Линейные пространства

470180022
1
Линейные пространства
Пусть дано множество V. Его элементы будут обозначаться малыми
латинскими буквами a,b,c…. Будем считать, что во множестве V определены
операция сложения, ставящая в соответствие всякой паре элементов a,b из V
однозначно определённый элемент a + b, называемый их суммой и операция
умножения не действительное число, причём произведение  а элемента а на
число  однозначно определено и принадлежит V.
Элементы множества V будем называть векторами, а само V –
действительным линейным пространством, если выполняются следующие
свойства (можно назвать их аксиомами) указанных операций:
1) сложение ассоциативно, то есть (a + b) + c = a + (b + c);
2) сложение коммутативно, то есть a + b = b + a;
3) существует такой элемент 0  V, называемый нулём, что a + 0 = а;
4) для любого а V существует такой элемент –а V, называемый
противоположным к а, что а + (–а) = 0;
5) если  и  – числа и а V, то ()а = (а);
6) если  и  – числа и а V, то ( + )а =  а + а;
7) если  – число и a,b V, то  (a + b) = a + b$
8) если a V, то 1а = а.
Примерами линейных пространств являются все прямоугольные матрицы
размерности тп, все п-мерные векторы, все функции на промежутке [x,y].
Из свойств 1) – 8) следуют утверждения:
а) нулевой элемент единствен;
б) противоположный элемент определён однозначно;
в) 0х = 0;
г) (–1)х = –х.
Доказательство.
470180022
2
а) Пусть существуют два нулевых элемента: 01 и 02. Тогда 01 + 02 = 01.
Вместе с тем 01 + 02 = 02. Отсюда следует: 01= 02.
б) Пусть а1 и а2 два противоположных элемента для а. Тогда
а1 + (а + а2) = а1 + 0 = а1.
С другой стороны, а1 + (а + а2) = (а1 + а) + а2 = 0 + а2 = а2, и утверждение
доказано.
в) Из аксиом следует: 0х = (0 + 0)х = 0х + 0х (так как 0 +0 = 0). Отсюда
0 = 0х +(–0х) = (0х + 0х) + (–0х) = 0х + (0х + (–0х)) = 0х.
г) (–1)х + х = (–1)х + 1х = (–1 + 1)х = 0х = 0, откуда следует, что (–1)х
является противоположным элементом для х. Следовательно, (–1)х = –х.
Теперь можно утверждать, что ( – )х =  х – х и (х – у) = х – у
Два
действительных
линейных
пространства
V
и
V
называются
изоморфными, если между их векторами установлено взаимно однозначное
соответствие, то есть всякому вектору а из V сопоставлен вектор а из V, образ
вектора а, причём различные векторы из V обладают различными образами и
всякий вектор из V служит образом некоторого вектора из V, и если при этом
соответствии образом суммы двух векторов служит сумма образов этих векторов
(а + b) = a+ b,
(1)
а образом произведения вектора на число служит произведение образа этого
вектора на то же число
( а) =  а
(2)
Взаимно однозначное соответствие между пространствами V и V,
удовлетворяющее условиям (1) и (2), называется изоморфным соответствием.
Теорема. Образом нуля пространства  при изоморфном соответствии
между пространствами V и V служит нуль пространства V.
Доказательство. Пусть а – некоторый вектор из V, а – его образ в V. Тогда,
принимая во внимание (1) получаем: а = (а + 0) = a + 0 то есть 0 – нуль
пространства V.
470180022
3
Линейные пространства. Базис
Определение
линейной
зависимости
векторов,
которое
было
дано
ранее(ALG6IT.doc) можно перенести на случай любых линейных пространств.
Теорема. Если линейные пространства V иV изоморфны, то система
векторов a1,a2,…, aп из V тогда и только тогда линейно зависима, если линейно
зависима система их образов a1, a2,…, aп из V.
Доказательство. Если соответствие для всех а из V является изоморфным
соответствием между V и V, то и обратное соответствие а а изоморфно.
Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда линейно зависима система
a1,a2,…,aп. Пусть существуют такие числа 1,  2,…, п, не все равные нулю, что
1a1 +  2a2 +… + пaп = 0
Образом правой части этого равенства при рассматриваемом изоморфизме служит
0 пространства V. Беря образ левой части и применяя (1) и (2) получаем
1 a1 +  2 a2 +… + пaп = 0,
то есть система a1, a2,…, aп тоже оказывается линейно зависимой.
Линейное пространство V называется конечномерным, если в нём можно
найти конечную максимальную линейно независимую подсистему векторов;
всякая такая подсистема векторов будет называться базисом пространства V.
Конечномерное
линейное
пространство
может
обладать
многими
различными базисами. Так, в пространстве векторов-отрезков на плоскости
базисом служит любая пара векторов, отличных от нуля и не лежащих на одной
прямой.
Пусть линейное пространство V обладает базисом
е1,е2,…, еп,
(3)
состоящей из п векторов. Если а – произвольный вектор из V, то из
максимальности линейно независимой системы следует, что а линейно
выражается через эту систему
а = 1е1 +  2е2 +… + пеп
(4)
470180022
4
С другой стороны, так как система (3) линейно независима, выражение (4) будет
для вектора а единственным: если
а = 1 е1 +  2е2 +… + пеп
то
(а1 – 1)е1 + (2 – 2)е2 +… + (п – п)еп = 0?
откуда
i = i i = 1,2,…,n
Таким образом, вектору а однозначно соответствует вектор
1 , 2 ,, n T
(5)
Коэффициентов его выражения (4) через базис (3) или вектор его координат в
базисе (3). Обратно, всякий вектор вида (5) то есть всякий п-мерный вектор (5)
служит вектором координат в базисе (3) для некоторого вектора пространства V, а
именно для вектора, записывающегося через базис (3) в виде (5).
Следовательно, имеет место взаимно однозначное соответствие между
всеми векторами пространства V и всеми векторами п-мерного векторного
пространства. Покажем, что это соответствие, зависящее от выбора базиса (3),
является изоморфным.
Пусть в пространстве V, кроме вектора а, выражающегося через базис (3) в
виде (4) есть вектор b, выражение которого через базис (3) имеет вид
b  1e1   2 e2     n en
Тогда
a  b  1  1 e1   2   2 e2     n   n en ,
то есть, сумме векторов а и b соответствует сумма векторов их координат в базисе
(3). Кроме того,
a  1 e1   2 e2     n en ,
то есть, произведению вектора а на число  соответствует произведение вектора
его координат в базисе (3) на это же число .
470180022
5
Таким образом, доказана теорема: Всякое линейное пространство,
обладающее базисом из п векторов, изоморфно п-мерному векторному
пространству.
При изоморфном соответствии между линейными пространствами линейно
зависимая система векторов переходит в линейно зависимую систему и обратно,
поэтому линейно независимая система переходит в линейно независимую.
Отсюда следует, что при изоморфном соответствии базис переходит в базис.
Докажем это. Пусть базис е1,е,…, еп, пространства V переходит при
изоморфном соответствии между пространствами V и V в систему векторов
пространства V, которая хотя и линейно независимая, но не является
максимальной. Следовательно, в V можно найти такой вектор с, что система
е1,е2,…, еп, с остаётся линейно независимой. Вектор с является образом при
рассматриваемом изоморфизме для некоторого вектора с из V. Тогда получается,
что система векторов е1,е2,…, еп,с должна быть линейно независимой, а это
противоречит определению базиса.
В
п-мерном
векторном
пространстве
все
максимальные
линейно
независимые системы состоят из п векторов, всякая система из п + 1 вектора
линейно зависима и вякая линейно независимая система векторов содержится в
некоторой
максимальной
установленные
выше
линейно
свойства
независимой
изоморфных
системе.
соответствий,
Используя
приходим
к
следующим выводам:
Все базисы конечномерного линейного пространства V состоят и
одного и того же числа векторов. Если это число векторов равно п, то V
называется п-мерным линейным пространством, а число п – размерностью
этого пространства.
Всякая система из п + 1 вектора п-мерного линейного пространства
линейно зависима.
Всякая линейно независимая система векторов п-мерного линейного
пространства содержится в некотором базисе этого пространства.
470180022
6
Связь между базисами.
Пусть в п-мерном линейном пространстве V заданы базисы
е1,е2,…, еп
(6)
е1,е2,…, еп
(7)
Каждый вектор базиса (7) однозначно представляется в виде линейной
комбинации векторов базиса (4):
e
i
n
 ij e j ,
i  1,2,,n
j 1
Матрица
 11  1n 


T      ?


 n1  nn 
строки которой являются транспонированными векторами координат векторов (7)
в базисе (6), называется матрицей перехода от базиса (6) к базису (7).