Царьков И.Г. - Математический анализ, 2 семестр (2013) - libgen.li

Математический анализ, 2-ой семестр
Царьков И.Г.
Оглавление
1 Множества и операции над ними.
1.1 Понятие множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Операции над множествами. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Декартово произведение множеств. Понятие отображения
1.4 Отношение порядка. Упорядоченные множества. . . . . .
1.5 Отношение эквивалентности. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
. 5
. 7
. 8
. 11
. 14
2 Множества действительных чисел.
15
2.1 Определение действительных чисел. . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Принцип полноты Вейерштрасса. Существование точной
верхней и точной нижней грани. . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Право- и левоиндуктивные множества. Целые и натуральные числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Принцип математической индукции. Конечные и бесконечные множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Геометрическая интерпретация множества действительных
чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Принцип полноты Кантора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.7 Открытые и замкнутые множества на прямой. . . . . . . . 32
2.8 Предельные и изолированные точки множеств. Критерий
замкнутости. Компактность. Принцип Больцано-Вейерштрасса. 35
2.9 Понятие равномощности множеств. Мощности Q и R. . . . 37
3 Числовые последовательности. Предел последовательности
3.1 Сходимость и ограниченность числовых последовательностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Бесконечно малые последовательности и их свойства. Арифметические и другие свойства предела последовательности.
3.3 Теорема Вейерштрасса о монотонной последовательности.
Число e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Расширенная числовая прямая. Предел в широком смысле.
Пределы типа ”e” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Частичный предел. Верхний и нижний пределы. . . . . . .
2
44
44
47
49
50
54
3
3.6 Критерий Коши существования предела числовой последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.7 Преобразование Тёплица. Теоремы Коши и Штольца . . . . 58
3.8 Понятие направленности и ее предела. . . . . . . . . . . . . 59
4 Предел функции.
4.1 Эквивалентные определения предела функции по Коши
Гейне. Свойства предела функции. Критерий Коши. . .
4.2 Односторонние пределы. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Пределы монотонных функций. . . . . . . . . . . . . . .
61
и
. . 61
. . 66
. . 67
5 Непрерывность функции.
5.1 Свойства функций, непрерывных в точке. Классификация
особых точек и точек разрыва. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Выпуклость промежутков. Теорема о продолжении монотонной функции. Классификация особенностей и точек разрыва монотонных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Теоремы о промежуточных значениях. Критерий непрерывности монотонной функции. Непрерывность обратной
функции на промежутке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Свойства непрерывных функций на компактах. Теоремы
Вейерштрасса и Кантора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Непрерывность простейших элементарных функций. . . . .
5.6 Переход к пределу под знаком функции. Замечательные
пределы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 База множеств. Предел по базе. . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Эквивалентные функции, их свойства. . . . . . . . . . . . .
69
69
72
74
76
79
82
83
89
6 Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
93
6.1 Производная, ее геометрический и механический смысл. . . 93
6.2 Понятие дифференцируемости функции. Дифференциал,
его геометрический смысл. Свойства дифференцируемых
функций в точке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3 Производные простейших элементарных функций. . . . . . 98
6.4 Производные и дифференциалы высших порядков. Инвариантность дифференциала 1-го порядка. . . . . . . . . . . 100
6.5 Необходимое условие экстремума. Основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ролля, Лагранжа,
Коши и Дарбу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.6 Достаточные условия монотонности. Доказательство неравенств при помощи производных. Раскрытие неопределенностей. Правила Лопиталя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
Формула Тейлора с остаточным членом в формах Пеано,
Лагранжа и Коши. Разложения некоторых элементарных
функций по формуле Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Ряды Тейлора и их сходимость. Ряды Тейлора некоторых
элементарных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Достаточные условия существования экстремума. . . . . . . 114
Выпуклость и вогнутость функции в точке и на промежутке.115
Достаточные условия выпуклости функции. Критерий выпуклости гладкой функции на промежутке. Точки перегиба.120
Выпуклые функции на линейных пространствах. . . . . . . 121
Неравенства Йенсена, Юнга, Гельдера, Коши-Буняковского,
Минковского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства.
Таблица интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Приложения. Итерационные методы. Метод Ньютона. . . . 128
7 Мера на кольце измеримых множеств. Интеграл Римана
для произвольной меры.
130
7.1 Внешняя мера Жордана и Лебега. Общая конструкция продолжения меры на класс измеримых подмножеств. . . . . 130
7.2 Мера на произведении колец. . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.3 Построение интеграла Римана для произвольной меры. Суммы Дарбу и их свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.4 Теорема Фубини для интеграла Римана. . . . . . . . . . . . 146
7.5 Интеграл Римана для отрезка. . . . . . . . . . . . . . . . . 148
1 Интеграл Римана и Римана-Стильтьеса для отрезка.
7
1.1 Интеграл Римана. Суммы Дарбу их свойства. . . . . . . . . 7
1.2 Критерий ограниченности функции, необходимые условие
интегрируемости. Функции скачков. . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Критерий интегрируемости Дарбу. . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Теорема Римана об интегрируемости функции. Достаточные условия интегрируемости. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Критерий Лебега интегрируемости функции. . . . . . . . . 24
1.6 Теорема о композиции с непрерывной функцией. Свойства
интеграла Римана-Стильтьеса. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7 Интегральные неравенства. Неравенства Гельдера, КошиБуняковского, Минковского. Теоремы о среднем. . . . . . . 33
1.8 Интеграл с переменным верхним пределом. Формула НьютонаЛейбница. Замена переменной и интегрирование по частям
в определенном интеграле Римана. . . . . . . . . . . . . . . 36
1.9 Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной
форме, формах Коши и Лагранжа. . . . . . . . . . . . . . . 38
5
1.10 Приложения интеграла Римана. Разложение в ряд Тейлора
функции ln(1 + x). Оценка частичной суммы ряда через
интеграл Римана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Тождество Абеля, суммирование по частям. Формула интегрирования по частям для интеграла Римана-Стильтьеса.
1.12 Вычисление интеграла Римана-Стильтьеса. Формула Бонне
(2-я теорема о среднем). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13 Функции ограниченной вариации. . . . . . . . . . . . . . . .
1.14 Критерий существования интеграла Римана-Стильтьеса относительно функции ограниченной вариации. . . . . . . . .
1.15 Несобственные интегралы Римана. Критерий Коши. Признаки Вейерштрасса, Дирихле, Абеля. . . . . . . . . . . . .
1.16 Замена переменной в несобственном интеграле и формула
интегрирования по частям. Теорема Фруллани. . . . . . . .
1.17 Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.18 Формула Стирлинга. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.19 Непрерывность неопределенного интеграла Римана. . . . .
2 Функции многих переменных. Предел и непрерывность.
2.1 Евклидовы и полуевклидовы пространства. . . . . . . . . .
2.2 Линейные нормированные пространства. Метрические пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Топологические пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Предел функции по базе в метрических и топологических
пространствах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Пределы и непрерывность в метрических и топологических
пространствах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Полнота метрических пространств. Критерий Коши. . . . .
2.8 Пределы и непрерывность в Rn . Полнота Rn . . . . . . . . .
2.9 Кратные и повторные пределы. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Кривые в Rn . Длина кривой. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Компакты в метрических и топологических пространствах.
2.12 Теорема Тихонова о произведении компактов. . . . . . . . .
2.13 Компакты в Rn . Критерий компактности в Rn . Теорема
Больцано-Вейерштрасса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14 Свойства непрерывных отображений на компактах. . . . .
2.15 Связные и выпуклые множества. . . . . . . . . . . . . . . .
2.16 Свойства линейных отображений в линейных нормированных пространствах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
41
43
44
48
51
57
59
59
61
63
63
66
71
74
77
79
84
91
93
97
100
107
109
111
113
117
6
3 Дифференцируемость функций многих переменных.
123
3.1 Понятие дифференцируемости. Свойства дифференцируемых отображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.2 Дифференцируемость в пространствах Rn . Теорема о дифференцировании сложной функции в Rn . . . . . . . . . . . 126
3.3 Геометрический смысл градиента. Формулы для вычисления производной по направлению. . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.4 Достаточное условие дифференцируемости. . . . . . . . . . 129
3.5 Частные производные высших порядков. Достаточные условия равенства смешанных производных. . . . . . . . . . . . 129
3.6 Производные и дифференциалы высших порядков. Инвариантность дифференциала 1-го порядка. . . . . . . . . . . 131
3.7 Формулы Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.8 Экстремумы функций многих переменных. Необходимые и
достаточные условия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.9 Формулы конечных приращений. . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.10 Теорема о неявной функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.11 Теоремы об обратном отображении и локальном диффеоморфизме. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.12 Касательная плоскость и нормаль к поверхности уровня. . 146
3.13 Условный экстремум. Необходимые и достаточные условия. 147
3.14 Зависимые функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Глава 1
Интеграл Римана и
Римана-Стильтьеса для отрезка.
1.1
Интеграл Римана. Суммы Дарбу их свойства.
Определение 1.1.1. Разбиением T отрезка [a, b] (a < b) называется упорядоченный набор точек {xi }ni=0 : a = x0 6 x1 6 . . . 6 xn = b. Множество
всех таких разбиений будем обозначать M = M[a, b]. Диаметром разбиения T называется величина λ(T ) = sup ∆xi , где ∆xi = xi − xi−1 – длина
i=1,n
i-го отрезка разбиения (i = 1, n).
Определение 1.1.2. Пусть f : [a, b] → R (a < b); Mi =
R, mi =
n
P
inf f ∈ R. Величины S(f, T ) =
[xi−1 ,xi ]
n
P
sup f ∈
[xi−1 ,xi ]
Mi ∆xi ∈ R и S(f, T ) =
i=1
mi ∆xi ∈ R называются соответственно верхней и нижней суммами
i=1
Дарбу.
Замечание 1.1.1. Поскольку Mi > −∞, mi < +∞ (i = 1, n), то суммы
Дарбу определены для произвольного разбиения T и S(f, T ) > −∞, S(f, T ) <
+∞. В разбиении T можно оставить только различные точки, при этом
верхняя и нижняя суммы Дарбу не изменятся. В дальнейшем, как правило, будем полагать, что xi−1 < xi для всех i = 1, n.
Определение 1.1.3. Пусть f : [a, b] →RR (a < b). Верхним (нижним)
R
∗
интегралом Римана назовем величину
f dx = inf S(f, T ) ( ∗ f dx =
T
sup S(f, T )). Если верхний и нижний интегралы конечны и равны друг
T
7
8
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
другу,
f называется интегрируемой по Риману, а величиR ∗ то функция
R
на
f dx = ∗ f dx называется интегралом Римана и обозначается как
Rb
f dx. Если a = b, то будем считать, что любая функция интегрируема
a
Rb
на отрезке [a, b], и a f dx = 0. Если a > b, то функция называется интеRb
Ra
def
грируемой, если она интегрируема на [b, a] и a f dx = − b f dx. Класс
всех интегрируемых на отрезке [a, b] функций обозначим через R[a, b].
Примеры.
½
1, x ∈ Q
. Для этой
0, x ∈ R \ Q
функции верхний и нижний интегралы на отрезке [0, 1] равны 1 и 0 соответственно. Таким образом, функция Дирихле ограничена и неинтегрируема на отрезке [0, 1].
2). Пусть f ≡ c ∈ R на отрезке [a, b]. Тогда верхний и нижний интегралы для этой функции в случае a < b равны c(b − a). Поэтому
Rb
f dx = c(b − a) и в общем случае. Отметим, что если функция f
a
отличается от постоянной c лишь в конечном числе точек, то это не
на значения верхнего и нижнего интегралов, а, следовательно,
Rвлияет
b
f dx = c(b − a). В частности, если f отличается от нуля в конечном
a
числе точек, то ее интеграл равен нулю.
1). Рассмотрим функцию Дирихле f =
Определение 1.1.4. Пусть f : [a, b] → R (a < b), T = {xi }ni=0 – разбиение
n
P
ωi ∆xi , где ωi =
отрезка [a, b]. Ω-суммой назовем величину Ω(f, T ) =
ω(f, [xi−1 , xi ]).
i=1
Замечание 1.1.2. Ω(f, T ) = S(f, T ) − S(f, T )) > 0.
Геометрический смысл сумм Дарбу и интеграла Римана.
Пусть f : [a, b] → R – неотрицательная интегрируемая функция,
(a < b). Нижняя и верхняя суммы Дарбу для некоторого разбиения
T = {xi }ni=0 равны соответственно площадям вписанной фигуры AT и
описанной фигуры BT , представляющих собой объединение прямоугольников [xi−1 , xi ] × [0, mi ] и [xi−1 , xi ] × [0, Mi ] (i = 1, n) соответственно. Рассмотрим криволинейную трапецию G = {(x, y) | x ∈ [a, b], y ∈ [0, f (x)]},
т.е. множество точек под графиком функции y = f (x) > 0. Поскольку
AT ⊂ G ⊂ BT , то G∆AT ⊂ BT ∆AT = BT \ AT , и, следовательно, внеш∗
∗
∗
(BT ) −
(G∆AT ) не превосходит νж
(BT \ AT ) = νж
няя мера Жордана νж
∗
νж (AT ) = S(f, T ) − S(f, T )) = Ω(f, T ). Для любого ε > 0 найдется раз∗
(G∆AT ) < ε,
биение T, для которого Ω(f, T ) < ε, а, следовательно, νж
множество
G измеримо по Жордану, и его мера Жордана равна
Rт.е.
Rb
∗
f dx = a f dx.
Рассмотрим обобщения сумм Дарбу и верхних (нижних) интегралов Римана.
1.1 Интеграл Римана.
9
Определение 1.1.5. Пусть f : [a, b] → R (a < b), α : [a, b] → R, α ↑,
n
P
T = {xi }ni=0 – разбиение отрезка [a, b]. Положим S α (f, T ) =
Mi ∆αi
и S α (f, T ) =
n
P
i=1
mi ∆αi , где ∆αi = α(xi ) − α(xi−1 ), Mi =
i=1
inf f. И Ωα -суммой назовем величину Ωα (f, T ) =
[xi−1 ,xi ]
n
P
sup f, mi =
[xi−1 ,xi ]
ωi ∆αi , где ωi =
i=1
ω(f, [xi−1 , xi ]). Верхним и нижним интегралом Римана-Стильтьеса
функR∗
ции f относительно меры dα называются величины
f dα = inf S α (f, T )
T
R
и ∗ f dα = sup S α (f, T ) соответственно. Если верхний и нижний интеграT
лы равны некоторому числу A ∈ R, то функция f называется интегрируемой, а число A называется интегралом
R bРимана-Стильтьеса функции
f относительно меры dα, и обозначается a f dα. Класс всех интегрируемых на [a, b] в смысле Римана-Стильтьеса функций относительно меры
dα (или еще говорят: относительно функции α) обозначим через Rα [a, b].
Rb
В случае, когда a = b, положим по определению f ∈ Rα [a, b] и a f dα = 0
для любой функции на этом отрезке. Если a > b, то функция называется
Rb
Ra
def
интегрируемой, если она интегрируема на [b, a] и a f dα = − b f dα.
Замечание 1.1.3. Суммы Дарбу и Ωα -суммы могут быть неопределены
для некоторого разбиения T в случае, если ∆αi = 0 и величина mi (Mi )
бесконечна для некоторого индекса i. Если нет ни одной определенной
нижней (верхней) суммы Дарбу, то неопределен нижний (верхний) интеграл. Однако, если α ↑↑ или f – ограничена, то все суммы Дарбу и
Ωα -суммы определены.
Замечание 1.1.4. Если существует разбиение T ∈ M, для которого определена и конечна нижняя (верхняя) сумма Дарбу, то f ограничена снизу
(сверху). В этом случае все нижние (верхние) суммы Дарбу определены и
конечны. Отметим, что если нижняя (верхняя) сумма Дарбу определена
и бесконечна, то она равна −∞ (+∞). Отсюда вытекает, что любая другая нижняя (верхняя) сумма Дарбу либо неопределена, либо равна −∞
(+∞), и, следовательно, нижний (верхний) интеграл равен −∞ (+∞).
Доказательство. Если сумма S α (f, T ) =
n
P
i=1
mi ∆αi (S α (f, T ) =
n
P
Mi ∆αi )
i=1
определена и конечна, то определены и конечны члены суммы mi ∆αi (Mi ∆αi )
для всех i = 1, n. Отсюда следует, что mi (Mi ) ∈ R для всех i = 1, n.
Поэтому функция f ограничена снизу (сверху) числом m = min mi
i=1,n
(M = max Mi ). Поэтому все члены любой нижней (верхней) суммы Дарi=1,n
бу определены и конечны, а, следовательно, определены и конечны сами
суммы. Остальные утверждения тривиально вытекают из рассмотренного случая.
10
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
Замечание 1.1.5. Для α(x) ≡ x интеграл
Rb
a
f dα равен
Rb
a
f dx.
Упражнение 1. Пусть δ > 0. Рассмотрим некоторую ограниченную функцию f : [c, d] → R, f ∈ C(a) (a ∈ [c, d]). Построим
½ монотонно возрасδ, x > c
тающую функцию α : [c, d] → R, положив α =
в случае
0,
x=c
½
δ, x = d
a = c; и α =
в случае a = d; а если a ∈ (c, d), то положим
0, x < d
½
Rd
δ, x > a
α=
и α(a) ∈ [0, δ]. Докажите, что c f dα = f (a).
0, x < a
Определение 1.1.6. Разбиение T 0 отрезка [a, b] является измельчением
разбиения T того же отрезка, если T 0 ⊃ T. Обозначение T 0 ≺ T.
Замечание 1.1.6. Если T 0 = {xi }ni=0 – измельчение T, то T = {xim }km=0 и
x0 = xi0 = a, xn = xik = b.
Лемма 1.1.1. Пусть a < b; α, f : [a, b] → R, α ↑; T, T 0 , T1 , T2 – произвольные разбиения отрезка [a, b] и T 0 ≺ T. Тогда
1. S α (f, T ) 6 S α (f, T ); S α (−f, T ) = −S α (f, T ); S α (−f, T ) = −S α (f, T );
2. S α (f, T 0 ) 6 S α (f, T ); S α (f, T 0 ) > S α (f, T ); Ωα (f, T 0 ) 6 Ωα (f, T );
Z
3. S α (f, T1 ) 6
Z
f dα 6
∗
f dα 6 S α (f, T2 ).
∗
4. Для β : [a, b] → R, β ↑ верны равенства:
S α+β (f, T ) = S α (f, T ) + S β (f, T ), S α+β (f, T ) = S α (f, T ) + S β (f, T ),
Z
Z
Z
Z ∗
Z ∗
Z ∗
f d(α + β) = f dα + f dβ,
f d(α + β) =
f dα +
f dβ.
∗
∗
∗
При условии, что соответствующие величины и выражения в каждом соотношении определены.
Доказательство.
1. Неравенство S α (f, T ) > S α (f, T ) вытекает из того, что ∆αi > 0 и
Mi (f ) = sup f > mi (f ) = inf f. Равенства в этом пункте вытекают
[xi−1 ,xi ]
[xi−1 ,xi ]
из соотношений mi (−f ) = −Mi (f ), Mi (−f ) = −mi (f ).
2. Докажем, что S α (f, T 0 ) 6 S α (f, T ). Пусть T 0 = {xi }ni=0 , T = {xim }km=0 ;
Mm =
sup f, Mi0 = sup f (m = 1, k; i = 1, n). Тогда Mj0 6
[xim−1 ,xim ]
[xi−1 ,xi ]
1.1 Интеграл Римана.
11
Mm для всех j : im−1 < j 6 im . Поэтому S α (f, T 0 ) =
k
P
im
P
Mi0 (α(xj ) − α(xj−1 )) 6
m=1 j=im−1 +1
k
im
P
P
m=1
Mm
(α(xj ) − α(xj−1 )) =
j=im−1 +1
k
P
im
P
m=1 j=im−1 +1
k
P
m=1
n
P
i=1
Mi0 ∆αi =
Mm (α(xj ) − α(xj−1 )) =
Mm (α(xim ) − α(xim−1 )) = S α (f, T ).
Второе неравенство в пункте 2 доказывается аналогично. Третье неравенство следует из первых двух Ωα (f, T 0 ) = S α (f, T 0 )−S α (f, T 0 ) 6 S α (f, T )−
S α (f, T ) = Ωα (f, T ).
3. Случай, когда все определенные нижние или все верхние суммы
Дарбу бесконечны тривиален, поскольку в первом случае нижние суммы и нижний интеграл равны −∞, а во втором – верхние суммы и верхний интеграл равны +∞. В случае же, когда есть конечные верхняя и
нижняя суммы Дарбу в силу замечания 1.1.4 функция f ограничена,
а, следовательно, все суммы Дарбу определены и конечны. Пусть T 0 –
измельчение разбиения T1 , T2 (например, T 0 состоит из всех точек разбиений T1 , T2 ). Тогда в силу пункта 2 верны неравенства: S α (f, T1 ) 6
0
S α (f, T 0 ) 6 S α (f,
R ∗T ) 6 S α (f, T2 ). По определению инфимума S α (f, T1 ) 6
f dα. С другой стороны, из полученного неравенства
inf S α (f, T2 ) =
T2
R∗
S α (f, T1 ) 6
супремуf dα (для
R всех разбиений T1 ) поR определению
∗
ма верно неравенство ∗ f dα = sup S α (f, T1 ) 6
f dα. Таким образом,
T1
R
R∗
f dα 6 S α (f, T2 ).
S α (f, T1 ) 6 ∗ f dα 6
4. Равенства для сумм Дарбу следует из определений. При этом, если
какая-то нижняя (верхняя) сумма Дарбу в правой части соответствующего равенства равна −∞ (+∞), то и в левой части этого равенства
нижняя (верхняя) сумма Дарбу относительно α + β равна −∞ (+∞).
В этом случае, конечно, соответствующие нижние (верхние) интегралы
равны −∞ (+∞). И, следовательно, из предположения, что выражения
в левой части определены, мы получим, что слева и справа от знака равенства стоят выражения равные бесконечности одного знака. Рассмотрим теперь случай, когда нижние (верхние) суммы Дарбу относительно
функций α и β конечны, тогда функция f будет ограничена соответственно снизу (сверху). В этом случае все суммы Дарбу относительно
функций α, β и также α + β будут конечны для всех разбиений отрезка.
Для произвольных разбиений T1 , T2 и T0 ≺ T1 , T2 верны Rсоотношения:
S α (f, T1 ) + S β (f, T2 ) 6 S α (f, T0 ) + S β (f, T0 ) = S α+β (f, T0 ) 6 ∗ f d(α + β) =
sup S α+β (f, T ) = sup(S α (f, T ) + S β (f, T )) 6 sup S α (f, T ) + sup S β (f, T ) =
T
T
T
RT
R
R
R
f
dα
+
f
dβ.
Поэтому
f
dα
+
f
dβ
=
sup
S
(f,
T
)
+
sup
S β (f, T2 ) =
1
α
∗
∗
∗
∗
T2
R
RT1
R
R
sup (S α (f, T1 ) + S β (f, T2 )) 6 ∗ f d(α + β) 6 ∗ f dα + ∗ f dβ. Т.е. ∗ f d(α +
T1 ,T2 R
R
β) = ∗ f dα + ∗ f dβ. Аналогично доказывается равенство для верхних
интегралов.
12
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
R
Следствие
1.1. Если m 6 f 6 M, то m(α(b) − α(a)) 6
R∗
f dα 6 M (α(b) − α(a)).
∗
f dα 6
Доказательство. Следует из пункта 3 для разбиений T1 = T2 = {a, b}.
Из пункта 4 вытекает
Следствие 1.2. Если f ∈ Rα [a, b]∩Rβ [a, b], то f ∈ Rα+β [a, b], и
Rb
Rb
β) = a f dα + a f dβ.
Rb
a
f d(α+
Из пункта 3 вытекает
R∗
R
Следствие 1.3. Выполняются неравенства 0 6
f dα− ∗ f dα 6 S α (f, T )−
S α (f, T ) = Ωα (f, T ), при условии, что соответствующие величины и
выражения в каждой части неравенства определены.
На самом деле, верно более сильное утверждение.
R∗
Лемма
1.1.2.
Пусть
a
<
b;
α,
f
:
[a,
b]
→
R,
α
↑
.
Тогда
f dα −
R
f dα = inf Ωα (f, T ) (при условии, что соответствующие величины и
∗
T
выражения в каждой части неравенства определены).
Доказательство. Если функция f неограничена, то все определенные
омега-суммы будут равны +∞, и, по-крайней мере, один из интегралов
будет бесконечен (это вытекает из теоремы 1.4, которая доказывается
далее). Учитывая, что верхний интеграл не меньше нижнего, и их разность считается определенной, мы получим, что в этом случае разность
интегралов равна +∞. Отсюда вытекает требуемое равенство.
Рассмотрим теперь случай, когда функция f ограничена. В этом случае все омега-суммы, суммы ДарбуRи верхний
R и нижний интегралы опре∗
делены и конечны. Действительно, f dα− ∗ f dα = inf S α (f, T2 )− sup S α (f, T1 )
T2
= inf (S α (f, T2 )−S α (f, T1 )) >
T1 ,T2
inf (S α (f, T3 )−S α (f, T3 )) =
T3 ≺T1 ,T2
T1
inf
T3 ≺T1 ,T2
Ωα (f, T3 ) >
inf Ωα (f, T ). Отсюда и из следствия 1.3 вытекает нужное равенство.
T
1.2
Критерий ограниченности функции, необходимые условие интегрируемости. Функции скачков.
Теорема 1.4. Пусть a < b; α, f : [a, b] → R, α ↑ . Тогда следующие
условия равносильны:
1. Функция f ограничена;
1.2 Необходимое условие интегрируемости.
13
2. ∃T (∀T ) ∈ M Ωα (f, T ) ∈ R;
3. ∃T
R ∗ (∀T ) R∈ M S α (f, T ), S α (f, T ) ∈ R;
4.
f dα, ∗ f dα ∈ R.
Доказательство.
1⇒2 Если |f | 6 M, то ωi = ω(f, [xi−1 , xi ]) 6 2M, следовательно, 0 6
n
P
Ωα (f, T ) 6 2M
∆αi = 2M (α(b) − α(a)) < +∞.
i=1
2⇒3 Если найдется разбиение T = {xi }ni=0 , для которого Ωα (f, T ) определена и конечна, то все члены этой суммы ω(f, [xi−1 , xi ])∆αi определены
и конечны. Поэтому ω(f, [xi−1 , xi ]) = Mi − mi ∈ R для всех i = 1, n. Учитывая, что Mi > −∞, mi < +∞, получим, что это возможно только в
случае, когда Mi < +∞, mi > −∞, т.е. mi , Mi ∈ R (i = 1, n). Следовательно, S α (f, T ), S α (f, T ) ∈ R. Более того, функция f ограничена сверху
числом M = max Mi , а снизу числом m = min mi , т.е. ограничена, слеi=1,n
i=1,n
довательно, все суммы Дарбу определены и конечны.
R
R∗
3⇒4 Следует из неравенства −∞ < S α (f, T ) 6 ∗ f dα 6
f dα 6
S α (f, T ) < +∞.
4⇒1 Конечность верхнего и нижнего интегралов влечет существование
таких разбиений T1 , T2 , для которых конечны и определены S α (f, T1 ) и
S α (f, T2 ). Из замечания 1.1.4 вытекает ограниченность функции f.
Следствие 1.5 (необходимое условие интегрируемости). Если f ∈
Rα [a, b], α ↑, то функция f ограничена.
Из этого следствия вытекает, что следующее определение эквивалентно определению 1.1.5 интегрируемости по Риману-Стильтьесу.
Определение 1.2.1. Функция f : [a, b] → R интегрируема по РимануСтильтьесу относительно монотонно возрастающей функции α : [a, b] →
R, если функция f ограничена, и верхний и нижний интегралы этой
функции равны.
Определение 1.2.2. Пусть a ∈ E ⊂ R. Функция f : E → R называется
непрерывной справа (слева) в точке a ∈ R, если f
∈ C(a) (f
∈
E+
C(a)), где E+ = {x ∈ E | x > a} (E− = {x ∈ E | x 6 a}).
E−
Определение 1.2.3. Пусть a ∈ E ⊂ R, f : E → R. Величины ω(f, a) =
lim ω(f, E ∩ [a − δ, a + δ]) ∈ R, ω+ (f, a) = ω(f , a) = lim ω(f, E ∩ [a, a +
E+
δ→0+
δ]) ∈ R (ω− (f, a) = ω(f
E−
δ→0+
, a) = lim ω(f, E ∩ [a − δ, a]) ∈ R) называются
δ→0+
колебанием функции в точке a, колебанием функции в точке a справа
(слева), где E+ = {x ∈ E | x > a} (E− = {x ∈ E | x 6 a}).
Замечание 1.2.1. Для функций f, g : E → R и числа c ∈ R выполняются
соотношения: ω(cf, E) = |c|ω(f, E) и ω(f, E) − ω(g, E) 6 ω(f ± g, E) 6
ω(f, E) + ω(g, E) (при условии, что соответствующие выражения определены в расширенном смысле).
14
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
Замечание 1.2.2. ω(f, x) > max{ω+ (f, x), ω− (f, x)}.
Корректность. Функция F (δ) = ω(f, E∩[x−δ, x+δ]) (а, следовательно, функция ω(f , [x−δ, x+δ]) = ω(f, E∩[x, x+δ])∨ω(f , [x−δ, x+δ]) =
E+
E−
ω(f, E ∩ [x − δ, x])) монотонно возрастает по δ, и ограничена снизу нулем,
следовательно, существует предел этой функции в расширенном смысле, равный ω(f, x) (ω+ (f, x) ∨ ω− (f, x)). При этом этот предел оценивает
снизу функцию F (δ) для любого δ > 0.
Замечание 1.2.3. Из замечания 1.2.1 легко вытекают соотношения: ω(cf, x) =
|c|ω(f, x) и ω(f, x) − ω(g, x) 6 ω(f ± g, x) 6 ω(f, x) + ω(g, x) (при условии,
что соответствующие выражения определены в расширенном смысле),
где точка x из области определения функций f, g.
Лемма 1.2.1. Пусть a ∈ E ⊂ R, f : E → R. Тогда функция f непрерывна в точке a ⇔ ω(f, a) = 0.
Доказательство.
⇒ Пусть функция f непрерывна в точке a, то в силу критерия Коши
существования предела по базе B = {E ∩ Oδ (a)} выполняется условие:
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y1 , y2 ∈ E ∩ Oδ (a) |f (y1 ) − f (y2 )| 6 ε. Следовательно,
ω(f, a) 6 ω(f, E ∩ [a − 2δ , a + 2δ ]) 6 ε. Отсюда следует, что ω(f, a) = 0.
⇐ Пусть ω(f, a) = 0. Тогда ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ω(f, E ∩ [a − δ, a + δ]) 6 ε.
Поэтому |f (x) − f (a)| 6 ω(f, E ∩ [a − δ, a + δ]) 6 ε для всех x ∈ E ∩ Oδ (a),
т.е. f ∈ C(a).
Следствие 1.6. Пусть a ∈ E ⊂ R, ϕ : E → R. Тогда функция ϕ непрерывна справа (слева) в точке a ⇔ ω+ (ϕ, a) = 0 (ω− (ϕ, a)) = 0.
Доказательство. Следует из леммы 1.2.1 для случая функции f = ϕ
ϕ
E−
).
E+
(f =
Следствие 1.7. f ∈
/ C(a) ⇔ ω(f, a) > 0.
Из замечания 1.2.3 вытекает следующее утверждение.
Следствие 1.8. Пусть f, g : E → R, f ∈ C(a). Тогда ω(f ± g, a) =
ω(g, a).
Лемма 1.2.2. Пусть y ∈ E ⊂ R, f : E → R. Тогда
1). Если y ∈ (a, b), то ω(f, E ∩ [a, b]) > ω(f, y);
2). Если y = a (y = b), то ω(f, E ∩ [a, b]) > ω+ (f, y) (ω− (f, y));
Доказательство.
1). Если y ∈ (a, b), то найдется δ > 0 такое, что [y − δ, y + δ] ⊂ [a, b],
следовательно, ω(f, y) 6 ω(f, E ∩ [y − δ, y + δ]) 6 ω(f, E ∩ [a, b]).
2). Если y = a (y = b), то найдется δ > 0 такое, что [y, y+δ] ([y−δ, y]) ⊂
[a, b], следовательно, ω(f, y) 6 ω(f, E ∩ [y, y + δ]) (ω(f, E ∩ [y − δ, y]) 6
ω(f, E ∩ [a, b]).
1.2 Необходимое условие интегрируемости.
15
Определение 1.2.4. Для функции f : E → R (E ⊂ R) через ω(f, δ) обозначим модуль непрерывности этой функции, т.е. величину sup{|f (x) −
f (y)| | x, y ∈ E, |x − y| 6 δ}.
Следующее утверждение обобщает теорему Кантора о равномерной
непрерывности.
Лемма 1.2.3. Пусть f : E → R, E ⊂ R – компакт, и для любого x ∈ E
ω(f, x) < ε. Тогда существует число δ > 0 такое, что ω(f, δ) < ε.
Доказательство. В силу теоремы о сохранении знака предела для каждой точки x ∈ E найдется число δ = δ(x) > 0 такое, что ω(f, [x − 2δ, x +
2δ] ∩ E) < ε. Из открытого покрытия {Oδ(x) (x)}x∈E компакта E можно
выделить конечное подпокрытие {Oδ(xi ) (xi )}ni=1 . Пусть δ = min {δ(xi )}.
i=1,n
Тогда для любых точек x, y ∈ E : |x − y| 6 δ найдется номер m, для
которого x ∈ Oδ(xm ) (xm ), следовательно, |y − xm | 6 |y − x| + |x − xm | <
δ + δ(xm ) 6 2δ(xm ). Поэтому x, y ∈ [xm − 2δ(xm ), xm + 2δ(xm )], и, следовательно, |f (x) − f (y)| 6 ω(f, [xm − 2δ(xm ), xm + 2δ(xm )] ∩ E) < ε.
Теорема 1.9 (необходимое условие интегрируемости). Пусть a <
b; α, f : [a, b] → R, α ↑, f ∈ Rα [a, b]. Тогда, если x ∈ [a, b] – точка разрыва
функций f и α, то f и α непрерывны в точке x с разных сторон.
Доказательство. Условие, что функции f и α непрерывны в точке x с
разных сторон, равносильно тому, что они и разрывны с разных сторон
в точке x. Если бы функции были разрывны с одной стороны, например,
справа, то для любого отрезка [c, d] ⊂ [a, b] : x ∈ [c, d) была бы верна оценка ω(f, [c, d])(α(d) − α(c)) = ω(f, [c, d])ω(α, [c, d]) > ω+ (f, x)ω+ (α, x) > 0. В
этом случае для всех разбиений T = {xi }ni=0 отрезка [a, b] верно неравенство Ωα (f, T ) > ω(f, [xi−1 , xi ])∆αi > ω+ (f, x)ω+ (α, x), где x ∈ [xi−1 , xi ). В
силу леммы 1.1.2 разность верхнего и нижнего интегралов, их не меньше
Ωα (f, T ) > ω+ (f, x)ω+ (α, x) > 0. Поэтому f ∈
/ Rα [a, b], что противоречит
условию.
Пример. Пусть ограниченная функция f : [a, b] → R полунепрерывна слева (справа) в точке t0 ∈ (a, b), и монотонная функция α, равная
нулю при x < t0 и δ > 0 при x > t0 , полунепрерывна справа (слева) в
Rb
точке t0 . Тогда f ∈ Rα [a, b], и a f dα = f (t0 )δ.
Доказательство. Пусть T = {xi }ni=0 – разбиение отрезка [a, b], содержащее точку t0R, тогда RS α (f, T ) = mi δ, S α (f, T ) = Mi δ, где t0 = xi (xi−1 ).
∗
f dα, ∗ f dα находятся между mi δ и Mi δ, которые в силу
Тогда числа
непрерывности функции слева (справа) f в точке t0 стремятся к f (t0 )δ
Rb
при λ(T ) → 0. Поэтому f ∈ Rα [a, b], и a f dα = f (t0 )δ.
16
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
Определение 1.2.5. Монотонно возрастающую функцию h(x) =
P
δj ϕj (x)
j
назовем функцией скачков, если для каждого индекса j функция ϕj (·) :
R → R равна нулю на (−∞, xj ) и единице
Pна (xj , +∞), числа δj положительны (величина скачка в точке xj ), и
δj < +∞.
j
С каждой монотонно возрастающей функцией α : [a, b] → R, имеющей
не более, чем счетное множество
P{xj } точек разрыва, мы будем связывать функцию скачков hα (x) =
δj ϕj (x). При этом, если xj ∈ (a, b), то
j
будем полагать, что δj = α(xj + 0) − α(xj − 0). В этом случае функция
α − δj ϕj монотонно возрастает и имеет устранимую особенность в точке
xj , т.к. пределы слева и справа у нее в этой точке одинаковы. Доопределим ϕj в точке xj так, чтобы функция α − δj ϕj стала непрерывной в
этой точке.
Если xj = a (b), то положим δj = α(a + 0) − α(a) (δj = α(b) − α(b − 0))
и ϕj (xj ) = 0 (= 1).
Таким образом, функция α − δj ϕj непрерывна в точке xj для каждого индекса j. Отсюда вытекает, что функция α − hα непрерывна на
отрезке [a, b]. Кроме того, нетрудно видеть, что по построению функции
δj ϕj неотрицательны и монотонно возрастающие, а поэтому функция hα
– неотрицательная монотонно
возрастающая функция. В дальнейшем
P
δj 6 α(b) − α(a) (см лемму 1.2.5).
будет показано, что
j
В случае, когда α ∈ C[a, b], то будем полагать hα ≡ 0 (здесь действует
договоренность о том, что сумма по пустому множеству индексов равна
нулю).
Отметим, что если монотонная функция α в каждой своей точке разрыва односторонне непрерывна, то в этих точках функция скачков hα
также односторонне непрерывна с той же стороны, что и функция α.
P
Пример. Пусть h(x) = hN (x) =
δj ϕj (x) – монотонная функция
j
{xj }N
j=1 ,
скачков с разрывами в точках
а f – ограниченная на [a, b] функция, и в каждой общей точке разрыва с функцией h (если эти точки
найдутся) эти функции односторонне непрерывны с противоположных
N
Rb
P
сторон. Тогда f ∈ Rh [a, b], и a f dh =
δj f (xj ). Отметим, что в сиj=1
лу упражнения на стр. 10 в точках непрерывности функции f значение
в этой точке функции hN влияния ни на интегрируемость функции f
относительно h, ни на значение интеграла.
Доказательство. В силу следствия 1.2 по принципу математической индукции из предыдущего примера для функций αj = δj ϕj (x) (j = 1, N ),
N R
N
N
¢ P
Rb ¡ P
P
b
выводится равенство a f d
f
dα
=
δj f (xj ).
αj =
j
a
j=1
j=1
j=1
1.2 Необходимое условие интегрируемости.
17
Лемма 1.2.4. Пусть ограниченная функция f : [a, b] → R вPкаждой
общей точке разрыва с некоторой функции скачков h(x) =
δj ϕj (x)
j
(если эти точки найдутся) односторонне непрерывна с противоположRb
P
ной стороны. Тогда f ∈ Rh [a, b], и a f dh =
δj f (xj ).
j
Доказательство. В силу упражнения на стр. 10, примера
Pна стр. 16 и
принципа математической индукции для функции hN =
δj ϕj (x) выj6N
Rb
P
полняются свойства f ∈ RhN , и a f dhN =
δj f (xj ). Пусть |f | 6 M,
j6N
P
hN = h − hN =
δj ϕj (x), тогда в силу следствия 1.1 −M (hN (b) −
j>N
R
R∗
R
hNR(a)) 6 ∗ f dhN 6
f dhN 6 M (hN (b) − hN (a)), т.е.
интегралы
f dhN
∗
P
∗
и
f dhN не превосходят по модулю величины M
δj → 0 (N → ∞).
j>N
R
R
R
Поэтому
в силу
пунктаP4 леммы 1.1.1 ∗ f dh = ∗ f dhN + ∗Rf dhN =
R
P
∗
δj f (xj ) + ∗ f dhN →
δj f (xj ). Аналогично верно равенство
f dh =
j
j6N
Rb
P
P
δj f (xj ). Следовательно, существует интеграл a f dh =
δj f (xj ).
j
j
Следующее утверждение показывает, что любую монотонно возрастающую функцию α : [a, b] → R можно представить в виде суммы монотонно возрастающей непрерывной функции и функции скачков.
Лемма 1.2.5. Для функции hα (x) =
P
j
δj ϕj (x) верно неравенство:
P
δj 6
j
α(b) − α(a), и функция β = α − hα непрерывна и монотонно возрастает
на [a, b].
def P
def
Доказательство. Рассмотрим функции hN (x) =
δj ϕj (x) и hN (x) =
j6N
P
N
δj ϕj (x), тогда hα = hN + h . Отметим, что функция βN (·) = α(·) −
j>N
hN (·) непрерывна, во всех точках xj (j 6 N ), а также во всех точках
непрерывности функции α. Монотонность βN (·) для всех N докажем по
индукции.
1◦ . β0 (·) = α(·) ↑ .
2◦ . Предположим, что βN ↑, и докажем, что βN +1 = βN − δN +1 ϕN +1 ↑ .
На промежутке [a, xN +1 ) функции βN и βN +1 совпадают, а на промежутке (xN +1 , b] отличаются на константу δN +1 . Поэтому на каждом из
этих промежутков функция βN +1 монотонно возрастает. Кроме того,
βN +1 (x) = βN (x) 6 βN (xN +1 − 0) = βN +1 (xN +1 − 0) = βN +1 (xN +1 ) =
βN +1 (xN +1 + 0) = βN (xN +1 + 0) − δN +1 6 βN (y) − δN +1 = βN +1 (y) для
любых x, y ∈ [a, b] : x 6 xN +1 6 y. Таким образом, βN +1 монотонно
возрастает на отрезке [a, b].
18
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
3◦ . Переходя к пределу при N → ∞ в неравенстве βN (x) 6 βN (y)
(∀x, y ∈ [a, b] : x < y), получим, что β(x) 6 β(y) для всех x, y ∈ [a, b] : x <
y, т.е. β ↑ .
Из
P монотонности β следует, что β(b) − β(a) > 0, и, следовательно,
06
δj = hα (b) − hα (a) 6 α(b) − α(a). Отметим, что в силу монотоного
j
P
возрастания частичных сумм AN =
δj и их ограниченности сверху
j6N
P
у ряда
δj есть конечная сумма A (теорема 3.14 (Вейерштрасса)), а,
j
P
следовательно, A − AN =
δj → 0 (N → ∞).
j>N
Поскольку колебание функции βN во всех точках отрезка [a, b]\{xj }j>N
(j > N ), то для всех точек x ∈ [a, b] верравно нулю, и ω(βN , xj ) = δjP
но неравенство ω(βN , x) 6
δj . Поэтому, учитывая, что ω(hN , x) 6
j>N
P
ω(hN , [a, b]) 6
δj , мы получим оценку ω(β, x) = ω(βN − hN , x) 6
j>N
P
ω(βN , x)+ω(hN , x) 6 2
δj → 0 (N → ∞), а, следовательно, ω(β, x) = 0
j>N
для всех точек x ∈ [a, b]. Следовательно, функция β – непрерывна на отрезке [a, b].
1.3
Критерий интегрируемости Дарбу.
def
Определение 1.3.1. Базу Bλ = Bλ (M) = {Bδ }δ>0 , где Bδ = {T ∈ M |
λ(T ) < δ}, будем называть базой ”λ(T ) → 0”.
Замечание 1.3.1. Для любых δ1 , δ2 > 0 верно равенство Bδ1 ∩ Bδ2 = Bδ ,
где δ = min{δ1 , δ2 }.
def
Определение 1.3.2. Базу Bσ = Bσ (M) = {BT }T ∈M , где BT = {T 0 ∈ M |
T 0 ≺ T }, будем называть базой измельчения.
Замечание 1.3.2. Для любых разбиений T1 , T2 верно равенство BT1 ∩
BT2 = BT1 ∪T2 .
Замечание 1.3.3. База Bσ подчинена Bλ , т.к. множество BT ∈ Bσ содержится во множестве Bλ(T ) ∈ Bλ . Отсюда следует, что если существует
предел по базе Bλ , то существует предел и по базе Bσ , и в этом случае
эти пределы одинаковы.
Замечание 1.3.4. По этим базам можно рассматривать пределы следующих отображений: F (T ) = Ωα (f, T ) ∨ S α (f, T ) ∨ S α (f, T ). При этом
1). ∃ lim F (T ) = lim F (T ) = A ∈ R ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀T ∈ M :
Bλ
λ→0
λ(T ) < δ |F (T ) − A| < ε;
2). ∃ lim F (T ) = A ∈ R ⇔ ∀ε > 0 ∃T ∈ M : ∀T 0 ≺ T |F (T 0 ) − A| < ε.
Bσ
1.3 Критерий интегрируемости Дарбу.
19
Теорема 1.10 (критерий Дарбу). Пусть a < b; α, f : [a, b] → R, α ↑ .
Тогда следующие условия равносильны:
а). f ∈ Rα [a, b];
б). inf Ωα (f, T ) = 0;
T
в). ∃ lim Ωα (f, T ) = 0.
Bσ
Доказательство.
R∗
R
а)⇒б) Пусть f ∈ Rα [a, b], тогда
f dα = ∗ f dα = I ∈ R, и, в силу
леммы 1.1.2 inf Ωα (f, T ) = 0.
T
б)⇒в) Если inf Ωα (f, T ) = 0, то ∀ε > 0 ∃T ∈ M Ωα (f, T ) < ε. ОтT
сюда следует, что для любого измельчения T 0 ≺ T верно неравенство
0 6 Ωα (f, T 0 ) 6 Ωα (f, T ) < ε, поэтому ∃ lim Ωα (f, T ) = 0.
Bσ
в)⇒а) Если lim Ωα (f, T ) = 0, то ∀ε > 0 ∃T ∈ M : ∀T 0 ≺ T Ωα (f, T 0 ) < ε.
Bσ
Следовательно, функция f ограничена, и inf Ωα (f, T ) = 0. СледовательT
но, в силу леммы 1.1.2 верхний и нижний интегралы конечны и равны
друг другу, т.е. f ∈ Rα [a, b].
Следствие 1.11. Если ∃ lim Ωα (f, T ) = 0, то f ∈ Rα [a, b].
λ(T )→0
Пример. Из того, что f ∈ Rα [a, b] не следует, вообще говоря, что
∃ lim Ωα (f, T ) = 0. Действительно, пусть
λ(T )→0
½
½
1, x ∈ [0, 1]
1, x ∈ (0, 1]
f=
, α=
.
0, x ∈ [−1, 0)
0, x ∈ [−1, 0]
Для любого разбиения T1 , содержащего ноль, Ωα (f, T1 ) = 0. Следовательно, inf Ωα (f, T ) = 0, и по критерию Дарбу f ∈ Rα [−1, 1]. С другой
T
стороны, для любого разбиения T2 , не содержащего ноль, Ωα (f, T2 ) = 1,
т.е. ∃
/ lim Ωα (f, T ).
λ(T )→0
Теорема 1.12. Пусть a < b; α, f : [a, b] → R, α ↑ . Тогда ∃ lim Ωα (f, T ) =
Bσ (Bλ )
0 ⇔ ∃ lim S α (f, T ) = lim S α (f, T ) = A ∈ R. При этом f ∈ Rα [a, b], и
B (B )
Bσ (Bλ )
Rb σ λ
A = a f dα.
Доказательство.
⇒ В силу критерия Дарбу из существования предела lim Ωα (f, T ) =
Bσ (Bλ )
Rb
0 вытекает, что f ∈ Rα [a, b]. Поскольку S α (f, T ) 6 a f dα 6 S α (f, T ), то
Rb
Rb
| a f dα−S α (f, T )|, | a f dα−S α (f, T )| 6 S α (f, T )−S α (f, T ) = Ωα (f, T ) →
0 по базе Bσ (Bλ ), и, следовательно, по теореме о 2-х милиционерах ∃ lim S α (f, T ) =
Bσ (Bλ )
20
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
lim S α (f, T ) =
Bσ (Bλ )
Rb
a
f dα.
⇐ В силу арифметических свойств предела ∃ lim Ωα (f, T ) = lim S α (f, T )−
Bσ (Bλ )
Bσ (Bλ )
lim S α (f, T ) = 0, следовательно, в силу критерия Дарбу f ∈ Rα [a, b], и
Bσ (Bλ )
Rb
предыдущего пункта, A = a f dα.
Упражнение 2. Для любой
R ограниченной функции
R ∗f : [a, b] → R верны
равенства ∃ lim S α (f, T ) = ∗ f dα, ∃ lim S α (f, T ) =
f dα.
Bσ
Bσ
Далее выясним при каких же условиях на функцию α интегрируемость функции f эквивалентна условию lim Ωα (f, T ) = 0.
λ(T )→0
Лемма 1.3.1. Пусть a < b; α, f : [a, b] → R, α ↑; |f | 6 M, и пусть
разбиение T 0 получается из разбиения T = {xi }ni=0 ∈ M добавлением l
точек. Тогда 0 6 Ωα (f, T ) − Ωα (f, T 0 ) 6 2M lλα (T ), где λα (T ) = max ∆αi .
i=1,n
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда l = 1, и пусть x0
– новая точка, добавленная к T. Тогда найдется индекс k такой, что
x0 ∈ (xk−1 , xk ). Введем обозначения: ωk = ω(f, [xk−1 , xk ]) (6 2M ); ω1,k =
ω(f, [xk−1 , x0 ]) (6 ωk ) и ω2,k = ω(f, [x0 , xk ]) (6 ωk ); ∆α1,k = α(x0 )−α(xk−1 ) (>
0); ∆α2,k = α(xk ) − α(x0 ) (> 0). Нетрудно проверить, что ∆αk = ∆α1,k +
∆α2,k , и 0 6 Ωα (f, T ) − Ωα (f, T 0 ) = ωk ∆αk − ω1,k ∆α1,k − ω2,k ∆α2,k 6
ωk ∆αk 6 2M λα (T ).
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть разбиение Tj получается из
Tj−1 добавлением только одной новой точки, и T0 = T, Tl = T 0 . Тогда
l
l
P
P
(Ωα (f, Tj−1 ) − Ωα (f, Tj )) 6
2M λα (Tj−1 ) 6
0 6 Ωα (f, T ) − Ωα (f, T 0 ) =
j=1
l
P
j=1
2M λα (T ) = 2M lλα (T ).
j=1
Теорема 1.13 (критерий Дарбу). Пусть a < b; α, f : [a, b] → R, α ↑,
α ∈ C[a, b]. Тогда следующие условия равносильны:
а). f ∈ Rα [a, b];
б). ∃ lim Ωα (f, T ) = 0;
λ(T )→0
в). inf Ωα (f, T ) = 0.
T
Доказательство.
а)⇔в) Доказано ранее (теорема 1.16).
б)⇒а) Вытекает из следствия 1.11.
а)⇒б) Пусть f ∈ Rα [a, b], тогда функция f – ограничена (т.е. ∃M > 0 :
|f | 6 M ), и inf Ωα (f, T ) = 0, следовательно, ∀ε > 0 ∃T1 ∈ M : Ωα (f, T1 ) <
ε
.
2
T
Пусть l – число точек разбиения T1 . Поскольку α ∈ C[a, b], то α –
1.4 Теорема Римана.
21
равномерно непрерывная функция, и, следовательно, существует δ > 0,
для которого для всех разбиений T ∈ M : λ(T ) < δ верно неравенство
ε
λα (T ) < 4M
. Для такого разбиения T рассмотрим его измельчение T 0 ,
l
получаемое добавлением к нему точек разбиения T1 . В силу леммы 1.3.1
0 6 Ωα (f, T ) − Ωα (f, T 0 ) 6 2M lλα (T ) < 2ε . Поскольку T 0 ≺ T1 , то 0 6
Ωα (f, T ) 6 Ωα (f, T 0 ) + 2ε 6 Ωα (f, T1 ) + 2ε < 2ε + 2ε = ε. Следовательно,
∃ lim Ωα (f, T ) = 0.
λ(T )→0
Следствие 1.14 (критерий интегрируемости Дарбу для интеграла Римана). Пусть a < b; f : [a, b] → R. Тогда следующие условия
равносильны:
а). f ∈ R[a, b];
б). ∃ lim Ω(f, T ) = 0;
λ(T )→0
в). inf Ω(f, T ) = 0.
T
Следствие 1.15. Пусть a < b; α, f, g : [a, b] → R, α ↑, α ∈ C[a, b],
функции f и g отличаются лишь на конечном
множестве
точек E ⊂
Rb
Rb
[a, b], и f ∈ Rα [a, b]. Тогда g ∈ Rα [a, b], и a f (x)dα = a g(x)dα.
Доказательство. Функция ϕ = f − g отлична от нуля лишь на конечном N -элементном множестве E, а, следовательно, ограничена на отрезке [a, b] некоторой константой M > 0. Тогда для любого разбиения
T = {xi }ni=0 отрезка [a, b] и множества индексов A = {i | E ∩ [xi−1 , xi ] 6=
∅} (число индексов
из A не превосходит 2N ) верна оценка |S α (f, T ) −
P
2M ∆αi 6 4M N λα (T ) → 0. Учитывая, что S α (f, T ) →
S α (g, T )| 6
i∈A
Rb
Rb
λ(T
)
→
0,
получим,
что
∃
lim
S
f
(x)dα
при
(g,
T
)
=
f (x)dα. Анаα
a
a
λ(T )→0
Rb
логично доказывается, что ∃ lim S α (g, T ) = a f (x)dα. Следовательно,
λ(T )→0
Rb
Rb
в силу теоремы 1.12 g ∈ R[a, b], и a f (x)dα = a g(x)dα.
1.4
Теорема Римана об интегрируемости функции. Достаточные условия интегрируемости.
Определение 1.4.1. Пусть a < b; α, f : [a, b] → R, T = {xi }ni=0 –
разбиение отрезка [a, b], Σ = {ξi }ni=1 – множество отмеченных точек,
n
P
т.е. ξi ∈ [xi−1 , xi ], i = 1, n. Сумму вида σα (f, T, Σ) =
f (ξi )∆αi наi=1
зывают суммой Римана-Стильтьеса (в случае, когда α(x) = x, сумму
22
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
σ(f, T, Σ) =
n
P
f (ξi )∆xi называют суммой Римана). В случае, когда b >
i=1
a, мы будем рассматривать упорядоченные в обратном порядке разбиения T = {xi }ni=0 : a = x0 > x1 > . . . > xn = b, и в качестве суммы Риманаn
P
Стильтьеса мы будем рассматривать суммы σα (f, T, Σ) =
f (ξi )∆αi ,
i=1
где ξi ∈ [xi−1 , xi ], ∆αi = α(xi ) − α(xi−1 ) i = 1, n.
Свойства сумм Римана-Стильтьеса.
Пусть a < b; α, f, g : [a, b] → R, α ↑, c ∈ R, T ∈ M .
1. σα (f ± g, T, Σ) = σα (f, T, Σ) ± σα (g, T, Σ);
2. σα (cf, T, Σ) = cσα (f, T, Σ);
И, если определены суммы Дарбу (например, когда или f ограничена,
или α ↑↑), то выполняются пункты 3-5:
3. ∀Σ S α (f, T ) 6 σα (f, T, Σ) 6 S α (f, T );
4. S α (f, T ) = inf σα (f, T, Σ); S α (f, T ) = sup σα (f, T, Σ);
Σ
Σ
5. sup |σα (f, T, Σ1 ) − σα (f, T, Σ2 )| = Ωα (f, T ).
Σ1 ,Σ2
Доказательство. Пункты 1 и 2 следуют из определения сумм РиманаСтильтьеса. Пункт 3 следует из неравенств: ∆αi > 0 и mi 6 f (ξi ) 6
Mi i = 1, n. Пункт 4 вытекает из соотношений:
∆αi > 0, mi =
inf
ξi ∈[xi−1 ,xi ]
f (ξi ), Mi =
sup
f (ξi ) i = 1, n.
ξi ∈[xi−1 ,xi ]
Пункт 5 вытекает из равенства sup |σα (f, T, Σ1 )−σα (f, T, Σ2 )| = sup (σα (f, T, Σ1 )−
Σ1 ,Σ2
Σ1 ,Σ2
σα (f, T, Σ2 )) = sup σα (f, T, Σ1 ) − inf σα (f, T, Σ2 ) = S α (f, T ) − S α (f, T ).
Σ1
Σ2
Определение 1.4.2. Через Bλ обозначим базу, состоящую из элементов
βδ = {(T, Σ) | λ(T ) < δ} для произвольных δ > 0. Эту базу обозначают также ”λ(T ) → 0”. Через Bσ обозначим базу измельчения, которая
состоит из элементов βT = {(T 0 , Σ) | T 0 ≺ T } для произвольных T ∈ M .
Замечание 1.4.1. База Bσ подчинена базе Bλ .
Замечание 1.4.2. Можно считать, что функции F (T, Σ) = S α (f, T ) ∨
S α (f, T ) ∨ Ωα (f, T ) формально заданы на множестве отмеченных разбиений {(T, Σ)}. Следовательно, для этих функций можно рассматривать
пределы по базам Bσ и Bλ , которые совпадают с пределами по базам Bσ
и Bλ соответственно (т.к. от множеств Σ эти функции фактически не
зависят). Отсюда следует, что все теоремы, доказанные для этих функций со старыми базами, переносятся на случай новых баз. Можно также
воспользоваться теоремой 5.30 о композиции. Отображение Φ(T, Σ) = T
удовлетворяет условию Φ(Bσ ) ≺ Bσ (Φ(Bλ ) ≺ Bλ ), следовательно, существования предела по новой базе для F следует из существования
предела по старой базе и эти пределы равны.
1.4 Теорема Римана.
23
Теорема 1.16 (Римана). Пусть a < b; α, f : [a, b] → R, α ↑ . Тогда
Rb
f ∈ Rα [a, b] ⇔ функция f – ограничена, и ∃ lim σα (f, T, Σ) ∈ R (= a f dα).
Bσ
При этом, если дополнительно α ∈ C[a, b], то f ∈ Rα [a, b] ⇔ функция
Rb
f – ограничена, и ∃ lim σα (f, T, Σ) ∈ R (= a f dα).
λ(T )→0
Доказательство.
⇒ Пусть f ∈ Rα [a, b], тогда ∃ lim Ωα (f, T ) = 0, а в случае, когда
Bσ
α ∈ C[a, b], существует lim Ωα (f, T ) = 0. Поэтому в силу теоремы 1.12
Bλ
Rb
∃ lim S α (f, T ) = lim S α (f, T ) = a f dα. По теореме о 2-х милиционеBσ (Bλ )
Bσ (Bλ )
рах из неравенства S α (f, T ) 6 σα (f, T, Σ) 6 S α (f, T ) следует существоRb
вание предела ∃ lim σα (f, T, Σ) = a f dα.
Bσ (Bλ )
⇐ Пусть функция f – ограничена, и ∃ lim σα (f, T, Σ) = A ∈ R. Тогда
Bσ (Bλ )
все суммы Дарбу определены, и, следовательно, в силу пункта 5 свойств
сумм Римана-Стильтьеса (см стр. 22) sup |σα (f, T, Σ1 ) − σα (f, T, Σ2 )| =
Σ1 ,Σ2
Ωα (f, T ). В силу критерия Коши (см теорему 5.43) для любого ε > 0 найдется элемент базы βT ∈ Bσ (βδ ∈ Bλ ) такой, что для всех (T1 , Σ1 ), (T2 , Σ2 ) ∈
βT (βδ ) верно неравенство |σα (f, T1 , Σ1 ) − σα (f, T2 , Σ2 )| 6 ε. Отсюда для
произвольных разбиений (T, Σ1 ), (T, Σ2 ) ∈ βT (βδ ) верны соотношения:
Ωα (f, T ) = sup |σα (f, T, Σ1 )−σα (f, T, Σ2 )| 6 ε, поэтому ∃ lim Ωα (f, T ) =
Bσ (Bλ )
Σ1 ,Σ2
0. В силу критерия Дарбу f ∈ Rα [a, b].
Замечание 1.4.3. В случае, когда α ↑↑, требование ограниченности можно исключить, т.к. утверждение пункта 5 и в этой ситуации выполняется.
Следствие 1.17 (Римана). f ∈ R[a, b] ⇔ ∃ lim σ(f, T, Σ) ∈ R (=
λ(T )→0
Rb
f dx).
a
Теорема 1.18 (достаточные условия интегрируемости). Пусть a <
b; α, f : [a, b] → R, α ↑, и пусть дополнительно, или 1) f ∈ C[a, b], или
Rb
2) f ↑ (↓), α ∈ C[a, b]. Тогда f ∈ Rα [a, b], и ∃ lim σα (f, T, Σ) = a f dα.
λ(T )→0
Доказательство. Как видно из доказательства необходимости в предыдущей теореме, достаточно показать, что ∃ lim Ωα (f, T ) = 0.
λ(T )→0
1). Пусть f ∈ C[a, b], тогда f – равномерно непрерывная функция
на [a, b]. Поэтому для произвольного разбиения T = {xi }ni=0 верны соn
n
P
P
отношения: 0 6 Ωα (f, T ) =
ω(f, [xi−1 , xi ])∆αi 6
ω(f, λ(T ))∆αi =
ω(f, λ(T ))
n
P
i=1
i=1
(α(xi ) − α(xi−1 )) = ω(f, λ(T ))(α(b) − α(a)) → 0, λ(T ) → 0
i=1
Таким образом, из теоремы о 2-х милиционерах ∃ lim Ωα (f, T ) = 0.
λ(T )→0
24
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
2). Пусть f ↑ (↓), α ∈ C[a, b]. Тогда 0 6 Ωα (f, T ) =
n
P
|f (xi−1 )−f (xi )|∆αi 6 λα (T )
i=1
n
P
n
P
ω(f, [xi−1 , xi ])∆αi =
i=1
|f (xi−1 )−f (xi )| = λα (T )|f (b)−f (a)| → 0
i=1
при λ(T ) → 0 (в силу равномерной непрерывности функции α).
Следствие 1.19. Если функция f : [a, b] → R монотонна или непрерывна на [a, b], то f ∈ R[a, b].
Теорема 1.20 (критерий интегрируемости). Пусть a < b; α, f :
[a, b] → R, α ↑ . Тогда f ∈ Rα [a, b] ⇔
1. Функция f в каждой общей точке разрыва с функцией α (если эти
точки найдутся) односторонне непрерывна с противоположной стороны;
P
2. f ∈ Rβ [a, b], где β = α−hα , а hα (x) =
δj ϕj (x) – функция скачков,
j
построенная для
R b α.
Rb
P
При этом a f dα = a f dβ + δj f (xj ).
j
Доказательство.
⇒ Поскольку f ∈ Rα [a, b], то функция f в каждой общей точке разрыва с функцией α (если эти точки найдутся) односторонне непрерывна
с противоположной стороны (теорема 1.9). В силу следствия 1.5 функRb
ция
f
ограничена,
а
в
силу
леммы
1.2.4
существует
интеграл
f dhα =
a
P
δj f (xj ). В силу леммы 1.2.5 функция β непрерывна и монотонно возj
растает на [a, b]. И для любого разбиения отрезка T = {xi }ni=0 верны
неравенства: ∆(hα )i > 0 (т.к. hα ↑) и ∆βi = ∆αi − ∆(hα )i 6 ∆αi (i =
1, n), а, следовательно, Ωβ (f, T ) 6 Ωα (f, T ). Поэтому 0 6 inf Ωβ (f, T ) 6
T
inf Ωα (f, T ) = 0, т.е. в силу критерия Дарбу f ∈ Rβ [a, b]. В силу следT
Rb
Rb
Rb
Rb
P
ствия 1.2 a f dα = a f dβ + a f dhα = a f dβ + δj f (xj ).
j
⇐ Поскольку f ∈ Rβ [a, b], то функция f ограничена, и в силу леммы
1.2.4 f ∈ Rhα [a, b]. В силу следствия 1.2 f ∈ Rα [a, b].
Из двух последних теорем вытекает
Следствие 1.21. Пусть функция f : [a, b] → R монотонна, и в каждой
общей точке разрыва с монотонно возрастающей функцией α : [a, b] →
R (если эти точки найдутся) односторонне непрерывна с противоположной стороны. Тогда f ∈ Rα [a, b].
1.5
Критерий Лебега интегрируемости функции.
1.5 Критерий Лебега.
25
Определение 1.5.1. Пусть α : [a, b] → R, α ↑ . Определим α-длину
любого отрезка [c, d] ⊂ [a, b] величиной α(d) − α(c). Для множества E,
представляющего собой конечное объединение отрезков из [a, b] с непересекающимися попарно внутренностями, его α-длину определим как сумму α-длин этих промежутков. Отметим, что на полукольце элементарных подмножеств отрезка, представляющих собой конечное объединение отрезков, α-длина является мерой. Будем говорить, что множество
G ⊂ [a, b] является множеством меры нуль Лебега-Стильтьеса (относительно α), если его внешняя мера Лебега равна нулю. Это условие равносильно тому, что для каждого ε > 0 найдется не более, чем счетный
набор
Pотрезков {[ai , bi ]}, являющийся покрытием множества G и такой,
что
|α(ai ) − α(bi )| 6 ε.
i
Упражнение 3. Докажите, что любое подмножество множества меры
нуль Лебега-Стильтьеса является множеством меры нуль Лебега-Стильтьеса,
а также, что не более, чем счетное объединение множеств меры нуль
Лебега-Стильтьеса – множество меры нуль Лебега-Стильтьеса. Выведите отсюда, что мера Лебега-Стильтьеса любого не более, чем счетного
подмножества отрезка [a, b] равна нулю.
Замечание 1.5.1. Пусть α ∈ C[a, b], в этом случае определим α-длину для
любого промежутка прямой следующим образом. Продолжим функцию
α на R так, чтобы она стала непрерывной на всей числовой прямой.
Например, это можно сделать, положив α(x) ≡ α(a) на (−∞, a) и α(x) ≡
α(b) на (b, +∞). Для любого промежутка с концами c, d ∈ R назовем
его α-длиной величину α(d) − α(c). Тогда условие, что множество G ⊂
[a, b] является множеством меры нуль Лебега-Стильтьеса (относительно
α), равносильно тому, что для каждого ε > 0 найдется не более, чем
{(ai , bi )}, являющийся покрытием множества
счетный набор интервалов
P
|α(ai ) − α(bi )| 6 ε, т.е. сумма длин этих интервалов не
G и такой, что
i
превосходит ε.
Доказательство. Если есть покрытие интервалами, то добавив к этим
интервалам их концы, мы получим покрытие отрезками той же α-длины,
что и интервалы. Обратно, пусть для любого ε > 0 найдется набор
отрезков {[ci , di ]}, являющийся покрытием множества G и такой, что
∞
P
|α(ci ) − α(di )| 6 2ε . В силу непрерывности найдутся точки ai , bi ∈ R,
i=1
ε
такие, что [ci , di ] ⊂ (ai , bi ), и |α(ai ) − α(ci )|, |α(bi ) − α(di )| < 2i+2
, и, следовательно, |α(ai ) − α(bi )| < |α(ci ) − α(di )| + |α(ci ) − α(ai )| + |α(di ) − α(bi )| 6
∞
∞
P
P
ε
. Поэтому
|α(ci ) − α(di )| + 2 2i+2
|α(ai ) − α(bi )| <
|α(ci ) − α(di )| +
2
∞
P
i=1
ε
2i+2
6
ε
2
+
∞
P
i=1
i=1
ε
2i+1
= ε.
i=1
26
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
Замечание 1.5.2. Определение множества меры нуль Лебега-Стильтьеса
из замечания 1.5.1 в случае разрывной функции α не эквивалентно определению 1.5.1. Так как в этом случае мера даже одноточечного множества может оказаться положительной.
Лемма 1.5.1. Пусть f : [a, b] → R. Тогда для всех ε > 0 множество
Aε = {x ∈ [a, b] | ω(f, x) > ε} компактно в R.
Доказательство. Поскольку множество Aε ограничено, то достаточно
доказать его замкнутость. Для этого достаточно доказать, что всякая
точка x ∈ [a, b] : ω(f, x) < ε является внешней точкой множества Aε . По
теореме о сохранении знака предела найдется δ > 0 такое, что ω(f, [a, b]∩
[x − δ, x + δ]) < ε. В силу леммы 1.2.2 для всех точек y ∈ Oδ (x) ∩ [a, b]
верны неравенства ω(f, y) 6 ω(f, [a, b] ∩ [x − δ, x + δ]) < ε, т.е. y ∈
/ Aε .
Таким образом, x ∈ extAε , и лемма доказана.
Лемма 1.5.2. Пусть функция f : [a, b] → R ограничена, а α ∈ C(R)
и α ↑, множество Aε = {x ∈ [a, b] | ω(f, x) > ε} меры нуль ЛебегаСтильтьеса относительно α. Тогда для любого δ > 0 существует разбиение T отрезка [a, b], для которого Ωα (f, T ) < δ + ε|α(a) − α(b)|.
Доказательство. Пусть |f | < M, найдется найдется не более, чем счетный набор интервалов
{(ai , bi )}, являющийся покрытием множества Aε
P
δ
и такой, что
|α(ai ) − α(bi )| < 2M
. В силу компактности множества Aε
i
(лемма 1.5.1) для него существует конечное подпокрытие G = {(aik , bik )}nk=1 .
n
S
(aik , bik ) представляет собой конечное
Тогда разность множеств [a, b] и
k=1
объединение отрезков B = {[cj , dj ]}. Так как в каждой точке таких отрезков колебание функции f строго меньше ε, то в силу леммы 1.2.3
найдется число δj > 0, для которого ω(f
, δj ) < ε. Тогда любое раз[cj ,dj ]
n
биения T = {xl }m
l=1 отрезка [a, b], содержащее точки {aik , bik }k=1 ∩ [a, b] и
диаметр которого меньше δ0 = min δj , является искомым. Действительj=1,n
но, для любого индекса l, если какой-то интервал из G пересекается с
внутренностью отрезка разбиения [xl−1 , xl ], то этот интервал полностью
содержит эту внутренность, т.к. иначе бы один из его концов оказался
внутри отрезка разбиения [xl−1 , xl ], а этого не может быть, поскольку
все концы интервалов из семейства G, попавшие в отрезок [a, b], являются некоторыми точками разбиения T. Обозначим через K множество
всех индексов l, для которых интервал (xl−1 , xl ) содержится в некотором элементе G, тогда для всех остальных индексов l отрезок [xl−1 , xl ]
содержится в одном из элементов [cj , dj ] ∈ B, а ∆xl 6 δ0 6 δj , поэтому
m
P
ωl = ω(f, [xl−1 , xl ]) < ε. Тем самым, верна оценка: Ωα (f, T ) =
ωl ∆αl =
l=1
P
P
P
P
∆αl < δ + ε|α(a) − α(b)|.
ωl ∆αl 6 2M
∆αl + ε
ωl ∆αl +
l∈K
l∈K
/
l∈K
l∈K
/
1.5 Критерий Лебега.
27
Теорема 1.22 (критерий интегрируемости Лебега). Пусть a < b;
α, f : [a, b] → R, α ∈ C[a, b], α ↑ . Тогда f ∈ Rα [a, b] ⇔
1. Функция f ограничена;
2. Множество точек разрыва функции f – меры нуль Лебега-Стильтьеса
относительно α.
Доказательство.
⇒ В силу следствия 1.5 из интегрируемости функции f следует ее
ограниченность. Докажем, что множество A ее точек разрыва – множество меры нуль Лебега-Стильтьеса. Для этого достаточно доказать, что
для любого δ > 0 множествоSAδ = {x ∈ [a, b] | ω(f, x) > δ} меры нуль
Лебега-Стильтьеса, т.к. A =
A 1 в этом случае также множество меn∈N
n
ры нуль Лебега-Стильтьеса. В силу критерия Дарбу для произвольных
ε, δ > 0 найдется разбиение T = {xi }m
i=1 , для которого Ωα (f, T ) < εδ.
Пусть A –P
множество
Pвсех индексов i, для которых ωi = ω(f, [xi−1
P, xi ]) >
δ. Тогда δ
∆αi 6
ωi ∆αi 6 Ωα (f, T ) < εδ, и, следовательно,
∆αi <
i∈A
i∈A
i∈A
ε. В силу леммы 1.2.2 множество Aδ содержится в объединении конечного
множества T (состоящего из конечного
числа вырожденных отрезков, αS
длина которых равна нулю) и
[xi−1 , xi ], мера которого не превосходит
i∈A
ε. Отсюда в силу произвольности выбора ε следует, что Aδ – множество
меры нуль Лебега-Стильтьеса, а, следовательно, и A – множество меры
нуль Лебега-Стильтьеса.
⇐ Пусть функция f ограничена, и множество A ее точек разрыва – меры нуль Лебега-Стильтьеса относительно α. Тогда для любого δ > 0 множество Aδ = {x ∈ [a, b] | ω(f, x) > δ} меры нуль Лебега-Стильтьеса, т.к.
является подмножеством A. В силу леммы 1.5.2 для произвольного ε > 0
найдется разбиение T, для которого Ωα (f, T ) < δ + ε|α(a) − α(b)|. Отсюда
следует, что inf Ω(f, T ) = 0, и в силу критерия Дарбу f ∈ Rα [a, b].
T
Замечание 1.5.3. На самом деле, как видно из доказательства предыдущей теоремы, множество точек разрыва функции f ∈ Rα [a, b] меры нуль
Лебега-Стильтьеса и в случае произвольной (не обязательно непрерывной) монотонной функции α.
Из последней теоремы для случая α(x) ≡ x вытекает
Следствие 1.23 (критерий Лебега). Пусть функция f : [a, b] → R.
Тогда f ∈ R[a, b] ⇔ f ограничена и множество ее точек разрыва меры
нуль Лебега.
Следствие 1.24. Пусть f, g ∈ R[a, b]. Тогда max{f, g}, min{f, g}, f+ =
max{f, 0}, f− = min{f, 0} ∈ R[a, b].
Теорема 1.25 (критерий интегрируемости Лебега). Пусть a < b;
α, f : [a, b] → R, α ↑ . Тогда f ∈ Rα [a, b] ⇔
28
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
1. Функция f в каждой общей точке разрыва с функцией α (если эти
точки найдутся) односторонне непрерывна с противоположной стороны;
2. Функция f ограничена;
3. Множество точек разрыва функции
P f – меры нуль Лебега-Стильтьеса
относительно β = α − hα , где hα (x) =
δj ϕj (x) – функция скачков, поj
строенная для α.
Доказательство. В силу теоремы 1.20 достаточно установить необходимые и достаточные
условия для того, чтобы f ∈ Rβ [a, b], где β = α − hα ,
P
а hα (x) =
δj ϕj (x) – функция скачков, построенная для α. Эти условия
j
дает теорема 1.22: f ∈ Rβ [a, b] ⇔ функция f ограничена, и множество
точек разрыва функции f – меры нуль Лебега-Стильтьеса относительно
β.
⇒ Если f ∈ Rα [a, b] (следовательно, f ограничена), то в силу теоремы
1.20 f ∈ Rβ [a, b] и функция f в каждой общей точке разрыва с функцией
α (если эти точки найдутся) односторонне непрерывна с противоположной стороны. В силу теоремы 1.22 множество точек разрыва функции f
– меры нуль Лебега-Стильтьеса относительно β.
⇐ Пусть функция f ограничена и в каждой общей точке разрыва с
функцией α (если эти точки найдутся) односторонне непрерывна с противоположной стороны; а множество точек разрыва функции f – меры нуль Лебега-Стильтьеса относительно β. Тогда в силу теоремы 1.22
f ∈ Rβ [a, b]. Отсюда из теоремы 1.20 вытекает, что f ∈ Rα [a, b].
Замечание 1.5.4. Учитывая, что α-длина любого отрезка не меньше его
β-длины, можно утверждать что множество меры нуль Лебега-Стильтьеса
относительно α является также множеством меры нуль Лебега-Стильтьеса
относительно β. Поэтому в силу замечания 1.5.3 условие пункта 3 предыдущей теоремы можно заменить условием, что множество точек разрыва
функции f – меры нуль Лебега-Стильтьеса относительно функции α.
Следствие 1.26 (наследуемость). Пусть f ∈ Rα [a, b]. Тогда ∀[c, d] ⊂
[a, b] f
∈ Rα [c, d].
[c,d]
1.6
Теорема о композиции с непрерывной функцией. Свойства интеграла Римана-Стильтьеса.
Следующее утверждение легко вытекает из критерия Лебега, но мы
его докажем не опираясь на этот критерий.
1.6 Свойства интеграла Римана-Стильтьеса.
29
Теорема 1.27 (о композиции с непрерывной функцией). Пусть
a < b; α, f : [a, b] → R, α ↑, m 6 f 6 M, f ∈ Rα [a, b], ϕ ∈ C[m, M ]. Тогда
h = ϕ ◦ f ∈ Rα [a, b].
Доказательство. В силу непрерывности функция ϕ равномерно непрерывна и ограничена на отрезке [m, M ], поэтому найдется число K >
0 такое, что |ϕ| 6 K, и для всех ε > 0 найдется δ > 0 такое, что
ε
. Поскольку f ∈ Rα [a, b], то в силу критерия Дарω(ϕ, δ) < 2(1+α(b)−α(a))
бу inf Ωα (f, T ) = 0, а, следовательно, найдется разбиение T = {xi }ni=0
T
εδ
такое, что Ωα (f, T ) < 4K
. Пусть A – множество всех индексов i, для
которых ω(f, [xi−1 , xi ]) < δ, а B – множество остальных индексов i, для
ε
которых ω(f, [xi−1 , xi ]) > δ. Тогда ω(h, [xi−1 , xi ]) < 2(1+α(b)−α(a))
для всех
P
i ∈ A, и ω(h, [xi−1 , xi ]) 6 2K для всехPi ∈ B. Поэтому δ i∈B ∆αi 6
P
εδ
ε
, и, поэтому i∈B ∆αi 6 4K
. Тогда P
Ωα (h, T ) =
4K
Pi∈B ω(f, [xi−1 , xi ])∆αi <P
ε
ω(h,
[x
,
x
])∆α
6
ω(h,
[x
,
x
])∆α
+
i−1
i
i
i−1
i
i
i∈B
i∈A
i∈A ∆αi +
2(1+α(b)−α(a))
P
Pn
ε
ε
ε
ε
2K i∈B ∆αi 6 2(1+α(b)−α(a)) i=1 ∆αi + 2 < 2 + 2 = ε. Следовательно,
inf Ωα (h, T ) = 0, и h ∈ Rα [a, b].
T
Следствие 1.28. Пусть a < b; α, f : [a, b] → R, α ↑, f ∈ Rα [a, b]. Тогда
|f |, |f |p ∈ Rα [a, b] (p > 0).
Доказательство. Функция ϕ(t) = |t|p непрерывна, и по теореме 1.27
композиция с ней ϕ ◦ f = |f |p ∈ Rα [a, b]. При p = 1 получим, что |f | ∈
Rα [a, b].
Арифметические свойства интеграла Римана-Стильтьеса.
Теорема 1.29 (арифметические свойства). Пусть α, f, g : [a, b] → R,
Rb
α ↑, f, g ∈ Rα [a, b]. Тогда cf, (f ± g) ∈ Rα [a, b] (c ∈ R), и a (f ± g)dα =
Rb
Rb
Rb
Rb
f
dα
±
cf
dα
=
c
gdα,
f dα;
a
a
a
a
Доказательство. Случай a = b тривиален, а случай a > b сводится к случаю a < b перестановкой пределов интегрирования (при этом
знак интегралов меняется на противоположный). По теореме Римана
Rb
(см стр. 23) функции f и g ограничены и, ∃ lim σα (f, T, Σ) = a f dα и
Bσ
Rb
∃ lim σα (g, T, Σ) = a gdα. Поэтому из равенств σα (f ±g, T, Σ) = σα (f, T, Σ)±
Bσ
σα (g, T, Σ) и σα (cf, T, Σ) = cσα (f, T, Σ), и арифметических свойств преRb
Rb
Rb
дела по базе получаются равенства a (f ± g)dα = a f dα ± a gdα и
Rb
Rb
cf
dα
=
c
f dα.
a
a
Следствие 1.30. Пусть α, f, g : [a, b] → R, α ↑, f, g ∈ Rα [a, b]. Тогда
f g ∈ Rα [a, b].
30
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
Доказательство. Также, как и предыдущем доказательстве, достаточно рассмотреть случай a < b. Из следствия 1.28 предыдущей теоремы
вытекает, что f g = 41 ((f + g)2 − (f − g)2 ) ∈ Rα [a, b].
Теорема 1.31 (замена переменной). Пусть α, f : [a, b] → R; α ↑,
на
f ∈ Rα [a, b], и пусть τ : [c, d] → [a, b] – возрастающая функция. Тогда
Rd
Rb
f ◦ τ ∈ Rα◦τ [c, d], и c f ◦ τ d(α ◦ τ ) = a f dα.
Доказательство. Построим сюръективное отображение Φ, сопоставив
каждому отмеченному разбиению (T, Σ) отрезка [c, d] отмеченное разбиение (T0 = τ (T ), Σ0 = τ (Σ)) отрезка [a, b]. Пусть Bσ1 – база измельчений,
построенная для отрезка [c, d], и Bσ2 – база измельчений, построенная для
отрезка [a, b]. Для каждого разбиения T0 отрезка [a, b] существует разбиение T : T0 = τ (T ), являющееся разбиением отрезка [c, d], при этом для
элемента βT ∈ Bσ1 образ Φ(βT ) содержится во множестве βT0 ∈ Bσ2 . Это
означает, что база Φ(Bσ1 ) будет подчинена базе Bσ2 . Отсюда по теореме 5.30
о композиции вытекает существование предела суммы σα◦τ (f ◦ τ, T, Σ) по
базе измельчений Bσ1 , равному пределу суммы σα (f, T1 , Σ1 ) по базе измельчений Bσ2 . Из теоремы Римана получаем утверждение теоремы.
Теорема 1.32 (арифметические свойства). Пусть α, β, f : [a, b] →
Rb
R; α, β ↑, f ∈ Rα [a, b] ∩ Rβ [a, b], c ∈ R. Тогда f ∈ Rα+β [a, b], и a f d(α +
Rb
Rb
Rb
Rb
Rb
Rb
β) = a f dα + a f dβ; a f d(c + α) = a f dα; a f d(cα) = c a f dα (c > 0).
Доказательство. Достаточно рассмотреть основной случай a < b. Имеют место равенства: σα+β (f, T, Σ) = σα (f, T, Σ)+σβ (f, T, Σ), σcα (f, T, Σ) =
cσα (f, T, Σ), σc+α (f, T, Σ) = σα (f, T, Σ). Переходя к пределу по базе Bσ ,
из теоремы Римана получаем утверждение теоремы.
Следствие 1.33. Пусть αi , βi , f : [a, b] → R; αi , βi ↑; f ∈ Rαi [a, b] ∩
Rb
Rb
Rb
Rb
Rβi [a, b] и α = αi −βi (i = 1, 2). Тогда a f dα1 − a f dβ1 = a f dα2 − a f dβ2 .
Доказательство. Пусть a < b. Из равенства α1 − β1 = α2 − β2 Rследует,
b
что γ = α1 + β2 = α2 + β1 , и по предыдущей теореме f ∈ Rγ [a, b], a f dγ =
Rb
Rb
Rb
Rb
Rb
Rb
f dα1 + a f dβ2 = a f dα2 + a f dβ1 . Следовательно, a f dα1 − a f dβ1 =
a
Rb
Rb
f dα2 − a f dβ2 . Случай a = b тривиален, а случай a > b сводится к
a
разобранному случаю перестановкой пределов интегрирования.
Определение 1.6.1. Рассмотрим класс функций α : [a, b] → R, которые
представляются в виде разности двух монотонно возрастающих функций
(как будет показано далее этот класс – множество функций ограниченной вариации). Обозначим этот класс через V [a, b]. Пусть α ∈ V [a, b].
Будем говорить, что функция f : [a, b] → R интегрируема относительно
функции α (f ∈ Rα [a, b]), если найдутся α1 , α2 : [a, b] → R : α1 , α2 ↑,
α = α1 − α2 , для которых f ∈ Rα1 [a, b] ∩ Rα2 [a, b]. В этом случае, интеRb
Rb
Rb
гралом a f dα назовем разность a f dα1 − a f dα2 . Корректность определения этого интеграла вытекает из предыдущего следствия.
1.6 Свойства интеграла Римана-Стильтьеса.
31
Замечание 1.6.1. Отметим, что для некоторых функций f ∈ Rα [a, b] не
для всякого представления функции α в виде разности монотонно возрастающих функций α1 и α2 обязательно должно выполняться условие
f ∈ Rα1 [a, b] ∩ Rα2 [a, b]. Действительно, функция Дирихле f на нетривиальном отрезке интегрируема относительно функции α ≡ 0. При этом
f∈
/ Rα1 [a, b] ∪ Rα2 [a, b], где α1 и α2 – равные строго монотонно возрастающие функции.
Замечание 1.6.2. Необходимым условием интегрируемости функции f
относительно αi является условие того, что в общих с f и αi точках
разрыва эти функции должны быть односторонне непрерывны с противоположных сторон. Отсюда необходимое условие интегрируемости f
относительно α состоит в том же: в общих точках разрыва эти функции
односторонне непрерывны с противоположных сторон.
Замечание 1.6.3. Далее мы докажем, что верен аналог следствия 1.21,
т.е. если α ∈ C[a, b] ∩ V [a, b], то изменение интегрируемой относительно
α функции на конечном множестве не меняют ее интегрируемости, и
значение ее интеграла остается прежним (см следствие 1.89).
Замечание 1.6.4. Функция β : [a, b] → R, β ↓ принадлежит классу V [a, b],
т.к. функция −β монотонно возрастает, и верны представления −β =
0 − β, β = 0 − (−β). Учитывая, что любая ограниченная функция интегрируема относительно нуля, получим, что f ∈ Rβ [a, b] ⇔ f ∈ R−β [a, b],
Rb
Rb
и f dβ = − f d(−β).
a
a
Замечание 1.6.5. В дальнейшем мы покажем (теорема 1.84), что для
произвольной функции α ∈ V [a, b], найдутся монотонно возрастающие
функции α1 , α2 : [a, b] → R, такие, что α = α1 − α2 , и при этом Rα [a, b] =
Rα1 [a, b]∩Rα2 [a, b]. Отсюда, в частности, вытекает, что если f, g ∈ Rα [a, b],
то f ± g ∈ Rα [a, b].
Rx
Пример. Пусть a < b; g ∈ R[a, b]. Тогда α(x) = a g(t)dt ∈ V [a, b].
Доказательство. Действительно, функции g1 = max{g, 0} и g2 = max{−g, 0}
интегрируемы по Риману на [a, b] (см следствие 1.24)R и неотрицательны.
x
Как будет показано позже, из этого вытекает, что x12 gi (x)dx > 0 для
всех x1 , x2 ∈ [a, b] : x1 < x2 (см теорему 1.42). В силу свойства аддитивности интеграла как функции
отрезка (см теорему 1.38) отсюда вытекает,
Rx
что функции αi (x) = a gi (t)dt монотонно возрастают (i = 1, 2). Кроме
того, g = g1 − g2 , поэтому, и α = α1 − α2 ∈ V [a, b].
Упражнение 4. Покажите,
R b что для функции α из предыдущего примера,
b
верна формула Va α = a |g(t)|dt.
Из определения и теорем 1.29 и 1.32 и следствий 1.28 и 1.30 вытекают
следующие три утверждения.
32
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
Следствие 1.34. Пусть α, f, g : [a, b] → R, α ∈ V [a, b], f, g ∈ Rα [a, b].
Rb
Rb
Rb
Тогда cf, (f ± g) ∈ Rα [a, b] (c ∈ R), и a (f ± g)dα = a f dα ± a gdα,
Rb
Rb
cf dα = c a f dα;
a
Доказательство. Условие f, g ∈ Rα [a, b] согласно замечанию 1.6.5 равносильно условию f, g ∈ Rα1 [a, b] ∩ Rα2 [a, b] для некоторых монотонно
возрастающих функций α1 , α2 : [a, b] → R, для которых α = α1 − α2 . В
Rb
Rb
Rb
силу теоремы 1.29 a (f ± g)dαj = a f dαj ± a gdαj (j = 1, 2). Отсюда
Rb
Rb
Rb
Rb
Rb
Rb
(f ±g)dα = a (f ±g)dα1 − a (f ±g)dα2 = ( a f dα1 ± a gdα1 )−( a f dα2 ±
a
Rb
Rb
Rb
Rb
Rb
Rb
Rb
gdα2 ) = ( a f dα1 − a f dα2 ) ± ( a gdα2 − a gdα2 ) = a f dα ± a gdα.
a
Остальные соотношения доказываются аналогично.
Следствие 1.35. Пусть α, β, f : [a, b] → R; α, β ∈ V [a, b], f ∈ Rα [a, b] ∩
Rb
Rb
Rb
Rb
Rβ [a, b]. Тогда f ∈ Rα+β [a, b], и a f d(α+β) = a f dα+ a f dβ; a f d(cα) =
Rb
Rb
Rb
c a f dα, a f d(c + α) = a f dα (c ∈ R).
Следствие 1.36. Пусть α, f, g : [a, b] → R, α ∈ V [a, b], f, g ∈ Rα [a, b].
Тогда |f |, f g, |f |p ∈ Rα [a, b] (p > 0).
Замечание 1.6.6. Интегрируемость функций f ± g, |f |p (p > 0), cf (c ∈
R) ∈ Rα [a, b] для функции α ∈ V [a, b] в случае, когда f, g ∈ Rα [a, b],
можно также получить из критерия существования интеграла РиманаСтильтьеса относительно функции ограниченной вариации (см следствие
1.86).
Из теоремы 1.31 вытекает следующее утверждение.
Теорема 1.37 (замена переменной). Пусть α, f : [a, b] → R; α ∈
на
V [a, b], f ∈ Rα [a, b], и пусть τ : [c, d] → [τ (c), τ (d)] – монотонная функRd
R τ (d)
ция. Тогда f ◦ τ ∈ Rα◦τ [c, d], и c f ◦ τ d(α ◦ τ ) = τ (c) f dα.
Аддитивные свойства интеграла как функции отрезков.
Теорема 1.38 (интеграл как функция отрезка). Пусть a < c < b;
α, f : [a, b] → R; α ↑, f ∈ Rα [a, c] ∩ Rα [c, b] (f ∈ Rα [a, b]). Тогда f ∈
Rb
Rc
Rb
Rα [a, b], и a f dα = a f dα + c f dα.
def
def
Доказательство. Рассмотрим обозначения: f1 = f
, f2 = f , I 1 =
[a,c]
[c,b]
Rc
Rb
f dα, I2 = c f2 dα. Для любого числа ε > 0 найдутся разбиения T1
a 1
и T2 соответственно отрезков [a, c] и [c, b] такие, что Ω(fi , Ti ) < 2ε i =
1, 2. Верны соотношения: S α (fi , Ti ) 6 Ii 6 S α (fi , Ti ) и S α (f, T1 ∪ T2 ) =
S α (f1 , T1 ) + S α (f2 , T2 ) 6 I1 + I2 6 RS α (f1 , T1 )R+ S α (f2 , T2 ) = S α (f, T1 ∪
∗
f dα 6 S α (f, T1 ∪ T2 ) и
T2 ). Кроме того, S α (f, T1 ∪ T2 ) 6 ∗ f dα 6
1.7 Интегральные неравенства.
33
Ωα (f, T1 ∪ TR2 ) = S α (f, T1 ∪ T2 ) −RS α (f, T1 ∪ T2 ) = Ωα (f1 , T1 ) + Ωα (f2 , T2 ) < ε.
∗
RПоэтому R| ∗ ∗ f dα − (I1 + I2 )|, | f dα − (I1 + I2 )| < ε, и, следовательно,
f dα =
f dα = I1 + I2 , и f ∈ Rα [a, b].
∗
Следствие 1.39. Пусть a 6 c 6 b; α, f : [a, b] → R; α ↑ . Тогда
f ∈ Rα [a, b] ⇔ f ∈ Rα [a, c] ∩ Rα [c, b].
Доказательство. Случай c = a ∨ b тривиален, а случай a < c < b и α ↑
вытекает из предыдущей теоремы и следствия 1.26 о наследуемости.
Замечание 1.6.7. В дальнейшем мы покажем, что f ∈ Rα [a, b] ⇔ f ∈
Rα [a, c] ∩ Rα [c, b] и для функции α ∈ V [a, b] (см следствие 1.88).
Следствие 1.40. Пусть a, b, c ∈ R, I = [a, c]∪[c, b]; α, f : I → R; α ↑ (↓),
Rb
Rc
Rb
f ∈ Rα [a, c] ∩ Rα [c, b]. Тогда f ∈ Rα [a, b], и a f dα = a f dα + c f dα.
Доказательство. Все сводится к случаю α ↑ . Случай a < c < b разобран. Случай, когда две точки из {a, b, c} совпадают тривиален. НаприRc
Rb
Rb
Rc
Rb
мер, если a = c 6 b, то a f dα = 0 и a f dα = c f dα = a f dα + c f dα.
Rc
Rb
Rc
Rb
Если a < b < c, то a f dα = a f dα + b f dα и, следовательно, a f dα =
Rc
Rc
Rc
Rb
f dα − b f dα = a f dα + c f dα. Остальные случаи разбираются анаa
логично.
Из предыдущего следствия и определения интеграла относительно
функции ограниченной вариации вытекает следующее утверждение.
Следствие 1.41. Пусть a, b, c ∈ R, I = [a, c] ∪ [c, b]; α, f : I → R; α ∈
Rb
Rc
Rb
V (I), f ∈ Rα [a, c] ∩ Rα [c, b]. Тогда f ∈ Rα [a, b], и a f dα = a f dα + c f dα.
1.7
Интегральные неравенства. Неравенства
Гельдера, Коши-Буняковского, Минковского. Теоремы о среднем.
Теорема 1.42. Пусть a < b; α, f, g : [a, b] → R; α ↑, f, g ∈ Rα [a, b]. Тогда
Rb
Rb
1). Если f 6 g, то a f dα 6 a gdα. В частности, если g > 0, то
Rb
gdα > 0.
a
Rb
Rb
2). Если m 6 f 6 M (m, M ∈ R), g > 0, то m a gdα 6 a f gdα 6
Rb
Rb
M a gdα. В частности, если g ≡ 1, то m(α(b) − α(a)) 6 a f dα 6
M (α(b) − α(a)).
Rb
Rb
3). | a f dα| 6 a |f |dα.
Rb
Rb
1 Rb
1
4). | a f gdα| 6 ( a |f |p dα) p ( a |g|q dα) q , p1 + 1q = 1; p, q > 1. В частRb
Rb
1 Rb
1
ности, | a f gdα| 6 ( a |f |2 dα) 2 ( a |g|2 dα) 2 .
Rb
Rb
Rb
1
1
1
5). ( a |f + g|p dα) p 6 ( a |f |p dα) p + ( a |g|p dα) p , p > 1.
34
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
Доказательство.
1). Переходя к пределу в неравенстве σα (f, T, Σ) 6 σα (g, T, Σ) по базе
Rb
Rb
измельчения, получим неравенство a f dα 6 a gdα.
2). В силу предыдущего утверждения из неравенства mg 6 f g 6 M g
Rb
Rb
Rb
вытекает неравенство m a gdα 6 a f gdα 6 M a gdα.
Rb
Rb
3). Из неравенства ±f 6 |f | вытекает неравенство ± a f dα 6 a |f |dα.
Rb
Rb
Отсюда | a f dα| 6 a |f |dα.
4). Пусть (T, Σ) – произвольное отмеченное разбиение отрезка [a, b].
1
Воспользуемся неравенством Гельдера для последовательностей {f (ξi )∆αip }
1
и {g(ξi )∆αiq } и получим, что
n
n
1
1 ¯
¯X
¯ ¯X
|σα (f g, T, Σ)| = ¯
f (ξi )g(ξi )∆αi ¯ = ¯
(f (ξi )∆αip )(g(ξi )∆αiq )¯ 6
i=1
6
n
³X
p
|f (ξi )| ∆αi
i=1
n
´ p1 ³ X
i=1
q
|g(ξi )| ∆αi
´ 1q
³Z
b
−→
|f | dα
Bσ
i=1
p
´ p1 ³ Z
a
b
q
|g| dα
´ 1q
.
a
Rb
Учитывая, что по теореме Римана σα (f g, T, Σ) −→ a f gdα, σα (|f |p , T, Σ) −→
Bσ
Bσ
Rb q
Rb p
q
|f | dα и σα (|g| , T, Σ) −→ a |g| dα, из теоремы о пределе композиa
Bσ
ции с непрерывной функцией и теоремы о переходе к пределу в нераRb
Rb
1
1 Rb
венстве мы получим: | a f gdα| 6 ( a |f |p dα) p ( a |g|q dα) q . Неравенство
Коши-Буняковского получается отсюда при p = q = 2.
5). Пусть (T, Σ) – произвольное отмеченное разбиение отрезка [a, b].
1
Воспользуемся неравенством Минковского для последовательностей {f (ξi )∆αip }
1
и {g(ξi )∆αiq } и получим, что
1
p
p
σα (|f +g| , T, Σ) =
n
³X
p
|f (ξi )+g(ξi )| ∆αi
´ p1
=
n
³X
i=1
n
³X
i=1
1
p
1
p
|f (ξi )∆αi +g(ξi )∆αi ) |
i=1
n
´ p1 ³ X
´ p1
³Z b
´ p1 ³ Z b
´ p1
p
p
|f (ξi )| ∆αi +
|f | dα +
|g(ξi )| ∆αi −→
|g|p dα .
p
i=1
Bσ
a
a
Используя теорему Римана о пределе сумм Римана, из теоремы о пределе
композиции с непрерывной функцией и теоремы о переходе к пределу в
Rb
Rb
Rb
1
1
1
неравенстве мы получим: ( a |f +g|p dα) p 6 ( a |f |p dα) p +( a |g|p dα) p .
Теорема 1.43 (1-я теорема о среднем). Пусть α, f, g : [a, b] → R;
Rb
α ↑ (↓), f ∈ C[a, b], g ∈ Rα [a, b], g > 0 (6 0). Тогда ∃ξ ∈ [a, b] : a f gdα =
Rb
f (ξ) a gdα.
p
´ p1
6
1.7 Интегральные неравенства.
35
Доказательство. Случай монотонного убывания функции α сводится к
случаю монотонного возрастания этой функции путем замены x 7→ −x.
Случай a = b тривиален, поскольку все интегралы равны нулю. Случай
b > a сводится к случаю a < b перестановкой пределов интегрирования в
доказываемом равенстве. Случай g 6 0 сводится к случаю g > 0 умножением равенства и самой функции на −1. Из всего вышесказанного следует,
случай Ra < b, α ↑ и g > 0. В этом случае,
R b что достаточно
R b рассмотреть
Rb
b
gdα
>
0,
m
gdα
6
f
gdα
6 M a gdα, где m = inf f, M = sup f.
a
a
a
[a,b]
[a,b]
Разберем две
R b возможности.
Rb
1. Если a gdα = 0, то a f gdα = 0, и, следовательно, ∀ξ ∈ [a, b] верно
Rb
Rb
равенство 0 = a f gdα = f (ξ) a gdα = 0.
Rb
Rb
f gdα
2. Если a gdα > 0, то m 6 Rab gdα 6 M. Поскольку f ∈ C[a, b], то
a
f ([a, b]) = [m, M ], и, следовательно, ∃ξ ∈ [a, b] : f (ξ) =
Rb
f gdα
Rab
.
a gdα
Следствие 1.44. Пусть f ∈ C[a, b], α ↑ (↓). Тогда ∃ξ ∈ [a, b] :
f (ξ)(α(b) − α(a)).
Rb
a
f dα =
Теорема 1.45 (2-я теорема о среднем). Пусть α, f : [a, b] → R, и
на [a, b] функция α монотонна и непрерывна, а значения f лежат в
Rb
отрезке [m, M ]. Тогда ∃ξ ∈ [a, b] : a f dα = m(α(ξ) − α(a)) + M (α(b) −
α(ξ)).
Доказательство. Случай монотонного убывания функции α сводится
к случаю ее монотонного возрастания умножением на −1, поэтому будем считать, что α ↑ . Значения непрерывной монотонной функции
ϕ(t) = m(α(t) − α(a)) + M (α(b) − α(t)) = (m − M )α(t) + M α(b) − mα(a)
представляют собой отрезок с концами m(α(b) − α(a)) и M (α(b) − α(a)).
Rb
В силу пункта 2 теоремы 1.42 a f dα также принадлежит этому отрезку,
Rb
поэтому ∃ξ ∈ [a, b] : a f dα = ϕ(ξ) = m(α(ξ) − α(a)) + M (α(b) − α(ξ)).
Следствие 1.46. Пусть α, f : [a, b] → R, и на [a, b] функции α, f моRb
нотонны, и α ∈ C[a, b]. Тогда ∃ξ ∈ [a, b] : a f dα = f (a)(α(ξ) − α(a)) +
f (b)(α(b) − α(ξ)).
Следствие 1.47. Пусть α, f : [a, b] → R, и f ↑ (↓), f > 0, функция α
Rb
монотонна и непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда ∃ξ ∈ [a, b] : a f dα =
f (b)(α(b) − α(ξ)) (= f (a)(α(ξ) − α(a))).
Доказательство. Оба случая разбираются аналогично, поэтому рассмотрим только случай f ↑, f > 0. Переопределим функцию f в точке a нулем, тогда она останется монотонно возрастающей, и в силу следствия
1.21 (из непрерывности α) интегралы от нее на отрезке [a, b] не измеRb
нят своих значений. Применяя следствие 1.46, получим, что a f dα =
f (a)(α(ξ) − α(a)) + f (b)(α(b) − α(ξ)) = f (b)(α(b) − α(ξ)).
36
1.8
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле Римана.
Определение 1.8.1. Пусть I ⊂ R – промежуток, f : I → R, a ∈ I.
Предположим, что ∀x ∈ I fR ∈ R[a, x]. В этом случае, на промежутке
x
определена функция F (x) = a f (t)dt, которая называется интегралом с
переменным верхним пределом.
Rx
Теорема 1.48. Пусть f ∈ R[a, b]. Тогда F (x) = a f (t)dt ∈ C[a, b], и
∀x1 , x2 ∈ [a, b] |F (x1 ) − F (x2 )| 6 M |x1 − x2 | (т.е. F – M -липшицева), где
M = sup |f |.
[a,b]
Доказательство. Для любых
x1 , x2 ∈ [a, b] в силу теоремы 1.42 (пункт
R x2
2) верно неравенство | x1 f (t)dt| 6 M |x1 − x2 | (т.к. −M 6 f 6 M ).
Rx
Rx
Rx
Поэтому |F (x1 )−F (x2 )| = | a 1 f (t)dt− a 2 f (t)dt| = | x12 f (t)dt| 6 M |x1 −
x2 |. Отсюда следует, что F равномерно непрерывна, а, следовательно,
непрерывна на [a, b].
Определение 1.8.2. Пусть f : [a, b] → R, E ⊂ [a, b] – элементарное
множество, χE – характеристическая функция этого множества. ИнтеR
def
гралом функции f ∈ R[a, b] на множестве E назовем величину E f dx =
Rb
f χE dx.
a
Замечание 1.8.1. Поскольку функция χE имеет конечное число точек
разрыва, то из следствия 1.23 вытекает ее интегрируемость, а, следовательно, f χE ∈ R[a, b].
Следствие 1.49. Пусть
R E ⊂ [a, b] – элементарное множество, f ∈
R[a, b], |f | 6 M. Тогда | E f dx| 6 M |E|.
Доказательство. Пусть E представляет собой дизъюнктное объединение промежутков Ii (i = 1, n) с концами ai , bi ∈ [a, b] (ai 6 bi ). Поскольку
n
n R
n R
R
Rb
P
P
P
b
χE =
χIi , то E f dx = a f χE dx =
f
χ
dx
=
f dx, поэтому
Ii
a
Ii
i=1
i=1
i=1
R
достаточно получить оценки | Ii f dx| 6 M |ai − bi |. Эти оценки вытекают
из неравенства |f χIi | 6 |f | 6 M на отрезке [ai , bi ] и свойств интеграR
Rb
Rb
Ra
Rb
ла, т.к. | Ii f dx| = | a f χIi dx| = | aii f χIi dx + a i f χIi dx + bi f χIi dx| =
Rb
| aii f χIi dx| 6 M |ai − bi | (здесь мы учли, что функция f χIi ≡ 0 на
[a, b] \ Ii ).
1.8 Свойства интеграла с переменным верхним пределом.
37
Теорема 1.50. ПустьRI ⊂ R – промежуток, f : I → R, и ∀a, x ∈ I f ∈
x
R[a, x]. Тогда F (x) = a f (t)dt ∈ C(I), и если f ∈ C(x0 ) (x0 ∈ I), то
∃F 0 (x0 ) = f (x0 ).
Доказательство. Из предыдущей теоремы следует, что функция F непрерывна на любом отрезке из промежутка I, следовательно, непрерывна
в каждой точке промежутка I. Пусть x0 ∈ I, f ∈ C(x0 ). Тогда ∀ε >
0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ Oδ (x0 ) ∩ I |f (x) − f (x0 )| < ε. Поэтому для лю¯
¯
.
(x0 )
бой точки x ∈ Oδ (x0 ) ∩ I верны соотношения: ¯ F (x)−F
− f (x0 )¯ =
x−x
0
¯
¯
¯R
¯R
Rx
1 ¯ x
1 ¯ x
1
f (t)dt − x0 f (x0 )dt¯ = |∆x|
(f (t) − f (x0 ))dt¯ 6 |∆x|
ε|∆x| = ε,
|∆x|
x0
x0
и, следовательно, ∃ lim
x→x0
F (x)−F (x0 )
x−x0
= f (x0 ), т.е. ∃F 0 (x0 ) = f (x0 ).
Следствие 1.51. Пусть I ⊂ R – промежуток, f ∈ C(I). Тогда существует первообразная F : I → R для f.
Доказательство. Положим F (x) =
f (x) для всех x ∈ I.
Rx
a
f (t)dt (a, x ∈ I), тогда F 0 (x) =
Замечание 1.8.2. Пусть I ⊂ R – промежуток, f ∈ C(I) (f ∈ D(I)). Тогда
существует непрерывное (дифференцируемое) продолжение функции f
на некоторый интервал, содержащий промежуток I.
Доказательство. Если промежуток I – интервал, то он уже искомый.
Пусть a ∈ R (b ∈ R) – левый (правый) конец промежутка I. Непрерывную функцию f продолжим на (−∞, a] (на [b, +∞), положив f ≡ f (a)
(f ≡ f (b)) на этом множестве. Тем самым мы продолжили функцию
f на некоторый интервал. Для дифференцируемой функции положим
f (x) = f (a) + fп0 (a)(x − a) (f (x) = f (b) + fл0 (a)(x − b)) на (−∞, a] (на
[b, +∞). Такое продолжение будет дифференцируемо на некотором интервале, при этом f 0 (a) = fп0 (a) (f 0 (b) = fл0 (b)).
Теорема 1.52. Пусть I, J ⊂ R, f ∈ C(I); и ϕ, ψ : J → I; ϕ, ψ ∈ D(J).
R ϕ(x)
Тогда G(x) = ψ(x) f (t)dt ∈ D(J), и G0 (x) = f (ϕ(x))ϕ0 (x) − f (ψ(x))ψ 0 (x).
Доказательство. В силу замечания 1.8.2 можно считать, что промежутки
R u I и J являются некоторыми интервалами. В силу теоремы 1.50 F (u) =
f (t)dt ∈ D(I), где x0 ∈ I – некоторая фиксированная точка. Поx0
этому в силу теоремы о дифференцировании сложной функции G(x) =
F (ϕ(x)) − F (ψ(x)) ∈ D(J) и G0 (x) = f (ϕ(x))ϕ0 (x) − f (ψ(x))ψ 0 (x).
Теорема 1.53 (формула Ньютона-Лейбница). Пусть f ∈ R[a, b], и
Rb
существует первообразная F для функции f. Тогда a f dx = F (x)|ba =
F (b) − F (a).
38
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
Доказательство. Поскольку f ∈ R[a, b], то для любого ε > 0 найдется
разбиение T = {xi }ni=0 такое, что для всех множеств отмеченных тоRb
чек Σ = {ξi }ni=1 верно неравенство | a f dx − σ(f, T, Σ)| < ε. По теореме
Лагранжа найдется точка ξi ∈ (xi−1 , xi ), для которой F (xi ) − F (xi−1 ) =
n
n
P
P
F 0 (ξi ) = f (ξi ), тогда F (b) − F (a) = (F (xi ) − F (xi−1 )) =
f (ξi )∆xi =
i=1
i=1
Rb
Rb
σ(f, T, Σ). Следовательно, | a f dx − (F (b) − F (a))| < ε, поэтому a f dx =
F (x)|ba = F (b) − F (a).
Замечание 1.8.3. Поскольку все первообразные отличаются друг от
R bдруга на некоторую константу, то в условиях теоремы верно равенство a f dx =
Φ(b) − Φ(a), где Φ – любая первообразная для f.
Rx
Замечание 1.8.4. Из формулы Ньютона-Лейбница вытекает, что a f dt =
F (x) − F (a), и, следовательно, интеграл как функция верхнего предела
также является первообразной для f, а, следовательно дифференцируема на отрезке [a, b].
Rb
Следствие 1.54. Пусть f ∈ C[a, b]. Тогда a f dx = Φ(b) − Φ(a), где Φ –
любая первообразная для f.
Теорема 1.55 (замена переменной). Пусть f ∈ C[a, b], ϕ : [c, d] →
R ϕ(d)
Rd
[a, b], ϕ ∈ D[c, d] и ϕ0 ∈ R[c, d]. Тогда ϕ(c) f (x)dx = c f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt.
Доказательство. Поскольку f ∈ C[a, b], ϕ ∈ D[c, d], то f ◦ ϕ ∈ C[c, d] ⊂
R[c, d]. Поэтому f (ϕ(t))ϕ0 (t) ∈ R[c, d]. Кроме того, существует первообразная F : [a, b] → R для f, а функция F (ϕ(t)) – первообразная для
f (ϕ(t))ϕ0 (t) (вытекает из теоремы о дифференцировании сложной функR ϕ(d)
Rd
ции). Тогда ϕ(c) f (x)dx = F (ϕ(d))−F (ϕ(c)) = F ◦ϕ|dc = c f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt.
Теорема 1.56 (интегрирование по частям). Пусть f, g : [a, b] → R,
Rb
Rb
f, g ∈ D[a, b] и f 0 , g 0 ∈ R[a, b]. Тогда a f g 0 dx = f g|ba − a gf 0 dx = f (b)g(b)−
Rb
f (a)g(a) − a gf 0 dx.
Доказательство. Поскольку f g – первообразная для f 0 g + g 0 f ∈ R[a, b].
Rb
Rb
Rb
Поэтому a f 0 gdx + a g 0 f dx = f g|ba , следовательно, a f 0 gdx = f g|ba −
Rb 0
g f dx.
a
1.9
Формула Тейлора с остаточным членом
в интегральной форме, формах Коши и
Лагранжа.
1.10 Приложения интеграла Римана.
39
Теорема 1.57. Пусть I ⊂ R – промежуток, f : I → R, f (n+1) интегрируема по Риману на любом отрезке из промежутка I. Тогда ∀x0 , x ∈ I
Rx
P
(i)
f (x) = ni=0 f i!(x0 ) (x − x0 )i + rn (x, x0 ), где rn (x, x0 ) = n!1 x0 f (n+1) (t)(x −
t)n dt.
для f 0 ,
Доказательство. Поскольку функция f является первообразной
Rx 0
то по формуле Ньютона-Лейбница f (x) − f (x0 ) = x0 f (t)dt. Следовательно, применяяR n раз формулу интегрирования
по частям, получим
Rx
x
f (x) = f (x0 ) + x0 f 0 (t)dt = f (x0 ) − x0 f 0 (t)d(x − t) = f (x0 ) − (x −
R x 00
R x 00
(x−t)2
0
t)f 0 (t)|t=x
=
t=x0 + x0 f (t)(x − t)dt = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) − x0 f (t)d 2!
R
2
x
(x−t)
(x−t)
000
0
f (x0 )+f 0 (x0 )(x−x0 )−f 00 (t) 2! |t=x
t=x0 + x0 f (t) 2! dt = f (x0 )+f (x0 )(x−
R
00
3
x
(x0 )
x0 ) + f 2!
(x − x0 )2 − x0 f 000 (t)d (x−t)
= . . . = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + . . . +
3!
Rx
f (n) (x0 )
(x − x0 )n + n!1 x0 f (n+1) (t)(x − t)n dt.
n!
Следствие 1.58 (формула Лагранжа). Если f ∈ C n+1 (I), то rn (x, x0 ) =
f (n+1) (ξ)
(x − x0 )n+1 , где ξ – некоторая точка из отрезка [x, x0 ].
(n+1)!
Доказательство. Применим теорему 1.43 о среднем, полагая g(t)
R x = (x−
t)n (g сохраняет знак на отрезке [x, x0 ]), и получим rn (x, x0 ) = n!1 x0 f (n+1) (t)(x−
Rx
(n+1)
(n+1)
t)n dt = f n! (ξ) x0 (x − t)n dt = f (n+1)!(ξ) (x − x0 )n+1 .
Следствие 1.59 (формула Коши). Если f ∈ C n+1 (I), то rn (x, x0 ) =
f (n+1) (ξ)
(x − ξ)n (x − x0 ), где ξ – некоторая точка из отрезка [x, x0 ].
n!
Доказательство. Применим теорему 1.43 о среднем, полагая g(t) ≡ 1,
Rx
(n+1) (ξ)(x−ξ)n R x
и получим rn (x, x0 ) = n!1 x0 f (n+1) (t)(x − t)n dt = f
dt =
n!
x0
f (n+1) (ξ)
(x
n!
− ξ)n (x − x0 ).
1.10
Приложения интеграла Римана. Разложение в ряд Тейлора функции ln(1 + x).
Оценка частичной суммы ряда через интеграл Римана.
Теорема 1.60. Для всех x ∈ (−1, 1] имеет место равенство ln(1 + x) =
P∞ (−1)n+1 xn
.
n=1
n
Доказательство. Для всех x ∈ (−1, 1) формула была доказана ранее.
Пусть
x = 1. Запишем остаточный
¢ в интегральной форме
R 1 (n+1)
R ¡ член
R 1 ¯ 1−trn¯n(1) =
1
n
n 1 1−t n dt
f
(t)(1 − t) dt = (−1) 0 1+t 1+t . Тогда |rn (1)| 6 0 ¯ 1+t ¯ dt 6
n! 0
40
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
¯ ε ¯n
¡
¢¯ ε ¯
¯ 1− 2 ¯
ε ¯ 1− 2 ¯n
+
1
−
.
Учитывая,
что
¯ 1+ ε ¯ → 0 (n →
2 1+ 2ε
0
2
2
¯ ε ¯n
¯ 1− 2 ¯
ε
∞), получим, что найдется N0 ∈ N : ∀n > N0 ¯ 1+ ε ¯ < 2 . Следовательно,
2
|rn (1)| < 2ε + 2ε = ε, т.е. lim rn (1) = 0. Таким образом, последовательность
³R
ε
2
+
R 1 ´ ¯ 1−t ¯n
¯ ¯ dt 6
ε
1+t
ε
2
n→∞
частичной суммы ряда Тейлора функции ln(1 + x), а, следовательно, сам
ряд сходится к ней в точке x = 1.
Теорема 1.61. Пусть f : [m, +∞) → R, (m ∈ RZ) f ↓ (↑). Тогда для
n+1
последовательностей {an = f (n)}+∞
f (x)dx} и любого
m и {bn = an − n
n = m, +∞ верны
R n+1 оценки:
R n+1
1). an+1 6 n f (x)dx 6 an (an+1 > n f (x)dx > an );
n−1
n−1
n
n
Rn
Rn
P
P
P
P
ak (
ak );
ak 6 m f (x)dx 6
ak > m f (x)dx >
2).
k=m
k=m+1
k=m
k=m+1
3). bn > 0 (6 0);
l−1
l−1
Rl
P
P
4). {Bl =
bk =
ak − m f (x)dx} ↑ (↓); и Bn 6 am −an (> am −an ).
k=m
k=m
Доказательство. Так как функция f монотонна, то она интегрируема
на любом отрезке из полуинтервала [m, +∞). Оба случая монотонности f
разбираются аналогично, поэтому разберем только случай монотонного
убывания функции f. Поскольку для всех x ∈ [k, k + 1] (k = m, +∞)
имеет место неравенство f (k + 1) 6 f (x) 6 f (k), то ak+1 = f (k + 1) 6
R k+1
f (x)dx 6 f (k) = ak , следовательно, bk > 0. Отсюда следует, что
k
последовательность {Bn } монотонно возрастает, и для всех n = m, +∞
n−1
n
n−1
Rn
P
P
P
bk =
выполняются неравенства:
ak 6 m f (x)dx 6
a k и Bn =
n−1
P
ak −
k=m
Rn
m
f (x)dx =
n−1
P
k=m+1
(ak −
k=m
R k+1
k
f (x)dx) 6
Примеры.
Найдем асимптотику сумм AN =
n−1
P
k=m
k=m
(ak −ak+1 ) = am −an .
k=m
NP
−1
nα . Для этого используем преды-
n=1
дущую теорему для функции f (x) = xα .
1. Рассмотрим случай α > 0, тогда f ↑, и bn 6 0 (n ∈ N), a1 −
RN
RN
aN 6 BN = AN − 1 xα dx 6 0. Следовательно, 1 xα dx + 1 − N α 6
RN
α+1
α+1
1
1
AN 6 1 xα dx, т.е. Nα+1 + (1 − α+1
− N α ) 6 AN 6 Nα+1 − α+1
, и поэтому
N α+1
AN ∼ α+1 .
N →∞
2. Рассмотрим случай α 6 0, тогда f ↓, и bn > 0 (n ∈ N), 0 6 BN =
RN
RN
AN − 1 xα dx 6 a1 − aN 6 a1 = 1. Следовательно, 1 xα dx 6 AN 6
RN α
α+1
x dx + 1. Поэтому AN ∼ Nα+1 при α > −1. В случае, когда α = −1,
1
N →∞
верно неравенство ln N 6 AN 6 ln N + 1, следовательно, AN ∼ ln N.
N →∞
Можно получить более точную асимптотическую формулу. Поскольку
последовательность {BN } монотонно возрастает и ограничена сверху 1,
1.11 Интегрирование по частям для интеграла Римана-Стильтьеса. 41
то по теореме Вейерштрасса она имеет конечный предел (этот предел
называется константой Эйлера, c = 0, 5772156649 . . .). Отсюда следует,
NP
−1
1
что AN −ln N = c+o(1), (N → ∞), т.е. AN =
= c+ln N +o(1), (N →
n
n=1
∞).
1.11
Тождество Абеля, суммирование по частям. Формула интегрирования по частям для интеграла Римана-Стильтьеса.
∞
Теорема 1.62 (тождество Абеля). Пусть {αn }∞
n=0 , {βn }n=0 ⊂ R(C).
Тогда для любых чисел k, m ∈ N : m > k верно равенство
m
X
αn (βn − βn−1 ) = αm βm − αk βk−1 +
n=k
αn βn −
n=k
βn (αn − αn+1 ).
n=k
m
P
Доказательство.
m−1
P
m−1
X
m
P
αn (βn − βn−1 ) =
n=k
m
P
n=k
α n βn −
m
P
m−1
P
n=k
n0 =k
αn βn−1 −αk βk−1 = αm βm −αk βk−1 +
n=k+1
αm βm − αk βk−1 +
m−1
P
αn βn−1 = αm βm +
n=k
m−1
P
αn βn −
αn0 +1 βn0 =
βn (αn − αn+1 ).
n=k
Следствие 1.63 (суммирование по частям). Пусть Bn =
m
P
Тогда
αn βn = αm Bm − αk Bk−1 +
n=k
Доказательство.
m−1
P
m−1
P
n
P
βk .
k=0
Bn (αn − αn+1 ).
n=k
m
P
αn βn =
n=k
m
P
αn (Bn − Bn−1 ) = αm Bm − αk Bk−1 +
n=k
Bn (αn − αn+1 ).
n=k
Следствие 1.64. Если {αn } – неотрицательная монотонно убывающая
последовательность, а последовательность {Bn } ограничена числом M,
m
P
то для всех чисел k, m ∈ N : m > k верно неравенство |
α n βn | 6
n=k
2M αk .
Доказательство. Учитывая, что αn −αn+1 > 0, получим, что |
m
P
n=k
α n βn | =
m−1
m−1
¯
¯
P
P
¯αm Bm − αk Bk−1 +
Bn (αn − αn+1 )¯ 6 M (αm + αk +
(αn − αn+1 )) =
2M αk .
n=k
n=k
42
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
Лемма 1.11.1. Пусть α, f : [a, b] → R; α ∈ V [a, b]; и f ∈ Rα [a, b]. Тогда
Rb
f dα = lim σα (f, T, Σ).
a
Bσ
Доказательство. Пусть α = α1 −α2 ; α1 , α2 ↑ и f ∈ Rα1 [a, b]∩Rα2 [a, b]. ТоRb
Rb
Rb
гда σα (f, T, Σ) = σα1 (f, T, Σ) − σα2 (f, T, Σ) → a f dα1 − a f dα2 = a f dα.
Bσ
Теорема 1.65 (интегрирование по частям). Пусть α, f : [a, b] → R;
Rb
Rb
α, f ∈ V [a, b]; и f ∈ Rα [a, b], α ∈ Rf [a, b]. Тогда a f dα = f α|ba − a αdf.
Доказательство. Для любого ε > 0 найдутся разбиения T1 , T2 отрезка
[a, b], такие, что для любых отмеченных разбиений (T, Σ) ∈ βT1 (βT2 ) верRb
Rb
но неравенство: | a f dα − σα (f, T, Σ)| < 2ε (| a αdf − σf (α, T, Σ)| < 2ε ).
Пусть T = {ti }ni=0 – некоторое измельчение разбиений T1 и T2 . Положим
Σ0 = {ξi = ti }ni=0 = T, Σ = {ti }ni=1 , T 0 = T ∪ {tn+1 = tn }. Нетрудно
видеть, что T 0 является измельчением T2 . Используя тождество Абеля,
n+1
P
получим, что σf (α, T 0 , Σ0 ) =
α(ti−1 )(f (ti ) − f (ti−1 )) = α(tn )f (tn+1 ) −
α(t0 )f (t0 ) +
i=1
n
P
f (ti )(α(ti−1 ) − α(ti )) = f (b)α(b) − f (a)α(a) − σα (f, T, Σ), т.е.
¯Rb
¯
Rb
f α|ba = σf (α, T 0 , Σ0 )+σα (f, T, Σ). Следовательно, ¯ a f dα+ a αdf −f α|ba ¯ =
¯Rb
¯
R
¯ f dα + b αdf − σf (α, T 0 , Σ0 ) − σα (f, T, Σ)¯ < ε + ε = ε. В силу произa
a
Rb 2 2
Rb
вольности выбора ε выполняется равенство a f dα = f α|ba − a αdf.
i=1
Замечание 1.11.1. Позже (см следствие 1.90, стр. 50) мы докажем, что
для интегрируемости одной функции ограниченной вариации относительно другой функции ограниченной вариации необходимо и достаточно, чтобы в общих точках разрыва эти функции были односторонне
непрерывны с противоположных сторон.
Пример. Пусть f : [0, 1] → [0, 1] – канторова лестница. Как уже отмеR1
чалось f (x)dx = 12 . Это легко позволяет вычислить интеграл Римана0
Стильтьеса
xf (x)|10 −
R1
0
R1
xdf, используя формулу интегрирования по частям:
0
f (x)dx = 1 −
R1
xdf =
0
1
2
= 12 .
Теорема 1.66 (достаточное условие интегрируемости). Пусть α, f :
[a, b] → R; α ∈ V [a, b]. Тогда если f ∈ C[a, b] или f ∈ V [a, b] & α ∈ C[a, b],
Rb
то f ∈ Rα [a, b]. В этом случае lim σα (f, T, Σ) = a f dα.
Bλ
Доказательство. В силу достаточного условия интегрируемости и того,
что функцию α ∈ V [a, b] можно представить как разность двух монотонных функций, вытекает, что всякая непрерывная функция f принадлежит классу Rα [a, b] (см теорему 1.18). Если же f ∈ V [a, b] & α ∈
1.12 Вычисление интеграла Римана-Стильтьеса. Формула Бонне.
43
C[a, b]∩V [a, b], то в силу следствия 1.87 (стр. 49 ), которое будет доказано
позже, f ∈ Rα [a, b].
1.12
Вычисление интеграла Римана-Стильтьеса.
Формула Бонне (2-я теорема о среднем).
Теорема 1.67. Пусть f, g ∈ R[a, b], α(x) =
Rb
Rb
и a f dα = a f gdx.
Rx
a
g(t)dt. Тогда f ∈ Rα [a, b],
Доказательство. Рассмотрим случай a < b.
1). Пусть g > 0. Тогда α ↑ . Поскольку f, g ∈ R[a, b], то f – ограничена (|f | 6 M ), и Ω(g, T ) −→ 0. Пусть (T, Σ) – произвольное отмеBλ
ченное разбиение, где T = {xi }ni=0 , Σ = {ξi }ni=1 . Тогда |σα (f, T, Σ) −
n
n
n
R xi
P
P
P
f (ξi )g(ξi )∆xi | = | f (ξi ) xi−1
g(t)dt −
σ(f g, T, Σ)| = | f (ξi )∆αi −
n
P
i=1
f (ξi )
n
P
R xi
xi−1
i=1
g(ξi )dt| = |
n
P
i=1
i=1
R xi
f (ξi ) xi−1
(g(t)−g(ξi ))dt|
i=1
n
P
6
i=1
M
R xi
xi−1
ω(g, [xi−1 , xi ])dt 6
ω(g, [xi−1 , xi ])∆xi = M Ω(g, T ) −→ 0. Следовательно, ∃ lim Sα (f, T, Σ) =
Bλ
Bλ
Rb
Rb
Rb
lim σ(f g, T, Σ) = a f gdx, т.е. a f dα = a f gdx.
M
i=1
Bλ
2). Общий случай функции
g. Поскольку g1 = max{g, 0}, g2 = max{−g, 0} ∈
Rx
R[a, b], то для αi (x) = a gi (t)dt (i = 1, 2) из предыдущего пункта выRb
Rb
def R b
текает, что f ∈ Rα1 [a, b] ∩ Rα2 [a, b], и a f dα = a f dα1 − a f dα2 =
Rb
Rb
Rb
f g1 dx − a f g2 dx = a f gdx.
a
Случай a = b – тривиален, а случай a > b сводится к уже разобранному перестановкой пределов интегрирования в доказываемом равенстве.
Rb
Следствие 1.68. Пусть f, α0 ∈ R[a, b]. Тогда f ∈ Rα [a, b], и a f dα =
Rb
f (x)α0 (x)dx.
a
Rx
Доказательство. Поскольку по формуле Ньютона-Лейбница α(x) = a α0 (x)dx+
Rb
α(a), то для функции g = α0 из предыдущей теоремы получим: a f dα =
Rb
Rb 0
f
d(α
−
α(a))
=
f α dx.
a
a
Теорема 1.69 (2-я теорема о среднем). Пусть α, f : [a, b] → R,
Rb
f ↑ (↓), α ∈ V [a, b] ∩ C[a, b]. Тогда f ∈ Rα [a, b], и ∃ξ ∈ [a, b] : a f dα =
f (a)(α(ξ) − α(a)) + f (b)(α(b) − α(ξ)).
Доказательство. Из теоремы 1.66 вытекает, что α ∈ Rf [a, b], α ∈ Rf [a, b].
Rb
Rb
По теореме 1.65 об интегрировании по частям a f dα = f α|ba − a αdf. В
44
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
силу следствия 1.44 (из 1-ой теоремы о среднем) найдется точка ξ ∈
Rb
Rb
[a, b] такая, что a αdf = α(ξ)(f (b) − f (a)), и, следовательно, a f dα =
f (b)α(b) − f (a)α(a) − α(ξ)(f (b) − f (a)) = f (a)(α(ξ) − α(a)) + f (b)(α(b) −
α(ξ)).
Теорема 1.70 (2-я теорема о среднем). Пусть α, f : [a, b] → R,
f ↑ (↓), f > 0, α ∈ V [a, b] ∩ C[a, b]. Тогда f ∈ Rα [a, b], и ∃ξ ∈ [a, b] :
Rb
f dα = f (b)(α(b) − α(ξ)) (= f (a)(α(ξ) − α(a))).
a
Доказательство. Доопределив функцию f в точке a (b) нулем, мы не
изменим ни типа ее монотонности, ни ее интеграла на отрезке [a, b]. И из
Rb
формулы a f dα = f (a)(α(ξ) − α(a)) + f (b)(α(b) − α(ξ)) с учетом f (a) =
0 (f (b) = 0), получим нужную формулу.
Теорема 1.71 (формула Бонне). Пусть f, g : [a, b] → R, и на отрезке
Rb
[a, b] функция f монотонна, а g ∈ R[a, b]. Тогда ∃ξ ∈ [a, b] : a f gdx =
Rξ
Rb
f (a) a gdx + f (b) ξ gdx.
Rx
Доказательство. Функция α(x) = a gdx непрерывна (в силу теоремы
1.50) и принадлежит классу V [a, b], поэтому в силу следствия 1.46 (из 2Rb
ой теоремы о среднем) ∃ξ ∈ [a, b] : a f dα = f (a)(α(ξ)−α(a))+f (b)(α(b)−
Rb
Rξ
α(ξ)). В силу теоремы 1.67 последнее выражение равно a f gdx = f (a)( a gdx−
Ra
Rb
Rξ
Rξ
Rb
gdx)
+
f
(b)(
gdx
−
gdx)
=
f
(a)
gdx
+
f
(b)
gdx.
a
a
a
a
ξ
Теорема 1.72 (формула Бонне). Пусть f, g : [a, b] → R, и на отрезке
Rb
[a, b] функция f ↑ (↓), f > 0, а g ∈ R[a, b]. Тогда ∃ξ ∈ [a, b] : a f gdx =
Rb
Rξ
f (b) ξ gdx (= f (a) a gdx).
Доказательство. Выводится аналогично предыдущей формуле из теоремы 1.70.
1.13
Функции ограниченной вариации.
Определение 1.13.1. Пусть Rn = |R × .{z
. . × R} = {x = (x1 , . . . , xn ) |
n
xi ∈ R, i = 1, n} (Cn = C
. . × C} = {x = (x1 , . . . , xn ) | xi ∈ C, i = 1, n}).
| × .{z
n
Это множество называют пространством, а его элементы x = (x1 , . . . , xn )
называют векторами, числа xi его i-координатами. В Rn (Cn ) можно
n
¡P
¢1
ввести длину вектора |x| =
|xi |2 2 .
i=1
1.13 Функции ограниченной вариации.
45
Замечание 1.13.1. По неравенству Минковского для всех векторов x, y ∈
Rn (Cn ) верно неравенство треугольника |x + y| 6 |x| + |y|, и для любого числа α ∈ R(C) выполняется равенство |αx| = |α| · |x|. В этих
пространствах есть так называемый канонический базис {ei }ni=1 , где ei
– вектор, i-я координата которого равна 1, а остальные равны 0. И каждый вектор x = (x1 , . . . , xn ) единственным образом представляется в виде
n
P
линейной комбинации этих векторов:
xi ei . На Rn (Cn ) можно опредеi=1
лить скалярное
µn
¶произведение векторов x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) :
n
P
P
xi y i . В силу неравенства Коши-Буняковского (см следствие
xi y i
i=1
i=1
6.49) верно соотношение: |(x, y)| 6 |x| · |y|.
Определение 1.13.2. Пусть f : [a, b] → Rn (Cn ), T = {ti }ni=0 – разбиение отрезка [a, b] (если отрезок [a, b] невырожден, то можно считать,
что все точки разбиения различны), через v(f, T ) обозначим v-сумму, т.е.
n
P
величину
|f (ti ) − f (ti−1 )|. Величина V (f ) = Vab f = sup v(f, T ) ∈ R наT
i=1
зывается полной вариацией f на [a, b]. Если V (f ) < +∞, то f называют
функцией ограниченной вариации. Обозначение: f ∈ V [a, b].
Замечание 1.13.2. Vaa f = 0, Vab f = Vba f.
Примеры:
1. Если f : [a, b] → R – монотонна, то V (f ) = |f (b) − f (a)|.
2. Если f : [a, b] → Rn (Cn ) – C-липшицева, то V (f ) 6 C|b − a|.
Доказательство. Действительно, для любого разбиения T = {ti }i = 0n
n
n
P
P
верна оценка: v(f, T ) 6
|f (ti ) − f (ti−1 )| 6 C
|ti − ti−1 | = C|b − a|.
i=1
i=1
Отсюда и следует оценка для полной вариации функции f.
3. Пусть f : [a, b] → R, f ∈ C[a, b] ∩ D(a, b), |f 0 | 6 C на (a, b). Тогда
V (f ) 6 C|b − a|.
Доказательство. Действительно, для любых x1 , x2 ∈ [a, b] верно неравенство: |f (x1 )−f (x2 )| = |f 0 (ξ)(x1 −x2 )| 6 C|x1 −x2 |, т.е. f – C-липшицева,
а, следовательно, V (f ) 6 C|b − a|.
½
0,
если x = 0
4. Пусть f =
. Тогда f ∈ C[a, b] \ V [a, b].
π
x cos 2x , если x ∈ (0, 1]
1
Доказательство. Пусть Tn = {x0 = 0, xk = k1 }2n
k=1 , тогда f (x2k ) = 2k cos πk =
n
n
P 1
P 1
1
(−1)k 2k
, f (x2k−1 ) = f (x0 ) = 0. Поэтому v(f, Tk ) =
=
→
k
k
+∞, n → ∞. Следовательно, V (f ) = +∞.
k=1
k=1
46
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
Теорема 1.73 (необходимое условие). Пусть f : [a, b] → Rn (Cn ),
f ∈ V [a, b]. Тогда f – ограничена, и ∀x, y ∈ [a, b] |f (x) − f (y)| 6 V (f ), и
ω(f, [a, b]) 6 V (f ).
Доказательство. Пусть T = {a, x, y, b}, тогда |f (x) − f (y)| 6 |f (a) −
f (x)|+|f (x)−f (y)|+|f (y)−f (b)| = v(f, T ) 6 V (f ), в силу произвольности
выбора x, y ∈ [a, b] ω(f, [a, b]) 6 V (f ).
Теорема 1.74. Пусть f, g : [a, b] → Rn (Cn ); f, g ∈ V [a, b]. Тогда |f |, (f ±
g), (f, g), cf ∈ V [a, b] (c ∈ R(C)), и Vab |f | 6 Vab f ; Vab (f ± g) 6 Vab f + Vab g;
Vab (cf ) = |c|Vab f ; Vab (f, g) 6 AVab g + BVab f, где |f | 6 A, |g| 6 B.
Доказательство. Для произвольного разбиения T = {xi }ni=0 верны неравенства: ∆|f |i = ||f (xi )|−|f (xi−1 )|| 6 |f (xi )−f (xi−1 )| = |∆fi |; |∆(f ±g)i | 6
|∆fi |+|∆gi |; |∆(cf )i | = |c||∆fi |; |∆(f, g)i | = |(f (xi ), g(xi ))−(f (xi−1 ), g(xi−1 ))| =
|(f (xi ), g(xi ))−(f (xi ), g(xi−1 ))+(f (xi ), g(xi−1 ))−(f (xi−1 ), g(xi−1 ))| = |(f (xi ), ∆gi )+
(∆fi , g(xi−1 ))| 6 |f (xi )||∆gi | + |∆fi ||g(xi−1 )| 6 A|∆gi | + B|∆fi |. Следовательно, v(|f |, T ) 6 v(f, T ) 6 Vab f ; v(f ± g, T ) 6 v(f, T ) + v(g, T ) 6
Vab f + Vab g; v((f, g), T ) 6 Av(g, T ) + Bv(f, T ) 6 AVab g + BVab f, кроме того,
v(cf, T ) = |c|v(f, t) 6 |c|Vab f. Отсюда следует, что |f |, (f ± g), cf, (f, g) ∈
V [a, b], и верны соотношения: Vab |f | 6 Vab f ; Vab (f ± g) 6 Vab f + Vab g;
Vab (cf ) = |c|Vab f ; Vab (f, g) 6 AVab g + BVab f.
Следствие 1.75. Пусть f, g : [a, b] → R(C); f, g ∈ V [a, b]. Тогда f · g ∈
V [a, b].
Лемма 1.13.1. Пусть f, g : [a, b] → Rn (Cn ), T 0 – измельчение разбиения
T = {xi }ni=0 отрезка [a,b]. Тогда v(f, T ) 6 v(f, T 0 ).
Доказательство. Достаточно доказать, что соответствующее неравенство верно в случае, когда T 0 получается добавлением одной точки x0
(отличной от точек T ). Найдется k ∈ N такое, что x0 ∈ (xk , xk−1 ). Тоn
k−1
P
P
|∆fi | >
|∆fi | + |f (x0 ) − f (xk−1 )| + |f (xk ) − f (x0 )| +
гда v(f, T 0 ) =
i=1
i=k+1
P
|∆fi | + |f (xk ) − f (xk−1 )| = v(f, T ). Далее, завершаем доказательство
i6=k
по индукции.
Теорема 1.76. Пусть f : [a, b] → Rn (Cn ). Тогда ∃ lim v(f, T ) = Vab f.
Bσ
Доказательство. Пусть A = Vab f ∈ R, тогда для любого ε > 0 найдется
разбиение T, для которого v(f, T ) ∈ Oε (A). Тогда для всех T 0 ≺ T (т.е.
T 0 ∈ BT ) верно неравенство v(f, T ) 6 v(f, T 0 ) 6 A. Отсюда v(f, T 0 ) ∈
Oε (A). Следовательно, ∃ lim v(f, T ) = Vab f.
Bσ
Теорема 1.77. Пусть f : [a, b] → Rn (Cn ), f ∈ C[a, b]. Тогда ∃ lim v(f, T ) =
Vab f.
Bλ
1.13 Функции ограниченной вариации.
47
Доказательство. Пусть A = Vab f ∈ R, тогда для любого конечного числа B < A найдется разбиение T0 = {xj }m
j=0 , для которого v(f, T0 ) ∈
(B, A]. Возьмем произвольное разбиение T = {ti }ni=0 и образуем из него
разбиение T 0 , добавив к нему точки разбиения T0 . Если xj ∈ [ti−1 , ti ],
то |f (ti ) − f (ti−1 )| 6 |f (xj ) − f (ti−1 )| + |f (ti ) − f (xj )| 6 2ω(f, λ(T )).
m−1
P
2ω(f, λ(T )) > v(f, T 0 ) − 2mω(f, λ(T )) >
Тогда v(f, T ) > v(f, T 0 ) −
j=1
v(f, T0 ) − 2mω(f, λ(T )). Следовательно, найдется δ > 0, для которого
v(f, T0 ) − 2mω(f, δ) > B. Поэтому для всех T : λ(T ) < δ верно неравенство B < v(f, T ) 6 A. Отсюда следует утверждение теоремы.
Теорема 1.78 (наследуемость). Пусть f : [a, b] → Rn (Cn ); f ∈ V [a, b],
[c, d] ⊂ [a, b]. Тогда f
∈ V [c, d], и Vcd f 6 Vab f.
[c,d]
Доказательство. Пусть T – произвольное разбиение отрезка [c, d], а T 0
получается из него добавлением точек a и b. Тогда v(f, T 0 ) = v(f
, T )+
[c,d]
|f (a) − f (c)| + |f (b) − f (d)|, следовательно, v(f
Поэтому sup v(f
T
[c,d]
[c,d]
, T ) 6 v(f, T 0 ) 6 Vab f.
, T ) = Vcd f 6 Vab f.
Следствие 1.79. Пусть f ∈ V [a, b]. Тогда Vax f ↑ на [a, b].
Определение 1.13.3. Пусть f : [a, b] → Rn (Cn ), отображение V (x) =
Vax f : [a, b] → R называют функцией полной вариации. Как было уже
отмечено, V ↑ .
Теорема 1.80 (аддитивность). Пусть f : [a, b] → Rn (Cn ). Тогда для
любого числа c ∈ [a, b] верно равенство Vab f = Vac f + Vcb f (сумма понимается в расширенном смысле).
Доказательство.
Во-первых, для любого разбиения T отрезка [a, b] рассмотрим разбиения T 0 = T ∪ {c}, T1 = T 0 ∩ [a, c] и T2 = T 0 ∩ [c, b] отрезков [a, b], [a, c] и
[c, b] соответственно. Тогда для функций f1 = f
и f2 = f
верны со[a,c]
[c,b]
отношения: v(f, T ) 6 v(f, T 0 ) = v(f1 , T1 ) + v(f2 , T2 ) 6 Vac f + Vcb f. Поэтому
Vab f = sup v(f, T ) 6 Vac f + Vcb f.
T
Во-вторых, для любых разбиений T1 и T2 отрезков [a, c] и [c, b] соответственно верны соотношения: v(f1 , T1 ) + v(f2 , T2 ) = v(f, T1 ∪ T2 ) 6
Vab f. Следовательно, беря супремум по T1 и T2 , получим неравенство
Vac f + Vcb f 6 Vab f. Таким образом, верно равенство Vab f = Vac f + Vcb f.
Теорема 1.81. Пусть f : [a, b] → Rn (Cn ); f ∈ V [a, b], и f непрерывна в
точке t0 ∈ [a, b] справа (слева). Тогда функция полной вариации V (x) =
Vax f непрерывна в точке t0 ∈ [a, b] справа (слева).
48
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
Доказательство. Случай непрерывности справа сводится к случаю непрерывности слева умножением аргумента функции на −1. Докажем, что
если lim f (x) = f (t0 ), то lim V (x) = V (t0 ). Для произвольного ε > 0
x→t0 −0
x→t0 −0
найдется разбиение T отрезка [a, t0 ], для которого V (t0 )− 2ε < v(f
[a,t0 ]
< 2ε .
, T ).
Найдется число δ > 0 такое, что ∀x ∈ (t0 − δ, t0 ) |f (x) − f (t0 )|
Если в интервале (t0 − δ, t0 ) нет точек разбиения T, то добавим к этому
разбиению какую-нибудь точку из этого интервала. Тогда для получившего разбиения T 0 : a = x0 6 x1 6 . . . 6 xn = t0 можно считать, что
xn−1 ∈ (t0 − δ, t0 ), и V (t0 ) − 2ε < v(f, T ) 6 v(f, T 0 ) 6 V (xn−1 ) + |f (t0 ) −
0
f (xn−1 )| < V (xn−1 ) + 2ε . Следовательно, Vxtn−1
f = Vat0 f − Vaxn−1 f < ε. Учиt0
0
тывая, что для всех x ∈ (xn−1 , t0 ) верно Va f − Vax f = Vxt0 f 6 Vxtn−1
f < ε,
получим, что ∃ lim V (x) = V (t0 ).
x→t0 −0
Следствие 1.82. Пусть f : [a, b] → Rn (Cn ); f ∈ V [a, b] ∩ C(t0 ). Тогда
функция полной вариации V (x) = Vax f непрерывна в точке t0 ∈ [a, b].
Следующая теорема утверждает, что любая функция ограниченной
вариации представима в виде разности двух монотонных функций. Обратное также верно, поскольку каждая монотонная функция является
функцией ограниченной вариации, а разность двух функций ограниченной вариации – функция ограниченной вариации.
Теорема 1.83. Пусть f : [a, b] → R, f ∈ V [a, b]. Тогда для p(x) = Vax f
функция q(x) = p(x) − f (x) монотонно возрастает, при этом функции
p и q односторонне непрерывны с той же стороны, что и функция f.
Доказательство. Возьмем произвольные точки x, y ∈ [a, b] : x 6 y. Тогда q(y) − q(x) = (Vay f − Vax f ) − (f (y) − f (x)) = Vxy f − (f (y) − f (x)) > 0,
т.к. |f (y) − f (x)| 6 Vxy f. Из предыдущей теоремы вытекает, что p непрерывна с той же стороны, что и функция f. Отсюда следует аналогичное
утверждение и для q = f − p.
1.14
Критерий существования интеграла РиманаСтильтьеса относительно функции ограниченной вариации.
Теорема 1.84. Пусть α, f : [a, b] → R, α ∈ V [a, b]. Тогда f ∈ Rα [a, b]
⇔ f ∈ Rv [a, b], где v(x) = Vax α. При этом в случае, когда a 6 b, верно
Rb
Rb
неравенство | a f dα| 6 a |f |dv.
Доказательство.
⇒ Пусть f ∈ Rα [a, b], тогда существуют функции α1 , α2 : [a, b] →
1.14 Критерий существования интеграла Римана-Стильтьеса.
49
R; α = α1 − α2 ; α1 , α2 ↑, и f ∈ Rα1 [a, b] ∩ Rα2 [a, b]. Следовательно, в
силу критерия Дарбу inf Ωαj (f, T ) = 0, j = 1, 2. Пусть T = {xi }ni=0 –
T
i
произвольное разбиение отрезка [a, b]. Поскольку 0 6 ∆vi = Vxxi−1
α =
xi
xi
xi
Vxi−1 (α1 − α2 ) 6 Vxi−1 α1 + Vxi−1 α2 = |(∆α1 )i | + |(∆α2 )i | = (∆α1 )i + (∆α2 )i ,
то Ωv (f, T ) 6 Ωα1 (f, T ) + Ωα2 (f, T ). Поэтому inf Ωv (f, T ) = 0, и в силу
T
критерия Дарбу f ∈ Rv [a, b].
⇐ Пусть f ∈ Rv [a, b], и α1 = v, α2 = v − α. Тогда α1 , α2 ↑, и f ∈
Rα1 [a, b] = Rv [a, b]. Кроме того, (∆α2 )i = ∆vi − ∆αi , и поскольку |∆αi | =
i
|α(xi ) − α(xi−1 )| 6 Vxxi−1
α = ∆vi , то 0 6 (∆α2 )i 6 |∆vi | + |∆αi | 6 2∆vi ,
а, следовательно, Ωα2 (f, T ) 6 2Ωv (f, T ). Тогда inf Ωα2 (f, T ) = 0, и в сиT
лу критерия Дарбу f ∈ Rα2 [a, b]. Отсюда следует, что f ∈ Rα [a, b] (т.к.
Rb
Rb
f ∈ Rα1 [a, b] ∩ Rα2 [a, b]). Докажем неравенство | a f dα| 6 a |f |dv (в
случае, когда a 6 b,). Для этого перейдем к пределу по базе Bσ в нераn
n
n
P
P
P
венстве: |σα (f, T, Σ)| = | f (ξi )∆αi | 6
|f (ξi )||∆αi | 6
|f (ξi )|∆vi =
σv (|f |, T, Σ).
i=1
i=1
i=1
Замечание 1.14.1. Предыдущая теорема фактически утверждает, что
Rα [a, b] = Rv [a, b] = Rv [a, b] ∩ Rv−α [a, b].
Следствие 1.85. Пусть α, f : [a, b] → R (a 6 b), α ∈ V [a, b], f ∈ Rα [a, b],
Rb
|f | 6 M. Тогда | a f dα| 6 M Vab α = M (v(b) − v(a)).
Следствие 1.86. Пусть α, f, g : [a, b] → R, α ∈ V [a, b], f, g ∈ Rα [a, b].
Тогда f ± g, f g, |f |p (p > 0), cf (c ∈ R) ∈ Rα [a, b].
Доказательство. В силу предыдущей теоремы достаточно доказать, что
f ± g, f g, |f |p , cf ∈ Rv [a, b], а это вытекает из следствий 1.30 и 1.28 и
теоремы 1.29.
Rb
Пример. Пусть a < b; f ∈ V [a, b]. Докажем, что a f (x) sin(Ax +
¡
Rb
Rb
c)dx → 0 при A → +∞. Тогда a f (x) sin(Ax + c)dx = a f (x)d −
¢
Rb
1
cos(Ax + c) = − A1 f (x) cos(Ax + c)|ba + A1 a cos(Ax + c)df. Учитывая, что
A
¯1 Rb
¯
¯
¯ 6 1 Vab f → 0 и 1 f (x) cos(Ax + c)|ba = 1 (f (b) cos(Ab +
cos(Ax
+
c)df
A a
|A|
A
A
c) − f (a) cos(Aa + c)) → 0 при A → +∞, мы получим, требуемое утверждение.
Следствие 1.87 (достаточное условие интегрируемости). Пусть
α, f : [a, b] → R, α ∈ V [a, b] ∩ C[a, b], f ∈ V [a, b]. Тогда f ∈ Rα [a, b].
Доказательство. В силу следствия 1.82 функция v(x) = Vax α непрерывна на отрезке [a, b], и, учитывая, что функцию f можно представить в
виде разности двух монотонных функций, из теоремы 1.18 (достаточные
условия интегрируемости) вытекает, что f ∈ Rα [a, b].
50
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
Следствие 1.88. Пусть c ∈ [a, b], α, f : [a, b] → R, α ∈ V [a, b]. Тогда
f ∈ Rα [a, b] ⇔ f
∈ Rα [a, c] &f
∈ Rα [c, b].
[a,c]
[c,b]
Доказательство. В силу предыдущей теоремы достаточно доказать, что
f ∈ Rv [a, b] ⇔ f
∈ Rv [a, c] & f
∈ Rv [c, b]. Последнее вытекает из
[a,c]
[c,b]
следствия 1.39.
Следствие 1.89. Пусть a < b; α, f, g : [a, b] → R, α ∈ C[a, b] ∩ V [a, b],
функции f и g отличаются лишь на конечном
множестве
точек E ⊂
Rb
Rb
[a, b], и f ∈ Rα [a, b]. Тогда g ∈ Rα [a, b], и a f (x)dα = a g(x)dα.
Доказательство. В силу предыдущей теоремы достаточно доказать, что
f ∈ Rv [a, b]. Из следствия 1.21 вытекает, что и g интегрируема относительно непрерывной Rмонотонно возрастающей
v, а, следовательно, g ∈
Rb
b
Rα [a, b]. Кроме того, a f (x)dv = a g(x)dv. Из второй части доказательства теоремы 1.84 вытекает, что обе функции интегрируемы относительно монотонно возрастающей непрерывной
R b функции Rβb = v − α. Опять
же в силу следствия 1.21 вытекает, что a f (x)dβ = a g(x)dβ, а, следоRb
Rb
Rb
Rb
Rb
вательно, a f (x)dα = a f (x)dv − a f (x)dβ = a g(x)dv − a g(x)dβ =
Rb
g(x)dα.
a
Следствие 1.90. Пусть α, f : [a, b] → R, α, f ∈ V [a, b]. Тогда условие
f ∈ Rα [a, b] равносильно тому, что функции f и α в общих точках
разрыва односторонне непрерывны с противоположных сторон.
Доказательство. Необходимость односторонней непрерывности с противоположных сторон функций α и f в общих точках разрыва была
доказана ранее (см замечание 1.6.2).
Достаточность вытекает из теоремы 1.84 и следствия 1.21. Действительно, функцию f можно представить в виде разности двух монотонно
возрастающих функций f1 и f2 , которые односторонне непрерывны с той
же стороны, что и сама функция f в каждой точке отрезка [a, b]. Функция v односторонне непрерывна с той же стороны, что и функция α в
каждой точке отрезка [a, b]. Согласно следствию 1.21 f1 , f2 ∈ Rv [a, b], и,
следовательно, f ∈ Rα [a, b].
Теорема 1.91. Пусть α, f : [a, b] → R, α ∈ V [a, b]. Тогда f ∈ Rα [a, b]
⇔ функция f ограничена, и существует предел lim σα (f, T, Σ) = A ∈ R.
Bσ
Rb
При этом A = a f dα.
Доказательство.
⇒ Вытекает из леммы 1.11.1.
⇐ Пусть функция f – ограничена (|f | < M ), и ∃ lim σα (f, T, Σ) = A ∈
Bσ
R. В силу критерия Коши (см теорему 5.43) для любого ε > 0 найдется
элемент базы βT ∈ Bσ такой, что для всех (T1 , Σ1 ), (T2 , Σ2 ) ∈ βT верно
1.15 Несобственные интегралы Римана.
51
неравенство |σα (f, T1 , Σ1 ) − σα (f, T2 , Σ2 )| 6 ε. Пусть v(x) = Vax α, T 0 =
i N
{xj }N
j=0 ≺ T, а Σi = {ξj }j=1 (i = 1, 2) – произвольные множества отмеченных точек для разбиения T. Построим по множествам Σ1 и Σ2 новые мноe1 и Σ
e 2 . Если (f (ξ 1 ) − f (ξ 2 ))∆αj = −|f (ξ 1 ) −
жества отмеченных точек Σ
j
j
j
e 2 , а точку ξ 2 в множество
f (ξj2 )||∆αj |, то поместим точку ξj1 в множество Σ
j
e 1 ; в противном случае точки ξj1 и ξj2 поместим соответственно в множеΣ
N
e1 и Σ
e 2 . Тогда ε > sup (σα (f, T 0 , Σ
e 1 )−σα (f, T 0 , Σ
e 2 )) = P sup |f (ξ 1 )−
ства Σ
j
Σ1 ,Σ2
f (ξj2 )||∆αj | =
N
P
j=1 ξj1 ,ξj2
def
ωj |∆αj | = Ω(T 0 ), где ωj = ω(f, [xj−1 , xj ]) (j = 1, N ).
j=1
Таким образом, lim Ω(T ) = 0. Учитывая, что ωj |∆αj | 6 ωj ∆vj (j =
Bσ
1, N ), мы получим, что 0 6 Ωv (f, T 0 ) − Ω(T 0 ) =
N
P
ωj (∆vj − |∆αj |) 6
j=1
2M (
N
P
∆vj −
j=1
N
P
j=1
∆αj ) = 2M (Vab α − v(α, T 0 )) → 0 по базе Bσ . Следова-
тельно, lim Ωv (f, T ) = 0. В силу критерия Дарбу f ∈ Rv [a, b]. Отсюда
Bσ
следует утверждение теоремы.
Определение интеграла Римана-Стильтьеса можно распространить
на вектор-функции и комплекснозначные функции.
Определение 1.14.1. Пусть f = f1 + if2 : [a, b] → C (fk : [a, b] → R),
α = α1 + iα2 : [a, b] → R (αk : [a, b] → R). Отображение f называют интегрируемой относительно dα, если fk ∈ Rαm [a, b] (k, m = 1, 2).
Rb
При этом интегралом Римана-Стильтьеса a f dα называют величину
Rb
Rb
Rb
Rb
( a f1 dα1 − a f2 dα2 ) + i( a f1 dα2 + a f2 dα1 ).
Определение 1.14.2. Пусть f = (f1 , . . . , fn ) : [a, b] → Rn (Cn ), α =
(α1 , . . . , αn ) : [a, b] → Rn (Cn ). Отображение f называют интегрируемой
относительно dα, если fk ∈ Rαk [a, b] (k = 1, n). При этом векторным интеRb
Rb
Rb
гралом Римана-Стильтьеса a f dα называют вектор ( a f1 dα1 , . . . , a fn dαn ),
Rb
а скалярным интегралом Римана-Стильтьеса a (f, dα) называют сумму
n R
P
b
f dαk .
a k
k=1
1.15
Несобственные интегралы Римана. Критерий Коши. Признаки Вейерштрасса,
Дирихле, Абеля.
52
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
Определение 1.15.1. Пусть ω ∈ R, f : [a, ω) → R(C), ∀[a, b] ⊂ [a, ω) f ∈
R[a, b] (последнее эквивалентно тому, что f ограничена на любом отрезке
[a, b], и множество ее Rточек разрыва меры нуль Лебега). Несобственным
ω
интегралом Римана a f (x)dx в этом случае называется формальный
Rb
предел lim a f (x)dx. Значением этого интеграла называется величина
b→ω
этого предела (если он существует хотя бы в расширенном случае). Если
этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае, этот интеграл называется расходящимся.
Rω
Замечание 1.15.1. Если несобственный интеграл a f (x)dx сходится, то
Rω
Rb
Rω
f (x)dx = a f (x)dx + b f (x)dx для любого b ∈ [a, ω).
a
RB
Rb
RB
Доказательство. Так как a f (x)dx = a f (x)dx + b f (x)dx, то функRB
RB
ции a f (x)dx и b f (x)dx (переменной B) отличаются на константу
Rb
f (x)dx, и поэтому их пределы существуют или не существуют совместa
RB
Rb
RB
но. Устремляя B → ω в равенстве a f (x)dx = a f (x)dx + b f (x)dx, мы
получим нужное равенство для значений несобственных интегралов.
Rω
Замечание 1.15.2. Сходимость
несобственного
интеграла
f (x)dx равa
Rω
носильна условию lim b f (x)dx = 0. Действительно, в силу предыдуR ωb→ω
Rb
Rω
щего замечания a f (x)dx − a f (x)dx = b f (x)dx. Устремляя b → ω,
Rω
Rb
Rω
получим, что a f (x)dx− a f (x)dx → 0, а, следовательно, b f (x)dx → 0.
ЗамечаниеR 1.15.3. Пусть αR∈ R. Тогда f ∈ R[a + α, ω + α) ⇔ f (· + α) ∈
ω
ω+α
R[a, ω), и a f (x + α)dx = a+α f (t)dt.
Доказательство. Поскольку для произвольного отмеченного разбиения
(T, Σ) отрезка [a, b] ∈ [a, ω] суммы Римана σ(f (·+α) , T, Σ) и σ(f
,T+
[a,b]
[a+α,b+α]
α, Σ + α) совпадают, то их пределы при λ(T ) = λ(T + α) → 0, т.е. интеRb
R b+α
гралы a f (x + α)dx и a+α f (x)dx, равны. Устремляя b → ω, получим,
Rω
R ω+α
что a f (x + α)dx = a+α f (x)dx.
Определение 1.15.2. Пусть Rω1 , ω2 ∈ R, f : (ω1 , ω2 ) → R(C). Несобω
ственным интегралом Римана ω12 f (x)dx в этом случае называется форRω
Ra
мальная сумма несобственных интегралов a 2 f (x)dx и ω1 f (x)dx для
некоторого a ∈ (ω1 , ω2 ). Величина этой суммы (если она существует) называется значением несобственного интеграла. Несобственный интеграл
называется сходящимся, если сходится каждый из этих интегралов, в
противном случае, он называется расходящимся.
Корректность. Отметим, что от выбора точки a ∈ (ω1 , ω2 ) не зависит сходимость несобственного интеграла из предыдущего определения,
либо его расходимость, а также его значение, если оно определено.
1.15 Несобственные интегралы Римана.
53
Доказательство. Действительно, для любых чисел b, A ∈ (ω1 , ω2 ) верRA
Rb
RA
но равенство a f (x)dx = a f (x)dx + b f (x)dx, и, следовательно, если
RA
RA
существует предел lim a f (x)dx, то существует предел lim b f (x)dx,
A→ω2
A→ω2
Rb
и наоборот, при этом они отличаются на величину интеграла a f (x)dx.
Ra
Ra
Rb
Аналогично, верно равенство A f (x)dx = b f (x)dx + A f (x)dx, а, слеRa
Rb
довательно, пределы lim A f (x)dx и lim A f (x)dx существуют или не
A→ω1
A→ω1
существуют совместно,
и
отличаются
в
случае их существования на велиRa
чину интеграла b f (x)dx. А, следовательно, сходимость несобственного
интеграла и его значение (если оно определено) от точек a, b не зависят
Rb
Ra
(т.к. a f (x)dx + b f (x)dx = 0).
Определение 1.15.3. Пусть I ⊂ R – промежуток с концами c, d; I =
[c, d] – его замыкание в R, и E = {ωi }N
i=1 ⊂ I такое конечное множество,
что I \ E = [c, d] \ E содержится в R. Отметим, что если c или d не конечные числа, то они принадлежат множеству E. Рассмотрим функцию
f : I \ E → R(C), которая на любом отрезке [a, b] ⊂ [c, d] \ E интегрируемаRв собственном смысле по Риману. Несобственным
интегралом РиRd
мана I f (x)dx (используют также обозначение c f (x)dx) в этом
R ω случае
называется формальная сумма несобственных интегралов ωii+1 f (x)dx
Rω
Rd
(i = 1, N − 1) и возможно интегралов c 1 f (x)dx и ωN f (x)dx, если c
R
или d соответственно конечны. Несобственный интеграл I f (x)dx называют сходящимся, если каждый из несобственных интегралов, входящих
в сумму сходится. Значением интеграла называется значение этой суммы
особыми точками
(если она определена). Точки множества E называют
R
(или особенностями) несобственного интеграла I f (x)dx. Функции, для
которых несобственный интеграл на промежутке I сходится, называются интегрируемыми в несобственном смысле на I, а класс всех таких
функций обозначается как R(I) или как R([c, d]).
Замечание 1.15.4. Как видно из определений, изучение сходимости (расходимости) несобственных
R ω интегралов сводится к изучению несобственного интеграла вида a f (x)dx с одной особой точкой ω. Поэтому в основном свойства несобственного интеграла мы будем изучать, именно,
для этого случая.
Замечание 1.15.5. Из определения вытекает, что если f ∈ R(I), то f ∈
R(J) для любого промежутка J ⊂ I.
Замечание 1.15.6. Из определения вытекает, что если промежуток I является объединением промежутков {Jk }N
k=1 , с попарно непересекающимися внутренностями, то f ∈ R(I) ⇔ f ∈ R(Jk ) (k = 1, N ). При этом
N R
R
P
f
(x)dx
=
f (x)dx.
I
Jk
k=1
Замечание
1.15.7.
R
R Пусть α ∈ R. Тогда f ∈ R(I + α) ⇔ f (· + α) ∈ R(I), и
f
(x
+
α)dx
=
f (t)dt.
I
I+α
54
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
Доказательство. Вытекает из определения несобственного интеграла
на промежутке и замечания 1.15.3.
Примеры. R
+∞
1. Интеграл 1 Cdx
(C > 0) сходится тогда и только тогда, коxλ
R +∞
гда λ > 1. Действительно, при λ 6= 1 верны соотношения: 1 Cdx
=
xλ
¯A
³
´
R A Cdx
1−λ ¯
1−λ
C
= lim CA
− 1−λ
. В случае, когда
lim 1 xλ = lim Cx
1−λ ¯
1−λ
A→+∞
A→+∞
A→+∞
C
равно λ−1
,а
1
λ > 1 последнее выражение
в случае, когда λ < 1 последнее
выражение
равно
+∞.
Для
λ
=
1
несобственный
интеграл принимает
R +∞ Cdx
R A Cdx
вид: 1
= lim 1 x = lim C ln A = +∞. Тем самым утверx
A→+∞
A→+∞
ждение доказано.
R b Cdx
2. Интеграл a |x−b|λ (C > 0; a < b) сходится только при λ < 1. ДейR b Cdx
R A Cdx
ствительно, при λ 6= 1 верны соотношения: a |x−b|
lim a |x−b|
λ =
λ =
A→b−0
¯
´
³
1−λ ¯A
C(b−A)1−λ
C(b−a)1−λ
lim C(b−x)
=
lim
−
. В случае, когда λ < 1
¯
λ−1
λ−1
λ−1
A→b−0
a
A→b−0
1−λ
последнее выражение равно C(b−a)
, а в случае, когда λ > 1 последнее
1−λ
λ
=
1
несобственный
интеграл принимает
выражение
равно
+∞.
Для
R b Cdx
R A Cdx
вид: a |x−b| = lim a |x−b| = lim C(− ln(b − A) + ln(b − a)) = +∞. Тем
A→+∞
A→+∞
самым утверждение доказано.
3. Пусть f : [a, b) → R – ограниченная функция, множество точек
разрыва которой меры нуль Лебега, [a, b] ⊂ R. Тогда f ∈ R[a, b). При
этом, если мы доопределим функцию в точке b, то полученная функция
будет интегрируема по Риману на отрезке [a, b], и ее интеграл Римана
будет равен несобственному интегралу этой функции по полуинтервалу
[a, b).
Доказательство. Доопределив функцию в точке b любым конечным значением, мы получим, что у этой функции множество точек разрыва является множеством меры нуль Лебега, а сама функция ограничена. Из
критерия Лебега вытекает, что эта доопределенная функция интегрируема по
R xРиману (в собственном смысле) на отрезке [a, b]. Поскольку
F (x) = a f (t)dt ∈ C[a, b], то несобственный интеграл сходится к значеRb
нию предела lim F (x), равному величине F (b) = a f (t)dt.
x→b
Теорема 1.92 (арифметические свойства). Пусть f,
R ωg ∈ R[a, ω). Тоα,
β
∈
R(C)
αf
+
βg
∈
R[a,
ω),
и
(αf + βg)dx =
гда
для
любых
чисел
a
Rω
Rω
α a f dx + β a gdx.
Доказательство. Из арифметических
свойств собственных
интегралов
RA
RA
RA
Римана вытекает равенство: a (αf + βg)dx
=
α
f
dx
+
β
a
Rω
Ra ωgdx, и,
в Rсилу арифметических свойств предела a (αf + βg)dx = α a f dx +
ω
β a gdx.
1.15 Несобственные интегралы Римана.
55
Теорема 1.93 (критерий Коши). Пусть f : [a, ω) → R(C) (ω ∈ R).
Rω
RB
Тогда a f dx сходится ⇔ ∀ε > 0 ∃A ∈ [a, ω) ∀B1 , B2 ∈ [A, ω) | B12 f dx| 6
ε.
Доказательство. Это утверждение следует из критерия Коши сходимоdef R t
сти функции
F
(t)
= a f dx при t → ω. Действительно, сходимость инRω
теграла a f dx равносильна существованию предела lim F (t) ∈ R. При
t→ω
.
этом вместо базы предела функции {Oδ (ω) ∩ [a, ω)}δ>0 рассмотрим ей
эквивалентную базу B = {[A, ω)}A∈[a,ω) . По критерию Коши существования конечно предела по базе B верно утверждение: ∃ lim F (t) ∈ R ⇔
t→ω
∀ε > 0 ∃A ∈ [a, ω) ∀B1 , B2 ∈ [A, ω) |F (B2 ) − F (B1 )| 6 ε. Учитывая, что
RB
F (B2 ) − F (B1 ) = B12 f dx, получаем утверждение теоремы.
Теорема 1.94 (Вейерштрасса). Пусть ω ∈ R, f : [a, ω) → C, g :
[a, ω) → R+ , g ∈ R[a, ω); и ∀A ∈ [a, ω) f ∈ R[a, A]; а |f | 6 ¯gR на неко¯
¯ ω f dx¯ 6
тором
полуинтервале
[b,
ω)
⊂
[a,
ω)
Тогда
f,
|f
|
∈
R[a,
ω),
и
a
Rω
Rω
|f
|dx
6
gdx
в
случае,
когда
ω
>
a.
a
a
Доказательство. Без потери общности будем считать, что ω > a. В силу критерия Коши из условия ¯g ∈ R[a,¯ ω) вытекает, что ∀ε > 0 ∃A ∈
RB
[a, ω) ∀B1 , B2 ∈ [A, ω)(B1 6 B2 ) ¯ B12 gdx¯ 6 ε. Пусть B = max{A, b}. Сле¯RB
¯ RB
RB
довательно, ∀B1 , B2 ∈ [B, ω)(B1 6 B2 ) ¯ 2 f dx¯ 6 2 |f |dx 6 2 gdx 6
B1
B1
B1
ε. Отсюда в силу
Коши f, |f | ∈ R[a, ω). Переходя к пределу в
¯ R A критерия
¯
RA
RA
¯
¯
неравенствах
f
dx
6
|f
|dx
6
gdx при A → ω, получим нераa
a
¯Rω
¯a R ω
Rω
венство ¯ a f dx¯ 6 a |f |dx 6 a gdx.
Следствие 1.95. Пусть f, g : [a, ω) → R, 0 6 g 6 f на некотором
полуинтевале [b, ω) ⊂ [a, ω), и на любом отрезке из [a, ω) функция g
интегрируема по Риману, и g ∈
/ R[a, ω). Тогда f ∈
/ R[a, ω).
Следствие 1.96. Пусть f : [a, +∞) → R(C), и на любом отрезке из
[a, ω) функция f интегрируема по Риману, и существуют числа C >
0, λ > 1, b > 1 такие, что |f (x)| 6 xCλ на [b, +∞). Тогда f ∈ R[a, +∞).
Доказательство. Положим g = xCλ . Тогда эта функция интегрируема на
[b, +∞), и, следовательно, по теореме 1.94 f ∈ R[a, +∞).
Следствие 1.97. Пусть f : [a, +∞) → R, и найдутся числа C > 0, λ 6
1, b > a такие, что на полуинтервале из [b, +∞) имеет место неравен/ R[a, +∞).
ство f > xCλ . Тогда f ∈
Доказательство. Положим g = xCλ . Тогда эта функция неинтегрируема
/ R[a, +∞).
на [d, +∞) (d > |b|). По следствию 1.95 f ∈
56
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
Следствие 1.98. Пусть f : [a, c) → R(C) (a, c ∈ R), и на любом отрезке
из [a, c) функция f интегрируема по Риману, и существуют числа A >
A
0, λ < 1 такие, что |f (x)| 6 |c−x|
λ на [b, c) ⊂ [a, c). Тогда f ∈ R[a, c).
A
Доказательство. Пусть для определенности c > a. Положим g = (c−x)
λ.
Тогда эта функция интегрируема на [b, c), и, следовательно, по теореме
1.94 f ∈ R[a, c).
Следствие 1.99. Пусть f : [a, c) → R, и найдутся числа A > 0, λ >
1, b ∈ (a, c) такие, что на полуинтервале из [b, c) имеет место неравенA
ство f > |c−x|
/ R[a, c).
λ . Тогда f ∈
A
Доказательство. Пусть для определенности c > a. Положим g = (c−x)
λ.
Тогда эта функция неинтегрируема на [b, c), и по следствию 1.95 f ∈
/
R[a, c).
Следствие 1.100. Пусть функция f : [a, +∞) → R (f : [a, c) → R), интегрируема по Риману на любом отрезке из полуинтервала [a, +∞) ([a, c)),
и для некоторого числа A 6= 0 имеет место соотношение f ∼ xAλ
x→+∞
A
λ ),
x→c |c−x|
(f ∼
то f ∈ R[a, +∞) (f ∈ R[a, c)) ⇔ λ > 1 (λ < 1).
Доказательство. Случай A < 0 сводится к случаю A > 0 умножением
функции f на −1. Поэтому достаточно разобрать случай A > 0. Пусть
ω = +∞(= c), тогда для достаточно малого ε > 0, для которого A−ε > 0,
.
найдется число δ >¡ 0 такое, что на окрестности
Oδ (ω) верно неравенство
¢
A−ε
A−ε
A+ε
6 f (x) 6 A+ε
6 f (x) 6 |c−x|
λ . Отсюда из следствий 1.96,1.97
xλ
xλ
|c−x|λ
(1.98,1.99) вытекает требуемое утверждение.
Теорема 1.101 (признак Дирихле). Пусть ωR ∈ R, f : [a, ω) → C,
x
g : [a, ω) → R, g ↑ (↓)0 (x → ω); функция
R ω F (x) = a f (t)dt определена и
ограничена на [a, ω). Тогда интеграл a f (x)g(x)dx сходится.
Доказательство. Прежде всего отметим, что из монотонности функции
g следует ее интегрируемость по Риману на любом отрезке из полуинтервала [a, ω). Следовательно, f g ∈ R[a, b] для любого отрезка [a, b] ⊂ [a, ω).
Поскольку функция F ограничена, то найдется число C > 0, для которого |F | 6 C на [a, ω). Для любого ε > 0 найдется число A ∈ [a, ω),
ε
для которого |g(x)| < 4C
на [A, ω). Тогда для любых чисел B1 , B2 ∈
[A, ω) (B1 < B2 ), применяя формулу Бонне (см теорему 1.71), получим
RB
Rξ
RB
соотношения: | B12 f (x)g(x)dx| = |g(B1 ) B1 f (x)dx + g(B2 ) ξ 2 f (x)dx| 6
ε
ε
|g(B1 )||F (ξ) − F (B1 )| + |g(B2 )||F (B2 ) − F (ξ)| < 4C
2C + 4C
2C = ε. В силу
критерия Коши f g ∈ R[a, ω).
Теорема 1.102 (признак Абеля). Пусть ω ∈ R, f : [a, ω) → C,
gR : [a, ω) → R, функция g монотонна
R ω и ограничена на [a, ω), интеграл
ω
f (x)g(x)dx сходится.
f
(t)dt
сходится.
Тогда
интеграл
a
a
1.16 Замена переменной. Формулы Фруллани и интегрирования по частям.57
Доказательство. Также как и ранее, f, g ∈ R[a, b], а, следовательно,
Rx
f g ∈ R[a, b] Rна любом отрезке [a, b] ⊂ [a, ω). Поскольку F (x) = a f (t)dt
ω
сходится к a f (t)dt ∈ C, то F ограничена. И так как g монотонна и
ограничена, то по теореме Вейерштрасса существует lim g(x) = c ∈ R.
x→ω
ПосколькуR g0 (x) = g(x)−c ↑ (↓)0 (xR → ω). По признаку
R ω Дирихле сходится
ω
ω
интеграл
f (x)g0R(x)dx. Тогда ∃ a f (x)g(x)dx = a f (x)(g0 (x) + c)dx =
a
Rω
ω
f (x)g0 (x)dx + c a f (x)dx ∈ C.
a
Пример. Интеграл Дирихле
R +∞
0
sin αx
dx
xp
сходится при 0 < p < 2.
Доказательство. Случай α = 0 тривиален. Рассмотрим Rслучай α 6= 0.
1
Особых точек две: 0 и +∞. Докажем, что интегралы 1). 0 sinxpαx dx и 2).
R +∞ sin αx
dx сходятся.
x¯p
1
¯
sin
1). ¯ xpαx ¯ 6 |αx|
= |α||x|1−p ∈ R(0, 1]. Следовательно, по признаку
|x|p
R1
Вейерштрасса интеграл 0 sinxpαx dx сходится.
¯Rx
¯
¯
¯x ¯
2). ¯ 1 sin αtdt¯ = ¯ − cosααt ¯1 ¯ 6 α2 , x1p ↓ 0 (x → +∞). По признаку
R +∞
Дирихле интеграл 1 sinxpαx dx сходится.
R +∞
Таким образом, интеграл 0 sinxpαx dx сходится при 0 < p < 2.
1.16
Замена переменной в несобственном интеграле и формула интегрирования по
частям. Теорема Фруллани.
Теорема 1.103 (замена переменной в несобственном интеграле).
Пусть ω ∈ R, f ∈ C[a, ω) ∩ R[a, ω), ϕ : [c, d) → [a, ω), ϕ(c) = a, lim ϕ(t) =
t→d
ω; и ϕ0 интегрируема по Риману на любом отрезке [c, b] ⊂ [a, ω). Тогда
Rω
Rd
f (x)dx = c f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt.
a
Доказательство. Пусть F – первообразная для f ∈ C[a, ω). По теореме
R ϕ(b)
1.56 о замене переменной в собственном интеграле Римана ϕ(c) f (x)dx =
Rb
F (ϕ(b)) − F (ϕ(c)) = c f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt для всех b ∈ [c, d). Устремляя b → d,
Rd
Rω
получим, что ∃ c f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt = a f (x)dx.
Теорема 1.104 (интегрирование по частям). Пусть ω ∈ R, f, g ∈
D[a, ω), и f 0 , g 0 ∈ R[a,
отрезке [a,
R ω b] 0 ⊂ [a, ω). Тогда имеR ωb] на любом
0
ω
ет место равенство a f (x)g (x)dx = f g|a − a f (x)g(x)dx, где f g|ωa =
lim f g|xa , если хотя бы два члена равенства существуют и конечны.
x→ω
58
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
Rb
Доказательство. В силу теоремы 1.56 выполняется равенство a f g 0 dx =
Rb
f g|ba − a f 0 gdx для любого b ∈ [a, ω). Требуемое утверждение следует из
арифметических свойств предела (при b → ω).
Замечание 1.16.1. Из этой теоремы вытекаетRформула Ньютона-Лейбница
ω
для несобственного интеграла функции f 0 : a f 0 dx = f |ωa . Для этого достаточно положить g ≡ 1.
Замечание 1.16.2. По определению 1.15.2 из теоремы 1.104 и замечания
1.16.1 вытекает, что формулы интегрирования по частям и НьютонаЛейбница применимы и в случае, когда множество особых точек состоит
из обоих концов промежутка несобственного интегрирования.
Замечание 1.16.3. Формулы интегрирования по частям и Ньютона-Лейбница
выполняются и для случая, когда f 0 , g 0 ∈ R[a, b] (т.е. предполагается, что
производные могут быть неопределены на некотором конечном множестве E), и функции f и g непрерывны во всех конечных точках множества E.
Доказательство. Действительно, пусть T = {xi }ni=0 – такой упорядоченный набор точек, что −∞ 6 a = x0 < x1 < . . . < xn = b 6 +∞, и
производные f 0 , g 0 определены на [a, b] \ T. Тогда (f g)(xi ± 0) = (f g)(xi )
(т.е. (f g)(xi + 0) − (f g)(xi − 0) = 0) для всех i = 1, n − 1 и, поэтому
n
n ¡
¢
P
P
f g|ba =
f g|xxii−1 =
(f g)(xi − 0) − (f g)(xi−1 + 0) , а, следовательно,
Rb
a
i=1
0
f g dx =
n R
P
xi
i=1
R
Аналогично,
i=1
f g 0 dx =
xi−1
ω
a
f 0 dx = f |ba .
n
P
i=1
f g|xxii−1 −
n R
P
xi
i=1
xi−1
f 0 gdx = f g|ba −
Rb
a
f 0 gdx.
Теорема 1.105 (Фруллани). Пусть f ∈ C[0, +∞); и a, b > 0. Тогда
R +∞
def
1). Если ∃ lim f (x) = f (+∞) ∈ R, то ∃ 0 (f (ax) − f (bx)) dx
=
x
x→+∞
(f (0) − f (+∞)) ln ab ;
R +∞
2). Если для любого числа δ > 0 существует интеграл δ
R +∞
то ∃ 0 (f (ax) − f (bx)) dx
= f (0) ln ab .
x
f (x)
dx,
x
Доказательство.
Rε
Rε
R aε
R bε
Rε
dx
dx
dt
=
−
=
−
1). δ (f (ax)−f (bx)) dx
f
(ax)
f
(bx)
f
(t)
f (t) dtt =
x
x
x
t
δ
δ
aδ
bδ
R bδ
R
R
R
bε
bδ
bε
f (t) dtt − aε f (t) dtt = f (ξδ ) aδ dtt −f (ξε ) aε dtt = f (ξδ ) ln ab −f (ξε ) ln ab , где
aδ
ξδ ∈ [aδ, bδ] и ξε ∈ [aε, bε]. Тогда ξδ → 0 (δ → 0+) и ξε → +∞
(ε → +∞).
R +∞
Переходя к пределу при δ → 0+, ε → +∞, получим, что 0 (f (ax) −
= (f (0) − f (+∞)) ln ab .
f (bx)) dx
Rx +∞
R +∞
R +∞
R +∞
dx
dx
2). δ (f (ax) − f (bx)) dx
=
f
(ax)
−
f
(bx)
=
f (t) dtt −
x
x
x
δ
δ
aδ
R +∞
R
R
bδ
bδ
f (t) dtt = aδ f (t) dtt = f (ξδ ) aδ dtt = f (ξδ ) ln ab . Устремляя δ → 0, полуbδ
R +∞
чим равенство 0 (f (ax) − f (bx)) dx
= f (0) ln ab .
x
R +∞
bx
dx = ln ab .
Пример. 0 cos ax−cos
x
1.17 Абсолютная и условная сходимость.
1.17
59
Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла.
Определение 1.17.1. Пусть f : [a, ω) → R(C). Говорят, что функция f
абсолютно интегрируема
на [a, ω), если Rf ∈ R[a, b] для любого отрезка
Rω
ω
[a, b] ⊂ [a, ω), и ∃ a |f |dx ∈ R. Интеграл a f (x)dx, при этом называется
абсолютно сходящимся.
Rω
1.106. Пусть интеграл a f (x)dx абсолютно сходится. Тогда
RТеорема
ω
f (x)dx сходится.
a
Доказательство. По теореме 1.94 Вейерштрасса из неравенства |f | 6
g = |f | ∈ R[a, ω) вытекает, что f ∈ R[a, ω).
Определение 1.17.2. Пусть f : [a, ω) → R(C). Говорят, что функция
f условно интегрируема
на [a, ω), если f ∈ R[a, ω), и |f | ∈
/ R[a, ω). При
Rω
этом интеграл a f (x)dx называют условно сходящимся.
R +∞ x
dx условно сходится при p ∈ (0, 1] и абПример. Интеграл 1 sin
xp
солютно сходится при p > 1.
R +∞ x
dx сходится по признаку Дирихле
Доказательство. Интеграл 1 sin
xp R x
для всех p >¯ 0, т.к.
функция F (x) = 1 sin tdt ограничена, а x1p ↓ 0. Из
¯
x¯
неравенства ¯ sin
6 x1p ∈ R[1, +∞) при p > 1 по признаку Вейерштрасса
xp
исходный Rинтеграл абсолютно сходится. Докажем, что при p ∈ (0, 1)
+∞
x
интеграл 1 sin
dx не является абсолютно сходящимся. Имеет место
¯ sinxxp¯ sin2 x
R A ¯ sin x ¯
R
2x
¯
¯ p ¯dx > A 1p dx −
¯
неравенство xp > xp = 2x1p − cos
,
поэтому
p
2x
x
1
1 2x
RA 1
R A cos 2x
dx.
Учитывая,
что
при
A
→
+∞
dx
→
+∞,
и
по
признаку
2xp
1 2xp
1
R A cos 2x
R +∞ cos 2x
R A ¯ sin x ¯
Дирихле 1 2xp dx → 1
dx ∈ R, получим, что 1 ¯ xp ¯dx → +∞.
2xp ¯
¯
R +∞
x¯
Следовательно, интеграл 1 ¯ sin
dx расходится, и поэтому интеграл
p
x
R +∞ sin x
dx условно сходится при p ∈ (0, 1].
xp
1
1.18
Формула Стирлинга.
При доказательстве формулы
Стирлинга
R +∞
√будем использовать тот факт,
2
что интеграл Пуассона −∞ e−u du равен π (эта формула будет доказана позже).
R +∞
Через Γ(α + 1) обозначим интеграл 0 tα e−t dt, который сходится
t
при α > −1, т.к. |tα e−t | 6 tα ∈ R(0, 1], |tα e−t | 6 Ce− 2 ∈ R[1, +∞), где
C = C(α) > 0.
60
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
Теорема 1.107. Для любого
¡ α ¢α √числа
¡ α >τα0 ¢существует число τα : |τα | < 1
такое, что Γ(α + 1) = e
2πα 1 + √α .
Доказательство. Изучим поведение положительной функции f (x) =
d
xα e−x на (0, +∞). Поскольку dx
(xα e−x ) = e−x (αxα−1 −xα ), то f ↑↑ на (0, α]
и f ↓↓ на [α, +∞). На этих промежутках функция f обратима, и обратные к f, принимающие значения на этих промежутках также являются
непрерывными.
¢α Наибольшее значение f принимает
¢α в точке α, и это значение равно ( αe . Рассмотрим функцию ϕ(x) = ( αe f (x), которая монотонно возрастает на (0, α] и монотонно убывает на [α, +∞), принимая значе2
ния (0, 1]. Сделаем замену t ↔ x, положив ϕ(x) = e−t и считая, что промежутки (−∞, 0] и [0, +∞) сопоставляются соответственно промежуткам (0, α] и [α, +∞). При этом функция x = x(t) определена на R, принимает значения (0, +∞) и строго возрастает. Из критерия непрерывности
монотонной функции следует, что x ∈ C(R). Существует обратная функция t = t(x), для которой выполняются
sign t = sign (x − α)
© ¢α равенства:
ª
(при t 6= 0 ⇔ x 6= α); и t2 = − ln ( αe xα e−x = x − α − α ln αx . Следова¡
¢
1
тельно, t = sign (x − α){x − α − α ln αx } 2 ∈ C 1 (0, +∞) \ {α} , и
t0x = sign−1 (x − α)
1 − αx
11−
1
1 =
x
2 {x − α − α ln } 2
2 t
α
x
6= 0
α
для всех x ∈ (0, +∞) \ {α}. По теореме
обратного
¡ о дифференцировании
¢
¡
¢
2tx
2t
α
0
отображения ∃xt = 1− α = x−α = 2t 1 + x−α ∈ C (0, +∞) \ {α} . Поx
α
по переменной t. Для этого разложим функцию
лучим асимптотику x−α
ϕ(y) = ln(1 + y), где 1 + y = αx , т.е. y = x−α
∈ (−1, +∞), по формуле Тейα
00
лора с остаточным членом в форме Лагранжа: ln(1 + y) = y + ψ 2!(ξ) y 2 =
1
2
y − 12 (1+ξ)
2 y . Для удобства положим ξ = θy, где θ = θ(y) ∈ (0, 1),
y2
.
2(1+θy)2
Следовательно, t = sign (x −
¡ x−α
¢´ 21
( x−α
)2
x 12
α
α){x − α − α ln α } = sign (x − α) x − α − α α − 2(1+θ( x−α ))2
=
α
p α x−α
pα 1
√ ¯¯ x−α ¯¯
1
sign (x−α) α α √2(1+θ( x−α )) = 2 α+θ(x−α) = 2 ( α +θ) . Следовательx−α
α
¡
¢
p
p
α
α
α
но, x−α
+ θ = 1t α2 и x−α
= 1t α2 − θ. Поэтому x0t = 2t 1 + x−α
=
√
2α + 2t(1 − θ), где можно считать, что θ√зависит от t. Из этой √
фор0
0
мулы следует, в частности, что ∃ lim xt = 2α, поэтому ∃x (0) = 2α,
t→0
¢α R +∞ ¡ e ¢α α −x
0
и,
следовательно,
x
∈
C(R).
Тогда
Γ(α + 1) = ( αe
x e dx =
α
0
¯
¯
¯ x = x(t) ¯
√
¢
R
α α +∞ −t2
¯
¯
e (2t(1 − θ) + 2α)dt. Оценим величину ω =
−∞
¯ t ∈ R ¯ = (e
R +∞ −t2
R +∞ −t2
R +∞ −t2
2
=
2t(1
−
θ)dt
:
2|t|dt
=
2
e 2tdt = −2e−t |+∞
e
|ω|
6
e
0
0
−∞
−∞
√
¢ √
R +∞ −t2 √
α α
2. Поскольку −∞ e
2αdt = 2απ, то Γ(α + 1) = ( e ( 2απ + ω) =
¡
¢
¡
¢ √
¢α √
¢
ω
α α
2απ 1 + √2απ = ( αe
2απ 1 + √ταα , где τα = √ω2π 6 √22π < 1.
(e
и получим, что ln(1 + y) = y −
³
1.19 Непрерывность неопределенного интеграла Римана.
61
Следствие 1.108 (формула Стирлинга). Для произвольного числа
n ∈ N существует τn : |τn | < 1 такое, что
³ n ´n √
³
³ n ´n √
τn ´
n! =
2πn 1 + √
∼
2πn.
e
n n→∞ e
R +∞
R +∞
Доказательство. Γ(α + 1) = 0 tα e−t dt = − 0 tα de−t = −tα e−t |+∞
+
0
R +∞ −t
R +∞ α−1 −t
−t +∞
αt e dt = αΓ(α), Γ(1) = 0 e dt = −e |0 = 1. Следова0
тельно, Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n − 1)Γ(n − 2) = . . . = n!. Отсюда и из
предыдущей теоремы вытекает утверждение следствия.
1.19
Непрерывность неопределенного интеграла Римана.
Определение 1.19.1. Пусть I ⊂ R – некоторый промежуток, f ∈ R(I),
N
R = N (I) – набор всех промежутков, содержащихся в I. Отображение
f dx : N → R, сопоставляющее каждому
промежутку J ∈ N число,
R
равное несобственному интегралу I f dx, называется неопределенным
интегралом Римана.
Определение 1.19.2. Пусть I ⊂ R. Отображение F : N → R называется непрерывным, если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что
для всех промежутков J ∈ N , помещающихся в некоторой окрестности
Oδ (x) ⊂ R, |F (J)| < ε.
Лемма 1.19.1. Пусть I = [c, d] ⊂ R, и f : I → R, f ∈ C(I), т.е.
f (x) = lim f (t) для всех x ∈ I. Тогда для любого ε > 0 найдется δ > 0
t→x
такое, что для любых x ∈ R и произвольных x1 , x2 ∈ I ∩ Oδ (x) верно
неравенство |f (x1 ) − f (x2 )| < ε.
Доказательство. Продолжая функцию значением f (d) справа от отрезка [c, d] и значением f (c) слева от этого отрезка, мы сведем задачу к случаю, когда f ∈ C(R). Для любого числа ε > 0 найдется число δ0 ∈ (0, 1)
такое, что ω(f, Oδ0 (±∞)) < ε. Т.к. функция f непрерывна на отрезке
∆ = [− δ30 , δ30 ], то она равномерно непрерывна, а, следовательно, найдется
такое число δ ∈ (0, δ0 ), что, если Oδ (x) ⊂ ∆, то ω(f, Oδ (x)) < ε. Возьмем
произвольный промежуток J, содержащийся в некоторой окрестности
Oδ (x). Если Oδ (x) ∩ [− δ10 , δ10 ] = ∅, то Oδ (x) содержится в δ0 -окрестности
одной из бесконечностей, и, следовательно, ω(f, J) 6 ω(f, Oδ (x)) < ε. В
случае, когда окрестность Oδ (x) пересекается с отрезком [− δ10 , δ10 ], она
содержится в отрезке ∆, и, следовательно, ω(f, J) 6 ω(f, Oδ (x)) < ε.
Теорема доказана.
62
1 Интеграл Римана-Стильтьеса.
Теорема 1.109 (непрерывность неопределенного интеграла Римана). Пусть I ⊂R R – промежуток, f ∈ R(I). Тогда неопределенный
интеграл Римана f dx непрерывен на N (I).
Rx
Доказательство. Положим F (x) = x0 f (t)dt, где x0 ∈ I, а x ∈ I. Тогда из определения несобственного интеграла функция F ∈ C(I). В силу предыдущей теоремы для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что
для
R x любых x ∈ R и произвольных x1 , x2 ∈ I ∩ Oδ (x) верно неравенство
| x12 f (t)dt| = |F (x1 ) − F (x2 )| < ε.
Глава 2
Функции многих переменных.
Предел и непрерывность.
2.1
Евклидовы и полуевклидовы пространства.
Определение 2.1.1. Линейным пространством над полем K называется
такое множество L, на котором определены операции сложения элементов множества L и умножения их на элемент поля K. При этом выполняются для любых x, y, z ∈ L и λ, µ ∈ K следующие свойства (аксиомы):
1. x + y = y + x (коммутативность);
2. (x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность);
3. ∃θ ∈ L : x + θ = θ + x = x (существование нулевого элемента);
4. ∃(−x) ∈ L : x + (−x) = θ (существование обратного элемента);
5. λ(x + y) = λx + λy (дистрибутивность);
6. (λ + µ)x = λx + µx (дистрибутивность);
7. λ(µx) = (λµ)x (ассоциативность);
8. 1 · x = x (нормировка).
Элементы пространства L называют обычно векторами или точками, а само L называют часто векторным пространством. Как правило, в
дальнейшем нуль пространства L – элемент θ, будем обозначать символом 0.
Примеры.
1. Множество R – линейное пространство над полем R.
Замечание 2.1.1. Множество R можно рассмотреть как линейное пространство над полем Q. В этом случае это пространство будет бесконечномерным, т.к. базис Гамеля на прямой имеет мощность континуума.
2. Множество C – линейное пространство как над полем C, так и
полем R.
63
64
2 Функции многих переменных.
3. Множество Rn – линейное пространство над полем R.
4. Множество Cn – линейное пространство над полем R или C.
5. Пусть Q
{Xα }α∈A – семейство линейных пространств над полем K.
Тогда X =
Xα является линейным пространством над полем K.
α∈A
Доказательство. В примерах 1 и 2 операции сложения и умножения
стандартные для этих множеств. В примерах 3 и 4 суммой двух векторов
x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) называют вектор (x1 + y1 , . . . , xn + yn ),
а умножение вектора x на число λ – вектор (λx1 , . . . , λxn ). Свойства 1–
8 для Rn и Cn легко вытекают из свойств 1–8 для полей R или C. В
примере 5 суммой двух элементов x = (xα ) и y = (yα ) называют элемент
(xα + yα ), а умножением элемента x = (xα ) на число λ ∈ K – элемент
(λxα ).
6. Множества непрерывных функций C[a, b], множество интегрируемых функций R[a, b] – линейные пространства над полем R.
7. Множество всех многочленов – линейное пространство над полем
R.
Определение 2.1.2. В линейном пространстве L над полем R введем
понятие отрезка [a, b] с концами a, b ∈ L, обозначив через него множество {x = λa + (1 − λ)b | λ ∈ [0, 1]}, представляющее собой аффинное
отображение числового отрезка [0, 1].
Определение 2.1.3. Пусть L – линейное пространство над полем R(C).
Скалярным произведением на L называется функция (·, ·) : L×L → R(C)
такая, что для любых x, y, z ∈ L и λ, µ ∈ R(C) выполняются свойства
(аксиомы):
1. (x, y) = (y, x) ((x, y) = (y, x));
2. (x + y, z) = (x, z) + (y, z);
3. (λx, y) = λ(x, y);
4. (x, x) > 0;
4a. (x, x) = 0 ⇔ x = θ.
В случае, когда выполняются свойства 1–4, эту функцию будем называть полускалярным произведением.
Определение 2.1.4. Пара (L, (·, ·)), где L – пространство над полем
R или C, а (·, ·) – скалярное (полускалярное) произведение на этом пространстве, называется евклидовым (полуевклидовым) пространством. Веdef p
личина |x| = (x, x) называется длиной вектора x ∈ L. Вектора x, y ∈ L
называются ортогональными (x ⊥ y), если (x, y) = 0.
Упражнение 5. Покажите, что для полуевклидовых пространств L =
(L, (·, ·)) верна теорема Пифагора, т.е. для всех векторов x, y ∈ L : x ⊥ y
выполняется равенство: |x + y|2 = |x|2 + |y|2 .
2.1 Евклидовы и полуевклидовы пространства.
65
Примеры.
def
1. Линейное пространство R со скалярным произведением (x, y) = xy
является евклидовым пространством.
def
2. Линейное пространство Rn со скалярным произведением (x, y) =
n
P
xi yi является также евклидовым пространством.
i=1
3. Если в качестве линейного пространства взять L = C[a, b] (a < b),
def R b
то функция (f, g) = a f (x)g(x)dx будет скалярным произведением на
L, а, следовательно, пара (L, (·, ·)) – евклидовым пространством.
4. Если ту же функцию, что и в предыдущем примере, рассмотреть
на пространстве L = R[a, b], то она уже будет полускалярным (но не скалярным) произведением, т.к. для всякой функции ϕ ∈ R[a, b], отличной
Rb
от нуля лишь на конечном множестве, a ϕ2 (x)dx = 0. Следовательно,
(L, (·, ·)) – полуевклидово пространство.
5. Всякое евклидово пространство является полуевклидовым.
Теорема 2.1 (неравенство Шварца). Пусть L = (L, (·, ·)) – полуевклидово пространство над полем R. Тогда для всех x, y ∈ L выполняется
неравенство |(x, y)| 6 |x||y|. При этом в случае евклидова пространства
равенство получается только в случае, когда вектора x и y коллинеарны.
Доказательство. Для произвольных векторов x, y ∈ L рассмотрим многочлен p(t) = (x + ty, x + ty) = (x, x) + 2t(x, y) + t2 (y, y) = |x|2 + 2t(x, y) +
t2 |y|2 , который по свойству 4 полускалярного произведения неотрицателен для всех t ∈ R. Если |y| = 0, то аффинная функция p(t) =
|x|2 + 2t(x, y) неотрицательна только в случае, когда (x, y) = 0, т.е. неравенство превращается в верное равенство. И в этом случае вектора x и
y коллинеарны. Если |y| 6= 0, то p(t) неотрицательный квадратный трехчлен. Следовательно, его дискриминант D = 4((x, y)2 − |x|2 |y|2 ) неположителен, т.е. (x, y)2 6 |x|2 |y|2 , и поэтому |(x, y)| 6 |x||y|. Равенство
|x, y)| = |x||y| в этом случае означает, что дискриминант D равен нулю, что влечет зануление квадратного трехчлена p(t) в некоторой точке
t0 ∈ R. Поэтому (x + t0 y, x + t0 y) = 0, а для скалярного произведения
(свойство 4a) это означает, что x + t0 y = 0, т.е. вектора x и y коллинеарны.
Замечание 2.1.2. В случае, когда L = (L, (·, ·)) – полуевклидово пространство над полем C, также верно неравенство Шварца.
Доказательство. В этом случае, неотрицательный многочлен p(t) = (x+
ty, x + ty) имеет вид (x, x) + 2t<(x, y) + t2 (y, y) (x, y ∈ L), и поэтому верно
неравенство | <(x, y)| 6 |x||y|. Для произвольной пары векторов x и y
найдется число ϕ ∈ R, для которого eiϕ (x, y) = (eiϕ x, y) ∈ R. Следовательно, | <(eıϕ x, y)| = |(x, y)| 6 |x||y| для произвольных векторов x, y.
66
2 Функции многих переменных.
Замечание 2.1.3. Пусть L = (L, (·, ·)) – полуевклидово пространство,
M = {x ∈ L | |x| = 0}. Тогда M – линейное пространство, и для любых векторов x ∈ L, и y ∈ M верно равенство (x, y) = 0 (т.е. L ⊥ M ).
Доказательство. Для всех x ∈ L, y ∈ M верно в силу неравенства
Шварца соотношение |(x, y)| 6 |x||y| = 0, т.е. (x, y) = 0. Также для
всех x, y ∈ M и α, β ∈ R верны соотношения: (αx + βy, αx + βy) =
α2 (x, x) + 2αβ(x, y) + β 2 (y, y) = 0, т.е. |αx + βy| = 0. Следовательно,
αx + βy ∈ M, отсюда следует, что M – линейное пространство.
Замечание 2.1.4. Пусть L = (L, (·, ·)) – полуевклидово пространство,
M = {x ∈ L | |x| = 0}. На множестве L можно ввести отношение эквивалентности, положив x ∼ y ⇔ x − y ∈ M. Тогда все множество L
разобьется на попарно непересекающиеся классы эквивалентности, представляющие собой плоскости X = x + M (x ∈ L). Эти плоскости обраe = L/M, на котором естественно вводится
зуют фактор пространство L
скалярное произведение. По определению полагаем, что (X, Y ) = (x, y),
где x и y – некоторые элементы (представители) классов эквивалентностей X и Y соответственно. Нетрудно проверить, что от выбора представителей величина (X, Y ) не зависит. Действительно, если x1 = x + m1 и
y1 = y +m2 , где m1 , m2 ∈ M, то (x1 , y1 ) = (x, y). Тем самым, пространство
e (·, ·)) является евклидовым.
Le = (L,
Теорема 2.2 (неравенство треугольника). Пусть L = (L, (·, ·)) –
полуевклидово пространство над полем R (C). Тогда для всех x, y ∈ L
выполняется неравенство |x + y| 6 |x| + |y|.
Доказательство. Действительно, в силу неравенства Шварца (x + y, x +
y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) 6 |x|2 + |y|2 + 2|x||y| = (|x| + |y|)2 , т.е. |x + y| 6
|x| + |y|.
2.2
Линейные нормированные пространства.
Метрические пространства.
Естественным обобщением понятия длины вектора является понятие
нормы.
Определение 2.2.1. Пусть L – линейное пространство над полем R(C).
Нормой на L называется функция k · k : L → R такая, что для всех
x, y, z ∈ L и λ ∈ R следующие свойства (аксиомы):
1. kx + yk 6 kxk + kyk (неравенство треугольника);
2. kλxk = |λ|kxk (однородность);
3. kxk > 0;
3a. kxk = 0 ⇔ x = 0.
2.2 Линейные нормированные и метрические пространства.
67
Если выполняются пункты 1–3, то соответствующая функция называется полунормой. Пара (L, k · k), где L – пространство над полем R
или C, а k · k – норма (полунорма), называется линейным нормированным (полунормированным) пространством.
Замечание 2.2.1. Из пунктов 1 и 2 для произвольных чисел α, β ∈ R и
элементов x, y ∈ X вытекает неравенство kαx + βyk 6 |α|kxk + |β|kyk.
Отсюда в частности следует, что для всех чисел α, β > 0 : α + β = 1 и
произвольных векторов x, y ∈ X выполняется неравенство: kαx + βyk 6
αkxk + βkyk, что означает выпуклость нормы, как функции на линейном
пространстве X.
Примеры.
1. R, C – линейные нормированные пространства, при этом норма
элемента – это его модуль.
rn
P
2. Rn , Cn – линейные нормированные пространства, kxk = |x| =
|xi |2 .
i=1
3. Пусть L = C[a, b], kf k∞ = sup |f (x)| = max |f (x)|, тогда L =
x∈[a,b]
x∈[a,b]
(L, k · k∞ ) – линейное нормированное пространство.
¡Rb
¢1
4. Пусть L = C[a, b], kf kp = a |f (x)|p dx p , где 1 6 p < +∞, тогда
L = (L, k · kp ) – линейное нормированное пространство.
5. Пусть L = R[a, b], тогда L = (L, k · kp ) – линейное полунормированное пространство.
6. Пусть {Xα = (Xα , k · kα )}α∈A – семейство
Qлинейных нормированных
Xα , определим функцию
пространств над полем R ∨ C. Пусть X =
α∈A
k · k : X → R+ , положив kxk = sup kxα kα для произвольного элемента
α∈A
x = (xα ) ∈ X. Тогда множество X0 = {x ∈ X | kxk < +∞} является
линейным пространством над полем R ∨ C, а функция k · k является
нормой на нем.
Замечание 2.2.2. Пусть L = (L, k · k) – линейное полунормированное
пространство, тогда M = {x ∈ L | kxk = 0} – линейное пространство
(т.к. для всех x, y ∈ M и α, β ∈ R(C) kαx + βyk 6 αkxk + βkyk = 0).
На множестве L можно ввести отношение эквивалентности, положив
x ∼ y ⇔ x − y ∈ M. Тогда все множество L разобьется на попарно непересекающиеся классы эквивалентности, представляющие собой плоскости X = x + M (x ∈ L). Эти плоскости образуют фактор пространство
e = L/M, на котором естественно вводится норма. По определению полаL
гаем, что kXk = kxk, где x – некоторый элемент (представитель) класса
эквивалентности X. Нетрудно проверить, что от выбора представителя
величина kXk не зависит. Действительно, если x1 = x+m, где m ∈ M, то
kx1 k 6 kxk+kmk = kxk 6 kx1 k+k−mk = kx1 k. Тем самым, пространство
e k · k) является линейным нормированным пространством.
Le = (L,
68
2 Функции многих переменных.
Определение 2.2.2. Пусть X = (X, k · k) – линейное нормированное
пространство над полем R(C). Через X ∗ обозначим пространство ли∗ (x)|
нейных функционалов x∗ : X → R(C) с нормой kxk∗ = sup |xkxk
=
x6=0
sup |x∗ (x)| < +∞ (такие функционалы называют ограниченными, в
x:kxk61
дальнейшем мы покажем, что это равносильно их непрерывности). Пространство X ∗ = (X ∗ , kxk∗ ) называют сопряженным с X . При этом выражение x∗ (x) часто записывают в виде (x, x∗ ).
Замечание 2.2.3. Из определения нормы линейного функционала вытекает обобщенное неравенство Шварца, т.е. |(x, x∗ )| 6 kxkkx∗ k∗ .
Для x = 0 утверждение очевидно. Пусть x 6= 0, тогда
Доказательство.
|x∗ (x)|
∗
6 kx0 k∗ , и, следовательно, |(x, x∗ )| 6 kxkkx∗ k∗ .
kxk
В случае, когда линейное нормированное пространство X = (X, k · k)
не является тривиальным, т.е. X не состоит из одного нулевого элемента, из теоремы Хана-Банаха вытекает, что для произвольного вектора
x ∈ X обобщенное неравенство Шварца превращается в равенство на
некотором линейном функционале единичной нормы. Из последнего в
частности вытекает, что для нетривиального пространства X пространство ограниченных линейных функционалов X ∗ также нетривиально.
Теорема 2.3 (Хана-Банаха). Пусть X = (X, k · k) – нетривиальное
линейное нормированное пространство над полем R. Тогда для каждого x ∈ X найдется функционал x∗0 ∈ X ∗ : kx∗0 k∗ = 1, для которого
обобщенное неравенство Шварца превращается в равенство: (x, x∗0 ) =
kxkkx∗0 k∗ = kxk.
Доказательство. Пусть x 6= 0, в силу теоремы Хана-Банаха существует
аффинная функция `(u) на X такая, что f (u) = kuk > `(u) для всех
u ∈ X, и `(x) = f (x) = kxk. В силу однородности f функция ` линейна (см замечание 6.12.2), а, следовательно, `(u) = −`(−u), и поэтому
±`(u) 6 k ± uk = kuk, т.е. |`(u)| 6 kuk для всех u ∈ X. Тем самым, x∗0 = `
– линейный функционал с нормой, не превосходящей 1, а, учитывая, что
`(x) = kxk, мы получим, что его норма равна 1. Тем самым мы показали, что пространство X ∗ не является тривиальным, поскольку содержит
элемент единичной нормы.
Для x = 0 утверждение тривиально, т.к. для любого функционала
единичной нормы x∗ верно равенство: x∗ (0) = 0 = k0kkx∗ k∗ .
Определение 2.2.3. Пусть X = (X, k · k) – линейное нормированное
пространство над полем R (C), а X ∗ – его сопряженное. Можно рассмотреть пространство сопряженное к X ∗ , это пространство X ∗∗ = (X ∗ )∗ всех
непрерывных линейных функционалов x∗∗ на X ∗ , называемое вторым
∗∗ ∗
сопряженным к X . Норма элемента x∗∗ определяется как sup |xkx∗(xk∗ )| .
x∗ 6=0
2.2 Линейные нормированные и метрические пространства.
69
Замечание 2.2.4. Элемент пространства x ∈ X в силу двойственности
можно отождествить с линейным функционалом на X ∗ , действие которого на произвольный элемент x∗ равен (x, x∗ ) = x∗ (x). Линейность этого функционала вытекает из тождества x(αx∗1 + βx∗2 ) = (x, αx∗1 + βx∗2 ) =
(αx∗1 + βx∗2 )(x) = αx∗1 (x) + βx∗2 (x) = α(x, x∗1 ) + β(x, x∗2 ). Норма его как
элемента второго сопряженного
в силу теоремы Хана-Банаха равна его
|(x,x∗ )|
исходной норме kxk, т.к. kx∗ k∗ 6 kxk для всех ненулевых функционалов x∗ ∈ X ∗ и это неравенство превращается в равенство на некотором
ненулевом функционале x∗0 . Таким образом, есть естественное изометрическое вложение пространства X в пространство X ∗∗ . В случае, когда это
вложение совпадает со всем пространством X ∗∗ , пишут, что X = X ∗∗ , и
называют пространство X рефлексивным.
Определение 2.2.4. Пусть X – произвольное множество. Метрикой на
множестве X называется функция % : X × X → R такая, что для всех
x, y, z ∈ X следующие свойства (аксиомы):
1. %(x, y) = %(y, x) (симметричность);
2. %(x, z) 6 %(x, y) + %(y, z) (неравенство треугольника);
3. %(x, y) > 0 и %(x, x) = 0;
3a. %(x, y) = 0 ⇔ x = y.
Если выполняются пункты 1–3, то соответствующая функция называется полуметрикой. Пара (X, %), где X – множество, а % – метрика
(полуметрика), называется метрическим (полуметрическим) пространством. В метрическом пространстве можно определить сходимость последовательности {xn } ⊂ X следующим образом: xn → x (n → ∞) ⇔
%(xn , x) → 0 (n → ∞). В этом случае элемент x называется пределом
этой последовательности.
Замечание 2.2.5. Аналогично в полуметрическом пространстве можно
определить сходимость последовательности {xn } ⊂ X. В этом случае
предел может быть не единственен. Однако, для любых двух ее пределов
x, y ∈ X верно равенство %(x, y) = 0, поскольку %(x, y) 6 %(x, xn ) +
%(xn , y) → 0 (n → ∞).
Замечание 2.2.6. Для любых точек x, y, z ∈ X верно неравенство: |%(y, x)−
%(y, z)| 6 %(x, z).
Доказательство. Из неравенств: %(y, x) 6 %(y, z)+%(z, x), %(y, z) 6 %(y, x)+
%(x, z), следуют неравенства: %(y, x) − %(y, z) 6 %(x, z), %(y, z) − %(y, x) 6
%(x, z), а, следовательно, |%(y, x) − %(y, z)| 6 %(x, z).
Примеры.
1. Пусть L = (L, k · k) – линейное нормированное пространство, тогда
%(x, y) = kx − yk – метрика на L. Таким образом, пара (L, %) – метрическое пространство, т.е. всякое линейное нормированное пространство
является метрическим. Аналогично, линейное полунормированное пространство является полуметрическим.
70
2 Функции многих переменных.
Доказательство. Действительно, %(x, y) = kx − yk > 0, %(x, z) = kx −
zk = k(x − y) + (y − z)k 6 kx − yk + ky − zk = %(x, y) + %(y, z), и если k · k
– норма, то %(x, y) = 0 ⇔ kx − yk = 0 ⇔ x = y.
2. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство, а M ⊂ X – непустое
подмножество. Тогда (M, %) – также метрическое пространство, где %M =
%
– сужение метрики.
M ×M
3. Пусть X = N ∪ {+∞} (X = R), а %(x, y) = |arctg x − arctg y| (здесь
мы полагаем, что arctg (±∞) = ± π2 ), тогда X = (X, %) – метрическое
пространство.
Доказательство. Действительно, %(x, z) = |arctg x − arctg z| 6 |arctg x −
arctg y|+|arctg y −arctg z| = %(x, y)+%(y, z). Остальные свойства метрики
легко вытекают из определения функции %.
4. Дискретное метрическое пространство. Пусть X – произвольное множество, определим метрику % следующим образом: %(x, y) =
½
1, если x 6= y
.
0, если x = y
5. Пусть {Xα = (Xα , ρα )}α∈A – семейство
Q метрических пространств.
Рассмотрим декартово произведение X =
Xα и определим функцию
α∈A
% : X × X → R+ , положив %(x, y) = sup ρα (xα , yα ) для произвольных
α∈A
элементов x = (xα ), y = (yα ) ∈ X. Зафиксируем произвольный элемент
z0 ∈ X и рассмотрим множество M = M(z0 ) = {x ∈ X | %(x, z0 ) <
+∞}. Отметим, что в силу неравенства %(x, y) 6 %(x, z0 ) + %(z0 , y) < +∞
(x, y ∈ M) функция % принимает конечные значения на M × M. Легко
убедиться, что пара X = (M, %) является метрическим пространством.
6. Рассмотрим частный случай предыдущего примера. Пусть Xα = Y
и ρα = ρ для всех α ∈ A. В этом случае декартово произведение Y A
представляет собой множество всех функций f : A → Y. Таким образом,
%(f, g) = sup ρ(f (α), g(α)) (f : A → Y, g : A → Y ). На множестве M =
α∈A
M(ϕ0 ) = {f : A → Y | %(f, ϕ0 ) < +∞} функция % является метрикой,
которую называют равномерной метрикой.
Упражнение 6. Пусть Xi = (Xi , %i ) (i = 1, n) – метрические пространn
n
¡P
¢1
Q
ства, X =
Xi . Рассмотрим функции %p (x, y) =
%pi (x, y) p (p > 1),
i=1
i=1
%∞ (x, y) = max %i (x, y). Докажите, что X = (X, %p ) – метрическое проi=1,n
странство для всех p ∈ [1, +∞].
Определение 2.2.5. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство, x ∈
X. Определим окрестность и проколотую окрестность радиуса r > 0
.
как соответственно множества Or (x) = {y ∈ X | %(x, y) < r} и Or (x) =
2.3 Открытые и замкнутые множества.
71
Or (x) \ {x}. Для r > 0 определим шар радиуса r как множество B(x, r) =
{y ∈ X | %(x, y) 6 r}.
2.3
Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах.
Определение 2.3.1. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство,
M ⊂ X, x ∈ X. Точка x ∈ X называется внутренней точкой множества M, если ∃ε > 0 : Oε (x) ⊂ M ; точка x ∈ X называется внешней
точкой множества M, если ∃ε > 0 : Oε (x) ∩ M = ∅; точка x ∈ X называется граничной точкой множества M, если ∀ε > 0 Oε (x) ∩ M 6= ∅ и
Oε (x) ∩ (X \ M ) 6= ∅. Отметим, что все точки метрического пространства
распадаются на три попарно непересекающихся класса: множество всех
внутренних точек множества M – внутренности (обозначение int M ),
множество всех внешних точек множества M – внешности (обозначение ext M ) и множество всех граничных точек множества M – границы
(обозначение ∂M ).
Определение 2.3.2. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство.
Множество M ⊂ X называется открытым, если M = int M, множество
A ⊂ X называется замкнутым, если X \ A – открытое множество.
Замечание 2.3.1. Понятия внутренности, внешности и границы множества M, а также понятия замкнутого и открытого множества зависят
от метрики, а, следовательно, необходимо, говоря об этих множествах,
указывать относительно какого метрического пространства рассматриваются такого сорта множества.
Примеры.
1. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство, тогда множество
B(x, r) замкнуто, а множества X \ B(x, r) = {y ∈ X | %(x, y) > r}, Oδ (x)
.
и Oδ (x) открыты;
2. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство, тогда X, ∅ – открытые и замкнутые множества.
3. Пусть X = (R, %), где %(x − y) = |x − y| (x, y ∈ R). Тогда отрезок
[a, b] – замкнутое множество, не являющееся открытым. Если же % –
дискретная метрика, то отрезок [a, b] – открытое и замкнутое множество.
4. Пусть X = (X, %) – дискретное метрическое пространство. Тогда
Oδ (x) = {x} (0 < δ 6 1). Поэтому {x} – открытое множество. Следовательно, все множества в дискретном метрическом пространстве и
открыты, и замкнуты.
72
2 Функции многих переменных.
Теорема 2.4. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство. Всякое объединение и конечное пересечение открытых множеств в X –
открыты в X . Всякое пересечение и конечное объединение замкнутых
множеств в X – замкнуты в X .
Доказательство. Пусть {Gα }α∈AS– семейство открытых множеств в X .
Докажем, что множество G =
Gα – открыто в X . Действительно,
α∈A
∀x ∈ G ∃α : x ∈ Gα . Т.к. Gα – открыто, то ∃Oε (x) ⊂ Gα . Следовательно,
Oε (x) ⊂ G. Рассмотрим теперь конечное семейство открытых в X мноn
T
жеств {Gi }ni=1 . Тогда для любых x ∈
Gi и номера i = 1, n найдется
i=1
Oεi (x) ⊂ Gi . Пусть ε0 = min εi . Тогда Oε0 (x) ⊂
i=1,n
n
T
i=1
Oεi (x) ⊂
n
T
Gi .
i=1
Утверждение для замкнутых множеств следует из законов
¡ Моргана.
¢
T
Пусть {Fα } – система замкнутых множеств в X . Тогда X \
Fα =
α∈A
¢
S ¡
T
X \ Fα – открыто, следовательно,
Fα – замкнуто. Пусть {Fi }ni=1
α∈A
α∈A
n
¡S
– набор замкнутых множеств, тогда X \
Следовательно,
n
S
n ¡
¢
¢ T
X \ Fi – открыто.
Fi =
i=1
i=1
Fi – замкнуто в X .
i=1
Определение 2.3.3. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство,
.
M ⊂ X, точка x ∈ X называется предельной для M, если ∀δ > 0 Oδ (x) ∩
M 6= ∅. Множество всех предельных точек множества M обозначим через M 0 . Точка x ∈ M \ M 0 называется изолированной точкой множества
M.
Замечание 2.3.2. Если M ⊂ N ⊂ X, то M 0 ⊂ N 0 .
Замечание 2.3.3. Всякая предельная точка множества M является либо внутренней, либо граничной. При этом любая граничная точка множества M, ему не принадлежащая, является предельной для M, т.е.
∂M \ M ⊂ M 0 .
Замечание 2.3.4. M ∪ ∂M = M ∪ M 0 .
Доказательство. В силу замечания 2.3.3 M ∪ ∂M ⊂ M ∪ M 0 ⊂ int M ∪
∂M = M ∪ ∂M, и, следовательно, M ∪ ∂M = M ∪ M 0 .
Теорема 2.5. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство, M ⊂ X.
Тогда x ∈ M 0 ⇔ в любой окрестности точки x содержится бесконечное
множество точек из M.
Доказательство.
⇒ Пусть x ∈ M 0 . Допустим противное, а, именно, что в некоторой
окрестности Oδ (x) конечное число точек множества M. Пусть ε > 0 –
2.3 Открытые и замкнутые множества.
73
.
расстояние до ближайшей точки множества M ∩ Oδ (x) (оно непусто).
.
Тогда M ∩ Oε (x) = ∅, что противоречит тому, что x ∈ M 0 .
⇐ Пусть для любого числа ε > 0 множество M ∩ Oε (x) бесконечно.
.
Тогда множество M ∩ Oε (x) бесконечно, а, следовательно, и непусто.
Теорема 2.6 (Критерий замкнутости). Пусть X = (X, %) – метрическое пространство, E ⊂ X. Тогда следующие условия эквивалентны:
а). E – замкнуто в X ;
б). E ⊃ ∂E;
в). E ⊃ E 0 .
Доказательство.
а)⇒б) Если E – замкнуто в X , то X \ E – открыто в X , т.е. все точки
X \ E внутренние для X \ E. Следовательно, X \ E – внешность E. Тогда
E содержит все свои граничные точки.
б)⇒в) Если x ∈ E 0 , то она не является внешней, а, следовательно, либо граничная, либо внутренняя. Следовательно, она принадлежит E.
.
в)⇒а) Пусть x ∈ X \ E, тогда x ∈
/ E 0 , и, следовательно, ∃O(x) :
.
O(x) ∩ E = ∅. Поэтому O(x) ⊂ X \ E, т.е. x – внутренняя для X \ E.
В силу произвольности выбора точки x множество X \ E открыто, а
E = X \ (X \ E) – замкнуто.
Определение 2.3.4. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство,
M ⊂ X. Замыканием множества M называется пересечение всех замкнутых множеств в X , содержащих M. Это замкнутое множество будем
обозначать через M .
Замечание 2.3.5. M = M ∪ ∂M = int M ∪ ∂M = M ∪ M 0 = X \ ext M.
Доказательство. Поскольку ext M открыто в X , то X \ ext M – замкнутое множество в X , содержащее множество M. Следовательно, M ⊂
X \ext M. Поскольку внешность M не содержит граничные и предельные
точки, то X \ ext M = int M ∪ ∂M = M ∪ ∂M = M ∪ M 0 . Кроме того, в
силу замечания 2.3.2 и критерия замкнутости M ∪ M 0 ⊂ M ∪ (M )0 = M .
Отсюда M = M ∪ M 0 = M ∪ ∂M = int M ∪ ∂M = X \ ext M.
Определение 2.3.5. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство,
{xn } ⊂ X. Элемент a ∈ X называется частичным пределом последовательности {xn }, если существует подпоследовательность сходящаяся к
этому элементу.
Теорема 2.7. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство. Тогда a
– частичный предел последовательности {xn } ⊂ X ⇔ в любой окрестности Oε (a) содержится бесконечно много членов этой последовательности.
74
2 Функции многих переменных.
Доказательство.
⇒ Пусть a – частичный предел последовательности {xn }, и {xnk } –
подпоследовательность, сходящаяся к точке a. Тогда для любого ε > 0
найдется такое число K ∈ N, что для всех k > K xnk ∈ Oε (a). Таким
образом, в ε-окрестности точки a находится бесконечно много членов исходной последовательности.
⇐ Пусть в любой окрестности Oε (a) содержится бесконечно много
членов этой последовательности. Проведем построение сходящейся к точке a подпоследовательности по индукции.
1◦ . Поскольку в окрестности O1 (a) бесконечно много членов последовательности {xn }, то найдется номер n1 ∈ N : xn1 ∈ O1 (a).
2◦ . Пусть построены члены xn1 , . . . , xnk (xnj ∈ O 1 (a) j = 1, k). Поj
скольку в окрестности O 1 (a) бесконечно много членов последовательk+1
ности {xn }, то найдется номер nk+1 ∈ N : xnk+1 ∈ O 1 (a), и nk+1 >
k+1
max{nj }.
j=1,k
3◦ . Таким образом, мы построили подпоследовательность {xnk }, для
которой xnk ∈ O 1 (a) для всех k ∈ N, и, следовательно, %(xnk , a) < k1 →
k
0 (k → ∞), т.е. a – частичный предел последовательности {xn }.
Это свойство, как будет указано далее, полагается за определение
частичного предела в случае топологического пространства.
Теорема 2.8. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство, {xn } ⊂
E ⊂ X. Тогда все частичные пределы последовательности {xn } содержатся в замыкании множества E.
Доказательство. Пусть точка a лежит во множестве X \ E, которое
открыто в X , и, следовательно, найдется окрестность Oε (a) ⊂ X\E ⊂ X\
E. В этой окрестности нет ни одного члена последовательности, поэтому
число a не является частичным пределом этой последовательности.
Теорема 2.9. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство, E ⊂ X.
Тогда любая точка x ∈ E 0 является частичным пределом некоторой
последовательности, значения которой лежат в E \ {x}.
Доказательство. Для произвольной точки x ∈ E 0 и любого числа n ∈ N
.
найдется точка xn ∈ E ∩ O 1 (x). Поскольку %(xn , x) < n1 → 0 (n → ∞), то
n
последовательность {xn } сходится к точке x.
2.4
Топологические пространства.
2.4 Топологические пространства.
75
Определение 2.4.1. Пусть X – произвольное множество, система множеств τ = {Gα }α∈A ⊂ X называется топологией на X, если
1. ∅, X ∈ τ ;
2. Всякое объединение множеств из системы τ и всякое конечное пересечение множеств из τ является элементом τ.
Все элементы системы τ называют открытыми множествами. Пара
(X, τ ) называется топологическим пространством. Замкнутым множеством в топологическом пространстве (X, τ ) называется множество, являющееся дополнением какого-нибудь открытого множества.
Замечание 2.4.1. Также как и ранее, из законов Моргана выводится, что
всякое конечное объединение и всякое пересечение замкнутых множеств
замкнуто.
Примеры.
1. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство, τ – система всех
открытых множеств в X . Тогда τ является топологией, т.е. (X, τ ) – топологическое пространство;
2. Пусть (X, τ = {Gα }α∈A ) – топологическое пространство, E ⊂ X.
Тогда (E, τ ) – топологическое пространство, где τ = {E ∩ Gα }α∈A .
E
E
Топология τ называется топологией сужения.
E
3. τ = {∅, X} – тривиальная топология.
4. Топология, состоящая из всех подмножеств множества X называется дискретной.
5. Связное двоеточие. Пусть X = {x1 , x2 }, τ = {∅, X = {x1 , x2 }, {x2 }}.
Нетрудно проверить, что τ – топология на множестве X.
Определение 2.4.2. Пусть X = (X, τ ) – топологическое пространство,
x ∈ X. Окрестностью O(x) точки x называется любое множество, содер.
жащее x. Проколотой окрестностью O(x) называется множество вида
O(x) \ {x}. Также как и ранее, определяются внутренние, внешние, граничные и предельные точки множества M в топологическом пространстве X , а также замыкание этого множества.
Замечание 2.4.2. Также как и для метрических пространств, выполняется критерий замкнутости в топологических пространствах, и M =
M ∪ M 0 = M ∪ ∂M.
Замечание 2.4.3. В топологических пространствах окрестность предельной точки может не содержать бесконечного числа точек. В качестве
примера такого пространства достаточно рассмотреть связное двоеточие
(пункт 5 предыдущего примера). Точка x1 является предельной для множества X, т.к. у этой точки существует только одна проколатая окрест.
.
ность O(x1 ) = {x2 }, т.е. O(x1 ) ∩ X = {x2 } 6= ∅ и O(x) ∩ X = X = {x1 , x2 }
– конечное множество.
76
2 Функции многих переменных.
Определение 2.4.3. Пусть X = (X, τ ) – топологическое пространство,
{xn } ⊂ X. Элемент a ∈ X называется частичным пределом последовательности {xn }, если в любой окрестности элемента a содержится бесконечно много членов этой последовательности.
Как показывает следующий пример, в топологическом пространстве
частичный предел последовательности, вообще говоря, не является пределом какой-либо ее подпоследовательности.
Пример. Рассмотрим такие семейства подмножеств N, что любое конечное объединение элементов этого семейства имеет бесконечное дополнение до N. Через X обозначим множество всех таких семейств. Каждая
цепь таких семейств имеет верхнюю грань в X , представляющую собой
объединение элементов цепи. В силу леммы Цорна (см стр. 13) существует максимальное по вложению семейство W из класса X . Нетрудно
видеть, что это семейство содержит все конечные подмножества N, и любое конечное объединение подмножеств этого семейства также принадлежит этому семейству. При этом не существует бесконечного множества
A ⊂ N, пересечение которого с каждым элементом семейства W конечно.
Поскольку иначе бы к семейству W можно было добавить любое бесконечное множество B ⊂ A, для которого A \ B также бесконечно, и полученное семейство также принадлежало классу X , а это противоречит
максимальности W. Определим на множестве N топологию τ, составив
ее из множеств вида N \ B, где B ∈ W, а также пустого множества. Множество частичных пределов последовательности {xn = n} совпадает с
множеством N. Однако, не существует подпоследовательности {xnk }, которая начиная с некоторого номера содержалась бы в любой окрестности
фиксированной произвольной точки m ∈ N.
Определение 2.4.4. Пусть X = (X, τ ) – топологическое пространство.
Семейство открытых подмножеств множества X называется базой топологии τ, если любое открытое множество в X можно представить в виде
объединения некоторых элементов этого семейства. Семейство открытых
подмножеств множества X называется предбазой топологии τ, если всевозможные конечные пересечения элементов этого семейства образует
некоторую базу топологии τ. Семейство окрестностей точки x называют
базой системы окрестностей этой точки, если любая окрестность точки
x содержит некоторый элемент этой системы.
Определение 2.4.5. Говорят, что топологическое пространство X =
(X, τ ) удовлетворяет второй аксиоме счетности, если существует счетная база топологии τ. Если для каждой точки x ∈ X существует счетная
база системы окрестностей, то говорят, что пространство X удовлетворяет первой аксиоме счетности.
Примеры.
2.5 Предел функции по базе.
77
1. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство. Семейство окрестностей {Oε (x)}ε>0,x∈X является базой топологии всех открытых множеств в
X . Семейство окрестностей {Oεn (x)} фиксированной точки x ∈ X является счетной базой окрестностей этой точки для любой бесконечно малой
положительной последовательности {εn }. Таким образом, метрическое
пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности.
2. В пространстве Rn множество всех открытых полупространств является предбазой топологии в этом пространстве, а множество всех открытых кубов образует базу этой топологии. Семейство кубов с вершинами, все координаты которых рациональные числа, образуют счетную
базу. Таким образом, Rn удовлетворяет второй аксиоме счетности.
2.5
Предел функции по базе в метрических
и топологических пространствах.
Определение 2.5.1. Пусть B = B(X) – некоторая база на множестве X,
а Y = (Y, τ ) – топологическое пространство, f : X → Y. Элемент A ∈ Y
называется пределом по базе B (обозначение: lim f = A), если для любой
B
окрестности O(A) найдется элемент B ∈ B такой, что f (B) ⊂ O(A).
Определение 2.5.2. Пусть B = B(X) – некоторая база на множестве
X, и Y = (Y, %) – метрическое пространство, f : X → Y. Элемент A ∈ Y
называется пределом по базе B (обозначение: lim f = A), если для любого
B
ε > 0 найдется элемент B ∈ B такой, что f (B) ⊂ Oε (A).
Замечание 2.5.1. Для метрического пространства Y оба определения
равносильны.
Доказательство.
⇒ Следует из того, что любая ε-окрестность точки A в метрическом
пространстве является открытым множеством в нем, содержащем эту
точку, а, следовательно, является окрестностью в нем, как в топологическом пространстве. Следовательно, из первого определения следует
утверждение второго.
⇐ Пусть выполняется утверждение второго определения, т.е. для любого ε > 0 найдется элемент B ∈ B такой, что f (B) ⊂ Oε (A). Для любого
открытого множества U, содержащего точку A, (т.е. U – окрестность в
топологическом смысле) найдется ε > 0, для которого Oε (A) ⊂ U (определение открытого множества в метрическом пространстве). По предположению найдется элемент B ∈ B такой, что f (B) ⊂ Oε (A) ⊂ U. Таким
образом, верно утверждение первого определения.
78
2 Функции многих переменных.
Примеры часто используемых баз.
1. Пусть X = (X, ν) – топологическое пространство, E ⊂ X, a ∈ E 0 .
.
Тогда B = {O(a) ∩ E}O. (a) – база предела в точке a для топологического
пространства X .
2. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство, E ⊂ X, a ∈ E 0 .
.
Тогда B = {Oε (a) ∩ E}ε>0 – база предела в точке a для метрического
пространства X .
3. Пусть X = (X, ν) – топологическое пространство, E ⊂ X, a ∈ E.
Тогда B = {O(a) ∩ E}O(a)∈τ – база непрерывности в точке a для топологического пространства X .
4. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство, E ⊂ X, a ∈ E. Тогда
B = {Oε (a) ∩ E}ε>0 – база непрерывности в точке a для метрического
пространства X .
Замечание 2.5.2. Базы пределов из пунктов 1 и 2 в случае, когда X является метрическим пространством эквивалентны друг другу. Аналогичное
утверждение верно и для баз непрерывности из пунктов 3 и 4. Отметим,
что базы из пунктов 3 и 4 дают определения непрерывности функции
f : X → Y, если под пределом этой функции рассматривается значение
A = f (a).
Замечание 2.5.3. В пунктах 3 и 4 можно сузить топологию ν (метрику
%) на множество E и рассмотреть новое топологическое (метрическое)
пространство сужения XE . Это позволяет в качестве базы рассматривать только набор окрестностей нового топологического (метрического)
пространства, которые уже содержатся в области определения функции,
что дает возможность не прописывать их пересечение с множеством E. В
этом случае непрерывность функции в точке a в новом и старом смысле
будет равносильна. Тем самым мы можем без потери общности формулировать и доказывать теоремы, ограничиваясь случаем, когда область
определения функции всё топологическое (метрическое) пространство.
Предупреждение. Вообще говоря, в топологических пространствах
предел функции f : X → Y может оказаться неединственным. Связано
это с тем, что для любых различных точек a, b ∈ Y могут не существовать их окрестности O(a) и O(b) такие, что O(a) ∩ O(b) = ∅. Пример
такого пространства (Y = {y1 , y2 }, ν = {∅, Y, {y2 }}) – связное двоеточие.
В этом пространстве любые окрестности точек y1 и y2 содержат точку
y1 . Поэтому функция f (x) ≡ y2 в любой предельной точке своей области
определения имеет два предела – y1 и y2 .
Определение 2.5.3. Топологическое пространство (X, τ ) называется
хаусдорфовым, если для любых различных точек x, y ∈ X найдутся их
непересекающиеся окрестности.
Пример. Всякое метрическое пространство (X, %) является хаусдорфовым топологическим пространством, т.к. для различных точек x, y ∈
2.6 Пределы и непрерывность в метрических и топологических пространствах.79
X и числа δ = 12 %(x, y) > 0 окрестности Oδ (x) и Oδ (y) не пересекаются
(если бы нашлась общая точка z этих окрестностей, то δ = %(x, y) 6
%(x, z) + %(z, y) < δ, чего не может быть).
Теорема 2.10. Пусть Y = (Y, τ ) – хаусдорфово топологическое пространство. Тогда предел по базе B = B(X) функции f : X → Y, если
существует, то единственен.
Доказательство. Пусть существуют два различных предела a, b ∈ Y, тогда найдутся непересекающиеся окрестности O(a) и O(b). Однако, найдутся элементы B1 , B2 ∈ B, для которых f (B1 ) ⊂ O(a), f (B2 ) ⊂ O(b).
Тогда B1 ∩ B2 6= ∅ и ∅ 6= f (B1 ∩ B2 ) ⊂ O(a) ∩ O(b), противоречие.
Определение 2.5.4. Пусть B – база на множестве X, Y = (Y, k·k) и Y =
(Y, k·k) – линейные нормированные пространства. Отображение f : X →
Y называется бесконечно малым по базе B, если lim f (x) = 0 ∈ Y. Это
B
равносильно существованию предела lim kf (x)kY = 0 ∈ R. Через o(1) по
B
базе B обозначим класс всех бесконечно малых отображений f : X → Y
по базе B. Для произвольной функции γ : X → Z, где Z = (Z, k · k) –
линейное нормированное пространство, через o(γ) по базе B обозначим
класс kγkZ · o(1). Запись f = o(γ) будем понимать как f ∈ o(γ).
Замечание 2.5.4. В дальнейшем будет показано, что линейная комбинация бесконечно малых функций по некоторой базе является бесконечно
малой по той же базе. Отсюда нетрудно вывести, что если α, β : X → Y,
γ : X → Z и α, β = o(γ) по базе B, то α ± β = kγko(1) + kγko(1) =
kγk(o(1) + o(1)) = kγko(1) = o(γ) и cα = o(γ) (c ∈ R) по базе B.
2.6
Пределы и непрерывность в метрических
и топологических пространствах.
Определение 2.6.1. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство,
множество M ⊂ X называется ограниченным в X , если ∃B(x, r) ⊃ M.
Замечание 2.6.1. Если X = (X, k·k) – линейное нормированное пространство, M – ограниченное множество в X , то для всех y ∈ X множество
M + y ограничено.
Доказательство. Действительно, если M ⊂ B(x, r), то (M + y) ⊂ B(x +
y, r).
Замечание 2.6.2. Если R > r + %(x, y) (r > 0), то B(y, R) ⊃ B(x, r).
80
2 Функции многих переменных.
Доказательство. Для любой точки z ∈ B(x, r) верно неравенство %(z, y) 6
%(z, x) + %(x, y) 6 r + %(x, y) 6 R, т.е. B(x, r) ⊂ B(y, R).
Замечание 2.6.3. Если множество M ограничено в X , то для любой точки
y ∈ X найдется число R > 0, для которого M ⊂ B(y, R).
Доказательство. Действительно, из ограниченности M найдется шар
B(x, r) ⊂ X, содержащий это множество. Тогда для числа R = r + %(x, y)
верны включения: M ⊂ B(x, r) ⊂ B(y, R).
Теорема 2.11 (о локальной ограниченности). Пусть B – база на
некотором множестве X, а Y = (Y, %) – метрическое пространство,
f : X → Y, ∃ lim f = a ∈ Y . Тогда найдется элемент B ∈ B, для
B
которого множество f (B) ограничено в Y.
Доказательство. Для любого числа ε > 0 найдется элемент B ∈ B,
для которого f (B) ⊂ Oε (a) ⊂ B(a, ε), следовательно, f (B) ограничено в
Y.
Замечание 2.6.4. Выбирая в качестве B базы из пунктов 3 и4 (см примеры на стр. 78), можно получить теорему о локальной ограниченности
функции непрерывной в точке. Если в качестве базы B возьмем базу из
пункта 2, то получим определение предела функции в смысле Коши.
Обозначение 1. В дальнейшем класс всех локально ограниченных по базе B функций будем обозначать через O(1). При этом принадлежность
функции f этому классу будем записывать в виде f = O(1).
Определение 2.6.2 (в смысле Коши). Пусть X = (X, %), Y = (Y, ν)
– метрические пространства, E ⊂ X, a ∈ E 0 , f : E → Y. Тогда элемент
A ∈ Y называется пределом функции f при x → a, если ∀ε > 0 ∃δ >
.
0 ∀x ∈ E ∩ Oδ (a) f (x) ∈ Oε (A).
Определение 2.6.3 (в смысле Гейне). Пусть X = (X, %), Y = (Y, ν)
– метрические пространства, E ⊂ X, a ∈ E 0 , f : E → Y. Тогда элемент
A ∈ Y называется пределом функции f при x → a, если для любой
последовательности Гейне {xn } ⊂ E \ {a} : xn → a (n → ∞) последовательность {f (xn )} сходится к A, т.е. ν(f (xn ), A) → 0 (n → ∞).
Теорема 2.12. Определение предела в смысле Коши и Гейне эквивалентны.
Доказательство.
(К)⇒ (Г) Пусть A ∈ Y – предел в смысле Коши, т.е. ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈
.
E ∩ Oδ (a) f (x) ∈ Oε (A). Возьмем произвольную последовательность
Гейне {xn } ⊂ E \{a} : xn → a (n → ∞). Поскольку %(xn , a) → 0 (n → ∞),
то ∃N ∈ N ∀n > N %(xn , a) < δ, т.е. xn ∈ Oδ (a), и, следовательно,
2.6 Пределы и непрерывность в метрических и топологических пространствах.81
.
xn ∈ E ∩ Oδ (a). Поэтому f (xn ) ∈ Oε (A), т.е. lim f (xn ) = A ∈ Y.
n→∞
(Г)⇒ (К) Докажем методом от противного. Предположим, что элемент A ∈ Y является пределом в смысле Гейне, но не является пределом
в смысле Коши. Тогда найдется такое число ε > 0, что для всех δ > 0
.
найдется точка x ∈ E ∩ Oδ (a) f (x) ∈
/ Oε (A). Поэтому для каждого чис.
ла n ∈ N найдется точка xn ∈ E ∩ Oδn (a), где δn = n1 . Тогда {xn } –
последовательность Гейне (т.к. 0 < %(xn , a) < δn → 0), и, следовательно, f (xn ) → A (n → ∞). Поэтому ν(f (xn ), A) → 0, и ν(f (xn ), A) > ε,
противоречие. Следовательно, A – предел в смысле Коши.
Определение 2.6.4. Пусть X = (X, %), Y = (Y, ν) – метрические пространства, E ⊂ X, a ∈ E. Функция f : E → Y называется непрерывной в
точке a, если ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ E ∩ Oδ (a) f (x) ∈ Oε (f (a)), в противном
случае, функция называется разрывной в точке a. Класс всех функций
непрерывных в точке a будем обозначать через C(a).
Замечание 2.6.5. Непрерывность функции f точке a равносильна непрерывности ее сужения на множество E. Таким образом, можно считать
изначально, что непрерывность рассматривается относительно метриче. В дальнейшим будем расского пространства (E, %E ), где %E = %
E×E
сматривать только случай, когда область определения функции совпадает с областью определения метрики (в этом случае говорят, что область
определения функции всё метрическое пространство).
Замечание 2.6.6. Непрерывность функции f точке a равносильна непрерывности действительной функции ϕ(x) = ν(f (x), f (a)) в точке a.
Замечание 2.6.7. В изолированной точке a ∈ E все функции f : E → Y
непрерывны.
Теорема 2.13 (связь непрерывности и предела). Пусть X = (X, %),
Y = (Y, ν) – метрические пространства, a ∈ X 0 , f : X → Y. Тогда
f ∈ C(a) ⇔ ∃ lim f (x) = f (a).
x→a
Доказательство.
⇒ Пусть f ∈ C(a), тогда ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ E ∩ Oδ (a) f (x) ∈ Oε (f (a)),
.
следовательно, ∀x ∈ E ∩ Oδ (a) f (x) ∈ Oε (f (a)), т.е. ∃ lim f (x) = f (a).
x→a
.
⇐ Пусть ∃ lim f (x) = f (a), т.е. ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ E ∩ Oδ (a) f (x) ∈
x→a
Oε (f (a)), учитывая, что f (a) ∈ Oε (f (a)), получим, что ∀x ∈ E∩Oδ (a) f (x) ∈
Oε (f (a)), т.е. f ∈ C(a).
Теорема 2.14 (критерий непрерывности в точке). Пусть X =
(X, %), Y = (Y, ν) – метрические пространства, a ∈ X, f : X → Y.
Тогда f ∈ C(a) ⇔ для любой последовательности {xn } ⊂ X : xn → a
(n → ∞) существует предел lim f (xn ) = A ∈ Y (A = f (a)).
n→∞
82
2 Функции многих переменных.
Доказательство.
⇒ Пусть f ∈ C(a), тогда ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Oδ (a) f (x) ∈ Oε (f (a)). Поскольку xn → a (n → ∞), то ∃N ∈ N ∀n > N xn ∈ Oδ (a). Следовательно,
∀n > N f (xn ) ∈ Oε (f (a)), т.е. ∃ lim f (xn ) = f (a) ∈ Y.
n→∞
⇐ Если a ∈ X \X 0 (т.е. a – изолированная точка), то f ∈ C(a). Рассмотрим случай, когда a ∈ X 0 . Докажем, что f ∈ C(a). Рассмотрим произвольную последовательность Гейне {xn } ⊂ X \ {a} : xn → a (n → ∞), и
образуем новую последовательность {zk } : x1 , a, x2 , a, . . . , xn , a, . . . . Эта
последовательность по четным и нечетным номерам сходится к a (т.е.
%(z2k , a), %(z2k+1 , a) → 0 (k → ∞)), и, следовательно, в силу теоремы 3.20
%(zk , a) → 0 (k → ∞), т.е. последовательность {zk } сходится к a. По условию ∃ lim f (zk ) = lim f (z2k ) = f (a) = lim f (z2k+1 ) = lim f (xn ). В силу
k→∞
k→∞
k→∞
n→∞
определения предела в смысле Гейне ∃ lim f (x) = f (a), следовательно,
f ∈ C(a).
x→a
Определение 2.6.5. Пусть X = (X, %), Y = (Y, ν) – топологические
пространства, a ∈ X. Функция f : X → Y называется непрерывной в
точке a, если для любой окрестности O(f (a)) ⊂ Y точки f (a) найдется
O(a) ⊂ X точки a такая, что f (O(a)) ⊂ O(f (a)). Будем говорить, что
функция f непрерывна на множестве E ⊂ X, если ∀x ∈ E f ∈ C(x).
Класс всех функций непрерывных в точке a (на множестве E) будем
обозначать через C(a) (C(E)).
Замечание 2.6.8. В случае, когда X = (X, %), Y = (Y, ν) – метрические
пространства, это определение непрерывности в точке a равносильно
определению 2.6.4.
Доказательство. Действительно, если ∀O(f (a)) ⊂ Y ∃O(a) ⊂ X : f (O(a)) ⊂
O(f (a)), то для любой ε-окрестности Oε (f (a)) (это открытое множество,
а, следовательно, является окрестностью в топологическом смысле) найдется окрестность O(a) (т.е. открытое множество, содержащее a) такая,
что f (O(a)) ⊂ Oε (f (a)). Тогда найдется δ-окрестность Oδ (a) ⊂ O(a), и,
следовательно, f (Oδ (a)) ⊂ Oε (f (a)).
Пусть верно утверждение ∀Oε (f (a)) ⊂ Y ∃Oδ (a) ⊂ X : f (Oδ (a)) ⊂
Oε (f (a)). Поскольку для любой топологической окрестности O(f (a)) точки f (a) найдется ε-окрестность Oε (f (a)) ⊂ O(f (a)), то найдется число
δ > 0 такое, что f (Oδ (a)) ⊂ Oε (f (a)) ⊂ O(f (a)).
Теорема 2.15 (критерий непрерывности). Пусть X = (X, %), Y =
(Y, ν) – топологические пространства, f : X → Y. Тогда f ∈ C(X) ⇔
для любого открытого множества G в Y множество f −1 (G) открыто
в X.
Доказательство.
⇒ Пусть f ∈ C(X). Возьмем произвольное открытое в Y множество
2.6 Пределы и непрерывность в метрических и топологических пространствах.83
def
G и произвольную точку x ∈ G = f −1 (G) ⊂ X. Тогда y = f (x) ∈ G,
т.е. G – топологическая окрестность точки f (x). Так как f ∈ C(x), то
∃O(x) ⊂ X : f (O(x)) ⊂ O(y) ⊂ G, и, следовательно, O(x) ⊂ G = f −1 (G),
т.е. x ∈ int G. Отсюда в силу произвольности выбора точки x множество
G открыто.
def
⇐ Пусть для любого открытого в Y множества G множество G =
f −1 (G) открыто в X . Возьмем произвольную точку x ∈ X и произвольную окрестность G = O(f (x)). Поскольку множество G = f −1 (G) открыто в X и содержит точку x, то это множество является окрестностью
O(x) этой точки. Тогда f (O(x)) ⊂ O(f (x)), т.е. f ∈ C(x). Следовательно,
f ∈ C(X).
Замечание 2.6.9. Пусть f : X → Y. Тогда для любого множества B ⊂ Y
верны соотношения: f −1 (Y \ B) = f −1 (Y ) \ f −1 (B) = X \ f −1 (B).
Доказательство. f −1 (Y \ B) = {x ∈ X | f (x) ∈
/ B} = {x ∈ X | x ∈
/
−1
−1
f (B)} = X \ f (B).
Теорема 2.16 (критерий непрерывности). Пусть X = (X, %), Y =
(Y, ν) – топологические пространства, f : X → Y. Тогда f ∈ C(X) ⇔
для любого замкнутого множества F в Y множество f −1 (F ) замкнуто
в X.
Доказательство. Условие: "для любого открытого в Y множества G
множество f −1 (G) открыто в X " равносильно условию: "для любого
замкнутого в Y множества F = Y \ G множество X \ f −1 (G) = f −1 (Y \
G) = f −1 (F ) замкнуто в X ". Отсюда и следует утверждение теоремы.
Теорема 2.17 (о непрерывности сложной функции). Пусть X =
(X, %), Y = (Y, ν), Z = (Z, ς) – топологические пространства, f : X →
Y, g : Y → Z, f ∈ C(a)(a ∈ X), g ∈ C(b) (b = f (a)). Тогда g ◦ f ∈ C(a).
Доказательство. Из непрерывности функции g в точке b следует, что
для любой окрестности O(g ◦ f (a)) = O(g(b)) ⊂ Z найдется окрестность
O(b) ⊂ Y такая, что g(O(b)) ⊂ O(g(b)). Из непрерывности функции f
в точке a вытекает, что найдется окрестность O(a) ⊂ X, для которой
f (O(a)) ⊂ O(f (a)) = O(b). Следовательно, g ◦ f (O(a)) ⊂ g(O(b)) ⊂
O(g(b)) = O(g ◦ f (a)). Отсюда вытекает непрерывность функции g ◦ f
в точке a.
Определение 2.6.6. Пусть X = (X, %), Y = (Y, ν) – метрические пространства. Отображение f : X → Y называется C-липшицевым, если
для любых точек x, y ∈ X верно неравенство ν(f (x), f (y)) 6 C%(x, y).
Замечание 2.6.10. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство, M –
def
непустое подмножество X. Функция %(x) = %(x, M ) = inf %(x, y) является 1-липшицевой.
y∈M
84
2 Функции многих переменных.
Доказательство. Действительно, для любых точек x, y ∈ X, z ∈ M
верно неравенство %(x, M ) 6 %(x, z) 6 %(x, y) + %(y, z), следовательно,
%(x, M ) 6 %(x, y) + inf %(y, z) = %(x, y) + %(y, M ), т.е. %(x, M ) − %(y, M ) 6
z∈M
%(x, y). Аналогично, %(y, M ) − %(x, M ) 6 %(y, x) = %(x, y). Следовательно,
|%(x, M ) − %(y, M )| 6 %(x, y).
Примеры непрерывных отображений.
1. Всякое C-липшицевое отображение f : X → Y непрерывно на X.
2. Пусть X = (X, %) – дискретное метрическое пространство. Тогда
любое отображение f : X → Y непрерывно на X (поскольку все точки
изолированы).
3. Метрика % : X × X → R непрерывна в метрическом пространстве
def
X = (X × X, σ), где σ((u1 , v1 ), (u2 , v2 )) = max{%(u1 , u2 ), %(v1 , v2 )}.
Доказательство. В силу замечания 2.2.6 |%(x, y) − %(z, y)| = |%(y, x) −
%(y, z)| 6 %(x, z). Возьмем произвольную точку (x0 , y0 ) и сходящуюся
относительно X к ней последовательность {(xn , yn )}. Тогда |%(xn , yn ) −
%(x0 , y0 )| 6 |%(xn , yn ) − %(x0 , yn )| + |%(x0 , yn ) − %(x0 , y0 )| 6 %(xn , x0 ) +
%(yn , y0 ) 6 2σ((xn , yn ), (x0 , y0 )) → 0 (n → ∞). Следовательно, % ∈ C(X ×
X).
4. Пусть f, g : X → R; f, g ∈ C(x0 ). Далее будет показано, что
отображение ϕ = (f, g) ∈ C(x0 ) (см следствие 2.27 о покоординатной
непрерывности). Учитывая, что функции max{x, y}, min{x, y} непрерывны на R2 , из теоремы о непрерывности сложной функции получим, что
max{f, g}, min{f, g} ∈ C(x0 ).
Определение 2.6.7. Пусть X = (X, %)) – метрическое пространство,
E ⊂ X : E 6= ∅. Через diam E обозначим величину sup %(x, y) ∈ R.
x,y∈E
Упражнение 7. Доказать, что diam E = diam E, и для любых множеств
A, B ⊂ X : A ⊂ B верно неравенство diam A 6 diam B.
2.7
Полнота метрических пространств. Критерий Коши.
Определение 2.7.1. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство.
Последовательность {xn } ⊂ X называется фундаментальной (последовательностью Коши), если ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n, m > N %(xn , xm ) 6 ε.
Метрическое пространство называется полным, если любая последовательность Коши сходится в нем. Линейное нормированное пространство,
2.7 Полнота метрических пространств. Критерий Коши.
85
являющее полным метрическим пространством, называется банаховым.
Полное евклидово пространство называется гильбертовым.
Замечание 2.7.1. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство. Если
последовательность {xn } ⊂ X сходится в X , то она является последовательностью Коши.
Доказательство. Действительно, если ∃ lim xn = a ∈ X, то ∀ε > 0 ∃N ∈
n→∞
N ∀n > N %(xn , a) 6 2ε . Поэтому %(xn , xm ) 6 %(xn , a) + %(a, xm ) 6 ε для
всех n, m > N.
Следствие 2.18 (критерий Коши). Пусть X = (X, %) – полное метрическое пространство. Тогда последовательность {xn } ⊂ X сходится
в X ⇔ {xn } – последовательностью Коши.
Лемма 2.7.1. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство, a ∈ X
– частичный предел фундаментальной последовательности {xn } ⊂ X.
Тогда эта последовательность сходится к a.
Доказательство. Из фундаментальности {xn } следует, что для любого
числа ε > 0 существует такой номер N ∈ N, что для всех n, m > N верно
неравенство %(xn , xm ) 6 2ε . Поскольку в окрестности O 2ε (a) находится бесконечное число членов исходной последовательности, то найдется член
xM ∈ O 2ε (a) для некоторого номера M > N. Поэтому для всех n > M
выполняются неравенства: %(xn , a) 6 %(xn , xnM ) + %(xnM , a) < 2ε + 2ε = ε.
Отсюда из произвольности выбора ε вытекает, что xn → a (n → ∞).
Определение 2.7.2. Говорят, что метрическое пространство X = (X, %)
изометрично вложено в метрическое пространство Y = (Y, ν), если существует инъекция ı : X → Y, сохраняющая расстояния, т.е. ∀x, y ∈
X %(x, y) = ν(ı(x), ı(y)). Если это отображение биективно, то метрические пространства называют изометричными.
Примеры.
1. Если метрические пространства X = (X, %) и Y = (Y, ν) изометричны, то полнота одного из них влечет полноту другого.
2. Пространство R с естественной метрикой на нем – полное метрическое пространство (следует из критерия Коши).
3. Рассмотрим множества E = [a, b] и F = [a, b) вместе с метрикой
%(x, y) = |x − y| (x, y ∈ E(F )). Тогда (E, %) – полное метрическое пространство, а (F, %) – неполное метрическое пространство.
Доказательство. Всякая фундаментальная последовательность {xn } ⊂
[a, b] сходится к некоторой точке x ∈ R (поскольку она является последовательностью Коши в R). Поскольку ∀n ∈ N a 6 xn 6 b, то по теореме
о переходе к пределу в неравенствах a 6 x 6 b. Т.е. последовательность
{xn } сходится в метрическом пространстве (E, %).
86
2 Функции многих переменных.
Рассмотрим произвольную последовательность {yn } ⊂ [a, b) : yn →
b (n → ∞). В силу замечания 2.7.1 эта последовательность является
фундаментальной, а в силу единственности предела любая точка из [a, b)
не является пределом, т.е. для любой точки x ∈ [a, b) %(yn , x) 9 0 (n →
∞). Следовательно, (F, %) – неполное метрическое пространство.
4. Пусть X = (X, %) – полное метрическое пространство, E ⊂ X : E 6=
∅. Тогда метрическое пространство E = (E, %E ), где %E = %
, является
E×E
полным тогда и только тогда, когда E замкнуто в X .
Доказательство. Пусть E – полное метрическое пространство. Тогда в
силу теоремы 2.9 для произвольной точки x ∈ E 0 найдется последовательность {xn } ⊂ E \{x}, сходящаяся к точке x. Поэтому {xn } – последовательность Коши в пространстве X , а, следовательно, и в пространстве
E. Тогда эта последовательность сходится и в пространстве E, т.е. найдется точка x0 ∈ E такая, что %(xn , x0 ) = %E (xn , x0 ) → 0 (n → ∞). Из
единственности предела вытекает, что x = x0 . Следовательно, x ∈ E, и
из произвольности выбора точки x ∈ E 0 вытекает включение E 0 ⊂ E.
Отсюда в силу критерия замкнутости множество E замкнуто в X .
Пусть множество E замкнуто в X . Тогда любая фундаментальная последовательность {xn } ⊂ E сходится в полном пространстве X к некоторой точке x ∈ X. В силу теоремы 2.8 x ∈ E = E, т.е. последовательность
{xn } сходится в пространстве E.
5. Пусть {Xα = (Xα , ρα )}α∈A – семейство полных метрических пространств. Также, как
Qи в примере 5 (см стр. 70) рассмотрим декартово
произведение X =
Xα и его подмножество M = M(z0 ) = {x ∈ X |
α∈A
%(x, z0 ) < +∞}, на котором определена метрика %(x, y) = sup ρα (xα , yα )
α∈A
(x = (xα ), y = (yα ) ∈ M). Тогда пара X = (M, %) является полным
метрическим пространством.
Доказательство. Действительно, пусть {xn = (xnα )} – фундаментальная
последовательность в X , т.е. для любого ε > 0 найдется такой номер
N ∈ N, что для всех n, m > N выполняется неравенство %(xn , xm ) 6 ε.
n
m
Тогда для любого индекса α ∈ A верна оценка ρα (xnα , xm
α ) 6 %(x , x ) 6 ε
для всех n, m > N. Следовательно, последовательность {xnα } является
фундаментальной в полном пространстве Xα , и поэтому существует ее
предел x0α ∈ Xα (α ∈ A). Перейдем в неравенстве ρα (xnα , xm
α ) 6 ε (n, m >
N ) к пределу при m → ∞ и получим, что ρα (xnα , x0α ) 6 ε для всех n >
N. Отсюда для элемента x0 = (x0α ) и для всех n > N верны оценки:
%(xn , x0 ) = sup ρα (xnα , x0α ) 6 ε и %(x0 , z0 ) 6 %(xn , x0 ) + %(xn , z0 ) 6 ε +
α∈A
%(xn , z0 ) < +∞, т.е. последовательность {xn } сходится к элементу x0 ∈
M. Таким образом, полнота X доказана.
2.7 Полнота метрических пространств. Критерий Коши.
87
6. Рассмотрим частный случай предыдущего примера, когда Xα = Y
и ρα = ρ для всех α ∈ A, и (Y, ρ) – полное метрическое пространство.
Также, как и в примере 6 (на стр. 70) на множестве M = M(ϕ0 ) =
{f : A → Y | %(f, ϕ0 ) < +∞} определена равномерная метрика %(f, g) =
sup ρ(f (α), g(α)) (f : A → Y, g : A → Y ). Тогда пара (M, %) является
α∈A
полным метрическим пространством.
7. Рассмотрим частный случай предыдущего примера, когда Y =
B(x0 , δ) – замкнутый шар в некотором полном метрическом пространстве
с метрикой ρ. В силу примера 4 пара (B(x0 , δ), ρ) является также полным метрическим пространством. В этом случае множество M = M(ϕ0 )
совпадает с множеством всех функций f : A → B(x0 , δ) (т.е. не зависит
от выбора функции ϕ0 : A → B(x0 , δ)). Также, как и в предыдущем
примере пара (M, %) является полным метрическим пространством.
8. Рассмотрим еще один частный случай примера 6, когда Y = R.
Пусть A – произвольное множество, а m(A) – линейное пространство
всех действительных ограниченных функций, на котором мы будем рассматривать норму k · k∞ , значение которой на произвольной функции
f : X → R равно sup |f (x)|. Таким образом, M = M(ϕ0 ) = m(A) для
x∈X
функции ϕ0 ≡ 0, и равномерная метрика равна %(f, g) = kf − gk∞ для
функций f, g ∈ m(A). Линейное нормированное пространство m(A) является полным метрическим пространством, т.е. m(A) – банахово.
9. Всякое дискретное метрическое пространство является полным,
т.к. любая фундаментальная последовательность, начиная с некоторого номера становится постоянной, а, следовательно, сходится.
Следствие 2.19. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство, x0 ∈
X, ϕ0 (x) = %(x0 , x). Тогда метрическое пространство X можно изометрично вложить в полное метрическое пространство B(X) = (B, η), где
B = m(X) + ϕ0 = M(ϕ0 ) и η(f1 , f2 ) = kf1 − f2 k∞ (f1 , f2 ∈ B).
Доказательство. Определим отображение ı : X → B, положив ı(x) =
%(x, ·) (x ∈ X). Для любых x, y, t ∈ X верно неравенство |%(x, t)−%(y, t)| 6
%(x, y), и для t = x имеет место равенство |%(x, x) − %(y, x)| = %(x, y).
Отсюда kı(x) − ı(y)k∞ = %(x, y), в частности, величина kı(x) − ı(x0 )k∞
конечна, и, следовательно, ı(x) ∈ B.
Следствие 2.20. Всякое метрическое пространство X = (X, %) можно
изометрично вложить в полное метрическое пространство Y = (Y, ν),
как всюду плотное его подмножество (т.е. замыкание этого подмножества совпадает с Y ).
Доказательство. В силу следствия 2.19 существует изометричное вложение ı этого пространства в B(X) = (B, η). Пусть Y – замыкание
множества ı(X), тогда (Y, ν) – полное метрическое пространство, где
ν=η
.
Y ×Y
88
2 Функции многих переменных.
Пространство Y из следствия 2.20 называют пополнением пространства X , точнее реализацией пополнения. Следующее замечание показывает, что любые реализации пополнения друг другу изометричны.
Замечание 2.7.2. Пусть Y1 = (Y1 , ν1 ) и Y2 = (Y2 , ν2 ) – полные метрические
пространства, в которые как всюду плотное подмножество изометрично
вложено метрическое пространство X = (X, %). Тогда пространства Y1 и
Y2 изометричны друг другу.
Доказательство. Пусть ık : X → Yk изометричное вложение пространства X в Yk , как всюду плотное подмножество Mk (k = 1, 2). Тогда отображение  = ı2 ◦ ı−1
1 : M1 → M2 является изометрией метрических пространств Mk = (Mk , νk
) (k = 1, 2). Продолжим отображение  как
Mk ×Mk
биекцию множеств Y1 и Y2 , положив для любых точки a ∈ Y1 и последовательности {an } ⊂ Y1 , сходящейся к точке a, значение (a) равным пределу последовательности {(an )}. Нетрудно проверить, что такое определение продолжения корректно и для произвольных последовательностей
{an } ⊂ Y1 и {bn } ⊂ Y1 , сходящихся к точкам a и b соответственно, верны
равенства: ν2 ((a), (b)) = lim ν2 ((an ), (bn )) = lim ν1 (an , bn ) = ν1 (a, b).
n→∞
n→∞
Таким образом, продолженное отображение  является изометрией пространств Y1 и Y2 .
Теорема 2.21 (критерий полноты). Пусть X = (X, %) – метрическое
пространство. Тогда X полно ⇔ любая вложенная последовательность
замкнутых множеств {An } ⊂ X : diam An → 0 (n → ∞), имеет непустое пересечение.
Доказательство.
⇒ Пусть X – полное метрическое пространство, и последовательность
замкнутых множеств {An } ⊂ X : εn = diam An → 0 (n → ∞). Для любого ε > 0 найдется число N ∈ N такое, что ∀n, m > N εn < ε. Рассмотрим последовательность {xn } такую, что ∀n ∈ N xn ∈ An . Поскольку
%(xn , xm ) 6 diam AN < ε для всех n, m > N, то эта последовательность
фундаментальна. Следовательно, ∃ lim xn = x0 , учитывая, что x0 явn→∞
ляется пределом последовательности {xm }m>n , содержащейся
в An , то в
T
силу теоремы 2.8 x0 ∈ An = An . Таким образом, x0 ∈
An .
n∈N
⇐ Пусть {xn } – произвольная последовательность Коши в X . В силу леммы 2.7.1 достаточно доказать, что эта последовательность имеет
частичный предел. Положим в качестве An множество значений последовательности {xk }k>n , тогда diam An = sup %(xk , xm ) → 0 (n → ∞).
A01
A01
k,m>n
– частичный предел последовательЕсли
6= ∅, то любая точка x ∈
ности {xn }, т.к. в любой окрестности этой точки находится бесконечное
число значений этой последовательности, а, значит, и бесконечное число
ее членов. Если A01 = ∅, то A0n ⊂ A01 = ∅ ⊂ An , и, следовательно, в силу
2.7 Полнота метрических пространств. Критерий Коши.
89
критерия замкнутости
множество An замкнуто для
T
T всех n ∈ N. Тогда
An . Тогда элемент
по условию
An 6= ∅, т.е. найдется элемент a ∈
n∈N
n∈N
a является значением последовательности, принимающимся бесконечное
число раз, а, следовательно, является ее частичным пределом.
Упражнение 8.
1. Докажите, что в банаховом пространстве любая вложенная последовательность шаров имеет непустое пересечение.
2. Приведите пример полного метрического пространства, в котором
есть вложенная последовательность шаров, имеющая пустое пересечение.
Определение 2.7.3. Пусть X – произвольное множество, A ⊂ X, f :
X → Y, а Y = (Y, %) – произвольное метрическое пространство. Колебанием функции f на множестве A называется величина ω(f, A) =
diam f (A) = sup %(f (x), f (y)).
x,y∈A
Теорема 2.22 (критерий Коши). Пусть B – база относительно на X,
Y = (Y, %) – полное метрическое пространство. Тогда ∃ lim f (x) = a ∈ Y
B
⇔ ∀ε > 0 ∃B ∈ B : ω(f, B) 6 ε.
Доказательство.
⇒ Пусть ∃ lim f (x) = a ∈ Y, тогда ∀ε > 0 ∃B ∈ B : ∀x ∈ B %(f (x), a) <
ε
.
2
B
Поэтому, ∀x, y ∈ B %(f (x), f (y)) 6 %(f (x), a) + %(a, f (y)) < 2ε + 2ε = ε,
и, следовательно, ω(f, B) 6 ε.
⇐ Построим по индукции такую вложенную последовательность {Bn } ⊂
B, что ω(f, Bn ) 6 n1 для всех n ∈ N. Для этого возьмем такой элемент
B1 ∈ B, чтобы ω(f, B1 ) 6 1. Пусть построен вложенный набор множеств
1
{Bk }m
k=1 ⊂ B такой, что ω(f, Bk ) 6 k (k = 1, m). Найдется элемент
1
Cm ∈ B : ω(f, Cm ) 6 m+1 . Существует элемент Bm+1 ∈ B такой, что
Bm+1 ⊂ Cm ∩ Bm . Тем самым, мы построили вышеуказанную последовательность {Bn } ⊂ B.
Далее в качестве множеств An рассмотрим замыкание множеств f (Bn )
в пространстве Y. Тогда {An } – вложенная последовательность замкну1
тых множеств, для которых diam An = ω(f,
TBn ) 6 n → 0 (n → ∞). В
силу критерия полноты Y существует a ∈
An . Тогда ∀x ∈ Bn f (x) ∈
n∈N
f (Bn ) ⊂ An , и, следовательно, %(f (x), a) 6 diam An 6 n1 . Так как для
любого числа ε > 0 найдется номер N ∈ N : N1 < ε, то для всех x ∈ Bn
и n > N %(f (x), a) 6 n1 6 N1 < ε. Таким образом, a = lim f (x).
B
Определение 2.7.4. Пусть X = (X, %) – полное метрическое пространство. Функция f : X → X стягивающей, если она является C-липшицевой
функцией с константой C ∈ [0, 1).
90
2 Функции многих переменных.
Теорема 2.23 (итерационный процесс). Пусть X = (X, %) – полное метрическое пространство, f : X → X – стягивающая функция с
константой C ∈ [0, 1). Тогда существует единственная неподвижная
точка x ∈ X : f (x) = x. При этом для любой точки x0 ∈ X и последоCn
вательности {xn = f (xn−1 )}n∈N верна оценка %(x, xn ) 6 1−C
%(x1 , x0 ), и,
следовательно, x = lim xn .
n→∞
Доказательство. Возьмем произвольную точку x0 ∈ X, и положим xn =
f (xn−1 ) для всех n ∈ N, тогда для любых натуральных чисел n верны неравенства: %(xn+1 , xn ) = %(f (xn ), f (xn−1 )) 6 C%(xn , xn−1 ) 6 . . . 6
C n %(x1 , x0 ). Поэтому для любых натуральных чисел n, m : m > n верны
∞
m−1
m−1
P
P k
P
C k %(x1 , x0 ) =
C %(x1 , x0 ) 6
оценки: %(xm , xn ) 6
%(xk+1 , xk ) 6
Cn
%(x1 , x0 )
1−C
k=n
k=n
k=n
→ 0 (n → ∞). Отсюда следует, что {xn } – последовательность Коши, а, следовательно, в силу полноты X сходится к некоторой точке x ∈ X. В силу непрерывности функции f верно соотношение
f (x) = lim f (xn ) = lim xn+1 = x, т.е. x – неподвижная точка. Устремn→∞
n→∞
n
C
%(x1 , x0 ) и учитывая непреляя m → ∞ в неравенстве %(xm , xn ) 6 1−C
Cn
рывность метрики, мы получим оценку %(x, xn ) 6 1−C
%(x1 , x0 ). Докажем
единственность неподвижной точки. Действительно, если y ∈ X – неподвижная точка (y = f (y)), то %(x, y) = %(f (x), f (y)) 6 C%(x, y), и из
условия C < 1 вытекает, что %(x, y) = 0, т.е. x = y.
Следствие 2.24. Пусть F : B(y0 , ε) → Y – α-липшицево отображение, где α ∈ [0, 1), а B(y0 , ε) – шар в полном метрическом пространстве
Y = (Y, ρ), и ρ(F (y0 ), y0 ) < (1 − α)ε. Тогда существует и единственна
неподвижная точка y ∈ Oε (y0 ) : F (y) = y. При этом последовательность {yn = F (yn−1 )}∞
n=1 сходится к y.
Доказательство. Для любой точки z ∈ B(y0 , ε) верны оценки: ρ(F (z), y0 ) 6
ρ(F (z), F (y0 )) + ρ(F (y0 ), y0 ) < αρ(z, y0 ) + (1 − α)ε 6 αε + (1 − α)ε = ε.
Следовательно, отображение F переводит шар B(y0 , ε) в себя (точнее в
Oε (y0 )). Учитывая, что (B(y0 , ε), ρ) является полным метрическим пространством, из предыдущей теоремы мы получим утверждение следствия.
Следствие 2.25. Пусть X = (X, η) – метрическое пространство, α ∈
[0, 1), x0 ∈ X, B(y0 , ε) – шар в полном метрическом пространстве Y =
(Y, ρ); рассмотрим непрерывное отображение Φ : X × B(y0 , ε) → Y со
свойствами: Φ(x0 , y0 ) = y0 , и ρ(Φ(x, y1 ), Φ(x, y2 )) 6 αρ(y1 , y2 ) для всех
(x, yj ) ∈ X ×B(y0 , ε) (j = 1, 2). Тогда существует окрестность Oδ (x0 ) ⊂
X и единственная функция ϕ : Oδ (x0 ) → B(y0 , ε), удовлетворяющая
тождеству Φ(x, ϕ(x)) = ϕ(x). При этом ϕ ∈ C(Oδ (x0 )) и ϕ(x0 ) = y0 .
Доказательство. В силу непрерывности Φ в точке (x0 , y0 ) и равенства
Φ(x0 , y0 ) = y0 найдется такое число δ > 0, что Φ(x, y0 ) ∈ B(y0 , (1 −
2.8 Пределы и непрерывность в Rn . Полнота Rn .
91
def
α)ε) для всех x ∈ Oδ (x0 ). Положим F (y) = Fx (y) = Φ(x, y), тогда
ρ(F (y0 ), y0 ) 6 (1 − α)ε, а, следовательно, по следствию 2.24 существует и единственна точка y ∈ B(y0 , ε) : F (y) = y. Определим функцию ϕ,
положив y = ϕ(x). Таким образом, существует и единственно отображение ϕ : Oδ (x0 ) → B(y0 , ε), удовлетворяющее условию Φ(x, ϕ(x)) = ϕ(x).
Из непрерывности функции fn−1 (x) вытекает непрерывность функции fn (x) = Φ(x, fn−1 (x)) = F (fn−1 (x)), и при помощи математической
индукции можно доказать, что последовательность {fn (x) = Φ(x, fn−1 (x))},
где f0 (x) = y0 , состоит из непрерывных функций. Из условия Φ(x0 , y0 ) =
y0 вытекает равенство fn (x0 ) = y0 (n ∈ N). В силу следствия 2.24 для
каждой точки x ∈ Oδ (x0 ) последовательность {fn (x)} сходится к ϕ(x).
Для всех точек x ∈ Oδ (x0 ) верны соотношения: ρ(fn (x), ϕ(x)) =
= ρ(Φ(x, fn−1 (x)), Φ(x, ϕ(x))) 6 αρ(fn−1 (x), ϕ(x)) = ρ(Φ(x, fn−2 (x)), Φ(x, ϕ(x))) 6
α2 ρ(fn−2 (x), ϕ(x)) 6 . . . 6 αn ρ(f0 (x), ϕ(x)) = αn ρ(y0 , ϕ(x)) 6 αn ε. Поdef
этому %(fn , ϕ) = sup ρ(fn (x), ϕ(x)) 6 αn ε → 0, что означает равноx∈Oδ (x0 )
мерную сходимость последовательности функций {fn } к функции ϕ на
множестве Oδ (x0 ). Как будет доказано позже (см следствие 2.38) равномерно сходящаяся последовательность непрерывных функций сходится
к непрерывной функции. Отсюда вытекает, что ϕ ∈ C(Oδ (x0 )).
2.8
Пределы и непрерывность в Rn. Полнота
Rn .
Замечание 2.8.1. Для всех векторов b = (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn (Cn ) имеет место
n
P
|bi |.
неравенство: max |bi | 6 |b| 6
i=1,n
i=1
Теорема 2.26 (о покоординатной сходимости). Пусть B база на X,
f : X → Rn (Cn ), f = (f1 , . . . , fn ). Тогда ∃ lim f (x) = a = (a1 , . . . , an ) ∈
B
Rn (Cn ) ⇔ для всех i = 1, n существует предел lim fi (x) ∈ R(C), и равен
B
числу ai .
Доказательство.
⇒ Пусть ∃ lim f (x) = a, тогда |fi (x) − ai | 6 |f (x) − a| → 0 по базе B,
B
следовательно, ∃ lim fi (x) = ai для всех i = 1, n.
B
⇐
Пусть ∃ lim fi (x) = ai для всех i = 1, n, и a = (a1 , . . . , an ), тогда
B
n
P
|f (x) − a| 6
|fi (x) − ai | → 0 по базе B, и, следовательно, ∃ lim f (x) =
a.
i=1
B
92
2 Функции многих переменных.
Следствие 2.27 (о покоординатной непрерывности). Если в качестве базы B взять базу непрерывности {Oδ (x)}δ>0 (окрестности берутся из метрического пространства (X, %)), то предыдущее утверждение
для функции f : X → Rn (Cn ) будет означать, что f = (f1 , . . . , fn ) ∈
C(x0 ) ⇔ fi ∈ C(x0 ) для всех i = 1, n. Т.е. непрерывность векторфункции равносильна непрерывности всех ее координатных функций.
Теорема 2.28. Пространство Rn (Cn ) – полное метрическое пространство.
Доказательство. Пусть {xk } ⊂ Rn – последовательность Коши. Учитывая, что для вектора xk = (x1k , . . . , xnk ) выполняется неравенство: |xik −
xim | 6 |xk − xm |, получим, что для всех i = 1, n последовательность
{xik } фундаментальна в R. Поэтому ∃ lim xik = xi0 ∈ R. Из покоордиk→∞
натной сходимости вытекает существование предела ∃ lim xk = x0 =
k→∞
(x10 , . . . , xn0 ) ∈ Rn , т.е. Rn – полное метрическое пространство. Метрическое пространство Cn изометрично метрическому пространству R2n
(в качестве изометрии можно взять отображение ı(z) = (x, y), где z =
x + iy ∈ C).
Теорема 2.29 (арифметические свойства). Пусть B база на X, f, g :
X → Rn (Cn ), ϕ : X → R(C), и существуют пределы lim f (x) = A ∈
B
Rn (Cn ), lim g(x) = B ∈ Rn (Cn ), lim ϕ(x) = c ∈ R(C). Тогда существуют
B
B
пределы lim(f ± g)(x) = A ± B ∈ Rn (Cn ), lim ϕ(x)f (x) = cA ∈ Rn (Cn ),
B
B
lim(f, g)(x) = (A, B) ∈ R(C).
B
Доказательство. Рассмотрим сначала действительный случай Rn . Пусть
f = (f1 , . . . , fn ), g = (g1 , . . . , gn ), и A = (A1 , . . . , An ), B = (B1 , . . . , Bn ) ∈
Rn . Из теоремы 5.33 вытекает, что ∃ lim(fi ±gi )(x) = Ai ±Bi , ∃ lim(ϕfi )(x) =
B
B
cAi , ∃ lim(fi gi )(x) = Ai Bi , и из предыдущей теоремы о покоординатной
B
n
P
сходимости ∃ lim(f ±g)(x) = A±B ∈ Rn , ∃ lim(f, g)(x) = lim fi (x)gi (x) =
B
n
P
i=1
B
B i=1
Ai Bi = (A, B) ∈ R, ∃ lim ϕ(x)f (x) = cA ∈ Rn . Комплексный случай Cn
B
2n
сводится к случаю R .
Можно получить и более общее утверждение.
Теорема 2.30 (арифметические свойства). Пусть B база на X, Y =
(Y, k · k) – линейное нормированное пространство над полем R(C); f, g :
X → Y, ϕ : X → R(C), и существуют пределы lim f (x) = A ∈ Y,
B
lim g(x) = B ∈ Y, lim ϕ(x) = c ∈ R(C). Тогда существуют пределы
B
B
lim(f ± g)(x) = A ± B ∈ Y, lim ϕ(x)f (x) = cA ∈ Y. А, если Y – евклидово
B
B
пространство, то lim(f, g)(x) = (A, B) ∈ R(C).
B
2.9 Кратные и повторные пределы.
93
Доказательство. Действительно, k(f ± g) − (A ± B)k 6 kf − Ak + kg −
Bk → 0 по базе B. Следовательно, по теореме о двух милиционерах k(f ±
g)−(A±B)k → 0 по базе B, т.е. ∃ lim(f ±g) = A±B. Кроме того, отображеB
ние f локально ограничено, т.к. kf (x)k 6 kf (x)−Ak+kAk → kAk по базе
B, и, следовательно, kf (x)k = O(1) по базе B. Поэтому kϕ(x)f (x)−cAk 6
kϕ(x)f (x) − cf (x)k + kcf (x) − cAk = |ϕ(x) − c|kf (x)k + |c|kf (x) − Ak → 0
по базе B. Аналогично, |(f (x), g(x)) − (A, B)| 6 |(f (x), g(x)) − (f (x), B)| +
|(f (x), B) − (A, B)| = |(f (x), g(x) − B)| + |(f (x) − A, B)| 6 kf (x)kkg(x) −
Bk + kf (x) − AkkBk → 0. Отсюда по теореме о двух милиционерах существуют пределы lim ϕ(x)f (x) = cA и lim(f, g)(x) = (A, B).
B
B
Замечание 2.8.2. В случае, когда c 6= 0, из следствия 5.32 вытекает, что
найдется элемент базы B ∈ B, на котором определена функция ϕ1 и при
этом ∃ lim ϕ1 = 1c . Отсюда и из предыдущей теоремы вытекает, что сущеB
f (x)
ствует предел lim ϕ(x)
=
B
A
.
c
Следствие 2.31. Пусть Z = (Z, k · k) – линейное нормированное пространство над полем R(C), и α, β : X → Y, γ : E → Z и α, β = o(γ) по
базе B. Тогда α ± β = o(γ) и cα = o(γ) (c ∈ R) по базе B.
Доказательство. Действительно, поскольку α(x) = kγko(1) и β(x) =
kγko(1), то α(x) ± β(x) = kγk(o(1) ± o(1)) = kγko(1) = o(γ) и cα(x) =
ckγko(1) = kγko(1) = o(γ) по базе B.
Следствие 2.32. Если в качестве базы B взять базу непрерывности
{Oδ (x)}δ>0 (окрестности берутся из метрического пространства (X, %)),
то предыдущее утверждение для функций f, g : X → Rn (Cn ), ϕ : X →
R(C), таких, что f, g, ϕ ∈ C(x0 ), будет означать, что f ± g, (f, g), ϕf ∈
C(x0 ). В случае, когда дополнительно ϕ(x0 ) 6= 0, на некоторой окрестf (x)
f (x)
ности определена функция ϕ(x)
, и ϕ(x)
∈ C(x0 ).
½
2xy
,
x2 +y 2
если (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)}
. То0,
если (x, y) = (0, 0)
гда функция f ∈ C(R2 \ {(0, 0)}), т.к. она представляет собой отношение
двух непрерывных функций на множестве R2 \ {(0, 0)}, а, следовательно,
непрерывна, где это отношение определено. В нуле эта функция непрерывна по каждой переменной отдельно при фиксированной другой, поскольку f (0, y) = f (x, 0)
½ = f (0, 0) = 0. Однако в точке (0, 0) функция
1, если t ∈ R \ {0}
разрывна, т.к. f (t, t) =
разрывна в точке t = 0.
0, если t = 0
Пример. Пусть f (x, y) =
2.9
Кратные и повторные пределы.
94
2 Функции многих переменных.
Определение 2.9.1. Пусть X, Y – произвольные множества, B(X) =
{Xα }α и B(Y ) = {Yβ }β – базы на X и Y соответственно, Z = (Z, τ ) –
хаусдорфово топологическое пространство, f : X × Y → Z. Пусть существуют пределы ψ(x) = lim f (x, y) и ϕ(y) = lim f (x, y) на множествах
B(Y )
B(X)
P ⊂ X и Q ⊂ Y соответственно, и для которых определены базы сужения B(P ) = {Xα ∩ P }α и B(Q) = {Yβ ∩ Q}β . Пределы lim ψ(x) ∈ Z и
B(P )
lim ϕ(y) ∈ Z называют повторными пределами. На множестве X × Y
B(Q)
можно определить базу произведения B = B(X) ⊗ B(Y ) = {Xα × Yβ }αβ .
Предел lim f (x, y) ∈ Z называют двойным.
B
Примеры.
1. Пусть f (x, y) = x22xy
. Тогда повторные пределы для баз сходимости
+y 2
в нуле равны друг другу: lim lim f (x, y) = 0 = lim lim f (x, y). При этом
x→0 y→0
y→0 x→0
½
x=t
не существует двойного предела lim f (x, y), т.к. на кривой
y=t
(x,y)→(0,0)
½
x=0
сужение функции f равно 1, а на кривой
равно 0.
y=t
½
y sin x1 , если (x, y) ∈ R2 , x 6= 0
2. Пусть f (x, y) =
. Тогда для всех
0,
если (0, y) ∈ R2
y ∈ R \ {0} не существует предела lim y sin x1 , а, следовательно, не сущеx→0
ствует повторного предела lim lim f (x, y). Однако, поскольку |f (x, y)| 6
y→0 x→0
|y| → 0 ((x, y) → (0, 0)), то существует двойной предел
0.
(
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) =
x2 −y 2
,
x2 +y 2
если (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)}
. Тогда по0,
если (x, y) = (0, 0)
вторные пределы различны: lim lim f (x, y) = 1, lim lim f (x, y) = −1.
3. Пусть f (x, y) =
x→0 y→0
Двойной предел
lim
(x,y)→(0,0)
y→0 x→0
f (x, y) не существует.
Определение 2.9.2. Пусть X, Y – произвольные множества, B1 = {Xα }α
и B2 = {Yβ }β – базы на X и Y соответственно. На множестве X ×Y можно
определить базы повторных пределов BXY = B1 B B2 и BY X = B2 B B1 ,
состоящих из множеств вида {(x, y) | x ∈ Xα , y ∈ Yβ(x) } и {(x, y) | y ∈
Yβ , x ∈ Xα(y) } соответственно. Через B = BXY ⊕ BY X обозначим базу
{b1 ∪ b2 | b1 ∈ BXY , b2 ∈ BY X }. Как будет видно далее, эту базу естественно называть базой равенства повторных пределов.
Замечание 2.9.1. Базы BXY и BY X подчинены базе B, и все три базы
подчинены базе произведения B1 ⊗ B2 .
Теорема 2.33 (существование повторного предела). Пусть B1 и
B2 – базы на множествах X и Y соответственно, Z = (Z, %) – метрическое пространство, f : X × Y → Z, и существует предел ψ(x) =
2.9 Кратные и повторные пределы.
95
lim f (x, y) ∈ Z (ϕ(y) = lim f (x, y) ∈ Z) на множестве X (Y ). Тогда
B2
B1
существование предела lim f (x, y) = z ∈ Z (lim f (x, y) = z ∈ Z) равноBXY
BY X
сильно существованию повторного предела lim lim f (x, y) = z (lim lim f (x, y) =
B1
z).
B2
B2
B1
Доказательство. Оба случая разбирается аналогично, поэтому разберем только один из них.
⇒ Пусть существует предел lim f (x, y) = z ∈ Z, тогда для любого
BXY
числа ε > 0 найдется элемент b = {(x, y) | x ∈ Xα , y ∈ Yβ(x) } ∈ BXY (для
некоторого индекса α), для которого %(f (x, y), z) < 2ε для всех (x, y) ∈ b.
Перейдем в этом неравенстве к пределу по базе B2 при каждом фиксированном x ∈ Xα и получим, что %(ψ(x), z) 6 2ε < ε, т.е. существует
повторный предел lim ψ(x) = lim lim f (x, y) = z.
B1
B1
B2
⇐ Пусть существует повторный предел lim ψ(x) = z, тогда для любоB1
го числа ε > 0 найдется элемент Xα ∈ B1 такой, что %(ψ(x), z) < 2ε для
всех x ∈ Xα . Из определения функции ψ вытекает, что для каждой точки x ∈ Xα найдется элемент Yβ(x) ∈ B2 , на котором %(ψ(x), f (x, y)) < 2ε .
Тогда на множестве b = {(x, y) | x ∈ Xα , y ∈ Yβ(x) } выполняется неравенство %(f (x, y), z) 6 %(f (x, y), ψ(x)) + %(ψ(x), z) < 2ε + 2ε = ε. Отсюда
следует существование предела lim f (x, y) = z ∈ Z.
BXY
Из замечания 2.9.1 и предыдущей теоремы вытекает следующее утверждение о связи двойных и повторных пределов.
Следствие 2.34. В условиях предыдущей теоремы существование предела lim f (x, y) = z ∈ Z влечет существование повторного предела
B1 ⊗B2
lim lim f (x, y) = z (lim lim f (x, y) = z).
B1
B2
B2
B1
Замечание 2.9.2. Существование равных пределов lim f (x, y) = lim f (x, y) =
BXY
z ∈ Z равносильно существованию предела lim f (x, y) = z ∈ Z.
BY X
B
Доказательство.
⇒ Пусть существуют пределы lim f (x, y) = lim f (x, y) = z ∈ Z, тогда
BXY
BY X
для любого ε > 0 найдутся элементы b1 ∈ BXY , b2 ∈ BY X такие, что
%(f (x, y), z) < ε на b1 и b2 , т.е. это неравенство выполняется на b1 ∪ b2 .
Поэтому ∃ lim f (x, y) = z.
B
⇐ Пусть существует предел lim f (x, y) = z ∈ Z. В силу подчинености
B
баз BXY и BY X базе B, существуют пределы lim f (x, y), lim f (x, y) и
равны z.
BXY
BY X
96
2 Функции многих переменных.
Теорема 2.35 (равенство повторных пределов). Пусть B1 и B2 –
базы на множествах X и Y соответственно, B = BXY ⊕ BY X , Z =
(Z, %) – метрическое пространство, f : X × Y → Z, и существуют
пределы ψ(x) = lim f (x, y) ∈ Z и ϕ(y) = lim f (x, y) ∈ Z на множествах
B2
B1
X и Y соответственно. Тогда существование и равенство повторных
пределов lim lim f (x, y) = lim lim f (x, y) = z равносильно существованию
B1
B2
B2
предела lim f (x, y) = z ∈ Z.
B1
B
Доказательство. Утверждение теоремы следует из замечания 2.9.2 и
теоремы 2.33.
Следствие 2.36 (критерий Маркова-Гордона). Пусть B1 и B2 –
базы на множествах X и Y соответственно, Z = (Z, %) – полное
метрическое пространство, f : X × Y → Z, и существуют пределы
ψ(x) = lim f (x, y) ∈ Z и ϕ(y) = lim f (x, y) ∈ Z на множестве X и Y
B2
B1
соответственно. Тогда существование и равенство повторных пределов lim lim f (x, y) = lim lim f (x, y) = z ∈ Z равносильно существованию
B1
B2
B2
B1
предела lim %(f (x, y), ϕ(y)) = 0 (lim %(f (x, y), ψ(x)) = 0).
BXY
BY X
Доказательство. Оба случая рассматриваются аналогично, поэтому разберем только первый случай.
⇒ Существование и равенство повторных пределов lim ψ(x) = lim ϕ(y) =
B1
B2
z ∈ Z влечет существование предела lim f (x, y) = z, а, следовательB
но, ∃ lim f (x, y) = z. Можно считать, что функция ϕ(y) формально заBXY
висит от переменной x, тогда эта функция имеет предел по базе B1 ⊗
B2 , и, следовательно, по базе BXY , равный z. Отсюда %(f (x, y), ϕ(y)) 6
%(f (x, y), z) + %(z, ϕ(y)) → 0 по базе BXY .
⇐ Пусть lim %(f (x, y), ϕ(y)) = 0. Тогда для любого числа ε > 0 найдетBXY
ся элемент b = {(x, Yβ(x) ) | x ∈ Xα } ∈ BXY , на котором %(f (x, y), ϕ(y)) <
ε
. Для любых элементов xi ∈ Xα (i = 1, 2) найдутся элементы Yβi ∈ B2 :
4
Yβi ⊂ Yβ(xi ) (i = 1, 2), для которых %(f (xi , y), ψ(xi )) < 4ε (i = 1, 2). Тогда
для любого элемента y ∈ Yβ1 ∩ Yβ2 верно неравенство %(ψ(x1 ), ψ(x2 )) 6
%(ψ(x1 ), f (x1 , y)) + %(f (x1 , y), ϕ(y)) + %(ϕ(y), f (x2 , y)) + %(f (x2 , y), ψ(x2 )) <
ε ε ε ε
+ + + = ε. Отсюда из критерия Коши сходимости по базе ∃ lim ψ(x) =
4 4 4 4
B1
z ∈ Z, т.е. существует повторный предел lim lim f (x, y) = z, а, следоваB1
B2
тельно, в силу теоремы 2.33 существует предел lim f (x, y) = z ∈ Z. ПоBXY
этому найдется элемент b0 = {(x, y) | x ∈ Xα0 , y ∈ Yβ0 (x) } ∈ BXY : b0 ⊂ b,
на котором %(f (x, y), z) < 4ε . Зафиксируем некоторую точку x0 ∈ Xα0 , тогда на элементе Yβ0 (x0 ) ∈ B2 верна оценка %(ϕ(y), z) 6 %(ϕ(y), f (x0 , y)) +
%(f (x0 , y), z) < 4ε + 4ε < ε. Следовательно, ∃ lim ϕ(x) = z. Таким образом,
B2
оба повторных предела существуют и равны друг другу.
2.10 Кривые в Rn . Длина кривой.
97
Следствие 2.37. Пусть Z = (Z, k · k) – банахово пространство, B1 и
B2 – базы на множествах X и Y соответственно, f : X × Y → Z. Расdef
смотрим семейство функций {ϕx (·) = f (x, ·)}x∈X . Будем предполагать,
что семейство функций {ϕx : Y → Z} равномерно по базе B1 сходится
на множестве Y к функции ϕ : Y → Z, т.е. kϕ − ϕx k∞ = sup kϕ(y) −
y∈Y
ϕx (y)k → 0 по базе B1 . Пусть дополнительно для всех x ∈ X существуdef
ет предел lim f (x, y) = ψ(x) ∈ Z. Тогда lim lim f (x, y) = lim lim f (x, y).
B2
B1
B2
B2
B1
Доказательство. Для любого ε > 0 найдется элемент Xα ∈ B1 такой, что для всех (x, y) ∈ Xα × Y ∈ BXY верно неравенство kϕ(y) −
f (x, y)k < ε, т.е. lim kf (x, y) − ϕ(y))k = 0. В силу критерия МарковаBXY
Гордона lim lim f (x, y) = lim lim f (x, y).
B1
B2
B2
B1
Следствие 2.38. Пусть Y = (Y, %) – метрическое пространство, Z =
(Z, k·k) – банахово пространство, рассмотрим последовательность непрерывных функций {ϕn } ⊂ C(Y, Z), равномерно на Y сходящуюся к функции ϕ : Y → Z, т.е. kϕ − ϕn k∞ = sup kϕ(y) − ϕn (y)k → 0 при n → ∞.
y∈Y
Тогда ϕ ∈ C(Y, Z).
Доказательство. Пусть X = N, и B1 – база предела последовательности, а B2 = {Oδ (y0 )} – база непрерывности для произвольной фиксироdef
ванной точки y0 ∈ Y. Положим f (n, y) = ϕn (y). Тогда существует преdef
дел lim f (n, y) = lim ϕn (y) = ϕn (y0 ) = ψ(n). Из предыдущего следствия
B2
B2
вытекает, что ϕ(y0 ) = lim ϕn (y0 ) = lim lim f (n, y) = lim lim f (n, y) =
n→∞
n→∞ B2
B2 n→∞
lim ϕ(y), т.е. ϕ ∈ C(y0 ). Из произвольности выбора точки y0 следует
y→y0
требуемое утверждение.
2.10
Кривые в Rn. Длина кривой.
Определение 2.10.1. Путем в Rn называется непрерывное отображение f : [a, b] → Rn . Образ S = f ([a, b]) называется следом пути. Точки
f (a) и f (b) называется началом и концом пути. Длиной пути называется
def
величина V (f ) = Vab f = lim v(f, T ). Если она конечна, то путь называBσ
ется спрямляемым.
Замечание 2.10.1. Поскольку f ∈ C[a, b], то в силу теоремы 1.77 V (f ) =
lim v(f, T ).
Bλ
98
2 Функции многих переменных.
Замечание 2.10.2. Пусть a < c < b. Из свойства аддитивности вариации
(см теорему 1.80) следует, что длина спрямляемого пути f : [a, b] → Rn ,
т.е. вариация функции f, складывается из длин путей f
иf
.
[a,c]
[c,b]
Теорема 2.39 (критерий спрямляемости). Путь f = (f1 , . . . , fn ) :
[a, b] → Rn является спрямляемым тогда и только тогда, когда fi ∈
n
P
V [a, b] (i = 1, n), при этом V (fi ) 6 V (f ) 6
V (fi ) (i = 1, n).
i=1
Доказательство. Для любого разбиения T = {xi }N
i=0 отрезка [a, b] верно
n
P
|fi (xj ) − fi (xj−1 )|.
неравенство |fi (xj ) − fi (xj−1 )| 6 |f (xj ) − f (xj−1 )| 6
n
P
Следовательно, v(fi , T ) 6 v(f, T ) 6
V (fi ) 6 V (f ) 6
n
P
i=1
v(fi , T ) (i = 1, n), и поэтому
i=1
V (fi ) (i = 1, n). Отсюда вытекает, что V (f ) < +∞ ⇔
i=1
V (fi ) < +∞ (i = 1, n).
Обозначение 2. Пусть a < b, f : [a, b] → Rn , T = {xj }N
j=0 . Через Ω(f, T )
N
P
ωj ∆xj , где ωj = ω(f, [xj−1 , xj ]) (j = 1, N ).
обозначим величину sup
T
j=1
Теорема 2.40 (критерий Дарбу для вектор-функции). Пусть a <
b, f : [a, b] → Rn . Тогда f ∈ R[a, b] ⇔ inf Ω(f, T ) = 0 ⇔ lim Ω(f, T ) = 0.
T
Bλ
Доказательство. Пусть f = (f1 , . . . , fn ). Поскольку ω(fi , [xj−1 , xj ]) 6
n
P
ω(fi , [xj−1 , xj ]) (i = 1, n), то Ω(fi , T ) 6 Ω(f, T ) 6
ω(f, [xj−1 , xj ]) 6
n
P
i=1
Ω(fi , T ) (i = 1, n). Отсюда f ∈ R[a, b] ⇔ fi ∈ R[a, b] ∀i = 1, n ⇔
i=1
inf Ω(fi , T ) = 0 (lim Ω(fi , T ) = 0) ∀i = 1, n ⇔ inf Ω(f, T ) = 0 (lim Ω(f, T ) =
T
0).
Bλ
T
Bλ
Определение 2.10.2. Пусть f : [a, b] → Rn , f = (f1 , . . . , fn ). Производной в точке x0 ∈ [a, b] назовем вектор f 0 (x0 ) = (f10 (x0 ), . . . , fn0 (x0 )) ∈ Rn .
В случае, когда этот вектор существует, будем писать, что f ∈ D(x0 ). В
случае, когда f ∈ D(x) для всех x ∈ [a, b], будем писать f ∈ D[a, b].
Теорема 2.41 (формула длины пути). Пусть a < b, f = (f1 , .r
. . , fn ) :
n
R
R
P
b
b
[a, b] → Rn , f ∈ D[a, b], f 0 ∈ R[a, b]. Тогда V (f ) = a |f 0 (x)|dx = a
(fi0 (x))2 dx.
i=1
Доказательство. Поскольку fi0 ∈ R[a, b] ∀i = 1, n, то по теореме 1.29
n
√
P
(fi0 (x))2 ∈ R[a, b], и, т.к. t ∈ C[0, +∞), то по теореме 1.27 (о компоi=1
rn
P 0
(fi (x))2 ∈ R[a, b].
зиции с непрерывной функцией) функция ϕ(x) =
i=1
2.10 Кривые в Rn . Длина кривой.
99
Кроме того, функция f 0 ограничена, а, следовательно, функция f липшицева и, следовательно, является функцией ограниченной вариации. Отметим, что суммы v(f, T ) стремятся по базе Bσ к V (f ). Можно считать,
что эти суммы формально зависят от множества отмеченных точек Σ, и
поэтому стремятся к V (f ) по базе Bσ . Аналогично по критерию Дарбу
можно считать, что Ω(fi , T ) → 0 по базе Bσ (i = 1, n). По теореме РимаRb
на суммы¡ S(ϕ, T, Σ) стремятся
к интегралу a ϕ(x)dx по базе Bσ . Пусть
¢
N
(T, Σ) = {xj }N
j=0 , {ξj }j=0 – произвольное отмеченное разбиение. По теореме Лагранжа (fi (xj )−fi (xj−1 )) = fi0 (ξij )∆xj для некоторого
r n числа ξij ∈
N
N
P
P P 0
|f (xj ) − f (xj−1 )| =
(fi (ξij ))2 ∆xj .
[xj−1 , xj ]. Поэтому v(f, T ) =
j=1
0
(f1 (ξ1j ), . . . , fn0 (ξnj ))
j=1
i=1
0
(f1 (ξj ), . . . , fn0 (ξj )),
и bj =
Рассмотрим вектора aj =
тогда
v
v
u n
u n
n
X
uX
uX
0
0
|aj −bj | = t (fi (ξij ) − fi (ξj ))2 6 t
ω 2 (fi0 , [xj−1 , xj ]) 6
ω(fi0 , [xj−1 , xj ]).
i=1
i=1
i=1
N
¯P
¯
Поэтому верна оценка |v(f, T ) − S(ϕ, T, Σ)| = ¯ (|aj | − |bj |)∆xj ¯ 6
N
P
j=1
n
P
i=1
n
P
i=1
|aj − bj |∆xj 6
n
N P
P
j=1 i=1
ω(fi0 , [xj−1 , xj ])∆xj =
j=1
N
n
PP
i=1 j=1
ω(fi0 , [xj−1 , xj ])∆xj =
Ω(fi0 , T ). Переходя к пределу по базе Bσ в неравенстве |v(f, T )−S(ϕ, T, Σ)| 6
Ω(fi0 , T ), получим оценку |
V (f ).
Rb
a
ϕ(x)dx − V (f )| 6 0, т.е.
Rb
a
ϕ(x)dx =
½
x(t) = t,
Следствие 2.42. Рассмотрим путь f (t) =
, t ∈ [a, b], ψ 0 ∈
y(t) = ψ(t)
Rbp
R[a, b]. Тогда длина пути равна a 1 + (ψ 0 )2 (x)dx.
Следствие 2.43. Пусть r = r(ϕ) : [a, b] → R – полярная параметризация пути f (ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ), и rϕ0 ∈ R[a, b]. Тогда его длина равна
Rbq
r2 + rϕ0 2 dϕ.
a
Доказательство. Утверждение следует из предыдущей теоремы для пути f (ϕ) = (r(ϕ) cos ϕ, r(ϕ) sin ϕ) и формул: f 0 (ϕ) = (rϕ0 cos ϕ−r sin ϕ, rϕ0 sin ϕ+
q
r cos ϕ), и |f 0 (ϕ)| = r2 (ϕ) + rϕ0 2 (ϕ).
Определение 2.10.3. Два пути fi : [a, b] → Rn , i = 1, 2 называют эквиdef
валентными, если существует функция перепараметризации τ : [a1 , b1 ] →
[a2 , b2 ], τ ↑↑ (из этих условий вытекает, что функции τ и τ −1 непрерывны
на [a1 , b1 ] и [a2 , b2 ] соответственно) такая, что f2 = f1 ◦ τ. Обозначение
f1 ∼ f2 .
τ
100
2 Функции многих переменных.
Свойства.
1. f ∼ f ;
Id
f;
2. f ∼ g ⇒ g ∼
−1
τ
τ
3. f ∼ g, g ∼ ϕ ⇒ f ∼ ϕ.
τ1
τ2
τ2 ◦τ1
Тем самым, множество всех путей в Rn разбиваются на попарно непересекающиеся классы эквивалентностей.
Определение 2.10.4. Кривой в Rn называется любой из классов эквивалентных путей в Rn . Следом кривой γ = {fα (t)} называется след
любого из ее путей. Нетрудно видеть, что для эквивалентных путей их
следы совпадают. Аналогично, началом и концом кривой называют соответственно начало и конец любого из ее путей. Длиной кривой называют
длину любого из ее путей.
Корректность. Пусть T1 = {xj }N
j=0 – разбиение отрезка [a1 , b1 ], и
N
T2 = {τ (xj )}j=0 – разбиение отрезка [a2 , b2 ]. Тогда v(f1 , T1 ) = v(f2 , T2 ), и,
следовательно, V (f1 ) = sup v(f1 , T1 ) = sup v(f2 , T2 ) = V (f2 ).
T1
2.11
T2
Компакты в метрических и топологических пространствах.
Определение 2.11.1. Пусть X = (X, τ ) – топологическое пространство.
Множество K ⊂ X называется компактным (счетно-компактным) в X ,
если из любого открытого
покрытия {Gα }α∈A (т.е. Gα открыто в X для
S
Gα ⊃ K), можно выделить конечное (не более, чем
любого α ∈ A, и
α∈A
счетное) подпокрытие.
Замечание 2.11.1. K – компакт в X = (X, τ ) ⇔ K – компакт в (X, τ ),
K
где τ – сужение исходной топологии на K. Это свойство позволяет, не
K
ограничивая общности, при формулировках разнообразных утверждений считать, что X = K. В этом случае говорят, что X – топологический
компакт или X – компактное топологическое пространство.
Определение 2.11.2. Пусть X = (X, τ ) – топологическое пространство.
Множество K ⊂ X называется предкомпактным, если K компактно в X .
Теорема 2.44. Пусть X = (X, τ ) – топологическое пространство, множество K ⊂ X компактно в X , E – его замкнутое подмножество.
Тогда E компактно в X .
2.11 Компакты в метрических пространствах.
101
Доказательство. Пусть {Gα } – произвольное открытое покрытие множества E. Образуем открытое покрытие компакта K, добавив к нему открытое множество X \ E. Из этого покрытия можно выделить конечное
N
подпокрытие {Gαj , X \ E}N
j=1 для K. Тогда {Gαj }j=1 – конечное подпокрытие для E. Отсюда следует, что E компактно в X .
Теорема 2.45. Пусть X = (X, τ ) – хаусдорфово топологическое пространство, множество K ⊂ X компактно в X , Тогда K замкнуто в
X.
Доказательство. Возьмем произвольную точку y ∈ X \ K, тогда из хаусдорфовости X для любой точки x ∈ K найдутся непересекающиеся
окрестности U (x) и V (y) = Vx (y) точек x и y соответственно. В силу компактности множества K из открытого его покрытия {U (x)}x∈K
можно выделить конечное подпокрытие {U (xj )}N
j=1 . Тогда окрестность
N
N
T
S
V =
Vxj (y) не пересекается с множеством K ⊂
U (xj ). Поэтому
j=1
j=1
точка y – внутренняя точка X \ K. Из произвольности выбора точки y
вытекает, что X \ K замкнуто в X .
Замечание 2.11.2. Для нехаусдорфовых пространств компакт может оказаться незамкнутым. Для примера рассмотрим связное двоеточие X =
(X, τ ), где X = {x1 , x2 }, τ = {∅, X = {x1 , x2 }, {x2 }}. Нетрудно видеть,
что множество K = {x2 } является незамкнутым компактом.
Определение 2.11.3. Система множеств {Mα }α называется центрированной, если любой конечный набор этих множеств имеет непустое пересечение.
Замечание 2.11.3. Вложенная система непустых множеств {Mn } является центрированной.
Теорема 2.46. Пусть X = (X, τ ) – топологическое пространство, {Mα }α
– центрированная система замкнутых
множеств, содержащаяся в некоT
тором компакте K ⊂ X. Тогда Mα непусто.
α
Доказательство. Если бы
T
α
Mα = ∅, то семейство {Gα = X \ Mα }α
являлось бы открытым
покрытием
¡T
¢всего множества X (это следует из
S
закона Моргана Gα = X \
Mα = X) а, следовательно, и компакта
α
α
K. Тогда нашлось бы подпокрытие {Gαj = X \ Mαj }N
j=1 для K, что ознаN
N
T
T
чало бы
Mαj = K ∩( Mαj ) = ∅, что противоречит центрированности
j=1
системы {Mα }α .
j=1
102
2 Функции многих переменных.
Определение 2.11.4. Множество E ⊂ X в топологическом пространстве X = (X, τ ) называется секвенциально компактным, если любая последовательность {xn } ⊂ E имеет частичный предел из E. Напомним,
что частичным пределом в топологическом пространстве называется элемент, в произвольной окрестности которого содержится бесконечное число членов последовательности.
Теорема 2.47. Пусть X = (X, τ ) – топологическое пространство, K –
компакт в X . Тогда K – секвенциально компактно.
Доказательство. Допустим от противного, что существует последовательность {an } ⊂ K, не имеющая частичных пределов в K. Тогда для
каждой точки x ∈ K найдется ее окрестность O(x), в которой содержится лишь конечное число членов последовательности. Из открытого
покрытия {O(x)}x∈K компакта K можно выделить конечное подпокрыN
S
тие {O(xj )}N
O(xj ) может находится лишь
j=1 . Тогда в множестве K ⊂
j=1
конечное число членов последовательности, чего не может быть. Следовательно, каждая последовательность в K имеет частичный предел в
этом множестве.
Теорема 2.48 (Вейерштрасса). Пусть X = (X, τ ) – топологическое
пространство, K – секвенциально компактно (компактно) в X , отображение f : K → R непрерывно на K. Тогда отображение f достигает
своих наибольшего и наименьшего значений, и, следовательно, ограничена.
Доказательство. Пусть A = sup f ∈ R. Для каждого числа n ∈ N найK
дется элемент xn ∈ K такой, что f (xn ) ∈ O 1 (A). Из секвенциальной комn
пактности K вытекает, что найдется частичный предел x ∈ K последовательности {xn }. Предположим, что f (x) 6= A, тогда для некоторого числа N ∈ N, окрестности O 1 (A) и O 1 (f (x)) не пересекаются. Поскольку
N
N
f ∈ C(x), то найдется окрестность O(x) ⊂ X : f (K ∩O(x)) ⊂ O 1 (f (x)). В
N
окрестности частичного предела O(x) найдется член последовательности
xm для некоторого m > N, и, следовательно, f (xm ) ∈ O 1 (A) ∩ O 1 (f (x)),
N
N
противоречие. Следовательно, f (x) = A. Аналогично доказывается, что
функция f достигает своего наименьшего значения.
Следствие 2.49. Секвенциально компактное множество в метрическом пространстве ограниченно.
Доказательство. Для пустого множества ограниченность вытекает из
определения. Пусть K – непустое секвенциально компактное множество
в метрическом пространстве X = (X, %). Рассмотрим на K непрерывное
отображение f (x) = %(x, x0 ), где x0 – фиксированная точка из K. Тогда
R = sup f < +∞, и, следовательно, K ⊂ B(x0 , R), т.е. K ограничено.
K
2.11 Компакты в метрических пространствах.
103
Определение 2.11.5. Множество M называют всюду плотным в метрическом пространстве X = (X, %), если замыкание этого множества совпадает с X. Это равносильно условию: ∀ε > 0 ∀x ∈ X Oε (x) ∩ M 6= ∅.
Метрическое пространство X называется сепарабельным, если существует не более, чем счетное всюду плотное в X множество M. Последнее
равносильно существованию последовательности {xn } ⊂ X, у которой
все точки пространства X является частичными пределами. Построение
такой последовательности осуществляется путем нумерации элементов
множества M так, чтобы каждое значение (элемент множества M ) принималось бесконечное число раз).
Теорема 2.50. Пусть X = (X, %) – сепарабельное метрическое пространство. Тогда любое непустое подмножество K ⊂ X счетно-компактно
в X , а пространство K = (K, %
) – сепарабельно.
K×K
Доказательство. Пусть M = {xi } – не более, чем счетное всюду плотное
в X множество M, замыкание которого всё X. Для каждой точки xi ∈ M
и произвольного числа n ∈ N, для которых пересечение K ∩B(xi , n1 ) непусто, отнесем к множеству N любую точку yi,n из этого пересечения. Поскольку для каждой точки x ∈ K и произвольного числа n ∈ N найдется
такая точка xi ∈ M, что %(x, xi ) < n1 , то %(x, yi,n ) 6 %(x, xi )+%(xi , yi,n ) 6 n2
для точки yi,n ∈ N. Отсюда вытекает, что множество N не более, чем
счетно, и всюду плотно в K.
Для любого семейства G = {Gα }α∈A , являющегося открытым покрытием множества K, и любой точки x ∈ K найдется элемент Gβ 3 x. Из
открытости множества Gβ вытекает, что ∃Oε (x) ⊂ Gβ (β = β(x)). Так
же, как и ранее, найдется номер m ∈ N и точка yj,m ∈ N такие, что
%(x, yj,m ) 6 m2 < 2ε . В этом случае x ∈ O 2 (yj,m ) ⊂ Oε (x). Каждой окрестm
ности O 2 (yj,m ) сопоставим только один из элементов семейства G, соm
держащий эту окрестность, образуя из этих элементов подсемейство J .
Семейство O, состоящее из окрестностей O 2 (yj,m ), не более, чем счетно,
m
и, следовательно, подсемейство J не более, чем счетно. По построению
семейство O является покрытием K, и поэтому J – также покрытие
множества K. Из произвольности выбора покрытия G следует счетная
компактность K.
Примеры.
1. Пространство Rn – сепарабельно, и, следовательно, всякое его подмножество сепарабельно и счетно-компактно.
2. Дискретное метрическое пространство на несчетном множестве не
является ни сепарабельным, ни счетно-компактным.
Упражнение 9. Докажите, что пространство m(X) не является ни сепарабельным, ни счетно-компактным для любого бесконечного множества
X.
104
2 Функции многих переменных.
Определение 2.11.6. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство.
Множество
M ⊂ X называется ε-сетью множества E ⊂ X, если E ⊂
S
B(x, ε). Это равносильно тому, что %(x, M ) 6 ε для всех точек x ∈ E.
x∈M
Замечание 2.11.4. Если M = {xi } ⊂ X является конечной ε-сетью непустого множества E ⊂ X, то существует конечная 2ε-сеть N ⊂ E.
Доказательство. Для каждой точки xi ∈ M, если E ∩ B(x, ε) 6= ∅, возьмем произвольную точку yi ∈ E ∩ B(x, ε). Тогда B(xiS
, ε) ⊂ B(yi , ε +
%(xi , yi )) ⊂ B(yi , 2ε). Следовательно, множество N = {yj } является
j
2ε-сетью E.
Определение 2.11.7. Множество E ⊂ X в метрическом пространстве
X = (X, %) называется вполне ограниченным, если для любого ε > 0
существует конечная ε-сеть множества E.
Замечание 2.11.5. Если непустое множество E ⊂ X в метрическом пространстве X = (X, %) вполне ограничено, то для любого ε > 0 существует
конечная ε-сеть множества E, содержащаяся в этом множестве.
Замечание 2.11.6. Если K – вполне ограничено в X = (X, %), то оно
ограничено и сепарабельно.
Доказательство. Без потери общности можно
считать, что K = X.
S
1
Пусть Mn – конечная n -сеть X. Тогда M = Mn – не более, чем счетное,
n
всюду плотное множество в X, т.е. пространство X сепарабельно. Пусть
R = diam M1 , тогда X ⊂ B(y, R + 1) для любой точки y ∈ M1 , т.к. для
любой точки x ∈ X найдется точка z ∈ M : %(x, z) 6 1, и, следовательно,
%(x, y) 6 %(x, z) + %(z, y) 6 1 + R. Поэтому X – ограничено.
Определение 2.11.8. Говорят, что множество E ⊂ X в метрическом
пространстве X = (X, %) состоит из ε-различимых точек, если любые две
различные точки этого множества находятся на расстоянии не меньше,
чем ε > 0.
Лемма 2.11.1. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство, K ⊂ X
– cеквенциально компактное (компактное) множество, ε > 0. Тогда
всякое множество E ⊂ K, состоящее из ε-различимых точек, конечно.
Доказательство. Действительно, если бы E было бесконечно, то нашлась последовательность {xn } ⊂ E, расстояние между различными
членами которой было бы не меньше ε > 0. Тогда бы такая последовательность не имела сходящейся подпоследовательности, т.к. для нее не
выполнялось бы условие Коши, что противоречит секвенциальной компактности K.
2.11 Компакты в метрических пространствах.
105
Теорема 2.51. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство, K ⊂ X
– cеквенциально компактное (компактное) множество. Тогда K вполне
ограничено, а, следовательно, сепарабельно.
Доказательство. Построим множество E ⊂ K, последовательно добавляя к нему точки, которые находятся на расстоянии не меньше, чем ε > 0
от тех, что уже в это множество вошли. Согласно лемме 2.51 процесс построения множества E должен прерваться на каком-то конечном шагу,
т.к. множество ε-различимых точек из K конечно. Полученное таким
образом множество E будет обладать свойством: для любой точки из
K найдется точка из E на расстоянии меньшим, чем ε. Это означает,
что E – конечная ε-сеть для K. Из произвольности выбора ε вытекает
утверждение теоремы.
Теорема 2.52 (критерий компактности). Пусть X = (X, %) – метрическое пространство, K ⊂ X. Тогда K – компакт в X ⇔ K – секвенциально компактно.
Доказательство.
⇒ Вытекает из теоремы 2.47.
⇐ Без потери общности будем считать, что K 6= ∅. Возьмем произвольное открытое покрытие {Gα }α∈A множества K. Определим функцию
ϕ : K → R, положив ϕ(x) = sup %(x, X \ Gα ) для каждой точки x ∈ K.
α∈A
Нетрудно видеть, что эта функция положительна.
Рассмотрим случай, когда ϕ(x) = +∞ для некоторой точки x ∈ K.
В силу следствия 2.49 множество K ограниченно и, следовательно, найдется шар B(x, R) ⊃ K. Найдется такой индекс α, что %(x, X \ Gα ) > R,
т.е. K ⊂ B(x, R) ⊂ Gα . Тем самым, мы смогли выделить одноэлементное
подпокрытие из исходного.
Рассмотрим случай, когда ϕ(x) < +∞ для всех точек x ∈ K. Докажем, что функция ϕ(x) непрерывна на K. Действительно, для произвольных точек x, y ∈ K и произвольного индекса α ∈ A |%(x, X \Gα )−%(y, X \
Gα )| 6 kx − yk. Следовательно, %(y, X \ Gα ) 6 %(x, X \ Gα ) + kx − yk 6
ϕ(x) + kx − yk, т.е. %(y, X \ Gα ) 6 ϕ(x) + kx − yk для всех α ∈ A. Отсюда ϕ(y) 6 ϕ(x) + kx − yk, и поэтому ϕ(y) − ϕ(x) 6 kx − yk. Аналогично,
ϕ(x)−ϕ(y) 6 kx−yk, т.е. |ϕ(x)−ϕ(y)| 6 kx−yk. Таким образом, функция
ϕ является 1-липшицевой, а, следовательно, непрерывна на K.
В силу теоремы 2.48 функция ϕ достигает своего наименьшего значеdef
ния в некоторой точке x0 ∈ K, при этом ε = 21 ϕ(x0 ) > 0. Из определения
числа ε вытекает, что для каждой точки x ∈ K найдется индекс α, для
которого %(y, X \Gα ) > ε, и, следовательно, B(x, ε) ⊂ Gα . В силу теоремы
2.51 существует конечная ε-сеть E = {xi }ni=1 ⊂ K. В силу определения
числа ε найдется индекс αi такой, что B(xi , ε) ⊂ Gαi (i = 1, n). Поэтому
n
n
S
S
K⊂
B(xi , ε) ⊂
Gαi .
i=1
i=1
106
2 Функции многих переменных.
Таким образом, в каждом из разобранных случаев удается выделить
конечное подпокрытие для K из {Gα }α∈A . Следовательно, K – компакт.
Следствие 2.53. Пусть X = (X, %) – метрическое пространство, K ⊂
X – компактное множество. Тогда метрическое пространство K =
(K, %K ) полно, где %K = %
.
K×K
Доказательство. Всякая фундаментальная последовательность из K имеет частичный предел в K, а, следовательно, сходится к нему. Поэтому K
– полное метрическое пространство.
Следствие 2.54. Пусть Ki – компакты в метрических пространствах
n
Q
Xi = (Xi , ρi ) (i = 1, n), X =
Xi . Рассмотрим метрики на множестве
X : %p (x, y) =
n
Q
n
¡P
i=1
i=1
¢ p1
ρpi (x, y)
(p > 1), %∞ (x, y) = max ρi (x, y). Тогда K =
i=1,n
Ki – компакт в X = (X, %p ) для всех p ∈ [1, +∞].
i=1
Доказательство. Достаточно доказать, что K секвенциально компактно, т.е. убедиться, что любая подпоследовательность имеет сходящуюся
к некоторому элементу K подпоследовательность. Отметим, что сходимость последовательности относительно метрики %p эквивалентно сходимости координат этой последовательности относительно метрик ρi (i =
1, n). Доказательство следствия проведем методом математической индукции.
1◦ . Пусть n = 2. Рассмотрим произвольную последовательность {zk =
(xk , yk )} ⊂ K1 × K2 . В силу компактности множества K1 найдется подпоследовательность {xmk }, сходящаяся к некоторой точке x0 ∈ K1 . Из
последовательности {ymk } в силу компактности K2 можно выбрать подпоследовательность {ylk0 }, сходящаяся к некоторой точке y0 ∈ K2 . Тогда
подпоследовательность {xlk0 }, являющаяся подпоследовательностью для
{xmk }, также сходится к x0 . Следовательно, последовательность {zlk0 }
сходится к точке z0 = (x0 , y0 ) (т.к. %p (zlk0 , z0 ) 6 ρ1 (xlk0 , x0 ) + ρ2 (ylk0 , y0 ) →
0 (k → ∞)). Отсюда следует секвенциальная компактность K1 × K2 , и,
следовательно его компактность.
2◦ . Пусть утверждение верно для n = m, тогда множество K =
m+1
m
Q
Q
Ki =
Ki × Km+1 компактно в силу предыдущего пункта 2.
i=1
i=1
Замечание 2.11.7. Отсюда следует, что параллелепипед Π =
n
Q
[ai , bi ]
i=1
компактен в Rn . Это утверждение мы докажем и другим способом.
2.11 Компакты в метрических пространствах.
2.12
107
Теорема Тихонова о произведении компактов.
Теорема 2.55 (Александер). Пусть B – предбаза в топологическом
пространстве X = (X, τ ), и из любого покрытия X элементами предбазы B можно выделить конечное подпокрытие. Тогда X – компакт в
X.
Доказательство. Допустим противное, что множество X не является
компактом в X , т.е. существует открытое покрытие X, из которого нельзя выделить конечное подпокрытие. Пусть W такое семейство открытых
покрытий множества X, из которых нельзя выделить конечное подпокрытие. Введем на этом семействе частичный порядок по включению:
A<B ⇔AS
⊂ B (A, B ∈ W). Для любой цепи Γ во множестве W множество G =
N является открытым покрытием множества X (т.к. все
N ∈Γ
семейства N ∈ Γ являются такими покрытиями), и любое конечное подмножество {Gi }ni=1 ⊂ G не является покрытием X. Последнее вытекает
из того, что найдутся семейства Ni ∈ Γ : Gi ∈ Ni (i = 1, n). Пусть N –
максимальный элемент в цепи Γ среди Ni (i = 1, n), тогда {Gi }ni=1 ⊂ N,
а, следовательно, семейство {Gi }ni=1 не является покрытием X по построению. Таким образом, G ∈ W является верхней гранью цепи Γ, и в
силу леммы Цорна (см стр. 13) в семействе W найдется максимальный
элемент T = {Uα }α∈A . По построению это семейство является покрытием X, из которого нельзя выделить конечное подпокрытие для этого
множества, и добавление любого открытого множества U ∈
/ T к этому семейству делает его семейством не из W, т.е. найдутся множества
{Uαi }ni=1 ⊂ T , что {U, Uα1 , . . . , Uαn } – покрытие множества X.
Отметим также, что из максимальности покрытия T вытекает, что
любое открытое множество U, содержащееся в некотором элементе из
T также является элементом семейства T . Кроме того, из свойства 3
покрытий (см стр. 34) вытекает, что если {Vi }N
i=1 – набор открытых мноN
T
Vi также не принадлежит
жеств, не принадлежащих семейству T , то
i=1
i Mi
i
T . Действительно, найдутся такие наборы {Uαi j }M
j=1 ⊂ T , что {Vi , Uαj }j=1
N
T
i
– открытое покрытие X (i = 1, N ), и, следовательно, { Vi , Uαi j }N,M
i=1,j=1
также открытое покрытие множества X. Тем самым
N
T
i=1
i=1
Vi также не со-
держится ни в каком элементе семейства T (иначе бы семейство T , содержало конечное подпокрытие X). Отсюда вытекает, что если для какогото конечного набора открытых множеств их пересечение содержится в
108
2 Функции многих переменных.
некотором элементе семейства T , то одно из этих множеств является элементом T . Поскольку для любой точки x ∈ X и любого элемента U ∈ T ,
ее содержащую, найдется конечный набор элементов предбазы, пересечение которых содержит точку x и содержится во множестве U, то один
из этих элементов предбазы содержит точку x и является элементом семейства T . Тем самым, если мы в семействе T оставим только элементы
предбазы, то это новое семейство также будет покрытием множества X,
из которого по условию можно будет выделить конечное подпокрытие,
противоречие. Теорема доказана.
Определение 2.12.1. Рассмотрим семейство топологических
пространств
Q
{Xα = (Xα , τα )}α∈A и их декартово произведение X =
Xα . На множеα∈A
стве X можно задать топологию
Q τ, предбаза которой определяется как
набор множеств вида Vβ ×
Xα , где Vβ – произвольное открытое
α∈A:α6=β
множество пространства Xβ . Эта топология τ называется топологией декартова
Базой этой топологии является набор множеств
Q произведения.
Q
UB =
Vβ ×
Xα , где B ⊂ A – произвольное конечное множество.
β∈B
α∈A\B
В случае, когда все пространства Xα компактны декартово произведение X = (X, τ ) называют тихоновским кубом.
Замечание 2.12.1. На множестве X можно определить проектор Pβ :
X → Xβ по формуле: Pβ (x) = xβ , где x = (xα )α∈A ∈ X. Тогда элементы
предбазы топологии произведения можно записать в виде Pβ−1 (Vβ ), где
Vβ ⊂ Xβ – произвольное открытое множество в Xβ . При этом, база этой
топологии это набор всех конечных пересечений множеств этого вида.
Теорема 2.56 (Тихонов). Тихоновский куб – компакт.
Доказательство. Допустим противное, что множество X не является
компактом в X . Согласно теореме Александера найдется покрытие B
множества X, состоящее из элементов предбазы, из которого нельзя выделить конечное подпокрытие для X. Для произвольного индекса α ∈ A
рассмотрим семейство Bα = {Vγ }, состоящее из таких открытых в Xα
множеств Vγ , что Pα−1 (Vγ ) ∈ B. Это семейство не является покрытием
компакта Xα , т.к. иначе бы из этого семейства можно было выделить
N
−1
конечное подпокрытие {Vγi }N
i=1 для Xα , и в этом случае {Pα (Vγi )}i=1
было бы конечным подпокрытием для X. Следовательно, для каждого
индекса α ∈ A найдется точка xα ∈ Xα , не покрытая элементами Bα .
Тогда точка x = (xα )α∈A ∈ X не покрывается элементами B (т.к. для
любого элемента B ∈ B найдутся индекс β и элемент V ∈ Bβ такие, что
/ V ), противоречие. Теорема доказана.
B = Pβ−1 (V ) и xβ ∈
2.13 Компакты в Rn .
109
Замечание 2.12.2. На сопряженном пространстве X ∗ = (X ∗ , k·k∗ ) к некоторому банахову пространству X = (X, k · k) можно ввести так называемую ∗-слабую топологию, порожденную предбазой, состоящей из множеств вида Uα,β,x = {x∗ ∈ X ∗ | α < (x, x∗ ) < β}. В частности, открыты
множества вида {x∗ ∈ X ∗ | (x, x∗ ) ∈ V }, где V – произвольное открытое
множество в R. Эти множества также образуют предбазу ∗-слабой топологии. Нетрудно показать, что полученное топологическое пространство
является хаусдорфовым. Относительно этой топологии единичный шар
B ∗ = {x∗ ∈ X ∗ | kx∗ k∗ 6 1} пространства X ∗ является компактом.
Доказательство. Доказательство компактности шара B ∗ базируется на
утверждении, что непрерывный образ компакта является компактом (см
теорему 2.61 на стр. 111). Отметим прежде всего, что из определения нормы функционала вытекает, что условие kx∗ k 6 1 равносильно условию:
−1 6 (y, x∗ ) 6 1 для всех y ∈ B = {x ∈ X | kxk 6 1}. Следовательно,
шар B ∗ является замкнутым множеством, т.к. является пересечением замкнутых множеств (слоёв) вида Py = {x∗ ∈ X ∗ | |(y, x∗ )| 6 1} (y ∈ B).
def
Рассмотрим индексное множество A = B и соответствующий ему тихоновский куб X = [0, 1]A , который является в этом случае хаусдорфовым
компактом, а, значит, всякое замкнутое подмножество этого куба также
является компактом. Рассмотрим отображение ϕ : B ∗ → [0, 1]A , положив
ϕ(x∗ ) = (tx )x∈A , где tx = (x, x∗ ) = x∗ (x) ∈ [0, 1]. Пусть K = ϕ(B ∗ ) ⊂ X,
нетрудно проверить, что отображение ϕ биективно отображает шар B ∗
на множество K, и при этом отображение ϕ непрерывно (как отображение из ∗-слабой топологии в топологию произведения), а отображение ϕ−1 непрерывно (как отображение из топологии произведения в ∗слабую топологию). Отсюда и из критерия непрерывности вытекает, что
множество K замкнуто, а, следовательно, компактно в топологии произведения, и поэтому шар B ∗ , как непрерывный образ компакта является
компактом в ∗-слабой топологии.
2.13
Компакты в Rn. Критерий компактности в Rn. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Лемма 2.13.1 (Гейне-Бореля). Параллелепипед Π =
тен в Rn .
n
Q
[ai , bi ] компак-
i=1
Доказательство. Докажем методом от противного. Допустим, что существует открытое покрытие J = {Gα } параллелепипеда Π, из которого нельзя выделить конечное подпокрытие. Разделим этот параллелепипед на 2n равных параллелепипедов, построив разбиения Ti = {xi0 =
110
2 Функции многих переменных.
ai , xi1 =
ai +bi
, xi2
2
= bi } каждого координатного отрезка [ai , bi ] (i = 1, n) и
n
Q
образовав параллелепипеды Πij =
[xiji −1 , xiji ], где j = (j1 , . . . , jn ); ji =
i=1
1, 2. Среди этих параллелепипедов найдется тот (обозначим его через
n
Q
Π1 =
[a1i , b1i ]), для которого из покрытия J нельзя выделить конечi=1
ное подпокрытие, поскольку если бы для всех этих параллелепипедов
существовали конечные подпокрытия, то объединение этих подпокрытий образовало бы подпокрытие для всего Π, чего нельзя сделать по
предположению. Разобьем параллелепипед Π1 таким же способом, что
и исходный на 2n равных параллелепипедов и выделим среди них тот,
для которого из J нельзя выделить конечного подпокрытия. Обозначим
n
Q
этот параллелепипед через Π2 = [a2i , b2i ] и т.д. Тем самым, мы построi=1
им вложенную систему параллелепипедов Πk =
n
Q
[aki , bki ], для которой
i=1
{[aki , bki ]}k∈N – стягивающаяся система отрезков для всех i = 1, n (т.к.
|aki − bki | = 21k |ai − bi | → 0 при k → ∞). Тогда существует единственное
n
T
[aki , bki ] ⊂ [ai , bi ] для всех i = 1, n, а точка x = (x1 , . . . , xn )
число xi ∈
i=1
принадлежит Π. Вычислим
диаметр параллелепипеда Πk : diam Πk =
r
rn
n
P
P
|aki − bki |2 = 21k
|ai − bi |2 = 21k diam Π. Найдется индекс α0 , для
i=1
i=1
которого x ∈ Gα0 , и, следовательно, найдется ε > 0 : Oε (x) ⊂ Gα0 . Поскольку найдется такое k ∈ N, что 21k diam Π < ε, то Πk ⊂ Oε (x) ⊂ Gα0 , и,
следовательно, для параллелепипеда Πk есть одноэлементное покрытие
{Gα0 }, что приводит к противоречию с построением Πk . Следовательно,
существует конечное подпокрытие для Π из J , т.е. Π – компакт в Rn .
Теорема 2.57 (критерий компактности в Rn ). Пусть K ⊂ Rn . Тогда
K – компакт в Rn ⇔ множество K ограничено и замкнуто в Rn .
Доказательство.
⇒ Замкнутость компакта следует из хаусдорфовости пространства
Rn , ограниченность была доказана в общем случае метрического пространства.
⇐ Если множество K ограничено, то найдется шар B(x, r) ⊃ K, тоn
Q
гда Π =
[xi − r, xi + r] ⊃ B(x, r) ⊃ K. Поскольку Π компакт, а K –
i=1
его замкнутое подмножество в хаусдорфовом пространстве Rn , то K –
компакт.
Следствие 2.58. Всякое ограниченное подмножество предкомпактно
в Rn .
Доказательство. Любое ограниченное подмножество E содержится в
некотором шаре B(x, r), являющемся замкнутым множеством. Следова-
2.14 Свойства непрерывных отображений на компактах.
111
тельно, замыкание множества E, как минимальное по вложению замкнутое множество, содержащее E, является также подмножеством B(x, r).
Таким образом, замыкание множества E ограниченно и замкнуто, и, следовательно, в силу предыдущей теоремы является компактом в Rn , а,
множество E – предкомпактом.
Теорема 2.59 (Больцано-Вейерштрасса). Пусть E ⊂ Rn ограничено
и бесконечно. Тогда E 0 6= ∅.
Доказательство. Если бы E 0 6= ∅, то E 0 ⊂ E, и множество E было бы
замкнуто. В силу предыдущей теоремы это множество было бы компактом. Поскольку все точки E – изолированные точки, то ∀x ∈ E ∃O(x) :
O(x) ∩ E = {x}. Из открытого покрытия {O(x)}x∈E можно выделить
конечное подпокрытие {O(xi )}N
i=1 , но тогда E = {x1 , . . . , xN }, что противоречит условию. Следовательно, E 0 6= ∅.
Замечание 2.13.1. Последовательность {xk } ограничена в Rn ⇔ ∃C >
0 : ∀k ∈ N |xk | 6 C (т.е. множество значений {xk } содержится в шаре
B(0, C)).
Теорема 2.60 (Больцано-Вейерштрасса). Всякая ограниченная последовательность в Rn имеет частичный предел, т.е. из нее можно
выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Поскольку последовательность ограничена, то ее значения лежат в некотором шаре B(0, C). Поскольку этот шар ограничен
и замкнут, то он является компактом в Rn , и, следовательно, любая последовательность в нем имеет частичный предел.
Замечание 2.13.2. В бесконечномерном линейном нормированном пространстве X = (X, k · k) ограниченное и замкнутое множество не обязано
быть компактом. Например, шар B(x, r) ⊂ X (r > 0) не является компактом. Так как можно построить последовательность {xn } ⊂ B(x, r) :
kxn k = r 6 kxn − xm k для всех n, m ∈ N : n 6= m. Эта последовательность не имеет частичного предела, а, следовательно, множество B(x, r)
не компактно.
2.14
Свойства непрерывных отображений на
компактах.
Теорема 2.61. Пусть K = (K, τ ) – компактное топологическое пространство, Y = (Y, η) – топологическое пространство, f ∈ C(K, Y ).
Тогда f (K) – компакт в Y.
112
2 Функции многих переменных.
Доказательство. Пусть G = {Gα } открытое покрытие множества A =
f (K). Тогда в силу критерия непрерывности (теорема 2.15) {f −1 (Gα )} –
открытое покрытие компакта K, из которого можно выделить конечное
N
подпокрытие {f −1 (Gαi )}N
i=1 для K. Тогда {Gαi }i=1 – подпокрытие G для
f (K), т.е. A – компакт.
Теорема 2.62 (Вейерштрасса). Пусть K = (K, τ ) – компактное топологическое пространство, Y = (Y, η) – метрическое пространство,
f ∈ C(K, Y ). Тогда функция f ограничена, т.е. множество f (K) ограниченно в Y. В частности, если Y = (Y, k · k) – линейно нормированное
пространство, то ∃C > 0 ∀x ∈ K kf (x)k 6 C.
Доказательство. Поскольку множество f (K) компактно в Y, то оно
ограничено. Если Y = (Y, k·k) – линейно нормированное пространство, то
найдется шар B(0, C) ⊂ Y, содержащий ограниченное множество f (K).
Последнее и означает, что ∀x ∈ K kf (x)k 6 C.
Следствие 2.63. Пусть K = (K, τ ) – компактное топологическое пространство, f ∈ C(K, Rn ). Тогда функция f ограничена, т.е. ∃C > 0
∀x ∈ K |f (x)| 6 C.
Теорема 2.64 (Вейерштрасса). Пусть K = (K, τ ) – компактное топологическое пространство, f ∈ C(K, R). Тогда ∃x1 , x2 ∈ K такие, что
f (x1 ) = sup f, f (x2 ) = inf f.
K
K
Доказательство. Множество A = f (K) компактно в R, и, следовательно, ограничено. Точки sup A и inf A – граничные точки для A, а, т.к.
множество A замкнуто, то принадлежат A. Отсюда и следует утверждение теоремы.
Определение 2.14.1. Пусть X = (X, %), Y = (Y, ν) – метрические пространства. Функция f : X → Y называется равномерно непрерывной,
если для каждого числа ε > 0 найдется число δ > 0 такое, что для всех
точек x, y ∈ X : %(x, y) < δ верно неравенство ν(f (x), f (y)) < ε.
Теорема 2.65 (Кантора). Пусть K = (K, τ ) – компактное метрическое пространство, Y = (Y, η) – метрическое пространство, f ∈
C(K, Y ). Тогда функция f равномерно непрерывна.
Доказательство. Предположим противное, что функция f не является
равномерно непрерывной, тогда ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x, y ∈ K : %(x, y) <
δ, и η(f (x), f (y)) > ε. Поэтому для каждого n ∈ N найдутся точки
xn , yn ∈ K : %(xn , yn ) < n1 и η(f (xn ), f (yn )) > ε. Существует подпоследовательность {xnk }, сходящаяся к некоторой точке x0 ∈ K. Тогда
%(ynk , x0 ) 6 %(ynk , xnk )+%(xnk , x0 ) < n1k +%(xnk , x0 ) → 0, k → ∞, т.е. {ynk }
также сходится к x0 . Поскольку f ∈ C(x0 ), то ak = η(f (xnk ), f (x0 )), bk =
η(f (ynk ), f (x0 )) → 0, k → ∞. И, следовательно, η(f (xnk ), f (ynk )) 6 ak +
bk → 0, k → ∞, что противоречит построению последовательностей {xn }
и {yn }. Следовательно, функция f равномерно непрерывна.
2.15 Связные и выпуклые множества.
2.15
113
Связные и выпуклые множества.
Определение 2.15.1. Топологическое пространство X = (X, τ ) называется несвязным, если существуют непустые открытые множества G1 , G2 ⊂
X такие, что X = G1 ∪ G2 и G1 ∩ G2 = ∅. В противном случае пространство называется связным.
Замечание 2.15.1. Поскольку множества G2 = X \ G1 и G1 = X \ G2
замкнуты, то G1 и G2 и открыты, и замкнуты.
Примеры.
1. Связное двоеточие является связным топологическим пространством, т.к. любые два непустых открытых множеств имеют непустое пересечение.
2. Дискретное метрическое пространство (X, %), где X состоит более,
чем из одной точки, является несвязным метрическим пространством.
Определение 2.15.2. Пусть X = (X, τ ) – топологическое пространство,
множество E ⊂ X называется несвязным, если (E, τ ) – несвязное тоE
пологическое пространство. Множество E называется связным, если оно
не является несвязным.
Пример. Множество E = [0, 1) ∪ {2} несвязно в R. Действительно,
сузим топологическое пространство R до (E, τ ), где τ – топология R.
E
Тогда множества {2} и [0, 1) открыты в (E, τ ). А поскольку они непусты
E
и попарно не пересекаются, то множество E несвязно.
Теорема 2.66 (критерий несвязности). Пусть X = (X, τ ) – топологическое пространство, E ⊂ X. Тогда множество E несвязно в X ⇔
существует непрерывная функция ϕ : E → {0, 1}, ϕ(E) = {0, 1}.
Доказательство.
⇒ Так как множество E несвязно, то найдутся непустые открытые
множества в топологическом пространстве (E, τ ) такие, что E = G1 ∪
E
½
1, x ∈ G1
G2 , G1 ∩ G2 = ∅. Положим ϕ(x) =
. Поскольку ϕ−1 (1) =
0, x ∈ G2
G1 , ϕ−1 (0) = G2 , то прообраз любого множества открыт, а, следовательно, по критерию непрерывности ϕ ∈ C(E).
⇐ Пусть существует непрерывная функция ϕ : E → {0, 1}, ϕ(E) =
def
def
{0, 1}. Тогда непустые множества G1 = ϕ−1 (1), G2 = ϕ−1 (0) в силу критерия непрерывности открыты (замкнуты) в топологическом пространстве (E, τ ) , и G1 ∩ G2 = ∅, E = G1 ∪ G2 . Следовательно, множество E
E
несвязно в X .
Следствие 2.67. Промежутки в R связны.
114
2 Функции многих переменных.
Доказательство. Любая непрерывная действительная функция принимает все свои промежуточные значения, следовательно, ее образ не может состоять из двух значений.
Теорема 2.68. Пусть X = (X, τ ), Y = (Y, η) – топологические пространства, X связно, f ∈ C(X, Y ). Тогда множество f (X) связно в
Y.
Доказательство. Если бы A = f (Y ) было несвязным, то существовала
на
бы непрерывная функция ϕ : A → {0, 1}. Тогда бы ϕ ◦ f ∈ C(X), и
ϕ ◦ f (X) = {0, 1}, что противоречит связности X. Таким образом, f (X)
связно в Y.
Теорема 2.69. Пусть A ⊂ R. Тогда A связно в R ⇔ A – промежуток.
Доказательство.
⇒ Пусть множество A связно в R. Докажем, что A ⊃ (inf A, sup A),
отсюда и будет следовать, что A – промежуток. Допустим, что
½ существу1, x < c
ет точка c ∈ (inf A, sup A) \ A. Построим функцию ϕ(x) =
.
0, x > c
Тогда ϕ ∈ C(A). Поскольку точка c не является ни точной верхней, ни
точной нижней гранью множества A, то найдутся точки x1 , x2 ∈ A :
x1 < c < x2 . Следовательно, ϕ(x1 ) = 0, ϕ(x2 ) = 1. Отсюда следует, что A
несвязно, что противоречит условию. Следовательно, A ⊃ (inf A, sup A)
и A – промежуток.
⇐ Пусть A – промежуток, тогда A связно.
Следствие 2.70. Пусть X = (X, τ ) – связное топологическое пространство, f ∈ C(X, R). Тогда f (X) промежуток в R, т.е. функция
f принимает все свои промежуточные значения.
Доказательство. Из связности f (X) в R вытекает, что это множество
промежуток.
Следствие 2.71. Пусть X = (X, τ ) – компактное и связное топологическое пространство, f ∈ C(X, R). Тогда f (X) отрезок в R, точнее
f (X) = [inf f, sup f ]
X
X
Доказательство. По теореме Вейерштрасса функция принимает значения равные A = inf f и B = sup f, и A 6 f 6 B. Кроме того, f (X) –
X
X
промежуток, т.е. выпуклое множество. Следовательно, f (X) ⊃ [A, B], и
поэтому f (X) = [A, B].
Определение 2.15.3. Пусть X = (X, τ ) – топологическое пространство,
множество M ⊂ X называется линейно связным, если для любых точек
A, B ∈ M найдется отрезок [a, b] ∈ R и непрерывная функция f : [a, b] →
M, для которой f (a) = A, f (b) = B. Иначе говоря, существует путь,
соединяющий точки A и B, след которого содержится во множестве M
(в этом случае, часто говорят, что путь лежит во множестве M ).
2.15 Связные и выпуклые множества.
115
Следствие 2.72. Линейно связное множество M в топологическом
пространстве X = (X, τ ) является связным.
Доказательство. Если бы множество M было несвязным, то существона
вала бы непрерывная функция ϕ : M → {0, 1}. И, следовательно, нашлись бы точки A, B ∈ M : ϕ(A) = 0, ϕ(B) = 1. В силу линейной связности найдется непрерывное отображение f : [a, b] → M, для которого
A = f (a) и B = f (b). Тогда непрерывная функция ϕ ◦ f принимает на
отрезке [a, b] два значения, что противоречит теореме о промежуточном
значении. Следовательно, множество M связно.
Пример. Множество M = {(x, y) ∈ R2 | y = sin x1 , x ∈ R \ {0}} ∪
{(x, y) ∈ R2 | x = 0, |y| 6 1} является связным, но не линейно связным.
Определение 2.15.4. Пусть X – линейное пространство. Отрезком [a, b]
называют образ отрезка [0, 1] ⊂ R при аффинном отображении f (λ) =
a · λ + b · (1 − λ). Множество M ⊂ X называется выпуклым, если ∀a, b ∈
M [a, b] ⊂ M.
Замечание 2.15.2. Поскольку параллельный перенос в линейном пространстве X на вектор x ∈ X любого отрезка [a, b] есть отрезок [a + x, b +
x], то параллельный перенос выпуклого подмножества M ⊂ X является
выпуклым множеством x + M.
Примеры.
1. Отрезок в линейном пространстве и само линейное пространство
являются выпуклыми множествами.
2. Пусть Xi = (Xi , k · k) – линейное нормированное пространство над
n
Q
Mi
полем R, множество Mi ⊂ Xi выпукло (i = 1, n). Тогда M =
выпукло в X =
n
Q
i=1
Xi .
i=1
Доказательство. a = (a1 , . . . , an ), b = (b1 , . . . , bn ) ∈ M ⇔ ai , bi ∈ Mi
(i = 1, n) ⇔ ∀λ ∈ [0, 1] λai + (1 − λ)bi ∈ Mi (i = 1, n) ⇔ ∀λ ∈ [0, 1] λa +
(1 − λ)b = (λa1 + (1 − λ)b1 , . . . , λan + (1 − λ)bn ) ∈ M, т.е. M выпукло.
Следствие 2.73. Параллелепипед Π =
Rn .
n
Q
Πi – выпуклое множество в
i=1
3. Пусть X = (X, k · k) – линейное нормированное пространство над
полем R. Тогда шар B(x, r) – выпуклое множество в X .
Доказательство. В силу замечания 2.15.2 и равенства B(x, r) = B(0, r)+
x достаточно доказать выпуклость шара B(0, r). Последнее следует это
из выпуклости нормы. Для любых точек a, b ∈ B(0, r) верны неравенства
116
2 Функции многих переменных.
kak, kbk 6 r, и, следовательно, для всех λ ∈ [0, 1] выполняются соотношения: kλa + (1 − λ)bk 6 λkak + (1 − λ)kbk 6 λr + (1 − λ)r = r, т.е.
λa + (1 − λ)b ∈ B(0, r). Поэтому шар B(0, r), а, следовательно, и шар
B(x, r) — выпуклые множества.
Теорема 2.74. Пусть X = (X, k · k) – линейное нормированное пространства, M ⊂ X – выпукло. Тогда множество M линейно связно
(связно) в X .
Доказательство. Для любых двух точек a, b ∈ M отрезок [a, b] ⊂ M
является следом пути f : [0, 1] → M, соединяющего точки a и b, где
f (t) = a · t + b · (1 − t).
Следствие 2.75. Пусть E ⊂ Rn – непустое множество с непустой
внешностью. Тогда ∂E 6= ∅.
Доказательство. Если бы ∂E = ∅, то Rn = int E text E, т.е. Rn – несвязно, что противоречит выпуклости этого множества.
Замечание 2.15.3. Поскольку параллелепипед Π ∈ Rn и шар B(x, r) из
линейного нормированного пространства X – связные множества, то их
непрерывный образ в R является промежутком. Параллелепипед Π ⊂ Rn
– ограниченное и замкнутое множество, поэтому является компактом
в Rn , и, следовательно, его непрерывный образ в R – отрезок. Шар
B(x, r) является компактом только в случае конечномерного пространства X , поэтому в этом случае его непрерывный образ в R – отрезок. Если
dim X = ∞, то, как мы уже отмечали, шар B(x, r) (r > 0) не является
компактом. В этом случае можно построить непрерывное отображение
этого шара и на интервал, и на полуинтервал, и на отрезок.
Упражнение 10. Пусть X = C[0, 1], kf k = max |f (t)|. Докажите, что
t∈[0,1]
шар B(0, 1) в этом пространстве не является компактом.
Определение 2.15.5. Ломаной в Rn называется путь f : [a, b] → Rn , для
которого найдется разбиение T = {ti }N
представляет
i=1 такое, что f
[ti−1 ,ti ]
k−1
k −t
собой аффинную функцию, т.е. равна f (tk−1 ) tkt−t
+ f (tk ) tt−t
.
k−1
k −tk−1
Теорема 2.76 (критерий связности открытого множества в Rn ).
Пусть G ⊂ Rn – открытое множество. Тогда следующие условия равносильны:
а) множество G связно в Rn ;
б) множество G линейно связно в Rn ;
в) любые две точки из G можно связать ломаной, след которой
принадлежит G.
2.16 Свойства линейных отображений.
117
Доказательство.
в) ⇒ б) следует из определения линейной связности.
Достаточно доказать, что б) ⇒ а) ⇒ в).
б) ⇒ а) Вытекает из следствия 2.72.
а) ⇒ в) Пусть G1 ⊂ G – множество всех точек x ∈ G, которые можно связать с фиксированной произвольной точкой A ∈ G ломаной из G.
Тогда для каждой точки x ∈ G1 найдется окрестность Oδ (x) ⊂ G. Все
точки y ∈ Oδ (x) можно соединить с точкой x отрезком [x, y]. Тогда существует ломаная, соединяющая точку A с точкой y, которая образована из
ломаной, соединяющей точки A и x и имеет дополнительное звено [x, y].
Действительно, если путь f : [a, b] → G – ломаная, и f (a) = A, f (b) = x,
то определим продолжение этого пути на отрезок [a, b + 1], положив
f (t) = f (b)(b + 1 − t) + y(t − b) на отрезке [b, b + 1]. Таким образом,
Oδ (x) ⊂ G1 , и из произвольности выбора точки x вытекает открытость
G1 . Пусть G2 = G \ G1 . Допустим, что G2 6= ∅. Для любой точки x ∈ G2
существует окрестность Oε (x) ⊂ G, и для всех точек y ∈ Oε (x) не может
быть связана ломаной с точкой A, иначе дополняя эту ломаную (также
как и выше) отрезком [x, y], получим, что x ∈ G1 , чего не может быть.
Таким образом, множество G2 открыто. Тогда G1 ∪G2 = G, и G1 ∩G2 = ∅,
т.е. G несвязно, что противоречит условию. Поэтому G2 = ∅, и, следовательно, верно утверждение.
Замечание 2.15.4. На самом деле, предыдущее утверждение верно не
только в Rn , но и в любом другом линейном нормированном пространстве.
Определение 2.15.6. Связное открытое множество в Rn называют областью.
Упражнение 11. Пусть n > 2, G ⊂ Rn – область, N ⊂ G – произвольное
конечное подмножество. Докажите, что множество G\N также является
областью, т.е. связно и открыто.
2.16
Свойства линейных отображений в линейных нормированных пространствах.
Определение 2.16.1. Пусть X, Y – линейные пространства над полем
R. Отображение A : X → Y называется линейным, если ∀α, β ∈ R,
∀x, y ∈ X A(αx + βy) = αA(x) + βA(y).
Замечание 2.16.1. Сумма (разность) линейных операторов и произведение числа на линейный оператор также является линейным оператором. Т.е. если A, B : X → Y – линейные опреторы и α ∈ R, то
118
2 Функции многих переменных.
def
def
(A ± B)(x) = A(x) ± B(x) и (αA)(x) = α(A(x)) (x ∈ X) – линейные
операторы.
Замечание 2.16.2. Значение линейного оператора на нулевом элементе
пространства X является нулевым элементом из Y.
Определение 2.16.2. Пусть X – линейное пространство над полем R,
Y = (Y, k · k) – линейное нормированное пространство над полем R. Будем говорить, что последовательность линейных операторов {An : X →
Y } сходится поточечно на X, если для всех x ∈ X существует предел
def
lim An (x) = A(x) ∈ Y.
n→∞
Замечание 2.16.3. В силу арифметических свойств предела отображение
A : X → Y из предыдущего определения является линейным.
Доказательство. Действительно, A(αx+βy) = lim An (αx+βy) = lim (αAn (x)+
n→∞
βAn (y)) = αA(x) + βA(y) для произвольных α, β ∈ R и x, y ∈ X.
n→∞
В дальнейшем мы будем рассматривать линейные отображения, действующие из одного линейно нормированного пространства в другое линейно нормированное пространство. Запись линейного оператора в виде
A : X → Y будет подразумевать, что X = (X, k · kX ) и Y = (Y, k · kY ) –
линейно нормированные пространства над полем R.
Лемма 2.16.1. Если линейное отображение A : X → Y ограничено
на некотором шаре B(x0 , r) (r > 0), то оно ограничено на любом шаре
B(x, R).
Доказательство. Поскольку множество C = A(B(x0 , r)) ограничено, то
ограничено и множество A(B(0, r)) = A(B(x0 , r) − x0 ) = A(B(x0 , r)) −
A(x0 ). Отсюда следует, что множество A(B(0, R)) = Rr A(B(0, r)) ограничено, и, следовательно, A(B(x, R)) = A(B(0, R) + x) = A(B(0, R)) + A(x)
также ограничено.
Определение 2.16.3. Линейные отображения ограниченные на некотором (а, следовательно, на любом) шаре B(x, r) (r > 0) называют ограниченными. Для таких операторов A : X → Y определена величина
kAk = kAkX→Y = sup kAxkY < ∞. Эта величина представляет собой
kxkX 61
равномерную норму для функций f (x) = Ax, суженных на единичный
шар B(0, 1) ⊂ X, поэтому для неё выполняются неравенства треугольника и свойство однородности (см далее по тексту пункты 2 и 3).
Замечание 2.16.4. Поскольку A(0) = 0, и для любой ненулевой точки
x ∈ X верно равенство kA( kxkx X )kY = kxk1 X kA(x)kY , то
kAk = sup kA(x)kY = sup
kxkX =1
x6=0
kA(x)kY
.
kxkX
2.16 Свойства линейных отображений.
119
Свойства ограниченных линейных операторов. Пусть A, B :
X → Y – линейные ограниченные операторы. Тогда
1. Для всех x ∈ X верно неравенство kAxkY 6 kAkkxkX .
Доказательство. Для x = 0 неравенство тривиально, если x 6= 0, то
kAxkY
6 kAk.
kxkX
2. kA ± Bk 6 kAk + kBk.
Доказательство. Поскольку k(A±B)(x)kY 6 kAxkY +kBxkY 6 kAkkxkX +
Y
kBkkxkX = (kAk + kBk)kxkX , то k(A±B)(x)k
6 kAk + kBk (x 6= 0) и, слеkxkX
Y
довательно, kA ± Bk = sup k(A±B)(x)k
6 kAk + kBk.
kxkX
x6=0
3. kαAk = |α|kAk.
Y
Доказательство. Поскольку k(αA)(x)kY = |α|kAxk, то sup k(αA)(x)k
=
kxkX
x6=0
|α| sup
x6=0
k(A)(x)kY
kxkX
= |α|kAk.
Замечание 2.16.5. Функция kAkX→Y является нормой на множестве всех
ограниченных линейных отображений, которое в свою очередь является
линейным пространством. Таким образом, множество всех ограниченных операторов из X в Y вместе с указанной нормой являются линейным нормированным пространством и обозначается как L(X, Y ). По этой
причине иногда мы будем писать операторную норму в виде k · kL .
Теорема 2.77. Пусть Y = (Y, k · k) – банахово пространство. Тогда
пространство L = L(X, Y ) также является банаховым.
Доказательство. Рассмотрим произвольную фундаментальную последовательность операторов {An } ⊂ L(X, Y ) и покажем, что она сходится.
Для всех x ∈ X верно неравенство kAn (x) − Am (x)kY 6 kAn − Am kL kxkX ,
из которого вытекает, что последовательность значений {An (x)} является фундаментальной в банаховом пространстве Y. Таким образом, последовательность операторов {An } поточечно сходится к линейному оператору A : X → Y. Для произвольного числа ε > 0 найдется такой номер
N ∈ N, что для всех n, m > N верно неравенство kAn − Am kL 6 ε, поэтому верна оценка kAn (x) − AN (x)kY 6 kAn − AN kL kxkX 6 εkxkX для всех
x ∈ X. Переходя в последнем неравенстве к пределу при n → ∞, мы
получим оценку kA(x) − AN (x)kY 6 εkxkX для всех x ∈ X. Это означает,
что kA−An kL 6 ε для всех n > N, и, следовательно, последовательность
{An } сходится в пространстве L к оператору A.
4. Если B ∈ L(X, Y ), A ∈ L(Y, Z), то kABk 6 kAk · kBk.
120
2 Функции многих переменных.
Доказательство. Поскольку kA(B(x))kZ 6 kAkkBxkY 6 kAkkBkkxkX ,
Z
то sup kA(B(x))k
6 kAkkBk.
kxkX
x6=0
5. Для всех точек x, y ∈ X и оператора A ∈ L(X, Y ) верны соотношения: kAx − Ayk = kA(x − y)k 6 kAkkx − yk, т.е. отображение A является
kAk-липшицевым.
Теорема 2.78. Пусть A : X → Y – линейный оператор. Тогда следующие условия равносильны:
1. Оператор A непрерывен в некоторой точке x0 ∈ X;
2. Оператор A непрерывен в нуле;
3. Оператор A ограничен;
4. Оператор A равномерно непрерывен на X.
Доказательство.
1 ⇒ 2 Пусть A ∈ C(x0 ), тогда A(x) = A(x+x0 −x0 ) = A(x+x0 )−A(x0 ) →
0, x → 0, т.е. A ∈ C(0).
2 ⇒ 3 Пусть A ∈ C(0), тогда оператор локально ограничен, т.е. A(B(0, δ))
ограничен для некоторого δ > 0, а, следовательно, как уже было отмечено, оператор A ограничен.
3 ⇒ 4 Если оператор ограничен, то он липшицевый, а, следовательно,
равномерно непрерывный.
4 ⇒ 1 очевидно.
Замечание 2.16.6. Как мы уже отмечали, норма оператора A : X → Y
совпадает с равномерной нормой его, как отображения единичного шара
B(0, 1) пространства X в пространство Y. Из этого, в частности вытекает,
что последовательность непрерывных операторов, сходящаяся относительно этой нормы, является равномерно сходящейся последовательностью непрерывных отображений на B(0, 1). Поэтому ее предел – непрерывный на единичном шаре оператор (см следствие 2.38), который в
силу предыдущей теоремы является ограниченным и непрерывным на
X линейным оператором. Отсюда также можно легко вывести полноту
пространства L(X, Y ).
6. Пусть B – база на множестве E, A ∈ L(X, Y ); рассмотрим такие
функции α : E → X и γ : E → Z, что α(x) = o(γ) по базе B. Тогда
A(α(x)) = o(γ) по базе B.
Доказательство. Действительно, поскольку α(x) = kγko(1) по базе B,
то найдется функция β : E → X : α = kγk · β и β = o(1) по базе B. Тогда
A(α(x)) = A(kγ(x)k · β(x)) = kγ(x)kA(β(x)), следовательно, kA(α(x))k =
kγ(x)kkA(β(x))k и kA(β(x))k 6 kAkkβ(x)k. Так как kAkkβ(x)k → 0, то
kA(β(x))k = o(1) по базе B, поэтому A(α(x)) = o(γ) по базе B.
2.16 Свойства линейных отображений.
121
Примеры.
1. Каждому линейному оператору A : Rn → Rm относительно канонических базисов пространств Rn и Rm можно сопоставить матрицу
MA = (aij )m,n
i,j=1 , для которой





a11 . . . a1n
x1
x1

..   ..  , где x =  ..  .
Ax =  ... . . .
 . 
.  . 
am1 . . . amn
xn
xn
Лемма 2.16.2. Всякий линейный оператор из Rn в Rm является ограниченным оператором.
Доказательство. Пусть A : Rn → Rm – линейный оператор с матрицей MA = (aij )m,n
базисов пространств
i,j=1 относительно канонических




x1
y1




Rn и Rm . Тогда для векторов x =  ...  и y = Ax =  ...  =
xn
ym


x1
n
P
 .. 
aij xj , следовательно, |yi | 6
MA  .  выполняется равенство yi =
j=1
xn
n
n
n
m
¡P
¢1 ¡ P
¢1 ¡ P
¢1
¡P
¢1
a2ij 2
x2j 2 =
a2ij 2 |x| (i = 1, m). Следовательно, |y| =
yi2 2 6
j=1
n
m P
¡P
i=1 j=1
n
m P
¡P
i=1 j=1
j=1
j=1
i=1
¢1
a2ij 2 |x|, т.е. |Ax| 6 C|x|, а, следовательно, kAk 6 C, где C =
a2ij
¢ 21
.
Замечание 2.16.7. Конечно, ограниченность оператора Ax = (A1 x, . . . , An x),
n
P
aij xj , легко выводится из теоремы о покоординатной
где Ai x = yi =
j=1
непрерывности (т.к. координатные функции Ai x =
n
P
aij xj непрерывны,
j=1
как линейные комбинации координат вектора x).
2. Оператор
R x A : C[a, b] → C[a, b], сопоставляющий функции f ∈ C[a, b]
функцию a f (t)dt, является ограниченным.
¯Rx
¯
¯
¯
Доказательство.
°Rx
° Действительно, a f (t)dt 6 kf kC[a,b] |x−a| 6 kf kC[a,b] |b−
a|, т.е. ° a f (t)dt°C[a,b] 6 kf kC[a,b] |b − a|.
3. Линейный функционал сопоставляющий функции f ∈ C[a, b] число
Rb
равное a f (t)dt, является ограниченным.
°Rb
°
Доказательство. Так же как и выше, ° a f (t)dt°C[a,b] 6 kf kC[a,b] |b − a|.
122
2 Функции многих переменных.
4. Если A = (A1 , . . . , An ) : X → Rn – линейный оператор, то Ai :
X → R – линейные функционалы для всех i = 1, n. При этом в силу
следствия 2.27 непрерывность оператора A равносильна непрерывности
функционалов Ai для всех i = 1, n.
5. В любом бесконечномерном пространстве X существует неограниченный (разрывный) оператор A : X → Y. В частности для случая Y = R
можно построить разрывный линейный функционал f. Для этого возьмем какой-нибудь алгебраический базис {eα } над полем R, состоящий из
единичных векторов. В этом случае базис состоит из бесконечного числа векторов. Линейный функционал
на
P однозначно
P задается значениями
∞
векторах базиса по формуле f ( aα eα ) =
aα f (eα ). Пусть {eαj }j=1 –
счетное подмножество этого базиса. Положим f (eαj ) = j (j ∈ N), а на
остальных базисных векторах положим f равной нулю. Построенный
линейный функционал является неограниченным, а, следовательно, разрывным в каждой точке пространства X.
Rb
6. Отметим, что интеграл Римана, т.е. функционал F (f ) = a f dx,
является равномерно непрерывным линейным функционалом
на проRb
странстве X = R[a, b] относительно полунормы kf k = a |f |dx. Можно
профакторизовать
это полунормированное пространство по множеству
Rb
M = {ϕ | a |ϕ|dx = 0} и получить нормированное пространство классов
эквивалентностей. Отметим, что в каждый класс эквивалентности входят (т.е. отождествляются) интегрируемые по Риману функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль Лебега. Реализацией пополнения
этого пространства является пространство классов эквивалентностей интегрируемых на [a, b] по Лебегу функций, где функции, отличающиеся
лишь на мере нуль Лебега, отождествляются. Продолжение по непрерывности функционала F представляет собой интеграл Лебега. Отсюда
в частности следуют арифметические свойства интеграла Лебега.
Глава 3
Дифференцируемость функций
многих переменных.
3.1
Понятие дифференцируемости. Свойства
дифференцируемых отображений.
Определение 3.1.1. Пусть X = (X, k · kX ), Y = (Y, k · kY ) – линейные
нормированные пространства над полем R, E ⊂ X, x0 ∈ int E. Отображение f : E → Y называется дифференцируемым (по Фреше) в точке
x0 , если существуют линейный непрерывный (ограниченный) оператор
A : X → Y и отображение ϑ : E → Y, для которых выполняется равенство ∆f (x0 ) = f (x) − f (x0 ) = A(x − x0 ) + ϑ(x) = A(∆x) + ϑ(x), где
ϑ(x) = o(x − x0 ) = o(∆x) при x → x0 .
Отметим, что условие ϑ(x) = o(x − x0 ) означает, что ϑ(x) = α(x) ·
k∆xkX , где α(x) : E → Y – бесконечно малая функция при x → x0 , а это
в свою очередь равносильно условию kϑ(x)kY = o(1)k∆xkX при x → x0 .
def
Производной отображения f называется линейный оператор f 0 (x0 ) = A
(эту производную еще называют производной Фреше). Линейная форма
A(∆x) называется дифференциалом отображения f в точке x0 и обозначается как df (x0 ). Класс всех дифференцируемых отображений в точке
x0 будем обозначать через D(x0 ).
Замечание 3.1.1. Для отображения f имеет место формула df (x0 ) =
f 0 (x0 )[∆x].
Замечание 3.1.2. В случае, когда X = Rm , а Y = R, дифференцируm
P
емость в точке x0 означает, что ∆f (x0 ) =
ai ∆xi + o(∆x), где a =
i=1
(a1 , . . . , an ) – некоторый вектор из Rm , а ∆x = (∆x1 , . . . , ∆xn ) – вектор приращения аргумента функции. Производная f 0 (x0 ) представляет
собой линейный функционал скалярного умножения на фиксированный
123
124
3 Дифференцируемость функций многих переменных.
вектор a ∈ Rm . В частном случае, когда m = 1, определение дифференцируемости в точке x0 оказывается классическим определением дифференцируемости функции одной переменной: ∆f (x0 ) = a∆x + o(∆x). При
этом классическая производная f 0 (x0 ) = a понимается как непрерывный
оператор умножения на число a.
Примеры.
1. Пусть f (x) = Ax – линейная форма, где A ∈ L(X, Y ). Тогда f 0 (x) =
A.
R1
2. Рассмотрим квадратичную функцию f (x) = 0 x2 (t)dt : X → R,
h(·) R∈ C[0, 1] верно Rравенство
где X = C[0, 1]. Тогда
для любой функции
R1
R1 2
1
1
2
f (x+h)−f (x) = 0 (x(t)+h(t)) dt− 0 x (t)dt = 0 2x(t)h(t)dt+ 0 h2 (t)dt.
¯R1 2
¯
Поскольку ¯ 0 h (t)dt¯ 6 khk2C[0,1] = o(h) (h → 0), то df (x) = f 0 (x)[h] =
R1
2x(t)h(t)dt.
0
Теорема 3.1. Пусть f ∈ D(x0 ), тогда f ∈ C(x0 ).
Доказательство. Поскольку f 0 (x0 ) = A – непрерывный линейный оператор, то A(∆x) → 0 при ∆x → 0, и, следовательно, ∆f (x0 ) = A(∆x) +
o(∆x) → 0 при ∆x → 0, т.е. f ∈ C(x0 ).
Теорема 3.2. Пусть X = (X, k · kX ), Y = (Y, k · kY ) – линейные нормированные пространства над полем R, E ⊂ X, x0 ∈ int E, f, g : E → Y ;
f, g ∈ D(x0 ). Тогда (f ± g), (cf ) ∈ D(x0 ) (c ∈ R). При этом верны
формулы: (f ± g)0 = f 0 (x0 ) ± g 0 (x0 ), d(f ± g)(x0 ) = df (x0 ) ± dg(x0 ) и
(cf )0 (x0 ) = cf 0 (x0 ), d(cf )(x0 ) = cdf (x0 ).
Доказательство. Поскольку f, g ∈ D(x0 ), то найдутся линейные непрерывные операторы A, B : X → Y такие, что ∆f (x0 ) = A∆x + ϑ1 (x),
∆g(x0 ) = B∆x+ϑ2 (x), где ϑi (x) = αi (x)k∆xk и αi (x) → 0 при x → x0 (i =
1, 2). Поэтому ∆(f ± g)(x0 ) = ∆f (x0 ) ± ∆g(x0 ) = (A ± B)∆x + (ϑ1 (x) ±
ϑ2 (x)). Учитывая, что kα1 (x) ± α2 (x)k 6 kα1 (x)k + kα2 (x)k → 0 при x →
x0 , получим, что kϑ1 (x) ± ϑ2 (x)k = kα1 (x) ± α2 (x)kk∆xk = o(1)k∆xk =
o(∆x) при x → x0 . Следовательно, ∆(f ± g)(x0 ) = (A ± B)∆x + o(∆x) при
x → x0 . Аналогично, ∆(cf )(x0 ) = A(c∆x)+ co(∆x) = cA(∆x)+ o(∆x) при
x → x0 . Таким образом, (f ± g)0 = A ± B = f 0 (x0 ) ± g 0 (x0 ), d(f ± g)(x0 ) =
(A ± B)∆x = df (x0 ) ± dg(x0 ) и (cf )0 (x0 ) = cA = cf 0 (x0 ), d(cf )(x0 ) =
cA∆x = cdf (x0 ).
Теорема 3.3 (о дифференцировании сложной функции). Пусть
X = (X, k · kX ), Y = (Y, k · kY ), Z = (Z, k · kZ ), – линейные нормированные
пространства над полем R, E ⊂ X, G ⊂ Y, x0 ∈ int E, y0 = f (x0 ) ∈
int G, f : E → Y, g : G → Z; f ∈ D(x0 ), g ∈ D(y0 ). Тогда существуют
окрестность O(x0 ) и композиция g ◦ f : O(x0 ) → Z, и g ◦ f ∈ D(x0 ). При
этом (g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (y0 )(f 0 (x0 )) = g 0 (f (x0 ))(f 0 (x0 )).
3.1 Свойства дифференцируемых отображений.
125
Доказательство. Поскольку y0 ∈ int G, то найдется окрестность O(y0 ) ⊂
G. Так как f ∈ D(x0 ), то f ∈ C(x0 ), и, следовательно, существует окрестность O(x0 ) ⊂ X такая, что f (O(x0 )) ⊂ O(y0 ) ⊂ G. Поэтому композиция g ◦ f определена на окрестности O(x0 ). Обозначим y = f (x), тогда
из непрерывности f в точке x0 вытекает соотношение ∆y = y − y0 =
f (x) − f (x0 ) = ∆f (x0 ) → 0 при ∆x → 0. Пусть f 0 (x0 ) = A, g 0 (x0 ) = B,
тогда ∆y = ∆f (x0 ) = A(∆x) + α(x)k∆xk, где α(x) → 0 при x → x0 ,
и ∆g(y0 ) = g(y0 + ∆y) − g(y0 ) = B(∆y) + β(y)k∆yk, где β(y) → 0 при
y → y0 . Учитывая, что β(y) = β(f (x)) → 0, x → x0 (т.к. y = f (x) →
y0 = f (x0 ) при x → x0 ), получим, что ∆g(y0 ) = B(A(∆x) + α(x)k∆xk) +
β(y)k∆yk = B ◦ A(∆x) + B(α(x)k∆xk) + β(f (x))kA(∆x) + α(x)k∆xkk.
Поскольку kA(∆x) + α(x)k∆xkk 6 kA(∆x)k + kα(x)k∆xkk 6 (kAk +
kα(x)k)k∆xk, то β(f (x))kA(∆x) + α(x)k∆xkk = o(∆x) при x → x0 . Аналогично, B(α(x)k∆xk) = o(∆x) при x → x0 , следовательно, ∆g(y0 ) = B ◦
A(∆x)+o(∆x), x → x0 , т.е. g◦f ∈ D(x0 ), и (g◦f )0 (x0 ) = g 0 (y0 )(f 0 (x0 )).
Определение 3.1.2. Пусть X = (X, k · kX ), Y = (Y, k · kY ) – линейные
нормированные пространства над полем R, E ⊂ X, x0 ∈ int E, f : E → Y ;
(x0 )
(x0 ) = lim f (x0 +t`)−f
= ft0 (x0 + t`)
` ∈ X, k`k = 1. Тогда величину ∂f
∂`
t
t=0
t→0
называют производной по направлению `.
Теорема 3.4. Пусть X = (X, k · kX ), Y = (Y, k · kY ) – линейные нормированные пространства над полем R, E ⊂ X, x0 ∈ int E, f : E → Y,
= f 0 (x0 )[`],
f ∈ D(x0 ). Тогда для всех ` ∈ X существует ft0 (x0 + t`)
t=0
При этом, если k`k = 1, то существует производная по направлению
∂f
(x0 ) = f 0 (x0 )[`].
∂`
Доказательство. Поскольку f ∈ D(x0 ), то f (x0 +∆x)−f (x) ) = f 0 (x0 )[∆x]+
o(∆x). Положим ∆x = t · `, тогда o(∆x) = o(t · `) = o(t), t → 0, и, поэто(x0 )
му f (x0 + t`) − f (x0 )) = tf 0 (x0 )[`] + o(t). Следовательно, f (x0 +t`)−f
=
t
0
0
f (x0 )[`] + o(1) → f (x0 )[`] при t → 0.
Определение 3.1.3. Пусть X = (X, k · kX ), Y = (Y, k · kY ) – линейные
нормированные пространства над полем R, E ⊂ X, x0 ∈ int E. Функция
f : E → Y называется дифференцируемой в точке x0 по Гато, если для
def
всех h ∈ X существуют дифференциал Гато dΓ f (x0 )[h] = ft0 (x0 +th)
∈
t=0
Y и линейный непрерывный оператор A : X → Y, для которых выполняется равенство dΓ f (x0 )[h] = Ah для всех h ∈ X. В этом случае оператор
A называется производной Гато в точке x0 и обозначается fΓ0 (x0 ). Через DΓ (x0 ) будем обозначать класс всех функций дифференцируемых по
Гато в точке x0 .
Замечание 3.1.3. Из теоремы 3.4 вытекает, что D(x0 ) ⊂ DΓ (x0 ).
2
2
½ Пример. Пусть M = {(x, y) ∈ R | y = x , x > 0}. Тогда функция f =
1, если x ∈ M
дифференцируема по Гато в точке θ = (0, 0), и
0, если x ∈ R2 \ M
126
3 Дифференцируемость функций многих переменных.
fΓ0 (θ) = 0. При этом функция разрывна в этой точке, а, следовательно,
не дифференцируема по Фреше в θ.
3.2
Дифференцируемость в пространствах Rn.
Теорема о дифференцировании сложной
функции в Rn.
Теорема 3.5 (о покоординатной дифференцируемости). Пусть
X = (X, k · kX ), – линейное нормированное пространство над полем R,
E ⊂ X, x0 ∈ int E, f : E → Rn . Тогда f = (f1 , . . . , fn ) ∈ D(x0 ) ⇔
fi ∈ D(x0 ), i = 1, n. При этом f 0 (x0 ) = (f10 (x0 ), . . . , fn0 (x0 )).
Доказательство. Условие f ∈ D(x0 ) равносильно условию ∆f (x0 ) =
A(∆x)+ϑ(x), где ϑ(x) = (ϑ1 (x), . . . , ϑn (x)) = γ(x)k∆xk, γ(x) = (γ1 (x), . . . , γn (x)) :
E → Rn –бесконечно малая функция при ∆x → 0. Тогда

 



∆f1 (x0 )
A1
γ1 (x)k∆xk

  .. 


..
..
∆f (x0 ) = 
 =  .  ∆x + 
,
.
.
∆fn (x0 )
An
γn (x)k∆xk
где A = (A1 , . . . , An ). Нетрудно показать, что Ai (i = 1, n) – линейные операторы. Непрерывность оператора A равносилен непрерывности каждой
координаты Ai , i = 1, n. Условие γ(x) → 0, x → x0 равносильно тому,
что γi (x) → 0, x → x0 для всех i = 1, n. Следовательно, f ∈ D(x0 ) ⇔
∆fi = Ai (∆x) + o(∆x) ⇔ fi ∈ D(x0 ), i = 1, n.
Определение 3.2.1. Пусть Y = (Y, k · k), – линейное нормированное
пространство над полем R, E ⊂ Rn , x0 = (x01 , . . . , x0n ) ∈ int E, f : E → Y.
∂f
(x0 ) называют предел
Частной производной ∂x
i
f (x01 , . . . , x0i−1 , x0i + ∆xi , x0i+1 , . . . , x0n ) − f (x01 , . . . , x0n )
∈ Y.
∆xi →0
∆xi
lim
Замечание 3.2.1.
∂f
(x0 )
∂xi
=
∂f
(x0 ),
∂ei
где ei = (0, . . . , 0, |{z}
1 , 0, . . . , 0)
i
Из теоремы 3.4 и замечания 3.2.1 вытекает следующее утверждение.
Следствие 3.6. Пусть Y = (Y, k · k) – линейное нормированное пространство над полем R, E ⊂ Rn , f : E → Y, f ∈ D(x0 ). Тогда существу∂f
ют частные производные ∂x
(x0 ) = f 0 (x0 )[ei ] ∈ Y для всех i = 1, n.
i
3.2 Свойства дифференцируемых отображений.
127
Теорема 3.7. Пусть E ⊂ Rn , x0 ∈ int E, f : E → R, f ∈ D(x0 ). Тоn
P
∂f
гда ∆f (x0 ) =
(x0 )∆xi + o(∆x) (∆x → 0), и производная f 0 (x0 )
∂xi
i=1
представляется относительно канонического базиса в Rn матрицей∂f
∂f
строкой (вектор-строкой) grad f (x0 ) = ( ∂x
(x0 ), . . . , ∂x
(x0 )), называеn
1
мой вектором градиента функции f в точке x0 .
n
P
Доказательство. Поскольку ∆x =
∆xi ei , то
i=1
0
∆f (x0 ) = f (x0 )[∆x] + o(∆x) =
n
X
f 0 (x0 )[ei ]∆xi + o(∆x) =
i=1
n
X
∂f
(x0 )∆xi + o(∆x) =
∂x
i
i=1
µ


¶ ∆x1
∂f
∂f


(x0 ), . . . ,
(x0 )  ...  + o(∆x).
∂x1
∂xn
∆xn
Теорема 3.8 (векторный случай). Пусть E ⊂ Rm , x0 ∈ int E, f :
E → Rn , f ∈ D(x0 ). Тогда

  ∂f1


∂f1
(x
),
.
.
.
,
(x
)
∆f1 (x0 )
∆x
0
0
1
∂x1
∂xm

 
  .. 
..
..
..
∆f (x0 ) = 
=


  . +o(∆x).
.
.
...
.
∂fn
∂fn
∆f1 (x0 )
∆xm
(x0 ), . . . , ∂xm (x0 )
∂x1
Доказательство. Поскольку f = (f1 , . . . , fn ) ∈ D(x0 ) ⇔ fi ∈ D(x0 ), i =
1, n, и в силу предыдущей теоремы ∆fi (x0 ) = Ai (∆x) + o(∆x), (i = 1, n),
∂fi
∂fi
где Ai = fi0 (x0 ) = ( ∂x
(x0 ), . . . , ∂x
(x0 )). Отсюда вытекает утверждение
n
1
теоремы.
Замечание 3.2.2. Из предыдущей теоремы видно, что производная f 0 (x0 )
представляется относительно
канонических базисов в Rm и Rn матрицей


∂f1
∂f1
(x0 ), . . . , ∂x
(x0 )
∂x1
m


..
..

 , которая называется матрицей Якоби, а ее
.
...
.
∂fn
(x0 ),
∂x1
∂fn
. . . , ∂x
(x0 )
m
определитель в случае m = n – якобианом.
Следующее утверждение является непосредственным следствием теоремы 3.3.
Теорема 3.9 (дифференцирование сложной функции). Пусть E ⊂
Rk , G ⊂ Rm , x0 ∈ int E, f : E → Rm , f ∈ D(x0 ), y0 = f (x0 ) ∈ int G,
g : G → Rn , g ∈ D(y0 ). Тогда найдется окрестность O(x0 ), на которой
определена композиция g ◦ f : O(x0 ) → Rn , и g ◦ f ∈ D(x0 ). При этом
 ∂g1
  ∂f1

∂g1
∂f1
(y ), . . . , ∂y
(y0 )
(x0 ), . . . , ∂x
(x0 )
∂y1 0
∂x1
m
k



..
..
..
..
(g ◦ f )0 (x0 ) = 

.
.
...
.
.
...
.
∂gn
(y0 ),
∂y1
...,
∂gn
(y )
∂ym 0
∂fm
(x0 ),
∂x1
...,
∂fm
(x0 )
∂xk
128
3 Дифференцируемость функций многих переменных.
Следствие 3.10. Для n = 1 и функции u = g◦f из предыдущей теоремы
следует равенство
 ∂f1

∂f1
(x0 ), . . . , ∂x
(x
)
0
∂x1
³
´
k


∂g
∂g
..
..
(y
),
.
.
.
,
(y
)
u0 (x0 ) = ∂y

,
0
0
.
.
.
.
.
∂ym
1
∂fm
∂fm
(x0 ), . . . , ∂xk (x0 )
∂x1
и, следовательно, имеет место формула для вычисления частных проm
P
∂g
∂fi
∂u
изводных сложной функции: ∂x
(x
)
=
(y0 ) ∂x
(x0 ).
0
∂yi
j
j
i=1
3.3
Геометрический смысл градиента. Формулы для вычисления производной по направлению.
Теорема 3.11. Пусть E ⊂ Rm , x0 ∈ intE, f : E → R, f ∈ D(x0 ). Тогда
для любого направления ` = (l1 , . . . , lm ) ∈ Rm , |`| = 1 верна формула
m
m
P
P
∂f
∂f
∂f
d
(x
)
=
(grad
f
(x
),
`)
=
(x
)l
=
(x0 ) cos αi (αi = `,
ei – угол с
0
0
0
i
∂`
∂xi
∂xi
i=1
i=1
(x0 )
вектором канонического базиса ei ), и производная по направлению ∂f
∂`
достигает своего максимального значения для ` ↑↑ grad f (x0 ), при этом
max ∂f
(x0 ) = |grad f (x0 )|.
∂`
`:|`|=1
Доказательство. Формула для производной по направлению вытекает
из равенства ∂f
(x0 ) = f 0 (x0 )[`] = (grad f (x0 ), `). Из неравенства Коши∂`
Буняковского вытекает соотношение:
v
v
u m
u m
m
¯ ∂f
¯ ¯X
¯
X
u
uX
∂f
∂f
¯
¯ ¯
¯ t
(x0 )li ¯ 6
(
(x0 ))2 t
li2 = |grad f (x0 )|.
¯ (x0 )¯ = ¯
∂`
∂x
∂x
i
i
i=1
i=1
i=1
При этом равенство выполняется только в случае, когда вектора ` и
(x0 ) = |grad f (x0 )|.
grad f (x0 ) коллинеарны. И если ` ↑↑ grad f (x0 ), то ∂f
∂`
∂f
Если же ` ↑↑ −grad f (x0 ), то ∂` (x0 ) = −|grad f (x0 )|.
Замечание 3.3.1. Вектор градиента grad f (x0 ) указывает направление
наибольшего возрастания функции.
Следствие 3.12 (формулы для производных по направлению).
1). Случай m = 2. Пусть M0 = (x0 , y0 ) ∈ R2 , f ∈ D(M0 ), α – угол
−−→
между осью OX и единичным вектором `. Тогда ` = (cos α, sin α), и
∂f
(M0 ) = ∂f
(M0 ) cos α + ∂f
(M0 ) sin α.
∂`
∂x
∂y
3.4 Достаточное условие дифференцируемости.
129
2). Случай m = 3. Пусть M0 = (x0 , y0 , z0 ) ∈ R3 , f ∈ D(M0 ), α, β, γ
−−→ −−→ −→
– соответственно углы между осями OX, OY , OZ и единичным вектором `. Тогда ` = (cos α, cos β, cos γ), и ∂f
(M0 ) = ∂f
(M0 ) cos α+ ∂f
(M0 ) cos β+
∂`
∂x
∂y
∂f
(M0 ) cos γ.
∂z
3.4
Достаточное условие дифференцируемости.
Теорема 3.13. Пусть E ⊂ Rm , f : E → Rn , существуют частные про∂f
изводные ∂x
(i = 1, m) на некоторой окрестности O(x0 ) ⊂ E и непреi
рывны в точке x0 . Тогда f ∈ D(x0 ).
Доказательство. В силу покоординатной дифференцируемости (см теорему 3.5) достаточно доказать теорему для n = 1. Пусть M0 = x0 =
(x01 , . . . , x0m ) и точки Mi = (x01 +∆x1 , . . . , x0i−1 +∆xi−1 , x0i +∆xi , x0i+1 , . . . , x0m )
(i = 1, m) принадлежат окрестности O(x0 ). Тогда в силу выпуклости этой
окрестности точки Mit = (x01 +∆x1 , . . . , x0i−1 +∆xi−1 , x0i +t∆xi , x0i+1 , . . . , x0m ) ∈
[Mi−1 , Mi ] (i = 1, m) также принадлежат окрестности O(x0 ). Рассмотрим
функцию одной переменной ϕ(t) = f (Mit ), являющуюся композицией
двух функций одной переменной: линейной (а, значит, дифференцируемой) функции τ (t) = t∆xi и функции ψ(u) = f (x01 + ∆x1 , . . . , x0i−1 +
∆xi−1 , u, x0i+1 , . . . , x0m ), которая дифференцируема на отрезке [x0i , x0i +∆xi ],
∂f
(x01 +∆x1 , . . . , x0i−1 +∆xi−1 , u, x0i+1 , . . . , x0m ).
а ее производная равна ψ 0 (u) = ∂x
i
По теореме о дифференцировании сложной функции ϕ ∈ D[0, 1], и ϕ0 (t) =
∂f
(Mit )∆xi . Тогда по теореме Лагранжа ∃ξi ∈ (0, 1) : f (Mi ) − f (Mi−1 ) =
∂xi
∂f
∂f
ϕ(1) − ϕ(0) = ϕ0 (ξi ) · 1 = ∂x
(Miξi )∆xi = ( ∂x
(M0 ) + αi )∆xi , где α =
i
i
m
m
P
P
∂f
o(1), ∆xi → 0. Следовательно, ∆f (x0 ) = (f (Mi )−f (Mi−1 )) = ( ∂x
(M0 )+
i
αi )∆xi =
m
P
i=1
∂f
(M0 )∆xi
∂xi
+
m
P
i=1
i=1
αi ∆xi . Из неравенства Коши-Буняковского
i=1
m
m
m
¯P
¯
P
P
¯ αi ∆xi ¯ 6 ( αi2 ) 12 |∆x|, следовательно,
αi ∆xi = o(∆x), ∆x → 0.
i=1
i=1
Поэтому f ∈ D(x0 ).
3.5
i=1
Частные производные высших порядков.
Достаточные условия равенства смешанных производных.
130
3 Дифференцируемость функций многих переменных.
Определение 3.5.1. Пусть частная производная
∂ n−1 f
∂xi1 ...∂xin−1
определеdef
n
∂ f
(x0 ) =
на на некоторой окрестности O(x0 ) ⊂ Rm . Положим ∂xi ...∂x
in−1 ∂xin
1
´
³
n−1
∂
f
∂
(x0 ), где i1 , . . . , im – любые числа из множества {1, . . . , m}.
∂xin
∂xi1 ...∂xin−1
(
2
2
xy xx2 −y
(x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)}
2,
+y
Пример. У функции u =
суще0,
(x, y) = (0, 0)
ствуют различные частные производные 2-го порядка u00xy (0, 0) и u00yx (0, 0).
2
2
Доказательство. Пусть (x, y) 6= (0, 0), тогда u0x = y xx2 −y
+xy 2x(x
+y 2
x2 −y 2
y 2 −x2
4x2 y 2
2 +y 2 )−2x(x2 −y 2 )
(x2 +y 2 )2
4x2 y 2
y x2 +y2 + y (x2 +y2 )2 . Аналогично, u0y = −x x2 +y2 − x (x2 +y2 )2 . Кроме того,
2
u0x (0, 0) = lim
∆x·0 ∆x2 −0 −0
∆x→0
0
0 (0,0)
x
lim ux (0,∆y)−u
∆y
∆y→0
∆x +0
∆x
= 0. Аналогично, u0y (0, 0) = 0. Тогда
∂2u
(0, 0)
∂x∂y
=
2
= lim
1.
(∆y 0−∆y2 +∆y·0)−0
0+∆y
∆y→0
∆y
= −1. Аналогично,
∂2u
(0, 0)
∂y∂x
=
Теорема 3.14 (Шварца). Пусть на некоторой окрестности Oδ (z0 ) ⊂
2f
2f
Rm определены частные производные ∂x∂i ∂x
и ∂x∂j ∂x
, которые непрерывj
i
ны в точке z0 . Тогда
∂2f
(z0 )
∂xi ∂xj
=
∂2f
(z ).
∂xj ∂xi 0
Доказательство. Утверждение теоремы сводится к случаю m = 2. Для
этого достаточно рассмотреть функцию двух переменных
0
0
0
0
0
g(x, y) = f (z10 , . . . , zi−1
, x, zi+1
, . . . , zj−1
, y, zj+1
, . . . , zm
).
00
Достаточно доказать, что частные производные gxy
(x0 , y0 ) = fx00i xj (z0 ) и
00
gyx
(x0 , y0 ) = fx00j xi (z0 ) одинаковы, где (x0 , y0 ) = (zi0 , zj0 ). Пусть F (h, η) =
g(x0 +h, y0 +η)−g(x0 +h, y0 )−g(x0 , y0 +η)+g(x0 , y0 ). Преобразуем F (h, η)
двумя способами.
1-ый способ. Пусть ϕ(t) = g(x0 + th, y0 + η) − g(x0 + th, y0 ), По теореме
Лагранжа найдется число θ1 ∈ (0, 1) : F (h, η) = ϕ(1) − ϕ(0) = ϕ0 (θ1 ) =
(gx0 (x0 +θ1 h, y0 +η)−gx0 (x0 +θ1 h, y0 ))h. Положив ψ(t) = gx0 (x0 +θ1 h, y0 +tη)h,
по теореме Лагранжа найдется число θ2 ∈ (0, 1) такое, что F (h, η) =
00
ψ(1) − ψ(0) = ψ 0 (θ2 ) = gxy
(x0 + θ1 h, y0 + θ2 η)hη.
e = g(x0 + h, y0 + tη) − g(x0 , y0 + tη), тогда по
2-ой способ. Пусть ψ(t)
e −
теореме Лагранжа найдется число θe2 ∈ (0, 1) такое, что F (h, η) = ψ(1)
0
0
0
e
ψ(0)
= ψe (θ2 ) = (gy (x0 + h, y0 + θ2 η) − gy (x0 , y0 + θ2 η))η. Положив ϕ(t)
e =
gy0 (x0 + th, y0 + θe2 η)η, по теореме Лагранжа найдется число θe1 ∈ (0, 1)
00
(x0 + θe1 h, y0 + θe2 η)ηh.
такое, что F (h, η) = ϕ(1)
e − ϕ(0)
e =ϕ
e0 (θe1 ) = gyx
00
00
(x0 +
(x0 + θ1 h, y0 + θ2 η) = gyx
Вычислим предел выражения F (h,η)
= gxy
hη
θe1 h, y0 + θe2 η) при h, η → 0. Поскольку частные производные g 00 и g 00
xy
00
00
(x0 , y0 ).
(x0 , y0 ) = gyx
непрерывны в точке (x0 , y0 ), то ∃ lim F (h,η)
= gxy
hη
h,η
yx
=
3.6 Производные и дифференциалы высших порядков.
131
Теорема 3.15 (Юнга). Пусть на некоторой окрестности Oδ (z0 ) ⊂ Rm
∂f
∂f
определены частные производные ∂x
и ∂x
и дифференцируемые в точке
i
i
z0 . Тогда
∂2f
(z0 )
∂xi ∂xj
=
∂2f
(z ).
∂xj ∂xi 0
Доказательство. Пусть функции g(x, y) и F (h, η) такие же, как и в доказательстве предыдущей теоремы. Положим h = η и сосчитаем F (h, h)
двумя способами.
1-ый способ. Также, как и ранее, F (h, h) = (gx0 (x0 +θ1 h, y0 +h)−gx0 (x0 +
θ1 h, y0 ))h. Так как gx0 ∈ D(x0 , y0 ), то gx0 (x0 + θ1 h, y0 + h) = gx0 (x0 , y0 ) +
00
00
00
gxx
(x0 , y0 )(θ1 h)+gxy
(x0 , y0 )h+o(h) и gx0 (x0 +θ1 h, y0 ) = gx0 (x0 , y0 )+gxx
(x0 , y0 )(θ1 h)+
00
2
2
o(h). Поэтому F (h, h) = gxy (x0 , y0 )h + o(h ) при h → 0.
2-ой способ. Также, как и в предыдущей теореме F (h, h) = (gy0 (x0 +
h, y0 + θe2 h) − gy0 (x0 , y0 + θe2 h))h. Так как gy0 ∈ D(x0 , y0 ), то gy0 (x0 + h, y0 +
00
00
(x0 , y0 )h + gyy
(x0 , y0 )(θ2 h) + o(h) и gy0 (x0 , y0 + θe2 h) =
θe2 h) = gy0 (x0 , y0 ) + gyx
0
00
00
gy (x0 , y0 ) + gyy (x0 , y0 )(θ2 h) + o(h). Поэтому F (h, h) = gyx
(x0 , y0 )h2 + o(h2 )
00
00
при h → 0. Следовательно, F (h,h)
= gxy
(x0 , y0 ) + o(1) = gyx
(x0 , y0 ) +
h2
o(1) при h → 0, переходя к пределу в этом равенстве, получим, что
00
00
(x0 , y0 ) = gyx
(x0 , y0 ).
gxy
3.6
Производные и дифференциалы высших
порядков. Инвариантность дифференциала 1-го порядка.
Определение 3.6.1. Пусть X = (X, k · k), Y = (Y, k · k) – линейные нормированные пространства, E ⊂ X, f : E → Y, x0 ∈ X. Определим старdef d
(f (k−1) (x))
шие производные индуктивно формулой: f (k) (x0 ) = dx
,
x=x0
где производная предыдущего порядка f (k−1) определена на некоторой
окрестности точки x0 . При этом первая производная f 0 (x) ∈ L(X, Y ) =
Y1 является линейным непрерывным оператором из X в Y ; действие
этого оператора на элемент h1 ∈ X есть элемент f 0 (x)[h1 ] из Y. Вторая производная f 00 (x) является уже линейным оператором из X в Y1 =
L(X, Y ) (вообще говоря, в другое пространство по сравнению с Y ), т.е.
f 00 (x) ∈ L(X, L(X, Y )); действие этого оператора на вектор h1 ∈ X
есть линейный оператор f 0 (x)[h1 ] (элемент из Y1 = L(X, Y )), и, следовательно, им можно подействовать еще на один вектор h2 . В этом случае
f 00 (x)[h1 ][h2 ] = f 00 (x)[h1 , h2 ] элемент Y, и т.д. Наконец, k-ая производная f (k) (x0 ) ∈ L(X, Yk−1 ) = L(X, L(X, L(X . . . , L(X, Y )) . . .) действует
на k векторов, и f (k) (x0 )[h1 ] . . . [hk ] = f (k) (x0 )[h1 , . . . , hk ] ∈ Y. Таким образом, k-ая производная представляет собой k-линейную непрерывную
132
3 Дифференцируемость функций многих переменных.
функцию на X k = |X × .{z
. . × X} с образами в Y, т.е. линейна по кажk
дому переменному при фиксированных других. Дифференциалы также определяются индуктивно формулой: dk f (x0 ) = d(dk−1 f (x))
, где
x=x0
дифференцирование осуществляется по переменной x, и дифференциал
предыдущего порядка d(k−1) f определен на некоторой окрестности точки
x0 . Дифференциал dk f (x0 ) представляет собой непрерывную k-линейную
форму f (k) (x0 )[h1 , . . . , hk ].
Замечание 3.6.1. Вообще, непрерывные k-линейные функции A[h1 , . . . , hk ] :
X k → Y образуют линейное пространство, на котором определена норма kAk =
sup
kA[h1 , . . . , hk ]kY . Это линейное нормированное проkhi k61,i=1,k
странство обозначают как B(X k , Y ). При этом для всех полилинейных
непрерывных функций A ∈ B(X k , Y ) и векторов h1 , . . . , hk ∈ X верны неравенства kA[h1 , . . . , hk ]kY 6 kAkkh1 k . . . khk k. Отметим без доказательства, что норма k-ой производной как линейного оператора L(X, Yk−1 )
совпадает с нормой ее как k-линейной формы f (k) (x0 )[h1 , . . . , hk ], которую
и называют дифференциалом k-го порядка. Тем самым, дифференциал
и производная k-го порядка есть элементы изометричных друг другу
пространств, а изометрия определяется сопоставлением этих элементов
друг другу. В этом смысле дифференциал и производная одно и тоже.
Пример.
1. Пусть f (x) = Ax – линейная форма (A : X → Y – линейный
непрерывный оператор). Тогда f 0 (x) = A – постоянное отображение, и
f 00 (x) ≡ 0.
R1
2. Рассмотрим квадратичную функцию f (x) = 0 x2 (t)dt : X → R, где
R1
X = C[0, 1]. Как было показано ранее, df (x) = f 0 (x)[h] = 0 2x(t)h(t)dt. И
R1
f 00 [h][η] = f 00 [h, η] = 0 2h(t)η(t)dt уже не зависит от x, и, следовательно,
f 000 ≡ 0.
Определение 3.6.2. Пусть X = (X, k·k), Y = (Y, k·k) – линейные нормированные пространства, E ⊂ X, f : E → Y, x0 ∈ X. Будем говорить, что
эта функция k-раз дифференцируема в точке x0 , если существует дифференциал dk f (x0 ), что равносильно существованию окрестности O(x0 ),
на которой определены дифференциалы (производные) всех порядков
i < k, и дифференциал (производная) (k − 1)-го порядка дифференцируем в точке x0 . Класс всех k-раз дифференцируемых в точке x0 функций
будем обозначать через Dk (x0 ).
Замечание 3.6.2. Из определения вытекает, что Dk (x0 ) ⊂ Dk−1 (x0 ).
Лемма 3.6.1. Пусть функция ϕ : X n → Y (X, Y – некоторые множества),
имеет одинаковые значения при любых перестановках первых n − 1 аргументов и последних двух. Тогда ее значения не зависят от перестановок всех аргументов.
3.6 Производные и дифференциалы высших порядков.
133
Доказательство. Докажем, что для любой расстановки переменных каждую переменную xi можно переставить на любое место, не изменив значения функции и порядка следования остальных переменных относительно
друг друга. Действительно, из условий следует, что если меняем местами
соседние переменные xi и xj для некоторой фиксированной расстановки переменных, то не меняется значение функции и порядок следования
оставшихся и любой из переменных xi и xj относительно этих оставшихся. Таким образом, последовательно переставляя в нужном направлении
переменную xi и соседнюю с ней, мы можем поставить переменную xi
на любое место, не изменив значения функции и порядка следования
остальных переменных относительно друг друга. Тем самым, мы можем
любую из переменных поставить на последнее место, любую из оставшихся на предпоследнее место и т.д., осуществив любую расстановку
переменных и не изменив значения функции.
Теорема 3.16. Пусть f : E → R (E ⊂ Rn ), x0 ∈ E, f ∈ Dk (x0 ). Тогда
все частные производные до порядка k − 1 включительно определены на
некоторой окрестности Oδ (x0 ) и дифференцируемы в точке x0 , а все
частные производные k-го порядка определены в точке x0 и не зависят
от порядка дифференцирования. При этом верна формула
dk f (x0 )[h1 , . . . , hk ] =
n
X
n
X
...
i1 =1
ik
∂kf
(x0 )h1i1 . . . hkik ,
∂x
.
.
.
∂x
i1
ik
=1
где hi = (hi1 , . . . , hin ) ∈ Rn (i = 1, k).
Доказательство. Доказательство проведем индукцией по порядку дифференцирования l. Будем обозначать через x – произвольную точку Oδ (x0 ),
если l < k, и x = x0 , если l = k.
n
P
∂f
1◦ . Для l = 1 дифференциал имеет вид df (x)[h1 ] =
(x)h1i1 , част∂xi
i=1
1
ные производные нулевого порядка (т.е. сама функция f ) дифферен∂f
цируемы в точке x, а частные производные ∂x
не зависят от порядка
i1
дифференцирования.
2◦ . Пусть l < k. Предположим, что утверждение теоремы выполняется для этого числа l и точки x ∈ Oδ (x0 ). Тогда дифференциал
dl f (x)[h1 , . . . , hl ] дифференцируем по x при всех h1 , . . . , hl ∈ Rn . Поэтому,
если мы положим координату hjij векторов hj (j = 1, l) равной 1, а остальные их координаты – нулю, то значение dl f (x)[h1 , . . . , hl ] в этом случае
lf
будет равно частной производной ∂xi ∂...∂x
(x). Отсюда из дифференцируi
1
l
l
f
(x) для всех
емости d f (x) будет вытекать дифференцируемость ∂xi ∂...∂x
il
1
индексов {i1 , . . . , il } ⊂ {1, . . . , n}. А, следовательно, верна формула
l
´
∂kf
1
l
(x)hi1 . . . hil =
∂xi1 . . . ∂xil
i =1
n
n
³
´
³X
X
l
d d f (x) = d
...
i1 =1
l
134
3 Дифференцируемость функций многих переменных.
n
X
n
X
n
³
X
...
d
i1 =1
il =1
...
i1 =1
n
X
i1 =1
´
∂lf
(x) h1i1 . . . hlil =
∂xi1 . . . ∂xil
´
∂lf
1
l
(x)hl+1
il+1 hi1 . . . hil =
∂x
.
.
.
∂x
i1
il
=1
n ³ X
n
X
il =1
...
il+1
n
n
X
X
il =1 il+1
∂lf
(x)h1i1 . . . hlil hl+1
il+1 ,
∂x
.
.
.
∂x
i
i
1
l
=1
т.е. формула для дифференциала верна и в случае l + 1. По теореме
(l+1)
(l−1)
(l−1)
Юнга fxi1 ...xil+1 = (fxi1 ...xil−1 )00xi xi = (fxi1 ...xil−1 )00xi xi для любого набора
l l+1
l+1 l
индексов {i1 , . . . , il+1 } ⊂ {1, . . . , n}. Отсюда в силу леммы 3.6.1 и предположения индукции вытекает, что значения частных производных не
зависят от порядка следования их индексов (т.е. не зависит от порядка
дифференцирования).
Замечание 3.6.3. В силу предыдущей теоремы верна символическая формула
k ³
Y
∂ i
∂ i´
k
d f (x)[h1 , . . . , hk ] =
h1 + . . . +
h f (x).
∂x1
∂xn n
i=1
При этом, если все вектора hi равны друг другу и вектору h = (η1 , . . . , ηn ),
то
³ ∂
´k
∂
dk f (x)[h, . . . , h] =
η1 + . . . +
ηn f (x).
∂x1
∂xn
Теорема 3.17 (инвариантность дифференциала 1-го порядка).
Пусть X = (X, k·k), Y = (Y, k·k), Z = (Z, k·k) – линейные нормированные
пространства, t0 ∈ int E, E ⊂ X, x : E → Y, x ∈ D(t0 ), x0 = x(t0 ) ∈ int G,
G ⊂ Y, f : G → Z, f ∈ D(x0 ). Тогда для сложной функции u = f (x(t))
имеет место формула du(t0 )[dt] = df (x0 )[dx] = df (x(t0 ))[dx(t0 )].
Доказательство. По теореме о дифференцировании сложной функции
u = f (x(t)) верна формула dtd (f (x(t)))
= f 0 (x(t0 ))[x0 (t0 )] = f 0 (x0 )[x0 (t0 )],
t=t0
и, следовательно, du(t0 ) = u0 (t0 )[dt] = f 0 (x0 )[x0 (t0 )[dt]] = f 0 (x0 )[dx], где
dx = x0 (t0 )[dt] – дифференциал 1-го порядка функции x(t) в точке t0 .
Определение 3.6.3. Пусть X = (X, k·k), Y = (Y, k·k) – линейные нормированные пространства, E ⊂ X, x0 ∈ int E. Функция f : E → Y называется k-раз непрерывно дифференцируемой в точке x0 , если все производные до порядка k включительно определены на некоторой окрестности
Oδ (x0 ) ⊂ E, и f (k) ∈ C(x0 ). Класс всех k-раз непрерывно дифференцируемых в точке x0 функций будем обозначать через C k (x0 ).
3.7 Формулы Тейлора.
135
Определение 3.6.4. В случае, когда X = Rn мы будем рассматривать другое определение класса C k (x0 ). Пусть Y = (Y, k · k) – линейное
нормированное пространство, E ⊂ Rn , x0 ∈ int E. Тогда для функции
f : E → Y условие f ∈ C k (x0 ) будет означать, что все частные производные до порядка k включительно определены на некоторой окрестности
Oδ (x0 ) ⊂ E, а все частные производные до порядка k − 1 непрерывны на
окрестности Oδ (x0 ), и все частные производные k-го порядка непрерывны
в точке x0 . Отметим, что это новое определение равносильно предыдущему для этого частного случая.
Замечание 3.6.4. C k (x0 ) ⊂ C k−1 (x0 ).
Определение 3.6.5.
def
f ∈ Dk (M ) ⇔ ∀x ∈ M f ∈ Dk (x);
def
f ∈ C k (M ) ⇔ ∀x ∈ M f ∈ C k (x).
Теорема 3.18 (достаточное условие дифференцируемости). Пусть
M ⊂ Rn . Тогда C k (M ) ⊂ Dk (M ), и все частные производные в точках
множества M до порядка k не зависят от порядка дифференцирования.
Доказательство. Пусть f ∈ C k (M ). Функция ϕ(x) =
∂ l−1 f
∂xi1 ...∂xil−1
(l < k)
определена на некоторой окрестности O(x) произвольной точки x и имеет
непрерывные частные производные первого порядка на этой окрестности, и, следовательно, по теореме 3.13 ϕ ∈ D(O(x)). Отсюда дифференциn
n
P
P
∂ l−1 f
ал dl−1 f (x)[h1 , . . . , hl−1 ] =
...
(x)h1i1 . . . hl−1
il−1 также диф∂xi ...∂xi
i1 =1
il−1 =1
1
l−1
ференцируем в окрестности O(x), и, следовательно, f ∈ Dl (O(x)) (l < k).
Кроме того, аналогично все частные производные k-го порядка определены на окрестности точки x и непрерывны в точке x, следовательно, по
теореме 3.13 все частные производные (k − 1)-го порядка дифференцируемы в точке x, и поэтому дифференциал dk−1 f (x)[h1 , . . . , hk−1 ] также
дифференцируем в точке x. Таким образом, f ∈ Dk (x) для всех x ∈ M.
Отсюда следует утверждение теоремы.
3.7
Формулы Тейлора.
Теорема 3.19 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Пусть E ⊂ Rm – выпуклое множество, x0 ∈ int E, f :
E → R, f ∈ Dn (E). Тогда для всех h = (h1 , . . . , hm ) ∈ Rm : x0 +h ∈ E найn−1
P dk f (x0 ) dn f (x0 +θh)
дется число θ ∈ (0, 1) такое, что f (x0 +h) = f (x0 )+
+
,
k!
n!
где dk f (y) = dk f (y)[h, . . . , h] =
m
P
i1 ,...,ik =1
k=1
∂k f
(y)hi1
∂xi1 ...∂xik
. . . hik (k = 1, n).
136
3 Дифференцируемость функций многих переменных.
Доказательство. Положим ϕ(t) = f (x0 + th). По индукции докажем,
m
P
∂k f
что ϕ ∈ Dn [0, 1], и ϕ(k) (t) =
(x0 + th)hi1 . . . hik (k = 1, n).
∂xi ...∂xi
i1 ,...,ik =1
1
k
1◦ . По теореме о дифференцировании сложной функции ϕ0 (t) =
m
P
i1 =1
th)hi1 .
2◦ . Пусть ϕ(k) (t) =
m
P
i1 ,...,ik =1
∂k f
(x0
∂xi1 ...∂xik
∂f
(x0 +
∂xi1
+ th)hi1 . . . hik . По теореме о
m
P
дифференцировании сложной функции ϕ(k+1) (t) =
i1 ,...,ik =1
∂ k+1 f
(x0 +
∂xi1 ...∂xik+1
th)hi1 . . . hik+1 . Для функции ϕ верна формула Тейлора с остаточным члеn−1
P ϕ(k) (0) k ϕ(n) (θ) n
ном в форме Лагранжа: ϕ(t) = ϕ(0)+
t + n! t , где θ – некотоk!
k=1
рое число из (0, 1). Положим t = 1 и получим утверждение теоремы.
Покажем, что предыдущая теорема верна и в случае, когда функция
определена на подмножестве произвольного линейного нормированного
пространства.
Теорема 3.20 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Пусть X = (X, k · k) – линейное нормированное пространство над полем R, E ⊂ X – выпуклое множество, x0 ∈ int E,
f : E → R, f ∈ Dn (E). Тогда для всех h ∈ X : x0 + h ∈ E найдется
n−1
P dk f (x0 ) dn f (x0 +θh)
+
=
число θ ∈ (0, 1) такое, что f (x0 + h) = f (x0 ) +
k!
n!
n−1
P
k=0
k=1
f (k) (x0 )[h,...,h]
k!
+
f (n) (x0 +θh)[h,...,h]
.
n!
Доказательство. Положим ϕ(t) = f (x0 + th) (t ∈ R). По индукции докажем, что ϕ ∈ Dn [0, 1], и ϕ(k) (t) = f (k) (x0 + th)[h, . . . , h] (k = 1, n).
1◦ . По теореме о дифференцировании сложной функции ϕ0 (t) = f 0 (x0 +
th)[h].
2◦ . Пусть ϕ(k) (t) = f (k) (x0 + th)[h, . . . , h]. По теореме о дифференцировании сложной функции ϕ(k+1) (t) = f (k+1) (x0 + th)[h][h, . . . , h] =
f (k+1) (x0 + th)[h, . . . , h].
Для функции ϕ верна формула Тейлора с остаточным членом в форn−1
P ϕ(k) (0) k ϕ(n) (θ) n
t + n! t , где θ – некоторое число
ме Лагранжа: ϕ(t) = ϕ(0) +
k!
k=1
из (0, 1). Положим t = 1 и получим утверждение теоремы.
Следствие 3.21 (формула Лагранжа). Пусть E ⊂ X – выпуклое
множество, f : E → R, f ∈ D(E). Тогда для любого отрезка [x0 , x0 +
h] ⊂ E найдется число θ ∈ (0, 1), для которого верна формула f (x0 +
h) − f (x0 ) = f 0 (x0 + θh)[h].
3.8 Экстремумы функций многих переменных.
137
Теорема 3.22 (формула Тейлора с остаточным членом в форме
Пеано). Пусть E ⊂ Rm – выпуклое множество, x0 ∈ int E, f : E → R,
f ∈ Dn (x0 ). Тогда для всех h ∈ Rm : x0 +h ∈ E верна формула f (x0 +h) =
n
P
dk f (x0 )
f (x0 ) +
+ o(khkn ), при h → 0.
k!
k=1
P
k
Доказательство. Пусть p(h) = f (x0 )+ nk=1 d fk!(x0 ) – многочлен Тейлора.
kp
kf
∂ k f (x0 +h)
Непосредственно проверяется ∂hi ∂...∂h
(0) = ∂xi ∂...∂x
(x0 ) = ∂h
i
i
i ...∂hi
1
1
k
1
k
k
h=0
для всех индексов k = 1, n и {i1 , . . . , ik } ⊂ {1, . . . , m}. Тогда для функkg
ции g(h) = f (x0 + h) − p(h) верны равенства: ∂hi ∂...∂h
(0) = 0. Докаi
1
k
жем, что g = o(khkn ), для этого запишем для g формулу Тейлора с
остаточным членом в форме Лагранжа порядка k = n − 1 : g(h) =
m
P
kg
∂ k g(θh)
1
hi1 . . . hik . Функция ∂hi ∂...∂h
∈ D(0), и, следовательно,
k!
∂hi ...∂hi
i
i1 ,...,ik =1
1
1
k
k
m
X
∂kg
∂kg
∂ k+1 g
(θh) =
(0)+
(0)·θhik+1 +o(h) = o(h).
∂hi1 . . . ∂hik
∂hi1 . . . ∂hik
∂h
.
.
.
∂h
i
i
1
k+1
i
=1
k+1
Так как |hi1 . . . hik | 6 khkk , то o(h)hi1 . . . hik = o(khkk+1 ) = o(khkn ). Отсюда g(h) = o(khkn ), и, следовательно, f (x0 + h) = p(h) + o(khkn ).
3.8
Экстремумы функций многих переменных. Необходимые и достаточные условия.
Определение 3.8.1. Пусть E ⊂ Rm , x0 ∈ int E, f : E → R. Точка
x0 называется точкой минимума (максимума) функции f, если найдется
такая окрестность O(x0 ) ⊂ E, что для всех точек x ∈ O(x0 ) выполняется неравенство f (x) > f (x0 ) (f (x) 6 f (x0 )). Точки минимума и максимума называют точками экстремума соответствующей функции. Точка
x0 называется точкой строго минимума (максимума) функции f, если
.
.
найдется такая окрестность O(x0 ) ⊂ E, что для всех точек x ∈ O(x0 )
выполняется неравенство f (x) > f (x0 ) (f (x) < f (x0 )).
Теорема 3.23 (необходимое условие). Пусть E ⊂ Rm , f : E → R,
x0 – точка экстремума функции f. Тогда для каждого индекса i = 1, m
∂f
∂f
/ ∂x
выполняется одно из условий: либо ∃
(x0 ) ∈ R, либо ∃ ∂x
(x0 ) = 0.
i
i
Доказательство. Из условий вытекает, что для функции ϕ(t) = f (x0 +
tei ), где ei – i-ый вектор канонического базиса, точка t = 0 является
138
3 Дифференцируемость функций многих переменных.
∂f
∂f
точкой экстремума. Если ∃ ∂x
(x0 ) ∈ R, то ∃ϕ0 (0) = ∂x
(x0 ). Из необходиi
i
мого условия экстремума для функции одной переменной вытекает, что
ϕ0 (0) = 0. Отсюда следует утверждение теоремы.
Следствие 3.24 (необходимое условие). Если f ∈ D(x0 ), x0 – точка
экстремума, то df (x0 ) = 0.
Определение 3.8.2. Квадратичной формой переменных h = (h1 , . . . , hm ) ∈
m
P
Rm называется выражение Φ(h) =
aik hi hk , где aik ∈ R. Квадратичi,k=1
ная форма Φ(h) называется положительно (отрицательно) определенной,
если ∀h 6= 0 Φ(h) > 0 (< 0). Обозначать это будем соответственно как
Φ > 0 (Φ < 0). Квадратичная форма Φ(h) называется неотрицательно
(неположительно) определенной, если ∀h ∈ Rm Φ(h) > 0 (6 0), и обозначать будем соответственно как Φ > 0 (Φ 6 0). Квадратичная форма Φ(h)
называется неопределенной, если найдутся точки t1 , t2 ∈ Rm , в которых
Φ(t1 ) < 0, Φ(t2 ) > 0.
Свойства квадратичной формы. Пусть Φ : Rm → R. Тогда
1. Для всех векторов h ∈ Rm и чисел t ∈ R верно тождество Φ(th) =
t2 Φ(h).
2. Если Φ > 0 (< 0), то существует число C > 0 такое, что Φ(h) >
C|h|2 (Φ(h) 6 −C|h|2 ) для всех h ∈ Rm .
Доказательство.
m
m
P
P
aij (thi )(thj ) = t2
aij hi hj = t2 Φ(h).
1. Φ(th) =
i,j=1
i,j=1
2. Квадратичная форма как сумма произведений линейных функций
на Rm непрерывна на Rm . Единичная сфера S = {h ∈ Rm | |h| = 1}
ограниченное и замкнутое множество в Rm , а, следовательно, компакт.
Отсюда следует, что эта функция Φ достигает своего наименьшего (наибольшего) значения. Поскольку Φ > 0 (< 0) на S, то найдется C > 0
h
такое, что Φ(h) > C (6 −C) для всех h ∈ S. Тогда Φ(h) = |h|2 Φ( |h|
)>
2
2
m
C|h| (6 −C|h| ) для всех h ∈ R \ {0}. В случае h = 0 неравенство
превращается в тривиальное равенство Φ(0) = 0.
Теорема 3.25 (необходимое условие). Пусть E ⊂ Rm , f : E → R,
x0 ∈ E – точка минимума (максимума) функции f, и f ∈ D2 (x0 ). Тогда
df (x0 ) = 0, d2 f (x0 ) > 0 (6 0).
Доказательство. Поскольку x0 ∈ E – точка минимума (максимума)
функции f, то найдется окрестность O(x0 ) ⊂ E, для которой ∆f (x0 ) =
f (x) − f (x0 ) > 0 (6 0), кроме того, из следствия 3.24 вытекает, что
df (x0 ) = 0. Из формулы Тейлора для вектора h = th0 (h0 ∈ Rm – произвольный вектор) верно соотношение: ∆f (x0 ) = df (x0 )[h]+ 21 d2 f (x0 )[h, h]+
0)
=
o(|h|2 ) = 12 t2 d2 f (x0 )[h0 , h0 ] + o(t2 ) при t → 0, и, следовательно, ∆ft(x
2
3.8 Экстремумы функций многих переменных.
139
1 2
d f (x0 )[h0 , h0 ] + o(1)
2
→ 12 d2 f (x0 )[h0 , h0 ]. При этом по теореме о переходе
0)
к пределу в неравенствах ∆ft(x
> 0 (6 0) получим, что d2 f (x0 )[h0 , h0 ] >
2
0 (6 0).
Следствие 3.26. Если квадратичная форма d2 f (x0 ) неопределена, то
x0 не является точкой экстремума.
m
P
С каждой квадратичной формой Φ(h) =
aik hi hk связана матрица
i,k=1


h1 ,
 .. 
M = {aij }m,m
aij =
i,j=1 , и Φ(h) = (h1 , . . . , hm )M  .  . При этом для e
hm
m
P
1
(a +aji ) верно равенство Φ(h) =
e
aik hi hk , т.е. всегда можно считать,
2 ij
i,k=1
что матрица M симметрична.
Следующее утверждение мы сформулируем без доказательства.
m
P
Теорема 3.27 (критерий Сельвестра). Пусть Φ(h) =
aik hi hk
i,k=1
квадратичная форма с симметричной матрицей M = {aij }m,m
i,j=1 , Mk =
k,k
det {aij }i,j=1 – главные миноры (k = 1, m). Тогда
1. Φ > 0 ⇔ Mk > 0 для всех k = 1, m.
2. Φ < 0 ⇔ (−1)k Mk > 0 для всех k = 1, m.
При этом в частном случае m = 2 эти утверждения переписываются следующим образом:
10 . Φ > 0 ⇔ a11 > 0, ∆ = a11 a22 − a212 > 0.
20 . Φ < 0 ⇔ a11 < 0, ∆ = a11 a22 − a212 > 0.
Теорема 3.28 (достаточное условие). Пусть E ⊂ Rm , f : E → R,
x0 ∈ int E, f ∈ D2 (x0 ), df (x0 ) = 0, d2 f (x0 ) > 0 (< 0). Тогда x0 – строгий
минимум (максимум).
Доказательство. Из условий теоремы и формулы Тейлора вытекает,
что ∆f (x0 ) = d2 f (x0 )[h, h] + o(|h|2 ). Существует число C > 0 такое, что
d2 f (x0 ) > C|h|2 (6 −C|h|2 ). Следовательно, ∆f (x0 ) > |h|2 (C + o(1)) (6
|h|2 (−C + o(1))). Так как ±C + o(1) → ±C (h → 0), то по теореме о
сохранении знака найдется число δ > 0 такое, что для всех векторов
h ∈ Rm : |h| < δ выполняется неравенство C + o(1) > 0 (−C + o(1) < 0).
Следовательно, ∆f (x0 ) > 0 (< 0) для всех векторов h ∈ Rm : 0 < |h| < δ,
.
т.е. для всех векторов x = x0 + h ∈ Oδ (x0 ) верно неравенство f (x) >
f (x0 ) (< f (x0 )).
Отметим, что из теоремы 3.16 вытекает квадратичная форма d2 f (x0 )
связана с симметричной матрицей {fx00i xj (x0 )}m,m
i,j=1 , которую называют матрицей Гесса. Именно, для этой матрицы и применяют критерий Сильвестра с целью выяснения положительной (отрицательной) определенности d2 f (x0 ).
140
3.9
3 Дифференцируемость функций многих переменных.
Формулы конечных приращений.
Пример. Пусть f (t) = (cos t, sin t) : [0, 2π] → R2 , тогда вектор f 0 (ξ) =
(− sin ξ, cos ξ) имеет единичную длину для всех ξ ∈ [0, 2π]. Поэтому f (2π)−
f (0) = 0 6= f 0 (ξ) · 2π, т.е. формула Лагранжа не выполняется, вообще говоря, для вектор-функций.
Тем не менее, можно получить некоторую замену этой формуле, которая получила название формулы конечных приращений.
Теорема 3.29. Пусть X = (X, k · k) – линейное нормированное пространство, [x0 , x0 + h] ⊂ E ⊂ X, f : E → Rn , f ∈ D[x0 , x0 + h]. Тогда
найдется число θ ∈ (0, 1), для которого верно неравенство |f (x0 + h) −
f (x0 )| 6 kf 0 (x0 + θh)k · khk.
Доказательство. Пусть a = f (x0 + h) − f (x0 ). Для функции ϕ(t) =
(a, f (x0 + th)) по теореме Лагранжа верна формула ϕ(1) − ϕ(0) = (a, a) =
ϕ0 (θ) = (a, f 0 (x0 + θh)[h]). Следовательно, |a|2 = (a, f 0 (x0 + θh)[h]) 6
|a||f 0 (x0 + θh)[h]| 6 |a|kf 0 (x0 + θh)k · khk, и поэтому |a| 6 kf 0 (x0 + θh)k ·
khk.
Замечание 3.9.1. Предыдущее утверждение останется верным, если мы
рассмотрим функцию f : E → Y : f ∈ D[x0 , x0 + h], где Y = (Y, k · kY )
– линейное нормированное пространство. Соответствующее неравенство
примет вид: kf (x0 + h) − f (x0 )kY 6 kf 0 (x0 + θh)k · khk.
Доказательство. В силу теоремы Хана-Банаха для элемента a = f (x0 +
h)−f (x0 ) ∈ Y найдется единичной нормы линейный непрерывный функционал a∗ ∈ Y ∗ : a∗ (a) = (a∗ , a) = kakY . Для функции ϕ(t) = (a∗ , f (x0 +
th)) по теореме Лагранжа верна формула ϕ(1) − ϕ(0) = (a∗ , a) = ϕ0 (θ) =
(a∗ , f 0 (x0 +θh)[h]). Следовательно, kakY = (a∗ , f 0 (x0 +θh)[h]) 6 ka∗ kkf 0 (x0 +
θh)[h]kY = kf 0 (x0 + θh)[h]kY 6 kf 0 (x0 + θh)k · khk.
Следствие 3.30. Пусть [a, b] ⊂ R, ϕ : [a, b] → Rn , f ∈ D[a, b]. Тогда
|ϕ(b) − ϕ(a)| 6 |ϕ0 (a + θ(b − a))||b − a|.
Следствие 3.31. Пусть X = (X, k · k) – линейное нормированное пространство, в каждой точке отрезка [x0 , x0 + h] ⊂ X существует производная функции f : [x0 , x0 + h] → Rn по направлению ` · h : k`k =
1. Тогда найдется число θ ∈ (0, 1), для которого верно неравенство
|f (x0 + h) − f (x0 )| 6 | ∂f
(x0 + θh)| · khk.
∂`
def
Доказательство. Рассмотрим функцию ϕ(t) = f (x0 + th) = f (x0 +
tkhk`). В силу следствия 3.30 |ϕ(1)−ϕ(0)| = |f (x0 +h)−f (x0 )| 6 |ϕ0 (θ)| =
(x0 + θh)| · khk для некоторого числа θ ∈ (0, 1).
| ∂f
∂`
3.9 Формулы конечных приращений.
141
Следствие 3.32. Пусть на множестве E = Oδ (x0 ) ∨ B(x0 , δ) в пространстве Rm все частные производные 1-го порядка функции f : E →
Rn√определены и ограничены числом C > 0. Тогда функция f является
C m-липшицевой на E.
Доказательство. Рассмотрим произвольные точки x, y ∈ E и положим
h = y − x = (h1 , . . . , hm ). Для точек yi = yi−1 + hi ei (i = 1, m), где
ei = (0, . . . , 0, |{z}
1 , 0, . . . , 0), в силу следствия 3.31 верны неравенства:
i
∂f
∂f
|f (yi ) − f (yi−1 )| 6 | ∂e
(yi−1 + θhi ei )||hi | = | ∂x
(yi−1 + θhi ei )||hi | 6 C|hi | (i =
i
i
1, m). Поэтому в силу неравенства
|f (y) − f (x)| 6
r mКоши-Буняковского
rm
m
m
P
P 2 P
P
√
√
C|hi | 6
1
|hi |2 = C m|h| = C m|y −
|f (yi ) − f (yi−1 )| 6
i=1
x|.
i=1
i=1
i=1
Следствие 3.33. Пусть X = (X, k · k) – линейное нормированное пространство, E ⊂ X – выпукло, f : E → Rn , f ∈ D(E), kf 0 k 6 q на E.
Тогда |f (x) − f (y)| 6 qkx − yk для всех точек x, y ∈ E.
Следствие 3.34. Если f 0 = 0 на E, то f ≡ const ∈ Rn .
Следствие 3.35. Если D ⊂ Rm – открытое связное множество, f :
D → Rn , и f 0 = 0 на D, то f ≡ const ∈ Rn .
Доказательство. В силу теоремы 2.76 любые две точки открытого связного множества можно соединить ломаной, след которой лежит в этой
области. Учитывая, что след каждого звена ломаной – отрезок (выпуклое множество), то на этом следе функция постоянна. Отсюда вытекает,
что функция постоянна на следе каждой ломаной, содержащимся в этой
области. Следовательно, значения функции в двух различных точках
одинаковы, т.е. она постоянна.
Следствие 3.36. Пусть X = (X, k · k) – линейное нормированное пространство, E ⊂ X – выпуклое множество, содержащее отрезок [x0 , x0 +
h], f : E → Rn , f ∈ D(E). Тогда найдется число θ ∈ (0, 1), для которого
верно неравенство |f (x0 +h)−f (x0 )−f 0 (x0 )[h]| 6 kf 0 (x0 +θh)−f 0 (x0 )k·khk.
Доказательство. Для точки x = x0 +h положим F (x) = f (x)−f 0 (x0 )[h] =
f (x) − f 0 (x0 )[x − x0 ]. Тогда F 0 (x) = f 0 (x) − f 0 (x0 ), и |F (x0 + h) − F (x0 )| =
|f (x0 + h) − f 0 (x0 )[h] − f (x0 )| 6 kF 0 (x0 + θh)k · khk = kf 0 (x0 + θh) −
f 0 (x0 )kkhk.
Замечание 3.9.2. Аналогичное неравенство распространяется на случай
функции f : E → Y : f ∈ D(E), где Y = (Y, k · kY ) – линейное нормированное пространство. Соответствующее неравенство примет вид: kf (x0 +
h) − f (x0 ) − f 0 (x0 )[h]kY 6 kf 0 (x0 + θh) − f 0 (x0 )k · khk.
142
3 Дифференцируемость функций многих переменных.
3.10
Теорема о неявной функции.
Часто требуется разрешить уравнение
f (x, y) = 0
(3.1)
относительно переменной y, т.е. найти такую функцию y = ϕ(x) (x =
(x1 , . . . , xn )), что f (x, ϕ(x)) ≡ 0 на области определения функции ϕ. Эта
функция ϕ называется решением уравнения (3.1), или, еще говорят, неявной функцией, заданной соотношением (3.1). Такую же терминологию
используют, когда требуется решать систему уравнений:

 f1 (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = 0
...
,

fm (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = 0
т.е. найти такие функции yi = ϕi (x) (i = 1, m), для которых выполняются
тождества: fi (x, ϕi (x)) = 0 (i = 1, m). Отображение ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕm )
называют решением системы, или, еще говорят, неявным отображением.
При этом систему можно трактовать, как одно уравнение f (x, y) = 0, где
f = (f1 , . . . , fm ). Для того, чтобы можно было найти неявную функцию
(отображение) необходимо, чтобы нашлась хотя бы одна точка (x0 , y0 ) ∈
Rn+1 (Rn+m ), для которой f (x0 , y0 ) = 0 ∈ R (Rm ). Следующий пример
показывает, что неявная функция может быть неединственной.
def
Пример. Пусть f (x, y) = x2 − y 2 = 0. Тогда кроме решений y = ±x,
есть еще более континуума решений, принимающих в каждой точке x
либо значение x, либо −x.
Определение 3.10.1. Пусть E1 ⊂ Rn , E2 ⊂ Rm , и (x0 , y0 ) ∈ int E1 ×E2 ⊂
Rn × Rm = Rn+m . Рассмотрим функцию f : E1 × E2 → Rk как функцию
двух векторных переменных x и y, и назовем частными производными
∂f
(x0 , y0 ) и ∂f
(x0 , y0 ) по векторным переменным x и y соответственно
∂x
∂y
производные отображений f (·, y0 ) и f (x0 , ·) по одной из переменных при
фиксированной другой. При этом ∂f
(x0 , y0 ) – линейный непрерывный
∂x
∂f
n
k
оператор из R в R , а ∂y (x0 , y0 ) – линейный непрерывный оператор из
Rm в Rk . В канонических базисах образа и прообраза они записываются
k,m
∂fi
∂fi
соответственно матрицами ( ∂x
(x0 , y0 ))k,n
i,j=1 и ( ∂yj (x0 , y0 ))i,j=1 .
j
Замечание 3.10.1. Отметим, что когда f ∈ D(x0 , y0 ), то частные производные fx0 (x0 , y0 ) и fy0 (x0 , y0 ) существуют как сужения непрерывного оператора производной f 0 (x0 , y0 ) соответственно на пространства Rn и Rm .
Обратимость этих операторов возможна только в случае, когда соответствующие им матрицы квадратны и невырождены, т.е. их определители
отличны от нуля. В частности, в случае, когда k = m = 1, обратимость
оператора fy0 (x0 , y0 ) равносильна условию fy0 (x0 , y0 ) 6= 0.
3.10 Неявная функция.
143
Теорема 3.37 (о неявном отображении). Пусть G1 ⊂ Rn , G2 ⊂ Rm
– открытые множества, (x0 , y0 ) ∈ G = G1 × G2 , f = (f1 , . . . , fm ) ∈
C(G, Rm ), f (x0 , y0 ) = 0; на множестве G определены частные производ∂fi
ные ∂y
, непрерывные в точке (x0 , y0 ), и оператор ∂f
(x0 , y0 ) представля∂y
j
∂fi
ет собой обратимый линейный оператор (т.е. det ( ∂y
(x0 , y0 ))m,m
i,j=1 6= 0).
j
Тогда существуют окрестности Oδ (x0 ) ⊂ G1 и Oε (y0 ) ⊂ G2 , для которых:
1). Уравнение f (x, y) = 0 имеет на Oδ (x0 ) × Oε (y0 ) единственное
решение y = ϕ(x), где ϕ : Oδ (x0 ) → Oε (y0 ). Точнее, условие (x, y) ∈
Oδ (x0 ) × Oε (y0 ) : f (x, y) = 0 эквивалентно равенству y = ϕ(x), x ∈
Oδ (x0 ). В частности, y0 = ϕ(x0 ).
2). ϕ ∈ C(Oδ (x0 )).
3). Если f ∈ D(x0 , y0 ), то ϕ ∈ D(x0 ), и ϕ0 (x0 ) = −( ∂f
(x0 , y0 ))−1 ◦
∂y
∂f
(x0 , y0 ).
∂x
4). Если ∂f
, ∂f ∈ C(G) (т.е. f ∈ C 1 (G)), то ϕ ∈ C 1 (Oδ (x0 )).
∂x ∂y
Доказательство.
1. Рассмотрим окрестности достаточно малого радиуса Oδ (x0 ) ⊂ G1 ,
Oε (y0 ) ⊂ G2 , где числа δ, ε > 0 определим позднее. Обозначим через A :
Rm → Rm линейный оператор ( ∂f
(x0 , y0 ))−1 , обратный к оператору B =
∂y
∂f
1 , 0, . . . , 0) канони(x0 , y0 ). Отметим, что для вектора ei = (0, . . . , 0, |{z}
∂y
i
∂f
ческого базиса в Rm верно равенство B(ei ) = ∂f
(x0 , y0 )[ei ] = ∂y
(x0 , y0 )
∂y
i
(i = 1, m). Рассмотрим отображение F (y) = Fx (y) : Oε (y0 ) → Rm , поло∂F
жив F (y) = y − A ◦ f (x, y). Из замеченного выше вытекает, что ∂y
(y) =
i
0
0
0
0
ei − A(fy (x, y)) = A(B(ei ) − fy (x, y)) = A(fy (x0 , y0 ) − fy (x, y)). Отметим
также , что F (y) = y ⇔ A ◦ f (x, y) = 0 ⇔ f (x, y) = 0, т.е. неподвижная
точка отображения F является значением неявной функции в точке x.
Вычислим производную: F 0 = Id − A ◦ fy0 (x, y) = A(fy0 (x0 , y0 ) − fy0 (x, y)).
Поскольку fy0 ∈ C(x0 , y0 ), то найдутся числа δ0 , ε > 0, для которых вы∂F
полняется неравенство | ∂y
(y)| 6 kAkkfy0 (x0 , y0 ) − fy0 (x, y)k < 2√1m на мноi
жестве B(x0 , δ0 ) × B(y0 , ε). Следовательно, в силу следствия 3.32 верно
неравенство |F (y1 ) − F (y2 )| 6 12 |y1 − y2 | для всех точек y1 , y2 ∈ B(y0 , ε).
Из непрерывности функции f в точке (x0 , y0 ) найдется δ ∈ (0, δ0 ] такое, что kAk|f (x, y0 ) − f (x0 , y0 )| < 2ε для всех x ∈ Oδ (x0 ), тогда |F (y0 ) −
y0 | = |A ◦ f (x, y0 )| 6 kAk|f (x, y0 )| = kAk|f (x, y0 ) − f (x0 , y0 )| < 2ε . В силу
следствия 2.24 (для α = 12 ) существует и единственна точка y ∈ Oε (y0 ) :
Fx (y) = y. По определению полагаем, что ϕ(x) = y. Таким образом, мы
построили отображение ϕ : Oδ (x0 ) → Oε (y0 ), для которого f (x, ϕ(x)) ≡ 0
на Oδ (x0 ). Более того, условие (x, y) ∈ Oδ (x0 ) × Oε (y0 ) : f (x, y) = 0 эквивалентно равенству y = ϕ(x), x ∈ Oδ (x0 ), и в частности, y0 = ϕ(x0 ).
Кроме того, в силу следствия 2.24 для каждой точки x ∈ Oδ (x0 ) последовательность {fk (x) = Fx (fk−1 (x))} ⊂ Rm , где f0 (x) = y0 , сходится к
144
3 Дифференцируемость функций многих переменных.
ϕ(x) ∈ Rm .
2. Докажем, что ϕ ∈ C(Oδ (x0 )). Поскольку из непрерывности функции fn−1 (x) вытекает непрерывность функции fn (x) = Fx (fn−1 (x)), то
при помощи математической индукции доказывается, что последовательность {fn (x) = Fx (fn−1 (x))}, где f0 (x) ≡ y0 , состоит из непрерывных
функций. Для всех точек x ∈ Oδ (x0 ) верны оценки: |fn (x) − ϕ(x)| =
|Fx (fn−1 (x)) − Fx (ϕ(x))| 6 α|fn−1 (x) − ϕ(x)| = |Fx (fn−2 (x)) − Fx (ϕ(x))| 6
α2 |fn−2 (x) − ϕ(x)| 6 . . . 6 αn |f0 (x) − ϕ(x)| = αn |y0 − ϕ(x)| 6 αn ε. Поэтому
kϕ − fn k∞ = sup |ϕ − fn | 6 αn ε → 0, т.е. последовательность непрерывOδ (x0 )
ных на Oδ (x0 ) функций {fn } равномерно сходится на этом множестве к
функции ϕ. Тогда в силу следствия 2.38 ϕ ∈ C(Oδ (x0 )).
3. Докажем дифференцируемость неявной функции. Для сокращения
записи положим t0 = (x0 , y0 ), t = (x, y), где y = ϕ(x), y0 = ϕ(x0 ), и рассмотрим линейный непрерывный оператор Λ = −A◦fx0 (t0 ) = −(fy0 (t0 ))−1 fx0 (t0 ).
Докажем, что ϕ0 (x0 ) = Λ. Для этого необходимо показать, что |ϕ(x0 +h)−
ϕ(x0 ) − Λh| = o(h), где h = x − x0 → 0, и y = ϕ(x). Действительно, учитывая, что f (t) = f (t0 ) = 0, получим оценки |y − y0 − Λh| = |A(fx0 (t0 )[x −
x0 ] + fy0 (t0 )[y − y0 ])| 6 kAk|f (t) − f (t0 ) − (fx0 (t0 )[x − x0 ] + fy0 (t0 )[y − y0 ])| =
kAk|f (x, y)−f (x0 , y0 )−f 0 (x0 , y0 )[x−x0 , y −y0 ])| = o(x−x0 , y −y0 ) = ηk(x−
x0 , y−y0 )k 6 η(|x−x0 |+|y−y0 |) 6 η(|x−x0 |+|y−y0 −Λ(x−x0 )|+|Λ(x−x0 )|),
где η = o(1) при (x, y) → (x0 , y0 ). Поскольку y = ϕ(x) → y0 = ϕ(x0 ) при
h = x − x0 → 0, то η = o(1) при h → 0. Из предыдущих оценок получим, что (1 − η)|y − y0 − Λh| 6 η(|x − x0 | + |Λ(x − x0 )|), и, следовательно,
η
(1 + kΛk)|x − x0 | = o(x − x0 ). Таким образом, ϕ ∈ D(x0 ),
|y − y0 − Λh| 6 1−η
∂f
0
(x0 , y0 ).
и ϕ (x0 ) = −( ∂y (x0 , y0 ))−1 ◦ ∂f
∂x
∂fi
4. Учитывая, что det ( ∂y
(x, y))m,m
i,j=1 , как непрерывная в точке (x0 , y0 )
j
функция, отлична от нуля и в некоторой окрестности этой точки, мы также, как и в пункте 3, получим, что формула: ϕ0 (x) = −( ∂f
(x, ϕ(x)))−1 ◦
∂y
∂f
(x, ϕ(x)) верна на некоторой окрестности Oδ (x0 ). Из этой формулы по
∂x
теореме о непрерывности сложной функции вытекает, что ϕ0 ∈ C(Oδ (x0 )).
Теорема доказана.
Замечание 3.10.2. Если вместо пункта 3) теоремы предположить, что
f ∈ D(O(x0 , y0 )), то можно показать, что ϕ дифференцируема на некоторой окрестности точки x0 , и для любой точки этой окрестности ϕ0 (x) =
−( ∂f
(x, ϕ(x)))−1 ◦ ∂f
(x, ϕ(x)).
∂y
∂x
Замечание 3.10.3. Если дополнительно предположить, что f ∈ C k (G), то
из формулы для производной ϕ0 будет следовать, что ϕ0 ∈ C k−1 (Oδ (x0 )),
т.е. ϕ ∈ C k (Oδ (x0 )).
Доказательство. Доказывается это индукцией по порядку дифферен(x, ϕ(x)))−1 ◦
цирования l. Действительно, если ϕ ∈ C l (Oδ (x0 )) (l < k), то −( ∂f
∂y
3.11 Теоремы об обратном отображении.
∂f
(x, ϕ(x)) ∈
∂x
l+1
C (Oδ (x0 )).
3.11
145
C l (Oδ (x0 )), т.е. ϕ0 ∈ C l (Oδ (x0 )), что означает, что ϕ ∈
Теоремы об обратном отображении и локальном диффеоморфизме.
Теорема 3.38 (об обратном отображении). Пусть множество G ⊂
Rm открыто, f : G → Rm , f ∈ C(G), x0 ∈ G, t0 = f (x0 ), и существуют
∂fi
частные производные ∂x
: G → R (i, j = 1, m), непрерывные в точj
∂fi
ке x0 (т.е. f ∈ C 1 (x0 )), Jf = det ( ∂x
(x0 ))m,m
i,j=1 6= 0. Тогда существуют
j
топологические окрестности U (x0 ) ⊂ G и V (t0 ) ⊂ Rm такие, что сущена
ствует обратное отображение f −1 : V (t0 ) → U (x0 ), и f −1 ∈ C(V (t0 )),
(f −1 )0 (t0 ) = (f 0 (x0 ))−1 .
def
Доказательство. Рассмотрим уравнение F (t, x) = t − f (x) = 0. Отображение F удовлетворяет теореме о неявном отображении: Fx0 (t0 , x0 ) =
−fx0 (x0 ) – невырожденный линейный оператор, F ∈ C(G × Rm ). Следовательно, найдутся окрестность V (t0 ) ⊂ Rm и функция ϕ : V (t0 ) → G
такие, что F (t, ϕ(t)) ≡ 0, что равносильно тождеству t ≡ f (ϕ(t)), т.е.
ϕ = f −1 (т.к. функция ϕ – единственна). Из условия f ∈ C(G) по криdef
терию непрерывности множество f −1 (V (t0 )) = U (x0 ) открыто, т.е. является топологической окрестностью точки x0 . Кроме того, (f −1 )0 (t0 ) =
−(Fx0 (t0 , x0 ))−1 ◦Ft0 (t0 , x0 ) = −(−fx0 (x0 ))−1 ◦Id = −(−f 0 (x0 ))−1 = (f 0 (x0 ))−1 .
Замечание 3.11.1. Если дополнительно f ∈ C k (G), то f −1 ∈ C k (V (t0 )).
на
Определение 3.11.1. Пусть Gi ⊂ Rm (i = 1, 2). Биекция f : G1 →
G2 называется диффеоморфизмом (класса C k ), если f ∈ C k (G1 ), f −1 ∈
C k (G2 ).
Теорема 3.39 (об локальном диффеоморфизме). Пусть f ∈ C k (G),
∂fi
где множество G ⊂ Rm открыто, Jf = det ( ∂x
(x0 ))m,m
i,j=1 6= 0 для некоj
торой точки x0 ∈ G. Тогда существуют топологические окрестности U (x0 ) ⊂ G и V (t0 ) ⊂ Rm (t0 = f (x0 )), для которых отображение
f : U (x0 ) → V (t0 ) – диффеоморфизм класса C k . При этом (f −1 )0 (t) =
(f 0 )−1 (x) и det Jf (x) · det Jf −1 (t) = 1, где x = f (t), а Jf (x) и Jf −1 (t) –
матрицы Якоби отображений f и f −1 .
Доказательство. Следует непосредственно из предыдущей теоремы и
того, что определители обратных друг другу операторов обратно пропорциональны.
146
3 Дифференцируемость функций многих переменных.
Замечание 3.11.2. Если отображение двух областей является локальным диффеоморфизмом, то отсюда, вообще говоря, не вытекает, что
это отображение биективно, и, следовательно, является диффеоморфизмом этих областей. В качестве примера можно рассмотреть отображение
f (x, y) = (x2 − y 2 , 2xy), переводящее область G = R2 \ {(0, 0)} на себя. В
каждой точке оно удовлетворяет условию предыдущей теоремы и, следовательно, является локальным диффеоморфизмом (в каждой точке),
но при этом не является биективным отображением.
3.12
Касательная плоскость и нормаль к поверхности уровня.
Определение 3.12.1. Пусть G ⊂ Rn+l , ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕn ) : G → Rn такое
i
отображение, что ϕ(x0 ) = 0 и rank ( ∂ϕ
(x0 ))n+l,n
i,j=1 = n (т.е. ранг отображе∂xj
ние ϕ является максимальным) на некоторой окрестности O(x0 ) ⊂ G, и
ϕ ∈ C k (O(x0 )). Множество M = {x ∈ G | ϕ(x) = 0 ∈ Rn } называется
l-мерным многообразием класса C k в точке x0 ∈ M.
Определение 3.12.2. Множество M ∈ Rn+l называется l-мерным многообразием класса C k , если в каждой точке x ∈ M множество M является l-мерным многообразием класса C k .
Пример. Пусть G ⊂ Rm , f : G → Rn , f ∈ C k (G). Рассмотрим в
пространстве Rm × Rn график этого отображения, т.е. множество M =
{(x, f (x)) | x ∈ G}. Это множество можно задать при помощи отображения ϕ(x, y) = y − f (x) : G × Rn → Rn , положив M = {(x, y) | ϕ(x, y) = 0}.
Ранг ϕ не может превзойти n, и, на самом деле, равен ему, т.к.


1 0 ... 0
 0 1 ... 0 
∂ϕ


= IdRn →Rn =  .. ..
..  .
∂y
 . . ... . 
0 0 ... 1
Отсюда и следует, что множество M – m-мерное многообразие гладкости
k.
Определение 3.12.3. Касательная плоскость к многообразию M в точке t0 = (x0 , y0 ), задаваемому уравнением y = f (x) (f ∈ C 1 (G)), называется плоскость y − y0 = f 0 (x0 )[x − x0 ]. Касательной прямой в точке t0
называют предельное положение секущих, проходящих через точки t0 и
t ∈ M, при t → t0 .
3.13 Условный экстремум.
147
Теорема 3.40. Все касательные в точке t0 = (x0 , y0 ) прямые к многообразию, задаваемому уравнением y = f (x), лежат в касательной плоскости к графику функции y = f (x) в точке t0 .
Доказательство. Пусть ` ∈ Rm , |`| = 1. Тогда 1t (t`, f (x0 + t`) − f (x0 )) →
(`, ∂f
(x0 )) = (`, f 0 (x0 )[`]), т.е. касательная прямая удовлетворяет соот∂`
ношению (x, y) = (x0 + t`, y0 + tf 0 (x0 )[`]), а, следовательно, уравнению
y − y0 = f 0 (x0 )[x − x0 ].
Общий случай. Пусть G ⊂ Rm = Rn+l , M = {x ∈ G | ϕ(x) = 0} –
многообразие в точке x0 ∈ G класса C k . Переименовывая,
¯ необходи¯ если
¯ ∂ϕi ¯n,n
ненулемо, переменные (x1 , . . . , xm ), можно считать, что минор ¯ ∂xj ¯
i,j=1
вой в точке x0 = (x01 , . . . , x0m ). Тогда по теореме о неявной функции переменная y = (xn+1 , . . . , xm ) выражается через переменную x = (x1 , . . . , xn )
при помощи вектор-функции f = (fn+1 , . . . , fm ) ∈ C k (O(x0 )), где O(x0 ) –
некоторая окрестность точки x0 = (x01 , . . . , x0n ), т.е. y = f (x), и многообразие M локально представляется графиком этой функции. Естественно,
касательной плоскостью назвать плоскость размерности l, определяемую
уравнением y − y0 = f 0 (x0 )[x − x0 ].
Поверхность уровня. Рассмотрим частный случай n = 1. В этом
∂ϕ
случае y = xm и ∂x
(x0 ) 6= 0. Из теоремы о неявной функции следует, что
m
∂ϕ
m−1
(x
)
P ∂f
0
∂xj
∂f
0
(x
)
=
−
(j
=
1,
m
−
1)
и
x−x
(x0 )(xj −x0j ). Умножая
=
0
∂ϕ
m
∂xj
∂xj
(x )
0
j=1
∂ϕ
обе части на ∂xm (x0 ), получим, что уравнение касательной плоскости
m
P
∂ϕ
записывается в виде
(x0 )(xj − x0j ) = 0. Нормаль к этой плоскости,
∂xj
j=1
∂ϕ
∂ϕ
(x0 ), . . . , ∂x
(x0 )) = grad ϕ(x0 ), называется нормалью к
т.е. вектор ( ∂x
m
1
∂xm
поверхности M.
3.13
Условный экстремум. Необходимые и достаточные условия.
Определение 3.13.1. Пусть множество G ⊂ Rm открыто, f = (f1 , . . . , fn ) :
G → Rn . Рассмотрим множество M = {x ∈ G | f (x) = 0}, задаваемое уравнениями fi (x) = 0 (i = 1, n), называемыми уравнениями связи.
Пусть f0 : G → R. Точка x0 ∈ M называется точкой условного минимума (максимума) функции f0 , если найдется окрестность O(x0 ) ⊂ G
такая, что f0 (x) > f0 (x0 ) (f0 (x) 6 f0 (x0 )) на множестве M ∩ O(x0 ).
Точка x0 ∈ M называется точкой строго условного минимума (макси.
мума) функции f0 , если найдется окрестность O(x0 ) ⊂ G такая, что
.
f0 (x) > f0 (x0 ) (f0 (x) < f0 (x0 )) на множестве M ∩ O(x0 ).
148
3 Дифференцируемость функций многих переменных.
Сведение условного экстремума к безусловному. Пусть множество G ⊂ Rm открыто, x0 = (x01 , . . . , x0m ) ∈ G, fi ∈ C 1 (G) (i = 0, n), и гра∂fi
диенты {grad fi }ni=1 (x0 ) линейно независимы (т.е. rank ( ∂x
(x0 ))n,m
i,j=1 = n).
j
Переименновая, если ¯необходимо
переменные,
можно
считать,
что ми¯n,n
def ¯ ∂fi
¯
∂(f1 ,...,fn )
нор ∂(x1 ,...,xn ) (x0 ) = ¯ ∂xj (x0 )¯
6= 0 (более того, из непрерывности
i,j=1
этого минора следует, что он отличен от нуля и в некоторой окрестности точки x0 ). Тогда в случае, когда m > n, по теореме о неявном
отображении для точки x0 = (x0n+1 , . . . , x0m ) в некоторой ее окрестности
Oδ (x0 ) можно разрешить систему уравнений fi (x) = 0 (i = 1, n) относительно переменных {xn+1 , . . . , xm } : xi = ϕi (xn+1 , . . . , xm ) (i = 1, n).
При этом M ∩ O(x0 ) = {(ϕ(x), x) | x = (xn+1 , . . . , xm ) ∈ Oδ (x0 ), ϕ =
(ϕ1 , . . . , ϕn )}, где O(x0 ) – некоторая топологическая окрестность точ∂(f1 ,...,fn )
ки x0 в Rm . Без потери общности, можно считать, что ∂(x
6= 0
1 ,...,xn )
во всех точках множества M ∩ O(x0 ). Подставив указанные представdef
ления в выражение y = f0 (x), мы получим функцию g(xn+1 , . . . , xm ) =
f0 (ϕ1 (xn+1 , . . . , xm ), . . . , ϕn (xn+1 , . . . , xm ), xn+1 , . . . , xm ) от m − n переменных {xn+1 , . . . , xm }, определенную в некоторой окрестности точки x0 ∈
Rm−n .
Справедливо следующее утверждение: Точка x0 является точкой
условного (строго условного) экстремума функции f0 относительно уравнений связи: fi = 0 (i = 1, n) ⇔ x0 является точкой обычного (строго)
экстремума функции g.
Отметим также, что продифференцировав тождества
fi (ϕ1 (xn+1 , . . . , xm ), . . . , ϕn (xn+1 , . . . , xm ), xn+1 , . . . , xm ) ≡ 0 (i = 1, n),
т.е. вычислив 1-ый и 2-ой дифференциалы каждой из частей этих тождеств, получим соотношения:
n
m
X
X
∂fi
∂fi
(x)dϕj (x) +
(x)dxj ≡ 0 (i = 1, n) и
∂x
∂x
j
j
j=1
j=n+1
m
X
n
X ∂fi
∂ 2 fi
(x)dxj dxk +
(x)d2 xj ≡ 0 (i = 1, n),
∂xj ∂xk
∂xj
j=1
j,k=1
(3.2)
где x = (x1 , . . . , xm ) = (ϕ1 (xn+1 , . . . , xm ), . . . , ϕn (xn+1 , . . . , xm ), xn+1 , . . . , xm ),
и dxj = dϕ(x) (j = 1, n).
Теорема 3.41. Пусть x = (ϕ(x), x) ∈ M ∩O(x0 ), λ = (λ1 , . . . , λn ), F (x) =
n
P
def
F (x, λ) = f0 (x)+ λi fi (x). Тогда dF (x, λ) = dg(x) ⇔ ∂F∂x(x)
= 0 (j = 1, n).
j
i=1
При этом для последней системы равенств такой вектор λ ∈ Rn существует и однозначно определяется этой системой, а, следовательно,
существует λ ∈ Rn , для которого dF (x, λ) = dg(x).
3.13 Условный экстремум.
149
Доказательство.
⇒ Равенство dF (x, λ) = dg(x) означает, что линейная форма dF (x, λ)
фактически зависит лишь от переменных dxn+1 , . . . , dxm . Положим эти
n
P
∂F (x)
переменные равными нулю, тогда
dxj = 0, т.е. ∂F∂x(x)
= 0 (j =
∂xj
j
j=1
1, n).
∂F (x)
∂xj
=
∂f0 (x)
∂xj
n
P
λi ∂f∂xi (x)
= 0 (j = 1, n) относиj
i=1
¯
¯n,n
¯ ∂fi
¯
тельно переменных λi (i = 1, n) имеет ненулевой определитель ¯ ∂xj (x)¯
,
⇐ Система равенств
+
i,j=1
поэтому ее решение λ = (λ1 , . . . , λn ) существует и однозначно опредеn
m
m
P
P
P
∂F (x)
∂F (x)
∂F (x)
dx
+
dλ
=
dxj +
лено. Тогда dF (x, λ) =
j
j
∂xj
∂λj
∂xj
n
P
fj (x)dλj =
j=1
j=n+1
m
P
j=n+1
∂F (x)
dxj .
∂xj
j=1
j=n+1
Отсюда линейная форма dF (x, λ) совпада-
ет с линейной формой, где вместо переменных dxj подставлены дифференциалы dϕj (x) (j = 1, n) (т.к. эта линейная форма не зависит от dxj
(j = 1, n)). Поэтому
dF (x, λ) =
n
X
∂F (x)
j=1
∂xj
m
n
X
X
∂F (x)
∂f0 (x)
dϕj (x) +
dxj =
dϕj (x)+
∂xj
∂xj
j=n+1
j=1
µX
¶
m
n
m
n
X
X
X
∂f0 (x)
∂fi (x)
∂fi (x)
+
dxj +
λi
dϕj (x) +
dxj =
∂xj
∂xj
∂xj
j=n+1
i=1
j=n+1
j=1
=
n
X
∂f0 (x)
j=1
∂xj
m
X
∂f0 (x)
dϕj (x) +
dxj = dg(x).
∂xj
j=n+1
Определение 3.13.2. Функция F (x) = F (x, λ) = f0 (x) +
n
P
λi fi (x) на-
i=1
зывается функцией Лагранжа, а числа {λi }ni=1 ∈ R, — множителями
Лагранжа.
Замечание 3.13.1. Если точка x0 = (ϕ(x0 ), x0 ), является условным экстремумом функции f0 при выполнении условий связи: fi = 0 (i = 1, n),
то точка x0 является критической точкой функции g, а, следовательно, точка (x0 , λ0 ) – критическая для функции Лагранжа для некоторого
∂F
(x0 ) =
подходящего λ0 ∈ Rn (т.к. ∃λ0 ∈ Rn : dF (x0 , λ0 ) = dg(x0 )), т.е. ∂x
j
∂F
0 (j = 1, m) и ∂λi (x0 ) = 0 (i = 1, n), при этом последние равенства равносильны выполнению уравнений связи в точке x0 : fi (x0 ) = 0 (i = 1, n).
Таким образом, верен принцип Лагранжа(необходимое условие
условного экстремума): если точка x0 – условный экстремум, то
точка (x0 , λ0 ) для некоторого вектора λ0 = (λ01 , . . . , λ0n ) критическая
150
3 Дифференцируемость функций многих переменных.
точка (в этом случае, говорят, что точка x0 – станционарная точка)
функции Лагранжа F (x, λ).
Теорема 3.42 (достаточное условие). Пусть множество G ⊂ Rm
∂fi
открыто, fi : G → R, fi ∈ D2 (x0 ) (x0 ∈ G; i = 0, n), rank ( ∂x
(x0 ))n,m
i,j=1 =
j
n, точка x0 ∈ G – станционарная точка функции Лагранжа F, т.е.
для некоторого λ0 ∈ Rn верно равенство dF (x0 , λ0 ) = 0, и квадратичная
форма d2 F (x0 )
положительно (отрицательно) определена. Тогда
df (x0 )=0
x0 является точкой строго условного минимума (максимума) функции
f0 относительно уравнений связи f = 0, где f = (f1 , . . . , fn ).
Доказательство. Отметим, что пространство L, задаваемое уравнением df (x0 ) = 0, состоит из векторов (dϕ1 (x0 ), . . . , dϕn (x0 ), dxn+1 , . . . , dxm ).
Как выше уже указывалось, точка x0 является точкой строго условного минимума (максимума) функции f0 относительно уравнений связи
df = 0 тогда и только тогда, когда функция
g(xn+1 , . . . , xm )=f0 (ϕ1 (xn+1 , . . . , xm ), . . . , ϕn (xn+1 , . . . , xm ), xn+1 , . . . , xm )
(при подходящем переобозначении переменных) имеет в точке x0 = (x0n+1 , . . . , x0m )
безусловный строгий экстремум. Докажем, что x0 – критическая точка
функции g, если x0 – станционарная точка функции Лагранжа. Действи∂F
тельно, равенство dF (x0 , λ0 ) = 0 влечет выполнение равенств ∂x
(x0 ) =
j
0 (j = 1, n). Следовательно, dg(x0 ) = dF (x0 , λ0 ) = 0. Кроме того, в силу
тождеств 3.2
m
X
2
d F (x0 )
df =0
m
X
∂2F
∂ 2F
=
(x0 )dxj dxk =
(x0 )dxj dxk +
∂x
∂x
j ∂xk
j ∂xk
j,k=1
j,k=1
n
m
n
m
X
X
X
X
∂F
∂ 2 f0
∂ 2 fi
2
+
(x0 )d xj =
(x0 )dxj dxk +
λi
(x0 )dxj dxk +
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
j
j
k
j
k
j=1
i=1
j,k=1
j,k=1
+
n
X
∂f0
j=1
+
∂xj
n
X
∂f0
j=1
∂xj
2
(x0 )d xj +
n
X
i=1
2
(x0 )d xj +
n
X
i=1
λi
n
m
X
X
∂fi
∂ 2 f0
2
λi
(x0 )d xj =
(x0 )dxj dxk +
∂xj
∂xj ∂xk
j=1
j,k=1
µX
m
n
X ∂fi
∂ 2 fi
(x0 )dxj dxk +
(x0 )d2 xj
∂xj ∂xk
∂xj
j=1
j,k=1
¶
=
n
X
∂ 2 f0
∂f0
(x0 )dxj dxk +
(x0 )d2 xj = d2 g(x0 ),
=
∂xj ∂xk
∂xj
j=1
j,k=1
m
X
где dxj = dϕj (x0 ) (j = 1, n). Следовательно, квадратичная форма d2 g(x0 )
положительна (отрицательна) определена. В силу теоремы 3.28 в точке
x0 = (x0n+1 , . . . , x0m ) безусловный строгий максимум (минимум) функции
g. Тем самым, теорема доказана.
3.14 Зависимые функции.
3.14
151
Зависимые функции.
Определение 3.14.1. Пусть G ⊂ Rm – открытое множество, f = (f1 , . . . , fn ) :
G → Rn , f ∈ C 1 (G), где n 6 m. Будем говорить, что функция fn зависима от функций f1 , . . . , fn−1 на G, если существует функция Φ : E → R
(E ⊂ Rn−1 – открыто), Φ ∈ C 1 (E), (f1 , . . . , fn−1 )(G) ⊂ E, и fn (x) =
Φ(f1 (x), . . . , fn−1 (x)) для всех x ∈ G. Система функций {fi }ni=1 называется зависимой на G, если среди этих функций есть функция, зависимая
от остальных на G.
Теорема 3.43 (необходимое условие зависимости). Пусть 2 6 n 6
m, и система функций {fi }ni=1 зависима на множестве G ⊂ Rm , то
∂fi
ранг матрицы Якоби ( ∂x
(x0 ))n,m
i,j=1 меньше n.
j
Доказательство. Без потери общности, можно считать, что функция
fn зависит от остальных функций системы: fn (x) = Φ(f1 (x), . . . , fn−1 (x))
n−1
P ∂Φ
∂fk
n
для всех x ∈ G. Тогда ∂f
(x)
=
(y) ∂x
(x) (y = f (x)), т.е. n-я строка
∂xj
∂yk
j
k=1
матрицы Якоби есть линейная комбинация (n − 1)-ой первых строк, т.е.
∂fi
rank ( ∂x
(x0 ))n,m
i,j=1 6 n − 1 < n.
j
Теорема 3.44 (достаточное условие зависимости). Пусть множество G ⊂ Rm открыто, 2 6 n 6 m, f = (f1 , . . . , fn ) : G → Rn , f ∈ C 1 (G),
∂fi
и ранг матрицы Якоби J = ( ∂x
(x0 ))n,m
i,j=1 равен k на множестве G, приj
∂(f1 ,...,fk )
чем 1 6 k < n и ∂(x
(x0 ) 6= 0. Тогда существует окрестность
1 ,...,xk )
O(x0 ) ⊂ G такая, что система функций {fi }ki=1 не является зависимой на O(x0 ), и каждая функция fj (j = k + 1, m) зависима на этой
окрестности от этих функций.
∂(f1 ,...,fk )
Доказательство. Поскольку f ∈ C 1 (G), то минор ∂(x
непрерывен
1 ,...,xk )
на G, и, следовательно, на некоторой окрестности U (x0 ) он также не
равен нулю, как и в точке x0 = (x01 , . . . , x0m ). Из предыдущей теоремы
вытекает, что система функций {fi }ki=1 не является зависимой на U (x0 ).
Докажем зависимость функции fk+1 от {fi }ki=1 на некоторой окрестности
x0 , для остальных функций доказательство аналогично.
Пусть y0 = (f1 (x0 ), . . . , fk (x0 )), x0 = (x0k+1 , . . . , x0m ), x00 = (x01 , . . . , x0k ).
По теореме о неявном отображении систему уравнений yi = fi (x) (i =
1, k) можно разрешить, выразив переменные x1 , . . . , xk через переменные
y1 , . . . , yk , xk+1 , . . . , xm на некоторой окрестности V (y0 ) × O(x0 ). Таким
образом, найдется функция ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕk ) : V (y0 ) × O(x0 ) → O(x00 ) ⊂
Rk такая, что
yi = fi (ϕ(y, x), x) (i = 1, k, x = (xk+1 , . . . , xm )).
(3.3)
152
3 Дифференцируемость функций многих переменных.
Положим Φ(y, x) = fk+1 (ϕ(y, x), x) и докажем, что
∂Φ
∂xj
= 0 для всех j =
k + 1, . . . , m. Действительно,
k
X ∂fk+1 ∂ϕl ∂fk+1
∂Φ
=
+
(j = k + 1, . . . , m).
∂xj
∂xl ∂xj
∂xj
l=1
Продифференцируем выражение (3.3) по xj :
0=
k
X
∂fi ∂ϕl
l=1
∂xl ∂xj
+
∂fi
(i = 1, k; j = k + 1, . . . , m).
∂xj
(3.4)
∂fi
∂fi ∂fi
1
k
Рассмотрим вектора b = ( ∂ϕ
, . . . , ∂ϕ
, 1) и ai = ( ∂x
,
). Тогда
, . . . , ∂x
∂xj
∂xj
1
k ∂xj
равенства (3.4) записываются в виде (ai , b) = 0 i = 1, k. По условию
1 ,...,fk ,fk+1 )
теоремы ∂(f
(x) = 0 на множестве G (т.к. rank J = k для всех
∂(x1 ,...,xk ,xj )
x ∈ G). Тогда последняя строка этого минора есть линейная комбинация
k
k
P
P
первых k строк, т.е. ak+1 =
λi ai . Поэтому (ak+1 , b) =
λi (ai , b) = 0. С
i=1
i=1
другой стороны, ∂x∂ j Φ(y, x) = (ak+1 , b) = 0 j = k + 1, m. По следствию
3.34 функция Φ(y, x) зависит только от y, т.е. Φ(y, x) ≡ Φ(y). Тогда
fk+1 (x1 , . . . , xm ) = fk+1 (ϕ(y, x), x) = Φ(y1 , . . . , yk ) = Φ(f1 (x), . . . , fk (x))
на O(x00 ) × O(x0 ), что и требовалось доказать.