Решение задач про плотные множества.

Решение задач про плотные множества.
Суммой A+B двух упорядоченных множеств hA, 6A i и hB, 6B i называется упорядоченное множество
hC, 6C i, где C = A t B, a x 6C y в одном из трёх случаев: x, y ∈ A и x 6A y; x, y ∈ B и x 6B y; или
x ∈ A и y ∈ B.
1. Докажите, что сложение упорядоченных множеств ассоциативно, но не коммутативно.
2. Пусть A + N изоморфно N. Докажите, что A — конечное линейно упорядоченное множество.
Решение: Пусть есть изоморфизм f : A + N → N. Рассмотрим k = f (0) (0 ∈ N). Тогда по определению суммы ∀a ∈ A a < 0, следовательно, f (a) < k. Значит, ограничив изоморфизм f |A , мы получим
изоморфизм между A и линейно упорядоченным множеством {0, . . . , k − 1}. Произведением A · B двух упорядоченных множеств hA, 6A i и hB, 6B i называется упорядоченное
множество hC, 6C i, где C = A × B, а (x1 , y1 ) 6C (x2 , y2 ), если x1 <A x2 или x1 = x2 и y1 6B y2 . Декартовым произведением A × B двух упорядоченных множеств hA, 6A i и hB, 6B i называется упорядоченное
множество hC, 6C i, где C = A × B, а (x1 , y1 ) 6C (x2 , y2 ), если x1 6A x2 и y1 6B y2 .
3. Придумайте подмножество R, которому изоморфно N · N.
1
.
Ответ: Отображаем (m, n) (где m, n ∈ N) в m − n+2
4. Постройте попарные изоморфизмы между множества Q, Q∩(0, 1), Q∩(0, ∞) и Q2 = { 2kn | k ∈ Z, n ∈ N }.
Решение: Во-первых, докажем, что все множества вида (a, b) ∩ Q, где a, b ∈ Q, изоморфны между собой. Действительно, ((0, 1) ∩ Q) ∼
= ((0, a) ∩ Q) (изоморфизм задаётся умножением на a ∈ Q),
((0, a) ∩ Q) ∼
= ((k, a + k) ∩ Q) (изоморфизм задаётся сдвигом на k ∈ Q). Таким образом, любой такой
”интервал“ изоморфен ”интервалу“ ((0, 1) ∩ Q).
1
Q и Q ∩ (0, 1). Переводим 0 в 21 , −n в n+1
, n в n+1
(здесь n ∈ N). Множества вида (−(n + 1), −n) ∩ Q
n+2
1
1
переводим в ( n+2 , n+1 ) ∩ Q и аналогично поступаем с (n, n + 1) ∩ Q.
1
Q и Q ∩ (0, ∞). Переводим 0 в 12 , −n в n+1
, n в n, точки между ними — как в предыдущем примере.
k
Q и Q2 = { 2n | k ∈ Z, n ∈ N }. Тут придётся делать, как в теореме (см. ниже). Занумеруем элементы
Q и Q2 . Далее будем по очереди сопоставлять элементы друг другу, соблюдая порядок. Порядок называется плотным, если для любых x < y найдётся z, такое что x < z < y.
Теорема 1. Любые два счётных плотно линейно упорядоченных множества без наименьшего и наибольшего элементов изоморфны.
5. Докажите, что любые два счётных плотно линейно упорядоченных множества с наименьшим и наибольшим элементами изоморфны.
Решение: Выкинем наибольший и наименьший элемент и получим множества без наименьшего и
наибольшего элемента (иначе они не плотны). Применяя теорему, получим требуемое. 6. Может ли линейно упорядоченное множество A, в котором больше одного элемента, быть изоморфным
A + A? А изоморфным A · A?
√
√
Решение: Может, например A = Q : (−∞, 2) + ( 2, ∞) ∼
= Q.
Опять же, рассмотрим Q · Q. Это множество счётное, линейно упорядоченное, плотное, поэтому по
теореме изоморфно Q.