Автономная образовательная некоммерческая организация высшего профессионального образования «Институт менеджмента, маркетинга и финансов» Кафедра экономической теории и бухгалтерского учета КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА По дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» Вариант 17 Выполнил: А.Е.Королев Воронеж 2012 Задание 1. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на всех выпадет одинаковое число очков. Решение. На каждом кубике 6 граней, т.е. у каждого кубика 6 вариантов выпадения очков. Всего различных вариантов n = 6 * 6 * 6 = 216. Благоприятных случаев тоже 6, т.е. m = 6 (все 1, все 2, все 3, все 4, все 5, все 6). Тогда Задание 2. В экономическом отделе фирмы 7 менеджеров и 5 финансистов. Для выполнения задания были отобраны 4 человека. Какая вероятность того, что среди них 3 менеджера? Решение. Общее число равновозможных исходов испытания равно числу способов, которыми можно отобрать 4 человек из 12, т.е. . Подсчитаем теперь число благоприятствующих случаев, т.е. число случаев, при которых имеет место интересующее нас событие. Финансист может быть выбран пятью способами. При этом остальные 3 человека должны быть менеджерами, а выбрать трех менеджеров из семи можно . Следовательно, . Поэтому Задание 3. Дана вероятность р появления события А в серии из n независимых испытаний. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится: а) ровно k раз; б) не менее k раз; в) не менее раз и не более раз. р = 0,5 n=6 k=2 Решение. а) В нашем случае р = 0,5, тогда q = 1 – 0,5 = 0,5. n = 6, k = 2. Отсюда вероятность появления события в серии из 6 независимых испытаний (по формуле Бернулли): б) Вероятность появления события А не менее 2 раз в серии из 6 испытаний: в) Найдем вероятность появления события А не менее 2 раз и не более 4 раз в серии из 6 испытаний. Задание 4. Таблицей задан закон распределения дискретной случайной величины Х. Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение σ(Х). Х -8 -3 1 4 Р 0,3 0,3 0,2 0,2 Решение. Математическое ожидание вычисляется по формуле: У нас: М(Х) = - 8 * 0,3 – 3 * 0,3 + 1 * 0,2 + 4 * 0,2 = - 2,3 Дисперсия равна: Среднее квадратическое отклонение: Задание 5. Дана интегральная функция распределения случайной величины Х. Найти дифференциальную функцию распределения, математическое ожидание М(Х), Дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение σ(Х). Решение. Дифференциальная функция распределения имеет вид: Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х определяется формулой: Наша функция вне промежутка [- 2; 14] равна нулю, следовательно, Дисперсия непрерывной случайной величины по общему правилу: В нашем случае Среднее квадратическое отклонение: Задание 6. Диаметры деталей распределены по нормальному закону. Среднее значение диаметров равно d мм, среднее квадратическое отклонение σ мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше α мм и меньше β мм; вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более, чем на Δ мм. d = 21 σ=3 α = 19 β = 25 Δ=1 Решение. Пусть х – диаметр детали. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то вероятность попадания ее на отрезок [a, b] есть где – функция Лапласа, а = М(Х), – среднее квадратическое отклонение. Тогда вероятность того, что диаметр произвольной детали будет больше 19 мм, но меньше 25 мм, будет Вероятность отклонения диаметра детали от ее математического ожидания а = 21 мм не более чем на Δ = 1,5 мм, очевидно, есть вероятность того, что длина детали попадет в интервал Лапласа: , и поэтому вычисляется с помощью функции Задание 7. Признак Х представлен дискретным выборочным распределением в виде таблицы выборочных значений. Требуется: 1. Составить интервальное распределение выборки. 2. Построить гистограмму относительных частот. 3. Перейти от составленного интервального распределения к точечному выборочному распределению, взяв за значения признака середины частичных интервалов. 4. Построить полигон частот. 5. Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график. 6. Вычислить все точечные статистические оценки числовых характеристик признака: среднее , выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию, выборочное С.К.О. и исправленное выборочное С.К.О.S. 7. Считая первый столбец таблицы выборкой значений признака Х, а второй – выборкой значений Y, оценить тесноту линейной корреляционной зависимости между признаками и составить выборочное уравнение прямой регрессии Y на Х. 51,4 55,2 42,2 43,2 59,4 60,5 86,0 43,2 77,7 59,5 11,2 22,2 46,2 47,2 45,2 43,7 56,2 50,2 49,9 22,7 76,2 64,2 16,5 56,2 47,7 54,2 64,0 79,7 68,2 35,7 51,1 50,0 50,9 7,2 31,2 33,2 23,6 53,2 71,6 58,4 25,0 51,2 72,4 24,2 49,0 56,6 52,0 79,5 28,2 57,8 52,5 59,8 29,6 43,6 55,6 52,9 50,0 50,6 58,7 48,6 34,7 51,2 28,2 40,9 58,7 49,0 19,6 36,8 29,6 38,8 50,7 27,9 55,2 69,8 30,5 63,9 32,4 45,0 45,2 70,3 47,5 77,9 38,3 70,4 40,5 31,2 44,2 47,3 91,2 64,2 31,3 45,0 66,0 23,2 40,0 43,5 66,0 42,2 19, 31,2 Решение. 1). Размах выборочных значений . Определим длину каждого частичного интервала, воспользовавшись формулой Стэрджеса: Установим границы частичных интервалов. Нижнюю границу первого интервала принимаем равной а его верхнюю границу Второй интервал будет (12,7; 23,7), третий – (23,7; 34,7), четвертый – (34,7; 45,7), пятый – (45,7; 56,7), шестой – (56,7; 67,7), седьмой - (67,7; 78,7) и восьмой – (78,7; 89,7). Если некоторое выборочное значение повторяется несколько раз и при этом совпадает с границей двух соседних интервалов, то его договоримся относить к левому интервалу. В итоге этих действий получаем следующее интервальное распределение исходной выборки, когда внесены не только частоты частоты , но и относительные выборочных значений признака, попавшего в i-тый частичный интервал. 1,7- 12,7- 23,7- 34,7- 45,7- 56,7- 67,7- 78,7- 89,7- 12,7 23,7 34,7 45,7 56,7 67,7 78,7 89,7 91,2 2 7 15 19 30 14 9 3 1 0,02 0,07 0,15 0,19 0,3 0,14 0,09 0,03 0,01 2). Гистограмма относительных частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основанием которых служат частичные интервалы длиной l а высоты равны 0,002 (плотность относительных частот). 0,006 0,014 0,017 0,027 0,013 0,008 0,003 0,001 По горизонтальной оси отложены выборочные значения Xi, по вертикальной — высоты «частичных» прямоугольников (плотности относительных частот). 3). От интервального распределения выборки перейдем к точечному распределению, взяв за новые выборочные значения признака середины частных интервалов. 10 20 30 40 50 60 70 80 90 2 7 15 19 30 14 9 3 1 0,02 0,07 0,15 0,19 0,3 0,14 0,09 0,03 0,01 4). Построим полигон относительных частот. Это ломаная линия, вершины которой находятся в точках , . На графике – ось абсцисс - , ось ординат - . 6) Важнейшими характеристиками случайной величины Х являются, как известно, математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение (с.к.о.). Точечными статистическими оценками этих параметров служат соответственно выборочное среднее выборочная дисперсия выборочное с.к.о. , выборочная дисперсия , выборочное с.к.о. , которые вычисляются по формулам: и исправленная и исправленное где - выборочное значение признака Х, – частоты этих значений, n – объем выборки. Воспользовавшись перечисленными выше формулами, вычмслим точечные статистические оценки генеральных параметров распределения признака Х, используя при этом данные (найдены выше в п.3). 7). В следующей таблице первая строка является выборкой значений признака Х, а вторая – выборкой значений признака Y. Х 51,4 11,2 76,2 51,1 25,0 52,5 34,7 50,7 47,5 31,3 Y 55,2 22,2 64,2 50,0 51,2 59,8 51,2 27,9 77,9 45,0 Требуется оценить тесноту линейной корреляционной связи между признаками и составить выборочное уравнение прямой регрессии Y на Х. Вычислить сначала выборочный коэффициент корреляции, воспользовавшись формулой – выборочные средние и выборочные с.к.о. признаков Х и Y, а У нас Поскольку , то линейная корреляционная связь между Х и Y слабая. Выборочное уравнение прямой регрессии Y на Х для не сгруппированных данных имеет вид: Задание 8. Даны среднее квадратическое отклонение σ, выборочная средняя и объем выборки n нормально распределенного признака генеральной совокупности. Найти доверительные интервалы для оценки генеральной средней с заданной надежностью γ. σ = 13 = 119,5 n = 18 γ = 0,99 Решение. Доверительный интервал (в котором с вероятностью γ будет находиться средняя генеральной совокупности) для нормально распределенной случайной величины с известными квадратичным отклонением σ, выборочной средней и объемом выборки n равен: где t – решение уравнения 2φ(t) = γ, а φ(t) – функция Лапласа. В нашем случае φ(t) = γ / 2 = 0,99 / 2 = 0,495. Этому значению φ(t) соответствует t = 2,58. Тогда доверительный интервал будет равен В этом интервале с вероятностью γ = 0,99 будет находиться средняя генеральной совокупности. Задание 9. Даны исправленное среднее квадратическое отклонение S, выборочная средняя и объем выборки n нормально распределенного признака генеральной совокупности. Пользуясь распределением интервалы для оценки генеральной средней Стьюдента, найти доверительные с заданной надежностью γ. S=7 n = 26 γ = 0,95 Решение. Доверительный интервал нормально распределенной случайной величины с неизвестным квадратичным отклонением σ, но с известными исправленным средним квадратичным отклонением S, выборочной средней , объемом выборки n и доверительной вероятностью γ, имеет вид: где – коэффициенты Стьюдента. Находим, что при n = 26 и γ = 0,95 . Тогда доверительный интервал В этом интервале с вероятностью γ = 0,95 будет находиться средняя генеральной совокупности. Задание 10. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты. Эмпирические частоты 14 18 32 70 20 36 10 Теоретические частоты 10 24 34 80 18 22 12 Решение. В соответствии с критерием согласия (Пирсона) определим наблюдаемое значение критерия: Таким образом, . По таблице критических точек распределения при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы k = m – 3= 7 – 3 = 4, где m – число различных вариантов выборки, находим: Так как , то есть основания отвергать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.
