Вопросы, входящие в состав билетов для 1

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Физический факультет, кафедра математики
Вопросы, входящие в состав билетов для 1-го
коллоквиума по линейной алгебре, I поток
1. Определение линейного пространства. Нулевой элемент, противоположный элемент,
уравнение a + x = y. Основные свойства суммы элементов и произведения числа и элемента. Линейное пространство функций со значениями в линейном пространстве, примеры
линейных пространств.
2. Определение подпространства линейного пространства. Теорема о том, что подпространство само является линейным пространством. Определение линейной комбинации
элементов, определение линейной оболочки элементов. Теорема о том, что линейная оболочка является подпространством.
3. Определение линейно зависимых и линейно независимых элементов. Критерии линейной зависимости и линейной независимости элементов. Основные свойства линейно
зависимых и линейно независимых элементов.
4. Определение базиса линейного пространства, определение координат элемента. Основные свойства координат элемента. Линейная система координат в линейном пространстве. Базис линейной оболочки. Базис линейного пространства числовых функций, определённых на множестве из r элементов.
5. Теорема о базисном миноре. Определение размерности линейного пространства. Теорема о связи между длиной базиса и размерностью линейного пространства. Размерность
линейной оболочки.
6. Определение ранга матрицы. Теорема о том, что если определитель матрицы равен нулю, то столбцы матрицы линейно зависимы. Теорема о достраивании базиса подпространства Q1 до базиса подпространства Q2 (здесь Q1 ⊆ Q2 ). Теорема об операциях,
сохраняющих ранг матрицы.
7. Определение изоморфизма линейных пространств. Линейная система координат как
изоморфизм. Основные свойства изоморфизмов. Сохранение размерности при изоморфизме. Теорема об изоморфности линейных пространств одинаковой конечной размерности.
8. Определение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Фундаментальная совокупность решений (ФСР) однородной СЛАУ, общий вид решения однородной
СЛАУ. Общий вид решения неоднородной СЛАУ. Теорема Кронекера—Капелли.
9. Определение матрицы перехода от одного базиса к другому. Основные свойства матрицы перехода. Закон преобразования координат элемента. Ориентированное пространство, правый базис, левый базис.