1
Частично упорядоченные множества; Теорема Хаусдорфа о
максимальности; лемма Цорна
Most analysts do not know how to prove Zorn’s lemma; but it
is quite essential for an analyst to understand the statement
of Zorn’s lemma and to be able to use it properly!
Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and
Partial Differential Equations
Определение 1. Пусть P — некоторое множество. Будем говорить, что оно частично упорядочено,
если на P введено бинарное отношение , удовлетворяющее аксиомам:
1. x x 8x 2 P.
2. Если x y и y x, то x = y.
3. Если x y и y z для x, y, z из P, то x z. (аксиома транзитивности)
Пример 1. (R, ) и (N, ) со стандартным порядком являются частично упорядоченными множествами.
Пример 2. (P, ), в котором любой x сравним только с самим собой.
Пример 3. Если X — множество, а P = 2X (множество всех подмножеств X или его булеан), то
отношение вложения превращает P в частично упорядоченное множество.
Пример 4. (N, ), где y
упорядоченным.
x тогда и только тогда, когда x есть делитель y, является частично
Определение 2. Пусть (P, ) есть частично упорядоченное множество. Подмножество L называется линейно упорядоченным (или цепью), если любая пара точек в L сравнима.
В доказательстве нескольких фактов из курса в явном виде будет использовано одно из утверждений, эквивалентных аксиоме выбора. Чаще всего это лемма Цорна (как субъективно имеющая одну из наиболее удобных
в применении формулировок) либо принцип максимальности Хаусдорфа. Аксиоме выбора эквивалентно достаточно большое количество утверждений, таких как, к примеру, принцип трансфинитной индукции или
даже теорема Хана-Банаха (которая без преувеличения занимает одно из центральных мест в любом курсе
функционального анализа).
Для формулировки леммы Цорна мы введем несколько вспомогательных определений. Сформулируем также
и аксиому выбора.
Утверждение 1. Для любой совокупности непустых дизъюнктных (попарно непересекающихся) множеств существует множество, содержащее ровно по одному элементу из
каждого из этих множеств.
Другими словами, если S — семейство таких множеств, то существует функция выбора f : S →
8x 2 S выполнено f(x) 2 x.
[
S такая, что
Определение 3. 1. Элемент x в частично упорядоченном множестве X называется максимальным,
если не существует элемента больше него;
2. Элемент x называется наибольшим, если он сравним со всеми элементами и при этом больше
всех них;
3. Элемент x 2 X называется мажорантой множества Y (или его верхней гранью), если он сравним
с любым y 2 Y и больше него.
Отметим, что мажоранта Y не обязана лежать в Y, что вполне согласуется с известным из курса математического анализа понятием верхней грани числового множества.
Пример 5. В примере 2 каждый элемент максимален, но нет ни одного наибольшего (если элементов хотя бы два). Среди непустых множеств только одноточечные множества имеют мажоранты (и
этими верхними гранями являются их единственные элементы, которые, в данном случае, лежат
в самих множествах).
Пример 6. В примере 4 (если выкинуть единицу) максимальными элементами являются простые
числа.
Лемма 1. (Цорн) Пусть (P, ) — непустое частично упорядоченное множество. Пусть
любая цепь в P имеет в P мажоранту. Тогда в P существует максимальный элемент.
Иными словами, из того, что для любого линейно упорядоченного L P найдется xL 2 P такой, что 8x 2 L
x xL , следует, что в P существует элемент x такой, что 8x 2 P если элементы x и x сравнимы, то x x .
Лемма Цорна — один из результатов теории множеств, который возникает в так называемых неконструктивных доказательствах существования. В таком доказательстве обосновывается существование некоторого элемента, но в процессе не даётся никаких путей по построению/нахождению/явному
предъявлению такого объекта.
Упомянем пару утверждений, также эквивалентных аксиоме выбора и лемме Цорна. В некоторых случаях
бывает удобнее применить не лемму Цорна, а одно из этих утверждений. Начнём с принципа максимальности
Хаусдорфа.
Определение 4. Линейно упорядоченное множество называется максимальным, если его нельзя
вложить ни в какое более широкое линейно упорядоченное множество.
Теорема Хаусдорфа о максимальности утверждает, что такое максимальное линейно упорядоченное множество
существует.
Теорема 2. (Хаусдорф) Если (P, ) — частично упорядоченное множество то 9L P — максимальное линейно упорядоченное подмножество.
Лемма Цорна может быть достаточно несложно получена из принципа максимальности Хаусдорфа. Краткая
идея доказательства в одном предложении: «Максимальный элемент из доказываемой леммы есть мажоранта
максимальной цепи из принципа максимальности.»
Пример 7. (трансфинитная индукция) Пусть A — вполне упорядоченное множество (такое частично упорядоченное множество, что любая непустая часть этого множества имеет наименьший
элемент). Пусть P(a) — утверждение, формулируемое для всякого элемента a 2 A. Пусть P верно
для первого элемента A, причем если P верно для всех b a, то оно верно и для a тоже. Тогда P
верно для всех a 2 A.
Действительно, если это не так, то существует множество A 0 A элементов, для которых утверждение P
неверно. Но в A 0 есть наименьший элемент в силу вполне упорядоченности. Для него утверждение P тоже
верно, поскольку по условию для всех элементов, него, P верно. Противоречие.
Перейдем к примерам применения утверждений, эквивалентных аксиоме выбора, к доказательству
существования различных объектов.
Определение 5. Система {vα }α2A векторов в линейном пространстве X называется линейно независимой, если всякая конечная её подсистема линейно независима.
Определение 6. Базисом Гамеля в X называется линейно независимая система векторов {vα }α2A X такая, что любой вектор из X единственным образом представляется конечной линейной комбинацией векторов vα .
Базис Гамеля еще иногда называют алгебраическим базисом.
В конце 4 семестра математического анализа вы уже встречались с понятием базиса, например, в гильбертовом пространстве — это была счетная последовательность векторов такая, что любой элемент пространства
раскладывался в ряд, сходящийся по норме пространства к этому элементу. Эти понятия базисов в общем
случае различны («привычный» называется счетным базисом Шаудера, а базис Гамеля в полном пространстве никогда не бывает счётным: он всегда имеет бóльшую мощность). С базисом Шаудера мы еще столкнёмся
неоднократно в этом курсе.
Пример 8. В любом линейном пространстве существует базис Гамеля.
Доказательство. Пусть Λ — совокупность всех линейно независимых систем, частично упорядоченная по включению. Максимальный элемент λ 2 Λ является базисом: действительно, если бы
некоторый v не раскладывался по λ, то λ [ {v} тоже был бы в Λ. Это противоречило бы максимальности.
Максимальный элемент существует: если дана цепь Λ0 Λ, то объединение всех λ 2 Λ0 и даст
мажоранту. В самом деле, все векторы полученного набора линейно независимы, поскольку любая
конечная подсистема векторов целиком содержится в одной из λ 2 Λ0 . По лемме Цорна существует
максимальный элемент.
Любые два базиса Гамеля равномощны, поскольку любой вектор одного базиса раскладывается в конечную
линейную комбинацию векторов другого базиса.
Пример 9. Базис Гамеля любого подпространства L1
всём L.
L можно дополнить до базиса Гамеля во
Доказательство. Оно отличается от предыдущего доказательства единственной деталью: рассматривать нужно другое частично упорядоченное множество. Подойдет, к примеру, частично упорядоченное по включению множество всех линейно независимых систем, содержащих заданный базис
Гамеля в L1 .
Пример пространства со счетным базисом Гамеля — линейное пространство последовательностей (с покомпонентными операциями суммы и умножения на скаляр) таких, что лишь конечное число членов этих последовательностей не равны нулю. В не столь экзотических пространствах, а в чуть более привычных в функциональном анализе «базовых» пространствах C[a, b] или Lp [a, b] базис Гамеля существует (мы это доказали!),
но в явном виде этот набор векторов никем не построен (он обязан быть более чем счётным, а любой элемент
пространства раскладывается единственным образом в конечную линейную комбинацию). На этом примере
видно, что такое неконструктивное доказательство. Неформально говоря, базис существует, но его никто не
видел (и вряд ли увидит).
Пример 10. У любого линейного подпространства линейного пространства существует дополнение (т. е. если L1 — подпространство векторного пространства L, то существует подпространство
L2 такое, что L = L1 L2 , т. е. L1 \ L2 = {0} и L1 + L2 = L).
Доказательство. Теперь это уже легко, да и на самом деле мы уже доказали это. Возьмём базис
Гамеля в подпространстве L1 (существование доказано) и дополним до базиса во всём L (возможность этого также доказана). Остаётся взять в качестве L2 линейную оболочку тех векторов, что мы
добавили к базису в L1 , пока дополняли его до базиса во всём L.
Тем не менее, в качестве демонстрации изученной техники предъявим доказательство, вовсе не использующее понятие базиса. Рассмотрим частично упорядоченное по включению множество подпространств в L: F = {N X : N есть линейное подпространство L и L1 \ N = {0}}. Заметим сразу, что
если в этом множестве есть максимальный элемент N 0 , то такой максимальный элемент есть искомое
подпространство. Действительно, N 0 2 F , откуда L1 \ N 0 = {0}. Если же L ) L1 + N 0 , то найдется
ненулевой x 2 L \ (L1 + N 0 ). Несложно проверить, что (N 0 + Lin{x}) лежит в F , что противоречит
максимальности N 0 .
Остается показать существование максимального элемента с помощью леммы Цорна. Пусть {Nα }α2Γ —
цепь в F . Возьмём N = Lin{Nα : α 2 Γ } и покажем, что N 2 F . Ясно, что N есть линейное подпространство L. Если x 2 L1 \ N, то x раскладывается в конечную линейную комбинацию векторов
xk 2 Nαk , k = 1, . . . , K. Поскольку {Nα }α2Γ есть цепь, среди конечного числа индексов αk есть такой
индекс k0 , что все Nαk вложены в Nαk0 . Тогда x 2 L1 \ Nαk0 = {0}. Итак, всякая цепь имеет мажоранту, поэтому лемма Цорна сразу позволяет сделать заключение о существовании максимального
элемента.
Пример 11. Доказать, что метрическое пространство (X, ρ) несепарабельно тогда и только тогда,
когда для некоторого ε > 0 существует более чем счётное ε-разреженное множество (такое, что
все попарные расстояния между его точками не меньше, чем ε).
Доказательство. Если такое множество существует, то ясно, что пространство несепарабельно: в
противном случае счётное всюду плотное множество обязано было бы содержать хотя бы по одной
точке в каждом из шаров радиуса ε/2 с центрами в точках ε-разреженного множества, что противоречит его несчётности.
Обратное утверждение использует лемму Цорна. Рассмотрим семейство Fε всех ε-разреженных мноS
жеств. Для всякой цепи Lε в Fε объединение всех множеств из цепи Lε также лежит в Fε , поскольку
S
между любыми двумя точками из Lε расстояние не меньше, чем ε (они, в силу линейной упорядоченности, лежат в каком-то одном множестве из цепи). Итак, по лемме Цорна 8ε > 0 существует
максимальное по включению ε-разреженное множество Kε : каждый элемент x 2 X лежит в шаре
радиуса ε с центром в какой-то точке y 2 Kε . Очевидно, что для последовательности εn = 1/n множество
∞
[
K1/n всюду плотно в (X, ρ). Если все Kεn не более чем счётны, то и их объединение тоже
n=1
не более чем счётно.
Пример 12. Существует всюду разрывная аддитивная функция.
Доказательство. Функциональное уравнение f(x + y) = f(x) + f(y) называется функциональным
уравнением Коши. Будем искать его решения, определённые на всей вещественной прямой. Несложно
показать по индукции, что f(nx) = nf(x) для всех натуральных n. Прочитав это равенство справа
x
x
налево, или, если угодно, заменив x на , получаем, что f
n
n
q 2 Q.
=
1
f(x), поэтому f(qx) = qf(x) для
n
В рациональных точках f(q) = qf(1), и поэтому, если интересоваться лишь непрерывными решениями, то со значений во всех рациональных точках функция f продолжается по непрерывности
единственным образом до f(x) = xf(1), т. е. среди непрерывных решений существуют только линейные функции с нулевым свободным членом.
Можно ли найти какие-либо решения, если отказаться от требования непрерывности f? Оказывается,
можно, причем ровно эта задача и эта конструкция и была построена Гамелем. Исторически это
первая задача, где возник базис Гамеля (помимо, разумеется, конечномерных пространств, где оба
вида базисов совпадают).
Конструкция очень экзотическая. Заметим, что R может быть рассмотрено как линейное пространство со скалярами из поля Q. В этом пространстве (мы это доказали) есть базис Гамеля! Обозначим
этот базис (как множество чисел из R) через B. На элементах b 2 B назначим функцию f(b) равной чему угодно, но с единственным ограничением, что хотя бы для двух элементов b1 =| b2 2 B
f(b2 )
f(b1 )
=|
. Поскольку B есть базис, для всякого x существует единственное разложение
будет
b1
b2
в конечную сумму x = q1 b1 + . . . + qn bn , где qk 2 Q, а bk 2 B для всех k от 1 до n. Определим
f(x) = q1 f(b1 ) + . . . + qn f(bn ).
Несложно убедиться, что f аддитивна: если x = q1 b1 + . . . + qn bn и y = r1 b1 + . . . rn bn , то f(x + y) =
= (q1 + r1 )f(b1 ) + . . . + (qn + rn )f(bn ) = f(x) + f(y).
Полученная f не является непрерывной. Действительно, непрерывная функция обязательно линейна,
f(b2 )
f(b1 )
=|
гарантирует нелинейность полученного решения. это мы уже выяснили. А условие
b1
b2
Полученное решение — и впрямь функция-монстр. Оказывается, что среди измеримых решений (а это требование куда более слабое, чем непрерывность!) также существуют только линейные функции. Касательно
нелинейного решения легко доказать, что его график — всюду плотное в R2 множество. Действительно, векторы ~u = (b1 , f(b1 )) и ~v = (b2 , f(b2 )) на плоскости линейно независимы и поэтому образуют базис. Всякий
вектор ~x на плоскости раскладывается по ним: ~x = p~u + q~v. Числа p и q с любой точностью приближаются
рациональными p и q. А точка ~x = p~u + q~v принадлежит графику: она имеет вид (pb1 + qb2 , f(pb1 + qb2 )).
Пример 13. В ненулевом коммутативном кольце существует собственный максимальный идеал.
Доказательство. Всё кольцо R, конечно, является идеалом, причем максимальным (и даже наибольшим), но этот пример не содержателен. Идеал называют собственным, если он не совпадает со
всем кольцом. Собственные идеалы коммутативного кольца можно частично упорядочить по включению. Нулевой идеал является собственным, поэтому это частично упорядоченное множество непусто.
[
Пусть {Iα }α2A — цепь идеалов кольца R. Тогда объединение всех идеалов I =
Iα цепи также
α2A
является идеалом (обратите внимание, что объединение идеалов в общем случае идеалом не является,
но перед нами цепь — все объединяемые идеалы сравнимы по вложению, и поэтому если x, y — два
элемента из I, то один из них лежит в Iα , а другой в Iβ , причем один из этих идеалов вложен в
другой, и потому x и y оба лежат в большем из них; нетрудно проверить, что если r 2 R и x 2 I, то
rx 2 I).
Собственный ли I идеал? Если это так, то I есть верхняя грань нашего частично упорядоченного
множества, и тогда применение леммы Цорна незамедлительно приводит к решению. Предположим,
что I собственным не является. Тогда единица лежит в I, а тогда и в каком-то Iα , и тогда Iα уже не
является собственным.
Конструкция похожего вида встретится нам в самом конце курса при изучении коммутативных банаховых
алгебр. В теории таких алгебр важны будут максимальные идеалы.
Разберем ещё пару примеров задач с частично упорядоченными множествами.
Задача 1. Рассматривается отношение f c g в C[0, 1] следующего вида:
f c g ⇔ f(x) +
Z1
0
|f − g|dt g(x) 8x 2 [0, 1].
Необходимо доказать, что это отношение C есть отношение частичного порядка, а
также показать, что f C g ⇔ 9α 0 такое, что f(x) + α = g(x) для всех x 2 [0, 1].
Решение. Совершенно ясно, что f c f. Если f C g и g C f, то
Z1
f(x) + |f − g| g(x);
Z01
g(x) + |f − g| f(x).
0
Z1
|f − g|
Эти неравенства можно сложить и получить
0
0, откуда |f − g| = 0 на [0, 1] в силу непре-
рывности |f − g|. Проверяем, что и последний пункт в определении частичного порядка выполнен:
если f C g и g C h, то
Z1
Z1
Z1
Z1
Z1
f(x) + |f − h|dt = f(x) + |f − g + g − h|dt f(x) + |f − g| + |g − h| g(x) + |g − h| h(x).
0
0
0
0
0
C g тогда и только тогда, когда
Z 1 g получается из f добавлением неотрицательной
константы. Пусть f C g и h = g − f. Тогда
|h(t)|dt h(x) 8x 2 [0, 1]. Из этого неравенства
0
сразу видим, что h(x) 0 для всех x, и тогда модуль из под интеграла можно убрать. А затем
Z1
можно применить теорему о среднем для интеграла: h(t)dt = h(ξ) для некоторой точки ξ 2 [0, 1].
0
Теперь условие h(ξ) h(x) показывает, что ξ является точкой глобального минимума функции h
Покажем, что f
на [0, 1]. Несложно понять, что непрерывная функция такая, что её интеграл на отрезке единичной
длины равен её минимальному значению на этом отрезке, тождественно равна этому минимальному
значению на всём отрезке. В самом деле, если в какой-то точке значение больше h(ξ), то функция
больше h(ξ) на целой окрестности в силу непрерывности, и тогда интеграл от h будет строго больше
минимального значения функции.
Задача 2. Пусть в частично упорядоченном множестве из предыдущей задачи рассматривается непустая цепь L, ограниченная сверху в C[0, 1] «в привычном смысле», т. е. f(x) R
для всех f 2 L с одной и той же общей константой R (общей для всех точек x и всех
функций из L). Докажите, что эта цепь имеет мажоранту в C[0, 1].
Решение. Берем фиксированную функцию f из L. Все остальные функции g из L отличаются от неё
на свою константу αg . Нам известно, что f + αg R для всех g 2 L. Отсюда находим
α R − f(x) R − min f = R0 .
[0,1]
Итак, все константы αg по всем g ограничены некоторой фиксированной константой R0 . Мажоранта
множества L может быть взята в виде f(x) + R0 .
Задача 3. Фиксирована непрерывная функция f : R → R. Рассматривается отношение
вида
x f y ⇔ f(x) + |x − y| f(y).
f
Необходимо доказать, что это отношение f есть отношение частичного порядка, а также показать, что непустая цепь в (R, f ), являющаяся множеством, ограниченным в R
в привычном смысле (|x| r для некоторого фиксированного r), имеет мажоранту.
Требуется также доказать, что любой компакт K на вещественной прямой имеет максимальный элемент.
Решение. Ясно, что x f x, а из x f y и y f x следует 2|x − y| 0 аналогично предыдущей задаче.
Третий пункт определения отношения порядка (транзитивность): если x f y и y f z, то
f(x) + |x − z| = f(x) + |x − y + y − z| f(x) + |x − y| + |y − z| f(y) + |y − z| f(z).
Пусть теперь непустая цепь L ограничена в R: 9r > 0 такая, что |x|
показать существование числа yL такого, что x f yL 8x 2 L.
r для всех x 2 L. Требуется
Функция f на [−r, r] ограничена, поэтому и её сужение на L тоже ограничено. Тогда f имеет конечный
супремум sup f = α. Этот супремум может достигаться, а может не достигаться. Сначала разберем
более простой случай, когда в некоторой точке y 2 L этот супремум достигается. В этом случае
f(x) f(y) 8x 2 L. Точки x и y лежат в линейно упорядоченном L, и поэтому либо x f y, что
нас устраивает (почему?), либо y f x, и тогда f(y) + |x − y| f(x) f(y), откуда |x − y| 0, и,
следовательно, x = y. Получаем, что y — мажоранта L.
L
Остается «более противный случай», когда супремум не достигается. Что будет, когда
sup f = α
строго больше f(x) 8x 2 L? По определению супремума существует максимизирующая последовательность {xn } L: для неё f(x1 ) < f(x2 ) < . . . < α, причем f(xn ) → α. А точки xk лежат в L,
и поэтому они сравнимы. Если xn+m f xn , то f (xn+m ) + |xn+m − xn | f (xn ), откуда |xn+m − xn | f(xn) − f(xn+m) < 0. Это невозможно, и значит, xn f xn+m, то есть f(xn) + |xn − xn+m| f(xn+m).
Сразу получаем, что |xn − xn+m | f(xn+m ) − f(xn ) → 0, и числовая последовательность xn сходится.
Обозначим её предел за y и покажем, что y и есть мажоранта. Имеем f(x) α = sup f. Подберем
L
номер N такой, что 8n N выполнено f(x) < f(xn ) < α. Но x и xn лежат в цепи L, поэтому x и xn
сравнимы. Сравнение возможно только в сторону x f xn в силу неравенства f(x) < f(xn ). Устремляя n к бесконечности в неравенстве f(x) + |x − xn | f(xn ) и используя непрерывность f, получаем
f(x) + |x − y| f(y).
L
Покажем, что если K 2 R — компакт, то в K есть максимальный элемент относительно отношения
f. Проверяем условия леммы Цорна. Пусть L — линейно упорядоченное подмножество K. Компакт
K ограничен и замкнут, поэтому f достигает супремума в K, а это значит, что мажоранта yL есть.
Эта мажоранта лежит в K: либо yL сама лежит в L (и тогда и в K), либо существует сходящаяся
к ней последовательность чисел из L. В последнем случае yL есть предельная точка L, а поэтому
и предельная точка K. В силу компактности она обязана лежать в K. Итак, условие леммы Цорна
выполнено.
