Применение графов в системах сетевого планирования и управления Сетевой график Сетевой график представляет собой графическое изображение последовательности выполнения комплексной разработки, показывающее взаимосвязь и взаимозависимость отдельных этапов, выполнение которых обеспечивает достижение конечной цели разработки. Сетевые графики позволяют: • выявлять важнейшие работы, от своевременного выполнения которых зависит соблюдение сроков окончания всей разработки; • наглядно представлять ход разработки в целом, взаимосвязь и взаимозависимость отдельных этапов разработки; • выявлять резервы времени и материальные ресурсы с целью наиболее эффективного выполнения плана; • совершенствовать методы планирования и устанавливать строгий ритм в работе; • использовать вычислительную технику для расчета показателей сетевых графиков. Основные термины Работа – это конкретный этап трудового процесса по выполнению определенной операции комплексной разработки. Характеризуется затратами рабочей силы, материальных ресурсов и рабочего времени. Работа на графике обозначается стрелкой: Событие является фактом окончания всех предшествующих данному событию работ, либо началом работ, следующих непосредственно за данным событием. Событие не требует затрат и не имеет продолжительности. События на сетевом графике обозначается кружками, в которые в определенной последовательности вписываются цифры. 1 2 3 4 Событие, не имеющее предшествующих работ, называется исходным. Завершающее событие – это событие, с наступлением которого достигается конечная цель разработки, не имеет последующих работ. Операция – это сама работа или действие. Она обозначается: i ti j j tij - продолжительность операции (i-j). Фиктивной называется работа, не требующая затрат ресурсов и рабочего времени. Она характеризует зависимость выполнения данной работы от выполнения какой-то другой работы. tij = 0 Продолжительность выполнения работы измеряется в единицах времени: минутах, часах, днях, неделях и т.д. Путь – это последовательность работ в сети, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. ПУТЬ Полный путь Критический путь Полный путь – это непрерывная последовательность выполнения работ от исходного до завершающего события. Критический путь – это путь от исходного до завершающего события, который характеризуется наибольшей продолжительностью выполнения работ, находящихся на этом пути. В сети может быть несколько критических путей. Временные параметры сетей. Основными временными параметрами сетей являются ранние и поздние сроки наступления событий. Зная их, можно вычислить остальные параметры сети – сроки начала и окончания работ и резервы времени событий и работ. <tр(i)> <tр(j)> Рассмотрим работу (i-j): ti j i j [tп(i)] [tп(j)] Ранний возможный срок <tр(j)> наступления события j есть наименьший возможный срок окончания данной работы: t р ( j ) max [t р (i ) t ij ] (1) i Поздний допустимый срок наступления события – это максимально допустимый срок наступления события, не требующий увеличения времени на осуществление всего проекта. t п (i ) min [t п ( j ) tij ] (2) i Работы, у которых <tр(j)> и [tп(i)] совпадают, называются критическими работами, лежащими на критическом пути. Резервы времени Резерв времени пути L есть разность между продолжительностью критического пути Tкр и продолжительностью пути L. R( L) Tкр T ( L) Различают четыре резерва времени: • Полный резерв – это количество времени, на которое можно перенести начало работ или увеличить продолжительность без изменения общего срока проекта. • Свободный резерв показывает, на сколько может быть задержано выполнение задачи без ущерба для полного резерва последующих задач. • Независимый резерв представляет собой максимальную продолжительность задержки работы без задержки последующих работ, если все предшествующие работы заканчиваются в неудобные для него сроки. • Гарантированный резерв – это резерв времени исполнителя, который он имеет, когда исполнители предшествующих работ заканчивают их в неудобные для него поздние допустимые сроки, поэтому он сдает свою работу в поздний срок. Формулы для расчета резервов времени: ПР Rп (i; j ) t п ( j ) t р (i ) t ij (3) CР Rc (i; j ) t р ( j ) t р (i ) tij (4) НР Rн (i; j ) t р ( j ) tп (i ) tij (5) ГР Rг (i; j ) tп ( j ) tп (i ) tij (6) Способы нахождения критического пути: 1. Вычислить продолжительности всех полных путей, выбрать наибольшую. 2. Работы, у которых <tр(j)> = [tп(i)], лежат на критическом пути. 3. Работы, у которых все резервы времени равны нулю, принадлежат критическому пути. Пример. Процесс производства сложной продукции разбит на этапы, 1 – начальный этап, 11 – завершающий. Возможности выполнения операций и их продолжительности даны в таблице. № Работа (i-j) Продолжительность работы Tij № Работа (i-j) Продолжительность работы Tij 1 (1, 2) 5 9 (6, 7) 9 2 (1, 3) 10 10 (6, 8) 8 3 (1, 4) 9 11 (7, 9) 0 4 (2, 5) 12 12 (7, 10) 8 5 (3,8 8 13 (8, 9) 10 6 (4, 6) 7 14 (9, 10) 10 7 (5, 6) 4 15 (9, 11) 9 8 (5, 7) 6 16 (10, 11) 6 1. Составьте и упорядочите сетевой график производства работ. 2. Считая, что начало работы происходит в момент времени t1=0, определите <tр(j)> окончания каждого j-го этапа и время [tп(i)] позднего допустимого срока наступления i-го события. 3. Для каждой операции определите резервы времени. Выделите операции, лежащие на критическом пути. Решение. 1. Нарисуем сетевой график. Обозначим номера этапов и продолжительности работ. На рисунке наглядно представлены последовательности работ. 12 2 5 5 1 6 5 9 7 4 7 8 9 6 10 0 6 10 10 8 9 3 8 8 10 9 11 2. Прямой ход. По формуле (1) найдем ранние возможные сроки <tр(j)> наступления каждого события j. tр(1)=0. tр(2)= tр(1)+t12=0+5=5 tр(5)= tр(2)+t25=5+12=17 tр(7)= tр(5)+t57=17+6=23 tр(4)= tр(1)+t14=0+9=9 Выше вычислены <tр(j)>, у которых имеется один путь. К событию 6 ведут 2 пути: от событий 4 и 5, поэтому по формуле (1) выбираем t р (5) t 56 17 5 22 мах значение. t (6) max 22 р t р (4) t 45 9 7 16 Продолжая таким образом, найдем <tр(11)>=55. Следовательно, завершающее (11-е) событие может наступить лишь на 55-й день от начала выполнения всего комплекса работ. <tр(11)>=[tп(11)]. Обратный ход. Начиная с 11-го события определим по формуле (2) поздний срок наступления любого предыдущего i-го события. t п (10) t п (11) t10.11 55 6 49 Здесь имеется один путь, min не вычисляем. К событию 10 есть 2 пути: прямо от события 11 и через событие 9, поэтому выбираем min значение. t (9) min t11 t 9.11 55 9 46 39 п t10 t 9.10 49 10 39 Действуя по указанной схеме, найдем tп(1)=0. Результаты вычислений приведены в таблице ниже. Расчеты резервов времени и определение работ, лежащих на критическом пути, произведены в табличном процессоре Excel. ПродолжиРабота тельность tр(i) tп(i) tр(j) tп(j) (i-j) работы Tij ПР СР НР ГР (1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 5) (3,8 (4, 6) (5, 6) (5, 7) (6, 7) (6, 8) (7, 9) (7, 10) (8, 9) (9, 10) (9, 11) (10, 11) 0 11 5 0 11 5 0 16 9 0 9 11 0 0 7 0 0 0 0 0 11 5 0 7 0 0 9 11 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 2 0 0 7 0 0 11 5 0 0 0 0 16 9 0 0 2 0 0 7 0 5 10 9 12 8 7 4 6 9 8 0 8 10 10 9 6 0 0 0 5 10 9 17 17 21 21 30 30 29 39 39 49 0 0 0 5 21 14 17 17 21 21 39 39 29 39 39 49 5 10 9 17 29 21 21 30 30 29 39 49 39 49 55 55 5 21 14 17 29 21 21 39 39 29 39 49 39 49 55 55 работы, лежащие на критич. пути (1, 2) (2, 5) (5, 6) (6, 8) (8, 9) (9, 10) (10, 11) Отображены формулы произведенных выше расчетов. ПР СР НР ГР работы, лежащие на критич. пути =G2-D2-C2 =G3-D3-C3 =G4-D4-C4 =G5-D5-C5 =G6-D6-C6 =G7-D7-C7 =G8-D8-C8 =G9-D9-C9 =G10-D10-C10 =G11-D11-C11 =G12-D12-C12 =G13-D13-C13 =G14-D14-C14 =G15-D15-C15 =G16-D16-C16 =G17-D17-C17 =F2-D2-C2 =F3-D3-C3 =F4-D4-C4 =F5-D5-C5 =F6-D6-C6 =F7-D7-C7 =F8-D8-C8 =F9-D9-C9 =F10-D10-C10 =F11-D11-C11 =F12-D12-C12 =F13-D13-C13 =F14-D14-C14 =F15-D15-C15 =F16-D16-C16 =F17-D17-C17 =F2-E2-C2 =F3-E3-C3 =F4-E4-C4 =F5-E5-C5 =F6-E6-C6 =F7-E7-C7 =F8-E8-C8 =F9-E9-C9 =F10-E10-C10 =F11-E11-C11 =F12-E12-C12 =F13-E13-C13 =F14-E14-C14 =F15-E15-C15 =F16-E16-C16 =F17-E17-C17 =G2-E2-C2 =G3-E3-C3 =G4-E4-C4 =G5-E5-C5 =G6-E6-C6 =G7-E7-C7 =G8-E8-C8 =G9-E9-C9 =G10-E10-C10 =G11-E11-C11 =G12-E12-C12 =G13-E13-C13 =G14-E14-C14 =G15-E15-C15 =G16-E16-C16 =G17-E17-C17 =ЕСЛИ(И(H2=0;I2=0;J2=0;K2=0);B2;" ") =ЕСЛИ(И(H3=0;I3=0;J3=0;K3=0);B3;" ") =ЕСЛИ(И(H4=0;I4=0;J4=0;K4=0);B4;" ") =ЕСЛИ(И(H5=0;I5=0;J5=0;K5=0);B5;" ") =ЕСЛИ(И(H6=0;I6=0;J6=0;K6=0);B6;" ") =ЕСЛИ(И(H7=0;I7=0;J7=0;K7=0);B7;" ") =ЕСЛИ(И(H8=0;I8=0;J8=0;K8=0);B8;" ") =ЕСЛИ(И(H9=0;I9=0;J9=0;K9=0);B9;" ") =ЕСЛИ(И(H10=0;I10=0;J10=0;K10=0);B10;" ") =ЕСЛИ(И(H11=0;I11=0;J11=0;K11=0);B11;" ") =ЕСЛИ(И(H12=0;I12=0;J12=0;K12=0);B12;" ") =ЕСЛИ(И(H13=0;I13=0;J13=0;K13=0);B13;" ") =ЕСЛИ(И(H14=0;I14=0;J14=0;K14=0);B14;" ") =ЕСЛИ(И(H15=0;I15=0;J15=0;K15=0);B15;" ") =ЕСЛИ(И(H16=0;I16=0;J16=0;K16=0);B16;" ") =ЕСЛИ(И(H17=0;I17=0;J17=0;K17=0);B17;" ") На сетевом графике красным цветом выделен критический путь. Длина критического пути равна 55. Это значит, что при прочих равных условиях раньше, чем 55 дней данная работа не закончится. <5> <17> 12 2 1 5 9 [0] 8 9 <49> 6 10 0 [21] 10 [49] 10 8 <10> [21] 7 <22> 7 4 [14] 3 [39] 5 <9> <0> 6 [17] [5] 5 <30> <29> 8 8 [29] 10 <39 > 9 9 [39] 6 <55> 11 [55] СГ дает нам графическое отображение всех операций проекта, их последовательность и зависимость. Эта информация представляет огромную ценность для всех руководителей проекта. Однако оценка продолжительности каждой операции еще больше повысит ценность системы. Реальный план проекта и сетевой график требуют надежной оценки времени всех операций проекта. Внесение времени в сетевой график позволяет оценить продолжительность осуществления проекта. Когда операции могут или должны начаться, когда должны быть в наличии те или иные ресурсы, какие операции могут быть отложены, каково расчетное время завершения проекта – все эти показатели можно определить с помощью времени. Оценка времени каждой операции требует ранней оценки необходимых материальных, трудовых и финансовых ресурсов. По существу, сетевой график проекта с оценкой продолжительности операций связывает в систему планирование, составление расписания и контроль проектов. Сетевой график проекта располагает операции в подходящей последовательности для расчета времени начала и окончания операции. Оценка продолжительности операции проводится на основе затрат времени, требуемого для решения всех задач, составляющих набор работ операции.
