МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий» (СГУГиТ) Институт геодезии и менеджмента Кафедра высшей геодезии Специальность 21.05.05 «Горное дело» Специализация: «Маркшейдерское дело» ВЫСШАЯ ГЕОДЕЗИЯ (заочное отделение) Контрольная работа № 1 «Высокоточные геодезические работы. Предварительная обработка измерений в плановых геодезических сетях.» Обучающийся _________ (подпись) Группа 3ГД-у Проверил (подпись) Новосибирск – 2021 СОДЕРЖАНИЕ 1 Предварительная обработка угловых измерений………………………….…….…4 1.1 Схема сети и исходные данные…………………………………….……..….5 1.2 Предварительное решение треугольников и вычисление сферических избытков…………………………………………………………………………….…..6 1.3 Вычисление поправок за центрировку, редукцию и составление таблицы направлений, приведенных к центрам пунктов…………………………………...….7 1.4 Вычисление приближенных координат пунктов…………………….…....11 1.5 Вычисление поправок в направления за кривизну изображения геодезических линий на плоскости и их контроль………………………………….13 1.6 Составление сводки направлений, приведенных к центрам пунктов и редуцированных на плоскость…………………………………………………...…..15 2 Предварительная обработка линейных измерений………………………..……...17 2.1 Вычисление поправок за центрировку и редукцию в измеренные расстояния……………………………………………………………………………..17 2.2 Приведение измеренных наклонных расстояний к горизонту……...……20 2.3 Определение эллипсоидальных длин линий…………………………..…..20 2.4 Редуцирование эллипсоидальных длин линии на плоскость………..…....22 3 Оценка точности выполненных измерений по свободным членам условных уравнений………………………………………………………………..………….…24 3.1 Оценка качества угловых измерений………………………………………25 3.1.1 Полюсное условие………………………….…………………………..….25 3.1.2 Условие жесткого дирекционного угла…………………………….…….27 3.1.3 Условие жестких базисных сторон……………………..…………….…..28 3.2 Оценка качества линейных измерений по свободным членам синусных условий сторон…………………………………………………………………….…..29 Список литературы…………………………………………………………………....31 2 ВВЕДЕНИЕ Все виды измерений, выполняемые в геодезических сетях, подвергаются предварительной обработке, как в процессе полевых работ, так и в камеральных условиях. Основными задачами предварительной обработки являются: – оценка качества выполненных измерений; – подготовка результатов измерений к уравнительным вычислениям. Оценка качества выполненных измерений производится по величинам свободных членов условных уравнений при их сравнении с допустимыми значениями. Подготовка результатов измерений к уравниванию заключается в последовательной их обработке по приведению к центрам пунктов, проектированию на референц–эллипсоид и затем на плоскость в проекции Гаусса–Крюгера путем вычисления и введения в результаты измерений соответствующих поправок с целью получения таблицы плоских направлений и длин линий. Предварительные вычисления в геодезических сетях выполняются в следующей последовательности: – обработка угловых измерений; – обработка линейных измерений; – качественная оценка результатов измерений. 3 1. Предварительная обработка угловых измерений Предварительная обработка угловых измерений в триангуляции и линейноугловых сетях выполняется в следующей последовательности: – предварительное решение треугольников и вычисление их сферических избытков; – вычисление поправок в направления за центрировку и редукцию; – составление таблицы направлений, приведенных к центрам пунктов и предварительная оценка результатов измерений по невязкам треугольников; – редуцирование на референц–эллипсоид; – вычисление поправок в направления за кривизну изображения геодезических линий на плоскости и их контроль; – составление сводки направлений, приведенных к центрам пунктов и редуцированных на плоскость. При этом следует учитывать, что величины поправок в измеренные направления за редуцирование на референц–эллипсоид весьма незначительны и поэтому в сетях триангуляции 2–4 классов, расположенных в равнинной или холмистой местности, их не вычисляют. Однако в горной местности их необходимо вычислять и учитывать. 4 1.1Схема сети и исходные данные Все перечисленные выше вычисления выполним на примере линейно – угловой сети 2-го класса, приведены на рисунке ниже. Координаты исходных пунктов, длина и дирекционный угол между ними приведены в таб.1. Элементы приведений на пунктах, высоты знаков до горизонтальной оси инструмента и отметки пунктов в Балтийской системе высот, необходимые для обработки линейных измерений, а также значения измеренных направлений и длин сторон показаны в таб.2. 5 1.2 Предварительное решение треугольников и вычисление сферических избытков Предварительное решение треугольников в триангуляции выполняется с целью определения неизвестных длин линий с точностью до целых метров от известной исходной стороны по теореме синусов: 𝑎 sin 𝐴 = 𝑏 sin 𝐵 = 𝑐 sin 𝐶 =𝑞 где а, b, с – стороны треугольника; А, В, С – противолежащие им углы Отсюда: b=q sin B, c=q sin C При этом используются значения измеренных углов, округленные до десятков секунд и составляющие в сумме в каждом из треугольников ровно 180°. Полученные длины сторон необходимы в дальнейшем для отыскания поправок за центрировку и редукцию и введения их в измеренные направления. Кроме того, длины сторон используются для вычисления сферических избытков ε в каждом из треугольников с целью получения их невязок, по которым можно оценить качество измерений: 𝑊 = ∑ 𝛽изм − (180° + 𝜀) Сферический избыток треугольника зависит от его площади и вычисляется по любым двум сторонам и углу между ними: 𝜀 ″ = 𝑓𝑎𝑏 sin 𝐶 = 𝑓𝑎𝑐 sin 𝐵 = 𝑓𝑏𝑐 sin 𝐴 где 𝑓 = 𝜌″ 2 2𝑅𝑚 (1) здесь ρ" =206265"; Rm–средний радиус кривизны поверхности земного эллипсоида, выраженный в километрах, зависящий от широты места, Табличное значение f находится по средней широте сети (приложение 1, приведенное из практикума по высшей геодезии), Сферические избытки в триангуляции 1–2 классов вычисляются до 0,001", Значения сторон в формуле выражают в километрах. Для линейно-угловых сетей вычисление сферических избытков можно выполнить в соответствии со схемой вычислений, используемой в триангуляции (табл. 3) Полученные в таблице по измеренным углам длины линий можно 6 использовать для их грубого контроля в линейно-угловых сетях, Последняя колонка в таблице заполняется после введения поправок за центрировку и редукцию в измеренные направления. Таблица 1. Предварительное решение треугольников и вычисление Т С Б 1 М С Т 2 З М С 3 Т З С 4 Измер, углы β Измеренные углы N вершин N треугол. сферических избытков 75°53′17″ 67 38 50 36 27 53 180 00 00 39°30′29″ 29 12 09 111 17 22 180 00 00 103°39′48″ 55 15 05 21 05 07 180 00 00 77°38′35″ 52 04 10 50 17 15 180 00 00 Sin β Длины Сферически сторон, м е избытки ε" β, приведенные к центрам, Невязки W" 0,969821208 0,924859791 0,594327729 q=21336,7 20693 19733 12681 0,636186701 0,487897747 0,931758133 q=19932,8 12681 9725 18572 0,971700487 0,821660755 0,359757073 q=19113,5 18572 15705 6876 0,976833368 0,788756377 0,769260179 q=16077,5 15705 12681 12368 f=0,00253 ε = 0,614 75°53′17.08″ 67 38 49,49 36 27 53,65 180 00 0,22 0 0 -0,39 ε = 0,291 39°30′29,36″ 29 12 09,71 111 17 21,92 180 00 0,99 00 00 0,70 ε = 0,265 103°39′48,29″ 55 15 03,86 21 05 05,60 179 59 57,75 00 00 -2,52 ε = 0,388 77°38′35,51″ 52 04 08,74 50 17 15,31 179 59 59,56 00 00 0,83 1.3 Вычисление поправок за центрировку, редукцию и составление таблицы направлений, приведенных к центрам пунктов В связи с отсутствием прямой видимости между центрами геодезических 7 пунктов, вследствие кривизны Земли и наличия препятствий, измерение направлений и углов выполняют со столиков знаков, наблюдая визирные цели соседних знаков или отражателей на их столиках при измерении сторон. Для оценки качества выполненных измерений и составления таблиц плоских направлений и длин сторон все измеренные направления и линии должны быть приведены к центрам пунктов путем введения в их значения со своими знаками вычисленных поправок за центрировку и редукцию. Геометрический смысл угловых поправок на одном из пунктов покажем на рис. 2. Рисунок 1. Определение поправок за центрировку и редукцию на пункте D. Обозначения: J, V, С – проекции оси вращения инструмента, оси визирного цилиндра и центра пункта D на горизонтальную плоскость; пункт А – начальное направление; пункт В – один из пунктов наблюдаемой сети; М, М1 – углы между пунктами, отсчитываемые от начального направления, определяющие значения измеренных направлений, для которых вычисляются 8 поправки; 1, θ – линейный и угловой элементы центрировки; l1, θ1 – линейный и угловой элементы редукции; СDA, СDВ – поправки за центрировку в направления DA, DB; rAD, rBD – – поправки за редукцию в направления DA, DB. Согласно представленного рисунка поправки за центрировку и редукцию вычисляются по следующим формулам: 𝑙 sin(𝜃 + 𝑀)𝜌″ 𝑆 𝑙 sin(𝜃 1 1 + 𝑀1 )𝜌″ 𝑟″ = } 𝑆 𝑐″ = Линейные и угловые элементы определяют графическим или аналитическим путем: l, l1 с точностью до целых миллиметров; θ, θ1 – до 15', Вычисление поправок за центрировку и редукцию на пунктах сети представлено в табл. 4. В триангуляции 1– 2 классов и в специальных сетях соответствующей точности, поправки вычисляют до 0,001", С целью контроля, вычисления выполняются независимо «в две руки». Направления Таблица 2. Вычисление поправок за центрировку и редукцию l, м С–Б θ 0,029 170°45′ θ+M S, м 170°45′ 20693 с" l1 , м 0,095 0,017 θ1 209° θ1+M1 г" 209°00′ 00″ -0,136 Т 238 23 50 12681 -0,223 0,017 276 38 50 -0,272 М 267 35 58 18573 0,314 0,017 305 50 58 0,016 3 288 41 05 15705 0,027 0,017 326 56 05 0,217 220°15′ 00″ 0,548 275 30 04 0,540 Б–Т С М–З С 0,047 198°15′ 0,047 0,015 131°30′ 0,015 198°15′ 19734 -0,440 234 42 53 20693 131°30′ 6876 0,393 0,340 0,049 220°15′ 186 45 04 18573 -0,035 0,049 9 Т 0,015 226 15 34 9725 0,317 0,049 315 00 34 -0,261 Полученные значения поправок вводятся со своим знаком в измеренные на пунктах направления и приводятся к нулевому начальному направлению, по следующим формулам: прив 𝑀𝑖𝑘 изм = 𝑀𝑖𝑘 + 𝑐𝑖𝑘 + 𝑟𝑘𝑖 ; (с𝑖𝑘 + 𝑟𝑘𝑖 ) = (с𝑖𝑘 + 𝑟𝑘𝑖 )𝑖𝑘 − (с𝑖𝑘 + 𝑟𝑘𝑖 )нач ; прив (𝑀𝑖𝑘 изм )0 = 𝑀𝑖𝑘 + (𝑐𝑖𝑘 + 𝑟𝑘𝑖 )0 ; Результатом вычислений является таблица направлений, приведенных к центрам пунктов (табл. 5), Найденные значения направлений можно использовать для предварительной оценки качества угловых измерений по величинам невязок треугольников в соответствии с формулой. Вычисления приведены в табл. 3. Полученные невязки не должны превышать допустимой величины, определяемой следующей формулой: 𝑊доп = 2,5𝜇√[аа] где μ – средняя квадратическая ошибка единицы веса; [аа] – сумма квадратов коэффициентов условного уравнения, Для линейно-угловой сети, соответствующей по точности измерениям углов в триангуляции 2 класса, μ = 1", а 𝑊доп = 2,5 ∗ 1″√3 ≈ 4,0″ Таблица 3. Таблица направлений, приведенных к центрам пунктов Направления Направления, Измерение направления 3–С 00°00′00″ прив. к центрам с" r" 0,217 (с+r)" 0,217 (с+r)"о 0,000 пунктов 0° 0′ 0,00″ 10 Т 52 04 08,96 М 103 39 47,96 С–Б 0 Т 0,000 -0,217 0,548 0,331 0,095 0,095 0,000 67 38 49,81 -0,223 -0,223 -0,318 67 38 49,49 М 96 50 58,44 0,314 0,855 0,760 96 50 59,20 3 117 56 4,87 0,027 0,027 -0,068 Б–Т 0 -0,440 -0,440 0,000 С 36 27 52,95 0,257 0,697 Т–М 0 0,000 0,000 3 33 38 46,41 0,000 0,000 33 38 46,41 С 111 17 21,65 -0,272 0,272 111 17 21,92 Б 187 10 39 0,000 0,000 187 10 39,00 М–З 0 0,340 0,340 0,000 С 55 15 04,22 -0,035 0,016 -0,019 Т 94 45 33,5 0,317 -0,261 0,056 0,548 0,540 0,393 -0,136 -0,272 52 4 8,74 103 39 48,29 0 0 117 56 0 0 0,00 4,80 0,00 36 27 53,65 0 0 0 0,00 0 0,00 -0,358 55 15 3,86 -0,284 94 45 33,22 Если полученные значения невязок превосходят данную величину, то необходимо дать рекомендации на повторные измерения на пунктах сети, образующих данный треугольник, с целью получения их допустимых значений. 1.4 Вычисление приближенных координат пунктов При редуцировании угловых измерений на плоскость в конформной проекции Гаусса–Крюгера необходимо в направления, приведенные к центрам пунктов, ввести поправки за кривизну изображения геодезических линий на плоскости. Для получения их значений используются координаты всех пунктов сети, которые нужно знать с точностью до целых метров. В связи с этим вычислим приближенные координаты определяемых пунктов сети по известным формулам решения прямых геодезических задач. 𝑥𝑘 = 𝑥𝑖 + ∆𝑥𝑖𝑘 = 𝑥𝑖 + 𝑆𝑖𝑘 cos 𝛼𝑖𝑘 } 𝑦𝑘 = 𝑦𝑖 + ∆𝑦𝑖𝑘 = 𝑦𝑖 + 𝑆𝑖𝑘 sin 𝛼𝑖𝑘 11 С целью контроля, вычисления приближенных координат выполняются дважды по сторонам треугольника, углы в которых не содержат невязок (табл. 6), Таблица 4. Вычисление приближенных координат пунктов Формулы i С Б С Т k T T 3 3 αисх 137° 33' 50" 317° 33' 50" 205° 12' 40" 25° 12' 40" ±β +67 38 50 –36 27 50 +50 17 20 –77 38 30 αi k 205 12 40 281 06 00 255 30 00 307 34 10 Xk 6 192 659 6 192 659 6 200 200 6 200 200 Xi 6 204 132 6 188 860' 6 204 132 6 192 659 –11 473 +3 799 –3 932 +7 541 –0,90474 0,19252 –0,25038 0,60972 12 681 19 734 15 705 12 368 –0,42595 –0,98129 –0,96815 –0,79261 –5 401 –19 365 –15 205 –9 803 Yi 15 515 205 15 529 167 15 515 205 15 509 803 Yk 15 509 804 15 509 802 15 500 000 15 500 000 ΔXi k cosαi k S sinαi k ΔYi k Формулы i З С З С k М М Т Т 75°29′56,56″ 205° 12′45″ 75° 29′56,56″ 137° 33′54,61″ ±β 103 39 48 29 12 09 52 04 10 67 38 50 αi k 179 09 45 234 24 54 127 34 07 205 12 45 Xk 6193325 6193325,00 6192659,00 6192660,00 Xi 6200200 6204133,00 6200200 6204133,00 -6875 -10808,00 -7541,00 -11473,00 -0,999893172 -0,58 -0,61 -0,90 6876 18573,00 12368,00 12681,00 0,014616612 -0,81 0,79 -0,43 101 -15105,00 9803,00 -5402,00 Yi 11500000 11515205,00 11500000 11515205,00 Yk 11500101 11500100,00 11509803,00 11509803,00 αисх ΔXi k cosαi k S sinαi k ΔYi k 12 Расхождения в полученных координатах одноименных пунктов не должны превышать 2 м. 1.5 Вычисление поправок в направления за кривизну изображения геодезических линий на плоскости и их контроль Поправки в направления за кривизну изображения геодезических линий на плоскости в проекции Гаусса–Крюгера для сетей, соответствующих точности угловых измерений в триангуляции 2–3 классов, вычисляются по следующим формулам: 1 " 𝛿𝑖𝑘 = 𝑓 ∙ (𝑥𝑖 − 𝑥𝑘 ) ∙ (2𝑦𝑖 + 𝑦𝑘 ) 3 } 1 " 𝛿𝑘𝑖 = − 𝑓 ∙ (𝑥𝑖 − 𝑥𝑘 ) ∙ (𝑦𝑖 + 2𝑦𝑘 ) 3 где i, k – наименование направлений соответствующих наблюдаемым пунктам сети; х, у – координаты пунктов сети, выраженные в километрах с учетом размерности f, Величина (1/3f) для данной сети равна 0,000843 ("/км2). При вычислении поправок δi k, δk i необходимо обратить внимание на значения ординат у, данных в условной системе. Для получения их истинных значений, отсчитываемых от осевого меридиана зоны в разные стороны в проекции Гаусса–Крюгера, необходимо исключить номер зоны и вычесть постоянную величину, равную 500 км, вводимую в условную ординату для исключения отрицательных значений у. Так, например, для пункта С: условная система – y = 15 515204, 69 м, истинное значение – y = +15,205 км, Поправки δ вычисляют с точностью до 0, 001" (табл. 7), а в сводке направлений округляют до 0,01" (табл. 9), Контроль вычислений поправок производят по сферическим избыткам треугольников и вычисленным поправкам в углы треугольников, определяемых в соответствии с рис. 3. 13 Таблица 5. Вычисление поправок за кривизну изображения сторон на плоскости Формулы i З З З С С С Б Т k С Т М Б Т М Т М Xi 6 200 6 200 6 200 6 204 6 204 6 204 6 189 6 193 Xk 6 204 6 193 6 193 6 189 6 193 6 193 6 193 6 193 -3,932 7,540 6,875 15,272 11,472 10,807 -3,800 -0,665 Yi 0,000 0,000 0,000 15,205 15,205 15,205 29,167 9,803 Yk 15,205 9,803 0,101 29,167 9,803 0,101 9,803 0,101 2Yi + Yk 15,205 9,803 0,101 59,577 40,213 30,511 68,137 19,707 δik -0,050 0,062 0,001 0,389 0,278 -0,218 -0,011 2Yk+Yi 30,410 19,606 0,202 73,539 34,811 15,407 48,773 10,005 -0,140 0,156 0,006 Xi–Xk δki 0,101 -0,125 -0,001 0,767 -0,947 -0,337 Рисунок 2. Схема вычисления поправок в углы Вершины треугольников нумеруются по ходу часовой стрелки. В этом случае поправки в углы при соответствующих вершинах находятся как разности поправок правого и левого направлений: 𝛿1 = 𝛿13 − 𝛿12 𝛿2 = 𝛿21 − 𝛿23 } 𝛿3 = 𝛿32 − 𝛿31 Сумма поправок в углы δ1 в каждом треугольнике должна быть равна сферическому избытку ε, взятому с обратным знаком, т.е. Σδ1 = – ε Контроль вычисления поправок в углы приведен в табл. 8. Расхождение в их 14 значениях не должно превышать ошибки вычисления, равной 0,001". Таблица 6. Контроль вычисления поправок δi k N треуг. Название δ1" вершин δ2" δ3" Σδi" Сферический избыток ε" 1 ТСБ 0,493 -0,378 -0,728 -0,614 0,614 2 МСТ 0,146 -0,111 -0,326 -0,291 0,291 3 ЗМС 0,051 -0,139 -0,177 -0,265 0,265 4 ТЗС -0,212 0,113 -0,288 -0,387 0,388 1.6 Составление сводки направлений, приведенных к центрам пунктов и редуцированных на плоскость Полученные значения поправок со своими знаками вводят в измеренные направления, приведенные к центрам пунктов. Результатом данных вычислений является сводка измеренных направлений на плоскости в проекции Гаусса– Крюгера (табл. 9). Таблица 7. Сводка измеренных направлений на плоскости. Направления, Направления прив. к центрам δi k" (δi k)"o пунктов Направления на плоскости 3–С 0° 0′ 0,00″ -0,050 0,000 0° 0′ 0,00″ Т 52 4 8,74 0,062 0,113 52 4 8,85 М 103 39 48,29 0,001 0,051 103 39 48,34 С–Б 0 0 0,00 0,767 0,000 0 0 0,00 Т 67 38 49,49 0,389 -0,378 67 38 49,11 М 96 50 59,20 0,278 -0,489 96 50 58,71 3 117 56 4,80 0,101 -0,666 117 56 4,13 Б–Т 0 0 0,00 -0,218 0,000 0 0 0,00 С 36 27 53,65 -0,947 -0,728 36 27 52,92 Т–М 0 0 0,00 -0,011 0,000 0 0 0,00 15 3 33 38 46,41 -0,125 -0,114 33 38 46,30 С 111 17 21,92 -0,337 -0,326 111 17 21,59 Б 187 10 39,00 0,156 0,167 187 10 39,17 М–З 0 0 0,00 -0,001 0,000 0 0 0,00 С 55 15 3,86 -0,140 -0,139 55 15 3,72 Т 94 45 33,22 0,006 0,007 94 45 33,23 Сводка редуцированных на плоскость направлений является исходным материалом для уравнительных вычислений и оценки качества выполненных измерений по значениям свободных членов, возникающих в сети, условных уравнений. С целью контроля правильности введения поправок δ в каждое направление и приведения их к начальному по полученным плоским направлениям повторно вычислим значения невязок треугольников (табл. 10), W = Σ βi – 180° Таблица 8. Контроль вычисления невязок треугольников по плоским углам N тр 1 N вершин Т С Б ∑βi Измеренные плоские углы βi 75 53 17,58 ' 67 38 49,11 " 36 27 52,92 179 59 59,61 Невязки W" -0,39 2 М С Т 39 30 29,51 29 12 9,60 111 17 21,59 180 0 0,70 0,70 3 З М С 103 39 48,34 55 15 3,72 21 5 5,42 179 59 57,48 -2,52 4 Т З С 77 38 35,29 52 4 8,85 50 17 15,02 179 59 59,16 -0,84 Величина расхождений с ранее полученными значениями невязок не должна превышать точности вычислений, равной 0, 01". 16 2 Предварительная обработка линейных измерений Камеральная обработка линейно-угловых сетей выполняется на плоскости в проекции Гаусса–Крюгера, и поэтому, измеренные на физической поверхности Земли длины линий также необходимо редуцировать на плоскость в данной проекции, т.е. выполнить их предварительную обработку. При обработке линейных измерений соблюдается следующая последовательность вычислений: – вычисление поправок за центрировку дальномера и редукцию отражателя; – приведение измеренных наклонных расстояний к горизонту; – вычисление эллипсоидальных длин линий; – вычисление поправок за редуцирование длин линий на плоскость; – составление таблицы длин сторон, приведенных к центрам пунктов и редуцированных на плоскость. 2.1 Вычисление поправок за центрировку и редукцию в измеренные расстояния. Длины линий между пунктами сети могут быть измерены со штативов, установленных над центрами пунктов, а в случае отсутствия прямой видимости между ними – со столиков знаков, установленными на них электронными дальномерами и отражателями, При измерении длин со столиков знаков в их значения необходимо ввести поправки за приведения к центрам пунктов, которые можно определить по формулам для l и li < 1 м : 𝛿𝑐 = −𝑙 cos(𝜃 + 𝑀) } 𝛿𝑟 = −𝑙1 cos(𝜃1 + 𝑀1 ) Значения величин, входящих в формулу, покажем на рис. 4. Рисунок 3. Вычисление поправок за центрировку δc и за редукцию δr. l, l – линейные элементы центрировки и редукции; 17 θ, θi – угловые элементы центрировки и редукции на начальное направление (линию); JA, JB, CA, CB – проекции центров дальномера, отражателя и пунктов на горизонтальную плоскость, Для одной линии, измеренной между пунктами, например, в полигонометрии, М и M1 равны 0. При измерении линий в линейно-угловых сетях М и M1 – углы между начальной и вычисляемой линией, для которой находятся поправки. Длина стороны, приведённой к центрам пунктов вычисляется по формуле: 𝐷 = 𝐷изм + 𝛿𝑐 + 𝛿𝑟 Их значения приведены в табл. 11. Таблица 9. Длины линий, приведенные к центрам пунктов Назв. лин. Dизм, м 1, м (Q+M), δc, м 1i, м (Q1+M1), δr, м D, м Т-М 9725,505 - - - 0,015 131°30′ -0,0135 9725,492 Т-З 12368,052 - - - - - - 12368,052 Т-С 12681,351 - - - 0,029 282 02 -0,0221 12681,329 Т-Б 19733,89 - - - 0,047 198 15 0,0445 19733,935 М-З 6876,427 - - - 6876,414 М-С 18573,156 0,015 0,029 170 45 -0,0135 18573,145 0,015 131°30′ -0,0135 186 45 0,0026 При вычислении δr предполагается, что точки стояния отражателей совмещены с точками стояния теодолита. При определении длин линий, приведенных к горизонту и редуцированных по нормалям на референц–эллипсоид с физической поверхности Земли, необходимо вычислить поправки в приведенные к центрам длины линий. Для более ясного представления сути вводимых поправок, покажем на рисунке основные величины, используемые для их вычисления (рис. 5). 18 Для линий менее 100 км. поверхность относимости можно принять за сферу с центром в точке О, радиус которой равен радиусу кривизны эллипсоида вдоль из Рисунок 4. Определение эллипсоидальной длины линии . Принятые обозначения на рисунке: АО и ВО – нормали к референц–эллипсоиду; АА' = iА – высота дальномера; ВВ' = iВ – высота отражателя; B'b" = h – превышение; 𝛾 𝛾 𝐻𝐴 , 𝐻𝐵 – нормальные высоты точек ζA, ζB – высоты квазигеоида над эллипсоидом; RA – радиус кривизны референц–эллипсоида по направлению азимута А линии АВ; A'b" = Dr – горизонтальное проложение линии; a'b'' = D э л – длина линии на эллипсоиде; 19 Dо – хорда; 𝛾 𝐻𝐴 = 𝐻𝐴 + 𝜁𝐴 – геодезическая высота точки А; 𝛾 𝐻𝐵 = 𝐻𝐵 + 𝜁𝐵 – геодезическая высота точки В. 2.2 Приведение измеренных наклонных расстояний к горизонту Вычисление горизонтального проложения измеренных длин линий, приведенных к центрам, выполняется по формуле: 𝐷𝑟 = 𝐷 + 𝛿ℎ где δh – поправка за приведение к горизонту, Ее значение находится по следующей формуле: 𝛿ℎ = − ℎ2 2𝐷 − ℎ4 8𝐷3 𝛾 𝛾 где ℎ = (𝐻𝐵 + 𝑖𝐵 ) − (𝐻𝐴 + 𝑖𝐴 ) – превышение отражателя над дальномером, определяемое разностью их нормальных высот; iА, iВ – высоты отражателя и дальномера над центрами пунктов А и В, Вычисление δh и длин линий, приведенных к горизонту, покажем в табл. 12. Таблица 10. Длины линий, приведенные к горизонту Название линий D, м Нормальные высоты пунктов, м γ H A + iA h, м δh м Dr, м γ H B + iB Т-М 9725,491 183,545 191,375 Т-З 12368,052 183,545 183,466 -0,079 Т-С 12681,329 183,545 177,730 -5,815 -0,001 12681,328 Т-Б 19733,934 183,545 208,772 25,227 -0,016 19733,918 М-З 6876,413 191,375 183,466 -7,909 -0,005 М-С 18573,146 191,375 177,730 -13,645 -0,005 18573,141 7,830 -0,003 9725,488 0,000 12368,052 6876,409 2.3 Определение эллипсоидальных длин линий Длина линии на эллипсоиде вычисляется по формуле: Dэ л = Dr + δH + δR 20 где δH – поправка в линию за переход к длине хорды на эллипсоиде; δR – поправка за переход от хорды к искомой ее длине на поверхности референц–эллипсоида. С учетом принятых обозначений на рис. 5 приведем формулы вычисления указанных поправок: 𝛿𝐻 = − 𝛿𝑅 = 𝐻𝑚 𝑅𝐴 +𝐻𝑚 ∗ 𝐷𝑟 𝐷3 2 24∗𝑅𝐴 где 𝐻𝑚 = 𝐻𝐴 +𝐻𝐵 2 – - геодезическая высота средней точки измеренной стороны над поверхностью референц–эллипсоида; RA – радиус кривизны эллипсоида в этой точке по направлению азимута А данной стороны, Геодезическая высота любой точки Hk находится по формуле: 𝛾 𝐻𝑘 = 𝐻𝑘 + 𝑖𝑘 + 𝜁𝑘 𝛾 где 𝐻𝑘 – нормальная высота центра пункта над уровнем моря; ik – высота установки дальномера или отражателя над центром пункта; ζk – аномалия высоты в этой точке – превышение квазигеоида над референц– эллипсоидом. В нашем случае ζk = 0. Радиус кривизны референц–эллипсоида для каждой из сторон выбирается из прилож. 2 или из прилож. 6 в по ее геодезическому азимуту и широте средней точки стороны. Геодезический азимут может быть вычислен по формуле: ААВ = αАВ+ γА – δАВ где αАВ – дирекционный угол данной стороны; γА – гауссово сближение меридианов на первом пункте сети; δАВ – поправка в направление за кривизну изображения стороны на 21 плоскости, Ввиду небольших значений γ (не более 12' для сторон, расположенных не далее 25 км от осевого меридиана) и δ полагаем в вычислениях: ААВ = αАВ, Вычисления эллипсоидальных длин приведем в табл. 13. Таблица 11. Вычисление эллипсоидальных длин линий Назв, лин Dr, м Hm, м А RA, км δН, м δR, м Dэ л, м Т-М 9725,488 187,460 274 6393,631 -0,285 0,001 9725,204 Т-З 12368,052 183,506 308 6389,146 -0,355 0,002 12367,699 Т-С 12681,328 180,638 25 6383,823 -0,359 0,002 12680,971 Т-Б 19733,918 196,159 101 6393,272 -0,605 0,008 19733,321 М-З 6876,409 187,421 359 6381,732 -0,202 0,000 6876,207 М-С 18573,141 184,553 54 6389,542 -0,536 0,007 18572,611 2.4 Редуцирование эллипсоидальных длин линии на плоскость. Длина линий на плоскости в проекции Гаусса–Крюгера определяется следующим выражением: Dпл = Dэл + δD , где 𝛿𝐷 = ( 2 𝑦𝑚 2 2𝑅𝑚 + 2 𝛥𝑦𝑚 2 24𝑅𝑚 ) ∗ 𝐷эл есть поправка за редуцирование длины стороны. Здесь: 𝑦𝑚 = 𝑦𝑖 +𝑦𝑘 2 средняя ордината линии ik, ∆y = yk – yi, Rm – средний радиус кривизны референц-эллипсоида на широте данного объекта, Rm выбирается из прилож,1 по широте В, В нашем случае для В = 58°10’ Rm = 6388 км, Вычисление длин линий на плоскости, полученных по формулам приведены в табл. 14. 22 Таблица 12. Длины линий на плоскости. Наз. ст. Dэ л,, м Yi, м Ym, км Q, м ∆y, км Q, м δD, м Dпл, м Т-М 9725,204 9803 101 4952 0,003 -9702 0,001 0,004 9725,208 Т-З 12367,699 9803 000 4901,5 0,004 -9803 0,001 0,005 12367,704 Т-С 12680,971 9803 15205 12504 0,024 5402 0,000 0,025 12680,996 Т-Б 19733,321 9803 29167 19485 0,092 19364 0,008 0,099 19733,420 М-З 6876,207 101 000 50,5 0,000 -101 0,000 0,000 6876,207 М-С 18572,611 101 15205 7653 0,013 15104 0,004 0,018 18572,629 𝑄 = 𝐷эл ∗ 2 𝑦𝑚 2 𝛥𝑦𝑚 2𝑅𝑚 2 24𝑅𝑚 2 ; 𝑄′ = 𝐷эл ∗ В дальнейшем сводная таблица плоских длин линий используется для оценки качества выполненных измерений по свободным членам возникающих в сети условных уравнений. 23 3 Оценка точности выполненных измерений по свободным членам условных уравнений. Для оценки качества выполненных измерений составляют в оцениваемой сети условные уравнения связи, находят свободные члены условных уравнений и сравнивают их с допустимыми значениями, определяемыми известной формулой (6), Определение общего числа независимых условных уравнений в плановой сети производится по формуле: r = N – 2k где N – общее числе измеряемых величин (углов и сторон); k – число определяемых пунктов, Обозначим на схеме сети (рис, 6) измеренные углы и стороны и произведем общий подсчет числа условных уравнений по формуле и по видам для данной сети: Рисунок 1. Схема сети r = 17 – 2*2=13 По видам: 1) фигур – 4 2) полюсное – 1 3) дирекционного жесткого угла – 1 4) жестких сторон – 1 5) синусные условия – 6 Итого: 13 Значения свободных членов условных уравнений фигур получены при обработке угловых измерений в разделе 1. Их величины не превышают допустимого значения, что говорит о хорошем качестве выполненных угловых измерений. 24 3.1 Оценка качества угловых измерений 3.1.1 Полюсное условие Полюсное условие возникает в геодезическом четырехугольнике ЗСТМ (рис. 7). Геометрический смысл полюсного условия состоит в вычислении одной из сторон четырехугольника дважды через измеренные углы. За полюс можно выбрать любую из вершин четырехугольника или фиктивное пересечение диагоналей. В последнем случае в условном уравнении полюса участвуют все углы, входящие в геодезический четырехугольник. Рисунок 5. Схема сети Полюсное условие составляется через отношения сторон и противолежащих им углов. Выбрав за начало одну из обозначенных сторон от пересечения диагоналей (см. рис. 7) составляем их отношение как каждой последующей стороны к предыдущей 𝑏 𝑎 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ∗ ∗ ∗ =1 Тогда условное уравнение связи запишется как sin 2′ ∗ sin 3′ ∗ sin 5′ ∗ sin 8′ −1=0 sin 1′ ∗ sin 4′ ∗ sin 6′ ∗ sin 7′ где 1', 2', ,,, – уравненные углы. В соответствии с данным выражением линеаризованное условное уравнение полюса запишется в следующем виде: 25 ctg2V2+ctg3V3+ctg5V5+ctg8V8–ctglV1–ctg4V4–ctg6V6–ctg7V7+Wn=0, Свободный член полюсного условия определяется как sin 2∗sin 3∗sin 5∗sin 8 (sin 1∗sin 4∗sin 6∗sin 7 − 1) ρ" = WП а его допустимое значение находится в соответствии с приведенной выше формулой (6): WП.доп = 2,5μ√∑ ctg 2 β1 Вычисление свободного члена и его допустимого значения приведены в табл. 15. Таблица 13. Вычисление свободных членов и коэффициентов при поправках в углы. Числитель Углы βi Знаменатель Значения углов ctg2βi sinβi Углы βi Значения углов sinβi ctg2βi 2 52°04′8,85″ 0,788753 0,607 1 77°38′35,29″ 0,976834 0,0479 3 29 12 9,60 0,487900 3,201 4 21 05 5,42 0,359750 6,727 5 55 15 3,72 0,821657 0,481 6 39 30 29,51 0,636189 1,4701 8 33 38 46,30 0,554063 2,258 7 51 35 39,49 0,783632 0,628 П1= П1, П2 – П2= 0,175195 произведения синусов углов числителя 0,175194 и знаменателя соответственно. WП = П1 − П2 ρ" = 1,24" П2 ∑ ctg 2 β1 = 15,42 WП.доп = 2,5 ∗ 1√15,42 = 9,82" 26 3.1.2 Условие жесткого дирекционного угла Рисунок 6. Условие жесткого дирекционного угла Для нашей сети данное условное уравнение связи запишется в следующем виде: αСЗ – β'3 – β'2 – β'1 – αСБ = 0 а значение свободного члена выразится как Wα = αСЗ – β'3 – β'2 – β'1 – αСБ для условного уравнения дирекционного жесткого угла: – V3 – V2 – V1 + Wα = 0 , Вычисление свободного члена приведено в табл. 16. Таблица 14 Формулы αСЗ β1 β2 β3 Результат 255°29′ 56,5″ 67°38′ 49,11″ 29°12′ 9,60″ 21°05′ 05,42″ αСБ Wα'' 137°33′ 54,61″ 2,24″ Wα.доп = 2,5 ∗ 1√2,24 = 3,74" 27 3.1.3 Условие жестких базисных сторон Рисунок 7. Условие жестких базисных сторон Условное уравнение связи составляется между базисными сторонами: 𝑆СБ sin 6′∗sin 4′ sin 5′∗sin 3′ − 𝑆СЗ = 0 Условное уравнение жестких сторон запишется в следующем виде: ctg 6 V6 + ctg 4 V4 - ctg 5 V5 - ctg 3 V3 + WБ = 0 а свободный член выражается как: sin 6∗sin 4 ρ" (𝑆СБ sin 5∗sin 3 − 𝑆СЗ ) 𝑆 = 𝑊Б СЗ Выбрав из табл. 9 значения углов βi и из табл. 1 исходные значения сторон, вычислим по формуле свободный член условия жестких сторон: Числитель ‘’’Знаменатель Углы βi Значения углов sinβi ctg2βi Углы βi Значения углов sinβi ctg2βi 4 77°38′35,29″ 0,977 0,048 3 52°4′8,85″ 0,789 0,607 6 36 27 52,92 0,594 1,831 5 75 53 17,58 0,969 0,063 П1= 0,581 П2= 0,765 ∑ ctg 2 βi = 2,549 СБ= 20692,775 СЗ= 15704,997 СЗ’= 15704,790 28 Величина WБ = 2,72″, а его допустимое значение находится как: WБ.доп = 2,5μ√∑ ctg 2 βi = 2,5 ∗ 1"√2 = 3,54" Оценка качества линейных измерений по свободным членам синусных 3.2 условий сторон Рисунок 8 Оценка качества линейных измерений по свободным членам синусных условий сторон. В данной линейно-угловой сети возникает 6 условных уравнений связи сторон: sin 9′ ′ ′ 1. 𝑆СБ ∙ sin 11′ − 𝑆ТБ =0 ′ 2. 𝑆ТБ ∙ 3. ′ 𝑆СТ 4. ′ 𝑆МТ 5. ′ 𝑆СМ 6. ′ 𝑆ЗМ ∙ ∙ sin 10′ sin 9′ sin(3′ ) sin 6′ ′ − 𝑆СТ =0 ′ − 𝑆МТ =0 sin(4′ +5′ ) sin 3′ ′ − 𝑆СМ =0 sin(2′ ) ′ ∙ sin(1′ +8′ ) − 𝑆ЗМ =0 ∙ sin(6′ +7′ ) sin(5′ ) ′ − 𝑆ЗТ =0 В представленных уравнениях S' обозначены уравненные на плоскости значения измеренных длин сторон. Свободные члены данных условных 29 уравнений вычисляются аналогично условию жестких сторон. Значения измеренных углов выбираются из табл. 9, значения измеренных сторон – из табл. 14, а исходные – из табл. 1. Составление синусных условных уравнений и формулу вычисления отыскиваемого и допустимого свободного члена покажем на примере первого условного уравнения. Оно запишется в следующем виде: sin 9 𝑉𝑆СБ + 𝑆СБ 𝜌" ∙ cos 9 𝑉9 − sin 11 𝑉𝑆ТБ − 𝑆ТБ 𝜌" ∙ cos 11 𝑉11 + 𝑊𝑆1 = 0 Так как сторона СБ является исходной, то поправка к ней не отыскивается и уравнение окончательно запишется как: 𝑆СБ 𝜌" ∙ cos 9 𝑉9 − sin 11 𝑉𝑆ТБ − 𝑆ТБ 𝜌" ∙ cos 11 𝑉11 + 𝑊𝑆1 = 0 Свободный член данного условного уравнения находится по формуле: 𝑆СБ ∙ sin 9 − 𝑆ТБ ∙ sin 11 = 𝑊𝑆1 Допустимый свободный член вычисляется по формуле: WS.доп = 2,5√sin2 11 m2S + 2 S2СБ S2ТБ ρ" ρ"2 cos 2 9 m2 β + 2 cos 2 11 m2 β При средней квадратической ошибке измерения стороны ms равной 2 см. Так как в дальнейшем данный процесс не требует особых пояснений, то результаты вычислений свободных членов с их допустимыми значениями для всех шести условных уравнений приведем в табл. 17. Таблица 15 Формулы Условные уравнения сторон 1 2 3 4 5 6 WS, м -0,021 -0,009 -0,002 -0,046 -0,109 0,013 WS ДОП , м 0,155 0,295 0,213 0,207 0,302 0,128 Как видно из таблицы значения невязок не превышают их допустимых величин. 30 Список литературы 1. Высшая геодезия. Высокоточные измерения /Малков А. Г.: учеб.-метод. пособие. – Новосибирск : СГГА, 2011. – 46 с 2. Уравнивание геодезических сетей. /Машимов М. М. – М. : Недра, 1970. 3. Практикум по высшей геодезии / Н.В. Яковлев. Н.А. Беспалов. В.П. Глумов и др. Учебное пособие для вузов. – М.: Недра. 1982. – 368 с. 4. Высшая геодезия / Н.В. Яковлев. Учебник для ВУЗов. М.: Недра. 1989. 5. Основные геодезические работы. Предварительная обработка измерений в геодезических сетях КР №3. А.Г. Малков. Методические указания. Новосибирск. 1997г. 31
