Структурные свойства пространства сигналов

ТЕОРИЯ
СИГНАЛОВ
Структурные свойства пространства сигналов
Поскольку определено сложение векторов и умножение вектора
на скаляр, определена и линейная комбинация конечной
совокупности произвольных векторов :
векторы
скаляры
xk , k  1, N
 k , k  1, N
Совокупность векторов
N
  kk  0
k 1
k , k  1, N
N
y    k xk
k 1
x2
вектор
y
 2 x2
x1
1 x1
линейно независима, если
 k  0 k  1, N
(иными словами, если никакой вектор нельзя выразить
линейной комбинацией остальных)
2
Множество всех линейных комбинаций данной совокупности
векторов при всевозможных наборах весовых коэффициентов
образует её линейную оболочку:
набор векторов
всевозможные
наборы скаляров
xk , k  1, N
k  F, k  1, N
N


 y    k xk 


k 1
множество
векторов
Линейная оболочка совокупности линейно независимых векторов
k , k  1, N
k , k  1, N
есть линейное пространство размерности
N
– базис этого пространства
Базис пространства – это линейно независимая совокупность
векторов, такая, что любой вектор пространства можно представить
линейной комбинацией векторов, принадлежащих этой совокупности
3
Зачем это нужно инженеру?
Цитата из книги М.В. Ратынского «Основы сотовой связи», М.:
Радио и связь, 1998. – 248 с. (для инженеров и студентов)
4
Пример
Примем в качестве базиса совокупность функций


S4  x1(t )  1, x2 (t )  t , x3 (t )  t 2 , x4 (t )  t 3
определенных на интервале
t   1,1
(линейная независимость
очевидна)
Линейная оболочка этого
базиса – четырехмерное
пространство, состоящее из
всех функций вида
1  2t  3t 2  4t 3
при
t   1,1
и всевозможных коэффициентах
i
5
Пример
Множество функций целой переменной


 2 
Q8   xk [n]  cos 
kn  , k  0,7 
 16 


при
n  0,7
линейно независимо
Линейная оболочка этого
базиса – восьмимерное
пространство, состоящее из
всех функций вида
 2 
  k cos  16 kn  , n  0,7
k 0
7
при всевозможных
коэффициентах
i
6
Полные базисы пространства сигналов
В бесконечномерном пространстве базис
должен содержать бесконечное количество
линейно независимых функций, но этого мало.
Базис бесконечномерного пространства
называется полным, если любой вектор (сигнал)
из этого пространства можно представить
линейной комбинацией векторов базиса.
Иначе говоря, базис полон, если его линейная
оболочка совпадает со всем пространством.
7
Полные базисы пространств сигналов
Пространство всех дискретных сигналов, заданных при
Один из полных базисов этого пространства
n  , 
 n  k , k  , 
k  3
k 0
k 1
Любой дискретный сигнал
можно представить в виде

x[n] 

x[k ] [n  k ] 
k 
k 4



k 
 k  [n  k ]
8
Полные базисы пространств сигналов
Множество всех двоичных векторов
где
bk 0;1
например


B8  bk , k  1,8
(0, 0,1,1,1, 0,1, 0)
содержит лишь конечное множество элементов (а именно 256)
оно может рассматриваться, как линейное пространство,
если сложение векторов определить через сложение их
компонент по модулю 2, а в качестве поля скаляров F
принять так называемое поле Галуа
GF 2  0;1
Такие пространства играют очень важную роль, например, в
теории кодирования, которая составляет важнейшую часть
теории связи. В качестве базиса данного пространства можно
принять любые 8 линейно независимых ненулевых векторов
9
Метрика
метрика – функционал, ставящий паре функций в
соответствие число, называемое расстоянием
d ( x, y)
1)
2)
3)
d ( x, y)  0  x  y
d ( x, y )  0
d ( x, y)  d ( y, x)
x
d ( x, z )  d ( x, y)  d ( y, z )
T
d1( x, y )   | x(t )  y (t ) | dt
0
T
y
неравенство треугольника
d 4 ( x, y ) 
1/ 2
z


| x[n]  y[n] |
n 
1/ 2

d 2 ( x, y )    | x(t )  y (t ) |2 dt 


0

 
2
d5 ( x, y )    | x[n]  y[n] | 


 n 

d3 ( x, y )  max | x(t )  y(t ) |
d6 ( x, y)  max | x[n]  y[n]|
t[0,T ]
n ,
10
Норма
норма – функционал, ставящий функции в соответствие число
(соответствует длине вектора)
x 0x0
1)
x 0
2)
x y  x  y
3)
 x |  | x
неравенство треугольника
T
x
2
|
x
(
t
)
|
dt  Ex


2
x

2
0
T
x1
x 1   | x(t ) |dt
0
x
p

T
p
 | x(t ) |
0
p
dt
x
p


| x[n] |2
n 


| x[n] |
n 

p

n 
| x[n] | p
11
Норма и метрика
Ввиду очевидного сходства аксиом нормы и метрики часто (но не
всегда!) метрику определяют, как норму разности векторов
d ( x, y )  x  y
В пространстве
x
2
В пространстве
x
l2
2
L2
1/ 2


2
d5 ( x, y )    | x[n]  y[n] | 


 n 

T
1/ 2

d 2 ( x, y )    | x(t )  y (t ) |2 dt 


0

обобщение евклидовой метрики на бесконечномерные пространства
12
Скалярное произведение
Скалярное произведение векторов представляет собой
функционал ( x, y )
1)
( x, y)  ( y, x)*
2)
( x   y, z )   ( x, z )   ( y, z )
3)
( x, x)  0;
( x, x )  0  x  0
Через скалярное произведение можно задать норму
x  ( x, x)
Пространство со скалярным произведением и порожденными им
нормой и метрикой, если оно полно, называется гильбертовым
пространством
13
Гильбертово пространство
Множество аналоговых сигналов ограниченной энергии,
заданных на конечном интервале (0, Т)
со скалярным произведением
T
( x, y )   x(t ) y* (t )dt
0
T
нормой
x

2
2
|
x
(
t
)
|
dt

0
и метрикой
d ( x, y ) 
T
2
|
x
(
t
)

y
(
t
)
|
dt

0
является гильбертовым пространством
При бесконечном интервале
L2 (T )
L2 (, )
14
Гильбертово пространство
Множество дискретных сигналов (последовательностей)
бесконечной протяженности становится гильбертовым
пространством, если определить скалярное произведение
выражением
( x, y ) 


x[n] y*[n]
n 
норму и метрику выражениями
x

2


n 
2
| x[n] |
d ( x, y ) 


| x[ n]  y[n] |2
n 
это гильбертово пространство квадратично суммируемых
последовательностей l2
15
Гильбертово пространство
Из определения скалярного произведения следует неравенство
Шварца
| ( x, y) |2  ( x, x)( y, y)
которое можно переписать в виде
| ( x, y ) |
1
x2 y2
поэтому для пары вещественных сигналов можно
определить угол между ними выражением
y
x
y
Два частных случая:
( x, y)  x
2
y
2
сигналы одинаковой формы
cos  
( x, y)  0
( x, y )
x2 y2
x
ортогональные сигналы
16
Структура приёмника системы связи с ортогональными
сигналами
s(t )  uk (t )   (t )
Ортогональность гарантирует высокую помехоустойчивость
В -мерном пространстве количество
взаимно ортогональных сигналов бесконечно !
17
Скалярное произведение
позволяет находить коэффициенты разложения
произвольного вектора в данном базисе
x    k k
k , k  1, N заданный базис
k , k  1, N сопряжённый (взаимный) базис
k , m    km
2
2
1
 km
где
N
k 1
1, k  m

0, k  m
 N
 N
 x, m      kk , m     k (k , m ) 
 k 1
 k 1
N
1
   k km   m
k 1
18
Самосопряженный базис
особенно удобно, когда базис совпадает со своим сопряжённым
uk , k  1, N
 uk , um    km ,
такие базисы называются ортонормированными
(ортонормальными)
x    k uk
Коэффициенты разложения
находятся как скалярные произведения
 k   x, u k  ,
N
k 1
k  1, N
u2
u1
1
19
Пример самосопряженного базиса
В пространстве комплексных сигналов конечной длительности Т ,
определенных на интервале
T / 2, T / 2
2


j
kt

T , k  ,  

(
t
)

e
 k





ортогональный базис.
найдем скалярное произведение двух функций
(n ,m ) 
T /2

n (t )m* (t )dt
T /2

T /2
e
2
( n  m )t
T
dt
 T   m, n
T /2
2


j
kt
1

T , k  ,  

(
t
)

e
 k

T


( n , m )   m,n

j
 0, n  m

T , n  m
ортонормальный базис.
1
 k  ( x, k ) 
T
T /2

T / 2
j
x(t )e
2
kt
T dt
 k  , 
20
Ряд Фурье
комплексный сигнал конечной длительности T можно
представить в виде ряда
2

x(t ) 

k 
где
 k  ( x, k ) 
1
T
T /2

j
x(t )e
k
2
kt
T dt
1 j
e
T
T
kt
 k  , 
T / 2
Чаще используется представление в ортогональном базисе
x(t ) 


k 
k
j
Ck e
2
kt
T
T /2
1
Ck 

x(t )e

T T T / 2
комплексный ряд Фурье
j
2
kt
T dt
 k  , 
21
Обобщенный ряд Фурье
Представление сигнала (вектора) относительно
произвольного полного ортонормального базиса
uk , k  , ,,(uk , um )   m,k
называется обобщенным рядом Фурье
x

  k uk
k 
Спектром сигнала относительно выбранного базиса называется
совокупность коэффициентов разложения !!!
Часто спектром называют совокупность базисных функций (обычно
гармонических колебаний), умноженных на коэффициенты разложения !!!
Ортонормальные базисы обладают замечательным свойством: зная
коэффициенты разложения относительно такого базиса, легко найти
нормы и скалярные произведения векторов
22
Равенство Парсеваля

  k uk
x
Пусть
– сигнал в виде ОРФ
k 

 

x 2   x, x      k uk ,   mum  


m 
 k 



 

k  m 


 

k  m 
x
2



m 
*
 k m
 uk , um  
*
 k m
 km
m
2



m 
m
2
равенство Парсеваля
23
Равенство Парсеваля - обобщение
Пусть
x

  k uk
y


k 
k 
 k uk

 

( x, y )     k uk ,   mum  


m 
 k 




 
k  m 
( x, y ) 
 k  m*  km 


m 
 m  m*


m 
 m  m*
обобщенная формула Рэлея
24
Аппроксимация сигналов усеченным ОРФ
Пусть
x

  k uk
– сигнал в виде ОРФ
k 
Часто на практике приходится рассматривать усеченный ряд
K
x  x    k uk
k 1
аппроксимирующий сигнал.
  xx
Ошибка аппроксимации
ортогональна подпространству, натянутому на K векторов

2
2
K
 xx
2
2
2
|

|
 k x
k 1
 x
2
2
2
2

K
2
k 1
2
  k uk
 x
неравенство Бесселя
2
2
K
  |  k |2  0
k 1
25
Аппроксимация сигналов усеченным ОРФ
С увеличением числа слагаемых, входящих в конечную сумму
обобщенного ряда Фурье, норма ошибки стремится к нулю (в этом и
состоит практический смысл требования полноты базиса).
Таким образом:
располагая полным ортонормальным базисом, можно обеспечить
сколь угодно точную аппроксимацию сигнала суммой конечного
числа наперед заданных функций с соответствующими весовыми
коэффициентами; при этом гарантируется, что при заданном числе
слагаемых ошибка аппроксимации будет минимальной (в смысле
нормы пространства
L2 ).
Пример. Прямоугольный импульс
длительности τи и амплитуды А
на конечном интервале (T / 2, T / 2)
можно представить рядом
x(t ) 


k 
k
1
e
T
j
2
kt
T
26
Аппроксимация прямоугольного импульса
Коэффициенты ряда (спектр) определяются для всех k
 и /2
1
k 
Ae

T  /2
и
j
2
kt
T dt
 и /2
1
 2 
A cos 
kt  dt 


T  /2
 T 
и
A T и
 2   и / 2  A и  sin  k и / T 


 sin 
kt 
k и / T
T
T 2 k  и
 T   и / 2
27
Частичные суммы ряда
Явление Гиббса
28
Базис Уолша (Walsh)
  t /T
n /2 p

wal  2n  p,   (1)



 wal  n,2  1 2   (1)n p wal  n,2  1 2 
n  0,1,2,...
p  0,1;
 1,     1 2 , 1 2  ,
wal  0,   
0 в противном случае.
29
Спектральный анализ и синтез
применяется на практике в тех случаях, когда оперировать спектром
сигнала удобнее, чем его временнóй функцией
30
Процедура Грама – Шмидта
позволяет по имеющемуся набору линейно независимых функций
(векторов) построить ортонормальный базис.
vk , k  1, 
wk , k  1, 
1.
2.
uk , k  1, 
3.
1
w1  v1; u1 
w1
u2
2
1
w2  v2  (v2 , u1)u1; u2 
w2
 w2
2
w3  v3  (v3 , u1)u1  (v3 , u2 )u2 ;
v2
w2
 w1
w1  v1;
1
u3 
w3
 w3
2
u1
31
Процедура Грама – Шмидта
для примера в качестве набора линейно независимых функций
выберем совокупность степенных функций


S4  v0 (t )  1, v1(t )  t , v2 (t )  t 2 , v3 (t )  t 3 , t   1,1
Полиномы Лежандра – результат ортонормализации
32
Непрерывные представления сигналов
Вместо ряда, т.е. суммы бесконечного счетного множества базисных
функций, умноженных на спектральные коэффициенты, можно
использовать интеграл от функции двух переменных (которая
представляет собой как бы несчетное множество базисных функций),
умноженной на функцию одной переменной, называемой
спектральной плотностью.
vk (t ), k  , 
v ( s, t )
базис (необязательно
ортогональный)
базисное ядро интегрального
представления
 k , k  , 
 (s)
спектр сигнала
относительно
выбранного базиса
x(t ) 

  k vk (t )
k 
спектральная плотность
сигнала относительно
выбранного ядра

x(t ) 
  (s)v(s, t )ds

33
Дискретное и непрерывное представления
4 n
2
3
kk
1

vn (t )
v2 (t )
v1 (t )
v4 (t )
v3 (t )
t
t
s
s
t
t
 (s)
t
v ( s, t )

t
34