ∨ (𝑥 = 5).
Отсюда 𝐸𝑝 = {6} ∪ {5} = {5; 6}. 𝐸𝑝̅ = 𝐸̅𝑝 = {1, 2,3,4,7,8,9, … }.
2-пример. На множестве натуральных чисел дан предикат
𝑃(𝑥) ⇌ (5𝑥 − 20) ∙ (21 − 3𝑥) > 0.
a) Определите истинность и ложность следующих высказываний
P(2), P(5), P(8), (∀𝑥 ∈ 𝑁) 𝑃(𝑥), (∃𝑥 ∈ 𝑁) 𝑃(𝑥)
b) Найдите область истинности предикатов 𝑃(𝑥) и 𝑃̅(𝑥).
Решение. a) 𝑃(2) ≡ ((5 ∙ 2 − 20) ∙ (21 − 3 ∙ 2) > 0 ≡ ((−10) ∙ (15) > 0) ≡
≡ (−150 > 0) – ложное высказывание,
𝑃(5) ≡ (5 ∙ 5 − 20) ⋅ (21 − 3 ⋅ 5) > 0) ≡ (5 ∙ 6 > 0) ≡ (30 > 0) –
истинное высказывание,
𝑃(8) ≡ ((5 ∙ 8 − 20) ⋅ (21 − 3 ⋅ 8) > 0) ≡ (20 ∙ (−3) > 0) ≡ (−60 > 0)
– ложное высказывание. Значит, 𝑃(2) = 0; 𝑃(5) = 1; 𝑃(8) = 0.
(∀𝑥 ∈ 𝑁) 𝑃(𝑥) ≡ (∀𝑥 ∈ 𝑁) ((5𝑥 − 20) ∙ (21 − 3𝑥) > 0) ≡
≡ (∀𝑥 ∈ 𝑁) ((5𝑥 − 20) ∙ (3𝑥 − 21) < 0) ≡
≡ (∀𝑥 ∈ 𝑁) ((𝑥 > 4) ∧ (𝑥 < 7)) – ложное высказывание.
(∃𝑥 ∈ 𝑁) 𝑃(𝑥) ≡ (∃𝑥 ∈ 𝑁) ((𝑥 > 4) ∧ (𝑥 < 7)) – истинное
высказывание. Действительно для x=6, P(6) – будет истинным
высказыванием,
b)𝑃(𝑥) ≡ ((5𝑥 − 20) ∙ (21 − 3𝑥) > 0) ≡
≡ (5𝑥 − 20 > 0) ∧ (21 − 3𝑥 > 0) ≡ (𝑥 > 4) ∧ (𝑥 < 7), отсюда
𝐸𝑝 = {𝑥 ∈ 𝑁|𝑥 > 4} ∩ {𝑥 ∈ 𝑁|𝑥 < 7} = {5,6,7,8, … } ∩ {1,2,3,4,5,6} = {5,6}.
𝐸𝑝̅ = 𝐸̅𝑝 = 𝑁\𝐸𝑝 = {1,2,3,4,7,8,9 … }.
Формулы алгебры предикатов могут быть использованы при изучении
теорем, т. е. для выяснения того, о каких элементах множества идет речь в
теореме, для определения условий теоремы и выводов, вытекающих из этих
условий, и, что наиболее важно, для доказательства теорем систематически и
понятно.
Пусть на множестве М дан предикат P(x) va S(x).
5.1-теорема.
Если для области истинности 𝐸𝑝 и 𝐸𝑠 предикатов P(x) и S(x),
определенных в множестве М уместно отношение 𝐸𝑝 ⊂ 𝐸𝑠 , то формула
(∀𝑥 ∈ 𝑁) (𝑃(𝑥) ⇒ 𝑆(𝑥)) будет истинным высказыванием (теоремой).
Если для x, принадлежащему множеству M, подходит P(x)=1, то будет
𝑥 ∈ 𝐸𝑝 . Из этого и 𝐸𝑝 ⊂ 𝐸𝑠 следует, что 𝑥 ∈ 𝐸𝑠 . А из этого получается
равенство S(x)=1. Из этого равенства и определения операции импликации
следует, что формула (∀𝑥 ∈ 𝑀) (𝑃(𝑥) ⇒ 𝑆(𝑥)) является истинным
высказыванием (теоремой).
Эта теорема может быть использована для доказательства различных
теорем.
5.2-теорема.
(∀𝑥 ∈ 𝑁)(𝑥 ⋮ 9) ⇒ (𝑥 ⋮ 3).
Доказательство. Используем обозначения 𝑃(𝑥): "𝑥 ⋮ 9" , 𝑆(𝑥): "𝑥 ⋮ 9",
пусть 𝑥 ∈ 𝐸𝑝 . Тогда (∃𝑥 ∈ 𝑁)(𝑥 = 9𝑘). Отсюда следует, что
x=9k=3∙ (3𝑘) = 𝑥 = 3 ∙ 𝑘1 , 𝑘1 = 3 ∙ 𝑘 ∈ 𝑁. Поэтому из равенства
𝑥 = 3 ∙ 𝑘1 следует, что х делится на 3. Это означает, что 𝑥 ∈ 𝐸𝑠 .
Следовательно, отношение 𝐸𝑝 ⊂ 𝐸𝑠 оказывается уместным. Из этого и из
теоремы 5.1 следует правильность теоремы 5.2.
5.3-теорема.
(∀𝑥 ∈ 𝑁)((𝑥 ⋮ 3) ∧ (𝑥 ⋮ 4) ⇒ (𝑥 ⋮ 6)).
Доказательство. Пусть для (∀𝑥 ∈ 𝑁), (𝑥 ⋮ 3) ∧ (𝑥 ⋮ 4) – истинное
высказывание. Тогда (∃𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁)((𝑥 = 3𝑚) ∧ (𝑥 = 4𝑛)) ⇒ (3𝑚 = 4𝑛) ⇒
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(3𝑚 ⋮ 4) ∧ (3
⋮ 4) ⇒ (𝑚 ⋮ 4) ⇒ (∃𝑘 ∈ 𝑁)(𝑚 = 4𝑘) ⇒ (𝑥 = 3𝑚) ∧ (𝑚 = 4𝑘) ⇒
(𝑥 = 3 ⋅ 4𝑘) ⇒ (𝑥 = 12𝑘) ⇒ (𝑥 = 6 ⋅ (2)) ⇒ 𝑥 ⋮ 6. Теорема доказана.
Аналогично доказывается следующая теорема.
5.4-теорема.
Если натуральное число делится на 4 и 5, то в этом случае это число
также делится на 15.
(∀𝑥 ∈ 𝑁)(𝑥 ⋮ 4 ∧ 𝑥 ⋮ 5 ⇒ 𝑥 ⋮ 15).
Если формула (∀𝑥 ∈ 𝑀)(𝑃(𝑥) ⇔ 𝑆(𝑥)) является теоремой, то свойство
P называется необходимым и достаточным условием для свойства S, а
свойство S называется необходимым и достаточным условием для свойства
Р.
4-пример. Пусть M – множество всех прямоугольников на плоскости.
Пусть даны предикаты P(x):”x-прямоугольник” и S(x):”x-параллелограмм”,
определенные в множестве M. В этом случае P и S — это условия, при
которых одно из свойств будет относительно другого.
Решение. (∀𝑥 ∈ 𝑀)(𝑃(𝑥) ⇒ 𝑆(𝑥)) формула является истинным
высказыванием, то есть теоремой. Отсюда видно, что свойство
прямоугольника быть правильными прямоугольником будет достаточным
условием для того, чтобы этот прямоугольник был параллелограммом.
Свойство быть параллелограммом – необходимый вывод, вытекающий из
свойства быть правильным прямоугольником.
5-пример. Напишите следующую теорему, используя формулу алгебры
предикатов.
Теорема. Диагонали ромба перпендикулярны.
Решение. Используем следующие обозначения. M – множество
прямоугольников на плоскости, P(x):”x-ромб”, S(x):” диагонали x
перпендикулярны”. Тогда данную теорему можно записать с помощью
формулы (∀𝑥 ∈ 𝑀)(𝑃(𝑥) ⇒ 𝑆(𝑥)).
Эта формула читается следующим образом. Для произвольного
прямоугольника х на плоскости, если прямоугольник х – ромб, то диагонали
этого прямоугольника перпендикулярны.
Формула (∀𝑥 ∈ 𝑀)(𝑆(𝑥) ⇒ 𝑃(𝑥)), обратная формуле, написанной для
этой теоремы (∀𝑥 ∈ 𝑀)(𝑃(𝑥) ⇒ 𝑆(𝑥)), будет ложным высказыванием.
Действительно, прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны, не
может быть ромбом (рис.3).
3-рисунок
Следующие формулы алгебры предикатов будут истинными или
ложными суждениями в зависимости от того, какие свойства P и S заданы.
(∀𝑥 ∈ 𝑀)(𝑃(𝑥) ⇒ 𝑆(𝑥))
(1)
(∀𝑥 ∈ 𝑀)(𝑆(𝑥) ⇒ 𝑃(𝑥))
(2)
(∀𝑥 ∈ 𝑀)(𝑆̅(𝑥) ⇒ 𝑃̅(𝑥))
(3)
(∀𝑥 ∈ 𝑀)(𝑃̅(𝑥) ⇒ 𝑆̅(𝑥))
(4)
(∀𝑥 ∈ 𝑀)(𝑃(𝑥) ⇔ 𝑆(𝑥))
(5)
Какая бы из этих формул ни была истинной, эта же формула выражает
теорему, утверждающую, что элементы множества M, обладающие
свойством P, также обладают свойством S.
Если формула (1) является теоремой, то формула (3), которая является
равносильной этой формуле, также будет теоремой. Поэтому часто вместо
того, чтобы доказать, что формула (1) является теоремой, доказывается, что
формула (3) является теоремой (истинным высказыванием). Этот способ
доказательства теорем называется методом гипотез из противоположного.
3-пример. Пусть на множестве натуральных чисел даны предикаты
P(x):”x – простое число”, S(x):”x – нечетное число”. Какие из следующих
формул будут теоремой?
a) (∀𝑥 ∈ 𝑁)(𝑃(𝑥) ⇒ 𝑆(𝑥))
b) (∀𝑥 ∈ 𝑁)((𝑥 > 2) ∧ ( 𝑃(𝑥) ⇒ 𝑆(𝑥))
c) (∀𝑥 ∈ 𝑁)(𝑆(𝑥) ⇒ 𝑃(𝑥))
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
d) (∀𝑥 ∈ 𝑁)(𝑆̅(𝑥) ⇒ (𝑥
> 2) ∧ 𝑃(𝑥))
e) (𝑃(𝑥) ⇔ 𝑆(𝑥))
Решение. a) (∀𝑥 ∈ 𝑁)(𝑃(𝑥) ⇒ 𝑆(𝑥)) формула – ложное высказывание,
для x=2, 𝑃(𝑥) ⇒ 𝑆(𝑥) = 𝑃(2) ⇒ 𝑆(2) = 1 ⇒ 0 = 0, так что это не теорема.
b) (∀𝑥 ∈ 𝑁)((𝑥 > 2) ∧ ( 𝑃(𝑥) ⇒ 𝑆(𝑥)) – истинное высказываниие.
Действительно, если x>2 и является простым числом, то x будет нечетным
числом. Аналогично можно показать, что формулы с), е) являются ложными
высказываниями. Поскольку формула d) равносильна формуле b), будет
истинным высказыванием (теоремой).
Если формула (∀x∈M) (P(x)⇒S (x)) является теоремой, то свойство Р
называется достаточным условием для выполнения свойства S, и в этом
случае функция S называется необходимым выводом, вытекающим из
свойства P (кратко P – достаточное условие, S – необходимое условие).
5.6-теорема. Если натуральное число не делится на 15, то это число не
делится на 5 или не делится на 6.
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
(∀𝑥 ∈ 𝑁)(𝑥
⋮ 15 ⇒ 𝑥
⋮5∨𝑥
⋮ 6).
При изучении применения алгебры предикатов важным является
знание ее равносильных формул. Вспомним основные равносильные
формулы алгебры предикатов:
𝑃(𝑥) ∧ 𝑆(𝑥) ∨ 𝑄(𝑥) ≡ 𝑃(𝑥) ∧ 𝑆(𝑥) ∨ 𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥)
(1)
𝑃(𝑥) ∨ 𝑆(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥) ≡ (𝑃(𝑥) ∨ 𝑆(𝑥) ∧ (𝑃(𝑥) ∨ 𝑄(𝑥))
(2)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑃(𝑥)
∧ 𝑆(𝑥) ≡ 𝑃̅(𝑥) ∨ 𝑆̅(𝑥)
(3)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑃(𝑥)
∨ 𝑆(𝑥) ≡ 𝑃̅(𝑥) ∧ 𝑆̅(𝑥)
(4)
𝑃(𝑥) ⇒ 𝑆(𝑥) ≡ 𝑃̅(𝑥) ∨ 𝑆(𝑥)
(5)
𝑃(𝑥) ⇒ 𝑆(𝑥) ≡ 𝑆̅(𝑥) ⇒ 𝑃̅(𝑥)
(6)
𝑃(𝑥) ⇔ 𝑆(𝑥) ≡ 𝑃(𝑥) ∧ 𝑆(𝑥) ∨ 𝑃̅(𝑥) ∧ 𝑆̅(𝑥)
(7)
𝑃(𝑥) ⇔ 𝑆(𝑥) ≡ (𝑃̅(𝑥) ∨ 𝑆(𝑥)) ∧ (𝑆̅(𝑥) ∨ 𝑃(𝑥))
(8)
Так как неравенства состоят из предикатов, то задача решения
неравенства сводится к нахождению области истинности предиката. Пусть
𝑃(𝑥) и S(x являются предикатами, определенными в множестве M. Области
истинности этих предикатов обозначим соответственно 𝐸𝑝 и 𝐸𝑠 , отрицания
предиката P(x) обозначим 𝑃̅(𝑥), а множество M\𝐸𝑝 обозначим как 𝐸̅𝑝 . Для
нахождения областей истинности предикатов
𝑃̅(𝑥), 𝑃(𝑥) ∨ 𝑆(𝑥), 𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑥), 𝑃(𝑥) ⇒ 𝑆(𝑥), 𝑃(𝑥) ⇔ 𝑆(𝑥)
воспользуемся следующими теоремами.
5.7-теорема. 𝐸𝑝̅ = 𝐸̅𝑝 .
Доказательство. Покажем, что произвольный элемент множества 𝐸𝑝̅
принадлежит множеству ̅̅̅
𝐸𝑝 , а произвольный элемент, принадлежащий
множеству 𝐸̅𝑝 , также принадлежит множеству 𝐸𝑝̅ . Пусть x – произвольный
элемент, принадлежащий множеству 𝐸𝑝̅ . Тогда P (x)=1. Из этого следует, что
P(x)=0 и 𝑥 ∉ 𝐸𝑝 . Из этого и из того, что 𝑥 ∈ 𝑀, следует, что 𝑥 ∈ 𝑀\𝐸𝑝 = 𝐸̅𝑝 ,
то есть
𝑥 ∈ 𝐸̅𝑝 . Теперь покажем, что произвольный элемент, принадлежащий
множеству 𝐸̅𝑝 , также принадлежит множеству 𝐸𝑝̅ .
𝑥 ∈ ̅̅̅
𝐸𝑝 ⇒ 𝑥 ∉ 𝐸𝑝 ⇒ 𝑃(𝑥) = 0 ⇒ 𝑃̅ (𝑥) = 1 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐸𝑝̅
Теорема доказана.
5.8-теорема. 𝐸𝑝∨𝑠 = 𝐸𝑝 ∪ 𝐸𝑠 .
Доказательство. 𝑥 ∈ 𝐸𝑝∨𝑠 ⇒ (𝑃(𝑥) ∨ 𝑆(𝑥) = 1) ⇒
⇒ ((𝑃(𝑥) = 1) ∨ (𝑆(𝑥) = 1)) ⇒
⇒ (𝑥 ∈ 𝐸𝑝 ) ∨ (𝑥 ∈ 𝐸𝑠 ) ⇒ 𝑥 ∈ 𝐸𝑝 ∪ 𝐸𝑠 .
∀𝑥 ∈ 𝐸𝑝 ∪ 𝐸𝑠 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐸𝑝 ∨ 𝑥 ∈ 𝐸𝑠 ⇒
⇒ (𝑃(𝑥) = 1) ∨ (𝑆(𝑥) = 1) ⇒
⇒ 𝑃(𝑥) ∨ 𝑆(𝑥) = 1 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐸𝑝∨𝑠 . Теорема доказана.
5.9-теорема. 𝐸𝑝∧𝑠 = 𝐸𝑝 ∩ 𝐸𝑠 .
Доказательство. Пусть 𝑥 ∈ 𝐸𝑝∧𝑠 . Отсюда,
𝑃(𝑥) ∧ 𝑆(𝑥) = 1 ⇒ (𝑃(𝑥) = 1) ∧ (𝑆(𝑥) = 1) ⇒
(𝑥 ∈ 𝐸𝑝 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐸𝑠 ) ⇒ 𝑥 ∈ 𝐸𝑝 ∩ 𝐸𝑠 .
Пусть 𝑥 ∈ 𝐸𝑝 ∩ 𝐸𝑠 будет, ⇒
⇒ 𝑃(𝑥) ∧ 𝑆(𝑥) = 1 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐸𝑝∧𝑠
Теорема доказана.
5.10-теорема. 𝐸𝑝⇒𝑠 = ̅̅̅
𝐸𝑝 ∪ 𝐸𝑠
Доказательство. Пусть x – произвольный элемент, принадлежащий
множеству 𝐸𝑝⇒𝑠 . В таком случае, (𝑃(𝑥) ⇒ 𝑆(𝑥) = 1). Из этого и из формулы:
𝑃(𝑥) ⇒ 𝑆(𝑥) ≡ 𝑃̅(𝑥) ∨ 𝑆(𝑥) следует
(𝑃̅(𝑥) ∨ 𝑆(𝑥) = 1) ⇒ (𝑃̅(𝑥) = 1) ∨ (𝑆(𝑥) = 1) ⇒
⇒ (𝑥 ∈ 𝐸𝑝̅ ) ∨ (𝑥 ∈ 𝐸𝑠 ) ⇒
⇒ (𝑥 ∈ 𝐸̅𝑝 ) ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐸𝑠 ) ⇒ 𝑥 ∈ 𝐸̅𝑝 ∪ 𝐸𝑠 .
Теперь покажем, что произвольный элемент, принадлежащий множеству
𝐸̅𝑝 ∪ 𝐸𝑠 , также принадлежит множеству 𝐸𝑝⇒𝑠 .
Пусть 𝑥 ∈ 𝐸̅𝑝 ∪ 𝐸𝑠 . Тогда будет
(𝑥 ∈ 𝐸̅𝑝 ) ∨ (𝑥 ∈ 𝐸𝑠 ).
Отсюда и из равенства 𝐸̅𝑝 = 𝐸𝑝̅ следует,
(𝑥 ∈ 𝐸𝑝̅ ) ∨ (𝑥 ∈ 𝐸𝑠 ) ⇒ (𝑃̅(𝑥) = 1) ∨ (𝑆(𝑥) = 1) ⇒
⇒ (𝑃̅(𝑥) ∨ 𝑆(𝑥) = 1) ⇒ (𝑃(𝑥) ⇒ 𝑆(𝑥) = 1) ⇒ 𝑥 ∈ 𝐸𝑝⇒𝑠
Теорема доказана.
5.11-теорема. 𝐸𝑝⇔𝑠 = (𝐸𝑝 ∩ 𝐸𝑠 ) ∩ (𝐸̅𝑝 ∩ 𝐸̅𝑠 )
Доказательство. Пусть x – произвольный элемент, принадлежащий
множеству 𝐸𝑝⇔𝑠 . Тогда
𝑃(𝑥) ⟺ 𝑆(𝑥) = 1. Из этого и из 7-равносильности
⇒ 𝑃(𝑥) ∧ 𝑆(𝑥) ∨ 𝑃̅(𝑥) ∧ 𝑆̅(𝑥) = 1 ⇒
⇒ (𝑃(𝑥) ∧ 𝑆(𝑥) = 1) ∨ (𝑃̅(𝑥) ∧ 𝑆̅(𝑥) = 1) ⇒
⇒ (𝑃(𝑥) = 1) ∧ (𝑆(𝑥) = 1) ∨ (𝑃̅(𝑥) = 1) ∧ (𝑆̅(𝑥) = 1) ⇒
⇒ (𝑥 ∈ 𝐸𝑝 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐸𝑠 ) ∨ (𝑥 ∈ 𝐸𝑝̅ ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐸𝑠̅ ) ⇒
⇒ (𝑥 ∈ 𝐸𝑝 ∩ 𝐸𝑠 ) ∨ (𝑥 ∈ 𝐸̅𝑝 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐸̅𝑠 ) ⇒
⇒ (𝑥 ∈ 𝐸𝑝 ∩ 𝐸𝑠 ) ∨ (𝑥 ∈ 𝐸̅𝑝 ∩ 𝐸̅𝑠 ).
Теперь пусть 𝑥 ∈ 𝐸𝑝 ∩ 𝐸𝑠 ∪ 𝐸̅𝑝 ∩ 𝐸̅𝑠 .
Отсюда, (𝑥 ∈ 𝐸𝑝 ∩ 𝐸𝑠 ) ∨ (𝑥 ∈ 𝐸̅𝑝 ∩ 𝐸̅𝑠 ) ⇒
⇒ ( 𝑥 ∈ 𝐸𝑝 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐸𝑠 ) ∨ (𝑥 ∈ 𝐸̅𝑝 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐸̅𝑠 ) ⇒
⇒ (𝑃(𝑥) = 1) ∧ (𝑆(𝑥) = 1) ∨ ( 𝑥 ∈ 𝐸𝑝 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐸𝑠 ) ⇒
⇒ (𝑃(𝑥) = 1) ∧ (𝑆(𝑥) = 1) ∨ (𝑃̅(𝑥) = 1) ∧ (𝑆̅(𝑥) = 1) ⇒
⇒ (𝑃(𝑥) ∧ 𝑆(𝑥) = 1) ∨ (𝑃̅(𝑥) ∧ 𝑆̅(𝑥) = 1) ⇒
⇒ 𝑃(𝑥) ∧ 𝑆(𝑥) ∨ 𝑃̅(𝑥) ∧ 𝑆̅(𝑥) = 1. Из этого и из (7) следует, что
𝑃(𝑥) ⟺ 𝑆(𝑥) = 1 ⇒ x ∈ 𝐸𝑝⇔𝑠 Теорема доказана
5.12-теорема. 𝐸𝑝⇔𝑠 = (𝐸̅𝑝 ∩ 𝐸𝑠 ) ∪ (𝐸̅𝑠 ∩ 𝐸𝑝 ).
Доказательство. Пусть x ∈ 𝐸𝑝⇔𝑠 . Тогда 𝑃(𝑥) ⟺ 𝑆(𝑥) = 1. Отсюда и из
(8) следует, что (𝑃̅ (𝑥) ∨ 𝑆(𝑥)) ∧ (𝑆̅(𝑥) ∨ 𝑃(𝑥)) = 1 ⇒
⇒ (𝑃̅(𝑥) ∨ 𝑆(𝑥) = 1) ∧ (𝑆̅(𝑥) ∨ 𝑃(𝑥)) = 1 ⇒
⇒ ((𝑃̅(𝑥) = 1) ∨ (𝑆(𝑥) = 1) ∧ ((𝑆̅(𝑥) = 1) ∨ (𝑃(𝑥) = 1)) ⇒
⇒ ((𝑥 ∈ 𝐸𝑝̅ ) ∨ (𝑥 ∈ 𝐸𝑠 )) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐸𝑠̅ ) ∨ (𝑥 ∈ 𝐸𝑝 )) ⇒
⇒ ((𝑥 ∈ 𝐸̅𝑝 ) ∨ (𝑥 ∈ 𝐸𝑠 )) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐸̅𝑠 ) ∨ (𝑥 ∈ 𝐸𝑝 )) ⇒
⇒ (𝑥 ∈ 𝐸̅𝑝 ∪ 𝐸𝑠 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐸̅𝑠 ∪ 𝐸𝑝 ) ⇒ 𝑥 ∈ (𝐸̅𝑝 ∪ 𝐸𝑠 ) ∩ (𝐸̅𝑠 ∪ 𝐸𝑝 )
Теперь пусть будет 𝑥 ∈ (𝐸̅𝑝 ∪ 𝐸𝑠 ) ∩ (𝐸̅𝑠 ∪ 𝐸𝑝 ). Выведем x ∈ 𝐸𝑝⇔𝑠 .
𝑥 ∈ (𝐸̅𝑝 ∪ 𝐸𝑠 ) ∩ (𝐸̅𝑠 ∪ 𝐸𝑝 ) ⇒ (𝑥 ∈ 𝐸̅𝑝 ∪ 𝐸𝑠 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐸̅𝑠 ∪ 𝐸𝑝 ) ⇒
⇒ ((𝑥 ∈ 𝐸̅𝑝 ) ∨ (𝑥 ∈ 𝐸𝑠 )) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐸̅𝑠 ) ∨ (𝑥 ∈ 𝐸𝑝 )) ⇒
⇒ ((𝑥 ∈ 𝐸𝑝̅ ) ∨ (𝑥 ∈ 𝐸𝑠 )) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐸𝑠̅ ) ∨ (𝑥 ∈ 𝐸𝑝 )) ⇒
⇒ ((𝑃̅(𝑥) = 1) ∨ (𝑆(𝑥) = 1) ∧ ((𝑆̅(𝑥) = 1) ∨ (𝑃(𝑥) = 1)) ⇒
⇒ (𝑃̅(𝑥) ∨ 𝑆(𝑥) = 1) ∧ (𝑆̅(𝑥) ∨ 𝑃(𝑥)) = 1 ⇒
⇒ (𝑃̅(𝑥) ∨ 𝑆(𝑥)) ∧ (𝑆̅(𝑥) ∨ 𝑃(𝑥)) = 1 ⇒ . Отсюда и из (8) следует
(𝑃(𝑥) ⟺ 𝑆(𝑥) = 1) ⇒ x ∈ 𝐸𝑝⇔𝑠 . Теорема доказана.
Пусть R множество действительных.
1-пример. На множестве R дан предикат 𝑥 2 − 4𝑥 − 5 < 0. Найдите его
область истинности.
Решение.
Заданный предикат обозначим P(x), а его область истинности – 𝐸𝑝 .
Тогда
𝑃(𝑥) ≡ (𝑥 2 − 4𝑥 − 5 < 0) ≡ ((𝑥 + 1)(𝑥 − 5) < 0) ≡
≡ (𝑥 < −1 < 0) ∧ (𝑥 − 5 > 0) ∨ (𝑥 − 5 < 0) ≡
≡ (𝑥 < −1) ∧ (𝑥 > 5) ∨ (𝑥 > −1) ∧ (𝑥 < 5). Из этого и из 2-3-теоремы
находим
𝐸𝑝 = (−∞; −1) ∩ (5; ∞) ∪ (−1; ∞) ∩ (−∞; 5) = ∅ ∪ (−1; 5) =
= (-1;5).
Ответ: 𝐸𝑝 = (−1; 5).
2-пример. На множестве R дан предикат 𝑃(𝑥) = (𝑥 2 − 𝑥 − 20 > 0).
Найдите его область истинности 𝐸𝑝 .
Решение.
𝑃(𝑥) ≡ (𝑥 2 − 𝑥 − 20 > 0) ≡ ((𝑥 + 4) ∙ (𝑥 − 5) > 0) ≡
≡ (𝑥 + 4 < 0) ∧ (𝑥 − 5 < 0) ∨ (𝑥 + 4 > 0) ∧ (𝑥 − 5 > 0) ≡
≡ (𝑥 < −4) ∧ (𝑥 < 5) ∨ (𝑥 > −4) ∧ (𝑥 > 5). Из этого и из 2-3-теоремы
находим
𝐸𝑝 = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 < −4} ∩ {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 < 5} ∪
∪ { 𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 > −4} ∩ {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 > 5} = (−∞; −4) ∩ (−∞; 5) ∪
∪ (−4; ∞) ∩ (5; ∞) = (−∞; −4) ∪ (5; ∞).
Ответ: 𝐸𝑝 = (−∞; −4) ∪ (5; ∞).
3-пример. На множестве R дан предикат 𝑃(𝑥) = (
его область истинности 𝐸𝑝 .
2𝑥+6
5𝑥−10
Решение.
𝑃(𝑥) = (
2𝑥+6
5𝑥−10
≤ 0) ≡ (2𝑥 + 6 ≤ 0) ∧ (5𝑥 − 10 > 0) ∨
∨ (2𝑥 + 6 ≥ 0) ∧ (5𝑥 − 10 < 0) ≡
≡ (𝑥 ≤ −3) ∧ (𝑥 > 2) ∨ (𝑥 ≥ −3) ∧ (𝑥 < 2).
Из этого и из 2-3-теоремы находим.
𝐸𝑝 = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≤ −3} ∩ {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 > 2} ∪
∪ {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≥ −3} ∩ {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 < 2} =
= (−∞; −3] ∩ (2; ∞) ∪ [−3; ∞) ∩
≤ 0). Найдите
∩ (−∞; 2) = ∅ ∪ [−3; 2) = [−3; 2).
Ответ: 𝐸𝑝 = [−3; 2).
4-пример. На множестве R дан предикат 𝑃(𝑥) = (|𝑥 − 2| < 3). Найдите
его область истинности 𝐸𝑝 .
Решение.
𝑃(𝑥) = (|𝑥 − 2| < 3) ≡ (𝑥 − 2 < 3) ∧ (𝑥 − 2 > −3) ≡
≡ (𝑥 < 5) ∧ (𝑥 > −1), из этого и из 3-теоремы находим.
𝐸𝑝 = {𝑥 ∈ 𝑅|(𝑥 < 5) ∧ (𝑥 > −1)} =
= { 𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 < 5} ∩ {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 > −1} =
= (−∞; 5) ∩ (−1; ∞) = (1; 5).
Ответ: 𝐸𝑝 = (1; 5).
5-пример. На множестве R дан предикат 𝑃(𝑥) = (|2𝑥 + 6| ≥ 4) Найдите
его область истинности 𝐸𝑝 .
Решение.
𝑃(𝑥) = (|2𝑥 + 6| ≥ 4) ≡ (2𝑥 + 6 ≥ 4) ∨ (2𝑥 + 6 ≤ −4) ≡
≡ (2𝑥 ≥ −2) ∨ (2𝑥 ≤ −10) ≡ (𝑥 ≥ −1) ∨ (𝑥 ≤ −5).
Из этого и из 2-теоремы следует
𝐸𝑝 = {𝑥 ∈ 𝑅|(𝑥 ≥ −1) ∨ (𝑥 ≤ −5)} =
= {𝑥 ∈ 𝑅|(𝑥 ≥ −1} ∪ {𝑥 ∈ 𝑅|(𝑥 ≤ −5} =
= [−1; ∞) ∪ (−∞; −5] = (−∞; −5] ∪ [1; ∞).
Ответ: 𝐸𝑝 = (−∞; −5] ∪ [1; ∞).
6-пример. На множестве R дан предикат 𝑃(𝑥) = (𝑥 2 − 𝑥 ≤ 0) и 𝑆(𝑥) =
(𝑥 ≤ √𝑥).
Найдите: 𝐸𝑝 =? , 𝐸𝑠 =? , 𝐸𝑝∧𝑠 =? , 𝐸𝑝∨𝑠 =? , 𝐸𝑝⇒𝑠 =? , 𝐸𝑠⇒𝑝 =? , 𝐸𝑝⇔𝑠 =?
Решение. Воспользуемся теоремами 5.7-5.12.
𝐸𝑝 = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 2 − 𝑥 ≤ 0} = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥(𝑥 − 1) ≤ 0} =
={ 𝑥 ∈ 𝑅|(𝑥 ≤ 0) ∧ (𝑥 − 1) ≥ 0} ∨ (𝑥 − 1 ≤ 0) ∧ (𝑥 ≥ 0)} =
={𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≤ 0} ∩ {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≥ 1} ∪
∪ {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≤ 1} ∩ {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≥ 0} =
=(−∞; 0] ∩ [1; ∞) ∪ (−∞; 1] ∩ [0; ∞) = ∅ ∪ [0; 1] = [0; 1];
𝐸𝑝 = [0; 1] ,
𝐸𝑠 = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≤ √𝑥} = {𝑥 ∈ 𝑅|(𝑥 ≥ 0) ∧ (𝑥 2 ≤ 𝑥)} =
= {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≥ 0} ∩ {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥(𝑥 − 1) ≤ 0} =
= [0; ∞) ∩ [0; 1] = [0; 1]. 𝐸𝑠 = [0; 1],
𝐸𝑝∧𝑠 = 𝐸𝑝 ∩ 𝐸𝑠 = [0; 1] ∩ [0; 1] = [0; 1]
𝐸𝑝∨𝑠 = 𝐸𝑝 ∪ 𝐸𝑠 = [0; 1] ∪ [0; 1] = [0; 1]
𝐸𝑝⇒𝑠 = 𝐸̅𝑝 ∪ 𝐸𝑠 = (−∞; 0) ∪ (1; ∞) ∪ [0; 1] = (−∞; ∞),
Аналогично 𝐸𝑝⇒𝑠 = (−∞; ∞), 𝐸𝑝⇔𝑠 = 𝐸𝑝⇒𝑠 ∩ 𝐸𝑠⇒𝑝 = (−∞; ∞)[5].
При обучении учащихся решать задачи на доказательство с помощью
равнозначных формул алгебры предикатов можно использовать следующие
теоремы.
5.13-теорема. (∀𝑥 ∈ 𝑅)(𝑥 2 ≤ 𝑥 ⇒ 𝑥 ≤ √𝑥).
5.14- теорема. (∀𝑥 ∈ 𝑅)(𝑥 ≤ √𝑥 ⇒ 𝑥 2 ≤ 𝑥).
5.15- теорема. (∀𝑥 ∈ 𝑅)(𝑥 ≤ √𝑥 ⇔ 𝑥 2 ≤ 𝑥).
5.16- теорема. (∀𝑥 ∈ 𝑀)(𝑃(𝑥) ⇒ 𝑆(𝑥)) ⇒ (𝐸𝑝 ⊂ 𝐸𝑠 )
5.17- теорема. 𝐸𝑝 ⊂ 𝐸𝑠 ⇒ (∀𝑥 ∈ 𝑀)(𝑃(𝑥) ⇒ 𝑆(𝑥)).
5.18- теорема. (∀𝑥 ∈ 𝑀)(𝑃(𝑥) ⇔ 𝑆(𝑥)) ⇒ (𝐸𝑝 = 𝐸𝑠 ).
5.19- теорема. (𝐸𝑝 = 𝐸𝑠 ) ⇒ (∀𝑥 ∈ 𝑀)(𝑃(𝑥) ⇔ 𝑆(𝑥))[6].
Эти теоремы легко доказать методом гипотез обратного. Ограничимся
приведением доказательства теоремы 5.19.
Доказательство. Воспользуемся методом гипотезы обратного.
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(∀𝑥 ∈ 𝑀)(𝑃(𝑥) ⇔ 𝑆(𝑥)) ≡ (∃𝑥 ∈ 𝑀)(𝑃(𝑥)
⇔ 𝑆(𝑥)) ≡
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
≡ (∃𝑥 ∈ 𝑀)(𝑃(𝑥)
∧ 𝑆(𝑥) ∨ 𝑃̅(𝑥) ∧ 𝑆̅(𝑥)) ≡
≡ (∃𝑥 ∈ 𝑀) (( 𝑃̅(𝑥) ∨ 𝑆̅(𝑥)) ∧ (𝑃(𝑥) ∨ 𝑆(𝑥))) ≡
≡ (∃𝑥 ∈ 𝑀)(𝑃̅(𝑥) ∧ 𝑆(𝑥) ∨ 𝑆̅(𝑥) ∧ 𝑃(𝑥)),
отсюда,
≡ (∃𝑥 ∈ 𝑀)((𝑃̅(𝑥) ∧ 𝑆(𝑥) = 1) ∨ (𝑆̅(𝑥) ∧ 𝑃(𝑥) = 1)) ≡
≡ (∃𝑥 ∈ 𝑀)((𝑃̅(𝑥) = 1) ∧ (𝑆(𝑥) = 1) ∨ (𝑆̅(𝑥) = 1) ∧ (𝑃(𝑥) = 1)) ≡
≡ (∃𝑥 ∈ 𝑀)((𝑃(𝑥) = 0) ∧ (𝑆(𝑥) = 1) ∨ (𝑆(𝑥) = 0) ∧ (𝑃(𝑥) = 1)) ≡
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅
≡ (∃𝑥 ∈ 𝑀) ((𝑥
∈ 𝐸𝑝 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐸𝑠 ) ∨ (𝑥
∈ 𝐸𝑠 ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐸𝑝 )) ⇒
⇒ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝐸𝑝 = 𝐸𝑠 ⇒ 𝐸𝑝 ≠ 𝐸𝑠 .
Теорема доказана.
Рассмотренные выше примеры и задачи могут быть использованы при
обучении учащихся применении алгебры предикатов. При углубленном и
всестороннем обучении учащихся законам математической логики, правилам
вывода, равносильным формулам и их применении у них будут развиваться
навыки решения математических задач простейшими способами, быстро и
безошибочно
