null-1

Т. Н. Маслова, А. М. Суходский
СПРАВОЧНИК
ШКОЛЬНИКА
ПО МАТЕМАТИКЕ
5—11 классы
Москва
ОНИКС
Мир и Образование
УДК 51(075.3)(035)
ББК 22.1я72
М31
Маслова Т. Н.
М31 Справочник
школьника
по
математике.
5—11 кл. / Т. Н. Маслова, А. М. Суходский. — М.:
ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство
«Мир и Образование», 2008. — 672 с.: ил.
ISBN 978-5-488-01478-7 (ООО «Издательство Оникс»)
ISBN 978-5-94666-435-6 (ООО «Издательство «Мир и Образование»)
В справочнике в краткой и доступной форме излагается весь
материал школьного курса математики для 5—11-х
классов.
Пособие содержит большое количество примеров и задач с
подробными решениями.
Справочник адресован учащимся общеобразовательных
школ, лицеев и колледжей.
УДК 51(075.3)(035)
ББК 22.1я72
ISBN 978-5-488-01478-7
(ООО «Издательство Оникс»)
ISBN 978-5-94666-435-6
(ООО «Издательство «Мир и Образование»)
© ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008
© Оформление переплета.
ООО «Издательство Оникс», 2008
ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ
Äàííûé ñïðàâî÷íèê ñîäåðæèò êàê îñíîâíîé, òàê
è äîïîëíèòåëüíûé ìàòåðèàë âñåõ ðàçäåëîâ øêîëüíîãî êóðñà ìàòåìàòèêè, èçó÷àåìîãî â 5—11 êëàññàõ:
ìàòåìàòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ, îïðåäåëåíèÿ, òåîðåìû, ôîðìóëû, ñâîéñòâà è ò. ä. Êðîìå òîãî, â íåì èìååòñÿ äîâîëüíî ìíîãî ïîäðîáíî ðàçîáðàííûõ ïðèìåðîâ è çàäà÷; ïðè èõ ðåøåíèè çà÷àñòóþ èñïîëüçóåòñÿ íå òîëüêî
ìàòåðèàë òîãî ïóíêòà, ê êîòîðîìó îòíîñèòñÿ ðàññìàòðèâàåìûé ïðèìåð èëè çàäà÷à, íî è ìàòåðèàë äðóãèõ
ðàçäåëîâ. Âìåñòå ñ òåì, äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì â ñïðàâî÷íèêå íå ïðèâîäÿòñÿ — ýòè äîêàçàòåëüñòâà ìîæíî
íàéòè â øêîëüíûõ ó÷åáíèêàõ ïî ìàòåìàòèêå.
Âåñü ìàòåðèàë, îòíîñÿùèéñÿ ê òîìó èëè èíîìó
ïîíÿòèþ, ïîìåùåí êîìïàêòíî (â øêîëüíûõ ïîñîáèÿõ
ýòî íå âñåãäà áûâàåò òàê), ÷òî ïîçâîëèò âàì áûñòðî
ïîëó÷èòü âñå íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ îá èíòåðåñóþùåì âàñ ïîíÿòèè.
Èçëîæåííûé â ñïðàâî÷íèêå ìàòåðèàë ðàçáèò íà
ðàçäåëû, ðàçäåëû — íà ïàðàãðàôû, à ïàðàãðàôû — íà
äîâîëüíî ìåëêèå ïóíêòû (òàê âàì áóäåò óäîáíåå îòûñêàòü íóæíóþ èíôîðìàöèþ). Íóìåðàöèÿ ðàçäåëîâ, ïàðàãðàôîâ è ïóíêòî⠗ ñêâîçíàÿ ïî âñåé êíèãå, à íóìåðàöèÿ ïðèìåðî⠗ ñàìîñòîÿòåëüíàÿ âíóòðè êàæäîãî ïóíêòà. Òåîðåìû íóìåðóþòñÿ äâóìÿ öèôðàìè:
ïåðâàÿ èç íèõ îçíà÷àåò íîìåð ðàçäåëà, â êîòîðîì
3
ÀËÃÅÁÐÀ
Ïðåäèñëîâèå
ñôîðìóëèðîâàíà äàííàÿ òåîðåìà, à âòîðàÿ — ïîðÿäêîâûé íîìåð òåîðåìû â ýòîì ðàçäåëå. Íàïðèìåð, Ò.4.6
îçíà÷àåò, ÷òî ðå÷ü èäåò î òåîðåìå 6 èç ðàçäåëà IV. Â
êíèãå ïðèíÿòû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: íà÷àëî è
êîíåö ðåøåíèÿ ïðèìåðà îòìå÷àþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî
çíàêàìè q è n.
Äëÿ óäîáñòâà ïîëüçîâàíèÿ ñïðàâî÷íèêîì â êîíöå
åãî ïîìåùåíû ñïèñêè îñíîâíûõ ôîðìóë è îñíîâíûõ
îáîçíà÷åíèé, à òàêæå ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü.
Ñïðàâî÷íèê ïîìîæåò âàì:
— áûñòðî íàéòè íóæíóþ èíôîðìàöèþ î òîì èëè
èíîì ïîíÿòèè, îïðåäåëåíèè, ñâîéñòâå, î òîé èëè èíîé
ôîðìóëå, òåîðåìå;
— ïîâòîðèòü ñîîòâåòñòâóþùèé ìàòåðèàë ïðè ïîäãîòîâêå ê óðîêó, ê òåñòèðîâàíèþ, ê êîíòðîëüíîé ðàáîòå, ê ýêçàìåíó;
— âñïîìíèòü, êàê ðåøàþòñÿ òèïîâûå ïðèìåðû è
çàäà÷è øêîëüíîãî êóðñà ìàòåìàòèêè;
— ïîäãîòîâèòüñÿ ê âñòóïèòåëüíîìó ýêçàìåíó èëè
ñîáåñåäîâàíèþ ïî ìàòåìàòèêå ïðè ïîñòóïëåíèè â âóç
èëè äðóãîå ó÷åáíîå çàâåäåíèå.
Ðàçäåë I
×ÈÑËÀ
§ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
1. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. ×èñëà 1, 2, 3, 4,
5, ..., èñïîëüçóþùèåñÿ äëÿ ñ÷åòà ïðåäìåòîâ èëè äëÿ
óêàçàíèÿ ïîðÿäêîâîãî íîìåðà òîãî èëè èíîãî ïðåäìåòà ñðåäè îäíîðîäíûõ ïðåäìåòîâ, íàçûâàþòñÿ íàòóðàëüíûìè. Ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî â äåñÿòè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ
öèôð 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Íàïðèìåð, çàïèñü 2457
îçíà÷àåò, ÷òî 2 — öèôðà òûñÿ÷, 4 — öèôðà ñîòåí,
5 — öèôðà äåñÿòêîâ è 7 — öèôðà åäèíèö, ò. å.
2457 = 2 · 1000 + 4 · 100 + 5 · 10 + 7.
Âîîáùå, åñëè à — öèôðà òûñÿ÷, b — öèôðà ñîòåí,
ñ — öèôðà äåñÿòêîâ è d — öèôðà åäèíèö, òî èìååì
a · 1000 + b · 100 + c · 10 + d.
Èñïîëüçóåòñÿ òàêæå ñîêðàùåííàÿ çàïèñü abcd (íàïèñàòü abcd íåëüçÿ, ïîñêîëüêó òàêàÿ çàïèñü îçíà÷àåò
ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë à, b, c, d).
 îáùåé ôîðìå äëÿ m-çíà÷íîãî ÷èñëà am ñïðàâåäëèâà çàïèñü
am = c1 × 10m -1 + c2 × 10m - 2 + ... + cm -1 × 10 + cm ,
4
5
ÀËÃÅÁÐÀ
Ïðåäèñëîâèå
ñôîðìóëèðîâàíà äàííàÿ òåîðåìà, à âòîðàÿ — ïîðÿäêîâûé íîìåð òåîðåìû â ýòîì ðàçäåëå. Íàïðèìåð, Ò.4.6
îçíà÷àåò, ÷òî ðå÷ü èäåò î òåîðåìå 6 èç ðàçäåëà IV. Â
êíèãå ïðèíÿòû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: íà÷àëî è
êîíåö ðåøåíèÿ ïðèìåðà îòìå÷àþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî
çíàêàìè q è n.
Äëÿ óäîáñòâà ïîëüçîâàíèÿ ñïðàâî÷íèêîì â êîíöå
åãî ïîìåùåíû ñïèñêè îñíîâíûõ ôîðìóë è îñíîâíûõ
îáîçíà÷åíèé, à òàêæå ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü.
Ñïðàâî÷íèê ïîìîæåò âàì:
— áûñòðî íàéòè íóæíóþ èíôîðìàöèþ î òîì èëè
èíîì ïîíÿòèè, îïðåäåëåíèè, ñâîéñòâå, î òîé èëè èíîé
ôîðìóëå, òåîðåìå;
— ïîâòîðèòü ñîîòâåòñòâóþùèé ìàòåðèàë ïðè ïîäãîòîâêå ê óðîêó, ê òåñòèðîâàíèþ, ê êîíòðîëüíîé ðàáîòå, ê ýêçàìåíó;
— âñïîìíèòü, êàê ðåøàþòñÿ òèïîâûå ïðèìåðû è
çàäà÷è øêîëüíîãî êóðñà ìàòåìàòèêè;
— ïîäãîòîâèòüñÿ ê âñòóïèòåëüíîìó ýêçàìåíó èëè
ñîáåñåäîâàíèþ ïî ìàòåìàòèêå ïðè ïîñòóïëåíèè â âóç
èëè äðóãîå ó÷åáíîå çàâåäåíèå.
Ðàçäåë I
×ÈÑËÀ
§ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
1. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. ×èñëà 1, 2, 3, 4,
5, ..., èñïîëüçóþùèåñÿ äëÿ ñ÷åòà ïðåäìåòîâ èëè äëÿ
óêàçàíèÿ ïîðÿäêîâîãî íîìåðà òîãî èëè èíîãî ïðåäìåòà ñðåäè îäíîðîäíûõ ïðåäìåòîâ, íàçûâàþòñÿ íàòóðàëüíûìè. Ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî â äåñÿòè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ
öèôð 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Íàïðèìåð, çàïèñü 2457
îçíà÷àåò, ÷òî 2 — öèôðà òûñÿ÷, 4 — öèôðà ñîòåí,
5 — öèôðà äåñÿòêîâ è 7 — öèôðà åäèíèö, ò. å.
2457 = 2 · 1000 + 4 · 100 + 5 · 10 + 7.
Âîîáùå, åñëè à — öèôðà òûñÿ÷, b — öèôðà ñîòåí,
ñ — öèôðà äåñÿòêîâ è d — öèôðà åäèíèö, òî èìååì
a · 1000 + b · 100 + c · 10 + d.
Èñïîëüçóåòñÿ òàêæå ñîêðàùåííàÿ çàïèñü abcd (íàïèñàòü abcd íåëüçÿ, ïîñêîëüêó òàêàÿ çàïèñü îçíà÷àåò
ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë à, b, c, d).
 îáùåé ôîðìå äëÿ m-çíà÷íîãî ÷èñëà am ñïðàâåäëèâà çàïèñü
am = c1 × 10m -1 + c2 × 10m - 2 + ... + cm -1 × 10 + cm ,
4
5
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
4
èëè
ãäå
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
am = c1c2...cm -1cm ,
c1, c2 ,..., cm -1, cm — öèôðû.
2. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè. Ðåçóëüòàòîì ñëîæåíèÿ èëè óìíîæåíèÿ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë âñåãäà ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî: åñëè m, n — íàòóðàëüíûå ÷èñëà, òî
ð = m + n òàêæå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, m è n — ñëàãàåìûå, ð — ñóììà; ð = mn òàêæå íàòóðàëüíîå ÷èñëî,
m, n — ìíîæèòåëè, ð — ïðîèçâåäåíèå.
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
10. a + b = b + a (ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî
ñëîæåíèÿ);
20. (a + b) + c = a + (b + c) (ñî÷åòàòåëüíîå ñâîéñòâî ñëîæåíèÿ);
30. ab = ba (ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî óìíîæåíèÿ);
40. (ab) c = a (bc) (ñî÷åòàòåëüíîå ñâîéñòâî óìíîæåíèÿ);
50. a (b + c) = ab + ac (ðàñïðåäåëèòåëüíîå ñâîéñòâî óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ).
 ðåçóëüòàòå âû÷èòàíèÿ èëè äåëåíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íå âñåãäà ïîëó÷àåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
Åñëè m, n, k — íàòóðàëüíûå ÷èñëà, òî ïðè m – n =
= k ãîâîðÿò, ÷òî m — óìåíüøàåìîå, n — âû÷èòàåìîå, k — ðàçíîñòü; ïðè m : n = k ãîâîðÿò, ÷òî m —
äåëèìîå, n — äåëèòåëü, k — ÷àñòíîå; ÷èñëî m íàçûâàþò òàêæå êðàòíûì ÷èñëà n, à ÷èñëî n — äåëèòåëåì ÷èñëà m. Åñëè m — êðàòíîå ÷èñëà n, òî ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî k òàêîå, ÷òî m = kn.
Èç ÷èñåë ñ ïîìîùüþ çíàêîâ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáîê ñîñòàâëÿþò ÷èñëîâûå âûðàæåíèÿ.
Åñëè â ÷èñëîâîì âûðàæåíèè âûïîëíèòü óêàçàííûå
äåéñòâèÿ, ñîáëþäàÿ ïðèíÿòûé ïîðÿäîê, òî ïîëó÷èòñÿ
÷èñëî, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì âûðàæåíèÿ.
6
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
4
§ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
Íàïîìíèì ïîðÿäîê àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé â
÷èñëîâîì âûðàæåíèè: ïðåæäå âñåãî âûïîëíÿþò äåéñòâèÿ â ñêîáêàõ; âíóòðè ëþáûõ ñêîáîê ñíà÷àëà âûïîëíÿþò óìíîæåíèå è äåëåíèå, à çàòåì ñëîæåíèå è
âû÷èòàíèå. Íàïðèìåð, åñëè íóæíî íàéòè çíà÷åíèå
âûðàæåíèÿ
(28 · 93 + (1927 – 1873) · 31) : 6 – 710,
òî ïîðÿäîê äåéñòâèé òàêîâ:
1
4
2
3
5
6
(28 · 93 + (1927 – 1873) · 31) : 6 – 710.
3. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì. Åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî
m íå äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî n, ò. å. íå ñóùåñòâóåò òàêîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà k, ÷òî m = nk, òî
ðàññìàòðèâàþò äåëåíèå ñ îñòàòêîì. Íàïðèìåð, ïðè
äåëåíèè ÷èñëà 43 íà ÷èñëî 18 â ÷àñòíîì ïîëó÷àåòñÿ
2 è â îñòàòêå 7, ò. å. 43 = 18 · 2 + 7.  îáùåì ñëó÷àå,
åñëè m — äåëèìîå, n — äåëèòåëü (m > n), p — ÷àñòíîå è r — îñòàòîê, òî
m = np + r,
(1)
ãäå r < n. Çäåñü m, n, p, r — íàòóðàëüíûå ÷èñëà (èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿåò ñëó÷àé, êîãäà m äåëèòñÿ íà n
áåç îñòàòêà è r = 0). Íàïðèìåð, åñëè n = 3, à r = 2, òî
m = 3p + 2. Ýòî ôîðìóëà ÷èñåë, êîòîðûå ïðè äåëåíèè
íà 3 äàþò â îñòàòêå 2.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ÷àñòíîå è îñòàòîê îò äåëåíèÿ
÷èñëà 36 421 íà ÷èñëî 25.
q Âûïîëíèì äåëåíèå «óãëîì»:
–36421 25
25
1456
114
–
100
– 142
125
–171
150
21
7
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
4
èëè
ãäå
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
am = c1c2...cm -1cm ,
c1, c2 ,..., cm -1, cm — öèôðû.
2. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè. Ðåçóëüòàòîì ñëîæåíèÿ èëè óìíîæåíèÿ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë âñåãäà ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî: åñëè m, n — íàòóðàëüíûå ÷èñëà, òî
ð = m + n òàêæå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, m è n — ñëàãàåìûå, ð — ñóììà; ð = mn òàêæå íàòóðàëüíîå ÷èñëî,
m, n — ìíîæèòåëè, ð — ïðîèçâåäåíèå.
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
10. a + b = b + a (ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî
ñëîæåíèÿ);
20. (a + b) + c = a + (b + c) (ñî÷åòàòåëüíîå ñâîéñòâî ñëîæåíèÿ);
30. ab = ba (ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî óìíîæåíèÿ);
40. (ab) c = a (bc) (ñî÷åòàòåëüíîå ñâîéñòâî óìíîæåíèÿ);
50. a (b + c) = ab + ac (ðàñïðåäåëèòåëüíîå ñâîéñòâî óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ).
 ðåçóëüòàòå âû÷èòàíèÿ èëè äåëåíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íå âñåãäà ïîëó÷àåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
Åñëè m, n, k — íàòóðàëüíûå ÷èñëà, òî ïðè m – n =
= k ãîâîðÿò, ÷òî m — óìåíüøàåìîå, n — âû÷èòàåìîå, k — ðàçíîñòü; ïðè m : n = k ãîâîðÿò, ÷òî m —
äåëèìîå, n — äåëèòåëü, k — ÷àñòíîå; ÷èñëî m íàçûâàþò òàêæå êðàòíûì ÷èñëà n, à ÷èñëî n — äåëèòåëåì ÷èñëà m. Åñëè m — êðàòíîå ÷èñëà n, òî ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî k òàêîå, ÷òî m = kn.
Èç ÷èñåë ñ ïîìîùüþ çíàêîâ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáîê ñîñòàâëÿþò ÷èñëîâûå âûðàæåíèÿ.
Åñëè â ÷èñëîâîì âûðàæåíèè âûïîëíèòü óêàçàííûå
äåéñòâèÿ, ñîáëþäàÿ ïðèíÿòûé ïîðÿäîê, òî ïîëó÷èòñÿ
÷èñëî, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì âûðàæåíèÿ.
6
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
4
§ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
Íàïîìíèì ïîðÿäîê àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé â
÷èñëîâîì âûðàæåíèè: ïðåæäå âñåãî âûïîëíÿþò äåéñòâèÿ â ñêîáêàõ; âíóòðè ëþáûõ ñêîáîê ñíà÷àëà âûïîëíÿþò óìíîæåíèå è äåëåíèå, à çàòåì ñëîæåíèå è
âû÷èòàíèå. Íàïðèìåð, åñëè íóæíî íàéòè çíà÷åíèå
âûðàæåíèÿ
(28 · 93 + (1927 – 1873) · 31) : 6 – 710,
òî ïîðÿäîê äåéñòâèé òàêîâ:
1
4
2
3
5
6
(28 · 93 + (1927 – 1873) · 31) : 6 – 710.
3. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì. Åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî
m íå äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî n, ò. å. íå ñóùåñòâóåò òàêîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà k, ÷òî m = nk, òî
ðàññìàòðèâàþò äåëåíèå ñ îñòàòêîì. Íàïðèìåð, ïðè
äåëåíèè ÷èñëà 43 íà ÷èñëî 18 â ÷àñòíîì ïîëó÷àåòñÿ
2 è â îñòàòêå 7, ò. å. 43 = 18 · 2 + 7.  îáùåì ñëó÷àå,
åñëè m — äåëèìîå, n — äåëèòåëü (m > n), p — ÷àñòíîå è r — îñòàòîê, òî
m = np + r,
(1)
ãäå r < n. Çäåñü m, n, p, r — íàòóðàëüíûå ÷èñëà (èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿåò ñëó÷àé, êîãäà m äåëèòñÿ íà n
áåç îñòàòêà è r = 0). Íàïðèìåð, åñëè n = 3, à r = 2, òî
m = 3p + 2. Ýòî ôîðìóëà ÷èñåë, êîòîðûå ïðè äåëåíèè
íà 3 äàþò â îñòàòêå 2.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ÷àñòíîå è îñòàòîê îò äåëåíèÿ
÷èñëà 36 421 íà ÷èñëî 25.
q Âûïîëíèì äåëåíèå «óãëîì»:
–36421 25
25
1456
114
–
100
– 142
125
–171
150
21
7
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
Èòàê, ÷àñòíîå 1456, à îñòàòîê 21. Âîñïîëüçîâàâøèñü ðàâåíñòâîì (1), ìîæåì çàïèñàòü:
36 421 = 25 · 1456 + 21.
Çàìåòèì, ÷òî ýòîò ïðèìåð ìîæíî ðåøèòü è ïî-äðóãîìó, íå èñïîëüçóÿ äåëåíèå «óãëîì», à íåïîñðåäñòâåííî èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1). Èìååì 36 421 =
= 36 400 + 21 = 25 · 1456 + 21. Çíà÷èò, 1456 — ÷àñòíîå, à 21 — îñòàòîê. n
4. Ðàçëîæåíèå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà ïðîñòûå
ìíîæèòåëè. Åñëè ÷èñëî èìååò òîëüêî äâà äåëèòåëÿ — ñàìî ñåáÿ è åäèíèöó, òî îíî íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì; åñëè ÷èñëî èìååò áîëåå äâóõ äåëèòåëåé, òî
îíî íàçûâàåòñÿ ñîñòàâíûì; ÷èñëî 1 íå îòíîñÿò íè ê
ïðîñòûì, íè ê ñîñòàâíûì. Òàê, ÷èñëî 37 ïðîñòîå, îíî
èìååò òîëüêî äâà äåëèòåëÿ: 1 è 37; ÷èñëî 36 ñîñòàâíîå, îíî èìååò áîëåå äâóõ äåëèòåëåé: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18,
36. Ïðîñòîå ÷èñëî 37 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë òîëüêî îäíèì ñïîñîáîì (åñëè íå ó÷èòûâàòü ïîðÿäîê ìíîæèòåëåé):
37 = 1 · 37; ñîñòàâíîå ÷èñëî 36 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë áîëåå ÷åì
îäíèì ñïîñîáîì: 36 = 1 · 36 = 2 · 18 = 3 · 12 è ò. ä.
Îäíàêî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòûõ ìíîæèòåëåé
ñîñòàâíîå ÷èñëî 36 ìîæíî ïðåäñòàâèòü òîëüêî îäíèì
ñïîñîáîì: 36 = 2 · 2 · 3 · 3.
Ò.1.1. Ëþáîå ñîñòàâíîå ÷èñëî ìîæíî ðàçëîæèòü íà
ïðîñòûå ìíîæèòåëè, ïðè÷åì òîëüêî îäíèì ñïîñîáîì.
Åñëè â ðàçëîæåíèè ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè
îäèí è òîò æå ìíîæèòåëü à âñòðå÷àåòñÿ n ðàç, òî çà× a = a n . Âûðàæåa × ...
ïèñûâàþò êðàòêî: an , ò. å. a
1×42
43
n
8
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
3/
1/
4
4
íèå an íàçûâàþò ñòåïåíüþ, à — îñíîâàíèåì ñòåïåíè, n — ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè.
Ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü:
360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 23 · 32 · 5.
5. Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü íåñêîëüêèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ïóñòü äàíû ÷èñëà 72 è 96. Âûïèøåì âñå äåëèòåëè ÷èñëà 72:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 , 18, 24, 36, 72.
Âûïèøåì âñå äåëèòåëè ÷èñëà 96:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96.
Ñðåäè âûïèñàííûõ ÷èñåë åñòü îäèíàêîâûå:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Âñå ýòè ÷èñëà íàçûâàþò îáùèìè äåëèòåëÿìè
÷èñåë 72 è 96, à íàèáîëüøåå èç íèõ — íàèáîëüøèì
îáùèì äåëèòåëåì.
Äëÿ ëþáûõ çàäàííûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë à è b
ìîæíî íàéòè íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü. Îí îáîçíà÷àåòñÿ D (a, b) (÷èòàåòñÿ: «D îò a, b»). Åñëè ÷èñëà
a è b òàêîâû, ÷òî D (a, b) = 1, òî îíè íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïðîñòûìè.
Íàïðèìåð, âçàèìíî ïðîñòûìè ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà 72
è 35 (õîòÿ êàæäîå èç íèõ — ñîñòàâíîå ÷èñëî).
×òîáû íàéòè íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü íåñêîëüêèõ ÷èñåë, íàäî ðàçëîæèòü ýòè ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè è íàéòè ïðîèçâåäåíèå îáùèõ ïðîñòûõ ìíîæèòåëåé, âçÿâ êàæäûé èç íèõ ñ íàèìåíüøèì (èç èìåþùèõñÿ) ïîêàçàòåëåì.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè D (3780, 7056).
q Èìååì 3780 = 22 · 33 · 5 · 7, 7056 = 24 · 32 · 72.
Òîãäà D (3780, 7056) = 22 · 32 · 7 = 252; âçÿòû òå
ïðîñòûå ìíîæèòåëè, êîòîðûå âõîäÿò è â ðàçëîæåíèå
÷èñëà 3780, è â ðàçëîæåíèå ÷èñëà 7056. n
9
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
Èòàê, ÷àñòíîå 1456, à îñòàòîê 21. Âîñïîëüçîâàâøèñü ðàâåíñòâîì (1), ìîæåì çàïèñàòü:
36 421 = 25 · 1456 + 21.
Çàìåòèì, ÷òî ýòîò ïðèìåð ìîæíî ðåøèòü è ïî-äðóãîìó, íå èñïîëüçóÿ äåëåíèå «óãëîì», à íåïîñðåäñòâåííî èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1). Èìååì 36 421 =
= 36 400 + 21 = 25 · 1456 + 21. Çíà÷èò, 1456 — ÷àñòíîå, à 21 — îñòàòîê. n
4. Ðàçëîæåíèå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà ïðîñòûå
ìíîæèòåëè. Åñëè ÷èñëî èìååò òîëüêî äâà äåëèòåëÿ — ñàìî ñåáÿ è åäèíèöó, òî îíî íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì; åñëè ÷èñëî èìååò áîëåå äâóõ äåëèòåëåé, òî
îíî íàçûâàåòñÿ ñîñòàâíûì; ÷èñëî 1 íå îòíîñÿò íè ê
ïðîñòûì, íè ê ñîñòàâíûì. Òàê, ÷èñëî 37 ïðîñòîå, îíî
èìååò òîëüêî äâà äåëèòåëÿ: 1 è 37; ÷èñëî 36 ñîñòàâíîå, îíî èìååò áîëåå äâóõ äåëèòåëåé: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18,
36. Ïðîñòîå ÷èñëî 37 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë òîëüêî îäíèì ñïîñîáîì (åñëè íå ó÷èòûâàòü ïîðÿäîê ìíîæèòåëåé):
37 = 1 · 37; ñîñòàâíîå ÷èñëî 36 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë áîëåå ÷åì
îäíèì ñïîñîáîì: 36 = 1 · 36 = 2 · 18 = 3 · 12 è ò. ä.
Îäíàêî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòûõ ìíîæèòåëåé
ñîñòàâíîå ÷èñëî 36 ìîæíî ïðåäñòàâèòü òîëüêî îäíèì
ñïîñîáîì: 36 = 2 · 2 · 3 · 3.
Ò.1.1. Ëþáîå ñîñòàâíîå ÷èñëî ìîæíî ðàçëîæèòü íà
ïðîñòûå ìíîæèòåëè, ïðè÷åì òîëüêî îäíèì ñïîñîáîì.
Åñëè â ðàçëîæåíèè ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè
îäèí è òîò æå ìíîæèòåëü à âñòðå÷àåòñÿ n ðàç, òî çà× a = a n . Âûðàæåa × ...
ïèñûâàþò êðàòêî: an , ò. å. a
1×42
43
n
8
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
3/
1/
4
4
íèå an íàçûâàþò ñòåïåíüþ, à — îñíîâàíèåì ñòåïåíè, n — ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè.
Ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü:
360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 23 · 32 · 5.
5. Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü íåñêîëüêèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ïóñòü äàíû ÷èñëà 72 è 96. Âûïèøåì âñå äåëèòåëè ÷èñëà 72:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 , 18, 24, 36, 72.
Âûïèøåì âñå äåëèòåëè ÷èñëà 96:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96.
Ñðåäè âûïèñàííûõ ÷èñåë åñòü îäèíàêîâûå:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Âñå ýòè ÷èñëà íàçûâàþò îáùèìè äåëèòåëÿìè
÷èñåë 72 è 96, à íàèáîëüøåå èç íèõ — íàèáîëüøèì
îáùèì äåëèòåëåì.
Äëÿ ëþáûõ çàäàííûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë à è b
ìîæíî íàéòè íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü. Îí îáîçíà÷àåòñÿ D (a, b) (÷èòàåòñÿ: «D îò a, b»). Åñëè ÷èñëà
a è b òàêîâû, ÷òî D (a, b) = 1, òî îíè íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïðîñòûìè.
Íàïðèìåð, âçàèìíî ïðîñòûìè ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà 72
è 35 (õîòÿ êàæäîå èç íèõ — ñîñòàâíîå ÷èñëî).
×òîáû íàéòè íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü íåñêîëüêèõ ÷èñåë, íàäî ðàçëîæèòü ýòè ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè è íàéòè ïðîèçâåäåíèå îáùèõ ïðîñòûõ ìíîæèòåëåé, âçÿâ êàæäûé èç íèõ ñ íàèìåíüøèì (èç èìåþùèõñÿ) ïîêàçàòåëåì.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè D (3780, 7056).
q Èìååì 3780 = 22 · 33 · 5 · 7, 7056 = 24 · 32 · 72.
Òîãäà D (3780, 7056) = 22 · 32 · 7 = 252; âçÿòû òå
ïðîñòûå ìíîæèòåëè, êîòîðûå âõîäÿò è â ðàçëîæåíèå
÷èñëà 3780, è â ðàçëîæåíèå ÷èñëà 7056. n
9
3/
1/
4
4
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
6. Íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå íåñêîëüêèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ïóñòü äàíû ÷èñëà 12 è 18. Âûïèøåì íåñêîëüêî ÷èñåë, êðàòíûõ ÷èñëó 12:
12, 24, 36, 48, 60, 72, ... .
Âûïèøåì ÷èñëà, êðàòíûå 18:
18, 36, 54,72, ... .
Ñðåäè âûïèñàííûõ ÷èñåë åñòü îäèíàêîâûå:
36, 72, ... .
Òàêèå ÷èñëà íàçûâàþò îáùèìè êðàòíûìè ÷èñåë 12 è 18, à íàèìåíüøåå èç íèõ (÷èñëî 36) — íàèìåíüøèì îáùèì êðàòíûì.
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íàèìåíüøåå îáùåå
êðàòíîå ïðîèçâîëüíûõ ÷èñåë à è b, îíî îáîçíà÷àåòñÿ
K (a, b) (÷èòàåòñÿ: «K îò a, b»). Ëþáîå îáùåå êðàòíîå
÷èñåë à è b äåëèòñÿ íà K (a, b).
×òîáû íàéòè íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå íåñêîëüêèõ ÷èñåë, íàäî ðàçëîæèòü ýòè ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè è íàéòè ïðîèçâåäåíèå âñåõ ïîëó÷èâøèõñÿ ïðîñòûõ ìíîæèòåëåé, âçÿâ êàæäûé èç íèõ
ñ íàèáîëüøèì (èç èìåþùèõñÿ) ïîêàçàòåëåì.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè K (3780, 7056).
q Èìååì 3780 = 22 · 33 · 5 · 7; 7056 = 24 · 32 · 72
(ñì. ï. 5). Òîãäà K (3780, 7056) = 24 · 33 · 5 · 72,
ò. å. âçÿòû âñå ïðîñòûå ìíîæèòåëè, êîòîðûå âõîäÿò â
ðàçëîæåíèå õîòÿ áû îäíîãî èç ÷èñåë 3780 è 7056.
Èòàê, K (3780, 7056) = 24 · 33 · 5 · 72 = 105 840. n
Äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë à è b ñïðàâåäëèâî
ðàâåíñòâî
D (a, b) · K (a, b) = ab.
Åñëè, â ÷àñòíîñòè, ÷èñëà à è b âçàèìíî ïðîñòûå,
ò. å. D (a, b) = 1, òî K (a, b) = ab. Ýòî çíà÷èò, ÷òî
íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå äâóõ âçàèìíî ïðîñòûõ
10
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
3/
1/
4
4
÷èñåë ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ýòèõ ÷èñåë. Íàïðèìåð,
K (15, 16) = 15 · 16 = 240.
7. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ,
íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî à, ìîæíî îòâåòèòü íà âîïðîñ, äåëèòñÿ
ëè n íà à áåç îñòàòêà èëè íåò. Ýòî äîñòèãàåòñÿ ñ
ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ ïðèçíàêîâ äåëèìîñòè.
Èíîãäà óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ñîêðàùåííîé çàïèñüþ
n M a , îçíà÷àþùåé, ÷òî íàòóðàëüíîå ÷èñëî n äåëèòñÿ
íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî à (áåç îñòàòêà).
Ò.1.2. Åñëè â ñóììå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë êàæäîå ñëàãàåìîå äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî à, òî è âñÿ
ñóììà äåëèòñÿ íà ÷èñëî à (òåîðåìà î äåëèìîñòè ñóììû).
Êðàòêî ýòî ìîæíî çàïèñàòü òàê:
åñëè m M a, n M a, k M a, òî è (m + n + k) M a .
Îäíàêî íå ñëåäóåò ñ÷èòàòü, ÷òî åñëè êàæäîå ñëàãàåìîå ñóììû íå äåëèòñÿ íà êàêîå-òî ÷èñëî, òî è ñóììà íå äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî. Íàïðèìåð, ñóììà
37 + 19 äåëèòñÿ íà 4, õîòÿ íè 37, íè 19 íå ÿâëÿþòñÿ
êðàòíûìè ÷èñëà 4. Âìåñòå ñ òåì, çàìåòèì, ÷òî åñëè
âñå ñëàãàåìûå, êðîìå îäíîãî, äåëÿòñÿ íà íåêîòîðîå ÷èñëî, òî ñóììà íå äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî.
Ò.1.3. Åñëè â ïðîèçâåäåíèè õîòÿ áû îäèí èç ìíîæèòåëåé äåëèòñÿ íà íåêîòîðîå ÷èñëî, òî è ïðîèçâåäåíèå äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî (òåîðåìà î äåëèìîñòè ïðîèçâåäåíèÿ).
Íàïðèìåð, íå âûïîëíÿÿ óìíîæåíèÿ, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå 105 · 48 · 93 · 54 äåëèòñÿ íà
5, òàê êàê 105 äåëèòñÿ íà 5.
Ò.1.4. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 2 òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ïîñëåäíÿÿ öèôðà äåëèòñÿ
íà 2 (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2).
11
3/
1/
4
4
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
6. Íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå íåñêîëüêèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ïóñòü äàíû ÷èñëà 12 è 18. Âûïèøåì íåñêîëüêî ÷èñåë, êðàòíûõ ÷èñëó 12:
12, 24, 36, 48, 60, 72, ... .
Âûïèøåì ÷èñëà, êðàòíûå 18:
18, 36, 54,72, ... .
Ñðåäè âûïèñàííûõ ÷èñåë åñòü îäèíàêîâûå:
36, 72, ... .
Òàêèå ÷èñëà íàçûâàþò îáùèìè êðàòíûìè ÷èñåë 12 è 18, à íàèìåíüøåå èç íèõ (÷èñëî 36) — íàèìåíüøèì îáùèì êðàòíûì.
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íàèìåíüøåå îáùåå
êðàòíîå ïðîèçâîëüíûõ ÷èñåë à è b, îíî îáîçíà÷àåòñÿ
K (a, b) (÷èòàåòñÿ: «K îò a, b»). Ëþáîå îáùåå êðàòíîå
÷èñåë à è b äåëèòñÿ íà K (a, b).
×òîáû íàéòè íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå íåñêîëüêèõ ÷èñåë, íàäî ðàçëîæèòü ýòè ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè è íàéòè ïðîèçâåäåíèå âñåõ ïîëó÷èâøèõñÿ ïðîñòûõ ìíîæèòåëåé, âçÿâ êàæäûé èç íèõ
ñ íàèáîëüøèì (èç èìåþùèõñÿ) ïîêàçàòåëåì.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè K (3780, 7056).
q Èìååì 3780 = 22 · 33 · 5 · 7; 7056 = 24 · 32 · 72
(ñì. ï. 5). Òîãäà K (3780, 7056) = 24 · 33 · 5 · 72,
ò. å. âçÿòû âñå ïðîñòûå ìíîæèòåëè, êîòîðûå âõîäÿò â
ðàçëîæåíèå õîòÿ áû îäíîãî èç ÷èñåë 3780 è 7056.
Èòàê, K (3780, 7056) = 24 · 33 · 5 · 72 = 105 840. n
Äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë à è b ñïðàâåäëèâî
ðàâåíñòâî
D (a, b) · K (a, b) = ab.
Åñëè, â ÷àñòíîñòè, ÷èñëà à è b âçàèìíî ïðîñòûå,
ò. å. D (a, b) = 1, òî K (a, b) = ab. Ýòî çíà÷èò, ÷òî
íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå äâóõ âçàèìíî ïðîñòûõ
10
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
3/
1/
4
4
÷èñåë ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ýòèõ ÷èñåë. Íàïðèìåð,
K (15, 16) = 15 · 16 = 240.
7. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ,
íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî à, ìîæíî îòâåòèòü íà âîïðîñ, äåëèòñÿ
ëè n íà à áåç îñòàòêà èëè íåò. Ýòî äîñòèãàåòñÿ ñ
ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ ïðèçíàêîâ äåëèìîñòè.
Èíîãäà óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ñîêðàùåííîé çàïèñüþ
n M a , îçíà÷àþùåé, ÷òî íàòóðàëüíîå ÷èñëî n äåëèòñÿ
íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî à (áåç îñòàòêà).
Ò.1.2. Åñëè â ñóììå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë êàæäîå ñëàãàåìîå äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî à, òî è âñÿ
ñóììà äåëèòñÿ íà ÷èñëî à (òåîðåìà î äåëèìîñòè ñóììû).
Êðàòêî ýòî ìîæíî çàïèñàòü òàê:
åñëè m M a, n M a, k M a, òî è (m + n + k) M a .
Îäíàêî íå ñëåäóåò ñ÷èòàòü, ÷òî åñëè êàæäîå ñëàãàåìîå ñóììû íå äåëèòñÿ íà êàêîå-òî ÷èñëî, òî è ñóììà íå äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî. Íàïðèìåð, ñóììà
37 + 19 äåëèòñÿ íà 4, õîòÿ íè 37, íè 19 íå ÿâëÿþòñÿ
êðàòíûìè ÷èñëà 4. Âìåñòå ñ òåì, çàìåòèì, ÷òî åñëè
âñå ñëàãàåìûå, êðîìå îäíîãî, äåëÿòñÿ íà íåêîòîðîå ÷èñëî, òî ñóììà íå äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî.
Ò.1.3. Åñëè â ïðîèçâåäåíèè õîòÿ áû îäèí èç ìíîæèòåëåé äåëèòñÿ íà íåêîòîðîå ÷èñëî, òî è ïðîèçâåäåíèå äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî (òåîðåìà î äåëèìîñòè ïðîèçâåäåíèÿ).
Íàïðèìåð, íå âûïîëíÿÿ óìíîæåíèÿ, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå 105 · 48 · 93 · 54 äåëèòñÿ íà
5, òàê êàê 105 äåëèòñÿ íà 5.
Ò.1.4. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 2 òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ïîñëåäíÿÿ öèôðà äåëèòñÿ
íà 2 (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2).
11
3/
1/
4
4
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
Ò.1.5. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 5 òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ïîñëåäíÿÿ öèôðà ëèáî 0,
ëèáî 5 (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 5).
Ò.1.6. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 10 òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ïîñëåäíÿÿ öèôðà 0 (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 10).
Ò.1.7. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ñîäåðæàùåå íå ìåíåå òðåõ
öèôð, äåëèòñÿ íà 4 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
äåëèòñÿ íà 4 äâóçíà÷íîå ÷èñëî, îáðàçîâàííîå ïîñëåäíèìè äâóìÿ öèôðàìè çàäàííîãî ÷èñëà (ïðèçíàê
äåëèìîñòè íà 4).
Íàïðèìåð, 4724 äåëèòñÿ íà 4, òàê êàê äâóçíà÷íîå
÷èñëî 24 äåëèòñÿ íà 4; 4318 íå äåëèòñÿ íà 4, ïîñêîëüêó äâóçíà÷íîå ÷èñëî 18 íå äåëèòñÿ íà 4.
Ò.1.8. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ñîäåðæàùåå íå ìåíåå òðåõ
öèôð, äåëèòñÿ íà 25 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
äåëèòñÿ íà 25 äâóçíà÷íîå ÷èñëî, îáðàçîâàííîå ïîñëåäíèìè äâóìÿ öèôðàìè çàäàííîãî ÷èñëà (ïðèçíàê
äåëèìîñòè íà 25).
Ò.1.9. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 3 òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóììà åãî öèôð äåëèòñÿ íà 3
(ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 3).
Íàïðèìåð, 27 426 äåëèòñÿ íà 3, ïîñêîëüêó ñóììà
åãî öèôð, ò. å. ÷èñëî 21, äåëèòñÿ íà 3.  òî æå âðåìÿ
17 945 íå äåëèòñÿ íà 3, òàê êàê ñóììà åãî öèôð, ò. å.
÷èñëî 26, íå äåëèòñÿ íà 3.
Ò.1.10. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 9 òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóììà åãî öèôð äåëèòñÿ íà 9
(ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 9).
Ò.1.11. Åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî n èìååò ñâîèìè äåëèòåëÿìè ÷èñëà à è b, òî îíî äåëèòñÿ è íà èõ
íàèìåíüøåå êðàòíîå.
Ï ð è ì å ð. Íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ, óñòàíîâèòü,
äåëèòñÿ ëè 26 775 íà 225.
12
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
1/
4
4
q Íàéäåì ñóììó öèôð ÷èñëà 26 775. Îíà ðàâíà
27. Òàê êàê 27M 9 , òî ïî òåîðåìå 1.10 è 26 775 M 9 .
Äàëåå, òàê êàê 75M 25 òî ïî òåîðåìå 1.8 è 26 775M 25 .
Íàêîíåö, òàê êàê ÷èñëà 9 è 25 âçàèìíî ïðîñòûå, òî
K (9, 25) = 9 · 25 = 225 (ñì. ï.6), à ïî òåîðåìå 1.11
çàäàííîå ÷èñëî 26 775 äåëèòñÿ íà Ê (a, b), ò. å. íà 225. n
8. Óïîòðåáëåíèå áóêâ â àëãåáðå. Ïåðåìåííûå.
 àëãåáðå ÷àñòî êîíêðåòíûå ñâîéñòâà ÷èñåë çàïèñûâàþò ñ ïîìîùüþ áóêâ. Íàïðèìåð, ïåðåìåñòèòåëüíîå
ñâîéñòâî ñëîæåíèÿ çàïèñûâàþò òàê: a + b = b + a, ãäå
âìåñòî a è b ìîæíî ïîäñòàâèòü ëþáûå ÷èñëà: 3 + 5 =
= 5 + 3; 100 + 3501 = 3501 + 100 è ò. ä. ×èñëî,
ïîäñòàâëÿåìîå âìåñòî áóêâû, íàçûâàþò åå çíà÷åíèåì.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ (íàïðèìåð, â óðàâíåíèÿõ)
âìåñòî áóêâû ìîæíî ïîäñòàâèòü òîëüêî îïðåäåëåííûå ÷èñëà, ÷òîáû íàïèñàííîå ðàâåíñòâî áûëî âåðíûì.
Íàïðèìåð, 7 + õ = 10 îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ðàâåíñòâî
ëèøü ïðè õ = 3. Óïîòðåáëÿåìûå â àëãåáðå áóêâû
íàçûâàþò ïåðåìåííûìè; ñìûñë òàêîãî íàçâàíèÿ
ñîñòîèò â òîì, ÷òî ÷èñëîâîå çíà÷åíèå áóêâû ìîæíî
èçìåíèòü: íàïðèìåð, â ðàâåíñòâå a + b = b + a ìîæíî
ïîëîæèòü à = 3, b = 5, à ìîæíî à = 7, b = 19 è ò. ä. —
âî âñåõ ñëó÷àÿõ ðàâåíñòâî áóäåò âåðíî.  ðàâåíñòâå
7 + õ = 10 ìîæíî ïîëîæèòü õ = 3, à ìîæíî õ = 5;
ðàçíèöà â òîì, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå ïîëó÷àåòñÿ âåðíîå ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî, à âî âòîðîì — íåâåðíîå.
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
9. Îáûêíîâåííûå äðîáè. Ïðàâèëüíûå è íåïðàâèëüíûå äðîáè. Ñìåøàííûå ÷èñëà. Îáûêíîâåííàÿ
m
äðîáü — ýòî ÷èñëî âèäà
, ãäå m è n — íàòóðàëün
13
3/
1/
4
4
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
Ò.1.5. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 5 òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ïîñëåäíÿÿ öèôðà ëèáî 0,
ëèáî 5 (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 5).
Ò.1.6. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 10 òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ïîñëåäíÿÿ öèôðà 0 (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 10).
Ò.1.7. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ñîäåðæàùåå íå ìåíåå òðåõ
öèôð, äåëèòñÿ íà 4 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
äåëèòñÿ íà 4 äâóçíà÷íîå ÷èñëî, îáðàçîâàííîå ïîñëåäíèìè äâóìÿ öèôðàìè çàäàííîãî ÷èñëà (ïðèçíàê
äåëèìîñòè íà 4).
Íàïðèìåð, 4724 äåëèòñÿ íà 4, òàê êàê äâóçíà÷íîå
÷èñëî 24 äåëèòñÿ íà 4; 4318 íå äåëèòñÿ íà 4, ïîñêîëüêó äâóçíà÷íîå ÷èñëî 18 íå äåëèòñÿ íà 4.
Ò.1.8. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ñîäåðæàùåå íå ìåíåå òðåõ
öèôð, äåëèòñÿ íà 25 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
äåëèòñÿ íà 25 äâóçíà÷íîå ÷èñëî, îáðàçîâàííîå ïîñëåäíèìè äâóìÿ öèôðàìè çàäàííîãî ÷èñëà (ïðèçíàê
äåëèìîñòè íà 25).
Ò.1.9. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 3 òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóììà åãî öèôð äåëèòñÿ íà 3
(ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 3).
Íàïðèìåð, 27 426 äåëèòñÿ íà 3, ïîñêîëüêó ñóììà
åãî öèôð, ò. å. ÷èñëî 21, äåëèòñÿ íà 3.  òî æå âðåìÿ
17 945 íå äåëèòñÿ íà 3, òàê êàê ñóììà åãî öèôð, ò. å.
÷èñëî 26, íå äåëèòñÿ íà 3.
Ò.1.10. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 9 òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóììà åãî öèôð äåëèòñÿ íà 9
(ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 9).
Ò.1.11. Åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî n èìååò ñâîèìè äåëèòåëÿìè ÷èñëà à è b, òî îíî äåëèòñÿ è íà èõ
íàèìåíüøåå êðàòíîå.
Ï ð è ì å ð. Íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ, óñòàíîâèòü,
äåëèòñÿ ëè 26 775 íà 225.
12
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
1/
4
4
q Íàéäåì ñóììó öèôð ÷èñëà 26 775. Îíà ðàâíà
27. Òàê êàê 27M 9 , òî ïî òåîðåìå 1.10 è 26 775 M 9 .
Äàëåå, òàê êàê 75M 25 òî ïî òåîðåìå 1.8 è 26 775M 25 .
Íàêîíåö, òàê êàê ÷èñëà 9 è 25 âçàèìíî ïðîñòûå, òî
K (9, 25) = 9 · 25 = 225 (ñì. ï.6), à ïî òåîðåìå 1.11
çàäàííîå ÷èñëî 26 775 äåëèòñÿ íà Ê (a, b), ò. å. íà 225. n
8. Óïîòðåáëåíèå áóêâ â àëãåáðå. Ïåðåìåííûå.
 àëãåáðå ÷àñòî êîíêðåòíûå ñâîéñòâà ÷èñåë çàïèñûâàþò ñ ïîìîùüþ áóêâ. Íàïðèìåð, ïåðåìåñòèòåëüíîå
ñâîéñòâî ñëîæåíèÿ çàïèñûâàþò òàê: a + b = b + a, ãäå
âìåñòî a è b ìîæíî ïîäñòàâèòü ëþáûå ÷èñëà: 3 + 5 =
= 5 + 3; 100 + 3501 = 3501 + 100 è ò. ä. ×èñëî,
ïîäñòàâëÿåìîå âìåñòî áóêâû, íàçûâàþò åå çíà÷åíèåì.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ (íàïðèìåð, â óðàâíåíèÿõ)
âìåñòî áóêâû ìîæíî ïîäñòàâèòü òîëüêî îïðåäåëåííûå ÷èñëà, ÷òîáû íàïèñàííîå ðàâåíñòâî áûëî âåðíûì.
Íàïðèìåð, 7 + õ = 10 îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ðàâåíñòâî
ëèøü ïðè õ = 3. Óïîòðåáëÿåìûå â àëãåáðå áóêâû
íàçûâàþò ïåðåìåííûìè; ñìûñë òàêîãî íàçâàíèÿ
ñîñòîèò â òîì, ÷òî ÷èñëîâîå çíà÷åíèå áóêâû ìîæíî
èçìåíèòü: íàïðèìåð, â ðàâåíñòâå a + b = b + a ìîæíî
ïîëîæèòü à = 3, b = 5, à ìîæíî à = 7, b = 19 è ò. ä. —
âî âñåõ ñëó÷àÿõ ðàâåíñòâî áóäåò âåðíî.  ðàâåíñòâå
7 + õ = 10 ìîæíî ïîëîæèòü õ = 3, à ìîæíî õ = 5;
ðàçíèöà â òîì, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå ïîëó÷àåòñÿ âåðíîå ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî, à âî âòîðîì — íåâåðíîå.
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
9. Îáûêíîâåííûå äðîáè. Ïðàâèëüíûå è íåïðàâèëüíûå äðîáè. Ñìåøàííûå ÷èñëà. Îáûêíîâåííàÿ
m
äðîáü — ýòî ÷èñëî âèäà
, ãäå m è n — íàòóðàëün
13
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
12 15
,
. ×èñëî m íàçûâàþò ÷èñ17 8
ëèòåëåì äðîáè, n — çíàìåíàòåëåì.  ÷àñòíîñòè,
m
,
ìîæåò áûòü n = 1, â ýòîì ñëó÷àå äðîáü èìååò âèä
1
íî ÷àùå ïèøóò ïðîñòî m. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñÿêîå
íàòóðàëüíîå ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå îáûêm
íîâåííîé äðîáè ñî çíàìåíàòåëåì 1. Çàïèñü
—
n
äðóãîé âàðèàíò çàïèñè m : n.
Ñðåäè îáûêíîâåííûõ äðîáåé ðàçëè÷àþò ïðàâèëüm
íûå è íåïðàâèëüíûå. Äðîáü
íàçûâàåòñÿ ïðàâèëün
íîé, åñëè åå ÷èñëèòåëü ìåíüøå çíàìåíàòåëÿ, è íåïðàâèëüíîé, åñëè åå ÷èñëèòåëü áîëüøå çíàìåíàòåëÿ
èëè ðàâåí åìó.
Âñÿêóþ íåïðàâèëüíóþ äðîáü ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå ñóììû íàòóðàëüíîãî ÷èñëà è ïðàâèëüíîé äðîm
áè (èëè â âèäå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà, åñëè äðîáü
n
òàêîâà, ÷òî m êðàòíî n).
íûå ÷èñëà, íàïðèìåð
Íàïðèìåð,
43 39 + 4 39
4
4
=
=
+
= 3+
.
13
13
13 13
13
Ïðèíÿòî ñóììó íàòóðàëüíîãî ÷èñëà è ïðàâèëüíîé äðîáè çàïèñûâàòü áåç çíàêà ñëîæåíèÿ, ò. å. âìåñ4
4
ïèøóò 3
. ×èñëî, çàïèñàííîå â òàêîì
òî 3 +
13
13
âèäå, íàçûâàåòñÿ ñìåøàííûì. Îíî ñîñòîèò èç äâóõ
14
ÀËÃÅÁÐÀ
4
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
÷àñòåé: öåëîé è äðîáíîé. Òàê, äëÿ ÷èñëà 3
3/
1/
4
4
4
öåëàÿ
13
4
. Âñÿêóþ íåïðà13
âèëüíóþ äðîáü ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ñìåøàííîãî
÷èñëà (èëè â âèäå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà). Âåðíî è îáðàòíîå: âñÿêîå ñìåøàííîå èëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå íåïðàâèëüíîé äðîáè. Íàïðèìåð,
1
1 12 1 13
3
4 = 4+ =
+ =
;3= .
3
3
3 3
3
1
÷àñòü ðàâíà 3, à äðîáíàÿ ðàâíà
10. Ðàâåíñòâî äðîáåé. Îñíîâíîå ñâîéñòâî äðîa
c
è
ñ÷èòàáè. Ñîêðàùåíèå äðîáåé. Äâå äðîáè
b
d
þòñÿ ðàâíûìè, åñëè ad = bc. Íàïðèìåð, ðàâíûìè ÿâ3
9
12
ëÿþòñÿ äðîáè
è
(òàê êàê 3 · 15 = 5 · 9),
è
5
15
7
24
(ïîñêîëüêó 12 · 14 = 7 · 24).
14
Èç îïðåäåëåíèÿ ðàâåíñòâà äðîáåé ñëåäóåò, ÷òî äðîa
am
áè
è
ðàâíû, òàê êàê a (bm) = b (am), çäåñü
b
bm
èñïîëüçîâàíû ñî÷åòàòåëüíîå è ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâà óìíîæåíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë (ñì. ï. 2). Çíàa am
=
, ò. å. åñëè ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü
÷èò,
b bm
äàííîé äðîáè óìíîæèòü èëè ðàçäåëèòü íà îäíî è
òî æå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî ïîëó÷èòñÿ äðîáü, ðàâíàÿ äàííîé. Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ îñíîâíûì ñâîéñòâîì äðîáè.
15
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
12 15
,
. ×èñëî m íàçûâàþò ÷èñ17 8
ëèòåëåì äðîáè, n — çíàìåíàòåëåì.  ÷àñòíîñòè,
m
,
ìîæåò áûòü n = 1, â ýòîì ñëó÷àå äðîáü èìååò âèä
1
íî ÷àùå ïèøóò ïðîñòî m. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñÿêîå
íàòóðàëüíîå ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå îáûêm
íîâåííîé äðîáè ñî çíàìåíàòåëåì 1. Çàïèñü
—
n
äðóãîé âàðèàíò çàïèñè m : n.
Ñðåäè îáûêíîâåííûõ äðîáåé ðàçëè÷àþò ïðàâèëüm
íûå è íåïðàâèëüíûå. Äðîáü
íàçûâàåòñÿ ïðàâèëün
íîé, åñëè åå ÷èñëèòåëü ìåíüøå çíàìåíàòåëÿ, è íåïðàâèëüíîé, åñëè åå ÷èñëèòåëü áîëüøå çíàìåíàòåëÿ
èëè ðàâåí åìó.
Âñÿêóþ íåïðàâèëüíóþ äðîáü ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå ñóììû íàòóðàëüíîãî ÷èñëà è ïðàâèëüíîé äðîm
áè (èëè â âèäå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà, åñëè äðîáü
n
òàêîâà, ÷òî m êðàòíî n).
íûå ÷èñëà, íàïðèìåð
Íàïðèìåð,
43 39 + 4 39
4
4
=
=
+
= 3+
.
13
13
13 13
13
Ïðèíÿòî ñóììó íàòóðàëüíîãî ÷èñëà è ïðàâèëüíîé äðîáè çàïèñûâàòü áåç çíàêà ñëîæåíèÿ, ò. å. âìåñ4
4
ïèøóò 3
. ×èñëî, çàïèñàííîå â òàêîì
òî 3 +
13
13
âèäå, íàçûâàåòñÿ ñìåøàííûì. Îíî ñîñòîèò èç äâóõ
14
ÀËÃÅÁÐÀ
4
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
÷àñòåé: öåëîé è äðîáíîé. Òàê, äëÿ ÷èñëà 3
3/
1/
4
4
4
öåëàÿ
13
4
. Âñÿêóþ íåïðà13
âèëüíóþ äðîáü ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ñìåøàííîãî
÷èñëà (èëè â âèäå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà). Âåðíî è îáðàòíîå: âñÿêîå ñìåøàííîå èëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå íåïðàâèëüíîé äðîáè. Íàïðèìåð,
1
1 12 1 13
3
4 = 4+ =
+ =
;3= .
3
3
3 3
3
1
÷àñòü ðàâíà 3, à äðîáíàÿ ðàâíà
10. Ðàâåíñòâî äðîáåé. Îñíîâíîå ñâîéñòâî äðîa
c
è
ñ÷èòàáè. Ñîêðàùåíèå äðîáåé. Äâå äðîáè
b
d
þòñÿ ðàâíûìè, åñëè ad = bc. Íàïðèìåð, ðàâíûìè ÿâ3
9
12
ëÿþòñÿ äðîáè
è
(òàê êàê 3 · 15 = 5 · 9),
è
5
15
7
24
(ïîñêîëüêó 12 · 14 = 7 · 24).
14
Èç îïðåäåëåíèÿ ðàâåíñòâà äðîáåé ñëåäóåò, ÷òî äðîa
am
áè
è
ðàâíû, òàê êàê a (bm) = b (am), çäåñü
b
bm
èñïîëüçîâàíû ñî÷åòàòåëüíîå è ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâà óìíîæåíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë (ñì. ï. 2). Çíàa am
=
, ò. å. åñëè ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü
÷èò,
b bm
äàííîé äðîáè óìíîæèòü èëè ðàçäåëèòü íà îäíî è
òî æå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî ïîëó÷èòñÿ äðîáü, ðàâíàÿ äàííîé. Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ îñíîâíûì ñâîéñòâîì äðîáè.
15
3/
1/
4
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
Ïîëüçóÿñü îñíîâíûì ñâîéñòâîì äðîáè, èíîãäà
ìîæíî çàìåíèòü äàííóþ äðîáü äðóãîé, ðàâíîé äàííîé,
íî ñ ìåíüøèì ÷èñëèòåëåì è ìåíüøèì çíàìåíàòåëåì. Òàêóþ çàìåíó íàçûâàþò ñîêðàùåíèåì äðîáè.
45 15
Íàïðèìåð,
(÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ìû
=
60 20
ðàçäåëèëè íà îäíî è òî æå ÷èñëî 3); ïîëó÷åííóþ
äðîáü ñíîâà ìîæíî ñîêðàòèòü, ðàçäåëèâ ÷èñëèòåëü è
15 3
çíàìåíàòåëü íà 5, ò. å.
= .
20 4
 îáùåì ñëó÷àå ñîêðàùåíèå äðîáè âîçìîæíî, åñëè
÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü — íå âçàèìíî ïðîñòûå ÷èñëà
(ñì. ï. 5); åñëè æå ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü — âçàèìíî ïðîñòûå ÷èñëà, òî äðîáü íàçûâàåòñÿ íåñîêðà3
òèìîé: íàïðèìåð,
— íåñîêðàòèìàÿ äðîáü. Îñíîâ4
íàÿ öåëü ñîêðàùåíèÿ äðîáè — çàìåíà äàííîé äðîáè
ðàâíîé åé íåñîêðàòèìîé äðîáüþ.
11. Ïðèâåäåíèå äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ.
2
15
Ïóñòü äàíû äðîáè
è
. Îíè èìåþò ðàçíûå çíà3
8
ìåíàòåëè: 3 è 8, íî, âîñïîëüçîâàâøèñü îñíîâíûì ñâîéñòâîì äðîáè (ñì. ï. 10), ìîæíî çàìåíèòü ýòè äðîáè
äðóãèìè, ðàâíûìè èì, ïðè÷åì òàêèìè, ÷òî ó ïîëó÷åííûõ äðîáåé áóäóò îäèíàêîâûå çíàìåíàòåëè. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ ïðèâåäåíèåì äðîáåé
ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ.
Ïðèâåñòè äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ ìîæíî
ìíîãèìè ñïîñîáàìè, íî îáû÷íî ñòàðàþòñÿ ïðèâåñòè
äðîáè ê íàèìåíüøåìó îáùåìó çíàìåíàòåëþ, êîòîðûé ðàâåí íàèìåíüøåìó îáùåìó êðàòíîìó çíàìåíàòåëåé äàííûõ äðîáåé.
16
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
1/
4
4
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê íàèìåíüøåìó îáùåìó
7
11
çíàìåíàòåëþ äðîáè
è
.
24
30
q Íàéäåì íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë 24 è
30, ò. å. Ê (24, 30) = 120 (ñì. ï. 6). Èìååì 120 : 24 =
7
ê çíàìåíàòå= 5, ïîýòîìó ÷òîáû ïðèâåñòè äðîáü
24
ëþ 120, íàäî åå ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü óìíîæèòü
7
7×5
35
=
=
.
íà 5; çíà÷èò,
24 24 × 5 120
Äàëåå èìååì 120 : 30 = 4, ïîýòîìó ÷òîáû ïðèâåñ11
òè äðîáü
ê çíàìåíàòåëþ 120, íàäî åå ÷èñëèòåëü è
30
11 11 × 4
=
=
çíàìåíàòåëü óìíîæèòü íà 4; òîãäà
30 30 × 4
44
=
. Òàêèì îáðàçîì, äðîáè ïðèâåäåíû ê îáùåìó
120
7
35
11
44
=
=
çíàìåíàòåëþ:
;
.n
24 120 30 120
×èñëà 5 è 4 íàçûâàþò äîïîëíèòåëüíûìè ìíîæèòåëÿìè ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ïåðâîé è âòîðîé äðîáè. Èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùàÿ çàïèñü:
5
4
7
7È
35 11 11È
44
=
=
=
=
;
.
24 24 120 30
30
120
Èòàê, ÷òîáû ïðèâåñòè äðîáè ê íàèìåíüøåìó îáùåìó çíàìåíàòåëþ, íóæíî:
1) íàéòè íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå çíàìåíàòåëåé äðîáåé;
2) âû÷èñëèòü äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè, ðàçäå17
3/
1/
4
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
Ïîëüçóÿñü îñíîâíûì ñâîéñòâîì äðîáè, èíîãäà
ìîæíî çàìåíèòü äàííóþ äðîáü äðóãîé, ðàâíîé äàííîé,
íî ñ ìåíüøèì ÷èñëèòåëåì è ìåíüøèì çíàìåíàòåëåì. Òàêóþ çàìåíó íàçûâàþò ñîêðàùåíèåì äðîáè.
45 15
Íàïðèìåð,
(÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ìû
=
60 20
ðàçäåëèëè íà îäíî è òî æå ÷èñëî 3); ïîëó÷åííóþ
äðîáü ñíîâà ìîæíî ñîêðàòèòü, ðàçäåëèâ ÷èñëèòåëü è
15 3
çíàìåíàòåëü íà 5, ò. å.
= .
20 4
 îáùåì ñëó÷àå ñîêðàùåíèå äðîáè âîçìîæíî, åñëè
÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü — íå âçàèìíî ïðîñòûå ÷èñëà
(ñì. ï. 5); åñëè æå ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü — âçàèìíî ïðîñòûå ÷èñëà, òî äðîáü íàçûâàåòñÿ íåñîêðà3
òèìîé: íàïðèìåð,
— íåñîêðàòèìàÿ äðîáü. Îñíîâ4
íàÿ öåëü ñîêðàùåíèÿ äðîáè — çàìåíà äàííîé äðîáè
ðàâíîé åé íåñîêðàòèìîé äðîáüþ.
11. Ïðèâåäåíèå äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ.
2
15
Ïóñòü äàíû äðîáè
è
. Îíè èìåþò ðàçíûå çíà3
8
ìåíàòåëè: 3 è 8, íî, âîñïîëüçîâàâøèñü îñíîâíûì ñâîéñòâîì äðîáè (ñì. ï. 10), ìîæíî çàìåíèòü ýòè äðîáè
äðóãèìè, ðàâíûìè èì, ïðè÷åì òàêèìè, ÷òî ó ïîëó÷åííûõ äðîáåé áóäóò îäèíàêîâûå çíàìåíàòåëè. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ ïðèâåäåíèåì äðîáåé
ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ.
Ïðèâåñòè äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ ìîæíî
ìíîãèìè ñïîñîáàìè, íî îáû÷íî ñòàðàþòñÿ ïðèâåñòè
äðîáè ê íàèìåíüøåìó îáùåìó çíàìåíàòåëþ, êîòîðûé ðàâåí íàèìåíüøåìó îáùåìó êðàòíîìó çíàìåíàòåëåé äàííûõ äðîáåé.
16
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
1/
4
4
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê íàèìåíüøåìó îáùåìó
7
11
çíàìåíàòåëþ äðîáè
è
.
24
30
q Íàéäåì íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë 24 è
30, ò. å. Ê (24, 30) = 120 (ñì. ï. 6). Èìååì 120 : 24 =
7
ê çíàìåíàòå= 5, ïîýòîìó ÷òîáû ïðèâåñòè äðîáü
24
ëþ 120, íàäî åå ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü óìíîæèòü
7
7×5
35
=
=
.
íà 5; çíà÷èò,
24 24 × 5 120
Äàëåå èìååì 120 : 30 = 4, ïîýòîìó ÷òîáû ïðèâåñ11
òè äðîáü
ê çíàìåíàòåëþ 120, íàäî åå ÷èñëèòåëü è
30
11 11 × 4
=
=
çíàìåíàòåëü óìíîæèòü íà 4; òîãäà
30 30 × 4
44
=
. Òàêèì îáðàçîì, äðîáè ïðèâåäåíû ê îáùåìó
120
7
35
11
44
=
=
çíàìåíàòåëþ:
;
.n
24 120 30 120
×èñëà 5 è 4 íàçûâàþò äîïîëíèòåëüíûìè ìíîæèòåëÿìè ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ïåðâîé è âòîðîé äðîáè. Èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùàÿ çàïèñü:
5
4
7
7È
35 11 11È
44
=
=
=
=
;
.
24 24 120 30
30
120
Èòàê, ÷òîáû ïðèâåñòè äðîáè ê íàèìåíüøåìó îáùåìó çíàìåíàòåëþ, íóæíî:
1) íàéòè íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå çíàìåíàòåëåé äðîáåé;
2) âû÷èñëèòü äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè, ðàçäå17
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
ëèâ íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå íà êàæäûé çíàìåíàòåëü;
3) óìíîæèòü ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü êàæäîé
äðîáè íà ñîîòâåòñòâóþùèé äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü.
12. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä îáûêíîâåííûìè äðîáÿìè. Ñëîæåíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âûïîëíÿþò òàê:
à) åñëè çíàìåíàòåëè äðîáåé îäèíàêîâû, òî ê ÷èñëèòåëþ ïåðâîé äðîáè ïðèáàâëÿþò ÷èñëèòåëü âòîðîé
äðîáè è îñòàâëÿþò òîò æå çíàìåíàòåëü, ò. å.
a c a+c
+ =
;
b b
b
á) åñëè çíàìåíàòåëè äðîáåé ðàçëè÷íû, òî ñíà÷àëà
ïðèâîäÿò äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, ïðåäïî÷òèòåëüíåå ê íàèìåíüøåìó, à çàòåì ïðèìåíÿþò ïðàâèëî à).
Íàïðèìåð,
5
4
7
11 7È 11È
35
44
35 + 44
79
+
=
+
=
+
=
=
.
24 30 24
30
120 120
120
120
Âû÷èòàíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âûïîëíÿþò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
à) åñëè çíàìåíàòåëè äðîáåé îäèíàêîâû, òî
a c a-c
- =
;
b b
b
á) åñëè çíàìåíàòåëè ðàçëè÷íû, òî ñíà÷àëà ïðèâîäÿò äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, à çàòåì ïðèìåíÿþò ïðàâèëî à).
Óìíîæåíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âûïîëíÿþò òàê:
a c
ac
× =
,
b d bd
ò. å. ïåðåìíîæàþò îòäåëüíî ÷èñëèòåëè, îòäåëüíî çíà18
ÀËÃÅÁÐÀ
4
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
3/
1/
4
4
ìåíàòåëè, ïåðâîå ïðîèçâåäåíèå äåëàþò ÷èñëèòåëåì,
âòîðîå — çíàìåíàòåëåì.
3 2
3×2
6
=
=
.
Íàïðèìåð, ×
7 11 7 × 11 77
Äåëåíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âûïîëíÿþò òàê:
a c ad
: =
,
b d bc
a
d
ò. å. äåëèìîå
óìíîæàþò íà äðîáü , îáðàòíóþ äåb
c
c
.
ëèòåëþ
d
2 7
2 10 2 × 10 20
= ×
=
=
Íàïðèìåð, :
.
3 10 3 7
3×7
21
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè çíà÷åíèå ÷èñëîâîãî âûðàæåíèÿ
4 12 7 5 11
×
+ : .
9 5
8 6 30
4 12 4 × 12
×
=
. Ñîêðàòèâ ÷èñëèòåëü è çíà9 5
9×5
ìåíàòåëü íà 3 (ýòî ïîëåçíî ñäåëàòü äî âûïîëíåíèÿ
óìíîæåíèÿ â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå), ïîëó÷èì
16
4 12 16
4×4
=
, ò. å.
. Çíà÷èò, ×
.
15
9 5
15
3×5
7 5 7 × 6 7 × 3 21
: =
=
=
.
2)
8 6 8 × 5 4 × 5 20
16
3) Ïðè íàõîæäåíèè çíà÷åíèÿ âûðàæåíèÿ
+
15
q
1)
19
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
ëèâ íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå íà êàæäûé çíàìåíàòåëü;
3) óìíîæèòü ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü êàæäîé
äðîáè íà ñîîòâåòñòâóþùèé äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü.
12. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä îáûêíîâåííûìè äðîáÿìè. Ñëîæåíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âûïîëíÿþò òàê:
à) åñëè çíàìåíàòåëè äðîáåé îäèíàêîâû, òî ê ÷èñëèòåëþ ïåðâîé äðîáè ïðèáàâëÿþò ÷èñëèòåëü âòîðîé
äðîáè è îñòàâëÿþò òîò æå çíàìåíàòåëü, ò. å.
a c a+c
+ =
;
b b
b
á) åñëè çíàìåíàòåëè äðîáåé ðàçëè÷íû, òî ñíà÷àëà
ïðèâîäÿò äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, ïðåäïî÷òèòåëüíåå ê íàèìåíüøåìó, à çàòåì ïðèìåíÿþò ïðàâèëî à).
Íàïðèìåð,
5
4
7
11 7È 11È
35
44
35 + 44
79
+
=
+
=
+
=
=
.
24 30 24
30
120 120
120
120
Âû÷èòàíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âûïîëíÿþò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
à) åñëè çíàìåíàòåëè äðîáåé îäèíàêîâû, òî
a c a-c
- =
;
b b
b
á) åñëè çíàìåíàòåëè ðàçëè÷íû, òî ñíà÷àëà ïðèâîäÿò äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, à çàòåì ïðèìåíÿþò ïðàâèëî à).
Óìíîæåíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âûïîëíÿþò òàê:
a c
ac
× =
,
b d bd
ò. å. ïåðåìíîæàþò îòäåëüíî ÷èñëèòåëè, îòäåëüíî çíà18
ÀËÃÅÁÐÀ
4
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
3/
1/
4
4
ìåíàòåëè, ïåðâîå ïðîèçâåäåíèå äåëàþò ÷èñëèòåëåì,
âòîðîå — çíàìåíàòåëåì.
3 2
3×2
6
=
=
.
Íàïðèìåð, ×
7 11 7 × 11 77
Äåëåíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âûïîëíÿþò òàê:
a c ad
: =
,
b d bc
a
d
ò. å. äåëèìîå
óìíîæàþò íà äðîáü , îáðàòíóþ äåb
c
c
.
ëèòåëþ
d
2 7
2 10 2 × 10 20
= ×
=
=
Íàïðèìåð, :
.
3 10 3 7
3×7
21
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè çíà÷åíèå ÷èñëîâîãî âûðàæåíèÿ
4 12 7 5 11
×
+ : .
9 5
8 6 30
4 12 4 × 12
×
=
. Ñîêðàòèâ ÷èñëèòåëü è çíà9 5
9×5
ìåíàòåëü íà 3 (ýòî ïîëåçíî ñäåëàòü äî âûïîëíåíèÿ
óìíîæåíèÿ â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå), ïîëó÷èì
16
4 12 16
4×4
=
, ò. å.
. Çíà÷èò, ×
.
15
9 5
15
3×5
7 5 7 × 6 7 × 3 21
: =
=
=
.
2)
8 6 8 × 5 4 × 5 20
16
3) Ïðè íàõîæäåíèè çíà÷åíèÿ âûðàæåíèÿ
+
15
q
1)
19
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
21 11
ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå ìîæíî âûïîëíÿòü
20 30
îäíîâðåìåííî. Íàèìåíüøèì îáùèì êðàòíûì ÷èñåë 15, 20, 30 ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 60. Ïðèâåäåì âñå òðè
äðîáè ê çíàìåíàòåëþ 60, èñïîëüçîâàâ äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè: äëÿ ïåðâîé äðîáè 4, äëÿ âòîðîé 3,
äëÿ òðåòüåé 2. Ïîëó÷èì
+
4
3
2
16 È 21È 11È
64 63 22 64 + 63 - 22
+
=
+
=
=
15
20
30
60 60 60
60
105 7
3
=
= =1 . n
60
4
4
Ï ð è ì å ð 2. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ:
1
2
2 1
à) 2 + 3 ; á) 1 × 2 .
7
3
5 7
q à) Îáðàòèì ñíà÷àëà êàæäîå èç äàííûõ ñìåøàííûõ ÷èñåë â íåïðàâèëüíóþ äðîáü, à çàòåì âûïîëíèì ñëîæåíèå:
1
1 14 1 15
2
2 9 2 11
2 = 2+ =
+ =
; 3 =3+ = + =
;
7
7
7
7
7
3
3 3 3
3
3
7
15 11 15È 11È
45 77 122
+
=
+
=
+
=
.
7
3
7
3
21 21
21
122
Îáðàòèì òåïåðü íåïðàâèëüíóþ äðîáü
â ñìå21
øàííîå ÷èñëî:
122 105 + 17 105 17
17
17
=
=
+
=5+
=5
.
21
21
21 21
21
21
á)  ñëó÷àå óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ ñìåøàííûõ
÷èñåë âñåãäà ïåðåõîäÿò ê íåïðàâèëüíûì äðîáÿì:
20
ÀËÃÅÁÐÀ
4
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
1
3/
1/
4
4
2 7
1 15
2 1 7 15 77·× 5
15
= ;2 =
. Çíà÷èò, 1 × 2 = ×
=
= 3. n
5 5
7
7
5 7 5 7
5×7
13. Äåñÿòè÷íûå äðîáè.  âèäå äåñÿòè÷íîé äðîáè ìîæíî çàïèñàòü ïðàâèëüíóþ äðîáü, çíàìåíàòåëü
êîòîðîé ðàâåí 10, 100, 1000 è âîîáùå 10n. Íàïðèìåð,
3
48
21
= 0,3 ;
= 0,48;
= 0,021. Òàêèì æå îáðà10
100
1000
çîì ìîæíî çàïèñàòü ñìåøàííîå ÷èñëî èëè íåïðàâèëüíóþ äðîáü ñ óêàçàííûì âûøå çíàìåíàòåëåì (ïðåâðàòèâ åå ïðåäâàðèòåëüíî â ñìåøàííîå ÷èñëî). Íà3
317
17
= 2,3;
=3
= 3,17.  ýòèõ ñëó÷àïðèìåð, 2
10
100
100
ÿõ öåëóþ ÷àñòü ñìåøàííîãî ÷èñëà îòäåëÿþò çàïÿòîé
îò ÷èñëèòåëÿ äðîáíîé ÷àñòè. Çíà÷èò, äåñÿòè÷íàÿ
äðîáü — ýòî, ïî ñóùåñòâó, äðóãàÿ ôîðìà çàïèñè äðîáè ñî çíàìåíàòåëåì 10n.
 âèäå äåñÿòè÷íîé äðîáè ìîæíî ïðåäñòàâèòü
ëþáóþ îáûêíîâåííóþ äðîáü, çíàìåíàòåëü êîòîðîé
ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì íåêîòîðîé ñòåïåíè ÷èñëà 10.
Íàïðèìåð, 125 — äåëèòåëü ÷èñëà 1000, ïîýòîìó
196
äðîáü
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå äåñÿòè÷íîé:
125
196 196 × 8 1568
=
=
= 1,568 .
125 125 × 8 1000
Îáùèé âûâîä î ïðåäñòàâëåíèè îáûêíîâåííîé äðîáè â âèäå äåñÿòè÷íîé òàêîâ: åñëè â ðàçëîæåíèè çíàìåíàòåëÿ äðîáè íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè ñîäåðæàòñÿ òîëüêî äâîéêè è ïÿòåðêè, òî ýòó äðîáü ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå äåñÿòè÷íîé; åñëè æå äðîáü íåñîêðàòèìà è â ðàçëîæåíèå åå çíàìåíàòåëÿ íà ïðîñòûå
ìíîæèòåëè âõîäÿò, êðîìå äâîåê è ïÿòåðîê, äðóãèå
21
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
21 11
ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå ìîæíî âûïîëíÿòü
20 30
îäíîâðåìåííî. Íàèìåíüøèì îáùèì êðàòíûì ÷èñåë 15, 20, 30 ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 60. Ïðèâåäåì âñå òðè
äðîáè ê çíàìåíàòåëþ 60, èñïîëüçîâàâ äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè: äëÿ ïåðâîé äðîáè 4, äëÿ âòîðîé 3,
äëÿ òðåòüåé 2. Ïîëó÷èì
+
4
3
2
16 È 21È 11È
64 63 22 64 + 63 - 22
+
=
+
=
=
15
20
30
60 60 60
60
105 7
3
=
= =1 . n
60
4
4
Ï ð è ì å ð 2. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ:
1
2
2 1
à) 2 + 3 ; á) 1 × 2 .
7
3
5 7
q à) Îáðàòèì ñíà÷àëà êàæäîå èç äàííûõ ñìåøàííûõ ÷èñåë â íåïðàâèëüíóþ äðîáü, à çàòåì âûïîëíèì ñëîæåíèå:
1
1 14 1 15
2
2 9 2 11
2 = 2+ =
+ =
; 3 =3+ = + =
;
7
7
7
7
7
3
3 3 3
3
3
7
15 11 15È 11È
45 77 122
+
=
+
=
+
=
.
7
3
7
3
21 21
21
122
Îáðàòèì òåïåðü íåïðàâèëüíóþ äðîáü
â ñìå21
øàííîå ÷èñëî:
122 105 + 17 105 17
17
17
=
=
+
=5+
=5
.
21
21
21 21
21
21
á)  ñëó÷àå óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ ñìåøàííûõ
÷èñåë âñåãäà ïåðåõîäÿò ê íåïðàâèëüíûì äðîáÿì:
20
ÀËÃÅÁÐÀ
4
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
1
3/
1/
4
4
2 7
1 15
2 1 7 15 77·× 5
15
= ;2 =
. Çíà÷èò, 1 × 2 = ×
=
= 3. n
5 5
7
7
5 7 5 7
5×7
13. Äåñÿòè÷íûå äðîáè.  âèäå äåñÿòè÷íîé äðîáè ìîæíî çàïèñàòü ïðàâèëüíóþ äðîáü, çíàìåíàòåëü
êîòîðîé ðàâåí 10, 100, 1000 è âîîáùå 10n. Íàïðèìåð,
3
48
21
= 0,3 ;
= 0,48;
= 0,021. Òàêèì æå îáðà10
100
1000
çîì ìîæíî çàïèñàòü ñìåøàííîå ÷èñëî èëè íåïðàâèëüíóþ äðîáü ñ óêàçàííûì âûøå çíàìåíàòåëåì (ïðåâðàòèâ åå ïðåäâàðèòåëüíî â ñìåøàííîå ÷èñëî). Íà3
317
17
= 2,3;
=3
= 3,17.  ýòèõ ñëó÷àïðèìåð, 2
10
100
100
ÿõ öåëóþ ÷àñòü ñìåøàííîãî ÷èñëà îòäåëÿþò çàïÿòîé
îò ÷èñëèòåëÿ äðîáíîé ÷àñòè. Çíà÷èò, äåñÿòè÷íàÿ
äðîáü — ýòî, ïî ñóùåñòâó, äðóãàÿ ôîðìà çàïèñè äðîáè ñî çíàìåíàòåëåì 10n.
 âèäå äåñÿòè÷íîé äðîáè ìîæíî ïðåäñòàâèòü
ëþáóþ îáûêíîâåííóþ äðîáü, çíàìåíàòåëü êîòîðîé
ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì íåêîòîðîé ñòåïåíè ÷èñëà 10.
Íàïðèìåð, 125 — äåëèòåëü ÷èñëà 1000, ïîýòîìó
196
äðîáü
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå äåñÿòè÷íîé:
125
196 196 × 8 1568
=
=
= 1,568 .
125 125 × 8 1000
Îáùèé âûâîä î ïðåäñòàâëåíèè îáûêíîâåííîé äðîáè â âèäå äåñÿòè÷íîé òàêîâ: åñëè â ðàçëîæåíèè çíàìåíàòåëÿ äðîáè íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè ñîäåðæàòñÿ òîëüêî äâîéêè è ïÿòåðêè, òî ýòó äðîáü ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå äåñÿòè÷íîé; åñëè æå äðîáü íåñîêðàòèìà è â ðàçëîæåíèå åå çíàìåíàòåëÿ íà ïðîñòûå
ìíîæèòåëè âõîäÿò, êðîìå äâîåê è ïÿòåðîê, äðóãèå
21
3/
1/
4
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
ïðîñòûå ìíîæèòåëè, òî ýòó äðîáü íåëüçÿ çàïèñàòü
â âèäå äåñÿòè÷íîé.
Ðàññìîòðèì äåñÿòè÷íóþ äðîáü 7,234. Èìååì
234
200 + 30 + 4
200
30
7,234 = 7
=7+
=7+
+
+
1000
1000
1000 1000
4
2
3
4
+
=7+
+
+
.
1000
10 100 1000
Äàííóþ äðîáü ìîæíî çàïèñàòü òàê:
234
2340
23 400
7,234 = 7
=7
=4
.
1000
10 000
100 000
2340
23 400
= 7,2340, à 7
= 7,23400. Çíà÷èò,
10 000
100 000
7,234 = 7,2340 = 7,23400. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ê äåñÿòè÷íîé äðîáè ïðèïèñàòü ñïðàâà íóëü èëè íåñêîëüêî íóëåé, òî ïîëó÷èòñÿ ðàâíàÿ åé äðîáü. Åñëè äåñÿòè÷íàÿ äðîáü îêàí÷èâàåòñÿ îäíèì èëè íåñêîëüêèìè íóëÿìè, òî ýòè íóëè ìîæíî îòáðîñèòü — ïîëó÷èòñÿ ðàâíàÿ åé äðîáü.
Äëÿ äåñÿòè÷íûõ äðîáåé ââîäèòñÿ ïîíÿòèå çíà÷àùåé öèôðû ÷èñëà. Çíà÷àùèìè öèôðàìè ÷èñëà íàçûâàþò âñå åãî öèôðû, êðîìå íóëåé, ñòîÿùèõ â íà÷àëå. Íàïðèìåð, â ÷èñëå 23,4009 øåñòü çíà÷àùèõ öèôð;
â ÷èñëå 0,1023 ÷åòûðå çíà÷àùèõ öèôðû: 1, 0, 2, 3; â
÷èñëå 0,0004 îäíà çíà÷àùàÿ öèôðà: 4.
Íî 7
14. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä äåñÿòè÷íûìè äðîáÿìè. Ïðè ñëîæåíèè äåñÿòè÷íûõ äðîáåé íàäî
çàïèñàòü èõ îäíó ïîä äðóãîé òàê, ÷òîáû îäèíàêîâûå
ðàçðÿäû áûëè äðóã ïîä äðóãîì, à çàïÿòàÿ — ïîä çàïÿòîé, è ñëîæèòü äðîáè òàê, êàê ñêëàäûâàþò íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Ñëîæèì, íàïðèìåð, äðîáè 12,7 è 3,442.
Ïåðâàÿ äðîáü ñîäåðæèò îäíó öèôðó ïîñëå çàïÿòîé, à
22
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
1/
4
4
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
âòîðàÿ — òðè. ×òîáû âûïîëíèòü ñëîæåíèå, ïðåîáðàçóåì ïåðâóþ äðîáü òàê, ÷òîáû ïîñëå çàïÿòîé áûëî òðè
öèôðû: 12,7 = 12,700, òîãäà
12,700
+ 3,442
16,142
Àíàëîãè÷íî âûïîëíÿåòñÿ âû÷èòàíèå äåñÿòè÷íûõ
äðîáåé.
Ïðè óìíîæåíèè äåñÿòè÷íûõ äðîáåé äîñòàòî÷íî
ïåðåìíîæèòü çàäàííûå ÷èñëà, íå îáðàùàÿ âíèìàíèÿ
íà çàïÿòûå (êàê íàòóðàëüíûå ÷èñëà), à çàòåì â ðåçóëüòàòå ñïðàâà îòäåëèòü çàïÿòîé ñòîëüêî öèôð, ñêîëüêî èõ ñòîèò ïîñëå çàïÿòîé â îáîèõ ìíîæèòåëÿõ ñóììàðíî.
Íàïðèìåð, óìíîæèì 2,7 íà 1,3. Èìååì 27 · 13 =
= 351. Îòäåëèì çàïÿòîé ñïðàâà äâå öèôðû (ñóììà
öèôð ó ìíîæèòåëåé ïîñëå çàïÿòîé ðàâíà äâóì). Â
èòîãå ïîëó÷àåì 2,7 · 1,3 = 3,51.
Åñëè â ïðîèçâåäåíèè ïîëó÷àåòñÿ ìåíüøå öèôð,
÷åì íàäî îòäåëèòü çàïÿòîé, òî âïåðåäè ïèøóò íåäîñòàþùèå íóëè, íàïðèìåð:
´ 2,12
0,13
636
212
0,2756
3,43
0,0002
0,000686
´
Ðàññìîòðèì óìíîæåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà 10,
100, 1000 è ò. ä. Ïóñòü íóæíî óìíîæèòü äðîáü 12,733
íà 10. Èìååì 12 733 · 10 = 127 330. Îòäåëèâ çàïÿòîé ñïðàâà òðè öèôðû, ïîëó÷èì 12,733 · 10 = 127,330.
Íî 127,330 = 127,33. Çíà÷èò, 12,733 · 10 = 127,33.
Òàêèì îáðàçîì, óìíîæåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà 10
ñâîäèòñÿ ê ïåðåíîñó çàïÿòîé íà îäíó öèôðó âïðàâî.
23
3/
1/
4
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
ïðîñòûå ìíîæèòåëè, òî ýòó äðîáü íåëüçÿ çàïèñàòü
â âèäå äåñÿòè÷íîé.
Ðàññìîòðèì äåñÿòè÷íóþ äðîáü 7,234. Èìååì
234
200 + 30 + 4
200
30
7,234 = 7
=7+
=7+
+
+
1000
1000
1000 1000
4
2
3
4
+
=7+
+
+
.
1000
10 100 1000
Äàííóþ äðîáü ìîæíî çàïèñàòü òàê:
234
2340
23 400
7,234 = 7
=7
=4
.
1000
10 000
100 000
2340
23 400
= 7,2340, à 7
= 7,23400. Çíà÷èò,
10 000
100 000
7,234 = 7,2340 = 7,23400. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ê äåñÿòè÷íîé äðîáè ïðèïèñàòü ñïðàâà íóëü èëè íåñêîëüêî íóëåé, òî ïîëó÷èòñÿ ðàâíàÿ åé äðîáü. Åñëè äåñÿòè÷íàÿ äðîáü îêàí÷èâàåòñÿ îäíèì èëè íåñêîëüêèìè íóëÿìè, òî ýòè íóëè ìîæíî îòáðîñèòü — ïîëó÷èòñÿ ðàâíàÿ åé äðîáü.
Äëÿ äåñÿòè÷íûõ äðîáåé ââîäèòñÿ ïîíÿòèå çíà÷àùåé öèôðû ÷èñëà. Çíà÷àùèìè öèôðàìè ÷èñëà íàçûâàþò âñå åãî öèôðû, êðîìå íóëåé, ñòîÿùèõ â íà÷àëå. Íàïðèìåð, â ÷èñëå 23,4009 øåñòü çíà÷àùèõ öèôð;
â ÷èñëå 0,1023 ÷åòûðå çíà÷àùèõ öèôðû: 1, 0, 2, 3; â
÷èñëå 0,0004 îäíà çíà÷àùàÿ öèôðà: 4.
Íî 7
14. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä äåñÿòè÷íûìè äðîáÿìè. Ïðè ñëîæåíèè äåñÿòè÷íûõ äðîáåé íàäî
çàïèñàòü èõ îäíó ïîä äðóãîé òàê, ÷òîáû îäèíàêîâûå
ðàçðÿäû áûëè äðóã ïîä äðóãîì, à çàïÿòàÿ — ïîä çàïÿòîé, è ñëîæèòü äðîáè òàê, êàê ñêëàäûâàþò íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Ñëîæèì, íàïðèìåð, äðîáè 12,7 è 3,442.
Ïåðâàÿ äðîáü ñîäåðæèò îäíó öèôðó ïîñëå çàïÿòîé, à
22
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
1/
4
4
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
âòîðàÿ — òðè. ×òîáû âûïîëíèòü ñëîæåíèå, ïðåîáðàçóåì ïåðâóþ äðîáü òàê, ÷òîáû ïîñëå çàïÿòîé áûëî òðè
öèôðû: 12,7 = 12,700, òîãäà
12,700
+ 3,442
16,142
Àíàëîãè÷íî âûïîëíÿåòñÿ âû÷èòàíèå äåñÿòè÷íûõ
äðîáåé.
Ïðè óìíîæåíèè äåñÿòè÷íûõ äðîáåé äîñòàòî÷íî
ïåðåìíîæèòü çàäàííûå ÷èñëà, íå îáðàùàÿ âíèìàíèÿ
íà çàïÿòûå (êàê íàòóðàëüíûå ÷èñëà), à çàòåì â ðåçóëüòàòå ñïðàâà îòäåëèòü çàïÿòîé ñòîëüêî öèôð, ñêîëüêî èõ ñòîèò ïîñëå çàïÿòîé â îáîèõ ìíîæèòåëÿõ ñóììàðíî.
Íàïðèìåð, óìíîæèì 2,7 íà 1,3. Èìååì 27 · 13 =
= 351. Îòäåëèì çàïÿòîé ñïðàâà äâå öèôðû (ñóììà
öèôð ó ìíîæèòåëåé ïîñëå çàïÿòîé ðàâíà äâóì). Â
èòîãå ïîëó÷àåì 2,7 · 1,3 = 3,51.
Åñëè â ïðîèçâåäåíèè ïîëó÷àåòñÿ ìåíüøå öèôð,
÷åì íàäî îòäåëèòü çàïÿòîé, òî âïåðåäè ïèøóò íåäîñòàþùèå íóëè, íàïðèìåð:
´ 2,12
0,13
636
212
0,2756
3,43
0,0002
0,000686
´
Ðàññìîòðèì óìíîæåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà 10,
100, 1000 è ò. ä. Ïóñòü íóæíî óìíîæèòü äðîáü 12,733
íà 10. Èìååì 12 733 · 10 = 127 330. Îòäåëèâ çàïÿòîé ñïðàâà òðè öèôðû, ïîëó÷èì 12,733 · 10 = 127,330.
Íî 127,330 = 127,33. Çíà÷èò, 12,733 · 10 = 127,33.
Òàêèì îáðàçîì, óìíîæåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà 10
ñâîäèòñÿ ê ïåðåíîñó çàïÿòîé íà îäíó öèôðó âïðàâî.
23
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
Âîîáùå, ÷òîáû óìíîæèòü äåñÿòè÷íóþ äðîáü íà
10, 100, 1000, íàäî â ýòîé äðîáè ïåðåíåñòè çàïÿòóþ
íà îäíó, äâå, òðè öèôðû âïðàâî (ïðèïèñàâ â ñëó÷àå
íåîáõîäèìîñòè ê äðîáè ñïðàâà îïðåäåëåííîå êîëè÷åñòâî íóëåé). Íàïðèìåð, 1,47 · 10 000 = 14 700.
Äåëåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî
âûïîëíÿåòñÿ òàê æå, êàê äåëåíèå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà
íà íàòóðàëüíîå, à çàïÿòóþ â ÷àñòíîì ñòàâÿò ïîñëå òîãî,
êàê çàêîí÷åíî äåëåíèå öåëîé ÷àñòè. Ïóñòü íàäî ðàçäåëèòü 22,1 íà 13; èìååì
22,1
– 13
– 91
91
0
3/
257,6
– 224
– 336
336
0
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
112
2,3
×òîáû ðàçäåëèòü äåñÿòè÷íóþ äðîáü íà 10n, íàäî
â ýòîé äðîáè ïåðåíåñòè çàïÿòóþ íà n öèôð âëåâî
1/
4
4
(ïðè ýòîì â ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè ñëåâà ïðèïèñûâàåòñÿ íóæíîå ÷èñëî íóëåé). Òàê, 27,344 : 10 4 =
= 0,0027344.
Äåëåíèå äåñÿòè÷íûõ äðîáåé, êàê è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íå âñåãäà âûïîëíèìî. Ïóñòü íóæíî
ðàçäåëèòü 2,8 íà 0,09. Èìååì 280 : 9 = 31,11... . Â
ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ áåñêîíå÷íàÿ
äåñÿòè÷íàÿ äðîáü (ñì. ï. 16).  òàêèõ ñëó÷àÿõ, êàê
ïðàâèëî, ïåðåõîäÿò ê îáûêíîâåííûì äðîáÿì. Íàïðèìåð,
13
1,7
Åñëè öåëàÿ ÷àñòü äåëèìîãî ìåíüøå äåëèòåëÿ, òî â
îòâåòå ïîëó÷àåòñÿ íóëü öåëûõ; òàê, 0,221 : 13 = 0,017.
Ðàññìîòðèì òåïåðü äåëåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà
äåñÿòè÷íóþ. Ïóñòü íóæíî ðàçäåëèòü 2,576 íà 1,12.
Äëÿ ýòîãî è â äåëèìîì, è â äåëèòåëå ïåðåíåñåì çàïÿòóþ âïðàâî íà ñòîëüêî öèôð, ñêîëüêî èõ èìååòñÿ ïîñëå çàïÿòîé â äåëèòåëå (â äàííîì ñëó÷àå — íà äâå).
Èíûìè ñëîâàìè, óìíîæèì äåëèìîå è äåëèòåëü íà
100 — îò ýòîãî ÷àñòíîå íå èçìåíèòñÿ. Òîãäà íóæíî
ðàçäåëèòü äðîáü 257,6 íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî 112, ò. å.
çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê óæå ðàññìîòðåííîìó ñëó÷àþ:
24
ÀËÃÅÁÐÀ
4
2,8 : 0,09 =
28 9
28 × 100 280
1
:
=
=
= 31 .
10 100
10 × 9
9
9
15. Ïðîöåíòû. Ñðåäè äåñÿòè÷íûõ äðîáåé îñîáåííî ÷àñòî íà ïðàêòèêå èñïîëüçóþò äðîáü 0,01, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ïðîöåíòîì è îáîçíà÷àåòñÿ 1%.
Òàê, 1% = 0,01, 2% = 0,02, 45% = 0,45, 350% = 3,5
è ò. ä.
Ï ð è ì å ð 1. Ðàáî÷èé äîëæåí áûë èçãîòîâèòü çà
ñìåíó 80 äåòàëåé. Ïî îêîí÷àíèè ðàáî÷åãî äíÿ îêàçàëîñü, ÷òî îí âûïîëíèë 150% ñìåííîãî çàäàíèÿ. Ñêîëüêî äåòàëåé èçãîòîâèë ðàáî÷èé?
q Òàê êàê 150% = 1,5, òî ðàáî÷èé èçãîòîâèë 80 ´
´ 1,5 = 120 (äåòàëåé). n
Ï ð è ì å ð 2. Ðàáî÷èé ê 12 ÷àñàì èçãîòîâèë 55
äåòàëåé, ÷òî ñîñòàâèëî 68,75% ñìåííîãî çàäàíèÿ.
Ñêîëüêî äåòàëåé îí äîëæåí èçãîòîâèòü çà ñìåíó?
q Îáîçíà÷èì êîëè÷åñòâî äåòàëåé, ñîñòàâëÿþùèõ
ñìåííîå çàäàíèå, ÷åðåç õ. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî
68,75
68,75% · õ = 55, ò. å. ÷òî
× x = 55, îòêóäà
100
x=
100 × 55
= 80 (äåòàëåé). n
68,75
25
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
Âîîáùå, ÷òîáû óìíîæèòü äåñÿòè÷íóþ äðîáü íà
10, 100, 1000, íàäî â ýòîé äðîáè ïåðåíåñòè çàïÿòóþ
íà îäíó, äâå, òðè öèôðû âïðàâî (ïðèïèñàâ â ñëó÷àå
íåîáõîäèìîñòè ê äðîáè ñïðàâà îïðåäåëåííîå êîëè÷åñòâî íóëåé). Íàïðèìåð, 1,47 · 10 000 = 14 700.
Äåëåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî
âûïîëíÿåòñÿ òàê æå, êàê äåëåíèå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà
íà íàòóðàëüíîå, à çàïÿòóþ â ÷àñòíîì ñòàâÿò ïîñëå òîãî,
êàê çàêîí÷åíî äåëåíèå öåëîé ÷àñòè. Ïóñòü íàäî ðàçäåëèòü 22,1 íà 13; èìååì
22,1
– 13
– 91
91
0
3/
257,6
– 224
– 336
336
0
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
112
2,3
×òîáû ðàçäåëèòü äåñÿòè÷íóþ äðîáü íà 10n, íàäî
â ýòîé äðîáè ïåðåíåñòè çàïÿòóþ íà n öèôð âëåâî
1/
4
4
(ïðè ýòîì â ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè ñëåâà ïðèïèñûâàåòñÿ íóæíîå ÷èñëî íóëåé). Òàê, 27,344 : 10 4 =
= 0,0027344.
Äåëåíèå äåñÿòè÷íûõ äðîáåé, êàê è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íå âñåãäà âûïîëíèìî. Ïóñòü íóæíî
ðàçäåëèòü 2,8 íà 0,09. Èìååì 280 : 9 = 31,11... . Â
ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ áåñêîíå÷íàÿ
äåñÿòè÷íàÿ äðîáü (ñì. ï. 16).  òàêèõ ñëó÷àÿõ, êàê
ïðàâèëî, ïåðåõîäÿò ê îáûêíîâåííûì äðîáÿì. Íàïðèìåð,
13
1,7
Åñëè öåëàÿ ÷àñòü äåëèìîãî ìåíüøå äåëèòåëÿ, òî â
îòâåòå ïîëó÷àåòñÿ íóëü öåëûõ; òàê, 0,221 : 13 = 0,017.
Ðàññìîòðèì òåïåðü äåëåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà
äåñÿòè÷íóþ. Ïóñòü íóæíî ðàçäåëèòü 2,576 íà 1,12.
Äëÿ ýòîãî è â äåëèìîì, è â äåëèòåëå ïåðåíåñåì çàïÿòóþ âïðàâî íà ñòîëüêî öèôð, ñêîëüêî èõ èìååòñÿ ïîñëå çàïÿòîé â äåëèòåëå (â äàííîì ñëó÷àå — íà äâå).
Èíûìè ñëîâàìè, óìíîæèì äåëèìîå è äåëèòåëü íà
100 — îò ýòîãî ÷àñòíîå íå èçìåíèòñÿ. Òîãäà íóæíî
ðàçäåëèòü äðîáü 257,6 íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî 112, ò. å.
çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê óæå ðàññìîòðåííîìó ñëó÷àþ:
24
ÀËÃÅÁÐÀ
4
2,8 : 0,09 =
28 9
28 × 100 280
1
:
=
=
= 31 .
10 100
10 × 9
9
9
15. Ïðîöåíòû. Ñðåäè äåñÿòè÷íûõ äðîáåé îñîáåííî ÷àñòî íà ïðàêòèêå èñïîëüçóþò äðîáü 0,01, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ïðîöåíòîì è îáîçíà÷àåòñÿ 1%.
Òàê, 1% = 0,01, 2% = 0,02, 45% = 0,45, 350% = 3,5
è ò. ä.
Ï ð è ì å ð 1. Ðàáî÷èé äîëæåí áûë èçãîòîâèòü çà
ñìåíó 80 äåòàëåé. Ïî îêîí÷àíèè ðàáî÷åãî äíÿ îêàçàëîñü, ÷òî îí âûïîëíèë 150% ñìåííîãî çàäàíèÿ. Ñêîëüêî äåòàëåé èçãîòîâèë ðàáî÷èé?
q Òàê êàê 150% = 1,5, òî ðàáî÷èé èçãîòîâèë 80 ´
´ 1,5 = 120 (äåòàëåé). n
Ï ð è ì å ð 2. Ðàáî÷èé ê 12 ÷àñàì èçãîòîâèë 55
äåòàëåé, ÷òî ñîñòàâèëî 68,75% ñìåííîãî çàäàíèÿ.
Ñêîëüêî äåòàëåé îí äîëæåí èçãîòîâèòü çà ñìåíó?
q Îáîçíà÷èì êîëè÷åñòâî äåòàëåé, ñîñòàâëÿþùèõ
ñìåííîå çàäàíèå, ÷åðåç õ. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî
68,75
68,75% · õ = 55, ò. å. ÷òî
× x = 55, îòêóäà
100
x=
100 × 55
= 80 (äåòàëåé). n
68,75
25
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
16. Îáðàùåíèå îáûêíîâåííîé äðîáè â áåñêîíå÷íóþ äåñÿòè÷íóþ ïåðèîäè÷åñêóþ äðîáü. Ïóñòü äàíà
äåñÿòè÷íàÿ äðîáü 2,73. Åå çíà÷åíèå íå èçìåíèòñÿ,
åñëè ñïðàâà ïðèïèñàòü ëþáîå ÷èñëî íóëåé (ñì. ï.13):
2,73 = 2,730 = 2,7300 = ... = 2,73000...0. Äîïóñêàþò
òàêæå çàïèñü äðîáè 2,73 â âèäå äåñÿòè÷íîé äðîáè ñ
áåñêîíå÷íûì ìíîæåñòâîì íóëåé, ò. å. 2,73 =
= 2,73000... . Çäåñü ïîñëå çàïÿòîé ñîäåðæèòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî äåñÿòè÷íûõ çíàêîâ. Òàêàÿ äåñÿòè÷íàÿ
äðîáü íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáüþ.
Ò.1.12. Ëþáóþ îáûêíîâåííóþ äðîáü ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè.
3
Âîçüìåì, íàïðèìåð, ÷èñëî
è áóäåì äåëèòü ÷èñ14
ëèòåëü íà çíàìåíàòåëü, ïîñòåïåííî ïîëó÷àÿ äåñÿòè÷íûå çíàêè:
14
– 3,00000000...
28
0,214285714...
20
– 14
– 60
56
40
– 28
120
– 112
–80
70
100
– 98
20
– 14
60...
26
ÀËÃÅÁÐÀ
4
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
3/
1/
4
4
3
= 0,214285714... .
14
Âûïèøåì ïîñëåäîâàòåëüíî îñòàòêè, êîòîðûå ïîëó÷èëèñü ïðè âûïîëíåíèè îïåðàöèè äåëåíèÿ:
2, 6, 4, 12, 8, 10, 2, 6, ... .
Âñå ýòè îñòàòêè ìåíüøå äåëèòåëÿ, ò. å. ìåíüøå ÷èñëà 14. Ýòî çíà÷èò, ÷òî íà êàêîì-òî øàãå äåëåíèÿ
äîëæåí íåèçáåæíî ïîÿâèòüñÿ ñíîâà òàêîé îñòàòîê,
êîòîðûé óæå âñòðå÷àëñÿ ðàíåå. Òàê, íà ñåäüìîì
øàãå ïîÿâèëñÿ îñòàòîê 2, êîòîðûé áûë íà ïåðâîì
øàãå. Êðîìå òîãî, ÿñíî, ÷òî êàê òîëüêî ïîÿâèòñÿ îñòàòîê, êîòîðûé óæå âñòðå÷àëñÿ, çà íèì ïîéäóò îñòàòêè â òîé æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êîòîðàÿ áûëà
ðàíåå.
Ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùèåñÿ ãðóïïû îñòàòêîâ
ïðèâåäóò ê ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùåéñÿ ãðóïïå
öèôð â äåñÿòè÷íîé çàïèñè ÷èñëà:
Òàêèì îáðàçîì,
3 = 0,2142857142857142857....
—
14
Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîâòîðÿþùàÿñÿ ãðóïïà öèôð
(ìèíèìàëüíàÿ) â çàïèñè áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè ïîñëå çàïÿòîé íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì, à áåñêîíå÷íàÿ äåñÿòè÷íàÿ äðîáü, èìåþùàÿ òàêîé ïåðèîä â ñâîåé çàïèñè, íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé. Äëÿ êðàòêîñòè ïðèíÿòî ïåðèîä çàïèñûâàòü îäèí ðàç, çàêëþ÷àÿ
åãî â êðóãëûå ñêîáêè:
0,2142857142857142857... = 0,2(142857).
Åñëè ïåðèîä íà÷èíàåòñÿ ñðàçó ïîñëå çàïÿòîé, òî
äðîáü íàçûâàåòñÿ ÷èñòîé ïåðèîäè÷åñêîé; åñëè æå
ìåæäó çàïÿòîé è ïåðèîäîì åñòü äðóãèå äåñÿòè÷íûå
çíàêè, òî äðîáü íàçûâàåòñÿ ñìåøàííîé ïåðèîäè÷åñêîé. Òàê, 2,(23) = 2,2323232323... — ÷èñòàÿ ïåðèî27
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
16. Îáðàùåíèå îáûêíîâåííîé äðîáè â áåñêîíå÷íóþ äåñÿòè÷íóþ ïåðèîäè÷åñêóþ äðîáü. Ïóñòü äàíà
äåñÿòè÷íàÿ äðîáü 2,73. Åå çíà÷åíèå íå èçìåíèòñÿ,
åñëè ñïðàâà ïðèïèñàòü ëþáîå ÷èñëî íóëåé (ñì. ï.13):
2,73 = 2,730 = 2,7300 = ... = 2,73000...0. Äîïóñêàþò
òàêæå çàïèñü äðîáè 2,73 â âèäå äåñÿòè÷íîé äðîáè ñ
áåñêîíå÷íûì ìíîæåñòâîì íóëåé, ò. å. 2,73 =
= 2,73000... . Çäåñü ïîñëå çàïÿòîé ñîäåðæèòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî äåñÿòè÷íûõ çíàêîâ. Òàêàÿ äåñÿòè÷íàÿ
äðîáü íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáüþ.
Ò.1.12. Ëþáóþ îáûêíîâåííóþ äðîáü ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè.
3
Âîçüìåì, íàïðèìåð, ÷èñëî
è áóäåì äåëèòü ÷èñ14
ëèòåëü íà çíàìåíàòåëü, ïîñòåïåííî ïîëó÷àÿ äåñÿòè÷íûå çíàêè:
14
– 3,00000000...
28
0,214285714...
20
– 14
– 60
56
40
– 28
120
– 112
–80
70
100
– 98
20
– 14
60...
26
ÀËÃÅÁÐÀ
4
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
3/
1/
4
4
3
= 0,214285714... .
14
Âûïèøåì ïîñëåäîâàòåëüíî îñòàòêè, êîòîðûå ïîëó÷èëèñü ïðè âûïîëíåíèè îïåðàöèè äåëåíèÿ:
2, 6, 4, 12, 8, 10, 2, 6, ... .
Âñå ýòè îñòàòêè ìåíüøå äåëèòåëÿ, ò. å. ìåíüøå ÷èñëà 14. Ýòî çíà÷èò, ÷òî íà êàêîì-òî øàãå äåëåíèÿ
äîëæåí íåèçáåæíî ïîÿâèòüñÿ ñíîâà òàêîé îñòàòîê,
êîòîðûé óæå âñòðå÷àëñÿ ðàíåå. Òàê, íà ñåäüìîì
øàãå ïîÿâèëñÿ îñòàòîê 2, êîòîðûé áûë íà ïåðâîì
øàãå. Êðîìå òîãî, ÿñíî, ÷òî êàê òîëüêî ïîÿâèòñÿ îñòàòîê, êîòîðûé óæå âñòðå÷àëñÿ, çà íèì ïîéäóò îñòàòêè â òîé æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êîòîðàÿ áûëà
ðàíåå.
Ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùèåñÿ ãðóïïû îñòàòêîâ
ïðèâåäóò ê ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùåéñÿ ãðóïïå
öèôð â äåñÿòè÷íîé çàïèñè ÷èñëà:
Òàêèì îáðàçîì,
3 = 0,2142857142857142857....
—
14
Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîâòîðÿþùàÿñÿ ãðóïïà öèôð
(ìèíèìàëüíàÿ) â çàïèñè áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè ïîñëå çàïÿòîé íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì, à áåñêîíå÷íàÿ äåñÿòè÷íàÿ äðîáü, èìåþùàÿ òàêîé ïåðèîä â ñâîåé çàïèñè, íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé. Äëÿ êðàòêîñòè ïðèíÿòî ïåðèîä çàïèñûâàòü îäèí ðàç, çàêëþ÷àÿ
åãî â êðóãëûå ñêîáêè:
0,2142857142857142857... = 0,2(142857).
Åñëè ïåðèîä íà÷èíàåòñÿ ñðàçó ïîñëå çàïÿòîé, òî
äðîáü íàçûâàåòñÿ ÷èñòîé ïåðèîäè÷åñêîé; åñëè æå
ìåæäó çàïÿòîé è ïåðèîäîì åñòü äðóãèå äåñÿòè÷íûå
çíàêè, òî äðîáü íàçûâàåòñÿ ñìåøàííîé ïåðèîäè÷åñêîé. Òàê, 2,(23) = 2,2323232323... — ÷èñòàÿ ïåðèî27
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
äè÷åñêàÿ äðîáü; 2,73 = 2,73666... = 2,73(6) — ñìåøàííàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ äðîáü.
17. Îáðàùåíèå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé ïåðèîäè÷åñêîé äðîáè â îáûêíîâåííóþ äðîáü. ×òîáû áåñêîíå÷íóþ äåñÿòè÷íóþ äðîáü óìíîæèòü íà 10, 100, 1000
è ò. ä., äîñòàòî÷íî, êàê è â êîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè, ïåðåíåñòè çàïÿòóþ íà îäèí, äâà, òðè è ò. ä. çíàêà
âïðàâî. Òàê, 0,1(23) · 100 = 0,1232323... ´
´ 100 = 12,323232... = 12,(32).
Ï ð è ì å ð. Îáðàòèòü â îáûêíîâåííóþ äðîáü ÷èñëî: à) 0,(13); á) 0,2(54).
q à) Ïîëîæèì õ = 0,(13) = 0,131313... .Óìíîæèì ýòó ÷èñòóþ ïåðèîäè÷åñêóþ äðîáü õ íà òàêîå
÷èñëî, ÷òîáû çàïÿòàÿ ïåðåìåñòèëàñü ðîâíî íà ïåðèîä
âïðàâî. Ïîñêîëüêó â ïåðèîäå äâå öèôðû, íàäî ïåðåíåñòè çàïÿòóþ íà äâå öèôðû âïðàâî, à äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî óìíîæèòü ÷èñëî õ íà 100, òîãäà 100õ =
= 0,131313... · 100= 13,1313... = 13,(13). Òåïåðü âû÷òåì õ èç 100õ, ïîëó÷èì 100õ – õ = 13,(13) – 0,(13).
13
Çíà÷èò, 99õ = 13, îòêóäà íàõîäèì x =
.
99
á) Ïîëîæèì õ = 0,2(54). Ïåðåíåñåì â ýòîé ñìåøàíîé ïåðèîäè÷åñêîé äðîáè çàïÿòóþ âïðàâî òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëàñü ÷èñòàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ äðîáü. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî õ óìíîæèòü íà 10, ïîëó÷èì 10õ =
= 2,(54).
Ïîëîæèì y = 2,(54) è îáðàòèì ýòó ÷èñòóþ ïåðèîäè÷åñêóþ äðîáü â îáûêíîâåííóþ òàê, êàê ìû ýòî äåëàëè ðàíåå. Èìååì
100y = 254,(54); 100y – ó = 254,(54) – 2,(54);
99y = 252; y =
28
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
252 28
=
.
99
11
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
Çíà÷èò, 10x =
1/
4
4
28
28
14
, îòêóäà x =
=
.n
11
11 × 10 55
18. Êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ. Ïðîâåäåì ïðÿìóþ l,
îòìåòèì íà íåé òî÷êó Î, êîòîðóþ ïðèìåì çà íà÷àëî
îòñ÷åòà, âûáåðåì íàïðàâëåíèå è åäèíè÷íûé îòðåçîê
[0, 1] (ðèñ. 1).
Ðèñ. 1
 ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ. Êàæäîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó èëè äðîáè ñîîòâåòñòâóåò îäíà òî÷êà ïðÿìîé l. Ïóñòü,
íàïðèìåð, äàíî ÷èñëî 3. Îòëîæèì îò òî÷êè Î â çàäàííîì íàïðàâëåíèè åäèíè÷íûé îòðåçîê òðè ðàçà, ïîëó÷èì òî÷êó À — îíà è ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëó 3. Àíàëîãè÷íî, åñëè äàíî ÷èñëî 4,2, òî îòëîæèâ îò òî÷êè Î â
çàäàííîì íàïðàâëåíèè åäèíè÷íûé îòðåçîê ÷åòûðå
ðàçà, à çàòåì åùå 0,2 ÷àñòè ýòîãî îòðåçêà, ïîëó÷èì
òî÷êó  — îíà è ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëó 4,2.
Åñëè òî÷êà Ì ïðÿìîé l ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîìó
÷èñëó r, òî ýòî ÷èñëî íàçûâàþò êîîðäèíàòîé òî÷êè è ïèøóò Ì (r). Òàê, äëÿ òî÷åê J, A, B (ðèñ. 1) ìîæíî óêàçàòü èõ êîîðäèíàòû: J (1), A (3), B (4,2). Êîîðäèíàòîé òî÷êè Î ñ÷èòàåòñÿ ÷èñëî íóëü.
Îòëîæèì òåïåðü òðè ðàçà åäèíè÷íûé îòðåçîê îò
òî÷êè Î â íàïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì çàäàííîìó. Ïîëó÷èì òî÷êó A¢ , ñèììåòðè÷íóþ òî÷êó À îòíîñèòåëüíî íà÷àëà îòñ÷åòà Î. Êîîðäèíàòîé òî÷êè À
29
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
äè÷åñêàÿ äðîáü; 2,73 = 2,73666... = 2,73(6) — ñìåøàííàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ äðîáü.
17. Îáðàùåíèå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé ïåðèîäè÷åñêîé äðîáè â îáûêíîâåííóþ äðîáü. ×òîáû áåñêîíå÷íóþ äåñÿòè÷íóþ äðîáü óìíîæèòü íà 10, 100, 1000
è ò. ä., äîñòàòî÷íî, êàê è â êîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè, ïåðåíåñòè çàïÿòóþ íà îäèí, äâà, òðè è ò. ä. çíàêà
âïðàâî. Òàê, 0,1(23) · 100 = 0,1232323... ´
´ 100 = 12,323232... = 12,(32).
Ï ð è ì å ð. Îáðàòèòü â îáûêíîâåííóþ äðîáü ÷èñëî: à) 0,(13); á) 0,2(54).
q à) Ïîëîæèì õ = 0,(13) = 0,131313... .Óìíîæèì ýòó ÷èñòóþ ïåðèîäè÷åñêóþ äðîáü õ íà òàêîå
÷èñëî, ÷òîáû çàïÿòàÿ ïåðåìåñòèëàñü ðîâíî íà ïåðèîä
âïðàâî. Ïîñêîëüêó â ïåðèîäå äâå öèôðû, íàäî ïåðåíåñòè çàïÿòóþ íà äâå öèôðû âïðàâî, à äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî óìíîæèòü ÷èñëî õ íà 100, òîãäà 100õ =
= 0,131313... · 100= 13,1313... = 13,(13). Òåïåðü âû÷òåì õ èç 100õ, ïîëó÷èì 100õ – õ = 13,(13) – 0,(13).
13
Çíà÷èò, 99õ = 13, îòêóäà íàõîäèì x =
.
99
á) Ïîëîæèì õ = 0,2(54). Ïåðåíåñåì â ýòîé ñìåøàíîé ïåðèîäè÷åñêîé äðîáè çàïÿòóþ âïðàâî òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëàñü ÷èñòàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ äðîáü. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî õ óìíîæèòü íà 10, ïîëó÷èì 10õ =
= 2,(54).
Ïîëîæèì y = 2,(54) è îáðàòèì ýòó ÷èñòóþ ïåðèîäè÷åñêóþ äðîáü â îáûêíîâåííóþ òàê, êàê ìû ýòî äåëàëè ðàíåå. Èìååì
100y = 254,(54); 100y – ó = 254,(54) – 2,(54);
99y = 252; y =
28
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
252 28
=
.
99
11
§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà
Çíà÷èò, 10x =
1/
4
4
28
28
14
, îòêóäà x =
=
.n
11
11 × 10 55
18. Êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ. Ïðîâåäåì ïðÿìóþ l,
îòìåòèì íà íåé òî÷êó Î, êîòîðóþ ïðèìåì çà íà÷àëî
îòñ÷åòà, âûáåðåì íàïðàâëåíèå è åäèíè÷íûé îòðåçîê
[0, 1] (ðèñ. 1).
Ðèñ. 1
 ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ. Êàæäîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó èëè äðîáè ñîîòâåòñòâóåò îäíà òî÷êà ïðÿìîé l. Ïóñòü,
íàïðèìåð, äàíî ÷èñëî 3. Îòëîæèì îò òî÷êè Î â çàäàííîì íàïðàâëåíèè åäèíè÷íûé îòðåçîê òðè ðàçà, ïîëó÷èì òî÷êó À — îíà è ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëó 3. Àíàëîãè÷íî, åñëè äàíî ÷èñëî 4,2, òî îòëîæèâ îò òî÷êè Î â
çàäàííîì íàïðàâëåíèè åäèíè÷íûé îòðåçîê ÷åòûðå
ðàçà, à çàòåì åùå 0,2 ÷àñòè ýòîãî îòðåçêà, ïîëó÷èì
òî÷êó  — îíà è ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëó 4,2.
Åñëè òî÷êà Ì ïðÿìîé l ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîìó
÷èñëó r, òî ýòî ÷èñëî íàçûâàþò êîîðäèíàòîé òî÷êè è ïèøóò Ì (r). Òàê, äëÿ òî÷åê J, A, B (ðèñ. 1) ìîæíî óêàçàòü èõ êîîðäèíàòû: J (1), A (3), B (4,2). Êîîðäèíàòîé òî÷êè Î ñ÷èòàåòñÿ ÷èñëî íóëü.
Îòëîæèì òåïåðü òðè ðàçà åäèíè÷íûé îòðåçîê îò
òî÷êè Î â íàïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì çàäàííîìó. Ïîëó÷èì òî÷êó A¢ , ñèììåòðè÷íóþ òî÷êó À îòíîñèòåëüíî íà÷àëà îòñ÷åòà Î. Êîîðäèíàòîé òî÷êè À
29
3/
1/
4
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 3, à êîîðäèíàòó òî÷êè A¢ çàïèñûâàþò –3 è ÷èòàþò: «ìèíóñ 3». Àíàëîãè÷íî, êîîðäèíàòà
òî÷êè B¢ , ñèììåòðè÷íîé òî÷êå  (ðèñ. 1), åñòü ÷èñëî
–4,2. ×èñëà 3 è –3, 4,2 è – 4,2 íàçûâàþò ïðîòèâîïîëîæíûìè. ×èñëà, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò òî÷êè, ðàñïîëîæåííûå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé â çàäàííîì
íàïðàâëåíèè, íàçûâàþò ïîëîæèòåëüíûìè; òàê, 1, 3,
4,2 — ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. ×èñëà, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò òî÷êè, ðàñïîëîæåííûå íà êîîðäèíàòíîé
ïðÿìîé â íàïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì çàäàííîìó,
íàçûâàþò îòðèöàòåëüíûìè; òàê, –3, –4,2 — îòðèöàòåëüíûå ÷èñëà. ×èñëî 0 íå ñ÷èòàåòñÿ íè ïîëîæèòåëüíûì, íè îòðèöàòåëüíûì.
Çàäàííîå íàïðàâëåíèå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé
íàçûâàþò ïîëîæèòåëüíûì (îáû÷íî îíî èäåò âïðàâî), à íàïðàâëåíèå, ïðîòèâîïîëîæíîå çàäàííîìó, —
îòðèöàòåëüíûì.
19. Ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1, 2, 3, 4, 5,... íàçûâàþò òàêæå ïîëîæèòåëüíûìè öåëûìè ÷èñëàìè. ×èñëà – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, ...,
ïðîòèâîïîëîæíûå íàòóðàëüíûì, íàçûâàþò îòðèöàòåëüíûìè öåëûìè ÷èñëàìè. ×èñëî 0 òàêæå ñ÷èòàþò öåëûì ÷èñëîì. Èòàê, öåëûå ÷èñëà — ýòî íàòóðàëüíûå
÷èñëà, ÷èñëà, ïðîòèâîïîëîæíûå íàòóðàëüíûì, è ÷èñëî 0.
Öåëûå ÷èñëà è äðîáè (ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå) ñîñòàâëÿþò âìåñòå ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.
Çàìåòèì, ÷òî ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî ìîæíî
m
ïðåäñòàâèòü â âèäå îòíîøåíèÿ
, ãäå m — öåëîå,
n
à n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ïðè÷åì îäíî è òî æå ÷èñëî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå îòíîøåíèÿ ìíîãèìè ñïîñîáàìè.
30
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
1/
4
4
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
Íàïðèìåð:
– 2 = –4 = –6 = –100 ; 0,3 = 3 = 6 = 300 .
2
10 20 1000
3
50
Ñðåäè äðîáåé, îáîçíà÷àþùèõ äàííîå ðàöèîíàëüíîå
÷èñëî, èìååòñÿ îäíà è òîëüêî îäíà íåñîêðàòèìàÿ äðîáü.
Äëÿ öåëûõ ÷èñåë — ýòî äðîáü ñî çíàìåíàòåëåì 1.
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
20. Èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà. Äëÿ èçìåðåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ íå òîëüêî ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà, íî è ÷èñëà èíîé ïðèðîäû, ò. å. íå ÿâëÿþùèåñÿ öåëûìè èëè
äðîáíûìè. Âñå òàêèå ÷èñëà íàçûâàþòñÿ èððàöèîíàëüíûìè. Íàïðèìåð, äëèíà äèàãîíàëè êâàäðàòà ñî
ñòîðîíîé 1 (ðèñ. 2, à) äîëæíà âûðàæàòüñÿ íåêîòîðûì
ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëîì r, òàêèì, ÷òî r2 = 1 2 +
+ 12 (ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà, ñì. ï. 275), ò. å. òàêèì,
÷òî r2 = 2. ×èñëî r íå ìîæåò áûòü öåëûì, òàê êàê
12 = 1; 22 = 4; 32 = 9 è ò. ä. ×èñëî r íå ìîæåò áûòü è
äðîáíûì: åñëè r =
n ¹ 1, òî r 2 =
m2
n2
n2 ¹ 1 ; çíà÷èò,
m
— íåñîêðàòèìàÿ äðîáü, ãäå
n
— òàêæå íåñîêðàòèìàÿ äðîáü, ãäå
m2
n2
íå ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì, à ïî-
òîìó íå ìîæåò áûòü ðàâíûì 2. Ïîýòîìó äëèíà äèàãîíàëè êâàäðàòà âûðàæàåòñÿ èððàöèîíàëüíûì ÷èñëîì,
êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ 2 (÷èòàåòñÿ: «êâàäðàòíûé êîðåíü èç äâóõ»). Íà ðèñ. 2, á èçîáðàæåíà êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ l, OABJ — êâàäðàò, OC = OB = OD. Òîãäà
êîîðäèíàòîé òî÷êè Ñ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî
2 , à êîîðäè-
31
3/
1/
4
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 3, à êîîðäèíàòó òî÷êè A¢ çàïèñûâàþò –3 è ÷èòàþò: «ìèíóñ 3». Àíàëîãè÷íî, êîîðäèíàòà
òî÷êè B¢ , ñèììåòðè÷íîé òî÷êå  (ðèñ. 1), åñòü ÷èñëî
–4,2. ×èñëà 3 è –3, 4,2 è – 4,2 íàçûâàþò ïðîòèâîïîëîæíûìè. ×èñëà, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò òî÷êè, ðàñïîëîæåííûå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé â çàäàííîì
íàïðàâëåíèè, íàçûâàþò ïîëîæèòåëüíûìè; òàê, 1, 3,
4,2 — ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. ×èñëà, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò òî÷êè, ðàñïîëîæåííûå íà êîîðäèíàòíîé
ïðÿìîé â íàïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì çàäàííîìó,
íàçûâàþò îòðèöàòåëüíûìè; òàê, –3, –4,2 — îòðèöàòåëüíûå ÷èñëà. ×èñëî 0 íå ñ÷èòàåòñÿ íè ïîëîæèòåëüíûì, íè îòðèöàòåëüíûì.
Çàäàííîå íàïðàâëåíèå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé
íàçûâàþò ïîëîæèòåëüíûì (îáû÷íî îíî èäåò âïðàâî), à íàïðàâëåíèå, ïðîòèâîïîëîæíîå çàäàííîìó, —
îòðèöàòåëüíûì.
19. Ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1, 2, 3, 4, 5,... íàçûâàþò òàêæå ïîëîæèòåëüíûìè öåëûìè ÷èñëàìè. ×èñëà – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, ...,
ïðîòèâîïîëîæíûå íàòóðàëüíûì, íàçûâàþò îòðèöàòåëüíûìè öåëûìè ÷èñëàìè. ×èñëî 0 òàêæå ñ÷èòàþò öåëûì ÷èñëîì. Èòàê, öåëûå ÷èñëà — ýòî íàòóðàëüíûå
÷èñëà, ÷èñëà, ïðîòèâîïîëîæíûå íàòóðàëüíûì, è ÷èñëî 0.
Öåëûå ÷èñëà è äðîáè (ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå) ñîñòàâëÿþò âìåñòå ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.
Çàìåòèì, ÷òî ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî ìîæíî
m
ïðåäñòàâèòü â âèäå îòíîøåíèÿ
, ãäå m — öåëîå,
n
à n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ïðè÷åì îäíî è òî æå ÷èñëî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå îòíîøåíèÿ ìíîãèìè ñïîñîáàìè.
30
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
1/
4
4
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
Íàïðèìåð:
– 2 = –4 = –6 = –100 ; 0,3 = 3 = 6 = 300 .
2
10 20 1000
3
50
Ñðåäè äðîáåé, îáîçíà÷àþùèõ äàííîå ðàöèîíàëüíîå
÷èñëî, èìååòñÿ îäíà è òîëüêî îäíà íåñîêðàòèìàÿ äðîáü.
Äëÿ öåëûõ ÷èñåë — ýòî äðîáü ñî çíàìåíàòåëåì 1.
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
20. Èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà. Äëÿ èçìåðåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ íå òîëüêî ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà, íî è ÷èñëà èíîé ïðèðîäû, ò. å. íå ÿâëÿþùèåñÿ öåëûìè èëè
äðîáíûìè. Âñå òàêèå ÷èñëà íàçûâàþòñÿ èððàöèîíàëüíûìè. Íàïðèìåð, äëèíà äèàãîíàëè êâàäðàòà ñî
ñòîðîíîé 1 (ðèñ. 2, à) äîëæíà âûðàæàòüñÿ íåêîòîðûì
ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëîì r, òàêèì, ÷òî r2 = 1 2 +
+ 12 (ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà, ñì. ï. 275), ò. å. òàêèì,
÷òî r2 = 2. ×èñëî r íå ìîæåò áûòü öåëûì, òàê êàê
12 = 1; 22 = 4; 32 = 9 è ò. ä. ×èñëî r íå ìîæåò áûòü è
äðîáíûì: åñëè r =
n ¹ 1, òî r 2 =
m2
n2
n2 ¹ 1 ; çíà÷èò,
m
— íåñîêðàòèìàÿ äðîáü, ãäå
n
— òàêæå íåñîêðàòèìàÿ äðîáü, ãäå
m2
n2
íå ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì, à ïî-
òîìó íå ìîæåò áûòü ðàâíûì 2. Ïîýòîìó äëèíà äèàãîíàëè êâàäðàòà âûðàæàåòñÿ èððàöèîíàëüíûì ÷èñëîì,
êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ 2 (÷èòàåòñÿ: «êâàäðàòíûé êîðåíü èç äâóõ»). Íà ðèñ. 2, á èçîáðàæåíà êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ l, OABJ — êâàäðàò, OC = OB = OD. Òîãäà
êîîðäèíàòîé òî÷êè Ñ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî
2 , à êîîðäè-
31
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
Ðèñ. 2
íàòîé òî÷êè D — ÷èñëî – 2 . Îáå òî÷êè C è D èìåþò
èððàöèîíàëüíûå êîîðäèíàòû.
Òàê êàê ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè (ñì. ï. 16)
è â ñâîþ î÷åðåäü ëþáàÿ áåñêîíå÷íàÿ äåñÿòè÷íàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ äðîáü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàöèîíàëüíîå
÷èñëî (ñì. ï. 17), òî êàæäîå èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé
äðîáè è â ñâîþ î÷åðåäü ëþáàÿ áåñêîíå÷íàÿ äåñÿòè÷íàÿ íåïåðèîäè÷åñêàÿ äðîáü åñòü èððàöèîíàëüíîå
÷èñëî.
21. Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. ×èñëîâàÿ
ïðÿìàÿ. Ðàöèîíàëüíûå è èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà ñîñòàâëÿþò âìåñòå ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Êàæäîìó äåéñòâèòåëüíîìó ÷èñëó ñîîòâåòñòâóåò
åäèíñòâåííàÿ òî÷êà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. Êàæäàÿ
òî÷êà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííîìó äåéñòâèòåëüíîìó ÷èñëó (äîñòàòî÷íî íàéòè ðàññòîÿíèå äî ýòîé òî÷êè îò íà÷àëà îòñ÷åòà è ïîñòàâèòü
ïåðåä íàéäåííûì ÷èñëîì çíàê «+» èëè «–» â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ñïðàâà èëè ñëåâà îò íà÷àëà îòñ÷åòà
íàõîäèòñÿ çàäàííàÿ òî÷êà).
Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íàçûâàþò òàêæå ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Ãåîìåòðè÷åñêîé ìîäåëüþ ÷èñëîâîé ïðÿìîé ñëóæèò êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ.
32
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
1/
4
4
22. ×èñëîâàÿ ïëîñêîñòü. Ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå. Ïîä ïàðîé ÷èñåë îáû÷íî ïîíèìàþò äâà ÷èñëà,
êîòîðûå ðàññìàòðèâàþòñÿ â îïðåäåëåííîì ïîðÿäêå
(óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà). Ìíîæåñòâî âñåõ ïàð äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íàçûâàþò ÷èñëîâîé ïëîñêîñòüþ.
Êàê äëÿ ìíîæåñòâà âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (èëè
÷èñëîâîé ïðÿìîé) åñòü ãåîìåòðè÷åñêàÿ ìîäåëü —
êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ (ñì. ïï. 18 è 21), òàê è äëÿ
ìíîæåñòâà âñåõ ïàð äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (÷èñëîâîé ïëîñêîñòè) åñòü ãåîìåòðè÷åñêàÿ ìîäåëü — êîîðäèíàòíàÿ ïëîñêîñòü. Êîîðäèíàòíàÿ ïëîñêîñòü
õOy îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ïðÿìûìè ñ îáùèì íà÷àëîì Î è îäèíàêîâûì
ìàñøòàáîì (ðèñ. 3). Òî÷êà Î íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì
êîîðäèíàò. Ãîðèçîíòàëüíàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ
îñüþ àáñöèññ èëè îñüþ Îõ, âåðòèêàëüíàÿ — îñüþ
îðäèíàò èëè îñüþ Îy. Ãîâîðÿò, ÷òî ýòè îñè îáðàçóþò ïðÿìîóãîëüíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè.
Êàæäîé òî÷êå ïëîñêîñòè xOy ñîîòâåòñòâóåò ïàðà
÷èñåë — êîîðäèíàò ýòîé òî÷êè îòíîñèòåëüíî äàííîé
êîîîðäèíàòíîé ñèñòåìû. Ðàññìîòðèì ïðÿìîóãîëüíûå
ïðîåêöèè òî÷êè Ì íà îñè Îõ è Oy (ðèñ. 3); ñîîòâåò-
Ðèñ. 3
33
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
Ðèñ. 2
íàòîé òî÷êè D — ÷èñëî – 2 . Îáå òî÷êè C è D èìåþò
èððàöèîíàëüíûå êîîðäèíàòû.
Òàê êàê ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè (ñì. ï. 16)
è â ñâîþ î÷åðåäü ëþáàÿ áåñêîíå÷íàÿ äåñÿòè÷íàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ äðîáü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàöèîíàëüíîå
÷èñëî (ñì. ï. 17), òî êàæäîå èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé
äðîáè è â ñâîþ î÷åðåäü ëþáàÿ áåñêîíå÷íàÿ äåñÿòè÷íàÿ íåïåðèîäè÷åñêàÿ äðîáü åñòü èððàöèîíàëüíîå
÷èñëî.
21. Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. ×èñëîâàÿ
ïðÿìàÿ. Ðàöèîíàëüíûå è èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà ñîñòàâëÿþò âìåñòå ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Êàæäîìó äåéñòâèòåëüíîìó ÷èñëó ñîîòâåòñòâóåò
åäèíñòâåííàÿ òî÷êà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. Êàæäàÿ
òî÷êà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííîìó äåéñòâèòåëüíîìó ÷èñëó (äîñòàòî÷íî íàéòè ðàññòîÿíèå äî ýòîé òî÷êè îò íà÷àëà îòñ÷åòà è ïîñòàâèòü
ïåðåä íàéäåííûì ÷èñëîì çíàê «+» èëè «–» â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ñïðàâà èëè ñëåâà îò íà÷àëà îòñ÷åòà
íàõîäèòñÿ çàäàííàÿ òî÷êà).
Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íàçûâàþò òàêæå ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Ãåîìåòðè÷åñêîé ìîäåëüþ ÷èñëîâîé ïðÿìîé ñëóæèò êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ.
32
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
1/
4
4
22. ×èñëîâàÿ ïëîñêîñòü. Ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå. Ïîä ïàðîé ÷èñåë îáû÷íî ïîíèìàþò äâà ÷èñëà,
êîòîðûå ðàññìàòðèâàþòñÿ â îïðåäåëåííîì ïîðÿäêå
(óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà). Ìíîæåñòâî âñåõ ïàð äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íàçûâàþò ÷èñëîâîé ïëîñêîñòüþ.
Êàê äëÿ ìíîæåñòâà âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (èëè
÷èñëîâîé ïðÿìîé) åñòü ãåîìåòðè÷åñêàÿ ìîäåëü —
êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ (ñì. ïï. 18 è 21), òàê è äëÿ
ìíîæåñòâà âñåõ ïàð äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (÷èñëîâîé ïëîñêîñòè) åñòü ãåîìåòðè÷åñêàÿ ìîäåëü — êîîðäèíàòíàÿ ïëîñêîñòü. Êîîðäèíàòíàÿ ïëîñêîñòü
õOy îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ïðÿìûìè ñ îáùèì íà÷àëîì Î è îäèíàêîâûì
ìàñøòàáîì (ðèñ. 3). Òî÷êà Î íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì
êîîðäèíàò. Ãîðèçîíòàëüíàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ
îñüþ àáñöèññ èëè îñüþ Îõ, âåðòèêàëüíàÿ — îñüþ
îðäèíàò èëè îñüþ Îy. Ãîâîðÿò, ÷òî ýòè îñè îáðàçóþò ïðÿìîóãîëüíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè.
Êàæäîé òî÷êå ïëîñêîñòè xOy ñîîòâåòñòâóåò ïàðà
÷èñåë — êîîðäèíàò ýòîé òî÷êè îòíîñèòåëüíî äàííîé
êîîîðäèíàòíîé ñèñòåìû. Ðàññìîòðèì ïðÿìîóãîëüíûå
ïðîåêöèè òî÷êè Ì íà îñè Îõ è Oy (ðèñ. 3); ñîîòâåò-
Ðèñ. 3
33
3/
1/
4
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
ñòâóþùèå òî÷êè íà îñÿõ Îõ è Oy îáîçíà÷åíû ÷åðåç Ìõ è Ì y.Òî÷êà Ì õ èìååò êîîðäèíàòó
(àáñöèññó) õ, òî÷êà Ìy — êîîðäèíàòó (îðäèíàòó)
y. Ýòè äâà ÷èñëà, çàïèñàííûå â óêàçàííîì ïîðÿäêå, íàçûâàþò êîîðäèíàòàìè òî÷êè Ì è ïèøóò
Ì (õ; y).
Îñè êîîðäèíàò äåëÿò êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü íà
÷åòûðå êîîðäèíàòíûå ÷åòâåðòè (êâàäðàíòû), êîòîðûå íóìåðóþòñÿ ðèìñêèìè öèôðàìè (ñì. ðèñ. 3).
Çíàêè êîîðäèíàò òî÷êè â çàâèñèìîñòè îò òîãî, â êàêîì êâàäðàíòå îíà ëåæèò, óêàçàíû íà ðèñ. 3.
Òî÷êè, ëåæàùèå íà îñè Îõ, èìåþò îðäèíàòó y, ðàâíóþ íóëþ; òî÷êè íà îñè Îy — àáñöèññó õ, ðàâíóþ
íóëþ.
Àíàëîãè÷íî ââîäèòñÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå. Äëÿ ýòîãî âîçüìåì òðè ïîïàðíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïðÿìûå
ñ îáùèì íà÷àëîì Î è îäèíàêîâûì ìàñøòàáîì (ðèñ.
4, à). Ïðîâåäåì ÷åðåç êàæäóþ ïàðó ýòèõ ïðÿìûõ
ïëîñêîñòü. Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ïðÿìûå Îõ
è Îy, íàçûâàåòñÿ ïëîñêîñòüþ õÎy, à äâå äðóãèå —
ïëîñêîñòÿìè õÎz è yÎz. Òî÷êà Î íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì êîîðäèíàò, ïðÿìûå Îõ, Îy, è Îz — êîîðäèíàòíûìè îñÿìè, à ïëîñêîñòè õÎó, õÎz è óÎz — êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè. Ïðè ýòîì îñü Îõ íàçûâàåòñÿ îñüþ àáñöèññ, îñü Îy— îñüþ îðäèíàò, à îñü Îz —
îñüþ àïïëèêàò.
Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó Ì è ïðîâåäåì ÷åðåç íåå ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ ïëîñêîñòè yOz
(ðèñ. 4, á); òîãäà ïîñòðîåííàÿ ïëîñêîñòü ïåðåñå÷åò îñü
Îõ â òî÷êå Ìõ.
Êîîðäèíàòîé õ òî÷êè Ì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî, ðàâíîå ïî
ìîäóëþ äëèíå îòðåçêà ÎÌõ (îíî ïîëîæèòåëüíî, åñëè
Ìõ ëåæèò íà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè, è îòðèöàòåëüíî, åñëè Ìõ ëåæèò íà îòðèöàòåëüíîé ïîëóîñè). Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ êîîðäèíàòû y è z òî÷êè Ì.
34
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
1/
4
4
Ðèñ. 4
Òî÷êó Ì ñ êîîðäèíàòàìè x, y, z áóäåì çàïèñûâàòü
òàê: Ì (x; y; z), ïðè÷åì õ íàçûâàåòñÿ àáñöèññîé, y —
îðäèíàòîé, à z — àïïëèêàòîé.
Èòàê, êàæäîé òî÷êå Ì â ïðîñòðàíñòâå ñîîòâåòñòâóþò òðè ÷èñëà, âçÿòûå â îïðåäåëåííîì ïîðÿäêå, —
êîîðäèíàòû òî÷êè Ì â ïðîñòðàíñòâå.
23. Ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò. Ïîëîæåíèå òî÷êè íà ïëîñêîñòè ìîæíî çàäàòü íå òîëüêî åå äåêàðòîâûìè ïðÿìîóãîëüíûìè êîîðäèíàòàìè õ, y, íî è äðóãèìè ñïîñîáàìè. Ñîåäèíèì, íàïðèìåð, òî÷êó Ì ñ íà÷àëîì Î (ðèñ. 5) è ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå äâà ÷èñëà:
äëèíó îòðåçêà ÎÌ = r è óãîë j íàêëîíà ýòîãî îòðåçêà
ê ïîëîæèòåëüíîìó íàïðàâëåíèþ îñè Îõ (ýòîò óãîë
ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, åñëè ïîâîðîò îò îñè Îõ äî
åå ñîâìåùåíèÿ ñ íàïðàâëåíèåì ÎÌ ïðîèñõîäèò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, è îòðèöàòåëüíûì â ïðîòèâíîì
ñëó÷àå). Îòðåçîê r = ÎÌ íàçûâàåòñÿ ïîëÿðíûì ðàäèóñîì òî÷êè Ì, óãîë j — åå ïîëÿðíûì óãëîì, ïàðà
÷èñåë (r; j) — åå ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè, òî÷êà
Î — ïîëþñîì, îñü Ox — ïîëÿðíîé îñüþ. Òàêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íàçûâàåòñÿ ïîëÿðíîé.
35
3/
1/
4
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
ñòâóþùèå òî÷êè íà îñÿõ Îõ è Oy îáîçíà÷åíû ÷åðåç Ìõ è Ì y.Òî÷êà Ì õ èìååò êîîðäèíàòó
(àáñöèññó) õ, òî÷êà Ìy — êîîðäèíàòó (îðäèíàòó)
y. Ýòè äâà ÷èñëà, çàïèñàííûå â óêàçàííîì ïîðÿäêå, íàçûâàþò êîîðäèíàòàìè òî÷êè Ì è ïèøóò
Ì (õ; y).
Îñè êîîðäèíàò äåëÿò êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü íà
÷åòûðå êîîðäèíàòíûå ÷åòâåðòè (êâàäðàíòû), êîòîðûå íóìåðóþòñÿ ðèìñêèìè öèôðàìè (ñì. ðèñ. 3).
Çíàêè êîîðäèíàò òî÷êè â çàâèñèìîñòè îò òîãî, â êàêîì êâàäðàíòå îíà ëåæèò, óêàçàíû íà ðèñ. 3.
Òî÷êè, ëåæàùèå íà îñè Îõ, èìåþò îðäèíàòó y, ðàâíóþ íóëþ; òî÷êè íà îñè Îy — àáñöèññó õ, ðàâíóþ
íóëþ.
Àíàëîãè÷íî ââîäèòñÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå. Äëÿ ýòîãî âîçüìåì òðè ïîïàðíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïðÿìûå
ñ îáùèì íà÷àëîì Î è îäèíàêîâûì ìàñøòàáîì (ðèñ.
4, à). Ïðîâåäåì ÷åðåç êàæäóþ ïàðó ýòèõ ïðÿìûõ
ïëîñêîñòü. Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ïðÿìûå Îõ
è Îy, íàçûâàåòñÿ ïëîñêîñòüþ õÎy, à äâå äðóãèå —
ïëîñêîñòÿìè õÎz è yÎz. Òî÷êà Î íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì êîîðäèíàò, ïðÿìûå Îõ, Îy, è Îz — êîîðäèíàòíûìè îñÿìè, à ïëîñêîñòè õÎó, õÎz è óÎz — êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè. Ïðè ýòîì îñü Îõ íàçûâàåòñÿ îñüþ àáñöèññ, îñü Îy— îñüþ îðäèíàò, à îñü Îz —
îñüþ àïïëèêàò.
Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó Ì è ïðîâåäåì ÷åðåç íåå ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ ïëîñêîñòè yOz
(ðèñ. 4, á); òîãäà ïîñòðîåííàÿ ïëîñêîñòü ïåðåñå÷åò îñü
Îõ â òî÷êå Ìõ.
Êîîðäèíàòîé õ òî÷êè Ì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî, ðàâíîå ïî
ìîäóëþ äëèíå îòðåçêà ÎÌõ (îíî ïîëîæèòåëüíî, åñëè
Ìõ ëåæèò íà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè, è îòðèöàòåëüíî, åñëè Ìõ ëåæèò íà îòðèöàòåëüíîé ïîëóîñè). Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ êîîðäèíàòû y è z òî÷êè Ì.
34
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
1/
4
4
Ðèñ. 4
Òî÷êó Ì ñ êîîðäèíàòàìè x, y, z áóäåì çàïèñûâàòü
òàê: Ì (x; y; z), ïðè÷åì õ íàçûâàåòñÿ àáñöèññîé, y —
îðäèíàòîé, à z — àïïëèêàòîé.
Èòàê, êàæäîé òî÷êå Ì â ïðîñòðàíñòâå ñîîòâåòñòâóþò òðè ÷èñëà, âçÿòûå â îïðåäåëåííîì ïîðÿäêå, —
êîîðäèíàòû òî÷êè Ì â ïðîñòðàíñòâå.
23. Ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò. Ïîëîæåíèå òî÷êè íà ïëîñêîñòè ìîæíî çàäàòü íå òîëüêî åå äåêàðòîâûìè ïðÿìîóãîëüíûìè êîîðäèíàòàìè õ, y, íî è äðóãèìè ñïîñîáàìè. Ñîåäèíèì, íàïðèìåð, òî÷êó Ì ñ íà÷àëîì Î (ðèñ. 5) è ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå äâà ÷èñëà:
äëèíó îòðåçêà ÎÌ = r è óãîë j íàêëîíà ýòîãî îòðåçêà
ê ïîëîæèòåëüíîìó íàïðàâëåíèþ îñè Îõ (ýòîò óãîë
ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, åñëè ïîâîðîò îò îñè Îõ äî
åå ñîâìåùåíèÿ ñ íàïðàâëåíèåì ÎÌ ïðîèñõîäèò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, è îòðèöàòåëüíûì â ïðîòèâíîì
ñëó÷àå). Îòðåçîê r = ÎÌ íàçûâàåòñÿ ïîëÿðíûì ðàäèóñîì òî÷êè Ì, óãîë j — åå ïîëÿðíûì óãëîì, ïàðà
÷èñåë (r; j) — åå ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè, òî÷êà
Î — ïîëþñîì, îñü Ox — ïîëÿðíîé îñüþ. Òàêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íàçûâàåòñÿ ïîëÿðíîé.
35
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
1/
4
4
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
Íà ðèñ. 5 èçîáðàæåíû òî÷êè, çàäàííûå ïîëÿðíûìè
pö
ö
æ3
æ 1 3p ö
æ3
êîîðäèíàòàìè: À(1;0), B ç ; - ÷ , C ç ;
÷ ,. D ç ; p ÷ .
2ø
ø
è5
è2 4 ø
è5
Çíàÿ ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû òî÷êè, ìîæíî íàéòè
åå äåêàðòîâû êîîðäèíàòû ïî ôîðìóëàì
(1)
x = r cos j, y = r sin j,
íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàþùèì èç îïðåäåëåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé (ñì. ï. 118). Íàîáîðîò, åñëè
èçâåñòíû äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè, òî åå ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì
Ðèñ. 5
r = x2 + y2 ,
y
x
x
–
cos j =
, sin j = r Öx2 + y2
r
y
x2 + y2
. (2)
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû òî÷êè Ì
(–4; 4 3 ).
q
r =
Èñïîëüçóÿ ïåðâóþ èç ôîðìóë (2), íàõîäèì
( -4)2 + (4 3 ) 2 =
16 + 48 = 8.
Äàëåå, ñîãëàñíî
âòîðîé è òðåòüåé ôîðìóëàì (2), èìååì cos j =
sin j =
4 3
3 îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî j = 2p . Èòàê,
=
,
3
8
2
æ 2p ö
M ç 8;
÷.
3 ø n
è
36
-4 1
= ,
8
2
24. Îáîçíà÷åíèÿ íåêîòîðûõ ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ ìíîæåñòâàìè. Ïðèâåäåì îáîçíà÷åíèÿ ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ ÷èñëîâûõ
ìíîæåñòâ:
N — ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë;
Z — ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë;
Q — ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë;
I — ìíîæåñòâî èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë;
R — ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë;
Ñ — ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë (ñì. ï. 45).
Åñëè à ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà À, òî ãîâîðÿò, ÷òî à ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó À è ïèøóò a Î A
( Î — çíàê ïðèíàäëåæíîñòè).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå,
ò. å. åñëè à íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà À,
ïèøóò a Ï A . Òàê, íàïðèìåð, 5 Î N , à O
0 Ï N;
-5 Î Z, à 1,4 Ï Z;
2
Î Q, à
3
2 Ï Q.
37
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
1/
4
4
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
Íà ðèñ. 5 èçîáðàæåíû òî÷êè, çàäàííûå ïîëÿðíûìè
pö
ö
æ3
æ 1 3p ö
æ3
êîîðäèíàòàìè: À(1;0), B ç ; - ÷ , C ç ;
÷ ,. D ç ; p ÷ .
2ø
ø
è5
è2 4 ø
è5
Çíàÿ ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû òî÷êè, ìîæíî íàéòè
åå äåêàðòîâû êîîðäèíàòû ïî ôîðìóëàì
(1)
x = r cos j, y = r sin j,
íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàþùèì èç îïðåäåëåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé (ñì. ï. 118). Íàîáîðîò, åñëè
èçâåñòíû äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè, òî åå ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì
Ðèñ. 5
r = x2 + y2 ,
y
x
x
–
cos j =
, sin j = r Öx2 + y2
r
y
x2 + y2
. (2)
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû òî÷êè Ì
(–4; 4 3 ).
q
r =
Èñïîëüçóÿ ïåðâóþ èç ôîðìóë (2), íàõîäèì
( -4)2 + (4 3 ) 2 =
16 + 48 = 8.
Äàëåå, ñîãëàñíî
âòîðîé è òðåòüåé ôîðìóëàì (2), èìååì cos j =
sin j =
4 3
3 îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî j = 2p . Èòàê,
=
,
3
8
2
æ 2p ö
M ç 8;
÷.
3 ø n
è
36
-4 1
= ,
8
2
24. Îáîçíà÷åíèÿ íåêîòîðûõ ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ ìíîæåñòâàìè. Ïðèâåäåì îáîçíà÷åíèÿ ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ ÷èñëîâûõ
ìíîæåñòâ:
N — ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë;
Z — ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë;
Q — ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë;
I — ìíîæåñòâî èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë;
R — ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë;
Ñ — ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë (ñì. ï. 45).
Åñëè à ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà À, òî ãîâîðÿò, ÷òî à ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó À è ïèøóò a Î A
( Î — çíàê ïðèíàäëåæíîñòè).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå,
ò. å. åñëè à íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà À,
ïèøóò a Ï A . Òàê, íàïðèìåð, 5 Î N , à O
0 Ï N;
-5 Î Z, à 1,4 Ï Z;
2
Î Q, à
3
2 Ï Q.
37
3/
1/
4
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
Ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå íè îäíîãî ýëåìåíòà,
íàçûâàåòñÿ ïóñòûì (îáîçíà÷åíèå: Æ). Íàïðèìåð, ïóñòûì ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ èëè ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ
êîðíåé óðàâíåíèÿ õ2 + 1 = 0.
Ìíîæåñòâî  íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà À, åñëè ëþáîé ýëåìåíò ìíîæåñòâà  ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó À.  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò B Ì A
Ì — çíàê âêëþ÷åíèÿ). Íàïðèìåð, N Ì Z, Z Ì R.
(Ì
Îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ À è Â íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò õîòÿ áû îäíîìó èç ìíîæåñòâ À è
Â.  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò: A U B ( U — çíàê îáúåäèíåíèÿ). Íàïðèìåð, N U Z = Z, Q U I = R.
Ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ À è  íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò êàæäîìó èç ìíîæåñòâ
À è Â.  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò: A I B ( I — çíàê ïåðåñå÷åíèÿ). Íàïðèìåð, N I Z = N, Q I I = Æ.
25. Ñðàâíåíèå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Äëÿ ëþáûõ íåðàâíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à è b ìîæíî ñêàçàòü, êàêîå áîëüøå, à êàêîå ìåíüøå.
Ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî à áîëüøå ÷èñëà b, è ïèøóò à > b,
åñëè ðàçíîñòü à – b — ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî; åñëè
ðàçíîñòü à – b — îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, òî ãîâîðÿò, ÷òî
÷èñëî à ìåíüøå ÷èñëà b, è ïèøóò à < b. Ñîãëàñíî
ýòîìó îïðåäåëåíèþ ëþáîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî áîëüøå íóëÿ, ëþáîå îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî ìåíüøå íóëÿ è
ìåíüøå ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà. Äëÿ ëþáûõ
çàäàííûõ ÷èñåë à è b âåðíî îäíî è òîëüêî îäíî èç
ñîîòíîøåíèé à > b, a < b, a = b.
38
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
1/
4
4
Ãåîìåòðè÷åñêè íåðàâåíñòâî a < b (à > b) îçíà÷àåò,
÷òî òî÷êà à ðàñïîëîæåíà íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé
ëåâåå (ïðàâåå) òî÷êè b.
Çíàêè < , > íàçûâàþòñÿ çíàêàìè ñòðîãèõ íåðàâåíñòâ. Èíîãäà èñïîëüçóþòñÿ çíàêè íåñòðîãèõ íåðàâåíñòâ ³ , £ ; çàïèñü a £ b îçíà÷àåò, ÷òî âåðíî îäíî
èç äâóõ: èëè ÷èñëî à ìåíüøå ÷èñëà b, èëè ÷èñëî à
ðàâíî ÷èñëó b. Íàïðèìåð, 3 £ 5, 5 ³ 5 — âåðíûå íåðàâåíñòâà. Íåðàâåíñòâà à > b è c > d íàçûâàþòñÿ
íåðàâåíñòâàìè îäíîãî çíàêà; íåðàâåíñòâà à > b è
c < d íàçûâàþòñÿ íåðàâåíñòâàìè ïðîòèâîïîëîæíûõ çíàêîâ. Åñëè ÷èñëà à, b, c òàêîâû, ÷òî a < b è
b < c, òî èñïîëüçóþò çàïèñü a < b < c, êîòîðóþ íàçûâàþò äâîéíûì íåðàâåíñòâîì.
26. Ñâîéñòâà ÷èñëîâûõ íåðàâåíñòâ. Äëÿ ëþáûõ
äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë a, b, c, d âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
10. Åñëè à > b, òî b < a.
20. Åñëè à > b è b > c, òî à > ñ (ñâîéñòâî òðàíçèòèâíîñòè).
30. Åñëè à > b, òî à + ñ > b + ñ.
40. Åñëè à > b è ñ — ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî (ñ > 0),
òî àñ > bñ (åñëè îáå ÷àñòè âåðíîãî íåðàâåíñòâà óìíîæèòü íà îäíî è òî æå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, òî
ïîëó÷èòñÿ âåðíîå íåðàâåíñòâî).
50. Åñëè à > b è ñ — îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî (c < 0), òî
àñ < bñ (åñëè îáå ÷àñòè âåðíîãî íåðàâåíñòâà óìíîæèòü íà îäíî è òî æå îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî è èçìåíèòü çíàê èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà íà ïðîòèâîïîëîæíûé, òî ïîëó÷èòñÿ âåðíîå íåðàâåíñòâî).
60. Åñëè à > b è ñ > d, òî à + ñ > b + d (åñëè
ïî÷ëåííî ñëîæèòü äâà âåðíûõ íåðàâåíñòâà îäíîãî
çíàêà, òî ïîëó÷èòñÿ âåðíîå íåðàâåíñòâî).
39
3/
1/
4
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
Ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå íè îäíîãî ýëåìåíòà,
íàçûâàåòñÿ ïóñòûì (îáîçíà÷åíèå: Æ). Íàïðèìåð, ïóñòûì ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ èëè ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ
êîðíåé óðàâíåíèÿ õ2 + 1 = 0.
Ìíîæåñòâî  íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà À, åñëè ëþáîé ýëåìåíò ìíîæåñòâà  ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó À.  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò B Ì A
Ì — çíàê âêëþ÷åíèÿ). Íàïðèìåð, N Ì Z, Z Ì R.
(Ì
Îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ À è Â íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò õîòÿ áû îäíîìó èç ìíîæåñòâ À è
Â.  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò: A U B ( U — çíàê îáúåäèíåíèÿ). Íàïðèìåð, N U Z = Z, Q U I = R.
Ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ À è  íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò êàæäîìó èç ìíîæåñòâ
À è Â.  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò: A I B ( I — çíàê ïåðåñå÷åíèÿ). Íàïðèìåð, N I Z = N, Q I I = Æ.
25. Ñðàâíåíèå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Äëÿ ëþáûõ íåðàâíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à è b ìîæíî ñêàçàòü, êàêîå áîëüøå, à êàêîå ìåíüøå.
Ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî à áîëüøå ÷èñëà b, è ïèøóò à > b,
åñëè ðàçíîñòü à – b — ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî; åñëè
ðàçíîñòü à – b — îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, òî ãîâîðÿò, ÷òî
÷èñëî à ìåíüøå ÷èñëà b, è ïèøóò à < b. Ñîãëàñíî
ýòîìó îïðåäåëåíèþ ëþáîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî áîëüøå íóëÿ, ëþáîå îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî ìåíüøå íóëÿ è
ìåíüøå ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà. Äëÿ ëþáûõ
çàäàííûõ ÷èñåë à è b âåðíî îäíî è òîëüêî îäíî èç
ñîîòíîøåíèé à > b, a < b, a = b.
38
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
1/
4
4
Ãåîìåòðè÷åñêè íåðàâåíñòâî a < b (à > b) îçíà÷àåò,
÷òî òî÷êà à ðàñïîëîæåíà íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé
ëåâåå (ïðàâåå) òî÷êè b.
Çíàêè < , > íàçûâàþòñÿ çíàêàìè ñòðîãèõ íåðàâåíñòâ. Èíîãäà èñïîëüçóþòñÿ çíàêè íåñòðîãèõ íåðàâåíñòâ ³ , £ ; çàïèñü a £ b îçíà÷àåò, ÷òî âåðíî îäíî
èç äâóõ: èëè ÷èñëî à ìåíüøå ÷èñëà b, èëè ÷èñëî à
ðàâíî ÷èñëó b. Íàïðèìåð, 3 £ 5, 5 ³ 5 — âåðíûå íåðàâåíñòâà. Íåðàâåíñòâà à > b è c > d íàçûâàþòñÿ
íåðàâåíñòâàìè îäíîãî çíàêà; íåðàâåíñòâà à > b è
c < d íàçûâàþòñÿ íåðàâåíñòâàìè ïðîòèâîïîëîæíûõ çíàêîâ. Åñëè ÷èñëà à, b, c òàêîâû, ÷òî a < b è
b < c, òî èñïîëüçóþò çàïèñü a < b < c, êîòîðóþ íàçûâàþò äâîéíûì íåðàâåíñòâîì.
26. Ñâîéñòâà ÷èñëîâûõ íåðàâåíñòâ. Äëÿ ëþáûõ
äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë a, b, c, d âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
10. Åñëè à > b, òî b < a.
20. Åñëè à > b è b > c, òî à > ñ (ñâîéñòâî òðàíçèòèâíîñòè).
30. Åñëè à > b, òî à + ñ > b + ñ.
40. Åñëè à > b è ñ — ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî (ñ > 0),
òî àñ > bñ (åñëè îáå ÷àñòè âåðíîãî íåðàâåíñòâà óìíîæèòü íà îäíî è òî æå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, òî
ïîëó÷èòñÿ âåðíîå íåðàâåíñòâî).
50. Åñëè à > b è ñ — îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî (c < 0), òî
àñ < bñ (åñëè îáå ÷àñòè âåðíîãî íåðàâåíñòâà óìíîæèòü íà îäíî è òî æå îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî è èçìåíèòü çíàê èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà íà ïðîòèâîïîëîæíûé, òî ïîëó÷èòñÿ âåðíîå íåðàâåíñòâî).
60. Åñëè à > b è ñ > d, òî à + ñ > b + d (åñëè
ïî÷ëåííî ñëîæèòü äâà âåðíûõ íåðàâåíñòâà îäíîãî
çíàêà, òî ïîëó÷èòñÿ âåðíîå íåðàâåíñòâî).
39
3/
1/
4
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
70. Åñëè a, b, c, d — ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, ïðè÷åì à > b è ñ > d, òî àñ > bd (åñëè ïî÷ëåííî ïåðåìíîæèòü âåðíûå íåðàâåíñòâà îäíîãî çíàêà, ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè êîòîðûõ ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, òî ïîëó÷èòñÿ âåðíîå íåðàâåíñòâî).
80. Åñëè à > b è ñ < d, òî à – ñ > b – d.
1 1
90. Åñëè à > b > 0, òî
< .
a b
100. Åñëè a > b > 0, òî an > bn äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n.
27. ×èñëîâûå ïðîìåæóòêè. Âîçüìåì äâà ÷èñëà
à è b òàêèå, ÷òî à < b, è îòìåòèì íà êîîðäèíàòíîé
ïðÿìîé ñîîòâåòñòâóþùèå èì òî÷êè.
Ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì à < õ < b, îáîçíà÷àþò (à, b) è íàçûâàþò èíòåðâàëîì.
Ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, êàæäîå èç êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì a £ x £ b, îáîçíà÷àþò [à, b]
è íàçûâàþò îòðåçêîì.
Èíòåðâàë è îòðåçîê — ýòî êîíå÷íûå ÷èñëîâûå
ïðîìåæóòêè. Èìåþòñÿ êîíå÷íûå ÷èñëîâûå ïðîìåæóòêè åùå äâóõ âèäîâ: [a, b) — ýòî ìíîæåñòâî ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì a £ x < b,
è (a, b] — ýòî ìíîæåñòâî ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ
íåðàâåíñòâàì a < x £ b. Ýòè ïðîìåæóòêè íàçûâàþò
ïîëóèíòåðâàëàìè.
Ñóùåñòâóþò è áåñêîíå÷íûå ÷èñëîâûå ïðîìåæóòêè. Ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ
íåðàâåíñòâó x ³ a, îáîçíà÷àþò [a, + ¥) è íàçûâàþò
ëó÷îì, à ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ
íåðàâåíñòâó õ > a, îáîçíà÷àþò (a, + ¥) è íàçûâàþò
40
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
1/
4
4
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
îòêðûòûì ëó÷îì. Çíàê « +¥ » ÷èòàåòñÿ : «ïëþñ
áåñêîíå÷íîñòü».
Àíàëîãè÷íî, ðàññìàòðèâàþò ëó÷ âèäà (-¥, b] (÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâó x £ b ) è îòêðûòûé
ëó÷ âèäà (-¥, b) (÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâó õ < b). Çíàê « -¥ » ÷èòàåòñÿ: «ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòü».
 ïðèâåäåííîé íèæå òàáëèöå äëÿ êàæäîãî âèäà
÷èñëîâîãî ïðîìåæóòêà äàíû åãî ãåîìåòðè÷åñêîå
èçîáðàæåíèå, îáîçíà÷åíèå è çàïèñü ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâ.
Âèä ÷èñëîâîãî
ïðîìåæóòêà
Èíòåðâàë
Ãåîìåòðè÷åñêîå
èçîáðàæåíèå
Îáîçíà÷åíèå
Çàïèñü
ñ ïîìîùüþ
íåðàâåíñòâ
(a, b)
a<x<b
[a, b]
a£x£b
à
b
à
b
Ïîëóèíòåðâàë
à
b
(a, b]
a<x£b
Ïîëóèíòåðâàë
à
b
[a, b)
a£x<b
Îòðåçîê
Ëó÷
à
Ëó÷
Îòêðûòûé ëó÷
Îòêðûòûé ëó÷
×èñëîâàÿ ïðÿìàÿ
b
à
b
[a, + ¥)
x³a
(– ¥, b]
x£b
(a, + ¥)
x>a
(– ¥, b)
x<b
(– ¥, + ¥) – ¥ < x<+ ¥
41
3/
1/
4
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
70. Åñëè a, b, c, d — ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, ïðè÷åì à > b è ñ > d, òî àñ > bd (åñëè ïî÷ëåííî ïåðåìíîæèòü âåðíûå íåðàâåíñòâà îäíîãî çíàêà, ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè êîòîðûõ ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, òî ïîëó÷èòñÿ âåðíîå íåðàâåíñòâî).
80. Åñëè à > b è ñ < d, òî à – ñ > b – d.
1 1
90. Åñëè à > b > 0, òî
< .
a b
100. Åñëè a > b > 0, òî an > bn äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n.
27. ×èñëîâûå ïðîìåæóòêè. Âîçüìåì äâà ÷èñëà
à è b òàêèå, ÷òî à < b, è îòìåòèì íà êîîðäèíàòíîé
ïðÿìîé ñîîòâåòñòâóþùèå èì òî÷êè.
Ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì à < õ < b, îáîçíà÷àþò (à, b) è íàçûâàþò èíòåðâàëîì.
Ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, êàæäîå èç êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì a £ x £ b, îáîçíà÷àþò [à, b]
è íàçûâàþò îòðåçêîì.
Èíòåðâàë è îòðåçîê — ýòî êîíå÷íûå ÷èñëîâûå
ïðîìåæóòêè. Èìåþòñÿ êîíå÷íûå ÷èñëîâûå ïðîìåæóòêè åùå äâóõ âèäîâ: [a, b) — ýòî ìíîæåñòâî ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì a £ x < b,
è (a, b] — ýòî ìíîæåñòâî ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ
íåðàâåíñòâàì a < x £ b. Ýòè ïðîìåæóòêè íàçûâàþò
ïîëóèíòåðâàëàìè.
Ñóùåñòâóþò è áåñêîíå÷íûå ÷èñëîâûå ïðîìåæóòêè. Ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ
íåðàâåíñòâó x ³ a, îáîçíà÷àþò [a, + ¥) è íàçûâàþò
ëó÷îì, à ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ
íåðàâåíñòâó õ > a, îáîçíà÷àþò (a, + ¥) è íàçûâàþò
40
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
1/
4
4
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
îòêðûòûì ëó÷îì. Çíàê « +¥ » ÷èòàåòñÿ : «ïëþñ
áåñêîíå÷íîñòü».
Àíàëîãè÷íî, ðàññìàòðèâàþò ëó÷ âèäà (-¥, b] (÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâó x £ b ) è îòêðûòûé
ëó÷ âèäà (-¥, b) (÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâó õ < b). Çíàê « -¥ » ÷èòàåòñÿ: «ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòü».
 ïðèâåäåííîé íèæå òàáëèöå äëÿ êàæäîãî âèäà
÷èñëîâîãî ïðîìåæóòêà äàíû åãî ãåîìåòðè÷åñêîå
èçîáðàæåíèå, îáîçíà÷åíèå è çàïèñü ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâ.
Âèä ÷èñëîâîãî
ïðîìåæóòêà
Èíòåðâàë
Ãåîìåòðè÷åñêîå
èçîáðàæåíèå
Îáîçíà÷åíèå
Çàïèñü
ñ ïîìîùüþ
íåðàâåíñòâ
(a, b)
a<x<b
[a, b]
a£x£b
à
b
à
b
Ïîëóèíòåðâàë
à
b
(a, b]
a<x£b
Ïîëóèíòåðâàë
à
b
[a, b)
a£x<b
Îòðåçîê
Ëó÷
à
Ëó÷
Îòêðûòûé ëó÷
Îòêðûòûé ëó÷
×èñëîâàÿ ïðÿìàÿ
b
à
b
[a, + ¥)
x³a
(– ¥, b]
x£b
(a, + ¥)
x>a
(– ¥, b)
x<b
(– ¥, + ¥) – ¥ < x<+ ¥
41
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
Íà ïðàêòèêå íå âñåãäà èñïîëüçóþò òåðìèíû «èíòåðâàë», «îòðåçîê», «ïîëóèíòåðâàë», «ëó÷», çàìåíÿÿ èõ
îáùèì íàçâàíèåì ÷èñëîâîé ïðîìåæóòîê.
28. Ìîäóëü äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà. Ìîäóëåì (àáñîëþòíîé âåëè÷èíîé) äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà à íàçûâàåòñÿ ñàìî ýòî ÷èñëî, åñëè a ³ 0, è ïðîòèâîïîëîæíîå ÷èñëî – à, åñëè à < 0. Ìîäóëü ÷èñëà à îáîçíà÷àåòñÿ a . Èòàê,
ìa, åñëè a ³ 0,
a =í
î - a, åñëè a < 0.
Íàïðèìåð: p - 3 = p - 3, òàê êàê p - 3 > 0 (p =
= 3,14...) ; - 3,7 = -(-3,7) = 3,7, òàê êàê -3,7 < 0.
Ãåîìåòðè÷åñêè a îçíà÷àåò ðàññòîÿíèå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé òî÷êè à îò òî÷êè Î (ðèñ. 6).
Îòìåòèì ñâîéñòâà ìîäóëåé:
a
a
=
, b ¹ 0.
b
b
10. a ³ 0.
40.
20. a = - a .
50. a
2
= a2 .
30. ab = a × b .
29. Ôîðìóëà ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè
êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. Åñëè à è b — äâå òî÷êè êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé, òî ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè
r (à; b) âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé r (à; b) = à – b (ðèñ. 7).
42
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
Ðèñ. 6
4
4
Ðèñ. 7
ßñíî, ÷òî r (à; b) = r (b; a). Òàê, r (–2; 5) = ½–2 –5½ =
= ½–7½ = – (–7) = 7.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè âñå òàêèå òî÷êè õ, êîòîðûå
óäîâëåòâîðÿþò: à) óðàâíåíèþ x - 1 = 3; á) íåðàâåíñòâó x + 1 £ 2; â) íåðàâåíñòâó x + 1 > 2.
q à) Äàííîìó óðàâíåíèþ óäîâëåòâîðÿþò òàêèå
òî÷êè õ, ðàññòîÿíèå êîòîðûõ îò òî÷êè 1 ðàâíî 3. Ýòî
òî÷êè –2 è 4 (ðèñ. 8). Çíà÷èò, óðàâíåíèå èìååò äâà
êîðíÿ: –2; 4.
á) Äàííîìó íåðàâåíñòâó óäîâëåòâîðÿþò òàêèå òî÷êè õ, êîòîðûå óäàëåíû îò òî÷êè –1 íà ðàññòîÿíèå, ìåíüøåå èëè ðàâíîå 2. Ýòî òî÷êè îòðåçêà
[–3, 1] (ðèñ. 9).
â) Äàííîìó íåðàâåíñòâó óäîâëåòâîðÿþò òî÷êè õ,
óäàëåííûå îò òî÷êè –1 íà ðàññòîÿíèå, áîëüøåå 2. Ýòî
òî÷êè äâóõ îòêðûòûõ ëó÷åé: îò - ¥ äî –3 è îò 1 äî
+ ¥ (íà ðèñ. 9 ýòè ëó÷è çàøòðèõîâàíû). Èñïîëüçóÿ
Ðèñ. 8
Ðèñ. 9
43
3/
1/
4
4
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
çíàê îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ (ñì. ï. 24), îòâåò ìîæíî
çàïèñàòü òàê: (-¥ , - 3) 7 (1, + ¥). n
30. Ïðàâèëà äåéñòâèé íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè. Ñóììà äâóõ ÷èñåë îäíîãî çíàêà åñòü ÷èñëî òîãî
æå çíàêà; ÷òîáû íàéòè ìîäóëü òàêîé ñóììû, íàäî ñëîæèòü ìîäóëè ñëàãàåìûõ. Íàïðèìåð, (+12) + (+8) =
= +20; (–12) + (–8) = –20.
Ñóììà äâóõ ÷èñåë ñ ðàçíûìè çíàêàìè åñòü ÷èñëî,
êîòîðîå èìååò òîò æå çíàê, ÷òî è ñëàãàåìîå ñ áXîëüøèì
ìîäóëåì; ÷òîáû íàéòè ìîäóëü ýòîé ñóììû, íàäî èç áîëüøåãî ìîäóëÿ âû÷åñòü ìåíüøèé. Íàïðèìåð, (+12) +
+ (–8) = + (12–8) = 4; (–12) + (+8) = – (12 – 8) = –4.
×òîáû èç îäíîãî ÷èñëà âû÷åñòü äðóãîå, íàäî ê
óìåíüøàåìîìó ïðèáàâèòü ÷èñëî, ïðîòèâîïîëîæíîå
âû÷èòàåìîìó. Íàïðèìåð, 12 – (–8) = 12 + (+8) = 20;
12 – (+8) = 12 + (– 8) = 4.
Ïðîèçâåäåíèå (÷àñòíîå) äâóõ ÷èñåë îäíîãî çíàêà
åñòü ÷èñëî ïîëîæèòåëüíîå, à ïðîèçâåäåíèå (÷àñòíîå)
äâóõ ÷èñåë ðàçíûõ çíàêîâ åñòü ÷èñëî îòðèöàòåëüíîå;
÷òîáû íàéòè ìîäóëü ïðîèçâåäåíèÿ (÷àñòíîãî), íàäî
ïåðåìíîæèòü (ðàçäåëèòü) ìîäóëè äàííûõ ÷èñåë. Íàïðèìåð, (–12) · (–8) = +12 · 8 = 96; (–24) : (+3) =
= -24 : 3 = - 8.
31. Ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè.
10. a + b = b + a.
20. (a + b) + c = a + (b + c).
30. a + 0 = a.
40. a + (–a) = 0.
50. ab = ba.
44
60. (ab) c = a (bc).
70. a (b + c) = ab + ac.
80. a · 1 = a.
90. a × 1 = 1, a ¹ 0.
a
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
1/
4
4
Ýòè ñâîéñòâà íàçûâàþò èíîãäà îñíîâíûìè çàêîíàìè àëãåáðû, ïðè÷åì ñâîéñòâà 10 è 50 âûðàæàþò
ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñîîòâåòñòâåííî ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ, ñâîéñòâà 20 è 60 — ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí, à ñâîéñòâî 70 — ðàñïðåäåëèòåëüíûé
çàêîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ.
32. Ïðîïîðöèè. Ïóñòü a, b, c, d — äåéñòâèòåëüíûå
÷èñëà, îòëè÷íûå îò íóëÿ, è ïóñòü èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî a : b = c : d. Ýòî ðàâåíñòâî íàçûâàþò ïðîïîðöèåé,
÷èñëà à è d — êðàéíèìè ÷ëåíàìè, à ÷èñëà b è ñ —
ñðåäíèìè ÷ëåíàìè ïðîïîðöèè. Äëÿ ïðîïîðöèè
a c
= .
èñïîëüçóþò è çàïèñü
b d
Íàïðèìåð, èç ÷èñåë 2,5; –4; –5 è 8 ìîæíî ñîñòà2,5 - 5
âèòü ïðîïîðöèþ:
=
.
-4
8
Ò.1.13. Ïðîèçâåäåíèå êðàéíèõ ÷ëåíîâ ïðîïîðöèè ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ åå ñðåäíèõ ÷ëåíîâ.
Ò.1.14. Êðàéíèå ÷ëåíû ïðîïîðöèè ìîæíî ïîìåíÿòü
a c
d c
ìåñòàìè, ò. å. åñëè
= , òî
= . Ñðåäíèå
b d
b a
÷ëåíû ïðîïîðöèè òàêæå ìîæíî ïîìåíÿòü ìåñòàa c
a b
ìè, ò. å. åñëè
= , òî
= .
b d
c d
Ïðîèçâîäíûå ïðîïîðöèè:
a ± b c ± d a ± b =c ± d;
=
;
a
c
b
d
a ± c b ± d a + b =c + d.
=
;
a–b c–d
c
d
45
3/
1/
4
4
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
çíàê îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ (ñì. ï. 24), îòâåò ìîæíî
çàïèñàòü òàê: (-¥ , - 3) 7 (1, + ¥). n
30. Ïðàâèëà äåéñòâèé íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè. Ñóììà äâóõ ÷èñåë îäíîãî çíàêà åñòü ÷èñëî òîãî
æå çíàêà; ÷òîáû íàéòè ìîäóëü òàêîé ñóììû, íàäî ñëîæèòü ìîäóëè ñëàãàåìûõ. Íàïðèìåð, (+12) + (+8) =
= +20; (–12) + (–8) = –20.
Ñóììà äâóõ ÷èñåë ñ ðàçíûìè çíàêàìè åñòü ÷èñëî,
êîòîðîå èìååò òîò æå çíàê, ÷òî è ñëàãàåìîå ñ áXîëüøèì
ìîäóëåì; ÷òîáû íàéòè ìîäóëü ýòîé ñóììû, íàäî èç áîëüøåãî ìîäóëÿ âû÷åñòü ìåíüøèé. Íàïðèìåð, (+12) +
+ (–8) = + (12–8) = 4; (–12) + (+8) = – (12 – 8) = –4.
×òîáû èç îäíîãî ÷èñëà âû÷åñòü äðóãîå, íàäî ê
óìåíüøàåìîìó ïðèáàâèòü ÷èñëî, ïðîòèâîïîëîæíîå
âû÷èòàåìîìó. Íàïðèìåð, 12 – (–8) = 12 + (+8) = 20;
12 – (+8) = 12 + (– 8) = 4.
Ïðîèçâåäåíèå (÷àñòíîå) äâóõ ÷èñåë îäíîãî çíàêà
åñòü ÷èñëî ïîëîæèòåëüíîå, à ïðîèçâåäåíèå (÷àñòíîå)
äâóõ ÷èñåë ðàçíûõ çíàêîâ åñòü ÷èñëî îòðèöàòåëüíîå;
÷òîáû íàéòè ìîäóëü ïðîèçâåäåíèÿ (÷àñòíîãî), íàäî
ïåðåìíîæèòü (ðàçäåëèòü) ìîäóëè äàííûõ ÷èñåë. Íàïðèìåð, (–12) · (–8) = +12 · 8 = 96; (–24) : (+3) =
= -24 : 3 = - 8.
31. Ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè.
10. a + b = b + a.
20. (a + b) + c = a + (b + c).
30. a + 0 = a.
40. a + (–a) = 0.
50. ab = ba.
44
60. (ab) c = a (bc).
70. a (b + c) = ab + ac.
80. a · 1 = a.
90. a × 1 = 1, a ¹ 0.
a
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
1/
4
4
Ýòè ñâîéñòâà íàçûâàþò èíîãäà îñíîâíûìè çàêîíàìè àëãåáðû, ïðè÷åì ñâîéñòâà 10 è 50 âûðàæàþò
ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñîîòâåòñòâåííî ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ, ñâîéñòâà 20 è 60 — ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí, à ñâîéñòâî 70 — ðàñïðåäåëèòåëüíûé
çàêîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ.
32. Ïðîïîðöèè. Ïóñòü a, b, c, d — äåéñòâèòåëüíûå
÷èñëà, îòëè÷íûå îò íóëÿ, è ïóñòü èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî a : b = c : d. Ýòî ðàâåíñòâî íàçûâàþò ïðîïîðöèåé,
÷èñëà à è d — êðàéíèìè ÷ëåíàìè, à ÷èñëà b è ñ —
ñðåäíèìè ÷ëåíàìè ïðîïîðöèè. Äëÿ ïðîïîðöèè
a c
= .
èñïîëüçóþò è çàïèñü
b d
Íàïðèìåð, èç ÷èñåë 2,5; –4; –5 è 8 ìîæíî ñîñòà2,5 - 5
âèòü ïðîïîðöèþ:
=
.
-4
8
Ò.1.13. Ïðîèçâåäåíèå êðàéíèõ ÷ëåíîâ ïðîïîðöèè ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ åå ñðåäíèõ ÷ëåíîâ.
Ò.1.14. Êðàéíèå ÷ëåíû ïðîïîðöèè ìîæíî ïîìåíÿòü
a c
d c
ìåñòàìè, ò. å. åñëè
= , òî
= . Ñðåäíèå
b d
b a
÷ëåíû ïðîïîðöèè òàêæå ìîæíî ïîìåíÿòü ìåñòàa c
a b
ìè, ò. å. åñëè
= , òî
= .
b d
c d
Ïðîèçâîäíûå ïðîïîðöèè:
a ± b c ± d a ± b =c ± d;
=
;
a
c
b
d
a ± c b ± d a + b =c + d.
=
;
a–b c–d
c
d
45
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
33. Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà. Äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà. Ïóñòü
õ — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Åãî öåëîé ÷àñòüþ íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå õ.
Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà õ îáîçíà÷àåòñÿ [x].
Äðîáíîé ÷àñòüþ ÷èñëà õ íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòü
ìåæäó ñàìèì ÷èñëîì è åãî öåëîé ÷àñòüþ, ò. å. õ –
– [x]. Äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà õ îáîçíà÷àåòñÿ {x}.
Çíà÷èò, {x} = õ – [x].
Íàïðèìåð,
[3,47] = 3;
[–2,3] = –3;
[15] = 15;
{3,47} = 0,47;
{–2,3} = –2,3 – (–3) = 0,7;
{15} = 0.
34. Ñòåïåíü ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì. Ïóñòü
à — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, à n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî,
áîëüøåå åäèíèöû; n-é ñòåïåíüþ ÷èñëà à íàçûâàþò
ïðîèçâåäåíèå n ìíîæèòåëåé, êàæäûé èç êîòîðûõ ðàâåí à, ò. å.
an = a × a × ... × a .
" "!
n ìíîæèòåëåé
×èñëî à — îñíîâàíèå ñòåïåíè, n — ïîêàçàòåëü
ñòåïåíè. Åñëè n = 1, òî ïîëàãàþò a1 = a.
4
Íàïðèìåð, æç 1 ö÷ = 1 × 1 × 1 × 1 = 1 .
3 3 3 3 81
è3ø
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
40. an × b n = (ab)n .
n
k
n -k
,
20. a : a = a
åñëè n > k.
50.
n k
nk
30. (a ) = a .
46
bn
3/
1/
4
4
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
Íàïðèìåð,
23 × 25 = 23 + 5 = 28 ; (23 )5 = 23×5 = 215 ;
3
23
8
æ2ö
.
ç ÷ = 3 =
125
5
è5ø
35. Ñòåïåíü ñ íóëåâûì ïîêàçàòåëåì. Ñòåïåíü ñ
îòðèöàòåëüíûì ïîêàçàòåëåì. Ïîëàãàþò ïî îïðåäåëåíèþ: åñëè a ¹ 0 , òî à0 = 1. Íàïðèìåð, (2,7)0 = 1;
(–5)0 = 1. Íóëåâàÿ ñòåïåíü ÷èñëà 0 íå èìååò ñìûñëà.
Ïîëàãàþò ïî îïðåäåëåíèþ: åñëè a ¹ 0 è n — íà1
òóðàëüíîå ÷èñëî, òî a -n = n .
a
1
1
1
1
Íàïðèìåð, 5 - 3 =
; (-2) -2 =
=
= .
3
2
125
4
5
(-2)
Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
æaö
ç ÷
èbø
-n
n
æbö
=ç ÷ .
èaø
36. Ñòàíäàðòíûé âèä ïîëîæèòåëüíîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà. Ëþáîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî à ìîæ-
10. a n × a k = a n + k.
an
ÀËÃÅÁÐÀ
n
æaö
= ç ÷ , b ¹ 0.
èbø
íî ïðåäñòàâèòü â âèäå a1 × 10 n , ãäå 1 £ a1 < 10 , à n —
öåëîå ÷èñëî. Åñëè ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ïðåäñòàâëåíî óêàçàííûì îáðàçîì, òî ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî à çàïèñàíî â ñòàíäàðòíîì âèäå; ïðè ýòîì ïîêàçàòåëü n
íàçûâàþò ïîðÿäêîì ÷èñëà.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî à ïðåäñòàâèòü â ñòàíäàðòíîì âèäå, íóæíî ïîñòàâèòü çàïÿòóþ
47
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
33. Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà. Äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà. Ïóñòü
õ — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Åãî öåëîé ÷àñòüþ íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå õ.
Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà õ îáîçíà÷àåòñÿ [x].
Äðîáíîé ÷àñòüþ ÷èñëà õ íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòü
ìåæäó ñàìèì ÷èñëîì è åãî öåëîé ÷àñòüþ, ò. å. õ –
– [x]. Äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà õ îáîçíà÷àåòñÿ {x}.
Çíà÷èò, {x} = õ – [x].
Íàïðèìåð,
[3,47] = 3;
[–2,3] = –3;
[15] = 15;
{3,47} = 0,47;
{–2,3} = –2,3 – (–3) = 0,7;
{15} = 0.
34. Ñòåïåíü ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì. Ïóñòü
à — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, à n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî,
áîëüøåå åäèíèöû; n-é ñòåïåíüþ ÷èñëà à íàçûâàþò
ïðîèçâåäåíèå n ìíîæèòåëåé, êàæäûé èç êîòîðûõ ðàâåí à, ò. å.
an = a × a × ... × a .
" "!
n ìíîæèòåëåé
×èñëî à — îñíîâàíèå ñòåïåíè, n — ïîêàçàòåëü
ñòåïåíè. Åñëè n = 1, òî ïîëàãàþò a1 = a.
4
Íàïðèìåð, æç 1 ö÷ = 1 × 1 × 1 × 1 = 1 .
3 3 3 3 81
è3ø
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
40. an × b n = (ab)n .
n
k
n -k
,
20. a : a = a
åñëè n > k.
50.
n k
nk
30. (a ) = a .
46
bn
3/
1/
4
4
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
Íàïðèìåð,
23 × 25 = 23 + 5 = 28 ; (23 )5 = 23×5 = 215 ;
3
23
8
æ2ö
.
ç ÷ = 3 =
125
5
è5ø
35. Ñòåïåíü ñ íóëåâûì ïîêàçàòåëåì. Ñòåïåíü ñ
îòðèöàòåëüíûì ïîêàçàòåëåì. Ïîëàãàþò ïî îïðåäåëåíèþ: åñëè a ¹ 0 , òî à0 = 1. Íàïðèìåð, (2,7)0 = 1;
(–5)0 = 1. Íóëåâàÿ ñòåïåíü ÷èñëà 0 íå èìååò ñìûñëà.
Ïîëàãàþò ïî îïðåäåëåíèþ: åñëè a ¹ 0 è n — íà1
òóðàëüíîå ÷èñëî, òî a -n = n .
a
1
1
1
1
Íàïðèìåð, 5 - 3 =
; (-2) -2 =
=
= .
3
2
125
4
5
(-2)
Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
æaö
ç ÷
èbø
-n
n
æbö
=ç ÷ .
èaø
36. Ñòàíäàðòíûé âèä ïîëîæèòåëüíîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà. Ëþáîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî à ìîæ-
10. a n × a k = a n + k.
an
ÀËÃÅÁÐÀ
n
æaö
= ç ÷ , b ¹ 0.
èbø
íî ïðåäñòàâèòü â âèäå a1 × 10 n , ãäå 1 £ a1 < 10 , à n —
öåëîå ÷èñëî. Åñëè ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ïðåäñòàâëåíî óêàçàííûì îáðàçîì, òî ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî à çàïèñàíî â ñòàíäàðòíîì âèäå; ïðè ýòîì ïîêàçàòåëü n
íàçûâàþò ïîðÿäêîì ÷èñëà.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî à ïðåäñòàâèòü â ñòàíäàðòíîì âèäå, íóæíî ïîñòàâèòü çàïÿòóþ
47
3/
1/
4
4
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
òàê, ÷òîáû â öåëîé ÷àñòè îêàçàëàñü îäíà çíà÷àùàÿ
öèôðà (ñì. ï. 13), è óìíîæèòü ïîëó÷åííîå ÷èñëî íà
10n òàê, ÷òîáû â ðåçóëüòàòå óìíîæåíèÿ çàïÿòàÿ âåðíóëàñü íà òî ìåñòî, êîòîðîå îíà çàíèìàëà â ÷èñëå à.
Ï ð è ì å ð. Çàïèñàòü â ñòàíäàðòíîì âèäå ÷èñëî:
à) à = 395; á) à = 4,13; â) à = 0,0023.
q à) Îòäåëèâ â ÷èñëå 395 ïåðâóþ çíà÷àùóþ öèôðó, ïîëó÷èì 3,95; ÷òîáû âåðíóòüñÿ ê èñõîäíîìó ÷èñëó, íàäî çàïÿòóþ ïåðåäâèíóòü íà äâå öèôðû âïðàâî —
ýòî ðàâíîñèëüíî óìíîæåíèþ íà 102. Çíà÷èò, 395=
= 3,95 · 102, ò. å. à1 = 3,95 è n = 2.
á) Çäåñü îäíà çíà÷àùàÿ öèôðà óæå îòäåëåíà çàïÿòîé, ïîýòîìó 4,13 = 4,13 · 100, ò. å. à1 = 4,13; è
n = 0.
â) Îòäåëèâ çàïÿòîé â ÷èñëå 0,0023 ïåðâóþ çíà÷àùóþ öèôðó, ïîëó÷èì 2,3; ÷òîáû âåðíóòüñÿ ê èñõîäíîìó ÷èñëó, íàäî çàïÿòóþ ïåðåäâèíóòü íà òðè
öèôðû âëåâî — ýòî ðàâíîñèëüíî äåëåíèþ íà 103 èëè
óìíîæåíèþ íà 10–3. Èòàê, 0,0023 = 2,3 · 10–3, ò. å.
à1 = 2,3 è n = –3. n
37. Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîãî êîðíÿ. Ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêèõ êîðíåé. Åñëè a ³ 0 è n —
íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå 1, òî ñóùåñòâóåò, è òîëüêî
îäíî, íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî õ òàêîå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî õn = à. Ýòî ÷èñëî õ íàçûâàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêèì êîðíåì n-é ñòåïåíè èç íåîòðèöàòåëüíîn
ãî ÷èñëà à è îáîçíà÷àåòñÿ a . ×èñëî à íàçûâàåòñÿ
ïîäêîðåííûì ÷èñëîì, n — ïîêàçàòåëåì êîðíÿ.
Åñëè n = 2, òî îáû÷íî ïèøóò a è íàçûâàþò ýòî âûðàæåíèå êâàäðàòíûì êîðíåì. ×àñòî âìåñòî òåðìèíà «êîðåíü» óïîòðåáëÿþò òåðìèí «ðàäèêàë».
48
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
1/
4
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
n
Èòàê, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ çàïèñü a = x, ãäå
a ³ 0 ,îçíà÷àåò, âî-ïåðâûõ, ÷òî x ³ 0 è, âî-âòîðûõ, ÷òî
n
n
xn = a, ò. å. æç a ö÷ = a.
ø
è
Íàïðèìåð,
49 = 7,
3
10
125 = 5,
0 = 0.
Åñëè a ³ 0 è b ³ 0, òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå
ñâîéñòâà:
10.
n
20.
n
ab =
n
a
a
=
b
n
a
n
b
n
b.
, b ¹ 0.
40.
n k
50.
nm
a =
nk
a km =
a.
n
ak .
k
n
n
30. æç a ö÷ = a k .
ø
è
Ñâîéñòâî 10 ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ïðîèçâåäåíèå
ëþáîãî ÷èñëà ìíîæèòåëåé. Íàïðèìåð,
3
8 × 27 × 125 == =
3
3
3
8 × 27 × 125 = 2 × 3 × 5 = 30.
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü:
à)
q
5
3
19
6
5
4
; á) æç a2 ö÷ ; â) 3 a ; ã) a 4 .
32
è
ø
5
243
3
5 7 19 = 5 243 =
= ;
à)
5
32
32
2
32
7
3
5
á) æç a2 ö÷ =
è
ø
5
(a2 )3 =
5
a 6 ; â)
4 3
a =
4×3
a =
12
a;
49
3/
1/
4
4
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
òàê, ÷òîáû â öåëîé ÷àñòè îêàçàëàñü îäíà çíà÷àùàÿ
öèôðà (ñì. ï. 13), è óìíîæèòü ïîëó÷åííîå ÷èñëî íà
10n òàê, ÷òîáû â ðåçóëüòàòå óìíîæåíèÿ çàïÿòàÿ âåðíóëàñü íà òî ìåñòî, êîòîðîå îíà çàíèìàëà â ÷èñëå à.
Ï ð è ì å ð. Çàïèñàòü â ñòàíäàðòíîì âèäå ÷èñëî:
à) à = 395; á) à = 4,13; â) à = 0,0023.
q à) Îòäåëèâ â ÷èñëå 395 ïåðâóþ çíà÷àùóþ öèôðó, ïîëó÷èì 3,95; ÷òîáû âåðíóòüñÿ ê èñõîäíîìó ÷èñëó, íàäî çàïÿòóþ ïåðåäâèíóòü íà äâå öèôðû âïðàâî —
ýòî ðàâíîñèëüíî óìíîæåíèþ íà 102. Çíà÷èò, 395=
= 3,95 · 102, ò. å. à1 = 3,95 è n = 2.
á) Çäåñü îäíà çíà÷àùàÿ öèôðà óæå îòäåëåíà çàïÿòîé, ïîýòîìó 4,13 = 4,13 · 100, ò. å. à1 = 4,13; è
n = 0.
â) Îòäåëèâ çàïÿòîé â ÷èñëå 0,0023 ïåðâóþ çíà÷àùóþ öèôðó, ïîëó÷èì 2,3; ÷òîáû âåðíóòüñÿ ê èñõîäíîìó ÷èñëó, íàäî çàïÿòóþ ïåðåäâèíóòü íà òðè
öèôðû âëåâî — ýòî ðàâíîñèëüíî äåëåíèþ íà 103 èëè
óìíîæåíèþ íà 10–3. Èòàê, 0,0023 = 2,3 · 10–3, ò. å.
à1 = 2,3 è n = –3. n
37. Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîãî êîðíÿ. Ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêèõ êîðíåé. Åñëè a ³ 0 è n —
íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå 1, òî ñóùåñòâóåò, è òîëüêî
îäíî, íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî õ òàêîå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî õn = à. Ýòî ÷èñëî õ íàçûâàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêèì êîðíåì n-é ñòåïåíè èç íåîòðèöàòåëüíîn
ãî ÷èñëà à è îáîçíà÷àåòñÿ a . ×èñëî à íàçûâàåòñÿ
ïîäêîðåííûì ÷èñëîì, n — ïîêàçàòåëåì êîðíÿ.
Åñëè n = 2, òî îáû÷íî ïèøóò a è íàçûâàþò ýòî âûðàæåíèå êâàäðàòíûì êîðíåì. ×àñòî âìåñòî òåðìèíà «êîðåíü» óïîòðåáëÿþò òåðìèí «ðàäèêàë».
48
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
1/
4
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
n
Èòàê, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ çàïèñü a = x, ãäå
a ³ 0 ,îçíà÷àåò, âî-ïåðâûõ, ÷òî x ³ 0 è, âî-âòîðûõ, ÷òî
n
n
xn = a, ò. å. æç a ö÷ = a.
ø
è
Íàïðèìåð,
49 = 7,
3
10
125 = 5,
0 = 0.
Åñëè a ³ 0 è b ³ 0, òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå
ñâîéñòâà:
10.
n
20.
n
ab =
n
a
a
=
b
n
a
n
b
n
b.
, b ¹ 0.
40.
n k
50.
nm
a =
nk
a km =
a.
n
ak .
k
n
n
30. æç a ö÷ = a k .
ø
è
Ñâîéñòâî 10 ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ïðîèçâåäåíèå
ëþáîãî ÷èñëà ìíîæèòåëåé. Íàïðèìåð,
3
8 × 27 × 125 == =
3
3
3
8 × 27 × 125 = 2 × 3 × 5 = 30.
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü:
à)
q
5
3
19
6
5
4
; á) æç a2 ö÷ ; â) 3 a ; ã) a 4 .
32
è
ø
5
243
3
5 7 19 = 5 243 =
= ;
à)
5
32
32
2
32
7
3
5
á) æç a2 ö÷ =
è
ø
5
(a2 )3 =
5
a 6 ; â)
4 3
a =
4×3
a =
12
a;
49
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
1
n
a è íàçûâàþò êîðíåì íå÷åòíîé ñòåïåíè n èç
îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà à.
Íàïðèìåð,
3
- 8 = -2, òàê êàê (–2) 3 = –8;
5
- 243 = –3, òàê êàê (–3)5 = –243.
 ñëó÷àå íå÷åòíûõ ïîêàçàòåëåé êîðíåé ñâîéñòâà
ðàäèêàëîâ, ñïðàâåäëèâûå äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé ïîäêîðåííûõ âûðàæåíèé (ñì. ï. 37), âåðíû è äëÿ
îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé ïîäêîðåííûõ âûðàæåíèé.
Íàïðèìåð,
3
ab =
3
a×
3
m
m
a n
=
1
m
an
am ;
åñëè à > 0, òî
. Íåöåëàÿ ñòåïåíü îòðèöàòåëüíîãî ÷èñ-
ëà íå èìååò ñìûñëà.
50
n
=
4
3
3
8 = 2; 81 4 =
312 = 33 = 27; 4 - 0,5 =
1
4
0,5
=
1
4
4
813 =
=
4
(34 )3 =
1
.
2
40. Ñâîéñòâà ñòåïåíåé ñ ðàöèîíàëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè. Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà à îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ
âîçâåäåíèÿ â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü (ñì. ï. 34); äëÿ
ëþáîãî ÷èñëà a ¹ 0 îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ âîçâåäåíèÿ
â íóëåâóþ è öåëóþ îòðèöàòåëüíóþ ñòåïåíü (ñì. ï.35);
äëÿ ëþáîãî a ³ 0 îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ âîçâåäåíèÿ
â ïîëîæèòåëüíóþ äðîáíóþ ñòåïåíü (ñì. ï. 39), è, íàêîíåö, äëÿ ëþáîãî ÷èñëà à > 0 îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ âîçâåäåíèÿ â îòðèöàòåëüíóþ äðîáíóþ ñòåïåíü
(ñì. ï. 39).
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü
æ 1 ö
(6,25)0,5 × ç ÷
è 16 ø
b äëÿ ëþáûõ à è b.
39. Ñòåïåíü ñ äðîáíûì ïîêàçàòåëåì. Ïîëàãàþò
ïî îïðåäåëåíèþ: åñëè a ³ 0 è m, n — íàòóðàëüíûå
÷èñëà, n ³ 2 , òî a n =
Íàïðèìåð: 8 3 =
4
4
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
ã) 6 a 4 = 3 a2 (ïîêàçàòåëè êîðíÿ è ïîäêîðåííîãî
âûðàæåíèÿ ðàçäåëèëè íà 2). n
38. Êîðåíü íå÷åòíîé ñòåïåíè èç îòðèöàòåëüíîãî
÷èñëà. Ïóñòü à < 0, à n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå
1. Åñëè n — ÷åòíîå ÷èñëî, òî ðàâåíñòâî
xn = à íå âûïîëíÿåòñÿ íè ïðè êàêîì äåéñòâèòåëüíîì çíà÷åíèè õ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî â îáëàñòè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íåëüçÿ îïðåäåëèòü êîðåíü ÷åòíîé ñòåïåíè èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà. Åñëè æå n — íå÷åòíîå
÷èñëî, òî ñóùåñòâóåò îäíî è òîëüêî îäíî äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî õ òàêîå, ÷òî xn = a. Ýòî ÷èñëî îáîçíà÷àþò
3/
1/
0,25
- (-4) -1 × (0,343) 0 .
1
q Èìååì (6,25)
1
æ 1 ö4
=ç
÷ =
è 16 ø
4
0,5
25 5 æ 1 ö
æ 25 ö 2
=ç ÷ =
= ;ç ÷
4
2 è 16 ø
è 4ø
0,25
=
1
1
1
= ; (-4) -1 = - ; (0,343) 0 = 1.
4
16
2
 èòîãå ïîëó÷àåì
5 1 æ 1ö
3
× - ç- ÷ ×1 = .n
2 2 è 4ø
2
51
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
1
n
a è íàçûâàþò êîðíåì íå÷åòíîé ñòåïåíè n èç
îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà à.
Íàïðèìåð,
3
- 8 = -2, òàê êàê (–2) 3 = –8;
5
- 243 = –3, òàê êàê (–3)5 = –243.
 ñëó÷àå íå÷åòíûõ ïîêàçàòåëåé êîðíåé ñâîéñòâà
ðàäèêàëîâ, ñïðàâåäëèâûå äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé ïîäêîðåííûõ âûðàæåíèé (ñì. ï. 37), âåðíû è äëÿ
îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé ïîäêîðåííûõ âûðàæåíèé.
Íàïðèìåð,
3
ab =
3
a×
3
m
m
a n
=
1
m
an
am ;
åñëè à > 0, òî
. Íåöåëàÿ ñòåïåíü îòðèöàòåëüíîãî ÷èñ-
ëà íå èìååò ñìûñëà.
50
n
=
4
3
3
8 = 2; 81 4 =
312 = 33 = 27; 4 - 0,5 =
1
4
0,5
=
1
4
4
813 =
=
4
(34 )3 =
1
.
2
40. Ñâîéñòâà ñòåïåíåé ñ ðàöèîíàëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè. Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà à îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ
âîçâåäåíèÿ â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü (ñì. ï. 34); äëÿ
ëþáîãî ÷èñëà a ¹ 0 îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ âîçâåäåíèÿ
â íóëåâóþ è öåëóþ îòðèöàòåëüíóþ ñòåïåíü (ñì. ï.35);
äëÿ ëþáîãî a ³ 0 îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ âîçâåäåíèÿ
â ïîëîæèòåëüíóþ äðîáíóþ ñòåïåíü (ñì. ï. 39), è, íàêîíåö, äëÿ ëþáîãî ÷èñëà à > 0 îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ âîçâåäåíèÿ â îòðèöàòåëüíóþ äðîáíóþ ñòåïåíü
(ñì. ï. 39).
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü
æ 1 ö
(6,25)0,5 × ç ÷
è 16 ø
b äëÿ ëþáûõ à è b.
39. Ñòåïåíü ñ äðîáíûì ïîêàçàòåëåì. Ïîëàãàþò
ïî îïðåäåëåíèþ: åñëè a ³ 0 è m, n — íàòóðàëüíûå
÷èñëà, n ³ 2 , òî a n =
Íàïðèìåð: 8 3 =
4
4
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
ã) 6 a 4 = 3 a2 (ïîêàçàòåëè êîðíÿ è ïîäêîðåííîãî
âûðàæåíèÿ ðàçäåëèëè íà 2). n
38. Êîðåíü íå÷åòíîé ñòåïåíè èç îòðèöàòåëüíîãî
÷èñëà. Ïóñòü à < 0, à n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå
1. Åñëè n — ÷åòíîå ÷èñëî, òî ðàâåíñòâî
xn = à íå âûïîëíÿåòñÿ íè ïðè êàêîì äåéñòâèòåëüíîì çíà÷åíèè õ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî â îáëàñòè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íåëüçÿ îïðåäåëèòü êîðåíü ÷åòíîé ñòåïåíè èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà. Åñëè æå n — íå÷åòíîå
÷èñëî, òî ñóùåñòâóåò îäíî è òîëüêî îäíî äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî õ òàêîå, ÷òî xn = a. Ýòî ÷èñëî îáîçíà÷àþò
3/
1/
0,25
- (-4) -1 × (0,343) 0 .
1
q Èìååì (6,25)
1
æ 1 ö4
=ç
÷ =
è 16 ø
4
0,5
25 5 æ 1 ö
æ 25 ö 2
=ç ÷ =
= ;ç ÷
4
2 è 16 ø
è 4ø
0,25
=
1
1
1
= ; (-4) -1 = - ; (0,343) 0 = 1.
4
16
2
 èòîãå ïîëó÷àåì
5 1 æ 1ö
3
× - ç- ÷ ×1 = .n
2 2 è 4ø
2
51
3/
1/
4
4
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
Åñëè à > 0, b > 0 è r, s — ëþáûå ðàöèîíàëüíûå
÷èñëà, òî:
r
r
r
40. a × b = (ab) .
10. ar × a s = ar + s .
r
ar æ a ö
20. ar : a s = ar - s.
50. r = ç ÷ .
èbø
b
r s
rs
30. (a ) = a .
41. Ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ ÷èñåë. Àáñîëþòíàÿ
è îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòè. Ïðè îêðóãëåíèè äåñÿòè÷íîé äðîáè äî êàêîãî-íèáóäü ðàçðÿäà âñå ñëåäóþùèå çà ýòèì ðàçðÿäîì öèôðû çàìåíÿþò íóëÿìè,
à åñëè îíè ñòîÿò ïîñëå çàïÿòîé, òî èõ îòáðàñûâàþò.
Åñëè ïåðâàÿ ñëåäóþùàÿ çà ýòèì ðàçðÿäîì öèôðà
áîëüøå èëè ðàâíà 5, òî ïîñëåäíþþ îñòàâøóþñÿ öèôðó óâåëè÷èâàþò íà 1. Åñëè æå ïåðâàÿ ñëåäóþùàÿ çà
ýòèì ðàçðÿäîì öèôðà ìåíüøå 5, òî ïîñëåäíþþ îñòàâøóþñÿ öèôðó íå èçìåíÿþò.
Ï ð è ì å ð 1. Îêðóãëèòü ÷èñëî a = 2471,05624
ñ òî÷íîñòüþ äî: à) äåñÿòêîâ; á) åäèíèö; â) äåñÿòûõ;
ã) ñîòûõ; ä) òûñÿ÷íûõ.
q à) Öèôðà åäèíèö, ñëåäóþùàÿ çà ðàçðÿäîì
äåñÿòêîâ, ðàâíà 1, ò. å. ìåíüøå 5. Çíà÷èò, îêðóãëèâ äî
äåñÿòêîâ, èìååì a » 2470. Çíàê » íàçûâàþò çíàêîì
ïðèáëèæåííîãî ðàâåíñòâà.
á) Öèôðà äåñÿòûõ ðàâíà 0, çíà÷èò, îêðóãëèâ äî
åäèíèö, èìååì a » 2471.
â) Öèôðà ñîòûõ ðàâíà 5, çíà÷èò, îêðóãëèâ äî äåñÿòûõ, èìååì a » 2471,1.
ã) Öèôðà òûñÿ÷íûõ ðàâíà 6, çíà÷èò, îêðóãëèâ äî
ñîòûõ, èìååì a » 2471,06.
ä) Öèôðà äåñÿòèòûñÿ÷íûõ ðàâíà 2, çíà÷èò, îêðóãëèâ äî òûñÿ÷íûõ, èìååì a » 2471,056. n
52
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
3/
1/
4
4
Âñå íàéäåííûå çíà÷åíèÿ íàçûâàþòñÿ ïðèáëèæåííûìè çíà÷åíèÿìè ÷èñëà a » 2471,05624.
Ïóñòü à — ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ÷èñëà a. Òîãäà ìîäóëü ðàçíîñòè ÷èñåë a è à, ò. å. a - a , íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòüþ ïðèáëèæåííîãî
çíà÷åíèÿ ÷èñëà a, à îòíîøåíèå àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè ê ìîäóëþ ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ íàçûâàåòñÿ îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ. Îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü îáû÷íî âûðàæàþò â ïðîöåíòàõ.
Ï ð è ì å ð 2. Âçâåñèâ äåòàëü, ìàññà êîòîðîé
ðàâíà 54,12705 ã, íà âåñàõ ñ öåíîé äåëåíèÿ øêàëû
0,1 ã, ïîëó÷èëè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ìàññû 54,1 ã.
Íàéòè àáñîëþòíóþ è îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòè
ýòîãî ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ.
q Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ðàâíà 54,12705 –
–54,1 = 0,02705; îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ðàâíà
0,02705
× 100% = 0,05%. n
54,1
Åñëè àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåííîãî
çíà÷åíèÿ à, íàéäåííîãî äëÿ èíòåðåñóþùåãî íàñ ÷èñëà a, íå ïðåâîñõîäèò íåêîòîðîãî ÷èñëà h, òî ïèøóò
a = a ± h; ãîâîðÿò, ÷òî à — ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå
÷èñëà a ñ òî÷íîñòüþ äî h.
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå
÷èñëà a = 2471,05624 ñ òî÷íîñòüþ äî 0,01.
q Îêðóãëèâ ÷èñëî a äî ñîòûõ (ñì. ïðèìåð 1, ã),
ïîëó÷èì a = 2471,06. Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü
ýòîãî ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ ðàâíà ½2471,05624 –
– 2471,06½ = ½0,00376½ < 0,01. Çíà÷èò, 2471,06 —
ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ÷èñëà a ñ òî÷íîñòüþ äî
0,01. n
53
3/
1/
4
4
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
Åñëè à > 0, b > 0 è r, s — ëþáûå ðàöèîíàëüíûå
÷èñëà, òî:
r
r
r
40. a × b = (ab) .
10. ar × a s = ar + s .
r
ar æ a ö
20. ar : a s = ar - s.
50. r = ç ÷ .
èbø
b
r s
rs
30. (a ) = a .
41. Ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ ÷èñåë. Àáñîëþòíàÿ
è îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòè. Ïðè îêðóãëåíèè äåñÿòè÷íîé äðîáè äî êàêîãî-íèáóäü ðàçðÿäà âñå ñëåäóþùèå çà ýòèì ðàçðÿäîì öèôðû çàìåíÿþò íóëÿìè,
à åñëè îíè ñòîÿò ïîñëå çàïÿòîé, òî èõ îòáðàñûâàþò.
Åñëè ïåðâàÿ ñëåäóþùàÿ çà ýòèì ðàçðÿäîì öèôðà
áîëüøå èëè ðàâíà 5, òî ïîñëåäíþþ îñòàâøóþñÿ öèôðó óâåëè÷èâàþò íà 1. Åñëè æå ïåðâàÿ ñëåäóþùàÿ çà
ýòèì ðàçðÿäîì öèôðà ìåíüøå 5, òî ïîñëåäíþþ îñòàâøóþñÿ öèôðó íå èçìåíÿþò.
Ï ð è ì å ð 1. Îêðóãëèòü ÷èñëî a = 2471,05624
ñ òî÷íîñòüþ äî: à) äåñÿòêîâ; á) åäèíèö; â) äåñÿòûõ;
ã) ñîòûõ; ä) òûñÿ÷íûõ.
q à) Öèôðà åäèíèö, ñëåäóþùàÿ çà ðàçðÿäîì
äåñÿòêîâ, ðàâíà 1, ò. å. ìåíüøå 5. Çíà÷èò, îêðóãëèâ äî
äåñÿòêîâ, èìååì a » 2470. Çíàê » íàçûâàþò çíàêîì
ïðèáëèæåííîãî ðàâåíñòâà.
á) Öèôðà äåñÿòûõ ðàâíà 0, çíà÷èò, îêðóãëèâ äî
åäèíèö, èìååì a » 2471.
â) Öèôðà ñîòûõ ðàâíà 5, çíà÷èò, îêðóãëèâ äî äåñÿòûõ, èìååì a » 2471,1.
ã) Öèôðà òûñÿ÷íûõ ðàâíà 6, çíà÷èò, îêðóãëèâ äî
ñîòûõ, èìååì a » 2471,06.
ä) Öèôðà äåñÿòèòûñÿ÷íûõ ðàâíà 2, çíà÷èò, îêðóãëèâ äî òûñÿ÷íûõ, èìååì a » 2471,056. n
52
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
3/
1/
4
4
Âñå íàéäåííûå çíà÷åíèÿ íàçûâàþòñÿ ïðèáëèæåííûìè çíà÷åíèÿìè ÷èñëà a » 2471,05624.
Ïóñòü à — ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ÷èñëà a. Òîãäà ìîäóëü ðàçíîñòè ÷èñåë a è à, ò. å. a - a , íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòüþ ïðèáëèæåííîãî
çíà÷åíèÿ ÷èñëà a, à îòíîøåíèå àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè ê ìîäóëþ ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ íàçûâàåòñÿ îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ. Îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü îáû÷íî âûðàæàþò â ïðîöåíòàõ.
Ï ð è ì å ð 2. Âçâåñèâ äåòàëü, ìàññà êîòîðîé
ðàâíà 54,12705 ã, íà âåñàõ ñ öåíîé äåëåíèÿ øêàëû
0,1 ã, ïîëó÷èëè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ìàññû 54,1 ã.
Íàéòè àáñîëþòíóþ è îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòè
ýòîãî ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ.
q Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ðàâíà 54,12705 –
–54,1 = 0,02705; îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ðàâíà
0,02705
× 100% = 0,05%. n
54,1
Åñëè àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåííîãî
çíà÷åíèÿ à, íàéäåííîãî äëÿ èíòåðåñóþùåãî íàñ ÷èñëà a, íå ïðåâîñõîäèò íåêîòîðîãî ÷èñëà h, òî ïèøóò
a = a ± h; ãîâîðÿò, ÷òî à — ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå
÷èñëà a ñ òî÷íîñòüþ äî h.
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå
÷èñëà a = 2471,05624 ñ òî÷íîñòüþ äî 0,01.
q Îêðóãëèâ ÷èñëî a äî ñîòûõ (ñì. ïðèìåð 1, ã),
ïîëó÷èì a = 2471,06. Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü
ýòîãî ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ ðàâíà ½2471,05624 –
– 2471,06½ = ½0,00376½ < 0,01. Çíà÷èò, 2471,06 —
ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ÷èñëà a ñ òî÷íîñòüþ äî
0,01. n
53
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
3/
1/
4
4
42. Äåñÿòè÷íûå ïðèáëèæåíèÿ äåéñòâèòåëüíîãî
÷èñëà ïî íåäîñòàòêó è ïî èçáûòêó. Âîçüìåì èððà-
0,001 ïî íåäîñòàòêó ðàâíî 0,254, à ïî èçáûòêó ðàâíî
0,255.
öèîíàëüíîå ÷èñëî
Èìååì:
43. Ïîíÿòèå î ñòåïåíè ñ èððàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì. Ïóñòü a — èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Êàêîé
ñìûñë âêëàäûâàåòñÿ â çàïèñü a a , ãäå à — ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî? Ðàññìîòðèì òðè ñëó÷àÿ: à = 1,
à > 1, 0 < a < 1.
2.
12 < 2 < 22 ;
2
1 < 2 < 2;
2
1,4 < 2 < 1,5 ;
1,4 < 2 < 1,5;
1,412 < 2 < 1,422 ;
1,41 < 2 < 1,42;
1,4142 < 2 < 1,4152 ;
2
1,414 < 2 < 1,415;
2
1,4142 < 2 < 1,4143 ; 1,4142 < 2 < 1,4143.
×èñëà 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142 íàçûâàþòñÿ äåñÿòè÷íûìè ïðèáëèæåíèÿìè ÷èñëà 2 ïî íåäîñòàòêó ñ òî÷íîñòüþ ñîîòâåòñòâåííî äî 1, äî 0,1, äî
0,01, äî 0,001, äî 0,0001. ×èñëà 2; 1,5; 1,42; 1,415;
1,4143 íàçûâàþòñÿ äåñÿòè÷íûìè ïðèáëèæåíèÿìè ÷èñëà 2 ïî èçáûòêó ñîîòâåòñòâåííî ñ òîé æå
òî÷íîñòüþ.
Äëÿ ÷èñëà
2 èñïîëüçóþò ïðåäñòàâëåíèå â âèäå
áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè: 2 = 1,4142... .
Âîîáùå, ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî ïðåäñòàâèìî â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè, ïðè÷åì
ïåðèîäè÷åñêîé, åñëè ÷èñëî ðàöèîíàëüíîå (ñì. ï. 16), è
íåïåðèîäè÷åñêîé, åñëè ÷èñëî èððàöèîíàëüíîå.
Íàïðèìåð, 14 = 0,2(54) = 0,2545454... (ñì. ï. 17).
55
14
ñ òî÷íîñòüþ äî
Äåñÿòè÷íîå ïðèáëèæåíèå ÷èñëà
55
54
1) Åñëè à = 0, òî ïîëàãàþò 1a = 1.
2) Ïóñòü a > 1. Âîçüìåì ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî r1 < = è ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî r2 > =. Òîãäà
r
r
r1 < r2 è a 1 < a 2 .  ýòîì ñëó÷àå ïîä a a ïîíèìàþò
÷èñëî, êîòîðîå çàêëþ÷åíî ìåæäó ar1 è a r2 äëÿ ëþáûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë r1 è r2 òàêèõ, ÷òî r1 < =, à
r2 > =. Äîêàçàíî, ÷òî òàêîå ÷èñëî ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî äëÿ ëþáîãî à > 1 è ëþáîãî èððàöèîíàëüíîãî
÷èñëà a.
3) Ïóñòü 0 < a < 1. Âîçüìåì ëþáîå ðàöèîíàëüíîå
÷èñëî r1 < = è ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî r2 > =. Òîã-
äà r1 < r2 è ar1 > ar2 .  ýòîì ñëó÷àå ïîä a a ïîíèìàþò
òàêîå ÷èñëî, êîòîðîå çàêëþ÷åíî ìåæäó a r21 è ar21 äëÿ
ëþáûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë r1 è r2, óäîâëåòâîðÿþùèõ
íåðàâåíñòâó r1 < a < r2 . Äîêàçàíî, ÷òî òàêîå ÷èñëî ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà à èç èíòåðâàëà (0, 1) è ëþáîãî èððàöèîíàëüíîãî ÷èñëà a.
44. Ñâîéñòâà ñòåïåíåé ñ äåéñòâèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè. Åñëè a > 0 , b > 0 è õ, y — ëþáûå
55
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
3/
1/
4
4
42. Äåñÿòè÷íûå ïðèáëèæåíèÿ äåéñòâèòåëüíîãî
÷èñëà ïî íåäîñòàòêó è ïî èçáûòêó. Âîçüìåì èððà-
0,001 ïî íåäîñòàòêó ðàâíî 0,254, à ïî èçáûòêó ðàâíî
0,255.
öèîíàëüíîå ÷èñëî
Èìååì:
43. Ïîíÿòèå î ñòåïåíè ñ èððàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì. Ïóñòü a — èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Êàêîé
ñìûñë âêëàäûâàåòñÿ â çàïèñü a a , ãäå à — ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî? Ðàññìîòðèì òðè ñëó÷àÿ: à = 1,
à > 1, 0 < a < 1.
2.
12 < 2 < 22 ;
2
1 < 2 < 2;
2
1,4 < 2 < 1,5 ;
1,4 < 2 < 1,5;
1,412 < 2 < 1,422 ;
1,41 < 2 < 1,42;
1,4142 < 2 < 1,4152 ;
2
1,414 < 2 < 1,415;
2
1,4142 < 2 < 1,4143 ; 1,4142 < 2 < 1,4143.
×èñëà 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142 íàçûâàþòñÿ äåñÿòè÷íûìè ïðèáëèæåíèÿìè ÷èñëà 2 ïî íåäîñòàòêó ñ òî÷íîñòüþ ñîîòâåòñòâåííî äî 1, äî 0,1, äî
0,01, äî 0,001, äî 0,0001. ×èñëà 2; 1,5; 1,42; 1,415;
1,4143 íàçûâàþòñÿ äåñÿòè÷íûìè ïðèáëèæåíèÿìè ÷èñëà 2 ïî èçáûòêó ñîîòâåòñòâåííî ñ òîé æå
òî÷íîñòüþ.
Äëÿ ÷èñëà
2 èñïîëüçóþò ïðåäñòàâëåíèå â âèäå
áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè: 2 = 1,4142... .
Âîîáùå, ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî ïðåäñòàâèìî â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè, ïðè÷åì
ïåðèîäè÷åñêîé, åñëè ÷èñëî ðàöèîíàëüíîå (ñì. ï. 16), è
íåïåðèîäè÷åñêîé, åñëè ÷èñëî èððàöèîíàëüíîå.
Íàïðèìåð, 14 = 0,2(54) = 0,2545454... (ñì. ï. 17).
55
14
ñ òî÷íîñòüþ äî
Äåñÿòè÷íîå ïðèáëèæåíèå ÷èñëà
55
54
1) Åñëè à = 0, òî ïîëàãàþò 1a = 1.
2) Ïóñòü a > 1. Âîçüìåì ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî r1 < = è ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî r2 > =. Òîãäà
r
r
r1 < r2 è a 1 < a 2 .  ýòîì ñëó÷àå ïîä a a ïîíèìàþò
÷èñëî, êîòîðîå çàêëþ÷åíî ìåæäó ar1 è a r2 äëÿ ëþáûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë r1 è r2 òàêèõ, ÷òî r1 < =, à
r2 > =. Äîêàçàíî, ÷òî òàêîå ÷èñëî ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî äëÿ ëþáîãî à > 1 è ëþáîãî èððàöèîíàëüíîãî
÷èñëà a.
3) Ïóñòü 0 < a < 1. Âîçüìåì ëþáîå ðàöèîíàëüíîå
÷èñëî r1 < = è ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî r2 > =. Òîã-
äà r1 < r2 è ar1 > ar2 .  ýòîì ñëó÷àå ïîä a a ïîíèìàþò
òàêîå ÷èñëî, êîòîðîå çàêëþ÷åíî ìåæäó a r21 è ar21 äëÿ
ëþáûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë r1 è r2, óäîâëåòâîðÿþùèõ
íåðàâåíñòâó r1 < a < r2 . Äîêàçàíî, ÷òî òàêîå ÷èñëî ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà à èç èíòåðâàëà (0, 1) è ëþáîãî èððàöèîíàëüíîãî ÷èñëà a.
44. Ñâîéñòâà ñòåïåíåé ñ äåéñòâèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè. Åñëè a > 0 , b > 0 è õ, y — ëþáûå
55
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå
ñâîéñòâà:
x
x
x
40. a × b = (ab) .
10. a x × a y = a x + y .
20. a x : a y = a x - y .
x y
xy
30. (a ) = a .
ax
50. b x
x
æaö
=ç ÷ .
èbø
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
45. Ïîíÿòèå î êîìïëåêñíîì ÷èñëå. Ïðîöåññ ðàñøèðåíèÿ ïîíÿòèÿ ÷èñëà îò íàòóðàëüíûõ ê äåéñòâèòåëüíûì áûë ñâÿçàí êàê ñ ïîòðåáíîñòÿìè ïðàêòèêè,
òàê è ñ íóæäàìè ìàòåìàòèêè. Ñíà÷àëà äëÿ ñ÷åòà ïðåäìåòîâ èñïîëüçîâàëèñü íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Çàòåì íåîáõîäèìîñòü âûïîëíåíèÿ äåëåíèÿ ïðèâåëà ê ïîíÿòèþ
äðîáíûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë; äàëåå,íåîáõîäèìîñòü
âûïîëíåíèÿ âû÷èòàíèÿ — ê ïîíÿòèÿì íóëÿ è îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë; íàêîíåö, íåîáõîäèìîñòü èçâëå÷åíèÿ êîðíåé èç ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë — ê ïîíÿòèþ
èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Âñå ïåðå÷èñëåííûå îïåðàöèè
âûïîëíèìû íà ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë.
Îäíàêî îñòàëèñü è íåâûïîëíèìûå íà ýòîì ìíîæåñòâå îïåðàöèè, íàïðèìåð èçâëå÷åíèå êâàäðàòíîãî
êîðíÿ èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà. Çíà÷èò, èìååòñÿ ïîòðåáíîñòü â äàëüíåéøåì ðàñøèðåíèè ïîíÿòèÿ ÷èñëà, â ïîÿâëåíèè íîâûõ ÷èñåë, îòëè÷íûõ îò äåéñòâèòåëüíûõ.
Ãåîìåòðè÷åñêè äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà èçîáðàæàþòñÿ òî÷êàìè íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. Âîçíèêàåò
ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêèå îáðàçû
íîâûõ ÷èñåë íàäî èñêàòü óæå íå íà ïðÿìîé, à íà
ïëîñêîñòè. Òàê êàê êàæäóþ òî÷êó Ì êîîðäèíàòíîé
ïëîñêîñòè xOy ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ êîîðäèíàòàìè ýòîé òî÷êè, òî åñòåñòâåííî â êà÷åñòâå íîâûõ
÷èñåë ââåñòè óïîðÿäî÷åííûå ïàðû äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë.
56
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
3/
1/
4
4
Êîìïëåêñíûì ÷èñëîì íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà (à; b) äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à è b.
Äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà (à; b) è (c; d) íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a = c è
b = d.
46. Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè. Ñóììîé êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z = (a; b)
è w = (c; d) íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî (a + c; b +
+ d).
Íàïðèìåð, (2; 7) + (3; –4) = (2 + 3; 7 – 4) = (5; 3).
Êîìïëåêñíûì íóëåì ñ÷èòàþò ïàðó (0;0). ×èñëîì, ïðîòèâîïîëîæíûì ÷èñëó z = (a; b), ñ÷èòàþò
÷èñëî (–a; –b); åãî îáîçíà÷àþò –z.
Ðàçíîñòüþ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z è w íàçûâàþò
òàêîå ÷èñëî è, ÷òî z = w + è. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå
ïðàâèëî âû÷èòàíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë: (a; b) –
– (c; d) = (à – c; b – d).
Íàïðèìåð, (9; 10) – (8; 12) = (9 – 8; 10 –12) =
= (1; –2).
Ïðîèçâåäåíèåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z = (a; b) è
w = (c; d) íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî (ac – bd; ad +
+ bc).
Íàïðèìåð, åñëè z = (2; 5), w = (3; 1), òî
zw = (2 · 3 – 5 · 1; 2 · 1 + 5 · 3) = (1; 17).
Ïóñòü z = (a; b), w = (c; d) ¹ (0; 0). Òîãäà ñóùåñòâóåò, è òîëüêî îäíî, êîìïëåêñíîå ÷èñëî u = (x; y)
òàêîå, ÷òî z = uw. Ýòî ÷èñëî è íàçûâàþò ÷àñòíûì îò
äåëåíèÿ z íà w. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðàâèëî äåëåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë:
åñëè (c; d) ¹ (0; 0), òî
(a; b) æ ac + bd bc - ad ö
=ç
;
÷.
(c; d) çè c2 + d 2 c2 + d 2 ÷ø
57
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå
ñâîéñòâà:
x
x
x
40. a × b = (ab) .
10. a x × a y = a x + y .
20. a x : a y = a x - y .
x y
xy
30. (a ) = a .
ax
50. b x
x
æaö
=ç ÷ .
èbø
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
45. Ïîíÿòèå î êîìïëåêñíîì ÷èñëå. Ïðîöåññ ðàñøèðåíèÿ ïîíÿòèÿ ÷èñëà îò íàòóðàëüíûõ ê äåéñòâèòåëüíûì áûë ñâÿçàí êàê ñ ïîòðåáíîñòÿìè ïðàêòèêè,
òàê è ñ íóæäàìè ìàòåìàòèêè. Ñíà÷àëà äëÿ ñ÷åòà ïðåäìåòîâ èñïîëüçîâàëèñü íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Çàòåì íåîáõîäèìîñòü âûïîëíåíèÿ äåëåíèÿ ïðèâåëà ê ïîíÿòèþ
äðîáíûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë; äàëåå,íåîáõîäèìîñòü
âûïîëíåíèÿ âû÷èòàíèÿ — ê ïîíÿòèÿì íóëÿ è îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë; íàêîíåö, íåîáõîäèìîñòü èçâëå÷åíèÿ êîðíåé èç ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë — ê ïîíÿòèþ
èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Âñå ïåðå÷èñëåííûå îïåðàöèè
âûïîëíèìû íà ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë.
Îäíàêî îñòàëèñü è íåâûïîëíèìûå íà ýòîì ìíîæåñòâå îïåðàöèè, íàïðèìåð èçâëå÷åíèå êâàäðàòíîãî
êîðíÿ èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà. Çíà÷èò, èìååòñÿ ïîòðåáíîñòü â äàëüíåéøåì ðàñøèðåíèè ïîíÿòèÿ ÷èñëà, â ïîÿâëåíèè íîâûõ ÷èñåë, îòëè÷íûõ îò äåéñòâèòåëüíûõ.
Ãåîìåòðè÷åñêè äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà èçîáðàæàþòñÿ òî÷êàìè íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. Âîçíèêàåò
ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêèå îáðàçû
íîâûõ ÷èñåë íàäî èñêàòü óæå íå íà ïðÿìîé, à íà
ïëîñêîñòè. Òàê êàê êàæäóþ òî÷êó Ì êîîðäèíàòíîé
ïëîñêîñòè xOy ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ êîîðäèíàòàìè ýòîé òî÷êè, òî åñòåñòâåííî â êà÷åñòâå íîâûõ
÷èñåë ââåñòè óïîðÿäî÷åííûå ïàðû äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë.
56
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
3/
1/
4
4
Êîìïëåêñíûì ÷èñëîì íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà (à; b) äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à è b.
Äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà (à; b) è (c; d) íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a = c è
b = d.
46. Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè. Ñóììîé êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z = (a; b)
è w = (c; d) íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî (a + c; b +
+ d).
Íàïðèìåð, (2; 7) + (3; –4) = (2 + 3; 7 – 4) = (5; 3).
Êîìïëåêñíûì íóëåì ñ÷èòàþò ïàðó (0;0). ×èñëîì, ïðîòèâîïîëîæíûì ÷èñëó z = (a; b), ñ÷èòàþò
÷èñëî (–a; –b); åãî îáîçíà÷àþò –z.
Ðàçíîñòüþ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z è w íàçûâàþò
òàêîå ÷èñëî è, ÷òî z = w + è. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå
ïðàâèëî âû÷èòàíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë: (a; b) –
– (c; d) = (à – c; b – d).
Íàïðèìåð, (9; 10) – (8; 12) = (9 – 8; 10 –12) =
= (1; –2).
Ïðîèçâåäåíèåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z = (a; b) è
w = (c; d) íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî (ac – bd; ad +
+ bc).
Íàïðèìåð, åñëè z = (2; 5), w = (3; 1), òî
zw = (2 · 3 – 5 · 1; 2 · 1 + 5 · 3) = (1; 17).
Ïóñòü z = (a; b), w = (c; d) ¹ (0; 0). Òîãäà ñóùåñòâóåò, è òîëüêî îäíî, êîìïëåêñíîå ÷èñëî u = (x; y)
òàêîå, ÷òî z = uw. Ýòî ÷èñëî è íàçûâàþò ÷àñòíûì îò
äåëåíèÿ z íà w. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðàâèëî äåëåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë:
åñëè (c; d) ¹ (0; 0), òî
(a; b) æ ac + bd bc - ad ö
=ç
;
÷.
(c; d) çè c2 + d 2 c2 + d 2 ÷ø
57
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
Âïðî÷åì, ïðè äåëåíèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èñïîëüçóþò íå óêàçàííóþ ôîðìóëó, à óìíîæàþò ÷èñëèòåëü è
çíàìåíàòåëü äðîáè íà ÷èñëî, ñîïðÿæåííîå çíàìåíàòåëþ (ñì. ï.48).
Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä êîìïëåêñíûìè
÷èñëàìè îáëàäàþò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè (ñì. ï. 31).
47. Àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Èñïîëüçóÿ ââåäåííûå â ï. 46 îïðåäåëåíèÿ ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, ëåãêî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:
(0; 1) · (0; 1) = (– 1; 0),
(a; b) = (a; 0) + (b; 0) · (0; 1),
(a; 0) + (b; 0) = (a + b; 0),
(a; 0) · (b; 0) = (ab; 0).
(1)
(2)
(3)
(4)
Óñëîâèìñÿ âìåñòî (à; 0) ïèñàòü ïðîñòî à, à êîìïëåêñíîå ÷èñëî (0; 1) îáîçíà÷àòü áóêâîé i è íàçûâàòü ìíèìîé åäèíèöåé. Òîãäà ðàâåíñòâî (1) ïðèíèìàåò âèä
i × i = -1, ò. å.
à ðàâåíñòâî (2) — âèä
i 2 = -1,
(a; b) = a + bi.
(5)
(6)
Çàïèñü a + bi íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìîé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = (a; b); ïðè ýòîì ÷èñëî
à íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z (îáîçíà÷åíèå: Re z), ÷èñëî b — åãî ìíèìîé ÷àñòüþ (îáîçíà÷åíèå: Im z).
58
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
1/
4
4
Íàïðèìåð,
z = (2; - 4) = 2 - 4i; Re z = 2, Im z = -4.
Åñëè ìíèìàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà a + bi
îòëè÷íà îò íóëÿ, òî òàêîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ ìíèìûì;
åñëè ïðè ýòîì à = 0, ò. å. ÷èñëî èìååò âèä bi, òî îíî
íàçûâàåòñÿ ÷èñòî ìíèìûì; íàêîíåö, åñëè ó êîìïëåêñíîãî ÷èñëà a + bi ìíèìàÿ ÷àñòü ðàâíà íóëþ, òî
ïîëó÷àåòñÿ äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî à.Êîìïëåêñíûå
÷èñëà a + bi è a – bi, äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè êîòîðûõ
ðàâíû, à ìíèìûå ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó, íàçûâàþò
ñîïðÿæåííûìè. ×èñëî, ñîïðÿæåííîå ñ ÷èñëîì z,
îáîçíà÷àþò ÷åðåç z , ò. å. åñëè z = a + bi, òî
z = a – bi. Ñóììà è ïðîèçâåäåíèå äâóõ ñîïðÿæåííûõ ÷èñåë ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè:
z z+ =z a=-2a
bi, zz = a2 + b2 .
Ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà a + bi íàçûâàåòñÿ
÷èñëî a2 + b2 (îáîçíà÷åíèå: z èëè r).
Ñîïðÿæåííûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà èìåþò îäèí è
òîò æå ìîäóëü: a + bi = a - bi .
48. Äåéñòâèÿ íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, çàäàííûìè â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå. Íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, çàïèñàííûìè â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå, ìîæíî îñóùåñòâëÿòü âñå àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè êàê íàä îáû÷íûìè äâó÷ëåíàìè, ó÷èòûâàÿ ëèøü,
÷òî i 2 = -1. ×òîáû ïðåîáðàçîâàòü â êîìïëåêñíîå ÷èña + bi
, íóæíî è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàëî äðîáü âèäà
c + di
òåëü äðîáè óìíîæèòü íà ÷èñëî c - di, ñîïðÿæåííîå
çíàìåíàòåëþ.
59
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
Âïðî÷åì, ïðè äåëåíèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èñïîëüçóþò íå óêàçàííóþ ôîðìóëó, à óìíîæàþò ÷èñëèòåëü è
çíàìåíàòåëü äðîáè íà ÷èñëî, ñîïðÿæåííîå çíàìåíàòåëþ (ñì. ï.48).
Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä êîìïëåêñíûìè
÷èñëàìè îáëàäàþò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè (ñì. ï. 31).
47. Àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Èñïîëüçóÿ ââåäåííûå â ï. 46 îïðåäåëåíèÿ ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, ëåãêî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:
(0; 1) · (0; 1) = (– 1; 0),
(a; b) = (a; 0) + (b; 0) · (0; 1),
(a; 0) + (b; 0) = (a + b; 0),
(a; 0) · (b; 0) = (ab; 0).
(1)
(2)
(3)
(4)
Óñëîâèìñÿ âìåñòî (à; 0) ïèñàòü ïðîñòî à, à êîìïëåêñíîå ÷èñëî (0; 1) îáîçíà÷àòü áóêâîé i è íàçûâàòü ìíèìîé åäèíèöåé. Òîãäà ðàâåíñòâî (1) ïðèíèìàåò âèä
i × i = -1, ò. å.
à ðàâåíñòâî (2) — âèä
i 2 = -1,
(a; b) = a + bi.
(5)
(6)
Çàïèñü a + bi íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìîé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = (a; b); ïðè ýòîì ÷èñëî
à íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z (îáîçíà÷åíèå: Re z), ÷èñëî b — åãî ìíèìîé ÷àñòüþ (îáîçíà÷åíèå: Im z).
58
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
1/
4
4
Íàïðèìåð,
z = (2; - 4) = 2 - 4i; Re z = 2, Im z = -4.
Åñëè ìíèìàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà a + bi
îòëè÷íà îò íóëÿ, òî òàêîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ ìíèìûì;
åñëè ïðè ýòîì à = 0, ò. å. ÷èñëî èìååò âèä bi, òî îíî
íàçûâàåòñÿ ÷èñòî ìíèìûì; íàêîíåö, åñëè ó êîìïëåêñíîãî ÷èñëà a + bi ìíèìàÿ ÷àñòü ðàâíà íóëþ, òî
ïîëó÷àåòñÿ äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî à.Êîìïëåêñíûå
÷èñëà a + bi è a – bi, äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè êîòîðûõ
ðàâíû, à ìíèìûå ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó, íàçûâàþò
ñîïðÿæåííûìè. ×èñëî, ñîïðÿæåííîå ñ ÷èñëîì z,
îáîçíà÷àþò ÷åðåç z , ò. å. åñëè z = a + bi, òî
z = a – bi. Ñóììà è ïðîèçâåäåíèå äâóõ ñîïðÿæåííûõ ÷èñåë ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè:
z z+ =z a=-2a
bi, zz = a2 + b2 .
Ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà a + bi íàçûâàåòñÿ
÷èñëî a2 + b2 (îáîçíà÷åíèå: z èëè r).
Ñîïðÿæåííûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà èìåþò îäèí è
òîò æå ìîäóëü: a + bi = a - bi .
48. Äåéñòâèÿ íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, çàäàííûìè â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå. Íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, çàïèñàííûìè â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå, ìîæíî îñóùåñòâëÿòü âñå àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè êàê íàä îáû÷íûìè äâó÷ëåíàìè, ó÷èòûâàÿ ëèøü,
÷òî i 2 = -1. ×òîáû ïðåîáðàçîâàòü â êîìïëåêñíîå ÷èña + bi
, íóæíî è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàëî äðîáü âèäà
c + di
òåëü äðîáè óìíîæèòü íà ÷èñëî c - di, ñîïðÿæåííîå
çíàìåíàòåëþ.
59
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
1/
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà õ è
y òàêèå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
(2x - 3yi) (2x + 3yi) + 4xi = 97 + 8i.
q Èìååì (2x - 3yi) (2x + 3yi) = 4x2 - 9y2i 2 = 4x2 +
2
+ 9y . Òîãäà çàäàííîå ðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü â
âèäå
2
2
4x + 9y + 4xi = 97 + 8i.
Òàê êàê êîìïëåêñíûå ÷èñëà a + bi è ñ + di ðàâíû
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàâíû èõ äåéñòâèòåëüíûå
÷àñòè (à = ñ) è êîýôôèöèåíòû ïðè ìíèìûõ ÷àñòÿõ (b =
= d), òî ïðèõîäèì ê ñèñòåìå óðàâíåíèé
ìï4x2 + 9y2 = 97,
í
ïî4x = 8,
îòêóäà íàõîäèì x1 = 2, y1 = 3; x2 = 2, y2 = -3. n
Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü (1 + 2i)i q
3 + 2i
.
1- i
1) (1 + 2i)i = i + 2i 2 = -2 + i;
3 + 2i (3 + 2i) (1 + i) 3 + 2i + 3i + 2i 2
=
=
=
1-i
(1 - i) (1 + i)
1 - i2
3 + 5i - 2 1 + 5i 1 5
=
=
= + i;
1+1
2
2 2
5 3
æ1 5 ö
3) (-2 + i) - ç + i ÷ = - - i . n
2 2
è2 2 ø
×òîáû âîçâåñòè êîìïëåêñíîå ÷èñëî â ñòåïåíü ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì, èñïîëüçóþò ôîðìóëû êâàäðàòà ñóììû, êóáà ñóììû (ñì. ï. 56) è áîëåå îáùóþ
ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà (ñì. ï. 62 èëè ï. 203).
2)
60
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
3/
1/
4
4
Ïðè ýòîì óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ îáùèì ïðàâèëîì äëÿ
âîçâåäåíèÿ ìíèìîé åäèíèöû i â ëþáóþ íàòóðàëüíóþ
ñòåïåíü. Òàê êàê i 1 = i, i 2 = -1, i 3 = -i, i 4 = 1, òî
i 4n +1 = i, i 4n + 2 = -1, i 4n + 3 = -i, i 4n = 1, n Î N.
q Ï ð è ì å ð 3. Âû÷èñëèòü (1 + 2i)6.
Ñîãëàñíî ôîðìóëå áèíîìà Íüþòîíà, èìååì
(1 + 2i)6 = 16 + C61 × 15 × 2i + C62 × 14 × (2i)2 +
+ C63 × 13 × (2i)3 + C64 × 12 × (2i)4 + C65 × 1 × (2i)5 + (2i)6 =
= 1 + 12i + 15 × 4i 2 + 20 × 8i 3 + 15 × 16i 4 + 6 × 32i 5 + 64i 6 =
= 1 + 12i - 60 - 160i + 240 + 192i - 64 = 117 + 44i. n
49. Ãåîìåòðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå êîìïëåêñíûõ
÷èñåë. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî
÷èñëà. Êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = a + bi íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè xOy èçîáðàæàåòñÿ òî÷êîé Ì ñ êîîðäèíàòàìè à è b. Ïðè ýòîì îñü Îõ íàçûâàþò äåéñòâèòåëüíîé îñüþ, à îñü Îy — ìíèìîé îñüþ.
Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà èçîáðàæàþòñÿ òî÷êàìè
äåéñòâèòåëüíîé îñè, à ÷èñòî ìíèìûå ÷èñëà — òî÷êàìè ìíèìîé îñè.
Íà ðèñ. 10 ïîñòðîåíû èçîáðàæåíèÿ êîìïëåêñíûõ
÷èñåë z1 = 2 + i, z2 = 3, z3 = 2i, z4 = –1 + i, z5 = –2,5,
z6 = –1 – i, z7 = –3i, z8 = 3 – 2i. Çàìåòèì, ÷òî ñîïðÿæåííûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà èçîáðàæàþòñÿ òî÷êàìè, ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî îñè Îõ (òî÷êè z4 è z6 íà
ðèñ. 10).
Èçâåñòíî, ÷òî ïîëîæåíèå òî÷êè íà ïëîñêîñòè ìîæíî
çàäàâàòü òàêæå åå ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè r è j
61
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
1/
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà õ è
y òàêèå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
(2x - 3yi) (2x + 3yi) + 4xi = 97 + 8i.
q Èìååì (2x - 3yi) (2x + 3yi) = 4x2 - 9y2i 2 = 4x2 +
2
+ 9y . Òîãäà çàäàííîå ðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü â
âèäå
2
2
4x + 9y + 4xi = 97 + 8i.
Òàê êàê êîìïëåêñíûå ÷èñëà a + bi è ñ + di ðàâíû
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàâíû èõ äåéñòâèòåëüíûå
÷àñòè (à = ñ) è êîýôôèöèåíòû ïðè ìíèìûõ ÷àñòÿõ (b =
= d), òî ïðèõîäèì ê ñèñòåìå óðàâíåíèé
ìï4x2 + 9y2 = 97,
í
ïî4x = 8,
îòêóäà íàõîäèì x1 = 2, y1 = 3; x2 = 2, y2 = -3. n
Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü (1 + 2i)i q
3 + 2i
.
1- i
1) (1 + 2i)i = i + 2i 2 = -2 + i;
3 + 2i (3 + 2i) (1 + i) 3 + 2i + 3i + 2i 2
=
=
=
1-i
(1 - i) (1 + i)
1 - i2
3 + 5i - 2 1 + 5i 1 5
=
=
= + i;
1+1
2
2 2
5 3
æ1 5 ö
3) (-2 + i) - ç + i ÷ = - - i . n
2 2
è2 2 ø
×òîáû âîçâåñòè êîìïëåêñíîå ÷èñëî â ñòåïåíü ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì, èñïîëüçóþò ôîðìóëû êâàäðàòà ñóììû, êóáà ñóììû (ñì. ï. 56) è áîëåå îáùóþ
ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà (ñì. ï. 62 èëè ï. 203).
2)
60
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
3/
1/
4
4
Ïðè ýòîì óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ îáùèì ïðàâèëîì äëÿ
âîçâåäåíèÿ ìíèìîé åäèíèöû i â ëþáóþ íàòóðàëüíóþ
ñòåïåíü. Òàê êàê i 1 = i, i 2 = -1, i 3 = -i, i 4 = 1, òî
i 4n +1 = i, i 4n + 2 = -1, i 4n + 3 = -i, i 4n = 1, n Î N.
q Ï ð è ì å ð 3. Âû÷èñëèòü (1 + 2i)6.
Ñîãëàñíî ôîðìóëå áèíîìà Íüþòîíà, èìååì
(1 + 2i)6 = 16 + C61 × 15 × 2i + C62 × 14 × (2i)2 +
+ C63 × 13 × (2i)3 + C64 × 12 × (2i)4 + C65 × 1 × (2i)5 + (2i)6 =
= 1 + 12i + 15 × 4i 2 + 20 × 8i 3 + 15 × 16i 4 + 6 × 32i 5 + 64i 6 =
= 1 + 12i - 60 - 160i + 240 + 192i - 64 = 117 + 44i. n
49. Ãåîìåòðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå êîìïëåêñíûõ
÷èñåë. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî
÷èñëà. Êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = a + bi íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè xOy èçîáðàæàåòñÿ òî÷êîé Ì ñ êîîðäèíàòàìè à è b. Ïðè ýòîì îñü Îõ íàçûâàþò äåéñòâèòåëüíîé îñüþ, à îñü Îy — ìíèìîé îñüþ.
Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà èçîáðàæàþòñÿ òî÷êàìè
äåéñòâèòåëüíîé îñè, à ÷èñòî ìíèìûå ÷èñëà — òî÷êàìè ìíèìîé îñè.
Íà ðèñ. 10 ïîñòðîåíû èçîáðàæåíèÿ êîìïëåêñíûõ
÷èñåë z1 = 2 + i, z2 = 3, z3 = 2i, z4 = –1 + i, z5 = –2,5,
z6 = –1 – i, z7 = –3i, z8 = 3 – 2i. Çàìåòèì, ÷òî ñîïðÿæåííûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà èçîáðàæàþòñÿ òî÷êàìè, ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî îñè Îõ (òî÷êè z4 è z6 íà
ðèñ. 10).
Èçâåñòíî, ÷òî ïîëîæåíèå òî÷êè íà ïëîñêîñòè ìîæíî
çàäàâàòü òàêæå åå ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè r è j
61
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
(ñì. ï. 23). Èç ðèñ. 11 ÿñíî, ÷òî r = OM = a2 + b2
ÿâëÿåòñÿ ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = a + bi. Ïîëÿðíûé óãîë j íàçûâàþò àðãóìåíòîì êîìïëåêñíîãî
÷èñëà, èçîáðàæàåìîãî ýòîé òî÷êîé. Àðãóìåíò êîìïëåêñíîãî ÷èñëà îïðåäåëåí íåîäíîçíà÷íî: åñëè j — àðãóìåíò ÷èñëà z, òî j + 2pk — òàêæå àðãóìåíò ýòîãî ÷èñëà ïðè ëþáîì öåëîì k. Äëÿ îäíîçíà÷íîñòè îïðåäåëåíèÿ àðãóìåíòà åãî âûáèðàþò â ïðåäåëàõ - p < j £ p
è îáîçíà÷àþò arg z; òàêîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà íàçûâàþò ãëàâíûì.  äàëüíåéøåì ïîä àðãóìåíòîì
êîìïëåêñíîãî ÷èñëà áóäåì ïîíèìàòü åãî ãëàâíîå
çíà÷åíèå.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìîé êîìïëåêñíîãî
÷èñëà z = a + bi íàçûâàåòñÿ åãî çàïèñü â âèäå
z = r (cos j + i sin j),
(1)
ãäå r = a2 + b2 — ìîäóëü, à j — àðãóìåíò ÷èñëà z.
z3
z4
z5
z6
z7
Ðèñ. 10
62
z1
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
3/
1/
4
4
Ïðè ýòîì àðãóìåíò j ñâÿçàí ñ à è b ôîðìóëàìè
a
b
cos j =
, sin j =
.
(2)
a2 + b 2
a2 + b2
Ï ð è ì å ð. Çàïèñàòü â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå ÷èñëà: à) - 2 3 + 2i; á) -3i ; â) 1 - 5.
q à) Ñíà÷àëà íàõîäèì ìîäóëü ÷èñëà: r =
=
(-2 3 )2 + 22 = 4. Äàëåå, ñîãëàñíî ôîðìóëàì (2),
2 1
3
2 3
= , sin j = = . Çíà÷èò,
2
4 2
4
5p
5p
5p ö
æ
arg z = j =
. Èòàê, z = 4 ç cos
+ i sin
÷.
6
6
6 ø
è
èìååì cos j = -
p
(òî÷êà, èçîáðàæàþùàÿ äàí2
íîå ÷èñëî, ïðèíàäëåæèò îòðèöàòåëüíîé ÷àñòè ìíèæ
æ p öö
æ pö
ìîé îñè). Ïîýòîìó z = 3 çç cos ç - ÷ + i sinç - ÷ ÷÷ .
è 2 øø
è 2ø
è
á) Çäåñü r = 3, j = -
â) Çäåñü r = 5 - 1, j = p. Çíà÷èò, z = 5 - 1 (cos p +
+i sin p). n
z2
z8
Ðèñ. 11
50. Äåéñòâèÿ íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, çàäàííûìè â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå. Ïóñòü
z1 = r1 (cos j1 + i sin j1), z2 = r2 (cos j2 + i sin j2 ) — êîìïëåêñíûå ÷èñëà, çàäàííûå â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðz
ìå. Òîãäà äëÿ èõ ïðîèçâåäåíèÿ z1z2 è ÷àñòíîãî 1
z2
63
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
(ñì. ï. 23). Èç ðèñ. 11 ÿñíî, ÷òî r = OM = a2 + b2
ÿâëÿåòñÿ ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = a + bi. Ïîëÿðíûé óãîë j íàçûâàþò àðãóìåíòîì êîìïëåêñíîãî
÷èñëà, èçîáðàæàåìîãî ýòîé òî÷êîé. Àðãóìåíò êîìïëåêñíîãî ÷èñëà îïðåäåëåí íåîäíîçíà÷íî: åñëè j — àðãóìåíò ÷èñëà z, òî j + 2pk — òàêæå àðãóìåíò ýòîãî ÷èñëà ïðè ëþáîì öåëîì k. Äëÿ îäíîçíà÷íîñòè îïðåäåëåíèÿ àðãóìåíòà åãî âûáèðàþò â ïðåäåëàõ - p < j £ p
è îáîçíà÷àþò arg z; òàêîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà íàçûâàþò ãëàâíûì.  äàëüíåéøåì ïîä àðãóìåíòîì
êîìïëåêñíîãî ÷èñëà áóäåì ïîíèìàòü åãî ãëàâíîå
çíà÷åíèå.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìîé êîìïëåêñíîãî
÷èñëà z = a + bi íàçûâàåòñÿ åãî çàïèñü â âèäå
z = r (cos j + i sin j),
(1)
ãäå r = a2 + b2 — ìîäóëü, à j — àðãóìåíò ÷èñëà z.
z3
z4
z5
z6
z7
Ðèñ. 10
62
z1
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
3/
1/
4
4
Ïðè ýòîì àðãóìåíò j ñâÿçàí ñ à è b ôîðìóëàìè
a
b
cos j =
, sin j =
.
(2)
a2 + b 2
a2 + b2
Ï ð è ì å ð. Çàïèñàòü â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå ÷èñëà: à) - 2 3 + 2i; á) -3i ; â) 1 - 5.
q à) Ñíà÷àëà íàõîäèì ìîäóëü ÷èñëà: r =
=
(-2 3 )2 + 22 = 4. Äàëåå, ñîãëàñíî ôîðìóëàì (2),
2 1
3
2 3
= , sin j = = . Çíà÷èò,
2
4 2
4
5p
5p
5p ö
æ
arg z = j =
. Èòàê, z = 4 ç cos
+ i sin
÷.
6
6
6 ø
è
èìååì cos j = -
p
(òî÷êà, èçîáðàæàþùàÿ äàí2
íîå ÷èñëî, ïðèíàäëåæèò îòðèöàòåëüíîé ÷àñòè ìíèæ
æ p öö
æ pö
ìîé îñè). Ïîýòîìó z = 3 çç cos ç - ÷ + i sinç - ÷ ÷÷ .
è 2 øø
è 2ø
è
á) Çäåñü r = 3, j = -
â) Çäåñü r = 5 - 1, j = p. Çíà÷èò, z = 5 - 1 (cos p +
+i sin p). n
z2
z8
Ðèñ. 11
50. Äåéñòâèÿ íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, çàäàííûìè â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå. Ïóñòü
z1 = r1 (cos j1 + i sin j1), z2 = r2 (cos j2 + i sin j2 ) — êîìïëåêñíûå ÷èñëà, çàäàííûå â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðz
ìå. Òîãäà äëÿ èõ ïðîèçâåäåíèÿ z1z2 è ÷àñòíîãî 1
z2
63
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
ñïðàâåäëèâû ôîðìóëû
z1z2 = r1r2 (cos(j1 + j2 ) + i sin(j1 + j2 )),
(1)
z1
r1
(2)
=
(cos(j1 - j2 ) + i sin(j1 - j2 )),
z2
r2
ò. å. ïðè óìíîæåíèè (äåëåíèè) êîìïëåêñíûõ ÷èñåë,
çàäàííûõ â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå, èõ ìîäóëè
ïåðåìíîæàþòñÿ (äåëÿòñÿ), à àðãóìåíòû ñêëàäûâàþòñÿ (âû÷èòàþòñÿ).
Ï ð è ì å ð 1. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ:
p
pö 1 æ
æ 2p ö ö
æ 2p ö
æ
à) 4 ç cos + i sin ÷ ×
ç cosç ÷ ÷÷ ;
÷ + i sinç ç
6
6 ø 10 è
è 3 øø
è 3 ø
è
2p
2p ö
æ
á) 32 ç cos
+ i sin
÷ : 8i.
3
3 ø
è
q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), íàõîäèì
4 æ
æ p 2p ö ö
æ p 2p ö
çç cosç ÷÷ =
÷ + i sinç 10 è
3 ø
3 ø ÷ø
è6
è6
2æ
2
æ p öö
æ pö
çç cosç - ÷ + i sinç - ÷ ÷÷ = - i.
5è
2
2
5
øø
è
ø
è
á) Ñíà÷àëà ïðåäñòàâèì ÷èñëî 8i â òðèãîíîìåòðè=
p
pö
æ
÷åñêîé ôîðìå; ïîëó÷èì 8 ç cos + i sin ÷ . Òåïåðü
2
2
ø
è
âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (2):
p
pö
32 æ
æ
æ 2p p ö ö
æ 2p p ö
çç cosç
- ÷ ÷÷ = 4 ç cos + i sin ÷ =
- ÷ + i sinç
8 è
2ø
2 øø
6
6ø
è
è 3
è 3
= 2 3 + 2i. n
64
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
1/
4
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
Ïðè âîçâåäåíèè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z =
= r (cos j + i sin j), â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü n âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
zn = r n (cos nj + i sin nj),
(3)
ò. å. ìîäóëü äàííîãî ÷èñëà âîçâîäèòñÿ â ñòåïåíü n, à
àðãóìåíò óìíîæàåòñÿ íà ïîêàçàòåëü ñòåïåíè.
Ïðè r = 1 ñîîòíîøåíèå (3) ïðèíèìàåò âèä
(cos j + i sin j)n = cos nj + i sin nj
(4)
è íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ìóàâðà.
Ï ð è ì å ð 2. Âîçâåñòè â ñòåïåíü:
7
æ
æ 3p ö ö
æ 3p ö
2 çç cos ç ÷ ÷÷ .
÷ + i sin ç è 4 øø
è 4 ø
è
q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3), à òàêæå ïåðèîäè÷íîñòü
ñèíóñà è êîñèíóñà (ñì. ï. 121), ïîëó÷èì
æ
æ 21p ö ö
æ 21p ö
27 çç cos ç ÷÷ =
÷ + i sin ç 4 ø
4 ø ÷ø
è
è
è
æ
öö
ö
æ 21p
æ 21p
+ 6p ÷ ÷÷ =
= 128 çç cos ç + 6p ÷ + i sin ç 4
4
øø
ø
è
è
è
3p
3p ö
æ
= 128 ç cos
+ i sin
÷ = -64 2 + 64 2 i.
4
4 ø
è
n
Ðàññìîòðèì, íàêîíåö, çàäà÷ó èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ
íàòóðàëüíîé ñòåïåíè n èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z.
Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî êîðåíü n-é ñòåïåíè èç êîìïëåê65
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
ñïðàâåäëèâû ôîðìóëû
z1z2 = r1r2 (cos(j1 + j2 ) + i sin(j1 + j2 )),
(1)
z1
r1
(2)
=
(cos(j1 - j2 ) + i sin(j1 - j2 )),
z2
r2
ò. å. ïðè óìíîæåíèè (äåëåíèè) êîìïëåêñíûõ ÷èñåë,
çàäàííûõ â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå, èõ ìîäóëè
ïåðåìíîæàþòñÿ (äåëÿòñÿ), à àðãóìåíòû ñêëàäûâàþòñÿ (âû÷èòàþòñÿ).
Ï ð è ì å ð 1. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ:
p
pö 1 æ
æ 2p ö ö
æ 2p ö
æ
à) 4 ç cos + i sin ÷ ×
ç cosç ÷ ÷÷ ;
÷ + i sinç ç
6
6 ø 10 è
è 3 øø
è 3 ø
è
2p
2p ö
æ
á) 32 ç cos
+ i sin
÷ : 8i.
3
3 ø
è
q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), íàõîäèì
4 æ
æ p 2p ö ö
æ p 2p ö
çç cosç ÷÷ =
÷ + i sinç 10 è
3 ø
3 ø ÷ø
è6
è6
2æ
2
æ p öö
æ pö
çç cosç - ÷ + i sinç - ÷ ÷÷ = - i.
5è
2
2
5
øø
è
ø
è
á) Ñíà÷àëà ïðåäñòàâèì ÷èñëî 8i â òðèãîíîìåòðè=
p
pö
æ
÷åñêîé ôîðìå; ïîëó÷èì 8 ç cos + i sin ÷ . Òåïåðü
2
2
ø
è
âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (2):
p
pö
32 æ
æ
æ 2p p ö ö
æ 2p p ö
çç cosç
- ÷ ÷÷ = 4 ç cos + i sin ÷ =
- ÷ + i sinç
8 è
2ø
2 øø
6
6ø
è
è 3
è 3
= 2 3 + 2i. n
64
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
4
1/
4
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
Ïðè âîçâåäåíèè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z =
= r (cos j + i sin j), â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü n âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
zn = r n (cos nj + i sin nj),
(3)
ò. å. ìîäóëü äàííîãî ÷èñëà âîçâîäèòñÿ â ñòåïåíü n, à
àðãóìåíò óìíîæàåòñÿ íà ïîêàçàòåëü ñòåïåíè.
Ïðè r = 1 ñîîòíîøåíèå (3) ïðèíèìàåò âèä
(cos j + i sin j)n = cos nj + i sin nj
(4)
è íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ìóàâðà.
Ï ð è ì å ð 2. Âîçâåñòè â ñòåïåíü:
7
æ
æ 3p ö ö
æ 3p ö
2 çç cos ç ÷ ÷÷ .
÷ + i sin ç è 4 øø
è 4 ø
è
q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3), à òàêæå ïåðèîäè÷íîñòü
ñèíóñà è êîñèíóñà (ñì. ï. 121), ïîëó÷èì
æ
æ 21p ö ö
æ 21p ö
27 çç cos ç ÷÷ =
÷ + i sin ç 4 ø
4 ø ÷ø
è
è
è
æ
öö
ö
æ 21p
æ 21p
+ 6p ÷ ÷÷ =
= 128 çç cos ç + 6p ÷ + i sin ç 4
4
øø
ø
è
è
è
3p
3p ö
æ
= 128 ç cos
+ i sin
÷ = -64 2 + 64 2 i.
4
4 ø
è
n
Ðàññìîòðèì, íàêîíåö, çàäà÷ó èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ
íàòóðàëüíîé ñòåïåíè n èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z.
Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî êîðåíü n-é ñòåïåíè èç êîìïëåê65
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
ñíîãî ÷èñëà z = r (cos j + i sin j) èìååò n ðàçëè÷íûõ
çíà÷åíèé, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëå
n
z =
n
j + 2pk
j + 2pk ö
æ
r ç cos
+ i sin
÷,
n
n
ø
è
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
(5)
3/
1/
4
4
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (5), ïîëó÷èì
3
p
p
æ
ö
- + 2pk
- + 2pk ÷
ç
2
2
÷ , k = 0, 1, 2.
- 64i = 4 ç cos
+ i sin
3
3
ç
÷
ç
÷
è
ø
Ïðè k = 0, 1, 2 ñîîòâåòñòâåííî íàõîäèì
ãäå k = 0, 1, 2, ... , n – 1.
æ
æ p öö
æ pö
w1 = 4 çç cos ç - ÷ + i sin ç - ÷ ÷÷ = 2 3 - 2i ;
è 6 øø
è 6ø
è
Ï ð è ì å ð 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå z2 + 4 = 0.
q
ÀËÃÅÁÐÀ
Êîðíÿìè äàííîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ âñå
çíà÷åíèÿ - 4. Äëÿ ÷èñëà –4 èìååì r = 4, j = p .
Ñîãëàñíî ôîðìóëå (5), íàõîäèì
p + 2pk
p + 2pk ö
æ
- 4 = 2 ç cos
+ i sin
÷ , ãäå k = 0, 1.
2
2
ø
è
p
pö
æ
w2 = 4 ç cos + i sin ÷ = 4i ;
2
2ø
è
7p
7p ö
æ
w3 = 4 ç cos
+ i sin
÷ = -2 3 - 2i . n
6
6 ø
è
p
pö
æ
Åñëè k = 0, òî w1 = 2 ç cos + i sin ÷ = 2i .
2
2ø
è
3p
3p ö
æ
+ i sin
Åñëè k = 1, òî w2 = 2 ç cos
÷ = -2i .
2
2 ø
è
Èòàê, óðàâíåíèå z2 + 4 = 0 èìååò äâà êîðíÿ: 2i
è -2i . n
Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè
q
66
3
- 64i .
Äëÿ ÷èñëà – 6 4 i è ì å å ì r = 64, j = -
p
.
2
67
ÀËÃÅÁÐÀ
3/
1/
4
4
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
ñíîãî ÷èñëà z = r (cos j + i sin j) èìååò n ðàçëè÷íûõ
çíà÷åíèé, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëå
n
z =
n
j + 2pk
j + 2pk ö
æ
r ç cos
+ i sin
÷,
n
n
ø
è
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
(5)
3/
1/
4
4
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (5), ïîëó÷èì
3
p
p
æ
ö
- + 2pk
- + 2pk ÷
ç
2
2
÷ , k = 0, 1, 2.
- 64i = 4 ç cos
+ i sin
3
3
ç
÷
ç
÷
è
ø
Ïðè k = 0, 1, 2 ñîîòâåòñòâåííî íàõîäèì
ãäå k = 0, 1, 2, ... , n – 1.
æ
æ p öö
æ pö
w1 = 4 çç cos ç - ÷ + i sin ç - ÷ ÷÷ = 2 3 - 2i ;
è 6 øø
è 6ø
è
Ï ð è ì å ð 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå z2 + 4 = 0.
q
ÀËÃÅÁÐÀ
Êîðíÿìè äàííîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ âñå
çíà÷åíèÿ - 4. Äëÿ ÷èñëà –4 èìååì r = 4, j = p .
Ñîãëàñíî ôîðìóëå (5), íàõîäèì
p + 2pk
p + 2pk ö
æ
- 4 = 2 ç cos
+ i sin
÷ , ãäå k = 0, 1.
2
2
ø
è
p
pö
æ
w2 = 4 ç cos + i sin ÷ = 4i ;
2
2ø
è
7p
7p ö
æ
w3 = 4 ç cos
+ i sin
÷ = -2 3 - 2i . n
6
6 ø
è
p
pö
æ
Åñëè k = 0, òî w1 = 2 ç cos + i sin ÷ = 2i .
2
2ø
è
3p
3p ö
æ
+ i sin
Åñëè k = 1, òî w2 = 2 ç cos
÷ = -2i .
2
2 ø
è
Èòàê, óðàâíåíèå z2 + 4 = 0 èìååò äâà êîðíÿ: 2i
è -2i . n
Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè
q
66
3
- 64i .
Äëÿ ÷èñëà – 6 4 i è ì å å ì r = 64, j = -
p
.
2
67
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 5. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ðàçäåë II
ÂÛÐÀÆÅÍÈß
§ 5. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
51. Âèäû àëãåáðàè÷åñêèõ âûðàæåíèé. Èç ÷èñåë
è ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ çíàêîâ ñëîæåíèÿ, âû÷èòàíèÿ, óìíîæåíèÿ, äåëåíèÿ, âîçâåäåíèÿ â ðàöèîíàëüíóþ ñòåïåíü è èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ, à òàêæå ñ ïîìîùüþ
ñêîáîê ñîñòàâëÿþò àëãåáðàè÷åñêèå âûðàæåíèÿ.
Ïðèìåðû àëãåáðàè÷åñêèõ âûðàæåíèé:
1) 2a2b - 3ab2 (a + b); 2) a + b +
3
æ1 1 cö
4) ç + - ÷ ; 5)
èa b 3ø
3
c
3a2 + 3a + 1
; 3)
;
5
a -1
4
a + b ; 6) ( 2 - x) ; 7)
3
2
a
3
2
-b .
Åñëè àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå íå ñîäåðæèò äåëåíèÿ íà ïåðåìåííûå è èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ èç ïåðåìåííûõ (â ÷àñòíîñòè, âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü ñ äðîáíûì ïîêàçàòåëåì), òî îíî íàçûâàåòñÿ öåëûì. Èç
íàïèñàííûõ âûøå öåëûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ 1,
2 è 6.
Åñëè àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå ñîñòàâëåíî èç
÷èñåë è ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ äåéñòâèé ñëîæåíèÿ,
âû÷èòàíèÿ, óìíîæåíèÿ, âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì è äåëåíèÿ, ïðè÷åì èñïîëüçóåòñÿ äåëåíèå íà âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè, òî îíî
íàçûâàåòñÿ äðîáíûì. Òàê, èç íàïèñàííûõ âûøå äðîáíûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ 3 è 4.
Öåëûå è äðîáíûå âûðàæåíèÿ íàçûâàþò ðàöèîíàëüíûìè âûðàæåíèÿìè. Íàïðèìåð, èç íàïèñàííûõ âûøå ðàöèîíàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ
1, 2, 3, 4 è 6.
68
Åñëè â àëãåáðàè÷åñêîì âûðàæåíèè èñïîëüçóåòñÿ
èçâëå÷åíèå êîðíÿ èç ïåðåìåííûõ (èëè âîçâåäåíèå
ïåðåìåííûõ â äðîáíóþ ñòåïåíü), òî òàêîå àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå íàçûâàåòñÿ èððàöèîíàëüíûì.
Òàê, èç íàïèñàííûõ âûøå èððàöèîíàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ 5 è 7.
Èòàê, àëãåáðàè÷åñêèå âûðàæåíèÿ ìîãóò áûòü ðàöèîíàëüíûìè è èððàöèîíàëüíûìè. Ðàöèîíàëüíûå
âûðàæåíèÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, ðàçäåëÿþòñÿ íà öåëûå è
äðîáíûå.
52. Äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ. Îáëàñòü
îïðåäåëåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ. Çíà÷åíèÿ
ïåðåìåííûõ, ïðè êîòîðûõ àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå èìååò ñìûñë, íàçûâàþò äîïóñòèìûìè çíà÷åíèÿìè ïåðåìåííûõ. Ìíîæåñòâî âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ íàçûâàþò îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ
àëãåáðàè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ.
Öåëîå âûðàæåíèå èìååò ñìûñë ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ âõîäÿùèõ â íåãî ïåðåìåííûõ. Òàê, ïðè ëþáûõ
çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ èìåþò ñìûñë öåëûå âûðàæåíèÿ 1, 2, 6 èç ï. 51.
Äðîáíûå âûðàæåíèÿ íå èìåþò ñìûñëà ïðè òåõ
çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå îáðàùàþò çíàìåíàòåëü â íóëü. Íàïðèìåð, äðîáíîå âûðàæåíèå 3 èç ï.
51 èìååò ñìûñë ïðè âñåõ à, êðîìå à = 1, à äðîáíîå
âûðàæåíèå 4 — ïðè âñåõ à, b, c, êðîìå çíà÷åíèé
à = 0, b = 0.
Èððàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå íå èìååò ñìûñëà ïðè
òåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå îáðàùàþò â îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî âûðàæåíèå, ñîäåðæàùååñÿ ïîä
çíàêîì êîðíÿ ÷åòíîé ñòåïåíè èëè ïîä çíàêîì âîçâåäåíèÿ â äðîáíóþ ñòåïåíü. Òàê, èððàöèîíàëüíîå
âûðàæåíèå 5 èìååò ñìûñë òîëüêî ïðè òåõ à, b, ïðè
êîòîðûõ a + b ³ 0, à èððàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå
7 — òîëüêî ïðè a ³ 0 è b ³ 0 (ñì. ï. 51).
69
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 5. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ðàçäåë II
ÂÛÐÀÆÅÍÈß
§ 5. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
51. Âèäû àëãåáðàè÷åñêèõ âûðàæåíèé. Èç ÷èñåë
è ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ çíàêîâ ñëîæåíèÿ, âû÷èòàíèÿ, óìíîæåíèÿ, äåëåíèÿ, âîçâåäåíèÿ â ðàöèîíàëüíóþ ñòåïåíü è èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ, à òàêæå ñ ïîìîùüþ
ñêîáîê ñîñòàâëÿþò àëãåáðàè÷åñêèå âûðàæåíèÿ.
Ïðèìåðû àëãåáðàè÷åñêèõ âûðàæåíèé:
1) 2a2b - 3ab2 (a + b); 2) a + b +
3
æ1 1 cö
4) ç + - ÷ ; 5)
èa b 3ø
3
c
3a2 + 3a + 1
; 3)
;
5
a -1
4
a + b ; 6) ( 2 - x) ; 7)
3
2
a
3
2
-b .
Åñëè àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå íå ñîäåðæèò äåëåíèÿ íà ïåðåìåííûå è èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ èç ïåðåìåííûõ (â ÷àñòíîñòè, âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü ñ äðîáíûì ïîêàçàòåëåì), òî îíî íàçûâàåòñÿ öåëûì. Èç
íàïèñàííûõ âûøå öåëûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ 1,
2 è 6.
Åñëè àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå ñîñòàâëåíî èç
÷èñåë è ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ äåéñòâèé ñëîæåíèÿ,
âû÷èòàíèÿ, óìíîæåíèÿ, âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì è äåëåíèÿ, ïðè÷åì èñïîëüçóåòñÿ äåëåíèå íà âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè, òî îíî
íàçûâàåòñÿ äðîáíûì. Òàê, èç íàïèñàííûõ âûøå äðîáíûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ 3 è 4.
Öåëûå è äðîáíûå âûðàæåíèÿ íàçûâàþò ðàöèîíàëüíûìè âûðàæåíèÿìè. Íàïðèìåð, èç íàïèñàííûõ âûøå ðàöèîíàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ
1, 2, 3, 4 è 6.
68
Åñëè â àëãåáðàè÷åñêîì âûðàæåíèè èñïîëüçóåòñÿ
èçâëå÷åíèå êîðíÿ èç ïåðåìåííûõ (èëè âîçâåäåíèå
ïåðåìåííûõ â äðîáíóþ ñòåïåíü), òî òàêîå àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå íàçûâàåòñÿ èððàöèîíàëüíûì.
Òàê, èç íàïèñàííûõ âûøå èððàöèîíàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ 5 è 7.
Èòàê, àëãåáðàè÷åñêèå âûðàæåíèÿ ìîãóò áûòü ðàöèîíàëüíûìè è èððàöèîíàëüíûìè. Ðàöèîíàëüíûå
âûðàæåíèÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, ðàçäåëÿþòñÿ íà öåëûå è
äðîáíûå.
52. Äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ. Îáëàñòü
îïðåäåëåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ. Çíà÷åíèÿ
ïåðåìåííûõ, ïðè êîòîðûõ àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå èìååò ñìûñë, íàçûâàþò äîïóñòèìûìè çíà÷åíèÿìè ïåðåìåííûõ. Ìíîæåñòâî âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ íàçûâàþò îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ
àëãåáðàè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ.
Öåëîå âûðàæåíèå èìååò ñìûñë ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ âõîäÿùèõ â íåãî ïåðåìåííûõ. Òàê, ïðè ëþáûõ
çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ èìåþò ñìûñë öåëûå âûðàæåíèÿ 1, 2, 6 èç ï. 51.
Äðîáíûå âûðàæåíèÿ íå èìåþò ñìûñëà ïðè òåõ
çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå îáðàùàþò çíàìåíàòåëü â íóëü. Íàïðèìåð, äðîáíîå âûðàæåíèå 3 èç ï.
51 èìååò ñìûñë ïðè âñåõ à, êðîìå à = 1, à äðîáíîå
âûðàæåíèå 4 — ïðè âñåõ à, b, c, êðîìå çíà÷åíèé
à = 0, b = 0.
Èððàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå íå èìååò ñìûñëà ïðè
òåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå îáðàùàþò â îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî âûðàæåíèå, ñîäåðæàùååñÿ ïîä
çíàêîì êîðíÿ ÷åòíîé ñòåïåíè èëè ïîä çíàêîì âîçâåäåíèÿ â äðîáíóþ ñòåïåíü. Òàê, èððàöèîíàëüíîå
âûðàæåíèå 5 èìååò ñìûñë òîëüêî ïðè òåõ à, b, ïðè
êîòîðûõ a + b ³ 0, à èððàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå
7 — òîëüêî ïðè a ³ 0 è b ³ 0 (ñì. ï. 51).
69
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
Åñëè â àëãåáðàè÷åñêîì âûðàæåíèè ïåðåìåííûì
ïðèäàòü äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ, òî ïîëó÷èòñÿ ÷èñëîâîå âûðàæåíèå; åãî çíà÷åíèå íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì
àëãåáðàè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ ïðè âûáðàííûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ.
3
a2 + b
ïðè
2a - b
à = 5, b = 2 íàéäåì ïîäñòàíîâêîé äàííûõ çíà÷åíèé
Íàïðèìåð, çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
3
3
52 + 2
27
3
=
= .
2 × 5 - 2 10 - 2 8
53. Ïîíÿòèå òîæäåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåíèÿ. Òîæäåñòâî. Ðàññìîòðèì äâà âûðàæåíèÿ
ïåðåìåííûõ â ýòî âûðàæåíèå:
f (x) = x2 - 2x è g (x) = 4x - 5. Ïðè õ = 2 èìååì f (2) =
= 22 - 2 × 2 = 0; g (2) = 4 × 2 - 5 = 3. ×èñëà 0 è 3 íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè âûðàæåíèé x 2 - 2x è 4x - 5 ïðè õ = 2.
Íàéäåì ñîîòâåòñòâåííûå çíà÷åíèÿ òåõ æå âûðàæåíèé ïðè õ = 1:
f (1) = 12 - 2 × 1 = -1; g (1) = 4 × 1 - 5 = -1;
ïðè õ = 0:
f (0) = 02 - 2 × 0 = 0; g (0) = 4 × 0 - 5 = -5.
Ñîîòâåòñòâåííûå çíà÷åíèÿ äâóõ âûðàæåíèé ìîãóò áûòü ðàâíûìè äðóã äðóãó (òàê, â ðàññìîòðåííîì
ïðèìåðå âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f (1) = g (1) ), à ìîãóò
è îòëè÷àòüñÿ äðóã îò äðóãà (â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå f (2) ¹ g (2); f (0) ¹ g (0) ).
70
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
Åñëè ñîîòâåòñòâåííûå çíà÷åíèÿ äâóõ âûðàæåíèé,
ñîäåðæàùèõ îäíè è òå æå ïåðåìåííûå, ñîâïàäàþò ïðè
âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, òî âûðàæåíèÿ íàçûâàþòñÿ òîæäåñòâåííî ðàâíûìè.Òîæäåñòâîì íàçûâàþò ðàâåíñòâî, âåðíîå ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ âõîäÿùèõ â íåãî ïåðåìåííûõ.
Òàê, òîæäåñòâåííî ðàâíû âûðàæåíèÿ õ5 è õ2 · õ3,
2 2
2
a + b + c è c + b + a, (2ab) è 4a b .
Ïðèìåðû òîæäåñòâ: a + b = b + a, a + 0 = a, (a +
+ b) c = ac + bc, a × 1 = a, x5 = x 2 × x 3.
2a
10a
=
Ïðîïîðöèÿ (ñì. ï. 32)
åñòü òîæa - 1 5(a - 1)
äåñòâî ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ à, êðîìå à = 1, ïîñêîëüêó
ïðè à = 1 çíàìåíàòåëè äðîáåé îáðàùàþòñÿ â íóëü,
ò. å. äðîáè íå èìåþò ñìûñëà. Çàìåíà âûðàæåíèÿ
a
ac
âûðàæåíèåì
(ñîêðàòèëè íà ñ) åñòü òîæäåñòâåíb
bc
ac
ïðè îãðàíè÷åíèíîå ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèÿ
bc
ac a
= — òîæäåñòâî ïðè âñåõ
ÿõ b ¹ 0, c ¹ 0. Çíà÷èò,
bc b
çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, êðîìå b = 0, c = 0. Âåðíûå
÷èñëîâûå ðàâåíñòâà òàêæå íàçûâàþò òîæäåñòâàìè.
Çàìåíà îäíîãî âûðàæåíèÿ äðóãèì, òîæäåñòâåííî
ðàâíûì åìó, íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííûì ïðåîáðàçîâàíèåì âûðàæåíèÿ.
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
54. Îäíî÷ëåíû è îïåðàöèè íàä íèìè. Îäíî÷ëåíîì íàçûâàþò òàêîå âûðàæåíèå, êîòîðîå ñîäåðæèò
÷èñëà, íàòóðàëüíûå ñòåïåíè ïåðåìåííûõ è èõ ïðîèç71
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
Åñëè â àëãåáðàè÷åñêîì âûðàæåíèè ïåðåìåííûì
ïðèäàòü äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ, òî ïîëó÷èòñÿ ÷èñëîâîå âûðàæåíèå; åãî çíà÷åíèå íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì
àëãåáðàè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ ïðè âûáðàííûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ.
3
a2 + b
ïðè
2a - b
à = 5, b = 2 íàéäåì ïîäñòàíîâêîé äàííûõ çíà÷åíèé
Íàïðèìåð, çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
3
3
52 + 2
27
3
=
= .
2 × 5 - 2 10 - 2 8
53. Ïîíÿòèå òîæäåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåíèÿ. Òîæäåñòâî. Ðàññìîòðèì äâà âûðàæåíèÿ
ïåðåìåííûõ â ýòî âûðàæåíèå:
f (x) = x2 - 2x è g (x) = 4x - 5. Ïðè õ = 2 èìååì f (2) =
= 22 - 2 × 2 = 0; g (2) = 4 × 2 - 5 = 3. ×èñëà 0 è 3 íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè âûðàæåíèé x 2 - 2x è 4x - 5 ïðè õ = 2.
Íàéäåì ñîîòâåòñòâåííûå çíà÷åíèÿ òåõ æå âûðàæåíèé ïðè õ = 1:
f (1) = 12 - 2 × 1 = -1; g (1) = 4 × 1 - 5 = -1;
ïðè õ = 0:
f (0) = 02 - 2 × 0 = 0; g (0) = 4 × 0 - 5 = -5.
Ñîîòâåòñòâåííûå çíà÷åíèÿ äâóõ âûðàæåíèé ìîãóò áûòü ðàâíûìè äðóã äðóãó (òàê, â ðàññìîòðåííîì
ïðèìåðå âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f (1) = g (1) ), à ìîãóò
è îòëè÷àòüñÿ äðóã îò äðóãà (â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå f (2) ¹ g (2); f (0) ¹ g (0) ).
70
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
Åñëè ñîîòâåòñòâåííûå çíà÷åíèÿ äâóõ âûðàæåíèé,
ñîäåðæàùèõ îäíè è òå æå ïåðåìåííûå, ñîâïàäàþò ïðè
âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, òî âûðàæåíèÿ íàçûâàþòñÿ òîæäåñòâåííî ðàâíûìè.Òîæäåñòâîì íàçûâàþò ðàâåíñòâî, âåðíîå ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ âõîäÿùèõ â íåãî ïåðåìåííûõ.
Òàê, òîæäåñòâåííî ðàâíû âûðàæåíèÿ õ5 è õ2 · õ3,
2 2
2
a + b + c è c + b + a, (2ab) è 4a b .
Ïðèìåðû òîæäåñòâ: a + b = b + a, a + 0 = a, (a +
+ b) c = ac + bc, a × 1 = a, x5 = x 2 × x 3.
2a
10a
=
Ïðîïîðöèÿ (ñì. ï. 32)
åñòü òîæa - 1 5(a - 1)
äåñòâî ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ à, êðîìå à = 1, ïîñêîëüêó
ïðè à = 1 çíàìåíàòåëè äðîáåé îáðàùàþòñÿ â íóëü,
ò. å. äðîáè íå èìåþò ñìûñëà. Çàìåíà âûðàæåíèÿ
a
ac
âûðàæåíèåì
(ñîêðàòèëè íà ñ) åñòü òîæäåñòâåíb
bc
ac
ïðè îãðàíè÷åíèíîå ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèÿ
bc
ac a
= — òîæäåñòâî ïðè âñåõ
ÿõ b ¹ 0, c ¹ 0. Çíà÷èò,
bc b
çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, êðîìå b = 0, c = 0. Âåðíûå
÷èñëîâûå ðàâåíñòâà òàêæå íàçûâàþò òîæäåñòâàìè.
Çàìåíà îäíîãî âûðàæåíèÿ äðóãèì, òîæäåñòâåííî
ðàâíûì åìó, íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííûì ïðåîáðàçîâàíèåì âûðàæåíèÿ.
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
54. Îäíî÷ëåíû è îïåðàöèè íàä íèìè. Îäíî÷ëåíîì íàçûâàþò òàêîå âûðàæåíèå, êîòîðîå ñîäåðæèò
÷èñëà, íàòóðàëüíûå ñòåïåíè ïåðåìåííûõ è èõ ïðîèç71
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
âåäåíèÿ è íå ñîäåðæèò íèêàêèõ äðóãèõ äåéñòâèé íàä
3
÷èñëàìè è ïåðåìåííûìè. Íàïðèìåð, 3a × (2,5a ),
(5ab2 ) × (0,4c3d), x2y × (-2z) × 0,85 — îäíî÷ëåíû, òîãäà
ab
íå ÿâëÿþòñÿ îäíî÷ëåíàìè.
êàê âûðàæåíèÿ a + b,
c
Ëþáîé îäíî÷ëåí ìîæíî ïðèâåñòè ê ñòàíäàðòíîìó âèäó, ò. å. ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ
÷èñëîâîãî ìíîæèòåëÿ, ñòîÿùåãî íà ïåðâîì ìåñòå, è
ñòåïåíåé ðàçëè÷íûõ ïåðåìåííûõ. ×èñëîâîé ìíîæèòåëü îäíî÷ëåíà, çàïèñàííîãî â ñòàíäàðòíîì âèäå, íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì îäíî÷ëåíà. Ñóììó ïîêàçàòåëåé ñòåïåíåé âñåõ ïåðåìåííûõ íàçûâàþò ñòåïåíüþ îäíî÷ëåíà. Åñëè ìåæäó äâóìÿ îäíî÷ëåíàìè ïîñòàâèòü çíàê óìíîæåíèÿ, òî ïîëó÷èòñÿ îäíî÷ëåí, íàçûâàåìûé ïðîèçâåäåíèåì èñõîäíûõ îäíî÷ëåíîâ.
Ïðè âîçâåäåíèè îäíî÷ëåíà â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü
òàêæå ïîëó÷àåòñÿ îäíî÷ëåí. Ðåçóëüòàò îáû÷íî ïðèâîäÿò ê ñòàíäàðòíîìó âèäó.
Ïðèâåäåíèå îäíî÷ëåíà ê ñòàíäàðòíîìó âèäó, óìíîæåíèå îäíî÷ëåíî⠗ òîæäåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ.
Ï ð è ì å ð 1. Ïðèâåñòè îäíî÷ëåí 3a × (2,5a 3 ) ê
ñòàíäàðòíîìó âèäó.
q 3a × (2,5a 3 ) = (3 × 2,5) × (a × a 3 ) = 7,5a 4. n
Ï ð è ì å ð 2. Óìíîæèòü îäíî÷ëåíû 24ab2cd 3 è
0,3a2b3c.
2 3
2 3
q 24ab cd × (0,3a b c) =
= (24 × 0,3) × (a × a2 ) × (b2 × b3 ) × (c × c) × d 3 = 7,2a 3b5c2d 3. n
72
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
Ï ð è ì å ð 3. Âîçâåñòè îäíî÷ëåí (-3ab2c3 ) â
÷åòâåðòóþ ñòåïåíü.
q (-3ab2c3 ) 4 = (-3) 4 × a 4 × (b 2 ) 4 × (c3 )4 = 81a 4b 8c12 . n
Îäíî÷ëåíû, ïðèâåäåííûå ê ñòàíäàðòíîìó âèäó,
íàçûâàþòñÿ ïîäîáíûìè, åñëè îíè îòëè÷àþòñÿ òîëüêî êîýôôèöèåíòàìè èëè ñîâñåì íå îòëè÷àþòñÿ.
Ïîäîáíûå îäíî÷ëåíû ìîæíî ñêëàäûâàòü è âû÷èòàòü,
â ðåçóëüòàòå ÷åãî ñíîâà ïîëó÷àåòñÿ îäíî÷ëåí, ïîäîáíûé èñõîäíûì (èíîãäà ïîëó÷àåòñÿ 0). Ñëîæåíèå
è âû÷èòàíèå ïîäîáíûõ îäíî÷ëåíîâ íàçûâàþò ïðèâåäåíèåì ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ.
Ï ð è ì å ð 4. Ñëîæèòü 18
5 x2yz3 è - 8x2 yz3.
q 5x2 yz3 + (–8x2yz3) = (5 + (–8)) x2yz3 = –3x2yz3. n
55. Ìíîãî÷ëåíû. Ïðèâåäåíèå ìíîãî÷ëåíîâ ê
ñòàíäàðòíîìó âèäó. Ìíîãî÷ëåíîì íàçûâàþò ñóììó
îäíî÷ëåíîâ. Åñëè âñå ÷ëåíû ìíîãî÷ëåíà çàïèñàòü â
ñòàíäàðòíîì âèäå (ñì. ï. 54) è ïðèâåñòè ïîäîáíûå
÷ëåíû, òî ïîëó÷èòñÿ ìíîãî÷ëåí ñòàíäàðòíîãî âèäà.
Âñÿêîå öåëîå âûðàæåíèå ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â
ìíîãî÷ëåí ñòàíäàðòíîãî âèäà — â ýòîì ñîñòîèò öåëü
ïðåîáðàçîâàíèé (óïðîùåíèé) öåëûõ âûðàæåíèé.
Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê ìíîãî÷ëåíó ñòàíäàðòíîãî âèäà çàäàííîå âûðàæåíèå:
à) 3a × 5b + 3ab + 2a × (-4b) + b × b;
á) (3a + 5b - 2c) + (2a - b + 4c);
â) (5a2b + ab2 ) - (3a2b - 4ab2 );
73
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
âåäåíèÿ è íå ñîäåðæèò íèêàêèõ äðóãèõ äåéñòâèé íàä
3
÷èñëàìè è ïåðåìåííûìè. Íàïðèìåð, 3a × (2,5a ),
(5ab2 ) × (0,4c3d), x2y × (-2z) × 0,85 — îäíî÷ëåíû, òîãäà
ab
íå ÿâëÿþòñÿ îäíî÷ëåíàìè.
êàê âûðàæåíèÿ a + b,
c
Ëþáîé îäíî÷ëåí ìîæíî ïðèâåñòè ê ñòàíäàðòíîìó âèäó, ò. å. ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ
÷èñëîâîãî ìíîæèòåëÿ, ñòîÿùåãî íà ïåðâîì ìåñòå, è
ñòåïåíåé ðàçëè÷íûõ ïåðåìåííûõ. ×èñëîâîé ìíîæèòåëü îäíî÷ëåíà, çàïèñàííîãî â ñòàíäàðòíîì âèäå, íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì îäíî÷ëåíà. Ñóììó ïîêàçàòåëåé ñòåïåíåé âñåõ ïåðåìåííûõ íàçûâàþò ñòåïåíüþ îäíî÷ëåíà. Åñëè ìåæäó äâóìÿ îäíî÷ëåíàìè ïîñòàâèòü çíàê óìíîæåíèÿ, òî ïîëó÷èòñÿ îäíî÷ëåí, íàçûâàåìûé ïðîèçâåäåíèåì èñõîäíûõ îäíî÷ëåíîâ.
Ïðè âîçâåäåíèè îäíî÷ëåíà â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü
òàêæå ïîëó÷àåòñÿ îäíî÷ëåí. Ðåçóëüòàò îáû÷íî ïðèâîäÿò ê ñòàíäàðòíîìó âèäó.
Ïðèâåäåíèå îäíî÷ëåíà ê ñòàíäàðòíîìó âèäó, óìíîæåíèå îäíî÷ëåíî⠗ òîæäåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ.
Ï ð è ì å ð 1. Ïðèâåñòè îäíî÷ëåí 3a × (2,5a 3 ) ê
ñòàíäàðòíîìó âèäó.
q 3a × (2,5a 3 ) = (3 × 2,5) × (a × a 3 ) = 7,5a 4. n
Ï ð è ì å ð 2. Óìíîæèòü îäíî÷ëåíû 24ab2cd 3 è
0,3a2b3c.
2 3
2 3
q 24ab cd × (0,3a b c) =
= (24 × 0,3) × (a × a2 ) × (b2 × b3 ) × (c × c) × d 3 = 7,2a 3b5c2d 3. n
72
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
Ï ð è ì å ð 3. Âîçâåñòè îäíî÷ëåí (-3ab2c3 ) â
÷åòâåðòóþ ñòåïåíü.
q (-3ab2c3 ) 4 = (-3) 4 × a 4 × (b 2 ) 4 × (c3 )4 = 81a 4b 8c12 . n
Îäíî÷ëåíû, ïðèâåäåííûå ê ñòàíäàðòíîìó âèäó,
íàçûâàþòñÿ ïîäîáíûìè, åñëè îíè îòëè÷àþòñÿ òîëüêî êîýôôèöèåíòàìè èëè ñîâñåì íå îòëè÷àþòñÿ.
Ïîäîáíûå îäíî÷ëåíû ìîæíî ñêëàäûâàòü è âû÷èòàòü,
â ðåçóëüòàòå ÷åãî ñíîâà ïîëó÷àåòñÿ îäíî÷ëåí, ïîäîáíûé èñõîäíûì (èíîãäà ïîëó÷àåòñÿ 0). Ñëîæåíèå
è âû÷èòàíèå ïîäîáíûõ îäíî÷ëåíîâ íàçûâàþò ïðèâåäåíèåì ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ.
Ï ð è ì å ð 4. Ñëîæèòü 18
5 x2yz3 è - 8x2 yz3.
q 5x2 yz3 + (–8x2yz3) = (5 + (–8)) x2yz3 = –3x2yz3. n
55. Ìíîãî÷ëåíû. Ïðèâåäåíèå ìíîãî÷ëåíîâ ê
ñòàíäàðòíîìó âèäó. Ìíîãî÷ëåíîì íàçûâàþò ñóììó
îäíî÷ëåíîâ. Åñëè âñå ÷ëåíû ìíîãî÷ëåíà çàïèñàòü â
ñòàíäàðòíîì âèäå (ñì. ï. 54) è ïðèâåñòè ïîäîáíûå
÷ëåíû, òî ïîëó÷èòñÿ ìíîãî÷ëåí ñòàíäàðòíîãî âèäà.
Âñÿêîå öåëîå âûðàæåíèå ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â
ìíîãî÷ëåí ñòàíäàðòíîãî âèäà — â ýòîì ñîñòîèò öåëü
ïðåîáðàçîâàíèé (óïðîùåíèé) öåëûõ âûðàæåíèé.
Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê ìíîãî÷ëåíó ñòàíäàðòíîãî âèäà çàäàííîå âûðàæåíèå:
à) 3a × 5b + 3ab + 2a × (-4b) + b × b;
á) (3a + 5b - 2c) + (2a - b + 4c);
â) (5a2b + ab2 ) - (3a2b - 4ab2 );
73
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
ä) (2x2y + 3xy2 ) (2x + 3y + 1).
4x3 y + 12x2y2 + 2x2y + 3xy2 + 9xy 3. n
q à) Ñíà÷àëà ïðèâåäåì ê ñòàíäàðòíîìó âèäó ÷ëå2
íû ìíîãî÷ëåíà: 15ab + 3ab - 8ab + b . Ïðèâåäÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû, ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåí ñòàíäàðòíîãî âèäà
10ab + b2.
á) Òàê êàê ïåðåä ñêîáêàìè ñòîèò çíàê «+», òî ñêîáêè ìîæíî îïóñòèòü, ñîõðàíèâ çíàêè âñåõ ñëàãàåìûõ,
çàêëþ÷åííûõ â ñêîáêè. Òîãäà ïîëó÷èì
3a + 5b - 2c + 2a - b + 4c = (3a + 2a) + (5b - b) +
+(-2c + 4c) = 5a + 4b + 2c.
â) Òàê êàê ïåðåä ñêîáêàìè ñòîèò çíàê «–», òî ñêîáêè ìîæíî îïóñòèòü, èçìåíèâ çíàêè âñåõ ñëàãàåìûõ,
çàêëþ÷åííûõ â ñêîáêè. Òîãäà ïîëó÷èì
2
2
2
5a b + ab - 3a b + 4ab =
2
2
2
2
2
2
= (5a b - 3a b) + (ab + 4ab ) = 2a b + 5ab .
ã) Ïðîèçâåäåíèå îäíî÷ëåíà è ìíîãî÷ëåíà ñîãëàñíî
ðàñïðåäåëèòåëüíîìó çàêîíó ðàâíî ñóììå ïðîèçâåäåíèé ýòîãî îäíî÷ëåíà è êàæäîãî ÷ëåíà ìíîãî÷ëåíà:
4x2 x - 0,5x23 + 3 = 4x2 × x - 4x2 × 0,5x2 + 4x2 × 3 =
= 4x3 - 2x4 + 12x2.
2
2 2
2
2 2
3
2
= (4x y + 6x y + 2x y) + (6x y + 9xy + 3xy ) =
= 4x23y + 6x2y2 + 2x2y + 6x2y2 + 9xy 3 + 3xy 2.
74
56. Ôîðìóëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïðèâåäåíèå öåëîãî âûðàæåíèÿ ê ñòàíäàðòíîìó âèäó ìíîãî÷ëåíà îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì òîæäåñòâ:
(a + b) (a - b) = a2 - b2 ,
(1)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
(2)
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ,
(3)
(a + b) (a2 - ab + b2 ) = a 3 + b3 ,
(4)
(a - b) (a2 + ab + b2 ) = a3 - b3,
(5)
3
3
2
2
3
(a + b) = a + 3a b + 3ab + b ,
(6)
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.
(7)
Ýòè òîæäåñòâà íàçûâàþò ôîðìóëàìè ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ; ôîðìóëó (1) — ðàçíîñòüþ êâàäðàòîâ, ôîðìóëû (2) è (3) — ñîîòâåòñòâåííî êâàäðàòîì ñóììû è êâàäðàòîì ðàçíîñòè, ôîðìóëû (4)
è (5) — ñóììîé êóáîâ è ðàçíîñòüþ êóáîâ, à ôîðìóëû (6) è (7) — êóáîì ñóììû è êóáîì ðàçíîñòè.
Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê ìíîãî÷ëåíó ñòàíäàðòíîãî âèäà çàäàííîå âûðàæåíèå:
2
ä) 2x y (2x + 3y + 1) + 3xy (2x + 3y + 1) =
3
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
Îñòàåòñÿ ïðèâåñòè ïîäîáíûå ÷ëåíû (îíè ïîä÷åðêíóòû). Ïîëó÷èì
ã) 4x2 (x - 0,5x2 + 3);
2
ÀËÃÅÁÐÀ
à) (3x2 + 4y3)(3x2 - 4y3);
á) (3a2 - 5b 3 )2 ;
â) (3a + 1)(9a2 - 3a + 1).
75
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
ä) (2x2y + 3xy2 ) (2x + 3y + 1).
4x3 y + 12x2y2 + 2x2y + 3xy2 + 9xy 3. n
q à) Ñíà÷àëà ïðèâåäåì ê ñòàíäàðòíîìó âèäó ÷ëå2
íû ìíîãî÷ëåíà: 15ab + 3ab - 8ab + b . Ïðèâåäÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû, ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåí ñòàíäàðòíîãî âèäà
10ab + b2.
á) Òàê êàê ïåðåä ñêîáêàìè ñòîèò çíàê «+», òî ñêîáêè ìîæíî îïóñòèòü, ñîõðàíèâ çíàêè âñåõ ñëàãàåìûõ,
çàêëþ÷åííûõ â ñêîáêè. Òîãäà ïîëó÷èì
3a + 5b - 2c + 2a - b + 4c = (3a + 2a) + (5b - b) +
+(-2c + 4c) = 5a + 4b + 2c.
â) Òàê êàê ïåðåä ñêîáêàìè ñòîèò çíàê «–», òî ñêîáêè ìîæíî îïóñòèòü, èçìåíèâ çíàêè âñåõ ñëàãàåìûõ,
çàêëþ÷åííûõ â ñêîáêè. Òîãäà ïîëó÷èì
2
2
2
5a b + ab - 3a b + 4ab =
2
2
2
2
2
2
= (5a b - 3a b) + (ab + 4ab ) = 2a b + 5ab .
ã) Ïðîèçâåäåíèå îäíî÷ëåíà è ìíîãî÷ëåíà ñîãëàñíî
ðàñïðåäåëèòåëüíîìó çàêîíó ðàâíî ñóììå ïðîèçâåäåíèé ýòîãî îäíî÷ëåíà è êàæäîãî ÷ëåíà ìíîãî÷ëåíà:
4x2 x - 0,5x23 + 3 = 4x2 × x - 4x2 × 0,5x2 + 4x2 × 3 =
= 4x3 - 2x4 + 12x2.
2
2 2
2
2 2
3
2
= (4x y + 6x y + 2x y) + (6x y + 9xy + 3xy ) =
= 4x23y + 6x2y2 + 2x2y + 6x2y2 + 9xy 3 + 3xy 2.
74
56. Ôîðìóëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïðèâåäåíèå öåëîãî âûðàæåíèÿ ê ñòàíäàðòíîìó âèäó ìíîãî÷ëåíà îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì òîæäåñòâ:
(a + b) (a - b) = a2 - b2 ,
(1)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
(2)
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ,
(3)
(a + b) (a2 - ab + b2 ) = a 3 + b3 ,
(4)
(a - b) (a2 + ab + b2 ) = a3 - b3,
(5)
3
3
2
2
3
(a + b) = a + 3a b + 3ab + b ,
(6)
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.
(7)
Ýòè òîæäåñòâà íàçûâàþò ôîðìóëàìè ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ; ôîðìóëó (1) — ðàçíîñòüþ êâàäðàòîâ, ôîðìóëû (2) è (3) — ñîîòâåòñòâåííî êâàäðàòîì ñóììû è êâàäðàòîì ðàçíîñòè, ôîðìóëû (4)
è (5) — ñóììîé êóáîâ è ðàçíîñòüþ êóáîâ, à ôîðìóëû (6) è (7) — êóáîì ñóììû è êóáîì ðàçíîñòè.
Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê ìíîãî÷ëåíó ñòàíäàðòíîãî âèäà çàäàííîå âûðàæåíèå:
2
ä) 2x y (2x + 3y + 1) + 3xy (2x + 3y + 1) =
3
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
Îñòàåòñÿ ïðèâåñòè ïîäîáíûå ÷ëåíû (îíè ïîä÷åðêíóòû). Ïîëó÷èì
ã) 4x2 (x - 0,5x2 + 3);
2
ÀËÃÅÁÐÀ
à) (3x2 + 4y3)(3x2 - 4y3);
á) (3a2 - 5b 3 )2 ;
â) (3a + 1)(9a2 - 3a + 1).
75
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), ïîëó÷èì
(3x2 )2 - (4y 3 )2 = 9x 4 - 16y 6 .
á) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (3), íàõîäèì
(3a2 )2 - 2 × 3a2 × 5b3 + (5b3 )2 = 9a 4 - 30a2b3 + 25b6 .
â) Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé (4), èìååì
(3a)3 + 1 = 27a 3 + 1. n
57. Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíîâ íà ìíîæèòåëè.
Èíîãäà ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ìíîãî÷ëåí â ïðîèçâåäåíèå íåñêîëüêèõ ìíîæèòåëåé — ìíîãî÷ëåíîâ èëè
îäíî÷ëåíîâ. Òàêîå òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì ìíîãî÷ëåíà íà ìíîæèòåëè.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãî÷ëåí äåëèòñÿ íà
êàæäûé èç ýòèõ ìíîæèòåëåé.
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñïîñîáû ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ íà ìíîæèòåëè.
1. Âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè. Ýòî
ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì ðàñïðåäåëèòåëüíîãî çàêîíà (äëÿ íàãëÿäíîñòè íóæíî ëèøü ïåðåïèñàòü ýòîò çàêîí «ñïðàâà íàëåâî»): ac + bc = c(a + b).
Ï ð è ì å ð 1. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ïî ìîäóëþ îáùèé äåëèòåëü âñåõ êîýôôèöèåíòîâ
ìíîãî÷ëåíà.
2. Èñïîëüçîâàíèå ôîðìóë ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ. Ôîðìóëû (1)— (7) èç ï. 56, áóäó÷è ïðî÷èòàííûìè «ñïðàâà íàëåâî», âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îêàçûâàþòñÿ
ïîëåçíûìè äëÿ ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ íà ìíîæèòåëè.
Ï ð è ì å ð 2. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè:
à) x6 - 1; á) 4a 4b 3 + 16a 3b 4 + 16a 2b5 .
q à) Èìååì x6 - 1 = (x3 )2 - 12. Ïðèìåíèâ ôîðìóëó ðàçíîñòè êâàäðàòîâ, ïîëó÷èì (x3 + 1) (x3 - 1). Äàëåå, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû ñóììû êóáîâ è ðàçíîñòè êóáîâ, íàõîäèì (x + 1) (x2 - x + 1) (x - 1) (x2 + x + 1).
Èòàê,
x6 - 1 = (x + 1) (x - 1) (x2 - x + 1) (x2 + x + 1).
á) Ñíà÷àëà âûíåñåì çà ñêîáêè îáùèé ìíîæèòåëü.
Äëÿ ýòîãî íàéäåì íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü êîýôôèöèåíòîâ 4, 16, 16 è íàèìåíüøèå ïîêàçàòåëè ñòåïåíåé, ñ êîòîðûìè ïåðåìåííûå à è b âõîäÿò â ñîñòàâëÿþùèå äàííûé ìíîãî÷ëåí îäíî÷ëåíû. Ïîëó÷èì
28x3 - 35x4 .
4a2b3 (a2 + 4ab + 4b2 ). Íî ïî ôîðìóëå (2) èìååì
28x3 - 35x 4 = 7x3 × 4 - 7x3 × 5x = 7x3 (4 - 5x). n
Îáû÷íî ïðè âûíåñåíèè îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè êàæäóþ ïåðåìåííóþ, âõîäÿùóþ âî âñå ÷ëåíû ìíîãî÷ëåíà, âûíîñÿò ñ íàèìåíüøèì ïîêàçàòåëåì, êîòîðûé îíà èìååò â äàííîì ìíîãî÷ëåíå. Åñëè âñå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà — öåëûå ÷èñëà, òî â êà÷åñòâå
êîýôôèöèåíòà îáùåãî ìíîæèòåëÿ áåðóò íàèáîëüøèé
a2 + 4ab + 4b2 = (a + 2b)2 , ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
q
76
4a4b3 + 16a 3b4 + 16a2b5 = 4a2b3 (a + 2b)2. n
3. Ñïîñîá ãðóïïèðîâêè. Îí îñíîâàí íà òîì, ÷òî ïåðåìåñòèòåëüíûé è ñî÷åòàòåëüíûé çàêîíû ñëîæåíèÿ
ïîçâîëÿþò ãðóïïèðîâàòü ÷ëåíû ìíîãî÷ëåíà ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Èíîãäà óäàåòñÿ òàêàÿ ãðóïïèðîâ77
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), ïîëó÷èì
(3x2 )2 - (4y 3 )2 = 9x 4 - 16y 6 .
á) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (3), íàõîäèì
(3a2 )2 - 2 × 3a2 × 5b3 + (5b3 )2 = 9a 4 - 30a2b3 + 25b6 .
â) Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé (4), èìååì
(3a)3 + 1 = 27a 3 + 1. n
57. Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíîâ íà ìíîæèòåëè.
Èíîãäà ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ìíîãî÷ëåí â ïðîèçâåäåíèå íåñêîëüêèõ ìíîæèòåëåé — ìíîãî÷ëåíîâ èëè
îäíî÷ëåíîâ. Òàêîå òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì ìíîãî÷ëåíà íà ìíîæèòåëè.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãî÷ëåí äåëèòñÿ íà
êàæäûé èç ýòèõ ìíîæèòåëåé.
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñïîñîáû ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ íà ìíîæèòåëè.
1. Âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè. Ýòî
ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì ðàñïðåäåëèòåëüíîãî çàêîíà (äëÿ íàãëÿäíîñòè íóæíî ëèøü ïåðåïèñàòü ýòîò çàêîí «ñïðàâà íàëåâî»): ac + bc = c(a + b).
Ï ð è ì å ð 1. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ïî ìîäóëþ îáùèé äåëèòåëü âñåõ êîýôôèöèåíòîâ
ìíîãî÷ëåíà.
2. Èñïîëüçîâàíèå ôîðìóë ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ. Ôîðìóëû (1)— (7) èç ï. 56, áóäó÷è ïðî÷èòàííûìè «ñïðàâà íàëåâî», âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îêàçûâàþòñÿ
ïîëåçíûìè äëÿ ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ íà ìíîæèòåëè.
Ï ð è ì å ð 2. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè:
à) x6 - 1; á) 4a 4b 3 + 16a 3b 4 + 16a 2b5 .
q à) Èìååì x6 - 1 = (x3 )2 - 12. Ïðèìåíèâ ôîðìóëó ðàçíîñòè êâàäðàòîâ, ïîëó÷èì (x3 + 1) (x3 - 1). Äàëåå, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû ñóììû êóáîâ è ðàçíîñòè êóáîâ, íàõîäèì (x + 1) (x2 - x + 1) (x - 1) (x2 + x + 1).
Èòàê,
x6 - 1 = (x + 1) (x - 1) (x2 - x + 1) (x2 + x + 1).
á) Ñíà÷àëà âûíåñåì çà ñêîáêè îáùèé ìíîæèòåëü.
Äëÿ ýòîãî íàéäåì íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü êîýôôèöèåíòîâ 4, 16, 16 è íàèìåíüøèå ïîêàçàòåëè ñòåïåíåé, ñ êîòîðûìè ïåðåìåííûå à è b âõîäÿò â ñîñòàâëÿþùèå äàííûé ìíîãî÷ëåí îäíî÷ëåíû. Ïîëó÷èì
28x3 - 35x4 .
4a2b3 (a2 + 4ab + 4b2 ). Íî ïî ôîðìóëå (2) èìååì
28x3 - 35x 4 = 7x3 × 4 - 7x3 × 5x = 7x3 (4 - 5x). n
Îáû÷íî ïðè âûíåñåíèè îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè êàæäóþ ïåðåìåííóþ, âõîäÿùóþ âî âñå ÷ëåíû ìíîãî÷ëåíà, âûíîñÿò ñ íàèìåíüøèì ïîêàçàòåëåì, êîòîðûé îíà èìååò â äàííîì ìíîãî÷ëåíå. Åñëè âñå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà — öåëûå ÷èñëà, òî â êà÷åñòâå
êîýôôèöèåíòà îáùåãî ìíîæèòåëÿ áåðóò íàèáîëüøèé
a2 + 4ab + 4b2 = (a + 2b)2 , ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
q
76
4a4b3 + 16a 3b4 + 16a2b5 = 4a2b3 (a + 2b)2. n
3. Ñïîñîá ãðóïïèðîâêè. Îí îñíîâàí íà òîì, ÷òî ïåðåìåñòèòåëüíûé è ñî÷åòàòåëüíûé çàêîíû ñëîæåíèÿ
ïîçâîëÿþò ãðóïïèðîâàòü ÷ëåíû ìíîãî÷ëåíà ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Èíîãäà óäàåòñÿ òàêàÿ ãðóïïèðîâ77
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
êà, ÷òî ïîñëå âûíåñåíèÿ çà ñêîáêè îáùèõ ìíîæèòåëåé â êàæäîé ãðóïïå â ñêîáêàõ îñòàåòñÿ îäèí è òîò
æå ìíîãî÷ëåí, êîòîðûé â ñâîþ î÷åðåäü êàê îáùèé
ìíîæèòåëü ìîæåò áûòü âûíåñåí çà ñêîáêè.
Ï ð è ì å ð 3. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè:
à) x3 - 3x2 + 5x - 15;
á) 20x2 + 3yz - 15xy - 4xz;
â) a2 - 7ab + 12b2 ;
ã) x 4 + 4y 4.
q à) Ïðîèçâåäåì ãðóïïèðîâêó ñëåäóþùèì îáðàçîì: (x3 - 3x2 ) + (5x - 15). Â ïåðâîé ãðóïïå âûíåñåì
çà ñêîáêè îáùèé ìíîæèòåëü x2, âî âòîðîé — îáùèé
ìíîæèòåëü 5. Ïîëó÷èì x 2 (x - 3) + 5(x - 3). Òåïåðü
ìíîãî÷ëåí (õ – 3) êàê îáùèé ìíîæèòåëü âûíåñåì çà
ñêîáêè: (õ – 3) (x2 + 5). Òàêèì îáðàçîì,
x3 - 3x2 + 5x - 15 = (x - 3) (x2 + 5).
2
2
á) 20x + 3yz - 15xy - 4xz = (20x - 15xy) +
+(3yz - 4xz) = 5x(4x - 3y) - z(4x - 3y) =
= (4x - 3y) (5x - z).
â) Çäåñü íèêàêàÿ ãðóïïèðîâêà íå ïðèâåäåò ê ïîÿâëåíèþ âî âñåõ ãðóïïàõ îäíîãî è òîãî æå ìíîãî÷ëåíà.  òàêèõ ñëó÷àÿõ èíîãäà îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì ïðåäñòàâèòü êàêîé-ëèáî ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà â
âèäå íåêîòîðîé ñóììû, ïîñëå ÷åãî ïîïðîáîâàòü ïðèìåíèòü ñïîñîá ãðóïïèðîâêè.  äàííîì ïðèìåðå
ïðåäñòàâèì – 7ab â âèäå – 3ab - 4ab. Òîãäà ïîëó÷èì
a 2 - 7ab + 12b 2 = a 2 - 3ab - 4ab + 12b2 =
78
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
= (a2 - 3ab) - (4ab - 12b2 ) = a (a - 3b) - 4b (a - 3b) =
= (a - 3b) (a - 4b).
ã) Ïðèáàâèì è âû÷òåì îäíî÷ëåí 4x2 y2 :
x4 + 4y 4 = (x4 + 4x2y 2 + 4y 4 ) - 4x2y 2 = (x2 + 2y 2 )2 - (2xy)2 = (x2 + 2y 2 - 2xy) (x2 + 2y 2 + 2xy). n
58. Ìíîãî÷ëåíû îò îäíîé ïåðåìåííîé. Ìíîãî÷ëåí
àõ + b, ãäå à, b — ÷èñëà (a ¹ 0), à õ — ïåðåìåííàÿ,
íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ïåðâîé ñòåïåíè; ìíîãî÷ëåí ax2 + bx + c, ãäå à, b, ñ — ÷èñëà (a ¹ 0), à õ —
ïåðåìåííàÿ, íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì âòîðîé ñòåïåíè (èëè êâàäðàòíûì òðåõ÷ëåíîì); ìíîãî÷ëåí
ax3 + bx2 + cx + d, ãäå à, b, ñ d — ÷èñëà (a ¹ 0), à õ
— ïåðåìåííàÿ, íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì òðåòüåé
ñòåïåíè.
Âîîáùå, åñëè à, b, ñ, ..., l, m — ÷èñëà (a ¹ 0), à õ —
ïåðåìåííàÿ, òî ìíîãî÷ëåí
axn + bxn -1 + cxn -2 + ... + lx + m
íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì n -é ñòåïåíè (îòíîñèòåëüíî õ); axn , bxn -1,..., lx, m — ÷ëåíû ìíîãî÷ëåíà; à, b, ñ,
..., l, m — êîýôôèöèåíòû; ax n — ñòàðøèé ÷ëåí
ìíîãî÷ëåíà; à — êîýôôèöèåíò ïðè ñòàðøåì ÷ëåíå;
m — ñâîáîäíûé ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà. Îáû÷íî ìíîãî÷ëåí çàïèñûâàþò ïî óáûâàþùèì ñòåïåíÿì ïåðåìåííîé, ò. å. ñòåïåíè ïåðåìåííîé õ ïîñòåïåííî óìåíüøàþòñÿ (â ÷àñòíîñòè, íà ïåðâîì ìåñòå ñòîèò ñòàðøèé
79
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
êà, ÷òî ïîñëå âûíåñåíèÿ çà ñêîáêè îáùèõ ìíîæèòåëåé â êàæäîé ãðóïïå â ñêîáêàõ îñòàåòñÿ îäèí è òîò
æå ìíîãî÷ëåí, êîòîðûé â ñâîþ î÷åðåäü êàê îáùèé
ìíîæèòåëü ìîæåò áûòü âûíåñåí çà ñêîáêè.
Ï ð è ì å ð 3. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè:
à) x3 - 3x2 + 5x - 15;
á) 20x2 + 3yz - 15xy - 4xz;
â) a2 - 7ab + 12b2 ;
ã) x 4 + 4y 4.
q à) Ïðîèçâåäåì ãðóïïèðîâêó ñëåäóþùèì îáðàçîì: (x3 - 3x2 ) + (5x - 15). Â ïåðâîé ãðóïïå âûíåñåì
çà ñêîáêè îáùèé ìíîæèòåëü x2, âî âòîðîé — îáùèé
ìíîæèòåëü 5. Ïîëó÷èì x 2 (x - 3) + 5(x - 3). Òåïåðü
ìíîãî÷ëåí (õ – 3) êàê îáùèé ìíîæèòåëü âûíåñåì çà
ñêîáêè: (õ – 3) (x2 + 5). Òàêèì îáðàçîì,
x3 - 3x2 + 5x - 15 = (x - 3) (x2 + 5).
2
2
á) 20x + 3yz - 15xy - 4xz = (20x - 15xy) +
+(3yz - 4xz) = 5x(4x - 3y) - z(4x - 3y) =
= (4x - 3y) (5x - z).
â) Çäåñü íèêàêàÿ ãðóïïèðîâêà íå ïðèâåäåò ê ïîÿâëåíèþ âî âñåõ ãðóïïàõ îäíîãî è òîãî æå ìíîãî÷ëåíà.  òàêèõ ñëó÷àÿõ èíîãäà îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì ïðåäñòàâèòü êàêîé-ëèáî ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà â
âèäå íåêîòîðîé ñóììû, ïîñëå ÷åãî ïîïðîáîâàòü ïðèìåíèòü ñïîñîá ãðóïïèðîâêè.  äàííîì ïðèìåðå
ïðåäñòàâèì – 7ab â âèäå – 3ab - 4ab. Òîãäà ïîëó÷èì
a 2 - 7ab + 12b 2 = a 2 - 3ab - 4ab + 12b2 =
78
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
= (a2 - 3ab) - (4ab - 12b2 ) = a (a - 3b) - 4b (a - 3b) =
= (a - 3b) (a - 4b).
ã) Ïðèáàâèì è âû÷òåì îäíî÷ëåí 4x2 y2 :
x4 + 4y 4 = (x4 + 4x2y 2 + 4y 4 ) - 4x2y 2 = (x2 + 2y 2 )2 - (2xy)2 = (x2 + 2y 2 - 2xy) (x2 + 2y 2 + 2xy). n
58. Ìíîãî÷ëåíû îò îäíîé ïåðåìåííîé. Ìíîãî÷ëåí
àõ + b, ãäå à, b — ÷èñëà (a ¹ 0), à õ — ïåðåìåííàÿ,
íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ïåðâîé ñòåïåíè; ìíîãî÷ëåí ax2 + bx + c, ãäå à, b, ñ — ÷èñëà (a ¹ 0), à õ —
ïåðåìåííàÿ, íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì âòîðîé ñòåïåíè (èëè êâàäðàòíûì òðåõ÷ëåíîì); ìíîãî÷ëåí
ax3 + bx2 + cx + d, ãäå à, b, ñ d — ÷èñëà (a ¹ 0), à õ
— ïåðåìåííàÿ, íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì òðåòüåé
ñòåïåíè.
Âîîáùå, åñëè à, b, ñ, ..., l, m — ÷èñëà (a ¹ 0), à õ —
ïåðåìåííàÿ, òî ìíîãî÷ëåí
axn + bxn -1 + cxn -2 + ... + lx + m
íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì n -é ñòåïåíè (îòíîñèòåëüíî õ); axn , bxn -1,..., lx, m — ÷ëåíû ìíîãî÷ëåíà; à, b, ñ,
..., l, m — êîýôôèöèåíòû; ax n — ñòàðøèé ÷ëåí
ìíîãî÷ëåíà; à — êîýôôèöèåíò ïðè ñòàðøåì ÷ëåíå;
m — ñâîáîäíûé ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà. Îáû÷íî ìíîãî÷ëåí çàïèñûâàþò ïî óáûâàþùèì ñòåïåíÿì ïåðåìåííîé, ò. å. ñòåïåíè ïåðåìåííîé õ ïîñòåïåííî óìåíüøàþòñÿ (â ÷àñòíîñòè, íà ïåðâîì ìåñòå ñòîèò ñòàðøèé
79
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
÷ëåí, íà ïîñëåäíåì — ñâîáîäíûé ÷ëåí) è íàçûâàþò
ýòó çàïèñü ñòàíäàðòíûì âèäîì ìíîãî÷ëåíà. Ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà — ýòî ñòåïåíü ñòàðøåãî ÷ëåíà.
Íàïðèìåð, 5x5 - 2x3 + 3x2 + 1 — ìíîãî÷ëåí ïÿòîé ñòåïåíè, â êîòîðîì 5õ5 — ñòàðøèé ÷ëåí, 1 —
ñâîáîäíûé ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà.
Êîðíåì ìíîãî÷ëåíà Ð (õ) íàçûâàþò òàêîå çíà÷åíèå õ, ïðè êîòîðîì ìíîãî÷ëåí îáðàùàåòñÿ â íóëü.
Íàïðèìåð, ÷èñëî 2 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà
Ð (õ) = õ3 + 2õ2 – 7õ – 2, òàê êàê Ð (2) = 23 + 2 · 22–
– 7 · 2 – 2 = 0.
59. Äåëåíèå ìíîãî÷ëåíîâ. Ñõåìà Ãîðíåðà. Òåîðåìà Áåçó. Ìíîãî÷ëåíû ìîæíî ñêëàäûâàòü, âû÷èòàòü,
óìíîæàòü è âîçâîäèòü â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü. Èíîãäà âûïîëíèìî è äåëåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ìíîãî÷ëåí.
À èìåííî, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé ìíîãî÷ëåí S (x),
÷òî P (x) = Q (x) S (x), òî ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãî÷ëåí Ð (õ)
äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí Q (x) è íàçûâàþò Ð (õ) äåëèìûì, Q (x) — äåëèòåëåì, à S (x) — ÷àñòíûì.
Íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåí P (x) = x3 - 3x2 + 5x - 15
2
3
äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí Q (x) = x + 5, ïîñêîëüêó x -
- 3x2 + 5x - 15 = (x2 + 5) (x - 3); çäåñü â ÷àñòíîì ïîëó÷àåòñÿ ìíîãî÷ëåí S (x) = x - 3.
Åñëè æå ìíîãî÷ëåí P (x) íå äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí
Q (x), òî ðàññìàòðèâàþò äåëåíèå ñ îñòàòêîì. Âîçìîæíîñòü òàêîãî äåëåíèÿ âûòåêàåò èç ñëåäóþùåãî
ñâîéñòâà: äëÿ ëþáûõ äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ P (x) è Q (x)
òàêèõ, ÷òî ñòåïåíü P (x) íå ìåíüøå ñòåïåíè Q (x),
80
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ñóùåñòâóåò îäíà è òîëüêî îäíà ïàðà ìíîãî÷ëåíîâ
S (x) è R (x) òàêèõ, ÷òî ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî
P (x) = Q (x) S (x) + R (x),
(1)
ïðè÷åì ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà R (x) ìåíüøå ñòåïåíè
ìíîãî÷ëåíà Q (x) (ìíîãî÷ëåí R (x) íàçûâàþò îñòàòêîì).
Ïðè äåëåíèè ìíîãî÷ëåíîâ, ïðèâåäåííûõ ê ñòàíäàðòíîìó âèäó, èñïîëüçóþò ïðàâèëî äåëåíèÿ «óãëîì»,
àíàëîãè÷íîå ïðàâèëó äåëåíèÿ ìíîãîçíà÷íûõ ÷èñåë
(ñì. ï. 3).
Ï ð è ì å ð 1. Ðàçäåëèòü P (x) = 3x4 + 2x3 +
+ 70x2 + 3x - 4 íà Q (x) = x2 + 5x + 1.
q Âûïîëíèì äåëåíèå «óãëîì»:
–
3x4 + 2x3 + 70x2 + 3x - 4
3x4 + 15x3 + 3x2
–
3
2
x 2 + 5x + 1
3x2 - 13x + 132
- 13x + 67x + 3x - 4
- 13x3 - 65x2 - 13x
–
132x2 + 16x - 4
132x2 + 660x + 132
-644x - 136
Èòàê, S (x) = 3x2 - 13x + 132 — ÷àñòíîå, R (x) =
= - 644x - 132
6 — îñòàòîê. Ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ
òîæäåñòâî
4
3
2
3
+ 2"
+ 70"
+"3"
-!4 =
x"
x"
x"
x""
"
P (x )
81
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
÷ëåí, íà ïîñëåäíåì — ñâîáîäíûé ÷ëåí) è íàçûâàþò
ýòó çàïèñü ñòàíäàðòíûì âèäîì ìíîãî÷ëåíà. Ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà — ýòî ñòåïåíü ñòàðøåãî ÷ëåíà.
Íàïðèìåð, 5x5 - 2x3 + 3x2 + 1 — ìíîãî÷ëåí ïÿòîé ñòåïåíè, â êîòîðîì 5õ5 — ñòàðøèé ÷ëåí, 1 —
ñâîáîäíûé ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà.
Êîðíåì ìíîãî÷ëåíà Ð (õ) íàçûâàþò òàêîå çíà÷åíèå õ, ïðè êîòîðîì ìíîãî÷ëåí îáðàùàåòñÿ â íóëü.
Íàïðèìåð, ÷èñëî 2 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà
Ð (õ) = õ3 + 2õ2 – 7õ – 2, òàê êàê Ð (2) = 23 + 2 · 22–
– 7 · 2 – 2 = 0.
59. Äåëåíèå ìíîãî÷ëåíîâ. Ñõåìà Ãîðíåðà. Òåîðåìà Áåçó. Ìíîãî÷ëåíû ìîæíî ñêëàäûâàòü, âû÷èòàòü,
óìíîæàòü è âîçâîäèòü â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü. Èíîãäà âûïîëíèìî è äåëåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ìíîãî÷ëåí.
À èìåííî, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé ìíîãî÷ëåí S (x),
÷òî P (x) = Q (x) S (x), òî ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãî÷ëåí Ð (õ)
äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí Q (x) è íàçûâàþò Ð (õ) äåëèìûì, Q (x) — äåëèòåëåì, à S (x) — ÷àñòíûì.
Íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåí P (x) = x3 - 3x2 + 5x - 15
2
3
äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí Q (x) = x + 5, ïîñêîëüêó x -
- 3x2 + 5x - 15 = (x2 + 5) (x - 3); çäåñü â ÷àñòíîì ïîëó÷àåòñÿ ìíîãî÷ëåí S (x) = x - 3.
Åñëè æå ìíîãî÷ëåí P (x) íå äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí
Q (x), òî ðàññìàòðèâàþò äåëåíèå ñ îñòàòêîì. Âîçìîæíîñòü òàêîãî äåëåíèÿ âûòåêàåò èç ñëåäóþùåãî
ñâîéñòâà: äëÿ ëþáûõ äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ P (x) è Q (x)
òàêèõ, ÷òî ñòåïåíü P (x) íå ìåíüøå ñòåïåíè Q (x),
80
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ñóùåñòâóåò îäíà è òîëüêî îäíà ïàðà ìíîãî÷ëåíîâ
S (x) è R (x) òàêèõ, ÷òî ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî
P (x) = Q (x) S (x) + R (x),
(1)
ïðè÷åì ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà R (x) ìåíüøå ñòåïåíè
ìíîãî÷ëåíà Q (x) (ìíîãî÷ëåí R (x) íàçûâàþò îñòàòêîì).
Ïðè äåëåíèè ìíîãî÷ëåíîâ, ïðèâåäåííûõ ê ñòàíäàðòíîìó âèäó, èñïîëüçóþò ïðàâèëî äåëåíèÿ «óãëîì»,
àíàëîãè÷íîå ïðàâèëó äåëåíèÿ ìíîãîçíà÷íûõ ÷èñåë
(ñì. ï. 3).
Ï ð è ì å ð 1. Ðàçäåëèòü P (x) = 3x4 + 2x3 +
+ 70x2 + 3x - 4 íà Q (x) = x2 + 5x + 1.
q Âûïîëíèì äåëåíèå «óãëîì»:
–
3x4 + 2x3 + 70x2 + 3x - 4
3x4 + 15x3 + 3x2
–
3
2
x 2 + 5x + 1
3x2 - 13x + 132
- 13x + 67x + 3x - 4
- 13x3 - 65x2 - 13x
–
132x2 + 16x - 4
132x2 + 660x + 132
-644x - 136
Èòàê, S (x) = 3x2 - 13x + 132 — ÷àñòíîå, R (x) =
= - 644x - 132
6 — îñòàòîê. Ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ
òîæäåñòâî
4
3
2
3
+ 2"
+ 70"
+"3"
-!4 =
x"
x"
x"
x""
"
P (x )
81
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
2
1) (
3x
13x"+"132
+ 5x"+"
-"
-644
x2""
= (
!
""
"!) + (
""x -"136
"!) . n
Q (x )
S ( x)
R (x )
Ðàññìîòðèì ïðîöåññ äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà n -é
ñòåïåíè, èìåþùåãî âèä Pn (x) = a0x n + a1x n -1 +
+... + an , íà ëèíåéíûé äâó÷ëåí x - a . Òîãäà äåëåíèå ìîæíî ïðîèçâîäèòü ïî ñïåöèàëüíîé ñõåìå, íàçûâàåìîé ñõåìîé Ãîðíåðà.
 ýòîì ñëó÷àå òîæäåñòâî (1) ïðèìåò âèä
a0 x n + a1x n -1 + ... + an =
= (x - a)(b0x n -1 + b1x n -2 + ... + bn -1) + r,
(2)
ãäå ÷àñòíîå èìååò ñòåïåíü n - 1, à îñòàòîê — íóëåâóþ ñòåïåíü, ò. å. ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî ÷èñëîì. Òàê êàê
ìíîãî÷ëåíû â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ òîæäåñòâà (2)
ñîâïàäàþò, òî, ðàñêðûâ ñêîáêè, ïîëó÷èì ðàâåíñòâà,
âûðàæàþùèå ñîâïàäåíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ õ:
a0 = b0 ,
82
ò. å.
b0 = a0 ,
a1 = -a b0 + b1, ò. å.
b1 = a1 + a b0 ,
a2 = -a b1 + b2 , ò. å.
b2 = a2 + ab1,
an -1 = -a bn -2 + bn -1, ò. å.
bn -1 = an -1 + a bn -2 ,
an = -a bn -1 + r,
ò. å. r = an + a bn -1.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
Îáû÷íî âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòîâ ÷àñòíîãî è
îñòàòêà ðàñïîëàãàþò â ñëåäóþùåé òàáëèöå:
a0
a
a2
a1
a0 = b0 a b0 + a1 a b1 + a2
an -1
...
an
. . . a bn - 2 + an -1 a bn -1 + an = r
Âåðõíþþ ñòðîêó òàáëèöû çàïîëíÿþò ñðàçó; íèæíþþ ñòðîêó, ãäå ïîìåùåíû êîýôôèöèåíòû ÷àñòíîãî
è îñòàòîê, çàïîëíÿþò ïîñòåïåííî, äâèãàÿñü ñëåâà íàïðàâî. Â êàæäîé êëåòêå íèæíåé ñòðîêè çàïèñûâàþò
ñóììó êîýôôèöèåíòà èç âåðõíåé ñòðîêè ñ óìíîæåííûì íà a ÷èñëîì, ïîëó÷åííûì â ñîñåäíåé ñëåâà
êëåòêå íèæíåé ñòðîêè.
Ï ð è ì å ð 2. Èñïîëüçóÿ ñõåìó Ãîðíåðà, ðàçäåëèòü x3 + 4x2 - 3x + 5 íà õ – 2.
q Ñîñòàâèì òàáëèöó:
2
1
4
–3
5
1
6
9
23
Çíà÷èò, ÷àñòíîå ðàâíî x2 + 6x + 9, à îñòàòîê ðàâåí 23. n
Çàìåòèì, ÷òî îñòàòîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà íà
äâó÷ëåí x - a ìîæíî íàéòè, íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ.
À èìåííî, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ñâîéñòâî: îñòàòîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà P (x) íà äâó÷ëåí x - a
ðàâåí çíà÷åíèþ ìíîãî÷ëåíà ïðè x = a (òåîðåìà
Áåçó).
Òàê, â ïðèìåðå 2 èìååì P (2) = 23 + 4 × 22 - 3 × 2 +
+5 = 23.
83
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
2
1) (
3x
13x"+"132
+ 5x"+"
-"
-644
x2""
= (
!
""
"!) + (
""x -"136
"!) . n
Q (x )
S ( x)
R (x )
Ðàññìîòðèì ïðîöåññ äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà n -é
ñòåïåíè, èìåþùåãî âèä Pn (x) = a0x n + a1x n -1 +
+... + an , íà ëèíåéíûé äâó÷ëåí x - a . Òîãäà äåëåíèå ìîæíî ïðîèçâîäèòü ïî ñïåöèàëüíîé ñõåìå, íàçûâàåìîé ñõåìîé Ãîðíåðà.
 ýòîì ñëó÷àå òîæäåñòâî (1) ïðèìåò âèä
a0 x n + a1x n -1 + ... + an =
= (x - a)(b0x n -1 + b1x n -2 + ... + bn -1) + r,
(2)
ãäå ÷àñòíîå èìååò ñòåïåíü n - 1, à îñòàòîê — íóëåâóþ ñòåïåíü, ò. å. ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî ÷èñëîì. Òàê êàê
ìíîãî÷ëåíû â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ òîæäåñòâà (2)
ñîâïàäàþò, òî, ðàñêðûâ ñêîáêè, ïîëó÷èì ðàâåíñòâà,
âûðàæàþùèå ñîâïàäåíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ õ:
a0 = b0 ,
82
ò. å.
b0 = a0 ,
a1 = -a b0 + b1, ò. å.
b1 = a1 + a b0 ,
a2 = -a b1 + b2 , ò. å.
b2 = a2 + ab1,
an -1 = -a bn -2 + bn -1, ò. å.
bn -1 = an -1 + a bn -2 ,
an = -a bn -1 + r,
ò. å. r = an + a bn -1.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
Îáû÷íî âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòîâ ÷àñòíîãî è
îñòàòêà ðàñïîëàãàþò â ñëåäóþùåé òàáëèöå:
a0
a
a2
a1
a0 = b0 a b0 + a1 a b1 + a2
an -1
...
an
. . . a bn - 2 + an -1 a bn -1 + an = r
Âåðõíþþ ñòðîêó òàáëèöû çàïîëíÿþò ñðàçó; íèæíþþ ñòðîêó, ãäå ïîìåùåíû êîýôôèöèåíòû ÷àñòíîãî
è îñòàòîê, çàïîëíÿþò ïîñòåïåííî, äâèãàÿñü ñëåâà íàïðàâî. Â êàæäîé êëåòêå íèæíåé ñòðîêè çàïèñûâàþò
ñóììó êîýôôèöèåíòà èç âåðõíåé ñòðîêè ñ óìíîæåííûì íà a ÷èñëîì, ïîëó÷åííûì â ñîñåäíåé ñëåâà
êëåòêå íèæíåé ñòðîêè.
Ï ð è ì å ð 2. Èñïîëüçóÿ ñõåìó Ãîðíåðà, ðàçäåëèòü x3 + 4x2 - 3x + 5 íà õ – 2.
q Ñîñòàâèì òàáëèöó:
2
1
4
–3
5
1
6
9
23
Çíà÷èò, ÷àñòíîå ðàâíî x2 + 6x + 9, à îñòàòîê ðàâåí 23. n
Çàìåòèì, ÷òî îñòàòîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà íà
äâó÷ëåí x - a ìîæíî íàéòè, íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ.
À èìåííî, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ñâîéñòâî: îñòàòîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà P (x) íà äâó÷ëåí x - a
ðàâåí çíà÷åíèþ ìíîãî÷ëåíà ïðè x = a (òåîðåìà
Áåçó).
Òàê, â ïðèìåðå 2 èìååì P (2) = 23 + 4 × 22 - 3 × 2 +
+5 = 23.
83
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
Èç òåîðåìû Áåçó âûòåêàåò, ÷òî ìíîãî÷ëåí P (x)
äåëèòñÿ íà äâó÷ëåí x - a òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà a — êîðåíü ýòîãî ìíîãî÷ëåíà.
Ï ð è ì å ð 3. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè l ìíîãî÷ëåí
P (x) = x 4 + 6x2 + lx + 6 äåëèòñÿ íà äâó÷ëåí õ + 2?
q Äëÿ òîãî ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óêàçàííîå òðåáîâàíèå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ÷èñëî –2
áûëî êîðíåì ìíîãî÷ëåíà. Èìååì P(–2) = 16 + 24 –
-2l + 6 = 46 - 2l, ò. å. ìíîãî÷ëåí P (x) ðàçäåëèòñÿ íà
õ + 2 ïðè óñëîâèè l = 23. n
60. Ðàçëîæåíèå êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè. Åñëè õ1 è õ2 — êîðíè êâàäðàò-
íîãî òðåõ÷ëåíà ax2 + bx + c (ò. å. êîðíè óðàâíåíèÿ
ax2 + bx + c = 0), òî
ax 2 + bx + c = a (x - x1 ) (x - x2 ).
Ýòî — ôîðìóëà ðàçëîæåíèÿ êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà íà ìíîæèòåëè.
Ï ð è ì å ð. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè
6õ2 – õ – 2.
q Ïðèìåíèâ ôîðìóëó êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (ñì. ï. 141) ê óðàâíåíèþ 6õ2 – õ – 2 = 0, íàõî-
1
2
äèì, x1 = - , x2 = . Çíà÷èò,
2
3
1öæ
2ö
1ö æ
2ö
æ
æ
6x2 - x - 2 = 6 ç x + ÷ ç x - ÷ = 2 ç x + ÷ × 3 ç x - ÷ =
2øè
3ø
2ø è
3ø
è
è
= (2x + 1) (3x - 2). n
84
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
61. Ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè äâó÷ëåíà xn – an.
Èçâåñòíî, ÷òî
x2 - a2 = (x - a) (x + a),
x3 - a 3 = (x - a) (x2 + xa + a2 ).
(1)
(2)
Ïåðåìíîæèâ ìíîãî÷ëåíû õ – à è x 3 + x 2a + xa 2 +
+ a 3 , ïîëó÷èì
x4 - a 4 = (x - a) (x3 + x2a + xa2 + a 3 ).
(3)
Îáîáùåíèåì ôîðìóë (1), (2), (3) ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëà ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè äâó÷ëåíà xn - a n :
xn - a n =
= (x - a) (xn -1 + xn -2a + xn - 3a2 + ... + xan -2 + an -1 ).
Òàê, x7 - 1 = (x - 1) (x6 + x5 + x 4 + x3 + x2 + x + 1).
62. Âîçâåäåíèå äâó÷ëåíà â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü
(ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà).  ýòîì ïóíêòå ðå÷ü èäåò
î òîì, êàê äâó÷ëåí (èëè áèíîì) a + b âîçâåñòè â ëþáóþ íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü.
Åñëè n = 1, òî (a + b)1 = a + b.
Åñëè n = 2, òî (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .
Åñëè n = 3, òî (a + b)3 = a 3 + 3a2b + 3ab2 + b 3.
Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî (a + b)4 = (a + b)3 ´
´(a + b), ìîæíî âûâåñòè ôîðìóëó
(a + b) 4 = a4 + 4a 3b + 6a2b2 + 4ab3 + b 4.
85
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
Èç òåîðåìû Áåçó âûòåêàåò, ÷òî ìíîãî÷ëåí P (x)
äåëèòñÿ íà äâó÷ëåí x - a òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà a — êîðåíü ýòîãî ìíîãî÷ëåíà.
Ï ð è ì å ð 3. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè l ìíîãî÷ëåí
P (x) = x 4 + 6x2 + lx + 6 äåëèòñÿ íà äâó÷ëåí õ + 2?
q Äëÿ òîãî ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óêàçàííîå òðåáîâàíèå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ÷èñëî –2
áûëî êîðíåì ìíîãî÷ëåíà. Èìååì P(–2) = 16 + 24 –
-2l + 6 = 46 - 2l, ò. å. ìíîãî÷ëåí P (x) ðàçäåëèòñÿ íà
õ + 2 ïðè óñëîâèè l = 23. n
60. Ðàçëîæåíèå êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè. Åñëè õ1 è õ2 — êîðíè êâàäðàò-
íîãî òðåõ÷ëåíà ax2 + bx + c (ò. å. êîðíè óðàâíåíèÿ
ax2 + bx + c = 0), òî
ax 2 + bx + c = a (x - x1 ) (x - x2 ).
Ýòî — ôîðìóëà ðàçëîæåíèÿ êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà íà ìíîæèòåëè.
Ï ð è ì å ð. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè
6õ2 – õ – 2.
q Ïðèìåíèâ ôîðìóëó êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (ñì. ï. 141) ê óðàâíåíèþ 6õ2 – õ – 2 = 0, íàõî-
1
2
äèì, x1 = - , x2 = . Çíà÷èò,
2
3
1öæ
2ö
1ö æ
2ö
æ
æ
6x2 - x - 2 = 6 ç x + ÷ ç x - ÷ = 2 ç x + ÷ × 3 ç x - ÷ =
2øè
3ø
2ø è
3ø
è
è
= (2x + 1) (3x - 2). n
84
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
61. Ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè äâó÷ëåíà xn – an.
Èçâåñòíî, ÷òî
x2 - a2 = (x - a) (x + a),
x3 - a 3 = (x - a) (x2 + xa + a2 ).
(1)
(2)
Ïåðåìíîæèâ ìíîãî÷ëåíû õ – à è x 3 + x 2a + xa 2 +
+ a 3 , ïîëó÷èì
x4 - a 4 = (x - a) (x3 + x2a + xa2 + a 3 ).
(3)
Îáîáùåíèåì ôîðìóë (1), (2), (3) ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëà ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè äâó÷ëåíà xn - a n :
xn - a n =
= (x - a) (xn -1 + xn -2a + xn - 3a2 + ... + xan -2 + an -1 ).
Òàê, x7 - 1 = (x - 1) (x6 + x5 + x 4 + x3 + x2 + x + 1).
62. Âîçâåäåíèå äâó÷ëåíà â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü
(ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà).  ýòîì ïóíêòå ðå÷ü èäåò
î òîì, êàê äâó÷ëåí (èëè áèíîì) a + b âîçâåñòè â ëþáóþ íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü.
Åñëè n = 1, òî (a + b)1 = a + b.
Åñëè n = 2, òî (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .
Åñëè n = 3, òî (a + b)3 = a 3 + 3a2b + 3ab2 + b 3.
Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî (a + b)4 = (a + b)3 ´
´(a + b), ìîæíî âûâåñòè ôîðìóëó
(a + b) 4 = a4 + 4a 3b + 6a2b2 + 4ab3 + b 4.
85
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
Âîîáùå, ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
n
n
(a + b) = a +
Cn1 a n -1b
+
Cn2a n -2b 2
+ ...
... + Cnka n - kb k + ... + Cnn -1ab n -1 + b n ,
íàçûâàåìàÿ ôîðìóëîé áèíîìà Íüþòîíà.
n (n - 1)
,...,
Çäåñü Cn0 , Ccn1 = n, Cn2 =
2
Cnk =
n (n - 1) (n - 2)...(n - k + 1)
,...,
1 × 2 × 3...k
Cnn -1 = n, Ccnn = 1 — áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû (÷èñëà ñî÷åòàíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî íóëþ, îäíîìó, äâóì,..., k,..., n - 1, n ýëåìåíòàì (ñì. ïï.202,
203).
Íàïðèìåð,
6 ×5 4 2 6 ×5 × 4 3 3
(a + b)6 = a6 + 6a5b +
a b +
a b +
1× 2
1× 2 × 3
+
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ïåðåìåííûå. Òàêóþ äðîáü íàçûâàþò ðàöèîíàëüíîé
äðîáüþ.
Ïðèìåðû ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé:
a c
+
x + 1 (x + 2) (x 2 - 3) b d
,
,
.
1
a + 2b + 5c
a-b
2x 3
Îñíîâíîå ñâîéñòâî ðàöèîíàëüíîé äðîáè âûðàP
PR
=
, ñïðàâåäëèâûì ïðè
æàåòñÿ òîæäåñòâîì
Q QR
óñëîâèÿõ R ¹ 0 è Q ¹ 0 ; çäåñü R — öåëîå ðàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ðàöèîíàëüíîé äðîáè ìîæíî óìíîæèòü èëè
ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî,
îäíî÷ëåí èëè ìíîãî÷ëåí. Òàê,
ö
æ1 3 1 2
1 3 1 2
x - x + 1 12 ç x - x + 1÷
2
ø =
è3
3
2
=
1 2 1
1
1
1
1
ö
æ
x + x+
12 ç x2 + x + ÷
4
6
2
6
2ø
è4
6×5 × 4× 3 2 4 6 ×5 × 4×3 ×2 5
a b +
ab + b6 =
1× 2 × 3 × 4
1× 2 × 3 × 4 × 5
= a 6 + 6a5b + 15a 4b2 + 20a 3b 3 + 15a 2b 4 + 6ab5 + b 6 .
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
63. Ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü è åå îñíîâíîå ñâîéñòâî.
Ëþáîå äðîáíîå àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå (ñì. ï. 51)
P
, ãäå Ð è Q — ðàöèîíàëüìîæíî çàïèñàòü â âèäå
Q
íûå âûðàæåíèÿ, ïðè÷åì Q îáÿçàòåëüíî ñîäåðæèò
86
ÀËÃÅÁÐÀ
=
4x 3 - 6x 2 + 12
.
3x 2 + 2x + 6
Îñíîâíîå ñâîéñòâî äðîáè ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ
ïåðåìåíû çíàêîâ ó ÷ëåíîâ äðîáè. Åñëè ÷èñëèòåëü è
P
çíàìåíàòåëü äðîáè
óìíîæèòü íà — 1, òî ïîëóQ
-P
P
=
. Òàêèì îáðàçîì, çíà÷åíèå äðîáè íå
Q -Q
èçìåíèòñÿ, åñëè îäíîâðåìåííî èçìåíèòü çíàêè ÷èñ-
÷èì
87
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
Âîîáùå, ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
n
n
(a + b) = a +
Cn1 a n -1b
+
Cn2a n -2b 2
+ ...
... + Cnka n - kb k + ... + Cnn -1ab n -1 + b n ,
íàçûâàåìàÿ ôîðìóëîé áèíîìà Íüþòîíà.
n (n - 1)
,...,
Çäåñü Cn0 , Ccn1 = n, Cn2 =
2
Cnk =
n (n - 1) (n - 2)...(n - k + 1)
,...,
1 × 2 × 3...k
Cnn -1 = n, Ccnn = 1 — áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû (÷èñëà ñî÷åòàíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî íóëþ, îäíîìó, äâóì,..., k,..., n - 1, n ýëåìåíòàì (ñì. ïï.202,
203).
Íàïðèìåð,
6 ×5 4 2 6 ×5 × 4 3 3
(a + b)6 = a6 + 6a5b +
a b +
a b +
1× 2
1× 2 × 3
+
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ïåðåìåííûå. Òàêóþ äðîáü íàçûâàþò ðàöèîíàëüíîé
äðîáüþ.
Ïðèìåðû ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé:
a c
+
x + 1 (x + 2) (x 2 - 3) b d
,
,
.
1
a + 2b + 5c
a-b
2x 3
Îñíîâíîå ñâîéñòâî ðàöèîíàëüíîé äðîáè âûðàP
PR
=
, ñïðàâåäëèâûì ïðè
æàåòñÿ òîæäåñòâîì
Q QR
óñëîâèÿõ R ¹ 0 è Q ¹ 0 ; çäåñü R — öåëîå ðàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ðàöèîíàëüíîé äðîáè ìîæíî óìíîæèòü èëè
ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî,
îäíî÷ëåí èëè ìíîãî÷ëåí. Òàê,
ö
æ1 3 1 2
1 3 1 2
x - x + 1 12 ç x - x + 1÷
2
ø =
è3
3
2
=
1 2 1
1
1
1
1
ö
æ
x + x+
12 ç x2 + x + ÷
4
6
2
6
2ø
è4
6×5 × 4× 3 2 4 6 ×5 × 4×3 ×2 5
a b +
ab + b6 =
1× 2 × 3 × 4
1× 2 × 3 × 4 × 5
= a 6 + 6a5b + 15a 4b2 + 20a 3b 3 + 15a 2b 4 + 6ab5 + b 6 .
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
63. Ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü è åå îñíîâíîå ñâîéñòâî.
Ëþáîå äðîáíîå àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå (ñì. ï. 51)
P
, ãäå Ð è Q — ðàöèîíàëüìîæíî çàïèñàòü â âèäå
Q
íûå âûðàæåíèÿ, ïðè÷åì Q îáÿçàòåëüíî ñîäåðæèò
86
ÀËÃÅÁÐÀ
=
4x 3 - 6x 2 + 12
.
3x 2 + 2x + 6
Îñíîâíîå ñâîéñòâî äðîáè ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ
ïåðåìåíû çíàêîâ ó ÷ëåíîâ äðîáè. Åñëè ÷èñëèòåëü è
P
çíàìåíàòåëü äðîáè
óìíîæèòü íà — 1, òî ïîëóQ
-P
P
=
. Òàêèì îáðàçîì, çíà÷åíèå äðîáè íå
Q -Q
èçìåíèòñÿ, åñëè îäíîâðåìåííî èçìåíèòü çíàêè ÷èñ-
÷èì
87
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
ëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ. Åñëè æå èçìåíèòü çíàê
òîëüêî ÷èñëèòåëÿ èëè òîëüêî çíàìåíàòåëÿ, òî è
äðîáü èçìåíèò ñâîé çíàê:
-P
P
P
P
=- ;
=- .
Q
Q -Q
Q
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
Íàïðèìåð,
-P
P
P
==.
-Q
Q
Q
-(3x - 2)
2 - 3x
3x - 2
==.
3x + 4
3x + 4
3x + 4
64. Ñîêðàùåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé. Ñîêðàòèòü äðîáü — ýòî çíà÷èò ðàçäåëèòü ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè íà îáùèé ìíîæèòåëü. Âîçìîæíîñòü
òàêîãî ñîêðàùåíèÿ îáóñëîâëåíà îñíîâíûì ñâîéñòâîì
äðîáè.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ñîêðàòèòü ðàöèîíàëüíóþ äðîáü,
íóæíî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè. Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü èìåþò îáùèå ìíîæèòåëè, òî äðîáü ìîæíî ñîêðàòèòü. Åñëè æå îáùèõ ìíîæèòåëåé íåò, òî ïðåîáðàçîâàíèå äðîáè ñ ïîìîùüþ ñîêðàùåíèÿ íåâîçìîæíî.
Ï ð è ì å ð. Ñîêðàòèòü äðîáü
q
x2 - 3xy
9y 2 - x2
.
Èìååì x2 - 3xy = x (x - 3y) ;
9y2 - x2 = -(x2 - 9y 2 ) = -(x - 3y) (x + 3y).
Çíà÷èò,
88
x2 - 3xy
2
9y - x
2
=
x (x - 3y)
x
.
=- (x - 3y) (x + 3y)
x + 3y
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
Çàìåòèì, ÷òî ñîêðàùåíèå äðîáè âûïîëíåíî ïðè óñëîâèè x - 3y ¹ 0. n
65. Ïðèâåäåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ê îáùåìó
çíàìåíàòåëþ. Îáùèì çíàìåíàòåëåì íåñêîëüêèõ
ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé íàçûâàåòñÿ öåëîå ðàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå, êîòîðîå äåëèòñÿ íà çíàìåíàòåëü êàæäîé äðîáè (ñì. ï. 57). Îáû÷íî áåðóò òàêîé îáùèé
çíàìåíàòåëü, ÷òî ëþáîé äðóãîé îáùèé çíàìåíàòåëü
äåëèòñÿ íà âûáðàííûé. Òàê, îáùèì çíàìåíàòåëåì
x
3x - 1
äðîáåé
è
ñëóæèò ìíîãî÷ëåí (x + 2)(x - 2).
x+2
x-2
Èìååì
x
x (x - 2)
3x - 1 (3x - 1) (x + 2)
=
;
.
=
x+
- 2) (x - 2)
x + 2 (x + 2) (x - 2)
(x +
–2
Ïðèâåäåíèå äàííûõ äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ äîñòèãíóòî óìíîæåíèåì ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ ïåðâîé äðîáè íà õ – 2, à ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ âòîðîé äðîáè — íà õ + 2. Ìíîãî÷ëåíû õ – 2
è õ + 2 íàçûâàþòñÿ äîïîëíèòåëüíûìè ìíîæèòåëÿìè.
×òîáû ïðèâåñòè íåñêîëüêî ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé
ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, íóæíî:
1) ðàçëîæèòü çíàìåíàòåëü êàæäîé äðîáè íà ìíîæèòåëè;
2) ñîñòàâèòü îáùèé çíàìåíàòåëü, âêëþ÷èâ â íåãî
âñå ìíîæèòåëè ïîëó÷åííûõ â ï. 1 ðàçëîæåíèé; åñëè
íåêîòîðûé ìíîæèòåëü èìååòñÿ â íåñêîëüêèõ ðàçëîæåíèÿõ, òî îí áåðåòñÿ ñ ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè, ðàâíûì íàèáîëüøåìó èç èìåþùèõñÿ;
3) íàéòè äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè äëÿ êàæäîé èç äðîáåé (äëÿ ýòîãî îáùèé çíàìåíàòåëü äåëÿò
íà çíàìåíàòåëü äðîáè);
89
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
ëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ. Åñëè æå èçìåíèòü çíàê
òîëüêî ÷èñëèòåëÿ èëè òîëüêî çíàìåíàòåëÿ, òî è
äðîáü èçìåíèò ñâîé çíàê:
-P
P
P
P
=- ;
=- .
Q
Q -Q
Q
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
Íàïðèìåð,
-P
P
P
==.
-Q
Q
Q
-(3x - 2)
2 - 3x
3x - 2
==.
3x + 4
3x + 4
3x + 4
64. Ñîêðàùåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé. Ñîêðàòèòü äðîáü — ýòî çíà÷èò ðàçäåëèòü ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè íà îáùèé ìíîæèòåëü. Âîçìîæíîñòü
òàêîãî ñîêðàùåíèÿ îáóñëîâëåíà îñíîâíûì ñâîéñòâîì
äðîáè.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ñîêðàòèòü ðàöèîíàëüíóþ äðîáü,
íóæíî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè. Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü èìåþò îáùèå ìíîæèòåëè, òî äðîáü ìîæíî ñîêðàòèòü. Åñëè æå îáùèõ ìíîæèòåëåé íåò, òî ïðåîáðàçîâàíèå äðîáè ñ ïîìîùüþ ñîêðàùåíèÿ íåâîçìîæíî.
Ï ð è ì å ð. Ñîêðàòèòü äðîáü
q
x2 - 3xy
9y 2 - x2
.
Èìååì x2 - 3xy = x (x - 3y) ;
9y2 - x2 = -(x2 - 9y 2 ) = -(x - 3y) (x + 3y).
Çíà÷èò,
88
x2 - 3xy
2
9y - x
2
=
x (x - 3y)
x
.
=- (x - 3y) (x + 3y)
x + 3y
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
Çàìåòèì, ÷òî ñîêðàùåíèå äðîáè âûïîëíåíî ïðè óñëîâèè x - 3y ¹ 0. n
65. Ïðèâåäåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ê îáùåìó
çíàìåíàòåëþ. Îáùèì çíàìåíàòåëåì íåñêîëüêèõ
ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé íàçûâàåòñÿ öåëîå ðàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå, êîòîðîå äåëèòñÿ íà çíàìåíàòåëü êàæäîé äðîáè (ñì. ï. 57). Îáû÷íî áåðóò òàêîé îáùèé
çíàìåíàòåëü, ÷òî ëþáîé äðóãîé îáùèé çíàìåíàòåëü
äåëèòñÿ íà âûáðàííûé. Òàê, îáùèì çíàìåíàòåëåì
x
3x - 1
äðîáåé
è
ñëóæèò ìíîãî÷ëåí (x + 2)(x - 2).
x+2
x-2
Èìååì
x
x (x - 2)
3x - 1 (3x - 1) (x + 2)
=
;
.
=
x+
- 2) (x - 2)
x + 2 (x + 2) (x - 2)
(x +
–2
Ïðèâåäåíèå äàííûõ äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ äîñòèãíóòî óìíîæåíèåì ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ ïåðâîé äðîáè íà õ – 2, à ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ âòîðîé äðîáè — íà õ + 2. Ìíîãî÷ëåíû õ – 2
è õ + 2 íàçûâàþòñÿ äîïîëíèòåëüíûìè ìíîæèòåëÿìè.
×òîáû ïðèâåñòè íåñêîëüêî ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé
ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, íóæíî:
1) ðàçëîæèòü çíàìåíàòåëü êàæäîé äðîáè íà ìíîæèòåëè;
2) ñîñòàâèòü îáùèé çíàìåíàòåëü, âêëþ÷èâ â íåãî
âñå ìíîæèòåëè ïîëó÷åííûõ â ï. 1 ðàçëîæåíèé; åñëè
íåêîòîðûé ìíîæèòåëü èìååòñÿ â íåñêîëüêèõ ðàçëîæåíèÿõ, òî îí áåðåòñÿ ñ ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè, ðàâíûì íàèáîëüøåìó èç èìåþùèõñÿ;
3) íàéòè äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè äëÿ êàæäîé èç äðîáåé (äëÿ ýòîãî îáùèé çíàìåíàòåëü äåëÿò
íà çíàìåíàòåëü äðîáè);
89
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
4) äîìíîæèâ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü êàæäîé
äðîáè íà äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü, ïðèâåñòè äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ.
Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ
äðîáè
a
b
a+b
;
;
.
2
2
3
2
12a - 12b
18a + 18a b 24a 2 - 24ab
q
Ðàçëîæèì çíàìåíàòåëè íà ìíîæèòåëè:
12a2 - 12b2 = 12 (a - b) (a + b);
18a 3 + 18a2b = 18a2 (a + b); 24a2 - 24ab = 24a (a - b) .
 îáùèé çíàìåíàòåëü íàäî âêëþ÷èòü ñëåäóþùèå
ìíîæèòåëè: (a - b), (a + b), a2 è íàèìåíüøåå îáùåå
êðàòíîå ÷èñåë 12, 18, 24, ò. å. Ê (12, 18, 24) = 72. Èòàê,
îáùèé çíàìåíàòåëü ðàâåí 72a2 (a - b)(a + b).
Íàéäåì äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè: äëÿ ïåðâîé
äðîáè 6à2, äëÿ âòîðîé 4 (a - b), äëÿ òðåòüåé 3a (a + b).
Çíà÷èò,
2
6a2
66aa23
aa6a
=
;
12a 2 - 12b2 72a 2 (a - b) (a + b)
b 4 ( a - b)
3
2
18a + 18a b
a + b3a (a + b )
24a2 - 24ab
=
=
4b (a - b)
2
72a (a - b) (a + b)
3a (a + b)2
72a2 (a - b) (a + b)
;
.n
66. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé. Ñóììà äâóõ (è âîîáùå ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà)
ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ñ îäèíàêîâûìè çíàìåíàòåëÿ90
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ìè òîæäåñòâåííî ðàâíà äðîáè ñ òåì æå çíàìåíàòåëåì è ñ ÷èñëèòåëåì, ðàâíûì ñóììå ÷èñëèòåëåé ñêëàäûâàåìûõ äðîáåé:
P1 P2
P + P2
.
+
= 1
Q
Q
Q
Àíàëîãè÷íî îáñòîèò äåëî â ñëó÷àå ðàçíîñòè äðîáåé ñ
îäèíàêîâûìè çíàìåíàòåëÿìè:
P1 P2
P - P2
.
= 1
Q
Q
Q
Äëÿ ñëîæåíèÿ èëè âû÷èòàíèÿ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ñ ðàçíûìè çíàìåíàòåëÿìè íóæíî ïðåæäå âñåãî
ïðèâåñòè äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, à çàòåì âûïîëíèòü îïåðàöèè íàä ïîëó÷åííûìè äðîáÿìè ñ îäèíàêîâûìè çíàìåíàòåëÿìè.
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå
3
2x - 1 2
+
- .
2
2x + 2x
x2 - 1 x
q Èìååì 2x2 + 2x = 2x (x + 1); x2 - 1 = (x - 1)(x + 1).
Îáùèé çíàìåíàòåëü ðàâåí 2x (x + 1) (x - 1) ; çíà÷èò,
3
2x 2 + 2x
-
2 2(
x
+
2x - 1
x -1)(x + 1)
x2 - 1
-
2
3x -1
2x - 12x
=
+
x 2x (x + 1) (x - 1) (x + 1)
3 (x - 1) + 2x(2x - 1) - 4 (x - 1) (x + 1)
=
2x (x - 1) (x + 1)
x +1
1
=
=
.n
2x (x - 1) (x + 1) 2x (x - 1)
=
67. Óìíîæåíèå è äåëåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé.
Ïðîèçâåäåíèå äâóõ (è âîîáùå ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà) ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé òîæäåñòâåííî ðàâíî äðîáè,
91
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
4) äîìíîæèâ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü êàæäîé
äðîáè íà äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü, ïðèâåñòè äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ.
Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ
äðîáè
a
b
a+b
;
;
.
2
2
3
2
12a - 12b
18a + 18a b 24a 2 - 24ab
q
Ðàçëîæèì çíàìåíàòåëè íà ìíîæèòåëè:
12a2 - 12b2 = 12 (a - b) (a + b);
18a 3 + 18a2b = 18a2 (a + b); 24a2 - 24ab = 24a (a - b) .
 îáùèé çíàìåíàòåëü íàäî âêëþ÷èòü ñëåäóþùèå
ìíîæèòåëè: (a - b), (a + b), a2 è íàèìåíüøåå îáùåå
êðàòíîå ÷èñåë 12, 18, 24, ò. å. Ê (12, 18, 24) = 72. Èòàê,
îáùèé çíàìåíàòåëü ðàâåí 72a2 (a - b)(a + b).
Íàéäåì äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè: äëÿ ïåðâîé
äðîáè 6à2, äëÿ âòîðîé 4 (a - b), äëÿ òðåòüåé 3a (a + b).
Çíà÷èò,
2
6a2
66aa23
aa6a
=
;
12a 2 - 12b2 72a 2 (a - b) (a + b)
b 4 ( a - b)
3
2
18a + 18a b
a + b3a (a + b )
24a2 - 24ab
=
=
4b (a - b)
2
72a (a - b) (a + b)
3a (a + b)2
72a2 (a - b) (a + b)
;
.n
66. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé. Ñóììà äâóõ (è âîîáùå ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà)
ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ñ îäèíàêîâûìè çíàìåíàòåëÿ90
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ìè òîæäåñòâåííî ðàâíà äðîáè ñ òåì æå çíàìåíàòåëåì è ñ ÷èñëèòåëåì, ðàâíûì ñóììå ÷èñëèòåëåé ñêëàäûâàåìûõ äðîáåé:
P1 P2
P + P2
.
+
= 1
Q
Q
Q
Àíàëîãè÷íî îáñòîèò äåëî â ñëó÷àå ðàçíîñòè äðîáåé ñ
îäèíàêîâûìè çíàìåíàòåëÿìè:
P1 P2
P - P2
.
= 1
Q
Q
Q
Äëÿ ñëîæåíèÿ èëè âû÷èòàíèÿ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ñ ðàçíûìè çíàìåíàòåëÿìè íóæíî ïðåæäå âñåãî
ïðèâåñòè äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, à çàòåì âûïîëíèòü îïåðàöèè íàä ïîëó÷åííûìè äðîáÿìè ñ îäèíàêîâûìè çíàìåíàòåëÿìè.
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå
3
2x - 1 2
+
- .
2
2x + 2x
x2 - 1 x
q Èìååì 2x2 + 2x = 2x (x + 1); x2 - 1 = (x - 1)(x + 1).
Îáùèé çíàìåíàòåëü ðàâåí 2x (x + 1) (x - 1) ; çíà÷èò,
3
2x 2 + 2x
-
2 2(
x
+
2x - 1
x -1)(x + 1)
x2 - 1
-
2
3x -1
2x - 12x
=
+
x 2x (x + 1) (x - 1) (x + 1)
3 (x - 1) + 2x(2x - 1) - 4 (x - 1) (x + 1)
=
2x (x - 1) (x + 1)
x +1
1
=
=
.n
2x (x - 1) (x + 1) 2x (x - 1)
=
67. Óìíîæåíèå è äåëåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé.
Ïðîèçâåäåíèå äâóõ (è âîîáùå ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà) ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé òîæäåñòâåííî ðàâíî äðîáè,
91
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
÷èñëèòåëü êîòîðîé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ÷èñëèòåëåé,
à çíàìåíàòåëü — ïðîèçâåäåíèþ çíàìåíàòåëåé ïåðåìíîæàåìûõ äðîáåé:
P1 P2
P ×P
×
= 1 2 .
Q1 Q2
Q1 × Q2
×àñòíîå îò äåëåíèÿ äâóõ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé
òîæäåñòâåííî ðàâíî äðîáè, ÷èñëèòåëü êîòîðîé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ÷èñëèòåëÿ ïåðâîé äðîáè íà çíàìåíàòåëü âòîðîé äðîáè, à çíàìåíàòåëü — ïðîèçâåäåíèþ çíàìåíàòåëÿ ïåðâîé äðîáè íà ÷èñëèòåëü âòîðîé äðîáè:
P1 P2
P ×Q
= 1 2.
:
Q1 Q2
Q1 × P2
à)
18x 3
q Èìååì
x2 + 2x + 1
åì
a3 - 2a2
a2 - 4
×
; á)
:
.
2
3a + 3
x -1
3a2 + 6a + 3
18x
3
×
=
9x 4
2
x -1
=
9x 4
á) Èìååì
(a - 2)(a + 2)
a3 - 2a2
a23 (a - 2)
a2 - 4
;
.
=
=
2
3a + 3
3 (a + 1) 3a + 6a + 3
3 (a + 1)2
Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî äåëåíèÿ äðîáåé, íàõîäèì
a 3 - 2a 2
a2 - 4
a 2 (a - 2) × 3 (a + 1) 2
=
=
:
3a + 3
3a 2 + 6a + 3 3 (a + 1) (a - 2) (a + 2)
=
;
P
â íàQ
òóðàëüíóþ ñòåïåíü n , íóæíî âîçâåñòè â ýòó ñòåïåíü
îòäåëüíî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè; ïåðâîå
âûðàæåíèå — ÷èñëèòåëü, à âòîðîå âûðàæåíèå — çíàn
Pn
æPö
ìåíàòåëü ðåçóëüòàòà: ç ÷ = n .
Q
èQø
Ï ð è ì å ð 1. Ïðåîáðàçîâàòü â äðîáü ñòåïåíü
3
æ 2x2y 3
ç
ç 3z5
è
=
(x + 1)2 × 9x4
18x (x + 1) (x - 1)
a 2 (a + 1)
.n
a+2
ïåíü. ×òîáû âîçâåñòè ðàöèîíàëüíóþ äðîáü
9x 4
.
18x 3
x 2 - 1 (x - 1) (x + 1)
18x 3
Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî óìíîæåíèÿ äðîáåé, ïîëó÷à-
x2 + 2x + 1
92
9x 4
(x + 1) 2
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
68. Âîçâåäåíèå ðàöèîíàëüíîé äðîáè â öåëóþ ñòå-
Ó÷èòûâàÿ âîçìîæíîñòü ñîêðàùåíèÿ ðàöèîíàëüíîé äðîáè, ïîëó÷åííîé â ðåçóëüòàòå óìíîæåíèÿ èëè
äåëåíèÿ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé, îáû÷íî ñòðåìÿòñÿ äî
âûïîëíåíèÿ ýòèõ îïåðàöèé ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè ÷èñëèòåëè è çíàìåíàòåëè èñõîäíûõ äðîáåé.
Ï ð è ì å ð. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ:
x2 + 2x + 1
ÀËÃÅÁÐÀ
=
x (x + 1)
.
2 (x - 1)
q
æ 2x2y 3
ç
ç 3z5
è
3
ö
÷ .
÷
ø
3
2 3 3
6 9
ö
÷ = (2x y ) = 8x y . n
÷
(3z 5 ) 3
27z15
ø
93
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
÷èñëèòåëü êîòîðîé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ÷èñëèòåëåé,
à çíàìåíàòåëü — ïðîèçâåäåíèþ çíàìåíàòåëåé ïåðåìíîæàåìûõ äðîáåé:
P1 P2
P ×P
×
= 1 2 .
Q1 Q2
Q1 × Q2
×àñòíîå îò äåëåíèÿ äâóõ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé
òîæäåñòâåííî ðàâíî äðîáè, ÷èñëèòåëü êîòîðîé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ÷èñëèòåëÿ ïåðâîé äðîáè íà çíàìåíàòåëü âòîðîé äðîáè, à çíàìåíàòåëü — ïðîèçâåäåíèþ çíàìåíàòåëÿ ïåðâîé äðîáè íà ÷èñëèòåëü âòîðîé äðîáè:
P1 P2
P ×Q
= 1 2.
:
Q1 Q2
Q1 × P2
à)
18x 3
q Èìååì
x2 + 2x + 1
åì
a3 - 2a2
a2 - 4
×
; á)
:
.
2
3a + 3
x -1
3a2 + 6a + 3
18x
3
×
=
9x 4
2
x -1
=
9x 4
á) Èìååì
(a - 2)(a + 2)
a3 - 2a2
a23 (a - 2)
a2 - 4
;
.
=
=
2
3a + 3
3 (a + 1) 3a + 6a + 3
3 (a + 1)2
Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî äåëåíèÿ äðîáåé, íàõîäèì
a 3 - 2a 2
a2 - 4
a 2 (a - 2) × 3 (a + 1) 2
=
=
:
3a + 3
3a 2 + 6a + 3 3 (a + 1) (a - 2) (a + 2)
=
;
P
â íàQ
òóðàëüíóþ ñòåïåíü n , íóæíî âîçâåñòè â ýòó ñòåïåíü
îòäåëüíî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè; ïåðâîå
âûðàæåíèå — ÷èñëèòåëü, à âòîðîå âûðàæåíèå — çíàn
Pn
æPö
ìåíàòåëü ðåçóëüòàòà: ç ÷ = n .
Q
èQø
Ï ð è ì å ð 1. Ïðåîáðàçîâàòü â äðîáü ñòåïåíü
3
æ 2x2y 3
ç
ç 3z5
è
=
(x + 1)2 × 9x4
18x (x + 1) (x - 1)
a 2 (a + 1)
.n
a+2
ïåíü. ×òîáû âîçâåñòè ðàöèîíàëüíóþ äðîáü
9x 4
.
18x 3
x 2 - 1 (x - 1) (x + 1)
18x 3
Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî óìíîæåíèÿ äðîáåé, ïîëó÷à-
x2 + 2x + 1
92
9x 4
(x + 1) 2
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
68. Âîçâåäåíèå ðàöèîíàëüíîé äðîáè â öåëóþ ñòå-
Ó÷èòûâàÿ âîçìîæíîñòü ñîêðàùåíèÿ ðàöèîíàëüíîé äðîáè, ïîëó÷åííîé â ðåçóëüòàòå óìíîæåíèÿ èëè
äåëåíèÿ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé, îáû÷íî ñòðåìÿòñÿ äî
âûïîëíåíèÿ ýòèõ îïåðàöèé ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè ÷èñëèòåëè è çíàìåíàòåëè èñõîäíûõ äðîáåé.
Ï ð è ì å ð. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ:
x2 + 2x + 1
ÀËÃÅÁÐÀ
=
x (x + 1)
.
2 (x - 1)
q
æ 2x2y 3
ç
ç 3z5
è
3
ö
÷ .
÷
ø
3
2 3 3
6 9
ö
÷ = (2x y ) = 8x y . n
÷
(3z 5 ) 3
27z15
ø
93
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
Ïðè âîçâåäåíèè äðîáè â öåëóþ îòðèöàòåëüíóþ
-n
n
æPö
æQö
ñòåïåíü èñïîëüçóåòñÿ òîæäåñòâî ç ÷ = ç ÷ ,
èPø
èQø
ñïðàâåäëèâîå ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, ïðè
êîòîðûõ P ¹ 0 è Q ¹ 0.
Ï ð è ì å ð 2. Ïðåîáðàçîâàòü â äðîáü âûðàæåíèå
æ (a + b)2 (a - b)3
ç
ç
(a + 2b)4
è
q
=
æ (a + b) 2 (a - b) 3 ö
ç
÷
ç
÷
(a + 2b) 4
è
ø
(a + 2b)20
(a + b)10 (a - b)15
-5
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
q1)
=
2)
5
æ
ö
(a + 2b) 4
÷ =
=ç
ç (a + b) 2 (a - b) 3 ÷
è
ø
.n
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå
-1
ö æ 2a
æ 2a
8a2
4a2
1 ö
÷×ç
ç
+
+
.
+
÷
+
ç 2a + b 4a2 + 4ab + b2 ÷ çè 4a2 - b2 b - 2a ÷ø
2a + b
ø
è
=
2a ++bb
2a
4a2
2a2a
4a2
=
=
2a + b 4a2 + 4ab + b2
2a + b (2a + b)2
2a (2a + b) - 4a2
2
(2a + b)
-5
ö
÷ .
÷
ø
69. Ïðåîáðàçîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé.
Ïðåîáðàçîâàíèå ëþáîãî ðàöèîíàëüíîãî âûðàæåíèÿ
ñâîäèòñÿ ê ñëîæåíèþ, âû÷èòàíèþ, óìíîæåíèþ è äåëåíèþ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé, à òàêæå ê âîçâåäåíèþ
äðîáè â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü. Âñÿêîå ðàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â äðîáü, ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü êîòîðîé — öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ; â ýòîì, êàê ïðàâèëî, ñîñòîèò öåëü
òîæäåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ðàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé.
94
ÀËÃÅÁÐÀ
2a
4a 2 - b2
+
=
2ab
(2a + b)2
12a + b
1
2a
=
=
b - 2a (2a - b) (2a + b) 2a - b
-b
2a - 2a - b
=
;
(2a - b) (2a + b) (2a - b) (2a + b)
æ
ö
b
÷÷
3) çç +
a
b
a
b
(
2
)
(
2
)
è
ø
4)
=
-1
=-
(2a - b) (2a + b)
;
b
2ab
æ (2a - b) (2a + b) ö
× ç÷=
b
(2a + b) è
ø
2
=-
5)
;
2ab (2a - b) (2a + b)
b(2a + b)2
=
2a (b - 2a) 2ab - 4a2
;
=
2a + b
2a + b
2ab - 4a2
8a2
2ab + 4a2
+
=
=
2a + b
2a + b
2a + b
3
2a (2a + b)
= 2a. n
2a + b
95
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
Ïðè âîçâåäåíèè äðîáè â öåëóþ îòðèöàòåëüíóþ
-n
n
æPö
æQö
ñòåïåíü èñïîëüçóåòñÿ òîæäåñòâî ç ÷ = ç ÷ ,
èPø
èQø
ñïðàâåäëèâîå ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, ïðè
êîòîðûõ P ¹ 0 è Q ¹ 0.
Ï ð è ì å ð 2. Ïðåîáðàçîâàòü â äðîáü âûðàæåíèå
æ (a + b)2 (a - b)3
ç
ç
(a + 2b)4
è
q
=
æ (a + b) 2 (a - b) 3 ö
ç
÷
ç
÷
(a + 2b) 4
è
ø
(a + 2b)20
(a + b)10 (a - b)15
-5
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
q1)
=
2)
5
æ
ö
(a + 2b) 4
÷ =
=ç
ç (a + b) 2 (a - b) 3 ÷
è
ø
.n
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå
-1
ö æ 2a
æ 2a
8a2
4a2
1 ö
÷×ç
ç
+
+
.
+
÷
+
ç 2a + b 4a2 + 4ab + b2 ÷ çè 4a2 - b2 b - 2a ÷ø
2a + b
ø
è
=
2a ++bb
2a
4a2
2a2a
4a2
=
=
2a + b 4a2 + 4ab + b2
2a + b (2a + b)2
2a (2a + b) - 4a2
2
(2a + b)
-5
ö
÷ .
÷
ø
69. Ïðåîáðàçîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé.
Ïðåîáðàçîâàíèå ëþáîãî ðàöèîíàëüíîãî âûðàæåíèÿ
ñâîäèòñÿ ê ñëîæåíèþ, âû÷èòàíèþ, óìíîæåíèþ è äåëåíèþ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé, à òàêæå ê âîçâåäåíèþ
äðîáè â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü. Âñÿêîå ðàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â äðîáü, ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü êîòîðîé — öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ; â ýòîì, êàê ïðàâèëî, ñîñòîèò öåëü
òîæäåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ðàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé.
94
ÀËÃÅÁÐÀ
2a
4a 2 - b2
+
=
2ab
(2a + b)2
12a + b
1
2a
=
=
b - 2a (2a - b) (2a + b) 2a - b
-b
2a - 2a - b
=
;
(2a - b) (2a + b) (2a - b) (2a + b)
æ
ö
b
÷÷
3) çç +
a
b
a
b
(
2
)
(
2
)
è
ø
4)
=
-1
=-
(2a - b) (2a + b)
;
b
2ab
æ (2a - b) (2a + b) ö
× ç÷=
b
(2a + b) è
ø
2
=-
5)
;
2ab (2a - b) (2a + b)
b(2a + b)2
=
2a (b - 2a) 2ab - 4a2
;
=
2a + b
2a + b
2ab - 4a2
8a2
2ab + 4a2
+
=
=
2a + b
2a + b
2a + b
3
2a (2a + b)
= 2a. n
2a + b
95
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 8. Èððàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ïîëüçóåìñÿ âíåñåíèåì ìíîæèòåëÿ ïîä çíàê êîðíÿ:
§ 8. Èððàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
3
70. Ïðîñòåéøèå ïðåîáðàçîâàíèÿ àðèôìåòè÷åñêèõ êîðíåé (ðàäèêàëîâ). Ïðè ïðåîáðàçîâàíèè
àðèôìåòè÷åñêèõ êîðíåé èñïîëüçóþòñÿ èõ ñâîéñòâà
10 — 50 (ñì. ï. 37).
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå:
5
à)
5
æ3 2 ö
45a5 ; á) ç a ÷ ; â)
è
ø
5
3
4
30
3
x2 x ; ã)
29 ;
6
ä) a × a2 ; å) a × a (âñå ïåðåìåííûå ñ÷èòàþòñÿ
ïðèíèìàþùèìè òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ).
9a4 × 5a = 9 × a 4 × 5a = 3a2 5a .
Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ âûíåñåíèåì ìíîæèòåëÿ èç-ïîä çíàêà êîðíÿ.
5
æ3
ö
á) Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 3 , èìååì ç a2 ÷ =
ø
è
0
=
3
3
3
a9 × a =
3
3
3
a10 =
3
a9 × a = a3 a .
â) Ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå x
96
(a ) =
a10 . Óïðîñòèì ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå, äëÿ ÷åãî
âûíåñåì ìíîæèòåëü çà çíàê êîðíÿ. Òîãäà
=
2 5
23
x , äëÿ ÷åãî âîñ-
3
(x 2 ) 3 ×
3
x =
3
x6 ×
3
x =
Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 40, èìååì
3
4 3
3
x6 × x =
x7 =
12
x7 .
x7 .
ã) Â ñèëó ñâîéñòâà 50 ïîêàçàòåëü êîðíÿ è ïîêàçàòåëü
ñòåïåíè ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ ìîæíî ðàçäåëèòü íà
îäíî è òî æå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ðàçäåëèâ óêàçàííûå
30
10
10
8.
29 = 23 ===
0
ä) Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 1 , äëÿ ïåðåìíîæåíèÿ êîðíåé îäíîé è òîé æå ñòåïåíè äîñòàòî÷íî ïåðåìíîæèòü
ïîäêîðåííûå âûðàæåíèÿ è èç ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà èçâëå÷ü êîðåíü òîé æå ñòåïåíè. Çíà÷èò,
ïîêàçàòåëè íà 3, ïîëó÷èì
5
5
q à) Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî 10, ïîëó÷èì
4555 =
Ö 45a
x2 x =
5
5
a × a2 = a × a2 = a3 .
å) Ïðåæäå âñåãî íóæíî ïðèâåñòè ðàäèêàëû ê îäíîìó ïîêàçàòåëþ. Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 50, ìû ìîæåì
ïîêàçàòåëü êîðíÿ è ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ óìíîæèòü íà îäíî è òî æå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ïîýòîìó
´
6
a =
6
3
a =
6
a 2 . Äàëåå èìååì
6
a2 ´
a 3 . Ðàçäåëèâ òåïåðü ïîêàçàòåëè êîðíÿ è ñòå-
ïåíè ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ íà 3, ïîëó÷èì
6
a3 =
= a. n
Íà ïðàêòèêå ïðè âûïîëíåíèè äåéñòâèé íàä ðàäèêàëàìè äîâîëüíî ÷àñòî ïåðåõîäÿò ê äðîáíûì ïîêàçàòåëÿì. Íàïðèìåð,
8
3
x ×
12
x
7
=
3
x8
7
12
×x
=
3 7
+
x 8 12
=
23
x 24
=
24
x23 .
97
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 8. Èððàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ïîëüçóåìñÿ âíåñåíèåì ìíîæèòåëÿ ïîä çíàê êîðíÿ:
§ 8. Èððàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
3
70. Ïðîñòåéøèå ïðåîáðàçîâàíèÿ àðèôìåòè÷åñêèõ êîðíåé (ðàäèêàëîâ). Ïðè ïðåîáðàçîâàíèè
àðèôìåòè÷åñêèõ êîðíåé èñïîëüçóþòñÿ èõ ñâîéñòâà
10 — 50 (ñì. ï. 37).
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå:
5
à)
5
æ3 2 ö
45a5 ; á) ç a ÷ ; â)
è
ø
5
3
4
30
3
x2 x ; ã)
29 ;
6
ä) a × a2 ; å) a × a (âñå ïåðåìåííûå ñ÷èòàþòñÿ
ïðèíèìàþùèìè òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ).
9a4 × 5a = 9 × a 4 × 5a = 3a2 5a .
Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ âûíåñåíèåì ìíîæèòåëÿ èç-ïîä çíàêà êîðíÿ.
5
æ3
ö
á) Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 3 , èìååì ç a2 ÷ =
ø
è
0
=
3
3
3
a9 × a =
3
3
3
a10 =
3
a9 × a = a3 a .
â) Ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå x
96
(a ) =
a10 . Óïðîñòèì ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå, äëÿ ÷åãî
âûíåñåì ìíîæèòåëü çà çíàê êîðíÿ. Òîãäà
=
2 5
23
x , äëÿ ÷åãî âîñ-
3
(x 2 ) 3 ×
3
x =
3
x6 ×
3
x =
Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 40, èìååì
3
4 3
3
x6 × x =
x7 =
12
x7 .
x7 .
ã) Â ñèëó ñâîéñòâà 50 ïîêàçàòåëü êîðíÿ è ïîêàçàòåëü
ñòåïåíè ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ ìîæíî ðàçäåëèòü íà
îäíî è òî æå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ðàçäåëèâ óêàçàííûå
30
10
10
8.
29 = 23 ===
0
ä) Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 1 , äëÿ ïåðåìíîæåíèÿ êîðíåé îäíîé è òîé æå ñòåïåíè äîñòàòî÷íî ïåðåìíîæèòü
ïîäêîðåííûå âûðàæåíèÿ è èç ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà èçâëå÷ü êîðåíü òîé æå ñòåïåíè. Çíà÷èò,
ïîêàçàòåëè íà 3, ïîëó÷èì
5
5
q à) Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî 10, ïîëó÷èì
4555 =
Ö 45a
x2 x =
5
5
a × a2 = a × a2 = a3 .
å) Ïðåæäå âñåãî íóæíî ïðèâåñòè ðàäèêàëû ê îäíîìó ïîêàçàòåëþ. Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 50, ìû ìîæåì
ïîêàçàòåëü êîðíÿ è ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ óìíîæèòü íà îäíî è òî æå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ïîýòîìó
´
6
a =
6
3
a =
6
a 2 . Äàëåå èìååì
6
a2 ´
a 3 . Ðàçäåëèâ òåïåðü ïîêàçàòåëè êîðíÿ è ñòå-
ïåíè ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ íà 3, ïîëó÷èì
6
a3 =
= a. n
Íà ïðàêòèêå ïðè âûïîëíåíèè äåéñòâèé íàä ðàäèêàëàìè äîâîëüíî ÷àñòî ïåðåõîäÿò ê äðîáíûì ïîêàçàòåëÿì. Íàïðèìåð,
8
3
x ×
12
x
7
=
3
x8
7
12
×x
=
3 7
+
x 8 12
=
23
x 24
=
24
x23 .
97
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
71. Òîæäåñòâî Öa2 = |a|. Óïðîñòèì âûðàæåíèå
a2 .
Çäåñü âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ: a ³ 0 èëè a < 0. Åñëè
a ³ 0, òî a2 = a; åñëè æå a < 0, òî
Çíà÷èò,
a2 = -a.
Íî òî÷íî òàê æå îïðåäåëÿåòñÿ ìîäóëü äåéñòâèa2 = a .
Íàïðèìåð, 32 = 3 = 3 ; ( -5) 2 = - 5 = -( -5) = 5.
Âîîáùå, åñëè n — ÷åòíîå ÷èñëî, ò. å. n = 2k, òî
2k
a
2k
= a.
2
x - 6x + 9 + 2 - x + x - 3.
q Èìååì
x - 6x + 9 =
(x - 3)
2
4
q 1)
4
=
x3 -
=
2 - x,
òî 2 - x ³ 0, îòêóäà íàõîäèì, ÷òî x £ 2. Çíà÷èò,
õ – 3 < 0, à ïîòîìó x - 3 = -(x - 3) = 3 - x. Èòàê,
x2 - 6x + 9 = 3 - x, è ìû ïîëó÷àåì
x2 - 6x + 9 + 2 - x + x - 3 =
= 3 - x + 2 - x + x - 3 = 2 - x. n
4
x
1- x
4
x ( x - 1)
1- x
4
æ 1
3) ç 4
ç
è x
x
=
2
ö
æ 0
2
çx +
+ x -1 ÷÷
ç
x
ø
è
-
1
2
.
4
x ( x 2 - 1)
1- x
=
4
1+ x
4
4
ö
÷
÷÷
ø
= - x;
x
- x +1+ x
= x - 3 . Òàê
êàê çàäàííîå âûðàæåíèå ñîäåðæèò ñëàãàåìîå
98
72. Ïðåîáðàçîâàíèå èððàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ èððàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé èñïîëüçóþò ñâîéñòâà ðàäèêàëîâ (ñì. ï. 37)
è ñâîéñòâà ñòåïåíè ñ ðàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì
(ñì. ï. 40).
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå
2) - 4 x +
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü
2
§ 8. Èððàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
æ4 3 4
x - x 1+ x
f (x) = çç
+
4
ç 1- x
x
è
åñëèaa³³0,
0,
ìaa,, если
a =í
еслиaa<<
a ,, åñëè
0.0.
î-–a
2
òåëüíîãî ÷èñëà (ñì. ï. 28). Èòàê,
ÀËÃÅÁÐÀ
=
=
-
4
1
4
x
44
x·Ö
x x++1 1
+ + xÖx
= =
4
x
;
2
ö
1
1
÷ =
=
;
4
÷
2
x
( x)
ø
2
2
1
+ x -1 = 1 +
+ =
4) x 0 +
x
x x
=
x + 2 x + 1 ( x + 1)2
=
.
x
x
99
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
71. Òîæäåñòâî Öa2 = |a|. Óïðîñòèì âûðàæåíèå
a2 .
Çäåñü âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ: a ³ 0 èëè a < 0. Åñëè
a ³ 0, òî a2 = a; åñëè æå a < 0, òî
Çíà÷èò,
a2 = -a.
Íî òî÷íî òàê æå îïðåäåëÿåòñÿ ìîäóëü äåéñòâèa2 = a .
Íàïðèìåð, 32 = 3 = 3 ; ( -5) 2 = - 5 = -( -5) = 5.
Âîîáùå, åñëè n — ÷åòíîå ÷èñëî, ò. å. n = 2k, òî
2k
a
2k
= a.
2
x - 6x + 9 + 2 - x + x - 3.
q Èìååì
x - 6x + 9 =
(x - 3)
2
4
q 1)
4
=
x3 -
=
2 - x,
òî 2 - x ³ 0, îòêóäà íàõîäèì, ÷òî x £ 2. Çíà÷èò,
õ – 3 < 0, à ïîòîìó x - 3 = -(x - 3) = 3 - x. Èòàê,
x2 - 6x + 9 = 3 - x, è ìû ïîëó÷àåì
x2 - 6x + 9 + 2 - x + x - 3 =
= 3 - x + 2 - x + x - 3 = 2 - x. n
4
x
1- x
4
x ( x - 1)
1- x
4
æ 1
3) ç 4
ç
è x
x
=
2
ö
æ 0
2
çx +
+ x -1 ÷÷
ç
x
ø
è
-
1
2
.
4
x ( x 2 - 1)
1- x
=
4
1+ x
4
4
ö
÷
÷÷
ø
= - x;
x
- x +1+ x
= x - 3 . Òàê
êàê çàäàííîå âûðàæåíèå ñîäåðæèò ñëàãàåìîå
98
72. Ïðåîáðàçîâàíèå èððàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ èððàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé èñïîëüçóþò ñâîéñòâà ðàäèêàëîâ (ñì. ï. 37)
è ñâîéñòâà ñòåïåíè ñ ðàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì
(ñì. ï. 40).
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå
2) - 4 x +
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü
2
§ 8. Èððàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
æ4 3 4
x - x 1+ x
f (x) = çç
+
4
ç 1- x
x
è
åñëèaa³³0,
0,
ìaa,, если
a =í
еслиaa<<
a ,, åñëè
0.0.
î-–a
2
òåëüíîãî ÷èñëà (ñì. ï. 28). Èòàê,
ÀËÃÅÁÐÀ
=
=
-
4
1
4
x
44
x·Ö
x x++1 1
+ + xÖx
= =
4
x
;
2
ö
1
1
÷ =
=
;
4
÷
2
x
( x)
ø
2
2
1
+ x -1 = 1 +
+ =
4) x 0 +
x
x x
=
x + 2 x + 1 ( x + 1)2
=
.
x
x
99
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
æ ( x + 1)2 ö
÷
5) ç
ç
÷
x
è
ø
=
6)
x
( x + 1)
1
x
×
2
-
1
2
x
=
x
x +1
æ
x
=ç
ç ( x + 1)2
è
x +1
=
1
ö2
÷ =
÷
ø
.
1
x +1
.
Îáû÷íî ñòàðàþòñÿ çàïèñàòü îòâåò òàê, ÷òîáû â çíàìåíàòåëå íå ñîäåðæàëàñü èððàöèîíàëüíîñòü. Äëÿ
èçáàâëåíèÿ îò èððàöèîíàëüíîñòè â çíàìåíàòåëå äðî1
áè
óìíîæèì è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàòåëü íà
x +1
x - 1 — ýòî âûðàæåíèå íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì
äëÿ âûðàæåíèÿ
1
x +1
=
x + 1. Ïîëó÷èì
x -1
( x + 1) ( x - 1)
=
x -1
2
2
( x) - 1
=
x -1
.n
x -1
§ 9. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ
ïåðåìåííóþ ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà
73. Ïîíÿòèå òðàíñöåíäåíòíîãî âûðàæåíèÿ. Òðàíñöåíäåíòíûì íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå, ñîäåðæàùåå ïåðåìåííûå ïîä çíàêîì òðàíñöåíäåíòíîé ôóíêöèè,
ò.å. ïîä çíàêîì ïîêàçàòåëüíîé, ëîãàðèôìè÷åñêîé, òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ èëè îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
ôóíêöèé (ñì. ïï. 114, 116, 118, 126–128).
100
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 9. Ïðåîáðàçîâàíèå ëîãàðèôì. âûðàæåíèé
Ïðèìåðû òðàíñöåíäåíòíûõ âûðàæåíèé: log2 a + log2 b;
sin a × cos b × cos g; arcsin (x 2 - x).
74. Îïðåäåëåíèå ëîãàðèôìà ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ïî äàííîìó îñíîâàíèþ. Ëîãàðèôìîì ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà x ïî îñíîâàíèþ a (a > 0, a ¹ 1) íàçûâàåòñÿ ïîêàçàòåëü ñòåïåíè, â êîòîðóþ íóæíî âîçâåñòè ÷èñëî a, ÷òîáû ïîëó÷èòü ÷èñëî x:
a loga x = x.
y
Ðàâåíñòâî loga x = y îçíà÷àåò, ÷òî a = x.
Íàïðèìåð,
log3 81 = 4,
òàê
êàê
34 = 81;
log10 0,001 = -3, ïîñêîëüêó 10-3 = 0,001; log0,5 2 =
= – 0,5, òàê êàê (0,5) -0,5 = 20,5 = 2.
 çàïèñè loga x ÷èñëî a — îñíîâàíèå ëîãàðèôìa,
x — ëîãàðèôìèðóåìîå ÷èñëî.
Èç îïðåäåëåíèÿ ëîãàðèôìà âûòåêàþò ñëåäóþùèå
âàæíûå ðàâåíñòâà:
loga 1 = 0, log a a = 1.
Ïåðâîå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî a 0 = 1, à âòîðîå — èç
òîãî, ÷òî a1 = a. Âîîáùå, èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
log a a r = r.
75. Ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ.
10. Åñëè x1 > 0 è x2 > 0, òî
loga (x1x2 ) = loga x1 + log a x2
(ëîãàðèôì ïðîèçâåäåíèÿ ðàâåí ñóììå ëîãàðèôìîâ
ìíîæèòåëåé).
101
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
Òàê, log3 15 = log3 (3 × 5) = log3 3 + log3 5 = 1 + log3 5.
20. Åñëè x1 > 0 è x2 > 0, òî
x
log a 1 = log a x1 - log a x2
x2
(ëîãàðèôì ÷àñòíîãî ðàâåí ðàçíîñòè ëîãàðèôìîâ äåëèìîãî è äåëèòåëÿ).
5
Òàê, log2 1,25 = log2 = log2 5 - log2 4 = log2 5 - 2.
4
Åñëè æå x1 < 0 è x2 < 0, òî ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
log a (x1x2 ) = log a x1 + log a x2 ,
x1
= log a x1 - log a x2 .
x2
30. Åñëè x > 0, òî
log a
log a x r = r log a x
(ëîãàðèôì ñòåïåíè ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïîêàçàòåëÿ
ñòåïåíè íà ëîãàðèôì îñíîâàíèÿ).
Íàïðèìåð, log5 81 = log5 34 = 4 log 5 3; log 3 2 =
= log 3 20,5 = 0,5 log 3 2.
Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: åñëè k —
÷åòíîå ÷èñëî, òî loga x k = k loga x äëÿ ëþáîãî x ¹ 0.
Íàïðèìåð, log2 x 4 = 4 log2 x ; log3 x 2 = 2 log3 x .
102
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 9. Ïðåîáðàçîâàíèå ëîãàðèôì. âûðàæåíèé
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå äâà ñâîéñòâà, ïîçâîëÿþùèå ïåðåéòè ê íîâîìó îñíîâàíèþ ëîãàðèôìà:
log b x
40. Åñëè x > 0, òî log a x =
log b a
(ôîðìóëà ïåðåõîäà ê íîâîìó îñíîâàíèþ).
Íàïðèìåð,
log2 3 =
log5 3
logb b
1
; loga b =
.
=
log5 2
logb a logb a
50. Åñëè x > 0, òî
log a x = log ak x k .
3
Òàê, log2 5 = log23 5 = log
2
5.
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü log5 6, åñëè log2 3 = a,
log2 10 = b.
q Ïåðåéäåì â log5 6 ê îñíîâàíèþ 2. Âîñïîëüçîâàâøèñü ñâîéñòâîì 40, ïîëó÷èì
log5 6 =
log2 6 log2 (2 × 3)
log2 2 + log2 3
1+ a
.
=
=
=
n
10
log2 5
log2 10 - log2 2 b - 1
log2
2
76. Ëîãàðèôìèðîâàíèå è ïîòåíöèðîâàíèå. Åñëè
íåêîòîðîå âûðàæåíèå À ñîñòàâëåíî èç ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë ñ ïîìîùüþ îïåðàöèé óìíîæåíèÿ, äåëåíèÿ
è âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü, òî, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ, ìîæíî âûðàçèòü log a A ÷åðåç ëîãàðèôìû
âõîäÿùèõ â âûðàæåíèå À ÷èñåë. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ ëîãàðèôìèðîâàíèåì.
103
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
Òàê, log3 15 = log3 (3 × 5) = log3 3 + log3 5 = 1 + log3 5.
20. Åñëè x1 > 0 è x2 > 0, òî
x
log a 1 = log a x1 - log a x2
x2
(ëîãàðèôì ÷àñòíîãî ðàâåí ðàçíîñòè ëîãàðèôìîâ äåëèìîãî è äåëèòåëÿ).
5
Òàê, log2 1,25 = log2 = log2 5 - log2 4 = log2 5 - 2.
4
Åñëè æå x1 < 0 è x2 < 0, òî ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
log a (x1x2 ) = log a x1 + log a x2 ,
x1
= log a x1 - log a x2 .
x2
30. Åñëè x > 0, òî
log a
log a x r = r log a x
(ëîãàðèôì ñòåïåíè ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïîêàçàòåëÿ
ñòåïåíè íà ëîãàðèôì îñíîâàíèÿ).
Íàïðèìåð, log5 81 = log5 34 = 4 log 5 3; log 3 2 =
= log 3 20,5 = 0,5 log 3 2.
Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: åñëè k —
÷åòíîå ÷èñëî, òî loga x k = k loga x äëÿ ëþáîãî x ¹ 0.
Íàïðèìåð, log2 x 4 = 4 log2 x ; log3 x 2 = 2 log3 x .
102
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 9. Ïðåîáðàçîâàíèå ëîãàðèôì. âûðàæåíèé
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå äâà ñâîéñòâà, ïîçâîëÿþùèå ïåðåéòè ê íîâîìó îñíîâàíèþ ëîãàðèôìà:
log b x
40. Åñëè x > 0, òî log a x =
log b a
(ôîðìóëà ïåðåõîäà ê íîâîìó îñíîâàíèþ).
Íàïðèìåð,
log2 3 =
log5 3
logb b
1
; loga b =
.
=
log5 2
logb a logb a
50. Åñëè x > 0, òî
log a x = log ak x k .
3
Òàê, log2 5 = log23 5 = log
2
5.
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü log5 6, åñëè log2 3 = a,
log2 10 = b.
q Ïåðåéäåì â log5 6 ê îñíîâàíèþ 2. Âîñïîëüçîâàâøèñü ñâîéñòâîì 40, ïîëó÷èì
log5 6 =
log2 6 log2 (2 × 3)
log2 2 + log2 3
1+ a
.
=
=
=
n
10
log2 5
log2 10 - log2 2 b - 1
log2
2
76. Ëîãàðèôìèðîâàíèå è ïîòåíöèðîâàíèå. Åñëè
íåêîòîðîå âûðàæåíèå À ñîñòàâëåíî èç ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë ñ ïîìîùüþ îïåðàöèé óìíîæåíèÿ, äåëåíèÿ
è âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü, òî, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ, ìîæíî âûðàçèòü log a A ÷åðåç ëîãàðèôìû
âõîäÿùèõ â âûðàæåíèå À ÷èñåë. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ ëîãàðèôìèðîâàíèåì.
103
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
Ï ð è ì å ð 1. Ïðîëîãàðèôìèðîâàòü ïî îñíîâàíèþ 5 âûðàæåíèå
125a3b2
, ãäå a, b, c — ïîëîæè-
c
òåëüíûå ÷èñëà.
q Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ (ñì. ï. 75), ïîëó÷èì
log5
125a3b 2
c
= log5 (125a3b2 ) - log5 c =
= log5 125 + log5 a3 + log5 b2 - log5 c0,5 =
= 3 + 3 log5 a + 2 log5 b - 0,5 log5 c. n
×àñòî ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü îáðàòíóþ çàäà÷ó: íàõîäèòü âûðàæåíèå ïî åãî ëîãàðèôìó. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèðîâàíèåì.
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè x, åñëè
log3 x = 2 log3 5 + 0,5 log3 8 - 3 log3 10.
q Èìååì
log 3 x = log3 25 + log 3 80,5 - log3 103 =
= log3
25 × 2 2
2
= log3
.
1000
20
Èç ðàâåíñòâà log3 x = log3
2
2
íàõîäèì x =
.n
20
20
77. Äåñÿòè÷íûé ëîãàðèôì. Õàðàêòåðèñòèêà è
ìàíòèññà äåñÿòè÷íîãî ëîãàðèôìà. Åñëè îñíîâàíèå
ëîãàðèôìà ðàâíî 10, òî ëîãàðèôì íàçûâàåòñÿ äåñÿòè÷íûì. Âìåñòî çàïèñè log10 x ïðèíÿòà çàïèñü lg x.
104
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 9. Ïðåîáðàçîâàíèå ëîãàðèôì. âûðàæåíèé
 ÷àñòíîñòè, äëÿ äåñÿòè÷íûõ ëîãàðèôìîâ ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:
10lg a = a;
lg 1 = 0;
lg 10 = 1;
lg 100 = 2;
lg 1000 = 3;
lg 0,1 = -1;
lg 0,01 = -2;
lg 0,001 = -3;
lg 0,0001 = -4;
lg 10n = n.
Ïóñòü ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî à ïðåäñòàâëåíî â ñòàíäàðòíîì âèäå (ñì. ï. 36):
a = a1 × 10n ,
ãäå
1 £ a1 < 10, n Î Z (n — ïîðÿäîê ÷èñëà à). Ïðîëîãàðèôìèðóåì ÷èñëî à ïî îñíîâàíèþ 10, âîñïîëüçîâàâøèñü ñâîéñòâàìè ëîãàðèôìîâ (ñì. ï. 75). Èìååì
n
lg a = lg (a1 × 10 n ) = lg a1 + lg 10 = lg a1 + n. Èòàê,
lg a = lg a1 + n.
(1)
Òàê êàê 1 £ a1 < 10, òî lg 1 £ lg a1 < lg 10, ò.å.
0 £ lg a1 < 1. Ïîýòîìó èç ðàâåíñòâà (1) ñëåäóåò, ÷òî n
åñòü íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå ÷èñëî lg a, èíà÷å ãîâîðÿ, n åñòü öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà lg a,
ò. å. n = [lg a] (ñì. ï. 33). Ñëàãàåìîå lg a1 åñòü äðîá-
íàÿ ÷àñòü ÷èñëà lg a, ò.å. lg a1 = {lg a} (ñì. ï. 33).
Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà lg a, ò.å. ïîðÿäîê ÷èñëà à, íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòèêîé lg a, à äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà
lg a — åãî ìàíòèññîé.
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: åñëè ÷èñëî
a > 0 óìíîæèòü íà 10k , ãäå k — öåëîå ÷èñëî, òî
105
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
Ï ð è ì å ð 1. Ïðîëîãàðèôìèðîâàòü ïî îñíîâàíèþ 5 âûðàæåíèå
125a3b2
, ãäå a, b, c — ïîëîæè-
c
òåëüíûå ÷èñëà.
q Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ (ñì. ï. 75), ïîëó÷èì
log5
125a3b 2
c
= log5 (125a3b2 ) - log5 c =
= log5 125 + log5 a3 + log5 b2 - log5 c0,5 =
= 3 + 3 log5 a + 2 log5 b - 0,5 log5 c. n
×àñòî ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü îáðàòíóþ çàäà÷ó: íàõîäèòü âûðàæåíèå ïî åãî ëîãàðèôìó. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèðîâàíèåì.
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè x, åñëè
log3 x = 2 log3 5 + 0,5 log3 8 - 3 log3 10.
q Èìååì
log 3 x = log3 25 + log 3 80,5 - log3 103 =
= log3
25 × 2 2
2
= log3
.
1000
20
Èç ðàâåíñòâà log3 x = log3
2
2
íàõîäèì x =
.n
20
20
77. Äåñÿòè÷íûé ëîãàðèôì. Õàðàêòåðèñòèêà è
ìàíòèññà äåñÿòè÷íîãî ëîãàðèôìà. Åñëè îñíîâàíèå
ëîãàðèôìà ðàâíî 10, òî ëîãàðèôì íàçûâàåòñÿ äåñÿòè÷íûì. Âìåñòî çàïèñè log10 x ïðèíÿòà çàïèñü lg x.
104
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 9. Ïðåîáðàçîâàíèå ëîãàðèôì. âûðàæåíèé
 ÷àñòíîñòè, äëÿ äåñÿòè÷íûõ ëîãàðèôìîâ ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:
10lg a = a;
lg 1 = 0;
lg 10 = 1;
lg 100 = 2;
lg 1000 = 3;
lg 0,1 = -1;
lg 0,01 = -2;
lg 0,001 = -3;
lg 0,0001 = -4;
lg 10n = n.
Ïóñòü ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî à ïðåäñòàâëåíî â ñòàíäàðòíîì âèäå (ñì. ï. 36):
a = a1 × 10n ,
ãäå
1 £ a1 < 10, n Î Z (n — ïîðÿäîê ÷èñëà à). Ïðîëîãàðèôìèðóåì ÷èñëî à ïî îñíîâàíèþ 10, âîñïîëüçîâàâøèñü ñâîéñòâàìè ëîãàðèôìîâ (ñì. ï. 75). Èìååì
n
lg a = lg (a1 × 10 n ) = lg a1 + lg 10 = lg a1 + n. Èòàê,
lg a = lg a1 + n.
(1)
Òàê êàê 1 £ a1 < 10, òî lg 1 £ lg a1 < lg 10, ò.å.
0 £ lg a1 < 1. Ïîýòîìó èç ðàâåíñòâà (1) ñëåäóåò, ÷òî n
åñòü íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå ÷èñëî lg a, èíà÷å ãîâîðÿ, n åñòü öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà lg a,
ò. å. n = [lg a] (ñì. ï. 33). Ñëàãàåìîå lg a1 åñòü äðîá-
íàÿ ÷àñòü ÷èñëà lg a, ò.å. lg a1 = {lg a} (ñì. ï. 33).
Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà lg a, ò.å. ïîðÿäîê ÷èñëà à, íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòèêîé lg a, à äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà
lg a — åãî ìàíòèññîé.
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: åñëè ÷èñëî
a > 0 óìíîæèòü íà 10k , ãäå k — öåëîå ÷èñëî, òî
105
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
ìàíòèññà ëîãàðèôìà íå èçìåíèòñÿ, èíûìè ñëîâàìè,
lg a è lg (a × 10k ) èìåþò îäèíàêîâûå ìàíòèññû.
78. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå âûðàæåíèÿ. Âûðàæåíèå,
â êîòîðîì ïåðåìåííàÿ ñîäåðæèòñÿ ïîä çíàêàìè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, íàçûâàþò òðèãîíîìåòðè÷åñêèì. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
âûðàæåíèé èñïîëüçóþò ñâîéñòâà òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, îòìå÷åííûå â ïï. 120–125 è ôîðìóëû
òðèãîíîìåòðèè, óêàçàííûå â ïï. 79–87.
79. Ôîðìóëû ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ àðãóìåíòîâ. Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë a è b ñïðàâåäëèâû ôîðìóëû
(1)
(2)
(3)
(4)
tg a + tg b
tg (a + b) =
,
1 - tg a tg b
(5)
tg a - tg b
,
1 + tg a tg b
(6)
tg (a - b) =
êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ àðãóìåíòîâ.
106
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
Ôîðìóëà (5) âåðíà ïðè a, b, a + b, îòëè÷íûõ îò
p
+ pk, k Î Z, à ôîðìóëà (6) — ïðè a, b, a - b, îò2
p
+ pk, k Î Z.
ëè÷íûõ îò
2
§ 10. Ôîðìóëû òðèãîíîìåòðèè è èõ
èñïîëüçîâàíèå äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ
òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ âûðàæåíèé
cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b,
cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b,
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b,
sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b,
ÀËÃÅÁÐÀ
Ï ð è ì å ð 1. Âû÷èñëèòü sin 75 o.
q Èìååì sin 75o = sin (30o + 45o ). Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé (3) ïðè a = 30o , b = 45o , ïîëó÷èì
sin (30o + 45o ) = sin 30o cos 45o + cos 30o sin 45o.
Èçâåñòíî, ÷òî sin 30o =
cos 30o =
2
1
, cos 45o = sin 45o =
,
2
2
3
(ñì. ï. 118). Çíà÷èò,
2
sin 75o = sin (30o + 45o ) =
1 2
3 2
2+ 6
×
+
×
=
.n
2 2
2 2
4
3
ö
æp
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè tgç + a ÷, åñëè tg a = .
4
4
ø
è
p
q Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (5) è òåì, ÷òî tg = 1.
4
Èìååì
p
3
tg + tg a
1+
1 + tg a
ö
æp
4
4 = 7.
tg ç + a ÷ =
=
=
n
p
3
4
1
tg
a
ø 1 - tg tg a
è
14
4
107
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
ìàíòèññà ëîãàðèôìà íå èçìåíèòñÿ, èíûìè ñëîâàìè,
lg a è lg (a × 10k ) èìåþò îäèíàêîâûå ìàíòèññû.
78. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå âûðàæåíèÿ. Âûðàæåíèå,
â êîòîðîì ïåðåìåííàÿ ñîäåðæèòñÿ ïîä çíàêàìè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, íàçûâàþò òðèãîíîìåòðè÷åñêèì. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
âûðàæåíèé èñïîëüçóþò ñâîéñòâà òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, îòìå÷åííûå â ïï. 120–125 è ôîðìóëû
òðèãîíîìåòðèè, óêàçàííûå â ïï. 79–87.
79. Ôîðìóëû ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ àðãóìåíòîâ. Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë a è b ñïðàâåäëèâû ôîðìóëû
(1)
(2)
(3)
(4)
tg a + tg b
tg (a + b) =
,
1 - tg a tg b
(5)
tg a - tg b
,
1 + tg a tg b
(6)
tg (a - b) =
êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ àðãóìåíòîâ.
106
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
Ôîðìóëà (5) âåðíà ïðè a, b, a + b, îòëè÷íûõ îò
p
+ pk, k Î Z, à ôîðìóëà (6) — ïðè a, b, a - b, îò2
p
+ pk, k Î Z.
ëè÷íûõ îò
2
§ 10. Ôîðìóëû òðèãîíîìåòðèè è èõ
èñïîëüçîâàíèå äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ
òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ âûðàæåíèé
cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b,
cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b,
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b,
sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b,
ÀËÃÅÁÐÀ
Ï ð è ì å ð 1. Âû÷èñëèòü sin 75 o.
q Èìååì sin 75o = sin (30o + 45o ). Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé (3) ïðè a = 30o , b = 45o , ïîëó÷èì
sin (30o + 45o ) = sin 30o cos 45o + cos 30o sin 45o.
Èçâåñòíî, ÷òî sin 30o =
cos 30o =
2
1
, cos 45o = sin 45o =
,
2
2
3
(ñì. ï. 118). Çíà÷èò,
2
sin 75o = sin (30o + 45o ) =
1 2
3 2
2+ 6
×
+
×
=
.n
2 2
2 2
4
3
ö
æp
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè tgç + a ÷, åñëè tg a = .
4
4
ø
è
p
q Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (5) è òåì, ÷òî tg = 1.
4
Èìååì
p
3
tg + tg a
1+
1 + tg a
ö
æp
4
4 = 7.
tg ç + a ÷ =
=
=
n
p
3
4
1
tg
a
ø 1 - tg tg a
è
14
4
107
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
80. Ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ. Ïîä ôîðìóëàìè ïðèâåäåíèÿ ïîíèìàþò îáû÷íî ôîðìóëû, ïîçâîëÿþùèå
ñâåñòè çíà÷åíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè àðãópn
ìåíòà âèäà
± a, n Î Z, ê ôóíêöèè àðãóìåíòà a.
2
ö
æp
Ïóñòü, íàïðèìåð, íóæíî âû÷èñëèòü sin ç + a ÷.
ø
è2
Èìååì
p
p
ö
æp
sin ç + a ÷ = sin cos a + cos sin a =
2
2
ø
è2
= 1 × cos a + 0 × sin a = cos a.
Ïîäîáíûì æå îáðàçîì âûâîäÿòñÿ è îñòàëüíûå
ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ, êîòîðûå äàíû â ñëåäóþùåé òàáëèöå:
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
Äëÿ îáëåã÷åíèÿ çàïîìèíàíèÿ ôîðìóë ïðèâåäåíèÿ
èñïîëüçóþò ñëåäóþùåå ïðàâèëî:
1.  ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû ñòàâÿò òîò çíàê, êîòîp
ðûé èìåëà áû ëåâàÿ ÷àñòü ïðè óñëîâèè 0 < a < .
2
p
2. Åñëè â ëåâîé ÷àñòè ôîðìóëû óãîë ðàâåí
±a
2
3p
èëè
± a, òî ñèíóñ çàìåíÿþò íà êîñèíóñ, òàíãåíñ —
2
íà êîòàíãåíñ è íàîáîðîò; åñëè æå óãîë ðàâåí p ± a
èëè 2p - a, òî çàìåíû íå ïðîèñõîäèò.
81. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè
ôóíêöèÿìè îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà. Åñëè â ôîðìóëå (2) èç ï. 79 ïîëîæèòü a = b = t, òî ïîëó÷èì
cos2 t + sin2 t = 1,
Ôóíêöèÿ
îòêóäà â ñâîþ î÷åðåäü íàõîäèì
Àðãóìåíò t
p
-a
2
p
+a
2
p-a p+a
sin t
cos a
cos a
sin a - sin a - cos a - cos a - sin a
cos t
sin a
- sin a - cos a - cos a - sin a
tg t
ctg a
- ctg a - tg a
ctg t
tg a
108
tg a
- tg a - ctg a ctg a
(1)
3p
-a
2
3p
+ a 2p - a
2
sin a
cos a
ctg a - ctg a - tg a
tg a
- tg a - ctg a
1 + tg 2 t =
1
(2)
,
cos2 t
1
(3)
.
1 + ctg2 t =
sin2 t
p
Òîæäåñòâî (2) ñïðàâåäëèâî ïðè t ¹ + pn, n Î Z, à
2
òîæäåñòâî (3) — ïðè t ¹ pn, n Î Z.
Ðàâåíñòâà (1), (2), (3) ñâÿçûâàþò ìåæäó ñîáîé ðàçëè÷íûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îäíîãî è òîãî
109
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
80. Ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ. Ïîä ôîðìóëàìè ïðèâåäåíèÿ ïîíèìàþò îáû÷íî ôîðìóëû, ïîçâîëÿþùèå
ñâåñòè çíà÷åíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè àðãópn
ìåíòà âèäà
± a, n Î Z, ê ôóíêöèè àðãóìåíòà a.
2
ö
æp
Ïóñòü, íàïðèìåð, íóæíî âû÷èñëèòü sin ç + a ÷.
ø
è2
Èìååì
p
p
ö
æp
sin ç + a ÷ = sin cos a + cos sin a =
2
2
ø
è2
= 1 × cos a + 0 × sin a = cos a.
Ïîäîáíûì æå îáðàçîì âûâîäÿòñÿ è îñòàëüíûå
ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ, êîòîðûå äàíû â ñëåäóþùåé òàáëèöå:
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
Äëÿ îáëåã÷åíèÿ çàïîìèíàíèÿ ôîðìóë ïðèâåäåíèÿ
èñïîëüçóþò ñëåäóþùåå ïðàâèëî:
1.  ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû ñòàâÿò òîò çíàê, êîòîp
ðûé èìåëà áû ëåâàÿ ÷àñòü ïðè óñëîâèè 0 < a < .
2
p
2. Åñëè â ëåâîé ÷àñòè ôîðìóëû óãîë ðàâåí
±a
2
3p
èëè
± a, òî ñèíóñ çàìåíÿþò íà êîñèíóñ, òàíãåíñ —
2
íà êîòàíãåíñ è íàîáîðîò; åñëè æå óãîë ðàâåí p ± a
èëè 2p - a, òî çàìåíû íå ïðîèñõîäèò.
81. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè
ôóíêöèÿìè îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà. Åñëè â ôîðìóëå (2) èç ï. 79 ïîëîæèòü a = b = t, òî ïîëó÷èì
cos2 t + sin2 t = 1,
Ôóíêöèÿ
îòêóäà â ñâîþ î÷åðåäü íàõîäèì
Àðãóìåíò t
p
-a
2
p
+a
2
p-a p+a
sin t
cos a
cos a
sin a - sin a - cos a - cos a - sin a
cos t
sin a
- sin a - cos a - cos a - sin a
tg t
ctg a
- ctg a - tg a
ctg t
tg a
108
tg a
- tg a - ctg a ctg a
(1)
3p
-a
2
3p
+ a 2p - a
2
sin a
cos a
ctg a - ctg a - tg a
tg a
- tg a - ctg a
1 + tg 2 t =
1
(2)
,
cos2 t
1
(3)
.
1 + ctg2 t =
sin2 t
p
Òîæäåñòâî (2) ñïðàâåäëèâî ïðè t ¹ + pn, n Î Z, à
2
òîæäåñòâî (3) — ïðè t ¹ pn, n Î Z.
Ðàâåíñòâà (1), (2), (3) ñâÿçûâàþò ìåæäó ñîáîé ðàçëè÷íûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îäíîãî è òîãî
109
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
æå àðãóìåíòà. Èçâåñòíû åùå äâà ðàâåíñòâà, ñâÿçûâàþùèå ìåæäó ñîáîé ðàçëè÷íûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå
ôóíêöèè îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà:
sin t
cos t
tg t =
, ctg t =
.
cos t
sin t
Ïåðåìíîæàÿ ýòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå
(4)
tg t × ctg t = 1,
pk
, k Î Z.
ñïðàâåäëèâîå ïðè t ¹
2
3
Ï ð è ì å ð. Èçâåñòíî, ÷òî sin t = - , ïðè÷åì
5
3p
p<t<
. Íàéòè cos t, tg t, ctg t.
2
q Èç ôîðìóëû (1) ñëåäóåò, ÷òî cos2 t = 1 - sin2 t.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
sin t
tg t =
=
cos t
Èòàê, cos t = -
4
3
4
, tg t = , ctg t = . n
5
4
3
82. Ôîðìóëû äâîéíîãî óãëà. Åñëè â ôîðìóëàõ
(3), (1), (5) èç ï. 79 ïîëîæèòü a = t, b = t, òî ïîëó÷èì
ñëåäóþùèå òîæäåñòâà:
(1)
sin 2t = 2 sin t cos t,
cos 2t = cos2 t - sin2 t,
tg 2t =
Ïîäñòàâèâ âìåñòî sin t åãî çíà÷åíèå, ïîëó÷èì
2
9
16
æ 3ö
cos2 t = 1 - ç - ÷ = 1 .
=
25 25
è 5ø
Òàê êàê cos2 t =
16
, òî ëèáî
25
cos t =
4
, ëèáî
5
4
3p
. Ïî óñëîâèþ, p < t <
, ò.å. àðãóìåíò t
5
2
ïðèíàäëåæèò III ÷åòâåðòè. Íî â III ÷åòâåðòè êîñèíóñ
îòðèöàòåëåí, ïîýòîìó èç äâóõ óêàçàííûõ âûøå âîç-
cos t, íàõîäèì tg t è ctg t :
110
2 tg t
1 - tg2 t
.
(2)
(3)
p pk
+
, k Î Z.
4
2
Ñîîòíîøåíèÿ (1), (2) è (3) íàçûâàþò ôîðìóëàìè
äâîéíîãî óãëà. Ñ èõ ïîìîùüþ ñèíóñ, êîñèíóñ, òàíãåíñ ëþáîãî àðãóìåíòà ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè âäâîå ìåíüøåãî àðãóìåíòà.
Íàïðèìåð, ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
Ôîðìóëà (3) âåðíà ïðè t ¹
cos t = -
ìîæíîñòåé âûáèðàåì îäíó: cos t = -
3
5 = 3 , ctg t = 4 .
4
4
3
5
-
4
. Çíàÿ sin t è
5
5t
5t
cos , cos 8t =
- cos2 4t - sin2 4t.
2
2
 ðÿäå ñëó÷àåâ ïîëåçíûì îêàçûâàåòñÿ èñïîëüçîâàíèå ïîëó÷åííûõ ôîðìóë «ñïðàâà íàëåâî», ò.å. çàìåíà âûðàæåíèÿ 2 sin t cos t âûðàæåíèåì sin 2t, âûsin 5t = 2 sin
111
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
æå àðãóìåíòà. Èçâåñòíû åùå äâà ðàâåíñòâà, ñâÿçûâàþùèå ìåæäó ñîáîé ðàçëè÷íûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå
ôóíêöèè îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà:
sin t
cos t
tg t =
, ctg t =
.
cos t
sin t
Ïåðåìíîæàÿ ýòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå
(4)
tg t × ctg t = 1,
pk
, k Î Z.
ñïðàâåäëèâîå ïðè t ¹
2
3
Ï ð è ì å ð. Èçâåñòíî, ÷òî sin t = - , ïðè÷åì
5
3p
p<t<
. Íàéòè cos t, tg t, ctg t.
2
q Èç ôîðìóëû (1) ñëåäóåò, ÷òî cos2 t = 1 - sin2 t.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
sin t
tg t =
=
cos t
Èòàê, cos t = -
4
3
4
, tg t = , ctg t = . n
5
4
3
82. Ôîðìóëû äâîéíîãî óãëà. Åñëè â ôîðìóëàõ
(3), (1), (5) èç ï. 79 ïîëîæèòü a = t, b = t, òî ïîëó÷èì
ñëåäóþùèå òîæäåñòâà:
(1)
sin 2t = 2 sin t cos t,
cos 2t = cos2 t - sin2 t,
tg 2t =
Ïîäñòàâèâ âìåñòî sin t åãî çíà÷åíèå, ïîëó÷èì
2
9
16
æ 3ö
cos2 t = 1 - ç - ÷ = 1 .
=
25 25
è 5ø
Òàê êàê cos2 t =
16
, òî ëèáî
25
cos t =
4
, ëèáî
5
4
3p
. Ïî óñëîâèþ, p < t <
, ò.å. àðãóìåíò t
5
2
ïðèíàäëåæèò III ÷åòâåðòè. Íî â III ÷åòâåðòè êîñèíóñ
îòðèöàòåëåí, ïîýòîìó èç äâóõ óêàçàííûõ âûøå âîç-
cos t, íàõîäèì tg t è ctg t :
110
2 tg t
1 - tg2 t
.
(2)
(3)
p pk
+
, k Î Z.
4
2
Ñîîòíîøåíèÿ (1), (2) è (3) íàçûâàþò ôîðìóëàìè
äâîéíîãî óãëà. Ñ èõ ïîìîùüþ ñèíóñ, êîñèíóñ, òàíãåíñ ëþáîãî àðãóìåíòà ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè âäâîå ìåíüøåãî àðãóìåíòà.
Íàïðèìåð, ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
Ôîðìóëà (3) âåðíà ïðè t ¹
cos t = -
ìîæíîñòåé âûáèðàåì îäíó: cos t = -
3
5 = 3 , ctg t = 4 .
4
4
3
5
-
4
. Çíàÿ sin t è
5
5t
5t
cos , cos 8t =
- cos2 4t - sin2 4t.
2
2
 ðÿäå ñëó÷àåâ ïîëåçíûì îêàçûâàåòñÿ èñïîëüçîâàíèå ïîëó÷åííûõ ôîðìóë «ñïðàâà íàëåâî», ò.å. çàìåíà âûðàæåíèÿ 2 sin t cos t âûðàæåíèåì sin 2t, âûsin 5t = 2 sin
111
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
ðàæåíèÿ cos2 t - sin2 t âûðàæåíèåì cos 2t è, íàêîíåö, âûðàæåíèÿ
2 tg t
1 - tg2 t
âûðàæåíèåì tg 2t.
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå tg t - ctg t.
q tg t - ctg t =
=-
sin t cos t sin2 t - cos2 t
=
=
cos t sin t
sin t cos t
2
2
cos2 t + sin2 t = 1 (ñì. ï. 81), à cos t - sin t = cos 2t
(ñì. ï. 82), íàõîäèì
Àíàëîãè÷íî íàõîäèì
(1)
1 - cos 2t
.
(2)
2
Ôîðìóëû (1) è (2) íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè ïîíèæåsin2 t =
2
íèÿ ñòåïåíè. Îíè ïîçâîëÿþò ïðåîáðàçîâàòü sin t
è cos2 t â âûðàæåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïåðâóþ ñòåïåíü
êîñèíóñà äâîéíîãî àðãóìåíòà. Íàïðèìåð, ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
ö
æ 2p
1 + cosç
+ 2a ÷
3
1
cos
x
x
p
ö
æ
ø.
è
sin2 =
, cos2 ç + a ÷ =
2
2
2
ø
è3
112
Ôîðìóëû (1) è (2) èñïîëüçóþòñÿ è «ñïðàâà íàëåâî» äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñóìì 1 + cos 2t, 1 - cos 2t â
ïðîèçâåäåíèÿ. Íàïðèìåð, âåðíû ðàâåíñòâà
5x
a+b
1 + cos 5x = 2 cos2
, 1 - cos (a + b) = 2 sin2
.
2
2
Ï ð è ì å ð 1. Äîêàçàòü òîæäåñòâî
t
sin t
=
.
2 1 + cos t
q Çíàìåíàòåëü ïðàâîé ÷àñòè ïðåîáðàçóåì ïî ôîðìóëå (1), à ÷èñëèòåëü — ïî ôîðìóëå ñèíóñà äâîéíîãî
óãëà (ñì. ï. 82). Ïîëó÷èì ðàâåíñòâî
83. Ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè. Çíàÿ, ÷òî
1 + cos 2t
.
2
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
tg
cos2 t - sin2 t
cos 2t
= -2
= -2 ctg 2t. n
1
sin 2t
sin 2t
2
cos2 t =
ÀËÃÅÁÐÀ
t
t
t
cos
sin
2
2 =
2 = tg
tg t , n
t
t
2
2 cos2
cos
2
2
ñïðàâåäëèâîå ïðè âñåõ t ¹ p + 2pk, k Î Z.
sin t
=
1 + cos t
2 sin
Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü sin4 x + cos4 x, åñëè
èçâåñòíî, ÷òî cos 2x =
5
.
13
q Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî sin4 x = (sin2 x)2 è
cos4 x = (cos2 x)2 , ïðèìåíèì ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ
ñòåïåíè:
sin4 x + cos4 x = (sin2 x)2 + (cos2 x)2 =
2
2
2 + 2 cos2 2x
æ 1 + cos 2x ö
æ 1 - cos 2x ö
=
=ç
÷ =
÷ +ç
2
2
4
ø
è
ø
è
113
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
ðàæåíèÿ cos2 t - sin2 t âûðàæåíèåì cos 2t è, íàêîíåö, âûðàæåíèÿ
2 tg t
1 - tg2 t
âûðàæåíèåì tg 2t.
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå tg t - ctg t.
q tg t - ctg t =
=-
sin t cos t sin2 t - cos2 t
=
=
cos t sin t
sin t cos t
2
2
cos2 t + sin2 t = 1 (ñì. ï. 81), à cos t - sin t = cos 2t
(ñì. ï. 82), íàõîäèì
Àíàëîãè÷íî íàõîäèì
(1)
1 - cos 2t
.
(2)
2
Ôîðìóëû (1) è (2) íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè ïîíèæåsin2 t =
2
íèÿ ñòåïåíè. Îíè ïîçâîëÿþò ïðåîáðàçîâàòü sin t
è cos2 t â âûðàæåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïåðâóþ ñòåïåíü
êîñèíóñà äâîéíîãî àðãóìåíòà. Íàïðèìåð, ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
ö
æ 2p
1 + cosç
+ 2a ÷
3
1
cos
x
x
p
ö
æ
ø.
è
sin2 =
, cos2 ç + a ÷ =
2
2
2
ø
è3
112
Ôîðìóëû (1) è (2) èñïîëüçóþòñÿ è «ñïðàâà íàëåâî» äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñóìì 1 + cos 2t, 1 - cos 2t â
ïðîèçâåäåíèÿ. Íàïðèìåð, âåðíû ðàâåíñòâà
5x
a+b
1 + cos 5x = 2 cos2
, 1 - cos (a + b) = 2 sin2
.
2
2
Ï ð è ì å ð 1. Äîêàçàòü òîæäåñòâî
t
sin t
=
.
2 1 + cos t
q Çíàìåíàòåëü ïðàâîé ÷àñòè ïðåîáðàçóåì ïî ôîðìóëå (1), à ÷èñëèòåëü — ïî ôîðìóëå ñèíóñà äâîéíîãî
óãëà (ñì. ï. 82). Ïîëó÷èì ðàâåíñòâî
83. Ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè. Çíàÿ, ÷òî
1 + cos 2t
.
2
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
tg
cos2 t - sin2 t
cos 2t
= -2
= -2 ctg 2t. n
1
sin 2t
sin 2t
2
cos2 t =
ÀËÃÅÁÐÀ
t
t
t
cos
sin
2
2 =
2 = tg
tg t , n
t
t
2
2 cos2
cos
2
2
ñïðàâåäëèâîå ïðè âñåõ t ¹ p + 2pk, k Î Z.
sin t
=
1 + cos t
2 sin
Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü sin4 x + cos4 x, åñëè
èçâåñòíî, ÷òî cos 2x =
5
.
13
q Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî sin4 x = (sin2 x)2 è
cos4 x = (cos2 x)2 , ïðèìåíèì ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ
ñòåïåíè:
sin4 x + cos4 x = (sin2 x)2 + (cos2 x)2 =
2
2
2 + 2 cos2 2x
æ 1 + cos 2x ö
æ 1 - cos 2x ö
=
=ç
÷ =
÷ +ç
2
2
4
ø
è
ø
è
113
ÀËÃÅÁÐÀ
=
2
1 + cos 2x
=
2
1+
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
25
169 = 97 .
2
169 n
Íàêîíåö, ðàçäåëèâ ðàâåíñòâî (1) íà (2), ïîëó÷èì
t
2 tg
2 .
(3)
tg t =
2 t
1 - tg
2
Ôîðìóëû (1) — (3) ñïðàâåäëèâû ïðè t ¹ (2n + 1)p,
n Î Z.
2 + 3 cos t
2
t
Ï ð è ì å ð. Íàéòè
, åñëè tg = - .
4 - 5 sin t
2
3
q Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (1) è (2), èìååì
t
.
2
t
t
t
Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâà sin t = 2 sin cos
è cos2 +
2
2
2
t
+ sin2 = 1 (ñì. ïï. 82 è 81), çàïèøåì
2
84. Âûðàæåíèå sin t, cos t è tg t ÷åðåç tg
t
t
cos
t
t
2
2
sin t = 2 sin cos =
.
2
2
2 t
2 t
cos
+ sin
2
2
Ðàçäåëèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ïîñëåäíåé
t
äðîáè ïî÷ëåííî íà cos2 :
2
t
2 tg
2
(1)
sin t =
.
t
1 + tg 2
2
Äàëåå, ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ñèëó ôîðìóëû (2) ï. 82
t
t
cos t = cos2 - sin2 , àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì
2
2
t
1 - tg 2
2
(2)
cos t =
.
t
1 + tg 2
2
2 sin
114
ÀËÃÅÁÐÀ
sin t =
æ 2ö
2ç - ÷
è 3ø
æ 2ö
1 + ç- ÷
è 3ø
2
12
, cos t =
=13
2 + 3 cos t
=
îòêóäà
4 - 5 sin t
4
9 = 5 ,
4 13
1+
9
1-
15
13 = 41 . n
60 112
4+
13
2+
85. Ïðåîáðàçîâàíèå ñóììû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèå. Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå
ôîðìóëû:
a+b
a-b
(1)
sin a + sin b = 2 sin
cos
,
2
2
a-b
a+b
sin a - sin b = 2 sin
cos
,
(2)
2
2
a+b
a-b
(3)
cos a + cos b = 2 cos
cos
,
2
2
115
ÀËÃÅÁÐÀ
=
2
1 + cos 2x
=
2
1+
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
25
169 = 97 .
2
169 n
Íàêîíåö, ðàçäåëèâ ðàâåíñòâî (1) íà (2), ïîëó÷èì
t
2 tg
2 .
(3)
tg t =
2 t
1 - tg
2
Ôîðìóëû (1) — (3) ñïðàâåäëèâû ïðè t ¹ (2n + 1)p,
n Î Z.
2 + 3 cos t
2
t
Ï ð è ì å ð. Íàéòè
, åñëè tg = - .
4 - 5 sin t
2
3
q Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (1) è (2), èìååì
t
.
2
t
t
t
Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâà sin t = 2 sin cos
è cos2 +
2
2
2
t
+ sin2 = 1 (ñì. ïï. 82 è 81), çàïèøåì
2
84. Âûðàæåíèå sin t, cos t è tg t ÷åðåç tg
t
t
cos
t
t
2
2
sin t = 2 sin cos =
.
2
2
2 t
2 t
cos
+ sin
2
2
Ðàçäåëèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ïîñëåäíåé
t
äðîáè ïî÷ëåííî íà cos2 :
2
t
2 tg
2
(1)
sin t =
.
t
1 + tg 2
2
Äàëåå, ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ñèëó ôîðìóëû (2) ï. 82
t
t
cos t = cos2 - sin2 , àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì
2
2
t
1 - tg 2
2
(2)
cos t =
.
t
1 + tg 2
2
2 sin
114
ÀËÃÅÁÐÀ
sin t =
æ 2ö
2ç - ÷
è 3ø
æ 2ö
1 + ç- ÷
è 3ø
2
12
, cos t =
=13
2 + 3 cos t
=
îòêóäà
4 - 5 sin t
4
9 = 5 ,
4 13
1+
9
1-
15
13 = 41 . n
60 112
4+
13
2+
85. Ïðåîáðàçîâàíèå ñóììû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèå. Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå
ôîðìóëû:
a+b
a-b
(1)
sin a + sin b = 2 sin
cos
,
2
2
a-b
a+b
sin a - sin b = 2 sin
cos
,
(2)
2
2
a+b
a-b
(3)
cos a + cos b = 2 cos
cos
,
2
2
115
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
a+b
a-b
(4)
sin
,
2
2
sin (a + b)
(5)
,
tg a + tg b =
cos a cos b
sin(a - b)
tg a - tg b =
.
(6)
cos a cos b
Ôîðìóëû (5) è (6) âåðíû ïðè a è b, îòëè÷íûõ îò
cos a - cos b = -2 sin
p
+ pk, k Î Z.
2
Ï ð è ì å ð. Ïðåîáðàçîâàòü â ïðîèçâåäåíèå
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
cos (a - b) + cos (a + b)
.
2
Ï ð è ì å ð. Ïðåîáðàçîâàòü â ñóììó
cos a cos b =
sin 43o cos 19o.
q Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé (1) ïðè a = 43o ,
b = 19o , ïîëó÷èì
sin 43o cos 19o =
cos 48o - cos 12o.
q Ïðèìåíèâ ôîðìóëó ðàçíîñòè êîñèíóñîâ (4) ïðè
a = 48o , b = 12o , ïîëó÷èì
cos 48o - cos 12o = -2 sin
o
o
o
o
48 + 12
48 - 12
=
sin
2
2
= -2 sin 30o sin 18o.
Òàê êàê sin 30o = 0,5, òî îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
cos 48o - cos 12o = - sin 18o. n
86. Ïðåîáðàçîâàíèå ïðîèçâåäåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ñóììó. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ôîðìóëû:
sin (a - b) + sin (a + b)
(1)
,
sin a cos b =
2
cos (a - b) - cos (a + b)
(2)
sin a sin b =
,
2
116
(3)
=
sin (43o - 19o ) + sin (43o + 19o )
=
2
1
(sin 24o + sin 62o ). n
2
87. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèÿ a cos t + b sin t
ê âèäó A sin (t + a). Ëþáîå âûðàæåíèå âèäà a cos t +
+b sin t ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå A sin (t + a). Äëÿ
ýòîãî âûíåñåì çà ñêîáêè âûðàæåíèå
ëó÷èì
a cos t + b sin t =
æ
a
cos t +
= a2 + b2 ç
ç 2
2
+
a
b
è
æ
a
Íî çç
2
2
è a +b
2
ö
æ
b
÷ +ç
÷
ç 2
2
ø
è a +b
a2 + b2 è ïî-
ö
sin t ÷.
÷
a2 + b2
ø
b
2
ö
÷ = 1. Ýòî çíà÷èò, ÷òî
÷
ø
117
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
a+b
a-b
(4)
sin
,
2
2
sin (a + b)
(5)
,
tg a + tg b =
cos a cos b
sin(a - b)
tg a - tg b =
.
(6)
cos a cos b
Ôîðìóëû (5) è (6) âåðíû ïðè a è b, îòëè÷íûõ îò
cos a - cos b = -2 sin
p
+ pk, k Î Z.
2
Ï ð è ì å ð. Ïðåîáðàçîâàòü â ïðîèçâåäåíèå
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
cos (a - b) + cos (a + b)
.
2
Ï ð è ì å ð. Ïðåîáðàçîâàòü â ñóììó
cos a cos b =
sin 43o cos 19o.
q Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé (1) ïðè a = 43o ,
b = 19o , ïîëó÷èì
sin 43o cos 19o =
cos 48o - cos 12o.
q Ïðèìåíèâ ôîðìóëó ðàçíîñòè êîñèíóñîâ (4) ïðè
a = 48o , b = 12o , ïîëó÷èì
cos 48o - cos 12o = -2 sin
o
o
o
o
48 + 12
48 - 12
=
sin
2
2
= -2 sin 30o sin 18o.
Òàê êàê sin 30o = 0,5, òî îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
cos 48o - cos 12o = - sin 18o. n
86. Ïðåîáðàçîâàíèå ïðîèçâåäåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ñóììó. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ôîðìóëû:
sin (a - b) + sin (a + b)
(1)
,
sin a cos b =
2
cos (a - b) - cos (a + b)
(2)
sin a sin b =
,
2
116
(3)
=
sin (43o - 19o ) + sin (43o + 19o )
=
2
1
(sin 24o + sin 62o ). n
2
87. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèÿ a cos t + b sin t
ê âèäó A sin (t + a). Ëþáîå âûðàæåíèå âèäà a cos t +
+b sin t ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå A sin (t + a). Äëÿ
ýòîãî âûíåñåì çà ñêîáêè âûðàæåíèå
ëó÷èì
a cos t + b sin t =
æ
a
cos t +
= a2 + b2 ç
ç 2
2
+
a
b
è
æ
a
Íî çç
2
2
è a +b
2
ö
æ
b
÷ +ç
÷
ç 2
2
ø
è a +b
a2 + b2 è ïî-
ö
sin t ÷.
÷
a2 + b2
ø
b
2
ö
÷ = 1. Ýòî çíà÷èò, ÷òî
÷
ø
117
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
a
òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè
b
è
2
2
ëåæèò
a +b
a2 + b 2
íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òàêîå a, ÷òî
a
a2 + b 2
Îáîçíà÷èâ
= sin a,
b
= cos a.
a2 + b2
a2 + b2 ÷åðåç À, èìååì
a cos t + b sin t = A (sin a cos t + cos a sin t).
Ïðèìåíèâ ê âûðàæåíèþ â ñêîáêàõ ôîðìóëó (3) èç
ï. 79, ïîëó÷èì
a cos t + b sin t = A sin (t + a).
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè, èñïîëüçóþò îïðåäåëåíèÿ ýòèõ ôóíêöèé (ñì. ïï. 126–128) è ôîðìóëû òðèãîíîìåòðèè.
Ï ð è ì å ð 1. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå sin (arccos x),
ãäå -1 £ x £ 1.
q Ïîëîæèì y = arccos x. Òîãäà cos y = x, ãäå
0 £ y £ p. Íóæíî íàéòè sin y. Èçâåñòíî, ÷òî sin2 y =
= 1 - cos2 y, ïîýòîìó sin2 y = 1 - x2. Íî 0 £ y £ p, à
íà îòðåçêå [0, p] ñèíóñ ïðèíèìàåò òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, sin y = 1 - x 2 ,
ò. å. sin (arccos x) = 1 - x 2 . n
Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü tg (0,5 arccos (- 0,6)).
×èñëà a, b, A, a ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì ñîîòíîøåíèÿìè
a = A sin a, b = A cos a, A = a2 + b2 ,
sin a =
a
a2 + b 2
, cos a =
b
a2 + b 2
.
Íàïðèìåð,
3 sin 2t + 4 cos 2t = 5 sin(2t + a),
4
3
ãäå sin a = , cos a = .
5
5
88. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ
îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ îáðàòíûå
118
q Ïóñòü a = arccos (- 0,6). Òîãäà cos a = - 0,6, ãäå
p / 2 < a < p. Íóæíî âû÷èñëèòü tg (a / 2). Èìååì (ñì.
2
ï. 83) cos (a / 2) = 0,5 (1 + cos a) = 0,5 (1 - 0,6) = 0,2.
Äàëåå, òàê êàê 1 + tg2 (a / 2) =
òî
1 + tg2 (a / 2) = 5,
1
2
cos (a / 2)
îòêóäà
(ñì. ï. 81),
tg2 (a / 2) = 4,
ò. å.
tg (a / 2) = 2 èëè tg (a / 2) = -2.
Ïî óñëîâèþ, p / 2 < a < p, ò. å. p / 4 < a / 2 < p / 2,
à â èíòåðâàëå (p / 4, p / 2) èìååì tg (a / 2) > 0. Èòàê,
tg (a / 2) = 2, ò. å. tg (0,5 arccos (- 0,6)) = 2. n
119
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
a
òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè
b
è
2
2
ëåæèò
a +b
a2 + b 2
íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òàêîå a, ÷òî
a
a2 + b 2
Îáîçíà÷èâ
= sin a,
b
= cos a.
a2 + b2
a2 + b2 ÷åðåç À, èìååì
a cos t + b sin t = A (sin a cos t + cos a sin t).
Ïðèìåíèâ ê âûðàæåíèþ â ñêîáêàõ ôîðìóëó (3) èç
ï. 79, ïîëó÷èì
a cos t + b sin t = A sin (t + a).
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè, èñïîëüçóþò îïðåäåëåíèÿ ýòèõ ôóíêöèé (ñì. ïï. 126–128) è ôîðìóëû òðèãîíîìåòðèè.
Ï ð è ì å ð 1. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå sin (arccos x),
ãäå -1 £ x £ 1.
q Ïîëîæèì y = arccos x. Òîãäà cos y = x, ãäå
0 £ y £ p. Íóæíî íàéòè sin y. Èçâåñòíî, ÷òî sin2 y =
= 1 - cos2 y, ïîýòîìó sin2 y = 1 - x2. Íî 0 £ y £ p, à
íà îòðåçêå [0, p] ñèíóñ ïðèíèìàåò òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, sin y = 1 - x 2 ,
ò. å. sin (arccos x) = 1 - x 2 . n
Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü tg (0,5 arccos (- 0,6)).
×èñëà a, b, A, a ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì ñîîòíîøåíèÿìè
a = A sin a, b = A cos a, A = a2 + b2 ,
sin a =
a
a2 + b 2
, cos a =
b
a2 + b 2
.
Íàïðèìåð,
3 sin 2t + 4 cos 2t = 5 sin(2t + a),
4
3
ãäå sin a = , cos a = .
5
5
88. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ
îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ îáðàòíûå
118
q Ïóñòü a = arccos (- 0,6). Òîãäà cos a = - 0,6, ãäå
p / 2 < a < p. Íóæíî âû÷èñëèòü tg (a / 2). Èìååì (ñì.
2
ï. 83) cos (a / 2) = 0,5 (1 + cos a) = 0,5 (1 - 0,6) = 0,2.
Äàëåå, òàê êàê 1 + tg2 (a / 2) =
òî
1 + tg2 (a / 2) = 5,
1
2
cos (a / 2)
îòêóäà
(ñì. ï. 81),
tg2 (a / 2) = 4,
ò. å.
tg (a / 2) = 2 èëè tg (a / 2) = -2.
Ïî óñëîâèþ, p / 2 < a < p, ò. å. p / 4 < a / 2 < p / 2,
à â èíòåðâàëå (p / 4, p / 2) èìååì tg (a / 2) > 0. Èòàê,
tg (a / 2) = 2, ò. å. tg (0,5 arccos (- 0,6)) = 2. n
119
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé
Ðàçäåë III
ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
§ 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé
89. Îïðåäåëåíèå ôóíêöèè. ×èñëîâîé ôóíêöèåé
ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D íàçûâàþò ñîîòâåòñòâèå, ïðè
êîòîðîì êàæäîìó ÷èñëó x èç ìíîæåñòâà D ñîïîñòàâëÿåòñÿ ïî íåêîòîðîìó ïðàâèëó ÷èñëî y, çàâèñÿùåå îò
x. Ïåðåìåííóþ x íàçûâàþò íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé (èëè àðãóìåíòîì). ×èñëî y, ñîîòâåòñòâóþùåå
÷èñëó x, íàçûâàþò çíà÷åíèåì ôóíêöèè f â òî÷êå x
è îáîçíà÷àþò f (x) (÷èòàþò: «ýô îò èêñ»). Áóêâîé f
îáîçíà÷àåòñÿ çàäàííàÿ ôóíêöèÿ, ò.å. ôóíêöèîíàëüíàÿ
çàâèñèìîñòü ìåæäó ïåðåìåííûìè x è y, è èñïîëüçóåòñÿ çàïèñü y = f (x). Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî f (x) åñòü
çíà÷åíèå ôóíêöèè f â òî÷êå x.
Âñå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ïðèíèìàåò íåçàâèñèìàÿ
ïåðåìåííàÿ, îáðàçóþò îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, åå îáîçíà÷àþò D (f).
Âñå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ïðèíèìàåò ôóíêöèÿ f (x) (ïðè
x, ïðèíàäëåæàùèõ îáëàñòè åå îïðåäåëåíèÿ), îáðàçóþò
ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè, åãî îáîçíà÷àþò E (f).
Èìåþòñÿ è äðóãèå ïîäõîäû ê ââåäåíèþ ïîíÿòèÿ
ôóíêöèè, íàïðèìåð òàêîé: ïåðåìåííàÿ y íàçûâàåòñÿ
ôóíêöèåé ïåðåìåííîé x, åñëè çàäàíà òàêàÿ çàâèñèìîñòü
ìåæäó ýòèìè ïåðåìåííûìè, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ x îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü çíà÷åíèå y.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = x2, ãäå 1 £ x £ 3.
Ýòà çàïèñü îçíà÷àåò, ÷òî çàäàíà ñëåäóþùàÿ ôóíêöèÿ: êàæäîìó ÷èñëó x èç îòðåçêà [1, 3] ñòàâèòñÿ â
ñîîòâåòñòâèå êâàäðàò ýòîãî ÷èñëà. Íàïðèìåð,
120
f (1) = 12 = 1, f (2) = 22 = 4, f (2,3) = 2,32 = 5,29 è ò. ä.
Çàïèñü f(4) â ýòîì ñëó÷àå ëèøåíà ñìûñëà, òàê êàê
÷èñëî 4 íå ïðèíàäëåæèò îòðåçêó [1, 3]. Îòðåçîê
[1, 3] — îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.
90. Àíàëèòè÷åñêîå çàäàíèå ôóíêöèè. ×òîáû çàäàòü ôóíêöèþ, íóæíî óêàçàòü ñïîñîá, ïîçâîëÿþùèé
äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà íàéòè ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå ôóíêöèè. Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ ñïîñîá çàäàíèÿ ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ
ôîðìóëû y=f(x), ãäå f(x) — íåêîòîðîå âûðàæåíèå ñ
ïåðåìåííîé x.  òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ
çàäàíà ôîðìóëîé èëè ÷òî ôóíêöèÿ çàäàíà àíàëèòè÷åñêè.
Ïóñòü, íàïðèìåð, y = x2 + 5x - 1, ãäå x ³ 0. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ýòîé ôóíêöèè — ëó÷ [0, + ¥).
×òîáû íàéòè çíà÷åíèå ôóíêöèè â ëþáîé òî÷êå x ³ 0,
äîñòàòî÷íî íàéòè ÷èñëîâîå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
x2 + 5x - 1 â âûáðàííîé òî÷êå.
Äëÿ àíàëèòè÷åñêè çàäàííîé ôóíêöèè èíîãäà íå
óêàçûâàþò ÿâíî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè. Â
òàêîì ñëó÷àå ïîäðàçóìåâàþò, ÷òî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y = f (x) ñîâïàäàåò ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ âûðàæåíèÿ f (x), ò.å. ñ ìíîæåñòâîì òåõ çíà÷åíèé x, ïðè êîòîðûõ âûðàæåíèå f (x) èìååò ñìûñë.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíê1
; á) y = x - 1.
öèè: à) y =
x+2
121
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé
Ðàçäåë III
ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
§ 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé
89. Îïðåäåëåíèå ôóíêöèè. ×èñëîâîé ôóíêöèåé
ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D íàçûâàþò ñîîòâåòñòâèå, ïðè
êîòîðîì êàæäîìó ÷èñëó x èç ìíîæåñòâà D ñîïîñòàâëÿåòñÿ ïî íåêîòîðîìó ïðàâèëó ÷èñëî y, çàâèñÿùåå îò
x. Ïåðåìåííóþ x íàçûâàþò íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé (èëè àðãóìåíòîì). ×èñëî y, ñîîòâåòñòâóþùåå
÷èñëó x, íàçûâàþò çíà÷åíèåì ôóíêöèè f â òî÷êå x
è îáîçíà÷àþò f (x) (÷èòàþò: «ýô îò èêñ»). Áóêâîé f
îáîçíà÷àåòñÿ çàäàííàÿ ôóíêöèÿ, ò.å. ôóíêöèîíàëüíàÿ
çàâèñèìîñòü ìåæäó ïåðåìåííûìè x è y, è èñïîëüçóåòñÿ çàïèñü y = f (x). Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî f (x) åñòü
çíà÷åíèå ôóíêöèè f â òî÷êå x.
Âñå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ïðèíèìàåò íåçàâèñèìàÿ
ïåðåìåííàÿ, îáðàçóþò îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, åå îáîçíà÷àþò D (f).
Âñå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ïðèíèìàåò ôóíêöèÿ f (x) (ïðè
x, ïðèíàäëåæàùèõ îáëàñòè åå îïðåäåëåíèÿ), îáðàçóþò
ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè, åãî îáîçíà÷àþò E (f).
Èìåþòñÿ è äðóãèå ïîäõîäû ê ââåäåíèþ ïîíÿòèÿ
ôóíêöèè, íàïðèìåð òàêîé: ïåðåìåííàÿ y íàçûâàåòñÿ
ôóíêöèåé ïåðåìåííîé x, åñëè çàäàíà òàêàÿ çàâèñèìîñòü
ìåæäó ýòèìè ïåðåìåííûìè, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ x îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü çíà÷åíèå y.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = x2, ãäå 1 £ x £ 3.
Ýòà çàïèñü îçíà÷àåò, ÷òî çàäàíà ñëåäóþùàÿ ôóíêöèÿ: êàæäîìó ÷èñëó x èç îòðåçêà [1, 3] ñòàâèòñÿ â
ñîîòâåòñòâèå êâàäðàò ýòîãî ÷èñëà. Íàïðèìåð,
120
f (1) = 12 = 1, f (2) = 22 = 4, f (2,3) = 2,32 = 5,29 è ò. ä.
Çàïèñü f(4) â ýòîì ñëó÷àå ëèøåíà ñìûñëà, òàê êàê
÷èñëî 4 íå ïðèíàäëåæèò îòðåçêó [1, 3]. Îòðåçîê
[1, 3] — îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.
90. Àíàëèòè÷åñêîå çàäàíèå ôóíêöèè. ×òîáû çàäàòü ôóíêöèþ, íóæíî óêàçàòü ñïîñîá, ïîçâîëÿþùèé
äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà íàéòè ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå ôóíêöèè. Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ ñïîñîá çàäàíèÿ ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ
ôîðìóëû y=f(x), ãäå f(x) — íåêîòîðîå âûðàæåíèå ñ
ïåðåìåííîé x.  òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ
çàäàíà ôîðìóëîé èëè ÷òî ôóíêöèÿ çàäàíà àíàëèòè÷åñêè.
Ïóñòü, íàïðèìåð, y = x2 + 5x - 1, ãäå x ³ 0. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ýòîé ôóíêöèè — ëó÷ [0, + ¥).
×òîáû íàéòè çíà÷åíèå ôóíêöèè â ëþáîé òî÷êå x ³ 0,
äîñòàòî÷íî íàéòè ÷èñëîâîå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
x2 + 5x - 1 â âûáðàííîé òî÷êå.
Äëÿ àíàëèòè÷åñêè çàäàííîé ôóíêöèè èíîãäà íå
óêàçûâàþò ÿâíî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè. Â
òàêîì ñëó÷àå ïîäðàçóìåâàþò, ÷òî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y = f (x) ñîâïàäàåò ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ âûðàæåíèÿ f (x), ò.å. ñ ìíîæåñòâîì òåõ çíà÷åíèé x, ïðè êîòîðûõ âûðàæåíèå f (x) èìååò ñìûñë.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíê1
; á) y = x - 1.
öèè: à) y =
x+2
121
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
1
îïðåäåëåíî ïðè âñåõ x,
x+2
êðîìå òîãî çíà÷åíèÿ, êîòîðîå îáðàùàåò çíàìåíàòåëü
â íóëü, ò.å. çíà÷åíèÿ x = –2. Ïîýòîìó îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ñîñòîèò èç âñåõ ÷èñåë, êðîìå x = –2.
q
a) Âûðàæåíèå
á) Âûðàæåíèå x - 1 îïðåäåëåíî ïðè òåõ x, ïðè
êîòîðûõ x - 1 ³ 0, ò.å. ïðè x ³ 1. Çíà÷èò, îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè — ëó÷ [1, + ¥). n
Èíîãäà ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ íà ðàçëè÷íûõ ïðîìåæóòêàõ ðàçëè÷íûìè ôîðìóëàìè, íàïðèìåð:
ì2x + 3, åñëè - 1 £ x £ 0,
f (x) = í
îx + 2, åñëè 0 £ x £ 1.
Ýòà ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà íà îòðåçêå [–1, 1]. Äëÿ
âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè íóæíî ëèøü òî÷íî
îïðåäåëèòü, êàêîé ôîðìóëîé ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ çàäàííîãî êîíêðåòíîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà.
Òàê, åñëè íóæíî âû÷èñëèòü f(0,5), òî âîñïîëüçóåìñÿ
ðàâåíñòâîì f(x)=x+2 è ïîëó÷èì f(0,5)=2,5. Åñëè æå
íóæíî âû÷èñëèòü f(–0,5), òî âîñïîëüçóåìñÿ ðàâåíñòâîì f(x)=2x+3 è ïîëó÷èì f(–0,5)=2.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé
(ñì.ï.22); îòìåòèâ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè âñå
òî÷êè ñ àáñöèññîé x = a, ïîëó÷èì ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ îñè Oy (ðèñ. 12); ãîâîðÿò, ÷òî x = a — óðàâíåíèå
ýòîé ïðÿìîé, â ÷àñòíîñòè, x = 0 — óðàâíåíèå ñàìîé
îñè Oy. Àíàëîãè÷íî, îòìåòèâ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè âñå òî÷êè ñ îðäèíàòîé y = b, ïîëó÷èì ïðÿìóþ,
ïàðàëëåëüíóþ îñè Ox (ðèñ. 12); ãîâîðÿò, ÷òî y = b —
óðàâíåíèå ýòîé ïðÿìîé, â ÷àñòíîñòè, y = 0 — óðàâíåíèå ñàìîé îñè Ox.
Ïîäìíîæåñòâî F òî÷åê êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè
ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì íåêîòîðîé ôóíêöèè, åñëè îíî
èìååò íå áîëåå îäíîé îáùåé òî÷êè ñ ëþáîé ïðÿìîé,
ïàðàëëåëüíîé îñè Oy. Òàê, íà ðèñ.13, à èçîáðàæåíî
ïîäìíîæåñòâî, ÿâëÿþùååñÿ ãðàôèêîì íåêîòîðîé ôóíêöèè, à íà ðèñ. 13, á — ïîäìíîæåñòâî, íå ÿâëÿþùååñÿ
ãðàôèêîì íèêàêîé ôóíêöèè.
Åñëè äàíî ïîäìíîæåñòâî F, ÿâëÿþùååñÿ ãðàôèêîì íåêîòîðîé ôóíêöèè, òî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ
çàäàíà ãðàôè÷åñêè. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ òàêîé
ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèÿ D ìíîæåñòâà F íà îñü
Ox. Åñëè âçÿòü òî÷êó x Î D, òî, ÷òîáû íàéòè ñîîò-
91. Òàáëè÷íîå çàäàíèå ôóíêöèè. Íà ïðàêòèêå
÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ òàáëè÷íûé ñïîñîá çàäàíèÿ ôóíêöèè. Ïðè ýòîì ñïîñîáå ïðèâîäèòñÿ òàáëèöà, óêàçûâàþùàÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè äëÿ èìåþùèõñÿ â òàáëèöå çíà÷åíèé àðãóìåíòà. Ïðèìåðàìè òàáëè÷íîãî çàäàíèÿ ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ òàáëèöû êâàäðàòîâ, êóáîâ,
êâàäðàòíûõ êîðíåé è ò.ä.
92. Ãðàôè÷åñêîå çàäàíèå ôóíêöèè. Âîçüìåì ïðÿìîóãîëüíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò xOy
122
a)
Ðèñ. 12
á)
Ðèñ. 13
123
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
1
îïðåäåëåíî ïðè âñåõ x,
x+2
êðîìå òîãî çíà÷åíèÿ, êîòîðîå îáðàùàåò çíàìåíàòåëü
â íóëü, ò.å. çíà÷åíèÿ x = –2. Ïîýòîìó îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ñîñòîèò èç âñåõ ÷èñåë, êðîìå x = –2.
q
a) Âûðàæåíèå
á) Âûðàæåíèå x - 1 îïðåäåëåíî ïðè òåõ x, ïðè
êîòîðûõ x - 1 ³ 0, ò.å. ïðè x ³ 1. Çíà÷èò, îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè — ëó÷ [1, + ¥). n
Èíîãäà ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ íà ðàçëè÷íûõ ïðîìåæóòêàõ ðàçëè÷íûìè ôîðìóëàìè, íàïðèìåð:
ì2x + 3, åñëè - 1 £ x £ 0,
f (x) = í
îx + 2, åñëè 0 £ x £ 1.
Ýòà ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà íà îòðåçêå [–1, 1]. Äëÿ
âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè íóæíî ëèøü òî÷íî
îïðåäåëèòü, êàêîé ôîðìóëîé ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ çàäàííîãî êîíêðåòíîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà.
Òàê, åñëè íóæíî âû÷èñëèòü f(0,5), òî âîñïîëüçóåìñÿ
ðàâåíñòâîì f(x)=x+2 è ïîëó÷èì f(0,5)=2,5. Åñëè æå
íóæíî âû÷èñëèòü f(–0,5), òî âîñïîëüçóåìñÿ ðàâåíñòâîì f(x)=2x+3 è ïîëó÷èì f(–0,5)=2.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé
(ñì.ï.22); îòìåòèâ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè âñå
òî÷êè ñ àáñöèññîé x = a, ïîëó÷èì ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ îñè Oy (ðèñ. 12); ãîâîðÿò, ÷òî x = a — óðàâíåíèå
ýòîé ïðÿìîé, â ÷àñòíîñòè, x = 0 — óðàâíåíèå ñàìîé
îñè Oy. Àíàëîãè÷íî, îòìåòèâ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè âñå òî÷êè ñ îðäèíàòîé y = b, ïîëó÷èì ïðÿìóþ,
ïàðàëëåëüíóþ îñè Ox (ðèñ. 12); ãîâîðÿò, ÷òî y = b —
óðàâíåíèå ýòîé ïðÿìîé, â ÷àñòíîñòè, y = 0 — óðàâíåíèå ñàìîé îñè Ox.
Ïîäìíîæåñòâî F òî÷åê êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè
ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì íåêîòîðîé ôóíêöèè, åñëè îíî
èìååò íå áîëåå îäíîé îáùåé òî÷êè ñ ëþáîé ïðÿìîé,
ïàðàëëåëüíîé îñè Oy. Òàê, íà ðèñ.13, à èçîáðàæåíî
ïîäìíîæåñòâî, ÿâëÿþùååñÿ ãðàôèêîì íåêîòîðîé ôóíêöèè, à íà ðèñ. 13, á — ïîäìíîæåñòâî, íå ÿâëÿþùååñÿ
ãðàôèêîì íèêàêîé ôóíêöèè.
Åñëè äàíî ïîäìíîæåñòâî F, ÿâëÿþùååñÿ ãðàôèêîì íåêîòîðîé ôóíêöèè, òî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ
çàäàíà ãðàôè÷åñêè. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ òàêîé
ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèÿ D ìíîæåñòâà F íà îñü
Ox. Åñëè âçÿòü òî÷êó x Î D, òî, ÷òîáû íàéòè ñîîò-
91. Òàáëè÷íîå çàäàíèå ôóíêöèè. Íà ïðàêòèêå
÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ òàáëè÷íûé ñïîñîá çàäàíèÿ ôóíêöèè. Ïðè ýòîì ñïîñîáå ïðèâîäèòñÿ òàáëèöà, óêàçûâàþùàÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè äëÿ èìåþùèõñÿ â òàáëèöå çíà÷åíèé àðãóìåíòà. Ïðèìåðàìè òàáëè÷íîãî çàäàíèÿ ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ òàáëèöû êâàäðàòîâ, êóáîâ,
êâàäðàòíûõ êîðíåé è ò.ä.
92. Ãðàôè÷åñêîå çàäàíèå ôóíêöèè. Âîçüìåì ïðÿìîóãîëüíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò xOy
122
a)
Ðèñ. 12
á)
Ðèñ. 13
123
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
âåòñòâóþùåå âûáðàííîìó çíà÷åíèþ x çíà÷åíèå
ôóíêöèè, íóæíî ÷åðåç òî÷êó x ïðîâåñòè ïðÿìóþ,
ïàðàëëåëüíóþ îñè Oy, äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ãðàôèêîì
F â òî÷êå M. Îðäèíàòà òî÷êè M è åñòü çíà÷åíèå
ôóíêöèè â òî÷êå x.
93. Ãðàôèê ôóíêöèè, çàäàííîé àíàëèòè÷åñêè.
Ïóñòü ôóíêöèÿ çàäàíà àíàëèòè÷åñêè ôîðìóëîé
y = f (x). Òîãäà åå ãðàôèêîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê (x; y) êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, ãäå
y = f (x), à x «ïðîáåãàåò» âñþ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ
ôóíêöèè f. Íàïðèìåð, ãðàôèêîì ôóíêöèè y = x
ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê âèäà (x; x), ò.å. òî÷åê, èìåþùèõ îäèíàêîâûå êîîðäèíàòû. Ýòî ìíîæåñòâî òî÷åê åñòü áèññåêòðèñà I è III êîîðäèíàòíûõ óãëîâ
(ðèñ. 14).
Ïîñòðîèì òåïåðü ãðàôèê ôóíêöèè y = x2 .
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé
Ñîñòàâèì òàáëèöó íåêîòîðûõ çíà÷åíèé ôóíêöèè:
x
–2
–1
–0,5
0
0,5
1
2
y
4
1
0,25
0
0,25
1
4
Îòìåòèì òî÷êè (0; 0); (0,5; 0,25); (–0,5; 0,25); (1; 1);
(–1; 1); (2; 4); (–2; 4) íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè è
ñîåäèíèâ èõ ïëàâíîé ëèíèåé, ïîëó÷èì ãðàôèê (à òî÷íåå, ýñêèç ãðàôèêà) ôóíêöèè y = x2 (ðèñ. 15). Ýòà
ëèíèÿ íàçûâàåòñÿ ïàðàáîëîé. Âîîáùå, ïàðàáîëîé ÿâëÿåòñÿ ãðàôèê ëþáîé ôóíêöèè âèäà y = ax2, ãäå
a ¹ 0 (ñì. ï. 131).
94. ×åòíûå è íå÷åòíûå ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ
y = f (x) íàçûâàåòñÿ ÷åòíîé, åñëè äëÿ ëþáîãî x èç
îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f (-x) = f (x).
Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ íå÷åòíîé, åñëè äëÿ
ëþáîãî x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f (-x) = -f (x).
Íàïðèìåð, y = x2, y = x4 , y = x6 — ÷åòíûå, à
Ðèñ. 14
124
Ðèñ. 15
7
5
y = x3 , y = x , y = x — íå÷åòíûå ôóíêöèè.
Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) òàêîâà, ÷òî õîòÿ áû äëÿ
îäíîé ïàðû çíà÷åíèé x è –x îêàçàëîñü, ÷òî
f (-x) ¹ f (x), è õîòÿ áû äëÿ îäíîé ïàðû çíà÷åíèé x è
–x îêàçàëîñü, ÷òî f (-x) ¹ -f (x), òî ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé.
125
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
âåòñòâóþùåå âûáðàííîìó çíà÷åíèþ x çíà÷åíèå
ôóíêöèè, íóæíî ÷åðåç òî÷êó x ïðîâåñòè ïðÿìóþ,
ïàðàëëåëüíóþ îñè Oy, äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ãðàôèêîì
F â òî÷êå M. Îðäèíàòà òî÷êè M è åñòü çíà÷åíèå
ôóíêöèè â òî÷êå x.
93. Ãðàôèê ôóíêöèè, çàäàííîé àíàëèòè÷åñêè.
Ïóñòü ôóíêöèÿ çàäàíà àíàëèòè÷åñêè ôîðìóëîé
y = f (x). Òîãäà åå ãðàôèêîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê (x; y) êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, ãäå
y = f (x), à x «ïðîáåãàåò» âñþ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ
ôóíêöèè f. Íàïðèìåð, ãðàôèêîì ôóíêöèè y = x
ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê âèäà (x; x), ò.å. òî÷åê, èìåþùèõ îäèíàêîâûå êîîðäèíàòû. Ýòî ìíîæåñòâî òî÷åê åñòü áèññåêòðèñà I è III êîîðäèíàòíûõ óãëîâ
(ðèñ. 14).
Ïîñòðîèì òåïåðü ãðàôèê ôóíêöèè y = x2 .
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé
Ñîñòàâèì òàáëèöó íåêîòîðûõ çíà÷åíèé ôóíêöèè:
x
–2
–1
–0,5
0
0,5
1
2
y
4
1
0,25
0
0,25
1
4
Îòìåòèì òî÷êè (0; 0); (0,5; 0,25); (–0,5; 0,25); (1; 1);
(–1; 1); (2; 4); (–2; 4) íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè è
ñîåäèíèâ èõ ïëàâíîé ëèíèåé, ïîëó÷èì ãðàôèê (à òî÷íåå, ýñêèç ãðàôèêà) ôóíêöèè y = x2 (ðèñ. 15). Ýòà
ëèíèÿ íàçûâàåòñÿ ïàðàáîëîé. Âîîáùå, ïàðàáîëîé ÿâëÿåòñÿ ãðàôèê ëþáîé ôóíêöèè âèäà y = ax2, ãäå
a ¹ 0 (ñì. ï. 131).
94. ×åòíûå è íå÷åòíûå ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ
y = f (x) íàçûâàåòñÿ ÷åòíîé, åñëè äëÿ ëþáîãî x èç
îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f (-x) = f (x).
Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ íå÷åòíîé, åñëè äëÿ
ëþáîãî x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f (-x) = -f (x).
Íàïðèìåð, y = x2, y = x4 , y = x6 — ÷åòíûå, à
Ðèñ. 14
124
Ðèñ. 15
7
5
y = x3 , y = x , y = x — íå÷åòíûå ôóíêöèè.
Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) òàêîâà, ÷òî õîòÿ áû äëÿ
îäíîé ïàðû çíà÷åíèé x è –x îêàçàëîñü, ÷òî
f (-x) ¹ f (x), è õîòÿ áû äëÿ îäíîé ïàðû çíà÷åíèé x è
–x îêàçàëîñü, ÷òî f (-x) ¹ -f (x), òî ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé.
125
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ X êàê ÷åòíîé, òàê è íå÷åòíîé ôóíêöèè äîëæíà îáëàäàòü ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: åñëè x Î X, òî è -x Î X, ò.å. X — ñèììåòðè÷íîå (îòíîñèòåëüíî O) ìíîæåñòâî.
Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ÷åòíîñòü ôóíêöèè:
x-4
.
à) y = x20 ; á) y = x13; â) y = 2
x -9
q à) Èìååì f (x) = x20, f (-x) = (-x)20 = x20. Çíà÷èò, f (-x) = f (x) äëÿ âñåõ x. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ.
á) Èìååì f (x) = x13, f (-x) = (-x)13 = -x13. Çíà÷èò, f (-x) = -f (x) äëÿ âñåõ x. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ.
â)
Èìååì
f (x) =
x-4
2
x -9
,
f (-x) =
-x - 4
(-x)2 - 9
=
x+4
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé
Åñëè x ³ 0, òî x = x, ò.å. ïðè x ³ 0 èìååì
y = x. Ãðàôèêîì ôóíêöèè y = x ïðè x ³ 0 ñëóæèò
áèññåêòðèñà I êîîðäèíàòíîãî óãëà. Îòîáðàçèâ åå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îñè Oy, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóí-
êöèè y = x (ðèñ. 16).
á) Èìååì f (-x) = (-x) - x = -x x = - f (x). Çíà÷èò, ôóíêöèÿ íå÷åòíà, à ïîòîìó åå ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò.
Åñëè x ³ 0, òî x = x, à f (x) = x × x = x × x = x 2.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè x ³ 0 ïîëó÷àåì y = x2 . Ãðàôèêîì ÿâëÿåòñÿ âåòâü ïàðàáîëû. Ïðåîáðàçîâàâ åå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò, ïîëó÷èì
ãðàôèê ôóíêöèè y = x x (ðèñ. 17).n
. Òàê êàê f (-x) ¹ f (x) è f (-x) ¹ -f (-x), òî
x2 - 9
ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé.n
=-
95. Ãðàôèêè ÷åòíîé è íå÷åòíîé ôóíêöèé. Ãðàôèêè ÷åòíîé è íå÷åòíîé ôóíêöèé îáëàäàþò ñëåäóþùèìè îñîáåííîñòÿìè:
Åñëè ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé, òî åå ãðàôèê
ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò.
Åñëè ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíîé, òî åå ãðàôèê
ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò.
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè:
à) y = x ; á) y = x x .
q à) Çäåñü f (-x) = - x = x = f (x). Çíà÷èò, ôóíêöèÿ ÷åòíà, à ïîòîìó åå ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò.
126
Ðèñ. 16
Ðèñ. 17
127
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ X êàê ÷åòíîé, òàê è íå÷åòíîé ôóíêöèè äîëæíà îáëàäàòü ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: åñëè x Î X, òî è -x Î X, ò.å. X — ñèììåòðè÷íîå (îòíîñèòåëüíî O) ìíîæåñòâî.
Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ÷åòíîñòü ôóíêöèè:
x-4
.
à) y = x20 ; á) y = x13; â) y = 2
x -9
q à) Èìååì f (x) = x20, f (-x) = (-x)20 = x20. Çíà÷èò, f (-x) = f (x) äëÿ âñåõ x. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ.
á) Èìååì f (x) = x13, f (-x) = (-x)13 = -x13. Çíà÷èò, f (-x) = -f (x) äëÿ âñåõ x. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ.
â)
Èìååì
f (x) =
x-4
2
x -9
,
f (-x) =
-x - 4
(-x)2 - 9
=
x+4
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé
Åñëè x ³ 0, òî x = x, ò.å. ïðè x ³ 0 èìååì
y = x. Ãðàôèêîì ôóíêöèè y = x ïðè x ³ 0 ñëóæèò
áèññåêòðèñà I êîîðäèíàòíîãî óãëà. Îòîáðàçèâ åå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îñè Oy, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóí-
êöèè y = x (ðèñ. 16).
á) Èìååì f (-x) = (-x) - x = -x x = - f (x). Çíà÷èò, ôóíêöèÿ íå÷åòíà, à ïîòîìó åå ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò.
Åñëè x ³ 0, òî x = x, à f (x) = x × x = x × x = x 2.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè x ³ 0 ïîëó÷àåì y = x2 . Ãðàôèêîì ÿâëÿåòñÿ âåòâü ïàðàáîëû. Ïðåîáðàçîâàâ åå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò, ïîëó÷èì
ãðàôèê ôóíêöèè y = x x (ðèñ. 17).n
. Òàê êàê f (-x) ¹ f (x) è f (-x) ¹ -f (-x), òî
x2 - 9
ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé.n
=-
95. Ãðàôèêè ÷åòíîé è íå÷åòíîé ôóíêöèé. Ãðàôèêè ÷åòíîé è íå÷åòíîé ôóíêöèé îáëàäàþò ñëåäóþùèìè îñîáåííîñòÿìè:
Åñëè ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé, òî åå ãðàôèê
ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò.
Åñëè ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíîé, òî åå ãðàôèê
ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò.
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè:
à) y = x ; á) y = x x .
q à) Çäåñü f (-x) = - x = x = f (x). Çíà÷èò, ôóíêöèÿ ÷åòíà, à ïîòîìó åå ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò.
126
Ðèñ. 16
Ðèñ. 17
127
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
96. Ïåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ y = f (x)
íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå
îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî T, ÷òî äëÿ ëþáîãî x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
f (x + T) = f (x) = f (x - T).
×èñëî T íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì ôóíêöèè y = f (x).
Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ó ïåðèîäè÷åñêîé
ôóíêöèè áåñêîíå÷íî ìíîãî ïåðèîäîâ. Åñëè, íàïðèìåð, T — ïåðèîä ôóíêöèè, òî è ÷èñëî âèäà kT, ãäå
k — ëþáîå öåëîå ÷èñëî, òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì
ôóíêöèè.
×àùå âñåãî (íî íå âñåãäà) ñðåäè ìíîæåñòâà ïîëîæèòåëüíûõ ïåðèîäîâ ôóíêöèè ìîæíî íàéòè íàèìåíüøèé. Åãî íàçûâàþò îñíîâíûì ïåðèîäîì.
Îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò òîëüêî îñíîâíîé ïåðèîä è,
êàê ïðàâèëî, ãîâîðÿò ïðîñòî «ïåðèîä».
Ïðèìåðû ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé (ñ óêàçàíèåì
îñíîâíîãî ïåðèîäà):
y = {x} — ïåðèîä T = 1 (ñì. ï. 113);
y = sin x — ïåðèîä T = 2p (ñì. ï. 122);
y = tg x — ïåðèîä T = p (ñì. ï. 124);
T.3.1. Åñëè ôóíêöèÿ f ïåðèîäè÷åñêàÿ è èìååò ïåðèîä T, òî ôóíêöèÿ Af (kx + b), ãäå A, k è b — ïîñòîÿííûå, à k ¹ 0, òàêæå ïåðèîäè÷åñêàÿ, ïðè÷åì åå
ïåðèîä ðàâåí T / k .
pö
æ
Íàïðèìåð, ïåðèîäîì ôóíêöèè 2 sin ç 3x - ÷
6ø
è
128
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé
ÿâëÿåòñÿ
÷èñëî
2p
,
3
à
ïåðèîäîì
ôóíêöèè
æ x pö
tg ç - + ÷ — ÷èñëî 3p.
è 3 4ø
97. Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ôóíêöèè.
Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ âîçðàñòàþùåé íà
ïðîìåæóòêå X, åñëè äëÿ ëþáûõ x1 è x2 èç X
òàêèõ, ÷òî x1 < x2 , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
f (x1 ) < f (x2 ) (êîðî÷å: x1 < x2 Þ f (x1 ) < f (x2 ) ). Ôóí-
êöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ óáûâàþùåé íà ïðîìåæóòêå X, åñëè äëÿ ëþáûõ x1 è x2 èç X òàêèõ, ÷òî
x1 < x2 , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x1 ) > f (x2 ) (êîðî÷å:
x1 < x2 Þ f (x1 ) > f (x2 ) ). Èíûìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ
âîçðàñòàåò (óáûâàåò) íà ïðîìåæóòêå X, åñëè, êàêèå áû äâà çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà, ïðèíàäëåæàùèå
ýòîìó ïðîìåæóòêó, íè âçÿòü, áîëüøåìó çíà÷åíèþ
àðãóìåíòà ñîîòâåòñòâóåò áîëüøåå (ìåíüøåå) çíà÷åíèå ôóíêöèè.
Ïðè äâèæåíèè âäîëü îñè àáñöèññ ñëåâà íàïðàâî
îðäèíàòà ãðàôèêà âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè óâåëè÷èâàåòñÿ (ðèñ. 18, à), à îðäèíàòà ãðàôèêà óáûâàþùåé
ôóíêöèè óìåíüøàåòñÿ (ðèñ. 18, á).
Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ôóíêöèè îáúåäèíÿþòñÿ òåðìèíîì ìîíîòîííûå ôóíêöèè.
Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ìîíîòîííîñòü ôóíêöèþ y = 2x2 + 3.
129
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
96. Ïåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ y = f (x)
íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå
îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî T, ÷òî äëÿ ëþáîãî x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
f (x + T) = f (x) = f (x - T).
×èñëî T íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì ôóíêöèè y = f (x).
Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ó ïåðèîäè÷åñêîé
ôóíêöèè áåñêîíå÷íî ìíîãî ïåðèîäîâ. Åñëè, íàïðèìåð, T — ïåðèîä ôóíêöèè, òî è ÷èñëî âèäà kT, ãäå
k — ëþáîå öåëîå ÷èñëî, òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì
ôóíêöèè.
×àùå âñåãî (íî íå âñåãäà) ñðåäè ìíîæåñòâà ïîëîæèòåëüíûõ ïåðèîäîâ ôóíêöèè ìîæíî íàéòè íàèìåíüøèé. Åãî íàçûâàþò îñíîâíûì ïåðèîäîì.
Îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò òîëüêî îñíîâíîé ïåðèîä è,
êàê ïðàâèëî, ãîâîðÿò ïðîñòî «ïåðèîä».
Ïðèìåðû ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé (ñ óêàçàíèåì
îñíîâíîãî ïåðèîäà):
y = {x} — ïåðèîä T = 1 (ñì. ï. 113);
y = sin x — ïåðèîä T = 2p (ñì. ï. 122);
y = tg x — ïåðèîä T = p (ñì. ï. 124);
T.3.1. Åñëè ôóíêöèÿ f ïåðèîäè÷åñêàÿ è èìååò ïåðèîä T, òî ôóíêöèÿ Af (kx + b), ãäå A, k è b — ïîñòîÿííûå, à k ¹ 0, òàêæå ïåðèîäè÷åñêàÿ, ïðè÷åì åå
ïåðèîä ðàâåí T / k .
pö
æ
Íàïðèìåð, ïåðèîäîì ôóíêöèè 2 sin ç 3x - ÷
6ø
è
128
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé
ÿâëÿåòñÿ
÷èñëî
2p
,
3
à
ïåðèîäîì
ôóíêöèè
æ x pö
tg ç - + ÷ — ÷èñëî 3p.
è 3 4ø
97. Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ôóíêöèè.
Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ âîçðàñòàþùåé íà
ïðîìåæóòêå X, åñëè äëÿ ëþáûõ x1 è x2 èç X
òàêèõ, ÷òî x1 < x2 , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
f (x1 ) < f (x2 ) (êîðî÷å: x1 < x2 Þ f (x1 ) < f (x2 ) ). Ôóí-
êöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ óáûâàþùåé íà ïðîìåæóòêå X, åñëè äëÿ ëþáûõ x1 è x2 èç X òàêèõ, ÷òî
x1 < x2 , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x1 ) > f (x2 ) (êîðî÷å:
x1 < x2 Þ f (x1 ) > f (x2 ) ). Èíûìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ
âîçðàñòàåò (óáûâàåò) íà ïðîìåæóòêå X, åñëè, êàêèå áû äâà çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà, ïðèíàäëåæàùèå
ýòîìó ïðîìåæóòêó, íè âçÿòü, áîëüøåìó çíà÷åíèþ
àðãóìåíòà ñîîòâåòñòâóåò áîëüøåå (ìåíüøåå) çíà÷åíèå ôóíêöèè.
Ïðè äâèæåíèè âäîëü îñè àáñöèññ ñëåâà íàïðàâî
îðäèíàòà ãðàôèêà âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè óâåëè÷èâàåòñÿ (ðèñ. 18, à), à îðäèíàòà ãðàôèêà óáûâàþùåé
ôóíêöèè óìåíüøàåòñÿ (ðèñ. 18, á).
Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ôóíêöèè îáúåäèíÿþòñÿ òåðìèíîì ìîíîòîííûå ôóíêöèè.
Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ìîíîòîííîñòü ôóíêöèþ y = 2x2 + 3.
129
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
99. Ïðÿìàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü. Ãîâîðÿò, ÷òî
ïåðåìåííûå x è y ñâÿçàíû ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòüþ, åñëè èõ îòíîøåíèå ïîñòîÿííî:
y / x = k, ò.å. y = kx. Ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòüþ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ ôîðìóëîé y = kx,
a)
á)
Ðèñ. 18
q Ïóñòü x1 < x2 . Òîãäà, ñîãëàñíî ñâîéñòâàì ÷èñëîâûõ íåðàâåíñòâ (ñì. ï. 26) èìååì
x13 < x23 , 2x31 < 2x23, , 2x13 + 3 < 2x23, + 3,
ò. å. f (x1) < f(x2).
Èòàê, x1 < x2 Þ f (x1 ) < f (x2 ), à ýòî çíà÷èò, ÷òî
ôóíêöèÿ y = 2x2 + 3 âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé
ïðÿìîé.n
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
98. Ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ. Ïîñòîÿííîé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ ôîðìóëîé y = b, ãäå b — íåêîòîðîå ÷èñëî.
Ãðàôèêîì ïîñòîÿííîé ôóíêöèè y = b ÿâëÿåòñÿ
ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ îñè àáñöèññ è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó (0; b) íà îñè îðäèíàò (ñì. ðèñ. 12).
130
ãäå k ¹ 0. ×èñëî k íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïðîïîðöèîíàëüíîñòè.
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = kx :
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R.
20. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ, òàê êàê f (-x) = k(-x) =
= -kx = -f (x).
30. Ïðè k > 0 ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò, à ïðè k < 0
óáûâàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.
T.3.2. Ãðàôèêîì ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè y = kx
ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò.
Íà ðèñ. 19 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèè y = kx
ïðè k > 0 è k < 0.
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = 2x.
q Äëÿ ïîñòðîåíèÿ èñêîìîé ïðÿìîé äîñòàòî÷íî íàéòè îäíó åå òî÷êó, îòëè÷íóþ îò íà÷àëà êîîðäèíàò, è
ïðîâåñòè ïðÿìóþ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò è íàéäåííóþ òî÷êó.  êà÷åñòâå òàêîé òî÷êè âûáåðåì òî÷êó
(1; 2) (åñëè x = 1, òî y = 2 × 1 = 2 ) Ãðàôèê ôóíêöèè
y = 2x èçîáðàæåí íà ðèñ. 20.n
100. Ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ. Ëèíåéíîé ôóíêöèåé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ ôîðìóëîé y = kx + b, ãäå
k è b — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. Åñëè, â ÷àñòíîñòè,
131
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
99. Ïðÿìàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü. Ãîâîðÿò, ÷òî
ïåðåìåííûå x è y ñâÿçàíû ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòüþ, åñëè èõ îòíîøåíèå ïîñòîÿííî:
y / x = k, ò.å. y = kx. Ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòüþ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ ôîðìóëîé y = kx,
a)
á)
Ðèñ. 18
q Ïóñòü x1 < x2 . Òîãäà, ñîãëàñíî ñâîéñòâàì ÷èñëîâûõ íåðàâåíñòâ (ñì. ï. 26) èìååì
x13 < x23 , 2x31 < 2x23, , 2x13 + 3 < 2x23, + 3,
ò. å. f (x1) < f(x2).
Èòàê, x1 < x2 Þ f (x1 ) < f (x2 ), à ýòî çíà÷èò, ÷òî
ôóíêöèÿ y = 2x2 + 3 âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé
ïðÿìîé.n
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
98. Ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ. Ïîñòîÿííîé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ ôîðìóëîé y = b, ãäå b — íåêîòîðîå ÷èñëî.
Ãðàôèêîì ïîñòîÿííîé ôóíêöèè y = b ÿâëÿåòñÿ
ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ îñè àáñöèññ è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó (0; b) íà îñè îðäèíàò (ñì. ðèñ. 12).
130
ãäå k ¹ 0. ×èñëî k íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïðîïîðöèîíàëüíîñòè.
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = kx :
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R.
20. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ, òàê êàê f (-x) = k(-x) =
= -kx = -f (x).
30. Ïðè k > 0 ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò, à ïðè k < 0
óáûâàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.
T.3.2. Ãðàôèêîì ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè y = kx
ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò.
Íà ðèñ. 19 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèè y = kx
ïðè k > 0 è k < 0.
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = 2x.
q Äëÿ ïîñòðîåíèÿ èñêîìîé ïðÿìîé äîñòàòî÷íî íàéòè îäíó åå òî÷êó, îòëè÷íóþ îò íà÷àëà êîîðäèíàò, è
ïðîâåñòè ïðÿìóþ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò è íàéäåííóþ òî÷êó.  êà÷åñòâå òàêîé òî÷êè âûáåðåì òî÷êó
(1; 2) (åñëè x = 1, òî y = 2 × 1 = 2 ) Ãðàôèê ôóíêöèè
y = 2x èçîáðàæåí íà ðèñ. 20.n
100. Ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ. Ëèíåéíîé ôóíêöèåé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ ôîðìóëîé y = kx + b, ãäå
k è b — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. Åñëè, â ÷àñòíîñòè,
131
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
y = - 0,5x + 4.
q Ãðàôèêîì ëèíåéíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ, à äëÿ åå ïîñòðîåíèÿ äîñòàòî÷íî çíàòü äâå òî÷êè
ýòîé ïðÿìîé.
Ïðè x = 0 èìååì y = 4, à ïðè x = 4 ïîëó÷èì y = 2.
Îòìåòèâ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè òî÷êè (0; 4) è
(4; 2), ïðîâåäåì ÷åðåç íèõ ïðÿìóþ (ðèñ. 22).n
Ðèñ. 19
Ðèñ.20
k = 0, òî ïîëó÷àåì ïîñòîÿííóþ ôóíêöèþ y = b; åñëè
b = 0, òî ïîëó÷àåì ïðÿìóþ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü
y = kx.
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ëèíåéíîé ôóíêöèè ó = kx +
+b ïðè k ¹ 0, b ¹ 0 :
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R.
20. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ.
30. Ïðè k > 0 ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò, à ïðè k < 0
óáûâàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.
T.3.3. Ãðàôèêîì ëèíåéíîé ôóíêöèè y = kx + b ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ.
Íà ðèñ. 21 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè
y = kx + b. Ýòî ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ ïðÿìîé, ñëóæàùåé ãðàôèêîì ôóíêöèè y = kx, è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó (0; b) íà îñè îðäèíàò.
×èñëî k íàçûâàåòñÿ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì
ïðÿìîé, îíî ðàâíî òàíãåíñó óãëà a ìåæäó ïðÿìîé è
ïîëîæèòåëüíûì ëó÷îì îñè Ox, ò.å. k = tg a.
132
Ðèñ.21
Ðèñ.22
101. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ãðàôèêîâ ëèíåéíûõ ôóíêöèé. Ïóñòü äàíû äâå ëèíåéíûå ôóíêöèè
y = k1x + b1 è y = k2x + b2 . Èõ ãðàôèêàìè ñëóæàò ïðÿìûå (ñì. ï. 100). Ýòè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ, åñëè
k1 ¹ k2 (ðèñ. 23, à). Ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû, åñëè
k1 = k2 . Ïîñëåäíèé ñëó÷àé, â ñâîþ î÷åðåäü, ìîæíî
133
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
y = - 0,5x + 4.
q Ãðàôèêîì ëèíåéíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ, à äëÿ åå ïîñòðîåíèÿ äîñòàòî÷íî çíàòü äâå òî÷êè
ýòîé ïðÿìîé.
Ïðè x = 0 èìååì y = 4, à ïðè x = 4 ïîëó÷èì y = 2.
Îòìåòèâ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè òî÷êè (0; 4) è
(4; 2), ïðîâåäåì ÷åðåç íèõ ïðÿìóþ (ðèñ. 22).n
Ðèñ. 19
Ðèñ.20
k = 0, òî ïîëó÷àåì ïîñòîÿííóþ ôóíêöèþ y = b; åñëè
b = 0, òî ïîëó÷àåì ïðÿìóþ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü
y = kx.
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ëèíåéíîé ôóíêöèè ó = kx +
+b ïðè k ¹ 0, b ¹ 0 :
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R.
20. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ.
30. Ïðè k > 0 ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò, à ïðè k < 0
óáûâàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.
T.3.3. Ãðàôèêîì ëèíåéíîé ôóíêöèè y = kx + b ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ.
Íà ðèñ. 21 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè
y = kx + b. Ýòî ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ ïðÿìîé, ñëóæàùåé ãðàôèêîì ôóíêöèè y = kx, è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó (0; b) íà îñè îðäèíàò.
×èñëî k íàçûâàåòñÿ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì
ïðÿìîé, îíî ðàâíî òàíãåíñó óãëà a ìåæäó ïðÿìîé è
ïîëîæèòåëüíûì ëó÷îì îñè Ox, ò.å. k = tg a.
132
Ðèñ.21
Ðèñ.22
101. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ãðàôèêîâ ëèíåéíûõ ôóíêöèé. Ïóñòü äàíû äâå ëèíåéíûå ôóíêöèè
y = k1x + b1 è y = k2x + b2 . Èõ ãðàôèêàìè ñëóæàò ïðÿìûå (ñì. ï. 100). Ýòè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ, åñëè
k1 ¹ k2 (ðèñ. 23, à). Ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû, åñëè
k1 = k2 . Ïîñëåäíèé ñëó÷àé, â ñâîþ î÷åðåäü, ìîæíî
133
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
ðàçáèòü íà äâà: åñëè k1 = k2 è b1 = b2 , òî ïðÿìûå
ñîâïàäàþò; åñëè k1 = k2 è b1 ¹ b2 , òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû è íå ñîâïàäàþò (ðèñ. 23, á).
á)
a)
Ðèñ.23
102. Îáðàòíàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü. Ãîâîðÿò, ÷òî
ïåðåìåííûå x è y ñâÿçàíû îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòüþ, åñëè èõ ïðîèçâåäåíèå ïîñòîÿííî: xy = k, ò.å. y = k/x. Îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòüþ íàçûâàþò ôóíêöèþ, çàäàííóþ ôîðìóëîé y = k/x, ãäå k ¹ 0. ×èñëî k íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè.
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = k/x:
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R áåç òî÷êè x = 0.
20. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ, ïîñêîëüêó f (– x) = k/(–x) =
= – k/x = – f (x).
134
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
30. Åñëè k > 0, òî ôóíêöèÿ óáûâàåò íà (- ¥, 0) è íà
(0, + ¥). Åñëè k < 0, òî ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà (- ¥, 0)
è íà (0, + ¥).
40. Îñè êîîðäèíàò, ò. å. ïðÿìûå x = 0 è y = 0, ÿâëÿþòñÿ âåðòèêàëüíîé è ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòàìè
ãðàôèêà ôóíêöèè (ñì. ïï. 215 è 218).
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåòâè ãðàôèêà íåîãðàíè÷åííî
(àñèìïòîòè÷åñêè) ïðèáëèæàþòñÿ ê îñÿì êîîðäèíàò.
Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = 1/x. Äëÿ ýòîãî
ñíà÷àëà ïîñòðîèì âåòâü ãðàôèêà íà ïðîìåæóòêå
(0, + ¥), ñîñòàâèâ òàáëèöó çíà÷åíèé ôóíêöèè:
x = 1 / 4, y = 4; x = 1 / 2, y = 2; x = 1, y = 1; x = 2,
y = 1 / 2; x = 4, y = 1 / 4. Íàíåñåì ïîëó÷åííûå òî÷êè
íà êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü è ñîåäèíèì èõ ïëàâíîé
êðèâîé. Ýòî âåòâü ãðàôèêà ôóíêöèè y = 1 / x íà ïðîìåæóòêå (0, + ¥).
Âîñïîëüçóåìñÿ íå÷åòíîñòüþ ôóíêöèè y = 1 / x è
ê ïîñòðîåííîé âåòâè äîáàâèì âåòâü, ñèììåòðè÷íóþ
åé îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïîëó÷èì ãðàôèê
ôóíêöèè y = 1 / x (ðèñ. 24).
Àíàëîãè÷íûé âèä èìååò ãðàôèê ôóíêöèè
y = k / x ïðè ëþáîì ïîëîæèòåëüíîì k. Íà ðèñ. 25
èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = 2 / x.
Åñëè k < 0, òî âåòâè ãðàôèêà îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ðàñïîëîæåíû íå â I è III êîîðäèíàòíûõ ÷åòâåðòÿõ, êàê â ñëó÷àå, êîãäà k > 0, à âî II è IV
÷åòâåðòÿõ. Íà ðèñ. 26 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé y = -1 / x, y = -2 / x.
135
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
ðàçáèòü íà äâà: åñëè k1 = k2 è b1 = b2 , òî ïðÿìûå
ñîâïàäàþò; åñëè k1 = k2 è b1 ¹ b2 , òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû è íå ñîâïàäàþò (ðèñ. 23, á).
á)
a)
Ðèñ.23
102. Îáðàòíàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü. Ãîâîðÿò, ÷òî
ïåðåìåííûå x è y ñâÿçàíû îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòüþ, åñëè èõ ïðîèçâåäåíèå ïîñòîÿííî: xy = k, ò.å. y = k/x. Îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòüþ íàçûâàþò ôóíêöèþ, çàäàííóþ ôîðìóëîé y = k/x, ãäå k ¹ 0. ×èñëî k íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè.
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = k/x:
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R áåç òî÷êè x = 0.
20. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ, ïîñêîëüêó f (– x) = k/(–x) =
= – k/x = – f (x).
134
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
30. Åñëè k > 0, òî ôóíêöèÿ óáûâàåò íà (- ¥, 0) è íà
(0, + ¥). Åñëè k < 0, òî ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà (- ¥, 0)
è íà (0, + ¥).
40. Îñè êîîðäèíàò, ò. å. ïðÿìûå x = 0 è y = 0, ÿâëÿþòñÿ âåðòèêàëüíîé è ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòàìè
ãðàôèêà ôóíêöèè (ñì. ïï. 215 è 218).
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåòâè ãðàôèêà íåîãðàíè÷åííî
(àñèìïòîòè÷åñêè) ïðèáëèæàþòñÿ ê îñÿì êîîðäèíàò.
Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = 1/x. Äëÿ ýòîãî
ñíà÷àëà ïîñòðîèì âåòâü ãðàôèêà íà ïðîìåæóòêå
(0, + ¥), ñîñòàâèâ òàáëèöó çíà÷åíèé ôóíêöèè:
x = 1 / 4, y = 4; x = 1 / 2, y = 2; x = 1, y = 1; x = 2,
y = 1 / 2; x = 4, y = 1 / 4. Íàíåñåì ïîëó÷åííûå òî÷êè
íà êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü è ñîåäèíèì èõ ïëàâíîé
êðèâîé. Ýòî âåòâü ãðàôèêà ôóíêöèè y = 1 / x íà ïðîìåæóòêå (0, + ¥).
Âîñïîëüçóåìñÿ íå÷åòíîñòüþ ôóíêöèè y = 1 / x è
ê ïîñòðîåííîé âåòâè äîáàâèì âåòâü, ñèììåòðè÷íóþ
åé îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïîëó÷èì ãðàôèê
ôóíêöèè y = 1 / x (ðèñ. 24).
Àíàëîãè÷íûé âèä èìååò ãðàôèê ôóíêöèè
y = k / x ïðè ëþáîì ïîëîæèòåëüíîì k. Íà ðèñ. 25
èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = 2 / x.
Åñëè k < 0, òî âåòâè ãðàôèêà îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ðàñïîëîæåíû íå â I è III êîîðäèíàòíûõ ÷åòâåðòÿõ, êàê â ñëó÷àå, êîãäà k > 0, à âî II è IV
÷åòâåðòÿõ. Íà ðèñ. 26 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé y = -1 / x, y = -2 / x.
135
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
Ðèñ.24
Ðèñ.25
Ãðàôèê îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè y = k / x
íàçûâàþò ãèïåðáîëîé.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
Ðèñ.26
Ðèñ.27
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.
103. Ôóíêöèÿ y = x 2 . Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóí-
20. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ: f (-x) = (-x)3 = -x 3 = -f (x).
30. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.
êöèè y = x2 :
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.
Ãðàôèê ôóíêöèè y = x3 èçîáðàæåí íà ðèñ.27. Îí
íàçûâàåòñÿ êóáè÷åñêîé ïàðàáîëîé.
20. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ: f (-x) = (-x)2 = x2 = f (x).
30. Íà ïðîìåæóòêå [0, + ¥) ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò.
40. Íà ïðîìåæóòêå (-¥, 0] ôóíêöèÿ óáûâàåò.
105. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ íàòóðàëüíûì ïîêà-
Ãðàôèêîì ôóíêöèè y = x2 ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà (ñì.
ï. 93). Ýòîò ãðàôèê èçîáðàæåí íà ðèñ. 15.
3
104. Ôóíêöèÿ y = x . Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = x3 :
136
çàòåëåì. Ôóíêöèÿ y = xn , ãäå n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, íàçûâàåòñÿ ñòåïåííîé ôóíêöèåé ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì. Ïðè n = 1 ïîëó÷àåì ôóíêöèþ
y = x, åå ñâîéñòâà ðàññìîòðåíû â ï. 99, à ãðàôèê (ïðÿìàÿ) èçîáðàæåí íà ðèñ. 14. Ïðè n = 2 ïîëó÷àåì
ôóíêöèþ y = x2, åå ñâîéñòâà ðàññìîòðåíû â ï. 103,
à ãðàôèê (ïàðàáîëà) èçîáðàæåí íà ðèñ. 15. Ïðè n =
= 3 ïîëó÷àåì ôóíêöèþ y = x3, åå ñâîéñòâà ðàñ137
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
Ðèñ.24
Ðèñ.25
Ãðàôèê îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè y = k / x
íàçûâàþò ãèïåðáîëîé.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
Ðèñ.26
Ðèñ.27
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.
103. Ôóíêöèÿ y = x 2 . Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóí-
20. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ: f (-x) = (-x)3 = -x 3 = -f (x).
30. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.
êöèè y = x2 :
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.
Ãðàôèê ôóíêöèè y = x3 èçîáðàæåí íà ðèñ.27. Îí
íàçûâàåòñÿ êóáè÷åñêîé ïàðàáîëîé.
20. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ: f (-x) = (-x)2 = x2 = f (x).
30. Íà ïðîìåæóòêå [0, + ¥) ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò.
40. Íà ïðîìåæóòêå (-¥, 0] ôóíêöèÿ óáûâàåò.
105. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ íàòóðàëüíûì ïîêà-
Ãðàôèêîì ôóíêöèè y = x2 ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà (ñì.
ï. 93). Ýòîò ãðàôèê èçîáðàæåí íà ðèñ. 15.
3
104. Ôóíêöèÿ y = x . Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = x3 :
136
çàòåëåì. Ôóíêöèÿ y = xn , ãäå n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, íàçûâàåòñÿ ñòåïåííîé ôóíêöèåé ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì. Ïðè n = 1 ïîëó÷àåì ôóíêöèþ
y = x, åå ñâîéñòâà ðàññìîòðåíû â ï. 99, à ãðàôèê (ïðÿìàÿ) èçîáðàæåí íà ðèñ. 14. Ïðè n = 2 ïîëó÷àåì
ôóíêöèþ y = x2, åå ñâîéñòâà ðàññìîòðåíû â ï. 103,
à ãðàôèê (ïàðàáîëà) èçîáðàæåí íà ðèñ. 15. Ïðè n =
= 3 ïîëó÷àåì ôóíêöèþ y = x3, åå ñâîéñòâà ðàñ137
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
ñìîòðåíû â ï. 104, à ãðàôèê (êóáè÷åñêàÿ ïàðàáîëà)
èçîáðàæåí íà ðèñ. 27.
Ïóñòü n — ïðîèçâîëüíîå ÷åòíîå íàòóðàëüíîå
÷èñëî, áîëüøåå äâóõ: n = 4, 6, 8, ... .  ýòîì ñëó÷àå
ôóíêöèÿ y = xn îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
öèÿ y = x3. Ãðàôèê òàêîé ôóíêöèè íàïîìèíàåò êóáè÷åñêóþ ïàðàáîëó (òîëüêî âåòâè ãðàôèêà òåì êðó÷å èäóò ââåðõ è âíèç, ÷åì áîëüøå n; ðèñ. 29). Îòìåòèì òàêæå, ÷òî íà ïðîìåæóòêå (0, 1) ãðàôèê ôóíê-
è ôóíêöèÿ y = x2 . Ãðàôèê òàêîé ôóíêöèè íàïî-
öèè y = xn òåì ìåäëåííåå îòäàëÿåòñÿ îò îñè Ox ñ
ðîñòîì x, ÷åì áîëüøå n.
ìèíàåò ïàðàáîëó y = x2, òîëüêî âåòâè ãðàôèêà ïðè
106. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ öåëûì îòðèöàòåëüíûì
x > 1 òåì êðó÷å èäóò ââåðõ, ÷åì áîëüøå n, à ïðè
-n
ïîêàçàòåëåì. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = x , ãäå
x < 1 òåì «òåñíåå ïðèæèìàþòñÿ» ê îñè Ox, ÷åì
áîëüøå n (ðèñ. 28).
Ïóñòü n — ïðîèçâîëüíîå íå÷åòíîå ÷èñëî, áîëüøåå òðåõ, ò.å. n = 5, 7, 9, ... .  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ
n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ïðè n = 1 ïîëó÷àåì y = x -1
y = xn îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è ôóíê-
èëè y = 1 / x. Ñâîéñòâà ýòîé ôóíêöèè ðàññìîòðåíû
â ï. 102, à åå ãðàôèê (ãèïåðáîëà) èçîáðàæåí íà ðèñ.
24.
Ïóñòü n — íå÷åòíîå ÷èñëî, áîëüøåå åäèíèöû:
n =3, 5, 7, ... .  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ y = x -n îáëàäàåò
â îñíîâíîì òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è ôóíêöèÿ
y = 1 / x. Ãðàôèê ôóíêöèè y = x -n (n =3, 5, 7, ...) íàïîìèíàåò ãðàôèê ôóíêöèè y = 1 / x (ðèñ. 30, à).
Ïóñòü n — ÷åòíîå ÷èñëî, íàïðèìåð n = 2. Ïåðå÷èñëèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ôóíêöèè y = x -2 :
10. Ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ïðè âñåõ x ¹ 0.
20. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ.
30. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà (0, + ¥) è âîçðàñòàåò íà
(-¥, 0).
Òåìè æå ñâîéñòâàìè îáëàäàþò ëþáûå ôóíêöèè
Ðèñ. 28
138
Ðèñ. 29
âèäà y = x -n ïðè ÷åòíîì n, áîëüøåì äâóõ.
139
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
ñìîòðåíû â ï. 104, à ãðàôèê (êóáè÷åñêàÿ ïàðàáîëà)
èçîáðàæåí íà ðèñ. 27.
Ïóñòü n — ïðîèçâîëüíîå ÷åòíîå íàòóðàëüíîå
÷èñëî, áîëüøåå äâóõ: n = 4, 6, 8, ... .  ýòîì ñëó÷àå
ôóíêöèÿ y = xn îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
öèÿ y = x3. Ãðàôèê òàêîé ôóíêöèè íàïîìèíàåò êóáè÷åñêóþ ïàðàáîëó (òîëüêî âåòâè ãðàôèêà òåì êðó÷å èäóò ââåðõ è âíèç, ÷åì áîëüøå n; ðèñ. 29). Îòìåòèì òàêæå, ÷òî íà ïðîìåæóòêå (0, 1) ãðàôèê ôóíê-
è ôóíêöèÿ y = x2 . Ãðàôèê òàêîé ôóíêöèè íàïî-
öèè y = xn òåì ìåäëåííåå îòäàëÿåòñÿ îò îñè Ox ñ
ðîñòîì x, ÷åì áîëüøå n.
ìèíàåò ïàðàáîëó y = x2, òîëüêî âåòâè ãðàôèêà ïðè
106. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ öåëûì îòðèöàòåëüíûì
x > 1 òåì êðó÷å èäóò ââåðõ, ÷åì áîëüøå n, à ïðè
-n
ïîêàçàòåëåì. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = x , ãäå
x < 1 òåì «òåñíåå ïðèæèìàþòñÿ» ê îñè Ox, ÷åì
áîëüøå n (ðèñ. 28).
Ïóñòü n — ïðîèçâîëüíîå íå÷åòíîå ÷èñëî, áîëüøåå òðåõ, ò.å. n = 5, 7, 9, ... .  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ
n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ïðè n = 1 ïîëó÷àåì y = x -1
y = xn îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è ôóíê-
èëè y = 1 / x. Ñâîéñòâà ýòîé ôóíêöèè ðàññìîòðåíû
â ï. 102, à åå ãðàôèê (ãèïåðáîëà) èçîáðàæåí íà ðèñ.
24.
Ïóñòü n — íå÷åòíîå ÷èñëî, áîëüøåå åäèíèöû:
n =3, 5, 7, ... .  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ y = x -n îáëàäàåò
â îñíîâíîì òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è ôóíêöèÿ
y = 1 / x. Ãðàôèê ôóíêöèè y = x -n (n =3, 5, 7, ...) íàïîìèíàåò ãðàôèê ôóíêöèè y = 1 / x (ðèñ. 30, à).
Ïóñòü n — ÷åòíîå ÷èñëî, íàïðèìåð n = 2. Ïåðå÷èñëèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ôóíêöèè y = x -2 :
10. Ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ïðè âñåõ x ¹ 0.
20. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ.
30. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà (0, + ¥) è âîçðàñòàåò íà
(-¥, 0).
Òåìè æå ñâîéñòâàìè îáëàäàþò ëþáûå ôóíêöèè
Ðèñ. 28
138
Ðèñ. 29
âèäà y = x -n ïðè ÷åòíîì n, áîëüøåì äâóõ.
139
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
á)
a)
Ðèñ. 31
a)
á)
Ðèñ. 30
Íàíåñåì ïîëó÷åííûå òî÷êè íà êîîðäèíàòíóþ
ïëîñêîñòü è ñîåäèíèì èõ ïëàâíîé êðèâîé. Ïîëó÷èì
ãðàôèê ôóíêöèè y = x (ðèñ. 31, à).
Ãðàôèê ôóíêöèè y = x–n ïðè ÷åòíîì n èçîáðàæåí íà ðèñ. 30, á.
107. Ôóíêöèÿ y = x . Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = x :
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ëó÷ [0, + ¥). Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî âûðàæåíèå x îïðåäåëåíî ëèøü
ïðè x ³ 0.
20. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ.
30. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà ëó÷å [0, + ¥).
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ñîñòàâèì òàáëèöó çíà÷åíèé ôóíêöèè: x = 0, y = 0; x = 1, y = 1; x = 2, y = 1,4;
x = 4, y = 2; x = 9, y = 3.
140
108. Ôóíêöèÿ y =
3
x . Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóí-
3
êöèè y = x :
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.
20. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ, òàê êàê 3 - x = - 3 x .
30. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ âåòâè ãðàôèêà ïðè x ³ 0 ñîñòàâèì òàáëèöó çíà÷åíèé ôóíêöèè: x = 0, y = 0; x = 1,
y = 1; x = 4, y = 1,6; x = 8, y = 2.
Íàíåñåì ïîëó÷åííûå òî÷êè íà êîîðäèíàòíóþ
ïëîñêîñòü è ñîåäèíèì èõ ïëàâíîé êðèâîé; çàòåì ê
ïîñòðîåííîé âåòâè äîáàâèì âåòâü, ñèììåòðè÷íóþ åé
îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïîëó÷èì ãðàôèê
ôóíêöèè y =
3
x (ðèñ. 31, á).
141
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
á)
a)
Ðèñ. 31
a)
á)
Ðèñ. 30
Íàíåñåì ïîëó÷åííûå òî÷êè íà êîîðäèíàòíóþ
ïëîñêîñòü è ñîåäèíèì èõ ïëàâíîé êðèâîé. Ïîëó÷èì
ãðàôèê ôóíêöèè y = x (ðèñ. 31, à).
Ãðàôèê ôóíêöèè y = x–n ïðè ÷åòíîì n èçîáðàæåí íà ðèñ. 30, á.
107. Ôóíêöèÿ y = x . Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = x :
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ëó÷ [0, + ¥). Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî âûðàæåíèå x îïðåäåëåíî ëèøü
ïðè x ³ 0.
20. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ.
30. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà ëó÷å [0, + ¥).
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ñîñòàâèì òàáëèöó çíà÷åíèé ôóíêöèè: x = 0, y = 0; x = 1, y = 1; x = 2, y = 1,4;
x = 4, y = 2; x = 9, y = 3.
140
108. Ôóíêöèÿ y =
3
x . Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóí-
3
êöèè y = x :
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.
20. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ, òàê êàê 3 - x = - 3 x .
30. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ âåòâè ãðàôèêà ïðè x ³ 0 ñîñòàâèì òàáëèöó çíà÷åíèé ôóíêöèè: x = 0, y = 0; x = 1,
y = 1; x = 4, y = 1,6; x = 8, y = 2.
Íàíåñåì ïîëó÷åííûå òî÷êè íà êîîðäèíàòíóþ
ïëîñêîñòü è ñîåäèíèì èõ ïëàâíîé êðèâîé; çàòåì ê
ïîñòðîåííîé âåòâè äîáàâèì âåòâü, ñèììåòðè÷íóþ åé
îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïîëó÷èì ãðàôèê
ôóíêöèè y =
3
x (ðèñ. 31, á).
141
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
109. Ôóíêöèÿ y =
y=
n
n
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
2
x . Ïðè ÷åòíîì n ôóíêöèÿ
y = x3
x îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è ôóíê–1
2
öèÿ y = x (ñì. ï. 107), åå ãðàôèê íàïîìèíàåò ãðàôèê ôóíêöèè y = x (ðèñ. 32, à). Ïðè íå÷åòíîì n
ôóíêöèÿ y =
n
è ôóíêöèÿ y =
x îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî
3
Ðèñ. 33
x (ñì. ï. 108), à åå ãðàôèê íàïîìè-
íàåò ãðàôèê ôóíêöèè y =
3
Ðèñ. 34
x (ðèñ. 32, á).
Íà ðèñ. 33 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = x5 / 2.
Îí çàêëþ÷åí ìåæäó ãðàôèêàìè ôóíêöèé y = x2 è
y = x3 , çàäàííûõ íà ïðîìåæóòêå [0, + ¥). Ïîäîáíûé
âèä èìååò ãðàôèê ëþáîé ôóíêöèè âèäà y = xr , ãäå
r > 1.
á)
a)
Íà ðèñ. 34 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = x2 / 3 .
Ïîäîáíûé âèä èìååò ãðàôèê ëþáîé ñòåïåííîé ôóíê-
Ðèñ. 32
öèè y = xr , ãäå 0 < r < 1.
110. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûì äðîár
íûì ïîêàçàòåëåì. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = x , ãäå
r — ïîëîæèòåëüíàÿ íåñîêðàòèìàÿ äðîáü. Ïåðå÷èñëèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ýòîé ôóíêöèè:
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ëó÷ [0, + ¥).
20. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ.
30. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà [0, + ¥).
142
111. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ îòðèöàòåëüíûì äðîáíûì ïîêàçàòåëåì. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = x -r ,
ãäå r — ïîëîæèòåëüíàÿ íåñîêðàòèìàÿ äðîáü. Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ýòîé ôóíêöèè:
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ïðîìåæóòîê (0, + ¥).
20. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ.
30. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà (0, + ¥).
143
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
109. Ôóíêöèÿ y =
y=
n
n
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
2
x . Ïðè ÷åòíîì n ôóíêöèÿ
y = x3
x îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è ôóíê–1
2
öèÿ y = x (ñì. ï. 107), åå ãðàôèê íàïîìèíàåò ãðàôèê ôóíêöèè y = x (ðèñ. 32, à). Ïðè íå÷åòíîì n
ôóíêöèÿ y =
n
è ôóíêöèÿ y =
x îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî
3
Ðèñ. 33
x (ñì. ï. 108), à åå ãðàôèê íàïîìè-
íàåò ãðàôèê ôóíêöèè y =
3
Ðèñ. 34
x (ðèñ. 32, á).
Íà ðèñ. 33 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = x5 / 2.
Îí çàêëþ÷åí ìåæäó ãðàôèêàìè ôóíêöèé y = x2 è
y = x3 , çàäàííûõ íà ïðîìåæóòêå [0, + ¥). Ïîäîáíûé
âèä èìååò ãðàôèê ëþáîé ôóíêöèè âèäà y = xr , ãäå
r > 1.
á)
a)
Íà ðèñ. 34 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = x2 / 3 .
Ïîäîáíûé âèä èìååò ãðàôèê ëþáîé ñòåïåííîé ôóíê-
Ðèñ. 32
öèè y = xr , ãäå 0 < r < 1.
110. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûì äðîár
íûì ïîêàçàòåëåì. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = x , ãäå
r — ïîëîæèòåëüíàÿ íåñîêðàòèìàÿ äðîáü. Ïåðå÷èñëèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ýòîé ôóíêöèè:
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ëó÷ [0, + ¥).
20. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ.
30. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà [0, + ¥).
142
111. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ îòðèöàòåëüíûì äðîáíûì ïîêàçàòåëåì. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = x -r ,
ãäå r — ïîëîæèòåëüíàÿ íåñîêðàòèìàÿ äðîáü. Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ýòîé ôóíêöèè:
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ïðîìåæóòîê (0, + ¥).
20. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ.
30. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà (0, + ¥).
143
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
Íà ðèñ. 34 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè
y=x
-1 / 2
. Ïîäîáíûé âèä èìååò ãðàôèê ëþáîé ôóí-
êöèè y = xr , ãäå r — îòðèöàòåëüíàÿ äðîáü.
112. Ôóíêöèÿ y = [x]. Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = [x] (ñì. ï. 33). Åñëè 0 £ x < 1, òî y = [x] = 0;
åñëè 1 £ x < 2, òî y = [x] = 1; åñëè -1 £ x < 0, òî
y = [x] = -1 è ò.ä. Ãðàôèê ôóíêöèè y = [x] èçîáðàæåí íà ðèñ. 35.
113. Ôóíêöèÿ y = {x}. Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = {x} (ñì. ï. 33). Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî x
âûïîëíÿåòñÿ äâîéíîå ðàâåíñòâî {x - 1} = {x} = {x + 1}.
Ýòî çíà÷èò, ÷òî y = {x} — ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ
ïåðèîäîì T = 1.
[x] = 0,
Åñëè
òî
à ïîòîìó
0 £ x < 1,
{x} = x - [x] = x. Ïîñòðîèâ ãðàôèê ôóíêöèè y = {x}
íà ïðîìåæóòêå [0, 1) è ïåðåíåñÿ åãî ïàðàëëåëüíî íà
ðàññòîÿíèÿ n (n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî) âëåâî è âïðà-
Ðèñ. 35
144
Ðèñ. 36
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
âî âäîëü îñè Îõ, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè y = {x}
íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé (ðèñ. 36).
114. Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ. Ïîêàçàòåëüíàÿ
ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ ôîðìóëîé y = a x , ãäå a > 0 è
a ¹ 1.
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = a x ïðè a > 1 :
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.
20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — ëó÷ (0, + ¥).
30. Ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé.
Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî a -x ¹ a x è a -x ¹ -a x .
40. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.
50. Îñü Ox ÿâëÿåòñÿ ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòîé
ãðàôèêà ïðè x ® -¥.
Ãðàôèê ôóíêöèè y = a x ïðè a > 1 âûãëÿäèò òàê,
êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 37, à. Íàïðèìåð, íà ðèñ. 37, á
èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = 2x.
á)
a)
Ðèñ. 37
145
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
Íà ðèñ. 34 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè
y=x
-1 / 2
. Ïîäîáíûé âèä èìååò ãðàôèê ëþáîé ôóí-
êöèè y = xr , ãäå r — îòðèöàòåëüíàÿ äðîáü.
112. Ôóíêöèÿ y = [x]. Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = [x] (ñì. ï. 33). Åñëè 0 £ x < 1, òî y = [x] = 0;
åñëè 1 £ x < 2, òî y = [x] = 1; åñëè -1 £ x < 0, òî
y = [x] = -1 è ò.ä. Ãðàôèê ôóíêöèè y = [x] èçîáðàæåí íà ðèñ. 35.
113. Ôóíêöèÿ y = {x}. Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = {x} (ñì. ï. 33). Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî x
âûïîëíÿåòñÿ äâîéíîå ðàâåíñòâî {x - 1} = {x} = {x + 1}.
Ýòî çíà÷èò, ÷òî y = {x} — ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ
ïåðèîäîì T = 1.
[x] = 0,
Åñëè
òî
à ïîòîìó
0 £ x < 1,
{x} = x - [x] = x. Ïîñòðîèâ ãðàôèê ôóíêöèè y = {x}
íà ïðîìåæóòêå [0, 1) è ïåðåíåñÿ åãî ïàðàëëåëüíî íà
ðàññòîÿíèÿ n (n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî) âëåâî è âïðà-
Ðèñ. 35
144
Ðèñ. 36
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
âî âäîëü îñè Îõ, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè y = {x}
íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé (ðèñ. 36).
114. Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ. Ïîêàçàòåëüíàÿ
ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ ôîðìóëîé y = a x , ãäå a > 0 è
a ¹ 1.
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = a x ïðè a > 1 :
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.
20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — ëó÷ (0, + ¥).
30. Ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé.
Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî a -x ¹ a x è a -x ¹ -a x .
40. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.
50. Îñü Ox ÿâëÿåòñÿ ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòîé
ãðàôèêà ïðè x ® -¥.
Ãðàôèê ôóíêöèè y = a x ïðè a > 1 âûãëÿäèò òàê,
êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 37, à. Íàïðèìåð, íà ðèñ. 37, á
èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = 2x.
á)
a)
Ðèñ. 37
145
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
ëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîãî y0 èç îòðåçêà [c, d] åñòü òîëüêî îäíî çíà÷åíèå x0 èç îòðåçêà
y = ax ; 0 < a < 1
æ1ö
y=ç ÷
è2ø
a)
x
á)
Ðèñ. 38
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = a x ïðè
0 < a < 1:
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.
20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — ëó÷ (0, + ¥).
30. Ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé.
40. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.
50. Îñü Ox ÿâëÿåòñÿ ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòîé
ãðàôèêà ïðè x ® +¥.
Ãðàôèê ôóíêöèè y = a x ïðè 0 < a < 1 âûãëÿäèò
òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 38, à. Íàïðèìåð, íà ðèñ. 38, á
x
æ1ö
èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = ç ÷ .
è2ø
115. Îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Ãðàôèê îáðàòíîé ôóíêöèè. Ñðàâíèì äâå ôóíêöèè y = f (x) è y = g (x).
Èõ ãðàôèêè èçîáðàæåíû íà ðèñ. 39, à è á. Îáå îíè
îïðåäåëåíû íà îòðåçêå [a, b], à èõ ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê [c, d]. Ïåðâàÿ ôóíêöèÿ îá146
[a, b] òàêîå, ÷òî f (x0 ) = y0 . Ãåîìåòðè÷åñêè óêàçàííîå ñâîéñòâî îçíà÷àåò, ÷òî ëþáàÿ ãîðèçîíòàëüíàÿ ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ îñü Oy ìåæäó òî÷êàìè ñ è d, ïåðåñåêàåò ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) òîëüêî â îäíîé
òî÷êå. Âòîðàÿ ôóíêöèÿ ýòèì ñâîéñòâîì íå îáëàäàåò: íàïðèìåð, äëÿ çíà÷åíèÿ y1 ïðÿìàÿ y = y1 ïåðåñåêàåò ãðàôèê ôóíêöèè y = g (x) â òðåõ òî÷êàõ. Çíà÷èò, â ïåðâîì ñëó÷àå ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì
y0 èç îòðåçêà [c, d] óðàâíåíèå f (x) = y0 èìååò òîëüêî îäèí êîðåíü õ0, à âî âòîðîì ñëó÷àå ïðè íåêîòîðûõ
ó, íàïðèìåð ïðè ó = ó1, óðàâíåíèå g (x) = y1 èìååò
áîëåå îäíîãî êîðíÿ.
Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) òàêîâà, ÷òî äëÿ ëþáîãî åå
çíà÷åíèÿ ó0 óðàâíåíèå f (x) = y0 èìååò îòíîñèòåëüíî õ åäèíñòâåííûé êîðåíü, òî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f
îáðàòèìà.
Òàê, ôóíêöèÿ y = f (x), ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 39, à, îáðàòèìà, à ôóíêöèÿ y = g (x), ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 39, á, íåîáðàòèìà.
Ìîæíî ñêàçàòü è òàê: ôóíêöèþ, ïðèíèìàþùóþ
êàæäîå ñâîå çíà÷åíèå â åäèíñòâåííîé òî÷êå îáëàñòè
îïðåäåëåíèÿ, íàçûâàþò îáðàòèìîé.
Åñëè ôóíêöèÿ f îáðàòèìà, òî, âûðàçèâ õ èç ôîðìóëû y = f (x) è ïîìåíÿâ çàòåì õ è ó ìåñòàìè, ïîëó÷èì îáðàòíóþ ôóíêöèþ. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ôóíêöèÿ f çàäàíà ôîðìóëîé y = f (x), òî äëÿ íàõîæäå147
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
ëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîãî y0 èç îòðåçêà [c, d] åñòü òîëüêî îäíî çíà÷åíèå x0 èç îòðåçêà
y = ax ; 0 < a < 1
æ1ö
y=ç ÷
è2ø
a)
x
á)
Ðèñ. 38
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = a x ïðè
0 < a < 1:
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.
20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — ëó÷ (0, + ¥).
30. Ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé.
40. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.
50. Îñü Ox ÿâëÿåòñÿ ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòîé
ãðàôèêà ïðè x ® +¥.
Ãðàôèê ôóíêöèè y = a x ïðè 0 < a < 1 âûãëÿäèò
òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 38, à. Íàïðèìåð, íà ðèñ. 38, á
x
æ1ö
èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = ç ÷ .
è2ø
115. Îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Ãðàôèê îáðàòíîé ôóíêöèè. Ñðàâíèì äâå ôóíêöèè y = f (x) è y = g (x).
Èõ ãðàôèêè èçîáðàæåíû íà ðèñ. 39, à è á. Îáå îíè
îïðåäåëåíû íà îòðåçêå [a, b], à èõ ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê [c, d]. Ïåðâàÿ ôóíêöèÿ îá146
[a, b] òàêîå, ÷òî f (x0 ) = y0 . Ãåîìåòðè÷åñêè óêàçàííîå ñâîéñòâî îçíà÷àåò, ÷òî ëþáàÿ ãîðèçîíòàëüíàÿ ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ îñü Oy ìåæäó òî÷êàìè ñ è d, ïåðåñåêàåò ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) òîëüêî â îäíîé
òî÷êå. Âòîðàÿ ôóíêöèÿ ýòèì ñâîéñòâîì íå îáëàäàåò: íàïðèìåð, äëÿ çíà÷åíèÿ y1 ïðÿìàÿ y = y1 ïåðåñåêàåò ãðàôèê ôóíêöèè y = g (x) â òðåõ òî÷êàõ. Çíà÷èò, â ïåðâîì ñëó÷àå ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì
y0 èç îòðåçêà [c, d] óðàâíåíèå f (x) = y0 èìååò òîëüêî îäèí êîðåíü õ0, à âî âòîðîì ñëó÷àå ïðè íåêîòîðûõ
ó, íàïðèìåð ïðè ó = ó1, óðàâíåíèå g (x) = y1 èìååò
áîëåå îäíîãî êîðíÿ.
Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) òàêîâà, ÷òî äëÿ ëþáîãî åå
çíà÷åíèÿ ó0 óðàâíåíèå f (x) = y0 èìååò îòíîñèòåëüíî õ åäèíñòâåííûé êîðåíü, òî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f
îáðàòèìà.
Òàê, ôóíêöèÿ y = f (x), ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 39, à, îáðàòèìà, à ôóíêöèÿ y = g (x), ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 39, á, íåîáðàòèìà.
Ìîæíî ñêàçàòü è òàê: ôóíêöèþ, ïðèíèìàþùóþ
êàæäîå ñâîå çíà÷åíèå â åäèíñòâåííîé òî÷êå îáëàñòè
îïðåäåëåíèÿ, íàçûâàþò îáðàòèìîé.
Åñëè ôóíêöèÿ f îáðàòèìà, òî, âûðàçèâ õ èç ôîðìóëû y = f (x) è ïîìåíÿâ çàòåì õ è ó ìåñòàìè, ïîëó÷èì îáðàòíóþ ôóíêöèþ. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ôóíêöèÿ f çàäàíà ôîðìóëîé y = f (x), òî äëÿ íàõîæäå147
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
q Ôóíêöèÿ ó = 2õ – 1 âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé
ïðÿìîé, çíà÷èò, ó íåå åñòü îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. ×òîáû
íàéòè ýòó îáðàòíóþ ôóíêöèþ, íàäî ðåøèòü óðàâíåíèå
2õ – 1 = ó îòíîñèòåëüíî õ. Èìååì x = 0,5 (y + 1). Ïî-
a)
Ðèñ. 39
á)
íèÿ îáðàòíîé ôóíêöèè íóæíî ðåøèòü óðàâíåíèå
f(x) = y îòíîñèòåëüíî õ, à çàòåì õ è ó ïîìåíÿòü ìåñòàìè. Çàìåòèì, ÷òî åñëè äëÿ íåêîòîðûõ ó èç ìíîæåñòâà çíà÷åíèé ôóíêöèè f ýòî óðàâíåíèå èìååò áîëåå
îäíîãî êîðíÿ, òî îáðàòíîé ôóíêöèè íåò.
Ñðàâíèâàÿ ãðàôèêè ôóíêöèé y = f (x) è y = g (x)
(ñì. ðèñ. 39, à è á), çàìå÷àåì, ÷òî y = f (x) — âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ (è ó íåå åñòü îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ), òîãäà êàê ôóíêöèÿ y = g (x) íå ÿâëÿåòñÿ íè âîçðàñòàþùåé, íè óáûâàþùåé (è ó íåå íåò îáðàòíîé ôóíêöèè).
Âîçðàñòàíèå èëè óáûâàíèå ôóíêöèè îáåñïå÷èâàåò
ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîé ôóíêöèè.
Ò.3.4. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà è âîçðàñòàåò (èëè óáûâàåò) íà ïðîìåæóòêå Õ è ìíîæåñòâîì åå çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòîê Y, òî ó
íåå ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ, ïðè÷åì îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà è âîçðàñòàåò (èëè óáûâàåò) íà Y.
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ ó = 2õ – 1
èìååò îáðàòíóþ, è íàéòè åå.
148
ìåíÿâ õ è ó ìåñòàìè, ïîëó÷èì y = 0,5 (x + 1). Ýòî è
åñòü èñêîìàÿ îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. n
Åñëè òî÷êà (õ; ó) ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè
y = f (x), òî òî÷êà (ó; õ) ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó îáðàòíîé ôóíêöèè. Ïîýòîìó ãðàôèê îáðàòíîé ôóíêöèè
ïîëó÷àåòñÿ èç ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) ñ ïîìîùüþ
ïðåîáðàçîâàíèÿ ïëîñêîñòè õÎó, ïåðåâîäÿùåãî òî÷êó
(õ; ó) â òî÷êó (ó; õ). Ýòèì ïðåîáðàçîâàíèåì ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ.
Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè, îáðàòíîé ôóíêöèè y = f (x), íàäî ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) ïðåîáðàçîâàòü ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 40, à).
a)
á)
Ðèñ. 40
149
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
q Ôóíêöèÿ ó = 2õ – 1 âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé
ïðÿìîé, çíà÷èò, ó íåå åñòü îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. ×òîáû
íàéòè ýòó îáðàòíóþ ôóíêöèþ, íàäî ðåøèòü óðàâíåíèå
2õ – 1 = ó îòíîñèòåëüíî õ. Èìååì x = 0,5 (y + 1). Ïî-
a)
Ðèñ. 39
á)
íèÿ îáðàòíîé ôóíêöèè íóæíî ðåøèòü óðàâíåíèå
f(x) = y îòíîñèòåëüíî õ, à çàòåì õ è ó ïîìåíÿòü ìåñòàìè. Çàìåòèì, ÷òî åñëè äëÿ íåêîòîðûõ ó èç ìíîæåñòâà çíà÷åíèé ôóíêöèè f ýòî óðàâíåíèå èìååò áîëåå
îäíîãî êîðíÿ, òî îáðàòíîé ôóíêöèè íåò.
Ñðàâíèâàÿ ãðàôèêè ôóíêöèé y = f (x) è y = g (x)
(ñì. ðèñ. 39, à è á), çàìå÷àåì, ÷òî y = f (x) — âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ (è ó íåå åñòü îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ), òîãäà êàê ôóíêöèÿ y = g (x) íå ÿâëÿåòñÿ íè âîçðàñòàþùåé, íè óáûâàþùåé (è ó íåå íåò îáðàòíîé ôóíêöèè).
Âîçðàñòàíèå èëè óáûâàíèå ôóíêöèè îáåñïå÷èâàåò
ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîé ôóíêöèè.
Ò.3.4. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà è âîçðàñòàåò (èëè óáûâàåò) íà ïðîìåæóòêå Õ è ìíîæåñòâîì åå çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòîê Y, òî ó
íåå ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ, ïðè÷åì îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà è âîçðàñòàåò (èëè óáûâàåò) íà Y.
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ ó = 2õ – 1
èìååò îáðàòíóþ, è íàéòè åå.
148
ìåíÿâ õ è ó ìåñòàìè, ïîëó÷èì y = 0,5 (x + 1). Ýòî è
åñòü èñêîìàÿ îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. n
Åñëè òî÷êà (õ; ó) ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè
y = f (x), òî òî÷êà (ó; õ) ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó îáðàòíîé ôóíêöèè. Ïîýòîìó ãðàôèê îáðàòíîé ôóíêöèè
ïîëó÷àåòñÿ èç ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) ñ ïîìîùüþ
ïðåîáðàçîâàíèÿ ïëîñêîñòè õÎó, ïåðåâîäÿùåãî òî÷êó
(õ; ó) â òî÷êó (ó; õ). Ýòèì ïðåîáðàçîâàíèåì ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ.
Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè, îáðàòíîé ôóíêöèè y = f (x), íàäî ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) ïðåîáðàçîâàòü ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 40, à).
a)
á)
Ðèñ. 40
149
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
Íàïðèìåð, åñëè y = xn , ãäå x ³ 0, n — íàòóðàëüíîå, n > 1, òî x =
÷èì y =
n
n
y . Ïîìåíÿâ õ è ó ìåñòàìè, ïîëó-
x . Ãðàôèêè äâóõ âçàèìíî îáðàòíûõ ôóíên
n
öèé y = x è y = x ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî
ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 40, á).
116. Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ó = àõ, ãäå a > 0, a ¹ 1, îáëàäàåò âñåìè
ñâîéñòâàìè, êîòîðûå ãàðàíòèðóþò ñóùåñòâîâàíèå
îáðàòíîé ôóíêöèè (ñì. òåîðåìó 3.4): 1) îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ; 2) ìíîæåñòâî
çíà÷åíèé — ïðîìåæóòîê (0, + ¥); 3) ôóíêöèÿ ó = àõ
âîçðàñòàåò ïðè a > 0 è óáûâàåò ïðè 0 < a < 1.
Óêàçàííûå ñâîéñòâà îáåñïå÷èâàþò ñóùåñòâîâàíèå
ôóíêöèè, îáðàòíîé ïîêàçàòåëüíîé, îïðåäåëåííîé íà
(0, + ¥) è èìåþùåé â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà ñâîèõ çíà÷åíèé âñþ ÷èñëîâóþ ïðÿìóþ.
Ýòà îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ îáîçíà÷àåòñÿ òàê: y =
= loga x (÷èòàåòñÿ: «ëîãàðèôì ÷èñëà õ ïî îñíîâàíèþ à»). Èòàê, ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ y = loga x,
ãäå a > 0 è a ¹ 1, — ýòî ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè ó = àõ.
Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ y = loga x îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè (îíè âûòåêàþò èç òåîðåìû 3.4):
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ëó÷ (0, + ¥) .
20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.
30. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ.
150
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
40. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêå (0, + ¥)
ïðè a > 1, óáûâàåò íà (0, + ¥) ïðè 0 < a < 1.
50. Îñü Îó ÿâëÿåòñÿ âåðòèêàëüíîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà (åñëè a > 1, òî y ® -¥ ïðè x ® 0, à åñëè
0 < a < 1, òî y ® +¥ ïðè x ® 0 ).
Ðèñ. 31
a)
Ðèñ. 41
á)
Ãðàôèê ôóíêöèè y = loga x ìîæíî ïîëó÷èòü èç
ãðàôèêà ôóíêöèè ó = àõ ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ
ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ. Íà ðèñ. 41, à
ïîñòðîåí ãðàôèê ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè äëÿ
a > 1, à íà ðèñ. 41, á — äëÿ 0 < a < 1.
117. ×èñëî å . Ôóíêöèÿ ó = å õ . Ôóíêöèÿ
y = lnx. Ñðåäè ïîêàçàòåëüíûõ ôóíêöèé ó = àõ, ãäå
a > 1, îñîáûé èíòåðåñ äëÿ ìàòåìàòèêè è åå ïðèëîæåíèé ïðåäñòàâëÿåò ôóíêöèÿ, îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè
151
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
Íàïðèìåð, åñëè y = xn , ãäå x ³ 0, n — íàòóðàëüíîå, n > 1, òî x =
÷èì y =
n
n
y . Ïîìåíÿâ õ è ó ìåñòàìè, ïîëó-
x . Ãðàôèêè äâóõ âçàèìíî îáðàòíûõ ôóíên
n
öèé y = x è y = x ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî
ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 40, á).
116. Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ó = àõ, ãäå a > 0, a ¹ 1, îáëàäàåò âñåìè
ñâîéñòâàìè, êîòîðûå ãàðàíòèðóþò ñóùåñòâîâàíèå
îáðàòíîé ôóíêöèè (ñì. òåîðåìó 3.4): 1) îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ; 2) ìíîæåñòâî
çíà÷åíèé — ïðîìåæóòîê (0, + ¥); 3) ôóíêöèÿ ó = àõ
âîçðàñòàåò ïðè a > 0 è óáûâàåò ïðè 0 < a < 1.
Óêàçàííûå ñâîéñòâà îáåñïå÷èâàþò ñóùåñòâîâàíèå
ôóíêöèè, îáðàòíîé ïîêàçàòåëüíîé, îïðåäåëåííîé íà
(0, + ¥) è èìåþùåé â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà ñâîèõ çíà÷åíèé âñþ ÷èñëîâóþ ïðÿìóþ.
Ýòà îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ îáîçíà÷àåòñÿ òàê: y =
= loga x (÷èòàåòñÿ: «ëîãàðèôì ÷èñëà õ ïî îñíîâàíèþ à»). Èòàê, ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ y = loga x,
ãäå a > 0 è a ¹ 1, — ýòî ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè ó = àõ.
Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ y = loga x îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè (îíè âûòåêàþò èç òåîðåìû 3.4):
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ëó÷ (0, + ¥) .
20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.
30. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ.
150
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
40. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêå (0, + ¥)
ïðè a > 1, óáûâàåò íà (0, + ¥) ïðè 0 < a < 1.
50. Îñü Îó ÿâëÿåòñÿ âåðòèêàëüíîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà (åñëè a > 1, òî y ® -¥ ïðè x ® 0, à åñëè
0 < a < 1, òî y ® +¥ ïðè x ® 0 ).
Ðèñ. 31
a)
Ðèñ. 41
á)
Ãðàôèê ôóíêöèè y = loga x ìîæíî ïîëó÷èòü èç
ãðàôèêà ôóíêöèè ó = àõ ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ
ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ. Íà ðèñ. 41, à
ïîñòðîåí ãðàôèê ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè äëÿ
a > 1, à íà ðèñ. 41, á — äëÿ 0 < a < 1.
117. ×èñëî å . Ôóíêöèÿ ó = å õ . Ôóíêöèÿ
y = lnx. Ñðåäè ïîêàçàòåëüíûõ ôóíêöèé ó = àõ, ãäå
a > 1, îñîáûé èíòåðåñ äëÿ ìàòåìàòèêè è åå ïðèëîæåíèé ïðåäñòàâëÿåò ôóíêöèÿ, îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè
151
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
(ñì. ï. 224) â òî÷êå (0; 1) îáðàçóåò ñ îñüþ Îõ óãîë 45°
(ðèñ. 42). Îñíîâàíèå à òàêîé ôóíêöèè ó = àõ ïðèíÿòî
îáîçíà÷àòü áóêâîé å, ò. å. ó = åõ. Ïîäñ÷èòàíî, ÷òî å =
= 2,7182818284590..., è óñòàíîâëåíî, ÷òî å — èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñëåäóþùóþ ñóììó:
e = 1+
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+ ... .
1 1× 2 1× 2 × 3
1 × 2 × 3 ·...·n
× ...n
Èìåííî ñ ïîìîùüþ ýòîãî ðàâåíñòâà è íàõîäÿò çíà÷åíèå ÷èñëà å ñ ëþáîé òî÷íîñòüþ.
Ôóíêöèþ ó = åõ èíîãäà íàçûâàþò ýêñïîíåíòîé.
Ëîãàðèôìè÷åñêóþ ôóíêöèþ, îáðàòíóþ ýêñïîíåíòå ó = åõ, ò. å. ôóíêöèþ y = loge x, ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü y = ln x (ãäå ln ÷èòàåòñÿ: «íàòóðàëüíûé ëîãàðèôì»). Ãðàôèêè ôóíêöèé ó = åõ è y = ln x ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 43).
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
118. Îïðåäåëåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàò âðàùàþùåéñÿ òî÷êè. Ðàññìîòðèì íà
êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎó åäèíè÷íóþ îêðóæíîñòü, ò. å. îêðóæíîñòü åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ð0 òî÷êó
åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè ñ êîîðäèíàòàìè (1; 0), ýòó òî÷êó áóäåì íàçûâàòü íà÷àëüíîé. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî t è ïîâåðíåì íà÷àëüíóþ òî÷êó îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î íà óãîë t ; ïðè ýòîì åñëè t > 0, òî
ïîâîðîò îñóùåñòâëÿåòñÿ â íàïðàâëåíèè ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ðèñ. 44, à), à åñëè t < 0, — òî ïî ÷àñîâîé
ñòðåëêå (ðèñ. 44, á).
 ðåçóëüòàòå ïîâîðîòà ïîëó÷èì íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè òî÷êó Pt . Åå îðäèíàòà íàçûâàåòñÿ ñèíóñîì
÷èñëà t è îáîçíà÷àåòñÿ sin t, à àáñöèññà — êîñèíóñîì ÷èñëà t (èëè óãëà t ) è îáîçíà÷àåòñÿ cos t.
t
0
0
t
á)
a)
Ðèñ. 42
152
Ðèñ. 43
Ðèñ. 44
153
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
(ñì. ï. 224) â òî÷êå (0; 1) îáðàçóåò ñ îñüþ Îõ óãîë 45°
(ðèñ. 42). Îñíîâàíèå à òàêîé ôóíêöèè ó = àõ ïðèíÿòî
îáîçíà÷àòü áóêâîé å, ò. å. ó = åõ. Ïîäñ÷èòàíî, ÷òî å =
= 2,7182818284590..., è óñòàíîâëåíî, ÷òî å — èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñëåäóþùóþ ñóììó:
e = 1+
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+ ... .
1 1× 2 1× 2 × 3
1 × 2 × 3 ·...·n
× ...n
Èìåííî ñ ïîìîùüþ ýòîãî ðàâåíñòâà è íàõîäÿò çíà÷åíèå ÷èñëà å ñ ëþáîé òî÷íîñòüþ.
Ôóíêöèþ ó = åõ èíîãäà íàçûâàþò ýêñïîíåíòîé.
Ëîãàðèôìè÷åñêóþ ôóíêöèþ, îáðàòíóþ ýêñïîíåíòå ó = åõ, ò. å. ôóíêöèþ y = loge x, ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü y = ln x (ãäå ln ÷èòàåòñÿ: «íàòóðàëüíûé ëîãàðèôì»). Ãðàôèêè ôóíêöèé ó = åõ è y = ln x ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 43).
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
118. Îïðåäåëåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàò âðàùàþùåéñÿ òî÷êè. Ðàññìîòðèì íà
êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎó åäèíè÷íóþ îêðóæíîñòü, ò. å. îêðóæíîñòü åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ð0 òî÷êó
åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè ñ êîîðäèíàòàìè (1; 0), ýòó òî÷êó áóäåì íàçûâàòü íà÷àëüíîé. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî t è ïîâåðíåì íà÷àëüíóþ òî÷êó îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î íà óãîë t ; ïðè ýòîì åñëè t > 0, òî
ïîâîðîò îñóùåñòâëÿåòñÿ â íàïðàâëåíèè ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ðèñ. 44, à), à åñëè t < 0, — òî ïî ÷àñîâîé
ñòðåëêå (ðèñ. 44, á).
 ðåçóëüòàòå ïîâîðîòà ïîëó÷èì íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè òî÷êó Pt . Åå îðäèíàòà íàçûâàåòñÿ ñèíóñîì
÷èñëà t è îáîçíà÷àåòñÿ sin t, à àáñöèññà — êîñèíóñîì ÷èñëà t (èëè óãëà t ) è îáîçíà÷àåòñÿ cos t.
t
0
0
t
á)
a)
Ðèñ. 42
152
Ðèñ. 43
Ðèñ. 44
153
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
Òàíãåíñîì ÷èñëà t íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ñèíóñà ÷èñëà t ê åãî êîñèíóñó:
sin t
tg t =
.
cos t
Êîòàíãåíñîì ÷èñëà t íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå êîñèíóñà ÷èñëà t ê åãî ñèíóñó:
cos t
ctg t =
.
sin t
Ïðèâåäåì òàáëèöó çíà÷åíèé ñèíóñà, êîñèíóñà,
òàíãåíñà è êîòàíãåíñà íåêîòîðûõ óãëîâ:
Àðãóìåíò t
Ôóíêöèÿ
0°
30°
45°
60° 90°
sin t
0
11
2
Ö2
Ö3
2
2
2
cos t
1
Ö3
Ö2
2
tg t
0
Ö3
3
ctg t
—
Ö3
2
180°
270°
1
0
–1
1
2
0
–1
0
1
Ö3
—
0
—
1
Ö3
0
—
0
3
Èç îïðåäåëåíèé ñëåäóåò, ÷òî íå ñóùåñòâóåò òàíãåíñ óãëîâ, êîñèíóñ êîòîðûõ ðàâåí íóëþ, è êîòàíãåíñ
óãëîâ, ñèíóñ êîòîðûõ ðàâåí íóëþ.
Ãîâîðÿ î ñèíóñå, êîñèíóñå, òàíãåíñå è êîòàíãåíñå
÷èñëà, èñïîëüçóþò êàê ãðàäóñíóþ, òàê è ðàäèàííóþ
ìåðó óãëà (ñì. ï. 254):
154
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
Ðèñ. 45
180°
p
ðàä » 0,017 ðàä.
» 57°; 1° =
p
180
Íàïðèìåð, sin 4 » sin (4 × 57°) = sin 228°,
1 ðàä =
p ö
5p
æ
cos 225° = cos ç 225 ×
.
÷ = cos
180
4
ø
è
Ôóíêöèè y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x
íàçûâàþò òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè.
119. Çíàêè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïî ÷åòâåðòÿì. Ïîñêîëüêó sin t è cos t — ýòî ñîîòâåòñòâåííî îðäèíàòà è àáñöèññà òî÷êè Ðt åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò (ñì. ï. 118), ñèíóñ ïîëîæèòåëåí äëÿ òî÷åê, ëåæàùèõ íà âåðõíåé ïîëóîêðóæíîñòè, è îòðèöàòåëåí äëÿ òî÷åê, ëåæàùèõ íà
íèæíåé ïîëóîêðóæíîñòè; êîñèíóñ ïîëîæèòåëåí äëÿ
òî÷åê, ëåæàùèõ íà ïðàâîé ïîëóîêðóæíîñòè, è îòðèöàòåëåí — íà ëåâîé ïîëóîêðóæíîñòè. Çíàêè âñåõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïî ÷åòâåðòÿì åäèíè÷íîé
îêðóæíîñòè óêàçàíû íà ðèñ. 45.
120. Èññëåäîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé
íà ÷åòíîñòü, íå÷åòíîñòü. Òî÷êè Pt è P- t åäèíè÷íîé
155
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
Òàíãåíñîì ÷èñëà t íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ñèíóñà ÷èñëà t ê åãî êîñèíóñó:
sin t
tg t =
.
cos t
Êîòàíãåíñîì ÷èñëà t íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå êîñèíóñà ÷èñëà t ê åãî ñèíóñó:
cos t
ctg t =
.
sin t
Ïðèâåäåì òàáëèöó çíà÷åíèé ñèíóñà, êîñèíóñà,
òàíãåíñà è êîòàíãåíñà íåêîòîðûõ óãëîâ:
Àðãóìåíò t
Ôóíêöèÿ
0°
30°
45°
60° 90°
sin t
0
11
2
Ö2
Ö3
2
2
2
cos t
1
Ö3
Ö2
2
tg t
0
Ö3
3
ctg t
—
Ö3
2
180°
270°
1
0
–1
1
2
0
–1
0
1
Ö3
—
0
—
1
Ö3
0
—
0
3
Èç îïðåäåëåíèé ñëåäóåò, ÷òî íå ñóùåñòâóåò òàíãåíñ óãëîâ, êîñèíóñ êîòîðûõ ðàâåí íóëþ, è êîòàíãåíñ
óãëîâ, ñèíóñ êîòîðûõ ðàâåí íóëþ.
Ãîâîðÿ î ñèíóñå, êîñèíóñå, òàíãåíñå è êîòàíãåíñå
÷èñëà, èñïîëüçóþò êàê ãðàäóñíóþ, òàê è ðàäèàííóþ
ìåðó óãëà (ñì. ï. 254):
154
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
Ðèñ. 45
180°
p
ðàä » 0,017 ðàä.
» 57°; 1° =
p
180
Íàïðèìåð, sin 4 » sin (4 × 57°) = sin 228°,
1 ðàä =
p ö
5p
æ
cos 225° = cos ç 225 ×
.
÷ = cos
180
4
ø
è
Ôóíêöèè y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x
íàçûâàþò òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè.
119. Çíàêè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïî ÷åòâåðòÿì. Ïîñêîëüêó sin t è cos t — ýòî ñîîòâåòñòâåííî îðäèíàòà è àáñöèññà òî÷êè Ðt åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò (ñì. ï. 118), ñèíóñ ïîëîæèòåëåí äëÿ òî÷åê, ëåæàùèõ íà âåðõíåé ïîëóîêðóæíîñòè, è îòðèöàòåëåí äëÿ òî÷åê, ëåæàùèõ íà
íèæíåé ïîëóîêðóæíîñòè; êîñèíóñ ïîëîæèòåëåí äëÿ
òî÷åê, ëåæàùèõ íà ïðàâîé ïîëóîêðóæíîñòè, è îòðèöàòåëåí — íà ëåâîé ïîëóîêðóæíîñòè. Çíàêè âñåõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïî ÷åòâåðòÿì åäèíè÷íîé
îêðóæíîñòè óêàçàíû íà ðèñ. 45.
120. Èññëåäîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé
íà ÷åòíîñòü, íå÷åòíîñòü. Òî÷êè Pt è P- t åäèíè÷íîé
155
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
îêðóæíîñòè èìåþò îäèíàêîâóþ àáñöèññó è ïðîòèâîïîëîæíûå (îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà ëèøü çíàêîì) îðäèíàòû (ðèñ. 46). Ýòî çíà÷èò, ÷òî cos (–t) =
= cos t, sin (–t) = –sin t, ò. å. y = cos x — ÷åòíàÿ, à
y = sin x — íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ. Ôóíêöèè y = tg x,
y = ctg x — íå÷åòíûå.
121. Ïåðèîäè÷íîñòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé.
Òàê êàê Ðt è Ðt + 360° — îäíà è òà æå òî÷êà åäèíè÷íîé
îêðóæíîñòè (ñì. ï. 118), òî ñèíóñû ñîîòâåòñòâóþùèõ
óãëîâ, à òàêæå èõ êîñèíóñû ðàâíû. Çíà÷èò,
sin (x + 360°) = sin x, cos (x + 360°) = cos x,
Áîëåå îáùèìè ÿâëÿþòñÿ ðàâåíñòâà
sin (x + 360°k) = sin x, cos (x + 360°k) = cos x,
ãäå k — ëþáîå öåëîå ÷èñëî.
Åñëè àðãóìåíò õ âûðàæåí â ðàäèàíàõ, òî
sin (x + 2pk) = sin x, cos (x + 2pk) = cos x, k Î Z.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
Äëÿ ôóíêöèé y = tg x è y = ctg x ñïðàâåäëèâû
ðàâåíñòâà
tg(x + pk) = tg x, ctg(x + pk) = ctg x, k Î Z.
Òàêèì îáðàçîì, ëþáîå ÷èñëî âèäà 2pk ÿâëÿåòñÿ
ïåðèîäîì ôóíêöèé sin x, cos x, à ÷èñëî âèäà pk —
ïåðèîäîì ôóíêöèé tg x, ctg x. Ïðè ýòîì 2p — îñíîâíîé ïåðèîä sin x, cos x, à p — îñíîâíîé ïåðèîä
tg x, ctg x (ñì. ï. 96).
Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ÷åòíîñòè, íå÷åòíîñòè, ïåðèîäè÷íîñòè, ìîæíî òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ôóíêöèþ èíòåðåñóþùåãî íàñ óãëà ñâåñòè ê òðèãîíîìåòðè÷åñêîé
ôóíêöèè óãëà, çàêëþ÷åííîãî â ïðåäåëàõ îò 0° äî 180°.
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü sin 945°.
q Èìååì sin 945° = sin (720° + 225°) = sin (225° +
+ 360° · 2) = sin 225° = sin (225° – 360°) = sin (–135°) =
= –sin135°.
Äàëåå, sin 135 ° = sin (180 ° – 45 ° ) = sin 45 °
2
(ñì. ï. 118), çíà÷èò,
2
sin 945° = –sin 135° = –sin 45° = – Ö2 . n
2
(ñì. ï. 80), íî sin 45° =
t
0
–t
Ðèñ. 46
156
Ðèñ. 47
122. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = sin x.
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R.
20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — îòðåçîê [–1, 1].
30. Ôóíêöèÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ; îñíîâíîé ïåðèîä ðàâåí 2p .
40. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ.
157
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
îêðóæíîñòè èìåþò îäèíàêîâóþ àáñöèññó è ïðîòèâîïîëîæíûå (îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà ëèøü çíàêîì) îðäèíàòû (ðèñ. 46). Ýòî çíà÷èò, ÷òî cos (–t) =
= cos t, sin (–t) = –sin t, ò. å. y = cos x — ÷åòíàÿ, à
y = sin x — íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ. Ôóíêöèè y = tg x,
y = ctg x — íå÷åòíûå.
121. Ïåðèîäè÷íîñòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé.
Òàê êàê Ðt è Ðt + 360° — îäíà è òà æå òî÷êà åäèíè÷íîé
îêðóæíîñòè (ñì. ï. 118), òî ñèíóñû ñîîòâåòñòâóþùèõ
óãëîâ, à òàêæå èõ êîñèíóñû ðàâíû. Çíà÷èò,
sin (x + 360°) = sin x, cos (x + 360°) = cos x,
Áîëåå îáùèìè ÿâëÿþòñÿ ðàâåíñòâà
sin (x + 360°k) = sin x, cos (x + 360°k) = cos x,
ãäå k — ëþáîå öåëîå ÷èñëî.
Åñëè àðãóìåíò õ âûðàæåí â ðàäèàíàõ, òî
sin (x + 2pk) = sin x, cos (x + 2pk) = cos x, k Î Z.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
Äëÿ ôóíêöèé y = tg x è y = ctg x ñïðàâåäëèâû
ðàâåíñòâà
tg(x + pk) = tg x, ctg(x + pk) = ctg x, k Î Z.
Òàêèì îáðàçîì, ëþáîå ÷èñëî âèäà 2pk ÿâëÿåòñÿ
ïåðèîäîì ôóíêöèé sin x, cos x, à ÷èñëî âèäà pk —
ïåðèîäîì ôóíêöèé tg x, ctg x. Ïðè ýòîì 2p — îñíîâíîé ïåðèîä sin x, cos x, à p — îñíîâíîé ïåðèîä
tg x, ctg x (ñì. ï. 96).
Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ÷åòíîñòè, íå÷åòíîñòè, ïåðèîäè÷íîñòè, ìîæíî òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ôóíêöèþ èíòåðåñóþùåãî íàñ óãëà ñâåñòè ê òðèãîíîìåòðè÷åñêîé
ôóíêöèè óãëà, çàêëþ÷åííîãî â ïðåäåëàõ îò 0° äî 180°.
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü sin 945°.
q Èìååì sin 945° = sin (720° + 225°) = sin (225° +
+ 360° · 2) = sin 225° = sin (225° – 360°) = sin (–135°) =
= –sin135°.
Äàëåå, sin 135 ° = sin (180 ° – 45 ° ) = sin 45 °
2
(ñì. ï. 118), çíà÷èò,
2
sin 945° = –sin 135° = –sin 45° = – Ö2 . n
2
(ñì. ï. 80), íî sin 45° =
t
0
–t
Ðèñ. 46
156
Ðèñ. 47
122. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = sin x.
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R.
20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — îòðåçîê [–1, 1].
30. Ôóíêöèÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ; îñíîâíîé ïåðèîä ðàâåí 2p .
40. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ.
157
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
50.
Ôóíêöèÿ
p
ù
é p
ê - 2 + 2pn, 2 + 2pnú
û
ë
âîçðàñòàåò
íà
ïðîìåæóòêàõ
è óáûâàåò íà ïðîìåæóòêàõ
3p
ù
ép
ê 2 + 2pn, 2 + 2 pn ú , n Î Z (ðèñ. 47).
û
ë
Âçÿâ êîíòðîëüíûå òî÷êè (0; 0), (p / 6; 1 / 2),
(p / 2; 1), (p; 0), ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = sin x
íà îòðåçêå [0, p] . Òàê êàê ôóíêöèÿ y = sin x íå÷åòíàÿ,
òî, îòîáðàçèâ ïîñòðîåííûé ãðàôèê ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè íà îòðåçêå [-p, p] . Íàêîíåö, âîñïîëüçîâàâøèñü
ïåðèîäè÷íîñòüþ ôóíêöèè y = sin x , ìîæíî ïîñòðîèòü
ãðàôèê íà âñåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ (ðèñ. 48).
123. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = cos x. Èññëåäîâàíèå ôóíêöèè y = cos x ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷-
Ðèñ. 48
158
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
íî èññëåäîâàíèþ ôóíêöèè y = sin x (ñì. ï. 122). Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = cos x :
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R.
20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — îòðåçîê [–1, 1].
30. Ôóíêöèÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ñ îñíîâíûì ïåðèîä î ì 2p.
40. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ.
50. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà ïðîìåæóòêàõ [2pn, p +
+2pn] è âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêàõ [-p + 2pn, 2pn] ,
n Î Z.
Ãðàôèê ôóíêöèè y = cos x èçîáðàæåí íà ðèñ. 49.
124. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = tg x.
p
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ: x ¹ + pk, k Î Z.
2
20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.
30. Ôóíêöèÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ñ îñíîâíûì ïåðèîäîì p.
Ðèñ. 49
159
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
50.
Ôóíêöèÿ
p
ù
é p
ê - 2 + 2pn, 2 + 2pnú
û
ë
âîçðàñòàåò
íà
ïðîìåæóòêàõ
è óáûâàåò íà ïðîìåæóòêàõ
3p
ù
ép
ê 2 + 2pn, 2 + 2 pn ú , n Î Z (ðèñ. 47).
û
ë
Âçÿâ êîíòðîëüíûå òî÷êè (0; 0), (p / 6; 1 / 2),
(p / 2; 1), (p; 0), ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = sin x
íà îòðåçêå [0, p] . Òàê êàê ôóíêöèÿ y = sin x íå÷åòíàÿ,
òî, îòîáðàçèâ ïîñòðîåííûé ãðàôèê ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè íà îòðåçêå [-p, p] . Íàêîíåö, âîñïîëüçîâàâøèñü
ïåðèîäè÷íîñòüþ ôóíêöèè y = sin x , ìîæíî ïîñòðîèòü
ãðàôèê íà âñåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ (ðèñ. 48).
123. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = cos x. Èññëåäîâàíèå ôóíêöèè y = cos x ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷-
Ðèñ. 48
158
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
íî èññëåäîâàíèþ ôóíêöèè y = sin x (ñì. ï. 122). Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = cos x :
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R.
20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — îòðåçîê [–1, 1].
30. Ôóíêöèÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ñ îñíîâíûì ïåðèîä î ì 2p.
40. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ.
50. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà ïðîìåæóòêàõ [2pn, p +
+2pn] è âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêàõ [-p + 2pn, 2pn] ,
n Î Z.
Ãðàôèê ôóíêöèè y = cos x èçîáðàæåí íà ðèñ. 49.
124. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = tg x.
p
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ: x ¹ + pk, k Î Z.
2
20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.
30. Ôóíêöèÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ñ îñíîâíûì ïåðèîäîì p.
Ðèñ. 49
159
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
40. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ.
æ p
50. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêàõ ç - + pk,
è 2
p
ö
+ pk ÷ , k Î Z.
2
ø
p
60. Ïðÿìûå x = + pk, k Î Z — âåðòèêàëüíûå
2
àñèìïòîòû.
Âûáðàâ êîíòðîëüíûå òî÷êè (0; 0), (p / 4; 1),
(p / 3; 3 ), ñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = tg x íà ïðîìåæóòêå [0, p / 2). Äàëåå, èñïîëüçóÿ íå÷åòíîñòü ôóíêöèè y = tg x , ïîñòðîèì ãðàôèê â èíòåðâàëå
(-p / 2, p / 2). Íàêîíåö, âîñïîëüçîâàâøèñü ïåðèîäè÷íîñòüþ ôóíêöèè y = tg x , ïîñòðîèì ãðàôèê íà âñåé
îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ (ðèñ. 50).
Ðèñ. 50
160
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
125. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = ctg x.
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ: x ¹ pk, k Î Z.
20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.
30. Ôóíêöèÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ñ îñíîâíûì ïåðèîäîì p.
40. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ.
50. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà ïðîìåæóòêàõ (pk, p + pk),
k Î Z.
60. Ïðÿìûå x = pk, k Î Z — âåðòèêàëüíûå àñèìïòîòû.
Ãðàôèê ôóíêöèè y = ctg x èçîáðàæåí íà ðèñ. 51.
126. Ôóíêöèÿ y = arcsin x. Ôóíêöèÿ y = sin x
âîçðàñòàåò íà îòðåçêå [–p/2, p/2] ïðèíèìàåò íà íåì
Ðèñ. 51
161
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
40. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ.
æ p
50. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêàõ ç - + pk,
è 2
p
ö
+ pk ÷ , k Î Z.
2
ø
p
60. Ïðÿìûå x = + pk, k Î Z — âåðòèêàëüíûå
2
àñèìïòîòû.
Âûáðàâ êîíòðîëüíûå òî÷êè (0; 0), (p / 4; 1),
(p / 3; 3 ), ñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = tg x íà ïðîìåæóòêå [0, p / 2). Äàëåå, èñïîëüçóÿ íå÷åòíîñòü ôóíêöèè y = tg x , ïîñòðîèì ãðàôèê â èíòåðâàëå
(-p / 2, p / 2). Íàêîíåö, âîñïîëüçîâàâøèñü ïåðèîäè÷íîñòüþ ôóíêöèè y = tg x , ïîñòðîèì ãðàôèê íà âñåé
îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ (ðèñ. 50).
Ðèñ. 50
160
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
125. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = ctg x.
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ: x ¹ pk, k Î Z.
20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.
30. Ôóíêöèÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ñ îñíîâíûì ïåðèîäîì p.
40. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ.
50. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà ïðîìåæóòêàõ (pk, p + pk),
k Î Z.
60. Ïðÿìûå x = pk, k Î Z — âåðòèêàëüíûå àñèìïòîòû.
Ãðàôèê ôóíêöèè y = ctg x èçîáðàæåí íà ðèñ. 51.
126. Ôóíêöèÿ y = arcsin x. Ôóíêöèÿ y = sin x
âîçðàñòàåò íà îòðåçêå [–p/2, p/2] ïðèíèìàåò íà íåì
Ðèñ. 51
161
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
âñå çíà÷åíèÿ îò –1 äî 1 (ñì. ðèñ. 48). Çíà÷èò, äëÿ
ôóíêöèè y = sin x , -p / 2 £ x £ p / 2, ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ (ñì. ï. 115). Ýòó ôóíêöèþ îáîçíà÷àþò y = arcsin x (÷èòàåòñÿ: «àðêñèíóñ õ»).
Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî çàïèñè
y = arcsin x è x = sin y , -p / 2 £ y £ p / 2, ýêâèâàëåíòíû. Ïîäñòàâèâ â ðàâåíñòâî x = sin y âìåñòî ó åãî âû-
Ãðàôèê ôóíêöèè y = arcsin x ìîæíî ïîëó÷èòü èç
ãðàôèêà ôóíêöèè y = sin x , -p / 2 £ x £ p / 2, ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè ïîñëåäíåãî îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 52).
sin (arcsin x) = x, - p / 2 £ arcsin x £ p / 2.
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = arcsin x :
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — îòðåçîê [–1, 1].
20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — îòðåçîê [-p / 2, p / 2].
30. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ: arcsin (-x) = - arcsin x.
40. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàþùàÿ.
ðàæåíèå, ò. å. arcsin x, ïîëó÷èì x = sin (arcsin x) .
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî õ èç [–1, 1] èìååì
127. Ôóíêöèÿ y = arccos x. Ôóíêöèÿ y = cos x
óáûâàåò íà îòðåçêå [0, p], ïðèíèìàåò íà íåì âñå çíà÷åíèÿ îò –1 äî 1 (ñì. ðèñ. 49). Çíà÷èò, äëÿ ôóíêöèè
y = cos x , ðàññìàòðèâàåìîé íà îòðåçêå [0, p], ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Îíà îáîçíà÷àåòñÿ y = arccos x
(÷èòàåòñÿ: «àðêêîñèíóñ õ»).
Ãðàôèê ôóíêöèè y = arccos x ïîëó÷àåòñÿ èç ãðàôèêà ôóíêöèè y = cos x , 0 £ x £ p, ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ
(ðèñ. 53).
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = arccos x :
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — îòðåçîê [–1, 1].
20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — îòðåçîê [0, p].
30. Ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé.
40. Ôóíêöèÿ óáûâàþùàÿ.
Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî çàïèñè y =
= arccos x è x = cos y, 0 £ y £ p, ýêâèâàëåíòíû. Ïîäñòàâèâ â ðàâåíñòâî x = cos y âìåñòî ó âûðàæåíèå
arccos x, ïîëó÷èì cos (arccos x) = x . Ñëåäîâàòåëüíî,
äëÿ ëþáîãî õ èç ïðîìåæóòêà [–1, 1] èìååì
cos (arccos x) = x, 0 £ arccos x £ p.
Ðèñ. 52
162
Ðèñ. 53
163
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
âñå çíà÷åíèÿ îò –1 äî 1 (ñì. ðèñ. 48). Çíà÷èò, äëÿ
ôóíêöèè y = sin x , -p / 2 £ x £ p / 2, ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ (ñì. ï. 115). Ýòó ôóíêöèþ îáîçíà÷àþò y = arcsin x (÷èòàåòñÿ: «àðêñèíóñ õ»).
Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî çàïèñè
y = arcsin x è x = sin y , -p / 2 £ y £ p / 2, ýêâèâàëåíòíû. Ïîäñòàâèâ â ðàâåíñòâî x = sin y âìåñòî ó åãî âû-
Ãðàôèê ôóíêöèè y = arcsin x ìîæíî ïîëó÷èòü èç
ãðàôèêà ôóíêöèè y = sin x , -p / 2 £ x £ p / 2, ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè ïîñëåäíåãî îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 52).
sin (arcsin x) = x, - p / 2 £ arcsin x £ p / 2.
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = arcsin x :
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — îòðåçîê [–1, 1].
20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — îòðåçîê [-p / 2, p / 2].
30. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ: arcsin (-x) = - arcsin x.
40. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàþùàÿ.
ðàæåíèå, ò. å. arcsin x, ïîëó÷èì x = sin (arcsin x) .
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî õ èç [–1, 1] èìååì
127. Ôóíêöèÿ y = arccos x. Ôóíêöèÿ y = cos x
óáûâàåò íà îòðåçêå [0, p], ïðèíèìàåò íà íåì âñå çíà÷åíèÿ îò –1 äî 1 (ñì. ðèñ. 49). Çíà÷èò, äëÿ ôóíêöèè
y = cos x , ðàññìàòðèâàåìîé íà îòðåçêå [0, p], ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Îíà îáîçíà÷àåòñÿ y = arccos x
(÷èòàåòñÿ: «àðêêîñèíóñ õ»).
Ãðàôèê ôóíêöèè y = arccos x ïîëó÷àåòñÿ èç ãðàôèêà ôóíêöèè y = cos x , 0 £ x £ p, ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ
(ðèñ. 53).
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = arccos x :
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — îòðåçîê [–1, 1].
20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — îòðåçîê [0, p].
30. Ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé.
40. Ôóíêöèÿ óáûâàþùàÿ.
Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî çàïèñè y =
= arccos x è x = cos y, 0 £ y £ p, ýêâèâàëåíòíû. Ïîäñòàâèâ â ðàâåíñòâî x = cos y âìåñòî ó âûðàæåíèå
arccos x, ïîëó÷èì cos (arccos x) = x . Ñëåäîâàòåëüíî,
äëÿ ëþáîãî õ èç ïðîìåæóòêà [–1, 1] èìååì
cos (arccos x) = x, 0 £ arccos x £ p.
Ðèñ. 52
162
Ðèñ. 53
163
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
128. Ôóíêöèè y = arctg x, y = arcctg x. Ôóíêöèÿ y = tg x âîçðàñòàåò íà èíòåðâàëå (-p / 2, p / 2),
ïðèíèìàåò íà íåì âñå çíà÷åíèÿ (ñì. ðèñ. 50). Ïîýòîìó íà óêàçàííîì èíòåðâàëå äëÿ ôóíêöèè y = tg x
ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Îíà îáîçíà÷àåòñÿ
y = arctg x (÷èòàåòñÿ: «àðêòàíãåíñ õ»).
Ãðàôèê ôóíêöèè y = arctg x ïîëó÷àåòñÿ èç ãðàôèêà ôóíêöèè y = tg x, - p / 2 < x < p / 2, ñ ïîìîùüþ
ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó =
= õ (ðèñ. 54).
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = arctg x :
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R.
20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — èíòåðâàë (-p / 2, p / 2).
30. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ: arctg (–x) = – arctg x.
40. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàþùàÿ.
50. Ïðÿìûå y = p/2 è y = –p/2 — ãîðèçîíòàëüíûå
àñèìïòîòû ñîîòâåòñòâåííî ïðè õ º +× è õ º –×.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî çàïèñè y =
= arctg x è x = tg y, - p / 2 < x < p / 2, ýêâèâàëåíòíû.
Äëÿ ëþáîãî õ èìååì
tg (arctg x) = x, - p / 2 < arctg x < p / 2.
Ôóíêöèÿ y = ctg x óáûâàåò íà èíòåðâàëå (0, p),
ïðèíèìàåò íà íåì âñå çíà÷åíèÿ (ñì. ðèñ. 51). Ñëåäîâàòåëüíî, íà ýòîì èíòåðâàëå äëÿ ôóíêöèè y = ctg x
ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Îíà îáîçíà÷àåòñÿ
y = arcctg x (÷èòàåòñÿ: «àðêêîòàíãåíñ õ»).
Ãðàôèê ôóíêöèè y = arcctg x ïîëó÷àåòñÿ èç ãðàôèêà ôóíêöèè y = ctg x , 0 < x < p, ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ
(ðèñ. 55).
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = arcctg x :
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R.
20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — èíòåðâàë (0, p).
30. Ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé.
40. Ôóíêöèÿ óáûâàþùàÿ.
50. Ïðÿìûå y = 0 è y = p — ãîðèçîíòàëüíûå àñèìïòîòû ñîîòâåòñòâåííî ïðè õ º +× è õ º –×.
Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî çàïèñè y =
= arcctg x è x = ctg y , 0 < x < p, ýêâèâàëåíòíû. Äëÿ
ëþáîãî õ èìååì
ctg (arcctg x) = x, 0 < arcctg x < p.
Ðèñ. 54
164
Ðèñ. 55
Ôóíêöèè ó = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x
è y = arcctg x íàçûâàþòñÿ îáðàòíûìè òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóêíöèÿìè.
129. Àðêñèíóñ, àðêêîñèíóñ, àðêòàíãåíñ è àðêêîòàíãåíñ. Îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé (ñì. ïï. 126–128) ïîçâîëÿþò
èñòîëêîâàòü èõ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
165
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
128. Ôóíêöèè y = arctg x, y = arcctg x. Ôóíêöèÿ y = tg x âîçðàñòàåò íà èíòåðâàëå (-p / 2, p / 2),
ïðèíèìàåò íà íåì âñå çíà÷åíèÿ (ñì. ðèñ. 50). Ïîýòîìó íà óêàçàííîì èíòåðâàëå äëÿ ôóíêöèè y = tg x
ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Îíà îáîçíà÷àåòñÿ
y = arctg x (÷èòàåòñÿ: «àðêòàíãåíñ õ»).
Ãðàôèê ôóíêöèè y = arctg x ïîëó÷àåòñÿ èç ãðàôèêà ôóíêöèè y = tg x, - p / 2 < x < p / 2, ñ ïîìîùüþ
ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó =
= õ (ðèñ. 54).
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = arctg x :
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R.
20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — èíòåðâàë (-p / 2, p / 2).
30. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ: arctg (–x) = – arctg x.
40. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàþùàÿ.
50. Ïðÿìûå y = p/2 è y = –p/2 — ãîðèçîíòàëüíûå
àñèìïòîòû ñîîòâåòñòâåííî ïðè õ º +× è õ º –×.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî çàïèñè y =
= arctg x è x = tg y, - p / 2 < x < p / 2, ýêâèâàëåíòíû.
Äëÿ ëþáîãî õ èìååì
tg (arctg x) = x, - p / 2 < arctg x < p / 2.
Ôóíêöèÿ y = ctg x óáûâàåò íà èíòåðâàëå (0, p),
ïðèíèìàåò íà íåì âñå çíà÷åíèÿ (ñì. ðèñ. 51). Ñëåäîâàòåëüíî, íà ýòîì èíòåðâàëå äëÿ ôóíêöèè y = ctg x
ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Îíà îáîçíà÷àåòñÿ
y = arcctg x (÷èòàåòñÿ: «àðêêîòàíãåíñ õ»).
Ãðàôèê ôóíêöèè y = arcctg x ïîëó÷àåòñÿ èç ãðàôèêà ôóíêöèè y = ctg x , 0 < x < p, ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ
(ðèñ. 55).
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = arcctg x :
10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R.
20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — èíòåðâàë (0, p).
30. Ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé.
40. Ôóíêöèÿ óáûâàþùàÿ.
50. Ïðÿìûå y = 0 è y = p — ãîðèçîíòàëüíûå àñèìïòîòû ñîîòâåòñòâåííî ïðè õ º +× è õ º –×.
Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî çàïèñè y =
= arcctg x è x = ctg y , 0 < x < p, ýêâèâàëåíòíû. Äëÿ
ëþáîãî õ èìååì
ctg (arcctg x) = x, 0 < arcctg x < p.
Ðèñ. 54
164
Ðèñ. 55
Ôóíêöèè ó = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x
è y = arcctg x íàçûâàþòñÿ îáðàòíûìè òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóêíöèÿìè.
129. Àðêñèíóñ, àðêêîñèíóñ, àðêòàíãåíñ è àðêêîòàíãåíñ. Îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé (ñì. ïï. 126–128) ïîçâîëÿþò
èñòîëêîâàòü èõ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
165
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
àðêñèíóñîì ÷èñëà a Î [-1, 1] íàçûâàåòñÿ òàêîå
÷èñëî a Î [-p / 2, p / 2], ñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí à:
arcsin a = a, åñëè sin a = a è -p / 2 £ a £ p / 2;
àðêêîñèíóñîì ÷èñëà a Î [-1, 1] íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî a Î [0, p] , êîñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí à:
arccos a = a, åñëè cos a = a è 0 £ a £ p;
àðêòàíãåíñîì ÷èñëà à íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî
aÎ
= (- p / 2, p / 2), òàíãåíñ êîòîðîãî ðàâåí à:
arctg a = a, åñëè tg a = a è -p / 2 < a < p / 2;
àðêêîòàíãåíñîì ÷èñëà à íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî a Î (0, p), êîòàíãåíñ êîòîðîãî ðàâåí à:
arcctg a = a, åñëè ctg a = a è 0 < a < p.
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå òîæäåñòâà:
arcsin (-a) = - arcsin a, arccos (-a) = p - arccos a,
arctg (-a) = - arctg a, arcctg (-a) = p - arcctg a.
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü:
à) arcsin ( 3 / 2);
á) arcsin (-1 / 2);
ä) arcctg 3;
â) arccos ( 2 / 2);
æ) arcctg 0;
ã) arccos (- 2 / 2) ;
ç) arcctg (- 3 ).
å) arctg (-1);
q à) Ïî îïðåäåëåíèþ, a = arcsin ( 3 / 2) — ýòî
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
á) Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, ïîëó÷àåì arcsin (1 / 2) =
= p / 6. Íî arcsin (-1 / 2) = - arcsin (1 / 2) , çíà÷èò,
arcsin (-1 / 2) = - p / 6.
â) Ïî îïðåäåëåíèþ, a = arccos ( 2 / 2) — ýòî òàêîå ÷èñëî, ÷òî cos a = 2 / 2 è 0 £ a £ p. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî a = p / 4, ò. å. arccos ( 2 / 2) = p / 4.
ã) Òàê êàê arccos (-a) = p - arccos a , òî ïîëó÷àåì
arccos (- 2 / 2) = p - arccos ( 2 / 2) = p - p / 4 = 3p / 4.
ä) Ïî îïðåäåëåíèþ, a = arctg 3 — ýòî òàêîå ÷èñëî, ÷òî tg a = 3 è -p / 2 < a < p / 2. Îòñþäà ñëåäóåò,
÷òî a = p / 3, ò. å. arctg 3 = p / 3.
å) Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, ïîëó÷àåì arctg 1 = p / 4.
Íî arctg (-1) = - arctg 1, çíà÷èò, arctg (-1) = -p / 4.
æ) Ïî îïðåäåëåíèþ, a = arcctg 0 — ýòî òàêîå ÷èñëî, ÷òî ctg a = 0 è 0 < a < p. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
a = p / 2, ò. å. arcctg 0 = p / 2.
ç) Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, íàõîäèì arcctg 3 =
Òàê
êàê
arcctg (-a) = p - arcctg a,
òàêîå ÷èñëî, ÷òî sin a = 3 / 2 è -p / 2 £ a £ p / 2. Îò-
= p / 6.
ñþäà ñëåäóåò, ÷òî a = p / 3, ò. å. arcsin ( 3 / 2) = p / 3.
arcctg (- 3 ) = p - arcctg 3 = p - p / 6 = 5p / 6. n
166
òî
167
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
àðêñèíóñîì ÷èñëà a Î [-1, 1] íàçûâàåòñÿ òàêîå
÷èñëî a Î [-p / 2, p / 2], ñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí à:
arcsin a = a, åñëè sin a = a è -p / 2 £ a £ p / 2;
àðêêîñèíóñîì ÷èñëà a Î [-1, 1] íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî a Î [0, p] , êîñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí à:
arccos a = a, åñëè cos a = a è 0 £ a £ p;
àðêòàíãåíñîì ÷èñëà à íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî
aÎ
= (- p / 2, p / 2), òàíãåíñ êîòîðîãî ðàâåí à:
arctg a = a, åñëè tg a = a è -p / 2 < a < p / 2;
àðêêîòàíãåíñîì ÷èñëà à íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî a Î (0, p), êîòàíãåíñ êîòîðîãî ðàâåí à:
arcctg a = a, åñëè ctg a = a è 0 < a < p.
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå òîæäåñòâà:
arcsin (-a) = - arcsin a, arccos (-a) = p - arccos a,
arctg (-a) = - arctg a, arcctg (-a) = p - arcctg a.
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü:
à) arcsin ( 3 / 2);
á) arcsin (-1 / 2);
ä) arcctg 3;
â) arccos ( 2 / 2);
æ) arcctg 0;
ã) arccos (- 2 / 2) ;
ç) arcctg (- 3 ).
å) arctg (-1);
q à) Ïî îïðåäåëåíèþ, a = arcsin ( 3 / 2) — ýòî
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
á) Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, ïîëó÷àåì arcsin (1 / 2) =
= p / 6. Íî arcsin (-1 / 2) = - arcsin (1 / 2) , çíà÷èò,
arcsin (-1 / 2) = - p / 6.
â) Ïî îïðåäåëåíèþ, a = arccos ( 2 / 2) — ýòî òàêîå ÷èñëî, ÷òî cos a = 2 / 2 è 0 £ a £ p. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî a = p / 4, ò. å. arccos ( 2 / 2) = p / 4.
ã) Òàê êàê arccos (-a) = p - arccos a , òî ïîëó÷àåì
arccos (- 2 / 2) = p - arccos ( 2 / 2) = p - p / 4 = 3p / 4.
ä) Ïî îïðåäåëåíèþ, a = arctg 3 — ýòî òàêîå ÷èñëî, ÷òî tg a = 3 è -p / 2 < a < p / 2. Îòñþäà ñëåäóåò,
÷òî a = p / 3, ò. å. arctg 3 = p / 3.
å) Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, ïîëó÷àåì arctg 1 = p / 4.
Íî arctg (-1) = - arctg 1, çíà÷èò, arctg (-1) = -p / 4.
æ) Ïî îïðåäåëåíèþ, a = arcctg 0 — ýòî òàêîå ÷èñëî, ÷òî ctg a = 0 è 0 < a < p. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
a = p / 2, ò. å. arcctg 0 = p / 2.
ç) Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, íàõîäèì arcctg 3 =
Òàê
êàê
arcctg (-a) = p - arcctg a,
òàêîå ÷èñëî, ÷òî sin a = 3 / 2 è -p / 2 £ a £ p / 2. Îò-
= p / 6.
ñþäà ñëåäóåò, ÷òî a = p / 3, ò. å. arcsin ( 3 / 2) = p / 3.
arcctg (- 3 ) = p - arcctg 3 = p - p / 6 = 5p / 6. n
166
òî
167
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
130. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè y = mf(x).
Çàäà÷à I. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = mf(x),
ãäå m > 0, m ¹ 1, çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x).
q Îðäèíàòû òî÷åê ãðàôèêà ôóíêöèè y = mf (x) ïîëó÷àþòñÿ óìíîæåíèåì íà m ñîîòâåòñòâóþùèõ îðäèíàò òî÷åê ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x). Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) íàçûâàåòñÿ åãî
ðàñòÿæåíèåì îò îñè Îõ ñ êîýôôèöèåíòîì ò, åñëè
m > 1, è ñæàòèåì ê îñè Îõ, åñëè 0 < m < 1. n
Íà ðèñ. 56 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé
y = log 2 x è y = 0,5 log2 x.
Ðèñ. 56
168
Ðèñ. 57
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
Çàäà÷à II. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = -f (x),
çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x).
q Ïðè îäíîì è òîì æå çíà÷åíèè õ îðäèíàòû
òî÷åê ãðàôèêîâ ôóíêöèé y = f (x) è y = -f (x) îòëè÷àþòñÿ òîëüêî çíàêàìè. Çíà÷èò, ãðàôèê ôóíêöèè
y = -f (x) ìîæíî ïîëó÷èòü èç ãðàôèêà y = f (x) ïðåîáðàçîâàíèåì ñèììåòðèè ïîñëåäíåãî îòíîñèòåëüíî îñè Îõ. n
Íà ðèñ. 57 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé ó =
= 10õ è ó = –10õ.
Çàäà÷à III. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = mf (x),
ãäå m < 0, m ¹ -1, çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x).
q Òàê êàê mf (x) = - m f (x), òî ãðàôèê ôóíêöèè
y = mf (x) ìîæíî ïîëó÷èòü ðàñòÿæåíèåì (ñæàòèåì)
ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x)
îò îñè Îõ ñ êîýôôèöèåíòîì
m è ïîñëåäóþùèì ïðåîáðàçîâàíèåì ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî îñè Îõ (ñì. çàäà÷è I è II). n
Íà ðèñ. 58 èçîáðàæåíû
ãðàôèêè ôóíêöèé ó = õ4 è
ó = –3õ4.
131. Ãðàôèêè ôóíêöèé ó =
= àõ 2, ó = àõ3 . Ãðàôèêîì
ôóíêöèè ó = õ2 ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà. ×òîáû ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ó = àõ2, íóæíî
Ðèñ. 58
169
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
130. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè y = mf(x).
Çàäà÷à I. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = mf(x),
ãäå m > 0, m ¹ 1, çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x).
q Îðäèíàòû òî÷åê ãðàôèêà ôóíêöèè y = mf (x) ïîëó÷àþòñÿ óìíîæåíèåì íà m ñîîòâåòñòâóþùèõ îðäèíàò òî÷åê ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x). Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) íàçûâàåòñÿ åãî
ðàñòÿæåíèåì îò îñè Îõ ñ êîýôôèöèåíòîì ò, åñëè
m > 1, è ñæàòèåì ê îñè Îõ, åñëè 0 < m < 1. n
Íà ðèñ. 56 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé
y = log 2 x è y = 0,5 log2 x.
Ðèñ. 56
168
Ðèñ. 57
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
Çàäà÷à II. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = -f (x),
çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x).
q Ïðè îäíîì è òîì æå çíà÷åíèè õ îðäèíàòû
òî÷åê ãðàôèêîâ ôóíêöèé y = f (x) è y = -f (x) îòëè÷àþòñÿ òîëüêî çíàêàìè. Çíà÷èò, ãðàôèê ôóíêöèè
y = -f (x) ìîæíî ïîëó÷èòü èç ãðàôèêà y = f (x) ïðåîáðàçîâàíèåì ñèììåòðèè ïîñëåäíåãî îòíîñèòåëüíî îñè Îõ. n
Íà ðèñ. 57 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé ó =
= 10õ è ó = –10õ.
Çàäà÷à III. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = mf (x),
ãäå m < 0, m ¹ -1, çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x).
q Òàê êàê mf (x) = - m f (x), òî ãðàôèê ôóíêöèè
y = mf (x) ìîæíî ïîëó÷èòü ðàñòÿæåíèåì (ñæàòèåì)
ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x)
îò îñè Îõ ñ êîýôôèöèåíòîì
m è ïîñëåäóþùèì ïðåîáðàçîâàíèåì ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî îñè Îõ (ñì. çàäà÷è I è II). n
Íà ðèñ. 58 èçîáðàæåíû
ãðàôèêè ôóíêöèé ó = õ4 è
ó = –3õ4.
131. Ãðàôèêè ôóíêöèé ó =
= àõ 2, ó = àõ3 . Ãðàôèêîì
ôóíêöèè ó = õ2 ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà. ×òîáû ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ó = àõ2, íóæíî
Ðèñ. 58
169
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
îñóùåñòâèòü ðàñòÿæåíèå (ñæàòèå) ïàðàáîëû ó = õ2 îò
132. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x - a) +
îñè Îõ ñ êîýôôèöèåíòîì a ; ïðè ýòîì åñëè a < 0, òî
+ b. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) + b
íàäî ïåðåíåñòè ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) íà âåêòîð
ãðàôèê ôóíêöèè y = a x2 íóæíî åùå îòîáðàçèòü
ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îñè Îõ (ñì. ï. 130).
Íà ðèñ. 59 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèè ó =
= àõ2 äëÿ çíà÷åíèé à, ðàâíûõ 1; –1; 3; – 0,5. Âñå ýòè
ãðàôèêè íàçûâàþò ïàðàáîëàìè. Ïðè à > 0 âåòâè
ïàðàáîëû, ñëóæàùåé ãðàôèêîì ôóíêöèè ó = àõ2, íàïðàâëåíû ââåðõ, à ïðè a < 0 — âíèç.
Àíàëîãè÷íî, çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè ó = õ3, ìîæíî
ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè âèäà ó = àõ3. Íà ðèñ. 60
èçîáðàæåíû ýòè ãðàôèêè äëÿ çíà÷åíèé à, ðàâíûõ 1;
–1; 3.
(0; b) âäîëü îñè îðäèíàò. Äàëåå, äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x - a) íàäî ïåðåíåñòè ãðàôèê
ôóíêöèè y = f (x) íà âåêòîð (a; 0) âäîëü îñè àáñöèññ.
Íàêîíåö, äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè y =
= f (x - a) + b íàäî âûïîëíèòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) è íà âåêòîð (a; 0), è
íà âåêòîð (0; b) , ò. å. â èòîãå íà âåêòîð (à; b).
Íà ïðàêòèêå ýòî ïðàâèëî óäîáíî èñïîëüçîâàòü â
ñëåäóþùåé ôîðìóëèðîâêå. ×òîáû ïîñòðîèòü ãðàôèê
ôóíêöèè y = f (x - a) + b , íóæíî:
à)
Ðèñ. 59
170
Ðèñ. 60
Ðèñ. 61
á)
Ðèñ. 62
171
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
îñóùåñòâèòü ðàñòÿæåíèå (ñæàòèå) ïàðàáîëû ó = õ2 îò
132. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x - a) +
îñè Îõ ñ êîýôôèöèåíòîì a ; ïðè ýòîì åñëè a < 0, òî
+ b. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) + b
íàäî ïåðåíåñòè ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) íà âåêòîð
ãðàôèê ôóíêöèè y = a x2 íóæíî åùå îòîáðàçèòü
ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îñè Îõ (ñì. ï. 130).
Íà ðèñ. 59 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèè ó =
= àõ2 äëÿ çíà÷åíèé à, ðàâíûõ 1; –1; 3; – 0,5. Âñå ýòè
ãðàôèêè íàçûâàþò ïàðàáîëàìè. Ïðè à > 0 âåòâè
ïàðàáîëû, ñëóæàùåé ãðàôèêîì ôóíêöèè ó = àõ2, íàïðàâëåíû ââåðõ, à ïðè a < 0 — âíèç.
Àíàëîãè÷íî, çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè ó = õ3, ìîæíî
ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè âèäà ó = àõ3. Íà ðèñ. 60
èçîáðàæåíû ýòè ãðàôèêè äëÿ çíà÷åíèé à, ðàâíûõ 1;
–1; 3.
(0; b) âäîëü îñè îðäèíàò. Äàëåå, äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x - a) íàäî ïåðåíåñòè ãðàôèê
ôóíêöèè y = f (x) íà âåêòîð (a; 0) âäîëü îñè àáñöèññ.
Íàêîíåö, äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè y =
= f (x - a) + b íàäî âûïîëíèòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) è íà âåêòîð (a; 0), è
íà âåêòîð (0; b) , ò. å. â èòîãå íà âåêòîð (à; b).
Íà ïðàêòèêå ýòî ïðàâèëî óäîáíî èñïîëüçîâàòü â
ñëåäóþùåé ôîðìóëèðîâêå. ×òîáû ïîñòðîèòü ãðàôèê
ôóíêöèè y = f (x - a) + b , íóæíî:
à)
Ðèñ. 59
170
Ðèñ. 60
Ðèñ. 61
á)
Ðèñ. 62
171
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
1) âûïîëíèòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ïëîñêîñòè,
âûáðàâ â êà÷åñòâå íà÷àëà íîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò
x¢O¢y¢ òî÷êó O¢ (à; b);
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
ææ
b
b 2 ö÷ b2 ö÷
+c =
= a ç ç x2 + 2 ×
x+
2÷
2÷
çç
2
a
4
4
a
a
ø
èè
ø
2) â ïëîñêîñòè x¢O¢y¢ ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
y¢ = f (x¢).
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
2
2
ææ
b ö
b2
b ö
b2 ö÷
æ
= a ççx +
+c=
+ c = aç x +
÷ ÷
2÷
çè
2a ø
2a ø
4a
a
4
è
è
ø
y = x - 2 + 4.
4ac - b2
b ö
æ
.
= aç x +
÷ +
2a ø
4a
è
q 1) Âûïîëíèì ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ïëîñêîñòè,
ïîìåñòèâ íà÷àëî íîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò x¢O¢y ¢ â
òî÷êó O¢ (2; 4).
2) Â ïëîñêîñòè x¢O¢y¢ ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè
2
Èòàê,
2
4ac - b2
b ö
æ
.
y = ax + bx + c = aç x +
÷ +
2a ø
4a
è
2
(1)
y ¢ = x¢. Ýòî è åñòü òðåáóåìûé ãðàôèê (ðèñ. 61).n
Íà ðèñ. 62, à èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé y =
= f (x), y = f (x) - 2, y = f (x) + 3, à íà ðèñ. 62, á — ãðàôèêè ôóíêöèé y = f (x) , y = f (x - 2), y = f (x + 3).
133. Ãðàôèê êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè. Êâàäðàòè÷íîé íàçûâàþò ôóíêöèþ, êîòîðóþ ìîæíî çàäàòü
ôîðìóëîé âèäà y = ax2 + bx + c, ãäå a, b, c — ëþáûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, ïðè÷åì a ¹ 0 . Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ýòîé ôóíêöèè âûïîëíèì ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ (íàçûâàåìûå âûäåëåíèåì ïîëíîãî êâàäðàòà) êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà ax2 + bx + c :
b ö
æ
ax2 + bx + c = a ç x2 + x ÷ + c =
a ø
è
172
à)
á)
Ðèñ. 63
173
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
1) âûïîëíèòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ïëîñêîñòè,
âûáðàâ â êà÷åñòâå íà÷àëà íîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò
x¢O¢y¢ òî÷êó O¢ (à; b);
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
ææ
b
b 2 ö÷ b2 ö÷
+c =
= a ç ç x2 + 2 ×
x+
2÷
2÷
çç
2
a
4
4
a
a
ø
èè
ø
2) â ïëîñêîñòè x¢O¢y¢ ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
y¢ = f (x¢).
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
2
2
ææ
b ö
b2
b ö
b2 ö÷
æ
= a ççx +
+c=
+ c = aç x +
÷ ÷
2÷
çè
2a ø
2a ø
4a
a
4
è
è
ø
y = x - 2 + 4.
4ac - b2
b ö
æ
.
= aç x +
÷ +
2a ø
4a
è
q 1) Âûïîëíèì ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ïëîñêîñòè,
ïîìåñòèâ íà÷àëî íîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò x¢O¢y ¢ â
òî÷êó O¢ (2; 4).
2) Â ïëîñêîñòè x¢O¢y¢ ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè
2
Èòàê,
2
4ac - b2
b ö
æ
.
y = ax + bx + c = aç x +
÷ +
2a ø
4a
è
2
(1)
y ¢ = x¢. Ýòî è åñòü òðåáóåìûé ãðàôèê (ðèñ. 61).n
Íà ðèñ. 62, à èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé y =
= f (x), y = f (x) - 2, y = f (x) + 3, à íà ðèñ. 62, á — ãðàôèêè ôóíêöèé y = f (x) , y = f (x - 2), y = f (x + 3).
133. Ãðàôèê êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè. Êâàäðàòè÷íîé íàçûâàþò ôóíêöèþ, êîòîðóþ ìîæíî çàäàòü
ôîðìóëîé âèäà y = ax2 + bx + c, ãäå a, b, c — ëþáûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, ïðè÷åì a ¹ 0 . Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ýòîé ôóíêöèè âûïîëíèì ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ (íàçûâàåìûå âûäåëåíèåì ïîëíîãî êâàäðàòà) êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà ax2 + bx + c :
b ö
æ
ax2 + bx + c = a ç x2 + x ÷ + c =
a ø
è
172
à)
á)
Ðèñ. 63
173
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè (1) íóæíî âûïîëíèòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ïëîñêîñòè (ñì. ï. 132),
ïîìåñòèâ íà÷àëî íîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò x¢O¢y ¢ â
æ b 4ac - b 2 ö
÷ , è â ïëîñêîñòè x¢O¢y¢ ïîñòòî÷êó O ¢ç ;
ç 2a
÷
a
4
è
ø
ðîèòü ïàðàáîëó — ãðàôèê ôóíêöèè y ¢ = a(x¢)2. Ïðÿb
íàçûâàåòñÿ îñüþ ñèììåòðèè ïàðàáî2a
ëû, ñëóæàùåé ãðàôèêîì êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè (1),
à òî÷êà, â êîòîðîé ïàðàáîëà ïåðåñåêàåòñÿ ñ åå îñüþ
ñèììåòðèè, — âåðøèíîé ïàðàáîëû.
Åñëè à > 0, òî âåòâè ïàðàáîëû, ñëóæàùåé ãðàôèêîì
ôóíêöèè (1), íàïðàâëåíû ââåðõ (ðèñ. 63, à); â ýòîì ñëó-
ìàÿ x = -
b ù
æ
÷àå ôóíêöèÿ óáûâàåò íà ç - ¥, è âîçðàñòàåò íà
2a úû
è
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
y = - 0,5x2 - x + 4.
q I ñïîñîá: îòûñêàíèå êîîðäèíàò âåðøèíû ïà-
4ac - b2
b
; y0 =
.
2a
4a
-1
=
Çäåñü à = –0,5, b = –1, c = 4. Çíà÷èò, xx0 0= =–
2 (-0,5)
4 (-0,5) × 4 - 1
= 4,5. Èòàê, (–1; 4,5) —
= -1; ó0 =
4 (-0,5)
âåðøèíà ïàðàáîëû. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà íàéäåì
êîîðäèíàòû åùå íåñêîëüêèõ òî÷åê; íàïðèìåð, (0; 4),
(1; 2,5), (2; 0). Îòìåòèâ âåðøèíó ïàðàáîëû, ïîëó÷åííûå òî÷êè è òî÷êè, ñèììåòðè÷íûå èì îòíîñèòåëüíî
îñè ïàðàáîëû, ñòðîèì òðåáóåìûé ãðàôèê (ðèñ. 64).
ðàáîëû ïî ôîðìóëàì x0 = -
ö
é b
ê - 2a , + ¥ ÷ . Åñëè æå à < 0, òî âåòâè ïàðàáîëû íàïðàâø
ë
ëåíû âíèç (ðèñ. 63, á); â ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ âîçðàñb ù
æ
è óáûâàåò íà
òàåò íà ç - ¥, 2
a úû
è
ö
é b
ê - 2a , + ¥ ÷ .
ø
ë
134. Ñïîñîáû ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà êâàäðàòè÷íîé
ôóíêöèè. Ãðàôèêîì ôóíêöèè y = ax2 + bx + c, ãäå
a ¹ 0, ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà (ñì. ï. 133). Äëÿ åå ïîñòðîåíèÿ íà ïðàêòèêå èñïîëüçóþòñÿ òðè ñïîñîáà, êîòîðûå
ìû ïðîèëëþñòðèðóåì íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå.
174
õ =–1
Ðèñ. 64
II ñïîñîá: ïîñòðîåíèå ïàðàáîëû ïî òî÷êàì ñ îðäèíàòîé, ðàâíîé ñâîáîäíîìó ÷ëåíó êâàäðàòíîãî
òðåõ÷ëåíà.
175
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè (1) íóæíî âûïîëíèòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ïëîñêîñòè (ñì. ï. 132),
ïîìåñòèâ íà÷àëî íîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò x¢O¢y ¢ â
æ b 4ac - b 2 ö
÷ , è â ïëîñêîñòè x¢O¢y¢ ïîñòòî÷êó O ¢ç ;
ç 2a
÷
a
4
è
ø
ðîèòü ïàðàáîëó — ãðàôèê ôóíêöèè y ¢ = a(x¢)2. Ïðÿb
íàçûâàåòñÿ îñüþ ñèììåòðèè ïàðàáî2a
ëû, ñëóæàùåé ãðàôèêîì êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè (1),
à òî÷êà, â êîòîðîé ïàðàáîëà ïåðåñåêàåòñÿ ñ åå îñüþ
ñèììåòðèè, — âåðøèíîé ïàðàáîëû.
Åñëè à > 0, òî âåòâè ïàðàáîëû, ñëóæàùåé ãðàôèêîì
ôóíêöèè (1), íàïðàâëåíû ââåðõ (ðèñ. 63, à); â ýòîì ñëó-
ìàÿ x = -
b ù
æ
÷àå ôóíêöèÿ óáûâàåò íà ç - ¥, è âîçðàñòàåò íà
2a úû
è
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
y = - 0,5x2 - x + 4.
q I ñïîñîá: îòûñêàíèå êîîðäèíàò âåðøèíû ïà-
4ac - b2
b
; y0 =
.
2a
4a
-1
=
Çäåñü à = –0,5, b = –1, c = 4. Çíà÷èò, xx0 0= =–
2 (-0,5)
4 (-0,5) × 4 - 1
= 4,5. Èòàê, (–1; 4,5) —
= -1; ó0 =
4 (-0,5)
âåðøèíà ïàðàáîëû. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà íàéäåì
êîîðäèíàòû åùå íåñêîëüêèõ òî÷åê; íàïðèìåð, (0; 4),
(1; 2,5), (2; 0). Îòìåòèâ âåðøèíó ïàðàáîëû, ïîëó÷åííûå òî÷êè è òî÷êè, ñèììåòðè÷íûå èì îòíîñèòåëüíî
îñè ïàðàáîëû, ñòðîèì òðåáóåìûé ãðàôèê (ðèñ. 64).
ðàáîëû ïî ôîðìóëàì x0 = -
ö
é b
ê - 2a , + ¥ ÷ . Åñëè æå à < 0, òî âåòâè ïàðàáîëû íàïðàâø
ë
ëåíû âíèç (ðèñ. 63, á); â ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ âîçðàñb ù
æ
è óáûâàåò íà
òàåò íà ç - ¥, 2
a úû
è
ö
é b
ê - 2a , + ¥ ÷ .
ø
ë
134. Ñïîñîáû ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà êâàäðàòè÷íîé
ôóíêöèè. Ãðàôèêîì ôóíêöèè y = ax2 + bx + c, ãäå
a ¹ 0, ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà (ñì. ï. 133). Äëÿ åå ïîñòðîåíèÿ íà ïðàêòèêå èñïîëüçóþòñÿ òðè ñïîñîáà, êîòîðûå
ìû ïðîèëëþñòðèðóåì íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå.
174
õ =–1
Ðèñ. 64
II ñïîñîá: ïîñòðîåíèå ïàðàáîëû ïî òî÷êàì ñ îðäèíàòîé, ðàâíîé ñâîáîäíîìó ÷ëåíó êâàäðàòíîãî
òðåõ÷ëåíà.
175
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
Íàéäåì òî÷êè ãðàôèêà, èìåþùèå îðäèíàòó, ðàâíóþ ñâîáîäíîìó ÷ëåíó êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà. Äëÿ
ýòîãî ðåøèì óðàâíåíèå - 0,5x2 - x + 4 = 4, ò. å.
0,5x2 + x = 0, îòêóäà x1 = 0, x2 = -2.
Èòàê, ìû íàøëè äâå òî÷êè ãðàôèêà À (0; 4) è
 (– 2; 4).
Òàê êàê òî÷êè À è  ëåæàò íà ïàðàáîëå è èìåþò
îäèíàêîâóþ îðäèíàòó, òî îíè ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî îñè ñèììåòðèè ïàðàáîëû, à ïîòîìó óêàçàííàÿ
îñü ïðîõîäèò ïåðïåíäèêóëÿðíî îòðåçêó À ÷åðåç åãî
ñåðåäèíó. Àáñöèññà òî÷êè À ðàâíà íóëþ, à àáñöèññà
òî÷êè  ðàâíà – 2, ïîýòîìó óðàâíåíèå îñè ïàðàáîëû
èìååò âèä õ = –1. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå õ = – 1 â ðàâåíñòâî ó = – 0,5õ 2 – õ + 4, ïîëó÷èì ó =
= 4,5. Çíà÷èò, âåðøèíà Ñ ïàðàáîëû, ò. å. åäèíñòâåííàÿ òî÷êà ïàðàáîëû, ëåæàùàÿ íà åå îñè ñèììåòðèè,
èìååò êîîðäèíàòû õ0 = – 1, ó0 = 4,5. Îòìåòèâ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè òî÷êó Ñ (– 1; 4,5), ïîñòðîèì ïàðàáîëó, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òðè òî÷êè À, Â, Ñ. Ýòî è
åñòü èñêîìûé ãðàôèê (ðèñ. 64).
III ñïîñîá: ïîñòðîåíèå ïàðàáîëû ïî êîðíÿì êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà.
Èç óðàâíåíèÿ - 0,5x2 - x + 4 = 0
íàõîäèì
x1 = -4, x2 = 2. Ïîýòîìó ìû çíàåì äâå òî÷êè èñêîìîé
ïàðàáîëû: D (– 4; 0) è E (2; 0). Òàê êàê îñü ñèììåòðèè ïàðàáîëû ïåðïåíäèêóëÿðíà îòðåçêó DE è ïðîõîäèò ÷åðåç åãî ñåðåäèíó, òî óðàâíåíèå ýòîé îñè
èìååò âèä õ = – 1. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå õ = – 1 â
ðàâåíñòâî y = -0,5x2 - x + 4, íàõîäèì ó = 4,5. Èòàê,
âåðøèíîé ïàðàáîëû ñëóæèò òî÷êà Ñ (–1; 4,5). Ïî òðåì
òî÷êàì D, E è Ñ ñòðîèì èñêîìûé ãðàôèê (ðèñ. 64). n
176
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
135. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (kx ).
Çàäà÷à I. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = f (kx),
ãäå k > 0, k ¹ 1, çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x).
q Ïóñòü y0 = f (x0 ). Ïîñòàâèì âîïðîñ: êàêîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà õ íóæíî âçÿòü, ÷òîáû ôóíêöèÿ
y = f (kx) ïðèíÿëà çíà÷åíèå ó0? ßñíî, ÷òî ýòî çíà÷åíèå õ äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ kx = x0 , ò. å.
x = x0 / k. Òàêèì îáðàçîì, òî÷êà (õ0; ó0), ëåæàùàÿ íà
ãðàôèêå çàäàííîé ôóíêöèè y = f (x), ïðåîáðàçóåòñÿ
â òî÷êó (x0 / k; y0 ), ëåæàùóþ íà ãðàôèêå ôóíêöèè
y = f (kx). Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå åñòü ñæàòèå ãðàôèêà y = f (x) ñ êîýôôèöèåíòîì k ê îñè Îó (åñëè
0 < k < 1, òî ôàêòè÷åñêè ïîëó÷àåòñÿ ðàñòÿæåíèå îò
îñè Îó ñ êîýôôèöèåíòîì 1 / k). n
Íà ðèñ. 65 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé
y = arccos x è y = arccos 2x, à íà ðèñ. 66 — ãðàôèêè
ôóíêöèé y = x è y = x / 3.
Çàäà÷à II. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = f (-x),
çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x).
q Ïóñòü y0 = f (x0 ). Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ y =
= f (-x) ïðèíÿëà çíà÷åíèå ó0, çíà÷åíèå õ äîëæíî
óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ õ0 = –õ, ò. å. õ = –õ0. Òî÷êà
(õ0; ó0) ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x ) ïðåîáðàçóåòñÿ â
177
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
Íàéäåì òî÷êè ãðàôèêà, èìåþùèå îðäèíàòó, ðàâíóþ ñâîáîäíîìó ÷ëåíó êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà. Äëÿ
ýòîãî ðåøèì óðàâíåíèå - 0,5x2 - x + 4 = 4, ò. å.
0,5x2 + x = 0, îòêóäà x1 = 0, x2 = -2.
Èòàê, ìû íàøëè äâå òî÷êè ãðàôèêà À (0; 4) è
 (– 2; 4).
Òàê êàê òî÷êè À è  ëåæàò íà ïàðàáîëå è èìåþò
îäèíàêîâóþ îðäèíàòó, òî îíè ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî îñè ñèììåòðèè ïàðàáîëû, à ïîòîìó óêàçàííàÿ
îñü ïðîõîäèò ïåðïåíäèêóëÿðíî îòðåçêó À ÷åðåç åãî
ñåðåäèíó. Àáñöèññà òî÷êè À ðàâíà íóëþ, à àáñöèññà
òî÷êè  ðàâíà – 2, ïîýòîìó óðàâíåíèå îñè ïàðàáîëû
èìååò âèä õ = –1. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå õ = – 1 â ðàâåíñòâî ó = – 0,5õ 2 – õ + 4, ïîëó÷èì ó =
= 4,5. Çíà÷èò, âåðøèíà Ñ ïàðàáîëû, ò. å. åäèíñòâåííàÿ òî÷êà ïàðàáîëû, ëåæàùàÿ íà åå îñè ñèììåòðèè,
èìååò êîîðäèíàòû õ0 = – 1, ó0 = 4,5. Îòìåòèâ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè òî÷êó Ñ (– 1; 4,5), ïîñòðîèì ïàðàáîëó, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òðè òî÷êè À, Â, Ñ. Ýòî è
åñòü èñêîìûé ãðàôèê (ðèñ. 64).
III ñïîñîá: ïîñòðîåíèå ïàðàáîëû ïî êîðíÿì êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà.
Èç óðàâíåíèÿ - 0,5x2 - x + 4 = 0
íàõîäèì
x1 = -4, x2 = 2. Ïîýòîìó ìû çíàåì äâå òî÷êè èñêîìîé
ïàðàáîëû: D (– 4; 0) è E (2; 0). Òàê êàê îñü ñèììåòðèè ïàðàáîëû ïåðïåíäèêóëÿðíà îòðåçêó DE è ïðîõîäèò ÷åðåç åãî ñåðåäèíó, òî óðàâíåíèå ýòîé îñè
èìååò âèä õ = – 1. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå õ = – 1 â
ðàâåíñòâî y = -0,5x2 - x + 4, íàõîäèì ó = 4,5. Èòàê,
âåðøèíîé ïàðàáîëû ñëóæèò òî÷êà Ñ (–1; 4,5). Ïî òðåì
òî÷êàì D, E è Ñ ñòðîèì èñêîìûé ãðàôèê (ðèñ. 64). n
176
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
135. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (kx ).
Çàäà÷à I. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = f (kx),
ãäå k > 0, k ¹ 1, çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x).
q Ïóñòü y0 = f (x0 ). Ïîñòàâèì âîïðîñ: êàêîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà õ íóæíî âçÿòü, ÷òîáû ôóíêöèÿ
y = f (kx) ïðèíÿëà çíà÷åíèå ó0? ßñíî, ÷òî ýòî çíà÷åíèå õ äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ kx = x0 , ò. å.
x = x0 / k. Òàêèì îáðàçîì, òî÷êà (õ0; ó0), ëåæàùàÿ íà
ãðàôèêå çàäàííîé ôóíêöèè y = f (x), ïðåîáðàçóåòñÿ
â òî÷êó (x0 / k; y0 ), ëåæàùóþ íà ãðàôèêå ôóíêöèè
y = f (kx). Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå åñòü ñæàòèå ãðàôèêà y = f (x) ñ êîýôôèöèåíòîì k ê îñè Îó (åñëè
0 < k < 1, òî ôàêòè÷åñêè ïîëó÷àåòñÿ ðàñòÿæåíèå îò
îñè Îó ñ êîýôôèöèåíòîì 1 / k). n
Íà ðèñ. 65 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé
y = arccos x è y = arccos 2x, à íà ðèñ. 66 — ãðàôèêè
ôóíêöèé y = x è y = x / 3.
Çàäà÷à II. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = f (-x),
çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x).
q Ïóñòü y0 = f (x0 ). Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ y =
= f (-x) ïðèíÿëà çíà÷åíèå ó0, çíà÷åíèå õ äîëæíî
óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ õ0 = –õ, ò. å. õ = –õ0. Òî÷êà
(õ0; ó0) ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x ) ïðåîáðàçóåòñÿ â
177
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
Ðèñ. 65
èç ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) ïðåîáðàçîâàíèåì
ñèììåòðèè ïîñëåäíåãî îòíîñèòåëüíî îñè Îó. n
Íà ðèñ. 67 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé y =
= log3 x è y = log3 (-x).
Çàäà÷à III. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = f (kx),
ãäå k < 0, k ¹ –1, çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x).
q Èìååì f (kx) = f (- k x) . Ïîýòîìó ãðàôèê ôóíêöèè y = f (kx) ìîæíî ïîëó÷èòü ñæàòèåì ãðàôèêà
ôóíêöèè y = f (x) ñ êîýôôèöèåíòîì k ê îñè Îó è
ñèììåòðèåé ïîëó÷åííîãî ãðàôèêà y = f ( k x) îòíîñèòåëüíî îñè Îó. n
Íà ðèñ. 68 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé y = x 3 / 2
178
§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
Ðèñ. 66
òî÷êó (–õ0; ó0) ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (-x) . Ýòî çíà÷èò, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè y = f (-x) ìîæíî ïîëó÷èòü
è y = (-2x)3 / 2.
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðèñ. 67
Ðèñ. 68
136. Ñæàòèå è ðàñòÿæåíèå ãðàôèêîâ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Çäåñü ðå÷ü èäåò î ïîñòðîåíèè ãðàôèêîâ ôóíêöèé âèäà y = m sin kx, y =
= m cos kx, y = m tg kx, y = m ctg kx.
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
y = -3 cos 2x.
q Ïîñòðîèì îäíó ïîëóâîëíó ãðàôèêà ôóíêöèè
y = cos x. Îñóùåñòâèâ åå ñæàòèå ê îñè Îó ñ êîýôôèöèåíòîì 2, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè y = cos 2x.
Òåïåðü ïðîèçâåäåì ðàñòÿæåíèå ïîñòðîåííîãî ãðàôèêà îò îñè Îõ ñ êîýôôèöèåíòîì 3, à çàòåì ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî îñè Îõ.  ðåçóëüòàòå áóäåò ïîñòðîåíà ïîëóâîëíà ãðàôèêà ôóíêöèè y = -3 cos 2x. Íà ðèñ. 69, à ïîêàçàíà îäíà ïîëóâîëíà èñêîìîãî ãðàôèêà, à íà ðèñ. 69, á — âåñü
ãðàôèê. n
179
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
Ðèñ. 65
èç ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) ïðåîáðàçîâàíèåì
ñèììåòðèè ïîñëåäíåãî îòíîñèòåëüíî îñè Îó. n
Íà ðèñ. 67 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé y =
= log3 x è y = log3 (-x).
Çàäà÷à III. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = f (kx),
ãäå k < 0, k ¹ –1, çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x).
q Èìååì f (kx) = f (- k x) . Ïîýòîìó ãðàôèê ôóíêöèè y = f (kx) ìîæíî ïîëó÷èòü ñæàòèåì ãðàôèêà
ôóíêöèè y = f (x) ñ êîýôôèöèåíòîì k ê îñè Îó è
ñèììåòðèåé ïîëó÷åííîãî ãðàôèêà y = f ( k x) îòíîñèòåëüíî îñè Îó. n
Íà ðèñ. 68 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé y = x 3 / 2
178
§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
Ðèñ. 66
òî÷êó (–õ0; ó0) ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (-x) . Ýòî çíà÷èò, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè y = f (-x) ìîæíî ïîëó÷èòü
è y = (-2x)3 / 2.
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðèñ. 67
Ðèñ. 68
136. Ñæàòèå è ðàñòÿæåíèå ãðàôèêîâ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Çäåñü ðå÷ü èäåò î ïîñòðîåíèè ãðàôèêîâ ôóíêöèé âèäà y = m sin kx, y =
= m cos kx, y = m tg kx, y = m ctg kx.
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
y = -3 cos 2x.
q Ïîñòðîèì îäíó ïîëóâîëíó ãðàôèêà ôóíêöèè
y = cos x. Îñóùåñòâèâ åå ñæàòèå ê îñè Îó ñ êîýôôèöèåíòîì 2, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè y = cos 2x.
Òåïåðü ïðîèçâåäåì ðàñòÿæåíèå ïîñòðîåííîãî ãðàôèêà îò îñè Îõ ñ êîýôôèöèåíòîì 3, à çàòåì ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî îñè Îõ.  ðåçóëüòàòå áóäåò ïîñòðîåíà ïîëóâîëíà ãðàôèêà ôóíêöèè y = -3 cos 2x. Íà ðèñ. 69, à ïîêàçàíà îäíà ïîëóâîëíà èñêîìîãî ãðàôèêà, à íà ðèñ. 69, á — âåñü
ãðàôèê. n
179
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
æ1æ
p öö
q Èìååì y = 2 sin çç ç x - ÷ ÷÷ . Ïîñòðîåíèå ãðà2 øø
è3è
ôèêà âûïîëíèì â íåñêîëüêî ýòàïîâ.
1. Ïðîèçâåäåì ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ñèñòåìû
êîîðäèíàò, âûáðàâ â êà÷åñòâå íà÷àëà íîâîé ñèñòåìû
òî÷êó O ¢p / 2; 0 .  ñèñòåìå x¢O¢y¢ íàì íóæíî ïîñò-
à)
á)
Ðèñ.69
137. Ãðàôèê ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ó =
= Asin (wx + a). Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îïèñàíèÿ êîëåáàòåëüíûõ ïðîöåññîâ.
Îäèí èç íàèáîëåå âàæíûõ ïðîöåññîâ òàêîãî ðîäà îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé
ðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y ¢ = 2 sin (x¢ / 3).
2. Ñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y ¢ = sin x¢.
3. Âûïîëíèâ ñæàòèå ãðàôèêà ê îñè O¢y¢ ñ êîýôôèöèåíòîì 1/3 (ò. å. ðàñòÿæåíèå ñ êîýôôèöèåíòîì 3), ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè y¢ = sin (x¢ / 3).
4. Îñóùåñòâèì ðàñòÿæåíèå ïîñëåäíåãî ãðàôèêà
îò îñè O¢x¢ ñ êîýôôèöèåíòîì 2. Ïîëó÷åííûé ãðà-
æx pö
ôèê ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè y = 2 sin ç - ÷
è3 6ø
(ðèñ. 70).n
y = A sin (wx + a),
êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé ãàðìîíè÷åñêèõ (èëè
ñèíóñîèäàëüíûõ) êîëåáàíèé. Âåëè÷èíà À íàçûâàåòñÿ àìïëèòóäîé êîëåáàíèÿ, îíà õàðàêòåðèçóåò ðàçìàõ êîëåáàíèÿ. Âåëè÷èíà w íàçûâàåòñÿ ÷àñòîòîé
êîëåáàíèÿ. ×åì áîëüøå w, òåì áîëüøå ÷èñëî êîëåáàíèé çà åäèíèöó âðåìåíè. Íàêîíåö, a íàçûâàåòñÿ
íà÷àëüíîé ôàçîé êîëåáàíèÿ.
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
æx pö
y = 2 sin ç - ÷ .
è3 6ø
180
Ðèñ. 70
181
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
æ1æ
p öö
q Èìååì y = 2 sin çç ç x - ÷ ÷÷ . Ïîñòðîåíèå ãðà2 øø
è3è
ôèêà âûïîëíèì â íåñêîëüêî ýòàïîâ.
1. Ïðîèçâåäåì ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ñèñòåìû
êîîðäèíàò, âûáðàâ â êà÷åñòâå íà÷àëà íîâîé ñèñòåìû
òî÷êó O ¢p / 2; 0 .  ñèñòåìå x¢O¢y¢ íàì íóæíî ïîñò-
à)
á)
Ðèñ.69
137. Ãðàôèê ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ó =
= Asin (wx + a). Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îïèñàíèÿ êîëåáàòåëüíûõ ïðîöåññîâ.
Îäèí èç íàèáîëåå âàæíûõ ïðîöåññîâ òàêîãî ðîäà îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé
ðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y ¢ = 2 sin (x¢ / 3).
2. Ñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y ¢ = sin x¢.
3. Âûïîëíèâ ñæàòèå ãðàôèêà ê îñè O¢y¢ ñ êîýôôèöèåíòîì 1/3 (ò. å. ðàñòÿæåíèå ñ êîýôôèöèåíòîì 3), ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè y¢ = sin (x¢ / 3).
4. Îñóùåñòâèì ðàñòÿæåíèå ïîñëåäíåãî ãðàôèêà
îò îñè O¢x¢ ñ êîýôôèöèåíòîì 2. Ïîëó÷åííûé ãðà-
æx pö
ôèê ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè y = 2 sin ç - ÷
è3 6ø
(ðèñ. 70).n
y = A sin (wx + a),
êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé ãàðìîíè÷åñêèõ (èëè
ñèíóñîèäàëüíûõ) êîëåáàíèé. Âåëè÷èíà À íàçûâàåòñÿ àìïëèòóäîé êîëåáàíèÿ, îíà õàðàêòåðèçóåò ðàçìàõ êîëåáàíèÿ. Âåëè÷èíà w íàçûâàåòñÿ ÷àñòîòîé
êîëåáàíèÿ. ×åì áîëüøå w, òåì áîëüøå ÷èñëî êîëåáàíèé çà åäèíèöó âðåìåíè. Íàêîíåö, a íàçûâàåòñÿ
íà÷àëüíîé ôàçîé êîëåáàíèÿ.
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
æx pö
y = 2 sin ç - ÷ .
è3 6ø
180
Ðèñ. 70
181
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
Ðàçäåë IV
ÓÐÀÂÍÅÍÈß È ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
138. Îïðåäåëåíèå óðàâíåíèÿ. Êîðíè óðàâíåíèÿ.
Ðàâåíñòâî ñ ïåðåìåííîé f (x) = g (x) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñ îäíîé ïåðåìåííîé õ, åñëè ïîñòàâëåíà çàäà÷à íàéòè âñå òàêèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé õ, ïðè êîòîðûõ âûðàæåíèÿ f (x) è g (x) ïðèíèìàþò ðàâíûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ. Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî f (x) = g (x) —
óðàâíåíèå ñ îäíèì íåèçâåñòíûì õ.
Âñÿêîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðîì âûðàæåíèÿ f (x) è g (x) ïðèíèìàþò ðàâíûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ, íàçûâàåòñÿ êîðíåì (èëè ðåøåíèåì) óðàâíåíèÿ. Ðåøèòü óðàâíåíèå — ýòî çíà÷èò íàéòè âñå åãî
êîðíè èëè óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî èõ íåò.
Òàê, óðàâíåíèå 3õ + 2 = 8 èìååò åäèíñòâåííûé
êîðåíü õ = 2, ïîñêîëüêó òîëüêî ïðè õ = 2 ïîëó÷àåòñÿ
âåðíîå ðàâåíñòâî 8 = 8. Óðàâíåíèå (õ – 1) (õ – 3) = 0
èìååò äâà êîðíÿ: 1 è 3. Óðàâíåíèå x2 + 1 = 0 íå èìååò
äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé.
Çàìåòèì, ÷òî ìîæíî ãîâîðèòü è î ìíèìûõ êîðíÿõ
óðàâíåíèé. Íàïðèìåð, óðàâíåíèå x2 + 4 = 0 èìååò äâà
ìíèìûõ êîðíÿ: x1 = 2i, x2 = -2i (ñì. ï. 50). Âñþäó
íèæå ðå÷ü èäåò òîëüêî î äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿõ.
139. Ðàâíîñèëüíîñòü óðàâíåíèé. Óðàâíåíèÿ, èìåþùèå îäíè è òå æå êîðíè, íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëü182
íûìè. Ðàâíîñèëüíûìè ñ÷èòàþòñÿ è óðàâíåíèÿ, êàæäîå èç êîòîðûõ íå èìååò êîðíåé.
Íàïðèìåð, óðàâíåíèÿ õ + 2 = 7 è 2õ + 1 = 11
ðàâíîñèëüíû, òàê êàê êàæäîå èç íèõ èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü — ÷èñëî 5. Ðàâíîñèëüíû è óðàâíåíèÿ
x2 + 1 = 0 è 2x 2 + 3 = 1 íè îäíî èç íèõ íå èìååò êîð-
íåé. Óðàâíåíèÿ õ – 6 = 0 è x2 = 36 íåðàâíîñèëüíû,
ïîñêîëüêó ïåðâîå èìååò òîëüêî îäèí êîðåíü 6, âòîðîå
èìååò äâà êîðíÿ: 6 è –6.
Ò.4.1. Åñëè â óðàâíåíèè êàêîå-íèáóäü ñëàãàåìîå ïåðåíåñòè èç îäíîé ÷àñòè â äðóãóþ, èçìåíèâ åãî
çíàê, òî ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.
Ò.4.2. Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ óìíîæèòü èëè ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå âûðàæåíèå, èìåþùåå ñìûñë
ïðè âñåõ õ è íè ïðè êàêèõ õ íå îáðàùàþùååñÿ â
íóëü, òî ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.
Ò.4.3. Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ âîçâåñòè â îäíó è
òó æå íå÷åòíóþ ñòåïåíü èëè èç îáåèõ ÷àñòåé
óðàâíåíèÿ èçâëå÷ü êîðåíü îäíîé è òîé æå íå÷åòíîé ñòåïåíè, òî ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.
Ò.4.4. Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íåîòðèöàòåëüíû
ïðè âñåõ õ, òî ïîñëå èõ âîçâåäåíèÿ â îäíó è òó æå
÷åòíóþ ñòåïåíü ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.
140. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ. Ëèíåéíûì óðàâíåíèåì ñ îäíîé ïåðåìåííîé õ íàçûâàþò óðàâíåíèå
âèäà ax = b, ãäå à è b — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà; à
íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì ïðè ïåðåìåííîé, b —
ñâîáîäíûì ÷ëåíîì.
183
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
Ðàçäåë IV
ÓÐÀÂÍÅÍÈß È ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
138. Îïðåäåëåíèå óðàâíåíèÿ. Êîðíè óðàâíåíèÿ.
Ðàâåíñòâî ñ ïåðåìåííîé f (x) = g (x) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñ îäíîé ïåðåìåííîé õ, åñëè ïîñòàâëåíà çàäà÷à íàéòè âñå òàêèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé õ, ïðè êîòîðûõ âûðàæåíèÿ f (x) è g (x) ïðèíèìàþò ðàâíûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ. Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî f (x) = g (x) —
óðàâíåíèå ñ îäíèì íåèçâåñòíûì õ.
Âñÿêîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðîì âûðàæåíèÿ f (x) è g (x) ïðèíèìàþò ðàâíûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ, íàçûâàåòñÿ êîðíåì (èëè ðåøåíèåì) óðàâíåíèÿ. Ðåøèòü óðàâíåíèå — ýòî çíà÷èò íàéòè âñå åãî
êîðíè èëè óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî èõ íåò.
Òàê, óðàâíåíèå 3õ + 2 = 8 èìååò åäèíñòâåííûé
êîðåíü õ = 2, ïîñêîëüêó òîëüêî ïðè õ = 2 ïîëó÷àåòñÿ
âåðíîå ðàâåíñòâî 8 = 8. Óðàâíåíèå (õ – 1) (õ – 3) = 0
èìååò äâà êîðíÿ: 1 è 3. Óðàâíåíèå x2 + 1 = 0 íå èìååò
äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé.
Çàìåòèì, ÷òî ìîæíî ãîâîðèòü è î ìíèìûõ êîðíÿõ
óðàâíåíèé. Íàïðèìåð, óðàâíåíèå x2 + 4 = 0 èìååò äâà
ìíèìûõ êîðíÿ: x1 = 2i, x2 = -2i (ñì. ï. 50). Âñþäó
íèæå ðå÷ü èäåò òîëüêî î äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿõ.
139. Ðàâíîñèëüíîñòü óðàâíåíèé. Óðàâíåíèÿ, èìåþùèå îäíè è òå æå êîðíè, íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëü182
íûìè. Ðàâíîñèëüíûìè ñ÷èòàþòñÿ è óðàâíåíèÿ, êàæäîå èç êîòîðûõ íå èìååò êîðíåé.
Íàïðèìåð, óðàâíåíèÿ õ + 2 = 7 è 2õ + 1 = 11
ðàâíîñèëüíû, òàê êàê êàæäîå èç íèõ èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü — ÷èñëî 5. Ðàâíîñèëüíû è óðàâíåíèÿ
x2 + 1 = 0 è 2x 2 + 3 = 1 íè îäíî èç íèõ íå èìååò êîð-
íåé. Óðàâíåíèÿ õ – 6 = 0 è x2 = 36 íåðàâíîñèëüíû,
ïîñêîëüêó ïåðâîå èìååò òîëüêî îäèí êîðåíü 6, âòîðîå
èìååò äâà êîðíÿ: 6 è –6.
Ò.4.1. Åñëè â óðàâíåíèè êàêîå-íèáóäü ñëàãàåìîå ïåðåíåñòè èç îäíîé ÷àñòè â äðóãóþ, èçìåíèâ åãî
çíàê, òî ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.
Ò.4.2. Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ óìíîæèòü èëè ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå âûðàæåíèå, èìåþùåå ñìûñë
ïðè âñåõ õ è íè ïðè êàêèõ õ íå îáðàùàþùååñÿ â
íóëü, òî ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.
Ò.4.3. Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ âîçâåñòè â îäíó è
òó æå íå÷åòíóþ ñòåïåíü èëè èç îáåèõ ÷àñòåé
óðàâíåíèÿ èçâëå÷ü êîðåíü îäíîé è òîé æå íå÷åòíîé ñòåïåíè, òî ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.
Ò.4.4. Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íåîòðèöàòåëüíû
ïðè âñåõ õ, òî ïîñëå èõ âîçâåäåíèÿ â îäíó è òó æå
÷åòíóþ ñòåïåíü ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.
140. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ. Ëèíåéíûì óðàâíåíèåì ñ îäíîé ïåðåìåííîé õ íàçûâàþò óðàâíåíèå
âèäà ax = b, ãäå à è b — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà; à
íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì ïðè ïåðåìåííîé, b —
ñâîáîäíûì ÷ëåíîì.
183
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
Äëÿ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ax = b âîçìîæíû òðè
ñëó÷àÿ:
1) a ¹ 0; êîðåíü óðàâíåíèÿ ðàâåí b / a;
2) a = 0, b = 0; â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä 0 · õ = 0, ÷òî âåðíî ïðè ëþáîì õ, ò. å. êîðåíü
óðàâíåíèÿ — ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî;
3) a = 0, b ¹ 0; â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä 0 · õ = b, îíî íå èìååò êîðíåé.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
2 x 1 - x 5x
+ +
=
- 1.
3 4
6
12
q Ýòî óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê ëèíåéíîìó. Óìíîæèâ îáå åãî ÷àñòè íà 12 (íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå
çíàìåíàòåëåé 3, 4, 6, 12), ïîëó÷èì
ö
æ 5x
æ2 x 1- xö
12 ç + +
- 1÷ ;
÷ = 12 ç
3
4
6
12
ø
è
ø
è
8 + 3x + 2 - 2x = 5x - 12; 8 + 2 + 12 = 5x - 3x + 2x;
4x = 22; x = 5,5. n
141. Êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ. Óðàâíåíèÿ âèäà
ax2 + bx + c = 0
(1)
ãäå a, b, c — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, ïðè÷åì a ¹ 0,
íàçûâàþò êâàäðàòíûì. Åñëè a = 1, òî êâàäðàòíîå
óðàâíåíèå íàçûâàþò ïðèâåäåííûì; åñëè a ¹ 1 —
òî íåïðèâåäåííûì. ×èñëà a, b, c íîñÿò ñëåäóþùèå
çíà÷åíèÿ: à — ïåðâûé êîýôôèöèåíò, b — âòîðîé
êîýôôèöèåíò, ñ — ñâîáîäíûé ÷ëåí.
184
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
Êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (1) íàõîäÿò ïî ôîðìóëå
- b ± b 2 - 4ac
(2)
.
2a
Âûðàæåíèå D = b 2 - 4ac íàçûâàþò äèñêðèìèíàíòîì êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (1).
Åñëè D < 0, òî óðàâíåíèå (1) íå èìååò êîðíåé;
åñëè D = 0, òî îíî èìååò îäèí êîðåíü; åñëè D > 0,
òî îíî èìååò äâà êîðíÿ.
 ñëó÷àå, êîãäà D = 0, èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî êâàäðàòíîå óðàâíåíèå èìååò äâà îäèíàêîâûõ êîðíÿ.
x=
Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèå D = b2 - 4ac, ìîæíî ïå-
-b± D
.
2a
Åñëè b = 2k, òî ôîðìóëà (2) ïðèíèìàåò âèä
ðåïèñàòü ôîðìóëó (2) â âèäå x =
b
- k ± k2 - ac
(3)
, ãäå k = .
2
a
Ôîðìóëà (3) îñîáåííî óäîáíà â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà
êîýôôèöèåíò b — ÷åòíîå ÷èñëî.
x=
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
à) 2x2 - 5x + 2 = 0;
á) x2 - 6x + 9 = 0;
â) 2x2 - 3x + 5 = 0.
q à) Çäåñü à = 2, b = -5, c = 2. Íàõîäèì äèñêðèìèíàíò D = b2 - 4ac = (-5)2 - 4 × 2 × 2 = 9. Òàê êàê
185
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
Äëÿ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ax = b âîçìîæíû òðè
ñëó÷àÿ:
1) a ¹ 0; êîðåíü óðàâíåíèÿ ðàâåí b / a;
2) a = 0, b = 0; â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä 0 · õ = 0, ÷òî âåðíî ïðè ëþáîì õ, ò. å. êîðåíü
óðàâíåíèÿ — ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî;
3) a = 0, b ¹ 0; â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä 0 · õ = b, îíî íå èìååò êîðíåé.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
2 x 1 - x 5x
+ +
=
- 1.
3 4
6
12
q Ýòî óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê ëèíåéíîìó. Óìíîæèâ îáå åãî ÷àñòè íà 12 (íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå
çíàìåíàòåëåé 3, 4, 6, 12), ïîëó÷èì
ö
æ 5x
æ2 x 1- xö
12 ç + +
- 1÷ ;
÷ = 12 ç
3
4
6
12
ø
è
ø
è
8 + 3x + 2 - 2x = 5x - 12; 8 + 2 + 12 = 5x - 3x + 2x;
4x = 22; x = 5,5. n
141. Êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ. Óðàâíåíèÿ âèäà
ax2 + bx + c = 0
(1)
ãäå a, b, c — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, ïðè÷åì a ¹ 0,
íàçûâàþò êâàäðàòíûì. Åñëè a = 1, òî êâàäðàòíîå
óðàâíåíèå íàçûâàþò ïðèâåäåííûì; åñëè a ¹ 1 —
òî íåïðèâåäåííûì. ×èñëà a, b, c íîñÿò ñëåäóþùèå
çíà÷åíèÿ: à — ïåðâûé êîýôôèöèåíò, b — âòîðîé
êîýôôèöèåíò, ñ — ñâîáîäíûé ÷ëåí.
184
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
Êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (1) íàõîäÿò ïî ôîðìóëå
- b ± b 2 - 4ac
(2)
.
2a
Âûðàæåíèå D = b 2 - 4ac íàçûâàþò äèñêðèìèíàíòîì êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (1).
Åñëè D < 0, òî óðàâíåíèå (1) íå èìååò êîðíåé;
åñëè D = 0, òî îíî èìååò îäèí êîðåíü; åñëè D > 0,
òî îíî èìååò äâà êîðíÿ.
 ñëó÷àå, êîãäà D = 0, èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî êâàäðàòíîå óðàâíåíèå èìååò äâà îäèíàêîâûõ êîðíÿ.
x=
Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèå D = b2 - 4ac, ìîæíî ïå-
-b± D
.
2a
Åñëè b = 2k, òî ôîðìóëà (2) ïðèíèìàåò âèä
ðåïèñàòü ôîðìóëó (2) â âèäå x =
b
- k ± k2 - ac
(3)
, ãäå k = .
2
a
Ôîðìóëà (3) îñîáåííî óäîáíà â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà
êîýôôèöèåíò b — ÷åòíîå ÷èñëî.
x=
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
à) 2x2 - 5x + 2 = 0;
á) x2 - 6x + 9 = 0;
â) 2x2 - 3x + 5 = 0.
q à) Çäåñü à = 2, b = -5, c = 2. Íàõîäèì äèñêðèìèíàíò D = b2 - 4ac = (-5)2 - 4 × 2 × 2 = 9. Òàê êàê
185
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
D > 0, òî óðàâíåíèå èìååò äâà êîðíÿ, êîòîðûå íàéäåì ïî ôîðìóëå (2):
x=
-b± D 5± 9 5±3
=
=
.
2a
4
4
5+3
5-3
= 2, x2 =
= 0,5, ò. å. õ1 = 2 è
4
4
õ2 = 0,5 — êîðíè çàäàííîãî óðàâíåíèÿ.
á) Çäåñü à = 1, b = -6, c = 9. Ïî ôîðìóëå (3) íàõîÈòàê, x1 =
äèì x = 3 ± 9 - 9 × 1 = 3 ± 0 = 3, ò. å. õ = 3 — êîðåíü
óðàâíåíèÿ.
â) Çäåñü à = 2, b = -3, c = 5. Íàõîäèì D = b 2 -
- 4ac = (-3)2 - 4 × 2 × 5 = -31. Òàê êàê D < 0, òî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n
142. Íåïîëíûå êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ. Åñëè â
êâàäðàòíîì óðàâíåíèè ax2 + bx + c = 0 âòîðîé êîýôôèöèåíò b èëè ñâîáîäíûé ÷ëåí ñ ðàâåí íóëþ, òî
êâàäðàòíîå óðàâíåíèå íàçûâàþò íåïîëíûì. Äëÿ
îòûñêàíèÿ åãî êîðíåé ìîæíî íå ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ — ïðîùå ðåøèòü óðàâíåíèå ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ åãî ëåâîé
÷àñòè íà ìíîæèòåëè.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
à) 2x2 - 5x = 0; á) 4x2 - 81 = 0; â) 2x2 + 5 = 0.
q à) Èìååì õ (2õ – 5) = 0. Çíà÷èò õ = 0, ëèáî 2õ –
– 5 = 0, ò. å. õ = 2,5. Èòàê, óðàâíåíèå èìååò äâà
êîðíÿ: 0 è 2,5.
186
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
á) Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà 4, ïîëó÷èì
2
x - 20, 25 = 0, ò. å. (õ + 4,5)(õ – 4,5) = 0. Çíà÷èò,
õ1 = – 4,5 è õ2 = 4,5 — êîðíè óðàâíåíèÿ.
â) Ïîñêîëüêó 2õ2 + 5 > 0 ïðè ëþáûõ õ, äàííîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n
143. Òåîðåìà Âèåòà.
Ò.4.5. Åñëè ïðèâåäåííîå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå
x2 + px + q = 0 èìååò êîðíè õ1 è õ2, òî
x1 + x2 = - p, x1x2 = q,
(1)
ò. å. èõ ñóììà ðàâíà âòîðîìó êîýôôèöèåíòó, âçÿòîìó ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì, à ïðîèçâåäåíèå ðàâíî ñâîáîäíîìó ÷ëåíó (òåîðåìà Âèåòà).
Ï ð è ì å ð 1. Íå ðåøàÿ óðàâíåíèå x2 + px + q = 0,
íàéòè: à) x21 + x12 ; á) x31 + x23.
q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (1), ïîëó÷èì
x12 + x22 = (x1 + x2 ) 2 - 2x1x2 = p2 - q.
x13 + x23 = (x1 + x2 ) (x12 - x1x2 + x22 ) =
= (x1 + x2) ((x1 + x2)2 – 3x1x2). Âîñïîëüçîâàâøèñü
á)
Èìååì
ôîðìóëàìè (1), ïîëó÷èì x13 + x23 = - p( p 2 - 3q ). n
Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà, îáðàòíàÿ òåîðåìå Âèåòà.
Ò.4.6. Åñëè ÷èñëà õ1 è õ2 òàêîâû, ÷òî x1 + x2 = - p,
x1x2 = q, òî õ1 è õ2 — êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíå-
íèÿ x2 + px + q = 0.
187
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
D > 0, òî óðàâíåíèå èìååò äâà êîðíÿ, êîòîðûå íàéäåì ïî ôîðìóëå (2):
x=
-b± D 5± 9 5±3
=
=
.
2a
4
4
5+3
5-3
= 2, x2 =
= 0,5, ò. å. õ1 = 2 è
4
4
õ2 = 0,5 — êîðíè çàäàííîãî óðàâíåíèÿ.
á) Çäåñü à = 1, b = -6, c = 9. Ïî ôîðìóëå (3) íàõîÈòàê, x1 =
äèì x = 3 ± 9 - 9 × 1 = 3 ± 0 = 3, ò. å. õ = 3 — êîðåíü
óðàâíåíèÿ.
â) Çäåñü à = 2, b = -3, c = 5. Íàõîäèì D = b 2 -
- 4ac = (-3)2 - 4 × 2 × 5 = -31. Òàê êàê D < 0, òî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n
142. Íåïîëíûå êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ. Åñëè â
êâàäðàòíîì óðàâíåíèè ax2 + bx + c = 0 âòîðîé êîýôôèöèåíò b èëè ñâîáîäíûé ÷ëåí ñ ðàâåí íóëþ, òî
êâàäðàòíîå óðàâíåíèå íàçûâàþò íåïîëíûì. Äëÿ
îòûñêàíèÿ åãî êîðíåé ìîæíî íå ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ — ïðîùå ðåøèòü óðàâíåíèå ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ åãî ëåâîé
÷àñòè íà ìíîæèòåëè.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
à) 2x2 - 5x = 0; á) 4x2 - 81 = 0; â) 2x2 + 5 = 0.
q à) Èìååì õ (2õ – 5) = 0. Çíà÷èò õ = 0, ëèáî 2õ –
– 5 = 0, ò. å. õ = 2,5. Èòàê, óðàâíåíèå èìååò äâà
êîðíÿ: 0 è 2,5.
186
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
á) Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà 4, ïîëó÷èì
2
x - 20, 25 = 0, ò. å. (õ + 4,5)(õ – 4,5) = 0. Çíà÷èò,
õ1 = – 4,5 è õ2 = 4,5 — êîðíè óðàâíåíèÿ.
â) Ïîñêîëüêó 2õ2 + 5 > 0 ïðè ëþáûõ õ, äàííîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n
143. Òåîðåìà Âèåòà.
Ò.4.5. Åñëè ïðèâåäåííîå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå
x2 + px + q = 0 èìååò êîðíè õ1 è õ2, òî
x1 + x2 = - p, x1x2 = q,
(1)
ò. å. èõ ñóììà ðàâíà âòîðîìó êîýôôèöèåíòó, âçÿòîìó ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì, à ïðîèçâåäåíèå ðàâíî ñâîáîäíîìó ÷ëåíó (òåîðåìà Âèåòà).
Ï ð è ì å ð 1. Íå ðåøàÿ óðàâíåíèå x2 + px + q = 0,
íàéòè: à) x21 + x12 ; á) x31 + x23.
q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (1), ïîëó÷èì
x12 + x22 = (x1 + x2 ) 2 - 2x1x2 = p2 - q.
x13 + x23 = (x1 + x2 ) (x12 - x1x2 + x22 ) =
= (x1 + x2) ((x1 + x2)2 – 3x1x2). Âîñïîëüçîâàâøèñü
á)
Èìååì
ôîðìóëàìè (1), ïîëó÷èì x13 + x23 = - p( p 2 - 3q ). n
Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà, îáðàòíàÿ òåîðåìå Âèåòà.
Ò.4.6. Åñëè ÷èñëà õ1 è õ2 òàêîâû, ÷òî x1 + x2 = - p,
x1x2 = q, òî õ1 è õ2 — êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíå-
íèÿ x2 + px + q = 0.
187
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå x2 + 3x - 28 = 0.
q Ïîïðîáóåì íàéòè òàêèå äâà ÷èñëà õ1 è õ2, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ðàâåíñòâà õ1 + õ2 = –3, õ1õ2 = –28.
Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî òàêèìè ÷èñëàìè ÿâëÿþòñÿ –7 è 4. Ñîãëàñíî òåîðåìå 4.6, îíè è ñëóæàò êîðíÿìè çàäàííîãî óðàâíåíèÿ. n
144. Ñèñòåìû è ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé. Ïóñòü
äàíû äâà óðàâíåíèÿ f1 (x) = g1 (x) è f2 (x) = g2 (x). Â
òîì ñëó÷àå, êîãäà íóæíî íàéòè çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé,
óäîâëåòâîðÿþùèå îáîèì äàííûì óðàâíåíèÿì, ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà ñèñòåìà óðàâíåíèé è èñïîëüçóþò
äëÿ çàïèñè ôèãóðíóþ ñêîáêó:
ìf1 (x) = g1 (x),
í
îf2 (x) = g2 (x).
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ìï(x2 - 1)2 = 0,
í
ïî((x - 1) (x - 2))2 = 0.
q Êîðíÿìè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñëóæàò ÷èñëà 1 è
–1, à êîðíÿìè âòîðîãî — ÷èñëà 1 è 2.
Îáùèì êîðíåì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 1 — ýòî è åñòü
ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû. n
 òîì ñëó÷àå, êîãäà ñòàâèòñÿ çàäà÷à íàéòè âñå
òàêèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé, êàæäîå èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ êîðíåì õîòÿ áû îäíîãî èç äàííûõ óðàâíåíèé,
ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé è èñïîëüçóþò äëÿ çàïèñè êâàäðàòíóþ ñêîáêó:
éf1 (x) = g1 (x),
ê
ëf2 (x) = g2 (x).
188
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé
éx 2 - 1 = 0,
ê
êë(x - 1) (x + 2) = 0.
q Êîðíÿìè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà
1 è –1, à êîðíÿìè âòîðîãî — ÷èñëà 1 è –2. Çíà÷èò,
ðåøåíèåì äàííîé ñîâîêóïíîñòè ñëóæàò ÷èñëà 1, –1
è –2. n
145. Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïåðåìåííóþ ïîä
çíàêîì ìîäóëÿ.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
à) 2x - 7 = 3; á) 2x - 8 = 3x + 1.
q à) Åñëè a = 3, òî ëèáî à = 3, ëèáî à = –3. Ýòî
çíà÷èò, ÷òî äàííîå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè äâóõ óðàâíåíèé: 2õ – 7 = 3, 2õ – 7 = –3. Èç
ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì õ 1 = 5, èç âòîðîãî
õ2 = 2.
á) Çäåñü íàäî ðàññìîòðåòü äâà ñëó÷àÿ: 2x - 8 ³ 0,
2x - 8 < 0, ïîñêîëüêó â êàæäîì èç íèõ çíàê ìîäóëÿ
ðàñêðûâàåòñÿ ïî ñâîåìó ïðàâèëó.
Åñëè 2x - 8 ³ 0, òî 2x - 8 = 2x - 8 è äàííîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä 2x - 8 = 3x + 1. Îòñþäà íàõîäèì
õ = –9. Îäíàêî ïðè õ = –9 íåðàâåíñòâî 2x - 8 ³ 0 íå
âûïîëíÿåòñÿ, çíà÷èò, õ = – 9 íå ìîæåò áûòü êîðíåì
äàííîãî óðàâíåíèÿ.
Åñëè 2x - 8 < 0, òî 2x - 8 = -(2x - 8) è äàííîå
óðàâíåíèå ïðèìåò âèä 8 – 2õ = 3õ + 1. Îòñþäà íàõîäèì õ = 1,4. Íåðàâåíñòâî 2 · 1,4 – 8 < 0 âåðíî; çíà÷èò, õ = 1,4 — êîðåíü äàííîãî óðàâíåíèÿ. n
189
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå x2 + 3x - 28 = 0.
q Ïîïðîáóåì íàéòè òàêèå äâà ÷èñëà õ1 è õ2, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ðàâåíñòâà õ1 + õ2 = –3, õ1õ2 = –28.
Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî òàêèìè ÷èñëàìè ÿâëÿþòñÿ –7 è 4. Ñîãëàñíî òåîðåìå 4.6, îíè è ñëóæàò êîðíÿìè çàäàííîãî óðàâíåíèÿ. n
144. Ñèñòåìû è ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé. Ïóñòü
äàíû äâà óðàâíåíèÿ f1 (x) = g1 (x) è f2 (x) = g2 (x). Â
òîì ñëó÷àå, êîãäà íóæíî íàéòè çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé,
óäîâëåòâîðÿþùèå îáîèì äàííûì óðàâíåíèÿì, ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà ñèñòåìà óðàâíåíèé è èñïîëüçóþò
äëÿ çàïèñè ôèãóðíóþ ñêîáêó:
ìf1 (x) = g1 (x),
í
îf2 (x) = g2 (x).
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ìï(x2 - 1)2 = 0,
í
ïî((x - 1) (x - 2))2 = 0.
q Êîðíÿìè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñëóæàò ÷èñëà 1 è
–1, à êîðíÿìè âòîðîãî — ÷èñëà 1 è 2.
Îáùèì êîðíåì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 1 — ýòî è åñòü
ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû. n
 òîì ñëó÷àå, êîãäà ñòàâèòñÿ çàäà÷à íàéòè âñå
òàêèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé, êàæäîå èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ êîðíåì õîòÿ áû îäíîãî èç äàííûõ óðàâíåíèé,
ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé è èñïîëüçóþò äëÿ çàïèñè êâàäðàòíóþ ñêîáêó:
éf1 (x) = g1 (x),
ê
ëf2 (x) = g2 (x).
188
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé
éx 2 - 1 = 0,
ê
êë(x - 1) (x + 2) = 0.
q Êîðíÿìè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà
1 è –1, à êîðíÿìè âòîðîãî — ÷èñëà 1 è –2. Çíà÷èò,
ðåøåíèåì äàííîé ñîâîêóïíîñòè ñëóæàò ÷èñëà 1, –1
è –2. n
145. Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïåðåìåííóþ ïîä
çíàêîì ìîäóëÿ.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
à) 2x - 7 = 3; á) 2x - 8 = 3x + 1.
q à) Åñëè a = 3, òî ëèáî à = 3, ëèáî à = –3. Ýòî
çíà÷èò, ÷òî äàííîå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè äâóõ óðàâíåíèé: 2õ – 7 = 3, 2õ – 7 = –3. Èç
ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì õ 1 = 5, èç âòîðîãî
õ2 = 2.
á) Çäåñü íàäî ðàññìîòðåòü äâà ñëó÷àÿ: 2x - 8 ³ 0,
2x - 8 < 0, ïîñêîëüêó â êàæäîì èç íèõ çíàê ìîäóëÿ
ðàñêðûâàåòñÿ ïî ñâîåìó ïðàâèëó.
Åñëè 2x - 8 ³ 0, òî 2x - 8 = 2x - 8 è äàííîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä 2x - 8 = 3x + 1. Îòñþäà íàõîäèì
õ = –9. Îäíàêî ïðè õ = –9 íåðàâåíñòâî 2x - 8 ³ 0 íå
âûïîëíÿåòñÿ, çíà÷èò, õ = – 9 íå ìîæåò áûòü êîðíåì
äàííîãî óðàâíåíèÿ.
Åñëè 2x - 8 < 0, òî 2x - 8 = -(2x - 8) è äàííîå
óðàâíåíèå ïðèìåò âèä 8 – 2õ = 3õ + 1. Îòñþäà íàõîäèì õ = 1,4. Íåðàâåíñòâî 2 · 1,4 – 8 < 0 âåðíî; çíà÷èò, õ = 1,4 — êîðåíü äàííîãî óðàâíåíèÿ. n
189
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ âèäà x - a = b ìîæíî
ðåøaòü è ãåîìåòðè÷åñêè (ñì. ï. 29).
146. Ïîíÿòèå ñëåäñòâèÿ óðàâíåíèÿ. Ïîñòîðîííèå
êîðíè. Ïóñòü äàíû äâà óðàâíåíèÿ
f1 (x) = g1 (x),
(1)
f2 (x) = g2 (x).
(2)
Åñëè êàæäûé êîðåíü óðàâíåíèÿ (1) ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî è êîðíåì óðàâíåíèÿ (2), òî óðàâíåíèå (2)
íàçûâàåòñÿ ñëåäñòâèåì óðàâíåíèÿ (1). Çàìåòèì, ÷òî
ðàâíîñèëüíîñòü óðàâíåíèé îçíà÷àåò, ÷òî êàæäîå èç
óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì äðóãîãî.
 ïðîöåññå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ, êîòîðûå ïðèâîäÿò ê óðàâíåíèþ, ÿâëÿþùåìóñÿ ñëåäñòâèåì èñõîäíîãî. Óðàâíåíèþ-ñëåäñòâèþ óäîâëåòâîðÿþò âñå êîðíè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, íî, êðîìå íèõ, óðàâíåíèå-ñëåäñòâèå ìîæåò èìåòü è òàêèå ðåøåíèÿ, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, ýòî òàê íàçûâàåìûå ïîñòîðîííèå êîðíè. ×òîáû âûÿâèòü è îòñåÿòü ïîñòîðîííèå êîðíè, îáû÷íî ïîñòóïàþò òàê: âñå
íàéäåííûå êîðíè óðàâíåíèÿ-ñëåäñòâèÿ ïðîâåðÿþò
ïîäñòàíîâêîé â èñõîäíîå óðàâíåíèå.
 ñëó÷àå, êîãäà ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ îíî áûëî
çàìåíåíî åãî óðàâíåíèåì-ñëåäñòâèåì, óêàçàííàÿ ïðîâåðêà ÿâëÿåòñÿ íåîòúåìëåìîé ÷àñòüþ ðåøåíèÿ. Ïîýòîìó âàæíî çíàòü, ïðè êàêèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ äàííîå óðàâíåíèå ïåðåõîäèò â ñëåäñòâèå.
Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ óìíîæèòü íà âûðàæåíèå, èìåþùåå ñìûñë ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ õ, òî
ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ÿâëÿþùååñÿ ñëåäñòâèåì èñõîäíîãî.
190
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ âîçâåñòè â êâàäðàò
(è âîîáùå â ëþáóþ ÷åòíóþ ñòåïåíü), òî ïîëó÷èòñÿ
óðàâíåíèå, ÿâëÿþùååñÿ ñëåäñòâèåì èñõîäíîãî. Âìåñòå ñ òåì, âîçâåäåíèå îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ â îäíó è
òó æå íå÷åòíóþ ñòåïåíü ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ,
ðàâíîñèëüíîìó èñõîäíîìó.
147. Óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííîé â çíàìåíàòåëå. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå âèäà
p (x )
= 0.
q (x)
(1)
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ âèäà (1) îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè: äðîáü ðàâíà íóëþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åå ÷èñëèòåëü ðàâåí íóëþ, à çíàìåíàòåëü îòëè÷åí îò íóëÿ (íà íóëü äåëèòü íåëüçÿ).
Ïîýòîìó ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) ïðîâîäèòñÿ â äâà
ýòàïà: ñíà÷àëà ðåøàþò óðàâíåíèå ð (õ) = 0, à çàòåì
äëÿ êàæäîãî êîðíÿ âûÿñíÿþò, îáðàùàåòñÿ ëè ïðè íàéäåííîì çíà÷åíèè ïåðåìåííîé õ çíàìåíàòåëü q (x) â
íóëü. Åñëè q(x) ¹ 0, òî êîðåíü óðàâíåíèÿ ð (õ) = 0
ÿâëÿåòñÿ è êîðíåì óðàâíåíèÿ (1); åñëè æå q(x) = 0,
òî êîðåíü óðàâíåíèÿ ð (õ) = 0 íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì
óðàâíåíèÿ (1).
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå ð (õ) = 0 ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì óðàâíåíèÿ (1) (ñì. ï. 146). Ïðè ïåðåõîäå îò
óðàâíåíèÿ (1) ê óðàâíåíèþ ð (õ) = 0 (ýòîò ïåðåõîä íàçûâàåòñÿ îñâîáîæäåíèåì îò çíàìåíàòåëÿ) ìîãóò
ïîÿâèòüñÿ ïîñòîðîííèå êîðíè. Èõ ìîæíî îòñåÿòü ñ
ïîìîùüþ óñëîâèÿ q(x) ¹ 0 èëè íåïîñðåäñòâåííîé ïîäñòàíîâêîé êàæäîãî êîðíÿ óðàâíåíèÿ ð (õ) = 0 â óðàâíåíèå (1).
191
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ âèäà x - a = b ìîæíî
ðåøaòü è ãåîìåòðè÷åñêè (ñì. ï. 29).
146. Ïîíÿòèå ñëåäñòâèÿ óðàâíåíèÿ. Ïîñòîðîííèå
êîðíè. Ïóñòü äàíû äâà óðàâíåíèÿ
f1 (x) = g1 (x),
(1)
f2 (x) = g2 (x).
(2)
Åñëè êàæäûé êîðåíü óðàâíåíèÿ (1) ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî è êîðíåì óðàâíåíèÿ (2), òî óðàâíåíèå (2)
íàçûâàåòñÿ ñëåäñòâèåì óðàâíåíèÿ (1). Çàìåòèì, ÷òî
ðàâíîñèëüíîñòü óðàâíåíèé îçíà÷àåò, ÷òî êàæäîå èç
óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì äðóãîãî.
 ïðîöåññå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ, êîòîðûå ïðèâîäÿò ê óðàâíåíèþ, ÿâëÿþùåìóñÿ ñëåäñòâèåì èñõîäíîãî. Óðàâíåíèþ-ñëåäñòâèþ óäîâëåòâîðÿþò âñå êîðíè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, íî, êðîìå íèõ, óðàâíåíèå-ñëåäñòâèå ìîæåò èìåòü è òàêèå ðåøåíèÿ, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, ýòî òàê íàçûâàåìûå ïîñòîðîííèå êîðíè. ×òîáû âûÿâèòü è îòñåÿòü ïîñòîðîííèå êîðíè, îáû÷íî ïîñòóïàþò òàê: âñå
íàéäåííûå êîðíè óðàâíåíèÿ-ñëåäñòâèÿ ïðîâåðÿþò
ïîäñòàíîâêîé â èñõîäíîå óðàâíåíèå.
 ñëó÷àå, êîãäà ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ îíî áûëî
çàìåíåíî åãî óðàâíåíèåì-ñëåäñòâèåì, óêàçàííàÿ ïðîâåðêà ÿâëÿåòñÿ íåîòúåìëåìîé ÷àñòüþ ðåøåíèÿ. Ïîýòîìó âàæíî çíàòü, ïðè êàêèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ äàííîå óðàâíåíèå ïåðåõîäèò â ñëåäñòâèå.
Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ óìíîæèòü íà âûðàæåíèå, èìåþùåå ñìûñë ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ õ, òî
ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ÿâëÿþùååñÿ ñëåäñòâèåì èñõîäíîãî.
190
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ âîçâåñòè â êâàäðàò
(è âîîáùå â ëþáóþ ÷åòíóþ ñòåïåíü), òî ïîëó÷èòñÿ
óðàâíåíèå, ÿâëÿþùååñÿ ñëåäñòâèåì èñõîäíîãî. Âìåñòå ñ òåì, âîçâåäåíèå îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ â îäíó è
òó æå íå÷åòíóþ ñòåïåíü ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ,
ðàâíîñèëüíîìó èñõîäíîìó.
147. Óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííîé â çíàìåíàòåëå. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå âèäà
p (x )
= 0.
q (x)
(1)
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ âèäà (1) îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè: äðîáü ðàâíà íóëþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åå ÷èñëèòåëü ðàâåí íóëþ, à çíàìåíàòåëü îòëè÷åí îò íóëÿ (íà íóëü äåëèòü íåëüçÿ).
Ïîýòîìó ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) ïðîâîäèòñÿ â äâà
ýòàïà: ñíà÷àëà ðåøàþò óðàâíåíèå ð (õ) = 0, à çàòåì
äëÿ êàæäîãî êîðíÿ âûÿñíÿþò, îáðàùàåòñÿ ëè ïðè íàéäåííîì çíà÷åíèè ïåðåìåííîé õ çíàìåíàòåëü q (x) â
íóëü. Åñëè q(x) ¹ 0, òî êîðåíü óðàâíåíèÿ ð (õ) = 0
ÿâëÿåòñÿ è êîðíåì óðàâíåíèÿ (1); åñëè æå q(x) = 0,
òî êîðåíü óðàâíåíèÿ ð (õ) = 0 íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì
óðàâíåíèÿ (1).
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå ð (õ) = 0 ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì óðàâíåíèÿ (1) (ñì. ï. 146). Ïðè ïåðåõîäå îò
óðàâíåíèÿ (1) ê óðàâíåíèþ ð (õ) = 0 (ýòîò ïåðåõîä íàçûâàåòñÿ îñâîáîæäåíèåì îò çíàìåíàòåëÿ) ìîãóò
ïîÿâèòüñÿ ïîñòîðîííèå êîðíè. Èõ ìîæíî îòñåÿòü ñ
ïîìîùüþ óñëîâèÿ q(x) ¹ 0 èëè íåïîñðåäñòâåííîé ïîäñòàíîâêîé êàæäîãî êîðíÿ óðàâíåíèÿ ð (õ) = 0 â óðàâíåíèå (1).
191
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
3x - 6
= 0.
x2 - x - 2
q Èç óðàâíåíèÿ 3õ – 6 = 0 íàõîäèì õ = 2. Òàê
êàê ïðè õ = 2 çíàìåíàòåëü õ2 – õ – 2 îáðàùàåòñÿ â
íóëü, òî çàäàííîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n
148. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ. Îáëàñòüþ
îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ f (x) = g (x) íàçûâàþò ìíîæåñòâî âñåõ òåõ çíà÷åíèé ïåðåìåííîé õ, ïðè êîòîðûõ
è âûðàæåíèå f (x), è âûðàæåíèå g (x) èìåþò ñìûñë.
Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ íàçûâàþò èíîãäà
îáëàñòüþ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ:
à) x2 - 5x = 1 + 2x;
x
1
+
= 3;
á)
x -1 x -2
â)
x-
4
x-1 =
6
x - 2;
ã) log 3 (x - 3) = log 3 (5 - x).
q à) Âûðàæåíèÿ x 2 - 5x è 1 + 2x îïðåäåëåíû ïðè âñåõ õ. Çíà÷èò, îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.
x
1
è
íå îïðåäåëåíû ñîîòá) Âûðàæåíèÿ
x-1
x-2
âåòñòâåííî ïðè õ = 1 è õ = 2. Ïîýòîìó îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ ìîæíî çàäàòü óñëîâèÿìè: x ¹ 1,
x ¹ 2.
â) Êîðåíü ÷åòíîé ñòåïåíè èìååò ñìûñë ëèøü ïðè
íåîòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïîäêîðåííîãî âûðàæå192
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
íèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, îäíîâðåìåííî äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿ: x ³ 0, x - 1 ³ 0 è x - 2 ³ 0. Âñå ýòè
íåðàâåíñòâà ñïðàâåäëèâû ïðè x ³ 2, ò. å. [2, + ¥) —
îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ.
ã) Ëîãàðèôì èìååò ñìûñë ëèøü â ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà. Çíà÷èò,
äîëæíû îäíîâðåìåííî âûïîëíÿòüñÿ äâà íåðàâåíñòâà:
x - 3 > 0, îòêóäà x > 3, è 5 - x > 0, îòêóäà x < 5.
Èòàê, (3, 5) — îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ. n
Åñëè â ïðîöåññå ïðåîáðàçîâàíèé óðàâíåíèÿ åãî
îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ðàñøèðèëàñü, òî ìîãóò ïîÿâèòüñÿ ïîñòîðîííèå êîðíè. Ïîýòîìó âñå íàéäåííûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé íàäî ïðîâåðèòü ïîäñòàíîâêîé â
èñõîäíîå óðàâíåíèå èëè ñ ïîìîùüþ îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ.
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
lg (x - 5) = lg (2x - 9).
(1)
q Òàê êàê lg a = lg b, òî â ñèëó ìîíîòîííîñòè ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè èìååì à = b (åñëè a ¹ b, íàïðèìåð a < b, òî è lg a ¹ lg b, à èìåííî lg a < lg b ).
Çíà÷èò, îò çàäàííîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî ïåðåéòè ê óðàâíåíèþ
õ – 5 = 2õ – 9,
(2)
îòêóäà õ = 4. Ïðè ïåðåõîäå îò óðàâíåíèÿ (1) ê óðàâíåíèþ (2) îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ðàñøèðèëàñü: â óðàâíåíèè (1) îíà çàäàåòñÿ íåðàâåíñòâîì x > 5, à äëÿ
óðàâíåíèÿ (2) åþ ñëóæèò âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ. Ïîýòîìó çíà÷åíèå õ = 4, ÿâëÿþùååñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ (2), ìîæåò îêàçàòüñÿ ïîñòîðîííèì êîðíåì äëÿ
óðàâíåíèÿ (1).  äàííîì ñëó÷àå èìåííî ýòî è ïðîèñõîäèò, ïîñêîëüêó õ = 4 íå óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåí193
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
3x - 6
= 0.
x2 - x - 2
q Èç óðàâíåíèÿ 3õ – 6 = 0 íàõîäèì õ = 2. Òàê
êàê ïðè õ = 2 çíàìåíàòåëü õ2 – õ – 2 îáðàùàåòñÿ â
íóëü, òî çàäàííîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n
148. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ. Îáëàñòüþ
îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ f (x) = g (x) íàçûâàþò ìíîæåñòâî âñåõ òåõ çíà÷åíèé ïåðåìåííîé õ, ïðè êîòîðûõ
è âûðàæåíèå f (x), è âûðàæåíèå g (x) èìåþò ñìûñë.
Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ íàçûâàþò èíîãäà
îáëàñòüþ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ:
à) x2 - 5x = 1 + 2x;
x
1
+
= 3;
á)
x -1 x -2
â)
x-
4
x-1 =
6
x - 2;
ã) log 3 (x - 3) = log 3 (5 - x).
q à) Âûðàæåíèÿ x 2 - 5x è 1 + 2x îïðåäåëåíû ïðè âñåõ õ. Çíà÷èò, îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.
x
1
è
íå îïðåäåëåíû ñîîòá) Âûðàæåíèÿ
x-1
x-2
âåòñòâåííî ïðè õ = 1 è õ = 2. Ïîýòîìó îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ ìîæíî çàäàòü óñëîâèÿìè: x ¹ 1,
x ¹ 2.
â) Êîðåíü ÷åòíîé ñòåïåíè èìååò ñìûñë ëèøü ïðè
íåîòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïîäêîðåííîãî âûðàæå192
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
íèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, îäíîâðåìåííî äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿ: x ³ 0, x - 1 ³ 0 è x - 2 ³ 0. Âñå ýòè
íåðàâåíñòâà ñïðàâåäëèâû ïðè x ³ 2, ò. å. [2, + ¥) —
îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ.
ã) Ëîãàðèôì èìååò ñìûñë ëèøü â ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà. Çíà÷èò,
äîëæíû îäíîâðåìåííî âûïîëíÿòüñÿ äâà íåðàâåíñòâà:
x - 3 > 0, îòêóäà x > 3, è 5 - x > 0, îòêóäà x < 5.
Èòàê, (3, 5) — îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ. n
Åñëè â ïðîöåññå ïðåîáðàçîâàíèé óðàâíåíèÿ åãî
îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ðàñøèðèëàñü, òî ìîãóò ïîÿâèòüñÿ ïîñòîðîííèå êîðíè. Ïîýòîìó âñå íàéäåííûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé íàäî ïðîâåðèòü ïîäñòàíîâêîé â
èñõîäíîå óðàâíåíèå èëè ñ ïîìîùüþ îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ.
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
lg (x - 5) = lg (2x - 9).
(1)
q Òàê êàê lg a = lg b, òî â ñèëó ìîíîòîííîñòè ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè èìååì à = b (åñëè a ¹ b, íàïðèìåð a < b, òî è lg a ¹ lg b, à èìåííî lg a < lg b ).
Çíà÷èò, îò çàäàííîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî ïåðåéòè ê óðàâíåíèþ
õ – 5 = 2õ – 9,
(2)
îòêóäà õ = 4. Ïðè ïåðåõîäå îò óðàâíåíèÿ (1) ê óðàâíåíèþ (2) îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ðàñøèðèëàñü: â óðàâíåíèè (1) îíà çàäàåòñÿ íåðàâåíñòâîì x > 5, à äëÿ
óðàâíåíèÿ (2) åþ ñëóæèò âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ. Ïîýòîìó çíà÷åíèå õ = 4, ÿâëÿþùååñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ (2), ìîæåò îêàçàòüñÿ ïîñòîðîííèì êîðíåì äëÿ
óðàâíåíèÿ (1).  äàííîì ñëó÷àå èìåííî ýòî è ïðîèñõîäèò, ïîñêîëüêó õ = 4 íå óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåí193
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
ñòâó x > 5. Èòàê , õ = 4 — ïîñòîðîííèé êîðåíü, ò. å.
çàäàííîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n
149. Ðàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ. Óðàâíåíèå f (x) =
= g (x) íàçûâàåòñÿ ðàöèîíàëüíûì, åñëè f (x) è
g (x) — ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ. Ïðè ýòîì åñëè
f (x) è g (x) — öåëûå âûðàæåíèÿ, òî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ öåëûì; åñëè æå õîòÿ áû îäíî èç âûðàæåíèé
f (x), g (x) ÿâëÿåòñÿ äðîáíûì, òî ðàöèîíàëüíîå óðàâíåíèå f (x) = g (x) íàçûâàåòñÿ äðîáíûì.
Íàïðèìåð, öåëûìè ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûå è êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ (ñì. ïï. 140 è 141).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
2
1
4
.
+ =
2 - x 2 x (2 - x)
q Îáùèì çíàìåíàòåëåì äðîáåé ÿâëÿåòñÿ 2õ (2 –
– õ). Íàéäåì äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè äëÿ êàæäîé äðîáè è îñâîáîäèìñÿ îò çíàìåíàòåëåé:
2x
x
x(2
(2 -–xx)
)
2È
1 È
+
2-x
2
2
4È
; 4x + x(2 - x) = 8;
=
x(2 - x)
»
x2 - 6x + 8 = 0.
Èç óðàâíåíèÿ õ2 – 6õ + 8=0 ïîëó÷èì õ1 = 2, õ2 =
= 4. Îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü, îáðàùàþò ëè íàéäåííûå êîðíè â íóëü âûðàæåíèå 2õ (2 – õ), ò. å. ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå óñëîâèÿ 2x(2 - x) ¹ 0. Çàìåòèì, ÷òî 2 íå
óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó óñëîâèþ, à 4 óäîâëåòâîðÿåò. Èòàê,
õ = 4 — åäèíñòâåííûé êîðåíü óðàâíåíèÿ. n
194
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
150. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ p (x) = 0 ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ åãî ëåâîé ÷àñòè íà ìíîæèòåëè. Ñóòü ìåòîäà ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïóñòü íóæíî ðåøèòü óðàâíåíèå p(x) = 0, ãäå
ð (õ) — ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì
óäàëîñü ðàçëîæèòü ìíîãî÷ëåí íà ìíîæèòåëè:
p(x) = p1 (x) × p2 (x) × p3 (x), ãäå p1 (x), p2 (x), p3 (x) —
ìíîãî÷ëåíû áîëåå íèçêîé ñòåïåíè, ÷åì n. Òîãäà âìåñòî óðàâíåíèÿ p(x) = 0, íóæíî ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü
óðàâíåíèé p1 (x) = 0, p2 (x) = 0, p3 (x) = 0. Âñå íàéäåííûå êîðíè ýòèõ óðàâíåíèé, è òîëüêî îíè, áóäóò
êîðíÿìè óðàâíåíèÿ p(x) = 0.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
x3 + 2x2 + 3x + 6 = 0.
q Ðàçëîæèì íà ìíîæèòåëè ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ. Èìååì x 2(x + 2) + 3(x + 2) = 0 îòêóäà (x +
+2) (x 2 + 2) = 0. Çíà÷èò, ëèáî õ + 2 = 0, ëèáî õ2 +
+ 3 = 0. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì õ = –2, âòîðîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n
Ìåòîä ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè ïðèìåíXèì ê
ëþáûì óðàâíåíèÿì âèäà p(x) = 0, ãäå ð(õ) — íåîáÿçàòåëüíî ìíîãî÷ëåí.
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
x 2 x - 9 x = 0.
q Èìååì
x (x2 - 9) = 0, çíà÷èò, ëèáî
x = 0,
195
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
ñòâó x > 5. Èòàê , õ = 4 — ïîñòîðîííèé êîðåíü, ò. å.
çàäàííîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n
149. Ðàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ. Óðàâíåíèå f (x) =
= g (x) íàçûâàåòñÿ ðàöèîíàëüíûì, åñëè f (x) è
g (x) — ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ. Ïðè ýòîì åñëè
f (x) è g (x) — öåëûå âûðàæåíèÿ, òî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ öåëûì; åñëè æå õîòÿ áû îäíî èç âûðàæåíèé
f (x), g (x) ÿâëÿåòñÿ äðîáíûì, òî ðàöèîíàëüíîå óðàâíåíèå f (x) = g (x) íàçûâàåòñÿ äðîáíûì.
Íàïðèìåð, öåëûìè ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûå è êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ (ñì. ïï. 140 è 141).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
2
1
4
.
+ =
2 - x 2 x (2 - x)
q Îáùèì çíàìåíàòåëåì äðîáåé ÿâëÿåòñÿ 2õ (2 –
– õ). Íàéäåì äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè äëÿ êàæäîé äðîáè è îñâîáîäèìñÿ îò çíàìåíàòåëåé:
2x
x
x(2
(2 -–xx)
)
2È
1 È
+
2-x
2
2
4È
; 4x + x(2 - x) = 8;
=
x(2 - x)
»
x2 - 6x + 8 = 0.
Èç óðàâíåíèÿ õ2 – 6õ + 8=0 ïîëó÷èì õ1 = 2, õ2 =
= 4. Îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü, îáðàùàþò ëè íàéäåííûå êîðíè â íóëü âûðàæåíèå 2õ (2 – õ), ò. å. ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå óñëîâèÿ 2x(2 - x) ¹ 0. Çàìåòèì, ÷òî 2 íå
óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó óñëîâèþ, à 4 óäîâëåòâîðÿåò. Èòàê,
õ = 4 — åäèíñòâåííûé êîðåíü óðàâíåíèÿ. n
194
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
150. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ p (x) = 0 ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ åãî ëåâîé ÷àñòè íà ìíîæèòåëè. Ñóòü ìåòîäà ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïóñòü íóæíî ðåøèòü óðàâíåíèå p(x) = 0, ãäå
ð (õ) — ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì
óäàëîñü ðàçëîæèòü ìíîãî÷ëåí íà ìíîæèòåëè:
p(x) = p1 (x) × p2 (x) × p3 (x), ãäå p1 (x), p2 (x), p3 (x) —
ìíîãî÷ëåíû áîëåå íèçêîé ñòåïåíè, ÷åì n. Òîãäà âìåñòî óðàâíåíèÿ p(x) = 0, íóæíî ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü
óðàâíåíèé p1 (x) = 0, p2 (x) = 0, p3 (x) = 0. Âñå íàéäåííûå êîðíè ýòèõ óðàâíåíèé, è òîëüêî îíè, áóäóò
êîðíÿìè óðàâíåíèÿ p(x) = 0.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
x3 + 2x2 + 3x + 6 = 0.
q Ðàçëîæèì íà ìíîæèòåëè ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ. Èìååì x 2(x + 2) + 3(x + 2) = 0 îòêóäà (x +
+2) (x 2 + 2) = 0. Çíà÷èò, ëèáî õ + 2 = 0, ëèáî õ2 +
+ 3 = 0. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì õ = –2, âòîðîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n
Ìåòîä ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè ïðèìåíXèì ê
ëþáûì óðàâíåíèÿì âèäà p(x) = 0, ãäå ð(õ) — íåîáÿçàòåëüíî ìíîãî÷ëåí.
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
x 2 x - 9 x = 0.
q Èìååì
x (x2 - 9) = 0, çíà÷èò, ëèáî
x = 0,
195
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ëèáî õ2 – 9 = 0. Èç óðàâíåíèÿ x = 0 íàõîäèì õ = 0,
èç óðàâíåíèÿ õ2 – 9 = 0 íàõîäèì x = ±3. Íî õ = –3
íå óäîâëåòâîðÿåò èñõîäíîìó óðàâíåíèþ, òàê êàê ïðè
ï. 147), ïîëó÷èì y1 = 12,5 è y2 = -3. Íî y = x2 +
+2x - 3. Çíà÷èò, îñòàåòñÿ ðåøèòü óðàâíåíèÿ
ýòîì çíà÷åíèè íå îïðåäåëåíî âûðàæåíèå x . Ýòî —
ïîñòîðîííèé êîðåíü.
Èòàê, óðàâíåíèå èìååò äâà êîðíÿ: 3; 0. n
èëè x2 + 2x - 15,5 = 0 è x2 + 2x = 0. Èç ïåðâîãî íà-
151. Ðåøåíèå óðàâíåíèé ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé. Ñóòü ìåòîäà ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé ïîÿñíèì íà ïðèìåðå.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
à) (x2 - 3x)2 + 3(x2 - 3x) –
= 28 = 0;
á)
24
2
x + 2x - 8
-
15
2
x + 2x - 3
= 2.
q à) Ïîëàãàÿ x2 - 3x = y, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ
y 2 + 3y - 28 = 0, îòêóäà íàõîäèì ó1 = –7, ó2 = 4.
Òåïåðü ïîëó÷àåì ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé
x2 + 2x - 3 = 12,5 è x2 + 2x - 3 = -3,
õîäèì, ÷òî x1 = 0,5( 66 - 2), x2 = -0,5( 66 + 2), à èç
âòîðîãî — ÷òî x3 = 0, x4 = -2. n
152. Áèêâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ. Áèêâàäðàòíûì
íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå âèäà ax4 + bx2 + c = 0, ãäå
a ¹ 0. Áèêâàäðàòíîå óðàâíåíèå ðåøàþò ìåòîäîì
ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé: ïîëàãàÿ õ2 = ó, ïðèõîäÿò ê êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ ay2 + by + c = 0.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå x 4 + 4x2 - 21 = 0.
q Ïóñòü x2 = y; òîãäà ïîëó÷èì êâàäðàòíîå óðàâ-
x2 - 3x = -7; x2 - 3x = 4, ò. å. x2 - 3x + 7 = 0; x 2 -
íåíèå y 2 + 4y - 21 = 0, îòêóäà y1 = -7, y2 = 3. Òåïåðü
-3x - 4 = 0. Ïåðâîå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå íå èìååò
äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé, òàê êàê åãî äèñêðèìèíàíò
îòðèöàòåëåí. Èç âòîðîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì x1 = 4, x2 = -1. Ýòî êîðíè çàäàííîãî óðàâíåíèÿ.
çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèé x2 = -7,
2
2
á) Ïîëîæèì x + 2x - 3 = y, òîãäà x + 2x - 8 =
= (x2 + 2x - 3) - 5 = y - 5 è èñõîäíîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä
196
24
15
= 2. Ðåøèâ ýòî óðàâíåíèå (ñì.
y -5
y
x2 = 3. Ïåðâîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé, èç âòîðîãî íàõîäèì x1 = 3 , x2 = - 3 , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ
êîðíÿìè çàäàííîãî áèêâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ. n
153. Óðàâíåíèÿ âûñøèõ ñòåïåíåé. Êðàòêî îñòàíîâèìñÿ íà ðåøåíèè óðàâíåíèé âèäà P (x) = 0, ãäå
P (x) — ìíîãî÷ëåí, ñòåïåíü êîòîðîãî âûøå âòîðîé.
197
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ëèáî õ2 – 9 = 0. Èç óðàâíåíèÿ x = 0 íàõîäèì õ = 0,
èç óðàâíåíèÿ õ2 – 9 = 0 íàõîäèì x = ±3. Íî õ = –3
íå óäîâëåòâîðÿåò èñõîäíîìó óðàâíåíèþ, òàê êàê ïðè
ï. 147), ïîëó÷èì y1 = 12,5 è y2 = -3. Íî y = x2 +
+2x - 3. Çíà÷èò, îñòàåòñÿ ðåøèòü óðàâíåíèÿ
ýòîì çíà÷åíèè íå îïðåäåëåíî âûðàæåíèå x . Ýòî —
ïîñòîðîííèé êîðåíü.
Èòàê, óðàâíåíèå èìååò äâà êîðíÿ: 3; 0. n
èëè x2 + 2x - 15,5 = 0 è x2 + 2x = 0. Èç ïåðâîãî íà-
151. Ðåøåíèå óðàâíåíèé ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé. Ñóòü ìåòîäà ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé ïîÿñíèì íà ïðèìåðå.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
à) (x2 - 3x)2 + 3(x2 - 3x) –
= 28 = 0;
á)
24
2
x + 2x - 8
-
15
2
x + 2x - 3
= 2.
q à) Ïîëàãàÿ x2 - 3x = y, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ
y 2 + 3y - 28 = 0, îòêóäà íàõîäèì ó1 = –7, ó2 = 4.
Òåïåðü ïîëó÷àåì ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé
x2 + 2x - 3 = 12,5 è x2 + 2x - 3 = -3,
õîäèì, ÷òî x1 = 0,5( 66 - 2), x2 = -0,5( 66 + 2), à èç
âòîðîãî — ÷òî x3 = 0, x4 = -2. n
152. Áèêâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ. Áèêâàäðàòíûì
íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå âèäà ax4 + bx2 + c = 0, ãäå
a ¹ 0. Áèêâàäðàòíîå óðàâíåíèå ðåøàþò ìåòîäîì
ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé: ïîëàãàÿ õ2 = ó, ïðèõîäÿò ê êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ ay2 + by + c = 0.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå x 4 + 4x2 - 21 = 0.
q Ïóñòü x2 = y; òîãäà ïîëó÷èì êâàäðàòíîå óðàâ-
x2 - 3x = -7; x2 - 3x = 4, ò. å. x2 - 3x + 7 = 0; x 2 -
íåíèå y 2 + 4y - 21 = 0, îòêóäà y1 = -7, y2 = 3. Òåïåðü
-3x - 4 = 0. Ïåðâîå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå íå èìååò
äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé, òàê êàê åãî äèñêðèìèíàíò
îòðèöàòåëåí. Èç âòîðîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì x1 = 4, x2 = -1. Ýòî êîðíè çàäàííîãî óðàâíåíèÿ.
çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèé x2 = -7,
2
2
á) Ïîëîæèì x + 2x - 3 = y, òîãäà x + 2x - 8 =
= (x2 + 2x - 3) - 5 = y - 5 è èñõîäíîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä
196
24
15
= 2. Ðåøèâ ýòî óðàâíåíèå (ñì.
y -5
y
x2 = 3. Ïåðâîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé, èç âòîðîãî íàõîäèì x1 = 3 , x2 = - 3 , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ
êîðíÿìè çàäàííîãî áèêâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ. n
153. Óðàâíåíèÿ âûñøèõ ñòåïåíåé. Êðàòêî îñòàíîâèìñÿ íà ðåøåíèè óðàâíåíèé âèäà P (x) = 0, ãäå
P (x) — ìíîãî÷ëåí, ñòåïåíü êîòîðîãî âûøå âòîðîé.
197
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
Ïðè ðåøåíèè òàêèõ óðàâíåíèé èñïîëüçóþò ìåòîä
ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè è ìåòîä ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé.
Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà n-é ñòåïåíè íà ìíîæèòåëè îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè:
Ïóñòü äàí ìíîãî÷ëåí
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
21õ3 + õ2 – 5õ – 1 = 0.
q Ðàçäåëèâ âñå ÷ëåíû óðàâíåíèÿ íà õ3, èìååì
21 +
P (x) = a0x n + a1x n -1 + ... + an -1x + an ,
âñå êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî — öåëûå ÷èñëà (a0 ¹ 0).
Òîãäà åñëè öåëîå ÷èñëî õ = b ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà P (x), òî îíî ñëóæèò äåëèòåëåì ñâîáîäíîãî
Ïîëàãàÿ
y 3 + 5y 2 - y - 21 = 0.
(1)
x3 + 4x2 - 24 = 0.
q Ïîïðîáóåì íàéòè öåëûé êîðåíü óðàâíåíèÿ (1).
Äëÿ ýòîãî âûïèøåì äåëèòåëè åãî ñâîáîäíîãî ÷ëåíà:
±1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 12; ± 24. Ïîäñòàâèâ â óðàâíå2
íèå (1) çíà÷åíèå õ = 1, ïîëó÷èì 1 + 4 × 1 - 24 ¹ 0,
ò. å. õ = 1 íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì. Äàëåå, ïðè õ = –1
è õ = 2 èìååì: (-1)3 + 4(-1)2 - 24 ¹ 0, 23 + 4 × 22 -24 = 0. Çíà÷èò, õ1 = 2 — êîðåíü óðàâíåíèÿ (1).
Òåïåðü ðàçäåëèì ìíîãî÷ëåí x 3 + 4x2 - 24 íà äâó-
÷ëåí õ – 2; â ÷àñòíîì ïîëó÷èì x 2 + 6x + 12. Òàêèì
îáðàçîì,
x3 + 4x2 - 24 = (x +– 2) (x2 + 6x + 12),
ãäå
êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí x 2 + 6x + 12 íå èìååò êîðíåé.
Èòàê, õ = 2 — åäèíñòâåííûé êîðåíü óðàâíåíèÿ.n
198
1
= y, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ 21 + y x
- 5y 2 - y 3 = 0, ò. å.
÷ëåíà an .
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
3
1
5
1
= 0.
x x2 x3
(2)
Êàê è â ïðèìåðå 1, íàéäåì öåëûé êîðåíü óðàâíåíèÿ (2): ó1 = – 3. Çàòåì, ðàçäåëèâ ìíîãî÷ëåí
y 3 + 5y2 - y - 21
íà ó + 3, ïîëó÷èì êâàäðàòíûé
2
òðåõ÷ëåí y + 2y - 7. Åãî êîðíÿìè ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà
- 1 + 2 2 è - 1 - 2 2. Íàêîíåö, âîçâðàùàÿñü ê ïå1
ðåìåííîé x = , íàõîäèì êîðíè èñõîäíîãî óðàây
íåíèÿ:
x1 = -
1
1
1+ 2 2
=
, x2 =
,
3
7
-1+2 2
x3 =
1
-1- 2 2
=
1- 2 2
. n
7
154. Ðåøåíèå çàäà÷ ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé. Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé ðåøàþòñÿ ìíîãî÷èñëåííûå çàäà199
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
Ïðè ðåøåíèè òàêèõ óðàâíåíèé èñïîëüçóþò ìåòîä
ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè è ìåòîä ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé.
Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà n-é ñòåïåíè íà ìíîæèòåëè îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè:
Ïóñòü äàí ìíîãî÷ëåí
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
21õ3 + õ2 – 5õ – 1 = 0.
q Ðàçäåëèâ âñå ÷ëåíû óðàâíåíèÿ íà õ3, èìååì
21 +
P (x) = a0x n + a1x n -1 + ... + an -1x + an ,
âñå êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî — öåëûå ÷èñëà (a0 ¹ 0).
Òîãäà åñëè öåëîå ÷èñëî õ = b ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà P (x), òî îíî ñëóæèò äåëèòåëåì ñâîáîäíîãî
Ïîëàãàÿ
y 3 + 5y 2 - y - 21 = 0.
(1)
x3 + 4x2 - 24 = 0.
q Ïîïðîáóåì íàéòè öåëûé êîðåíü óðàâíåíèÿ (1).
Äëÿ ýòîãî âûïèøåì äåëèòåëè åãî ñâîáîäíîãî ÷ëåíà:
±1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 12; ± 24. Ïîäñòàâèâ â óðàâíå2
íèå (1) çíà÷åíèå õ = 1, ïîëó÷èì 1 + 4 × 1 - 24 ¹ 0,
ò. å. õ = 1 íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì. Äàëåå, ïðè õ = –1
è õ = 2 èìååì: (-1)3 + 4(-1)2 - 24 ¹ 0, 23 + 4 × 22 -24 = 0. Çíà÷èò, õ1 = 2 — êîðåíü óðàâíåíèÿ (1).
Òåïåðü ðàçäåëèì ìíîãî÷ëåí x 3 + 4x2 - 24 íà äâó-
÷ëåí õ – 2; â ÷àñòíîì ïîëó÷èì x 2 + 6x + 12. Òàêèì
îáðàçîì,
x3 + 4x2 - 24 = (x +– 2) (x2 + 6x + 12),
ãäå
êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí x 2 + 6x + 12 íå èìååò êîðíåé.
Èòàê, õ = 2 — åäèíñòâåííûé êîðåíü óðàâíåíèÿ.n
198
1
= y, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ 21 + y x
- 5y 2 - y 3 = 0, ò. å.
÷ëåíà an .
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
3
1
5
1
= 0.
x x2 x3
(2)
Êàê è â ïðèìåðå 1, íàéäåì öåëûé êîðåíü óðàâíåíèÿ (2): ó1 = – 3. Çàòåì, ðàçäåëèâ ìíîãî÷ëåí
y 3 + 5y2 - y - 21
íà ó + 3, ïîëó÷èì êâàäðàòíûé
2
òðåõ÷ëåí y + 2y - 7. Åãî êîðíÿìè ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà
- 1 + 2 2 è - 1 - 2 2. Íàêîíåö, âîçâðàùàÿñü ê ïå1
ðåìåííîé x = , íàõîäèì êîðíè èñõîäíîãî óðàây
íåíèÿ:
x1 = -
1
1
1+ 2 2
=
, x2 =
,
3
7
-1+2 2
x3 =
1
-1- 2 2
=
1- 2 2
. n
7
154. Ðåøåíèå çàäà÷ ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé. Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé ðåøàþòñÿ ìíîãî÷èñëåííûå çàäà199
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
÷è, ê êîòîðûì ïðèâîäÿò ñàìûå ðàçíîîáðàçíûå âîïðîñû ôèçèêè, ìåõàíèêè, ýêîíîìèêè è äðóãèõ íàóê. Îáùàÿ ñõåìà ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì:
1. Ââîäÿò ïåðåìåííûå, ò. å. áóêâàìè x, y, z îáîçíà÷àþò íåèçâåñòíûå âåëè÷èíû, êîòîðûå ëèáî òðåáóåòñÿ íàéòè â çàäà÷å, ëèáî îíè íåîáõîäèìû äëÿ îòûñêàíèÿ èñêîìûõ âåëè÷èí.
2. Èñïîëüçóÿ ââåäåííûå ïåðåìåííûå è äàííûå â
çàäà÷å ÷èñëà è ñîîòíîøåíèÿ, ñîñòàâëÿþò ñèñòåìó
óðàâíåíèé(èëè îäíî óðàâíåíèå).
3. Ðåøàþò ñîñòàâëåííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé (èëè
óðàâíåíèå) è èç ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé îòáèðàþò òå,
êîòîðûå ïîäõîäÿò ïî ñìûñëó çàäà÷è.
4). Åñëè áóêâàìè x, y, z îáîçíà÷åíû íå èñêîìûå
âåëè÷èíû, òî, èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ, íàõîäÿò îòâåò íà âîïðîñ çàäà÷è.
Ï ð è ì å ð 1. Äâà ìàñòåðà, ðàáîòàÿ âìåñòå, âûïîëíèëè íåêîòîðóþ ðàáîòó çà 6 ÷. Ïåðâûé èç íèõ, ðàáîòàÿ îòäåëüíî, ìîæåò âûïîëíèòü âñþ ðàáîòó íà 5 ÷ ñêîðåå, ÷åì âòîðîé, åñëè ïîñëåäíèé áóäåò ðàáîòàòü îòäåëüíî. Çà ñêîëüêî ÷àñîâ êàæäûé èç íèõ, ðàáîòàÿ îòäåëüíî, ìîæåò âûïîëíèòü âñþ ðàáîòó?
q Ïðåæäå ÷åì ðåøàòü çàäà÷ó çàìåòèì ñëåäóþùåå: ïðîèçâîäèòåëüíîñòü òðóäà, ò. å. ÷àñòü ðàáîòû, âûïîëíÿåìàÿ â åäèíèöó âðåìåíè (îáîçíà÷èì åå ÷åðåç
À), è âðåìÿ, íåîáõîäèìîå äëÿ âûïîëíåíèÿ âñåé ðàáîòû
(îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç t), — âçàèìíî îáðàòíûå âåëè÷èíû, ò. å. At = 1. Ïîýòîìó åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç õ ÷
âðåìÿ, íåîáõîäèìîå äëÿ âûïîëíåíèÿ âñåé ðàáîòû ïåðâîìó ìàñòåðó, à ÷åðåç (õ +5) ÷ — âòîðîìó, òî ÷àñòü
ðàáîòû, âûïîëíÿåìàÿ ïåðâûì ìàñòåðîì çà 1 ÷, ðàâíà
1
, à ÷àñòü ðàáîòû, âûïîëíÿåìàÿ âòîðûì ìàñòåðîì
x
200
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
1
. Ñîãëàñíî óñëîâèþ îíè, ðàáîòàÿ
x+5
âìåñòå, âûïîëíèëè âñþ ðàáîòó çà 6 ÷. ×àñòü ðàáîòû,
6
âûïîëíåííàÿ çà 6 ÷ ïåðâûì ìàñòåðîì, åñòü , à ÷àñòü
x
ðàáîòû, âûïîëíåííàÿ çà 6 ÷ âòîðûì ìàñòåðîì, åñòü
6
. Òàê êàê âìåñòå îíè âûïîëíèëè âñþ ðàáîòó, ò. å.
x+5
äîëÿ âûïîëíåííîé ðàáîòû ðàâíà 1, òî ïîëó÷àåì óðàâ6
6
+
= 1, ðåøèâ êîòîðîå íàéäåì õ = 10.
íåíèå
x x+5
Èòàê, ïåðâûé ìàñòåð ìîæåò âûïîëíèòü âñþ ðàáîòó çà
10 ÷, à âòîðîé — çà 15 ÷. n
Ï ð è ì å ð 2. Èç ñîñóäà âìåñòèìîñòüþ 54 ë,
íàïîëíåííîãî êèñëîòîé, âûëèëè íåñêîëüêî ëèòðîâ è
äîëèëè ñîñóä âîäîé, ïîòîì îïÿòü âûëèëè ñòîëüêî æå
ëèòðîâ ñìåñè. Òîãäà â îñòàâøåéñÿ â ñîñóäå ñìåñè
îêàçàëîñü 24 ë ÷èñòîé êèñëîòû. Ñêîëüêî êèñëîòû
âûëèëè â ïåðâûé ðàç?
q Ïóñòü â ïåðâûé ðàç áûëî âûëèòî õ ë êèñëîòû.
Òîãäà â ñîñóäå îñòàëîñü (54 – õ) ë êèñëîòû. Äîëèâ
ñîñóä âîäîé, ïîëó÷èëè 54 ë ñìåñè, â êîòîðîé ðàñòâîðèëîñü (54 – õ) ë êèñëîòû. Çíà÷èò, â 1 ë ñìåñè ñî54 - x
äåðæèòñÿ
ë êèñëîòû (êîíöåíòðàöèÿ ðàñòâî54
ðà). Âî âòîðîé ðàç èç ñîñóäà âûëèëè õ ë ñìåñè, â
54 - x
×x ë
ýòîì êîëè÷åñòâå ñìåñè ñîäåðæàëîñü
54
êèñëîòû. Òàêèì îáðàçîì, â ïåðâûé ðàç áûëî âûëèòî
çà 1 ÷, ðàâíà
201
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
÷è, ê êîòîðûì ïðèâîäÿò ñàìûå ðàçíîîáðàçíûå âîïðîñû ôèçèêè, ìåõàíèêè, ýêîíîìèêè è äðóãèõ íàóê. Îáùàÿ ñõåìà ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì:
1. Ââîäÿò ïåðåìåííûå, ò. å. áóêâàìè x, y, z îáîçíà÷àþò íåèçâåñòíûå âåëè÷èíû, êîòîðûå ëèáî òðåáóåòñÿ íàéòè â çàäà÷å, ëèáî îíè íåîáõîäèìû äëÿ îòûñêàíèÿ èñêîìûõ âåëè÷èí.
2. Èñïîëüçóÿ ââåäåííûå ïåðåìåííûå è äàííûå â
çàäà÷å ÷èñëà è ñîîòíîøåíèÿ, ñîñòàâëÿþò ñèñòåìó
óðàâíåíèé(èëè îäíî óðàâíåíèå).
3. Ðåøàþò ñîñòàâëåííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé (èëè
óðàâíåíèå) è èç ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé îòáèðàþò òå,
êîòîðûå ïîäõîäÿò ïî ñìûñëó çàäà÷è.
4). Åñëè áóêâàìè x, y, z îáîçíà÷åíû íå èñêîìûå
âåëè÷èíû, òî, èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ, íàõîäÿò îòâåò íà âîïðîñ çàäà÷è.
Ï ð è ì å ð 1. Äâà ìàñòåðà, ðàáîòàÿ âìåñòå, âûïîëíèëè íåêîòîðóþ ðàáîòó çà 6 ÷. Ïåðâûé èç íèõ, ðàáîòàÿ îòäåëüíî, ìîæåò âûïîëíèòü âñþ ðàáîòó íà 5 ÷ ñêîðåå, ÷åì âòîðîé, åñëè ïîñëåäíèé áóäåò ðàáîòàòü îòäåëüíî. Çà ñêîëüêî ÷àñîâ êàæäûé èç íèõ, ðàáîòàÿ îòäåëüíî, ìîæåò âûïîëíèòü âñþ ðàáîòó?
q Ïðåæäå ÷åì ðåøàòü çàäà÷ó çàìåòèì ñëåäóþùåå: ïðîèçâîäèòåëüíîñòü òðóäà, ò. å. ÷àñòü ðàáîòû, âûïîëíÿåìàÿ â åäèíèöó âðåìåíè (îáîçíà÷èì åå ÷åðåç
À), è âðåìÿ, íåîáõîäèìîå äëÿ âûïîëíåíèÿ âñåé ðàáîòû
(îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç t), — âçàèìíî îáðàòíûå âåëè÷èíû, ò. å. At = 1. Ïîýòîìó åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç õ ÷
âðåìÿ, íåîáõîäèìîå äëÿ âûïîëíåíèÿ âñåé ðàáîòû ïåðâîìó ìàñòåðó, à ÷åðåç (õ +5) ÷ — âòîðîìó, òî ÷àñòü
ðàáîòû, âûïîëíÿåìàÿ ïåðâûì ìàñòåðîì çà 1 ÷, ðàâíà
1
, à ÷àñòü ðàáîòû, âûïîëíÿåìàÿ âòîðûì ìàñòåðîì
x
200
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
1
. Ñîãëàñíî óñëîâèþ îíè, ðàáîòàÿ
x+5
âìåñòå, âûïîëíèëè âñþ ðàáîòó çà 6 ÷. ×àñòü ðàáîòû,
6
âûïîëíåííàÿ çà 6 ÷ ïåðâûì ìàñòåðîì, åñòü , à ÷àñòü
x
ðàáîòû, âûïîëíåííàÿ çà 6 ÷ âòîðûì ìàñòåðîì, åñòü
6
. Òàê êàê âìåñòå îíè âûïîëíèëè âñþ ðàáîòó, ò. å.
x+5
äîëÿ âûïîëíåííîé ðàáîòû ðàâíà 1, òî ïîëó÷àåì óðàâ6
6
+
= 1, ðåøèâ êîòîðîå íàéäåì õ = 10.
íåíèå
x x+5
Èòàê, ïåðâûé ìàñòåð ìîæåò âûïîëíèòü âñþ ðàáîòó çà
10 ÷, à âòîðîé — çà 15 ÷. n
Ï ð è ì å ð 2. Èç ñîñóäà âìåñòèìîñòüþ 54 ë,
íàïîëíåííîãî êèñëîòîé, âûëèëè íåñêîëüêî ëèòðîâ è
äîëèëè ñîñóä âîäîé, ïîòîì îïÿòü âûëèëè ñòîëüêî æå
ëèòðîâ ñìåñè. Òîãäà â îñòàâøåéñÿ â ñîñóäå ñìåñè
îêàçàëîñü 24 ë ÷èñòîé êèñëîòû. Ñêîëüêî êèñëîòû
âûëèëè â ïåðâûé ðàç?
q Ïóñòü â ïåðâûé ðàç áûëî âûëèòî õ ë êèñëîòû.
Òîãäà â ñîñóäå îñòàëîñü (54 – õ) ë êèñëîòû. Äîëèâ
ñîñóä âîäîé, ïîëó÷èëè 54 ë ñìåñè, â êîòîðîé ðàñòâîðèëîñü (54 – õ) ë êèñëîòû. Çíà÷èò, â 1 ë ñìåñè ñî54 - x
äåðæèòñÿ
ë êèñëîòû (êîíöåíòðàöèÿ ðàñòâî54
ðà). Âî âòîðîé ðàç èç ñîñóäà âûëèëè õ ë ñìåñè, â
54 - x
×x ë
ýòîì êîëè÷åñòâå ñìåñè ñîäåðæàëîñü
54
êèñëîòû. Òàêèì îáðàçîì, â ïåðâûé ðàç áûëî âûëèòî
çà 1 ÷, ðàâíà
201
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
54 - x
× x ë êèñëîòû, à âñåãî
õ ë êèñëîòû, âî âòîðîé
54
çà äâà ðàçà âûëèòî 54 – 24 = 30 ë êèñëîòû.  ðå54 - x
× x = 30.
çóëüòàòå ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ x +
54
Ðåøèâ åãî, íàéäåì äâà êîðíÿ: õ1 = 90 è õ 2 = 18.
ßñíî, ÷òî çíà÷åíèå õ = 90 íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ çàäà÷è. Èòàê, â ïåðâûé ðàç áûëî âûëèòî 18 ë
êèñëîòû. n
155. Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ. Èððàöèîíàëüíûì íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå, â êîòîðîì ïåðåìåííàÿ
ñîäåðæèòñÿ ïîä çíàêîì ðàäèêàëà èëè ÿâëÿåòñÿ îñíîâàíèåì ñòåïåíè ñ äðîáíûì ïîêàçàòåëåì. Òàê, èððàöèîíàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿ x - 2 = 2x - 1,
x 0,25 - 5 = 0 è ò. ä.
Ðàññìîòðèì äâà ìåòîäà ðåøåíèÿ èððàöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé: ìåòîä âîçâåäåíèÿ îáåèõ ÷àñòåé
óðàâíåíèÿ â îäíó è òó æå ñòåïåíü; ìåòîä ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
1 - 1 + 2x + 6 = 6.
õ
q Ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå ê âèäó
2x + 6 = 6 - x - 1
è âîçâåäåì îáå ÷àñòè åãî â êâàäðàò. Ïîëó÷èì
( 2x + 6 )2 = (6 - x - 1)2;
2x + 6 = 36 - 12 x - 1 + x - 1; 12 x - 1 = 29 - x.
202
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
Åùå ðàç âîçâåäåì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ â êâàäðàò: 144(x - 1) = (29 - x)2 , ò. å. x2 - 202x + 985 = 0,
îòêóäà x1 = 5, x2 = 197.
Ï ð î â å ð ê à. 1) Ïðè õ = 5 èìååì
5-1 +
+ 2 × 5 + 6 = 6, ò. å. õ = 5 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ.
2) 197 - 1 + 2 × 197 + 6 ¹ 6. Çíà÷èò, õ = 197 —
ïîñòîðîííèé êîðåíü. n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
x2 + 3 - 2x2 - 3x + 2 = 1,5 (x + 4).
(1)
q Óåäèíåíèå ðàäèêàëà è âîçâåäåíèå îáåèõ ÷àñòåé ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ â êâàäðàò ïðèâåëî áû ê
ãðîìîçäêèì âû÷èñëåíèÿì. Îäíàêî ìîæíî çàìåòèòü,
÷òî óðàâíåíèå (1) ëåãêî ñâîäèòñÿ ê êâàäðàòíîìó. Â
ñàìîì äåëå, óìíîæèâ îáå åãî ÷àñòè íà 2, ïîëó÷èì
2x2 + 6 - 2 2x2 - 3x + 2 = 3x + 12,
ò. å.
2x2 - 3x + 2 - 2 2x2 - 3x + 2 - 8 = 0.
Ïóñòü
2x2 - 3x + 2 = y; òîãäà y 2 - 2y - 8 = 0, îò-
êóäà y1 = 4, y2 = -2. Ïîýòîìó óðàâíåíèå (1) ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé:
2x2 - 3x + 2 = 4,
2x2 - 3x + 2 = -2. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì x1 = 3,5, x2 = -2, à âòîðîå íå èìååò êîðíåé.
Ïîäñòàíîâêà íàéäåííûõ çíà÷åíèé â óðàâíåíèå
203
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
54 - x
× x ë êèñëîòû, à âñåãî
õ ë êèñëîòû, âî âòîðîé
54
çà äâà ðàçà âûëèòî 54 – 24 = 30 ë êèñëîòû.  ðå54 - x
× x = 30.
çóëüòàòå ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ x +
54
Ðåøèâ åãî, íàéäåì äâà êîðíÿ: õ1 = 90 è õ 2 = 18.
ßñíî, ÷òî çíà÷åíèå õ = 90 íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ çàäà÷è. Èòàê, â ïåðâûé ðàç áûëî âûëèòî 18 ë
êèñëîòû. n
155. Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ. Èððàöèîíàëüíûì íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå, â êîòîðîì ïåðåìåííàÿ
ñîäåðæèòñÿ ïîä çíàêîì ðàäèêàëà èëè ÿâëÿåòñÿ îñíîâàíèåì ñòåïåíè ñ äðîáíûì ïîêàçàòåëåì. Òàê, èððàöèîíàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿ x - 2 = 2x - 1,
x 0,25 - 5 = 0 è ò. ä.
Ðàññìîòðèì äâà ìåòîäà ðåøåíèÿ èððàöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé: ìåòîä âîçâåäåíèÿ îáåèõ ÷àñòåé
óðàâíåíèÿ â îäíó è òó æå ñòåïåíü; ìåòîä ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
1 - 1 + 2x + 6 = 6.
õ
q Ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå ê âèäó
2x + 6 = 6 - x - 1
è âîçâåäåì îáå ÷àñòè åãî â êâàäðàò. Ïîëó÷èì
( 2x + 6 )2 = (6 - x - 1)2;
2x + 6 = 36 - 12 x - 1 + x - 1; 12 x - 1 = 29 - x.
202
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
Åùå ðàç âîçâåäåì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ â êâàäðàò: 144(x - 1) = (29 - x)2 , ò. å. x2 - 202x + 985 = 0,
îòêóäà x1 = 5, x2 = 197.
Ï ð î â å ð ê à. 1) Ïðè õ = 5 èìååì
5-1 +
+ 2 × 5 + 6 = 6, ò. å. õ = 5 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ.
2) 197 - 1 + 2 × 197 + 6 ¹ 6. Çíà÷èò, õ = 197 —
ïîñòîðîííèé êîðåíü. n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
x2 + 3 - 2x2 - 3x + 2 = 1,5 (x + 4).
(1)
q Óåäèíåíèå ðàäèêàëà è âîçâåäåíèå îáåèõ ÷àñòåé ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ â êâàäðàò ïðèâåëî áû ê
ãðîìîçäêèì âû÷èñëåíèÿì. Îäíàêî ìîæíî çàìåòèòü,
÷òî óðàâíåíèå (1) ëåãêî ñâîäèòñÿ ê êâàäðàòíîìó. Â
ñàìîì äåëå, óìíîæèâ îáå åãî ÷àñòè íà 2, ïîëó÷èì
2x2 + 6 - 2 2x2 - 3x + 2 = 3x + 12,
ò. å.
2x2 - 3x + 2 - 2 2x2 - 3x + 2 - 8 = 0.
Ïóñòü
2x2 - 3x + 2 = y; òîãäà y 2 - 2y - 8 = 0, îò-
êóäà y1 = 4, y2 = -2. Ïîýòîìó óðàâíåíèå (1) ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé:
2x2 - 3x + 2 = 4,
2x2 - 3x + 2 = -2. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì x1 = 3,5, x2 = -2, à âòîðîå íå èìååò êîðíåé.
Ïîäñòàíîâêà íàéäåííûõ çíà÷åíèé â óðàâíåíèå
203
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
2x2 - 3x + 2 = 4 ïîêàçûâàåò, ÷òî îáà ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óêàçàííîãî, à çíà÷èò, è èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ.n
156. Ïîêàçàòåëüíûå óðàâíåíèÿ. Ïîêàçàòåëüíûìè íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿ âèäà a
f ( x)
=a
g ( x)
, ãäå
a > 0, a ¹ 1, è óðàâíåíèÿ, ñâîäÿùèåñÿ ê óêàçàííûì.
Îñíîâîé ðåøåíèÿ ïîêàçàòåëüíûõ óðàâíåíèé ñëóæèò ñëåäóþùåå ñâîéñòâî: ïîêàçàòåëüíîå óðàâíåíèå
a f (x) = a g (x) ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ f (x) = g (x).
Èìåþòñÿ äâà îñíîâíûõ ìåòîäà ðåøåíèÿ ïîêàçàòåëüíûõ óðàâíåíèé: ìåòîä óðàâíèâàíèÿ ïîêàçàòåëåé, ò. å. ïðåîáðàçîâàíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ ê âèäó
f (x)
g (x)
a
, à çàòåì ê âèäó f (x) = g (x); ìåòîä ââå=a
äåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
0,2x - 0,5
5
= 5 × 0,04x -1.
q Ïðèâåäåì âñå ñòåïåíè ê îäíîìó îñíîâàíèþ 0,2.
Ïîëó÷èì óðàâíåíèå (0,2) x - 0,5 × (0,2)0,5 = (0,2) -1 ´
´ ((0,2)2 )x -1, êîòîðîå ïðåîáðàçóåì ê âèäó (0,2) x =
= (0,2)2x -3 . Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ õ = 2õ – 3, îòêóäà õ = 3. n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
4x + 2x +1 - 24 = 0.
(1)
q Ïðèìåíèì ìåòîä ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé.
204
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
Òàê êàê 4x = (2x )2 , 2x +1 = 2 × 2x , òî
ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
óðàâíåíèå (1)
(2x )2 + 2 × 2x - 24 = 0.
(2)
2õ
Ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ, ïîëàãàÿ
= ó. Òîãäà
óðàâíåíèå (2) ñâåäåòñÿ ê êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ
y 2 + 2y - 24 = 0, êîðíÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ y1 = 4,
y2 = -6. Òåïåðü çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé: 2x = 4; 2x = -6.
Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì õ = 2. Âòîðîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé, òàê êàê 2x > 0 ïðè ëþáûõ
çíà÷åíèÿõ õ. Èòàê, õ = 2.n
157. Ëîãàðèôìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ. Ëîãàðèôìè÷åñêèìè íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿ âèäà loga f (x) =
= log a g (x), ãäå a > 0 è a ¹ 1, è óðàâíåíèÿ, ñâîäÿùèåñÿ ê óêàçàííûì.
Èìåþòñÿ äâà îñíîâíûõ ìåòîäà ðåøåíèÿ ëîãàðèôìè÷åñêèõ óðàâíåíèé: ìåòîä óðàâíèâàíèÿ ëîãàðèôìèðóåìûõ âûðàæåíèé, ò. å. ïðåîáðàçîâàíèÿ
óðàâíåíèÿ ê âèäó loga f (x) = log a g (x), à çàòåì ê
âèäó f (x) = g (x); ìåòîä ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
lg (x + 4) + lg (2x + 3) = lg (1 - 2x).
q Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî ñóììà ëîãàðèôìîâ
ðàâíà ëîãàðèôìó ïðîèçâåäåíèÿ (ñì. ï. 75), ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå:
lg ((x + 4) (2x + 3)) = lg (1 - 2x);
205
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
2x2 - 3x + 2 = 4 ïîêàçûâàåò, ÷òî îáà ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óêàçàííîãî, à çíà÷èò, è èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ.n
156. Ïîêàçàòåëüíûå óðàâíåíèÿ. Ïîêàçàòåëüíûìè íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿ âèäà a
f ( x)
=a
g ( x)
, ãäå
a > 0, a ¹ 1, è óðàâíåíèÿ, ñâîäÿùèåñÿ ê óêàçàííûì.
Îñíîâîé ðåøåíèÿ ïîêàçàòåëüíûõ óðàâíåíèé ñëóæèò ñëåäóþùåå ñâîéñòâî: ïîêàçàòåëüíîå óðàâíåíèå
a f (x) = a g (x) ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ f (x) = g (x).
Èìåþòñÿ äâà îñíîâíûõ ìåòîäà ðåøåíèÿ ïîêàçàòåëüíûõ óðàâíåíèé: ìåòîä óðàâíèâàíèÿ ïîêàçàòåëåé, ò. å. ïðåîáðàçîâàíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ ê âèäó
f (x)
g (x)
a
, à çàòåì ê âèäó f (x) = g (x); ìåòîä ââå=a
äåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
0,2x - 0,5
5
= 5 × 0,04x -1.
q Ïðèâåäåì âñå ñòåïåíè ê îäíîìó îñíîâàíèþ 0,2.
Ïîëó÷èì óðàâíåíèå (0,2) x - 0,5 × (0,2)0,5 = (0,2) -1 ´
´ ((0,2)2 )x -1, êîòîðîå ïðåîáðàçóåì ê âèäó (0,2) x =
= (0,2)2x -3 . Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ õ = 2õ – 3, îòêóäà õ = 3. n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
4x + 2x +1 - 24 = 0.
(1)
q Ïðèìåíèì ìåòîä ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé.
204
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
Òàê êàê 4x = (2x )2 , 2x +1 = 2 × 2x , òî
ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
óðàâíåíèå (1)
(2x )2 + 2 × 2x - 24 = 0.
(2)
2õ
Ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ, ïîëàãàÿ
= ó. Òîãäà
óðàâíåíèå (2) ñâåäåòñÿ ê êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ
y 2 + 2y - 24 = 0, êîðíÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ y1 = 4,
y2 = -6. Òåïåðü çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé: 2x = 4; 2x = -6.
Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì õ = 2. Âòîðîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé, òàê êàê 2x > 0 ïðè ëþáûõ
çíà÷åíèÿõ õ. Èòàê, õ = 2.n
157. Ëîãàðèôìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ. Ëîãàðèôìè÷åñêèìè íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿ âèäà loga f (x) =
= log a g (x), ãäå a > 0 è a ¹ 1, è óðàâíåíèÿ, ñâîäÿùèåñÿ ê óêàçàííûì.
Èìåþòñÿ äâà îñíîâíûõ ìåòîäà ðåøåíèÿ ëîãàðèôìè÷åñêèõ óðàâíåíèé: ìåòîä óðàâíèâàíèÿ ëîãàðèôìèðóåìûõ âûðàæåíèé, ò. å. ïðåîáðàçîâàíèÿ
óðàâíåíèÿ ê âèäó loga f (x) = log a g (x), à çàòåì ê
âèäó f (x) = g (x); ìåòîä ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
lg (x + 4) + lg (2x + 3) = lg (1 - 2x).
q Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî ñóììà ëîãàðèôìîâ
ðàâíà ëîãàðèôìó ïðîèçâåäåíèÿ (ñì. ï. 75), ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå:
lg ((x + 4) (2x + 3)) = lg (1 - 2x);
205
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
2x2 + 13x + 11 = 0.
Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì x1 = -1, x2 =
= -5,5. Îñòàåòñÿ ñäåëàòü ïðîâåðêó. Åå ìîæíî âûïîëíèòü ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû íåðàâåíñòâ x + 4 > 0,
2x + 3 > 0, 1 - 2x > 0. Ïîäñòàâèâ ïîî÷åðåäíî çíà÷åíèÿ –1 è –5,5 â ýòè íåðàâåíñòâà, óáåæäàåìñÿ, ÷òî –1
óäîâëåòâîðÿåò âñåì íåðàâåíñòâàì, à –5,5 íåò, — íàïðèìåð, ïðè ýòîì çíà÷åíèè íå âûïîëíÿåòñÿ ïåðâîå
íåðàâåíñòâî. Çíà÷èò, –5,5 — ïîñòîðîííèé êîðåíü.
Èòàê, õ = –1. n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
7
.
log2 (0,5x)
(1)
q Òàê êàê log2 (0,5x) = log2 x + log2 0,5 = log2 x - 1,
òî óðàâíåíèå (1) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
log 22 x + log 2 x + 1 =
7
.
log 2 x - 1
(2)
Ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ, ïîëàãàÿ log2 x = y.
Òîãäà óðàâíåíèå (2) ïðèìåò âèä y 2 + y + 1 =
2
3
7
è
y -1
3
äàëåå (y - 1) (y + y + 1) = 7, y - 1 = 7, y = 8, y = 2.
Íî y = log2 x, ïîýòîìó èç óðàâíåíèÿ log2 x = 2 íàõîäèì õ = 4. n
206
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
158. Ïîêàçàòåëüíî-ëîãàðèôìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
(x + 4) (2x + 3) = 1 - 2x;
log22 x + log2 x + 1 =
ÀËÃÅÁÐÀ
x1- lg x = 0,01.
(1)
q Íàéäåì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ: x > 0.
 ýòîé îáëàñòè âûðàæåíèÿ, âõîäÿùèå â îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (1), ïðèíèìàþò òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ; ïîýòîìó, ïðîëîãàðèôìèðîâàâ îáå åãî ÷àñòè ïî
îñíîâàíèþ 10, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ
lg x1- lg x = lg 0,01,
ðàâíîñèëüíîìó (1). Äàëåå èìååì (1 - lg x) lg x = -2.
Ïîëàãàÿ u = lg x, ïîëó÷èì (1 - u) u = -2, îòêóäà
u1 = -1, u2 = 2. Îñòàåòñÿ ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé: lg x = -1; lg x = 2. Èç ýòîé ñîâîêóïíîñòè íàõîäèì x1 = 0,1, x2 = 100 — êîðíè óðàâíåíèÿ (1). n
Çäåñü ïðèìåíåí ìåòîä ëîãàðèôìèðîâàíèÿ, çàêëþ÷àþùèéñÿ â ïåðåõîäå îò óðàâíåíèÿ f (x) = g (x) ê
óðàâíåíèþ log a f (x) = log a g (x).
159. Ïðîñòåéøèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ.
Óðàâíåíèå sin x = a,
ãäå a £ 1, èìååò áåñêîíå÷íî
ìíîãî êîðíåé. Íàïðèìåð, óðàâíåíèþ sin x =
ëåòâîðÿþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: x1 =
1
óäîâ2
5p
p
, x2 =
,
6
6
207
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
2x2 + 13x + 11 = 0.
Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì x1 = -1, x2 =
= -5,5. Îñòàåòñÿ ñäåëàòü ïðîâåðêó. Åå ìîæíî âûïîëíèòü ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû íåðàâåíñòâ x + 4 > 0,
2x + 3 > 0, 1 - 2x > 0. Ïîäñòàâèâ ïîî÷åðåäíî çíà÷åíèÿ –1 è –5,5 â ýòè íåðàâåíñòâà, óáåæäàåìñÿ, ÷òî –1
óäîâëåòâîðÿåò âñåì íåðàâåíñòâàì, à –5,5 íåò, — íàïðèìåð, ïðè ýòîì çíà÷åíèè íå âûïîëíÿåòñÿ ïåðâîå
íåðàâåíñòâî. Çíà÷èò, –5,5 — ïîñòîðîííèé êîðåíü.
Èòàê, õ = –1. n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
7
.
log2 (0,5x)
(1)
q Òàê êàê log2 (0,5x) = log2 x + log2 0,5 = log2 x - 1,
òî óðàâíåíèå (1) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
log 22 x + log 2 x + 1 =
7
.
log 2 x - 1
(2)
Ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ, ïîëàãàÿ log2 x = y.
Òîãäà óðàâíåíèå (2) ïðèìåò âèä y 2 + y + 1 =
2
3
7
è
y -1
3
äàëåå (y - 1) (y + y + 1) = 7, y - 1 = 7, y = 8, y = 2.
Íî y = log2 x, ïîýòîìó èç óðàâíåíèÿ log2 x = 2 íàõîäèì õ = 4. n
206
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
158. Ïîêàçàòåëüíî-ëîãàðèôìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
(x + 4) (2x + 3) = 1 - 2x;
log22 x + log2 x + 1 =
ÀËÃÅÁÐÀ
x1- lg x = 0,01.
(1)
q Íàéäåì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ: x > 0.
 ýòîé îáëàñòè âûðàæåíèÿ, âõîäÿùèå â îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (1), ïðèíèìàþò òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ; ïîýòîìó, ïðîëîãàðèôìèðîâàâ îáå åãî ÷àñòè ïî
îñíîâàíèþ 10, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ
lg x1- lg x = lg 0,01,
ðàâíîñèëüíîìó (1). Äàëåå èìååì (1 - lg x) lg x = -2.
Ïîëàãàÿ u = lg x, ïîëó÷èì (1 - u) u = -2, îòêóäà
u1 = -1, u2 = 2. Îñòàåòñÿ ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé: lg x = -1; lg x = 2. Èç ýòîé ñîâîêóïíîñòè íàõîäèì x1 = 0,1, x2 = 100 — êîðíè óðàâíåíèÿ (1). n
Çäåñü ïðèìåíåí ìåòîä ëîãàðèôìèðîâàíèÿ, çàêëþ÷àþùèéñÿ â ïåðåõîäå îò óðàâíåíèÿ f (x) = g (x) ê
óðàâíåíèþ log a f (x) = log a g (x).
159. Ïðîñòåéøèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ.
Óðàâíåíèå sin x = a,
ãäå a £ 1, èìååò áåñêîíå÷íî
ìíîãî êîðíåé. Íàïðèìåð, óðàâíåíèþ sin x =
ëåòâîðÿþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: x1 =
1
óäîâ2
5p
p
, x2 =
,
6
6
207
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
p
p
+ 2p, x4 = - 2p è. ò. ä. Îáùàÿ ôîðìóëà, ïî
6
6
êîòîðîé íàõîäÿòñÿ âñå êîðíè óðàâíåíèÿ sin x = a, ãäå
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
1 p
=
(ñì. ï. 129), òî îêîí÷àòåëüíî
2 6
x3 =
Òàê êàê arcsin
a £ 1, òàêîâà:
ïîëó÷àåì x = (-1)n
x = (-1)n arcsin a + pn, n Î Z.
(1)
Çäåñü n ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáûå öåëûå çíà÷åíèÿ,
êàæäîìó èç íèõ ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííûé êîðåíü
óðàâíåíèÿ.
Àíàëîãè÷íî, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ cos x = a, ãäå
a £ 1, âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
x = ± arccos a + 2pn, n Î Z,
(2)
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ tg x = a — ôîðìóëîé
x = arctg a + pn, n Î Z,
(3)
à ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ctg x = a — ôîðìóëîé
x = arcctg a + pn, n Î Z.
(4)
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
à) sin x =
2
1
pö
æ
; â) tg ç x - ÷ = - 3.
; á) cos 3x = 2
2
6ø
è
q à) Ïî ôîðìóëå (1) íàõîäèì
x = (-1)n arcsin
208
1
+ pn, n Î Z.
2
p
+ pn, n Î Z.
6
á) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), èìååì
æ
2 ö÷
3x = ± arccos ç + 2pn, n Î Z.
ç 2 ÷
è
ø
æ
2
2 ö÷
p 3p
= p - arccos
= p- =
Íî arccos ç (ñì.
ç 2 ÷
2
4
4
è
ø
p
3p
ï. 129), ïîýòîìó 3x = ±
+ 2pn, ò. å. x = ± +
4
4
2pn
+
, n Î Z.
3
â) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (3), èìååì
p
x - = arctg (- 3 ) + pn, n Î Z.
6
p
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî arctg (- 3 ) = - arctg 3 = (ñì.
3
p
p
p
ï. 129), ïîëó÷èì x - = - + pn, ò. å. x = - + pn,
6
3
6
n Î Z. n
Çàìåòèì, ÷òî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ óäîáíåå ïîëüçîâàòüñÿ ÷àñòíûìè ôîðìóëàìè (âî âñåõ ôîðìóëàõ
n Î Z ):
p
1) sin x = 0, x = pn; 2) sin x = 1, x = + 2pn;
2
209
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
p
p
+ 2p, x4 = - 2p è. ò. ä. Îáùàÿ ôîðìóëà, ïî
6
6
êîòîðîé íàõîäÿòñÿ âñå êîðíè óðàâíåíèÿ sin x = a, ãäå
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
1 p
=
(ñì. ï. 129), òî îêîí÷àòåëüíî
2 6
x3 =
Òàê êàê arcsin
a £ 1, òàêîâà:
ïîëó÷àåì x = (-1)n
x = (-1)n arcsin a + pn, n Î Z.
(1)
Çäåñü n ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáûå öåëûå çíà÷åíèÿ,
êàæäîìó èç íèõ ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííûé êîðåíü
óðàâíåíèÿ.
Àíàëîãè÷íî, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ cos x = a, ãäå
a £ 1, âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
x = ± arccos a + 2pn, n Î Z,
(2)
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ tg x = a — ôîðìóëîé
x = arctg a + pn, n Î Z,
(3)
à ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ctg x = a — ôîðìóëîé
x = arcctg a + pn, n Î Z.
(4)
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
à) sin x =
2
1
pö
æ
; â) tg ç x - ÷ = - 3.
; á) cos 3x = 2
2
6ø
è
q à) Ïî ôîðìóëå (1) íàõîäèì
x = (-1)n arcsin
208
1
+ pn, n Î Z.
2
p
+ pn, n Î Z.
6
á) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), èìååì
æ
2 ö÷
3x = ± arccos ç + 2pn, n Î Z.
ç 2 ÷
è
ø
æ
2
2 ö÷
p 3p
= p - arccos
= p- =
Íî arccos ç (ñì.
ç 2 ÷
2
4
4
è
ø
p
3p
ï. 129), ïîýòîìó 3x = ±
+ 2pn, ò. å. x = ± +
4
4
2pn
+
, n Î Z.
3
â) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (3), èìååì
p
x - = arctg (- 3 ) + pn, n Î Z.
6
p
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî arctg (- 3 ) = - arctg 3 = (ñì.
3
p
p
p
ï. 129), ïîëó÷èì x - = - + pn, ò. å. x = - + pn,
6
3
6
n Î Z. n
Çàìåòèì, ÷òî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ óäîáíåå ïîëüçîâàòüñÿ ÷àñòíûìè ôîðìóëàìè (âî âñåõ ôîðìóëàõ
n Î Z ):
p
1) sin x = 0, x = pn; 2) sin x = 1, x = + 2pn;
2
209
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
3) sin x = -1, x = -
p
+ 2pn;
2
p
+ pn;
2
5) cos x = 1, x = 2pn;
4) cos x = 0, x =
6) cos x = -1, x = p + 2pn;
7) tg x = 0, x = pn;
p
8) ctg x = 0, x = + pn.
2
160. Ðåøåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé
ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè. Åñëè òðèãîíîìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðèâåäåíî ê âèäó f (x) = 0,
ãäå åãî ëåâàÿ ÷àñòü ðàçëàãàåòñÿ íà ìíîæèòåëè, òî
ñëåäóåò ïðèðàâíÿòü íóëþ âñå ýòè ìíîæèòåëè.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé, ïðè÷åì
êîðíè êàæäîãî èç íèõ îêàæóòñÿ êîðíÿìè äàííîãî
óðàâíåíèÿ, åñëè îíè âõîäÿò â îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ
êàæäîãî èç ìíîæèòåëåé ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ
f (x) = 0.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
cos x (tg x - 1) = 0.
(1)
q Äàííîå óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé: cos x = 0; tg x = 1, îòêóäà íàõîäèì x =
p
p
= + pk, x = + pn; k, n Î Z. Îäíàêî çíà÷åíèÿ x =
2
4
p
= + pk — ïîñòîðîííèå êîðíè äëÿ óðàâíåíèÿ (1),
2
ïîñêîëüêó ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ íå îïðåäåëåí tg x.
p
Èòàê, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) èìååò âèä x = + pn,
4
n Î Z. n
210
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
sin 5x + sin x + 2 sin2 x = 1.
q Ïåðåíåñåì 1 â ëåâóþ ÷àñòü è, âûïîëíèâ ïðåîáðàçîâàíèÿ ëåâîé ÷àñòè, ðàçëîæèì åå íà ìíîæèòåëè.
Ïðèìåíèì ê sin 5x + sin x ôîðìóëó ñóììû ñèíóñîâ
(ñì. ï. 85) è âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî 2 sin2 x =
= 1 - cos 2x (ñì. ï. 83). Òîãäà óðàâíåíèå ïðèìåò âèä
2 sin 3x cos 2x + (1 - cos 2x) - 1 = 0;
cos 2x(2 sin 3x - 1) = 0.
Òåïåðü çàäà÷à ñâåëàñü ê ðåøåíèþ ñîâîêóïíîñòè
óðàâíåíèé: cos 2x = 0; 2 sin 3x - 1 = 0.
p
Èç óðàâíåíèÿ cos 2x = 0 íàõîäèì 2x = + pk,
2
p pk
, k Î Z.
ò. å. x = +
4
2
1
Èç óðàâíåíèÿ 2 sin 3x - 1 = 0 íàõîäèì sin 3x = ,
2
1
1
p
îòêóäà 3x = (-1)n arcsin + pn; òàê êàê arcsin = ,
2
2 6
òî
p
p
pn
3x = (-1)n + pn, x = (-1)n
+
, n Î Z.
6
18
3
Èòàê, ïîëó÷àåì îòâåò:
x=
p
pn
p pk
+
+
; õ = ( -1) n
; k, n Î Z. n
4
2
18
3
211
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
3) sin x = -1, x = -
p
+ 2pn;
2
p
+ pn;
2
5) cos x = 1, x = 2pn;
4) cos x = 0, x =
6) cos x = -1, x = p + 2pn;
7) tg x = 0, x = pn;
p
8) ctg x = 0, x = + pn.
2
160. Ðåøåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé
ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè. Åñëè òðèãîíîìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðèâåäåíî ê âèäó f (x) = 0,
ãäå åãî ëåâàÿ ÷àñòü ðàçëàãàåòñÿ íà ìíîæèòåëè, òî
ñëåäóåò ïðèðàâíÿòü íóëþ âñå ýòè ìíîæèòåëè.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé, ïðè÷åì
êîðíè êàæäîãî èç íèõ îêàæóòñÿ êîðíÿìè äàííîãî
óðàâíåíèÿ, åñëè îíè âõîäÿò â îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ
êàæäîãî èç ìíîæèòåëåé ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ
f (x) = 0.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
cos x (tg x - 1) = 0.
(1)
q Äàííîå óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé: cos x = 0; tg x = 1, îòêóäà íàõîäèì x =
p
p
= + pk, x = + pn; k, n Î Z. Îäíàêî çíà÷åíèÿ x =
2
4
p
= + pk — ïîñòîðîííèå êîðíè äëÿ óðàâíåíèÿ (1),
2
ïîñêîëüêó ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ íå îïðåäåëåí tg x.
p
Èòàê, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) èìååò âèä x = + pn,
4
n Î Z. n
210
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
sin 5x + sin x + 2 sin2 x = 1.
q Ïåðåíåñåì 1 â ëåâóþ ÷àñòü è, âûïîëíèâ ïðåîáðàçîâàíèÿ ëåâîé ÷àñòè, ðàçëîæèì åå íà ìíîæèòåëè.
Ïðèìåíèì ê sin 5x + sin x ôîðìóëó ñóììû ñèíóñîâ
(ñì. ï. 85) è âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî 2 sin2 x =
= 1 - cos 2x (ñì. ï. 83). Òîãäà óðàâíåíèå ïðèìåò âèä
2 sin 3x cos 2x + (1 - cos 2x) - 1 = 0;
cos 2x(2 sin 3x - 1) = 0.
Òåïåðü çàäà÷à ñâåëàñü ê ðåøåíèþ ñîâîêóïíîñòè
óðàâíåíèé: cos 2x = 0; 2 sin 3x - 1 = 0.
p
Èç óðàâíåíèÿ cos 2x = 0 íàõîäèì 2x = + pk,
2
p pk
, k Î Z.
ò. å. x = +
4
2
1
Èç óðàâíåíèÿ 2 sin 3x - 1 = 0 íàõîäèì sin 3x = ,
2
1
1
p
îòêóäà 3x = (-1)n arcsin + pn; òàê êàê arcsin = ,
2
2 6
òî
p
p
pn
3x = (-1)n + pn, x = (-1)n
+
, n Î Z.
6
18
3
Èòàê, ïîëó÷àåì îòâåò:
x=
p
pn
p pk
+
+
; õ = ( -1) n
; k, n Î Z. n
4
2
18
3
211
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
161. Ðåøåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé
ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé. Ñóòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñâåäåíèè òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ ê àëãåáðàè÷åñêîìó.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî sin x, åñëè
cos x âõîäèò â óðàâíåíèå ëèøü â ÷åòíûõ ñòåïåíÿõ;
2 cos2 x + 14 cos x = 3 sin 2 x.
àíàëîãè÷íî, çàìåíîé sin2 x íà 1 - cos 2 x îíî ñâîäèòñÿ ê àëãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî cos x,
åñëè sin x âõîäèò â óðàâíåíèå ëèøü â ÷åòíûõ ñòåïåíÿõ.
q Òàê êàê sin2 x = 1 - cos2 x, òî óðàâíåíèå ìîæíî
ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
cos 4 x + 3 sin x - sin 4 x - 2 - 0.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
2 cos2 x + 14 cos x - 3 (1 - cos2 x) = 0,
q Òàê êàê cos x âõîäèò â óðàâíåíèå ëèøü â
÷åòâåðòîé ñòåïåíè, òî, ñîãëàñíî óêàçàííîìó ïðà-
5 cos2 x + 14 cos x - 3 = 0.
Ïîëàãàÿ cos x = y, ïîëó÷èì êâàäðàòíîå óðàâíå2
íèå 5y + 14y - 3 = 0. Ðåøèâ åãî íàõîäèì y1 = 0,2,
y2 = -3. Çíà÷èò, ëèáî cos x = 0,2, îòêóäà x = ä arccos
0,2 + 2pn, ëèáî cos x = -3 — ýòî óðàâíåíèå íå èìååò
ðåøåíèé,
òàê
êàê
cos x £ 1.
Èòàê,
x=
= ± arccos 0,2 + 2pn, n Î Z. n
Èíîãäà ìîæíî óêàçàòü ïðàâèëî, îáëåã÷àþùåå âûáîð íîâîé ïåðåìåííîé â òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèÿõ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç R (sin x, cos x) ðàöèîíàëüíóþ
ôóíêöèþ îò sin x è cos x , ò. å. ôóíêöèþ, ïîëó÷åííóþ
èç sin x è cos x è ïîñòîÿííûõ âåëè÷èí ñ ïîìîùüþ
îïåðàöèé ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå âèäà R (sin x, cos x) = 0. Òàêîå óðàâíåíèå çàìåíîé cos2 x íà 1 - sin2 x ñâîäèòñÿ ê àë212
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
âèëó, çàìåíèì cos2 x íà 1 - sin2 x, ò. å. cos 4 x íà
(1 - sin2 x)2 . Òîãäà äàííîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä
(1 - sin2 x)2 + 3 sin x - sin4 x - 2 = 0.
Ïîëàãàÿ sin x = y, ïðèõîäèì ê àëãåáðàè÷åñêîìó
óðàâíåíèþ (1 - y 2 )2 + 3y - y 4 - 2 = 0, ò. å. 2y2 - 3y +
+1 = 0, îòêóäà y1 = 1, y2 = 0,5. Íàêîíåö, ðåøèâ ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé sin x = 1, sin x = 0,5, ïîëó÷àåì
x=
p
p
+ pk, x = ( -1) n + pn; k, n Î Z. n
2
6
162. Îäíîðîäíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ.  ðÿäå ñëó÷àåâ òðèãîíîìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå âèäà R (sin x, cos x) = 0 ìîæíî ñâåñòè ê àëãåáðàè÷åñêîìó îòíîñèòåëüíî tg x. Òàêèå óðàâíåíèÿ
õàðàêòåðèçóþòñÿ òåì, ÷òî îíè íå ìåíÿþòñÿ ïðè îä213
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
161. Ðåøåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé
ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé. Ñóòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñâåäåíèè òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ ê àëãåáðàè÷åñêîìó.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî sin x, åñëè
cos x âõîäèò â óðàâíåíèå ëèøü â ÷åòíûõ ñòåïåíÿõ;
2 cos2 x + 14 cos x = 3 sin 2 x.
àíàëîãè÷íî, çàìåíîé sin2 x íà 1 - cos 2 x îíî ñâîäèòñÿ ê àëãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî cos x,
åñëè sin x âõîäèò â óðàâíåíèå ëèøü â ÷åòíûõ ñòåïåíÿõ.
q Òàê êàê sin2 x = 1 - cos2 x, òî óðàâíåíèå ìîæíî
ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
cos 4 x + 3 sin x - sin 4 x - 2 - 0.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
2 cos2 x + 14 cos x - 3 (1 - cos2 x) = 0,
q Òàê êàê cos x âõîäèò â óðàâíåíèå ëèøü â
÷åòâåðòîé ñòåïåíè, òî, ñîãëàñíî óêàçàííîìó ïðà-
5 cos2 x + 14 cos x - 3 = 0.
Ïîëàãàÿ cos x = y, ïîëó÷èì êâàäðàòíîå óðàâíå2
íèå 5y + 14y - 3 = 0. Ðåøèâ åãî íàõîäèì y1 = 0,2,
y2 = -3. Çíà÷èò, ëèáî cos x = 0,2, îòêóäà x = ä arccos
0,2 + 2pn, ëèáî cos x = -3 — ýòî óðàâíåíèå íå èìååò
ðåøåíèé,
òàê
êàê
cos x £ 1.
Èòàê,
x=
= ± arccos 0,2 + 2pn, n Î Z. n
Èíîãäà ìîæíî óêàçàòü ïðàâèëî, îáëåã÷àþùåå âûáîð íîâîé ïåðåìåííîé â òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèÿõ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç R (sin x, cos x) ðàöèîíàëüíóþ
ôóíêöèþ îò sin x è cos x , ò. å. ôóíêöèþ, ïîëó÷åííóþ
èç sin x è cos x è ïîñòîÿííûõ âåëè÷èí ñ ïîìîùüþ
îïåðàöèé ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå âèäà R (sin x, cos x) = 0. Òàêîå óðàâíåíèå çàìåíîé cos2 x íà 1 - sin2 x ñâîäèòñÿ ê àë212
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
âèëó, çàìåíèì cos2 x íà 1 - sin2 x, ò. å. cos 4 x íà
(1 - sin2 x)2 . Òîãäà äàííîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä
(1 - sin2 x)2 + 3 sin x - sin4 x - 2 = 0.
Ïîëàãàÿ sin x = y, ïðèõîäèì ê àëãåáðàè÷åñêîìó
óðàâíåíèþ (1 - y 2 )2 + 3y - y 4 - 2 = 0, ò. å. 2y2 - 3y +
+1 = 0, îòêóäà y1 = 1, y2 = 0,5. Íàêîíåö, ðåøèâ ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé sin x = 1, sin x = 0,5, ïîëó÷àåì
x=
p
p
+ pk, x = ( -1) n + pn; k, n Î Z. n
2
6
162. Îäíîðîäíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ.  ðÿäå ñëó÷àåâ òðèãîíîìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå âèäà R (sin x, cos x) = 0 ìîæíî ñâåñòè ê àëãåáðàè÷åñêîìó îòíîñèòåëüíî tg x. Òàêèå óðàâíåíèÿ
õàðàêòåðèçóþòñÿ òåì, ÷òî îíè íå ìåíÿþòñÿ ïðè îä213
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
íîâðåìåííîé çàìåíå sin x íà –sin x è cos x íà –cos x.
Ïðèìåðàìè òàêèõ óðàâíåíèé ÿâëÿþòñÿ îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ:
a sin x + b cos x = 0;
2
2
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
5 sin2 x + 3 sin x cos x + 6 cos2 x = 5.
q Èìååì
5 sin2 x + 3 sin x cos x + 6 cos2 x = 5 (sin2 x + cos2 x);
a sin x + b sin x cos x + c cos x = 0
(ñîîòâåòñòâåííî ïåðâîé è âòîðîé ñòåïåíè).
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà a ¹ 0. Ðàçäåëèì îáå
÷àñòè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íà cos x, à îáå ÷àñòè âòîðî-
ò. å. à = 0. Çäåñü äåëèòü îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà cos2 x
ãî — íà cos2 x.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ,
àëãåáðàè÷åñêèå îòíîñèòåëüíî tg x :
íåëüçÿ, òàê êàê òå çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ cos 2 x =
= 0, óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (1), à ïîòîìó äåëåíèå
a tg x + b = 0; a tg2 x + b tg x + c = 0.
íà cos2 x ïðèâåäåò ê ïîòåðå êîðíåé. Ïîñòóïèì èíà÷å: ðàçëîæèâ ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1) íà ìíîæèòå-
Çàìåòèì, ÷òî ïðè a ¹ 0 îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ
íå óäîâëåòâîðÿþò òå çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ
cos x = 0. Ïîýòîìó äåëåíèå íà cos x (èëè cos2 x )
îáåèõ ÷àñòåé îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ â ñëó÷àå a ¹ 0
íå ïðèâîäèò ê ïîòåðå êîðíåé.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
sin 2 x + 2 sin x cos x - 3 cos2 x = 0.
q Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà cos2 x, ïîëó2
÷èì tg x + 2 tg x - 3 = 0. Äàëåå ïîëîæèì u = tg x,
òîãäà ïðèõîäèì â êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ u 2 + 2u -3 = 0, îòêóäà u1 = -3, u2 = 1. Íàêîíåö, ðåøèâ ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé tg x = -3, tg x = 1, íàõîäèì
p
x = arctg (-3) + pk, x = + pn; k, n Î Z. n
4
214
3 sin x cos x + cos2 x = 0.
(1)
 óðàâíåíèè (1) îòñóòñòâóåò ÷ëåí âèäà a sin2 x,
ëè, ïîëó÷èì cos x ( 3 sin x + cos x) = 0.
Òåïåðü çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñîâîêóïíîñòè
óðàâíåíèé: cos x = 0;
3 sin x + cos x = 0. Èç ïåðâîãî
p
óðàâíåíèÿ íàõîäèì x = + pk, k Î Z. Ðàçäåëèâ îáå
2
ïîëó÷èì
3 sin x + cos x = 0
íà cos x,
1
, x=
3 t g x + 1 = 0, îòêóäà tg x = 3
÷àñòè óðàâíåíèÿ
æ 1 ö
p
÷ + pn, ò. å. x = - + pn, n Î Z. Èòàê,
= arctg çç ÷
6
3ø
è
ïîëó÷àåì äâå ñåðèè ðåøåíèé:
x=
p
p
+ pk, x = - + pn; k, n Î Z. n
2
6
215
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
íîâðåìåííîé çàìåíå sin x íà –sin x è cos x íà –cos x.
Ïðèìåðàìè òàêèõ óðàâíåíèé ÿâëÿþòñÿ îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ:
a sin x + b cos x = 0;
2
2
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
5 sin2 x + 3 sin x cos x + 6 cos2 x = 5.
q Èìååì
5 sin2 x + 3 sin x cos x + 6 cos2 x = 5 (sin2 x + cos2 x);
a sin x + b sin x cos x + c cos x = 0
(ñîîòâåòñòâåííî ïåðâîé è âòîðîé ñòåïåíè).
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà a ¹ 0. Ðàçäåëèì îáå
÷àñòè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íà cos x, à îáå ÷àñòè âòîðî-
ò. å. à = 0. Çäåñü äåëèòü îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà cos2 x
ãî — íà cos2 x.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ,
àëãåáðàè÷åñêèå îòíîñèòåëüíî tg x :
íåëüçÿ, òàê êàê òå çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ cos 2 x =
= 0, óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (1), à ïîòîìó äåëåíèå
a tg x + b = 0; a tg2 x + b tg x + c = 0.
íà cos2 x ïðèâåäåò ê ïîòåðå êîðíåé. Ïîñòóïèì èíà÷å: ðàçëîæèâ ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1) íà ìíîæèòå-
Çàìåòèì, ÷òî ïðè a ¹ 0 îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ
íå óäîâëåòâîðÿþò òå çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ
cos x = 0. Ïîýòîìó äåëåíèå íà cos x (èëè cos2 x )
îáåèõ ÷àñòåé îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ â ñëó÷àå a ¹ 0
íå ïðèâîäèò ê ïîòåðå êîðíåé.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
sin 2 x + 2 sin x cos x - 3 cos2 x = 0.
q Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà cos2 x, ïîëó2
÷èì tg x + 2 tg x - 3 = 0. Äàëåå ïîëîæèì u = tg x,
òîãäà ïðèõîäèì â êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ u 2 + 2u -3 = 0, îòêóäà u1 = -3, u2 = 1. Íàêîíåö, ðåøèâ ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé tg x = -3, tg x = 1, íàõîäèì
p
x = arctg (-3) + pk, x = + pn; k, n Î Z. n
4
214
3 sin x cos x + cos2 x = 0.
(1)
 óðàâíåíèè (1) îòñóòñòâóåò ÷ëåí âèäà a sin2 x,
ëè, ïîëó÷èì cos x ( 3 sin x + cos x) = 0.
Òåïåðü çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñîâîêóïíîñòè
óðàâíåíèé: cos x = 0;
3 sin x + cos x = 0. Èç ïåðâîãî
p
óðàâíåíèÿ íàõîäèì x = + pk, k Î Z. Ðàçäåëèâ îáå
2
ïîëó÷èì
3 sin x + cos x = 0
íà cos x,
1
, x=
3 t g x + 1 = 0, îòêóäà tg x = 3
÷àñòè óðàâíåíèÿ
æ 1 ö
p
÷ + pn, ò. å. x = - + pn, n Î Z. Èòàê,
= arctg çç ÷
6
3ø
è
ïîëó÷àåì äâå ñåðèè ðåøåíèé:
x=
p
p
+ pk, x = - + pn; k, n Î Z. n
2
6
215
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
163. Óíèâåðñàëüíàÿ ïîäñòàíîâêà. Èçâåñòíî (ñì.
ï. 84), ÷òî sin x è cos x âûðàæàþòñÿ ðàöèîíàëüíî
÷åðåç tg
x
, à èìåííî:
2
x
2
sin x =
, cos x =
,
x
x
1 + tg 2
1 + tg 2
2
2
2 tg
x
2
1 - tg 2
(1)
x
= u íàçûâàåòñÿ
2
óíèâåðñàëüíîé. Åå ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè ðåøåíèè ëþáîãî óðàâíåíèÿ âèäà R (sin x, cos x) = 0.
Ïîñêîëüêó èñïîëüçîâàíèå óíèâåðñàëüíîé ïîäñòàíîâêè âîçìîæíî ëèøü ïðè x ¹ p + 2pn, íóæíî ïðîâå-
ãäå x ¹ p + 2pn. Ïîäñòàíîâêà tg
ðÿòü, íå ÿâëÿþòñÿ ëè ÷èñëà âèäà x = p + 2pn ðåøåíèÿìè çàäàííîãî óðàâíåíèÿ.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
(2)
3 sin x + 4 cos x = 5.
x
q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (1) è ïîëàãàÿ tg = u, ïðè2
äåì ê ðàöèîíàëüíîìó óðàâíåíèþ
3×
2u
1 - u2
= 5.
1 + u2
1
Ðåøèâ åãî, íàõîäèì u = . Äàëåå, èç óðàâíåíèÿ
3
tg
1 + u2
+ 4×
x 1
x
1
ñëåäóåò, ÷òî
=
= arctg + pn, ò. å. x =
2 3
2
3
216
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
1
+ 2pn, n Î Z. Ïðîâåðêîé óáåæäàåìñÿ, ÷òî
3
çíà÷åíèÿ x = p + 2pn íå óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ
1
(2). Èòàê, x = 2 arctg + 2pn, n Î Z. n
3
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
= 2 arctg
3 sin 2x + cos 2x + 1 = 0.
q Âîñïîëüçóåìñÿ óíèâåðñàëüíîé ïîäñòàíîâêîé.
Âûðàçèâ sin 2x è cos 2x ÷åðåç tg x è ïîëàãàÿ tg x =
= u, ïîëó÷èì ðàöèîíàëüíîå óðàâíåíèå
6u
1 + u2
îòêóäà u = -
+
1 - u2
1 + u2
+ 1 = 0,
1
1
. Äàëåå, èç óðàâíåíèÿ tg x = - íàõî3
3
æ 1ö
äèì x = arctg ç - ÷ + pk, k Î Z.
è 3ø
Îäíàêî íóæíî åùå ïðîâåðèòü, íå óäîâëåòâîðÿþò
ëè çàäàííîìó óðàâíåíèþ òå çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ
p
2x = p + 2pn, ò. å. çíà÷åíèÿ x = + pn. Èìååì
2
3 sin (p + 2pn) + cos (p + 2pn) + 1 =
= 3 sin p + cos p + 1 = 3 × 0 - 1 + 1 = 0,
ò. å. çíà÷åíèÿ
p
+ pn òàêæå ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè
2
217
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
163. Óíèâåðñàëüíàÿ ïîäñòàíîâêà. Èçâåñòíî (ñì.
ï. 84), ÷òî sin x è cos x âûðàæàþòñÿ ðàöèîíàëüíî
÷åðåç tg
x
, à èìåííî:
2
x
2
sin x =
, cos x =
,
x
x
1 + tg 2
1 + tg 2
2
2
2 tg
x
2
1 - tg 2
(1)
x
= u íàçûâàåòñÿ
2
óíèâåðñàëüíîé. Åå ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè ðåøåíèè ëþáîãî óðàâíåíèÿ âèäà R (sin x, cos x) = 0.
Ïîñêîëüêó èñïîëüçîâàíèå óíèâåðñàëüíîé ïîäñòàíîâêè âîçìîæíî ëèøü ïðè x ¹ p + 2pn, íóæíî ïðîâå-
ãäå x ¹ p + 2pn. Ïîäñòàíîâêà tg
ðÿòü, íå ÿâëÿþòñÿ ëè ÷èñëà âèäà x = p + 2pn ðåøåíèÿìè çàäàííîãî óðàâíåíèÿ.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
(2)
3 sin x + 4 cos x = 5.
x
q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (1) è ïîëàãàÿ tg = u, ïðè2
äåì ê ðàöèîíàëüíîìó óðàâíåíèþ
3×
2u
1 - u2
= 5.
1 + u2
1
Ðåøèâ åãî, íàõîäèì u = . Äàëåå, èç óðàâíåíèÿ
3
tg
1 + u2
+ 4×
x 1
x
1
ñëåäóåò, ÷òî
=
= arctg + pn, ò. å. x =
2 3
2
3
216
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
1
+ 2pn, n Î Z. Ïðîâåðêîé óáåæäàåìñÿ, ÷òî
3
çíà÷åíèÿ x = p + 2pn íå óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ
1
(2). Èòàê, x = 2 arctg + 2pn, n Î Z. n
3
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
= 2 arctg
3 sin 2x + cos 2x + 1 = 0.
q Âîñïîëüçóåìñÿ óíèâåðñàëüíîé ïîäñòàíîâêîé.
Âûðàçèâ sin 2x è cos 2x ÷åðåç tg x è ïîëàãàÿ tg x =
= u, ïîëó÷èì ðàöèîíàëüíîå óðàâíåíèå
6u
1 + u2
îòêóäà u = -
+
1 - u2
1 + u2
+ 1 = 0,
1
1
. Äàëåå, èç óðàâíåíèÿ tg x = - íàõî3
3
æ 1ö
äèì x = arctg ç - ÷ + pk, k Î Z.
è 3ø
Îäíàêî íóæíî åùå ïðîâåðèòü, íå óäîâëåòâîðÿþò
ëè çàäàííîìó óðàâíåíèþ òå çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ
p
2x = p + 2pn, ò. å. çíà÷åíèÿ x = + pn. Èìååì
2
3 sin (p + 2pn) + cos (p + 2pn) + 1 =
= 3 sin p + cos p + 1 = 3 × 0 - 1 + 1 = 0,
ò. å. çíà÷åíèÿ
p
+ pn òàêæå ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè
2
217
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
óðàâíåíèÿ. Èòàê, çàäàííîå óðàâíåíèå èìååò ñëåäóþùèå ðåøåíèÿ:
p
æ 1ö
+ p n; k, n Î Z. n
x = arctg ç - ÷ + pk, x =
3
2
ø
è
a cos x + b sin x íà A cos (x + j), ãäå A = a2 + b2 ,
a
b
(ñì. ï. 87). Â ýòîì
sin j =
, cos j =
a2 + b2
a2 + b2
ñëó÷àå j íàçûâàþò âñïîìîãàòåëüíûì àðãóìåíòîì.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
8 cos x + 15 sin x = 17.
q Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè äàííîãî óðàâíåíèÿ íà
82 + 152 = 17, ïîëó÷èì
2
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
sin (x + j) = 1, îòêóäà x =
p
+ 2pn - j. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
2
8
, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì ðåøåíèå äàí17
íîãî óðàâíåíèÿ:
j = arcsin
164. Ìåòîä ââåäåíèÿ âñïîìîãàòåëüíîãî àðãóìåíòà. Èíîãäà ïðè ðåøåíèè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì çàìåíèòü âûðàæåíèå
8
15
cos x +
sin x = 1.
17
17
ÀËÃÅÁÐÀ
(1)
2
x=
p
8
- arcsin
+ 2pn, n Î Z. n
2
17
165. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèé. Íà ïðàêòèêå äîâîëüíî ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì ãðàôè÷åñêèé ìåòîä ðåøåíèÿ óðàâíåíèé.Îí çàêëþ÷àåòñÿ
â ñëåäóþùåì: äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ f (x) = 0 ñòðîÿò ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) è íàõîäÿò àáñöèññû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñüþ Îõ; ýòè àáñöèññû è
ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óðàâíåíèÿ.
Íàïðèìåð, ãðàôèê ôóíêöèè ó = –0,5õ2 – õ + 4
(ñì. ðèñ. 64) ïåðåñåêàåò îñü Îõ â òî÷êàõ (–4; 0) è
(2; 0), çíà÷èò, óðàâíåíèå –0,5 õ2 – õ + 4 = 0 èìååò äâà
êîðíÿ: õ1 = –4 è õ2 = 2. Ãðàôèê ôóíêöèè ó = õ2 – 4õ +
+ 5 íå ïåðåñåêàåò îñü Îõ, ïîýòîìó óðàâíåíèå õ2 – 4õ +
+ 5 = 0 íå èìååò êîðíåé.
×àñòî óðàâíåíèå f (x) = 0 çàìåíÿþò ðàâíîñèëü-
æ 15 ö
æ 8 ö
Òàê êàê ç
÷ = 1, òî ñóùåñòâóåò òàêîå
÷ +ç
è 17 ø
è 17 ø
íûì g (x) = h(x), ñòðîÿò ãðàôèêè ôóíêöèé y = g (x)
15
8
= cos j. Ïåðåïèøåì óðàâíå= sin j è
17
17
íèå (1) ñëåäóþùèì îáðàçîì: sin j cos x + sin x cos j =
= 1. Íî sin j cos x + sin x cos j = sin (x + j). Çíà÷èò,
ôóíêöèè y = f (x) ) è íàõîäÿò àáñöèññû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ïîñòðîåííûõ ãðàôèêîâ.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè óðàâíåíèå
j , ÷òî
218
è y = h(x) (åñëè ýòî ïðîùå, ÷åì ïîñòðîåíèå ãðàôèêà
x = x-2.
219
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
óðàâíåíèÿ. Èòàê, çàäàííîå óðàâíåíèå èìååò ñëåäóþùèå ðåøåíèÿ:
p
æ 1ö
+ p n; k, n Î Z. n
x = arctg ç - ÷ + pk, x =
3
2
ø
è
a cos x + b sin x íà A cos (x + j), ãäå A = a2 + b2 ,
a
b
(ñì. ï. 87). Â ýòîì
sin j =
, cos j =
a2 + b2
a2 + b2
ñëó÷àå j íàçûâàþò âñïîìîãàòåëüíûì àðãóìåíòîì.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
8 cos x + 15 sin x = 17.
q Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè äàííîãî óðàâíåíèÿ íà
82 + 152 = 17, ïîëó÷èì
2
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
sin (x + j) = 1, îòêóäà x =
p
+ 2pn - j. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
2
8
, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì ðåøåíèå äàí17
íîãî óðàâíåíèÿ:
j = arcsin
164. Ìåòîä ââåäåíèÿ âñïîìîãàòåëüíîãî àðãóìåíòà. Èíîãäà ïðè ðåøåíèè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì çàìåíèòü âûðàæåíèå
8
15
cos x +
sin x = 1.
17
17
ÀËÃÅÁÐÀ
(1)
2
x=
p
8
- arcsin
+ 2pn, n Î Z. n
2
17
165. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèé. Íà ïðàêòèêå äîâîëüíî ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì ãðàôè÷åñêèé ìåòîä ðåøåíèÿ óðàâíåíèé.Îí çàêëþ÷àåòñÿ
â ñëåäóþùåì: äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ f (x) = 0 ñòðîÿò ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) è íàõîäÿò àáñöèññû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñüþ Îõ; ýòè àáñöèññû è
ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óðàâíåíèÿ.
Íàïðèìåð, ãðàôèê ôóíêöèè ó = –0,5õ2 – õ + 4
(ñì. ðèñ. 64) ïåðåñåêàåò îñü Îõ â òî÷êàõ (–4; 0) è
(2; 0), çíà÷èò, óðàâíåíèå –0,5 õ2 – õ + 4 = 0 èìååò äâà
êîðíÿ: õ1 = –4 è õ2 = 2. Ãðàôèê ôóíêöèè ó = õ2 – 4õ +
+ 5 íå ïåðåñåêàåò îñü Îõ, ïîýòîìó óðàâíåíèå õ2 – 4õ +
+ 5 = 0 íå èìååò êîðíåé.
×àñòî óðàâíåíèå f (x) = 0 çàìåíÿþò ðàâíîñèëü-
æ 15 ö
æ 8 ö
Òàê êàê ç
÷ = 1, òî ñóùåñòâóåò òàêîå
÷ +ç
è 17 ø
è 17 ø
íûì g (x) = h(x), ñòðîÿò ãðàôèêè ôóíêöèé y = g (x)
15
8
= cos j. Ïåðåïèøåì óðàâíå= sin j è
17
17
íèå (1) ñëåäóþùèì îáðàçîì: sin j cos x + sin x cos j =
= 1. Íî sin j cos x + sin x cos j = sin (x + j). Çíà÷èò,
ôóíêöèè y = f (x) ) è íàõîäÿò àáñöèññû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ïîñòðîåííûõ ãðàôèêîâ.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè óðàâíåíèå
j , ÷òî
218
è y = h(x) (åñëè ýòî ïðîùå, ÷åì ïîñòðîåíèå ãðàôèêà
x = x-2.
219
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
Òîãäà óðàâíåíèå f (x) = a èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü â ïðîìåæóòêå Õ.
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè óðàâíåíèå
2x = 6 - x.
q Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî õ = 2 — êîðåíü óðàâíåíèÿ. Òàê êàê ôóíêöèÿ ó = 2õ âîçðàñòàåò, à ôóíêöèÿ
ó = 6 – õ óáûâàåò, òî äðóãèõ êîðíåé ýòî óðàâíåíèå
íå èìååò (ðèñ. 72). n
Ðèñ. 71
Ðèñ. 72
q Ïîñòðîèì â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ãðàôèêè
ôóíêöèé y = x è y = x - 2 (ðèñ. 71). Îíè ïåðåñåêàþòñÿ â äâóõ òî÷êàõ ñ àáñöèññàìè x1 = 1, x2 = 4.
Ýòî — äâà êîðíÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ. n
Ñ ãðàôè÷åñêèì ìåòîäîì ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
f(x) = g(x) ñâÿçàíû è íåêîòîðûå ôóíêöèîíàëüíûå
ìåòîäû, îñíîâàííûå íà èñïîëüçîâàíèè ðàçëè÷íûõ
ñâîéñòâ ôóíêöèé f(x) è g(x). Óêàæåì äâå òåîðåìû,
ëåæàùèå â îñíîâå ýòèõ ìåòîäîâ.
Ò.4.7. Åñëè îäíà èç ôóíêöèé f (x), g (x) óáûâàåò, à
äðóãàÿ âîçðàñòàåò â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ f(x) = g(x), òî ýòî óðàâíåíèå ëèáî íå èìååò
êîðíåé, ëèáî èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü.
Ò.4.8. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) âîçðàñòàåò (óáûâàåò)
íà ïðîìåæóòêå Õ, ÷èñëî à — ëþáîå èç çíà÷åíèé,
ïðèíèìàåìûõ ôóíêöèåé f â ýòîì ïðîìåæóòêå.
220
166. Óðàâíåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì. Ïóñòü äàíî
ðàâåíñòâî ñ ïåðåìåííûìè õ, à: f (x; a ) = 0 . Åñëè
ñòàâèòñÿ çàäà÷à äëÿ êàæäîãî äåéñòâèòåëüíîãî çíà÷åíèÿ à ðåøèòü ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî õ, òî
óðàâíåíèå f (x; a) = 0 íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñ
ïåðåìåííîé õ è ïàðàìåòðîì à. Ðåøèòü óðàâíåíèå ñ ïàðàìåòðîì à — ýòî çíà÷èò äëÿ êàæäîãî
çíà÷åíèÿ à íàéòè çíà÷åíèÿ õ, óäîâëåòâîðÿþùèå
ýòîìó óðàâíåíèþ.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
2a(a - 2)x = a - 2.
(1)
q Ðàññìîòðèì ïðåæäå âñåãî òå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, êîòîðûå îáðàùàþò â íóëü êîýôôèöèåíò ïðè
õ (ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà íåâîçìîæíî äåëåíèå îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ íà êîýôôèöèåíò ïðè õ,
à ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà òàêîå äåëåíèå âîçìîæíî). Òàêèìè çíà÷åíèÿìè ÿâëÿþòñÿ à = 0,
à = 2. Ïðè à = 0 óðàâíåíèå (1) ïðèíèìàåò âèä 0 · õ =
= – 2. Ýòî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. Ïðè à = 2
óðàâíåíèå (1) ïðèíèìàåò âèä 0 · õ = 0, åãî êîðíåì
ñëóæèò ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Ïðè a ¹ 0 è
221
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
Òîãäà óðàâíåíèå f (x) = a èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü â ïðîìåæóòêå Õ.
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè óðàâíåíèå
2x = 6 - x.
q Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî õ = 2 — êîðåíü óðàâíåíèÿ. Òàê êàê ôóíêöèÿ ó = 2õ âîçðàñòàåò, à ôóíêöèÿ
ó = 6 – õ óáûâàåò, òî äðóãèõ êîðíåé ýòî óðàâíåíèå
íå èìååò (ðèñ. 72). n
Ðèñ. 71
Ðèñ. 72
q Ïîñòðîèì â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ãðàôèêè
ôóíêöèé y = x è y = x - 2 (ðèñ. 71). Îíè ïåðåñåêàþòñÿ â äâóõ òî÷êàõ ñ àáñöèññàìè x1 = 1, x2 = 4.
Ýòî — äâà êîðíÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ. n
Ñ ãðàôè÷åñêèì ìåòîäîì ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
f(x) = g(x) ñâÿçàíû è íåêîòîðûå ôóíêöèîíàëüíûå
ìåòîäû, îñíîâàííûå íà èñïîëüçîâàíèè ðàçëè÷íûõ
ñâîéñòâ ôóíêöèé f(x) è g(x). Óêàæåì äâå òåîðåìû,
ëåæàùèå â îñíîâå ýòèõ ìåòîäîâ.
Ò.4.7. Åñëè îäíà èç ôóíêöèé f (x), g (x) óáûâàåò, à
äðóãàÿ âîçðàñòàåò â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ f(x) = g(x), òî ýòî óðàâíåíèå ëèáî íå èìååò
êîðíåé, ëèáî èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü.
Ò.4.8. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) âîçðàñòàåò (óáûâàåò)
íà ïðîìåæóòêå Õ, ÷èñëî à — ëþáîå èç çíà÷åíèé,
ïðèíèìàåìûõ ôóíêöèåé f â ýòîì ïðîìåæóòêå.
220
166. Óðàâíåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì. Ïóñòü äàíî
ðàâåíñòâî ñ ïåðåìåííûìè õ, à: f (x; a ) = 0 . Åñëè
ñòàâèòñÿ çàäà÷à äëÿ êàæäîãî äåéñòâèòåëüíîãî çíà÷åíèÿ à ðåøèòü ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî õ, òî
óðàâíåíèå f (x; a) = 0 íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñ
ïåðåìåííîé õ è ïàðàìåòðîì à. Ðåøèòü óðàâíåíèå ñ ïàðàìåòðîì à — ýòî çíà÷èò äëÿ êàæäîãî
çíà÷åíèÿ à íàéòè çíà÷åíèÿ õ, óäîâëåòâîðÿþùèå
ýòîìó óðàâíåíèþ.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
2a(a - 2)x = a - 2.
(1)
q Ðàññìîòðèì ïðåæäå âñåãî òå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, êîòîðûå îáðàùàþò â íóëü êîýôôèöèåíò ïðè
õ (ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà íåâîçìîæíî äåëåíèå îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ íà êîýôôèöèåíò ïðè õ,
à ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà òàêîå äåëåíèå âîçìîæíî). Òàêèìè çíà÷åíèÿìè ÿâëÿþòñÿ à = 0,
à = 2. Ïðè à = 0 óðàâíåíèå (1) ïðèíèìàåò âèä 0 · õ =
= – 2. Ýòî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. Ïðè à = 2
óðàâíåíèå (1) ïðèíèìàåò âèä 0 · õ = 0, åãî êîðíåì
ñëóæèò ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Ïðè a ¹ 0 è
221
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
a ¹ 2 óðàâíåíèå (1) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó
1
a-2
.
x=
, îòêóäà x =
2
a
2a (a - 2)
Èòàê, åñëè à = 0, òî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé;
åñëè à = 2, òî êîðíåì ñëóæèò ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå
(2)
q Âûäåëèì îñîáî çíà÷åíèå ïàðàìåòðà à = 1. Äåëî
â òîì, ÷òî ïðè à = 1 óðàâíåíèå (2) íå ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíûì, à ïðè a ¹ 1 îíî êâàäðàòíîå. Çíà÷èò, ðåøàòü
åãî â êàæäîì èç ýòèõ ñëó÷àåâ íàäî ïî-ñâîåìó. Ïðè
à = 1 óðàâíåíèå (2) ïðèíèìàåò âèä 6õ + 7 = 0, îòêóäà
íàõîäèì õ = –7/6.  ñëó÷àå a ¹ 1 äëÿ êâàäðàòíîãî
óðàâíåíèÿ (2) âûäåëèì òå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè
êîòîðûõ äèñêðèìèíàíò îáðàùàåòñÿ â íóëü. Èìååì
0,25D = 5à + 4. Çíà÷èò, à = –4/5 — çíà÷åíèå ïàðàìåòðà, íà êîòîðîå íàäî îáðàòèòü âíèìàíèå.
Åñëè a < -4 / 5, òî D < 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé; åñëè æå a > -4 / 5 è a ¹ 1, òî
D>0 è x=
- (2a + 1) ± 5a + 4
; íàêîíåö, åñëè a =
a -1
2a + 1
, ò. å. õ = –1/3.
a-1
Èòàê, åñëè a < -4/ 5, òî êîðíåé íåò; åñëè à = 1,
= -4 / 5, òî D = 0 è x = -
222
§ 15. Óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
òî õ = –7/6; åñëè à = –4/5, òî õ = –1/3; åñëè a > -4 / 5
è a ¹ 1, òî x =
- (2a + 1) ± 5a + 4
. n
a -1
§ 15. Óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
1
. n
2a
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
÷èñëî; åñëè a ¹ 0 è a ¹ 2, òî x =
(a - 1)x2 + 2 (2a + 1)x + 4a + 3 = 0.
ÀËÃÅÁÐÀ
167. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè.
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
f (x, y) = 0.
Ïàðà çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, îáðàùàþùàÿ óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè â âåðíîå ðàâåíñòâî, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ. Åñëè äàíî óðàâíåíèå
ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè õ è ó, òî ïðèíÿòî â çàïèñè åãî
ðåøåíèÿ íà ïåðâîå ìåñòî ñòàâèòü çíà÷åíèå ïåðåìåííîé õ, à íà âòîðîå — çíà÷åíèå ó.
Òàê, ïàðû (10; 0), (16; 2), (–2; –4) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ õ – 3ó = 10, à ïàðà (1; 5) åãî ðåøåíèåì íå ÿâëÿåòñÿ.
Ýòî óðàâíåíèå èìååò è äðóãèå ðåøåíèÿ. Äëÿ èõ
îòûñêàíèÿ óäîáíî âûðàçèòü îäíó ïåðåìåííóþ ÷åðåç
äðóãóþ, íàïðèìåð õ ÷åðåç ó, ïîëó÷èâ óðàâíåíèå õ =
= 10 + 3ó. Âûáðàâ ïðîèçâîëüíîå çíà÷åíèå ó, âû÷èñëèì ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå õ. Òàê, åñëè ó = 7, òî
õ = 10 +3 · 7 = 31, çíà÷èò, ïàðà (31; 7) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ.
Óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè íàçûâàþòñÿ
ðàâíîñèëüíûìè, åñëè îíè èìåþò îäíè è òå æå ðåøåíèÿ.
Äëÿ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ñïðàâåäëèâû òåîðåìû 4.1–4.4 î ðàâíîñèëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ óðàâíåíèÿ (ñì. ï. 139).
223
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
a ¹ 2 óðàâíåíèå (1) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó
1
a-2
.
x=
, îòêóäà x =
2
a
2a (a - 2)
Èòàê, åñëè à = 0, òî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé;
åñëè à = 2, òî êîðíåì ñëóæèò ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå
(2)
q Âûäåëèì îñîáî çíà÷åíèå ïàðàìåòðà à = 1. Äåëî
â òîì, ÷òî ïðè à = 1 óðàâíåíèå (2) íå ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíûì, à ïðè a ¹ 1 îíî êâàäðàòíîå. Çíà÷èò, ðåøàòü
åãî â êàæäîì èç ýòèõ ñëó÷àåâ íàäî ïî-ñâîåìó. Ïðè
à = 1 óðàâíåíèå (2) ïðèíèìàåò âèä 6õ + 7 = 0, îòêóäà
íàõîäèì õ = –7/6.  ñëó÷àå a ¹ 1 äëÿ êâàäðàòíîãî
óðàâíåíèÿ (2) âûäåëèì òå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè
êîòîðûõ äèñêðèìèíàíò îáðàùàåòñÿ â íóëü. Èìååì
0,25D = 5à + 4. Çíà÷èò, à = –4/5 — çíà÷åíèå ïàðàìåòðà, íà êîòîðîå íàäî îáðàòèòü âíèìàíèå.
Åñëè a < -4 / 5, òî D < 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé; åñëè æå a > -4 / 5 è a ¹ 1, òî
D>0 è x=
- (2a + 1) ± 5a + 4
; íàêîíåö, åñëè a =
a -1
2a + 1
, ò. å. õ = –1/3.
a-1
Èòàê, åñëè a < -4/ 5, òî êîðíåé íåò; åñëè à = 1,
= -4 / 5, òî D = 0 è x = -
222
§ 15. Óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
òî õ = –7/6; åñëè à = –4/5, òî õ = –1/3; åñëè a > -4 / 5
è a ¹ 1, òî x =
- (2a + 1) ± 5a + 4
. n
a -1
§ 15. Óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
1
. n
2a
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
÷èñëî; åñëè a ¹ 0 è a ¹ 2, òî x =
(a - 1)x2 + 2 (2a + 1)x + 4a + 3 = 0.
ÀËÃÅÁÐÀ
167. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè.
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
f (x, y) = 0.
Ïàðà çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, îáðàùàþùàÿ óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè â âåðíîå ðàâåíñòâî, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ. Åñëè äàíî óðàâíåíèå
ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè õ è ó, òî ïðèíÿòî â çàïèñè åãî
ðåøåíèÿ íà ïåðâîå ìåñòî ñòàâèòü çíà÷åíèå ïåðåìåííîé õ, à íà âòîðîå — çíà÷åíèå ó.
Òàê, ïàðû (10; 0), (16; 2), (–2; –4) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ õ – 3ó = 10, à ïàðà (1; 5) åãî ðåøåíèåì íå ÿâëÿåòñÿ.
Ýòî óðàâíåíèå èìååò è äðóãèå ðåøåíèÿ. Äëÿ èõ
îòûñêàíèÿ óäîáíî âûðàçèòü îäíó ïåðåìåííóþ ÷åðåç
äðóãóþ, íàïðèìåð õ ÷åðåç ó, ïîëó÷èâ óðàâíåíèå õ =
= 10 + 3ó. Âûáðàâ ïðîèçâîëüíîå çíà÷åíèå ó, âû÷èñëèì ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå õ. Òàê, åñëè ó = 7, òî
õ = 10 +3 · 7 = 31, çíà÷èò, ïàðà (31; 7) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ.
Óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè íàçûâàþòñÿ
ðàâíîñèëüíûìè, åñëè îíè èìåþò îäíè è òå æå ðåøåíèÿ.
Äëÿ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ñïðàâåäëèâû òåîðåìû 4.1–4.4 î ðàâíîñèëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ óðàâíåíèÿ (ñì. ï. 139).
223
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
168. Ãðàôèê óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè.
Ïóñòü äàíî óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè f (x, y) =
= 0. Åñëè âñå åãî ðåøåíèÿ èçîáðàçèòü òî÷êàìè íà
êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, òî ïîëó÷èòñÿ íåêîòîðîå ìíîæåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè. Ýòî ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ
ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ f (x, y) = 0.
Íàïðèìåð, ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ ó – õ2 = 0 ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà ó = õ2 (ñì. ðèñ. 15); ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ ó – õ = 0 ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ (áèññåêòðèñà I è III
êîîðäèíàòíûõ óãëîâ; ñì. ðèñ. 14). Ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ x - 1 + y - 2 = 0 ÿâëÿåòñÿ îäíà òî÷êà (1; 2),
òàê êàê êîîðäèíàòû òîëüêî ýòîé òî÷êè óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ.
169. Ëèíåéíîå óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
è åãî ãðàôèê. Óðàâíåíèå âèäà ax + by = c, ãäå õ, ó —
ïåðåìåííûå, à a, b, c — ÷èñëà, íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì; ÷èñëà à è b íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ïðè
ïåðåìåííûõ, ÷èñëî ñ — ñâîáîäíûì ÷ëåíîì.
Ãðàôèêîì ëþáîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ax +
+by = c, ó êîòîðîãî õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ
ïðè ïåðåìåííûõ îòëè÷åí îò íóëÿ, ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ;
åñëè à = 0, òî îíà ïàðàëëåëüíà îñè Îõ, åñëè b = 0, òî
îíà ïàðàëëåëüíà îñè Îó (ðèñ. 73).
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê óðàâíåíèÿ
2õ – 3ó = – 6.
q Ãðàôèêîì ýòîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ.Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðÿìîé äîñòàòî÷íî çíàòü
äâå åå òî÷êè. Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèå 2õ – 3ó = – 6
âìåñòî õ çíà÷åíèå 0, ïîëó÷èì –3ó = –6, îòêóäà ó =
224
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
Ðèñ. 73
Ðèñ. 74
= 2. Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèå 2õ – 3ó = – 6 âìåñòî ó
çíà÷åíèå 0, ïîëó÷èì 2õ = – 6, îòêóäà õ = – 3.
Èòàê, ìû íàøëè äâå òî÷êè ãðàôèêà: (0; 2) è
(–3; 0). Ïðîâåäÿ ÷åðåç íèõ ïðÿìóþ, ïîëó÷èì èñêîìûé ãðàôèê. n
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
170. Ñèñòåìû äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Ðàâíîñèëüíûå ñèñòåìû. Ïóñòü äàíû äâà óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè f (x, y) = 0 è g (x, y) = 0.
Åñëè ñòàâèòñÿ çàäà÷à íàéòè âñå îáùèå ðåøåíèÿ äâóõ
óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè, òî, ãîâîðÿò, ÷òî íàäî
ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé. Êàæäàÿ ïàðà çíà÷åíèé
ïåðåìåííûõ, îáðàùàþùàÿ â âåðíîå ðàâåíñòâî êàæäîå
óðàâíåíèå ñèñòåìû, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû
óðàâíåíèé. Ðåøèòü ñèñòåìó — çíà÷èò íàéòè âñå åå
ðåøåíèÿ èëè äîêàçàòü, ÷òî èõ íåò.
225
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
168. Ãðàôèê óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè.
Ïóñòü äàíî óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè f (x, y) =
= 0. Åñëè âñå åãî ðåøåíèÿ èçîáðàçèòü òî÷êàìè íà
êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, òî ïîëó÷èòñÿ íåêîòîðîå ìíîæåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè. Ýòî ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ
ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ f (x, y) = 0.
Íàïðèìåð, ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ ó – õ2 = 0 ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà ó = õ2 (ñì. ðèñ. 15); ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ ó – õ = 0 ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ (áèññåêòðèñà I è III
êîîðäèíàòíûõ óãëîâ; ñì. ðèñ. 14). Ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ x - 1 + y - 2 = 0 ÿâëÿåòñÿ îäíà òî÷êà (1; 2),
òàê êàê êîîðäèíàòû òîëüêî ýòîé òî÷êè óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ.
169. Ëèíåéíîå óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
è åãî ãðàôèê. Óðàâíåíèå âèäà ax + by = c, ãäå õ, ó —
ïåðåìåííûå, à a, b, c — ÷èñëà, íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì; ÷èñëà à è b íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ïðè
ïåðåìåííûõ, ÷èñëî ñ — ñâîáîäíûì ÷ëåíîì.
Ãðàôèêîì ëþáîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ax +
+by = c, ó êîòîðîãî õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ
ïðè ïåðåìåííûõ îòëè÷åí îò íóëÿ, ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ;
åñëè à = 0, òî îíà ïàðàëëåëüíà îñè Îõ, åñëè b = 0, òî
îíà ïàðàëëåëüíà îñè Îó (ðèñ. 73).
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê óðàâíåíèÿ
2õ – 3ó = – 6.
q Ãðàôèêîì ýòîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ.Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðÿìîé äîñòàòî÷íî çíàòü
äâå åå òî÷êè. Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèå 2õ – 3ó = – 6
âìåñòî õ çíà÷åíèå 0, ïîëó÷èì –3ó = –6, îòêóäà ó =
224
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
Ðèñ. 73
Ðèñ. 74
= 2. Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèå 2õ – 3ó = – 6 âìåñòî ó
çíà÷åíèå 0, ïîëó÷èì 2õ = – 6, îòêóäà õ = – 3.
Èòàê, ìû íàøëè äâå òî÷êè ãðàôèêà: (0; 2) è
(–3; 0). Ïðîâåäÿ ÷åðåç íèõ ïðÿìóþ, ïîëó÷èì èñêîìûé ãðàôèê. n
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
170. Ñèñòåìû äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Ðàâíîñèëüíûå ñèñòåìû. Ïóñòü äàíû äâà óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè f (x, y) = 0 è g (x, y) = 0.
Åñëè ñòàâèòñÿ çàäà÷à íàéòè âñå îáùèå ðåøåíèÿ äâóõ
óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè, òî, ãîâîðÿò, ÷òî íàäî
ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé. Êàæäàÿ ïàðà çíà÷åíèé
ïåðåìåííûõ, îáðàùàþùàÿ â âåðíîå ðàâåíñòâî êàæäîå
óðàâíåíèå ñèñòåìû, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû
óðàâíåíèé. Ðåøèòü ñèñòåìó — çíà÷èò íàéòè âñå åå
ðåøåíèÿ èëè äîêàçàòü, ÷òî èõ íåò.
225
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
Äâå ñèñòåìû óðàâíåíèé íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè, åñëè ýòè ñèñòåìû èìåþò îäíè è òå æå ðåøåíèÿ. Åñëè, â ÷àñòíîñòè, îáå ñèñòåìû íå èìåþò ðåøåíèé, òî îíè òàêæå ñ÷èòàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè.
Ò.4.9. Ïóñòü äàíà ñèñòåìà äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè. Åñëè îäíî óðàâíåíèå ñèñòåìû îñòàâèòü áåç èçìåíåíèÿ, à äðóãîå óðàâíåíèå ñèñòåìû çàìåíèòü óðàâíåíèåì, åìó ðàâíîñèëüíûì, òî
ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà áóäåò ðàâíîñèëüíà çàäàííîé.
Èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî åñëè êàæäîå óðàâíåíèå ñèñòåìû çàìåíèòü ðàâíîñèëüíûì óðàâíåíèåì,
òî ïîëó÷èòñÿ ñèñòåìà, ðàâíîñèëüíàÿ çàäàííîé.
Ò.4.10. Ïóñòü äàíà ñèñòåìà äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Åñëè îäíî óðàâíåíèå ñèñòåìû
îñòàâèòü áåç èçìåíåíèÿ, à äðóãîå çàìåíèòü ñóììîé èëè ðàçíîñòüþ îáîèõ óðàâíåíèé ñèñòåìû, òî
ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà áóäåò ðàâíîñèëüíà çàäàííîé.
171. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè. Ìåòîä ïîäñòàíîâêè çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì:
1. Îäíî èç óðàâíåíèé ñèñòåìû ïðåîáðàçóþò ê âèäó,
â êîòîðîì ïåðåìåííàÿ ó âûðàæåíà ÷åðåç õ (èëè õ
÷åðåç ó).
2. Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ïîäñòàâëÿþò âìåñòî ó
(èëè âìåñòî õ) â äðóãîå óðàâíåíèå.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àþò óðàâíåíèå ñ îäíîé ïåðåìåííîé.
3. Íàõîäÿò êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ.
4. Âîñïîëüçîâàâøèñü âûðàæåíèåì ó ÷åðåç õ
(èëè õ ÷åðåç ó), íàõîäÿò ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ
ó (èëè õ).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ìïx - 3y = 10,
í 2
ïîx - 24y = 100.
226
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
q Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âûðàçèì õ = 3ó + 10.
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå 3ó +10 âìåñòî õ âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû, ïîëó÷èì (3ó + 10)2 – 24ó = 100, îòêóäà ó 1 = 0, ó 2 = –4. Ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ
õ íàéäåì èç óðàâíåíèÿ õ = 3ó + 10. Åñëè ó = 0, òî
õ = 10; åñëè ó = –4, òî õ = –2. Èòàê, ñèñòåìà èìååò äâà
ðåøåíèÿ: (–2; –4) è (10; 0). n
172. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ñëîæåíèÿ. Ìåòîä ñëîæåíèÿ
îñíîâàí íà òåîðåìàõ 4.9 è 4.10 (ñì. ï.170).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ì2x + 3y = 7,
í
î3x - y = 16.
(1)
q Óìíîæèâ îáå ÷àñòè âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (1) íà 3, ïîëó÷èì ñèñòåìó
ì2x + 3y = 7,
í
î9x - 3y = 48,
(2)
ðàâíîñèëüíóþ äàííîé ïî òåîðåìå 4.9.
Ñëîæèì òåïåðü îáà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2). Ïî
òåîðåìå 4.10 ñèñòåìà
ì2x + 3y = 7,
í
î(2x + 3y ) + (9x - 3y) = 7 + 48
(3)
ðàâíîñèëüíà ñèñòåìå (2). Ñèñòåìà (3), â ñâîþ î÷åðåäü,
ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
ì2x + 3y = 7,
í
î11x = 55.
227
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
Äâå ñèñòåìû óðàâíåíèé íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè, åñëè ýòè ñèñòåìû èìåþò îäíè è òå æå ðåøåíèÿ. Åñëè, â ÷àñòíîñòè, îáå ñèñòåìû íå èìåþò ðåøåíèé, òî îíè òàêæå ñ÷èòàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè.
Ò.4.9. Ïóñòü äàíà ñèñòåìà äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè. Åñëè îäíî óðàâíåíèå ñèñòåìû îñòàâèòü áåç èçìåíåíèÿ, à äðóãîå óðàâíåíèå ñèñòåìû çàìåíèòü óðàâíåíèåì, åìó ðàâíîñèëüíûì, òî
ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà áóäåò ðàâíîñèëüíà çàäàííîé.
Èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî åñëè êàæäîå óðàâíåíèå ñèñòåìû çàìåíèòü ðàâíîñèëüíûì óðàâíåíèåì,
òî ïîëó÷èòñÿ ñèñòåìà, ðàâíîñèëüíàÿ çàäàííîé.
Ò.4.10. Ïóñòü äàíà ñèñòåìà äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Åñëè îäíî óðàâíåíèå ñèñòåìû
îñòàâèòü áåç èçìåíåíèÿ, à äðóãîå çàìåíèòü ñóììîé èëè ðàçíîñòüþ îáîèõ óðàâíåíèé ñèñòåìû, òî
ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà áóäåò ðàâíîñèëüíà çàäàííîé.
171. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè. Ìåòîä ïîäñòàíîâêè çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì:
1. Îäíî èç óðàâíåíèé ñèñòåìû ïðåîáðàçóþò ê âèäó,
â êîòîðîì ïåðåìåííàÿ ó âûðàæåíà ÷åðåç õ (èëè õ
÷åðåç ó).
2. Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ïîäñòàâëÿþò âìåñòî ó
(èëè âìåñòî õ) â äðóãîå óðàâíåíèå.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àþò óðàâíåíèå ñ îäíîé ïåðåìåííîé.
3. Íàõîäÿò êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ.
4. Âîñïîëüçîâàâøèñü âûðàæåíèåì ó ÷åðåç õ
(èëè õ ÷åðåç ó), íàõîäÿò ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ
ó (èëè õ).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ìïx - 3y = 10,
í 2
ïîx - 24y = 100.
226
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
q Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âûðàçèì õ = 3ó + 10.
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå 3ó +10 âìåñòî õ âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû, ïîëó÷èì (3ó + 10)2 – 24ó = 100, îòêóäà ó 1 = 0, ó 2 = –4. Ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ
õ íàéäåì èç óðàâíåíèÿ õ = 3ó + 10. Åñëè ó = 0, òî
õ = 10; åñëè ó = –4, òî õ = –2. Èòàê, ñèñòåìà èìååò äâà
ðåøåíèÿ: (–2; –4) è (10; 0). n
172. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ñëîæåíèÿ. Ìåòîä ñëîæåíèÿ
îñíîâàí íà òåîðåìàõ 4.9 è 4.10 (ñì. ï.170).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ì2x + 3y = 7,
í
î3x - y = 16.
(1)
q Óìíîæèâ îáå ÷àñòè âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (1) íà 3, ïîëó÷èì ñèñòåìó
ì2x + 3y = 7,
í
î9x - 3y = 48,
(2)
ðàâíîñèëüíóþ äàííîé ïî òåîðåìå 4.9.
Ñëîæèì òåïåðü îáà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2). Ïî
òåîðåìå 4.10 ñèñòåìà
ì2x + 3y = 7,
í
î(2x + 3y ) + (9x - 3y) = 7 + 48
(3)
ðàâíîñèëüíà ñèñòåìå (2). Ñèñòåìà (3), â ñâîþ î÷åðåäü,
ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
ì2x + 3y = 7,
í
î11x = 55.
227
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
Èç óðàâíåíèÿ 11õ = 55 íàõîäèì õ = 5. Ïîäñòàâèâ
ýòî çíà÷åíèå â óðàâíåíèå 2õ + 3ó = 7, ïîëó÷èì
ó = –1.
Èòàê, (5; –1) — ðåøåíèå ñèñòåìû (3), à çíà÷èò, è
ðåøåíèå ðàâíîñèëüíîé åé ñèñòåìû (1). n
173. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ.
Ñóùåñòâóþò äâà âàðèàíòà èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà ââåäåíèÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ ïðè ðåøåíèè ñèñòåì
äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè: 1) ââîäÿò îäíó
íîâóþ ïåðåìåííóþ òîëüêî äëÿ îäíîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû; 2) ââîäÿò äâå íîâûå ïåðåìåííûå ñðàçó äëÿ
îáîèõ óðàâíåíèé.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ì x y 13
,
ï + =
6
íy x
ïx + y = 5.
î
q Ïîëîæèì x/y = z, òîãäà y/x = 1/z è ïåðâîå
1 13
óðàâíåíèå ñèñòåìû ïðèìåò âèä z + =
. Îòíîñèz
6
òåëüíî íîâîé ïåðåìåííîé z ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
6z2 - 13z + 6 = 0,
îòêóäà z1 = 2 / 3, z2 = 3 / 2. Òà-
êèì îáðàçîì, ëèáî x / y = 2 / 3, ò. å. y = 3x / 2, ëèáî
x / y = 3 / 2, ò. å. y = 2x / 3.
Èòàê, ïåðâîå óðàâíåíèå çàäàííîé ñèñòåìû ðàñïàëîñü íà äâà óðàâíåíèÿ: y = 3x / 2 è y = 2x / 3. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì íóæíî ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü äâóõ
ñèñòåì:
228
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ìy = 3x / 2, ìy = 2x / 3,
í
í
îx + y = 5; îx + y = 5.
Èç ïåðâîé ñèñòåìû íàõîäèì õ = 2, ó = 3, èç âòîðîé
õ = 3, ó = 2. Èòàê, (2; 3) è (3; 2) — ðåøåíèÿ äàííîé
ñèñòåìû.n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ìïx 2 + y 2 + x + y = 32,
(1)
í
ïîxy + 2 (x + y ) = 26.
q Ïîëîæèì õ + ó = è, xy = v. Òîãäà õ2 + ó2 = (õ +
+ ó)2 – 2õó = è2 – 2v è ñèñòåìà (1) ïðèìåò âèä
ìïu2 - 2v + u = 32,
(2)
í
ïîv + 2u = 26.
Ñèñòåìó (2) ðåøèì ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè. Âûðàçèâ èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ v ÷åðåç è, ïîëó÷èì v =
= 26 - 2u; ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â ïåðâîå óðàâíåíèå, èìååì
u2 – 2(26 – u) + u = 32; u2 + 5u – 84 = 0;
u1 = -12, u2 = 7.
Ñîîòâåòñòâåííî íàõîäèì v1 = 50, v2 = 12. Èòàê, íàéäåíû äâà ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2): u1 = -12, v1 = 50 è
u2 = 7, v2 = 12.
Âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíûì ïåðåìåííûì, ïîëó÷èì
ñîâîêóïíîñòü ñèñòåì:
ìx + y = -12, ìx + y = 7,
í
í
îxy = 50;
îxy = 12,
229
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
Èç óðàâíåíèÿ 11õ = 55 íàõîäèì õ = 5. Ïîäñòàâèâ
ýòî çíà÷åíèå â óðàâíåíèå 2õ + 3ó = 7, ïîëó÷èì
ó = –1.
Èòàê, (5; –1) — ðåøåíèå ñèñòåìû (3), à çíà÷èò, è
ðåøåíèå ðàâíîñèëüíîé åé ñèñòåìû (1). n
173. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ.
Ñóùåñòâóþò äâà âàðèàíòà èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà ââåäåíèÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ ïðè ðåøåíèè ñèñòåì
äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè: 1) ââîäÿò îäíó
íîâóþ ïåðåìåííóþ òîëüêî äëÿ îäíîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû; 2) ââîäÿò äâå íîâûå ïåðåìåííûå ñðàçó äëÿ
îáîèõ óðàâíåíèé.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ì x y 13
,
ï + =
6
íy x
ïx + y = 5.
î
q Ïîëîæèì x/y = z, òîãäà y/x = 1/z è ïåðâîå
1 13
óðàâíåíèå ñèñòåìû ïðèìåò âèä z + =
. Îòíîñèz
6
òåëüíî íîâîé ïåðåìåííîé z ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
6z2 - 13z + 6 = 0,
îòêóäà z1 = 2 / 3, z2 = 3 / 2. Òà-
êèì îáðàçîì, ëèáî x / y = 2 / 3, ò. å. y = 3x / 2, ëèáî
x / y = 3 / 2, ò. å. y = 2x / 3.
Èòàê, ïåðâîå óðàâíåíèå çàäàííîé ñèñòåìû ðàñïàëîñü íà äâà óðàâíåíèÿ: y = 3x / 2 è y = 2x / 3. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì íóæíî ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü äâóõ
ñèñòåì:
228
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ìy = 3x / 2, ìy = 2x / 3,
í
í
îx + y = 5; îx + y = 5.
Èç ïåðâîé ñèñòåìû íàõîäèì õ = 2, ó = 3, èç âòîðîé
õ = 3, ó = 2. Èòàê, (2; 3) è (3; 2) — ðåøåíèÿ äàííîé
ñèñòåìû.n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ìïx 2 + y 2 + x + y = 32,
(1)
í
ïîxy + 2 (x + y ) = 26.
q Ïîëîæèì õ + ó = è, xy = v. Òîãäà õ2 + ó2 = (õ +
+ ó)2 – 2õó = è2 – 2v è ñèñòåìà (1) ïðèìåò âèä
ìïu2 - 2v + u = 32,
(2)
í
ïîv + 2u = 26.
Ñèñòåìó (2) ðåøèì ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè. Âûðàçèâ èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ v ÷åðåç è, ïîëó÷èì v =
= 26 - 2u; ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â ïåðâîå óðàâíåíèå, èìååì
u2 – 2(26 – u) + u = 32; u2 + 5u – 84 = 0;
u1 = -12, u2 = 7.
Ñîîòâåòñòâåííî íàõîäèì v1 = 50, v2 = 12. Èòàê, íàéäåíû äâà ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2): u1 = -12, v1 = 50 è
u2 = 7, v2 = 12.
Âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíûì ïåðåìåííûì, ïîëó÷èì
ñîâîêóïíîñòü ñèñòåì:
ìx + y = -12, ìx + y = 7,
í
í
îxy = 50;
îxy = 12,
229
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
êàæäóþ èç êîòîðûõ íåòðóäíî ðåøèòü ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè (âûðàçèâ, íàïðèìåð, ó ÷åðåç õ èç ïåðâîãî
óðàâíåíèÿ). Ïåðâàÿ ñèñòåìà íå èìååò ðåøåíèé, à âòîðàÿ èìååò äâà ðåøåíèÿ: (3; 4) è (4; 3). Îíè è ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè èñõîäíîé ñèñòåìû (1). n
174. Îïðåäåëèòåëè âòîðîãî ïîðÿäêà. Èññëåäîâàíèå ñèñòåì äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Â òåîðèè ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
óäîáíî èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ. Îïðåäåëèòåëåì âòîðîãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, îïðåäåëÿåìîå ðàâåíñòâîì
a11 a12
a21 a22
= a11a22 - a21a12.
×èñëà a11 , a12 , a21 , a22 íàçûâàþò ýëåìåíòàìè îïðåäåëèòåëÿ; ïðè ýòîì ýëåìåíòû a11 è a22 îáðàçóþò
ãëàâíóþ äèàãîíàëü, à ýëåìåíòû a12 è a21 — ïîáî÷íóþ äèàãîíàëü. Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëèòåëü
âòîðîãî ïîðÿäêà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ýëåìåíòîâ ãëàâíîé äèàãîíàëè ìèíóñ ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòîâ ïîáî÷íîé äèàãîíàëè.
Íàïðèìåð,
-2
3
7
= -2 × 8 - 3 × 7 = -37.
8
Ïóñòü äàíà ñèñòåìà äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè:
ìa11x + a12y = b1,
í
îa12
21 x + a22y = b2.
230
(1)
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
10. Åñëè îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû D =
a11 a12
a21 a22
¹ 0,
òî ñèñòåìà (1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëàì Êðàìåðà:
b1 a12
x=
b2 a22
D
a11 b1
=
Dy
a 21 b
Dx
, y = 12 2 =
.
D
D
D
(2)
Çäåñü D x è D y — îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷àþùèåñÿ
èç îïðåäåëèòåëÿ ñèñòåìû D çàìåíîé ñòîëáöîâ êîýôôèöèåíòîâ ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì íåèçâåñòíîì
ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ.
20. Åñëè D = 0, íî D x ¹ 0 (èëè D y ¹ 0 ), òî ñèñòåìà (1) íå èìååò ðåøåíèé (ñèñòåìà íåñîâìåñòíàÿ).
30. Åñëè D = D x = D y = 0, òî ñèñòåìà (1) èìååò
áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé (ñèñòåìà íåîïðåäåëåííàÿ).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé:
ì5x - 2y = 7,
ì5x - 2y = 4,
à) í
á) í
+
=
10
x
7
y
3
;
î
î35x - 14y = 200;
ì0,2x + 3,1y = -2,3,
â) í
îx + 15,5y = -11,5.
q à) Íàõîäèì îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû:
D=
5 -2
= 35 + 20 = 55.
10 7
231
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
êàæäóþ èç êîòîðûõ íåòðóäíî ðåøèòü ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè (âûðàçèâ, íàïðèìåð, ó ÷åðåç õ èç ïåðâîãî
óðàâíåíèÿ). Ïåðâàÿ ñèñòåìà íå èìååò ðåøåíèé, à âòîðàÿ èìååò äâà ðåøåíèÿ: (3; 4) è (4; 3). Îíè è ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè èñõîäíîé ñèñòåìû (1). n
174. Îïðåäåëèòåëè âòîðîãî ïîðÿäêà. Èññëåäîâàíèå ñèñòåì äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Â òåîðèè ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
óäîáíî èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ. Îïðåäåëèòåëåì âòîðîãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, îïðåäåëÿåìîå ðàâåíñòâîì
a11 a12
a21 a22
= a11a22 - a21a12.
×èñëà a11 , a12 , a21 , a22 íàçûâàþò ýëåìåíòàìè îïðåäåëèòåëÿ; ïðè ýòîì ýëåìåíòû a11 è a22 îáðàçóþò
ãëàâíóþ äèàãîíàëü, à ýëåìåíòû a12 è a21 — ïîáî÷íóþ äèàãîíàëü. Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëèòåëü
âòîðîãî ïîðÿäêà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ýëåìåíòîâ ãëàâíîé äèàãîíàëè ìèíóñ ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòîâ ïîáî÷íîé äèàãîíàëè.
Íàïðèìåð,
-2
3
7
= -2 × 8 - 3 × 7 = -37.
8
Ïóñòü äàíà ñèñòåìà äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè:
ìa11x + a12y = b1,
í
îa12
21 x + a22y = b2.
230
(1)
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
10. Åñëè îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû D =
a11 a12
a21 a22
¹ 0,
òî ñèñòåìà (1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëàì Êðàìåðà:
b1 a12
x=
b2 a22
D
a11 b1
=
Dy
a 21 b
Dx
, y = 12 2 =
.
D
D
D
(2)
Çäåñü D x è D y — îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷àþùèåñÿ
èç îïðåäåëèòåëÿ ñèñòåìû D çàìåíîé ñòîëáöîâ êîýôôèöèåíòîâ ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì íåèçâåñòíîì
ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ.
20. Åñëè D = 0, íî D x ¹ 0 (èëè D y ¹ 0 ), òî ñèñòåìà (1) íå èìååò ðåøåíèé (ñèñòåìà íåñîâìåñòíàÿ).
30. Åñëè D = D x = D y = 0, òî ñèñòåìà (1) èìååò
áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé (ñèñòåìà íåîïðåäåëåííàÿ).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé:
ì5x - 2y = 7,
ì5x - 2y = 4,
à) í
á) í
+
=
10
x
7
y
3
;
î
î35x - 14y = 200;
ì0,2x + 3,1y = -2,3,
â) í
îx + 15,5y = -11,5.
q à) Íàõîäèì îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû:
D=
5 -2
= 35 + 20 = 55.
10 7
231
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
Çàìåíèâ òåïåðü â íåì ïåðâûé ñòîëáåö ñòîëáöîì
ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ, ïîëó÷èì
7 -2
Dx =
= 49 + 6 = 55.
3 7
Àíàëîãè÷íî èìååì
5 7
Dy =
= 15 - 70 = -55.
10 3
55
= 1, y =
Òåïåðü ïî ôîðìóëå (2) íàõîäèì x =
55
-55
=
= -1, ò. å. (1; –1) — ðåøåíèå ñèñòåìû. Ãåî55
ìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðÿìûå, çàäàþùèå
óðàâíåíèÿ ñèñòåìû, ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå (1; –1).
á) Íàéäåì îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû:
5 -2
= -70 + 70 = 0.
35 - 14
Òåïåðü âû÷èñëèì D x ; èìååì
D=
Dx =
4
-2
= -56 + 400 ¹ 0.
200 - 14
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà íåñîâìåñòíà. Ýòîò
âûâîä ìîæíî áûëî ñäåëàòü áåç ïîìîùè îïðåäåëèòåëåé, åñëè çàìåòèòü, ÷òî â äàííîé ñèñòåìå êîýôôèöèåíòû ïðè õ è ó ïðîïîðöèîíàëüíû, à ñâîáîäíûå ÷ëåíû
èì íå ïðîïîðöèîíàëüíû: 5 : 35 = (–2) : ( –14) ¹
¹ 4 : 200. Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äàííûå
ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû.
â) Èìååì
0,2
D=
1
232
3,1
= 3,1 - 3,1 = 0.
15,5
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
Äàëåå íàõîäèì
Dx =
- 2,3
- 11,5
Dy =
3,1
= -35,65 + 35,65 = 0,
15,5
0,2 - 2,3
= -2,3 + 2,3 = 0.
1 - 11,5
Çíà÷èò, ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîé (ýòî
âèäíî è èç òîãî, ÷òî âñå êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû ïðîïîðöèîíàëüíû: âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîãî óìíîæåíèåì íà 5). Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî äàííûå ïðÿìûå ñîâïàäàþò. n
175. Ñèììåòðè÷åñêèå ñèñòåìû. Ìíîãî÷ëåí
P (x, y) íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì, åñëè ïðè çàìåíå õ íà ó è ó íà õ âûðàæåíèå P (x, y) íå èçìåíÿåòñÿ. Íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåíû P1 (x, y) = x 3 + 3xy + y 3 è
P2 (x, y) = x2 + y 2 + 4x + 4y ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðè÷åñêèìè.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêîé,
åñëè îáà åå óðàâíåíèÿ — ñèììåòðè÷åñêèå. Ñèììåòðè÷åñêóþ ñèñòåìó ìîæíî ðåøèòü ìåòîäîì çàìåíû
ïåðåìåííûõ, åñëè â êà÷åñòâå íîâûõ ïåðåìåííûõ âûáðàòü îñíîâíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû, ò. å.
õ + ó è õó.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ïìx 3 + x 3y 3 + y 3 = 17,
í
ïîx + xy + y = 5.
q Ýòî — ñèììåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà. Ïîëîæèì õ +
+ ó = è, õó = v. Òàê êàê x3 + y 3 = (x + y) (x2 -
- xy + y 2 ) = (x + y) ((x + y)2 - 3xy) = u (u2 - 3v) = u3 233
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
Çàìåíèâ òåïåðü â íåì ïåðâûé ñòîëáåö ñòîëáöîì
ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ, ïîëó÷èì
7 -2
Dx =
= 49 + 6 = 55.
3 7
Àíàëîãè÷íî èìååì
5 7
Dy =
= 15 - 70 = -55.
10 3
55
= 1, y =
Òåïåðü ïî ôîðìóëå (2) íàõîäèì x =
55
-55
=
= -1, ò. å. (1; –1) — ðåøåíèå ñèñòåìû. Ãåî55
ìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðÿìûå, çàäàþùèå
óðàâíåíèÿ ñèñòåìû, ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå (1; –1).
á) Íàéäåì îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû:
5 -2
= -70 + 70 = 0.
35 - 14
Òåïåðü âû÷èñëèì D x ; èìååì
D=
Dx =
4
-2
= -56 + 400 ¹ 0.
200 - 14
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà íåñîâìåñòíà. Ýòîò
âûâîä ìîæíî áûëî ñäåëàòü áåç ïîìîùè îïðåäåëèòåëåé, åñëè çàìåòèòü, ÷òî â äàííîé ñèñòåìå êîýôôèöèåíòû ïðè õ è ó ïðîïîðöèîíàëüíû, à ñâîáîäíûå ÷ëåíû
èì íå ïðîïîðöèîíàëüíû: 5 : 35 = (–2) : ( –14) ¹
¹ 4 : 200. Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äàííûå
ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû.
â) Èìååì
0,2
D=
1
232
3,1
= 3,1 - 3,1 = 0.
15,5
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
Äàëåå íàõîäèì
Dx =
- 2,3
- 11,5
Dy =
3,1
= -35,65 + 35,65 = 0,
15,5
0,2 - 2,3
= -2,3 + 2,3 = 0.
1 - 11,5
Çíà÷èò, ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîé (ýòî
âèäíî è èç òîãî, ÷òî âñå êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû ïðîïîðöèîíàëüíû: âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîãî óìíîæåíèåì íà 5). Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî äàííûå ïðÿìûå ñîâïàäàþò. n
175. Ñèììåòðè÷åñêèå ñèñòåìû. Ìíîãî÷ëåí
P (x, y) íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì, åñëè ïðè çàìåíå õ íà ó è ó íà õ âûðàæåíèå P (x, y) íå èçìåíÿåòñÿ. Íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåíû P1 (x, y) = x 3 + 3xy + y 3 è
P2 (x, y) = x2 + y 2 + 4x + 4y ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðè÷åñêèìè.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêîé,
åñëè îáà åå óðàâíåíèÿ — ñèììåòðè÷åñêèå. Ñèììåòðè÷åñêóþ ñèñòåìó ìîæíî ðåøèòü ìåòîäîì çàìåíû
ïåðåìåííûõ, åñëè â êà÷åñòâå íîâûõ ïåðåìåííûõ âûáðàòü îñíîâíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû, ò. å.
õ + ó è õó.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ïìx 3 + x 3y 3 + y 3 = 17,
í
ïîx + xy + y = 5.
q Ýòî — ñèììåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà. Ïîëîæèì õ +
+ ó = è, õó = v. Òàê êàê x3 + y 3 = (x + y) (x2 -
- xy + y 2 ) = (x + y) ((x + y)2 - 3xy) = u (u2 - 3v) = u3 233
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
-3uv, òî çàäàííàÿ ñèñòåìà ïðèìåò âèä
ìïu 3 - 3uv + v 3 = 17,
í
ïîu + v = 5.
Èç ýòîé ñèñòåìû, êîòîðóþ ëåãêî ðåøèòü ìåòîäîì
ïîäñòàíîâêè, íàõîäèì u1 = 3, v1 = 2 è u2 = 2,
v2 = 3.
Îñòàåòñÿ ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü ñèñòåì
ìx + y = 3, ìx + y = 2,
í
í
îxy = 2;
îxy = 3.
Ðèñ. 75
Ïåðâàÿ èìååò ðåøåíèÿ (1; 2) è (2; 1), à âòîðàÿ íå
èìååò ðåøåíèé. Èòàê, (1; 2), (2; 1) — ðåøåíèÿ äàííîé
ñèñòåìû. n
176. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. ×òîáû ãðàôè÷åñêè ðåøèòü ñèñòåìó äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè, íóæíî â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîñòðîèòü ãðàôèêè óðàâíåíèé è íàéòè êîîðäèíàòû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ãðàôèêîâ.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè ñèñòåìó óðàâíåíèé
ìïx 2 + y 2 = 25,
í
ïîxy = 12.
q Ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ x2 + y 2 = 25 ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäèóñîì, ðàâíûì 5. Ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ õó = 12 ÿâëÿ234
12
(ñì. ï. 75). Ïîñòðîèâ ãðàôèx
êè â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (ðèñ. 75), íàéäåì êîîðäèíàòû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòè è ãèïåðáîëû: À (4; 3),  (3; 4), Ñ (–4; –3), D (–3; –4). Çíà÷èò,
(4; 3), (3; 4), (–4; –3), (–3; –4) — ðåøåíèÿ äàííîé ñèñòåìû. n
åòñÿ ãèïåðáîëà y =
177. Ñèñòåìû òðåõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó òðåõ óðàâíåíèé ñ
òðåìÿ ïåðåìåííûìè
ìf (x, y, z) = 0,
ï
í g (x, y, z) = 0,
ïh (x, y, z) = 0.
î
235
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
-3uv, òî çàäàííàÿ ñèñòåìà ïðèìåò âèä
ìïu 3 - 3uv + v 3 = 17,
í
ïîu + v = 5.
Èç ýòîé ñèñòåìû, êîòîðóþ ëåãêî ðåøèòü ìåòîäîì
ïîäñòàíîâêè, íàõîäèì u1 = 3, v1 = 2 è u2 = 2,
v2 = 3.
Îñòàåòñÿ ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü ñèñòåì
ìx + y = 3, ìx + y = 2,
í
í
îxy = 2;
îxy = 3.
Ðèñ. 75
Ïåðâàÿ èìååò ðåøåíèÿ (1; 2) è (2; 1), à âòîðàÿ íå
èìååò ðåøåíèé. Èòàê, (1; 2), (2; 1) — ðåøåíèÿ äàííîé
ñèñòåìû. n
176. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. ×òîáû ãðàôè÷åñêè ðåøèòü ñèñòåìó äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè, íóæíî â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîñòðîèòü ãðàôèêè óðàâíåíèé è íàéòè êîîðäèíàòû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ãðàôèêîâ.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè ñèñòåìó óðàâíåíèé
ìïx 2 + y 2 = 25,
í
ïîxy = 12.
q Ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ x2 + y 2 = 25 ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäèóñîì, ðàâíûì 5. Ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ õó = 12 ÿâëÿ234
12
(ñì. ï. 75). Ïîñòðîèâ ãðàôèx
êè â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (ðèñ. 75), íàéäåì êîîðäèíàòû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòè è ãèïåðáîëû: À (4; 3),  (3; 4), Ñ (–4; –3), D (–3; –4). Çíà÷èò,
(4; 3), (3; 4), (–4; –3), (–3; –4) — ðåøåíèÿ äàííîé ñèñòåìû. n
åòñÿ ãèïåðáîëà y =
177. Ñèñòåìû òðåõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó òðåõ óðàâíåíèé ñ
òðåìÿ ïåðåìåííûìè
ìf (x, y, z) = 0,
ï
í g (x, y, z) = 0,
ïh (x, y, z) = 0.
î
235
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
Ðåøåíèåì òàêîé ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ
òðîéêà ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùàÿ êàæäîìó óðàâíåíèþ
ñèñòåìû.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ìx + y + z = 2,
ï
í2x + 3y + z = 1,
ï 2
2
2
îx + (y + 2) + (z - 1) = 9.
q Ïðèìåíèì ìåòîä ïîäñòàíîâêè. Âûðàçèì èç
ïåðâîãî óðàâíåíèÿ õ ÷åðåç ó è z è ïîäñòàâèì ðåçóëüòàò âî âòîðîå è òðåòüå óðàâíåíèÿ. Èìååì
ìx = 2 - y - z,
ï
í2 (2 - y - z) + 3y + z = 1,
ï
2
2
2
î(2 - y - z) + (y + 2) + (z - 1) = 9;
ìx = 2 - y - z,
ï
íy - z = -3,
ï 2
2
îy + z + yz - 3z = 0.
Ïîñëåäíèå äâà óðàâíåíèÿ ïîëó÷åííîé ñèñòåìû â ñâîþ
î÷åðåäü îáðàçóþò ñèñòåìó äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè. Ðåøèì ýòó ñèñòåìó ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè. Èìååì
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ñòâåííî y1 = -2, y2 = 0, à èç óðàâíåíèÿ x = 2 - y - z
íàõîäèì x1 = 3, x2 = -1.
Èòàê, ïîëó÷èëè ñëåäóþùèå ðåøåíèÿ: (3; –2; 1),
(–1; 0; 3). n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ì- x + 4y + z = 4,
ï
í2x + y - z = 7,
ï3x + 2y + 2z = 1.
î
q Óìíîæèâ ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû íà 2 è ñëîæèâ ðåçóëüòàò ñî âòîðûì óðàâíåíèåì ñèñòåìû, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ
9y + z = 15.
(1)
Óìíîæèâ ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû íà 3 è ñëîæèâ ðåçóëüòàò ñ òðåòüèì óðàâíåíèåì ñèñòåìû, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ
14y + 5z = 13.
(2)
 óðàâíåíèÿõ (1) è (2) îòñóòñòâóåò ïåðåìåííàÿ õ,
ìû åå èñêëþ÷èëè. Ðàññìîòðèì ýòè óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ y, z. Óìíîæèâ óðàâíåíèå (1)
íà 14, óðàâíåíèå (2) — íà 9 è âû÷òÿ âòîðîé ðåçóëüòàò
èç ïåðâîãî, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ 14 (9y + z) -
ìïy = z - 3,
ìïy = z - 3,
í
í
2
2
ïî(z - 3) + z + z (z - 3) - 3z = 0, ïîz2 - 4z + 3 = 0.
-9 (14y + 5z) = 15 × 14 - 13 × 9, ò. å. - 31z = 93 , îòêóäà
Ðåøèâ óðàâíåíèå z2 - 4z + 3 = 0, íàõîäèì z1 = 1,
Òåïåðü, êàê âèäíî, èñêëþ÷åíà ïåðåìåííàÿ ó.
Ïåðåïèøåì ïåðâîå óðàâíåíèå èñõîäíîé ñèñòåìû
â âèäå x - 4y - z = -4, óðàâíåíèå (1) — â âèäå
z2 = 3. Èç óðàâíåíèÿ y = z - 3 ïîëó÷àåì ñîîòâåò236
z = -3.
(3)
237
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
Ðåøåíèåì òàêîé ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ
òðîéêà ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùàÿ êàæäîìó óðàâíåíèþ
ñèñòåìû.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ìx + y + z = 2,
ï
í2x + 3y + z = 1,
ï 2
2
2
îx + (y + 2) + (z - 1) = 9.
q Ïðèìåíèì ìåòîä ïîäñòàíîâêè. Âûðàçèì èç
ïåðâîãî óðàâíåíèÿ õ ÷åðåç ó è z è ïîäñòàâèì ðåçóëüòàò âî âòîðîå è òðåòüå óðàâíåíèÿ. Èìååì
ìx = 2 - y - z,
ï
í2 (2 - y - z) + 3y + z = 1,
ï
2
2
2
î(2 - y - z) + (y + 2) + (z - 1) = 9;
ìx = 2 - y - z,
ï
íy - z = -3,
ï 2
2
îy + z + yz - 3z = 0.
Ïîñëåäíèå äâà óðàâíåíèÿ ïîëó÷åííîé ñèñòåìû â ñâîþ
î÷åðåäü îáðàçóþò ñèñòåìó äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè. Ðåøèì ýòó ñèñòåìó ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè. Èìååì
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ñòâåííî y1 = -2, y2 = 0, à èç óðàâíåíèÿ x = 2 - y - z
íàõîäèì x1 = 3, x2 = -1.
Èòàê, ïîëó÷èëè ñëåäóþùèå ðåøåíèÿ: (3; –2; 1),
(–1; 0; 3). n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ì- x + 4y + z = 4,
ï
í2x + y - z = 7,
ï3x + 2y + 2z = 1.
î
q Óìíîæèâ ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû íà 2 è ñëîæèâ ðåçóëüòàò ñî âòîðûì óðàâíåíèåì ñèñòåìû, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ
9y + z = 15.
(1)
Óìíîæèâ ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû íà 3 è ñëîæèâ ðåçóëüòàò ñ òðåòüèì óðàâíåíèåì ñèñòåìû, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ
14y + 5z = 13.
(2)
 óðàâíåíèÿõ (1) è (2) îòñóòñòâóåò ïåðåìåííàÿ õ,
ìû åå èñêëþ÷èëè. Ðàññìîòðèì ýòè óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ y, z. Óìíîæèâ óðàâíåíèå (1)
íà 14, óðàâíåíèå (2) — íà 9 è âû÷òÿ âòîðîé ðåçóëüòàò
èç ïåðâîãî, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ 14 (9y + z) -
ìïy = z - 3,
ìïy = z - 3,
í
í
2
2
ïî(z - 3) + z + z (z - 3) - 3z = 0, ïîz2 - 4z + 3 = 0.
-9 (14y + 5z) = 15 × 14 - 13 × 9, ò. å. - 31z = 93 , îòêóäà
Ðåøèâ óðàâíåíèå z2 - 4z + 3 = 0, íàõîäèì z1 = 1,
Òåïåðü, êàê âèäíî, èñêëþ÷åíà ïåðåìåííàÿ ó.
Ïåðåïèøåì ïåðâîå óðàâíåíèå èñõîäíîé ñèñòåìû
â âèäå x - 4y - z = -4, óðàâíåíèå (1) — â âèäå
z2 = 3. Èç óðàâíåíèÿ y = z - 3 ïîëó÷àåì ñîîòâåò236
z = -3.
(3)
237
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
1
15
z=
, à óðàâíåíèå (3) îñòàâèì áåç èçìåíå9
9
íèÿ. Ïîëó÷èì «òðåóãîëüíóþ» ñèñòåìó
y+
ìx - 4y - z = -4,
ï
1
15
ï
,
í y+ z=
9
9
ï
z = -3,
ïî
êîòîðàÿ ëåãêî ðåøàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ïîäñòàíîâêàìè «ñíèçó ââåðõ»: òàê êàê z = -3, òî èç âòîðî-
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ðåäåëåííûìè çíàêàìè: ñî çíàêîì «+» — òðè ÷ëåíà,
ñîñòîÿùèå èç ýëåìåíòîâ ãëàâíîé äèàãîíàëè è èç ýëåìåíòîâ, ðàñïîëîæåííûõ â âåðøèíàõ òðåóãîëüíèêîâ ñ
îñíîâàíèÿìè, ïàðàëëåëüíûìè ãëàâíîé äèàãîíàëè; ñî
çíàêîì «–» òðè ÷ëåíà, ðàñïîëîæåííûå àíàëîãè÷íûì
îáðàçîì îòíîñèòåëüíî ïîáî÷íîé äèàãîíàëè.
Óêàçàííîå ïðàâèëî, íàçûâàåìîå ïðàâèëîì òðåóãîëüíèêîâ, èëëþñòðèðóåò ñõåìà, èçîáðàæåííàÿ íà
ðèñ. 76.
3 15
=
, ò. å. ó = 2. Íàêî9
9
íåö, èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ «òðåóãîëüíîé» ñèñòåìû íàõîäèì õ – 8 + 3 =–4, ò. å. õ = 1.
Èòàê, (1; 2; –3) — ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû. n
Îïèñàííûé ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ
íåèçâåñòíûõ íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì Ãàóññà.
ãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì y -
178. Îïðåäåëèòåëè òðåòüåãî ïîðÿäêà. Èññëåäîâàíèå ñèñòåì òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè. Îïðåäåëèòåëåì òðåòüåãî ïîðÿäêà
íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, îïðåäåëÿåìîå ðàâåíñòâîì
a11 a12 a13
a21 a22 a23 =
a31 a32 a33
a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33.
(1)
Òàêèì îáðàçîì, êàæäûé ÷ëåí îïðåäåëèòåëÿ òðåòüåãî ïîðÿäêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîèçâåäåíèå òðåõ
åãî ýëåìåíòîâ, âçÿòûõ ïî îäíîìó èç êàæäîé ñòðîêè
è êàæäîãî ñòîëáöà. Ýòè ïðîèçâåäåíèÿ áåðóòñÿ ñ îï238
Ðèñ. 76
Íàïðèìåð, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), ïîëó÷èì
2
-1
4
3
4 -1
1
2 × 3 × 3 + 4 × 5 × 4 + 1 × (-1) × ( -1) 5 =
- 1 × 3 × 4 - 2 × 5 (-1) - 4 (-1) × 3 = 109.
3
Àëãåáðàè÷åñêèì äîïîëíåíèåì ýëåìåíòà aik îïðåäåëèòåëÿ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî Aik , ïðåäñòàâëÿþùåå
ñîáîé îïðåäåëèòåëü âòîðîãî ïîðÿäêà, ïîëó÷àþùèéñÿ
239
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
1
15
z=
, à óðàâíåíèå (3) îñòàâèì áåç èçìåíå9
9
íèÿ. Ïîëó÷èì «òðåóãîëüíóþ» ñèñòåìó
y+
ìx - 4y - z = -4,
ï
1
15
ï
,
í y+ z=
9
9
ï
z = -3,
ïî
êîòîðàÿ ëåãêî ðåøàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ïîäñòàíîâêàìè «ñíèçó ââåðõ»: òàê êàê z = -3, òî èç âòîðî-
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
ðåäåëåííûìè çíàêàìè: ñî çíàêîì «+» — òðè ÷ëåíà,
ñîñòîÿùèå èç ýëåìåíòîâ ãëàâíîé äèàãîíàëè è èç ýëåìåíòîâ, ðàñïîëîæåííûõ â âåðøèíàõ òðåóãîëüíèêîâ ñ
îñíîâàíèÿìè, ïàðàëëåëüíûìè ãëàâíîé äèàãîíàëè; ñî
çíàêîì «–» òðè ÷ëåíà, ðàñïîëîæåííûå àíàëîãè÷íûì
îáðàçîì îòíîñèòåëüíî ïîáî÷íîé äèàãîíàëè.
Óêàçàííîå ïðàâèëî, íàçûâàåìîå ïðàâèëîì òðåóãîëüíèêîâ, èëëþñòðèðóåò ñõåìà, èçîáðàæåííàÿ íà
ðèñ. 76.
3 15
=
, ò. å. ó = 2. Íàêî9
9
íåö, èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ «òðåóãîëüíîé» ñèñòåìû íàõîäèì õ – 8 + 3 =–4, ò. å. õ = 1.
Èòàê, (1; 2; –3) — ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû. n
Îïèñàííûé ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ
íåèçâåñòíûõ íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì Ãàóññà.
ãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì y -
178. Îïðåäåëèòåëè òðåòüåãî ïîðÿäêà. Èññëåäîâàíèå ñèñòåì òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè. Îïðåäåëèòåëåì òðåòüåãî ïîðÿäêà
íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, îïðåäåëÿåìîå ðàâåíñòâîì
a11 a12 a13
a21 a22 a23 =
a31 a32 a33
a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33.
(1)
Òàêèì îáðàçîì, êàæäûé ÷ëåí îïðåäåëèòåëÿ òðåòüåãî ïîðÿäêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîèçâåäåíèå òðåõ
åãî ýëåìåíòîâ, âçÿòûõ ïî îäíîìó èç êàæäîé ñòðîêè
è êàæäîãî ñòîëáöà. Ýòè ïðîèçâåäåíèÿ áåðóòñÿ ñ îï238
Ðèñ. 76
Íàïðèìåð, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), ïîëó÷èì
2
-1
4
3
4 -1
1
2 × 3 × 3 + 4 × 5 × 4 + 1 × (-1) × ( -1) 5 =
- 1 × 3 × 4 - 2 × 5 (-1) - 4 (-1) × 3 = 109.
3
Àëãåáðàè÷åñêèì äîïîëíåíèåì ýëåìåíòà aik îïðåäåëèòåëÿ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî Aik , ïðåäñòàâëÿþùåå
ñîáîé îïðåäåëèòåëü âòîðîãî ïîðÿäêà, ïîëó÷àþùèéñÿ
239
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
èç èñõîäíîãî îïðåäåëèòåëÿ âû÷åðêèâàíèåì
i-é ñòðîêè è k-ãî ñòîëáöà è âçÿòûé ñî çíàêîì «+»,
åñëè ñóììà íîìåðîâ âû÷åðêíóòûõ ñòðîêè è ñòîëáöà
÷åòíàÿ, è ñî çíàêîì «–» â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
Íàïðèìåð, äëÿ îïðåäåëèòåëÿ (1) èìååì
A11 =
a22 a23
a32 a33
, A32 = -
a11 a13
a21 a23
ïðèâåäåííîìó â ï. 174, à èìåííî: åñëè îïðåäåëèòåëü
D ñèñòåìû (2) îòëè÷åí îò íóëÿ, òî ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå íàõîäèòñÿ ïî
ôîðìóëàì Êðàìåðà:
.
= 2 × 14 - 4 (-23) + 1 × (-11) = 109,
÷òî ñîâïàäàåò ñ ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷åííûì ïî ôîðìóëå (1) (ñì. ñ. 239).
Äëÿ ñèñòåìû òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ
íåèçâåñòíûìè
(2)
ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå, àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèþ
240
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
x=
Îïðåäåëèòåëü ðàâåí ñóììå ïðîèçâåäåíèé ýëåìåíòîâ ëþáîé ñòðîêè (ñòîëáöà) íà ñîîòâåòñòâóþùèå
àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ (ðàçëîæåíèå îïðåäåëèòåëÿ ïî ýëåìåíòàì êàêîé-ëèáî ñòðîêè èëè
ñòîëáöà).
Âû÷èñëèì, íàïðèìåð, äàííûé âûøå îïðåäåëèòåëü
ðàçëîæåíèåì ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè.
Èìååì
2
4 1
-1 5
-1 3
3 5
-1
-4
+ 1×
=
3 5=2
-1 3
4 3
4 -1
4 -1 3
ìa11x + a12y + a13z = b1,
ï
ía21x + a22y + a23z = b2 ,
ïa x + a y + a z = b
32
33
3
î 31
ÀËÃÅÁÐÀ
Dy
Dx
D
,y=
,z= z,
D
D
D
(3)
ãäå D x , D y , D z — îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷àþùèåñÿ èç
îïðåäåëèòåëÿ D çàìåíîé ñòîëáöîâ êîýôôèöèåíòîâ
ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ íåèçâåñòíûõ ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ.
Ïðè D = 0 ñèñòåìà (2) ëèáî âîîáùå íå èìååò
ðåøåíèé, ëèáî èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ì2x + 4y + z = -3,
ï
í- x + 3y + 5z = 7,
ï4x - y + 3z = -5.
î
q Îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû áûë íàéäåí ðàíåå:
D = 109. Íàõîäèì îïðåäåëèòåëè D x , D y , D z :
-3
Dx =
4
1
2 -3
7
3 5 = -218, D y = - 1
7
-3 -1 3
4 -5
2
Dz = - 1
1
5 = 0,
3
4 -3
3
7 = 109,
4 -1 -5
241
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
èç èñõîäíîãî îïðåäåëèòåëÿ âû÷åðêèâàíèåì
i-é ñòðîêè è k-ãî ñòîëáöà è âçÿòûé ñî çíàêîì «+»,
åñëè ñóììà íîìåðîâ âû÷åðêíóòûõ ñòðîêè è ñòîëáöà
÷åòíàÿ, è ñî çíàêîì «–» â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
Íàïðèìåð, äëÿ îïðåäåëèòåëÿ (1) èìååì
A11 =
a22 a23
a32 a33
, A32 = -
a11 a13
a21 a23
ïðèâåäåííîìó â ï. 174, à èìåííî: åñëè îïðåäåëèòåëü
D ñèñòåìû (2) îòëè÷åí îò íóëÿ, òî ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå íàõîäèòñÿ ïî
ôîðìóëàì Êðàìåðà:
.
= 2 × 14 - 4 (-23) + 1 × (-11) = 109,
÷òî ñîâïàäàåò ñ ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷åííûì ïî ôîðìóëå (1) (ñì. ñ. 239).
Äëÿ ñèñòåìû òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ
íåèçâåñòíûìè
(2)
ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå, àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèþ
240
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
x=
Îïðåäåëèòåëü ðàâåí ñóììå ïðîèçâåäåíèé ýëåìåíòîâ ëþáîé ñòðîêè (ñòîëáöà) íà ñîîòâåòñòâóþùèå
àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ (ðàçëîæåíèå îïðåäåëèòåëÿ ïî ýëåìåíòàì êàêîé-ëèáî ñòðîêè èëè
ñòîëáöà).
Âû÷èñëèì, íàïðèìåð, äàííûé âûøå îïðåäåëèòåëü
ðàçëîæåíèåì ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè.
Èìååì
2
4 1
-1 5
-1 3
3 5
-1
-4
+ 1×
=
3 5=2
-1 3
4 3
4 -1
4 -1 3
ìa11x + a12y + a13z = b1,
ï
ía21x + a22y + a23z = b2 ,
ïa x + a y + a z = b
32
33
3
î 31
ÀËÃÅÁÐÀ
Dy
Dx
D
,y=
,z= z,
D
D
D
(3)
ãäå D x , D y , D z — îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷àþùèåñÿ èç
îïðåäåëèòåëÿ D çàìåíîé ñòîëáöîâ êîýôôèöèåíòîâ
ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ íåèçâåñòíûõ ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ.
Ïðè D = 0 ñèñòåìà (2) ëèáî âîîáùå íå èìååò
ðåøåíèé, ëèáî èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ì2x + 4y + z = -3,
ï
í- x + 3y + 5z = 7,
ï4x - y + 3z = -5.
î
q Îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû áûë íàéäåí ðàíåå:
D = 109. Íàõîäèì îïðåäåëèòåëè D x , D y , D z :
-3
Dx =
4
1
2 -3
7
3 5 = -218, D y = - 1
7
-3 -1 3
4 -5
2
Dz = - 1
1
5 = 0,
3
4 -3
3
7 = 109,
4 -1 -5
241
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
îòêóäà ïî ôîðìóëå (3) ïîëó÷àåì x = -2, y = 0,
z = 1. n
179. Ñèñòåìû ïîêàçàòåëüíûõ è ëîãàðèôìè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ïðè ðåøåíèè ñèñòåì ïîêàçàòåëüíûõ
è ëîãàðèôìè÷åñêèõ óðàâíåíèé èñïîëüçóþòñÿ îáû÷íûå ïðèåìû ðåøåíèÿ ëîãàðèôìè÷åñêèõ è ïîêàçàòåëüíûõ óðàâíåíèé (ñì. ïï. 156, 157) è îáû÷íûå ïðèåìû
ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé (ñì. ïï. 171–174).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ìïlog2 x + log4 y = 4,
í x2
ïî3 = 9 × 315y + 2.
q Ðàññìîòðèì ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû. Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî log2 x = log22 x2 = log4 x2 (ñì. ï.
75). Òîãäà óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå log 4 x2 +
+ log 4 y = 4 è äàëåå log 4 (x2y ) = 4 , îòêóäà x2y = 44 ,
ò. å. x2y = 256.
Òåïåðü ðàññìîòðèì âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû.
2
Èìååì 3x = 32 × 315y + 2 , x2 = 15y + 4. Çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû
ìïx 2y = 256,
í 2
ïîx = 15y + 4.
Ïîäñòàâèì 15ó + 4 âìåñòî õ2 â ïåðâîå óðàâíåíèå:
(15y + 4)y = 256; 15y2 + 4y - 256 = 0;
64
y1 = 4, y2 = .
15
242
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
Åñëè ó = 4, òî õ2 = 15ó + 4 = 15 · 4 + 4 = 64, ò. å. õ2 =
64
= 64, îòêóäà õ1 = 8, õ2 = –8. Åñëè y = , òî
15
æ 64 ö
2
x2 = 15y + 4 = 15 × ç ÷ + 4 = -60, ò. å. õ = –60 —
è 15 ø
ýòî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé.
Èòàê, ìû íàøëè äâå ïàðû çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ:
õ1 = 8, ó1 = 4; õ2 = –8, ó2 = 4. Òàê êàê çàäàííàÿ ñèñòåìà
ñîäåðæèò âûðàæåíèÿ log2 x, log4 y, òî äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿ x > 0, y > 0. Ïîýòîìó âòîðàÿ ïàðà
èñõîäíîé ñèñòåìå íå óäîâëåòâîðÿåò. Èòàê, (8; 4) —
ðåøåíèå ñèñòåìû. n
180. Ñèñòåìû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
Ïðè ðåøåíèè ñèñòåì òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé èñïîëüçóþò îáû÷íûå ïðèåìû ðåøåíèÿ ñèñòåì
óðàâíåíèé è ôîðìóëû òðèãîíîìåòðèè.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ïìsin x + cos y = 1,5,
í 2
ïîsin x + cos2 y = 1,25.
q Ïîëîæèì sin x = u, cos y = v. Òîãäà ïîëó÷èì
ìïu + v = 1,5,
Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âûðàñèñòåìó í 2
ïîu + v2 = 1,25.
çèì v: v = 1,5 - u. Ïîäñòàâèì íàéäåííîå âûðàæåíèå
âìåñòî v âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû:
u2 + (1,5 - u)2 = 1,25; 2u2 - 3u + 1 = 0; u1 = 1, u2 = 0,5.
Åñëè è = 1, òî v = 1,5 - 1 = 0,5; åñëè æå è = 0,5, òî
v = 1,5 - 0,5 = 1. Èòàê, ìû íàøëè äâå ïàðû ðåøåíèé:
243
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
îòêóäà ïî ôîðìóëå (3) ïîëó÷àåì x = -2, y = 0,
z = 1. n
179. Ñèñòåìû ïîêàçàòåëüíûõ è ëîãàðèôìè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ïðè ðåøåíèè ñèñòåì ïîêàçàòåëüíûõ
è ëîãàðèôìè÷åñêèõ óðàâíåíèé èñïîëüçóþòñÿ îáû÷íûå ïðèåìû ðåøåíèÿ ëîãàðèôìè÷åñêèõ è ïîêàçàòåëüíûõ óðàâíåíèé (ñì. ïï. 156, 157) è îáû÷íûå ïðèåìû
ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé (ñì. ïï. 171–174).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ìïlog2 x + log4 y = 4,
í x2
ïî3 = 9 × 315y + 2.
q Ðàññìîòðèì ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû. Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî log2 x = log22 x2 = log4 x2 (ñì. ï.
75). Òîãäà óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå log 4 x2 +
+ log 4 y = 4 è äàëåå log 4 (x2y ) = 4 , îòêóäà x2y = 44 ,
ò. å. x2y = 256.
Òåïåðü ðàññìîòðèì âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû.
2
Èìååì 3x = 32 × 315y + 2 , x2 = 15y + 4. Çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû
ìïx 2y = 256,
í 2
ïîx = 15y + 4.
Ïîäñòàâèì 15ó + 4 âìåñòî õ2 â ïåðâîå óðàâíåíèå:
(15y + 4)y = 256; 15y2 + 4y - 256 = 0;
64
y1 = 4, y2 = .
15
242
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé
Åñëè ó = 4, òî õ2 = 15ó + 4 = 15 · 4 + 4 = 64, ò. å. õ2 =
64
= 64, îòêóäà õ1 = 8, õ2 = –8. Åñëè y = , òî
15
æ 64 ö
2
x2 = 15y + 4 = 15 × ç ÷ + 4 = -60, ò. å. õ = –60 —
è 15 ø
ýòî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé.
Èòàê, ìû íàøëè äâå ïàðû çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ:
õ1 = 8, ó1 = 4; õ2 = –8, ó2 = 4. Òàê êàê çàäàííàÿ ñèñòåìà
ñîäåðæèò âûðàæåíèÿ log2 x, log4 y, òî äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿ x > 0, y > 0. Ïîýòîìó âòîðàÿ ïàðà
èñõîäíîé ñèñòåìå íå óäîâëåòâîðÿåò. Èòàê, (8; 4) —
ðåøåíèå ñèñòåìû. n
180. Ñèñòåìû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
Ïðè ðåøåíèè ñèñòåì òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé èñïîëüçóþò îáû÷íûå ïðèåìû ðåøåíèÿ ñèñòåì
óðàâíåíèé è ôîðìóëû òðèãîíîìåòðèè.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ïìsin x + cos y = 1,5,
í 2
ïîsin x + cos2 y = 1,25.
q Ïîëîæèì sin x = u, cos y = v. Òîãäà ïîëó÷èì
ìïu + v = 1,5,
Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âûðàñèñòåìó í 2
ïîu + v2 = 1,25.
çèì v: v = 1,5 - u. Ïîäñòàâèì íàéäåííîå âûðàæåíèå
âìåñòî v âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû:
u2 + (1,5 - u)2 = 1,25; 2u2 - 3u + 1 = 0; u1 = 1, u2 = 0,5.
Åñëè è = 1, òî v = 1,5 - 1 = 0,5; åñëè æå è = 0,5, òî
v = 1,5 - 0,5 = 1. Èòàê, ìû íàøëè äâå ïàðû ðåøåíèé:
243
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
u1 = 1, v1 = 0,5; u2 = 0,5, v2 = 1. Òàê êàê u = sin x,
v = cos y, òî îñòàåòñÿ ðåøèòü äâå ñèñòåìû óðàâíåíèé:
ìsin x = 1,
í
îcos y = 0,5
(1)
è
ìsin x = 0,5,
í
îcos y = 1.
(2)
p
+ 2pk,
2
p
k Î Z. Èç óðàâíåíèÿ cos y = 0,5 íàõîäèì y = ± +
3
+2pn, n Î Z. Çíà÷èò, ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1) èìåþò âèä
p
p
x = + 2pk, y = ± + 2pn,; nk,ÎnZÎ. Z.
3
2
p
Èç óðàâíåíèÿ sin x = 0,5 íàõîäèì x = ( -1) k +
6
+ pk, k Î Z. Èç óðàâíåíèÿ cos y = 1 íàõîäèì y = 2pn,
n Î Z. Çíà÷èò, ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2) èìåþò âèä
p
x = ( - 1) k
+ p k , y = 2 p n ;, k,
n nÎÎZZ.
. n
6
Èç óðàâíåíèÿ sin x = 1 íàõîäèì x =
244
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
u1 = 1, v1 = 0,5; u2 = 0,5, v2 = 1. Òàê êàê u = sin x,
v = cos y, òî îñòàåòñÿ ðåøèòü äâå ñèñòåìû óðàâíåíèé:
ìsin x = 1,
í
îcos y = 0,5
(1)
è
ìsin x = 0,5,
í
îcos y = 1.
(2)
p
+ 2pk,
2
p
k Î Z. Èç óðàâíåíèÿ cos y = 0,5 íàõîäèì y = ± +
3
+2pn, n Î Z. Çíà÷èò, ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1) èìåþò âèä
p
p
x = + 2pk, y = ± + 2pn,; nk,ÎnZÎ. Z.
3
2
p
Èç óðàâíåíèÿ sin x = 0,5 íàõîäèì x = ( -1) k +
6
+ pk, k Î Z. Èç óðàâíåíèÿ cos y = 1 íàõîäèì y = 2pn,
n Î Z. Çíà÷èò, ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2) èìåþò âèä
p
x = ( - 1) k
+ p k , y = 2 p n ;, k,
n nÎÎZZ.
. n
6
Èç óðàâíåíèÿ sin x = 1 íàõîäèì x =
244
Ðàçäåë V
ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
181. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ ðåøåíèåì
íåðàâåíñòâ. Ïóñòü äàíî íåðàâåíñòâî f(x) > g(x), êîòîðîå áóäåì íàçûâàòü íåðàâåíñòâîì ñ îäíîé ïåðåìåííîé. Âñÿêîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðîì
äàííîå íåðàâåíñòâî îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà. Ðåøèòü
íåðàâåíñòâî ñ ïåðåìåííîé — çíà÷èò íàéòè âñå åãî
ðåøåíèÿ èëè äîêàçàòü, ÷òî èõ íåò.
Äâà íåðàâåíñòâà ñ îäíîé ïåðåìåííîé íàçûâàþòñÿ
ðàâíîñèëüíûìè, åñëè ðåøåíèÿ ýòèõ íåðàâåíñòâ ñîâïàäàþò; â ÷àñòíîñòè, íåðàâåíñòâà ðàâíîñèëüíû, åñëè
îáà íå èìåþò ðåøåíèé.
Ò.5.1. Åñëè â íåðàâåíñòâå êàêîå-íèáóäü ñëàãàåìîå
ïåðåíåñòè èç îäíîé ÷àñòè â äðóãóþ, èçìåíèâ çíàê
ýòîãî ñëàãàåìîãî íà ïðîòèâîïîëîæíûé, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.
Ò.5.2. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè
ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî,
òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.
Ò.5.3. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè
ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî,
èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê íåðàâåíñòâà íà ïðîòèâîïîëîæíûé, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.
245
Ðàçäåë V
ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
181. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ ðåøåíèåì
íåðàâåíñòâ. Ïóñòü äàíî íåðàâåíñòâî f(x) > g(x), êîòîðîå áóäåì íàçûâàòü íåðàâåíñòâîì ñ îäíîé ïåðåìåííîé. Âñÿêîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðîì
äàííîå íåðàâåíñòâî îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà. Ðåøèòü
íåðàâåíñòâî ñ ïåðåìåííîé — çíà÷èò íàéòè âñå åãî
ðåøåíèÿ èëè äîêàçàòü, ÷òî èõ íåò.
Äâà íåðàâåíñòâà ñ îäíîé ïåðåìåííîé íàçûâàþòñÿ
ðàâíîñèëüíûìè, åñëè ðåøåíèÿ ýòèõ íåðàâåíñòâ ñîâïàäàþò; â ÷àñòíîñòè, íåðàâåíñòâà ðàâíîñèëüíû, åñëè
îáà íå èìåþò ðåøåíèé.
Ò.5.1. Åñëè â íåðàâåíñòâå êàêîå-íèáóäü ñëàãàåìîå
ïåðåíåñòè èç îäíîé ÷àñòè â äðóãóþ, èçìåíèâ çíàê
ýòîãî ñëàãàåìîãî íà ïðîòèâîïîëîæíûé, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.
Ò.5.2. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè
ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî,
òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.
Ò.5.3. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè
ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî,
èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê íåðàâåíñòâà íà ïðîòèâîïîëîæíûé, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.
245
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
Íàïðèìåð, íåðàâåíñòâà –6õ < 12 è õ > –2 ðàâíîñèëüíû (îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà –6õ < 12 ìû ðàçäåëèëè íà îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî –6, èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê
< èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà íà çíàê >).
Ò.5.4. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè
ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå âûðàæåíèå, ïðèíèìàþùåå ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.
Ò.5.5. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè
ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå âûðàæåíèå, ïðèíèìàþùåå ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê íåðàâåíñòâà
íà ïðîòèâîïîëîæíûé, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî,
ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.
182. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâ ñ îäíîé
ïåðåìåííîé. Äëÿ ãðàôè÷åñêîãî ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà
f (x) > g (x) íóæíî ïîñòðîèòü ãðàôèêè ôóíêöèé y =
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
2
ïðè õ > 2. Èòàê,
x
(2, + ¥) — ðåøåíèå íåðàâåíñòâà. n
âûøå ãðàôèêà ôóíêöèè y =
183. Ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà ñ îäíîé ïåðåìåííîé.
Çäåñü ðå÷ü èäåò î íåðàâåíñòâàõ âèäà ax > b èëè
ax < b, ax ³ b, ax £ b . Åñëè à > 0, òî íåðàâåíñòâî
b
ax > b ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó x > , ò. å. ìíîa
æåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà åñòü ïðîìåæóòîê
ö
æb
ç , + ¥ ÷ . Åñëè æå à < 0, òî íåðàâåíñòâî ax > b ðàâø
èa
íîñèëüíî íåðàâåíñòâó x <
b
, ïîýòîìó ìíîæåñòâîì
a
= f (x) è y = g (x) è âûáðàòü òå ïðîìåæóòêè îñè àáñöèññ, íà êîòîðûõ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) ðàñïîëîæåí âûøå ãðàôèêà ôóíêöèè y = g (x).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè íåðàâåíñòâî
2
log2 x > .
x
q Ïîñòðîèì â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ãðàôèêè
2
(ðèñ. 77). Èç ðèñóíêà
ôóíêöèé y = log 2 x è y =
x
âèäíî, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè y = log2 x ðàñïîëîæåí
246
Ðèñ. 77
247
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
Íàïðèìåð, íåðàâåíñòâà –6õ < 12 è õ > –2 ðàâíîñèëüíû (îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà –6õ < 12 ìû ðàçäåëèëè íà îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî –6, èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê
< èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà íà çíàê >).
Ò.5.4. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè
ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå âûðàæåíèå, ïðèíèìàþùåå ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.
Ò.5.5. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè
ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå âûðàæåíèå, ïðèíèìàþùåå ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê íåðàâåíñòâà
íà ïðîòèâîïîëîæíûé, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî,
ðàâíîñèëüíîå äàííîìó.
182. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâ ñ îäíîé
ïåðåìåííîé. Äëÿ ãðàôè÷åñêîãî ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà
f (x) > g (x) íóæíî ïîñòðîèòü ãðàôèêè ôóíêöèé y =
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
2
ïðè õ > 2. Èòàê,
x
(2, + ¥) — ðåøåíèå íåðàâåíñòâà. n
âûøå ãðàôèêà ôóíêöèè y =
183. Ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà ñ îäíîé ïåðåìåííîé.
Çäåñü ðå÷ü èäåò î íåðàâåíñòâàõ âèäà ax > b èëè
ax < b, ax ³ b, ax £ b . Åñëè à > 0, òî íåðàâåíñòâî
b
ax > b ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó x > , ò. å. ìíîa
æåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà åñòü ïðîìåæóòîê
ö
æb
ç , + ¥ ÷ . Åñëè æå à < 0, òî íåðàâåíñòâî ax > b ðàâø
èa
íîñèëüíî íåðàâåíñòâó x <
b
, ïîýòîìó ìíîæåñòâîì
a
= f (x) è y = g (x) è âûáðàòü òå ïðîìåæóòêè îñè àáñöèññ, íà êîòîðûõ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) ðàñïîëîæåí âûøå ãðàôèêà ôóíêöèè y = g (x).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè íåðàâåíñòâî
2
log2 x > .
x
q Ïîñòðîèì â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ãðàôèêè
2
(ðèñ. 77). Èç ðèñóíêà
ôóíêöèé y = log 2 x è y =
x
âèäíî, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè y = log2 x ðàñïîëîæåí
246
Ðèñ. 77
247
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
b ö
æ
ðåøåíèé íåðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòîê ç - ¥ , ÷ .
a
ø
è
Íàêîíåö, åñëè à = 0, òî íåðàâåíñòâî ïðèíèìàåò âèä
0 × x > b, ò. å. îíî íå èìååò ðåøåíèé â ñëó÷àå, êîãäà
b ³ 0, è âåðíî ïðè ëþáûõ õ â ñëó÷àå, êîãäà b < 0.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî
2 (x - 3) + 5 (1 - x) ³ 7 (2x - 5).
q Ðàñêðûâ ñêîáêè è óïðîùàÿ, èìååì
-2 x - 6 + 5 - 5x ³ 14x - 35; -3x - 14x ³ -35 + 1;
-17x ³ -34.
(1)
Ýòî íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî çàäàííîìó. Ðàçäåëèâ
òåïåðü îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà (1) íà îòðèöàòåëüíîå
÷èñëî –17 è èçìåíèâ çíàê íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî x £ 2, ðàâíîñèëüíîå (1). Èòàê, (- ¥, 2] —
ìíîæåñòâî ðåøåíèé çàäàííîãî íåðàâåíñòâà. n
184. Ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé.
Ãîâîðÿò, ÷òî íåñêîëüêî íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé îáðàçóþò ñèñòåìó, åñëè ñòàâèòñÿ çàäà÷à íàéòè
âñå îáùèå ðåøåíèÿ çàäàííûõ íåðàâåíñòâ. Çíà÷åíèå
ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðîé êàæäîå íåðàâåíñòâî ñèñòåìû îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå íåðàâåíñòâî, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû íåðàâåíñòâ.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó íåðàâåíñòâ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
q Ïåðâîå íåðàâåíñòâî ñèñòåìû ïðåîáðàçóåòñÿ â
ðàâíîñèëüíîå åìó íåðàâåíñòâî õ > –1,5, à âòîðîå — â
íåðàâåíñòâî õ < 1,25. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñâîìx > -1,5,
Ñ ïîìîùüþ
äèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû í
îx < 1,25.
êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé (ðèñ. 78) íàõîäèì, ÷òî èñêîìîå ìíîæåñòâî åñòü èíòåðâàë (–1,5; 1,25). n
185. Ñîâîêóïíîñòè íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé. Ãîâîðÿò, ÷òî íåñêîëüêî íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé îáðàçóþò ñîâîêóïíîñòü, åñëè ñòàâèòñÿ çàäà÷à íàéòè âñå òàêèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé, êàæäîå
èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì õîòÿ áû îäíîãî èç
äàííûõ íåðàâåíñòâ. Çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðîì õîòÿ áû îäíî èç íåðàâåíñòâ, îáðàçóþùèõ ñîâîêóïíîñòü, îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå íåðàâåíñòâî, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñîâîêóïíîñòè íåðàâåíñòâ.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü íåðàâåíñòâ
2x - 3 3x - 10 x
3x
>
; +1>
.
5
2
4
2
q Ïðåîáðàçîâàâ êàæäîå èç íåðàâåíñòâ, ïîëó÷èì
ñîâîêóïíîñòü, ðàâíîñèëüíóþ çàäàííîé: x < 4; x < 0,8.
Ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé (ðèñ. 79) óñòàíàâëèâàåì, ÷òî ðåøåíèåì çàäàííîé ñîâîêóïíîñòè ñëóæèò ïðîìåæóòîê (-¥, 4). n
ì5x + 2 > 3x - 1,
í
î3x + 1 > 7x - 4.
Ðèñ. 78
248
Ðèñ. 79
249
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
b ö
æ
ðåøåíèé íåðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòîê ç - ¥ , ÷ .
a
ø
è
Íàêîíåö, åñëè à = 0, òî íåðàâåíñòâî ïðèíèìàåò âèä
0 × x > b, ò. å. îíî íå èìååò ðåøåíèé â ñëó÷àå, êîãäà
b ³ 0, è âåðíî ïðè ëþáûõ õ â ñëó÷àå, êîãäà b < 0.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî
2 (x - 3) + 5 (1 - x) ³ 7 (2x - 5).
q Ðàñêðûâ ñêîáêè è óïðîùàÿ, èìååì
-2 x - 6 + 5 - 5x ³ 14x - 35; -3x - 14x ³ -35 + 1;
-17x ³ -34.
(1)
Ýòî íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî çàäàííîìó. Ðàçäåëèâ
òåïåðü îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà (1) íà îòðèöàòåëüíîå
÷èñëî –17 è èçìåíèâ çíàê íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî x £ 2, ðàâíîñèëüíîå (1). Èòàê, (- ¥, 2] —
ìíîæåñòâî ðåøåíèé çàäàííîãî íåðàâåíñòâà. n
184. Ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé.
Ãîâîðÿò, ÷òî íåñêîëüêî íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé îáðàçóþò ñèñòåìó, åñëè ñòàâèòñÿ çàäà÷à íàéòè
âñå îáùèå ðåøåíèÿ çàäàííûõ íåðàâåíñòâ. Çíà÷åíèå
ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðîé êàæäîå íåðàâåíñòâî ñèñòåìû îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå íåðàâåíñòâî, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû íåðàâåíñòâ.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó íåðàâåíñòâ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
q Ïåðâîå íåðàâåíñòâî ñèñòåìû ïðåîáðàçóåòñÿ â
ðàâíîñèëüíîå åìó íåðàâåíñòâî õ > –1,5, à âòîðîå — â
íåðàâåíñòâî õ < 1,25. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñâîìx > -1,5,
Ñ ïîìîùüþ
äèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû í
îx < 1,25.
êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé (ðèñ. 78) íàõîäèì, ÷òî èñêîìîå ìíîæåñòâî åñòü èíòåðâàë (–1,5; 1,25). n
185. Ñîâîêóïíîñòè íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé. Ãîâîðÿò, ÷òî íåñêîëüêî íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé îáðàçóþò ñîâîêóïíîñòü, åñëè ñòàâèòñÿ çàäà÷à íàéòè âñå òàêèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé, êàæäîå
èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì õîòÿ áû îäíîãî èç
äàííûõ íåðàâåíñòâ. Çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðîì õîòÿ áû îäíî èç íåðàâåíñòâ, îáðàçóþùèõ ñîâîêóïíîñòü, îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå íåðàâåíñòâî, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñîâîêóïíîñòè íåðàâåíñòâ.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü íåðàâåíñòâ
2x - 3 3x - 10 x
3x
>
; +1>
.
5
2
4
2
q Ïðåîáðàçîâàâ êàæäîå èç íåðàâåíñòâ, ïîëó÷èì
ñîâîêóïíîñòü, ðàâíîñèëüíóþ çàäàííîé: x < 4; x < 0,8.
Ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé (ðèñ. 79) óñòàíàâëèâàåì, ÷òî ðåøåíèåì çàäàííîé ñîâîêóïíîñòè ñëóæèò ïðîìåæóòîê (-¥, 4). n
ì5x + 2 > 3x - 1,
í
î3x + 1 > 7x - 4.
Ðèñ. 78
248
Ðèñ. 79
249
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
186. Äðîáíî-ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà. Çäåñü ðå÷ü
ax + b
ax + b
> 0 èëè
< 0,
èäåò î íåðàâåíñòâàõ âèäà
cx + d
cx + d
ãäå a ¹ 0, c ¹ 0.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî
q Èìååì
3x + 7
> 5.
2x - 7
-7x + 42
3x + 7
3x + 7 - 10x + 35
> 0.
- 5 > 0,
> 0,
2x - 7
2x - 7
2x - 7
Óìíîæèâ îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà íà –1
è èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì
7x - 42
< 0.
2x - 7
Äðîáü îòðèöàòåëüíà â äâóõ ñëó÷àÿõ: 1) åñëè ÷èñëèòåëü îòðèöàòåëåí, à çíàìåíàòåëü ïîëîæèòåëåí;
2) åñëè ÷èñëèòåëü ïîëîæèòåëåí, à çíàìåíàòåëü îòðèöàòåëåí. Çíà÷èò, ïîëó÷àåòñÿ ñîâîêóïíîñòü ñèñòåì
íåðàâåíñòâ
ì7x - 42 < 0, ì7x - 42 > 0,
í
í
î2x - 7 > 0; î2x - 7 < 0.
Èç ïåðâîé íàõîäèì õ < 6, x > 3,5, ò. å. 3,5 < x < 6.
Èç âòîðîé íàõîäèì x > 6, x < 3,5, ò. å. ñèñòåìà íå
èìååò ðåøåíèé. Çíà÷èò, ìíîæåñòâî ðåøåíèé äàííîãî íåðàâåíñòâà åñòü èíòåðâàë (3,5; 6). n
187. Íåðàâåíñòâà âòîðîé ñòåïåíè. Çäåñü ðå÷ü èäåò
î íåðàâåíñòâàõ âèäà ax2 + bx + c > 0 èëè ax 2 + bx +
+c < 0, ãäå a ¹ 0.
250
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
Ò.5.6. Åñëè äèñêðèìèíàíò D = b2 - 4ac êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà ax 2 + bx + c îòðèöàòåëåí, à ñòàðøèé êîýôôèöèåíò à ïîëîæèòåëåí, òî ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ
õ
âûïîëíÿåòñÿ
íåðàâåíñòâî
ax2 + bx + c > 0.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà D ³ 0. Äëÿ ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà ax2 + bx + c > 0 (èëè ax 2 + bx +
+c < 0 ) íóæíî ðàçëîæèòü êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí
2
ax 2 + bx + c íà ìíîæèòåëè ïî ôîðìóëå ax + bx +
+c = a (x - x1) (x - x2 ) (ñì. ï. 60), çàòåì ðàçäåëèòü
îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà a (x - x1 )(x - x2 ) > 0 (èëè
a (x - x1 )(x - x2 ) < 0 )íà ÷èñëî à, ñîõðàíèâ çíàê íåðàâåíñòâà, åñëè a > 0, è èçìåíèâ çíàê íåðàâåíñòâà íà
ïðîòèâîïîëîæíûé, åñëè a < 0 (ñì. ï.181), ò. å.
ïåðåéòè ê íåðàâåíñòâó (x - x1 ) (x - x2 ) > 0 (èëè
(x - x1 ) (x - x2 ) < 0 ). Òåïåðü îñòàåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñåë ïîëîæèòåëüíî
(îòðèöàòåëüíî), åñëè ìíîæèòåëè èìåþò îäèíàêîâûå
(ðàçíûå) çíàêè.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:
à) 2x2 + 5x + 2 > 0; á) 5 - 3x ³ 2x 2 .
q à) Íàéäåì êîðíè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà
2x 2 + 5x + 2. Èç óðàâíåíèÿ 2x2 + 5x + 2 = 0 ïîëó÷à-
åì x1 = -2,
x2 = -0,5.
Ïîýòîìó, 2x2 + 5x + 2 =
251
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
186. Äðîáíî-ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà. Çäåñü ðå÷ü
ax + b
ax + b
> 0 èëè
< 0,
èäåò î íåðàâåíñòâàõ âèäà
cx + d
cx + d
ãäå a ¹ 0, c ¹ 0.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî
q Èìååì
3x + 7
> 5.
2x - 7
-7x + 42
3x + 7
3x + 7 - 10x + 35
> 0.
- 5 > 0,
> 0,
2x - 7
2x - 7
2x - 7
Óìíîæèâ îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà íà –1
è èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì
7x - 42
< 0.
2x - 7
Äðîáü îòðèöàòåëüíà â äâóõ ñëó÷àÿõ: 1) åñëè ÷èñëèòåëü îòðèöàòåëåí, à çíàìåíàòåëü ïîëîæèòåëåí;
2) åñëè ÷èñëèòåëü ïîëîæèòåëåí, à çíàìåíàòåëü îòðèöàòåëåí. Çíà÷èò, ïîëó÷àåòñÿ ñîâîêóïíîñòü ñèñòåì
íåðàâåíñòâ
ì7x - 42 < 0, ì7x - 42 > 0,
í
í
î2x - 7 > 0; î2x - 7 < 0.
Èç ïåðâîé íàõîäèì õ < 6, x > 3,5, ò. å. 3,5 < x < 6.
Èç âòîðîé íàõîäèì x > 6, x < 3,5, ò. å. ñèñòåìà íå
èìååò ðåøåíèé. Çíà÷èò, ìíîæåñòâî ðåøåíèé äàííîãî íåðàâåíñòâà åñòü èíòåðâàë (3,5; 6). n
187. Íåðàâåíñòâà âòîðîé ñòåïåíè. Çäåñü ðå÷ü èäåò
î íåðàâåíñòâàõ âèäà ax2 + bx + c > 0 èëè ax 2 + bx +
+c < 0, ãäå a ¹ 0.
250
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
Ò.5.6. Åñëè äèñêðèìèíàíò D = b2 - 4ac êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà ax 2 + bx + c îòðèöàòåëåí, à ñòàðøèé êîýôôèöèåíò à ïîëîæèòåëåí, òî ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ
õ
âûïîëíÿåòñÿ
íåðàâåíñòâî
ax2 + bx + c > 0.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà D ³ 0. Äëÿ ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà ax2 + bx + c > 0 (èëè ax 2 + bx +
+c < 0 ) íóæíî ðàçëîæèòü êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí
2
ax 2 + bx + c íà ìíîæèòåëè ïî ôîðìóëå ax + bx +
+c = a (x - x1) (x - x2 ) (ñì. ï. 60), çàòåì ðàçäåëèòü
îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà a (x - x1 )(x - x2 ) > 0 (èëè
a (x - x1 )(x - x2 ) < 0 )íà ÷èñëî à, ñîõðàíèâ çíàê íåðàâåíñòâà, åñëè a > 0, è èçìåíèâ çíàê íåðàâåíñòâà íà
ïðîòèâîïîëîæíûé, åñëè a < 0 (ñì. ï.181), ò. å.
ïåðåéòè ê íåðàâåíñòâó (x - x1 ) (x - x2 ) > 0 (èëè
(x - x1 ) (x - x2 ) < 0 ). Òåïåðü îñòàåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñåë ïîëîæèòåëüíî
(îòðèöàòåëüíî), åñëè ìíîæèòåëè èìåþò îäèíàêîâûå
(ðàçíûå) çíàêè.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:
à) 2x2 + 5x + 2 > 0; á) 5 - 3x ³ 2x 2 .
q à) Íàéäåì êîðíè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà
2x 2 + 5x + 2. Èç óðàâíåíèÿ 2x2 + 5x + 2 = 0 ïîëó÷à-
åì x1 = -2,
x2 = -0,5.
Ïîýòîìó, 2x2 + 5x + 2 =
251
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
= 2 (x + 2) (x + 0,5), è ìû ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó
2 (x + 2) (x + 0,5) > 0, îòêóäà (x + 2) (x + 0,5) > 0. Çíà÷èò, âûðàæåíèÿ x + 2 è x +
êîâûå çíàêè, ò. å.
1
äîëæíû èìåòü îäèíà2
ìx + 2 > 0,
ìx + 2 < 0,
èëè í
í
îx + 0,5 > 0
îx + 0,5 < 0.
Èç ïåðâîé ñèñòåìû íàõîäèì, ÷òî x > -0,5, à èç
âòîðîé — ÷òî x < -2. Îòâåò ìîæíî çàïèñàòü òàê:
(-¥, - 2) 7 (-0,5; + ¥).
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
(ò. å. óðàâíåíèå ax2 + bx + c = 0 èìååò äâà ðàçëè÷íûõ êîðíÿ); ïàðàáîëà èìååò âåðøèíó íà îñè Îõ
(ò. å. óðàâíåíèå ax2 + bx + c = 0 èìååò îäèí êîðåíü);
ïàðàáîëà íå ïåðåñåêàåò îñü Îõ (ò. å. óðàâíåíèå
ax2 + bx + c = 0 íå èìååò êîðíåé). Òàêèì îáðàçîì,
âîçìîæíû øåñòü ïîëîæåíèé ïàðàáîëû, ñëóæàùåé ãðà2
ôèêîì ôóíêöèè y = ax + bx + c îòíîñèòåëüíî îñè
Îõ, — îíè ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 80 è 81.
á) Ïðåîáðàçóåì íåðàâåíñòâî ê âèäó 2x2 + 3x -5 £ 0. Êîðíè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà 2x 2 + 3x - 5
òàêîâû: x1 = -2,5, x2 = 1. Ðàçëîæèâ òðåõ÷ëåí íà ìíî-
æèòåëè, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî 2 (x + 2,5) (x - 1) £ 0,
ò. å. (x + 2,5) (x - 1) £ 0. Îò ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà
ïåðåõîäèì ê ñîâîêóïíîñòè ñèñòåì:
à)
á)
â)
Ðèñ. 80
ìx + 2,5 £ 0, ìx + 2,5 ³ 0,
í
í
îx - 1 ³ 0;
îx - 1 £ 0.
Ïåðâàÿ íå èìååò ðåøåíèé, à èç âòîðîé íàõîäèì
-2,5 £ x £ 1. n
188. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâ âòîðîé
ñòåïåíè. Ãðàôèêîì êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè y = ax2 +
+ bx + ñ ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà, âåòâè êîòîðîé íàïðàâëåíû ââåðõ, åñëè a > 0, è âíèç, åñëè a < 0. Ïðè ýòîì
âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ: ïàðàáîëà ïåðåñåêàåò îñü Îõ
252
à)
á)
â)
Ðèñ. 81
253
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
= 2 (x + 2) (x + 0,5), è ìû ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó
2 (x + 2) (x + 0,5) > 0, îòêóäà (x + 2) (x + 0,5) > 0. Çíà÷èò, âûðàæåíèÿ x + 2 è x +
êîâûå çíàêè, ò. å.
1
äîëæíû èìåòü îäèíà2
ìx + 2 > 0,
ìx + 2 < 0,
èëè í
í
îx + 0,5 > 0
îx + 0,5 < 0.
Èç ïåðâîé ñèñòåìû íàõîäèì, ÷òî x > -0,5, à èç
âòîðîé — ÷òî x < -2. Îòâåò ìîæíî çàïèñàòü òàê:
(-¥, - 2) 7 (-0,5; + ¥).
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
(ò. å. óðàâíåíèå ax2 + bx + c = 0 èìååò äâà ðàçëè÷íûõ êîðíÿ); ïàðàáîëà èìååò âåðøèíó íà îñè Îõ
(ò. å. óðàâíåíèå ax2 + bx + c = 0 èìååò îäèí êîðåíü);
ïàðàáîëà íå ïåðåñåêàåò îñü Îõ (ò. å. óðàâíåíèå
ax2 + bx + c = 0 íå èìååò êîðíåé). Òàêèì îáðàçîì,
âîçìîæíû øåñòü ïîëîæåíèé ïàðàáîëû, ñëóæàùåé ãðà2
ôèêîì ôóíêöèè y = ax + bx + c îòíîñèòåëüíî îñè
Îõ, — îíè ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 80 è 81.
á) Ïðåîáðàçóåì íåðàâåíñòâî ê âèäó 2x2 + 3x -5 £ 0. Êîðíè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà 2x 2 + 3x - 5
òàêîâû: x1 = -2,5, x2 = 1. Ðàçëîæèâ òðåõ÷ëåí íà ìíî-
æèòåëè, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî 2 (x + 2,5) (x - 1) £ 0,
ò. å. (x + 2,5) (x - 1) £ 0. Îò ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà
ïåðåõîäèì ê ñîâîêóïíîñòè ñèñòåì:
à)
á)
â)
Ðèñ. 80
ìx + 2,5 £ 0, ìx + 2,5 ³ 0,
í
í
îx - 1 ³ 0;
îx - 1 £ 0.
Ïåðâàÿ íå èìååò ðåøåíèé, à èç âòîðîé íàõîäèì
-2,5 £ x £ 1. n
188. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâ âòîðîé
ñòåïåíè. Ãðàôèêîì êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè y = ax2 +
+ bx + ñ ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà, âåòâè êîòîðîé íàïðàâëåíû ââåðõ, åñëè a > 0, è âíèç, åñëè a < 0. Ïðè ýòîì
âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ: ïàðàáîëà ïåðåñåêàåò îñü Îõ
252
à)
á)
â)
Ðèñ. 81
253
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè íåðàâåíñòâî:
à) 2x2 - 5x + 2 > 0; á) - x 2 + 4x - 4 > 0.
q Óðàâíåíèå 2x 2 - 5x + 2 = 0 èìååò äâà êîðíÿ:
x1 = 0,5, x2 = 2. Ïàðàáîëà, ñëóæàùàÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè y = 2x2 - 5x + 2, èìååò âèä, èçîáðàæåííûé íà
2
ðèñ. 80, à. Íåðàâåíñòâî 2x - 5x + 2 > 0 âûïîëíÿåòñÿ
ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ õ, ïðè êîòîðûõ òî÷êè ïàðàáîëû
ëåæàò âûøå îñè Îõ: ýòî áóäåò ïðè x < x1 èëè x > x2 ,
ò. å. ïðè x < 0,5 èëè ïðè x > 2. Çíà÷èò, ðåøåíèÿ
íåðàâåíñòâà òàêîâû: x < 0,5, x > 2.
á) Óðàâíåíèå - x2 + 4x - 4 = 0 èìååò îäèí êîðåíü
õ = 2. Ïàðàáîëà, ñëóæàùàÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè
y = -x2 + 4x - 4, èìååò âèä, èçîáðàæåííûé íà ðèñ.
81, á.
Íåðàâåíñòâî - x2 + 4x - 4 > 0 âûïîëíÿåòñÿ ïðè
òåõ çíà÷åíèÿõ, ïðè êîòîðûõ òî÷êè ïàðàáîëû ëåæàò
âûøå îñè Îõ. Òàêèõ òî÷åê íåò, çíà÷èò, íåðàâåíñòâî
íå èìååò ðåøåíèé. n
189. Íåðàâåíñòâà ñ ìîäóëÿìè. Ïðè ðåøåíèè íåðàâåíñòâ, ñîäåðæàùèõ ïåðåìåííûå ïîä çíàêîì ìîäóëÿ, èñïîëüçóåòñÿ îïðåäåëåíèå ìîäóëÿ:
ìf (x), åñëè f (x) ³ 0,
f (x) = í
î - f (x), åñëè f (x) < 0.
Èíîãäà ïîëåçíî èñïîëüçîâàòü ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ìîäóëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà (ñì. ï. 29).
254
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
Êðîìå òîãî, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä âîçâåäåíèÿ
â êâàäðàò îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà, îñíîâàííûé íà
ñëåäóþùåé òåîðåìå:
Ò.5.7. Åñëè âûðàæåíèÿ f (x) è g (x) ïðè ëþáûõ õ
ïðèíèìàþò òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ,
òî íåðàâåíñòâà f (x) > g (x) è (f (x))2 > (g (x))2
ðàâíîñèëüíû.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî x - 1 < 2.
q I ñïîñîá. Âåëè÷èíó x - 1 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàññòîÿíèå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé ìåæäó òî÷êàìè õ è 1. Çíà÷èò, íàì íóæíî óêàçàòü âñå
òî÷êè õ, êîòîðûå óäàëåíû îò òî÷êè 1 ìåíüøå ÷åì íà
2 åäèíèöû. Ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé óñòàíàâëèâàåì, ÷òî ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà åñòü
èíòåðâàë (–1, 3).
II ñïîñîá. Âîçâåäÿ îáå ÷àñòè äàííîãî íåðàâåíñòâà
â êâàäðàò, ïîëó÷èì ðàâíîñèëüíîå åìó íåðàâåíñòâî
(x - 1)2 < 4. Ðåøèâ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî, ïîëó÷èì
x2 - 2x - 3 < 0, îòêóäà íàõîäèì, ÷òî -1 < x < 3 (ñì.
ï.187 èëè ï.188).
III ñïîñîá. Ïî îïðåäåëåíèþ,
åñëè x - 1 ³ 0,
ìx - 1,
x -1 = í
x
åñëè x - 1 < 0.
(
1
),
î
Ïîýòîìó äàííîå íåðàâåíñòâî ìîæíî çàìåíèòü ñîâîêóïíîñòüþ äâóõ ñèñòåì íåðàâåíñòâ:
ì x - 1 ³ 0, ìx - 1 < 0,
í
í
î x - 1 < 2; î - (x - 1) < 2.
255
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè íåðàâåíñòâî:
à) 2x2 - 5x + 2 > 0; á) - x 2 + 4x - 4 > 0.
q Óðàâíåíèå 2x 2 - 5x + 2 = 0 èìååò äâà êîðíÿ:
x1 = 0,5, x2 = 2. Ïàðàáîëà, ñëóæàùàÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè y = 2x2 - 5x + 2, èìååò âèä, èçîáðàæåííûé íà
2
ðèñ. 80, à. Íåðàâåíñòâî 2x - 5x + 2 > 0 âûïîëíÿåòñÿ
ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ õ, ïðè êîòîðûõ òî÷êè ïàðàáîëû
ëåæàò âûøå îñè Îõ: ýòî áóäåò ïðè x < x1 èëè x > x2 ,
ò. å. ïðè x < 0,5 èëè ïðè x > 2. Çíà÷èò, ðåøåíèÿ
íåðàâåíñòâà òàêîâû: x < 0,5, x > 2.
á) Óðàâíåíèå - x2 + 4x - 4 = 0 èìååò îäèí êîðåíü
õ = 2. Ïàðàáîëà, ñëóæàùàÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè
y = -x2 + 4x - 4, èìååò âèä, èçîáðàæåííûé íà ðèñ.
81, á.
Íåðàâåíñòâî - x2 + 4x - 4 > 0 âûïîëíÿåòñÿ ïðè
òåõ çíà÷åíèÿõ, ïðè êîòîðûõ òî÷êè ïàðàáîëû ëåæàò
âûøå îñè Îõ. Òàêèõ òî÷åê íåò, çíà÷èò, íåðàâåíñòâî
íå èìååò ðåøåíèé. n
189. Íåðàâåíñòâà ñ ìîäóëÿìè. Ïðè ðåøåíèè íåðàâåíñòâ, ñîäåðæàùèõ ïåðåìåííûå ïîä çíàêîì ìîäóëÿ, èñïîëüçóåòñÿ îïðåäåëåíèå ìîäóëÿ:
ìf (x), åñëè f (x) ³ 0,
f (x) = í
î - f (x), åñëè f (x) < 0.
Èíîãäà ïîëåçíî èñïîëüçîâàòü ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ìîäóëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà (ñì. ï. 29).
254
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
Êðîìå òîãî, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä âîçâåäåíèÿ
â êâàäðàò îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà, îñíîâàííûé íà
ñëåäóþùåé òåîðåìå:
Ò.5.7. Åñëè âûðàæåíèÿ f (x) è g (x) ïðè ëþáûõ õ
ïðèíèìàþò òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ,
òî íåðàâåíñòâà f (x) > g (x) è (f (x))2 > (g (x))2
ðàâíîñèëüíû.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî x - 1 < 2.
q I ñïîñîá. Âåëè÷èíó x - 1 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàññòîÿíèå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé ìåæäó òî÷êàìè õ è 1. Çíà÷èò, íàì íóæíî óêàçàòü âñå
òî÷êè õ, êîòîðûå óäàëåíû îò òî÷êè 1 ìåíüøå ÷åì íà
2 åäèíèöû. Ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé óñòàíàâëèâàåì, ÷òî ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà åñòü
èíòåðâàë (–1, 3).
II ñïîñîá. Âîçâåäÿ îáå ÷àñòè äàííîãî íåðàâåíñòâà
â êâàäðàò, ïîëó÷èì ðàâíîñèëüíîå åìó íåðàâåíñòâî
(x - 1)2 < 4. Ðåøèâ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî, ïîëó÷èì
x2 - 2x - 3 < 0, îòêóäà íàõîäèì, ÷òî -1 < x < 3 (ñì.
ï.187 èëè ï.188).
III ñïîñîá. Ïî îïðåäåëåíèþ,
åñëè x - 1 ³ 0,
ìx - 1,
x -1 = í
x
åñëè x - 1 < 0.
(
1
),
î
Ïîýòîìó äàííîå íåðàâåíñòâî ìîæíî çàìåíèòü ñîâîêóïíîñòüþ äâóõ ñèñòåì íåðàâåíñòâ:
ì x - 1 ³ 0, ìx - 1 < 0,
í
í
î x - 1 < 2; î - (x - 1) < 2.
255
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
Èç ïåðâîé ñèñòåìû ñëåäóåò, ÷òî 1 £ x < 3, à èç
âòîðîé — ÷òî -1 < x < 1. Îáúåäèíèâ ýòè ðåøåíèÿ,
ïîëó÷èì ïðîìåæóòîê (–1, 3). n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:
à) 2x + 4 £ 3x + 2; á) 1 - 2x > 8 - x.
q à) Åñëè 2x + 4 ³ 0, òî 2x + 4 = 2x + 4, è, ñëåäîâàòåëüíî, íåðàâåíñòâî ïðèìåò âèä 2x + 4 £ 3x + 2.
Åñëè æå 2x + 4 < 0, òî 2x + 4 = -(2x + 4), è íåðàâåíñòâî ïðèíèìàåò âèä -(2x + 4) £ 3x + 2. Òàêèì îáðàçîì, äàííîå íåðàâåíñòâî ìîæíî çàìåíèòü ñîâîêóïíîñòüþ äâóõ ñèñòåì:
ì2x + 4 ³ 0,
ì2x + 4 < 0,
í
í
î2x + 4 £ 3x + 2; î - (2x + 4) £ 3x + 2.
Èç ïåðâîé ñèñòåìû íàõîäèì x ³ 2, à âòîðàÿ íå
èìååò ðåøåíèé. Çíà÷èò, ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñò⠗ ëó÷ [2, + ¥).
á) Åñëè 1 - 2x ³ 0, òî 1 - 2x = 1 - 2x, ò. å. íåðàâåíñòâî ïðèìåò âèä 1 - 2x > 8 - x. Åñëè æå 1 - 2x < 0,
òî 1 - 2x = 2x - 1, ò. å. íåðàâåíñòâî ïðèìåò âèä
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
Èç ïåðâîé ñèñòåìû ñëåäóåò, ÷òî x < – 7, à èç âòîðîé — ÷òî x > 3. Îòâåò ìîæíî çàïèñàòü êàê îáúåäèíåíèå äâóõ ïðîìåæóòêîâ: (- ¥, - 7) 7 (3, + ¥). n
190. Ðåøåíèå ðàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ ìåòîäîì ïðîìåæóòêîâ. Ðåøåíèå ðàöèîíàëüíûõ íåðàp (x)
> 0 (âìåñòî çíàêà > ìîæåò áûòü
âåíñòâ âèäà
q (x)
ëþáîé äðóãîé çíàê íåðàâåíñòâà), ãäå p (x) è q (x) —
ìíîãî÷ëåíû, îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì ðàññóæäåíèè.
(x - a) (x - b)
, ãäå
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ h (x) =
(x - c) (x - d )
a < b < c < d. Åñëè x > d, òî êàæäûé èç ìíîæèòåëåé
x - a, x - b, x - c, x - d ïîëîæèòåëåí, è, ñëåäîâàòåëüíî, íà ïðîìåæóòêå (d, + ¥) èìååì h (x) > 0. Åñëè
c < x < d, òî x - d < 0, à îñòàëüíûå ìíîæèòåëè ïîïðåæíåìó ïîëîæèòåëüíû. Çíà÷èò, íà èíòåðâàëå
(c, d) èìååì h(x) < 0. Àíàëîãè÷íî íà èíòåðâàëå (b, c)
ïîëó÷èì h (x) > 0 è ò. ä. (ðèñ. 82, à).
Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè h (x) óäîáíî èëëþñòðèðîâàòü ñ ïîìîùüþ âîëíîîáðàçíîé êðèâîé (åå íàçûâàþò êðèâîé çíàêîâ), êîòîðóþ ÷åðòÿò ñïðàâà íàëåâî, íà÷èíàÿ ñâåðõó (ðèñ. 82, á). Ýòó èëëþñòðàöèþ
2x - 1 > 8 - x. Çíà÷èò, îò äàííîãî íåðàâåíñòâà ïåðåõîäèì ê ñîâîêóïíîñòè äâóõ ñèñòåì:
ì1 - 2x < 0,
ì1 - 2x ³ 0,
í
í
î1 - 2x > 8 - x; î2x - 1 > 8 - x.
256
à)
á)
Ðèñ. 82
257
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
Èç ïåðâîé ñèñòåìû ñëåäóåò, ÷òî 1 £ x < 3, à èç
âòîðîé — ÷òî -1 < x < 1. Îáúåäèíèâ ýòè ðåøåíèÿ,
ïîëó÷èì ïðîìåæóòîê (–1, 3). n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:
à) 2x + 4 £ 3x + 2; á) 1 - 2x > 8 - x.
q à) Åñëè 2x + 4 ³ 0, òî 2x + 4 = 2x + 4, è, ñëåäîâàòåëüíî, íåðàâåíñòâî ïðèìåò âèä 2x + 4 £ 3x + 2.
Åñëè æå 2x + 4 < 0, òî 2x + 4 = -(2x + 4), è íåðàâåíñòâî ïðèíèìàåò âèä -(2x + 4) £ 3x + 2. Òàêèì îáðàçîì, äàííîå íåðàâåíñòâî ìîæíî çàìåíèòü ñîâîêóïíîñòüþ äâóõ ñèñòåì:
ì2x + 4 ³ 0,
ì2x + 4 < 0,
í
í
î2x + 4 £ 3x + 2; î - (2x + 4) £ 3x + 2.
Èç ïåðâîé ñèñòåìû íàõîäèì x ³ 2, à âòîðàÿ íå
èìååò ðåøåíèé. Çíà÷èò, ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñò⠗ ëó÷ [2, + ¥).
á) Åñëè 1 - 2x ³ 0, òî 1 - 2x = 1 - 2x, ò. å. íåðàâåíñòâî ïðèìåò âèä 1 - 2x > 8 - x. Åñëè æå 1 - 2x < 0,
òî 1 - 2x = 2x - 1, ò. å. íåðàâåíñòâî ïðèìåò âèä
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
Èç ïåðâîé ñèñòåìû ñëåäóåò, ÷òî x < – 7, à èç âòîðîé — ÷òî x > 3. Îòâåò ìîæíî çàïèñàòü êàê îáúåäèíåíèå äâóõ ïðîìåæóòêîâ: (- ¥, - 7) 7 (3, + ¥). n
190. Ðåøåíèå ðàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ ìåòîäîì ïðîìåæóòêîâ. Ðåøåíèå ðàöèîíàëüíûõ íåðàp (x)
> 0 (âìåñòî çíàêà > ìîæåò áûòü
âåíñòâ âèäà
q (x)
ëþáîé äðóãîé çíàê íåðàâåíñòâà), ãäå p (x) è q (x) —
ìíîãî÷ëåíû, îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì ðàññóæäåíèè.
(x - a) (x - b)
, ãäå
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ h (x) =
(x - c) (x - d )
a < b < c < d. Åñëè x > d, òî êàæäûé èç ìíîæèòåëåé
x - a, x - b, x - c, x - d ïîëîæèòåëåí, è, ñëåäîâàòåëüíî, íà ïðîìåæóòêå (d, + ¥) èìååì h (x) > 0. Åñëè
c < x < d, òî x - d < 0, à îñòàëüíûå ìíîæèòåëè ïîïðåæíåìó ïîëîæèòåëüíû. Çíà÷èò, íà èíòåðâàëå
(c, d) èìååì h(x) < 0. Àíàëîãè÷íî íà èíòåðâàëå (b, c)
ïîëó÷èì h (x) > 0 è ò. ä. (ðèñ. 82, à).
Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè h (x) óäîáíî èëëþñòðèðîâàòü ñ ïîìîùüþ âîëíîîáðàçíîé êðèâîé (åå íàçûâàþò êðèâîé çíàêîâ), êîòîðóþ ÷åðòÿò ñïðàâà íàëåâî, íà÷èíàÿ ñâåðõó (ðèñ. 82, á). Ýòó èëëþñòðàöèþ
2x - 1 > 8 - x. Çíà÷èò, îò äàííîãî íåðàâåíñòâà ïåðåõîäèì ê ñîâîêóïíîñòè äâóõ ñèñòåì:
ì1 - 2x < 0,
ì1 - 2x ³ 0,
í
í
î1 - 2x > 8 - x; î2x - 1 > 8 - x.
256
à)
á)
Ðèñ. 82
257
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
íóæíî ïîíèìàòü òàê: íà òåõ ïðîìåæóòêàõ, ãäå ýòà
êðèâàÿ ïðîõîäèò âûøå êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî h (x) > 0, íà òåõ æå ïðîìåæóòêàõ, ãäå êðèâàÿ ïðîõîäèò íèæå ïðÿìîé, — íåðàâåíñòâî h(x) < 0.
Äëÿ ïðîâåäåííîãî âûøå ðàññóæäåíèÿ íåñóùåñòâåííî êîëè÷åñòâî ëèíåéíûõ ìíîæèòåëåé â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå, à òàêæå âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå
êîðíåé ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ äðîáè íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. Ïîýòîìó îíî ïðèìåíèìî è äëÿ ôóíêöèè âèäà
f (x) =
(x - a1 ) (x - a2 )... (x - an )
,
(x - b1 ) (x - b2 )... (x - bk )
ãäå ÷èñëà a1, a2,..., an , b1, b2 ,..., bk ïîïàðíî ðàçëè÷íû. Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè f (x) òàêæå èëëþñòðèðóþò ñ ïîìîùüþ êðèâîé çíàêîâ, êîòîðóþ ÷åðòÿò
ñïðàâà íàëåâî, íà÷èíàÿ ñâåðõó, è ïðîâîäÿò ÷åðåç âñå
îòìå÷åííûå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé òî÷êè
a1, a2 ,..., an , b1, b2 ,..., bk . Íà ýòîì îñíîâàí ìåòîä
ïðîìåæóòêîâ, êîòîðûé ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ
ðàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
è óìíîæèì îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà íà 8; ïîëó÷èì
íåðàâåíñòâî
(x + 5) (x - 3 ) (x + 2 )
< 0, ðàâíîñèëü(x - 1,5) (x + 1,25)
íîå äàííîìó.
Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè
f(x) =
(x + 5) (x - 3 ) (x + 2 )
(x - 1,5) (x + 1,25)
èëëþñòðèðóåì ñ ïîìîùüþ êðèâîé çíàêîâ (ðèñ. 83).
Çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ f (x) < 0 (ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîìåæóòêè çàøòðèõîâàíû), óäîâëåòâîðÿþò
ñëåäóþùèì íåðàâåíñòâàì: x < -5; - 2 < x < -1,25;
1,5 < x < 3. Ýòî ðåøåíèÿ èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà.
á) Èìååì
x2 - x - 6
2
- 1 £ 0;
x+5
³ 0.
(x - 1) (x + 1)
x -1
Íà÷åðòèì êðèâóþ çíàêîâ äëÿ ôóíêöèè f (x) =
x+5
=
(ðèñ. 84). Ñ åå ïîìîùüþ íàõîäèì ðå(x - 1) (x + 1)
øåíèÿ íåðàâåíñòâà: -5 £ x < -1; x > 1. n
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:
(x - 3) (x + 2)
(x + 5) (x - 3 ) (x + 2 )
£ 1.
< 0; á)
(2x - 3) (4x + 5)
x2 - 1
à)
q à) Ïðåîáðàçóåì ëåâóþ ÷àñòü íåðàâåíñòâà:
(x + 5) (x - 3 ) (x + 2 )
<0
2 x - 1,5 × 4 x + 1,25 258
1
Ðèñ. 83
5
Ðèñ. 84
259
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
íóæíî ïîíèìàòü òàê: íà òåõ ïðîìåæóòêàõ, ãäå ýòà
êðèâàÿ ïðîõîäèò âûøå êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî h (x) > 0, íà òåõ æå ïðîìåæóòêàõ, ãäå êðèâàÿ ïðîõîäèò íèæå ïðÿìîé, — íåðàâåíñòâî h(x) < 0.
Äëÿ ïðîâåäåííîãî âûøå ðàññóæäåíèÿ íåñóùåñòâåííî êîëè÷åñòâî ëèíåéíûõ ìíîæèòåëåé â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå, à òàêæå âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå
êîðíåé ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ äðîáè íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. Ïîýòîìó îíî ïðèìåíèìî è äëÿ ôóíêöèè âèäà
f (x) =
(x - a1 ) (x - a2 )... (x - an )
,
(x - b1 ) (x - b2 )... (x - bk )
ãäå ÷èñëà a1, a2,..., an , b1, b2 ,..., bk ïîïàðíî ðàçëè÷íû. Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè f (x) òàêæå èëëþñòðèðóþò ñ ïîìîùüþ êðèâîé çíàêîâ, êîòîðóþ ÷åðòÿò
ñïðàâà íàëåâî, íà÷èíàÿ ñâåðõó, è ïðîâîäÿò ÷åðåç âñå
îòìå÷åííûå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé òî÷êè
a1, a2 ,..., an , b1, b2 ,..., bk . Íà ýòîì îñíîâàí ìåòîä
ïðîìåæóòêîâ, êîòîðûé ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ
ðàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
è óìíîæèì îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà íà 8; ïîëó÷èì
íåðàâåíñòâî
(x + 5) (x - 3 ) (x + 2 )
< 0, ðàâíîñèëü(x - 1,5) (x + 1,25)
íîå äàííîìó.
Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè
f(x) =
(x + 5) (x - 3 ) (x + 2 )
(x - 1,5) (x + 1,25)
èëëþñòðèðóåì ñ ïîìîùüþ êðèâîé çíàêîâ (ðèñ. 83).
Çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ f (x) < 0 (ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîìåæóòêè çàøòðèõîâàíû), óäîâëåòâîðÿþò
ñëåäóþùèì íåðàâåíñòâàì: x < -5; - 2 < x < -1,25;
1,5 < x < 3. Ýòî ðåøåíèÿ èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà.
á) Èìååì
x2 - x - 6
2
- 1 £ 0;
x+5
³ 0.
(x - 1) (x + 1)
x -1
Íà÷åðòèì êðèâóþ çíàêîâ äëÿ ôóíêöèè f (x) =
x+5
=
(ðèñ. 84). Ñ åå ïîìîùüþ íàõîäèì ðå(x - 1) (x + 1)
øåíèÿ íåðàâåíñòâà: -5 £ x < -1; x > 1. n
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:
(x - 3) (x + 2)
(x + 5) (x - 3 ) (x + 2 )
£ 1.
< 0; á)
(2x - 3) (4x + 5)
x2 - 1
à)
q à) Ïðåîáðàçóåì ëåâóþ ÷àñòü íåðàâåíñòâà:
(x + 5) (x - 3 ) (x + 2 )
<0
2 x - 1,5 × 4 x + 1,25 258
1
Ðèñ. 83
5
Ðèñ. 84
259
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
191. Ïîêàçàòåëüíûå íåðàâåíñòâà. Ïðè ðåøåíèè
íåðàâåíñòâ âèäà a f (x) > a g (x) ñëåäóåò ó÷èòûâàòü, ÷òî
ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ó = àõ âîçðàñòàåò ïðè à > 1
è óáûâàåò ïðè 0 < a < 1 (ñì. ï. 114). Çíà÷èò, â ñëó÷àå,
êîãäà à > 1, îò íåðàâåíñòâà a f (x) > a g (x) ïåðåõîäÿò ê
íåðàâåíñòâó òîãî æå ñìûñëà f (x) > g (x).  ñëó÷àå
æå, êîãäà 0 < a < 1, îò íåðàâåíñòâà a f (x) > a g (x) ïåðåõîäÿò ê íåðàâåíñòâó ïðîòèâîïîëîæíîãî ñìûñëà
f (x) < g(x).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:
à) 23x +7 < 22x -1; á) (0,04)5x -x
2
-8
£ 625.
q Çäåñü îñíîâàíèå ñòåïåíè áîëüøå 1, ïîýòîìó, ñðàâíèâàÿ ïîêàçàòåëè, çàïèøåì íåðàâåíñòâî òîãî æå
ñìûñëà: 3õ + 7 < 2x –1. Ðåøèâ åãî, ïîëó÷èì x < –8.
á) Ïîñêîëüêó 625 = 252 = (0,04)–2, çàïèøåì äàí5x - x 2
-8
íîå íåðàâåíñòâî â âèäå (0,04)
£ (0,04) -2 . Òàê
êàê 0 < 0,04 < 1, òî, ñðàâíèâàÿ ïîêàçàòåëè, çàïèøåì
íåðàâåíñòâî ïðîòèâîïîëîæíîãî ñìûñëà: 5x - x 2 -8 ³ -2. Èìååì
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
192. Ëîãàðèôìè÷åñêèå íåðàâåíñòâà. Ïðè ðåøåíèè íåðàâåíñòâ âèäà log a f (x) > log a g (x) ñëåäóåò
ó÷èòûâàòü, ÷òî ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ y = loga x
âîçðàñòàåò ïðè à > 1 è óáûâàåò ïðè 0 < a < 1 (ñì.
ï. 116). Ïîýòîìó â ñëó÷àå, êîãäà à > 1, îò èñõîäíîãî
íåðàâåíñòâà ïåðåõîäÿò ê íåðàâåíñòâó òîãî æå ñìûñëà f (x) > g (x).  ñëó÷àå æå, êîãäà 0 < a < 1, îò èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà ïåðåõîäÿò ê íåðàâåíñòâó ïðîòèâîïîëîæíîãî ñìûñëà f (x) < g (x). Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ïîìíèòü, ÷òî ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ëèøü íà ìíîæåñòâå ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë. Çíà÷èò, äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâà f (x) > 0 è
g (x) > 0.
 èòîãå îò íåðàâåíñòâà loga f (x) > loga g (x) ïåðåõîäÿò ê ñèñòåìå íåðàâåíñòâ
ì f (x) > 0,
ï
(1)
í g (x) > 0,
ï f (x) > g (x)
î
ì f (x) > 0,
ï
èëè í g (x) > 0,
(2)
ï f (x) < g (x).
î
Çàìåòèì, ÷òî â ñèñòåìå (1) (ïðè à > 1) íåðàâåíñòâî f (x) > 0 ìîæíî îïóñòèòü; àíàëîãè÷íî, â ñèñòåìå (2)
–x2+ 5x – 6 ³ 0, x2– 5x + 6 £ 0, (x – 2) (x – 3) £ 0.
(ïðè 0 < a < 1) ìîæíî îïóñòèòü íåðàâåíñòâî g (x) > 0.
Ðåøèâ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî (ñì. ï. 190 èëè
ï. 187), ïîëó÷èì 2 £ x £ 3.
Èòàê, ìíîæåñòâî ðåøåíèé çàäàííîãî íåðàâåíñòâà
åñòü îòðåçîê [2, 3]. n
à) log0,5 (2x + 59) > -2; á) lg (x + 2) < 2 - lg (2x - 6).
260
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:
q à) Òàê êàê -2 = log0,5 4, òî íåðàâåíñòâî ìîæíî
ïåðåïèñàòü â âèäå log0,5 (2x + 59) > log0,5 4. Äàëåå
261
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
191. Ïîêàçàòåëüíûå íåðàâåíñòâà. Ïðè ðåøåíèè
íåðàâåíñòâ âèäà a f (x) > a g (x) ñëåäóåò ó÷èòûâàòü, ÷òî
ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ó = àõ âîçðàñòàåò ïðè à > 1
è óáûâàåò ïðè 0 < a < 1 (ñì. ï. 114). Çíà÷èò, â ñëó÷àå,
êîãäà à > 1, îò íåðàâåíñòâà a f (x) > a g (x) ïåðåõîäÿò ê
íåðàâåíñòâó òîãî æå ñìûñëà f (x) > g (x).  ñëó÷àå
æå, êîãäà 0 < a < 1, îò íåðàâåíñòâà a f (x) > a g (x) ïåðåõîäÿò ê íåðàâåíñòâó ïðîòèâîïîëîæíîãî ñìûñëà
f (x) < g(x).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:
à) 23x +7 < 22x -1; á) (0,04)5x -x
2
-8
£ 625.
q Çäåñü îñíîâàíèå ñòåïåíè áîëüøå 1, ïîýòîìó, ñðàâíèâàÿ ïîêàçàòåëè, çàïèøåì íåðàâåíñòâî òîãî æå
ñìûñëà: 3õ + 7 < 2x –1. Ðåøèâ åãî, ïîëó÷èì x < –8.
á) Ïîñêîëüêó 625 = 252 = (0,04)–2, çàïèøåì äàí5x - x 2
-8
íîå íåðàâåíñòâî â âèäå (0,04)
£ (0,04) -2 . Òàê
êàê 0 < 0,04 < 1, òî, ñðàâíèâàÿ ïîêàçàòåëè, çàïèøåì
íåðàâåíñòâî ïðîòèâîïîëîæíîãî ñìûñëà: 5x - x 2 -8 ³ -2. Èìååì
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
192. Ëîãàðèôìè÷åñêèå íåðàâåíñòâà. Ïðè ðåøåíèè íåðàâåíñòâ âèäà log a f (x) > log a g (x) ñëåäóåò
ó÷èòûâàòü, ÷òî ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ y = loga x
âîçðàñòàåò ïðè à > 1 è óáûâàåò ïðè 0 < a < 1 (ñì.
ï. 116). Ïîýòîìó â ñëó÷àå, êîãäà à > 1, îò èñõîäíîãî
íåðàâåíñòâà ïåðåõîäÿò ê íåðàâåíñòâó òîãî æå ñìûñëà f (x) > g (x).  ñëó÷àå æå, êîãäà 0 < a < 1, îò èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà ïåðåõîäÿò ê íåðàâåíñòâó ïðîòèâîïîëîæíîãî ñìûñëà f (x) < g (x). Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ïîìíèòü, ÷òî ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ëèøü íà ìíîæåñòâå ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë. Çíà÷èò, äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâà f (x) > 0 è
g (x) > 0.
 èòîãå îò íåðàâåíñòâà loga f (x) > loga g (x) ïåðåõîäÿò ê ñèñòåìå íåðàâåíñòâ
ì f (x) > 0,
ï
(1)
í g (x) > 0,
ï f (x) > g (x)
î
ì f (x) > 0,
ï
èëè í g (x) > 0,
(2)
ï f (x) < g (x).
î
Çàìåòèì, ÷òî â ñèñòåìå (1) (ïðè à > 1) íåðàâåíñòâî f (x) > 0 ìîæíî îïóñòèòü; àíàëîãè÷íî, â ñèñòåìå (2)
–x2+ 5x – 6 ³ 0, x2– 5x + 6 £ 0, (x – 2) (x – 3) £ 0.
(ïðè 0 < a < 1) ìîæíî îïóñòèòü íåðàâåíñòâî g (x) > 0.
Ðåøèâ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî (ñì. ï. 190 èëè
ï. 187), ïîëó÷èì 2 £ x £ 3.
Èòàê, ìíîæåñòâî ðåøåíèé çàäàííîãî íåðàâåíñòâà
åñòü îòðåçîê [2, 3]. n
à) log0,5 (2x + 59) > -2; á) lg (x + 2) < 2 - lg (2x - 6).
260
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:
q à) Òàê êàê -2 = log0,5 4, òî íåðàâåíñòâî ìîæíî
ïåðåïèñàòü â âèäå log0,5 (2x + 59) > log0,5 4. Äàëåå
261
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
èìååì
ì2x + 59 > 0,
í
î2x + 59 < 4,
ò. å.
ìx > -29,5,
í
îx < -27,5,
îòêóäà –29,5 < x < –27,5.
á) ×òîáû âñå ëîãàðèôìû èìåëè ñìûñë, äîëæíû
âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâà õ + 2 > 0 è 2x – 6 > 0.
Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ, ïðåîáðàçóåì çàäàííîå íåðàâåíñòâî:
lg (x + 2) + lg (2x - 6) < 2,
lg ((x + 2)(2x - 6)) < lg 100.
Òàêèì îáðàçîì, çàäàííîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå íåðàâåíñòâ
ìx > -2,
ìx + 2 > 0,
ï
ï
í2x - 6 > 0,
ò. å. íx > 3,
ï(x + 2) (2x - 6) < 100,
ï 2
î
îx - x - 56 < 0.
Äàëåå èìååì
ìx > 3,
ìx > 3,
ò. å. í
í
+
<
0
,
(
x
7
)
(
x
8
)
î
î - 7 < x < 8.
Ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé (ðèñ. 85) óñòàíàâëèâàåì, ÷òî ìíîæåñòâîì ðåøåíèé ïîñëåäíåé ñèñòåìû, à çíà÷èò, è çàäàííîãî íåðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ
èíòåðâàë (3, 8). n
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
193. Èððàöèîíàëüíûå íåðàâåíñòâà. Ïðè ðåøåíèè èððàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.5.8. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå Õ ïðèíèìàþò òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå
çíà÷åíèÿ, òî ïðè âîçâåäåíèè îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà â êâàäðàò (èëè â ëþáóþ ÷åòíóþ ñòåïåíü) è
ñîõðàíåíèè çíàêà èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó (íà ìíîæåñòâå Õ). Âîçâåäåíèå îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà â
îäíó è òó æå íå÷åòíóþ ñòåïåíü (ñ ñîõðàíåíèåì
çíàêà íåðàâåíñòâà) âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ðàâíîñèëüíûì
ïðåîáðàçîâàíèåì íåðàâåíñòâà.
Íåðàâåíñòâî âèäà
òåìå
f (x) < g (x) ðàâíîñèëüíî ñèñ-
ì f (x) ³ 0,
ï
í g (x) > 0,
ï
2
î f (x) < ( g (x)) ,
à íåðàâåíñòâî âèäà f (x) > g (x) ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè äâóõ ñèñòåì:
ì g (x) ³ 0,
ì g (x) < 0, ï
í f (x) ³ 0,
í
î f (x) ³ 0; ï
2
î f (x) > ( g (x)) .
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:
Ðèñ. 85
262
à)
x2 - x - 12 < x; á)
x2 - 4x + 2 > x + 3.
263
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
èìååì
ì2x + 59 > 0,
í
î2x + 59 < 4,
ò. å.
ìx > -29,5,
í
îx < -27,5,
îòêóäà –29,5 < x < –27,5.
á) ×òîáû âñå ëîãàðèôìû èìåëè ñìûñë, äîëæíû
âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâà õ + 2 > 0 è 2x – 6 > 0.
Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ, ïðåîáðàçóåì çàäàííîå íåðàâåíñòâî:
lg (x + 2) + lg (2x - 6) < 2,
lg ((x + 2)(2x - 6)) < lg 100.
Òàêèì îáðàçîì, çàäàííîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå íåðàâåíñòâ
ìx > -2,
ìx + 2 > 0,
ï
ï
í2x - 6 > 0,
ò. å. íx > 3,
ï(x + 2) (2x - 6) < 100,
ï 2
î
îx - x - 56 < 0.
Äàëåå èìååì
ìx > 3,
ìx > 3,
ò. å. í
í
+
<
0
,
(
x
7
)
(
x
8
)
î
î - 7 < x < 8.
Ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé (ðèñ. 85) óñòàíàâëèâàåì, ÷òî ìíîæåñòâîì ðåøåíèé ïîñëåäíåé ñèñòåìû, à çíà÷èò, è çàäàííîãî íåðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ
èíòåðâàë (3, 8). n
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
193. Èððàöèîíàëüíûå íåðàâåíñòâà. Ïðè ðåøåíèè èððàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.5.8. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå Õ ïðèíèìàþò òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå
çíà÷åíèÿ, òî ïðè âîçâåäåíèè îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà â êâàäðàò (èëè â ëþáóþ ÷åòíóþ ñòåïåíü) è
ñîõðàíåíèè çíàêà èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó (íà ìíîæåñòâå Õ). Âîçâåäåíèå îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà â
îäíó è òó æå íå÷åòíóþ ñòåïåíü (ñ ñîõðàíåíèåì
çíàêà íåðàâåíñòâà) âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ðàâíîñèëüíûì
ïðåîáðàçîâàíèåì íåðàâåíñòâà.
Íåðàâåíñòâî âèäà
òåìå
f (x) < g (x) ðàâíîñèëüíî ñèñ-
ì f (x) ³ 0,
ï
í g (x) > 0,
ï
2
î f (x) < ( g (x)) ,
à íåðàâåíñòâî âèäà f (x) > g (x) ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè äâóõ ñèñòåì:
ì g (x) ³ 0,
ì g (x) < 0, ï
í f (x) ³ 0,
í
î f (x) ³ 0; ï
2
î f (x) > ( g (x)) .
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:
Ðèñ. 85
262
à)
x2 - x - 12 < x; á)
x2 - 4x + 2 > x + 3.
263
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
q à) Ýòî íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåé ñèñòåìå íåðàâåíñòâ:
ìx2 - x - 12 ³ 0,
ïï
íx > 0,
ï 2
ïîx - x - 12 < x2.
Ðåøèâ ýòó ñèñòåìó, íàõîäèì x ³ 4.
á) Äàííîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè äâóõ ñèñòåì:
ìïx + 3 < 0,
í 2
ïîx - 4x + 2 ³ 0;
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
æ p 5p ö
ïðîìåæóòêîâ ÿâëÿåòñÿ èíòåðâàë ç ,
÷ (ðèñ. 86).
è3 3 ø
Âîñïîëüçîâàâøèñü ïåðèîäè÷íîñòüþ ôóíêöèè
y = cos x, çàïèøåì îòâåò:
p
5p
+ 2pk < x <
+ 2pk,
3
3
k Î Z. n
ìx + 3 ³ 0,
ïï 2
íx - 4x + 2 ³ 0,
ï 2
ïîx - 4x + 2 > (x + 3)2 .
Âòîðîå íåðàâåíñòâî âòîðîé ñèñòåìû ìîæíî îïóñòèòü êàê ñëåäñòâèå òðåòüåãî íåðàâåíñòâà.
Ðåøèâ ïåðâóþ ñèñòåìó, ïîëó÷èì õ < –3, èç âòîðîé ñèñòåìû èìååì -3 £ x < -0,7. Îáúåäèíèâ ýòè
ðåøåíèÿ, íàõîäèì x < -0,7. n
194. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå íåðàâåíñòâà. Ðàññìîòðèì ïðèìåð ãðàôè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ïðîñòåéøèõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ, ò. å. íåðàâåíñòâ âèäà
f (x) > a (èëè f (x) < a ), ãäå f (x) — îäíà èç òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî cos x < 0,5.
q Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = cos x è ïðîâåäåì ïðÿìóþ ó = 0,5. Íàñ èíòåðåñóþò òå çíà÷åíèÿ
àðãóìåíòà õ, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò òî÷êè ãðàôèêà,
ëåæàùèå íèæå ïðÿìîé ó = 0,5. Îäíèì èç íóæíûõ
264
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðèñ. 86
195. Íåðàâåíñòâà è ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè. Ðàññìîòðèì íåðàâåíñòâî f (x, y) >
> g (x, y), êîòîðîå áóäåì íàçûâàòü íåðàâåíñòâîì ñ
äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Ðåøåíèåì òàêîãî íåðàâåíñòâà íàçûâàåòñÿ ïàðà çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, îáðàùàþùàÿ íåðàâåíñòâî â âåðíîå ÷èñëîâîå íåðàâåíñòâî.
Èçâåñòíî, ÷òî ïàðà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (õ; ó) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò òî÷êó êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè.
Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü èçîáðàçèòü ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà èëè ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
ãåîìåòðè÷åñêè, â âèäå íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà òî÷åê
êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè.
265
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
q à) Ýòî íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåé ñèñòåìå íåðàâåíñòâ:
ìx2 - x - 12 ³ 0,
ïï
íx > 0,
ï 2
ïîx - x - 12 < x2.
Ðåøèâ ýòó ñèñòåìó, íàõîäèì x ³ 4.
á) Äàííîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè äâóõ ñèñòåì:
ìïx + 3 < 0,
í 2
ïîx - 4x + 2 ³ 0;
§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ
æ p 5p ö
ïðîìåæóòêîâ ÿâëÿåòñÿ èíòåðâàë ç ,
÷ (ðèñ. 86).
è3 3 ø
Âîñïîëüçîâàâøèñü ïåðèîäè÷íîñòüþ ôóíêöèè
y = cos x, çàïèøåì îòâåò:
p
5p
+ 2pk < x <
+ 2pk,
3
3
k Î Z. n
ìx + 3 ³ 0,
ïï 2
íx - 4x + 2 ³ 0,
ï 2
ïîx - 4x + 2 > (x + 3)2 .
Âòîðîå íåðàâåíñòâî âòîðîé ñèñòåìû ìîæíî îïóñòèòü êàê ñëåäñòâèå òðåòüåãî íåðàâåíñòâà.
Ðåøèâ ïåðâóþ ñèñòåìó, ïîëó÷èì õ < –3, èç âòîðîé ñèñòåìû èìååì -3 £ x < -0,7. Îáúåäèíèâ ýòè
ðåøåíèÿ, íàõîäèì x < -0,7. n
194. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå íåðàâåíñòâà. Ðàññìîòðèì ïðèìåð ãðàôè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ïðîñòåéøèõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ, ò. å. íåðàâåíñòâ âèäà
f (x) > a (èëè f (x) < a ), ãäå f (x) — îäíà èç òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî cos x < 0,5.
q Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = cos x è ïðîâåäåì ïðÿìóþ ó = 0,5. Íàñ èíòåðåñóþò òå çíà÷åíèÿ
àðãóìåíòà õ, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò òî÷êè ãðàôèêà,
ëåæàùèå íèæå ïðÿìîé ó = 0,5. Îäíèì èç íóæíûõ
264
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðèñ. 86
195. Íåðàâåíñòâà è ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ äâóìÿ
ïåðåìåííûìè. Ðàññìîòðèì íåðàâåíñòâî f (x, y) >
> g (x, y), êîòîðîå áóäåì íàçûâàòü íåðàâåíñòâîì ñ
äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Ðåøåíèåì òàêîãî íåðàâåíñòâà íàçûâàåòñÿ ïàðà çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, îáðàùàþùàÿ íåðàâåíñòâî â âåðíîå ÷èñëîâîå íåðàâåíñòâî.
Èçâåñòíî, ÷òî ïàðà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (õ; ó) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò òî÷êó êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè.
Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü èçîáðàçèòü ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà èëè ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
ãåîìåòðè÷åñêè, â âèäå íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà òî÷åê
êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè.
265
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
Ï ð è ì å ð. Èçîáðàçèòü íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû íåðàâåíñòâ
x ³ 0, y ³ 0, xy > 4, x + y < 5.
q Ãåîìåòðè÷åñêèì èçîáðàæåíèåì ðåøåíèé ñèñòåìû íåðàâåíñòâ x ³ 0, y ³ 0 ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî
òî÷åê I êîîðäèíàòíîãî óãëà. Äàëåå, èçîáðàæåíèåì
ðåøåíèé íåðàâåíñòâà x + y < 5 èëè y < 5 - x ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ íèæå ïðÿìîé
y = 5 - x. Íàêîíåö, èçîáðàæåíèåì ðåøåíèé íåðàâåíñòâà xy > 4 èëè, ïîñêîëüêó x > 0, íåðàâåíñòâà
4
y > , ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ âûøå
x
4
âåòâè ãèïåðáîëû y = .  èòîãå ïîëó÷àåì ìíîæåx
ñòâî òî÷åê êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, ëåæàùèõ â I êîîðäèíàòíîì óãëå íèæå ïðÿìîé y = 5 - x è âûøå ãè4
(ðèñ. 87). n
ïåðáîëû y =
x
§ 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ
196. Ìåòîä îöåíêè çíàêà ðàçíîñòè. Ñóòü ýòîãî
ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: äëÿ òîãî ÷òîáû
óñòàíîâèòü ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà f (x, y, z) >
> g (x, y, z) ñîñòàâëÿþò ðàçíîñòü f (x, y, z) - g (x,
y, z) è äîêàçûâàþò, ÷òî îíà ïîëîæèòåëüíà.
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè x ³ 0, y ³ 0, òî
x+y
³
2
266
xy (ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå äâóõ íåî-
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ
Ðèñ. 87
òðèöàòåëüíûõ ÷èñåë íå ìåíüøå èõ ñðåäíåãî ãåîìåòðè÷åñêîãî; ýòî íåðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì
Êîøè).
x+y
q Ñîñòàâèì ðàçíîñòü
- xy . Èìååì
2
x + y - 2 xy
( x - y )2
x+y
- xy =
=
.
2
2
2
Íåðàâåíñòâî ( x - y )2 ³ 0 âåðíî ïðè ëþáûõ íåx+y
³ xy ,
2
ïðè÷åì ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî ëèøü â ñëó÷àå õ = ó.n
Èç íåðàâåíñòâà Êîøè, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò íåðà1
âåíñòâî x + ³ 2, ñïðàâåäëèâîå äëÿ âñåõ õ > 0.
x
îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ õ è ó. Çíà÷èò,
267
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
Ï ð è ì å ð. Èçîáðàçèòü íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû íåðàâåíñòâ
x ³ 0, y ³ 0, xy > 4, x + y < 5.
q Ãåîìåòðè÷åñêèì èçîáðàæåíèåì ðåøåíèé ñèñòåìû íåðàâåíñòâ x ³ 0, y ³ 0 ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî
òî÷åê I êîîðäèíàòíîãî óãëà. Äàëåå, èçîáðàæåíèåì
ðåøåíèé íåðàâåíñòâà x + y < 5 èëè y < 5 - x ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ íèæå ïðÿìîé
y = 5 - x. Íàêîíåö, èçîáðàæåíèåì ðåøåíèé íåðàâåíñòâà xy > 4 èëè, ïîñêîëüêó x > 0, íåðàâåíñòâà
4
y > , ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ âûøå
x
4
âåòâè ãèïåðáîëû y = .  èòîãå ïîëó÷àåì ìíîæåx
ñòâî òî÷åê êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, ëåæàùèõ â I êîîðäèíàòíîì óãëå íèæå ïðÿìîé y = 5 - x è âûøå ãè4
(ðèñ. 87). n
ïåðáîëû y =
x
§ 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ
196. Ìåòîä îöåíêè çíàêà ðàçíîñòè. Ñóòü ýòîãî
ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: äëÿ òîãî ÷òîáû
óñòàíîâèòü ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà f (x, y, z) >
> g (x, y, z) ñîñòàâëÿþò ðàçíîñòü f (x, y, z) - g (x,
y, z) è äîêàçûâàþò, ÷òî îíà ïîëîæèòåëüíà.
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè x ³ 0, y ³ 0, òî
x+y
³
2
266
xy (ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå äâóõ íåî-
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ
Ðèñ. 87
òðèöàòåëüíûõ ÷èñåë íå ìåíüøå èõ ñðåäíåãî ãåîìåòðè÷åñêîãî; ýòî íåðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì
Êîøè).
x+y
q Ñîñòàâèì ðàçíîñòü
- xy . Èìååì
2
x + y - 2 xy
( x - y )2
x+y
- xy =
=
.
2
2
2
Íåðàâåíñòâî ( x - y )2 ³ 0 âåðíî ïðè ëþáûõ íåx+y
³ xy ,
2
ïðè÷åì ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî ëèøü â ñëó÷àå õ = ó.n
Èç íåðàâåíñòâà Êîøè, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò íåðà1
âåíñòâî x + ³ 2, ñïðàâåäëèâîå äëÿ âñåõ õ > 0.
x
îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ õ è ó. Çíà÷èò,
267
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
197. Ñèíòåòè÷åñêèé ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâ. Ñóòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì:
ñ ïîìîùüþ ðÿäà ïðåîáðàçîâàíèé âûâîäÿò òðåáóåìîå
íåðàâåíñòâî èç íåêîòîðûõ èçâåñòíûõ (îïîðíûõ) íåðàâåíñòâ. Îïîðíûìè íåðàâåíñòâàìè ÿâëÿþòñÿ, íàïðè-
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ
Íî
ab × cd =
4
abcd . Èòàê,
a+b+c+d
³
4
4
abcd .
x+y
³ xy , ãäå x ³ 0, y ³ 0 (íåðà2
Ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî â ñëó÷àå, êîãäà à = b = c =
= d. n
1
³ 2, ãäå õ > 0;
x
3) |x + a| £ |x| + |a| (íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà);
4) –1 £ sin a £ 1; 5) –1 £ cos a £ 1;
198. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ ìåòîäîì îò ïðîòèâíîãî. Ñóòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïóñòü íóæíî äîêàçàòü èñòèííîñòü íåðàâåíñòâà
ìåð, òàêèå: 1)
âåíñòâî
Êîøè);
2)
x+
a+b+c+d
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî
³
4
4
abcd ,
ãäå a, b, c, d — íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà.
q Èñïîëüçóåì çäåñü â êà÷åñòâå îïîðíîãî íåðàâåíñòâî Êîøè, ñîñòàâëåííîå äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ
÷èñåë x =
a+b
c+d
,y=
. Èìååì
2
2
a+b c+d
+
2 ³
x= 2
2
a+b c+d
×
.
2
2
Ïðèìåíèâ òåïåðü íåðàâåíñòâî Êîøè ê ÷èñëàì à
è b, à òàêæå ê ÷èñëàì ñ è d, ïîëó÷èì
a+b c+d
×
³
2
2
268
ab × cd .
f (x, y, z) > g (x, y, z).
(1)
Ïðåäïîëàãàþò ïðîòèâíîå, ò. å. ÷òî õîòÿ áû äëÿ
îäíîãî íàáîðà ïåðåìåííûõ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
f (x, y, z) £ g (x, y, z).
(2)
Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà íåðàâåíñòâ, âûïîëíÿþò ïðåîáðàçîâàíèÿ íåðàâåíñòâà (2). Åñëè â ðåçóëüòàòå ýòèõ
ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåòñÿ ëîæíîå íåðàâåíñòâî, òî
ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðåäïîëîæåíèå î ñïðàâåäëèâîñòè
íåðàâåíñòâà (2) íåâåðíî, à ïîòîìó âåðíî íåðàâåíñòâî (1).
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà
cos (a + b) cos (a - b) £ cos2 a.
q Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ò. å. áóäåì ñ÷èòàòü,
÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå a è b , äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî cos (a + b) cos (a - b) > cos2 a.
269
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
197. Ñèíòåòè÷åñêèé ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâ. Ñóòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì:
ñ ïîìîùüþ ðÿäà ïðåîáðàçîâàíèé âûâîäÿò òðåáóåìîå
íåðàâåíñòâî èç íåêîòîðûõ èçâåñòíûõ (îïîðíûõ) íåðàâåíñòâ. Îïîðíûìè íåðàâåíñòâàìè ÿâëÿþòñÿ, íàïðè-
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ
Íî
ab × cd =
4
abcd . Èòàê,
a+b+c+d
³
4
4
abcd .
x+y
³ xy , ãäå x ³ 0, y ³ 0 (íåðà2
Ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî â ñëó÷àå, êîãäà à = b = c =
= d. n
1
³ 2, ãäå õ > 0;
x
3) |x + a| £ |x| + |a| (íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà);
4) –1 £ sin a £ 1; 5) –1 £ cos a £ 1;
198. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ ìåòîäîì îò ïðîòèâíîãî. Ñóòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïóñòü íóæíî äîêàçàòü èñòèííîñòü íåðàâåíñòâà
ìåð, òàêèå: 1)
âåíñòâî
Êîøè);
2)
x+
a+b+c+d
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî
³
4
4
abcd ,
ãäå a, b, c, d — íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà.
q Èñïîëüçóåì çäåñü â êà÷åñòâå îïîðíîãî íåðàâåíñòâî Êîøè, ñîñòàâëåííîå äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ
÷èñåë x =
a+b
c+d
,y=
. Èìååì
2
2
a+b c+d
+
2 ³
x= 2
2
a+b c+d
×
.
2
2
Ïðèìåíèâ òåïåðü íåðàâåíñòâî Êîøè ê ÷èñëàì à
è b, à òàêæå ê ÷èñëàì ñ è d, ïîëó÷èì
a+b c+d
×
³
2
2
268
ab × cd .
f (x, y, z) > g (x, y, z).
(1)
Ïðåäïîëàãàþò ïðîòèâíîå, ò. å. ÷òî õîòÿ áû äëÿ
îäíîãî íàáîðà ïåðåìåííûõ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
f (x, y, z) £ g (x, y, z).
(2)
Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà íåðàâåíñòâ, âûïîëíÿþò ïðåîáðàçîâàíèÿ íåðàâåíñòâà (2). Åñëè â ðåçóëüòàòå ýòèõ
ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåòñÿ ëîæíîå íåðàâåíñòâî, òî
ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðåäïîëîæåíèå î ñïðàâåäëèâîñòè
íåðàâåíñòâà (2) íåâåðíî, à ïîòîìó âåðíî íåðàâåíñòâî (1).
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà
cos (a + b) cos (a - b) £ cos2 a.
q Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ò. å. áóäåì ñ÷èòàòü,
÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå a è b , äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî cos (a + b) cos (a - b) > cos2 a.
269
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëàìè cos (a + b) cos (a -
- b) =
cos 2b + cos 2a
1 + cos 2a
(ñì. ï. 87) è cos2 a =
2
2
(ñì. ï. 84), ïîëó÷èì
cos 2b + cos 2a 1 + cos 2a
>
, îò2
2
êóäà cos 2b > 1. Òàê êàê íà ñàìîì äåëå cos 2b £ 1
ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ b , òî ìû ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, ñäåëàííîå ïðåäïîëîæåíèå íåâåðíî, à ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî èñõîäíîå íåðàâåíñòâî. n
199. Èñïîëüçîâàíèå íåðàâåíñòâ ïðè ðåøåíèè
óðàâíåíèé. Ïóñòü íóæíî ðåøèòü óðàâíåíèå f (x) =
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ
âåíñòâî 2 - (x - 1) 4 £ 2. Çíà÷èò, êîðíÿìè äàííîãî
óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îáùèå êîðíè óðàâíåíèé
x2 +
1
x
2
= 2 è 2 - (x - 1)4 = 2 (åñëè, êîíå÷íî, òàêèå
îáùèå êîðíè åñòü). Èç óðàâíåíèÿ x 2 +
1
x2
= 2 íàõî-
äèì x1 = 1, x2 = -1; èç óðàâíåíèÿ 2 - (x - 1)4 = 2 íàõîäèì õ = 1. Îáùèé êîðåíü ýòèõ óðàâíåíèé — çíà÷åíèå õ = 1, êîòîðîå è ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì êîðíåì çàäàííîãî óðàâíåíèÿ. n
= g (x) è ïóñòü ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî À, êîòîðîå
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîâðåìåííî íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè y = f (x) è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè y = g (x). Òîãäà êîðíÿìè óðàâíåíèÿ f (x) = g (x)
ÿâëÿþòñÿ îáùèå êîðíè óðàâíåíèé f (x) = A, g (x) = A,
è òîëüêî îíè. Ýòîò ìåòîä ñëóæèò ÷àñòíûì ñëó÷àåì
ôóíêöèîíàëüíîãî ìåòîäà ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (ñì.
ï. 165).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
1
x2 +
= 2 - (x - 1)4 .
x2
1
q Ñ îäíîé ñòîðîíû, x 2 + 2 ³ 2 ïðè âñåõ x ¹ 0
x
(ñì. ï. 196). Ñ äðóãîé, ïðè âñåõ õ âûïîëíÿåòñÿ íåðà270
271
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëàìè cos (a + b) cos (a -
- b) =
cos 2b + cos 2a
1 + cos 2a
(ñì. ï. 87) è cos2 a =
2
2
(ñì. ï. 84), ïîëó÷èì
cos 2b + cos 2a 1 + cos 2a
>
, îò2
2
êóäà cos 2b > 1. Òàê êàê íà ñàìîì äåëå cos 2b £ 1
ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ b , òî ìû ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, ñäåëàííîå ïðåäïîëîæåíèå íåâåðíî, à ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî èñõîäíîå íåðàâåíñòâî. n
199. Èñïîëüçîâàíèå íåðàâåíñòâ ïðè ðåøåíèè
óðàâíåíèé. Ïóñòü íóæíî ðåøèòü óðàâíåíèå f (x) =
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ
âåíñòâî 2 - (x - 1) 4 £ 2. Çíà÷èò, êîðíÿìè äàííîãî
óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îáùèå êîðíè óðàâíåíèé
x2 +
1
x
2
= 2 è 2 - (x - 1)4 = 2 (åñëè, êîíå÷íî, òàêèå
îáùèå êîðíè åñòü). Èç óðàâíåíèÿ x 2 +
1
x2
= 2 íàõî-
äèì x1 = 1, x2 = -1; èç óðàâíåíèÿ 2 - (x - 1)4 = 2 íàõîäèì õ = 1. Îáùèé êîðåíü ýòèõ óðàâíåíèé — çíà÷åíèå õ = 1, êîòîðîå è ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì êîðíåì çàäàííîãî óðàâíåíèÿ. n
= g (x) è ïóñòü ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî À, êîòîðîå
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîâðåìåííî íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè y = f (x) è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè y = g (x). Òîãäà êîðíÿìè óðàâíåíèÿ f (x) = g (x)
ÿâëÿþòñÿ îáùèå êîðíè óðàâíåíèé f (x) = A, g (x) = A,
è òîëüêî îíè. Ýòîò ìåòîä ñëóæèò ÷àñòíûì ñëó÷àåì
ôóíêöèîíàëüíîãî ìåòîäà ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (ñì.
ï. 165).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
1
x2 +
= 2 - (x - 1)4 .
x2
1
q Ñ îäíîé ñòîðîíû, x 2 + 2 ³ 2 ïðè âñåõ x ¹ 0
x
(ñì. ï. 196). Ñ äðóãîé, ïðè âñåõ õ âûïîëíÿåòñÿ íåðà270
271
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ
Ðàçäåë VI
ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
§ 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ
200. Ðàçìåùåíèÿ. Ðàçìåùåíèÿìè èç n ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ íàçûâàþòñÿ âñåâîçìîæíûå êîìáèíàöèè, ñîäåðæàùèå k ýëåìåíòîâ, âçÿòûõ èç äàííûõ n ýëåìåíòîâ, è îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò
äðóãà ëèáî ñîñòàâîì ýëåìåíòîâ, ëèáî èõ ïîðÿäêîì.
Ñóùåñòâóþò äâà âèäà ðàçìåùåíèé:
à) áåç ïîâòîðåíèé — êàæäûé âõîäÿùèé â êîìáèíàöèþ ýëåìåíò ïðåäñòàâëåí åäèíñòâåííûì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ðàçìåùåíèÿ áåç ïîâòîðåíèé èç
n = 3 ýëåìåíòîâ a, b, c ïî k = 2 ýëåìåíòà òàêîâû: ab,
ba, ac, ca, bc, cb );
á) ñ ïîâòîðåíèÿìè — êàæäûé âõîäÿùèé â êîìáèíàöèþ ýëåìåíò ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí áîëåå ÷åì
îäíèì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ðàçìåùåíèÿ ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n = 3 ýëåìåíòîâ a, b, c ïî k = 2 ýëåìåíòà
òàêîâû: aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc ; ðàçìåùåíèÿ
ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n = 2 ýëåìåíòîâ a, b ïî
k = 3 ýëåìåíòà òàêîâû: aaa, aab, aba, abb, baa, bab,
bba, bbb ).
×èñëî ðàçìåùåíèé áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
Ank =
272
n!
= n (n - 1)...(n - k + 1), ãäå k £ n, (1)
(n - k)!
C nk
à ÷èñëî ðàçìåùåíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ
ïî k ýëåìåíòî⠗ ôîðìóëîé
~
(2)
Ank = n k .
Ñèìâîë n! (÷èòàåòñÿ «ýí ôàêòîðèàë») — ýòî ñîêðàùåííîå îáîçíà÷åíèå ïðîèçâåäåíèÿ 1 · 2 · 3... n.
Ï ð è ì å ð 1. Êîìèññèÿ ñîñòîèò èç ïðåäñåäàòåëÿ,
çàìåñòèòåëÿ è åùå ÷åòûðåõ ÷åëîâåê. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ÷ëåíû êîìèññèè ìîãóò ðàñïðåäåëèòü ìåæäó
ñîáîé îáÿçàííîñòè ïðåäñåäàòåëÿ è çàìåñòèòåëÿ?
q Ïðè âûáîðå ïðåäñåäàòåëÿ è åãî çàìåñòèòåëÿ èç
äàííûõ øåñòè ÷åëîâåê èìååò çíà÷åíèå íå òîëüêî òî,
êàêèå äâà ÷åëîâåêà âûáðàíû, íî è òî, êàê ðàñïðåäåëåíû äîëæíîñòè ìåæäó íèìè (ò. å. âàæåí è ñîñòàâ, è
ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ âûáðàííûõ ýëåìåíòîâ). Òàêèì
îáðàçîì, ðå÷ü èäåò î ðàçìåùåíèÿõ (áåç ïîâòîðåíèé)
èç øåñòè ýëåìåíòîâ ïî äâà. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1),
íàõîäèì A62 = 6 × 5 = 30 (ñïîñîáîâ). n
Ï ð è ì å ð 2 . Ñêîëüêî òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë ìîæíî ñîñòàâèòü èç öèôð 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
q Êàæäîå òðåõçíà÷íîå ÷èñëî, ñîñòàâëåííîå èç óêàçàííûõ öèôð, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàçìåùåíèå
ñ ïîâòîðåíèÿìè, ñîñòàâëåííîå èç òðåõ öèôð, âçÿòûõ
èç äàííûõ ñåìè öèôð. Êîëè÷åñòâî òàêèõ ÷èñåë íàé~
äåì ïî ôîðìóëå (2): A73 = 73 = 343. n
201. Ïåðåñòàíîâêè. Ïåðåñòàíîâêàìè èç n ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ íàçûâàþòñÿ âñåâîçìîæíûå êîìáèíàöèè èç ýòèõ n ýëåìåíòîâ, îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò
äðóãà òîëüêî ïîðÿäêîì ðàñïîëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ.
Ïåðåñòàíîâêè ìîæíî ñ÷èòàòü ÷àñòíûì ñëó÷àåì
ðàçìåùåíèé (à èìåííî, ðàçìåùåíèÿìè èç m ýëåìåíòîâ ïî m).
273
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ
Ðàçäåë VI
ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
§ 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ
200. Ðàçìåùåíèÿ. Ðàçìåùåíèÿìè èç n ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ íàçûâàþòñÿ âñåâîçìîæíûå êîìáèíàöèè, ñîäåðæàùèå k ýëåìåíòîâ, âçÿòûõ èç äàííûõ n ýëåìåíòîâ, è îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò
äðóãà ëèáî ñîñòàâîì ýëåìåíòîâ, ëèáî èõ ïîðÿäêîì.
Ñóùåñòâóþò äâà âèäà ðàçìåùåíèé:
à) áåç ïîâòîðåíèé — êàæäûé âõîäÿùèé â êîìáèíàöèþ ýëåìåíò ïðåäñòàâëåí åäèíñòâåííûì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ðàçìåùåíèÿ áåç ïîâòîðåíèé èç
n = 3 ýëåìåíòîâ a, b, c ïî k = 2 ýëåìåíòà òàêîâû: ab,
ba, ac, ca, bc, cb );
á) ñ ïîâòîðåíèÿìè — êàæäûé âõîäÿùèé â êîìáèíàöèþ ýëåìåíò ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí áîëåå ÷åì
îäíèì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ðàçìåùåíèÿ ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n = 3 ýëåìåíòîâ a, b, c ïî k = 2 ýëåìåíòà
òàêîâû: aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc ; ðàçìåùåíèÿ
ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n = 2 ýëåìåíòîâ a, b ïî
k = 3 ýëåìåíòà òàêîâû: aaa, aab, aba, abb, baa, bab,
bba, bbb ).
×èñëî ðàçìåùåíèé áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
Ank =
272
n!
= n (n - 1)...(n - k + 1), ãäå k £ n, (1)
(n - k)!
C nk
à ÷èñëî ðàçìåùåíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ
ïî k ýëåìåíòî⠗ ôîðìóëîé
~
(2)
Ank = n k .
Ñèìâîë n! (÷èòàåòñÿ «ýí ôàêòîðèàë») — ýòî ñîêðàùåííîå îáîçíà÷åíèå ïðîèçâåäåíèÿ 1 · 2 · 3... n.
Ï ð è ì å ð 1. Êîìèññèÿ ñîñòîèò èç ïðåäñåäàòåëÿ,
çàìåñòèòåëÿ è åùå ÷åòûðåõ ÷åëîâåê. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ÷ëåíû êîìèññèè ìîãóò ðàñïðåäåëèòü ìåæäó
ñîáîé îáÿçàííîñòè ïðåäñåäàòåëÿ è çàìåñòèòåëÿ?
q Ïðè âûáîðå ïðåäñåäàòåëÿ è åãî çàìåñòèòåëÿ èç
äàííûõ øåñòè ÷åëîâåê èìååò çíà÷åíèå íå òîëüêî òî,
êàêèå äâà ÷åëîâåêà âûáðàíû, íî è òî, êàê ðàñïðåäåëåíû äîëæíîñòè ìåæäó íèìè (ò. å. âàæåí è ñîñòàâ, è
ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ âûáðàííûõ ýëåìåíòîâ). Òàêèì
îáðàçîì, ðå÷ü èäåò î ðàçìåùåíèÿõ (áåç ïîâòîðåíèé)
èç øåñòè ýëåìåíòîâ ïî äâà. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1),
íàõîäèì A62 = 6 × 5 = 30 (ñïîñîáîâ). n
Ï ð è ì å ð 2 . Ñêîëüêî òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë ìîæíî ñîñòàâèòü èç öèôð 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
q Êàæäîå òðåõçíà÷íîå ÷èñëî, ñîñòàâëåííîå èç óêàçàííûõ öèôð, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàçìåùåíèå
ñ ïîâòîðåíèÿìè, ñîñòàâëåííîå èç òðåõ öèôð, âçÿòûõ
èç äàííûõ ñåìè öèôð. Êîëè÷åñòâî òàêèõ ÷èñåë íàé~
äåì ïî ôîðìóëå (2): A73 = 73 = 343. n
201. Ïåðåñòàíîâêè. Ïåðåñòàíîâêàìè èç n ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ íàçûâàþòñÿ âñåâîçìîæíûå êîìáèíàöèè èç ýòèõ n ýëåìåíòîâ, îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò
äðóãà òîëüêî ïîðÿäêîì ðàñïîëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ.
Ïåðåñòàíîâêè ìîæíî ñ÷èòàòü ÷àñòíûì ñëó÷àåì
ðàçìåùåíèé (à èìåííî, ðàçìåùåíèÿìè èç m ýëåìåíòîâ ïî m).
273
C nk
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
Ñóùåñòâóþò äâà âèäà ïåðåñòàíîâîê:
à) áåç ïîâòîðåíèé — êàæäûé âõîäÿùèé â êîìáèíàöèþ ýëåìåíò ïðåäñòàâëåí åäèíñòâåííûì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ïåðåñòàíîâêè áåç ïîâòîðåíèé èç
n = 3 ýëåìåíòîâ a, b, c òàêîâû: abc, acb, bac, bca,
cab, cba );
á) ñ ïîâòîðåíèÿìè — êàæäûé âõîäÿùèé â êîìáèíàöèþ ýëåìåíò ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí áîëåå ÷åì
îäíèì ýêçåìïëÿðîì (çàïèøåì, íàïðèìåð, âñå ïåðåñòàíîâêè ñ ïîâòîðåíèÿìè èç ýëåìåíòîâ a è b òàêèå, ÷òî ýëåìåíò à ïîâòîðÿåòñÿ òðèæäû, à ýëåìåíò
b — äâàæäû: aaabb, aabab, aabba, abaab, ababa,
abbaa, baaab, baaba, babaa, bbaaa ).
×èñëî ïåðåñòàíîâîê áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
Pn = n! ,
(1)
à ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê èç n ýëåìåíòîâ ñ ïîâòîðåíèÿìè, ñîäåðæàùèõ k1 ýëåìåíòîâ ïåðâîãî òèïà, k2 ýëåìåíòîâ âòîðîãî òèïà,..., kn ýëåìåíòîâ n-ãî òèïà, — ïî
ôîðìóëå
P (k1, k2 ,..., kn ) =
(k1 + k2 + ... + kn )!
,
k1! k2 !... kn !
(2)
ãäå k1 + k2 + ... + kn = n.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ
÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü èç
öèôð 0, 1, 2, 3, åñëè êàæäàÿ öèôðà â èçîáðàæåíèè
÷èñëà âñòðå÷àåòñÿ îäèí ðàç.
q Êàæäîå ÷åòûðåõçíà÷íîå ÷èñëî, ñîñòàâëåííîå èç
óêàçàííûõ öèôð, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïåðåñòàíîâêó èç öèôð 0, 1, 2, 3, â êîòîðîé ïåðâàÿ öèôðà îò274
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ
C nk
ëè÷íà îò íóëÿ. Òàê êàê ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê èç ÷åòûðåõ öèôð ðàâíî P4 = 4! è ñðåäè íèõ P3 = 3! ïåðåñòàíîâîê íà÷èíàþòñÿ ñ íóëÿ, òî èñêîìîå êîëè÷åñòâî
ðàâíî 4! – 3! = 3 · 3! = 1 · 2 · 3 · 3 = 18. n
Ï ð è ì å ð 2. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî
íàíèçàòü íà íèòü 4 çåëåíûõ, 5 ñèíèõ è 6 êðàñíûõ
áóñ?
q Çäåñü ðå÷ü èäåò îá îòûñêàíèè ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê ñ ïîâòîðåíèÿìè, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü èç
k1 = 4 ýëåìåíòîâ ïåðâîãî òèïà (çåëåíûõ áóñ), k2 = 5
ýëåìåíòîâ âòîðîãî òèïà (ñèíèõ áóñ) è k3 = 6 ýëåìåíòîâ òðåòüåãî òèïà (êðàñíûõ áóñ). Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), íàõîäèì
P (4, 5, 6) =
15!
(4 + 5 + 6)!
=
= 630 630. n
4! 5! 6!
4! 5! 6!
202. Ñî÷åòàíèÿ è èõ ñâîéñòâà. Òðåóãîëüíèê
Ïàñêàëÿ. Ñî÷åòàíèÿìè èç n ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ
ïî k ýëåìåíòîâ íàçûâàþòñÿ âñåâîçìîæíûå êîìáèíàöèè, ñîäåðæàùèå k ýëåìåíòîâ, âçÿòûõ èç äàííûõ
n ýëåìåíòîâ, è îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà ïî êðàéíåé ìåðå îäíèì ýëåìåíòîì.
Ñóùåñòâóþò äâà âèäà ñî÷åòàíèé:
à) áåç ïîâòîðåíèé — êàæäûé ýëåìåíò, âõîäÿùèé
â êîìáèíàöèþ, ïðåäñòàâëåí åäèíñòâåííûì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ñî÷åòàíèÿ áåç ïîâòîðåíèé èç n = 4
ýëåìåíòîâ a, b, c, d ïî k = 2 ýëåìåíòà òàêîâû:
ab, ac, ad, bc, bd, cd );
á) ñ ïîâòîðåíèÿìè — êàæäûé ýëåìåíò, âõîäÿùèé â êîìáèíàöèþ, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí áîëåå
÷åì îäíèì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ñî÷åòàíèÿ ñ ïî275
C nk
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
Ñóùåñòâóþò äâà âèäà ïåðåñòàíîâîê:
à) áåç ïîâòîðåíèé — êàæäûé âõîäÿùèé â êîìáèíàöèþ ýëåìåíò ïðåäñòàâëåí åäèíñòâåííûì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ïåðåñòàíîâêè áåç ïîâòîðåíèé èç
n = 3 ýëåìåíòîâ a, b, c òàêîâû: abc, acb, bac, bca,
cab, cba );
á) ñ ïîâòîðåíèÿìè — êàæäûé âõîäÿùèé â êîìáèíàöèþ ýëåìåíò ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí áîëåå ÷åì
îäíèì ýêçåìïëÿðîì (çàïèøåì, íàïðèìåð, âñå ïåðåñòàíîâêè ñ ïîâòîðåíèÿìè èç ýëåìåíòîâ a è b òàêèå, ÷òî ýëåìåíò à ïîâòîðÿåòñÿ òðèæäû, à ýëåìåíò
b — äâàæäû: aaabb, aabab, aabba, abaab, ababa,
abbaa, baaab, baaba, babaa, bbaaa ).
×èñëî ïåðåñòàíîâîê áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
Pn = n! ,
(1)
à ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê èç n ýëåìåíòîâ ñ ïîâòîðåíèÿìè, ñîäåðæàùèõ k1 ýëåìåíòîâ ïåðâîãî òèïà, k2 ýëåìåíòîâ âòîðîãî òèïà,..., kn ýëåìåíòîâ n-ãî òèïà, — ïî
ôîðìóëå
P (k1, k2 ,..., kn ) =
(k1 + k2 + ... + kn )!
,
k1! k2 !... kn !
(2)
ãäå k1 + k2 + ... + kn = n.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ
÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü èç
öèôð 0, 1, 2, 3, åñëè êàæäàÿ öèôðà â èçîáðàæåíèè
÷èñëà âñòðå÷àåòñÿ îäèí ðàç.
q Êàæäîå ÷åòûðåõçíà÷íîå ÷èñëî, ñîñòàâëåííîå èç
óêàçàííûõ öèôð, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïåðåñòàíîâêó èç öèôð 0, 1, 2, 3, â êîòîðîé ïåðâàÿ öèôðà îò274
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ
C nk
ëè÷íà îò íóëÿ. Òàê êàê ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê èç ÷åòûðåõ öèôð ðàâíî P4 = 4! è ñðåäè íèõ P3 = 3! ïåðåñòàíîâîê íà÷èíàþòñÿ ñ íóëÿ, òî èñêîìîå êîëè÷åñòâî
ðàâíî 4! – 3! = 3 · 3! = 1 · 2 · 3 · 3 = 18. n
Ï ð è ì å ð 2. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî
íàíèçàòü íà íèòü 4 çåëåíûõ, 5 ñèíèõ è 6 êðàñíûõ
áóñ?
q Çäåñü ðå÷ü èäåò îá îòûñêàíèè ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê ñ ïîâòîðåíèÿìè, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü èç
k1 = 4 ýëåìåíòîâ ïåðâîãî òèïà (çåëåíûõ áóñ), k2 = 5
ýëåìåíòîâ âòîðîãî òèïà (ñèíèõ áóñ) è k3 = 6 ýëåìåíòîâ òðåòüåãî òèïà (êðàñíûõ áóñ). Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), íàõîäèì
P (4, 5, 6) =
15!
(4 + 5 + 6)!
=
= 630 630. n
4! 5! 6!
4! 5! 6!
202. Ñî÷åòàíèÿ è èõ ñâîéñòâà. Òðåóãîëüíèê
Ïàñêàëÿ. Ñî÷åòàíèÿìè èç n ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ
ïî k ýëåìåíòîâ íàçûâàþòñÿ âñåâîçìîæíûå êîìáèíàöèè, ñîäåðæàùèå k ýëåìåíòîâ, âçÿòûõ èç äàííûõ
n ýëåìåíòîâ, è îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà ïî êðàéíåé ìåðå îäíèì ýëåìåíòîì.
Ñóùåñòâóþò äâà âèäà ñî÷åòàíèé:
à) áåç ïîâòîðåíèé — êàæäûé ýëåìåíò, âõîäÿùèé
â êîìáèíàöèþ, ïðåäñòàâëåí åäèíñòâåííûì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ñî÷åòàíèÿ áåç ïîâòîðåíèé èç n = 4
ýëåìåíòîâ a, b, c, d ïî k = 2 ýëåìåíòà òàêîâû:
ab, ac, ad, bc, bd, cd );
á) ñ ïîâòîðåíèÿìè — êàæäûé ýëåìåíò, âõîäÿùèé â êîìáèíàöèþ, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí áîëåå
÷åì îäíèì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ñî÷åòàíèÿ ñ ïî275
C nk
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
âòîðåíèÿìè èç n = 4 ýëåìåíòîâ a, b, c, d ïî k = 2
ýëåìåíòà òàêîâû: aa, ab, ac, ad, bb, bc, bd, cc, cd,
dd ; ñî÷åòàíèÿ ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n = 2 ýëåìåíòîâ à,
b ïî k = 4 ýëåìåíòà òàêîâû: aaaa, abab, abbb, bbbb ).
×èñëî ñî÷åòàíèé áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ
ïî k ýëåìåíòîâ íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
Ank
n!
0
(1)
=
, ãäå k £ n, Cn = 1,
(n - k)! k!
Pk
à ÷èñëî ñî÷åòàíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ ïî
k ýëåìåíòî⠗ ïî ôîðìóëå
(n + k - 1) !
~
.
Cnk = Cnk+ k -1 = Cnn+-k1-1 =
k! (n - 1)!
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ÷èñëà ñî÷åòàíèé áåç ïîâòîðåíèé:
Cnk =
Cnk = Cnn - k ;
(3)
Cnk +1
(4)
Cnk
+
=
Cnk ++11.
Ï ð è ì å ð 1. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè èç äåñÿòè
÷åëîâåê ìîæíî èçáðàòü êîìèññèþ, ñîñòîÿùóþ èç ÷åòûðåõ ÷ëåíîâ?
q Èñêîìîå êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ ðàâíî ÷èñëó ñî÷åòàíèé áåç ïîâòîðåíèé, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü
èç äåñÿòè ýëåìåíòîâ ïî äâà. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1),
10!
4
ïîëó÷èì C10
=
= 210. n
6! 4!
Ï ð è ì å ð 2. Â êîíäèòåðñêîì îòäåëå ïðîäàþòñÿ
òðè ñîðòà ïèðîæíûõ: áåçå, ýêëåðû è áèñêâèòû. Ñêîëüêî ìîæíî ñîñòàâèòü ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ ïî 9 ïèðîæíûõ â êàæäîì?
276
ÀËÃÅÁÐÀ
C nk
§ 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ
q Çäåñü íóæíî íàéòè ÷èñëî âñåâîçìîæíûõ êîìáèíàöèé ïî 9 ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü
èç òðåõ äàííûõ ýëåìåíòîâ, ïðè÷åì ýòè ýëåìåíòû
â êàæäîé êîìáèíàöèè ìîãóò ïîâòîðÿòüñÿ, à ñàìè êîìáèíàöèè îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà õîòÿ áû îäíèì
ýëåìåíòîì. Çíà÷èò, ðå÷ü èäåò îá îòûñêàíèè ÷èñëà ñî÷åòàíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç òðåõ ýëåìåíòîâ ïî
9. Êîëè÷åñòâî âîçìîæíûõ íàáîðîâ íàéäåì ïî ôîðìóëå (2):
11 × 10
~
9
2
C39 = C11
= C11
=
= 55. n
2
Ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà (4) ìîæíî ñîñòàâèòü òàáëèöó äëÿ íàõîæäåíèÿ ÷èñëà ñî÷åòàíèé (áåç ïîâòîðå~
íèé) Cnk ïðè n = 2, 3, 4,... . Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî
~
C00 = 1, à Cn0 = Cnn = 1. Äàëåå, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (4),
íàõîäèì
C20 = 1, C21 = C10 + C11 = 1 + 1 = 2, C22 = 1;
C30 = 1, C31 = C20 + C21 = 1 + 2 = 3,
C22 = C21 + C22 = 2 + 1 = 3, C33 = 1.
Ðàñïîëîæèì íàéäåííûå ÷èñëà â âèäå òðåóãîëüíîé
òàáëèöû, êîòîðóþ ñîñòàâèì ñëåäóþùèì îáðàçîì:
C00
C20
C30
C10
C31
C21
1
C11
C32
1
C22
1
C33
, ò. å.
1
1
2
3
1
3
1
277
C nk
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
âòîðåíèÿìè èç n = 4 ýëåìåíòîâ a, b, c, d ïî k = 2
ýëåìåíòà òàêîâû: aa, ab, ac, ad, bb, bc, bd, cc, cd,
dd ; ñî÷åòàíèÿ ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n = 2 ýëåìåíòîâ à,
b ïî k = 4 ýëåìåíòà òàêîâû: aaaa, abab, abbb, bbbb ).
×èñëî ñî÷åòàíèé áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ
ïî k ýëåìåíòîâ íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
Ank
n!
0
(1)
=
, ãäå k £ n, Cn = 1,
(n - k)! k!
Pk
à ÷èñëî ñî÷åòàíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ ïî
k ýëåìåíòî⠗ ïî ôîðìóëå
(n + k - 1) !
~
.
Cnk = Cnk+ k -1 = Cnn+-k1-1 =
k! (n - 1)!
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ÷èñëà ñî÷åòàíèé áåç ïîâòîðåíèé:
Cnk =
Cnk = Cnn - k ;
(3)
Cnk +1
(4)
Cnk
+
=
Cnk ++11.
Ï ð è ì å ð 1. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè èç äåñÿòè
÷åëîâåê ìîæíî èçáðàòü êîìèññèþ, ñîñòîÿùóþ èç ÷åòûðåõ ÷ëåíîâ?
q Èñêîìîå êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ ðàâíî ÷èñëó ñî÷åòàíèé áåç ïîâòîðåíèé, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü
èç äåñÿòè ýëåìåíòîâ ïî äâà. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1),
10!
4
ïîëó÷èì C10
=
= 210. n
6! 4!
Ï ð è ì å ð 2. Â êîíäèòåðñêîì îòäåëå ïðîäàþòñÿ
òðè ñîðòà ïèðîæíûõ: áåçå, ýêëåðû è áèñêâèòû. Ñêîëüêî ìîæíî ñîñòàâèòü ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ ïî 9 ïèðîæíûõ â êàæäîì?
276
ÀËÃÅÁÐÀ
C nk
§ 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ
q Çäåñü íóæíî íàéòè ÷èñëî âñåâîçìîæíûõ êîìáèíàöèé ïî 9 ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü
èç òðåõ äàííûõ ýëåìåíòîâ, ïðè÷åì ýòè ýëåìåíòû
â êàæäîé êîìáèíàöèè ìîãóò ïîâòîðÿòüñÿ, à ñàìè êîìáèíàöèè îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà õîòÿ áû îäíèì
ýëåìåíòîì. Çíà÷èò, ðå÷ü èäåò îá îòûñêàíèè ÷èñëà ñî÷åòàíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç òðåõ ýëåìåíòîâ ïî
9. Êîëè÷åñòâî âîçìîæíûõ íàáîðîâ íàéäåì ïî ôîðìóëå (2):
11 × 10
~
9
2
C39 = C11
= C11
=
= 55. n
2
Ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà (4) ìîæíî ñîñòàâèòü òàáëèöó äëÿ íàõîæäåíèÿ ÷èñëà ñî÷åòàíèé (áåç ïîâòîðå~
íèé) Cnk ïðè n = 2, 3, 4,... . Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî
~
C00 = 1, à Cn0 = Cnn = 1. Äàëåå, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (4),
íàõîäèì
C20 = 1, C21 = C10 + C11 = 1 + 1 = 2, C22 = 1;
C30 = 1, C31 = C20 + C21 = 1 + 2 = 3,
C22 = C21 + C22 = 2 + 1 = 3, C33 = 1.
Ðàñïîëîæèì íàéäåííûå ÷èñëà â âèäå òðåóãîëüíîé
òàáëèöû, êîòîðóþ ñîñòàâèì ñëåäóþùèì îáðàçîì:
C00
C20
C30
C10
C31
C21
1
C11
C32
1
C22
1
C33
, ò. å.
1
1
2
3
1
3
1
277
C nk
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
ßñíî, ÷òî ñëåäóþùàÿ ñòðîêà ýòîé òàáëèöû ñîäåðC40 ,
C41,
C42 ,
C43 ,
C44 .
æèò ÷èñëà
Êðàéíèå ÷ëåíû ýòîé
ñòðîêè ðàâíû 1, à êàæäûé èç îñòàëüíûõ ÷ëåíîâ ðàâåí ñóììå äâóõ ðàñïîëîæåííûõ íàä íèì ÷ëåíîâ ïðåäûäóùåé ñòðîêè. Òî÷íî òàê æå ïîëó÷àþòñÿ è îñòàëüíûå ñòðîêè.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì òðåóãîëüíóþ òàáëèöó, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ òðåóãîëüíèêîì Ïàñêàëÿ:
1
1
1
5
1
4
1
1
3
10
2
6
1
3
1
10
4
1
5
1
1
Ïðè ýòîì n-ÿ ñòðîêà òàáëèöû ñîñòîèò èç ÷èñåë
Cn0 ,
Cn1 , Cn2 , ... , Cnn .
§ 20. Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà
203. Áèíîì Íüþòîíà. Ðàíåå (ñì. ï. 62) óæå áûëà
ïðèâåäåíà ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà. Çäåñü ìû ðàññìîòðèì åå áîëåå ïîäðîáíî. Çàïèøåì âûðàæåíèÿ
äëÿ (a + b)n ïðè n = 1, 2, 3, 4 :
(a + b)1 = a + b;
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ;
(a + b)3 = a 3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ;
278
ÀËÃÅÁÐÀ
C nk
§ 20. Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà
(a + b)4 = (a + b) (a + b)3 =
= a 4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 .
Ïîäìå÷àåì ñëåäóþùóþ çàêîíîìåðíîñòü: ïðè âîçâåäåíèè áèíîìà â ñòåïåíü n â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû
ïîëó÷àåòñÿ ñóììà n + 1 ñëàãàåìûõ, ïðè÷åì êàæäîå
èç íèõ ñîäåðæèò ìíîæèòåëè à è b â ñòåïåíÿõ, ñóììà
ïîêàçàòåëåé êîòîðûõ ðàâíà ñòåïåíè áèíîìà . Ïîêàçàòåëè ïðè à ïîñëåäîâàòåëüíî óáûâàþò îò n äî íóëÿ, à
ïîêàçàòåëè ïðè b ïîñëåäîâàòåëüíî âîçðàñòàþò îò íóëÿ
äî n. Êîýôôèöèåíòû ïðè ñòåïåíÿõ à è b â ðàçëîæåíèè (à + b)n íàçûâàþòñÿ áèíîìèàëüíûìè. Ëåãêî
çàìåòèòü, ÷òî áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ (à + b)n ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ÷èñëà ñî÷åòàíèé èç
n ýëåìåíòîâ ñîîòâåòñòâåííî ïî íóëþ, îäíîìó, äâóì, ..., n ýëåìåíòàì (íàïðèìåð, â ðàçëîæåíèè
(à + b)4 èìååì C40 = 1, C41 = 4, C42 = 6, C43 = 4, C44 = 1 ).
Ìîæíî äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü îáùåé ôîðìóëû áèíîìà Íüþòîíà:
(a + b) n = an + Cn1an -1b + Cn2a n -2b 2 + ...
... + Cnka n - kb k + ... + Cnn -1ab n -1 + b n .
(1)
5
ö
æ1
Ï ð è ì å ð. Çàïèñàòü ðàçëîæåíèå ç + 2x 2 ÷ .
ø
èx
1
2
q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), ïðè a = , b = 2x , n = 5
x
ïîëó÷èì
5
5
4
3
æ1ö
æ1ö
æ1ö
ö
æ1
ç + 2x2 ÷ = ç ÷ + 5ç ÷ × 2x 2 + 10 ç ÷ × (2x 2 )2 +
èxø
èxø
èxø
ø
èx
279
C nk
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
ßñíî, ÷òî ñëåäóþùàÿ ñòðîêà ýòîé òàáëèöû ñîäåðC40 ,
C41,
C42 ,
C43 ,
C44 .
æèò ÷èñëà
Êðàéíèå ÷ëåíû ýòîé
ñòðîêè ðàâíû 1, à êàæäûé èç îñòàëüíûõ ÷ëåíîâ ðàâåí ñóììå äâóõ ðàñïîëîæåííûõ íàä íèì ÷ëåíîâ ïðåäûäóùåé ñòðîêè. Òî÷íî òàê æå ïîëó÷àþòñÿ è îñòàëüíûå ñòðîêè.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì òðåóãîëüíóþ òàáëèöó, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ òðåóãîëüíèêîì Ïàñêàëÿ:
1
1
1
5
1
4
1
1
3
10
2
6
1
3
1
10
4
1
5
1
1
Ïðè ýòîì n-ÿ ñòðîêà òàáëèöû ñîñòîèò èç ÷èñåë
Cn0 ,
Cn1 , Cn2 , ... , Cnn .
§ 20. Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà
203. Áèíîì Íüþòîíà. Ðàíåå (ñì. ï. 62) óæå áûëà
ïðèâåäåíà ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà. Çäåñü ìû ðàññìîòðèì åå áîëåå ïîäðîáíî. Çàïèøåì âûðàæåíèÿ
äëÿ (a + b)n ïðè n = 1, 2, 3, 4 :
(a + b)1 = a + b;
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ;
(a + b)3 = a 3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ;
278
ÀËÃÅÁÐÀ
C nk
§ 20. Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà
(a + b)4 = (a + b) (a + b)3 =
= a 4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 .
Ïîäìå÷àåì ñëåäóþùóþ çàêîíîìåðíîñòü: ïðè âîçâåäåíèè áèíîìà â ñòåïåíü n â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû
ïîëó÷àåòñÿ ñóììà n + 1 ñëàãàåìûõ, ïðè÷åì êàæäîå
èç íèõ ñîäåðæèò ìíîæèòåëè à è b â ñòåïåíÿõ, ñóììà
ïîêàçàòåëåé êîòîðûõ ðàâíà ñòåïåíè áèíîìà . Ïîêàçàòåëè ïðè à ïîñëåäîâàòåëüíî óáûâàþò îò n äî íóëÿ, à
ïîêàçàòåëè ïðè b ïîñëåäîâàòåëüíî âîçðàñòàþò îò íóëÿ
äî n. Êîýôôèöèåíòû ïðè ñòåïåíÿõ à è b â ðàçëîæåíèè (à + b)n íàçûâàþòñÿ áèíîìèàëüíûìè. Ëåãêî
çàìåòèòü, ÷òî áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ (à + b)n ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ÷èñëà ñî÷åòàíèé èç
n ýëåìåíòîâ ñîîòâåòñòâåííî ïî íóëþ, îäíîìó, äâóì, ..., n ýëåìåíòàì (íàïðèìåð, â ðàçëîæåíèè
(à + b)4 èìååì C40 = 1, C41 = 4, C42 = 6, C43 = 4, C44 = 1 ).
Ìîæíî äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü îáùåé ôîðìóëû áèíîìà Íüþòîíà:
(a + b) n = an + Cn1an -1b + Cn2a n -2b 2 + ...
... + Cnka n - kb k + ... + Cnn -1ab n -1 + b n .
(1)
5
ö
æ1
Ï ð è ì å ð. Çàïèñàòü ðàçëîæåíèå ç + 2x 2 ÷ .
ø
èx
1
2
q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), ïðè a = , b = 2x , n = 5
x
ïîëó÷èì
5
5
4
3
æ1ö
æ1ö
æ1ö
ö
æ1
ç + 2x2 ÷ = ç ÷ + 5ç ÷ × 2x 2 + 10 ç ÷ × (2x 2 )2 +
èxø
èxø
èxø
ø
èx
279
ÀËÃÅÁÐÀ
C nk
Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
2
1
x5
+
10
x2
204. Ñâîéñòâà ôîðìóëû áèíîìà Íüþòîíà.
1 0. ×èñëî âñåõ ñëàãàåìûõ ðàçëîæåíèÿ ðàâíî
n + 1.
20. Îáùèé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ èìååò âèä
(1)
ãäå k = 0, 1, 2,..., n.
30. Êîýôôèöèåíòû ÷ëåíîâ, ðàâíîóäàëåííûõ îò êîíöîâ ðàçëîæåíèÿ, ðàâíû ìåæäó ñîáîé.
40. Ñóììà âñåõ áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ
ðàâíà 2n.
50. Ñóììà áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ, ñòîÿùèõ
íà ÷åòíûõ ìåñòàõ, ðàâíà ñóììå áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ, ñòîÿùèõ íà íå÷åòíûõ ìåñòàõ.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè íàèáîëüøèé êîýôôèöèåíò
n
ðàçëîæåíèÿ (a + b) , åñëè ñóììà âñåõ áèíîìèàëüíûõ
êîýôôèöèåíòîâ ðàâíà 4096.
q Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 40, ñóììà âñåõ áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ ðàâíà 2n , îòêóäà ïîëó÷àåì
óðàâíåíèå 2n = 4096, ò. å. 2n = 212. Çíà÷èò, n = 12.
Òàê êàê ïîêàçàòåëü ñòåïåíè áèíîìà, ðàâíûé 12, —
÷åòíîå ÷èñëî, òî íàèáîëüøèì áèíîìèàëüíûì êîýôôèöèåíòîì ÿâëÿåòñÿ êîýôôèöèåíò ïðè ñðåäíåì
(ò. å. 6-ì) ÷ëåíå. Èòàê, ýòîò êîýôôèöèåíò ðàâåí
280
12! 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7
12!
=
=
= 924. n
6 ×5 × 4× 3×2×1
6! (12 - 6)! 6!6!
15
+ 40x + 80x 4 + 80x 7 + 32x 10 . n
Tk +1 = Cnka n - kb k ,
C nk
§ 20. Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà
36
CÑ12
=
12
1
æ1ö
+ 10ç ÷ (2x2 )3 + 5 × (2x 2 )4 + (2x2 )5 =
x
x
è ø
=
ÀËÃÅÁÐÀ
æ
2 ö
Ï ð è ì å ð 2. Â ðàçëîæåíèè ç z - 3 ÷ íàéòè
ç
÷
zø
è
÷ëåí, íå ñîäåðæàùèé z.
q Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (1), çàïèøåì îáùèé ÷ëåí
ðàçëîæåíèÿ
15 - k
æ 1ö
k ç 2÷
Tk + 1 = C15 ç z ÷
ç ÷
è ø
Ïðèðàâíÿâ íóëþ
Tk +1, íàéäåì k:
k
1
15 - k k
æ
- ö÷
ç
k
k
3
2
3.
=
2
(
2
)
z
C
z
15
çç
÷÷
è
ø
ïîêàçàòåëü ïðè z â âûðàæåíèè
15 - k k
- = 0; 45 - 3k - 2k = 0; k = 9.
2
3
Èòàê, z íå ñîäåðæèò 10-é ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ; îí
ðàâåí
9
T9 +1 = C15
( -2) 9 = -5005 × 512 = -2 562 560. n
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè íàèáîëüøèé áèíîìèàëün
1ö
æ
íûé êîýôôèöèåíò ðàçëîæåíèÿ ç n + ÷ , åñëè ïðînø
è
èçâåäåíèå ÷åòâåðòîãî îò íà÷àëà è ÷åòâåðòîãî îò êîíöà ñëàãàåìûõ ðàâíî 14 400.
q ×åòâåðòîå ñëàãàåìîå îò íà÷àëà èìååò âèä T4 =
= Cn3n n - 3 ×
1
n3
, à ÷åòâåðòîå îò êîíöà — âèä Tn -2 =
281
ÀËÃÅÁÐÀ
C nk
Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
2
1
x5
+
10
x2
204. Ñâîéñòâà ôîðìóëû áèíîìà Íüþòîíà.
1 0. ×èñëî âñåõ ñëàãàåìûõ ðàçëîæåíèÿ ðàâíî
n + 1.
20. Îáùèé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ èìååò âèä
(1)
ãäå k = 0, 1, 2,..., n.
30. Êîýôôèöèåíòû ÷ëåíîâ, ðàâíîóäàëåííûõ îò êîíöîâ ðàçëîæåíèÿ, ðàâíû ìåæäó ñîáîé.
40. Ñóììà âñåõ áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ
ðàâíà 2n.
50. Ñóììà áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ, ñòîÿùèõ
íà ÷åòíûõ ìåñòàõ, ðàâíà ñóììå áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ, ñòîÿùèõ íà íå÷åòíûõ ìåñòàõ.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè íàèáîëüøèé êîýôôèöèåíò
n
ðàçëîæåíèÿ (a + b) , åñëè ñóììà âñåõ áèíîìèàëüíûõ
êîýôôèöèåíòîâ ðàâíà 4096.
q Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 40, ñóììà âñåõ áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ ðàâíà 2n , îòêóäà ïîëó÷àåì
óðàâíåíèå 2n = 4096, ò. å. 2n = 212. Çíà÷èò, n = 12.
Òàê êàê ïîêàçàòåëü ñòåïåíè áèíîìà, ðàâíûé 12, —
÷åòíîå ÷èñëî, òî íàèáîëüøèì áèíîìèàëüíûì êîýôôèöèåíòîì ÿâëÿåòñÿ êîýôôèöèåíò ïðè ñðåäíåì
(ò. å. 6-ì) ÷ëåíå. Èòàê, ýòîò êîýôôèöèåíò ðàâåí
280
12! 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7
12!
=
=
= 924. n
6 ×5 × 4× 3×2×1
6! (12 - 6)! 6!6!
15
+ 40x + 80x 4 + 80x 7 + 32x 10 . n
Tk +1 = Cnka n - kb k ,
C nk
§ 20. Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà
36
CÑ12
=
12
1
æ1ö
+ 10ç ÷ (2x2 )3 + 5 × (2x 2 )4 + (2x2 )5 =
x
x
è ø
=
ÀËÃÅÁÐÀ
æ
2 ö
Ï ð è ì å ð 2. Â ðàçëîæåíèè ç z - 3 ÷ íàéòè
ç
÷
zø
è
÷ëåí, íå ñîäåðæàùèé z.
q Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (1), çàïèøåì îáùèé ÷ëåí
ðàçëîæåíèÿ
15 - k
æ 1ö
k ç 2÷
Tk + 1 = C15 ç z ÷
ç ÷
è ø
Ïðèðàâíÿâ íóëþ
Tk +1, íàéäåì k:
k
1
15 - k k
æ
- ö÷
ç
k
k
3
2
3.
=
2
(
2
)
z
C
z
15
çç
÷÷
è
ø
ïîêàçàòåëü ïðè z â âûðàæåíèè
15 - k k
- = 0; 45 - 3k - 2k = 0; k = 9.
2
3
Èòàê, z íå ñîäåðæèò 10-é ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ; îí
ðàâåí
9
T9 +1 = C15
( -2) 9 = -5005 × 512 = -2 562 560. n
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè íàèáîëüøèé áèíîìèàëün
1ö
æ
íûé êîýôôèöèåíò ðàçëîæåíèÿ ç n + ÷ , åñëè ïðînø
è
èçâåäåíèå ÷åòâåðòîãî îò íà÷àëà è ÷åòâåðòîãî îò êîíöà ñëàãàåìûõ ðàâíî 14 400.
q ×åòâåðòîå ñëàãàåìîå îò íà÷àëà èìååò âèä T4 =
= Cn3n n - 3 ×
1
n3
, à ÷åòâåðòîå îò êîíöà — âèä Tn -2 =
281
ÀËÃÅÁÐÀ
C nk
= Cnn -3n3
Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
1
n
n -3
. Ïîýòîìó T4Tn -2 = Cn3 Cnn - 3 = (Cn3 ) 2 =
= 14 400, îòêóäà Cn3 = 120. Äàëåå èìååì n (n - 1) ´
ç (n – 2) = 720; n (n – 1) (n – 2) = 10 · 9 · 8, îòêóäà
n = 10. Èòàê, íàèáîëüøèé áèíîìèàëüíûé êîýôôèöèåíò, âõîäÿùèé â ñëàãàåìîå, îäèíàêîâî óäàëåííîå
10!
5
îò êîíöîâ ðàçëîæåíèÿ, åñòü C10
=
= 252. n
5! 5!
Ðàçäåë VII
ÝËÅÌÅÍÒÛ
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
205. Îïðåäåëåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïóñòü
êàæäîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå îïðåäåëåííîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî: ÷èñëó
1 ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëî à1, ÷èñëó 2 — ÷èñëî à2, ..., ÷èñëó
n — ÷èñëî àn è ò. ä. Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, è ïèøóò: à1, à2,..., àn,... .
Èíà÷å ìîæíî çàïèñàòü (àn). ×èñëà à1, à2,..., àn,...
íàçûâàþòñÿ ÷ëåíàìè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Íàïðèìåð, äëÿ ëþáîé áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé
äðîáè ìîæíî ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åå äåñÿòè÷íûõ ïðèáëèæåíèé ïî íåäîñòàòêó èëè ïî èçáûòêó. Òàê, äëÿ ÷èñëà å = 2,71828... ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
äåñÿòè÷íûõ ïðèáëèæåíèé ïî íåäîñòàòêó èìååò âèä
2; 2,7; 2,71; 2,718; 2,7182; 2,71828; ... .
206. Ñïîñîáû çàäàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Èìååòñÿ òðè îñíîâíûõ ñïîñîáà çàäàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
1. Àíàëèòè÷åñêèé — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çàäàåòñÿ ôîðìóëîé n-ãî ÷ëåíà.
n
Ï ð è ì å ð 1. Ôîðìóëîé an =
çàäàåòñÿ
n+1
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü à1, à2, à3,..., àn,..., ó êîòîðîé
282
283
ÀËÃÅÁÐÀ
C nk
= Cnn -3n3
Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ
1
n
n -3
. Ïîýòîìó T4Tn -2 = Cn3 Cnn - 3 = (Cn3 ) 2 =
= 14 400, îòêóäà Cn3 = 120. Äàëåå èìååì n (n - 1) ´
ç (n – 2) = 720; n (n – 1) (n – 2) = 10 · 9 · 8, îòêóäà
n = 10. Èòàê, íàèáîëüøèé áèíîìèàëüíûé êîýôôèöèåíò, âõîäÿùèé â ñëàãàåìîå, îäèíàêîâî óäàëåííîå
10!
5
îò êîíöîâ ðàçëîæåíèÿ, åñòü C10
=
= 252. n
5! 5!
Ðàçäåë VII
ÝËÅÌÅÍÒÛ
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
205. Îïðåäåëåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïóñòü
êàæäîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå îïðåäåëåííîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî: ÷èñëó
1 ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëî à1, ÷èñëó 2 — ÷èñëî à2, ..., ÷èñëó
n — ÷èñëî àn è ò. ä. Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, è ïèøóò: à1, à2,..., àn,... .
Èíà÷å ìîæíî çàïèñàòü (àn). ×èñëà à1, à2,..., àn,...
íàçûâàþòñÿ ÷ëåíàìè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Íàïðèìåð, äëÿ ëþáîé áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé
äðîáè ìîæíî ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åå äåñÿòè÷íûõ ïðèáëèæåíèé ïî íåäîñòàòêó èëè ïî èçáûòêó. Òàê, äëÿ ÷èñëà å = 2,71828... ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
äåñÿòè÷íûõ ïðèáëèæåíèé ïî íåäîñòàòêó èìååò âèä
2; 2,7; 2,71; 2,718; 2,7182; 2,71828; ... .
206. Ñïîñîáû çàäàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Èìååòñÿ òðè îñíîâíûõ ñïîñîáà çàäàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
1. Àíàëèòè÷åñêèé — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çàäàåòñÿ ôîðìóëîé n-ãî ÷ëåíà.
n
Ï ð è ì å ð 1. Ôîðìóëîé an =
çàäàåòñÿ
n+1
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü à1, à2, à3,..., àn,..., ó êîòîðîé
282
283
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
a1 =
1
1
2
2
3
3
= ; a2 =
= ; a3 =
= ,..., ò. å.
1+1 2
2+1 3
3+1 4
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
1 2 3
n
, , ,...,
,... .
2 3 4
n+1
2. Ðåêóððåíòíûé — ëþáîé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî, âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïðåäøåñòâóþùèå ÷ëåíû. Ïðè ýòîì ñïîñîáå çàäàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè óêàçûâàþò åå ïåðâûé ÷ëåí (èëè íåñêîëüêî íà÷àëüíûõ ÷ëåíîâ) è ôîðìóëó, ïîçâîëÿþùóþ
îïðåäåëèòü ëþáîé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïî èçâåñòíûì ïðåäøåñòâóþùèì ÷ëåíàì.
Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü à1=1, à2=1, àn+2=àn+àn+1.
Òîãäà a3 = a1 + a2 = 1 + 1 = 2; a4 = a2 + a3 = 1 + 2 = 3;
a5 = a3 + a4 = 2 + 3 = 5; a6 = a4 + a5 = 3 + 5 = 8;. ... .
 èòîãå ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, 21, 34,... . Êàæäûé åå ÷ëåí, êðîìå ïåðâûõ äâóõ,
ðàâåí ñóììå äâóõ ïðåäøåñòâóþùèõ åìó ÷ëåíîâ.
3. Ñëîâåñíûé — çàäàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïèñàíèåì. Òàêîâà, íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåñÿòè÷íûõ ïðèáëèæåíèé ïî íåäîñòàòêó ÷èñëà å (ñì. ï.
205).
207. Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (àn) íàçûâàåòñÿ âîçðàñòàþùåé, åñëè êàæäûé åå ÷ëåí ìåíüøå ñëåäóþùåãî çà
íèì, ò. å. åñëè àn < àn+1 äëÿ ëþáîãî n. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (àn) íàçûâàåòñÿ óáûâàþùåé, åñëè êàæäûé åå
÷ëåí áîëüøå ñëåäóþùåãî çà íèì, ò. å. åñëè àn >
> àn+1 äëÿ ëþáîãî n. Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàçûâàþòñÿ ìîíîòîííûìè.
284
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
1 2 3 4
n
, , , ,...,
,... — âîçðàñ2 3 4 5
n+1
òàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
1 1 1
1
á) 1, , , , ..., ,... — óáûâàþùàÿ ïîñëåäîâà2 3 4
n
òåëüíîñòü.
Ï ð è ì å ð. à)
â) - 1, 2, - 3, 4, - 5, 6,..., (-1)n × n,... — ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé.
ã) 3, 3, 3, 3, ..., 3, ... — ïîñòîÿííàÿ (èëè ñòàöèîíàðíàÿ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
208. Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (àn), êàæäûé ÷ëåí êîòîðîé, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî, ðàâåí ïðåäûäóùåìó, ñëîæåííîìó ñ
îäíèì è òåì æå ÷èñëîì d, íàçûâàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé. ×èñëî d íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ
ïðîãðåññèè. Òàêèì îáðàçîì, àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, çàäàííàÿ ðåêóððåíòíî ðàâåíñòâîì àn+1 = àn + d.
Åñëè d > 0, òî àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ âîçðàñòàåò, åñëè d < 0, òî îíà óáûâàåò.
Ï ð è ì å ð 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 9, 7, 5, 3, ... —
ýòî óáûâàþùàÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó êîòîðîé à1 = 9, d = –2.
Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü à1 = –1, d = 0,5. Ýòèìè
óñëîâèÿìè çàäàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó
êîòîðîé à2 = –1 + 0,5 = –0,5; à3 = –0,5 + 0,5 = 0;
à4 = 0 + 0,5 = 0,5;... .
Èòàê, ïîëó÷àåì âîçðàñòàþùóþ àðèôìåòè÷åñêóþ
ïðîãðåññèþ: –1; –0,5; 0; 0,5; ... .
Èíîãäà ðàññìàòðèâàþò íå âñþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü,
ÿâëÿþùóþñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, à ëèøü
285
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
a1 =
1
1
2
2
3
3
= ; a2 =
= ; a3 =
= ,..., ò. å.
1+1 2
2+1 3
3+1 4
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
1 2 3
n
, , ,...,
,... .
2 3 4
n+1
2. Ðåêóððåíòíûé — ëþáîé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî, âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïðåäøåñòâóþùèå ÷ëåíû. Ïðè ýòîì ñïîñîáå çàäàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè óêàçûâàþò åå ïåðâûé ÷ëåí (èëè íåñêîëüêî íà÷àëüíûõ ÷ëåíîâ) è ôîðìóëó, ïîçâîëÿþùóþ
îïðåäåëèòü ëþáîé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïî èçâåñòíûì ïðåäøåñòâóþùèì ÷ëåíàì.
Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü à1=1, à2=1, àn+2=àn+àn+1.
Òîãäà a3 = a1 + a2 = 1 + 1 = 2; a4 = a2 + a3 = 1 + 2 = 3;
a5 = a3 + a4 = 2 + 3 = 5; a6 = a4 + a5 = 3 + 5 = 8;. ... .
 èòîãå ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, 21, 34,... . Êàæäûé åå ÷ëåí, êðîìå ïåðâûõ äâóõ,
ðàâåí ñóììå äâóõ ïðåäøåñòâóþùèõ åìó ÷ëåíîâ.
3. Ñëîâåñíûé — çàäàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïèñàíèåì. Òàêîâà, íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåñÿòè÷íûõ ïðèáëèæåíèé ïî íåäîñòàòêó ÷èñëà å (ñì. ï.
205).
207. Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (àn) íàçûâàåòñÿ âîçðàñòàþùåé, åñëè êàæäûé åå ÷ëåí ìåíüøå ñëåäóþùåãî çà
íèì, ò. å. åñëè àn < àn+1 äëÿ ëþáîãî n. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (àn) íàçûâàåòñÿ óáûâàþùåé, åñëè êàæäûé åå
÷ëåí áîëüøå ñëåäóþùåãî çà íèì, ò. å. åñëè àn >
> àn+1 äëÿ ëþáîãî n. Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàçûâàþòñÿ ìîíîòîííûìè.
284
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
1 2 3 4
n
, , , ,...,
,... — âîçðàñ2 3 4 5
n+1
òàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
1 1 1
1
á) 1, , , , ..., ,... — óáûâàþùàÿ ïîñëåäîâà2 3 4
n
òåëüíîñòü.
Ï ð è ì å ð. à)
â) - 1, 2, - 3, 4, - 5, 6,..., (-1)n × n,... — ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé.
ã) 3, 3, 3, 3, ..., 3, ... — ïîñòîÿííàÿ (èëè ñòàöèîíàðíàÿ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
208. Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (àn), êàæäûé ÷ëåí êîòîðîé, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî, ðàâåí ïðåäûäóùåìó, ñëîæåííîìó ñ
îäíèì è òåì æå ÷èñëîì d, íàçûâàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé. ×èñëî d íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ
ïðîãðåññèè. Òàêèì îáðàçîì, àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, çàäàííàÿ ðåêóððåíòíî ðàâåíñòâîì àn+1 = àn + d.
Åñëè d > 0, òî àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ âîçðàñòàåò, åñëè d < 0, òî îíà óáûâàåò.
Ï ð è ì å ð 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 9, 7, 5, 3, ... —
ýòî óáûâàþùàÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó êîòîðîé à1 = 9, d = –2.
Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü à1 = –1, d = 0,5. Ýòèìè
óñëîâèÿìè çàäàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó
êîòîðîé à2 = –1 + 0,5 = –0,5; à3 = –0,5 + 0,5 = 0;
à4 = 0 + 0,5 = 0,5;... .
Èòàê, ïîëó÷àåì âîçðàñòàþùóþ àðèôìåòè÷åñêóþ
ïðîãðåññèþ: –1; –0,5; 0; 0,5; ... .
Èíîãäà ðàññìàòðèâàþò íå âñþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü,
ÿâëÿþùóþñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, à ëèøü
285
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
åå ïåðâûå íåñêîëüêî ÷ëåíîâ.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò
î êîíå÷íîé àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
Äëÿ óêàçàíèÿ òîãî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (an)
ÿâëÿåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, èñïîëüçóþò
îáîçíà÷åíèå
ò¸a1, a2 , a3 , ... , an , ... .
209. Ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
10. Ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà:
(1)
an = a1 + d (n - 1).
20. Ôîðìóëû ñóììû n ïåðâûõ ÷ëåíîâ:
a1 + an
× n,;
(2)
2
2a + d (n - 1)
× n.
(3)
Sn = 1
2
Çäåñü S1 = a1, Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an .
30. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî: ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäûé åå ÷ëåí, êðîìå
ïåðâîãî (è ïîñëåäíåãî â ñëó÷àå êîíå÷íîé àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè), ðàâåí ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó ïðåäûäóùåãî è ïîñëåäóþùåãî ÷ëåíîâ:
+ an + 1
a
.
an = n -1
2
Ï ð è ì å ð. Ñïîðòñìåí çà ïåðâóþ ìèíóòó ïðîáåæàë 400 ì, à â êàæäóþ ñëåäóþùóþ ìèíóòó ïðîáåãàë
íà 5 ì ìåíüøå, ÷åì â ïðåäûäóùóþ. Êàêîé ïóòü ïðîáåæàë îí çà 1 ÷?
q Çà ïåðâóþ ìèíóòó ñïîðòñìåí ïðîáåæàë 400 ì,
çà âòîðóþ — 395 ì, çà òðåòüþ — 390 ì è ò. ä. ×èñëà
400, 395, 390, ... îáðàçóþò àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåñSn =
286
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ñèþ, ó êîòîðîé a1 = 400, d = -5. Ïóòü, êîòîðûé ïðîáåæèò ñïîðòñìåí çà 1 ÷, ò. å. çà 60 ìèí, ðàâåí ñóììå
ïåðâûõ 60 ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè. Ïðèìåíèâ ôîðìóëó
(3), ïîëó÷èì
2 · 400 + d · 59
· 60 = 800 – 59 · 5 = 15 150,
2
2
ò. å. çà 1 ÷ îí ïðîáåæèò 15 êì 150 ì. n
210. Îïðåäåëåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (bn), ïåðâûé ÷ëåí êîòîðîé îòëè÷åí îò íóëÿ è êàæäûé ÷ëåí, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî, ðàâåí ïðåäûäóùåìó, óìíîæåííîìó íà îäíî è òî æå îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî q, íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé. ×èñëî q íàçûâàåòñÿ çíàìåíàòåëåì ïðîãðåññèè. Òàêèì îáðàçîì, ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, çàäàííàÿ ðåêóððåíS60 =
òíî ðàâåíñòâîì bn + 1 = bn q, ãäå b1 ¹ 0, q ¹ 0.
Åñëè q > 1 è b1 > 0, òî ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ âîçðàñòàåò; åñëè 0 < q < 1 è b1 > 0, òî îíà óáûâàåò; ïðè q < 0 îíà íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé.
Ï ð è ì å ð 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 30; 9; 2,7;
0,81; ... åñòü óáûâàþùàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ,
ó êîòîðîé b1 = 30, q = 0,3.
Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü b1 = 2, q = -3. Óêàçàííûìè óñëîâèÿìè çàäàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó êîòîðîé b2 = 2 × (-3) = -6; b3 = (-6) × (-3) = 18,.
b4 = 18 · (–3) = –54; b5 = (–54) · (–3) = 162; ... . Ýòà
ïðîãðåññèÿ íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé.
Èíîãäà ðàññìàòðèâàþò íå âñþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü,
ÿâëÿþùóþñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, à ëèøü
287
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
åå ïåðâûå íåñêîëüêî ÷ëåíîâ.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò
î êîíå÷íîé àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
Äëÿ óêàçàíèÿ òîãî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (an)
ÿâëÿåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, èñïîëüçóþò
îáîçíà÷åíèå
ò¸a1, a2 , a3 , ... , an , ... .
209. Ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
10. Ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà:
(1)
an = a1 + d (n - 1).
20. Ôîðìóëû ñóììû n ïåðâûõ ÷ëåíîâ:
a1 + an
× n,;
(2)
2
2a + d (n - 1)
× n.
(3)
Sn = 1
2
Çäåñü S1 = a1, Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an .
30. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî: ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäûé åå ÷ëåí, êðîìå
ïåðâîãî (è ïîñëåäíåãî â ñëó÷àå êîíå÷íîé àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè), ðàâåí ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó ïðåäûäóùåãî è ïîñëåäóþùåãî ÷ëåíîâ:
+ an + 1
a
.
an = n -1
2
Ï ð è ì å ð. Ñïîðòñìåí çà ïåðâóþ ìèíóòó ïðîáåæàë 400 ì, à â êàæäóþ ñëåäóþùóþ ìèíóòó ïðîáåãàë
íà 5 ì ìåíüøå, ÷åì â ïðåäûäóùóþ. Êàêîé ïóòü ïðîáåæàë îí çà 1 ÷?
q Çà ïåðâóþ ìèíóòó ñïîðòñìåí ïðîáåæàë 400 ì,
çà âòîðóþ — 395 ì, çà òðåòüþ — 390 ì è ò. ä. ×èñëà
400, 395, 390, ... îáðàçóþò àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåñSn =
286
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ñèþ, ó êîòîðîé a1 = 400, d = -5. Ïóòü, êîòîðûé ïðîáåæèò ñïîðòñìåí çà 1 ÷, ò. å. çà 60 ìèí, ðàâåí ñóììå
ïåðâûõ 60 ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè. Ïðèìåíèâ ôîðìóëó
(3), ïîëó÷èì
2 · 400 + d · 59
· 60 = 800 – 59 · 5 = 15 150,
2
2
ò. å. çà 1 ÷ îí ïðîáåæèò 15 êì 150 ì. n
210. Îïðåäåëåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (bn), ïåðâûé ÷ëåí êîòîðîé îòëè÷åí îò íóëÿ è êàæäûé ÷ëåí, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî, ðàâåí ïðåäûäóùåìó, óìíîæåííîìó íà îäíî è òî æå îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî q, íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé. ×èñëî q íàçûâàåòñÿ çíàìåíàòåëåì ïðîãðåññèè. Òàêèì îáðàçîì, ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, çàäàííàÿ ðåêóððåíS60 =
òíî ðàâåíñòâîì bn + 1 = bn q, ãäå b1 ¹ 0, q ¹ 0.
Åñëè q > 1 è b1 > 0, òî ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ âîçðàñòàåò; åñëè 0 < q < 1 è b1 > 0, òî îíà óáûâàåò; ïðè q < 0 îíà íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé.
Ï ð è ì å ð 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 30; 9; 2,7;
0,81; ... åñòü óáûâàþùàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ,
ó êîòîðîé b1 = 30, q = 0,3.
Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü b1 = 2, q = -3. Óêàçàííûìè óñëîâèÿìè çàäàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó êîòîðîé b2 = 2 × (-3) = -6; b3 = (-6) × (-3) = 18,.
b4 = 18 · (–3) = –54; b5 = (–54) · (–3) = 162; ... . Ýòà
ïðîãðåññèÿ íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé.
Èíîãäà ðàññìàòðèâàþò íå âñþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü,
ÿâëÿþùóþñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, à ëèøü
287
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
åå ïåðâûå íåñêîëüêî ÷ëåíîâ.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò
î êîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
Äëÿ óêàçàíèÿ òîãî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (bn)
ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, èñïîëüçóþò
îáîçíà÷åíèå
¸¸ b1, b2, ..., bn, ... .
211. Ñâîéñòâà ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
10. Ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà:
bn = b1q n -1.
20. Ôîðìóëû ñóììû n ïåðâûõ ÷ëåíîâ:
Sn =
bn q - b1
;
q -1
(1)
(2)
b (q n - 1)
(3)
.
Sn = 1
q -1
Çäåñü S1 = b1, Sn = b1 + b2 + b3 + ... + bn , q ¹ 1; åñëè
q = 1, òî Sn = nb1.
30. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî: ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäûé åå ÷ëåí, êðîìå
ïåðâîãî (è ïîñëåäíåãî â ñëó÷àå êîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè), ñâÿçàí ñ ïðåäûäóùèì è ïîñëåäóþùèì ÷ëåíàìè ôîðìóëîé
bn2 = bn -1 × bn +1.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè 8-é ÷ëåí ãåîìåòðè÷åñêîé
ïðîãðåññèè, ó êîòîðîé b1 = 3, bn = 96, Sn = 189.
q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), ïîëó÷àåì 96 = 3q n -1,
ò. å. q n -1 = 32, îòêóäà q n = 32q.
288
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3), èìååì
189 =
3 (q n - 1)
, èëè
q -1
qn - 1
= 63.
q -1
(4)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî q n = 32q , è ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â ðàâåíñòâî (4), ïîëó÷èì
32q - 1
= 63; 32q - 1 = 63q - 63, q = 2.
q -1
Çíàÿ b1 è q, íàéäåì b8 = b1q7 = 3 × 27 = 384. n
Ï ð è ì å ð 2. Òðè ÷èñëà îáðàçóþò êîíå÷íóþ
ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. Åñëè âòîðîå ÷èñëî óâåëè÷èòü íà 2, òî íîâàÿ òðîéêà ÷èñåë ñîñòàâèò êîíå÷íóþ àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. Åñëè æå òðåòüå
÷èñëî ýòîé íîâîé òðîéêè óâåëè÷èòü íà 9, òî ñíîâà
ïîëó÷èòñÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ. Íàéòè ïåðâóþ òðîéêó ÷èñåë.
q Ïóñòü b1, b2, b3 — èñêîìûå òðè ÷èñëà. Òîãäà
çàäàííûå óñëîâèÿ çàïèøóòñÿ òàê:
1) ¸¸ b1, b2, b3; 2) ¸ b1, b2 +2, b3; 3) ¸¸ b1, b2 + 2, b3 + 9.
Èñïîëüçóÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêîé è ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèé, ïîëó÷èì:
1) b22 = b1b3; 2) b2 + 2 =
b1 + b3
; 3) (b2 + 2)2 = b1 (b3 + 9).
2
289
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
åå ïåðâûå íåñêîëüêî ÷ëåíîâ.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò
î êîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
Äëÿ óêàçàíèÿ òîãî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (bn)
ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, èñïîëüçóþò
îáîçíà÷åíèå
¸¸ b1, b2, ..., bn, ... .
211. Ñâîéñòâà ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
10. Ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà:
bn = b1q n -1.
20. Ôîðìóëû ñóììû n ïåðâûõ ÷ëåíîâ:
Sn =
bn q - b1
;
q -1
(1)
(2)
b (q n - 1)
(3)
.
Sn = 1
q -1
Çäåñü S1 = b1, Sn = b1 + b2 + b3 + ... + bn , q ¹ 1; åñëè
q = 1, òî Sn = nb1.
30. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî: ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäûé åå ÷ëåí, êðîìå
ïåðâîãî (è ïîñëåäíåãî â ñëó÷àå êîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè), ñâÿçàí ñ ïðåäûäóùèì è ïîñëåäóþùèì ÷ëåíàìè ôîðìóëîé
bn2 = bn -1 × bn +1.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè 8-é ÷ëåí ãåîìåòðè÷åñêîé
ïðîãðåññèè, ó êîòîðîé b1 = 3, bn = 96, Sn = 189.
q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), ïîëó÷àåì 96 = 3q n -1,
ò. å. q n -1 = 32, îòêóäà q n = 32q.
288
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3), èìååì
189 =
3 (q n - 1)
, èëè
q -1
qn - 1
= 63.
q -1
(4)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî q n = 32q , è ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â ðàâåíñòâî (4), ïîëó÷èì
32q - 1
= 63; 32q - 1 = 63q - 63, q = 2.
q -1
Çíàÿ b1 è q, íàéäåì b8 = b1q7 = 3 × 27 = 384. n
Ï ð è ì å ð 2. Òðè ÷èñëà îáðàçóþò êîíå÷íóþ
ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. Åñëè âòîðîå ÷èñëî óâåëè÷èòü íà 2, òî íîâàÿ òðîéêà ÷èñåë ñîñòàâèò êîíå÷íóþ àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. Åñëè æå òðåòüå
÷èñëî ýòîé íîâîé òðîéêè óâåëè÷èòü íà 9, òî ñíîâà
ïîëó÷èòñÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ. Íàéòè ïåðâóþ òðîéêó ÷èñåë.
q Ïóñòü b1, b2, b3 — èñêîìûå òðè ÷èñëà. Òîãäà
çàäàííûå óñëîâèÿ çàïèøóòñÿ òàê:
1) ¸¸ b1, b2, b3; 2) ¸ b1, b2 +2, b3; 3) ¸¸ b1, b2 + 2, b3 + 9.
Èñïîëüçóÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêîé è ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèé, ïîëó÷èì:
1) b22 = b1b3; 2) b2 + 2 =
b1 + b3
; 3) (b2 + 2)2 = b1 (b3 + 9).
2
289
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Äàëåå, òàê êàê b2 = b1q, b3 = b1q 2 , òî çàïèñàííûå
ðàâåíñòâà ïðèìóò ñëåäóþùèé âèä:
b1 + qb21q2
2 2
2
1) b1 q = b1 · b1q ; 2) b1q + 2 =
;
2
3) (b1q + 2)2 = b1 (b1q 2 + 9).
Ïåðâîå óñëîâèå êàê òîæäåñòâåííîå ðàâåíñòâî ìîæíî îïóñòèòü. Òîãäà ïðèäåì ê ñèñòåìå äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè b1 è q:
ìï2 (b q + 2) = b + b q 2 ,
1
1
1
í
2
ïî(b1q + 2) = b1 (b1q 2 + 9), ò. å.
ìïb1 (1 + q 2 - 2q) = 4,
í
ïîb1 (9 - 4q) = 4.
4
.
9 - 4q
Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â ïåðâîå óðàâíåíèå,
Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ âûðàçèì b1 =
è ì å åì
2
1 + q - 2q
= 1,
9 - 4q
îòêóäà
íàõîäèì
q1 = 2, q2 = -4. Çíà÷èò, b1 = 4 ïðè q = 2 è b1 =
ïðè q = –4.
4
25
Èòàê, óñëîâèþ óäîâëåòâîðÿþò äâå òðîéêè ÷èñåë:
à) 4, 8, 16 (ïðè b1 = 4, q = 2);
á)
290
16 64
4
4
,,
, q = -4). n
(ïðè b1 =
25
25 25
25
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
212. Ïîíÿòèå î ïðåäåëå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (àn), åñëè, êàêîå áû ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî e íè âçÿòü,
íàéäåòñÿ íîìåð N, íà÷èíàÿ ñ êîòîðîãî (ò. å. ïðè n ³ N )
îòëè÷èå àn îò b ïî ìîäóëþ áóäåò ìåíüøå e, ò. å.
1
lim a
b,
an - b < e.  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò: lim
. èëè
ann ==
=0b,
n
®
¥
n ® ¥ n.
an ® b ïðè n ® ¥. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
(àn) ñõîäèòñÿ ê b.
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: åñëè b — ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (àn), òî,
êàêóþ áû îêðåñòíîñòü òî÷êè b íè âûáðàòü, âñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà N, áóäåò èçîáðàæàòüñÿ òî÷êàìè, ëåæàùèìè â ýòîé îêðåñòíîñòè; îêðåñòíîñòü òî÷êè b — ýòî èíòåðâàë ñ öåíòðîì â òî÷êå b .
1
1 1 1
, , ,..., ,... . ×åì áîëüøå
2 3 4
n
íîìåð ÷ëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, òåì ìåíüøå ýòîò
÷ëåí îòëè÷àåòñÿ îò ÷èñëà 0. Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
Ï ð è ì å ð. à) 1,
ñõîäèòñÿ, åå ïðåäåë ðàâåí íóëþ, ò. å. lim
n®¥
1
= 0.
n
1
1
1 1
,..., n ,... . Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
,
,
3 32 33
3
1
ñõîäèòñÿ, åå ïðåäåë ðàâåí íóëþ, ò. å. lim n = 0.
n®¥ 3
â) 2, 0, 3, 2, 0, 3, 2, 0, 3, ... . Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå
èìååò ïðåäåëà.
á)
291
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Äàëåå, òàê êàê b2 = b1q, b3 = b1q 2 , òî çàïèñàííûå
ðàâåíñòâà ïðèìóò ñëåäóþùèé âèä:
b1 + qb21q2
2 2
2
1) b1 q = b1 · b1q ; 2) b1q + 2 =
;
2
3) (b1q + 2)2 = b1 (b1q 2 + 9).
Ïåðâîå óñëîâèå êàê òîæäåñòâåííîå ðàâåíñòâî ìîæíî îïóñòèòü. Òîãäà ïðèäåì ê ñèñòåìå äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè b1 è q:
ìï2 (b q + 2) = b + b q 2 ,
1
1
1
í
2
ïî(b1q + 2) = b1 (b1q 2 + 9), ò. å.
ìïb1 (1 + q 2 - 2q) = 4,
í
ïîb1 (9 - 4q) = 4.
4
.
9 - 4q
Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â ïåðâîå óðàâíåíèå,
Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ âûðàçèì b1 =
è ì å åì
2
1 + q - 2q
= 1,
9 - 4q
îòêóäà
íàõîäèì
q1 = 2, q2 = -4. Çíà÷èò, b1 = 4 ïðè q = 2 è b1 =
ïðè q = –4.
4
25
Èòàê, óñëîâèþ óäîâëåòâîðÿþò äâå òðîéêè ÷èñåë:
à) 4, 8, 16 (ïðè b1 = 4, q = 2);
á)
290
16 64
4
4
,,
, q = -4). n
(ïðè b1 =
25
25 25
25
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
212. Ïîíÿòèå î ïðåäåëå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (àn), åñëè, êàêîå áû ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî e íè âçÿòü,
íàéäåòñÿ íîìåð N, íà÷èíàÿ ñ êîòîðîãî (ò. å. ïðè n ³ N )
îòëè÷èå àn îò b ïî ìîäóëþ áóäåò ìåíüøå e, ò. å.
1
lim a
b,
an - b < e.  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò: lim
. èëè
ann ==
=0b,
n
®
¥
n ® ¥ n.
an ® b ïðè n ® ¥. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
(àn) ñõîäèòñÿ ê b.
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: åñëè b — ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (àn), òî,
êàêóþ áû îêðåñòíîñòü òî÷êè b íè âûáðàòü, âñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà N, áóäåò èçîáðàæàòüñÿ òî÷êàìè, ëåæàùèìè â ýòîé îêðåñòíîñòè; îêðåñòíîñòü òî÷êè b — ýòî èíòåðâàë ñ öåíòðîì â òî÷êå b .
1
1 1 1
, , ,..., ,... . ×åì áîëüøå
2 3 4
n
íîìåð ÷ëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, òåì ìåíüøå ýòîò
÷ëåí îòëè÷àåòñÿ îò ÷èñëà 0. Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
Ï ð è ì å ð. à) 1,
ñõîäèòñÿ, åå ïðåäåë ðàâåí íóëþ, ò. å. lim
n®¥
1
= 0.
n
1
1
1 1
,..., n ,... . Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
,
,
3 32 33
3
1
ñõîäèòñÿ, åå ïðåäåë ðàâåí íóëþ, ò. å. lim n = 0.
n®¥ 3
â) 2, 0, 3, 2, 0, 3, 2, 0, 3, ... . Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå
èìååò ïðåäåëà.
á)
291
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü:
ã) Ïîñòîÿííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü à, à, à, ..., à, ...
ñõîäèòñÿ ê ïðåäåëó à, ò. å. lim a = a.
n®¥
213. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èñïîëüçóþò ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
1
10. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ñõîäèòñÿ ê ÷èñëó 0
n
1
= 0.
(ñì. ïðèìåð à) èç ï. 212): lim
n
n®¥
20. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü q n , ãäå q < 1, ñõîäèòñÿ
1
ê ÷èñëó 0 (ñì. ïðèìåð á) èç ï. 212), ãäå q = ):
3
n
åñëè
q
<
1
.
lim q = 0,
n®¥
30. lim a = a (ñì. ïðèìåð ã) èç ï. 212).
à) lim
n®¥
q
1
n
(òåîðåìà îá àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèÿõ íàä
ïðåäåëàìè).
292
1
à) Òàê êàê
n
2
1
nk
=
1
n2
.
1 1
× ,
n n
à
1
® 0,
n
òî
= 0. Àíàëîãè÷íî óñòà-
® 0 äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíî-
ïåíü ïåðåìåííîé, ò. å. íà n 2. Òîãäà ïîëó÷èì
n2
n
1
1
+ 2× 2
n
n
n = lim
n .
lim n
1
1
n ® ¥ 2n 2
n ®¥
n
1
2- - 2
- 2 - 2
n n
n2
n
n
2
à) lim (an ± bn ) = a ± b ;
a
a
â) lim n = , ïðè óñëîâèè b ¹ 0
n ® ¥ bn
b
2n2 - n - 1
ãî k.
á) Ðàçäåëèì ïî÷ëåííî è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàòåëü
äàííîé äðîáè íà íàèâûñøóþ (èç èìåþùèõñÿ) ñòå-
n ®¥
n ®¥
n®¥
íàâëèâàåòñÿ, ÷òî
Ò.7.1. Åñëè lim an = a è à lim bn = b, òî:
á) lim (an bn ) = ab ;
n2 + n + 2
n®¥
Êðîìå òîãî, ÷àñòî èñïîëüçóþò ñëåäóþùóþ òåîðåìó:
n®¥
n2
; á) lim
® 0 × 0 = 0. Èòàê, lim
2
n®¥
n®¥
1
+
2
+
2
2
1+
Âîñïîëüçîâàâøèñü òåïåðü òåì, ÷òî lim
n®¥
lim
n®¥
1
n2
1
= 0,
n
= 0, lim 2 = 2, è òåîðåìîé 7.1, íàõîäèì
n®¥
lim
n®¥
n2 + n + 2
2
2n - n - 1
=
1+ 0 + 2×0 1
= . n
2-0-0
2
293
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü:
ã) Ïîñòîÿííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü à, à, à, ..., à, ...
ñõîäèòñÿ ê ïðåäåëó à, ò. å. lim a = a.
n®¥
213. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èñïîëüçóþò ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
1
10. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ñõîäèòñÿ ê ÷èñëó 0
n
1
= 0.
(ñì. ïðèìåð à) èç ï. 212): lim
n
n®¥
20. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü q n , ãäå q < 1, ñõîäèòñÿ
1
ê ÷èñëó 0 (ñì. ïðèìåð á) èç ï. 212), ãäå q = ):
3
n
åñëè
q
<
1
.
lim q = 0,
n®¥
30. lim a = a (ñì. ïðèìåð ã) èç ï. 212).
à) lim
n®¥
q
1
n
(òåîðåìà îá àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèÿõ íàä
ïðåäåëàìè).
292
1
à) Òàê êàê
n
2
1
nk
=
1
n2
.
1 1
× ,
n n
à
1
® 0,
n
òî
= 0. Àíàëîãè÷íî óñòà-
® 0 äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíî-
ïåíü ïåðåìåííîé, ò. å. íà n 2. Òîãäà ïîëó÷èì
n2
n
1
1
+ 2× 2
n
n
n = lim
n .
lim n
1
1
n ® ¥ 2n 2
n ®¥
n
1
2- - 2
- 2 - 2
n n
n2
n
n
2
à) lim (an ± bn ) = a ± b ;
a
a
â) lim n = , ïðè óñëîâèè b ¹ 0
n ® ¥ bn
b
2n2 - n - 1
ãî k.
á) Ðàçäåëèì ïî÷ëåííî è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàòåëü
äàííîé äðîáè íà íàèâûñøóþ (èç èìåþùèõñÿ) ñòå-
n ®¥
n ®¥
n®¥
íàâëèâàåòñÿ, ÷òî
Ò.7.1. Åñëè lim an = a è à lim bn = b, òî:
á) lim (an bn ) = ab ;
n2 + n + 2
n®¥
Êðîìå òîãî, ÷àñòî èñïîëüçóþò ñëåäóþùóþ òåîðåìó:
n®¥
n2
; á) lim
® 0 × 0 = 0. Èòàê, lim
2
n®¥
n®¥
1
+
2
+
2
2
1+
Âîñïîëüçîâàâøèñü òåïåðü òåì, ÷òî lim
n®¥
lim
n®¥
1
n2
1
= 0,
n
= 0, lim 2 = 2, è òåîðåìîé 7.1, íàõîäèì
n®¥
lim
n®¥
n2 + n + 2
2
2n - n - 1
=
1+ 0 + 2×0 1
= . n
2-0-0
2
293
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
214. Ñóììà áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ïðè q < 1. Ïóñòü b1, b2 , b3 , ..., bn , ... — áåñêîíå÷íàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó êîòîðîé q < 1.
Ðàññìîòðèì ñóììó åå ïåðâûõ n ÷ëåíîâ: Sn =
b (q n - 1)
. (ñì.
= b1 + b2 + b3 + ... + bn . Èìååì Sn = 1
q -1
ï. 211). Âû÷èñëèì lim Sn . Èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèÿ,
n ®¥
ïðèâåäåííûå â ï.213, ïîëó÷èì
b (q n - 1)
b
= lim 1 (q n - 1) =
lim Sn = lim 1
n®¥
n®¥
n®¥ q - 1
q -1
=
b1
b
(0 - 1) = 1 .
1- q
q -1
Èòàê, äëÿ áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè, ó êîòîðîé q < 1, ñóùåñòâóåò lim Sn , ãäå Sn =
n ®¥
= b1 + b2 + b3 + ... + bn .
Ýòîò ïðåäåë íàçûâàþò ñóììîé áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè è îáîçíà÷àþò S:
b1
.
(1)
1- q
Ï ð è ì å ð. Ñóììà áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé
S=
ïðîãðåññèè, ó êîòîðîé q < 1, ðàâíà 9, à ñóììà êâàäðàòîâ åå ÷ëåíîâ ðàâíà 40,5. Íàéòè ñóììó ïåðâûõ øåñòè ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè.
294
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
q Ïóñòü b1, b2 , b3 , ..., bn , ... — çàäàííàÿ ïðîãðåññèÿ. Ïî óñëîâèþ åå ñóììà ðàâíà 9, ò. å.
b1
= 9.
1-q
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü b12 , b22 , b32 , ..., bn2, ... .
Êàæäûé åå ÷ëåí ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåäûäóùåãî óìíîæåíèåì íà q 2 , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ýòî ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ B1, B2 , B3 , ..., Bn , ... , ó êîòîðîé ïåðâûé ÷ëåí ðàâåí b12 , ò. å. B1 = b12 , à çíàìåíàòåëü Q
ðàâåí q 2 , ò. å. Q = q 2 . Òàê êàê q 2 < 1, òî Q < 1, à
B1
. Ñîãëàñíî óñ1-Q
ëîâèþ ýòà ñóììà ðàâíà 40,5. Çíà÷èò, ìû ïðèõîäèì
ê ñèñòåìå
ñóììà íîâîé ïðîãðåññèè ðàâíà
ì b1
ï 1 - q = 9,
ï
í 2
ï b1 = 40,5.
ï 1 - q2
î
Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âûðàçèì b1 = 9 (1 - q); ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå âî âòîðîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì
81 (1 - q)2
1- q
2
=
1- q 1
81
1
= , q = . Òîãäà
, îòêóäà
1+q 2
3
2
1ö
æ
b1 = 9 (1 - q) = 9 ç 1 - ÷ = 6.
3ø
è
Òåïåðü ìîæíî íàéòè
295
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
214. Ñóììà áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ïðè q < 1. Ïóñòü b1, b2 , b3 , ..., bn , ... — áåñêîíå÷íàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó êîòîðîé q < 1.
Ðàññìîòðèì ñóììó åå ïåðâûõ n ÷ëåíîâ: Sn =
b (q n - 1)
. (ñì.
= b1 + b2 + b3 + ... + bn . Èìååì Sn = 1
q -1
ï. 211). Âû÷èñëèì lim Sn . Èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèÿ,
n ®¥
ïðèâåäåííûå â ï.213, ïîëó÷èì
b (q n - 1)
b
= lim 1 (q n - 1) =
lim Sn = lim 1
n®¥
n®¥
n®¥ q - 1
q -1
=
b1
b
(0 - 1) = 1 .
1- q
q -1
Èòàê, äëÿ áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè, ó êîòîðîé q < 1, ñóùåñòâóåò lim Sn , ãäå Sn =
n ®¥
= b1 + b2 + b3 + ... + bn .
Ýòîò ïðåäåë íàçûâàþò ñóììîé áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè è îáîçíà÷àþò S:
b1
.
(1)
1- q
Ï ð è ì å ð. Ñóììà áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé
S=
ïðîãðåññèè, ó êîòîðîé q < 1, ðàâíà 9, à ñóììà êâàäðàòîâ åå ÷ëåíîâ ðàâíà 40,5. Íàéòè ñóììó ïåðâûõ øåñòè ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè.
294
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
q Ïóñòü b1, b2 , b3 , ..., bn , ... — çàäàííàÿ ïðîãðåññèÿ. Ïî óñëîâèþ åå ñóììà ðàâíà 9, ò. å.
b1
= 9.
1-q
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü b12 , b22 , b32 , ..., bn2, ... .
Êàæäûé åå ÷ëåí ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåäûäóùåãî óìíîæåíèåì íà q 2 , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ýòî ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ B1, B2 , B3 , ..., Bn , ... , ó êîòîðîé ïåðâûé ÷ëåí ðàâåí b12 , ò. å. B1 = b12 , à çíàìåíàòåëü Q
ðàâåí q 2 , ò. å. Q = q 2 . Òàê êàê q 2 < 1, òî Q < 1, à
B1
. Ñîãëàñíî óñ1-Q
ëîâèþ ýòà ñóììà ðàâíà 40,5. Çíà÷èò, ìû ïðèõîäèì
ê ñèñòåìå
ñóììà íîâîé ïðîãðåññèè ðàâíà
ì b1
ï 1 - q = 9,
ï
í 2
ï b1 = 40,5.
ï 1 - q2
î
Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âûðàçèì b1 = 9 (1 - q); ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå âî âòîðîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì
81 (1 - q)2
1- q
2
=
1- q 1
81
1
= , q = . Òîãäà
, îòêóäà
1+q 2
3
2
1ö
æ
b1 = 9 (1 - q) = 9 ç 1 - ÷ = 6.
3ø
è
Òåïåðü ìîæíî íàéòè
295
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 22. Ïðåäåë ôóíêöèè
ñóììó ïåðâûõ øåñòè ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè:
æ æ 1 ö6
ö
6 ç ç ÷ - 1÷
çè 3 ø
÷
b (q 6 - 1)
ø = 8 80 .
S6 = 1
= è
n
1
81
q -1
-1
3
§ 22. Ïðåäåë ôóíêöèè
Ðèñ. 88
215. Ïðåäåë ôóíêöèè y = f (x) ïðè x ® ¥. Ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà. ×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì
ôóíêöèè y = f (x) ïðè ñòðåìëåíèè õ ê +¥, åñëè, êàêîå áû ÷èñëî e > 0 íè âçÿòü, íàéäåòñÿ ÷èñëî M > 0
òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ x > M âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
f (x ) - b < e. Ïðè ýòîì ïèøóò: lim f (x ) = b, èëè
x ® +¥
f (x) ® b ïðè x ® +¥.
Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè
y = f (x) ïðè âûáîðå äîñòàòî÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèé õ
áåçãðàíè÷íî ïðèáëèæàåòñÿ ê ïðÿìîé y = b (ðèñ. 88),
ò. å. ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ãðàôèêà äî ïðÿìîé y = b ïî
ìåðå óäàëåíèÿ òî÷êè â áåñêîíå÷íîñòü ìîæåò áûòü ñäåëàíî ìåíüøå ëþáîãî ÷èñëà e > 0. Ïðÿìàÿ y = b íàçûâàåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) . Òàê, ãîðèçîíòàëüíîé
x
æ1ö
àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y = ç ÷ ïðè x ® +¥
è2ø
ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ ó = 0, ò. å. îñü Îõ (ñì. ðèñ. 38).
296
Ðèñ. 89
Ïðÿìàÿ y = b ìîæåò ñëóæèòü ãîðèçîíòàëüíîé
àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) è ïðè âûáîðå äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ïî ìîäóëþ, íî îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà (ðèñ. 89). Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî
÷èñëî b åñòü ïðåäåë ôóíêöèè y = f (x) ïðè ñòðåìëåíèè õ ê – ×, è ïèøóò: lim f (x) = b, èëè f (x) ® b
x ® -¥
ïðè x ® -¥. Íàïðèìåð, lim (3 + 2x ) = 3, ò. å. ïðÿx ® -¥
ìàÿ ó = 3 — ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà ãðàôèêà ôóíêöèè f (x) = 3 + 2x ïðè
x ® -¥. Íàêîíåö, ïðÿìàÿ
y = b ìîæåò ÿâëÿòüñÿ ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòîé
ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) è ïðè x ® +¥ , è ïðè
x ® -¥. Òàê, ïðÿìàÿ ó = 0 — ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà ãðàôèêà ôóíêöèè y = 1 / x (ñì. ðèñ. 24).  ýòîì
ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî b åñòü ïðåäåë ôóíêöèè
y = f (x) ïðè ñòðåìëåíèè õ ê ¥, è ïèøóò:
lim f (x) = b, èëè f (x) ® b ïðè x ® ¥.
x®¥
297
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 22. Ïðåäåë ôóíêöèè
ñóììó ïåðâûõ øåñòè ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè:
æ æ 1 ö6
ö
6 ç ç ÷ - 1÷
çè 3 ø
÷
b (q 6 - 1)
ø = 8 80 .
S6 = 1
= è
n
1
81
q -1
-1
3
§ 22. Ïðåäåë ôóíêöèè
Ðèñ. 88
215. Ïðåäåë ôóíêöèè y = f (x) ïðè x ® ¥. Ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà. ×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì
ôóíêöèè y = f (x) ïðè ñòðåìëåíèè õ ê +¥, åñëè, êàêîå áû ÷èñëî e > 0 íè âçÿòü, íàéäåòñÿ ÷èñëî M > 0
òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ x > M âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
f (x ) - b < e. Ïðè ýòîì ïèøóò: lim f (x ) = b, èëè
x ® +¥
f (x) ® b ïðè x ® +¥.
Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè
y = f (x) ïðè âûáîðå äîñòàòî÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèé õ
áåçãðàíè÷íî ïðèáëèæàåòñÿ ê ïðÿìîé y = b (ðèñ. 88),
ò. å. ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ãðàôèêà äî ïðÿìîé y = b ïî
ìåðå óäàëåíèÿ òî÷êè â áåñêîíå÷íîñòü ìîæåò áûòü ñäåëàíî ìåíüøå ëþáîãî ÷èñëà e > 0. Ïðÿìàÿ y = b íàçûâàåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) . Òàê, ãîðèçîíòàëüíîé
x
æ1ö
àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y = ç ÷ ïðè x ® +¥
è2ø
ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ ó = 0, ò. å. îñü Îõ (ñì. ðèñ. 38).
296
Ðèñ. 89
Ïðÿìàÿ y = b ìîæåò ñëóæèòü ãîðèçîíòàëüíîé
àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) è ïðè âûáîðå äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ïî ìîäóëþ, íî îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà (ðèñ. 89). Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî
÷èñëî b åñòü ïðåäåë ôóíêöèè y = f (x) ïðè ñòðåìëåíèè õ ê – ×, è ïèøóò: lim f (x) = b, èëè f (x) ® b
x ® -¥
ïðè x ® -¥. Íàïðèìåð, lim (3 + 2x ) = 3, ò. å. ïðÿx ® -¥
ìàÿ ó = 3 — ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà ãðàôèêà ôóíêöèè f (x) = 3 + 2x ïðè
x ® -¥. Íàêîíåö, ïðÿìàÿ
y = b ìîæåò ÿâëÿòüñÿ ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòîé
ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) è ïðè x ® +¥ , è ïðè
x ® -¥. Òàê, ïðÿìàÿ ó = 0 — ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà ãðàôèêà ôóíêöèè y = 1 / x (ñì. ðèñ. 24).  ýòîì
ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî b åñòü ïðåäåë ôóíêöèè
y = f (x) ïðè ñòðåìëåíèè õ ê ¥, è ïèøóò:
lim f (x) = b, èëè f (x) ® b ïðè x ® ¥.
x®¥
297
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 22. Ïðåäåë ôóíêöèè
216. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ ôóíêöèé ïðè x ® ¥.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëîâ ôóíêöèé ïðè x ® ¥ èñïîëüçóþò ñëåäóþùèå òåîðåìû îá îïåðàöèÿõ íàä ïðåäåëàìè:
Ò.7.2. Åñëè lim f (x) = a, lim g (x) = b, òî lim (f (x) +
x®¥
x®¥
x ®¥
+ g (x)) = a + b (òåîðåìà î ïðåäåëå ñóììû).
Ò.7.3. Åñëè lim f (x) = a, lim f (x) = b, òî
x®¥
x®¥
íèÿ).
Ò.7.4. Åñëè lim f (x) = a, òî lim kf (x) = ka (òåîðåx®¥
ìà î âûíåñåíèè ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ çà çíàê
ïðåäåëà).
Ò.7.5. Åñëè lim f (x) = a, lim g (x) = b è b ¹ 0, òî
x®¥
x®¥
f (x )
a
(òåîðåìà î ïðåäåëå ÷àñòíîãî).
=
x ® ¥ g (x)
b
3x 3 - 2x 2 + x + 3
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü lim
.
x®¥
x3 + 4
q Ðàçäåëèâ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ïî÷ëåííî
íà õ3, èìååì
2
1
3
3- +
+
2
x x
x3 =
lim
4
x®¥
1+
x3
lim
x®¥
1 1 1
1 1 1
+ × + 3× × ×
x x x
x x x.
1 1 1
1+ 4× × ×
x x x
1
= 0 (ñì. ï. 215), òî âîñïîëüçîâàâx®¥ x
øèñü òåîðåìàìè 7.2 — 7.5, ïîëó÷èì
Òàê êàê lim
x®¥
lim (f (x ) g(x)) = ab (òåîðåìà î ïðåäåëå ïðîèçâåäå-
x®¥
= lim
3-2×
lim
x ®¥
3x 3 - 2x2 + x + 3
3
x +4
=
3 -2×0 + 0×0 + 3×0×0×0
= 3. n
1+ 4×0×0×0
217. Ïðåäåë ôóíêöèè â òî÷êå. Íåïðåðûâíûå ôóíêöèè. Ðàññìîòðèì ôóíêöèè y = f (x), y = g (x) è
y = h (x), ãðàôèêè êîòîðûõ èçîáðàæåíû íà ðèñ. 90.
Ýòî ðàçíûå ôóíêöèè, îíè îòëè÷àþòñÿ ñâîèì ïîâåäåíèåì â òî÷êå õ = à. Åñëè æå x ¹ a, òî f (x) = g (x) =
= h (x). Âî âñåõ òðåõ ñëó÷àÿõ çàìå÷àåì, ÷òî ÷åì áëèæå õ ê à, òåì ìåíüøå îòëè÷àåòñÿ çíà÷åíèå ôóíêöèè
a)
á)
â)
Ðèñ. 90
298
299
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 22. Ïðåäåë ôóíêöèè
216. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ ôóíêöèé ïðè x ® ¥.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëîâ ôóíêöèé ïðè x ® ¥ èñïîëüçóþò ñëåäóþùèå òåîðåìû îá îïåðàöèÿõ íàä ïðåäåëàìè:
Ò.7.2. Åñëè lim f (x) = a, lim g (x) = b, òî lim (f (x) +
x®¥
x®¥
x ®¥
+ g (x)) = a + b (òåîðåìà î ïðåäåëå ñóììû).
Ò.7.3. Åñëè lim f (x) = a, lim f (x) = b, òî
x®¥
x®¥
íèÿ).
Ò.7.4. Åñëè lim f (x) = a, òî lim kf (x) = ka (òåîðåx®¥
ìà î âûíåñåíèè ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ çà çíàê
ïðåäåëà).
Ò.7.5. Åñëè lim f (x) = a, lim g (x) = b è b ¹ 0, òî
x®¥
x®¥
f (x )
a
(òåîðåìà î ïðåäåëå ÷àñòíîãî).
=
x ® ¥ g (x)
b
3x 3 - 2x 2 + x + 3
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü lim
.
x®¥
x3 + 4
q Ðàçäåëèâ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ïî÷ëåííî
íà õ3, èìååì
2
1
3
3- +
+
2
x x
x3 =
lim
4
x®¥
1+
x3
lim
x®¥
1 1 1
1 1 1
+ × + 3× × ×
x x x
x x x.
1 1 1
1+ 4× × ×
x x x
1
= 0 (ñì. ï. 215), òî âîñïîëüçîâàâx®¥ x
øèñü òåîðåìàìè 7.2 — 7.5, ïîëó÷èì
Òàê êàê lim
x®¥
lim (f (x ) g(x)) = ab (òåîðåìà î ïðåäåëå ïðîèçâåäå-
x®¥
= lim
3-2×
lim
x ®¥
3x 3 - 2x2 + x + 3
3
x +4
=
3 -2×0 + 0×0 + 3×0×0×0
= 3. n
1+ 4×0×0×0
217. Ïðåäåë ôóíêöèè â òî÷êå. Íåïðåðûâíûå ôóíêöèè. Ðàññìîòðèì ôóíêöèè y = f (x), y = g (x) è
y = h (x), ãðàôèêè êîòîðûõ èçîáðàæåíû íà ðèñ. 90.
Ýòî ðàçíûå ôóíêöèè, îíè îòëè÷àþòñÿ ñâîèì ïîâåäåíèåì â òî÷êå õ = à. Åñëè æå x ¹ a, òî f (x) = g (x) =
= h (x). Âî âñåõ òðåõ ñëó÷àÿõ çàìå÷àåì, ÷òî ÷åì áëèæå õ ê à, òåì ìåíüøå îòëè÷àåòñÿ çíà÷åíèå ôóíêöèè
a)
á)
â)
Ðèñ. 90
298
299
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
f (x), èëè g (x), èëè h (x) îò ÷èñëà b — ýòî îòëè÷èå
õàðàêòåðèçóåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî âûðàæåíèåì
f (x ) - b , g (x ) - b , h (x) - b . Äëÿ ëþáîé èç ðàññìàòðèâàåìûõ ôóíêöèé ãîâîðÿò, ÷òî ïðåäåë ôóíêöèè ïðè
ñòðåìëåíèè õ ê à ðàâåí b; ïèøóò ñîîòâåòñòâåííî:
lim f (x) = b, lim g (x ) = b, lim h (x ) = b. Ïîä÷åðêíåì
x®a
x ®a
x ®a
åùå ðàç, ÷òî ïðè ýòîì çíà÷åíèå ôóíêöèè â ñàìîé òî÷êå à (è äàæå ñàì ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ èëè íåñóùåñòâîâàíèÿ ýòîãî çíà÷åíèÿ) íå ïðèíèìàþòñÿ âî âíèìàíèå.
Ñôîðìóëèðóåì îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè â
òî÷êå: ÷èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè
y = f (x) ïðè ñòðåìëåíèè õ ê à, åñëè, êàêîå áû ÷èñëî e > 0 íè âçÿòü, äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê à
çíà÷åíèé õ, ò. å. äëÿ âñåõ õ èç íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè à, èñêëþ÷àÿ, áûòü ìîæåò, ñàìó ýòó òî÷êó,
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x) - b < e.
Âåðíåìñÿ ê ðèñ. 90. Çàìå÷àåì, ÷òî äëÿ ôóíêöèè
y = f (x) , ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 90 à,
âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî b = f (a), ò. å. lim f (x) =
x ®a
= f (a). Åñëè lim f (x) = f (a), òî ôóíêöèÿ íàçûâàåòx®a
ñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå à. Ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ
â êàæäîé òî÷êå èíòåðâàëà (à, b), íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà ýòîì èíòåðâàëå. Åñëè ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà èíòåðâàëå (à, b), îïðåäåëåíà â òî÷êàõ à è b
è ïðè ñòðåìëåíèè òî÷êè õ, ïðèíàäëåæàùåé èíòåðâàëó (à, b), ê òî÷êàì à è b çíà÷åíèÿ ôóíêöèè y = f (x)
ñòðåìÿòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ê çíà÷åíèÿì f (a) è f (b),
300
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 22. Ïðåäåë ôóíêöèè
òî ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà
îòðåçêå [a, b].
Âìåñòî çàïèñè lim f (x) = b èñïîëüçóþò òàêæå
x®a
çàïèñü f (x) ® b ïðè x ® a.  ÷àñòíîñòè, îïðåäåëåíèå ôóíêöèè, íåïðåðûâíîé â òî÷êå à, çàïèñûâàþò òàê:
f (x) ® f (a) ïðè x ® a. Ñìûñë ïîíÿòèÿ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè â òî÷êå ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: ìàëûì èçìåíåíèÿì àðãóìåíòà (ïðè îòõîäå îò òî÷êè
à) ñîîòâåòñòâóþò ìàëûå èçìåíåíèÿ ôóíêöèè.
Îòìåòèì äâà ïðàâèëà ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà:
Ïðàâèëî 1. Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â òî÷êå
à, òî Df ® 0 ïðè x ® a (ñì. ï. 220).
Ïðàâèëî 2. Åñëè f (x) ® A, g (x) ® B ïðè x ® a,
òî f (x) + g (x) ® A + B, f (x) × g (x) ® A × B,
®
f ( x)
®
g (x )
A
(â ñëó÷àå B ¹ 0 ) ïðè x ® a.
B
218. Âåðòèêàëüíàÿ àñèìïòîòà. Ãðàôèê ôóíêöèè
y = f (x), èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 91, îáëàäàåò ñëåäóþùåé îñîáåííîñòüþ: êàêîå áû ÷èñëî p > 0 íè âçÿòü,
ìîæíî óêàçàòü òàêóþ îêðåñòíîñòü òî÷êè à, ÷òî äëÿ
ëþáîãî õ èç ýòîé îêðåñòíîñòè (x ¹ a) ñîîòâåòñòâóþùàÿ îðäèíàòà ãðàôèêà ïî ìîäóëþ áóäåò áîëüøå ð,
ò. å. f (x) > p. Ãîâîðÿò, ÷òî ïðÿìàÿ õ = à åñòü âåðòèêàëüíàÿ àñèìïòîòà ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x), è
ïèøóò: lim f (x) = ¥.
x ®a
301
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
f (x), èëè g (x), èëè h (x) îò ÷èñëà b — ýòî îòëè÷èå
õàðàêòåðèçóåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî âûðàæåíèåì
f (x ) - b , g (x ) - b , h (x) - b . Äëÿ ëþáîé èç ðàññìàòðèâàåìûõ ôóíêöèé ãîâîðÿò, ÷òî ïðåäåë ôóíêöèè ïðè
ñòðåìëåíèè õ ê à ðàâåí b; ïèøóò ñîîòâåòñòâåííî:
lim f (x) = b, lim g (x ) = b, lim h (x ) = b. Ïîä÷åðêíåì
x®a
x ®a
x ®a
åùå ðàç, ÷òî ïðè ýòîì çíà÷åíèå ôóíêöèè â ñàìîé òî÷êå à (è äàæå ñàì ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ èëè íåñóùåñòâîâàíèÿ ýòîãî çíà÷åíèÿ) íå ïðèíèìàþòñÿ âî âíèìàíèå.
Ñôîðìóëèðóåì îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè â
òî÷êå: ÷èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè
y = f (x) ïðè ñòðåìëåíèè õ ê à, åñëè, êàêîå áû ÷èñëî e > 0 íè âçÿòü, äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê à
çíà÷åíèé õ, ò. å. äëÿ âñåõ õ èç íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè à, èñêëþ÷àÿ, áûòü ìîæåò, ñàìó ýòó òî÷êó,
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x) - b < e.
Âåðíåìñÿ ê ðèñ. 90. Çàìå÷àåì, ÷òî äëÿ ôóíêöèè
y = f (x) , ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 90 à,
âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî b = f (a), ò. å. lim f (x) =
x ®a
= f (a). Åñëè lim f (x) = f (a), òî ôóíêöèÿ íàçûâàåòx®a
ñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå à. Ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ
â êàæäîé òî÷êå èíòåðâàëà (à, b), íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà ýòîì èíòåðâàëå. Åñëè ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà èíòåðâàëå (à, b), îïðåäåëåíà â òî÷êàõ à è b
è ïðè ñòðåìëåíèè òî÷êè õ, ïðèíàäëåæàùåé èíòåðâàëó (à, b), ê òî÷êàì à è b çíà÷åíèÿ ôóíêöèè y = f (x)
ñòðåìÿòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ê çíà÷åíèÿì f (a) è f (b),
300
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 22. Ïðåäåë ôóíêöèè
òî ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà
îòðåçêå [a, b].
Âìåñòî çàïèñè lim f (x) = b èñïîëüçóþò òàêæå
x®a
çàïèñü f (x) ® b ïðè x ® a.  ÷àñòíîñòè, îïðåäåëåíèå ôóíêöèè, íåïðåðûâíîé â òî÷êå à, çàïèñûâàþò òàê:
f (x) ® f (a) ïðè x ® a. Ñìûñë ïîíÿòèÿ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè â òî÷êå ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: ìàëûì èçìåíåíèÿì àðãóìåíòà (ïðè îòõîäå îò òî÷êè
à) ñîîòâåòñòâóþò ìàëûå èçìåíåíèÿ ôóíêöèè.
Îòìåòèì äâà ïðàâèëà ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà:
Ïðàâèëî 1. Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â òî÷êå
à, òî Df ® 0 ïðè x ® a (ñì. ï. 220).
Ïðàâèëî 2. Åñëè f (x) ® A, g (x) ® B ïðè x ® a,
òî f (x) + g (x) ® A + B, f (x) × g (x) ® A × B,
®
f ( x)
®
g (x )
A
(â ñëó÷àå B ¹ 0 ) ïðè x ® a.
B
218. Âåðòèêàëüíàÿ àñèìïòîòà. Ãðàôèê ôóíêöèè
y = f (x), èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 91, îáëàäàåò ñëåäóþùåé îñîáåííîñòüþ: êàêîå áû ÷èñëî p > 0 íè âçÿòü,
ìîæíî óêàçàòü òàêóþ îêðåñòíîñòü òî÷êè à, ÷òî äëÿ
ëþáîãî õ èç ýòîé îêðåñòíîñòè (x ¹ a) ñîîòâåòñòâóþùàÿ îðäèíàòà ãðàôèêà ïî ìîäóëþ áóäåò áîëüøå ð,
ò. å. f (x) > p. Ãîâîðÿò, ÷òî ïðÿìàÿ õ = à åñòü âåðòèêàëüíàÿ àñèìïòîòà ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x), è
ïèøóò: lim f (x) = ¥.
x ®a
301
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 22. Ïðåäåë ôóíêöèè
ñâîåé îêðåñòíîñòüþ); åñëè õ = à — âíóòðåííÿÿ òî÷êà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè f (g (x))
(ñì. ï. 224), òî è ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ f (g (x)) íåïðåðûâíà â òî÷êå à;
2) åñëè ôóíêöèÿ y = f (x ) íåïðåðûâíà â òî÷êå
õ = à, òî lim f (x) = f (a).
x®a
Ðèñ. 91
Ðèñ. 92
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü:
à) lim
Íàïðèìåð, ãðàôèê ôóíêöèè ó = 1/õ èìååò âåðòèêàëüíóþ àñèìïòîòó õ = 0 è ãîðèçîíòàëüíóþ àñèìïòîòó ó = 0 (ñì. ðèñ. 24); ãðàôèê ôóíêöèè y = tg x
èìååò âåðòèêàëüíûå àñèìïòîòû x = p / 2, x = - p / 2,
x = 3p / 2, x = -3p / 2 è ò. ä. (ñì. ðèñ. 50); ãðàôèê
ôóíêöèè y = log0,5 x èìååò âåðòèêàëüíóþ àñèìïòîòó õ = 0 (ðèñ. 92).
219. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå. Äëÿ
âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëîâ ôóíêöèè â òî÷êå îñíîâíûìè
ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå ôàêòû:
1) ëþáàÿ ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ, ò. å. ôóíêöèÿ,
çàäàííàÿ àíàëèòè÷åñêè ðàöèîíàëüíûì, èððàöèîíàëüíûì, òðàíñöåíäåíòíûì âûðàæåíèåì èëè âûðàæåíèåì, ñîñòàâëåííûì èç ïåðå÷èñëåííûõ ñ ïîìîùüþ
êîíå÷íîãî ÷èñëà àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé, íåïðåðûâíà â ëþáîé âíóòðåííåé òî÷êå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè (ò. å. â ëþáîé òî÷êå, ïðèíàäëåæàùåé
îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè âìåñòå ñ íåêîòîðîé
302
x®4
x + x2
x2 + 9
; á) lim
;
2x + 1
x ® 3 x 2 - 5x –
+6
x2 - 9
x+2
; ã) lim
.
x ® -2 7 - x + 3
x 2 - 5x + 6
q à) Òàê êàê õ = 4 — âíóòðåííÿÿ òî÷êà îáëàñòè
x + x2
îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f (x) =
, òî ôóíêöèÿ
2x + 1
Ö4 + 42
íåïðåðûâíà â ýòîé òî÷êå. Èìååì f(4) =
= 2.
2·4+1
2
x +x
= 2.
Çíà÷èò, lim
x ® 4 2x + 1
â) lim
x ®3
á) Ôóíêöèÿ f (x) =
x2 + 9
íå îïðåäåëåíà â
x 2 - 5x + 6
òî÷êå õ = 3, ïîñêîëüêó â ýòîé òî÷êå çíàìåíàòåëü äðîáè îáðàùàåòñÿ â íóëü. Òàê êàê ÷èñëèòåëü õ2 + 9
îòëè÷åí îò íóëÿ â òî÷êå õ = 3 , òî lim
x ®3
x2 + 9
x 2 - 5x + 6
=¥
303
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 22. Ïðåäåë ôóíêöèè
ñâîåé îêðåñòíîñòüþ); åñëè õ = à — âíóòðåííÿÿ òî÷êà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè f (g (x))
(ñì. ï. 224), òî è ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ f (g (x)) íåïðåðûâíà â òî÷êå à;
2) åñëè ôóíêöèÿ y = f (x ) íåïðåðûâíà â òî÷êå
õ = à, òî lim f (x) = f (a).
x®a
Ðèñ. 91
Ðèñ. 92
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü:
à) lim
Íàïðèìåð, ãðàôèê ôóíêöèè ó = 1/õ èìååò âåðòèêàëüíóþ àñèìïòîòó õ = 0 è ãîðèçîíòàëüíóþ àñèìïòîòó ó = 0 (ñì. ðèñ. 24); ãðàôèê ôóíêöèè y = tg x
èìååò âåðòèêàëüíûå àñèìïòîòû x = p / 2, x = - p / 2,
x = 3p / 2, x = -3p / 2 è ò. ä. (ñì. ðèñ. 50); ãðàôèê
ôóíêöèè y = log0,5 x èìååò âåðòèêàëüíóþ àñèìïòîòó õ = 0 (ðèñ. 92).
219. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå. Äëÿ
âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëîâ ôóíêöèè â òî÷êå îñíîâíûìè
ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå ôàêòû:
1) ëþáàÿ ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ, ò. å. ôóíêöèÿ,
çàäàííàÿ àíàëèòè÷åñêè ðàöèîíàëüíûì, èððàöèîíàëüíûì, òðàíñöåíäåíòíûì âûðàæåíèåì èëè âûðàæåíèåì, ñîñòàâëåííûì èç ïåðå÷èñëåííûõ ñ ïîìîùüþ
êîíå÷íîãî ÷èñëà àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé, íåïðåðûâíà â ëþáîé âíóòðåííåé òî÷êå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè (ò. å. â ëþáîé òî÷êå, ïðèíàäëåæàùåé
îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè âìåñòå ñ íåêîòîðîé
302
x®4
x + x2
x2 + 9
; á) lim
;
2x + 1
x ® 3 x 2 - 5x –
+6
x2 - 9
x+2
; ã) lim
.
x ® -2 7 - x + 3
x 2 - 5x + 6
q à) Òàê êàê õ = 4 — âíóòðåííÿÿ òî÷êà îáëàñòè
x + x2
îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f (x) =
, òî ôóíêöèÿ
2x + 1
Ö4 + 42
íåïðåðûâíà â ýòîé òî÷êå. Èìååì f(4) =
= 2.
2·4+1
2
x +x
= 2.
Çíà÷èò, lim
x ® 4 2x + 1
â) lim
x ®3
á) Ôóíêöèÿ f (x) =
x2 + 9
íå îïðåäåëåíà â
x 2 - 5x + 6
òî÷êå õ = 3, ïîñêîëüêó â ýòîé òî÷êå çíàìåíàòåëü äðîáè îáðàùàåòñÿ â íóëü. Òàê êàê ÷èñëèòåëü õ2 + 9
îòëè÷åí îò íóëÿ â òî÷êå õ = 3 , òî lim
x ®3
x2 + 9
x 2 - 5x + 6
=¥
303
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
(ñì. ï. 216); ïðÿìàÿ õ = 3 ÿâëÿåòñÿ âåðòèêàëüíîé
x2 + 9
àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y =
.
x 2 - 5x + 6
â) Çäåñü â îòëè÷èå îò ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà è
÷èñëèòåëü, è çíàìåíàòåëü îáðàùàþòñÿ â íóëü ïðè
õ = 3.  ïîäîáíûõ ñëó÷àÿõ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëà
íåîáõîäèìû òîæäåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåx2 - 9
íèÿ, çàäàþùåãî ôóíêöèþ. Èìååì
=
x 2 - 5x + 6
(x - 3) (x + 3)
=
. Ïîñêîëüêó ïðè x ® 3 çíà÷åíèå
(x - 3) (x - 2)
ôóíêöèè â ñàìîé òî÷êå õ = 3 âî âíèìàíèå íå ïðèíèìàåòñÿ (ñì. ï. 217), äðîáü ìîæíî ñîêðàòèòü íà õ – 3,
x+3
è òîãäà ïîëó÷èì
. Èòàê,
x-2
lim
x ®3
x2 - 9
2
x - 5x + 6
(x - 3) (x + 3)
=
x ® 3 (x - 3) (x - 2)
= lim
x+3 3+3
= lim
=
= 6.
x ®3 x - 2
3-2
ã) Ïðè õ = –2 è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàòåëü îáðàùàþòñÿ â íóëü. Âûïîëíèì ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ
çàäàííîãî âûðàæåíèÿ:
x+2
7-x -3
=
(x + 2)( 7 - x + 3)
304
2
2
( 7 - x) - 3
=
=
(x + 2)( 7 - x + 3)
( 7 - x - 3)( 7 - x + 3)
=
(x + 2)( 7 - x + 3)
= -( 7 - x + 3).
- (x + 2)
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ
Èòàê,
lim
x ® -2
(x + 2)
7-x -3
= lim (- 7 - x - 3) =
x ® -2
= -( 7 + 2 + 3) = -6. n
§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ
220. Ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà. Ïðèðàùåíèå ôóíêöèè. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà â òî÷êàõ
õ è õ1. Ðàçíîñòü õ1 – õ íàçûâàåòñÿ ïðèðàùåíèåì
àðãóìåíòà, à ðàçíîñòü f (x1 ) - f (x) — ïðèðàùåíèåì ôóíêöèè ïðè ïåðåõîäå îò çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà õ
ê çíà÷åíèþ àðãóìåíòà õ1.
Ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà îáîçíà÷àþò Dx; çíà÷èò,
Dx = x1 - x, ò. å. x1 = x + Dx.
Ïðèðàùåíèå ôóíêöèè îáîçíà÷àþò Df èëè Dy;
çíà÷èò,
Df = f (x1 ) - f (x) = f (x + Dx) - f (x).
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ïðèðàùåíèå ôóíêöèè ó =
= õ3 ïðè ïåðåõîäå îò çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà õ ê çíà÷åíèþ x + Dx.
q Èìååì f (x) = x 3 , f (x + Dx) = (x + Dx)3 . Ïîýòîìó
Df = f(x + Dx) – f(x) = (x + Dx)3 – x3 = x3 + 3x3 · Dx +
+ 3x (Dx)2 + (Dx)3 - x 3 = 3x2 Dx + 3x (Dx)2 + (Dx)3.
305
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
(ñì. ï. 216); ïðÿìàÿ õ = 3 ÿâëÿåòñÿ âåðòèêàëüíîé
x2 + 9
àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y =
.
x 2 - 5x + 6
â) Çäåñü â îòëè÷èå îò ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà è
÷èñëèòåëü, è çíàìåíàòåëü îáðàùàþòñÿ â íóëü ïðè
õ = 3.  ïîäîáíûõ ñëó÷àÿõ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëà
íåîáõîäèìû òîæäåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåx2 - 9
íèÿ, çàäàþùåãî ôóíêöèþ. Èìååì
=
x 2 - 5x + 6
(x - 3) (x + 3)
=
. Ïîñêîëüêó ïðè x ® 3 çíà÷åíèå
(x - 3) (x - 2)
ôóíêöèè â ñàìîé òî÷êå õ = 3 âî âíèìàíèå íå ïðèíèìàåòñÿ (ñì. ï. 217), äðîáü ìîæíî ñîêðàòèòü íà õ – 3,
x+3
è òîãäà ïîëó÷èì
. Èòàê,
x-2
lim
x ®3
x2 - 9
2
x - 5x + 6
(x - 3) (x + 3)
=
x ® 3 (x - 3) (x - 2)
= lim
x+3 3+3
= lim
=
= 6.
x ®3 x - 2
3-2
ã) Ïðè õ = –2 è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàòåëü îáðàùàþòñÿ â íóëü. Âûïîëíèì ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ
çàäàííîãî âûðàæåíèÿ:
x+2
7-x -3
=
(x + 2)( 7 - x + 3)
304
2
2
( 7 - x) - 3
=
=
(x + 2)( 7 - x + 3)
( 7 - x - 3)( 7 - x + 3)
=
(x + 2)( 7 - x + 3)
= -( 7 - x + 3).
- (x + 2)
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ
Èòàê,
lim
x ® -2
(x + 2)
7-x -3
= lim (- 7 - x - 3) =
x ® -2
= -( 7 + 2 + 3) = -6. n
§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ
220. Ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà. Ïðèðàùåíèå ôóíêöèè. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà â òî÷êàõ
õ è õ1. Ðàçíîñòü õ1 – õ íàçûâàåòñÿ ïðèðàùåíèåì
àðãóìåíòà, à ðàçíîñòü f (x1 ) - f (x) — ïðèðàùåíèåì ôóíêöèè ïðè ïåðåõîäå îò çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà õ
ê çíà÷åíèþ àðãóìåíòà õ1.
Ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà îáîçíà÷àþò Dx; çíà÷èò,
Dx = x1 - x, ò. å. x1 = x + Dx.
Ïðèðàùåíèå ôóíêöèè îáîçíà÷àþò Df èëè Dy;
çíà÷èò,
Df = f (x1 ) - f (x) = f (x + Dx) - f (x).
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ïðèðàùåíèå ôóíêöèè ó =
= õ3 ïðè ïåðåõîäå îò çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà õ ê çíà÷åíèþ x + Dx.
q Èìååì f (x) = x 3 , f (x + Dx) = (x + Dx)3 . Ïîýòîìó
Df = f(x + Dx) – f(x) = (x + Dx)3 – x3 = x3 + 3x3 · Dx +
+ 3x (Dx)2 + (Dx)3 - x 3 = 3x2 Dx + 3x (Dx)2 + (Dx)3.
305
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Èòàê, Df = (3x2 + 3x × Dx + (Dx)2 )Dx. n
Ïî ýòîé ôîðìóëå ìîæíî âû÷èñëÿòü çíà÷åíèå Df
äëÿ ëþáûõ çàäàííûõ õ è Dx. Íàïðèìåð, ïðè õ = 1,
Dx = -0,2 ïîëó÷àåì
Df = f (0,8) - f (1) =
= (3 × 12 + 3 × 1 × (-0,2) + (-0,2)2 ) × (-0,2) = -0,488.
Ï ð è ì å ð 2. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëèíåéíîé ôóíêDy
.
öèè y = kx + b ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî k =
Dx
q Èìååì f (x) = kx + b, f (x + Dx) = k(x + Dx) + b.
Çíà÷èò,
Dy = f (x + Dx) - f (x) = (k(x + Dx) + b) - (kx + b) = kDx,
îòêóäà ïîëó÷àåì
Dy
= k. n
Dx
221. Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé. Ïóñòü ôóíêöèÿ
y = f (x) îïðåäåëåíà â òî÷êå õ è â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè. Ïóñòü, äàëåå, Dx — ïðèðàùåíèå
àðãóìåíòà, ïðè÷åì òàêîå, ÷òî òî÷êà x + Dx ïðèíàäëåæèò óêàçàííîé îêðåñòíîñòè òî÷êè õ, à Df — ñîîòâåòñòâóþùåå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè, ò. å. Df =
= f (x + Dx) - f (x). Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë îòíîøåíèÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè Df ê ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà Dx ïðè óñëîâèè Dx ® 0, òî ôóíêöèÿ y = f (x)
íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå õ, à ýòîò
306
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ
ïðåäåë íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå õ è îáîçíà÷àåòñÿ f¢ (x) èëè
y¢. Èòàê,
Df
f (x + Dx ) - f (x )
= lim
.
f ¢ (x) = y ¢ = lim
Dx ® 0 Dx
Dx ® 0
Dx
Îòìåòèì, ÷òî f ¢ (x) — ýòî íîâàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ âî âñåõ òàêèõ òî÷êàõ õ, â êîòîðûõ ñóùåñòâóåò óêàçàííûé âûøå ïðåäåë; åå íàçûâàþò ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) .
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè f ¢ (2), åñëè f (x) = x 2.
q Èìååì f (2) = 22 = 4, f (2 + Dx) = (2 + Dx)2 , Df =
= f (2 + Dx) - f (2) = (2 + Dx)2 - 4 = 4Dx + (Dx)2. Òîãäà
4Dx + (Dx)2
Df
=
= 4 + Dx,
Dx
Dx
Df
= lim (4 + Dx) = 4.
lim
Dx ® 0 Dx
Dx ® 0
Çíà÷èò, f ¢ (2) = 4. n
Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå, ìîæíî ðåêîìåíäîâàòü ñëåäóþùåå ïðàâèëî îòûñêàíèÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè
y = f (x):
1. Ôèêñèðóþò çíà÷åíèå õ è íàõîäÿò f (x).
2. Äàþò àðãóìåíòó õ ïðèðàùåíèå Dx è íàõîäÿò
f (x + Dx).
3. Âû÷èñëÿþò ïðèðàùåíèå ôóíêöèè Df = f (x +
+ Dx) - f (x).
Df
4. Ñîñòàâëÿþò îòíîøåíèå
.
Dx
307
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Èòàê, Df = (3x2 + 3x × Dx + (Dx)2 )Dx. n
Ïî ýòîé ôîðìóëå ìîæíî âû÷èñëÿòü çíà÷åíèå Df
äëÿ ëþáûõ çàäàííûõ õ è Dx. Íàïðèìåð, ïðè õ = 1,
Dx = -0,2 ïîëó÷àåì
Df = f (0,8) - f (1) =
= (3 × 12 + 3 × 1 × (-0,2) + (-0,2)2 ) × (-0,2) = -0,488.
Ï ð è ì å ð 2. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëèíåéíîé ôóíêDy
.
öèè y = kx + b ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî k =
Dx
q Èìååì f (x) = kx + b, f (x + Dx) = k(x + Dx) + b.
Çíà÷èò,
Dy = f (x + Dx) - f (x) = (k(x + Dx) + b) - (kx + b) = kDx,
îòêóäà ïîëó÷àåì
Dy
= k. n
Dx
221. Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé. Ïóñòü ôóíêöèÿ
y = f (x) îïðåäåëåíà â òî÷êå õ è â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè. Ïóñòü, äàëåå, Dx — ïðèðàùåíèå
àðãóìåíòà, ïðè÷åì òàêîå, ÷òî òî÷êà x + Dx ïðèíàäëåæèò óêàçàííîé îêðåñòíîñòè òî÷êè õ, à Df — ñîîòâåòñòâóþùåå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè, ò. å. Df =
= f (x + Dx) - f (x). Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë îòíîøåíèÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè Df ê ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà Dx ïðè óñëîâèè Dx ® 0, òî ôóíêöèÿ y = f (x)
íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå õ, à ýòîò
306
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ
ïðåäåë íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå õ è îáîçíà÷àåòñÿ f¢ (x) èëè
y¢. Èòàê,
Df
f (x + Dx ) - f (x )
= lim
.
f ¢ (x) = y ¢ = lim
Dx ® 0 Dx
Dx ® 0
Dx
Îòìåòèì, ÷òî f ¢ (x) — ýòî íîâàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ âî âñåõ òàêèõ òî÷êàõ õ, â êîòîðûõ ñóùåñòâóåò óêàçàííûé âûøå ïðåäåë; åå íàçûâàþò ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) .
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè f ¢ (2), åñëè f (x) = x 2.
q Èìååì f (2) = 22 = 4, f (2 + Dx) = (2 + Dx)2 , Df =
= f (2 + Dx) - f (2) = (2 + Dx)2 - 4 = 4Dx + (Dx)2. Òîãäà
4Dx + (Dx)2
Df
=
= 4 + Dx,
Dx
Dx
Df
= lim (4 + Dx) = 4.
lim
Dx ® 0 Dx
Dx ® 0
Çíà÷èò, f ¢ (2) = 4. n
Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå, ìîæíî ðåêîìåíäîâàòü ñëåäóþùåå ïðàâèëî îòûñêàíèÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè
y = f (x):
1. Ôèêñèðóþò çíà÷åíèå õ è íàõîäÿò f (x).
2. Äàþò àðãóìåíòó õ ïðèðàùåíèå Dx è íàõîäÿò
f (x + Dx).
3. Âû÷èñëÿþò ïðèðàùåíèå ôóíêöèè Df = f (x +
+ Dx) - f (x).
Df
4. Ñîñòàâëÿþò îòíîøåíèå
.
Dx
307
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
5. Íàõîäÿò ïðåäåë îòíîøåíèÿ
Df
ïðè Dx ® 0.
Dx
Df
íàçûâàþò ðàçíîñòíûì îòíîøåDx
íèåì. Îíî âûðàæàåò ñðåäíþþ ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ
ôóíêöèè f íà ïðîìåæóòêå ñ êîíöàìè â òî÷êàõ õ è
x + Dx. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f
â òî÷êå õ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, ê êîòîðîìó ñòðåìèòñÿ
Df
ðàçíîñòíîå îòíîøåíèå
ïðè Dx ® 0.
Dx
Èíîãäà âìåñòî Dx ïèøóò h, è òîãäà îïðåäåëåíèå
ïðîèçâîäíîé çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Îòíîøåíèå
f (x + h) - f (x)
.
h
h ®0
f ¢(x) = lim
Èíîãäà âìåñòî x + Dx ïèøóò õ1, è òîãäà îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé çàïèñûâàåòñÿ òàê:
f (x1 ) - f (x)
.
f ¢(x) = lim
x1 - x
x1 ® x
3
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè õ .
q Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî îòûñêàíèÿ ïðîèçâîäíîé, ïîñëåäîâàòåëüíî íàõîäèì:
3
1. f (x) = x .
3
2. f (x + Dx) = (x + Dx) .
3
3
3. Df = f (x + Dx) - f (x) = (x + Dx) - x =
= (3x 2 + 3x × Dx + (Dx)2 )Dx.
308
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ
Df
= 3x2 + 3x × Dx + (Dx)2.
Dx
Df
= lim (3x 2 + 3x × Dx + (Dx )2 ) =
5. lim
Dx ® 0 Dx
Dx ® 0
4.
= 3x 2 + 3x × 0 + 02 = 3x 2 .
Èòàê, (x 3 )¢ = 3x2 . n
222. Ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Òàáëèöà
ïðîèçâîäíûõ. Îïåðàöèþ îòûñêàíèÿ ïðîèçâîäíîé íàçûâàþò äèôôåðåíöèðîâàíèåì.  ï. 221 ïîëó÷åíà
îäíà èç ôîðìóë äèôôåðåíöèðîâàíèÿ: (x 3 )¢ = 3x 2 . Ïî
òàêîìó æå ïëàíó ìîæíî âûâåñòè ôîðìóëû, êîòîðûå
ïðèâåäåíû â ñëåäóþùåé òàáëèöå ïðîèçâîäíûõ:
1. C ¢ = 0.
2. (kx + b)¢ = k.
r
r -1
3. (x )¢ = rx .
x
x
4. (e )¢ = e .
5. (a x )¢ = a x ln a.
1
6. (ln x)¢ = .
x
1
.
7. (log a x) ¢ =
x ln a
8. (sin x)¢ = cos x.
9. (cos x)¢ = - sin x.
1
.
10. (tg x)¢ =
cos2 x
1
11. (ctg x) ¢ = .
sin2 x
1
.
12. (arcsin x) ¢ =
1 - x2
1
.
13. (arccos x) ¢ = 1 - x2
1
.
14. (arctg x) ¢ =
1 + x2
1
15. (arcctg x)¢ = .
1 + x2
309
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
5. Íàõîäÿò ïðåäåë îòíîøåíèÿ
Df
ïðè Dx ® 0.
Dx
Df
íàçûâàþò ðàçíîñòíûì îòíîøåDx
íèåì. Îíî âûðàæàåò ñðåäíþþ ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ
ôóíêöèè f íà ïðîìåæóòêå ñ êîíöàìè â òî÷êàõ õ è
x + Dx. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f
â òî÷êå õ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, ê êîòîðîìó ñòðåìèòñÿ
Df
ðàçíîñòíîå îòíîøåíèå
ïðè Dx ® 0.
Dx
Èíîãäà âìåñòî Dx ïèøóò h, è òîãäà îïðåäåëåíèå
ïðîèçâîäíîé çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Îòíîøåíèå
f (x + h) - f (x)
.
h
h ®0
f ¢(x) = lim
Èíîãäà âìåñòî x + Dx ïèøóò õ1, è òîãäà îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé çàïèñûâàåòñÿ òàê:
f (x1 ) - f (x)
.
f ¢(x) = lim
x1 - x
x1 ® x
3
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè õ .
q Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî îòûñêàíèÿ ïðîèçâîäíîé, ïîñëåäîâàòåëüíî íàõîäèì:
3
1. f (x) = x .
3
2. f (x + Dx) = (x + Dx) .
3
3
3. Df = f (x + Dx) - f (x) = (x + Dx) - x =
= (3x 2 + 3x × Dx + (Dx)2 )Dx.
308
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ
Df
= 3x2 + 3x × Dx + (Dx)2.
Dx
Df
= lim (3x 2 + 3x × Dx + (Dx )2 ) =
5. lim
Dx ® 0 Dx
Dx ® 0
4.
= 3x 2 + 3x × 0 + 02 = 3x 2 .
Èòàê, (x 3 )¢ = 3x2 . n
222. Ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Òàáëèöà
ïðîèçâîäíûõ. Îïåðàöèþ îòûñêàíèÿ ïðîèçâîäíîé íàçûâàþò äèôôåðåíöèðîâàíèåì.  ï. 221 ïîëó÷åíà
îäíà èç ôîðìóë äèôôåðåíöèðîâàíèÿ: (x 3 )¢ = 3x 2 . Ïî
òàêîìó æå ïëàíó ìîæíî âûâåñòè ôîðìóëû, êîòîðûå
ïðèâåäåíû â ñëåäóþùåé òàáëèöå ïðîèçâîäíûõ:
1. C ¢ = 0.
2. (kx + b)¢ = k.
r
r -1
3. (x )¢ = rx .
x
x
4. (e )¢ = e .
5. (a x )¢ = a x ln a.
1
6. (ln x)¢ = .
x
1
.
7. (log a x) ¢ =
x ln a
8. (sin x)¢ = cos x.
9. (cos x)¢ = - sin x.
1
.
10. (tg x)¢ =
cos2 x
1
11. (ctg x) ¢ = .
sin2 x
1
.
12. (arcsin x) ¢ =
1 - x2
1
.
13. (arccos x) ¢ = 1 - x2
1
.
14. (arctg x) ¢ =
1 + x2
1
15. (arcctg x)¢ = .
1 + x2
309
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Íàïðèìåð:
(2x - 3)¢ = 2 (ïî ôîðìóëå 2);
¢
æ 1 ö
= (x -2 )¢ = -2x - 3 ,
(x 10 ) ¢ = 10x 9 , çç
÷
2÷
èx ø
3
5
(x )¢
2
3 = x 5 (ïî ôîðìóëå 3);
5
(6x )¢ = 6 x ln 6 (ïî ôîðìóëå 5);
(ln x)
x) ¢ =
(lg
1
(ïî ôîðìóëå 7).
x ln 10
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ
Ò.7.8. Ïðîèçâîäíàÿ ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
(uv)¢ = u ¢v + uv¢
(òåîðåìà î äèôôåðåíöèðîâàíèè ïðîèçâåäåíèÿ).
Ò.7.9. Ïðîèçâîäíàÿ ÷àñòíîãî äâóõ ôóíêöèé âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
¢
u ¢v - uv ¢
æuö
ïðè óñëîâèè v (x) ¹ 0
ç ÷ =
v2
èvø
(òåîðåìà î äèôôåðåíöèðîâàíèè ÷àñòíîãî).
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè:
à) y = 2 sin x - 0,7 cos x + 5; á) x 0,4 log 3 x.
q à) Èñïîëüçóÿ òåîðåìû 7.6 è 7.7, èìååì
223. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ,
÷àñòíîãî. Âî âñåõ ïðèâåäåííûõ íèæå òåîðåìàõ áóäåì ñ÷èòàòü çàäàííûå ôóíêöèè u è v äèôôåðåíöèðóåìûìè â òî÷êå õ.
(2 sin x - 0,7 cos x + 5)¢ = (2 sin x)¢ + (-0,7 cos x)¢ + 5¢ =
Ò.7.6. Ïðîèçâîäíàÿ ñóììû äâóõ ôóíêöèé âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
Îñòàåòñÿ ïðèìåíèòü ñîîòâåòñòâóþùèå ôîðìóëû
äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (ñì. ï. 222). Òîãäà ïîëó÷èì
(u + v)¢ = u ¢ + v¢
2 cos x - 0,7 (- sin x) + 0 = 2 cos x + 0,7 sin x.
(òåîðåìà î äèôôåðåíöèðîâàíèè ñóììû).
Ò.7.7. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíåñòè çà
çíàê ïðîèçâîäíîé:
(Cu)¢ = Cu¢
(òåîðåìà î âûíåñåíèè ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ
çà çíàê ïðîèçâîäíîé).
310
= 2 (sin x)¢ - 0,7 (cos x)¢ + 5¢.
á) Ñîãëàñíî òåîðåìå 7.8, íàõîäèì
(x 0,4 log 3 x) ¢ = (x 0,4 ) ¢ log 3 x + x 0,4 (log3 x ) ¢.
Òåïåðü ïðèìåíèì ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
è ïîëó÷èì
0,4x - 0,6 log 3 x + x 0,4 ×
1
0,4 ln x + 1
=
.
,4
x ln 3
× ln 3 n
x 00,6
311
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Íàïðèìåð:
(2x - 3)¢ = 2 (ïî ôîðìóëå 2);
¢
æ 1 ö
= (x -2 )¢ = -2x - 3 ,
(x 10 ) ¢ = 10x 9 , çç
÷
2÷
èx ø
3
5
(x )¢
2
3 = x 5 (ïî ôîðìóëå 3);
5
(6x )¢ = 6 x ln 6 (ïî ôîðìóëå 5);
(ln x)
x) ¢ =
(lg
1
(ïî ôîðìóëå 7).
x ln 10
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ
Ò.7.8. Ïðîèçâîäíàÿ ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
(uv)¢ = u ¢v + uv¢
(òåîðåìà î äèôôåðåíöèðîâàíèè ïðîèçâåäåíèÿ).
Ò.7.9. Ïðîèçâîäíàÿ ÷àñòíîãî äâóõ ôóíêöèé âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
¢
u ¢v - uv ¢
æuö
ïðè óñëîâèè v (x) ¹ 0
ç ÷ =
v2
èvø
(òåîðåìà î äèôôåðåíöèðîâàíèè ÷àñòíîãî).
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè:
à) y = 2 sin x - 0,7 cos x + 5; á) x 0,4 log 3 x.
q à) Èñïîëüçóÿ òåîðåìû 7.6 è 7.7, èìååì
223. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ,
÷àñòíîãî. Âî âñåõ ïðèâåäåííûõ íèæå òåîðåìàõ áóäåì ñ÷èòàòü çàäàííûå ôóíêöèè u è v äèôôåðåíöèðóåìûìè â òî÷êå õ.
(2 sin x - 0,7 cos x + 5)¢ = (2 sin x)¢ + (-0,7 cos x)¢ + 5¢ =
Ò.7.6. Ïðîèçâîäíàÿ ñóììû äâóõ ôóíêöèé âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
Îñòàåòñÿ ïðèìåíèòü ñîîòâåòñòâóþùèå ôîðìóëû
äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (ñì. ï. 222). Òîãäà ïîëó÷èì
(u + v)¢ = u ¢ + v¢
2 cos x - 0,7 (- sin x) + 0 = 2 cos x + 0,7 sin x.
(òåîðåìà î äèôôåðåíöèðîâàíèè ñóììû).
Ò.7.7. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíåñòè çà
çíàê ïðîèçâîäíîé:
(Cu)¢ = Cu¢
(òåîðåìà î âûíåñåíèè ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ
çà çíàê ïðîèçâîäíîé).
310
= 2 (sin x)¢ - 0,7 (cos x)¢ + 5¢.
á) Ñîãëàñíî òåîðåìå 7.8, íàõîäèì
(x 0,4 log 3 x) ¢ = (x 0,4 ) ¢ log 3 x + x 0,4 (log3 x ) ¢.
Òåïåðü ïðèìåíèì ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
è ïîëó÷èì
0,4x - 0,6 log 3 x + x 0,4 ×
1
0,4 ln x + 1
=
.
,4
x ln 3
× ln 3 n
x 00,6
311
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü f¢ (0), åñëè
f (x) =
2
x
2
x +1
.
=
(2x )¢(x 2 + 1) - 2x (x 2 + 1)¢
(x2 + 1)2
2x ln 2 × (x 2 + 1) - 2x × 2x
(x 2 + 1)2
=
.
Òåïåðü âû÷èñëèì
f ¢ (0) =
20 ln 2 × (02 + 1) - 20 × 2 × 0
(02 + 1)2
§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ
Ï ð è ì å ð 1. Èç êàêèõ ôóíêöèé ñîñòàâëåíà
ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ y = tg5 (2x + 1) ?
q Ýòà ôóíêöèÿ ñîñòîèò èç òðåõ ôóíêöèé:
g(x) = 2x + 1, h(u) = tg u, f(z) = z5 . Â ñàìîì äåëå,
q Ñíà÷àëà íàéäåì f ¢ (x). Âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé 7.9, ïîëó÷èì
f ¢ (x) =
ÀËÃÅÁÐÀ
= ln 2. n
224. Ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ è åå äèôôåðåíöèðîâàíèå. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = sin x 2 . ×òîáû íàéòè
çíà÷åíèå ýòîé ôóíêöèè â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå õ,
íóæíî: 1) âû÷èñëèòü õ2; 2) íàéòè çíà÷åíèå ñèíóñà
f (h (g (x))) = (tg (g (x)))5 = (tg (2x + 1))5 = tg5 (2x + 1). n
Ïóñòü y = f (g (x)) — ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ, ïðè÷åì
ôóíêöèÿ u = g (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå õ, à
ôóíêöèÿ y = f (u) äèôôåðåíöèðóåìà â ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êå u. Òîãäà ôóíêöèÿ y = f (g (x)) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå õ, ïðè÷åì
y ¢ = f ¢ (g (x)) × g ¢(x).
Çàïèñü f¢ (g (x)) îçíà÷àåò, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå äëÿ f¢ (x), íî âìåñòî õ íóæíî ïîäñòàâèòü g (x).
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ((3x + 5) 4 )¢.
q Çäåñü
g (x) = 3x + 5, f (u) = u 4 , f (g (x)) = (3x +
+ 5) 4. Çíà÷èò,
y ¢ = f ¢( g (x)) × g ¢(x) = 4 (3x + 5)3 × (3x + 5)¢ =
ïðè ïîëó÷åííîì çíà÷åíèè õ2. Èíûìè ñëîâàìè, ñíà-
= 4 (3x + 5)3 × 3 = 12 (3x + 5)3. n
÷àëà íàäî íàéòè çíà÷åíèå ôóíêöèè g (x) = x 2 , à çà-
Îòìåòèì ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè:
(f (kx + b))¢ = kf ¢(kx + b).
7
Òàê, (sin 3x) ¢ = 3 cos 3x; ( 5 - 7x ) ¢ = .
2 5 - 7x
òåì íàéòè sin g (x).  ïîäîáíûõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò, ÷òî
çàäàíà ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ f (g (x)).  äàííîì ñëó÷àå
u = g (x) = x 2, à f (u) = sin u.
312
313
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü f¢ (0), åñëè
f (x) =
2
x
2
x +1
.
=
(2x )¢(x 2 + 1) - 2x (x 2 + 1)¢
(x2 + 1)2
2x ln 2 × (x 2 + 1) - 2x × 2x
(x 2 + 1)2
=
.
Òåïåðü âû÷èñëèì
f ¢ (0) =
20 ln 2 × (02 + 1) - 20 × 2 × 0
(02 + 1)2
§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ
Ï ð è ì å ð 1. Èç êàêèõ ôóíêöèé ñîñòàâëåíà
ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ y = tg5 (2x + 1) ?
q Ýòà ôóíêöèÿ ñîñòîèò èç òðåõ ôóíêöèé:
g(x) = 2x + 1, h(u) = tg u, f(z) = z5 . Â ñàìîì äåëå,
q Ñíà÷àëà íàéäåì f ¢ (x). Âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé 7.9, ïîëó÷èì
f ¢ (x) =
ÀËÃÅÁÐÀ
= ln 2. n
224. Ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ è åå äèôôåðåíöèðîâàíèå. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = sin x 2 . ×òîáû íàéòè
çíà÷åíèå ýòîé ôóíêöèè â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå õ,
íóæíî: 1) âû÷èñëèòü õ2; 2) íàéòè çíà÷åíèå ñèíóñà
f (h (g (x))) = (tg (g (x)))5 = (tg (2x + 1))5 = tg5 (2x + 1). n
Ïóñòü y = f (g (x)) — ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ, ïðè÷åì
ôóíêöèÿ u = g (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå õ, à
ôóíêöèÿ y = f (u) äèôôåðåíöèðóåìà â ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êå u. Òîãäà ôóíêöèÿ y = f (g (x)) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå õ, ïðè÷åì
y ¢ = f ¢ (g (x)) × g ¢(x).
Çàïèñü f¢ (g (x)) îçíà÷àåò, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå äëÿ f¢ (x), íî âìåñòî õ íóæíî ïîäñòàâèòü g (x).
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ((3x + 5) 4 )¢.
q Çäåñü
g (x) = 3x + 5, f (u) = u 4 , f (g (x)) = (3x +
+ 5) 4. Çíà÷èò,
y ¢ = f ¢( g (x)) × g ¢(x) = 4 (3x + 5)3 × (3x + 5)¢ =
ïðè ïîëó÷åííîì çíà÷åíèè õ2. Èíûìè ñëîâàìè, ñíà-
= 4 (3x + 5)3 × 3 = 12 (3x + 5)3. n
÷àëà íàäî íàéòè çíà÷åíèå ôóíêöèè g (x) = x 2 , à çà-
Îòìåòèì ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè:
(f (kx + b))¢ = kf ¢(kx + b).
7
Òàê, (sin 3x) ¢ = 3 cos 3x; ( 5 - 7x ) ¢ = .
2 5 - 7x
òåì íàéòè sin g (x).  ïîäîáíûõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò, ÷òî
çàäàíà ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ f (g (x)).  äàííîì ñëó÷àå
u = g (x) = x 2, à f (u) = sin u.
312
313
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
225. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé. Ñêîðîñòü
ïðîèçâîëüíî äâèæóùåéñÿ òî÷êè ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîé
âåëè÷èíîé, îíà îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ âåêòîðà —
ïåðåìåùåíèÿ òî÷êè çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Îäíàêî åñëè òî÷êà äâèæåòñÿ ïî ïðÿìîé, òî åå ïîëîæåíèå,
ïåðåìåùåíèå, ñêîðîñòü, óñêîðåíèå ìîæíî çàäàòü ÷èñëàìè, ò. å. ñ÷èòàòü ñêàëÿðíûìè âåëè÷èíàìè. Ïóñòü
s = s (t) — ñêàëÿðíûé çàêîí ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ, òîãäà s¢ (t) âûðàæàåò ñêîðîñòü äâèæåíèÿ â
ìîìåíò t (ìãíîâåííóþ ñêîðîñòü), ò. å. v = s¢ (t).
Íàïðèìåð, çàêîí ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ òåëà âûðàæàåòñÿ çàâèñèìîñòüþ s = 0,5gt2. Òîãäà ñêîðîñòü ïàäåíèÿ â ìîìåíò t òàêîâà:
v = s¢ = (0,5gt2 )¢ = 0,5g × (t2 )¢ = 0,5g × 2t = gt.
Ïóñòü òåïåðü òî÷êà À äâèæåòñÿ ïî êðèâîëèíåéíîé òðàåêòîðèè. Îáîçíà÷èì êîîðäèíàòû òî÷êè À â
ìîìåíò âðåìåíè t ÷åðåç x (t) è y (t). Ýòè êîîðäèíàòû
çàâèñÿò îò t è ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îò t. Ðàññìîòðèì ìãíîâåííóþ ñêîðîñòü äâèæóùåéñÿ òî÷êè À â
ìîìåíò âðåìåíè t.Âåêòîð ìãíîâåííîé ñêîðîñòè v íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè â òî÷êå À. Êîîðäèíàòû âåêòîðà v òàêæå çàâèñÿò îò âðåìåíè t:
îíè ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî x¢(t) è y¢(t) , ãäå x¢ è y¢ —
ïðîèçâîäíûå ôóíêöèé õ è ó â òî÷êå t.
Âîîáùå, ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f â òî÷êå Õ âûðàæàåò ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ôóíêöèè â òî÷êå Õ, ò. å.
ñêîðîñòü ïðîòåêàíèÿ ïðîöåññà, îïèñûâàåìîãî çàâèñèìîñòüþ y = f (x).  ýòîì ñîñòîèò ôèçè÷åñêèé ñìûñë
314
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ
ïðîèçâîäíîé. Íàïðèìåð, åñëè äàíà ôóíêöèÿ y = x 2,
òî f ¢(x) = 2x; ïðè õ = 2 íàõîäèì f ¢(2) = 4, à ïðè õ =
= 3 èìååì f ¢(3) = 6. Ýòî çíà÷èò, ÷òî â òî÷êå
õ = 2 ôóíêöèÿ èçìåíÿåòñÿ â 4 ðàçà áûñòðåå àðãóìåíòà, à â òî÷êå õ = 3 — â 6 ðàç áûñòðåå.
226. Âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ è åå ôèçè÷åñêèé ñìûñë.
Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò ïðîèçâîäíóþ f¢ (x).
Ýòî íîâàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ â ñâîþ î÷åðåäü ìîæåò
èìåòü ïðîèçâîäíóþ. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f¢ (x)
íàçûâàåòñÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x)
è îáîçíà÷àåòñÿ f ¢¢ (x) èëè y ¢¢.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè y ¢¢, åñëè ó = õ10.
q Èìååì (x10 )¢ = 10x 9 , à (10x 9 )¢ = 90x 8 . Èòàê,
(x10 )¢¢ = 90x 8 . n
Ïóñòü s = s (t) — çàêîí ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ. Òîãäà âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ âûðàæàåò ñêîðîñòü
èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè ýòîãî äâèæåíèÿ, ò. å. óñêîðåíèå a = s¢¢(t).  ýòîì ñîñòîèò ôèçè÷åñêèé ñìûñë âòîðîé ïðîèçâîäíîé.
Ï ð è ì å ð 2. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ
1
ïðÿìîëèíåéíî ïî çàêîíó s =
. Äîêàçàòü, ÷òî
2t - 1
ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî, ïðîïîðöèîíàëüíà êóáó
ïðîéäåííîãî ïóòè.
q Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà F = ma, ãäå
F — ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî, à — óñêîðåíèå,
315
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
225. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé. Ñêîðîñòü
ïðîèçâîëüíî äâèæóùåéñÿ òî÷êè ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîé
âåëè÷èíîé, îíà îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ âåêòîðà —
ïåðåìåùåíèÿ òî÷êè çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Îäíàêî åñëè òî÷êà äâèæåòñÿ ïî ïðÿìîé, òî åå ïîëîæåíèå,
ïåðåìåùåíèå, ñêîðîñòü, óñêîðåíèå ìîæíî çàäàòü ÷èñëàìè, ò. å. ñ÷èòàòü ñêàëÿðíûìè âåëè÷èíàìè. Ïóñòü
s = s (t) — ñêàëÿðíûé çàêîí ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ, òîãäà s¢ (t) âûðàæàåò ñêîðîñòü äâèæåíèÿ â
ìîìåíò t (ìãíîâåííóþ ñêîðîñòü), ò. å. v = s¢ (t).
Íàïðèìåð, çàêîí ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ òåëà âûðàæàåòñÿ çàâèñèìîñòüþ s = 0,5gt2. Òîãäà ñêîðîñòü ïàäåíèÿ â ìîìåíò t òàêîâà:
v = s¢ = (0,5gt2 )¢ = 0,5g × (t2 )¢ = 0,5g × 2t = gt.
Ïóñòü òåïåðü òî÷êà À äâèæåòñÿ ïî êðèâîëèíåéíîé òðàåêòîðèè. Îáîçíà÷èì êîîðäèíàòû òî÷êè À â
ìîìåíò âðåìåíè t ÷åðåç x (t) è y (t). Ýòè êîîðäèíàòû
çàâèñÿò îò t è ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îò t. Ðàññìîòðèì ìãíîâåííóþ ñêîðîñòü äâèæóùåéñÿ òî÷êè À â
ìîìåíò âðåìåíè t.Âåêòîð ìãíîâåííîé ñêîðîñòè v íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè â òî÷êå À. Êîîðäèíàòû âåêòîðà v òàêæå çàâèñÿò îò âðåìåíè t:
îíè ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî x¢(t) è y¢(t) , ãäå x¢ è y¢ —
ïðîèçâîäíûå ôóíêöèé õ è ó â òî÷êå t.
Âîîáùå, ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f â òî÷êå Õ âûðàæàåò ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ôóíêöèè â òî÷êå Õ, ò. å.
ñêîðîñòü ïðîòåêàíèÿ ïðîöåññà, îïèñûâàåìîãî çàâèñèìîñòüþ y = f (x).  ýòîì ñîñòîèò ôèçè÷åñêèé ñìûñë
314
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ
ïðîèçâîäíîé. Íàïðèìåð, åñëè äàíà ôóíêöèÿ y = x 2,
òî f ¢(x) = 2x; ïðè õ = 2 íàõîäèì f ¢(2) = 4, à ïðè õ =
= 3 èìååì f ¢(3) = 6. Ýòî çíà÷èò, ÷òî â òî÷êå
õ = 2 ôóíêöèÿ èçìåíÿåòñÿ â 4 ðàçà áûñòðåå àðãóìåíòà, à â òî÷êå õ = 3 — â 6 ðàç áûñòðåå.
226. Âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ è åå ôèçè÷åñêèé ñìûñë.
Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò ïðîèçâîäíóþ f¢ (x).
Ýòî íîâàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ â ñâîþ î÷åðåäü ìîæåò
èìåòü ïðîèçâîäíóþ. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f¢ (x)
íàçûâàåòñÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x)
è îáîçíà÷àåòñÿ f ¢¢ (x) èëè y ¢¢.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè y ¢¢, åñëè ó = õ10.
q Èìååì (x10 )¢ = 10x 9 , à (10x 9 )¢ = 90x 8 . Èòàê,
(x10 )¢¢ = 90x 8 . n
Ïóñòü s = s (t) — çàêîí ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ. Òîãäà âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ âûðàæàåò ñêîðîñòü
èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè ýòîãî äâèæåíèÿ, ò. å. óñêîðåíèå a = s¢¢(t).  ýòîì ñîñòîèò ôèçè÷åñêèé ñìûñë âòîðîé ïðîèçâîäíîé.
Ï ð è ì å ð 2. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ
1
ïðÿìîëèíåéíî ïî çàêîíó s =
. Äîêàçàòü, ÷òî
2t - 1
ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî, ïðîïîðöèîíàëüíà êóáó
ïðîéäåííîãî ïóòè.
q Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà F = ma, ãäå
F — ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî, à — óñêîðåíèå,
315
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
s¢ = ((2t - 1) )¢ = -(2t - 1)
-2
-2
× (2t - 1)¢ = -2 (2t - 1) ;
s¢¢ = (-2 (2t - 1) -2 )¢ = -2 × (-2) × (2t - 1) -3 × (2t - 1)¢ =
8
.
= 8 (2t - 1) - 3 =
(2t - 1)3
Çíà÷èò, F = ma =
8
(2t - 1)
3
= 8ms3 , ò. å. ñèëà F
3
ïðîïîðöèîíàëüíà s . n
227. Êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè. Ðàññìîòðèì ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x), äèôôåðåíöèðóåìîé â
òî÷êå à, âûäåëèì íà íåì òî÷êó M (a; f (a)) è ïðîâåäåì ñåêóùóþ MP2 , ãäå Ð2 — òî÷êà ãðàôèêà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ çíà÷åíèþ àðãóìåíòà a + Dx (ðèñ. 93, à).
à)
316
§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ
Óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé MP2 âû÷èñëÿåòñÿ ïî
m — ìàññà; a = s¢¢. Èìååì
-1
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðèñ. 93
á)
Dy
(ñì. ï. 220).
Dx
Åñëè òî÷êà Ð äâèæåòñÿ ïî ãðàôèêó, ïðèáëèæàÿñü ê òî÷êå Ì, òî ïðÿìàÿ ÌÐ íà÷íåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ âîêðóã òî÷êè Ì. ×àùå âñåãî â ýòîì ïðîöåññå ñåêóùàÿ ÌÐ ñòðåìèòñÿ çàíÿòü íåêîòîðîå ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå. Îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìóþ, ñ êîòîðîé ïðàêòè÷åñêè ñëèâàåòñÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè à;
ýòà ïðÿìàÿ è åñòü êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå õ = à. Óãëîâîé êîýôôèöèåíò
òàêîé ïðåäåëüíîé ïðÿìîé (îáîçíà÷èì åãî k) ïîëó÷àåòñÿ èç óãëîâîãî êîýôôèöèåíòà ñåêóùåé â ïðî-
ôîðìóëå kñåê =
öåññå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà îò Ð ê Ì: k = lim k ñåê.
Óñëîâèå P ® M
P®M
ìîæíî çàìåíèòü óñëîâèåì
Dy
Dx ® 0, à âìåñòî kñåê íàïèñàòü
. Â èòîãå ïîëóDx
Dy
Dy
. Íî lim
— ýòî çíà÷åíèå
÷àåì k = lim
Dx ® 0 Dx
Dx ® 0 Dx
ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå õ = à, ò. å. f¢ (a) (ñì. ï. 221).
Èòàê, k = f ¢(a), ò. å. çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå õ = à ðàâíî óãëîâîìó êîýôôèöèåíòó êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) â
òî÷êå õ = à (ðèñ.93, á).  ýòîì ñîñòîèò ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé.
317
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
s¢ = ((2t - 1) )¢ = -(2t - 1)
-2
-2
× (2t - 1)¢ = -2 (2t - 1) ;
s¢¢ = (-2 (2t - 1) -2 )¢ = -2 × (-2) × (2t - 1) -3 × (2t - 1)¢ =
8
.
= 8 (2t - 1) - 3 =
(2t - 1)3
Çíà÷èò, F = ma =
8
(2t - 1)
3
= 8ms3 , ò. å. ñèëà F
3
ïðîïîðöèîíàëüíà s . n
227. Êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè. Ðàññìîòðèì ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x), äèôôåðåíöèðóåìîé â
òî÷êå à, âûäåëèì íà íåì òî÷êó M (a; f (a)) è ïðîâåäåì ñåêóùóþ MP2 , ãäå Ð2 — òî÷êà ãðàôèêà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ çíà÷åíèþ àðãóìåíòà a + Dx (ðèñ. 93, à).
à)
316
§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ
Óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé MP2 âû÷èñëÿåòñÿ ïî
m — ìàññà; a = s¢¢. Èìååì
-1
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðèñ. 93
á)
Dy
(ñì. ï. 220).
Dx
Åñëè òî÷êà Ð äâèæåòñÿ ïî ãðàôèêó, ïðèáëèæàÿñü ê òî÷êå Ì, òî ïðÿìàÿ ÌÐ íà÷íåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ âîêðóã òî÷êè Ì. ×àùå âñåãî â ýòîì ïðîöåññå ñåêóùàÿ ÌÐ ñòðåìèòñÿ çàíÿòü íåêîòîðîå ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå. Îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìóþ, ñ êîòîðîé ïðàêòè÷åñêè ñëèâàåòñÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè à;
ýòà ïðÿìàÿ è åñòü êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå õ = à. Óãëîâîé êîýôôèöèåíò
òàêîé ïðåäåëüíîé ïðÿìîé (îáîçíà÷èì åãî k) ïîëó÷àåòñÿ èç óãëîâîãî êîýôôèöèåíòà ñåêóùåé â ïðî-
ôîðìóëå kñåê =
öåññå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà îò Ð ê Ì: k = lim k ñåê.
Óñëîâèå P ® M
P®M
ìîæíî çàìåíèòü óñëîâèåì
Dy
Dx ® 0, à âìåñòî kñåê íàïèñàòü
. Â èòîãå ïîëóDx
Dy
Dy
. Íî lim
— ýòî çíà÷åíèå
÷àåì k = lim
Dx ® 0 Dx
Dx ® 0 Dx
ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå õ = à, ò. å. f¢ (a) (ñì. ï. 221).
Èòàê, k = f ¢(a), ò. å. çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå õ = à ðàâíî óãëîâîìó êîýôôèöèåíòó êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) â
òî÷êå õ = à (ðèñ.93, á).  ýòîì ñîñòîèò ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé.
317
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Òàêèì îáðàçîì, êàñàòåëüíóþ ê ãðàôèêó ôóíêöèè f, äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå a, ìîæíî èñòîëêîâàòü: êàê ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå ñåêóùåé ïðè
Dx ® 0; êàê ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó (a; f(a)),
ñ îòðåçêîì êîòîðîé ïðàêòè÷åñêè ñëèâàåòñÿ ãðàôèê
ôóíêöèè f ïðè çíà÷åíèÿõ x, áëèçêèõ ê a; íàêîíåö,
êàê ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó (a; f(a)) è èìåþùóþ óãëîâîé êîýôôèöèåíò, ðàâíûé f ¢(a).
Åñëè ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå õ = à,
òî â ýòîé òî÷êå ê ãðàôèêó ìîæíî ïðîâåñòè êàñàòåëüíóþ; âåðíî è îáðàòíîå: åñëè â òî÷êå õ = à ê
ãðàôèêó ôóíêöèè f ìîæíî ïðîâåñòè íåâåðòèêàëüíóþ êàñàòåëüíóþ, òî ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà â
òî÷êå õ = à.
Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè
y = f (x) â òî÷êå õ = à èìååò âèä
y = f (a) + f ¢(a) (x - a).
(1)
Ï ð è ì å ð. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê
ãðàôèêó ôóíêöèè y = x â òî÷êå õ = 4.
q Èìååì f (x) =
=
4 = 2, f ¢(a) =
1
2 4
x , f ¢(x ) =
1
2 x
, a = 4,
f (a) =
= 0,25. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ à,
f (a) è f ¢ (a) â óðàâíåíèå (1), ïîëó÷èì
y = 2 + 0,25 (x - 4), ò. å. y = 0,25 x + 1. n
318
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
228. Ôîðìóëà Ëàãðàíæà.
Ò.7.10. Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà îòðåçêå
[a, b] è äèôôåðåíöèðóåìà â èíòåðâàëå (a, b), òî
íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà c Î (a, b), ÷òî
f (b) - f (a)
(1)
.
b-a
Ôîðìóëà (1) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ëàãðàíæà, à
òåîðåìà 7.10 — òåîðåìîé Ëàãðàíæà.
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ôîðìóëû Ëàãðàíæà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: åñëè äóãà À ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãðàôèê íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèè
f, ïðè÷åì â ëþáîé òî÷êå äóãè ê íåé ìîæíî ïðîâåñòè êàñàòåëüíóþ, òî íà äóãå À íàéäåòñÿ òî÷êà Ñ ñ
àáñöèññîé õ = ñ òàêàÿ, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê êðèâîé â
òî÷êå Ñ (åå óãëîâîé êîýôôèöèåíò ðàâåí f¢ (c)) áóäåò
ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé ÀÂ (åå óãëîâîé êîýôôèöèåíò
f (b) - f (a)
ðàâåí
; ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû, åñëè èõ óãëîb-a
âûå êîýôôèöèåíòû ðàâíû). Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èëëþñòðàöèÿ ôîðìóëû Ëàãðàíæà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 94.
f ¢(c) =
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
229. Ïðèáëèæåííûå âû÷èñëåíèÿ ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäíîé. Ïóñòü ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå õ0. Òîãäà äëÿ àðãóìåíòîâ õ, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê
õ0, ñïðàâåäëèâà ïðèáëèæåííàÿ ôîðìóëà
f (x) » f (x 0 ) + f ¢(x) (x - x0 ).
(1)
319
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Òàêèì îáðàçîì, êàñàòåëüíóþ ê ãðàôèêó ôóíêöèè f, äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå a, ìîæíî èñòîëêîâàòü: êàê ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå ñåêóùåé ïðè
Dx ® 0; êàê ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó (a; f(a)),
ñ îòðåçêîì êîòîðîé ïðàêòè÷åñêè ñëèâàåòñÿ ãðàôèê
ôóíêöèè f ïðè çíà÷åíèÿõ x, áëèçêèõ ê a; íàêîíåö,
êàê ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó (a; f(a)) è èìåþùóþ óãëîâîé êîýôôèöèåíò, ðàâíûé f ¢(a).
Åñëè ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå õ = à,
òî â ýòîé òî÷êå ê ãðàôèêó ìîæíî ïðîâåñòè êàñàòåëüíóþ; âåðíî è îáðàòíîå: åñëè â òî÷êå õ = à ê
ãðàôèêó ôóíêöèè f ìîæíî ïðîâåñòè íåâåðòèêàëüíóþ êàñàòåëüíóþ, òî ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà â
òî÷êå õ = à.
Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè
y = f (x) â òî÷êå õ = à èìååò âèä
y = f (a) + f ¢(a) (x - a).
(1)
Ï ð è ì å ð. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê
ãðàôèêó ôóíêöèè y = x â òî÷êå õ = 4.
q Èìååì f (x) =
=
4 = 2, f ¢(a) =
1
2 4
x , f ¢(x ) =
1
2 x
, a = 4,
f (a) =
= 0,25. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ à,
f (a) è f ¢ (a) â óðàâíåíèå (1), ïîëó÷èì
y = 2 + 0,25 (x - 4), ò. å. y = 0,25 x + 1. n
318
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
228. Ôîðìóëà Ëàãðàíæà.
Ò.7.10. Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà îòðåçêå
[a, b] è äèôôåðåíöèðóåìà â èíòåðâàëå (a, b), òî
íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà c Î (a, b), ÷òî
f (b) - f (a)
(1)
.
b-a
Ôîðìóëà (1) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ëàãðàíæà, à
òåîðåìà 7.10 — òåîðåìîé Ëàãðàíæà.
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ôîðìóëû Ëàãðàíæà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: åñëè äóãà À ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãðàôèê íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèè
f, ïðè÷åì â ëþáîé òî÷êå äóãè ê íåé ìîæíî ïðîâåñòè êàñàòåëüíóþ, òî íà äóãå À íàéäåòñÿ òî÷êà Ñ ñ
àáñöèññîé õ = ñ òàêàÿ, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê êðèâîé â
òî÷êå Ñ (åå óãëîâîé êîýôôèöèåíò ðàâåí f¢ (c)) áóäåò
ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé ÀÂ (åå óãëîâîé êîýôôèöèåíò
f (b) - f (a)
ðàâåí
; ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû, åñëè èõ óãëîb-a
âûå êîýôôèöèåíòû ðàâíû). Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èëëþñòðàöèÿ ôîðìóëû Ëàãðàíæà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 94.
f ¢(c) =
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
229. Ïðèáëèæåííûå âû÷èñëåíèÿ ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäíîé. Ïóñòü ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå õ0. Òîãäà äëÿ àðãóìåíòîâ õ, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê
õ0, ñïðàâåäëèâà ïðèáëèæåííàÿ ôîðìóëà
f (x) » f (x 0 ) + f ¢(x) (x - x0 ).
(1)
319
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
230. Äèôôåðåíöèàë. Äèôôåðåíöèàëîì ôóíêöèè
íàçûâàþò ïðîèçâåäåíèå åå ïðîèçâîäíîé íà ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà. Äëÿ ôóíêöèè y = f (x) äèôôåðåíöèàë îáîçíà÷àþò dy èëè df. Òàêèì îáðàçîì, dy =
= f ¢(x)Dx. Ïîñêîëüêó äëÿ ôóíêöèè ó = õ èìååì dy =
Ðèñ. 94
Ðèñ. 95
Ï ð è ì å ð. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå
3
8,12 .
q Ïîëîæèì f (x) =
f (x0 ) =
=
1
3
3 8
2
3
=
8 = 2, f ¢(x) =
3
x , x0 = 8, x = 8,12. Òîãäà
1
3
3 x
2
, è, çíà÷èò,
f ¢ (x0 ) =
1
. Ïî ôîðìóëå (1), íàõîäèì
12
1
(8,12 - 8), ò. å. 3 8,12 » 2,01. n
12
Èç ôîðìóëû (1), â ÷àñòíîñòè, ïîëó÷àåòñÿ ïðèáëèæåííàÿ ôîðìóëà
3
8,12 » 2 +
(1 + Dx) r » 1 + rDx,
ñïðàâåäëèâàÿ äëÿ ëþáîãî ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà r è
äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ çíà÷åíèé Dx.
320
= 1 × Dx, ò. å. dx = Dx, äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè f
îáû÷íî çàïèñûâàþò â ôîðìå
dy = f ¢ (x) dx.
Èç ýòîé çàïèñè ïîëó÷àåòñÿ îäíî èç îáîçíà÷åíèé ïðîdy
, êîòîðîå ìîæíî òðàêòîâàòü êàê
èçâîäíîé f ¢(x) =
dx
îòíîøåíèå äèôôåðåíöèàëîâ.
Îòìåòèì ñëåäóþùèå äâà ñâîéñòâà äèôôåðåíöèàëà:
10. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè — ýòî ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ ïðèðàùåíèÿ àðãóìåíòà.
20. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè — ýòî ãëàâíàÿ ÷àñòü
ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè, ò. å. Dy » dy (ðèñ. 95).
Ïîíÿòèå äèôôåðåíöèàëà ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ðàçíîîáðàçíûõ ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé ïðîèçâîäíîé.
Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ðàáîòó, êîòîðóþ ñîâåðøàåò çàäàííàÿ ñèëà F ïðè ïåðåìåùåíèè ïî îòðåçêó îñè
Îõ. Åñëè ñèëà ïîñòîÿííà, òî ðàáîòà À ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ F íà äëèíó ïóòè. Åñëè æå ñèëà ìåíÿåòñÿ, òî åå
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ îò õ, ò. å. F =
= F (õ). Ïðèðàùåíèå ðàáîòû DA íà îòðåçêå [x, x + dx]
íåëüçÿ òî÷íî âû÷èñëèòü êàê ïðîèçâåäåíèå F (x) dx,
íî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ dx ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
ñèëà ìåíÿåòñÿ íåçíà÷èòåëüíî è óêàçàííîå ïðîèçâåäåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãëàâíóþ ÷àñòü DA , ò. å.
321
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
230. Äèôôåðåíöèàë. Äèôôåðåíöèàëîì ôóíêöèè
íàçûâàþò ïðîèçâåäåíèå åå ïðîèçâîäíîé íà ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà. Äëÿ ôóíêöèè y = f (x) äèôôåðåíöèàë îáîçíà÷àþò dy èëè df. Òàêèì îáðàçîì, dy =
= f ¢(x)Dx. Ïîñêîëüêó äëÿ ôóíêöèè ó = õ èìååì dy =
Ðèñ. 94
Ðèñ. 95
Ï ð è ì å ð. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå
3
8,12 .
q Ïîëîæèì f (x) =
f (x0 ) =
=
1
3
3 8
2
3
=
8 = 2, f ¢(x) =
3
x , x0 = 8, x = 8,12. Òîãäà
1
3
3 x
2
, è, çíà÷èò,
f ¢ (x0 ) =
1
. Ïî ôîðìóëå (1), íàõîäèì
12
1
(8,12 - 8), ò. å. 3 8,12 » 2,01. n
12
Èç ôîðìóëû (1), â ÷àñòíîñòè, ïîëó÷àåòñÿ ïðèáëèæåííàÿ ôîðìóëà
3
8,12 » 2 +
(1 + Dx) r » 1 + rDx,
ñïðàâåäëèâàÿ äëÿ ëþáîãî ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà r è
äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ çíà÷åíèé Dx.
320
= 1 × Dx, ò. å. dx = Dx, äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè f
îáû÷íî çàïèñûâàþò â ôîðìå
dy = f ¢ (x) dx.
Èç ýòîé çàïèñè ïîëó÷àåòñÿ îäíî èç îáîçíà÷åíèé ïðîdy
, êîòîðîå ìîæíî òðàêòîâàòü êàê
èçâîäíîé f ¢(x) =
dx
îòíîøåíèå äèôôåðåíöèàëîâ.
Îòìåòèì ñëåäóþùèå äâà ñâîéñòâà äèôôåðåíöèàëà:
10. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè — ýòî ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ ïðèðàùåíèÿ àðãóìåíòà.
20. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè — ýòî ãëàâíàÿ ÷àñòü
ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè, ò. å. Dy » dy (ðèñ. 95).
Ïîíÿòèå äèôôåðåíöèàëà ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ðàçíîîáðàçíûõ ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé ïðîèçâîäíîé.
Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ðàáîòó, êîòîðóþ ñîâåðøàåò çàäàííàÿ ñèëà F ïðè ïåðåìåùåíèè ïî îòðåçêó îñè
Îõ. Åñëè ñèëà ïîñòîÿííà, òî ðàáîòà À ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ F íà äëèíó ïóòè. Åñëè æå ñèëà ìåíÿåòñÿ, òî åå
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ îò õ, ò. å. F =
= F (õ). Ïðèðàùåíèå ðàáîòû DA íà îòðåçêå [x, x + dx]
íåëüçÿ òî÷íî âû÷èñëèòü êàê ïðîèçâåäåíèå F (x) dx,
íî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ dx ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
ñèëà ìåíÿåòñÿ íåçíà÷èòåëüíî è óêàçàííîå ïðîèçâåäåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãëàâíóþ ÷àñòü DA , ò. å.
321
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëîì ðàáîòû dA = F (x) dx.
Èòàê, ñèëó ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîèçâîäíîé ðàáîòû ïî
ïåðåìåùåíèþ.
Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî è èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå äèôôåðåíöèàëà, ëåãêî óñòàíîâèòü, ÷òî:
ñèëó òîêà ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîèçâîäíîé çàðÿäà
ïî âðåìåíè;
òåïëîåìêîñòü ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîèçâîäíîé òåïëîòû ïî òåìïåðàòóðå.
231. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé ê èññëåäîâàíèþ
ôóíêöèé íà âîçðàñòàíèå (óáûâàíèå). Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ïðîèçâîäíàÿ ïîçâîëÿåò ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî
èññëåäîâàòü ôóíêöèþ íà ìîíîòîííîñòü. Ýòî äîñòèãàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùèõ äâóõ òåîðåì:
Ò.7.11. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà
íà ïðîìåæóòêå Õ è âî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷êàõ
ýòîãî ïðîìåæóòêà èìååò ïîëîæèòåëüíóþ ïðîèçâîäíóþ (f ¢(x) > 0). Òîãäà ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò
íà Õ.
Ò.7.12. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà
íà ïðîìåæóòêå Õ è âî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷êàõ
ýòîãî ïðîìåæóòêà èìååò îòðèöàòåëüíóþ ïðîèçâîäíóþ (f ¢(x) < 0). Òîãäà ôóíêöèÿ óáûâàåò
íà Õ.
Îòìåòèì, ÷òî îáå òåîðåìû ñîõðàíÿþò ñèëó è òîãäà, êîãäà âíóòðè ïðîìåæóòêà Õ ñîîòâåòñòâåííî
f ¢(x) ³ 0 èëè f ¢(x) £ 0, íî ðàâåíñòâî f ¢(x) = 0 âûïîëíÿåòñÿ ëèøü â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê ýòîãî ïðîìåæóòêà. Òàê, äëÿ ôóíêöèè ó = õ 3 ïðîèçâîäíàÿ
f ¢(x) = 3x2 âñþäó íåîòðèöàòåëüíà, ïðè÷åì îáðàùà322
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
åòñÿ â íóëü ëèøü â îäíîé òî÷êå õ = 0. Çíà÷èò, ôóíêöèÿ ó = õ3 âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêå (-¥, + ¥).
Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ìîíîòîííîñòü ôóíêöèþ:
à) y = x5 + x 3 + 1; á) y = 0,5x 2 - 3 ln (x - 2).
q à) Íàõîäèì y ¢ = 5x 4 + 3x2 . Ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî 5x 4 + 3x2 ³ 0, ïðè÷åì çíàê ðàâåíñòâà èìååò
ìåñòî ëèøü â îäíîé òî÷êå õ = 0. Çíà÷èò, ïî òåîðåìå
7.11 ôóíêöèÿ y = x5 + x 3 + 1 âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.
á) Èìååì
y¢ =
=
1
1
3
× 2x - 3 ×
=x=
2
x-2
x-2
x2 - 2x - 3 (x - 3) (x + 1)
=
.
x-2
x -2
Çíàêè ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ ìåíÿþòñÿ òàê, êàê
ïîêàçàíî íà ðèñ. 96. Íî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ èññëåäóåìîé ôóíêöèè çàäàåòñÿ íåðàâåíñòâîì x > 2. Ïîýòîìó èç îòìå÷åííûõ íà ðèñóíêå ÷åòûðåõ ïðîìåæóòêîâ íàñ èíòåðåñóþò òîëüêî äâà: ïðîìåæóòîê (2, 3) —
íà íåì y ¢ < 0, çíà÷èò, ôóíêöèÿ çäåñü óáûâàåò, è ïðî-
Ðèñ. 96
323
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëîì ðàáîòû dA = F (x) dx.
Èòàê, ñèëó ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîèçâîäíîé ðàáîòû ïî
ïåðåìåùåíèþ.
Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî è èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå äèôôåðåíöèàëà, ëåãêî óñòàíîâèòü, ÷òî:
ñèëó òîêà ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîèçâîäíîé çàðÿäà
ïî âðåìåíè;
òåïëîåìêîñòü ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîèçâîäíîé òåïëîòû ïî òåìïåðàòóðå.
231. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé ê èññëåäîâàíèþ
ôóíêöèé íà âîçðàñòàíèå (óáûâàíèå). Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ïðîèçâîäíàÿ ïîçâîëÿåò ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî
èññëåäîâàòü ôóíêöèþ íà ìîíîòîííîñòü. Ýòî äîñòèãàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùèõ äâóõ òåîðåì:
Ò.7.11. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà
íà ïðîìåæóòêå Õ è âî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷êàõ
ýòîãî ïðîìåæóòêà èìååò ïîëîæèòåëüíóþ ïðîèçâîäíóþ (f ¢(x) > 0). Òîãäà ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò
íà Õ.
Ò.7.12. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà
íà ïðîìåæóòêå Õ è âî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷êàõ
ýòîãî ïðîìåæóòêà èìååò îòðèöàòåëüíóþ ïðîèçâîäíóþ (f ¢(x) < 0). Òîãäà ôóíêöèÿ óáûâàåò
íà Õ.
Îòìåòèì, ÷òî îáå òåîðåìû ñîõðàíÿþò ñèëó è òîãäà, êîãäà âíóòðè ïðîìåæóòêà Õ ñîîòâåòñòâåííî
f ¢(x) ³ 0 èëè f ¢(x) £ 0, íî ðàâåíñòâî f ¢(x) = 0 âûïîëíÿåòñÿ ëèøü â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê ýòîãî ïðîìåæóòêà. Òàê, äëÿ ôóíêöèè ó = õ 3 ïðîèçâîäíàÿ
f ¢(x) = 3x2 âñþäó íåîòðèöàòåëüíà, ïðè÷åì îáðàùà322
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
åòñÿ â íóëü ëèøü â îäíîé òî÷êå õ = 0. Çíà÷èò, ôóíêöèÿ ó = õ3 âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêå (-¥, + ¥).
Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ìîíîòîííîñòü ôóíêöèþ:
à) y = x5 + x 3 + 1; á) y = 0,5x 2 - 3 ln (x - 2).
q à) Íàõîäèì y ¢ = 5x 4 + 3x2 . Ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî 5x 4 + 3x2 ³ 0, ïðè÷åì çíàê ðàâåíñòâà èìååò
ìåñòî ëèøü â îäíîé òî÷êå õ = 0. Çíà÷èò, ïî òåîðåìå
7.11 ôóíêöèÿ y = x5 + x 3 + 1 âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.
á) Èìååì
y¢ =
=
1
1
3
× 2x - 3 ×
=x=
2
x-2
x-2
x2 - 2x - 3 (x - 3) (x + 1)
=
.
x-2
x -2
Çíàêè ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ ìåíÿþòñÿ òàê, êàê
ïîêàçàíî íà ðèñ. 96. Íî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ èññëåäóåìîé ôóíêöèè çàäàåòñÿ íåðàâåíñòâîì x > 2. Ïîýòîìó èç îòìå÷åííûõ íà ðèñóíêå ÷åòûðåõ ïðîìåæóòêîâ íàñ èíòåðåñóþò òîëüêî äâà: ïðîìåæóòîê (2, 3) —
íà íåì y ¢ < 0, çíà÷èò, ôóíêöèÿ çäåñü óáûâàåò, è ïðî-
Ðèñ. 96
323
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
ìåæóòîê (3, + ¥) — íà íåì y ¢ > 0, çíà÷èò, ôóíêöèÿ
çäåñü âîçðàñòàåò. n
ðåìóìà íà ðèñ. 97 ïðîèçâîäíàÿ ëèáî ðàâíà íóëþ, ëèáî
íå ñóùåñòâóåò. Ýòî — îáùåå ïîëîæåíèå, ïîäòâåðæäàåìîå ñëåäóþùåé òåîðåìîé:
232. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé ê èññëåäîâàíèþ
ôóíêöèé íà ýêñòðåìóì. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ y =
= f (x) èìååò ìàêñèìóì (ìèíèìóì) â òî÷êå õ = à,
åñëè ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü ýòîé òî÷êè, â êîòîðîé
f (x) < f (a) (ñîîòâåòñòâåííî f(x) > f(a)) äëÿ x ¹ a. Òàê,
ôóíêöèÿ, ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 97, èìååò ìàêñèìóì â òî÷êàõ õ1 è õ3 è ìèíèìóì â òî÷êàõ
õ2 è õ4.
Òî÷êè ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà îáúåäèíÿþòñÿ
îáùèì òåðìèíîì — òî÷êè ýêòðåìóìà.
Îáðàòèìñÿ ñíîâà ê ðèñ. 97. Çàìå÷àåì, ÷òî â òî÷êàõ õ1 è õ4 ê ãðàôèêó ôóíêöèè ìîæíî ïðîâåñòè êàñàòåëüíûå, ïðè÷åì ýòè êàñàòåëüíûå ïàðàëëåëüíû îñè
Îõ, à çíà÷èò, óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàæäîé èç êàñàòåëüíûõ ðàâåí íóëþ; èòàê, f ¢(x1 ) = 0, f ¢(x4 ) = 0. Â
òî÷êàõ õ2 è õ3 êàñàòåëüíóþ ê ãðàôèêó ïðîâåñòè
íåëüçÿ, çíà÷èò, â ýòèõ òî÷êàõ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè
f (x) íå ñóùåñòâóåò. Òàêèì îáðàçîì, â òî÷êàõ ýêñò-
Ò.7.13. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò ýêñòðåìóì â
òî÷êå õ = à, òî ëèáî f ¢(a) = 0, ëèáî f¢(a) íå ñóùåñòâóåò (íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà).
Òî÷êè, â êîòîðûõ f ¢(a) = 0 èëè f¢(a) íå ñóùåñòâóåò è êîòîðûå ïðèíàäëåæàò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, íàçûâàþòñÿ êðèòè÷åñêèìè. Òåîðåìà 7.13 îçíà÷àåò, ÷òî ýêñòðåìóìû ôóíêöèé ìîãóò äîñòèãàòüñÿ
òîëüêî â êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ. Îáðàòíàÿ òåîðåìà, îäíàêî, íåâåðíà: íå âî âñÿêîé êðèòè÷åñêîé òî÷êå ôóíêöèÿ èìååò ýêñòðåìóì. Òàê, ôóíêöèÿ ó = õ3 èìååò
îäíó êðèòè÷åñêóþ òî÷êó õ = 0 (â ýòîé òî÷êå
y ¢ = 3x2 = 0 ), íî â íåé ôóíêöèÿ íå èìååò íè ìàêñèìóìà, íè ìèíèìóìà (ñì. ðèñ. 27). Ôóíêöèÿ, ãðàôèê
êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 98, èìååò êðèòè÷åñêóþ
òî÷êó õ = à — ýòî òî÷êà èçëîìà, â íåé y¢ íå ñóùåñòâóåò, íî â ýòîé òî÷êå íåò íè ìèíèìóìà, íè ìàêñèìóìà.
Êàê óçíàòü, êîãäà êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè
ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ýêñòðåìóìà? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ
äàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Ò.7.14. Ïóñòü õ = à — êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè
y = f (x) è ïóñòü ñóùåñòâóåò èíòåðâàë (b, c), ñîäåðæàùèé òî÷êó à âíóòðè ñåáÿ è òàêîé, ÷òî íà
êàæäîì èç èíòåðâàëîâ (b, a) è (a, c) ïðîèçâîä-
Ðèñ. 97
324
Ðèñ. 98
íàÿ f¢ (x) ñóùåñòâóåò è ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííûé
çíàê. Òîãäà:
325
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
ìåæóòîê (3, + ¥) — íà íåì y ¢ > 0, çíà÷èò, ôóíêöèÿ
çäåñü âîçðàñòàåò. n
ðåìóìà íà ðèñ. 97 ïðîèçâîäíàÿ ëèáî ðàâíà íóëþ, ëèáî
íå ñóùåñòâóåò. Ýòî — îáùåå ïîëîæåíèå, ïîäòâåðæäàåìîå ñëåäóþùåé òåîðåìîé:
232. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé ê èññëåäîâàíèþ
ôóíêöèé íà ýêñòðåìóì. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ y =
= f (x) èìååò ìàêñèìóì (ìèíèìóì) â òî÷êå õ = à,
åñëè ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü ýòîé òî÷êè, â êîòîðîé
f (x) < f (a) (ñîîòâåòñòâåííî f(x) > f(a)) äëÿ x ¹ a. Òàê,
ôóíêöèÿ, ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 97, èìååò ìàêñèìóì â òî÷êàõ õ1 è õ3 è ìèíèìóì â òî÷êàõ
õ2 è õ4.
Òî÷êè ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà îáúåäèíÿþòñÿ
îáùèì òåðìèíîì — òî÷êè ýêòðåìóìà.
Îáðàòèìñÿ ñíîâà ê ðèñ. 97. Çàìå÷àåì, ÷òî â òî÷êàõ õ1 è õ4 ê ãðàôèêó ôóíêöèè ìîæíî ïðîâåñòè êàñàòåëüíûå, ïðè÷åì ýòè êàñàòåëüíûå ïàðàëëåëüíû îñè
Îõ, à çíà÷èò, óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàæäîé èç êàñàòåëüíûõ ðàâåí íóëþ; èòàê, f ¢(x1 ) = 0, f ¢(x4 ) = 0. Â
òî÷êàõ õ2 è õ3 êàñàòåëüíóþ ê ãðàôèêó ïðîâåñòè
íåëüçÿ, çíà÷èò, â ýòèõ òî÷êàõ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè
f (x) íå ñóùåñòâóåò. Òàêèì îáðàçîì, â òî÷êàõ ýêñò-
Ò.7.13. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò ýêñòðåìóì â
òî÷êå õ = à, òî ëèáî f ¢(a) = 0, ëèáî f¢(a) íå ñóùåñòâóåò (íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà).
Òî÷êè, â êîòîðûõ f ¢(a) = 0 èëè f¢(a) íå ñóùåñòâóåò è êîòîðûå ïðèíàäëåæàò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, íàçûâàþòñÿ êðèòè÷åñêèìè. Òåîðåìà 7.13 îçíà÷àåò, ÷òî ýêñòðåìóìû ôóíêöèé ìîãóò äîñòèãàòüñÿ
òîëüêî â êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ. Îáðàòíàÿ òåîðåìà, îäíàêî, íåâåðíà: íå âî âñÿêîé êðèòè÷åñêîé òî÷êå ôóíêöèÿ èìååò ýêñòðåìóì. Òàê, ôóíêöèÿ ó = õ3 èìååò
îäíó êðèòè÷åñêóþ òî÷êó õ = 0 (â ýòîé òî÷êå
y ¢ = 3x2 = 0 ), íî â íåé ôóíêöèÿ íå èìååò íè ìàêñèìóìà, íè ìèíèìóìà (ñì. ðèñ. 27). Ôóíêöèÿ, ãðàôèê
êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 98, èìååò êðèòè÷åñêóþ
òî÷êó õ = à — ýòî òî÷êà èçëîìà, â íåé y¢ íå ñóùåñòâóåò, íî â ýòîé òî÷êå íåò íè ìèíèìóìà, íè ìàêñèìóìà.
Êàê óçíàòü, êîãäà êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè
ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ýêñòðåìóìà? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ
äàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Ò.7.14. Ïóñòü õ = à — êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè
y = f (x) è ïóñòü ñóùåñòâóåò èíòåðâàë (b, c), ñîäåðæàùèé òî÷êó à âíóòðè ñåáÿ è òàêîé, ÷òî íà
êàæäîì èç èíòåðâàëîâ (b, a) è (a, c) ïðîèçâîä-
Ðèñ. 97
324
Ðèñ. 98
íàÿ f¢ (x) ñóùåñòâóåò è ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííûé
çíàê. Òîãäà:
325
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
1) åñëè íà (b, a) ïðîèçâîäíàÿ y ¢ > 0, à íà (a, c)
ïðîèçâîäíàÿ y ¢ < 0, òî õ = à — òî÷êà ìàêñèìóìà
ôóíêöèè y = f (x) ;
2) åñëè íà (b, a) ïðîèçâîäíàÿ y ¢ < 0, à íà (a, c)
ïðîèçâîäíàÿ y ¢ > 0, òî õ = à — òî÷êà ìèíèìóìà
ôóíêöèè y = f (x) ;
3) åñëè è íà (b, a) , è íà (a, c) ïðîèçâîäíàÿ y ¢ < 0
èëè y ¢ > 0, òî õ = à íå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ýêñòðåìóìà ôóíêöèè y = f (x)
(äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà).
Èç òåîðåì 7.13 è 7.14 âûòåêàåò ñëåäóþùåå ïðàâèëî èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèè y = f (x) íà ýêñòðåìóì:
1. Íàõîäÿò îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.
2. Íàõîäÿò f¢ (x).
3. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f ¢ (x) = 0 .
4. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ f ¢ (x) íå ñóùåñòâóåò.
5. Îòìå÷àþò íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé âñå êðèòè÷åñêèå òî÷êè è îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè
y = f (x); ïîëó÷àþò ïðîìåæóòêè îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ïðîèçâîäíàÿ
ôóíêöèè y = f (x) ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííûé çíàê.
6. Îïðåäåëÿþò çíàê y¢ íà êàæäîì èç ïðîìåæóòêîâ, ïîëó÷åííûõ â ï. 5.
7. Äåëàþò âûâîäû î íàëè÷èè èëè îòñóòñòâèè ýêñòðåìóìà â êàæäîé èç êðèòè÷åñêèõ òî÷åê â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 7.14.
326
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ýêñòðåìóì ôóíêöèþ:
x2 - 6x + 9
.
x -1
q à) 1. Ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ïðè âñåõ õ.
à) y = 2x 3 - 15x 2 + 36x + 1; á) y =
2. Èìååì y ¢ = 6x2 - 30x + 36.
3. Èç óðàâíåíèÿ 6x 2 - 30x + 36 = 0 ïîëó÷èì õ1=
= 2, õ2 = 3.
4. Ïðîèçâîäíàÿ y¢ ñóùåñòâóåò ïðè âñåõ õ.
5. Îòìåòèì òî÷êè õ1= 2, õ2 = 3 íà êîîðäèíàòíîé
ïðÿìîé.
6. Èìååì y ¢ = 6 (x - 2) (x - 3). Çíàêè ïðîèçâîäíîé
íà ïîëó÷åííûõ ïðîìåæóòêàõ îòìå÷åíû íà ðèñ. 99.
7. Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó õ = 2 ñëåâà íàïðàâî
ïðîèçâîäíàÿ y¢ ìåíÿåò çíàê ñ «+» íà «–», çíà÷èò,
õ = 2 — òî÷êà ìàêñèìóìà; ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó
õ = 3 ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ñ «–» íà «+», çíà÷èò,
õ = 3 — òî÷êà ìèíèìóìà.  òî÷êå õ = 2 èìååì
ymax = 29, â òî÷êå õ = 3 èìååì ymin = 28.
á) 1. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ: x ¹ 1.
2. Èìååì
y¢ =
(x 2 - 6x + 9)¢(x - 1) - (x 2 - 6x + 9) (x - 1)¢
(x - 1)2
Ðèñ. 99
=
Ðèñ. 100
327
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
1) åñëè íà (b, a) ïðîèçâîäíàÿ y ¢ > 0, à íà (a, c)
ïðîèçâîäíàÿ y ¢ < 0, òî õ = à — òî÷êà ìàêñèìóìà
ôóíêöèè y = f (x) ;
2) åñëè íà (b, a) ïðîèçâîäíàÿ y ¢ < 0, à íà (a, c)
ïðîèçâîäíàÿ y ¢ > 0, òî õ = à — òî÷êà ìèíèìóìà
ôóíêöèè y = f (x) ;
3) åñëè è íà (b, a) , è íà (a, c) ïðîèçâîäíàÿ y ¢ < 0
èëè y ¢ > 0, òî õ = à íå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ýêñòðåìóìà ôóíêöèè y = f (x)
(äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà).
Èç òåîðåì 7.13 è 7.14 âûòåêàåò ñëåäóþùåå ïðàâèëî èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèè y = f (x) íà ýêñòðåìóì:
1. Íàõîäÿò îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.
2. Íàõîäÿò f¢ (x).
3. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f ¢ (x) = 0 .
4. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ f ¢ (x) íå ñóùåñòâóåò.
5. Îòìå÷àþò íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé âñå êðèòè÷åñêèå òî÷êè è îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè
y = f (x); ïîëó÷àþò ïðîìåæóòêè îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ïðîèçâîäíàÿ
ôóíêöèè y = f (x) ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííûé çíàê.
6. Îïðåäåëÿþò çíàê y¢ íà êàæäîì èç ïðîìåæóòêîâ, ïîëó÷åííûõ â ï. 5.
7. Äåëàþò âûâîäû î íàëè÷èè èëè îòñóòñòâèè ýêñòðåìóìà â êàæäîé èç êðèòè÷åñêèõ òî÷åê â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 7.14.
326
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ýêñòðåìóì ôóíêöèþ:
x2 - 6x + 9
.
x -1
q à) 1. Ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ïðè âñåõ õ.
à) y = 2x 3 - 15x 2 + 36x + 1; á) y =
2. Èìååì y ¢ = 6x2 - 30x + 36.
3. Èç óðàâíåíèÿ 6x 2 - 30x + 36 = 0 ïîëó÷èì õ1=
= 2, õ2 = 3.
4. Ïðîèçâîäíàÿ y¢ ñóùåñòâóåò ïðè âñåõ õ.
5. Îòìåòèì òî÷êè õ1= 2, õ2 = 3 íà êîîðäèíàòíîé
ïðÿìîé.
6. Èìååì y ¢ = 6 (x - 2) (x - 3). Çíàêè ïðîèçâîäíîé
íà ïîëó÷åííûõ ïðîìåæóòêàõ îòìå÷åíû íà ðèñ. 99.
7. Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó õ = 2 ñëåâà íàïðàâî
ïðîèçâîäíàÿ y¢ ìåíÿåò çíàê ñ «+» íà «–», çíà÷èò,
õ = 2 — òî÷êà ìàêñèìóìà; ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó
õ = 3 ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ñ «–» íà «+», çíà÷èò,
õ = 3 — òî÷êà ìèíèìóìà.  òî÷êå õ = 2 èìååì
ymax = 29, â òî÷êå õ = 3 èìååì ymin = 28.
á) 1. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ: x ¹ 1.
2. Èìååì
y¢ =
(x 2 - 6x + 9)¢(x - 1) - (x 2 - 6x + 9) (x - 1)¢
(x - 1)2
Ðèñ. 99
=
Ðèñ. 100
327
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
=
=
(2x - 6)(x - 1) - (x 2 - 6x + 9) × 1
(x - 1)2
(x - 3) (2 (x - 1) - (x - 3))
2
(x - 1)
=
=
(x - 3) (x + 1)
(x - 1)2
.
3. Ïðîèçâîäíàÿ y ¢ = 0 ïðè õ = 3 èëè ïðè õ = –1.
4. Ïðîèçâîäíàÿ y¢ íå ñóùåñòâóåò ïðè õ = 1, íî
ýòà òî÷êà íå ïðèíàäëåæèò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.
5. Îòìåòèì íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé êðèòè÷åñêèå òî÷êè õ = –1, õ = 3 è òî÷êó õ = 1.
6. Çíàêè ïðîèçâîäíîé â ïîëó÷åííûõ ïðîìåæóòêàõ îòìå÷åíû íà ðèñ. 100.
7. Èòàê, õ = –1 — òî÷êà ìàêñèìóìà, ymax = -8.
õ = 3 — òî÷êà ìèíèìóìà, ymin = 0. n
233. Îòûñêàíèå íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà îòðåçêå. Ãîâîðÿò, ÷òî
ôóíêöèÿ y = f (x), îïðåäåëåííàÿ íà ïðîìåæóòêå Õ,
äîñòèãàåò íà íåì ñâîåãî íàèáîëüøåãî (íàèìåíüøåãî) çíà÷åíèÿ, åñëè ñóùåñòâóåò òî÷êà ñ, ïðèíàäëåæàùàÿ ýòîìó ïðîìåæóòêó òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ õ èç Õ
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x) £ f (c) (ñîîòâåòñòâåííî
f (x) ³ f (c)).
Ò.7.15. Ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå, äîñòèãàåò íà íåì ñâîèõ íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé.
Íàèáîëüøåå çíà÷åíèå Ì è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå m íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ìîãóò äîñòèãàòüñÿ êàê
328
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
âíóòðè îòðåçêà, òàê è íà åãî êîíöàõ. Åñëè íàèáîëüøåãî (íàèìåíüøåãî) çíà÷åíèÿ ôóíêöèÿ äîñòèãàåò
âî âíóòðåííåé òî÷êå îòðåçêà, òî ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ
òî÷êîé ýêñòðåìóìà; âïðî÷åì, äëÿ ïðàêòèêè äîñòàòî÷íî òîãî, ÷òî ýòà òî÷êà êðèòè÷åñêàÿ. Íàèáîëüøåå
è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè y = f (x) íà îòðåçêå [a, b] îáîçíà÷àþòñÿ òàê: ó íàèá, ó íàèì èëè
max f (x ), min f (x).
[ a, b ]
[a, b ]
Ïðàâèëî îòûñêàíèÿ íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî
çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè y = f(x) íà îòðåçêå
[a, b]:
1. Íàõîäÿò f ¢ (x).
2. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ f ¢ (x) = 0 èëè f¢ (x)
íå ñóùåñòâóåò, è îòáèðàþò èç íèõ òå, ÷òî ëåæàò âíóòðè îòðåçêà [a, b].
3. Âû÷èñëÿþò çíà÷åíèÿ ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êàõ, ïîëó÷åííûõ â ï. 2, è íà êîíöàõ îòðåçêà, à çàòåì
âûáèðàþò èç íèõ íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå; îíè è
áóäóò ñîîòâåòñòâåííî íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì
çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè f íà îòðåçêå [a, b].
Ï ð è ì å ð. Íàéòè íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå
çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè y = x 3 - 3x 2 - 45x
íà îòðåçêå [0, 6].
q 1. Íàõîäèì y ¢ = 3x2 - 6x - 45.
2. Ïðîèçâîäíàÿ y¢ ñóùåñòâóåò ïðè âñåõ õ. Íàéäåì òî÷êè, â êîòîðûõ y ¢ = 0 : 3x2 - 6x - 45 = 0,
329
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
=
=
(2x - 6)(x - 1) - (x 2 - 6x + 9) × 1
(x - 1)2
(x - 3) (2 (x - 1) - (x - 3))
2
(x - 1)
=
=
(x - 3) (x + 1)
(x - 1)2
.
3. Ïðîèçâîäíàÿ y ¢ = 0 ïðè õ = 3 èëè ïðè õ = –1.
4. Ïðîèçâîäíàÿ y¢ íå ñóùåñòâóåò ïðè õ = 1, íî
ýòà òî÷êà íå ïðèíàäëåæèò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.
5. Îòìåòèì íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé êðèòè÷åñêèå òî÷êè õ = –1, õ = 3 è òî÷êó õ = 1.
6. Çíàêè ïðîèçâîäíîé â ïîëó÷åííûõ ïðîìåæóòêàõ îòìå÷åíû íà ðèñ. 100.
7. Èòàê, õ = –1 — òî÷êà ìàêñèìóìà, ymax = -8.
õ = 3 — òî÷êà ìèíèìóìà, ymin = 0. n
233. Îòûñêàíèå íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà îòðåçêå. Ãîâîðÿò, ÷òî
ôóíêöèÿ y = f (x), îïðåäåëåííàÿ íà ïðîìåæóòêå Õ,
äîñòèãàåò íà íåì ñâîåãî íàèáîëüøåãî (íàèìåíüøåãî) çíà÷åíèÿ, åñëè ñóùåñòâóåò òî÷êà ñ, ïðèíàäëåæàùàÿ ýòîìó ïðîìåæóòêó òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ õ èç Õ
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x) £ f (c) (ñîîòâåòñòâåííî
f (x) ³ f (c)).
Ò.7.15. Ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå, äîñòèãàåò íà íåì ñâîèõ íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé.
Íàèáîëüøåå çíà÷åíèå Ì è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå m íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ìîãóò äîñòèãàòüñÿ êàê
328
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
âíóòðè îòðåçêà, òàê è íà åãî êîíöàõ. Åñëè íàèáîëüøåãî (íàèìåíüøåãî) çíà÷åíèÿ ôóíêöèÿ äîñòèãàåò
âî âíóòðåííåé òî÷êå îòðåçêà, òî ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ
òî÷êîé ýêñòðåìóìà; âïðî÷åì, äëÿ ïðàêòèêè äîñòàòî÷íî òîãî, ÷òî ýòà òî÷êà êðèòè÷åñêàÿ. Íàèáîëüøåå
è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè y = f (x) íà îòðåçêå [a, b] îáîçíà÷àþòñÿ òàê: ó íàèá, ó íàèì èëè
max f (x ), min f (x).
[ a, b ]
[a, b ]
Ïðàâèëî îòûñêàíèÿ íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî
çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè y = f(x) íà îòðåçêå
[a, b]:
1. Íàõîäÿò f ¢ (x).
2. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ f ¢ (x) = 0 èëè f¢ (x)
íå ñóùåñòâóåò, è îòáèðàþò èç íèõ òå, ÷òî ëåæàò âíóòðè îòðåçêà [a, b].
3. Âû÷èñëÿþò çíà÷åíèÿ ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êàõ, ïîëó÷åííûõ â ï. 2, è íà êîíöàõ îòðåçêà, à çàòåì
âûáèðàþò èç íèõ íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå; îíè è
áóäóò ñîîòâåòñòâåííî íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì
çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè f íà îòðåçêå [a, b].
Ï ð è ì å ð. Íàéòè íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå
çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè y = x 3 - 3x 2 - 45x
íà îòðåçêå [0, 6].
q 1. Íàõîäèì y ¢ = 3x2 - 6x - 45.
2. Ïðîèçâîäíàÿ y¢ ñóùåñòâóåò ïðè âñåõ õ. Íàéäåì òî÷êè, â êîòîðûõ y ¢ = 0 : 3x2 - 6x - 45 = 0,
329
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
x 2 - 2x - 15 = 0, îòêóäà x1 = 5, x2 = -3. Îòðåçêó
[0, 6] ïðèíàäëåæèò ëèøü òî÷êà õ = 5.
3. Âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â òî÷êàõ õ = 0, õ =
= 5, õ = 6. Ñîîòâåòñòâåííî ïîëó÷èì ó = 0, ó = –175, ó =
= –162. Íàèáîëüøèì èç ýòèõ çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ
÷èñëî 0, íàèìåíüøèì — ÷èñëî –175. Èòàê, óíàèá = 0,
óíàèì = –175. n
234. Îòûñêàíèå íàèáîëüøåãî èëè íàèìåíüøåãî
çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà íåçàìêíóòîì
ïðîìåæóòêå. Çàäà÷à îòûñêàíèÿ íàèáîëüøåãî (íàèìåíüøåãî) çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà íåçàìêíóòîì ïðîìåæóòêå, íàïðèìåð íà èíòåðâàëå (à, b), ðåøàåòñÿ ïî òîìó æå ïðàâèëó, ÷òî è äëÿ îòðåçêà [a, b]
(ñì. ï.233) ñ òåì îòëè÷èåì, ÷òî íà òðåòüåì ýòàïå
âìåñòî âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè íà êîíöàõ
îòðåçêà íàõîäÿò ïðåäåëû ôóíêöèè ïðè ñòðåìëåíèè
õ ê êîíöàì èíòåðâàëà. Îòìåòèì, ÷òî óêàçàííàÿ çàäà÷à íå âñåãäà èìååò ðåøåíèå, êàê ýòî èìååò ìåñòî â
ñëó÷àå îòðåçêà.
Èíîãäà äëÿ îòûñêàíèÿ íàèáîëüøåãî èëè íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè y = f (x) â ïðîìåæóòêå (à, b) îêàçûâàþòñÿ ïîëåçíûìè äâà óòâåðæäåíèÿ:
10. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò â ïðîìåæóòêå
Õ òîëüêî îäíó òî÷êó ýêñòðåìóìà õ = ñ, ïðè÷åì ýòî
òî÷êà ìàêñèìóìà, òî f (c) — íàèáîëüøåå çíà÷åíèå
ôóíêöèè â ïðîìåæóòêå Õ.
20. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò â ïðîìåæóòêå
Õ òîëüêî îäíó òî÷êó ýêñòðåìóìà õ = ñ, ïðè÷åì ýòî
òî÷êà ìèíèìóìà, òî f (c) — íàèìåíüøåå çíà÷åíèå
ôóíêöèè â ïðîìåæóòêå Õ.
330
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
235. Çàäà÷è íà îòûñêàíèå íàèáîëüøèõ èëè íàèìåíüøèõ çíà÷åíèé âåëè÷èí. Òàêèå çàäà÷è óäîáíî
ðåøàòü, èñïîëüçóÿ ñëåäóþùóþ îáùóþ ñõåìó.
1. Âûÿâëÿþò îïòèìèçèðóåìóþ âåëè÷èíó (ò. å.
âåëè÷èíó, íàèáîëüøåå èëè íàèìåíüøåå çíà÷åíèå êîòîðîé òðåáóåòñÿ íàéòè) è îáîçíà÷àþò åå áóêâîé
ó (èëè S, p, r, R è ò. ä. â çàâèñèìîñòè îò óñëîâèé
çàäà÷è).
2. Îäíó èç íåèçâåñòíûõ âåëè÷èí (ñòîðîíó, óãîë è
ò. ä.) ïðèíèìàþò çà íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ è îáîçíà÷àþò áóêâîé õ; óñòàíàâëèâàþò ðåàëüíûå ãðàíèöû èçìåíåíèÿ õ â ñîîòâåòñòâèè ñ óñëîâèÿìè çàäà÷è.
3. Èñõîäÿ èç êîíêðåòíûõ óñëîâèé çàäà÷è, âûðàæàþò ó ÷åðåç õ è èçâåñòíûå âåëè÷èíû.
4. Äëÿ ïîëó÷åííîé íà ïðåäûäóùåì ýòàïå ôóíêöèè y = f (x) íàõîäÿò íàèáîëüøåå èëè íàèìåíüøåå
çíà÷åíèå (â çàâèñèìîñòè îò òðåáîâàíèé çàäà÷è) â ïðîìåæóòêå ðåàëüíîãî èçìåíåíèÿ õ, íàéäåííîì â ï.2.
5. Èíòåðïðåòèðóþò ðåçóëüòàò ï. 4 äëÿ äàííîé
êîíêðåòíîé çàäà÷è.
Ï ð è ì å ð. ×åðåç ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó Ì âíóòðè óãëà ïðîâåñòè ïðÿìóþ, îòñåêàþùóþ îò óãëà òðåóãîëüíèê íàèìåíüøåé ïëîùàäè (ðèñ. 101).
q 1. Îïòèìèçèðóåìàÿ âåëè÷èíà — ïëîùàäü S
òðåóãîëüíèêà ÀÎÂ.
2. Ïðîâåäåì DM OB, MK OA. Ïîëîæèì KB =
= õ; ðåàëüíûå ãðàíèöû èçìåíåíèÿ õ òàêîâû: 0 < x <
< +¥ .
3. Ïîñêîëüêó Ì — ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà, îòðåçêè
DM è KM òàêæå ôèêñèðîâàíû; ïîëîæèì DM = à,
KM = b è âûðàçèì S ÷åðåç õ, à, b.
331
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
x 2 - 2x - 15 = 0, îòêóäà x1 = 5, x2 = -3. Îòðåçêó
[0, 6] ïðèíàäëåæèò ëèøü òî÷êà õ = 5.
3. Âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â òî÷êàõ õ = 0, õ =
= 5, õ = 6. Ñîîòâåòñòâåííî ïîëó÷èì ó = 0, ó = –175, ó =
= –162. Íàèáîëüøèì èç ýòèõ çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ
÷èñëî 0, íàèìåíüøèì — ÷èñëî –175. Èòàê, óíàèá = 0,
óíàèì = –175. n
234. Îòûñêàíèå íàèáîëüøåãî èëè íàèìåíüøåãî
çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà íåçàìêíóòîì
ïðîìåæóòêå. Çàäà÷à îòûñêàíèÿ íàèáîëüøåãî (íàèìåíüøåãî) çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà íåçàìêíóòîì ïðîìåæóòêå, íàïðèìåð íà èíòåðâàëå (à, b), ðåøàåòñÿ ïî òîìó æå ïðàâèëó, ÷òî è äëÿ îòðåçêà [a, b]
(ñì. ï.233) ñ òåì îòëè÷èåì, ÷òî íà òðåòüåì ýòàïå
âìåñòî âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè íà êîíöàõ
îòðåçêà íàõîäÿò ïðåäåëû ôóíêöèè ïðè ñòðåìëåíèè
õ ê êîíöàì èíòåðâàëà. Îòìåòèì, ÷òî óêàçàííàÿ çàäà÷à íå âñåãäà èìååò ðåøåíèå, êàê ýòî èìååò ìåñòî â
ñëó÷àå îòðåçêà.
Èíîãäà äëÿ îòûñêàíèÿ íàèáîëüøåãî èëè íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè y = f (x) â ïðîìåæóòêå (à, b) îêàçûâàþòñÿ ïîëåçíûìè äâà óòâåðæäåíèÿ:
10. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò â ïðîìåæóòêå
Õ òîëüêî îäíó òî÷êó ýêñòðåìóìà õ = ñ, ïðè÷åì ýòî
òî÷êà ìàêñèìóìà, òî f (c) — íàèáîëüøåå çíà÷åíèå
ôóíêöèè â ïðîìåæóòêå Õ.
20. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò â ïðîìåæóòêå
Õ òîëüêî îäíó òî÷êó ýêñòðåìóìà õ = ñ, ïðè÷åì ýòî
òî÷êà ìèíèìóìà, òî f (c) — íàèìåíüøåå çíà÷åíèå
ôóíêöèè â ïðîìåæóòêå Õ.
330
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
235. Çàäà÷è íà îòûñêàíèå íàèáîëüøèõ èëè íàèìåíüøèõ çíà÷åíèé âåëè÷èí. Òàêèå çàäà÷è óäîáíî
ðåøàòü, èñïîëüçóÿ ñëåäóþùóþ îáùóþ ñõåìó.
1. Âûÿâëÿþò îïòèìèçèðóåìóþ âåëè÷èíó (ò. å.
âåëè÷èíó, íàèáîëüøåå èëè íàèìåíüøåå çíà÷åíèå êîòîðîé òðåáóåòñÿ íàéòè) è îáîçíà÷àþò åå áóêâîé
ó (èëè S, p, r, R è ò. ä. â çàâèñèìîñòè îò óñëîâèé
çàäà÷è).
2. Îäíó èç íåèçâåñòíûõ âåëè÷èí (ñòîðîíó, óãîë è
ò. ä.) ïðèíèìàþò çà íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ è îáîçíà÷àþò áóêâîé õ; óñòàíàâëèâàþò ðåàëüíûå ãðàíèöû èçìåíåíèÿ õ â ñîîòâåòñòâèè ñ óñëîâèÿìè çàäà÷è.
3. Èñõîäÿ èç êîíêðåòíûõ óñëîâèé çàäà÷è, âûðàæàþò ó ÷åðåç õ è èçâåñòíûå âåëè÷èíû.
4. Äëÿ ïîëó÷åííîé íà ïðåäûäóùåì ýòàïå ôóíêöèè y = f (x) íàõîäÿò íàèáîëüøåå èëè íàèìåíüøåå
çíà÷åíèå (â çàâèñèìîñòè îò òðåáîâàíèé çàäà÷è) â ïðîìåæóòêå ðåàëüíîãî èçìåíåíèÿ õ, íàéäåííîì â ï.2.
5. Èíòåðïðåòèðóþò ðåçóëüòàò ï. 4 äëÿ äàííîé
êîíêðåòíîé çàäà÷è.
Ï ð è ì å ð. ×åðåç ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó Ì âíóòðè óãëà ïðîâåñòè ïðÿìóþ, îòñåêàþùóþ îò óãëà òðåóãîëüíèê íàèìåíüøåé ïëîùàäè (ðèñ. 101).
q 1. Îïòèìèçèðóåìàÿ âåëè÷èíà — ïëîùàäü S
òðåóãîëüíèêà ÀÎÂ.
2. Ïðîâåäåì DM OB, MK OA. Ïîëîæèì KB =
= õ; ðåàëüíûå ãðàíèöû èçìåíåíèÿ õ òàêîâû: 0 < x <
< +¥ .
3. Ïîñêîëüêó Ì — ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà, îòðåçêè
DM è KM òàêæå ôèêñèðîâàíû; ïîëîæèì DM = à,
KM = b è âûðàçèì S ÷åðåç õ, à, b.
331
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Ðèñ. 101
Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèêè MKB è AOB, îíè ïîäîáíû, çíà÷èò,
b
x
MK KB
=
. Îòñþ=
, ò. å.
AO a + x
AO
OB
b (a + x)
.
x
Äàëåå èìååì S = 0,5 AO × OB × sin a, ãäå
= ÐAOB (ñì. ï. 277) . Ïîýòîìó
äà íàõîäèì AO =
S = 0,5 ×
a=
(a + x)2
b (a + x)
× (a + x) sin a = 0,5b sin a ×
.
x
x
(a + x)2
4. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ S = k ×
, 0<x<
x
< +¥ . ãäå k = 0,5b sin a. Íàéäåì åå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå.
à) Èìååì
S¢ = k ×
2 (a + x ) x - (a + x)
2
= k×
(a + x) (x - a)
.
x
x2
á) Ïðîèçâîäíàÿ íå ñóùåñòâóåò â òî÷êå õ = 0, à
îáðàùàåòñÿ â íóëü â òî÷êàõ õ = –à, õ = à. Èç ýòèõ
332
2
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
òðåõ òî÷åê ïðîìåæóòêó (0, + ¥) ïðèíàäëåæèò ëèøü
òî÷êà õ = à.
â) Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó à ïðîèçâîäíàÿ S¢
ìåíÿåò çíàê ñ «–» íà «+», çíà÷èò, õ = à — åäèíñòâåííàÿ â ïðîìåæóòêå (0, + ¥) òî÷êà ýêñòðåìóìà, ïðè÷åì ýòî òî÷êà ìèíèìóìà, è ðàññìàòðèâàåìàÿ ôóíêöèÿ S äîñòèãàåò â ýòîé òî÷êå ñâîåãî íàèìåíüøåãî
çíà÷åíèÿ (ñì. óòâåðæäåíèå 20 èç ï. 234).
5. Âåðíåìñÿ ê èñõîäíîé ãåîìåòðè÷åñêîé çàäà÷å.
Òàê êàê x = KB = a è OK = a, òî MK — ñðåäíÿÿ
ëèíèÿ DAOB, çíà÷èò, Ì — ñåðåäèíà ÀÂ. Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îò ñòîðîí óãëà îòñå÷ü òðåóãîëüíèê íàèìåíüøåé ïëîùàäè, íàäî ïðîâåñòè ÷åðåç òî÷êó Ì ïðÿìóþ òàê, ÷òîáû åå îòðåçîê, çàêëþ÷åííûé ìåæäó ñòîðîíàìè óãëà, äåëèëñÿ â òî÷êå Ì ïîïîëàì. n
236. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òîæäåñòâ. Äîêàçàòåëüñòâî òîæäåñòâ ñ ïîìîùüþ
ïðîèçâîäíîé îñíîâàíî íà ñëåäóþùåé òåîðåìå:
Ò.7.16. Äëÿ òîãî ÷òîáû íåïðåðûâíàÿ íà ïðîìåæóòêå Õ ôóíêöèÿ áûëà ïîñòîÿííà íà ýòîì ïðîìåæóòêå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû åå ïðîèçâîäíàÿ âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ ïðîìåæóòêà Õ áûëà
ðàâíà íóëþ (óñëîâèå ïîñòîÿíñòâà ôóíêöèè).
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü òîæäåñòâî
sin2 x + cos (x - 60°) cos (x + 60°) = 0,25.
q Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
f (x) = sin2 x + cos (x - 60°) cos (x + 60°)
333
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
Ðèñ. 101
Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèêè MKB è AOB, îíè ïîäîáíû, çíà÷èò,
b
x
MK KB
=
. Îòñþ=
, ò. å.
AO a + x
AO
OB
b (a + x)
.
x
Äàëåå èìååì S = 0,5 AO × OB × sin a, ãäå
= ÐAOB (ñì. ï. 277) . Ïîýòîìó
äà íàõîäèì AO =
S = 0,5 ×
a=
(a + x)2
b (a + x)
× (a + x) sin a = 0,5b sin a ×
.
x
x
(a + x)2
4. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ S = k ×
, 0<x<
x
< +¥ . ãäå k = 0,5b sin a. Íàéäåì åå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå.
à) Èìååì
S¢ = k ×
2 (a + x ) x - (a + x)
2
= k×
(a + x) (x - a)
.
x
x2
á) Ïðîèçâîäíàÿ íå ñóùåñòâóåò â òî÷êå õ = 0, à
îáðàùàåòñÿ â íóëü â òî÷êàõ õ = –à, õ = à. Èç ýòèõ
332
2
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
òðåõ òî÷åê ïðîìåæóòêó (0, + ¥) ïðèíàäëåæèò ëèøü
òî÷êà õ = à.
â) Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó à ïðîèçâîäíàÿ S¢
ìåíÿåò çíàê ñ «–» íà «+», çíà÷èò, õ = à — åäèíñòâåííàÿ â ïðîìåæóòêå (0, + ¥) òî÷êà ýêñòðåìóìà, ïðè÷åì ýòî òî÷êà ìèíèìóìà, è ðàññìàòðèâàåìàÿ ôóíêöèÿ S äîñòèãàåò â ýòîé òî÷êå ñâîåãî íàèìåíüøåãî
çíà÷åíèÿ (ñì. óòâåðæäåíèå 20 èç ï. 234).
5. Âåðíåìñÿ ê èñõîäíîé ãåîìåòðè÷åñêîé çàäà÷å.
Òàê êàê x = KB = a è OK = a, òî MK — ñðåäíÿÿ
ëèíèÿ DAOB, çíà÷èò, Ì — ñåðåäèíà ÀÂ. Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îò ñòîðîí óãëà îòñå÷ü òðåóãîëüíèê íàèìåíüøåé ïëîùàäè, íàäî ïðîâåñòè ÷åðåç òî÷êó Ì ïðÿìóþ òàê, ÷òîáû åå îòðåçîê, çàêëþ÷åííûé ìåæäó ñòîðîíàìè óãëà, äåëèëñÿ â òî÷êå Ì ïîïîëàì. n
236. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òîæäåñòâ. Äîêàçàòåëüñòâî òîæäåñòâ ñ ïîìîùüþ
ïðîèçâîäíîé îñíîâàíî íà ñëåäóþùåé òåîðåìå:
Ò.7.16. Äëÿ òîãî ÷òîáû íåïðåðûâíàÿ íà ïðîìåæóòêå Õ ôóíêöèÿ áûëà ïîñòîÿííà íà ýòîì ïðîìåæóòêå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû åå ïðîèçâîäíàÿ âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ ïðîìåæóòêà Õ áûëà
ðàâíà íóëþ (óñëîâèå ïîñòîÿíñòâà ôóíêöèè).
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü òîæäåñòâî
sin2 x + cos (x - 60°) cos (x + 60°) = 0,25.
q Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
f (x) = sin2 x + cos (x - 60°) cos (x + 60°)
333
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
è íàéäåì åå ïðîèçâîäíóþ. Èìååì
f ¢(x) = 2 sin x cos x - sin (x - 60°) cos (x + 60°) - cos(x - 60°) sin(x + 60°) = sin 2x -
- sin ((x - 60°) + (x + 60°)) = sin 2x - sin 2x = 0.
Çíà÷èò, f ¢(x) = 0
ïðè âñåõ õ, à ïîòîìó f (x) —
ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ, f (x) = C. Îñòàåòñÿ íàéòè çíà÷åíèå ïîñòîÿííîé Ñ. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü çíà÷åíèå f (x) ïðè ëþáîì çíà÷åíèè õ, íàïðèìåð ïðè õ = 0. Íàõîäèì
f (0) = sin2 0 + cos (-60°) cos 60° = 0 + 0,5 × 0,5 = 0,25.
Èòàê, f (0) = 0,25, ò. å. Ñ = 0,25. Òåì ñàìûì ñïðàâåäëèâîñòü äîêàçûâàåìîãî òîæäåñòâà óñòàíîâëåíà.n
237. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâ.
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè a < b, òî
a + cos a < b + cos b.
q Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = x + cos x è íàéäåì åå ïðîèçâîäíóþ f ¢(x) = 1 - sin x. Çàìå÷àåì, ÷òî
f ¢(x) ³ 0, ò. å. ôóíêöèÿ f (x) âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Çíà÷èò, èç a < b âûòåêàåò f (a) < f (b),
ò. å. a + cos a < b + cos b. n
238. Îáùàÿ ñõåìà ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè. Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
334
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
y = f (x). Äëÿ ýòîãî ïîëåçíî ïðèäåðæèâàòüñÿ ñëåäóþùåé îáùåé ñõåìû:
1. Íàõîäÿò îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.
2. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ f (x) = 0 (ýòî òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñüþ àáñöèññ).
3. Îòìå÷àþò íà îñè Îõ òî÷êè, íàéäåííûå â ï. 2, è
òî÷êè, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ íå îïðåäåëåíà, íàéäåííûå
â ï. 1; ýòè òî÷êè ðàçáèâàþò îñü àáñöèññ íà íåñêîëüêî
ïðîìåæóòêîâ, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ôóíêöèÿ ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííûé çíàê. Óñòàíàâëèâàþò çíàê ôóíêöèè â êàæäîì èç ïðîìåæóòêîâ.
4. Èññëåäóþò ôóíêöèþ íà ÷åòíîñòü è íå÷åòíîñòü
(â ñëó÷àå ÷åòíîñòè èëè íå÷åòíîñòè ôóíêöèè ìîæíî
îãðàíè÷èòüñÿ èññëåäîâàíèåì è ïîñòðîåíèåì ãðàôèêà ïðè x ³ 0, à çàòåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ñèììåòðèåé
ãðàôèêà).
5. Íàõîäÿò âåðòèêàëüíûå è ãîðèçîíòàëüíûå àñèìïòîòû (ñì. ïï. 218 è 215).
6. Èññëåäóþò ôóíêöèþ íà ýêñòðåìóìû.
7. Íàõîäÿò íåñêîëüêî äîïîëíèòåëüíûõ êîíòðîëüíûõ òî÷åê è ñòðîÿò ãðàôèê.
Äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé ïîëåçíî ñ ñàìîãî
íà÷àëà íàéòè îñíîâíîé ïåðèîä Ò (ñì. ï. 96), ñ òåì
÷òîáû, èññëåäîâàâ ôóíêöèþ è ïîñòðîèâ âåòâü ãðàôèêà íà ïðîìåæóòêå [-0,5T, 0,5T], çàòåì, âîñïîëüçîâàâøèñü ïåðèîäè÷íîñòüþ, ïîñòðîèòü âåñü ãðàôèê.
Åñëè âûïîëíåíèå êàêèõ-ëèáî øàãîâ ïðåäëîæåííîé ñõåìû ñîïðÿæåíî ñ òåõíè÷åñêèìè òðóäíîñòÿìè,
òî èõ ìîæíî îïóñòèòü.
Ï ð è ì å ð . Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
y=
x2 - 9
x2 - 4
.
335
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
è íàéäåì åå ïðîèçâîäíóþ. Èìååì
f ¢(x) = 2 sin x cos x - sin (x - 60°) cos (x + 60°) - cos(x - 60°) sin(x + 60°) = sin 2x -
- sin ((x - 60°) + (x + 60°)) = sin 2x - sin 2x = 0.
Çíà÷èò, f ¢(x) = 0
ïðè âñåõ õ, à ïîòîìó f (x) —
ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ, f (x) = C. Îñòàåòñÿ íàéòè çíà÷åíèå ïîñòîÿííîé Ñ. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü çíà÷åíèå f (x) ïðè ëþáîì çíà÷åíèè õ, íàïðèìåð ïðè õ = 0. Íàõîäèì
f (0) = sin2 0 + cos (-60°) cos 60° = 0 + 0,5 × 0,5 = 0,25.
Èòàê, f (0) = 0,25, ò. å. Ñ = 0,25. Òåì ñàìûì ñïðàâåäëèâîñòü äîêàçûâàåìîãî òîæäåñòâà óñòàíîâëåíà.n
237. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâ.
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè a < b, òî
a + cos a < b + cos b.
q Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = x + cos x è íàéäåì åå ïðîèçâîäíóþ f ¢(x) = 1 - sin x. Çàìå÷àåì, ÷òî
f ¢(x) ³ 0, ò. å. ôóíêöèÿ f (x) âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Çíà÷èò, èç a < b âûòåêàåò f (a) < f (b),
ò. å. a + cos a < b + cos b. n
238. Îáùàÿ ñõåìà ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè. Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
334
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
y = f (x). Äëÿ ýòîãî ïîëåçíî ïðèäåðæèâàòüñÿ ñëåäóþùåé îáùåé ñõåìû:
1. Íàõîäÿò îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.
2. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ f (x) = 0 (ýòî òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñüþ àáñöèññ).
3. Îòìå÷àþò íà îñè Îõ òî÷êè, íàéäåííûå â ï. 2, è
òî÷êè, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ íå îïðåäåëåíà, íàéäåííûå
â ï. 1; ýòè òî÷êè ðàçáèâàþò îñü àáñöèññ íà íåñêîëüêî
ïðîìåæóòêîâ, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ôóíêöèÿ ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííûé çíàê. Óñòàíàâëèâàþò çíàê ôóíêöèè â êàæäîì èç ïðîìåæóòêîâ.
4. Èññëåäóþò ôóíêöèþ íà ÷åòíîñòü è íå÷åòíîñòü
(â ñëó÷àå ÷åòíîñòè èëè íå÷åòíîñòè ôóíêöèè ìîæíî
îãðàíè÷èòüñÿ èññëåäîâàíèåì è ïîñòðîåíèåì ãðàôèêà ïðè x ³ 0, à çàòåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ñèììåòðèåé
ãðàôèêà).
5. Íàõîäÿò âåðòèêàëüíûå è ãîðèçîíòàëüíûå àñèìïòîòû (ñì. ïï. 218 è 215).
6. Èññëåäóþò ôóíêöèþ íà ýêñòðåìóìû.
7. Íàõîäÿò íåñêîëüêî äîïîëíèòåëüíûõ êîíòðîëüíûõ òî÷åê è ñòðîÿò ãðàôèê.
Äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé ïîëåçíî ñ ñàìîãî
íà÷àëà íàéòè îñíîâíîé ïåðèîä Ò (ñì. ï. 96), ñ òåì
÷òîáû, èññëåäîâàâ ôóíêöèþ è ïîñòðîèâ âåòâü ãðàôèêà íà ïðîìåæóòêå [-0,5T, 0,5T], çàòåì, âîñïîëüçîâàâøèñü ïåðèîäè÷íîñòüþ, ïîñòðîèòü âåñü ãðàôèê.
Åñëè âûïîëíåíèå êàêèõ-ëèáî øàãîâ ïðåäëîæåííîé ñõåìû ñîïðÿæåíî ñ òåõíè÷åñêèìè òðóäíîñòÿìè,
òî èõ ìîæíî îïóñòèòü.
Ï ð è ì å ð . Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
y=
x2 - 9
x2 - 4
.
335
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
Ðèñ. 102
q 1. Íàõîäèì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ: x ¹ ±2.
2.
Ðåøèâ
óðàâíåíèå
x2 - 9
x2 - 4
=0,
íàõîäèì
x1 = 3, x2 = -3.
3. Òî÷êè 2, –2, 3 è –3 ðàçáèâàþò îñü àáñöèññ íà
ïÿòü ïðîìåæóòêîâ. Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè ïî
ïðîìåæóòêàì ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ. 102; ñîîòâåòñòâóþùàÿ èëëþñòðàöèÿ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè äàíà
íà ðèñ. 103, à (çàøòðèõîâàíû òå ïîëóïîëîñû, ãäå ãðàôèêà íå áóäåò).
4. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ, òàê êàê f (-x) = f (x). Çíà÷èò,
åå ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò.
5. Ïðÿìûå õ = 2, õ = –2 — âåðòèêàëüíûå àñèìïòîòû (ñì. ï. 218).
×òîáû íàéòè ãîðèçîíòàëüíóþ àñèìïòîòó, âû÷èñëèì lim
2
x -9
. Äëÿ ýòîãî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü
x2 - 4
äðîáè ðàçäåëèì ïî÷ëåííî íà õ2 (ñì. ï. 216). Ïîëó÷èì
x®¥
2
x -9
x2
= lim x2
x®¥ x - 4
x®¥ x
lim
336
2
-
9
1-
9
x = lim
x 2 = 1 - 0 = 1.
4
x®¥
1+ 0
4
1- 2
2
2
x
x
x
2
2
á)
à)
Ðèñ. 103
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ó = 1 — ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà ãðàôèêà (ñì. ï. 215).
6. Íàõîäèì
y¢ =
=
(x 2 - 9)¢(x 2 - 4) - (x2 - 9) (x 2 - 4)¢
(x 2 - 4)2
2x(x2 - 4) - (x2 - 9) × 2x
(x2 - 4)2
=
=
2x 3 - 8x - 2x3 + 18x
(x2 - 4)2
=
10x
.
(x - 4)2
Ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü â òî÷êå õ = 0 è
íå ñóùåñòâóåò â òî÷êàõ x = ±2. Íî ïîñëåäíèå íå ïðèíàäëåæàò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, çíà÷èò, ôóíêöèÿ èìååò ëèøü îäíó êðèòè÷åñêóþ òî÷êó õ = 0. Ïðè
ïåðåõîäå ÷åðåç íåå ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ñ «–»
=
2
337
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé
Ðèñ. 102
q 1. Íàõîäèì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ: x ¹ ±2.
2.
Ðåøèâ
óðàâíåíèå
x2 - 9
x2 - 4
=0,
íàõîäèì
x1 = 3, x2 = -3.
3. Òî÷êè 2, –2, 3 è –3 ðàçáèâàþò îñü àáñöèññ íà
ïÿòü ïðîìåæóòêîâ. Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè ïî
ïðîìåæóòêàì ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ. 102; ñîîòâåòñòâóþùàÿ èëëþñòðàöèÿ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè äàíà
íà ðèñ. 103, à (çàøòðèõîâàíû òå ïîëóïîëîñû, ãäå ãðàôèêà íå áóäåò).
4. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ, òàê êàê f (-x) = f (x). Çíà÷èò,
åå ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò.
5. Ïðÿìûå õ = 2, õ = –2 — âåðòèêàëüíûå àñèìïòîòû (ñì. ï. 218).
×òîáû íàéòè ãîðèçîíòàëüíóþ àñèìïòîòó, âû÷èñëèì lim
2
x -9
. Äëÿ ýòîãî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü
x2 - 4
äðîáè ðàçäåëèì ïî÷ëåííî íà õ2 (ñì. ï. 216). Ïîëó÷èì
x®¥
2
x -9
x2
= lim x2
x®¥ x - 4
x®¥ x
lim
336
2
-
9
1-
9
x = lim
x 2 = 1 - 0 = 1.
4
x®¥
1+ 0
4
1- 2
2
2
x
x
x
2
2
á)
à)
Ðèñ. 103
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ó = 1 — ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà ãðàôèêà (ñì. ï. 215).
6. Íàõîäèì
y¢ =
=
(x 2 - 9)¢(x 2 - 4) - (x2 - 9) (x 2 - 4)¢
(x 2 - 4)2
2x(x2 - 4) - (x2 - 9) × 2x
(x2 - 4)2
=
=
2x 3 - 8x - 2x3 + 18x
(x2 - 4)2
=
10x
.
(x - 4)2
Ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü â òî÷êå õ = 0 è
íå ñóùåñòâóåò â òî÷êàõ x = ±2. Íî ïîñëåäíèå íå ïðèíàäëåæàò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, çíà÷èò, ôóíêöèÿ èìååò ëèøü îäíó êðèòè÷åñêóþ òî÷êó õ = 0. Ïðè
ïåðåõîäå ÷åðåç íåå ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ñ «–»
=
2
337
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
íà «+», ïîýòîìó õ = 0 — òî÷êà ìèíèìóìà:
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ
ymin = f (0) = 2,25.
7.  êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíûõ âîçüìåì òî÷8
êè x = ±1, x = ±4. Èìååì f (1) = f ( -1) = , f (4) =
3
7
= f (-4) =
.
12
Èñïîëüçîâàâ íàéäåííûå òî÷êè, ñòðîèì ãðàôèê
(ðèñ. 103, á). n
äëÿ ôóíêöèè f (x) = x r , ãäå r ¹ -1.
q Îäíîé èç ïåðâîîáðàçíûõ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
239. Ïåðâîîáðàçíàÿ. Ôóíêöèÿ F (õ) íàçûâàåòñÿ
ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè f (õ) íà ïðîìåæóòêå Õ,
åñëè äëÿ ëþáîãî õ èç Õ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
F ¢(x) = f (x).
Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü f (x) = x 3. Òîãäà ïåðâîîáðàçíàÿ èìååò âèä F (x) = 0,25x 4 , òàê êàê F ¢(x) =
= (0,25õ4)¢ = (0,25x)¢ = x 3 = f (x).
Ýòî íå åäèíñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è. Òàê, â êà÷åñòâå ïåðâîîáðàçíîé ìîæíî áûëî âçÿòü è ôóíêöèþ
x r +1
, ïîñêîëüêó
r +1
¢
æ xr +1 ö
1
ç
÷
¢
F (x ) =
=
× (r + 1)x r = x r = f (x).
ç r + 1÷
r +1
è
ø
F (x) =
Çíà÷èò,
x r +1
+ C — îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ.n
r +1
240. Òàáëèöà ïåðâîîáðàçíûõ. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî îòûñêàíèå ïåðâîîáðàçíîé åñòü îïåðàöèÿ, îáðàòíàÿ äèôôåðåíöèðîâàíèþ, è èñïîëüçóÿ òàáëèöó ïðîèçâîäíûõ (ñì.
ï. 222), ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ òàáëèöó ïåðâîîáðàçíûõ
(äëÿ ïðîñòîòû â íåé ïðèâåäåíà îäíà ïåðâîîáðàçíàÿ F(x),
à íå îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ F(x) + C):
Ôóíêöèÿ
f (x) = k
f (x) = x r
Ïåðâîîáðàçíàÿ
F (x) = kx
F (x) =
r +1
x
r +1
Ôóíêöèÿ
f (x) = sin x
F (x) = - cos x
f (x) = cos x
F (x) = sin x
F1 (x ) = 0,25x 4 + 3, è ôóíêöèþ F2 (x) = 0,25x 4 - 5 è
(r ¹ -1)
âîîáùå ëþáóþ ôóíêöèþ âèäà 0,25x 4 + C.
f(x) = —
x
F (x) = ln x
f (x) =
f(x) = e x
F (x ) = e x
f (x) =
f (x) = a x
F (x) =
Ò.7.17. Åñëè F (õ) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè f (õ)
íà ïðîìåæóòêå Õ, òî ó ôóíêöèè f (õ) áåñêîíå÷íî
ìíîãî ïåðâîîáðàçíûõ, è âñå ýòè ïåðâîîáðàçíûå èìåþò âèä F (õ) + Ñ, ãäå Ñ — ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ (îñíîâíîå ñâîéñòâî ïåðâîîáðàçíîé).
338
f (x) =
1
ax
ln a
Ïåðâîîáðàçíàÿ
f (x) =
1
sin2 x
1
cos2 x
1
1 - x2
1
1 + x2
F (x) = - ctg x
F (x) = tg x
F (x) = arcsin x
F (x) = arctg x
339
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
íà «+», ïîýòîìó õ = 0 — òî÷êà ìèíèìóìà:
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ
ymin = f (0) = 2,25.
7.  êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíûõ âîçüìåì òî÷8
êè x = ±1, x = ±4. Èìååì f (1) = f ( -1) = , f (4) =
3
7
= f (-4) =
.
12
Èñïîëüçîâàâ íàéäåííûå òî÷êè, ñòðîèì ãðàôèê
(ðèñ. 103, á). n
äëÿ ôóíêöèè f (x) = x r , ãäå r ¹ -1.
q Îäíîé èç ïåðâîîáðàçíûõ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
239. Ïåðâîîáðàçíàÿ. Ôóíêöèÿ F (õ) íàçûâàåòñÿ
ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè f (õ) íà ïðîìåæóòêå Õ,
åñëè äëÿ ëþáîãî õ èç Õ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
F ¢(x) = f (x).
Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü f (x) = x 3. Òîãäà ïåðâîîáðàçíàÿ èìååò âèä F (x) = 0,25x 4 , òàê êàê F ¢(x) =
= (0,25õ4)¢ = (0,25x)¢ = x 3 = f (x).
Ýòî íå åäèíñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è. Òàê, â êà÷åñòâå ïåðâîîáðàçíîé ìîæíî áûëî âçÿòü è ôóíêöèþ
x r +1
, ïîñêîëüêó
r +1
¢
æ xr +1 ö
1
ç
÷
¢
F (x ) =
=
× (r + 1)x r = x r = f (x).
ç r + 1÷
r +1
è
ø
F (x) =
Çíà÷èò,
x r +1
+ C — îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ.n
r +1
240. Òàáëèöà ïåðâîîáðàçíûõ. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî îòûñêàíèå ïåðâîîáðàçíîé åñòü îïåðàöèÿ, îáðàòíàÿ äèôôåðåíöèðîâàíèþ, è èñïîëüçóÿ òàáëèöó ïðîèçâîäíûõ (ñì.
ï. 222), ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ òàáëèöó ïåðâîîáðàçíûõ
(äëÿ ïðîñòîòû â íåé ïðèâåäåíà îäíà ïåðâîîáðàçíàÿ F(x),
à íå îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ F(x) + C):
Ôóíêöèÿ
f (x) = k
f (x) = x r
Ïåðâîîáðàçíàÿ
F (x) = kx
F (x) =
r +1
x
r +1
Ôóíêöèÿ
f (x) = sin x
F (x) = - cos x
f (x) = cos x
F (x) = sin x
F1 (x ) = 0,25x 4 + 3, è ôóíêöèþ F2 (x) = 0,25x 4 - 5 è
(r ¹ -1)
âîîáùå ëþáóþ ôóíêöèþ âèäà 0,25x 4 + C.
f(x) = —
x
F (x) = ln x
f (x) =
f(x) = e x
F (x ) = e x
f (x) =
f (x) = a x
F (x) =
Ò.7.17. Åñëè F (õ) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè f (õ)
íà ïðîìåæóòêå Õ, òî ó ôóíêöèè f (õ) áåñêîíå÷íî
ìíîãî ïåðâîîáðàçíûõ, è âñå ýòè ïåðâîîáðàçíûå èìåþò âèä F (õ) + Ñ, ãäå Ñ — ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ (îñíîâíîå ñâîéñòâî ïåðâîîáðàçíîé).
338
f (x) =
1
ax
ln a
Ïåðâîîáðàçíàÿ
f (x) =
1
sin2 x
1
cos2 x
1
1 - x2
1
1 + x2
F (x) = - ctg x
F (x) = tg x
F (x) = arcsin x
F (x) = arctg x
339
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
241. Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ïåðâîîáðàçíûõ. Ïóñòü
íóæíî íàéòè ïåðâîîáðàçíóþ ôóíêöèè y = f (x).
Èíîãäà ýòî ìîæíî ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ òàáëèöû ïåðâîîáðàçíûõ èç ï. 240; íàïðèìåð, äëÿ ôóíêöèè
f (x) = x
0,6
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
q Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî 4 sin2 2x = 2 (1 - cos 4x)
(ñì. ï. 83). Òîãäà f (x) = 2 - 2 cos 4x. Äëÿ ôóíêöèè
f1 (x) = 2 ïåðâîîáðàçíàÿ åñòü 2õ, à äëÿ ôóíêöèè
ïî ñîîòâåòñòâóþùåé ôîðìóëå òàáëèöû
f2 (x) = cos 4x ñîãëàñíî ïðàâèëó 30 ïåðâîîáðàçíîé ÿâ-
5
x 0,6 +1
, ò. å. F (x ) = x 1,6 , à îáùèé
8
0,6 + 1
ëÿåòñÿ 0,25 sin 4x. Òîãäà äëÿ ôóíêöèè f (x) =
íàõîäèì F (x) =
5 1,6
x + C. Îäíàêî ÷àùå,
8
ïðåæäå ÷åì âîñïîëüçîâàòüñÿ òàáëèöåé, ïðèõîäèòñÿ
ïðèìåíÿòü ñëåäóþùèå ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ïåðâîîáðàçíûõ.
10. Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x), à H (x) —
âèä ïåðâîîáðàçíûõ òàêîâ:
ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ h (x), òî F (x) + H (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x) + h (x).
Èíûìè ñëîâàìè, ïåðâîîáðàçíàÿ ñóììû ðàâíà ñóììå ïåðâîîáðàçíûõ.
20. Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x ) è k —
ïîñòîÿííàÿ, òî kF (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ kf (x).
Èíûìè ñëîâàìè, ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî
âûíåñòè çà çíàê ïåðâîîáðàçíîé.
30. Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x ) è k, b —
ïîñòîÿííûå, ïðè÷åì k ¹ 0, òî
1
F (kx + b) — ïåðâîk
îáðàçíàÿ äëÿ f (kx + b).
Ï ð è ì å ð. Íàéòè îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ
äëÿ ôóíêöèè f (x) = 4 sin2 2x.
340
ÀËÃÅÁÐÀ
= f1 (x) - 2f2 (x) â ñèëó ïðàâèë 10 è 20 ïåðâîîáðàçíàÿ
èìååò âèä 2x - 2 × 0,25 sin 4x, ò. å. 2x - 0,5 sin 4x.
Èòàê, 2x - 0,5 sin 4x + C — ýòî îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíîé äëÿ äàííîé ôóíêöèè.n
242. Èíòåãðàë. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b]. Ðàçîáüåì ýòîò îòðåçîê íà n
÷àñòåé òî÷êàìè õ1, õ2, ..., õn–1: äëÿ îäíîðîäíîñòè îáî-
çíà÷åíèé ïîëîæèì a = x0, b = xn. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: x1 - x0 = Dx0 , x2 - x1 = Dx1, x3 - x2 = Dx2 , ...,
xn - xn -1 = Dxn -1 è ðàññìîòðèì ñóììó
f (x0 )Dx0 + f (x1 )Dx1 + f (x2 )Dx2 + ... + f (xn -1) Dxn -1.(1)
Îíà íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé ñóììîé äëÿ ôóíêöèè y = f (x) ïî îòðåçêó [a, b].
Íà ïðàêòèêå óäîáíåå äåëèòü îòðåçîê [a, b] íà n
ðàâíûõ ÷àñòåé. Òîãäà Dx0 = Dx1 = Dx2 = ... = Dxn -1 =
=
b-a
è ñóììà (1) ïðèíèìàåò âèä
n
b-a
(f (x0 ) + f (x1 ) + f (x2 ) + ... + f (xn -1)).
n
341
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
241. Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ïåðâîîáðàçíûõ. Ïóñòü
íóæíî íàéòè ïåðâîîáðàçíóþ ôóíêöèè y = f (x).
Èíîãäà ýòî ìîæíî ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ òàáëèöû ïåðâîîáðàçíûõ èç ï. 240; íàïðèìåð, äëÿ ôóíêöèè
f (x) = x
0,6
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
q Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî 4 sin2 2x = 2 (1 - cos 4x)
(ñì. ï. 83). Òîãäà f (x) = 2 - 2 cos 4x. Äëÿ ôóíêöèè
f1 (x) = 2 ïåðâîîáðàçíàÿ åñòü 2õ, à äëÿ ôóíêöèè
ïî ñîîòâåòñòâóþùåé ôîðìóëå òàáëèöû
f2 (x) = cos 4x ñîãëàñíî ïðàâèëó 30 ïåðâîîáðàçíîé ÿâ-
5
x 0,6 +1
, ò. å. F (x ) = x 1,6 , à îáùèé
8
0,6 + 1
ëÿåòñÿ 0,25 sin 4x. Òîãäà äëÿ ôóíêöèè f (x) =
íàõîäèì F (x) =
5 1,6
x + C. Îäíàêî ÷àùå,
8
ïðåæäå ÷åì âîñïîëüçîâàòüñÿ òàáëèöåé, ïðèõîäèòñÿ
ïðèìåíÿòü ñëåäóþùèå ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ïåðâîîáðàçíûõ.
10. Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x), à H (x) —
âèä ïåðâîîáðàçíûõ òàêîâ:
ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ h (x), òî F (x) + H (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x) + h (x).
Èíûìè ñëîâàìè, ïåðâîîáðàçíàÿ ñóììû ðàâíà ñóììå ïåðâîîáðàçíûõ.
20. Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x ) è k —
ïîñòîÿííàÿ, òî kF (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ kf (x).
Èíûìè ñëîâàìè, ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî
âûíåñòè çà çíàê ïåðâîîáðàçíîé.
30. Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x ) è k, b —
ïîñòîÿííûå, ïðè÷åì k ¹ 0, òî
1
F (kx + b) — ïåðâîk
îáðàçíàÿ äëÿ f (kx + b).
Ï ð è ì å ð. Íàéòè îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ
äëÿ ôóíêöèè f (x) = 4 sin2 2x.
340
ÀËÃÅÁÐÀ
= f1 (x) - 2f2 (x) â ñèëó ïðàâèë 10 è 20 ïåðâîîáðàçíàÿ
èìååò âèä 2x - 2 × 0,25 sin 4x, ò. å. 2x - 0,5 sin 4x.
Èòàê, 2x - 0,5 sin 4x + C — ýòî îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíîé äëÿ äàííîé ôóíêöèè.n
242. Èíòåãðàë. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b]. Ðàçîáüåì ýòîò îòðåçîê íà n
÷àñòåé òî÷êàìè õ1, õ2, ..., õn–1: äëÿ îäíîðîäíîñòè îáî-
çíà÷åíèé ïîëîæèì a = x0, b = xn. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: x1 - x0 = Dx0 , x2 - x1 = Dx1, x3 - x2 = Dx2 , ...,
xn - xn -1 = Dxn -1 è ðàññìîòðèì ñóììó
f (x0 )Dx0 + f (x1 )Dx1 + f (x2 )Dx2 + ... + f (xn -1) Dxn -1.(1)
Îíà íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé ñóììîé äëÿ ôóíêöèè y = f (x) ïî îòðåçêó [a, b].
Íà ïðàêòèêå óäîáíåå äåëèòü îòðåçîê [a, b] íà n
ðàâíûõ ÷àñòåé. Òîãäà Dx0 = Dx1 = Dx2 = ... = Dxn -1 =
=
b-a
è ñóììà (1) ïðèíèìàåò âèä
n
b-a
(f (x0 ) + f (x1 ) + f (x2 ) + ... + f (xn -1)).
n
341
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
Çíà÷åíèå ñóììû çàâèñèò òîëüêî îò ÷èñëà n , ïîýòîìó îáîçíà÷èì åå Sn .
Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b], òî
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S1, S2 ,..., Sn ,... èìååò ïðåäåë,
êîòîðûé íàçûâàþò èíòåãðàëîì ôóíêöèè f îò à äî
b è îáîçíà÷àþò
b
ò f (x)dx
(÷èòàåòñÿ: «èíòåãðàë îò à
a
äî b ýô îò èêñ äý èêñ»):
n
b
Sn .
ò f (x)dx = nlim
®¥
Ðèñ. 104
a
×èñëà à è b íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî íèæíèì è
âåðõíèì ïðåäåëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ, çíàê ò —
çíàêîì èíòåãðàëà, ôóíêöèþ f (x) — ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé, à ïåðåìåííóþ õ — ïåðåìåííîé
èíòåãðèðîâàíèÿ.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè
1
ò xdx.
0
q Ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó Sn äëÿ ôóíêöèè
f (x) = x íà îòðåçêå [0, 1]. Äëÿ ýòîãî ðàçîáüåì óêà1 2
çàííûé îòðåçîê íà n ðàâíûõ ÷àñòåé òî÷êàìè
, ,
n n
æ1ö 1
3
n -1
(ðèñ. 104). Èìååì f (0) = 0, f ç ÷ = ,
,...,
n
n
ènø n
æ2ö 2
æ n - 1ö n - 1
æ3ö 3
f ç ÷ = , f ç ÷ = , ..., f ç
. Èíòåãðàëü÷=
n
ènø n
è n ø
ènø n
342
íàÿ ñóììà Sn èìååò âèä
Sn =
1æ
1 2 3
n - 1ö
÷=
ç 0 + + + + ... +
nè
n n n
n ø
=
1 + 2 + 3 + ... + (n - 1)
n2
.
 ÷èñëèòåëå ñîäåðæèòñÿ ñóììà ïåðâûõ (n – 1) ÷ëåíîâ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè, ó êîòîðîé ïåðâûé
÷ëåí ðàâåí 1, à (n – 1)-é ðàâåí n – 1. Òîãäà ñóììà
÷ëåíîâ ÷èñëèòåëÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (2) èç
ï. 209:
1 + (n - 1)
n (n - 1)
(n - 1) =
.
2
2
343
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
Çíà÷åíèå ñóììû çàâèñèò òîëüêî îò ÷èñëà n , ïîýòîìó îáîçíà÷èì åå Sn .
Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b], òî
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S1, S2 ,..., Sn ,... èìååò ïðåäåë,
êîòîðûé íàçûâàþò èíòåãðàëîì ôóíêöèè f îò à äî
b è îáîçíà÷àþò
b
ò f (x)dx
(÷èòàåòñÿ: «èíòåãðàë îò à
a
äî b ýô îò èêñ äý èêñ»):
n
b
Sn .
ò f (x)dx = nlim
®¥
Ðèñ. 104
a
×èñëà à è b íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî íèæíèì è
âåðõíèì ïðåäåëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ, çíàê ò —
çíàêîì èíòåãðàëà, ôóíêöèþ f (x) — ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé, à ïåðåìåííóþ õ — ïåðåìåííîé
èíòåãðèðîâàíèÿ.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè
1
ò xdx.
0
q Ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó Sn äëÿ ôóíêöèè
f (x) = x íà îòðåçêå [0, 1]. Äëÿ ýòîãî ðàçîáüåì óêà1 2
çàííûé îòðåçîê íà n ðàâíûõ ÷àñòåé òî÷êàìè
, ,
n n
æ1ö 1
3
n -1
(ðèñ. 104). Èìååì f (0) = 0, f ç ÷ = ,
,...,
n
n
ènø n
æ2ö 2
æ n - 1ö n - 1
æ3ö 3
f ç ÷ = , f ç ÷ = , ..., f ç
. Èíòåãðàëü÷=
n
ènø n
è n ø
ènø n
342
íàÿ ñóììà Sn èìååò âèä
Sn =
1æ
1 2 3
n - 1ö
÷=
ç 0 + + + + ... +
nè
n n n
n ø
=
1 + 2 + 3 + ... + (n - 1)
n2
.
 ÷èñëèòåëå ñîäåðæèòñÿ ñóììà ïåðâûõ (n – 1) ÷ëåíîâ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè, ó êîòîðîé ïåðâûé
÷ëåí ðàâåí 1, à (n – 1)-é ðàâåí n – 1. Òîãäà ñóììà
÷ëåíîâ ÷èñëèòåëÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (2) èç
ï. 209:
1 + (n - 1)
n (n - 1)
(n - 1) =
.
2
2
343
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
 èòîãå ïîëó÷àåì
Sn =
n (n - 1)
2n 2
ëÿåòñÿ F (x) = 0,5 ln 2x + 3 . Çíà÷èò,
1 ö 1
æ1
÷ = . Èòàê,
Äàëåå èìååì lim Sn = lim ç n ®¥
n ®¥ è 2
2n ø 2
1
ò xdx =
0
1
.n
2
âîîáðàçíàÿ äëÿ f (x) íà îòðåçêå [a, b], òî
ò f (x) dx = F (b) - F (a)
2
ò
1
2
dx
1 7
= 0,5 ln 2x + 3 = 0,5 (ln 7 - ln 5) = ln . n
2x + 3
2 5
1
244. Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ.
10. Èíòåãðàë ñóììû ðàâåí ñóììå èíòåãðàëîâ:
243. Ñâÿçü ìåæäó èíòåãðàëîì è ïåðâîîáðàçíîé
(ôîðìóëà Íüþòîíà — Ëåéáíèöà). Åñëè F (x) — ïåðb
b
b
b
a
a
a
ò (f1 (x) + f2 (x))dx = ò f1 (x)dx + ò f2 (x)dx.
20. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíåñòè çà
çíàê èíòåãðàëà:
b
b
a
a
dx == k ò f (x)dx.
ò kf (x)xdx
(1)
a
(ôîðìóëà Íüþòîíà–Ëåéáíèöà).
Íà ïðàêòèêå â ôîðìóëå (1) âìåñòî F (b) - F (a)
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü
1
ò (2x
3
+ 3x - 4)dx.
-2
b
ïèøóò F (x) .
a
q Èñïîëüçóÿ ïðàâèëà 10 è 20, ïîëó÷èì
Èíîãäà ôîðìóëó Íüþòîíà–Ëåéáíèöà ïðèíèìàþò
çà îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà, ò. å. èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè f (x) íà îòðåçêå [a, b] íàçûâàþò ðàçíîñòü
F (b) - F (a), ãäå F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x).
2
dx
.
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü ò
2
x
+3
1
344
1
ïåðâîîáðàçíîé ÿâ2x + 3
q Äëÿ ôóíêöèè f (x) =
1
n -1 1
=
= .
2n
2 2n
1
ò (2x
3
+ 3x - 4)dx =
-2
1
ò 2x
3
dx +
-2
1
1
-2
-2
ò 3xdx + ò (-4)dx =
1
1
1
-2
-2
-2
= 2 ò x 3dx + 3 ò xdx -
ò 4dx =
345
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
 èòîãå ïîëó÷àåì
Sn =
n (n - 1)
2n 2
ëÿåòñÿ F (x) = 0,5 ln 2x + 3 . Çíà÷èò,
1 ö 1
æ1
÷ = . Èòàê,
Äàëåå èìååì lim Sn = lim ç n ®¥
n ®¥ è 2
2n ø 2
1
ò xdx =
0
1
.n
2
âîîáðàçíàÿ äëÿ f (x) íà îòðåçêå [a, b], òî
ò f (x) dx = F (b) - F (a)
2
ò
1
2
dx
1 7
= 0,5 ln 2x + 3 = 0,5 (ln 7 - ln 5) = ln . n
2x + 3
2 5
1
244. Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ.
10. Èíòåãðàë ñóììû ðàâåí ñóììå èíòåãðàëîâ:
243. Ñâÿçü ìåæäó èíòåãðàëîì è ïåðâîîáðàçíîé
(ôîðìóëà Íüþòîíà — Ëåéáíèöà). Åñëè F (x) — ïåðb
b
b
b
a
a
a
ò (f1 (x) + f2 (x))dx = ò f1 (x)dx + ò f2 (x)dx.
20. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíåñòè çà
çíàê èíòåãðàëà:
b
b
a
a
dx == k ò f (x)dx.
ò kf (x)xdx
(1)
a
(ôîðìóëà Íüþòîíà–Ëåéáíèöà).
Íà ïðàêòèêå â ôîðìóëå (1) âìåñòî F (b) - F (a)
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü
1
ò (2x
3
+ 3x - 4)dx.
-2
b
ïèøóò F (x) .
a
q Èñïîëüçóÿ ïðàâèëà 10 è 20, ïîëó÷èì
Èíîãäà ôîðìóëó Íüþòîíà–Ëåéáíèöà ïðèíèìàþò
çà îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà, ò. å. èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè f (x) íà îòðåçêå [a, b] íàçûâàþò ðàçíîñòü
F (b) - F (a), ãäå F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x).
2
dx
.
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü ò
2
x
+3
1
344
1
ïåðâîîáðàçíîé ÿâ2x + 3
q Äëÿ ôóíêöèè f (x) =
1
n -1 1
=
= .
2n
2 2n
1
ò (2x
3
+ 3x - 4)dx =
-2
1
ò 2x
3
dx +
-2
1
1
-2
-2
ò 3xdx + ò (-4)dx =
1
1
1
-2
-2
-2
= 2 ò x 3dx + 3 ò xdx -
ò 4dx =
345
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
= 2×
x4
4
1
-2
+ 3×
x2
2
1
-2
- 4x
1
-2
=
ö 3
1æ 1
= 2 ç(1–-16)
4 ÷ + (1 - 4) - 4 (1 + 2) = -24. n
2è 4
ø 2
245. Èñïîëüçîâàíèå èíòåãðàëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ
ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð. Ðàññìîòðèì ïëîñêóþ
ôèãóðó Ô, ïðåäñòàâëÿþùóþ ñîáîé ìíîæåñòâî òî÷åê
êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎó, ëåæàùåå â ïîëîñå ìåæäó ïðÿìûìè õ = à, õ = b (a < b) è îãðàíè÷åííîå ñâåðõó
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
è ñíèçó ãðàôèêàìè íåïðåðûâíûõ íà [a, b] ôóíêöèé
y = f1 (x ) è y = f2 (x), òàêèõ, ÷òî äëÿ âñåõ õ èç [a, b]
ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî f1 (x) ³ f2 (x). Ïðèìåðû òàêèõ
ôèãóð ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 105–110.  ÷àñòíîñòè,
ôèãóðà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 107, îãðàíè÷åíà ñâåðõó
ãðàôèêîì ôóíêöèè y = f (x), à ñíèçó — ïðÿìîé ó =
= 0. Òàêàÿ ôèãóðà íàçûâàåòñÿ êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèåé.
Ïëîùàäü S ôèãóðû Ô âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
b
S = ò (f1 (x) - f2 (x))dx.
a
(1)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé
òðàïåöèè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 107, ñïðàâåäëèâà
ôîðìóëà
b
S = ò f (x)dx,
(2)
a
Ðèñ. 105
Ðèñ. 106
à äëÿ ïëîùàäè ôèãóðû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 108, —
ôîðìóëà
b
S = - ò f (x)dx.
(3)
a
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ëèíèÿìè: à) y = 4 - x 2, y = 0; á) y = x - 2, y =
= x2 - 4x + 2; â) y = x , y = x - 2.
Ðèñ. 107
346
Ðèñ. 108
q à) Ôèãóðà, ïëîùàäü êîòîðîé íàäî íàéòè, èçîáðà347
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
= 2×
x4
4
1
-2
+ 3×
x2
2
1
-2
- 4x
1
-2
=
ö 3
1æ 1
= 2 ç(1–-16)
4 ÷ + (1 - 4) - 4 (1 + 2) = -24. n
2è 4
ø 2
245. Èñïîëüçîâàíèå èíòåãðàëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ
ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð. Ðàññìîòðèì ïëîñêóþ
ôèãóðó Ô, ïðåäñòàâëÿþùóþ ñîáîé ìíîæåñòâî òî÷åê
êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎó, ëåæàùåå â ïîëîñå ìåæäó ïðÿìûìè õ = à, õ = b (a < b) è îãðàíè÷åííîå ñâåðõó
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
è ñíèçó ãðàôèêàìè íåïðåðûâíûõ íà [a, b] ôóíêöèé
y = f1 (x ) è y = f2 (x), òàêèõ, ÷òî äëÿ âñåõ õ èç [a, b]
ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî f1 (x) ³ f2 (x). Ïðèìåðû òàêèõ
ôèãóð ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 105–110.  ÷àñòíîñòè,
ôèãóðà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 107, îãðàíè÷åíà ñâåðõó
ãðàôèêîì ôóíêöèè y = f (x), à ñíèçó — ïðÿìîé ó =
= 0. Òàêàÿ ôèãóðà íàçûâàåòñÿ êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèåé.
Ïëîùàäü S ôèãóðû Ô âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
b
S = ò (f1 (x) - f2 (x))dx.
a
(1)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé
òðàïåöèè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 107, ñïðàâåäëèâà
ôîðìóëà
b
S = ò f (x)dx,
(2)
a
Ðèñ. 105
Ðèñ. 106
à äëÿ ïëîùàäè ôèãóðû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 108, —
ôîðìóëà
b
S = - ò f (x)dx.
(3)
a
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ëèíèÿìè: à) y = 4 - x 2, y = 0; á) y = x - 2, y =
= x2 - 4x + 2; â) y = x , y = x - 2.
Ðèñ. 107
346
Ðèñ. 108
q à) Ôèãóðà, ïëîùàäü êîòîðîé íàäî íàéòè, èçîáðà347
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
Èòàê,
4
S = ò ((x - 2) - (x 2 - 4x + 2)) dx =
1
4
x2
4)dx
dx =
= ò (5x - x )–-4)
= 5×
2
1
Ðèñ. 109
Ðèñ. 110
æåíà íà ðèñ. 109. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), ïîëó÷èì
S=
2
ò (4 - x
-2
x3
= 4x 3
-2
2
2
-2
2
)dx =
2
2
-2
-2
ò 4dx - ò x
2
dx =
32
1
= 4 (2 + 2) - (8 + 8) =
.
3
3
=
1
x3
3
4
4
- 4x =
1
1
5
1
(16 - 1) - (64 - 1) - 4 (4 - 1) = 4,5.
2
3
â) Ôèãóðà, ïëîùàäü êîòîðîé íóæíî íàéòè, èçîáðàæåíà íà ðèñ. 111. Ïðîâåäåì ïðÿìóþ õ = 2. Òîãäà
ïëîùàäü S èíòåðåñóþùåé íàñ ôèãóðû ðàâíà ñóììå
S1 + S2 , ãäå S1 è S2 — ïëîùàäè êðèâîëèíåéíûõ òðàïåöèé îòìå÷åííûõ íà ðèñ. 111 ñîîòâåòñòâåííî ãîðèçîíòàëüíîé è âåðòèêàëüíîé øòðèõîâêîé. Èìååì
2
2
1
1
S1 = ò ( x - (2 - x)) dx = ò (x 0,5 + x - 2) dx =
á) Ïîñòðîèâ ïðÿìóþ ó = õ – 2 è ïàðàáîëó ó = õ2 –
– 4õ + 2, ïîëó÷èì ôèãóðó, ïëîùàäü êîòîðîé òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü (ðèñ. 110). Åå ïëîùàäü íàéäåì ïî ôîðìóëå (1), ãäå f1 (x) = x - 2, f2 (x) = x2 - 4x + 2, à ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ à è b — àáñöèññû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ïàðàáîëû è ïðÿìîé. Äëÿ îòûñêàíèÿ ýòèõ àáñöèññ ðåøèì óðàâíåíèå f1 (x) = f2 (x), ò. å. x - 2 =
4
2
=
=
x 1,5
1,5
2
1
+
x2 2
- 2x
2 1
2
1
=
2
1
8 2 -7
(2 2 - 1) + (4 - 1) - 2 (2 - 1) =
;
3
2
6
= x2 - 4x + 2, îòêóäà x1 = 1, x2 = 4.
348
349
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
Èòàê,
4
S = ò ((x - 2) - (x 2 - 4x + 2)) dx =
1
4
x2
4)dx
dx =
= ò (5x - x )–-4)
= 5×
2
1
Ðèñ. 109
Ðèñ. 110
æåíà íà ðèñ. 109. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), ïîëó÷èì
S=
2
ò (4 - x
-2
x3
= 4x 3
-2
2
2
-2
2
)dx =
2
2
-2
-2
ò 4dx - ò x
2
dx =
32
1
= 4 (2 + 2) - (8 + 8) =
.
3
3
=
1
x3
3
4
4
- 4x =
1
1
5
1
(16 - 1) - (64 - 1) - 4 (4 - 1) = 4,5.
2
3
â) Ôèãóðà, ïëîùàäü êîòîðîé íóæíî íàéòè, èçîáðàæåíà íà ðèñ. 111. Ïðîâåäåì ïðÿìóþ õ = 2. Òîãäà
ïëîùàäü S èíòåðåñóþùåé íàñ ôèãóðû ðàâíà ñóììå
S1 + S2 , ãäå S1 è S2 — ïëîùàäè êðèâîëèíåéíûõ òðàïåöèé îòìå÷åííûõ íà ðèñ. 111 ñîîòâåòñòâåííî ãîðèçîíòàëüíîé è âåðòèêàëüíîé øòðèõîâêîé. Èìååì
2
2
1
1
S1 = ò ( x - (2 - x)) dx = ò (x 0,5 + x - 2) dx =
á) Ïîñòðîèâ ïðÿìóþ ó = õ – 2 è ïàðàáîëó ó = õ2 –
– 4õ + 2, ïîëó÷èì ôèãóðó, ïëîùàäü êîòîðîé òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü (ðèñ. 110). Åå ïëîùàäü íàéäåì ïî ôîðìóëå (1), ãäå f1 (x) = x - 2, f2 (x) = x2 - 4x + 2, à ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ à è b — àáñöèññû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ïàðàáîëû è ïðÿìîé. Äëÿ îòûñêàíèÿ ýòèõ àáñöèññ ðåøèì óðàâíåíèå f1 (x) = f2 (x), ò. å. x - 2 =
4
2
=
=
x 1,5
1,5
2
1
+
x2 2
- 2x
2 1
2
1
=
2
1
8 2 -7
(2 2 - 1) + (4 - 1) - 2 (2 - 1) =
;
3
2
6
= x2 - 4x + 2, îòêóäà x1 = 1, x2 = 4.
348
349
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
Ðèñ. 113
Ðèñ. 111
Ðèñ. 112
4
4
2
2
S2 = ò ( x - (x - 2)) dx = ò (x 0,5 - x + 2) dx =
=
=
x 1,5
1,5
4
2
-
x2 4
+ 2x
2 2
4
2
=
2
1
10 - 4 2
(8 - 2 2 ) - (16 - 4) + 2 (4 - 2) =
.
3
2
3
Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
8 2 - 7 10 - 4 2 13
S = S1 + S2 =
+
=
.n
6
3
6
350
Ðèñ. 114
246. Âû÷èñëåíèå îáúåìîâ òåë ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà. Ïóñòü çàäàíî òåëî Ò (ðèñ. 112), îáëàäàþùåå
ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1) òåëî ðàñïîëîæåíî ìåæäó äâóìÿ ïëîñêîñòÿìè
a è b, ïàðàëëåëüíûìè çàäàííîé ïëîñêîñòè p è óäàëåííûìè îò íåå íà ðàññòîÿíèÿ ñîîòâåòñòâåííî à è b,
(a < b), ïðè÷åì è â ïëîñêîñòè a , è â ïëîñêîñòè b
åñòü òî÷êè òåëà Ò;
2) åñëè a < x < b è ïëîñêîñòü g ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè p è óäàëåíà îò íåå íà ðàññòîÿíèå õ, òî â ïåðåñå÷åíèè ïëîñêîñòè g è òåëà Ò îáðàçóåòñÿ ñå÷åíèå,
ïëîùàäü êîòîðîãî âûðàæàåòñÿ ôóíêöèåé S (x), íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå [a, b].
Òîãäà îáúåì V òåëà Ò âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
b
V = ò S (x)dx.
(1)
a
Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî åñëè Ò — òåëî,
351
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
Ðèñ. 113
Ðèñ. 111
Ðèñ. 112
4
4
2
2
S2 = ò ( x - (x - 2)) dx = ò (x 0,5 - x + 2) dx =
=
=
x 1,5
1,5
4
2
-
x2 4
+ 2x
2 2
4
2
=
2
1
10 - 4 2
(8 - 2 2 ) - (16 - 4) + 2 (4 - 2) =
.
3
2
3
Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
8 2 - 7 10 - 4 2 13
S = S1 + S2 =
+
=
.n
6
3
6
350
Ðèñ. 114
246. Âû÷èñëåíèå îáúåìîâ òåë ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà. Ïóñòü çàäàíî òåëî Ò (ðèñ. 112), îáëàäàþùåå
ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1) òåëî ðàñïîëîæåíî ìåæäó äâóìÿ ïëîñêîñòÿìè
a è b, ïàðàëëåëüíûìè çàäàííîé ïëîñêîñòè p è óäàëåííûìè îò íåå íà ðàññòîÿíèÿ ñîîòâåòñòâåííî à è b,
(a < b), ïðè÷åì è â ïëîñêîñòè a , è â ïëîñêîñòè b
åñòü òî÷êè òåëà Ò;
2) åñëè a < x < b è ïëîñêîñòü g ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè p è óäàëåíà îò íåå íà ðàññòîÿíèå õ, òî â ïåðåñå÷åíèè ïëîñêîñòè g è òåëà Ò îáðàçóåòñÿ ñå÷åíèå,
ïëîùàäü êîòîðîãî âûðàæàåòñÿ ôóíêöèåé S (x), íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå [a, b].
Òîãäà îáúåì V òåëà Ò âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
b
V = ò S (x)dx.
(1)
a
Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî åñëè Ò — òåëî,
351
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
îáðàçîâàííîå âðàùåíèåì êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè
âîêðóã îñè àáñöèññ (ðèñ. 113), òî îáúåì òàêîãî òåëà
âðàùåíèÿ âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
b
b
a
a
V = p ò (f (x))2 dx = pò y 2dx.
(2)
Ï ð è ì å ð. Íàéòè îáúåì êîíóñà, ðàäèóñ êîòîðîãî ðàâåí R, à âûñîòà ðàâíà Í.
q Êîíóñ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òåëî, îáðàçîâàííîå âðàùåíèåì ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ
êàòåòàìè Í è R âîêðóã êàòåòà Í (ðèñ. 114). Ñîñòàâèì óðàâíåíèå ïðÿìîé ÎÀ. Óãëîâîé êîýôôèöèåíò k
R
AB
R
ýòîé ïðÿìîé, ò. å. tg j, ðàâåí
.
=
, ò. å. k =
H
OB H
Çíà÷èò, óðàâíåíèå ïðÿìîé ÎÀ èìååò âèä y = kx, ò. å.
R
x (ñì. ï. 99).
H
Âîñïîëüçîâàâøèñü äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáúåìà ôîð-
y=
2
H
æR ö
ìóëîé (2), ïîëó÷èì V = p ò ç x ÷ dx. Îñòàåòñÿ âûH ø
0è
ïîëíèòü âû÷èñëåíèÿ:
V =
=
352
pR 2
H2
H
pR 2 x 3
=
×
x
dx
ò
H2 3
0
H
2
=
0
ö 1
pR 2 æç H 3
×
- 0 ÷ = pR 2 H. n
2 ç 3
÷ 3
H
è
ø
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 26. Ïîíÿòèå î äèô. óðàâíåíèè
247. Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ èíòåãðàëà. Ïîíÿòèå èíòåãðàëà ëåæèò â îñíîâå åãî ðàçíîîáðàçíûõ
ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé. Ïóñòü, íàïðèìåð, òåëî äâèæåòñÿ ïî îñè Îõ, â êàæäîé òî÷êå êîòîðîé ïðèëîæåíà
íåêîòîðàÿ ñèëà F = F (x) (ñ÷èòàåì, ÷òî âåêòîð ñèëû
íàïðàâëåí ïî îñè èëè â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó,
ò. å. ôàêòè÷åñêè, ÷òî ñèëà çäåñü íå âåêòîðíàÿ, à ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà). Òîãäà ðàáîòà À, êîòîðàÿ ñîâåðøàåòñÿ ïðè ïåðåìåùåíèè òåëà èç òî÷êè à â òî÷êó b,
b
âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå A = ò F (x)dx. Òàêèì îáðàa
çîì, ðàáîòà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò ñèëû.
Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî è èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå èíòåãðàëà, ëåãêî óñòàíîâèòü, ÷òî:
ïåðåìåùåíèå òåëà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò åãî
ñêîðîñòè;
ìàññà ñòåðæíÿ ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò åãî ëèíåéíîé ïëîòíîñòè;
ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò
ñèëû òîêà.
§ 26. Ïîíÿòèå î äèôôåðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè
248. Îïðåäåëåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ è åãî ðåøåíèÿ. Äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå, ñîäåðæàùåå ïðîèçâîäíóþ èñêîìîé ôóíêöèè, ñàìó ôóíêöèþ è åå àðãóìåíò. Îáùèé âèä äèôôåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà F (x, y, y ¢) = 0, ïðè÷åì
óðàâíåíèå ìîæåò áûòü è íåïîëíûì (íå ñîäåðæàùèì
353
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
îáðàçîâàííîå âðàùåíèåì êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè
âîêðóã îñè àáñöèññ (ðèñ. 113), òî îáúåì òàêîãî òåëà
âðàùåíèÿ âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
b
b
a
a
V = p ò (f (x))2 dx = pò y 2dx.
(2)
Ï ð è ì å ð. Íàéòè îáúåì êîíóñà, ðàäèóñ êîòîðîãî ðàâåí R, à âûñîòà ðàâíà Í.
q Êîíóñ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òåëî, îáðàçîâàííîå âðàùåíèåì ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ
êàòåòàìè Í è R âîêðóã êàòåòà Í (ðèñ. 114). Ñîñòàâèì óðàâíåíèå ïðÿìîé ÎÀ. Óãëîâîé êîýôôèöèåíò k
R
AB
R
ýòîé ïðÿìîé, ò. å. tg j, ðàâåí
.
=
, ò. å. k =
H
OB H
Çíà÷èò, óðàâíåíèå ïðÿìîé ÎÀ èìååò âèä y = kx, ò. å.
R
x (ñì. ï. 99).
H
Âîñïîëüçîâàâøèñü äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáúåìà ôîð-
y=
2
H
æR ö
ìóëîé (2), ïîëó÷èì V = p ò ç x ÷ dx. Îñòàåòñÿ âûH ø
0è
ïîëíèòü âû÷èñëåíèÿ:
V =
=
352
pR 2
H2
H
pR 2 x 3
=
×
x
dx
ò
H2 3
0
H
2
=
0
ö 1
pR 2 æç H 3
×
- 0 ÷ = pR 2 H. n
2 ç 3
÷ 3
H
è
ø
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 26. Ïîíÿòèå î äèô. óðàâíåíèè
247. Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ èíòåãðàëà. Ïîíÿòèå èíòåãðàëà ëåæèò â îñíîâå åãî ðàçíîîáðàçíûõ
ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé. Ïóñòü, íàïðèìåð, òåëî äâèæåòñÿ ïî îñè Îõ, â êàæäîé òî÷êå êîòîðîé ïðèëîæåíà
íåêîòîðàÿ ñèëà F = F (x) (ñ÷èòàåì, ÷òî âåêòîð ñèëû
íàïðàâëåí ïî îñè èëè â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó,
ò. å. ôàêòè÷åñêè, ÷òî ñèëà çäåñü íå âåêòîðíàÿ, à ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà). Òîãäà ðàáîòà À, êîòîðàÿ ñîâåðøàåòñÿ ïðè ïåðåìåùåíèè òåëà èç òî÷êè à â òî÷êó b,
b
âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå A = ò F (x)dx. Òàêèì îáðàa
çîì, ðàáîòà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò ñèëû.
Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî è èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå èíòåãðàëà, ëåãêî óñòàíîâèòü, ÷òî:
ïåðåìåùåíèå òåëà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò åãî
ñêîðîñòè;
ìàññà ñòåðæíÿ ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò åãî ëèíåéíîé ïëîòíîñòè;
ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò
ñèëû òîêà.
§ 26. Ïîíÿòèå î äèôôåðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè
248. Îïðåäåëåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ è åãî ðåøåíèÿ. Äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå, ñîäåðæàùåå ïðîèçâîäíóþ èñêîìîé ôóíêöèè, ñàìó ôóíêöèþ è åå àðãóìåíò. Îáùèé âèä äèôôåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà F (x, y, y ¢) = 0, ïðè÷åì
óðàâíåíèå ìîæåò áûòü è íåïîëíûì (íå ñîäåðæàùèì
353
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
õ èëè ó). Åñëè äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå èìååò
âèä F (x, y, y ¢, y ¢¢) = 0, òî îíî íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà.
Íàïðèìåð:
y ¢ + y - x = 0, y ¢ = cos x, y ¢ = 2y — äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà;
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 26. Ïîíÿòèå î äèô. óðàâíåíèè
Èòàê, ôóíêöèÿ y = C1 sin wx + C2 cos wx îáðàùàåò
óðàâíåíèå y ¢¢ + w2y = 0 â òîæäåñòâî. n
÷òî ó è y¢ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì y ¢ = ky. n
Ï ð è ì å ð 2. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ
âèäà y = C1 sin wx + C2 cos wx ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì
Ï ð è ì å ð 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå y ¢ = sin x.
q Íàì íóæíî íàéòè ôóíêöèþ, ïðîèçâîäíàÿ êîòîðîé ðàâíà sinx, ò. å. íàéòè ïåðâîîáðàçíóþ äëÿ
ôóíêöèè sin x. Òàêîâîé ÿâëÿåòñÿ – cos x, à òî÷íåå,
ëþáàÿ ôóíêöèÿ âèäà - cos x + C. Çíà÷èò, y = - cos x +
+ C — ðåøåíèå çàäàííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. n
Ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ íå îäíîçíà÷íî, à ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîé Ñ
— â ñëó÷àå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî
ïîðÿäêà (ñì. ïðèìåðû 1 è 3) èëè ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííûõ Ñ1 è Ñ2 — â ñëó÷àå äèôôåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà (ñì. ïðèìåð 2). Èíîãäà ê
äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ äîáàâëÿþò óñëîâèÿ
(èõ íàçûâàþò íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè), ñ ïîìîùüþ
êîòîðûõ ìîæíî íàéòè çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííûõ.
Ï ð è ì å ð 4. Ðåøèòü óðàâíåíèå y ¢ = sin x, åñëè
óðàâíåíèÿ y ¢¢ + w2y = 0.
q Èìååì:
y = C1 sin wx + C2 cos wx,
q  ïðèìåðå 3 ìû íàøëè, ÷òî y = - cos x + C. Òàê
êàê y(p) = 3, òî 3 = - cos p + C, ò. å. 3 = 1 + Ñ, îòêóäà
y ¢¢ + 2y ¢ - x - y = 0, y ¢¢ = x2 - 1, y ¢¢ = w2y — äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà.
Ðåøåíèåì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ ôóíêöèÿ, ïðè ïîäñòàíîâêå êîòîðîé
â óðàâíåíèå îíî îáðàùàåòñÿ â òîæäåñòâî.
Ï ð è ì å ð 1. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ
âèäà y = Ce kx ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ
y ¢ = ky.
q Èìåì y = Ce kx , îòêóäà y ¢ = Ckekx . Çàìå÷àåì,
y ¢ = C1w cos wx - C2 w sin wx,
Òîãäà
y ¢¢ = -C1w2 sin wx - C2w2 cos wx.
y ¢¢ + w2y = - w2 (C1 sin wx + C2 cos wx ) +
+ w2 (C1 sin wx + C2 cos wx) = 0.
354
y (p) = 3.
Ñ = 2. Çíà÷èò, y = - cos x + 2. n
249. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïîêàçàòåëüíîãî ðîñòà è ïîêàçàòåëüíîãî óáûâàíèÿ. ×àñòî áûâàåò, ÷òî ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ íåêîòîðîé âåëè÷èíû
ïðîïîðöèîíàëüíà çíà÷åíèþ ýòîé âåëè÷èíû â äàííûé
ìîìåíò âðåìåíè. Íàïðèìåð, ñêîðîñòü ðàäèîàêòèâíî355
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
õ èëè ó). Åñëè äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå èìååò
âèä F (x, y, y ¢, y ¢¢) = 0, òî îíî íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà.
Íàïðèìåð:
y ¢ + y - x = 0, y ¢ = cos x, y ¢ = 2y — äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà;
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 26. Ïîíÿòèå î äèô. óðàâíåíèè
Èòàê, ôóíêöèÿ y = C1 sin wx + C2 cos wx îáðàùàåò
óðàâíåíèå y ¢¢ + w2y = 0 â òîæäåñòâî. n
÷òî ó è y¢ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì y ¢ = ky. n
Ï ð è ì å ð 2. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ
âèäà y = C1 sin wx + C2 cos wx ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì
Ï ð è ì å ð 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå y ¢ = sin x.
q Íàì íóæíî íàéòè ôóíêöèþ, ïðîèçâîäíàÿ êîòîðîé ðàâíà sinx, ò. å. íàéòè ïåðâîîáðàçíóþ äëÿ
ôóíêöèè sin x. Òàêîâîé ÿâëÿåòñÿ – cos x, à òî÷íåå,
ëþáàÿ ôóíêöèÿ âèäà - cos x + C. Çíà÷èò, y = - cos x +
+ C — ðåøåíèå çàäàííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. n
Ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ íå îäíîçíà÷íî, à ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîé Ñ
— â ñëó÷àå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî
ïîðÿäêà (ñì. ïðèìåðû 1 è 3) èëè ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííûõ Ñ1 è Ñ2 — â ñëó÷àå äèôôåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà (ñì. ïðèìåð 2). Èíîãäà ê
äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ äîáàâëÿþò óñëîâèÿ
(èõ íàçûâàþò íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè), ñ ïîìîùüþ
êîòîðûõ ìîæíî íàéòè çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííûõ.
Ï ð è ì å ð 4. Ðåøèòü óðàâíåíèå y ¢ = sin x, åñëè
óðàâíåíèÿ y ¢¢ + w2y = 0.
q Èìååì:
y = C1 sin wx + C2 cos wx,
q  ïðèìåðå 3 ìû íàøëè, ÷òî y = - cos x + C. Òàê
êàê y(p) = 3, òî 3 = - cos p + C, ò. å. 3 = 1 + Ñ, îòêóäà
y ¢¢ + 2y ¢ - x - y = 0, y ¢¢ = x2 - 1, y ¢¢ = w2y — äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà.
Ðåøåíèåì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ ôóíêöèÿ, ïðè ïîäñòàíîâêå êîòîðîé
â óðàâíåíèå îíî îáðàùàåòñÿ â òîæäåñòâî.
Ï ð è ì å ð 1. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ
âèäà y = Ce kx ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ
y ¢ = ky.
q Èìåì y = Ce kx , îòêóäà y ¢ = Ckekx . Çàìå÷àåì,
y ¢ = C1w cos wx - C2 w sin wx,
Òîãäà
y ¢¢ = -C1w2 sin wx - C2w2 cos wx.
y ¢¢ + w2y = - w2 (C1 sin wx + C2 cos wx ) +
+ w2 (C1 sin wx + C2 cos wx) = 0.
354
y (p) = 3.
Ñ = 2. Çíà÷èò, y = - cos x + 2. n
249. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïîêàçàòåëüíîãî ðîñòà è ïîêàçàòåëüíîãî óáûâàíèÿ. ×àñòî áûâàåò, ÷òî ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ íåêîòîðîé âåëè÷èíû
ïðîïîðöèîíàëüíà çíà÷åíèþ ýòîé âåëè÷èíû â äàííûé
ìîìåíò âðåìåíè. Íàïðèìåð, ñêîðîñòü ðàäèîàêòèâíî355
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ãî ðàñïàäà ïðîïîðöèîíàëüíà íàëè÷íîé ìàññå âåùåñòâà; ïðèðîñò äåíåã ïî âêëàäó â áàíêå ïðîïîðöèîíàëåí âåëè÷èíå âêëàäà è ò. ä.
Òàê êàê ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ âåëè÷èíû ó ïðîïîðöèîíàëüíà ñàìîé âåëè÷èíå ó, òî âûïîëíÿåòñÿ
ðàâåíñòâî
y ¢ = ky.
(1)
Êîýôôèöèåíò k ïîëîæèòåëåí, åñëè âåëè÷èíà ó óâåëè÷èâàåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè (íàïðèìåð, âêëàä â
áàíêå), è îòðèöàòåëåí, åñëè ó óìåíüøàåòñÿ (íàïðèìåð, ìàññà âåùåñòâà ïðè ðàäèîàêòèâíîì ðàñïàäå).
Âî âòîðîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (1) îáû÷íî çàïèñûâàþò â âèäå y ¢ = - ky, ñ÷èòàÿ, ÷òî k > 0. Óðàâíåíèå
y ¢ = ky íàçûâàþò äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì
ïîêàçàòåëüíîãî ðîñòà, à óðàâíåíèå y ¢ = - ky — äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïîêàçàòåëüíîãî óáûâàíèÿ.
Ëþáàÿ ôóíêöèÿ âèäà Ce kx ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì
óðàâíåíèÿ (1) (ñì. ïðèìåð 1 èç ï. 248), ïðè÷åì èíûõ
ðåøåíèé ýòî óðàâíåíèå íå èìååò. ×èñëî Ñ èìååò ïðîñòîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë: îíî ðàâíî çíà÷åíèþ ó ïðè
õ = 0, ò. å. íà÷àëüíîìó çíà÷åíèþ ó.  ñàìîì äåëå,
ïðè õ = 0 ïîëó÷àåì y = Ce k×0 = Ce 0 = C.
Ï ð è ì å ð 1. Óðàâíåíèå ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà çàïèñûâàåòñÿ â âèäå m ¢ = - km (m — ìàññà). Åãî
ðåøåíèå åñòü m = Ce - kt (ïîñêîëüêó çäåñü àðãóìåíòîì ÿâëÿåòñÿ âðåìÿ, èñïîëüçóåì ïðèâû÷íîå îáîçíà÷å356
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 26. Ïîíÿòèå î äèô. óðàâíåíèè
íèå t). Êàê îòìå÷åíî âûøå, Ñ — íà÷àëüíîå êîëè÷åñòâî âåùåñòâà, ò. å. C = m0 . Ïîýòîìó çàêîí ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà èìååò âèä
m = m0e -kt .
(2)
Íà ïðàêòèêå âñòðå÷àåòñÿ è äèôôåðåíöèàëüíîå
óðàâíåíèå íåñêîëüêî áîëåå ñëîæíîãî âèäà, ÷åì (1):
y ¢ = k (y - a).
Åãî ðåøåíèå èìååò âèä y = a + Ce kx . Â ñàìîì
äåëå,
y ¢ = (a + Ce kx )¢ = Cke kx = k (Ce kx + a - a) = k (y - a).
Ï ð è ì å ð 2. Ñêîðîñòü îñòûâàíèÿ òåëà ïðîïîðöèîíàëüíà ðàçíîñòè òåìïåðàòóðû Ò ýòîãî òåëà
è òåìïåðàòóðû Ò0 îêðóæàþùåé ñðåäû. Ýòî çíà÷èò,
÷òî
T ¢ = - k (T - T0 ).
Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä T = T0 +
+ Ce - kt . Åñëè ñíà÷àëà (ïðè t = 0) òåìïåðàòóðà òåëà
áûëà ðàâíà Ò1, òî Ò1 = Ò0 + Ñ è ïîòîìó Ñ = Ò1 – Ò0,
ò. å. T = T0 + (T1 - T0 )e - kt . Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè e - kt
ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, è â ïðåäåëå òåìïåðàòóðà òåëà ñðàâíÿåòñÿ ñ òåìïåðàòóðîé Ò0 îêðóæàþùåé åãî ñðåäû.
250. Óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Íà
ïðàêòèêå ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ ïðîöåññû, êîòîðûå ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþòñÿ, íàïðèìåð êîëåáàòåëüíûå
äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà, ñòðóíû, ïðóæèíû è ò. ä.; ïðî357
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
ãî ðàñïàäà ïðîïîðöèîíàëüíà íàëè÷íîé ìàññå âåùåñòâà; ïðèðîñò äåíåã ïî âêëàäó â áàíêå ïðîïîðöèîíàëåí âåëè÷èíå âêëàäà è ò. ä.
Òàê êàê ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ âåëè÷èíû ó ïðîïîðöèîíàëüíà ñàìîé âåëè÷èíå ó, òî âûïîëíÿåòñÿ
ðàâåíñòâî
y ¢ = ky.
(1)
Êîýôôèöèåíò k ïîëîæèòåëåí, åñëè âåëè÷èíà ó óâåëè÷èâàåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè (íàïðèìåð, âêëàä â
áàíêå), è îòðèöàòåëåí, åñëè ó óìåíüøàåòñÿ (íàïðèìåð, ìàññà âåùåñòâà ïðè ðàäèîàêòèâíîì ðàñïàäå).
Âî âòîðîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (1) îáû÷íî çàïèñûâàþò â âèäå y ¢ = - ky, ñ÷èòàÿ, ÷òî k > 0. Óðàâíåíèå
y ¢ = ky íàçûâàþò äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì
ïîêàçàòåëüíîãî ðîñòà, à óðàâíåíèå y ¢ = - ky — äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïîêàçàòåëüíîãî óáûâàíèÿ.
Ëþáàÿ ôóíêöèÿ âèäà Ce kx ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì
óðàâíåíèÿ (1) (ñì. ïðèìåð 1 èç ï. 248), ïðè÷åì èíûõ
ðåøåíèé ýòî óðàâíåíèå íå èìååò. ×èñëî Ñ èìååò ïðîñòîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë: îíî ðàâíî çíà÷åíèþ ó ïðè
õ = 0, ò. å. íà÷àëüíîìó çíà÷åíèþ ó.  ñàìîì äåëå,
ïðè õ = 0 ïîëó÷àåì y = Ce k×0 = Ce 0 = C.
Ï ð è ì å ð 1. Óðàâíåíèå ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà çàïèñûâàåòñÿ â âèäå m ¢ = - km (m — ìàññà). Åãî
ðåøåíèå åñòü m = Ce - kt (ïîñêîëüêó çäåñü àðãóìåíòîì ÿâëÿåòñÿ âðåìÿ, èñïîëüçóåì ïðèâû÷íîå îáîçíà÷å356
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 26. Ïîíÿòèå î äèô. óðàâíåíèè
íèå t). Êàê îòìå÷åíî âûøå, Ñ — íà÷àëüíîå êîëè÷åñòâî âåùåñòâà, ò. å. C = m0 . Ïîýòîìó çàêîí ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà èìååò âèä
m = m0e -kt .
(2)
Íà ïðàêòèêå âñòðå÷àåòñÿ è äèôôåðåíöèàëüíîå
óðàâíåíèå íåñêîëüêî áîëåå ñëîæíîãî âèäà, ÷åì (1):
y ¢ = k (y - a).
Åãî ðåøåíèå èìååò âèä y = a + Ce kx . Â ñàìîì
äåëå,
y ¢ = (a + Ce kx )¢ = Cke kx = k (Ce kx + a - a) = k (y - a).
Ï ð è ì å ð 2. Ñêîðîñòü îñòûâàíèÿ òåëà ïðîïîðöèîíàëüíà ðàçíîñòè òåìïåðàòóðû Ò ýòîãî òåëà
è òåìïåðàòóðû Ò0 îêðóæàþùåé ñðåäû. Ýòî çíà÷èò,
÷òî
T ¢ = - k (T - T0 ).
Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä T = T0 +
+ Ce - kt . Åñëè ñíà÷àëà (ïðè t = 0) òåìïåðàòóðà òåëà
áûëà ðàâíà Ò1, òî Ò1 = Ò0 + Ñ è ïîòîìó Ñ = Ò1 – Ò0,
ò. å. T = T0 + (T1 - T0 )e - kt . Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè e - kt
ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, è â ïðåäåëå òåìïåðàòóðà òåëà ñðàâíÿåòñÿ ñ òåìïåðàòóðîé Ò0 îêðóæàþùåé åãî ñðåäû.
250. Óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Íà
ïðàêòèêå ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ ïðîöåññû, êîòîðûå ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþòñÿ, íàïðèìåð êîëåáàòåëüíûå
äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà, ñòðóíû, ïðóæèíû è ò. ä.; ïðî357
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
öåññû, ñâÿçàííûå ñ ïåðåìåííûì ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì, ìàãíèòíûì ïîëåì è ò. ä. Ðåøåíèå ìíîãèõ òàêèõ çàäà÷ ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ äèôôåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ
y ¢¢ + w2y = 0,
(1)
ãäå w — çàäàííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ (1) ÿâëÿþòñÿ ëþáûå ôóíêöèè âèäà
y = C1 sin wx + C2 cos wx (ñì. ïðèìåð 2 èç ï. 248), ãäå
Ñ1 è Ñ2 — ïîñòîÿííûå, îïðåäåëÿåìûå óñëîâèÿìè êîíêðåòíîé çàäà÷è. Óðàâíåíèå (1) íàçûâàþò äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé.
Âûðàæåíèå C1 sin wx + C2 cos wx ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó A sin(wx + j) (ñì. ï. 87). Ïîýòîìó
îáû÷íî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) çàïèñûâàþò â âèäå
y(t) = A sin(wx + j).
Ýòî çàêîí ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé; çäåñü À —
àìïëèòóäà êîëåáàíèÿ, w — ÷àñòîòà, j — íà÷àëüíàÿ
ôàçà. Ãðàôèêîì ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ñëóæèò
ñèíóñîèäà (ñì. ï. 137).
358
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ
öåññû, ñâÿçàííûå ñ ïåðåìåííûì ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì, ìàãíèòíûì ïîëåì è ò. ä. Ðåøåíèå ìíîãèõ òàêèõ çàäà÷ ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ äèôôåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ
y ¢¢ + w2y = 0,
(1)
ãäå w — çàäàííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ (1) ÿâëÿþòñÿ ëþáûå ôóíêöèè âèäà
y = C1 sin wx + C2 cos wx (ñì. ïðèìåð 2 èç ï. 248), ãäå
Ñ1 è Ñ2 — ïîñòîÿííûå, îïðåäåëÿåìûå óñëîâèÿìè êîíêðåòíîé çàäà÷è. Óðàâíåíèå (1) íàçûâàþò äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé.
Âûðàæåíèå C1 sin wx + C2 cos wx ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó A sin(wx + j) (ñì. ï. 87). Ïîýòîìó
îáû÷íî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) çàïèñûâàþò â âèäå
y(t) = A sin(wx + j).
Ýòî çàêîí ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé; çäåñü À —
àìïëèòóäà êîëåáàíèÿ, w — ÷àñòîòà, j — íà÷àëüíàÿ
ôàçà. Ãðàôèêîì ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ñëóæèò
ñèíóñîèäà (ñì. ï. 137).
358
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ
§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà
251. Òî÷êà,ïðÿìàÿ, ëó÷, îòðåçîê. Óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè. Íåêîòîðûå ïðîñòåéøèå ïîíÿòèÿ
ãåîìåòðèè, òàêèå êàê òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü, íå
îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ èíûõ ïîíÿòèé ïðè èçëîæåíèè ãåîìåòðèè.  äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü òî÷êè ïðîïèñíûìè, à ïðÿìûå — ñòðî÷íûìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà (ïðÿìûå òàêæå ÷àñòî îáîçíà÷àþòñÿ äâóìÿ ïðîïèñíûìè áóêâàìè).
Òî÷êà Ì, ëåæàùàÿ íà ïðÿìîé à, ðàçáèâàåò åå íà
äâå ÷àñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ íàçûâàåòñÿ ïîëóïðÿìîé (èëè ëó÷îì). Òî÷êà Ì ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì êàæäîãî èç ýòèõ ëó÷åé (MP è MQ íà ðèñ. 115). ×àñòü
ïðÿìîé, çàêëþ÷åííàÿ ìåæäó äâóìÿ åå òî÷êàìè, íàçûâàåòñÿ îòðåçêîì (MN íà ðèñ. 115).
Ðèñ. 115
Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ïðÿìîé:
10. ×åðåç äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè ïðîõîäèò åäèíñòâåííàÿ ïðÿìàÿ.
359
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ
§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà
251. Òî÷êà,ïðÿìàÿ, ëó÷, îòðåçîê. Óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè. Íåêîòîðûå ïðîñòåéøèå ïîíÿòèÿ
ãåîìåòðèè, òàêèå êàê òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü, íå
îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ èíûõ ïîíÿòèé ïðè èçëîæåíèè ãåîìåòðèè.  äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü òî÷êè ïðîïèñíûìè, à ïðÿìûå — ñòðî÷íûìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà (ïðÿìûå òàêæå ÷àñòî îáîçíà÷àþòñÿ äâóìÿ ïðîïèñíûìè áóêâàìè).
Òî÷êà Ì, ëåæàùàÿ íà ïðÿìîé à, ðàçáèâàåò åå íà
äâå ÷àñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ íàçûâàåòñÿ ïîëóïðÿìîé (èëè ëó÷îì). Òî÷êà Ì ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì êàæäîãî èç ýòèõ ëó÷åé (MP è MQ íà ðèñ. 115). ×àñòü
ïðÿìîé, çàêëþ÷åííàÿ ìåæäó äâóìÿ åå òî÷êàìè, íàçûâàåòñÿ îòðåçêîì (MN íà ðèñ. 115).
Ðèñ. 115
Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ïðÿìîé:
10. ×åðåç äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè ïðîõîäèò åäèíñòâåííàÿ ïðÿìàÿ.
359
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
20. Äâå ðàçëè÷íûå ïðÿìûå èìåþò íå áîëåå îäíîé
îáùåé òî÷êè; åñëè ïðÿìûå èìåþò îäíó îáùóþ òî÷êó,
òî ãîâîðÿò, ÷òî îíè ïåðåñåêàþòñÿ â ýòîé òî÷êå; åñëè
æå ïðÿìûå íå èìåþò îáùèõ òî÷åê, òî îíè íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè.
Óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè — ýòî óðàâíåíèå ïåðâîé ñòåïåíè ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè è ïðîèçâîëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè.  îáùåì ñëó÷àå îíî
èìååò âèä
Ax + By + C = 0.
(1)
Ïðè ýòîì n = { A; B} — âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé
ïðÿìîé (íîðìàëü ê ïðÿìîé).
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè óðàâíåíèÿ (1):
1. Åñëè Ñ = 0, òî ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî
êîîðäèíàò.
2. Åñëè À = 0, òî ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà îñè Îx.
3. Åñëè Â = 0, òî ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà îñè Îó.
Íàïðèìåð õ = ó — óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò; ó = 2 — óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè Îõ; õ = 1 — óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè Îó (ðèñ. 116).
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà
Åñëè â óðàâíåíèè (1) B ¹ 0, òî åãî ìîæíî çàïèA
C
A
C
= k, = b,
ñàòü â âèäå y = - x - . Ïîëàãàÿ B
B
B
B
ïîëó÷èì
y = kx + b.
(2)
Ýòî óðàâíåíèå ïðÿìîé ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì k. Çäåñü ÷èñëî k — óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé (ñì. ï. 100), êîòîðûé ðàâåí òàíãåíñó óãëà a
ìåæäó äàííîé ïðÿìîé è ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè Îõ. Ïðè k > 0 óãîë a — îñòðûé (ðèñ. 117, à),
à ïðè k < 0 — òóïîé (ðèñ. 117, á).
a)
á)
Ðèñ. 117
Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó Ì (õ0; ó0) è èìåþùåé çàäàííûé óãëîâîé êîýôôèöèåíò k, çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
y - y0 = k (x - x0 ).
Ðèñ. 116
360
(3)
Ï ð è ì å ð 1. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó Ì (1; 2) è èìåþùåé óãëîâîé
êîýôôèöèåíò k = 3.
361
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
20. Äâå ðàçëè÷íûå ïðÿìûå èìåþò íå áîëåå îäíîé
îáùåé òî÷êè; åñëè ïðÿìûå èìåþò îäíó îáùóþ òî÷êó,
òî ãîâîðÿò, ÷òî îíè ïåðåñåêàþòñÿ â ýòîé òî÷êå; åñëè
æå ïðÿìûå íå èìåþò îáùèõ òî÷åê, òî îíè íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè.
Óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè — ýòî óðàâíåíèå ïåðâîé ñòåïåíè ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè è ïðîèçâîëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè.  îáùåì ñëó÷àå îíî
èìååò âèä
Ax + By + C = 0.
(1)
Ïðè ýòîì n = { A; B} — âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé
ïðÿìîé (íîðìàëü ê ïðÿìîé).
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè óðàâíåíèÿ (1):
1. Åñëè Ñ = 0, òî ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî
êîîðäèíàò.
2. Åñëè À = 0, òî ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà îñè Îx.
3. Åñëè Â = 0, òî ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà îñè Îó.
Íàïðèìåð õ = ó — óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò; ó = 2 — óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè Îõ; õ = 1 — óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè Îó (ðèñ. 116).
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà
Åñëè â óðàâíåíèè (1) B ¹ 0, òî åãî ìîæíî çàïèA
C
A
C
= k, = b,
ñàòü â âèäå y = - x - . Ïîëàãàÿ B
B
B
B
ïîëó÷èì
y = kx + b.
(2)
Ýòî óðàâíåíèå ïðÿìîé ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì k. Çäåñü ÷èñëî k — óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé (ñì. ï. 100), êîòîðûé ðàâåí òàíãåíñó óãëà a
ìåæäó äàííîé ïðÿìîé è ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè Îõ. Ïðè k > 0 óãîë a — îñòðûé (ðèñ. 117, à),
à ïðè k < 0 — òóïîé (ðèñ. 117, á).
a)
á)
Ðèñ. 117
Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó Ì (õ0; ó0) è èìåþùåé çàäàííûé óãëîâîé êîýôôèöèåíò k, çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
y - y0 = k (x - x0 ).
Ðèñ. 116
360
(3)
Ï ð è ì å ð 1. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó Ì (1; 2) è èìåþùåé óãëîâîé
êîýôôèöèåíò k = 3.
361
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
q Ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (3) , ïîëó÷èì
y - 2 = 3 (x - 1), îòêóäà 3x - y - 1 = 0. n
Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå äàííûå
òî÷êè Ì1 (õ1; ó1) è Ì2 (õ2; ó2), èìååò âèä
y - y1
x - x1
=
.
y2 - y1 x2 - x1
(4)
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè Ì1 (1; 2) è Ì2 (–3; 4).
q Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå (4) ïðè x1 = 1, y1 = 2,
x2 = -3, y2 = 4, ïîëó÷èì
y -2
x -1
=
, îòêóäà x + 2y - 5 = 0. n
4-2 -3 -1
252. Ïëîñêîñòü. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå. Ôèãóðû è òåëà. Ïëîñêîñòü — ýòî ïðîñòåéøàÿ ïîâåðõíîñòü. Îáû÷íî ïëîñêîñòè îáîçíà÷àþòñÿ òðåìÿ ïðîïèñíûìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà, à èíîãäà — îäíîé ñòðî÷íîé áóêâîé ãðå÷åñêîãî
àëôàâèòà ( a, b, g è ò. ä).
Îòìåòèì îñíîâíûå ñâîéñòâà ïëîñêîñòè:
1 0.×åðåç òðè òî÷êè, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé, ìîæíî ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî
îäíó.
20. Ïðÿìàÿ, äâå òî÷êè êîòîðîé ëåæàò â ïëîñêîñòè,
öåëèêîì ëåæèò â ýòîé ïëîñêîñòè.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè ïðÿìàÿ íå ëåæèò â ïëîñêîñòè, òî îíà ëèáî èìååò ñ íåé îäíó îáùóþ òî÷êó (ýòî
òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè), ëèáî íå èìååò
ñ íåé îáùèõ òî÷åê (â ýòîì ñëó÷àå ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè; ñì. ï. 304).
362
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà
30. ×åðåç ïðÿìóþ è òî÷êó, íå ëåæàùóþ íà íåé,
ìîæíî ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî îäíó.
40. ×åðåç äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå ìîæíî
ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî îäíó.
50. ×åðåç äâå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ìîæíî ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî îäíó.
60. Åñëè äâå ïëîñêîñòè èìåþò îáùóþ òî÷êó, òî
îíè ëèáî èìåþò è îáùóþ ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç ýòó òî÷êó (ýòà ïðÿìàÿ — ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ
ïëîñêîñòåé), ëèáî ñîâïàäàþò öåëèêîì.
Ëþáàÿ ïðÿìàÿ, ëåæàùàÿ â ïëîñêîñòè, äåëèò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ íàçûâàåòñÿ
ïîëóïëîñêîñòüþ.
Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå (àíàëîãè÷íî óðàâíåíèþ ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè) — ýòî óðàâíåíèå ïåðâîé ñòåïåíè ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè è ïðîèçâîëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè.  îáùåì ñëó÷àå îíî
èìååò âèä
Ax + By + Cz + D = 0.
(1)
Ïðè ýòîì n = { A; B; C} — âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé ïëîñêîñòè (íîðìàëü ê ïëîñêîñòè).
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè óðàâíåíèÿ (1):
1. Åñëè D = 0, òî ïëîñêîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò.
2. Åñëè À = 0, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà îñè Îõ.
3. Åñëè Â = 0 èëè Ñ = 0, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà îñè Îó èëè Oz ñîîòâåòñòâåííî.
4. Åñëè À = 0 è Â = 0, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà
êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎó.
5. Åñëè À = 0 è Ñ = 0 èëè Â = 0 è Ñ = 0, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎz èëè
yOz ñîîòâåòñòâåííî.
Íàïðèìåð, x - 2y - 5z = 0 — óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò; 3x + 4z 363
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
q Ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (3) , ïîëó÷èì
y - 2 = 3 (x - 1), îòêóäà 3x - y - 1 = 0. n
Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå äàííûå
òî÷êè Ì1 (õ1; ó1) è Ì2 (õ2; ó2), èìååò âèä
y - y1
x - x1
=
.
y2 - y1 x2 - x1
(4)
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè Ì1 (1; 2) è Ì2 (–3; 4).
q Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå (4) ïðè x1 = 1, y1 = 2,
x2 = -3, y2 = 4, ïîëó÷èì
y -2
x -1
=
, îòêóäà x + 2y - 5 = 0. n
4-2 -3 -1
252. Ïëîñêîñòü. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå. Ôèãóðû è òåëà. Ïëîñêîñòü — ýòî ïðîñòåéøàÿ ïîâåðõíîñòü. Îáû÷íî ïëîñêîñòè îáîçíà÷àþòñÿ òðåìÿ ïðîïèñíûìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà, à èíîãäà — îäíîé ñòðî÷íîé áóêâîé ãðå÷åñêîãî
àëôàâèòà ( a, b, g è ò. ä).
Îòìåòèì îñíîâíûå ñâîéñòâà ïëîñêîñòè:
1 0.×åðåç òðè òî÷êè, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé, ìîæíî ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî
îäíó.
20. Ïðÿìàÿ, äâå òî÷êè êîòîðîé ëåæàò â ïëîñêîñòè,
öåëèêîì ëåæèò â ýòîé ïëîñêîñòè.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè ïðÿìàÿ íå ëåæèò â ïëîñêîñòè, òî îíà ëèáî èìååò ñ íåé îäíó îáùóþ òî÷êó (ýòî
òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè), ëèáî íå èìååò
ñ íåé îáùèõ òî÷åê (â ýòîì ñëó÷àå ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè; ñì. ï. 304).
362
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà
30. ×åðåç ïðÿìóþ è òî÷êó, íå ëåæàùóþ íà íåé,
ìîæíî ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî îäíó.
40. ×åðåç äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå ìîæíî
ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî îäíó.
50. ×åðåç äâå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ìîæíî ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî îäíó.
60. Åñëè äâå ïëîñêîñòè èìåþò îáùóþ òî÷êó, òî
îíè ëèáî èìåþò è îáùóþ ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç ýòó òî÷êó (ýòà ïðÿìàÿ — ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ
ïëîñêîñòåé), ëèáî ñîâïàäàþò öåëèêîì.
Ëþáàÿ ïðÿìàÿ, ëåæàùàÿ â ïëîñêîñòè, äåëèò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ íàçûâàåòñÿ
ïîëóïëîñêîñòüþ.
Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå (àíàëîãè÷íî óðàâíåíèþ ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè) — ýòî óðàâíåíèå ïåðâîé ñòåïåíè ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè è ïðîèçâîëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè.  îáùåì ñëó÷àå îíî
èìååò âèä
Ax + By + Cz + D = 0.
(1)
Ïðè ýòîì n = { A; B; C} — âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé ïëîñêîñòè (íîðìàëü ê ïëîñêîñòè).
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè óðàâíåíèÿ (1):
1. Åñëè D = 0, òî ïëîñêîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò.
2. Åñëè À = 0, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà îñè Îõ.
3. Åñëè Â = 0 èëè Ñ = 0, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà îñè Îó èëè Oz ñîîòâåòñòâåííî.
4. Åñëè À = 0 è Â = 0, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà
êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎó.
5. Åñëè À = 0 è Ñ = 0 èëè Â = 0 è Ñ = 0, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎz èëè
yOz ñîîòâåòñòâåííî.
Íàïðèìåð, x - 2y - 5z = 0 — óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò; 3x + 4z 363
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
-8 = 0 — óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé îñè
Îó; 3y - 7 = 0 — óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè xOz.
Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç çàäàííóþ òî÷êó Ì (õ0; ó0; z 0) è ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòîðó n = { A; B; C}, èìååò âèä
A (x - x0 ) + B (y - y0 ) + C (z - z0 ) = 0.
(2)
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó Ì (1; 2; 3) è ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòîðó n = {4; 5; - 2}.
q Ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (2), ïðè À = 4, Â = 5, Ñ =
= –2, x0 = 1, y0 = 2, z0 = 3 ïîëó÷èì
îòêóäà
4x + 5y -2z - 8 = 0.
Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè çàäàííûå òî÷êè Ì1 (õ1; ó1; z1), Ì2 (õ2; ó2; z2), Ì3 (õ3;
ó3; z3), èìååò âèä
y - y1
z - z1
x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 = 0.
(3)
x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1
Ï ð è ì å ð 2. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè Ì1 (1; 2; 3), Ì2 (2; –1; 4),
Ì3 (3; 2; –3).
364
§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà
q Èìååì
x -1
2 -1
y-2
-1-2
3-1
2-2
z z- –3 3
44- –3 3 = 0,
-3-3
èëè
x -1
y-2
z-3
1
-3
1 = 0,
2
0
-6
îòêóäà, ðàçëàãàÿ îïðåäåëèòåëü ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé
ñòðîêè, íàõîäèì
18 (x - 1) + 8 (y - 2) + 6 (z - 3) = 0,
èëè
4 (x - 1) + 5 (y - 2) - 2 (z - 3) = 0,
x - x1
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
9x + 4y + 3z – 26 = 0.
Áóäåì íàçûâàòü ôèãóðîé íåêîòîðîå ñî÷åòàíèå îïðåäåëåííûì îáðàçîì ðàñïîëîæåííûõ òî÷åê, ëó÷åé,
ïðÿìûõ, îòðåçêîâ. Ïðè ýòîì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïëîñêèå ôèãóðû, ò. å. òàêèå ôèãóðû, âñå
ýëåìåíòû êîòîðûõ ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. Íàïðèìåð, ôèãóðîé ÿâëÿåòñÿ êâàäðàò.
Òåëîì îáû÷íî íàçûâàþò ÷àñòü ïðîñòðàíñòâà, îãðàíè÷åííóþ êàêîé-ëèáî çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ.
Íàïðèìåð, êóá — ýòî òåëî, îãðàíè÷åííîå øåñòüþ êâàäðàòíûìè ãðàíÿìè.
253. Óãîë. Óãëîì íàçûâàåòñÿ ÷àñòü ïëîñêîñòè,
îãðàíè÷åííàÿ äâóìÿ ëó÷àìè ñ îáùèì íà÷àëîì. Ïðè
ýòîì ëó÷è íàçûâàþòñÿ ñòîðîíàìè óãëà, à èõ îáùåå
íà÷àëî — âåðøèíîé óãëà. Óãëû îáû÷íî îáîçíà÷àþòñÿ èëè òðåìÿ ïðîïèñíûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè (ãäå
âåðøèíà ïèøåòñÿ â ñåðåäèíå), èëè îäíîé ïðîïèñíîé
365
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
-8 = 0 — óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé îñè
Îó; 3y - 7 = 0 — óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè xOz.
Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç çàäàííóþ òî÷êó Ì (õ0; ó0; z 0) è ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòîðó n = { A; B; C}, èìååò âèä
A (x - x0 ) + B (y - y0 ) + C (z - z0 ) = 0.
(2)
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó Ì (1; 2; 3) è ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòîðó n = {4; 5; - 2}.
q Ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (2), ïðè À = 4, Â = 5, Ñ =
= –2, x0 = 1, y0 = 2, z0 = 3 ïîëó÷èì
îòêóäà
4x + 5y -2z - 8 = 0.
Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè çàäàííûå òî÷êè Ì1 (õ1; ó1; z1), Ì2 (õ2; ó2; z2), Ì3 (õ3;
ó3; z3), èìååò âèä
y - y1
z - z1
x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 = 0.
(3)
x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1
Ï ð è ì å ð 2. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè Ì1 (1; 2; 3), Ì2 (2; –1; 4),
Ì3 (3; 2; –3).
364
§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà
q Èìååì
x -1
2 -1
y-2
-1-2
3-1
2-2
z z- –3 3
44- –3 3 = 0,
-3-3
èëè
x -1
y-2
z-3
1
-3
1 = 0,
2
0
-6
îòêóäà, ðàçëàãàÿ îïðåäåëèòåëü ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé
ñòðîêè, íàõîäèì
18 (x - 1) + 8 (y - 2) + 6 (z - 3) = 0,
èëè
4 (x - 1) + 5 (y - 2) - 2 (z - 3) = 0,
x - x1
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
9x + 4y + 3z – 26 = 0.
Áóäåì íàçûâàòü ôèãóðîé íåêîòîðîå ñî÷åòàíèå îïðåäåëåííûì îáðàçîì ðàñïîëîæåííûõ òî÷åê, ëó÷åé,
ïðÿìûõ, îòðåçêîâ. Ïðè ýòîì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïëîñêèå ôèãóðû, ò. å. òàêèå ôèãóðû, âñå
ýëåìåíòû êîòîðûõ ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. Íàïðèìåð, ôèãóðîé ÿâëÿåòñÿ êâàäðàò.
Òåëîì îáû÷íî íàçûâàþò ÷àñòü ïðîñòðàíñòâà, îãðàíè÷åííóþ êàêîé-ëèáî çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ.
Íàïðèìåð, êóá — ýòî òåëî, îãðàíè÷åííîå øåñòüþ êâàäðàòíûìè ãðàíÿìè.
253. Óãîë. Óãëîì íàçûâàåòñÿ ÷àñòü ïëîñêîñòè,
îãðàíè÷åííàÿ äâóìÿ ëó÷àìè ñ îáùèì íà÷àëîì. Ïðè
ýòîì ëó÷è íàçûâàþòñÿ ñòîðîíàìè óãëà, à èõ îáùåå
íà÷àëî — âåðøèíîé óãëà. Óãëû îáû÷íî îáîçíà÷àþòñÿ èëè òðåìÿ ïðîïèñíûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè (ãäå
âåðøèíà ïèøåòñÿ â ñåðåäèíå), èëè îäíîé ïðîïèñíîé
365
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
ëàòèíñêîé áóêâîé — âåðøèíîé
( ÐAOB èëè ÐO íà ðèñ. 118),
èëè îäíîé ñòðî÷íîé ãðå÷åñêîé
áóêâîé. Çàìåòèì, ÷òî ïîä óãëîì
ÀΠìîæíî ïîíèìàòü êàê çàøòðèõîâàííóþ ÷àñòü ïëîñêîñòè,
òàê è îñòàëüíóþ åå ÷àñòü
(ðèñ. 118).
Âîçìîæíî, ÷òî ëó÷è ÎÀ è
Ðèñ. 118
ÎÂ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé.
Ïðè ýòîì åñëè îíè ïðîäîëæàþò äðóã äðóãà (ðèñ. 119, à), òî êàæäûé èç îáðàçóåìûõ èìè óãëîâ çàíèìàåò ïîëóïëîñêîñòü; â ýòîì
ñëó÷àå óãîë ÀΠíàçûâàåòñÿ ðàçâåðíóòûì. Åñëè
æå ÎÀ è ÎÂ ñëèâàþòñÿ (ðèñ. 119, á), òî îäèí èç óãëîâ ÀÎÂ íàçûâàòñÿ íóëåâûì, à âòîðîé çàíèìàåò âñþ
ïëîñêîñòü è íàçûâàåòñÿ ïîëíûì.
Îáû÷íî ïîä óãëîì ìåæäó äâóìÿ ëó÷àìè ÎÀ
è ÎÂ ïîíèìàþò òîò óãîë, êîòîðûé ëåæèò âíóòðè
ðàçâåðíóòîãî óãëà, ò. å. çàøòðèõîâàííûé óãîë íà
ðèñ. 118.
Ðàññìîòðèì ðàçâåðíóòûé óãîë ÀÎÂ (ðèñ. 120).
Ïðîâåäåì ëó÷ ÎÑ. Óãëû ÀÎÑ è ÑÎÂ, íà êîòîðûå
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà
ïîëóïëîñêîñòü ðàçáèâàåòñÿ ëó÷îì ÎÑ, íàçûâàþòñÿ
ñìåæíûìè. Ñòîðîíà ÎÑ äëÿ ýòèõ óãëîâ îáùàÿ, ñòîðîíû ÎÀ è ÎÂ ïðîäîëæàþò äðóã äðóãà. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ñìåæíûå óãëû äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî
ðàçâåðíóòîãî. Òàêèå óãëû íàçûâàþòñÿ äîïîëíèòåëüíûìè.
Ðàññìîòðèì äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå ÀÂ è
CD. Ïóñòü Î — òî÷êà èõ ïåðåñå÷åíèÿ (ðèñ. 121).
Ïðè ýòîì ñòîðîíû óãëîâ AOC è BOD, à òàêæå ñòîðîíû óãëîâ ÑΠè DOA ïðîäîëæàþò äðóã äðóãà. Òàêèå óãëû íàçûâàþòñÿ âåðòèêàëüíûìè. Òàêèì îáðàçîì, óãëû ÀÎÑ è BOD — îäíà ïàðà âåðòèêàëüíûõ
óãëîâ,à óãëû ÑΠè DOA — âòîðàÿ ïàðà âåðòèêàëüíûõ óãëîâ (ðèñ. 121).
Ðèñ. 121
Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî âåðòèêàëüíûå óãëû — ýòî
óãëû, ñìåæíûå ñ îäíèì è òåì æå óãëîì (íà ðèñ.
121 óãëû ÀÎÑ è BOD ñìåæíûå, íàïðèìåð, ñ óãëîì
ÑÎÂ).
Ò.8.1. Âåðòèêàëüíûå óãëû ðàâíû.
á)
a)
Ðèñ. 119
366
Ðèñ. 120
254. Ãðàäóñíàÿ è ðàäèàííàÿ ìåðû óãëîâ. Óãëû
ïðèíÿòî èçìåðÿòü â ãðàäóñàõ è ðàäèàíàõ. Çà åäèíè367
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
ëàòèíñêîé áóêâîé — âåðøèíîé
( ÐAOB èëè ÐO íà ðèñ. 118),
èëè îäíîé ñòðî÷íîé ãðå÷åñêîé
áóêâîé. Çàìåòèì, ÷òî ïîä óãëîì
ÀΠìîæíî ïîíèìàòü êàê çàøòðèõîâàííóþ ÷àñòü ïëîñêîñòè,
òàê è îñòàëüíóþ åå ÷àñòü
(ðèñ. 118).
Âîçìîæíî, ÷òî ëó÷è ÎÀ è
Ðèñ. 118
ÎÂ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé.
Ïðè ýòîì åñëè îíè ïðîäîëæàþò äðóã äðóãà (ðèñ. 119, à), òî êàæäûé èç îáðàçóåìûõ èìè óãëîâ çàíèìàåò ïîëóïëîñêîñòü; â ýòîì
ñëó÷àå óãîë ÀΠíàçûâàåòñÿ ðàçâåðíóòûì. Åñëè
æå ÎÀ è ÎÂ ñëèâàþòñÿ (ðèñ. 119, á), òî îäèí èç óãëîâ ÀÎÂ íàçûâàòñÿ íóëåâûì, à âòîðîé çàíèìàåò âñþ
ïëîñêîñòü è íàçûâàåòñÿ ïîëíûì.
Îáû÷íî ïîä óãëîì ìåæäó äâóìÿ ëó÷àìè ÎÀ
è ÎÂ ïîíèìàþò òîò óãîë, êîòîðûé ëåæèò âíóòðè
ðàçâåðíóòîãî óãëà, ò. å. çàøòðèõîâàííûé óãîë íà
ðèñ. 118.
Ðàññìîòðèì ðàçâåðíóòûé óãîë ÀÎÂ (ðèñ. 120).
Ïðîâåäåì ëó÷ ÎÑ. Óãëû ÀÎÑ è ÑÎÂ, íà êîòîðûå
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà
ïîëóïëîñêîñòü ðàçáèâàåòñÿ ëó÷îì ÎÑ, íàçûâàþòñÿ
ñìåæíûìè. Ñòîðîíà ÎÑ äëÿ ýòèõ óãëîâ îáùàÿ, ñòîðîíû ÎÀ è ÎÂ ïðîäîëæàþò äðóã äðóãà. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ñìåæíûå óãëû äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî
ðàçâåðíóòîãî. Òàêèå óãëû íàçûâàþòñÿ äîïîëíèòåëüíûìè.
Ðàññìîòðèì äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå ÀÂ è
CD. Ïóñòü Î — òî÷êà èõ ïåðåñå÷åíèÿ (ðèñ. 121).
Ïðè ýòîì ñòîðîíû óãëîâ AOC è BOD, à òàêæå ñòîðîíû óãëîâ ÑΠè DOA ïðîäîëæàþò äðóã äðóãà. Òàêèå óãëû íàçûâàþòñÿ âåðòèêàëüíûìè. Òàêèì îáðàçîì, óãëû ÀÎÑ è BOD — îäíà ïàðà âåðòèêàëüíûõ
óãëîâ,à óãëû ÑΠè DOA — âòîðàÿ ïàðà âåðòèêàëüíûõ óãëîâ (ðèñ. 121).
Ðèñ. 121
Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî âåðòèêàëüíûå óãëû — ýòî
óãëû, ñìåæíûå ñ îäíèì è òåì æå óãëîì (íà ðèñ.
121 óãëû ÀÎÑ è BOD ñìåæíûå, íàïðèìåð, ñ óãëîì
ÑÎÂ).
Ò.8.1. Âåðòèêàëüíûå óãëû ðàâíû.
á)
a)
Ðèñ. 119
366
Ðèñ. 120
254. Ãðàäóñíàÿ è ðàäèàííàÿ ìåðû óãëîâ. Óãëû
ïðèíÿòî èçìåðÿòü â ãðàäóñàõ è ðàäèàíàõ. Çà åäèíè367
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
öó ãðàäóñíîãî èçìåðåíèÿ, ò. å. çà óãîë â îäèí ãðàäóñ
1
÷àñòü ðàçâåðíóòîãî
(îáîçíà÷åíèå: 1°), ïðèíÿòà
180
óãëà. Òàêèì îáðàçîì, ðàçâåðíóòûé óãîë ðàâåí 180°.
Óãîë, ðàâíûé 90°, íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì. Èíîãäà ïðÿìîé óãîë îáîçíà÷àþò d. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ðàçâåðíóòûé óãîë ðàâåí 2d, à ïîëíûé óãîë ðàâåí 4d. Äâå
ïðÿìûå, îáðàçóþùèå ïðÿìîé óãîë, íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè. Óãîë, ìåíüøèé 90°, íàçûâàåòñÿ îñòðûì; óãîë, áîëüøèé ïðÿìîãî, íî ìåíüøèé ðàçâåðíóòîãî, íàçûâàåòñÿ òóïûì. Ãðàäóñ äåëèòñÿ äåëèòñÿ íà ìèíóòû (îäíà ìèíóòà îáîçíà÷àåòñÿ
1¢ ) è ñåêóíäû (îäíà ñåêóíäà îáîçíà÷àåòñÿ 1¢¢ ), à èìåííî: 1° = 60¢ , 1¢ = 60¢¢.
Áèññåêòðèñîé óãëà íàçûâàåòñÿ ëó÷, êîòîðûé èñõîäèò èç åãî âåðøèíû è äåëèò óãîë ïîïîëàì.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè óãîë, îáðàçîâàííûé áèññåêòðèñàìè ñìåæíûõ óãëîâ.
q Ðàññìîòðèì ñìåæíûå óãëû ÀÎÂ è ÂÎÑ è èõ
áèññåêòðèñû ÎÌ è ON (ðèñ. 122). Èìååì
ÐMON = ÐMOB + ÐBON = 0,5ÐAOB + 0,5ÐBOC =
= 0,5 (ÐAOB + ÐBOC) = 90°,
ïîñêîëüêó ÐAOB + ÐBOC = 180°.
Òàêèì îáðàçîì, áèññåêòðèñû ñìåæíûõ óãëîâ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. n
Ðàññìîòðèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì Î. Óãîë, âåðøèíà êîòîðîãî íàõîäèòñÿ â òî÷êå Î, íàçûâàåòñÿ
öåíòðàëüíûì (ðèñ. 123). Äóãè îêðóæíîñòè ìîæíî
èçìåðÿòü â ãðàäóñàõ. Ïðè ýòîì ãðàäóñíàÿ ìåðà äóãè
ðàâíà ãðàäóñíîé ìåðå ñîîòâåòñòâóþùåãî åé öåíòðàëüíîãî óãëà.
Íàïðèìåð, ãðàäóñíàÿ ìåðà äóãè ÀÂ ðàâíà 90°
( È AB = 90° ), òàê êàê ñîîòâåòñòâóþùèé åé öåíòðàëü368
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà
Ðèñ. 122
Ðèñ. 123
íûé óãîë — ïðÿìîé (ðèñ. 123). Òîãäà ãðàäóñíàÿ ìåðà
ïîëóîêðóæíîñòè ðàâíà 180° (ñîîòâåòñòâóþùèé öåíòðàëüíûé óãîë — ðàçâåðíóòûé), à ãðàäóñíàÿ ìåðà âñåé
îêðóæíîñòè ðàâíà 360° (ñîîòâåòñòâóþùèé öåíòðàëüíûé óãîë — ïîëíûé).
Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðàäèàííîé ìåðå óãëîâ è äóã.
Ðàññìîòðèì öåíòðàëüíûé óãîë, ñîîòâåòñòâóþùèé
äóãå, äëèíà êîòîðîé ðàâíà ðàäèóñó. Òàêîé óãîë íàçûâàåòñÿ óãëîì â îäèí ðàäèàí (îáîçíà÷åíèå: 1). Òàê
êàê äëèíà îêðóæíîñòè ðàâíà 2pR (ñì. ï. 290), òî
ïîëíûé óãîë ðàâåí 2p = 6,283... ðàäèàíà, ðàçâåðíóòûé óãîë ðàâåí p, ïðÿìîé óãîë ðàâåí
p
. Çíà÷èò,
2
p
» 0,0174... ðàäèàíà, à óãîë â
180
îäèí ðàäèàí ðàâåí ïðèìåðíî 57°17¢45¢¢.
Ìåæäó ãðàäóñíîé è ðàäèàííîé ìåðàìè ñóùåñòâóåò çàâèñèìîñòü, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ïåðåõîäèòü
îò îäíîé ìåðû ê äðóãîé. Ïóñòü a° è a — ñîîòâåò-
óãîë â 1° ñîäåðæèò
369
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
öó ãðàäóñíîãî èçìåðåíèÿ, ò. å. çà óãîë â îäèí ãðàäóñ
1
÷àñòü ðàçâåðíóòîãî
(îáîçíà÷åíèå: 1°), ïðèíÿòà
180
óãëà. Òàêèì îáðàçîì, ðàçâåðíóòûé óãîë ðàâåí 180°.
Óãîë, ðàâíûé 90°, íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì. Èíîãäà ïðÿìîé óãîë îáîçíà÷àþò d. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ðàçâåðíóòûé óãîë ðàâåí 2d, à ïîëíûé óãîë ðàâåí 4d. Äâå
ïðÿìûå, îáðàçóþùèå ïðÿìîé óãîë, íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè. Óãîë, ìåíüøèé 90°, íàçûâàåòñÿ îñòðûì; óãîë, áîëüøèé ïðÿìîãî, íî ìåíüøèé ðàçâåðíóòîãî, íàçûâàåòñÿ òóïûì. Ãðàäóñ äåëèòñÿ äåëèòñÿ íà ìèíóòû (îäíà ìèíóòà îáîçíà÷àåòñÿ
1¢ ) è ñåêóíäû (îäíà ñåêóíäà îáîçíà÷àåòñÿ 1¢¢ ), à èìåííî: 1° = 60¢ , 1¢ = 60¢¢.
Áèññåêòðèñîé óãëà íàçûâàåòñÿ ëó÷, êîòîðûé èñõîäèò èç åãî âåðøèíû è äåëèò óãîë ïîïîëàì.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè óãîë, îáðàçîâàííûé áèññåêòðèñàìè ñìåæíûõ óãëîâ.
q Ðàññìîòðèì ñìåæíûå óãëû ÀÎÂ è ÂÎÑ è èõ
áèññåêòðèñû ÎÌ è ON (ðèñ. 122). Èìååì
ÐMON = ÐMOB + ÐBON = 0,5ÐAOB + 0,5ÐBOC =
= 0,5 (ÐAOB + ÐBOC) = 90°,
ïîñêîëüêó ÐAOB + ÐBOC = 180°.
Òàêèì îáðàçîì, áèññåêòðèñû ñìåæíûõ óãëîâ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. n
Ðàññìîòðèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì Î. Óãîë, âåðøèíà êîòîðîãî íàõîäèòñÿ â òî÷êå Î, íàçûâàåòñÿ
öåíòðàëüíûì (ðèñ. 123). Äóãè îêðóæíîñòè ìîæíî
èçìåðÿòü â ãðàäóñàõ. Ïðè ýòîì ãðàäóñíàÿ ìåðà äóãè
ðàâíà ãðàäóñíîé ìåðå ñîîòâåòñòâóþùåãî åé öåíòðàëüíîãî óãëà.
Íàïðèìåð, ãðàäóñíàÿ ìåðà äóãè ÀÂ ðàâíà 90°
( È AB = 90° ), òàê êàê ñîîòâåòñòâóþùèé åé öåíòðàëü368
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà
Ðèñ. 122
Ðèñ. 123
íûé óãîë — ïðÿìîé (ðèñ. 123). Òîãäà ãðàäóñíàÿ ìåðà
ïîëóîêðóæíîñòè ðàâíà 180° (ñîîòâåòñòâóþùèé öåíòðàëüíûé óãîë — ðàçâåðíóòûé), à ãðàäóñíàÿ ìåðà âñåé
îêðóæíîñòè ðàâíà 360° (ñîîòâåòñòâóþùèé öåíòðàëüíûé óãîë — ïîëíûé).
Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðàäèàííîé ìåðå óãëîâ è äóã.
Ðàññìîòðèì öåíòðàëüíûé óãîë, ñîîòâåòñòâóþùèé
äóãå, äëèíà êîòîðîé ðàâíà ðàäèóñó. Òàêîé óãîë íàçûâàåòñÿ óãëîì â îäèí ðàäèàí (îáîçíà÷åíèå: 1). Òàê
êàê äëèíà îêðóæíîñòè ðàâíà 2pR (ñì. ï. 290), òî
ïîëíûé óãîë ðàâåí 2p = 6,283... ðàäèàíà, ðàçâåðíóòûé óãîë ðàâåí p, ïðÿìîé óãîë ðàâåí
p
. Çíà÷èò,
2
p
» 0,0174... ðàäèàíà, à óãîë â
180
îäèí ðàäèàí ðàâåí ïðèìåðíî 57°17¢45¢¢.
Ìåæäó ãðàäóñíîé è ðàäèàííîé ìåðàìè ñóùåñòâóåò çàâèñèìîñòü, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ïåðåõîäèòü
îò îäíîé ìåðû ê äðóãîé. Ïóñòü a° è a — ñîîòâåò-
óãîë â 1° ñîäåðæèò
369
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
ñòâåííî ãðàäóñíàÿ è ðàäèàííàÿ ìåðà îäíîãî è òîãî
æå óãëà. Òîãäà a° : a = 180° : p. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
a° =
pa°
180° × a
.
; a=
180°
p
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè âåëè÷èíû ñìåæíûõ óãëîâ,
1
îäíîãî èç íèõ ðàâíà 0,2 äðóãîãî.
åñëè
3
q Ïóñòü õ — âûðàæåííàÿ â ãðàäóñàõ âåëè÷èíà
îäíîãî èç ñìåæíûõ óãëîâ; òîãäà 180 – õ — âåëè÷èíà
x 180 - x
=
, îòêóäà 8õ =
äðóãîãî óãëà. Ïî óñëîâèþ,
3
5
= 540, ò. å. õ = 67,5, 180 – õ = 112,5. Èòàê, èñêîìûå
óãëû ñîñòàâëÿþò 67°30¢ è 112°30¢. n
Ï ð è ì å ð 3. Âûðàçèòü â ðàäèàíàõ óãëû a1 = 30°
è a 2 = 45°. Íàéòè ãðàäóñíóþ ìåðó óãëà a =
q Èìååì
a1 =
§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà
(èëè åå ñòîðîíàìè). Åñëè íà÷àëî ïåðâîãî îòðåçêà ñîâïàäàåò ñ êîíöîì ïîñëåäíåãî, òî ëîìàíàÿ íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé.
Çàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ, ñîñòîÿùàÿ èç n çâåíüåâ, íàçûâàåòñÿ n-óãîëüíèêîì (èëè ìíîãîÐèñ. 124
óãîëüíèêîì). Ìíîãîóãîëüíèê
íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè
îí öåëèêîì ðàñïîëîæåí ïî îäíó ñòîðîíó îò ïðÿìûõ, íà êîòîðûõ ëåæàò åãî ñòîðîíû. Íà ðèñ. 125, à
èçîáðàæåí âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê, à íà
ðèñ. 125, á — íåâûïóêëûé. Çâåíüÿ ëîìàíîé, îáðàçóþùèå ìíîãîóãîëüíèê, íàçûâàþòñÿ åãî ñòîðîíàìè,
êîíöû ýòèõ çâåíüå⠗ âåðøèíàìè ìíîãîóãîëüíèêà. Îòðåçêè, ñîåäèíÿþùèå íåñîñåäíèå âåðøèíû ìíîãîóãîëüíèêà, íàçûâàþòñÿ åãî äèàãîíàëÿìè. Óãëû,
p
.
3
p × 30° p
p × 45° p
= ; a2 =
= ;
180°
6
180°
4
p
180° ×
3 = 60°.
a° =
n
p
255. Ëîìàíàÿ. Ìíîãîóãîëüíèê. Ôèãóðà, îáðàçîâàííàÿ îòðåçêàìè, ðàñïîëîæåííûìè òàê, ÷òî êîíåö
ïðåäûäóùåãî îòðåçêà ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì ñëåäóþùåãî, íàçûâàåòñÿ ëîìàíîé (ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî äâà
ñîñåäíèõ îòðåçêà íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé; ðèñ.
124). Ýòè îòðåçêè íàçûâàþòñÿ çâåíüÿìè ëîìàíîé
370
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
a)
Ðèñ. 125
á)
îáðàçîâàííûå ïàðàìè ñòîðîí, èñõîäÿùèìè èç îäíîé
âåðøèíû, íàçûâàþòñÿ âíóòðåííèìè óãëàìè ìíîãîóãîëüíèêà, à ñìåæíûå ñ íèìè — âíåøíèìè óãëàìè ìíîãîóãîëüíèêà. Òàê, íà ðèñ. 126 ÐBAD, ÐADC,
ÐDCB, ÐCBA — âíóòðåííèå óãëû, à ñìåæíûå ñ íèìè
(îíè îáîçíà÷åíû äóãàìè) — âíåøíèå óãëû ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD.
371
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
ñòâåííî ãðàäóñíàÿ è ðàäèàííàÿ ìåðà îäíîãî è òîãî
æå óãëà. Òîãäà a° : a = 180° : p. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
a° =
pa°
180° × a
.
; a=
180°
p
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè âåëè÷èíû ñìåæíûõ óãëîâ,
1
îäíîãî èç íèõ ðàâíà 0,2 äðóãîãî.
åñëè
3
q Ïóñòü õ — âûðàæåííàÿ â ãðàäóñàõ âåëè÷èíà
îäíîãî èç ñìåæíûõ óãëîâ; òîãäà 180 – õ — âåëè÷èíà
x 180 - x
=
, îòêóäà 8õ =
äðóãîãî óãëà. Ïî óñëîâèþ,
3
5
= 540, ò. å. õ = 67,5, 180 – õ = 112,5. Èòàê, èñêîìûå
óãëû ñîñòàâëÿþò 67°30¢ è 112°30¢. n
Ï ð è ì å ð 3. Âûðàçèòü â ðàäèàíàõ óãëû a1 = 30°
è a 2 = 45°. Íàéòè ãðàäóñíóþ ìåðó óãëà a =
q Èìååì
a1 =
§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà
(èëè åå ñòîðîíàìè). Åñëè íà÷àëî ïåðâîãî îòðåçêà ñîâïàäàåò ñ êîíöîì ïîñëåäíåãî, òî ëîìàíàÿ íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé.
Çàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ, ñîñòîÿùàÿ èç n çâåíüåâ, íàçûâàåòñÿ n-óãîëüíèêîì (èëè ìíîãîÐèñ. 124
óãîëüíèêîì). Ìíîãîóãîëüíèê
íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè
îí öåëèêîì ðàñïîëîæåí ïî îäíó ñòîðîíó îò ïðÿìûõ, íà êîòîðûõ ëåæàò åãî ñòîðîíû. Íà ðèñ. 125, à
èçîáðàæåí âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê, à íà
ðèñ. 125, á — íåâûïóêëûé. Çâåíüÿ ëîìàíîé, îáðàçóþùèå ìíîãîóãîëüíèê, íàçûâàþòñÿ åãî ñòîðîíàìè,
êîíöû ýòèõ çâåíüå⠗ âåðøèíàìè ìíîãîóãîëüíèêà. Îòðåçêè, ñîåäèíÿþùèå íåñîñåäíèå âåðøèíû ìíîãîóãîëüíèêà, íàçûâàþòñÿ åãî äèàãîíàëÿìè. Óãëû,
p
.
3
p × 30° p
p × 45° p
= ; a2 =
= ;
180°
6
180°
4
p
180° ×
3 = 60°.
a° =
n
p
255. Ëîìàíàÿ. Ìíîãîóãîëüíèê. Ôèãóðà, îáðàçîâàííàÿ îòðåçêàìè, ðàñïîëîæåííûìè òàê, ÷òî êîíåö
ïðåäûäóùåãî îòðåçêà ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì ñëåäóþùåãî, íàçûâàåòñÿ ëîìàíîé (ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî äâà
ñîñåäíèõ îòðåçêà íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé; ðèñ.
124). Ýòè îòðåçêè íàçûâàþòñÿ çâåíüÿìè ëîìàíîé
370
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
a)
Ðèñ. 125
á)
îáðàçîâàííûå ïàðàìè ñòîðîí, èñõîäÿùèìè èç îäíîé
âåðøèíû, íàçûâàþòñÿ âíóòðåííèìè óãëàìè ìíîãîóãîëüíèêà, à ñìåæíûå ñ íèìè — âíåøíèìè óãëàìè ìíîãîóãîëüíèêà. Òàê, íà ðèñ. 126 ÐBAD, ÐADC,
ÐDCB, ÐCBA — âíóòðåííèå óãëû, à ñìåæíûå ñ íèìè
(îíè îáîçíà÷åíû äóãàìè) — âíåøíèå óãëû ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD.
371
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
Ò.8.2. Ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ âûïóêëîãî n-óãîëüíèêà ðàâíà 180°(n–2).
Òàê, ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ âûïóêëîãî ïÿòèóãîëüíèêà ðàâíà 540°, à ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ âûïóêëîãî øåñòèóãîëüíèêà ðàâíà 720°.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè âíóòðåííèå óãëû âûïóêëîãî ïÿòèóãîëüíèêà, åñëè
a1 : a2 : a3 : a4 : a5 = 2 : 2 : 2 : 3 : 6.
q Ïóñòü a1 = 2x. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ âûïóêëîãî ïÿòèóãîëüíèêà ðàâíà 540°, èìååì 2x + 2x + 2x + 3x + 6x = 540, 15x = 540, x = 36.
Èòàê, a1 = a2 = a3 = 72°, a4 = 108°, a5 = 216°. n
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà
Ò.8.4. Åñëè ó äâóõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííûå ñòîðîíû è óãëû, çàêëþ÷åííûå ìåæäó
ýòèìè ñòîðîíàìè, òî òàêèå ìíîãîóãîëüíèêè ðàâíû.
Ò.8.5. Åñëè ó äâóõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ñîîòâåòñòâåííûå ñòîðîíû ïðîïîðöèîíàëüíû, à óãëû, çàêëþ÷åííûå ìåæäó ýòèìè ñòîðîíàìè, ðàâíû, òî òàêèå
ìíîãîóãîëüíèêè ïîäîáíû.
Íåçàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé, åñëè
åå ìîæíî äîïîëíèòü çàìûêàþùèì çâåíîì äî âûïóêëîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Íàïðèìåð, íà ðèñ. 127, à
èçîáðàæåíà âûïóêëàÿ ëîìàíàÿ, à íà ðèñ. 127, á —
íåâûïóêëàÿ.
Ò.8.3. Ñóììà âíåøíèõ óãëîâ âûïóêëîãî n-óãîëüíèêà
ðàâíà 360° (ò. å. íå çàâèñèò îò ÷èñëà ñòîðîí).
Ñôîðìóëèðóåì ïðèçíàêè ðàâåíñòâà è ïîäîáèÿ
ìíîãîóãîëüíèêîâ (ñì. òàêæå ïï. 274 è 278):
a)
Ðèñ. 127
á)
Ðàññìîòðèì äâå ëîìàíûå, ñîåäèíÿþùèå êàêèå-ëèáî
äâå òî÷êè À è  (ðèñ. 128). Åñëè ïðè ýòîì îäíà èç
ëîìàíûõ öåëèêîì ëåæèò âíóòðè äðóãîé, òî âíóòðåííÿÿ ëîìàíàÿ íàçûâàåòñÿ îáúåìëåìîé, à âíåøíÿÿ —
îáúåìëþùåé. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:
Ò.8.6. Îáúåìëþùàÿ ëîìàíàÿ äëèíåå âñÿêîé âûïóêëîé îáúåìëåìîé ëîìàíîé.
Ðèñ. 126
372
Ï ð è ì å ð 2. Äëèíû îòðåçêîâ ÀÑ, CD è DB
ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 2, 4 è 3 (ñì. ðèñ. 128). Ìîæíî
373
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
Ò.8.2. Ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ âûïóêëîãî n-óãîëüíèêà ðàâíà 180°(n–2).
Òàê, ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ âûïóêëîãî ïÿòèóãîëüíèêà ðàâíà 540°, à ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ âûïóêëîãî øåñòèóãîëüíèêà ðàâíà 720°.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè âíóòðåííèå óãëû âûïóêëîãî ïÿòèóãîëüíèêà, åñëè
a1 : a2 : a3 : a4 : a5 = 2 : 2 : 2 : 3 : 6.
q Ïóñòü a1 = 2x. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ âûïóêëîãî ïÿòèóãîëüíèêà ðàâíà 540°, èìååì 2x + 2x + 2x + 3x + 6x = 540, 15x = 540, x = 36.
Èòàê, a1 = a2 = a3 = 72°, a4 = 108°, a5 = 216°. n
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà
Ò.8.4. Åñëè ó äâóõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííûå ñòîðîíû è óãëû, çàêëþ÷åííûå ìåæäó
ýòèìè ñòîðîíàìè, òî òàêèå ìíîãîóãîëüíèêè ðàâíû.
Ò.8.5. Åñëè ó äâóõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ñîîòâåòñòâåííûå ñòîðîíû ïðîïîðöèîíàëüíû, à óãëû, çàêëþ÷åííûå ìåæäó ýòèìè ñòîðîíàìè, ðàâíû, òî òàêèå
ìíîãîóãîëüíèêè ïîäîáíû.
Íåçàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé, åñëè
åå ìîæíî äîïîëíèòü çàìûêàþùèì çâåíîì äî âûïóêëîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Íàïðèìåð, íà ðèñ. 127, à
èçîáðàæåíà âûïóêëàÿ ëîìàíàÿ, à íà ðèñ. 127, á —
íåâûïóêëàÿ.
Ò.8.3. Ñóììà âíåøíèõ óãëîâ âûïóêëîãî n-óãîëüíèêà
ðàâíà 360° (ò. å. íå çàâèñèò îò ÷èñëà ñòîðîí).
Ñôîðìóëèðóåì ïðèçíàêè ðàâåíñòâà è ïîäîáèÿ
ìíîãîóãîëüíèêîâ (ñì. òàêæå ïï. 274 è 278):
a)
Ðèñ. 127
á)
Ðàññìîòðèì äâå ëîìàíûå, ñîåäèíÿþùèå êàêèå-ëèáî
äâå òî÷êè À è  (ðèñ. 128). Åñëè ïðè ýòîì îäíà èç
ëîìàíûõ öåëèêîì ëåæèò âíóòðè äðóãîé, òî âíóòðåííÿÿ ëîìàíàÿ íàçûâàåòñÿ îáúåìëåìîé, à âíåøíÿÿ —
îáúåìëþùåé. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:
Ò.8.6. Îáúåìëþùàÿ ëîìàíàÿ äëèíåå âñÿêîé âûïóêëîé îáúåìëåìîé ëîìàíîé.
Ðèñ. 126
372
Ï ð è ì å ð 2. Äëèíû îòðåçêîâ ÀÑ, CD è DB
ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 2, 4 è 3 (ñì. ðèñ. 128). Ìîæíî
373
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
Ðèñ. 128
Ðèñ. 129
ëè ïîñòðîèòü òàêóþ âûïóêëóþ ëîìàíóþ AF1F2 F3 B,
÷òîáû åå äëèíà áûëà ðàâíà 10?
q Äëèíà îáúåìëþùåé ëèíèè L = 2 + 4 + 3 = 9,
ñëåäîâàòåëüíî, íåëüçÿ ïîñòðîèòü îáúåìëåìóþ âûïóêëóþ ëîìàíóþ, äëèíà êîòîðîé ðàâíà 10. n
256. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê. Ãåîìåòðè÷åñêèì ìåñòîì òî÷åê íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê, îáëàäàþùèõ êàêèì-ëèáî ñâîéñòâîì.
Ï ð è ì å ð 1. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ðàâíîóäàëåííûõ îò äâóõ äàííûõ òî÷åê À è Â, — ýòî ïåðïåíäèêóëÿð, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç ñåðåäèíó îòðåçêà ÀÂ
(ðèñ. 129); åãî íàçûâàþò ñåðåäèííûì ïåðïåíäèêóëÿðîì ê îòðåçêó ÀÂ.
Ï ð è ì å ð 2. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, óäàëåííûõ îò äàííîé ïðÿìîé íà ðàññòîÿíèå l, — ýòî äâå
ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå äàííîé è îòñòîÿùèå îò íåå íà
ðàññòîÿíèå l (ðèñ. 130).
Ï ð è ì å ð 3. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ðàâíîóäàëåííûõ îò äâóõ ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ, ñîñòîèò èç äâóõ áèññåêòðèñ óãëîâ, îáðàçîâàííûõ ýòèìè
ïðÿìûìè (ðèñ. 131).
374
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà
Ðèñ. 130
Ðèñ. 131
Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê,
èç êîòîðûõ äàííûé îòðåçîê âèäåí ïîä äàííûì óãëîì.
q Óãëîì a, ïîä êîòîðûì âèäåí äàííûé îòðåçîê
ÀÂ, íàçûâàåòñÿ óãîë ïðè âåðøèíå òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ,
ãäå ÀÂ ÿâëÿåòñÿ îñíîâàíèåì (ðèñ. 132, à). Èñêîìûì
ãåîìåòðè÷åñêèì ìåñòîì ñëóæèò äóãà ÀÑÂ, îïèðàþùàÿñÿ íà îòðåçîê ÀÂ, â êîòîðóþ âïèñàí óãîë a, è
ñèììåòðè÷íàÿ åé îòíîñèòåëüíî îòðåçêà À äóãà AC ¢B
(ðèñ. 132, á). n
Ï ð è ì å ð 5. Íà äàííîé ïðÿìîé l íàéòè òî÷êó,
ðàâíîóäàëåííóþ îò äâóõ çàäàííûõ òî÷åê À è Â.
q Òàê êàê ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ðàâíîóäàëåííûõ îò òî÷åê À è Â, — ýòî ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê îòðåçêó À (ñì. ïðèìåð 1), òî èñêîìàÿ òî÷êà
Ì åñòü ïåðåñå÷åíèå ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà è ïðÿìîé
l (ðèñ. 133). n
257. Ñèììåòðèÿ. Ðàçëè÷àþò ïîíÿòèÿ ñèììåòðèè
îòíîñèòåëüíî òî÷êè è îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé.
Ïóñòü äàíû ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà Î è íåêîòîðàÿ
òî÷êà Ì. Òî÷êà M¢ íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé òî÷êå Ì îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, åñëè òî÷êè Ì, Î è
M¢ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé è MO = OM ¢ (ðèñ. 134).
375
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
Ðèñ. 128
Ðèñ. 129
ëè ïîñòðîèòü òàêóþ âûïóêëóþ ëîìàíóþ AF1F2 F3 B,
÷òîáû åå äëèíà áûëà ðàâíà 10?
q Äëèíà îáúåìëþùåé ëèíèè L = 2 + 4 + 3 = 9,
ñëåäîâàòåëüíî, íåëüçÿ ïîñòðîèòü îáúåìëåìóþ âûïóêëóþ ëîìàíóþ, äëèíà êîòîðîé ðàâíà 10. n
256. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê. Ãåîìåòðè÷åñêèì ìåñòîì òî÷åê íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê, îáëàäàþùèõ êàêèì-ëèáî ñâîéñòâîì.
Ï ð è ì å ð 1. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ðàâíîóäàëåííûõ îò äâóõ äàííûõ òî÷åê À è Â, — ýòî ïåðïåíäèêóëÿð, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç ñåðåäèíó îòðåçêà ÀÂ
(ðèñ. 129); åãî íàçûâàþò ñåðåäèííûì ïåðïåíäèêóëÿðîì ê îòðåçêó ÀÂ.
Ï ð è ì å ð 2. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, óäàëåííûõ îò äàííîé ïðÿìîé íà ðàññòîÿíèå l, — ýòî äâå
ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå äàííîé è îòñòîÿùèå îò íåå íà
ðàññòîÿíèå l (ðèñ. 130).
Ï ð è ì å ð 3. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ðàâíîóäàëåííûõ îò äâóõ ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ, ñîñòîèò èç äâóõ áèññåêòðèñ óãëîâ, îáðàçîâàííûõ ýòèìè
ïðÿìûìè (ðèñ. 131).
374
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà
Ðèñ. 130
Ðèñ. 131
Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê,
èç êîòîðûõ äàííûé îòðåçîê âèäåí ïîä äàííûì óãëîì.
q Óãëîì a, ïîä êîòîðûì âèäåí äàííûé îòðåçîê
ÀÂ, íàçûâàåòñÿ óãîë ïðè âåðøèíå òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ,
ãäå ÀÂ ÿâëÿåòñÿ îñíîâàíèåì (ðèñ. 132, à). Èñêîìûì
ãåîìåòðè÷åñêèì ìåñòîì ñëóæèò äóãà ÀÑÂ, îïèðàþùàÿñÿ íà îòðåçîê ÀÂ, â êîòîðóþ âïèñàí óãîë a, è
ñèììåòðè÷íàÿ åé îòíîñèòåëüíî îòðåçêà À äóãà AC ¢B
(ðèñ. 132, á). n
Ï ð è ì å ð 5. Íà äàííîé ïðÿìîé l íàéòè òî÷êó,
ðàâíîóäàëåííóþ îò äâóõ çàäàííûõ òî÷åê À è Â.
q Òàê êàê ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ðàâíîóäàëåííûõ îò òî÷åê À è Â, — ýòî ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê îòðåçêó À (ñì. ïðèìåð 1), òî èñêîìàÿ òî÷êà
Ì åñòü ïåðåñå÷åíèå ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà è ïðÿìîé
l (ðèñ. 133). n
257. Ñèììåòðèÿ. Ðàçëè÷àþò ïîíÿòèÿ ñèììåòðèè
îòíîñèòåëüíî òî÷êè è îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé.
Ïóñòü äàíû ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà Î è íåêîòîðàÿ
òî÷êà Ì. Òî÷êà M¢ íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé òî÷êå Ì îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, åñëè òî÷êè Ì, Î è
M¢ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé è MO = OM ¢ (ðèñ. 134).
375
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà
Ðèñ. 133
a)
Ðèñ. 134
á)
Ðèñ. 132
Åñëè ôèãóðà ñîñòîèò èç òî÷åê, ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, òî òàêàÿ ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, à òî÷êà
Î — öåíòðîì ñèììåòðèè.
Íàïðèìåð, ïàðàëëåëîãðàìì ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì îòíîñèòåëüíî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ åãî äèàãîíàëåé (ðèñ. 135).
Ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî òî÷êè íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíîé ñèììåòðèåé.
Ïóñòü äàíû ôèêñèðîâàííàÿ ïðÿìàÿ l è íåêîòîðàÿ òî÷êà Ì. Òî÷êà M¢ íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé
òî÷êå Ì îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l, åñëè MM ¢^l è
MO = OM ¢, ãäå Î — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ
MM ¢ è l (ðèñ. 136).
376
Ðèñ. 135
Ðèñ. 136
Åñëè ôèãóðà ñîñòîèò èç òî÷åê, ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l, òî ýòà ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l.
Òàêàÿ ñèììåòðèÿ íàçûâàåòñÿ îñåâîé, à ïðÿìàÿ
l — îñüþ ñèììåòðèè.
Íàïðèìåð, áèññåêòðèñà óãëà ÿâëÿåòñÿ åãî îñüþ
ñèììåòðèè. Ïðÿìîóãîëüíèê èìååò äâå îñè ñèììåòðèè — ýòî ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ åãî äèàãîíàëåé è ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíàì ïðÿìîóãîëüíèêà (ðèñ. 137). Îñüþ ñèììåòðèè îêðóæíîñ377
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà
Ðèñ. 133
a)
Ðèñ. 134
á)
Ðèñ. 132
Åñëè ôèãóðà ñîñòîèò èç òî÷åê, ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, òî òàêàÿ ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, à òî÷êà
Î — öåíòðîì ñèììåòðèè.
Íàïðèìåð, ïàðàëëåëîãðàìì ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì îòíîñèòåëüíî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ åãî äèàãîíàëåé (ðèñ. 135).
Ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî òî÷êè íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíîé ñèììåòðèåé.
Ïóñòü äàíû ôèêñèðîâàííàÿ ïðÿìàÿ l è íåêîòîðàÿ òî÷êà Ì. Òî÷êà M¢ íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé
òî÷êå Ì îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l, åñëè MM ¢^l è
MO = OM ¢, ãäå Î — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ
MM ¢ è l (ðèñ. 136).
376
Ðèñ. 135
Ðèñ. 136
Åñëè ôèãóðà ñîñòîèò èç òî÷åê, ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l, òî ýòà ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l.
Òàêàÿ ñèììåòðèÿ íàçûâàåòñÿ îñåâîé, à ïðÿìàÿ
l — îñüþ ñèììåòðèè.
Íàïðèìåð, áèññåêòðèñà óãëà ÿâëÿåòñÿ åãî îñüþ
ñèììåòðèè. Ïðÿìîóãîëüíèê èìååò äâå îñè ñèììåòðèè — ýòî ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ åãî äèàãîíàëåé è ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíàì ïðÿìîóãîëüíèêà (ðèñ. 137). Îñüþ ñèììåòðèè îêðóæíîñ377
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
Ì4
Ðèñ. 137
Ðèñ. 138
òè ÿâëÿåòñÿ ëþáîé åå äèàìåòð, ò. å. îêðóæíîñòü èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî îñåé ñèììåòðèè (ðèñ. 138).
§ 28. Ïåðïåíäèêóëÿðíûå
è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå
258. Ïåðïåíäèêóëÿð è íàêëîííàÿ. ×åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ïëîñêîñòè ìîæíî ïðîâåñòè åäèíñòâåííóþ ïðÿìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ äàííîé. Åñëè
ïðè ýòîì òî÷êà íå ëåæèò íà ïðÿìîé, òî ãîâîðÿò «îïóñòèòü ïåðïåíäèêóëÿð», åñëè æå ëåæèò — «âîññòàâèòü
ïåðïåíäèêóëÿð». Òî÷êà, â êîòîðîé ïåðïåíäèêóëÿð
ïåðåñåêàåò äàííóþ ïðÿìóþ, íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì
ïåðïåíäèêóëÿðà.
Ïóñòü èç òî÷êè Ì îïóùåí ïåðïåíäèêóëÿð íà äàííóþ ïðÿìóþ. Äëèíà ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèåì îò òî÷êè äî ïðÿìîé. Ëþáàÿ
äðóãàÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó Ì è ïåðå378
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 28. Ïåðïåíäèêóëÿð. è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå
ñåêàþùàÿ äàííóþ, íàçûâàåòñÿ íàêëîííîé (íàêëîííîé
òàêæå íàçûâàåòñÿ îòðåçîê îò òî÷êè Ì äî ïåðåñå÷åíèÿ
ñ äàííîé ïðÿìîé). Òî÷êà, â êîòîðîé íàêëîííàÿ ïåðåñåêàåò äàííóþ ïðÿìóþ, íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì íàêëîííîé, à îòðåçîê ìåæäó îñíîâàíèÿìè ïåðïåíäèêóëÿðà è
íàêëîííîé — ïðîåêöèåé íàêëîííîé. Òàê, íà ðèñ. 139
èçîáðàæåíû: ÌÀ — ïåðïåíäèêóëÿð, Ì — íàêëîííàÿ, À — ïðîåêöèÿ íàêëîííîé. Ïðè ýòîì ïèøóò
MA^AB.
Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà íàêëîííûõ:
10. Åñëè èç äàííîé òî÷êè ê îäíîé è òîé æå ïðÿìîé ïðîâåäåíû ïåðïåíäèêóëÿð è íàêëîííàÿ, òî íàêëîííàÿ äëèííåå ïåðïåíäèêóëÿðà.
20. Åñëè èç äàííîé òî÷êè ê îäíîé è òîé æå ïðÿìîé ïðîâåäåíû äâå íàêëîííûå, òî èç íèõ äëèííåå òà,
ó êîòîðîé ïðîåêöèÿ áîëüøå.
30. Åñëè äâå ðàçëè÷íûå íàêëîííûå, ïðîâåäåííûå
èç äàííîé òî÷êè ê îäíîé è òîé æå ïðÿìîé, ðàâíû, òî
èõ îñíîâàíèÿ îäèíàêîâî óäàëåíû îò îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðà (è ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò íåãî).
40. Åñëè ÷åðåç òî÷êó, èç êîòîðîé ê äàííîé ïðÿìîé ïðîâåäåíû äâå ðàâíûå íàêëîííûå, è ñåðåäèíó
îòðåçêà ìåæäó èõ îñíîâàíèÿìè ïðîâåñòè ïðÿìóþ,
òî îíà ÿâëÿåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðîì ê äàííîé ïðÿìîé.
Îòìåòèì, ÷òî âñå òî÷êè ñåðåäèííîãî ïåðïåíäèêóëÿðà ê îòðåçêó îäèíàêîâî óäàëåíû îò êîíöîâ ýòîãî
Ðèñ. 139
Ðèñ. 140
379
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
Ì4
Ðèñ. 137
Ðèñ. 138
òè ÿâëÿåòñÿ ëþáîé åå äèàìåòð, ò. å. îêðóæíîñòü èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî îñåé ñèììåòðèè (ðèñ. 138).
§ 28. Ïåðïåíäèêóëÿðíûå
è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå
258. Ïåðïåíäèêóëÿð è íàêëîííàÿ. ×åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ïëîñêîñòè ìîæíî ïðîâåñòè åäèíñòâåííóþ ïðÿìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ äàííîé. Åñëè
ïðè ýòîì òî÷êà íå ëåæèò íà ïðÿìîé, òî ãîâîðÿò «îïóñòèòü ïåðïåíäèêóëÿð», åñëè æå ëåæèò — «âîññòàâèòü
ïåðïåíäèêóëÿð». Òî÷êà, â êîòîðîé ïåðïåíäèêóëÿð
ïåðåñåêàåò äàííóþ ïðÿìóþ, íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì
ïåðïåíäèêóëÿðà.
Ïóñòü èç òî÷êè Ì îïóùåí ïåðïåíäèêóëÿð íà äàííóþ ïðÿìóþ. Äëèíà ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèåì îò òî÷êè äî ïðÿìîé. Ëþáàÿ
äðóãàÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó Ì è ïåðå378
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 28. Ïåðïåíäèêóëÿð. è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå
ñåêàþùàÿ äàííóþ, íàçûâàåòñÿ íàêëîííîé (íàêëîííîé
òàêæå íàçûâàåòñÿ îòðåçîê îò òî÷êè Ì äî ïåðåñå÷åíèÿ
ñ äàííîé ïðÿìîé). Òî÷êà, â êîòîðîé íàêëîííàÿ ïåðåñåêàåò äàííóþ ïðÿìóþ, íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì íàêëîííîé, à îòðåçîê ìåæäó îñíîâàíèÿìè ïåðïåíäèêóëÿðà è
íàêëîííîé — ïðîåêöèåé íàêëîííîé. Òàê, íà ðèñ. 139
èçîáðàæåíû: ÌÀ — ïåðïåíäèêóëÿð, Ì — íàêëîííàÿ, À — ïðîåêöèÿ íàêëîííîé. Ïðè ýòîì ïèøóò
MA^AB.
Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà íàêëîííûõ:
10. Åñëè èç äàííîé òî÷êè ê îäíîé è òîé æå ïðÿìîé ïðîâåäåíû ïåðïåíäèêóëÿð è íàêëîííàÿ, òî íàêëîííàÿ äëèííåå ïåðïåíäèêóëÿðà.
20. Åñëè èç äàííîé òî÷êè ê îäíîé è òîé æå ïðÿìîé ïðîâåäåíû äâå íàêëîííûå, òî èç íèõ äëèííåå òà,
ó êîòîðîé ïðîåêöèÿ áîëüøå.
30. Åñëè äâå ðàçëè÷íûå íàêëîííûå, ïðîâåäåííûå
èç äàííîé òî÷êè ê îäíîé è òîé æå ïðÿìîé, ðàâíû, òî
èõ îñíîâàíèÿ îäèíàêîâî óäàëåíû îò îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðà (è ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò íåãî).
40. Åñëè ÷åðåç òî÷êó, èç êîòîðîé ê äàííîé ïðÿìîé ïðîâåäåíû äâå ðàâíûå íàêëîííûå, è ñåðåäèíó
îòðåçêà ìåæäó èõ îñíîâàíèÿìè ïðîâåñòè ïðÿìóþ,
òî îíà ÿâëÿåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðîì ê äàííîé ïðÿìîé.
Îòìåòèì, ÷òî âñå òî÷êè ñåðåäèííîãî ïåðïåíäèêóëÿðà ê îòðåçêó îäèíàêîâî óäàëåíû îò êîíöîâ ýòîãî
Ðèñ. 139
Ðèñ. 140
379
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
îòðåçêà. Îáðàòíî, åñëè èçâåñòíî, ÷òî íåêîòîðàÿ òî÷êà
îäèíàêîâî óäàëåíà îò êîíöîâ îòðåçêà, òî òàêàÿ òî÷êà
ëåæèò íà ñåðåäèííîì ïåðïåíäèêóëÿðå ê îòðåçêó.
Çíà÷èò, âåðíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.8.7. Ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê îòðåçêó åñòü
ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, îäèíàêîâî óäàëåííûõ
îò êîíöîâ îòðåçêà.
259. Ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå. Ïðÿìûå, ëåæàùèå
â îäíîé ïëîñêîñòè, íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè,
åñëè îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ. Ïðè ýòîì ïèøóò ÀÂ÷÷ CD
(ðèñ. 140).
×åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ïëîñêîñòè, íå ëåæàùóþ íà äàííîé ïðÿìîé, ìîæíî ïðîâåñòè åäèíñòâåííóþ ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ äàííîé. Îòñþäà ñëåäóåò,
÷òî åñëè äâå ïðÿìûå â ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû òðåòüåé, òî îíè ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé.
Îòìåòèì, ÷òî ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ îäíîé
èç ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, ïåðïåíäèêóëÿðíà è
îñòàëüíûì. Òàê, åñëè ÀÂ÷÷ CD è MN^ AB, òî
MN^ CD (ðèñ. 141).
Ðèñ. 141
380
Ðèñ. 142
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 28. Ïåðïåíäèêóëÿð. è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå
Äâà ïåðïåíäèêóëÿðà, ïðîâåäåííûå ê îäíîé è òîé
æå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé. Íàïðèìåð, åñëè
CD^ AB è EF^ AB, òî CD÷÷ EF (ðèñ. 142).
260. Ïðèçíàêè ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ. Ðàññìîòðèì óãëû, îáðàçîâàííûå ïðè ïåðåñå÷åíèè äâóõ ïðÿìûõ òðåòüåé (ðèñ. 143). Îíè èìåþò ñïåöèàëüíûå íàçâàíèÿ:
óãëû a è a1, b è b1, g è g 1, d è d1 íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííûìè:
óãëû d1 è b , g 1 è a — âíóòðåííèìè íàêðåñò
ëåæàùèìè;
óãëû a1 è g , b1 è d — âíåøíèìè íàêðåñò ëåæàùèìè;
óãëû a è d1, b è g1 — âíóòðåííèìè îäíîñòîðîííèìè;
óãëû a1 è d , b1 è g — âíåøíèìè îäíîñòîðîííèìè.
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
Ò.8.8. Åñëè ñîîòâåòñòâåííûå óãëû ðàâíû, òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû.
Ò.8.9. Åñëè âíóòðåííèå (èëè âíåøíèå) íàêðåñò ëåæàùèå óãëû ðàâíû, òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû.
Ò.8.10. Åñëè ñóììà âíóòðåííèõ (èëè âíåøíèõ) îäíîñòîðîííèõ óãëîâ ðàâíà 180°, òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû.
Ñïðàâåäëèâî òàêæå óòâåðæäåíèå, îáðàòíîå òåîðåìàì 8.8—8.10:
Ò.8.11. Åñëè äâå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ïåðåñå÷åíû
òðåòüåé, òî ñîîòâåòñòâåííûå óãëû ðàâíû; âíóòðåííèå (è âíåøíèå) íàêðåñò ëåæàùèå óãëû ðàâ381
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
îòðåçêà. Îáðàòíî, åñëè èçâåñòíî, ÷òî íåêîòîðàÿ òî÷êà
îäèíàêîâî óäàëåíà îò êîíöîâ îòðåçêà, òî òàêàÿ òî÷êà
ëåæèò íà ñåðåäèííîì ïåðïåíäèêóëÿðå ê îòðåçêó.
Çíà÷èò, âåðíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.8.7. Ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê îòðåçêó åñòü
ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, îäèíàêîâî óäàëåííûõ
îò êîíöîâ îòðåçêà.
259. Ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå. Ïðÿìûå, ëåæàùèå
â îäíîé ïëîñêîñòè, íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè,
åñëè îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ. Ïðè ýòîì ïèøóò ÀÂ÷÷ CD
(ðèñ. 140).
×åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ïëîñêîñòè, íå ëåæàùóþ íà äàííîé ïðÿìîé, ìîæíî ïðîâåñòè åäèíñòâåííóþ ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ äàííîé. Îòñþäà ñëåäóåò,
÷òî åñëè äâå ïðÿìûå â ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû òðåòüåé, òî îíè ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé.
Îòìåòèì, ÷òî ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ îäíîé
èç ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, ïåðïåíäèêóëÿðíà è
îñòàëüíûì. Òàê, åñëè ÀÂ÷÷ CD è MN^ AB, òî
MN^ CD (ðèñ. 141).
Ðèñ. 141
380
Ðèñ. 142
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 28. Ïåðïåíäèêóëÿð. è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå
Äâà ïåðïåíäèêóëÿðà, ïðîâåäåííûå ê îäíîé è òîé
æå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé. Íàïðèìåð, åñëè
CD^ AB è EF^ AB, òî CD÷÷ EF (ðèñ. 142).
260. Ïðèçíàêè ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ. Ðàññìîòðèì óãëû, îáðàçîâàííûå ïðè ïåðåñå÷åíèè äâóõ ïðÿìûõ òðåòüåé (ðèñ. 143). Îíè èìåþò ñïåöèàëüíûå íàçâàíèÿ:
óãëû a è a1, b è b1, g è g 1, d è d1 íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííûìè:
óãëû d1 è b , g 1 è a — âíóòðåííèìè íàêðåñò
ëåæàùèìè;
óãëû a1 è g , b1 è d — âíåøíèìè íàêðåñò ëåæàùèìè;
óãëû a è d1, b è g1 — âíóòðåííèìè îäíîñòîðîííèìè;
óãëû a1 è d , b1 è g — âíåøíèìè îäíîñòîðîííèìè.
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
Ò.8.8. Åñëè ñîîòâåòñòâåííûå óãëû ðàâíû, òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû.
Ò.8.9. Åñëè âíóòðåííèå (èëè âíåøíèå) íàêðåñò ëåæàùèå óãëû ðàâíû, òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû.
Ò.8.10. Åñëè ñóììà âíóòðåííèõ (èëè âíåøíèõ) îäíîñòîðîííèõ óãëîâ ðàâíà 180°, òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû.
Ñïðàâåäëèâî òàêæå óòâåðæäåíèå, îáðàòíîå òåîðåìàì 8.8—8.10:
Ò.8.11. Åñëè äâå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ïåðåñå÷åíû
òðåòüåé, òî ñîîòâåòñòâåííûå óãëû ðàâíû; âíóòðåííèå (è âíåøíèå) íàêðåñò ëåæàùèå óãëû ðàâ381
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
Ðèñ. 143
Ðèñ. 144
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 28. Ïåðïåíäèêóëÿð. è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå
ëèáî ðàâíû, ëèáî äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180°
(ðèñ. 145, à è á).
Ò.8.15. Åñëè ñòîðîíû îäíîãî óãëà ñîîòâåòñòâåííî
ïåðïåíäèêóëÿðíû ñòîðîíàì äðóãîãî óãëà, òî òàêèå óãëû ëèáî ðàâíû, ëèáî äîïîëíÿþò äðóã äðóãà
äî 180° (ðèñ. 146, à è á).
Î÷åâèäíî, ÷òî ðàâåíñòâî óãëîâ ïîëó÷àåòñÿ â òîì
ñëó÷àå, êîãäà îíè ëèáî îáà îñòðûå, ëèáî îáà òóïûå.
Åñëè æå îäèí èç óãëîâ îñòðûé, à äðóãîé òóïîé, òî îíè
äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180° (ïðÿìûå óãëû, êîíå÷íî, è ðàâíû, è äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180°).
íû; ñóììà âíóòðåííèõ (è âíåøíèõ) îäíîñòîðîííèõ óãëîâ ðàâíà 180°.
Îòìåòèì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ:
Ò.8.12. Ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, ïåðåñåêàþùèå ñòîðîíû óãëà (ðèñ. 144), îòñåêàþò îò ýòèõ ñòîðîí ïðîïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè, ò. å.
AB1 B1B2 B2 B3
=
=
.
AC1 C1C2
C2 C3
Ðèñ. 145
 ÷àñòíîñòè, ñïðàâåäëèâî òàêîå óòâåðæäåíèå:
Ò.8.13. Åñëè ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, ïåðåñåêàþùèå
ñòîðîíû óãëà, îòñåêàþò íà îäíîé åãî ñòîðîíå ðàâíûå îòðåçêè, òî îíè îòñåêàþò ðàâíûå îòðåçêè è
íà äðóãîé åãî ñòîðîíå (òåîðåìà Ôàëåñà).
261. Óãëû ñ ïàðàëëåëüíûìè è ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ñòîðîíàìè. Ðàññìîòðèì óãëû, ñòîðîíû êîòîðûõ ïàðàëëåëüíû èëè ïåðïåíäèêóëÿðíû. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
Ò.8.14. Åñëè ñòîðîíû îäíîãî óãëà ñîîòâåòñòâåííî
ïàðàëëåëüíû ñòîðîíàì äðóãîãî óãëà, òî òàêèå óãëû
382
á)
a)
a)
á)
Ðèñ. 146
383
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
Ðèñ. 143
Ðèñ. 144
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 28. Ïåðïåíäèêóëÿð. è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå
ëèáî ðàâíû, ëèáî äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180°
(ðèñ. 145, à è á).
Ò.8.15. Åñëè ñòîðîíû îäíîãî óãëà ñîîòâåòñòâåííî
ïåðïåíäèêóëÿðíû ñòîðîíàì äðóãîãî óãëà, òî òàêèå óãëû ëèáî ðàâíû, ëèáî äîïîëíÿþò äðóã äðóãà
äî 180° (ðèñ. 146, à è á).
Î÷åâèäíî, ÷òî ðàâåíñòâî óãëîâ ïîëó÷àåòñÿ â òîì
ñëó÷àå, êîãäà îíè ëèáî îáà îñòðûå, ëèáî îáà òóïûå.
Åñëè æå îäèí èç óãëîâ îñòðûé, à äðóãîé òóïîé, òî îíè
äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180° (ïðÿìûå óãëû, êîíå÷íî, è ðàâíû, è äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180°).
íû; ñóììà âíóòðåííèõ (è âíåøíèõ) îäíîñòîðîííèõ óãëîâ ðàâíà 180°.
Îòìåòèì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ:
Ò.8.12. Ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, ïåðåñåêàþùèå ñòîðîíû óãëà (ðèñ. 144), îòñåêàþò îò ýòèõ ñòîðîí ïðîïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè, ò. å.
AB1 B1B2 B2 B3
=
=
.
AC1 C1C2
C2 C3
Ðèñ. 145
 ÷àñòíîñòè, ñïðàâåäëèâî òàêîå óòâåðæäåíèå:
Ò.8.13. Åñëè ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, ïåðåñåêàþùèå
ñòîðîíû óãëà, îòñåêàþò íà îäíîé åãî ñòîðîíå ðàâíûå îòðåçêè, òî îíè îòñåêàþò ðàâíûå îòðåçêè è
íà äðóãîé åãî ñòîðîíå (òåîðåìà Ôàëåñà).
261. Óãëû ñ ïàðàëëåëüíûìè è ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ñòîðîíàìè. Ðàññìîòðèì óãëû, ñòîðîíû êîòîðûõ ïàðàëëåëüíû èëè ïåðïåíäèêóëÿðíû. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
Ò.8.14. Åñëè ñòîðîíû îäíîãî óãëà ñîîòâåòñòâåííî
ïàðàëëåëüíû ñòîðîíàì äðóãîãî óãëà, òî òàêèå óãëû
382
á)
a)
a)
á)
Ðèñ. 146
383
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
§ 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå
Âî âñåõ çàäà÷àõ, ðàññìàòðèâàåìûõ â äàííîì ïàðàãðàôå, èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî äâà ÷åðòåæíûõ èíñòðóìåíòà — ëèíåéêà è öèðêóëü.
262. Äåëåíèå îòðåçêà ïîïîëàì.
Çàäà÷à I. Ðàçäåëèòü äàííûé îòðåçîê ïîïîëàì.
q 1. Ïðîâîäèì äóãè îêðóæíîñòåé îäíîãî è òîãî
æå ðàäèóñà (áîëüøåãî ïîëîâèíû ÀÂ) ñ öåíòðàìè â
çàäàííûõ òî÷êàõ À è  (ðèñ. 147).
2. ×åðåç òî÷êè C è D (òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ
äóã) ïðîâîäèì ïðÿìóþ. Îíà ïåðåñåêàåò îòðåçîê ÀÂ
â åãî ñåðåäèíå F. n
Ýòî æå ïîñòðîåíèå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ
ñëåäóþùåé çàäà÷è.
Çàäà÷à II. Âîññòàâèòü ïåðïåíäèêóëÿð â ñåðåäèíå
äàííîãî îòðåçêà.
Ïðÿìàÿ CD è åñòü èñêîìûé ïåðïåíäèêóëÿð.
263. Ïîñòðîåíèå ïåðïåíäèêóëÿðîâ.
Çàäà÷à III. Îïóñòèòü ïåðïåíäèêóëÿð èç äàííîé
òî÷êè íà äàííóþ ïðÿìóþ.
Ðèñ. 147
384
Ðèñ. 148
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå
q 1. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â çàäàííîé òî÷êå Ñ, ïåðåñåêàþùóþ äàííóþ ïðÿìóþ â òî÷êàõ À è  (ðèñ. 148).
2. Ïðîâîäèì äóãè îêðóæíîñòåé îäíîãî è òîãî æå
ðàäèóñà (áîëüøåãî ïîëîâèíû ÀÂ) ñ öåíòðàìè À
è Â. Ïóñòü îíè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå D.
3. Ïðÿìàÿ CD è åñòü èñêîìûé ïåðïåíäèêóëÿð.n
Çàäà÷à IV. Âîññòàâèòü ïåðïåíäèêóëÿð ê äàííîìó
îòðåçêó â åãî êîíöå.
q 1. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç çàäàííûé êîíåö À, à åå öåíòðîì ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà Ñ, ëåæàùàÿ âíå äàííîé ïðÿìîé. Ïóñòü
ýòà îêðóæíîñòü ïåðåñåêàåò äàííûé îòðåçîê (èëè åãî
ïðîäîëæåíèå) â òî÷êå F (ðèñ. 149).
2. Ïðîâîäèì äèàìåòð, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç òî÷êè F
è Ñ. Ïóñòü D — âòîðîé êîíåö ýòîãî äèàìåòðà. Òîãäà
DA — èñêîìûé ïåðïåíäèêóëÿð ( ÐDAB — ïðÿìîé,
òàê êàê îí îïèðàåòñÿ íà äèàìåòð). n
264. Ïîñòðîåíèå óãëîâ.
Çàäà÷à V. Ïîñòðîèòü óãîë, ðàâíûé äàííîìó.
q 1. Ïðîâîäèì äóãó ïðîèçâîëüíîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â âåðøèíå À äàííîãî óãëà, ïåðåñåêàþùóþ åãî
ñòîðîíû â òî÷êàõ  è Ñ (ðèñ. 150).
Ðèñ. 149
Ðèñ. 150
385
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
§ 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå
Âî âñåõ çàäà÷àõ, ðàññìàòðèâàåìûõ â äàííîì ïàðàãðàôå, èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî äâà ÷åðòåæíûõ èíñòðóìåíòà — ëèíåéêà è öèðêóëü.
262. Äåëåíèå îòðåçêà ïîïîëàì.
Çàäà÷à I. Ðàçäåëèòü äàííûé îòðåçîê ïîïîëàì.
q 1. Ïðîâîäèì äóãè îêðóæíîñòåé îäíîãî è òîãî
æå ðàäèóñà (áîëüøåãî ïîëîâèíû ÀÂ) ñ öåíòðàìè â
çàäàííûõ òî÷êàõ À è  (ðèñ. 147).
2. ×åðåç òî÷êè C è D (òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ
äóã) ïðîâîäèì ïðÿìóþ. Îíà ïåðåñåêàåò îòðåçîê ÀÂ
â åãî ñåðåäèíå F. n
Ýòî æå ïîñòðîåíèå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ
ñëåäóþùåé çàäà÷è.
Çàäà÷à II. Âîññòàâèòü ïåðïåíäèêóëÿð â ñåðåäèíå
äàííîãî îòðåçêà.
Ïðÿìàÿ CD è åñòü èñêîìûé ïåðïåíäèêóëÿð.
263. Ïîñòðîåíèå ïåðïåíäèêóëÿðîâ.
Çàäà÷à III. Îïóñòèòü ïåðïåíäèêóëÿð èç äàííîé
òî÷êè íà äàííóþ ïðÿìóþ.
Ðèñ. 147
384
Ðèñ. 148
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå
q 1. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â çàäàííîé òî÷êå Ñ, ïåðåñåêàþùóþ äàííóþ ïðÿìóþ â òî÷êàõ À è  (ðèñ. 148).
2. Ïðîâîäèì äóãè îêðóæíîñòåé îäíîãî è òîãî æå
ðàäèóñà (áîëüøåãî ïîëîâèíû ÀÂ) ñ öåíòðàìè À
è Â. Ïóñòü îíè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå D.
3. Ïðÿìàÿ CD è åñòü èñêîìûé ïåðïåíäèêóëÿð.n
Çàäà÷à IV. Âîññòàâèòü ïåðïåíäèêóëÿð ê äàííîìó
îòðåçêó â åãî êîíöå.
q 1. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç çàäàííûé êîíåö À, à åå öåíòðîì ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà Ñ, ëåæàùàÿ âíå äàííîé ïðÿìîé. Ïóñòü
ýòà îêðóæíîñòü ïåðåñåêàåò äàííûé îòðåçîê (èëè åãî
ïðîäîëæåíèå) â òî÷êå F (ðèñ. 149).
2. Ïðîâîäèì äèàìåòð, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç òî÷êè F
è Ñ. Ïóñòü D — âòîðîé êîíåö ýòîãî äèàìåòðà. Òîãäà
DA — èñêîìûé ïåðïåíäèêóëÿð ( ÐDAB — ïðÿìîé,
òàê êàê îí îïèðàåòñÿ íà äèàìåòð). n
264. Ïîñòðîåíèå óãëîâ.
Çàäà÷à V. Ïîñòðîèòü óãîë, ðàâíûé äàííîìó.
q 1. Ïðîâîäèì äóãó ïðîèçâîëüíîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â âåðøèíå À äàííîãî óãëà, ïåðåñåêàþùóþ åãî
ñòîðîíû â òî÷êàõ  è Ñ (ðèñ. 150).
Ðèñ. 149
Ðèñ. 150
385
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
2. Ïðîâîäèì ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìóþ, ôèêñèðóåì
íà íåé òî÷êó K è ïðîâîäèì äóãó òîãî æå ðàäèóñà,
÷òî è â ï. 1, ñ öåíòðîì K. Ïóñòü ýòà äóãà ïåðåñåêàåò
ïðÿìóþ â òî÷êå L.
3. Ïðîâîäèì äóãó ðàäèóñà ÂÑ ñ öåíòðîì L. Ïóñòü
ýòà äóãà ïåðåñåêàåò ïåðâóþ äóãó â òî÷êå Ì. Òîãäà
óãîë MKL è åñòü èñêîìûé. n
Çàäà÷à VI. Ðàçäåëèòü äàííûé óãîë ïîïîëàì.
q 1. Ïðîâîäèì äóãó ïðîèçâîëüíîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â âåðøèíå À äàííîãî óãëà, ïåðåñåêàþùóþ åãî
ñòîðîíû â òî÷êàõ  è Ñ (ðèñ. 151).
2. Ïðîâîäèì äóãè îäíîãî è òîãî æå ðàäèóñà (áîëüøåãî ïîëîâèíû ÂÑ) ñ öåíòðàìè Â è Ñ. Ïóñòü îíè
ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå D.
3. Ïðîâîäèì AD. Òîãäà ÐBAD = ÐDAC. n
265. Ïîñòðîåíèå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé äàííîé
è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó.
Çàäà÷à VII. ×åðåç äàííóþ òî÷êó, íå ïðèíàäëåæàùóþ äàííîé ïðÿìîé, ïðîâåñòè ïðÿìóþ, åé ïàðàëëåëüíóþ.
q 1. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â çàäàííîé òî÷êå À è ðàäèóñîì, áXîëüøèì, ÷åì ðàññòîÿíèå îò
òî÷êè À äî äàííîé ïðÿìîé. Ïóñòü ýòà îêðóæíîñòü
ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ â òî÷êàõ  è Ñ (ðèñ. 152).
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå
2. Ïðîâîäèì ðàäèóñ ÑÀ è äèàìåòð BD.
3. Ðàçäåëèì óãîë DAC ïîïîëàì (ñì. çàäà÷ó VI):
åãî áèññåêòðèñà è åñòü èñêîìàÿ ïðÿìàÿ.
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü AF^ BC; òîãäà AF — áèññåêòðèñà óãëà ÂÀÑ, à áèññåêòðèñû ñìåæíûõ óãëîâ
âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, îòêóäà è ñëåäóåò òðåáóåìàÿ ïàðàëëåëüíîñòü. n
266. Ïîñòðîåíèå ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêîâ.
Çàäà÷à VIII. Ðàçäåëèòü îòðåçîê íà ïðîïîðöèîíàëüíûå ÷àñòè.
Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ðàçäåëèì îòðåçîê ÀÂ â îòíîøåíèè 1 : 2 : 3.
q 1. ×åðåç îäèí èç êîíöîâ çàäàííîãî îòðåçêà (íàïðèìåð, À) ïðîâîäèì ïðîèçâîëüíûé ëó÷ (ðèñ. 153).
2. Íà ýòîì ëó÷å îò òî÷êè À îòêëàäûâàåì â ïðîèçâîëüíîì ìàñøòàáå îòðåçêè çàäàííîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, ò. å. AK : KL : LM = 1 : 2 : 3.
3. Ñîåäèíÿåì òî÷êè  è Ì.
4. ×åðåç êîíöû îòðåçêîâ, ëåæàùèå íà ëó÷å ÀÌ,
ïðîâîäèì ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå ÂÌ. Îòðåçîê ÀÂ
ðàçäåëåí íà òðåáóåìûå ÷àñòè: AC : CD : DB = 1 : 2 : 3.
 ÷àñòíîñòè, åñëè íà ëó÷å îòëîæèòü ðàâíûå îòðåçêè, òî è îòðåçîê À ðàçäåëèòñÿ íà ðàâíûå ÷àñòè.n
Çàäà÷à IX. Ïîñòðîèòü ÷åòâåðòûé ïðîïîðöèîíàëüíûé îòðåçîê.
Äàíû òðè îòðåçêà äëèíîé a, b è ñ. Òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü òàêîé îòðåçîê äëèíû õ, ÷òîáû
a c
= ,
b x
bc
.
a
q Ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé çàäà÷è VIII.
èëè x =
Ðèñ. 151
386
Ðèñ. 152
387
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
2. Ïðîâîäèì ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìóþ, ôèêñèðóåì
íà íåé òî÷êó K è ïðîâîäèì äóãó òîãî æå ðàäèóñà,
÷òî è â ï. 1, ñ öåíòðîì K. Ïóñòü ýòà äóãà ïåðåñåêàåò
ïðÿìóþ â òî÷êå L.
3. Ïðîâîäèì äóãó ðàäèóñà ÂÑ ñ öåíòðîì L. Ïóñòü
ýòà äóãà ïåðåñåêàåò ïåðâóþ äóãó â òî÷êå Ì. Òîãäà
óãîë MKL è åñòü èñêîìûé. n
Çàäà÷à VI. Ðàçäåëèòü äàííûé óãîë ïîïîëàì.
q 1. Ïðîâîäèì äóãó ïðîèçâîëüíîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â âåðøèíå À äàííîãî óãëà, ïåðåñåêàþùóþ åãî
ñòîðîíû â òî÷êàõ  è Ñ (ðèñ. 151).
2. Ïðîâîäèì äóãè îäíîãî è òîãî æå ðàäèóñà (áîëüøåãî ïîëîâèíû ÂÑ) ñ öåíòðàìè Â è Ñ. Ïóñòü îíè
ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå D.
3. Ïðîâîäèì AD. Òîãäà ÐBAD = ÐDAC. n
265. Ïîñòðîåíèå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé äàííîé
è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó.
Çàäà÷à VII. ×åðåç äàííóþ òî÷êó, íå ïðèíàäëåæàùóþ äàííîé ïðÿìîé, ïðîâåñòè ïðÿìóþ, åé ïàðàëëåëüíóþ.
q 1. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â çàäàííîé òî÷êå À è ðàäèóñîì, áXîëüøèì, ÷åì ðàññòîÿíèå îò
òî÷êè À äî äàííîé ïðÿìîé. Ïóñòü ýòà îêðóæíîñòü
ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ â òî÷êàõ  è Ñ (ðèñ. 152).
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå
2. Ïðîâîäèì ðàäèóñ ÑÀ è äèàìåòð BD.
3. Ðàçäåëèì óãîë DAC ïîïîëàì (ñì. çàäà÷ó VI):
åãî áèññåêòðèñà è åñòü èñêîìàÿ ïðÿìàÿ.
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü AF^ BC; òîãäà AF — áèññåêòðèñà óãëà ÂÀÑ, à áèññåêòðèñû ñìåæíûõ óãëîâ
âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, îòêóäà è ñëåäóåò òðåáóåìàÿ ïàðàëëåëüíîñòü. n
266. Ïîñòðîåíèå ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêîâ.
Çàäà÷à VIII. Ðàçäåëèòü îòðåçîê íà ïðîïîðöèîíàëüíûå ÷àñòè.
Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ðàçäåëèì îòðåçîê ÀÂ â îòíîøåíèè 1 : 2 : 3.
q 1. ×åðåç îäèí èç êîíöîâ çàäàííîãî îòðåçêà (íàïðèìåð, À) ïðîâîäèì ïðîèçâîëüíûé ëó÷ (ðèñ. 153).
2. Íà ýòîì ëó÷å îò òî÷êè À îòêëàäûâàåì â ïðîèçâîëüíîì ìàñøòàáå îòðåçêè çàäàííîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, ò. å. AK : KL : LM = 1 : 2 : 3.
3. Ñîåäèíÿåì òî÷êè  è Ì.
4. ×åðåç êîíöû îòðåçêîâ, ëåæàùèå íà ëó÷å ÀÌ,
ïðîâîäèì ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå ÂÌ. Îòðåçîê ÀÂ
ðàçäåëåí íà òðåáóåìûå ÷àñòè: AC : CD : DB = 1 : 2 : 3.
 ÷àñòíîñòè, åñëè íà ëó÷å îòëîæèòü ðàâíûå îòðåçêè, òî è îòðåçîê À ðàçäåëèòñÿ íà ðàâíûå ÷àñòè.n
Çàäà÷à IX. Ïîñòðîèòü ÷åòâåðòûé ïðîïîðöèîíàëüíûé îòðåçîê.
Äàíû òðè îòðåçêà äëèíîé a, b è ñ. Òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü òàêîé îòðåçîê äëèíû õ, ÷òîáû
a c
= ,
b x
bc
.
a
q Ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé çàäà÷è VIII.
èëè x =
Ðèñ. 151
386
Ðèñ. 152
387
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
a)
á)
Ðèñ. 154
1. Ñòðîèì ïðîèçâîëüíûé óãîë (ðèñ. 154, à).
2. Íà îäíîé ñòîðîíå óãëà îòêëàäûâàåì îòðåçêè
ÀÂ = à è BD = b.
3. Íà äðóãîé ñòîðîíå óãëà îòêëàäûâàåì îòðåçîê
ÀÑ = ñ.
4. Ñîåäèíÿåì òî÷êè  è Ñ è ïðîâîäèì DE÷÷ BC.
BD × AC
Îòðåçîê ÑÅ — èñêîìûé, ò. å. CE =
.
AB
Çàìåòèì, ÷òî äëèíà ÑÅ íå èçìåíèòñÿ, åñëè îòëîæèòü ÀÂ = à, BD = c, AC = b (ðèñ. 154, á). n
267. Ïîñòðîåíèå êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè.
Çàäà÷à Õ. Èç äàííîé òî÷êè, ëåæàùåé âíå îêðóæíîñòè, ïðîâåñòè ê íåé êàñàòåëüíóþ (åñëè òî÷êà ëåæèò íà îêðóæíîñòè, òî çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ïîñòðîåíèþ ïåðïåíäèêóëÿðà â êîíöå îòðåçêà).
388
§ 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå
q 1. Ñîåäèíèì äàííóþ òî÷êó À ñ öåíòðîì Î îêðóæíîñòè (ðèñ. 155).
2. Íà ÎÀ êàê íà äèàìåòðå ñòðîèì îêðóæíîñòü,
ïåðåñåêàþùóþ çàäàííóþ â òî÷êàõ  è Ñ.
3. Ïðîâîäèì ïðÿìûå À è ÀÑ, êîòîðûå è ÿâëÿþòñÿ èñêîìûìè êàñàòåëüíûìè (óãëû ÀÂÎ è ÀÑÎ —
ïðÿìûå, òàê êàê îíè îïèðàþòñÿ íà äèàìåòð). n
Ðèñ. 153
Ðèñ. 155
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
268. Ïîñòðîåíèå âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé äëÿ òðåóãîëüíèêà.
Çàäà÷à XI. Âïèñàòü îêðóæíîñòü â äàííûé òðåóãîëüíèê.
q 1. Ïðîâîäèì áèññåêòðèñû äâóõ ëþáûõ óãëîâ
òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 156).
2. Èç òî÷êè Î ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ îïóñêàåì
ïåðïåíäèêóëÿð íà êàêóþ-ëèáî ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà.
3. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì Î è ðàäèóñîì, ðàâíûì äëèíå ïåðïåíäèêóëÿðà. n
Çàäà÷à XII. Îïèñàòü îêðóæíîñòü îêîëî äàííîãî
òðåóãîëüíèêà.
q 1. Ïðîâîäèì ïåðïåíäèêóëÿðû ÷åðåç ñåðåäèíû
êàêèõ-ëèáî ñòîðîí òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 157). Ïóñòü
îíè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Î.
2. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì Î è ðàäèóñîì, ðàâíûì ÎÀ. n
Ðèñ. 156
Ðèñ. 157
389
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
a)
á)
Ðèñ. 154
1. Ñòðîèì ïðîèçâîëüíûé óãîë (ðèñ. 154, à).
2. Íà îäíîé ñòîðîíå óãëà îòêëàäûâàåì îòðåçêè
ÀÂ = à è BD = b.
3. Íà äðóãîé ñòîðîíå óãëà îòêëàäûâàåì îòðåçîê
ÀÑ = ñ.
4. Ñîåäèíÿåì òî÷êè  è Ñ è ïðîâîäèì DE÷÷ BC.
BD × AC
Îòðåçîê ÑÅ — èñêîìûé, ò. å. CE =
.
AB
Çàìåòèì, ÷òî äëèíà ÑÅ íå èçìåíèòñÿ, åñëè îòëîæèòü ÀÂ = à, BD = c, AC = b (ðèñ. 154, á). n
267. Ïîñòðîåíèå êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè.
Çàäà÷à Õ. Èç äàííîé òî÷êè, ëåæàùåé âíå îêðóæíîñòè, ïðîâåñòè ê íåé êàñàòåëüíóþ (åñëè òî÷êà ëåæèò íà îêðóæíîñòè, òî çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ïîñòðîåíèþ ïåðïåíäèêóëÿðà â êîíöå îòðåçêà).
388
§ 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå
q 1. Ñîåäèíèì äàííóþ òî÷êó À ñ öåíòðîì Î îêðóæíîñòè (ðèñ. 155).
2. Íà ÎÀ êàê íà äèàìåòðå ñòðîèì îêðóæíîñòü,
ïåðåñåêàþùóþ çàäàííóþ â òî÷êàõ  è Ñ.
3. Ïðîâîäèì ïðÿìûå À è ÀÑ, êîòîðûå è ÿâëÿþòñÿ èñêîìûìè êàñàòåëüíûìè (óãëû ÀÂÎ è ÀÑÎ —
ïðÿìûå, òàê êàê îíè îïèðàþòñÿ íà äèàìåòð). n
Ðèñ. 153
Ðèñ. 155
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
268. Ïîñòðîåíèå âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé äëÿ òðåóãîëüíèêà.
Çàäà÷à XI. Âïèñàòü îêðóæíîñòü â äàííûé òðåóãîëüíèê.
q 1. Ïðîâîäèì áèññåêòðèñû äâóõ ëþáûõ óãëîâ
òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 156).
2. Èç òî÷êè Î ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ îïóñêàåì
ïåðïåíäèêóëÿð íà êàêóþ-ëèáî ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà.
3. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì Î è ðàäèóñîì, ðàâíûì äëèíå ïåðïåíäèêóëÿðà. n
Çàäà÷à XII. Îïèñàòü îêðóæíîñòü îêîëî äàííîãî
òðåóãîëüíèêà.
q 1. Ïðîâîäèì ïåðïåíäèêóëÿðû ÷åðåç ñåðåäèíû
êàêèõ-ëèáî ñòîðîí òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 157). Ïóñòü
îíè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Î.
2. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì Î è ðàäèóñîì, ðàâíûì ÎÀ. n
Ðèñ. 156
Ðèñ. 157
389
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
Ðàçäåë IX
ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÔÈÃÓÐÛ
ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
§ 30. Òðåóãîëüíèê
269. Ñòîðîíû è óãëû òðåóãîëüíèêà. Äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà íå ìîãóò áûòü çàäàíû ïðîèçâîëüíî: âî âñÿêîì òðåóãîëüíèêå äëèíà ëþáîé ñòîðîíû
ìåíüøå ñóììû äëèí äâóõ äðóãèõ ñòîðîí, íî áîëüøå
èõ ðàçíîñòè.
Íàïðèìåð, ñóùåñòâóåò òðåóãîëüíèê ñ äëèíàìè ñòîðîí 3, 4 è 5, íî íå ñóùåñòâóåò òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè 3, 4 è 8 (ïîñêîëüêó 8 > 3 + 4 ).
Òàêèì îáðàçîì, åñëè ÀÂ, ÂÑ è ÀÑ — äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
AC < AB + BC, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì
òðåóãîëüíèêà.
Îòìåòèì, ÷òî â òðåóãîëüíèêå ïðîòèâ áîëüøåé
ñòîðîíû ëåæèò áîëüøèé óãîë è îáðàòíî, ïðîòèâ
áîëüøåãî óãëà ëåæèò áîëüøàÿ ñòîðîíà.
Åñëè äëèíû âñåõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ðàâíû ìåæäó ñîáîé, òî òàêîé òðåóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ ðàâíîñòîðîííèì (èëè ïðàâèëüíûì); åñëè æå ðàâíû äâå
ñòîðîíû, òî òðåóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ ðàâíîáåäðåííûì. Îáû÷íî ó ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà åãî
ðàâíûå ñòîðîíû íàçûâàþò áîêîâûìè ñòîðîíàìè, à
òðåòüþ ñòîðîíó — îñíîâàíèåì. Íàïðèìåð, â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ (ðèñ. 158) ÀÑ — îñíîâàíèå, à À è ÂÑ — áîêîâûå ñòîðîíû.
 ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå âñå óãëû ðàâíû;
â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ðàâíû óãëû ïðè îñíîâàíèè.
390
Ðèñ. 158
Ðèñ. 159
Ðèñ. 160
Ò.9.1. Ñóììà óãëîâ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà 180°
(äâóì ïðÿìûì óãëàì).
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìîæåò ñóùåñòâîâàòü òðåóãîëüíèê ñ òðåìÿ îñòðûìè óãëàìè, íî ïðÿìîé èëè òóïîé
óãîë â òðåóãîëüíèêå ìîæåò áûòü òîëüêî îäèí.
Òðåóãîëüíèê, ó êîòîðîãî âñå òðè óãëà îñòðûå, íàçûâàåòñÿ îñòðîóãîëüíûì; òðåóãîëüíèê, èìåþùèé òóïîé
óãîë, — òóïîóãîëüíûì. Òðåóãîëüíèê, èìåþùèé ïðÿìîé óãîë, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì. Åãî ñòîðîíà,
ëåæàùàÿ ïðîòèâ ïðÿìîãî óãëà, íàçûâàåòñÿ ãèïîòåíóçîé, à ñòîðîíû, îáðàçóþùèå ïðÿìîé óãîë, — êàòåòàìè. Òàê, â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ (ðèñ. 159)
À — ãèïîòåíóçà, à ÀÑ è ÂÑ — êàòåòû.
Âíåøíèì óãëîì òðåóãîëüíèêà ïðè äàííîé âåðøèíå íàçûâàåòñÿ óãîë, ñìåæíûé ñ âíóòðåííèì óãëîì òðåóãîëüíèêà ïðè ýòîé âåðøèíå (íàïðèìåð, íà
ðèñ. 160 ACD — âíåøíèé óãîë ïðè âåðøèíå Ñ, ñìåæíûé ñ âíóòðåííèì óãëîì ÀÑÂ).
Ò.9.2. Âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà ðàâåí ñóììå äâóõ
âíóòðåííèõ óãëîâ, ñ íèì íå ñìåæíûõ.
391
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
Ðàçäåë IX
ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÔÈÃÓÐÛ
ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
§ 30. Òðåóãîëüíèê
269. Ñòîðîíû è óãëû òðåóãîëüíèêà. Äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà íå ìîãóò áûòü çàäàíû ïðîèçâîëüíî: âî âñÿêîì òðåóãîëüíèêå äëèíà ëþáîé ñòîðîíû
ìåíüøå ñóììû äëèí äâóõ äðóãèõ ñòîðîí, íî áîëüøå
èõ ðàçíîñòè.
Íàïðèìåð, ñóùåñòâóåò òðåóãîëüíèê ñ äëèíàìè ñòîðîí 3, 4 è 5, íî íå ñóùåñòâóåò òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè 3, 4 è 8 (ïîñêîëüêó 8 > 3 + 4 ).
Òàêèì îáðàçîì, åñëè ÀÂ, ÂÑ è ÀÑ — äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
AC < AB + BC, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì
òðåóãîëüíèêà.
Îòìåòèì, ÷òî â òðåóãîëüíèêå ïðîòèâ áîëüøåé
ñòîðîíû ëåæèò áîëüøèé óãîë è îáðàòíî, ïðîòèâ
áîëüøåãî óãëà ëåæèò áîëüøàÿ ñòîðîíà.
Åñëè äëèíû âñåõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ðàâíû ìåæäó ñîáîé, òî òàêîé òðåóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ ðàâíîñòîðîííèì (èëè ïðàâèëüíûì); åñëè æå ðàâíû äâå
ñòîðîíû, òî òðåóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ ðàâíîáåäðåííûì. Îáû÷íî ó ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà åãî
ðàâíûå ñòîðîíû íàçûâàþò áîêîâûìè ñòîðîíàìè, à
òðåòüþ ñòîðîíó — îñíîâàíèåì. Íàïðèìåð, â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ (ðèñ. 158) ÀÑ — îñíîâàíèå, à À è ÂÑ — áîêîâûå ñòîðîíû.
 ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå âñå óãëû ðàâíû;
â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ðàâíû óãëû ïðè îñíîâàíèè.
390
Ðèñ. 158
Ðèñ. 159
Ðèñ. 160
Ò.9.1. Ñóììà óãëîâ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà 180°
(äâóì ïðÿìûì óãëàì).
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìîæåò ñóùåñòâîâàòü òðåóãîëüíèê ñ òðåìÿ îñòðûìè óãëàìè, íî ïðÿìîé èëè òóïîé
óãîë â òðåóãîëüíèêå ìîæåò áûòü òîëüêî îäèí.
Òðåóãîëüíèê, ó êîòîðîãî âñå òðè óãëà îñòðûå, íàçûâàåòñÿ îñòðîóãîëüíûì; òðåóãîëüíèê, èìåþùèé òóïîé
óãîë, — òóïîóãîëüíûì. Òðåóãîëüíèê, èìåþùèé ïðÿìîé óãîë, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì. Åãî ñòîðîíà,
ëåæàùàÿ ïðîòèâ ïðÿìîãî óãëà, íàçûâàåòñÿ ãèïîòåíóçîé, à ñòîðîíû, îáðàçóþùèå ïðÿìîé óãîë, — êàòåòàìè. Òàê, â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ (ðèñ. 159)
À — ãèïîòåíóçà, à ÀÑ è ÂÑ — êàòåòû.
Âíåøíèì óãëîì òðåóãîëüíèêà ïðè äàííîé âåðøèíå íàçûâàåòñÿ óãîë, ñìåæíûé ñ âíóòðåííèì óãëîì òðåóãîëüíèêà ïðè ýòîé âåðøèíå (íàïðèìåð, íà
ðèñ. 160 ACD — âíåøíèé óãîë ïðè âåðøèíå Ñ, ñìåæíûé ñ âíóòðåííèì óãëîì ÀÑÂ).
Ò.9.2. Âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà ðàâåí ñóììå äâóõ
âíóòðåííèõ óãëîâ, ñ íèì íå ñìåæíûõ.
391
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
270. Áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà. Îêðóæíîñòü,
âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê. Áèññåêòðèñîé òðåóãîëüíèêà íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ èç áèññåêòðèñ âíóòðåííèõ
óãëîâ òðåóãîëüíèêà.
Ò.9.3. Òðè áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
Îêðóæíîñòü íàçûâàåòñÿ âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê, åñëè îíà êàñàåòñÿ âñåõ åãî ñòîðîí.
Ò.9.4.  ëþáîé òðåóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü; åå öåíòðîì ÿâëÿåòñÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ
áèññåêòðèñ.
Òàê, íà ðèñ. 161 èçîáðàæåíû òðåóãîëüíèê è âïèñàííàÿ â íåãî îêðóæíîñòü; åå öåíòðîì Î ÿâëÿåòñÿ
òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ AK, BL è ÑÌ.
Âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê îêðóæíîñòü åäèíñòâåííà, íî ñóùåñòâóþò åùå îêðóæíîñòè, êàñàþùèåñÿ âñåõ
òðåõ ïðÿìûõ, íà êîòîðûõ ëåæàò ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 162). Òàêèå îêðóæíîñòè íàçûâàþòñÿ âíåøíå âïèñàííûìè.
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
Ïóñòü à, b, c — äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà,
à lc — äëèíà áèññåêòðèñû, ïðîâåäåííîé ê ñòîðîíå ñ.
Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
ab (a + b + c) (a + b - c)
(1)
.
a+b
Ï ð è ì å ð 1. Â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå
ÀÂÑ îñíîâàíèå ÂÑ = 5 ñì, à áîêîâàÿ ñòîðîíà ÀÂ =
= 20 ñì. Íàéòè äëèíó áèññåêòðèñû óãëà ïðè îñíîâàíèè (ðèñ. 163).
q Çäåñü à = 5 ñì, b = c = 20 ñì. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), íàõîäèì
lc =
100 × 45 × 5 10 × 15
=
= 6 (ñì). n
25
25
Îòìåòèì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî áèññåêòðèñû âíóòðåííåãî óãëà òðåóãîëüíèêà.
Ò.9.5. Áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà äåëèò ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó íà ÷àñòè, ïðîïîðöèîíàëüíûå
ïðèëåæàùèì ñòîðîíàì, ò. å.
lc =
a a1
=
,
b
b1
Ðèñ. 161
392
Ðèñ. 162
(2)
ãäå à è b — äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, à1 è b1 —
äëèíû ïðèëåæàùèõ ê íèì îòðåçêîâ ñòîðîíû ñ (ðèñ.
164).
Ï ð è ì å ð 2. Â òðåóãîëüíèêå èç ïðèìåðà 1
íàéòè îòðåçêè, íà êîòîðûå áèññåêòðèñà óãëà ïðè îñíîâàíèè äåëèò áîêîâóþ ñòîðîíó.
q Èìååì (ñì. ðèñ. 163) à = ÂÑ = 5, b = AC = 20, à1 =
= BD, b 1 = AD. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (2), ïîëó÷èì
à1 : b1 =5: 20 = 1 : 4, îòêóäà íàõîäèì BD = 4 ñì,
AD = 16 ñì. n
393
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
270. Áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà. Îêðóæíîñòü,
âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê. Áèññåêòðèñîé òðåóãîëüíèêà íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ èç áèññåêòðèñ âíóòðåííèõ
óãëîâ òðåóãîëüíèêà.
Ò.9.3. Òðè áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
Îêðóæíîñòü íàçûâàåòñÿ âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê, åñëè îíà êàñàåòñÿ âñåõ åãî ñòîðîí.
Ò.9.4.  ëþáîé òðåóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü; åå öåíòðîì ÿâëÿåòñÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ
áèññåêòðèñ.
Òàê, íà ðèñ. 161 èçîáðàæåíû òðåóãîëüíèê è âïèñàííàÿ â íåãî îêðóæíîñòü; åå öåíòðîì Î ÿâëÿåòñÿ
òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ AK, BL è ÑÌ.
Âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê îêðóæíîñòü åäèíñòâåííà, íî ñóùåñòâóþò åùå îêðóæíîñòè, êàñàþùèåñÿ âñåõ
òðåõ ïðÿìûõ, íà êîòîðûõ ëåæàò ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 162). Òàêèå îêðóæíîñòè íàçûâàþòñÿ âíåøíå âïèñàííûìè.
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
Ïóñòü à, b, c — äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà,
à lc — äëèíà áèññåêòðèñû, ïðîâåäåííîé ê ñòîðîíå ñ.
Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
ab (a + b + c) (a + b - c)
(1)
.
a+b
Ï ð è ì å ð 1. Â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå
ÀÂÑ îñíîâàíèå ÂÑ = 5 ñì, à áîêîâàÿ ñòîðîíà ÀÂ =
= 20 ñì. Íàéòè äëèíó áèññåêòðèñû óãëà ïðè îñíîâàíèè (ðèñ. 163).
q Çäåñü à = 5 ñì, b = c = 20 ñì. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), íàõîäèì
lc =
100 × 45 × 5 10 × 15
=
= 6 (ñì). n
25
25
Îòìåòèì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî áèññåêòðèñû âíóòðåííåãî óãëà òðåóãîëüíèêà.
Ò.9.5. Áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà äåëèò ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó íà ÷àñòè, ïðîïîðöèîíàëüíûå
ïðèëåæàùèì ñòîðîíàì, ò. å.
lc =
a a1
=
,
b
b1
Ðèñ. 161
392
Ðèñ. 162
(2)
ãäå à è b — äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, à1 è b1 —
äëèíû ïðèëåæàùèõ ê íèì îòðåçêîâ ñòîðîíû ñ (ðèñ.
164).
Ï ð è ì å ð 2. Â òðåóãîëüíèêå èç ïðèìåðà 1
íàéòè îòðåçêè, íà êîòîðûå áèññåêòðèñà óãëà ïðè îñíîâàíèè äåëèò áîêîâóþ ñòîðîíó.
q Èìååì (ñì. ðèñ. 163) à = ÂÑ = 5, b = AC = 20, à1 =
= BD, b 1 = AD. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (2), ïîëó÷èì
à1 : b1 =5: 20 = 1 : 4, îòêóäà íàõîäèì BD = 4 ñì,
AD = 16 ñì. n
393
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
271. Ìåäèàíà òðåóãîëüíèêà. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé âåðøèíó òðåóãîëüíèêà ñ ñåðåäèíîé ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíû, íàçûâàåòñÿ ìåäèàíîé òðåóãîëüíèêà.
Ò.9.6. Òðè ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ
â îäíîé òî÷êå, êîòîðàÿ äåëèò êàæäóþ ìåäèàíó
â îòíîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû òðåóãîëüíèêà.
Ðèñ. 163
Ðèñ. 164
Àíàëîãè÷íûì ñâîéñòâîì îáëàäàåò è áèññåêòðèñà âíåøíåãî óãëà òðåóãîëüíèêà, åñëè AB ¹ BC
(ðèñ. 165), à èìåííî: îòðåçêè AN è CN îò âåðøèí À è
Ñ äî òî÷êè N åå ïåðåñå÷åíèÿ ñî ñòîðîíîé ÀÑ
ïðîïîðöèîíàëüíû ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà, ò. å.
AN : CN = AB : BC.
Äëÿ äëèíû áèññåêòðèñû âíóòðåííåãî óãëà òðåóãîëüíèêà ñïðàâåäëèâà òàêæå ôîðìóëà
lc = ab - a1b1 ,
Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ìàññ
òðåóãîëüíèêà (åñëè ñ÷èòàòü òðåóãîëüíèê òîíêîé îäíîðîäíîé ïëàñòèíêîé).
Ïóñòü à, b, ñ — äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, à
mñ — äëèíà ìåäèàíû, ïðîâåäåííîé ê ñòîðîíå ñ. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
mc = 0,5 2 (a2 + b 2 ) - c 2 .
(1)
Ï ð è ì å ð 1. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå
ÀÂÑ ñ êàòåòàìè ÂÑ = 3 ñì è ÀÑ = 4 ñì íàéòè äëèíû
ìåäèàí ÀÅ è CD (ðèñ. 166).
(3)
ãäå à1 è b1 — äëèíû îòðåçêîâ, íà êîòîðûå áèññåêòðèñà äåëèò ñòîðîíó ñ (ñì. ðèñ. 164).
Òàê, â D ABC èç ïðèìåðà 1 (ñì. ðèñ. 163) èìååì
a = BC = 5 ñì, b = AC = 20 ñì, a1 = BD = 4 ñì, b1 =
= AD = 16 ñì, îòêóäà ïî ôîðìóëå (3) íàõîäèì CD =
= 5 × 20 - 4 × 16 = 36 = 6 (ñì).
394
Ðèñ. 165
Ðèñ. 166
395
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
271. Ìåäèàíà òðåóãîëüíèêà. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé âåðøèíó òðåóãîëüíèêà ñ ñåðåäèíîé ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíû, íàçûâàåòñÿ ìåäèàíîé òðåóãîëüíèêà.
Ò.9.6. Òðè ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ
â îäíîé òî÷êå, êîòîðàÿ äåëèò êàæäóþ ìåäèàíó
â îòíîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû òðåóãîëüíèêà.
Ðèñ. 163
Ðèñ. 164
Àíàëîãè÷íûì ñâîéñòâîì îáëàäàåò è áèññåêòðèñà âíåøíåãî óãëà òðåóãîëüíèêà, åñëè AB ¹ BC
(ðèñ. 165), à èìåííî: îòðåçêè AN è CN îò âåðøèí À è
Ñ äî òî÷êè N åå ïåðåñå÷åíèÿ ñî ñòîðîíîé ÀÑ
ïðîïîðöèîíàëüíû ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà, ò. å.
AN : CN = AB : BC.
Äëÿ äëèíû áèññåêòðèñû âíóòðåííåãî óãëà òðåóãîëüíèêà ñïðàâåäëèâà òàêæå ôîðìóëà
lc = ab - a1b1 ,
Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ìàññ
òðåóãîëüíèêà (åñëè ñ÷èòàòü òðåóãîëüíèê òîíêîé îäíîðîäíîé ïëàñòèíêîé).
Ïóñòü à, b, ñ — äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, à
mñ — äëèíà ìåäèàíû, ïðîâåäåííîé ê ñòîðîíå ñ. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
mc = 0,5 2 (a2 + b 2 ) - c 2 .
(1)
Ï ð è ì å ð 1. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå
ÀÂÑ ñ êàòåòàìè ÂÑ = 3 ñì è ÀÑ = 4 ñì íàéòè äëèíû
ìåäèàí ÀÅ è CD (ðèñ. 166).
(3)
ãäå à1 è b1 — äëèíû îòðåçêîâ, íà êîòîðûå áèññåêòðèñà äåëèò ñòîðîíó ñ (ñì. ðèñ. 164).
Òàê, â D ABC èç ïðèìåðà 1 (ñì. ðèñ. 163) èìååì
a = BC = 5 ñì, b = AC = 20 ñì, a1 = BD = 4 ñì, b1 =
= AD = 16 ñì, îòêóäà ïî ôîðìóëå (3) íàõîäèì CD =
= 5 × 20 - 4 × 16 = 36 = 6 (ñì).
394
Ðèñ. 165
Ðèñ. 166
395
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
q Çäåñü AB = 32 + 42 = 5 (ñì). Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), íàõîäèì
AE = 0,5 2 (42 + 52 ) - 32 = 0,5 73 ; (ñì);
CD = 0,5 2 (32 + 42 ) - 52 = 2,5 (ñì)
(êàê è äîëæíî áûòü, ïîñêîëüêó â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ìåäèàíà, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà, ðàâíà ïîëîâèíå ãèïîòåíóçû, ò. å. ðàäèóñó îïèñàííîé îêðóæíîñòè; ñì. ï. 273). n
Îïðåäåëèì åùå îäíî ïîíÿòèå. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ñåðåäèíû äâóõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, íàçûâàåòñÿ
ñðåäíåé ëèíèåé. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:
Ò.9.7. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà, ñîåäèíÿþùàÿ
ñåðåäèíû äâóõ åãî ñòîðîí, ïàðàëëåëüíà òðåòüåé
ñòîðîíå è ðàâíà åå ïîëîâèíå.
Ï ð è ì å ð 2. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ ðàâíîáåäðåííîãî
òðåóãîëüíèêà, ïàðàëëåëüíàÿ åãî áîêîâîé ñòîðîíå, ðàâíà 3 ñì. Íàéòè ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, åñëè åãî ïåðèìåòð ðàâåí 17 ñì.
q Òàê êàê FE = 3 ñì (ðèñ. 167), òî ÂÑ = 6 ñì,
à çíà÷èò, è À = 6 ñì. Îñòàåòñÿ íàéòè ÀÑ = 17 –
– 12 = 5 (ñì). n
272. Âûñîòà òðåóãîëüíèêà. Âûñîòîé òðåóãîëüíèêà íàçûâàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç åãî âåðøèíû íà ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó. Ïóñòü a, b, ñ —
äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, hc — âûñîòà, ïðîâåäåííàÿ ê ñòîðîíå ñ. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
hc =
2 p ( p - a) ( p - b) ( p - c)
,
c
(1)
ãäå p = 0,5 (a + b + c) — ïîëóïåðèìåòð. Îòñþäà ñëå396
Ðèñ. 167
Ðèñ. 168
1 1 1
: : , ò. å. äëèíû âûñîò
a b c
òðåóãîëüíèêà îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû äëèíàì
ñòîðîí, ê êîòîðûì ïðîâåäåíû ýòè âûñîòû.
Ï ð è ì å ð. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ
ñ êàòåòàìè à = ÂÑ = 3 è b = ÀÑ = 4 íàéòè äëèíó
âûñîòû CD (ðèñ. 168).
q Èìååì ñ = À = 5, ð = 0,5 (3 + 4 + 5) = 6, ð – à =
= 3, p – b = 2, ð – ñ = 1. Òåïåðü ïî ôîðìóëå (1) íàõîäèì
äóåò, ÷òî ha : hb : hc =
2 6 × 3 × 2 × 1 12
=
. n
5
5
Çàìåòèì, ÷òî â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå áèññåêòðèñà, ìåäèàíà è âûñîòà, ïðîâåäåííûå ê îñíîâàíèþ, ñîâïàäàþò.
Ò.9.8. Òðè âûñîòû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â
îäíîé òî÷êå.
Ýòà òî÷êà íàçûâàåòñÿ îðòîöåíòðîì.  îñòðîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå îðòîöåíòð ëåæèò âíóòðè, â
òóïîóãîëüíîì — âíå òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 169, à è á).
 ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå îðòîöåíòð ñîâïàäàåò ñ âåðøèíîé ïðÿìîãî óãëà (ðèñ. 169, â).
hc =
397
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
q Çäåñü AB = 32 + 42 = 5 (ñì). Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), íàõîäèì
AE = 0,5 2 (42 + 52 ) - 32 = 0,5 73 ; (ñì);
CD = 0,5 2 (32 + 42 ) - 52 = 2,5 (ñì)
(êàê è äîëæíî áûòü, ïîñêîëüêó â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ìåäèàíà, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà, ðàâíà ïîëîâèíå ãèïîòåíóçû, ò. å. ðàäèóñó îïèñàííîé îêðóæíîñòè; ñì. ï. 273). n
Îïðåäåëèì åùå îäíî ïîíÿòèå. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ñåðåäèíû äâóõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, íàçûâàåòñÿ
ñðåäíåé ëèíèåé. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:
Ò.9.7. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà, ñîåäèíÿþùàÿ
ñåðåäèíû äâóõ åãî ñòîðîí, ïàðàëëåëüíà òðåòüåé
ñòîðîíå è ðàâíà åå ïîëîâèíå.
Ï ð è ì å ð 2. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ ðàâíîáåäðåííîãî
òðåóãîëüíèêà, ïàðàëëåëüíàÿ åãî áîêîâîé ñòîðîíå, ðàâíà 3 ñì. Íàéòè ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, åñëè åãî ïåðèìåòð ðàâåí 17 ñì.
q Òàê êàê FE = 3 ñì (ðèñ. 167), òî ÂÑ = 6 ñì,
à çíà÷èò, è À = 6 ñì. Îñòàåòñÿ íàéòè ÀÑ = 17 –
– 12 = 5 (ñì). n
272. Âûñîòà òðåóãîëüíèêà. Âûñîòîé òðåóãîëüíèêà íàçûâàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç åãî âåðøèíû íà ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó. Ïóñòü a, b, ñ —
äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, hc — âûñîòà, ïðîâåäåííàÿ ê ñòîðîíå ñ. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
hc =
2 p ( p - a) ( p - b) ( p - c)
,
c
(1)
ãäå p = 0,5 (a + b + c) — ïîëóïåðèìåòð. Îòñþäà ñëå396
Ðèñ. 167
Ðèñ. 168
1 1 1
: : , ò. å. äëèíû âûñîò
a b c
òðåóãîëüíèêà îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû äëèíàì
ñòîðîí, ê êîòîðûì ïðîâåäåíû ýòè âûñîòû.
Ï ð è ì å ð. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ
ñ êàòåòàìè à = ÂÑ = 3 è b = ÀÑ = 4 íàéòè äëèíó
âûñîòû CD (ðèñ. 168).
q Èìååì ñ = À = 5, ð = 0,5 (3 + 4 + 5) = 6, ð – à =
= 3, p – b = 2, ð – ñ = 1. Òåïåðü ïî ôîðìóëå (1) íàõîäèì
äóåò, ÷òî ha : hb : hc =
2 6 × 3 × 2 × 1 12
=
. n
5
5
Çàìåòèì, ÷òî â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå áèññåêòðèñà, ìåäèàíà è âûñîòà, ïðîâåäåííûå ê îñíîâàíèþ, ñîâïàäàþò.
Ò.9.8. Òðè âûñîòû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â
îäíîé òî÷êå.
Ýòà òî÷êà íàçûâàåòñÿ îðòîöåíòðîì.  îñòðîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå îðòîöåíòð ëåæèò âíóòðè, â
òóïîóãîëüíîì — âíå òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 169, à è á).
 ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå îðòîöåíòð ñîâïàäàåò ñ âåðøèíîé ïðÿìîãî óãëà (ðèñ. 169, â).
hc =
397
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
a)
á)
§ 30. Òðåóãîëüíèê
â)
Ðèñ. 169
273. Îêðóæíîñòü, îïèñàííàÿ îêîëî òðåóãîëüíèêà. Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè òðåóãîëüíèêà. Îêðóæíîñòü
íàçûâàåòñÿ îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà, åñëè îíà
ïðîõîäèò ÷åðåç âñå åãî âåðøèíû.
Ò.9.9. Òðè ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðà ê ñòîðîíàì
òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ýòà
òî÷êà ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì îêðóæíîñòè, îïèñàííîé
îêîëî òðåóãîëüíèêà.
Íà ðèñ. 170 èçîáðàæåíû òðåóãîëüíèê ÀÂÑ è îïèñàííàÿ îêîëî íåãî îêðóæíîñòü; åå öåíòðîì Î ÿâëÿåòñÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ÌÎ, KÎ è LO ê ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà.
 ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå öåíòð îïèñàííîé
îêðóæíîñòè — ýòî ñåðåäèíà ãèïîòåíóçû (ðèñ. 171).
Òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ (öåíòð âïèñàííîé
îêðóæíîñòè), òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí (öåíòð ìàññ),
òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò (îðòîöåíòð) è òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ (öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè) íàçûâàþò çàìå÷àòåëüíûìè
òî÷êàìè òðåóãîëüíèêà.
398
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðèñ. 170
Ðèñ. 171
 ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå âñå ÷åòûðå çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè ñîâïàäàþò (ðèñ. 172).
274.Ðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêîâ. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ïðèçíàêè ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ:
Ò.9.10. Åñëè äâå ñòîðîíû è óãîë ìåæäó íèìè îäíîãî
òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè äðóãîãî òðåóãîëüíèêà,
òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî äâóì ñòîðîíàì
è óãëó).
Ò.9.11. Åñëè ñòîðîíà è ïðèëåæàùèå ê íåé óãëû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ñòîðîíå è ïðèëåæàùèì ê íåé óãëàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî ñòîðîíå è
äâóì óãëàì).
Ò.9.12. Åñëè òðè ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà
ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî òðåì ñòîðîíàì äðóãîãî
òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî
òðåì ñòîðîíàì).
399
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
a)
á)
§ 30. Òðåóãîëüíèê
â)
Ðèñ. 169
273. Îêðóæíîñòü, îïèñàííàÿ îêîëî òðåóãîëüíèêà. Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè òðåóãîëüíèêà. Îêðóæíîñòü
íàçûâàåòñÿ îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà, åñëè îíà
ïðîõîäèò ÷åðåç âñå åãî âåðøèíû.
Ò.9.9. Òðè ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðà ê ñòîðîíàì
òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ýòà
òî÷êà ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì îêðóæíîñòè, îïèñàííîé
îêîëî òðåóãîëüíèêà.
Íà ðèñ. 170 èçîáðàæåíû òðåóãîëüíèê ÀÂÑ è îïèñàííàÿ îêîëî íåãî îêðóæíîñòü; åå öåíòðîì Î ÿâëÿåòñÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ÌÎ, KÎ è LO ê ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà.
 ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå öåíòð îïèñàííîé
îêðóæíîñòè — ýòî ñåðåäèíà ãèïîòåíóçû (ðèñ. 171).
Òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ (öåíòð âïèñàííîé
îêðóæíîñòè), òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí (öåíòð ìàññ),
òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò (îðòîöåíòð) è òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ (öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè) íàçûâàþò çàìå÷àòåëüíûìè
òî÷êàìè òðåóãîëüíèêà.
398
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðèñ. 170
Ðèñ. 171
 ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå âñå ÷åòûðå çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè ñîâïàäàþò (ðèñ. 172).
274.Ðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêîâ. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ïðèçíàêè ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ:
Ò.9.10. Åñëè äâå ñòîðîíû è óãîë ìåæäó íèìè îäíîãî
òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè äðóãîãî òðåóãîëüíèêà,
òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî äâóì ñòîðîíàì
è óãëó).
Ò.9.11. Åñëè ñòîðîíà è ïðèëåæàùèå ê íåé óãëû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ñòîðîíå è ïðèëåæàùèì ê íåé óãëàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî ñòîðîíå è
äâóì óãëàì).
Ò.9.12. Åñëè òðè ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà
ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî òðåì ñòîðîíàì äðóãîãî
òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî
òðåì ñòîðîíàì).
399
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ðîìó óãëó äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî êàòåòó è ïðîòèâîëåæàùåìó
óãëó).
Ðèñ. 172
Ðèñ. 173
Ï ð è ì å ð. Îòðåçêè ÀÑ è BD ïåðåñåêàþòñÿ â
òî÷êå Ì (ðèñ. 173). Äîêàçàòü, ÷òî òðåóãîëüíèêè ÂÀÌ
è DCM ðàâíû, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ÀÌ = ÑÌ è ÷òî
Ð BAM = ÐDCM.
q ßñíî, ÷òî Ð BMA = ÐCMD êàê âåðòèêàëüíûå óãëû. Ïîýòîìó â òðåóãîëüíèêàõ ÂÀÌ è
DCM ðàâíû ñòîðîíû ÀÌ è ÑÌ, à òàêæå ïðèëåæàùèå ê ýòèì ñòîðîíàì óãëû ( Ð BAM = ÐDCM,
Ð BMA = ÐCMD ). Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.11, ýòè òðåóãîëüíèêè ðàâíû. n
Îòìåòèì ïðèçíàêè ðàâåíñòâà ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ:
Ò.9.15. Åñëè ãèïîòåíóçà è îñòðûé óãîë îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ãèïîòåíóçå è
îñòðîìó óãëó äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå
òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî ãèïîòåíóçå è îñòðîìó
óãëó).
275. Ñâîéñòâà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà.
Âûäåëèì äâà ñïåöèàëüíûõ âèäà ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ: ðàâíîáåäðåííûé (îñòðûå óãëû ðàâíû 45°)
è òðåóãîëüíèê ñ îñòðûìè óãëàìè 30° è 60°. Âûñîòà
ïåðâîãî èç íèõ, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà,
äåëèò èñõîäíûé òðåóãîëüíèê íà äâà ðàâíîáåäðåííûõ
ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêà ( D AKC è D BKC íà
ðèñ. 174, à). Âî âòîðîì òðåóãîëüíèêå êàòåò, ëåæàùèé ïðîòèâ óãëà â 30°, ðàâåí ïîëîâèíå ãèïîòåíóçû
Ò.9.13. Åñëè ãèïîòåíóçà è êàòåò îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ãèïîòåíóçå è êàòåòó äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè
ðàâíû (ïî ãèïîòåíóçå è êàòåòó).
Ò.9.14. Åñëè êàòåò è ïðîòèâîëåæàùèé åìó îñòðûé óãîë îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî êàòåòó è ïðîòèâîëåæàùåìó åìó îñò400
á)
a)
Ðèñ. 174
401
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ðîìó óãëó äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî êàòåòó è ïðîòèâîëåæàùåìó
óãëó).
Ðèñ. 172
Ðèñ. 173
Ï ð è ì å ð. Îòðåçêè ÀÑ è BD ïåðåñåêàþòñÿ â
òî÷êå Ì (ðèñ. 173). Äîêàçàòü, ÷òî òðåóãîëüíèêè ÂÀÌ
è DCM ðàâíû, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ÀÌ = ÑÌ è ÷òî
Ð BAM = ÐDCM.
q ßñíî, ÷òî Ð BMA = ÐCMD êàê âåðòèêàëüíûå óãëû. Ïîýòîìó â òðåóãîëüíèêàõ ÂÀÌ è
DCM ðàâíû ñòîðîíû ÀÌ è ÑÌ, à òàêæå ïðèëåæàùèå ê ýòèì ñòîðîíàì óãëû ( Ð BAM = ÐDCM,
Ð BMA = ÐCMD ). Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.11, ýòè òðåóãîëüíèêè ðàâíû. n
Îòìåòèì ïðèçíàêè ðàâåíñòâà ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ:
Ò.9.15. Åñëè ãèïîòåíóçà è îñòðûé óãîë îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ãèïîòåíóçå è
îñòðîìó óãëó äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå
òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî ãèïîòåíóçå è îñòðîìó
óãëó).
275. Ñâîéñòâà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà.
Âûäåëèì äâà ñïåöèàëüíûõ âèäà ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ: ðàâíîáåäðåííûé (îñòðûå óãëû ðàâíû 45°)
è òðåóãîëüíèê ñ îñòðûìè óãëàìè 30° è 60°. Âûñîòà
ïåðâîãî èç íèõ, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà,
äåëèò èñõîäíûé òðåóãîëüíèê íà äâà ðàâíîáåäðåííûõ
ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêà ( D AKC è D BKC íà
ðèñ. 174, à). Âî âòîðîì òðåóãîëüíèêå êàòåò, ëåæàùèé ïðîòèâ óãëà â 30°, ðàâåí ïîëîâèíå ãèïîòåíóçû
Ò.9.13. Åñëè ãèïîòåíóçà è êàòåò îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ãèïîòåíóçå è êàòåòó äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè
ðàâíû (ïî ãèïîòåíóçå è êàòåòó).
Ò.9.14. Åñëè êàòåò è ïðîòèâîëåæàùèé åìó îñòðûé óãîë îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî êàòåòó è ïðîòèâîëåæàùåìó åìó îñò400
á)
a)
Ðèñ. 174
401
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
(òàê, äëÿ D ABC, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 174, á, èìååì ÂÑ = 0,5ÀÂ).
Ò.9.16. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå êâàäðàò ãèïîòåíóçû ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ êàòåòîâ (òåî2
2
2
ðåìà Ïèôàãîðà): c = a + b .
Âåðíà è îáðàòíàÿ òåîðåìà: åñëè â òðåóãîëüíèêå
êâàäðàò ñòîðîíû ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ äâóõ äðóãèõ ñòîðîí, òî òàêîé òðåóãîëüíèê ïðÿìîóãîëüíûé.
Íàïðèìåð, òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 5, 12 è 13
ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì, òàê êàê 132 = 52 + 122.
 ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå èìååì a : c =
= sin a, b : c = cos a (ðèñ. 175), ïîýòîìó òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî sin2 a + cos2 a = 1 — ýòî òåîðåìà Ïèôàãîðà, çàïèñàííàÿ äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ ãèïîòåíóçîé, ðàâíîé 1.
Îòìåòèì åùå íåêîòîðûå ñâîéñòâà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà.
Ò.9.17. Êàæäûé êàòåò ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà åñòü ñðåäíåå ïðîïîðöèîíàëüíîå ìåæäó ãèïîòåíóçîé è ïðîåêöèåé ýòîãî êàòåòà íà ãèïîòåíóçó
(ðèñ. 176), ò. å.
BD BC AD
AC
=
;
=
.
BC
AB AC
AB
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
èìååì
AC2
AD
AC
=
, îòêóäà AB =
, ò. å. ÀÂ =
AD
AC
AB
400
= 25. Çíà÷èò, BC = 252 - 202 = 15. n
16
Ò.9.18. Âûñîòà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà, åñòü ñðåäíåå
ïðîïîðöèîíàëüíîå ìåæäó ïðîåêöèÿìè êàòåòîâ íà
ãèïîòåíóçó (ñì. ðèñ. 176), ò. å.
=
AD
CD
=
.
CD
BD
(2)
Íàïðèìåð, â ðàññìîòðåííîì âûøå D ABC
(ñì. ðèñ. 177) èìååì CD = 12, AD = 16, BD = AB –
– AD = 9, òàê ÷òî ñîîòíîøåíèå (2) âûïîëíÿåòñÿ
(16 : 12 = 12 : 9).
276. Òåîðåìà êîñèíóñîâ. Òåîðåìà ñèíóñîâ. Äëÿ
ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà âåðíà òåîðåìà êîñèíóñîâ, êîòîðóþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáîáùåíèå
òåîðåìû Ïèôàãîðà.
(1)
Ï ð è ì å ð. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ
èçâåñòíû êàòåò ÀÑ = 20 è âûñîòà CD = 12 (ðèñ. 177).
Íàéòè êàòåò ÂÑ è ãèïîòåíóçó ÀÂ.
q Ñíà÷àëà èç D ADC íàéäåì AD = 202 - 122 =
= 16. Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ âòîðûì èç ðàâåíñòâ (1);
402
Ðèñ. 175
Ðèñ. 176
403
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
(òàê, äëÿ D ABC, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 174, á, èìååì ÂÑ = 0,5ÀÂ).
Ò.9.16. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå êâàäðàò ãèïîòåíóçû ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ êàòåòîâ (òåî2
2
2
ðåìà Ïèôàãîðà): c = a + b .
Âåðíà è îáðàòíàÿ òåîðåìà: åñëè â òðåóãîëüíèêå
êâàäðàò ñòîðîíû ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ äâóõ äðóãèõ ñòîðîí, òî òàêîé òðåóãîëüíèê ïðÿìîóãîëüíûé.
Íàïðèìåð, òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 5, 12 è 13
ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì, òàê êàê 132 = 52 + 122.
 ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå èìååì a : c =
= sin a, b : c = cos a (ðèñ. 175), ïîýòîìó òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî sin2 a + cos2 a = 1 — ýòî òåîðåìà Ïèôàãîðà, çàïèñàííàÿ äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ ãèïîòåíóçîé, ðàâíîé 1.
Îòìåòèì åùå íåêîòîðûå ñâîéñòâà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà.
Ò.9.17. Êàæäûé êàòåò ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà åñòü ñðåäíåå ïðîïîðöèîíàëüíîå ìåæäó ãèïîòåíóçîé è ïðîåêöèåé ýòîãî êàòåòà íà ãèïîòåíóçó
(ðèñ. 176), ò. å.
BD BC AD
AC
=
;
=
.
BC
AB AC
AB
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
èìååì
AC2
AD
AC
=
, îòêóäà AB =
, ò. å. ÀÂ =
AD
AC
AB
400
= 25. Çíà÷èò, BC = 252 - 202 = 15. n
16
Ò.9.18. Âûñîòà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà, åñòü ñðåäíåå
ïðîïîðöèîíàëüíîå ìåæäó ïðîåêöèÿìè êàòåòîâ íà
ãèïîòåíóçó (ñì. ðèñ. 176), ò. å.
=
AD
CD
=
.
CD
BD
(2)
Íàïðèìåð, â ðàññìîòðåííîì âûøå D ABC
(ñì. ðèñ. 177) èìååì CD = 12, AD = 16, BD = AB –
– AD = 9, òàê ÷òî ñîîòíîøåíèå (2) âûïîëíÿåòñÿ
(16 : 12 = 12 : 9).
276. Òåîðåìà êîñèíóñîâ. Òåîðåìà ñèíóñîâ. Äëÿ
ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà âåðíà òåîðåìà êîñèíóñîâ, êîòîðóþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáîáùåíèå
òåîðåìû Ïèôàãîðà.
(1)
Ï ð è ì å ð. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ
èçâåñòíû êàòåò ÀÑ = 20 è âûñîòà CD = 12 (ðèñ. 177).
Íàéòè êàòåò ÂÑ è ãèïîòåíóçó ÀÂ.
q Ñíà÷àëà èç D ADC íàéäåì AD = 202 - 122 =
= 16. Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ âòîðûì èç ðàâåíñòâ (1);
402
Ðèñ. 175
Ðèñ. 176
403
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ò.9.19. Â ëþáîì òðåóãîëüíèêå êâàäðàò ñòîðîíû
ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ äâóõ äðóãèõ ñòîðîí ìèíóñ
èõ óäâîåííîå ïðîèçâåäåíèå íà êîñèíóñ óãëà, çàêëþ÷åííîãî ìåæäó íèìè:
c2 = a2 + b 2 - 2ab cos C.
(1)
Óáåäèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ýòîé òåîðåìû, íàïðèìåð, äëÿ ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà. Èìååì
c2 = a2 + a2 - 2a × a × cos 60° = 2a2 - 2a2 × 0,5 = a2, ò. å.
òðåòüÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà òàêæå ðàâíà à.
Çàìåòèì, ÷òî ñòîðîíû è óãëû òðåóãîëüíèêà ñâÿçàíû òåîðåìîé ñèíóñîâ.
Ò.9.20. Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ïðîïîðöèîíàëüíû
ñèíóñàì ïðîòèâîëåæàùèõ óãëîâ (ðèñ. 178), ò. å.
a
b
c
=
=
= 2 R,
sin A sin B sin C
ãäå R — ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè.
(2)
Óáåäèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ýòîé òåîðåìû, íàïðèìåð, äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ñ îñòðû-
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ìè óãëàìè ÐA = 30°, ÐB = 60° è
ñî ñòîðîíàìè
ñ = 8, a = 4 è b = 4 3 (ñì. ðèñ. 174, á). Ïî ôîðìóëå (2)
èìååì
4
4 3
8
4
4 3
8
=
=
=
=
= = 8,
sin 30° sin 60° sin 90° 0,5 0,5 3 1
êàê è äîëæíî áûòü, ïîñêîëüêó â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ãèïîòåíóçà ðàâíà äèàìåòðó îïèñàííîé îêðóæíîñòè.
277. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà. Ïðèâåäåì âàæíåéøèå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà.
1. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî ñòîðîíû íà âûñîòó, ïðîâåäåííóþ ê ýòîé
ñòîðîíå:
S = 0,5aha .
(1)
Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà ðàâíà 10, à âûñîòà, ïðîâåäåííàÿ ê ýòîé ñòîðîíå, ðàâíà 8;
òîãäà S = 0,5 × 10 × 8 = 40.
Çàìåòèì, ÷òî ïëîùàäè âñåõ òðåóãîëüíèêîâ, èìåþùèõ ðàâíûå îñíîâàíèÿ è ðàâíûå âûñîòû, îäèíàêîâû. Òàê, íà ðèñ. 179 èçîáðàæåíû òðåóãîëüíèêè ÀÂÑ
è ADC, èìåþùèå îáùåå îñíîâàíèå ÀÑ è ðàâíûå âûñîòû; çíà÷èò, SD ABC = SD ADC .
2. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ëþáûõ åãî ñòîðîí íà ñèíóñ óãëà ìåæäó
íèìè:
Ðèñ. 177
404
Ðèñ. 178
S = 0,5 bc sin a.
(2)
405
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ò.9.19. Â ëþáîì òðåóãîëüíèêå êâàäðàò ñòîðîíû
ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ äâóõ äðóãèõ ñòîðîí ìèíóñ
èõ óäâîåííîå ïðîèçâåäåíèå íà êîñèíóñ óãëà, çàêëþ÷åííîãî ìåæäó íèìè:
c2 = a2 + b 2 - 2ab cos C.
(1)
Óáåäèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ýòîé òåîðåìû, íàïðèìåð, äëÿ ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà. Èìååì
c2 = a2 + a2 - 2a × a × cos 60° = 2a2 - 2a2 × 0,5 = a2, ò. å.
òðåòüÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà òàêæå ðàâíà à.
Çàìåòèì, ÷òî ñòîðîíû è óãëû òðåóãîëüíèêà ñâÿçàíû òåîðåìîé ñèíóñîâ.
Ò.9.20. Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ïðîïîðöèîíàëüíû
ñèíóñàì ïðîòèâîëåæàùèõ óãëîâ (ðèñ. 178), ò. å.
a
b
c
=
=
= 2 R,
sin A sin B sin C
ãäå R — ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè.
(2)
Óáåäèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ýòîé òåîðåìû, íàïðèìåð, äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ñ îñòðû-
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
ìè óãëàìè ÐA = 30°, ÐB = 60° è
ñî ñòîðîíàìè
ñ = 8, a = 4 è b = 4 3 (ñì. ðèñ. 174, á). Ïî ôîðìóëå (2)
èìååì
4
4 3
8
4
4 3
8
=
=
=
=
= = 8,
sin 30° sin 60° sin 90° 0,5 0,5 3 1
êàê è äîëæíî áûòü, ïîñêîëüêó â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ãèïîòåíóçà ðàâíà äèàìåòðó îïèñàííîé îêðóæíîñòè.
277. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà. Ïðèâåäåì âàæíåéøèå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà.
1. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî ñòîðîíû íà âûñîòó, ïðîâåäåííóþ ê ýòîé
ñòîðîíå:
S = 0,5aha .
(1)
Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà ðàâíà 10, à âûñîòà, ïðîâåäåííàÿ ê ýòîé ñòîðîíå, ðàâíà 8;
òîãäà S = 0,5 × 10 × 8 = 40.
Çàìåòèì, ÷òî ïëîùàäè âñåõ òðåóãîëüíèêîâ, èìåþùèõ ðàâíûå îñíîâàíèÿ è ðàâíûå âûñîòû, îäèíàêîâû. Òàê, íà ðèñ. 179 èçîáðàæåíû òðåóãîëüíèêè ÀÂÑ
è ADC, èìåþùèå îáùåå îñíîâàíèå ÀÑ è ðàâíûå âûñîòû; çíà÷èò, SD ABC = SD ADC .
2. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ëþáûõ åãî ñòîðîí íà ñèíóñ óãëà ìåæäó
íèìè:
Ðèñ. 177
404
Ðèñ. 178
S = 0,5 bc sin a.
(2)
405
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
4. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà åãî ïîëóïåðèìåòðó, óìíîæåííîìó íà ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:
S = pr.
(4)
5. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ
òðåõ åãî ñòîðîí, äåëåííîìó íà ó÷åòâåðåííûé ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè:
S=
Ðèñ. 179
Ðèñ. 180
3 è 4, à óãîë ìåæäó íèìè ðàâåí 60o . Òîãäà
1 1 1
âåëè÷èíû îïðåäåëèòåëÿ D = x1 x2 x3 , ò. å.
y 1 y2 y3
S = 0,5 3 × 4 sin 60o = 0,5 3 × 4 × 0,5 3 = 3.
3. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè a, b è c
âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé Ãåðîíà:
S=
p ( p - a)( p - b)( p - c) ,
(3)
ãäå p = 0,5(a + b + c) – ïîëóïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà.
Ï ð è ì å ð 3. Ïóñòü à = 13, b = 14, ñ = 15; òîãäà
p = 0,5 (13 + 14 + 15) = 21, p – a = 8, p – b = 7, p – c =
= 6 è ïî ôîðìóëå Ãåðîíà íàõîäèì
S = 21 × 8 × 7 × 6 = Ö3 · 7 · 2 · 4 · 7 · 2 · 3 =
= 7 · 3 · 4 = 84.
406
(5)
6. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè À (x1;y1),
B (x2; y2) è C (x3; y3) ðàâíà ïîëîâèíå àáñîëþòíîé
Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû
abc
.
4R
S = 0,5 D .
(6)
Ï ð è ì å ð 4. Ïóñòü A (1; 5), B (4; 1), C (-1; 1) —
êîîðäèíàòû âåðøèí òðåóãîëüíèêà. Òîãäà, ðàçëàãàÿ
îïðåäåëèòåëü ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè, èìååì
1 1 1
D = 1 4 - 1 = 1 × (4 + 1) - 1 × (1 + 5) + 1 × (1 - 20) = -20,
5 1
1
îòêóäà ïî ôîðìóëå (6) íàõîäèì S = 0,5 - 20 = 10.
7. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , ðàâíà ïîëîâèíå ìîäóëÿ âåêòîðíîãî
ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ a è b (ñì. ï. 301).
407
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
4. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà åãî ïîëóïåðèìåòðó, óìíîæåííîìó íà ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:
S = pr.
(4)
5. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ
òðåõ åãî ñòîðîí, äåëåííîìó íà ó÷åòâåðåííûé ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè:
S=
Ðèñ. 179
Ðèñ. 180
3 è 4, à óãîë ìåæäó íèìè ðàâåí 60o . Òîãäà
1 1 1
âåëè÷èíû îïðåäåëèòåëÿ D = x1 x2 x3 , ò. å.
y 1 y2 y3
S = 0,5 3 × 4 sin 60o = 0,5 3 × 4 × 0,5 3 = 3.
3. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè a, b è c
âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé Ãåðîíà:
S=
p ( p - a)( p - b)( p - c) ,
(3)
ãäå p = 0,5(a + b + c) – ïîëóïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà.
Ï ð è ì å ð 3. Ïóñòü à = 13, b = 14, ñ = 15; òîãäà
p = 0,5 (13 + 14 + 15) = 21, p – a = 8, p – b = 7, p – c =
= 6 è ïî ôîðìóëå Ãåðîíà íàõîäèì
S = 21 × 8 × 7 × 6 = Ö3 · 7 · 2 · 4 · 7 · 2 · 3 =
= 7 · 3 · 4 = 84.
406
(5)
6. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè À (x1;y1),
B (x2; y2) è C (x3; y3) ðàâíà ïîëîâèíå àáñîëþòíîé
Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû
abc
.
4R
S = 0,5 D .
(6)
Ï ð è ì å ð 4. Ïóñòü A (1; 5), B (4; 1), C (-1; 1) —
êîîðäèíàòû âåðøèí òðåóãîëüíèêà. Òîãäà, ðàçëàãàÿ
îïðåäåëèòåëü ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè, èìååì
1 1 1
D = 1 4 - 1 = 1 × (4 + 1) - 1 × (1 + 5) + 1 × (1 - 20) = -20,
5 1
1
îòêóäà ïî ôîðìóëå (6) íàõîäèì S = 0,5 - 20 = 10.
7. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , ðàâíà ïîëîâèíå ìîäóëÿ âåêòîðíîãî
ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ a è b (ñì. ï. 301).
407
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
8. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà
ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî êàòåòîâ:
S = 0,5ab.
(7)
9. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà
ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî ãèïîòåíóçû íà âûñîòó,
ïðîâåäåííóþ ê íåé:
S = 0,5 chc .
(8)
Ï ð è ì å ð 5. Íàéòè ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî
òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè à = 3, b = 4 ïî ôîðìóëàì
(7) è (8), à òàêæå ïî îáùèì ôîðìóëàì (4) è (5) (ðèñ.
180).
q Ïî ôîðìóëå (7): S = 0,5 ab = 0,5 × 3 × 4 = 6.
Ïî ôîðìóëå (8): S = 0,5 chc , ãäå c = 32 + 42 = 5,
hc2 = CD 2 = AD × BD (ñîãëàñíî òåîðåìå 9.18). Íî
BD =
BC2
9
(â ñèëó òåîðåìû 9.17), ò. å. BD = = 1,8
AB
5
è, çíà÷èò, AD = 3,2. Îòñþäà hc = 1,8 × 3,2 = 2,4 è
S = 0,5 × 5 × 2,4 = 6.
Ïî ôîðìóëå (4): S = pr, ãäå ð = 0,5 (a + b + c) =
= 0,5 (3 + 4 + 5) = 6, à äëÿ íàõîæäåíèÿ r âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî BF = BK = a - r (îòðåçêè êàñàòåëüíûõ,
ïðîâåäåííûõ ê îêðóæíîñòè èç îäíîé òî÷êè, ðàâíû)
è àíàëîãè÷íî AE = AK = b - r. Òîãäà a - r + b - r =
= c, îòêóäà r = 0,5 (a + b - c) = 0,5 (3 + 4 - 5) = 1 è, ñëåäîâàòåëüíî, S = 6 × 1 = 6.
408
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
c
abc
(â ïðÿìîó, ãäå R =
2
4R
ãîëüíîì òðåóãîëüíèêå öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè ëåæèò íà ñåðåäèíå ãèïîòåíóçû). Òàêèì îáðàçîì,
3× 4×5
S=
= 6. n
4 × 2,5
10. Ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé à íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
Ïî ôîðìóëå (5): S =
a2 3
(9)
.
4
Ï ð è ì å ð 6. Íàéòè ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, åñëè èçâåñòåí ðàäèóñ r âïèñàííîé â íåãî
îêðóæíîñòè.
q Èçâåñòíî, ÷òî â ïðàâèëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ
(ðèñ. 181) öåíòðîì âïèñàííîé îêðóæíîñòè ÿâëÿåòñÿ
òî÷êà Î ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí (ñì. ï. 273), à êàæäàÿ
ìåäèàíà äåëèòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ â îòíîøåíèè
ÂÎ : ÎÌ = 2 : 1 (ñì. ï. 271). Ïîýòîìó åñëè à —
S=
ñòîðîíà D ABC, òî BM =
îòêóäà a =
a 3
a 3
,
, ò. å. OM = r =
6
2
6r
.
3
Òåïåðü ïî ôîðìóëå (9) íàõîäèì
S=
a2 3 36 3r 2
=
= 3 3r 2 . n
4
3×4
278. Ïðèçíàêè ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ. Ïîäîáèåì íàçûâàåòñÿ òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ôèãóðû F1 â
ôèãóðó F2, ïðè êîòîðîì ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ëþáûìè
409
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
8. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà
ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî êàòåòîâ:
S = 0,5ab.
(7)
9. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà
ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî ãèïîòåíóçû íà âûñîòó,
ïðîâåäåííóþ ê íåé:
S = 0,5 chc .
(8)
Ï ð è ì å ð 5. Íàéòè ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî
òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè à = 3, b = 4 ïî ôîðìóëàì
(7) è (8), à òàêæå ïî îáùèì ôîðìóëàì (4) è (5) (ðèñ.
180).
q Ïî ôîðìóëå (7): S = 0,5 ab = 0,5 × 3 × 4 = 6.
Ïî ôîðìóëå (8): S = 0,5 chc , ãäå c = 32 + 42 = 5,
hc2 = CD 2 = AD × BD (ñîãëàñíî òåîðåìå 9.18). Íî
BD =
BC2
9
(â ñèëó òåîðåìû 9.17), ò. å. BD = = 1,8
AB
5
è, çíà÷èò, AD = 3,2. Îòñþäà hc = 1,8 × 3,2 = 2,4 è
S = 0,5 × 5 × 2,4 = 6.
Ïî ôîðìóëå (4): S = pr, ãäå ð = 0,5 (a + b + c) =
= 0,5 (3 + 4 + 5) = 6, à äëÿ íàõîæäåíèÿ r âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî BF = BK = a - r (îòðåçêè êàñàòåëüíûõ,
ïðîâåäåííûõ ê îêðóæíîñòè èç îäíîé òî÷êè, ðàâíû)
è àíàëîãè÷íî AE = AK = b - r. Òîãäà a - r + b - r =
= c, îòêóäà r = 0,5 (a + b - c) = 0,5 (3 + 4 - 5) = 1 è, ñëåäîâàòåëüíî, S = 6 × 1 = 6.
408
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
c
abc
(â ïðÿìîó, ãäå R =
2
4R
ãîëüíîì òðåóãîëüíèêå öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè ëåæèò íà ñåðåäèíå ãèïîòåíóçû). Òàêèì îáðàçîì,
3× 4×5
S=
= 6. n
4 × 2,5
10. Ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé à íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
Ïî ôîðìóëå (5): S =
a2 3
(9)
.
4
Ï ð è ì å ð 6. Íàéòè ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, åñëè èçâåñòåí ðàäèóñ r âïèñàííîé â íåãî
îêðóæíîñòè.
q Èçâåñòíî, ÷òî â ïðàâèëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ
(ðèñ. 181) öåíòðîì âïèñàííîé îêðóæíîñòè ÿâëÿåòñÿ
òî÷êà Î ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí (ñì. ï. 273), à êàæäàÿ
ìåäèàíà äåëèòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ â îòíîøåíèè
ÂÎ : ÎÌ = 2 : 1 (ñì. ï. 271). Ïîýòîìó åñëè à —
S=
ñòîðîíà D ABC, òî BM =
îòêóäà a =
a 3
a 3
,
, ò. å. OM = r =
6
2
6r
.
3
Òåïåðü ïî ôîðìóëå (9) íàõîäèì
S=
a2 3 36 3r 2
=
= 3 3r 2 . n
4
3×4
278. Ïðèçíàêè ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ. Ïîäîáèåì íàçûâàåòñÿ òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ôèãóðû F1 â
ôèãóðó F2, ïðè êîòîðîì ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ëþáûìè
409
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
q Òàê êàê D AOC ~ D ODF, òî AO : OF = CO : OD =
1
= AC : DF. Íî AC : DF =
(ïî òåîðåìå 9.7), ñëåäî2
âàòåëüíî, ìåäèàíû äåëÿòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ â îòíîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû, ÷òî è óòâåðæäàåòñÿ â òåîðåìå 9.6. n
Ðèñ. 181
Ðèñ. 182
äâóìÿ òî÷êàìè èçìåíÿþòñÿ â îäíî è òî æå ÷èñëî
ðàç. Ýòî ÷èñëî íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïîäîáèÿ. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïîäîáèÿ èñïîëüçóåòñÿ çíàê ~.
Ó ïîäîáíûõ ôèãóð ñîîòâåòñòâóþùèå óãëû ðàâíû, à
ñîîòâåòñòâóþùèå îòðåçêè ïðîïîðöèîíàëüíû.  ÷àñòíîñòè, åñëè D ABC ~ D A1B1C1, òî Ð A = Ð A1, Ð B =
= B1, Ð C = C1,
AB
AC
BC
=
=
(ðèñ. 182).
A1B1
A1C1
B1C1
Ò.9.22. Åñëè äâå ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ïðîïîðöèîíàëüíû äâóì ñòîðîíàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà è óãëû, çàêëþ÷åííûå ìåæäó ýòèìè ñòîðîíàìè,
ðàâíû, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû
(ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè).
Ò.9.23. Åñëè ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ïðîïîðöèîíàëüíû ñòîðîíàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî
òàêèå òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû (ïî òðåì ñòîðîíàì).
Ï ð è ì å ð 2. Òî÷êè K, L è Ì ÿâëÿþòñÿ ñåðåäèíàìè ñòîðîí D ABC (ðèñ. 184). Âî ñêîëüêî ðàç äëèíà îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî D ABC , áîëüøå äëèíû îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî D KLM ?
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ïðèçíàêè ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ:
Ò.9.21. Åñëè äâà óãëà îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû
äâóì óãëàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû (ïî äâóì óãëàì).
Ï ð è ì å ð 1. Â D ABC ïðîâåäåíû ñðåäíÿÿ ëèíèÿ DF è ìåäèàíû AF è CD (ðèñ. 183). Óáåäèòüñÿ â
òîì, ÷òî ìåäèàíû äåëÿòñÿ òî÷êîé èõ ïåðåñå÷åíèÿ â
îòíîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû.
410
Ðèñ. 183
Ðèñ. 184
411
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 30. Òðåóãîëüíèê
q Òàê êàê D AOC ~ D ODF, òî AO : OF = CO : OD =
1
= AC : DF. Íî AC : DF =
(ïî òåîðåìå 9.7), ñëåäî2
âàòåëüíî, ìåäèàíû äåëÿòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ â îòíîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû, ÷òî è óòâåðæäàåòñÿ â òåîðåìå 9.6. n
Ðèñ. 181
Ðèñ. 182
äâóìÿ òî÷êàìè èçìåíÿþòñÿ â îäíî è òî æå ÷èñëî
ðàç. Ýòî ÷èñëî íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïîäîáèÿ. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïîäîáèÿ èñïîëüçóåòñÿ çíàê ~.
Ó ïîäîáíûõ ôèãóð ñîîòâåòñòâóþùèå óãëû ðàâíû, à
ñîîòâåòñòâóþùèå îòðåçêè ïðîïîðöèîíàëüíû.  ÷àñòíîñòè, åñëè D ABC ~ D A1B1C1, òî Ð A = Ð A1, Ð B =
= B1, Ð C = C1,
AB
AC
BC
=
=
(ðèñ. 182).
A1B1
A1C1
B1C1
Ò.9.22. Åñëè äâå ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ïðîïîðöèîíàëüíû äâóì ñòîðîíàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà è óãëû, çàêëþ÷åííûå ìåæäó ýòèìè ñòîðîíàìè,
ðàâíû, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû
(ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè).
Ò.9.23. Åñëè ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ïðîïîðöèîíàëüíû ñòîðîíàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî
òàêèå òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû (ïî òðåì ñòîðîíàì).
Ï ð è ì å ð 2. Òî÷êè K, L è Ì ÿâëÿþòñÿ ñåðåäèíàìè ñòîðîí D ABC (ðèñ. 184). Âî ñêîëüêî ðàç äëèíà îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî D ABC , áîëüøå äëèíû îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî D KLM ?
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ïðèçíàêè ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ:
Ò.9.21. Åñëè äâà óãëà îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû
äâóì óãëàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû (ïî äâóì óãëàì).
Ï ð è ì å ð 1. Â D ABC ïðîâåäåíû ñðåäíÿÿ ëèíèÿ DF è ìåäèàíû AF è CD (ðèñ. 183). Óáåäèòüñÿ â
òîì, ÷òî ìåäèàíû äåëÿòñÿ òî÷êîé èõ ïåðåñå÷åíèÿ â
îòíîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû.
410
Ðèñ. 183
Ðèñ. 184
411
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
q Òàê êàê KL, LM è KM — ñðåäíèå ëèíèè â
AB
BC
AC
=
=
= 2 è D ABC ~ D KLM,
LM
KM
KL
à â ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêàõ âñå ñîîòâåòñòâóþùèå
îòðåçêè ïðîïîðöèîíàëüíû. Çíà÷èò, îäèí èç ðàäèó`
ñîâ âäâîå áîëüøå äðóãîãî, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî áîëüøàÿ îêðóæíîñòü âäâîå äëèííåå. n
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ïîäîáèÿ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ó íèõ áûëî ïî îäíîìó
ðàâíîìó îñòðîìó óãëó.
Îòìåòèì, åùå ÷òî ïåðèìåòðû ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ îòíîñÿòñÿ êàê ñîîòâåòñòâóþùèå ñòîðîíû,
à ïëîùàäè — êàê êâàäðàòû ýòèõ ñòîðîí. Òàêèì
D ABC , òî
îáðàçîì, åñëè D ABC ~ D A1B1C1, òî
AB + BC + AC
AB
BC
AC
=
=
=
,
A1B1 + B1C1 + A1C1
A1B1
B1C1
A1C1
SD ABC
SDA1B1C1
=
AB2
A1B12
.
Ï ð è ì å ð 3. Ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà ð = 10 ñì,
à åãî ïëîùàäü S = 3 cì2. Îïðåäåëèòü ïåðèìåòð ïîäîáíîãî òðåóãîëüíèêà, èìåþùåãî ïëîùàäü 27 ñì2.
q Îáîçíà÷èì èñêîìûé ïåðèìåòð ÷åðåç õ. Òàê êàê
ïëîùàäè ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ îòíîñÿòñÿ êàê
êâàäðàòû ïåðèìåòðîâ, òî
= 900 è õ = 30 (ñì). n
412
x2
p
2
=
27
= 9, îòêóäà õ2 =
3
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè
§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè
279. Ïàðàëëåëîãðàìì, ïðÿìîóãîëüíèê, ðîìá,
êâàäðàò. Ïàðàëëåëîãðàììîì íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõóãîëüíèê, ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû êîòîðîãî ïîïàðíî ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 185). Èíîãäà êàêèå-íèáóäü äâå
ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà íàçûâàþò
îñíîâàíèÿìè, òîãäà äâå äðóãèå íàçûâàþò áîêîâûìè
ñòîðîíàìè. Çàêëþ÷åííûé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòîðîíàìè ïàðàëëåëîãðàììà îòðåçîê ïðÿìîé,
ïåðïåíäèêóëÿðíûé ýòèì ñòîðîíàì, íàçûâàåòñÿ âûñîòîé ïàðàëëåëîãðàììà. Íà ðèñ. 185 èçîáðàæåí ïàðàëëåëîãðàìì ÀÂÑD, ó êîòîðîãî âûñîòà h1 ïðîâåäåíà ê ñòîðîíàì ÂÑ è AD, à âûñîòà h2 — ê ñòîðîíàì
ÀÂ è CD.
Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïàðàëëåëîãðàììà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
10. Ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà
ðàâíû.
20 . Ïðîòèâîïîëîæíûå óãëû ïàðàëëåëîãðàììà
ðàâíû.
30. Ñîñåäíèå óãëû ïàðàëëåëîãðàììà, ò. å. óãëû,
ïðèëåæàùèå ê îäíîé ñòîðîíå, ñîñòàâëÿþò â ñóììå
180°.
40. Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà äåëÿòñÿ â òî÷êå
ïåðåñå÷åíèÿ ïîïîëàì.
Êàæäîå èç ïåðå÷èñëåííûõ ñâîéñòâ ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì, ò. å. âñÿêèé ÷åòûðåõóãîëüíèê, îáëàäàþùèé õîòÿ áû îäíèì èç ýòèõ ñâîéñòâ, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïàðàëëåëîãðàìì.
Îòìåòèì åùå îäíî ñâîéñòâî ïàðàëëåëîãðàììà.
50. Ñóììà êâàäðàòîâ äèàãîíàëåé ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà ñóììå êâàäðàòîâ åãî ñòîðîí.
Ï ð è ì å ð 1. Ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ÀÂÑD
îòíîñÿòñÿ êàê 7 : 9, à åãî ïåðèìåòð ðàâåí 64. Íàéòè
413
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
q Òàê êàê KL, LM è KM — ñðåäíèå ëèíèè â
AB
BC
AC
=
=
= 2 è D ABC ~ D KLM,
LM
KM
KL
à â ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêàõ âñå ñîîòâåòñòâóþùèå
îòðåçêè ïðîïîðöèîíàëüíû. Çíà÷èò, îäèí èç ðàäèó`
ñîâ âäâîå áîëüøå äðóãîãî, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî áîëüøàÿ îêðóæíîñòü âäâîå äëèííåå. n
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ïîäîáèÿ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ó íèõ áûëî ïî îäíîìó
ðàâíîìó îñòðîìó óãëó.
Îòìåòèì, åùå ÷òî ïåðèìåòðû ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ îòíîñÿòñÿ êàê ñîîòâåòñòâóþùèå ñòîðîíû,
à ïëîùàäè — êàê êâàäðàòû ýòèõ ñòîðîí. Òàêèì
D ABC , òî
îáðàçîì, åñëè D ABC ~ D A1B1C1, òî
AB + BC + AC
AB
BC
AC
=
=
=
,
A1B1 + B1C1 + A1C1
A1B1
B1C1
A1C1
SD ABC
SDA1B1C1
=
AB2
A1B12
.
Ï ð è ì å ð 3. Ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà ð = 10 ñì,
à åãî ïëîùàäü S = 3 cì2. Îïðåäåëèòü ïåðèìåòð ïîäîáíîãî òðåóãîëüíèêà, èìåþùåãî ïëîùàäü 27 ñì2.
q Îáîçíà÷èì èñêîìûé ïåðèìåòð ÷åðåç õ. Òàê êàê
ïëîùàäè ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ îòíîñÿòñÿ êàê
êâàäðàòû ïåðèìåòðîâ, òî
= 900 è õ = 30 (ñì). n
412
x2
p
2
=
27
= 9, îòêóäà õ2 =
3
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè
§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè
279. Ïàðàëëåëîãðàìì, ïðÿìîóãîëüíèê, ðîìá,
êâàäðàò. Ïàðàëëåëîãðàììîì íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõóãîëüíèê, ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû êîòîðîãî ïîïàðíî ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 185). Èíîãäà êàêèå-íèáóäü äâå
ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà íàçûâàþò
îñíîâàíèÿìè, òîãäà äâå äðóãèå íàçûâàþò áîêîâûìè
ñòîðîíàìè. Çàêëþ÷åííûé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòîðîíàìè ïàðàëëåëîãðàììà îòðåçîê ïðÿìîé,
ïåðïåíäèêóëÿðíûé ýòèì ñòîðîíàì, íàçûâàåòñÿ âûñîòîé ïàðàëëåëîãðàììà. Íà ðèñ. 185 èçîáðàæåí ïàðàëëåëîãðàìì ÀÂÑD, ó êîòîðîãî âûñîòà h1 ïðîâåäåíà ê ñòîðîíàì ÂÑ è AD, à âûñîòà h2 — ê ñòîðîíàì
ÀÂ è CD.
Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïàðàëëåëîãðàììà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
10. Ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà
ðàâíû.
20 . Ïðîòèâîïîëîæíûå óãëû ïàðàëëåëîãðàììà
ðàâíû.
30. Ñîñåäíèå óãëû ïàðàëëåëîãðàììà, ò. å. óãëû,
ïðèëåæàùèå ê îäíîé ñòîðîíå, ñîñòàâëÿþò â ñóììå
180°.
40. Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà äåëÿòñÿ â òî÷êå
ïåðåñå÷åíèÿ ïîïîëàì.
Êàæäîå èç ïåðå÷èñëåííûõ ñâîéñòâ ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì, ò. å. âñÿêèé ÷åòûðåõóãîëüíèê, îáëàäàþùèé õîòÿ áû îäíèì èç ýòèõ ñâîéñòâ, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïàðàëëåëîãðàìì.
Îòìåòèì åùå îäíî ñâîéñòâî ïàðàëëåëîãðàììà.
50. Ñóììà êâàäðàòîâ äèàãîíàëåé ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà ñóììå êâàäðàòîâ åãî ñòîðîí.
Ï ð è ì å ð 1. Ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ÀÂÑD
îòíîñÿòñÿ êàê 7 : 9, à åãî ïåðèìåòð ðàâåí 64. Íàéòè
413
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè
äèàãîíàëè ÀÑ è BD, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïåðèìåòð
D ABD ðàâåí 52 (ðèñ. 186).
q Ïóñòü ÀÂ = 7õ, òîãäà AD = 9õ è ïî óñëîâèþ
PABCD = 2 × 16x = 64, PD ABD = 16x + BD = 52. Çíà÷èò,
õ = 2, îòêóäà íàõîäèì ÀÂ = 14, AD = 18, BD = 20.
Äëÿ îòûñêàíèÿ äèàãîíàëè ÀÑ âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâîì 50; èìååì 2 ( AB2 + AD2 ) = BD2 + AC 2 , îòêóäà
2
AC = 2 (196 + 324) - 400 = 640,
ò.
å.
ÀÑ
Ðèñ. 187
Ðèñ. 188
=
= 8 10. n
Ïàðàëëåëîãðàìì, ñìåæíûå ñòîðîíû êîòîðîãî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì (ðèñ. 187). Òàêèì îáðàçîì, ïðÿìîóãîëüíèê —
ýòî ÷åòûðåõóãîëüíèê, âñå óãëû êîòîðîãî ïðÿìûå. Îòìåòèì ñëåäóþùåå âàæíîå ñâîéñòâî ïðÿìîóãîëüíèêà: åãî äèàãîíàëè ðàâíû.
Ïàðàëëåëîãðàìì, âñå ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû, íàçûâàåòñÿ ðîìáîì (ðèñ. 188). Çàìåòèì, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê, âñå ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû, ÿâëÿåòñÿ
ðîìáîì.
Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ðîìáà:
10. Äèàãîíàëè ðîìáà âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû.
20. Äèàãîíàëè ðîìáà ÿâëÿþòñÿ áèññåêòðèñàìè åãî
óãëîâ.
Âåðíû è òàêèå óòâåðæäåíèÿ:
Ïàðàëëåëîãðàìì, äèàãîíàëè êîòîðîãî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, åñòü ðîìá.
Ïàðàëëåëîãðàìì, äèàãîíàëè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ
áèññåêòðèñàìè åãî óãëîâ, åñòü ðîìá.
Ï ð è ì å ð 2. Ïåðèìåòð ðîìáà ðàâåí 32, à âûñîòà
ðîìáà ðàâíà 4. Íàéòè óãëû ðîìáà è åãî áîëüøóþ
`
äèàãîíàëü.
q Òàê êàê ñòîðîíà ðîìáà ðàâíà 8, à åãî âûñîòà
ðàâíà 4, òî â D AHB (ðèñ. 189), îòñå÷åííîì îò ðîìáà
åãî âûñîòîé BH, ïðîâåäåííîé èç âåðøèíû òóïîãî óãëà,
êàòåò BH ðàâåí ïîëîâèíå ãèïîòåíóçû À è, çíà÷èò,
Ð BAD = 30°. Òîãäà Ð ADC = 150°.
Îñòàåòñÿ íàéòè äèàãîíàëü ÀÑ. Èç D ADC ïî
Ðèñ. 185
414
Ðèñ. 186
òåîðåìå êîñèíóñîâ ïîëó÷èì AC2 = 64 + 64 - 2 × 8 ´
415
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè
äèàãîíàëè ÀÑ è BD, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïåðèìåòð
D ABD ðàâåí 52 (ðèñ. 186).
q Ïóñòü ÀÂ = 7õ, òîãäà AD = 9õ è ïî óñëîâèþ
PABCD = 2 × 16x = 64, PD ABD = 16x + BD = 52. Çíà÷èò,
õ = 2, îòêóäà íàõîäèì ÀÂ = 14, AD = 18, BD = 20.
Äëÿ îòûñêàíèÿ äèàãîíàëè ÀÑ âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâîì 50; èìååì 2 ( AB2 + AD2 ) = BD2 + AC 2 , îòêóäà
2
AC = 2 (196 + 324) - 400 = 640,
ò.
å.
ÀÑ
Ðèñ. 187
Ðèñ. 188
=
= 8 10. n
Ïàðàëëåëîãðàìì, ñìåæíûå ñòîðîíû êîòîðîãî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì (ðèñ. 187). Òàêèì îáðàçîì, ïðÿìîóãîëüíèê —
ýòî ÷åòûðåõóãîëüíèê, âñå óãëû êîòîðîãî ïðÿìûå. Îòìåòèì ñëåäóþùåå âàæíîå ñâîéñòâî ïðÿìîóãîëüíèêà: åãî äèàãîíàëè ðàâíû.
Ïàðàëëåëîãðàìì, âñå ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû, íàçûâàåòñÿ ðîìáîì (ðèñ. 188). Çàìåòèì, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê, âñå ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû, ÿâëÿåòñÿ
ðîìáîì.
Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ðîìáà:
10. Äèàãîíàëè ðîìáà âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû.
20. Äèàãîíàëè ðîìáà ÿâëÿþòñÿ áèññåêòðèñàìè åãî
óãëîâ.
Âåðíû è òàêèå óòâåðæäåíèÿ:
Ïàðàëëåëîãðàìì, äèàãîíàëè êîòîðîãî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, åñòü ðîìá.
Ïàðàëëåëîãðàìì, äèàãîíàëè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ
áèññåêòðèñàìè åãî óãëîâ, åñòü ðîìá.
Ï ð è ì å ð 2. Ïåðèìåòð ðîìáà ðàâåí 32, à âûñîòà
ðîìáà ðàâíà 4. Íàéòè óãëû ðîìáà è åãî áîëüøóþ
`
äèàãîíàëü.
q Òàê êàê ñòîðîíà ðîìáà ðàâíà 8, à åãî âûñîòà
ðàâíà 4, òî â D AHB (ðèñ. 189), îòñå÷åííîì îò ðîìáà
åãî âûñîòîé BH, ïðîâåäåííîé èç âåðøèíû òóïîãî óãëà,
êàòåò BH ðàâåí ïîëîâèíå ãèïîòåíóçû À è, çíà÷èò,
Ð BAD = 30°. Òîãäà Ð ADC = 150°.
Îñòàåòñÿ íàéòè äèàãîíàëü ÀÑ. Èç D ADC ïî
Ðèñ. 185
414
Ðèñ. 186
òåîðåìå êîñèíóñîâ ïîëó÷èì AC2 = 64 + 64 - 2 × 8 ´
415
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ðèñ. 189
´ 8 cos 150° = 128 + 64 3 = 64 (2 + 3 ), îòêóäà AC =
= 8 2 + 3. n
Ïðÿìîóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû, íàçûâàåòñÿ êâàäðàòîì (ðèñ. 190). Ñëåäîâàòåëüíî, êâàäðàò ÿâëÿåòñÿ òàêæå è ðîìáîì ñ ïðÿìûìè óãëàìè.
Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî êâàäðàò — ýòî ïàðàëëåëîãðàìì,
ÿâëÿþùèéñÿ îäíîâðåìåííî è ðîìáîì, è ïðÿìîóãîëüíèêîì.
Òàêèì îáðàçîì, êâàäðàò îáëàäàåò âñåìè ñâîéñòâàìè ïàðàëëåëîãðàììà, ðîìáà è ïðÿìîóãîëüíèêà.
Ï ð è ì å ð 3. Äèàãîíàëü äàííîãî êâàäðàòà ñëóæèò ñòîðîíîé òðåóãîëüíèêà, ó êîòîðîãî óãîë, ïðîòèâîëåæàùèé ýòîé ñòîðîíå, ðàâåí 150°. Äîêàçàòü, ÷òî
ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà,
ðàâåí äèàãîíàëè êâàäðàòà.
q Ïóñòü à — ñòîðîíà äàííîãî êâàäðàòà; òîãäà åãî
äèàãîíàëü, ðàâíàÿ a 2, ÿâëÿåòñÿ îñíîâàíèåì òðåó416
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè
Ðèñ. 190
Ðèñ. 191
ãîëüíèêà. Ðàäèóñ R îïèñàííîé îêîëî ýòîãî òðåóãîëüíèêà îêðóæíîñòè íàéäåì ñ ïîìîùüþ òåîðåìû ñèíóñîâ; èìååì
a 2
a 2
=
= 2R, îòêóäà R =
2 sin 150°
sin 150°
= a 2, ò. å. ýòîò ðàäèóñ ðàâåí äèàãîíàëè êâàäðàòà.n
280. Òðàïåöèÿ. Òðàïåöèåé íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõóãîëüíèê, èìåþùèé òîëüêî îäíó ïàðó ïàðàëëåëüíûõ ñòîðîí (ðèñ. 191). Ïðè ýòîì ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíû íàçûâàþòñÿ åå îñíîâàíèÿìè, à íåïàðàëëåëüíûå — áîêîâûìè ñòîðîíàìè. Îäíî èç îñíîâàíèé
òðàïåöèè íàçûâàåòñÿ ለXîëüøèì, à äðóãîå — ìåíüøèì. Èç ñâîéñòâ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ (ñì. ï. 259)
ñëåäóåò, ÷òî ñóììà óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê êàæäîé èç
áîêîâûõ ñòîðîí òðàïåöèè, ðàâíà 180°. Îòðåçîê ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíûé îñíîâàíèÿì è çàêëþ÷åííûé ìåæäó íèìè, íàçûâàåòñÿ âûñîòîé òðàïåöèè (îòðåçîê EF íà ðèñ. 191). Òðàïåöèÿ, îäíà èç ñòîðîí
êîòîðîé ïåðïåíäèêóëÿðíà îñíîâàíèÿì, íàçûâàåòñÿ
417
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ðèñ. 189
´ 8 cos 150° = 128 + 64 3 = 64 (2 + 3 ), îòêóäà AC =
= 8 2 + 3. n
Ïðÿìîóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû, íàçûâàåòñÿ êâàäðàòîì (ðèñ. 190). Ñëåäîâàòåëüíî, êâàäðàò ÿâëÿåòñÿ òàêæå è ðîìáîì ñ ïðÿìûìè óãëàìè.
Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî êâàäðàò — ýòî ïàðàëëåëîãðàìì,
ÿâëÿþùèéñÿ îäíîâðåìåííî è ðîìáîì, è ïðÿìîóãîëüíèêîì.
Òàêèì îáðàçîì, êâàäðàò îáëàäàåò âñåìè ñâîéñòâàìè ïàðàëëåëîãðàììà, ðîìáà è ïðÿìîóãîëüíèêà.
Ï ð è ì å ð 3. Äèàãîíàëü äàííîãî êâàäðàòà ñëóæèò ñòîðîíîé òðåóãîëüíèêà, ó êîòîðîãî óãîë, ïðîòèâîëåæàùèé ýòîé ñòîðîíå, ðàâåí 150°. Äîêàçàòü, ÷òî
ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà,
ðàâåí äèàãîíàëè êâàäðàòà.
q Ïóñòü à — ñòîðîíà äàííîãî êâàäðàòà; òîãäà åãî
äèàãîíàëü, ðàâíàÿ a 2, ÿâëÿåòñÿ îñíîâàíèåì òðåó416
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè
Ðèñ. 190
Ðèñ. 191
ãîëüíèêà. Ðàäèóñ R îïèñàííîé îêîëî ýòîãî òðåóãîëüíèêà îêðóæíîñòè íàéäåì ñ ïîìîùüþ òåîðåìû ñèíóñîâ; èìååì
a 2
a 2
=
= 2R, îòêóäà R =
2 sin 150°
sin 150°
= a 2, ò. å. ýòîò ðàäèóñ ðàâåí äèàãîíàëè êâàäðàòà.n
280. Òðàïåöèÿ. Òðàïåöèåé íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõóãîëüíèê, èìåþùèé òîëüêî îäíó ïàðó ïàðàëëåëüíûõ ñòîðîí (ðèñ. 191). Ïðè ýòîì ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíû íàçûâàþòñÿ åå îñíîâàíèÿìè, à íåïàðàëëåëüíûå — áîêîâûìè ñòîðîíàìè. Îäíî èç îñíîâàíèé
òðàïåöèè íàçûâàåòñÿ ለXîëüøèì, à äðóãîå — ìåíüøèì. Èç ñâîéñòâ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ (ñì. ï. 259)
ñëåäóåò, ÷òî ñóììà óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê êàæäîé èç
áîêîâûõ ñòîðîí òðàïåöèè, ðàâíà 180°. Îòðåçîê ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíûé îñíîâàíèÿì è çàêëþ÷åííûé ìåæäó íèìè, íàçûâàåòñÿ âûñîòîé òðàïåöèè (îòðåçîê EF íà ðèñ. 191). Òðàïåöèÿ, îäíà èç ñòîðîí
êîòîðîé ïåðïåíäèêóëÿðíà îñíîâàíèÿì, íàçûâàåòñÿ
417
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ðèñ. 192
Ðèñ. 193
ïðÿìîóãîëüíîé (ðèñ. 192). Òðàïåöèÿ, ó êîòîðîé
ðàâíû áîêîâûå ñòîðîíû, íàçûâàåòñÿ ðàâíîáî÷íîé
(èíîãäà åå íàçûâàþò òàêæå ðàâíîáîêîé èëè ðàâíîáåäðåííîé). Íà ðèñ. 193 èçîáðàæåíà ðàâíîáî÷íàÿ
òðàïåöèÿ ÀÂÑD.
Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè:
10. Óãëû, ïðèëåæàùèå ê êàæäîìó èç îñíîâàíèé
òðàïåöèè, ðàâíû.
20. Äèàãîíàëè ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè ðàâíû.
30. Åñëè ïðîäîëæèòü áîêîâûå ñòîðîíû ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè äî èõ ïåðåñå÷åíèÿ, òî âìåñòå ñ áîëü`
øèì îñíîâàíèåì îíè îáðàçóþò ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê.
Êàæäîå èç ïåðå÷èñëåííûõ ñâîéñòâ âûäåëÿåò ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ èç âñåõ äðóãèõ òðàïåöèé.
Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ñåðåäèíû áîêîâûõ ñòîðîí
ïðîèçâîëüíîé òðàïåöèè, íàçûâàåòñÿ ñðåäíåé ëèíèåé òðàïåöèè (îòðåçîê MN íà ðèñ. 191).
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:
Ò.9.24. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðàïåöèè ïàðàëëåëüíà åå îñíîâàíèÿì è ðàâíà èõ ïîëóñóììå.
418
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè
Ï ð è ì å ð 1. Äëèíà áîëüøåãî îñíîâàíèÿ òðàïåöèè ðàâíà 24. Íàéòè äëèíó åå ìåíüøåãî îñíîâàíèÿ,
åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó ñåðåäèíàìè äèàãîíàëåé òðàïåöèè ðàâíî 4.
q  òðàïåöèè ABCD èçâåñòíî, ÷òî AD = 24,
AE = EC, BF = FD, EF = 4 (ðèñ. 194). Ïóñòü ÂÑ = õ.
Òîãäà KE = 0,5x, FL = 0,5x (òàê êàê KE è FL —
ñðåäíèå ëèíèè â DABC è DDBC ). Çíà÷èò, KL = KE +
+ EF + FL = x + 4. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, KL — ñðåäíÿÿ
ëèíèÿ òðàïåöèè ÀÂÑD, ò. å. KL = 0,5 (x + 24). Ðåøèâ
óðàâíåíèå õ + 4 = 0,5(õ + 24), íàéäåì
õ = 16.n
Ï ð è ì å ð 2. Ìåíüøåå îñíîâàíèå ðàâíîáî÷íîé
òðàïåöèè ðàâíî áîêîâîé ñòîðîíå, à äèàãîíàëü ïåðïåíäèêóëÿðíà áîêîâîé ñòîðîíå (ðèñ. 195). Íàéòè
óãëû òðàïåöèè.
q Ïî óñëîâèþ, â òðàïåöèè ÀÂÑD èìååì
AB = CD = BC, AC^CD. Ïóñòü ÐBCA = x ; òîãäà
Ðèñ. 194
Ðèñ. 195
419
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ðèñ. 192
Ðèñ. 193
ïðÿìîóãîëüíîé (ðèñ. 192). Òðàïåöèÿ, ó êîòîðîé
ðàâíû áîêîâûå ñòîðîíû, íàçûâàåòñÿ ðàâíîáî÷íîé
(èíîãäà åå íàçûâàþò òàêæå ðàâíîáîêîé èëè ðàâíîáåäðåííîé). Íà ðèñ. 193 èçîáðàæåíà ðàâíîáî÷íàÿ
òðàïåöèÿ ÀÂÑD.
Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè:
10. Óãëû, ïðèëåæàùèå ê êàæäîìó èç îñíîâàíèé
òðàïåöèè, ðàâíû.
20. Äèàãîíàëè ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè ðàâíû.
30. Åñëè ïðîäîëæèòü áîêîâûå ñòîðîíû ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè äî èõ ïåðåñå÷åíèÿ, òî âìåñòå ñ áîëü`
øèì îñíîâàíèåì îíè îáðàçóþò ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê.
Êàæäîå èç ïåðå÷èñëåííûõ ñâîéñòâ âûäåëÿåò ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ èç âñåõ äðóãèõ òðàïåöèé.
Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ñåðåäèíû áîêîâûõ ñòîðîí
ïðîèçâîëüíîé òðàïåöèè, íàçûâàåòñÿ ñðåäíåé ëèíèåé òðàïåöèè (îòðåçîê MN íà ðèñ. 191).
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:
Ò.9.24. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðàïåöèè ïàðàëëåëüíà åå îñíîâàíèÿì è ðàâíà èõ ïîëóñóììå.
418
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè
Ï ð è ì å ð 1. Äëèíà áîëüøåãî îñíîâàíèÿ òðàïåöèè ðàâíà 24. Íàéòè äëèíó åå ìåíüøåãî îñíîâàíèÿ,
åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó ñåðåäèíàìè äèàãîíàëåé òðàïåöèè ðàâíî 4.
q  òðàïåöèè ABCD èçâåñòíî, ÷òî AD = 24,
AE = EC, BF = FD, EF = 4 (ðèñ. 194). Ïóñòü ÂÑ = õ.
Òîãäà KE = 0,5x, FL = 0,5x (òàê êàê KE è FL —
ñðåäíèå ëèíèè â DABC è DDBC ). Çíà÷èò, KL = KE +
+ EF + FL = x + 4. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, KL — ñðåäíÿÿ
ëèíèÿ òðàïåöèè ÀÂÑD, ò. å. KL = 0,5 (x + 24). Ðåøèâ
óðàâíåíèå õ + 4 = 0,5(õ + 24), íàéäåì
õ = 16.n
Ï ð è ì å ð 2. Ìåíüøåå îñíîâàíèå ðàâíîáî÷íîé
òðàïåöèè ðàâíî áîêîâîé ñòîðîíå, à äèàãîíàëü ïåðïåíäèêóëÿðíà áîêîâîé ñòîðîíå (ðèñ. 195). Íàéòè
óãëû òðàïåöèè.
q Ïî óñëîâèþ, â òðàïåöèè ÀÂÑD èìååì
AB = CD = BC, AC^CD. Ïóñòü ÐBCA = x ; òîãäà
Ðèñ. 194
Ðèñ. 195
419
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè
ÐBAC = x (êàê óãëû ïðè îñíîâàíèè ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ), ÐBCD = x + 90°,
à ÐCDA = 180° - (x + 90°) = 90° - x (ïîñêîëüêó ñóììà
óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê áîêîâîé ñòîðîíå òðàïåöèè, ðàâíà 180°). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ÐCAD = 90° -ÐCDA = x, è, çíà÷èò, ÐBAD = ÐBAC + ÐCAD = 2x.
Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî óãëîâ BAD è CDA, ïðèëåæàùèõ ê îñíîâàíèþ AD ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè, èìååì 2x = 90° - x, îòêóäà õ = 30°. Èòàê, óãëû òðàïåöèè ðàâíû 60° è 120°. n
281. Ïëîùàäè ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ. Ïðèâåäåì
âàæíåéøèå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ.
1. Ïëîùàäü êâàäðàòà ðàâíà êâàäðàòó åãî ñòîðîíû èëè ïîëîâèíå êâàäðàòà åãî äèàãîíàëè (ðèñ.
196):
S = a2 ;
(1)
S = 0,5d2 .
(2)
2. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ
åãî ñòîðîí èëè ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ êâàäðàòà
åãî äèàãîíàëè íà ñèíóñ óãëà ìåæäó äèàãîíàëÿìè
(ðèñ. 197):
420
S = ab;
(3)
S = 0,5d2 sin j.
(4)
Ðèñ. 197
Ðèñ. 196
Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü äèàãîíàëü ïðÿìîóãîëüíèêà
ðàâíà 5, à ñèíóñ óãëà ìåæäó äèàãîíàëÿìè ðàâåí 0,96.
Òîãäà S = 0,5 × 25 × 0,96 = 12.
3. Ïëîùàäü ðîìáà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åãî ñòîðîíû íà âûñîòó, ïðîâåäåííóþ ê íåé, ëèáî ïðîèçâåäåíèþ êâàäðàòà åãî ñòîðîíû íà ñèíóñ óãëà ìåæäó
ñìåæíûìè ñòîðîíàìè (ðèñ. 198, à), ëèáî ïîëîâèíå
ïðîèçâåäåíèÿ åãî äèàãîíàëåé (ðèñ. 198, á):
S = aha ;
(5)
S = a2 sin a;
(6)
S = 0,5d1d2 .
(7)
4. Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åãî îñíîâàíèÿ íà âûñîòó, ëèáî ïðîèçâåäåíèþ åãî
ñìåæíûõ ñòîðîí íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè
421
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè
ÐBAC = x (êàê óãëû ïðè îñíîâàíèè ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ), ÐBCD = x + 90°,
à ÐCDA = 180° - (x + 90°) = 90° - x (ïîñêîëüêó ñóììà
óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê áîêîâîé ñòîðîíå òðàïåöèè, ðàâíà 180°). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ÐCAD = 90° -ÐCDA = x, è, çíà÷èò, ÐBAD = ÐBAC + ÐCAD = 2x.
Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî óãëîâ BAD è CDA, ïðèëåæàùèõ ê îñíîâàíèþ AD ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè, èìååì 2x = 90° - x, îòêóäà õ = 30°. Èòàê, óãëû òðàïåöèè ðàâíû 60° è 120°. n
281. Ïëîùàäè ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ. Ïðèâåäåì
âàæíåéøèå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ.
1. Ïëîùàäü êâàäðàòà ðàâíà êâàäðàòó åãî ñòîðîíû èëè ïîëîâèíå êâàäðàòà åãî äèàãîíàëè (ðèñ.
196):
S = a2 ;
(1)
S = 0,5d2 .
(2)
2. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ
åãî ñòîðîí èëè ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ êâàäðàòà
åãî äèàãîíàëè íà ñèíóñ óãëà ìåæäó äèàãîíàëÿìè
(ðèñ. 197):
420
S = ab;
(3)
S = 0,5d2 sin j.
(4)
Ðèñ. 197
Ðèñ. 196
Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü äèàãîíàëü ïðÿìîóãîëüíèêà
ðàâíà 5, à ñèíóñ óãëà ìåæäó äèàãîíàëÿìè ðàâåí 0,96.
Òîãäà S = 0,5 × 25 × 0,96 = 12.
3. Ïëîùàäü ðîìáà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åãî ñòîðîíû íà âûñîòó, ïðîâåäåííóþ ê íåé, ëèáî ïðîèçâåäåíèþ êâàäðàòà åãî ñòîðîíû íà ñèíóñ óãëà ìåæäó
ñìåæíûìè ñòîðîíàìè (ðèñ. 198, à), ëèáî ïîëîâèíå
ïðîèçâåäåíèÿ åãî äèàãîíàëåé (ðèñ. 198, á):
S = aha ;
(5)
S = a2 sin a;
(6)
S = 0,5d1d2 .
(7)
4. Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åãî îñíîâàíèÿ íà âûñîòó, ëèáî ïðîèçâåäåíèþ åãî
ñìåæíûõ ñòîðîí íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè
421
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
a)
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè
Çàìåòèì, ÷òî ïëîùàëü òðåóãîëüíèêà ñ òàêèì æå
îñíîâàíèåì à è òàêîé æå âûñîòîé hà, êàê ó ïàðàëëåëîãðàììà, ðàâíà ïîëîâèíå ïëîùàäè ýòîãî ïàðàëëåëîãðàììà, íàïðèìåð SDABD = 0,5S ABCD (ñì. ðèñ. 199, à).
Îòìåòèì åùå, ÷òî ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , ðàâíà ìîäóëþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ a è b (ñì. ï. 301).
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ïëîùàäü ðîìáà ñî ñòîðîíîé
à = 6 è óãëîì â 30° ìåæäó åãî ñìåæíûìè ñòîðîíàìè
(ðèñ. 200), èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (5), (6) è (7).
á)
Ðèñ. 198
q Ïî ôîðìóëå (6): S = a2 sin a = 36 × sin 30° = 18.
Ïî ôîðìóëå (5): S = aha = AD × BK, ãäå BK =
a)
= 0,5 AB = 3 (òàê êàê ÐBAD = 30° ). Çíà÷èò, S =
= 6 × 3 = 18.
Ïî ôîðìóëå (7): S = 0,5d1d2 = 0,5 AC × BD, ãäå BD
á)
íàéäåì ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ èç DBAD, à ÀÑ — ïî
òîé æå òåîðåìå èç DABC. Èìååì BD2 = 36 + 36 - 2 ´
Ðèñ. 199
´ 36 cos 30° = 72 (1 - cos 30°) = 36 (2 - 3 ), AC2 = 36 +
(ðèñ. 199, à), ëèáî ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî äèàãîíàëåé íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè (ðèñ. 199, á):
S = aha ;
(8)
S = ab sin a;
(9)
S = 0,5d1d2 sin j.
422
(10)
+ 36 - 2 × 36 cos 150° = 72 (1 + cos 30°) = 36 (2 + 3 ).
Ïîýòîìó S = 0,5 × 6 × 6 (2 - 3 ) (2 + 3 ) = 18. n
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà,
äèàãîíàëè êîòîðîãî ðàâíû 5 è 3, à ñèíóñ óãëà ìåæäó
íèìè ðàâåí 0,8 (ðèñ. 201), èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (8), (9)
è (10).
q Ïî ôîðìóëå (10):
S = 0,5d1d2 sin j = 0,5 × 5 × 3 ´· 0,8 = 6.
423
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
a)
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè
Çàìåòèì, ÷òî ïëîùàëü òðåóãîëüíèêà ñ òàêèì æå
îñíîâàíèåì à è òàêîé æå âûñîòîé hà, êàê ó ïàðàëëåëîãðàììà, ðàâíà ïîëîâèíå ïëîùàäè ýòîãî ïàðàëëåëîãðàììà, íàïðèìåð SDABD = 0,5S ABCD (ñì. ðèñ. 199, à).
Îòìåòèì åùå, ÷òî ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , ðàâíà ìîäóëþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ a è b (ñì. ï. 301).
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ïëîùàäü ðîìáà ñî ñòîðîíîé
à = 6 è óãëîì â 30° ìåæäó åãî ñìåæíûìè ñòîðîíàìè
(ðèñ. 200), èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (5), (6) è (7).
á)
Ðèñ. 198
q Ïî ôîðìóëå (6): S = a2 sin a = 36 × sin 30° = 18.
Ïî ôîðìóëå (5): S = aha = AD × BK, ãäå BK =
a)
= 0,5 AB = 3 (òàê êàê ÐBAD = 30° ). Çíà÷èò, S =
= 6 × 3 = 18.
Ïî ôîðìóëå (7): S = 0,5d1d2 = 0,5 AC × BD, ãäå BD
á)
íàéäåì ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ èç DBAD, à ÀÑ — ïî
òîé æå òåîðåìå èç DABC. Èìååì BD2 = 36 + 36 - 2 ´
Ðèñ. 199
´ 36 cos 30° = 72 (1 - cos 30°) = 36 (2 - 3 ), AC2 = 36 +
(ðèñ. 199, à), ëèáî ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî äèàãîíàëåé íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè (ðèñ. 199, á):
S = aha ;
(8)
S = ab sin a;
(9)
S = 0,5d1d2 sin j.
422
(10)
+ 36 - 2 × 36 cos 150° = 72 (1 + cos 30°) = 36 (2 + 3 ).
Ïîýòîìó S = 0,5 × 6 × 6 (2 - 3 ) (2 + 3 ) = 18. n
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà,
äèàãîíàëè êîòîðîãî ðàâíû 5 è 3, à ñèíóñ óãëà ìåæäó
íèìè ðàâåí 0,8 (ðèñ. 201), èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (8), (9)
è (10).
q Ïî ôîðìóëå (10):
S = 0,5d1d2 sin j = 0,5 × 5 × 3 ´· 0,8 = 6.
423
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè
Ïî ôîðìóëå (8): S = aha , ãäå ñòîðîíà a = AD =
= 13 áûëà íàéäåíà ðàíåå, à âûñîòó ha = BH íàéäåì èç D AHB. Èìååì BH = AB sin a = 2 ×
Ðèñ. 201
Ïî ôîðìóëå (9): S = ab sin a, ãäå a = AD, b = CD
è sin a íàäî íàéòè. Òàê êàê sin j = 0,8, òî cos j =
= 1 - 0,82 = 0,6 è â D CMD ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ
èìååì
CD2 = MC2 + MD2 - 2MC × MD cos j,
èëè
CD2 = 2,52 + 1,52 - 2 × 2,5 × 1,5 × 0,6 = 4, ò. å. CD = 2. Íî
AC 2 + BD2 = 2 ( AD 2 + CD2 ),
èëè 25 + 9 = 2 AD2 +
+2 × 4, îòêóäà AD = 13. Òåïåðü ïðèìåíèì òåîðåìó
êîñèíóñîâ ê D BAD :
BD 2 = AB 2 + AD 2 - 2 AB ´
´ AD cos a = 4 + 13 - 2 × 2 13 cos a,
èëè
9 = 17 2
- 4 13 cos a, îòêóäà cos a =
. Ïîýòîìó sin a =
13
4
= 1=
13
424
3
13
è, çíà÷èò, S = 2 13 ×
3
13
13
=
6
6
è, ñëåäîâàòåëüíî, S = 13 ×
= 6. n
13
13
5. Ïëîùàäü òðàïåöèè ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïîëóñóììû åå îñíîâàíèé íà âûñîòó èëè ïðîèçâåäåíèþ åå
ñðåäíåé ëèíèè íà âûñîòó:
=
Ðèñ. 200
3
= 6.
S=
a+b
× h;
2
(11)
(12)
S = lh.
Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîé
òðàïåöèè, åñëè åå îñòðûé óãîë ðàâåí 60°, ìåíüøåå îñíîâàíèå ðàâíî 6, à áîëüøàÿ áîêîâàÿ ñòîðîíà ðàâíà 8.
q  òðàïåöèè ABCD ïðîâåäåì BH^AD
(ðèñ. 202). Òîãäà ÐABH = 30° è AH = 0,5 AB = 4,
BH = 0,5 3 AB = 4 3, AD = AH + HD = 10. Çíà÷èò,
S = 0,5 (10 + 6) × 4 3 = 32 3. n
6. Ïëîùàäü ëþáîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî äèàãîíàëåé íà ñèíóñ óãëà
ìåæäó íèìè:
S = 0,5d1d2 sin j.
(13)
Ï ð è ì å ð 5.  ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè äèàãîíàëè
âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, à ñðåäíÿÿ ëèíèÿ ðàâíà 5
425
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè
Ïî ôîðìóëå (8): S = aha , ãäå ñòîðîíà a = AD =
= 13 áûëà íàéäåíà ðàíåå, à âûñîòó ha = BH íàéäåì èç D AHB. Èìååì BH = AB sin a = 2 ×
Ðèñ. 201
Ïî ôîðìóëå (9): S = ab sin a, ãäå a = AD, b = CD
è sin a íàäî íàéòè. Òàê êàê sin j = 0,8, òî cos j =
= 1 - 0,82 = 0,6 è â D CMD ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ
èìååì
CD2 = MC2 + MD2 - 2MC × MD cos j,
èëè
CD2 = 2,52 + 1,52 - 2 × 2,5 × 1,5 × 0,6 = 4, ò. å. CD = 2. Íî
AC 2 + BD2 = 2 ( AD 2 + CD2 ),
èëè 25 + 9 = 2 AD2 +
+2 × 4, îòêóäà AD = 13. Òåïåðü ïðèìåíèì òåîðåìó
êîñèíóñîâ ê D BAD :
BD 2 = AB 2 + AD 2 - 2 AB ´
´ AD cos a = 4 + 13 - 2 × 2 13 cos a,
èëè
9 = 17 2
- 4 13 cos a, îòêóäà cos a =
. Ïîýòîìó sin a =
13
4
= 1=
13
424
3
13
è, çíà÷èò, S = 2 13 ×
3
13
13
=
6
6
è, ñëåäîâàòåëüíî, S = 13 ×
= 6. n
13
13
5. Ïëîùàäü òðàïåöèè ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïîëóñóììû åå îñíîâàíèé íà âûñîòó èëè ïðîèçâåäåíèþ åå
ñðåäíåé ëèíèè íà âûñîòó:
=
Ðèñ. 200
3
= 6.
S=
a+b
× h;
2
(11)
(12)
S = lh.
Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîé
òðàïåöèè, åñëè åå îñòðûé óãîë ðàâåí 60°, ìåíüøåå îñíîâàíèå ðàâíî 6, à áîëüøàÿ áîêîâàÿ ñòîðîíà ðàâíà 8.
q  òðàïåöèè ABCD ïðîâåäåì BH^AD
(ðèñ. 202). Òîãäà ÐABH = 30° è AH = 0,5 AB = 4,
BH = 0,5 3 AB = 4 3, AD = AH + HD = 10. Çíà÷èò,
S = 0,5 (10 + 6) × 4 3 = 32 3. n
6. Ïëîùàäü ëþáîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî äèàãîíàëåé íà ñèíóñ óãëà
ìåæäó íèìè:
S = 0,5d1d2 sin j.
(13)
Ï ð è ì å ð 5.  ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè äèàãîíàëè
âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, à ñðåäíÿÿ ëèíèÿ ðàâíà 5
425
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè
q Ðàçîáüåì çàäàííûé ÷åòûðåõóãîëüíèê íà òðåóãîëüíèêè BAD è BCD. Èìååì SDBAD = 6 (ïîëîâèíà ïðîèçâåäåíèÿ êàòåòîâ). Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà èç
D BAD íàéäåì BD = 5. Òåïåðü â D BCD èçâåñòíû
òðè ñòîðîíû. Ïî ôîðìóëå Ãåðîíà íàõîäèì SDBCD =
Ðèñ. 202
Ðèñ. 203
(ðèñ. 203). Íàéòè ïëîùàäü òðàïåöèè, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (12) èëè îáùóþ ôîðìóëó (13).
q Ïî ôîðìóëå (12): S = lh, ãäå h = EF = EM +
+ MF = BE + AF = 0,5 (a + b) = l (a = BC è b = AD —
îñíîâàíèÿ òðàïåöèè). Çíà÷èò, S = l2 = 25.
Ïî ôîðìóëå (13): S = 0,5d 2 (òàê êàê j = 90° ).
Ïðîâåäåì CH^AD; ðàíåå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî CH =
= 0,5 (a + b) = 5. Â D AMD èìååì ÐMAD = 45°. Òîãäà èç D CHA ñëåäóåò, ÷òî AH = CH = 5. Ïîýòîìó
d2 = AC2 = 2CH2 = 50, îòêóäà S = 25. n
Çàìåòèì, ÷òî ïëîùàäü ïðîèçâîëüíîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ìîæíî íàéòè, ðàçáèâ åãî íà òðåóãîëüíèêè.
Ï ð è ì å ð 6. Íàéòè ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà
ABCD, â êîòîðîì Ð BAD = 90°, AB = 3, BC = 2, CD =
= 5, AD = 4 (ðèñ. 204).
426
= 6 × 1 × 4 × 1 = 2 6 . Èòàê, S ABCD = 6 + 2 6 . n
7. Åñëè îêîëî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü, òî åãî ïëîùàäü S âûðàæàåòñÿ
ôîðìóëîé
S=
( p - a) ( p - b ) ( p - c) ( p - d) ,
(14)
ãäå a, b, c, d — ñòîðîíû ÷åòûðåõóãîëüíèêà, p =
= 0,5 (a + b + c + d) — ïîëóïåðèìåòð.
8. Åñëè â ÷åòûðåõóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü, òî åãî ïëîùàäü ðàâíà ïîëóïåðèìåòðó, óìíîæåííîìó íà ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:
S = pr.
Ðèñ. 204
(15)
Ðèñ. 205
427
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè
q Ðàçîáüåì çàäàííûé ÷åòûðåõóãîëüíèê íà òðåóãîëüíèêè BAD è BCD. Èìååì SDBAD = 6 (ïîëîâèíà ïðîèçâåäåíèÿ êàòåòîâ). Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà èç
D BAD íàéäåì BD = 5. Òåïåðü â D BCD èçâåñòíû
òðè ñòîðîíû. Ïî ôîðìóëå Ãåðîíà íàõîäèì SDBCD =
Ðèñ. 202
Ðèñ. 203
(ðèñ. 203). Íàéòè ïëîùàäü òðàïåöèè, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (12) èëè îáùóþ ôîðìóëó (13).
q Ïî ôîðìóëå (12): S = lh, ãäå h = EF = EM +
+ MF = BE + AF = 0,5 (a + b) = l (a = BC è b = AD —
îñíîâàíèÿ òðàïåöèè). Çíà÷èò, S = l2 = 25.
Ïî ôîðìóëå (13): S = 0,5d 2 (òàê êàê j = 90° ).
Ïðîâåäåì CH^AD; ðàíåå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî CH =
= 0,5 (a + b) = 5. Â D AMD èìååì ÐMAD = 45°. Òîãäà èç D CHA ñëåäóåò, ÷òî AH = CH = 5. Ïîýòîìó
d2 = AC2 = 2CH2 = 50, îòêóäà S = 25. n
Çàìåòèì, ÷òî ïëîùàäü ïðîèçâîëüíîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ìîæíî íàéòè, ðàçáèâ åãî íà òðåóãîëüíèêè.
Ï ð è ì å ð 6. Íàéòè ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà
ABCD, â êîòîðîì Ð BAD = 90°, AB = 3, BC = 2, CD =
= 5, AD = 4 (ðèñ. 204).
426
= 6 × 1 × 4 × 1 = 2 6 . Èòàê, S ABCD = 6 + 2 6 . n
7. Åñëè îêîëî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü, òî åãî ïëîùàäü S âûðàæàåòñÿ
ôîðìóëîé
S=
( p - a) ( p - b ) ( p - c) ( p - d) ,
(14)
ãäå a, b, c, d — ñòîðîíû ÷åòûðåõóãîëüíèêà, p =
= 0,5 (a + b + c + d) — ïîëóïåðèìåòð.
8. Åñëè â ÷åòûðåõóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü, òî åãî ïëîùàäü ðàâíà ïîëóïåðèìåòðó, óìíîæåííîìó íà ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:
S = pr.
Ðèñ. 204
(15)
Ðèñ. 205
427
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ï ð è ì å ð 7. Îñíîâàíèÿ òðàïåöèè ðàâíû 4
è 16 ñì. Èçâåñòíî, ÷òî ñóùåñòâóþò îêðóæíîñòè, âïèñàííàÿ â ýòó òðàïåöèþ è îïèñàííàÿ îêîëî íåå. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (14) è (15), íàéòè ïëîùàäü òðàïåöèè.
q Òàê êàê îêîëî òðàïåöèè ABCD (ðèñ. 205) ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü, òî òðàïåöèÿ äîëæíà áûòü ðàâíîáî÷íîé, ò. å. À = ÑD. Äàëåå, òàê êàê â òðàïåöèþ
ÀBCD ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü, òî ñóììà îñíîâàíèé òðàïåöèè äîëæíà áûòü ðàâíà ñóììå åå áîêîâûõ ñòîðîí, ò. å. AD + BC = AB + CD = 2AB, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî AB = 0,5 ( AD + BC) = 10. Ïðîâåäåì
BK^ AD è èç D AKB, ãäå ÀÂ = 10, AK = 0,5 (16 - 4) =
= 6,
íàéäåì
BK = 102 - 62 = 8.
Çíà÷èò,
r =
= 0,5BK = 4.
Ïî ôîðìóëå (14): S = ( p - a) ( p - b ) ( p - c) ( p - d) ,
ãäå ð = 20, ð – à = 16, ð – b = 4, ð – ñ = 10, ð – d = 10.
Òîãäà S = 16 × 4 × 10 × 10 = 80.
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 32. Îêðóæíîñòü
Îêðóæíîñòü äåëèò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè: âíóòðåííþþ ïî îòíîøåíèþ ê îêðóæíîñòè è âíåøíþþ.
Âíóòðåííÿÿ ÷àñòü, âêëþ÷àÿ è êîíòóð, åå îãðàíè÷èâàþùèé, ò. å. îêðóæíîñòü, íàçûâàåòñÿ êðóãîì. Âñå òî÷êè êðóãà óäàëåíû îò öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, íå áîëüøåå, ÷åì ðàäèóñ îêðóæíîñòè. Âíåøíÿÿ ÷àñòü ñîñòîèò èç òî÷åê, óäàëåííûõ îò öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, ïðåâûøàþùåå ðàäèóñ.
Ïðÿìàÿ, ëåæàùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è îêðóæíîñòü, ìîæåò íå èìåòü ñ îêðóæíîñòüþ îáùèõ òî÷åê, ìîæåò ïåðåñåêàòü îêðóæíîñòü â äâóõ òî÷êàõ (òàêàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ ñåêóùåé; MN íà ðèñ. 206) è
ìîæåò èìåòü ñ îêðóæíîñòüþ îäíó îáùóþ òî÷êó (òàêàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé; KL íà ðèñ.
206).
Ò.9.25. Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó îêðóæíîñòè, òîãäà è òîëüêî òîãäà ÿâëÿåòñÿ êàñàòåëüíîé
ê ýòîé îêðóæíîñòè, êîãäà îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà
ðàäèóñó, ïðîâåäåííîìó â äàííóþ òî÷êó.
283. Õîðäà è äèàìåòð. Ñåêòîð è ñåãìåíò. Îòðåçîê ñåêóùåé, çàêëþ÷åííûé âíóòðè îêðóæíîñòè, íà-
Ïî ôîðìóëå (15): S = pr = 20 × 4 = 80. n
§ 32. Îêðóæíîñòü
282. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è îêðóæíîñòè. Êàñàòåëüíàÿ è ñåêóùàÿ. Îêðóæíîñòüþ íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, îäèíàêîâî óäàëåííûõ îò äàííîé òî÷êè Î, íàçûâàåìîé öåíòðîì îêðóæíîñòè (ðèñ. 206). Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè îêðóæíîñòè äî åå öåíòðà íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì îêðóæíîñòè
(îòðåçîê ÎÀ íà ðèñ. 206).
428
Ðèñ. 206
Ðèñ. 207
429
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ï ð è ì å ð 7. Îñíîâàíèÿ òðàïåöèè ðàâíû 4
è 16 ñì. Èçâåñòíî, ÷òî ñóùåñòâóþò îêðóæíîñòè, âïèñàííàÿ â ýòó òðàïåöèþ è îïèñàííàÿ îêîëî íåå. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (14) è (15), íàéòè ïëîùàäü òðàïåöèè.
q Òàê êàê îêîëî òðàïåöèè ABCD (ðèñ. 205) ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü, òî òðàïåöèÿ äîëæíà áûòü ðàâíîáî÷íîé, ò. å. À = ÑD. Äàëåå, òàê êàê â òðàïåöèþ
ÀBCD ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü, òî ñóììà îñíîâàíèé òðàïåöèè äîëæíà áûòü ðàâíà ñóììå åå áîêîâûõ ñòîðîí, ò. å. AD + BC = AB + CD = 2AB, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî AB = 0,5 ( AD + BC) = 10. Ïðîâåäåì
BK^ AD è èç D AKB, ãäå ÀÂ = 10, AK = 0,5 (16 - 4) =
= 6,
íàéäåì
BK = 102 - 62 = 8.
Çíà÷èò,
r =
= 0,5BK = 4.
Ïî ôîðìóëå (14): S = ( p - a) ( p - b ) ( p - c) ( p - d) ,
ãäå ð = 20, ð – à = 16, ð – b = 4, ð – ñ = 10, ð – d = 10.
Òîãäà S = 16 × 4 × 10 × 10 = 80.
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 32. Îêðóæíîñòü
Îêðóæíîñòü äåëèò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè: âíóòðåííþþ ïî îòíîøåíèþ ê îêðóæíîñòè è âíåøíþþ.
Âíóòðåííÿÿ ÷àñòü, âêëþ÷àÿ è êîíòóð, åå îãðàíè÷èâàþùèé, ò. å. îêðóæíîñòü, íàçûâàåòñÿ êðóãîì. Âñå òî÷êè êðóãà óäàëåíû îò öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, íå áîëüøåå, ÷åì ðàäèóñ îêðóæíîñòè. Âíåøíÿÿ ÷àñòü ñîñòîèò èç òî÷åê, óäàëåííûõ îò öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, ïðåâûøàþùåå ðàäèóñ.
Ïðÿìàÿ, ëåæàùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è îêðóæíîñòü, ìîæåò íå èìåòü ñ îêðóæíîñòüþ îáùèõ òî÷åê, ìîæåò ïåðåñåêàòü îêðóæíîñòü â äâóõ òî÷êàõ (òàêàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ ñåêóùåé; MN íà ðèñ. 206) è
ìîæåò èìåòü ñ îêðóæíîñòüþ îäíó îáùóþ òî÷êó (òàêàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé; KL íà ðèñ.
206).
Ò.9.25. Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó îêðóæíîñòè, òîãäà è òîëüêî òîãäà ÿâëÿåòñÿ êàñàòåëüíîé
ê ýòîé îêðóæíîñòè, êîãäà îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà
ðàäèóñó, ïðîâåäåííîìó â äàííóþ òî÷êó.
283. Õîðäà è äèàìåòð. Ñåêòîð è ñåãìåíò. Îòðåçîê ñåêóùåé, çàêëþ÷åííûé âíóòðè îêðóæíîñòè, íà-
Ïî ôîðìóëå (15): S = pr = 20 × 4 = 80. n
§ 32. Îêðóæíîñòü
282. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è îêðóæíîñòè. Êàñàòåëüíàÿ è ñåêóùàÿ. Îêðóæíîñòüþ íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, îäèíàêîâî óäàëåííûõ îò äàííîé òî÷êè Î, íàçûâàåìîé öåíòðîì îêðóæíîñòè (ðèñ. 206). Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè îêðóæíîñòè äî åå öåíòðà íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì îêðóæíîñòè
(îòðåçîê ÎÀ íà ðèñ. 206).
428
Ðèñ. 206
Ðèñ. 207
429
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
çûâàåòñÿ õîðäîé (îòðåçîê ÀÂ íà ðèñ. 207). Ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé íà õîðäó èç öåíòðà îêðóæíîñòè, äåëèò ýòó õîðäó ïîïîëàì.
Õîðäà, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè, íàçûâàåòñÿ äèàìåòðîì (îòðåçîê CD íà ðèñ. 207). Âñå
äèàìåòðû ðàâíû ìåæäó ñîáîé è ðàâíû óäâîåííîìó
ðàäèóñó.
Õîðäà ðàçáèâàåò êðóã íà äâå ÷àñòè, íàçûâàåìûå
ñåãìåíòàìè (íà ðèñ. 208 — ýòî ñåãìåíòû I è II).
Åñëè õîðäà ñîâïàäàåò ñ äèàìåòðîì, òî ýòè ñåãìåíòû ïðåâðàùàþòñÿ â ïîëóêðóãè.
×àñòü êðóãà, îãðàíè÷åííàÿ äâóìÿ åãî ðàäèóñàìè
ÎÀ è ÎÂ è äóãîé îêðóæíîñòè, ñîåäèíÿþùåé êîíöû
ýòèõ ðàäèóñîâ, íàçûâàåòñÿ ñåêòîðîì (íà ðèñ. 209 —
ýòî ñåêòîðû I è II).
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
10. Ðàâíûå õîðäû ñòÿãèâàþò ðàâíûå äóãè.
20. Ðàâíûå äóãè ñòÿãèâàþòñÿ ðàâíûìè õîðäàìè.
3 0 . Õîðäû, îäèíàêîâî óäàëåííûå îò öåíòðà,
ðàâíû.
40. Ðàâíûå õîðäû îäèíàêîâî óäàëåíû îò öåíòðà.
5 0. Âñÿêèé äèàìåòð ÿâëÿåòñÿ îñüþ ñèììåòðèè
îêðóæíîñòè è äåëèò åå íà äâå ðàâíûå ïîëóîêðóæíîñòè.
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 32. Îêðóæíîñòü
284. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì Ñ (a;b) è ðàäèóñîì R â ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìååò âèä
(x - a)2 + (y - b)2 = R 2.
(1)
 ÷àñòíîñòè, åñëè öåíòð îêðóæíîñòè ñîâïàäàåò ñ
íà÷àëîì êîîðäèíàò, òî óðàâíåíèå (1) ïðèìåò âèä
x2 + y 2 = R 2 .
(2)
Ï ð è ì å ð. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå îêðóæíîñòè:
à) ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäèóñîì 7 ;
á) ñ öåíòðîì Ñ (2;–6) è ðàäèóñîì 9;
â) ñ öåíòðîì Ñ (–3;4), ïðè÷åì îêðóæíîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò.
q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), ïîëó÷èì x 2 + y2 = 7.
á) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), èìååì (x - 2)2 + (y +
+ 6)2 = 81.
â) Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (1) è çàïèøåì
(x + 3)2 + (y - 4)2 = R 2 — ýòî óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ñ äàííûì öåíòðîì è íåèçâåñòíûì ïîêà ðàäèóñîì R.
Òàê êàê îêðóæíîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, òî çíà÷åíèÿ õ = 0, ó = 0 óäîâëåòâîðÿþò åå óðàâíåíèþ; ïîäñòàâèâ ýòè çíà÷åíèÿ â ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå, èìååì 32 + (–4)2 = R 2 , ò. å. R 2 = 25. Èòàê,
(x + 3)2 + (y - 4)2 = 25 — èñêîìîå óðàâíåíèå.n
Ðèñ. 208
430
Ðèñ. 209
285. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ îêðóæíîñòåé.
Ðàññìîòðèì âîçìîæíûå ñëó÷àè ðàñïîëîæåíèÿ äâóõ
îêðóæíîñòåé.
431
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
çûâàåòñÿ õîðäîé (îòðåçîê ÀÂ íà ðèñ. 207). Ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé íà õîðäó èç öåíòðà îêðóæíîñòè, äåëèò ýòó õîðäó ïîïîëàì.
Õîðäà, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè, íàçûâàåòñÿ äèàìåòðîì (îòðåçîê CD íà ðèñ. 207). Âñå
äèàìåòðû ðàâíû ìåæäó ñîáîé è ðàâíû óäâîåííîìó
ðàäèóñó.
Õîðäà ðàçáèâàåò êðóã íà äâå ÷àñòè, íàçûâàåìûå
ñåãìåíòàìè (íà ðèñ. 208 — ýòî ñåãìåíòû I è II).
Åñëè õîðäà ñîâïàäàåò ñ äèàìåòðîì, òî ýòè ñåãìåíòû ïðåâðàùàþòñÿ â ïîëóêðóãè.
×àñòü êðóãà, îãðàíè÷åííàÿ äâóìÿ åãî ðàäèóñàìè
ÎÀ è ÎÂ è äóãîé îêðóæíîñòè, ñîåäèíÿþùåé êîíöû
ýòèõ ðàäèóñîâ, íàçûâàåòñÿ ñåêòîðîì (íà ðèñ. 209 —
ýòî ñåêòîðû I è II).
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
10. Ðàâíûå õîðäû ñòÿãèâàþò ðàâíûå äóãè.
20. Ðàâíûå äóãè ñòÿãèâàþòñÿ ðàâíûìè õîðäàìè.
3 0 . Õîðäû, îäèíàêîâî óäàëåííûå îò öåíòðà,
ðàâíû.
40. Ðàâíûå õîðäû îäèíàêîâî óäàëåíû îò öåíòðà.
5 0. Âñÿêèé äèàìåòð ÿâëÿåòñÿ îñüþ ñèììåòðèè
îêðóæíîñòè è äåëèò åå íà äâå ðàâíûå ïîëóîêðóæíîñòè.
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 32. Îêðóæíîñòü
284. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì Ñ (a;b) è ðàäèóñîì R â ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìååò âèä
(x - a)2 + (y - b)2 = R 2.
(1)
 ÷àñòíîñòè, åñëè öåíòð îêðóæíîñòè ñîâïàäàåò ñ
íà÷àëîì êîîðäèíàò, òî óðàâíåíèå (1) ïðèìåò âèä
x2 + y 2 = R 2 .
(2)
Ï ð è ì å ð. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå îêðóæíîñòè:
à) ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäèóñîì 7 ;
á) ñ öåíòðîì Ñ (2;–6) è ðàäèóñîì 9;
â) ñ öåíòðîì Ñ (–3;4), ïðè÷åì îêðóæíîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò.
q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), ïîëó÷èì x 2 + y2 = 7.
á) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), èìååì (x - 2)2 + (y +
+ 6)2 = 81.
â) Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (1) è çàïèøåì
(x + 3)2 + (y - 4)2 = R 2 — ýòî óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ñ äàííûì öåíòðîì è íåèçâåñòíûì ïîêà ðàäèóñîì R.
Òàê êàê îêðóæíîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, òî çíà÷åíèÿ õ = 0, ó = 0 óäîâëåòâîðÿþò åå óðàâíåíèþ; ïîäñòàâèâ ýòè çíà÷åíèÿ â ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå, èìååì 32 + (–4)2 = R 2 , ò. å. R 2 = 25. Èòàê,
(x + 3)2 + (y - 4)2 = 25 — èñêîìîå óðàâíåíèå.n
Ðèñ. 208
430
Ðèñ. 209
285. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ îêðóæíîñòåé.
Ðàññìîòðèì âîçìîæíûå ñëó÷àè ðàñïîëîæåíèÿ äâóõ
îêðóæíîñòåé.
431
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
a)
á)
â)
ã)
ä)
å)
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå
âàåòñÿ ëèíèåé öåíòðîâ. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå îêðóæíîñòåé çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó äëèíîé
d îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî öåíòðû, è âåëè÷èíàìè ðàäèóñîâ îêðóæíîñòåé R è r (R > r ) :
d < R - r — îäíà èç îêðóæíîñòåé ëåæèò âíóòðè
äðóãîé (ðèñ. 210, á);
d = R - r — îêðóæíîñòè êàñàþòñÿ âíóòðåííèì
îáðàçîì (ðèñ. 210, â);
R - r < d < R + r — îêðóæíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ â
äâóõ òî÷êàõ, ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî ëèíèè öåíòðîâ (ðèñ. 210, ã);
d = R + r — îêðóæíîñòè êàñàþòñÿ âíåøíèì îáðàçîì (ðèñ. 210, ä);
d > R + r — îêðóæíîñòè íå èìåþò îáùèõ òî÷åê,
êàæäàÿ îêðóæíîñòü öåëèêîì ëåæèò âíå äðóãîé
(ðèñ. 210, å).
Åñëè ðàäèóñû îêðóæíîñòåé ðàâíû, òî âîçìîæíû
òîëüêî òðè ïîñëåäíèõ ñëó÷àÿ: ïåðåñå÷åíèå, âíåøíåå
êàñàíèå, âíåøíåå ðàñïîëîæåíèå.
Ðèñ. 210
§ 33. Óãëû è ïðîïîðöèîíàëüíûå
îòðåçêè â êðóãå
1. Ïóñòü öåíòðû îêðóæíîñòåé ñîâïàäàþò (òàêèå
îêðóæíîñòè íàçûâàþòñÿ êîíöåíòðè÷åñêèìè). Åñëè
èõ ðàäèóñû íå ðàâíû, òî îäíà îêðóæíîñòü ëåæèò âíóòðè äðóãîé (ðèñ. 210, à). Åñëè æå ðàäèóñû ðàâíû, òî
îêðóæíîñòè ñîâïàäàþò.
2. Ïóñòü öåíòðû îêðóæíîñòåé íå ñîâïàäàþò. Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòðû îêðóæíîñòåé, íàçû-
286. Óãëû ñ âåðøèíîé íà îêðóæíîñòè. Óãîë, ñîñòàâëåííûé äâóìÿ õîðäàìè, èñõîäÿùèìè èç îäíîé
òî÷êè îêðóæíîñòè, íàçûâàåòñÿ âïèñàííûì (ðèñ. 211).
Ò.9.26. Óãîë, âïèñàííûé â îêðóæíîñòü, èçìåðÿåòñÿ
ïîëîâèíîé äóãè, íà êîòîðóþ îí îïèðàåòñÿ.
Íàïðèìåð, åñëè äóãà, íà êîòîðóþ îïèðàåòñÿ
âïèñàííûé óãîë, ðàâíà 60°, òî ýòîò óãîë ðàâåí
30° (ðèñ. 212).
432
433
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
a)
á)
â)
ã)
ä)
å)
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå
âàåòñÿ ëèíèåé öåíòðîâ. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå îêðóæíîñòåé çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó äëèíîé
d îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî öåíòðû, è âåëè÷èíàìè ðàäèóñîâ îêðóæíîñòåé R è r (R > r ) :
d < R - r — îäíà èç îêðóæíîñòåé ëåæèò âíóòðè
äðóãîé (ðèñ. 210, á);
d = R - r — îêðóæíîñòè êàñàþòñÿ âíóòðåííèì
îáðàçîì (ðèñ. 210, â);
R - r < d < R + r — îêðóæíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ â
äâóõ òî÷êàõ, ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî ëèíèè öåíòðîâ (ðèñ. 210, ã);
d = R + r — îêðóæíîñòè êàñàþòñÿ âíåøíèì îáðàçîì (ðèñ. 210, ä);
d > R + r — îêðóæíîñòè íå èìåþò îáùèõ òî÷åê,
êàæäàÿ îêðóæíîñòü öåëèêîì ëåæèò âíå äðóãîé
(ðèñ. 210, å).
Åñëè ðàäèóñû îêðóæíîñòåé ðàâíû, òî âîçìîæíû
òîëüêî òðè ïîñëåäíèõ ñëó÷àÿ: ïåðåñå÷åíèå, âíåøíåå
êàñàíèå, âíåøíåå ðàñïîëîæåíèå.
Ðèñ. 210
§ 33. Óãëû è ïðîïîðöèîíàëüíûå
îòðåçêè â êðóãå
1. Ïóñòü öåíòðû îêðóæíîñòåé ñîâïàäàþò (òàêèå
îêðóæíîñòè íàçûâàþòñÿ êîíöåíòðè÷åñêèìè). Åñëè
èõ ðàäèóñû íå ðàâíû, òî îäíà îêðóæíîñòü ëåæèò âíóòðè äðóãîé (ðèñ. 210, à). Åñëè æå ðàäèóñû ðàâíû, òî
îêðóæíîñòè ñîâïàäàþò.
2. Ïóñòü öåíòðû îêðóæíîñòåé íå ñîâïàäàþò. Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòðû îêðóæíîñòåé, íàçû-
286. Óãëû ñ âåðøèíîé íà îêðóæíîñòè. Óãîë, ñîñòàâëåííûé äâóìÿ õîðäàìè, èñõîäÿùèìè èç îäíîé
òî÷êè îêðóæíîñòè, íàçûâàåòñÿ âïèñàííûì (ðèñ. 211).
Ò.9.26. Óãîë, âïèñàííûé â îêðóæíîñòü, èçìåðÿåòñÿ
ïîëîâèíîé äóãè, íà êîòîðóþ îí îïèðàåòñÿ.
Íàïðèìåð, åñëè äóãà, íà êîòîðóþ îïèðàåòñÿ
âïèñàííûé óãîë, ðàâíà 60°, òî ýòîò óãîë ðàâåí
30° (ðèñ. 212).
432
433
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ðèñ. 211
Ðèñ. 212
Âïèñàííûé óãîë, îïèðàþùèéñÿ íà äèàìåòð, — ïðÿìîé, ïîñêîëüêó äóãà, ñòÿãèâàåìàÿ äèàìåòðîì, ðàâíà
180° (ðèñ. 213).
Ðàíåå (ñì. ï. 256) ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, èç êîòîðûõ äàííûé îòðåçîê ÀÂ
âèäåí ïîä äàííûì óãëîì a , — ýòî äóãà, â êîòîðóþ
âïèñàí óãîë a (è äóãà, ñèììåòðè÷íàÿ ñ íåé îòíîñèòåëüíî ÀÂ). Îòðåçîê À ÿâëÿåòñÿ õîðäîé, ñòÿãèâàþùåé ýòó äóãó (ñì. ðèñ. 132, á).
Ï ð è ì å ð 1. Õîðäà äåëèò îêðóæíîñòü íà äâå
äóãè, îäíà èç êîòîðûõ ñîñòàâëÿåò 125% äðóãîé. Íàéòè âåëè÷èíû âïèñàííûõ óãëîâ, îïèðàþùèõñÿ íà ýòó
õîðäó.
q Ïóñòü ìåíüøàÿ äóãà ñîäåðæèò õ°, òîãäà áîëü9
5
x°.
øàÿ äóãà ñîäåðæèò
x°, ÷òî â ñóììå äàåò
4
4
434
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå
Ðèñ. 213
Ðèñ. 214
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñóììà ýòèõ äóã ðàâíà 360°, ïîýòîìó
4
× 360° = 160°, à áXîëüøàÿ
ìåíüøàÿ èç íèõ ðàâíà
9
ðàâíà 200°. Îòñþäà,èñïîëüçóÿ òåîðåìó 9.26, íàõîäèì èñêîìûå âåëè÷èíû âïèñàííûõ óãëîâ: 80° è
100°. n
Ò.9.27. Óãîë ìåæäó êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè â
íåêîòîðîé åå òî÷êå è õîðäîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òó
æå òî÷êó, èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé äóãè îêðóæíîñòè, ëåæàùåé âíóòðè ýòîãî óãëà.
Òàê, óãîë ÂÌÀ (ðèñ. 214) èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé
äóãè AnM.
Ï ð è ì å ð 2. ×åðåç òî÷êó, ëåæàùóþ íà îêðóæíîñòè, ïðîâåäåíû õîðäà è êàñàòåëüíàÿ. Íàéòè îñòðûé óãîë ìåæäó íèìè, åñëè öåíòðàëüíûé óãîë, îïèðàþùèéñÿ íà ýòó õîðäó, ðàâåí 140° (ðèñ. 215).
435
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ðèñ. 211
Ðèñ. 212
Âïèñàííûé óãîë, îïèðàþùèéñÿ íà äèàìåòð, — ïðÿìîé, ïîñêîëüêó äóãà, ñòÿãèâàåìàÿ äèàìåòðîì, ðàâíà
180° (ðèñ. 213).
Ðàíåå (ñì. ï. 256) ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, èç êîòîðûõ äàííûé îòðåçîê ÀÂ
âèäåí ïîä äàííûì óãëîì a , — ýòî äóãà, â êîòîðóþ
âïèñàí óãîë a (è äóãà, ñèììåòðè÷íàÿ ñ íåé îòíîñèòåëüíî ÀÂ). Îòðåçîê À ÿâëÿåòñÿ õîðäîé, ñòÿãèâàþùåé ýòó äóãó (ñì. ðèñ. 132, á).
Ï ð è ì å ð 1. Õîðäà äåëèò îêðóæíîñòü íà äâå
äóãè, îäíà èç êîòîðûõ ñîñòàâëÿåò 125% äðóãîé. Íàéòè âåëè÷èíû âïèñàííûõ óãëîâ, îïèðàþùèõñÿ íà ýòó
õîðäó.
q Ïóñòü ìåíüøàÿ äóãà ñîäåðæèò õ°, òîãäà áîëü9
5
x°.
øàÿ äóãà ñîäåðæèò
x°, ÷òî â ñóììå äàåò
4
4
434
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå
Ðèñ. 213
Ðèñ. 214
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñóììà ýòèõ äóã ðàâíà 360°, ïîýòîìó
4
× 360° = 160°, à áXîëüøàÿ
ìåíüøàÿ èç íèõ ðàâíà
9
ðàâíà 200°. Îòñþäà,èñïîëüçóÿ òåîðåìó 9.26, íàõîäèì èñêîìûå âåëè÷èíû âïèñàííûõ óãëîâ: 80° è
100°. n
Ò.9.27. Óãîë ìåæäó êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè â
íåêîòîðîé åå òî÷êå è õîðäîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òó
æå òî÷êó, èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé äóãè îêðóæíîñòè, ëåæàùåé âíóòðè ýòîãî óãëà.
Òàê, óãîë ÂÌÀ (ðèñ. 214) èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé
äóãè AnM.
Ï ð è ì å ð 2. ×åðåç òî÷êó, ëåæàùóþ íà îêðóæíîñòè, ïðîâåäåíû õîðäà è êàñàòåëüíàÿ. Íàéòè îñòðûé óãîë ìåæäó íèìè, åñëè öåíòðàëüíûé óãîë, îïèðàþùèéñÿ íà ýòó õîðäó, ðàâåí 140° (ðèñ. 215).
435
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ðèñ. 215
Ðèñ. 216
q Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.27, îñòðûé óãîë ÂÌÀ ìåæäó êàñàòåëüíîé ÂÌ è õîðäîé ÀÌ èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé äóãè AnM. Íî öåíòðàëüíûé óãîë ÀÎÌ èçìåðÿåòñÿ äóãîé AnM, ïîýòîìó èñêîìûé óãîë ÂÌÀ
âäâîå ìåíüøå óãëà ÀÎÌ, ò. å. îí ðàâåí 70°. n
287. Óãëû ñ âåðøèíîé âíóòðè è âíå êðóãà. Ðàññìîòðèì óãîë, êîòîðûé îáðàçîâàí äâóìÿ õîðäàìè,
ïåðåñåêàþùèìèñÿ âíóòðè êðóãà (íà ðèñ. 216 ýòî óãîë
ÀÌÂ).
Ò.9.28. Óãîë, îáðàçîâàííûé äâóìÿ õîðäàìè, ïåðåñåêàþùèìèñÿ âíóòðè êðóãà, èçìåðÿåòñÿ ïîëóñóììîé
äóã, ëåæàùèõ âíóòðè äàííîãî óãëà è óãëà ñ íèì
âåðòèêàëüíîãî.
Òàê, óãîë ÀÌÂ èçìåðÿåòñÿ ïîëóñóììîé äóã ÀÂ è
A ¢B ¢ (ðèñ. 216).
Ï ð è ì å ð 1. Äèàìåòð FE è õîðäà HG ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå K, ïðè÷åì äóãà FH ñîäåðæèò 120°, à
äóãà GE — 98°. Íàéòè óãîë FKG (ðèñ. 217).
436
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå
Ðèñ. 217
Ðèñ. 218
q Äóãè FH è GE â ñóììå ñîäåðæàò 218°, ïîýòîìó
äóãè HE è FG äàþò â ñóììå 142°. Ñîãëàñíî òåîðåìå
9.28, óãîë FKG èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé ýòîé âåëè÷èíû, ò. å. îí ðàâåí 71°. n
Ðàññìîòðèì òåïåðü óãîë, îáðàçîâàííûé äâóìÿ ñåêóùèìè, ïðîâåäåííûìè èç òî÷êè, ëåæàùåé âíå êðóãà (íà ðèñ. 218 — ýòî óãîë A ¢MB ¢ ).
Ò.9.29. Óãîë, îáðàçîâàííûé äâóìÿ ñåêóùèìè, ïðîâåäåííûìè èç âíåøíåé òî÷êè, èçìåðÿåòñÿ ïîëóðàçíîñòüþ äóã, ëåæàùèõ âíóòðè íåãî.
Òàê, óãîë A ¢M B ¢ èçìåðÿåòñÿ ïîëóðàçíîñòüþ äóã
A ¢B ¢ è ÀÂ (ðèñ. 218).
Òåîðåìà 9.28 îñòàåòñÿ âåðíîé è â òîì ñëó÷àå, êîãäà îäíà èç ñòîðîí óãëà èëè îáå ÿâëÿþòñÿ êàñàòåëüíûìè ê îêðóæíîñòè.
Ï ð è ì å ð 2. Èç òî÷êè Ì, ëåæàùåé âíå êðóãà
(ðèñ. 219), ïðîâåäåíû ñåêóùèå MDA è ÌÅÑ, îáðàçóþùèå óãîë ÀÌÑ, ðàâíûé 33°. Ñêîëüêî ãðàäóñîâ ñîäåðæàò äóãè ÀÑ è DE, åñëè ïåðâàÿ èç íèõ â 2,5 ðàçà
áîëüøå âòîðîé?
437
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ðèñ. 215
Ðèñ. 216
q Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.27, îñòðûé óãîë ÂÌÀ ìåæäó êàñàòåëüíîé ÂÌ è õîðäîé ÀÌ èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé äóãè AnM. Íî öåíòðàëüíûé óãîë ÀÎÌ èçìåðÿåòñÿ äóãîé AnM, ïîýòîìó èñêîìûé óãîë ÂÌÀ
âäâîå ìåíüøå óãëà ÀÎÌ, ò. å. îí ðàâåí 70°. n
287. Óãëû ñ âåðøèíîé âíóòðè è âíå êðóãà. Ðàññìîòðèì óãîë, êîòîðûé îáðàçîâàí äâóìÿ õîðäàìè,
ïåðåñåêàþùèìèñÿ âíóòðè êðóãà (íà ðèñ. 216 ýòî óãîë
ÀÌÂ).
Ò.9.28. Óãîë, îáðàçîâàííûé äâóìÿ õîðäàìè, ïåðåñåêàþùèìèñÿ âíóòðè êðóãà, èçìåðÿåòñÿ ïîëóñóììîé
äóã, ëåæàùèõ âíóòðè äàííîãî óãëà è óãëà ñ íèì
âåðòèêàëüíîãî.
Òàê, óãîë ÀÌÂ èçìåðÿåòñÿ ïîëóñóììîé äóã ÀÂ è
A ¢B ¢ (ðèñ. 216).
Ï ð è ì å ð 1. Äèàìåòð FE è õîðäà HG ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå K, ïðè÷åì äóãà FH ñîäåðæèò 120°, à
äóãà GE — 98°. Íàéòè óãîë FKG (ðèñ. 217).
436
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå
Ðèñ. 217
Ðèñ. 218
q Äóãè FH è GE â ñóììå ñîäåðæàò 218°, ïîýòîìó
äóãè HE è FG äàþò â ñóììå 142°. Ñîãëàñíî òåîðåìå
9.28, óãîë FKG èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé ýòîé âåëè÷èíû, ò. å. îí ðàâåí 71°. n
Ðàññìîòðèì òåïåðü óãîë, îáðàçîâàííûé äâóìÿ ñåêóùèìè, ïðîâåäåííûìè èç òî÷êè, ëåæàùåé âíå êðóãà (íà ðèñ. 218 — ýòî óãîë A ¢MB ¢ ).
Ò.9.29. Óãîë, îáðàçîâàííûé äâóìÿ ñåêóùèìè, ïðîâåäåííûìè èç âíåøíåé òî÷êè, èçìåðÿåòñÿ ïîëóðàçíîñòüþ äóã, ëåæàùèõ âíóòðè íåãî.
Òàê, óãîë A ¢M B ¢ èçìåðÿåòñÿ ïîëóðàçíîñòüþ äóã
A ¢B ¢ è ÀÂ (ðèñ. 218).
Òåîðåìà 9.28 îñòàåòñÿ âåðíîé è â òîì ñëó÷àå, êîãäà îäíà èç ñòîðîí óãëà èëè îáå ÿâëÿþòñÿ êàñàòåëüíûìè ê îêðóæíîñòè.
Ï ð è ì å ð 2. Èç òî÷êè Ì, ëåæàùåé âíå êðóãà
(ðèñ. 219), ïðîâåäåíû ñåêóùèå MDA è ÌÅÑ, îáðàçóþùèå óãîë ÀÌÑ, ðàâíûé 33°. Ñêîëüêî ãðàäóñîâ ñîäåðæàò äóãè ÀÑ è DE, åñëè ïåðâàÿ èç íèõ â 2,5 ðàçà
áîëüøå âòîðîé?
437
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå
q Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.29, óãîë ÀÌÑ èçìåðÿåòñÿ
ïîëóðàçíîñòüþ äóã ÀÑ è DE, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ðàçíîñòü äóã ÀÑ è DE ðàâíà 66°. Ïóñòü äóãà DE ñîäåðæèò õ°, çíà÷èò äóãà ÀÑ ñîäåðæèò 2,5õ°, à èõ ðàçíîñòü
ðàâíà 1,5õ°. Òîãäà ïîëó÷àåì óðàâíåíèå 1,5õ =
= 66, îòêóäà õ = 44, 2,5õ = 110. Èòàê, »AC = 110°,
» DE = 44°.n
288. ×åòûðåõóãîëüíèêè, âïèñàííûå â îêðóæíîñòü è îïèñàííûå îêîëî íåå. Êàê èçâåñòíî, âî âñÿêèé òðåóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü è îêîëî âñÿêîãî òðåóãîëüíèêà ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü.  ñëó÷àå ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ýòî íå òàê, à
èìåííî, äëÿ âïèñàííûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå:
Ò.9.30. Åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê âïèñàí â îêðóæíîñòü,
òî ñóììà åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ ðàâíà 180°.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî èç âñåõ ïàðàëëåëîãðàììîâ
îêðóæíîñòü ìîæíî îïèñàòü òîëüêî îêîëî ïðÿìîóãîëüíèêà, à èç âñåõ òðàïåöèé — òîëüêî îêîëî ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè.
Îòìåòèì åùå îäíî ñâîéñòâî âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà. Ïóñòü â ïðîèçâîëüíîì âïèñàííîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå ïðîâåäåíû äèàãîíàëè. Òîãäà ïðîèçâåäåíèÿ îòðåçêîâ, íà êîòîðûå äèàãîíàëè ðàçáèâàþòñÿ òî÷êîé èõ ïåðåñå÷åíèÿ, ðàâíû (ñì. òåîðåìó
9.33 â ï. 289). Íàïðèìåð, äëÿ âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD (ðèñ. 220) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
AF × FC = BF × FD.
Íàêîíåö, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ñâîéñòâî (òåîðåìà Ïòîëåìåÿ): âî âïèñàííîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå
438
Ðèñ. 219
Ðèñ. 220
ïðîèçâåäåíèå äèàãîíàëåé ðàâíî ñóììå ïðîèçâåäåíèé
åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí (ðèñ. 220), ò. å.
AC × BD = AB × CD + BC × AD.
Ï ð è ì å ð 1.  ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD äèàãîíàëü ÀÑ ñëóæèò äèàìåòðîì îïèñàííîé îêîëî íåãî
îêðóæíîñòè, à äèàãîíàëü BD — õîðäîé, ñîñòàâëÿþùåé ñ ÀÑ óãîë 30°. Òî÷êà Ð ïåðåñå÷åíèÿ õîðäû è
äèàìåòðà äåëèò ÀÑ íà îòðåçêè ÀÐ = 16 ñì, ÐÑ = 6 ñì.
Íàéòè îòðåçêè DP è ÐÂ, åñëè ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíà 110 ñì2 (ðèñ. 221).
q Èìååì S = 0,5 AC × BD sin 30° (ñì. ï. 277), èëè
110 = 0,5 × 22 × 0,5BD, îòêóäà BD = 20 (ñì). Òåïåðü
ïîëîæèì DP = õ, Р= 20 – õ è âîñïîëüçóåìñÿ òåì,
÷òî âî âïèñàííîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå AP × PC =
= DP × PB. Òîãäà 16 × 6 = x (20 - x), îòêóäà íàõîäèì
DP = 12 ñì, ÐÂ = 8 ñì. n
439
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå
q Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.29, óãîë ÀÌÑ èçìåðÿåòñÿ
ïîëóðàçíîñòüþ äóã ÀÑ è DE, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ðàçíîñòü äóã ÀÑ è DE ðàâíà 66°. Ïóñòü äóãà DE ñîäåðæèò õ°, çíà÷èò äóãà ÀÑ ñîäåðæèò 2,5õ°, à èõ ðàçíîñòü
ðàâíà 1,5õ°. Òîãäà ïîëó÷àåì óðàâíåíèå 1,5õ =
= 66, îòêóäà õ = 44, 2,5õ = 110. Èòàê, »AC = 110°,
» DE = 44°.n
288. ×åòûðåõóãîëüíèêè, âïèñàííûå â îêðóæíîñòü è îïèñàííûå îêîëî íåå. Êàê èçâåñòíî, âî âñÿêèé òðåóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü è îêîëî âñÿêîãî òðåóãîëüíèêà ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü.  ñëó÷àå ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ýòî íå òàê, à
èìåííî, äëÿ âïèñàííûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå:
Ò.9.30. Åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê âïèñàí â îêðóæíîñòü,
òî ñóììà åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ ðàâíà 180°.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî èç âñåõ ïàðàëëåëîãðàììîâ
îêðóæíîñòü ìîæíî îïèñàòü òîëüêî îêîëî ïðÿìîóãîëüíèêà, à èç âñåõ òðàïåöèé — òîëüêî îêîëî ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè.
Îòìåòèì åùå îäíî ñâîéñòâî âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà. Ïóñòü â ïðîèçâîëüíîì âïèñàííîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå ïðîâåäåíû äèàãîíàëè. Òîãäà ïðîèçâåäåíèÿ îòðåçêîâ, íà êîòîðûå äèàãîíàëè ðàçáèâàþòñÿ òî÷êîé èõ ïåðåñå÷åíèÿ, ðàâíû (ñì. òåîðåìó
9.33 â ï. 289). Íàïðèìåð, äëÿ âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD (ðèñ. 220) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
AF × FC = BF × FD.
Íàêîíåö, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ñâîéñòâî (òåîðåìà Ïòîëåìåÿ): âî âïèñàííîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå
438
Ðèñ. 219
Ðèñ. 220
ïðîèçâåäåíèå äèàãîíàëåé ðàâíî ñóììå ïðîèçâåäåíèé
åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí (ðèñ. 220), ò. å.
AC × BD = AB × CD + BC × AD.
Ï ð è ì å ð 1.  ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD äèàãîíàëü ÀÑ ñëóæèò äèàìåòðîì îïèñàííîé îêîëî íåãî
îêðóæíîñòè, à äèàãîíàëü BD — õîðäîé, ñîñòàâëÿþùåé ñ ÀÑ óãîë 30°. Òî÷êà Ð ïåðåñå÷åíèÿ õîðäû è
äèàìåòðà äåëèò ÀÑ íà îòðåçêè ÀÐ = 16 ñì, ÐÑ = 6 ñì.
Íàéòè îòðåçêè DP è ÐÂ, åñëè ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíà 110 ñì2 (ðèñ. 221).
q Èìååì S = 0,5 AC × BD sin 30° (ñì. ï. 277), èëè
110 = 0,5 × 22 × 0,5BD, îòêóäà BD = 20 (ñì). Òåïåðü
ïîëîæèì DP = õ, Р= 20 – õ è âîñïîëüçóåìñÿ òåì,
÷òî âî âïèñàííîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå AP × PC =
= DP × PB. Òîãäà 16 × 6 = x (20 - x), îòêóäà íàõîäèì
DP = 12 ñì, ÐÂ = 8 ñì. n
439
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå
îòêóäà õ = 4 (ñì). Çíà÷èò,
= 4 × 0,5OF × BF = 2 × 2x,
ÂÑ = BF + FC = 6 (ñì). Òàê êàê ÷åòûðåõóãîëüíèê
âïèñàí â îêðóæíîñòü, òî ÀÂ + CD = AD + BC =
= 20 ñì. Èñêîìóþ ïëîùàäü íàõîäèì ïî ôîðìóëå
S = pr (ñì. ï. 277), ãäå ð = 20 ñì, r = 4 ñì. Èòàê,
S ABCD = 80 ñì2. n
Ðèñ. 221
Ðèñ. 222
Äëÿ îïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñïðàâåäëèâî
óòâåðæäåíèå:
Ò.9.31. Åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê îïèñàí îêîëî îêðóæíîñòè, òî ñóììû äëèí åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ðàâíû.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî èç âñåõ ïàðàëëåëîãðàììîâ îêðóæíîñòü ìîæíî âïèñàòü òîëüêî â ðîìá, à èç âñåõ
òðàïåöèé — òîëüêî â òàêóþ ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ,
ó êîòîðîé ñóììà äëèí îñíîâàíèé ðàâíà ñóììå äëèí
áîêîâûõ ñòîðîí.
Íàïðèìåð, â ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ ñ îñíîâàíèÿìè 2 è 12 è ñ áîêîâîé ñòîðîíîé 7 ìîæíî âïèñàòü
îêðóæíîñòü, à â ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ ñ òåìè æå
îñíîâàíèÿìè è ñ áîêîâîé ñòîðîíîé 5 — íåëüçÿ (õîòÿ
îêîëî íåå ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü).
Ï ð è ì å ð 2. Îêîëî îêðóæíîñòè îïèñàí ÷åòûðåõóãîëüíèê ÀÂÑD (ðèñ. 222), â êîòîðîì ÐC = 90°,
AD = 14 ñì, BF = 2 ñì è SDOFB = 0,25SOFCG , ãäå OF
è OG — ðàäèóñû îêðóæíîñòè, ïðîâåäåííûå â òî÷êè
êàñàíèÿ. Íàéòè SABCD.
q Ïóñòü OF = x; òîãäà ïëîùàäü êâàäðàòà OFCG
ðàâíà õ 2 , ÷òî ïî óñëîâèþ ñîñòàâëÿåò 4SDOFB =
440
289. Ïðîïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè â êðóãå. Ïóñòü
èç îäíîé òî÷êè, ëåæàùåé âíå êðóãà, ïðîâåäåíû ñåêóùàÿ À è êàñàòåëüíàÿ ÀÒ (ðèñ. 223). Áóäåì íàçûâàòü îòðåçîê ìåæäó òî÷êîé À è áëèæàéøåé ê íåé
òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ñ îêðóæíîñòüþ âíåøíåé ÷àñòüþ
ñåêóùåé (îòðåçîê ÀÑ íà ðèñ. 223). Òîãäà ñïðàâåäëèâî òàêîå óòâåðæäåíèå:
Ò.9.32. Êâàäðàò êàñàòåëüíîé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ
ñåêóùåé íà åå âíåøíþþ ÷àñòü, ò. å. AB × AC = AT 2 .
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ðàâíà ñðåäíåìó
ãåîìåòðè÷åñêîìó ìåæäó ñåêóùåé, ïðîâåäåííîé èç òîé
æå òî÷êè, è âíåøíåé ÷àñòüþ ýòîé ñåêóùåé.
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîé ñåêóùåé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó, ïðîèçâåäåíèå äëèíû ñåêóùåé íà åå âíåøíþþ ÷àñòü ïîñòîÿííî: AB1 × AC1 =
= AB2 × AC2 (ðèñ. 224).
Ðèñ. 223
Ðèñ. 224
441
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå
îòêóäà õ = 4 (ñì). Çíà÷èò,
= 4 × 0,5OF × BF = 2 × 2x,
ÂÑ = BF + FC = 6 (ñì). Òàê êàê ÷åòûðåõóãîëüíèê
âïèñàí â îêðóæíîñòü, òî ÀÂ + CD = AD + BC =
= 20 ñì. Èñêîìóþ ïëîùàäü íàõîäèì ïî ôîðìóëå
S = pr (ñì. ï. 277), ãäå ð = 20 ñì, r = 4 ñì. Èòàê,
S ABCD = 80 ñì2. n
Ðèñ. 221
Ðèñ. 222
Äëÿ îïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñïðàâåäëèâî
óòâåðæäåíèå:
Ò.9.31. Åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê îïèñàí îêîëî îêðóæíîñòè, òî ñóììû äëèí åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ðàâíû.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî èç âñåõ ïàðàëëåëîãðàììîâ îêðóæíîñòü ìîæíî âïèñàòü òîëüêî â ðîìá, à èç âñåõ
òðàïåöèé — òîëüêî â òàêóþ ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ,
ó êîòîðîé ñóììà äëèí îñíîâàíèé ðàâíà ñóììå äëèí
áîêîâûõ ñòîðîí.
Íàïðèìåð, â ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ ñ îñíîâàíèÿìè 2 è 12 è ñ áîêîâîé ñòîðîíîé 7 ìîæíî âïèñàòü
îêðóæíîñòü, à â ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ ñ òåìè æå
îñíîâàíèÿìè è ñ áîêîâîé ñòîðîíîé 5 — íåëüçÿ (õîòÿ
îêîëî íåå ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü).
Ï ð è ì å ð 2. Îêîëî îêðóæíîñòè îïèñàí ÷åòûðåõóãîëüíèê ÀÂÑD (ðèñ. 222), â êîòîðîì ÐC = 90°,
AD = 14 ñì, BF = 2 ñì è SDOFB = 0,25SOFCG , ãäå OF
è OG — ðàäèóñû îêðóæíîñòè, ïðîâåäåííûå â òî÷êè
êàñàíèÿ. Íàéòè SABCD.
q Ïóñòü OF = x; òîãäà ïëîùàäü êâàäðàòà OFCG
ðàâíà õ 2 , ÷òî ïî óñëîâèþ ñîñòàâëÿåò 4SDOFB =
440
289. Ïðîïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè â êðóãå. Ïóñòü
èç îäíîé òî÷êè, ëåæàùåé âíå êðóãà, ïðîâåäåíû ñåêóùàÿ À è êàñàòåëüíàÿ ÀÒ (ðèñ. 223). Áóäåì íàçûâàòü îòðåçîê ìåæäó òî÷êîé À è áëèæàéøåé ê íåé
òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ñ îêðóæíîñòüþ âíåøíåé ÷àñòüþ
ñåêóùåé (îòðåçîê ÀÑ íà ðèñ. 223). Òîãäà ñïðàâåäëèâî òàêîå óòâåðæäåíèå:
Ò.9.32. Êâàäðàò êàñàòåëüíîé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ
ñåêóùåé íà åå âíåøíþþ ÷àñòü, ò. å. AB × AC = AT 2 .
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ðàâíà ñðåäíåìó
ãåîìåòðè÷åñêîìó ìåæäó ñåêóùåé, ïðîâåäåííîé èç òîé
æå òî÷êè, è âíåøíåé ÷àñòüþ ýòîé ñåêóùåé.
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîé ñåêóùåé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó, ïðîèçâåäåíèå äëèíû ñåêóùåé íà åå âíåøíþþ ÷àñòü ïîñòîÿííî: AB1 × AC1 =
= AB2 × AC2 (ðèñ. 224).
Ðèñ. 223
Ðèñ. 224
441
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå
Ï ð è ì å ð 1. Èç òî÷êè, ëåæàùåé âíå îêðóæíîñòè, ïðîâåäåíû êàñàòåëüíàÿ è ñåêóùàÿ. Êàñàòåëüíàÿ
ìåíüøå ñåêóùåé íà m è áîëüøå âíåøíåé ÷àñòè ñåêóùåé íà n. Íàéòè äëèíó êàñàòåëüíîé.
q Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèÿ, ïðèâåäåííûå íà ðèñ.
223, èìååì: AB - AT = m, AT - AC = n. Ïóñòü ÀÒ =
= õ; òîãäà AB = m + x, AC = x - n. Ñîãëàñíî òåîðåìå
9.32, ÀB · ÀC = ÀÒ2, ò. å. (m + x) (x - n) = x 2 , îòêóäà
mn
x=
.n
m-n
Ðàññìîòðèì òåïåðü õîðäû, ïåðåñåêàþùèåñÿ âíóòðè êðóãà. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.9.33. Åñëè äâå õîðäû ïåðåñåêàþòñÿ, òî ïðîèçâåäåíèå îòðåçêîâ îäíîé õîðäû ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ
îòðåçêîâ äðóãîé õîðäû.
Íàïðèìåð, õîðäû AB è CD (ðèñ. 225) ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Ì è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî AM × MB =
= CM × MD. Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ äàííîé òî÷êè
ïðîèçâåäåíèå îòðåçêîâ, íà êîòîðûå îíà ðàçáèâàåò
ëþáóþ ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íåå õîðäó, ïîñòîÿííî.
Ï ð è ì å ð 2. ×åðåç òî÷êó Ð äèàìåòðà äàííîé
îêðóæíîñòè ïðîâåäåíà õîðäà ÀÂ, îáðàçóþùàÿ ñ äèàìåòðîì óãîë 60°. Íàéòè ðàäèóñ îêðóæíîñòè, åñëè
ÀÐ = 6, ÂÐ = 4 (ðèñ. 226).
q Ïóñòü Î — öåíòð îêðóæíîñòè, à MN — äèàìåòð, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç òî÷êó Ð. Ïðîâåäåì
OK^AB; òîãäà ÂÊ = 0,5ÀÂ = 5, ÐÊ = 1. Â D ÎÊÐ
èìååì ÐKOP = 30°, ïîýòîìó ÎÐ = 2ÐÊ = 2, ÌÐ =
= õ + 2, PN = õ – 2, ãäå õ — èñêîìûé ðàäèóñ. Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.33,
èëè
MP × PN = AP × PB,
2
(õ + 2) (õ – 2) = 24, îòêóäà õ = 28, ò. å. x = 2 7 . n
442
Ðèñ. 225
Ðèñ. 226
290. Äëèíà îêðóæíîñòè. Äëèíîé îêðóæíîñòè
íàçûâàåòñÿ îáùèé ïðåäåë, ê êîòîðîìó ñòðåìÿòñÿ ïåðèìåòðû âïèñàííûõ è îïèñàííûõ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ïðè íåîãðàíè÷åííîì óäâîåíèè ÷èñëà
èõ ñòîðîí.
Ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
C = 2pR,
(1)
ãäå Ñ — äëèíà îêðóæíîñòè, R — åå ðàäèóñ, p — èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî, ðàâíîå îòíîøåíèþ äëèíû îêðóæíîñòè ê åå äèàìåòðó: p = 3,14159... .
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè äëèíó îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êàòåòû êîòîðîãî ðàâíû à è 3à.
2
2
q Íàéäåì äëèíó ãèïîòåíóçû: a + 9a = a 10.
Òàê êàê öåíòðîì îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðÿ443
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå
Ï ð è ì å ð 1. Èç òî÷êè, ëåæàùåé âíå îêðóæíîñòè, ïðîâåäåíû êàñàòåëüíàÿ è ñåêóùàÿ. Êàñàòåëüíàÿ
ìåíüøå ñåêóùåé íà m è áîëüøå âíåøíåé ÷àñòè ñåêóùåé íà n. Íàéòè äëèíó êàñàòåëüíîé.
q Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèÿ, ïðèâåäåííûå íà ðèñ.
223, èìååì: AB - AT = m, AT - AC = n. Ïóñòü ÀÒ =
= õ; òîãäà AB = m + x, AC = x - n. Ñîãëàñíî òåîðåìå
9.32, ÀB · ÀC = ÀÒ2, ò. å. (m + x) (x - n) = x 2 , îòêóäà
mn
x=
.n
m-n
Ðàññìîòðèì òåïåðü õîðäû, ïåðåñåêàþùèåñÿ âíóòðè êðóãà. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.9.33. Åñëè äâå õîðäû ïåðåñåêàþòñÿ, òî ïðîèçâåäåíèå îòðåçêîâ îäíîé õîðäû ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ
îòðåçêîâ äðóãîé õîðäû.
Íàïðèìåð, õîðäû AB è CD (ðèñ. 225) ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Ì è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî AM × MB =
= CM × MD. Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ äàííîé òî÷êè
ïðîèçâåäåíèå îòðåçêîâ, íà êîòîðûå îíà ðàçáèâàåò
ëþáóþ ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íåå õîðäó, ïîñòîÿííî.
Ï ð è ì å ð 2. ×åðåç òî÷êó Ð äèàìåòðà äàííîé
îêðóæíîñòè ïðîâåäåíà õîðäà ÀÂ, îáðàçóþùàÿ ñ äèàìåòðîì óãîë 60°. Íàéòè ðàäèóñ îêðóæíîñòè, åñëè
ÀÐ = 6, ÂÐ = 4 (ðèñ. 226).
q Ïóñòü Î — öåíòð îêðóæíîñòè, à MN — äèàìåòð, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç òî÷êó Ð. Ïðîâåäåì
OK^AB; òîãäà ÂÊ = 0,5ÀÂ = 5, ÐÊ = 1. Â D ÎÊÐ
èìååì ÐKOP = 30°, ïîýòîìó ÎÐ = 2ÐÊ = 2, ÌÐ =
= õ + 2, PN = õ – 2, ãäå õ — èñêîìûé ðàäèóñ. Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.33,
èëè
MP × PN = AP × PB,
2
(õ + 2) (õ – 2) = 24, îòêóäà õ = 28, ò. å. x = 2 7 . n
442
Ðèñ. 225
Ðèñ. 226
290. Äëèíà îêðóæíîñòè. Äëèíîé îêðóæíîñòè
íàçûâàåòñÿ îáùèé ïðåäåë, ê êîòîðîìó ñòðåìÿòñÿ ïåðèìåòðû âïèñàííûõ è îïèñàííûõ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ïðè íåîãðàíè÷åííîì óäâîåíèè ÷èñëà
èõ ñòîðîí.
Ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
C = 2pR,
(1)
ãäå Ñ — äëèíà îêðóæíîñòè, R — åå ðàäèóñ, p — èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî, ðàâíîå îòíîøåíèþ äëèíû îêðóæíîñòè ê åå äèàìåòðó: p = 3,14159... .
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè äëèíó îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êàòåòû êîòîðîãî ðàâíû à è 3à.
2
2
q Íàéäåì äëèíó ãèïîòåíóçû: a + 9a = a 10.
Òàê êàê öåíòðîì îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðÿ443
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíà ãèïîòåíóçû, òî R = 0,5a 10. Òåïåðü ïî ôîðìóëå (1) ïîëó÷èì C = 2p × 0,5a 10 = pa 10. n
Ïðèâåäåì òåïåðü ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ äëèíû l ïðîèçâîëüíîé äóãè îêðóæíîñòè ðàäèóñà R. Ïóñòü
ýòà äóãà ñîîòâåòñòâóåò öåíòðàëüíîìó óãëó a° (â ãðàäóñíîé ìåðå) èëè a (â ðàäèàííîé ìåðå). Òîãäà
pRa°
;
180°
(2)
l = Ra.
(3)
l=
Èç ïîñëåäíåé ôîðìóëû âèäíî, ÷òî äëèíà äóãè îêðóæíîñòè ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åå ðàäèóñà íà öåíòðàëüíûé óãîë, âûðàæåííûé â ðàäèàíàõ.
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè äëèíó äóãè â îäíó ìèíóòó
íà ýêâàòîðå Çåìëè, ñ÷èòàÿ ýêâàòîðèàëüíûé ðàäèóñ
Çåìëè ðàâíûì 6300 êì.
q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3), íàõîäèì
l = Ra = 6300 ×
2p
» 1830 (ì). n
360 × 60
291. Ïëîùàäü êðóãà è åãî ÷àñòåé. Ïëîùàäüþ êðóãà íàçûâàåòñÿ îáùèé ïðåäåë, ê êîòîðîìó ñòðåìÿòñÿ
ïëîùàäè âïèñàííûõ è îïèñàííûõ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ïðè íåîãðàíè÷åííîì óäâîåíèè ÷èñëà
èõ ñòîðîí.
Ïëîùàäü êðóãà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
Sêðóãà = pR 2 ,
444
(1)
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå
ò. å. îíà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ äëèíû åãî
îêðóæíîñòè íà ðàäèóñ.
Åñëè âìåñòî ðàäèóñà R âçÿòü äèàìåòð D = 2R, òî
äëÿ ïëîùàäè êðóãà ïîëó÷èì ôîðìóëó
pD 2
.
(2)
4
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ïëîùàäü êðóãà, âïèñàííîãî
â ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, êàòåòû êîòîðîãî ðàâíû 20 è 21 ñì.
Sêðóãà =
q Ãèïîòåíóçà òðåóãîëüíèêà ðàâíà 202 + 212 =
= 29 (ñì), åãî ïîëóïåðèìåòð p = 0,5 (20 + 21 +
+ 29)=35 (ñì), à ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà
S
0,5 × 20 × 21 = 210 (ñì2). Òåïåðü ïî ôîðìóëå r =
íàép
210
= 6 (ñì). Íàêîíåö, ñîãëàñíî ôîðìóëå (1)
äåì r =
35
ïîëó÷èì Sêðóãà = 36 p (ñì2). n
Ïëîùàäü ñåêòîðà ñ öåíòðàëüíûì óãëîì a° è ðàäèóñîì R âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
pR 2a°
.
(3)
360°
Åñëè æå óãîë âûðàæåí â ðàäèàíàõ, òî ïîëó÷èì
ôîðìóëó
Sñåêò =
Sñåêò = 0,5R 2a,
(4)
ò. å. ïëîùàäü ñåêòîðà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ
êâàäðàòà ðàäèóñà íà öåíòðàëüíûé óãîë, âûðàæåííûé â ðàäèàíàõ.
445
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíà ãèïîòåíóçû, òî R = 0,5a 10. Òåïåðü ïî ôîðìóëå (1) ïîëó÷èì C = 2p × 0,5a 10 = pa 10. n
Ïðèâåäåì òåïåðü ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ äëèíû l ïðîèçâîëüíîé äóãè îêðóæíîñòè ðàäèóñà R. Ïóñòü
ýòà äóãà ñîîòâåòñòâóåò öåíòðàëüíîìó óãëó a° (â ãðàäóñíîé ìåðå) èëè a (â ðàäèàííîé ìåðå). Òîãäà
pRa°
;
180°
(2)
l = Ra.
(3)
l=
Èç ïîñëåäíåé ôîðìóëû âèäíî, ÷òî äëèíà äóãè îêðóæíîñòè ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åå ðàäèóñà íà öåíòðàëüíûé óãîë, âûðàæåííûé â ðàäèàíàõ.
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè äëèíó äóãè â îäíó ìèíóòó
íà ýêâàòîðå Çåìëè, ñ÷èòàÿ ýêâàòîðèàëüíûé ðàäèóñ
Çåìëè ðàâíûì 6300 êì.
q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3), íàõîäèì
l = Ra = 6300 ×
2p
» 1830 (ì). n
360 × 60
291. Ïëîùàäü êðóãà è åãî ÷àñòåé. Ïëîùàäüþ êðóãà íàçûâàåòñÿ îáùèé ïðåäåë, ê êîòîðîìó ñòðåìÿòñÿ
ïëîùàäè âïèñàííûõ è îïèñàííûõ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ïðè íåîãðàíè÷åííîì óäâîåíèè ÷èñëà
èõ ñòîðîí.
Ïëîùàäü êðóãà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
Sêðóãà = pR 2 ,
444
(1)
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå
ò. å. îíà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ äëèíû åãî
îêðóæíîñòè íà ðàäèóñ.
Åñëè âìåñòî ðàäèóñà R âçÿòü äèàìåòð D = 2R, òî
äëÿ ïëîùàäè êðóãà ïîëó÷èì ôîðìóëó
pD 2
.
(2)
4
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ïëîùàäü êðóãà, âïèñàííîãî
â ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, êàòåòû êîòîðîãî ðàâíû 20 è 21 ñì.
Sêðóãà =
q Ãèïîòåíóçà òðåóãîëüíèêà ðàâíà 202 + 212 =
= 29 (ñì), åãî ïîëóïåðèìåòð p = 0,5 (20 + 21 +
+ 29)=35 (ñì), à ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà
S
0,5 × 20 × 21 = 210 (ñì2). Òåïåðü ïî ôîðìóëå r =
íàép
210
= 6 (ñì). Íàêîíåö, ñîãëàñíî ôîðìóëå (1)
äåì r =
35
ïîëó÷èì Sêðóãà = 36 p (ñì2). n
Ïëîùàäü ñåêòîðà ñ öåíòðàëüíûì óãëîì a° è ðàäèóñîì R âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
pR 2a°
.
(3)
360°
Åñëè æå óãîë âûðàæåí â ðàäèàíàõ, òî ïîëó÷èì
ôîðìóëó
Sñåêò =
Sñåêò = 0,5R 2a,
(4)
ò. å. ïëîùàäü ñåêòîðà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ
êâàäðàòà ðàäèóñà íà öåíòðàëüíûé óãîë, âûðàæåííûé â ðàäèàíàõ.
445
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè
Ï ð è ì å ð 2. Â êðóãå ðàäèóñà 36 ñì íàéòè
ïëîùàäü ñåêòîðà, ñîîòâåòñòâóþùåãî öåíòðàëüíîìó
p
óãëó: à) 40°; á) .
2
q à) Ïî ôîðìóëå (3) íàõîäèì
Sñåêò =
p × 362 × 40°
= 144 p (ñì2).
360°
Ðèñ. 227
Ðèñ. 228
á) Ïî ôîðìóëå (4) èìååì
Sñåêò =
p × 362
= 324 p (ñì2). n
2×2
ùàäü îäíîãî òàêîãî ñåãìåíòà:
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñåãìåíò êðóãà ðàäèóñà R, ñîîòâåòñòâóþùèé öåíòðàëüíîìó óãëó a, âûðàæåííîìó â ðàäèàííîé ìåðå (ðèñ. 227). Ïëîùàäü òàêîãî ñåãìåíòà (íà ðèñóíêå îí çàøòðèõîâàí) ðàâíà ðàçíîñòè
ïëîùàäåé ñåêòîðà ÎÀÂ è òðåóãîëüíèêà ÀÎÂ è âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
2
Sñåãì = 0,5R (a - sin a).
(5)
Ýòà æå ôîðìóëà âåðíà è äëÿ ñåãìåíòà, ñîîòâåòñòâóþùåãî öåíòðàëüíîìó óãëó a, áîëüøåìó ðàçâåðíóòîãî (ñåãìåíòà, äîïîëíÿþùåãî çàøòðèõîâàííûé íà
ðèñ. 227 äî ïîëíîãî êðóãà).
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ïëîùàäü ÷àñòè êðóãà ðàäèóñà R, ðàñïîëîæåííîé âíå âïèñàííîãî â íåãî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 228).
q Èñêîìàÿ ïëîùàäü ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé òðåõ
ñåãìåíòîâ, çàøòðèõîâàííûõ íà ðèñ. 228. Íàéäåì ïëî446
Sñåãì = Sñåêò.ÎÀ –
2
– SœOAB , ãäå S ñåêò.ÎÀ = 1 R 2 × 2p = pR ñîãëàñíî
2
3
3
ôîðìóëå (4), à SDOAB =
2p R 2 3
R2
=
sin
. Çíà÷èò,
2
3
4
Sñåãì = R 2 ( p - 3 ), îòêóäà èñêîìàÿ ïëîùàäü
3
4
S = 3R 2 (
3
3 3
p
) = R 2 (p ). n
3
4
4
§ 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè
292. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà. Ìíîãîóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíûì, åñëè âñå åãî ñòîðîíû è âñå óãëû ðàâíû. Ñðåäè òðåóãîëüíèêîâ òàêèì
447
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè
Ï ð è ì å ð 2. Â êðóãå ðàäèóñà 36 ñì íàéòè
ïëîùàäü ñåêòîðà, ñîîòâåòñòâóþùåãî öåíòðàëüíîìó
p
óãëó: à) 40°; á) .
2
q à) Ïî ôîðìóëå (3) íàõîäèì
Sñåêò =
p × 362 × 40°
= 144 p (ñì2).
360°
Ðèñ. 227
Ðèñ. 228
á) Ïî ôîðìóëå (4) èìååì
Sñåêò =
p × 362
= 324 p (ñì2). n
2×2
ùàäü îäíîãî òàêîãî ñåãìåíòà:
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñåãìåíò êðóãà ðàäèóñà R, ñîîòâåòñòâóþùèé öåíòðàëüíîìó óãëó a, âûðàæåííîìó â ðàäèàííîé ìåðå (ðèñ. 227). Ïëîùàäü òàêîãî ñåãìåíòà (íà ðèñóíêå îí çàøòðèõîâàí) ðàâíà ðàçíîñòè
ïëîùàäåé ñåêòîðà ÎÀÂ è òðåóãîëüíèêà ÀÎÂ è âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
2
Sñåãì = 0,5R (a - sin a).
(5)
Ýòà æå ôîðìóëà âåðíà è äëÿ ñåãìåíòà, ñîîòâåòñòâóþùåãî öåíòðàëüíîìó óãëó a, áîëüøåìó ðàçâåðíóòîãî (ñåãìåíòà, äîïîëíÿþùåãî çàøòðèõîâàííûé íà
ðèñ. 227 äî ïîëíîãî êðóãà).
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ïëîùàäü ÷àñòè êðóãà ðàäèóñà R, ðàñïîëîæåííîé âíå âïèñàííîãî â íåãî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 228).
q Èñêîìàÿ ïëîùàäü ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé òðåõ
ñåãìåíòîâ, çàøòðèõîâàííûõ íà ðèñ. 228. Íàéäåì ïëî446
Sñåãì = Sñåêò.ÎÀ –
2
– SœOAB , ãäå S ñåêò.ÎÀ = 1 R 2 × 2p = pR ñîãëàñíî
2
3
3
ôîðìóëå (4), à SDOAB =
2p R 2 3
R2
=
sin
. Çíà÷èò,
2
3
4
Sñåãì = R 2 ( p - 3 ), îòêóäà èñêîìàÿ ïëîùàäü
3
4
S = 3R 2 (
3
3 3
p
) = R 2 (p ). n
3
4
4
§ 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè
292. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà. Ìíîãîóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíûì, åñëè âñå åãî ñòîðîíû è âñå óãëû ðàâíû. Ñðåäè òðåóãîëüíèêîâ òàêèì
447
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿåò ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê,
ñðåäè ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ïðàâèëüíûì ÿâëÿåòñÿ
òîëüêî êâàäðàò.
Ñóùåñòâóþò ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè ñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì ñòîðîí.
Îòìåòèì ðÿä ñâîéñòâ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ:
10. Äâà ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêà ñ îäèíàêîâûì ÷èñëîì ñòîðîí ïîäîáíû.
20. Äâà ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêà ðàâíû, åñëè
ðàâíû èõ ñòîðîíû.
30. Îêîëî âñÿêîãî ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà
ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü.
40. Â ëþáîé ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê ìîæíî
âïèñàòü îêðóæíîñòü.
Î÷åâèäíî, ÷òî ýòè âïèñàííàÿ è îïèñàííàÿ îêðóæíîñòè èìåþò îáùèé öåíòð. Îí íàçûâàåòñÿ öåíòðîì
ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà, à ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè — åãî
àïîôåìîé. ßñíî, ÷òî àïîôåìà âñåãäà ìåíüøå ðàäèóñà.
293. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñòîðîíîé, ðàäèóñîì è
àïîôåìîé â ïðàâèëüíîì ìíîãîóãîëüíèêå. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñòîðîíîé, ðàäèóñîì è àïîôåìîé ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà çàâèñÿò òîëüêî îò ÷èñëà
åãî ñòîðîí n. Îáîçíà÷èì ñòîðîíó, ðàäèóñ è àïîôåìó
ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç an,
Rn è rn (ðèñ. 229).
an2
. Óãîë ìåæäó ðàäèóñàìè,
4
ïðîâåäåííûìè â ñîñåäíèå âåðøèíû ìíîãîóãîëüíèêà,
Èìååì Rn2 = rn2 +
448
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè
Ðèñ. 229
360°
. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå âûðàæån
è àn ÷åðåç Rn:
ðàâåí a n =
íèÿ rn
180°
180°
, an = 2Rn sin
.
(1)
n
n
Âûðàçèì, â ÷àñòíîñòè, ÷åðåç ðàäèóñ R ñòîðîíû è
àïîôåìû ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êâàäðàòà è ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà. Èìååì
R
(2)
a3 = R 3 , r3 = ;
2
rn = Rn cos
a4 = R 2, r4 =
R 2
;
2
(3)
R 3
(4)
.
2
Ñòîðîíû ïðàâèëüíîãî ïÿòèóãîëüíèêà è ïðàâèëüíîãî äåñÿòèóãîëüíèêà âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ðàäèóñ òàê:
a6 = R, r6 =
a5 = R
5- 5
5 -1
; a10 = R
.
2
2
(5)
449
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿåò ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê,
ñðåäè ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ïðàâèëüíûì ÿâëÿåòñÿ
òîëüêî êâàäðàò.
Ñóùåñòâóþò ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè ñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì ñòîðîí.
Îòìåòèì ðÿä ñâîéñòâ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ:
10. Äâà ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêà ñ îäèíàêîâûì ÷èñëîì ñòîðîí ïîäîáíû.
20. Äâà ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêà ðàâíû, åñëè
ðàâíû èõ ñòîðîíû.
30. Îêîëî âñÿêîãî ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà
ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü.
40. Â ëþáîé ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê ìîæíî
âïèñàòü îêðóæíîñòü.
Î÷åâèäíî, ÷òî ýòè âïèñàííàÿ è îïèñàííàÿ îêðóæíîñòè èìåþò îáùèé öåíòð. Îí íàçûâàåòñÿ öåíòðîì
ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà, à ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè — åãî
àïîôåìîé. ßñíî, ÷òî àïîôåìà âñåãäà ìåíüøå ðàäèóñà.
293. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñòîðîíîé, ðàäèóñîì è
àïîôåìîé â ïðàâèëüíîì ìíîãîóãîëüíèêå. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñòîðîíîé, ðàäèóñîì è àïîôåìîé ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà çàâèñÿò òîëüêî îò ÷èñëà
åãî ñòîðîí n. Îáîçíà÷èì ñòîðîíó, ðàäèóñ è àïîôåìó
ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç an,
Rn è rn (ðèñ. 229).
an2
. Óãîë ìåæäó ðàäèóñàìè,
4
ïðîâåäåííûìè â ñîñåäíèå âåðøèíû ìíîãîóãîëüíèêà,
Èìååì Rn2 = rn2 +
448
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè
Ðèñ. 229
360°
. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå âûðàæån
è àn ÷åðåç Rn:
ðàâåí a n =
íèÿ rn
180°
180°
, an = 2Rn sin
.
(1)
n
n
Âûðàçèì, â ÷àñòíîñòè, ÷åðåç ðàäèóñ R ñòîðîíû è
àïîôåìû ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êâàäðàòà è ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà. Èìååì
R
(2)
a3 = R 3 , r3 = ;
2
rn = Rn cos
a4 = R 2, r4 =
R 2
;
2
(3)
R 3
(4)
.
2
Ñòîðîíû ïðàâèëüíîãî ïÿòèóãîëüíèêà è ïðàâèëüíîãî äåñÿòèóãîëüíèêà âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ðàäèóñ òàê:
a6 = R, r6 =
a5 = R
5- 5
5 -1
; a10 = R
.
2
2
(5)
449
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ï ð è ì å ð 1. Â îêðóæíîñòü ðàäèóñà 4 âïèñàí
ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, íà ñòîðîíå êîòîðîãî ïîñòðîåí êâàäðàò. ×åìó ðàâåí ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ýòîò êâàäðàò?
q Ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà 4, âûðàæàåòñÿ ïåðâîé èç
ôîðìóë (2): a3 = 4 3. Ýòî äëèíà ñòîðîíû êâàäðàòà,
îïèñàííîãî îêîëî îêðóæíîñòè èñêîìîãî ðàäèóñà r4.
Ñîãëàñíî ïåðâîé èç ôîðìóë (3), 4 3 = R4 2 , îòêóäà
R4 = 4 3 : 2 = 2 6 . Íàêîíåö, èñïîëüçóÿ âòîðóþ èç
ôîðìóë (3), ïîëó÷èì r4 = 2 6 × 0,5 2 = 2 3 . n
Ïðèâåäåì ôîðìóëó, ñâÿçûâàþùóþ ñòîðîíû àn è
bn âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R è îïèñàííîãî
îêîëî íåå ïðàâèëüíûõ n-óãîëüíèêîâ:
bn =
Ran
R2 -
an2
4
.
(6)
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ñòîðîíó ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà, îïèñàííîãî îêîëî îêðóæíîñòè ðàäèóñà R.
q Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R, ðàâíà
ðàäèóñó ýòîé îêðóæíîñòè, è èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (6),
ïîëó÷èì
b6 =
R2
R2
R 4
2
450
=
2R
3
=
2 3R n
.
3
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè
Âûðàæåíèÿ äëÿ ðàäèóñîâ âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé ÷åðåç ñòîðîíó an ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà èìåþò âèä
Rn =
an
a
180°
, r = n ctg
.
180° n
2
n
2 sin
n
(7)
Îòñþäà ïîëó÷àþòñÿ âûðàæåíèÿ äëÿ ðàäèóñà R
îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êâàäðàòà è ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà, ÷åðåç
ñòîðîíû ýòèõ ôèãóð:
R=
a3 3 a4 2
=
= a6 .
3
2
(8)
Àïîôåìû ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êâàäðàòà è
ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ñòîðîíû ýòèõ ôèãóð òàê:
r3 =
a3 3
a
a 3
, r4 = 4 , r6 = 6
.
6
2
2
(9)
Ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà, ñâÿçûâàþùàÿ äëèíû ñòîðîí ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà è ïðàâèëüíîãî 2n-óãîëüíèêà, âïèñàííûõ â îäíó è òó æå îêðóæíîñòü ðàäèóñà
R (ôîðìóëà óäâîåíèÿ):
a2n = R 2 - 2 1 -
an2
4R 2
.
(10)
451
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ï ð è ì å ð 1. Â îêðóæíîñòü ðàäèóñà 4 âïèñàí
ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, íà ñòîðîíå êîòîðîãî ïîñòðîåí êâàäðàò. ×åìó ðàâåí ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ýòîò êâàäðàò?
q Ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà 4, âûðàæàåòñÿ ïåðâîé èç
ôîðìóë (2): a3 = 4 3. Ýòî äëèíà ñòîðîíû êâàäðàòà,
îïèñàííîãî îêîëî îêðóæíîñòè èñêîìîãî ðàäèóñà r4.
Ñîãëàñíî ïåðâîé èç ôîðìóë (3), 4 3 = R4 2 , îòêóäà
R4 = 4 3 : 2 = 2 6 . Íàêîíåö, èñïîëüçóÿ âòîðóþ èç
ôîðìóë (3), ïîëó÷èì r4 = 2 6 × 0,5 2 = 2 3 . n
Ïðèâåäåì ôîðìóëó, ñâÿçûâàþùóþ ñòîðîíû àn è
bn âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R è îïèñàííîãî
îêîëî íåå ïðàâèëüíûõ n-óãîëüíèêîâ:
bn =
Ran
R2 -
an2
4
.
(6)
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ñòîðîíó ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà, îïèñàííîãî îêîëî îêðóæíîñòè ðàäèóñà R.
q Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R, ðàâíà
ðàäèóñó ýòîé îêðóæíîñòè, è èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (6),
ïîëó÷èì
b6 =
R2
R2
R 4
2
450
=
2R
3
=
2 3R n
.
3
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè
Âûðàæåíèÿ äëÿ ðàäèóñîâ âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé ÷åðåç ñòîðîíó an ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà èìåþò âèä
Rn =
an
a
180°
, r = n ctg
.
180° n
2
n
2 sin
n
(7)
Îòñþäà ïîëó÷àþòñÿ âûðàæåíèÿ äëÿ ðàäèóñà R
îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êâàäðàòà è ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà, ÷åðåç
ñòîðîíû ýòèõ ôèãóð:
R=
a3 3 a4 2
=
= a6 .
3
2
(8)
Àïîôåìû ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êâàäðàòà è
ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ñòîðîíû ýòèõ ôèãóð òàê:
r3 =
a3 3
a
a 3
, r4 = 4 , r6 = 6
.
6
2
2
(9)
Ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà, ñâÿçûâàþùàÿ äëèíû ñòîðîí ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà è ïðàâèëüíîãî 2n-óãîëüíèêà, âïèñàííûõ â îäíó è òó æå îêðóæíîñòü ðàäèóñà
R (ôîðìóëà óäâîåíèÿ):
a2n = R 2 - 2 1 -
an2
4R 2
.
(10)
451
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Àïîôåìó òàêîãî 2n-óãîëüíèêà ìîæíî âûðàçèòü
÷åðåç ñòîðîíó ñîîòâåòñòâóþùåãî n-óãîëüíèêà:
r2n =
R
2
1+ 1-
an2
4R 2
.
(11)
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ñòîðîíó ïðàâèëüíîãî âîñüìèóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R.
q Òàê êàê ñòîðîíà êâàäðàòà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R, ðàâíà a4 = R 2 , òî, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó óäâîåíèÿ, ïîëó÷èì
a8 = R 2 - 2 1 -
2R 2
4R
2
= R 2-2
1
= R 2 - 2. n
2
294. Ïåðèìåòð è ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà. Ïóñòü Ðn — ïåðèìåòð ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
180°
.
(1)
n
Ïëîùàäü Sn ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç åãî ñòîðîíó an è ðàäèóñ Rn ïî ôîðìóëàì
Pn = nan = 2nRn sin
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè
Êðîìå òîãî, êàê è äëÿ ïëîùàäè ïðîèçâîëüíîãî îïèñàííîãî ìíîãîóãîëüíèêà, èìååò ìåñòî ôîðìóëà
Sn = prn ,
ãäå ð — ïîëóïåðèìåòð, à rn — àïîôåìà ïðàâèëüíîãî
n-óãîëüíèêà.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè îòíîøåíèå ïëîùàäåé ïðàâèëüíûõ âîñüìèóãîëüíèêîâ, îäèí èç êîòîðûõ âïèñàí â íåêîòîðóþ îêðóæíîñòü, à äðóãîé îïèñàí îêîëî
íåå.
q Ïóñòü R — ðàäèóñ âïèñàííîãî âîñüìèóãîëüíèêà. Îí ÿâëÿåòñÿ àïîôåìîé îïèñàííîãî âîñüìèóãîëüíèêà. Îáîçíà÷èâ ÷åðåç R 1 ðàäèóñ ïîñëåäíåãî, çàêëþ180°
R
÷àåì, ÷òî
= cos
= cos 22°30¢. Òàêèì îáðàçîì,
8
R1
èñêîìîå îòíîøåíèå
1 + cos 45°
S
R2
=
= cos2 22°30¢ =
=
2
2
S1 R1
=
1 + 0,5 2 2 + 2
=
. n
2
4
1 2
180° 1
360°
.
= nRn2 sin
nan ctg
(2)
4
2
n
n
Íàéäåì, íàïðèìåð, ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé à:
Sn =
S6 =
452
3 2
3 3 2
a ctg 30° =
a .
2
2
453
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Àïîôåìó òàêîãî 2n-óãîëüíèêà ìîæíî âûðàçèòü
÷åðåç ñòîðîíó ñîîòâåòñòâóþùåãî n-óãîëüíèêà:
r2n =
R
2
1+ 1-
an2
4R 2
.
(11)
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ñòîðîíó ïðàâèëüíîãî âîñüìèóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R.
q Òàê êàê ñòîðîíà êâàäðàòà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R, ðàâíà a4 = R 2 , òî, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó óäâîåíèÿ, ïîëó÷èì
a8 = R 2 - 2 1 -
2R 2
4R
2
= R 2-2
1
= R 2 - 2. n
2
294. Ïåðèìåòð è ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà. Ïóñòü Ðn — ïåðèìåòð ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
180°
.
(1)
n
Ïëîùàäü Sn ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç åãî ñòîðîíó an è ðàäèóñ Rn ïî ôîðìóëàì
Pn = nan = 2nRn sin
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè
Êðîìå òîãî, êàê è äëÿ ïëîùàäè ïðîèçâîëüíîãî îïèñàííîãî ìíîãîóãîëüíèêà, èìååò ìåñòî ôîðìóëà
Sn = prn ,
ãäå ð — ïîëóïåðèìåòð, à rn — àïîôåìà ïðàâèëüíîãî
n-óãîëüíèêà.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè îòíîøåíèå ïëîùàäåé ïðàâèëüíûõ âîñüìèóãîëüíèêîâ, îäèí èç êîòîðûõ âïèñàí â íåêîòîðóþ îêðóæíîñòü, à äðóãîé îïèñàí îêîëî
íåå.
q Ïóñòü R — ðàäèóñ âïèñàííîãî âîñüìèóãîëüíèêà. Îí ÿâëÿåòñÿ àïîôåìîé îïèñàííîãî âîñüìèóãîëüíèêà. Îáîçíà÷èâ ÷åðåç R 1 ðàäèóñ ïîñëåäíåãî, çàêëþ180°
R
÷àåì, ÷òî
= cos
= cos 22°30¢. Òàêèì îáðàçîì,
8
R1
èñêîìîå îòíîøåíèå
1 + cos 45°
S
R2
=
= cos2 22°30¢ =
=
2
2
S1 R1
=
1 + 0,5 2 2 + 2
=
. n
2
4
1 2
180° 1
360°
.
= nRn2 sin
nan ctg
(2)
4
2
n
n
Íàéäåì, íàïðèìåð, ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé à:
Sn =
S6 =
452
3 2
3 3 2
a ctg 30° =
a .
2
2
453
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 35. Ïîíÿòèå âåêòîðà
Ïóñòü, íàïðèìåð, äàíû òî÷êè À (1; –1; 5) è
Ðàçäåë X
ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
 ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ
§ 35. Ïîíÿòèå âåêòîðà
295. Âåêòîð. Äëèíà âåêòîðà. Êîîðäèíàòû âåêòîðà. Âåêòîð — ýòî íàïðàâëåííûé îòðåçîê. ×àñòî
âåêòîð îáîçíà÷àþò ñòðî÷íûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè ñî ñòðåëêîé èëè ÷åðòîé íàä áóêâîé (âåêòîð a ,
âåêòîð b ). Íà ðèñóíêå íàïðàâëåíèå âåêòîðà îòìå÷àþò ñòðåëêîé. Åñëè íà÷àëîì âåêòîðà ÿâëÿåòñÿ òî÷êà À, à êîíöîì — òî÷êà Â, òî âåêòîð îáîçíà÷àåòñÿ
AB (ðèñ. 230). Äëèíà îòðåçêà, èçîáðàæàþùåãî âåêòîð, íàçûâàåòñÿ äëèíîé (èëè ìîäóëåì) âåêòîðà è
îáîçíà÷àåòñÿ a èëè AB .
Ââåäåì â ïðîñòðàíñòâå (èëè íà ïëîñêîñòè) ïðÿìîóãîëüíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò (ñì. ï. 22).
Ïóñòü èçâåñòíû êîîðäèíàòû íà÷àëà è êîíöà âåêòîðà:
 (3; 2; –1); òîãäà AB = {2; 3; - 6}.
Êîîðäèíàòû âåêòîðà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê
ïðîåêöèè âåêòîðà íà ñîîòâåòñòâóþùèå îñè êîîðäèíàò.
Äëèíà âåêòîðà AB = {X; Y ; Z } íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
AB =
X2 + Y 2 + Z2 ,
(1)
ò. å. äëèíà âåêòîðà ðàâíà êâàäðàòíîìó êîðíþ èç
ñóììû êâàäðàòîâ åãî êîîðäèíàò.
Íàïðèìåð, äëèíà âåêòîðà AB = {-4; 3; - 12} ðàâ(-4)2 + 32 + (-12)2 = 16 + 9 + 144 = 13.
Âåêòîð, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà åäèíèöå, íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì âåêòîðîì (èëè îðòîì).
Åñëè íà÷àëî è êîíåö âåêòîðà ñîâïàäàþò, òî âåê-
íà
òîð íàçûâàåòñÿ íóëåâûì (îáîçíà÷åíèå: 0 ). Äëèíà
íóëåâîãî âåêòîðà ðàâíà íóëþ; íàïðàâëåíèÿ íóëåâîé
âåêòîð íå èìååò.
A ( X1; Y1; Z1 ) è B ( X2 ; Y2 ; Z2 ). Òîãäà ÷èñëà
X2 - X1, Y2 - Y1, Z2 - Z1 íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòàìè âåêòîðà AB. Çíà÷èò, ÷òîáû íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà, íàäî èç êîîðäèíàò êîíöà âåêòîðà âû÷åñòü êîîðäèíàòû åãî íà÷àëà.  îòëè÷èå îò êîîðäèíàò òî÷êè, êîòîðûå çàïèñûâàþòñÿ â êðóãëûõ
ñêîáêàõ, êîîðäèíàòû âåêòîðà áóäåì çàïèñûâàòü â
ôèãóðíûõ ñêîáêàõ. Ïîëàãàÿ X2 – X 1 = X, Y 2 – Y 1 =
= Y , Z2 - Z1 = Z ,
454
çàïèøåì AB = {X; Y ; Z }.
Ðèñ. 230
Ðèñ. 231
455
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 35. Ïîíÿòèå âåêòîðà
Ïóñòü, íàïðèìåð, äàíû òî÷êè À (1; –1; 5) è
Ðàçäåë X
ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
 ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ
§ 35. Ïîíÿòèå âåêòîðà
295. Âåêòîð. Äëèíà âåêòîðà. Êîîðäèíàòû âåêòîðà. Âåêòîð — ýòî íàïðàâëåííûé îòðåçîê. ×àñòî
âåêòîð îáîçíà÷àþò ñòðî÷íûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè ñî ñòðåëêîé èëè ÷åðòîé íàä áóêâîé (âåêòîð a ,
âåêòîð b ). Íà ðèñóíêå íàïðàâëåíèå âåêòîðà îòìå÷àþò ñòðåëêîé. Åñëè íà÷àëîì âåêòîðà ÿâëÿåòñÿ òî÷êà À, à êîíöîì — òî÷êà Â, òî âåêòîð îáîçíà÷àåòñÿ
AB (ðèñ. 230). Äëèíà îòðåçêà, èçîáðàæàþùåãî âåêòîð, íàçûâàåòñÿ äëèíîé (èëè ìîäóëåì) âåêòîðà è
îáîçíà÷àåòñÿ a èëè AB .
Ââåäåì â ïðîñòðàíñòâå (èëè íà ïëîñêîñòè) ïðÿìîóãîëüíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò (ñì. ï. 22).
Ïóñòü èçâåñòíû êîîðäèíàòû íà÷àëà è êîíöà âåêòîðà:
 (3; 2; –1); òîãäà AB = {2; 3; - 6}.
Êîîðäèíàòû âåêòîðà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê
ïðîåêöèè âåêòîðà íà ñîîòâåòñòâóþùèå îñè êîîðäèíàò.
Äëèíà âåêòîðà AB = {X; Y ; Z } íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
AB =
X2 + Y 2 + Z2 ,
(1)
ò. å. äëèíà âåêòîðà ðàâíà êâàäðàòíîìó êîðíþ èç
ñóììû êâàäðàòîâ åãî êîîðäèíàò.
Íàïðèìåð, äëèíà âåêòîðà AB = {-4; 3; - 12} ðàâ(-4)2 + 32 + (-12)2 = 16 + 9 + 144 = 13.
Âåêòîð, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà åäèíèöå, íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì âåêòîðîì (èëè îðòîì).
Åñëè íà÷àëî è êîíåö âåêòîðà ñîâïàäàþò, òî âåê-
íà
òîð íàçûâàåòñÿ íóëåâûì (îáîçíà÷åíèå: 0 ). Äëèíà
íóëåâîãî âåêòîðà ðàâíà íóëþ; íàïðàâëåíèÿ íóëåâîé
âåêòîð íå èìååò.
A ( X1; Y1; Z1 ) è B ( X2 ; Y2 ; Z2 ). Òîãäà ÷èñëà
X2 - X1, Y2 - Y1, Z2 - Z1 íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòàìè âåêòîðà AB. Çíà÷èò, ÷òîáû íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà, íàäî èç êîîðäèíàò êîíöà âåêòîðà âû÷åñòü êîîðäèíàòû åãî íà÷àëà.  îòëè÷èå îò êîîðäèíàò òî÷êè, êîòîðûå çàïèñûâàþòñÿ â êðóãëûõ
ñêîáêàõ, êîîðäèíàòû âåêòîðà áóäåì çàïèñûâàòü â
ôèãóðíûõ ñêîáêàõ. Ïîëàãàÿ X2 – X 1 = X, Y 2 – Y 1 =
= Y , Z2 - Z1 = Z ,
454
çàïèøåì AB = {X; Y ; Z }.
Ðèñ. 230
Ðèñ. 231
455
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè A (x1; y1; z1) è
B (x2 ; y2 ; z2 ) íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
d = (x2 - x1 ) 2 + (y2 - y1) 2 + (z2 - z1 )2 .
(2)
Òàê, ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè À (3; –4; 6)
è Â (1; 2; 3) ðàâíî
(1 - 3)2 + (2 + 4)2 + (3 - 6) 2 =
= 4 + 36 + 9 = 7.
Ñîïîñòàâëÿÿ ôîðìóëû (1) è (2), çàêëþ÷àåì, ÷òî
ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè À è  ðàâíî äëèíå âåêòîðà AB.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, óäàëåííûõ îò äàííîé òî÷êè Ñ (a; b; c) íà ðàññòîÿíèå R.
q Ïóñòü M (x; y; z) — òî÷êà, ïðèíàäëåæàùàÿ
èñêîìîìó ãåîìåòðè÷åñêîìó ìåñòó. Òîãäà R =
=
(x - a) 2 + (y - b )2 + (z - c) 2 , îòêóäà
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2
— ýòî óðàâíåíèå ñôåðû ñ öåíòðîì Ñ è ðàäèóñîì R. n
Èñïîëüçóÿ âåêòîðû, ìîæíî äîêàçàòü (ñì. ï. 298),
÷òî êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ñ êîíöàìè
A (x1; y1; z1) è B (x2 ; y2 ; z2 ) íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 35. Ïîíÿòèå âåêòîðà
Íàïðèìåð, åñëè äàí îòðåçîê ÀÂ, ãäå À (3; –2; 5),
 (–1; 2; 3), òî êîîðäèíàòû åãî ñåðåäèíû òàêîâû:
x = 0,5 (3 - 1) = 1, y = 0,5 (-2 + 2) = 0, z = 0,5 (5 + 3) = 4.
296. Ðàâåíñòâî âåêòîðîâ. Óãîë ìåæäó âåêòîðàìè. Äâà âåêòîðà íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè èõ ìîæíî ñîâìåñòèòü ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì (ðèñ. 231),
ò. å. ðàâíûå âåêòîðû ðàâíû ïî äëèíå è îäèíàêîâî
íàïðàâëåíû.
Òàê, âåêòîðû AB è CD, íàïðàâëåííûå âäîëü ñòîðîí ïàðàëëåëîãðàììà ÀÂÑD (ðèñ. 232), ðàâíû, à âåêòîðû BC è AD íå ðàâíû (õîòÿ îíè ðàâíû ïî äëèíå,
íî èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå íàïðàâëåíèÿ).
Ò.10.1. Äâà âåêòîðà ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà ðàâíû èõ êîîðäèíàòû.
Ï ð è ì å ð. Äàíû òî÷êè À (1; 1; 1),  (2; 0; –1),
Ñ (0; 2; 6), D (1; 1; 4). Òðåáóåòñÿ: à) ïðîâåðèòü, ÷òî
AB = CD; á) íàéòè òàêóþ òî÷êó Å, ÷òî BC = ED.
q à) Èìååì AB = {1;-1;-2}, CD = {1;-1;-2}, ò. å.
AB = CD.
x = 0,5 (x1 + x2 ), y = 0,5 (y1 + y2 ), z = 0,5 (z1 + z2 ), (3)
ò. å. êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ðàâíû ïîëóñóììàì ñîîòâåòñòâóþùèõ êîîðäèíàò åãî êîíöîâ.
456
Ðèñ. 232
Ðèñ. 233
457
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè A (x1; y1; z1) è
B (x2 ; y2 ; z2 ) íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
d = (x2 - x1 ) 2 + (y2 - y1) 2 + (z2 - z1 )2 .
(2)
Òàê, ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè À (3; –4; 6)
è Â (1; 2; 3) ðàâíî
(1 - 3)2 + (2 + 4)2 + (3 - 6) 2 =
= 4 + 36 + 9 = 7.
Ñîïîñòàâëÿÿ ôîðìóëû (1) è (2), çàêëþ÷àåì, ÷òî
ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè À è  ðàâíî äëèíå âåêòîðà AB.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, óäàëåííûõ îò äàííîé òî÷êè Ñ (a; b; c) íà ðàññòîÿíèå R.
q Ïóñòü M (x; y; z) — òî÷êà, ïðèíàäëåæàùàÿ
èñêîìîìó ãåîìåòðè÷åñêîìó ìåñòó. Òîãäà R =
=
(x - a) 2 + (y - b )2 + (z - c) 2 , îòêóäà
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2
— ýòî óðàâíåíèå ñôåðû ñ öåíòðîì Ñ è ðàäèóñîì R. n
Èñïîëüçóÿ âåêòîðû, ìîæíî äîêàçàòü (ñì. ï. 298),
÷òî êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ñ êîíöàìè
A (x1; y1; z1) è B (x2 ; y2 ; z2 ) íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 35. Ïîíÿòèå âåêòîðà
Íàïðèìåð, åñëè äàí îòðåçîê ÀÂ, ãäå À (3; –2; 5),
 (–1; 2; 3), òî êîîðäèíàòû åãî ñåðåäèíû òàêîâû:
x = 0,5 (3 - 1) = 1, y = 0,5 (-2 + 2) = 0, z = 0,5 (5 + 3) = 4.
296. Ðàâåíñòâî âåêòîðîâ. Óãîë ìåæäó âåêòîðàìè. Äâà âåêòîðà íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè èõ ìîæíî ñîâìåñòèòü ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì (ðèñ. 231),
ò. å. ðàâíûå âåêòîðû ðàâíû ïî äëèíå è îäèíàêîâî
íàïðàâëåíû.
Òàê, âåêòîðû AB è CD, íàïðàâëåííûå âäîëü ñòîðîí ïàðàëëåëîãðàììà ÀÂÑD (ðèñ. 232), ðàâíû, à âåêòîðû BC è AD íå ðàâíû (õîòÿ îíè ðàâíû ïî äëèíå,
íî èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå íàïðàâëåíèÿ).
Ò.10.1. Äâà âåêòîðà ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà ðàâíû èõ êîîðäèíàòû.
Ï ð è ì å ð. Äàíû òî÷êè À (1; 1; 1),  (2; 0; –1),
Ñ (0; 2; 6), D (1; 1; 4). Òðåáóåòñÿ: à) ïðîâåðèòü, ÷òî
AB = CD; á) íàéòè òàêóþ òî÷êó Å, ÷òî BC = ED.
q à) Èìååì AB = {1;-1;-2}, CD = {1;-1;-2}, ò. å.
AB = CD.
x = 0,5 (x1 + x2 ), y = 0,5 (y1 + y2 ), z = 0,5 (z1 + z2 ), (3)
ò. å. êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ðàâíû ïîëóñóììàì ñîîòâåòñòâóþùèõ êîîðäèíàò åãî êîíöîâ.
456
Ðèñ. 232
Ðèñ. 233
457
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
á) Ïóñòü Å (õ; ó; z) — èñêîìàÿ òî÷êà. Òîãäà
ED = {1 - x; 1 - y; 4 - z}, à BC = {-2; 2; 7}. Ïðèðàâíÿâ
äðóã äðóãó ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû ýòèõ âåêòîðîâ, ïîëó÷èì 1 – õ = –2, 1 – ó = 2, 4 – z = 7, îòêóäà
õ = 3, ó = –1, z = –3. Èòàê, Å (3; –1; –3). n
Äëÿ âåêòîðîâ îïðåäåëåíî òîëüêî îòíîøåíèå ðàâåíñòâà. Îòíîøåíèÿ «áîëüøå» è «ìåíüøå» äëÿ íèõ
íå îïðåäåëåíû.
Óãëîì ìåæäó äâóìÿ âåêòîðàìè íàçûâàåòñÿ óãîë
ìåæäó âåêòîðàìè, ðàâíûìè äàííûì è èìåþùèìè
îáùåå íà÷àëî (ðèñ. 233). Óãîë ìåæäó âåêòîðàìè a
è b áóäåì îáîçíà÷àòü òàê: (a , b ) = j. Åñëè óãîë ìåæäó âåêòîðàìè ðàâåí 90°, òî òàêèå âåêòîðû íàçûâàþò
ïåðïåíäèêóëÿðíûìè (èëè îðòîãîíàëüíûìè) è ïèøóò a ^b .
Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, âåêòîð AB = {1;-1;-2}.
Çäåñü Õ = 1, Y = –1, Z = –2. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîð
AB îáðàçóåò ñ îñüþ Îõ îñòðûé óãîë, à ñ îñÿìè Îó è
Îz — òóïûå óãëû.
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
297. Ñëîæåíèå âåêòîðîâ. Ñóììîé äâóõ âåêòîðîâ a = {X1; Y1; Z1 } è b = {X2 ; Y2 ; Z2 } íàçûâàåòñÿ âåêòîð c = a + b = {X1 + X2 ; Y1 + Y2 ; Z1 + Z2 }. Âåêòîðû
ìîæíî ñêëàäûâàòü, èñïîëüçóÿ ïðàâèëî ïàðàëëåëîãðàììà. Ïóñòü íàäî ñëîæèòü âåêòîðû AB = a è
458
à)
á)
Ðèñ. 234
AD = b ; òîãäà c = a + b — äèàãîíàëü AC ïàðàëëåëîãðàììà ABCD (ðèñ. 234, à). Åñëè â êà÷åñòâå âåêòîðà b âçÿòü âåêòîð BC, òî ìû ïîëó÷èì ïðàâèëî
òðåóãîëüíèêà äëÿ ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ, à èìåííî, ñòðîèì âåêòîð a è ñîâìåùàåì ñ åãî êîíöîì íà÷àëî âåêòîðà b . Òîãäà c = a + b — ýòî âåêòîð, èäóùèé èç
íà÷àëà âåêòîðà a â êîíåö âåêòîðà b (ðèñ. 234, á).
Ñëîæåíèå ïðîèçâîëüíîãî êîëè÷åñòâà âåêòîðîâ îñóùåñòâëÿþò ïîñëåäîâàòåëüíî. Íàïðèìåð, ïóñòü íàäî
ñëîæèòü âåêòîðû a , b , c , d (ðèñ. 235). Èìååì
a + b = p, p + c = q , q + d = r . Èòàê, a + b + c + d = r
(î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ïîñòðîåíèå ìîæíî áûëî ïðîâåñòè
ñðàçó, ñîâìåùàÿ íà÷àëî ñëåäóþùåãî ñëàãàåìîãî ñ êîíöîì ïðåäûäóùåãî). Äëÿ ïðîñòîòû ìû ðàñïîëîæèëè
âñå âåêòîðû-ñëàãàåìûå â îäíîé ïëîñêîñòè, íî ýòî íåñóùåñòâåííî, ïîñêîëüêó äâà âåêòîðà (èëè ðàâíûå èì)
459
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
á) Ïóñòü Å (õ; ó; z) — èñêîìàÿ òî÷êà. Òîãäà
ED = {1 - x; 1 - y; 4 - z}, à BC = {-2; 2; 7}. Ïðèðàâíÿâ
äðóã äðóãó ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû ýòèõ âåêòîðîâ, ïîëó÷èì 1 – õ = –2, 1 – ó = 2, 4 – z = 7, îòêóäà
õ = 3, ó = –1, z = –3. Èòàê, Å (3; –1; –3). n
Äëÿ âåêòîðîâ îïðåäåëåíî òîëüêî îòíîøåíèå ðàâåíñòâà. Îòíîøåíèÿ «áîëüøå» è «ìåíüøå» äëÿ íèõ
íå îïðåäåëåíû.
Óãëîì ìåæäó äâóìÿ âåêòîðàìè íàçûâàåòñÿ óãîë
ìåæäó âåêòîðàìè, ðàâíûìè äàííûì è èìåþùèìè
îáùåå íà÷àëî (ðèñ. 233). Óãîë ìåæäó âåêòîðàìè a
è b áóäåì îáîçíà÷àòü òàê: (a , b ) = j. Åñëè óãîë ìåæäó âåêòîðàìè ðàâåí 90°, òî òàêèå âåêòîðû íàçûâàþò
ïåðïåíäèêóëÿðíûìè (èëè îðòîãîíàëüíûìè) è ïèøóò a ^b .
Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, âåêòîð AB = {1;-1;-2}.
Çäåñü Õ = 1, Y = –1, Z = –2. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîð
AB îáðàçóåò ñ îñüþ Îõ îñòðûé óãîë, à ñ îñÿìè Îó è
Îz — òóïûå óãëû.
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
297. Ñëîæåíèå âåêòîðîâ. Ñóììîé äâóõ âåêòîðîâ a = {X1; Y1; Z1 } è b = {X2 ; Y2 ; Z2 } íàçûâàåòñÿ âåêòîð c = a + b = {X1 + X2 ; Y1 + Y2 ; Z1 + Z2 }. Âåêòîðû
ìîæíî ñêëàäûâàòü, èñïîëüçóÿ ïðàâèëî ïàðàëëåëîãðàììà. Ïóñòü íàäî ñëîæèòü âåêòîðû AB = a è
458
à)
á)
Ðèñ. 234
AD = b ; òîãäà c = a + b — äèàãîíàëü AC ïàðàëëåëîãðàììà ABCD (ðèñ. 234, à). Åñëè â êà÷åñòâå âåêòîðà b âçÿòü âåêòîð BC, òî ìû ïîëó÷èì ïðàâèëî
òðåóãîëüíèêà äëÿ ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ, à èìåííî, ñòðîèì âåêòîð a è ñîâìåùàåì ñ åãî êîíöîì íà÷àëî âåêòîðà b . Òîãäà c = a + b — ýòî âåêòîð, èäóùèé èç
íà÷àëà âåêòîðà a â êîíåö âåêòîðà b (ðèñ. 234, á).
Ñëîæåíèå ïðîèçâîëüíîãî êîëè÷åñòâà âåêòîðîâ îñóùåñòâëÿþò ïîñëåäîâàòåëüíî. Íàïðèìåð, ïóñòü íàäî
ñëîæèòü âåêòîðû a , b , c , d (ðèñ. 235). Èìååì
a + b = p, p + c = q , q + d = r . Èòàê, a + b + c + d = r
(î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ïîñòðîåíèå ìîæíî áûëî ïðîâåñòè
ñðàçó, ñîâìåùàÿ íà÷àëî ñëåäóþùåãî ñëàãàåìîãî ñ êîíöîì ïðåäûäóùåãî). Äëÿ ïðîñòîòû ìû ðàñïîëîæèëè
âñå âåêòîðû-ñëàãàåìûå â îäíîé ïëîñêîñòè, íî ýòî íåñóùåñòâåííî, ïîñêîëüêó äâà âåêòîðà (èëè ðàâíûå èì)
459
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
Ðèñ. 236
Ðèñ. 235
âåêòîð b êîëëèíåàðåí âåêòîðó a (ñì. ï. 299), à íà-
âñåãäà ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, à â êàæäîé îïåðàöèè ñëîæåíèÿ ó÷àñòâóþò òîëüêî äâà ñëàãàåìûõ.
Çàìåòèì, ÷òî ïðè ñëîæåíèè íåíóëåâûõ âåêòîðîâ
èõ ñóììà ìîæåò îêàçàòüñÿ ðàâíîé íóëåâîìó âåêòîðó
(ðèñ. 236).
Îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ îáëàäàåò ñëåäóþùè-
ïðàâëåíèå âåêòîðà b ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîðà a , åñëè l > 0, è ïðîòèâîïîëîæíî åìó, åñëè
l < 0. Çàìåòèì, ÷òî 0 × a = 0 äëÿ ëþáîãî âåêòîðà a .
Íà ðèñ. 237 èçîáðàæåíû âåêòîðû a , 2a è - 0,5a .
ìè ñâîéñòâàìè ( a , b , c — ëþáûå âåêòîðû):
10. a + b = b + a (ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí).
20. (a + b ) + c = a + (b + c ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí).
298. Óìíîæåíèå âåêòîðà íà ÷èñëî. Ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðà a = {X; Y; Z } íà ÷èñëî l íàçûâàåòñÿ
âåêòîð b = {lX; lY ; lZ } (îáîçíà÷åíèå: b = la èëè
b = a l ). Ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî b = l a ,
460
Ðèñ. 237
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ðàçíîñòü âåêòîðîâ a - b .
q Òàê êàê - b = (-1) × b , òî a - b = a + (-b ). Îòñþäà, ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî òðåóãîëüíèêà ê âåêòî461
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
Ðèñ. 236
Ðèñ. 235
âåêòîð b êîëëèíåàðåí âåêòîðó a (ñì. ï. 299), à íà-
âñåãäà ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, à â êàæäîé îïåðàöèè ñëîæåíèÿ ó÷àñòâóþò òîëüêî äâà ñëàãàåìûõ.
Çàìåòèì, ÷òî ïðè ñëîæåíèè íåíóëåâûõ âåêòîðîâ
èõ ñóììà ìîæåò îêàçàòüñÿ ðàâíîé íóëåâîìó âåêòîðó
(ðèñ. 236).
Îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ îáëàäàåò ñëåäóþùè-
ïðàâëåíèå âåêòîðà b ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîðà a , åñëè l > 0, è ïðîòèâîïîëîæíî åìó, åñëè
l < 0. Çàìåòèì, ÷òî 0 × a = 0 äëÿ ëþáîãî âåêòîðà a .
Íà ðèñ. 237 èçîáðàæåíû âåêòîðû a , 2a è - 0,5a .
ìè ñâîéñòâàìè ( a , b , c — ëþáûå âåêòîðû):
10. a + b = b + a (ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí).
20. (a + b ) + c = a + (b + c ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí).
298. Óìíîæåíèå âåêòîðà íà ÷èñëî. Ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðà a = {X; Y; Z } íà ÷èñëî l íàçûâàåòñÿ
âåêòîð b = {lX; lY ; lZ } (îáîçíà÷åíèå: b = la èëè
b = a l ). Ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî b = l a ,
460
Ðèñ. 237
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ðàçíîñòü âåêòîðîâ a - b .
q Òàê êàê - b = (-1) × b , òî a - b = a + (-b ). Îòñþäà, ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî òðåóãîëüíèêà ê âåêòî461
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
èçâåñòíû êîîðäèíàòû åãî êîíöîâ A (x1; y1; z1 ) è
B (x2 ; y2 ; z2 ).
q Ïóñòü òî÷êà M (x; y; z) — ñåðåäèíà îòðåçêà ÀÂ.
à)
á)
Ðèñ. 238
ðàì a è - b , íàõîäèì èñêîìóþ ðàçíîñòü a - b
(ðèñ. 238, à). Çàìåòèì, ÷òî â ïàðàëëåëîãðàììå, ïîñòðîåííîì íà âåêòîðàõ a è b , äèàãîíàëü, âûõîäÿùàÿ èç èõ îáùåãî íà÷àëà, ðàâíà a + b , à âòîðàÿ äèàãîíàëü ðàâíà a - b , ïðè÷åì âåêòîð-ðàçíîñòü íàïðàâëåí èç êîíöà âû÷èòàåìîãî â êîíåö óìåíüøàåìîãî
(ðèñ. 238, á). n
Îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî îáëàäàåò
ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè ( l, m — ëþáûå ÷èñëà;
a, b — ëþáûå âåêòîðû):
10. (lm) a = l (ma ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí).
20. (l + m) a = l a + ma (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí ïî îòíîøåíèþ ê ÷èñëîâîìó ìíîæèòåëþ).
30. l ( a + b ) = l a + l b (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí ïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðíîìó ìíîæèòåëþ).
Ï ð è ì å ð 2. Âûâåñòè ôîðìóëû (3) èç ï. 295,
ò. å. íàéòè êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ÀÂ, åñëè
462
Òîãäà AM = 0,5 AB (ðèñ. 239). Ñîåäèíèì òî÷êè À è
Ì ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò Î. Èìååì OA = {x1; y1; z1 },
OM = {x; y; z} è AB = {x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1 }. Òàê
êàê AM = OM - OA = {x - x1; y - y1; z - z1} è AM =
= 0,5 AB = {0,5 (x2 - x1 ); 0,5 (y2 - y1 ); 0,5 (z2 - z1 )}, òî,
ïðèðàâíÿâ äðóã äðóãó ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû,
èìååì
x - x1 = 0,5 (x2 - x1 ), y - y1 = 0,5 (y2 - y1 ),
z - z1 = 0,5 (z2 - z1). Îòñþäà ïîëó÷àåì èçâåñòíûå
ôîðìóëû äëÿ êîîðäèíàò ñåðåäèíû îòðåçêà:
õ = 0,5 (õ1 + õ2), y = 0,5 (y1 + y2 ), z = 0,5 (z1 + z2 ). n
Ðèñ. 239
Ðèñ. 240
463
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
èçâåñòíû êîîðäèíàòû åãî êîíöîâ A (x1; y1; z1 ) è
B (x2 ; y2 ; z2 ).
q Ïóñòü òî÷êà M (x; y; z) — ñåðåäèíà îòðåçêà ÀÂ.
à)
á)
Ðèñ. 238
ðàì a è - b , íàõîäèì èñêîìóþ ðàçíîñòü a - b
(ðèñ. 238, à). Çàìåòèì, ÷òî â ïàðàëëåëîãðàììå, ïîñòðîåííîì íà âåêòîðàõ a è b , äèàãîíàëü, âûõîäÿùàÿ èç èõ îáùåãî íà÷àëà, ðàâíà a + b , à âòîðàÿ äèàãîíàëü ðàâíà a - b , ïðè÷åì âåêòîð-ðàçíîñòü íàïðàâëåí èç êîíöà âû÷èòàåìîãî â êîíåö óìåíüøàåìîãî
(ðèñ. 238, á). n
Îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî îáëàäàåò
ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè ( l, m — ëþáûå ÷èñëà;
a, b — ëþáûå âåêòîðû):
10. (lm) a = l (ma ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí).
20. (l + m) a = l a + ma (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí ïî îòíîøåíèþ ê ÷èñëîâîìó ìíîæèòåëþ).
30. l ( a + b ) = l a + l b (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí ïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðíîìó ìíîæèòåëþ).
Ï ð è ì å ð 2. Âûâåñòè ôîðìóëû (3) èç ï. 295,
ò. å. íàéòè êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ÀÂ, åñëè
462
Òîãäà AM = 0,5 AB (ðèñ. 239). Ñîåäèíèì òî÷êè À è
Ì ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò Î. Èìååì OA = {x1; y1; z1 },
OM = {x; y; z} è AB = {x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1 }. Òàê
êàê AM = OM - OA = {x - x1; y - y1; z - z1} è AM =
= 0,5 AB = {0,5 (x2 - x1 ); 0,5 (y2 - y1 ); 0,5 (z2 - z1 )}, òî,
ïðèðàâíÿâ äðóã äðóãó ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû,
èìååì
x - x1 = 0,5 (x2 - x1 ), y - y1 = 0,5 (y2 - y1 ),
z - z1 = 0,5 (z2 - z1). Îòñþäà ïîëó÷àåì èçâåñòíûå
ôîðìóëû äëÿ êîîðäèíàò ñåðåäèíû îòðåçêà:
õ = 0,5 (õ1 + õ2), y = 0,5 (y1 + y2 ), z = 0,5 (z1 + z2 ). n
Ðèñ. 239
Ðèñ. 240
463
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
299. Êîëëèíåàðíîñòü è êîìïëàíàðíîñòü âåêòîðîâ. Âåêòîðû íàçûâàþòñÿ êîëëèíåàðíûìè, åñëè îíè
ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé (èëè ïàðàëëåëüíû îäíîé è
òîé æå ïðÿìîé). Íóëåâîé âåêòîð ñ÷èòàåòñÿ êîëëèíåàðíûì ëþáîìó âåêòîðó.
Âåêòîðû a, b è c, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 240,
êîëëèíåàðíû, ïðè÷åì a è b íàïðàâëåíû îäèíàêîâî, à b è c (èëè a è c ) — ïðîòèâîïîëîæíî.
Åñëè a ¹ 0 è âåêòîð b êîëëèíåàðåí a , òî
b = l a . Îòñþäà âûòåêàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.10.2. Äâà âåêòîðà a = {X1; Y1; Z1 } è b = {X2 ; Y2 ; Z2 }
êîëëèíåàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ êîîðäèíàòû ïðîïîðöèîíàëüíû, ò. å.
X1
Y
Z
(1)
= 1 = 1
X2
Y2
Z2
(ïðèçíàê êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîâ).
Òàê, âåêòîðû a = {1; 2; 3} è b = {-2; - 4; - 6} êîëëèíåàðíû è ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíû, ïîñêîëüêó
b = -2a .
Ï ð è ì å ð 1. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ m è n
âåêòîðû {m; - 2; 5} è {1; n; - 4} êîëëèíåàðíû?
q ×òîáû äàííûå âåêòîðû áûëè êîëëèíåàðíû, äîëm -2
5
æíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå (1), ò. å.
=
=
.
1
n
-4
Çíà÷èò, m = - 1,2 5, n = 1,6. n
Ï ð è ì å ð 2. Ëåæàò ëè òî÷êè A (1; 2; 3),
B (4; 5; 6) è C (2; 3; 4) íà îäíîé ïðÿìîé?
464
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
q Åñëè òî÷êè À,  è Ñ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, òî
âåêòîðû AC è BC êîëëèíåàðíû. Èìååì AC =
= {1; 1; 1}, BC = {-2; - 2; - 2}. Ñëåäîâàòåëüíî, (–2) : 1 =
= (–2) : 1 = (–2) : 1, ò. å. òî÷êè À, Â, Ñ ëåæàò íà îäíîé
ïðÿìîé. n
Âåêòîðû íàçûâàþòñÿ êîìïëàíàðíûìè, åñëè îíè
ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè (èëè ïàðàëëåëüíû îäíîé è
òîé æå ïëîñêîñòè). Íóëåâîé âåêòîð êîìïëàíàðåí ëþáûì âåêòîðàì.
Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.10.3. Òðè âåêòîðà a = {X1; Y1; Z1 }, b = {X2 ; Y2 ; Z2 }
è c = {X3 ; Y3 ; Z3 } è êîìïëàíàðíû òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
X1 Y1 Z1
X2 Y2 Z2 = 0
X3 Y3 Z3
(ïðèçíàê êîìïëàíàðíîñòè âåêòîðîâ).
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ (ñì. ï. 302) a, b è c ðàâíî íóëþ.
Ï ð è ì å ð 3. Ïðîâåðèòü êîìïëàíàðíîñòü âåêòîðîâ a = {3; 2; 1}, b = {1; - 1; 0} è c = {5; 0; 1}.
q Èìååì
3 2 1
1 -1 3 2
1 -1 0 =
+
= 5 - 3 - 2 = 0,
5 0 1 -1
5 0 1
ò. å. âåêòîðû êîìïëàíàðíû (çäåñü îïðåäåëèòåëü ðàçëîæåí ïî ýëåìåíòàì òðåòüåãî ñòîëáöà). n
465
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
299. Êîëëèíåàðíîñòü è êîìïëàíàðíîñòü âåêòîðîâ. Âåêòîðû íàçûâàþòñÿ êîëëèíåàðíûìè, åñëè îíè
ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé (èëè ïàðàëëåëüíû îäíîé è
òîé æå ïðÿìîé). Íóëåâîé âåêòîð ñ÷èòàåòñÿ êîëëèíåàðíûì ëþáîìó âåêòîðó.
Âåêòîðû a, b è c, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 240,
êîëëèíåàðíû, ïðè÷åì a è b íàïðàâëåíû îäèíàêîâî, à b è c (èëè a è c ) — ïðîòèâîïîëîæíî.
Åñëè a ¹ 0 è âåêòîð b êîëëèíåàðåí a , òî
b = l a . Îòñþäà âûòåêàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.10.2. Äâà âåêòîðà a = {X1; Y1; Z1 } è b = {X2 ; Y2 ; Z2 }
êîëëèíåàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ êîîðäèíàòû ïðîïîðöèîíàëüíû, ò. å.
X1
Y
Z
(1)
= 1 = 1
X2
Y2
Z2
(ïðèçíàê êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîâ).
Òàê, âåêòîðû a = {1; 2; 3} è b = {-2; - 4; - 6} êîëëèíåàðíû è ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíû, ïîñêîëüêó
b = -2a .
Ï ð è ì å ð 1. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ m è n
âåêòîðû {m; - 2; 5} è {1; n; - 4} êîëëèíåàðíû?
q ×òîáû äàííûå âåêòîðû áûëè êîëëèíåàðíû, äîëm -2
5
æíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå (1), ò. å.
=
=
.
1
n
-4
Çíà÷èò, m = - 1,2 5, n = 1,6. n
Ï ð è ì å ð 2. Ëåæàò ëè òî÷êè A (1; 2; 3),
B (4; 5; 6) è C (2; 3; 4) íà îäíîé ïðÿìîé?
464
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
q Åñëè òî÷êè À,  è Ñ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, òî
âåêòîðû AC è BC êîëëèíåàðíû. Èìååì AC =
= {1; 1; 1}, BC = {-2; - 2; - 2}. Ñëåäîâàòåëüíî, (–2) : 1 =
= (–2) : 1 = (–2) : 1, ò. å. òî÷êè À, Â, Ñ ëåæàò íà îäíîé
ïðÿìîé. n
Âåêòîðû íàçûâàþòñÿ êîìïëàíàðíûìè, åñëè îíè
ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè (èëè ïàðàëëåëüíû îäíîé è
òîé æå ïëîñêîñòè). Íóëåâîé âåêòîð êîìïëàíàðåí ëþáûì âåêòîðàì.
Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.10.3. Òðè âåêòîðà a = {X1; Y1; Z1 }, b = {X2 ; Y2 ; Z2 }
è c = {X3 ; Y3 ; Z3 } è êîìïëàíàðíû òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
X1 Y1 Z1
X2 Y2 Z2 = 0
X3 Y3 Z3
(ïðèçíàê êîìïëàíàðíîñòè âåêòîðîâ).
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ (ñì. ï. 302) a, b è c ðàâíî íóëþ.
Ï ð è ì å ð 3. Ïðîâåðèòü êîìïëàíàðíîñòü âåêòîðîâ a = {3; 2; 1}, b = {1; - 1; 0} è c = {5; 0; 1}.
q Èìååì
3 2 1
1 -1 3 2
1 -1 0 =
+
= 5 - 3 - 2 = 0,
5 0 1 -1
5 0 1
ò. å. âåêòîðû êîìïëàíàðíû (çäåñü îïðåäåëèòåëü ðàçëîæåí ïî ýëåìåíòàì òðåòüåãî ñòîëáöà). n
465
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
Ââåäåì íà îñÿõ êîîðäèíàò Îõ, Îó, Oz åäèíè÷íûå
âåêòîðû i , j è k . Îíè èìåþò ñëåäóþùèå êîîðäèíàòû: i = {1; 0; 0}, j = {0; 1; 0}, k = {0; 0; 1}. Ýòè âåêòîðû
íåêîìïëàíàðíû, òàê êàê óñëîâèå êîìïëàíàðíîñòè äëÿ
1 0 0
íèõ íå âûïîëíÿåòñÿ: 0 1 0 = 1 ¹ 0.
0 0 1
Ïóñòü çàäàíû êàêèå-ëèáî âåêòîðû a , b , c. Åñëè
Ðèñ. 241
âåêòîð d ïðåäñòàâëåí â âèäå d = aa + bb + gc , òî ãîâîðÿò, ÷òî âåêòîð d ðàçëîæåí ïî âåêòîðàì a , b , c ,
ïðè÷åì a, b, g íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ðàçëîæåíèÿ. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.10.4. Äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðàçëîæåíèå ïî òðåì äàííûì íåêîìïëàíàðíûì
âåêòîðàì.
Ï ð è ì å ð 4. Äàíû òðè âåêòîðà, âûõîäÿùèå èç
îäíîé âåðøèíû ïðèçìû: AA1 = p, AB = q , AC = r
(ðèñ. 241). Ðàçëîæèòü âåêòîð AM, ãäå Ì — ñåðåäèíà îòðåçêà ÑÂ1, ïî âåêòîðàì p, q è r .
qÈìååì AM = 0,5 ( AC + AB1 ) (ñì. ï. 298), ò. å.
AM = 0,5 (r + AB1). Ñîãëàñíî ïðàâèëó òðåóãîëüíè-
êà, AB1 = AB + BB1 = q + p. Çíà÷èò, AM = 0,5 (r +
++ q
+ p). n
Âîçüìåì â êà÷åñòâå òðåõ íåêîìïëàíàðíûõ âåêòîðîâ åäèíè÷íûå âåêòîðû êîîðäèíàòíûõ îñåé i , j , k .
466
Òîãäà ëþáîé âåêòîð a ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
a = xi + y j + zk , ïðè÷åì ÷èñëà x, y, z ÿâëÿþòñÿ åãî
êîîðäèíàòàìè. Íàïðèìåð, âåêòîð a = {2; 5; - 1} ìîæíî çàïèñàòü êàê a = 2i + 5j - k , à çàïèñü b = 3i - 2j +
+ 5 k îçíà÷àåò, ÷òî b = {3; - 2; 5}.
300. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëÿåòñÿ äëÿ äâóõ âåêòîðîâ.
Ïóñòü a = {X1; Y1; Z1} è b = {X2; Y2 ; Z2 }. Òîãäà ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ a è b íàçûâàåòñÿ ÷èñëî X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáîçíà÷àåòñÿ òàê: a b èëè ( a, b ).
Íàïðèìåð, åñëè a = {2; 1; - 1} è b = {1; 3; 2}, òî
a b = 2 + 3 - 2 = 3.
467
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
Ââåäåì íà îñÿõ êîîðäèíàò Îõ, Îó, Oz åäèíè÷íûå
âåêòîðû i , j è k . Îíè èìåþò ñëåäóþùèå êîîðäèíàòû: i = {1; 0; 0}, j = {0; 1; 0}, k = {0; 0; 1}. Ýòè âåêòîðû
íåêîìïëàíàðíû, òàê êàê óñëîâèå êîìïëàíàðíîñòè äëÿ
1 0 0
íèõ íå âûïîëíÿåòñÿ: 0 1 0 = 1 ¹ 0.
0 0 1
Ïóñòü çàäàíû êàêèå-ëèáî âåêòîðû a , b , c. Åñëè
Ðèñ. 241
âåêòîð d ïðåäñòàâëåí â âèäå d = aa + bb + gc , òî ãîâîðÿò, ÷òî âåêòîð d ðàçëîæåí ïî âåêòîðàì a , b , c ,
ïðè÷åì a, b, g íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ðàçëîæåíèÿ. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.10.4. Äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðàçëîæåíèå ïî òðåì äàííûì íåêîìïëàíàðíûì
âåêòîðàì.
Ï ð è ì å ð 4. Äàíû òðè âåêòîðà, âûõîäÿùèå èç
îäíîé âåðøèíû ïðèçìû: AA1 = p, AB = q , AC = r
(ðèñ. 241). Ðàçëîæèòü âåêòîð AM, ãäå Ì — ñåðåäèíà îòðåçêà ÑÂ1, ïî âåêòîðàì p, q è r .
qÈìååì AM = 0,5 ( AC + AB1 ) (ñì. ï. 298), ò. å.
AM = 0,5 (r + AB1). Ñîãëàñíî ïðàâèëó òðåóãîëüíè-
êà, AB1 = AB + BB1 = q + p. Çíà÷èò, AM = 0,5 (r +
++ q
+ p). n
Âîçüìåì â êà÷åñòâå òðåõ íåêîìïëàíàðíûõ âåêòîðîâ åäèíè÷íûå âåêòîðû êîîðäèíàòíûõ îñåé i , j , k .
466
Òîãäà ëþáîé âåêòîð a ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
a = xi + y j + zk , ïðè÷åì ÷èñëà x, y, z ÿâëÿþòñÿ åãî
êîîðäèíàòàìè. Íàïðèìåð, âåêòîð a = {2; 5; - 1} ìîæíî çàïèñàòü êàê a = 2i + 5j - k , à çàïèñü b = 3i - 2j +
+ 5 k îçíà÷àåò, ÷òî b = {3; - 2; 5}.
300. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëÿåòñÿ äëÿ äâóõ âåêòîðîâ.
Ïóñòü a = {X1; Y1; Z1} è b = {X2; Y2 ; Z2 }. Òîãäà ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ a è b íàçûâàåòñÿ ÷èñëî X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáîçíà÷àåòñÿ òàê: a b èëè ( a, b ).
Íàïðèìåð, åñëè a = {2; 1; - 1} è b = {1; 3; 2}, òî
a b = 2 + 3 - 2 = 3.
467
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå a b ìîæíî âû÷èñëèòü
ïî ôîðìóëå
a b = a b cos j,
(1)
ãäå j — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè a è b . Îòñþäà âûòåêàåò ôîðìóëà äëÿ íàõîæäåíèÿ êîñèíóñà óãëà ìåæäó âåêòîðàìè:
cos j =
ab
a b
.
(2)
Ï ð è ì å ð 1. Äàíî: a = 5, b = 6. Íàéòè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ a è b , åñëè óãîë j
ìåæäó íèìè ðàâåí: à) 45°; á) 90°; â) 120°.
q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), èìååì:
à) a b = 5 × 6 cos 45° = 15 2;
á) a b = 5 × 6 cos 90° = 0;
â) a b = 5 × 6 cos 120° = -15. n
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè óãîë ìåæäó âåêòîðàìè
a = {2; 0; 2} è b = {1; 1; 0}.
q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), ïîëó÷àåì
cos j =
ab
a b
=
2
8× 2
=
1
, îòêóäà j = 60°. n
2
Îòìåòèì ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ ( a , b , c — ëþáûå âåêòîðû, l — ëþáîå ÷èñëî):
10. a a ³ 0, ïðè÷åì a 2 > 0, åñëè a ¹ 0.
468
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
20. a b = b a (ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí).
30. (a + b) c = a c + b c (ðàñïðåäåëèòåëüíûé
çàêîí).
40. (l a ) b = l (a b ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí).
Ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïîçâîëÿþò
ïðîèçâîäèòü ñî ñêàëÿðíûìè ïðîèçâåäåíèåì òå æå
ïðåîáðàçîâàíèÿ, ÷òî è ñ ìíîãî÷ëåíàìè â àëãåáðå.
Åñëè a b = 0, òî a^ b è îáðàòíî, åñëè a ^ b , òî
a b = 0. Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè äâóõ íåíóëåâûõ
âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî íóëþ èõ ñêàëÿðíîãî
ïðîèçâåäåíèÿ.
Ïóñòü âåêòîðû a è b çàäàíû ñâîèìè êîîðäèíàòàìè, ò. å. a = {X1; Y1; Z1 } è b = {X2 ; Y2 ; Z2 }; òîãäà
óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðèìåò âèä
X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 = 0.
(3)
Íóëåâîé âåêòîð ñ÷èòàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì ëþáîìó âåêòîðó.
Ï ð è ì å ð 3. Äîêàçàòü, ÷òî òðè âûñîòû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
q Ïóñòü Î — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ âûñîò â
D ABC (ðèñ. 242): OA^BC è OB^AC. Ïîêàæåì, ÷òî
OC^AB. Ðàññìîòðèì âåêòîðû AB, BC, CA, OA, OB
è OC. Íàéäåì OC × AB. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî OC = OB +
+ BC, AB = BC + CA, ïîëó÷èì
OC × AB = (OB + BC) (BC + CA) = OB × BC + BC × BC +
+ OB × CA + BC × CA = OB × BC + BC × BC + BC × CA,
469
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå a b ìîæíî âû÷èñëèòü
ïî ôîðìóëå
a b = a b cos j,
(1)
ãäå j — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè a è b . Îòñþäà âûòåêàåò ôîðìóëà äëÿ íàõîæäåíèÿ êîñèíóñà óãëà ìåæäó âåêòîðàìè:
cos j =
ab
a b
.
(2)
Ï ð è ì å ð 1. Äàíî: a = 5, b = 6. Íàéòè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ a è b , åñëè óãîë j
ìåæäó íèìè ðàâåí: à) 45°; á) 90°; â) 120°.
q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), èìååì:
à) a b = 5 × 6 cos 45° = 15 2;
á) a b = 5 × 6 cos 90° = 0;
â) a b = 5 × 6 cos 120° = -15. n
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè óãîë ìåæäó âåêòîðàìè
a = {2; 0; 2} è b = {1; 1; 0}.
q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), ïîëó÷àåì
cos j =
ab
a b
=
2
8× 2
=
1
, îòêóäà j = 60°. n
2
Îòìåòèì ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ ( a , b , c — ëþáûå âåêòîðû, l — ëþáîå ÷èñëî):
10. a a ³ 0, ïðè÷åì a 2 > 0, åñëè a ¹ 0.
468
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
20. a b = b a (ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí).
30. (a + b) c = a c + b c (ðàñïðåäåëèòåëüíûé
çàêîí).
40. (l a ) b = l (a b ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí).
Ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïîçâîëÿþò
ïðîèçâîäèòü ñî ñêàëÿðíûìè ïðîèçâåäåíèåì òå æå
ïðåîáðàçîâàíèÿ, ÷òî è ñ ìíîãî÷ëåíàìè â àëãåáðå.
Åñëè a b = 0, òî a^ b è îáðàòíî, åñëè a ^ b , òî
a b = 0. Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè äâóõ íåíóëåâûõ
âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî íóëþ èõ ñêàëÿðíîãî
ïðîèçâåäåíèÿ.
Ïóñòü âåêòîðû a è b çàäàíû ñâîèìè êîîðäèíàòàìè, ò. å. a = {X1; Y1; Z1 } è b = {X2 ; Y2 ; Z2 }; òîãäà
óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðèìåò âèä
X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 = 0.
(3)
Íóëåâîé âåêòîð ñ÷èòàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì ëþáîìó âåêòîðó.
Ï ð è ì å ð 3. Äîêàçàòü, ÷òî òðè âûñîòû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
q Ïóñòü Î — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ âûñîò â
D ABC (ðèñ. 242): OA^BC è OB^AC. Ïîêàæåì, ÷òî
OC^AB. Ðàññìîòðèì âåêòîðû AB, BC, CA, OA, OB
è OC. Íàéäåì OC × AB. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî OC = OB +
+ BC, AB = BC + CA, ïîëó÷èì
OC × AB = (OB + BC) (BC + CA) = OB × BC + BC × BC +
+ OB × CA + BC × CA = OB × BC + BC × BC + BC × CA,
469
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
îò íóëÿ, èç ab = ac ñëåäóåò b = c ).
q Èìååì
a b = a b cos j1,
a c = a c cos j2
(ðèñ. 244). Íî b cos j1 — ïðîåêöèÿ âåêòîðà b íà
Ðèñ. 242
âåêòîð a . Çíà÷èò, â êà÷åñòâå âåêòîðà c ìîæíî âçÿòü
ëþáîé âåêòîð, èìåþùèé òó æå ïðîåêöèþ íà âåêòîð
a , ÷òî è âåêòîð b . n
òàê êàê OB × AC = 0 â ñèëó ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè âåêòîðîâ. Äàëåå èìååì OC × AB = BC (OB + BC + CA ). Íî
OB + BC + CA = OA (ðèñ. 242). Çíà÷èò, OC × AB =
301. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. Âåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðà a íà âåêòîð b íàçûâàåòñÿ òàêîé âåêòîð c , ÷òî åãî äëèíà ðàâíà ïðîèçâå-
= BC × OA = 0, ïîñêîëüêó BC ^OA. Îòñþäà ñëåäóåò,
÷òî è OC^ AB. n
Ï ð è ì å ð 4. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó À (4; –1; 2) ïåðïåíäèêóëÿðíî âåêòîðó n = {3; 2; 1}.
q Âîçüìåì íà èñêîìîé ïëîñêîñòè ïðîèçâîëüíóþ
òî÷êó M (x; y; z) (ðèñ. 243). Òîãäà AM ^n è
n × AM = 0. Îòñþäà ïîëó÷èì
3 (x - 4) + 2 (y + 1) + 1 × (z - 2) = 0,
èëè
3x + 2y + z - 12 = 0. n
Ï ð è ì å ð 5. Äàíû íåíóëåâûå âåêòîðû a è b .
Íàéòè âñå âåêòîðû c, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ
a b = a c (çàìåòèì, ÷òî äëÿ ÷èñåë a, b, c , îòëè÷íûõ
470
Ðèñ. 243
Ðèñ. 244
471
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
îò íóëÿ, èç ab = ac ñëåäóåò b = c ).
q Èìååì
a b = a b cos j1,
a c = a c cos j2
(ðèñ. 244). Íî b cos j1 — ïðîåêöèÿ âåêòîðà b íà
Ðèñ. 242
âåêòîð a . Çíà÷èò, â êà÷åñòâå âåêòîðà c ìîæíî âçÿòü
ëþáîé âåêòîð, èìåþùèé òó æå ïðîåêöèþ íà âåêòîð
a , ÷òî è âåêòîð b . n
òàê êàê OB × AC = 0 â ñèëó ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè âåêòîðîâ. Äàëåå èìååì OC × AB = BC (OB + BC + CA ). Íî
OB + BC + CA = OA (ðèñ. 242). Çíà÷èò, OC × AB =
301. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. Âåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðà a íà âåêòîð b íàçûâàåòñÿ òàêîé âåêòîð c , ÷òî åãî äëèíà ðàâíà ïðîèçâå-
= BC × OA = 0, ïîñêîëüêó BC ^OA. Îòñþäà ñëåäóåò,
÷òî è OC^ AB. n
Ï ð è ì å ð 4. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó À (4; –1; 2) ïåðïåíäèêóëÿðíî âåêòîðó n = {3; 2; 1}.
q Âîçüìåì íà èñêîìîé ïëîñêîñòè ïðîèçâîëüíóþ
òî÷êó M (x; y; z) (ðèñ. 243). Òîãäà AM ^n è
n × AM = 0. Îòñþäà ïîëó÷èì
3 (x - 4) + 2 (y + 1) + 1 × (z - 2) = 0,
èëè
3x + 2y + z - 12 = 0. n
Ï ð è ì å ð 5. Äàíû íåíóëåâûå âåêòîðû a è b .
Íàéòè âñå âåêòîðû c, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ
a b = a c (çàìåòèì, ÷òî äëÿ ÷èñåë a, b, c , îòëè÷íûõ
470
Ðèñ. 243
Ðèñ. 244
471
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
Âåêòîð c íàïðàâëåí ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè õÎó, â êîòîðîé ëåæàò âåêòîðû i è j , êàê óêàçàíî
íà ðèñ. 246. Çíà÷èò, c — ýòî åäèíè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåíèå êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì
îñè Oz, ò. å. âåêòîð k . Èòàê, i ´ j = k . Àíàëîãè÷íî
Ðèñ. 245
Ðèñ. 246
ïîëó÷èì j ´ k = i , k ´ i = j .
Çàìåòèì, ÷òî âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå êîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ ðàâíî íóëåâîìó âåêòîðó (òàê,
i ´ i = j ´ j = k ´ k = 0 ).
Ïóñòü a = {X1; Y1; Z1}, b = {X2 ; Y2; Z2 }. Òîãäà
äåíèþ äëèí âåêòîðîâ a è b íà ñèíóñ óãëà ìåæäó
íèìè, ò. å. c = a b sin j, à íàïðàâëåíèå ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè, â êîòîðîé ëåæàò âåêòîðû a
è b , ïðè÷åì ïîâîðîò îò âåêòîðà a ê âåêòîðó b íà
íàèìåíüøèé óãîë âèäåí èç êîíöà âåêòîðà c ïðîèñõîäÿùèì ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ðèñ. 245).
Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå a íà b îáîçíà÷àåòñÿ
òàê: a ´ b èëè [a , b ].
Òàê êàê a b sin j — ýòî ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , òî äëèíà
âåêòîðà c ÷èñëåííî ðàâíà ïëîùàäè ýòîãî ïàðàëëåëîãðàììà.
Íàéäåì, íàïðèìåð, c = i ´ j (ðèñ. 246). Òàê êàê
ïàðàëëåëîãðàìì, ïîñòðîåííûé íà ïåðåìíîæàåìûõ
âåêòîðàõ, — ýòî êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 1, òî c = 1.
472
âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå a ´ b ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëå
i
j k
a ´ b = X1 Y1 Z1 .
(1)
X2 Y2 Z2
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñ
âåðøèíàìè M (-3;-2;-4), N (-1;-4;-7) è P (1; - 2; 2).
q Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà MNP ðàâíà ïîëîâèíå
ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà MNQP (ðèñ. 247), ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ MN = a = {2; - 2; - 3} è MP =
= b = {4; 0; 6}. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), èìååì
i
j
a ´b = 2 -2
4
0
k
3 = -12i - 24 j + 8k ,
6
473
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
Âåêòîð c íàïðàâëåí ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè õÎó, â êîòîðîé ëåæàò âåêòîðû i è j , êàê óêàçàíî
íà ðèñ. 246. Çíà÷èò, c — ýòî åäèíè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåíèå êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì
îñè Oz, ò. å. âåêòîð k . Èòàê, i ´ j = k . Àíàëîãè÷íî
Ðèñ. 245
Ðèñ. 246
ïîëó÷èì j ´ k = i , k ´ i = j .
Çàìåòèì, ÷òî âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå êîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ ðàâíî íóëåâîìó âåêòîðó (òàê,
i ´ i = j ´ j = k ´ k = 0 ).
Ïóñòü a = {X1; Y1; Z1}, b = {X2 ; Y2; Z2 }. Òîãäà
äåíèþ äëèí âåêòîðîâ a è b íà ñèíóñ óãëà ìåæäó
íèìè, ò. å. c = a b sin j, à íàïðàâëåíèå ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè, â êîòîðîé ëåæàò âåêòîðû a
è b , ïðè÷åì ïîâîðîò îò âåêòîðà a ê âåêòîðó b íà
íàèìåíüøèé óãîë âèäåí èç êîíöà âåêòîðà c ïðîèñõîäÿùèì ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ðèñ. 245).
Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå a íà b îáîçíà÷àåòñÿ
òàê: a ´ b èëè [a , b ].
Òàê êàê a b sin j — ýòî ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , òî äëèíà
âåêòîðà c ÷èñëåííî ðàâíà ïëîùàäè ýòîãî ïàðàëëåëîãðàììà.
Íàéäåì, íàïðèìåð, c = i ´ j (ðèñ. 246). Òàê êàê
ïàðàëëåëîãðàìì, ïîñòðîåííûé íà ïåðåìíîæàåìûõ
âåêòîðàõ, — ýòî êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 1, òî c = 1.
472
âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå a ´ b ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëå
i
j k
a ´ b = X1 Y1 Z1 .
(1)
X2 Y2 Z2
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñ
âåðøèíàìè M (-3;-2;-4), N (-1;-4;-7) è P (1; - 2; 2).
q Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà MNP ðàâíà ïîëîâèíå
ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà MNQP (ðèñ. 247), ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ MN = a = {2; - 2; - 3} è MP =
= b = {4; 0; 6}. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), èìååì
i
j
a ´b = 2 -2
4
0
k
3 = -12i - 24 j + 8k ,
6
473
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
q Èñêîìàÿ ïëîùàäü ðàâíà ìîäóëþ âåêòîðíîãî
ïðîèçâåäåíèÿ (a + b ) ´ (a - b ) (ñì. ðèñ. 238, á). Èìååì
(a + b ) ´ (a - b ) = a ´ a + b ´ a - a ´ b - b ´ b .
Íî
a ´ a = b ´ b = 0, b ´ a = -a ´ b , îòêóäà (a + b ) ´ (a Ðèñ. 247
Ðèñ. 248
- b ) = 2 (b ´ a ).
20 êâ. åä. n
Èòàê,
èñêîìàÿ
ïëîùàäü
ðàâíà
Ï ð è ì å ð 3. Äàíû íåíóëåâûå âåêòîðû a è b .
Íàéòè âñå âåêòîðû c , óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ
îòêóäà
SDMNP = 0,5 a ´ b = 0,5 144 + 576 + 64 =
= 0,5 × 28 = 14 (êâ.åä). n
Îòìåòèì ñâîéñòâà âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( a ,
b, c — ëþáûå âåêòîðû, l — ëþáîå ÷èñëî):
10. a ´ b = -b ´ a , ò. å. ïðè ïåðåìåíå ìåñò ñîìíîæèòåëåé âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ìåíÿåò çíàê. Òàêèì îáðàçîì, âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå íå ïîä÷èíÿåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíîìó çàêîíó.
2 0 . (a + b ) ´ c = a ´ c + b ´ c (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí).
30. (l a ) ´ b = l (a ´ b ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí).
Ï ð è ì å ð 2. Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , ðàâíà 10 êâ. åä. Íàéòè
ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà åãî äèàãîíàëÿõ.
474
a ´ b = a ´ c.
q Èìååì a ´ b = a b sin j1, a ´ c = a c sin j2
(ðèñ. 248), ò. å. ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , äîëæíà áûòü ðàâíà ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è
c. Òàê êàê ýòè ïàðàëëåëîãðàììû èìåþò îáùåå îñíîâàíèå a , òî ó íèõ äîëæíû áûòü ðàâíûå âûñîòû. Èòàê,
â êà÷åñòâå âåêòîðà c ìîæíî âçÿòü ëþáîé âåêòîð, íà÷àëî êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ íà÷àëîì âåêòîðà a , à êîíåö ëåæèò íà ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç êîíåö âåêòîðà b ïàðàëëåëüíî âåêòîðó a . n
302. Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. Ñìåøàííûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ a, b è c , êîòîðîå
îáîçíà÷àåòñÿ a b c èëè ( a , b , c ), íàçûâàåòñÿ ÷èñëî,
ðàâíîå ñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ âåêòîðà a íà âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå b ´ c èëè ñêàëÿðíîìó ïðîèçâå475
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
q Èñêîìàÿ ïëîùàäü ðàâíà ìîäóëþ âåêòîðíîãî
ïðîèçâåäåíèÿ (a + b ) ´ (a - b ) (ñì. ðèñ. 238, á). Èìååì
(a + b ) ´ (a - b ) = a ´ a + b ´ a - a ´ b - b ´ b .
Íî
a ´ a = b ´ b = 0, b ´ a = -a ´ b , îòêóäà (a + b ) ´ (a Ðèñ. 247
Ðèñ. 248
- b ) = 2 (b ´ a ).
20 êâ. åä. n
Èòàê,
èñêîìàÿ
ïëîùàäü
ðàâíà
Ï ð è ì å ð 3. Äàíû íåíóëåâûå âåêòîðû a è b .
Íàéòè âñå âåêòîðû c , óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ
îòêóäà
SDMNP = 0,5 a ´ b = 0,5 144 + 576 + 64 =
= 0,5 × 28 = 14 (êâ.åä). n
Îòìåòèì ñâîéñòâà âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( a ,
b, c — ëþáûå âåêòîðû, l — ëþáîå ÷èñëî):
10. a ´ b = -b ´ a , ò. å. ïðè ïåðåìåíå ìåñò ñîìíîæèòåëåé âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ìåíÿåò çíàê. Òàêèì îáðàçîì, âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå íå ïîä÷èíÿåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíîìó çàêîíó.
2 0 . (a + b ) ´ c = a ´ c + b ´ c (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí).
30. (l a ) ´ b = l (a ´ b ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí).
Ï ð è ì å ð 2. Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , ðàâíà 10 êâ. åä. Íàéòè
ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà åãî äèàãîíàëÿõ.
474
a ´ b = a ´ c.
q Èìååì a ´ b = a b sin j1, a ´ c = a c sin j2
(ðèñ. 248), ò. å. ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , äîëæíà áûòü ðàâíà ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è
c. Òàê êàê ýòè ïàðàëëåëîãðàììû èìåþò îáùåå îñíîâàíèå a , òî ó íèõ äîëæíû áûòü ðàâíûå âûñîòû. Èòàê,
â êà÷åñòâå âåêòîðà c ìîæíî âçÿòü ëþáîé âåêòîð, íà÷àëî êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ íà÷àëîì âåêòîðà a , à êîíåö ëåæèò íà ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç êîíåö âåêòîðà b ïàðàëëåëüíî âåêòîðó a . n
302. Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. Ñìåøàííûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ a, b è c , êîòîðîå
îáîçíà÷àåòñÿ a b c èëè ( a , b , c ), íàçûâàåòñÿ ÷èñëî,
ðàâíîå ñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ âåêòîðà a íà âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå b ´ c èëè ñêàëÿðíîìó ïðîèçâå475
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
äåíèþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ a ´ b íà âåêòîð c ,
ò. å. a b c = a (b ´ c ) = (a ´ b ) c .
Ïóñòü a = {X1; Y1; Z1 }, b = {X2 ; Y2 ; Z2 }, c = {X3 ;
Y3 ; Z3 }. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
X1 Y1 Z1
a b c = X2 Y2 Z2 .
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
(ðèñ.
AD
1
AB × AC × AD =
X3 Y2 Z3
Îòìåòèì ñâîéñòâà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ
3 0 . (l a ) b c = l (a b c ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí
îòíîñèòåëüíî ñêàëÿðíîãî ìíîæèòåëÿ).
Àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ
âåêòîðîâ a, b è c ðàâíà îáúåìó ïàðàëëåëåïèïåäà,
ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ-ñîìíîæèòåëÿõ.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè îáúåì ïèðàìèäû ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ À (1; 1; 1),  (2; 4; 3), Ñ (2; 3; 2),
D (0; 2; 2).
1
q Î÷åâèäíî, ÷òî èñêîìûé îáúåì ðàâåí
îáúåìà
6
ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ AB, AC,
476
AB = {1; 3; 2}, AC
ÀÑ ==
3 2
2 1
1 1
12
-3
+2
=
1 2 1 =
-1 1
-1 1
1 1
-1 1 1
= 1 - 3 × 2 + 2 × 3 = 1.
Èòàê, VDABC =
( a , b , c , d — ëþáûå âåêòîðû, l — ëþáîå ÷èñëî):
2 0. (a + b ) c d = a c d + b c d (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí).
Íàõîäèì
= {1; 2; 1}, AD = {-1; 1; 1}. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1),
èìååì
(1)
10. a b c = b c a = c a b = -(b a c ) = -(c b a ) = -(a c b ),
ò. å. ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå íå ìåíÿåòñÿ ïðè êðóãîâîé ïåðåñòàíîâêå ñîìíîæèòåëåé è ìåíÿåò çíàê ïðè
ïåðåñòàíîâêå äâóõ ñîìíîæèòåëåé.
249).
1
(êóá. åä). n
6
Ï ð è ì å ð 2. Ïðÿìàÿ m ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó
Ì (2; 1; 3) ïàðàëëåëüíî âåêòîðó a = {1; - 1; 2}; ïðÿìàÿ n ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó N (3; 4; 2) ïàðàëëåëüíî
âåêòîðó b = {2; 1; 2}. Óñòàíîâèòü, ïåðåñåêàþòñÿ ëè ýòè
ïðÿìûå èëè ñêðåùèâàþòñÿ (ñì. ï. 303).
q Åñëè ýòè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ, òî âåêòîðû a, b
è MN êîìïëàíàðíû, ò. å. a × b × MN = 0. Èìååì
1 -1
2
1
2
1 2 2 2
2 1
1 2 =
+
+2
= -7 - 4 + 10 = -1 ¹ 0,
3 -1 1 -1
1 3
3 -1
ñëåäîâàòåëüíî, äàííûå ïðÿìûå ñêðåùèâàþòñÿ. n
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè, çàäàííûìè â ïðèìåðå 2.
477
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
äåíèþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ a ´ b íà âåêòîð c ,
ò. å. a b c = a (b ´ c ) = (a ´ b ) c .
Ïóñòü a = {X1; Y1; Z1 }, b = {X2 ; Y2 ; Z2 }, c = {X3 ;
Y3 ; Z3 }. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
X1 Y1 Z1
a b c = X2 Y2 Z2 .
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
(ðèñ.
AD
1
AB × AC × AD =
X3 Y2 Z3
Îòìåòèì ñâîéñòâà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ
3 0 . (l a ) b c = l (a b c ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí
îòíîñèòåëüíî ñêàëÿðíîãî ìíîæèòåëÿ).
Àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ
âåêòîðîâ a, b è c ðàâíà îáúåìó ïàðàëëåëåïèïåäà,
ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ-ñîìíîæèòåëÿõ.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè îáúåì ïèðàìèäû ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ À (1; 1; 1),  (2; 4; 3), Ñ (2; 3; 2),
D (0; 2; 2).
1
q Î÷åâèäíî, ÷òî èñêîìûé îáúåì ðàâåí
îáúåìà
6
ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ AB, AC,
476
AB = {1; 3; 2}, AC
ÀÑ ==
3 2
2 1
1 1
12
-3
+2
=
1 2 1 =
-1 1
-1 1
1 1
-1 1 1
= 1 - 3 × 2 + 2 × 3 = 1.
Èòàê, VDABC =
( a , b , c , d — ëþáûå âåêòîðû, l — ëþáîå ÷èñëî):
2 0. (a + b ) c d = a c d + b c d (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí).
Íàõîäèì
= {1; 2; 1}, AD = {-1; 1; 1}. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1),
èìååì
(1)
10. a b c = b c a = c a b = -(b a c ) = -(c b a ) = -(a c b ),
ò. å. ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå íå ìåíÿåòñÿ ïðè êðóãîâîé ïåðåñòàíîâêå ñîìíîæèòåëåé è ìåíÿåò çíàê ïðè
ïåðåñòàíîâêå äâóõ ñîìíîæèòåëåé.
249).
1
(êóá. åä). n
6
Ï ð è ì å ð 2. Ïðÿìàÿ m ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó
Ì (2; 1; 3) ïàðàëëåëüíî âåêòîðó a = {1; - 1; 2}; ïðÿìàÿ n ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó N (3; 4; 2) ïàðàëëåëüíî
âåêòîðó b = {2; 1; 2}. Óñòàíîâèòü, ïåðåñåêàþòñÿ ëè ýòè
ïðÿìûå èëè ñêðåùèâàþòñÿ (ñì. ï. 303).
q Åñëè ýòè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ, òî âåêòîðû a, b
è MN êîìïëàíàðíû, ò. å. a × b × MN = 0. Èìååì
1 -1
2
1
2
1 2 2 2
2 1
1 2 =
+
+2
= -7 - 4 + 10 = -1 ¹ 0,
3 -1 1 -1
1 3
3 -1
ñëåäîâàòåëüíî, äàííûå ïðÿìûå ñêðåùèâàþòñÿ. n
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè, çàäàííûìè â ïðèìåðå 2.
477
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
Ðèñ. 251
îòêóäà S = a ´ b = 16 + 4 + 9 = 29 .
Ðèñ. 249
Ðèñ. 250
q Èñêîìîå ðàññòîÿíèå — ýòî âûñîòà ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a , b , MN (ðèñ. 250).
V
Òàê êàê V = Sh, òî h = , ãäå V = 1 (àáñîëþòíàÿ
S
âåëè÷èíà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ, íàéäåííîãî â ïðè-
Èòàê, h =
.n
29
Ï ð è ì å ð 4. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè À (1; 2; 3),  (3; 2; 1)
è Ñ (5; –2; –3).
q Âîçüìåì íà èñêîìîé ïëîñêîñòè ïðîèçâîëüíóþ
òî÷êó M (x; y; z) (ðèñ. 251). Òîãäà âåêòîðû AM, AB,
AC êîìïëàíàðíû è AM × AB × AC = 0. Îòñþäà
x -1 y -2 z -3
2
0
- 2 = 0,
4
ìåðå 2), à S = a ´ b . Èìååì
i
j k
a ´ b = 1 - 1 2 = -4i + 2j + 3k ,
2 1 2
478
1
-4
-6
èëè
ò. å.
-8 (x - 1) + 4 ( y - 2) -8 (z - 3),
2x - y + 2z - 6 = 0. n
479
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
Ðèñ. 251
îòêóäà S = a ´ b = 16 + 4 + 9 = 29 .
Ðèñ. 249
Ðèñ. 250
q Èñêîìîå ðàññòîÿíèå — ýòî âûñîòà ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a , b , MN (ðèñ. 250).
V
Òàê êàê V = Sh, òî h = , ãäå V = 1 (àáñîëþòíàÿ
S
âåëè÷èíà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ, íàéäåííîãî â ïðè-
Èòàê, h =
.n
29
Ï ð è ì å ð 4. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè À (1; 2; 3),  (3; 2; 1)
è Ñ (5; –2; –3).
q Âîçüìåì íà èñêîìîé ïëîñêîñòè ïðîèçâîëüíóþ
òî÷êó M (x; y; z) (ðèñ. 251). Òîãäà âåêòîðû AM, AB,
AC êîìïëàíàðíû è AM × AB × AC = 0. Îòñþäà
x -1 y -2 z -3
2
0
- 2 = 0,
4
ìåðå 2), à S = a ´ b . Èìååì
i
j k
a ´ b = 1 - 1 2 = -4i + 2j + 3k ,
2 1 2
478
1
-4
-6
èëè
ò. å.
-8 (x - 1) + 4 ( y - 2) -8 (z - 3),
2x - y + 2z - 6 = 0. n
479
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé
§ 37. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå
ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé
Ì íà ïðÿìóþ, íàçûâàåòñÿ ïðÿìàÿ, îáðàçóþùàÿ ñ äàííîé óãîë 90° è ïåðåñåêàþùàÿ åå (ïåðïåíäèêóëÿðîì
íàçûâàåòñÿ òàêæå äëèíà îòðåçêà MN îò òî÷êè Ì äî
òî÷êè N ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ; ðèñ. 253). Åñëè òî÷êà
Ì ëåæèò âíå ïðÿìîé, òî òàêîé ïåðïåíäèêóëÿð åäèíñòâåííûé. Åñëè æå òî÷êà Ì ëåæèò íà ïðÿìîé, òî ìîæíî ïðîâåñòè áåñêîíå÷íî ìíîãî ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ
÷åðåç Ì è ïåðïåíäèêóëÿðíûõ äàííîé ïðÿìîé.
Ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí ïåðïåíäèêóëÿð, îáùèé
äëÿ äâóõ ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ. Åãî äëèíà íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèåì ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà ïðîâåäåì ÷åðåç îäíó èç ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ äðóãîé ïðÿìîé (íà
ðèñ. 254 ïëîñêîñòü Ð ïðîâåäåíà ÷åðåç ïðÿìóþ m è
ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé n ), çàòåì ÷åðåç âòîðóþ ïðÿìóþ ( n ) ïðîâåäåì ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ
ïåðâîé ïëîñêîñòè ( P^Q ). Ïóñòü ïëîñêîñòü Q ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ m â òî÷êå À. Òîãäà ïåðïåíäèêóëÿð ê ïðÿìîé m â òî÷êå À è åñòü èñêîìûé.
303. Ïàðàëëåëüíûå, ïåðåñåêàþùèåñÿ è ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå. Äâå ïðÿìûå â ïðîñòðàíñòâå íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè îíè ëåæàò â îäíîé
ïëîñêîñòè è íå ïåðåñåêàþòñÿ. Ïðÿìûå, êîòîðûå íå
ïåðåñåêàþòñÿ è íå ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, íàçûâàþòñÿ ñêðåùèâàþùèìèñÿ. Èòàê, âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ äâóõ ïðÿìûõ â ïðîñòðàíñòâå: 1) îíè ïåðåñåêàþòñÿ; 2) îíè ïàðàëëåëüíû; 3) îíè ñêðåùèâàþòñÿ.  ïåðâûõ äâóõ ñëó÷àÿõ
ïðÿìûå ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, â òðåòüåì —
â ðàçíûõ ïëîñêîñòÿõ.
Íàïðèìåð, â êóáå ABCDA1B1C1D1 (ðèñ. 252) ðåáðà ÀÂ è À1Â1 èëè AD è A1D1 è ò. ä. ïàðàëëåëüíû;
ðåáðà ÀÀ1 è À1Â1 èëè ÂÑ è CD è ò. ä. ïåðåñåêàþòñÿ; ðåáðà ÀÀ1 è CD èëè ÀÀ1 è Â1Ñ1 è ò. ä. ñêðåùèâàþòñÿ.
Îòìåòèì, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå, êàê è íà ïëîñêîñòè,
ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
äâå ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå òðåòüåé, ïàðàëëåëüíû
ìåæäó ñîáîé (ïðè ýòîì âñå òðè ïðÿìûå ìîãóò è íå
ëåæàòü â îäíîé ïëîñêîñòè; íàïðèìåð, ÷åðåç ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ÀÂ, CD è À1Â1, èçîáðàæåííûå íà
ðèñ. 252, íåëüçÿ ïðîâåñòè ïëîñêîñòü);
óãëû ñ ñîîòâåòñòâåííî ïàðàëëåëüíûìè è îäèíàêîâî íàïðàâëåííûìè ñòîðîíàìè ðàâíû.
Óãëîì ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè, ïàðàëëåëüíûìè äàííûì è ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó Ì.
Ïåðïåíäèêóëÿðîì, îïóùåííûì èç äàííîé òî÷êè
480
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðèñ. 252
Ðèñ. 253
481
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé
§ 37. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå
ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé
Ì íà ïðÿìóþ, íàçûâàåòñÿ ïðÿìàÿ, îáðàçóþùàÿ ñ äàííîé óãîë 90° è ïåðåñåêàþùàÿ åå (ïåðïåíäèêóëÿðîì
íàçûâàåòñÿ òàêæå äëèíà îòðåçêà MN îò òî÷êè Ì äî
òî÷êè N ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ; ðèñ. 253). Åñëè òî÷êà
Ì ëåæèò âíå ïðÿìîé, òî òàêîé ïåðïåíäèêóëÿð åäèíñòâåííûé. Åñëè æå òî÷êà Ì ëåæèò íà ïðÿìîé, òî ìîæíî ïðîâåñòè áåñêîíå÷íî ìíîãî ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ
÷åðåç Ì è ïåðïåíäèêóëÿðíûõ äàííîé ïðÿìîé.
Ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí ïåðïåíäèêóëÿð, îáùèé
äëÿ äâóõ ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ. Åãî äëèíà íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèåì ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà ïðîâåäåì ÷åðåç îäíó èç ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ äðóãîé ïðÿìîé (íà
ðèñ. 254 ïëîñêîñòü Ð ïðîâåäåíà ÷åðåç ïðÿìóþ m è
ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé n ), çàòåì ÷åðåç âòîðóþ ïðÿìóþ ( n ) ïðîâåäåì ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ
ïåðâîé ïëîñêîñòè ( P^Q ). Ïóñòü ïëîñêîñòü Q ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ m â òî÷êå À. Òîãäà ïåðïåíäèêóëÿð ê ïðÿìîé m â òî÷êå À è åñòü èñêîìûé.
303. Ïàðàëëåëüíûå, ïåðåñåêàþùèåñÿ è ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå. Äâå ïðÿìûå â ïðîñòðàíñòâå íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè îíè ëåæàò â îäíîé
ïëîñêîñòè è íå ïåðåñåêàþòñÿ. Ïðÿìûå, êîòîðûå íå
ïåðåñåêàþòñÿ è íå ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, íàçûâàþòñÿ ñêðåùèâàþùèìèñÿ. Èòàê, âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ äâóõ ïðÿìûõ â ïðîñòðàíñòâå: 1) îíè ïåðåñåêàþòñÿ; 2) îíè ïàðàëëåëüíû; 3) îíè ñêðåùèâàþòñÿ.  ïåðâûõ äâóõ ñëó÷àÿõ
ïðÿìûå ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, â òðåòüåì —
â ðàçíûõ ïëîñêîñòÿõ.
Íàïðèìåð, â êóáå ABCDA1B1C1D1 (ðèñ. 252) ðåáðà ÀÂ è À1Â1 èëè AD è A1D1 è ò. ä. ïàðàëëåëüíû;
ðåáðà ÀÀ1 è À1Â1 èëè ÂÑ è CD è ò. ä. ïåðåñåêàþòñÿ; ðåáðà ÀÀ1 è CD èëè ÀÀ1 è Â1Ñ1 è ò. ä. ñêðåùèâàþòñÿ.
Îòìåòèì, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå, êàê è íà ïëîñêîñòè,
ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
äâå ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå òðåòüåé, ïàðàëëåëüíû
ìåæäó ñîáîé (ïðè ýòîì âñå òðè ïðÿìûå ìîãóò è íå
ëåæàòü â îäíîé ïëîñêîñòè; íàïðèìåð, ÷åðåç ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ÀÂ, CD è À1Â1, èçîáðàæåííûå íà
ðèñ. 252, íåëüçÿ ïðîâåñòè ïëîñêîñòü);
óãëû ñ ñîîòâåòñòâåííî ïàðàëëåëüíûìè è îäèíàêîâî íàïðàâëåííûìè ñòîðîíàìè ðàâíû.
Óãëîì ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè, ïàðàëëåëüíûìè äàííûì è ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó Ì.
Ïåðïåíäèêóëÿðîì, îïóùåííûì èç äàííîé òî÷êè
480
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðèñ. 252
Ðèñ. 253
481
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé
à)
á)
â)
Ðèñ. 256
Ðèñ. 254
Ðèñ. 255
Íàïðèìåð, â êóáå (ñì. ðèñ. 252) îáùèì ïåðïåíäèêóëÿðîì ê ñêðåùèâàþùèìñÿ ïðÿìûì ÀÀ1 è CD
ÿâëÿåòñÿ ðåáðî AD.
Ï ð è ì å ð. Äâà ðàâíîáåäðåííûõ ïðÿìîóãîëüíûõ
òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ è ADC ðàñïîëîæåíû âî âçàèìíî
ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ è èìåþò îáùóþ ãèïîòåíóçó (ðèñ. 255). Íàéòè êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè ÀÑ è BD, åñëè êàæäûé êàòåò ðàâåí 4.
q Ïðîâåäåì âûñîòû ÂÍ è DH. Òîãäà ïîëó÷èì
D BHD — ðàâíîáåäðåííûé è ïðÿìîóãîëüíûé. Ïðîâåäåì â íåì âûñîòó HF. Òàê êàê AC^BH è AC^DH,
òî ÀÑ — ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñêîñòè BHD (ñì. òåîðåìó 10.7 â ï. 304). Îòñþäà AC^HF. Çíà÷èò, HF^AC
è HF^BD, ò. å. HF è åñòü èñêîìîå ðàññòîÿíèå. Èìååì BH = 0,5 2BC = 2 2, HF = 0,5 2BH = 2. n
482
304. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è ïëîñêîñòè. Óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ. Ïðÿìàÿ è
ïëîñêîñòü íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè îíè íå
ïåðåñåêàþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ ðàñïîëîæåíèÿ ïðÿìîé îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè:
1) îíà ëåæèò â ïëîñêîñòè; 2) îíà ïåðåñåêàåò ïëîñêîñòü; 3) îíà ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè (ðèñ. 256, à, á).
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
Ò.10.5. Ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà íå ëåæèò â ýòîé ïëîñêîñòè è ïàðàëëåëüíà êàêîé-ëèáî ïðÿìîé, ëåæàùåé â
ýòîé ïëîñêîñòè (ïðèçíàê ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè).
Òàê, åñëè ïðÿìàÿ b ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé à, ëåæàùåé â ïëîñêîñòè l (ðèñ. 257), òî îíà ïàðàëëåëüíà
ýòîé ïëîñêîñòè.
Ò.10.6. Åñëè ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè l è
÷åðåç ýòó ïðÿìóþ ïðîâåäåíà ïëîñêîñòü, ïåðåñåêàþùàÿ l, òî ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé ïàðàëëåëüíà äàííîé ïðÿìîé (ðèñ. 258).
483
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé
à)
á)
â)
Ðèñ. 256
Ðèñ. 254
Ðèñ. 255
Íàïðèìåð, â êóáå (ñì. ðèñ. 252) îáùèì ïåðïåíäèêóëÿðîì ê ñêðåùèâàþùèìñÿ ïðÿìûì ÀÀ1 è CD
ÿâëÿåòñÿ ðåáðî AD.
Ï ð è ì å ð. Äâà ðàâíîáåäðåííûõ ïðÿìîóãîëüíûõ
òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ è ADC ðàñïîëîæåíû âî âçàèìíî
ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ è èìåþò îáùóþ ãèïîòåíóçó (ðèñ. 255). Íàéòè êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè ÀÑ è BD, åñëè êàæäûé êàòåò ðàâåí 4.
q Ïðîâåäåì âûñîòû ÂÍ è DH. Òîãäà ïîëó÷èì
D BHD — ðàâíîáåäðåííûé è ïðÿìîóãîëüíûé. Ïðîâåäåì â íåì âûñîòó HF. Òàê êàê AC^BH è AC^DH,
òî ÀÑ — ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñêîñòè BHD (ñì. òåîðåìó 10.7 â ï. 304). Îòñþäà AC^HF. Çíà÷èò, HF^AC
è HF^BD, ò. å. HF è åñòü èñêîìîå ðàññòîÿíèå. Èìååì BH = 0,5 2BC = 2 2, HF = 0,5 2BH = 2. n
482
304. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è ïëîñêîñòè. Óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ. Ïðÿìàÿ è
ïëîñêîñòü íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè îíè íå
ïåðåñåêàþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ ðàñïîëîæåíèÿ ïðÿìîé îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè:
1) îíà ëåæèò â ïëîñêîñòè; 2) îíà ïåðåñåêàåò ïëîñêîñòü; 3) îíà ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè (ðèñ. 256, à, á).
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
Ò.10.5. Ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà íå ëåæèò â ýòîé ïëîñêîñòè è ïàðàëëåëüíà êàêîé-ëèáî ïðÿìîé, ëåæàùåé â
ýòîé ïëîñêîñòè (ïðèçíàê ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè).
Òàê, åñëè ïðÿìàÿ b ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé à, ëåæàùåé â ïëîñêîñòè l (ðèñ. 257), òî îíà ïàðàëëåëüíà
ýòîé ïëîñêîñòè.
Ò.10.6. Åñëè ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè l è
÷åðåç ýòó ïðÿìóþ ïðîâåäåíà ïëîñêîñòü, ïåðåñåêàþùàÿ l, òî ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé ïàðàëëåëüíà äàííîé ïðÿìîé (ðèñ. 258).
483
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ðèñ. 257
Ðèñ. 258
Îïðåäåëèì ïîíÿòèå ïåðïåíäèêóëÿðà ê ïëîñêîñòè.
Ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðîì ê ïëîñêîñòè,
åñëè îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà ëþáîé ïðÿìîé, ëåæàùåé
â ýòîé ïëîñêîñòè. Ïåðïåíäèêóëÿðîì ê ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ òàêæå îòðåçîê ýòîé ïðÿìîé îò êàêîé-ëèáî
òî÷êè Ì äî òî÷êè Ì0 ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè (ðèñ. 259). Òî÷êà Ì0 íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì ïåðïåíäèêóëÿðà.
Ò.10.7. Ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ äâóì ïåðåñåêàþùèìñÿ ïðÿìûì, ëåæàùèì â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíà ýòîé ïëîñêîñòè (ïðèçíàê ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè).
Ïóñòü èç òî÷êè Ì ïðîâåäåí ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñêîñòè (ðèñ. 259). Äëèíà îòðåçêà ÌÌ0 íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèåì îò òî÷êè Ì äî ïëîñêîñòè. Ñîåäèíèâ òî÷êó Ì ñ êàêîé-ëèáî òî÷êîé ïëîñêîñòè, îòëè÷íîé îò
îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðà Ì0, ïîëó÷èì íàêëîííóþ
ÌÀ. Ëþáàÿ íàêëîííàÿ äëèííåå ïåðïåíäèêóëÿðà, ïðîâåäåííîãî èç òîé æå òî÷êè. Îòðåçîê Ì0À íàçûâàåòñÿ
ïðîåêöèåé íàêëîííîé.
484
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé
Ðèñ. 259
Ðèñ. 260
Îòìåòèì, ÷òî èç äâóõ íàêëîííûõ áîëüøå òà, ó êîòîðîé ïðîåêöèÿ áîëüøå; ðàâíûå íàêëîííûå èìåþò
ðàâíûå ïðîåêöèè.
Ò.10.8. Ïðÿìàÿ, ïðîâåäåííàÿ íà ïëîñêîñòè ÷åðåç îñíîâàíèå íàêëîííîé ïåðïåíäèêóëÿðíî åå ïðîåêöèè,
ïåðïåíäèêóëÿðíà è ñàìîé íàêëîííîé (òåîðåìà î
òðåõ ïåðïåíäèêóëÿðàõ).
Âåðíî è îáðàòíîå:
Ò.10.9. Ïðÿìàÿ, ïðîâåäåííàÿ íà ïëîñêîñòè ÷åðåç îñíîâàíèå íàêëîííîé ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîé íàêëîííîé, ïåðïåíäèêóëÿðíà è åå ïðîåêöèè.
Ïóñòü, íàïðèìåð, ÌÌ0 — ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñêîñòè, ÌÅ — íàêëîííàÿ (ðèñ. 260). Òîãäà, åñëè ïðÿìàÿ DE ïåðïåíäèêóëÿðíà Ì0Å (ïðîåêöèè íàêëîííîé ÌÅ), òî îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà è ñàìîé íàêëîííîé ÌÅ. Åñëè æå èçâåñòíî, ÷òî ïðÿìàÿ DE ïåðïåíäèêóëÿðíà íàêëîííîé ÌÅ, òî îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà è åå ïðîåêöèè Ì0Å.
485
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ðèñ. 257
Ðèñ. 258
Îïðåäåëèì ïîíÿòèå ïåðïåíäèêóëÿðà ê ïëîñêîñòè.
Ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðîì ê ïëîñêîñòè,
åñëè îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà ëþáîé ïðÿìîé, ëåæàùåé
â ýòîé ïëîñêîñòè. Ïåðïåíäèêóëÿðîì ê ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ òàêæå îòðåçîê ýòîé ïðÿìîé îò êàêîé-ëèáî
òî÷êè Ì äî òî÷êè Ì0 ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè (ðèñ. 259). Òî÷êà Ì0 íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì ïåðïåíäèêóëÿðà.
Ò.10.7. Ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ äâóì ïåðåñåêàþùèìñÿ ïðÿìûì, ëåæàùèì â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíà ýòîé ïëîñêîñòè (ïðèçíàê ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè).
Ïóñòü èç òî÷êè Ì ïðîâåäåí ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñêîñòè (ðèñ. 259). Äëèíà îòðåçêà ÌÌ0 íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèåì îò òî÷êè Ì äî ïëîñêîñòè. Ñîåäèíèâ òî÷êó Ì ñ êàêîé-ëèáî òî÷êîé ïëîñêîñòè, îòëè÷íîé îò
îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðà Ì0, ïîëó÷èì íàêëîííóþ
ÌÀ. Ëþáàÿ íàêëîííàÿ äëèííåå ïåðïåíäèêóëÿðà, ïðîâåäåííîãî èç òîé æå òî÷êè. Îòðåçîê Ì0À íàçûâàåòñÿ
ïðîåêöèåé íàêëîííîé.
484
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé
Ðèñ. 259
Ðèñ. 260
Îòìåòèì, ÷òî èç äâóõ íàêëîííûõ áîëüøå òà, ó êîòîðîé ïðîåêöèÿ áîëüøå; ðàâíûå íàêëîííûå èìåþò
ðàâíûå ïðîåêöèè.
Ò.10.8. Ïðÿìàÿ, ïðîâåäåííàÿ íà ïëîñêîñòè ÷åðåç îñíîâàíèå íàêëîííîé ïåðïåíäèêóëÿðíî åå ïðîåêöèè,
ïåðïåíäèêóëÿðíà è ñàìîé íàêëîííîé (òåîðåìà î
òðåõ ïåðïåíäèêóëÿðàõ).
Âåðíî è îáðàòíîå:
Ò.10.9. Ïðÿìàÿ, ïðîâåäåííàÿ íà ïëîñêîñòè ÷åðåç îñíîâàíèå íàêëîííîé ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîé íàêëîííîé, ïåðïåíäèêóëÿðíà è åå ïðîåêöèè.
Ïóñòü, íàïðèìåð, ÌÌ0 — ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñêîñòè, ÌÅ — íàêëîííàÿ (ðèñ. 260). Òîãäà, åñëè ïðÿìàÿ DE ïåðïåíäèêóëÿðíà Ì0Å (ïðîåêöèè íàêëîííîé ÌÅ), òî îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà è ñàìîé íàêëîííîé ÌÅ. Åñëè æå èçâåñòíî, ÷òî ïðÿìàÿ DE ïåðïåíäèêóëÿðíà íàêëîííîé ÌÅ, òî îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà è åå ïðîåêöèè Ì0Å.
485
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ðèñ. 261
Ðèñ. 262
Ï ð è ì å ð 1. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå
ÀÂÑ èçâåñòíû êàòåòû ÀÑ = 6, ÂÑ = 8. Èç âåðøèíû
ïðÿìîãî óãëà Ñ ê ïëîñêîñòè òðåóãîëüíèêà âîññòàâëåí ïåðïåíäèêóëÿð ÑÌ = 2 (ðèñ. 261). Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Ì äî ãèïîòåíóçû.
q Ïðîâåäåì MD^AB. Òàê êàê ÌÑ — ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñêîñòè, MD — íàêëîííàÿ, CD — åå ïðîåêöèÿ, òî CD^AB (ïî òåîðåìå 10.9). Èç D ABC íàõîäèì AB = 62 + 82 = 10. ×òîáû íàéòè âûñîòó CD,
âîñïîëüçóåìñÿ äâóìÿ ôîðìóëàìè äëÿ îòûñêàíèÿ ïëîSD ABC = 0,5 AC × BC =
ùàäè
Èìååì
D ABC .
= 0,5 AB × CD, îòêóäà CD = 6 × 8 = 4,8. Òåïåðü èç
10
D MCD íàõîäèì èñêîìîå ðàññòîÿíèå: MD =
2
2
= 2 + 4,8 = 5,2. n
486
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé
Óãëîì ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó ïðÿìîé è åå ïðîåêöèåé íà ýòó ïëîñêîñòü (óãîë j íà ðèñ. 262). Åñëè ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè, òî óãîë ìåæäó íèìè ñ÷èòàåòñÿ ðàâíûì
íóëþ; åñëè ïðÿìàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè, òî
îí ðàâåí 90°.
Ï ð è ì å ð 2. Ïîä êàêèì óãëîì ïåðåñåêàåò
ïëîñêîñòü äàííàÿ ïðÿìàÿ, åñëè ïðîåêöèÿ ëþáîé åå
íàêëîííîé ðàâíà äëèíå ïåðïåíäèêóëÿðà, ïðîâåäåííîãî èç òîé æå òî÷êè, ÷òî è íàêëîííàÿ?
q  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÌÌ0À (ñì. ðèñ.
259) èìååì ÀÌ0 = ÌÌ0, ò .å. òðåóãîëüíèê ðàâíîáåäðåííûé è óãîë j = 45°. n
Îòìåòèì, ÷òî èç âñåõ óãëîâ, êîòîðûå îáðàçîâàíû
äàííîé ïðÿìîé, ïåðåñåêàþùåé ïëîñêîñòü, è âñåâîçìîæíûìè ïðÿìûìè, ëåæàùèìè â ïëîñêîñòè, óãîë
ìåæäó äàííîé ïðÿìîé è åå ïðîåêöèåé ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì. Òàê, äëÿ óãëîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 263,
èìååì ÐMAM 0 < ÐMAB.
Ï ð è ì å ð 3. Èç òî÷êè Ì ê äàííîé ïëîñêîñòè
ïðîâåäåíû ïåðïåíäèêóëÿð ÌÌ0 è äâå íàêëîííûå ÌÀ
è ÌÂ (ðèñ. 264). Ïðîåêöèè íàêëîííûõ ïåðïåíäèêóëÿðíû äðóã äðóãó, à äëèíà êàæäîé èç ïðîåêöèé ðàâíà ÌÌ0. Íàéòè óãîë ÌÀÂ.
q Ïî óñëîâèþ, M0 A = M0 B = MM0 è M0 A^M0 B,
MM 0 ^M0 A,
MM0 ^M0 B;
çíà÷èò,
D MM0 A =
= D MM0 B = D AM0 B (ïî äâóì êàòåòàì). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî D AMB — ïðàâèëüíûé, ò. å. ÐMAB =
= 60° (çàìåòèì, ÷òî ÐMAB > ÐMAM 0 = 45°). n
487
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ðèñ. 261
Ðèñ. 262
Ï ð è ì å ð 1. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå
ÀÂÑ èçâåñòíû êàòåòû ÀÑ = 6, ÂÑ = 8. Èç âåðøèíû
ïðÿìîãî óãëà Ñ ê ïëîñêîñòè òðåóãîëüíèêà âîññòàâëåí ïåðïåíäèêóëÿð ÑÌ = 2 (ðèñ. 261). Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Ì äî ãèïîòåíóçû.
q Ïðîâåäåì MD^AB. Òàê êàê ÌÑ — ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñêîñòè, MD — íàêëîííàÿ, CD — åå ïðîåêöèÿ, òî CD^AB (ïî òåîðåìå 10.9). Èç D ABC íàõîäèì AB = 62 + 82 = 10. ×òîáû íàéòè âûñîòó CD,
âîñïîëüçóåìñÿ äâóìÿ ôîðìóëàìè äëÿ îòûñêàíèÿ ïëîSD ABC = 0,5 AC × BC =
ùàäè
Èìååì
D ABC .
= 0,5 AB × CD, îòêóäà CD = 6 × 8 = 4,8. Òåïåðü èç
10
D MCD íàõîäèì èñêîìîå ðàññòîÿíèå: MD =
2
2
= 2 + 4,8 = 5,2. n
486
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé
Óãëîì ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó ïðÿìîé è åå ïðîåêöèåé íà ýòó ïëîñêîñòü (óãîë j íà ðèñ. 262). Åñëè ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè, òî óãîë ìåæäó íèìè ñ÷èòàåòñÿ ðàâíûì
íóëþ; åñëè ïðÿìàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè, òî
îí ðàâåí 90°.
Ï ð è ì å ð 2. Ïîä êàêèì óãëîì ïåðåñåêàåò
ïëîñêîñòü äàííàÿ ïðÿìàÿ, åñëè ïðîåêöèÿ ëþáîé åå
íàêëîííîé ðàâíà äëèíå ïåðïåíäèêóëÿðà, ïðîâåäåííîãî èç òîé æå òî÷êè, ÷òî è íàêëîííàÿ?
q  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÌÌ0À (ñì. ðèñ.
259) èìååì ÀÌ0 = ÌÌ0, ò .å. òðåóãîëüíèê ðàâíîáåäðåííûé è óãîë j = 45°. n
Îòìåòèì, ÷òî èç âñåõ óãëîâ, êîòîðûå îáðàçîâàíû
äàííîé ïðÿìîé, ïåðåñåêàþùåé ïëîñêîñòü, è âñåâîçìîæíûìè ïðÿìûìè, ëåæàùèìè â ïëîñêîñòè, óãîë
ìåæäó äàííîé ïðÿìîé è åå ïðîåêöèåé ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì. Òàê, äëÿ óãëîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 263,
èìååì ÐMAM 0 < ÐMAB.
Ï ð è ì å ð 3. Èç òî÷êè Ì ê äàííîé ïëîñêîñòè
ïðîâåäåíû ïåðïåíäèêóëÿð ÌÌ0 è äâå íàêëîííûå ÌÀ
è ÌÂ (ðèñ. 264). Ïðîåêöèè íàêëîííûõ ïåðïåíäèêóëÿðíû äðóã äðóãó, à äëèíà êàæäîé èç ïðîåêöèé ðàâíà ÌÌ0. Íàéòè óãîë ÌÀÂ.
q Ïî óñëîâèþ, M0 A = M0 B = MM0 è M0 A^M0 B,
MM 0 ^M0 A,
MM0 ^M0 B;
çíà÷èò,
D MM0 A =
= D MM0 B = D AM0 B (ïî äâóì êàòåòàì). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî D AMB — ïðàâèëüíûé, ò. å. ÐMAB =
= 60° (çàìåòèì, ÷òî ÐMAB > ÐMAM 0 = 45°). n
487
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ðèñ. 263
§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé
Ðèñ. 264
305. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïëîñêîñòåé.
Ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé. Äâå
ïëîñêîñòè íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè îíè íå
ïåðåñåêàþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, äâå ïëîñêîñòè ëèáî
ïåðåñåêàþòñÿ (â ýòîì ñëó÷àå îíè èìåþò îáùóþ ïðÿìóþ; ðèñ. 265, à), ëèáî ïàðàëëåëüíû (â ýòîì ñëó÷àå
îíè íå èìåþò îáùèõ òî÷åê; ðèñ. 265, á).
Ò.10.10. Åñëè äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå îäíîé
ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâåííî ïàðàëëåëüíû äâóì
ïðÿìûì äðóãîé ïëîñêîñòè, òî ýòè ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû (ïðèçíàê ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïëîñêîñòåé).
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî ÷åðåç äâå ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå ìîæíî ïðîâåñòè ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè.
q Ïóñòü à è b — äàííûå ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå (ðèñ. 266). ×åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ïðÿìîé à
ïðîâåäåì ïðÿìóþ b¢ b, à ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó
ïðÿìîé b — ïðÿìóþ a¢ a. Äàëåå ïðîâåäåì äâå ïëîñ488
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
à)
á)
Ðèñ. 265
Ðèñ. 266
êîñòè: îäíó ÷åðåç ïðÿìûå à è b¢, äðóãóþ — ÷åðåç b
è a¢. Ñîãëàñíî òåîðåìå 10.10, ýòè ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû, ïðè÷åì ïðÿìàÿ à ëåæèò â îäíîé èç íèõ, à
ïðÿìàÿ b — â äðóãîé. n
489
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ðèñ. 263
§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé
Ðèñ. 264
305. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïëîñêîñòåé.
Ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé. Äâå
ïëîñêîñòè íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè îíè íå
ïåðåñåêàþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, äâå ïëîñêîñòè ëèáî
ïåðåñåêàþòñÿ (â ýòîì ñëó÷àå îíè èìåþò îáùóþ ïðÿìóþ; ðèñ. 265, à), ëèáî ïàðàëëåëüíû (â ýòîì ñëó÷àå
îíè íå èìåþò îáùèõ òî÷åê; ðèñ. 265, á).
Ò.10.10. Åñëè äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå îäíîé
ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâåííî ïàðàëëåëüíû äâóì
ïðÿìûì äðóãîé ïëîñêîñòè, òî ýòè ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû (ïðèçíàê ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïëîñêîñòåé).
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî ÷åðåç äâå ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå ìîæíî ïðîâåñòè ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè.
q Ïóñòü à è b — äàííûå ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå (ðèñ. 266). ×åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ïðÿìîé à
ïðîâåäåì ïðÿìóþ b¢ b, à ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó
ïðÿìîé b — ïðÿìóþ a¢ a. Äàëåå ïðîâåäåì äâå ïëîñ488
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
à)
á)
Ðèñ. 265
Ðèñ. 266
êîñòè: îäíó ÷åðåç ïðÿìûå à è b¢, äðóãóþ — ÷åðåç b
è a¢. Ñîãëàñíî òåîðåìå 10.10, ýòè ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû, ïðè÷åì ïðÿìàÿ à ëåæèò â îäíîé èç íèõ, à
ïðÿìàÿ b — â äðóãîé. n
489
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ðèñ. 267
Ðèñ. 268
Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé:
10. ×åðåç ëþáóþ òî÷êó, ëåæàùóþ âíå äàííîé ïëîñêîñòè, ìîæíî ïðîâåñòè åäèíñòâåííóþ ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ äàííîé.
20. Åñëè äâå ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû òðåòüåé, òî
îíè ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé.
30. Åñëè äâå ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè ïåðåñå÷åíû
òðåòüåé ïëîñêîñòüþ, òî ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé (ðèñ. 267).
40. Äâå ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îäíîé è òîé
æå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 268).
50. Ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïàðàëëåëüíûì
ïðÿìûì, ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 269).
490
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé
Ðèñ. 269
Ðèñ. 270
Îòìåòèì òàêæå ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ:
10. Ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ äâóì ïåðåñåêàþùèìñÿ ïëîñêîñòÿì, ïàðàëëåëüíà ëèíèè èõ ïåðåñå÷åíèÿ
(ðèñ. 270).
20. Åñëè äâå ïëîñêîñòè ïåðåñåêàþòñÿ ïî ïðÿìîé à,
òî â êàæäîé èç íèõ ïàðàëëåëüíûìè äðóã äðóãó ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå ïðÿìîé à, è òîëüêî îíè
(ðèñ. 271).
30. Ïåðïåíäèêóëÿðû, ïðîâåäåííûå ê ïàðàëëåëüíûì ïðÿìûì, ïàðàëëåëüíû.
40. Ïðîåêöèè ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ íà ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 272).
50. Îòðåçêè ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, çàêëþ÷åííûå
ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè, ðàâíû (ðèñ. 273).
491
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ðèñ. 267
Ðèñ. 268
Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé:
10. ×åðåç ëþáóþ òî÷êó, ëåæàùóþ âíå äàííîé ïëîñêîñòè, ìîæíî ïðîâåñòè åäèíñòâåííóþ ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ äàííîé.
20. Åñëè äâå ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû òðåòüåé, òî
îíè ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé.
30. Åñëè äâå ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè ïåðåñå÷åíû
òðåòüåé ïëîñêîñòüþ, òî ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé (ðèñ. 267).
40. Äâå ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îäíîé è òîé
æå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 268).
50. Ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïàðàëëåëüíûì
ïðÿìûì, ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 269).
490
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé
Ðèñ. 269
Ðèñ. 270
Îòìåòèì òàêæå ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ:
10. Ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ äâóì ïåðåñåêàþùèìñÿ ïëîñêîñòÿì, ïàðàëëåëüíà ëèíèè èõ ïåðåñå÷åíèÿ
(ðèñ. 270).
20. Åñëè äâå ïëîñêîñòè ïåðåñåêàþòñÿ ïî ïðÿìîé à,
òî â êàæäîé èç íèõ ïàðàëëåëüíûìè äðóã äðóãó ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå ïðÿìîé à, è òîëüêî îíè
(ðèñ. 271).
30. Ïåðïåíäèêóëÿðû, ïðîâåäåííûå ê ïàðàëëåëüíûì ïðÿìûì, ïàðàëëåëüíû.
40. Ïðîåêöèè ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ íà ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 272).
50. Îòðåçêè ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, çàêëþ÷åííûå
ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè, ðàâíû (ðèñ. 273).
491
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ðèñ. 271
Ðèñ. 272
Ðèñ. 273
Ðèñ. 274
§ 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû
306. Äâóãðàííûé óãîë. Äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïëîñêîñòè ðàçáèâàþò ïðîñòðàíñòâî íà ÷åòûðå ÷àñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ íàçûâàåòñÿ äâóãðàííûì óãëîì. Òàêèì îáðàçîì, äâóãðàííûé óãîë îáðàçîâàí äâóìÿ ïî492
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû
ëóïëîñêîñòÿìè, íàçûâàåìûìè ãðàíÿìè; ëèíèÿ èõ
ïåðåñå÷åíèÿ íàçûâàåòñÿ ðåáðîì äâóãðàííîãî óãëà.
Ïðîâåäåì ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ðåáðó äâóãðàííîãî óãëà. Óãîë, ïîëó÷åííûé â ñå÷åíèè (ðèñ. 274),
íàçûâàåòñÿ ïëîñêèì (ëèíåéíûì) óãëîì äâóãðàííîãî óãëà. Ýòîò ïëîñêèé óãîë ïðèíèìàåòñÿ çà ìåðó
äâóãðàííîãî óãëà.
Äâå ïëîñêîñòè, îáðàçóþùèå ïðÿìîé äâóãðàííûé
óãîë, íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè.
Ò.10.11. Äâå ïëîñêîñòè âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îäíà èç íèõ ñîäåðæèò ïåðïåíäèêóëÿð ê äðóãîé ïëîñêîñòè (ïðèçíàê
ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè äâóõ ïëîñêîñòåé).
Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.10.12. Ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïëîñêîñòåé, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ òðåòüåé ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíà ýòîé ïëîñêîñòè.
Íàïðèìåð, â êóáå âñå âåðòèêàëüíûå ãðàíè ïåðïåíäèêóëÿðíû íèæíåé ãðàíè è âñå âåðòèêàëüíûå
ðåáðà (ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ âåðòèêàëüíûõ ãðàíåé) òàêæå ïåðïåíäèêóëÿðíû íèæíåé ãðàíè.
Ï ð è ì å ð.  êóáå ïðîâåäåíî ñå÷åíèå ABCDEF
(ðèñ. 275), ãäå òî÷êè A, B, C, D, E, F — ñåðåäèíû ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåáåð. Íàéòè äâóãðàííûé óãîë ìåæäó
ýòèì ñå÷åíèåì è íèæíåé ãðàíüþ.
q Ïîñòðîèì ÐDFK = a — ïëîñêèé óãîë èñêîìîãî äâóãðàííîãî óãëà. Çäåñü AF — ðåáðî äâóãðàííîãî
óãëà; DF^AF, òàê êàê ñå÷åíèå — ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê, à óãîë DFA îïèðàåòñÿ íà äèàìåòð; KF^AF, ïîñêîëüêó ýòè îòðåçêè ñîåäèíÿþò
ñåðåäèíû ñòîðîí êâàäðàòà. Ïóñòü à — ðåáðî êóáà.
Òîãäà DK = a, FK = 0,5 2a, îòêóäà tg a = 2 è
a = arctg 2. n
493
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
Ðèñ. 271
Ðèñ. 272
Ðèñ. 273
Ðèñ. 274
§ 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû
306. Äâóãðàííûé óãîë. Äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïëîñêîñòè ðàçáèâàþò ïðîñòðàíñòâî íà ÷åòûðå ÷àñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ íàçûâàåòñÿ äâóãðàííûì óãëîì. Òàêèì îáðàçîì, äâóãðàííûé óãîë îáðàçîâàí äâóìÿ ïî492
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû
ëóïëîñêîñòÿìè, íàçûâàåìûìè ãðàíÿìè; ëèíèÿ èõ
ïåðåñå÷åíèÿ íàçûâàåòñÿ ðåáðîì äâóãðàííîãî óãëà.
Ïðîâåäåì ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ðåáðó äâóãðàííîãî óãëà. Óãîë, ïîëó÷åííûé â ñå÷åíèè (ðèñ. 274),
íàçûâàåòñÿ ïëîñêèì (ëèíåéíûì) óãëîì äâóãðàííîãî óãëà. Ýòîò ïëîñêèé óãîë ïðèíèìàåòñÿ çà ìåðó
äâóãðàííîãî óãëà.
Äâå ïëîñêîñòè, îáðàçóþùèå ïðÿìîé äâóãðàííûé
óãîë, íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè.
Ò.10.11. Äâå ïëîñêîñòè âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îäíà èç íèõ ñîäåðæèò ïåðïåíäèêóëÿð ê äðóãîé ïëîñêîñòè (ïðèçíàê
ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè äâóõ ïëîñêîñòåé).
Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò.10.12. Ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïëîñêîñòåé, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ òðåòüåé ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíà ýòîé ïëîñêîñòè.
Íàïðèìåð, â êóáå âñå âåðòèêàëüíûå ãðàíè ïåðïåíäèêóëÿðíû íèæíåé ãðàíè è âñå âåðòèêàëüíûå
ðåáðà (ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ âåðòèêàëüíûõ ãðàíåé) òàêæå ïåðïåíäèêóëÿðíû íèæíåé ãðàíè.
Ï ð è ì å ð.  êóáå ïðîâåäåíî ñå÷åíèå ABCDEF
(ðèñ. 275), ãäå òî÷êè A, B, C, D, E, F — ñåðåäèíû ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåáåð. Íàéòè äâóãðàííûé óãîë ìåæäó
ýòèì ñå÷åíèåì è íèæíåé ãðàíüþ.
q Ïîñòðîèì ÐDFK = a — ïëîñêèé óãîë èñêîìîãî äâóãðàííîãî óãëà. Çäåñü AF — ðåáðî äâóãðàííîãî
óãëà; DF^AF, òàê êàê ñå÷åíèå — ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê, à óãîë DFA îïèðàåòñÿ íà äèàìåòð; KF^AF, ïîñêîëüêó ýòè îòðåçêè ñîåäèíÿþò
ñåðåäèíû ñòîðîí êâàäðàòà. Ïóñòü à — ðåáðî êóáà.
Òîãäà DK = a, FK = 0,5 2a, îòêóäà tg a = 2 è
a = arctg 2. n
493
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû
Ðèñ. 277
Ðèñ. 275
Ðèñ. 276
307. Òðåõãðàííûé óãîë. Ôèãóðà, îáðàçîâàííàÿ
òðåìÿ ëó÷àìè, âûõîäÿùèìè èç îäíîé òî÷êè è íå ëåæàùèìè â îäíîé ïëîñêîñòè, è òðåìÿ ÷àñòÿìè ïëîñêîñòåé, çàêëþ÷åííûõ ìåæäó ýòèìè ëó÷àìè, íàçûâàåòñÿ òðåõãðàííûì óãëîì (ðèñ. 276). Òî÷êà À íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé óãëà, ëó÷è — åãî ðåáðàìè, à ÷àñòè ïëîñêîñòåé — ãðàíÿìè. Ãðàíè òðåõãðàííîãî óãëà
íàçûâàþòñÿ åãî ïëîñêèìè óãëàìè. Óãëû ìåæäó ïëîñêèìè ãðàíÿìè íàçûâàþòñÿ äâóãðàííûìè óãëàìè
äàííîãî òðåõãðàííîãî óãëà.
Ò.10.13. Â òðåõãðàííîì óãëå êàæäûé ïëîñêèé óãîë
ìåíüøå ñóììû äâóõ äðóãèõ óãëîâ.
Ï ð è ì å ð. Ïëîñêèå óãëû a, b, g òðåõãðàííîãî
óãëà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 45°, 30° è 60°. Íàéòè åãî
äâóãðàííûå óãëû (ðèñ. 277).
494
q Îòëîæèì íà ðåáðå òðåõãðàííîãî óãëà îòðåçîê
ÎÀ = 1 è ïðîâåäåì ñå÷åíèå ÀÂÑ, ïåðïåíäèêóëÿðíîå
ýòîìó ðåáðó. Ïóñòü ÐAOB = 45°, ÐAOC = 30°, ÐBOC =
= 60°. Èñêîìûé óãîë ÑÀ îáîçíà÷èì ÷åðåç j (òàê
æå îáîçíà÷èì è ñîîòâåòñòâóþùèé äâóãðàííûé óãîë;
äâóãðàííûå óãëû Πè ÎÑ îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç f è q). Èìååì AB = tg45° = 1, AC =
3
1
1
2 3
= 2, OC =
=
, OB =
.
3
cos 45°
cos 30°
3
Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ â D OBC :
= tg 30° =
BC 2 = OB 2 + OC 2 - 2OB × OC × cos 60° =
= 2+
4 2 6 2
= (5 - 6 ).
3
3
5
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç D ABC :
BC2 = AB2 + AC2 - 2 AB × AC × cos j =
495
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû
Ðèñ. 277
Ðèñ. 275
Ðèñ. 276
307. Òðåõãðàííûé óãîë. Ôèãóðà, îáðàçîâàííàÿ
òðåìÿ ëó÷àìè, âûõîäÿùèìè èç îäíîé òî÷êè è íå ëåæàùèìè â îäíîé ïëîñêîñòè, è òðåìÿ ÷àñòÿìè ïëîñêîñòåé, çàêëþ÷åííûõ ìåæäó ýòèìè ëó÷àìè, íàçûâàåòñÿ òðåõãðàííûì óãëîì (ðèñ. 276). Òî÷êà À íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé óãëà, ëó÷è — åãî ðåáðàìè, à ÷àñòè ïëîñêîñòåé — ãðàíÿìè. Ãðàíè òðåõãðàííîãî óãëà
íàçûâàþòñÿ åãî ïëîñêèìè óãëàìè. Óãëû ìåæäó ïëîñêèìè ãðàíÿìè íàçûâàþòñÿ äâóãðàííûìè óãëàìè
äàííîãî òðåõãðàííîãî óãëà.
Ò.10.13. Â òðåõãðàííîì óãëå êàæäûé ïëîñêèé óãîë
ìåíüøå ñóììû äâóõ äðóãèõ óãëîâ.
Ï ð è ì å ð. Ïëîñêèå óãëû a, b, g òðåõãðàííîãî
óãëà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 45°, 30° è 60°. Íàéòè åãî
äâóãðàííûå óãëû (ðèñ. 277).
494
q Îòëîæèì íà ðåáðå òðåõãðàííîãî óãëà îòðåçîê
ÎÀ = 1 è ïðîâåäåì ñå÷åíèå ÀÂÑ, ïåðïåíäèêóëÿðíîå
ýòîìó ðåáðó. Ïóñòü ÐAOB = 45°, ÐAOC = 30°, ÐBOC =
= 60°. Èñêîìûé óãîë ÑÀ îáîçíà÷èì ÷åðåç j (òàê
æå îáîçíà÷èì è ñîîòâåòñòâóþùèé äâóãðàííûé óãîë;
äâóãðàííûå óãëû Πè ÎÑ îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç f è q). Èìååì AB = tg45° = 1, AC =
3
1
1
2 3
= 2, OC =
=
, OB =
.
3
cos 45°
cos 30°
3
Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ â D OBC :
= tg 30° =
BC 2 = OB 2 + OC 2 - 2OB × OC × cos 60° =
= 2+
4 2 6 2
= (5 - 6 ).
3
3
5
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç D ABC :
BC2 = AB2 + AC2 - 2 AB × AC × cos j =
495
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
= 1+
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû
4 2 3
1 2 3
cos j = cos j.
3
3
3
3
Òàêèì îáðàçîì,
4 2 3
2
cos j = (5 - 6 ),
3
3
3
îòêóäà
3 cos j = 6 - 3, cos j = 2 - 3 » -0,318 è
j = arccos (-0,318) » 108,5°.
Àíàëîãè÷íî íàéäåì cos f = 2 -
= arccos 0,837 » 33,2° è cos q =
3
» 0,837, f =
3
2 6
- 1 » 0,633, q =
3
= arccos 0,633 » 50,1°. n
Ìåæäó ïëîñêèìè è äâóãðàííûìè óãëàìè òðåõãðàííîãî óãëà ñóùåñòâóþò ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ
(ñîõðàíèì îáîçíà÷åíèÿ, óêàçàííûå â ïðèìåðå):
Ðèñ. 278
âåðøèíîé (ðèñ. 278), ïðè÷åì êàæäûé èç ïëîñêèõ
óãëîâ ìåíüøå ðàçâåðíóòîãî. Ìíîãîãðàííûé óãîë íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè îí ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó
îò ïëîñêîñòè êàæäîé èç ñâîèõ ãðàíåé.
Ñóììà äâóãðàííûõ óãëîâ n-ãðàííîãî óãëà çàêëþ÷åíà ìåæäó 180° (n – 2) è 180°n.
sin j sin f sin q
=
=
.
sin g
sin b sin a
Ò.10.14. Ñóììà ïëîñêèõ óãëîâ òðåõãðàííîãî óãëà
ìåíüøå 360°.
Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âûïóêëîãî ìíîãîãðàííîãî óãëà.
Ìíîãîãðàííûì óãëîì íàçûâàåòñÿ ôèãóðà, îãðàíè÷åííàÿ íåñêîëüêèìè ïëîñêèìè óãëàìè ñ îáùåé
496
497
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
= 1+
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû
4 2 3
1 2 3
cos j = cos j.
3
3
3
3
Òàêèì îáðàçîì,
4 2 3
2
cos j = (5 - 6 ),
3
3
3
îòêóäà
3 cos j = 6 - 3, cos j = 2 - 3 » -0,318 è
j = arccos (-0,318) » 108,5°.
Àíàëîãè÷íî íàéäåì cos f = 2 -
= arccos 0,837 » 33,2° è cos q =
3
» 0,837, f =
3
2 6
- 1 » 0,633, q =
3
= arccos 0,633 » 50,1°. n
Ìåæäó ïëîñêèìè è äâóãðàííûìè óãëàìè òðåõãðàííîãî óãëà ñóùåñòâóþò ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ
(ñîõðàíèì îáîçíà÷åíèÿ, óêàçàííûå â ïðèìåðå):
Ðèñ. 278
âåðøèíîé (ðèñ. 278), ïðè÷åì êàæäûé èç ïëîñêèõ
óãëîâ ìåíüøå ðàçâåðíóòîãî. Ìíîãîãðàííûé óãîë íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè îí ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó
îò ïëîñêîñòè êàæäîé èç ñâîèõ ãðàíåé.
Ñóììà äâóãðàííûõ óãëîâ n-ãðàííîãî óãëà çàêëþ÷åíà ìåæäó 180° (n – 2) è 180°n.
sin j sin f sin q
=
=
.
sin g
sin b sin a
Ò.10.14. Ñóììà ïëîñêèõ óãëîâ òðåõãðàííîãî óãëà
ìåíüøå 360°.
Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âûïóêëîãî ìíîãîãðàííîãî óãëà.
Ìíîãîãðàííûì óãëîì íàçûâàåòñÿ ôèãóðà, îãðàíè÷åííàÿ íåñêîëüêèìè ïëîñêèìè óãëàìè ñ îáùåé
496
497
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
Ðàçäåë XI
ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÈ È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
308. Îáùèå ïîíÿòèÿ. Ðàññìîòðèì òåëî, îãðàíè÷åííîå çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ, ñîñòîÿùåé èç ïëîñêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ. Êàæäûé ìíîãîóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ ãðàíüþ, à ñàìî òåëî — ìíîãîãðàííèêîì.
Ïðè ýòîì ëþáàÿ ñòîðîíà êàæäîãî ìíîãîóãîëüíèêà
ÿâëÿåòñÿ òàêæå ñòîðîíîé åùå îäíîãî è òîëüêî îäíîãî ìíîãîóãîëüíèêà,à ëþáûå äâà ìíîãîóãîëüíèêà
èìåþò ëèáî îáùóþ ñòîðîíó, ëèáî îáùóþ âåðøèíó,
ëèáî íå èìåþò îáùèõ òî÷åê. Ñòîðîíû ãðàíåé ìíîãîãðàííèêà íàçûâàþòñÿ åãî ðåáðàìè, à âåðøèíû
ýòèõ ãðàíåé — âåðøèíàìè ìíîãîãðàííèêà (ðèñ.
279). Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé äâå âåðøèíû, íå ïðèíàäëåæàùèå îäíîé ãðàíè, íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüþ
ìíîãîãðàííèêà.
Ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè îí ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó îò ïëîñêîñòè ëþáîé èç ñâîèõ
ãðàíåé. Âñå ìíîãîãðàííèêè, èçîáðàæåííûå íà ðèñ.
279, — âûïóêëûå.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè.
Ðèñ. 279
498
Ïóñòü à — ÷èñëî ãðàíåé,  — ÷èñëî âåðøèí, à
Ð — ÷èñëî ðåáåð ìíîãîãðàííèêà.
Ò.11.1. Äëÿ ëþáîãî ìíîãîãðàííèêà âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå  + à – Ð = 2, ò. å. ÷èñëî âåðøèí ïëþñ
÷èñëî ãðàíåé ìèíóñ ÷èñëî ðåáåð ðàâíî 2 (òåîðåìà
Ýéëåðà).
Ò.11.2. Â âûïóêëîì ìíîãîãðàííèêå ñóììà âñåõ ïëîñêèõ óãëîâ ïðè êàæäîé èç âåðøèí ìåíüøå 360°.
309. Ïðàâèëüíûå ìíîãîãðàííèêè. Ìíîãîãðàííèê
íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíûì, åñëè âñå åãî ãðàíè — ðàâíûå ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè è âñå ìíîãîãðàííûå óãëû ïðè âåðøèíå ðàâíû ìåæäó ñîáîé.
Ãðàíÿìè ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ ìîãóò áûòü
òîëüêî ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè, êâàäðàòû è ïðàâèëüíûå ïÿòèóãîëüíèêè. Èç ýòèõ ýëåìåíòîâ ìîæíî
ïîñòðîèòü ïÿòü ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ. Âñå ïðàâèëüíûå ìíîãîãðàííèêè äàííîãî òèïà ïîäîáíû. Ðàññìîòðèì òèïû ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ.
1. Ïðàâèëüíûé òåòðàýäð (ðèñ. 280). Ýòî ÷åòûðåõãðàííèê, êàæäàÿ ãðàíü êîòîðîãî — ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ òðè ãðàíè.
Ðèñ. 280
Ðèñ. 281
499
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
Ðàçäåë XI
ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÈ È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
308. Îáùèå ïîíÿòèÿ. Ðàññìîòðèì òåëî, îãðàíè÷åííîå çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ, ñîñòîÿùåé èç ïëîñêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ. Êàæäûé ìíîãîóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ ãðàíüþ, à ñàìî òåëî — ìíîãîãðàííèêîì.
Ïðè ýòîì ëþáàÿ ñòîðîíà êàæäîãî ìíîãîóãîëüíèêà
ÿâëÿåòñÿ òàêæå ñòîðîíîé åùå îäíîãî è òîëüêî îäíîãî ìíîãîóãîëüíèêà,à ëþáûå äâà ìíîãîóãîëüíèêà
èìåþò ëèáî îáùóþ ñòîðîíó, ëèáî îáùóþ âåðøèíó,
ëèáî íå èìåþò îáùèõ òî÷åê. Ñòîðîíû ãðàíåé ìíîãîãðàííèêà íàçûâàþòñÿ åãî ðåáðàìè, à âåðøèíû
ýòèõ ãðàíåé — âåðøèíàìè ìíîãîãðàííèêà (ðèñ.
279). Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé äâå âåðøèíû, íå ïðèíàäëåæàùèå îäíîé ãðàíè, íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüþ
ìíîãîãðàííèêà.
Ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè îí ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó îò ïëîñêîñòè ëþáîé èç ñâîèõ
ãðàíåé. Âñå ìíîãîãðàííèêè, èçîáðàæåííûå íà ðèñ.
279, — âûïóêëûå.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè.
Ðèñ. 279
498
Ïóñòü à — ÷èñëî ãðàíåé,  — ÷èñëî âåðøèí, à
Ð — ÷èñëî ðåáåð ìíîãîãðàííèêà.
Ò.11.1. Äëÿ ëþáîãî ìíîãîãðàííèêà âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå  + à – Ð = 2, ò. å. ÷èñëî âåðøèí ïëþñ
÷èñëî ãðàíåé ìèíóñ ÷èñëî ðåáåð ðàâíî 2 (òåîðåìà
Ýéëåðà).
Ò.11.2. Â âûïóêëîì ìíîãîãðàííèêå ñóììà âñåõ ïëîñêèõ óãëîâ ïðè êàæäîé èç âåðøèí ìåíüøå 360°.
309. Ïðàâèëüíûå ìíîãîãðàííèêè. Ìíîãîãðàííèê
íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíûì, åñëè âñå åãî ãðàíè — ðàâíûå ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè è âñå ìíîãîãðàííûå óãëû ïðè âåðøèíå ðàâíû ìåæäó ñîáîé.
Ãðàíÿìè ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ ìîãóò áûòü
òîëüêî ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè, êâàäðàòû è ïðàâèëüíûå ïÿòèóãîëüíèêè. Èç ýòèõ ýëåìåíòîâ ìîæíî
ïîñòðîèòü ïÿòü ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ. Âñå ïðàâèëüíûå ìíîãîãðàííèêè äàííîãî òèïà ïîäîáíû. Ðàññìîòðèì òèïû ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ.
1. Ïðàâèëüíûé òåòðàýäð (ðèñ. 280). Ýòî ÷åòûðåõãðàííèê, êàæäàÿ ãðàíü êîòîðîãî — ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ òðè ãðàíè.
Ðèñ. 280
Ðèñ. 281
499
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
Ðèñ. 284
Ðèñ. 282
Ðèñ. 283
2. Ïðàâèëüíûé øåñòèãðàííèê — êóá (ðèñ. 281).
Êàæäàÿ ãðàíü êóáà — ýòî êâàäðàò, à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ òðè ãðàíè.
3. Ïðàâèëüíûé âîñüìèãðàííèê — îêòàýäð
(ðèñ. 282). Åãî ãðàíè — ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè,
à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ ÷åòûðå ãðàíè.
4. Ïðàâèëüíûé äâåíàäöàòèãðàííèê — äîäåêàýäð (ðèñ. 283). Åãî ãðàíè — ïðàâèëüíûå ïÿòèóãîëüíèêè, à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ òðè ãðàíè.
5. Ïðàâèëüíûé äâàäöàòèãðàííèê — èêîñàýäð
(ðèñ 284). Åãî ãðàíè — ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè, à
â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ ïÿòü ãðàíåé.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè óãîë íàêëîíà ðåáðà FA
ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà FABC (ðèñ. 285) ê ïëîñêîñòè ÀÂÑ.
q Ïóñòü ðåáðî òåòðàýäðà ðàâíî à. Ïðîâåäåì ïåðïåíäèêóëÿð FO ê ïëîñêîñòè ÀÂÑ; òîãäà óãîë OAF —
èñêîìûé. Òàê êàê òî÷êà Î — öåíòð D ABC
500
Ðèñ. 285
è AO =
3
a 3
, ò. å. j =
(ñì. ï. 293), òî cos j =
3
3
3
.n
3
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè äâóãðàííûå óãëû ïðè ðåáðàõ îêòàýäðà.
q Ïðîâåäåì ñå÷åíèå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå ðåáðàì
ÂÑ è DE (ðèñ. 286), ïðîõîäÿùåå ÷åðåç âåðøèíû À è
F; óãîë j = ÐAMF — èñêîìûé (ñì. ï. 306). Ïóñòü
= arccos
a
a 3
(âû, AM =
2
2
j
ñîòà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà), ÐAMN = . Çíà÷èò,
2
à — ðåáðî îêòàýäðà; òîãäà MO =
501
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
Ðèñ. 284
Ðèñ. 282
Ðèñ. 283
2. Ïðàâèëüíûé øåñòèãðàííèê — êóá (ðèñ. 281).
Êàæäàÿ ãðàíü êóáà — ýòî êâàäðàò, à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ òðè ãðàíè.
3. Ïðàâèëüíûé âîñüìèãðàííèê — îêòàýäð
(ðèñ. 282). Åãî ãðàíè — ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè,
à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ ÷åòûðå ãðàíè.
4. Ïðàâèëüíûé äâåíàäöàòèãðàííèê — äîäåêàýäð (ðèñ. 283). Åãî ãðàíè — ïðàâèëüíûå ïÿòèóãîëüíèêè, à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ òðè ãðàíè.
5. Ïðàâèëüíûé äâàäöàòèãðàííèê — èêîñàýäð
(ðèñ 284). Åãî ãðàíè — ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè, à
â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ ïÿòü ãðàíåé.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè óãîë íàêëîíà ðåáðà FA
ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà FABC (ðèñ. 285) ê ïëîñêîñòè ÀÂÑ.
q Ïóñòü ðåáðî òåòðàýäðà ðàâíî à. Ïðîâåäåì ïåðïåíäèêóëÿð FO ê ïëîñêîñòè ÀÂÑ; òîãäà óãîë OAF —
èñêîìûé. Òàê êàê òî÷êà Î — öåíòð D ABC
500
Ðèñ. 285
è AO =
3
a 3
, ò. å. j =
(ñì. ï. 293), òî cos j =
3
3
3
.n
3
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè äâóãðàííûå óãëû ïðè ðåáðàõ îêòàýäðà.
q Ïðîâåäåì ñå÷åíèå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå ðåáðàì
ÂÑ è DE (ðèñ. 286), ïðîõîäÿùåå ÷åðåç âåðøèíû À è
F; óãîë j = ÐAMF — èñêîìûé (ñì. ï. 306). Ïóñòü
= arccos
a
a 3
(âû, AM =
2
2
j
ñîòà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà), ÐAMN = . Çíà÷èò,
2
à — ðåáðî îêòàýäðà; òîãäà MO =
501
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
cos
j
MO
1
=
=
AM
2
3
=-
æ 1ö
1
. Èòàê, j = arccosç - ÷. n
3
è 3ø
è
cos j = 2 cos2
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
j
2
-1= -1 =
2
3
310. Ïðèçìà, ïàðàëëåëåïèïåä, êóá. Ìíîãîãðàííèê, äâå ãðàíè êîòîðîãî — ðàâíûå ìíîãîóãîëüíèêè,
ðàñïîëîæåííûå â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ, à îñòàëüíûå ãðàíè — ïàðàëëåëîãðàììû, íàçûâàåòñÿ ïðèçìîé
(ðèñ. 287).  çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà ñòîðîí îñíîâàíèÿ
ïðèçìà íàçûâàåòñÿ òðåóãîëüíîé, ÷åòûðåõóãîëüíîé è
ò. ä. Ìíîãîóãîëüíèêè ABCDE è A1B1C1D1E1 íàçûâàþòñÿ îñíîâàíèÿìè ïðèçìû, ïàðàëëåëîãðàììû
ÀÀ1Â1Â, ÂÂ1Ñ1Ñ è ò. ä. — áîêîâûìè ãðàíÿìè, à îòðåçêè ÀÀ1, ÂÂ1 è ò. ä. — áîêîâûìè ðåáðàìè. Âûñîòîé ïðèçìû íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèå ìåæäó åå îñíîâíèÿìè. Îòðåçîê, êîòîðûé ñîåäèíÿåò äâå âåðøèíû, íå
ïðèíàäëåæàùèå îäíîé ãðàíè, íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüþ ïðèçìû.
Äèàãîíàëüíûì ñå÷åíèåì ïðèçìû íàçûâàåòñÿ ñå÷åíèå, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç äâà áîêîâûõ ðåáðà, íå ïðèíàäëåæàùèå îäíîé ãðàíè (íà ðèñ. 287 — ýòî ïàðàëëåëîãðàìì AA1D1D ).
Ïåðïåíäèêóëÿðíûì ñå÷åíèåì ïðèçìû íàçûâàåòñÿ ñå÷åíèå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå åå áîêîâîìó ðåáðó
(íà ðèñ. 287 — ýòî ìíîãîóãîëüíèê A ¢B¢C ¢D ¢E¢ ).
Åñëè áîêîâûå ðåáðà ïðèçìû ïåðïåíäèêóëÿðíû
îñíîâàíèþ, òî ïðèçìà íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå — íàêëîííîé (â ïðÿìîé ïðèçìå ïåðïåíäèêóëÿðíîå ñå÷åíèå ïàðàëëåëüíî îñíîâàíèþ èëè ñîâïàäàåò ñ íèì).
502
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðèñ. 286
Ðèñ. 287
Ïðÿìàÿ ïðèçìà, îñíîâàíèåì êîòîðîé ñëóæèò ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé
(çà èñêëþ÷åíèåì êóáà ïðàâèëüíàÿ ïðèçìà íå ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì ìíîãîãðàííèêîì).
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû — ýòî ñóììà ïëîùàäåé âñåõ åå áîêîâûõ ãðàíåé; ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü
ïðèçìû — ýòî ñóììà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè è ïëîùàäåé åå îñíîâàíèé.
Îáúåì ïðèçìû ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè åå
îñíîâàíèÿ S íà âûñîòó h èëè ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè åå ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ Sñå÷ íà áîêîâîå ðåáðî l:
V = Sh;
(1)
V = Sñå÷l.
(2)
503
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
cos
j
MO
1
=
=
AM
2
3
=-
æ 1ö
1
. Èòàê, j = arccosç - ÷. n
3
è 3ø
è
cos j = 2 cos2
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
j
2
-1= -1 =
2
3
310. Ïðèçìà, ïàðàëëåëåïèïåä, êóá. Ìíîãîãðàííèê, äâå ãðàíè êîòîðîãî — ðàâíûå ìíîãîóãîëüíèêè,
ðàñïîëîæåííûå â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ, à îñòàëüíûå ãðàíè — ïàðàëëåëîãðàììû, íàçûâàåòñÿ ïðèçìîé
(ðèñ. 287).  çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà ñòîðîí îñíîâàíèÿ
ïðèçìà íàçûâàåòñÿ òðåóãîëüíîé, ÷åòûðåõóãîëüíîé è
ò. ä. Ìíîãîóãîëüíèêè ABCDE è A1B1C1D1E1 íàçûâàþòñÿ îñíîâàíèÿìè ïðèçìû, ïàðàëëåëîãðàììû
ÀÀ1Â1Â, ÂÂ1Ñ1Ñ è ò. ä. — áîêîâûìè ãðàíÿìè, à îòðåçêè ÀÀ1, ÂÂ1 è ò. ä. — áîêîâûìè ðåáðàìè. Âûñîòîé ïðèçìû íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèå ìåæäó åå îñíîâíèÿìè. Îòðåçîê, êîòîðûé ñîåäèíÿåò äâå âåðøèíû, íå
ïðèíàäëåæàùèå îäíîé ãðàíè, íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüþ ïðèçìû.
Äèàãîíàëüíûì ñå÷åíèåì ïðèçìû íàçûâàåòñÿ ñå÷åíèå, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç äâà áîêîâûõ ðåáðà, íå ïðèíàäëåæàùèå îäíîé ãðàíè (íà ðèñ. 287 — ýòî ïàðàëëåëîãðàìì AA1D1D ).
Ïåðïåíäèêóëÿðíûì ñå÷åíèåì ïðèçìû íàçûâàåòñÿ ñå÷åíèå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå åå áîêîâîìó ðåáðó
(íà ðèñ. 287 — ýòî ìíîãîóãîëüíèê A ¢B¢C ¢D ¢E¢ ).
Åñëè áîêîâûå ðåáðà ïðèçìû ïåðïåíäèêóëÿðíû
îñíîâàíèþ, òî ïðèçìà íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå — íàêëîííîé (â ïðÿìîé ïðèçìå ïåðïåíäèêóëÿðíîå ñå÷åíèå ïàðàëëåëüíî îñíîâàíèþ èëè ñîâïàäàåò ñ íèì).
502
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðèñ. 286
Ðèñ. 287
Ïðÿìàÿ ïðèçìà, îñíîâàíèåì êîòîðîé ñëóæèò ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé
(çà èñêëþ÷åíèåì êóáà ïðàâèëüíàÿ ïðèçìà íå ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì ìíîãîãðàííèêîì).
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû — ýòî ñóììà ïëîùàäåé âñåõ åå áîêîâûõ ãðàíåé; ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü
ïðèçìû — ýòî ñóììà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè è ïëîùàäåé åå îñíîâàíèé.
Îáúåì ïðèçìû ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè åå
îñíîâàíèÿ S íà âûñîòó h èëè ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè åå ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ Sñå÷ íà áîêîâîå ðåáðî l:
V = Sh;
(1)
V = Sñå÷l.
(2)
503
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ
ïåðèìåòðà åå ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ Ðñå÷ íà áîêîâîå ðåáðî l:
Sáîê = Ðñå÷l.
(3)
 ÷àñòíîñòè, áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðÿìîé ïðèçìû
ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïåðèìåòðà îñíîâàíèÿ Ð íà âûñîòó ïðèçìû h:
Sáîê = Ðh.
(4)
Ï ð è ì å ð 1. Â íàêëîííîé òðåóãîëüíîé ïðèçìå
ðàññòîÿíèÿ áîêîâûõ ðåáåð äðóã îò äðóãà ðàâíû 13, 14
è 15 ñì, áîêîâîå ðåáðî ðàâíî 5 ñì. Íàéòè áîêîâóþ
ïîâåðõíîñòü è îáúåì ïðèçìû.
q Áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû íàéäåì ïî ôîðìóëå (3): Sáîê = Ðñå÷l, ãäå Ðñå÷=13 + 14 + 15 = 42 (ñì),
l = 5 ñì. Çíà÷èò, S áîê = 210 ñì2. ×òîáû íàéòè îáúåì,
âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (2): V = Sñå÷l, ãäå, ñîãëàñíî
ôîðìóëå Ãåðîíà, èìååì Sñå÷ = 21 × 8 × 7 × 6 = 84 (ñì2).
Èòàê, V = 420 (ñì3). n
Ï ð è ì å ð 2. Îñíîâàíèå ïðÿìîé ïðèçìû —
ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, ó êîòîðîãî ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè ðàâåí 2 3. Íàéòè áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü è îáúåì ïðèçìû, åñëè åå âûñîòà ðàâíà 4.
q Íàéäåì ñòîðîíó îñíîâàíèÿ: a = R 3 (ñì. ï. 293),
ò. å. a = 2 3 × 3 = 6. Ïîýòîìó Ð = 18, îòêóäà, ñîãëàñíî ôîðìóëå (4), Sáîê = 6 · 4 = 24 (ñì2). Äàëåå, â ñèëó
ôîðìóëû (1) èìååì
V = Sh =
504
36 × 3
× 4 = 36 3 (ñì3). n
4
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
Ïðèçìà, îñíîâàíèåì êîòîðîé ñëóæèò ïàðàëëåëîãðàìì, íàçûâàåòñÿ ïàðàëëåëåïèïåäîì. Òàêèì îáðàçîì, ïàðàëëåëåïèïåä — ýòî øåñòèãðàííèê, âñå ãðàíè
êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ïàðàëëåëîãðàììàìè. Ëþáóþ èç
ãðàíåé ìîæíî ïðèíÿòü çà îñíîâàíèå. Ïàðàëëåëåïèïåä èìååò ÷åòûðå äèàãîíàëè, êîòîðûå ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå è äåëÿòñÿ â íåé ïîïîëàì.
Åñëè áîêîâûå ðåáðà ïàðàëëåëåïèïåäà ïåðïåíäèêóëÿðíû îñíîâàíèþ, òî ïàðàëëåëåïèïåä íàçûâàåòñÿ
ïðÿìûì. Âñå áîêîâûå ãðàíè ïðÿìîãî ïàðàëëåëåïèïåäà — ïðÿìîóãîëüíèêè.
Òàê êàê ïàðàëëåëåïèïåä — ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé
ïðèçìû, òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ åãî îáúåìà è áîêîâîé
ïîâåðõíîñòè ñïðàâåäëèâû òå æå ôîðìóëû (1) — (4),
÷òî è äëÿ ïðèçìû. Îòìåòèì åùå, ÷òî îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a , b , c , ðàâåí
àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ
âåêòîðîâ (ñì. ï. 302).
Ï ð è ì å ð 3. Îñíîâàíèå ïðÿìîãî ïàðàëëåëåïèïåäà — ðîìá, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà 50 ñì2. Ïëîùàäè
äèàãîíàëüíûõ ñå÷åíèé ðàâíû 30 è 40 ñì2. Íàéòè îáúåì
è áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïàðàëëåëåïèïåäà.
q Èìååì V = 50h, ãäå h íóæíî íàéòè. Òàê êàê
ABCD — ðîìá (ðèñ. 288), òî 50 = 0,5 × AC × BD.
Òåïåðü, ó÷èòûâàÿ, ÷òî AC × h = 30, BD × h = 40, íàõî-
äèì AC =
=
30
40
, BD =
. Îòñþäà ïîëó÷àåì 100 =
h
h
30 40
×
, ò. å. h = 12 = 2 3 (ñì). Çíà÷èò, V =
h h
2
= 100 3 (ñì3). Äàëåå, èç D COD ñëåäóåò, ÷òî CD =
505
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ
ïåðèìåòðà åå ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ Ðñå÷ íà áîêîâîå ðåáðî l:
Sáîê = Ðñå÷l.
(3)
 ÷àñòíîñòè, áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðÿìîé ïðèçìû
ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïåðèìåòðà îñíîâàíèÿ Ð íà âûñîòó ïðèçìû h:
Sáîê = Ðh.
(4)
Ï ð è ì å ð 1. Â íàêëîííîé òðåóãîëüíîé ïðèçìå
ðàññòîÿíèÿ áîêîâûõ ðåáåð äðóã îò äðóãà ðàâíû 13, 14
è 15 ñì, áîêîâîå ðåáðî ðàâíî 5 ñì. Íàéòè áîêîâóþ
ïîâåðõíîñòü è îáúåì ïðèçìû.
q Áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû íàéäåì ïî ôîðìóëå (3): Sáîê = Ðñå÷l, ãäå Ðñå÷=13 + 14 + 15 = 42 (ñì),
l = 5 ñì. Çíà÷èò, S áîê = 210 ñì2. ×òîáû íàéòè îáúåì,
âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (2): V = Sñå÷l, ãäå, ñîãëàñíî
ôîðìóëå Ãåðîíà, èìååì Sñå÷ = 21 × 8 × 7 × 6 = 84 (ñì2).
Èòàê, V = 420 (ñì3). n
Ï ð è ì å ð 2. Îñíîâàíèå ïðÿìîé ïðèçìû —
ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, ó êîòîðîãî ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè ðàâåí 2 3. Íàéòè áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü è îáúåì ïðèçìû, åñëè åå âûñîòà ðàâíà 4.
q Íàéäåì ñòîðîíó îñíîâàíèÿ: a = R 3 (ñì. ï. 293),
ò. å. a = 2 3 × 3 = 6. Ïîýòîìó Ð = 18, îòêóäà, ñîãëàñíî ôîðìóëå (4), Sáîê = 6 · 4 = 24 (ñì2). Äàëåå, â ñèëó
ôîðìóëû (1) èìååì
V = Sh =
504
36 × 3
× 4 = 36 3 (ñì3). n
4
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
Ïðèçìà, îñíîâàíèåì êîòîðîé ñëóæèò ïàðàëëåëîãðàìì, íàçûâàåòñÿ ïàðàëëåëåïèïåäîì. Òàêèì îáðàçîì, ïàðàëëåëåïèïåä — ýòî øåñòèãðàííèê, âñå ãðàíè
êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ïàðàëëåëîãðàììàìè. Ëþáóþ èç
ãðàíåé ìîæíî ïðèíÿòü çà îñíîâàíèå. Ïàðàëëåëåïèïåä èìååò ÷åòûðå äèàãîíàëè, êîòîðûå ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå è äåëÿòñÿ â íåé ïîïîëàì.
Åñëè áîêîâûå ðåáðà ïàðàëëåëåïèïåäà ïåðïåíäèêóëÿðíû îñíîâàíèþ, òî ïàðàëëåëåïèïåä íàçûâàåòñÿ
ïðÿìûì. Âñå áîêîâûå ãðàíè ïðÿìîãî ïàðàëëåëåïèïåäà — ïðÿìîóãîëüíèêè.
Òàê êàê ïàðàëëåëåïèïåä — ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé
ïðèçìû, òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ åãî îáúåìà è áîêîâîé
ïîâåðõíîñòè ñïðàâåäëèâû òå æå ôîðìóëû (1) — (4),
÷òî è äëÿ ïðèçìû. Îòìåòèì åùå, ÷òî îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a , b , c , ðàâåí
àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ
âåêòîðîâ (ñì. ï. 302).
Ï ð è ì å ð 3. Îñíîâàíèå ïðÿìîãî ïàðàëëåëåïèïåäà — ðîìá, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà 50 ñì2. Ïëîùàäè
äèàãîíàëüíûõ ñå÷åíèé ðàâíû 30 è 40 ñì2. Íàéòè îáúåì
è áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïàðàëëåëåïèïåäà.
q Èìååì V = 50h, ãäå h íóæíî íàéòè. Òàê êàê
ABCD — ðîìá (ðèñ. 288), òî 50 = 0,5 × AC × BD.
Òåïåðü, ó÷èòûâàÿ, ÷òî AC × h = 30, BD × h = 40, íàõî-
äèì AC =
=
30
40
, BD =
. Îòñþäà ïîëó÷àåì 100 =
h
h
30 40
×
, ò. å. h = 12 = 2 3 (ñì). Çíà÷èò, V =
h h
2
= 100 3 (ñì3). Äàëåå, èç D COD ñëåäóåò, ÷òî CD =
505
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ñóììó êâàäðàòîâ ñèíóñîâ
óãëîâ, êîòîðûå äèàãîíàëü ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà îáðàçóåò ñ åãî ðåáðàìè.
q Ïóñòü à, b, c — èçìåðåíèÿ ïàðàëëåëåïèïåäà, à
a, b, g — óãëû, êîòîðûå äèàãîíàëü d îáðàçóåò ñ åãî
ðåáðàìè. Òîãäà
a = d cos a, b = d cos b, c = d cos g
(ðèñ. 289). Íî a + b2 + c2 = d 2 , îòêóäà d2 (cos2 a +
2
Ðèñ. 288
Ðèñ. 289
+ cos2 b + cos2 g) = d2 , èëè cos2 a + cos2 b + cos2 g =
= 1. Òàê êàê cos2 a = 1 - sin2 a, cos2 b = 1 - sin2 b,
cos2 g = 1 - sin2 g,
2
2
2
2
2
2
æ 30 ö
æ 40 ö
30 + 40
æ AC ö
æ BD ö
÷ +ç
÷ =
=ç
=
÷ +ç
÷ = çç
÷
ç
÷
16 × 3
è 2 ø
è 2 ø
è4 3 ø
è4 3ø
2500
50
=
, ò. å. CD =
(ñì). Îêîí÷àòåëüíî ïîëó48
4 3
4 × 50
× 2 3 = 100 (ñì2). n
4 3
Ïðÿìîé ïàðàëëåëåïèïåä, îñíîâàíèå êîòîðîãî —
ïðÿìîóãîëüíèê, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì. Òàêèì îáðàçîì, ó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà
âñå øåñòü ãðàíåé ÿâëÿþòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêàìè.
Äëèíû òðåõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ðåáåð ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà íàçûâàþòñÿ åãî èçìåðåíèÿìè.
Ò.11.3. Â ïðÿìîóãîëüíîì ïàðàëëåëåïèïåäå êâàäðàò
äèàãîíàëè d ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ òðåõ åãî èçìåðåíèé à, b è ñ, ò .å. d 2 = a2 + b2 + c2.
÷èì Sáîê = 4CD × h =
506
òî
3 - sin2 a - sin2 b - sin2 g = 1,
ò. å. sin2 a + sin2 b + sin2 g = 2. n
Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâåí
ïðîèçâåäåíèþ òðåõ åãî èçìåðåíèé:
V = abc.
(5)
Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä, âñå ãðàíè êîòîðîãî — êâàäðàòû, íàçûâàåòñÿ êóáîì. Âñå ðåáðà êóáà
ðàâíû.
Îáúåì êóáà ðàâåí êóáó åãî ðåáðà, ò. å.
(6)
V = a 3.
Ï ð è ì å ð 5. Íàéòè îáúåì êóáà, åñëè ðàññòîÿíèå îò åãî äèàãîíàëè äî íåïåðåñåêàþùåãîñÿ ñ íåé
ðåáðà ðàâíî d.
q Ðàññòîÿíèå îò ðåáðà ÀÀ1 äî äèàãîíàëè B1D ðàâíî ðàññòîÿíèþ îò ýòîãî ðåáðà äî ïëîñêîñòè ÂÂ1D1D,
ò. å. äëèíå îòðåçêà À1Å (ðèñ. 290). Ïóñòü à — ðåáðî
êóáà; òîãäà èç D A1ED1 ñëåäóåò, ÷òî 2d 2 = a2 , îòêóäà a = d 2. Èòàê, V = a3 = 2d 3 2. n
507
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ñóììó êâàäðàòîâ ñèíóñîâ
óãëîâ, êîòîðûå äèàãîíàëü ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà îáðàçóåò ñ åãî ðåáðàìè.
q Ïóñòü à, b, c — èçìåðåíèÿ ïàðàëëåëåïèïåäà, à
a, b, g — óãëû, êîòîðûå äèàãîíàëü d îáðàçóåò ñ åãî
ðåáðàìè. Òîãäà
a = d cos a, b = d cos b, c = d cos g
(ðèñ. 289). Íî a + b2 + c2 = d 2 , îòêóäà d2 (cos2 a +
2
Ðèñ. 288
Ðèñ. 289
+ cos2 b + cos2 g) = d2 , èëè cos2 a + cos2 b + cos2 g =
= 1. Òàê êàê cos2 a = 1 - sin2 a, cos2 b = 1 - sin2 b,
cos2 g = 1 - sin2 g,
2
2
2
2
2
2
æ 30 ö
æ 40 ö
30 + 40
æ AC ö
æ BD ö
÷ +ç
÷ =
=ç
=
÷ +ç
÷ = çç
÷
ç
÷
16 × 3
è 2 ø
è 2 ø
è4 3 ø
è4 3ø
2500
50
=
, ò. å. CD =
(ñì). Îêîí÷àòåëüíî ïîëó48
4 3
4 × 50
× 2 3 = 100 (ñì2). n
4 3
Ïðÿìîé ïàðàëëåëåïèïåä, îñíîâàíèå êîòîðîãî —
ïðÿìîóãîëüíèê, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì. Òàêèì îáðàçîì, ó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà
âñå øåñòü ãðàíåé ÿâëÿþòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêàìè.
Äëèíû òðåõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ðåáåð ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà íàçûâàþòñÿ åãî èçìåðåíèÿìè.
Ò.11.3. Â ïðÿìîóãîëüíîì ïàðàëëåëåïèïåäå êâàäðàò
äèàãîíàëè d ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ òðåõ åãî èçìåðåíèé à, b è ñ, ò .å. d 2 = a2 + b2 + c2.
÷èì Sáîê = 4CD × h =
506
òî
3 - sin2 a - sin2 b - sin2 g = 1,
ò. å. sin2 a + sin2 b + sin2 g = 2. n
Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâåí
ïðîèçâåäåíèþ òðåõ åãî èçìåðåíèé:
V = abc.
(5)
Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä, âñå ãðàíè êîòîðîãî — êâàäðàòû, íàçûâàåòñÿ êóáîì. Âñå ðåáðà êóáà
ðàâíû.
Îáúåì êóáà ðàâåí êóáó åãî ðåáðà, ò. å.
(6)
V = a 3.
Ï ð è ì å ð 5. Íàéòè îáúåì êóáà, åñëè ðàññòîÿíèå îò åãî äèàãîíàëè äî íåïåðåñåêàþùåãîñÿ ñ íåé
ðåáðà ðàâíî d.
q Ðàññòîÿíèå îò ðåáðà ÀÀ1 äî äèàãîíàëè B1D ðàâíî ðàññòîÿíèþ îò ýòîãî ðåáðà äî ïëîñêîñòè ÂÂ1D1D,
ò. å. äëèíå îòðåçêà À1Å (ðèñ. 290). Ïóñòü à — ðåáðî
êóáà; òîãäà èç D A1ED1 ñëåäóåò, ÷òî 2d 2 = a2 , îòêóäà a = d 2. Èòàê, V = a3 = 2d 3 2. n
507
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
Ðèñ. 290
Ðèñ. 291
311. Ïèðàìèäà, óñå÷åííàÿ ïèðàìèäà. Ðàññìîòðèì
ïðîèçâîëüíûé ïëîñêèé ìíîãîóãîëüíèê ABCDE è òî÷êó F, ëåæàùóþ âíå åãî ïëîñêîñòè. Ñîåäèíèì òî÷êó
F ñî âñåìè âåðøèíàìè ìíîãîóãîëüíèêà. Ïîëó÷åííûé
ïðè ýòîì ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ ïèðàìèäîé (ðèñ.
291). Îäíà ãðàíü ïèðàìèäû (ìíîãîóãîëüíèê ABCDE)
íàçûâàåòñÿ åå îñíîâàíèåì, à îñòàëüíûå (òðåóãîëüíèêè FAB, FBC è ò.ä. ñ îáùåé âåðøèíîé) — áîêîâûìè ãðàíÿìè. Òî÷êà F íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé ïèðàìèäû, à îòðåçêè FA, FB è ò. ä. — áîêîâûìè ðåáðàìè.  çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà,
ëåæàùåãî â îñíîâàíèè ïèðàìèäû, ðàçëè÷àþò òðåóãîëüíûå, ÷åòûðåõóãîëüíûå è âîîáùå n-óãîëüíûå ïèðàìèäû.
Çàìåòèì, ÷òî n-óãîëüíàÿ ïèðàìèäà èìååò n + 1
ãðàíü: n áîêîâûõ ãðàíåé è îñíîâàíèå. Ïðè âåðøèíå
ïèðàìèäû îáðàçóåòñÿ n-ãðàííûé óãîë ñ n ïëîñêèìè
è n äâóãðàííûìè óãëàìè. Îíè íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ïëîñêèìè óãëàìè ïðè âåðøèíå è äâóãðàí508
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
íûìè óãëàìè ïðè áîêîâûõ ðåáðàõ. Ïðè êàæäîé âåðøèíå îñíîâàíèÿ èìååòñÿ òðåõãðàííûé óãîë. Åãî ïëîñêèå óãëû, íàçûâàåìûå ïëîñêèìè óãëàìè ïðè îñíîâàíèè, îáðàçîâàíû áîêîâûì ðåáðîì è ðåáðàìè îñíîâàíèÿ. Äâóãðàííûå óãëû ìåæäó áîêîâûìè ãðàíÿìè
è îñíîâàíèåì íàçûâàþòñÿ äâóãðàííûìè óãëàìè ïðè
îñíîâàíèè.
Òðåóãîëüíóþ ïèðàìèäó èíîãäà íàçûâàþò òåòðàýäðîì. Ëþáóþ åå ãðàíü ìîæíî ïðèíÿòü çà îñíîâàíèå.
Âûñîòîé ïèðàìèäû íàçûâàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿð,
îïóùåííûé èç âåðøèíû íà îñíîâàíèå (íà ðèñ. 291
îòðåçîê FH — âûñîòà ïèðàìèäû).
Ïèðàìèäà íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè â åå îñíîâàíèè ëåæèò ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, à âûñîòà
ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ýòîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Çàìåòèì,
÷òî ïðàâèëüíàÿ ïèðàìèäà, êðîìå ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà, íå ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì ìíîãîãðàííèêîì.
Îòìåòèì, ÷òî â ïðàâèëüíîé ïèðàìèäå:
10. Âñå áîêîâûå ðåáðà ðàâíû ìåæäó ñîáîé.
20. Âñå áîêîâûå ãðàíè — ðàâíûå ìåæäó ñîáîé ðàâíîáåäðåííûå òðåóãîëüíèêè.
30. Âñå ïëîñêèå óãëû ïðè âåðøèíå ðàâíû.
40. Âñå äâóãðàííûå óãëû ïðè âåðøèíå ðàâíû.
50. Âñå ïëîñêèå óãëû ïðè îñíîâàíèè ðàâíû.
60. Âñå äâóãðàííûå óãëû ïðè îñíîâàíèè ðàâíû.
Âûñîòà áîêîâîé ãðàíè ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû íàçûâàåòñÿ àïîôåìîé ïèðàìèäû.
Îáúåì ïèðàìèäû ðàâåí îäíîé òðåòè ïðîèçâåäåíèÿ ïëîùàäè åå îñíîâàíèÿ S íà âûñîòó h:
V =
1
Sh.
3
(1)
509
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
Ðèñ. 290
Ðèñ. 291
311. Ïèðàìèäà, óñå÷åííàÿ ïèðàìèäà. Ðàññìîòðèì
ïðîèçâîëüíûé ïëîñêèé ìíîãîóãîëüíèê ABCDE è òî÷êó F, ëåæàùóþ âíå åãî ïëîñêîñòè. Ñîåäèíèì òî÷êó
F ñî âñåìè âåðøèíàìè ìíîãîóãîëüíèêà. Ïîëó÷åííûé
ïðè ýòîì ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ ïèðàìèäîé (ðèñ.
291). Îäíà ãðàíü ïèðàìèäû (ìíîãîóãîëüíèê ABCDE)
íàçûâàåòñÿ åå îñíîâàíèåì, à îñòàëüíûå (òðåóãîëüíèêè FAB, FBC è ò.ä. ñ îáùåé âåðøèíîé) — áîêîâûìè ãðàíÿìè. Òî÷êà F íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé ïèðàìèäû, à îòðåçêè FA, FB è ò. ä. — áîêîâûìè ðåáðàìè.  çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà,
ëåæàùåãî â îñíîâàíèè ïèðàìèäû, ðàçëè÷àþò òðåóãîëüíûå, ÷åòûðåõóãîëüíûå è âîîáùå n-óãîëüíûå ïèðàìèäû.
Çàìåòèì, ÷òî n-óãîëüíàÿ ïèðàìèäà èìååò n + 1
ãðàíü: n áîêîâûõ ãðàíåé è îñíîâàíèå. Ïðè âåðøèíå
ïèðàìèäû îáðàçóåòñÿ n-ãðàííûé óãîë ñ n ïëîñêèìè
è n äâóãðàííûìè óãëàìè. Îíè íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ïëîñêèìè óãëàìè ïðè âåðøèíå è äâóãðàí508
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
íûìè óãëàìè ïðè áîêîâûõ ðåáðàõ. Ïðè êàæäîé âåðøèíå îñíîâàíèÿ èìååòñÿ òðåõãðàííûé óãîë. Åãî ïëîñêèå óãëû, íàçûâàåìûå ïëîñêèìè óãëàìè ïðè îñíîâàíèè, îáðàçîâàíû áîêîâûì ðåáðîì è ðåáðàìè îñíîâàíèÿ. Äâóãðàííûå óãëû ìåæäó áîêîâûìè ãðàíÿìè
è îñíîâàíèåì íàçûâàþòñÿ äâóãðàííûìè óãëàìè ïðè
îñíîâàíèè.
Òðåóãîëüíóþ ïèðàìèäó èíîãäà íàçûâàþò òåòðàýäðîì. Ëþáóþ åå ãðàíü ìîæíî ïðèíÿòü çà îñíîâàíèå.
Âûñîòîé ïèðàìèäû íàçûâàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿð,
îïóùåííûé èç âåðøèíû íà îñíîâàíèå (íà ðèñ. 291
îòðåçîê FH — âûñîòà ïèðàìèäû).
Ïèðàìèäà íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè â åå îñíîâàíèè ëåæèò ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, à âûñîòà
ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ýòîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Çàìåòèì,
÷òî ïðàâèëüíàÿ ïèðàìèäà, êðîìå ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà, íå ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì ìíîãîãðàííèêîì.
Îòìåòèì, ÷òî â ïðàâèëüíîé ïèðàìèäå:
10. Âñå áîêîâûå ðåáðà ðàâíû ìåæäó ñîáîé.
20. Âñå áîêîâûå ãðàíè — ðàâíûå ìåæäó ñîáîé ðàâíîáåäðåííûå òðåóãîëüíèêè.
30. Âñå ïëîñêèå óãëû ïðè âåðøèíå ðàâíû.
40. Âñå äâóãðàííûå óãëû ïðè âåðøèíå ðàâíû.
50. Âñå ïëîñêèå óãëû ïðè îñíîâàíèè ðàâíû.
60. Âñå äâóãðàííûå óãëû ïðè îñíîâàíèè ðàâíû.
Âûñîòà áîêîâîé ãðàíè ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû íàçûâàåòñÿ àïîôåìîé ïèðàìèäû.
Îáúåì ïèðàìèäû ðàâåí îäíîé òðåòè ïðîèçâåäåíèÿ ïëîùàäè åå îñíîâàíèÿ S íà âûñîòó h:
V =
1
Sh.
3
(1)
509
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
Îáúåì ïèðàìèäû, ïîñòðîåííîé íà âåêòîðàõ a, b
è c , ðàâåí îäíîé øåñòîé àáñîëþòíîé âåëè÷èíû ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ âåêòîðîâ (ñì. ï. 302).
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ ïåðèìåòðà åå îñíîâàíèÿ
íà àïîôåìó m:
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
ðîãî ðàâíà 2 3, à óãîë ìåæäó äèàãîíàëÿìè ðàâåí
60°. Êàæäîå èç áîêîâûõ ðåáåð îáðàçóåò ñ ïëîñêîñòüþ
îñíîâàíèÿ óãîë 45°. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïèðàìèäû.
q Ïî óñëîâèþ, BD = 2 3, ÐAOB = 60° (ðèñ. 292);
(2)
òîãäà ÐBDA = 30°, AB = 3, AD = 3. Çíà÷èò, S =
Åñëè âñå áîêîâûå ãðàíè ïèðàìèäû èëè ïðèçìû
îáðàçóþò ñî ñòîðîíàìè îñíîâàíèÿ ðàâíûå äâóãðàííûå óãëû j, òî áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü Sáîê è ïëîùàäü
îñíîâàíèÿ S ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
S
.
Sáîê =
(3)
cos j
Ïðè ðåøåíèè çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ïèðàìèäîé, ÷àñòî èñïîëüçóþò ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
10. Ïóñòü â ïèðàìèäå âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé: à) ëèáî âñå áîêîâûå ðåáðà îáðàçóþò ñ ïëîñêîñòüþ îñíîâàíèÿ ðàâíûå óãëû; á) ëèáî äëèíû âñåõ
áîêîâûõ ðåáåð ðàâíû. Òîãäà âåðøèíà ïèðàìèäû ïðîåöèðóåòñÿ â öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû (ýòà æå òî÷êà ñëóæèò òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ê ñòîðîíàì
îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû).
20. Ïóñòü â ïèðàìèäå âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé: à) ëèáî âñå áîêîâûå ãðàíè îáðàçóþò ñ îñíîâàíèåì ðàâíûå óãëû; á) ëèáî äëèíû âñåõ àïîôåì ïèðàìèäû ðàâíû. Òîãäà âåðøèíà ïèðàìèäû ïðîåöèðóåòñÿ â öåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â îñíîâàíèå ïèðàìèäû (ýòà æå òî÷êà ñëóæèò òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ óãëîâ â îñíîâàíèè ïèðàìèäû).
Ï ð è ì å ð 1. Îñíîâàíèåì ÷åòûðåõóãîëüíîé
ïèðàìèäû ñëóæèò ïðÿìîóãîëüíèê, äèàãîíàëü êîòî-
= AB × AD = 3 3. Òàê êàê áîêîâûå ðåáðà îáðàçóþò ñ
ïëîñêîñòüþ îñíîâàíèÿ ðàâíûå óãëû òî, ñîãëàñíî
óòâåðæäåíèþ 1 0 , FO — âûñîòà ïèðàìèäû è
Sáîê = 0,5Pm.
510
FO = AO = 3. Òîãäà ïî ôîðìóëå (1) íàéäåì
1
1
Sh = × 3 3 × 3 = 3. Òåïåðü ïðîâåäåì âûñîòó
3
3
FM â D FDC è èç D FOM ïîëó÷èì FM =
V =
=
FO 2 + OM 2 = 3 + 2,25 = 0,5 21. Èòàê,
Sáîê = (3 + 3 ) 21. n
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû, åñëè âûñîòà òðåóãîëüíèêà, ÿâëÿþùåãîñÿ åå îñíîâàíèåì, ðàâíà 30, à àïîôåìà ïèðàìèäû ðàâíà 20.
q Ïóñòü à — ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà
ÀÂÑ (ðèñ. 293), ÑÌ — åãî âûñîòà, FO — âûñîòà ïèðàìèäû, FM — àïîôåìà. Èìååì CM =
äà a =
60
3
a 3
, îòêó2
= 20 3 . Òàê êàê Î — öåíòð D ABC, òî
511
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
Îáúåì ïèðàìèäû, ïîñòðîåííîé íà âåêòîðàõ a, b
è c , ðàâåí îäíîé øåñòîé àáñîëþòíîé âåëè÷èíû ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ âåêòîðîâ (ñì. ï. 302).
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ ïåðèìåòðà åå îñíîâàíèÿ
íà àïîôåìó m:
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
ðîãî ðàâíà 2 3, à óãîë ìåæäó äèàãîíàëÿìè ðàâåí
60°. Êàæäîå èç áîêîâûõ ðåáåð îáðàçóåò ñ ïëîñêîñòüþ
îñíîâàíèÿ óãîë 45°. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïèðàìèäû.
q Ïî óñëîâèþ, BD = 2 3, ÐAOB = 60° (ðèñ. 292);
(2)
òîãäà ÐBDA = 30°, AB = 3, AD = 3. Çíà÷èò, S =
Åñëè âñå áîêîâûå ãðàíè ïèðàìèäû èëè ïðèçìû
îáðàçóþò ñî ñòîðîíàìè îñíîâàíèÿ ðàâíûå äâóãðàííûå óãëû j, òî áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü Sáîê è ïëîùàäü
îñíîâàíèÿ S ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
S
.
Sáîê =
(3)
cos j
Ïðè ðåøåíèè çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ïèðàìèäîé, ÷àñòî èñïîëüçóþò ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
10. Ïóñòü â ïèðàìèäå âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé: à) ëèáî âñå áîêîâûå ðåáðà îáðàçóþò ñ ïëîñêîñòüþ îñíîâàíèÿ ðàâíûå óãëû; á) ëèáî äëèíû âñåõ
áîêîâûõ ðåáåð ðàâíû. Òîãäà âåðøèíà ïèðàìèäû ïðîåöèðóåòñÿ â öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû (ýòà æå òî÷êà ñëóæèò òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ê ñòîðîíàì
îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû).
20. Ïóñòü â ïèðàìèäå âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé: à) ëèáî âñå áîêîâûå ãðàíè îáðàçóþò ñ îñíîâàíèåì ðàâíûå óãëû; á) ëèáî äëèíû âñåõ àïîôåì ïèðàìèäû ðàâíû. Òîãäà âåðøèíà ïèðàìèäû ïðîåöèðóåòñÿ â öåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â îñíîâàíèå ïèðàìèäû (ýòà æå òî÷êà ñëóæèò òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ óãëîâ â îñíîâàíèè ïèðàìèäû).
Ï ð è ì å ð 1. Îñíîâàíèåì ÷åòûðåõóãîëüíîé
ïèðàìèäû ñëóæèò ïðÿìîóãîëüíèê, äèàãîíàëü êîòî-
= AB × AD = 3 3. Òàê êàê áîêîâûå ðåáðà îáðàçóþò ñ
ïëîñêîñòüþ îñíîâàíèÿ ðàâíûå óãëû òî, ñîãëàñíî
óòâåðæäåíèþ 1 0 , FO — âûñîòà ïèðàìèäû è
Sáîê = 0,5Pm.
510
FO = AO = 3. Òîãäà ïî ôîðìóëå (1) íàéäåì
1
1
Sh = × 3 3 × 3 = 3. Òåïåðü ïðîâåäåì âûñîòó
3
3
FM â D FDC è èç D FOM ïîëó÷èì FM =
V =
=
FO 2 + OM 2 = 3 + 2,25 = 0,5 21. Èòàê,
Sáîê = (3 + 3 ) 21. n
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû, åñëè âûñîòà òðåóãîëüíèêà, ÿâëÿþùåãîñÿ åå îñíîâàíèåì, ðàâíà 30, à àïîôåìà ïèðàìèäû ðàâíà 20.
q Ïóñòü à — ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà
ÀÂÑ (ðèñ. 293), ÑÌ — åãî âûñîòà, FO — âûñîòà ïèðàìèäû, FM — àïîôåìà. Èìååì CM =
äà a =
60
3
a 3
, îòêó2
= 20 3 . Òàê êàê Î — öåíòð D ABC, òî
511
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
Ðèñ. 292
Ðèñ. 293
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
Åñëè â ïðîèçâîëüíîé ïèðàìèäå ïðîâåñòè ïëîñêîñòü,
ïàðàëëåëüíóþ îñíîâàíèþ, òî ìíîãîãðàííèê, ãðàíÿìè
êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ýòî ñå÷åíèå, îñíîâàíèå è çàêëþ÷åííûå ìåæäó íèìè ÷àñòè áîêîâûõ ãðàíåé ïèðàìèäû, íàçûâàåòñÿ óñå÷åííîé ïèðàìèäîé (ðèñ. 294). Ïàðàëëåëüíûå ãðàíè óñå÷åííîé ïèðàìèäû íàçûâàþòñÿ åå âåðõíèì è íèæíèì îñíîâàíèÿìè, à ðàññòîÿíèå ìåæäó
íèìè — âûñîòîé.
Çàìåòèì, ÷òî ïèðàìèäà FA1B1C1D1, ëåæàùàÿ
âûøå ñåêóùåé ïëîñêîñòè (ðèñ. 294), ïîäîáíà ïèðàìèäå FABCD. Ïîýòîìó ïëîùàäè îñíîâàíèé S1 è S2
óêàçàííûõ ïèðàìèä îòíîñÿòñÿ êàê êâàäðàòû èõ ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ, à îáúåìû V1 è V2 ýòèõ ïèðàìèä —
1
OM = CM = 10
3
è èç D FOM ïîëó÷èì FO =
= 202 - 102 = 10 3. Òåïåðü ïî ôîðìóëàì (1) è
(2) íàõîäèì
V =
1
1 400 × 3 3
Sh = ×
× 10 3 = 3000,
3
3
4
Sáîê = 0,5Pm = 0,5 × 60 3 × 20 = 600 3.
Äëÿ îòûñêàíèÿ Sáîê ìîæíî áûëî òàêæå èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (3). Â ñàìîì äåëå, âñå äâóãðàííûå óãëû
ïðè îñíîâàíèè ðàâíû j , ãäå cos j = OM : FM = 0,5.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî S = 300 3, ïîëó÷èì
Sáîê = 300 3 : 0,5 = 600 3. n
512
êàê êóáû ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ (íàïðèìåð, åñëè
FH1 = h1, FH = h2 , òî S1 : S2 = h12 : h22 , à V1 : V2 =
3
3
= h1 : h2 .).
Óñå÷åííàÿ ïèðàìèäà íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè
ïèðàìèäà, èç êîòîðîé îíà ïîëó÷åíà, áûëà ïðàâèëüíîé. Âñå áîêîâûå ãðàíè ïðàâèëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäû — ðàâíûå ðàâíîáî÷íûå òðàïåöèè. Âûñîòà áîêîâîé ãðàíè ïðàâèëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäû íàçûâàåòñÿ àïîôåìîé ïèðàìèäû.
Îáúåì óñå÷åííîé ïèðàìèäû ðàâåí îäíîé òðåòè
ïðîèçâåäåíèÿ âûñîòû íà ñóììó ïëîùàäåé âåðõíåãî
è íèæíåãî îñíîâàíèé è ñðåäíåé ïðîïîðöèîíàëüíîé
ìåæäó íèìè:
1
(4)
V = h (S1 + S2 + S1S2 ) .
3
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäû ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïîëóñóììû ïåðèìåòðîâ
îñíîâàíèé íà àïîôåìó:
Sáîê = 0,5(Ð1 + Ð2) m.
(5)
513
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
Ðèñ. 292
Ðèñ. 293
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
Åñëè â ïðîèçâîëüíîé ïèðàìèäå ïðîâåñòè ïëîñêîñòü,
ïàðàëëåëüíóþ îñíîâàíèþ, òî ìíîãîãðàííèê, ãðàíÿìè
êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ýòî ñå÷åíèå, îñíîâàíèå è çàêëþ÷åííûå ìåæäó íèìè ÷àñòè áîêîâûõ ãðàíåé ïèðàìèäû, íàçûâàåòñÿ óñå÷åííîé ïèðàìèäîé (ðèñ. 294). Ïàðàëëåëüíûå ãðàíè óñå÷åííîé ïèðàìèäû íàçûâàþòñÿ åå âåðõíèì è íèæíèì îñíîâàíèÿìè, à ðàññòîÿíèå ìåæäó
íèìè — âûñîòîé.
Çàìåòèì, ÷òî ïèðàìèäà FA1B1C1D1, ëåæàùàÿ
âûøå ñåêóùåé ïëîñêîñòè (ðèñ. 294), ïîäîáíà ïèðàìèäå FABCD. Ïîýòîìó ïëîùàäè îñíîâàíèé S1 è S2
óêàçàííûõ ïèðàìèä îòíîñÿòñÿ êàê êâàäðàòû èõ ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ, à îáúåìû V1 è V2 ýòèõ ïèðàìèä —
1
OM = CM = 10
3
è èç D FOM ïîëó÷èì FO =
= 202 - 102 = 10 3. Òåïåðü ïî ôîðìóëàì (1) è
(2) íàõîäèì
V =
1
1 400 × 3 3
Sh = ×
× 10 3 = 3000,
3
3
4
Sáîê = 0,5Pm = 0,5 × 60 3 × 20 = 600 3.
Äëÿ îòûñêàíèÿ Sáîê ìîæíî áûëî òàêæå èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (3). Â ñàìîì äåëå, âñå äâóãðàííûå óãëû
ïðè îñíîâàíèè ðàâíû j , ãäå cos j = OM : FM = 0,5.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî S = 300 3, ïîëó÷èì
Sáîê = 300 3 : 0,5 = 600 3. n
512
êàê êóáû ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ (íàïðèìåð, åñëè
FH1 = h1, FH = h2 , òî S1 : S2 = h12 : h22 , à V1 : V2 =
3
3
= h1 : h2 .).
Óñå÷åííàÿ ïèðàìèäà íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè
ïèðàìèäà, èç êîòîðîé îíà ïîëó÷åíà, áûëà ïðàâèëüíîé. Âñå áîêîâûå ãðàíè ïðàâèëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäû — ðàâíûå ðàâíîáî÷íûå òðàïåöèè. Âûñîòà áîêîâîé ãðàíè ïðàâèëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäû íàçûâàåòñÿ àïîôåìîé ïèðàìèäû.
Îáúåì óñå÷åííîé ïèðàìèäû ðàâåí îäíîé òðåòè
ïðîèçâåäåíèÿ âûñîòû íà ñóììó ïëîùàäåé âåðõíåãî
è íèæíåãî îñíîâàíèé è ñðåäíåé ïðîïîðöèîíàëüíîé
ìåæäó íèìè:
1
(4)
V = h (S1 + S2 + S1S2 ) .
3
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäû ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïîëóñóììû ïåðèìåòðîâ
îñíîâàíèé íà àïîôåìó:
Sáîê = 0,5(Ð1 + Ð2) m.
(5)
513
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
9
4S1 4 × 270
, îòêóäà S1 =
=
= 120 (ñì2). Èòàê,
4
9
9
10
V =
(270 + 120 + 270 × 120 ) = 1900 (ñì3). n
3
Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäû, åñëè åå äèàãîíàëü ðàâíà 18, à ñòîðîíû îñíîâàíèé ðàâíû 14 è 10.
h
q Èñêîìûé îáúåì âûðàçèòñÿ òàê: V = (S1 +
3
=
+ S2 + S1S2 ), ãäå S1 = 196, S2 = 100. Íàéäåì h =
Ðèñ. 294
Ðèñ. 295
= B1K
=
(ðèñ. 296). Â
D B1KD
èìååì
B1K =
B1D 2 - KD 2 . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî BB1D1D — ðàâíî-
Ï ð è ì å ð 3.  òðåóãîëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäå
âûñîòà ðàâíà 10 ñì, ñòîðîíû îäíîãî îñíîâàíèÿ ðàâíû 27, 29 è 52 ñì, à ïåðèìåòð äðóãîãî îñíîâàíèÿ ðàâåí 72 ñì. Íàéòè îáúåì óñå÷åííîé ïèðàìèäû.
q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (4), èñêîìûé îáúåì
h
V = (S1 + S2 + S1S2 ), ãäå S1 íàéäåì ïî ôîðìóëå
3
Ãåðîíà. Òàê êàê ð1 = 0,5(27 + 29 + 52) = 54 (ñì), òî
S = 54 × 27 × 25 × 2 = 270 (ñì2). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî D ABC ~
~ D A1B1C1 (ðèñ. 295), èìååì
514
(2 p1 )2 1082
S1
=
=
=
S2 (2 p2 )2
722
Ðèñ. 296
515
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 39. Ìíîãîãðàííèêè
9
4S1 4 × 270
, îòêóäà S1 =
=
= 120 (ñì2). Èòàê,
4
9
9
10
V =
(270 + 120 + 270 × 120 ) = 1900 (ñì3). n
3
Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäû, åñëè åå äèàãîíàëü ðàâíà 18, à ñòîðîíû îñíîâàíèé ðàâíû 14 è 10.
h
q Èñêîìûé îáúåì âûðàçèòñÿ òàê: V = (S1 +
3
=
+ S2 + S1S2 ), ãäå S1 = 196, S2 = 100. Íàéäåì h =
Ðèñ. 294
Ðèñ. 295
= B1K
=
(ðèñ. 296). Â
D B1KD
èìååì
B1K =
B1D 2 - KD 2 . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî BB1D1D — ðàâíî-
Ï ð è ì å ð 3.  òðåóãîëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäå
âûñîòà ðàâíà 10 ñì, ñòîðîíû îäíîãî îñíîâàíèÿ ðàâíû 27, 29 è 52 ñì, à ïåðèìåòð äðóãîãî îñíîâàíèÿ ðàâåí 72 ñì. Íàéòè îáúåì óñå÷åííîé ïèðàìèäû.
q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (4), èñêîìûé îáúåì
h
V = (S1 + S2 + S1S2 ), ãäå S1 íàéäåì ïî ôîðìóëå
3
Ãåðîíà. Òàê êàê ð1 = 0,5(27 + 29 + 52) = 54 (ñì), òî
S = 54 × 27 × 25 × 2 = 270 (ñì2). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî D ABC ~
~ D A1B1C1 (ðèñ. 295), èìååì
514
(2 p1 )2 1082
S1
=
=
=
S2 (2 p2 )2
722
Ðèñ. 296
515
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
áî÷íàÿ òðàïåöèÿ, íàõîäèì BK = 0,5 (BD - B1D1 ) =
= 0,5 (14 2 - 10 2 ) = 2 2, îòêóäà KD = BD - BK =
= 12 2, ò. å. h = 182 - (12 2 ) 2 = 6. Çíà÷èò,
V =
6
(196 + 100 + 140) = 872.
3
Òåïåðü ïðîâåäåì àïîôåìó D1E è â D D1ED èìååì
D1D = B1B =
B1K 2 + BK 2 = 36 + 8 = 2 11, DE =
= 0,5 (DC - D1C1) = 2. Òîãäà D1E = 44 - 4 = 2 10
è, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (5), ïîëó÷èì
Sáîê = 0,5 ( P1 + P2 )m = 2 (14 + 10) × 2 10 = 96 10 . n
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
312. Öèëèíäð. Ðàññìîòðèì êàêóþ-ëèáî ïëîñêóþ
ëèíèþ l. ×åðåç êàæäóþ òî÷êó ýòîé ëèíèè ïðîâåäåì
ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, íå ëåæàùèå â ïëîñêîñòè ëèíèè l (ðèñ. 297). Ïîëó÷åííàÿ ïðè ýòîì ïîâåðõíîñòü
íàçûâàåòñÿ öèëèíäðè÷åñêîé. Ëèíèÿ l íàçûâàåòñÿ
íàïðàâëÿþùåé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, à ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå — åå îáðàçóþùèìè.
Òåëî, îãðàíè÷åííîå öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ
ñ çàìêíóòîé íàïðàâëÿþùåé è äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè
ïëîñêîñòÿìè, ïåðåñåêàþùèìè åå îáðàçóþùèå, íàçûâàåòñÿ öèëèíäðîì. ×àñòè ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé, ëåæàùèå âíóòðè öèëèíäðà, íàçûâàþòñÿ îñíîâàíèÿìè, à
ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè ïëîñêîñòÿìè — âûñîòîé
öèëèíäðà. Îñíîâàíèÿ öèëèíäðà ðàâíû, òàêæå ðàâíû è
516
l
Ðèñ. 297
âñå åãî îáðàçóþùèå (ò. å. îòðåçêè îáðàçóþùèõ öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, çàêëþ÷åííûå ìåæäó åå îñíîâàíèÿìè).
Öèëèíäð íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì, åñëè åãî îáðàçóþùèå ïåðïåíäèêóëÿðíû îñíîâàíèþ. Åñëè íàïðàâëÿþùåé ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü, òî öèëèíäð íàçûâàåòñÿ
êðóãîâûì (ðèñ. 297).
 äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî êðóãîâîé öèëèíäð. Ðàäèóñ îñíîâàíèÿ öèëèíäðà
íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì öèëèíäðà, îáðàçóþùàÿ öèëèíäðà îäíîâðåìåííî ÿâëÿåòñÿ åãî âûñîòîé. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé öåíòðû îñíîâàíèé, íàçûâàåòñÿ
îñüþ öèëèíäðà (Î 1Î íà ðèñ. 297). Ñå÷åíèå öèëèíäðà ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî îñü, íàçûâàåòñÿ îñåâûì (ÀÀ1Â1 íà ðèñ. 297). Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç îáðàçóþùóþ öèëèíäðà è ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ îñåâîìó ñå÷åíèþ, ïðîâåäåííîìó ÷åðåç
ýòó îáðàçóþùóþ, íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ öèëèíäðà.
Îáúåì öèëèíäðà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè
îñíîâàíèÿ íà âûñîòó, ò. å.
517
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
áî÷íàÿ òðàïåöèÿ, íàõîäèì BK = 0,5 (BD - B1D1 ) =
= 0,5 (14 2 - 10 2 ) = 2 2, îòêóäà KD = BD - BK =
= 12 2, ò. å. h = 182 - (12 2 ) 2 = 6. Çíà÷èò,
V =
6
(196 + 100 + 140) = 872.
3
Òåïåðü ïðîâåäåì àïîôåìó D1E è â D D1ED èìååì
D1D = B1B =
B1K 2 + BK 2 = 36 + 8 = 2 11, DE =
= 0,5 (DC - D1C1) = 2. Òîãäà D1E = 44 - 4 = 2 10
è, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (5), ïîëó÷èì
Sáîê = 0,5 ( P1 + P2 )m = 2 (14 + 10) × 2 10 = 96 10 . n
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
312. Öèëèíäð. Ðàññìîòðèì êàêóþ-ëèáî ïëîñêóþ
ëèíèþ l. ×åðåç êàæäóþ òî÷êó ýòîé ëèíèè ïðîâåäåì
ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, íå ëåæàùèå â ïëîñêîñòè ëèíèè l (ðèñ. 297). Ïîëó÷åííàÿ ïðè ýòîì ïîâåðõíîñòü
íàçûâàåòñÿ öèëèíäðè÷åñêîé. Ëèíèÿ l íàçûâàåòñÿ
íàïðàâëÿþùåé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, à ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå — åå îáðàçóþùèìè.
Òåëî, îãðàíè÷åííîå öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ
ñ çàìêíóòîé íàïðàâëÿþùåé è äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè
ïëîñêîñòÿìè, ïåðåñåêàþùèìè åå îáðàçóþùèå, íàçûâàåòñÿ öèëèíäðîì. ×àñòè ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé, ëåæàùèå âíóòðè öèëèíäðà, íàçûâàþòñÿ îñíîâàíèÿìè, à
ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè ïëîñêîñòÿìè — âûñîòîé
öèëèíäðà. Îñíîâàíèÿ öèëèíäðà ðàâíû, òàêæå ðàâíû è
516
l
Ðèñ. 297
âñå åãî îáðàçóþùèå (ò. å. îòðåçêè îáðàçóþùèõ öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, çàêëþ÷åííûå ìåæäó åå îñíîâàíèÿìè).
Öèëèíäð íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì, åñëè åãî îáðàçóþùèå ïåðïåíäèêóëÿðíû îñíîâàíèþ. Åñëè íàïðàâëÿþùåé ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü, òî öèëèíäð íàçûâàåòñÿ
êðóãîâûì (ðèñ. 297).
 äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî êðóãîâîé öèëèíäð. Ðàäèóñ îñíîâàíèÿ öèëèíäðà
íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì öèëèíäðà, îáðàçóþùàÿ öèëèíäðà îäíîâðåìåííî ÿâëÿåòñÿ åãî âûñîòîé. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé öåíòðû îñíîâàíèé, íàçûâàåòñÿ
îñüþ öèëèíäðà (Î 1Î íà ðèñ. 297). Ñå÷åíèå öèëèíäðà ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî îñü, íàçûâàåòñÿ îñåâûì (ÀÀ1Â1 íà ðèñ. 297). Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç îáðàçóþùóþ öèëèíäðà è ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ îñåâîìó ñå÷åíèþ, ïðîâåäåííîìó ÷åðåç
ýòó îáðàçóþùóþ, íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ öèëèíäðà.
Îáúåì öèëèíäðà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè
îñíîâàíèÿ íà âûñîòó, ò. å.
517
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
(1)
V = Sh = pR 2h.
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ äëèíû îêðóæíîñòè îñíîâàíèÿ íà âûñîòó,
ò. å.
(2)
Sáîê = Cl = 2pRh.
Ï ð è ì å ð 1. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé äâå äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûå òî÷êè À è Â1 íèæíåãî
è âåðõíåãî îñíîâàíèé öèëèíäðà (ðèñ. 298), ðàâåí
12 ñì è ñîñòàâëÿåò ñ ïëîñêîñòüþ íèæíåãî îñíîâàíèÿ
óãîë 30°. Íàéòè áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü è îáúåì öèëèíäðà.
q Ïðîâåäåì ÷åðåç îòðåçîê ÀÂ1 ñå÷åíèå ïëîñêîñòüþ,
ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñíîâàíèþ öèëèíäðà. Â D ABB1
èìååì AB = 2R = 12 cos 30° = 6 3 (ñì), BB1 = h =
= 12 sin 30° = 6 (ñì). Òåïåðü, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (2)
è (1), íàõîäèì
S = 2pRh = 2p × 36 3 × 6 = 36
72p 3 (ñì2),
V = pR 2h = p × (3 3 )2 × 6 = 162p (ñì3). n
Ïðèçìîé, âïèñàííîé â öèëèíäð, íàçûâàåòñÿ ïðèçìà, îñíîâàíèÿ êîòîðîé — ìíîãîóãîëüíèêè, âïèñàííûå â îñíîâàíèÿ öèëèíäðà. Åå áîêîâûå ðåáðà ñîâïàäàþò ñ îáðàçóþùèìè öèëèíäðà.
Ïðèçìîé, îïèñàííîé îêîëî öèëèíäðà, íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ïðèçìà, îñíîâàíèÿ êîòîðîé — ìíîãîóãîëüíèêè, îïèñàííûå îêîëî îñíîâàíèé öèëèíäðà. Ïëîñêîñòè åå áîêîâûõ ãðàíåé ÿâëÿþòñÿ êàñàòåëüíûìè
ïëîñêîñòÿìè öèëèíäðà.
Ï ð è ì å ð 2. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, îïèñàííîãî îêîëî öèëèíäðà ðàäèóñà R,
518
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
Ðèñ. 298
Ðèñ. 299
â 4 ðàçà áîëüøå îáúåìà ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, âïèñàííîãî â ýòîò öèëèíäð. Íàéòè ñòîðîíû
îñíîâàíèÿ âïèñàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà.
q Íà ðèñ. 299 èçîáðàæåíî ïëîñêîå ñå÷åíèå çàäàííîé êîíôèãóðàöèè. Îñíîâàíèåì îïèñàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ñëóæèò êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 2R, îáúåì
ýòîãî ïàðàëëåëåïèïåäà V1 = 4R 2h, ãäå h — âûñîòà
öèëèíäðà. Ïóñòü îñíîâàíèå âïèñàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà — ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè à è b; òîãäà
îáúåì ýòîãî ïàðàëëåëåïèïåäà V2 = abh, îòêóäà
4R 2h : abh = 4, ò. å. ab = R 2 . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî a 2 +
+ b 2 = 4R 2 , à 2ab = 2R 2 , ïðèõîäèì ê ñèñòåìå
ìïa2 + 2ab + b2 = 6R 2 ,
í 2
ïîa - 2ab + b 2 = 2R 2 ;
ìïa + b = R 6 ,
í
ïîa - b = R 2.
519
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
(1)
V = Sh = pR 2h.
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ äëèíû îêðóæíîñòè îñíîâàíèÿ íà âûñîòó,
ò. å.
(2)
Sáîê = Cl = 2pRh.
Ï ð è ì å ð 1. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé äâå äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûå òî÷êè À è Â1 íèæíåãî
è âåðõíåãî îñíîâàíèé öèëèíäðà (ðèñ. 298), ðàâåí
12 ñì è ñîñòàâëÿåò ñ ïëîñêîñòüþ íèæíåãî îñíîâàíèÿ
óãîë 30°. Íàéòè áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü è îáúåì öèëèíäðà.
q Ïðîâåäåì ÷åðåç îòðåçîê ÀÂ1 ñå÷åíèå ïëîñêîñòüþ,
ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñíîâàíèþ öèëèíäðà. Â D ABB1
èìååì AB = 2R = 12 cos 30° = 6 3 (ñì), BB1 = h =
= 12 sin 30° = 6 (ñì). Òåïåðü, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (2)
è (1), íàõîäèì
S = 2pRh = 2p × 36 3 × 6 = 36
72p 3 (ñì2),
V = pR 2h = p × (3 3 )2 × 6 = 162p (ñì3). n
Ïðèçìîé, âïèñàííîé â öèëèíäð, íàçûâàåòñÿ ïðèçìà, îñíîâàíèÿ êîòîðîé — ìíîãîóãîëüíèêè, âïèñàííûå â îñíîâàíèÿ öèëèíäðà. Åå áîêîâûå ðåáðà ñîâïàäàþò ñ îáðàçóþùèìè öèëèíäðà.
Ïðèçìîé, îïèñàííîé îêîëî öèëèíäðà, íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ïðèçìà, îñíîâàíèÿ êîòîðîé — ìíîãîóãîëüíèêè, îïèñàííûå îêîëî îñíîâàíèé öèëèíäðà. Ïëîñêîñòè åå áîêîâûõ ãðàíåé ÿâëÿþòñÿ êàñàòåëüíûìè
ïëîñêîñòÿìè öèëèíäðà.
Ï ð è ì å ð 2. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, îïèñàííîãî îêîëî öèëèíäðà ðàäèóñà R,
518
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
Ðèñ. 298
Ðèñ. 299
â 4 ðàçà áîëüøå îáúåìà ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, âïèñàííîãî â ýòîò öèëèíäð. Íàéòè ñòîðîíû
îñíîâàíèÿ âïèñàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà.
q Íà ðèñ. 299 èçîáðàæåíî ïëîñêîå ñå÷åíèå çàäàííîé êîíôèãóðàöèè. Îñíîâàíèåì îïèñàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ñëóæèò êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 2R, îáúåì
ýòîãî ïàðàëëåëåïèïåäà V1 = 4R 2h, ãäå h — âûñîòà
öèëèíäðà. Ïóñòü îñíîâàíèå âïèñàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà — ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè à è b; òîãäà
îáúåì ýòîãî ïàðàëëåëåïèïåäà V2 = abh, îòêóäà
4R 2h : abh = 4, ò. å. ab = R 2 . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî a 2 +
+ b 2 = 4R 2 , à 2ab = 2R 2 , ïðèõîäèì ê ñèñòåìå
ìïa2 + 2ab + b2 = 6R 2 ,
í 2
ïîa - 2ab + b 2 = 2R 2 ;
ìïa + b = R 6 ,
í
ïîa - b = R 2.
519
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
Èòàê, a = 0,5R ( 6 + 2 ), b = 0,5R ( 6 - 2 ). n
313. Êîíóñ, óñå÷åííûé êîíóñ. Ðàññìîòðèì êàêóþ-ëèáî ïëîñêóþ ëèíèþ l è ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó
F, íå ëåæàùóþ â ïëîñêîñòè ýòîé ëèíèè (ðèñ. 300, à).
Âñåâîçìîæíûå ïðÿìûå, ñîåäèíÿþùèå òî÷êó F ñî âñåìè òî÷êàìè ëèíèè l, îáðàçóþò òàê íàçûâàåìóþ êîíè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü. Ïðè ýòîì òî÷êà F íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé, ëèíèÿ l — íàïðàâëÿþùåé, à óêàçàííûå ïðÿìûå — îáðàçóþùèìè êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè. Êîíè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü èìååò äâå ïîëîñòè: îäíà èç íèõ îáðàçîâàíà ëó÷àìè, ïåðåñåêàþùèìè l, à äðóãàÿ — èõ ïðîäîëæåíèÿìè. Êîíóñîì
íàçûâàåòñÿ òåëî, îãðàíè÷åííîå îäíîé ïîëîñòüþ êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ çàìêíóòîé íàïðàâëÿþùåé
à)
á)
Ðèñ. 300
520
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
è ïëîñêîñòüþ, ïåðåñåêàþùåé ýòó êîíè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü è íå ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âåðøèíó F (ðèñ. 300, á).
×àñòü ýòîé ïëîñêîñòè, ëåæàùàÿ âíóòðè êîíè÷åñêîé
ïîâåðõíîñòè, íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì êîíóñà. Ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç âåðøèíû êîíóñà íà îñíîâàíèå, íàçûâàåòñÿ âûñîòîé êîíóñà (FH íà ðèñ.
300, á).
Ïèðàìèäó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷àñòíûé
ñëó÷àé êîíóñà (íàïðàâëÿþùåé ñëóæèò ìíîãîóãîëüíèê).
Åñëè â êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåé âçÿòü îêðóæíîñòü,
òî êîíóñ íàçûâàåòñÿ êðóãîâûì; åñëè, êðîìå òîãî, âûñîòà êîíóñà ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð îñíîâàíèÿ, òî êîíóñ íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì êðóãîâûì.  äàëüíåéøåì
ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïðÿìîé êðóãîâîé
êîíóñ.
Ðàññìîòðèì ñå÷åíèÿ êîíóñà ïëîñêîñòÿìè, íå ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç åãî âåðøèíó. Åñëè ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà îñíîâàíèþ, òî ëèíèÿ, ïîëó÷àþùàÿñÿ â ñå÷åíèè, — îêðóæíîñòü (ðèñ. 301, à); åñëè ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü íå ïàðàëëåëüíà íè îäíîé èç îáðàçóþùèõ è ïåðåñåêàåò òîëüêî îäíó ïîëîñòü, òî â ñå÷åíèè
ïîëó÷àåòñÿ ëèíèÿ, íàçûâàåìàÿ ýëëèïñîì (ðèñ. 301, á;
÷àñòíûì ñëó÷àåì ýëëèïñà ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü);
åñëè ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåò òîëüêî îäíó ïîëîñòü è ïàðàëëåëüíà îáðàçóþùåé, òî ëèíèÿ, ïîëó÷àþùàÿñÿ â ñå÷åíèè, — ïàðàáîëà (ðèñ. 301, â); åñëè ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåò îáå ïîëîñòè êîíóñà, òî
ëèíèÿ, ïîëó÷àþùàÿñÿ â ñå÷åíèè, — ãèïåðáîëà (ðèñ.
301, ã). Ýëëèïñ, ãèïåðáîëà è ïàðàáîëà íàçûâàþòñÿ êîíè÷åñêèìè ñå÷åíèÿìè.
Ñå÷åíèå êîíóñà ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî
îñü, íàçûâàåòñÿ îñåâûì. Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç îáðàçóþùóþ ïåðïåíäèêóëÿðíî îñåâîìó ñå÷åíèþ,
ïðîâåäåííîìó ÷åðåç ýòó îáðàçóþùóþ, íàçûâàåòñÿ
êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ êîíóñà.
521
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
Èòàê, a = 0,5R ( 6 + 2 ), b = 0,5R ( 6 - 2 ). n
313. Êîíóñ, óñå÷åííûé êîíóñ. Ðàññìîòðèì êàêóþ-ëèáî ïëîñêóþ ëèíèþ l è ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó
F, íå ëåæàùóþ â ïëîñêîñòè ýòîé ëèíèè (ðèñ. 300, à).
Âñåâîçìîæíûå ïðÿìûå, ñîåäèíÿþùèå òî÷êó F ñî âñåìè òî÷êàìè ëèíèè l, îáðàçóþò òàê íàçûâàåìóþ êîíè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü. Ïðè ýòîì òî÷êà F íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé, ëèíèÿ l — íàïðàâëÿþùåé, à óêàçàííûå ïðÿìûå — îáðàçóþùèìè êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè. Êîíè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü èìååò äâå ïîëîñòè: îäíà èç íèõ îáðàçîâàíà ëó÷àìè, ïåðåñåêàþùèìè l, à äðóãàÿ — èõ ïðîäîëæåíèÿìè. Êîíóñîì
íàçûâàåòñÿ òåëî, îãðàíè÷åííîå îäíîé ïîëîñòüþ êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ çàìêíóòîé íàïðàâëÿþùåé
à)
á)
Ðèñ. 300
520
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
è ïëîñêîñòüþ, ïåðåñåêàþùåé ýòó êîíè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü è íå ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âåðøèíó F (ðèñ. 300, á).
×àñòü ýòîé ïëîñêîñòè, ëåæàùàÿ âíóòðè êîíè÷åñêîé
ïîâåðõíîñòè, íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì êîíóñà. Ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç âåðøèíû êîíóñà íà îñíîâàíèå, íàçûâàåòñÿ âûñîòîé êîíóñà (FH íà ðèñ.
300, á).
Ïèðàìèäó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷àñòíûé
ñëó÷àé êîíóñà (íàïðàâëÿþùåé ñëóæèò ìíîãîóãîëüíèê).
Åñëè â êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåé âçÿòü îêðóæíîñòü,
òî êîíóñ íàçûâàåòñÿ êðóãîâûì; åñëè, êðîìå òîãî, âûñîòà êîíóñà ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð îñíîâàíèÿ, òî êîíóñ íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì êðóãîâûì.  äàëüíåéøåì
ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïðÿìîé êðóãîâîé
êîíóñ.
Ðàññìîòðèì ñå÷åíèÿ êîíóñà ïëîñêîñòÿìè, íå ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç åãî âåðøèíó. Åñëè ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà îñíîâàíèþ, òî ëèíèÿ, ïîëó÷àþùàÿñÿ â ñå÷åíèè, — îêðóæíîñòü (ðèñ. 301, à); åñëè ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü íå ïàðàëëåëüíà íè îäíîé èç îáðàçóþùèõ è ïåðåñåêàåò òîëüêî îäíó ïîëîñòü, òî â ñå÷åíèè
ïîëó÷àåòñÿ ëèíèÿ, íàçûâàåìàÿ ýëëèïñîì (ðèñ. 301, á;
÷àñòíûì ñëó÷àåì ýëëèïñà ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü);
åñëè ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåò òîëüêî îäíó ïîëîñòü è ïàðàëëåëüíà îáðàçóþùåé, òî ëèíèÿ, ïîëó÷àþùàÿñÿ â ñå÷åíèè, — ïàðàáîëà (ðèñ. 301, â); åñëè ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåò îáå ïîëîñòè êîíóñà, òî
ëèíèÿ, ïîëó÷àþùàÿñÿ â ñå÷åíèè, — ãèïåðáîëà (ðèñ.
301, ã). Ýëëèïñ, ãèïåðáîëà è ïàðàáîëà íàçûâàþòñÿ êîíè÷åñêèìè ñå÷åíèÿìè.
Ñå÷åíèå êîíóñà ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî
îñü, íàçûâàåòñÿ îñåâûì. Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç îáðàçóþùóþ ïåðïåíäèêóëÿðíî îñåâîìó ñå÷åíèþ,
ïðîâåäåííîìó ÷åðåç ýòó îáðàçóþùóþ, íàçûâàåòñÿ
êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ êîíóñà.
521
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
Ï ð è ì å ð 1. Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü êîíóñà âäâîå
áîëüøå ïëîùàäè îñíîâàíèÿ. Íàéòè îáúåì êîíóñà,
åñëè ïëîùàäü åãî îñåâîãî ñå÷åíèÿ ðàâíà 3 3 ñì2.
q Ïî óñëîâèþ, Sáîê = 2S, ò. å. pRl = 2pR 2 (ðèñ.
302), îòêóäà l = 2R è, çíà÷èò, D AFB — ïðàâèëüíûé.
à)
á)
Èìååì SD AFB =
l2 3
= R 2 3, ÷òî ñîãëàñíî óñëîâèþ
4
ðàâíî 3 3, ò. å. R = 3. Òåïåðü ïî ôîðìóëå (1) íà1
õîäèì V = pR 2h, ãäå h = R 3 = 3. Èòàê,
3
1
V = p ´· 3 · 3 = 3p (ñì3). n
3
â)
ã)
Ðèñ. 301
Îáúåì êîíóñà ðàâåí îäíîé òðåòè ïðîèçâåäåíèÿ
ïëîùàäè îñíîâàíèÿ íà âûñîòó, ò. å.
1
1
(1)
Sh = pR 2h.
3
3
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü êîíóñà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ äëèíû îêðóæíîñòè îñíîâàíèÿ íà îáðàçóþùóþ, ò. å.
V =
Sáîê = 0,5Cl = pRl.
522
(2)
Ïèðàìèäîé, âïèñàííîé â êîíóñ, íàçûâàåòñÿ ïèðàìèäà, îñíîâàíèå êîòîðîé — ìíîãîóãîëüíèê, âïèñàííûé â îñíîâàíèå êîíóñà, à âåðøèíà ñîâïàäàåò ñ
âåðøèíîé êîíóñà. Áîêîâûå ðåáðà âïèñàííîé ïèðàìèäû ÿâëÿþòñÿ îáðàçóþùèìè êîíóñà.
Ïèðàìèäîé, îïèñàííîé îêîëî êîíóñà, íàçûâàåòñÿ ïèðàìèäà, îñíîâàíèå êîòîðîé — ìíîãîóãîëüíèê,
îïèñàííûé îêîëî îñíîâàíèÿ êîíóñà, à âåðøèíà ñîâïàäàåò ñ âåðøèíîé êîíóñà. Ïëîñêîñòè áîêîâûõ ãðàíåé îïèñàííîé ïèðàìèäû ÿâëÿþòñÿ êàñàòåëüíûìè
ïëîñêîñòÿìè êîíóñà.
Ï ð è ì å ð 2. Â êîíóñ âïèñàíà òðåóãîëüíàÿ ïèðàìèäà, áîêîâûå ðåáðà êîòîðîé ïîïàðíî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Íàéòè óãîë ìåæäó îáðàçóþùåé êîíóñà è åãî âûñîòîé.
q Òàê êàê FA = FB = FC (ðèñ. 303), òî D AFB =
= D AFC = BFC (ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè, èìå523
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
Ï ð è ì å ð 1. Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü êîíóñà âäâîå
áîëüøå ïëîùàäè îñíîâàíèÿ. Íàéòè îáúåì êîíóñà,
åñëè ïëîùàäü åãî îñåâîãî ñå÷åíèÿ ðàâíà 3 3 ñì2.
q Ïî óñëîâèþ, Sáîê = 2S, ò. å. pRl = 2pR 2 (ðèñ.
302), îòêóäà l = 2R è, çíà÷èò, D AFB — ïðàâèëüíûé.
à)
á)
Èìååì SD AFB =
l2 3
= R 2 3, ÷òî ñîãëàñíî óñëîâèþ
4
ðàâíî 3 3, ò. å. R = 3. Òåïåðü ïî ôîðìóëå (1) íà1
õîäèì V = pR 2h, ãäå h = R 3 = 3. Èòàê,
3
1
V = p ´· 3 · 3 = 3p (ñì3). n
3
â)
ã)
Ðèñ. 301
Îáúåì êîíóñà ðàâåí îäíîé òðåòè ïðîèçâåäåíèÿ
ïëîùàäè îñíîâàíèÿ íà âûñîòó, ò. å.
1
1
(1)
Sh = pR 2h.
3
3
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü êîíóñà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ äëèíû îêðóæíîñòè îñíîâàíèÿ íà îáðàçóþùóþ, ò. å.
V =
Sáîê = 0,5Cl = pRl.
522
(2)
Ïèðàìèäîé, âïèñàííîé â êîíóñ, íàçûâàåòñÿ ïèðàìèäà, îñíîâàíèå êîòîðîé — ìíîãîóãîëüíèê, âïèñàííûé â îñíîâàíèå êîíóñà, à âåðøèíà ñîâïàäàåò ñ
âåðøèíîé êîíóñà. Áîêîâûå ðåáðà âïèñàííîé ïèðàìèäû ÿâëÿþòñÿ îáðàçóþùèìè êîíóñà.
Ïèðàìèäîé, îïèñàííîé îêîëî êîíóñà, íàçûâàåòñÿ ïèðàìèäà, îñíîâàíèå êîòîðîé — ìíîãîóãîëüíèê,
îïèñàííûé îêîëî îñíîâàíèÿ êîíóñà, à âåðøèíà ñîâïàäàåò ñ âåðøèíîé êîíóñà. Ïëîñêîñòè áîêîâûõ ãðàíåé îïèñàííîé ïèðàìèäû ÿâëÿþòñÿ êàñàòåëüíûìè
ïëîñêîñòÿìè êîíóñà.
Ï ð è ì å ð 2. Â êîíóñ âïèñàíà òðåóãîëüíàÿ ïèðàìèäà, áîêîâûå ðåáðà êîòîðîé ïîïàðíî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Íàéòè óãîë ìåæäó îáðàçóþùåé êîíóñà è åãî âûñîòîé.
q Òàê êàê FA = FB = FC (ðèñ. 303), òî D AFB =
= D AFC = BFC (ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè, èìå523
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
ñòÿìè íàçûâàåòñÿ âûñîòîé óñå÷åííîãî êîíóñà (Î1Î
íà ðèñ. 304).
Îáúåì óñå÷åííîãî êîíóñà ðàâåí îäíîé òðåòè ïðîèçâåäåíèÿ âûñîòû íà ñóììó ïëîùàäåé âåðõíåãî è
íèæíåãî îñíîâàíèé è ñðåäíåé ïðîïîðöèîíàëüíîé ìåæäó íèìè:
1
1
h (S1 + S2 + S1S2 ) = ph (R12 + R22 + R1R2 ). (3)
3
3
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü óñå÷åííîãî êîíóñà ðàâíà
ïðîèçâåäåíèþ ïîëóñóììû äëèí îêðóæíîñòåé îñíîâàíèé íà îáðàçóþùóþ:
V =
Ðèñ. 302
Ðèñ. 303
þùèå ïî äâà ðàâíûõ êàòåòà); çíà÷èò, D ABC — ïðàâèëüíûé. Èñêîìûé óãîë j — ýòî óãîë AFO ìåæäó
âûñîòîé è ðåáðîì ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû FABC.
Ïóñòü ÀÂ = à. Òîãäà FA =
Sáîê = 0,5 (C1 + C2 )l = p (R1 + R2 )l.
(4)
Ï ð è ì å ð 3. Ðàäèóñû îñíîâàíèé óñå÷åííîãî
êîíóñà ðàâíû 3 è 4 ñì. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü óñå÷åííîãî êîíóñà, åñëè ïîñëåäíÿÿ ðàâíà
ñóììå ïëîùàäåé îñíîâàíèé.
a 2
a 3
, OA =
, îòêóäà
2
3
6
OA 2 3
6
. n
=
=
è j = arcsin
3
FA 3 2
3
Åñëè îò êîíóñà îòñå÷ü ÷àñòü ïëîñêîñòüþ, ïàðàëëåëüíîé åãî îñíîâàíèþ, òî òåëî, çàêëþ÷åííîå ìåæäó
ñåêóùåé ïëîñêîñòüþ è îñíîâàíèåì, íàçûâàåòñÿ óñå÷åííûì êîíóñîì (ðèñ. 304). Ïðè ýòîì êðóãè ñ öåíòðàìè Î1 è Î, ëåæàùèå â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ,
íàçûâàþòñÿ âåðõíèì è íèæíèì îñíîâàíèÿìè óñå÷åííîãî êîíóñà, à ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè ïëîñêîsin j =
524
Ðèñ. 304
Ðèñ. 305
525
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
ñòÿìè íàçûâàåòñÿ âûñîòîé óñå÷åííîãî êîíóñà (Î1Î
íà ðèñ. 304).
Îáúåì óñå÷åííîãî êîíóñà ðàâåí îäíîé òðåòè ïðîèçâåäåíèÿ âûñîòû íà ñóììó ïëîùàäåé âåðõíåãî è
íèæíåãî îñíîâàíèé è ñðåäíåé ïðîïîðöèîíàëüíîé ìåæäó íèìè:
1
1
h (S1 + S2 + S1S2 ) = ph (R12 + R22 + R1R2 ). (3)
3
3
Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü óñå÷åííîãî êîíóñà ðàâíà
ïðîèçâåäåíèþ ïîëóñóììû äëèí îêðóæíîñòåé îñíîâàíèé íà îáðàçóþùóþ:
V =
Ðèñ. 302
Ðèñ. 303
þùèå ïî äâà ðàâíûõ êàòåòà); çíà÷èò, D ABC — ïðàâèëüíûé. Èñêîìûé óãîë j — ýòî óãîë AFO ìåæäó
âûñîòîé è ðåáðîì ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû FABC.
Ïóñòü ÀÂ = à. Òîãäà FA =
Sáîê = 0,5 (C1 + C2 )l = p (R1 + R2 )l.
(4)
Ï ð è ì å ð 3. Ðàäèóñû îñíîâàíèé óñå÷åííîãî
êîíóñà ðàâíû 3 è 4 ñì. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü óñå÷åííîãî êîíóñà, åñëè ïîñëåäíÿÿ ðàâíà
ñóììå ïëîùàäåé îñíîâàíèé.
a 2
a 3
, OA =
, îòêóäà
2
3
6
OA 2 3
6
. n
=
=
è j = arcsin
3
FA 3 2
3
Åñëè îò êîíóñà îòñå÷ü ÷àñòü ïëîñêîñòüþ, ïàðàëëåëüíîé åãî îñíîâàíèþ, òî òåëî, çàêëþ÷åííîå ìåæäó
ñåêóùåé ïëîñêîñòüþ è îñíîâàíèåì, íàçûâàåòñÿ óñå÷åííûì êîíóñîì (ðèñ. 304). Ïðè ýòîì êðóãè ñ öåíòðàìè Î1 è Î, ëåæàùèå â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ,
íàçûâàþòñÿ âåðõíèì è íèæíèì îñíîâàíèÿìè óñå÷åííîãî êîíóñà, à ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè ïëîñêîsin j =
524
Ðèñ. 304
Ðèñ. 305
525
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
q Ïðîâåäåì B1B^OA è ïîëîæèì B1B = h,
Åñëè ðàññòîÿíèå ñåêóùåé ïëîñêîñòè îò öåíòðà
B1 A = l, ÐB1 AB = a (ðèñ. 305). Â D B1BA èìååì: ÂÀ =
øàðà ðàâíî d, òî ðàäèóñ ñå÷åíèÿ r = R 2 - d 2 .
Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð øàðà, íàçûâàåòñÿ åãî äèàìåòðàëüíîé ïëîñêîñòüþ. Ñå÷åíèå
øàðà äèàìåòðàëüíîé ïëîñêîñòüþ íàçûâàåòñÿ áîëüøèì êðóãîì.
Ëþáàÿ äèàìåòðàëüíàÿ ïëîñêîñòü ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîñòüþ ñèììåòðèè øàðà. Öåíòð øàðà — åãî öåíòð
ñèììåòðèè.
Øàðîâûì ñåãìåíòîì íàçûâàåòñÿ ÷àñòü øàðà, îòñå÷åííàÿ îò íåãî ïëîñêîñòüþ (MABCD íà ðèñ. 306).
Åñëè ðàññòîÿíèå ñåêóùåé ïëîñêîñòè îò öåíòðà øàðà
ðàâíî d, òî ðàçíîñòü R – d = h íàçûâàåòñÿ âûñîòîé
ñåãìåíòà (MN íà ðèñ. 306).
Øàðîâûì ñëîåì íàçûâàåòñÿ ÷àñòü øàðà, çàêëþ÷åííàÿ ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñåêóùèìè
ïëîñêîñòÿìè (íà ðèñ. 306 èçîáðàæåí øàðîâîé ñëîé
ÀÀ1Ñ1Ñ, çàêëþ÷åííûé ìåæäó ïëîñêîñòÿìè ÀÂCD è
A1B1C1D1). Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñåêóùèìè ïëîñêîñòÿìè íàçûâàåòñÿ âûñîòîé øàðîâîãî ñëîÿ (NN 1 íà
ðèñ. 306).
Ðàññìîòðèì êîíóñ ñ âåðøèíîé â öåíòðå øàðà. ×àñòü
øàðà, ëåæàùàÿ âíóòðè ýòîãî êîíóñà, íàçûâàåòñÿ øàðîâûì ñåêòîðîì; íà ðèñ. 306 èçîáðàæåí øàðîâîé ñåêòîð
ÎÀÌÑ, ñîñòîÿùèé èç êîíóñà OABCD è øàðîâîãî ñåãìåíòà MABCD. (Øàðîâûì ñåêòîðîì íàçûâàåòñÿ òàêæå è ÷àñòü øàðà, ëåæàùàÿ âíå ýòîãî êîíóñà, ò. å. äîïîëíÿþùàÿ óêàçàííûé âûøå ñåêòîð äî ïîëíîãî øàðà).
Îáúåì øàðà ðàäèóñà R íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
4
(1)
V = pR 3.
3
1
. Ïî óñëîâèþ, Sáîê = Síèæí.îñí +
cos a
25
,
+ Sâåðõ.îñí, èëè p (3 + 4)l = p (32 + 42 ), îòêóäà l =
7
= 1 ñì, B1 A = l =
2
24
æ 25 ö
. Çíà÷èò, Sáîê = 25 p (ñì2). Òå÷ -1 =
ç
7
7
ø
è
ïåðü âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (3):
h=
V =
p × 24 2
296 p
(ñì3). n
(3 + 42 + 3 × 4) =
7×3
7
314. Øàð, ñôåðà. Øàðîâîé ïîâåðõíîñòüþ (èëè
ñôåðîé) íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, óäàëåííûõ îò çàäàííîé òî÷êè Î (öåíòðà) íà çàäàííîå
ðàññòîÿíèå R (ðàäèóñ). Øàð — ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, óäàëåííûõ îò öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, íå ïðåâûøàþùåå ðàäèóñ (ðèñ. 306).
Ëþáîé îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ñôåðû ñ öåíòðîì, íàçûâàåòñÿ åå ðàäèóñîì. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé êàêèå-ëèáî äâå òî÷êè ñôåðû è
ïðîõîäÿùèé ÷åðåç åå öåíòð, íàçûâàåòñÿ äèàìåòðîì.
Öåíòð, ðàäèóñ è äèàìåòð ñôåðû ÿâëÿåòñÿ òàêæå öåíòðîì, ðàäèóñîì è äèàìåòðîì øàðà.
Ïëîñêîñòü, èìåþùàÿ ñ øàðîì îäíó îáùóþ òî÷êó,
íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ øàðà.
Ò.11.4. Ðàäèóñ, ïðîâåäåííûé â òî÷êó êàñàíèÿ, ïåðïåíäèêóëÿðåí êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè.
Ò.11.5. Âñÿêîå ñå÷åíèå øàðà ïëîñêîñòüþ åñòü êðóã.
526
527
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
q Ïðîâåäåì B1B^OA è ïîëîæèì B1B = h,
Åñëè ðàññòîÿíèå ñåêóùåé ïëîñêîñòè îò öåíòðà
B1 A = l, ÐB1 AB = a (ðèñ. 305). Â D B1BA èìååì: ÂÀ =
øàðà ðàâíî d, òî ðàäèóñ ñå÷åíèÿ r = R 2 - d 2 .
Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð øàðà, íàçûâàåòñÿ åãî äèàìåòðàëüíîé ïëîñêîñòüþ. Ñå÷åíèå
øàðà äèàìåòðàëüíîé ïëîñêîñòüþ íàçûâàåòñÿ áîëüøèì êðóãîì.
Ëþáàÿ äèàìåòðàëüíàÿ ïëîñêîñòü ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîñòüþ ñèììåòðèè øàðà. Öåíòð øàðà — åãî öåíòð
ñèììåòðèè.
Øàðîâûì ñåãìåíòîì íàçûâàåòñÿ ÷àñòü øàðà, îòñå÷åííàÿ îò íåãî ïëîñêîñòüþ (MABCD íà ðèñ. 306).
Åñëè ðàññòîÿíèå ñåêóùåé ïëîñêîñòè îò öåíòðà øàðà
ðàâíî d, òî ðàçíîñòü R – d = h íàçûâàåòñÿ âûñîòîé
ñåãìåíòà (MN íà ðèñ. 306).
Øàðîâûì ñëîåì íàçûâàåòñÿ ÷àñòü øàðà, çàêëþ÷åííàÿ ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñåêóùèìè
ïëîñêîñòÿìè (íà ðèñ. 306 èçîáðàæåí øàðîâîé ñëîé
ÀÀ1Ñ1Ñ, çàêëþ÷åííûé ìåæäó ïëîñêîñòÿìè ÀÂCD è
A1B1C1D1). Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñåêóùèìè ïëîñêîñòÿìè íàçûâàåòñÿ âûñîòîé øàðîâîãî ñëîÿ (NN 1 íà
ðèñ. 306).
Ðàññìîòðèì êîíóñ ñ âåðøèíîé â öåíòðå øàðà. ×àñòü
øàðà, ëåæàùàÿ âíóòðè ýòîãî êîíóñà, íàçûâàåòñÿ øàðîâûì ñåêòîðîì; íà ðèñ. 306 èçîáðàæåí øàðîâîé ñåêòîð
ÎÀÌÑ, ñîñòîÿùèé èç êîíóñà OABCD è øàðîâîãî ñåãìåíòà MABCD. (Øàðîâûì ñåêòîðîì íàçûâàåòñÿ òàêæå è ÷àñòü øàðà, ëåæàùàÿ âíå ýòîãî êîíóñà, ò. å. äîïîëíÿþùàÿ óêàçàííûé âûøå ñåêòîð äî ïîëíîãî øàðà).
Îáúåì øàðà ðàäèóñà R íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
4
(1)
V = pR 3.
3
1
. Ïî óñëîâèþ, Sáîê = Síèæí.îñí +
cos a
25
,
+ Sâåðõ.îñí, èëè p (3 + 4)l = p (32 + 42 ), îòêóäà l =
7
= 1 ñì, B1 A = l =
2
24
æ 25 ö
. Çíà÷èò, Sáîê = 25 p (ñì2). Òå÷ -1 =
ç
7
7
ø
è
ïåðü âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (3):
h=
V =
p × 24 2
296 p
(ñì3). n
(3 + 42 + 3 × 4) =
7×3
7
314. Øàð, ñôåðà. Øàðîâîé ïîâåðõíîñòüþ (èëè
ñôåðîé) íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, óäàëåííûõ îò çàäàííîé òî÷êè Î (öåíòðà) íà çàäàííîå
ðàññòîÿíèå R (ðàäèóñ). Øàð — ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, óäàëåííûõ îò öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, íå ïðåâûøàþùåå ðàäèóñ (ðèñ. 306).
Ëþáîé îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ñôåðû ñ öåíòðîì, íàçûâàåòñÿ åå ðàäèóñîì. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé êàêèå-ëèáî äâå òî÷êè ñôåðû è
ïðîõîäÿùèé ÷åðåç åå öåíòð, íàçûâàåòñÿ äèàìåòðîì.
Öåíòð, ðàäèóñ è äèàìåòð ñôåðû ÿâëÿåòñÿ òàêæå öåíòðîì, ðàäèóñîì è äèàìåòðîì øàðà.
Ïëîñêîñòü, èìåþùàÿ ñ øàðîì îäíó îáùóþ òî÷êó,
íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ øàðà.
Ò.11.4. Ðàäèóñ, ïðîâåäåííûé â òî÷êó êàñàíèÿ, ïåðïåíäèêóëÿðåí êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè.
Ò.11.5. Âñÿêîå ñå÷åíèå øàðà ïëîñêîñòüþ åñòü êðóã.
526
527
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ñôåðè÷åñêîãî ñåãìåíòà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
Sñåãì = 2pRh,
(6)
ãäå R — ðàäèóñ ñôåðû, h — âûñîòà ñåãìåíòà.
Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè øàðîâîãî ñëîÿ íàõîäèòñÿ
ïî ôîðìóëå
Ðèñ. 306
Sñëîÿ = 2pRH,
Ðèñ. 307
Îáúåì øàðîâîãî ñåãìåíòà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
1 2
(2)
ph (3R - h),
3
ãäå R — ðàäèóñ øàðà, h — âûñîòà ñåãìåíòà.
Îáúåì øàðîâîãî ñåêòîðà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
Vñåãì =
2
(3)
Vñåêò = pR 2h,
3
ãäå R — ðàäèóñ øàðà, h — âûñîòà ñîîòâåòñòâóþùåãî ñåãìåíòà (çäåñü øàðîâîé ñåêòîð ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê òåëî, ñîñòîÿùåå èç êîíóñà è øàðîâîãî ñåãìåíòà).
Åñëè a — óãîë ìåæäó îñüþ è îáðàçóþùåé êîíóñà, òî ôîðìóëà (3) ïðèìåò âèä
4
a
pR 3 sin2 .
(4)
3
2
Ïëîùàäü ñôåðû ðàäèóñà R íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
Vñåêò =
S = 4pR 2 .
528
(5)
(7)
ãäå R — ðàäèóñ ñôåðû, H — âûñîòà cëîÿ, ò. å. ýòà
ïëîùàäü çàâèñèò òîëüêî îò âûñîòû ñëîÿ, à íå îò åãî
ïîëîæåíèÿ íà ñôåðå.
Ï ð è ì å ð 1. Øàð ïåðåñå÷åí ïëîñêîñòüþ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé åãî ðàäèóñó è îòñòîÿùåé îò åãî öåíòðà íà 9 ñì. Ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ðàâíà 144p ñì2. Íàéòè îáúåì øàðà è ïëîùàäü ñôåðû.
q Ïóñòü Π= õ — ðàäèóñ ñôåðû (ðèñ. 307). Â
D OAB èìååì AB2 = OB2 - OA 2 = x2 - 81. Ïî óñëîâèþ, p (x2 - 81) = 144p, îòêóäà õ = 15 (ñì). Òåïåðü,
èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (1) è (5), íàõîäèì
V =
4
p × 153 = 4500p
450p (ñì3), S = 4p · 152 = 900p (ñì2). n
3
Ï ð è ì å ð 2. Èñïîëüçóÿ óñëîâèå ïðèìåðà 1,
íàéòè: à) îáúåì øàðîâîãî ñåêòîðà OBFC (ñì. ðèñ.
307); á) îáúåì øàðîâîãî ñåãìåíòà ÂFC è ïëîùàäü
ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ýòîãî ñåãìåíòà; â) ïëîùàäü
ïîâåðõíîñòè øàðîâîãî ñëîÿ, çàêëþ÷åííîãî ìåæäó
ïëîñêîñòüþ äàííîãî ñå÷åíèÿ è ïàðàëëåëüíîé åé ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð øàðà.
529
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ñôåðè÷åñêîãî ñåãìåíòà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
Sñåãì = 2pRh,
(6)
ãäå R — ðàäèóñ ñôåðû, h — âûñîòà ñåãìåíòà.
Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè øàðîâîãî ñëîÿ íàõîäèòñÿ
ïî ôîðìóëå
Ðèñ. 306
Sñëîÿ = 2pRH,
Ðèñ. 307
Îáúåì øàðîâîãî ñåãìåíòà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
1 2
(2)
ph (3R - h),
3
ãäå R — ðàäèóñ øàðà, h — âûñîòà ñåãìåíòà.
Îáúåì øàðîâîãî ñåêòîðà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
Vñåãì =
2
(3)
Vñåêò = pR 2h,
3
ãäå R — ðàäèóñ øàðà, h — âûñîòà ñîîòâåòñòâóþùåãî ñåãìåíòà (çäåñü øàðîâîé ñåêòîð ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê òåëî, ñîñòîÿùåå èç êîíóñà è øàðîâîãî ñåãìåíòà).
Åñëè a — óãîë ìåæäó îñüþ è îáðàçóþùåé êîíóñà, òî ôîðìóëà (3) ïðèìåò âèä
4
a
pR 3 sin2 .
(4)
3
2
Ïëîùàäü ñôåðû ðàäèóñà R íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
Vñåêò =
S = 4pR 2 .
528
(5)
(7)
ãäå R — ðàäèóñ ñôåðû, H — âûñîòà cëîÿ, ò. å. ýòà
ïëîùàäü çàâèñèò òîëüêî îò âûñîòû ñëîÿ, à íå îò åãî
ïîëîæåíèÿ íà ñôåðå.
Ï ð è ì å ð 1. Øàð ïåðåñå÷åí ïëîñêîñòüþ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé åãî ðàäèóñó è îòñòîÿùåé îò åãî öåíòðà íà 9 ñì. Ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ðàâíà 144p ñì2. Íàéòè îáúåì øàðà è ïëîùàäü ñôåðû.
q Ïóñòü Π= õ — ðàäèóñ ñôåðû (ðèñ. 307). Â
D OAB èìååì AB2 = OB2 - OA 2 = x2 - 81. Ïî óñëîâèþ, p (x2 - 81) = 144p, îòêóäà õ = 15 (ñì). Òåïåðü,
èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (1) è (5), íàõîäèì
V =
4
p × 153 = 4500p
450p (ñì3), S = 4p · 152 = 900p (ñì2). n
3
Ï ð è ì å ð 2. Èñïîëüçóÿ óñëîâèå ïðèìåðà 1,
íàéòè: à) îáúåì øàðîâîãî ñåêòîðà OBFC (ñì. ðèñ.
307); á) îáúåì øàðîâîãî ñåãìåíòà ÂFC è ïëîùàäü
ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ýòîãî ñåãìåíòà; â) ïëîùàäü
ïîâåðõíîñòè øàðîâîãî ñëîÿ, çàêëþ÷åííîãî ìåæäó
ïëîñêîñòüþ äàííîãî ñå÷åíèÿ è ïàðàëëåëüíîé åé ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð øàðà.
529
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
q à) Îáúåì øàðîâîãî ñåêòîðà OÂFC âû÷èñëèì ïî
1
ôîðìóëå (3): Vñåêò = 2 pR 2h, ãäå R = 15 ñì, h = AF =
3
= OF – OA = 15 – 9 = 6 (ñì). Çíà÷èò,
Ï ð è ì å ð 3. Îêîëî ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé
ïðèçìû, âûñîòà êîòîðîé âäâîå áîëüøå ñòîðîíû îñíîâàíèÿ, îïèñàí øàð. Íàéòè îòíîøåíèå îáúåìà øàðà ê
îáúåìó ïðèçìû.
q Ïóñòü ÀÂ = à, ÎÀ = R (ðèñ. 308). Òîãäà Vøàðà =
1
2
2
Vñåêò = p × 15 × 6 = 900p (ñì3).
3
Ïðîâåðèì, ÷òî òîò æå ðåçóëüòàò äàåò è ôîðìóOA
9
ëà (4). Èìååì a = ÐAOC, cos a =
=
= 0,6,
OC 15
a 1 - cos a 1 - 0,6
sin2 =
=
= 0,2, îòêóäà
2
2
2
=
Vñåêò =
4
p × 153 × 0,2 = 900p (ñì3).
3
4
a2 3
a3 3
pR 3, V ïð = SD ABC × AA1 =
× 2a =
. Â
3
4
2
1
a 3
D OEA èìååì OE = AA1 = a, AE =
(ðàäèóñ
2
3
îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà); çíà÷èò, R =
Îòñþäà íàõîäèì Vøàðà =
á) Òàê êàê R = 15 ñì, h = 6 ñì, òî, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (2) è (6), ïîëó÷èì
Vñåãì =
p 2
× 6 =(45
(45–-6)
6)== 468p
468p (ñì3),
3
Sñåãì = 2p × 15 × 6 = 180p (ñì2). n
â) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (7), ãäå R = 15 ñì, H = 9 ñì,
íàõîäèì
Sñëîÿ = 2p × 15 × 9 = 270p (ñì2). n
Øàð íàçûâàåòñÿ îïèñàííûì îêîëî ìíîãîãðàííèêà, åñëè âñå âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà ëåæàò íà ñôåðå.
Øàð íàçûâàåòñÿ âïèñàííûì â ìíîãîãðàííèê,
åñëè îí êàñàåòñÿ âñåõ ãðàíåé ìíîãîãðàííèêà.
530
OE2 + AE 2 =
Vøàðà : Vïð =
a2 +
a2
2a
=
.
3
3
4
8a3
32pa3
. Èòàê,
p×
=
3
3 3
9 3
32pa 3
9 3
:
64p
a3 3
=
. n
2
27
Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ïîâåðõíîñòü øàðà, âïèñàííîãî â ïðàâèëüíûé òåòðàýäð ñ ðåáðîì à.
q Ïðîâåäåì ïëîñêîñòü ÷åðåç âûñîòó ïèðàìèäû FO è àïîôåìó FD (ðèñ. 309); ðàäèóñ êðóãà â ïîëó÷åííîì ñå÷åíèè ðàâåí ðàäèóñó øàðà. Òàê êàê âñå
ðåáðà ïèðàìèäû ðàâíû à, òî FD =
a 3
a 3
, OD =
,
2
6
a 3
. Èç D FOD ñëåäóåò, ÷òî FO =
3
a 6
FD2 - OD2 =
. Ïóñòü R — ðàäèóñ øàðà; òîã3
BO = FK =
=
531
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
q à) Îáúåì øàðîâîãî ñåêòîðà OÂFC âû÷èñëèì ïî
1
ôîðìóëå (3): Vñåêò = 2 pR 2h, ãäå R = 15 ñì, h = AF =
3
= OF – OA = 15 – 9 = 6 (ñì). Çíà÷èò,
Ï ð è ì å ð 3. Îêîëî ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé
ïðèçìû, âûñîòà êîòîðîé âäâîå áîëüøå ñòîðîíû îñíîâàíèÿ, îïèñàí øàð. Íàéòè îòíîøåíèå îáúåìà øàðà ê
îáúåìó ïðèçìû.
q Ïóñòü ÀÂ = à, ÎÀ = R (ðèñ. 308). Òîãäà Vøàðà =
1
2
2
Vñåêò = p × 15 × 6 = 900p (ñì3).
3
Ïðîâåðèì, ÷òî òîò æå ðåçóëüòàò äàåò è ôîðìóOA
9
ëà (4). Èìååì a = ÐAOC, cos a =
=
= 0,6,
OC 15
a 1 - cos a 1 - 0,6
sin2 =
=
= 0,2, îòêóäà
2
2
2
=
Vñåêò =
4
p × 153 × 0,2 = 900p (ñì3).
3
4
a2 3
a3 3
pR 3, V ïð = SD ABC × AA1 =
× 2a =
. Â
3
4
2
1
a 3
D OEA èìååì OE = AA1 = a, AE =
(ðàäèóñ
2
3
îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà); çíà÷èò, R =
Îòñþäà íàõîäèì Vøàðà =
á) Òàê êàê R = 15 ñì, h = 6 ñì, òî, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (2) è (6), ïîëó÷èì
Vñåãì =
p 2
× 6 =(45
(45–-6)
6)== 468p
468p (ñì3),
3
Sñåãì = 2p × 15 × 6 = 180p (ñì2). n
â) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (7), ãäå R = 15 ñì, H = 9 ñì,
íàõîäèì
Sñëîÿ = 2p × 15 × 9 = 270p (ñì2). n
Øàð íàçûâàåòñÿ îïèñàííûì îêîëî ìíîãîãðàííèêà, åñëè âñå âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà ëåæàò íà ñôåðå.
Øàð íàçûâàåòñÿ âïèñàííûì â ìíîãîãðàííèê,
åñëè îí êàñàåòñÿ âñåõ ãðàíåé ìíîãîãðàííèêà.
530
OE2 + AE 2 =
Vøàðà : Vïð =
a2 +
a2
2a
=
.
3
3
4
8a3
32pa3
. Èòàê,
p×
=
3
3 3
9 3
32pa 3
9 3
:
64p
a3 3
=
. n
2
27
Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ïîâåðõíîñòü øàðà, âïèñàííîãî â ïðàâèëüíûé òåòðàýäð ñ ðåáðîì à.
q Ïðîâåäåì ïëîñêîñòü ÷åðåç âûñîòó ïèðàìèäû FO è àïîôåìó FD (ðèñ. 309); ðàäèóñ êðóãà â ïîëó÷åííîì ñå÷åíèè ðàâåí ðàäèóñó øàðà. Òàê êàê âñå
ðåáðà ïèðàìèäû ðàâíû à, òî FD =
a 3
a 3
, OD =
,
2
6
a 3
. Èç D FOD ñëåäóåò, ÷òî FO =
3
a 6
FD2 - OD2 =
. Ïóñòü R — ðàäèóñ øàðà; òîã3
BO = FK =
=
531
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
òîâ; øàð — âðàùåíèåì ïîëóêðóãà âîêðóã åãî äèàìåòðà). Ïîýòîìó öèëèíäð, êîíóñ è øàð íàçûâàþò
òåëàìè âðàùåíèÿ.
Êàê èçâåñòíî (ñì. ï. 245), îáúåì òåëà, îáðàçîâàííîãî âðàùåíèåì êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ñâåðõó ãðàôèêîì íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå
[a, b] ôóíêöèè y = f (x), ñíèçó îñüþ Îõ, à ñáîêó äâóìÿ ïðÿìûìè õ = à è x = b (a < b), âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
b
Ðèñ. 308
Ðèñ. 309
äà FO1 = FO – R.  D FKO1 èìååì O1K 2 = FO12 -
- FK 2 , èëè R 2 = (FO - R )2 -
V = p] y2 dx.
a
(1)
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü ôîðìóëû
1
(2) èç ï. 314, ò. å. ÷òî Vñåãì = ph 2 (3R - h), ãäå R —
3
ðàäèóñ øàðà, à h — âûñîòà ñåãìåíòà.
a2
, îòêóäà
3
2aR 6
a3
2a2
+ R2 ,
- 3
3
3 –
pa2
a
2
. n
ò. å. R =
. Èòàê, Søàðà = 4pR =
6
2 6
R2 =
315. Öèëèíäð, êîíóñ è øàð êàê òåëà âðàùåíèÿ.
Öèëèíäð, êîíóñ è øàð ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ
âðàùåíèÿ ïëîñêèõ ôèãóð âîêðóã ñîîòâåòñòâóþùèõ
îñåé (öèëèíäð — âðàùåíèåì ïðÿìîóãîëüíèêà âîêðóã îäíîé èç åãî ñòîðîí; êîíóñ — âðàùåíèåì ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà âîêðóã îäíîãî èç åãî êàòå532
Ðèñ. 310
533
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ
òîâ; øàð — âðàùåíèåì ïîëóêðóãà âîêðóã åãî äèàìåòðà). Ïîýòîìó öèëèíäð, êîíóñ è øàð íàçûâàþò
òåëàìè âðàùåíèÿ.
Êàê èçâåñòíî (ñì. ï. 245), îáúåì òåëà, îáðàçîâàííîãî âðàùåíèåì êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ñâåðõó ãðàôèêîì íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå
[a, b] ôóíêöèè y = f (x), ñíèçó îñüþ Îõ, à ñáîêó äâóìÿ ïðÿìûìè õ = à è x = b (a < b), âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
b
Ðèñ. 308
Ðèñ. 309
äà FO1 = FO – R.  D FKO1 èìååì O1K 2 = FO12 -
- FK 2 , èëè R 2 = (FO - R )2 -
V = p] y2 dx.
a
(1)
Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü ôîðìóëû
1
(2) èç ï. 314, ò. å. ÷òî Vñåãì = ph 2 (3R - h), ãäå R —
3
ðàäèóñ øàðà, à h — âûñîòà ñåãìåíòà.
a2
, îòêóäà
3
2aR 6
a3
2a2
+ R2 ,
- 3
3
3 –
pa2
a
2
. n
ò. å. R =
. Èòàê, Søàðà = 4pR =
6
2 6
R2 =
315. Öèëèíäð, êîíóñ è øàð êàê òåëà âðàùåíèÿ.
Öèëèíäð, êîíóñ è øàð ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ
âðàùåíèÿ ïëîñêèõ ôèãóð âîêðóã ñîîòâåòñòâóþùèõ
îñåé (öèëèíäð — âðàùåíèåì ïðÿìîóãîëüíèêà âîêðóã îäíîé èç åãî ñòîðîí; êîíóñ — âðàùåíèåì ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà âîêðóã îäíîãî èç åãî êàòå532
Ðèñ. 310
533
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
q Áóäåì ðàññìàòðèâàòü øàðîâîé ñåãìåíò êàê òåëî,
ïîëó÷åííîå âðàùåíèåì âîêðóã îñè Îõ çàøòðèõîâàííîé íà ðèñ. 310 êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè. Ïîñëåäíÿÿ
îãðàíè÷åíà ñâåðõó äóãîé îêðóæíîñòè, óðàâíåíèå êîòîðîé èìååò âèä õ2 + ó2 = R2 (ñì. ï. 284), à ïðåäåëû
èíòåãðèðîâàíèÿ ðàâíû R – h è R. Ñîãëàñíî ôîðìóëå
(1), íàõîäèì
R
R
æ
x 3 ö÷ R
V ñåãì = p ò] ( R 2 - x2 )dx = p ç R 2x =
ç
÷ R-h
3
RR–- hh
è
ø
æ
(R - h)3 ö÷
R3
= p çR3 - R 2 ( R - h) +
=
ç
÷
3
3
è
ø
=
534
1 2
ph (3R - h). n
3
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß
q Áóäåì ðàññìàòðèâàòü øàðîâîé ñåãìåíò êàê òåëî,
ïîëó÷åííîå âðàùåíèåì âîêðóã îñè Îõ çàøòðèõîâàííîé íà ðèñ. 310 êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè. Ïîñëåäíÿÿ
îãðàíè÷åíà ñâåðõó äóãîé îêðóæíîñòè, óðàâíåíèå êîòîðîé èìååò âèä õ2 + ó2 = R2 (ñì. ï. 284), à ïðåäåëû
èíòåãðèðîâàíèÿ ðàâíû R – h è R. Ñîãëàñíî ôîðìóëå
(1), íàõîäèì
R
R
æ
x 3 ö÷ R
V ñåãì = p ò] ( R 2 - x2 )dx = p ç R 2x =
ç
÷ R-h
3
RR–- hh
è
ø
æ
(R - h)3 ö÷
R3
= p çR3 - R 2 ( R - h) +
=
ç
÷
3
3
è
ø
=
534
1 2
ph (3R - h). n
3
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
ÀËÃÅÁÐÀ
1. Îñíîâíûå çàêîíû àëãåáðû
Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à, b, ñ ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:
a + b = b + a (ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ).
(a + b) + c = a + (b + c) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ).
a + 0 = à.
a + (-a) = 0.
ab = ba (ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ).
(ab)c = a(bc) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ).
a (b + c) = ab + ac (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ).
a × 1 = a.
1
a × = 1, ãäå a ¹ 0.
a
2. ×èñëîâûå íåðàâåíñòâà
Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à, b, c, d ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà:
Åñëè a > b, òî b < a.
Åñëè a > b è b > c, òî a > c (ñâîéñòâî òðàíçèòèâíîñòè).
Åñëè a > b, òî a + c > b + c.
535
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
ÀËÃÅÁÐÀ
1. Îñíîâíûå çàêîíû àëãåáðû
Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à, b, ñ ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:
a + b = b + a (ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ).
(a + b) + c = a + (b + c) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ).
a + 0 = à.
a + (-a) = 0.
ab = ba (ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ).
(ab)c = a(bc) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ).
a (b + c) = ab + ac (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ).
a × 1 = a.
1
a × = 1, ãäå a ¹ 0.
a
2. ×èñëîâûå íåðàâåíñòâà
Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à, b, c, d ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà:
Åñëè a > b, òî b < a.
Åñëè a > b è b > c, òî a > c (ñâîéñòâî òðàíçèòèâíîñòè).
Åñëè a > b, òî a + c > b + c.
535
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Àëãåáðà
4. Àðèôìåòè÷åñêèé êîðåíü
Åñëè a > b è c > 0, òî ac > bc.
Åñëè a > b è c < 0, òî ac < bc.
Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîãî êîðíÿ:
Åñëè a > b è c > d, òî a + c > b + d.
å ñ ë è a ³ 0 è n Î N, ò î
Åñëè a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, ïðè÷åì a > b è
c > d, òî ac > bd.
Åñëè a > b è c < d, òî a - c > b - d.
Åñëè a > b > 0, òî
1 1
< .
a b
n
Åñëè a > b > 0 è n Î N, òî a > b .
3. Ìîäóëü äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà
Îïðåäåëåíèå ìîäóëÿ:
ì a, åñëè a ³ 0,
a =í
î- a, åñëè a < 0.
Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à, b ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà:
a ³ 0.
a = - a.
ab = a b .
a
a
=
, ãäå b ¹ 0.
b
b
a
536
2
= a2.
a = x îçíà÷àåò:
1) x ³ 0; 2) x2 = a.
Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë a ³ 0 è b ³ 0
ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà:
n
n
n
ab =
n
a
a
=
b
n
a
n
æç
è
n
n k
nm
n
k
a =
n
nk
a km =
b.
, ãäå b ¹ 0.
b
a ö÷ =
ø
n
ak .
a.
n
ak .
a2 = a .
5. Îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ ñòåïåíè
Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì:
.a , , aa11==a.
× a..."
an = a
a.
"
!
n ìíîæèòåëåé
537
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Àëãåáðà
4. Àðèôìåòè÷åñêèé êîðåíü
Åñëè a > b è c > 0, òî ac > bc.
Åñëè a > b è c < 0, òî ac < bc.
Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîãî êîðíÿ:
Åñëè a > b è c > d, òî a + c > b + d.
å ñ ë è a ³ 0 è n Î N, ò î
Åñëè a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, ïðè÷åì a > b è
c > d, òî ac > bd.
Åñëè a > b è c < d, òî a - c > b - d.
Åñëè a > b > 0, òî
1 1
< .
a b
n
Åñëè a > b > 0 è n Î N, òî a > b .
3. Ìîäóëü äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà
Îïðåäåëåíèå ìîäóëÿ:
ì a, åñëè a ³ 0,
a =í
î- a, åñëè a < 0.
Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à, b ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà:
a ³ 0.
a = - a.
ab = a b .
a
a
=
, ãäå b ¹ 0.
b
b
a
536
2
= a2.
a = x îçíà÷àåò:
1) x ³ 0; 2) x2 = a.
Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë a ³ 0 è b ³ 0
ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà:
n
n
n
ab =
n
a
a
=
b
n
a
n
æç
è
n
n k
nm
n
k
a =
n
nk
a km =
b.
, ãäå b ¹ 0.
b
a ö÷ =
ø
n
ak .
a.
n
ak .
a2 = a .
5. Îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ ñòåïåíè
Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì:
.a , , aa11==a.
× a..."
an = a
a.
"
!
n ìíîæèòåëåé
537
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ ïîëîæèòåëüíûì äðîáíûì
ïîêàçàòåëåì:
a
p
q
=
q
a p , ãäå a ³ 0.
Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ íóëåâûì ïîêàçàòåëåì:
a 0 = 1, ãäå a ¹ 0.
Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ îòðèöàòåëüíûì ðàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì:
a -r =
1
ar ,
ãäå a > 0.
Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ èððàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì:
Î 1;
à) åñëè à = 1 è a Î I, òî 1a =
Àëãåáðà
Ñòàíäàðòíûé âèä ïîëîæèòåëüíîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà:
à = à1 × 10n, ãäå 1 £ à1 < 10, n Î Z.
6. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
Àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà:
z = (a; b) = a + bi,
ãäå Re z = a — äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü, Im z = b —
ìíèìàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z.
Óñëîâèå ðàâåíñòâà äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë:
ì a = b,
(a; b) = (c; d), åñëè í
î c = d.
Ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = a + bi :
á) åñëè à > 1 è a Î I, òî ïîä a a ïîíèìàþò ÷èñëî,
r1
r2
çàêëþ÷åííîå ìåæäó a è a äëÿ ëþáûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë r1 è r2 òàêèõ, ÷òî r1 < a, a r2 > a;
â) åñëè 0 < a < 1 è a Î I, òî ïîä a a ïîíèìàþò
÷èñëî, çàêëþ÷åííîå ìåæäó a r2 è a r1 äëÿ ëþáûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë r1 è r2 òàêèõ, ÷òî r1 < a < r2 .
Äëÿ ëþáûõ a > 0, b > 0 è ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë õ è ó ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà:
ax × a y = a x + y .
x
y
x-y
.
a :a =a
(a x ) y = a xy .
538
a x × bx = (ab)x .
a
x
bx
x
æaö
=ç ÷ .
èbø
z =r=
a2 + b 2 .
Ñòåïåíè ìíèìîé åäèíèöû:
N.
i 4n +1 = i, i 4n + 2 = -1, i 4n + 3 = -i, i 4n = i, n Î N
Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà:
z= r (cos j + i sin j),
ãäå r — ìîäóëü, à j — ãëàâíîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà
(-p < j £ p), ïðè÷åì
cos j =
a
a2 + b 2
, sin j =
b
a2 + b2
.
539
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ ïîëîæèòåëüíûì äðîáíûì
ïîêàçàòåëåì:
a
p
q
=
q
a p , ãäå a ³ 0.
Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ íóëåâûì ïîêàçàòåëåì:
a 0 = 1, ãäå a ¹ 0.
Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ îòðèöàòåëüíûì ðàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì:
a -r =
1
ar ,
ãäå a > 0.
Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ èððàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì:
Î 1;
à) åñëè à = 1 è a Î I, òî 1a =
Àëãåáðà
Ñòàíäàðòíûé âèä ïîëîæèòåëüíîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà:
à = à1 × 10n, ãäå 1 £ à1 < 10, n Î Z.
6. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
Àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà:
z = (a; b) = a + bi,
ãäå Re z = a — äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü, Im z = b —
ìíèìàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z.
Óñëîâèå ðàâåíñòâà äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë:
ì a = b,
(a; b) = (c; d), åñëè í
î c = d.
Ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = a + bi :
á) åñëè à > 1 è a Î I, òî ïîä a a ïîíèìàþò ÷èñëî,
r1
r2
çàêëþ÷åííîå ìåæäó a è a äëÿ ëþáûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë r1 è r2 òàêèõ, ÷òî r1 < a, a r2 > a;
â) åñëè 0 < a < 1 è a Î I, òî ïîä a a ïîíèìàþò
÷èñëî, çàêëþ÷åííîå ìåæäó a r2 è a r1 äëÿ ëþáûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë r1 è r2 òàêèõ, ÷òî r1 < a < r2 .
Äëÿ ëþáûõ a > 0, b > 0 è ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë õ è ó ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà:
ax × a y = a x + y .
x
y
x-y
.
a :a =a
(a x ) y = a xy .
538
a x × bx = (ab)x .
a
x
bx
x
æaö
=ç ÷ .
èbø
z =r=
a2 + b 2 .
Ñòåïåíè ìíèìîé åäèíèöû:
N.
i 4n +1 = i, i 4n + 2 = -1, i 4n + 3 = -i, i 4n = i, n Î N
Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà:
z= r (cos j + i sin j),
ãäå r — ìîäóëü, à j — ãëàâíîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà
(-p < j £ p), ïðè÷åì
cos j =
a
a2 + b 2
, sin j =
b
a2 + b2
.
539
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Àëãåáðà
(a –
+ b)2 = a2 - 2ab + b2 (êâàäðàò ðàçíîñòè);
Óìíîæåíèå è äåëåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 =
= r1 (cos j1 + i sin j1) è z2 = r2 (cos j2 + i sin j2):
(a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab2 + b3 (êóá ñóììû);
(a - b)3 = a 3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (êóá ðàçíîñòè);
z1z2 = r1r2 (cos(j1 + j2 ) + i sin(j1 + j2 )),
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2 ) (ñóììà êóáîâ);
z1
r
= 1 (cos(j1 - j2 ) + i sin(j1 - j2 )).
z2
r2
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2 ) (ðàçíîñòü êóáîâ).
Âîçâåäåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = r (cos j +
+ i sin j) â ñòåïåíü n:
8. Êâàäðàòíîå óðàâíåíèå
zn = r n (cos nj + i sin nj); n Î N.
Ôîðìóëà êîðíåé íåïðèâåäåííîãî êâàäðàòíîãî
óðàâíåíèÿ ax 2 + bx + c = 0 :
Ôîðìóëà Ìóàâðà:
n
(cos j + i sin j) = cos nj + i sin nj, n Î N.
Èçâëå÷åíèå êîðíÿ n-é ñòåïåíè (n Î N ) èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = r (cos j + i sin j) :
j + 2pk
j + 2pk ö
æ
r ç cos
+ i sin
÷,
n
n
ø
è
ãäå k = 0, 1, 2, ..., n –1.
n
z =
n
7. Ôîðìóëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ
(a + b) (a - b) = a2 - b2 (ðàçíîñòü êâàäðàòîâ);
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (êâàäðàò ñóììû);
540
x=
-b± D
- b ± b2 - 4ac
2
, ãäå D = b - 4ac.
=
2a
2a
Ôîðìóëà êîðíåé íåïðèâåäåííîãî êâàäðàòíîãî
óðàâíåíèÿ ax2 + bx + c = 0 â ñëó÷àå, êîãäà b — ÷åòíîå ÷èñëî:
x=
b
D
- k ± D*
- b ± k2 - ac
*
, ãäå k = , D = .
=
2
4
a
a
Òåîðåìà Âèåòà äëÿ ïðèâåäåííîãî êâàäðàòíîãî
óðàâíåíèÿ x 2 + px + q = 0 :
x1 + x2 = - p, x1x2 = q.
541
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Àëãåáðà
(a –
+ b)2 = a2 - 2ab + b2 (êâàäðàò ðàçíîñòè);
Óìíîæåíèå è äåëåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 =
= r1 (cos j1 + i sin j1) è z2 = r2 (cos j2 + i sin j2):
(a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab2 + b3 (êóá ñóììû);
(a - b)3 = a 3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (êóá ðàçíîñòè);
z1z2 = r1r2 (cos(j1 + j2 ) + i sin(j1 + j2 )),
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2 ) (ñóììà êóáîâ);
z1
r
= 1 (cos(j1 - j2 ) + i sin(j1 - j2 )).
z2
r2
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2 ) (ðàçíîñòü êóáîâ).
Âîçâåäåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = r (cos j +
+ i sin j) â ñòåïåíü n:
8. Êâàäðàòíîå óðàâíåíèå
zn = r n (cos nj + i sin nj); n Î N.
Ôîðìóëà êîðíåé íåïðèâåäåííîãî êâàäðàòíîãî
óðàâíåíèÿ ax 2 + bx + c = 0 :
Ôîðìóëà Ìóàâðà:
n
(cos j + i sin j) = cos nj + i sin nj, n Î N.
Èçâëå÷åíèå êîðíÿ n-é ñòåïåíè (n Î N ) èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = r (cos j + i sin j) :
j + 2pk
j + 2pk ö
æ
r ç cos
+ i sin
÷,
n
n
ø
è
ãäå k = 0, 1, 2, ..., n –1.
n
z =
n
7. Ôîðìóëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ
(a + b) (a - b) = a2 - b2 (ðàçíîñòü êâàäðàòîâ);
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (êâàäðàò ñóììû);
540
x=
-b± D
- b ± b2 - 4ac
2
, ãäå D = b - 4ac.
=
2a
2a
Ôîðìóëà êîðíåé íåïðèâåäåííîãî êâàäðàòíîãî
óðàâíåíèÿ ax2 + bx + c = 0 â ñëó÷àå, êîãäà b — ÷åòíîå ÷èñëî:
x=
b
D
- k ± D*
- b ± k2 - ac
*
, ãäå k = , D = .
=
2
4
a
a
Òåîðåìà Âèåòà äëÿ ïðèâåäåííîãî êâàäðàòíîãî
óðàâíåíèÿ x 2 + px + q = 0 :
x1 + x2 = - p, x1x2 = q.
541
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
9. Ìíîãî÷ëåíû
Âûäåëåíèå ïîëíîãî êâàäðàòà èç êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà:
2
4ac - b2
b ö
æ
.
ax2 + bx + c = a ç x +
÷ +
2a ø
4a
è
Ðàçëîæåíèå êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà íà ìíîæèòåëè:
ax 2 + bx + c = a (x - x1 ) (x - x2 ),
ãäå x1, x2 — êîðíè òðåõ÷ëåíà.
Òåîðåìà î äåëåíèè ìíîãî÷ëåíîâ ñ îñòàòêîì: äëÿ
ëþáûõ äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ P (x) è Q (x) òàêèõ, ÷òî
ñòåïåíü P (x) íå ìåíüøå ñòåïåíè Q (x), ñóùåñòâóåò
îäíà è òîëüêî îäíà ïàðà ìíîãî÷ëåíîâ S (x) è R (x)
òàê, ÷òî ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî
P (x) = Q (x) S (x) + R (x),
ïðè÷åì ñòåïåíü îñòàòêà R (x) ìåíüøå ñòåïåíè Q (x) .
Òåîðåìà Áåçó: îñòàòîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà
P (x) íà äâó÷ëåí x - a ðàâåí çíà÷åíèþ ìíîãî÷ëåíà
ïðè x = a, ò. å. R = P (a).
Ñõåìà Ãîðíåðà: ïðè äåëåíèè ìíîãî÷ëåíà
Pn (x ) = a0x n + a1x n - 1 + ... + a n
íà äâó÷ëåí x - a êîýôôèöèåíòû ÷àñòíîãî è îñòàòêà
ðàñïîëàãàþò â ñëåäóþùåé òàáëèöå:
a
542
a0
a1
a2
an - 1
an
a0 = b0
ab0 + a1
" "
!
ab1 + a2
" "
!
abn - 2 + an - 1
"" ""
!
abn -1 + an = r
b1
b2
bn -1
Àëãåáðà
10. Îïðåäåëèòåëè è ñèñòåìû äâóõ (òðåõ) ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ (òðåìÿ) ïåðåìåííûìè
Îïðåäåëèòåëü âòîðîãî ïîðÿäêà:
a11 a12
= a11a22 - a21a12.
a21 a22
Îïðåäåëèòåëü òðåòüåãî ïîðÿäêà:
a11 a12 a13
a21 a22 a23 =
a31 a32 a33
a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33.
Ðàçëîæåíèå îïðåäåëèòåëÿ ïî ýëåìåíòàì êàêîéëèáî ñòðîêè èëè ñòîëáöà; íàïðèìåð,
a11 a12 a13
a21 a22 a23 = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
a31 a32 a33
— ðàçëîæåíèå ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè, ãäå
A11 = (-1)1+1
A12 = ( -1)1+ 2
a22 a23
a32 a33
a21 a23
a31 a33
A13 = (-1)1+ 3
— àëãåáðàè÷åñêèå
a11, a12 , a13 .
a21 a22
a31 a32
=
a22 a23
a32 a33
=-
=
,
a21 a23
a31 a33
,
a21 a22
a31 a32
äîïîëíåíèÿ
ýëåìåíòîâ
543
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
9. Ìíîãî÷ëåíû
Âûäåëåíèå ïîëíîãî êâàäðàòà èç êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà:
2
4ac - b2
b ö
æ
.
ax2 + bx + c = a ç x +
÷ +
2a ø
4a
è
Ðàçëîæåíèå êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà íà ìíîæèòåëè:
ax 2 + bx + c = a (x - x1 ) (x - x2 ),
ãäå x1, x2 — êîðíè òðåõ÷ëåíà.
Òåîðåìà î äåëåíèè ìíîãî÷ëåíîâ ñ îñòàòêîì: äëÿ
ëþáûõ äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ P (x) è Q (x) òàêèõ, ÷òî
ñòåïåíü P (x) íå ìåíüøå ñòåïåíè Q (x), ñóùåñòâóåò
îäíà è òîëüêî îäíà ïàðà ìíîãî÷ëåíîâ S (x) è R (x)
òàê, ÷òî ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî
P (x) = Q (x) S (x) + R (x),
ïðè÷åì ñòåïåíü îñòàòêà R (x) ìåíüøå ñòåïåíè Q (x) .
Òåîðåìà Áåçó: îñòàòîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà
P (x) íà äâó÷ëåí x - a ðàâåí çíà÷åíèþ ìíîãî÷ëåíà
ïðè x = a, ò. å. R = P (a).
Ñõåìà Ãîðíåðà: ïðè äåëåíèè ìíîãî÷ëåíà
Pn (x ) = a0x n + a1x n - 1 + ... + a n
íà äâó÷ëåí x - a êîýôôèöèåíòû ÷àñòíîãî è îñòàòêà
ðàñïîëàãàþò â ñëåäóþùåé òàáëèöå:
a
542
a0
a1
a2
an - 1
an
a0 = b0
ab0 + a1
" "
!
ab1 + a2
" "
!
abn - 2 + an - 1
"" ""
!
abn -1 + an = r
b1
b2
bn -1
Àëãåáðà
10. Îïðåäåëèòåëè è ñèñòåìû äâóõ (òðåõ) ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ (òðåìÿ) ïåðåìåííûìè
Îïðåäåëèòåëü âòîðîãî ïîðÿäêà:
a11 a12
= a11a22 - a21a12.
a21 a22
Îïðåäåëèòåëü òðåòüåãî ïîðÿäêà:
a11 a12 a13
a21 a22 a23 =
a31 a32 a33
a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33.
Ðàçëîæåíèå îïðåäåëèòåëÿ ïî ýëåìåíòàì êàêîéëèáî ñòðîêè èëè ñòîëáöà; íàïðèìåð,
a11 a12 a13
a21 a22 a23 = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
a31 a32 a33
— ðàçëîæåíèå ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè, ãäå
A11 = (-1)1+1
A12 = ( -1)1+ 2
a22 a23
a32 a33
a21 a23
a31 a33
A13 = (-1)1+ 3
— àëãåáðàè÷åñêèå
a11, a12 , a13 .
a21 a22
a31 a32
=
a22 a23
a32 a33
=-
=
,
a21 a23
a31 a33
,
a21 a22
a31 a32
äîïîëíåíèÿ
ýëåìåíòîâ
543
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Ñèñòåìà äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
ìa11x + a12y = b1,
í
îa12
21x + a22y = b2
ïðè óñëîâèè, ÷òî åå îïðåäåëèòåëü
D=
a11 a12
a21 a22
¹ 0,
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå íàõîäèòñÿ ïî
ôîðìóëàì Êðàìåðà
x=
Dxx
Dyy
,y=
,
D
D
ãäå Dx
x , Dy
y — îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷åííûå èç îïðåäåëèòåëÿ D çàìåíîé ñòîëáöîâ ïðè íåèçâåñòíûõ ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ.
Ñèñòåìà òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè
ì a11x + a12y + a13z = b1,
ï
í a21x + a22 y + a23z = b2 ,
ïa x + a y + a z = b
32
33
3
î 31
ïðè óñëîâèè, ÷òî åå îïðåäåëèòåëü
a11 a12 a13
D = a21 a22 a23 ¹ 0,
a31 a32 a33
544
Àëãåáðà
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå íàõîäèòñÿ ïî
ôîðìóëàì Êðàìåðà
Dx
Dy
Dzz
y
x
x=
,y=
,z=
,
D
D
D
ãäå Dxx, Dyy, Dzz — îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷åííûå èç îïðåäåëèòåëÿ D çàìåíîé ñòîëáöîâ ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì íåèçâåñòíîì ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ.
11. Ëîãàðèôìû
Îïðåäåëåíèå ëîãàðèôìà:
a loga x = x, ãäå x > 0, a > 0, a ¹ 1.
Ëîãàðèôì ïðîèçâåäåíèÿ:
åñëè x1 > 0 è x2 > 0, òî
loga (x1x2 ) = loga x1 + log a x2 ;
åñëè x1 < 0 è x2 < 0, òî
log a (x1x2 ) = log a x1 +
- log a x2 .
Ëîãàðèôì ÷àñòíîãî:
åñëè x1 > 0 è x2 > 0, òî
x
log a 1 = log a x1 - log a x2 ;
x2
åñëè x1 < 0 è x2 < 0, òî
x
log a 1 = log a x1 - log a x2 .
x2
Ëîãàðèôì ñòåïåíè:
åñëè x > 0 , òî log a x r = r log a x;
åñëè x ¹ 0 è k — ÷åòíîå ÷èñëî, òî
log a x k = k loga |x|.
545
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Ñèñòåìà äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
ìa11x + a12y = b1,
í
îa12
21x + a22y = b2
ïðè óñëîâèè, ÷òî åå îïðåäåëèòåëü
D=
a11 a12
a21 a22
¹ 0,
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå íàõîäèòñÿ ïî
ôîðìóëàì Êðàìåðà
x=
Dxx
Dyy
,y=
,
D
D
ãäå Dx
x , Dy
y — îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷åííûå èç îïðåäåëèòåëÿ D çàìåíîé ñòîëáöîâ ïðè íåèçâåñòíûõ ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ.
Ñèñòåìà òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè
ì a11x + a12y + a13z = b1,
ï
í a21x + a22 y + a23z = b2 ,
ïa x + a y + a z = b
32
33
3
î 31
ïðè óñëîâèè, ÷òî åå îïðåäåëèòåëü
a11 a12 a13
D = a21 a22 a23 ¹ 0,
a31 a32 a33
544
Àëãåáðà
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå íàõîäèòñÿ ïî
ôîðìóëàì Êðàìåðà
Dx
Dy
Dzz
y
x
x=
,y=
,z=
,
D
D
D
ãäå Dxx, Dyy, Dzz — îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷åííûå èç îïðåäåëèòåëÿ D çàìåíîé ñòîëáöîâ ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì íåèçâåñòíîì ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ.
11. Ëîãàðèôìû
Îïðåäåëåíèå ëîãàðèôìà:
a loga x = x, ãäå x > 0, a > 0, a ¹ 1.
Ëîãàðèôì ïðîèçâåäåíèÿ:
åñëè x1 > 0 è x2 > 0, òî
loga (x1x2 ) = loga x1 + log a x2 ;
åñëè x1 < 0 è x2 < 0, òî
log a (x1x2 ) = log a x1 +
- log a x2 .
Ëîãàðèôì ÷àñòíîãî:
åñëè x1 > 0 è x2 > 0, òî
x
log a 1 = log a x1 - log a x2 ;
x2
åñëè x1 < 0 è x2 < 0, òî
x
log a 1 = log a x1 - log a x2 .
x2
Ëîãàðèôì ñòåïåíè:
åñëè x > 0 , òî log a x r = r log a x;
åñëè x ¹ 0 è k — ÷åòíîå ÷èñëî, òî
log a x k = k loga |x|.
545
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
14. Ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ
Ïåðåõîä ê íîâîìó îñíîâàíèþ:
log b x
;
åñëè x > 0 , òî log a x =
log b a
Ôóíêöèÿ
åñëè x > 0 , òî log a x = log ak x k.
12. Çíà÷åíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé
íåêîòîðûõ óãëîâ
Ôóíêöèÿ
sin t
cos t
Àðãóìåíò t
0°
30°
45°
0
1
2
2
2
3
2
1
1
3
2
2
2
1
2
0
60°
90° 180°
0
–1
–1
0
0
3
3
1
3
—
0
—
ctg t
—
3
1
3
3
0
—
0
13. Ñâÿçü ìåæó ãðàäóñíîé (a°) è ðàäèàííîé ( a )
ìåðàìè îäíîãî è òîãî æå óãëà
546
pa°
180° × a
;a=
.
p
180°
Àðãóìåíò t
p
-a
2
p
+a
2
p-a p+a
sin t
cos a
cos a
sin a - sin a - cos a - cos a - sin a
cos t
sin a
- sin a - cos a - cos a - sin a
tg t
ctg a
- ctg a - tg a
ctg t
tg a
tg a
- tg a - ctg a ctg a
3p
-a
2
3p
+ a 2p - a
2
sin a
cos a
ctg a - ctg a - tg a
tg a
- tg a - ctg a
270°
tg t
a° =
Àëãåáðà
15. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè
ôóíêöèÿìè îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà
cos2 t + sin2 t = 1;
1 + tg2 t =
1
2
;t ¹
p
+ pn, n Î Z;
2
cos t
1
; t ¹ pn, n Î Z;
1 + ctg2 t =
sin2 t
cos
tg t × ctg t = 1; t ¹
pn
, n Î Z.
2
16. Ôîðìóëû ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ
àðãóìåíòîâ
cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b;
cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b;
547
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
14. Ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ
Ïåðåõîä ê íîâîìó îñíîâàíèþ:
log b x
;
åñëè x > 0 , òî log a x =
log b a
Ôóíêöèÿ
åñëè x > 0 , òî log a x = log ak x k.
12. Çíà÷åíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé
íåêîòîðûõ óãëîâ
Ôóíêöèÿ
sin t
cos t
Àðãóìåíò t
0°
30°
45°
0
1
2
2
2
3
2
1
1
3
2
2
2
1
2
0
60°
90° 180°
0
–1
–1
0
0
3
3
1
3
—
0
—
ctg t
—
3
1
3
3
0
—
0
13. Ñâÿçü ìåæó ãðàäóñíîé (a°) è ðàäèàííîé ( a )
ìåðàìè îäíîãî è òîãî æå óãëà
546
pa°
180° × a
;a=
.
p
180°
Àðãóìåíò t
p
-a
2
p
+a
2
p-a p+a
sin t
cos a
cos a
sin a - sin a - cos a - cos a - sin a
cos t
sin a
- sin a - cos a - cos a - sin a
tg t
ctg a
- ctg a - tg a
ctg t
tg a
tg a
- tg a - ctg a ctg a
3p
-a
2
3p
+ a 2p - a
2
sin a
cos a
ctg a - ctg a - tg a
tg a
- tg a - ctg a
270°
tg t
a° =
Àëãåáðà
15. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè
ôóíêöèÿìè îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà
cos2 t + sin2 t = 1;
1 + tg2 t =
1
2
;t ¹
p
+ pn, n Î Z;
2
cos t
1
; t ¹ pn, n Î Z;
1 + ctg2 t =
sin2 t
cos
tg t × ctg t = 1; t ¹
pn
, n Î Z.
2
16. Ôîðìóëû ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ
àðãóìåíòîâ
cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b;
cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b;
547
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Àëãåáðà
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;
sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b;
tg a + tg b
p
tg (a + b) =
; a, b, a + b ¹ + pn, n Î Z ;
1 - tg a tg b
2
tg (a - b) =
tg a - tg b
p
; a, b, a - b ¹ + pn, n Î Z.
1 + tg a tg b
2
tg t =
a-b
a+b
cos
;
2
2
a+b
a-b
cos a + cos b = 2 cos
cos
;
2
2
a+b
a -b
cos a - cos b = -2 sin
sin
;
2
2
sin (a + b)
p
tg a + tg b =
; a, b ¹ + pn, n Î Z;
cos a cos b
2
cos 2t = cos2 t - sin2 t;
1 - tg2 t
.
18. Ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè
cos2 t =
1 + cos 2t
;
2
sin2 t =
1 - cos 2t
.
2
t
19. Âûðàæåíèå sin t, cos t è tg t ÷åðåç tg –
2
t
t
1 - tg2
2 tg
2
2
,
sin t =
, cos t =
2 t
2 t
1 + tg
1 + tg
2
2
548
2
sin a - sin b = 2 sin
sin 2t = 2 sin t cos t;
2 tg t
t
2
.
t
1 - tg
2
20. Ïðåîáðàçîâàíèå ñóììû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèå
a+b
a-b
sin a + sin b = 2 sin
cos
;
2
2
17. Ôîðìóëû äâîéíîãî àðãóìåíòà
tg 2t =
2 tg
tg a - tg b =
sin (a - b)
p
; a, b ¹ + pn, n Î Z.
cos a cos b
2
Ôîðìóëà âñïîìîãàòåëüíîãî óãëà:
a cos t + b sin t = A sin (t + a),
ãäå
a = A sin a, B = A cos a, A = a2 + b2 ,
sin a =
a
a2 + b2
, cos a =
b
a2 + b2
.
549
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Àëãåáðà
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;
sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b;
tg a + tg b
p
tg (a + b) =
; a, b, a + b ¹ + pn, n Î Z ;
1 - tg a tg b
2
tg (a - b) =
tg a - tg b
p
; a, b, a - b ¹ + pn, n Î Z.
1 + tg a tg b
2
tg t =
a-b
a+b
cos
;
2
2
a+b
a-b
cos a + cos b = 2 cos
cos
;
2
2
a+b
a -b
cos a - cos b = -2 sin
sin
;
2
2
sin (a + b)
p
tg a + tg b =
; a, b ¹ + pn, n Î Z;
cos a cos b
2
cos 2t = cos2 t - sin2 t;
1 - tg2 t
.
18. Ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè
cos2 t =
1 + cos 2t
;
2
sin2 t =
1 - cos 2t
.
2
t
19. Âûðàæåíèå sin t, cos t è tg t ÷åðåç tg –
2
t
t
1 - tg2
2 tg
2
2
,
sin t =
, cos t =
2 t
2 t
1 + tg
1 + tg
2
2
548
2
sin a - sin b = 2 sin
sin 2t = 2 sin t cos t;
2 tg t
t
2
.
t
1 - tg
2
20. Ïðåîáðàçîâàíèå ñóììû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèå
a+b
a-b
sin a + sin b = 2 sin
cos
;
2
2
17. Ôîðìóëû äâîéíîãî àðãóìåíòà
tg 2t =
2 tg
tg a - tg b =
sin (a - b)
p
; a, b ¹ + pn, n Î Z.
cos a cos b
2
Ôîðìóëà âñïîìîãàòåëüíîãî óãëà:
a cos t + b sin t = A sin (t + a),
ãäå
a = A sin a, B = A cos a, A = a2 + b2 ,
sin a =
a
a2 + b2
, cos a =
b
a2 + b2
.
549
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
21. Ïðåîáðàçîâàíèå ïðîèçâåäåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ñóììó
sin (a - b) + sin (a + b)
sin a cos b =
;
2
cos (a - b) - cos (a + b)
;
sin a sin b =
2
cos (a - b) + cos (a + b)
.
cos a cos b =
2
22. Ðåøåíèå ïðîñòåéøèõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
óðàâíåíèé
Óðàâíåíèå
x = (-1)n arcsin a + pn, n Î Z
cos x = a, a £ 1
x = ± arccos a + 2pn, n Î Z
tg x = a
x = arctg a + pn, n Î Z
ctgx = a
x = arcctg a + pn, n Î Z
×àñòíûå ñëó÷àè
sin x = 0
sin x = 1
sin x = -1
550
Åãî ðåøåíèå
Óðàâíåíèå
p
+ pn, n Î Z
Z
2
cos x = 0
x=
cos x = 1
Z
x = 2pn, n Î Z
cos x = -1
x = p + 2pn, n Î Z
tg x = 0
x = pn, n Î ZZ
ctg x = 0
x=
p
+ pn, n Î ZZ
2
Åãî ðåøåíèå
sin x = a, a £ 1
Óðàâíåíèå
Àëãåáðà
Åãî ðåøåíèå
x = pn, n Î Z
p
+ 2pn, n Î Z
Z
2
p
x = - + 2pn, n Î ZZ
2
x=
23. Íåêîòîðûå âàæíûå íåðàâåíñòâà
Íåðàâåíñòâî Êîøè:
x+y
³
2
xy , ãäå x ³ 0, y ³ 0.
Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà:
x + a £ x + a.
Íåðàâåíñòâî äëÿ ñóììû äâóõ âçàèìíî îáðàòíûõ
ïîëîæèòåëüíûõ âåëè÷èí:
1
x + ³ 2, ãäå x > 0.
x
Íåðàâåíñòâà, õàðàêòåðèçóþùèå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ñèíóñà è êîñèíóñà:
-1 £ sin a £ 1, - 1 £ cos a £ 1.
551
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
21. Ïðåîáðàçîâàíèå ïðîèçâåäåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ñóììó
sin (a - b) + sin (a + b)
sin a cos b =
;
2
cos (a - b) - cos (a + b)
;
sin a sin b =
2
cos (a - b) + cos (a + b)
.
cos a cos b =
2
22. Ðåøåíèå ïðîñòåéøèõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
óðàâíåíèé
Óðàâíåíèå
x = (-1)n arcsin a + pn, n Î Z
cos x = a, a £ 1
x = ± arccos a + 2pn, n Î Z
tg x = a
x = arctg a + pn, n Î Z
ctgx = a
x = arcctg a + pn, n Î Z
×àñòíûå ñëó÷àè
sin x = 0
sin x = 1
sin x = -1
550
Åãî ðåøåíèå
Óðàâíåíèå
p
+ pn, n Î Z
Z
2
cos x = 0
x=
cos x = 1
Z
x = 2pn, n Î Z
cos x = -1
x = p + 2pn, n Î Z
tg x = 0
x = pn, n Î ZZ
ctg x = 0
x=
p
+ pn, n Î ZZ
2
Åãî ðåøåíèå
sin x = a, a £ 1
Óðàâíåíèå
Àëãåáðà
Åãî ðåøåíèå
x = pn, n Î Z
p
+ 2pn, n Î Z
Z
2
p
x = - + 2pn, n Î ZZ
2
x=
23. Íåêîòîðûå âàæíûå íåðàâåíñòâà
Íåðàâåíñòâî Êîøè:
x+y
³
2
xy , ãäå x ³ 0, y ³ 0.
Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà:
x + a £ x + a.
Íåðàâåíñòâî äëÿ ñóììû äâóõ âçàèìíî îáðàòíûõ
ïîëîæèòåëüíûõ âåëè÷èí:
1
x + ³ 2, ãäå x > 0.
x
Íåðàâåíñòâà, õàðàêòåðèçóþùèå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ñèíóñà è êîñèíóñà:
-1 £ sin a £ 1, - 1 £ cos a £ 1.
551
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
24. Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè
Ôîðìóëà ÷èñëà ðàçìåùåíèé áåç ïîâòîðåíèé èç n
ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ:
Ank =
n!
= n (n - 1)...(n - k + 1), ãäå k £ n.
(n - k)!
Àëãåáðà
Ôîðìóëà ÷èñëà ñî÷åòàíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç
n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ:
(n + k - 1)!
~
Cnk = Cnk+ k -1 = Cnn+-k1-1 =
.
k! (n - 1)!
Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà:
n
n 1 n -1
2 n -2 2
b + ...
(a +(ab)+n b=) a=n a
+ Cn a b + Cn a
Ôîðìóëà ÷èñëà ðàçìåùåíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè
èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ:
... + Cnka n - kb k + ... + Cnn -1ab n -1 + b n .
~
Ank = n k .
Ôîðìóëà îáùåãî ÷ëåíà ðàçëîæåíèÿ áèíîìà Íüþòîíà:
Ôîðìóëà ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê áåç ïîâòîðåíèé èç
n ýëåìåíòîâ:
Tk +1 = Cnkan - kb k , ãäå k = 0, 1, 2, ..., n.
Pn = n! = 1 × 2 × 3... n.
25. Àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ
Ôîðìóëà ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê èç n ýëåìåíòîâ ñ
ïîâòîðåíèÿìè, ñîäåðæàùèõ k1 ýëåìåíòîâ ïåðâîãî òèïà,
k 2 ýëåìåíòîâ âòîðîãî òèïà, ..., k n ýëåìåíòîâ
n-ãî òèïà (ãäå k1 + k2 + ... + kn = n ) :
(k + k2 + ... + kn )!
~
P (k1 + k2 + ... + kn ) = 1
.
k1 ! k2 !...kn !
Ôîðìóëà ÷èñëà ñî÷åòàíèé áåç ïîâòîðåíèé èç
n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ:
Cnk =
552
Ank
n!
0
, ãäå k £ n, Cn = 1.
=
Pk
(n - k)! k!
Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè:
an +1 = an + d.
Ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà:
an = a1 + d (n - 1).
Ôîðìóëû ñóììû n ïåðâûõ ÷ëåíîâ:
2a + d (n - 1)
a1 + an
× n.
× n; Sn = 1
2
2
Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî:
Sn =
an =
an -1 + an +1
.
2
553
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
24. Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè
Ôîðìóëà ÷èñëà ðàçìåùåíèé áåç ïîâòîðåíèé èç n
ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ:
Ank =
n!
= n (n - 1)...(n - k + 1), ãäå k £ n.
(n - k)!
Àëãåáðà
Ôîðìóëà ÷èñëà ñî÷åòàíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç
n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ:
(n + k - 1)!
~
Cnk = Cnk+ k -1 = Cnn+-k1-1 =
.
k! (n - 1)!
Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà:
n
n 1 n -1
2 n -2 2
b + ...
(a +(ab)+n b=) a=n a
+ Cn a b + Cn a
Ôîðìóëà ÷èñëà ðàçìåùåíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè
èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ:
... + Cnka n - kb k + ... + Cnn -1ab n -1 + b n .
~
Ank = n k .
Ôîðìóëà îáùåãî ÷ëåíà ðàçëîæåíèÿ áèíîìà Íüþòîíà:
Ôîðìóëà ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê áåç ïîâòîðåíèé èç
n ýëåìåíòîâ:
Tk +1 = Cnkan - kb k , ãäå k = 0, 1, 2, ..., n.
Pn = n! = 1 × 2 × 3... n.
25. Àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ
Ôîðìóëà ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê èç n ýëåìåíòîâ ñ
ïîâòîðåíèÿìè, ñîäåðæàùèõ k1 ýëåìåíòîâ ïåðâîãî òèïà,
k 2 ýëåìåíòîâ âòîðîãî òèïà, ..., k n ýëåìåíòîâ
n-ãî òèïà (ãäå k1 + k2 + ... + kn = n ) :
(k + k2 + ... + kn )!
~
P (k1 + k2 + ... + kn ) = 1
.
k1 ! k2 !...kn !
Ôîðìóëà ÷èñëà ñî÷åòàíèé áåç ïîâòîðåíèé èç
n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ:
Cnk =
552
Ank
n!
0
, ãäå k £ n, Cn = 1.
=
Pk
(n - k)! k!
Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè:
an +1 = an + d.
Ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà:
an = a1 + d (n - 1).
Ôîðìóëû ñóììû n ïåðâûõ ÷ëåíîâ:
2a + d (n - 1)
a1 + an
× n.
× n; Sn = 1
2
2
Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî:
Sn =
an =
an -1 + an +1
.
2
553
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
26. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ
Îïðåäåëåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè:
bn + 1 = bn q, ãäå b1 ¹ 0, q ¹ 0.
bn = b1q n -1.
6. (ln x)¢ =
11. (ctg x)¢ = -
1
.
x
1
.
x ln a
8. (sin x)¢ = cos x.
Ôîðìóëû ñóììû n ïåðâûõ ÷ëåíîâ:
b (q n - 1)
b q - b1
.
; Sn = 1
Sn = n
q -1
q -1
Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî:
bn2 = bn -1 × bn +1.
Ôîðìóëà ñóììû ÷ëåíîâ áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñ-
9. (cos x)¢ = - sin x.
10. (tg x) ¢ =
1
2
cos x
.
1
.
sin2 x
1
.
12. (arcsin x) ¢ =
2
1- x
1
.
13. (arccos x) ¢ = 2
1- x
1
.
14. (arctg x) ¢ =
1 + x2
15. (arcctg x)¢ = -
1
1 + x2
.
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ è
÷àñòíîãî:
(u + v)¢ = u¢ + v¢;
(Cu)¢ = Cu¢, ãäå Ñ — ïîñòîÿííàÿ;
(uv)¢ = u¢v + uv¢;
êîé ïðîãðåññèè ïðè q < 1 :
b1
.
1- q
¢
u¢v - uv¢
æuö
, ãäå v (x) ¹ 0.
ç ÷ =
v2
èvø
27. Ïðîèçâîäíàÿ
Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé:
Df
f (x + Dx) - f (x)
.
= lim
Dx ® 0 Dx
Dx ® 0
Dx
Òàáëèöà ïðîèçâîäíûõ:
y¢ = f ¢(x) = lim
1. C ¢ = 0.
r -1
3. (x )¢ = rx .
2. (kx + b)¢ = k.
x
x
4. (e )¢ = e .
554
5. (a x )¢ = a x ln a.
7. (loga x)¢ =
Ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà:
S=
Àëãåáðà
r
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñëîæíîé ôóíêöèè y =
= f (g (x)) :
y¢ = f ¢ (g (x)) g ¢(x).
Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè
y = f (x) â òî÷êå õ = à:
y = f (a) + f ¢(a) (x - a).
555
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
26. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ
Îïðåäåëåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè:
bn + 1 = bn q, ãäå b1 ¹ 0, q ¹ 0.
bn = b1q n -1.
6. (ln x)¢ =
11. (ctg x)¢ = -
1
.
x
1
.
x ln a
8. (sin x)¢ = cos x.
Ôîðìóëû ñóììû n ïåðâûõ ÷ëåíîâ:
b (q n - 1)
b q - b1
.
; Sn = 1
Sn = n
q -1
q -1
Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî:
bn2 = bn -1 × bn +1.
Ôîðìóëà ñóììû ÷ëåíîâ áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñ-
9. (cos x)¢ = - sin x.
10. (tg x) ¢ =
1
2
cos x
.
1
.
sin2 x
1
.
12. (arcsin x) ¢ =
2
1- x
1
.
13. (arccos x) ¢ = 2
1- x
1
.
14. (arctg x) ¢ =
1 + x2
15. (arcctg x)¢ = -
1
1 + x2
.
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ è
÷àñòíîãî:
(u + v)¢ = u¢ + v¢;
(Cu)¢ = Cu¢, ãäå Ñ — ïîñòîÿííàÿ;
(uv)¢ = u¢v + uv¢;
êîé ïðîãðåññèè ïðè q < 1 :
b1
.
1- q
¢
u¢v - uv¢
æuö
, ãäå v (x) ¹ 0.
ç ÷ =
v2
èvø
27. Ïðîèçâîäíàÿ
Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé:
Df
f (x + Dx) - f (x)
.
= lim
Dx ® 0 Dx
Dx ® 0
Dx
Òàáëèöà ïðîèçâîäíûõ:
y¢ = f ¢(x) = lim
1. C ¢ = 0.
r -1
3. (x )¢ = rx .
2. (kx + b)¢ = k.
x
x
4. (e )¢ = e .
554
5. (a x )¢ = a x ln a.
7. (loga x)¢ =
Ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà:
S=
Àëãåáðà
r
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñëîæíîé ôóíêöèè y =
= f (g (x)) :
y¢ = f ¢ (g (x)) g ¢(x).
Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè
y = f (x) â òî÷êå õ = à:
y = f (a) + f ¢(a) (x - a).
555
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Àëãåáðà
Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ïåðâîîáðàçíûõ:
Ôîðìóëà Ëàãðàíæà:
f (b) - f (a)
f ¢ (c) =
.
b-a
Ôîðìóëà äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f (x) â òî÷êå õ:
Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x) , à H (x) —
ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ h (x), òî F (x) + H (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x) + h (x).
Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x), à k —
f (x ) » f (x0 ) + f ¢(x0 ) (x - x0 ).
ïîñòîÿííàÿ, òî kF (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ
28. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
kf (x).
Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x), à k è b —
Îïðåäåëåíèå ïåðâîîáðàçíîé: ôóíêöèÿ F (x) íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè f (x) íà ïðî-
ïîñòîÿííûå, ïðè÷åì k ¹ 0, òî
ìåæóòêå Õ, åñëè F ¢ (x) = f (x) äëÿ ëþáîãî x Î X.
îáðàçíàÿ äëÿ f (kx + b).
Èíòåãðàëüíàÿ ñóììà äëÿ ôóíêöèè y = f (x) ïî
Òàáëèöà ïåðâîîáðàçíûõ:
îòðåçêó [a, b] :
Ôóíêöèÿ
Ïåðâîîáðàçíàÿ
Ôóíêöèÿ
Ïåðâîîáðàçíàÿ
f (x) = k
F (x) = kx
f (x) = sin x
F (x) = - cos x
f (x) = cos x
F (x) = sin x
f (x) = x r
F (x) =
x r +1
r +1
(r ¹ -1)
1
x
f (x) =
F (x) = ln x
f (x) =
f (x ) = e x
F (x ) = e x
f (x) =
f (x) = a x
ax
F (x) =
ln a
f (x) =
556
f (x) =
1
F (kx + b) — ïåðâîk
1
sin2 x
1
2
cos x
1
1-x
1
2
1 + x2
Sn =
Èíòåãðàë ôóíêöèè y = f (x) îò à äî b:
F (x) = - ctg x
b
ò f (x )dx = lim Sn .
a
F (x) = tg x
F (x) = arcsin x
b-a
f (x0 ) + f (x1) + ... + f (xn -1 ).
n
n ®¥
Ôîðìóëà Íüþòîíà — Ëåéáíèöà:
b
F (x) = arctg x
b
ò f (x) dx =F (b) - F (a) = F (x ) a .
a
557
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Àëãåáðà
Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ïåðâîîáðàçíûõ:
Ôîðìóëà Ëàãðàíæà:
f (b) - f (a)
f ¢ (c) =
.
b-a
Ôîðìóëà äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f (x) â òî÷êå õ:
Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x) , à H (x) —
ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ h (x), òî F (x) + H (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x) + h (x).
Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x), à k —
f (x ) » f (x0 ) + f ¢(x0 ) (x - x0 ).
ïîñòîÿííàÿ, òî kF (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ
28. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë
kf (x).
Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x), à k è b —
Îïðåäåëåíèå ïåðâîîáðàçíîé: ôóíêöèÿ F (x) íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè f (x) íà ïðî-
ïîñòîÿííûå, ïðè÷åì k ¹ 0, òî
ìåæóòêå Õ, åñëè F ¢ (x) = f (x) äëÿ ëþáîãî x Î X.
îáðàçíàÿ äëÿ f (kx + b).
Èíòåãðàëüíàÿ ñóììà äëÿ ôóíêöèè y = f (x) ïî
Òàáëèöà ïåðâîîáðàçíûõ:
îòðåçêó [a, b] :
Ôóíêöèÿ
Ïåðâîîáðàçíàÿ
Ôóíêöèÿ
Ïåðâîîáðàçíàÿ
f (x) = k
F (x) = kx
f (x) = sin x
F (x) = - cos x
f (x) = cos x
F (x) = sin x
f (x) = x r
F (x) =
x r +1
r +1
(r ¹ -1)
1
x
f (x) =
F (x) = ln x
f (x) =
f (x ) = e x
F (x ) = e x
f (x) =
f (x) = a x
ax
F (x) =
ln a
f (x) =
556
f (x) =
1
F (kx + b) — ïåðâîk
1
sin2 x
1
2
cos x
1
1-x
1
2
1 + x2
Sn =
Èíòåãðàë ôóíêöèè y = f (x) îò à äî b:
F (x) = - ctg x
b
ò f (x )dx = lim Sn .
a
F (x) = tg x
F (x) = arcsin x
b-a
f (x0 ) + f (x1) + ... + f (xn -1 ).
n
n ®¥
Ôîðìóëà Íüþòîíà — Ëåéáíèöà:
b
F (x) = arctg x
b
ò f (x) dx =F (b) - F (a) = F (x ) a .
a
557
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ:
b
b
b
a
a
a
ò (f1 (x ) + f2 (x)) dx = ò f1 (x ) dx + ò f2 (x) dx.;
b
b
a
a
Àëãåáðà
ñòîÿíèå x (a < x < b), îáðàçóåòñÿ ñå÷åíèå, ïëîùàäü
êîòîðîãî âûðàæàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà [a, b] ôóíêöèåé S (x):
b
V = ò S (x ) dx.
a
ò kf (x) dx =k ò f (x ) dx, ãäå k — ïîñòîÿííàÿ.
Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ïðÿìûìè õ = à, x = b (a < b) è ãðàôèêàìè íåïðåðûâíûõ íà [a, b] ôóíêöèé y = f1 (x), y =
= f2 (x), ãäå f2 (x) £ f1 (x) íà [a, b]:
Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáúåìà òåëà, îáðàçîâàííîãî âðàùåíèåì âîêðóã îñè àáñöèññ êðèâîëèíåéíîé
òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ïðÿìûìè ó = 0, õ = à, õ =
= b (a < b) è ãðàôèêîì íåïðåðûâíîé íà [a, b] ôóíêöèè y = f (x) :
b
V = p ò y 2dx.
a
b
S = ò (f1 (x) - f2 (x )) dx.
a
Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé
òðàïåöèè, ò. å. ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ïðÿìûìè ó =
= 0, õ = à, õ = b (a < b) è ãðàôèêîì íåïðåðûâíîé è
íåîòðèöàòåëüíîé íà [a, b] ôóíêöèè y = f (x) :
b
S = ò f (x ) dx.
a
Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáúåìà òåëà, ðàñïîëîæåííîãî ìåæäó äâóìÿ ïëîñêîñòÿìè, óäàëåííûìè îò äàííîé ïëîñêîñòè íà ðàññòîÿíèÿ à è b (a < b)
è òàêîãî, ÷òî â ïåðåñå÷åíèè ýòîãî òåëà ïëîñêîñòüþ,
ïàðàëëåëüíîé äàííîé è óäàëåííîé îò íåå íà ðàñ558
559
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ:
b
b
b
a
a
a
ò (f1 (x ) + f2 (x)) dx = ò f1 (x ) dx + ò f2 (x) dx.;
b
b
a
a
Àëãåáðà
ñòîÿíèå x (a < x < b), îáðàçóåòñÿ ñå÷åíèå, ïëîùàäü
êîòîðîãî âûðàæàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà [a, b] ôóíêöèåé S (x):
b
V = ò S (x ) dx.
a
ò kf (x) dx =k ò f (x ) dx, ãäå k — ïîñòîÿííàÿ.
Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ïðÿìûìè õ = à, x = b (a < b) è ãðàôèêàìè íåïðåðûâíûõ íà [a, b] ôóíêöèé y = f1 (x), y =
= f2 (x), ãäå f2 (x) £ f1 (x) íà [a, b]:
Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáúåìà òåëà, îáðàçîâàííîãî âðàùåíèåì âîêðóã îñè àáñöèññ êðèâîëèíåéíîé
òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ïðÿìûìè ó = 0, õ = à, õ =
= b (a < b) è ãðàôèêîì íåïðåðûâíîé íà [a, b] ôóíêöèè y = f (x) :
b
V = p ò y 2dx.
a
b
S = ò (f1 (x) - f2 (x )) dx.
a
Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé
òðàïåöèè, ò. å. ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ïðÿìûìè ó =
= 0, õ = à, õ = b (a < b) è ãðàôèêîì íåïðåðûâíîé è
íåîòðèöàòåëüíîé íà [a, b] ôóíêöèè y = f (x) :
b
S = ò f (x ) dx.
a
Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáúåìà òåëà, ðàñïîëîæåííîãî ìåæäó äâóìÿ ïëîñêîñòÿìè, óäàëåííûìè îò äàííîé ïëîñêîñòè íà ðàññòîÿíèÿ à è b (a < b)
è òàêîãî, ÷òî â ïåðåñå÷åíèè ýòîãî òåëà ïëîñêîñòüþ,
ïàðàëëåëüíîé äàííîé è óäàëåííîé îò íåå íà ðàñ558
559
Ãåîìåòðèÿ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
1. Ïðîèçâîëüíûé òðåóãîëüíèê
Îáîçíà÷åíèÿ:
a, b, c — ñòîðîíû;
A, B, C — óãëû, ïðîòèâîëåæàùèå ñòîðîíàì
a, b, c ;
Âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 311) ðàâåí ñóììå äâóõ âíóòðåííèõ óãëîâ, ñ íèì íå ñìåæíûõ:
ÐCBM = ÐA + ÐC.
Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà:
a < b + c, b < a + c, c < a + b.
Áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé
òî÷êå — öåíòðå îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê (ðèñ. 312).
la , lb , lc — áèññåêòðèñû;
ma , mb , mc — ìåäèàíû;
ha , hb , hc — âûñîòû;
r — ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè;
R — ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè;
p = 0,5 (a + b + c) — ïîëóïåðèìåòð;
S — ïëîùàäü.
Ñóììà óãëîâ òðåóãîëüíèêà:
A + B + C = 180°.
Ðèñ. 312
Áèññåêòðèñà äåëèò ïðîòèâîëåæàùóþ ñòîðîíó íà
îòðåçêè, ïðîïîðöèîíàëüíûå ïðèëåæàùèì ñòîðîíàì
òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 312):
a a1
=
.
b
b1
Äëèíà áèññåêòðèñû:
Ðèñ. 311
560
lc =
ab (a + b + c) (a + b - c)
, lc = ab - a1b1 .
a+b
561
Ãåîìåòðèÿ
ÃÅÎÌÅÒÐÈß
1. Ïðîèçâîëüíûé òðåóãîëüíèê
Îáîçíà÷åíèÿ:
a, b, c — ñòîðîíû;
A, B, C — óãëû, ïðîòèâîëåæàùèå ñòîðîíàì
a, b, c ;
Âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 311) ðàâåí ñóììå äâóõ âíóòðåííèõ óãëîâ, ñ íèì íå ñìåæíûõ:
ÐCBM = ÐA + ÐC.
Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà:
a < b + c, b < a + c, c < a + b.
Áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé
òî÷êå — öåíòðå îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê (ðèñ. 312).
la , lb , lc — áèññåêòðèñû;
ma , mb , mc — ìåäèàíû;
ha , hb , hc — âûñîòû;
r — ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè;
R — ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè;
p = 0,5 (a + b + c) — ïîëóïåðèìåòð;
S — ïëîùàäü.
Ñóììà óãëîâ òðåóãîëüíèêà:
A + B + C = 180°.
Ðèñ. 312
Áèññåêòðèñà äåëèò ïðîòèâîëåæàùóþ ñòîðîíó íà
îòðåçêè, ïðîïîðöèîíàëüíûå ïðèëåæàùèì ñòîðîíàì
òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 312):
a a1
=
.
b
b1
Äëèíà áèññåêòðèñû:
Ðèñ. 311
560
lc =
ab (a + b + c) (a + b - c)
, lc = ab - a1b1 .
a+b
561
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Ãåîìåòðèÿ
Ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå — öåíòðå ìàññ òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 313). Ýòà òî÷êà
äåëèò êàæäóþ ìåäèàíó â îòíîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò
âåðøèíû:
AM
BM
CM
=
=
= 2 : 1.
MA1
MB1
MC1
Ðèñ. 314
Ñâÿçü ìåæäó ñòîðîíàìè è âûñîòàìè:
ha : hb : hc =
Ðèñ. 313
Äëèíà ìåäèàíû:
mc = 0,5 2 (a2 + b2 ) - c 2 .
Âûñîòû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå — îðòîöåíòðå òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 314).
Äëèíà âûñîòû:
hc =
562
2 p ( p - a) ( p - b) ( p - c) .
.
c
1 1 1
: : .
a b c
Ñåðåäèííûå ïåðïåíäèêóëÿðû ê ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå — öåíòðå îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 315).
Òåîðåìà êîñèíóñîâ:
c 2 = a2 + b 2 - 2ab cos C.
Òåîðåìà ñèíóñîâ:
a
b
c
=
=
= 2R.
sin A sin B sin C
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
1) S = 0,5aha .
563
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Ãåîìåòðèÿ
Ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå — öåíòðå ìàññ òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 313). Ýòà òî÷êà
äåëèò êàæäóþ ìåäèàíó â îòíîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò
âåðøèíû:
AM
BM
CM
=
=
= 2 : 1.
MA1
MB1
MC1
Ðèñ. 314
Ñâÿçü ìåæäó ñòîðîíàìè è âûñîòàìè:
ha : hb : hc =
Ðèñ. 313
Äëèíà ìåäèàíû:
mc = 0,5 2 (a2 + b2 ) - c 2 .
Âûñîòû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå — îðòîöåíòðå òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 314).
Äëèíà âûñîòû:
hc =
562
2 p ( p - a) ( p - b) ( p - c) .
.
c
1 1 1
: : .
a b c
Ñåðåäèííûå ïåðïåíäèêóëÿðû ê ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå — öåíòðå îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 315).
Òåîðåìà êîñèíóñîâ:
c 2 = a2 + b 2 - 2ab cos C.
Òåîðåìà ñèíóñîâ:
a
b
c
=
=
= 2R.
sin A sin B sin C
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
1) S = 0,5aha .
563
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Ãåîìåòðèÿ
7) Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , ðàâíà ïîëîâèíå ìîäóëÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ a íà b .
Îòíîøåíèå ïåðèìåòðîâ è ïëîùàäåé ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ: åñëè D ABC ~ D A1B1C1 (ðèñ. 316), òî
PDABC
AB + BC + AC
AB
=
=
=
PD A1B1C1
A1B1 + B1C1 + A1C1
A1B1
=
Ðèñ. 315
SDABC
AB2
BC
AC
=
.
=
;
SD A1B1C1
B1C1
A1C1
A1B12
2) S = 0,5 bc sin A.
3) S =
p ( p - a) ( p - b) ( p - c) (ôîðìóëà Ãåðîíà).
4) S = pr.
5) S =
abc
.
4R
6) Åñëè A (x1; y1 ), B (x2 ; y2 ), C (x3 ; y3 ) — âåðøèíû òðåóãîëüíèêà, òî
Ðèñ. 316
S = 0,5 D ,
2. Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê
1
1
1
ãäå D — îïðåäåëèòåëü x1 x2 x3 .
y1 y2 y3
564
Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ 317):
C = 90°;
a, b — êàòåòû;
565
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Ãåîìåòðèÿ
7) Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , ðàâíà ïîëîâèíå ìîäóëÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ a íà b .
Îòíîøåíèå ïåðèìåòðîâ è ïëîùàäåé ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ: åñëè D ABC ~ D A1B1C1 (ðèñ. 316), òî
PDABC
AB + BC + AC
AB
=
=
=
PD A1B1C1
A1B1 + B1C1 + A1C1
A1B1
=
Ðèñ. 315
SDABC
AB2
BC
AC
=
.
=
;
SD A1B1C1
B1C1
A1C1
A1B12
2) S = 0,5 bc sin A.
3) S =
p ( p - a) ( p - b) ( p - c) (ôîðìóëà Ãåðîíà).
4) S = pr.
5) S =
abc
.
4R
6) Åñëè A (x1; y1 ), B (x2 ; y2 ), C (x3 ; y3 ) — âåðøèíû òðåóãîëüíèêà, òî
Ðèñ. 316
S = 0,5 D ,
2. Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê
1
1
1
ãäå D — îïðåäåëèòåëü x1 x2 x3 .
y1 y2 y3
564
Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ 317):
C = 90°;
a, b — êàòåòû;
565
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Ãåîìåòðèÿ
3. Ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê
(à — ñòîðîíà; ðèñ. 318)
Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè:
R=
a 3
.
3
Ðèñ. 317
ñ — ãèïîòåíóçà;
h — âûñîòà, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû Ñ;
ac , bc — äëèíû îòðåçêîâ, îòñåêàåìûõ âûñîòîé íà
ãèïîòåíóçå.
Òåîðåìà Ïèôàãîðà:
2
2
Ðèñ. 318
2
c =a +b .
Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè:
R = 0,5 c.
Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:
r = 0,5 (a + b - c).
Ñâÿçü ìåæäó a, b, c, ac , bc è h:
ac
a b
b a
h
.
= ; c = ; c =
a
c b
c h
bc
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
S = 0,5 ab; S = 0,5 ch.
566
Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:
r=
Âûñîòà:
a 3
.
6
a 3
.
2
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
h=
S=
2
2
3R 3
a 3
;S=
; S = 3 3r 2.
4
4
567
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Ãåîìåòðèÿ
3. Ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê
(à — ñòîðîíà; ðèñ. 318)
Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè:
R=
a 3
.
3
Ðèñ. 317
ñ — ãèïîòåíóçà;
h — âûñîòà, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû Ñ;
ac , bc — äëèíû îòðåçêîâ, îòñåêàåìûõ âûñîòîé íà
ãèïîòåíóçå.
Òåîðåìà Ïèôàãîðà:
2
2
Ðèñ. 318
2
c =a +b .
Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè:
R = 0,5 c.
Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:
r = 0,5 (a + b - c).
Ñâÿçü ìåæäó a, b, c, ac , bc è h:
ac
a b
b a
h
.
= ; c = ; c =
a
c b
c h
bc
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
S = 0,5 ab; S = 0,5 ch.
566
Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:
r=
Âûñîòà:
a 3
.
6
a 3
.
2
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
h=
S=
2
2
3R 3
a 3
;S=
; S = 3 3r 2.
4
4
567
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Ãåîìåòðèÿ
4. Ïðîèçâîëüíûé âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê
Ñóììà óãëîâ:
A + B + C + D = 360°.
Ïëîùàäü:
S = 0,5 d1d2 sin j,
ãäå d1 è d2 — äèàãîíàëè, j — óãîë ìåæäó íèìè.
Ðèñ. 320
Ïëîùàäü:
S=
Ðèñ. 319
5. ×åòûðåõóãîëüíèê, âïèñàííûé â îêðóæíîñòü
(ðèñ. 320)
Ñóììû ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ ðàâíû 180°:
A + C = B + D = 180°.
Ïðîèçâåäåíèÿ îòðåçêîâ, íà êîòîðûå äèàãîíàëè
ðàçáèâàþòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ, ðàâíû:
( p - a) ( p - b) ( p - c) ( p - d) ,
ãäå a, b, c, d — ñòîðîíû, p = 0,5 (a + b + c + d) — ïîëóïåðèìåòð.
6. ×åòûðåõóãîëüíèê, îïèñàííûé îêîëî
îêðóæíîñòè (ðèñ. 321)
Ñóììû äëèí ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ðàâíû:
AB + CD = BC + AD.
AF × FC = BF × FD.
Òåîðåìà Ïòîëåìåÿ: ïðîèçâåäåíèå äèàãîíàëåé ðàâíî ñóììå ïðîèçâåäåíèé ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí:
AC × BD = AB × CD + BC × AD.
568
Ðèñ. 321
569
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Ãåîìåòðèÿ
4. Ïðîèçâîëüíûé âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê
Ñóììà óãëîâ:
A + B + C + D = 360°.
Ïëîùàäü:
S = 0,5 d1d2 sin j,
ãäå d1 è d2 — äèàãîíàëè, j — óãîë ìåæäó íèìè.
Ðèñ. 320
Ïëîùàäü:
S=
Ðèñ. 319
5. ×åòûðåõóãîëüíèê, âïèñàííûé â îêðóæíîñòü
(ðèñ. 320)
Ñóììû ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ ðàâíû 180°:
A + C = B + D = 180°.
Ïðîèçâåäåíèÿ îòðåçêîâ, íà êîòîðûå äèàãîíàëè
ðàçáèâàþòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ, ðàâíû:
( p - a) ( p - b) ( p - c) ( p - d) ,
ãäå a, b, c, d — ñòîðîíû, p = 0,5 (a + b + c + d) — ïîëóïåðèìåòð.
6. ×åòûðåõóãîëüíèê, îïèñàííûé îêîëî
îêðóæíîñòè (ðèñ. 321)
Ñóììû äëèí ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ðàâíû:
AB + CD = BC + AD.
AF × FC = BF × FD.
Òåîðåìà Ïòîëåìåÿ: ïðîèçâåäåíèå äèàãîíàëåé ðàâíî ñóììå ïðîèçâåäåíèé ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí:
AC × BD = AB × CD + BC × AD.
568
Ðèñ. 321
569
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Ïëîùàäü:
S = pr,
ãäå ð — ïîëóïåðèìåòð, r — ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè.
7. Ïàðàëëåëîãðàìì
Îáîçíà÷åíèÿ:
a, b — ñòîðîíû;
a, b — óãëû, ïðèëåæàùèå ê îäíîé ñòîðîíå;
ha , hb — âûñîòû;
Ãåîìåòðèÿ
Äèàãîíàëè â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ äåëÿòñÿ ïîïîëàì
(ðèñ. 322):
AO = OC = 0,5d1, BO = OD = 0,5 d2.
Ñóììà êâàäðàòîâ äèàãîíàëåé ðàâíà ñóììå êâàäðàòîâ ñòîðîí:
d12 + d22 = 2 (a 2 + b 2 ).
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
1) S = aha = bhb (ðèñ. 323).
2) S = ab sin a (ðèñ. 322).
3) S = 0,5 d1d2 sin j (ðèñ. 324).
d1, d2 — äèàãîíàëè;
j — óãîë ìåæäó äèàãîíàëÿìè.
Ñóììà óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê îäíîé ñòîðîíå, ðàâíà
180° (ðèñ. 322):
a + b = 180°.
Ðèñ. 323
Ðèñ. 322
570
Ðèñ. 324
571
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Ïëîùàäü:
S = pr,
ãäå ð — ïîëóïåðèìåòð, r — ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè.
7. Ïàðàëëåëîãðàìì
Îáîçíà÷åíèÿ:
a, b — ñòîðîíû;
a, b — óãëû, ïðèëåæàùèå ê îäíîé ñòîðîíå;
ha , hb — âûñîòû;
Ãåîìåòðèÿ
Äèàãîíàëè â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ äåëÿòñÿ ïîïîëàì
(ðèñ. 322):
AO = OC = 0,5d1, BO = OD = 0,5 d2.
Ñóììà êâàäðàòîâ äèàãîíàëåé ðàâíà ñóììå êâàäðàòîâ ñòîðîí:
d12 + d22 = 2 (a 2 + b 2 ).
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
1) S = aha = bhb (ðèñ. 323).
2) S = ab sin a (ðèñ. 322).
3) S = 0,5 d1d2 sin j (ðèñ. 324).
d1, d2 — äèàãîíàëè;
j — óãîë ìåæäó äèàãîíàëÿìè.
Ñóììà óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê îäíîé ñòîðîíå, ðàâíà
180° (ðèñ. 322):
a + b = 180°.
Ðèñ. 323
Ðèñ. 322
570
Ðèñ. 324
571
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ
Ãåîìåòðèÿ
4) Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , ðàâåí ìîäóëþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäå-
β
2
íèÿ a íà b .
β
2
8. Ïðÿìîóãîëüíèê (ðèñ. 325)
Äèàãîíàëè ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíû: AC = BD = d.
Ñâÿçü ìåæäó ñòîðîíàìè è äèàãîíàëüþ:
Ðèñ. 326
d 2 = a2 + b2 .
Äèàãîíàëè ðîìáà ÿâëÿþòñÿ áèññåêòðèñàìè åãî
óãëîâ:
a
ÐBAO = ÐDAO = ;
2
b
.
2
Ñâÿçü ìåæäó ñòîðîíîé è äèàãîíàëÿìè:
ÐABO = ÐCBO =
Ðèñ. 325
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
S = ab; S = 0,5 d2 sin j.
9. Ðîìá (à — ñòîðîíà; ðèñ. 326)
Äèàãîíàëè ðîìáà âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû:
d1 ^ d2.
572
d12 + d22 = 4a2.
Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:
1) S = aha .
2) S = a2 sin a.
3) S = 0,5 d1d2 .
10. Êâàäðàò (à — ñòîðîíà; ðèñ. 327)
Äèàãîíàëè êâàäðàòà ðàâíû è âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû: d1 = d2= d, d1 ^ d2.
5