Лекции по математическому анализу

В.Т. Дубровин
ЛЕКЦИИ ПО
МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
Часть I
Казань, 2012
В.Т. Дубровин
ЛЕКЦИИ ПО
МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
Часть I
Казань, 2012
УДК 517.5
ББК 22.16Я73
Д79
Печатается по рекомендации
кафедры математической статистики
Института ВМ и ИТ
Казанского (Приволжского) федерального университета
Научный редактордокт. ф-м. н., зав. каф. мат. стат. КФУ В.С. Желтухин
Рецензенты:
канд. ф-м. наук, доц. каф. мат. стат. КФУ А.М. Сидоров
канд. ф-м. наук, доц. КГАСУ Ф.Г. Габбасов
Дубровин В.Т.
Д79 Лекции по математическому анализу: учебное
пособие. – 3–е изд., перераб. и доп. / В.Т. Дубровин. – Казань:
Казан. ун-т, 2012. Ч.I. – 180 с.: илл.
ISBN 978-5-905787-43-0
В предлагаемом учебном пособии излагается лекционный
материал по курсу "Математический анализ", раздел:
"Дифференциальное и интегральное исчисление функций
одной переменной". Указан материал, рекомендуемый для
самостоятельного изучения.
УДК. 517.5 (075.8)
ББК 22.16Я73
ISBN 978-5-905787-43-0
©Казанский (Приволжский)
федеральный университет, 2012
ПРЕДИСЛОВИЕ
В основу данной книги положены лекции, читавшиеся
автором в течение ряда лет для студентов специальности
"Прикладная
математика"
Казанского
федерального
университета.
Весь
материал
излагается
в
виде,
непосредственно преподносимом на лекциях, и поэтому может
быть использован в качестве конспекта будущих лекций.
Наличие практически готового текста лекций позволит
студентам предварительно ознакомиться с излагаемым
материалом, освободит их от тщательного конспектирования
и даст, тем самым, возможность уделить больше внимания
пониманию содержания лекции.
Предполагается, что книга может быть использована в
качестве учебного пособия при изучении математического
анализа не только студентами специальности "Прикладная
математика" , но и студентами экономических, географических
и других специальностей университетов.
Первая часть содержит дифференциальное и интегральное
исчисление числовых функций одной переменной.
Отметим некоторые методические особенности данной
книги. Особо выделяется материал, рекомендуемый для
самостоятельного изучения, при этом начало и конец текста
всюду отмечены значком .xВсе доказательства различного вида
утверждений завершаются значком .
3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
Название "Математический анализ" представляет собой
сокращенное изменение старого названия "Анализ посредством
бесконечно малых". Что же анализируется с помощью
бесконечно малых? В классическом математическом анализе
такими объектами являются прежде всего функции, т. е.
переменные величины, зависящие от других переменных
величин. Ближайшая наша задача – изучение достаточно
общих, встречающихся на практике, функций методами
бесконечно малых или, что все равно, методами пределов.
Сущность метода пределов будет постепенно изучаться на
лекциях. Определение функции основывается на понятии
множества, поэтому прежде всего необходимо познакомиться с
понятием множества.
Глава 1
МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1.1 Множества и операции над ними.
§ 1.2 Понятие функции.
§ 1.3 Действительные числа. Свойство непрерывности
действительных чисел.
§ 1.4 Топология числовой прямой. Расширенная числовая
прямая.
§ 1.1 МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД
НИМИ
Часто мы сталкиваемся с трудноопределимым понятием,
которое выражается словом совокупность. Например, можно
говорить о совокупности людей, присутствующих в данный
момент в данной аудитории, о совокупности дождливых
4
дней в данном году и т. д. По-видимому, в каждом из
этих случаев можно было бы вместо слова совокупность
употреблять слово множество. В математике постоянно
приходится иметь дело с различными множествами: множество
точек, являющихся вершинами какого-нибудь многоугольника,
множество натуральных чисел (N), множество целых чисел
(Z) и т. д. Если мы попытаемся дать точное определение
понятию множества, то придем к определению множества
через множество. Например: "Множество возникает путем
объединения отдельных предметов в одно целое. Оно есть
множественность, мыслимое как единство". Поэтому мы примем
в качестве основного положения следующее:
"Вещи a, b, c, . . . особым, не подлежащим определению
образом, определяют вещь M , и, обратно, вещь M определяет
вещи a, b, c, . . .". Это отношение мы будем выражать словами:
множество M состоит из объектов a, b, c, . . .. Таким образом,
множество считается заданным, если про всякую вещь
определено, входит она в это множество или нет.
Множества бывают конечными и бесконечными.
Множество сторон многоугольника, множество корней
некоторого многочлена – примеры конечных множеств, т. е.
множеств, состоящих из конечного числа предметов. Примерами
бесконечных множеств могут служить: множество целых чисел,
множество четных чисел и т. д.
Множества мы будем обозначать прописными буквами
E, A, B, X, Y, . . ..
Если E обозначает некоторое заданное множество
предметов, а x – один из этих предметов, то говорят, что
x есть элемент множества и записывают это так: x ∈ E.
Элементы множеств мы будем обозначать малыми буквами
x, y, z, . . ..
Если x не есть элемент E, то это записывается так: x∈E
или x ∈
/ E.
Два множества называются равными (A = B) тогда и
только тогда, когда каждый элемент A является также и
элементом B и обратно.
Если из того, что x ∈ A следует, что x ∈ B,
то пишут A ⊂ B и говорят, что A входит в B или
A есть подмножество или часть B. Заметим, что при таком
определении случай A = B есть частный случай A ⊂ B.
5
Свойства отношения ⊂: если E ⊂ B, B ⊂ A, то E ⊂ A;
X = Y тогда и только тогда, когда X ⊂ Y и Y ⊂ X.
Последнее из этих свойств часто употребляется для
докозательства равенства двух множеств.
Замечание. Если множество состоит из одного элемента x,
то лучше его обозначать другой буквой, например A, потому
что надо отличать логически множество, состоящее из одного
элемента, от самого этого элемента. Например, множество
A = {1, 2} состоит из двух элементов, но множество {A} состоит
из одного элемента (здесь множество A само является элементом
множества {A}).
Множество, не содержащее в себе никаких элементов,
называется пустым и обозначается ∅. По определению ∅ ⊂ A,
каково бы ни было множество A.
Всякому подмножеству X множества E сопоставимо
подмножество CX, состоящее из всех элементов, которые не
принадлежат X. CX называется дополнением множества.
S Пусть X и Y – два множества. Определим: объединение
X Y как множество, элементы которогоTобладают свойством
"x ∈ X либо x ∈ Y "; пересечение X Y как множество,
элементы которого обладают свойством "x ∈ X и x ∈ Y ".
Примеры.
1. Множество всех целых чисел есть объединение
множества всех четных и множества всех нечетных чисел.
2. Множество всех целых чисел есть объединение
множества X – всех нечетных чисел, не делящихся на три,
множества Y – всех четных чисел, множества Z – всех чисел,
делящихся на три (при этом множества Y и Z имеют общие
элементы – числа, делящиеся на шесть).
3. Множество чисел, делящихся на шесть, есть пересечение
множества четных чисел и множества всех чисел, делящихся на
три.
Понятия "объединение"и "пересечение"распространяются
на любое конечное и даже
S бесконечное число множеств.
Под объединением Xk семейства множеств {Xk } будем
понимать множество, каждый элемент которого принадлежит
хотя бы одному XT
k.
Пересечение Xk множеств семейства {Xk } определяется
как множество, каждый элемент которого принадлежит
6
всем Xk .
Обозначения:
N
∞
S
S
S
S
S
S
1.
Xk = X1 · · · XN ,
Xk = X1 X2 · · · .
2.
k=1
N
T
Xk = X1
T
···
T
XN ,
k=1
k=1
∞
T
Xk = X1
T
X2
T
···.
k=1
Примеры.
1. Ak – множество всех рациональных чисел, модуль
∞
T
которых меньше 1/k, k ∈ N. Пересечение
Ak состоит из
k=1
одного числа 0.
2. Ak – множество всех положительных рациональных
чисел, меньших чем 1/k. В этом случае нет ни одного элемента,
∞
T
общего всем множествам Ak , т. е.
Ak = ∅.
k=1
Операции объединения и пересечения множеств по самому
своему определению
и ассоциативны:
S
S коммутативны
T
T
1. X SY =SY X, XS Y S= Y XT(коммутативность).
T
T T
2. (X Y ) Z = X (Y Z), (X Y ) Z = X (Y Z)
(ассоциативность).
Кроме того, они связаны между собой следующими
отношениями
S дистрибутивности:
T
T S T
1. (X T Y ) S Z = (X S Z) T(Y S Z)
2. (X Y ) Z = (X Z) (Y Z)
Проверим,
S
T например, первое из этих равенств. Пусть
x ∈ ((X Y ) Z). Это означает, что x ∈ Z и, кроме того,
по крайней мере одному из множеств X или
x
T Y . Но тогда
T
принадлежит
T хотя
S бы
T одному из множеств X Z
T илиSY TZ, т.
е. x ∈ (X Z) T (Y Z). Обратно,
T пусть x ∈ (X Z) (Y Z).
Тогда x ∈ X Z или x ∈ Y Z. Следовательно,
x ∈ Z, и,
S
кроме того,
S xTвходит в X или Y , т. е. x ∈ X Y . Таким образом,
x ∈ (X Y ) Z.
В первой части доказательства мы получили, что
[
\
\ [ \
(X Y ) Z ⊂ (X Z) (Y
Z).
Во второй:
(X
\
Z)
[
(Y
\
Z) ⊂ (X
7
[
Y)
\
Z.
Из полученных включений следует справедливость равенства
[
\
\ [ \
(X Y ) Z = (X Z) (Y
Z).
Аналогично проверяется и равенство 2.
Операция вычитания множеств определяется следующим
образом: "Разностью множеств X и Y (X \ Y ) называется
множество, элементы которого принадлежат X, но не
принадлежат Y ".
В теории множеств и её приложениях весьма важную
роль играет так называемый принцип двойственности, который
основан на следующих соотношениях:
1. Дополнение пересечения равно объединению дополнений
\
[
C( Xi) =
CXi.
i
i
2. Дополнение объединений равно пересечению дополнений
[
\
C( Xi) =
CXi.
i
i
(Xi – произвольные множества).
S Приведем доказательствоS соотношения 2. Пусть x ∈
C( Xi). Следовательно, x ∈
/ Xi, т. е. x ∈
/ Xi при любом i.
i
i
T
Следовательно, x ∈ CXi при любом i, т. е. x ∈ CXi. Обратно,
i
T
пусть x ∈ CXi, т. е. x ∈ CXi при любом i. Следовательно, x ∈
/
i
S
S
Xi при любом i, т. е. x ∈
/ Xi, и, следовательно x ∈ C( Xi).
Равенство 2 доказано.
i
i
Упражнения.
Доказать следующие равенства:
T
S
1. E \ F = E \ (E F ) = (E F ) \ F .
T
T
2. (E \ G) (F \ G) = (E F ) \ G.
S
S
3. (E F ) \ G = (E \ G) (F \ G).
8
§ 1.2 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
I. Определение функции.
Пусть E и F – два множества.
Определение. Функцией, определенной на E со значениями
в F (или отображением E в F ), называется правило f , которое
каждому элементу x ∈ E относит (единственный) элемент F ,
обозначаемый f (x).
Обозначение: f : E → F .
Множество E называется областью определения функции
f , а множество F – областью её значений.
Множество G, состоящее из элементов y = f (x), где x ∈
E, называется образом множества E при отображении (или
при помощи функции) f . Кратко это записывается так: G =
= {f (x)|x ∈ E}. Часто для G используется обозначение
G = f (E). Очевидно, образ множества E при отображении
f : E → F является частью множества F , т. е. G ⊂ F .
II. Счетные множества.
Определение 1. Отображение f : E → F называется
биекцией, если
1. x 6= y(x, y ∈ E) ⇒ f (x) 6= f (y)
2. f (E) = F .
(Здесь и в дальнейшем двойная стрелка "⇒"означает слово
"следует".)
Определение 2. Множества E и F
называются
равномощными, если существует биекция f : E → F .
Определение 3. Множество E называется счетным, если
оно равномощно множеству натуральных чисел N.
Пример. Множество всех рациональных чисел Q счетно.
9
Доказательство. Q можно представить в виде таблицы
0
1/1 1/2
1/3
1/4 . . .
−1/1 −1/2 −1/3 −1/4 . . .
2/2
2/3 . . .
2/1
−2/1 −2/2 −2/3 . . .
3/1
3/2 . . .
−3/1 −3/2 . . .
4/1 . . .
−4/1 . . .
Искомая биекция f : N → Q может быть определена правилом:
f (1) = 0, f (2) = 1/1, f (3) = −1/1, f (4) = 1/2, f (5) = −1/2, . . .
(встречающиеся ранее числа в дальнейшей нумерации не
учавствуют). Таким образом, Q равномощно N.
Упражнения.
Доказать следующие утверждения:
1. Всякое подмножество счетного множества конечно или
счетно.
2. Объединение любого конечного или счетного множества
счетных множеств есть снова счетное множество.
3. Всякое бесконечное множество
подмножество.
Литература: [1], с. 23 – 24.
содержит
счетное
III. Числовые функции.
Мы будем иметь дело в основном с числовыми функциями:
E ⊂ R, F = R (R – множество действительных чисел).
Числовые функции удобно изображать графиками. В связи
с этим говорят о двух переменных: x – независимая переменная
(пробегает E), y = f (x) – зависимая переменная. Отсюда
возникает обозначение для числовой функции f : E → R :
y = f (x), x ∈ E.
Примеры.
1. y = x2, x ∈ R.
10
2. y =
√
1 − x2, −1 ≤ x ≤ 1.

 1, если x > 0,
0, если x = 0,
3. y = sgn x =

−1, если x < 0.
4. y = [x], x ∈ R, [x] – наибольшее целое число ≤ x (целая
часть числа x).
5. y = {x} = x − [x], x ∈ R, {x} – дробная часть числа x.
Замечание. В определении функции ни словом не
упоминается ни об аналитическом выражении (формуле),
ни о графическом изображении. Поэтому полноценность
задания функции нисколько не зависит от того, можно ли
функцию выразить аналитически (формулой) или изобразить
графически.
Например, функция y = x2 (x ∈ R) задается формулой;
функция sgn x не может быть задана единственной формулой,
т. е. не задается аналитически; функция Дирихле
1, если x − рациональное число,
y=
0, если x − иррациональное число,
не может ни быть задана аналитически, ни изображена
графически.
IV. Числовая последовательность.
Определение. Последовательностью в R (числовой
последовательностью) называется функция x : N → R.
Обозначение: x1, x2, x3, . . ., или, короче, (xn). Числа xn
называются членами последовательности. Последовательности
часто задаются формулой общего члена или рекуррентным
соотношением.
Примеры.
1. xn = n2, (n ∈ N) : 1, 4, 9, . . .
2. xn = (−1)n, (n ∈ N) : . . . , −1, 1, −1, 1, . . .
3. xn+1 = xn−1 + xn, x1 = x2 = 1 : 1, 1, 2, 3, 5, . . .
4. 3, 1, 4, 1, 5, . . . – последовательность цифр в десятичной
записи числа π (аналитической формулы нет, рекуррентного
соотношения тоже нет).
11
V. График функции.
Определение. Графиком функции f : E → R(E ⊂ R)
называется часть числовой плоскости Γ={(x, f (x)) ∈ R2|x ∈ E}.
Пусть на плоскости R2 задана прямоугольная система
координат xy и пусть под кривой на плоскости понимается
просто непустое подмножество γ ⊂ R2.
Теорема. Кривая Γ на плоскости R2 является графиком
некоторой функции f : E → R(E ⊂ R) тогда и только тогда,
когда каждая прямая, параллельная оси OY , пересекает Γ не
более чем в одной точке.
Доказательство. Необходимость. Пусть Γ является
графиком функции f : E → R, т. е. Γ = {(x, f (x)) ∈ R2|x ∈ E}.
Так как f – функция, то каждому x ∈ E соответствует
единственное значение y = f (x), поэтому прямая, параллельная
оси OY и проходящая через точку (x, 0) ∈ R2, будет пересекать
Γ только в одной точке (x, f (x)) ∈ R2.
Достаточность. Пусть прямая, параллельная оси OY ,
пересекает Γ не более чем в одной точке. Покажем,
что в этом случае Γ является графиком некоторой
функции f . Областью определения искомой функции будет
множество E = {x ∈ R|прямая, параллельная оси OY ,
проходящая через точку (x, 0), пересекает Γ}. Примем теперь
за f (x) (значение в точке x искомой функции) ординату точки
пересечения прямой, k оси OY с Γ. Тем самым мы установим
закон соответствия между x и f (x) такой, что каждому
значению x соответствует единственное значение f (x). Таким
образом, функция, графиком которой является Γ, определена.
Действительно, в этом случае Γ = {(x, f (x)) ∈ R2|x ∈ E}.
График Γ определяет функцию y = f (x) (x ∈ E).
Действительно, если x ∈ E, то соответствующее значение
y = f (x) определяется как ордината точки (x, a) ∈ Γ. Таким
образом, при помощи графика задается вполне определенное
правило соответствия между x и f (x).
Примеры различных кривых.
1.
12
y6
-x
0 a
Кривая является графиком функции (в точке x = a она
будет просто не определена).
2.
y6
-x
0
Кривая не будет графиком какой-либо функции, так как в
точке x = 0 она принимает два значения.
3.
y6
b
- x
a
Кривая будет графиком функции (в точке x = a она
принимает значение f (a) = b).
0
4.
y6
b
- x
a
0
Кривая не будет графиком какой-либо функции, так как
в точке x = a она принимает бесконечное множество
значений.
Замечание. Если правило ставит в соответствие каждой
точке x ∈ E не единственную точку y ∈ F , то оно
называется многозначной функцией. Примером такой функции
может служить функция y = Arcsin x. В такого рода
соответствиях обычно выделяются ветви, где соответствие
13
однозначно. Например, в случае y = Arcsin x выделяется
y = arcsin x.
y6
−1 0 1
x
-
VI. Полярная система координат.
В полярной системе координат каждая точка A плоскости
характеризуется парой чисел (r, ϕ), где r – расстояние от A до
начальной точки O (полюса полярной системы координат), а ϕ
– угол наклона отрезка oA к отмеченному лучу (полярной оси),
выходящему из точки 0 (луч ϕ = 0).
A
r
ϕ
- ϕ = 0
o
В прямоугольной системе координат соответствие между
точками плоскости и парами чисел было биекцией. В полярной
системе координат соответствие между точками плоскости и
парами (r, ϕ) уже не является биекцией. Например, (0, 0) =
= (0, ϕ) при любом ϕ; (r, ϕ) = (r, ϕ + 2π) при любых r, ϕ.
Функцию r = r(ϕ), заданную на множестве E(ϕ ∈ E),
можно представить как множество точек (r, ϕ) числовой
плоскости, где ϕ ∈ E, r = r(ϕ). Многие кривые на
плоскости могут быть описаны в полярных координатах с
соответствующими функциями r = r(ϕ) (однозначными или
многозначными).
Примеры.
1. r = ϕ(ϕ ≥ 0).
6
0
2π
-
ϕ=0
%
14
2. r = r0/ cos(ϕ − ϕ0), ϕ ∈ (ϕ0 − π2 , ϕ0 + π2 ), r0 > 0.
Такая функция описывает в полярных координатах такую
прямую, что спущенный на неё из полюса O перпендикуляр
имеет длину r0 и образует с полярной осью угол ϕ0.
6
@
@
@
r @
r0 @
ϕ
ϕ 0 @@
@
-
0
ϕ=0
VII. Обратная функция.
Пусть кривая Γ является графиком функции y = f (x)
(x ∈ E, y ∈ F ). Если кривая Γ определяет x как функцию y, т.
е. каждому y ставится в соответствие с помощью Γ (см. рис. 1)
единственная точка x, то говорят, что определена x = g(y)
(y ∈ F ) – функция, обратная к функции f .
6
y
0
'
(x, y)
x
-
x
Рис. 1.
Замечание. Графиком обратной функции x = g(y), y ∈ F
является кривая Γ0, являющаяся зеркальным отображением
кривой Γ относительно биссектрисы I и III координатных углов.
Доказательство. Γ = {(x, f (x)) ∈ R2|x ∈ E}. Графиком
обратной функции x = g(y), y ∈ F будет следующая кривая
Γ0 = {(y, g(y)) ∈ R2|y ∈ F } = {(y, x) ∈ R2|y ∈ F }. Отсюда
следует справедливость замечания.
Теорема 1. Если y = g(x) (x ∈ F ) – функция, обратная
к функции y = f (x) (x ∈ E), то справедливы два тождества:
x ≡ g(f (x)) (x ∈ E), x ≡ f (g(x)) (x ∈ F ).
Доказательство. Пусть x ∈ E ⇒ (x, f (x)) ∈ Γ ⇒
⇒ (f (x), x) ∈ Γ0 ⇒ x = g(f (x)). Так как x произвольно, то
доказана справедливость первого тождества. Второе тождество
доказывается аналогично.
15
Теорема 2. Критерий существования обратной функции
Пусть функция f : E → R строго возрастает (из
x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2)) или строго убывает (из
x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2)). Тогда существует функция
g : F → R, обратная к функции f : E → R, причем она
будет строго возрастать или, соответственно, строго убывать.
Доказательство. Пусть функция f : E → R строго
возрастает. Покажем, что тогда существует функция, обратная
к функции f , и что она будет так же строго возрастать. Для
этого нужно показать, что кривая Γ, являющаяся графиком
функции f , определяет x как функцию y(y ∈ F ). Это будет
выполняться, если любая прямая k оси OX пересекает кривую
Γ только в одной точке. Допустим, что этого нет и что какаято прямая, k оси OX, пересекает кривую в двух точках.
Следовательно одному значению y соответствуют два значения
x : x1 и x2 (для определенности положим x1 < x2), что означает:
f (x1) = f (x2) при x1 < x2. Мы пришли к противоречию
с условием строгого возрастания функции f . Таким образом,
наше предположение, сделанное выше, является неверным, и,
следовательно, любая прямая, k оси OX, пересекает Γ только
в одной точке. По определению это означает, что определена
функция x = g(y) (y ∈ F ) – обратная к функции f . Обратная
функция x = g(y) (y ∈ F ) будет строго возрастать, так как из
y1 = f (x1) < y2 = f (x2) ⇒ x1 < x2 (в противном случае мы
получим противоречие строгому возрастанию функции f ).
В случае строгого убывания функции f теорема доказывается
аналогично.
Примеры.
√
1. Функция y = 1 − x2 (−1 ≤ x ≤ 1), y ≥ 0, обратной по
отношению к себе функции не имеет, так как не является ни
строго возрастающей, ни строго убывающей.
√
2. Функция y =
1 − x2 (0 ≤ x ≤ 1), y ≥ 0,
имеет обратную функцию, которая совпадает с
исходной,
так как кривая Γ (график функции y =
√
=
1 − x2) симметрична относительно биссектрисы I и
III координатных углов. (см. рис.)
16
y6
...
.
.
.
$
.
1 .....
.
.....
0 1
-
x
Рис.
VIII. Операции над функциями.
1. Арифметические операции. Пусть f : E → R, g : E → R
заданы на одном и том же множестве E ⊂ R. Тогда можно
определить новые функции:
сумма (разность) f ± g : E → R по правилу (f ± g)(x) =
= f (x) ± g(x), x ∈ E,
произведение f ·g : E→R по правилу (f ·g)(x)=f (x)g(x), x ∈ E,
(x)
, x ∈ E0, где
частное f /g : E → R по правилу ( fg )(x) = fg(x)
E0 = {x ∈ E|g(x) 6= 0}.
Замечания.
1. Так как функции принимают числовые значения, то для
них справедливы (верные для чисел) коммутативный,
ассоциативный и дистрибутивные законы: f + g = g + f,
f g = gf, (f + g) + ϕ = f + (g + ϕ), (f g)ϕ =
= f (gϕ), f (g + ϕ) = f g + f ϕ.
2. Если функции f и g определены на разных множествах E1
и E2, то сумма (разность),
произведение будут определены
T
на множествах
T E1T E2 , а функция f /g определена на
множестве E1 E2 E0
√
Пример. f (x) = 2x2 + 3, g(x) = x − 1. f + g, f − g, f · g
определены для всех x ≥ 1, а f /g определена при x > 1.
2. Суперпозиция функций. Пусть f : E → R, g : F → R,
причем образ f (E) множества E при отображении f содержится
в области определения функции g(f (E) ⊂ F ). Тогда
равенством h(x) = g(f (x)), x ∈ E, определяется новая функция
h : E → R, которая называется суперпозицией функции f и g и
обозначается h = g ◦ f .
Замечание. Область определения функции g ◦f совпадает с
областью определения функции f . Функция h = g◦f называется
также сложной функцией.
17
√
Пример. f (x) = 2x2 +3, g(x) = x − 1. Функция (f ◦g)(x) =
√
2
= 2(g(x)) + 3 = 2( x − 1)2 + 3 = 2x + 1 определена
p при x ≥ 1
и не
√ определена при x < 1. Функция (g ◦ f )(x) = f (x) − 1 =
= 2x2 + 2 определена при всех x.
§ 1.3 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
СВОЙСТВО
НЕПРЕРЫВНОСТИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ
В школьном курсе математики дается определение
действительных чисел и рассматриваются некоторые их
свойства, но среди свойств действительных чисел, не
рассматриваемых в школьном курсе, имеются особые свойства,
имеющие существенную роль при исследовании числовых
функций. К изучению таких свойств действительных чисел мы
и приступаем сейчас.
Определение 1. Неотрицательным действительным числом
называется произвольная десятичная дробь вида a =
= a0, a1a2 . . . , где a0 – неотрицательное целое число, отделенное
от остальных членов запятой; остальные члены ai – цифры
(ai ∈ {0, 1, . . . , 9}, i ≥ 1), причем в этой последовательности
цифр нет "хвоста" , целиком состоящего из девяток.
Множество всех неотрицательных действительных чисел
обозначим R+.
По определению положим 0 = 0, 00 . . ..
Определение 2. Отрицательным действительным числом
называется дробь вида a = −a0, a1a2 . . . , где a0, a1a2 · · · ∈ R+ и
ai 6= 0 одновременно (i ≥ 0).
По определению считаем −0 = 0. Множество всех
действительных чисел будем обозначать R.
Определение 3. 10. Два действительных числа a =
= ±a0, a1a2 . . . , b = ±b0, b1b2 . . . считаются равными между
собой тогда и только тогда, когда их знаки одинаковы и ak =
= bk (k = 0, 1, . . . ).
20. Если a и b положительны, то считается a < b (или, что все
равно, b > a), если a0 < b0 или если найдется индекс l такой,
18
что ak = bk (k = 0, 1, . . . , l) и al+1 < bl+1.
30. Если a положительно (отрицательно), то считается, что
a > 0 (a < 0). Если a < 0, b > 0, то, считается, a < b. Если
a < 0, b < 0 и |a| > |b|, то считается, что a < b.
Замечание.
a, если a ≥ 0,
|a| =
−a, если a < 0.
Упражнения.
Изучить определение арифметических операций для
действительных чисел.
Литература:[2], с. 46 – 49 (§2.3).
1. Свойство порядка действительных чисел.
1. Для каждой пары действительных чисел a и b имеет место
одно и только одно соотношение a = b, a > b, a < b.
2. Из a < b и b < c ⇒ a < c (транзитивность).
3. Если a < b, то существует действительное число c такое,
что a < c < b.
Доказательство. Свойства 1 и 2 вытекают непосредственно
из определений знаков "=" и "<". Пусть 0 ≤ a =
= a0, a1a2 . . . < b = b0, b1b2 . . . и an < bn. Положим тогда
a0, a1 . . . an(an+1 + 1)00 . . . , если an+1 6= 9,
c=
a0, a1 . . . an9(an+2 + 1)00 . . . , если an+1 = 9, an+2 6= 9.
Очевидно, что a < c < b.
Если a < 0, b ≥ 0 или a < 0, b < 0 (a < b), то следует
рассмотреть случаи |a| > b или |a| > |b|, для которых
существование числа c мы доказали. Искомое нами число
будет равно −c.
2. Архимедово свойство действительных чисел.
Для любого действительного числа a > 0 существует
натуральное число n > a.
Действительно, если a = a0, a1a2 . . . , то можно взять n =
= a0 + 1.
19
3. Свойство непрерывности множества действительных чисел.
Сформируем ряд понятий, необходимых для определения
свойства непрерывности.
⊂
R называется
Определение 1. Множество E
ограниченным сверху (снизу), если существует b ∈ R
такое, что a ≤ b (a ≥ b) для любого a ∈ E, при этом число
b называется мажорантой (соответственно, минорантой)
множества E.
Определение 2. Множество, ограниченное сверху и снизу,
называется ограниченным.
Определение 3. Наименьшая мажоранта ограниченного
сверху множества E называется точной верхней гранью E
и обозначается одним из символов: sup E, sup a (supremum
a∈E
– наивысшее).
Данное определение можно привести в другой записи: "c
является sup E, если удовлетворяет двум условиям:
1. c – мажоранта E.
2. Любое число d < c уже не является мажорантой E".
Аналогично, точная нижняя грань ограниченного снизу
множества E есть наибольшая миноранта множества E.
Обозначение: inf E, inf a (infimum – наинизшее).
a∈E
Свойство непрерывности действительных чисел: "Непустое
ограниченное сверху (снизу) множество действительных
чисел имеет точную верхнюю (точную нижнюю) грани".
Доказательство. Ограничимся случаем, когда E ⊂ R+,
и доказательством существования sup E. E ограничено
сверху. Следовательно, E имеет мажоранту, в качестве
которой можно взять натуральное число n0:
a = a0, a1a2 · · · ≤ n0, 00 . . . для любого a ∈ E.
Пусть c0 – наибольшее из целых чисел, стоящих до запятой
у чисел множества E. Тогда c0 ≤ n0. Пусть E0 – часть E,
состоящая из чисел, у которых до запятой стоит c0:
E0 = {c0, a01a02 . . . ; c0, a001 a002 . . . ; . . . }.
20
Пусть c1 – наибольшая из цифр, стоящих на первом месте
после запятой у чисел множества E0, так что c1 ≤ 9. Пусть
E1 – часть E0, состоящая из чисел, у которых на первом
месте после запятой стоит c1. Продолжая этот процесс, мы
приходим к выражению
c0, c1, c2, . . .
(∗)
Пока нельзя утвеждать, что записано действительное число,
так как в (∗) может оказаться хвост из девяток. Положим
(
γ=
c0 , c1 c2 . . . ,
если в (∗) нет хвоста из девяток,
c0 , c1 . . . cn−1 (cn + 1)00 . . . , если cn =
6 9, а cn+1 = cn+2 = · · · = 9,
c0 + 1, 00 . . . ,
если c1 = c2 = · · · = 9.
Покажем, что γ – мажоранта E. Пусть a = a0, a1a2 . . . ∈ E.
Рассмотрим два случая:
∞
T
1. a ∈
/
Ei. Тогда существует n такое, что a ∈
/ En ,
i=0
и, следовательно, существует k ≤ n такое, что ak 6= ck .
Следовательно,
a = a0, a1a2 . . . an · · · < c0, c1c2 . . . ck 00 · · · ≤ γ
∞
T
2. a ∈
Eι. Тогда a = c0, c1c2 · · · = γ.
ι=0
Докажем, что γ = sup E, т. е. является наименьшей
мажорантой множества E. Действительно, пусть d < γ
(d = d0, d1d2 . . . ). Тогда найдется такое n, что di = ci при
всех i < n, но dn < cn. Отсюда следует, что любое число
a ∈ En будет больше d, так как ai = ci = di при всех i < n и
an = cn > dn. Таким образом, d не может быть мажорантой
E, и, следовательно, γ – наименьшая мажоранта E.
Упражнения.
1. Доказать существование sup E для произвольного непустого
E ⊂ R, ограниченного сверху.
2. Доказать существование inf E для произвольного непустого
E ⊂ R, ограниченного снизу.
Указание: Предварительно доказать две леммы:
Лемма 1. Любое непустое множество E ⊂ R+ имеет точную
нижнюю грань.
21
Лемма 2. Пусть E = {a} – произвольное непустое
множество действительных чисел. Тогда
1. Если существует sup E, то существует inf{−a} = − sup E.
2. Если существует inf E, то существует sup{−a} = − inf E.
Литература: [3], с. 45 – 47.
Замечание. sup E(inf E) не обязательно принадлежит E.
Например, inf a = 0, при этом 0 ∈
/ {a > 0}. Действительно,
a>0
множество E = {a > 0} ограничено снизу 0, а среди
положительных чисел нет минорант множества E, так как для
любого c ∈ E всегда существует действительное число b > 0
такое, что c > b > 0.
§ 1.4 ТОПОЛОГИЯ ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ.
РАСШИРЕННАЯ ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ
Для промежутков в R будем использовать следующие
обозначения:
(a, b) = {x ∈ R|a < x < b} – интервал,
[a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} – отрезок,
[a, b) = {x ∈ R|a ≤ x < b},
(a, b] = {x ∈ R|a < x ≤ b},
(−∞, b] = {x ∈ R|x ≤ b},
(a, +∞) = {x ∈ R|x > a}.
Определения:
10 Окрестностью точки a ∈ R называется любой интервал
(c, d), содержащий точку a : c < a < d. Для окрестности точки
a будем использовать обозначение U (a).
20 ε-окрестностью точки a ∈ R называется интервал
(a − ε, a + ε), ε > 0.
Замечание. Любые две различные точки
T a, b ∈ R обладают
непересекающимися окрестностями: U (a) U (b) = Ø.
30 Проколотой окрестностью точки a ∈ R называется
множество
S Ǔ (a) = U (a) \ {a} (если U (a) = (c, d), то Ǔ (a) =
= (c, a) (a, d)).
22
40 Множество называется открытым, если оно вместе
с каждой своей точкой содержит целиком и некоторую
окрестность этой точки.
Пример. Интервал (a, b) ⊂ R есть множество открытое,
так как если x ∈ (a, b), то (x − ε, x + ε) ⊂ (a, b), где ε =
= min(x − a, b − x).
50 Множество F ⊂ R называется замкнутым, если R \ F
открыто.
Пример. Множество {a}, состоящее из одной точки,
является замкнутым.
60 Точка a ∈ E называется изолированной точкой E, если
T
существует Ǔ (a) такая, что Ǔ (a) E = Ø.
70 Точка a ∈ R называется предельной точкой E, если для
T
любой Ǔ (a) : Ǔ (a) E 6= Ø.
Замечание 1. Предельная точка множества может и не
принадлежать самому множеству.
Доказательство. Приведем пример, доказывающий
справедливость замечания. Покажем, что любая точка R
является предельной точкой множества рациональных чисел Q.
Пусть a ∈ R и U (a) = (c, d) – произвольная окрестность точки
a. Из свойств порядка действительных чисел (см. свойство 3)
следует, что существует действительное число q такое, что,
например, c < q < a , причем из доказательства данного
свойства следует, что q ∈ Q. Таким образом, точка a является
предельной точкой множества Q. Если a ∈
/ Q, то мы получаем
пример, когда предельная точка множества не принадлежит
самому множеству.
Замечание 2. Если E – бесконечное множество, то любая
окрестность точки, предельной для множества E содержит
бесконечное множество точек из E.
Доказательство. Пусть (ak , bk ), k
=
1, 2 . . . , –
последовательность вложенных друг в друга окрестностей
точки a, причем a1 > a2 > a3 > . . . , b1 < b2 < b3, . . . . Так как a
– предельная точка множества E, то любая окрестность (ak , bk )
точки a содержит по крайней мере одну точку из множества E.
Отсюда следует, что окрестность (a1, b1) содержит бесконечное
множество точек из E. Окрестность (a1, b1) выбиралась
произвольно, поэтому утверждение замечания 2 доказано.
23
РАСШИРЕННАЯ ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ
Иногда бывает удобно присоединить к числовой прямой
R одну (∞) или две (+∞, −∞) точки (так называемые
несобственные числа).
S
S
Множества
R {∞},
R {±∞}
Определение 1.
называются расширенными числовыми прямыми.
Введем
соответствующие
системы
проколотых
окрестностей.
Определение 2.
S
10. Проколотой окрестностью в R {∞}Sточки ∞ называется
всякое множество вида Ǔ (∞) = (−∞, N )S (M, +∞).
20. Проколотой окрестностью в R {±∞} точки +∞
(соответственно −∞) называется всякое множество вида
(M, +∞) (соответственно (−∞, N )).
24
Глава 2
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 2.1 Предел числовой последовательности. Элементарные
свойства пределов.
§ 2.2 Лемма о вложенных отрезках. Теорема Вейерштрасса.
§ 2.3 Монотонные ограниченные последовательности.
§ 2.4 Критерий Коши.
§ 2.5 Пределы в расширенной числовой прямой. Верхний и
нижний пределы последовательности.
§ 2.1 ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Определение 1.
Число
a
называется
пределом
числовой последовательности (xn), если для любого ε > 0
найдется (зависящее от ε) натуральное число N такое, что для
всякого n > N выполняется неравенство: |xn − a| < ε. В этом
случае пишут lim xn = a (или xn → a) и говорят, что (xn)
сходится (или стремится) к a.
Замечания:
1. xn → a означает, что любая окрестность точки a
является "ловушкой" последовательности, т. е. все члены
последовательности, начиная с некоторого номера, попадают в
наперед заданную окрестность точки a.
Доказательство. Пусть xn → a. Возьмем произвольную
окрестность точки a:U (a)=(c, d). Выбираем ε = min(a−c, d−a).
Так как xn → a, то для любого ε > 0 (в частности и для нами
выбранного) найдется номер N такой, что для всех n > N будет
справедливо |xn − a| < ε, т. е. все члены последовательности,
начиная с номера N + 1, будут принадлежать (a − ε, a + ε),
который, в силу выбора ε, принадлежит U (a).
2. Приведем запись определения lim xn = a в кванторах:
∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N (|xn − a| < ε).
(∗)
В частности, xn → 0 означает, что ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N
(|xn| < ε). Отсюда следует: xn → 0 тогда и только тогда, когда
|xn| → 0.
25
3. Изменение конечного числа членов последовательности
не влияет на её сходимость.
Справедливость данного замечания следует из того, что
условие |xn − a| < ε, из определения lim xn, выполняется,
начиная с некоторого конечного N . Если мы изменим число
членов, у которых наибольший номер N0 < N , то для (xn)
по-прежнему выполняется (∗) и lim xn = a. Если же N0 будет
больше N , то мы просто выбираем в (∗) N = N0, и по-прежнему
lim xn = a.
Определение 2. Пусть (xn) – последовательность и n1 <
< n2 < . . . (nk ∈ N). Последовательность (yk ), где yk = xnk (k ∈
N) называется подпоследовательностью последовательности
(xn) и обозначается (xnk ).
Теорема.
Если
(xn)
сходится,
то
любая
подпоследовательность (xnk ) сходится к тому же самому
пределу.
→
a. Следовательно, любая
Доказательство. xn
ε - окрестность точки a является "ловушкой" последовательности (xn). Отсюда из определения 2 подпоседовательности
следует, что эта же ε - окрестность будет "ловушкой" любой
подпоследовательности (xnk ). Согласно замечанию 1 это
означает, что xnk → a.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ
1. Если lim xn существует, то он единственен.
Доказательство. Пусть (xn) имеет два различных предела
a и b (a 6= b). Две различные точки всегдаT имеют
непересекающиеся окрестности U (a) и U (b) (U (a) U (b) =
= Ø). Так как xn → a и xn → b, то U (a) и U (b) являются
"ловушками" (xn), т. е. в U (a) попадают все члены (xn),
начиная с некоторого номера. То же справедливо для
T U (b).
Очевидно, что этого не может быть, так как U (a) U (b) =
= Ø. Следовательно, a = b.
2. x "Свойство двух милиционеров": если xn → a, yn → a,
xn ≤ zn ≤ yn(n ∈ N), то zn → a.
Доказательство. Пусть ε > 0. Тогда при достаточно
большом N : a − ε < xn < a + ε, a − ε < yn < a + ε (n > N ).
Следовательно, a − ε < xn ≤ zn ≤ yn < a + ε (n > N ), т. е.
zn → a.
26
3. Если xn → a, то |xn| → |a|.
Доказательство. Следует из неравенства ||xn| − |a|| ≤
≤ |xn − a|.
4. Если (xn) сходится, то она ограничена.
Доказательство. Положим ε = 1 в определении предела
последовательности. Тогда ∃ N ∈ N, ∀ n > N : |xn −a| < 1.
Отсюда, т. к. | |xn| − |a| | ≤ |xn − a|, следует |xn| ≤
M (n ∈ N ), где M = max{|a| + 1, |x1|, . . . , |xn|}, т. е. (xn)
– ограничена.
5. Арифметические свойства:
а) lim(xn ± yn) = lim xn ± lim yn,
б) lim(xn · yn) = lim xn · lim yn,
в) lim(xn \ yn) = lim xn \ lim yn, (lim yn 6= 0).
В том смысле, что если определены правые части равенств,
то определены и левые, и они равны.
Доказательство. Пусть xn → a, yn → b;
а) |(xn + yn) − (a + b)| ≤ |xn − a| + |yn − b|. Так как xn → a,
yn → b, то ∀ ε > 0, ∃ N ∈ N, ∀ n > N : |xn − a| < 2ε ,
|yn − b| < 2ε . Отсюда следует ∀ ε > 0, ∃ N ∈ N, ∀ n >
N : |(xn + yn) − (a + b)| ≤ |xn − a| + |yn − b| < ε, т. е.
(xn + yn) → a + b;
б) справедливы неравенства: |xnyn − ab| ≤ |xnyn − ayn| +
+|ayn −ab| ≤ |yn||xn −a|+|a||yn −b|. Так как xn → a, yn → b,
|yn| ≤ M (в силу свойства 4), то всегда можно выбрать N ∈
N такими, что для любых n > N : |yn||xn −a|+|a||yn −b| < ε,
где ε > 0 – любое наперед заданное число;
в) пусть yn → b 6= 0. Тогда ∃ N ∈ N, ∀ n > N : | |yn|−|b| | ≤
|b|
≤ |yn − b| < |b|
2 . Отсюда следует: |yn | > 2 , ∀ n > N . Далее,
2
получаем | y1n − 1b | = |y|ynn−b|
||b| < |b|2 |yn − b|, ∀ n > N . Так как
yn → b, то N можно выбрать таким, что |b|2 2 |yn − b| < ε при
∀ n > N . Таким образом, y1n → 1b . Отсюда и из свойства б)
следует xn y1n → a 1b = ab .
6. Если xn → 0, а (yn) ограничена, т. е. существует число M >
0 такое, что |yn| ≤ M (n ∈ N), то xnyn → 0.
27
Доказательство. Справедлива оценка 0 ≤ |xnyn| ≤ M |xn|.
По свойству 3, если xn → 0, то |xn| → 0. Следовательно,
M |xn| → 0. Отсюда, по свойству 2, следует |xnyn| → 0.
Следовательно, xnyn → 0. x
Примеры.
√
1. lim n a = 1 (здесь a ≥ 1).
√
Доказательство. Положим zn = n a − 1 ≥ 0. Тогда a =
= (1 + zn)n ≥ 1 + nzn. Следовательно, 0 ≤ zn ≤ a−1
n . Отсюда
(по
"Свойству двух милиционеров") следует zn → 0, т. е.
√
n
a√
= 1 + zn → 1.
2. lim n n = 1.
√
Доказательство. Положим zn = n n − 1 ≥ 0. Тогда n =
n(n−1) 2
2
+.
.
.
>
= (1+zn)n = 1+nzn + n(n−1)
z
n
2
2 zn . Отсюда следует
1/2
2
0 ≤ zn ≤ n−1
. По "Свойству двух милиционеров"(т. к.
1/2
√
2
→ 0) имеем: zn → 0, т. е. n n = 1 + zn → 1.
n−1
§ 2.2 ЛЕММА О ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКАХ.
ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА
ЛЕММА О ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКАХ
Любая последовательность вложенных отрезков I1 ⊃
I2 ⊃ . . . (In = [an, bn]) обладает общей точкой, причем если
bn − an → 0, то эта точка будет единственной.
Доказательство. Докажем сначала существование точки,
общей для всех In. Множество E = {a1, a2, . . . } левых
концов отрезков ограничено сверху (например, числом b1), и,
следовательно (см. "Свойство непрерывности действительных
∞
T
чисел"), существует a = sup E. Точка a ∈
In : во-первых,
n=1
ak ≤ a (k = 1, 2, 3, . . . ); во-вторых, каждое bk – мажоранта E,
так как
an ≤ bn ≤ bk при n ≥ k,
an ≤ ak ≤ bk при n < k
28
и, следовательно, a, будучи наименьшей мажорантой E,
обладает свойством a ≤ bk (k = 1, 2, . . . ). Таким образом,
∞
T
an ≤ a ≤ bn, n ∈ N, т. е. a ∈
In.
n=1
Покажем, что an → a, для чего достаточно применить
"Свойство двух милиционеров" к неравенству 0 ≤ a − an ≤
bn − an (n ∈ N). Так как, если предел существует, то он
единственный (см. свойство 1), и поэтому a будет единственной
точкой, принадлежащей всем In.
ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА
Бесконечное ограниченное множество E ⊂ R обладает по
крайней мере одной предельной точкой.
Доказательство. Множество E – ограничено. ⇒ существует
число M > 0 такое, что E ⊂ [−M, M ]. Построим
последовательность вложенных отрезков In = [an, bn]:
положим I1 = [−M, M ]; в качестве I2 возьмем тот из
двух отрезков [−M, 0], [0, M ], который содержит бесконечное
подмножество E; если I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In−1 уже
построены, то в качестве In возьмем тот из двух отрезков
bn−1 −an−1
n−1
[an−1, an−1 + bn−1−a
],
[a
+
, bn−1], который содержит
n−1
2
2
бесконечное подмножество множества E. По построению
bn − an → 0. По лемме о вложенных отрезках существует точка,
∞
T
общая всем In (a ∈
In). Покажем, что a является искомой
n=1
точкой. Пусть U (a) – произвольная окрестность a. Тогда
существует N ∈ N такое, что In = [an, bn] ⊂ U (a) (n > N ), т.
е. произвольной окрестности U (a) принадлежит бесконечное
множество точек множества E. Следовательно, a – предельная
точка множества E.
Следствие. Каждая ограниченная последовательность
обладает сходящейся подпоследовательностью.
Доказательство. По теореме Вейерштрасса ограниченная
последовательность
(как
бесконечное
ограниченное
множество) обладает предельной точкой a. ⇒ любая
окрестность a содержит бесконечное множество элементов
последовательности (xn). ⇒ Любая окрестность a должна
быть "ловушкой" хотя бы одной подпоследовательности
(xnk ) ⇒ xnk → a.
29
§ 2.3 МОНОТОННЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Определение 1. Последовательность (xn) называется
(соответственно,
невозрастающей),
если
неубывающей
xn ≤ xn+1 (соответственно, xn ≥ xn+1). Последовательность
(xn) называется монотонной, если она неубывающая или
невозрастающая.
Теорема. Ограниченная монотонная последовательность
сходится.
Доказательство. Пусть, например, (xn) не убывает и
ограничена. Тогда существует M = sup{x1, x2, . . . }. Покажем,
что xn → M . Пусть U (M ) = (a, b) – произвольная окрестность
точки M , т. е. a < M < b. По определению точной верхней
грани найдется N такое, что a < XN < M , и тогда (в
силу неубывания) xn ∈ U (M ), ∀ n > N . Так как U (M )
– любая окрестность точки M , то в качестве её мы можем
взять ε - окрестность точки M . В результате мы получим:
∀ ε > 0, ∃ N ∈ N, ∀ n > N : M − ε < xn < M + ε,
т.
е.
xn → M . Теорема доказана.
Определение 2. Предел числовой последовательности (xn),
1 n
где xn = 1 + n , называется числом e, т. е.
1 n
= e.
lim 1 +
n
Докажем, используя теорему об ограниченной
и
1 n
монотонной последовательности, что lim 1 + n существует.
n
1 + n1
является
Прежде всего докажем, что xn =
n
1
возрастающей: xn =
1 + n1
= 1 + n n1 + n(n−1)
2 +
1·2 n
n(n−1)...(n−n+1) 1
1
1
1
+ n(n−1)(n−2)
+
.
.
.
=
1
+
1
+
1
−
3
n
1·2·3 n
1·2...n
n
2! n +
1
1
2
n−1
+ 3!1 1 − n1 1 − n2 +
. . . + n! 1 − n (1 − n ) . .. 1 − n , xn+1 =
1
1
2
1 + 1 + 2!1 1 − n+1
+ 3!1 1 − n+1
1 − n+1
+ ...
1
2
n
1
1 − n+1
1 − n+1
. . . 1 − n+1
. Из данной записи
. . . + (n+1)!
видно, что xn+1 > xn. Последовательность xn ограничена
1
сверху:
xn < 2 + 2!1 + 3!1 + . . . + n!1 < 2 + 12 + 212 + . . . + 2n−1
< 3.
=
30
n
Так как xn = 1 + n1 является неубывающей и ограниченной
сверху, то lim xn существует.
n
Пример. lim cn! = 0, (c > 0).
n
Доказательство. Обозначим xn = cn! .
Пусть c < 1. Тогда cn → 0, в то же время n!1 → 0. ⇒ xn→0.
Если c = 1, то cn = 1 и так как n!1 → 0, то xn → 0.
c
Пусть c > 1. Тогда xn+1 = xn · n+1
. ⇒ Последовательность
xn будет убывающей как только n > c − 1; очевидно
также, что xn ограничена снизу нулем. Отсюда, по теореме об
ограниченной и монотонной последовательности, следует, что
последовательность xn имеет предел: lim xn = a. Для того
чтобы найти a, перейдем к пределу слева и справа в равенстве
c
. Получим a = a · 0. ⇒ a = 0.
xn+1 = xn · n+1
§ 2.4 КРИТЕРИЙ КОШИ
Определение 1.
Последовательность
называется
фундаментальной или последовательностью Коши, если
∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n, m > N ( |xn − xm| < ε)
или, что эквивалентно,
∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N ∀ p ∈ N ( |xn − xn+p| < ε).
(∗)
(∗∗)
Замечание. Эквивалентность (∗) и (∗∗) почти
очевидна. В условии (∗∗) не участвуют разности с
одинаковыми номерами элементов и разности, отличающиеся
перестановкой элементов. Так как |xn − xn|
=
0,
|xn −xm| = |xm −xn|, то условия (∗), (∗∗) будут эквивалентными.
Теорема (критерий Коши). Чтобы последовательность
(xn) сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была
фундаментальной.
Доказательство. Необходимость. Пусть xn → a. Тогда
фундаментальность (xn) следует из неравенства
|xn − xm| ≤ |xn − a| + |xm − a|, ∀ n, m > N.
Достаточность.
Пусть
(xn)
–
фундаментальна.
Тогда (xn) – ограничена. Действительно, если N
такое, что |xn − xm|
<
1 (n, m
>
N ), то
|xn| ≤ M = max{|x1|, . . . , |xN |, |xN +1| + 1}, n ∈ N.
В
силу
31
следствия к теореме Вейерштрасса существует сходящаяся
подпоследовательность (xnk ). Пусть xnk → a. Покажем, что
xn → a. Для произвольного ε > 0 существует N 0 ∈ N такое,
что |xnk − a| < ε/2 (nk > N 0). Пусть теперь N 00 ∈ N такое,
что |xn − xm| < ε/2, (n, m > N 00). Тогда для n > N =
= max{N 0, N 00} : |xn − a| ≤ |xn−xnk |+|xnk −a| < ε, если мы
выберем какое-либо nk > N .
Замечание. В отношении (∗∗) существенна произвольность
p: если, например, ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N ( |xn − xn+1| < ε),
то последовательность (xn) может и расходиться.
Пример: последовательность (xn), где xn = 1 + 12 + . . . +
1
n , – не сходится. Действительно, для неё не выполняются
условия критерия Коши: пусть ε = 1/2, N – произвольно,
n = N + 1, p = N + 1; тогда |xN +1 − x2N +2| =
= N1+2 + . . . + 2N1+2 > (N + 1) · 2(N1+1) = 12 . В то же время
1
< ε).
∀ ε > 0 ∃ N ∈ N (|xn − xn+1| = n+1
§ 2.5 ПРЕДЕЛЫ В РАСШИРЕННОЙ
ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ. ВЕРХНИЙ И
НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Определение 1. S
Последовательность (xn) называется
сходящейся к ∞ в R {∞}, если ∀ M > 0 ∃ N ∈ N ∀ n >
N ( |xn| > M ), при этом пишут: lim xn = ∞ или xn → ∞.
Замечание. lim xn = ∞ означает, что всякая ∨ - окрестность
точки ∞ является ловушкой (xn).
(xn) называется
Определение 2. Последовательность
S
сходящейся к +∞ в R {±∞}, если ∀ M > 0 ∃ N ∈ N ∀ n >
N (xn > M ), при этом пишут: lim xn = +∞
S или xn → +∞.
Аналогично определяется lim xn =
√−∞ в R {±∞}.
n 3
Пример. Пусть xn = (−1)
n (n ∈ N). Тогда xn → ∞.
Однако xn 6→ +∞, xn 6→ −∞.
32
ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ S
Рассмотрим расширенную числовую
прямую R {±∞}.
S
Определение. Точка a ∈ R {±∞} называется верхним
(соответственно, нижним) пределом (xn), если
1. Существует подпоследовательность (xnk ) такая, что xnk →a.
2. Если подпоследовательность xmk → b ((xmk ) отлична от
подпоследовательности (xnk )), то b≤a (соответственно, b≥a).
При этом используются обозначения: a = limxn
(соответственно, a = limxn).
Замечание. Последовательность (xn) может иметь только
один верхний (нижний) предел.
Доказательство. Пусть a1 и a2 два верхних предела (xn) и
пусть a1 < a2. В этом случае существует подпоследовательность
(xnk ), сходящаяся к a2, что противоречит тому, что a1 –
верхний предел (xn). Аналогично проводится доказательство
для нижнего предела.
Теорема 1. Для произвольной последовательности (xn)
справедливы следующие утверждения:
1. Верхний и нижний пределы всегда существуют.
2. limxn ≤ limxn.
3. limxn = limxn тогда и только тогда, когда существует lim xn,
при этом lim xn = limxn = limxn.
Доказательство. Докажем свойство 1 в случае
ограниченной (xn). Выделим из (xn) подпоследовательность
(xnk ), сходящуюся к некоторому числу, действуя следующим
образом. Пусть (xn) ⊂ ∆0 = [c, d]. Далее, разделим ∆0 на
две равные части и обозначим через ∆1 самую правую из
них, содержащую в себе ∞ число элементов xn. Пусть xn1
– один из элементов отрезка ∆1. Обозначим, далее, через
∆2 самую правую половину отрезка ∆1, содержащую в себе
∞ число элементов xn. Очевидно, что среди элементов xn,
принадлежащих ∆2, найдется элемент xn2 с n2 > n1. Вообще,
если отрезки ∆1 ⊃ ∆2 ⊃ · · · ⊃ ∆k−1 и принадлежащие им
элементы xn1 , . . . , xnk−1 уже определены, то обозначим через
33
∆k самую правую половину отрезка ∆k−1, содержащую в
себе ∞ число элементов xn. Очевидно, что среди последних
найдется элемент xnk с nk > nk−1. Обозначим через a
точку, принадлежащую всем ∆k (k = 1, 2, 3, . . . ). Для любой
ε - окрестности точки a существует n ∈ N такое, что
∆n ⊂ (a − ε, a + ε). ⇒ ∆k ⊂ (a − ε, a + ε) для всех k ≥ n. ⇒ Все
члены построенной последовательности (xnk ), начиная с номера
n, будут принадлежать (a − ε, a + ε), что означает xnk → a.
Покажем, что a = limxn. Пусть a0 > a. Подберем n настолько
большим, что a0 оказывается правее ∆n. Но правее ∆n может
быть только конечное число элементов xn, и, следовательно,
не существует подпоследовательности последовательности (xn),
которая сходилась бы к a0. Таким образом, a = limxn.
Если процесс доказательства видоизменить, обозначая
через ∆n (для любого n) не самую правую, а самую левую
половину ∆n−1, содержащую ∞ число элементов xn, то получим
число a, равное нижнему пределу xn.
Замечание. Для любого ε > 0 интервал (a − ε, a + ε),
где a = limxn (a = limxn), содержит в себе бесконечное число
элементов xn, при этом справа (слева) от этого интервала
имеется более чем конкретное число элементов xn.
Доказательство. Можно указать такое n, что ∆n ⊂
(a − ε, a + ε). Но в ∆n имеется ∞ число элементов xn – тем более
это справедливо для (a − ε, a + ε). Правее ∆n имеется не более
чем конечное число элементов xn – тем более это справедливо
для (a − ε, a + ε).
Упражнения.
Завершить доказательство свойства 1, доказав его для
следующих случаев.
Для верхнего предела:
1. (xn) – не ограничена сверху.
2. (xn) – ограничена сверху, но не ограничена снизу.
Для нижнего предела:
1. (xn) – не ограничена снизу.
2. (xn) – ограничена снизу, но не ограничена сверху.
34
Литература: [2], § 3.7, с. 79.
Свойство 2 является простым следствием определений
верхнего и нижнего пределов числовой последовательности.
Докажем свойство 3. Если существует lim xn, то все
подпоследовательности (xn) сходятся к нему, и поэтому имеет
место limxn = limxn = lim xn. Обратно, пусть limxn = limxn = a.
Если a – конечное число, то из limxn = limxn = a следует, что
для любого ε > 0 неравенства a − ε < xn < a + ε соблюдаются
для всех индексов n, за исключением конечного их числа, а
это значит, что xn → a. Если теперь a = +∞, то неравенству
xn ≤ M может при любом конечном M удовлетворять конечное
число элементов xn, но тогда lim xn = +∞. Аналогично
рассматривается случай a = −∞.
x
Теорема 2. Справедливы следующие отношения:
1. limxn = −lim(−xn).
2. lim(xn + yn) ≤ limxn + limyn.
3. lim(xn + yn) ≥ limxn + limyn.
Доказательство. Справедливость равенства 1 следует
непосредственно из определения верхнего и нижнего
пределов. Докажем неравенства 2 и 3. Будем считать
(xn) и (yn) ограниченными, так как в противном случае
неравенства 2 и 3 выполняются очевидным образом
(проверку этого факта предлагается провести самостоятельно).
Существует подпоследовательность (xnk + ynk ) такая, что
lim(xn + yn) = lim(xnk + ynk ). (xn) – ограничена ⇒ (xnk )
– ограничена. По следствию к теореме Вейерштрасса,
существует подпоследовательность (xn0k ) ⊂ (xnk ) такая, что
существует lim xn0k . Подпоследовательность (xn0k ) определяет
подпоследовательность (yn0k ) ⊂ (ynk ). Так как (yn) – ограничена,
то (yn0k ) – ограничена. По следствию к теореме Вейерштрасса,
существует подпоследовательность (yn00k ) ⊂ (yn0k ) такая,
что существует lim yn00k . Но так как существует lim xn0k , то
существует lim xn00k . Поэтому lim(xn00k + yn00k ) = lim(xn00k ) + lim(yn00k ).
(xn00k + yn00k ) ⊂ (xnk + ynk ), и lim(xnk + ynk ) существует.
Следовательно, lim(xnk + ynk ) = lim(xn00k + yn00k ) = lim(xn00k ) +
35
≤
+ lim(yn00k )
limxn + limyn. Последнее доказывает
неравенство 2. Неравенство 3 является следствием
равенства 1 и неравенства 2. Действительно, lim(xn +
+yn) = −lim(−xn − yn) ≥ −(lim(−xn) + lim(−yn)) =
= limxn + limyn. x
Пример.
(2 + (−1)n)n
xn =
, n ∈ N.
n
limxn = +∞, limxn = 0.
36
Глава 3
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
§ 3.1 Предел функции. Свойства пределов функции.
Первый замечательный предел.
§ 3.2 Критерий Коши существования предела функции.
§ 3.3 Модификация понятия предела функции в точке.
§ 3.4 Второй замечательный предел.
§ 3.5 Порядок функции. Эквивалентность. Асимптотика.
§ 3.1 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. СВОЙСТВА
ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ. ПЕРВЫЙ
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
Пусть f – некоторая числовая функция, определенная на
множестве E.
Определений 1. Число α называется пределом функции
f в точке a, если:
1. a – предельная точка множества E.
2. Для любой последовательности (xn) такой, что xn ∈ E,
xn 6= a : xn → a ⇒ f (xn) → α.
(∗)
Обозначение: α = lim f (x) или f (x) → α при x → a.
x→a
Подчеркнем, что понятие предела функции в точке a вводится
только для предельных точек a области определения функции.
Отметим, что при этом функция может быть и не определена в
точке a, т. е., вообще говоря, a ∈
/ E.
Замечание 1. Условие 1 в определении предела функции
в точке можно заменить следующим: функция определена в
некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть,
самой точки a. Тогда мы получим определение, подпадающее
под определение 1.
Замечание 2. Число α = lim f (x) ничего не говорит о
x→a
значении f в точке a. Функция f (x) может быть и не определена
в точке a. Утверждение lim f (x) = α говорит о том, что если
x→a
37
x приближается к a, по любому закону оставаясь не равным a,
то соответствующее значение f , в свою очередь, приближается
к α, т. е. делается сколь угодно близким к α.
Определение 2. Число α называется пределом функции
f в точке α, если:
1. α – предельная точка множества E.
2. ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ E x ∈ (a − δ, a + δ), x 6= a
(|f (x) − α| < ε).
(∗)
Замечание. Определения 1 и 2 эквивалентны.
Доказательство. Эквивалентность определений будет
доказана, если мы докажем эквивалентность условий (∗)
и (∗∗). Доказательство будем вести от противного. Пусть
справедливо (∗), но при этом не выполняется (∗∗). Это значит,
что существует хотя бы одно ε > 0 (обозначим егоTε0), такое,
что для любого δ > 0 существует x ∈ (a − δ, a + δ) E, x 6= a,
для которого |f (x) − α| ≥ ε0. Возьмем в качестве δ все числа
вида δ = 1/k, k = 1, 2, 3, . . . , и для каждого из них найдем
xk ∈ E, для которого
0 < |xk − a| < 1/k, xk 6= a, и
|f (xk ) − α| ≥ ε0, k = 1, 2, 3, . . .
Из этих соотношений видно, что существует последовательность
(xk ) такая, что xk → a (xk 6= a), в то время как f (xk ) заведомо
не стремится к α. Таким образом, допущение, что выполняется
(∗), но не выполняется (∗∗), приводит к противоречию.
Докажем, что из условия (∗∗) следует условие (∗). Пусть
справедливо (∗∗) и пусть задана (xn); xn ∈ E : xn → a (xn 6= a).
Подберем натуральное число N так, чтобы |xn − a| < δ для
любых n > N . Тогда, согласно условию (∗∗), |f (xn) − α| < ε для
любых n > N , т. е. f (xn) → α. Доказанное верно для любой
последовательности (xn), сходящейся к a (лишь бы xn 6= a),
поэтому из (∗∗) ⇒ (∗).
Пример. lim cos x = cos a, так как | cos x − cos a| =
x→a
x+a
2 |
= |2 sin
sin
≤ ≤ 2| x−a
2 | = |x − a| (здесь мы использовали
неравенство | sin x| ≤ |x|, x ∈ R).
x−a
2
СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ
38
Теорема 1. Если f (x) определена в некоторой окрестности
точки a, за исключением, может быть, самой этой точки a и
lim f (x) = α, где α – конечное число, то существует U (a) такая,
x→a
что f (x) ограничена в Ǔ (a).
Доказательство. Так как lim f (x) = α, то для ε = 1
x→a
существует δ > 0 такое, что если 0 < |x−a| < δ, то |f (x)−α| < 1.
Таким образом, для некоторой проколотой окрестности точки
a справедливы неравенства |f (x)| − |α| ≤ |f (x) − α| < 1.
Следовательно |f (x)| < |α| + 1 для x из некоторой Ǔ (a).
x
Теорема 2. Если f (x) определена в некоторой окрестности
точки a, за исключением, может быть, самой этой точки a и
lim f (x) = α и α 6= 0, то существует U (a) такая, что |f (x)| >
x→a
> |α|
2 ,
и
x ∈ Ǔ (a). Больше того, для указанных x
α
f (x) > , если α > 0,
2
α
, если α < 0.
2
lim f (x) = α 6= 0. Пусть
f (x) <
Доказательство.
x→a
ε=
|α|
2
> 0.
Следовательно, существует Ǔ (a) такая, что ∀ x ∈ Ǔ (a) :
|α|
|f (x) − α| < |α|
2 . ⇒ |α| − |f (x)| ≤ |α − f (x)| < 2 . ⇒ |f (x)| >
α
> |α|
2 , ∀ x ∈ Ǔ (a). Таким образом, если α > 0, то f (x) > 2 , и
если α < 0, то f (x) < α2 .
Теорема 3 (арифметические свойства). Пусть f (x) и g(x)
определены в некоторой окрестности точки a, за исключением,
может быть, самой точки a. Тогда справедливы равенства:
lim (f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x),
x→a
x→a
x→a
lim f (x) · g(x) = lim f (x) · lim g(x),
x→a
x→a
x→a
(∗)
lim f (x)
f (x) x→a
lim
=
, (lim g(x) 6= 0),
x→a g(x)
lim g(x) x→a
x→a
в том смысле, что если определены правые части, то определены
левые, и они равны.
39
Доказательство. Пусть определены правые части равенств
(∗), т. е. lim f (x) = α и lim g(x) = β. Пусть xn → a (xn 6= a,
x→a
x→a
n = 1, 2, . . .), тогда lim f (xn) = α, lim g(xn) = β. Но для числовых
последовательностей равенства (*) верны, т. е.
lim(f (xn) ± g(xn)) = lim f (xn) ± lim g(xn),
lim f (xn) · g(xn) = lim f (xn) · lim g(xn),
(∗∗)
f (xn) lim f (xn)
lim
=
, (lim g(xn) 6= 0).
g(xn) lim g(xn)
(Условие lim g(xn) 6= 0 выполняется, так как lim g(x) 6= 0;
x→a
g(xn) 6= 0, так как, если lim g(x) 6= 0, то g(xn) 6= 0 в некоторой
x→a
окрестности точки a). Так как равенства (∗∗) выполняются для
любой последовательности xn → a, xn 6= a, то равенства (∗)
справедливы.
Теорема 4. ("Свойство двух милиционеров").
Пусть
f1(x), f2(x), ϕ(x) определены в некоторой окрестности
точки a, за исключением, может быть, самой точки a, и
удовлетворяют неравенствам f1(x) ≤ ϕ(x) ≤ f2(x). Пусть
lim f1(x) = lim f2(x) = α. Тогда lim ϕ(x) = α.
x→a
x→a
x→a
Доказательство. Пусть xn → a, xn 6= a; тогда при
достаточно большом N для n > N f1(xn) ≤ ϕ(xn) ≤ f2(xn).
Далее, так как lim f1(x) = α, lim f2(x) = α, то lim f1(xn) = α и
x→a
x→a
lim f2(xn) = α и по "Свойству двух милиционеров" для числовых
последовательностей существет lim ϕ(xn) = α. В силу того, что
(xn) является произвольной последовательностью, сходящейся
к a, утверждение теоремы доказано. x
ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
lim sinx x = 1.
x→a
Доказательство.
y6
N
A
TT
0
x T
T
M
-
x
40
Площадь 4AOM < площади сектора OAM < площади
4OM N , т. е.
1 2
1
1
r sin x < r2x < r2 tg x
2
2
2
(здесь x – радианная мера ∠AOM ). Проведем сокращение на
1/2, и так как r = 1, то
sin x < x < tg x, x ∈ (0, π/2).
(∗)
В предположении, что 0 < x < π/2, разделим на sin x каждый
из членов неравенства (∗). В результате получим
sin x
> cos x
x
lim cos x = 1, поэтому, по "Свойству двух милиционеров", для
1>
x→0
предела функции получим lim
sin x
x→0 x
= 1.
§ 3.2 КРИТЕРИЙ КОШИ
СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
Пусть f – некоторая числовая функция, определенная на
множестве E.
Теорема. Для того, чтобы существовал предел lim f (x) =
x→a
α, необходимо и достаточно, чтобы точка a была предельной
точкой множества E и для любого ε > 0 существовала
T
окрестность U (a) такая, что для любых x0, x00 ∈ Ǔ (a) E имело
место |f (x0) − f (x00)| < ε.
Доказательство. Необходимость. Пусть lim f (x) = α. Тогда
x→a
a – предельная точка множества E иTдля любого ε > 0
существует U (a) такая, что для x ∈ ǓT(a) E : |f (x) − α| < ε/2.
Таким образом, если x0, x00 ∈ Ǔ (a) E, то |f (x0) − f (x00)| ≤
|f (x0) − α| + |f (x00) − α| < ε, т. е. выполняется условие критерия
Коши.
Достаточность. Пусть a – предельная точка множества E и
пусть для любого ε > 0 можно указать окрестность T
U (a)
такую, что |f (x0) − f (x00)| < ε для всех x0, x00 ∈ Ǔ (a) E.
Зададим произвольную последовательность (xn), xn 6= a, xn ∈
E, сходящуюся к a : xn → a. Тогда, согласно критерию
Коши для числовой последовательности, найдется N ∈ N
41
такое, что для любых n, m > N : xn, xm ∈ U (a). Но
тогда |f (xn) − f (xm)| < ε (для любых n, m > N ), т. е.
последовательность (f (xn)) удовлетворяет условию критерия
Коши и, следовательно, имеет предел. Таким образом, мы
доказали следующее свойство рассматриваемой функции: для
любой сходящейся к a последовательности xn 6= a существует
lim f (xn). Для завершения доказательства существования
lim f (x) необходимо показать, что lim f (xn) будет один и тот же
x→a
для любой последовательности xn → a, xn 6= a. Пусть xn → a,
x0n → a (xn, x0n 6= a, n = 1, 2, . . .). По доказанному
выше, существуют lim f (xn) и lim f (x0n). Предположим, что
lim f (xn) = α, lim f (x0n) = α0. Составим новую числовую
последовательность: (x00n) = (x1, x01, x2, x02, . . .). Очевидно, что
x00n → a. Но тогда должен существовать lim f (x00n), что
возможно только тогда, когда α = α0. Итак, для любой
последовательности x→a, xn 6= a, существует lim f (xn) = α, что
означает: существует lim f (x) = α.
x→a
§ 3.3 МОДИФИКАЦИЯ ПОНЯТИЯ
ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Пусть f – некоторая числовая функция, определенная на
множестве E.
Определение 1. Число α называется пределом функции
в точке a справа (пишут: lim f (x) = α или f (a + 0) = α), если
x→a+0
1. a – предельная точка множества E.
2. Для любой последовательности (xn), xn > a, xn ∈ E :
xn → a ⇒ f (xn) → α.
Определение 2. Число α называется пределом функции
в точке a слева (пишут: lim f (x) = α или f (a − 0) = α), если
x→a−0
1. a – предельная точка множества E.
2. Для любой последовательности (xn), xn < a, xn ∈ E :
xn → a ⇒ f (xn) → α.
Замечание 1. Условия 2 в определениях 1 и 2 эквивалентны,
соответственно, следующим условиям:
42
20. ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ E, x ∈ (a, a + δ) : |f (x) − α| < ε.
200. ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ E, x ∈ (a − δ, a) : |f (x) − α| < ε.
Доказывается данное замечание как и в случае обычного
предела функции.
Используя данное замечание, легко доказать следующее
утверждение.
x Замечание 2.
Пусть f (x) определена в некоторой
окрестности точки a, за исключением, может быть, самой
точки a. Тогда lim f (x) существует тогда и только тогда, когда
x→a
существуют lim f (x), lim f (x) и они равны..
x→a−0
x→a+0
Доказательство. Необходимость. Пусть lim f (x) = α, т. е.
x→a
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ E, x ∈ (a − δ, a + δ), x 6= a (|f (x) − α| < ε).
Тогда
∀x ∈ (a − δ, a) (|f (x) − α| < ε),
(1)
∀x ∈ (a, a + δ) (|f (x) − α| < ε).
(2)
Из (1) ⇒ lim f (x) = α, а из (2) ⇒ lim f (x) = α.
x→a−0
x→a+0
Достаточность. Пусть lim f (x) = lim f (x) = α, т. е.
x→a−0
x→a+0
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ (a − δ, a) (|f (x) − α| < ε),
(3)
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ (a, a + δ) (|f (x) − α| < ε).
(4)
Заметим, что δ в (3) и (4) выбираются одинаковыми. Из (3) и
(4) ⇒ ∀ε > 0∃δ > 0 ∀ x ∈ (a − δ, a + δ), x 6= a (|f (x) − α| < ε).
⇒ lim f (x) = α. x
x→a
Определение 3. Число α называется пределом функции f в
∞ (пишут: lim f (x) = α), если
x→∞
1. f (x) определена на некоторой Ǔ (∞).
2. Для любой сходящейся к ∞ последовательности (xn) :
f (xn) → α.
Замечание 3. Условие 2 эквивалентно условию:
∀ε > 0 ∃ Ǔ (∞) ∀x ∈ Ǔ (∞) (|f (x) − α| < ε).
Аналогично
определяются
lim f (x)
и
lim f (x).
x→+∞
x→−∞
Единственное отличие состоит в том, что используются,
соответственно, Ǔ (+∞) и Ǔ (−∞)
43
Иллюстрации:
y6
3
y6
y6
3
2
3
2
1
2
1
0 −1
-
x
-
x
-
0 −1
I
1
0 −1
R
-
x
-
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 1. lim f (x) = 2, lim f (x) = −1 (существуют),
x→0+0
lim f (x) – не существует.
x→0−0
x→0
Рис. 2. lim f (x) = 2 (существует), lim f (x) – не
x→+∞
x→∞
существует.
Рис. 3. lim f (x) = 1, lim f (x) = 3, lim f (x) = −1
x→∞
x→0+0
x→0−0
(существует), lim f (x) – не существует.
x→0
Сделанные выше определения можно обобщить на случай,
когда α – несобственная точка.
Определение 4. lim f (x) = ∞, если
x→a
1. a – предельная точка множества E.
T
2. ∀M > 0 ∃U (a) ∀x ∈ Ǔ (a) E(|f (x)| > M ).
Замечание 4. Если lim f (x) = ∞ и в некоторой окрестности
x→a
U (a) функция f (x) > 0 (соответственно f (x) < 0), то пишут:
lim f (x) = +∞ (соответственно lim f (x) = −∞).
x→a
x→a
Иллюстрации:
y6
y6
6
6
0
a
-
x
0
a
?
44
-
x
§ 3.4 ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
Ранее было определено число e как предел числовой
последовательности
1 n
.
(1)
e = lim 1 +
n
x
Теперь мы установим более общий результат: lim 1 + x1 = e.
x→∞
Очевидно, достаточно доказать это равенство для случаев x →
+∞ и x → −∞. Пусть x → +∞. Очевидно, справедливы
неравенства:
[x] 1 x
1 [x]+1
1
< 1+
< 1+
,
(2)
1+
[x] + 1
x
[x]
[x]
1
1 + [x]+1
где [x] – целая часть числа x.
и
[x]+1
1
1 + [x]
являются числовыми последовательностями. По
[x]
[x]+1
1
1
= lim 1 + [x]
= e.
доказанному ранее lim 1 + [x]+1
Поэтому, по "Свойству
двух милиционеров", из (2)
1 x
следует
lim 1 + x
=
e. Пусть x
→
−∞.
x→+∞
−y
y
y
1 x
1
lim 1 + x
=
lim y−1
=
=
lim 1 − y
x→−∞
y→+∞
y→+∞
y−1 1
1
= lim 1 + y−1
· 1 + y−1 = e.
y→+∞
§ 3.5 ПОРЯДОК ФУНКЦИИ.
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ (АСИМПТОТИКА)
Определение 1. Функция f имеет порядок функции ϕ
на множестве E, или f есть O большое от ϕ на E (записывается:
f (x) = O(ϕ(x)), x ∈ E), если |f (x)| ≤ C|ϕ(x)|, x ∈ E, где C –
не зависящая от x постоянная.
Замечание. f (x) = O(1), x ∈ E, означает, что f ограничена
на E.
Пример. sin x = O(x), x ∈ R, т. к. | sin x| ≤ |x|, ∀x ∈ R.
45
Очень часто возникает вопрос о поведении функции
в окрестности точек, в которых она не определена. Для
сложных функций желательно иметь хорошую аппроксимацию
простыми функциями. Сейчас мы дадим определение основных
асимптотических соотношений.
Определение 2.
10. f (x) = o(ϕ(x)), x → a (говорят: функция f есть o малое
от функции ϕ при x → a), если f (x) = ε(x)ϕ(x), где функция
ε(x) → 0 при x → a.
20. f (x) = O(ϕ(x)), x → a (говорят: функция f есть O
большое от функции ϕ(x) при x → a), если существует Ǔ (a)
такая, что f (x) = O(ϕ(x)), x ∈ Ǔ (a).
30. Функции f1(x) и f2(x) называются эквивалентными при
x → a (пишут: f1(x) ' f2(x), x → a), если f1 и f2 не равны нулю
(x)
в некоторой Ǔ (a) и если lim ff21(x)
= 1.
x→a
Замечания.
1. В определении 2 считается, что функции f, ϕ, f1, f2
определены на некоторой окрестности точки a, за исключением,
может быть, самой точки a.
2. Если функция ϕ(x) 6= 0 на Ǔ (a), то 10, 20 из определения
2 будут эквивалентны следующим:
f (x)
10. f есть o малое от ϕ при x → a, если lim ϕ(x)
= 0.
x→a
2 . f есть O большое от ϕ при x → a, если существует Ǔ (a),
f (x)
на которой | ϕ(x)
| ≤ C. C – постоянная.
Примеры.
1. x2 = o(x), x → 0.
2. x = o(x2), x → ∞.
3. x = O(sin x), x → 0.
Докажем следующие асимптотические свойства:
Теорема 1. f (x) ' ϕ(x), x → a, тогда и только тогда, когда
f (x) = ϕ(x) + o(ϕ(x)), x → a.
Доказательство. f (x)h ' ϕ(x),
x → a. ⇒ f (x) = ϕ(x) +
i
f (x)
r(x)
+r(x), где r(x) =
−
1
ϕ(x),
причем
lim
=
ϕ(x)
x→a ϕ(x)
f (x)
r(x)
= lim ϕ(x)
− 1 = lim ϕ(x)
− 1 = 0. Таким образом, r(x) =
x→a
x→a
=o(ϕ(x)), x→a, и, следовательно, f (x) = ϕ(x) + o(ϕ(x)), x → a.
0
46
f (x)
=
Обратно, пусть f (x) = ϕ(x) + o(ϕ(x)), x → a. ⇒ ϕ(x)
= 1 + o(1), x → a, т. е. f (x) ' ϕ(x), x → a
Теорема 2. Если f (x) ' ϕ(x), x → a и функция ψ(x)
определена в некоторой Ǔ (a), то lim f (x)ψ(x) = lim ϕ(x)ψ(x)
x→a
x→0
в том смысле, что если определена одна из частей равенства, то
определена и другая и они равны.
Доказательство. Пусть, например, определена правая часть
f (x)
равенства. Тогда lim f (x)ψ(x) = lim ϕ(x)
· ϕ(x)ψ(x) =
x→a
x→a
= lim ϕ(x)ψ(x).
x→a
Примеры.
1. sin x ' x, x → 0 (эквивалентная запись 1-го
замечательного предела).
2. 1 − cosx ' 12 x2, x → 0.
2
2·( x2 )
2 sin2 x2
1−cos x
= lim 1 x2 = lim 1 x2 =
Доказательство. lim 1 x2
= lim
x→0
x2
4
x2
4
x→0
x→0
2
2
x→0
2
= 1.
Здесь мы использовали пример 1 (sin x2 '
теорему 2 (заменили sin x2 на x2 ).
47
x
2,
x → 0) и
Глава 4
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 4.1 Непрерывные функции. Основные свойства функций,
непрерывных в точке.
§ 4.2 Точки разрыва.
§ 4.3 Свойства функций, непрерывных на отрезке.
§ 4.4 Равномерная непрерывность. Продолжение по
непрерывности.
§ 4.5 Непрерывность обратной функции.
§ 4.6
Показательная
функция.
Логарифмическая,
степенная, гиперболические функции.
§ 4.1 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ,
НЕПРЕРЫВНЫХ В ТОЧКЕ
Определение 1. Функция f называется непрерывной
в точке a, если она определена на некоторой U (a) и если
lim f (x) = f (a).
x→a
Мы имеем два эквивалентных определения предела,
поэтому данное определение можно развернуть двумя
способами.
10. Функция f называется непрерывной в точке
a, если она определена на некоторой U (a) и если
для ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ (a − δ, a + δ)
(|f (x) − f (a)| < ε).
20. Функция f называется непрерывной в точке
a, если она определена на некоторой U (a) и если
для любой последовательности (xn) : xn → a ⇒
⇒ f (xn) → f (a).
Ещё раз отметим, что 10 эквивалентно 20.
Если функция не является непрерывной в точке a, то
говорят, что она разрывна в точке a. В случае, когда функция
определена на U (a), разрывность в точке a можно определить
на языке (ε, δ) следующим образом: ∃ ε > 0 ∀δ > 0 ∃
x ∈ (a − δ, a + δ) (|f (x) − f (a)| ≥ ε).
48
Иллюстрации:
y6
y6
f (a)+ε
f (a)+ε0
f (a)
f (a)
f (a)−ε
f (a)−ε0
0
a−δ a a+δ
-
x
0
r
a−δ a a+δ
-
x
Рис. 1.
Рис. 2.
На
рис.
1
изображена
непрерывная
кривая
("непрерывность" понимается в интуитивном смысле – кривую
можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги). Пусть
эта кривая является графиком некоторой функции f (x). Тогда
∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ (a − δ, a + δ) (|f (x) − f (a)| < ε)
(все это видно на рисунке) и, следовательно, математическое
определение непрерывности функции отвечает интуитивному
понятию непрерывности кривой.
На рис. 2 изображена разрывная кривая, состоящая из
двух кусков. Разрыв имеет место в точке a. На рисунке видно,
что существует ε0 > 0 такое, что для любых δ > 0 существует
x ∈ (a − δ, a + δ) такое, что |f (x) − f (a)| ≥ ε0. Таким образом,
разрывному графику соответствует разрывная функция.
Примеры.
1. f (x) = C, x ∈ R, C – постоянная, – непрерывна в
каждой точке x ∈ R.
2. f (x) = x, x ∈ R, – непрерывна в каждой точке x ∈ R.
Определение 2. Функция называется непрерывной, если
она непрерывна в каждой точке своей области определения.
x Примеры. Тригонометрические функции cos x(x ∈ R),
sin x(x ∈ R), tg x(x ∈ R, x 6= π2 + kπ, k ∈ Z), ctg x(x ∈ R, x 6=
kπ, k ∈ Z) являются непрерывными функциями.
Справедливость утверждения следует из утверждений:
lim cos x = cos a, lim sin x = sin a, lim tg x = tg a
x→a
x→a
x→a
π
(a 6= 2 + kπ, k ∈ Z), lim ctg x = ctg a(a 6= kπ, k ∈ Z).
x→a
Первое утверждение доказано в § 3.1. Докажем остальные
x−a
утверждения. | sin x − sin a|
=
2 cos x+a
≤
2 sin 2
x−a
≤ 2 2
= |x − a|. Отсюда следует, что lim sin x = sin a.
x→a
Далее, используя арифметические свойства предела функции,
49
получим
lim sin x
x→a
lim tg x =
x→a
lim cos x
=
x→a
sin a
π
= tg a (a 6= + kπ, k ∈ Z);
cos a
2
lim cos x
lim ctg x =
x→a
x→a
lim sin x
x→a
=
cos a
= ctg a (a 6= kπ, k ∈ Z).
sin a
x
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ,
НЕПРЕРЫВНЫХ В ТОЧКЕ
Теорема 1. Если функция f непрерывна в точке, то она
ограничена в некоторой окрестности этой точки.
Доказательство. Так как f непрерывна в точке a, то, по
определению, lim f (x) = f (a). Следовательно, по свойству
x→a
предела функции, функция f будет ограничена в некоторой
U (a), причем точка a не выбрасывается из U (a), так как f
определена в точке a.
Теорема 2. Если функция f (x) непрерывна в точке a и
f (a) 6= 0, то существует окрестность U (a), на которой |f (x)| >
f (a)
.
Больше
того,
если
f
(a)
>
0,
то
f
(x)
>
> |f (a)|
2
2 , x ∈ U (a),
а если f (a) < 0, то f (x) < f (a)
2 , x ∈ U (a). Справедливость
утверждения теоремы следует из теоремы 2 (см. "Свойство
пределов функций" ), так как непрерывность f (x) в точке a
означает, что lim f (x) = f (a).
x→a
x
Теорема 3 (арифметические свойства). Пусть функции f
и g непрерывны в точке a, тогда в точке a непрерывны также
функции: f (x) ± g(x), f (x) · g(x), f (x)/g(x), если g(x) 6= 0.
Доказательство. Справедливость утверждения теоремы
следует из теоремы 3 (см. "Свойство пределов функций" ).
Например, пусть f (x) и g(x) непрерывны в точке a. ⇒
lim f (x) = f (a) и lim g(x) = g(a). По свойству пределов
x→a
x→a
функций в точке имеем lim (f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x) =
x→a
x→a
x→a
= f (a) ± g(a). Таким образом, функция f (x) ± g(x) непрерывна
в точке a.
50
Теорема 4 (непрерывность суперпозиций функций). Если
функция ϕ(x) непрерывна в точке a и функция f (y) непрерывна
в точке b = ϕ(a), то функция F (x) = f (ϕ(x)) – непрерывна в
точке a.
Доказательство. Зададим ε > 0. Вследствие непрерывности функции f в точке b существует δ1 > 0 такое, что f (y)
будет определена на интервале (δ − δ1, δ + δ1) и выполняется
неравенство:
|f (y) − f (b)| < ε, если |y − b| < δ1.
А вследствие непрерывности функции ϕ в точке a существует
δ2 > 0 такое, что ϕ(x) определена на интервале (a − δ2, a + δ2) и
|ϕ(x) − ϕ(a)| < δ1 для |x − a| < δ2.
(1)
Из полученных соотношений следует, что для всех
x, удовлетворяющих неравенству (1), функция f (ϕ(x))
определена и справедливо неравенство |f (ϕ(x))−f (ϕ(a))|<ε
или |F (x)−F (a)|<ε. x
§ 4.2 ТОЧКИ РАЗРЫВА
Определение 1. Если функция f не является непрерывной
в точке a, но существует lim f (x), то говорят, что f имеет
x→a
устранимый разрыв в точке a.
Иллюстрации:
y6
y6
f (a)
α
α
a
Рис. 1.
0
-
x
a
Рис. 2.
0
lim f (x)= lim f (x)=α
x→a+0
r
-
x
lim f (x)= lim f (x)=α
x→a−0
x→a+0
x→a−0
f (a) 6= α
f (x) - не определена в точке a
В обоих случаях lim f (x) существует, но f разрывна в a,
x→a
так как (см. рис. 1) f – не определена в a и (см. рис. 2) f (a) 6=
51
α = lim f (x). Разрывы функций в точке a легко устраняются. В
x→a
1 случае f нужно доопределить в точке a, а во 2 случае f нужно
видоизменить, положив f (a) = lim f (x) = α.
x→a
Следует заметить, что разрывы могут быть и
неустранимыми.
Пример. Пусть f (x) = sin x1 (x ∈ R, x 6= 0). Тогда
2
lim sin x1 не существует, так как если xn = π(2n+1)
→ 0, то
x→a
последовательность sin x1n = (−1)n предела не имеет. Таким
образом, f (x) = sin x1 не является непрерывной в точке O и
разрыв этот неустранимый.
Определение 2. Если функция f непрерывна в любой точке
достаточно малой окрестности Ǔ (a) и не ограничена в U (a), то
говорят, что f имеет бесконечный разрыв в точке a.
Пример. f (x) = tg x имеет бесконечный разрыв в точках
xk = π2 + kπ, k ∈ Z.
Введем понятие непрерывности функции в точке справа и
слева. Обозначим: f (a + 0) = lim f (x), f (a − 0) = lim f (x).
x→a+0
x→a−0
Определение 3. Функция f называется непрерывной в точке a справа (слева), если существует f (a + 0) и
f (a + 0) = f (a) (соответственно, если существует f (a − 0) и
f (a − 0) = f (a)).
Замечание. Если f непрерывна как справа, так и слева в
точке a, то она непрерывна в точке a.
Доказательство. Ранее было доказано: lim f (x) существует
x→a
тогда и только тогда, когда существуют f (a + 0) и f (a − 0) и
она равны, при этом lim f (x) = f (a + 0) = f (a − 0). Поэтому,
x→a
так как f (a + 0) = f (a − 0) = f (a), то lim f (x) = f (a), т. е. f –
x→a
непрерывная в точке a.
Определение 4.
Точка
a
называется
точкой разрыва 1-го рода для функции f , если пределы f (a+0)
и f (a − 0) существуют (конечны) и хотя бы один из них отличен
от f (a) или функция f не определена в точке a.
Примеры графиков функций, имеющих разрыв 1-го рода в
точке a.
52
y6
y6
y6
r
f (a)
f (a)
f (a)
r
r
0
a
Рис. 1.
x 0
-
f (a+0)6=f (a),
f (a−0)6=f (a),
f - разрывна справа и слева.
y6
a
Рис. 2.
x 0
-
f (a+0)6=f (a),
f (a−0)=f (a),
f - разрывна справа и
непрерывна слева.
a
Рис. 3.
x
-
f (a−0)6=f (a),
f (a+0)=f (a),
f - разрывна слева и
непрерывна справа.
y6
y6
r
f (a)
0
a
Рис. 4.
f (a+0)=f (a−0)6=f (a),
Разрыв устраним.
x 0
-
a
Рис. 5.
f (a+0)6=f (a−0),
f не определена в a.
x 0
-
a
Рис. 6.
x
-
f (a+0)=f (a−0),
f не определена в a.
Разрыв устраним.
Определение 5. Если f определена в некоторой U (a),
исключая, может быть, саму точку a, и имеет разрыв в a, не
являющийся разрывом 1-го рода, то говорят, что она имеет в a
разрыв 2-го рода.
Пример.
0,
x ≤ 0,
Функция f (x) =
sin x1 , x > 0.
имеет в точке 0 разрыв 2-го рода, потому что хотя и имеет
смысл f (0−0)=0, но не имеет смысла f (0 + 0) (см. пример
неустранимого разрыва).
53
§ 4.3 СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ,
НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ
Определение. Функция называется непрерывной на
отрезке [a, b], если она непрерывна на (a, b), непрерывна слева
в точке b и непрерывна справа в точке a.
Теорема 1. Если f непрерывна на отрезке [a, b], то она
ограничена на [a, b].
Доказательство. Допустим, что f не ограничена на [a, b].
Тогда для любого n ∈ N существует xn ∈ [a, b] такое, что
|f (xn)| > n.
(∗)
Последовательность (xn) ограничена, т. к. xn ∈ [a, b], n ∈ N.
Поэтому (по следствию к теореме Вейерштрасса) (xn)
содержит сходящуюся подпоследовательность (xnk ) : xnk → c,
причем c ∈ [a, b]. Так как f непрерывна на [a, b], то
lim f (xnk ) = f (c), т. е. ∀ε > 0 ∃ N ∈ N ∀k > N
k
(|f (xnk )−f (c)|<ε).
Отсюда
и
из
неравенства
|f (xnk )−f (c)| ≥ ||f (xnk )|−|f (c)|| следует: ∀k > N |f (xnk )| <
|f (c)| + ε. При k → ∞, nk → ∞, поэтому можно выбрать k 0
таким большим, что nk0 будет больше |f (c)| + ε. Таким образом,
мы получили |f (xnk0 )| < nk0 , что противоречит (∗).
Теорема 2. Непрерывная на [a, b] функция f достигает на
[a, b] своих точных граней, т. е. существуют точки α и β ∈ [a, b],
для которых sup f (x) = f (α), inf f (x) = f (β)
x∈[a,b]
x∈[a,b]
Доказательство. По теореме 1 непрерывная на [a, b]
функция ограничена: |f (x)| ≤ K (x ∈ [a, b]), где K − const.
Но тогда существует точная верхняя грань f (x) на [a, b] :
sup f (x) = M . Из определения sup мы имеем: для любых
x∈[a,b]
n ∈ N существует xn ∈ [a, b] такое, что
1
< f (xn) ≤ M.
(∗)
n
Таким образом, мы получили последовательность (xn) ⊂ [a, b].
Следовательно, (xn) – ограничена, и, по следствию к теореме
Вейерштрасса, из неё можно выделить подпоследовательность
M−
54
xnk → α, причем α ∈ [a, b]. Так как f (x) непрерывна на
[a, b], а значит, и в точке α, то lim f (xnk ) = f (α). С другой
k→∞
− n1k <
f (xnk ) ≤ M . Отсюда,
стороны из (∗) видно, что M
по "свойству двух милиционеров", lim f (xnk ) = M . Но f (xnk )
k→∞
может сходиться только к одному пределу, поэтому M = f (α).
Аналогично доказывается другая часть теоремы.
Замечание. Очевидно, что в случае теоремы 2 sup f (x) =
x∈[a,b]
max f (x), inf f (x) = min f (x).
x∈[a,b]
x∈[a,b]
x∈[a,b]
Теорема 3. Если f непрерывна на [a, b] и числа f (a) 6=
0, f (b) 6= 0 и имеют разные знаки, то на интервале (a, b)
существует точка c такая, что f (c) = 0.
Доказательство. Построим индуктивно последовательность
вложенных отрезков I1 ⊂ I2 ⊂ . . .. Положим I1 = [a, b] и пусть
x1 середина I1: если f (x1) = 0, то c = x1, если f (x1) 6= 0, то
в качестве I2 возьмем тот из отрезков [a, x1], [x1, b], на концах
которого f (x) имеет различные знаки. Если I1 ⊂ I2 ⊂ . . . In−1
построены и xn−1 середина In−1, причем f (xn−1) 6= 0 (если
f (xn−1) = 0, то c = xn−1), то In – тот из двух подотрезков
In−1, на концах которого f имеет различные знаки. По лемме
∞
T
о вложенных отрезках существует точка c ∈
In. Очевидно,
x
n=1
f (c) = 0. Потому что, если мы допустим, что f (c) > 0,
то существует окрестность U (c) такая, что для любой точки
x ∈ U (c) : f (x) > 0, но при достаточно большом n :
In ⊂ U (c). А так как на концах In f (x) принимает разные
знаки, то f (x) не может быть > 0 на всей окрестности U (c).
Таким образом, f (c) = 0.
Теорема 4. Если f непрерывна на [a, b] и если число γ лежит
между f (a) и f (b), то существует число c ∈ (a, b) такое, что
f (c) = γ.
Доказательство. Определим новую функцию g(x) =
f (x) − γ. Очевидно, что функция g(x) удовлетворяет условиям
теоремы 3, поэтому применим к ней теорему: по теореме 3,
существует точка c ∈ (a, b) такая, что g(c) = 0 или f (c) = γ.
x
55
Примеры.
1. Функция f (x) = x, x ∈ (0, 1) – непрерывна на (0, 1), но
своих точных граней на (0, 1) не достигает, так как sup f (x)=1,
x∈(0,1)
inf f (x) = 0. И не существует x ∈ (0, 1), для которых f (x) = 1
x∈(0,1)
или 0.
2. Функция f (x) = 1/x, x ∈ (0, 1] – непрерывна, но не
ограничена на (0, 1].
Приведенные примеры позволяют сделать заключение,
что условие непрерывности функции на отрезке (замкнутом
множестве) является существенным.
§ 4.4 РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ.
ПРОДОЛЖЕНИЕ ПО НЕПРЕРЫВНОСТИ
Определение. Функция f : E → R (E ⊂ R)
называется равномерно непрерывной на E, если ∀ε > 0 ∃
δ > 0 ∀x, y ∈ E (|x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε).
Замечание. Если f (x) определена в некоторой окрестности
любой точки из E, то из равномерной непрерывности f (x) на
E следует непрерывность f (x) на E. Обратное утверждение,
вообще говоря, не верно. Например: f (x) = 1/x, x ∈ (0, 1)
– непрерывна, но не равномерно непрерывна на (0, 1).
Действительно, для x = δ > 0 y = δ/2 мы имеем
|x − y| < δ, но |f (x) − f (y)| = | x1 − y1 | = 1δ > 1
при всех δ ∈ (0, 1). Функция f : E → R будет не
равномерно непрерывной на E, если ∃ε > 0 ∀ δ > 0
∃x, y
∈
E
(|x − y|
<
δ, но |f (x) −
f (y)|
≥
ε). Мы же показали: при ε
=
1
∀δ ∈ (0, 1) ∃x = δ, y = δ/2 ∈ (0, 1) (|x−y| < δ, но |f (x)−f (y)| =
1
δ > ε = 1), что доказывает неравномерную непрерывность
f (x) = 1/x на (0, 1).
Теорема. Если f непрерывна на [a, b], то она и равномерно
непрерывна на [a, b].
Доказательство. Предположим противное. Тогда ∃ε >
0 ∀ δ > 0∃x, y ∈ [a, b] (|x − y| < δ, но |f (x) − f (y)| ≥ ε). Будем
брать δ = 1/k, k = 1, 2, 3, . . .. Тогда существуют пары чисел
56
xk , yk ∈ [a, b] такие, что
1
|xk − yk | < , но |f (xk ) − f (yk )| ≥ ε, k = 1, 2, . . . .
(∗)
k
Последовательность (xk ) – ограниченная, поэтому из неё можно
выделить сходящуюся подпоследовательность (xkj ) : xkj →
c, c ∈ [a, b]. Заметим, что ykj → c, так как ykj = (ykj − xkj ) + xkj
и 0 < |ykj − xkj | < k1j при любых kj ∈ N. Функция f непрерывна
в точке c ∈ [a, b], поэтому f (xkj ) − f (ykj ) → f (c) − f (c) = 0, что
противоречит (∗).
ПРОДОЛЖЕНИЕ ПО НЕПРЕРЫВНОСТИ
Теорема. Пусть f : E → R(E ⊂ R) – равномерно
непрерывна на E и E 0 – множество всех предельных точек
множества E. Тогда f допускает S
равномерно непрерывное
продолжение на множество F = E E 0. (Другими словами,
существует f̃ : F → R, равномерно непрерывная на F , причем
f̃ (x) = f (x), если x ∈ E).
Доказательство. Пусть a ∈ E 0. Так как a – предельная
точка множества E, то любая Ǔ (a) содержит бесконечное
множество точек из E. Функция f равномерно непрерывна на
E, поэтому для любых x, y ∈ Ǔ (a) : |f (x) − f (y)| < ε, где
ε > 0 – произвольное число. Это значит, что для функции f
выполняется условие "Критерия Коши существования предела
функции" и, следовательно, существует lim f (x). Определим
x→a
(
f (a),
если a ∈ E,
f̃ (a) = lim f (x), если a ∈ E 0\E.
x→a
Убедимся, что f̃ : F → R равномерно непрерывна на F .
Пусть ε > 0 – произвольно и δ > 0 такое, что
∀ x0, x00 ∈ E : |x0 − x00| < 3δ ⇒ |f (x0) − f (x00)| < ε/3.
(1)
Пусть z, y ∈ F и |y − z| < δ. Тогда существуют числа δ 0, δ 00 ∈
(0, δ) такие, что
|x0 − y| < δ 0 ⇒ |f (x0) − f̃ (y)| < ε/3,
57
(2)
|x00 − z| < δ 00 ⇒ |f (x00) − f̃ (z)| < ε/3.
(3)
Действительно, если y, z ∈ E ⊂ F , то (2) и (3) следуют
из (1), так как δ 0 и δ 00 < 3δ. Если же y, z ∈ F \E, то (2) и (3)
следуют из того, что f̃ (y) = lim f (x), f̃ (z) = lim f (x). Выберем
x→y T
x→z
T
0
00
теперь x ∈ Uδ0 (y) E, x ∈ Uδ00 (z) E (здесь Uδ0 (y) = (y −δ 0, y +
δ 0), Uδ00 (z) = (z − δ 00, z + δ 00)) и запишем очевидное неравенство
|f̃ (y) − f̃ (z)| = |f̃ (y) − f (x0) + f (x0) − f (x00) + f (x00) − f̃ (z)| ≤
≤ |f̃ (y) − f (x0)| + |f (x0) − f (x00)| + |f (x00) − f̃ (z)|.
(4)
T
Учитывая,
что
x0
∈
Uδ0 (y) E,
x00
∈
T
0
00
0
Uδ00 (z) E
и что |x − x |
=
|x − y +
00
0
00
+y − z + z − x | ≤ |x − y| + |y − z| + |z − x | < 3δ, используя (1),
(2), (3), мы получили из (4): ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀y, z ∈ F (|y − z| <
δ ⇒ |f̃ (y) − f̃ (z)| < ε). Равномерная непрерывность функции f̃
на F доказана.
§ 4.5 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОБРАТНОЙ
ФУНКЦИИ
Пусть y = f (x) – некоторая числовая функция, заданная
на множестве E ⊂ R, F = f (E) – область значений функции
f . Функцию, обратную к функции f , мы определяли так: если
кривая Γ, являющаяся графиком f , определяет x как функцию
y, то говорят, что определена обратная функция x = g(y), y ∈
F . Было доказано также, что если f строго возрастает (строго
убывает), то обратная функция существует и также строго
возрастает (строго убывает).
Рассмотрим теперь вопрос о непрерывности обратной
функции.
Теорема 1. Пусть y = f (x) непрерывна и строго возрастает
на [a, b]. Тогда образ [a, b] есть отрезок [A, B] (A = f (a), B =
f (b)) и обратная к f функция x = g(y) будет строго
возрастающей и непрерывной на [A, B].
Доказательство. Прежде всего докажем, что f ([a, b]) =
[A, B]. Так как f строго монотонна, то очевидно f ([a, b]) ⊂
[A, B]. Далее, опять же в силу строгой монотонности, f (a) <
f (b), поэтому (по теореме 4 из § 4.3) для ∀y ∈ [A, B] ∃ x ∈ [a, b]
58
такое, что f (x) = y, и это означает: y ∈ f ([a, b]) ⇒ [A, B] ⊂
f ([a, b]). В итоге мы доказали, что f ([a, b]) = [A, B].
Таким образом, нам остается доказать, что из
непрерывности f на [a, b] следует непрерывность g на
[A, B]. Пусть y0 ∈ [A, B] и yn ∈ [A, B] такие, что
yn → y0. Положим x0 = g(y0), xn = g(yn). Тогда, из
свойства обратной функции, следует y0 = f (g(y0)), yn =
f (g(yn)) = f (xn). Непрерывность функции g в точке y0
будет доказана, если мы покажем, что xn → x0. Допустим,
что это не так. Тогда существует подпоследовательность
xnk → x0, причем x0 ∈ [a, b] и x0 6= x0 (существование
такой подпоследовательности следует из следствия к теореме
Вейерштрасса, т. к. xn ⊂ [a, b] при n ≥ 1). Так как x0 6= x0, то
в силу строгого возрастания функции f : f (x0) 6= f (x0). (f (xnk ))
является подпоследовательностью последовательности (yn), но
yn → y0, поэтому f (xnk ) = ynk → y0 = f (x0). В то же время,
в силу непрерывности f , f (xnk ) → f (x0), так как xnk → x0. В
итоге мы получили, что последовательность (f (xnk )) имеет два
различных предела, что невозможно. Таким образом, xn → x0.
x
Теорема 2. Пусть f (x) непрерывна и строго возрастает на
(a, b) и пусть A = inf f (x), B = sup f (x), причем может
x∈(a,b)
x∈(a,b)
быть, что a = −∞, A = −∞, b = +∞, B = +∞. Тогда образ
(a, b) есть (A, B), и обратная к f (x) функция x = g(y) строго
возрастает и непрерывна на (A, B).
Доказательство. Так как f (x) строго возрастает, то
очевидно f ((a, b)) ⊂ (A, B). Покажем обратное включение.
Пусть y ∈ (A, B), тогда, в силу определения A и B, существуют
x1, x2 ∈ (a, b) такие, что y1 = f (x1) < y < f (x2) = y2. А так как
f (x) строго возрастает, то должно быть x1 < x2. Функция f (x)
непрерывна на (a, b), тем более она непрерывна на [x1, x2] ⊂
(a, b) ⇒ (по теореме 4 § 4.3) существует единственная точка x ∈
[x1, x2] такая, что f (x) = y ⇒ y ∈ f ((a, b)) ⇒ (A, B) ⊂ f ((a, b)).
В итоге: f ((a, b)) = (A, B).
Проверим далее, что g(y) непрерывна в любой точке
интервала (A, B). Пусть y ∈ (A, B). Очевидно функцию
g(y), считая её определенной при y ∈ [f (x1), f (x2)] можно
рассматривать как функцию, обратную к функции f (x),
определенной на [x1, x2] (существование точек x1 и x2 мы
доказывали выше для любой точки y ∈ (A, B)). Так как f (x)
59
непрерывна на [x1, x2], то по теореме 1 g(y) будет непрерывна
на [f (x1), f (x2)], т. е. в точке y ∈ [f (x1), f (x2)] ⊂ (A, B). Точка y
– произвольная точка из (A, B), поэтому g(y) – непрерывна на
(A, B).
Замечание 1. В теоремах 1 и 2 можно заменить
"возрастающая" на "убывающая", и тогда в их заключениях
надо заменить, соответственно, [A, B] на [B, A] и (A, B) на
(B, A).
Замечание 2. В теореме 2 интервалы (a, b), (A, B) можно,
соответственно, заменить на полуинтервалы, например, на
[a, b), [A, B), и тогда a и A – конечные числа. x
§ 4.6 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ, СТЕПЕННАЯ,
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Пусть n ∈ N, a ∈ R, a > 0. Число an = a
. . a}
| .{z
n раз
(по определению). Число a
– арифметический корень n-й
степени из числа a. Если n/m – неотрицательное рациональное
число, то (по определению) полагаем an/m = (a1/m)n = (an)1/m.
Таким образом, мы определили функцию f (p) = ap, p ∈ Q. Из
элементарной алгебры известно, что ap (p ∈ Q) обладает
свойствами:
1. ap+q = ap · aq .
2. ap строго возрастает при a > 1 и строго убывает при
a < 1.
Возникает вопрос, можно ли доопределить функцию
f (p) = ap (p ∈ Q) на иррациональных числах так, что,
определенная уже на всей числовой прямой R, продолженная
функция будет непрерывной на R и удовлетворять свойствам
1. и 2. Докажем существование такой функции. Начнем с
p
того, что докажем равномерную
T непрерывность f (p) = a
на любом отрезке [−N, N ] Q, n ∈ N. Пусть
для
T
определенности a > 1. Если p < q (p, q ∈ [−N, N ] Q), то
0 < aq − ap = ap(aq−p − 1) < aN (aq−p − 1). Пусть ε > 0 произвольное число и n0 ∈ N такое, что если n > n0, то
1/n
|a1/n − 1| < ε · a−N
60
(1)
(этого можно добиться, так как lim a1/n = 1).
Таким образом, если 0 < q − p ≤ n01+1 , то мы получим,
используя (1), что
q
p
N
0 < a − a < a (a
1
n0 +1
− 1) < ε.
(2)
Далее, если p > q, то
0 < ap − aq = aq (ap−q − 1) < aN (ap−q − 1).
Отсюда, используя (1), получим
1
0 < ap − aq < aN (a n0+1 − 1) < ε, если 0 < p − q ≤
1
. (3)
n0 + 1
Перепишем (2) следующим образом:
если
−1
≤ p − q < 0, то − ε < ap − aq < 0.
(4)
n0 + 1
T
Из (4) и (3) ⇒ ∀p, q ∈ [−N, N ] Q справедливо: |p − q| ≤
1
p
q
равномерную непрерывность
n0 +1 ⇒ |a − a | < ε, что означает
T
ap на любом отрезке [−N, N ] Q.
Любая точка R является предельной для множества Q,
поэтому на R можно определить функцию f (x) следующим
образом:
( x
a ,
если x ∈ Q,
f (x) = lim ap, если x ∈ R\Q.
p→x
Докажем, что это и есть искомая нами функция. Пусть x ∈
R\Q. Накроем эту точку некоторым отрезком [−N, N ], N ∈
N. Выше была доказана равномерная
T непрерывность функции
p
a , p ∈ Q на множестве [−N, N ] Q. Так как функция
f (x)
T
p
является продолжением функции a , p ∈ [−N, N ] Q, то по
теореме "Продолжение по непрерывности" (см. § 4.4), f (x) будет
равномерно непрерывна на [−N, N ], а следовательно, просто
непрерывна в точке x ∈ R\Q. Любая точка x ∈ R\Q может
быть накрыта отрезком [−N, N ], поэтому f (x) будет непрерывна
в любой точке x ∈ R.
Вновь определенную функцию обычно обозначают f (x) =
x
a , x ∈ R и называют показательной функцией. Докажем
61
справедливость свойств 1. и 2. для показательной функции
ax, x ∈ R. Пусть x, y ∈ R\Q, причем x < y. Существуют
рациональные числа p, q такие, что x < p < q < y (см. § 1.3
"Свойства порядка действительных чисел" ). Пусть pn, qn ∈ Q
такие, что pn → x (возрастая), а qn → y (убывая) ⇒ apn <
ap < aq < aqn . Переходя к пределу, получим ax ≤ ap < aq ≤ ay .
Таким образом, мы доказали свойство 2. Свойство 1. следует из
равенства apn+qn = apn · aqn после перехода к пределу.
1
x
Если a < 1, то полагаем ax = (1/a)
x . Функция (1/a) , по
доказанному выше, будет непрерывна на R, (1/a)x > 0 при
x ∈ R, поэтому функция ax (a < 1) будет непрерывна на R.
Заметим, что при a < 1 функция ax будет строго убывать.
При a = 1 полагаем: 1x = 1 при любом x ∈ R.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Определение. Функция, обратная к показательной y =
a (x ∈ R), a > 0, a 6= 1, называется логарифмической и
обозначается y = loga x, x > 0.
x
y6
y6
y=ax
y= loga x
0
y=ax
x
-
x
-
0
y= loga x
Рис. 1. (a > 1)
Рис. 2. (a < 1)
Логарифмическая функция будет непрерывной, как
функция, обратная к показательной (непрерывной) функции.
Из свойства обратной функции следует:
1. aloga x = x (x > 0).
(∗)
2. loga(ax) = x (x ∈ R.
Упражнения.
Доказать следующие свойства логарифмической функции:
1. loga xy = loga x + loga y.
2. loga xy = loga x − loga y.
3. loga xy = y loga x.
62
4. loga b · loga a = 1.
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
y = xb (b – постоянная, x – переменная, x > 0) – степенная
функция.
Согласно свойствам (∗) логарифмической функции
b
x = eb ln x(x > 0), ln x – непрерывная функция, показательная
функция - непрерывна, суперпозиция двух непрерывных
функций есть функция непрерывная, поэтому степенная
функция будет непрерывной.
Из xb = eb ln x(x > 0) ⇒ lim xb = 0, lim xb = +∞, (b >
x→0+0
b
x→+∞
0), а также тождество: (xy) = x · y (b – произвольно).
Иллюстрации:
b
y6
b
y6
β=2
β=1
β=1/2
1
0
1
β=1/2
β=2
x
1
Рис. 1. (β > 0)
-
0
β=1
x
1
Рис. 2. (β < 0)
-
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
x
−x
sh x = e −e
2−x – гиперболический синус,
x
ch x = e +e
2 x –−xгиперболический косинус,
sh x
e −e
th x = ch
x = ex +e−x – гиперболический тангенс,
x
ex +e−x
cth x = ch
=
sh x
ex −e−x (x 6= 0) – гиперболический котангенс.
Из
непрерывности
показательной
функции
и
арифметических свойств непрерывных функций следует
непрерывность гиперболических функций: sh x (x
∈
R), ch x (x ∈ R), th x (x ∈ R), cth x (x ∈ R, x 6= 0).
63
Эскизы графиков гиперболических функций:
y6
y6
sh x
ch x
cth x
1
1
0
-
x
0
−1
th x -
x
cth x
Замечание. Для гиперболических функций имеют место
формулы, аналогичные формулам для тригонометрических
функций. Например, ch2 x − sh2 x = 1, 2 ch x sh x = sh 2x, sh(x ±
y) = sh x ch y ± ch x sh y и т. д.
64
Глава 5
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 5.1 Задачи, приводящие к понятию производной.
Определение производной.
§ 5.2 Дифференцируемые функции. Дифференциал
функции.
§5̇.3 Техника дифференцирования.
§ 5.4 Производные и дифференциалы высших порядков.
§ 5.5 Основные теоремы.
§ 5.6 Правило Лопиталя.
§ 5.7 Формула Тейлора.
§ 5.8 Формула Тейлора для некоторых элементарных
функций.
§ 5.9 Локальная формула Тейлора.
§ 5.10 Ряд Тейлора.
§ 5.11 Исследование поведения функции с помощью
понятия производной (возрастание и убывание функции на
отрезке, локальный экстремум).
§5.12 Исследование поведения функции с помощью понятия
производной (выпуклость кривой и точки перегиба).
§ 5.1 ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К
ПОНЯТИЮ ПРОИЗВОДНОЙ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Понятие
производной
возникло
как
результат
многовековых усилий, направленных на решение таких задач,
как задача о проведении касательной к кривой или вычисление
скорости неравномерного движения. В определениях понятия
производной от функции существенно используется понятие
предела функции.
1. Задача определения касательной к кривой.
65
Рассмотрим некоторую непрерывную кривую Γ в плоскости
R2. Пусть A – лежащая на ней точка, и C – другая, лежащая на
Γ, точка. Прямую S, проходящую через A и C, будем называть
секущей (кривую Γ). Когда точка C будет перемещаться вдоль
по кривой, то эта секущая будет вращаться вокруг точки A.
Может случиться, что при этом S будет стремиться занять
в пределе положение вполне определенной (проходящей через
точку A) прямой, которую мы обозначим через T . Если это
будет иметь место, то говорят, что кривая Γ имеет в точке A
касательную, которой и будет прямая T (см. рис. 1.)
y6
y6
C
α
0
A x
x+∆x
Рис. 1
S2
T
hhh A S
hh
r
hhhh 1
Γ1
T1
r
Γ2 β
T2
S
x
-
0
x
-
Рис. 2
Не всякая кривая в любой её точке имеет касательную.
Примером такой кривой может служить кривая, изображенная
на рис. 2. Она состоит из двух кусков Γ1 и Γ2, соединенных в
точке A, так как секущие S1 и S2 будут стремиться занять в
пределе положение двух разных прямых T1 и T2 .
Пусть теперь кривая Γ есть график некоторой непрерывной
функции y = f (x), точка A имеет абсциссу x, точка C – абсциссу
x+∆x (∆x6=0). Тогда секущая S, проходящая через точки A и C,
образует с положительным направлением оси x угол β, тангенс
(x)
∆y
= f (x+∆x)−f
. Будем ∆x стремить к
которого равен tg β = ∆x
∆x
нулю. Так как f – непрерывна, то ∆y → 0, и точка C, двигаясь
по Γ, будет стремиться к точке A. Если окажется (этого может и
не быть!), что при этом отношение ∆y/∆x стремится при любом
способе стремления ∆x → 0 к одному и тому же конечному
∆y
пределу (числу) k : ∆x
→ k при ∆x → 0, то тогда и угол β
будет стремиться к некоторому отличному от π/2 углу α. Вместе
с β и секущая S, вращаясь около точки A, будет стремиться
занять в пределе положение прямой T , проходящей через A под
углом α с положительным направлением оси x. Но тогда T есть
66
касательная к Γ в точке A и lim
∆y
∆x
∆x→0
= lim tg β = tg α.
∆x→0
∆y
при
Таким образом, мы установили: если отношение ∆x
∆x → 0 стремится к конечному пределу, то кривая Γ имеет в
точке A касательную, тангенс угла которой с положительным
направлением оси x равен этому пределу.
2. Мгновенная скорость.
Пусть S(t) – путь, пройденный материальной точкой за
время t. Тогда средняя скорость на участке времени [t0, t0 +
0)
.
∆t] ([t0 + ∆t, t0], если ∆t < 0) есть Vcp = S(t0+∆t)−S(t
∆t
Мгновенную или истинную скорость Vt0 точки в момент
времени t0 естественно определить как предел, к которому
0)
стремится Vcp при ∆t → 0, т. е. Vt0 = lim S(t0+∆t)−S(t
.
∆t
∆t→0)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Определение. Производной от функции f в точке x называется предел, к которому стремится отношение её приращения
∆y = f (x + ∆x) − f (x) в этой точке к соответствующему
приращению ∆x аргумента, когда последнее стремится к нулю:
(x)
∆y
f 0(x) = lim ∆x
= lim f (x+∆x)−f
.
∆x
∆x→0
∆x→0
Замечания.
1. Говорят, что f имеет в точке x бесконечную производную,
равную +∞ или −∞ (случай ∞ исключается), если в этой точке
∆y
∆y
f 0(x) = lim ∆x
= +∞ или, соответственно, f 0(x) = lim ∆x
=
∆x→0
∆x→0
−∞.
2.
Можно
ввести
также
понятие
0
правой и левой производной от f в точке x: f (x + 0) =
∆y
lim ∆x
– правая производная от f в точке x. f 0(x − 0) =
∆x→0+0
∆y
∆x
∆x→0−0
lim
– левая производная от f в точке x.
Для того, чтобы существовала производная f 0(x),
необходимо и достаточно, чтобы существовали производные
от f в точке x справа и слева и были равны между собой, при
этом f 0(x) = f 0(x + 0) = f 0(x − 0).
Справедливость данного утверждения следует из того,
∆y
что lim ∆x
= f 0(x) существует тогда и только тогда, когда
∆x→0
67
существуют пределы справа, слева:
0),
∆y
∆x
∆x→0+0
lim
=
f 0(x +
= f 0(x − 0) и они равны.
∆y
∆x→0−0 ∆x
lim
Заметим, что приведенное утверждение остается верным,
если термин "производная" заменить на "бесконечная
производная" .
Иллюстрации:
y6
y6
y6
y6
y6
y6
E
E
E
E
0
x0
-
Рис. 1
x0
x0
-
Рис. 2
x0
x0
-
x0
Рис. 3
x0
-
Рис. 4
x0
x0
-
Рис. 5
x0
x0
-
x
Рис. 6
Рис. 1. Функция имеет f 0(x0) (график в этой точке имеет
касательную, причем единственную).
Рис. 2. Функция не имеет производной, но существуют
0
f (x0 + 0), f 0(x0 − 0), не равные друг другу.
Рис. 3. Функция имеет бесконечную производную f 0(x0) =
+∞.
Рис. 4. Функция имеет бесконечную производную f 0(x0) =
−∞.
Рис.
5.
Функция
не
имеет
производной,
0
0
f (x0−0)=+∞, f (x0+0)=−∞.
Рис. 6. Функция не имеет производной, f 0(x0 − 0)= −
∞, f 0(x0 + 0)= − ∞.
Теорема. (необходимое условие существования производной).
Если функция имеет производную в точке x, то она непрерывна
в этой точке.
Доказательство. Из существования производной следует,
∆y
что ∆x = f 0(x) + ε(∆(x)), где ε(∆x) → 0 при ∆x → 0. Отсюда
следует ∆y = f 0(x)∆x+ε(∆(x))·∆x = f 0(x)·∆x+o(∆x), ∆x → 0,
и lim ∆x → 0∆y = 0. ⇒ Функция f (x) непрерывна в точке x.
Замечание 1. Утверждение, обратное данной теореме,
неверно, т. е. если f непрерывна в точке x, то она может и не
иметь производной в этой точке.
Справедливость замечания доказывает следующий пример.
x,
если x ≥ 0,
f (x) = |x| =
−x, если x < 0.
68
Функция |x| непрерывна для любого x, в том числе и
в точке x = 0. Это видно из выкладок: ||x + h| − |x|| ≤
=
|x + h − x| = |h| → 0 (h → 0). При x = 0 : ∆y
h
1
(h > 0, h → 0),
|0+h|−0
|h|
=
→
Таким образом, правая
h
h
−1 (h < 0, h → 0).
производная отлична от левой в точке x = 0, поэтому
производная от |x| в точке x = 0 не существует. В точке
0
x
6= 0 производная существует и равна |x| = sgnx =
1,
x > 0,
= |x+h|−|x|
=
Действительно: пусть x > 0, ∆y
h
h
−1, x < 0.
|x+h|−|x|
∆y
= x+h−x
=
1,
т.
к.
|h|
<
|x|
=
x;
пусть
x
<
0,
=
=
h
h
h
−x−h+x
= −1, т. к. |h| < |x| = −x.
h
Замечание 2. Функция, имеющая в точке бесконечную
производную, может иметь в этой точке разрыв.
Рассмотрим примеры, доказывающие данное замечание.
Пример 1. y = sgnx, x ∈ R.
−1
y(0 + h) − y(0)
= lim
= +∞,
h→0−0 h
h→0−0
h
y 0(0 − 0) = lim
y(0 + h) − y(0)
1
= lim
= +∞.
h→0+0
h→0+0 h
h
⇒ y 0(0) = +∞, но при этом функция y = sgnx в точке x = 0
имеет разрыв 1-го рода.
1
, x 6= 0,
Пример 2. Функция y = x
имеет в точке x = 0
0, x = 0
бесконечный разрыв. В то же время в этой точке существует
бесконечная производная: y 0(0) = +∞.
y 0(0 + 0) = lim
§ 5.2 ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Определение 1. Функция y
=
f (x) называется
дифференцируемой в точке x, если она определена в некоторой
окрестности U (x) и ∆y = f (x + ∆x) − f (x) = A · ∆x + o(∆x),
∆x
→
0, где A – некоторая постоянная, не
69
зависящая
от
∆x.
Член
A · ∆x
называется
главным линейным членом приращения ∆y.
Замечание. Равенство ∆y = A · ∆x + o(∆x) (∆x → 0)
показывает, что ∆y ' A · ∆x, ∆x → 0.
Определение 2. Главный линейный член приращения
называется дифференциалом функции f и обозначается
символом dy или df (x).
Теорема. Для того, чтобы функция y = f (x) имела
производную в точке x, необходимо и достаточно, чтобы она
была дифференцируема в этой точке.
Доказательство. Необходимость. Пусть существует f 0(x) =
∆y
∆y
⇒ ∆x
= f 0(x) + ε(∆x), где ε(∆x) → 0 при ∆x → 0 ⇒
lim ∆x
∆x→0
∆y = f 0(x)·∆x+ε(∆x)·∆x или ∆y = f 0(x)·∆x+o(∆x), ∆x → 0.
Так как f 0(x) является постоянной, не зависящей от ∆x, то мы
доказали дифференцируемость f в точке x, причем постоянная
A из определения 1 равна f 0(x).
Достаточность. Пусть f дифференцируема в точке x, т. е.
∆y
∆y=A · ∆x + o(∆x), ∆x → 0 ⇒ ∆x
= A + o(1), ∆x → 0 ⇒
∆y
lim ∆x
= A, т. е. производная f 0(x) существует и равна A.
∆x→0
Замечание. Доказывая теорему, мы показали, что
постоянная A из определения 1 равна f 0(x). Это значит, что
дифференциал функции y = f (x) всегда равен dy = f 0(x)∆x.
По соглашению ∆x обозначается через dx, что не противоречит
выражению dx = x0 · ∆x = ∆x, так как x0 = lim x+∆x−x
= 1.
∆x
∆x→0
Поэтому dy = f (x)dx (или df = f (x)dx). Отсюда следует
dy
f 0(x) = dx
, т. е. производная функции f в точке x равна
отношению дифференциала функции f к дифференциалу
независимой переменной x. Следует иметь в виду, что
дифференциал dx независимой переменной не зависит от
x, он равен ∆x – произвольному приращению аргумента x. Что
же касается дифференциала dy функции y (отличной от x), то
он зависит от x и dx.
0
70
Геометрический смысл дифференциала в точке
y6
B
q
q
C
q
A
q
D
α
0
x
x+∆x
x
-
∆y = BC + CD, где CD = f 0(x) · ∆x = dy, f 0(x) = tg α
CD = dy – главный линейный член приращения ∆y, BC =
o(∆x).
§ 5.3 ТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Теорема 1. Пусть функции f и g дифференцируемы в
точке x, тогда в точке x дифференцируемы функции f ± g,
f g, f /g (если g 6= 0), причем
1. (f (x) ± g(x))0 = f 0(x) ± g 0(x), d(f (x) ± g(x)) = df (x) ± dg(x).
2. (f (x)·g(x))0 = f 0(x)g(x)+f (x)g 0(x), d(f (x)·g(x)) = g(x)df (x)+
+f(x)dg(x).
0
f (x)
f 0 (x)g(x)−f (x)g 0 (x)
f (x)
(x)dg(x)
3. g(x) =
, d g(x) = g(x)df (x)−f
.
g 2 (x)
g 2 (x)
Доказательство.
x
(f (x + h) ± g(x + h)) − (f (x) ± g(x))
=
h→0
h
(f (x + h) − f (x)) ± (g(x + h) − g(x))
= lim
= f 0(x) ± g 0(x).
h→0
h
f (x + h)g(x + h) − f (x)g(x)
(f (x) · g(x))0 = lim
=
h→0
h
(f (x+h)−f (x))g(x+h)+f (x)(g(x+h)−g(x))
= lim
=
h→0
h
= f 0(x)g(x)+f (x)g 0(x).
(1)
0
1
1
1
1
= lim
−
=
h→0 h g(x+h) g(x)
g(x)
(f (x) ± g(x))0 = lim
71
g(x+h)−g(x)
1
g 0(x)
= lim −
·
=− 2 .
h→0
h
g(x)g(x+h)
g (x)
f (x)
g(x)
(2)
1
= f (x) · g(x)
, поэтому, используя (1) и (2), получим формулу
производной от частного функций.
Формулы
для
дифференциалов
являются
очевидными
следствиями
соответствующих
формул
для
производных.
Например,
d(f (x)g(x))
=
0
0
0
= (f (x)g(x)) dx = (f (x)g(x) + f (x)g (x))dx = (df (x))g(x) +
f (x)dg(x).
Следствие. (Cf (x))0 = C · f 0(x)(C - постоянная). x
Теорема 2 (дифференцирование сложной функции). Пусть
задана сложная функция F (x) = g(f (x) = (g ◦ f ) (x) и пусть
f дифференцируема в точке x, а функция g дифференцируема
в точке y = f (x). Тогда F = g ◦ f дифференцируема в точке
x и F 0(x) = (g(f (x)))0 = g 0(f (x)) · f 0(x), dF (x) = dg(f (x)) =
g 0(f (x))df (x).
Доказательство. g(f (x + h)) − g(f (x)) = g(f (x) + [f (x + h) −
f (x)])−g(f (x)) = g 0(f (x))·(f (x+h)−f (x))+o(f (x+h)−f (x)) =
g 0(f (x)) · (f 0(x) · h + o(h)) + ε(∆f ) · (f 0(x) · h + o(h)) = g 0(f (x)) ·
f 0(x) · h + g 0(f (x)) · o(h) + ε(∆f ) · f 0(x) · h + ε(∆f ) · o(h)=g 0(f (x)) ·
f 0(x) · h + o(h), h → 0 (здесь ε(∆f )→0 при h → 0). Таким
образом, функция F (x) дифференцируема в точке x и F 0(x) =
g 0(f (x)) · f 0(x). ⇒ dF (x) = g 0(f (x)) · f 0(x)dx = g 0(f (x))df (x).
x Теорема 3 (дифференцирование обратной функции). Пусть
y = g(x) – функция, обратная к функции x = f (y), причем
f дифференцируема в точке y и f 0(y) = f 0(g(x)) 6= 0. Тогда g
1
дифференцируема в точке x и g 0(x) = f 0(g(x))
.
Доказательство. h = (x + h) − x = f (g(x + h)) − f (g(x)) =
f (g(x) + g(x + h) − g(x)) − f (g(x)) = f 0(g(x))(g(x + h) − g(x)) +
o(g(x + h) − g(x)) = (g(x + h) − g(x)(f 0(g(x)) + o(1)), h →
1
1
0. lim g(x+h)−g(x)
= lim f 0(g(x))+o(1)
= f 0(g(x))
.
h
h→0
h→0
72
Таблица производных основных функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
(sin x)0 = cos x, x ∈ R.
(cos x)0 = − sin x, x ∈ R.
(tg x)0 = cos12 x , cos x 6= 0.
(ctg x)0 = − sin12 x , sin x 6= 0.
1
(arcsin x)0 = √1−x
2 , |x| < 1.
1
0
(arccos x) = − √1−x2 , |x| < 1.
1
(arctg x)0 = 1+x
2 , x ∈ R.
1
(arcctg x)0 = − 1+x
2 , x ∈ R.
9. (ax )0 = ax ln a, (ex )0 = ex , x ∈ R.
10. (ln |x|)0 = x1 , x 6= 0.
11. (loga |x|)0 = x ln1 a , x 6= 0, a > 0, a 6= 1.
12. (xb )0 = bxb−1 , x > 0.
13. (sh x)0 = ch x, x ∈ R.
14. (ch x)0 = sh x, x ∈ R.
15. (th x)0 = ch12 x , x ∈ R.
16. (cth x)0 = − sh12 x , x 6= 0.
Доказательство.
1. (sin x) =
0
2 sin h2 cos 2x+h
sin(x+h)−sin x
2
= lim
=
lim
h
h
h→0
h→0 cos2 x+sin2 x
sin x 0
=
= cos12 x (здесь
cos x
cosx
3. (tg x)0 =
теорему 1).
5. (arcsin x)0 =
1
cos(arcsin x)
= √
использовали теорему 3).
x+h
x
9. (ax)0 = lim a h−a = lim
h→0
1
1−sin (arcsin x)
ax (ah −1)
h
h→0
2
=
cos x.
мы использовали
√ 1
1−x2
(здесь мы
ah −1
h→0 h
= ax ln a, так как lim
=
ln a (доказать самостоятельно, см. [2], § 5.1, с. 123).
12. (xb)0 = (eb ln x)0 = eb ln x ln e·b· x1 = bxb−1 (здесь мы использовали
теорему 2). x
Упражнения.
Доказать формулы 2, 4, 6, 7, 19, 11, 13 – 16 из таблицы
производных основных функций.
Литература: [2], § 5.1, с. 125; § 5.3, с. 128; § 5.4, с. 130-131.
§ 5.4 ПРОИЗВОДНЫЕ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ
ПОРЯДКОВ
Пусть f : E → R (E ⊂ R) дифференцируема в каждой
точке E, тогда определена функция f 0 : E → R, которая
называется производной функции f . Если f 0 дифференцируема
в точке x ∈ E, то число (f 0(x))0 называется 2-й производной от
f в точке x и обозначается f 00(x).
73
Если же f 0 дифференцируема в каждой точке множества E,
то тогда определена функция f 00 : E → R (f 00(x) = (f 0(x))0, x ∈
E), которая называется второй производной от функции f .
Допустим, что уже определена производная от функции
f (n − 1)-го порядка (обозначение: f (n−1) : E → R (f n−1(x) =
(f n−2(x))0, x ∈ R). Тогда производная от функции f порядка n
определена как первая производная от производной порядка
(n − 1) : f (n)(x) = (f (n−1)(x))0, x ∈ E, конечно, при условии,
что f (n−1) дифференцируема во всех точках E.
Замечание: Существование производной от функции f (n−
1)-го порядка во всех точках множества E является слишком
жестким требованием, если нас интересует производная от
функции f n-го порядка лишь в конкретной точке x ∈ E.
Достаточно потребовать существования производной (n − 1)го порядка в некоторой достаточно малой окрестности точки
x ∈ E.
Примеры:
1. Функция xm, где m – целое положительное число, имеет на
R производную любого порядка: (xm)(n) = m(m−1) . . . (m−
n + 1)xm−n.
2. Степенная функция xa, где a – произвольное действительное
число, имеет для x > 0 производную любого порядка:
(xa)(n) = a(a − 1) . . . (a − n + 1)xa−n.
3. (ax)(n) = ax(ln a)n, n = 1, 2, 3, . . . .
4. (sin x)(n) = sin(x + π2 n), (cos x)(n) = cos(x + π2 n), n = 1, 2, . . . .
Дифференциал от функции f в точке x (dy = f 0(x)dx)
мы будем называть первым дифференциалом от f в точке x,
соответствующим dx – дифференциалу независимой переменной
x.
Дифференциал второго порядка от функции f в точке
x, соответствующий dx, определяется равенством d2f (x) =
d(df (x)). Обозначая (dx)2 через dx2 и учитывая, что
dx не зависит от x, имеем: d2f (x) = d(f 0(x)dx) =
= f 00(x)dx2.
74
Аналогично определяется дифференциал n-го порядка
(по индукции): dnf (x) = d(dn−1f (x)) = d(f n−1(x)dxn−1) =
f (n)(x)dxn.
dn f (x)
(n)
Из данного равенства следует f (x) = dxn .
Докажем формулу, по которой вычисляется производная
n-го порядка от произведения двух функций.
x Формула Лейбница:
Пусть
U, V
–
функции,
обладающие n-й производной в точке x. Тогда (считая
по определению, U (0)(x) = U (x), V (0)(x)=V (x)) имеем
n
P
n!
(n)
, k =
(U (x)V (x)) = Cnk U (k)(x)V (n−k)(x), где Cnk = k!(n−k)!
k=0
0, 1, . . . , n, – биноминальные коэффициенты (см. [2], § 5.9, с.
145).
Проводится
по
индукции.
При
Доказательство.
n
=
1 формула очевидна. Предположим, что
она
верна
для
случая
n-й
производной.
Тогда
n
P
d
(U (x)V (x))(n+1)
=
Cnk U (k)(x) · V (n−k)(x)
=
dx
k=0
n
P
=
Cnk [ U (k+1)(x)V (n−k)(x)+U (k)(x)V (n−k+1)(x)]
=
=
=
n+1
P
k=0
Cnk−1U (k)(x)V (n+1−k)(x)
+
k=1
n+1
P
n
P
Cnk U (k)(x)V (n+1−k)(x)
=
k=0
k
0
Cn+1
U (k)(x)V (n+1−k)(x), так как Cn+1
= Cn0 = Cnn =
k=0
n+1
Cn+1 =
k
= Cnk + Cnk−1, k = 1, . . . , n.
1 и Cn+1
x
0
1
Пример. (x sin x)(100) = C100
·x(sin x)(100) +C100
·x0 ·(sin x)(99) =
x sin(x + 100 · π2 ) + 100 sin(x + 99 · π2 ) = x sin x − 100 cos x.
§ 5.5 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Теорема Ролля. Пусть f : [a, b] → R непрерывна и
дифференцируема в (a, b), причем f (a) = f (b). Тогда существует
точка c ∈ (a, b) такая, что f 0(c) = 0.
Доказательство. Если f (x) – постоянная на [a, b], то теорема
очевидна. Пустьf (x) 6= const и существует точка x ∈ (a, b)
такая, что, например, f (x) > f (a). Тогда ("непрерывная на [a, b]
75
функция достигает своих точных граней" ) существует точка
c ∈ (a, b) такая, что f (c) = max f (x). Отсюда следует
x∈[a,b]
f (c + h) − f (c)
≤ 0, f 0(c − 0) =
h→0+0
h
f 0(c + 0)= lim
f (c + h) − f (c)
≥ 0.
(∗)
h→0−0
h
Так как f (x) дифференцируема в точке c, то f 0(c + 0) =
f 0(c − 0) и из (∗) следует f 0(c) = 0.
Теорема Коши (о среднем). Пусть f : [a, b] → R, g :
[a, b] → R непрерывны на [a, b], причем f и g дифференцируемы
на (a, b), f 0(x), g 0(x) 6= 0 одновременно и g(b) 6= g(a). Тогда
0
(c)
(b)−f (a)
= fg0(c)
.
существует точка c ∈ (a, b) такая, что fg(b)−g(a)
Доказательство. Рассмотрим функцию h(x) = g(x) · [f (b) −
f (a)] − f (x) · [g(b) − g(a)], a ≤ x ≤ b. Нетрудно проверить,
что h(a) = h(b). Очевидно также, что h(x) непрерывна на
[a, b] и дифференцруема на (a, b). Таким образом, функция
h(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля, и, следовательно,
существует c ∈ (a, b) такое, что
= lim
h0(c) = g 0(c) · [f (b) − f (a)] − f 0(c) · [g(b) − g(a)] = 0.
(∗)
Очевидно, что g 0(c) 6= 0, иначе будет f 0(c) = 0, что противоречит
предположению теоремы. Поэтому из (∗) следует искомое
равенство.
Теорема (формула Лагранжа конечных приращений).
Пусть f :[a, b] → R непрерывна на [a, b] и дифференцируема
на (a, b). Тогда существует точка c ∈ (a, b) такая, что
f (b) − f (a) = f 0(c)(b − a).
Доказательство. Пусть g(x) из теоремы Коши равна x.
Очевидно, f и g будут удовлетворять условиям теоремы Коши.
(a)
Из теоремы Коши следует f (b)−f
= f 0(c), c ∈ (a, b).
b−a
76
Геометрический смысл формулы Лагранжа
y6
α
0 a c
b
x
-
Запишем равенство из формулы Лагранжа в виде
f (b)−f (a)
= f 0(c), c ∈ (a, b). Левая часть этого равенства есть tg α
b−a
(α – угол наклона к оси абсцисс хорды, стягивающей точки
(a, f (a)), (b, f (b)) графика функции f (x)). Правая часть есть
тангенс угла наклона касательной к графику в точке c ∈ (a, b).
Таким образом, формула Лагранжа утверждает, что если f (x)
непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), то на кривой,
являющейся графиком f (x), существует точка (c, f (c)) такая,
что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде,
стягивающей концы кривой (a, f (a)), (b, f (b)).
Теорема 1. Если функция имеет на (a, b) производную,
равную нулю, то она постоянна на (a, b).
Доказательство. Пусть x1 – фиксированная точка из
(a, b), x – произвольная точка из (a, b) (она может находиться
справа и слева от x1). Тогда на основании формулы Лагранжа
имеет место f (x) − f (x1) = (x − x1)f 0(c), где c – некоторая,
зависящая от x1 и x, точка, находящаяся между x1 и x. По
условию f 0(x) ≡ 0 на (a, b), поэтому f 0(c) = 0 и f (x) = f (x1) =
C − const, для любых x ∈ (a, b).
§ 5.6 ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
Пусть f и g определены и дифференцируемы в некоторой
проколотой окрестности Ǔ (a) (a – число или ∞, ±∞), причем
g(x), g 0(x) 6= 0 в Ǔ (a) и выполнено одно из условий
0
lim f (x) = lim g(x) = 0
x→a
x→a
0
∞
lim f (x) = lim g(x) = ∞ (+∞ или − ∞).
x→a
∞ x→a
77
0
(x)
(конечный или
Тогда, если существует предел lim fg0(x)
x→a
бесконечный), то существует также равный ему предел
0
(x)
(x)
lim fg(x)
= lim fg0(x)
.
x→a
x→a
Правило верно также для случаев: lim , lim .
x→a+0
x→a−0
Доказательство.Разберем несколько случаев.
1. (0/0), x → a + 0, a – конечное число. В этом случае под
Ǔ (a) понимается правая окрестность точки a, т. е. Ǔ (a) = (a, λ),
где λ > a. Определим функции f и g в точке a :
f (a)=0= lim f (x), g(a)=0= lim g(x). Тогда f и g будут
x→a+0
x→a+0
непрерывны на [a, λ). Так как, по условию, g 0(x) 6= 0 при
x ∈ (a, λ), то g(x) − g(a) 6= 0, a < x < λ. Мы получили,
что функции f и g удовлетворяют условиям теоремы Коши на
отрезке [a, x], x < λ. Применяя теорему Коши, получим
f (x) f (x) − f (a) f 0(c)
=
= 0 ,
g(x)
g(x) − g(a)
g (c)
(∗)
где c ∈ (a, x) или c = a + θ(x − a), 0 < θ < 1.
Перейдем в (∗) к пределу при x → a + 0 :
f 0 (c)
lim 0 .
x→a+0 g (c)
f 0 (c)
0
x→a+0 g (c)
При x → a + 0, c → a + 0, поэтому lim
f (x)
x→a+0 g(x)
lim
=
f 0 (c)
.
0
c→a+0 g (c)
= lim
Последний предел существует по условию. Таким образом,
0
(x)
(x)
lim fg(x)
= lim fg0(x)
.
x→a+0
x→a+0
2. (0/0), x → a − 0, a – конечное число. Этот случай
доказывается аналогично случаю 1 (сходимости справа).
Отличия состоят только в том, что Ǔ (a) = (λ, a), λ < a;
функции f и g удовлетворяют условиям теоремы Коши на
отрезке [x, a], x > λ.
3.
(0/0), x → a, a – конечное число.
Справедливость
правила в этом случае следует из двух предыдущих
случаев.
Действительно,
если
существует
предел
f 0 (x)
f 0 (x)
lim g0(x)
= α, то существуют пределы lim g0(x)
=
x→a
=
0
(x)
lim fg0(x)
x→a−0
x→a+0
= α. Отсюда, согласно случаям 1 и 2, следует,
78
(x)
f (x)
= α = lim fg(x)
, что
g(x)
x→a−0
x→a+0
(x)
равносильно существованию lim fg(x)
= α.
x→a
4. (0/0), a = ∞. Положим y = x1 . Тогда функции F (y) =
f ( y1 ),
G(y) = g( y1 ) дифференцируемы в некоторой окрестности
0
что существуют пределы
lim
нуля Ǔ (0). В этой же Ǔ (0) : G(y) 6= 0, G (y) 6= 0. (Заметим,
что если a = +∞, то функции F (y), G(y) дифференцируемы
в правой окрестности нуля, если же a = −∞, то в левой
окрестности нуля.) Далее, lim F (y) = lim f (x) = 0, lim G(y) =
x→∞
y→0
f (x)
0
x→∞ g (x)
= lim g(x) = 0; lim
x→∞
0
= lim
y→0
f 0 ( y1 )·(− y12 )
g 0 ( y1 )·(− y12 )
=
y→0
F (y) (∗)
F (y)
lim G
0 (y) = lim G(y)
y→0
y→0
0
=
(x)
= lim fg(x)
.
x→∞
Равенство (∗) справедливо благодаря доказанному выше
случаю 3 ((0/0), a = 0).
5. (∞/∞). Будем считать, для определенности, что a –
конечное число и что x → a + 0.
В этом случае Ǔ (a) = (a, λ), λ > a. Пусть
lim (f 0(x)/g 0(x)) = α.
x→a+0
Допустим также, что x и δ такие, что [x, δ] ⊂ (a, λ). Тогда,
с учетом теоремы Коши для отрезка [x, δ], имеем
f (x) f (x)[g(δ) − g(x)] f (δ) − f (x)
=
·
=
g(x) g(x)[f (δ) − f (x)] g(δ) − g(x)
f (x)g(x) (g(δ)/g(x)) − 1 f 0(c)
=
·
·
,
g(x)f (x) (f (δ)/f (x)) − 1 g 0(c)
где c ∈ (x, δ). Параметром δ в правой части данного равенства
мы можем распоряжаться. Выберем его немного позднее.
0
(x)
lim fg0(x)
существует, поэтому по критерию Коши:
x→a+0
∀ε > 0(пусть ε < 1)∃δ1 > a∀x, y ∈ (a, δ1)
79
f 0(y) f 0(x)
ε
−
<
.
g 0(y) g 0(x)
3
В силу условия lim f (x) = lim g(x) = ∞ имеем
x→a+0
x→a+0
(g(δ)/g(x)) − 1
= 1, поэтому
x→a+0 (f (δ)/f (x)) − 1
(g(δ)/g(x)) − 1
ε
∃ δ2 > a ∀ x ∈ (a, δ2)
−1 <
.
(f (δ)/f (x)) − 1
3
lim
Введем
обозначения:
h(δ, x)
=
(g(δ)/g(x))−1
(f (δ)/f (x))−1 .
0
(x)
lim h(δ, x) fg0(x)
= lim h(δ, x) lim (f 0(x)/g 0(x)) = α, поэтому
x→a+0
x→a+0
x→a+0
f 0(x)
ε
h(δ, x) 0
−α <
.
g (x)
3
∃ δ3 > a ∀ x ∈ (a, δ3)
Возьмем в качестве δ
=
min(δ1, δ2, δ3) и
(f (x)/g(x)) − α в следующем виде: для ∀ x ∈ (a, δ)
0
0
0
0
0
запишем
f (x)
g(x) − α =
0
0
(x)
(x)
(c) f (c) f (c) f (x) f (x)
− g0(c) + g0(c) − g0(x) + g0(x) −h(δ, x) fg0(x)
+h(δ, x) fg0(x)
−α =
= h(δ, x) fg0(c)
0
f (c) f 0 (x)
f 0 (c) f 0 (x)
f 0 (x)
≤
= (h(δ, x) − 1) g0(c) − g0(x) + g0(c) − g0(x) + h(δ, x) g0(x) −α
0
0
0
0
0
(c)
(x)
(c)
(x)
(x)
≤ |h(δ, x) − 1| fg0(c)
− fg0(x)
+ fg0(c)
− fg0(x)
+ h(δ, x) fg0(x)
−α <
ε, ∀ x ∈ (a, δ). (Заметим, что число δ > c).
0
(x)
(x)
= α = lim fg0(x)
.
Таким образом, lim fg(x)
x→a+0
x→a+0
Упражнения.
Доказать случаи правила Лопиталя:
(∞/∞), x → a − 0, a – конечное число;
(∞/∞), x → a, a – конечное число;
(∞/∞), x → ∞;
(∞/∞), x → +∞;
(∞/∞), x → −∞.
Указание: использовать приемы доказательства случаев 2
– 4.
Замечание 1. В условиях правила Лопиталя из
(x)
существования предела lim fg(x)
, вообще говоря, не следует
x→a
80
f 0 (x)
x
Например, lim x−sin
=
0 (x) .
g
x
x→∞
x→a
x)0
lim (x−sin
– не существует.
= lim 1−cosx
0
x
1
x→∞
x→∞
существование предела lim
lim (1 − sinx x ) = 1, но
x→∞
Замечание 2. Неопределенности типа ∞ − ∞, 0 ·
∞, 00, ∞0, 1∞ приводятся к уже рассмотренным типам
неопределенностей 0/0 или ∞/∞.
1
1
Если f → ∞ и ϕ → ∞, то пишем f − ϕ = ϕ − f : f1ϕ и
получаем неопределенность 0/0.
Если f → 0 и ϕ → ∞, то пишем f ϕ = f1 , что приводит к
ϕ
неопределенности вида 0/0; если записать f ϕ = ϕ1 , то придем к
f
неопределенности вида ∞/∞.
Выражения f ϕ приводят к неопределенностям вида
00, ∞0, 1∞. Если прологарифмировать f ϕ, то придем к
lim ϕ ln f
неопределенности вида 0 · ∞. Например, lim f ϕ = ex→a
.
x→a
§ 5.7 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Формулой Тейлора называется формула, с помощью
которой можно по данным значениям функции и её
производных в точке a f (a), f 0(a), . . . , f (n−1)(a) и некоторым
сведениям о её производной f (n) в окрестности U (a) этой точки
узнать приближенно её значение f в точках U (a).
Сначала получим формулу Тейлора для многочлена P (x) =
a0 + a1x + · · · + anxn. Сделаем замену x на (x − a) + a в P (x):
n
P (x) = a0 + a1((x − a) + a) + · · · + an((x − a) + a) =
n
X
bk (x − a)k ,
k=0
где bk – коэффициенты, зависящие от коэффициентов ak .
Полученное равенство называется разложением многочлена
P (x) по степеням x − a, а bk – коэффициентами данного
разложения.
n
P
Продифференцируем равенство P (x) =
bk (x − a)k k раз:
k=0
P (k)(x) = k!bk + (k + 1)k · · · 2bk+1(x − a) + · · ·
81
В полученном выражении для P (k)(x) положим x = a: P (k)(a) =
k!bk , k = 0, 1, 2, . . . , (здесь мы считаем P (0)(a) = P (a)). Отсюда
следует
P (k)(a)
bk =
, k = 0, 1, 2, · · · .
(1)
k!
Таким образом, один и тот же многочлен P (x) можно
разложить по степеням x − a единственным образом, т. е. если
для всех значений x
n
n
X
X
P (x) =
bk (x − a)k =
b0k (x − a)k ,
k=0
k=0
то bk = b0k , k = 0, 1, 2, . . . , n, т. к. числа bk , b0k вычисляются по
одной и той же формуле (1).
Мы получили формулу:
P (x) =
n
X
P (k)(a)
k!
k=0
(x − a)k ,
(2)
которая называется формулой Тейлора по степеням x − a (или
формула Тейлора в окрестности точки a) для многочлена P (x)
степени n.
Замечание. При a = 0 формула Тейлора (2) называется
также формулой Маклорена.
Перейдем теперь к выводу формулы Тейлора для функции
f , не являющейся многочленом степени n − 1, но имеющей
производные достаточно высокого порядка. Вычислим числа
f (a), f 0(a), . . . , f (n−1)(a) и с помощью их образуем функцию
f 0(a)
f (n−1)(a)
Q(x) = f (a) +
(x − a) + · · · +
(x − a)n−1 =
1!
(n − 1)!
=
n−1 (k)
X
f (a)
k=0
k!
(x − a)k .
(3)
Функция Q(x) называется многочленом Тейлора ((n−1)-м)
функции f по степеням x − a.
Если f является сама многочленом степени n−1, то, как мы
установили выше, f (x) = Q(x), для любых x ∈ U (a), т. е. f (x) ≡
82
Q(x). Так как в нашем случае f не многочлен степени n − 1, то
f (x) 6≡ Q(x). Тем не менее многочлен Q(x) связан с функцией
f (x) в том смысле, что f (k)(a) = Q(k)(a), k = 0, 1, . . . , n − 1.
Действительно, по формуле Тейлора для многочленов
(n−1)
X Q(k) (a)
(x − a)k .
Q(x) =
k!
k=0
Отсюда и из (3) следует f (k)(a) = Q(k)(a), k = 0, 1, . . . , n − 1.
Положим
f (x) = Q(x) + Rn(x),
(4)
где Q(x) − (n − 1)-й многочлен Тейлора функции f по степеням
x − a.
Выражение (4) называется формулой Тейлора функции f
по степеням x − a (или в окрестности точки a), а Rn(x) называется остаточным членом формулы Тейлора.
Сейчас мы сформулируем и докажем теорему, в которой
будут даны две формы (два выражения через n-ю производную
от f ) остаточного члена Rn(x).
Теорема. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, x]
вместе со своими производными до (n − 1)-го порядка
включительно и n раз дифференцируема на (a, x). Тогда
существует точка c ∈ (a, x) такая, что имеет место равенство
1
1
f (x) = f (a)+ f 0(a)(x−a)+· · ·+
f (n−1)(a)(x−a)n−1+Rn(x),
1!
(n − 1)!
где
Rn(x) =
1 (n)
f (c)(x−a)n (остаточный член в форме Лагранжа)
n!
или
Rn(x) =
1
f (n)(c)(x − a)n(1 − θ)n−1, 0 < θ < 1 (остаточный
(n − 1)!
член в форме Коши).
Доказательство. Мы ставим своей задачей найти удобное
выражение для остатка Rn(x) в формуле Тейлора f (x) =
83
n−1
P
k=0
n
P
k
+ Rn(x) (здесь мы использовали обозначение
f (k)(a) (x−a)
k!
ak = a0 + a1 + · · · + an).
k=0
Представим Rn(x) в виде произведения Rn(x) = λ(x − a)p,
сведя таким образом вопрос к отысканию величины λ (здесь p –
любое натуральное число, λ – величина, зависящая от x, и при
фиксированном x будет рассматриваться как постоянная).
Итак, мы имеем равенство
n−1
X
(x − a)k
(k)
f (x) =
f (a)
+ λ(x − a)p.
(1)
k!
k=0
Заменим в (1) формально постоянную a на переменную z.
n−1
k
P
p
Тогда получим функцию g(z) = f (x)− f (k)(z) (x−z)
k! −λ(x−z) ,
k=0
которая определена и непрерывна для всех z ∈ [a, x], так как
на этом отрезке непрерывна исходная функция f (z) вместе
со своими производными до (n − 1)-й включительно. Кроме
того, из определения функции g(z) следует (см. (1)), что при
z = a она принимает значение 0 (g(a) = 0). Больше того, при
z = x она также обращается в 0 (g(x) = 0). Наконец, функция
g(z) имеет на интервале (a, x) производную, потому что на
(a, x) исходная функция f имеет производную n-го порядка.
Мы видим, что вспомогательная функция g(z) удовлетворяет
условиям теоремы Ролля, поэтому, согласно теореме Ролля,
существует между a и x промежуточная точка c = a + θ(x −
a) (0 < θ < 1) такая, что g 0(c) = 0. Подсчитаем g 0(z) :
n−1
P 1 (k+1)
0
0
g (z) = −f (z) −
(z)(x − z)k − f (k)(z)k(x − z)k−1) +
k! (f
k=1
0
+λp(x−z)
= −f (z)+f 0(z)− 1!1 f (2)(z)(x−z)+ 2!2 f (2)(z)(x−z)−
1
− 2!1 f (3)(z)(x − z)2 + · · · − (n−1)!
f (n)(z)(x − z)n−1 + λp(x − z)p−1 =
1
= − (n−1)!
f (n)(z)(x − z)n−1 + λp(x − z)p−1. Из условия g 0(c) = 0
p−1
(n)
n−1
f (c)(x−c)
находим λ = (n−1)!p(x−c)
p−1 .
Если положить p = n, то получим остаточный член в
форме Лагранжа: Rn(x) = λ(x − a)n = n!1 f (n)(c)(x − a)n, а если
положить p = 1, то – в форме Коши: Rn(x) = λ(x − a) =
84
1
1
f (n)(c)(x − a)(x − c)n−1 = (n−1)!
f (n)(a + θ(x − a))(x − a)
= (n−1)!
1
(x − a − θ(x − a))n−1 = (n−1)!
f (n)(a + θ(x − a))(x − a)n(1 − θ)n−1 =
1
= (n−1)!
f (n)(c)(x − a)n(1 − θ)n−1.
Замечание 1. При a = 0 формулу Тейлора называют также
формулой Маклорена. В этом случае она имеет вид
n−1
X
1 (k)
f (x) =
f (0)xk + Rn(x),
k!
k=0
xn (n)
Rn(x) = f (θx) − форма Лагранжа,
n!
n
x
(1 − θ)n−1f (n)(θx) − форма Коши.
Rn(x) =
(n − 1)!
Замечание 2. В формулах из теоремы x можно считать
не только бо́льшим, но и ме́ньшим, чем a. Если x < a, то
(a, x), [a, x] обозначают множества точек t, удовлетворяющих
соответственно неравенствам x < t < a, x ≤ t ≤ a.
§ 5.8 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ
НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ФУНКЦИЙ
1. f (x) = ex, x ∈ R.
Запишем
для
этой
функции
разложение по формуле Тейлора в окрестности нуля,
т. е. при a = 0. f (n)(x) = ex. ⇒ f (n)(0) = 1,
f (n)(θx) = eθx, n = 1, 2, 3, . . .
По формуле Тейлора с остатком в форме Лагранжа имеем
2
n
xn−1
+Rn(x), Rn(x) = xn! eθx, 0 < θ < 1.
ex = 1+ 1!x + x2! +· · ·+ (n−1)!
Если положить x = 1, то получим приближенное выражение
1
для числа e : e ≈ 1 + 1 + 2!1 + · · · + (n−1)!
с ошибкой |Rn(1)| ≤
1
3
n! e < n! .
Посмотрим, как ведет себя остаточный член Rn(x) при n →
n
∞. Пусть x ≥ 0, тогда |Rn(x)| ≤ xn! ex → 0 при n → ∞ (здесь
85
n
мы использовали то, что lim xn! = 0 при любом x ≥ 0 (см.
n→∞
§ 2.3)).
n
Если же x < 0, то |Rn(x)| ≤ |x|
n! → 0 при n → ∞.
Таким образом, Rn(x) → 0 при n → ∞ при любых x ∈ R.
Замечание. Разложение функции по формуле Тейлора в
окрестности нуля обычно называется разложением функции
по степеням x.
2.
f (x) = sin x, x ∈ R. Для этой функции f (n)(x) = sin(x+n·
π
2 ),
(n)
(θx) = sin(θx + nπ
f (n)(0) = sin nπ
2 , f
2 ), n = 1, 2, 3, . . . ; 0 <
θ < 1.
Формула Тейлора по степеням x (в окрестности точки a = 0)
с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид
x
2n−1
x3
n+1 x
sin x = x −
+ · · · + (−1)
+ R2n+1(x),
3!
(2n − 1)!
x2n+1
π
R2n+1(x) =
sin(θx + (2n + 1) ).
(2n + 1)!
2
|R2n+1(x)| ≤
|x|2n+1
(2n+1)!
→ 0, при n → ∞, для любого x ∈ R.
Таким образом, R2n+1(x) → 0, при n → ∞, для любого
x ∈ R.
3. f (x) = cos x, x ∈ R. Для этой функции f (n)(x) = cos(x +
(n)
n · π2 ), f (n)(0) = cos nπ
(θx) = cos(θx + nπ
2 , f
2 ), n =
1, 2, 3, . . . ; 0 < θ < 1.
Формула Тейлора по степеням x (в окрестности точки a = 0)
с остаточным членом в форме Лагранжа
2(n−1)
x2 x4
n−1 x
cos x = 1 −
+
− · · · + (−1)
+ R2n(x),
2!
4!
(2(n − 1))!
x2n
π
R2n(x) =
cos(θx + (2n) ).
(2n)!
2
Остаток ведет себя как и в случае sin x : R2n(x) → 0, при
n → ∞, для любого x ∈ R.
86
4. f (x) = ln(1 + x)
определена
и
сколько
угодно
раз дифференцируема при x
>
−1. f (n)(x)
=
(−1)n−1 (n−1)!
, f (n)(0) = (−1)n−1(n − 1)!
(1+x)n
Формула Тейлора имеет вид (в окрестности точки a = 0)
n
x2
n−1 x
ln(1 + x) = x −
+ · · · + (−1)
+ Rn+1(x).
2
n
(1)
Запишем для остатка две формы:
(−1)nxn+1
(форма Лагранжа),
Rn+1(x) =
(n + 1)(1 + θx)n+1
n+1
n x
Rn+1(x) = (−1)
1 + θx
1−θ
1 + θx
n
(форма Коши),
(2)
(3)
0 < θ < 1.
n+1
Пусть 0 ≤ x ≤ 1. Тогда из (2) получим |Rn+1| ≤ xn+1 → 0
(n → ∞). В случае −1 < x < 0 форма Лагранжа
не дает возможности сделать заключение о стремлении
Rn+1(x) → 0, потому что мы знаем только, что θ
удовлетворяет неравенству 0 < θ < 1. Применим в этом
n+1
случае форму Коши (3), получим: |Rn+1(x)| ≤ |x|
1−|x| → 0
1−θ
1−θ
(n → ∞), потому что 1+θx
< 1−θ
= 1.
При x > 1 формула (1) при любом n имеет
смысл, однако Rn+1(x) 6→ 0 при n
→
∞.
x2
Действительно, положим Sn(x) = x − 2 + · · · +
n
+(−1)n−1 xn , n = 1, 2, 3, . . . . Тогда Sn(x) + Rn(x) =
n+1
Sn+1(x) + Rn+1(x) и Rn(x) − Rn+1(x) = (−1)n xn+1 .
Для x > 1 и n → ∞ правая часть этого равенства не
стремится к нулю. Поэтому Rn(x) 6→ 0 при n → ∞, так
как не выполняется условие критерия Коши для предела
последовательности.
5. f (x) = (1 + x)m. Для этой функции f (n)(x) = m(m −
1) . . . (m−n+1)(1+x)m−n, f (n)(0) = m(m−1) . . . (m−n+1).
87
Формула Тейлора по степеням x (в окрестности точки a = 0)
имеет вид
(1 + x)m = 1 + mx +
m(m−1) 2
x + ···
2!
m(m−1) . . . (m−n+2) n−1
x
+ Rn(x),
(n−1)!
x ∈ R, если m ∈ N и x > −1, если m ∈ R\N, где
··· +
Rn(x) =
m(m − 1) . . . (m − n + 1) n
x (1 + θx)m−n
n!
(в форме Лагранжа),
n−1
m(m − 1) . . . (m − n + 1) n
1
−
θ
x (1 + θx)m−1
Rn(x) =
(n − 1)!
1 + θx
(в форме Коши).
В частном случае, когда m = n ∈ N, Rn+1(x) = 0, мы
получим известную формулу бинома Ньютона: (1 + x)n =
2
n
x
1 + 1!n x + n(n−1)
2! x + · · · + x .
§ 5.9 ЛОКАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
a, то
Теорема. Если функция f n раз дифференцируема в точке
1
f (x) = f (a)+f 0(a)(x−a)+· · ·+ f (n)(a)(x−a)n+o((x−a)n), x → a.
n!
(∗)
Доказательство. Введем функцию h(x) = f (x) −
n
P 1 (k)
k
k! f (a)(x − a) .
k=0
Так как функция f дифференцируема n раз, то
n−i
X
1 (k+i)
f
(a)(x − a)k , i = 1, . . . , n.
h(i)(x) = f (i)(x) −
k!
k=0
88
(1)
Отсюда следует h(a) = h0(a) = · · · = h(n)(a) = 0. Теорема
будет доказана, если мы покажем, что h(x) = o((x−a)n), x → a.
Применим метод математической индукции. Пусть n = 1.
Тогда, так как функция h(x) дифференцируема в точке a, имеем
h(x) − h(a) = h0(a)(x − a) + o(x − a), x → a, или h(x)=h(a) +
h0(a)(x − a) + o(x − a)=o(x − a), x → a.
Следовательно, при n = 1 теорема верна. Допустим, что
утверждение теоремы верно для n − 1, и докажем, что тогда
верно и для n. Положим g(x) = h0(x). Тогда из (1) следует,
что g(a) = g 0(a) = · · · = g (n−1)(a) = 0 и, по предположению
индукции, g(x) = o((x − a)n−1), x → a. По формуле конечных
приращений Лагранжа h(x) = h(x) − h(a) = h0(c)(x − a) =
h(x)
=
g(c)(x − a), где c – точка между a и x. Следовательно, (x−a)
n
g(c)
(x−a)n−1
g(c)
≤ (c−a)
= o(1), x → a.
n−1
Таким образом, h(x) = o((x − a)n), x → a.
Формула (∗) называется также формулой Тейлора с
остаточным членом в форме Пеано.
Замечание:
1. Если к предположению о существовании n-й производной
в точке a добавить непрерывность этой производной, то
локальная формула Тейлора будет следовать из формулы
Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Доказательство. Пусть f имеет n-ю непрерывную
производную в точке a. ⇒ Существует некоторая окрестность
точки a, на которой f имеет производную n-го порядка f (n)
и, тем более, непрерывную производную (n − 1)-го порядка
f (n−1). Мы получим, что условия, при которых имеет место
разложение f по формуле Тейлора с остаточным членом в
форме Лагранжа, выполняются и, следовательно,
n−1
X
1 (k)
f (x) = f (a) +
f (a)(x − a)k + Rn(x), где
k!
k=1
(x − a)n (n)
Rn(x) =
f (a + θ(x − a)), 0 < θ < 1.
(2)
n!
Так как f (n) непрерывна в точке a, то f (n)(a + θ(x −
a))=f (n)(a) + o(1), x→a. ⇒ Rn(x)= n!1 (x − a)nf (n)(a) + n!1 (x − a)n ·
89
n
(n)
(a) + o((x − a)n), x → a.
o(1)= (x−a)
n! f
Учитывая полученное равенство и (2), мы получим
локальную формулу Тейлора (∗).
x
2. Разложение функции по локальной формуле Тейлора
единственно. Единственность разложения понимается в том
смысле, что если f имеет n-ю производную в точке a и если
f (x) = a0 + a1(x − a) + · · · + an(x − a)n + o((x − a)n), x → a, то
1 (k)
f (a), k = 0, 1, . . . , n.
(∗∗)
k!
Доказательство. f имеет n-ю производную в точке a
поэтому по теореме она разложима по локальной офрмуле
Тейлора:
ak =
n
X
1 (k)
f (a)(x − a)k + o((x − a)n), x → a.
f (x) = f (a) +
k!
k=1
В то же время справедливо разложение f (x) = a0 + a1(x −
a) + · · · + an(x − a)n + o((x − a)n), x → a. Поэтому мы имеем
равенство
a0 + a1(x − a) + · · · + an(x − a)n + o((x − a)n) =
n
X
1 (k)
= f (a) +
f (a)(x − a)k + o((x − a)n), x → a.
k!
k=1
(3)
Перейдем к пределу при x → a в правой и левой части
данного равенства. Получим a0 = f (a). Таким образом,
в (3) мы можем убрать a0 и f (a), а затем, проведя
сокращение на x − a, мы получим равенство a1 + a2(x − a) +
n
k
P
n−1
n−1
0
+ · · · + an(x − a)
+ o((x − a) )=f (a)+
f (k)(a) (x−a)
+
k!
k=2
+o((x − a) ), x→a. Перейдя к пределу при x → a, получим
a1 = f 0(a). Продолжая этот процесс последовательно, мы
докажем (∗∗). x
n−1
§ 5.10 РЯД ТЕЙЛОРА
Выражение z0 + z1 + z2 + · · · , где zk – числа, зависящие от
натурального индекса k (k = 0, 1, 2, . . . ), называется рядом.
90
Обозначим через Sn =
n−1
P
zk сумму его первых n членов.
k=0
Числа Sn составляют последовательность (Sn) = (S1, S2, S3, . . . ).
=
Определение. Если существует предел lim Sn
S, то говорят, что ряд z0 + z1 + z2 + · · ·
сходится и имеет сумму, равную S.
При
этом
пишут
S = z0 + z1 + z2 + · · ·.
Пусть функция f имеет в U (a) производные сколь угодно
высокого порядка. Тогда для нее чисто формально можно
записать ряд
f (2)(a)
f 0(a)
(x − a) +
(x − a)2 + · · · ,
(∗)
f (a) +
1!
2!
который называется рядом Тейлора функции f по степеням
(x − a).
Ряд Тейлора может сходиться или расходиться для данных
значений x и a. Особенно важен случай, когда ряд Тейлора
функции f сходится к самой функции, т. е. S = f (x).
∞
P
1 (k)
k
Теорема. f (x) =
k! f (a)(x − a) , x ∈ E, тогда и только
k=0
тогда, когда остаточный член Rn(x) в формуле Тейлора f (x) =
n−1
P
k=0
1 (k)
k
k! f (a) · (x − a)
+ Rn(x) = Sn(x) + Rn(x) стремится к нулю
при n → ∞ (Rn(x)→0)∀ x ∈ E.
Доказательство. Пусть Rn(x) → 0 при n → ∞. Тогда из
формулы Тейлора следует f (x) = lim Sn(x) + lim Rn(x) =
n→∞
n→∞
lim Sn(x), т. е. ряд (∗) сходится (по определению), так как Sn(x)
n→∞
– сумма первых n членов ряда (∗). Таким образом,
∞
X
1 (k)
f (x) =
f (a)(x − a)k .
(∗∗)
k!
k=0
Допустим теперь, что имеет место (∗∗). Это значит
lim Sn(x) = f (x). Но тогда, так как f (x) = Sn(x) + Rn(x),
n→∞
получается, что Rn(x) → 0 при n → ∞.
Замечание. На основании доказанной теоремы и формул
Тейлора для элементарных функций (см. § 5.8) мы можем
91
сделать заключение о справедливости следующих разложений
в ряды Тейлора:
2
3
1. ex = 1 + x + x2! + x3! + · · · , x ∈ R.
5
3
2. sin x = x − x3! + x5! − · · · , x ∈ R.
4
2
3. cos x = 1 − x2! + x4! − · · · , x ∈ R.
2
3
4. ln(1 + x) = x − x2! + x3! − · · · , x ∈ (−1, 1].
§ 5.11 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ
ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПОНЯТИЯ
ПРОИЗВОДНОЙ (ВОЗРАСТАНИЕ И
УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ,
ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ)
1. Возрастание и убывание функции на отрезке.
Определения:
10. Функция f
называется строго возрастающей
(неубывающей) на [a, b], если для любых x1, x2 ∈ [a, b],
удовлетворяющих неравенству x1
<
x2, справедливо
неравенствоf (x1) < f (x2) (f (x1) ≤ f (x2)).
20 .
Функция
f
называется
строго убывающей
(невозрастающей) на [a, b], если для любых x1, x2 ∈ [a, b],
удовлетворяющих неравенству x1
<
x2, справедливо
неравенствоf (x1) > f (x2) (f (x1) ≥ f (x2)).
Теорема. Пусть f : [a, b] → R непрерывна на [a, b]
и дифференцируема на (a, b). Тогда имеет место следующая
таблица:
f0
>0
≥0
≡0
≤0
<0
⇒1
⇒2
⇒3
⇒4
⇒5
f на [a, b]
строго возрастает
не убывает
константа
не возрастает
строго убывает
⇒6
⇒7
⇒8
⇒9
⇒10
f 0 на (a, b)
≥0
≥0
≡0
≤0
≤0
Доказательство. Все импликации (следуют) ⇒k являются
92
следствием формулы Лагранжа:
f (y) − f (x) = f 0(z)(y − x), a ≤ x < z < y ≤ b.
(∗)
Для примера докажем некоторые из них.
1. (⇒1). Пусть f 0(z) > 0 для ∀ z ∈ (a, b). Тогда, если y, x ∈ [a, b]
и y > x, то существует z ∈ (a, b) такая, что справедливо (∗)
и, следовательно, f (y)−f (x) = f 0(z)(y−x) > 0, т. е. функция
f строго возрастает на [a, b].
2. (⇒3). Пусть f 0(z) = 0 для ∀ z ∈ (a, b); x0 – фиксированная
точка из [a, b]. Тогда для любого x ∈ [a, b] (x 6= x0) существет
точка z ∈ (a, b) и лежащая между x0 и x такая, что f (x) −
f (x0) = f 0(z)(x − x0). Так как f 0(z) = 0, то f (x) = f (x0), что
означает: f (x) = const для ∀ x ∈ [a, b].
3. (⇒7). Утверждение следует из неравенства f 0(x) = f 0(x +
f (x+h)−f (x)
h
h→0+0
0) = lim
≥ 0.
4. (⇒6). Данное утверждение следует из ⇒7.
Замечание. Из строго возрастания функции на [a, b] не
следует, что f 0(x) > 0 для всех x ∈ (a, b).
Например, функция f (x) = x3, x ∈ R, строго возрастает,
но f 0(0) = 0.
2. Локальный экстремум.
Определение 1. Говорят, что функция f достигает в
точке a локального максимума (минимума), если существует
окрестность нуля U (0) такая, что f (a + h) − f (a) ≤ 0 (f (a +
h) − f (a) ≥ 0) для всех h ∈ U (0).
Определение 2. Говорят, что f достигает в точке a
локального экстремума, если f достигает в a локального
максимума или минимума.
x Теорема (Ферма).
Если функция f достигает в точке x
локального экстремума и в ней существует f 0(x), то последняя
равна нулю (f 0(x) = 0).
Доказательство. Допустим, что в точке a f достигает
(a)
≤ 0,
локального максимума. Тогда f 0(a + 0) = lim f (a+h)−f
h
h→0+0
f (a+h)−f (a)
h
h→0−0
f 0(a − 0) = lim
≥ 0.
93
Но в точке a существует f 0(a), поэтому f 0(a+0) = f 0(a−0) =
= f 0(a) = 0.
Замечание. Условия f 0(x) = 0 не достаточно для
достижения функцией f в точке x локального экстремума, т. е.
может быть, что f 0(x) = 0, но функция не достигает локального
экстремума в точке x.
Например, функция f (x) = x3 имеет в точке x = 0
производную, равную нулю (f 0(x) = 3x2 и f 0(0) = 0), но в этой
точке нет локального экстремума, так как f (x)−f (0) = f (x) ≤ 0
при x ≤ 0 и f (x) − f (0) = f (x) ≥ 0 при x ≥ 0.
Докажем теоремы, дающие достаточные критерии
достижения функций локального экстремума по знаку первой
производной (теорема 1) и по знаку второй производной
(теорема 2).
Теорема 1. Пусть функция f (x) непрерывна в окрестности
точки a U (a) и дифференцируема в проколотой окрестности
точки a Ǔ (a). Если, при некотором δ > 0,
10. f 0(x) ≥ 0, для ∀ x ∈ (a, a + δ); f 0(x) ≤ 0, для ∀ x ∈ (a − δ, a),
то f (x) имеет в точке a локальный минимум.
20. f 0(x) ≤ 0, для ∀ x ∈ (a, a + δ); f 0(x) ≥ 0, для ∀ x ∈ (a − δ, a),
то f (x) имеет в точке a локальный максимум.
Доказательство. ∆f = f (a + h) − f (a) = f 0(a + θh) · h, 0 <
θ < 1. Пусть U (0) такая окрестность нуля, что, если h ∈ U (0),
то |θh| < δ.
Рассмотрим случай 10 : h > 0.⇒(a+θh) ∈ (a, a+δ).⇒f 0(a+
θh) ≥ 0. ⇒ ∆f ≥ 0; h < 0. ⇒ (a+θh) ∈ (a−δ, a). ⇒ f 0(a+θh) ≤
0. ⇒ ∆f ≥ 0. Таким образом, существует окрестность нуля U (0)
такая, что при h ∈ U (0) ∆f ≥ 0. Следовательно, f имеет в точке
a локальный минимум.
Аналогично доказывается случай 20.
Теорема 2. Если функция f удовлетворяет условиям
f 0(a) = 0 и f 00(a) > 0 (f 00(a) < 0), то x0 есть точка локального
минимума (максимума) функции f .
Доказательство. Пусть f 0(a) = 0 и f 00(a) > 0. Тогда
существует проколотая окрестность нуля Ǔ (0) такая, что
∆f 0 (a) f 0 (a+h)−f 0 (a) f 0 (a+h)
= h > 0, для ∀ h ∈ Ǔ (0). Таким образом,
h =
h
знак f 0(a + h) совпадает со знаком h (h ∈ Ǔ (0)), и поэтому
f (a + h) − f (a) = f 0(a + θh) · h ≥ 0 для ∀ h ∈ Ǔ (0), т. к. 0 <
94
θ < 1. Следовательно, функция f имеет в точке a локальный
минимум. Вторая часть утверждения теоремы доказывается
аналогично.
Замечание. Необходимым условием достижения функцией
в точке локального экстремума является несуществование
производной в этой точке или равенство ее нулю.
Действительно, если f достигает в точке a локального
экстремума и если в a существует f 0, то по теореме Ферма
f 0(a) = 0. Остается случай, когда f достигает в a локального
экстремума, но при этом f 0 в a не существует. Заметим,
что такое возможно, например, для функции, эскиз графика
которой имеет вид
y6
0
a
x
-
(функция имеет в точке локальный максимум, но не имеет
производной).
При исследовании на экстремум полезна следующая
таблица (f (x), x ∈ (c, d), – непрерывна на (c, d), a ∈ (c, d)):
знак f 0
эскизы
вывод
на (c, a) на (a, d)
−
−
экстремума
нет
−
+
локальный
минимум
95
знак f 0
эскизы
вывод
на (c, a) на (a, d)
+
−
локальный
максимум
+
+
экстремума
нет
§ 5.12 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ
ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПОНЯТИЯ
ПРОИЗВОДНОЙ (ВЫПУКЛОСТЬ, ТОЧКИ
ПЕРЕГИБА)
Пусть y = f (x), x ∈ E; Γ – кривая (график функции f (x));
L – секущая, проходящая через точки a, b ∈ Γ. Тогда, если при
b → a секущая L занимает единственное предельное положение
L0, то прямая L0 называется касательной к кривой Γ в точке a.
(см. Рис.)
y6
a
Γ
L
b
L0
0
x
-
Рис.
Рассмотрим три случая:
1 сл. f 0(a) – существует (имеет конечное значение). Тогда
уравнение касательной имеет вид: y − f (a) = f 0(a)(x − a), где
y = f (x).
2 сл. f (x) – непрерывна в точке a, f 0(a) = ±∞. Тогда уравнение
касательной: x = a.
96
y6
y6
f (a)
0
f (a)
a
x
-
0
a
x
-
3 сл. f (x) – непрерывна в точке a, f 0(a) - не существует.
Тогда уравнение касательной: x = a.
y6
y6
f (a)
0
f (a)
a
x
-
0
a
x
-
f 0(a + 0) = +∞
f 0(a + 0) = −∞
0
f (a − 0) = −∞
f 0(a − 0) = +∞
Тогда a в третьем случае называется точкой возврата.
Определение 1. Пусть в точке a существует конечная f 0,
тогда кривая (график функции y = f (x)) выпукла вверх (вниз)
в точке a, если кривая в некоторой окрестности U (a) лежит под
(над) касательной к кривой в точке a.
Определение 2. Пусть f (x) непрерывна в точке a и
существует конечная f 0(a) или f 0(a) = ±∞. Тогда, если для
некоторого δ > 0 в интервалах (a, a + δ), (a − δ, a) кривая
(график функции y = f (x)) находится по разные стороны от
касательной к кривой в точке a, то точка a называется точкой
перегиба кривой.
97
Иллюстрации:
y6
y6
PP
P
y6
PP
P
x
x
x
a
a
0
0
0 a−δa a+δ
Рис. 1. Кривая выпукла Рис. 2. Кривая выпукла Рис. 3. a – точка перевверх в точке a
вниз в точке a
гиба кривой
-
-
-
Теорема 1. Если функция f (x) имеет в точке a вторую
проивзодную и f 00(a) > 0 (f 00(a) < 0), то кривая (график
функции y = f (x)) выпукла вниз (вверх) в точке a.
Доказательство. Утверждение теоремы следует из
(x−a)2 00
0
представления: f (x) = f (a) + f (a)(x − a) + 2 f (a +
2
00
θ(x − a)), 0 < θ < 1. Остаток r2(x) = (x−a)
2 f (a + θ(x − a))
характеризует превышение кривой над касательной y =
f (a) + f 0(a)(x − a). Если f 00(a) > 0, то в силу непрерывности f 00
в точке a функция f 00 сохраняет знак в некоторой окрестности
точки a и, следовательно, кривая в некоторой окрестности
точки a находится над касательной, т. е. кривая выпукла вниз
в точке a.
Случай f 00(a) < 0 доказывается аналогично.
Теорема 2. Если функция f (x) такова, что производная f 000
непрерывна в точке a, а f 00(a) = 0 и f 000(a) 6= 0, то кривая
(график функции y = f (x)) имеет в точке a точку перегиба.
Доказательство. Утверждение теоремы следует из
3
000
представления: f (x) = f (a) + f 0(a)(x − a) + (x−a)
3! f (a +
θ(x − a)), x ∈ U (a), 0 < θ < 1. f 000 сохраняет знак в некоторой
окрестности точки a, и множитель (x − a)3 имеет нечетную
степень, поэтому кривая (график функции y = f (x)) будет
находиться по разные стороны касательной в окрестности
точки a. Следовательно, a – точка перегиба кривой.
Теорема 3. Пусть функция f обладает следующими
свойствами:
f 00(x0) = · · · = f (k)(x0) = 0,
98
f k+1(x) – непрерывна в точке x0, и f (k+1)(x0) 6= 0.
Тогда, если k – нечетное число, то кривая y = f (x) выпукла
вверх или вниз в точке x0 в зависимости от того, будет ли
f (k+1)(x0) < 0 или f (k+1)(x0) > 0, а если k – четное число, то
x0 есть точка перегиба кривой.
Если дополнительно к приведенным условиям добавить
ещё
f 0(x0) = 0,
(∗)
то, если k – нечетное число, функция f достигает в точке
x0 максимума или минимума в зависимости от того, будет ли
f (k+1)(x0) < 0 или f (k+1)(x0) > 0.
Доказательство. По условию f (k+1) непрерывна x0.
Следовательно, f (k+1) определена в некоторой U (x0), и,
следовательно, f (k) – непрерывна в U (x0). Мы получили, что
для f выполняются условия разложения по формуле Тейлора
в окрестности точки x0, поэтому, используя формулу Тейлора
с остаточным членом в форме Лагранжа, можно записать
f (x) = f (x0) + f 0(x0)(x − x0) + Rk+1(x), где
(x − x0)k+1 (k+1)
Rk+1(x) =
f
(x0 + θ(x − x0)), 0 < θ < 1.
(k + 1)!
(1)
1 сл. (k – четное число, f (k+1)(x0) > 0). f (k+1) – непрерывна
в точке x0, поэтому она сохраняет знак в некоторой окрестности
точки x0 и, следовательно, f (k+1)(x0 + θ(x − x0)) > 0 для любых
x ∈ U (x0). Множитель (x − x0)k+1 имеет нечетную степень и
поэтому меняет знак при переходе из левой окрестности точки
x0 в правую (если x ∈ [x0, x0 + δ), то (x − x0)k+1 ≥ 0; если
x ∈ (x0 −δ, x0], то (x−x0)k+1 ≤ 0 (здесь δ > 0)). Таким образом,
Rk+1(x) > 0 для x ∈ (x, x0 +δ) и Rk+1(x) < 0 для x ∈ (x0 −δ, x0),
и, следовательно, кривая y = f (x) будет находиться по разные
стороны касательной к кривой в точке x0, т. е. имеет в точке
x0 перегиб (здесь мы учли, что f (x) = f (x0) + (x − x0)f 0(x0) –
уравнение касательной к кривой y = f (x) в точке x0 ).
99
Иллюстрация:
y6
x
x0
0
-
2 сл. (k – четное число, f (k+1)(x0) < 0). Рассуждая, как и в
случае 1, мы придем к выводу: Rk+1(x) < 0 для x ∈ (x0, x0 + δ)
и Rk+1(x) > 0 для x ∈ (x0 − δ, x0), т. е. кривая y = f (x) имеет
в точке x0 перегиб.
Иллюстрация:
y6
0
x0
x
-
3 сл. (k – нечетное число, f (k+1)(x0) > 0). В этом случае
f (k+1)(x0 + θ(x − x0)) > 0 для любых x ∈ U (x0). Множитель
(x−x0)k+1 будет иметь четную степень и поэтому не меняет знак
при переходе из левой окрестности точки x0 в правую. Таким
образом, Rk+1(x) > 0 для всех x ∈ Ǔ (x0), и, следовательно,
кривая y = f (x) будет выпукла вниз в точке x0.
Иллюстрация:
y6
0
x0
100
x
-
4 сл. (k – нечетное число, f (k+1)(x0) < 0). Очевидно в этом
случае, Rk+1(x) < 0 для всех x ∈ Ǔ (x0), и, следовательно,
кривая y = f (x) будет выпукла вверх в точке x0.
Иллюстрация:
y6
PP
P
0
вид:
PP
P
a
x
-
При дополнительном условии (∗) разложение (1) примет
(x − x0)k+1 (k+1)
f
(x0 + θ(x − x0)).
f (x) = f (x0) +
(k + 1)!
(2)
Если k – нечетное число и f (k+1)(x0) > 0 (f (k+1)(x0) < 0), то
мы получим из (2), что f (x) − f (x0) ≥ 0 (f (x) − f (x0) ≤ 0) для
любых x ∈ U (x0), и, следовательно, функция f (x) достигает в
точке x0 локального минимума (максимума).
Если же k – четное число, то нетрудно увидеть, что в точке
x0 будет перегиб. Единственное отличие от случаев 1 и 2 будет
состоять в том, что касательная к кривой в точке x0 будет
параллельна оси абсцисс.
101
Глава 6
ПЕРВООБРАЗНАЯ И
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 6.1 Определение первообразной и неопределенного
интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
§ 6.2 Неопределенные интегралы от простейших
элементарных функций. Примеры вычисления неопределенных
интегралов.
§ 6.3 Отыскание первообразных для рациональных
функций.
§ 6.4 Интегрирование некоторых иррациональных и
трансцендентных функций.
§ 6.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ И
НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
Определение 1. Функция F : E → R (E – открытое
множество из R) называется первообразной функции f : E→R,
если F 0(x) = f (x), x ∈ E.
Будем считать, что функции, для которых ищутся
первообразные, являются непрерывными и заданными на
некотором интервале (a, b). Такое допущение вполне оправдано,
так как в дальнейшем будет доказано, что для каждой
непрерывной функции первообразная существует.
Теорема. Если F – первообразная для функции f , то все
возможные первообразные для f выражаются формулой: F (x)+
C, где C может быть любой const.
Доказательство. Нам нужно доказать, что множество
функций вида F (x) + C (C – произвольная const) совпадает
с множеством всех первообразных функций f . Если F –
первообразная функции, то очевидно, что функция F (x) + C
есть также первообразная функции f , так как (F (x) + C)0 =
F 0(x) = f (x). Обратно, пусть G – первообразная функции f , не
102
равная F (x). ⇒ (G(x) − F (x))0 = f (x) − f (x) = 0, ∀x ∈ (a, b).
Тогда, по теореме 1 (см. § 5.5), получаем G(x)−F (x) = C−const,
т. е. G(x) = F (x) + C.
Определение 2.
Неопределенным интегралом
от
непрерывной функции f R называется произвольная ее
первообразная. Обозначение: f (x)dx.
Из теоремы
R следует: если F – определенная первообразная
функции f , то f (x)dx = F (x) + C, где C − const.
Свойства неопределенного интеграла
R
R
R
10. R(λf (x) + µg(x))dx = λ f (x)dx
+
µ
g(x)dx + C, λ, µ ∈ R.
R
0
0
2 . (f (x)g (x)dx = f (x)g(x) − g(x)f 0(x)dx + C (формула
интегрирования
R
R по частям).
0
3 . f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ‘(x)dx + C, t = ϕ(x) (формула замены
переменной).
Доказательство.
R
R
R
0
1. ( (λf (x)+µg(x)dx)
=λf
(x)+µg(x).
(λ
f
(x)dx+µ
g(x)dx+
R
R
0
0
0
C) = λ( f (x)dx) + µ( g(x)dx) = Rλf (x) + µg(x). Тогда
из теоремы
1 (см.R § 5.5), следует 10: (λf (x) + µg(x))dx =
R
= λ f (x)dx + µ g(x)dx + C.
R
R
2. ( f (x)g 0(x)dx)0 = f (x)g 0(x). (f (x)g(x)− g(x)f 0(x)dx+C)0 =
= f 0(x)g(x) + f (x)g 0(x) − g(x)f 0(x) = f (x)g 0(x). ⇒ 20.
R
R
d
d
0
0
·
t
=
f
(ϕ(x))ϕ
(x) =
3. dx [R f (t)dt] = dt [ f (t)dt]
x
R
R
d
d
f (ϕ(x))ϕ0(x)dx. ⇒ dx
( fR(t)dt − fR (ϕ(x))ϕ0(x)dx) ≡
dx
0. ⇒ (по теореме 1 (см. § 5.5)) f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ0(x)dx +
C.
§ 6.2 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ
ПРОСТЕЙШИХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ФУНКЦИЙ. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Таблица неопределенных
элементарных функций.
103
интегралов
от
простейших
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
R
R
R
R
R
R
R
R
0dx = C.
R
1dx = dx = x + C.
1
xn = n+1
xn+1 + C, n 6= 1.
dx
x = ln |x| + C.
dx
1+x2 = arctg x + C.
√ dx = arcsin x + C.
1−x2
axdx = ln1a ax + C.
exdx = ex + C.
R
9. Rsin xdx = − cos x + C.
10. cos xdx = sin x + C.
R dx
11. cos2 x = tg x + C.
R
12. sindx2 x = − ctg x + C.
R
13. ch xdx = sh x + C.
R
14. sh xdx = ch x + C.
R
15. shdx2 x = − cth x + C.
R
16. chdx2 x = th x + C.
Все приведенные формулы следуют из соответствующих
формул для производных элементарных функций.
ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
R
R
R
R
1. (6x2 − 3x + 5)dx = 6 x2dx − 3 xdx + 5 dx = 2x3 − 23 x2 +
5x + C (здесь мы использовали свойство 10 и формулу 3. из
таблицы).
R
R sin x
R dt
2. tg xdx = cos x dx = − t = − ln |t| = − ln | cos x| + C
(здесь мы использовали формулу замены переменной (см.
свойство 30: t = cos x)).
R
R
R
3. ln xdx = x ln x − xd ln x = x ln x − dx = x(ln x − 1) + C
(здесь мы использовали формулу интегрирования по частям
(см. свойство 20)).
R
4. J= R eax cos xdx = (интегрируем по частям) = eax sin x −
−a eax sin xdx = (ещё раз интегрируем по частям) =
eax sin x + aeax cos x − a2J + C.
Решая полученное уравнение относительно J, найдем
eax(sin x + a cos x)
J=
+ C1 .
1 + a2
5.
R
dx
x2 +px+q
= J.
РассмотримR два случая:R∆ = p2 − 4q < 0, ∆ = p2 − 4q > 0.
d(x+p/2)
dx
√
1 сл. J = x2+px+q
= (x+p/2)
2 +( 1 −∆)2 = (делаем замену
2
104
√
R d(t/a)
dt
1
x + = t)
−∆.
t2 +a2 = a
(t2 /a2 )+1 =
R
= (делаем
u) = a1 u2du+1 = (используем
формулу 5. из таблицы) = a1 arctg u + C = a1 arctg at + C =
2x+p
2
√
√ 2 arctg √
= √−∆
arctg (x+p/2)2
+
C
=
+ C.
−∆
−∆
R −∆
R
dx
= (x−α1dx
α1 и α2 – корни
2 сл. J = x2+px+q
)(x−α2 ) , где
R
1
1
1
уравнения x2 + px + q = 0. J = α1−α
(
−
x−α1
x−α2 )dx =
2
R d(x−α1 )
R d(x−α2 )
x−α1
1
1
1
−
=
ln
α1 −α2
x−α1
α1 −α2
x−α2
α1 −α2
x−α2 + C (здесь
p
2
6.
7.
8.
9.
dt
= t2+a
2 , где
замену at =
R
a= 12
R
α1 6= α2).
В частности, если α2 = −α1, мы получаем формулу
Z
dx
1
x+a
=
−
ln
+ C.
x2 − a2
2a
x−a
R 2x+p
R dx
R αx+β
α
α 2β
α
2
dx
=
dx
+
(
−
p)
=
2
2
2
x +px+q
2R x +px+q
2 α
x +px+q
2 ln |x +
dx
px+q|+(β− αp
1-м интеграле мы сделали замену
2 )
x2 +px+q (в R
dx
x2 + px + q = t, а интеграл x2+px+q
решается как в примере
5.).
h
i
R
R
1
1
dx
x2
Jm =
=
J
−
dx
=
2
2
m
2
2
2
m
m−1
(x +a )
a
(x +a )
a2 Jm−1 −
R xd(x2 +a2 )
R
1
1
1
=
J
+
xd( (x2+a12)m−1 )
=
2a2
(x2 +a2 )m
a2 m−1
2a2 (m−1)
x
(интегрируем по частям) = a12 Jm−1 + 2a2(m−1)(x
2 +a2 )m−1 −
1
2a2 (m−1) Jm−1 .
Полученная формула сводит вычисление интеграла Jm
к вычислению интеграла Jm−1. Например, зная интеграл
J1 = a1 arctg xa , по полученной формуле найдем
x
x
1
1
J2 = 3 arctg + 2 2
.
2a
a 2a x + a2
R
dx
2
2
(x +px+q)m , m > 1, ∆ = p − 4q < 0.
Данный интеграл с помощью замены t = x + p2 сводится к
интегралу из примера 7.
R αx+β
2
(x2 +px+q)m dx, m > 1, ∆ = p − 4q < 0.
R αx+β
R
2x+p
αp R
α
dx
(x2 +px+q)m dx = 2
(x2 +px+q)m dx + (β − 2 )
(x2 +px+q)m =
105
R
(делаем замену t = x2 + px + q) = α2 tdtm + (β −
αp R
dx
α
(x2 + px + q)−(m−1) + (β −
= − 2(m−1)
2 ) R (x2 +px+q)m
αp
dx
)
2
2
(x +px+q)m .
Оставшийся интеграл считается как в примере 8.
R dx
10. J = √x2±a2 .
Применим замену с использованием гиперболических
функций:
1. x √
= a ch t, x > 0, t > 0. Так как dx =
a sh tdt, x2 − a2 = a sh t, то
Z
Z
dx
J= √
= dt = t + C.
x2 − a2
Остается найти t как функцию x.
(x
et +e−t
=
ch
t
=
a
2
q
.
2
x
et −e−t
a2 − 1 = sh t =
2
q
2
x
Сложив данные уравнения, получим a + xa2 − 1 = et. ⇒
q
2
⇒ t = ln xa + xa2 − 1 .
q
R dx
2
x
x
√
+
Таким образом,
=
ln
2
2
a
a2 − 1 +C= ln(x +
x −a
√
x2 − a2 ) + C 1 .
2. x √
= a sh t, x > 0, t > 0. Так как dx =
a ch t dt, x2 + a2 = a ch t, то
Z
Z
√
dx
J= √
= dt = t + C = ln(x + x2 + a2) + C1.
2
2
x +a
=
§ 6.3 ОТЫСКАНИЕ ПЕРВООБРАЗНЫХ
ДЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
P (x)
Рассмотрим числовую функцию вида f (x) = Q(x)
, где
P (x), Q(x) – действительные многочлены, т. е. являются
106
числовыми функциями вида P (x) = amxm + am−1xm−1 + · · · +
a0, Q(x) = bnxn +bn−1xn−1 +· · ·+b0, ai, bk ∈ R, i = 0, . . . , m; k =
0, . . . , n. Пусть SP , SQ – показатели степени многочленов P (x)
и Q(x) (в нашем случае SP = m, SQ = n). Будем называть f (x)
правильной рациональной дробью, если m < n. Допустим, что
am = 1, bn = 1.
Известно, что любой действительный многочлен с целыми
показателями степени можно разложить на простые множители
типа (x − a) и x2 + px + q (a, p, q ∈ R). Поэтому будем считать,
что многочлен Q(x) разложен на следующие множители: Q(x) =
= (x − a)α . . . (x − b)β (x2 + px + q)δ . . . (x2 + rx + s)γ ,
причем трехчлены x2 + px + q, . . . , x2 + rx + s не имеют
действительных корней, т. е. p2 − 4q < 0, . . . , r2 − 4s < 0.
Числа α, . . . , β, δ, . . . , γ ∈ N. Заметим, что так как SQ = n,
то α + · · · + β + 2(δ + · · · + γ) = n.
x
Теорема. При сделанных предположениях для функции
f (x) = P (x)/Q(x) справедливо единственное представление
вида
A1
B1
P (x)
Aα
Bβ
=
+
·
·
·
+
+
+
·
·
·
+
+
·
·
·
+
Q(x) (x − a)α
x−a
(x − b)β
x−b
C1x+D1
Cδ x+Dδ
E1x+F1
Eγ x+Fγ
+
+
·
·
·
+
+
·
·
·
+
,
(x2+px+q)δ x2+px+q
(x2+rx+s)γ
x2+rx+s
(∗)
где
A1, . . . , Aα , . . . , B1, . . . , Bβ , C1, D1, . . . , Cδ , Dδ , . . . , E1,
F1, . . . , Eγ , Fγ ∈R. (Разложение единственно в том смысле, что
коэффициенты Ai, Bi, Ci, Di, Ei, Fi определяются единственным
образом).
Доказательство теоремы начнем с леммы.
Лемма. Пусть U (x) и V (x) – многочлены, однозначно
определяемые равенствами Q(x) = (x − a)α U (x), Q(x) = (x2 +
px + q)γ V (x).
Тогда имеют место представления:
+
P (x)
A1
R(x)
=
+
,
Q(x) (x − a)α (x − a)α−1U (x)
(1)
P (x)
C1x + D1
T (x)
= 2
+
,
Q(x) (x + px + q)γ (x2 + px + q)γ−1V (x)
(2)
107
T (x)
где S1(x) = (x−a)R(x)
α−1 U (x) , S2 (x) = (x2 +px+q)γ−1 V (x) – правильные
дроби.
Доказательство. Для доказательства (1) достаточно
подобрать число A1 и многочлен R(x) так, чтобы выполнялось
тождество
P (x) − A1U (x) = (x − a)R(x)
(3)
(в этом легко убедиться, приводя (1) к общему знаменателю).
Определим A1 так, чтобы левая часть (3) делилась на (x − a).
Для этого достаточно, чтобы ее значение при x = a было нулем.
Таким образом,
P (a)
,
A1 =
U (a)
что имеет смысл, так как U (a) 6= 0.
При указанном выборе A1 многочлен R(x) определяется
просто как частное:
R(x) =
1
(P (x) − A1U (x)).
x−a
При этом R(x) будет многочленом, так как a – корень
многочлена P (x)−A1U (x). Степень многочлена R(x) на единицу
меньше степени многочлена P (x), так что S1 – правильная
рациональная дробь. Равенство (1) доказано.
Для доказательства (2) достаточно числа C1 и D1 и
многочлен T (x) подобрать так, чтобы имело место тождество
P (x) − (C1x + D1)V (x) = (x2 + px + q)T (x)
(4)
(проверяется это приведением (2) к общему знаменателю).
Определим числа C1 и D1 так, чтобы на этот раз делилась
на x2 + px + q левая часть равенства (4). Пусть остатками от
деления P (x) и V (x) на этот трехчлен будут, соответственно,
a1x + b1 и cx + d. Тогда вопрос сведется к тому, чтобы на
x2 + px + q делилось выражение ax + b1 − (C1x + D1)(cx + d) =
= −cC1x2 + (a1 − dC1 − cD1)x + (b1 − dD1). Выполнив деление на
x2 +px+q, мы получим в остатке [(pc−d)C1 −cD1 +a1]x+[qcC1 −
dD1 + b1]. C1 и D1 нужно подобрать так, чтобы коэффициенты,
стоящие в квадратных скобках, равнялись нулю. Поэтому
для определения C1 и D1 имеем систему из двух линейных
108
уравнений:
(pc − d)C1 − cD1 + a1 = 0,
qcC1 − dD1 + b1 = 0
.
(5)
Определитель данной системы
pc − d, −c
2
2
=
d
−
pcd
+
qc
qc, −d
отличен от нуля. Действительно, при c 6= 0 его можно записать
в виде
" #
2
d
d
c2 −
+p −
+q ,
c
c
где выражение в квадратных скобках есть значение трехчлена
x2 + px + q в точке x = − dc и, следовательно, не может быть
нулем, ибо трехчлен этот не имеет вещественных корней; при
c = 0 определитель сводится к d2, а в этом случае d 6= 0, так как
многочлен V (x) на x2 + px + q не делится.
Многочлен T (x), после установления чисел C1 и D1,
определяется как частное:
T (x) =
1
[P (x) − (C1x + D1)V (x)],
x2 + px + q
причем T (x) будет действительно многочленом, так как числа
C1 и D1 подбираются так, что P (x) − (C1x + D1)V (x) делится
на x2 + px + q. Степень многочлена T (x) на две единицы меньше
степени многочлена P (x), поэтому S2(x) будет правильная
рациональная дробь.
Доказательство теоремы
сведется
к
повторному
применению предложений (1) и (2) из леммы, которые
позволяют последовательным понижением степени многочлена
Q(x) получить (∗).
Если множитель (x − a) входит в Q(x) в первой степени,
то в силу (1) ставим ему в соответствие единственную простую
A1
дробь вида x−a
.
Если же показатель степени (x − a) есть α > 1, то,
A1
выделив на основании (1) простую дробь (x−a)
α , мы к оставшейся
дроби снова применим (1) и выделим, таким образом, простую
109
A2
дробь (x−a)
α−1 . Описанный процесс продолжается до тех пор,
пока (x − a) не исчезнет из разложения. В итоге множителю
(x − a)α , α > 1, будет отвечать группа из α простых дробей
A1
Aα−1
Aα
+
.
.
.
+
.
+
x − a (x − a)2
(x − a)α
Такое же рассуждение мы поочередно применим и к
каждому из оставшихся ещё линейных множителей, пока
знаменатель не исчерпается или в его разложении останутся
одни лишь квадратичные множители.
Аналогичным образом, пользуясь (2) из леммы, мы
поставим в соответствие квадратичному множителю x2 + px + q
x+D1
, если он входит в первой
одну лишь простую дробь вида xC21+px+q
степени, и группу из γ простых дробей
C1x + D1
C2x + D2
Cγ x + Dγ
,
+
+
.
.
.
+
(x2 + px + q)γ (x2 + px + q)γ−1
x2 + px + q
если этот множитель входит с показателем степени γ > 1. То же
можно проделать и с прочими квадратичными множителями,
при условии, что они ещё имеются.
В результате всех операций мы получим разложение (∗)
правильной рациональной дроби на простые дроби.
Единственность представления (∗) следует из того,
что величины A1, . . . , Bβ определяются hоднозначно: iA1 =
P (x)
P (x)
A1
lim (x − a)α Q(x)
, A2 = lim (x − a)α−1 Q(x)
− (x−a)
и т.
α
x→a
x→a
д. Величины C1, . . . , Fδ также определяются однозначно.
Например, величины C1, D1 находятся как решение системы
уравнений (5), которая имеет единственное решение, так как ее
определитель отличен от нуля.
Замечание 1.
Для
определения
коэффициентов
C1 , . . . , F δ
на
практике
обычно
используют
метод неопределенных коэффициентов, суть которого в
следующем. Правая часть (∗) приводится к общему
знаменателю, которым, очевидно, будет Q(x). Приравнивая
числители, мы придем к равенству двух многочленов
тождественному относительно x:
P (x) = Mn−1xn−1 + Mn−2xn−2 + . . . + M1x + M0,
110
где Mi – линейные однородные многочлены относительно
n коэффициентов Ai, . . . , Bj , . . . , Ci, . . . , Dj , . . . , Ei, . . . , Fj .
Приравнивая Mi соответствующим численным коэффициентам
многочлена P (x), мы получим систему из n линейных
уравнений, решая которые мы определим коэффициенты
C1 , . . . , F δ .
Пример.
P (x)
2x2 + 2x + 13
=
.
Q(x) (x − 2)(x2 + 1)2
2x2 + 2x + 13
A
Bx + C
Dx + E
=
=
+
+
(x − 2)(x2 + 1)2 x − 2
x2 + 1
(x2 + 1)2
=
Ax4 +2Ax2 +A−2Bx3 +Bx2 −2C−2Cx2 +Cx+Bx4 −2Bx+Cx3 +Dx2 +Ex−2Dx−2E
.
(x−2)(x2 −1)2
Приравнивая коэффициенты при
степенях x, получим систему уравнений

A+B =0




−2B + C = 0
2A + B − 2C + D = 2



C − 2B + E − 2D = 2


A − 2C − 2E = 13
соответствующих
Решая
данную
систему,
определим
A=1, B=−1, C=−2, D=−3, E=−4. Таким образом,
1
2+x
3x + 4
2x2 + 2x + 13
=
−
−
.
(x − 2)(x2 + 1)2 x − 2 x2 + 1 (x2 + 1)2
Замечание 2.
Если
рациональная
дробь
будет
P (x)
неправильной, т. е. sp ≥ sQ, то сначала дробь Q(x)
приводят к
виду P0(x) +
P1 (x)
Q(x) ,
где P0(x) – многочлен, а
P1 (x)
Q(x)
– правильная
1 (x)
рациональная дробь, а затем уже производят разложение PQ(x)
на простые дроби.
R P (x)
Рассмотрим неопределенный интеграл
=
Q(x) dx
R
R 1 (x)
R
P0(x)dx + PQ(x)
dx. P0(x)dx легко вычисляется, так как
распадается на сумму интегралов от степенной функции;
111
P1 (x)
Q(x) dx,
после применения выше доказанной теоремы,
превращается в сумму интегралов от простых дробей,
которые мы знаем как вычислить (см. примеры вычисления
неопределенных интегралов из § 6.2)
Таким образом, мы умеем вычислять интегралы от
рациональных дробей.
Определение. Рациональной функцией от x будем называть
функцию, которая получается в результате применения к
x конечного числа арифметических операций: умножение,
вычитание, сложение, деление.
Примеры:
1. Любой многочлен P (x) есть рациональная функция от x.
P (x)
2. f (x) = Q(x)
, где P (x), Q(x) – многочлены, есть рациональная
функция от x.
Так как любая рациональная функция от x имеет вид
многочлена от x или легко приводится к виду P (x)/Q(x), где
P (x), Q(x) – некоторые многочлены, то нам известно, как
вычисляются интегралы от рациональных функций. x
R
§ 6.4 ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ
ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ И
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Интегрирование алгебраических иррациональностей.
Рациональная функция от x, u, v, . . . , w получается
в результате применения к x, u, v, . . . , w арифметических
операций (сложения, вычитания, умножения и деления),
взятых в конечном числе. Пусть R(x, u, v, . . . , w) – обозначение
рациональной функции от x, u, v, . . . , w. Рассмотрим интеграл
λ
µ !
Z
ax + b
ax + b
R(x,
,...,
dx,
(1)
cx + d
cx + d
где λ, . . . , µ ∈ Q и имеют наименьший общий знаменатель m :
λ= mp , . . . , µ= mq . В интеграле (1) сделаем подстановку tm= ax+b
cx+d :
m
dt −b
x = a−t
= ϕ(t) – рациональная функция от t; ϕ0(t) –
mc
112
производная от ϕ(t) – есть, очевидно, рациональная функция
от t. После чего интеграл (1) сводится к интегралу:
Z
Z
R(ϕ(t), tp, . . . , tq )ϕ0(t)dt = R1(t)dt,
где R1(t) – рациональная функция от t (p, . . . , q – целые числа).
x 2.
Подстановки Эйлера.
Рассмотрим интеграл вида
Z
√
(2)
R(x, cx2 + bx + a)dx.
Предполагаем, что трехчлен cx2 + bx + a не имеет разных
корней, так что корень из него не может быть заменен
рациональным выражением. Мы изучим три подстановки,
называемые подстановками Эйлера, с помощью которых можно
всегда достичь рационализации подинтегрального выражения.
I подстановка приложима в случае, когда c > 0.
√
√
2
cx + bx + a = t − cx
√
√
2
(можно было бы положить) cx + bx + a = t + cx.
После возведения в квадрат этого равенства, получим
t2 − a
= ϕ1(t),
bx + a = t − 2 ctx. ⇒ x = √
2 ct + b
√
√
cx2 + bx + a = t − cx = ϕ2(t), dx = ϕ01(t)dx,
где
ϕ1(t), ϕ2(t), ϕ01(t)
– R рациональные
функции
√
отR t.
Таким
образом,
R(x, cx2 + bx + a)dx
=
R
= R(ϕ1(t), ϕ2(t))ϕ01(t)dt= R2(t)dt, где R2(t) – рациональная
функция от t.
II подстановка приложима в случае, когда a > 0.
√
√
2
cx + bx + a = xt + a
√
√
(можно было бы положить и) cx2 + bx + a = xt − a.
Возведем равенство в квадрат, уничтожим a в обеих частях и
сократим x. Получим
√
2
cx + b = xt + 2 at.
2
√
113
√
√
2 at−b
c−t2
√
Отсюда следует x =
= ϕ3(t), cx2 + bx + a = xt + a =
= ϕ4(t), dx = ϕ03(t)dt, где ϕ3(t), ϕ4(t), ϕ03(t) – рациональные
функции от t. После подстановки полученных выражений в
интеграл (2) мы получим рационализацию подинтегрального
выражения.
III подстановка пригодна в случае, когда cx2 + bx + a =
= c(x − λ)(x − µ).
√
cx2 + bx + a = t(x − λ).
Возведя в квадрат и сокращая на x − λ, получим уравнение
первой степени относительно x:
c(x − µ) = t2(x − λ).
Отсюда следует
√
−cµ + λt2
c(λ − µ)t
2 + bx + a =
=
ϕ
(t),
= ϕ6(t),
x=
cx
5
t2 − c
t2 − c
dx = ϕ05(t), где ϕ5(t), ϕ6(t), ϕ05(t) – рациональные функции от t.
После подстановки полученных выражений в интеграл (2)
мы получим интеграл от рациональной функции.
Замечание 1. Подстановок Эйлера I и III одних
достаточно для того, чтобы осуществить рационализацию
подинтегрального выражения в (2) во всех возможных случаях.
Доказательство. Если cx2 + bx + a имеет действительные
корни, то приложима подстановка III. Если же действительных
корней нет, т. е. b2 − 4ac < 0, то трехчлен
1
[(2cx + b)2 + (4ac − b2)]
4c
при любых x имеет
знак c. Случай c < 0 нас не интересует,
√
так как тогда cx2 + bx + a вовсе не имел бы действительных
значений. В случае же c > 0 применима подстановка I.
Замечание 2. Случаи подстановок I и II (c > 0, a > 0)
приводятся один к другому подстановкой x = z1 . Поэтому всегда
можно избегать применения подстановки II.
cx2 + bx + a =
114
Доказательство. Пусть c > 0. Тогда cx2 + bx + a = c( z1 )2 +
2
b · z1 + a = c+bz+az
.⇒
z2
!
√
Z
Z
2
√
c
+
bz
+
az
1
1
,
· − 2 dz =
R(x, cx2 + bx + a)dx = R
z
z2
z
Z
√
= R3(z, c + bz + az 2)dz.
Так как c > 0, то мы попали в случай применения подстановки
II. x
3. Биноминальные дифференциалы.
Рассмотрим интеграл
Z
xm(a + bxn)pdx,
(3)
где a, b ∈ R(a, b 6= 0), m, n, p ∈ Q. Подинтегральное выражение
xm(a + bxn)p называется биноминальным дифференциалом.
Сделаем замену (подстановку): xn = t. x = t1/n, dx =
1 ( n1 )−1
dt, поэтому интеграл (3) приводится к виду
nt
Z
Z
1
m 1
m
1
1
−1
t n (a + bt)pt( n ) dt =
t( n + n −1)(a + bt)pdt.
n
n
Если положить
вида
m+1
n
− 1 = q, то вопрос сводится к интегралу
Z
tq (a + bt)pdt.
(4)
Утверждение. Интеграл (4) всегда берется в элементарных
функциях, если одно из чисел p, q, p + q – целое (положительно,
нуль или отрицательно).
Доказательство.
1. p – целое число. Тогда
Z
Z
tq (a + bt)pdt = R(t, tq )dt,
(5)
115
где R(t, tq ) – некоторая рациональная функция от t и tq .
2. q – целое число. Тогда
Z
Z
tq (a + bt)pdt = R(t, (a + bt)p)dt,
(6)
где R(t, (a + bt)p) – некоторая рациональная функция от t и
(a + bt)p.
3. p + q – целое число. Тогда
p
p
Z
Z
Z
a
+
bt
a
+
bt
tq (a + bt)pdt = tp+q
dt = R(t,
)dt,
t
t
(7)
a+bt p
где R(t, t ) – некоторая рациональная функция от t и
a+bt p
.
t
Все интегралы (5) – (7) имеют вид интегралов (1) (см.
интегрирование алгебраических иррациональностей), каждый
из которых приводится к интегралу от рациональной функции с
помощью соответствующих подстановок. Допустим m = Nλ , n =
µ
i
m−n+1
= λ−µ+N
.
N , p = j , где λ, µ, N, i, j – целые числа. ⇒ q =
n
µ

Инетеграл (5): применяем подстановку uµ = t.



i
Инетеграл (6): применяем подстановку u = a + bt.
(8)

a + bt 
.
Инетеграл (7): применяем подстановку ui =
t
Замечание. Подстановку xn = t к интегралу (3)
и соответствующие подстановки (8) можно объединить и
получить подстановки, приводящие интеграл (3) сразу к
интегралу от рациональной функции.
1 сл. (p – целое). x = t1/n, uµ = t. ⇒ x = uµ/n = uN . Получим
подстановку: x = uN , где N – наименьший общий знаменатель
чисел m и n.
2 сл. (q – целое). x = t1/n, ui = a + bt. ⇒ ui = a + bxn, где i –
знаменатель числа p.
i
−n
3 сл. (p – целое). x = t1/n, ui = a+bt
+ b, где i –
t . ⇒ u = ax
знаменатель числа p.
116
Пример.
R
3
√x dx
x−1
=
R
x3(x − 1)−1/2dx, m = 3, n = 1, p =
− 12 .
= 3. ⇒ Мы имеем 2-й случай. Применяем
q = m−n+1
n
R x3
R 2
2
√
подстановку u = x − 1. Получим
dx =
(u +
x−1
R
1)3u−12udu = 2 (u2 + 1)3du – интеграл от рациональной
функции R(u) = (u2 + 1)3.
x 4. Интегрирование некоторых тригонометрических
функций.
Рассмотрим интеграл
Z
R(sin x, cos x)dx
(9)
где R(u, v) – рациональная функция от u и v. Такие интегралы
могут быть рационализированы подстановкой: t = tg x2 , x ∈
(−π, π). Действительно,
2 tg x2
1 − tg2 x2
2t
1 − t2
sin x =
=
, cos x =
=
,
1 + tg2 x2
1 + t2
1 + tg2 x2
1 + t2
2dt
x = 2 arctg t. ⇒ dx = 1+t
2 . Таким образом,
Z
Z
Z
2t 1 − t2
2
R(sin x, cos x)dx = R
,
dt = R4(t)dt,
1 + t2 1 + t2 1 + t2
где R4(t) – рациональная функция от t.
Приведенная подстановка является универсальной, но она
приводит иной раз к сложным выкладкам. Существуют случаи,
когда цель может быть достигнута с помощью более простых
подстановок.
Предварительно
сделаем
несколько
элементарных
замечаний из алгебры:
1. Если R(−u, v) = R(u, v), то R(u, v) = R1(u2, v), где R1(u2, v)
содержит лишь четные степени u.
2. Если R(−u, v) = −R(u, v), то R(u, v) = R2(u2, v) · u, где
R2 – рациональная функция от u2 и v. Первое замечание
очевидно. Докажем второе замечание. Рассмотрим функцию
R3(u, v) = R(u,v)
u , где R(−u, v) = −R(u, v). ⇒ R3 (−u, v) =
117
= R2(u2, v). ⇒
R3(u, v). Тогда R3(u, v) = R2(u2, v). ⇒ R(u,v)
u
R(u, v) = R2(u2, v) · u. Замечание доказано.
Рассмотрим три частных случая.
1. (R(−u, v) = −R(u, v)). В этом случае R(sin x, cos x)dx =
R2(sin2 x, cos x) · sin xdx = −R2(1 − cos2 x, cos x)d cos x, и
рационализация достигается подстановкой t = cos x
2. (R(u, −v) = −R(u, v)). В этом случае R(sin x, cos x)dx =
R2∗(sin x, cos x) · cos xdx = R2∗(sin x, 1 − sin2 x)d sin x, и
рационализация достигается подстановкой t = sin x
3. (R(−u, −v) = R(u, v)). R(u, v) = R( uv · v, v) = R∗( uv , v). ⇒
∗ u
∗ u
∗ u
R(−u, −v) = R∗( −u
,
−v)
=
R
(
,
−v)
=
R
(
,
v).
⇒
R
( v , v) =
−v
v
v
sin x
∗
2
R1∗( uv , v 2). ⇒ R(sin x, cos x) = R∗( cos
x , cos x) = R1 (tg x, cos x) =
1
R1∗(tg x, 1+tg
2 ), т. е. R(sin x, cos x) = R̃(tg x). ⇒ Рационализация
x
π
достигается подстановкой t = tg x, x ∈ ( −π
,
2 2 ), так как
1
R̃(tg x)dx = R̃(t) 1+t
2 dt.
5. Интегрирование выражений sinν x cosµ x(ν, µ ∈ Q,
x ∈ (0; π2 )).
Применим подстановку z = sin2 x. Тогда dz = 2 sin x cos xdx
µ−1
и sinν x cosµ xdx = 12 sinν−1 x · (1 − sin2 x) 2 2 sin x cos xdx =
µ−1 ν−1
1
2 z 2 dz. Таким образом, все сводится к интегрированию
(1−z)
2
биноминального дифференциала (см.
3 данного параграфа).
R п.
m
Нам известно, что интеграл z (1 − z)pdz (здесь m =
µ−1
ν−1
2 , p = 2 ) берется в элементарных функциях, если:
µ−1
1.) m = ν−1
(или
p
=
2
2 ) есть целое число, т. е. если ν (или µ)
есть нечетное целое число.
2.) p + q = µ+ν−2
(в настоящем случае q = m = ν−1
2
2 ) – целое
число, т. е. µ + ν есть четное целое число.
Замечание. Если ν и µ – целые числа, то выражение
ν
sin x cosµ x рационально относительно sin x и cos x, т. е.
принадлежит классу R(sin x, cos x), уже нами рассмотренному.
x
118
ИНТЕГРАЛ РИМАНА.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Глава 7
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 7.1 Определение интеграла Римана. Необходимое условие
интегрируемости функции по Риману.
§ 7.2 Верхние и нижние интегральные суммы.
§ 7.3 Необходимое и достаточное условие интегрируемости
функции по Риману.
§ 7.4 Некоторые классы интегрируемых функций.
§ 7.5 Основные свойства интеграла Римана.
§ 7.6 Свойства интеграла Римана, в которых фигурируют
неравенства.
§ 7.7 Интеграл как функция верхнего предела.
§ 7.8 Формула Ньютона-Лейбница.
§ 7.9 Общие приемы интегрирования.
§ 7.10 Некоторые приложения интеграла Римана.
§ 7.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА
РИМАНА. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ
ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ПО
РИМАНУ
Определение площади криволинейной трапеции.
Пусть на [a, b] задана неотрицательная непрерывная
функция f (x). Перед нами стоит задача: разумно определить
понятие площади фигуры, ограниченной кривой y = f (x), осью
x, прямыми x = a, x = b, и вычислить эту площадь. Эту
задачу естественно решать следующим образом. Разобьем [a, b]
на n частей точками a = x0 < x1 < . . . < xn = b, выберем
на каждом отрезке [xi, xi+1], i = 0, . . . , n − 1, по произвольной
точке ξi ∈ [xi, xi+1] и составим сумму
Sn =
n−1
X
f (ξi)∆xi, где ∆xi = xi+1 − xi :
i=0
119
y6
y = f (x)
0
a=x0 ξ0 x1 ξ1 x2
x
-
...
xn−2 xn=b
Сумма Sn называется интегральной суммой. Sn, очевидно,
равна сумме площадей заштрихованных прямоугольников (см.
рис.). Устремим все ∆xi к нулю так, чтобы максимальный
(самый большой) отрезок разбиения стремился к нулю.
Если при этом величина Sn стремится к определенному
пределу S, не зависящему от способов разбиения и
выбора точек ξi, то естественно величину S назвать
площадью нашей криволинейной трапеции. Таким образом,
S=
lim
n−1
X
max ∆xi →0
f (ξi)∆xi.
i=0
Определение интеграла Римана.
Пусть a = x0 < x1 < . . . < xn = b.
В этом случае будем говорить: "Система отрезков
∆
=
{[x0, x1], [x1, x2], . . . , [xn−1, xn]}
называется
разбиением отрезка [a, b]" (краткая запись этого факта):
∆ = ∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b).
Величина d(∆)
=
max (xi − xi−1) называется
1≤i≤n
диаметром разбиения ∆.
Интегральной суммой Римана функции f : [a, b] → R
относительно разбиения ∆ называется сумма
S∆ = S∆(f ) =
n
X
f (ξi)(xi − xi−1),
i=1
где ξi ∈ [xi−1, xi].
Определение 1. Функция f : [a, b] → R называется
интегрируемой по Риману, если для любой последовательности
120
(k)
(k)
разбиений ∆k (a = x0 < x1
d(∆k ) → 0, существует предел
α = lim
k→∞
(k)
nk
X
(k)
< . . . < xnk = b) такой, что
(k)
(k)
(k)
(k)
(k)
f (ξi )(xi − xi−1)
i=1
при любом выборе ξi
∈ [xi−1, xi ]. Число α называется
интегралом Римана функции f по отрезку [a, b] и обозначается
Rb
f (x)dx.
a
Замечание. Число α в определении 1 не зависит от выбора
последовательности разбиений (∆k ).
Пусть
f
интегрируема
и
Доказательство.
0
–
две
последовательности
разбиений
(∆k ),
(∆k )
0
→
0.
отрезка [a, b] такие, что d(∆k ) → 0, d(∆k )
00
Образуем новую последовательность разбиений ∆k
=
0
0
00
= (∆1, ∆1, ∆2, ∆2, . . .). Очевидно, что d(∆k ) → 0. Тогда,
так как f интегрируема, должен существовать предел
последовательности интегральных сумм
(S∆00k ) = (S∆1 , S∆01 , S∆2 , S∆02 , . . .).
Но последовательности (S∆k ) и (S∆0k ) являются подпоследовательностями данной (сходящейся) последовательности,
поэтому lim S∆k = lim S∆0k , что доказывает справедливость
k→∞
k→∞
замечания.
Дадим ещё одно определение интегрируемой функции.
Определение 2. Функция f : [a, b] → R называется
Rb
интегрируемой по Риману и α = f (x)dx, если ∀ε > 0 ∃ δ >
a
0 ∀∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b)(d(∆) < δ ⇒ |S∆ − α| < ε) при
любых ξi ∈ [xi−1, xi].
Утверждение. Определения 1 и 2 – эквивалентны.
Доказательство. Докажем, что если f – интегрируема в
смысле определения 2, то она интегрируема по определению
1. Пусть (∆k ) – произвольная последовательность разбиений
отрезка [a, b] такая, что d(∆k ) → 0. ⇒ Существует N ∈
N такое, что ∀ k > N : d(∆k ) < δ, где δ > 0 – произвольное
121
число. По определению 2: ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀∆(d(∆) < δ
⇒ |S∆ − α| < ε). Мы имеем d(∆k ) < δ, поэтому
|S∆k − α| < ε для ∀ε > 0 и ∀k > N . Последнее
означает, что lim S∆k = α. Так как последовательность
k
разбиений ∆k – произвольная и все сказанное выше выполняется
(k)
(k)
(k)
при любых ξi
∈ [xi−1, xi ], то выполняются условия
определения 1, т. е. f интегрируема согласно определению 1.
Доказательство того, что из интегрируемости f по определению
1 следует интегрируемость f по определению 2, будем вести от
противного. Допустим, что f интегрируема по определению 1,
но не интегрируема в смысле определения 2, т. е.
∀α ∃ε > 0 ∀ δ > 0 ∃∆(d(∆) < δ, |S∆ − α| ≥ ε).
(∗)
Выберем последовательность чисел δk → 0. Тогда из (∗) следует:
∃ последовательность разбиений (∆k ) такая, что d(∆k ) < δk
и |S∆k − α| ≥ ε при ∀ числе α. Мы получили, что из
d(∆k ) → 0 не следует существование lim S∆k , что противоречит
k
предположению интегрируемости f согласно определению 1.
Таким образом, из определения 2 следует определение 1.
Примеры:
1. f (x) = λ, x ∈ [a, b]. Функция f будет интегрируема на [a, b]
Rb
и λdx = λ(b − a), так как для любого разбиения ∆(a = x0 <
a
x1 < . . . < xn = b) : S∆ =
n−1
P
λ(xi − xi−1) = λ(b − a).
i=1
2. Пусть на [a, b] фиксировано конечное число точек c1, . . . , cm.
Тогда функция
λi, если x = ci,
f (x) =
0,
если x 6= ci,
интегрируема на [a, b] и
Rb
f (x)dx = 0.
a
K
Доказательство. Используем определение 2. Положим
= max |λj | и пусть ε > 0 – произвольное число.
k
Выберем δ
=
ε/2mK. Тогда, если разбиение ∆ такое,
122
что d(∆)
<
δ, то |S∆|
=
n
P
f (ξj )(xj − xj−1)
≤
j=1
≤
n
P
j=1
ε
|f (ξj )|(xj − xj−1) < 2mK 2mK
= ε (здесь мы учли,
что сумма содержит не более 2m членов, отличных от нуля).
Rb
Согласно определению 2, это означает, что f (x)dx = 0.
a
Необходимое условие интегрируемости функции по Риману.
Теорема (∗). Если функция f : [a, b] → R интегрируема на
[a, b], то она ограничена на [a, b].
Доказательство. Пусть, напротив, f не ограничена. Тогда
для произвольного разбиения ∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b) f
не ограничена на некотором отрезке [xi0−1, xi0 ]. Пусть N > 0 –
сколь угодно велико. Выберем ξi ∈ [xi−1, xi] произвольным для
i 6= i0, а затем выберем ξi0 так, что
X
N
1
|f (ξi0 )| >
+
f (ξi)(xi − xi−1) ·
.
xi0 − xi0−1
x
−
x
i
i
−1
0
0
i6=i
0
P
Тогда |S∆| = |f (ξi0 )(xi0 − xi0−1) +
f (ξi)(xi − xi−1)| ≥
i6=i0
P
|f (ξi0 )|(xi0 − xi0−1) − |
f (ξi)(xi − xi−1)| > N . Таким образом,
i6=i0
f не интегрируема на [a, b], так как lim S∆k не имеет конечного
k
значения.
Сообразуясь с теоремой (∗), мы будем рассматривать лишь
ограниченные на отрезке [a, b] функции. Возникает естественный вопрос: всякая ли ограниченная на отрезке [a, b] функция
является интегрируемой на этом отрезке? Следующий пример
показывает, что это, вообще говоря, не так. Рассмотрим
функцию Дирихле
T
1, если x ∈ [a, b] Q,
ψ(x) =
0, если x ∈ [a, b]\Q.
Для любого разбиения ∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b) со сколь
123
угодно малым d(∆) при ξi ∈ Q имеем
S∆ =
n
X
f (ξi)(xi − xi−1) =
n
X
(xi − xi−1) = b − a.
i=1
i=1
Если же ξi выбрать иррациональными, то для того же разбиения
∆, получим S∆ = 0. Таким образом, для функции Дирихле
не существует предела интегральных сумм, не зависящего от
выбора точек ξi, т. е. эта функция не интегрируема.
В дальнейшем мы докажем интегрируемость всех
непрерывных на [a, b] функций и интегрируемость широкого
класса разрывных функций.
§ 7.2 ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СУММЫ
Пусть f : [a, b] → R ограничена на [a, b], ∆ – разбиение
[a, b] точками a = x0 < x1 < . . . < xn = b,
Mi =
sup
f (x), mi =
x∈[xi−1 ,xi ]
inf
f (x).
x∈[xi−1 ,xi ]
Определение 1. Суммы
∗
∗
S∆ = S∆(f ) =
n
X
Mi(xi − xi−1), S∆ = S∆(f ) =
∗
i=1
∗
n
X
mi(xi − xi−1)
i=1
называются соответственно верхней и нижней (интегральными)
суммами функции f для данного разбиения ∆ отрезка [a, b].
∗
Очевидно, что S∆ ≤ S∆ ≤ S∆.
∗
Докажем следующие свойства верхних и нижних
интегральных сумм:
10.
Для
любого
фиксированного
разбиения
∆(a=x0<x1< . . . <xn=b) и для любого ε > 0 промежуточные
точки ξi на отрезках [xi−1, xi] можно выбрать так, что
интегральная сумма S∆ будет удовлетворять неравенствам
∗
0 ≤ S∆ − S∆ < ε. Точки ξi можно выбрать также и таким
образом, что интегральная сумма будет удовлетворять
неравенствам 0 ≤ S∆ − S∆ < ε.
∗
124
Доказательство. Пусть ∆ – некоторое разбиение отрезка
[a, b] и ε > 0. Докажем, что существуют точки ξi ∈ [xi−1, xi]
n
∗
P
f (ξi)(xi − xi−1)).
такие, что 0 ≤ S∆ − S∆ < ε (здесь S∆ =
i=1
По определению Mi при данном ε > 0 на [xi−1, xi] существует
ξi ∈ [xi−1, xi] такая, что
0 ≤ Mi − f (ξi) < ε/(b − a), i = 1, 2, . . . , n.
Умножая эти неравенства на ∆xi = xi −xi−1 и затем складывая,
получим
∗
0 ≤ S∆ − S∆ < ε.
Аналогично доказываются неравенства 0 ≤ S∆ − S∆ < ε.
∗
x 20 .
Если разбиение ∆0 отрезка [a, b] получено
путем
добавления новых точек к точкам разбиения ∆ этого отрезка,
∗
∗
0
0
то S∆ ≤ S∆ , S∆ ≤ S∆, т. е. нижняя сумма не убывает, а верхняя
∗
∗
– не возрастает при увеличении числа точек разбиения отрезка
[a, b].
Доказательство. Очевидно, что данное свойство достаточно
доказать для случая, когда к разбиению ∆ добавляется
одна точка. Пусть эта точка x0 ∈ [xi−1, xi] и пусть
sup f (x), Mi00 = sup f (x), ∆x0i = x0 − xi−1,
Mi0 =
x∈[xi−1 ,x0 ]
∗
0
xi − x , S∆0
x∈[x0 ,xi ]
∆x00i =
– верхняя интегральная сумма по разбиению
0
∆ , полученному добавлением к точкам разбиения ∆ точки
x0. Заметим, что ∆xi = ∆x0i + ∆x00i , Mi ≥ Mi0, Mi ≥ Mi00
∗
∗
и, что суммы S∆, S∆0 отличаются лишь слагаемыми Mi∆xi и
Mi0∆x0i + Mi00∆x00i . Учитывая все сказанное, получим
∗
∗
0
0
00
00
0
0
S∆ − S∆0 = Mi∆xi − (Mi ∆xi + Mi ∆xi ) = (Mi − Mi )∆xi+
+(Mi − Mi00)∆x00i ≥ 0,
∗
∗
т. е. S∆0 ≤ S∆. Аналогично доказывается свойство и для нижних
интегральных
сумм.
30. Пусть ∆0 и ∆00 – любые два разбиения отрезка [a, b].
Тогда
∗
∗
S∆0 ≤ S∆00 , S∆00 ≤ S∆0 ,
∗
∗
125
т. е. нижняя сумма одного из этих разбиений не превосходит
верхнюю сумму другого.
Доказательство. Очевидно, что для разбиения ∆ верно:
∗
S∆ ≤ S∆. Пусть ∆ – разбиение [a, b], полученное объединением
∗
разбиений ∆0 и ∆00. Разбиение ∆ получено из разбиения ∆0
добавлением к нему точек разбиения ∆00, поэтому по свойству
20 имеем
∗
∗
S∆0 ≤ S∆ ≤ S∆ ≤ S∆0 .
∗
∗
В то же время разбиение ∆ может быть получено из разбиения
∆00 добавлением к нему точек разбиения ∆0. Поэтому
∗
∗
S∆00 ≤ S∆ ≤ S∆ ≤ S∆00 .
∗
∗
Из полученных неравенств следует, что
∗
∗
S
∆0
∗∗
≤ S∆00 , S∆00 ≤ S∆0 .
∗
4 . Множество {S∆} верхних сумм данной функции f (x)
для всевозможных разбиений отрезка [a, b] ограничено снизу.
Множество {S∆} нижних сумм ограничено сверху.
0
∗
Доказательство. Из свойства 30 следует, что любая
верхняя интегральная сумма ограничена снизу некоторой
фиксированной нижней интегральной суммой. Любая
нижняя интегральная сумма ограничена сверху некоторой
фиксированной верхней интегральной суммой.
50. Пусть разбиение ∆0 отрезка [a, b] получено из разбиения
∆ добавлением к последнему p новых точек. Тогда для
∗
∗
разностей S∆ − S∆0 и S∆0 − S∆ может быть получена оценка
∗
∗
∗
∗
S∆ − S∆0 ≤ (M − m)pd(∆), S∆0 − S∆ ≤ (M − m)pd(∆),
∗
∗
где d(∆) = max(xi − xi−1), M = sup f (x), m = inf f (x).
i
x∈[a,b]
x∈[a,b]
Доказательство. Очевидно, что это свойство достаточно
доказать для случая, когда к разбиению ∆ добавляется одна
точка x0. Как и при доказательстве свойства 20, имеем
126
∗
∗
S∆ − S∆0 = (Mi − Mi0)∆x0i + (Mi − Mi00)∆x00i . Далее m ≤ Mi0 ≤
Mi ≤ M и m ≤ Mi00 ≤ Mi ≤ M , поэтому Mi − Mi0 ≤ M − m и
Mi − Mi00
∗
∗
≤ M − m. ⇒ S∆ − S∆0 ≤ (M − m)(∆x0i + ∆x00i ) = (M −
∗
∗
m)∆xi. ∆xi ≤ d(∆), поэтому S∆ − S∆0 ≤ (M − m)d(∆). Таким
образом, мы доказали неравенство для верхних интегральных
сумм при p = 1. Неравенство для нижних интегральных сумм
доказывается аналогично. x
∗
0
По свойству 4 множества {S∆} и {S∆} ограничены
∗
соответственно снизу и сверху, поэтому существуют
∗
inf {S∆}, sup{S∆}.
∆
∆
∗
∗
Определение 2. Числа I = inf {S∆}, I = sup{S∆}
∆
∆ ∗
называются соответственно верхним и нижним интегралами
Дарбу от функции f (x).
Замечание. I ≤ I.
Доказательство. Пусть I > I. Тогда I − I = ε > 0. Из
определения точных граней I и I вытекает, что существуют
∗
числа S∆0 , S∆00 , представляющие собой соответственно верхнюю
∗
и нижнюю суммы некоторых разбиений ∆0 и ∆00 отрезка [a, b],
∗
такие, что I + 2ε > S∆0 и I − 2ε < S∆00 . Вычитая второе неравенство
∗
∗
из первого и учитывая, что I − I = −ε, получим S∆00 > S∆0 . Но
∗
это последнее неравенство противоречит свойству 30 верхних и
нижних сумм. Таким образом, I ≤ I.
Лемма Дарбу. I и I от функции f (x) по отрезку [a, b]
являются соответственно пределами верхних и нижних сумм
при d(∆) → 0.
Доказательство. Докажем, например, что
∗
lim S∆ = I.
d(∆)→0
Заметим, что если f (x) = c = const, то лемма очевидна, так как
∗
в этом случае M = m и, следовательно, S∆ = I = I = S∆ при
∗
любом разбиении ∆. Учитывая это замечание, будем считать
127
∗
M > m. I = inf {S∆}, поэтому для любого данного ε > 0
∆
существует разбиение ∆0 отрезка [a, b] такое, что
ε
S∆0 − I < .
2
∗
(1)
Обозначим p число точек разбиения ∆0, лежащих строго
внутри [a, b]. Пусть ∆ – любое разбиение [a, b], удовлетворяющее
условию d(∆) < δ, где δ – положительное число, которое мы
∗
выберем позднее; S∆ – верхняя сумма разбиения ∆. Добавим
к точкам разбиения ∆ внутренние точки разбиения ∆0. В
∗
результате получим разбиение ∆00, верхняя сумма S∆00 которого
в силу свойства 50 и условия d(∆) < δ для ∆ удовлетворяет
неравенству
∗
∗
0 ≤ S∆ − S∆00 ≤ (M − m)pδ.
(2)
ε
, то из (2) получим
Если теперь δ будет равным 2(M −m)p
∗
∗
ε
0 ≤ S∆ − S∆00 < .
2
(3)
В то же время разбиение ∆00 получено добавлением к разбиению
∆0 внутренних точек разбиения ∆. Поэтому, в силу свойства 20,
∗
∗
I ≤ S∆00 ≤ S∆0 .
∗
∗
Отсюда следует, что 0 ≤ S −I ≤ S∆0 , т. е., согласно неравенству
(1),
∗
ε
0 ≤ S∆00 − I < .
2
Складывая это неравенство с неравенством (3), получим
∆00
∗
0 ≤ S∆ −I < ε.
(4)
Таким образом, мы установили, что для любого данного ε > 0
∗
существует δ > 0 такое, что если d(∆) < δ, то 0 ≤ S∆ −I < ε. Но
∗
это значит, что lim S∆ = I. Для нижних сумм доказательство
d(∆)→0
проводится аналогичным образом.
128
§ 7.3 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ
УСЛОВИЕ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ
Теорма. Для того, чтобы ограниченная на [a, b] функция
f (x) была интегрируемой на [a, b], необходимо и достаточно,
чтобы для любой ε > 0 существовало разбиение ∆ отрезка [a, b],
для которого
∗
S∆ − S∆ ≤ ε.
∗
Доказательство.
Необходимость.
Пусть
f (x)
Rb
=
f (x)dx. По
интегрируема на [a, b]. Обозначим I
a
определению 2 (см. § 7.1) для ∀ε
∀∆ = ∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b):
>
0 ∃ δ
>
0
d(∆) < δ ⇒ | S∆(ξi) − I| < ε/4,
при любых ξi ∈ [xi−1, xi] (1) (здесь S∆(ξi) =
n
P
(1)
f (ξi)(xi − xi−1) ).
i=1
Зафиксируем одно разбиение, для которого справедливо (1). По
свойству 10 для данного разбиения ∆ можно указать такие две
точки ξi0 и ξi00 на каждом частичном отрезке [xi−1, xi], что
∗
0
00
S∆ − S∆(ξi ) ≤ ε/4, S∆(ξi ) − S∆ ≤ ε/4.
(2)
∗
Отметим, что обе интегральные суммы S∆(ξi0), S∆(ξi00)
удовлетворяют неравенству (1). Запишем
∗
∗
0
0
00
00
S∆ − S∆ = (S∆ − S∆(ξi ))+(S∆(ξi )−I)+(I −S∆(ξi ))+(S∆(ξi )− S∆).
∗
∗
Отсюда и из неравенств (1), (2) вытекает, что
∗
S∆ − S∆ < ε.
∗
Достаточность. Для любого разбиения ∆ справедливы
∗
неравенства S∆ ≤ I ≤ I ≤ S∆, и для ∀ε > 0, согласно условию
∗
129
∗
теоремы, ∃ разбиение ∆ такое, что S∆ − S∆ ≤ ε. Поэтому
∗
0 ≤ I − I ≤ ε. В силу произвольности ε имеем I = I. Обозначим
Rb
I = I = I. Докажем, что I = f (x)dx. По лемме Дарбу имеем
a
∗
lim S∆ = I = lim S∆ .
d(∆)→0 ∗
d(∆)→0
Поэтому для ∀ε > 0 ∃ δ > 0 такое, что при d(∆) < δ
∗
справедливы неравенства I − S∆ < ε/2, S∆ −I < ε/2, т. е. при
∗
∗
d(∆) < δ, S∆ − S∆ < ε, причем
∗
∗
S∆ ≤ I ≤ S∆ .
(3)
∗
Для любого разбиения ∆ справедливы неравенства S∆ ≤
∗
∗
S∆(ξi) ≤ S∆, при любых ξi ∈ [xi−1, xi]. Поэтому из (3) следует,
что ∀ε > 0 ∃ δ > 0 такое, что при d(∆) < δ (| S∆(ξi) − I| < ε)
при ∀ξi ∈ [xi−1, xi]. Согласно определению 2 (интегрируемой
Rb
функции) это означает, что I = f (x)dx.
a
§ 7.4 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ
ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
Теорема 1. Если функция f (x) определена и ограничена
на [a, b] и если для любого ε > 0 существует конечное число
интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции и
имеющих общую сумму длин меньше ε, то f (x) интегрируема
на [a, b].
Доказательство. Напомним старые и введем новые
обозначения:
M = sup f (x), m = inf f (x), Mi =
x∈[a,b]
x∈[a,b]
mi =
inf
x∈[xi−1 ,xi ]
130
sup
x∈[xi−1 ,xi ]
f (x)
f (x),
(здесь [xi−1, xi] – частичные множества некоторого разбиения
отрезка [a, b]), ωi = Mi − mi – колебание функции f (x) на
[xi−1, xi]. Пусть Ω – множество точек разрыва функции f (x)
и пусть дано ε > 0. Покроем Ω конечным числом интервалов
(αi, βi), i = 1, . . . , l, имеющих общую сумму
l
X
(βi − αi) <
i=1
ε
2(M − m)
(покрытие Ω интервалами (αi, βi) означает Ω ⊂
l
S
(αi, βi). Будем
i=1
считать, что интервалы (αi, βi) попарно не пересекаются. Итак,
!
!
l
t
[
[ [
[a, b] =
(αi, βi)
[αi0 , βi0]
i=1
a=α10 . . .
i=1
αi
βi
αi+1
βi+1
0
βi−1
αi0
βi0
0
αi+1
b=βt0
...
Разобьем каждый отрезок [αi0 , βi0] так, чтобы
ωi функции f (x) на любом частичном отрезке
ε
было меньше 2(b−a)
. Объединяя частичные отрезки
отрезков [αi0 , βi0] и интервалы (αi, βi), мы получим
∆ = ∆(a = x0 < x1 < . . . < xn =
колебание
разбиения
разбиения
разбиение
b) всего
∗
отрезка [a, b]. Для этого разбиения слагаемые суммы S∆ − S∆ =
∗
P
P0
ωk (xk − xk−1) разделим на две группы –
ωk (xk − xk−1) и
k
k
P
00
ωk (xk −xk−1), причем в первую группу входят все слагаемые,
k
отвечающие частям разбиения ∆, образованным из интервалов
(αi, βi), покрывающих точки разрыва, а во вторую – остальные
слагаемые.
P
Для слагаемых первой группы ωi ≤ M − m и 0(xk −
l
P0
P
xk−1) =
(βi−αi)< 2(Mε−m) . Поэтому
ωk (xk −xk−1) ≤
P0 i=1
(M −m)ε
ε
(M −m) (xk −xk−1) < 2(M
−m) = 2 . Для слагаемых второй
P
P00
ε
ε
группы ωi < 2(b−a)
. Поэтому 00 ωk (xk − xk−1) < 2(b−a)
(xk −
131
ε(b−a)
2(b−a)
= 2ε . Таким образом,
X00
X
X0
∗
ωk (xk −xk−1)<ε.
ωk (xk −xk−1)= ωk (xk −xk−1)+
S∆− S∆ =
xk−1) ≤
∗
k
k
k
Следовательно, для функции f (x) выполнены достаточные
условия интегрируемости.
Замечание 1. Ограниченная на [a, b] функция f (x),
имеющая лишь конечное число точек разрыва, интегрируема
на [a, b]. Действительно, если p – число точек разрыва
функции f (x), то достаточно покрыть каждую точку разрыва
интервалом длины ε/2, где ε > 0, и мы получим, что все
точки разрыва функции f (x) покрываются конечным числом
интервалов, суммарная длина которых меньше ε. Возникает
вопрос. Существуют ли интегрируемые функции, имеющие
бесконечное число точек разрыва? Оказывается, что такие
функции есть. Например, функция f (x), определенная на [0, 1]

i
1
1
1,
если x ∈ 2n , 2n−1 , n = 1, 2, . . . ,
i
.
f (x) =
1
1
−1, если x ∈
,
, n = 1, 2, . . . , x = 0
2n+1 2n
Указанная функция имеет разрывы 1-го рода во всех точках
любое ε > 0. Покроем точку
xn = n1 , n = 2, 3, . . .. Фиксируем
x = 0 интервалом − 4ε , 4ε , внутри которого находится
бесконечное число, а вне - лишь конечное число p точек разрыва
функции
f (x). Каждую из точек, находящуюсяε вне интервала
ε ε
− 4 , 4 , покроем интервалом длины меньше 2p . Сумма длин
интервалов, покрывающих все точки разрыва функции f (x),
будет меньше 2ε + p · 2pε = ε. Следовательно, функция f (x)
интегрируема на [0, 1].
Замечание 2. Любая непрерывная функция f : [a, b] → R
интегрируема на [a, b].
Утверждение данного замечания является очевидным
следствием замечания 1.
Докажем теорему об интегрируемости монотонных
функций, заданных на [a, b] (функция называется монотонной
на [a, b], если она не убывает или не возрастает на [a, b]).
Теорема 2. Монотонная на отрезке [a, b] функция f (x)
интегрируема на [a, b].
132
Доказательство. Пусть f – не убывает на [a, b]; ε >
0. Разобьем [a, b] на равные части, длины которых меньше
ε/(f (b) − f (a)) (f (b) 6= f (a), так как в противном случае f =
const).
n
n
X
X
∗
ε
(Mi − mi),
(Mi − mi)∆xi <
S∆ − S∆ =
∗
f
(b)
−
f
(a)
i=1
i=1
но для неубывающих функций
n
P
(Mi − mi) ≤ f (b) − f (a).
i=1
∗
Поэтому S∆ − S∆ < ε. Следовательно, f интегрируема на [a, b].
Теорема 1∗ не дает ответа на вопрос о классе функций,
интегрируемых по Риману. Отвечает на этот вопрос следующая
теорема.
Теорема Лебега. Для того, чтобы функция f была
интегрируемой на отрезке [a, b], необходимо и достаточно, чтобы
она была ограниченной на [a, b] и непрерывной всюду на [a, b],
за исключением множества точек лебеговой меры нуль.
Доказательство этой теоремы слишком трудоемко, и мы его
не приводим.
По определению, множество E имеет лебегову меру
нуль, если при любом ε > 0 существует покрывающая E
счетная или конечная система интервалов, сумма длин которых
меньше ε. Например, конечное или счетное множество точек
имеет лебегову меру нуль. В самом деле, пусть точки множества
перенумерованы: x1, x2, . . .. Покроем каждую из них интервалом
так, чтобы длина интервала, покрывающего точку xn, была
меньше, чем ε · 2−n. Сумма длин этих интервалов будет меньше,
чем ε.
Заметим, что теорема 1 является частным случаем части
достаточности теоремы Лебега. Отличие состоит в том, что в
теореме Лебега допускается покрытие множества точек разрыва
не только конечным набором интервалов, но и счетным.
§ 7.5 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА
РИМАНА
10. Пусть функции f и g интегрируемы на [a, b], тогда на
[a, b] интегрируемы функции: f (x) ± g(x), f (x)g(x), λf (x), λ −
133
const, |f (x)|, f (x)/g(x), где |g(x)| ≥ d > 0. При этом
Rb
(f ±
a
g)dx =
Rb
f dx ±
Rb
a
gdx,
a
Rb
Rb
λf dx = λ f dx.
a
a
Доказательство.
Возьмем
произвольную
(k)
(k)
последовательность разбиений ∆k = ∆k (a = x0 < x1 <
(k)
. . . < xnk = b) такую, что d(∆k ) → 0 при k → ∞.
(k)
Функции f и g интегрируемы, поэтому при любых ξi ∈
(k)
(k)
[xi−1, xi ] существуют пределы
X
lim
d(∆k )→0
(k)
(k)
i
d(∆k )→0
f (x)dx,
a
X
lim
(k)
f (ξi )(xi − xi−1) =
Zb
(k)
(k)
(k)
g(ξi )(xi − xi−1) =
i
Zb
g(x)dx.
a
Из существования данных пределов следует существование
предела
X
X
(k)
(k)
(k)
(k)
(k)
(k)
lim
(f (ξi )±g(ξi ))(xi −xi−1)=lim
f (ξi )(xi −
d(∆k )→0
d(∆k )→0
i
(k)
−xi−1) ± lim
d(∆k )→0
(k)
ξi
X
(k)
(k)
(k)
g(ξi )(xi − xi−1) =
i
Zb
i
f (x)dx ±
a
Zb
g(x)dx,
a
(k)
(k)
[xi−1, xi ].
при любых
∈
Таким образом, функция f (x) ± g(x) интегрируема на [a, b],
и
Zb
Zb
Zb
(f (x) ± g(x))dx = f (x)dx ± g(x)dx.
a
a
a
Подобным образом
Zb
X
(k)
(k)
(k)
λf (ξi )(xi −xi−1)=
λf (x)dx= lim
d(∆k )→0
a
i
134
X
= λ lim
d(∆k )→0
(k)
(k)
(k)
f (ξi )(xi −xi−1) = λ
i
Zb
f (x)dx.
a
Пусть ∆ = ∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b) – произвольное
разбиение отрезка [a, b]. Введем обозначения:
Mfi =
f (x), mif =
sup
x∈[xi−1 ,xi ]
inf
x∈[xi−1 ,xi ]
f (x), Kf = sup |f (x)|.
x∈[a,b]
Для произвольных ξi, ηi ∈ [xi−1, xi] имеем
|f (ξi)| − |f (ηi)| ≤ |f (ξi) − f (ηi)| ≤ Mfi − mif ,
(1)
f (ξi)g(ξi) − f (ηi)g(ηi) = f (ξi)g(ξi) − f (ξi)g(ηi) + f (ξi)g(ηi)−
−f (ηi)g(ηi) ≤ |f (ξi)||g(ξi) − g(ηi)| + |g(ηi)||f (ξi) − f (ηi)| ≤
≤ Kf (Mgi − mig ) + Kg (Mfi − mif ).
(2)
1
g(ηi) − g(ξi)
1
1
(3)
−
=
≤ 2 (Mgi − mig ).
g(ξi) g(ηi)
g(ξi)g(ηi)
d
Возьмем sup левых частей неравенств (1) и (3) по ξi, ηi ∈
[xi−1, xi], умножим полученные числа на (xi − xi−1) и
просуммируем по i. В результате получим
X
X
i
i
(Mfi − mif )(xi − xi−1),
(4)
(M|f | − m|f |)(xi − xi−1) ≤
i
X
i
(M1/g
i
−
mi1/g )(xi
i
1 X i
− xi−1) ≤ 2
(Mg − mig )(xi − xi−1). (5)
d i
Вследствие интегрируемости f и g (см. § 7.3) правые части (4) и
(5) при надлежащем разбиении можно сделать меньшими ε, но
тогда и левые части можно сделать меньшими ε. ⇒ Функции
|f | и 1/g интегрируемы на [a, b].
Функции f и g интегрируемы на [a, b], поэтому существуют
разбиения ∆1 и ∆2 отрезка [a, b] такие, что
∗
∗
S∆1 (f ) − S∆1 (f ) < ε, S∆2 (g) − S∆2 (g) < ε.
∗
∗
Пусть ∆ = ∆1 + ∆2, т. е. разбиение ∆ отрезка [a, b] состоит
из множества точек, являющегося теоретико-множественной
135
суммой множества точек, из которых состоят ∆1 и ∆2 (∆ =
∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b)). Из свойства 20 нижних и
верхних сумм (см. § 7.2) следует, что
∗
∗
S∆(f ) − S∆(f ) < ε, S∆(g) − S∆(g) < ε.
∗
∗
Взяв sup левой части неравенств (2) по ξi, ηi ∈ [xi−1, xi], умножив
полученные числа на (xi − xi−1) и просуммировав по i, получим
X
X
i
i
(Mf g − mf g )(xi − xi−1) ≤ Kf
(Mgi − mig )(xi − xi−1)+
i
i
+Kg
X
(Mfi
−
mif )(xi
∗
− xi−1) = Kf (S∆(g) − S∆(g))+
∗
i
∗
+Kg (S∆(f ) − S∆(f )) < (Kf + Kg ) < ε.
∗
(6)
Таким образом, можно указать такое разбиение ∆, что левая
часть (6) может быть сделана как угодно малой, что показывает:
функция f (x) · g(x) интегрируема на [a, b].
Нетрудно показать теперь интегрируемость частного
функцией f (x)/g(x). Действительно, если f (x) и g(x)
интегрируемы на [a, b] и |g(x)| ≥ d > 0, то, по доказанному
выше, интегрируема на [a, b] функция 1/g(x), а следовательно,
1
= f (x)/g(x) также интегрируема на [a, b].
функция f (x) · g(x)
Замечания:
1. Из интегрируемости |f (x)| не следует интегрируемость f (x).
Например, рассмотрим функцию
T
1,
если x ∈ Q [a, b],
f (x) =
−1, если x ∈ [a, b]\Q.
136
|f (x)| – интегрируема на [a, b], так как |f (x)| ≡ 1 на [a, b], в
то время, как f (x) не интегрируема на [a, b] (см. пример с
функцией Дирихле из § 7.1).
2. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b], а
функция g(x) отличается от функции f (x) лишь в конечном
числе точек, то функция g(x) также интегрируема на
Rb
Rb
отрезке [a, b], причем f (x)dx = g(x)dx.
a
a
Доказательство. Пусть g(x) отлична от f (x) в точках xi ∈
[a, b], i = 1, . . . , n. Введем на [a, b] функцию
g(xi) − f (xi), если x = xi,
ϕ(x) =
0,
если x 6= xi, i = 1, . . . , n.
Функция ϕ(x) интегрируема на [a, b] и
Rb
ϕ(x)dx = 0 (см. пример
a
§ 7.1). Очевидно, что g(x) = f (x) + ϕ(x). Из интегрируемости
суммы интегрируемых функций следует интегрируемость g(x)
на [a, b] и равенство
Zb
Zb
g(x)f x =
a
Zb
f (x)dx +
a
2 . Имеет место равенство
0
Zb
ϕ(x)dx =
a
Zc
f (x)dx =
a
Zb
f (x)dx.
a
Zb
f (x)dx +
a
f (x)dx, a < c < b,
(∗)
c
в том смысле, что если определена одна из его частей, то
определена и другая и они равны.
Доказательство. Пусть функция f (x) интегрируема на
отрезках [a, c] и [c, b]. Тогда существуют разбиения ∆1 и ∆2
отрезков [a, c] и [c, b] соответственно такие, что
∗
∗
S∆1 − S∆1 < ε/2, S∆2 − S∆2 < ε/2.
∗
∗
137
Объединяя разбиения ∆1 и ∆2, мы получим разбиение ∆ отрезка
[a, b], для которого
∗
∗
∗
S∆ − S∆ = S∆1 + S∆2 − S∆1 − S∆2 < ε.
∗
∗
∗
Следовательно, функция f (x) интегрируема на [a, b]. Допустим
теперь, что f (x) интегрируема на [a, b]. Тогда для любого ε > 0
существует разбиение ∆ отрезка [a, b] такое, что
∗
S∆ − S∆ < ε.
(7)
∗
Будем считать, что точка c является делящей точкой разбиения
∆. В противном случае мы ее просто добавляем к точкам
разбиения ∆ и получаем более частое разбиение отрезка [a, b],
для которого тем более будет справедливо (7) (см. свойство
20 верхних и нижних сумм, § 7.2). Разбиение ∆ отрезка
[a, b] порождает разбиения ∆1 и ∆2 отрезков [a, c] и [c, b]
соответственно, при этом
∗
∗
S∆1 − S∆1 < ε, S∆2 − S∆2 < ε.
∗
∗
Следовательно, согласно необходимому и достаточному условию
интегрируемости функций (см. § 7.3), функция f будет
(k)
(k)
интегрируема на [a, c] и [c, b]. Пусть ∆k = ∆k (a = x0 < x1 <
(k)
. . . < xn = b) – последовательность разбиений отрезка [a, b]
такая, что d(∆k ) → 0. Точку c будем включать при любом
k в число делящих точек разбиения ∆k (этого можно всегда
легко добиться). Тогда интегральная сумма функции f (x) на
[a, b] будет равна сумме интегральных сумм функции f (x) на
отрезках [a, c] и [c, b]:
S∆k (f ) = S∆1k (f ) + S∆2k (f ).
Переходя к пределу при d(∆k ) → 0, мы получим равенство (∗).
Замечание. Полезно расширить определение интеграла
Римана по отрезку на случай, когда a > b и a = b. По
определению полагаем:
Rb
Ra
1. f (x)dx = − f (x)dx, если a > b.
a
2.
Ra
b
f (x)dx = 0.
a
138
§ 7.6 СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА РИМАНА, В
КОТОРЫХ ФИГУРИРУЮТ НЕРАВЕНСТВА
10. Если f и g интегрируемы на [a, b] и f (x) ≤ g(x) (a ≤
x ≤ b), то
Zb
Zb
f (x)dx ≤ g(x)dx.
a
a
Доказательство. Из условия следует:
X
X
(k)
(k)
(k)
(k)
(k)
(k)
f (ξi )(xi − xi−1) ≤
g(ξi )(xi − xi−1),
i
(1)
i
(k)
для любой последовательности разбиений ∆k = ∆k (a = x0 <
(k)
(k)
x1 < . . . < xn = b) такой, что d(∆k )→0. Переходя в (1) к
пределу при d(∆k ) → 0, получим требуемое неравенство.
x 20 . Если f интегрируема на [a, b], то
|
Zb
f (x)dx| ≤
Zb
a
|f (x)| dx ≤ K(b − a),
a
где K = sup |f (x)|.
x∈[a,b]
Доказательство. При любом x ∈ [a, b] :
−|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)|.
Поэтому из свойства 10 следует
−
Zb
|f (x)|dx ≤
a
Zb
f (x)dx ≤
a
Zb
|f (x)|dx,
a
что равносильно неравенству
|
Zb
a
f (x)dx| ≤
Zb
a
139
|f (x)|dx.
(2)
Для любых x ∈ [a, b] : |f (x)| ≤ K.
Kdx = K(b−a) (см. пример
a
1 из § 7.1), поэтому
Zb
Rb
|f (x)|dx ≤
Zb
a
Kdx = K(b − a).
(3)
a
Из (2) и (3) следует 20.
30. Если f интегрируема на [a, b], f (x) ≥ 0 на [a, b] и f
Rb
непрерывна в точке x0 ∈ [a, b], причем f (x0) > 0, то f (x)dx >
a
0.
Доказательство. f непрерывна в x0 и f (x0) > 0. ⇒
существует окрестность U (x0) такая, что f (x) ≥ λ > 0 для
x ∈ U (x0). Пусть для определенности x0 ∈ (a, b). Тогда U (x0) =
(c, d), a < c < x0 < d < b, и
Zb
Zc
f (x)dx =
a
Zd
+
Zb
+
a
c
≥
d
Zd
f (x)dx ≥
c
Zd
λdx = λ(d − c) > 0.
c
40. (Теорема о среднем). Пусть f, ϕ интегрируемы на
[a, b], ϕ ≥ 0 на [a, b]. Тогда
Zb
Zb
f (x)ϕ(x)dx = λ
a
ϕ(x)dx,
a
где m ≤ λ ≤ M (m = inf f (x), M = sup f (x)). Если, кроме
x∈[a,b]
x∈[a,b]
того, f непрерывна, то существует точка ξ ∈ [a, b] такая, что
Zb
Zb
f (x)ϕ(x)dx = f (ξ)
a
ϕ(x)dx.
a
Доказательство. ϕ(x) ≥ 0. ⇒ mϕ(x) ≤ f (x)ϕ(x) ≤
M ϕ(x), x ∈ [a, b]. Интегрируя эти неравенства (см. свойство
140
10), имеем:
Zb
m
ϕ(x)dx ≤
Zb
a
Если
Rb
f (x)ϕ(x)dx ≤ M
a
Zb
ϕ(x)dx.
a
ϕ(x)dx = 0, то в качестве λ можно взять любое число из
a
отрезка [m, M ]. Если же
Rb
ϕ(x)dx > 0, то
a
Zb
λ=
Zb
f (x)ϕ(x)dx/
a
ϕ(x)dx.
a
Пусть f непрерывна на [a, b]. ⇒ Существуют точки α и β ∈
[a, b] такие, что m = f (α), M = f (β). Отсюда (опять же в
силу непрерывности f на [a, b]) ⇒ существует точка ξ ∈ [α, β]
(здесь мы допускаем для определенности, что α < β), в которой
функция f достигает промежуточного значения λ(m ≤ λ ≤ M ),
т. е. f (ξ) = λ. .x
§ 7.7 ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ
ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА
Теорема 1. Пусть f интегрируема на [a, b]. Тогда определена
и непрерывна на [a, b] функция
Zb
F (x) =
f (t)dt, a ≤ x ≤ b.
a
Доказательство. Пусть K = sup |f (t)|. Тогда справедлива
t∈[a,b]
оценка |F (x+h)−F (x)| = |
x+h
R
x
f (t)dt| ≤ K|h|. Так как K|h| → 0
при h → 0, то F будет непрерывна на [a, b].
Заметим, что данное утверждение справедливо независимо
от того, имеет или нет f разрывы; важно, что f интегрируема
на [a, b].
141
Рассмотрим теперь замечательное уточнение доказанной
теоремы.
Теорема 2. Если f интегрируема на [a, b] и непрерывна в
Rx
точке x0 ∈ [a, b], то функция F (x) = f (t)dt, a ≤ x ≤ b
a
дифференцируема в x0 и F (x0) = f (x0). Если же f непрерывна
на (a, b), то F (x), a < x < b, будет первообразной для f (x), a <
x < b.
Доказательство. Докажем сначала вторую часть
утверждения теоремы. Пусть x ∈ [a, b]. F (x + h) − F (x) =
x+h
x+h
x+h
R
R
R
f (t)dt =
f (x)dt +
(f (t) − f (x))dt = f (x) · h +
0
x
+
x
x
x+h
R
(∗)
(f (t) − f (x))dt.
x
Воспользуемся
второй
частью
теоремы
о
среднем
для
преобразования
интервала
из
правой
части
(∗). В результате получим F (x + h) − F (x)
=
= f (x)h + (f (x + θh) − f (x))h, где 0 < θ < 1. Так как f (x)
непрерывна в любой точке x ∈ (a, b), то f (x+θh)−f (x) → 0 при
h → 0 и, следовательно, F (x + h) − F (x) = f (x)h + o(h), h →
0. ⇒ F (x) дифференцируема в любой точке x ∈ (a, b) и
F 0(x) = f (x), т. е. F (x) – первообразная для функции f (x).
Перейдем к доказательству первой части теоремы.
Равенство (∗) остается:
F (x0 + h) − F (x0) = f (x0)h +
xZ0 +h
(f (t) − f (x0))dt.
x0
Очевидно, справедливы неравенства
m(h) · h ≤
xZ0 +h
(f (t) − f (t0))dt ≤ M (h) · h,
x0
где
m(h) =
inf
(f (t) − f (x0)), M (h) =
t∈[x0 ,x0 +h]
sup
t∈[x0 ,x0 +h]
142
(f (t) − f (x0)).
По теореме о среднем (1-я часть теоремы) имеем: inf
(f (t) −
t∈[x0 ,x0 +h]
f (x0))dt
=
λ(h)
xR
0 +h
dt
=
λ(h)h, где m(h)≤λ(h)≤M (h).
x0
Покажем, что λ(h) → 0 при h → 0. Если мы докажем,
что M (h) → 0, m(h) → 0 при h → 0, то по "Свойству
двух милиционеров" и λ(h) → 0 при h → 0. Функция f (x)
непрерывна в точке x0, поэтому ∀ε > 0 ∃ δ > 0 такое, что
∀t(|t − x0| < 2δ ⇒ |f (t)−f (x0)|<ε/2). Если h такое, что |h|=δ,
то отсюда следует: |M (h)| < ε.⇒ ∀ε > 0 ∃ δ > 0 такое, что
∀h(|h| < δ ⇒ |M (h)| < ε) ⇒ M (h) → 0 при h → 0. Аналогично:
m(h) → 0 при h → 0.
Замечание. Понятие первообразной можно распространить
на случай, когда функция f (x) определена на [a, b].
Определение. Функция F (x) называется первообразной
функции f : [a, b] → R, если F 0(x) = f (x) для любых x ∈ [a, b]
(в точках a и b рассматриваются соответственно левая и правая
производные функции F (x)).
После сделанного доопределения, второй части теоремы 2
можно придать вид: "Если функция f (x) непрерывна на [a, b],
Rx
то F (x) = f (t)dt является первообразной функции f (x) на
a
[a, b]." (доказательство теоремы при этом не изменяется).
Таким образом, мы доказали, что произвольная
непрерывная на отрезке [a, b] функция f имеет на этом отрезке
первообразную, определенную равенством
Zx
F (x) = f (t)dt.
a
Этим
доказано
существование первообразной для всякой
непрерывной на отрезке функции.
§ 7.8 ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
Теорема 1 (Ньютона-Лейбница). Если f непрерывна на
Rb
[a, b] и Φ – произвольная ее первообразная, то f (t)dt = Φ(b) −
a
143
Φ(a).
Доказательство. Пусть Φ – произвольная первообразная
для f . Тогда, согласно теореме 2 (см. §7.7), Φ(x) = F (x) + c,
Rx
где F (x) = f (t)dt, c − const. Следовательно,
a
Zb
f (t)dt = F (b) − F (a) = (F (b) + c) − (F (a) + c) = Φ(b) − Φ(a).
a
Замечание. Разность Φ(b) − Φ(a) обозначается символом
Φ(t)|ba.
Формулу
Ньютона-Лейбница
можно
обобщить.
Предварительно приведем необходимые определения.
Определение 1. Функция f называется гладкой (на [a, b]),
если
1. f непрерывна на [a, b].
2. Производная функции f 0 : (a, b) → R непрерывна, причем
существуют и конечные пределы lim f 0(x), lim f 0(x).
x→a+0
x→b−0
Непрерывная
функция
f
:
Определение 2.
[a, b]
→
R называется непрерывной кусочно-гладкой,
если существует разбиение a = x0 < x1 < . . .
. . . < xn = b такое, что f – гладкая на каждом отрезке
[xj−1, xj ].
Примеры.
1. f (x) = |x|, x ∈ [−1, 1] – непрерывная кусочно-гладкая
функция.
2. f (x) = arcsin x, x ∈ [−1, 1] – не непрерывная кусочногладкая функция, так как для этой функции пределы
lim f 0(x), lim f 0(x) не являются конечными.
x→1−0
x→−1+0
Упражнение. Доказать самостоятельно следующее
утверждение: "Если f, g – гладкие (непрерывные кусочногладкие) на [a, b], то f ± g, f · g – гладкие (непрерывные
кусочно-гладкие) функции на [a, b]" .
Замечание 1. Если функция f гладкая на [a, b], то f 0 :
(a, b) → R допускает непрерывное продолжение на [a, b], т. е.
144
f 0 можно доопределить в точках a и b так, что f 0 : [a, b] → R
будет непрерывной.
Доказательство. f : [a, b]→R является гладкой, поэтому
f 0 : (a, b)→R – непрерывна на (a, b) и существуют пределы
lim f 0(x), lim f 0(x). По определению функция называется
x→a+0
x→b−−
непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на (a, b),
непрерывна слева в точке a и непрерывна справа в точке
b. Поэтому, доопределяя f 0 в точках a и b так, что
f 0(a)= lim f 0(x), f 0(b)= lim f 0(x), мы добьемся непрерывности
x→a+0
x→b−0
f на [a, b].
Нетрудно показать, что
0
lim f 0(x) и
x→a+0
lim f 0(x) есть,
x→b−0
соответственно, производные справа в точке a и слева в точке b
функции f (x). Действительно,
f (a + h) − f (a)
= lim f 0(a + θh) = lim f 0(x)
x→a+0
h→0+0
h→0+0
h
lim
(здесь 0 < θ < 1, и мы использовали формулу Лагранжа
конечных приращений). Аналогично – для lim f 0(x).
x→b−0
x
Теорема 2. Если F – непрерывная кусочно-гладкая на [a, b]
функция, то
Zb
F 0(x)dx = F (b) − F (a).
(∗)
a
Прежде чем доказывать данную теорему, вы вынуждены
распространить понятие интеграла на функции, определенные
не во всех точках отрезка [a, b]. Это нам необходимо, так как
интеграл слева в (∗) "плохо" определен: если a = x0 < x1 <
. . . < xn = b – разбиение, фигурирующее в определении 2, то
F 0(x) не определена в точках xi.
Рассмотрим функцию f (x), определенную на [a, b] за
исключением точек c1, . . . , cn. Пусть fˆ(x) совпадает на [a, b] с
f (x) в точках x 6= ci, i = 1, . . . , n, а в точках c1, . . . , cn принимает
произвольные числовые значения.
Определение 3. Функция f (x) называется интегрируемой
по Риману на [a, b], если интегрируема по Риману на [a, b]
145
функция fˆ(x), причем считается
Zb
Zb
f (x)dx =
a
fˆ(x)dx.
a
Замечание 2. Данное определение будет корректным, т. е.
не будет зависеть от значений функции fˆ(x) в точках c1, . . . , cn.
(1)
Действительно, пусть функция fˆ1(x) = λi , если x = ci, а
(2)
fˆ2(x) = λi , если x = ci. Очевидно,
fˆ2(x) = fˆ1(x) + ϕ(x),
где
(
(2)
(1)
λi − λi ,
ϕ(x) =
0,
если x = ci
если x =
6 ci, i = 1, . . . , n, x ∈ [a, b].
Функция ϕ(x) интегрируема на [a, b] и
Rb
ϕ(x)dx = 0. Если
a
fˆ1(x) интегрируема, то fˆ2(x) также интегрируема на [a, b] (см.
замечание 2 § 7.5). Поэтому
Zb
fˆ2(x)dx =
a
Zb
fˆ1(x)dx +
a
Zb
Zb
ϕ(x)dx =
a
fˆ1(x)dx.
a
Замечание доказано.
Перейдем к доказательству теоремы 2. После определения
Rb 0
3 F (x)dx будет вполне корректно определен (полагаем, что
a
0
F (x) определена в точках xi произвольно). Используя свойства
интеграла Римана, запишем
Zb
a
F 0(x)dx =
n Zxi
X
i=1 x
146
i−1
F 0(x)dx.
(1)
F (x) – непрерывная кусочно-гладкая на [a, b] функция,
поэтому, согласно замечанию 1, F 0(x) допускает непрерывное
продолжение на [xi−1, xi] при любом i = 1, . . . , n, т. е.
Zxi
F 0(x)dx =
xi−1
где
Zxi
F̂ 0(x)dx,
xi−1
F̂ 0(xi) = lim F 0(x), F̂ 0(xi−1) =
x→xi −0
lim
x→xi−1 +0
F 0(x)
и функция F̂ 0(x) является непрерывной на [xi−1, xi] при любом
i = 1, . . . , n.
К интегралам
Zxi
F̂ 0(x)dx
xi−1
применим формулу Ньютона-Лейбница:
Zxi
F̂ 0(x)dx = F̂ (xi) − F̂ (xi−1) = F (xi) − F (xi−1).
(2)
xi−1
Из (1) и (2) следует
Zb
0
F (x)dx =
n
X
(F (xi) − F (xi−1)) = F (b) − F (a).
i=1
a
Что и требовалось доказать.
Примеры.
1.
R1
0
arcsin xdx =
π
2
x
− 1.
Решение:
Найдем
первообразную
для
R
arcsin x,
x R
∈
(0, 1). √ arcsin xdx
=
= x arcsin x − √xdx
= x arcsin x + 1 − x2 + c = F (x).
1−x2
Функция arcsin x – непрерывна на [0, 1], поэтому (по
теореме 1 из § 7.7) F (x) – непрерывна на [0, 1]. Функция
147
F (x) известна нам на (0, 1). Используя ее вид на (0, 1)
и ее непрерывность на [0, 1], определим F (0) = F (0 + 0),
F (1) = F (1 − 0). Далее, по формуле Ньютона-Лейбница,
имеем
Z1
π
arcsin xdx = F (1) − F (0) = F (1 − 0) − F (0 + 0) = − 1.
2
0
2.
R2
|1 − x|dx = 1.
0
1 − x, если 0 ≤ x ≤ 1,
, то
x − 1, если 1 < x ≤ 2
мы разбиваем исходный интеграл на два интеграла:
Решение: Так как |1 − x| =
Z2
|1 − x|dx =
0
Z1
|1 − x|dx +
0
Z1
=
Z2
|1 − x|dx =
1
(1 − x)dx +
0
Z2
(x − 1)dx.
1
Далее, применяя к каждому из интегралов формулу
Ньютона-Лейбница, получим
Z2
(1 − x)2
|1 − x|dx = −
2
0
3.
Rb
1
(x − 1)2
+
2
0
2
=
1
1 1
+ = 1.
2 2
sgn xdx = |b| − |a|.
a
Решение: По обобщенной формуле Ньютона-Лейбница
b
Rb
имеем sgn xdx = |x| = |b| − |a|, так как |x|0 = sgn x.
a
a
148
§ 7.9 ОБЩИЕ ПРИЕМЫ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ
10. (Формула интегрирования по частям). Пусть f и g –
непрерывные кусочно-гладкие на [a, b] функции. Тогда
Zb
f (x)g 0(x)dx = f (x)g(x)|ba −
a
Zb
f 0(x)g(x)dx.
a
Доказательство. f (x), g(x) – непрерывные кусочно-гладкие
на [a, b] функции.⇒ f (x) · g(x) – непрерывная кусочно-гладкая
на [a, b] функция.⇒ f (x) · g(x) имеет на [a, b], за исключением
конечного числа точек, непрерывную производную (f (x)g(x))0 =
f (x)g 0(x) + f 0(x)g(x). По обобщенной формуле НьютонаЛейбница, имеем
Zb
b
0
(f (x)g(x)) dx = f (x)g(x) .
a
a
Отсюда следует
b
Zb
f (x)g(x) =
a
Zb
=
(f (x)g 0(x) + f 0(x)g(x))dx =
a
f (x)g 0(x)dx +
a
Zb
f 0(x)g(x)dx.
(1)
a
Заметим, что функции f (x)g 0(x), f 0(x)g(x) – интегрируемы на
[a, b], так как f и g являются, по условию, непрерывными
кусочно-гладкими на [a, b] функциями. Из (1) следует требуемое
равенство:
Zb
b
f (x)g 0(x)dx = f (x)g(x) −
a
a
149
Zb
a
f 0(x)g(x)dx.
20. (Формула замены переменной). Пусть f : [a, b] → R
непрерывная, а ϕ – непрерывная кусочно-гладкая на [c, d]
функция, причем ϕ(c) = a, ϕ(d) = b и определена суперпозиция
f ◦ ϕ. Тогда
Zb
Zd
f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ0(t)dt.
a
c
Доказательство. Пусть F (x) – первообразная функции f и
разбиение c = t0 < t1 < . . . < tn = d такое, что ϕ(t) – гладкая
на каждом отрезке [ti−1, ti]. Тогда dtd F (ϕ(t)) = f (ϕ(t))ϕ0(t), t ∈
(ti−1, ti), и, следовательно,
Zb
n
X
f (x)dx = F (b) − F (a) = F (ϕ(d)) − F (ϕ(c)) =
[F (ϕ(ti))−
i=1
a
ti
−F (ϕ(ti−1))] =
n Z
X
i=1 t
f (ϕ(t))ϕ0(t)dt =
Zd
f (ϕ(t))ϕ0(t)dt.
c
i−1
§ 7.10 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ИНТЕГРАЛА РИМАНА
I. Формула Тейлора с остатком в интегральной форме.
Пусть f : (α, β) → R, α < a < β и f (n) – непрерывна на
отрезке [a, x] ⊂ (α, β) (или [x, a] ⊂ (α, β)). Тогда
Zx
n−1
X
1 (k)
1
f (x) =
f (a)(x − a)k +
f (n)(t)(x − t)n−1dt. (∗)
k!
(n − 1)!
k=0
x
a
(Величина rn(x)
=
1
(n−1)!
Rx
f (n)(t)(x − t)n−1dt называется
a
остатком в интегральной форме).
Доказательство. Мы имеем: f (x) − f (a) =
x
Rx
f 0(t)dt =
a
Rx
tf 0(t) − f 00(t)tdt = xf 0(x) − af 0(a) + xf 0(a) − xf 0(a) −
a
a
150
Rx
00
Rx
0
00
f (t)tdt = f (a)(x − a) + x f (t)dt −
a
a) +
Rx
Rx
f 00(t)tdt = f 0(a)(x −
a
a
f 00(t)(x − t)dt. Таким образом, формула (∗) справедлива
a
для n = 1, 2. Пусть она справедлива для всех k ≤ n − 1. Тогда
x
Z
n−2
X
1 (k)
1
f (x) =
f (a)(x−a)k +
f (n−1)(t)(x−t)n−2dt. (2)
k!
(n − 2)!
k=0
a
Интегрируя по частям интеграл в правой части, имеем:
Zx
x
1 (n−1)
(n−1)
n−2
n−1
f
(t)(x−t) dt=−
f
(t)(x−t)
+
n−1
a
a
1
+
n−1
Zx
(x−t)n−1f (n)(t)dt=
a
=
1
1
f (n−1)(a)(x − a)n−1 +
n−1
n−1
Zx
f (n)(t)(x − t)n−1dt.
(3)
a
Из (2) и (3) следует формула (∗).
Замечание. Используя интегральную форму остаточного
члена формулы Тейлора, легко получить остаточный член
формулы Тейлора в форме Лагранжа.
Действительно, используя теорему о среднем, получим
x
x
x
R
R
(n)
(n)
n
f
(ξ)
f
(ξ)
(x−t)
1
f (n)(t)·(x−t)n−1dt = (n−1)! (x−t)n−1dt = − (n−1)! n
=
(n−1)!
a
f
(n)
(ξ)
n! (x
a
a
− a) , где ξ = a + θ(x − a), 0 < θ < 1. Полученное
выражение и представляет собой остаточный член в форме
Лагранжа. x
II. Геометрические приложения.
10 (Площадь криволинейной трапеции).
Рассмотрим криволинейную трапецию, т. е. фигуру типа
изображенной на рис. 1.
n
151
y6
y = f (x)
S
bx
a
0
-
Рис. 1
Мы уже видели (см. § 7.1), что площадь S данной фигуры
равна
Zb
S=
f (x)dx.
(∗1)
a
Замечание. При формальном использовании формулы (∗1)
для площади может получиться отрицательное значение (см.
рис. 2).
y6
y = f (x)
0
a
+g
−g
bx
Рис. 2
20 (Площадь плоской фигуры в полярной системе
координат).
Рассмотрим фигуру, ограниченную двумя выходящими из
полярного полюса 0 лучами θ = α, θ = β и кривой, заданной
в полярных координатах непрерывной функцией r = r(θ), α <
θ < β (см. рис. 3).
r = r(θ)
((
β
(((
(
(
(
α
(
(
0
152
-
x
Рис. 3
Площадь S данной фигуры может быть определена
следующим образом (см. рис. 4). Произведем разбиение отрезка
[α, β] изменения θ : ∆(α = θ0 < θ1 < . . . < θn = β).
q ξq nθ
q p n−1
p pθ3ξ θ
2 2
q qξ1 q
(((((θ1
(
(
(
(
(
θn
-
x
Рис. 4
Элемент площади фигуры, ограниченной кривой r =
r(θ) и лучами θ = θk−1, θ = θk , приближенно выражаем
площадью кругового сектора, ограниченного теми же лучами
и окружностью радиуса rk = r(ξk ) (ξk ∈ (θk , θk−1)), равной
1 2
2 r (ξk )(θk − θk−1 ). По определению полагаем
0
n
X
1
S = lim
d(∆)→0
1
2
r2(ξk )∆θk ,
где ∆θk = θk − θk−1.
Так как r = r(θ) непрерывна на отрезке [α, β] изменения θ, то
S=
1
2
Zβ
r2(θ)dθ.
(∗2)
α
3 (Длина плоской кривой).
Длиной l кривой Γ естественно назвать предел длин
ломаных, вписанных в кривую, когда набольшее расстояние
между соседними узлами ломаной стремится к 0. Пусть Γ –
график непрерывной кусочно-гладкой функции y = f (x), x ∈
[a, b]. Каждая вписанная ломаная характеризуется некоторым
разбиениемp∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b), так что длина i-того
звена li = (xi − xi−1)2 + (f (xi) − f (xi−1))2 (см. рис. 5).
0
y6
y = f (x)
Γ
f (xi )
f (xi−1 )
0
a
xi−1 xi
153
b x
-
Рис. 5
p
Введем функцию ψ(x) =
1 + f 0(x)2, x ∈ [a, b],
имеющую на [a, b] не более конечного числа точек
разрыва.
p По формуле конечных приращений Лагранжа
li =
1 + (f 0(xi−1 + θ(xi − xi−1)))2 · (xi − xi−1) = ψ(xi−1 +
n
P
li =
θ(xi − xi−1))(xi − xi−1), 0 < θ < 1. l =
lim
d(∆)→0 i=1
n p
P
lim
1 + f 0(ξi)2(xi − xi−1) = lim S∆(ψ), ξi = xi−1 +
d(∆)→0 i=1
d(∆)→0
θ(xi − xi−1). f – непрерывная кусочно-гладкая
на [a, b]. ⇒ f 0 –
p
интегрируема на [a, b]. ⇒ ψ == 1 + (f 0)2 – интегрируема на
[a, b]. ⇒ lim S∆(ψ) существует при ∀ ξi. ⇒
d(∆)→0
Zb
ψ(x)dx =
l=
a
Zb q
1 + f 0(x)2dx.
(∗3)
a
4 (Площадь поверхностного тела вращения).
Пусть y = f (x) (x ∈ [a, b]) – непрерывная кусочногладкая функция (для определенности пусть f (x) ≥ 0). Найдем
σ – площадь поверхности, полученной вращением графика Γ
(функции f ) вокруг оси 0X (см. рис. 6).
x
0
y6
(xi , f (xi ))
0
xi−1
xi
x
-
Рис. 6
Пусть ∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b) – разбиение [a, b].
Заменим Γ на ломаную с узлами в точках (xi, f (xi)). Площадь
σ аппроксимируется площадью поверхности, возникающей при
вращении ломаной. Часть поверхности вращения ломаной,
154
заключенной между узлами (xi−1, f (xi−1)), (xi, f (xi)), есть
боковая поверхность усеченного конуса, и ее площадь σi равна
q
σi = π(f (xi) + f (xi−1)) (xi − xi−1)2 + (f (xi) − f (xi−1))2 =
q
= π(f (xi) + f (xi−1)) 1 + f 0(ξi)2 (xi − xi−1), xi−1 ≤ ξ ≤ xi.
Отсюда искомая площадь
X
σ =lim
d(∆)→0
σi =lim π
d(∆)→0
i
n
X
q
(f (xi)+f (xi−1)) 1 + f 0(ξi)2 (xi −xi−1).
i=1
Для вычисления σ преобразуем правую часть (4).
n
n
q
X
X
σi = 2π
f (ξi) 1 + f 0(ξi)2(xi − xi−1 +
i=1
i=1
|
+π
n
X
(4)
{z
}
P0
q
[(f (xi) − f (ξi)) + (f (xi−1) − f (ξi))] 1 + f 0(ξi)2(xi − xi−1) .
i=1
{z
|
}
P00
P0
Сумма
есть интегральная сумма для функции
p
2πf (x) 1 + f 0(x)2. Следовательно,
Zb
q
X0
lim
= 2π f (x) 1 + f 0(x)2dx.
d(∆)→0
a
Покажем, что
P00
lim
= 0. Пусть K = sup 1 + f 0(x)2.
d(∆)→0
x∈[a,b]
p
0
1 + f 0(x)2 ≤ K, и применение формулы
Тогда |f (x)| ≤
конечных приращений Лагранжа дает
n
q
X00
X
0
0
=π
[f (ηi)(xi − ξi) + f (ζi)(ξi − xi−1)] 1 + f 0(ξi)2·
p
i=1
·(xi − xi−1)| ≤ πK
2
n
X
(xi − xi−1)2 ≤ πK 2(b − a)d(∆).
i=1
155
Отсюда следует, что
lim
P00
d(∆)→0
= 0. Окончательно получаем
формулу площади поверхности тела вращения:
Zb
q
σ = 2π f (x) 1 + f 0(x)2dx.
(∗4)
a
5 (Объем тела по поперечным сечениям).
Рассмотрим тело, содержащееся между плоскостями
x = a, x = b, и станем рассекать его плоскостями,
перпендикулярными к оси 0X (см. рис. 7).
0
y6
0 a
S(xi−1 )
xi−1
xi
b
x
-
Рис. 7
Допустим, что все эти сечения имеют площадь, и пусть
площадь сечения, отвечающего абсциссе x, – обозначим ее S(x)
– будет непрерывной функцией от x, x ∈ [a, b]. Вычислим объем
данного тела. Произведем разбиение отрезка [a, b] : ∆(a = x0 <
x1 < . . . < xn = b). Элемент ∆Vi объема тела, ограниченного
плоскостями x = xi−1, x = xi, приближенно равен объему
цилиндра высоты ∆xi = xi − xi−1 с площадью основания
S(xi−1) :
∆Vi ≈ S(xi−1)∆xi.
n
P
Величина
∆Vi ≈ V и является интегральной суммой
i=1
функции S(x), которая, в силу своей непрерывности, является
интегрируемой на [a, b].
156
Таким образом,
n
X
V = lim
d(∆)→0
Zb
S(xi−1)∆xi =
i=1
S(x)dx.
(∗5)
a
6 (Объем тела вращения).
Рассмотрим тело, ограниченное плоскостями x = a, x = b
и поверхностью вращения кривой Γ вокруг оси 0X (см. рис. 8).
0
y6
xi−1
0 a
xi
x
-
b
Рис. 8
(Γ – график функции y = f (x), x ∈ [a, b], причем f (x) ≥ 0).
Вычислим объем V данного тела вращения.
Произведем
разбиение
отрезка
[a, b]
на
части
a=x0 < x1 < . . . < xn=b. Пусть ∆Vi – элемент объема V ,
ограниченный плоскостями x = xi−1, x = xi. Будем считать,
что ∆Vi приближенно равен объему цилиндра высоты
∆xi = xi − xi−1 и радиуса yi−1 = f (xi−1) :
2
∆Vi ≈ πyi−1
∆xi = πf 2(xi−1)∆xi.
Отсюда следует:
V =
lim
max ∆xi →0
π
n
X
f 2(xi−1)∆xi = π
i=1
i
x2
a2
f 2(x)dx −
(∗6)
a
– формула объема тела вращения.
Примеры.
1. Даны эллипс
Zb
2
x
+ yb2 = 1 и точка M (x, y) на нем (см. рис. 9).
157
y6
B
M
S
0
K
x
-
Рис. 9
Необходимо найти площадь криволинейной трапеции
BOKM . Из уравнения эллипса имеем
bp 2
a − x2 .
y=
a
Так что по формуле (∗1)
Zx p
b
ab
x
b p 2
2
2
S=
a − x dx =
arcsin + x a − x2 =
a
2
a 2a
0
x xy
ab
arcsin + .
2
a
2
2. Найдем площадь окружности радиуса R, используя
формулу (∗2). Из рис. 10 видно, что изображенная на нем
окружность определяется уравнением r = 2R cos θ, − π2 ≤
θ ≤ π2 .
=
θ
q
0
-
R
Рис. 10
Поэтому, в силу (∗2), ее площадь равна
S = 2R2
π
π
Z2
Z2
cos2 θdθ = 4R2
− π2
0
158
1 + cos 2θ
dθ = πR2.
2
2
x
. Найти длину l кривой Γ – график
3. Дана парабола: y = 2p
данной параболы при изменении x от 0 до a. По формуле
(∗3) имеем
1
l=
p
Zap
0
p
a
2
p
1
1
p
x x2 + p2 + ln(x+ x2 + p2 =
x2 + p2dx =
p 2
2
0
ap 2
p a+
=
a + p2 + ln
2p
2
p
a2 + p2
.
p
4. Рассмотрим параболу y = x2, x ∈ [0, 1]. Площадь
поверхности вращения куска данной параболы вычисляется
по формуле (∗4):
Z1
S = 2π
x
2
√
1 + 4x2dx.
0
(Полученный
интеграл
самостоятельно).
предлагается
вычислить
5. Вычислить объем V кругового конуса с радиусом основания
r и высотой h (см. рис. 11).
y6
H
0 HH
H
HH
r h
H
HH
HH
HH
H
HH
H
Рис. 11
x
-
H
Проведем перпендикулярно оси конуса, которая совпадает
с осью x, секущую плоскость. Площадь сечения
159
S(x) = π( hr x)2. По формуле (∗5) имеем
Zh
V =π
0
h
r 2
πr2 x3
1
( x) dx = 2 ·
= πr2h.
h
h
3 0 3
160
Глава 8
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 8.1 Определения несобственных интегралов и некоторые
общие свойства несобственных интегралов.
§ 8.2 Несобственные интегралы от неотрицательных
функций.
§ 8.3 Интегрирование по частям.
§ 8.4 Несобственный интеграл и ряд.
§ 8.5 Несобственный интеграл с особенностями в нескольких
точках.
§ 8.1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕСОБСТВЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ И НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ
СВОЙСТВА НЕСОБСТВЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
Определение 1.
Выражение
Rb
называется
f (x)dx
a
интегралом (от f ) с особенностью в точке b, если выполняются
следующие условия:
1. b – конечная точка; функция f интегрируема на [a, b0] при
любом b0 ∈ (a, b); f не ограничена в окрестности точки b.
2. b = +∞; функция f интегрируема на [a, b0] при любом
b0 > a.
Rb
Аналогично
интегралу
f (x)dx,
с
Замечание.
a
особенностью в точке b, определяется интеграл с особенностью
в точке a. Только теперь:
1. a – конечная точка; если a < b, то f интегрируема на любом
[a0, b], где a < a0 < b и не ограничена в окрестности точки a.
2. a = −∞; f интегрируема на любом [a0, b], a0 < b.
161
Определение 2. Если
Rb
f (x)dx имеет особенность в точке
a
b (согласно определению 1(1)) и если существует предел
Rb0
f (x)dx, то этот предел называется несобственным
lim
0
b →b a
интегралом от f на [a, b] и записывается в виде:
Z+∞
Zb0
f (x)dx = lim
f (x)dx,
0
b →b
a
a
при
этом
говорят,
что
интеграл
+∞
R
f (x)dx
сходится
a
(существует). В противном случае говорят, что он расходится
(не существует).
Замечание. Функция f в обычном смысле (Римана) не
интегрируема на [a, b], так как она не определена в окрестности
точки b.
Rb
Определение 3. Если f (x)dx имеет особенность в точке
a
b (согласно определению 1(2)) и если существует предел
Rb0
lim
f (x)dx, то этот предел называется несобственным
0
b →+∞ a
интегралом отf на [a, +∞) и записывается в виде:
Zb
Zb0
f (x)dx = 0 lim
f (x)dx,
b →+∞
a
a
при этом говорят, что интеграл
R∞
f (x)dx сходится (существует).
a
В противном случае говорят, что он расходится (не существует).
Замечание.
Аналогичным
образом
определяется
несобственный интеграл с особенностью в точке a (a – конечная
точка, a = −∞):
Zb
Zb
f (x)dx = lim
f (x)dx,
0
a →a
a0
a
162
Zb
Zb
f (x)dx = 0 lim
f (x)dx.
a →−∞
−∞
a0
Для определения везде в дальнейшем мы будем рассматривать
Rb
f (x)dx с единственной особенностью в точке b, конечной или
a
бесконечной. Все выводы по аналогии могут быть перенесены
на случай интеграла с единственной особенностью в точке a.
Примеры.
1.
R1
0
dx
xα ,
где α > 0 постоянное число. Данный интеграл
имеет единственную особенность в точке x = 0. Вычислим
1
R1 dx
1
1
1
= lim 1−α
· xα−1
(1 − ε1−α ) =
предел lim xα = lim 1−α
ε→0
ε→0 ε
ε
1
,
если
α
<
1,
= 1−α
+∞, если α > 1.
R1 dx
lim x = − lim ln ε = +∞.
ε→0
ε→0 ε
Таким образом,
R1
0
dx
xα
сходится при α < 1 и равен (α − 1)−1 и
расходится при α ≥ 1.
2.
R∞ dx
1
R∞
1
xα
dx
x
= lim
=
RN dx
xα
N →+∞ 1
RN dx
lim
N →∞ 1 x
Таким образом,
N
=
1
x1−α
1−α Nlim
→∞
=
1
1
α−1 ,
+∞,
если α > 1,
если α < 1.
= lim ln N = +∞.
N →∞
R∞ dx
1
xα
сходится при α > 1 и равен (α − 1)−1 и
расходится при α ≤ 1.
Теорема 1 (Критерий Коши). Пусть задан
Rb
a
f (x)dx с
единственной особенностью в точке b. Для существования
данного интеграла необходимо и достаточно выполнение
163
следующего условия: ∀ ε > 0 ∃ b0
(b0 < b0 < b00 < b):
Zb00
f (x)dx < ε.
<
b ∀ b0, b00
b0
Доказательство. Рассмотрим функцию F (x) =
Rx
f (t)dt,
a
a < x < b. Существование
ванию
lim F (x),
x→b−0
что,
Rb
a
в
f (t)dt эквивалентно существосвою
очередь,
эквивалентно
выполнению условия Коши: ∀ ε > 0 ∃ b0 < b∀ b0, b00 (b0 <
b0 < b00 < b):
|F (b00) − F (b0)| < ε.
b00
R
Так как F (b00) − F (b0) = f (t)dt, то теорема доказана.
Rb
b0
Замечание. Пусть задан f (x)dx, имеющий единственную
a
особенность в точке b. Тогда
Rb
f (x)dx, где a < c < b, также
c
имеет единственную особенность в точке b, и так как условие
критерия Коши для приведенных интегралов формулируется
совершенно одинаково, то они или одновременно сходятся или
одновременно расходятся.
Rb
Rb
Теорема 2.
Если
интегралы
f (x)dx,
ϕ(x)dx
a
сходятся
a
(особенность в точке b), то сходится также
Rb
интеграл
(Af (x) + Bϕ(x))dx (A, B – постоянные) и
a
справедливо равенство
Rb
Rb
(Af (x) + Bϕ(x))dx = A f (x) +
a
+B
Rb
a
ϕ(x)dx.
a
164
Rb0
Rb
(Af +Bϕ)dx =
Доказательство. (Af (x)+Bϕ(x))dx = lim
0
b →b a
Rb
a
= A lim
0
Rb
0
Rb
0
Rb
f dx + B lim
ϕdx = A f (x) + B ϕ(x)dx.
b0 →b a
a
a
Rb
Определение 4. f (x)dx (имеющий особенность в точке b)
b →b a
a
сходится абсолютно, если сходится интеграл
Rb
|f (x)|dx.
a
Теорема 3. Абсолютно сходящийся интеграл сходится.
Rb
Доказательство. Из сходимости |f |dx следует: ∀ ε >
0
00
0
a
00
0 ∃ b0 ∈ (a, b)∀ b , b (b0 < b < b < b):
Zb00
|f (x)|dx < ε.
b0
Rb00
Отсюда, так как
f (x)dx ≤
b0
Мы получили, что для
Rb00
|f (x)|dx, следует
b0
Rb
Rb00
f (x)dx < ε.
b0
f (x)dx выполняется условие критерия
a
Коши, а значит, он сходится.
Замечание. Для абсолютно
b
R
f (x)dx справедливо неравенство:
сходящегося
интеграла
a
Zb
f dx ≤
a
Действительно,
Rb0
a
f dx ≤
Zb
|f |dx.
a
Rb0
|f |dx. После перехода к пределу при
a
b → b получим нужное неравенство.
0
165
§ 8.2 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ
НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Rb
Пусть f (x) ≥ 0 на [a, b] и
f (x)dx имеет единственную
a
особенность в точке b. Тогда функция F (b0) =
Rb0
f (x)dx (a < b0 <
a
b) от b не убывает, и, следовательно, если F (b ) ≤ M ∀ b0 ∈ (a, b),
то существует интеграл
0
0
Zb0
Zb
f (x)dx = lim
0
b →b
a
f (x)dx ≤ M.
a
Если же F (b0) не ограничена, то интеграл расходится:
Zb0
Zb
f (x)dx = lim
0
f (x)dx = +∞.
b →b
a
a
При этом пишут (только в случае f (x) ≥ 0 на [a, b) ):
Zb
f (x)dx < ∞, если интеграл сходится;
a
Zb
f (x)dx = +∞, если интеграл расходится;
a
Теорема 1. Пусть интегралы
Zb
Zb
f (x)dx,
a
ϕ(x)dx
a
имеют единственную особенность в точке b и на [a, b)
справедливо неравенство
0 ≤ f (x) ≤ ϕ(x).
166
Rb
Тогда из сходимости ϕ(x)dx следует сходимость
a
справедливо неравенство
Zb
Zb
f (x)dx ≤ ϕ(x)dx,
a
а из расходимости
Rb
Rb
f (x)dx и
a
a
f (x)dx следует расходимость
Rb
ϕ(x)dx.
a
a
Доказательство. Из неравенства f (x) ≤ ϕ(x) следует, что
для любых b0 ∈ (a, b):
Zb0
f (x)dx ≤
a
Если теперь
Rb
Zb0
ϕ(x)dx.
a
ϕ(x)dx сходится, то
a
как
Rb0
a
Rb
lim
b0 →b a
f (x)dx ≤
a
ϕ(x)dx, а так
a
0
Rb0
b →b a
Rb
ϕ(x)dx. Если же
a
Rb0
Rb
f (x)dx при возрастании b не убывает, то lim
0
f (x)dx ≤
a
Rb0
Rb
f (x)dx =
f (x)dx расходится, т. е.
a
f (x)dx = +∞, то lim
0
Rb0
ϕ(x)dx = +∞.
Rb
Rb
Теорема 2. Пусть интегралы f (x)dx,
ϕ(x)dx имеют
b →b a
a
a
единственную особенность в точке b; f (x), ϕ(x) > 0 на [a, b)
и существует предел
f (x)
= A > 0.
(1)
lim
x→b ϕ(x)
Тогда эти интегралы одновременно сходятся или одновременно
расходятся.
Доказательство. Из (1) следует, что для∀ ε > 0 ∃ c ∈ [a, b)
такое, что
f (x)
A−ε<
< A + ε, (c < x < b).
ϕ(x)
167
Отсюда, так как ϕ(x) > 0, следует
(A − ε)ϕ(x) < f (x) < (A + ε)ϕ(x), (c < x < b).
Из сходимости
Rb
ϕ(x)dx ⇒ сходимость
ϕ(x)dx, ⇒ сходимость
c
a
Rb
Rb
(A + ε)ϕ(x)dx, ⇒ (по теореме 1)⇒ сходимость
c
Rb
сходимость
a
Rb
сходимость
(2)
f (x)dx. Далее, пусть сходится
Rb
c
Rb
f (x)dx, ⇒
f (x)dx, ⇒
a
f (x)dx, ⇒ сходимость
c
Rb
(A − ε)ϕ(x)dx, ⇒
c
Rb
Rb
сходимость ϕ(x)dx, ⇒ сходимость ϕ(x)dx.
c
a
Замечание 1. Теорема 2 может быть обобщена следующим
образом. Пусть f (x) и ϕ(x) удовлетворяют условиям теоремы 2 и
ψ(x) – непрерывная и неотрицательная на [a, b) функция. Тогда
Rb
Rb
интегралы f (x)ψ(x)dx и ϕ(x)ψ(x)dx одновременно сходятся
a
a
или одновременно расходятся.
Доказательство замечания 1 следует из неравенства
(A − ε)ϕ(x)ψ(x) ≤ f (x)ψ(x) ≤ (A + ε)ϕ(x)ψ(x),
которое вытекает из неравенства (2).
Замечание 2. Если в теореме 2 A = 0, то сходимость
Rb
Rb
ϕ(x)dx влечет сходимость f (x)dx.
a
a
Доказательство. Из (2) при A = 0 получаем
f (x) < ε ϕ(x), (c < x < b).
Из этого неравенства следует утверждение замечания 2.
Замечание 3. В теореме 2 можно считать, что только одна
из функций f (x) или ϕ(x) положительна на [a, b).
Доказательство. Из (2), так как ε < A, следует, что если
ϕ(x) > 0, то и f (x) > 0, а также наоборот: если f (x) > 0, то и
ϕ(x) > 0.
168
§ 8.3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Пусть на [a, ∞) заданы непрерывные функции ϕ(x), ψ(x),
причем ψ(x) имеет непрерывную производную. Нас интересуют
R∞
достаточные признаки существования интеграла ϕ(x)ψ(x)dx,
a
для вычисления которых мы проделаем следующее:
ZN
ϕ(x)ψ(x)dx = ψ(N )φ(N ) − ψ(a)φ(a) −
a
ZN
ψ 0(x)φ(x)dx,
a
где φ(x) – произвольная первообразная от ϕ(x); a < N < ∞.
Очевидно, что если существует несобственный интеграл
Z∞
ψ 0(x)φ(x)dx = A
(1)
a
и существует предел
lim ψ(x)φ(x) = B,
(2)
x→+∞
то существует несобственный интеграл
Z∞
ϕ(x)ψ(x)dx = B − ψ(a)φ(a) − A.
(3)
a
Теорема 1 (I-й признак). Если функция φ(x) ограничена
R∞ 0
(|φ(x)| ≤ M − const), ψ(x) → 0 при x → +∞ и |ψ (x)|dx < ∞,
a
то интеграл (1) и предел (2) существуют.
Доказательство. Интеграл (1) сходится абсолютно:
Z∞
|ψ 0(x)φ(x)|dx ≤ M
a
Z∞
|ψ 0(x)|dx < ∞.
a
Выполняется также и условие (2):
|ψ(x)φ(x)| ≤ M |ψ(x)| → 0 при x → +∞,
169
т. е. условие (2) справедливо при B = 0. Таким образом,
R∞
ϕ(x)ψ(x)dx = −ψ(a)φ(a) − A, т. е. существует.
a
Теорема 2 (II-й признак (Признак Дирихле)).
Если
|φ(x)| ≤ M , ψ(x) → 0 при x → +∞ монотонно убывает, то
тогда интеграл (1) и предел (2) существуют, а следовательно,
существует
Z∞
ϕ(x)ψ(x)dx.
a
Доказательство. Посмотрим на I-й признак. Первые два
условия этого признака очевидно выполняются: |φ(x)| ≤
M, ψ(x) → 0 при x → +∞. Проверим третье условие:
ZN
lim
N →+∞
ZN
|ψ 0(x)|dx = − lim
N →+∞
a
ψ 0(x)dx = lim [ψ(a) − ψ(N )] =
N →+∞
a
= ψ(a) < ∞
(здесь мы использовали неположительность ψ 0(x), так как на
луче [a, ∞) она монотонно убывает).
Таким образом, признак Дирихле есть частный случай I-го
признака.
R∞ sin x
Пример.
x dx имеет единственную особенность в ∞.
1
Этот интеграл сходится по признаку Дирихле, так как
функция 1/x → 0 при x → +∞ монотонно и имеет
непрерывную производную, а функция sin x непрерывна и имеет
ограниченную первообразную, равную − cos x.
§ 8.4 НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И РЯД
Рассмотрим интеграл
Rb
f (x)dx, имеющий единственную
a
особенность в точке b. Пусть
a = b0 < b1 < . . . < b, bk → b.
170
Определим ряд
b
∞ Zk+1
X
f dx.
f dx + · · · =
Zb2
Zb1
f dx +
k=0 b
k
b1
b0
Теорема. Если
Rb
f dx сходится, то сходится также ряд
a
где ak =
bR
k+1
ak ,
k=0
f dx. При этом справедливо равенство
Rb
f dx =
a
bk
k+1
∞ bR
P
∞
P
f dx.
k=0 bk
Доказательство.
b
Zbn+1
Zb
n Zk+1
X
lim
f dx = lim
f dx = f dx.
n→∞
n→∞
0
bk
a
b0
Замечание 1. Если f (x) ≥ 0 на [a, b), то из сходимости ряда
∞
Rb
P
ak следует сходимость f (x)dx.
0
a
Доказательство. Пусть ряд
∞
P
ak сходится и его сумма
0
равна S. Для любого b (a < b < b) существует n = n(b0) такое,
что b0 < bn. Поэтому, так как f (x) ≥ 0, имеем
0
Zb0
f (x)dx ≤
a
Таким образом
Zbn
0
b
n−1 Zk+1
n−1
X
X
f (x)dx =
f (x)dx =
ak ≤ S.
k=0 b
k
a
Rb0
k=0
f (x)dx ограничен, а так как f (x) ≥ 0, то
a
несобственный интеграл
Rb
f (x)dx сходится.
a
Замечание 2. Если функция f (x) не сохраняет знак на
∞
P
[a, b), то из сходимости ряда ak вообще не следует сходимость
0
171
Rb
f (x)dx.
a
Пример. Ряд
то же время
+∞
R
∞
P
2(k+1)π
R
k=0
2kπ
sin xdx =
∞
P
0 = 0 сходится. В
k=0
sin xdx расходится, так как
0
lim (1 − cos N ) не существует.
lim
RN
N →+∞ 0
sin xdx =
N →+∞
§ 8.5 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ С
ОСОБЕННОСТЯМИ В НЕСКОЛЬКИХ
ТОЧКАХ
Пусть на (a, b) задана функция f .
Определение 1.
Выражение
Rb
f (x)dx
называется
a
интегралом, имеющим особенности в точках a и b, если
1. a = −∞ или, если a – конечная точка, в U (a) функция f не
ограничена.
2. b = +∞ или, если b – конечная точка, в U (b) функция f не
ограничена.
3. Функция f интегрируема на любом [a0, b0], где a < a0 < b0 <
b.
Пусть точка c делит (a, b) на две части (a, c) и (c, b) так, что
Rc
Rb
f (x)dx имеет единственную особенность в точке a, f (x)dx
a
c
имеет единственную особенность в точке b. Заметим, что о таких
интегралах, имеющих особенность в единственной точке, нам
известно, когда они сходятся как несобственные.
Rb
Определение 2. Говорят, что интеграл f (x)dx, имеющий
a
две особенности в точках a и b, сходится (существует) как
Rc
Rb
несобственный, если каждый из интегралов f (x)dx, f (x)dx
a
172
c
сходится (существует), при этом полагают
Zb
Zc
Zb
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx.
a
a
c
Докажем, что определение интеграла с двумя
особенностями в точках a и b не зависит от выбора точки
Rc0
Rc0 Rb
Rb
0
–
= + , причем
c. Пусть a < c < c < b. Тогда
c
c
c0
собственный интеграл, т. е. не имеет особенности.
c
Rc
+
a
Отсюда
Rc
=
a
мы получим
Rc0
Rc0
c
Rc0
Rb
c
Rb
c
− . Сложив полученные выражения для
a
Rc
a
+
=
c
Rc
a
0
=
Rc0
.
a
Rc
и ,
a
Rb
+ .
c0
Рассмотрим более сложный случай. Пусть интервал (a, b)
можно разбить точками a = c0 < c1 < . . . < cn = b на конечное
число интервалов (ck , ck+1) так, что каждый из интегралов
cR
k+1
f (x)dx (k = 0, . . . , n − 1) имеет только одну особенность на
ck
одном из концов (ck , ck+1).
Определение 3. Если все несобственные интегралы
cR
k+1
f (x)dx (k = 0, . . . , n − 1) сходятся (существуют), то считают,
ck
Rb
что сходится (существует) f (x)dx, при этом полагают
c
a
Zb
n−1 Zk+1
X
f (x)dx =
f (x)dx.
a
k=0 ck
Если хотя бы один из интегралов
cR
k+1
f (x)dx не сходится
ck
Rb
(расходится, не существует), то и интеграл f (x)dx считается
a
расходящимся.
173
Определение 4. Интеграл
Rb
a
f (x)dx, имеющий несколько
особенностей, называется абсолютно сходящимся тогда и только
cR
k+1
f (x)dx сходятся абсолютно.
тогда, когда все интегралы
ck
174
ЛИТЕРАТУРА
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и
функционального анализа. – М.: Наука, 1976.
2. Никольский С.М. Курс математического анализа. – М.:
Наука, 1975. Т.I.
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.
Ч.1. – М.: Наука 1982.
4. Шерстнев А.Н. Конспект лекций по математическому
анализу. Казанское матем. общество – Казань: УНИПРЕСС,
1998.
5. Фихтенгольц Г.М. Курс математического анализа. – М.:
Физматгиз, 1962. Т.I – II.
6. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. – М.:
Высшая школа, 1981. Т.I.
7. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический
анализ. – М.: Наука, Физматгиз, 1979.
175
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Глава 1. Множества и функции. Действительные числа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
§ 1.1 Множества и операции над ними. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
§ 1.2 Понятие функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
§ 1.3 Действительные числа. Свойство непрерывности
действительных чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§ 1.4 Топология числовой прямой. Расширенная числовая
прямая.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
Глава 2. Предел последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§ 2.1 Предел числовой последовательности. Элементарные
свойства пределов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§ 2.2 Лемма о вложенных отрезках. Теорема Вейерштрасса.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
§ 2.3 Монотонные ограниченные последовательности. . . . 30
§ 2.4 Критерий Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
§ 2.5 Пределы в расширенной числовой прямой. Верхний и
нижний пределы последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Глава 3. Предел функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
§ 3.1 Предел функции. Свойства пределов функции. Первый
замечательный предел.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
§ 3.2 Критерий Коши существования предела функции.. .41
§ 3.3 Модификация понятия предела функции в точке. . . 42
§ 3.4 Второй замечательный предел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§ 3.5 Порядок функции. Эквивалентность (асимптотика). 45
Глава 4. Непрерывные функции.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
§ 4.1 Непрерывные функции. Основные свойства функций,
непрерывных в точке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
§ 4.2 Точки разрыва. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§ 4.3 Свойства функций, непрерывных на отрезке. . . . . . . . 54
176
§ 4.4 Равномерная непрерывность. Продолжение по
непрерывности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§ 4.5 Непрерывность обратной функции.. . . . . . . . . . . . . . . . . .58
§ 4.6 Показательная функция. Логарифмическая, степенная,
гиперболические функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Глава 5. Дифференциальное исчисление функций одной
переменной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
§ 5.1 Задачи, приводящие к понятию производной.
Определение производной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
§ 5.2 Дифференцируемые функции. Дифференциал
функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
§ 5.3 Техника дифференцирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
§ 5.4 Производные и дифференциалы высших порядков. 73
§ 5.5 Основные теоремы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
§ 5.6 Правило Лопиталя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
§ 5.7 Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
§ 5.8 Формула Тейлора для некоторых элементарных
функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
§ 5.9 Локальная формула Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88
§ 5.10 Ряд Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
§ 5.11 Исследование поведения функции с помощью понятия
производной (возрастание и убывание функции на отрезке,
локальный экстремум). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
§ 5.12 Исследование поведения функции с помощью понятия
производной (выпуклость, точки перегиба). . . . . . . . . . . . . . 96
Глава 6. Первообразная и неопределенный интеграл
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
§ 6.1 Определение первообразной и неопределенного
интеграла. Свойства неопределенного интеграла. . . . . . . . 102
§ 6.2
Неопределенные
интегралы
от
простейших
элементарных
функций.
Примеры
вычисления
неопределенных интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
§ 6.3 Отыскание первообразных для рациональных функций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
§ 6.4 Интегрирование некоторых иррациональных и
трансцендентных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
177
ИНТЕГРАЛ РИМАНА. НЕСОБСТВЕННЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
Глава 7. Определенный интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
§ 7.1 Определение интеграла Римана. Необходимое условие
интегрируемости функции по Риману. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
§ 7.2 Верхние и нижние интегральные суммы. . . . . . . . . . . . 124
§ 7.3 Необходимое и достаточное условие интегрируемости
функции по Риману. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
§ 7.4 Некоторые классы интегрируемых функций.. . . . . . .130
§ 7.5 Основные свойства интеграла Римана. . . . . . . . . . . . . . 134
§ 7.6 Свойства интеграла Римана, в которых фигурируют
неравенства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
§ 7.7 Интеграл как функция верхнего предела. . . . . . . . . . . 141
§ 7.8 Формула Ньютона-Лейбница.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143
§ 7.9 Общие приемы интегрирования.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
§ 7.10 Некоторые приложения интеграла Римана. . . . . . . . 150
Глава 8. Несобственные интегралы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
§ 8.1 Определения несобственных интегралов и некоторые
общие свойства несобственных интегралов.. . . . . . . . . . . . . .161
§ 8.2 Несобственные интегралы от неотрицательных
функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
§ 8.3 Интегрирование по частям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
§ 8.4 Несобственный интеграл и ряд. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
§ 8.5 Несобственный интеграл с особенностями в нескольких
точках. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
178
Дубровин Вячеслав Тимофеевич
ЛЕКЦИИ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ,
ЧАСТЬ I
Редактор Н.А. Холстинина
Компьютерная верстка автора
Дизайн обложки
179
Подписано в печать 2012г.
Бумага офсетная. Печать ризографическая.
10, 46
Формат 60x84 1/16. Гарнитура
. Усл. печ. л.
Уч.-изд. л. 9,5. Тираж 400экз. Заказ 177/4.
Казанский университет
420008, г.Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37
тел. (843) 233-73-59, 292-65-60
180