( )

71
Получаем уравнение нормали :
y − y0 = −
1
( x − x0 )
f ′( x 0 )
Углом между кривыми называется угол между касательными к кривым в точке
пересечения.
§2 ДИФФЕРЕНЦИЕМОСТЬ ФУНКЦИИ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Дифференцируемость функции. Пусть функция y = f ( x) определена в
некоторой окрестности точки x 0 .
Определение Функция y = f ( x) называется дифференцируемой в точке x 0 ,
если ее приращение в этой точке ( f ( x 0 + Δx ) − f ( x 0 )) может быть представлена в
виде
f ( x 0 + Δx ) − f ( x 0 ) = AΔx + o( Δx ) ,
где А- некоторое действительное число; o( Δx ) - бесконечно малая функция более
высокого порядка, чем Δx , при Δx → 0
Теорема 1 Для того, чтобы функция y = f ( x) была дифференцируемой в точке x 0
необходимо и достаточно, чтобы в точке x 0 существовала конечная производная
f ′( x ) = A .
Теорема 2 Если функция y = f ( x) дифференцируема в некоторой точке x 0 , то
она и непрерывна в этой точке.
Обратное, вообще говоря, не верно.
Дифференциал функции.
Определение Главная линейная часть приращения функции называется ее
дифференциалом :
df ( x 0 ) = f ′( x 0 )Δx
в частности при y = x имеем y ′ = 1 . Следовательно
дифференциал и приращение независимой переменной совпадают.
Тогда дифференциал можно представить в виде
dy = dx = Δx , т.е.
df ( x 0 ) = f ′( x 0 )dx
Геометрический смысл дифференциала : дифференциал dy функции y = f ( x) в точке
x 0 изображается приращением ординаты касательной.
72
y
M
Р
M0
N
x
x0
0
Дифференциал функции можно использовать для вычисления приближенных
значений функции, заменяя приращение функции ее дифференциалом, получаем
формулу
f ( x 0 + Δx ) ≈ f ( x 0 ) + f ′( x 0 ) dx
§3 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛА
Производная сложной функции. Пусть y = f ( u( x ) ) = ( f o u)( x ) . Придадим
фиксированному значению аргумента x приращение Δx . Этому приращению
соответствует приращение Δu функции u( x ) . Приращению. Δu в свою очередь
соответствует приращение Δy функции y = f ( u ) в точке х. Составим отношение
Δy f ( u) − f ( u0 ) f ( u) − f ( u0 ) u − u0
⋅
=
=
,
Δx
x − x0
u − u0
x − x0
т.е.
Δy Δf Δu
=
⋅
.
Δx Δu Δx
При Δx → 0
приращения Δu и Δy в силу дифференцируемости
соответствующих функций стремятся к нулю. Так как по определению
Δu
Δf
= u ′ ( x ), lim
= f u′( u)
Δx → 0 Δx
Δu→ 0 Δu
lim
то
y = f ( u( x )) ⇒ y ′ = f u′( u) ⋅ u ′( x ) .
Функцию u иногда называют промежуточным аргументом, а x основным
аргументом.
Правило дифференцирования сложной функции. Производная сложной
функции равна произведению производной этой функции по промежуточному
аргументу и производной промежуточного аргумента по основному аргументу.
73
Полученное правило обобщается на композицию нескольких функций.
Дифференциал
сложной
функции.
Инвариантность
формы
дифференциала. Пусть дана сложная функция y = f ( u) , u = u( x ) . Ранее уже мы
определили дифференциал в точке x 0
dy = f ′( x 0 ) dx ,
(1)
где dx = Δx
Если же переменной является u , то y ′ = f u′( u) u ′( x ) и, следовательно,
dy = f u′( u)u ′( x ) dx . Так как u ′( x ) dx = du то в случае сложной функции имеем
dy = f ′( u) du
(2)
Формулы (1) и (2) для дифференциала совпадают по форме записи, однако имеют
различный смысл : в первом случае dx = Δx , а во втором т.
Таким образом, дифференциал функции всегда равен произведению
производной и дифференциала аргумента и не зависит от того, является ли
величина, по которой взята производная, независимой переменной или только
промежуточным аргументом. В этом и заключается инвариантность формы
дифференциала.
dy
т.е. производная функции в
dx
точке численно равна отношению дифференциала функции dy и переменной dx
независимо от того, является функция y = f ( x ) функцией независимой переменной
Из свойства инвариантности следует, что f ′( x 0 ) =
либо сложной функцией.
§ 4 ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Пусть функции u = u( x ) и v = v ( x ) дифференцируемы в точке в точке x 0 и
некоторой ее окрестности.
Правило дифференцирования алгебраической суммы функций.
Производная
(дифференциал)
алгебраической
суммы
конечного
числа
дифференцируемых
функций
равна
алгебраической
сумме
производных
(дифференциалов) отдельных слагаемых.
> Рассмотрим функцию y = u( x ) + v ( x ) . Дадим фиксированному значению
аргумента x приращение Δx . Тогда функции u = u( x ), v = v ( x ) получат приращения
Δu и Δv , а функция y приращение Δy = Δu + Δv Таким образом по определению
Δy
Δu + Δv
Δu
Δv
= lim
= lim
+ lim
.
Δx → 0 Δx
Δx → 0
Δx → 0 Δx
Δx → 0 Δx
Δx
Так как по условию теоремы функции u = u( x ), v = v ( x ) дифференцируемы то
y ′ = lim