15344

Автономная образовательная некоммерческая организация
высшего профессионального образования
«Институт менеджмента, маркетинга и финансов»
Кафедра экономической теории и бухгалтерского учета
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
Вариант 17
Выполнил: А.Е.Королев
Воронеж 2012
Задание 1.
Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на всех выпадет
одинаковое число очков.
Решение.
На каждом кубике 6 граней, т.е. у каждого кубика 6 вариантов выпадения очков.
Всего различных вариантов n = 6 * 6 * 6 = 216. Благоприятных случаев тоже 6, т.е. m
= 6 (все 1, все 2, все 3, все 4, все 5, все 6). Тогда
Задание 2.
В экономическом отделе фирмы 7 менеджеров и 5 финансистов. Для
выполнения задания были отобраны 4 человека. Какая вероятность того, что среди
них 3 менеджера?
Решение.
Общее число равновозможных исходов испытания равно числу способов,
которыми можно отобрать 4 человек из 12, т.е.
. Подсчитаем теперь число
благоприятствующих случаев, т.е. число случаев, при которых имеет место
интересующее нас событие. Финансист может быть выбран пятью способами. При
этом остальные 3 человека должны быть менеджерами, а выбрать трех менеджеров
из семи можно
. Следовательно,
. Поэтому
Задание 3.
Дана вероятность р появления события А в серии из n независимых испытаний.
Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится:
а) ровно k раз;
б) не менее k раз;
в) не менее
раз и не более
раз.
р = 0,5
n=6
k=2
Решение.
а) В нашем случае р = 0,5, тогда q = 1 – 0,5 = 0,5. n = 6, k = 2. Отсюда
вероятность появления события в серии из 6 независимых испытаний (по формуле
Бернулли):
б) Вероятность появления события А не менее 2 раз в серии из 6 испытаний:
в) Найдем вероятность появления события А не менее 2 раз и не более 4 раз в
серии из 6 испытаний.
Задание 4.
Таблицей задан закон распределения дискретной случайной величины Х. Найти
математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое
отклонение σ(Х).
Х
-8
-3
1
4
Р
0,3
0,3
0,2
0,2
Решение.
Математическое ожидание вычисляется по формуле:
У нас:
М(Х) = - 8 * 0,3 – 3 * 0,3 + 1 * 0,2 + 4 * 0,2 = - 2,3
Дисперсия равна:
Среднее квадратическое отклонение:
Задание 5.
Дана интегральная функция распределения случайной величины Х. Найти
дифференциальную функцию распределения, математическое ожидание М(Х),
Дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение σ(Х).
Решение.
Дифференциальная функция распределения имеет вид:
Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х определяется
формулой:
Наша функция вне промежутка [- 2; 14] равна нулю, следовательно,
Дисперсия непрерывной случайной величины по общему правилу:
В нашем случае
Среднее квадратическое отклонение:
Задание 6.
Диаметры деталей распределены по нормальному закону. Среднее значение
диаметров равно d мм, среднее квадратическое отклонение σ мм. Найти вероятность
того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше α мм и меньше β мм;
вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более,
чем на Δ мм.
d = 21
σ=3
α = 19
β = 25
Δ=1
Решение.
Пусть х – диаметр детали. Если случайная величина Х распределена по
нормальному закону, то вероятность попадания ее на отрезок [a, b] есть
где
– функция Лапласа, а = М(Х),
– среднее квадратическое
отклонение.
Тогда вероятность того, что диаметр произвольной детали будет больше 19 мм,
но меньше 25 мм, будет
Вероятность отклонения диаметра детали от ее математического ожидания а =
21 мм не более чем на Δ = 1,5 мм, очевидно, есть вероятность того, что длина детали
попадет в интервал
Лапласа:
, и поэтому вычисляется с помощью функции
Задание 7.
Признак Х представлен дискретным выборочным распределением в виде
таблицы выборочных значений. Требуется:
1. Составить интервальное распределение выборки.
2. Построить гистограмму относительных частот.
3. Перейти от составленного интервального распределения к точечному
выборочному распределению, взяв за значения признака середины частичных
интервалов.
4. Построить полигон частот.
5. Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
6. Вычислить все точечные статистические оценки числовых характеристик
признака: среднее , выборочную дисперсию и исправленную выборочную
дисперсию, выборочное С.К.О. и исправленное выборочное С.К.О.S.
7. Считая первый столбец таблицы выборкой значений признака Х, а второй –
выборкой
значений
Y,
оценить
тесноту
линейной
корреляционной
зависимости между признаками и составить выборочное уравнение прямой
регрессии Y на Х.
51,4
55,2
42,2
43,2
59,4
60,5
86,0
43,2
77,7
59,5
11,2
22,2
46,2
47,2
45,2
43,7
56,2
50,2
49,9
22,7
76,2
64,2
16,5
56,2
47,7
54,2
64,0
79,7
68,2
35,7
51,1
50,0
50,9
7,2
31,2
33,2
23,6
53,2
71,6
58,4
25,0
51,2
72,4
24,2
49,0
56,6
52,0
79,5
28,2
57,8
52,5
59,8
29,6
43,6
55,6
52,9
50,0
50,6
58,7
48,6
34,7
51,2
28,2
40,9
58,7
49,0
19,6
36,8
29,6
38,8
50,7
27,9
55,2
69,8
30,5
63,9
32,4
45,0
45,2
70,3
47,5
77,9
38,3
70,4
40,5
31,2
44,2
47,3
91,2
64,2
31,3
45,0
66,0
23,2
40,0
43,5
66,0
42,2
19,
31,2
Решение.
1).
Размах выборочных значений
. Определим
длину каждого частичного интервала, воспользовавшись формулой Стэрджеса:
Установим границы частичных интервалов. Нижнюю границу первого
интервала принимаем равной
а его верхнюю границу
Второй интервал будет (12,7; 23,7), третий – (23,7; 34,7), четвертый – (34,7; 45,7),
пятый – (45,7; 56,7), шестой – (56,7; 67,7), седьмой - (67,7; 78,7) и восьмой – (78,7;
89,7).
Если некоторое выборочное значение повторяется несколько раз и при этом
совпадает с границей двух соседних интервалов, то его договоримся относить к
левому интервалу.
В итоге этих действий получаем следующее интервальное распределение
исходной выборки, когда внесены не только частоты
частоты
, но и относительные
выборочных значений признака, попавшего в i-тый частичный
интервал.
1,7-
12,7-
23,7-
34,7-
45,7-
56,7-
67,7-
78,7-
89,7-
12,7
23,7
34,7
45,7
56,7
67,7
78,7
89,7
91,2
2
7
15
19
30
14
9
3
1
0,02
0,07
0,15
0,19
0,3
0,14
0,09
0,03
0,01
2). Гистограмма относительных частот – ступенчатая фигура, состоящая из
прямоугольников, основанием которых служат частичные интервалы длиной l а
высоты равны
0,002
(плотность относительных частот).
0,006
0,014
0,017
0,027
0,013
0,008
0,003
0,001
По горизонтальной оси отложены выборочные значения Xi, по вертикальной —
высоты «частичных» прямоугольников (плотности относительных частот).
3). От интервального распределения выборки перейдем к точечному распределению,
взяв за новые выборочные значения признака середины частных интервалов.
10
20
30
40
50
60
70
80
90
2
7
15
19
30
14
9
3
1
0,02
0,07
0,15
0,19
0,3
0,14
0,09
0,03
0,01
4). Построим полигон относительных частот. Это ломаная линия, вершины которой
находятся в точках
,
.
На графике – ось абсцисс -
, ось ординат -
.
6) Важнейшими характеристиками случайной величины Х являются, как известно,
математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение (с.к.о.).
Точечными статистическими оценками этих параметров служат соответственно
выборочное среднее
выборочная дисперсия
выборочное с.к.о.
, выборочная дисперсия
, выборочное с.к.о.
, которые вычисляются по формулам:
и исправленная
и исправленное
где
- выборочное значение признака Х,
– частоты этих значений,
n – объем выборки.
Воспользовавшись перечисленными выше формулами, вычмслим точечные
статистические оценки генеральных параметров распределения признака Х,
используя при этом данные
(найдены выше в п.3).
7). В следующей таблице первая строка является выборкой значений признака Х, а
вторая – выборкой значений признака Y.
Х
51,4
11,2
76,2
51,1
25,0
52,5
34,7
50,7
47,5
31,3
Y
55,2
22,2
64,2
50,0
51,2
59,8
51,2
27,9
77,9
45,0
Требуется оценить тесноту линейной корреляционной связи между признаками
и составить выборочное уравнение прямой регрессии Y на Х.
Вычислить сначала выборочный коэффициент корреляции, воспользовавшись
формулой
– выборочные средние и выборочные с.к.о. признаков Х и Y, а
У нас
Поскольку
, то линейная корреляционная связь между Х и Y слабая.
Выборочное уравнение прямой регрессии Y на Х для не сгруппированных
данных имеет вид:
Задание 8.
Даны среднее квадратическое отклонение σ, выборочная средняя
и объем
выборки n нормально распределенного признака генеральной совокупности. Найти
доверительные интервалы для оценки генеральной средней с заданной надежностью
γ.
σ = 13
= 119,5
n = 18
γ = 0,99
Решение.
Доверительный интервал (в котором с вероятностью γ будет находиться средняя
генеральной совокупности) для нормально распределенной случайной величины с
известными квадратичным отклонением σ, выборочной средней
и объемом
выборки n равен:
где t – решение уравнения 2φ(t) = γ, а φ(t) – функция Лапласа.
В нашем случае φ(t) = γ / 2 = 0,99 / 2 = 0,495. Этому значению φ(t) соответствует
t = 2,58. Тогда доверительный интервал будет равен
В этом интервале с вероятностью γ = 0,99 будет находиться средняя
генеральной совокупности.
Задание 9.
Даны исправленное среднее квадратическое отклонение S, выборочная средняя
и объем выборки n нормально распределенного признака генеральной
совокупности.
Пользуясь
распределением
интервалы для оценки генеральной средней
Стьюдента,
найти
доверительные
с заданной надежностью γ.
S=7
n = 26
γ = 0,95
Решение.
Доверительный интервал нормально распределенной случайной величины с
неизвестным квадратичным отклонением σ, но с известными исправленным
средним квадратичным отклонением S, выборочной средней
, объемом выборки n
и доверительной вероятностью γ, имеет вид:
где
– коэффициенты Стьюдента. Находим, что при n = 26 и γ = 0,95
. Тогда доверительный интервал
В этом интервале с вероятностью γ = 0,95 будет находиться средняя
генеральной совокупности.
Задание 10.
При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении
генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты.
Эмпирические частоты
14
18
32
70
20
36
10
Теоретические частоты
10
24
34
80
18
22
12
Решение.
В соответствии с критерием согласия
(Пирсона) определим наблюдаемое
значение критерия:
Таким образом,
. По таблице критических точек распределения
при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы k = m – 3= 7 – 3 = 4, где m
– число различных вариантов выборки, находим:
Так как
, то есть основания отвергать гипотезу о нормальном
распределении генеральной совокупности.