ВСЕРОССИЙСКИЕ
ОЛИМПИАДЫ
ПО ФИЗИКЕ
1992-2001
Научные редакторы
С.М. Козел
В.П. Слободянин
Допущено
Министерством образования РФ
в качестве учебного пособия
для учащихся старших классов
общеобразовательных учреждений
МОСКВА
2002
ББК 74.262.22+22.3я721
В 85
АВТОРСКИЙ КОЛЛЕКТИВ:
Варгин А .Н ., доц. МИФИ, к.ф-м.н.,
Дерябкин В .Н .Удоц. МФТИ, к.ф-м.н.,
Д унин С.М., доц. МГПУ,
Козел С.М., проф. МФТИ, д.ф-м.н.,
Коровин В .А .Унач. отд. МО, к.пед.н.,
Крюков А .П . у ст.н.с. НИИЯФ МГУ, к.пед.н.,
Мелъниковский Л .А .Унаучи, сотр. ИФП РАН,
Можаев В.В. у доц. МФТИ, к.ф-м.н.,
Орлов В.А.у зав. лаб. ИОСО РАО, проф.,к.пед.н.,
|Овчинников О .Щ у доц. МИГУ, к.пед.н.,
Самарский Ю.А.Удоц. МФТИ, к.ф-м.н.,
Слободянин В.П.у доц. МФТИ, к.ф-м.н.,
Шеронов А.А.у доц. МФТИ, к.ф.м.н.,
Чешев Ю.В.у доц. МФТИ, к.ф-м.н.,
Чивилев В.И.у доц. МФТИ к.ф-м.н.
Всероссийские олимпиады по физике. 1992-2001: Под. ред.
В 85 С.М. Козела, В.П. Слободянина. - М.: «Вербум-М», 2002. 392 с.
ISBN 5-8391-0087-0
В книгу вошли материалы Всероссийских олимпиад школьников за
10 лет — с 1992 по 2001 год. Это условия и решения теоретических и
экспериментальных заданий двух последних этапов олимпиад (окружного
и заключительного).
Пособие адресовано учащимся 9-11 классов.
Отдельные типы заданий могут быть полезны и абитуриентам при
подготовке к вступительным экзаменам в вузы.
ББК 74.262.22+22.Зя721
ISBN 5-8391-0087-0
©Издательство «Вербум-М», 2002
ОТ АВТОРОВ
Всероссийские физико-математические олимпиады школьни­
ков начали проводиться с 1964 года, а еще через три года старто­
вали и Всесоюзные олимпиады. Начиная с XI Всесоюзной олим­
пиады в программу соревнований были включены наряду с
вычислительными (теоретическими) задачами и эксперименталь­
ные. При Министерстве просвещения СССР был образован цент­
ральный оргкомитет Всесоюзных олимпиад. Его первым предсе­
дателем стал академик И.К. Кикоин. При Центральном оргко­
митете были созданы предметные Методические комиссии,
руководимые крупными учеными, профессорами вузов.
С распадом Советского Союза Всероссийские олимпиады школь­
ников по физике стали преемницами Всесоюзных олимпиад. Это
нашло свое отражение в порядковом номере олимпиад.
Согласно Положению Всероссийские физические олимпиады
проводятся в пять этапов.
Первый - школьный этап проводится в ноябре и организуется
учителями. В олимпиаде могут принять участие по желанию уча­
щиеся 7-11 классов.
В каждом последующем этапе участвуют победители предыду­
щего этапа.
Второй этап - районные олимпиады. Он проводится в декабре
по заданиям, составленным областными (краевыми) оргкомите­
тами олимпиад. В нем принимают участие учащиеся 8-11 клас­
сов.
Третий этап - областные, краевые, республиканские олимпиа­
ды. Он проводится в январе местными органами народного обра­
зования для учащихся 9-11 классов. Базовый комплект задач
готовит Методическая комиссия при Центральном оргкомитете.
Местному жюри предоставляется возможность дополнять и час­
тично изменять задания третьего этапа.
Четвертый этап - окружные (зональные) олимпиады. Задания
четвертого и пятого этапов предназначены для учащихся 9-11
классов. До 2002 г. четвертый этап олимпиады проводился по
четырем зонам, на которые была поделена вся территория
России. Начиная с 2002 г., четвертый этап проводится по семи
федеральным округам. К окружным олимпиадам приравнива­
ются городские олимпиады Москвы и Санкт-Петербурга. Олим­
пиады проводятся в марте, в период весенних каникул школь­
ников, по заданиям Методической комиссии Центрального
оргкомитета.
3
Пятый этап - заключительный. Он проводится во второй поло­
вине апреля. Наряду с победителями окружных олимпиад теку­
щего года в нем принимают участие победители заключительного
этапа прошлого года.
Несмотря на то, что заключительный этап олимпиады проводит­
ся в апреле, его программа включает материалы, которые в ряде
школ изучаются в более позднее время. Предполагается, что участ­
ники заключительного этапа, одержавшие победы на предыдущих
этапах, уделят необходимое время самостоятельной подготовке.
В книге приведены условия и решения теоретических и экспе­
риментальных заданий двух последних этапов (окружного и зак­
лючительного) за период с 1992 по 2001 год. В приложении пуб­
ликуется программа этих этапов. Задания заключительных
этапов помечены*.
Для решения олимпиадных задач требуются знания и умения,
не выходящие за рамки программы средней школы. Решение за­
дач, как правило, не требует громоздких вычислений.
При оценке выполнения экспериментальных заданий прини­
маются во внимание теоретическое обоснование работы, выбор
метода ее выполнения, процесс проведения измерений, оценка
погрешностей и обсуждение полученных результатов. Учитыва­
ется также качество оформления отчета о проделанной работе и
соблюдение правил техники безопасности. Участник олимпиады
должен не только объяснить, как получить результат, но и фак­
тически получить его. Это относится не только к эксперименталь­
ным, но и теоретическим заданиям.
Многолетний опыт проведения олимпиад по физике показы­
вает, что участники значительно лучше справляются с теорети­
ческими заданиями. Экспериментальная подготовка наших школь­
ников нуждается в существенном усилении. Недостатки этой
подготовки проявляются и на Международных олимпиадах.
Большинство задач, приведенных в книге, были предложены
членами авторского коллектива. Следует однако отметить, что
многие задачи являются продуктом коллективного труда. Обыч­
но задача проходит довольно длинный путь от первоначальной
идеи до окончательной редакции. Авторы провели систематиза­
цию задач, предлагавшихся на олимпиадах, отобрали наиболее
интересные решения, уточнили их. В разработке заданий олим­
пиады принимали также участие профессор С.-Петербургского
госуниверситета Е.И. Бутиков, профессор Московского физикотехнического института А.Л. Стасенко, научный сотрудник
А.Р. Зильберман и многие другие. Всем этим лицам авторы кни­
ги выражают искреннюю благодарность.
Ч а с т ь 1. Теоретический тур.
Условия задач
класс
1992
9.1.
Космический корабль начинает двигаться прямолинейно с
ускорением, изменяющимся во времени так, как показано на гра­
фике (рис. 1.9). Через какое время корабль удалится от исходной
точки в положительном направлении на максимальное расстоя­
ние? Начальная скорость корабля равна нулю.
9.2. «Вечерело. Уставший за нелегкий день бедный рыбак Аб­
дулла присел на берегу реки отдохнуть. Вдруг видит - плывет по
волнам какой-то предмет, почти полностью погруженный в воду,
только самый краешек виден на поверхности воды. Абдулла бро­
сился в реку и вытащил его. Смотрит, а это старинный глиняный
кувшин, с горлышком, плотно закрытым пробкой и залитым сур­
гучной печатью. Распечатал Абдулла кувшин и обомлел: из кув­
шина высыпалось 147 одинаковых золотых монет. Монеты Аб­
дулла спрятал, а кувшин закрыл, залил горлышко сургучом и
бросил кувшин обратно в реку. И поплыл кувшин дальше, при­
мерно на треть выступая над водой» - так говорится в одной из
восточных сказок.
Полагая, что кувшин был двухлитровым, оцените массу одной
золотой монеты.
9.3. При разведении теплолюбивых рыб в аквариуме для под­
держания необходимой температуры воды tT= 25 °С используется
электрический нагреватель, мощность которого Р0 = 100 Вт. Для
хладолюбивых рыб температура воды в аквариуме должна быть £х =
= 12 °С. Чтобы обеспечить низкотемпературный режим через по­
5
груженный в аквариум теплообменник - длинную медную труб­
ку - пропускают водопроводную воду, температура которой tx = 8 °С
(эффективность теплообменника столь высока, что вытекающая
из трубки вода находится в тепловом равновесии с водой аквари­
ума).
Предполагая, что мощность теплообмена между аквариумом и
окружающей средой пропорциональна разности температур между
ними, определите минимальный расход воды (k = ——) для поддерАт
жания заданного температурного режима. Комнатная температура
t0 = 20 °С. Удельная теплоемкость воды с = 4200 Дж/(кг*К).
Как изменится ответ, если в аквариуме будут разводить рыб,
предпочитающих температуру воды £х*= 16 °С?
9.4.
В схеме, изображенной на рис. 2.9, амперметр А г показы­
вает силу тока Jj. Какую силу тока показывает амперметр А2?
Оба прибора идеальны. Отмеченные на рисунке параметры цепи
считайте известными.
*9.5. Тяжелая цепочка, состоящая из большого числа одинако­
вых гладких звеньев, свободно подвешена за концы (рис. 3.9).
Масса всей цепочки т = 0,2 кг. Определите силы натяжения в
нижней точке цепочки, а также в точке А, лежащей на половине
глубины «провиса» цепочки.
*9.6. Миниатюрный тигель (печка) для плавки металла имеет
электронагреватель постоянной мощности Р 0 = 20 Вт. Нагре­
ватель включают и, после того как его температура практи­
чески перестает увеличиваться, в тигель бросают несколько
кусочков олова, общая масса которых т = 80 г. Олово начина­
ет плавиться. График зависимости температуры в тигле от вре­
мени представлен на рис. 4.9. Определите удельную теплоту
плавления олова.
Рис. 2.9
6
Рис. 3.9
Рис. 4.9
*9.7. Электронагреватель Н подключают, соединяя его после­
довательно с амперметром и реостатом, к источнику тока и уста­
навливают реостатом силу тока 0,1 А (рис. 5.9). Затем в цепь
между точками А и Б включают резистор, сопротивление которо­
го неизвестно. При этом амперметр стал показывать силу тока
0,05 А. Затем этот резистор отключают и включают его в другом
участке цепи - между точками А и С. При этом амперметр стал
показывать силу тока 0,3 А. Найдите отношение мощности нагре­
вателя к полной мощности, развиваемой источником, т.е. КПД
схемы во всех трех случаях. Источник тока и амперметр считать
идеальными. Сопротивление электронагревателя одно и то же во
всех трех случаях.
*9.8. На гладком горизонтальном столе лежат, касаясь друг дру­
га, две одинакового размера шайбы 1 и 2, радиус которых равен К
Шайбы соединены друг с другом с помощью тонкой легкой нити
(рис. 6.9). Длина нити L = 2R. Нить начали тянуть в горизонталь-
7
ном направлении с постоянной силой F . Найдите силу, с которой
шайбы будут давить друг на друга, когда их движение установится.
Сила F приложена в середине нити. Трение можно считать малым.
Рассмотрите два случая: 1) шайбы имеют одинаковую массу;
2) масса одной шайбы в два раза больше массы другой.
1993
9.9.
Человек, рост которого равен /г,
идет по краю тротуара с постоянной
скоростью v. На расстоянии I от края
тротуара стоит фонарный столб, на са­
мом верху которого горит фонарь Ф. Вы­
сота столба равна Н (рис. 7.9). Изобра­
зите графически зависимость скорости
движения по тротуару тени головы че­
ловека от координаты х. Поверхность
тротуара горизонтальна, а его край
представляет собой прямую линию.
9.10. Для участия в Технической Олимпиаде по подводному
плаванию в Баренцевом море Чебурашка изготовил модель кро­
кодила Гены. Однако модель оказалась слишком тяжелой и
тонула в воде. Чебурашка прикрепил к ней несколько герме­
тичных полиэтиленовых пакетов с воздухом. Оказалось, что в
Баренцевом море, где плотность воды рс = 1050 к г/м 3, при
погружении на глубину, не превышающую критической вели­
чины hc = 7 м, модель всплывает, а при погружении на боль­
шую глубину тонет. В устье реки Печоры, где плотность воды
равна рп = 1000 к г/м 3, критическая глубина погружения мо­
дели крокодила составила всего hn = 1 м. Найдите плотность
модели крокодила Гены.
П р и м е ч а н и е . Для воздуха применим закон Бойля-Мариотта. Для
постоянного количества газа при неизменной температуре произведе­
ние давления р газа на занимаемый им объем V постоянно:
pV = const.
9.11. На прямолинейном горизонтальном участке железной до­
роги стоит вагонетка с ценным грузом. Ночью к ней подкрался
похититель. В качестве вспомогательного орудия злоумышленник
решил применить невесомый упругий шнур; привязав один конец
этого шнура к вагонетке, а другой, взяв в руки, он побежал вдоль
8
железнодорожного полотна с постоянной
скоростью v0 (рис. 8.9). Через некоторое
время похититель очнулся, лежа на ва­
гонетке, которая двигалась со скоростью
А
= 1,8v0. Чему равна масса вагонетки с
Рис. 8.9
грузом, если масса похитителя т = 80 кг?
Трением качения можно пренебречь, а
трение между ботинками и землей достаточно велико. Опишите,
каким образом злоумышленник оказался на вагонетке.
9.12.
Крокодил Гена купил в подарок Чебурашке электриче­
ский утюг без терморегулятора, рассчитанный на включение в
сеть с напряжением 220 В. Собираясь в гости на день рождения,
он решил проверить подарок и погладить рубашку. Однако на­
пряжение в сети у него дома равно 127 В, поэтому утюг нагрелся
всего до 127 °С, тогда как для глажения рубашки необходима
температура утюга в пределах от 200 °С до 300 °С. Сможет ли
Гена погладить этим утюгом рубашку дома у Чебурашки, где на­
пряжение сети равно 220 В? Если нет, то почему? Если да, то
каким образом? Теплоотдача пропорциональна разности темпера­
тур, а нагреватель утюга содержит всего одну обмотку, сопротив­
ление которой можно считать постоянным. Температура воздуха
в комнате равна 20 °С.
*9.13. Камень, брошенный под углом а к горизонту со скорос­
тью v0, летит по параболической траектории. По той же траекто­
рии с постоянной скоростью v0 летит птица. Чему равно ее уско­
рение в верхней точке траектории?
*9.14. Массивная доска АВ скользит со
скоростью й по гладкой горизонтальной по­
верхности. Из точки С той же поверхности од­
новременно вылетают две легкие шайбы. Пер­
вая шайба скользит по поверхности в направ­
лении ССХпараллельно доске АВ со скоростью
vx, вторая скользит со скоростью б2 под углом
а к ССг (рис. 9.9). Через некоторое время шай­
бы сталкиваются в точке D. Определите скоро­
сти шайб и v2 до столкновения, если извест­
но, что время от начала движения шайб до их
столкновения в п раз превышает время от на­
чала движения шайб до столкновения второй
шайбы с доской. При ударе шайбы о доску
потерь энергии не происходит.
9
*9.15. В термос с водой, имеющей тем­
пературу t = 40 °С, опускают бутылочку
с детским питанием. Там бутылочка на­
гревается до температуры t x = 36 °С, за­
тем ее вынимают и в термос опускают
другую точно такую же бутылочку. До
какой температуры она нагреется? Пе­
ред погружением в термос каждая бу­
тылочка имела температуру t0 = 18 °С.
*9.16. Лампа, соединенная последо­
вательно с резистором, сопротивление
которого R = 10 Ом, подключена к сети. Зависимость силы тока
от напряжения на лампе представлена на рис. 10.9. При каком
напряжении сети КПД схемы Г| = 25% ?
КПД схемы равен отношению мощности, потребляемой лам­
пой, к мощности, потребляемой от сети.
1994
9.17.
Космонавт перемещается вдоль прямой из точки А в точ­
ку В . График его движения изображен на рис. 11.9 (и - скорость
космонавта, х - его координата). Найдите время движения кос­
монавта из точки А в точку В.
Рис. 11.9
9.18.
Стоял засушливый июль. Самолет противопожарной служ­
бы, производя аэрофотосъемку пожароопасных районов, сфото­
графировал село Верхние Колдобы Усть-Колдобинского района.
На снимке (рис. 12.9, масштаб 1 : 1250) видны четыре неглубо­
ких пруда (1-4), причем видно, что пересохли все ручейки - и те,
которые снабжали пруды водой, и те, которые отводили ее из10
Рис. 12.9
лишки в речку Колдобинку. Определите, какой из прудов пере­
сохнет последним, если в момент съемки пруды содержали
Vx = 200 м3, V2 = 30 м3, V3 = 500 м3и 7 4 = 2 м 3 воды соответствен­
но. Можно считать, что каждый из Верхнеколдобинских прудов
имеет постоянную глубину по всей площади.
9.19. При плавании порожней рыболовной шхуны в одном из
морей ватерлиния (уровень максимального погружения шхуны)
находится на высоте Лп = 0,5 м от поверхности воды, а в другом
(более соленом) - на высоте hc = 0,6 м. При этом максимальная
загрузка рыбой в первом море составляет тп = 50 т, а во втором тс = 63 т. Найдите массу т0 корабля без груза. Борта шхуны в
рассматриваемом диапазоне погружений можно считать вертикаль­
ными.
9.20. Полдень. По горизонтальному участку шоссе, ведуще­
му строго на северо-восток, движется фургон. По задней стен­
ке фургона мелькают тени деревьев, находящихся на обочине
дороги. Если тень верхушки какого-либо дерева пробегает от
одного угла задней стенки по диагонали до другого угла, то на
это уходит 0,1 с. Нарисуйте, как движется тень верхушки
дерева в этом случае. Как движутся тени других верхушек?
Найдите скорость фургона и высоту Солнца над горизонтом
(высота Солнца измеряется в градусах). Задняя стенка фурго­
на вертикальна и имеет размеры 2,0 м по вертикали и 2,5 м по
горизонтали.
11
*9.21. Самолет летит горизонтально по прямой со скоростью v0
= 720 км/ч. Определите, на сколько должна измениться скорость
самолета, чтобы он смог, оставаясь в горизонтальной плоскости,
описать окружность радиуса R = 8 км. Каков при этом угол на­
клона плоскости крыльев самолета? Подъемная сила направлена
перпендикулярно плоскости крыльев и пропорциональна квадра­
ту скорости самолета (коэффициент пропорциональности в обоих
случаях считать одинаковым). Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с2.
*9.22. Два небольших стальных
JCj/VS, м,
шарика, размером которых в услови­
ях задачи можно пренебречь, находят­
ся в одной точке горизонтальной плос­
10
кости. Шарики одновременно бросают
с одинаковыми начальными скоростя­
5
ми. Начальная скорость первого шари­
ка составляет угол а х = 30° с горизон­
0
1 2
3 t, с
том, скорость второго - некоторый угол
Рис. 13.9
а 2, причем 45° < а 2 < 90°. Горизонталь­
ная координата х г первого шарика во время полета изменяется по
закону, представленному на графике рис. 13.9.
Спустя время t = 7/5 с после броска оба шарика оказались на
одной высоте над плоскостью. Определите угол а 2, под которым
брошен второй шарик, а также расстояние между шариками че­
рез 1 с после броска. Сопротивлением воздуха пренебречь. Уско­
рение свободного падения принять равным 10 м/с2. Считать, что
соударение шариков с горизонтальной плоскостью происходит по
законам упругого удара.
*9.23. В прямой цилиндрический сосуд, площадь основания
которого S = 100 см2, наливают 1 л соленой воды плотности
рх= 1,15 г/см3, и опускают льдинку из пресной воды. Масса льдин­
ки т = 1 кг. Определите, как изменится уровень воды в сосуде,
если половина льдинки растает. Считайте, что при растворении
соли в воде объем жидкости не изменяется.
*9.24. Лабораторная электроплитка, сопротивление спирали
которой R = 20 Ом, включена в сеть последовательно с резисто­
ром сопротивлением R0 = 10 Ом. При длительном включении плит­
ка нагрелась от комнатной температуры t0 = 20 °С до максималь­
ной температуры tx = 52 °С. До какой максимальной температуры
tx нагреется плитка, если параллельно ей включить еще одну та­
кую же плитку?
1995
9.25. Для изготовления нагревателя имеется кусок нихромовой проволоки, сопротивление которого 1000 Ом. Нагреватель
рассчитан на напряжение 220 В. Какой наибольшей мощности
нагреватель можно сделать из этой проволоки, если максимально
допустимая сила тока через проволоку равна 1 А?
9.26. Катушку с нитками тянут за нитку с постоянной скорос­
тью v, как показано на рис. 14.9. Катушка катится по горизон­
тальной поверхности без проскальзывания. Определите угловую
скорость вращения катушки.
9.27. Система, изображенная на рис. 15.9, предоставлена самой
себе. При этом оказалось, что невесомый брус длины L = 1 м дви­
жется вверх с ускорением g /2, оставаясь все время в горизонталь­
ном положении. Определите расстояние х, на котором подвешено
тело массы ттг3, если известно, что т1 = 2 кг, т2 = 3 кг. Трением
можно пренебречь.
9.28. На столе стоят две одинаковые шахматные фигуры. Уча­
щийся посмотрел на фигуры попеременно левым глазом и пра­
вым, не изменяя положения головы и держа ее так, чтобы фи­
гуры были на одном уровне с глазами. Затем он зарисовал
изображения, получившиеся при взгляде одним и другим глазом
(рис. 16.9). Определите высоту фигур. Можно считать, что все
видимые углы малы и для них справедливы утверждения, что
sin ср ~ сри cos ф « 1. Расстояние между глазами примите равным
65 мм. При решении задачи можно пользоваться измеритель­
ной линейкой.
Рис. 15.9
13
*
1
к1
Учащийся смотрит на
фигуры левым глазом
*
1
Учащийся смотрит на
фигуры правым глазом
Рис. 16.9
*9.29. По реке со скоростью v плывут мелкие льдины, кото­
рые равномерно распределяются по поверхности воды, покры­
вая ее тг-ю часть. В некотором месте реки образовался затор.
В заторе льдины полностью покрывают поверхность воды, не
нагромождаясь друг на друга (рис.
17.9). С какой скоростью растет грани­
ца сплошного льда? Какая сила дей­
ствует на 1 м ледяной границы между
водой и сплошным льдом в заторе со
стороны останавливающихся льдин?
Плотность льда р = 0,91 • 10I*3 кг/м3;
толщина h = 20 см; скорость реки
Рис. 17.9
v = 0,72 км/ч; плывущие льдины покры­
вают 71 = 0,1 часть поверхности воды.
*9.30. Сидевший на корточках человек резко выпрямляется и, от­
толкнувшись от пола, подпрыгивает так, что его центр массы поднима­
ется на высоту h, равную 3/4 его роста I (высота отсчитывается от
пола). Найдите среднюю силу, с которой человек действует на пол во
время отталкивания. Центр массы человека, когда он стоит выпрямивI
шись, находится на высоте — от пола. Перед прыжком центр массы
I
человека находился на высоте — от пола. Масса человека т = 75 кг.
4
*9.31. В дне теплоизолированного сосуда (калориметра) имеется
небольшое отверстие, через которое может вытекать вода.
В сосуд поместили смесь воды и льда при температуре 0 °С вместе
с электрическим нагревателем мощностью Р = 600 Вт, и начали
следить за изменением температуры содержимого калориметра в
зависимости от времени. Экспериментальный график зависимости
температуры t от времени т представлен на рис. 18.9.
14
3
1) Определите массу воды, оставшейся в калориметре к момен­
ту окончания таяния льда.
2) Какая средняя масса воды вытекла из отверстия калоримет­
ра в течение 1 мин?
3) Сколько льда было в калориметре в начале экспери­
мента?
4) Сколько воды находилось в калориметре в начале экспе­
римента?
5) Определите массу воды, оставшейся в калориметре к концу
эксперимента (t = 17 мин).
Удельная теплота парообразования воды X = 2260 кДж/кг,
удельная теплоемкость воды св = 4,2 кДж/(кг*К), удельная теп­
лота плавления льда q = 340 кД ж /кг.
П р и м е ч а н и е . Теплоемкость калориметра можно не учитывать.
*9.32. В цепи, изображенной на рис. 19.9, два резистора из
трех с неизвестными сопротивлениями R x, R2 и Rs имеют оди­
наковое сопротивление. Напряжение между точками 2 и 0
равно 6 В, а между точками 3 и 1 равно 10 В. Определите
неизвестные сопротивления.
1996
9.33.
Внутреннее кольцо шарикоподшипника, имеющее ради­
ус г19 вращается с угловой скоростью
против часовой стрелки;
наружное кольцо, радиус которого равен г2, вращается по часовой
стрелке с угловой скоростью со2. Сам шарикоподшипник неподви­
жен (рис. 20.9). Определите скорость движения центров шари15
ков. Считайте, что шарики катятся без
проскальзывания и не соприкасаются
между собой.
9.34.
Тело, масса которого т = 1 кг,
движется прямолинейно. График зави­
симости скорости v тела от его коорди­
наты х представляет собой прямую с уг­
лом наклона а = 30°, проходящую че­
рез начало координат.
Масштаб графика: по оси х в 1 см 1 м; по оси v в 1 см - 1 м/с.
Найдите силу, действовавшую на
тело, когда оно находилось в точке с координатой х0 = 2 м.
9.35. В кастрюле плавает пористый кусок льда. Ровно половина
по объему этого «айсберга» находится над водой. Лед вынули из
воды, при этом ее уровень понизился на Д/г = б см. Найдите сум­
марный объем воздушных полостей в куске льда, если поперечное
сечение кастрюли S = 200 см2, а плотность льда рл = 917 кг/м3.
9.36.
в далеком
созвездии
Тау Кита...
Живут, между прочим, по-разному
Товарищи наши по разуму...
В. Высоцкий
Планета Косатка из созвездия Тау Кита имеет тот же размер, что
и Земля, и состоит из несжимаемой жидкой субстанции, плотность
которой р = 800 кг/м3. Продолжительность суток на этой планете
составляет 10 ч. Северный полюс Косатки направлен на Землю. Од­
нажды ночью обитатель планеты Кит Вэйл всплыл на поверхность
планеты в северном полушарии на широте а = 56°, чтобы полюбо­
ваться звездным небом. Найдите угол между горизонтом в точке,
где всплыл Вэйл, и направлением на Землю (ее средняя плотность р0
= 5500 кг/м3, радиус R = 6400 км). Во всем созвездии Тау Кита
широтой точки называется угол между радиусом, проведенным к
ней из центра планеты, и плоскостью экватора.
*9.37. Минимальное время, которое необходимо, чтобы пере­
плыть в лодке реку, равно t0. Ширина русла реки равна Н. Ско­
рость течения реки постоянна в любом месте русла и в (3 раз боль­
ше скорости лодки ((3 > 1), плывущей в стоячей воде.
1. Найдите скорость лодки в стоячей воде.
2. На какое расстояние снесет лодку за минимальное время
переправы?
16
3. Определите наименьшее расстояние, на которое может снес­
ти лодку за время переправы.
4. Найдите время переправы лодки в том случае, когда ее сно­
сит на минимальное расстояние.
*9.38. На тележке, движущейся по горизонтальной поверхнос­
ти с ускорением g /2, установлены равноплечные весы, длина плеч
которых равна I (рис. 21.9). На весах установлены два одинако­
вых по размеру, но изготовленных из разного материала, одно­
родных кубика. Длина ребра каждого кубика равна а. Найдите
отношение плотности материала кубиков 1 и 2, если известно,
что весы при движении тележки находятся в равновесии, а куби­
ки относительно весов неподвижны.
*9.39. В кастрюлю поместили воду и лед при температуре
tQ= О °С и закрыли ее крышкой. Массы воды и льда одинаковы.
Через время т = 2 ч 40 мин весь лед растаял.
1. Через какое время температура воды повысится на 1 °С?
2. Какое время потребуется, чтобы вода нагрелась от 20 °С до
21 °С?
Температура воздуха в комнате tK= 25 °С. Удельная теплоем­
кость воды с = 4200 Дж/(кг • К). Удельная теплота плавления льда
X = 3,2 • 105 Дж/кг.
*9.40. Резистор, сопротивление которого постоянно, и реостат
подсоединены к источнику постоянного напряжения U (рис. 22.9).
При силе тока в цепи 1г = 2 А на реостате выделяется мощность
Рг = 48 Вт, а при силе тока / 2 = 5 А на нем выделяется мощность
Р 2 = 30 Вт.
1. Определите напряжение источника и сопротивление резис­
тора.
2. Найдите силу тока в цепи, когда сопротивление реостата
равно нулю.
3. Найдите максимальную мощность, которая может выде­
литься на реостате. Чему равно сопротивление RMреостата в этом
случае?
+ U-
гя
ГГ
tu jU
I
I
Рис. 21.9
17
1997
9.41. Найдите сопротивление
в
цепи, изображенной на рис. 23.9.
И звестно, что R x = 3 кОм, R 2 =
= 8 кОм, jR3 = 21 кОм, R4 = 56 кОм,
R b = 9,625 кОм.
9.42. Во время ремонта магазина были
установлены новые рамы с двумя стек­
лами для витрин, конструкция которых
приведена на рис. 24.9: толщина L толсто­
го стекла равна 1 см, а тонкого I = 0,5 см;
Стекло
расстояние между рамами 2 см. Одну
раму установили толстым стеклом внутрь
магазина, а другую - наружу. Какая тем­
пература воздуха установится между
стеклами в каждой из рам, если темпе­
ратура в магазине +20 °С, а на улице 10 °С. Считается, что теплоотдача про­
порциональна разности температур, а
температура воздуха между стеклами изза конвекции всюду одинакова.
9.43. На гладкой горизонтальной
поверхности, ограниченной вертикальными стенками, образую­
щими равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС = L, /ЛВС
1).
У середины стенки АС находится маленькая шайба (рис. 25.9).
Шайбе сообщают скорость и, направленную под углом ос к АС.
Оцените время между последовательными ударами шайбы о стен­
ку АС. Удары шайбы о стенки считайте абсолютно упругими.
9.44.
Груз массы М и шарик массы т висят на трех невесомых
пружинах одинаковой жесткости (рис. 26.9). Верхняя пружина
\М\
Рис. 25.9
18
Рис. 26.9
отрывается от шарика в точке А. Определите ускорение а (мо­
дуль и направление) шарика в начальный момент после отрыва.
*9.45. Птица летит горизонтально на высоте Н с постоянной
скоростью и (рис. 27.9). Плохой мальчик из 9 класса замечает
птицу в момент, когда она находится в точности над его головой,
и сразу же стреляет из рогатки. Какой должна быть скорость и
птицы, чтобы мальчик никак не смог попасть в нее? Максималь­
ная скорость вылета камня равна и0. Сопротивлением воздуха пре­
небречь.
*9.46. Доска 1 лежит на такой же доске 2. Обе они как целое
скользят по гладкой ледяной поверхности со скоростью v0 и стал­
киваются с такой же доской 3, верхняя поверхность которой по­
крыта тонким слоем резины (рис. 28.9). При ударе доски 2 и 3
прочно сцепляются. Чему равна длина I каждой доски, если изве­
стно, что доска 1 прекратила движение относительно досок 2 и 3
из-за трения после того, как она полностью переместилась с 2 на
3? Все доски твердые. Коэффициент трения между досками 1 и 3
равен k. Трением между досками 1 и 2, а также трением досок 2
и 3 о лед можно пренебречь.
*9.47. К ртутному термометру на уровне деления tx = 30 °С
прикреплен маленький нагреватель, температура которого под­
держивается постоянной и равной 500° С (рис. 29.9). Через неко­
торое время столбик ртути проходит через деление t0 = 20 °С со
скоростью v0= 0,1
град
- . Найдите, через какое время температура
ртути достигнет 26 °С, считая теплопроводность ртути во много
раз больше теплопроводности стекла. Теплоемкостью стекла можно
пренебречь, а тепловой поток от нагревателя к ртути считать про­
порциональным разности температур.
А
*9.48. В цепи, которая изображена на рисунке 30.9, амперметр А2
показывает силу тока 2А. Найдите показание амперметра А 19 если
известно, что резисторы имеют сопротивления 1 Ом, 2 Ом, 3 Ом и
4 Ом, а вольтметр V показывает напряжение 10 В. Все приборы счи­
тать идеальными.
1998
9.49.
Одновре
брошены два тела с одинаковыми по мо­
дулю скоростями | v1 | = | v2 | = v0: первое
вертикально вверх, второе - под углом а
к горизонту (рис. 31.9). В дальнейшем они
двигались поступательно. Определите ско­
рость второго тела относительно первого
в момент времени, когда второе тело будет находиться в точке А,
достигнув половины своей максимальной высоты полета. Сопро­
тивлением воздуха пренебречь.
9.50. На кольцевой горизонтальной дороге радиуса R = 1000 м
стартует гоночный автомобиль массой т = 1000 кг с постоянным
касательным ускорением а = 2 м/с2. Определите, в течение како­
го времени гонщику удастся удерживать автомобиль на дороге,
если коэффициент трения скольжения шин о покрытие дороги
ц = 0,5. Ведущие колеса у автомобиля - задние, нагрузки на пере­
днюю и заднюю оси при таком движении одинаковы. Центр масс
автомобиля расположен очень низко.
9.51. Система грузов (рис. 32.9) с массами т1 = тг = 10 кг, т2=
= 20 кг сначала находится в покое, трение отсутствует, а массы
20
блоков и нитей пренебрежимо малы. За­
тем к грузу т 1 прикрепили довесок
Ат1 = 1,25 кг, к грузу т3 - довесок
Атъ = 5 кг и систему предоставили себе
самой. В каком направлении и с какими
ускорениями станут двигаться грузы тх,
пг2 и тп3?
9.52. Фирма «Дивайс» выпускает при­
бор, используемый как электрический пре­
дохранитель. Этот прибор состоит из ме­
Рис. 32.9
таллической проволочки сопротивлением
г = 0,1 Ом и массой т = 1 г (удельная
теплоемкость с = 500/Дж (кг • К) и термо­
механического выключателя К (рис. 33.9),
ДАААг^ 3
размыкающего цепь в тот момент, когда
тг г к
R
проволочка нагревается до критической
температуры t = 60 °С. При испытании
U
прибора его последовательно соединяют с
переменным резистором R и подключают
Рис. 33.9
к источнику тока с напряжением U = 1 В.
На начальном этапе испытаний на
резисторе устанавливают сопротивление R1 = 14 Ом. Через неко­
торое время температура проволочки становится равной tx = 50 °С
и остается постоянной. Затем сопротивление резистора начинают
медленно уменьшать. Найдите его сопротивление Rx в тот момент,
когда испытываемый прибор разомкнет цепь. Известно, что при
подключении прибора непосредственно к источнику тока прибор
размыкает цепь спустя т = 1 с после подключения. Зависимостью
сопротивления прибора от температуры пренебречь. Температура
среды, окружающей проволочку, поддерживается постоянной.
9.53. Земля из-за вращения вокруг своей оси сплющена со сто­
роны полюсов. Поэтому расстояние от центра Земли до полюсов
(полярный радиус) меньше расстояния от центра Земли до эква­
тора (экваториальный радиус). Оцените отношение разности эк­
ваториального и полярного радиусов к среднему радиусу Земли
R = 6370 км. Землю считать жидким телом, окруженным тонкой
эластичной оболочкой в виде земной коры.
*9.54. На стержень радиусом г прочно насажен моток нерастяжи­
мой липкой ленты внешним радиусом R (рис. 34.9). На этом же
стержне на легкой нити висит груз массы т. Если ленту тянуть с
силой F, то груз будет подниматься с постоянной скоростью. С какой
силой Fx надо тянуть ленту, чтобы поднимать груз 2т с той же скоро­
стью? Стержень может свободно вращаться вокруг неподвижной оси
21
Рис. 34.9
Рис. 35.9
ОО'. Считать, что минимальная сила, необходимая для отрыва ленты
от мотка, направлена по его радиусу и не зависит от скорости отрыва.
*9.55. Тонкостенный цилиндр катится по горизонтальной по­
верхности без проскальзывания со скоростью v0 = 6 м/с. Коэффи­
циент трения между цилиндром и поверхностью равен ц = 0,2.
Цилиндр сталкивается с вертикальной гладкой стенкой и упруго
отражается от нее (рис. 35.9).
1. Найдите скорости верхней и нижней точек цилиндра непо­
средственно после отражения.
2. Определите скорость центра цилиндра через t x = 2с после
столкновения со стенкой и путь, пройденный им за это время.
3. Определите, какой путь пройдет центр цилиндра к моментам
времени t2 = 4 с.
*9.56. Два высоких цилиндра, сообщающихся с атмосферой,
соединены одинаковыми тонкими трубками АВ и CD и заполне­
ны водой (рис. 36.9). Расстояние между трубками равно Л0 = 1
м. Температуры воды в цилиндрах поддерживаются постоянны­
ми и равными t1 = 100 °С и t2 = 40 °С. Плотность воды зависит от
температуры по закону р = р0[1 - (3(t - £0)], где t0 - комнатная
температура, р0 = 1,0* 103 кг/м 3 - плотность воды при комнат­
ной температуре, коэффициент (3 = 2,1 • ИГ6 град-1. В такой сис­
теме возникает круговая циркуляция
воды по трубкам между цилиндрами.
Известно, что масса воды, перетекаю­
щей по трубкам в единицу времени,
пропорциональна разности давлений на
их концах.
Определите разность давлений А и
ApCD на концах трубок АВ и CD.
*9.57. Лампочки Л 1 и Л 2, имеющие
вольт-амперные характеристики, пока­
22
занные на рис. 37.9, соединили после­
довательно и подключили к источнику
с напряжением U = 12 В.
1. Найдите силу тока, текущего при
этом через лампочку Л г.
2. Чему равна сила тока, протекаю­
щая через лампочку Л 19 если лампочки
Л 1и Л 2 последовательно соединить с Л3,
имеющей такую же вольт-амперную ха­
рактеристику, как и Л2, и подключить
эту «гирлянду» к источнику с напря­
жением U = 12 В?
Рис. 37.9
1999
9.58. Из легких нитей и одинаковых блоков массой М каждый
собрана полубесконечная система (рис. 38.9). Найдите силу F,
которую показывает динамометр Д.
9.59. Только взошло Солнце. По ровной дороге на велосипеде
едет со скоростью v0 кот Леопольд. А в это время на расстоянии
г от дороги и L от кота два озорных мышонка пытаются при
помощи осколка зеркальца попасть «солнечным зайчиком» Лео­
польду прямо в глаз (рис. 39.9). Найдите, с какой угловой ско­
ростью со мышата должны поворачивать зеркальце, чтобы сле­
пить кота.
П р и м е ч а н и е . Угловая скорость со = Аср/Аt, где Аср - угол поворота
зеркала за малое время А*.
23
9.60. В вертикально расположенных цилиндрах, площади сечений
которых S x и S2, находятся два невесомых поршня, соединенных не­
весомой пружиной жесткостью k. Пространство между поршнями за­
полнено водой. Нижний поршень (площадью S2) в начальном состоя­
нии поддерживается так, что пружина не напряжена, ее длина при
этом равна 10 (рис. 40.9а). Затем поршень площадью S 2 отпускают, и
оба поршня опускаются (рис. 40.9б). На какое расстояние х сместится
поршень площадью Sx? Изобразите графически зависимость х от же­
сткости k пружины. Оба цилиндра сообщаются с атмосферой.
9.61. Из точек А и В, находящихся на одной горизонтальной
прямой, одновременно бросили два камня с одинаковыми по моду­
лю скоростями v0 = 20 м/с. Один из них полетел по навесной траек­
тории, а другой по настильной и каждый упал в точку старта дру­
гого камня. Известно, что угол бросания а камня из точки А со­
ставляет 75° (рис. 41.9). Через какое время после бросания рассто­
яние между камнями станет минимальным? Чему равно это рас­
стояние? Укажите на рисунке положения камней в этот момент.
*9.62. Кот Леопольд сидел у края крыши. Два озорных мы­
шонка выстрелили в него камнем из рогатки. Камень, описав дугу,
упал у ног кота (рис. 42.9) через время т = 1 с. На каком рассто­
янии S от мышей находился кот Леопольд, если векторы скорос­
тей камня в момент выстрела и в момент падения были взаимно
перпендикулярны?
24
*9.63. На гладком горизонтальном полу находится клин мас­
сой М с углом наклона а при основании (рис. 43.9). На поверх­
ности клина расположен брусок массой т, привязанный легкой
нитью к стене. Нить перекинута через невесомый блок, укреп­
ленный на вершине клина. Отрезок нити АВ параллелен гори­
зонтальной поверхности пола. Вначале систему удерживают, а
затем отпускают, и брусок начинает скользить по наклонной по­
верхности клина. Силы трения отсутствуют. 1. Найдите ускоре­
ние клина в этом случае. 2. Полагая а заданным, найдите, при
каком отношении масс клина и бруска такое скольжение воз­
можно.
*9.64. На рис. 44.9 изображена электрическая цепь, состоя­
щая из шести одинаковых звеньев. Все резисторы в цепи одина­
ковы и имеют сопротивление г. В первое и последнее звенья цепи
включены амперметры А и A q. На входные клеммы х и у цепи
подано постоянное напряжение U 9 при этом амперметр А пока­
зывает ток I = 8,9 А. 1. Какой ток / 0 показывает амперметр A q?
2. Определите напряжение £7 , поданное на входные клеммы цепи
при условии г = 1 Ом. 3. Определите для этого случая электричес­
кое сопротивление Rxy между клеммами х и у.
*9.65. В архиве Снеллиуса нашли чер­
теж, на котором были изображены два
плоских зеркала М г и М2, образующих
двугранный угол в 70°, и точечный ис­
точник света S 0 (рис. 45.9). От времени
чернила выцвели, и невозможно было
разглядеть, сколько изображений источ­
ника S 0 давала такая система зеркал. По­
пробуйте восстановить все изображения
источника S0. Сколько изображений ис­
точника S0 можно было увидеть в такой
системе зеркал?
2000
9.66. Оцените (численно) максимальную скорость, которую мо­
жет развить парашютист в затяжном прыжке (до раскрытия пара­
шюта). Известно, что сила сопротивления воздуха F, действующая
на парашютиста, является степенной функцией его скорости и, ха­
рактерного размера а и плотности воздуха р: F = арmanvk, где а безразмерный множитель порядка единицы, т, п, k - некоторые
числа. Принять плотность воздуха р = 1 кг/м3, размер а = 0,5 м.
9.67. Грузовик въезжает с постоянной по модулю скоростью v
на горку по дороге, профиль которой изображен на рис. 46.9. Доро­
га состоит из прямолинейных участков (горизонтальных 0-1, 4-5,
под углом а к горизонту 2-3) и дуг окружностей (1-2, 3-4) радиу­
са R. В кузове грузовика находится незакрепленный груз. При ка­
ком минимальном критическом коэффициенте трения цкр груза о
кузов груз будет неподвижен относительно грузовика во время дви­
жения? В каком месте дороги груз начнет скользить по кузову, если
коэффициент трения окажется чуть меньше, чем цкр? Ответ обоснуй­
те. Размеры грузовика пренебрежимо малы по сравнению с R.
9.68. На открытой площадке находятся три одинаковые банки
со льдом, в которые помещены одинаковые электрические нагре­
вательные элементы. В некоторый момент эти элементы включа­
ют в три разные розетки с напряжениями Ux = 380 В, U2 = 220 В
и U3 = 127 В. В первой банке весь лед растаял за t x = 2 мин, а во
второй - за t2 = 10 мин. За какое время t3 растает весь лед в
третьей банке? Начальная температура льда во всех банках 0 °С.
Сопротивление нагревательного элемента не зависит от силы про­
текающего тока. Считайте, что в любой момент времени темпера­
тура внутри каждой банки одинакова по всему объему.
9.69. Груз массы т прикреплен к потолку легкой пружиной
жесткости k. В начальный момент времени груз лежит на подстав-
26
ке П, пружина не растянута, а ее ось вер­
тикальна (рис. 47.9). На какую макси­
мальную длину L растянется пружина,
если подставку начнут опускать с уско­
рением а? Постройте график зависимос­
ти L(a). Попытайтесь подобрать удобные
масштабы для переменных L и а.
*9.70. К диску радиуса R, насаженно­
му на горизонтальный вал двигателя, под
Рис. 49.9
действием силы тяжести прижимается тя­
желый брусок массой М. Брусок может свободно поворачиваться
относительно оси О (рис. 48.9). Длина бруска равна L, его толщина
h. Точка соприкосновения бруска с диском находится на расстоянии
I от левого края бруска. Коэффициент трения скольжения между
бруском и диском равен ц. Предполагая, что двигатель развивает
мощность Р, определите угловую скорость со вращения диска в зави­
симости от расстояния L Рассмотрите случаи вращения диска по
(со+) и против (со") часовой стрелки. Постройте графики co+(Z) и со" (Z).
*9.71. Кот Леопольд стоял у края крыши сарая. Два озорных
мышонка выстрелили в него камнем из рогатки. Однако камень,
описав дугу, через t1 = 1,2 с упруго отразился от наклонного ска­
та крыши сарая у самых лап кота и через t2 = 1,0 с попал в лапу
стрелявшего мышонка (рис. 49.9). На каком расстоянии s от мы­
шей находился кот Леопольд?
*9.72. Известно, что дистиллированную воду, очищенную от приме­
сей, можно охладить без превращения в лед ниже температуры t0 =
= 0 °С. В зависимости от внешнего давления процесс кристаллиза­
ции воды может начаться при некоторой температуре t1< t0. Образо­
вавшийся при этом лед отличается по своим физическим свойствам
от обычного льда, имеющего температуру 0 °С. Определите удель­
ную теплоту плавления льда (Х2) при температуре tx = -10 °С. Удель­
ная теплоемкость воды в интервале температур от -10 °С до 0 °С
равна сг = 4,17 • 103 Дж/(кг • К); удельная теплоемкость льда в этом
интервале температур равна с2 = 2,17 • 103ДжДкг • К); удельная тепло­
та плавления льда при температуре 0°С равна = 3,32 • 105 Дж/кг.
*9.73. Дан «черный ящик» с тремя выводами (рис. 50.9). Известно,
что внутри ящика находится некоторая схе­
ма, составленная из резисторов. Если к выво­
дам 1, 3 подключить источник напряжения
U = 15 В и измерить с помощью вольтметра
напряжения между выводами 1, 2 и 2, 3, то
они оказываются равными U12 = 6 В и U23 =
= 9 В. Если источник напряжения подклю­
чить к выводам 2, 3, то U21 = 10 В, U13 = 5 В.
Рис. 50.9
1
27
Какими будут напряжения Ul3, U32, если источник подключить к выво­
дам 1, 21 Нарисуйте возможные схемы «черного ящика» с минималь­
ным числом резисторов. Полагая, что наименьшее сопротивление из всех
резисторов равно R, найдите сопротивления остальных резисторов.
2001
9.74.
Деревянный плот оттолкнули от бе­
рега так, что в начальный момент времени
его скорость оказалась равной v0 и направ­
ленной перпендикулярно берегу (рис. 51.9).
Двигаясь по траектории, показанной на ри­
сунке, плот через некоторое время Т после на­
чала движения оказался в точке А . Скорость
реки постоянна и равна и. Графически най­
Рис. 51.9
дите точки траектории плота, в которых он
находился в моменты времени 2Т, ЗТ и 4Т.
9.75. Тело, движущееся по горизонтальной поверхности, за
промежуток времени t x прошло путь sle Какой путь s2 оно может
пройти за последующий промежуток времени t2l Коэффициент
трения скольжения тела о поверхность равен ц.
9.76. В схеме, изображенной на рисунке 52.9, все вольтметры
одинаковые, а их внутреннее сопротивление много больше всех
остальных сопротивлений цепи. Найдите показания вольтметров,
если сопротивление каждого из резисторов R = 10 Ом, а напряже­
ние на входе цепи U = 4,5 В.
9.77. Два плоских зеркала Зх и 32, каждое из которых имеет
форму квадрата со стороной а, сложены под прямым углом. То­
чечный источник света S располагается на расстоянии а от каж­
дого из зеркал (схема опыта приведена на рис. 53.9). Заштрихуйте
области, находясь в которых наблюдатель сможет увидеть ровно
п изображений источника S; принять п = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
R
R
R
А
Рис. 55.9
*9.78. С высокого берега озера за веревку подтягивают лодку.
К веревке привязан флажок (рис. 54.9). В момент, когда флажок
оказался в точке С посередине между А и В, веревка была направ­
лена под углом а = 60 ° к горизонту. Найдите скорость флажка в
этот момент, если известно, что скорость лодки и = 1м /с.
*9.79. Горизонтальная платформа массы М = 300 г подвешена на
резиновом жгуте АВ (рис. 55.9). Жгут проходит сквозь отверстие в
грузе массы т = 100 г. Система находится в равновесии. Затем груз
отпускают без начальной скорости с высоты h относительно плат­
формы. Найдите, при каком минимальном значении h жгут порвет­
ся, если его максимально допустимое удлинение хк = 8 см. Зависи­
мость силы натяжения жгута от его удлинения F(x) приведена на
рис. 56.9. Удар груза о платформу считать абсолютно неупругим.
29
*9.80. В теплоизолированном сосуде
находится смесь воды и льда при темпе­
ратуре tx = 0 °С. Через стенку в сосуд
вводится торец медного стержня, боко­
вые стенки которого покрыты теплоизо­
лирующим слоем. Другой торец стерж­
ня погружен в воду, кипящую при ат­
мосферном давлении. Через время тм =
= 15 мин весь лед в сосуде растаял. Если
бы вместо медного стержня в этом экс­
перименте был использован стальной
Рис. 57.9
стержень того же сечения, но другой дли­
ны, то весь лед растаял бы через время тс = 48 мин.
Стержни соединяют последовательно (см. рис. 57.9). Какой будет
температура t в месте соприкосновения медного и стального стержней?
Рассмотрите два случая:
1) кипящая вода соприкасается с торцом медного стержня;
2) кипящая вода соприкасается с торцом стального стержня.
Через какое время т растает весь лед при последовательном
соединении стержней? Будет ли это время одинаково в случаях 1
и 2?
*9.81. Электрическая цепь составлена из семи последовательно
соединенных резисторов: Rx = 1 кОм, R2 = 2 кОм, R3 = 3 кОм,
R4 = 4 кОм, R5 = 5 кОм, R6 = 6 кОм, R7 = 7 кОм и четырех перемы­
чек (см. рис. 58.9). Входное напряжение U = 53,2 В. Укажите, в
каком из резисторов сила тока минимальна. Найдите эту силу тока.
В каком из резисторов сила тока максимальна? Найдите ее.
Рис. 58.9
10
1992
класс
10.1. Определите максимальную ам­
плитуду гармонических колебаний сис­
тему из двух брусков и двух невесомых
пружин, изображенной на рис. 1.10.
Ж есткость
правой
пруж ины
k = 10 Н/м, жесткость левой 2k = 20 Н/м,
масса каждого бруска т = 100 г, коэф­
фициент трения между брусками
р = 0,5. В положении равновесия пра­
вая пружина растянута на длину Ах01 =
= 2 см. Трения между нижним бруском
и опорой нет.
10.2. На рис. 2.10 показаны два опыта с шайбами. Поверх­
ность стола горизонтальная и абсолютно гладкая. Измерения по­
казали, что и2 = v 2 • Найдите отношение масс шайб.
10.3. Воздух, заполняющий кубический резервуар, находит­
ся при нормальных условиях. Длина ребра резервуара а = 1 м .
Резервуар разделили на две равные части, поместив в него тон­
кий поршень (рис. 3.10). В левую половину резервуара медлен­
но наливают воду. Уровень воды достиг высоты h = а/2. На
^ =0
До столкновения
т2 v;
ш яш ш .
ш
После столкновения
ш
ш
ш
в
После столкновения
Опыт 1-й
Опыт 2-й
Рис. 2.10
31
какое расстояние сместился при этом
поршень? Трения нет. Давлением пара
можно пренебречь. Резервуар находится
в изотермических условиях.
10.4.
Над тонкост
шаром, радиус которого R = 5 см, на высоте
h = 10 см находится капельница с заряжен­
Рис. 3.10
ной жидкостью. Капли жидкости падают из
капельницы в небольшое отверстие в шаре (рис. 4.10). Определите
максимальный заряд Q0, который накопится на шаре, если заряд
каждой капли q = 1,8 • 10"11 Кл. Радиус капель г = 1 мм.
*10.5. На гладком горизонтальном столе находится массивный
куб с прикрепленной к нему легкой упругой пружиной, длина кото­
рой L = 1 м (рис. 5.10). Если закрепить второй конец пружины
таким образом, что пружина будет расположена горизонтально, и
затем, оттянув в горизонтальном же направлении куб от положения
равновесия, отпустить его, то возникнут слабозатухающие (вслед­
ствие трения о воздух) колебания куба. За 10 периодов амплитуда
колебаний куба уменьшится в два раза. Для того чтобы поддержать
амплитуду колебаний куба неизменной, закрепленный конец пру­
жины начинают каждый раз, когда длина пружины становится ми­
нимальной, быстро сдвигать навстречу кубу на расстояние I = 1 мм
и быстро возвращать конец пружины в прежнее положение каждый
раз, когда длина ее максимальна. Найдите амплитуду установив­
шихся колебаний. Потерями энергии в пружине можно пренебречь.
П р и м е ч а н и е . При затухании колебаний их энергия за каждый
период уменьшается в одно и то ж е число раз.
*10.6. В вертикальном сосуде под тяжелым поршнем и при
температуре окружающей среды находится воздух (рис. 6.10). Пор-
32
шень медленно смещают из положения равновесия, поднимая его
на высоту Н . Затем дожидаются, пока температура воздуха в со­
суде снова станет равной температуре окружающей среды. После
этого сосуд теплоизолируют и поршень отпускают. На какое рас­
стояние опустится поршень к тому времени, когда его колебания
прекратятся? Теплоемкостями сосуда и поршня можно пренеб­
речь. Давление воздуха снаружи считать малым.
*10.7. Три маленьких шарика,
т
2т
5т
массы которых равны т, 2т и 5т,
имеют электрический заряд q, q и
2q соответственно и расположены
2q
q
q
вдоль одной прямой (рис. 7.10).
Вначале расстояние между сосед­
Рис. 7.10
ними шариками равно I, а сами
шарики закреплены неподвижно. Затем шарики отпускают. Най­
дите суммарную кинетическую энергию шариков после разлета
их на большое расстояние. Найдите скорости шариков, когда они
находятся на большом удалении друг от друга. Считайте, что при
разлете шарики все время остаются на одной прямой.
*10.8. В «черном ящике» находятся резистор, имеющий по­
стоянное сопротивление, и нелинейный элемент, которые могут
быть включены как последовательно, так и параллельно. Най­
дите сопротивление резистора. Какой нелинейный элемент мо­
жет находиться внутри «черного ящика»? Вольтамперные ха­
рактеристики для последовательного и параллельного включе­
ний элементов представлены на рис. 8.10.
•
Рис. 8.10
2
Козел
•
•
1993
10.9.
Невесом
доска лежит на двух опорах (рис. 9.10).
В некоторый момент в левый край дос­
ки ударяется упругий шарик, масса ко­
торого равна /ttj. Одновременно с ударом
из-под правого края доски, на котором
находится второй упругий шарик, быс­
тро убирают опору. На какую высоту,
Рис. 9.10
отсчитывая от начального положения,
подпрыгнет второй шарик после удара? Масса этого шарика рав­
на т2. В каком направлении полетит первый шарик, если перед
ударом он падал на доску вертикально и имел скорость и0. Силой
тяжести, действующей на шарики в течение удара, можно пре­
небречь.
10.10. Определить КПД цикла, показанного на рис. 10.10. Газ
идеальный одноатомный. Участки 2-3 и 4-5 на чертеже пред­
ставляют собой дуги окружностей с центрами в точках
и 0 2.
10.11. На дне колодца лежит небольшого размера груз, привя­
занный к невесомому упругому шнуру. Другой конец шнура при­
креплен к оси колодезного ворота, а на самом шнуре сделана мет­
ка (рис. 11.10). В начальный момент времени шнур не провисает
и не растянут. Затем ворот начинают вращать, наматывая шнур
на ось. Какую работу нужно совершить, чтобы оторвать груз от
дна колодца? В начальный момент длина шнура равна I, а метка
на шнуре находится на расстоянии 0,9/ от дна колодца. Известно
также, что шнур, наматываясь на ворот, не проскальзывает по
нему, а метка в момент отрыва груза от дна колодца оказывается
на оси ворота.
34
10.12.
Воздушный цилиндрический конденсатор
представляет собой два тонкостенных металлических
цилиндра, вставленных соосно один в другой
(рис. 12.10). Длина каждого цилиндра равна Z, радиус
одного цилиндра R, другого г, причем Z R > г. Ем­
кость конденсатора равна С0. Найдите емкость кон­
денсатора, если радиус цилиндров увеличивать в два
раза, а их длину уменьшить в три раза. Считать, что
напряженность поля Е между обкладками заряжен­
Рис. 12.10
ного цилиндрического конденсатора убывает обратно
пропорционально расстоянию от оси х, т.е. Е = k/x.
*10.13. Камень, брошенный под углом а к горизонту с началь­
ной скоростью и0, движется по некоторой траектории. Если по этой
же траектории полетит комар с постоянной скоростью и0, то каким
будет его ускорение на высоте, равной половине высоты наиболь­
шего подъема камня? Сопротивление воздуха при движении кам­
ня можно не учитывать.
*10.14. Заряженная капля уравновешена в вертикально направ­
ленном электрическом поле. С момента времени t = 0 электричес­
кое поле начинает уменьшаться и к некоторому моменту tx обра­
щается в нуль. При этом капля падает. Найдите наибольшее ус­
корение капли. График изменения ускорения капли со временем
приведен на рис. 13.10. Считайте, что сила сопротивления возду­
ха пропорциональна скорости капли.
а, отн. единиц
Рис. 13.10
*10.15. Два одинаковых теплоизолированных сосуда соедине­
ны друг с другом тонкой короткой теплоизолированной трубкой
с краном К , закрытым в начальный момент (рис. 14.10). В пер­
вом сосуде под поршнем, масса которого равна М, при темпера­
туре Т0 находится идеальный одноатомный газ, молярная масса
35
которого равна ц. Во втором сосуде газа
нет, и поршень, масса которого равна
т = М /2, лежит на дне сосуда. Объем
м
между поршнем и верхней крышкой в
каждом сосуде вакуумирован. Кран от­
к
т
крывают, газ из первого сосуда устрем­
ляется под поршень второго и тот на­
чинает подниматься вверх. Вычислите
Рис. 14.10
температуру газа после установления
равновесия в сосудах. При равновесии между поршнем и крыш­
кой во втором сосуде остается свободное пространство. Можно
считать, что vp/M = 0,1, где v - число молей газа. Трением
можно пренебречь.
*10.16. Неидеальный газ, находившийся изначально в неко­
тором исходном состоянии, адиабатически расширился, совер­
шив при этом работу. Далее этот газ изохорически перевели в
состояние с первоначальной температурой, а затем изотермичес­
ким процессом перевели в исходное состояние. Найдите работу
Аад, совершенную газом при адиабатическом расширении, если в
изохорическом процессе к нему было подведено количество теп­
лоты Q, в изотермическом процессе газом была совершена рабо­
та А . Внутренняя энергия U и давление р неидеального газа за­
1
2
даны следующими выражениями: U = Р(T)V и р = —р(7т), где
р(Т) является функцией только температуры, V - объем газа.
*10.17. Две батарейки с одинаковой ЭДС
= ^ ), но
разными внутренними сопротивлениями (гх = 0,1 Ом, г2 = 1,1 Ом)
включены последовательно в цепь, содержащую конденсатор, ем­
кость которого равна С, и резисторы,
сопротивления которых равны = 2,8 Ом
и #2 = 1,12 Ом соответственно (рис. 15.10).
Сначала, когда цепь разомкнута, иде­
альный вольтметр, подсоединенный к
клеммам батареи
показывает на­
пряжение U0 = 8 В. Потом вольтметр
подсоединяют к клеммам батареи
и
замыкают ключ К . Найдите показания
вольтметра непосредственно после за­
мыкания ключа и после того, как токи
в цепи установятся.
1994
10.18. Упругая шайба падает плашмя на горизонтальную абсо­
лютно твердую поверхность таким образом, что в момент падения
ее скорость равна v0 = 4,5 м/с и направлена под углом а = 30° к
горизонту. Коэффициент трения скольжения между шайбой и
поверхностью k = 0,5. На каком расстоянии от места падения
шайба ударится о поверхность в пятый раз? Влиянием силы тя­
жести за время удара можно пренебречь.
10.19. При заполнении сосуда Дьюара жидким азотом, находя­
щимся при температуре кипения, была нарушена герметичность
его внешней стенки. Весь азот испарился из сосуда за время
tl = 5 ч, а концентрация молекул воздуха между стенками возрос­
ла за это время в 6 раз, оставаясь такой, что молекулы воздуха
могут пролетать от стенки до стенки практически без соударений
друг с другом. Оцените, за какое время t2 эта же масса азота испа­
рилась бы из неповрежденного сосуда. Поступлением тепла через
горловину сосуда и излучением можно пренебречь.
П р и м ечание. Сосуд Дьюара представляет собой сосуд с двойными стен­
ками, в пространстве между которыми поддерживается высокий вакуум.
10.20. Электрические характеристики стартера таковы, что мощ­
ность, выделяемая на нем в момент запуска двигателя автомобиля,
максимальна. Определите, во сколько раз изменяется в момент запус­
ка двигателя мощность, выделяемая на лампочке в салоне автомоби­
ля. Считайте, что сопротивление лампочки подчиняется закону Ома.
До начала работы двигателя все электроприборы питаются от акку­
мулятора (батареи с конечным внутренним сопротивлением).
10.21. Легкая Т-образная штанга с закрепленным на ней тяже­
лым грузом массы т находится на твердой шероховатой поверх­
ности. В начальный момент времени система отклонена в плоско­
сти рисунка 16.10 на угол ср0 (ср0 1). Найдите минимальное вре­
мя, за которой система примет первона­
чальное положение. Размеры штанги
указаны на рис. 16.10. Удар штанги о
поверхность можно считать упругим.
*10.22. Система грузов изображена
на рис. 17.10. Пружины одним концом
прикреплены к неподвижной опоре, а
другим - к грузам массы т . Блок и нить
в этой системе невесомы, а пружины
изначально не деформированы. Левый
груз опускают вниз на расстояние х и
затем без толчка отпускают. Найдите
Рис. 16.10
37
'////////////////у.
ускорения грузов сразу после того, как
его отпустили. Жесткости пружин рав­
ны kx и k2, причем kx > k2.
*10.23. На гладком горизонтальном
столе лежит шар массы т. С шаром упру­
го сталкивается клин массы М = т /2,
движущийся углом вперед со скоростью
v = 5 м/с (рис. 18.10). Определите вре­
мя, через которое шар опять столкнется
с клином. Угол клина а = 30°.*
У к а за н и е . Задачу решать в предположе­
нии, что импульс передается клину только в
горизонтальном направлении.
Рис. 17.10
*10.24. Длинный брусок квадратного
сечения свободно плавает в воде, при этом
одна из боковых граней находится над
поверхностью воды и параллельна ей
(рис. 19.10). При какой плотности мате­
риала бруска это возможно?
*10.25. В длинный вертикальный ци­
Рис. 18.10
линдрический сосуд наливают воду, тем­
пература которой t0 = 0 °С. Высота уровня воды в сосуде Н = 20 м.
На сколько изменится высота уровня воды, если температура воды
внутри сосуда понизится до tx = -0,01 °С? Удельная теплота плавле­
ния льда q = 335 кДж/кг, плотность льда рл = 920 кг/м3. Изменение
температуры АТ плавления льда можно считать связанным с изме­
нением внешнего давления Ар соотношением
г + JL4 \
АТ =
Ар,
Рл
)
где Т - температура смеси «лед-вода», а рв - плотность воды.
У к а за н и е . Считайте, что лед к стенкам сосуда не примерзает.
*10.26. Между обкладками плоского конденсатора помещена
плоская пластина из слабопроводящего материала, удельное со­
противление которого р. Толщина пластины равна h (рис. 20.10).
Конденсатор заряжают до напряжения U0, затем его обкладки за­
мыкают накоротко. Найдите максимальную силу тока, который
потечет через слабопроводящую пластину. Площадь каждой из об­
кладок конденсатора и пластины одинакова и равна S. Расстояние
между обкладками конденсатора равно d (d
V s).
1995
10.27. Одноатомный идеальный газ в количестве v = 1 моль нахо­
дится в теплоизолированном цилиндре с поршнем. Дно цилиндра
заряжено зарядом q, а поршень - зарядом (-q ). Газ медленно полу­
чает от нагревателя количество теплоты Q. На сколько изменится
температура газа? Считайте, что электрическое поле однородно, тре­
ния нет. Диэлектрическая проницаемость газа равна единице.
10.28. Найдите сопротивление цепи, состоящей из бесконечно­
го числа ячеек. Сопротивления резисторов заданы на рис. 21.10.
2 пГ
г
2г
4г
-cz>
-CZb-r-CZb
2г
Ij
чшь
г
2г
2 пГ
4г
1 #•• - CI Z hI—I #••
1U4г
2 71Г
Рис. 21.10
10.29. Система тел состоит из пяти одинаковых
маленьких упругих бусинок, которые могут свободно
скользить по бесконечному вертикальному стержню
без трения (рис. 22.10). Каждой бусинке сообщают на­
чальную скорость. Какое наибольшее число столкно­
вений бусинок друг с другом возможно, если все на­
чальные скорости имеют различное значение и могут
быть направлены как в ту, так и в другую сторону?
10.30. Маленький источник звука, расположен­
ный в точке А, и маленький микрофон, расположен­
ный в точке Б, находятся на расстоянии L = 1 м друг
Рис. 22.10
39
V
JL р
^<
I1
ц Т
2Ц
l:
L
Рис. 23.10
Рис. 24.10
от друга. В некоторый момент времени начинает дуть ветер
(рис. 23.10). Во сколько раз изменится мощность звука, поглощае­
мая микрофоном, если известно, что скорость ветра v = 15 м/с, а
скорость звука с = 340 м/с? Ветер не вызывает завихрения воздуха.
10.31.
На столе один на другом лежат три одинаковых длин­
ных бруска. Их поверхности обработаны так, что коэффициенты
трения скольжения между ними равны соответственно ц, 2ц и Зц
(рис. 24.10). По нижнему бруску ударяют молотком. Направле­
ние удара горизонтально. Найдите время, через которое система
вернется в состояние покоя. Известно, что после удара по верхне­
му бруску, сообщившему ему ту же скорость V0, что и скорость
нижнего бруска в результате удара по нему, система вернулась в
состояние покоя через время t0 = 3 с.
*10.32. Теплоизолированная труба раз­
делена на два отсека неподвижной пере­
городкой П с многочисленными тончай­
шими отверстиями (порами) и закрыта с
обоих концов подвижными и теплоизоли­
рованными поршнями А и Б. В началь­
УШ /Ш /Ш Ш Ш /Ш
ный момент между поршнем А и перегород­
Рис. 25.10
кой находится при температуре t1 = 95 °С
вода, масса которой т = 1 кг. На поршень А действует давление
рх = 103 атм, а поршень В прижат к перегородке П атмосферным
давлением р2. Вода под давлением поршня А начинает очень медлен­
но просачиваться сквозь перегородку (рис. 25.10).
Определите долю воды, испарившейся к момен­
ту окончания процесса продавливания. Удельную
теплоемкость воды считайте постоянной и равной
св = 4,2 кДжДкг • К), а удельную теплоту парооб­
разования X = 2260 = кДж/кг. Считать, что
удельный объем воды не зависит от давления и
температуры, а оба поршня перемещаются без
трения.
*10.33. Вертикально расположенный сосуд раз­
делен на два отсека теплонепроницаемой перегород­
кой (рис. 26.10), в которой имеется маленькое от40
верстие размером, много меньшим длины свободного
пробега молекул газа. В нижнем отсеке сосуда нахо­
дится газ, давление которого р0 = 6 мм рт. ст. Верх­
ний отсек, высота которого h = 9 см, заполнен мас­
лом. Коэффициент поверхностного натяжения масла
о = 0,03 Н/м, плотность р = 870 кг/м3. Над отверсти­
ем перегородки образовался пузырь газа, радиус коТх
торого г = 1 мм. Найдите отношение
температуры
*0
масла к температуре газа, при котором размер пузы­
ря остается неизменным. Температура газа в пузыре
Рис*27.10
равна температуре масла. Внешнее давление по поверхности масла
не учитывать.
*10.34. Два проводящих стержня погружены в электролит та­
ким образом, что глубина погружения значительно превосходит
расстояние между ними (рис. 27.10). Измеренное сопротивление
между стержнями оказалось равным R. При погружении стерж­
ней на глубину в два раза большую первоначальной, сопротивле­
ние становится равным 2R/S. Определите, каким будет сопротив­
ление г между стержнями, если глубину погружения стержней
еще раз удвоить. Проводимость материала стержней значительно
превышает проводимость электролита.
*10.35. Внутри длинного соленоида вдали от его
торцов магнитное поле однородно и его индукция
равна В . Один из торцов соленоида закрывают кар­
тонным диском, на котором соосно закрепляют не­
большой круговой виток из проволоки так, что
центр витка совпадает с осью соленоида (рис. 28.10).
Найдите силу натяжения проволоки витка, если
его радиус равен R , а сила тока протекающего по
нему равна /.
Рис. 28.10
1996
10.36.
Куб, склеенный из двух одинаковых по объему частей,
кладут на наклонную плоскость таким образом, что плоскость
склейки, параллельная одной из граней куба, перпендикулярна
наклонной плоскости (рис. 29.10). Начнет ли двигаться куб? Если
да, то каким будет его движение в начальный момент? Отноше­
ние плотности материалов, из которых сделан куб, равно 20.
Угол наклона плоскости а = 30°, коэффициент трения между
41
наклонной плоскостью и нижней гранью
куба ц = 0,8.
10.37.
На гориз
ти лежит длинная доска, а на ней брусок
такой же массы. Коэффициент трения
скольжения между бруском и доской,
равный щ, в три раза превышает коэф­
фициент трения р2 между доской и гори­
зонтальной плоскостью. Бруску сообщили вдоль доски горизон­
тальную скорость v0. Известно время т, за которое движение дос­
ки относительно поверхности прекратится. Найдите рх и р2, в
предположении, что брусок не соскальзывает с доски.
10.38. Горизонтально расположенный закрытый с обеих сто­
рон цилиндр разделен поршнем на 2 равные части. Поршень мо­
жет свободно (без трения) перемещаться. В первоначальном со­
стоянии в обеих частях цилиндра находилось по одному молю
одноатомного идеального газа при одинаковой температуре Т0.
Разделяющий поршень может проводить тепло, причем тепловой
поток через него линейно зависит от разности температур его сте­
нок: ql2 = а (Тг - Т2). Одну часть цилиндра начинают нагревать,
при этом газ получает тепло со скоростью q19 а через время т с
такой же скоростью начинают отбирать тепло от газа из другой
части цилиндра. Определите коэффициент теплопроводности а,
если известно, что в стационарном состоянии (при t
т) отноше­
ние объемов разных частей цилиндра равно 2.
10.39. Из одинаковых батареек, ЭДС каждой из которых I?,
внутреннее сопротивление г, а сопротивление резисторов R, со­
брана «полубесконечная» цепь (число звеньев п —* °о), изобра­
женная на рис. 30.10. Что будет показывать идеальный ампер­
метр, подключенный к клеммам АВ?
*10.40. Русло реки разделено цепью узких песчаных отмелей
на два рукава с разной скоростью течения. С одного берега реки
на другой переправляется лодка. На рис. 31.10 показан путь, при
движении по которому снос лодки будет наименьшим. Для пере-
Рис. 30.10
42
Рис. 31.10
правы по этому пути требуется время t = 25 мин. Принимая мас­
штаб, обозначенный на рисунке, определите скорость лодки в сто­
ячей воде v0 и скорости течения воды их и и2 в каждом рукаве.
*10.41. Тело брошено под углом к горизонту с высокого обрыва
(рис. 32.10). Из-за сопротивления воздуха время подъема тела до
наибольшей высоты и время падения до точки А , находящейся на
линии горизонта, которая проходит через точку О старта, отлича­
ются на т. В той же точке А горизонтальная составляющая скоро­
сти тела равна vrA, а вертикальная составляющая на Ли меньше
вертикальной составляющей скорости в точке О старта. На какую
высоту Н от линии горизонта поднялось тело, если наибольшее
удаление его по горизонтали от точки А за время полета состави­
ло Д1/0? Сила сопротивления движению тела в воздухе прямо про­
порциональна его скорости.
*10.42. Рабочее вещество тепловой машины совершает цикл
Карно (рис. 33.10) между изотермами Т и Тг (Тх> Т). Холодильни­
ком является резервуар, температура которого постоянна и равна
Т2 = 200 К (Т2< Т). Теплообмен между рабочим веществом и холо­
дильником осуществляется посредством теплопроводности. Коли­
чество теплоты, отдаваемое в единицу времени холодильнику,
q = а(Т - Т2), где а = 1 кВт/К. Теплообмен рабочего вещества с
нагревателем происходит непосредственно при Тг = 800 К. Пола­
гая, что продолжительность изотермических процессов одинакова,
а адиабатических весьма мала, найдите температуру «холодной»
изотермы Т, при которой мощность N тепловой машины наиболь­
шая. Определите наибольшую мощность тепловой машины.
*10.43. Три концентрические металлические сферы 1, 2, 3,
радиусы которых связаны соотношением г± < г2 < г3, имеют соот­
ветственно заряды q19 q2, q3 (рис. 34.10). Найдите потенциал поля
в некоторой точке А , расположенной между сферами 1 и 2 на
расстоянии г от центра сфер в следующих случаях:
а) ключи К х и К 2 разомкнуты;
43
Рис. 34.10
Рис. 35.10
б) после замыкания ключа К г;
в) после замыкания ключа К 2 при замкнутом ключе К г.
*10.44. В (7-образную трубку с открытыми концами налили
ртуть, после чего один из концов трубки запаяли (рис. 35.10).
Затем ртуть вывели из состояния равновесия, в результате чего
возникли малые колебания ртути в трубке. Найдите период этих
колебаний, если известно, что масса ртути т = 367 г, ее плот­
ность р = 13,6 • 103 кг/м3, площадь поперечного сечения трубки
S = 1 см2, а высота столба воздуха в запаянном конце трубки
равна Z = 1 м. Внешнее атмосферное давление р0 = 105 Па. Про­
цесс считать изотермическим.
1997
10.45.
В двух вертикальных сообщающихся цилиндрах
(рис. 36.10) под поршнями массами 2т и т находится один моль
идеального одноатомного газа. Над пор­
Вакуум
шнями - вакуум. На рисунке показаны
геометрические размеры: S - площадь
поршня, V' - объем трубы, соединяю­
щей сосуды. Поршень 2т закреплен, а
поршень т свободен. Затем поршень 2т
освобождают. Оба поршня начинают пе­
ремещаться без трения. Удар поршня
т о верхнюю крышку цилиндра проис­
ходит абсолютно упруго. Найдите мак­
симально большое отношение Тк/Т 0, коРис. 36.10
44
т ор ое м о ж н о д о с т и г н у т ь , и з м е н я я рас-
стояние b (Тк - конечная равновесная
температура газа, а Т0 - начальная).
Принять, что стенки цилиндров и пор­
шни теплом с газом не обмениваются.
10.46. На гладкой горизонтальной
поверхности массивной плиты покоит­
ся клин массой М и углом наклона ос
(рис. 37.10). Клин плотно прилегает к
поверхности плиты. Шар массой пг ле­
тит горизонтально и ударяется о глад­
кую наклонную поверхность клина (удар
упругий). В результате клин начинает
двигаться по плите. Найдите отношение
т1 т2 т3 т4
mN
m/М , если через некоторое время шар
Рис. 38.10
попадает в ту же точку на клине, от ко­
торой он отскочил.
10.47. Найдите положение центра масс системы касающихся
друг друга шаров (рис. 38.10). Все шары имеют одинаковый диа­
метр а = 3 см, а их массы возрастают по закону: т1 = т, т2 = 3т ,
т3 = 5 т , ..., mN = (2N - 1)m, где N = 500. Плотность каждого
шара постоянна.
10.48. В трубе установлена собирающая линза (рис. 39.10). Слева
на нее падает параллельный пучок света, который собирается в
фокусе линзы. Как изменится (увеличится, останется прежним,
уменьшится) фокусное расстояние F системы линза-вода, если:
а) в левую часть трубы залить воду, а в правой оставить воздух;
б) в левой оставить воздух, а в правую залить воду? Известно, что
показатель преломления материала линзы больше показателя пре­
ломления воды (пл > пв). Рассмотрите все возможные варианты.
10.49. Плоский конденсатор подсоединен к источнику посто­
янной ЭДС I?. В конденсатор параллельно его обкладкам вносят
заряженную проводящую пластину толщиной L и располагают ее
на расстоянии L и 4L от каждой из обкладок конденсатора
ОООО...о
А
А
F
Рис. 39.10
Рис. 40.10
45
Рис. 41.10
Рис. 42.10
(рис. 40.10). Заряд пластины положителен и равен заряду Q кон­
денсатора до внесения пластины. Форма и площадь пластины и
обкладок конденсатора одинаковы, расстояние L много меньше
размеров пластины. Какую работу необходимо совершить, чтобы
переместить пластину из положения АВ в положение А В?
*10.50. Из тонкого шнура массой т с коэффициентом упругос­
ти k сделано кольцо радиусом г0. Кольцо надевают на прямой
круговой конус с углом при вершине 2а (рис. 41.10). Ось конуса
вертикальна, его поверхность гладкая. Найдите радиус г кольца,
находящегося на конусе. До какой угловой скорости со надо рас­
крутить кольцо вместе с конусом вокруг оси конуса, чтобы ради­
ус кольца, находящегося на конусе, стал 2г?
*10.51. В горах проведена линия электропередачи (рис. 42.10).
Масса провода между двумя опорами т, его длина L. Расстояние
по вертикали между нижней точкой провода В и местом крепле­
ния его к верхней опоре в точке А равно Н. Длина участка АВ
провода равна I. Найдите максимальную силу натяжения провода.
*10.52. В горизонтально расположенном цилиндре под порш­
нем, который может перемещаться без трения, находится смесь
из 75% кислорода и 25% гелия по массе (рис. 43.10). В результа­
те окисления железной стружки, находящейся в цилиндре, весь
кислород вступил в реакцию с железом, при этом образовалось
2 моля твердого окисла Fe20 3 и через стенки цилиндра выдели­
лось количество теплоты Q = 1,642 Мдж. Во время процесса окисления в цилиндре поддерживалась по­
стоянная температура 25 °С, а внешнее
давление было равно нормальному ат­
мосферному давлению. На сколько про­
центов значение Q больше, чем модуль
изменения внутренней энергии системы
(т.е. вещества внутри цилиндра)? Во
сколько раз изменилась плотность газа
Рис. 43.10
в цилиндре?
46
*10.53. Очень длинная цепочка составлена из батарей с ЭДС
% = 12 В, внутренним сопротивлением г = 4 Ом и резисторов с
сопротивлением R = 15 Ом (рис. 44.10, а). Определите ЭДС
и
внутреннее сопротивление г0 эквивалентной батареи (рис. 44.10, б).
г
г
г
А0о’ о
В0б)
а)
Рис. 44.10
*10.54. Говорят, что в архиве Снеллиуса нашли рисунок с оптической схемой.
От времени чернила выцвели, и на бума­
ге остались видны только предмет (стрел­
ка) и его изображение, даваемое тонкой
линзой (рис. 45.10).
1) Восстановите построением по име­
ющимся данным положение линзы.
2) Найдите положение фокусов линзы.
3) Можно ли, исходя из рисунка, ска­
зать, какая (собирающая или рассеиваю­
щая) была линза?
1998
10.55. В бесконечную однородную
жидкую среду плотностью р0 помести­
ли шарик массой т1 и плотностью р1#
Затем на расстоянии г а (а - радиус
шарика) поместили такой же по объему
шарик массой т2 и плотностью р2. Най­
дите появившуюся в результате этого
силу, действующую на ш арик т 1.
Рассмотрите случаи: 1) рх > р0, р2 > р0;
2) Pi > Ро. Рг < Р0; 3) р! < Ро, р2 < Ро10.56. Два одинаковых маленьких
шарика упруго сталкиваются (рис. 46.10).
Известны их скорости vx и v2 до столк­
новения и угол а между ними (причем
т
т
«С
р
V2
Рис. 46.10
47
vx ^ v2). Найдите максимально возможный угол (3 разлета частиц
после столкновения.
10.57. Найдите для воды молярную теплоту парообразования
L2 при температуре Т2, зная молярную теплоту парообразования
Ьх при температуре 7\. Считать, что молярная теплоемкость воды
С в интервале температур Тх< Т < Т 2 постоянна, а водяной пар
является идеальным газом с молярной теплоемкостью при посто­
янном объеме Cv = 3R.
Молярной теплотой парообразования при некоторой темпера­
туре Т называется количество теплоты, необходимое для превра­
щения одного моля воды в пар в двухфазной системе вода-насыщенный пар при постоянной температуре Т.
10.58. Два одинаковых маленьких шарика массой m и зарядом
q каждый висят на нитях одинаковой длины I на расстоянии
х
I (рис. 47.10). Из-за медленной утечки заряда по нити вели­
чина заряда каждого шарика изменяется со временем t по закону
q = q0( 1 - at)312 (где а - постоянная), а шарики сближаются.
Величины g0, m, а, I заданы. Найдите скорость v = Ах/At сближе­
ния шариков.
10.59. Герметичный сосуд полностью заполнен водой и сооб­
щается с атмосферой через трубку Т (рис. 48.10). Кран К откры­
вают. За какое время t поверхность воды в сосуде опустится до
нижнего края трубки Т? Внутренний радиус сосуда R = 10 см,
внутренний радиус трубки с краном г = 2 мм. Расстояние от ниж­
него конца трубки Т до верха сосуда h = 20 см, а до трубки с
краном Н = 5 см. Объемом трубки Т по сравнению с объемом
вытекшей за время t воды пренебречь.
h
Н
g, тп
R
Рис. 47.10
48
Рис. 48.10
*10.60. Тело массой т бросают вертикально вверх с поверхно­
сти Земли, вдоль которой с постоянной скоростью и дует ветер.
Сила сопротивления воздуха пропорциональна его скорости и равна
F = “ kv. Через время т тело возвращается на землю на расстоя­
нии s от точки бросания с вертикальной составляющей скорости,
которая на Ли меньше стартовой скорости. Найдите работу сил
трения о воздух за все время полета.
*10.61. В тепловой машине в качестве рабочего тела использу­
ется один моль идеального одноатомного газа. На рисунке 49.10
представлены циклы I и II, совершаемые этим газом. Найдите
коэффициенты полезного действия (КПД) г\1 и Г|2 этих циклов,
если их отношение равно а = т^/т^ = 1 ,6 .
*10.62. Водяной пар массой т = 1 г находится в теплоизолиро­
ванной камере объемом V = 39 л при температуре Т = 300 К.
В той же камере имеется вода, масса которой меньше массы пара.
В процессе адиабатного сжатия температура пара возрастает на
АТ = 1 К, а часть воды испаряется. На сколько увеличится при
этом масса пара в камере? Теплота испарения воды X = 2,37 • 106
Дж/кг; пар считать идеальным газом с молярной теплоемкостью
CV= S R ~ 25 Дж/(моль*К); теплоемкостью воды пренебречь. Из­
вестно также, что при малых изменениях температуры АТ насы­
щенного пара его давление изменяется на Ар = &АТ, где
k = 2 • 102Па/К.
*10.63. Определите силы токов, протекающих через диоды Dx
и D2 в электрической цепи, параметры которой указаны на
рис. 50.10. Диоды считать идеальными.
*10.64. В воздушный конденсатор емкости С0 вставлена плас­
тина с диэлектрической проницаемостью е. Диэлектрик запол­
няет весь объем конденсатора. Конденсатор подключен к бата­
рее с ЭДС % через резистор R (рис. 51.10). Пластину быстро вы­
нимают из конденсатора, так что его начальный заряд не успе-
49
||
I------
ИR
Т" **
Рис. 51.10
вает измениться. После этого начина­
ется процесс перезарядки конденсато­
ра. Найдите:
1) механическую работу, совершае­
мую внешней силой против сил элект­
рического поля при извлечении пласти­
ны из конденсатора;
2) изменение электрической энер­
гии конденсатора в процессе переза­
рядки;
3) работу батареи;
4) количество теплоты, выделившееся на резисторе R .
1999
10.65. Маленький заряженный шарик «парит» в состоянии без­
различного равновесия на высоте Н над горизонтальной равно­
мерно заряженной диэлектрической плоскостью (рис. 52.10).
С каким ускорением и в какую сторону начнет двигаться этот
шарик сразу после того, как из плоскости строго под ним будет
быстро удален диск такого радиуса г, что 100г = Н1
10.66. Два точечных тела начинают одновременно двигаться:
первое по окружности радиуса R с постоянной по модулю скорос­
тью v19 второе из центра той же окружности со скоростью
4
v2 = —i^, причем вектор v2 направлен все время на первое тело
(рис. 53.10). На каком расстоянии друг от друга окажутся тела
2nR
через время т
~~ ?
vi
10.67. Длинная проволока навита в спираль радиуса R с шагом
h (рис. 54.10); ось спирали расположена вертикально. По спира-
Рис. 53.10
50
Рис. 55.10
ли скользит бусинка; коэффициент трения между проволокой и
бусинкой равен ц. Найдите установившуюся скорость движения
v0 бусинки.
10.68. В экспериментах по обнаружению нейтрино использу­
ют легкоплавкий металл галлий (£пл = 29,8 °С). Прямоугольная
теплоизолированная кювета шириной d, открытая сверху, до вы­
соты Н заполнена галлием, нагретым до температуры кипения.
К противоположным стенкам А и В, изготовленным из хорошо
проводящего материала, подведено внешнее электрическое на­
пряжение. Через расплав галлия начинают пропускать постоян­
ный ток I (рис. 55.10). Через какое время весь галлий выкипит?
Удельную теплоту парообразования X, плотность р и удельное
сопротивление а считать известными.
10.69. В тепловой машине v молей
идеального одноатомного газа соверша­
ют замкнутый цикл, состоящий из про­
цессов 1-2 и 2 -3 , в которых давление р
газа линейно зависит от занимаемого им
объема V, и изохорического процесса 3 1 (рис. 56.10). Величины р0 и V0 считай­
те известными. Найдите:
1) температуру и давление газа в точ­
ке 3;
2) работу А , совершаемую газом за
цикл;
3)
коэффициент полезного действия
Т| тепловой машины.
*10.70. По двум кольцевым дорогам
радиуса R , лежащим в одной плоскости,
движутся автомобили А г и А г со скорос­
тями иг = v = 20 к м /ч и i>2 = 2v
(рис. 57.10). В некоторый момент авто­
R/2
мобили находились в точках М и С на
расстоянии R/2 друг от друга.
Рис. 57.10
51
Рис. 58.10
Рис. 59.10
1. Найдите скорость автомобиля Л2 в системе отсчета, связан­
ной с автомобилем А г в этот момент.
2. Найдите скорость автомобиля Л2 в системе отсчета, связанной с
автомобилем А г, когда А^ окажется в точке D. Размеры автомобилей
малы по сравнению с R.
*10.71. В герметично закрытом сосуде находится влажный воз­
дух, температура которого равна t x = 75 °С, а относительная влаж­
ность срх = 25%. Воздух в сосуде начинают охлаждать. При какой
температуре t2 внутренние стенки сосуда запотеют? График зави­
симости давления насыщенного водяного пара в относительных
единицах от температуры приведен на рис. 58.10.
*10.72. На миллиметровой бумаге изображена p - F -диаграмма некоторого процесса 1-2, проведенного над идеальным од­
ноатомным газом (рис. 59.10). Но ось V на диаграмме не изоб­
ражена. В этом процессе количества теплоты, отводимой от газа
и поглощенной газом, одинаковы. Постройте по данным задачи
ось V.
*10.73. На рис. 60.10 представлена электрическая цепь, состо­
ящая из батареи с ЭДС I?, конденсаторов емкостями Сг и С2, рези­
сторов Rx и R2, ключа К и идеального вольтметра V. После замы­
кания ключа К оказалось, что в некоторый момент времени мак­
симальное напряжение на конденсаторе С2, измеренное вольтмет­
ром, равно 1?/2.
1. Определите разность потенциалов на конденсаторе Сх в этот мо­
мент.
2. Найдите силу тока через резистор Rx в этот же момент.
3. Определите максимальный заряд на конденсаторе Сг
52
J, мкА
Рис. 61.10
4.
Вычислите полное количество теплоты, выделившееся в цепи
после замыкания ключа К.
*10.74. На рис. 61.10 представлена идеализированная зависи­
мость силы тока J, протекающего через газоразрядную трубку, от
напряжения U между электродами для случая несамостоятельно­
го газового разряда. Трубка с последовательно соединенным бал­
ластным резистором сопротивлением R = 107Ом подключается к
конденсатору емкостью С = 1(Г3 Ф, заряженному до напряжения
U0 = 300 В. Какое количество теплоты выделится в трубке за
время полного разряда конденсатора?
2000
10.75. Плотность вещества некоторой планеты, имеющей фор­
му шара радиуса R = 6400 км, зависит только от расстояния до
центра планеты. При бурении скважины глубиной несколько де­
сятков километров обнаружилось, что ускорение свободного па­
дения не зависит от глубины погружения под поверхность плане­
ты. Найдите плотность вещества, из которого состоит поверхность
планеты, если средняя плотность пла­
неты, равная отношению ее массы к
объему, равна р = 5,5 г/см3.
10.76. В электростатических полях
Муха-Цокотуха умеет летать только по
эквипотенциальным поверхностям. Ее
поместили между обкладками заряжен­
ного плоского конденсатора на оси ОО'
9999
на расстоянии 20000 ^ от °Дн°й из них
(d - расстояние между обкладками). Об­
кладки конденсатора имеют форму дис53
ков радиуса R, причем R^> d. На каком
расстоянии г от конденсатора будет
Муха, когда окажется вне конденсато­
ра на его оси симметрии (рис. 62.10)?
10.77.
Сист
единенных цилиндров радиуса R и
массой т = 2 кг каждый находится в
горизонтальном желобе с гладкими
стенками (рис. 63.10). Коэффициент
трения правого цилиндра о поверх­
ность jlIj = 0,3, а левого - ц2 = ОД*
Цилиндры можно тащить за нить, прикрепляемую к одному из
колец на их внешней стороне.
В какую сторону легче сдвинуть эту систему, прикладывая го­
ризонтальную силу к нити, направленной вдоль линии, соединя­
ющей центры цилиндров?
Найдите минимальные горизонтальные силы FA и FB, необходи­
мые для того, чтобы сдвинуть систему вправо и влево соответственно.
Можно ли эту систему сдвинуть влево или вправо, потянув ее
за нить в горизонтальном направлении с силой Т = 0,7 Н? Ответ
обоснуйте.
10.78. Заряженный конденсатор емкости С разряжают через
элемент с неизвестной вольтамперной характеристикой, при этом
сила тока в цепи зависит от времени как
/0
lit) = I 0 - at, 0 < t <
где 10 и а - положительные константы. В момент времени t() =
конденсатор разряжается полностью. Найдите вольтамперную ха­
рактеристику элемента.
10.79. В некотором процессе молярная теплоемкость газообразного
гелия возрастает прямо пропорционально температуре Т: С(Т) =
3 RT
,
где Tj - начальная температура газа, R - молярная газовая посто­
янная. Какую работу А совершат v молей газа к тому моменту, когда
его объем станет минимальным в указанном выше процессе.
*10.80. На гладкой горизонтальной
поверхности колеблется на пружине
вдоль оси Ох брусок. По направлению к
бруску вдоль оси Ох движется со скоро­
стью v0 шарик (рис. 64.10), который
после упругого удара о брусок отскаки­
вает в противоположном направлении.
54
Рис. 65.10
Масса шарика во много раз меньше массы бруска. График за­
висимости координаты х бруска от времени t представлен на
рис. 65.10.
1. Используя график, найдите максимально возможную ско­
рость шарика после отскока, если v0 = 0,06 м/с.
2. При каких значениях v0 разность А между максимально воз­
можной скоростью отскока и v0 не будет зависеть от v0 ? Найдите
эту разность.
*10.81. Длинный товарный поезд трогается с места. Вагоны
соединены друг с другом с помощью абсолютно неупругих сце­
пок. Первоначально зазор в каждой сцепке равен L (рис. 66.10).
Масса локомотива равна т , а его порядковый номер - первый.
Все вагоны загружены, и масса каждого из них тоже равна т.
1. Считая силу тяги локомотива постоянной и равной F, най­
дите время, за которое в движение будет вовлечено N вагонов.
Рис. 66.10
55
а
Рис. 67.10
2. Полагая, что состав очень длинный (N —* оо), определите
предельную скорость v локомотива.
*10.82. В воду массой т бросают вещество такой же массы,
обладающее следующими свойствами:
1. При растворении в воде вещество поглощает энергию X на
X
каждый килограмм, причем — = 200 К, где с - удельная тепло­
емкость вещества, которая равна теплоемкости воды и не меняет­
ся при растворении.
2. Концентрация а вещества в воде, определяемая как отноше™ вещ
ние масс растворенного вещества к массе растворителя а = “
,
Т р асте
в насыщенном растворе зависит от температуры (см. график
ос (t °С) на рис. 67.10).
Начальная температура вещества равна +200 °С, воды —
0 °С. Определите установившуюся температуру раствора tyCT и
конечную концентрацию а уст. Тепловыми потерями и испаре­
нием пренебречь.
*10.83. Кривая АВС (рис. 68.10) является адиабатой для не­
которого вещества, у которого внутренняя энергия зависит от
произведения pV, т.е. U = U(pV). Найдите полное количество
теплоты, которое тело получило в процессе 1-2, изображенном
на рис. 68.10.
*10.84. В электрической цепи, представленной на рис. 69.10,
ключ К разомкнут и токи не текут. Определите:
1)
силы токов, протекающих через батареи
и
сразу после
замыкания ключа К;
56
Рис. 68.10
2) изменение электростатической
энергии AW системы после прекраще­
ния токов;
3) работы А х и А 2 батарей Ё?1 и |Г2 за
все время процесса;
4) количество теплоты Q, выделив­
шееся на резисторах после замыкания
ключа К.
Рис. 69.10
2001
10.85.
Тело
вижно в воздушном потоке, движущем­
ся со скоростью й . В некоторый момент
тело отпускают без начальной скорос­
ти. Траектория его движения изображе­
на на рисунке 70.10. В установившемся
режиме тело падает с постоянной ско­
ростью под углом р к горизонту. Под
каким углом у к горизонту тело начало
двигаться? Сила сопротивления воздуха, действующая на тело,
пропорциональна квадрату его скорости относительно воздуха и
направлена противоположно ей.
10.86.
Горизонтальная ось ОО' может свободно вращаться в под­
шипниках. Перпендикулярно к ней симметрично прикреплены три
одинаковые легкие спицы, составляющие друг с другом угол 120°.
На концы спиц насажены одинаковые маленькие шарики А, В и С.
К шарику А на длинной нерастяжимой легкой нити подвешен груз
массы т. В первом эксперименте ось ОО' повернули так, что спица
с шариком А оказалась горизонтальной (рис. 71.10).
После того как систему отпустили без начальной скорости, груз
т начал опускаться с ускорением а 1# Во втором эксперименте ось
ОО' повернули так, что шарики А и В оказались на одной высоте
(рис. 72.10). Каким будет ускорение а2 груза т сразу после того,
как систему вновь отпустят без начальной скорости?
В
С
58
10.87. Для исследования свойств газа был
разработан специальный прибор - «электро­
манометр». Он состоит из слабо электропро­
водной U-образной трубки, заполненной рту­
тью (рис. 73.10). Манометр включен в цепь с
амперметром А и батареей с ЭДС % = 12 В и
малым внутренним сопротивлением. Элект­
рическое сопротивление R такого манометра
пропорционально разности давлений р в его
коленах: R = kp.
На экспериментальном графике
(рис. 74.10) изображен производимый над га­
зом процесс KLMNOPQ в координатах: ра­
бота А, совершаемая поршнем, - сила тока /, показываемая ампер­
метром. Найдите объем VQJ занимаемый газом к концу эксперимента
(в точке Q). Начальный объем газа Vk = 1 л, коэффициент k = 3 • 10_3
Ом/Па. Объемом манометра и подводящих трубок можно пренебречь.
10.88. В горизонтально расположенный плоский конденсатор
до середины вставлен брусок, который может скользить без тре­
ния между пластинами конденсатора (рис. 75.10). Конденсатор
подключен к источнику постоянного напряжения U. В некото­
рый момент времени брусок без толчка отпускают. Найдите зави­
симость скорости бруска v от времени и постройте ее график. Гео­
метрические размеры бруска Ь x b х d, его диэлектрическая про­
ницаемость е, плотность р. Расстояние между пластинами кон­
денсатора <2, их размеры b х Ь.
59
10.89.
В школ
периментатор Глюк исследовал электри­
ческий «черный ящик» с четырьмя вы­
водами (рис. 76.10). Известно, что элек^ трическая цепь внутри ящика состоит
только из резисторов. Глюк получил
следующие результаты: R^ = 27 кОм,
= 120 кОм, RBC= 41 кОм, RCD= 52 кОм.
Дома Глюк вспомнил, что он не замерил сопротивления между
выводами (А, С). Определите сопротивление RAC.
*10.90. Легковой автомобиль едет по горизонтальной дороге со ско­
ростью i>0. Если водитель заблокирует задние колеса, тормозной путь
машины составит Ьх = 28 м. Если водитель заблокирует передние коле­
са, тормозной путь будет равен Ь2 = 16 м. Каким окажется тормозной
путь машины, если заблокировать все четыре колеса? Известно, что
центр масс автомобиля расположен на равных расстояниях от осей
передних и задних колес, диаметр которых одинаков.
*10.91. Говорят, что в архиве лорда Кельвина нашли обрывок
рукописи, на котором был изображен замкнутый цикл для
v = 1 моль гелия в координатах р У (рис. 77.10). Цикл состоял из
^
Рис. 77.10
60
изотермы 1 -2 у изохоры 2-3 и адиаба­
ты 3 - 1 . КПД данного ц и кл а
Г) = 0,125. Найдите объем газа в изохорическом процессе, если на рисунке
ось давления вертикальна, а ось объе­
ма горизонтальна. Масштаб по оси
объема: 1 дел = 0,5 л; по оси давле­
ния: 1 дел = 5 кПа.
*10.92. Сферический конденсатор с
радиусами обкладок
= R и R3 = 3R
подсоединен к источнику тока, кото­
-0 U 0 +
рый поддерживает на обкладках посто­
янное напряжение U (рис. 78.10). Про­
Рис. 78.10
странство между обкладками заполне­
но двумя слоями различных веществ с удельными сопротивлени­
ями Pj = р и р2 = 2р и диэлектрическими проницаемостями вх= в2
= 1. Радиус сферической границы между слоями R2 = 2R. Удель­
ная проводимость слоев между обкладками конденсатора намно­
го меньше удельной проводимости материала обкладок.
Найдите заряд на границе между слоями различных веществ.
Найдите силу тока, протекающего через конденсатор.
*10.93. В плоский конденсатор емкостью С0 вдвигается пласти­
на с диэлектрической проницаемостью в. Конденсатор включен в
цепь, представленную на рисунке 79.10. Оказалось, что сила тока,
протекающего через батарею с ЭДС
постоянна и равна / 0. Обе
батареи идеальные.
1. Определите силу тока, протекающего через резистор с со­
противлением Rv
2. С какой скоростью движется диэлектрическая пластина?
При расчетах считайте, что Ш>1 и %?2 заданы, R l = R2= R , длина
пластин конденсатора С0 равна I.
61
*10.94. На поверхности плоского зер­
кала лежит тонкая симметричная двоя­
ковыпуклая линза с фокусным расстоя­
нием F0 = 8 см (рис. 80.10).
1.
Где будет находиться изображение
точечного источника, помещенного на
Рис. 80.10
расстоянии Zj = F0 от линзы?
2. На поверхность зеркала наливают воду так, что уровень воды
совпадает с плоскостью симметрии линзы. Если теперь точечный
источник поместить на расстоянии /2 = 12 см от линзы, то его
изображение совпадет с самим источником.
3. На каком расстоянии от линзы нужно расположить точеч­
ный источник, чтобы его изображение совпало с ним самим, если
вода полностью скрыла линзу?
П р и м е ч а н и е . Оптические силы тонких линз, расположенных вплот­
ную друг к другу, складываются.
11
класс
1992
11.1. Маленький шарик подвешен к балке на тонкой невесо­
мой нити длиной I = 10 см (рис. 1.11). Какую наименьшую ско­
рость v0 необходимо сообщить шарику в горизонтальном направ­
лении, чтобы он ударился о кронштейн в точке подвеса?
11.2. Предполагая, что некий фантастический космический
корабль может выдержать любые тепловые и механические пере­
грузки, найдите минимально возможный период обращения та­
кого корабля вокруг Солнца (и обоснуйте, почему такой период
минимален), зная, что видимый с Земли угловой размер Солнца
равен а = 9,3 • 10_3 рад.
11.3. В теплоизолированном цилиндре, поршень которого удер­
живается в неподвижном состоянии двумя одинаковыми гирями
(рис. 2.11), находится 1 моль одноатомного идеального газа. На­
чальная температура газа равна Т0. Давление воздуха вне цилин­
дра равно нулю. Как изменится температура газа, если одну из
гирь снять, а затем через некоторое время поставить обратно?
Поршень может скользить в цилиндре без трения.
11.4. Три небольших одинаковых металлических шарика рас­
положили правильным треугольником. Вся система находится в
вакууме. Шарики поочередно по одному разу соединяют с удален­
ным проводником, потенциал которого поддерживается постоян-
Рис. 3.11
ным. В результате на первом шарике оказывается заряд, равный
Qj, а на втором - заряд, равный Q2. Определите заряд третьего
шарика.
*11.5. Масса Харона, недавно открытого спутника Плутона, в
8 раз меньше массы планеты. Плутон и Харон обращаются по
круговым орбитам вокруг общего центра масс, причем они все
время «смотрят друг на друга», т. е. система вращается как еди­
ное твердое тело. Расстояние между центрами планеты и ее спут­
ника R = 19 640 км, радиус Харона г = 593 км. Определите отно­
сительное различие в ускорениях свободного падения на Хароне в
точке, наиболее близкой к Плутону, и в точке, наиболее удален­
ной от него.
*11.6. Один из спаев термопары находится при комнатной
температуре
= 27 °С), а второй - в теплоизолированном сосу­
де со льдом, имеющим температуру t 2 = 0 °С. Мощность, разви­
ваемая термопарой, выделяется на сопротивлении нагревате­
ля, который помещен в другой теплоизолированный сосуд, со­
держащий воду (рис. 3.11). Оцените повышение температуры
воды к моменту окончания плавления льда. Можно считать,
что все электрическое сопротивление цепи сосредоточено в на­
гревателе. Массы воды и льда одинаковы. Удельная теплоем­
кость воды с = 4,2 кДж /(кг*К ); удельная теплота плавления
льда X = 335 кД ж /кг.
*11.7. Заряженная частица, двигаясь в плоскости, перпенди­
кулярной длинному равномерно заряженному проводу, пролетает
мимо этого провода, отклонившись от первоначального направле­
ния на небольшой угол а (рис. 4.11). Найдите этот угол, если
кинетическая энергия частицы при влете ее в поле провода равна
W, ее заряд равен е, а заряд единицы
длины провода q. Поле на расстоянии R
Рис. 4.11
64
от длинного провода Е = 2т1£ д
а)
б)
в)
Рис. 5.11
*11.8. Виток тонкого провода, имеющий форму квадрата, об­
ладает индуктивностью Lj (рис. 5.11,а). Виток из такого же про­
вода, идущего по ребрам куба, как это показано на рис. 5.11,6,
имеет индуктивность Ь2. Найдите индуктивность показанного на
рис. 5.11,в витка из такого же провода. (Витки на рисунках выде­
лены толстыми линиями.)
*11.9 Полуцилиндр изготовлен из оптически прозрачного ма­
териала с изменяющимся по радиусу показателем преломления
п. Зависимость п от радиуса г изображена на графике в координаг
тах In п и In
где г0 = 1 см. (рис. 6.11). Используя данную
'о
зависимость, найдите радиусы полуокружностей, по которым смо­
жет распространяться тонкий пучок света при нормальном его
падении на плоскую поверхность полуцилиндра.
Рис. 6.11
3
Козел
65
1993
11.10. Легкий теплопроводящий поршень А и тяжелый тепло­
непроводящий поршень В делят вертикально расположенный ци­
линдр на два отсека (рис. 7.11). Высота каждого отсека L = 40 см,
и в каждом из них находится 1 моль идеального одноатомного
газа. Первоначально система находится в тепловом равновесии.
Затем газ медленно нагревают, сообщая ему количество теплоты
Q = 200 Дж. Определите наименьшую силу трения между порш­
нем А и стенками сосуда, при которой поршень А еще останется
неподвижным. Поршень В может перемещаться без трения.
11.11. Проволочное колечко пролетает между полюсами маг­
нита, не успев повернуться. Диаметр колечка D = 6 мм, диаметр
проволоки d (d <sCZ>), ее удельное сопротивление рс = 2 • ИГ8 Ом • м
и плотность рп = 9 • 103 кг/м3. Оцените изменение скорости колеч­
ка за время пролета сквозь магнитное поле, если его скорость при
влете в поле равна у0 = 20 м/с. Вектор индукции В магнитного
поля перпендикулярен плоскости. Зависимость индукции магнит­
ного поля от координаты х (вдоль траектории движения колечка)
показана на рис. 8.11, при этом а = 10 см, В0 = 1 Тл. Можно
считать, что а
D.
11.12. По диаметру астероида, который имеет форму шара, про­
ходит узкий тоннель. С поверхности астероида в тоннель бросили
камень, сообщив ему скорость, равную первой космической для
этого астероида. Через какое время камень вернется назад? Изве­
стно, что минимальный период обращения космических объектов
вокруг астероида равен Т0; астероид состоит из однородного веще­
ства, а влияние гравитационного поля других небесных тел мало.
П р и м е ч а н и е . Площадь эллипса S = nab, где а и Ъ - длины полу­
осей эллипса.
66
11.13.
Тонкий пучок электронов, движущийся со скоростью
v0, пролетает сквозь сетки А и В, к которым приложено перемен­
ное напряжение U = U0 sin (art) (рис. 9.11). Время пролета сквозь
сетки много меньше периода переменного напряжения. Измене­
ние скорости электронов, прошедших сквозь сетки, значительно
меньше v0. Оцените, на каком расстоянии от сеток электроны сое
берутся в сгустки. Значения L/0, l>0, со и у = “ (отношение заряда
электрона к его массе) считать известными.
*11.14. К парому, масса которого равна т = 5* 104 кг, привя­
зан нерастяжимый трос. В момент t = 0 мотор начинает натяги­
вать трос. При этом сила натяжения троса начинает расти, дости­
гает своего максимального значения и затем остается постоян­
ной. Найдите максимальную силу натяжения троса в момент t x =
= 2 с, если сопротивление воды движению парома пропорцио­
нально квадрату его скорости. График изменения ускорения па­
рома со временем приведен на рис. 10.11.
*11.15. Рабочее вещество, внутренняя энергия которого U
связана с давлением р и объемом V соотношением U = kpV,
совершает термодинамический цикл, состоящий из изобары,
изохоры и адиабаты. Работа, совершенная рабочим веществом
во время изобарного процесса, в т = 5 раз превышает работу
внешних сил по сжатию вещества, совершенную при адиабат-
Рис. 10.11
67
ном процессе. Коэффициент полезно­
го действия цикла Г| = 1/4. Определи­
те коэффициент k .
*11.16. Пространство между двумя
большими горизонтально расположен­
ными пластинами, находящимися на
расстоянии I друг от друга, заполнено
воздухом. Температура нижней пластины
поддерживается равной Tv верхней - рав­
ной Т2 < Тх. Считая воздух идеальным
Рис. 11.11
газом, определите, при какой разности
температур Тг - Т2 в системе возникает
конвекция. Теплообменом между соседними слоями воздуха при
конвекции можно пренебречь. В отсутствие конвекции темпера­
тура меняется с высотой по линейному закону. Молярную тепло­
емкость воздуха при постоянном объеме Cv и его молярную массу
р считайте известными.
*11.17. Вдали от катушки с круглым цилиндрическим железным
сердечником находится кольцо из сверхпроводящего материала. Ток
в кольце равен нулю. На рис. 11.11 изображены линии индукции маг­
нитного поля вблизи торца катушки; ось z является осью симметрии
магнитного поля катушки. Кольцо вносят в магнитное поле катушки.
Сначала кольцо занимает положение 1, а затем - положение 2.
1. Определите отношение ( I J I ^ силы тока, протекающего в
кольце, когда оно находится в положении 1, к силе тока в кольце,
когда оно находится в положении 2.
2. Определите соотношение сил (FJF^, действующих на кольцо
в обоих положениях, и укажите направление действия этих сил.
68
*11.18. Для измерения скорости мельчайших частиц, взвешен­
ных в текущей жидкости, используется интерференционная схема,
изображенная на рис. 12.11. Параллельный пучок света от лазера с
X = 0,63 мкм падает на две одинаковые призмы, сложенные основа­
ниями (бипризма). Преломляющий угол каждой из призм а = 5,7°,
показатель преломления п = 1,5. После прохождения сквозь бип­
ризму свет разбивается на два пучка, которые проходят сквозь кю­
вету с жидкостью. Частицы, двигаясь вместе с жидкостью с некото­
рой скоростью v, рассеивают свет. Определите скорость частиц, если
известно, что при регистрации рассеянного света фотоприемником
ФП частота колебаний тока фотоприемника / = 10 кГц.
1994
11.19. После удара футболиста по неподвижному мячу, тот
приземлился на расстоянии 1Х = 10 м от футболиста через Время
t = 1 с. Во сколько раз нужно изменить значение импульса силы,
действующей на мяч, чтобы он приземлился через то же время на
расстоянии /2 = 20 м? Сопротивлением воздуха можно пренеб­
речь.
11.20. Шар радиуса R , скользящий по гладкой горизонтальной
R
поверхности, налетает на ступеньку высотой Н = —. При какой
о
скорости скольжения шар «запрыгнет» на ступеньку после пер­
вого удара? Удар шара о ступеньку абсолютно упругий. Тре­
ния нет.
11.21. Частица с удельным зарядом q = 108 Кл/кг влетает в
камеру Вильсона, находящуюся в магнитном поле с индукцией
В = 10~2 Тл. Направление ее скорости перпендикулярно линиям
индукции поля. После поворота вектора скорости на 90° (измене­
ние радиуса трека частицы при этом составило г = 5%) поле вык­
лючают. После этого частица проходит путь s = 300 мм до полной
остановки. С какой скоростью влетела частица в камеру, если сила
сопротивления при ее движении пропорциональна скорости?
11.22. На сколько процентов изменится фокусное расстояние
тонкой плосковыпуклой линзы при ее нагреве от 0 °С до 100 °С,
если при 0 °С фокусное расстояние равно
а показатель прелом­
ления п? Коэффициент линейного расширения материала линзы
а = 25 • 10 6 гр а д 1. Линза изготовлена из материала плотности р.
Можно считать, что (п - 1) ~ р.
*11.23. Легкая нерастяжимая нить, длина которой I = 30 см,
одним концом закреплена на дне цилиндрического сосуда, а дру­
69
гим привязана к маленькому деревянному шарику (рис. 13.11).
Расстояние между точкой закрепления нити и центром дна сосу­
да г = 20 см. Сосуд начинает вращаться вокруг своей вертикаль­
ной оси. Определите угловую скорость со вращения сосуда, если
нить отклоняется от вертикали на угол а = 30°.
*11.24. Прямоугольный аквариум длины L = 50 см разделен
перегородкой на два отсека 1 и 2. В центре перегородки нахо­
дится симметричная двояковыпуклая линза. На задней стенке
аквариума, в центре, нарисована стрелка (рис. 14.11). Длина
стрелки равна h. Если в отсек 1 аквариума налить жидкость, то
на передней стенке отсека 2 появится четкое изображение стрел­
ки. Длина изображения стрелки hx = 4,5 мм. Если ту же жид­
кость налить во второй отсек аквариума, вылив ее из первого, то
на той же стенке отсека 2 вновь будет видно четкое изображение
стрелки. Длина h2 = 2 мм. Найдите длину стрелки h, показатель
преломления п жидкости и расстояние между линзой и стенка­
ми аквариума.
*11.25. В колебательный контур, состоящий из катушки ин­
дуктивности L = 0,1 Гн и конденсатора емкости С = 10 мкФ,
включен «электронный ключ», составленный из двух одинако­
вых диодов (рис. 15.11). Вольтамперная характеристика диодов
показана на рис. 16.11. Пороговое напряжение, при котором диод
о
Рис. 15.11
70
ип
Рис. 16.11
и
открывается, Un = 0,7 В. Перед замыканием ключа К напряже­
ние на конденсаторе равно U0 = 4,5 В. Через какое время после
замыкания ключа К колебания в контуре прекратятся и устано­
вится стационарный режим? Чему будет равно установившееся
(остаточное) напряжение на конденсаторе? Постройте график за­
висимости напряжения Uc на конденсаторе от времени.
*11.26. Вокруг Солнца по орбите Земли обращается спутник,
масса которого т = 100 кг. В некоторый момент спутник откры­
вает солнечный парус - тонкую зеркальную пленку в форме кру­
га радиуса г = 70 м. Во время дальнейшего полета парус непре­
рывно меняет свою ориентацию таким образом, чтобы его плос­
кость постоянно располагалась перпендикулярно направлению на
Солнце. Пренебрегая влиянием планет, найдите период обраще­
ния спутника с открытым парусом. Орбиту Земли можно считать
круговой. Светимость Солнца (световая мощность) L = 3,86*1026
Вт, масса Солнца М = 2 • Ю30 кг, гравитационная постоянная
G = 6,67 х 10-11 Дж*м/кг2.
У к а з а н и е . Импульс р фотона связан с его энергией Е соотноше­
нием pc = Е, где с - скорость света.
1995
11.27. Цилиндрический сосуд с идеальным газом разделен теп­
лонепроницаемыми перегородками на три отсека (рис. 17.11; вид
на сечение сосуда сверху). В каждой перегородке есть отверстие,
размер которого мал по сравнению с длиной свободного пробега
молекул газа. Температуры газа в отсеках сосуда поддержива­
ются постоянными и равными Т19 Т2 и Тг. Давление в первом
отсеке р г известно. Найдите давления р 2 и р г во втором и третьем
отсеках.
11.28. В схеме, изображенной на рис. 18.11, ключи К х и К 2
вначале разомкнуты. Ключ К г замыкают, и после установления
Рис. 17.11
Рис. 18.11
71
Y/т ш /т
Рис. 19.11
Рис. 20.11
стационарного режима замыкают ключ К 2. Какой заряд протечет
через резистор R после замыкания ключа К 2? Величины R, г, Ь19
Ь2 известны. Сопротивлением катушек индуктивности пренебречь.
11.29.
Найдите (укажите координаты) внутри горизонтально
расположенной трубы радиуса R (рис. 19.11) хотя бы одну точку
С, не лежащую на вертикальном диаметре АВ, со следующим свой­
ством: небольшой шарик, отпущенный из точки С без начальной
скорости, возвращается в точку С после трех упругих ударов о
стенку трубы. Определите время f, за которое это произойдет.
*11.30. Определите период колебаний однородного бруска, под­
вешенного на двух пружинах, жесткости которых равны
и k2
соответственно (k Y> k2). Пружины связаны нерастяжимой нитью,
перекинутой через невесомый блок (рис. 20.11). Масса бруска равна
М. При колебаниях брусок все время остается горизонтальным.
*11.31. Заголовок газетной статьи: Со скоростью 130 тысяч
километров в час прочь от Земли (Борис Лысенко, «Известия»,
21 февраля 1995)
«Два ветерана американской космонавтики снова и снова удив­
ляют своими неожиданными резервами энергии во время полета
из Солнечной системы в карусель Млечного пути.
В 1 972и 1973 годах с Земли к центру Млечного пути отправи­
лись два американских зонда - «Пионер-10» и «Пионер-11». Зон­
ды летят по орбите, двигаясь по которой смогут вернуться на Зем­
лю лишь через 250 миллионов лет.
За прошедшие двадцать с лишним лет оба «Пионера» благопо­
лучно прошли астероидный пояс и со скоростью 130 тысяч кило­
метров в час удаляются от Солнечной системы и находятся на
расстоянии десяти миллиардов километров. Из-за огромного рас­
стояния сигналы от спутников поступают на Землю с опозданием
на 12 часов.
72
Космические корабли будут функционировать до тех пор, пока
не иссякнут термоэлектрические генераторы, вырабатывающие
энергию. В целях экономии на борту кораблей в рабочем состоя­
нии находятся лишь жизненно важные приборы.
Зонды измеряют «солнечный ветер», выясняют влияние гра­
витации на систему внешних планет, а также ищут доказатель­
ство наличия так называемых гравитационных волн, которые со
скоростью света распространяют поле тяготения небесных тел.
На случай встречи в бесконечных пространствах Вселенной с
инопланетянами ученые из НАСА на борту «Пионера» прикрепи­
ли таблицу, на которой изображены мужчина и женщина, а так­
же наша Солнечная система».
Используя данные из второго абзаца приведенной заметки,
оцените, на какое максимальное расстояние от Солнца могут
удалиться эти космические аппараты в течение ближайшего
миллиарда лет. Как изменится ответ, если использовать дан­
ные не второго, а третьего абзаца? Влиянием космических объек­
тов вне Солнечной системы можно пренебречь. В стиле газет­
ной публикации добавим, что свет от Солнца до Земли идет
около 8 мин.
*11.32. Предположим, что создан материал с необычной зави­
симостью коэффициента теплопроводности k от температуры
(рис. 21.11). Пластину из такого материала поместили между двумя
стенками вплотную к ним. Температуры стенок поддерживаются
неизменными: Тг = 160 К и Т2 = 500 К соответственно. Какой
тепловой поток установится между стенками, если толщина пла­
стины d = 1 см, а ее площадь S = 100 см2? Укажите способ, с
k, Вт/(м • К)м
/
Г
0
Т г 200
400
Т2
Т, Й
Рис. 21.11
73
помощью которого можно найти распре­
деление температуры внутри пластины.
Найдите температуру в среднем продольd
ном сечении пластины (х = —).
У к а з а н и е . Тепловой поток Р сквозь тон­
кий слой вещества, площадь которого S, а
толщина Ах, равный количеству теплоты, проРис. 22.11
ходящему сквозь этот слой в единицу време­
ни, прямо пропорционален разности значе­
ний температуры его поверхностей АТ и обратно пропорционален его
толщине:
АТ
Р = - kS (-^-), гДе &~ коэффициент теплопроводности веще­
ства.
*11.33. Излучение аргонового лазера сфокусировано на плос­
ком фотокатоде вакуумного фотоэлемента (рис. 22.11). Между плос­
ким анодом А , расположенным параллельно фотокатоду, и фото­
катодом К подключают источник тока с постоянной ЭДС
При
ускоряющей разности потенциалов между анодом и фотокатодом
диаметр пятна фотоэлектронов на аноде в два раза превышает
диаметр пятна фотоэлектронов на аноде при смене полярности
напряжения, т. е. при тормозящей разности потенциалов между
анодом и фотокатодом. Работа выхода материала фотокатода
А = 2 эВ. Длина волны излучения лазера X = 500 нм. Определите
ЭДС источника.
* 11.34. В архиве Снеллиуса нашли чертеж оптической схемы.
Чернила от времени выцвели и на чертеже остались видны толь­
ко три точки: фокус /, точечный источник света S и его изображе­
ние S '. Измерения показали, что расстояние между фокусом f и
источником света равно 1 дюйму, между источником света S и
его изображением равно 27 дюймам и между фокусом f и изобра­
жением источника света равно л/730 дюймам. Из пояснений к
чертежу следовало, что линза была положительная и находилась
в воздухе. Чему равно фокусное расстояние этой линзы?
1996
11.35.
В вертикально расположенном цилиндре под поршнем
находится идеальный газ. Сила трения цилиндра при перемеще­
нии поршня превышает сумму его веса и силы внешнего атмо­
сферного давления на поршень. Газ начинают медленно нагревать,
74
причем за время расширения газ получил количество теплоты Q
как за счет нагрева, так и за счет части выделившегося тепла при
трении поршня. Затем газ охладили, отобрав от него такое же ко­
личество теплоты Q. Во сколько раз изменилось давление газа в
цилиндре за время от начала расширения до завершения охлажде­
ния газа, если его объем за то же время увеличился в два раза?
11.36. Ускорение свободного падения на поверхности планеты
из несжимаемой жидкости равно а = 9,8 м/с2. Найдите давление
в центре планеты.
11.37. На пружинке жесткости k висит груз (рис. 23.11).
К грузу прикреплена горизонтально расположенная медная рей­
ка АВ длины I. Рейка может скользить без трения по неподвиж­
ным вертикальным проводящим рельсам АК и ВР, имея с ними
хороший электрический контакт. К рельсам с помощью проводов
подсоединен конденсатор емкости С. Система находится в одно­
родном магнитном поле, вектор индукции В которого перпенди­
кулярен рейке и рельсам. Найдите период вертикальных колеба­
ний груза. Масса груза с рейкой равна т. Сопротивление рейки,
рельсов и проводов можно не учитывать.
11.38.
На гладкой горизонтальной поверхности стола лежит гантелька, представляющая собой два одинаковых гладких абсолютно
упругих диска радиуса В, соединенных жестким невесомым стер­
жнем так, что расстояние между их центрами L = 2<\/зЯ. Концы
стержня шарнирно закреплены в центрах дисков. На гантельку
налетает со скоростью v другая такая же гантелька, движущаяся
перед соударением по столу так, как показано на рис. 24.11 (вид
сверху). Как будут двигаться гантельки после столкновения?
75
т
^тв
Iщытыттштг
m
М
Рис. 25.11
Рис. 26.11
11.39.
По поверхности однородного диэлектрического диска
равномерно распределен заряд Q. Диск помещен во внешнее одно­
родное магнитное поле индукции Б , направленной перпендику­
лярно плоскости диска. Масса диска равна М, и он может свобод­
но вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр
перпендикулярно плоскости диска. С какой угловой скоростью со
будет вращаться первоначально неподвижный диск, если внеш­
нее магнитное поле выключить?
*11.40. Груз, соединенный пружиной с вертикальной стенкой,
совершает колебания, двигаясь по горизонтальной поверхности
(рис. 25.11). Масса груза равна т , коэффициент трения между
грузом и поверхностью равен р, жесткость пружины равна k.
В моменты времени, когда пружина максимально растянута, по
грузу ударяют и сообщают ему некоторый импульс, так что он
приобретает скорость v0 в направлении к стенке. Найдите ско­
рость v0, если колебания оказываются установившимися, а мак­
симальное удлинение пружины равно I.
*11.41. В горизонтальном неподвижном цилиндре, закрытом с
обоих концов, находится поршень, масса которого равна М
(рис. 26.11). Поршень может двигаться в цилиндре без трения. Рав­
новесное положение поршня находится в центре цилиндра. Между
поршнем и торцами цилиндра в плоскости среднего сечения летают
в горизонтальном направлении два маленьких шарика, имеющие
одинаковую массу т (т
М). Частота столкновений каждого ша­
рика с поршнем, находящимся в равновесии, равна /. Если поршень
медленно сместить из положения равновесия на малое расстояние,
то он начнет совершать гармонические колебания. Считая удары
шариков абсолютно упругими, определите период этих колебаний.
У к а з а н и е . При jc 1 выражение (1 + x)n = 1 + пх.
*11.42. Периодически действующая установка (тепловая ма­
шина) использует тепловую энергию, переносимую теплым тече­
нием океана. Оцените максимальную полезную мощность, кото­
рую можно от нее получить, если скорость течения воды в месте
расположения установки и = 0,1 м/с, средняя температура воды в
76
поверхностном слое океана, толщина которого h = 1 км, Тг = 300 К,
температура воздуха вблизи поверхности воды Т2 = 280 К, размер
установки в поперечном течению направлении L = 1 км, удель­
ная теплоемкость воды с = 4200 Дж/(кг • К), плотность воды
р = 103 кг/м 3.
*11.43. Электромагнитное реле через ключ К х подключено к
батарее, ЭДС которой равна
Ключ К г нормально замкнут и
размыкается при срабатывании реле (рис. 27.11). Омическое со­
противление обмотки реле R = 50 Ом, индуктивность обмотки L =
= 0,5 Гн. Когда сила тока достигает значения / 2 = ——, реле сра­
батывает и ключ К г размыкается. Через некоторое время, когда
сила тока в цепи реле становится равной
---- , ключ К. снова
3 R
1
замыкается. Определите период срабатывания реле в установив­
шемся режиме работы. Считайте диод Д идеальным. Внутренним
сопротивлением батареи можно пренебречь.
*11.44. В архиве Снеллиуса найден чертеж оптической схемы
(рис. 28.11). От времени чернила выцвели и на чертеже остались
видны только три точки - фокус линзы F, источник света S, точ­
ка L, принадлежащая плоскости тонкой линзы, и часть прямой
линии а, соединяющей источник света S и его изображение S'. Из
пояснений к чертежу следует, что точка S' отстоит от плоскости
линзы на расстоянии, большим, чем точка S.
Возможно ли по этим данным восстановить исходную схему?
Если да, то покажите, как это сделать. Чему равно фокусное рас­
стояние линзы?
L
+
Рис. 28.11
1997
11.45.
В цил
одинаковой температуре находятся угле­
кислый газ и гелий, разделенные свобод­
но перемещающимся легким поршнем.
Гелий занимает объем в 5 раз больше, чем
углекислый газ. Из-за нагрева газов до
другой одинаковой температуры часть мо­
лекул углекислого газа диссоциировала на
окись углерода и кислород: 2С02 —>2СО +
Рис. 29.11
+ 0 2. В результате поршень сместился и
объем гелия стал в 4 раза больше объема образовавшейся смеси. Сколь­
ко процентов молекул углекислого газа диссоциировало?
11.46. В электрическую цепь (рис. 29.11) включено устройство
Р с неизвестной электрической схемой. Параметры цепи: If х = 20 В,
If2 = 10 В, гх = 2 Ом, г2 = 1 Ом, Rx = 8 Ом, R2 = 9 Ом. При
подсоединении к клеммам А гВ х и А 2В2 идеальных вольтметров
они показали одинаковое напряжение. Чему оно равно?
11.47. Плоский конденсатор подсоединен к источнику с посто­
янной ЭДС If. В конденсатор параллельно его обкладкам вносят
тонкую пластину, состоящую из соприкасающихся латунного и
медного листов, и располагают ее на расстояниях L и 2L от каж­
дой из обкладок (рис. 30.11). Заряд пластины положителен и ра­
вен заряду Q конденсатора до внесения пластины. Форма и пло­
щадь пластины и обкладок конденсаторов одинаковы, расстояние
L намного меньше размера пластины. Затем латунный лист (ле­
вая часть пластины) удерживают на месте, а медный перемещают
в положение АВ. Какую силу необходимо приложить к медному
листу в положении АВ для его удержания?
Ri
-
+
Рис. 30.11
78
Рис. 31.11
11.48. На гладкую поверхность, ограниченную двумя дугооб­
разными вертикальными стенками (рис. 31.11), из точки О (центр
огороженной части поверхности) выпускают маленькую шайбу
со Скоростью v под малым углом а « 1 к оси у . Оцените время
между последовательными пересечениями шайбой оси у . Радиу­
сы дуг R и расстояние 2h известны, причем
R. Удары шайбы
о стенки упругие.
11.49. Шарик массой т упруго ударяется о конструкцию ABCD
в форме ромба (рис. 32.11) и останавливается. Конструкция со­
стоит из легких шарнирно соединенных штанг и трех грузов мас­
сы М каждый, закрепленных в точках А, Б и С. Шарнир D укреп­
лен в массивной стене. Скорость шарика направлена вдоль BD.
Найдите массу М, считая известными массу т угол а.
*11.50. Горизонтально расположенная упругая пружина мас­
сой М под действием силы, равной ее весу M g, растягивается
(или сжимается) на величину Ах0.
1. Чему будет равно удлинение данной пружины, если ее под­
весить за один конец (без груза)?
2. Чему будет равен период колебаний груза массой т> скреп­
ленного с одним из концов данной пружины, если второй конец
пружины неподвижен, а груз скользит по гладкой горизонталь­
ной поверхности? Деформация пружины во всех случаях мала по
сравнению с длиной недсформированной пружины.
*11.51. Вертикально расположенный цилиндрический сосуд ра­
диусом R полностью заполнен водой плотности р0 и герметично
~ На
тт расстоянии —
R от оси симметрии
закрыт жесткой крышкой.
Z
цилиндра расположены три маленьких одинаковых шарика ра­
диусом г (рис. 33.11). Плотность материала шарика 1 р1< р0, у
шарика 2 р2 = р0, а у шарика 3 р3 > р. Цилиндр медленно раскру­
чивают до постоянной угловой скорости вращения со.
79
1. Где будут находиться шарики во вращающемся цилиндре и
почему?
2. Определите результирующую силу давления со стороны воды
на каждый шарик и направление этой силы в их новых положениях
равновесия. Силой трения о дно и крышку цилиндра пренебречь.
*11.52. В сверхпроводящем тонком кольце радиусом R, индук­
тивностью L и массой М течет наведенный ток / 0. Кольцо, подве­
шенное на тонкой неупругой нити, опускают в область горизон­
тального однородного магнитного поля индукцией В. В устойчи­
вом положении равновесия угол между вектором В и его проек­
цией на плоскость кольца равен а.
1. Найти зависимость угла а от начального тока / 0 в кольце и
построить график а = а (70).
2. Найти зависимость установившейся силы тока I в кольце от
величины начальной силы тока / 0 и построить график I = 7(/0).
kR
2B
3. Для случая, когда 70 > —-— , определить минимальную ра­
боту, которую необходимо совершить, чтобы вынуть кольцо из
магнитного поля.
*11.53. Горизонтально расположенные неподвижные пластины
1 и 2 плоского конденсатора, расстояние между которыми равно d,
подключены к источнику регулируемого напряжения (рис. 34.11).
На пластине 2 лежит тонкая проводящая незаряженная пластина
3 массой М, имеющая хороший электрический контакт с пласти­
ной 2 . Все пластины имеют одинаковые размеры, а площадь каж­
дой равна S, причем d
yfs . Конденсатор находится в вакуумированной камере. Ключ К замыкают.
1. При каком минимальном напряжении источника пластина
3 сможет оторваться от пластины 2 и достигнуть пластины 1?
2. Чему будет равна скорость пластины 3 в момент касания
пластины 1?
*11.54. Оптическая система состоит из тонкой собирающей линзы
с известным фокусным расстоянием F и плоского зеркала (рис. 35.11).
К
Рис. 34.11
80
Рис. 35.11
расположены на одной из побочных бптических осей линзы. Одно
из изображений является действительным и находится на извес­
тном расстоянии от линзы (пунктирная линия). Построением най­
дите положения источника S и его изображений в линзе. Отра­
женным от поверхности линзы светом пренебречь.
1998
11.55. Цепь, показанная на рис. 36.11,
содержит два конденсатора, емкости ко­
торых равны С и ЗС, катушку индуктив­
ности L, идеальный диод D и ключ К.
В начальный момент конденсатор емко­
сти С заряжен до напряжения U0, кон­
денсатор емкости 3С не заряжен, ключ
Рис*
К разомкнут, ток в катушке не течет.
1. Через какое время после замыкания цепи ключом К напря­
жение на конденсаторе С окажется первый раз равным нулю?
2. Постройте графики зависимостей от времени напряжений
на конденсаторах после замыкания ключа К с указанием коорди­
нат характерных точек (экстремумы и нули функции). Сопротив­
лением катушки и соединительных проводов пренебречь.
11.56. Маленький шарик массой т с зарядом q0 > 0 начинает
двигаться из состояния покоя в гравитационном и однородном
магнитном полях (рис. 37.11). Индукция магнитного поля равна
В, вектор В направлен параллельно поверхности Земли, причем
qcB
mg, где с - скорость света в вакууме. На какое расстояние
и в каком направлении шарик сместится от первоначального по­
ложения через достаточно большое время т? Какое время т мож­
но считать достаточно большим? Шарик в течение всего времени
т не достигает поверхности Земли.
11.57. Прочный плоский обруч радиусом R = 1 м раскрутили
вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, до частоты
В
g
®
Рис. 37.11
4 Козел
т, q
Рис. 38.11
81
обращения п = 100 об/с и сообщили ему скорость v0 = 10 см/с
вдоль поверхности (рис. 38.11). Коэффициент трения скольжения
между обручем и поверхностью равен ц = 0,1. За какое время t x
обруч удалится на sx = 10 см от начального положения? Оцените,
на какое максимальное расстояние s удалится обруч от начально­
го положения. Обруч равномерно прилегает к поверхности.
11.58. В теплоизолированном цилиндре, расположенном верти­
кально, под невесомым не проводящим тепло свободно перемеща­
ющимся поршнем находится v = 1 моль идеального одноатомного
газа при температуре 7\ = 300 К (рис. 39.11). Сверху над поршнем
находится ртуть, заполняющая цилиндр до открытого верхнего
края. Объем газа в два раза больше объема ртути, давление в газе
вдвое превышает внешнее атмосферное давление. Система нахо­
дится в состоянии равновесия. Какое минимальное количество теп­
лоты нужно подвести к газу, чтобы вытеснить из сосуда всю ртуть?
11.59. Некто предложил новый способ запуска ракет. Вместо
того, чтобы запускать их вверх, он рекомендовал отпускать раке­
ты вниз по направляющим, образующим дугу большого радиуса
R (рис. 40.11). В некоторый момент движения по направляющим
следовало включать двигатель. Автор изобретения утверждал, что
при таком запуске высота Н 2 подъема ракеты будет превышать
высоту Н 19 достижимую при обычном запуске (вертикально вверх).
Полагая Н г к R заданными, найдите максимально возможное зна­
чение высоты Н 2. Считать, что двигатель ракеты работает корот­
кий промежуток времени, а сопротивлением воздуха и трением
между корпусом ракеты и направляющими можно пренебречь.
*11.60. На гладкой горизонтальной поверхности стола лежит
доска массой М = 1 кг и длиной L = 1 м, прикрепленная легкой
пружиной жесткости k = 100 Н/м к вертикальной неподвижной
стене. В начальный момент пружина не деформирована. На краю
доски лежит небольшой кубик массой т = 0,1 кг. Кубику сообща­
ют начальную скорость и0 = 1 м/с (рис. 41.11).
82
1. При каком коэффициенте трения ц кубика о поверхность дос­
ки количество тепла, выделившееся в системе, будет максималь­
ным? Найдите это количество тепла. Трением доски о поверхность
пренебречь. Считайте, что кубик движется все время в одном на­
правлении (относительно стола).
2. Проверьте, удовлетворяют ли условия задачи этому предпо­
ложению для всех полученных решений.
*11.61. Два высоких сосуда с водой соединены тонкими длин­
ными трубками АВ и CD, расположенными на расстоянии h друг
от друга (рис. 42.11). Вода в сосудах поддерживается при темпе­
ратурах t x и t2 (tx > t2). Для поддержания температур в сосудах
неизменными к более теплому сосуду приходится подводить теп­
ло (мощность нагревателя N ), а от холодного - отводить такую же
мощность. Пренебрегая теплообменом с окружающей средой и теп­
лопроводностью материала трубок, определите:
1) уровень жидкости, отсчитываемый от нижней трубки, на
котором давление в обоих сосудах будет одинаково;
2) разность давлений А и ApCD на концах трубок АВ и CD;
3) мощность N, подводимую к теплому сосуду (и отводимую от
холодного).
Плотность воды зависит от ее температуры t по закону р = р0 —
- a(t - t0), где р0, а и t0 - постоянные величины. За время Ат
через любое сечение трубки протекает масса жидкости
Ат = &Ар • Ат,
где Ар - разность давлений на концах трубки, k - некоторый
известный коэффициент. Удельная теплоемкость с воды задана.
*11.62. Теплоизолированный сосуд разделен на две части теп­
лонепроницаемой перегородкой А . В перегородке А й в одной из
стенок В имеется большое количество маленьких отверстий об­
щей площадью S в каждой. В первой части сосуда включили на­
греватель мощности N (рис. 43.11). Сосуд заполнен аргоном и
помещен в атмосферу аргона. Внешнее давление р0 и температура
Т0 поддерживаются неизменными.
А
В
h0
С D
83
К
Оцените установившиеся значения
давлений (рг и р2) и температур (Т} и Т2)
в обеих частях сосуда. Сделайте число­
вые оценки при N = 20 Вт, S = 10 мм2,
р0 = 105 Па, Т0 = 300 К. Молярная масса
аргона ц = 40*10~3 кг/моль; универ­
сальная газовая постоянная R = 8,3
Дж/ (моль*К).
*11.63. На двух гладких горизонтальных и параллельных рель­
сах, расстояние между которыми I = 2 м, находится тонкая про­
водящая перемычка массой пг = 0,01 кг. Рельсы через ключ К и
резистор сопротивлением R = 14 кОм подключены к конденсато­
ру, заряженному до некоторого напряжения U0. Рельсы располо­
жены в однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл, пер­
пендикулярном их плоскости (рис. 44.11).
На рис. 45.11 приведена экспериментально снятая зависимость
скорости v перемычки от времени t после замыкания ключа К.
Рис. 45.11
Пренебрегая омическим сопротивлением проводов, рельс и пе­
ремычки, по заданному графику и(£) определите: 1) начальное на­
пряжение U0 на конденсаторе; 2) емкость конденсатора; 3) уста­
новившуюся скорость перемычки.
*11.64. Атомарный цезий при возбуждении испускает две мо­
нохроматические линии излучения с близкими длинами волн и
\ 2. Для анализа этого излучения используется интерферометр Май­
ке льсона (рис. 46.11). Излучение цезиевой лампы S с помощью
84
УШ //Ж н
линзы Л г в виде параллельного пучка
направляется на полупрозрачное зерка­
Л,
ло-делитель D. Это излучение частично
отражается от делителя и падает на не­
подвижное зеркало Н. Другая часть из­
_!
лучения проходит через делитель и па­
V
дает на подвижное зеркало П . После
■~Л о
отражения от зеркал Н и П оба пучка
вновь возвращаются к делителю D.
Ф
Часть энергии этих пучков делитель на­
Рис. 46.11
правляет в сторону линзы Л2, которая
фокусирует оба пучка на поверхность катода фотоэлемента Ф. Сила
тока фотоэлемента пропорциональна суммарной интенсивности па­
дающего на него потока излучения.
Подвижное зеркало П начинает медленно двигаться от дели­
тельной пластины с постоянной скоростью v = 2,02 • 10~6 м/с;
при этом сила тока фотоэлемента изменяется так, как показано
на рис. 47.11.
с:
•У
X
Определите: 1) среднюю длину волны излучения X =
2) разность длин волн АХ = Х2 - Хх; 3) отношение 1х/12 интенсивно­
стей спектральных линий, испускаемых атомом цезия.
Рис. 47.11
1999
11.65.
На гори
стоянии 10 = 50 см друг от друга находят­
яШ Ш Ш Ш ТШ Ш Ш ш. ся бруски массами т и 12т, к которым
прикреплена пружина (рис. 48. 11). Вна­
Рис. 48.11
чале пружина недеформирована. Затем бруски раздвинули вдоль по­
верхности стола, увеличив расстояние между ними на 32 см, и отпу­
стили без начальной скорости. На сколько и как изменится (увели­
чится или уменьшится) по сравнению с 10 расстояние между бруска­
ми после прекращения движения? Считать, что бруски и ось пру­
жины находятся всегда на одной прямой. Известно, что подвешен­
ный на этой пружине брусок массой т растягивает ее на а = 30 см.
Коэффициент трения скольжения между брусками и столом р = 0,1.
11.66. Рабочим веществом тепловой машины является v молей
идеального одноатомного газа, которые совершают замкнутый цикл,
состоящий из линейной зависимости давления р от объема V на уча­
стке 1-2, изобарического процесса 2—3 и линейной зависимости дав­
ления от объема 3-1 (рис. 49.11). Величины р0, V0 считать известны­
ми. Найдите: 1) объем V3и температуру Т3 в точке 3; 2) работу А газа
за цикл; 3) коэффициент полезного действия тепловой машины.
11.67. Параллельные проводящие неподвижные шины распо­
ложены в горизонтальной плоскости на расстоянии I друг от дру­
га (рис. 50.11). Однородное магнитное поле индукцией В направ­
лено вертикально. К шинам подсоединена катушка индуктивнос­
тью L. По шинам может скользить без трения проводящая пере­
мычка массой т , оставаясь перпендикулярной шинам и не теряя
с ними электрического контакта. В некоторый момент перемычке
сообщают скорость v0 вдоль шин.
1. Опишите движение перемычки и найдите характерное вре­
мя ее движения.
12т
86
-АЛЛАЛЛА- тп
Рис. 51.11
2. На какое максимальное расстояние сможет удалиться пере­
мычка от первоначального положения?
Сопротивлением катушки, шин, перемычки и подводящих про­
водов пренебречь.
11.68. На гладкой горизонтальной непроводящей поверхности рас­
положены три небольших по размерам шарика массой т и зарядом
q каждый, связанные двумя нерастяжимыми непроводящими нитя­
ми длиной а каждая. Шарики удерживают в положении, когда нити
составляют угол, близкий к 180° (рис. 51.11). Затем шарики отпус­
кают. Найдите период свободных малых колебаний системы.
11.69. Электрическая цепь состоит из источника ЭДС I?, рези­
стора сопротивлением R , сверхпроводящих катушек индуктивно­
стями Ьг и L2, конденсатора емкостью С и ключей К х и К 2
(рис. 52.11). Ключ К 1 замыкают. После достижения в цепи устано­
вившегося режима замыкают ключ К2 и тут же размыкают ключ K v
Найдите:
1) силу тока, протекающего через катушку Ьг в установившем­
ся режиме после замыкания ключа К г;
2) максимальное напряжение на конденсаторе после размыка­
ния ключа К г.
Внутренним сопротивлением источника тока, сопротивления­
ми соединительных проводов и контактов в ключах пренебречь.
*11.70. Тонкостенная цилиндрическая трубка массы М катит­
ся без проскальзывания по горизонтальной поверхности непод­
вижной плиты П со скоростью v0 и попадает на ленту горизон­
тального транспортера, движущуюся в том же направлении со
скоростью и (рис. 53.11). Коэффициент
трения скольжения между трубкой и
лентой равен ц. 1. Через какое время t x
после вкатывания на ленту трубка нач­
нет катиться по ленте без проскальзы­
вания? 2. Определите изменение кине­
тической энергии трубки за время t x.
Рис. 53.11
87
Рис. 54.11
Рис. 55.11
3. Чему равно количество теплоты, выделившееся в результате
трения трубки о ленту за время txl
*11.71. Представим себе, что в безбрежных просторах космоса
обнаружена галактика X, в которой силы взаимодействия между
телами не подчиняются закону всемирного тяготения. В этой га­
лактике любые два точечных тела притягиваются друг к другу с
силой, пропорциональной их массам т1 и т2 и расстоянию г меж­
ду ними: F = а т1т2г. Астрономам удалось определить полную
массу галактики М = Ю40 кг и коэффициент пропорциональности
ц
а = 2,5 •1СГ59 ------ т. Предполагая, что в момент открытия гам • кг^
лактики X ее масса была распределена произвольно и несиммет­
рично, а в галактике отсутствовали относительные движения тел,
оцените время жизни этого объекта.
*11.72. Идеальный холодильник, потребляющий во время ра­
боты из электросети мощность N = 100 Вт, находится в комнате,
которую можно рассматривать как замкнутую теплоизолирован­
ную камеру объемом V = 100 м3. Начальные параметры воздуха в
комнате: Т0 = 300 К, давление р0 = 1 атм. В холодильную камеру
устанавливается ванночка с водой при температуре Тх = 273 К.
Масса воды тп0 = 4 кг.
1. Какое минимальное время должен проработать холодиль­
ник, чтобы вода в ванночке замерзла?
2. Чему равна температура воздуха в комнате в этот момент?
Удельная теплота плавления льда q = 3,34 • 105 Дж/кг. Тепло­
емкость стен комнаты и стенок холодильника не учитывать. Счи­
тать относительное изменение температуры в комнате в результа­
те работы холодильника малым. Воздух считать идеальным двух­
атомным газом.
*11.73. Бесконечная цепочка составлена из одинаковых нели­
нейных элементов Z и резисторов с сопротивлением R = 4 Ом
(рис. 54.11). Вольт-амперная характеристика цепочки, измерен­
ная между входными клеммами а и Ь9 изображена на рис. 55.11.
88
Определите графическим построением
вольт-амперную характеристику нели­
нейного элемента Z.
*11.74. Лазерный луч распространя­
ется в сферически симметричной среде
R
с показателем преломления п(В) = п0~^~,
IXq
где tIq— 1, R q— 30 см, R0 < R < Траек­
тория луча лежит в плоскости, прохо­
дящей через центр С симметрии среды.
Известно, что на расстоянии Rx = 80 см
от точки С лазерный луч образует с радиус-вектором, проведен­
ным из этого центра, угол ср = 30° (рис. 56. 11). На какое мини­
мальное расстояние приблизится лазерный луч к центру симмет­
рии среды?
2000
11.75. Найдите сопротивление между точками А и В проволочной
сетки с квадратными ячейками (рис. 57.11). Сопротивление куска
проволоки длиной, равной стороне квадрата ячейки, г = 2,4 Ом.
11.76. Небольшая шайба В скользит по гладкой внутренней по­
верхности воронки, описывая окружность в горизонтальной плос­
кости. В результате незначительного толчка вверх вдоль поверхно­
сти скольжения шайба сошла с орбиты и вылетела из воронки со
скоростью v. Зная, что расстояние Н от начала координат до дна
воронки равно 100 см, Н г = 75 см, найдите V. Считать, что для
точек профиля внутренней поверхности воронки координата у об1
ратно пропорциональна квадрату радиуса воронки г: у ~
(см. разрез воронки на рис. 58.11).
А
В
Рис. 57.11
89
Рис. 59.11
Рис. 60.11
11.77. С горки с углом наклона к горизонту а съезжают по крат­
чайшему пути с постоянной скоростью v x санки массой М
(рис. 59.11). За санками бежит собака массой т и запрыгивает на
них. В начале прыжка ее скорость v0 и направлена под углом (3 к
поверхности горки. Найдите скорость санок с собакой, если извест­
но, что санки после соприкосновения с собакой не останавливались.
11.78. Тело массой т может совершать колебания с помощью
легкой пружины жесткостью k по горизонтальной поверхности пола
вдоль направления оси пружины (рис. 60.11). Трения между телом
и полом нет, но на тело во время движения действует сила сопротив­
ления, пропорциональная его скорости: Fc = - yv , где у > 0. В случае
недеформированной пружины телу сообщают скорость и0, и на него
начинает действовать сила, изменяющаяся со временем по гармони­
ческому закону. Оказалось, что полная энергия установившихся ко­
лебаний в любой момент времени равна начальной энергии систе­
мы. Считая известными т, к, у, v0, найдите циклическую частоту со
и максимальное значение F0 вынуждающей гармонической силы.
11.79. Говорят, что в архиве лорда Кельвина нашли график
циклического процесса, совершенного над идеальными газом
(рис. 61.11). От времени чернила выцвели и от координатных осей
р (давление) и V (объем) осталась только точка О их пересечения.
Из пояснений к тексту следовало, что в точке А температура газа
максимальна, а кратчайший поворот от положительного направ­
ления оси V к положительному направлению оси р совершается
против часовой стрелки. Восстановите по­
строением положение осей р и V.
*11.80. На два вращающихся в противопо­
ложных направлениях цилиндрических вали­
ка радиуса R = 0,5 м положили длинный одно­
родный брус (рис. 62.11) так, что его центр
масс оказался смещенным от оси симметрии
на ocL, где а = —, a L ■ 2 м - расстояние между
о
осями валиков. Затем брус без толчка отпус­
90
тили. Коэффициент трения между брусом
и валиками равен k = 0,3 и не зависит от
их относительной скорости. Угловая ско­
рость вращения валиков C0j = 10 с"1. После
того, как колебания установились, угловую
скорость вращения валиков уменьшили в
10 раз. Найдите частоту и амплитуду Л2
новых установившихся колебаний бруса.
*11.81. К двум точкам А и В, находя­
щимся на одной горизонтали, между
которыми расстояние 2а, прикреплена
тонкая легкая нерастяжимая нить дли­
ной 21 (рис. 63.11, а). По нити без тре­
ния скользит маленькая тяжелая бусин­
ка С. Ускорение свободного падения g.
1. Найдите частоту малых колебаний
бусинки
в плоскости, перпендикуляр­
ной отрезку, соединяющему точки креп­
ления нити.
2. Найдите частоту малых колебаний
бусинки С0ц в вертикальной плоскости,
проходящей через точки крепления нити.
3. При каком отношении l/а траекто­
рия движения бусинки в проекции на
горизонтальную плоскость может иметь
вид, представленный на рис. 63.11, 61
Рис. 62.11
П р и м е ч а н и е . При решении задачи по­
лезно воспользоваться формулой
(1 + х)1/2 ~ 1 + ^-х - \ х 2 + ... при х <$С 1.
2
о
*11.82. В электростатическом вольт­
метре сила притяжения между металли­
ческими пластинами 1 и 2 плоского кон­
денсатора С измеряется с помощью ана­
литических весов (рис. 64.11). При по­
стоянном напряжении Vx = 500 В между
пластинами 1 л 2 весы уравновешива­
ются разновесом массой т1 = 200 мг. На
пластины конденсатора подается перио­
дическая последовательность треуголь­
ных импульсов напряжения с длитель­
ностью т = 5 • 10~4 с и периодом повторе­
ния Т = 0,01 с (рис. 65.11). Чему равна
91
L, R
R\
амплитуда импульсов VQ9 если в этом слу­
чае весы уравновешиваются разновесом
массой т2 = 30 мг? Период собственных
колебаний весов много больше Т.
*11.83. В электрической цепи, изобра­
женной на рис.66.11, после установления
всех токов размыкают ключ К . Определи­
те, при какой величине сопротивлений Rx
через микроамперметр с внутренним со­
противлением г после размыкания ключа
Рис. 66.11
К протечет наибольший заряд Q. Все ос­
тальные параметры электрической цепи, указанные на рис. 66.11,
считать заданными. Внутренним сопротивлением источника напря­
жения и сопротивлением соединительных проводов пренебречь.
2001
11.84. На рисунке 67.11 показана траектория движения лод­
ки, которую оттолкнули от берега реки так, что в начальный мо­
мент ее скорость v0 = 1,0 м/с была направлена перпендикулярно
берегу. В точке С траектории лодка была через 1 с, в точке D через 2 с. Определите скорость и течения реки.
11.85. Теплоизолированный сосуд объема Vx разделен перего­
родкой на две части. В одной части сосуда, имеющей объем V2,
находится v молей сильно сжатого одноатомного газа при темпе­
ратуре Т. В другой части сосуда вакуум. В некоторый момент
перегородка разрушается. Определите установившуюся темпера­
туру Т газа. Известно, что при адиабатическом сжатии v молей
этого газа из сильно разреженного состояния с температурой Т до
объема Vx над газом совершают работу А г и его температура ста­
новится 7\, а при сжатии до объема V2
совершают работу А 2 и температура ста­
новится Г2.
П римечание. При сильном сжатии газа
существенно взаимодействие между его мо­
лекулами. В выражении для внутренней
энергии заданной массы газа появляется (по
сравнению с идеальным газом) дополнитель­
ное слагаемое, однозначно определяемое
объемом газа.
11.86.
Незаряженный цилиндричес­
кий конденсатор высоты L, радиусы ци92
линдрических обкладок которого R и R - d (при­
чем d R, L), касается поверхности конденса­
торного масла плотности р и диэлектрической
проницаемости I? так, как показано на рисун­
ке. За счет сил поверхностного натяжения мас­
ло поднялось в зазоре между обкладками на
высоту L/4. В следующий раз конденсатор за­
рядили и вновь опустили в масло. На этот раз
масло поднялось на высоту L/2 (рис. 68.11).
Рис. 68.11
Найдите заряд Q конденсатора.
11.87. В схеме на рисунке 69.11 конденса­
тор Сг емкостью С заряжен до напряжения U0
= 36 В, а конденсатор С2 емкостью 8С не заря­
жен. Сначала замыкают ключ К 19 затем - ключ
К 2, и в цепи возникают слабо затухающие ко­
лебания. Найдите для этих колебаний возмож­
ные значения (укажите интервал) начальной
амплитуды напряжения на конденсаторе С2.
11.88. Говорят, что в архиве Снеллиуса на­
шли рукопись с оптической схемой (рис. 70.11). От времени чернила
выцвели, и на рисунке остались видны некоторые лучи из пучка па­
раллельных лучей, падающих на идеальную тонкую линзу, и пучок
лучей, выходящих из точки А , находящейся в фокальной плоскости
линзы. Из текста рукописи следовало, что путем изменения наклона
линзы относительно падающего пучка Снеллиус добился того, что луч
АВ, проходящий через край линзы, претерпел наибольшее возможное
отклонение. Известно, что диаметр линзы равен двум дюймам (на схе­
ме размер одной клетки равен 0,5 дюйма). Найдите построением по
этим данным положения линзы и главной оптической оси.
П р и м е ч а н и е . Линза называется идеальной, если любой пучок па­
раллельных лучей после прохождения линзы собирается в ее фокаль­
ной плоскости.
93
*11.89. На наклонную плоскость, составляющую угол а с гори­
зонтом, поставили ящик массой М. Между дном и крышкой ящи­
ка с помощью пружин закрепили груз массы т (рис. 71.11). Груз
совершает гармонические колебания, описываемые уравнением х
. . 2п
= A sin
где х - смещение груза вдоль оси А , перпендикуляр­
ной наклонной плоскости, А - амплитуда колебаний, Г - их пе­
риод. Коэффициент трения ящика о плоскость ц = tg а. Найдите
94
К
среднюю скорость движения ящика за
время, много большее Т, полагая, что
ящик все это время двигался поступа­
тельно и не подпрыгивал по наклонной
плоскости. Найдите условие, при кото­
ром ящик не будет подпрыгивать.
*11.90. Электрическая цепь, схема ко­
торой изображена на рис. 72.11, состоит
из батареи с ЭДС I? = 10 В, резистора
сопротивлением R = 100 Ом, конденса­
тора емкости С = 8 мкФ и нелинейного
элемента НЭ, вольтамперная характеристика ВАХ которого изоб­
ражена на рис. 73.11. В некоторый момент времени ключ К за­
мыкается. Полагая, что сила тока, протекающего через НЭ, в любой
момент времени много меньше силы тока, протекающего через
батарею, определите количество теплоты, выделившейся на НЭ.
*11.91. Электрическая цепь состоит из конденсатора емкос­
тью С, идеальных диодов Dx и D2 и катушек с индуктивностями
Ьхи Ь2 = 4 Lj. В начальный момент ключ разомкнут, а конденса­
тор заряжен до напряжения VQ (рис. 74.11). Найдите зависи­
мость силы тока через катушку Ь2 от времени после замыкания
ключа и постройте график этой зависимости.
*11.92. Говорят, что в архиве Снеллиуса нашли оптическую
схему, на которой были изображены линза, предмет - палочка
длины I и ее изображение длины Г. От времени чернила выцве­
ли, и остались видны только две точки: вершина палочки S и
ее изображение S'. Из текста следовало, что главная оптичес­
кая ось проходила через середину палочки перпендикулярно
ей. Определите построением положения линзы, главной опти­
ческой оси, фокусов линзы, предмета и его изображения и ука­
жите, какая это линза (собирающая или рассеивающая), если
I = 5 см, V = 2 см, SS' = 15 см.
Решения задач
теоретического тура
класс
9.1.
По графику зависимости ускорения от времени a = a(t)
строим график зависимости скорости от времени v = v(t), пло­
щадь под которым численно равна перемещению (рис. 1). Из по­
строенного графика видно, что корабль удалится на максималь­
ное расстояние через 12 с после начала движения.
9.2. Условия плавания кувшина с монетами в воде:
(М + 147 m)g = pBVg,
(1)
М - масса кувшина, т - масса одной монеты, V - объем кувши­
на, рв - плотность воды;
после того, как Абдулла высыпал из кувшина монеты,
M* = pB(1-i) ^
(2)
Решая (1) и (2), находим
147т = | р вУ, т = ^
96
= 4,54 г.
9.3.
В аквариуме с теплолюбивыми рыбами энергия, поступаю­
щая от нагревателя, в конечном счете полностью передается окру­
жающей среде. Условие теплового равновесия при этом имеет вид
Р0
_ *о)>
где а - коэффициент пропорциональности мощности теплообмена.
Для аквариума с хладолюбивыми рыбами уравнение теплового
баланса:
Рг = а(*0- tx)9
где Рг - мощность, подводимая к воде аквариума из окружающе­
го воздуха. Эта же мощность должна отводиться водопроводной
водой:
Рг Ат = с Am(tx - t j .
откуда
Ат
Ат
Р\
c(*x “ * i ) ‘
Р,
Ат
Поскольку ^ = (f0“ U / (К - *о)> получим — =
__
Ро(Ч “ О
,
---- ~ 9,5 г/с. Расход воды для аквариума с менее хладолюбивыАт
ми рыбами равен
Ат _
ро(*Ь - 0
At ~ с(< - 0(«, - *о) “ ’ Г/С‘
Как видим, разводить рыб, предпочитающих температуру
16 °С, в 4 раза экономичнее.
9.4. Сумма сил токов, вытека­
ющих из точки А , равна сумме сил
токов, втекаю щ их в точку В
(см. рис. 2):
Л + h “ h + h(i)
Напряжение между точками А
и В для верхней ветви равно
U = I 3R + I 2R
(2)
и такое же напряжение для сред­
ней ветви:
U = i\ • 3R + I 4R.
(3)
Из (1), (2) и (3) получаем: / 2 = 21г
9.5. По условию цепочка гибкая. Это означает, что сила натя­
жения в каждой точке направлена по касательной. Рассмотрим
правую половину цепочки, которая представлена на рисунке 3.
97
Горизонтальная составляющая силы на­
тяжения везде одинакова. Она равна по
модулю силе натяжения в нижней час­
ти цепочки. Поэтому Т0 = Тг cos а, или
m .
1
m
mg
Т, sin а = - mg, откуда 1\ =
Определяя sin а из рисунка, получим
mg
1,05 Н;
2 sin а
Рис. 3
= 0,3 Н.
Аналогично найдем силу ТА:
mg
Ta - cos аА = Tl cos а => ТА = — ctg а
1
= 0,65 Н.
9.6.
Из графика зависимости температуры t в тигле от времени
т следует, что ш = 80 г олова плавились в течение Ат = 12 мин.
Чтобы найти удельную теплоту плавления олова, необходимо оп­
ределить мощность, которая непосредственно затрачивалась на
плавление. В начале процесса нагревания тигля, когда его темпе­
ратура близка к температуре окружающей среды, можно пренеб­
речь теплоотдачей в окружающее пространство и считать, что пол­
ная мощность электронагревателя затрачивалась на нагревание
тигля. Скорость возрастания температуры, определенная по на­
клону касательной на начальном участке графика (рис. 4) состав­
ляла в этом случае ~ 60 К/мин.
Рис. 4
98
При температуре плавления олова (£пл = 232 °С) скорость воз­
растания температуры равнялась «18 К/мин, т. е. приблизитель­
но в 3 раза меньше. Это означает, что теплоотдача в окружающее
пространство при t = tnjl составляла приблизительно 66% от пол­
ной мощности нагревателя, а 34% мощности затрачивалось на
согревание тигля. Такая же доля мощности нагревателя затрачи­
валась на плавление олова при t = £пл. Из этих данных можно
определить удельную теплоту X плавления олова:
0,34Р0 • Ат
0 ,3 4 -2 0 1 2-60 Дж
т
0,08
9.7.
Обозначим напряжение источ­
ника через I?. По условию внутренние
сопротивления источника и ампермет­
ра равны нулю. Пусть сопротивление
реостата равно г, сопротивление неиз­
вестного резистора равно R и сопротив­
ление нагревателя равно Z (рис. 5). Из
схем II и III ясно, что при включении
резистора между точками АВ и АС сила
тока, текущего через источник, оста­
ется постоянной и равной / 3 = 0,3 А.
Кроме того, очевидно, что сила тока,
текущего через нагреватель, тоже оди­
накова и равна
/ 2 = 0,05 А.
В свою очередь сила тока через резис­
тор
I r “ h ~ h = 0,25 А.
Для вычисления КПД все сопротивле­
ния удобно выразить через Z . Из условия I rR —
^
= 61
кДж
кг
Рис. 5
При параллельном соединении R и Z
5к .
получаем Яобщ = —.
Используя закон Ома, сравним силы тока:
/ х= —
= 0,1 A, J3 = r + :Z = 0 ,3 А.
6
Решая систему, получим г = —.
Итак, для схемы I определяем КПД:
99
I~Z
I i { z + r)
= — = 0,8 => rij = 80%.
Z +
КПД для схем II и III один и тот же:
i\z
112 = Л з =
4 { г + Яобщ)
52 10"4Z
z
3" 10
4
- 0,067 => Г|2 « 6,7%.
+ -6
П р и м е ч а н и е . Зная КПД
в первом случае, можно получить Г)2 = Лз
путем следующих рассуждений. Сравнивая схему II со схемой I, ви­
дим, что сила тока через источник возросла в три раза. Значит, пол­
ная мощность также увеличилась в три раза. Сила тока нагревателя
уменьшилась в два раза, а значит полезная мощность уменьшилась в
%
1
четыре раза. Итак, Л2 = Г)3 = —— = —
= 6,7 %.
9.8.
В первом случае, когда массы шайб одинаковы, они будут
двигаться вдоль биссектрисы угла, образованного половинками нити
(рис. 6). Поскольку длина каждой половинки равна R, то из рисунка
следует, что а = 30°. Ясно, что силы натяжения половинок нити
одинаковы. Движение равноускоренное. Ускорение каждой шайбы
F
равно а = ах = а2 = (2м) * где М ~ масса
каждой шайбы. Напишем уравнения дви­
жения, например, шайбы 1 в проекциях
на оси координат:
По оси х :
F
Т cos а = Ма =$ Т = ------- ,
2 cos а
F
где а = 2 М ’
По оси у:
N - Т sin а = 0 => N = Т sin а.
F
Таким образом, N = — tg а =
F
Во втором случае, когда М г = М,
М 2 = 2М, шайбы будет двигаться под не­
которым углом (3 к биссектрисе (рис. 7).
Очевидно, поступательное движение
шайб возможно, когда линия действия
силы F проходит через центр масс сис100
темы. Легко получить, что центр масс
системы находится на прямой, соеди­
няющей центры шайб на расстоянии
2
—Д от центра шайбы с массой 2М. Тог­
да, используя рис. 7, находим
** $- 1 48° - шУскорение каждой из шайб равно
F
Запишем второй закон Ньютона для движения шайбы М в про­
екции на направление Ох\ перпендикулярное силе натяжения Тг
(рис. 8):
F sinfa + (З)
N cos a= Ма cos (90°
a
(3)
=
Ма
sin
(a
+
(3)
=>
N
=
—----------v
v
3 cos a
После тригонометрических преобразований находим
„
4F . п
п
tg(3
N = — sin Р; sin р = / .........
з
Vi + te a
Окончательно N =
2F
l
>/28 '
~ 0,25 F.
9.9.
Заметим, что треугольник ФСТг и rjHjTj (т. е. “фонарь основание фонарного столба - тень головы” и “голова - ноги - тень
головы”) всегда подобны (рис. 9). Голову человека и ее тень условно
считаем точками. Из этого легко получить, что тень головы движет­
ся по прямой, параллельной краю тротуара и находящейся на рас­
стоянии L от столба. А это означает, что
расстояние ТгТ2всегда в L/1 раз больше рас­
стояния Н ^ . Следовательно, скорость и
тени головы человека в эти же L/1 раз боль­
ше скорости самого человека и:
vL
и= т Из подобия треугольников ФСТ и ГНТ
находим:
§ = (L ~ l)h,
Рис. 9
101
H
L
(H -h )'
l
Таким образом, скорость и тени го­
ловы человека не зависит от расстоя­
ния х и равна
уН
и= (H -h )’
График приведен на рис. 10.
9.10.
Крити
ния модели крокодила соответствует
положению неустойчивого равновесия; сила тяжести уравновеши­
вается выталкивающей силой, действующей на суммарный объем
модели и пакетов с воздухом. Обозначив через М, рм, VMмассу,
плотность и объем модели крокодила, через V0, Vc и Va - объемы
воздуха в полиэтиленовых пакетах соответственно над водой и
при погружении на критическую глубину в морской и речной
воде, а через р0 - атмосферное давление, запишем:
M g-pjy.+ vjg
( 1)
в морской воде;
M g - p j y u +Vu)g
(Г )
в речной воде.
При погружении объем воздуха в полиэтиленовых пакетах
уменьшается, причем согласно закону Бойля-Мариотта
Pov o = (Ро + PcSKWo
(2)
PoVo = (Ро + РпёКЖ(2')
Это две системы уравнений, которые нам понадобятся. Произ­
ведем преобразования уравнений (1) и (Г):
Р Л = PC(VK + V.)
(3)
в морской воде,
Рм^м = Рп(^м + Vu)
(3')
в речной воде,
Р Л = (Рм - PcF«
(4)
в морской воде,
Рп^п = (Р« - P„F m
(4')
в речной воде.
Из последних двух уравнений находим
Р .У .
=
PnV „
Рм - Ре
Р м - Р„ •
Взяв величину VJVn из уравнений (2) и (2'), имеем
р с( р
102
0 +
p ng / g ( p M -
р
п) =
р п( р
0 +
р
^
сК
Рм -
Р с ).
откуда после преобразований получаем
1150 кг/м 3.
Рм
9.11.
Рассмотрим движение вагонетки в системе отсчета, свя­
занной с бегущим человеком: благодаря наличию упругого шнура
движение описывается уравнением для гармонического колеба­
ния и скорость вагонетки изменяется от - v0 до + v0. В неподвиж­
ной системе отсчета скорость вагонетки возрастает от нуля до 2v0
(в момент уменьшения силы натяжения шнура до нуля), после
чего вагонетка продолжает двигаться со скоростью 2v0 вплоть до
неупругого столкновения с похитителем. В результате этого стол­
кновения похититель оказывается на вагонетке (и теряет созна­
ния). Из закона сохранения импульса при столкновении
М2и0 + ти0 = 1,8 (т + M)v0
получаем М = 4т = 320 кг.
9.12.
Обозначим через R сопротивление обмотки утюга, через а коэффициент теплоотдачи в окружающую среду. Если утюг включен
в сеть дома у Гены, то уравнение теплового равновесия имеет вид
ту2
-Jj- =
«(*1 - *о)-
Если утюг включен в сеть дома у Чебурашки, то
U2
^
^(^2 _ *о)*
Из этих уравнений легко получить
U2
^2 = ^0
Jj2 (^1 ~~ *0) = 341
С.
Таким образом, если утюг включен в сеть 220 В, то гладить им
рубашку нельзя - температура утюга слишком высока. Однако
способ выгладить рубашку существует: надо во время глажения
попеременно включать и выключать утюг.
П р и м е ч а н и е . Можно легко оценить, какую часть времени X утюг
должен быть включен в сеть, если необходима температура t3:
XU2
д
ос(£3 t0);
Х = Ч__Ч или X = El ч__
Ui ч ~ ч
Ч “ ^0
Например, для температуры tz = 300 °С получаем X = 280/341.
103
9.13.
Пусть R - радиус кривизны тра­
ектории в верхней точке (рис. 11); нахо­
дим
R = (vocos g)2
g
Ускорение птицы в верхней точке равно
Рис. 11
U, — R — cosОа
9.14.
Пусть L - расстояние между АВ и ССг в момент удара
второй шайбы о доску, a tx - время движения второй шайбы до
удара о доску (рис. 12).
L = (v2 sin ос)^.
(1)
При упругом ударе о неподвижную массивную стенку скорость
шайбы v± меняет направление на противоположное, оставаясь не­
изменной по модулю. Перейдем в систему координат, связанную
с движущейся доской. При этом и \ = v2 sin ос + и. После удара
скорость шайбы направлена от стенки и в неподвижной системе
координат равна v2 sin а + 2и. Таким образом,
L = (и2 sin а + 2u)t2,
(2)
где t2 - время движения второй шайбы после отскока от доски до
о
^1 ^2 = п.
соударения с первойо шайбой,
причем —-—
h
Из (1) и (2) находим
(п -
1 )
V2 = 2U т~---- т—;----.
z
(2 -n )sm a
Проекции скоростей шайб на направление
ССг одинаковы, поэтому
= v2 cos a,
(n - llcosa
vi1 = 2u (2
To—
- n) sin—a •
9.15.
Пусть теплоемкость воды в термосе
равна Ст, а теплоемкость бутылочки равна
Сб. Запишем уравнения теплового баланса для
обоих случаев:
CT( f - *i) = C6(tj - t0),
Рис. 12
104
CT( t , - t 2) = C6(t2 - t 0),
откуда
^ ^1
t\ —
t\ Ч
^2 “ ^0
to)+*»(*-О
3 2 ,7
°C .
(t-*o)
9.16.
Пусть I - сила тока в цепи, U напряжение на лампе. Согласно опреде­
лению КПД (см. условие)
IU
= 0,25.
IU + R r
Отсюда / = 0,3 U. Это уравнение прямой
в координатах I - U, проходящей через
начало координат. Построив ее на графи­
ке (рис. 13), находим две точки пересече­
ния. Таким образом, возможны два ре­
шения:
1) 1г = 1,5 A, U, = 5 В, <§% = U, + I XR = 20 В;
2) / 2 = 6 A, U2 = 20 В,
= U2 + I 2R = 80 В.
Здесь
напряжения сети в этих двух случаях.
9.17. Площадь под графиком численно равна искомому време­
ни (действительно, Ax/v = At). После несложных вычислений по­
лучаем: t = 28,5 с.
9.18. В засушливую погоду (т. е. при малой влажности) коли­
чество испаряемой воды из водоема пропорционально площади
водной поверхности, а это значит, что для всех прудов будет по­
стоянной скорость уменьшения глубины прудов. Фактически доль­
ше всех будет пересыхать самый глубокий пруд. Разделив ука­
занные в условии объемы воды на измеренную на фотографии
площадь для каждого из прудов (S 1 = 250 м2, S 2 = 100 м2,
S3 = 1000 м2, S4 = 40 м2), находим: hx = 0,8 м, h2 = 0,3 м, h3 = 0,5 м
иЛ 4 = 0,05 м, так что последним пересохнет пруд 1.
9.19. Обозначим площадь горизонтального поперечного сече­
ния шхуны через S (поскольку борта шхуны считаются верти­
кальными, S постоянно для всех случаев), плотность менее соле­
ной воды через рп, более соленой - через рс. Тогда в менее соленой
воде тп = рnShn, в более соленой тс = рcShc.
Сразу же получаем
Р,с_
Р.п
nhK
К
1 ,2 6
1,2
1,05.
105
Далее, обозначив через Vn объем воды, вытесняемой порожним
судном в менее соленом море, а через Vc - в более соленом, полу­
чим:
= РпК’ то = Р Л , /
V„ - Vc = S(hc - К) = Shc
£а.
Рс
Sft = ^
_ Лк
Рс
Рп
г
т0
' тс т п у рср„
, Рс
Рп
J
Рс “ Рп
тс - 1,05тп
или
1,05-1
-
Л
P-L
}п У
Л
/
= 210 т.
Рс.
VРп
J
9.20.
На двух рисунках (вид сверху и вид сбоку) изображена схема
движения фургона (рис. 14,а и б). Отметим на каждом из этих рисун­
ков по два положения задней стенки фургона: (1) в тот момент, когда
тень верхушки дерева начинает движение по стенке и (2) в тот мо­
мент, когда она завершает это движение. Из первого рисунка видно,
что тень должна двигаться справа налево, а из второго - сверху вниз,
т. е. от точки D к точке А (рис. 14,в). Другие тени будут двигаться
параллельно этой линии. Обозначим время пробегания тени по зад­
ней стенке через т, скорость фургона - через и, угол между направле­
нием дороги и азимутом направления на Солнце (в нашем случае,
поскольку дело происходит ровно в полдень - это направление СеверЮг) - через а, а высоту Солнца над горизонтом - через Р, тогда будут
справедливы следующие соотношения:
АВ
BD
v = А 1А 2 , tg а = AiA2 >tg р = а 2в г
т
U a I 2+I^|2= Ia a I2.
Поскольку в нашем случае т = 0,1 с, а = 45°, |АВ | = | А гА 21= 2,5 м,
|БХ)| = 2,0 м, получаем
2,5м
25 м/с = 90 км/час,
v=
0,1с
2м
* * р - 7П
^ ‘ ° - 57' е ” 30"-
9.21. При полете по прямой: mg = Fx = kv02, где Fx - подъемная
,
mg
сила, отсюда k = - о - .
При движении самолета по окружности в горизонтальной плос106
кости (рис. 15) подъемную силу Р2 можно разложить на составля­
ющие:
по оси у: mg = F2 cos а = kv2 cos а,
.
v2
по оси х: F2 sin а = /п—.
R
Из последних равенств находим
V*
1
sin а = — = — => а = 30°,
gR
2
и = -/ U°^= ~ 215 м/с « 774 км/ч.
Vcos а
107
9.22. Уравнение движения первого
шарика по оси х (рис. 16):
хг =
COS OCj • t.
Используя график х г = f(t), получим
2
^coso^ “у/з
tl
v1 = 10 м/с = v2 = v,
где и v2 - начальные скорости перво­
го и второго шариков соответственно.
Время полета первого шарика до удара о плоскость
2v sinaj
= 1с;
g
время полета этого шарика после удара
=
7
-
2
5
I е -* 1
7
5
Итак, первый шарик через время t = — с окажется на высоте
Ух
= (v sin
6
т-
5 М'
В то же время, равное t = — с, высота, на которой находится
э
второй шарик, равна
у2 = (и sin a 2)£
gt2 ЛА .
49
- у = 14 sin a 2 - — .
Заметим, что к моменту t второй шарик еще ни разу не уда­
рится о поверхность. Это можно показать, оценив время его по­
лета до первого удара. Описанная ситуация проиллюстрирована
на рис. 16.
49 _ 6
По условию задачи уг = г/2. Следовательно, 14 sin a 2 " 5’
откуда
11
14
sin a 9 = — или a 9 « 52°.
2
2
Расстояние I между шариками в момент времени Т = 1 с равно
вТ
+—
l = |Дг| = |гх - г21= V.T
1
2
vzT +
g ti2 Л
= \щ - Цт =
yjv% + v\ - 2vlv2cos(a2 - a j • T = Vl4 м ~ 3,7 м.
108
9.23. Вначале лед, масса которого лг, вытесняет объем воды
Vx = “ , где р! — начальная плотность воды. После того, как лед
171 растаял, вытесняется объем
а
массы —
воды лт
У2 = - т— , где р2 - ко-
2
2р2
т
нечная плотность воды. Объем добавившейся воды V = ~ , где р плотность пресной воды. Изменение уровня воды в сосуде равно
т 1 t 1 1
~S 2р2 2р рх
Конечная плотность воды р2 равна отношению полной массы воды
Ыг = У2 +У' - Уг
pxV +
к полному объему V +
т.е.
V+
Р2
P i'
F+
т
2Pi
т
где V = 1 л — начальный объем воды.
Подставляя числовые значения, получим
р2 = 1,1 г/см2 и АЛ ~ 0,85 см.
Таким образом, уровень воды в сосуде повысится.
9.24.
Иллюстрацией к решению служит рис. 17. Запишем для
первого случая:
до
и
I\R
=
- t0), I x = R0 + R ’
следовательно,
U2R
2 ^(^1 “ *o)(■R0 + R f
Аналогично для второго случая
I,
1
=
U
т
2 (R , R
R° +J
и
U2R
=
k(tx - t0).
( 2)
4l^ +f
109
Разделив (2) на (1), получим
tx
(^i
*0)
(Др + д)2
= 18 °С.
Таким образом, tx = 38 °С.
9.25.
Найдем сопротивление куска проволоки, через который
при напряжении 17 = 220 В течет максимально допустимый ток
I = 1 А:
R = U /I = 220 Ом.
Из заданного куска проволоки можно сделать 4 куска сопро­
тивлением R = 220 Ом каждый, которые затем нужно соединить
параллельно. Оставшийся кусок проволоки, сопротивление кото­
рого г = 1000 - 4*220 = 120 Ом, не используется, так как если
подключить его параллельно, то через него будет протекать ток,
превышающий наибольшее допустимое значение, а любые другие
способы подсоединения уменьшат общий потребляемый ток, а
следовательно, и мощность нагревателя. Таким образом,
=
= 4-220 = 880 Вт.
9.26.
Скорость поступательного дви­
жения оси катушки (рис. 18) равна
Перейдем в систему отсчета, движу­
щейся со скоростью v0. В этой системе
катушка вращается вокруг точки О,
причем скорость вращения обода катуш­
ки по модулю равна v0. Отсюда нахо­
дим угловую скорость вращения
v0
V
D 10
со = — = ------- .
Рис. 18
г2
гг + г2
9.27.
Так как брус движется, все время оставаясь в горизон­
тальном положении, то ускорение тел, массы которых равны т1 и
g
т2 соответственно, равно — и направлено вниз (рис. 19). Запишем следующую систему уравнений:
Щg
2
m2g
. 2
110
Щ 8-Т1г
m2g - Т2
и уравнение для моментов сил относи­
тельно точки О:
Тгх = Т2(Ь - х).
Отсюда х = L ——— = 0,6 м.
пг1 + тп2
9.28.
Размеры (в том числе и угловые)
изображений шахматных фигур, нарисо­
ванных учащимся, неизвестны, однако
можно использовать любые соотношения
размеров фигур и расстояний между ними
на рисунке, изображающем фигуры и гла­
за учащегося. На рис. 20 условно показа­
m2g
ны сами фигуры, стороны угла, под кото­
Рис. 19
рым они видны учащемуся, а на рис. 21 дан вид сверху на фигуры, стоящие на
столе, и направления, под которыми уча­
щийся видит фигуры тем или иным гла­
зом. Сначала находим соотношения меж­
ду высотой Н изображения фигуры на ри­
сунке, углами срх и ср2, под которыми на­
блюдателю видны фигуры, и расстояния­
ми Lj, L2 о т глаз до фигур:
Рис. 20
<Pi-£>i = (p2L2 = Н.
(1)
Откуда
^2
Ф1
( 2)
А = Ф2 ’
Затем из рис. 21 находим соотношение между угловыми расстояния­
ми (а, Р) между фигурами, расстояниями от глаз до фигур и расстояни­
ем между глазами наблюдателя, которое по условию равно Д = 65 мм:
хл
ocL 2,
хп
Р-^2*
(2 )
Фигура 2
Ь2
Рис. 21
111
Угол
с одной стороны, равен
А
(4)
Y= V
с другой,
(5)
У
Приравнивая (4) и (5) друг другу, с учетом (3) получаем
А = ^(а-р)
h
L2 - Li
А
= <Pi(a-P)
•
( 6)
С учетом (2)
,
h
Фх - <Р2 ’
Взяв отсюда выражение для L1 и подставив его в (1), получаем
Д
а(ф!-Ф 2)
Л
ос - р
( 8)
Углы в формуле (8) прямо пропорциональны измеряемым на
рисунке с помощью измерительной линейки размерам, поэтому
Н ~ 6 см.
9.29.
Пусть L — длина произвольно­
го участка реки. С этого участка льди­
ны соберутся в сплошной ледяной слой,
длина которого х = Ln (рис. 22). При
скорости движения границы и это проо
Х т
изойдет
за время т = —.
Тогда ит + ит =
= L, откуда
nv
и = ----- = 0,022 м/с.
1 -п
Сила давления льдин на единицу дли­
ны границы затора равна импульсу, передаваемому в единицу вре­
мени затору останавливающимися льдинами. За время At к еди­
ничной длине границы присоединяются льдины общей массы
Ат = puhAt. Тогда можно записать
FAt = v • Ат = рuhvAt.
Таким образом, сила давления на единицу длины границы затора
равна
шг
F=
рh = 0,8 Н/м.
1- п
112
9.30.
Сила реакции пола в момент толчка N = m(g + а). Пусть
v — скорость центра масс в момент отрыва ног от пола, тогда
ускорение а =
. С другой стороны, из закона сохранения энер­
гии v2 = 2g^h -
Отсюда следует, что а = g. Таким обра­
зом, средняя сила давления на пол равна
F = N = 2mg = 1470 Н.
9.31.
1) Зная наклон кривой при т = 5 мин (рис. 23), находим
массу тх воды в момент окончания плавления льда:
РА т = m ^ ^ t ;
Р Лт
^ 1 = “ — ~ 0,86 кг.
2) Аналогично находим массу т2 воды при т = 12 мин (начало
кипения):
т2 ~ 0,34 кг.
Следовательно, за время нагрева воды от 0 °С до 100 °С (7 мин)
масса воды изменилась на Ат:
Ат = тг - т2 = 0,52 кг,
отсюда
р=
Ат
АТ
= 0,074 кг/мин.
3) Первоначальную массу т0льда можно выразить через удель­
ную теплоту плавления q:
РАт
^О льда “
5
Козел
—
=
0»53
КГ.
113
4) В начале эксперименты (t = 0) в калориметре было воды:
т 0 воды = Щ
+ ИД т -
т 0 льда =
= (0,86 + 0,074 • 5 - 0,53) кг = 0,70 кг.
5) К моменту времени т = 17 мин испарилось:
А
РДт
А т пара =
—
~ 0 ,0 8
КГ.
За время испарения из калориметра дополнительно вытекло
= |АДТ ~ 0,37 кг.
Таким образом, Дт^щ = д ягпара + Дтоводы « 0,45 кг > т2, т. е.
это означает, что к моменту времени т = 17 мин воды в калори­
метре не осталось!
(Возможны незначительные отклонения числовых значе­
ний.)
9.32. Напряжения в точках 1, 2 и 3 по отношению к точке 0
Д т воды
приведены на рис. 24. Через R3 течет ток / 3 =
В3
, сила тока че-
рез R2 равна 12 = — ; сила тока через Rx равна 1г = — .
Применим первый закон Кирхгофа для узлов А и В.
1. Допустим, что R3 = R2 = R , тогда для узла А:
2_
_ 6_
_4_
3 ~ R ~ 10 +
R
= — ; Л = 5 Ом;
для узла В:
6
2
_2_
Rx = 2,5 Ом.
5 ~ 5 + R1
2. Допустим теперь R3
да для узла В:
2
JRj = R. Тог-
_2_
5 + R
=> R = 10 Ом;
для узла А:
6
/ 33 = 10
—
4
10
4
= R2
Д2
2 = 20 Ом.
3.
Допустим, что R2 = Rx = R. Тогда
для узла В:
4_
4_ = 2
_2_
10 + Л “ 5 + R '
114
Это равенство не выполняется. Таким образом, третий случай
невозможен.
9.33. Ответ: v = (со2г2 - со1г1)/2.
9.34. За время At скорость тела изменится на Av = tgaAx, где
а — угол наклона прямой. Отсюда ускорение тела равно
а = — = tg а —- = v tg а = * tgz а.
At
At
Следовательно, сила, действовавшая на тело в точке с координа­
той х 0, равна
2
F = та = т х0 tg2 а = —Н.
о
9.35. Используем закон Архимеда:
mg =
Заметим также, что
т л =
Р лС ^айсб “
^ п о л )» ^ в ы т =
S A fl, g ^ а й с б = ^ в ы т "
Решая совместно эти уравнения, получаем
F
= S А/г2Рл ~ Рв = 1090 см3.
пол
Рл
9.36. Рассмотрим маленький элемент жидкости на поверхнос­
ти планеты рядом с Вэйлом. Обозначим массу этого элемента че­
рез т. На него действуют сила тяжести и сила реакции окружаюг»
т£Р
щей« жидкости. тт
Первая направлена к центру и равна Ртяж
= -----,
Ро
а вторая Рреак направлена перпендикулярно поверхности планеты
(рис. 25). Их сумма равна
I Кяж + -Рреак | = m(j)2R cos а
и должна быть направлена перпен­
дикулярно оси вращения планеты.
Отсюда находим
t
о =
mg sin ар/ро______ =
mg cos а р /p0 - mo)2R cos а
_______ t g a
~~ 1- р 0ю2Л /(g p ) ’
где со = 2n/T. Окончательно полу­
чаем 3 ~ 60°.
115
9.37. l . v 0 = H /t0.
2. Скорость течения реки и = Ри0; за
время переправы лодку снесет на рас­
стояние L = ut0 = РvQt0.
3. Скорость лодки относительно сис­
темы координат, связанной с берегом,
равна v = й + v0 (рис. 26). Из рисунка
Рис*26
видно, что минимальное расстояние LMHH
сноса лодки соответствует случаю, ког­
да скорость лодки v направлена по касательной к окружности
радиуса v0. Из подобия треугольников скоростей и расстояний,
имеющих общий угол а, получим
L MHH
=
Н
V_
V0 ’
и так как v -L v0, находим
v
Ju2 -V о
4™ - н - = H v
=
I--------
4.
Время переправы лодки, когда ее сносит на минимальное
расстояние, равно
Я
t = -------v0 cos а
^
cos а
Р
0д/р2 - 1 *
9.38.
Рассмотрим вспомогательную задачу. Пусть кубик на­
ходится на горизонтальной поверхности, движущейся с уско­
рением g/2 (трение достаточно велико). Определим расстояние
от центра массы кубика до линии действия силы реакции опоры
(рис. 27).
Ясно, что N = mg, FTV= m g/2. Из уравнения
моментов относительно полюса О следует:
N x = FTp
отсюда х =
а
4
По третьему закону Ньютона вес Р кубика
и реакция опоры N действуют вдоль одной
прямой.
116
Возвращаясь к исходной задаче, можно утверждать, что ли­
нии действия веса каждого кубика смещены относительно центра
масс кубиков влево на х = а /4.
Напишем условие равенства моментов сил, действующих на
весы:
з \1—
P ia
2
cl
a
= p2a3g l * ~ 2 + 7
о
——
4
I
.
P 2 |* " f
Pi\l ~ J a
отношение плотности материалов кубиков 1 и 2 равно
£l
Р2
9.39.
Теплообмен между кастрюлей и окружающей средой про­
порционален разности температур tK- t, где t - температура кас­
трюли. При плавлении льда t = t0 = О °С:
тк
ч
m X = A (tK- t 0)х, А = - ^ — ^ .
Здесь т - масса льда, А - коэффициент пропорциональности. При на­
гревании воды массой 2т от О °С до 1 °С (At = 1 °С) теплообмен остался
таким же, как и при плавлении льда. Поэтому можно записать:
сAt • 2т = A(tK- t0)Ax г = тк—^~.
Отсюда
А
Clal
•
ZX
.
Л
Ail = — ----- = 4,2 мин.
л
При нагревании воды от t = 20 °С до 21 °С (Д* = 1 °С) потребу­
ется время Дт2:
tK- 10
Дт2 = Ат1~ ~ ~ = 21 мин.
ТК
г
9.40.
1. Пусть в первом случае сопротивление реостата равно
-Rx, во втором - равно R2. По закону Ома имеем:
| / 1(г + Л1) = £7,
\ l 2{r + R2) = U,
(1)
Р
Р
6
где R, = - - = 12 Ом, Ro = - f = — Ом.
А
2 1\
5
117
Решая систему (1), получим
РЛ - р2п
h h ih -h )
36 в,
г = P i h - h h = 6 Ом.
h h (h ~ h )
2. Если сопротивление реостата равно нулю, то
~ = 6 А.
г
3.
В общем случае мощность, которая выделяется на перемен­
ном сопротивлении R, можно представить в виде:
u 2r
P r = i 2R = (R + r f
ИЛИ
PR —IU - I 2r,
где IU - мощность, развиваемая источ­
ником. На рис. 28 представлена зави­
симость Рл(/). Это парабола, вершина
которой Рмакс соответствует силе тока
I =
2г
Следовательно,
О ч -гГ
откуда JRM= г. Итак,
-Рмакс =
= 54 Вт,
д м = 6 Ом.
9.41.
Обозначим точки подсоединения Р 5 через С и D. Рассмот­
рим две схемы, получающиеся из исходной путем разрыва между
точками С и D (рис. 29) и закорачивания этих же точек (рис. 30).
Пусть напряжение между клеммами А
и В равно U. Тогда силы токов в этих
схемах
и_
Л
11’
и_
JW 4
77 ’
1г 1= г = —
11 ’ 1г 3 = ^г -
J7
77 ’
Заметим, что силы токов через каждое из сопротивлений jRx,
# 2, JR3, JR4 одинаковы для обеих схем. Ясно, что схема на рис. 31
эквивалентна схеме на рис. 30. Сила тока через перемычку CD
0.
Поскольку сила тока на участке CD равна нулю, независимо от
величины R5, т о и R^ не зависит от R5. Таким образом, для расче­
та сопротивления R ^ можно использовать любую из схем на
рис. 29-31. Воспользуемся схемой на рис. 29 и найдем:
(Rj. + В2 )(r 3 + R4 )
= 9,625 кОм.
Ri + R2 + R3 "**-^4
(Совпадение с R5 случайно!)
9.42. Так как теплопередача пропорциональна разности темпе­
ратур, то температура внутри стекла изменяется линейно. Оче­
видно, что температура воздуха между
стеклами не зависит от расстояния меж­
ду ними. Сложим два стекла вместе.
Для этого случая график температуры
представлен на рис. 32. Линия АА со­
ответствует первому случаю, а линия ВВ второму. Из графика видно, что темпе­
ратура воздуха в раме, установленной
толстым стеклом наружу, равна +10 °С,
а во второй раме - 0 °С.
9.43. При упругих ударах о стенки
угол падения равен углу отражения.
Таким образом, движение шайбы мож­
но рассматривать на фигуре, получив­
шейся последовательными отражения­
ми треугольника относительно одной из
боковых сторон (рис. 33).
R,
119
При малых Z. АВС эту фигуру мож­
но приближенно считать окружностью,
а хорды I вычислять по формуле
I = 2АВ • sin ос = 2L • sin а.
Искомое время между ударами
v
v
9.44.
Выберем прямоугольную сис­
тему координат Оху, как показано на
рис. 34. Рассмотрим силы, действую­
щие на шарик т до того, как верхняя
пружина оторвется. Так как шарик в этот момент находится в
покое, то
по Ox:
Fx cos 45° + (F2 + mg) sin 45° - F3 = 0,
no Oy:
Fx sin 45° - (F2 + mg) cos 45° = 0.
Условие покоя груза M
F \ = F2 = M g.
Решая эту систему уравнений, по­
лучим
F3 = V2 (М + m)g.
В начальный момент после отрыва
пружины на шарик т будут продол­
жать действовать силы m g , Fx и F2.
Следовательно, его ускорение в началь­
ный момент будет направлено вдоль оси
х и равно
М + 171
а = — = 42
т
т ~g9.45. Рассмотрим два случая.
1.
любая.
Если v0 < j2 g H , то скорость и
2.
Пусть v0 > j2 g H . Рассмотрим си­
туацию, когда траектория камня каса­
ется прямой, вдоль которой летит пти­
ца. Г ори зон тальн ая п роекция v r
(рис. 35) скорости камня в течение все­
го его полета сохраняется. Ясно, что
120
при vT> и мальчик может попасть в птицу, а при иг < и - нет. Из
закона сохранения энергии следует, что vr =
- 2 g H . Таким
образом, мальчик не сможет попасть в птицу, если и > № - 2 g H .
9.46.
Пусть т - масса каждой из досок, a vx - скорость систе­
мы после прекращения относительного движения досок. Запи­
шем закон сохранения импульса:
2
(2m)v0 = (З т )^ => I?! = - vQ
(1)
и закон сохранения энергии:
(2m)vl _ (3m)vf
~~Ъ.
9
, ^ , л
+
Q
+ А гр’
( 2)
где Q - количество теплоты, выделившейся при неупругом ударе
досок 2 и 3, АгР - работа силы трения при движении доски 1 по
доске 3.
Так как трение между досками 1 и 2 отсутствует, в течение
процесса неупругого удара к системе брусков 2 и 3 можно приме­
нить законы сохранения импульса и энергии;
i?0
mv0 = (2т)и => и = —,
( 3)
А
(2 т)и2
mvо
+ Q => Q —
2
~Т~
По мере того как доска 1 надвигается
на доску 3, сила трения между этими
досками возрастает по линейному зако­
ну от 0 до kmg (рис. 36). Работа силы
трения численно равна площади за­
штрихованной части графика, т. е.
A P= \ k m g l .
(4)
(5)
Подставляя в (2) выражение для v19 Q и А^, получим
I=
V
2
6kg ’
9.47. Скорость движения столбика ртути пропорциональна мощ­
ности, подводимой к ртути: v ~ N. В свою очередь N ------, где АТ Ах
разность температур между нагревателем и ртутью, Ах - расстояние
между нагревателем и ртутью, выраженное в показаниях термомет121
pa, т. e. Ax ~ (tx - t), где t - текущее
показание термометра.
По условию задачи разность тем­
ператур остается приблизительно
_1_
Для
постоянной. Поэтому v
Ах '
нахождения искомого времени по­
10 Ajc,°C
строим график в координатах Ал:, —,
где А х - разница между 30 °С и
температурой ртути (рис. 37), a v - скорость движения верши­
ны столбика ртути, выраженная в градус/с.
В принятых обозначениях площадь под графиком есть вре­
мя. Таким образом, искомое время т численно равно заштрихо­
ванной площади на графике и составляет т = 42 с.
9.48.
Введем обозначения резистров и покажем направления
токов на схеме (рис. 38). Идеальный амперметр А х “закорачива­
ет” точки А и В, поэтому сопротивление всей цепи (между точка­
ми С и D) равно
=
CD
^1^2
,
R1 + R 2
^3^4
R3 + RA *
Тогда сила тока, текущего через амперметр А 19 равна
г
с/(д1+д 2)(д3 + л4)
(i)
R^R2R3 + R2R^R^ + R3RAR^ + RAR^R2
Значение выражения ^ П д = R1R2R3 + R2R3RA+ R3RARX+ RARXR2
не зависит от порядка резисторов в цепь и всегда равна 50 Ом3.
Теперь определим силу тока / 0, ис­
h
пользуя показания амперметра А 2. Из
приведенной схемы следует
I1R1 = I2R29
I
Дг(Дз +Д»)
h = i R2R3 R\R^
12
122
_ Д1 (д3+ д 4)
~
тогда
iRi + -^гХ-Зз + Rt)
I i + h = 1 R2Rs —R\R^
( 2)
Приравнивая (1) и (2), получаем
iY n R
F2R2 - r xr 4 = - A _ = 10 Ом2.
U
(3)
Последнее условие будет выполнено, если:
1) R2 = 3 Ом, R3 —4 Ом,
= 1 Ом, i?4 —2 Ом. Тогда сопро25
тивление цепи RCD = — Ом и показания амперметра А^: / 01 =
= 4,8 А;
2) # 2 = 4 Ом, R3 = 3 Ом, .Rj = 1 Ом, R a — 2 Ом. Тогда сопро­
тивление цепи R cd = 2 Ом и показание амперметра А^: / 02 = 5 А.
Другие перестановки сопротивлений, удовлетворяющие усло­
вию (3), приводят к тем же результатам.
Итак, в зависимости от порядка включения резисторов в цепь
показания амперметра А г:
/ 01 = 4,8 А или / 02 = 5 А.
9.49. Составим систему уравнений:
Щ= 5oi + &>}
v2 = v20 + gt
Из рис. 39 видно
Vo ~ 1\
v„
V02 “ V0
90°- a
2v0 sin
j = vo^2(l - s i n a ) .
9.50. Рассмотрим силы, действующие на автомобиль в момент
времени, когда он должен сорваться с трека. В этом момент силы
трения, действующие на задние коле­
са, достигают своего максимального
значения, равного
F = \i(m/2)g,
и направлены под углом а к вектору
скорости (рис. 40). Тогда
i'2
• a = —
т ---v*
F
Fс sin
,
2 R
F
F2 = F cos a та.
Рис. 40
123
Возводя оба уравнения в квадрат и складывая, получаем
F2
( таЧ*
2j.2 \^
2R
+ (та)2,
откуда время равно
t = — (hV - 4а2)1/4 - 26,5 с « 27 с.
а
9.51. Нить нерастяжима, следовательно, сила натяжения Т по
всей длине одинакова. Пусть т \ = тг + Д/п^ т'ъ = тп3 + Дт3. Для
грузов запишем систему уравнений:
m'c^ = m[g - Т,
Ща2 = m2g - 2Т,
^зОд - Т.
(1)
(2)
(3)
Запишем уравнение, связывающее между собой ускорения грузов:
CL-t
+
CLo
(4)
У нас есть четыре неизвестных а19 а2, а3, Т и четыре уравне­
ния. Решая их, находим
Oj = 0, а2 = -
= - 0,125g, а3 =
= 0,25g.
Следовательно, первый груз останется в покое, второй будет
двигаться вверх, а третий - вниз.
9.52. В установившемся режиме мощность тока в проволочке
равна мощности потока тепла в окружающую среду:
(В + г)2
A(t
to)’
(1)
где А - некоторая константа.
Записав соотношение (1) для начального момента времени и
для момента размыкания цепи, найдем выражение для искомого
сопротивления переменного резистора Rx:
Rx = (Л, +
V гкр “ г0
- г,
где t0 — температура окружающей среды.
124
(2)
При непосредственном подключении прибора к источнику тока
на малое время т почти все тепло, выделяющееся на проволоке,
идет на ее нагрев:
U2
— х = cm(tKp - t0).
(3)
Из уравнений (2) и (3) следует:
cmr{^ - t Kр) + U2х
- г.
U2х
Подставив числовые значения, получим Rx 10 Ом.
9.53. Пусть давление в центре Земли
р. Рассмотрим два тонких столба жидко­
сти ОА и ОБ сечением S и длиной Бп (по­
лярный радиус), расположенных вдоль
оси вращения Земли и в экваториальной
плоскости (рис. 41). Оценочно будем счи­
тать, что они притягиваются к центру
Земли с одинаковой силой F. Условие
равновесия столба ОА: F = p S . На столб
ОБ давит “довесок” толщиной AR. Центр
масс столба ОБ движется с ускорением
Rx = (i?j + г)
Rn где Т = 24 ч. По второму
2
закону Ньютона
F - pS +рgSAR = рSRna.
Из записанных уравнений с учетом того, что замена Rn на R
мало изменит числовой ответ, получаем
AR _ ( 2я V _Л_ _ _L_
R ~ { Т 2g ~ 582 ‘
J
Отметим, что табличное значение составляет
ЛУI
9.54.
Разложим силу натяжения ленты на две составляющие:
касательную Ft и нормальную Fn к поверхности мотка в точке
отрыва. Касательную компоненту Ft находим из уравнения мо­
ментов для мотка, которое запишем для двух случаев:
FtR = mgr, FtxR = 2mgr.
Тогда сила, с которой следует тянуть ленту в этих случаях,
равна
F = р 2 + F2 , Fx = J F,l + Fn2 .
125
Отсюда получаем
F2 + 3m2g2
- Д . +к
R2
I 4m2g2^ 2 +F2- m2g2R2
9.55.
До удара при чистом качении скорость поступательного дви­
жения цилиндра v0 и угловая скорость со связаны соотношением
v0 = oxR, где R - радиус цилиндра.
1.
После упругого удара скорость поступательного движения ци­
линдра изменяет знак, а угловая скорость вращательного движения
остается прежней. Цилиндр начинает двигаться с проскальзыванием.
Сразу после отражения цилиндра от стенки скорость его верхней точ­
ки В (рис. 42) равна vB = v0 - oxR = 0, а нижней точки А будет vA =
= v0 + сой = 2и0.
2. После отражения оба движения ци­
линдра — поступательное и вращатель­
ное — оказываются равнозамедленными,
так как на него будет действовать посто­
янная сила трения скольжения 2 ^ = \irng.
Цилиндр будет двигаться с ускорением
Fr
а = ——= щ*. Через время t. скорость цит
линдра
= и0 - \igti = 2 м/с
и пройденный путь
at2
= 8 м.
s1 Voti
~2~
3. Цилиндр остановится через время т = — = — = 3 с. К этому
a
\ig
моменту прекратится и вращательное движение. Пройденный путь
в этот момент будет равен
атг
s = v0т = 9 м.
2
Следовательно, через t2= 4 с скорость цилиндра равна нулю, а
пройденный путь 9 м.
9.56.
Из условия сохранения мас­
сы разности давлений на концах трубки долж ны быть одинаковы :
IApabI = IApcdI*
Распределение давлений в цилин­
драх (в условных единицах) по высо­
те, считая от нижней трубки, показа­
но на рис. 43. Давления изменяются
126
по линейному закону. Из рисунка следует, что на уровне
ние в цилиндрах одинаково. Следовательно,
давле-
h0
= - Дрсв = Др£— ,
где Др = р2- Pi = Р0Р(^1 ~ *2) = 1>26 • 10"1 кг/м3. Тогда Др = 0,63 Па.
9.57.1.
При последовательном со­
единении лампочек через каждую из
них течет ток 7. При этом напряже­
ние 17,(7) на лампочке Л г и напря­
жение U2 на лампочке Л2 связаны
соотношением
17,(7) = U - U2(I),
где U - напряжение источника тока.
Точка пересечения графиков за­
висимостей 17,(7) и U - U2(I) (рис. 44)
определяет напряжения на лампоч­
ках и силу тока, текущего через них:
7 = 0,094 А.
2.
При последовательном соедине­
нии трех лампочек надо построить
Рис. 44
суммарную вольт-амперную характе­
ристику U23(I) лампочек Л2и Л39 соединенных последовательно, после
чего задача сводится к предыдущей. Поскольку вольт-амперные ха­
рактеристики лампочек Л2и Л3по условию совпадают, U23(I) = 2U2(I)
(рис. 45). Силу тока, текущего через лампочку Л 19 в случае последо­
вательного соединения Л 19 Л2 и Л3 найдем из графика (рис. 46)
7 = 0,084 А.
7, А
1т
гV
У
V
У
f
л
/
/
/
' 23] Л = 2 и 2\Л
/
0
3
6
9
12
и 9В
Рис. 45
17, В
Рис. 46
127
Рис. 47
Рис. 48
9.58. Заметим, что если удалить крайний правый блок, полу­
чится система, эквивалентная исходной. Иными словами Fx = F
(рис. 47). Условие равновесия первого блока:
2 F = Mg + Fx = Mg + F.
Отсюда F = Mg.
9.59. Пусть за время At зеркальце повернулось на угол Дер.
Тогда луч света за это же время повернется на угол (рис. 48)
(и0дг) cos а
Да = 2 Дер, Да ~
L
Здесь cos а =
Получим
{v0bt)r
--=2 Дер,
I?
Лф _ v0r
"дt ~ Л ? '
9.60. Из условия равновесия поршней
p0S t + Т = p S lf
p0S 2 + Т = (р + рgl)S2
находим силу натяжения пружины
откуда со
Pg^l^2
S x -S t
(здесь I - длина деформированной пружины),
T = k ( l - 10),
откуда
*(S i-S 2)
1 ft(S, - S2) - рgS.S', l°•
128
Из (1 )и (2) следует
х =
______________ Р g S fi* ______________
k{si ~ S2) ~ pgS1S2{S1 —S2)
( 3)
Это и есть зависимость x(k).
Жесткость пружины, при которой верхний поршень “ляжет”
на стык цилиндров, найдем из условия х0 = 10:
рg s ls 2
0 ( s .- s jЕсли в (3) знаменатель устремить к нулю, то это произойдет
2
2
P#SiS2
при k -►k19 где kx = ^
вертикальная асимптота.
Строим зависимость x(k); это кривая 1 на рис. 49; зависимость
x 2(k) показана кривой 2.
9.61.
Рассмотрим полет камня, брошенного из точки А.
В проекции на вертикальную ось
(у0 sin a) t откуда время полета
2и0 sin а
t = — ------ .
g
Расстояние L между точками А
и В равно
l>0 sin 2а = 20 м.
L_ = £i>n cos а = ---------0
g
Поскольку для камня, брошен­
ного из точки В, можно аналогич­
ным образом написать
129
_ i;g sin 2P
g
то мы получим sin 2a = sin 2(5, и, так как по условию a * (3, то
2a = л - 2Р, т. е.
a + P= f.
Далее удобно перейти в систему отсчета, в которой камни дви­
жутся равномерно.
В качестве тела отсчета выберем камень, вылетевший из точки
А. Так как
1 v2 и иг = v2 = v0, то вектор 5отн есть диагональ
квадрата, построенного на векторах v2 и - ц . Поэтому i>OTH= л/2 и0.
Из рис. 50 видно, что АС — кратчайшее расстояние между кам­
нями. Найдем его: 8 = a - 45° = 30° и, следовательно,
АС =
= 10 м.
Время, через которое расстояние между камнями станет мини­
мальным, равно
АС
_
Юл/з
0,61 с.
уотн tg8 - 20л/2
Положения камней можно найти параллельным переносом от­
резка АС до тех пор, пока его начало и конец не окажутся лежа­
щими на навесной и настильной траекториях камней (рис. 51),
при этом А С = АС.
9.62. При движении камня в поле тяготения
vt = v0 + g t,
(1)
где t - время от начала движения камня (рис. 52, а).
Вектор перемещения камня
130
t2 _ 2v0 + gt
t=
s(t) = v0t + g 2
Щ+ (v0 + gt)
2
t
Vn + Ц
4.
2
"
Тогда для момента т найдем перемещение камня
5(Т)| =
Ц) + 5к
X.
(2 )
Из рис. 52, б видим, что в силу перпендикулярности векторов
vQ и vK (как диагонали прямоугольника)
|
| = | - «о | = втПодставив (3) в (2), находим
, gr2
\s I = — , или
5 м.
(3)
9.63. 1. Силы, действующие на брусок и клин, показаны на
рис. 53, причем | % | = | f 2 | = | f 3 | = Т. Обозначим ускорение
клина через ах. Запишем уравнения движения тел в системе ко­
ординат хОу:
для клина по Ох с учетом равенства реакций опоры | N ' | = | N |:
Т( 1 - cos а) + N sin а = М аг;
(1)
для бруска по оси Ох:
Т cos а - N sin а = тпах;
( 2)
для бруска по оси Оу:
mg - Т sin а - N cos а = та .
(3)
Здесь ах и ау - проекции вектора ускорения бруска на коорди­
натные оси.
Связь между ускорением клина и
ускорением бруска можно установить,
используя кинематические соображе­
ния. Пусть клин сместился на I влево.
Тогда брусок, движущийся по клину,
сместится на I вдоль наклонной плоско­
сти и одновременно на расстояние I вле­
во вместе с клином. Отсюда получим:
ах = ах(1 - cos а) и ау = ах sin а.
Тогда система уравнений (1)—(3)
примет вид:
131
Т( 1 - cosa) + N sin a = Ма1,
Т cos a - N sin a = m a^l - cosa),
mg - T sin a - N cos a = ma^ sin a,
(4)
откуда
mg sin a
0/1
M + 2m (l - co sa ) *
2. Рассмотренное движение возможно, если N > 0. Находя N
из уравнений (4), получим условие:
М ^ (1 - c o sa )2
тп
cos a
9.64.
1. Последовательно рассмотрим все токи и напряжения
на элементах цепи, начиная с последнего звена (рис. 54). Обозна­
чим силу тока в последнем звене через / 0. Тогда напряжение на
участке cd будет равно 2г/0, а сила тока на этом участке будет
равна 210.
Следовательно, сила тока на участке Ъс равна 3/ 0, а напряже­
ние на участке Ъе равно 5г/0. Далее находим, что сила тока на
участке be равна 5/ 0, а на участке аЪ — 8/ 0 и т. д. Рассуждая
аналогично, получаем I = 89/0, следовательно, / 0 = 0,1 А.
2. Находим напряжение
на входе цепочки:
Uxy = (144 + 89)rl0 = 23,3 В.
3. Сопротивление Rxy между клеммами х и у равно
Rг
Цху _ 23,3
144 10 “ 14 ,4
Ом = 1,62 Ом.
9.65.
В плоском зеркале изображение точечного источника рас­
положено симметрично этому источнику относительно плоскости
зеркала. Если получившееся изображение окажется с отражаю­
щей стороны другого зеркала - оно дает еще одно изображение и
т. д. В данном случае все изображения лежат на окружности ра132
диуса R, проведенного из точки О пере­
сечения плоскостей зеркал через S 0
(рис. 55):
Sj - изображение точечного источ­
ника S0 в зеркале М х;
S 12 - изображение мнимого источни­
ка Sj в зеркале М2;
5*121 " изображение источника S 12 в
зеркале М г.
Источник 5*121 не может дать изобра­
Рис. 55
жение, так как он лежит с обратной (не
отражающей) стороны зеркала М 2 (и, разумеется, М г);
S 2 - мнимое изображение точечного источника 5 0 в зеркале
М 2;
S2i - изображение источника S 2 в зеркале М х.
Мы видим, что источник S2i оказался с обратной (не отражаю­
щей) стороны зеркала М2, поэтому он тоже не может дать изобра­
жений.
Следовательно, в зеркалах можно увидеть 5 изображений ис­
точника S0. Вообще говоря, любое изображение, оказавшееся в
секторе АОВ (он заштрихован), не может более отразиться в зер­
калах М 1 и М2.
9.66. Для определения чисел т, п, k воспользуемся соображе­
ниями размерностей: сила выражается в кг • м/с2, плотность - в
кг/м 3, размер а - в м, скорость - в м/с. Отсюда
кг •м
кгт пмк
—2
-JTПриравнивая степени при кг, м, с в левой и правой частях данно­
го равенства, получаем:
1 = 771, 1 = - 3 + & + 71, -2 = -k .
Отсюда
т = 1, п = 2, k = 2,
F = apa2v2.
Установившаяся скорость парашютиста в затяжном прыжке
определяется из соотношения
Mg = apa2v2.
Подставляя М - 70 кг, р = 1 к г/м 3, а2 = 0,25 м2, а ~ 1,
g ~ 10 м/с2, получаем и2 ~ 2800 м2/с 2, v ~ 50 - 60 м/с.
9.67. При движении по наклоненному под углом а прямоли­
нейному участку дороги груз не будет скользить по кузову, если
р > tg а.
133
I
a)
Рис. 56
Рассмотрим движение по участкам дороги, которые имеют фор­
му дуг окружностей радиуса R. Обозначим через т массу груза,
N — силу реакции со стороны кузова, FTp — силу трения груза о
кузов. Так как центростремительное ускорение равно v2/R, то для
движения по участку дороги 3-4, выпуклому вверх (рис. 56, а):
. П тч
mg cos рГ. - N = mij2 и mg sin
р = Frp.
Так как в случае отсутствия скольжения Fw < pN, то груз не будет
sin Р
и2
скользить при р > -------2 ~. Отметим, что при cos р - — < 0 груV
gK
cosP gR
зовик оторвется от дороги, поэтому условие задачи о движении
грузовика по дороге не будет выполнено.
Аналогично, для вогнутого участка дороги 1-2 (рис. 56, б) nosin р
лучаем, что груз не будет скользить при р > ---------- т • Таким
cosP +
gR
образом, случай cos а ---- — < 0 не соответствует условию задачи,
gtt
а в случае cos а
gR
> 0 груз не будет скользить, если р > р =
sin а
v
cos а - gR
Если р будет чуть меньше, чем ркр, то груз в точке 3 начнет
скользить по кузову.
134
9.68.
Количество теплоты, подводимое ко льду, складывается
из количества теплоты, втекающего из окружающей среды через
стенки банки, и количества теплоты, преобразованного нагрева­
тельным элементом из электроэнергии. Во время плавления льда
его температура остается постоянной (О °С), поэтому и количе­
ство теплоты, ежесекундно подводимое ко льду через стенки бан­
ки, тоже постоянно. Обозначим его Рх. Мощность тока нагреваU2
тельного элемента равна — , где U — напряжение, подаваемое на
н
нагревательный элемент, R — его сопротивление. Пусть для плав­
ления всего льда, находящегося в банке, необходима энергия W.
Тогда время плавления льда в банке найдем по формуле
W
где t 19 t2, U19 U2 — время и напряжение
Щ
P
l
+
R
R
в случае с первой и второй банкой. Решая систему двух приведен­
ных уравнений, найдем неизвестную величину Р19 точнее произ­
ведение
W
щ2 9 l2
Pi +
u jh -u fa
Р&
= -2,44 • 104 В2.
Таким образом, оказывается, что Рг < 0, т. е. теплота отво­
дится ото льда в окружающую среду. Минимальное напряжение,
достаточное для плавления льда (т. е. такое, что Рх + Р2 > 0),
определяется выражением Umin = yj- PXR = 156 В. Значит, нагре­
вательный элемент, питаемый напряжением U3 = 127 В, никогда
не расплавит лед, находящийся в третьей банке.
9.69. Рассмотрим случай а < g. До отрыва груза от подставки
mg - N - kx
а = ---------------,
т
где N - сила реакции опоры, х - удлине­
ние пружины. В момент отрыва груза от
подставки N = 0, а удлинение
m(g - а)
Х°
k
*
В положении равновесия груза на пруmg ^
жине ее удлинение х г = —г~. После отК
рыва от подставки на груз будет действо­
вать сила F = mg - k x . График зависи­
135
мости силы F от удлинения х пружины приведен на рис. 57.
В момент начала движения подставки и в момент максимального
удлинения пружины скорость груза равна нулю, в точке х х- ско­
рость максимальна.
Таким образом, на участке (0, JCj) уве­
личение кинетической энергии груза рав­
но работе внешних сил А г. На рис. 58
эта работа численно равна площади тра­
пеции над осью Ох. На участке (хг, L)
уменьшается до нуля кинетическая энер­
гия, и работа внешних сил А 2 численно
равна площади треугольника под осью
Ох. Ясно, что площади должны быть рав­
ны друг другу, т. е. А г = А 2:
|(* о + x j та = \ ( L - х х) (kb - mg),
/
Л
£o+il а
Ui
;g
2
а
g
f-L -il
1*1
а
g
L, - A
J К тё!к
)
\2
г
-1
Если на графике L откладывать в единицах х 19 ускорение а в
единицах g, то график L(a) имеет наиболее простой вид.
Для — < 1 соответствующая часть графика L(a) представляет
g
собой четверть дуги окружности с центром в точке — = 1, — = 1
хх
g
(рис. 58).
В случае, если а > g, отрыв груза от подставки происходит
сразу после начала ее движения и L = 2хх. Эта часть графика L(a)
представляет собой прямую линию. Окончательно имеем, что мак­
симальная длина пружины
L =
при а < g,
1+
2хг
136
при а> g.
9.70.
Рассмотрим случай вращения диска против часовой стрел­
ки (рис. 59). Условие равновесия бруска:
Frph + M g± = N1,
где Frp = [xN. Отсюда
MgLp,
FrP = 2(1 - цЛ) ‘
По определению Р = Fv. В нашем случае F = Frp, a v = со~R.
Следовательно,
Р
2Р
ййгдг*' - ^
т - !**>•
2Р
- коэффициент пропорциональности между сои/.
RMgL\i
Задача решается при I > \ih. При I < \ih происходит “заклини­
вание”, двигатель не может повернуть диск.
Если диск вращается по часовой стрелке, то его угловая ско­
рость со+ = A(l + \ih), т. е. “заклинивания” нет.
Графики cd+(Z) и co"(Z) представлены на рис. 60.
9.71.
Пусть й0 — вектор начальной скорости камня, йк — вектор
скорости камня в момент его попадания в лапу мышонка. Направим
ось Ох вдоль ската крыши, ось Оу перпендикулярно ей через лапу
мышонка (рис. 61). Из закона сохранения энергии следует
mul _ mul
~2~ “ ~ 2 ~ ’
откуда получим
где А =
| ^0 I “ | Цс |*
(1)
Проекция вектора скорости камня на
ось Ох непосредственно перед ударом о
скат крыши равны проекции скорости
на эту же ось сразу после удара. Тогда
I “о* М
“к* I-
(2)
Рис. 61
137
Из (1) и (2) следует что \и0у\ = \ику\. Запишем в проекциях на оси
Ох и Оу уравнения движения
a f2
(3)
UOxt
2 ~ Sx*
g t2
(4)
»Oyt+ V
2 -V
где gx и gy — проекции g на соответствующие оси. По теореме
Виета уравнения (3) и (4) можно преобразовать к виду
_
Sy
2 ’
£«/*1*2
2 ‘
(5)
(6)
Тогда s - j s x2 + sl - - g -•
9.72. Решение задачи поясняет рис. 62. В прямоугольной рамке
указано агрегатное состояние воды и ее температура. В овальной
рамке - количество теплоты, необходимое для перехода по схеме по
направлению вращения часовой стрелки к очередному состоянию.
При прохождении вдоль схемы через все агрегатные состояния
соблюдается баланс тепла
Xj/n + c2mAt = Х2т + Cj/пД^.
Отсюда следует, что
Х2 = Хг - (сх - с2) At = 3.12 • 105 Дж/кг.
138
9.73.
Рассмотрим соединение резисто­
ров “треугольником” (рис. 63, а). Тогда
при подключении источника напряжения
к клеммам 1,3 по ветви 1 -2 -3 будет течь
ток I, поэтому
^12
=
12 » ^ 2 3
^
=
2
23*
^
Отсюда
г12
_
Г23
^12
_
^23
6^
9
Аналогично, для случая подключения
источника питания к выходам 2, 3 мож­
но записать
Г12
_
Г13
^21
2
_
^13
^
Тогда получим г13 < г12 < г23. Значит,
r13
^*i2 2J?, г23 3J?.
Для соединения “звездой” (рис. 63, б)
получаем, что при подключении источ­
ника напряжения к клеммам 1 и 3 ток
/ 13течет только по ветви 1 -0 -3 , поэтому
^12
Л з Г 1> ^ 2 3
Рис. 63
Л з Г 3>
а при подключении к выходам 2, 3
^21 =
Л з Г2 И ^ 1 3 =
Л з Г3*
Отсюда гг < Г3 < г2, значит,
гг = R,
г3 = - Л , г2
ЗЯ.
Эти две схемы полностью эквивалентны, поэтому напряжения
U13 и U23можно вычислять по любой из них. Воспользуемся схе­
мой “звезда”:
U13 = Ir 19 U23 —Ir29 XJxз + U23 — U.
Отсюда получаем
^23
U13
15
4
С/23 = т
3,75 В,
= 11,25 В.
9.74.
Пусть О — точка старта плота
(рис. 64). В системе отсчета (СО), дви­
жущейся вниз по течению реки со ско­
ростью и (в этой СО вода неподвижна),
139
плот движется по прямой в направлении вектора v = v 0 — и .
Вектор г (£), соединяющий точку О с точкой А - местом нахожде­
ния плота в момент Т в движущейся СО, направлен параллельно
v . В неподвижной СО вектор, соединяющий точку О с местом его
нахождения, R (t) = г (t) + u t.
Проведем через точку А прямую параллельно v . Точку пересе­
чения этой прямой с берегом обозначим 0 19 тогда ООх = иТ. Отло­
жим на луче ОО' отрезки 0 0 2 = 2иТ, ООэ = 3иТ и 0 0 4 = 4 иТ. Через
полученные точки 0 2, 0 3, 0 4 проведем прямые параллельно и . Точ­
ки пересечения этих прямых с траекторией плота будут соответ­
ствовать местам его нахождения в моменты времени 2Т, ЗТ, 4Т.
9.75.
Тело движется по поверхности с ускорением - jig до тех
пор, пока не остановится. Обозначим начальную скорость тела
через v 0. Возможны следующие случаи:
(а) остановка тела произойдет на интервале времени от 0 до t 1;
(б) тело остановится на интервале от t x до tx + t2;
(в) к моменту времени t x + t2 тело не остановится.
Если
v0
<
\xgt19
Пусть теперь
mt
А . <
2\xg
то Sj
v 0 > \igti-
При этом
Sn
vn =
+
a
sx
s2
= 0. Это случай (а).
V0^1
mi
2
Отсюда
mt2Л
К моменту времени t x скорость тела уменьшится до значения
MS*2
mt
1(
- m i
2
и
Если v x < \igt29 то реализуется случай (б). Последнее неравен­
ство можно представить в виде
2А
ml + |x g t xt2.
«1 - mt
\xgt2 И Л И S] <
Пройденный телом путь
_ J2L
*2 2цв
Если
v x > \igt29
ml \2
'
2№ (
то реализуется случай (в). При этом
s1 >
v xt2
140
Si -
ml
4" |X g t xt29
ml _ h.
Si -
mt2A ml
2
9.76.
Обозначим н ап ряж ен ия на
вольтметрах V19 V2, V3 (рис. 65) через U19
U2y U3 соответственно. Поскольку сопро­
тивления вольтметров много больше со­
противлений всех резисторов, влиянием
вольтметров на напряжения на резисто­
рах в цепи можно пренебречь. Поэтому
напряжение между точками 1 и 2 рав­
но нулю; но вместе с тем оно равно
и г - U2. Следовательно, Ux = U2. Напря­
жение между точками 2 и 3 равно U/3
или U2+ U3.
Для токов, протекающих через точку 4, имеем
11 1-2 ~
откуда можно записать Ux + U2 = U3 = 2U29 так как сопротивле­
ния вольтметров равны. Следовательно, 3U2 = (7/3. Таким обра­
зом, показания вольтметров соответственно равны:
| Ux | = 0,5 В, | U2 1= 0,5 В, | U31= 1 В.
9.77.
Идущий от источника света S луч
может (рис. 66):
- не отражаться от зеркал;
- отразиться только от зеркала Зх;
- отразиться только от зеркала 32;
- отразиться от зеркал Зх и 32;
- отразиться от зеркал 32 и Зх.
В двух последних случаях луч света
после отражений изменяет свое направ­
ление на противоположное, и поэтому в
дальнейшем он отражаться от зеркал
не будет.
В системе зеркал образуются сле­
дующие изображения источника све­
та S: Sx при отражении в зеркале Зх;
S 2 в зеркале 32; S3 сначала в зеркале
Зх, затем в зеркале 32 (либо сначала в
зеркале 32, а затем в зеркале Зх).
Изображение S x будет наблюдаться
в области 1 (рис. 67), изображение S 2
- в области 2 (рис. 68).
Изображение S39 полученное в резуль­
тате отражения сначала от зеркала Зх,
затем от зеркала 32, будет наблюдаться
141
Рис. 68
Рис. 69
в области 3' (рис. 69); это же изображе­
ние, полученное в результате отражения
сначала от зеркала 32, затем от зеркала
Зх, - в области 3" (рис. 70).
Ответ к задаче представлен на ри­
сунке 71. Цифры 0, 1, 2, 3 показыва­
ют количество изображений, наблюда­
емых в каждой из областей.
9.78.
Рассмотрим проекции скорос­
ти флажка в точке С на направления
вдоль веревки и перпендикулярно ей
(рис. 72):
Рис. 70
ип = ип = и cos а,
где ип - проекция скорости лодки на направление А В .
В системе отсчета, движущейся со скоростью ип, нос лодки (точ­
ка В) и флажок в данный момент времени движутся вокруг обще­
го центра (точки А на берегу) со скоростями иь и vL соответствен-
Рис. 71
142
Рис. 72
но. Так как
АВ
АС
= 2, то
1
1
VL = 2 UL = 2 U sm а -
Тогда
А
v = Jvl + v\ = u j cos2а + —sin2а ~
М М
0,66 м/с.
9.79.
Введем обозначения: х н — на­
чальное положение равновесия плат­
формы, Е(х) — потенциальная энергия
растянутого жгута (рис. 73). Посколь­
ку в положении равновесия платфор­
мы F(xH) = Mg = 3 Н, то из графика
находим х н = 3 см. При падении с вы­
соты h скорость груза в момент удара о
платформу равна v = ^J2gh • В процессе
Рис- 73
удара груза о платформу импульс системы “груз-платформа” со­
храняется:
mv = (М + т) и. Сразу после удара ее скорость
т
и=
(1)
М + т•л/2gh •
Воспользуемся законом сохранения энергии:
Е(хЙ) - (М + т) gxn + -My - u2 = Е(хк) - (М + т) gxK.
(2)
Так как разность между Е(хк) и Е(хп) равна работе силы натяже­
ния жгута, то ее можно найти как площадь под графиком F(x),
приведенном в условии задачи:
Е(хк) - Е(хп) ~ 25 Н • см = 0,25 Дж.
(3)
Подставив выражение (1) в уравнение (2), получим
М +т
( М + т)
h = - ^ - ( Е ( х к) - Е(хк)) - ( — —
J (хк - хя);
используя данные графика F(x) и (3), находим
h ~ 20 см.
9.80.
Тепловой поток, т.е. количество теплоты, передаваемой в
единицу времени по стержню с заданными значениями длины и
поперечного сечения, зависит от материала стержня и разности
температур на его концах. Когда медный и стальной стержни ис­
143
пользовались поодиночке, по ним от кипящей воды поступало
одинаковое количество теплоты Q, необходимое для плавления
всей массы льда:
Q—
~ t l K = ^с(^2—
где К и и Кс - коэффициенты пропорциональности для меди и
стали соответственно, t2 = 100 °С - температура кипящей воды.
Отсюда
1с. (3 = 3,2.
Ки
Кс
При последовательном соединении стержней по ним протека­
ют одинаковые тепловые потоки. Для случая 1, когда в кипящую
воду погружен торец медного стержня, имеем
K M(t2 - t ) = Kc(t- tx),
где t - температура в месте соприкосновения стержней. Отсюда
следует
. = Р*2 + Ч
76 °С.
1 + Р
Аналогично для случая 2, когда в кипящую воду погружен торец
стального стержня, получим
t2 + р*,
23,8 °С.
Р + 1
Время т, необходимое для плавления всей массы льда при пос­
ледовательном соединении стержней, находим из соотношения
Q
^м(^2
^l)T M
“^ м ( ^ 2
0^»
(1)
откуда
т=
Ri
144
R>2
Rs
+
= 63 мин.
Соотношение (1) записано для слу­
чая 1. Для определения т можно ис­
пользовать и другие аналогичные
соотношения.
Время т в случаях 1 и 2 одина­
ково.
9.81.
Рассмотрим эквивалентную
схему цепи (рис. 74).
Сопротивление R x 5 параллельно
соединенных резисторов R x и R5
равно
5 л
= — кОм.
6
Аналогично,
3
21
#2,6 = 2 к0м и Лз,7 = 10 к0м '
Таким образом, сопротивление всей верхней цепочки из 6 ре­
зисторов
Поскольку R > # 4, то сила тока, протекающего через jR4, будет
максимальной: Jmax =
U
= 13,3 мА. Сила тока, протекающего
U
через верхнюю цепочку, I = — = 12 мА.
к
Суммарная сила токов, протекающих через пары параллель­
ных резисторов, одинакова для каждой пары; в паре же силы
токов относятся друг к другу обратно пропорционально сопротив­
лениям. Отсюда следует, что сила тока, протекающего через jR5,
будет минимальной: / min = 2 мА.
^ Козел
класс
1
10.1. В случае, когда бруски находят­
ся в равновесии, Fx = F2 (рис. 75), т. е.
& Д х 01 =
2 & Д х 02.
Таким образом, Д х 02 = 1 см.
Система совершает гармонические
колебания,
следовательно, скольжения
^ ЛЛЛг^— 171 F
\ одного бруска по другому нет. Посколь­
хя
т — ► Л Л Л г :,
^////; уу//; /; /) уу/Уууу;Р , ку общая масса системы равна 2т, а
эффективная жесткость пружин равна
Рис. 75
Зк, уравнение движения будет иметь вид:
2та = - Зкх,
где х — текущее смещение от положения равновесия, а — ускоре­
ние системы. Для того, чтобы верхний брусок двигался с ускоре­
нием а, сила трения FTp должна удовлетворять уравнению:
та = - 2k(x + Д*02) + F.rp,
откуда
^тр = ~2 + 2/гДх02.
Поскольку сила трения не может превышать величины \irng, то
для максимальной амплитуды А имеем:
кА
А
\img = — + 2kAx02
И
2(|img-2Mx02)
Л = ------------------- = б см.
k
10.2. Опыт 1-й. Из закона сохранения импульса имеем
лчи0 = яг2и2'.
(1)
Опыт 2-й. Выберем систему отсчета, движущуюся со скорос­
тью v0. В этой системе шайба т2 вначале покоится, а шайба тх
146
и
оС
1
движется со скоростью vx = v0. Из закона сохранения импульса
следует, что после столкновения шайб справедливы те же соотно­
шения, что и в первом опыте:
щ 5 0 = ттР2 ,
(2)
где v2 - скорость второй шайбы в движущейся системе отсчета
после соударения. Возвратимся в неподвижную систему отсчета и
запишем
т1
( 3)
= ^0 “ тп2 Jo*
% =
из (1) и (3) получим
щ
т1
Щ
т2 ’ откуда пг1 = 2 ,
т2 ~
т2 == 2 tfij.
10.3. Обозначим р&- давление возду­
ха слева и справа от поршня в резерву­
аре без воды, р х и р2 - давления воздуха
соответственно справа и слева от порш­
ня в резервуаре с водой (рис. 76).
По Закону Бойля-Мариотта
(1)
Pl\~9~ * \а ’
Рис. 76
а3
(а
P > Y =PA2 + *' «2*
Условие равновесия поршня:
2
2 , Рёа
Pi°2—р2а2+ —
( 2)
( 3)
Из (1), (2) и (3) находим (у = х/а)
1~ 4У2. =
6у - 1
та
= 80
ои-
Окончательно: у ~ 0,17, т. е. х ~ 0,17 м.
10.4.
Максимальное количество капель, попавших в отверстие
шара, ограничивается его объемом:
(4/з)яД3
1,25-105.
П1 = (4/3)лг3
Заряд, накапливающийся в шаре по мере падения капель, отталкивает вновь падающие капли. Обозначим через Q = n2q заряд
147
шара, здесь п2 - число капель, попавших в шар. Запишем закон
сохранения энергии:
mv
4- k qQ
mgh + k qQ
R+h
2
R ’
где m = (4/3)лг3р - масса капли, p = 103 кг/м3 плотность воды,
v - скорость капли при попадании в отверстие шара k =
При условии, когда Q0 максимален, скорость v = 0, и тогда
meh+
Г" *Sf L'
Отсюда получаем
mgR(R + h)
1,9 • 10“6 Кл.
kq
Проверим, уместятся ли в шаре все капли, несущие такой заряд:
Q0 =
mgR(R + h)
1,06 -105 < rar
ky2
10.5.
Обозначим амплитуду установившихся колебаний куба
через х . Тогда сила, деформирующая пружину при минимальной
(и максимальной) ее длине, равна F = kx. Заранее предположим,
что смещение I много меньше амплитуды колебаний. Тогда при
этом смещении работу внешних сил можно записать в виде А = FI =
= kxl. Эта работа совершается дважды за период и равна измене­
нию энергии системы за то же время:
ДЖ = аЖ полн = 2А = 2kxU
где ДW — потеря энергии за период из-за вязкого трения.
За 10 периодов амплитуда колебаний куба уменьшается в два
раза, следовательно энергия уменьшается в четыре раза. Отсюда
П 2тах
(1 - а)10 = \ и а = 1 - - щ .
Из условия баланса энергии
kx2
ос-—- = 2 kxl,
отсюда
=— =
а
41
V2
148
31 мм
1 мм.
Таким образом, сделанное вначале
предположение в заданных условиях за­
дачи выполняется.
10.6.
Для решения используем урав­
нение Менделеева-Клапейрона: pV =
= vRT. В начальном состоянии р = M g/S,
V = H 0S, Т = Т0 и уравнение запишет­
ся в виде M gH0 = vRT0 После того, как
поршень остановится (рис. 77), уравне­
ние будет иметь вид
Mg(H0 + H - h ) = vRTx.
Так как второй процесс адиабатический,
то используя первое начало термодина­
мики, можем записать уравнение баланса энергии:
Mgh = vCyiT, - Г0).
С другой стороны
чЩТг - Т0) = Mg(H - h).
Отсюда
h
Су
H - h = ~R'
и окончательно
h=
Для идеального
таким образом,
двухатомного газа Cv=
10.7. После разлета на большие расстояния суммарная кинетическая энер­
гия шариков будет равна начальной
энергии электростатического взаимодей­
ствия зарядов:
Я
m
q
2m
• •
2q
5m
2i
1 (Y + 2q2 + 2g2>|
g2
0*2
W = ----- ^ /
l
21 )
ne0l '
4яе0
Рис. 78
Для ответа на второй вопрос найдем
ускорения шариков сразу после того, как их отпустили:
ma1
1 (q 2 2g2>
4яе0 ^
l2
4 12 >
_J_ V
_ _ J _ 3g2
4яе0 212 ’ T- 6- а * 4ле0 2J2m ’
149
Аналогично
do
4яе0 2l2m ’ ° 3 4яе0 212т '
Видно, что крайние шарики начали двигаться относительно
среднего в разные стороны с одинаковым ускорением (рис. 78)
Г
4яе0 i2m ’
следовательно, расстояния от каждого из них до среднего шарика
будут все время одинаковыми. Отношение скоростей шариков будет
таким же, как отношения их ускорений:
а = ал
dn
do
do
v i : v 2 : из = 3 : 1 : 1.
Запишем закон сохранения энергии
m(3v)2
+
2mu2
+
5mv
tcEqI
Отсюда
v=l 8пе0т1
и соответственно
vi ~ ®у 8пе0т1
Vo =
Vo =
8
п е 0 тп1
10.8.
Наиболее простое решение по­
лучается, если провести касательные
к вольт-амперным характеристикам
при U = 0 (рис. 79). По наклону каса­
тельных найдем сопротивления для
параллельного и последовательного со­
единения элементов при малых напря­
жениях. Если обозначить сопротивление
резистора через R, а сопротивление не­
Рис. 79
линейного элемента через г, то получим
Rr
R + г = 14 Ом и —---- = 2,5 Ом.
R +r
Исключая из системы одно неизвестное, имеем
R2 - 14R + 35 = 0.
Отсюда R t - 11 Ом, R2 ~ 3,25 Ом.
Второе решение явно не подходит. Следовательно, R = 11 Ом.
Исходя из полученного результата, можно построить вольт-амперную характеристику нелинейного элемента — это характерис­
тика лампочки накаливания.
150
10.9.
Силы упругости Fx и F2, действу­
ющие соответственно на первый и вто­
рой шарики со стороны доски с момента
удара появляются одновременно в мо­
мент соприкосновения первого шарика
с доской, одновременно достигают сво­
их максимальных значений и одновре­
менно исчезают, когда один из шариков
Рис. 80
отрывается от доски (рис. 80). При этом
в любой момент времени выполняется соотношение
F±a = F2b,
(1)
поскольку доска - это обыкновенный рычаг Архимеда, с помо­
щью которого тот был готов «перевернуть Землю», если бы нашел
точку опоры (в нашем случае - точка О). Соотношение (1) верно
во всех случаях, когда рычаг неподвижен или, как в нашем слу­
чае, не имеет массы и для того, чтобы его повернуть, не требуется
никакого усилия. Если Fx ср и F2ср - усредненные за время удара
значения сил Fx и F2, то
F ,cva = F2cvb.
(2)
Запишем второй закон Ньютона в импульсной форме, пренеб­
регая силой тяжести (в проекции на ось, направленную верти­
кально вниз):
"4(1?! - и0) = -F j срДг,
(3)
m2v2 = - F xсрД t,
(4)
а также закон сохранения энергии при упругом ударе
mivo _ Щ»х , m2vI2
2---------2~ + Т ~
(5)
(здесь vx и v2 - скорости шаров после завершения удара; Дt продолжительность удара).
Вводя обозначения а = т1/т 2, р == — и решая совместно урав­
нения (1)-(4), получаем ответ:
а - р2
2аР
= и° а + Р2 ’ U2 = ~v° а + Р2 •
Анализ решения: Скорость v2 отрицательна при любых значени­
ях а и Р, т. е. второй шарик всегда движется вверх. Движение пер­
вого шарика после удара зависит от заданных соотношений а и р :
а > р2 —►иг > 0, первый шарик «проваливается» вниз, увлекая
за собой доску;
а = р2 —5►vx = 0, первый шарик и доска остаются на месте, а
второй шарик подпрыгивает;
151
а < p2—^ < 0, оба шарика подскакивают вверх.
Из закона сохранения энергии находим высоту, на которую
поднимается второй шарик:
,=
= $ _ ( 2осР Y
2 g
2^(4a + |32J
А
10.10. КПД определяется как г\ = — , а так как Q+ - |Q~| = А,
Q
его можно выразить через Q": r\ = А/(А + |Q"|).
Вычислить Q' существенно проще, чем Q+. Тепло отдается на
участках 5-6 и 6-1:
IQ1 = |Д (П - г в) + [ | л + д )(г в - г,) =
= | (16 - 4)p0V0 + | (4 - 1)р0П = ~ p0V0.
Работа А численно равна площади цикла: А = 6 p0F0.
„
6
4
В результате получаем ц = ---- = —-.
2
10.11.
Обозначим длину растянутого шнура через L = 10Z/9, а
его коэффициент упругости - через k . Вся работа пойдет на уве­
личение потенциальной энергии шнура:
А = ДЯпот
2
1
Из условия имеем mg = —kl. Отсюда получаем
_ 9mg l2 _ mgl
l 2 •92 “ 18 *
Для сравнения можно вычислить работу по натяжению шнура
mgl
длиной 0,9 I до длины I: А* =
Очевидно, что эта работа
должна быть немного меньше вычисленной выше, так как часть
работы А перейдет в упругую энергию участка шнура, намотанно­
го на ворот.
10.12.
По определению, емкость конденсатора равна С = д/|Дф|.
Чтобы найти емкость конденсатора, его нужно «зарядить» произ­
вольным зарядом q и вычислить возникшую между обкладками
разность потенциала |Дср|, которая по определению равна
А_
|Д(р| =
Яо
152
где А - работа по перемещению пробного заряда q0 между обклад­
ками заряженного конденсатора. Для того, чтобы найти работу А,
построим график зависимости силы, действующей на пробный
заряд q0, от расстояния х (рис. 81, а):
F(x) = q0E = q0k/x.
Искомая работа А складывается из элементарных работ ДА. =
= FtДх* (площади прямоугольных столбиков на графике) и чис­
ленно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции
Sj. Если теперь, не изменяя заряда q, увеличить й и г в два раза,
то искомая работа будет изображаться площадью S 2 (рис. 81, б).
Легко сообразить, что S x= S 2 (при сохранении способа разбиения
и полного числа элементов-прямоугольников, каждый такой пря­
моугольник растянется вдвое по оси х и уменьшится вдвое по оси
F). Таким образом, емкость цилиндрического конденсатора не из­
меняется при одновременном изменении размеров R и г в одина­
ковое число раз.
Изменение длины цилиндров приводит к пропорциональному
изменению емкости, так как при этом изменяется площадь об­
кладок при неизменном расстоянии между ними.
Итак, увеличение радиусов R и г в два раза не изменит емкос­
ти конденсатора, а уменьшение длины I в три раза приведет к
уменьшению его емкости втрое:
10.13.
Максимальная высота подъема камня определяется вер­
тикальной составляющей начальной скорости:
rr
v%sin2а
153
н
На высоте — скорость камня найдем из закона сохранения энерС*
гии:
mv
771Vq
Н
-t~ r n g -
Отсюда
• 2
sin
аЛ
Угол наклона ср скорости камня к горизонту находим из условия
vncos а
гор
cos ср
V
где игор — горизонтальная составляющая скорости камня.
Следовательно,
cos а
cos ф =
Р
Рассмотрим теперь составляющую уско­
рения камня, нормальную к орбите дви­
жения (рис. 82),
v2
—=g
COS ф .
Здесь R - радиус кривизны на высоН Л
те — . Он равен
R=
Рис. 82
v
g
Отсюда ускорение комара в этой точке траектории
COS ф
= Уо. = UpgCOS(p =
R
v2
7
*
cos а
~2 а
sm2
Таким образом, ответ не зависит от и0.
10.14.
При включенном электрическом поле уравнение движе­
ния капли имеет вид (в проекциях на ось х , направляющую вер­
тикально вниз):
та = mg + еЕ - ku.
Здесь е - заряд капли, Е < 0 - напряженность электрического
154
поля, k - коэффициент пропорциональности между скоростью v и
силой сопротивления, g - ускорение свободного падения.
После выключения поля (t > tx) уравнение движения примет
вид
та = mg - ku.
Максимальное ускорение аг капли достигается в момент tx. Оно
определяется выражением тах = mg - kvl9 где
- скорость в
момент t x. Ускорение станет равным нулю, когда сила сопротив­
ления уравновесит силу тяжести, т. е. mg = kvто. Отсюда
Значения иг и
находятся из графика численным интегрирова­
нием; иа, пропорционально площади под всем графиком, vx - под
первой половиной графика до точки tx. Отсюда
Щ = 14^5
34,5
0,42
и а 1 = amax = g- 0,58 ~ 5,7 м/с2.
10.15.
Весь газ перетечет в сосуд 2. Закон сохранения энергии
(первый закон термодинамики) можно записать в виде
f vJ*r - Г0) = M gH0 - mgH + ^ ( Н 0 - Н).
До открытия
крана (в левом сосуде) р0 = —
о
V0 = SH 0 и
уравнение Менделеева-Клапейрона запишется в виде MgH0 = vRT0,
v
v
следовательно, gH0 = — RT0. После открытия крана gH = —RT.
М
т
Подставляя это выражение в закон сохранения энергии, получим
I VЩТ - Г0) = vR(T0 -Т ) +
RT° ~
и окончательно
Г=
5М
2vp
5М
0,98 Г0.
10.16.
Изобразим процесс в координатах р - V (рис. 83). Здесь
«1
2» - адиабата, «2
3» - изохора. Отметим что изотерма
«3 —►1» совпадает для данного уравнения состояния газа с изоба155
рой, ибор = р(!Г)/3. Так как процесс зам­
кнут, то изменение внутренней энерги­
ей за цикл равно нулю
ДС/12 + ДС/ 23 + ^^31 =
На изохоре работа А23 = 0 и, следова­
тельно,
А^23 ~ ^23 = Q*
На изотерме
д и г1 =
- из =
- F2) - -3(F2 - Fx)Pl = ЗА31 = ЗА.
Заметим, что при изотермическом сжатии газ совершает отрица­
тельную работу: А < 0. На адиабате Q12 = 0, следовательно,
Аад = А12 = - ДС/ 12 = АС/ 23 АС/31 = Q ЗА.
10.17.
Так как вольтметр идеальный, то до замыкания ключа
он показывает значение ЭДС батареи:
U0 = % = 8 В.
Сразу после замыкания ключа сила тока, текущего в цепи,
равна
2U0
h
= 0,8 A,
Г1 +Г2 +
Ri + R2
а напряжение на второй батарее
и,
=
Г
-
h r2=
П ~ г2 + 1^1Д2
+ i?2
= - 0,Ш 0 = - 0,8 B.
и 0----------------R\^2
п. + г2 + Rx + R2
Когда конденсатор зарядится, ток будет течь только через сопро­
тивление R 19 и тогда
h
2U0
rl
+
r2
+
= 4 A.
# 1
Следовательно,
U2 = Ш - I 2r2 =
= 0,45U0 = 3,6 B.
Обратим внимание на то, что напряжение на батарее в зависи­
мости от схемы включения может менять знак.
10.18. Из второго закона Ньютона следует
F At = А р .
156
В проекциях на вертикальную и горизонтальную оси:
N A t = Ару = 2 mv0y,
FTpAt = kN A t = Арх = m(v0x - vlx).
Деля второе уравнение на первое, получаем
vix = vox ~ 2ki>0y = u0(cos а - 2fcsin а).
Так как cos а - 2fcsin а = (л/з/2 ) - 1/2 > 0, то шайба после
первого соударения с плоскостью продолжит движение со скорос­
тью (uljc, v0y). При последующем соударении
V 2x
= Vlx ~
2 k v 0y
=
V 0x -
4 k v 0y
Ho cos a - 4fcsin a = (V8 / 2 ) - к о
= Vo(QOS a ~ 4fesin <*)•
- х-я составляющая скоро­
сти шайбы после второго удара погасится. Шайба будет подпры­
гивать на месте. Смещение вдоль горизонтальной оси составит
2vZ
= -^ -sin a (cos a - 2fcsin a) 0,75 m .
S ~ g Vlx V0у
10.19.
При высоком вакууме молеку­
лы свободного газа пролетают от одной
стенки к другой, не сталкиваясь друг с
другом, и переносят энергию непосред­
ственно от одной стенки к другой. При
постоянной разности температур Д77сте­
нок, что имеет место в нашем опыте,
тепловой поток, пропорциональный пД7\
будет изменяться только вследствие из­
Рис. 84
менения концентрации молекул возду­
ха между стенками сосуда. Так как в единицу времени в сосуд
втекает одно и то же количество воздуха (ивт ~ р атм - р с;
Р с ^ Ратм» и вт ~ Ратм)> концентрация является линейной функцией
времени п = nQ+ at (рис. 84). Коэффициент пропорциональности
5Щ
а определим из условия 6п0 п0 + a tx => а = ~у~.
2
Итак, п = п0 1 +
5t
/
Азот будет испаряться за счет теплового потока между стенками
сосуда. За малый промежуток времени Дtt испарится азот массы Дт:
QAt = LAm, %ДГ/1(^)Д^ = LAm, %ДТ ^ п ( ^ ) м ( = LM .
157
Здесь М - масса азота в сосуде, L - удельная теплота испарения
азота, Q - тепловой поток, равный %ДTn(t)9 где % - некоторый
коэффициент пропорциональности, N - число малых промежут­
ков времени Дt. Площадь фигуры под графиком зависимости п(^)
(рис. 74) равна
N
s =
7
2
пр + 6 у10
2
/=1
h
т. е.
^V i
LM .
Для неповрежденного сосуда га = га0. Тогда хДТ* га0*2 = ЬМ. Окон7
„
чательно £2 =
= 17,5 ч.
10.20. В предположении, что сопротивление лампы Ил велико,
напряжение на клеммах аккумулятора U = 1Г - /г, где g7 - ЭДС
аккумулятора, г - его сопротивление, I - сила тока, текущего
через стартер. Мощность, выделяемая на стартере, N = UI = ЩШ* - U)/r. Это выражение максимально при U = Й?/2. Мощность,
выделяемая на лампочке, Р = и 2/Лл = Й?2/(4 # л), что в четыре раза
меньше, чем при выключенном стартере.
10.21. Равнодействующая сил, приложенных к грузу массы т ,
равна
я
mg
Л '
Тогда время движения t от положения с максимальным отклоне­
нием ф0 до положения, где ф = 0 , вычисляется как:
F = mg cos
-
+ Ф
mg cos — =
4
2т1Я
F
За расчетный период времени система 4 раза проходит этот
путь. Таким образом, искомое время равно Т = 4t.
10.22. Решение задачи иллюстрирует рис. 85.
Запишем уравнения второго закона Ньютона для обоих грузов
в проекциях на ось х, направленную вертикально вниз:
- Т - kxx + mg = та,
(1 )
mg + k2x - Т = -т а.
(2)
При написании этих уравнений предполагалось, что ах = - а2 =
= а. Отсюда находим силу натяжения нити Т: Т = mg - К
158
2
^2 х.
Сила натяжения нити Т может прини­
мать только неотрицательные значения
(Т > 0), поэтому возможны два случая.
„
2mg
1) Если х < «1
ъ _ «2
ъ , то нить после
отпускания левого груза натянута, а ус­
корения грузов одинаковы по модулю.
Из уравнений (1) и (2) получаем
Т
А
[
v
mg
>г
mg
"х
Рис. 85
_
2mg
2) Если х > т----г- , то нить в течение некоторого времени будет провисать, а левый и правый грузы
будут двигаться независимо друг от друга с ускорениями ах и а2
соответственно:
kxx
m < °. «2 = m +
10.23.
Поскольку трения нет, то во
время столкновения шара с клином на
шар со стороны клина действует сила,
перпендикулярная поверхности клина,
т. е. шар приобретает скорость под уг­
лом а к вертикали (рис. 86). Найдем
скорости шара V и клина и' после столк­
новения, для чего запишем закон сохра­
нения энергии и закон сохранения им­
пульса в проекции на горизонтальную ось х:
«1 =
Mv2 = mV2
2
”
Mv'2
2
2
9
M v = mV sin а + Mv'.
0.
( 1)
( 2)
Из (2) находим v' = v - — V sin а. Подставляя это выражение в
(1), получим
У
2 u sin a
m sin
■ 2a
1+ —
M
Зная скорость шара V, определим скорость клина v \ используя
ранее полученное выражение:
159
г
w
л
1 -----sirr а
М
V — V
1
т sirr
- 2а
1+ —
М
J
Найдем составляющие их и иу скорости шара относительно клина:
иу —Vy = V cos a =
ux = Vx ~ v' = v
2usinoc cos a
771 sirr
• 2a
1- + —
M
2 + — Isin2 a - 1
M J_______
1 + — sin2a
M
При M = — и sin a = — скорость ux = 0, т. e. шар относительно
2ti
клина движется вертикально вверх. Искомое время t0 = ----.
Так как иу =
Рис. 87
v
то t0 =
2
v
~ 0,6 с.
10.24. Брусок плавает в устойчивом
положении, если при его отклонении на
небольшой угол а (рис. 87) возникает
вращающий момент сил.
Момент сил удобно считать относи­
тельно продольно оси, проходящей через
центр С торцевого сечения бруска, так
как относительно этой оси момент силы
тяжести бруска равен нулю. Момент ар­
химедовой силы, действующей на погру­
женную в воду часть бруска, равен
М M OKD (M abdn M 0ne)9
Обозначим MABDN через М 19 а M OKD - через М2. Поскольку по мо­
дулю M OKD = M ONE = М2, то положение бруска будет устойчивым,
если 2М 2 > М х. В свою очередь, имеем
М х = рgLahll9
где р - плотность воды, L - длина бруска, 1Х
160
а
h
2
2
ОС,
§§а*2.
м2=
где
2 а
л + | |а.
h
32 +
Неизвестную величину h можно найти из условия
рahL = рxa2L,
где рх - плотность бруска.
Введем обозначение: х = р^/р, тогда h = ха. С учетом этого
условие устойчивости бруска примет вид
2
h
2 -З а
ОС
Х [1~ 2 ) Х + П 1 ~ > 0 ‘
Поскольку а - малый параметр, неравенство можно упростить:
х 2 - х + \ > 0 . Решая это неравенство, получим
6
0 < х < 0,21 и 0,79 < х < 1.
Так как плотность воды равна р = 1 г/см3, имеем окончательно
0 < рх < 0,21 г/см3 и 0,79 г/см3 < рх < 1 г/см3.
10.25. Найдем избыточное давление Арг (по отношению к нор­
мальному атмосферному давлению), которое соответствует изме­
нению температуры плавления льда на A tx = t x - tQ:
g(*l -*о)р.Рл
= 1,41 • 105 Па.
Го(Рл -Р в)
Здесь Т0 = 273 К - температура смеси «лед-вода» при нормаль­
ном атмосферном давлении. Этому давлению соответствует давле­
ние столба льда высоты
АЛ -
= ^ 7 = 1 5 >64 м*
Этот столб льда будет находиться в верхней части трубы, а ниже
него - вода. Из условия сохранения исходной массы воды:
РвН = рл# л + рвя в
найдем высоту Н в столба воды:
Н В= Н - ~~НЛ= 5,61 м.
г'в
Изменение полной высоты воды и льда в трубе составляет
АН = Я л + Я в - Я * 1,25 м.
161
R
10.26. При переносе проводящей
4 = 1 — —^ пластины параллельно обкладкам кон_________ денсатора, поле между ними и внесенрис
ной пластиной не изменяется, перене­
сем ее к одной из обкладок конденса­
тора вплотную. Тогда получится простая эквивалентная схема,
изображенная на рис. 88. В этой схеме конденсатор имеет пло­
щадь обкладок S и расстояние между ними d - h. Конденсатор
заряжен до напряжения С/0, и его сопротивление равно R = рh/S.
После замыкания обкладок конденсатора накоротко, в началь­
ный момент по цепи потечет ток (и сила тока в этот момент будет
максимальной):
Uo,
UoS
R
Рh *
10.27.
Поскольку электрическое поле однородно, сила притяжения между поршнем и дном цилиндра не зависит от положения пор­
шня. Поэтому давление р в газе во время опыта постоянно (даже с
учетом наружного атмосферного давления и веса поршня). Согласно
закону сохранения энергии количество теплоты, полученной газом,
3
Q = V—RAT + А. Если изменение объема газа равно AV, то работа газа
и
А = pAV. Учитывая уравнение состояния газа, имеем А = vRAT. Из
л
2
Q
5
vR
записанных равенств находим изменение температуры: АТ = —• — .
Примечание. Выяснив, что р = const, можно сразу записать
Q = vCpAT, где Ср = - у .
10.28.
Пусть искомое сопротивление R = хг. Тогда, отделив
первую ячейку, мы получим бесконечную цепочку, сопротивле­
ние которой равно х • 2г. Используя формулы для расчета соеди2 jcr
нений сопротивлений, мы получаем уравнение: хг = 2г + г ----- -— ,
5 + лДТ „
5 + лД1
откуда х = --------- и R = г ---------.
4
4
10.29.
Перейдем в систему отсчета, которая движется с ускорени­
ем g . Ось X направлена вдоль оси стержня. В этой системе бусинки
движутся равномерно, обмениваясь скоростями при столкновениях.
На графике (рис. 89) их движение изображается пересекающимися
прямыми линиями. Число столкновений бусинок равно числу пересе­
чений прямых линий. Число пересечений п = 4 + 3 + 2 + 1 = 10.
162
X
Рис. 89
10.30.
В отсутствие ветра звуковая энергия, излучаемая точеч­
ным источником звука (рис. 90), распространяется во все стороны
одинаково, т. е. изотропно. Поток энергии в единицу времени сквозь
поверхность единичной площади на сфере радиуса L с центром в
точке А равен мощности источника звука, деленной на 4тг1Л Когда
дует ветер, звук «сносится» в сторону, противоположную направ­
лению от источника на микрофон. В этом случае удобно перейти в
систему отсчета, связанную с движущимся потоком воздуха. По­
скольку по условию задачи ветер не вносит завихрений, то в этой
системе отсчета распространение звука из точки А также изотроп­
но и поток энергии в единицу времени сквозь единичную площад­
ку на сфере радиуса I также обратно пропорционален Z2. Расстоя­
ния в системе отсчета, движущейся с постоянной скоростью v, и
неподвижной системе отсчета, связаны соотношением
с - и'
Относительное изменение мощности звуковой энергии, поглощае­
мой микрофоном, равно
0,9.
10.31.
Нумеруем бруски и силы трения так, как показано на
рис. 91.
В случае удара по верхнему бруску (брусок 1) F2max = 4Flmax, по­
этому движется только брусок 1: а0 = -де; t0 = v0/a.
Разобьем движение брусков после удара по нижнему бруску
(брусок 3) на три этапа.
1. Силы трения очевидны: Fx = |img,
1
F2 = 4[img, F3 = 9|xmg и тогда имеем
Fo
2
F[~Z.----i2 За0, 23 = -13а0, где а0 = \\g.
Скорости брусков 2 и 3 уравниваются:
и0 - 13a0t = 3a0t, t = *0
16*
Рис. 91
163
тт
Ц>
При этом и, = — .
V2
at>0
= и3 = — •
2.
Бруски 2 и 3 скользят вместе, поскольку из уравнения
- 9 \ung + F2 = -p/ng - F2
получим F2 = 4\img. Тогда
cl2
flg
5cLqj flj a0.
Скорости всех брусков уравниваются через время At:
3uft
_
*
и0
—— + anAt.
•^0 - 5апД£
0 = -^0
о
Скорость каждого бруска равна
1^
At =
4о
.
3. Бруски снова разъезжаются, так как |a3"| > 5а0, а |а/'| < а0;
а /' = - а 0, а2" = -З а 0, а3" = - 5 а0.
Последним остановится брусок 1 за время ^
Ч.
Итак, полное время, за которое система приходит в состояние
покоя,
tcyM= t + At + t, =
= 0,5 c.
Задачу можно решить графически - см. рис. 92. В кружке указан
номер соответствующего бруска, цифры без кружочка - угловые ко­
эффициенты прямой (ускорения соответ­
ствующего бруска в единицах
). Ус­
корение верхнего бруска после удара по
vo = pg.
нему равно —
Ч
10.32.
Так
ния воды через перегородку адиабати­
ческий, теплообмена нет: Q = 0. При
этом силы давления, действующие на
поршень А, совершают работу А х =
а силы давления на поршень В - рабо­
Рис. 92
ту А 2 = -p 2F2. По условию р х р2. Пред­
положим, что испарится лишь малая часть воды, т. е. V2 ~
~ Vx. Тогда можно считать, что А х |А2|. Первый закон термоди­
намики запишется в виде:
cjn A t + ХАт ~ p xVi,
164
где Am - масса испарившейся воды. Так как под поршнем В смесь
воды и пара находится при давлении р2 = 1 атм, температура
смеси равна 100 °С. Следовательно, вода нагрелась на At = 5 °С.
Относительная масса а испарившейся воды равна
_ Ат
т
у
Здесь uft = — = 1 0
т
находим
ж. ~свМ
т
X
PiVg - СВЫ
X
м3/кг - удельный объем воды. Вычисляя,
108 >10" 3 - 4 2 0 0 -5
2260 Ю 3
0,035.
Таким образом, как и предполагалось, испарилась лишь малая
часть воды (3,5%).
10.33. Условие равновесия для пузыря с учетом сил поверхно­
стного натяжения рgh + — = р 19 где р г = n1kT1 - давление газа в
пузыре. Чтобы объем пузыря оставался неизменным, потоки газа
в пузырь и из пузыря должны быть равны друг другу:
=
1
= —n0v0, где пх и п0 - концентрации газа в пузыре и в нижнем
отсеке, ^ и у0 - средние скорости теплового движения молекул
газа.
Так как у ~ J p , то пх = nQ
То
Отсюда
Тг
2а
Т0
Тг
pgh + ^ —n0kT 1}j гр^ —р0у ,
[7\
1(
L 20^1
Тх
J » 1.06 И 5Г - 1,12.
10.34.
Тот факт, что сопротивление между стержнями не умень­
шилось в два раза с увеличением глубины их погружения в два
раза, означает, что ток протекает не только через боковые повер­
хности стержней, но и через торцы. Если Rp - сопротивление,
обусловленное протеканием тока через боковые поверхности, а
R q - сопротивление, обусловленное влиянием торцов, то
RpRp
Ro + Rp = R •
165
В случае увеличения глубины погружения в два раза имеем
д»
До-
Д„ =
Rn + ■
!*•
Отсюда R0 = R = 2R и тогда находим
= -я .
r„
дп + -^
10.35.
Очевидно, что поле вблизи
торца соленоида неоднородно. Но если
мысленно к этому соленоиду «приста­
вить» точно такой же соленоид, то из
соображений симметрии ясно, что ак­
сиальные составляющие магнитных
полей обоих соленоидов одинаковы и
В
равны —, а радиальные взаимно комZ
пенсируют друг друга. Возвратимся к
исходной задаче. Сила, действующая со
стороны составляющей магнитного
поля, лежащей в плоскости витка, будет прижимать виток к
картону, а сила, обусловленная аксиальной составляющей поля,
будет растягивать виток. Найдем условие равновесия витка. Для
этого разделим его на две половинки. Сила Ампера, действую­
ще
щая на элемент витка dl, равна dF = —/dZ (рис. 93), а ее проек­
ция на ось х
dFx = dF sin
cp= / —
-AZ sin ф= I~zdy.
Таким образом, полная сила, действующая на полукольцо, есть
IB
F = — • 2R = IBR. Эта сила уравновешивается силой натяжения
Z
витка в точках А и В. Следовательно,
2 Т = IBR и Г =
166
IBR
2 *
10.36. Так как
jРтр =
|xmg cos а > mg sin а,
куб соскальзывать не будет. Рассмотрим
уравнение моментов относительно полю­
са А. Центр масс С находится на рас­
стоянии х от передней грани, равном
= 3 + рг / р2
* 4 •(1 + Pl / р2) ’
где рх - плотность правой половины.
Если
Р2
-
61
- 20, то * - я /.
Следовательно, момент силы тяжести направлен против часовой
стрелки и положение равновесия устойчиво.
Если
Р2
1
23 ?
момент силы тяжести направлен по часовой стрелке, и брусок
начнет кувыркаться.
10.37. На рис. 95 показана каче­
ственная диаграмма движения обоих
тел, где v 19 v 2, v 12 - скорости бруска,
доски и доски с прекратившим по ней
скользить бруском. Брусок движется
равнозамедленно, а доска равноускорен­
но до момента т\ От т' до т оба тела
движутся как единое целое. Используя
уравнение для системы двух тел
Д( m v ) = F t , находим р2, а затем и р^:
m v o = 2|x2mg%, Ма = ^
.
Ш = 3^ Г -
10.38. Применим первое начало термодинамики ко всей сис­
теме:
qx = AU =
- Г,,) + С ^Т2 - Т0) = | ЩТ2 + Г, - 2Г0).
(1)
(В уравнении учтено, что для одноатомного газа молярная теп3
лоемкость при постоянном объеме равна Cv = —Я.)
£4
Запишем условие стационарности системы:
167
Pi
= P i = P**. Q =
4i2 =
a(7\ -
T 2).
(2)
В обоих уравнениях Tx и Т2 - установившиеся температуры газа
в нагреваемой и охлаждающей частях цилиндра соответственно.
Решая совместно уравнения (1) и (2), находим Тх и Т2:
Ti
1 qx
+
3 ~R г 0 + 2 а ’
( 3)
1
3 ~Д + Тп
(4)
ч_
2а *
Используя уравнения состояния для обеих частей цилиндра в
стационарном состоянии pK(V0 + AV) = R TX, рк(У0 - ДУ) = i?T2,
получаем
У0 + ДУ
Тх
n=
<б>
Подставляя в (5) значения Тх и Т2 из (3) и (4), находим коэффици­
ент теплопроводности при п = 2:
2(дт + ЗРТ0) *
10.39.
Изобразим схему, как показано на рис. 96. Потенциалы
точек М 19 М2, ... одинаковы, т. е. мы можем соединить их, не
изменяя показаний амперметра. Теперь задача сводится к вычис­
лению сопротивления цепочки резисторов. Обозначив его как Rx,
получаем уравнение
Rxr
Rx +r + R = RX.
*В
-X —Л - Т — т ...
Рис. 96
Здесь учтено, что подключение еще од­
ного звена не должно изменять сопро­
тивления цепочки. Решение уравне­
ния
R =
R + 7 я 2 + 4гД
Искомый ответ
\
1=
168
-1
JL
л*
V
у
10.40. Пусть (Xj и а 2 - углы между траекторией движения лод­
ки и береговой линией в каждом из рукавов. Из приведенного
рис. 31.10 (в условии задачи) следует:
3
4
4 .
3
sin
= —, sin а 2 = —, cos а х —, cos а 2 = —.
5
5
5
5
Скорость лодки относительно систе­
мы координат, связанной с берегом, в
каждом из рукавов равна v = й + v0
(рис. 97). Из рисунка видно, что мини­
мальный снос лодки по течению соот­
ветствует случаю, когда скорость лод­
ки v направлена по касательной к ок­
ружности радиуса и0. Поэтому
sin ах
sin GCj
sina2
Ео
и
и2
их *
и2
4
Обозначим — = п = —. Горизонтальная составляющая скорости
Щ.
3
v лодки есть
игор = и - v0 sin a = и ^1“ ~ sin aj = и cos2 a.
Запишем полное время переправы:
t=
A
cos* a x + i*2 cos* a 2
А + ^2
i*i cos2 a 2 п cos2 a 2 *
Здесь Lx = 0,3 км и L2 = 0,4 км - снос лодки в каждом рукаве.
Подставляя в это соотношение числовые значения величин,
найдем
их ~ 3,1 км/ч.
Теперь определим и2 и и0:
и2 = пих ~ 4,1 км/ч,
v0 = uxsin а г ~ 2,5 км/ч.
10.41. Рассмотрим сначала движение тела по вертикали. За
малый промежуток времени At изменение его импульса составит:
mAvB= -m gA t - kvBA t = -m gA t - kAH,
169
где k - коэффициент пропорциональности в выражении для силы
сопротивления воздуха. Когда тело достигнет верхней точки тра­
ектории, изменение импульса тела будет равно
-m v B0 = -m g t1 - Ш .
(1)
При движении тела вниз от верхней точки траектории до точки А
изменение импульса составит
muM = mgt2 - kH.
(2)
Складывая (1) и (2), получим
-m A v = mgr - 2kH,
где т = t2 - t 19 Av = v b0 Отсюда
m gт + Ai>
(3)
Рассмотрим теперь движение тела по горизонтали.
Изменение горизонтальной составляющей импульса тела AvT
равно импульсу силы сопротивления воздуха:
тАиг = -k v rAt = -kA L ,
где AL - малое смещение тела по горизонтали. Когда тело дости­
гает точки А, изменение горизонтальной составляющей импульса
составит (по модулю)
тоуг0 - mvrA = kbA,
(4)
где La - расстояние между точками А и О. При максимальном
удалении, когда горизонтальная составляющая скорости станет
равной нулю, полное изменение импульса тела будет равно
wur0 = kLm&x.
(5)
Вычитая (4) из (5), получаем
т _ AL0
"* "
где AL0 = Lmax - La. Следовательно,
AL0
Я =
+ Аи>-
10.42.
За время т холодильник получает количество теплоты,
равное Qx = а(Т - Т2)т. Коэффициент полезного действия цикла
Карно
_ Фя ~ Qx _ Тх - Т
л
Q
~
h
“
г
,
Полезная работа тепловой машины равна
II
X
1
С?
I
170
(л
т )
1
Ъ )
т I
1---= а ( Г - Г 2)т| 5 - - 1
1 п)
Т1 ( л
Мощность тепловой машины
N =
А_
2т
- ( Т [ - ^ - - Т +Т2
2I 1 Т
2
Эта величина достигает максимума при Т = JT|T2 = 400 К.
Выполнив вычисления, в этом случае получим N m&x = 100 кВт.
10.43. В случае а) имеем
4\
Фах
! $2 !
4з
4Л8с0л \ '
'2
В случае б) поле между сферами 2 и 3 отсутствует. На сфере 2
будет индуцирован заряд, равный -q 19 заряд qx + q2 уйдет на сфе­
ру 3. Из закона сохранения заряда следует, что полный заряд на
сфере 3 будет равен qx + q2 + q3. Следовательно,
4i
ФА2
4i
,
4i
+
4%
+
4з
4я8п
•2
!3
В случае в) после заземления сферы 1 ее потенциал станет рав­
ным нулю:
*Л
Qi
<?1 + Ъ + Яз ! gj
(Pi = о =
( 1)
4ле0 v
'з
ri г2 )
где qx* - заряд на сфере 1 после замыкания ключа К 2. Из соотно
шения (1) находим
Ч\
*
42 + 4з
\ Г2
Тогда
4х_
^А3
gi + Qi + 42 + 9з
4леп г
1 . д2 +Яз( 1 _ l Y __ 1 __ Ll 1
4яе0
r3 [г r j [ r 2 гг r3j
10.44.
При смещении уровня ртути в
каждом колене (рис. 98) на расстояние
А х из-за разности гидростатических дав­
лений возникает сила, равная
Fx = 2pgSAx.
Воздух в левом колене сжимается, объем
воздуха при этом становится равным
(I - Ax)S. По закону Бойля-Мариотта
171
p0l = (Po + &p)(l - Д*) =
~ P o ^ x + Др2 -
ДхДp.
Так как колебания малые, слагаемым АхАр можно пренебречь.
A jc
Отсюда Ар = — р0, а сила, действующая со стороны воздуха,
A jc
F2 = — p0S, Уравнение движения ртути имеет вид
та + S |^2Р£ + "у-j Ах = 0.
Это уравнение совпадает с уравнением движения груза на пру­
жинке с эффективной «жесткостью»
к - ГгР* +
Тогда по аналогии
Т = 2я,|— = 2п j (2 p g + p0 / l ) S ~ ° ’6 3 с 10.45.
Из условия адиабатичности процесса следует, что уве­
личение внутренней энергии газа происходит за счет работы силы
тяжести
С(ТК- Т0) = mg(2 х 2 - Xj) = p0S(2x2 - х,),
(1)
где С = — , х 2 - смещение поршня 2т вниз, а х х - смещение
поршня т вверх. Из уравнения состояния идеального газа имеем:
RT
FK= S ( 3 a - x 2 + x1) = —
РК
Исключим из (1) и (2) х х\
3R
(Тк Т0) - 2х 2
2p0S
RTV
= За - jc2 + х1,
х19
ЗРк
отсюда
Л
3 RTK
2 p0S
RT
SpK
х 2 + За = т" —~ + —-352
172
3 RT0
2 p0S
(2)
или
31Щ + Зл + х2
2ppS
3R
R
2p0S + Pk$
(3)
Из (3) следует, что Тк максимальна, когда х 2 и рк также макси­
мальны. Но
^2шах
тк шах
Рк
SRTq
+ 4а
2p0S
R ( 3 1.
Ро$ 2 + 2
шах
fТ
ли Л
Т0
2mg
S
2р0>
3 4
2+3
17
2
12
Ущ&Х
1,43
ОД
Ро 1
10.46.
Пусть v0 - начальная скорость шара. Закон сохранения
горизонтальной составляющей импульса при ударе шара о поверх­
ность клина:
mv0 = (m + M)vx,
( 1)
где vx - горизонтальная составляющая скорости шара после стол­
кновения, равная скорости клина (в противоположном случае шар
не упадет в ту же точку).
Закон сохранения энергии:
(использовано условие VQ= 3aS =
mvо
~~2~
171
+М
пг «
+ —и 2
2 у
( 2)
где vy - вертикальная составляющая скорости шара после столк­
новения с клином.
Пусть за время удара A t шарика о клин между ними действо­
вала сила, среднее значение которой равно F. Тогда в проекциях
на координатные оси уравнение второго закона Ньютона для обо­
их тел будет иметь вид
mvy = FAt cos a,
( 3)
M vr = FAt sin a.
(4)
173
Из-за отсутствия трения сила F направлена перпендикулярно
поверхности клина. Исключив FAt из (3) и (4), получим выраже­
ние
т
_ cos а
_ М cos а
М vx
sin а ’ у т х sin а
Подставим vy в (2) и преобразуем полученное выражение:
2 Т>2 _ т2 sin2 а + тМ sin2 а + М 2 cos2 а
ти.
(5)
( 6)
Возведя (1) в квадрат и поделив его на (6), найдем искомое соот­
ношение:
т _ cos2а - sin2а
М
sin2 а
10.47.
Представим одномерную цепоч­
ку шаров в виде равнобедренного тре­
угольника, состоящего из вплотную рас­
положенных шаров одинаковой массы т
(рис. 99). Очевидно, что положение цен­
тра масс х ц этого треугольника и задан­
ной цепочки шаров одинаково. Следова­
тельно,
2
2
-N a - - 500 • 3 см = 103 см = 10 м.
3
3
10.48.
Собирающая линза может иметь
три «формы»: плосковыпуклая, двояко­
выпуклая, вогнуто-выпуклая.
Возможны следующие варианты:
а) вода в левой части трубы:
Рис. 99
1)
левая поверх
=> F > F, причем система линза-вода остается собирающей, так
как пп > тг«;
2) левая поверхность линзы плоская => F = F;
3) левая поверхность линзы вогнутая => F < F;
б) вода в правой части трубы:
4) правая поверхность вогнутая R = F => F' = F (здесь R радиус кривизны вогнутой поверхности линзы);
5) правая поверхность вогнутая R < F =>F' < F;
6) правая поверхность вогнутая, причем R > F =>F > F;
7) правая поверхность плоская или выпуклая => F' > F.
Заметим, что результаты для случаев 6) и 7) совпадают.
174
10.49.
Суммарный заряд обкладок
конденсатора равен нулю. До внесения
заряженной пластины в конденсатор
заряд его правой обкладки
Q =
А
(1)
где S - площадь обкладок конденса­
тора.
Поле в конденсаторе создается все­
ми зарядами. Энергия поля вне конден­
сатора не изменяется.
Проанализируем схему с внесенной
в конденсатор пластиной. При переме­
щении вдоль электрической цепи (рис. 100) пробного единичного
заряда выполняется равенство
5L
AL
L
5L
q'2e0S ~® 2e0S + ®2e0S + 9 l2e0S = ^
^
3
С учетом (1) получим qx = —Q. Аналогично можно показать,
что после перемещения пластины в положение А В заряд на прао ^
11 _
вой обкладке конденсатора q2 = — Q.
Энергия поля конденсатора до и после перемещения плас­
тины:
W x = 2Q ^/3, W 2 = 7Q&/10.
Работа источника тока
А, = (g2 - Qi)& = -2 Q ^ /5 < 0 .
По закону сохранения энергии А +
= W 2 - W x. Отсюда с
учетом записанных выше выражений находим, что для переме­
щения пластины надо совершить работу А = 1SQ^/S0.
10.50.
Рассмотрим маленький элемент кольца массой Ат, ко­
торому соответствует малый угол Р (рис. 101, а). Масса элемента
д = —
171 П
Ат
р. Силу нормального давления N разложим на верти­
кальную iVj и горизонтальную N 2составляющие (рис. 101, б). Ясно,
что N 0
Л г_ Запишем условие равновесия элемента кольца:
tga
175
N 1 = Amg,
(о
I
1Еч
I
(2)
р
N 2 = 2 Т sin
(3)
г
2
С учетом малости Р имеем N 2 = Тр.
Решая совместно уравнения (1) и (3),
находим силу натяжения:
Ат •g _ --------mg
rp _ -------P • tg ос
271 tg a *
Так как T = k(2nr - 2яг0), то радиус коль­
ца, находящегося на конусе, равен
mg
Г = Г0 + 4n2k tg a ‘
(4)
Пусть при вращении радиус кольца ста­
нет R = 2г. Сила iVj не изменится. Значит, не
изменится и N2. По второму закону Ньютона
Дто • ац = T fi - N 2 =>
A mg
Am(02R = ТхР tg а
где ац — центростремительное ускорение, Тх = 2nk(R - г0). С уче­
том выражения для Дm и (4) получаем
4kn2 R - r
СО
я
откуда при R = 2г находим
со = я
Vm
10.51.
На участок АВ провода (рис. 102) действуют силы натя­
жения Тх и Т2. Переместим мысленно участок АВ вверх на малое
расстояние А1 вдоль кривой расположения провода. Работа сил
натяжения равна изменению потенциальной энергии участка АВ:
176
Из последних двух уравнений находим Т2, которая и будет
максимальной силой:
т = mg - и 1 + *2
тах
2
’ HL '
10.52. В цилиндре происходит химическая реакция
4Fe + 302 = 2Fe20 3.
Пусть р - давление, Т = 298 К - температура во время про­
цесса окисления, V - объем, AU - изменение внутренней энер­
гии. Работа газа в цилиндре А = pAV = RTAv. По условию весь
кислород вступил в реакцию, т. е. Ду = -3 моля. Для ответа на
первый вопрос надо найти величину х = (Q - \AU\)/Q. Имеем
Q + AU
-A
х = — —— =
RTA
v
= - ——— ~ 0,0045 или х = 0,45%.
Обозначим через рх и р2 начальную и конечную плотности газа,
через тп и рср - массу и среднюю молярную массу начальной сме­
си газов соответственно. Давление газа в цилиндре остается по­
стоянным.
р = — RT = — RT.
Иср
Ш
Pi
Рср
Отсюда т~ = — . Величину р
Р2
Р2
V—
тп
Pep
0,75т
—
Pi
найдем из условия:
+
0,25т
Р2
.
Здесь щ = 32 г/моль, р2 = 4 г/моль. Из записанных уравнений
находим
a = _ i i h _ = 32 ^
р2
Pi + Зц2 11
10.53.
Выделяем одно звено цепочки
и подсоединяем к нему эквивалентную
батарею (рис. 103). Напряжение на вхо­
де (между точками А и В) должно быть
равно ^ 0, т. е. ЭДС разомкнутой бата­
реи. Следовательно,
Г 0Я
Я + г0 *
7
Козел
(1)
177
Для отыскания г0 накоротко замкнем
вход АВ (рис. 104). Тогда сила тока ко­
роткого замыкания
11 =
Найдем силу тока il из законов Кирх­
гофа:
Рис. 104
- i2R =
* *3 Г0
^2
^
( 2)
~
(3)
(4)
^ 0 >
*3 = *1 + *2*
Из (4) и (3) имеем
+ i2)r0 + i2R =
т. е. i2 = 0. Из (2) находим
0, отсюда i2(r0 + Я) = 0,
Г
= —=
= —й7. Подставляем
полученное выражение для Иэ0 в (1):
R
-Г% = & + 1К П
Т - г.
+ го г
(5)
Из (5) получаем квадратное уравнение относительно г0:
го ~ r0r - Rr = 0,
гп =
±f ^ E
Знак «-» не подходит, так как тогда г0 < 0. Итак,
/
I-------- л
1+
= 10 Ом.
Го =
№
У
^0
2
= 30 В.
10.54.
Проведем прямую а через острия стрелок, а прямую Ъ через их окончания. Из свойств линз известно, что эти прямые дол­
жны пройти через оптический центр О линзы. Поскольку линза
прямую линию отображает в прямую, то продолжения прямых ли­
ний, совпадающих со стрелками, должны пересечься в плоскости
линзы (на рис. 105 это прямая ОЛ). Главная оптическая ось СС
линзы перпендикулярна плоскости линзы и проходит через опти­
ческий центр О. Луч, идущий параллельно главной оптической оси,
преломившись в линзе, пройдет через ее фокус. Если этот луч к тому
178
же проходит через конец стрелки, то продолжение преломленного
луча пройдет через другой конец стрелки (следует из свойств лин­
зы). Поскольку в условии не указано, какая из стрелок является
предметом, а какая - изображением, однозначно сказать, какая была
линза - собирающая или рассеивающая - невозможно.
10.55.
При помещении шарика т1 в жидкую среду возникает
неравномерное распределение давления в жидкости (сферически
симметричное с максимумом на поверхности шарика). Выделим
объем V = —тга3 в той точке, куда затем мы поместим шарик. Так
о
как этот объем массой т0 находится в равновесии, то сила грави­
тационного притяжения должна уравновешиваться силой давле(т1 - т0)т0
ни я: FA = G------- £------ • Эта сила направлена от шарика тг. При
помещении в эту точку шарика т2 сила FA не изменится, а сила
(т1 - т0)т2
гравитационного притяжения станет равной Ег = G------- ^------ и
будет направлена к шарику тх. Поэтому равнодействующая этих
сил, направленных к шарику т19 будет равна F2 = Fr - F^ =
Л т х - т0)(т2 - т0)
- G----------- ----------- . По третьему закону Ньютона Fx = - F2.
179
В первом и третьем случаях шарики притягиваются, во втором отталкиваются.
10.56.
Запишем закон сохранения импульса для сталкиваю­
щихся частиц:
/
/
«1 + V2 = Ui + V2 .
(1 )
Возведя уравнение (1) в квадрат и учитывая закон сохранения
энергии, получим
{vl9v2) = \vi> v2
или vxv2 cos а = и{и2 cos р.
Отсюда cos Р = --,—т cos а. Угол Р будет максимальным, когда проvxv2
изведение v^u2 максимально. Из закона сохранения энергии следует
и 1 2 + V 2 2 = const.
( 2)
Изобразим функцию (2) на рис. 106.
Из всех прямоугольников с заданным
периметром максимальной площадью
обладает квадрат. Следовательно, произ­
ведение v{v2 максимально при и/ = v2.
Отсюда Pmax = arccos
10.57.
Т2. Тогда
2
v xv 2
cos а
Превратим v молей воды в пар при температурах Тх и
v^ i ~
U ln — U lB +
vL
2 — U 2п — U 2b + p 2V 2.
Здесь Uln, UlB и U2n, U2b - соответственно внутренние энергии пара
и воды при температурах Тх и Т2, а р 19 Vx и р2, V2 - давления и
объемы насыщенного пара также при температурах ^ и Г2.
Так как
и 2в - и 1в = vC(T2 - Г,), и 2п - и 1и = уСДГ2 - Тг),
то
L2 = Lx + (Cv + R - С)(Т2 - Г,)
и окончательно имеем
Ь2 = Ьг + (4R - С)(Т2 - T J.
10.58.
Так как ток утечки мал, то можно считать, что в каж­
дый момент времени сумма всех сил, действующих на шарик,
равна нулю (вспомните квазистатические процессы в термодина­
180
мике). Тогда сила Кулона
а
FK = k ^J = т£ *£ а,
( 1)
где угол а - половинный угол между нитями. Из (1) получим
kq02(l ~ at)3 = - I f - или х =
2klql
(1 - at), откуда скорость
mg ;
сближения шариков равна v = а
2klqj
mg
10.59.
После открытия крана трубка Т быстро заполняется воз­
духом и давление на уровне конца трубки будет оставаться посто­
янным и равным атмосферному. Скорость истечения воды из труб­
ки с краном равна v = yj2gH = const. Объем воды, вытекшей из
сосуда, равен объему воды, протекшей через трубку с краном:
nR2h = vnr^t,
откуда
t=
R2h
гл/2gH
500 с.
10.60.
При движении вверх тело под действием ветра смеща­
ется по горизонтали вдоль оси X (рис. 107), причем его движение
описывается уравнением
mAvxi = k(u - vxi)Atr
(1)
При движении по вертикали вверх выполняется уравнение
mAvyl = ~(kvyi + mg)At„
(2)
а в обратном направлении
mAvyl = (-kvyi + mg)Atr
(3)
Суммируя по всем i уравнения (1), (2) и
181
скорость тела, a vxl и vyl - горизонтальная и вертикальная проек­
ции конечной скорости. Из (1'), (2') и (3') имеем
(<V + *>) = gib + t 2) = gx,
kux-ks
а из (1) соответственно uv1 = --------- .
*A
m
Работа силы трения равна изменению кинетический энергии
тела
тivyi + **1 ) = Т
иь
lk 2
2
Пд
= -A v g v ---(u r -s f.
л = тиу°
2
2
10.61. Пусть за цикл 1 -2 -3 -4 (рис. 108) совершается работа
A q. Тогда
Л
= z: , где подведенное к газу количество теплоты Ql23 =
*<123
= U13 + А 23. Рассмотрим промежуточный цикл I* 4 -3 - 6 -5 :
_ -Ар
"Hi* “
Q
^436
» ^436 “
^46
^36*
Так как AV и Ар в циклах I, I* и II
равны, то и А 23 = А36.
и 13 « Су(Т3 - Тг),
и 46 = с д т 6 - Т4),
где Cv - молярная теплоемкость газа
при постоянном объеме.
Из уравнения Менделеева-Клапейро­
на (pV = RT) имеем
АТ =
к
(при р = const).
( 1)
Из (1) следует
т
1
=
6
Т
i
43
- r
P*AV
ft
Г
> 1 A
T6 ~ T4 = (T, - 7\) +
-
Г
i
Лl
‘r
P^ V
R
9
= (T, - Tx) +
где Дp = p 2 ~ p v
Изменение внутренней энергии на интервале 4-6 равно
Uie = СДТ6 - Т4) = Су[т3
= U13 +
182
А>
Л1. = Uда А>.
А )
®123+ "^"А
_ ___
1 + “”“ 'П1
А
(Напомним, что rii = 7 ; .)
*« 1 2 3
Из этого выражения получим связь между тц и тц*
1
1
су
(2 )
Лх* “ % н R ’
Аналогично для циклов I* и II:
1 _ 1
Су
(3)
R ’
Л2 Л1*
Исключая г\14с из (2) и (3), находим
_1 _
%
R
Л2
Используя из условия соотношение r|i = осг|2 для КПД, получаем
R
0, 2,
Лх (ос 1 ) 2 С]
а -1
— • А =0,125.
а
10.62.
Пусть т - масса пара в камере, Ат - увеличение мас­
сы пара, ji - его молярная масса. Считая, что приращение давле­
ния пара равно Ар, приращения его объема AV и температуры
т
АТ, из уравнения состояния pV = ~ R T получим
Л2
Ат
т
pAV + VAp = — RT + —RAT.
(1 )
За счет работы внешних сил при сжатии пара его температура
увеличивается и происходит испарение воды:
т
-pA V = ХАт + — С^ДТ (AV < 0).
( 2)
По условию задачи
Ар = kAT.
Из уравнений ( 1 ), (2), (3) окончательно получаем
( 3)
k\\V - m(cv + R)
* m = - ~ X » +W .
Д Г ~ 3,0 -10-3
Г.
183
10.63. Диод Dx всегда открыт. Рассмотрим 2 случая.
1. Диод £>2 закрыт. Тогда
= 0, а
^ 1+ ^ 2
А “ Rr + R2 '
Такая ситуация возможна при условии
R
I ^ R 2 - % ? 2 > О ИЛИ
+ g ^ ) “ ^ 2 > О И ЛИ
" ^ 2Д 1 > 0 .
2. Диод D2 открыт. В этом случае
I
Rx •
Если 12 - сила тока, протекающего через резистор R2, то сила тока
/A = W
Итак: 1) /д =
2) 7А =
g2
A= ^ - ^ >
о.
” > I d2 = 0» если g7^
^2 = "Й7 “ ^ 7 ’ еСЛИ ^1^2
~ ^ 2-^1 > 0;
-
% 2R \ <
°*
10.64.
1. При удалении диэлектрика из конденсатора его энер­
гия изменяется на
\2
/ ^\2
(c0sg)2
(c0
sgf C0eg 2
ДВ^ = Wj - w 0
(8 - 1 ).
2Cn
2sC0
Работа батареи Абат = 0, так как Aq = 0. Из закона сохранения
энергии механическая работа, совершаемая внешней силой
А ,е х =
2. В процессе перезарядки конденсатора заряд изменяется на
Дq = -CpgXs - 1 ), а его энергия на
A w , - w , - w , - b2Сg0 - 2 СП
3. Работа батареи в процессе перезарядки равна
Аат = %Aq = -С 0^ 2(е - 1 ).
4. Из закона сохранения энергии находим количество тепло­
ты, выделившееся на резисторе:
Со^2 - 1)2
Q = A6aT- ДЖ 2 = Ь>£-(8
2
184
10.65. Условие равновесия шарика
= °-
oq
Здесь Fg = mg, Fq = Eq = ^Г", m - масса шарика, q - его заряд,
a - поверхностная плотность заряда на плоскости. Считая шарик
точечным зарядом, поскольку г
Н, найдем силу Fx, с которой
действовал на шарик удаленный диск:
2
Л2
V
1 лг2од
_L| Л£. I L L
2IЯ
Н ) 4е0
4ле0 Я 2
0
Вектор силы Fx направлен вверх. После удаления диска сила
тяжести окажется нескомпенсированной. Шарик начинает падать
с ускорением
Fi
_ 1
0,5 мм/с2.
т ИЛИ а 2 1 Я у £
Вектор ускорения направлен вниз.
10.66.
Через некоторое время тела
будут двигаться по концентрическим ок­
ружностям с одинаковыми угловыми
скоростями. Решение ясно из рис. 109.
а
х =
10.67.
Угол наклона проволоки к го­
ризонту равен а, причем
h
tg а =
( 1)
2nR '
Рассмотрим силы, действующие на бу­
синку: N x, N2
и
Ятр взаимно перпенди­
В плоскости a
кулярны, Ятр направлена вдоль проволо­
ки, N 2 - перпендикулярна к оси спира­
ли, Nx лежит в плоскости m g и Ятр
(рис. 110 и 111). Силы Nx, N 2 и Я тр составляющие полной силы, действую­
щей на бусинку со стороны проволоки.
Когда скорость бусинки устанавливает­
185
ся, полная сила, действующая на нее,
равна та , где а - ускорение при уста­
новившемся движении.
Для вычисления а перейдем в систе­
му отсчета, движущуюся вниз со скоро­
стью v0 sin а. В этой системе бусинка
равномерно движется по окружности
радиуса R со скоростью vx cos а, ее усcos2 а _
корение равно ■■■ ■
_----. Вектор а наR
правлен к центру вращения. Во всех
и нерц и альн ы х систем ах отсчета
а = const, поэтому в неподвижной сис­
теме ускорение а такое же.
Отсюда
а
( 2)
R
При равномерном движении бусинки
N 2 = та = т
Рис. 111
Vq
c o s
^тР +
+ m g = о.
Расписывая (3) в проекциях на оси х и у, имеем:
Fw = mg sin а,
2
(3)
(4)
N x = mg cos а.
Так как Nx и N2 - взаимно перпендикулярные составляющие
нормальной силы реакции опоры, то
- (W* !2 + N!
Из (2), (4) и (5) имеем:
и cos4 а ^
g2 sin2 а = ji2 оcos2оа + l>o
R2
g2(tg2 а v0
4
( gr
ji2)
= iv2
v7i cos а
R*
(tg 2 а - |i2)(tg 2 а + 1 ),
так как — ,— = tg 2 а + 1. Получим ответ:
cos2 а
186
(5)
если ~ ^ R > ll’ TOV0 =
h
если 2 ^д < И* т0 vo = 0 .
10.68.
Обозначим длину кюветы через L, а высоту поверхнос­
ти галлия в некоторый момент времени t через h. Его сопротивлеL
9
ние R = а — , а выделяющаяся в этот момент мощность Р = I R =
= / 2сг
Пусть за малое время Д£ испарилась
масса галлия Д/п = pLdAh, где ДЛ —
изменение высоты галлия. Тогда
Д* =
ХДтп _ Xpd2
ЛДЛ = Ah Ah,
/ 2о
Xpd2
- постоянный множитель.
/ 2о
В начальный момент h = Н, а в ко­
нечный h = 0. Искомое время испаре­
ния численно равно площади под грагде А :
фиком
Xpd2
h от h (рис. 1 1 2 ):
/ 2о
= Xpd2 Я 2
1 ~ 12о 2 *
10.69.
Давление, объем и температуру газа в точках 1, 2 и 3
графика (рис. 113) обозначим через р, V и Т, добавляя соответ­
ствующие индексы.
1. Для участка 2-3 имеем
Рз
Рг
Так как V3 = ЗУ0, р 2 = р0,
3 р
V2 = 7V0, то р3 = —у 1. Из уравнения состояния газа находим
т = РзУз = 9 PqVq
3
vR
7 vR
1
64 р V
2. Работа газа за цикл равна А = —(рх - p3)(V2 - V3) = —у - 5187
3.
Р/Ро
На участке 3-1 газ получает
тепло Q 31 = v
| Щ ТХ -
Т г) =
Покажем, что на участке 1-2 есть
точка К с критическим объемом VK
таким, что газ при V < VK получает
тепло, а при V > VK отдает тепло.
Для этого в процессе 1-2 выразим
зависимость приращения теплоты
AQ, подводимой к газу от нагрева­
теля, от увеличения объема на ма­
лую величину AV. Уравнение про­
цесса 1-2 есть
Рис. 113
р = - f o V + 8 p 0.
Подставив найденное давление р в уравнение состояния идеаль­
но
ного газа pV = vRT, получим 8p0V - — V2 = vRT. Отсюда в прирауо
щениях
vRAT
^8Ро- 2 ^ - у ЛAV.
v0
J
С учетом полученных соотношений уравнение первого закона тер­
модинамики AQ = —vRAT + pAV можно преобразовать к виду:
AQ = 20 р0 - 4 — V AV.
Из последнего уравнения видно, что на участке 1-2 изменение
AQ > 0 при V < 5F0 и AQ < 0 при V > 5F0. Следовательно, VK= 5 F0,
Рк = 3/V Отсюда
= 15p0F0
к
vR *
Итак, за цикл газ получает тепло на участках 3-1 и 1-К , причем
« 1К = V• |Д ( Т К- 7\) + ^ ^ ( F K- V,) = 8p0V0.
188
Коэффициент полезного действия тепловой машины
А
^
Q 31 + Q
0,32.
ik
10.70. Скорость автомобиля А 2 от­
носительно дороги назовем абсолютной
скоростью. Жестко свяжем с движу­
щимся автомобилем А х систему отсче- /
та S. Точки С и D, неподвижные в S, (
движутся относительно дороги со ско- V
ростью, которую называют перенос44
ной. Скорость автомобиля А 2 относи­
тельно тех точек из S , мимо которых
он проезжает в данный момент, назы­
вают относительной.
1. Для точки С (рис. 114)
^Сабс
^Спер
= 2 ^. ^Спер = ^
Vdoth
VDa6c) I к
^Спер'
^Сотн
^Сабс
■'Dnep
Рис. 114
^Сотн9
Н
1,5и.
)
Тогда
и Сотн = ° » 5 у =
Ю
К М /Ч .
Заметим, что
vcor« * V2 - v x = v = 20 км/ч!
2. Для точки D:
^Я абс
^D nep
+
V D oth
9 V Da6c
V Dnep
3 ,5 u .
Тогда vDoTH= 3,5u + 2v = 5,5u = 110 км/ч.
Итак: 1) uCoTH= 0,5u = 10 км/ч; 2) vDoTH= 5,5u = 110 км/ч.
10.71.
Так как объем водяного пара не изменяется, но началь­
ное давление р х и текущее давление р вплоть до начала конденса­
ции связаны с соответствующими им термодинамическими тем­
пературами Тх и Т2 соотношением
£к = Р_
Тх ~ Т ’
где р = ФхРхнас, р 1нас - давление насыщенного пара при температу­
ре Тх (определяется из графика). Таким образом,
Т_
Р = PlPlHac^ •
189
Полученная зависимость р(Т) есть прямая. Точка пересечения
с графиком зависимости давления насыщенного водяного пара от
температуры (рис. 115) соответствует искомому значению темпе­
ратуры Т2 = 313 К или t2 = 40 °С.
10.72. Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона
pV = vRT.
Из этого уравнения при малых изменениях давления, объема
и температуры следует
pAV + VAp = vRAT.
(1 )
Запишем первое уравнение термодинамики
5Q = АА + W = pAV + CvvAT
(2)
или после подстановки ( 1 ) в ( 2 )
6
Q = pAV + %-(pAF + VAp) = %p-pA V +
R
R
R
где pAV - площадь элементарной площадки 1, VAp - площадь
элементарной площадки 2 (рис. 116).
Просуммировав по всем элементарным участкам, получим
2 ^ 8Q =
= 0 (по Условию),
CP(S2 + S 3) - CyiS, + S2) = 0 (рис. 117).
190
Отсюда находим
c v{s1 + S2) _ ^
CyS! + CVS2 - C pS2
CyS1 - r s 2
3S i _ 2S,
S 3~
cp
~ S2~
CP
Cp
5
По найденному значению S 3 определяем расстояние от точки 2
до оси V и строим эту ось.
g?
10.73. Так как £/Сз = — максимально, то сила тока через резиg?
стор R2 равна нулю. Тогда разность потенциалов на Rx равна — .
Следовательно, UCi =
~
~ .
2. Сила тока через резистор R1 равна
Г
3. Когда процесс установится, сила тока через резистор R x рав­
на нулю, откуда
7 т а =
7с, = О4. Из закона сохранения энергии следует, что в установившемся
режиме
^
+ в,
„ «
n
Ci^ 2
9с, = c i^ или в = g—•
10.74. Зависимость напряжения на трубке U от напряжения
на конденсаторе Uc во время разрядки имеет вид U = Uc - IR.
Пересечение данной прямой с вольт-амперной характеристикой
газового разряда определяет силу тока через трубку и напряже­
ние на ней. На рис. 118 прямая 1 соответствует моменту подклю191
чения конденсатора (t = 0). В этот мо­
мент U0 = 200 В, Uc0 = 300 В, 10 =
10 мкА. Прямая 2 соответствует мо­
менту t = tx, когда процесс стабилиза­
ции тока закончился. При этом Ux =
= 100 В, Ucl = 200 В, 1Х = 10 мкА.
Для этого участка - от t = 0 до t = tx ЛdUc
с —dt- - 1п°'
Решение этого уравнения имеет вид
h t.
С
Отсюда находим время разряда
и с = и со
Рис. 118
Ф с о -Ц д )
1 0 4 с.
1о
За это время на резисторе R выделится количество теплоты
Wm = I 02R t1 = 10 Дж.
Начальная энергия конденсатора
11
C U 2
c
^со
2
о
= 45 Дж,
а к моменту tx энергия конденсатора
W C1
=
= 20 Дж.
Следовательно, всего в цепи выделилось 25 Дж: на резисторе
10 Дж, а в трубке 15 Дж. На линейном участке вольт-амперной
характеристики трубка ведет себя как резистор с сопротивлением
= 107 Ом. Поэтому электростатическая энергия конденса­
тора Wcx = 20 Дж преобразуется в тепло, выделившееся на рези­
сторе R и трубке поровну — по 10 Дж. Следовательно, полное
количество теплоты, выделившееся в трубке,
W = 15 Дж + 10 Дж = 25 Дж.
10.75.
Ускорение свободного падения на расстоянии г от цент­
ра планеты равно g(r) = GMirj/r2, где М(г) - масса вещества, на­
ходящегося внутри сферы радиуса г с центром, совпадающим с
центром планеты. Введем буквенное обозначение ДЕ = R - г.
В этом случае имеем:
192
M(R) = M, M(R - AR) ~ M - 4яЯ2Д#рпов,
где рпов - плотность вещества, из которого состоит поверхность
планеты. Отсюда
М - 4тгД2АДрП0В _ М
(R - AR )2
~ ~R*9
M R2 - 4nR4ARpnOB « M i ?2 - 2MRAR + M(AR)2.
Пренебрегая последним слагаемым в правой части и учитывая,
^
4яД3
что объем
сферы радиуса Rг, равен —-—,
находим
о
2яД ,Р«» =
М
= |^ Р с р .
где рср - средняя плотность вещества, из которого состоит плане2
та. Отсюда рпов = - р ср = 3,7 г/см3.
10.76.
Пусть на оси симметрии конденсатора на равном рас­
стоянии от обкладок конденсатора потенциал равен нулю, тогда
при смещении вдоль 0 0 ' на расстояние 20000 потенЧиал будет
d
Q
равен фд. = 20~qqq ~£~"яд 2 >гДе Q ~ заряд на обкладках. На больших
расстояниях от конденсатора на его оси ОО' поле конденсатора
можно рассматривать как поле двух точечных зарядов. В этом
случае
ф
=
1 (Q
4яе0 ^ г
Q ] ~ 1 Qd
r +d ) ~ 4пе0 г2
Так как Муха-Цокотуха умеет летать только по эквипотенци­
альным поверхностям, потенциал поля в ее начальной и конеч­
ной точках полета равны, т. е.
d
Q
1
Qd
1-----20 000 z0nR2 “ 4яе0 ' 7 ^ ’ тогда г = Вд/5000 ~ 70,7i?.
10.77.
Пусть на систему действует сила РА (рис. 119, а). Запи­
шем равенство моментов сил относительно точки О:
FaR + N 2-2R = P -2R ,
(1)
где Р = mg, a R и 2R - «плечи» соответствующих сил. Из условия
равновесия получаем еще два уравнения:
193
N t + N 2 = 2P,
( 2)
Fa = \Lin i + V-2N 2Решая систему (l)-(3), находим
2 P(|ii + ц2)
~ 2 - ( ц! - ця) ~ 0,89 HАналогичным образом найдем
2 P(ni + Ц2)
^ .- 2 7 1 ^ * 0 ,7 2
( 3)
H.
Из (1) видно, что если увеличить «плечо» горизонтальной силы,
то это приведет к уменьшению силы реакции опоры N 2 и, следова­
тельно, к уменьшению силы трения. Приложим горизонтальную
силу Fc в точке С (рис. 119, б). Тогда уравнение (1) запишется в
виде
Fc • 2R + N 2• 2R = Р • 2R.
Решая полученную систему, находим
_
-P(Hi + ш )
_ р
0,67 Н.
F° ~ 1 + (щ - ц 2) ~ J
Значит, с помощью силы Т = 0,7 Н систему сдвинуть можно.
10.78. Построим график I(t) (рис. 120). Заряд на конденсаторе
в момент времени т численно равен за­
штрихованной площади треугольника,
т.е. Q = a(t0 - т)2/2. Напряжение на кон­
денсаторе равно
Q
Рис. 120
194
а(*о ~ т)2
2С
оно совпадает с напряжением на элемен­
те, сила тока через который равна
I = a(t0 - т). Отсюда U = / 2/(2аС), 0 < I < J0, - вольтамперная харак­
теристика элемента.
10.79.
При увеличении температуры газа от Тх до Т2 = 27\ тепло­
емкость газа возрастет до С(Т2) = Cv, его внутренняя энергия увели3
чивается на AU = v —1 ?(!Г2 ~~
а количество теплоты, подведен­
ной к газу, окажется равным AQ = v
Т% - Т?
3
8
соответствии с
первым началом термодинамики работа, совершенная газом,
А = A Q - AU = - v | R TX.
О
Знак минус означает, что работа газа отрицательна, т.е. внешняя
сила производила сжатие газа.
10.80.
По наклону касательной к графику в точке С его пере­
сечения с осью t (рис. 1 2 1 ) находим максимальную скорость брус­
ка: ымакс = 1,75 м/с. Так как имакс^> vQ9 то шарик не достигнет
бруска в момент, когда скорость бруска имакс. Ответим на вопросы
задачи графическим методом.
1.
Временная зависимость координаты шарика x(t) есть набор
прямых с наклоном, определяемым значением v0 = 0,06 м/с. Мак­
симально возможной скорости и бруска при ударе соответствует
прямая АВ, касающаяся графика в точке А и пересекающая его в
195
точке Б. Проведя касательную к графику в точке Б, находим
и = 1,03 м/с. Максимально возможная скорость отскока v = v0 +
+ 2 и ~ 2 ,1 м/с.
2.
Разность Д не будет зависеть от и0, если прямая, выражаю­
щая зависимость x(t) для шарика, пройдет через точку С и не
будет пересекать график вблизи t = 0 , т. е. прямая x(t) будет
круче, чем прямая DC, касающаяся графика вблизи точки А. Это
будет при v0 > 0,38 м/с. При этом Д = 2имакс = 3,5 м/с.
10.81.
Пусть и/ - скорость части состава из i вагонов сразу
после вовлечения в движение £-го вагона, a vt - скорость части
состава из i вагонов перед ударом c(i + 1 )-м вагоном.
Из закона сохранения импульса (i + l)m vi+1' = imvi = рг По
второму закону Ньютона
F
(i + 1)т ‘
По известному кинематическому соотношению
а ‘+1
( 1)
( 2)
Подставив (1) в (2), получим
Pi+12 = 2 (i+ l)m F L + Pi2.
Из полученной рекуррентной формулы следует
N
pN2 = 2 m F L ^ i + р 02
i= 1
и, так как р0 = 0 , то
Найдем время вовлечения в движение N вагонов:
v.i —vi' = i г’
Используя полученное ранее выражение для vN, найдем
196
10.82. Из закона сохранения энергии следует
Ql
Ф раст =
+
#2«
QpacT ~~теплота, ушедшая на растворение вещества, Qx - выделив­
шаяся теплота при остывании воды (возм., Qx < 0), Q2 - выделив­
шаяся теплота при остывании вещества.
^раст
^ ^ р а с т в . в-ва
Ql =
с ™ воды (*1 -
^ ^ р а ст в о р и т ел я ^ 1 Хта9
0 ) = cm(tx - 0 ) ,
cm(t2 - 0 ) ,
Хат = cm(t1 - 0) + cm(t2 - 0),
Q2 =
-
0) =
a = f a + t2 - 20 ).
(1 )
Зависимость a(0) - это уравнение прямой: a(0 °C) = 1, a(100 °C) = 0.
Уравнение (1) решается графически (рис. 122): tA ~ 65 °С,
аА ~ 0,35.
10.83.
Первый закон термодинамики 5Q = pdV + dU для про­
цесса 1-2 приводит к выражению:2
( 2)
Q12 = \p d V + £7(2) - 17(1).
( 1)
197
J pdV равен площади S x под графиком процесса 1-2
(2)
Интеграл
( 1)
(рис. 123).
Р/Ро ,
10
i_
i—
|_
т т
Т—
Ег
И
1г А
г.
_
г—
L
1
~
т
1
1
1
г
г
_г
т
д
_
r~
i_
~
r
_
L 1
l_ l_ .
1
_
z
i—
_
_
!_ 1
_
[I z
r~
i—!
i_ !_
1
_
!_
i
L_
lZ
_
L_
^1.к
— 1I 1 1
SГ
z
ГЦ
i_
i
i
чД
Г _v
1
si
*7
§Г 7
| § i Z V"\11
s i I ЛГЦ
I 1 1 § k~ _1
!
_J 'n i
si 1I
г
z
7}
z
I
£
z
2
s
2
1 11 o
_
X
□ 12 2 2 z z z z s
Si i l C
I
~1 ~1
2 z 2 2 2 sr
z z Xf}
I 1 Roi §
_| z z
z
7/
z
z ГЦ
z
J
z
2
1 sc
j
2
z
s
2
2
I
J | |
g g z 2 z z %z 2 z 2 z 2 V
i I 1 z k 2*2
~1П
C
o
__
2
z
z
z
z
2
2
z
222 g 2
§I 1
ha//2
i
Z
11
| 1 §5toeC$3 l Х 7Ш ,z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2^2 z L_
]
^^2 1 1 I g у м ю ш ж я т ш т м т м л ■■
1
~I
~1 __
У А Ю Л 9 Ж ?Ш //7Ш й У М У М У Л ' wm
1§К I
£a
~1
1
I 1I 11§
1 1 1 I cc >s%z z z 2 2 2 2 2 2 2 И
2gz z z z 7
^
2
g
___ j § 1 I 1 i 1 I § z z 2 2 2 2 2 2 2
zzz22
_
2 2 2 g g 2 2 2 2 z z >r2 2 z 2 2
i
1 1 1 1 1 5c
z
z
z
z
2
2
2
2
2
g
2
2z z g2
1111 11 i 2 2
H 1 i 1i §
Z z z E 2 2 2E E E E Й2 z z 2
s v /v 0
Рис. 123
Так как U зависит только от pV, то U = const на гиперболах
pV = const. Проведем гиперболы через точки 1 и 2 и найдем пере­
сечения с кривой адиабаты - точки 1* и 2*:
198
£7(1) = £7(1*), £7(2) = £7(2*).
( 2 *)
Для адиабаты Q^2* = 0 = f pdV + £7(2*) - £7(1*).
(i*)
Отсюда следует:
£7(2*) - £7(1*) = -S 2,
где S 2 - площадь под графиком адиабаты. Тогда получаем, что
Q12 = Si - S2. Подсчитав площади S x и S 2 найдем
S, = 9,8p0F0, S 2 = (7,8 ± 0,2)p0F0,
Q12 = (2,0 ± 0 , 2 )p0F0.
10.84.
1. До замыкания ключа К на конденсаторах были оди­
наковые разности потенциалов £70 = 2^/2 и заряды g0 = C S J 2.
Полярность указана на рис. 124.
£70
Рис. 124
Рис. 125, а
В момент замыкания ключа К заряды конденсаторов и напря­
жения на них не могут мгновенно измениться. В цепи появляют­
ся токи J, 1Хи / 2 (рис. 125, а). Согласно законам Кирхгофа:
ir
=
-
£ /0 => / =
Здесь / - ток через 1?2. Далее
V + 1> = ^ 2 + £70,
J
= _
2
J +
^ 2 + ^0
Г
_
_
^ 2 + ^ 1/ ^
^2 + ^1 / 2
Г
г
_
q
п
Следовательно, г = /Г = -------------, где ijу - ток через <2?
2. Начальная энергия системы
= 2G£702/ 2 = С& 2/ 4. В ко­
нечном состоянии (т.е. после затухания токов) напряжения на
199
конденсаторах равны Ux = &2 + *ёх и
U2 = %г. Полярность указана на
рис. 125, б. Энергия системы в конеч­
ном состоянии есть:
W =
СШ\ ^ с (§?2 +g’1f
Изменение энергии
AW = W - W0 = j ( g ’1 + 2%2f .
3. До замыкания ключа суммар­
ный заряд на левых обкладках кон­
денсаторов был равен нулю. В конечном состоянии
Qi~ c f e i + 2^2)»]
Q = <h + Q 2 = C ( f ! + 2 % 2).
q2Это означает, что через батарею &2 протек заряд q и батарея со­
вершила работу
А2= q 2 = 0 ^
х + 2 ^?2).
Через батарею
протек заряд
С%х _ С ^ ( 2 Г 2 +g x)
& q = q x ~ q Q = С ( % 2 + % х) -
Батарея совершила работу
Ах=
=
c( 2 i ?2
)
Обе батареи совершили работу А = А х + А 2 =
С{%>1+2%>2)2
4. По закону сохранения энергии А = ДW + Q, где Q - выдеc (g + 2 ^ )2
лившееся тепло. Следовательно, Q = A - AW = ----------- — .
10.85. Согласно условию Fconp = -а | и0
, | иотн,
где а - коэффиОТН
отн 7
циент пропорциональности.
Проекции ускорения тела на горизонтальную ось ОХ и верти­
кальную ось ОУ, направленную вниз, соответственно равны:
I
ах
=
^
( “
-
Vx ) ^ { u ~ V xf + v y2
a« = g ~ m Vy ^ u ~ v^ 2 +vy ’
200
,
где т - масса тела, g - ускорение свободного падения. При ма­
лых временах полета тела можно считать vx « u,
« и, a v 2
mg и движение тела происходит с постоянным ускорением.
Для малого промежутка времени Дt координаты тела
аи2М2
gbt2
х —
У2т
т.е.
mg
tg у = “х = а и 2
и, avy2 = mg, т.е. vy =
В установившемся режиме vx
В этом случае tg (3 =
= I mg
vx
Vccw2
Таким образом, tg у = tg 2 (3.
10.86. В первом эксперименте ускорение
груза и ускорение
аА шарика А направлены вертикально вверх и равны по модулю,
так как длина L нити не меняется.
Пусть масса всех трех шариков равна М. По закону сохране­
ния энергии
\2
/
,.\2
mga^bd2 _ м (аАAt) + m(a1At)
2
2
( 1)
2~
После преобразований (1) получим /ng = М ах + та19 откуда
М = g - gj
( 2)
m
ах
Во втором эксперименте проекция
ускорения а'А шарика А на вертикаль­
ную ось равна ускорению а2 шарика
массы т (рис. 126).
2 а29_
_f
аА sin 60° = а 2 или аА =
( 3)
Vi
По закону сохранения энергии
mga2txt
м(а^А ^)2
m[a2hd)
2
2
2
(4)
С учетом (3) выражение (4) примет вид
М
3[ g -a 2)
402
(5)
Рис. 126
201
Приравнивая выражения (2) и (5), получим
_ egot!
а 2
_
4g - O i ’
10.87. Для малых изменений объема
ЯДУ
ДА = - ptSV = k
откуда
IkAA
ДУ = -
Ik ’
Чтобы найти объем VQ9 определим на графике, приведенном в
условии, площадь Sn левее ломаной KLMNOPQ:
VQ = VX- ^
* 0,533 л.
10.88.
Воспользуемся законом сохранения энергии системы
«источник-конденсатор-брусок». Источник тока совершает рабо­
ту по увеличению электрической энергии конденсатора и кинети­
ческой энергии бруска:
mv2
( 1)
~2~9
где q - заряд конденсатора в текущий момент времени, qQ - на­
чальный заряд конденсатора, т - масса бруска, v - текущее зна­
чение его скорости.
Поскольку q = CU9q0 = C0U9выражение (1) преобразуем к виду
(q ~ q0)U =
CU2
C0U2
2
2
(C-C 0)l/ 2 _ mv*
2 ’
( '
Обозначим через х расстояние, на которое брусок вошел между
пластинами конденсатора. Тогда
2
8 0 ( 8 - 1 )
Х - - \ Ь
С -С 0=
( 3)
Подставим (3) в (2):
80(8 - 1)bU2
2d
*-|J =
(4)
Известно, что работа силы F по перемещению (х - х 0) тела
массы т равна изменению кинетической энергии тела:
mvг»2
F(x - х0) =
(5)
202
Сравнивая (4) и (5), видим, что на
брусок в конденсаторе действует сила а . т
F, равная выражению в квадратных
скобках. Следовательно, ускорение
бруска
_
F
е0(е-1)1/2
а m
2bd2p •
(6)
Брусок будет двигаться со скоростью
v —at —
Рис. 127
е„(е-1 ) У 2
2bd2p
—, когда брусок полностью втянется в
а
конденсатор и его скорость достигнет максимального значения,
равного
до момента времени т
vmax —лv/ab .
Затем она будет уменьшаться по линейному закону v = а(2т - t) до
момента времени 2т. После этого все этапы движения повторятся
в обратном порядке (рис. 127).
10.89. Любую схему трехполюсника (А, Б, С), состоящую из
омических сопротивлений и соединительных проводов, можно све­
сти к эквивалентной схеме, изображенной на рисунке 128. Сопро­
тивления гА, гв и гс этой схемы найдем, решая систему уравнений
А + ГВ ~ ^ А В >
га
+ гс = К а о
гв +гс = Бвс.
Оставим свободным вывод D четырехполюсника, который ис­
следовал Глюк. В получившемся трехполюснике (А, Б, С) сопро­
тивление между выводами А и С неизвестно. Однако можно запи­
сать
Ял
Га Гс ^ (Га Гв)
(Гс
Гв)
^ ав
^вс>
или
Яас ^ -^ав Явс.
( 1)
Аналогичным образом для трехполюс­
ника (А, С, Б) можно получить
Яad ^ ЯАС + Бсв,
или
Яао Ясв < Бас.
( 2)
Б!
Рис. 128
203
Объединим неравенства (1) и (2):
RAD
~~ R C D
RAC ^
^
КАЕ
ЯВС-
Подставив числовые значения, найдем
68 кОм < Rac < 68 кОм, т.е. RAC = 68 кОм.
10.90.
Пусть центр масс С автомобиля расположен на высоте h
относительно полотна дороги, расстояние между осями передних и
задних колес равно I (рис. 129). Для случая торможения задними
колесами запишем уравнения моментов относительно точки Ох:
N 2l - ^ +
^2
Отсюда N 2 =
pi
С
гi -------- 1
-Г тр2
-
mg
2 | 1 + — ''
( \Г \
О
iiN2h = 0.
— ~7л !1 ) —
Ш
х тр1
l
Работа силы трения равна
mgl^
Л = ^тр2^1 =
= М-2 (l + \ih/l) •
s
Ш
mg
Рис. 129
^
Аналогично, при торможении пере­
дними колесами уравнение моментов относительно точки 0 2 име­
ет вид
mgl
N J + IULN xh = 0,
откуда
mg
= 2 (l - \ih/l) ‘
Работа силы трения равна
V-mgLj
А2
■^Tpl‘^'2
M^i-^2
2(1 - \ihjl)
( 2)
При торможении всеми четырьмя колесами работа сил трения
А3 = pmgL3.
(3)
Поскольку т^° = А { = А.г ■-=А 3, то, совместно решая уравнения
( 1 ), (2 ) и (3), получим
А + 1*2
4
1 1 м.
10.91. По определению, КПД цикла равен ц = т р , где А ЧГ+
р а б о т а , с о в е р ш а е м а я г а зо м за ц и к л , Q + - к о л и ч е с т в о т еп л о т ы ,
204
отданной нагревателем газу за цикл. Для данного цикла
А —А т+ Ay + A q = А т+ A q9
где А т, A V9A q - работы, совершенные газом соответственно в изо­
термическом, изохорическом и адиабатическом процессах. Обра­
тите внимание на то, что количество теплоты, полученное газом
от нагревателя, равно положительной работе, совершенной газом:
Q+ = А т. Следовательно,
A
Ar p
+
A
q
A
q
A
q
( 1)
Ат
= 1 + А^ = 1 + A - Aq
Работа, совершаемая газом за данный цикл, равна площади,
ограниченной линиями 1-2-3-1:
11 = ~А^ =
А *
ед. = 116 ед. = 290 Дж
(1 ед. = 5 • 1023 Па • 5 • 1(Г4 м3 = 2,5 Дж).
Работа газа на адиабатическом участке равна с обратным зна­
ком изменению внутренней энергии на участке 3-1:
A q = - vCJT, - Т.) = - v • | R(T2 - Т,) - - | V2(p2 - Рз).
(2)
Из рисунка находим р2 ~ Рг = 5 е Ю4 Па. Решая (1) и (2), полу­
чим
А
2 1- л
- 27 л.
3
Л Р2 ~ Ръ
10.92.
Пусть заряд обкладок конденсатора Qx и Q3, а заряд на
границе слоев, заполняющих конденсатор, Q2. Эти три физические
величины нам предстоит найти. Для этого необходимо составить
три уравнения (по числу неизвестных), содержащих эти величины.
Запишем закон сохранения заряда:
Qi + Q2 + Яг = 0 (1 )
Выразим разность потенциалов между обкладками конденса­
тора через потенциалы на границе сферических поверхностей кон­
денсатора:
+
+ Ql , = v
( 2)
R 2R 3R 1
Плотности тока у по обе стороны границы, разделяющей веще­
ства c p j H р2, одинаковы:
( 3)
h = hПлотность тока находим из закона Ома для участка цепи сферического слоя толщины ДR:
4718 п
205
; =
Я
аи_
EAR
SAr
с рАЯ
Р’
(4)
где S - площадь поверхности сферического слоя, Е - напряжен­
ность электрического поля, Дг - сопротивление сферического слоя.
С учетом (4) выражение (3) представим в виде
1
Qi
Р 4яе0 (2R )2
f Qi
1
Q2
2р 4 яг0 { ( 2 R )2
(2R )2
(5)
Отсюда получим
Qi = Q2.
Из (1), (2) и (6 ) находим
( 6)
24
Q2 = — ne0UR.
Плотность тока вблизи обкладки радиуса R равна
J=
1
_ Q i__ = 6
р 4яе0Я 2
U_
> ’ РR '
Тогда сила тока, текущего через конденсатор,
г
.
.
24я
UR
5
р
I = у • 4uR2 = ■— ----.
'
10.93. 1. Из рис. 130 ясно, что 10 = 1г + / 2. Из закона Ома / 2Д2 “
I XR X= ^ 2. Отсюда следует, что при R 1 = R2 = R
'о - Я
= const.
2. Согласно закону Ома
1А
206
+ J
( 1)
где q - заряд на конденсаторе, а С - емкость конденсатора с вдви­
гающейся в него диэлектрической пластиной:
С = С0 + С0(е - 1)у.
(2)
Из уравнения (1) находим:
Дq = (g\ - I ^ J A C ,
или
A q/A t = I 0 = (g\ - I XRX)AC/At = const;
(3)
из уравнения (2 )
C0(£ - 1 ) Ax
C0(e - l ) i
АС /A t =
(4)
l
AT
Скорость движения пластины, как следует из (4), постоянна:
v = А х /At = const. Подставляя в (3) выражение для силы тока 1Х
и принимая во внимание (4), находим
2V
(2Г 1 + ^ 2 - / 0Л)С0(е -1 )10.94. 1. В первом случае луч света проходит через линзу два
раза. Следовательно, система эквивалентна одной линзе с опти­
ческой силой D1 = 2 D0. И сточник находился на расстоянии
F0 = 2F19 т.е. на двойном фокусном расстоянии. Поэтому изобра­
жение совпадает с самим источником: lx = F0 = 8 см.
2. Когда линза погружена в воду наполовину, то оптическая
сила системы D2 = 2D0 + 2D, где D — оптическая сила водяного
1
2
слоя под линзой, то есть тг = — + 2D. Из условия задачи L = 2F2.
"2
"о
Следовательно,
2
2
F .-L
r = — + 2 D ^ D = - f —1 < 0 .3
3. Аналогично, в третьем случае D3 = 2D0 + 4D; l3 = 2F3. Сле­
довательно,
2_
4 Fq ~ h
h
Отсюда находим
=
hFo = 24
2F0 l2
cm.
11
класс
11.1.
Для положения шарика, когда сила натяжения нити ста­
новится равной нулю, имеем (рис. 131):
-m g cos а =
mv2
~ ;
(1 )
здесь т - масса шарика. Запишем закон сохранения энергии для
этой же точки:
^
Из (1) и (2) получаем
~ cos а )«
(2 )
v20 -2gl 2
cos а = ----— — , v = -gl cos а.
ogi
Далее до точки подвеса шарик летит по параболе:
-v cos at = х ,
'
.
у + v sm a t -
at2
= О,
где х = I sin а, у = -I cos а.
Тогда
п since + р
sin2 а - 2 1 gcosa
8
I х
и f = — tg а.
V
Приравнивая друг другу эти выражения
и учитывая, что
-gZ cos a = v2,
получаем
/ оsm
• 22 a + 2vl
ГТ - ----и2 sin5—.
а
и sin ос + Vir
v cos"5a
208
(3)
Решая уравнение (3), находим sin 22 аг/ =
з’
cos а =
7з -
-0,577,
и0 =
2-3cosa) = 1,93 м/с.
11.2.
Из третьего закона Кеплера квадраты периодов обраще­
ния относятся как кубы радиусов орбит:
Т2
±2_
3
(1 )
а2
Следовательно, чем меньше радиус орбиты космического кораб­
ля, тем меньше период его обращения вокруг Солнца, и минималь­
ному периоду обращения соответствует минимальный радиус ор­
биты. Минимальный радиус орбиты корабля есть радиус Солнца:
=
Rc, а R c
=
—•
R3 (R3- радиус Земли). Согласно (1) запишем
‘ тш
TL=Ti | J
„3
3
Tmin = 365,25 • (4,65 * 10 3)2 сут ~ 0,166 сут ~ 2 часа 47 минут.
11.3. Так как цилиндр теплоизолирован, то
АС/ + А = 0.
(1)
Введем обозначения: р 1 = ——^ - начальное давление газа, р 2 mg
окончательное давление, р3 = —----давление газа после того, как
о
одну гирю сняли. Ясно, что р х = р2. С учетом (1) при снятой гире
получим уравнение
Cv( T3 - T 1) = p 3(V3 - V 1)
(2)
где Cv - молярная теплоемкость при постоянном объеме. Из пос­
леднего равенства находим
Cv
СуТх + р 3Ух
Т3 = Су + R
R
+
У
Cv + R
( 3)
Аналогично после того, как гирю опять поставили на поршень,
получаем
CyT3 +PtV3
Су+R
8 Козел
=
{Су + 2 я ) т з
Су+R
(4)
209
Из соотношений (2) и (3) получаем (учитывая, что ж
Т1
Р3У3
P2V2
т2
и Pi = Pi = 2Рз)
(СГ + 2 Я ) | ^ + Т г~ Т ,
-1
{cv + д )2
Далее находим
Тх = 0,12 Тг.
25
11.4. Потенциал первого шарика после соединения его с уда­
ленным проводником равен
_ Qi
т2 - т г
^ ~~ 4яе0г ’
где г - радиус шарика. На втором шарике при соединении его с
проводником появится заряд Q2, а его потенциал будет опреде­
ляться зарядами Qx и Q2:
_
Qi
^2
— 4яе0г
4яе0Я ’
В - расстояние между шариками. Аналогично потенциал третье­
го шарика ф3 будет:
Яз
Яз
Яг
----------------------4яв0г
4пе0В
4пе0В 1
Так как все шарики соединялись с одним и тем же проводником,
имеющим постоянный потенциал, то
Ф1 = ф2 = Фз •
Из полученных уравнений находим
Фз
-----------
Qs
SL
Qi
*11.5. Обозначим радиус орбиты Харона через х . Уравнение
движения Харона по круговой орбите радиуса х имеет вид:
_ Mm
rrusfx,
(i)
где М - масса Плутона, пг - масса Харона, со - угловая скорость
вращения.
Ускорение свободного падения на поверхности Харона в точке,
наиболее близкой к Плутону
210
т
М
9
8 i = G72- “ ° ( д Г г ) 2 ' + w
“ г)-
Первый член в данном выражении соответствует гравитационному
полю Харона, второй член - гравитационному полю Плутона. Пос­
леднее слагаемое вызвано движением Харона по круговой орбите.
Аналогичное выражение для ускорения свободного падения в
наиболее удаленной к Плутону точке имеет вид:
g ^ G ^ + G j ^ - иЧ х + г).
Абсолютное различие в ускорениях свободного падения для дан­
ных точек Харона
Ag = g2 - g ,= GM
1
1
(Л + r f + (Л -
rf
- 2 co2x.
Выражая oAt из уравнения (1), получим:
M
Ag = 2G л 2
1 + p2
M 2)2
«6 G
здесь P= —.
Относительное различие в ускорениях свободного падения
Щ 2^
Ag_
г5
6G
6 “т Р4 = 4 ‘ 10
R2 / G ?
g
*11.6. Будем рассматривать данную установку как тепловую
машину, в которой в качестве нагревателя используется комнат­
ный воздух при температуре Тх = 273 + t1 = 300 К, в качестве
холодильника - лед при температуре Т2 = 273 + t2 = 273 К, а в
качестве рабочего вещества - свободные носители заряда в про­
водниках электрической схемы. Работа, совершаемая при пере­
мещении зарядов вдоль спирали нагревателя, превращается в теп­
ло, которое передается воде.
В результате температура воды повысится на At. Это и есть
работа, совершаемая тепловой машиной.
А = meAt.
Максимальный КПД тепловой машины (работающей по циклу
Карно)
т, - т2
Л = Тг
( 1)
211
К моменту окончания плавления льда холодильнику будет отдано
количество теплоты
Q2 = Хт,
где т - масса льда в сосуде.
Количество теплоты, полученной от нагревателя за это время,
Q\ = ©2 + А"
По определению КПД такого цикла
_ — _
^
_
mcAt
^
Qi
Q2 + А
тпк + meAt *
Приравнивая (1) и (2), получим
cAt
Тг - Т2
X + сAt
•
Отсюда
т
г
С
*2
« 8 К.
*11.7. Пусть заряженная частица проле­
тает над проводом, заряженным одноимен­
но, вдоль оси х (рис. 132), и пусть в некото­
рый момент она находится на расстоянии R
от провода. Радиус-вектор R составляет угол
\|f с осью у. В этот момент на частицу дей­
ствует электростатическая сила
eq
F = еЕ = 2 ue0R *
Проекция этой силы на ось у
eq cos\|r
2 ue0R '
Уравнение движения частицы вдоль оси у можно записать в виде:
eq cos\|r
mdvy = Fydt = ~ 2 ^ R dL
( 1)
За малое время dt частица смещается вдоль оси х на расстояние
d x, а радиус-вектор R поворачивается на малый угол dy. Эти
приращения связаны между собой:
dt =
dx
Vx
Rd\\r
l^ C O S ^ ’
( 2)
где vx - скорость частицы вдоль оси х . Мы полагаем, что она практи­
чески не изменяется и все время остается равной скорости частицы.
212
После подстановки (2) в (1), получим
eqd\\r
vxeqdy\r
dvy = 2ne0mvx = 4ле0ТГ *
За все время пролета угол у изменяется от —- до —, а вертикал ь2
2
ная составляющая скорости частицы - от нуля до некоторого зна­
чения vy9 поэтому
_ еЯих
v« ~ 4e0W •
Угол отклонения скорости частицы от горизонтали на большом
удалении от провода
eq
а = "^
1> = 4:EqW *
*11.8. Пусть вдоль контура 1234561 те­
чет ток I. Такой контур можно заменить
двумя контурами 12361 и 63456 с тем же
током I. Это понятно из рис. 133. Магнит­
ный поток, пронизы ваю щ ий контур
1234561, состоит из двух одинаковых маг­
нитных потоков, создаваемых контурами
Рис. 133
12361 и 63456. Рассмотрим один из этих кон­
туров, например, 12361. Поток, пронизыва­
ющий собственный контур (12361), очевидно равен L XI и направ­
лен на нас. Одновременно линии индукции магнитного поля это­
го тока пронизывают контур 63456. Этот магнитный поток будет
равен L2lI и направлен от нас. Здесь Ь21 - коэффициент взаимной
индукции. Поэтому полный магнитный поток, пронизывающий
контур 1234561 двумя эквивалентными контурами, будет равен
Ф2= 2(L, - L2l)I.
По определению коэффициент самоиндукции (индуктивности)
контура 1234561
Ь2 = Ф2/1 = 2(L, - Ь21).
Отсюда неизвестный коэффициент са­
моиндукции
L2i
ут
Рассмотрим теперь контур 1234561,
по которому течет ток I (рис. 134). За­
меним этот контур тремя эквивалент­
ными контурами: 12761, 23472 и 67456.
213
Магнитный поток, пронизывающий каждый из этих трех контуров,
Ф = LXI - 2L2lI.
Суммарный магнитный поток через три контура
Ф3 = ЗФ = 3LtI - 6 L2lI.
Поток Ф3 входит через три грани нашего куба: 12761, 23472 и
67456. Этот же поток будет выходить через три другие грани,
поскольку через любую замкнутую поверхность поток равен нулю.
Этот закон является следствием отсутствия магнитных зарядов.
Следовательно, магнитный поток Ф3 будет пересекать контур
1234561.
По определению
L3 = Ф3Д = 3Ьг - 6L21 = 3(L2 - L x).
При написании последнего равенства было использовано выраже­
ние ( 1 ).
*11.9. Если тонкий пучок света распространяется по окружно­
сти радиуса г, то в любой момент времени проекция волнового
фронта пучка (поверхность постоянной фазы) проходит через центр
данной окружности. Из этого следует, что оптические пути всех
лучей, входящих в состав пучка, должны быть одинаковы, т.е.
гп = const. Эквивалентная запись этого соотношения:
In---- Ь Inn = const,
( 1)
где r 0 = 1 см. Формула (1) описывает сег
мейство прямых на плоскости In , Inп> с
Рис 135
углом наклона к оси абсцисс, равным
.
Значение г, при которых световой пучок будет распространяться
по окружности, определяется точками касания прямых ( 1 ) и гра­
фической зависимостью Inп от 1п~г. Два таких графических ре­
шения показаны на рис. 135. Это две точки: 1п~г = 0,27 ± 0,02 и
го
г2
In— = 0,54 ± 0,02, что соответствует гг = (1,31 ± 0,03) см и г2 =
го
= (1,7 ± 0,02) см.
11.10.
Пусть Тг и Т2 - температура газа до и после нагревания, S площадь поршней. Давление в верхнем отсеке не меняется и равно
R7\
(i)
Pi = LS '
214
Давление в нижнем отсеке увеличится и станет равным
RT2
LS ’
(2)
Минимальная сила трения, при которой поршень А останется не­
подвижным, равна
F = (p2 - Pl)S = R{T2 - T x)/L.
(3)
Процесс в нижнем отсеке изохорический, а в верхнем - изобари­
ческий, поэтому
^НИЖН = Су(Т2 — Тг)9
(4)
Q ^ -lC y + m T t- T j,
SR
Здесь Cv = —— молярная теплоемкость идеального одноатомного
газа при постоянном объеме, Cv + R = —----при постоянном дав­
лении. Таким образом, всего подведено энергии
Q = 4ЩТ2 - Г,).
(5)
Из уравнений (3) и (5) получаем ответ:
Q
F = -гг = 125 Н.
4 L
11.11.
Сопротивление колечка R = 4рcD /d 2, его масса
тп = Ti2d 2Z>pn/4.
Предположим, что скорость движения колечка изменилась
мало, т.е. Av v0. Тогда время, в течение которого колечко нахо­
дится в магнитном поле равно t = 2a/v0.
В0 nD2
BQv0 nD2
ЭДС индукции в колечке Ш = t / 2 ~
—— —r~, сила тока
a 4
If
9
g 2t
I = . Выделившееся количество теплоты Q = I Rt = —— ; измеR
R
нение кинетической энергии AW = mv0Av. По закону сохранения
энергии Q = -AW , поэтому имеем —— = -m v0Av.
R
Подставив в последнее равенство полученные выражения для
, t , R, тп, находим
D2B2
Av = “ о----— = -0,25 м/с.
8 <*РсРп
Видим, что предположение о малости изменения скорости оправ­
далось: скорость уменьшилась на 0,25 м/с, т.е. Av
v0 = 20 м/с.
11.12.
Пусть i2, М и р - соответственно радиус, масса и плот­
ность астероида,
- первая космическая скорость, G - гравита­
ционная постоянная, тп - масса камня.
215
Период обращения будет минимальным при движении по кру­
говой орбите радиуса R. Можно показать, что
т0 = ^ З п / g p .
Сила, действующая на летящий по тоннелю камень, на расстоя4
нии х от центра астероида равна F = —nGpmx. Движение в тоннео
ле - часть колебательного движения с циклической частотой
со= V(4/3)jtGp
и периодом
Т = 2я/со = V3n / £Р •
Оказалось, что Т = Т0. Скорость камня в тоннеле меняется по
закону v — v0 sin со*, где и0 - скорость камня в центре астероида.
Если Fx - сила, действующая на камень на поверхности астерои­
де^
mv\
FXR
да, то по закону сохранения энергии —~L = — Н— — . Так как
Fx = лг-—, то и0 = vx4 2 . Итак, v = 1^72 sin со£. На поверхности
v = v19 следовательно, sin Ш01
~т=. Отсюда время движения
V2
,
я
Т0
камня от поверхности астероида до центра t 01 = — = — .
4 СО
о
Время движения камня в тоннеле t x =
%
4’
Траекторию движения камня вне ас­
тероида можно представить как часть
вырожденного (очень узкого) эллипса с
большой полуосью а и малой полуосью
Ъ, причем b 0 (рис. 136). Чтобы най­
ти а, воспользуемся законом сохране­
ния энергии
2 £0i
1
—mv 12
2
GmM
R
-G m M
2a
и условием движения по окружности
радиуса R
216
mv\ _ GmM
~R
R2 ’
Получим, что a = R. Следовательно, в соответствии с третьи зако­
ном Кеплера, период движения по этому эллипсу равен периоду
Т0 обращения по круговой орбите радиуса R. При движении на
участке АВС радиус-вектор, проведенный из центра астероида к
камню, «заметает» площадь S, заштрихованную на рисунке и рав­
ную сумме площадей половины эллипса и треугольника АОС:
^
пЯЪ t 2bR
S = ~~2~ + ~ Т ~ =
(я + 2)bR
2
•
По второму закону Кеплера
_ S
Т0
nab '
Итак, время движения на участке АВС равно
м
Т0(п +2)
nab
2п
Для возвращения в исходную точку камень должен еще раз проле­
теть сквозь тоннель. Таким образом, он возвратится через время
Т0(2п +2)
т = t1+ t2+ t 1
2п
11.13.
Пусть е й m - соответственно заряд и масса электрона,
Ли - изменение скорости электрона в результате пролета сквозь
сетки.
За счет совершения работы электрическим полем над электро­
ном изменяется его кинетическая энергия: eU0 sin of = mv0Av.
Отсюда
eUn
До
sin cot = u0 sin cot,
mvn
^2
Y^>
eU
O
mu0
"оn
Перейдем в систему отсчета jRT, движущуюся со скоростью о0 в
направлении движения электронов. Начало координат системы К
свяжем с теми электронами, которые проходят сквозь'сетки в те
моменты, когда под действием электрического поля их ускорение
меняет знак (sin Ш = 0). Направим ось X этой системы по направ­
лению ее движения. В К -системе электроны, прошедшие сквозь
сетки, будут иметь различную скорость в зависимости от коор­
динаты х. Скорость изменяется от - и 0 до и0 с пространственным
где u0-
217
периодом Н = u02ti/(o по закону и = - u Qsin (x(o/v0). В точках с
координатами X = О, ± Н 9 ±2Н , ±3if, ... электроны неподвижны.
Электроны, скорость которых отлична от нуля, будут приближать­
ся к неподвижным электронам, причем более быстрые электроны
будут догонять более медленные. Таким образом, вблизи точек,
где электроны неподвижны, концентрация электронов будет уве­
личиваться и начнут образовываться электронные сгустки. В этих
областях, т.е. там, где и близко к нулю, и ~ -щ х 0)/и0. Получи­
лось, что скорость электронов, ближайших к областям сгущения,
пропорциональна расстоянию от них до этих точек. Это означает,
что эти электроны попадут в области сгущения почти одновре­
менно через время t0 = х/\ и | = v0/u 0о после пролета сквозь сетки.
Таким образом, можно приближенно считать, что сгустки появятся
, = v0
на расстоянии Lг = vntn
^
00
и0со
= v0
—— от сеток.
ycoU0
*11.14. Уравнение движения парома для произвольного момента
времени имеет вид:
та = F - kv2,
где F - сила натяжения троса, k - коэффициент пропорциональ­
ности между силой сопротивления воды и скорости v парома. Пусть
в момент t1 ускорение парома равно а19 его скорость равна v19 а
сила натяжения троса равна Fmax. Уравнение движения парома
для этого момента времени:
=
F raax “
W -
(1 )
После того, как сила натяжения троса в течение длительного вре­
мени будет оставаться постоянной (F = Fmax), ускорение парома
будет стремиться к нулю, его скорость - к некоторому значению
v2. Движение парома в этом случае описывается уравнением:
^ах - kV* = 0 .
(2 )
Решая уравнения (1) и (2), находим максимальную силу натяже­
ния троса:
та^
Ртш = 1 -(у 1 /и 2)2 •
h
Поскольку
= J a(t)dt = S x (площадь кривой a(t) при 0 < t < £0,
о
где t0 = 2 с - момент времени, когда а = amax, a v2=
(полная площадь под кривой a(t)), то
та^
FmaX= I 7 ^ J ^ , 5 . 1 0 3 H.
218
Jо a(t) dt ~ S 2
Значения
и S 2 определяются по
графику зависимости a(t) (рис. 1 0 . 1 1 на
с. 67) путем численного интегрирования.
*11.15. Коэффициент полезного дей­
ствия цикла т\ равен отношению полез­
ной работы, совершенной рабочим веще­
ством, к суммарному количеству тепло­
ты, подведенной к рабочему веществу за
термодинамический цикл (рис. 137).
В нашем случае полезная работа
= А12 т - 1
т
т
где А 12 - работа рабочего вещества на изобаре 1 -2 , а А31 - работа,
совершенная над рабочим веществом на адиабате 3 -1 .
В рассматриваемом цикле тепло Qx подводится к рабочему ве­
ществу только на изобарическом участке цикла:
Qi = АС/12 + A i 2,
(1 )
где AU12 - изменение внутренней энергии рабочего вещества на
участке 1-2. Используя заданную связь внутренней энергии U
рабочего вещества с давлением и объемом, запишем
AUl2 = kpAV = kAl2.
После подстановки этого выражения в (1) получим
Qi = (ft + 1 ) АгТогда
А
А 12 А г1
_
^
Q1
А\2
^12
-
_ (т -1)
m(k + 1 )'
Отсюда
т - г\т - 1
2, 2.
т
*11.16. Направим ось х от нижней пластины, температура ко­
торой Т19 к верхней, температура которой Т2. Распределение тем­
пературы между пластинами можно записать в виде:
k =
Т(х) = Тг -
(1 )
Запишем теперь распределение давления воздуха между пласти­
нами:
Р М « Ро ~ Р8х = р0 ~
(2)
где р0 - давление воздуха у нижней пластины (х = 0 ), р - средняя
плотность воздуха между пластинами, g - ускорение свободного
219
падения. В последнем равенстве средняя плотность р выражена
через среднее значение давления р и среднюю температуру Т .
Уравнения (1) и (2) описывают стационарное состояние возду­
ха между пластинами. Пусть теперь небольшой объем воздуха,
находящийся у нижней пластины, начнет всплывать. Это обяза­
тельно произойдет, поскольку плотность воздуха верхних слоев
больше. В некоторый момент времени всплывающий объем воз­
духа поднимется на высоту х. Допустим, что подъем происходит
адиабатически, т.е. теплообменом этого объема с внешней средой
можно пренебречь. Попробуем оценить, на сколько понизится тем­
пература воздуха во всплывающем объеме. Поскольку процесс
всплытия адиабатический, то работа, совершаемая воздухом это­
го объема равна уменьшению его внутренней энергии:
pdV = -vCvdT,
(3)
где v - число молей всплывающего воздуха, Cv - молярная тепло­
емкость, a dV и dT - малые изменения объема и температуры.
С другой стороны, согласно уравнению состояния идеального
газа запишем
— ■= const.
Т
Прологарифмируем это выражение:
lnp + \nV - InT = const,
а затем продифференцируем:
dp
dV
d(lnp + InV - InT) = p + —
dT
— = 0.
(4)
Теперь выразим приращение объема dV из соотношения (3) и под­
ставим в (4):
dp
Р
vCvdT
pV
dT _
Т
Отсюда
Vdp
RTdp
d T = v(Cv + B) - p(Cv + R) '
Поскольку
dp = - M££ x ,
RT
как это следует из (2 ), то изменение температуры воздуха, всплы­
вающего на высоту х , равна
dT = - Cv + R
220
Очевидно, что конвекция начнется в том случае, если понижение
температуры всплывающего объема воздуха будет меньше умень­
шения температуры окружающего воздуха, связанного с распре­
делением (1). Это означает, что если температура поднявшегося
воздуха на высоту х окажется больше температуры внешнего воз­
духа на этом уровне, то конвективный поток будет подниматься
дальше.
Аналитическая запись этого условия имеет вид:
Тл~Т2
- , ''X > - М - х
Су+R
Отсюда
Т ^ Т 2>
Cv + R
*11.17. 1) При внесении кольца в магнитное поле в нем возни­
кают две ЭДС индукции, направленные навстречу друг другу: одна
ЭДС вызвана пересечением кольцом линий индукции внешнего
магнитного поля, а другая - ЭДС самоиндукции, обусловленная
изменяющимся во времени током, текущим по кольцу. Посколь­
ку сопротивление кольца равно нулю, то суммарная ЭДС в кольце
равна нулю.
g? =
- х Д = 0.
dt
dt
Здесь Ф - внешний магнитный поток, L - индуктивность кольца,
I - сила тока в кольце.
При перемещении кольца из удаленной точки в положение 1 в
кольце возникает ток 119 равный
ъ.
h
L ’
где Ф, - магнитный поток, пронизывающий кольцо в положении 1.
Аналогично для положения 2:
h
L ’
Теперь находим отношение сил токов:
Ф1
Л
h
«V
Магнитный поток через кольцо пропорционален количеству
линий индукции магнитного поля, пронизывающих кольцо. Оче­
видно, что это количество N линий будет пропорционально квад­
рату числа п линий, распределенных по диаметру кольца:
Ф2~ п Д
221
Из рисунка линий индукции внешнего
магнитного поля найдем, что п1= 5, а
п2= 9. Поэтому
\2
h
0,35.
\ п2
2) Результирующая сила, действую­
щая на кольцо, направлена вдоль оси z
(рис. 138). Ток в кольце течет против
часовой стрелки, если смотреть на коль­
цо слева от него. Сила Fz, действующая
на кольцо, пропорциональна силе тока I в нем, индукции В маг­
нитного поля на окружности кольца и синусу угла а между на­
правлением вектора В и осью z :
Fz ~ IB sin a.
Индукция В пропорциональна густоте силовых линий, т.е.
где а - расстояние между двумя соседними линиями индукции.
Из рисунка находим
sin a ~
.
о
Следовательно, сила, действующая на кольцо,
I
F ~ _1 _а г = —
2 a2 b
ab ’
Отношение сил для двух положений 1 и 2 кольца равно
Fx
1Х а2Ь2
0,05.
12 афх
*11.18. Покажем, что в случае малого преломляющегося угла
а призмы, параллельный пучок света после прохождения сквозь
призму выйдет также в виде параллель­
ного пучка с углом отклонения у от го­
ризонтали, где
Y= a (п - 1).
В этой и во всех последующих форму­
лах углы а и у измеряются в радианах.
Для этого рассмотрим произвольный луч
света, проходящий через призму. Ход
этого луча показан на рис. 139. Как вид­
но из этого рисунка,
222
s in (a + Y) _ a + у
sin a
a
= n.
Отсюда
Y ~ a (n - 1).
Рассмотрим интерференционную
картину (рис. 140), которая возникает
в результате пересечения под углом 2 у
Рис. 140
двух когерентных параллельных пуч­
ков. В плоскости у = 0 выберем произвольную точку С с коорди­
натой х. В этой точке происходит сложение двух световых волн с
амплитудами Е0 и сдвинутыми по фазе на некоторый угол ф. Если
отсчитывать фазы обеих волн от точки О, то фаза первой волны
2 тг. .
2п
2п
= ——|GA| = ——х sin Y:
-* Y ,
где X - длина волны света.
Фаза второй волны
2п
-ху.
ф2 = Щ -\св\
Сдвиг фаз между двумя волнами в точке С
4 71
Ф =
Ф2 -
<Pi =
~Т~Х Ч-
Интенсивность результирующего колебания в точке С
( 4л
I = Е02 + Е 2 + 2Е0г cos ~Х ХУ | = 2 Е02 1 + cos --- ху
IX
Расстояние между соседними максимумами интенсивности (шири­
на интерференционных полос) этой интерференционной картины
Х_
X
I = тг2 a(n - 1 ) •
2у
Частицы, двигаясь вдоль оси х со скоростью v, периодически
пересекают области максимальной и минимальной интенсивнос­
тей света. Такая же периодичность будет иметь место в рассеян­
ном свете. Период Т колебаний интенсивности рассеянного света
равен времени, за которое частица перемещается на расстояние,
равное ширине интерференционной полосы:
if-)
=
т = -1 =
v
Х
2иа(п - 1 ) ’
Отсюда скорость частицы
v=
X
Xf
2Ta(n - 1)
2а(л - 1)
= 6,3 см/с.
223
11.19. Запишем второй закон Ньютона, спроектировав силу уда­
ра на горизонтальную и вертикальную оси: FJst = mvx, FyAt = mvy.
Поскольку F2 = F 2 + F 2, to FAt = m^Jv2x + v\ .
Используя формулы кинематики, получаем: vx = L /t, vy = gt/2.
Окончательно имеем
ll +
F2At
FxAt
1, 8 .
It + s t 2Л2
V
11.20. Как видно из рис. 141
cos а =
R -H
R
4
5
.
—, sin а =
3
5’
Скорость центра масс после удара со­
храняется неизменной по модулю
(v0 = и0), и направлена она под углом 2 а
к горизонту. После удара шар должен
пролететь в горизонтальном направле­
нии расстояние, не меньш ее, чем
R sin а, чтобы «запрыгнуть» на ступень­
ку. Горизонтальная проекция скорости
сразу после удара будет равна v0 cos 2 а,
а вертикальная - v0 sin 2а. Минималь­
ное время полета шара равно
Esina
i/0 cos2 a '
Высота ступеньки Н должна удовлетворять условию:
H < (v 0 sin 2a)t0 - $ f ,
откуда после алгебраических преобразований получим
i/ >
1125
914
24
gR.
о
7
ч
(Здесь учтено, что sin 2a = - , c ° s 2а = — .)
11.21. Запишем второй закон Ньютона применительно к час­
тице, влетевшей в камеру Вильсона:
FAt = /тгAu,
224
mv2
= qvB.
~R~
Поскольку F = kvy uAt = As, a As = — , to k = —qBe. Здесь учтено,
2
я
что mAv = = qBAR и AR/R = в.
После выключения поля Ajs = mv, где v = v0 - Av - скорость в
момент выключения поля, откуда
AR
Av
ks
V
v° =
1 ^ 7
=
rn(l -
е)
•
Окончательный ответ:
71 1 - 8
asB = 1 0 4 м/с.
11.22. Иллюстрация к решению при­
ведена на рис. 142. Пусть q)j ~ h/R> тогда ф2 = щ г, Ф3 = Ф2 - Ф! = (п “ 1)Фп
откуда
~~ Фз ~
П -
1*
Используя условие задачи, что п - 1 ~ р,
можно предложить следующую цепоч­
ку рассуждений:
п-1
—
Р
Рис. 142
Л0 - 1
= - т — ; R = д 0( 1 + о д ty ,
Ро
F = F0(l + ЗаДг);
Р-
V - Т Т Ш * 1 " 3аЛ‘■ £ ' 1 ' ^
R0(l +aAt)
Fl0° = (Щ - 1)(1 - ЗаДt) = F o(1 + 4aA*>;
AF
~~pr = 4aA£ = 1%.
*11.23. Поскольку плотность шарика ршменьше плотности воды
р, то шарик отклонится к оси вращения сосуда. Обозначим объем
шарика через V. Рассмотрим вращающийся сосуд с водой без ша­
рика. Мысленно выделим объем V воды в месте расположения
шарика (рис. 143, а). На жидкость в данном объеме действуют
225
две силы: силы тяжести mg = рVg и выталкивающая сила F (g ускорение свободного падения). Под действием этих двух сил во­
дяной «шарик» равномерно движется по окружности радиуса
R = г - I sin а с угловой скоростью со. Такое движение описывает­
ся двумя уравнениями:
Fy - рVg = 0;
( 1)
Fx = pFco2(r - l sin a).
( 2)
Рассмотрим теперь ситуацию, когда в воде находится деревянный
шарик (рис. 143, б). В этом случае на шарик действуют четыре
силы: вертикальная проекция выталкивающей силы Fy, горизон­
тальная проекция выталкивающей силы F , сила тяжести mxg =
= рm Vg .и сила натяжения нити Т . Уравнения, описывающие
равномерное вращение шарика в горизонтальной плоскости, име­
ют вид:
(3)
Fy “ Рш v 8 ~ T cos oc = 0;
Fx - T sin a = рш Fco2(r - l sin a).
(4)
Подставляя Fy и Fx из (1) и (2) в (3) и (4), получим систему двух
уравнений относительно Т и со:
T cos a = (p - рш)Vg;
(5)
Г sin a = Fco2(r - Zsina).
Исключая T из уравнений (5) и (6 ), получим
Ук
С_2
( 6)
У,
F
F
а
г
X
х
а)
6)
Рис. 143
226
4
ь! а?"—^
Жидкость
*сс2
^ 7 — ■h 2
>f
1
а)
6)
Рис. 144
*11.24. На рисунке 144, а, б показан ход луча, вышедшего из
вершины стрелки в направлении оптического центра линзы. Для
каждого из двух случаев имеем:
а) па = а19 а= h /a , cq = h j b 9
h
hx
n - = —;
(1 )
a
b
б) а = па2, а 2 = h2/b>
h
1ц
- = n~~~•
(2 )
a
b
Разделив (1) на (2), получим для показателя преломления
(3)
Из (1) и (3) получим: h = (a/b
Найдем а.
(4)
Формула тонкой линзы имеет вид — Ь —= тг (рис. 145). Для
а
о *о
малых углов из нее следует соотношение фх + ф2 =ф0, где ф0 - угол,
под которым из фокуса виден радиус линзы. Применительно к
нашей задаче, в силу симметрии линзы фокусное расстояние сис­
темы будет одним и тем же независимо от того, в какую часть
аквариума налита жидкость. Обозначим это расстояние символом
г
F и положим
= ф (здесь г - радиус
линзы). Тогда, если жидкость в правом
отсеке, то ф ^ + ф2 = ф, а если в левом, то
Фх + жр2 = ф. Взяв разность двух после­
дних уравнений, получим
ФМ
- 1) = ф2( п - 1).
Рис. 145
227
Поскольку п Ф 1, то, сокращая последнее равенство на (п - 1),
получим
= ф2 и, следовательно, а = Ъ = L / 2 .
Тогда формула (4) принимает вид:
h = J h jh Подставляя в полученные выше выражения числовые значе­
ния входящих в них величин, находим
п = 1,5, а = Ъ = 25 см, h = 3 мм.
*11.25. Рассмотрим интервал времени после замыкания ключа
К , когда ток течет через нижний диод. Уравнение для напряже­
ния Uc на конденсаторе: Uc = Un + UL или, с учетом того что
d2Hr
T d-J , и Jт = —
d(l = п
-L
С
L
d*
df
df ’ df2 + LC c = -T-^n
LC n
Из этого уравнения видно, что напряжение на конденсаторе будет
т
т =
UT
меняться по гармоническому закону с частотой ш0 =
1
Из
энергетических соображений найдем экстремальные значения на­
пряжений U3 на конденсаторе:
Это уравнение имеет два корня:
и э1 - и 0, Um = —(U0 - 2UJ.
Зависимость Uc(t) будет иметь вид:
Uc(t) = (П0 - Un) cos(co0t) + Пп
при 0 < t < —, где Т = 2ПуГьС - период колебаний. После п полупериодов напряжение на конденсаторе
НСп = (-1)П(Н0 - 2nUn) (п = 1, 2, 3, ...).
Очевидно, что колебания в контуре прекратятся, когда
Р Сп\ <
В нашем случае п = 3, поэтому время
установления стационарного режима
т = 3nJTc = 9,42 • ИГ3 с.
Остаточное напряжение на конденсаторе
и с = -0 ,3 в.
График Uc(t) представлен на рис. 146.
П р и м е ч а н и е . Эта задача аналогична ме­
ханической задаче о колебании груза на пру­
жине при наличии сухого трения.
228
*11.26. Иллюстрацией к решению
служит рис. 147. При обращении спут­
ника вокруг Солнца по орбите Земли вы­
полняется соотношение:
”1
тпМ
=
G~
il)
Rq
Rq = Fo­
Здесь v0 - скорость спутника, R0 - радиус орбиты.
После раскрытия паруса на спутник начинается действовать, кроме
гравитационной, сила светового давления. Эта сила равна
Fs = 2W /c, где W - световая мощность излучения Солнца, падаю­
щего на парус. Так как излучение Солнца изотропно, то
_
пг2
с 4nR2 9
LrL
2с
Тогда равнодействующая сил, приложенных к спутнику, будет
равна
где R - расстояние от Солнца. Обозначим а = GmM, Р =
»
____Р_ = а ~Р
R 2
r
2
r
2
•
Поскольку F, как и F0, пропорциональна RT2, то движение спут­
ника с парусом будет подчиняться законам Кеплера. Спутник бу­
дет двигаться по эллиптической траектории. Найдем большую по­
луось эллипса.
Из закона постоянства секториальной скорости следует
v0R0 vxR19
( 2)
а из закона сохранения энергии имеем
171V q
а - р
R,
2
mvt
2
а- Р
“дГ
( 3)
Подставляя (2) в (3), получим
р 2 э2 2(а - р)
2 Щ ~ ^0
■ ^1 До
ЦО
т
RXR0
щ
откуда
RquI tti
^
2(а - р) -
R 0v l m
'
Используя соотношение (1), можно получить:
1?1
R0 а
а - 2р
229
Б ольш ая п олуось эл л и п са будет равна
a = |( i ? 1 + i? 0) = JR0^ f b .
По третьему закону Кеплера время обращения по такой орбите
равно времени обращения по окружности радиуса а:
т 2па
mu2 а - Р
Т = ---- , причем----- = — т—.
и
а
а
здесь и - скорость спутника на круговой орбите радиуса а, откуда
I а3пг
Т = 2nJ---Va-|3о •
С другой стороны, период обращения Земли
2пл уМ
|=
W
2JV ^a
Следовательно:
Т
Т0 = (а _
a
(а - 2р)3 •
а
2GmMc
, „„
Т
Так как тг = ——«— = 4,23, то Tfr ~ 2.
р
LH
*о
Искомый период обращения спутника с солнечным парусом
равен приблизительно 2 годам.
11.27. Пусть п1 и Uj, я 2 и
я 3 и JJ3 - концентрации молекул
и средние скорости молекул соответственно в первом, втором и
третьем отсеках сосуда. Число ударов молекул о стенку сосуда
пропорционально концентрации молекул и их средней скорости.
Через каждое отверстие в обе стороны проходит в единицу време­
ни одинаковое число молекул: n1v 1 = n2v 2 = ra3iJ3.
Так как v ~ 4т , р = n k T , то отсюда р 2 = р х^Т2 / Тх ,
Рз = А V1* / •
11.28. В стационарном режиме сила тока через катушку ин­
дуктивности L x равна
*ю = 87(Д + г).
После замыкания ключа
сила тока / 2 через катушку индуктив­
ности Ь2 возрастает от нуля до 120 = ^ /г , а сила тока 1Х через
катушку Ьх убывает от 110 до нуля. При этом за любой малый
интервал времени At
230
I XR + L1AI1/At = L2AI2/At.
Так как I xAt = Aq - заряд, протекающий за время At через сопро­
тивление R , то
RAq + L1AI1 = L2AI2.
За все время после замыкания ключа К 2 через резистор протек
суммарный заряд ^ Aq = q. Кроме того
А1г = - / 10,
Поэтому окончательно
А12 = / 20.
£ ( - ^ 2_ + V |
q
R K R
+
r
г ) '
11.29.
Из принципа обратимости ме­
ханического движения следует, что ша­
рик после второго удара должен лететь
назад по прежней траектории. Для этого
в точке D (рис. 148) он должен ударить­
ся, имея скорость, перпендикулярную
поверхности трубы. Попробуем подобрать
такой угол а, чтобы касательная в точке
К была параллельна OD. Возьмем точку
С на продолжении OD. Движение шари­
ка вдоль оси х происходит с ускорением g sm а, а вдоль оси у - с
ускорением g cos а. Исходя из этого можно показать, что точка С искомая точка. При этом
1
tg а
R
ОС- j .
Л
от
Получаем ответ: точка находится на расстоянии ОС =
3
центра трубы (выше центра) на прямой, проходящей через центр
трубы под углом а = arctg — к горизонту. Из
о
уравнения движения определяем время дви­
жения шарика:
V
3
g
*11.30. Пусть х - смещение бруска вниз
для произвольного момента времени, у - сме­
щение верхнего конца пружин. Удлинение
левой пружины Ахх = х - у, удлинение пра­
вой пружины Ал;2 = х + у (рис. 149). Из усло­
231
вия малости масс блока и нити следует, что силы упругости обеих
пружин одинаковы:
k x(x - у ) = k2(x + у).
Отсюда
&1 - k 2
y = h V k ixУдлинения левой и правой пружин соответственно равны
2k2
2kx
Л* 1 = ~k~+k^x ’ Ахг =
Уравнение движения бруска:
М х = - k 1Ax1 - k2Ax2 = О,
Откуда
4**
* + M{k1+ k2) x = 0
Это уравнение описывает гармонические колебания с периодом
М( + k2)
4А^2
*11.31. Согласно имеющимся во втором абзаце статьи данным
аппараты должны вернуться к Солнцу, а значит, их орбиты эллипсы, причем, очевидно, очень вытянутые, т.е. максимально
удаленные точки орбиты находятся от Солнца на расстоянии по­
рядка большой оси эллипса (рис. 150).
Воспользуемся третьим законом Кеп­
лера, чтобы найти длину большой по­
луоси этого эллипса. Пусть Т&и Т3 периоды обращения аппаратов и Земли
вокруг Солнца, аа и а 3 - большие полу­
оси их орбит. Тогда
Т = 2п
Т2 а 3
Т2
Т2
п3
9
а&
аз
т
2*
23
а3
J3
Расстояние от Солнца до Земли находим, используя скорость све­
та и время его прохождения: а3 = тс. Получаем, что максималь­
ное удаление аппаратов от Солнца
L = 2 аа = 2 тс(Га/Г 3)2/3,
Тй
где отношение
согласно данным статьи равно 2,5 • 108. Отсюда
1з
L ~ 2*480*3* 108(2,5 • 108)2/3 м « 1,2 • 1017 м « 1,2 • 1014 км.
232
Если же оценивать это расстояние из данных в третьем абзаце,
получается совершенно иной результат. Во-первых, плохо согла­
суются между собой данные о расстоянии до аппаратов и о време­
ни запаздывания сигналов:
1) Za = Ю10 км ~ 67 а.е.;
2) Za = (12 • 3600 • 3 • 105) км ~ 1,3 • Ю10 км и 87 а.е.
Во-вторых, независимо от того, на каком из этих расстояний
находятся аппараты, указанная скорость v0 = 130 000 км/ч =
= 36 км/с является гиперболической. Эта скорость настолько ве­
лика, что гравитационное взаимодействие с Солнцем способно
уменьшить ее не более, чем на 1 %:
v j = v02 -2 0 М С/1Ш
.
Известно, что GMC= vop2R3, где оорб - орбитальная скорость Земли
по орбите вокруг Солнца (иорб ~ 30 км/с), R3 - среднее расстояние
от Земли до Солнца (i ?3 = 1 а.е. = 149,6 • 106 км). В результате
получаем:
vj = u02 - 2vop2R3/la.
Числовые оценки дают:
1) для Za = Ю10 км
~ 35,7 км/с;
2) для Za = 1,3 • Ю10 км
Ц» ~ 35,8 км/с.
В любом из этих случаев аппараты летят, практически равно­
мерно удаляясь от Солнечной системы, и за миллиард лет улетят
на расстояние
L ~ 1,1 • 1018 км.
Как видим, этот ответ на четыре порядка отличается от ре­
зультата, полученного по данным из второго абзаца.
*11.32. Направим ось х от стенки с температурой Тх к стенке с
температурой Т2. В стационарном режиме тепловой поток через
сечение пластины, расположенное на расстоянии х , равен
dT
Р = -k(T )S— = const.
Запишем это уравнение в виде
Р dx = -Sk(T)dT.
(1)
Просуммируем обе части уравнения ( 1 ) по всей толщине пластины:
р
d
Ti
\ dx = - S j k(T)dT.
о
Tj
233
Отсюда находим
Р=“
| k{T)dT.
Тх
Интеграл вычисляем графически, как площадь под кривой ЦТ),
ограниченную прямыми Т = Тх и Т = Т2. Поскольку I k(T)dT > О,
Тх
то Р < 0; это означает, что тепловой поток направлен против оси
х (от Т2 к Тг) и по модулю равен
|Р| ~ (450 ± 20) Вт.
Распределение температуры внутри пластины можно найти с
помощью (1), если просуммировать ЦТ) по толщине пластины от
нуля до х :
х
Тх
i J \P\dx = |p|-t =
1 ншт.
ь
Тх
о
Ь
Для каждого значения х можно найти температуру Тх, при
которой площадь под кривой ЦТ), ограниченной прямым и Т =
\Р\х
= Тх и Т = Тх, была бы численно равна
В среднем сечении пластины (х = d/2) температура Т ~ (290 ±
± 10)К. Если бы коэффициент k не зависел от температуры, то
температура в плоскости X = — равнялась бы ЗЗОК.
Z
*11.33. Максимальная скорость vmфотоэлектронов у поверхно­
сти фотокатода определяется уравнением Эйнштейна:
he
mv2
___
тп_
-А ,
2
т
где пг - масса электрона, h - постоянная Планка, с - скорость
света.
При ускоряющей разности потенциалов радиус пятна на аноде
определяется электронами, вектор скорости которых при вылете
из катода направлен параллельно поверхности катода. Время про­
лета Tj таких электронов до анода равно:
где а - ускорение электронов. Радиус Rx пятна на аноде в этом
случае есть:
234
^1 =
Vm ‘ Xl = Vn>
2d
a
( 1)
При тормозящей разности потенциалов радиус пятна на аноде
определяется электронами, которые, вылетев из катода с макси­
мальной по модулю скоростью под некоторым углом а к поверх­
ности катода, подлетят к аноду со скоростью, нормальная состав­
ляющая которой равна нулю:
vn sm а - ат2 = 0 ; vm sm а т2 —
= а.
Здесь т2 - время пролета электронов от катода к аноду.
Из этих сооотношений следует
т2
[2 d
.
— ; sm а =
а
Tj
2da
Радиус R2 пятна на аноде при тормозящей разности потенциалов
равен
I-------------
R2 = vn cos а т 2 = J v l - 2ad •
/2d
( 2)
R.
Используя (1) и (2), найдем отношение — :
К2
А =
1
f.,
V
#2
2 ad '
*
Принимая во внимание, что ускорение электрона равно а = ——,
dm
где е - заряд электрона, Ж - ЭДС источника тока, запишем
А
=
R2
2.
Отсюда
mVm
2е
4е
Числовой расчет дает:
Ш « 0,36 в.
235
*11.34. Из анализа расстояний (рис. 151) видно, что треуголь­
ник S 'S f - прямоугольный.
Оптический центр О линзы лежит на отрезке прямой S'S или
его продолжении.
Если изображение S' действительное, то S и S' лежат по раз­
ные стороны линзы и независимо от того, какой фокус (передний
или задний) сохранился на схеме, угол S'S f всегда будет острым,
но по условию задачи он прямой. Следовательно, изображение S'
мнимое и лежит с источником S по одну сторону от линзы. Из
свойств положительной линзы следует, что если изображение ис­
точника мнимое, то источник S должен находиться к линзе бли­
же, чем изображение S' и фокус /. Таким образом, оптический
центр О должен находиться правее источника S (рис. 152).
Рис. 151
Рис. 152
Проведем качественное построение хода лучей, считая, что за­
даны точки /, S и О. Главная оптическая ось проходит через точ­
ки / и О. Линза перпендикулярна оптической оси.
Луч, пущенный из f через S, дойдя до
линзы, преломится в точке L и пойдет па­
раллельно главной оптической оси, а изоб­
ражение S' должно находиться на продол­
жении преломленного луча (рис. 153).
Углы S 'Sf и fSO, OSL и LSS' - пря­
мые, a AfSO "AOSL ALSS'. Поэтому мож­
но записать
Рис. 153
SO
Sf
LS
SO
S'S
LS
k,
откуда (SS') = k(LS) = k2(SO) = k3(Sf),
k=
W)
W
= 3V27 = 3.
Теперь находим фокусное расстояние линзы
f o = J { f s ) 2 + (s o ) 2 = J l O.
11.35.
Расширение газа осуществляется при постоянном дав­
лении р х и увеличении температуры от Тх до Т2. Затем газ ох лаж236
дается от температуры Т2до температуры Т3 при постоянном объе­
ме, так как по условию задачи сила трения поршня о стенки ци­
линдра больше суммы веса поршня и силы внешнего атмосферно­
го давления. Пусть в начале расширения объем газа V, тогда в
конце расширения и в конце охлаждения объем равен 2V. Для v
молей газа
p xV = vRTx, р х • 2V = vRT2, р2• 2V = vRT3.
Здесь р2 - давление в конце охлаждения. Можно показать, что
3
R
при расширении Q = v(Cv + R)(T2 - Тг), где Cv = — . При охлаждении
Q = vCy(T2 —Т3).
Р2
1
Из записанных уравнении находим, что — = —, т.е. давление
Pi
6
уменьшилось в 6 раз.
11.36. Рассмотрим условие равновесия цилиндрического стол­
ба жидкости с площадью основания S, протяженного от центра
планеты до поверхности. Получим:
Qл2
р =
~ 1,7 • 1011 Па = 1,7 • 106 атм.
SnG
11.37. Направим ось х вниз, поместив начало координат в точ­
ку, соответствующую равновесному положению груза. Пусть в
некоторый момент груз имеет координату х. Уравнение движе­
ния:
m x = -B II - k(x + х0) + mg.
Здесь I - сила тока в цепи, х0 - удлинение пружины в положении
равновесия, причем kx0 = mg. В любой момент времени напряже­
ние на конденсаторе равно ЭДС индукции в рейке:
q/C = B x l,
где q - заряд конденсатора. Находим I = q = ВЮ х. Исключив из
записанных уравнений х 0 и J, получаем дифференциальное урав­
нение гармонических колебаний для величины х:
х +
-х
m + В 212С
0.
Период колебаний Т = 2п^(т + B 2l2c ) / k .
11.38. Направим ось х по движению гантельки. Перейдем в
систему отсчета, движущуюся вместе с центром масс системы со
скоростью —. На рис. 154, а, б показаны скорости дисков соответ­
237
ственно перед соударением и сразу после соударения. Диски про­
нумерованы цифрами от 1 до 4. Совершив почти полный оборот
после первого соударения, гантельки снова сталкиваются диска­
ми 1 и 4 (рис. 154, в). В результате гантельки движутся постуv
2R
п
пательно со скоростями — под углом 2 arctg-r- = — к оси х.
Z
Li
о
В системе отсчета, связанной со столом, гантельки после взаи­
модействия будут двигаться (рис. 154, г) поступательно со скороtyjs
V
71
71
стями vx = ----- и v2 = — под углами — и — к оси х. Оси гантелек
2
Z
о о
Рис. 1 54, в
238
Рис. 154, г
11.39.
Вырежем мысленно из диска узкое кольцо радиуса г с
центром на оси диска. Пусть заряд кольца q, его масса т. Рас­
смотрим поведение кольца отдельно от диска. При выключении
магнитного поля появляется вихревое электрическое поле. Заря­
женное кольцо в электрическом поле начинает вращаться. Пусть
в некоторый момент времени линейная скорость точек кольца рав­
на V . За малое время At через поперечное сечение кольца пройдет
заряд
Я
vAt и над ним электрическое поле совершит работу
2 яг
ДА = ^ Я vAt,
2 яг
где & = ---- —-----ЭДС индукции в кольце. Здесь ДВ - изменение
индукции магнитного поля за время At. Имеем
ДА = -
rqvAB
2 ’
Изменение кинетической энергии кольца за время At равно АК =
= mvAv, где Аи - изменение скорости и. Поскольку ДА = АК, то
2т Av = -rqAB.
Просуммируем все аналогичные равенства, записанные для всех
малых интервалов времени, на которые можно разбить время
выключения магнитного поля:
2т(сог - 0) = -rg(0 - В).
Отсюда угловая скорость вращения кольца после выключения поля
дв
2
q
Q
QB
т
М
AM
Так как — = — , то со = ——. Видим, что для всех колец, на которые
можно разбить диск, величина со одна и та же. С этой угловой скоро­
стью станет вращаться диск. Итак, ответ:
QB
(0
=
2М '
2
ft
ы2
II
TTWq
to
*11.40. При движении груза влево от
точки (1) (рис. 155) закон сохранения
энергии имеет вид:
2
И
+ |xmg(l + 1г),
(1 )
где Zj - максимальное сжатие пружины.
При движении груза вправо от точки
(2 ) имеем
В
2
И
ш ш
0
1
(xmg pmg
k k
Рис. 155
239
kll = -kl*
/ 7+, 7h)4
-уу +, \vng(l
(2 )
Из (1) и (2), находим
= 2\img(l + l,).
(3)
Из уравнений (3) и (1) можем найти максимальное сжатие
жины:
mg
1г = I + 2\л
пру(4)
Подставляя полученное выражение для 1Хв (3), получим:
ymg |
mv:'о_ = 4\img\1+
kу
откуда
lim g 4
un = J 8 W l + - k
Заметим, что задача имеет решение, если I >
\irng
. Область
\irng
\irng
—— < х < —— называется зоной застоя.
k
k
*11.41. Пусть в некоторый произволь­
ный
момент времени поршень движется
ч
1 >
N
влево. Его смещение равно х , скорость
'V
и(х) = А х/At. Обозначим скорость лево­
$
го
ш ари ка в этот момент через v
5
5 (рис. 156). При каждом отскоке шарика
й(х) х 0
от поршня скорость шарика увеличива­
ется на 2и. За малое время At число уда­
ров
о поршень равно
Рис. 156
.............-
—
Ч
4
S
2 (1
AN = At
- *)
vAt
2(1 - х ) 9
где l - расстояние между поршнем и стенкой при равновесии.
Полное изменение скорости шарика за это время равно Av = 2uAN =
иАх
Получаем уравнение относительно v и х:
l- х
Av _ Ах
v
1 -х ’
240
Строгое решение этого уравнения приводит к соотношению:
l>(jc)(Z - х) = v0l = const,
где Vq - скорость шарика при равновесном положении поршня
(х = 0). Этот же результат получим и при малых смещениях пор­
шня, если положить, что Ах ~ х, a. v ~ г)0. Тогда Av =
а
v(x) = v0 + Av = v0-----l- x
Найдем силу F19 действующую в этот момент на поршень со
стороны левого шарика. Число ударов шарика о поршень в еди­
ницу времени
AT =
V
=
V°l
^
2(1- х )
2(1- х)2 '
При каждом ударе изменение импульса шарика
2mv0l
Ар = -2m v = —
l- х
Поэтому
mvll2
F1 =
(l - x f
•
Аналогично сила со стороны правого шарика
mvll2
F2
= (ГГ x f ’
При - « 1.
mv{
Уравнение движения поршня:
„
6m vlx
М х = F 2 -F t = -----jj— .
Поскольку равновесная частота f = v0/(2l), то уравнение дви­
жения будет иметь вид
т
х + 24 f~MX = 0.
Следовательно, круговая частота равна со =
а период
Т=
9 Козел
я \M_l_
л/б Vm / ’
241
*11.42. Максимальная полезная мощность может быть получе­
на при использовании цикла Карно. Масса теплой воды, которая
может быть использована за время т, равна т = phLux. Будем
считать, что вода, поступающая за время т, является нагревате­
лем тепловой машины, а атмосфера - холодильником, температу­
ра которого остается неизменной и равной Т2. При работе тепло­
вой машины происходит постепенное понижение температуры
воды. Пусть в некоторый момент времени работы установки по
циклу Карно температура воды равна Т , тогда в течение малого
промежутка времени можно считать Т ~ const. По теореме Карно
КПД цикла равен
dA __
Т -Т 2
11 - mc(-dT) ~
Т ’
где dA - работа, совершенная при изменении температуры воды
на dT < 0, с - удельная теплоемкость воды. Через время т, в тече­
ние которого вода остынет от Тх до Т2, будет совершена работа
dT = тс Тг - Тг - Тг In
А =
Эта работа была совершена за время т. Поэтому мощность Л^тах
тепловой установки, в которой от нагревателя получено макси­
мальное количество теплоты, равна
А
N шах = —
^
рhLu Г1 - Г ,- Г 1 1 п £
Л2)
2,86 -10 8 кВт.
*11.43. После замыкания ключа К 2 можно применить закон
Ома для замкнутой цепи:
L — + IR = &.
dt
Решение этого уравнения имеет вид (рис. 157):
m
= § (1 - e-Rt'L).
Через некоторое время tx сила тока через катушку реле будет
равна
Л = д (1 “ е щ/ь^
а через время t2 сила тока
242
12 = д (1 " e Rt>/L)Из совместного решения двух последних уравнений найдем
Tj
7 Д-f,
t2
^ In W / R - I .
2/
(1)
- I 1" 2-
После размыкания ключа
образу­
ется новая замкнутая цепь, состоящая
из обмотки реле и диода D. Закон Ома
для этой цепи будет иметь вид:
dl
Ln + IR
о.
В этом случае т2 = t3 - t2; чтобы най­
ти т2 нужно в ( 1 ) заменить 1г на / 2, а 12
на 1г и учесть, что & = 0. Тогда
L
Рис. 157
12
Г In 2.
Г2 = Т1 = -s-lnr
Д" h = R
Период размыкания и замыкания реле в установившемся режиме
от
Т = Ti + т2 = — • In 2 = 1,4 • КГ 2 с.
R
*11.44. Из соотношения расстояний от S и S' до плоскости лин­
зы следует, что линза собирающая.
Пусть точка О - оптический центр линзы. Положение точки О
можно оценить с помощью геометрических построений.
Главная оптическая ось проходит через точки F, О и перпенди­
кулярна плоскости линзы. Следовательно, угол FOL - прямой.
Прямая, соединяющая источник S и его изображение S', все­
гда проходит через оптический центр линзы.
Соединим точки F и L прямой и из середины отрезка FL (пусть
это будет точка С) проведем окружность
через точки F и L (рис. 158).
Так как угол, опирающийся на диа­
метр окружности, всегда прямой, мы
делаем заключение, что точка О лежит
на пересечении окружности и прямой а.
По построению мы получили два воз­
можных положения точки О (Ог и 0 2)
и два возможных положения линзы:
Л г и Л 2.
243
По условию изображение S' источника S отстоит от линзы даль­
ше, чем сам источник. Поэтому можно сделать вывод: условиям
задачи соответствует только схема с линзой Л 2. В самом деле:
точка S отстоит от плоскости линзы Л 1 на расстоянии, превыша­
ющем двойное фокусное. Значит, изображение S' будет находить­
ся на расстоянии, меньшем двойного фокусного. Построения на
рис. 158 поясняют этот вывод. А х и А 2 - точки, находящиеся на
двойном фокусном расстоянии от линз Л х и Л2 соответственно. На
рис. 158 изображены плоскости, перпендикулярные оптическим
осям FOx и F 02 и отстающие от линз Л г и Л 2 на двойном фокусном
расстоянии.
11.45. Пусть до нагрева давление и температура в сосуде соот­
ветственно равны р г и Т19 а после нагрева р2 и Т2. Обозначим через
Vx и V2 объемы углекислого газа до нагрева и смеси после нагрева.
Пусть число молекул гелия N 0. Если до нагрева было N молекул
углекислого газа и диссоциировала часть молекул, равная а, то в
.г
a молекул. Запишем уравнения
смеси станет N
Н—N—
Р<Уi = N kT 19 Pl • 5VX= N QkT19
p 2V2 = (N + N a /2 )kT29 p2• 4V2= N 0kT2.
Из этих уравнений находим a = —. Это значит, что диссоциирова­
ло 50% молекул углекислого газа.
11.46. Зададим направления токов 119 / 2, 10 (рис. 159). По вто­
рому правилу Кирхгофа имеем
+ г 2 = а д + г,) + а д + г2),
По первому правилу Кирхгофа
Л ^0 ^2*
Чтобы избежать громоздких выкладок,
удобно сразу подставит в эти соотноше­
ния числовые значения параметров. Это
дает
Д,
х
—
т
3А + 1 0
Рис. 159
I I
2
3А - / 0
’
По условию
и =
IJ jf j -
Г , | = |I
2r2 -
С учетом выражений для I x и I 2 запишем
244
Г а| .
2
2
и = \I0 - 17А\ = | |/0 + 17А|.
Отсюда получаем два значения / 0:
/ 01= 5 1 А , / 02= у А
и два значения напряжения на вольтметрах:
и г = 34 В, и 2 = ^
О
В.
E0S&
(S - площадь обкладок конденса­
3L
тора), поле создается всеми зарядами, разность потенциалов меж­
ду обкладками конденсатора всегда равна & и суммарный заряд
обкладок конденсатора всегда равен нулю. Заряд правой обклад7Q _
ки конденсатора после внесения пластины равен qx = — . Вос­
11.47. По условию, Q =
пользовавшись тем, что напряженность поля в пластине равна
5Q
нулю, находим заряды латунного и медного листов:
3 ’
Заряд правой обкладки конденсатора после перемеще­
ния медного листа в положении АВ равен q2 = -гг- . Сила, кото1о
рую необходимо приложить к медному листу,
^2
0.2
Ql)
10 Q%_
2 e0S
81 L ’
11.48.
Предположим, что удары о стенки происходят гораздо
чаще, чем пересечения шайбой оси г/, и что движение вдоль оси х
ограничено в узкой области вблизи начала координат (затем убе­
димся в верности этого предположения). Тогда время пролета от
2h
стенки до стенки At —
будет почти постоянным. Изменение
ж
^
проекции скорости на ось х за один удар Avx
= -2-—v. Здесь
х R
сл х
абсцисса шайбы. ах —
= ~ - ~ х . С учетом того, что а = х
At
Rh
х
xv2 __
можем записать х = —— . Имеем дифференциальное уравнение
Rn
гармонических колебаний величины х:
245
X + — X = 0.
Rh
Период колебаний величины х равен Т =
время т =
, а искомое
Пу[ш
Заметим, что
At
2 Vh
1, амплитуда А колебаний вдоль
оси х равна А = a^R h <£ОС = yl2Rh . Это значит, что высказан­
ные выше предположения верны.
11.49.
Обозначим скорость груза, находящегося в точке В, че­
рез v. Тогда скорости грузов, находящихся в точках А и С, равны
v
2
sin а
Mi?
£- —
Полная кинетическая энергия грузов массы М равна
+
м
: J -- "-т“Lfi
Н 1*
)■Эта эиергия ^впадает
с энергией материальной точки с массой Мэф = М\ 1 + 2 sin2 a ; ’ a
значит, при кратковременных воздействиях (ударах) конструк­
ция ведет себя как материальная точка с массой Мэф. Для оста­
новки шайбы должно выполняться условие тп = М эф, откуда
-1
М = тп 1 +
2 sin а
Mg
Найдем жест­
Ахп '
кость ft* небольшого элемента этой пружины длиной dx. Если
пружина растянута на величину Ах, то очевидно, что удлинение
Ах
5х элемента пружины длиной dx равно 5л: = ~ d x , где 10 - длина
*11.50. Жесткость данной пружины ft
пружины, при этом упругая сила в любом сечении пружины рав­
на F = kAx. С другой стороны, деформация элемента пружины dx
F
kAx
может быть записана в виде 5л: = — =
. Приравняв два выра­
жения для 5л:, получим k* = ft-7 -.
dx
246
1) Рассмотрим вертикально подвешенную пружи­
ну (см. рис. 160). Распределение силы Fx вдоль оси х
будет иметь вид
Fx = ^y-Vo ~ *)•
Удлинение элемента пружины длиной dx, имеющего
координату х, равно
(10-х)А х0 ,
Fx
Mg(l0 - x)dx
,2
dx.
IQ
L
5x~ k * ~
kl2
Очевидно, что удлинение всей пружины
k
f (l0-x)A
x0 ,
Ах0
Ax =
72
dx
2 *
о
L°
2) Пусть в некоторый момент времени
груз массой т сместился от равновесного
положения (х = 0 ) на величину х (см.
рис. 161). Найдем полную энергию сис­
темы «пружина + груз» массой т. Ки-
xf
Рис. 160
q
тх2
нетическая энергия груза Тт = —г—.
Если смещение правого конца пружины х, то смещение элемента
пружины с координатой у равно
хУ
Следовательно, скорость элемента пружины с координатой у
Vy = Ху
с70 Х 0 >
а кинетическая энергия элемента пружины длиной dy
М
у2
Мо?
i0 dy j a *
w ydyПолная кинетическая энергия пружины
‘о
Мл?
М л?
= 1о 21о -y2dy =
Теперь найдем энергию упругой деформации пружины
Mg
kx2
U=
2 Ajcn х 2.
Полная энергия системы «пружина + груз»
dT пр =
247
тх2 тх2
Mg ч
~ Г + — + 2АГ0Х = constПродифференцировав по времени t, получим уравнение движе­
ния груза:
Mg
(т 4- М /3 )х + -/\х0 х = 0.
Период колебания груза Т = 2п
тп+ -М Л*п
Mg
*11.51. 1. Мысленно выделим во вращающейся жидкости эле­
мент объема в виде шарика радиусом г, расположенным на рас­
стоянии х от оси вращения. Данный элемент жидкости вращает­
ся в горизонтальной плоскости с угловой скоростью со. Следова­
тельно, радиальная составляющая силы Архимеда Fr является цен­
тростремительной силой, которая равна
Fr = р0£л:г3(02л:,
3
где р0 - плотность воды. На каждый из трех шариков, располо­
женных на расстоянии х от оси вращения, будет действовать имен­
но такая сила, поскольку радиусы шариков одинаковы, а распре­
деление давления в жидкости зависит только от х. Для шарика 1,
плотность которого рх < р0, сила Fr является «избыточной», т.е.
она больше, чем та, которая необходима для его стационарного
вращения по окружности радиуса х. Поэтому шарик 1 будет сме­
щаться к оси вращения и в конце концов окажется на оси (устой­
чивое положение равновесия). Очевидно, что шарик 2 останется
на своем месте, а шарик 3, плотность которого р3 > р0, будет сме­
щаться от оси вращения и упрется в боковую стенку цилиндра.
Для этого шарика радиальная результирующая сила давления со
стороны жидкости не достаточна для того, чтобы обеспечить ему
стационарное вращение.
2. Результирующая сила давления со стороны воды на шарик
1 будет иметь только вертикальную составляющую, равную
F1 = F1B = Ро!****О
На шарик 2 действует результирующая сила F2, которая имеет
две составляющих: вертикальную Fm = рQ—xr*g и радиальную
248
г, -
3
—
V
4
•
Аналогично на шарик 3 действует результирующая сила
F3 = - x r ^ p ^ g 2 + со4Л2 ;
3
ее составляющие Езв = pQ-ijtr3#, E3r = p0i.rcrW #.
3
3
*11.52. Если кольцо находится в однородном магнитном поле
я
индукции Б и в кольце течет ток I 5* О (при 0 < а < —), то единZ
ственным положением устойчивого равновесия является положе­
ние, когда а = — и вектор индукции собственного магнитного
поля кольца в его центре направлен вдоль Б . Пусть а = —, а в
кольце течет ток I таким образом, что кольцо находится в устой­
чивом положении равновесия.
Магнитный поток, пронизывающий сверхпроводящее кольцо
сохраняется, поэтому
Ы 0 = Ы + БяБ2.
Отсюда
ВпЯ2
1 = 1о-
L
‘
Из условия, что I > О следует, что 10> —-— . Следовательно при
L
г
БяБ 2
я ^_г
БяБ 2
10 > — — угол а = —. При / 0 < —-— устойчивого положения с
током 1 * 0 нет, поэтому устойчивое положение равновесия в этом
случае будет при 1 = 0.
я
Пусть при 1 = 0 угол а * —. По закону сохранения магнитного
потока
Ы 0 = nR2B sin а.
Отсюда
249
а
.
f
L I,
arcsm t e
Графики зависимости a(I0) и I(I0) приведены на рисунках 162 и 163.
L
Рис. 162
3. Пусть в отсутствие внешнего магнитного поля в кольце
nR2B
TiRrB
а в магнитном поле сила тока в кольце I = 10
h>
L ’
....................
‘
~и
L
Найдем работу по удалению кольца из области однородного маг­
нитного поля. На рисунке 164 показано произвольное положение
кольца, когда его вытянули на величину х. На кольцо со стороны
поля будет действовать сила Ампера
Рх= IJH*
( 1)
где 1Х - сила тока в кольце. По закону
сохранения магнитного потока
Ы 0 = Ы х + B(nR2 - S x)9
где S x - площадь заштрихованной на
рисунке области. Следовательно,
(nR2 - Sx)b
( 2)
1Х = 1о После подстановки (2) в (1) получим
F =
BL.
Работа по удалению кольца из поля равна
2R
А*» =
250
2R
1F*dx = I
г
( п?
„
{nR2 - S x)B
B ld x =
{nR2 - S x)b
*0
BdS = nR2B\ I0 -
n R 2B
2L
С учетом поля тяжести
A = Амагн + 2MgR = я R2B h -
nR2B^
2L
+ 2MgR.
*11.53. Пластина 3 оторвется от пластины 2, когда электричес­
кая сила F3 будет равна силе тяжести Mg. Пусть это произойдет
при напряжении источника U0. В этот момент на пластине 3 бу­
Электростати­
дет находиться положительный заряд Q0
ческая сила, действующая на пластину 3 со стороны пластины 1,
Ql
равна -Рэ(0 ) = 2e0S Отрыв произойдет при условии
Ql > Mg.
2 e0S
Выражая Q0 через U0, получим, что U0>
Рассмотрим теперь некоторый произ­
вольный момент времени, когда плас­
тина 3 движется к пластине 1 и нахо­
дится от пластины 2 на расстоянии х
(рис. 165). Пусть на пластине 2 в этот
момент времени находится заряд q, тог­
да на пластине 1 будет заряд - ( Q + q).
Источник постоянного напряжения под­
держивает между пластинами 1 и 2 раз­
ность потенциалов U0:
2MgS
e0S
•
Хк
3^
I_2 +j
-(Q0+<?)
-+ +++ + r\
К
Рис. 165
_ 4d
(Q0 + q)d
Q0(d - x)
Q0x _ Q^d
qd_
U° ~ 2z0S + 2 s0S + 2 s 0S
“ 2 s 0S ~ z0S + z0S “ s 0S ‘
Из этого уравнения найдем заряд q на пластине 2
п ( л хЛ
q- ~ r
zqSUqx
~
Теперь найдем электростатическую силу, действующую на плас­
тину 3:
251
f r\
\
F3(x) = Qc Qo + Q
! Ж i +! i
2d2 I
d
Результирующая сила, действующая на пластину 3 вдоль оси х,
равна
2 e0S
F - Mg
e0S
}
eoSUox =
л ,* ? !
= Mgd
d"
а
Работа, совершенная этой силой А
-J
M g ^ -d x = Mgd.
d
„ закона сохранения энергии запишем Ал = —
МJ , откуда находим
Из
скорость v = yj2gd .
*11.54. Источник света и оба его изображения будут лежать на
побочной оптической оси А А линзы, перпендикулярной плоско­
сти зеркала (см. рис. 166). Точка пересечения этой оси с пунктир­
ной линией является одним из изобра­
жений S v Найдем положение источни­
ка, от которого получено это изображе­
ние. Проведем прямую SjB, параллель­
ную главной оптической оси ОО', а за­
тем прямую BF. Точка S' пересечения
этой прямой с прямой АА' является мни­
Рис. 166
мым изображением источника S, кото­
рый дает в зеркале изображение S'. Для нахождения второго изоб­
ражения проведем прямую FB' через фокус линзы и источник S,
а затем через точку В' - прямую параллельно главной оптической
оси. Ее пересечение с прямой АА' - точка S 2 - является вторым
мнимым изображением.
11.55. 1. В течение времени tx = т =
= VZc диод закрыт.
£
К концу этого промежутка времени конденсатор С первый раз
разрядится, и его электростатическая энергия преобразуется в энер­
гию магнитного поля катушки.
2. В следующий интервал времени t2 = ^-л/4L С = nJbC
диод
открыт и параллельно соединенные конденсаторы общей емкос­
тью 4С к концу этого интервала времени заряжаются до напряже­
ния 17, а сила тока в катушке становится равной нулю. Из закона
сохранения энергии следует, что
252
CUl _ 4 Ш 2
2
2
_ Up
2
‘
В дальнейшем диод всегда закрыт, и
в левом контуре происходят незатухаю­
щие колебания с периодом Т = 2 л VZc и
амплитудой колебаний напряж ения
U = -у-. При этом напряжение на кон­
денсаторе 3С остается постоянным и рави0
ным U3C =
. Графики зависимости от
времени t напряжений Uc и U3C на конденсаторах показаны на
рисунке 167.
11.56.
Перейдем в систему отсчета К, движущуюся вправо с
некоторой скоростью vQ. В этой системе отсчета появится элект­
рическое поле с напряженностью Е = v0B , направленное верти­
кально вверх. Выражение для Е можно получить, приравняв силы,
действующие на заряд со стороны электромагнитного поля в не­
подвижной и движущейся системах. Подберем скорость v0 такой,
чтобы сила электрического поля была равна силе тяжести:
qv0B = mg.
Отсюда
mg
”0 = -& •
В системе К шарик будет иметь скорость vQ, направленную
вначале влево. Результирующая сила, действующая на шарик, сила со стороны магнитного поля индукцией В. В системе К ша­
рик будет двигаться в плоскости чертежа против часовой стрелки
mv0
со скоростью V q п о окружности радиуса R =
с периодом
2пт
Относительно Земли шарик будет дрейфовать со скоро­
стью системы К , т.е. со скоростью v0 и за достаточно большое
время т (т » Т) сместится относительно Земли вправо на расстоmgz
яние I = VqT =
. Траектория шарика
показана на рисунке 168.
Рис. 168
253
Замечание. Задачу можно решить и другим способом, представив ско­
рость шарика v в виде суммы v = v0 + vlf где v0 = const и выбрана
так, чтобы qv0 х в + т& = 0, т.е. v0 направлена вправо. Тогда только
скорость v-l будет отвечать за движение шарика в магнитном поле.
В начальный момент иг = vQ, и это вызовет движение по окружности
mv0
радиусом R = —— с периодом Т =
2пт
Общее движение шарика
можно представить как движение по окружности и равномерное дви­
жение со скоростью v0 вправо.
11.57.
Начальная угловая скорость вращения обруча со0 = 27т.
Из условия задачи следует, что со0R v0. Сила трения, действую­
щая на любой малый элемент обруча, направлена против скорос­
ти этого элемента относительно поверхности. Для любой пары
элементов обруча, симметричных относительно центра обруча, век­
торная сумма сил трения приблизительно равна нулю, поскольку
выполняется записанное выше неравенство. Поэтому центр вра­
щающегося обруча будет двигаться, почти не замедляясь по срав­
нению со случаем поступательного движения без вращения. Для
оценки можно считать, что ускорение центра обруча
ас =
d 1 ,6 - 10~4 м/с2,
т.е. очень мало. Тогда
^0
= 1 с.
Почти равномерное движение центра обруча будет продолжаться
приблизительно до тех пор, пока не прекратится вращение обру­
ча. Оценим время Т до прекращения вращения. Для малого эле­
мента обруча массой Am работа сил трения за время At при вра­
щении с угловой скоростью со равна
ДА = -ц Am g(u>R At).
(1)
Эта работа равна изменению кинетической энергии:
АА =
A m ( a ) jR ) 2
2
= Am сoR2 Доз.
Из (1) и (2) находим
R
At = - ~ Д ( 0,
254
( 2)
т=
со0Д
= 640 с.
За это время обруч удалится (оценочно) на расстояние
s
и0Т
А СТ 2
2
64 м - 7 м = 57 м.
Более точные оценки дают s ~ 40 м.
Получаем ответ: tx = 1 с, s ~ 57 м (точнее s ~ 40 м).
11.58.
Пусть ра - атмосферное давление, S - площадь поршня,
Н и 2Н - начальные высоты соответственно столбов ртути и газа,
х - высота газа в новом равновесном положении поднявшегося
поршня. Найдем выражение для подведенного количества тепло­
ты Q в зависимости от х.
Давление в газе складывается из атмосферного и давления стол­
ба ртути высотой 3Н - х:
4Н-х
( 1)
Р* = “ я “ А '
Температуру Тх газа для того момента, когда поршень на­
ходится на высоте х, найдем из уравнения Менделеева-Клапей­
рона:
PxS x
2paS2H
Тх
Тг
Отсюда с учетом выражения (1) имеем
(4 Н - х ) х
4 Н 2 Tv
Изменение внутренней энергии газа, произошедшее при подъеме
поршня до высоты х, равно
AU = vCy(Tx - Тг) =
х - 2 Н \2
vCyT, =
2Н
3 ( х - 2 Н) 2
vRTv
8Н 2
( 2)
Здесь Cv = 3R/2.
Работа газа при линейном (по х) изменении давления от 2ра до
рх равна
А-
Л Ч*3 - 2HS) - (6" - 2l Н(r
2H )p,S.
Так как в начальном положении
2pa-2H S = vRT19
то
ч
( 6Н - х ) ( х - 2 Н )
пт
А = ------ ТгЬ------ ~vR'I*I.
( 3)
255
По закону сохранения энергии
Q = AU + A.
С учетом выражений (2) и (3) имеем
Q‘f
Qo
•ЗЯ 1
Q = (~х2 + Ш х - 6H2) - RT'
2Я 2
= (лг —2Я)(ЗН - х) vR T ^ H 2.
Рис. 169
Формальная подстановка х = 37/ дает
неверный ответ: Q = 0 .
Рассмотрим график зависимости Q(jt) (рис. 169).
Для достижения равновесного положения системы при х = 2,5Н
V
надо подать максимальное количество теплоты Q0 = ——*-3 1 2 Дж.
Для достижения равновесных положений при х > 2,5Н необходи­
мо Q < Q0. Это значит, что после того как газу сообщат количе­
ство теплоты Q0 и поршень достигнет высоты х = 2,5Н, газ начнет
самопроизвольно расширяться и вытеснит всю ртуть.
Итак, Qmin=
- 312 Дж.
11.59.
Скорость ракеты при ее запус­
ке вверх после срабатывания реактив­
ного двигателя равна
ур = Т а д При движении ракеты по направляющим
непосредственно перед включением двига­
теля -
Рис.
170
vR = ^2gR sin а
(угол а указан на рис. 170), а ее скорость сразу после срабатыва­
ния двигателя усГ
+ *V
Из закона сохранения энергии
I)2 = т ^ (Н 2 + R sin а)
2
получаем
Н 2 = Н г + 2 д/ ^ jRsin а .
Максимальной высоты подъема ракета достигнет при а 0 = 90°,
следовательно,
Н2= Нг +
256
.
*11.60. 1. Выделившееся количество теплоты не может превы­
шать начальную кинетическую энергию кубика. В случае, если в
некоторый момент останавливают кубик и доску, а пружина ока­
зывается недеформированной, то дальнейшие движения в систе­
ме невозможны, и выделившееся количество теплоты будет мак­
симально и равно
Qmax = ^
“ 0,05 Дж.
Описанная выше ситуация реализуется при определенном зна­
чении (или значениях!) коэффициента трения ц.
Рассмотрим систему, когда кубик движется относительно дос­
ки. Запишем уравнения второго закона Ньютона для кубика и
доски:
та1 = -\xmg.
(1 )
М а2 = |xmg - kx,
(2)
где аг и а2 - ускорения кубика и доски соответственно, а
х - деформация пружины в произвольный момент времени t.
Из уравнений (1) и (2) при заданных начальных условиях вы­
текают законы движения кубика и доски:
i>i(t) =
\img
v*(t) = 4 Ш sln
*i(*) = vQt
м , , x 2[t)
(3 )
\img 1 - cos f ' Г Л
K.M }
(4)
Из анализа уравнений (3) и (4) следует, что доска останавлива­
ется, а пружина приходит в недеформированное состояние в мо­
менты t2n = 2 лу— , где п - натуральное число (п = 1 , 2 , 3, ...).
Остановка кубика (относительно стола) произойдет в момент
vo
= ~ . Система придет в состояние покоя при условии, когда
= hn> a x S d < L (кубик не должен соскользнуть с доски).
Отсюда следует, что коэффициент трения ц = — V°
~
М п
2 ng
При
ЭТО М JLI >
2gL
0,051.
257
Таким образом, в системе выделяется максимальное количети2
ство теплоты Qmax = —^
553 0,05 Дж при трех значениях коэффи­
циента трения: щ - 0,16, р2 ~ 0,08, ц3 ~ 0,053.
Эту часть решения можно получить из простых соображений.
Доска останавливается, а пружина оказывается в недеформированном состоянии через целое число периодов колебаний
^2п
пТ
=
2 7 т
Кубик, движущийся в одном направлении равнозамедленно оси0 . Приравнивая
ТТ
танавливается в момент tx = —
эти значения време­
ни, получаем приведенный выше результат. Значения целого чис­
ла п определяются из условия, что кубик не соскальзывает с дос­
ки; отсюда получим три возможных значения р (р2, р2 и Щ)2. Для окончательного решения задачи осталось проверить
справедливость предположение о том, что кубик все время дви­
жется в одном направлении. Это условие означает, что ско­
рость кубика в любой момент больше скорости доски.
Покажем это для случаи п = 1. Изоб­
разим скорости кубика ^(f) и доски v2(t)
на графике (рис. 171). Они не должны
пересекаться на интервале (0; Т). Это
условие можно записать (приблизитель­
но) в виде
УлГПё _ ____
пг
3
>
7 и'
Ш
2пМ 1
При подстановке заданных числовых значений можно убедиться,
что это неравенство выполняется с большим запасом.
Аналогично можно рассмотреть случаи п = 2 и п = 3.
*11.61. Через обе трубки за время Ат протекают одинаковые
массы воды. Поэтому
Р а ~ Рв = Pd ~ Рс = Д о ­
вода в верхней трубке перетекает из теплого сосуда в холод­
ный, а в нижней - из холодного в теплый (циркуляция воды).
В каждом из сосудов давление уменьшается с высотой по линей­
ному закону. Так как р ^ ) < р2(£2), давление в теплом сосуде па­
дает с высотой медленнее, чем в холодном. График зависимости
258
давлений р г и р2 от высоты между нижней и верхней трубками представлен на
рис. 172.
Из графика следует:
1 ) давления в сосудах одинаковы на
уровне й0/ 2 ;
h
2) Ар = Apg—, где Ар = р2(t2) - рх( ^ ) =
P i-P 2\
Pd
Ар{
1
Рс
0
11
1I1
V
4 Ра
^ vJfAp
2
'fB ,
ho h
Рис. 172
= a (t2- t j = аДt. Таким образом,
Л = aAtg—.
А й
Ар
По условию задачи
Ат
, 4
Л
---- = /гЛр = kaAtg—.
Ат
2
Мощность А, подводимая к теплому сосуду или отводимая от
холодного,
,т
Ат 4
4 ч9 h
N = с——At = cka(At)2—g.
Ат
2
*11.62. Среднеквадратичная скорость молекул в газе равна
/ЗкТ
( 1)
m
Число ударов молекул о стенку сосуда площадью S за единицу
времени
V V
^ = -1 n v SQ,
—
( 2)
dt
6
где п - концентрация молекул.
В установившемся режиме должно выполняться равенство по­
токов молекул сквозь перегородку А (и стенку В). Тогда для пере­
городки А имеем
| » i uis = ^ n 2v2S,
(3)
j n 2v2S = ^ n 0v0S.
(4)
для стенки В:
Аналогично, мощность переносимая молекулами, уходящими
из части 1 сосуда сквозь поры перегородки, равна мощности Р
нагревателя и мощности, переносимой молекулами приходящи­
ми из части 2 .
259
— 2 Л
mv{
d_
= | niuis f ftTl = P + \ n2V2S ^ k T 2.
dt
Решая систему уравнений (3), (4), (5) и (6 ), получим,
Pi = Po.hr >Р* = Po.hr ’
Т 2
(5)
4Р
М
= то 1 + p0S у 3 RT0 , Тг = 2Т2
Подставив числовые значения, находим:
Т2 = 354 К, Тх = 408 К, р2 = 1,09 • 105 Па, р г = 1,36 • 105 Па.
*11.63. Рассмотрим произвольный момент времени после за­
мыкания ключа К. Пусть в этот момент через перемычку течет
ток J, а скорость перемычки равна v (см. рис 173). Уравнение
движения перемычки:
тп— = ИВ.
(1)
Перепишем это уравнение в виде
mdv = IBI dt = -IB dq = -IBC dU,
(2)
где q - заряд, a U - напряжение на конденсаторе. Проинтегриру­
ем соотношение (2 ):
\ d v = - \ — dU, т.е. v = — (U0 - U).
i
о
m
(3)
m
Здесь U0 - начальное напряжение на конденсаторе. Запишем за­
кон Ома для замкнутой цепи: IBv = U - IR. Выразим из этого
уравнения силу тока I и подставим в уравнение (1). Уравнение (1)
будет иметь вид:
dv
(Ш)2 = 1BU
mR
mR
dt
После подстановки выражения U из (2) окончательно получим
уравнение движения перемычки:
В
О
Рис. 173
260
Рис. 174
M U J _
juR
RC
IB U 0
(4)
^
mR
1.
Для определения U0 по заданному на рис. 174 графику v(t)
найдем при t = О ускорение а0 перемычки (а 0 равно угловому
коэффициенту касательной к u(f), а0 — (0,43 ± 0,14) м/с2). Ис­
пользуя уравнение (4), вычислим U0:
и0=
1В
= (100 + 10) в.
2.
Для нахождения емкости С выберем еще одну точку (t ^ 0)
и найдем скорость иг и ускорение аг перемычки для этого момен­
та времени. Из уравнения (4) вычислим емкость конденсатора С:
С = vx v TnR
)
т
= (1 ± 0,1)* 10“3 Ф.
3. Установившаяся скорость перемычки равна
vу с т
IB U 0
лг
т 2t 1
т
С
= (14,3 ± 1,5) м/с.
Погрешности полученных результатов обусловлены в основном
неточностью определения тангенса угла наклона прямых а и (3.
*11.64. Каждая спектральная линия в излучении атомов цезия
создает на фотокатоде поток световой энергии, интенсивность ко­
торого периодически изменяется при изменении разности хода
А = 2v ty возникающей при движении зеркала. Изменение разно­
сти хода на одну длину волны соответствует одному периоду Т
колебаний силы тока фототока. В результате измерений числа
колебаний силы тока по графику (рис. 47.11) найдем период Т:
Т = — = (0,113 ± 0,001) с,
здесь At - некоторый промежуток времени, N - число полных
колебаний фототока за это время. Таким образом,
к = Xl *
= 2vT = 4,56 • 10_т м = (456 ± 4) нм.
Наблюдаемые на рис. 47.11 «биения» обусловлены наложени­
ем двух интерференционных картин для излучений с длинами
волн и к2. Максимальная амплитуда осцилляций фототока воз­
никает в тех местах, где интерференционные максимумы для двух
спектральных линий точно совпадают друг с другом. В тех мес­
тах, в которых амплитуда колебаний фототока минимальна, мак­
симумы одной интерференционной картины (например, для спек261
тральной линии XJ совпадают с минимумами другой интерферен­
ционной картины (для спектральной линии Х2). Таким образом,
на периоде «биений» т (т.е. промежутке времени между двумя
точками на графике, где амплитуда быстрых осцилляций тока
минимальна) разность хода А изменяется на некоторое целое чис­
ло т длин волн Х2 и на целое число т + 1 длин волн Х1(Х1 < Х2):
2 v t = тХ2 = (т + 1)Х1.
Отсюда
т
X
12,9
456
т = Т = 0Д18 * 114’
п = Ш НМ ~ 4 НМ*
Поскольку минимальное значение амплитуды колебаний фо­
тотока равно нулю, это означает, что интенсивности спектраль­
ных линий одинаковы:
к
1.
h
*11.65. Можно показать, что брусок массой 12m останется в
покое. Брусок массой пг будет совершать затухающие колебания.
Его отклонения А п и А п_ г от положения равновесия можно найти
из закона сохранения энергии
k A lг
2
kAl
- f - = \img(An_l + A J.
Отсюда с учетом того, что mg = ka, А п_х - А п = 2\ia = 6 см =
= const. Имеем последовательность отклонений: Ах = 32 см,
А2 = 26 см, А3 = 20 см, А4 = 14 см, А5 = 8 см, А6 = 2 см (справа).
Расстояние бруска массой m от положения равновесия, при кото­
ром брусок уже никуда не сдвигается (зона застоя), определяется
величиной 2ца = 6 см. Это значит, что брусок остановится, когда
отклонение равно А6.
Итак, расстояние между брусками уменьшится на 2 см.
11.66. Давление, объем и температура газа в точках 1, 2 и 3
обозначим через р, V и Т, добавляя соот­
ветствующие индексы.
1) Для участка 3-1 (см. рис. 175)
Рз
Л Так как р3 = р0, р г = 5р0 и Vx
Pi
= 3F0, то V3 = —V0. Зная р3 и V3, находим
э
из уравнения состояния
гг, _ Рзу з _ 3 PqVq
vR
262
5 vR
2) Работа газа за цикл равна
A = \ ( V 2 - V 3)(p1 - p 2) = ™ p 0V0.
3) Найдем температуры Тх = ^
= 15^ ° и Т2 =
= 1 ^ “..
На участке 2-3 газ отдает тепло, а на участке 3-1 получает
количество теплоты
v •3
Q31 = — ЩТ, - Т3) +
о, + По
144
- V3) = — p0V0.
Можно показать, что на участке 1-2 есть точка К с критичес­
ким объемом VKтаким, что при V < VKгаз получает тепло, а при
_ 15 р0У0
V > VKотдает. При этом рк = 3р0, Тк =
vR
Итак, за цикл газ получает тепло только на участках 3-1 и 1К, причем
Q1к
у R(TK -
+ ^ j ^ ( v K- v
= 8Pov 0.
Коэффициент полезного действия тепловой машины
Л=
А
Фи +QlK
_8_
23
0,35.
А
4
Замечание. Решение и ответ ri = ~рг~ = — ~ 0,44 неверны!
9
11.67. Направим ось х вдоль шин, совместив начало координат
с начальным положением перемычки. Пусть х - координата пере­
мычки, vx - проекция скорости на ось х, I - сила тока через
перемычку. По второму закону Ньютона
m
-B II-,
(1,
Bvxl - L
dJ_
= 0.
dt
( 2)
По закону Ома
Продифференцируем уравнение (1) по времени и подставим в
dl
него — из уравнения (2 ):
В I
mb
v = 0.
263
Мы получили дифференциальное уравнение гармонических коле\В212
с частотой ш = J ——.
*
V mL
Скорость перемычки изменяется по закону vx = i>0cos шt. Пере­
баний для
мычка совершает гармонические колебания х = — sin шt с пери(0
одом (искомое характерное время) Т = 2п
mL
и амплитудой (мак­
в¥
симальное удаление от начального положения) А =
В1
11.68. Направим ось х вдоль линии движения среднего шари­
ка, поместив начало координат в точку его равновесного положе­
ния (рис. 176). Если в произвольный момент координата и ско­
рость среднего шарика соответственно равны х и v = х , то коор­
дината и скорость (в проекциях на ось х) крайних шариков будут
-х /2 и -v /2 . Полная энергия системы сохраняется:
mv2 , n m(v / 2)2 , *92
kq2 = const
+ -z----------,1- 2о ---2>a cos а
а
2
~ 2~ + ^
или
3
kQ2 , 2—
п к<^1—
2 = const.
,
—
mv 2 +1 -----------Ь
4
2а cos а
а
лг
Учтя, что cos а = ij11 ” fI 73 *Y
^ I и продифференцировав по времени
последнее уравнение, получим
х +
х
3kg2
Ата3
X
Так как —
= 0.
1, то получаем дифферен­
циальное уравнение гармонических ко­
лебаний
Рис. 176
264
х +
3kg2
х = 0.
Ата3
Период свободных колебаний системы шариков равен
4 та3
16пг0таг
Т = 2я 3kq2
2п
Н2
11.69. 1) В установившемся режиме (после замыкания ключа
К г) через L x течет ток / 0 = —.
R
2) Пусть в некоторый момент после размыкания К 2 напряжение
U на конденсаторе стало максимальным, а токи через катушки ста­
ли равными 1Хи / 2. Эти токи текут через катушки Ьг и Ь2 в противо­
положных направлениях. Ясно, что в этот момент 1Х= / 2. В контуре
из катушек
и Ь2 сумма магнитных потоков сохраняется:
L^Ii + L2I 2 L i/ 0.
(1 )
По закону сохранения энергии
L tf , v !
2
2
, си2
ьл
2
2 е
(2 )
Решая совместно уравнения (1) и (2), находим максимальное
напряжение на конденсаторе
*11.70. 1. Рассмотрим систему координат, связанную с верх­
ней стороной ленты. Начало отсчета (t = 0) - момент вкатывания
трубки на ленту. Начальная скорость центра масс трубки u(0) = v0 - иу
начальная скорость точек на поверхности трубки относительно
центра масс ивр(0) = v0. При проскальзывании трубки на нее дей­
ствует сила трения скольжения FTp = \iMg (рис. 177). Запишем
временные зависимости этих скоростей:
lit) = v0 - и + \lgt, vBp(t) = v0 - \lgt.
Трубка покатится без проскальзывания при t — tv когда и(^) =
и
= uBP(^i). т-е- v0 - и + pg*! = v0 - \igtu отсюда tx =
2. Скорость трубки после окончания
проскальзывания
y(*l) = V0 - f >
= V0~ \ ■
В неподвижной системе координат
скорость установившегося движения
центра масс трубки при t > t 1 будет рав­
на
— Vq ~h
265
Начальная кинетическая энергия трубки равна
M vо
1о
2
M vl
^
,^ о
1У1ио у
2
а при t = t x
Tl 1
+ м
2
7 ' 2)2 2
0
+м £.
4
Изменение кинетической энергии
и2
АТ = Tj - т0 = М — .
3.
Количество теплоты, которое выделится при проскальзыва­
нии, равно изменению кинетической энергии А Т = Т'0 - Т \ труб­
ки в системе координат, связанной с движущейся лентой. На­
чальная кинетическая энергия трубки
Г
1о
= 1MУ± iV* ~о u)2 ^+
2 9
а при t = t x
„
11
_ M( v 0 - u / 2)2 , M( v a - u / 2)2
2
+
2
Уменьшение кинетической энергии трубки равно выделивше­
муся количеству теплоты:
Q = T'0 ~ Т \ =
*11.71. В любой момент в процессе сближения тел галактики
сила, действующая на i-ю частицу со стороны у-й, равна
Ftj
=
a m .n ijf^
а сила, действующая на i-ю частицу со стороны всех остальных,
Ft =
2 Ftj =
i*j
Y j amimjr ц = с и п £ Щ ?г
i* j
J*i
Центр масс С системы материальных точек определяется сле­
дующим образом:
2
_ X
М
*с =
где Rc - радиус-вектор масс, г.} - радиус-вектор у-й частицы, М полная масса галактики. Если начало координат выбрать в точке,
где находится i-я материальная точка, то
Яг
266
2
м
Таким образом,
Fi
= а /п^мДс .
Каждая частица притягивается к центру масс с силой, прямо
пропорциональной ее массе mi и расстоянию RiC до центра масс
(квазиупругая сила). Такой силе соответствуют гармонические
^
™
I ТП;
2п
колебания с периодом Т = 2n j
— = - т = , одинаковым для
Vu r r i i M
у/аМ
всех частиц. Через время Т/ 4 все частицы одновременно соберут­
ся (схлопнутся) в центре масс. Это и есть «время жизни» объекта
т - д
а
= 3-14- 10’ с ” 100лет-
*11.72. Идеальный холодильник работает по обратному циклу
Карно. Температура в комнате изменяется мало, и ее, как темпе­
ратуру более нагретого тела тепловой машины, можно считать
постоянной и равной Т0. Имеем
, А — Nt, QK = А + qm0, QK = \С ^ Т К- Т0).
Здесь А - работа, совершенная над рабочим телом холодильника,
QK- количество теплоты, полученное комнатой, t - время работы
холодильника, Тк - конечная температура воздуха в комнате,
^
5Я
Cv = — - молярная теплоемкость воздуха при постоянном объ­
еме, V =
Pol - число молей воздуха. Из записанных уравнений
RT0
находим
t
qmо ( Тр_ 1
N
{ Тх
\
у
~ 22 мин,
! 2 дт0Тал
5
P 0V T x ]
« 318 К .
*11.73. Заменим бесконечную цепочку эквивалентной схемой, содержащей
первое звено и нелинейный элемент X
(см. рис. 178). Вольт-амперная харак­
теристика (ВАХ) этого элемента совпа­
дает с ВАХ бесконечной цепочки, заданной в условии. Построим на графике,
а 0 —[
X
Ь0 —
Рис. 178
267
Рис. 179
заданном в условии задачи, вольт-амперную характеристику резис­
тора R (прямая, проходящая через точку U = О, I = 0) (см. рис. 179).
На этом же графике построим сумму ВАХ резистора R и нелинейно­
го элемента X . Обозначим эту характеристику через R + X.
Выберем теперь некоторое напряжение Ux на входе цепочки.
Определим по ВАХ элемента X силу тока I, соответствующую
выбранному напряжению. Такая же сила тока будет протекать
через элемент Z и через параллельно включенные R и X . Опреде­
лим по графику напряжение UR+х, а затем напряжение на эле­
менте Z, равное Uz = Ux - UR+X.
Таким образом, задавая различные напряжения Ux, можно оп­
ределить силу тока I z = I и напряжение Uz на нелинейном эле­
менте Z. Это позволяет построить его вольт-амперную характери­
стику (рис. 180). Точка излома ВАХ есть
U = U0 - 1 В = 1,25 В, / = / 0 = 0,25 А.
*11.74. Заменим заданную сферически симметричную среду с
непрерывным распределением показателя преломления n(R) сфе­
рически слоистой средой. Рассмотрим два тонких сферических
слоя, радиусы которых Rl и R2 (см. рис. 181). Луч падает на гра­
ницу раздела этих сред под углом а. По закону преломления
пх sin а = п2 sin |3.
(1 )
Из треугольника ОАВ по теореме синусов
sin у
R2
Ri
( 2)
sin Р
R2 sin Р = sin у R^
Подставляя (2) в (1), получаем
R 1nl sin а = R2n2 sin у.
(3)
Это соотношение означает, что вдоль
распространяющегося луча в сферически
симметричной среде
Rn(R) sin cp (#) = const,
(4)
где R - текущее значение радиуса, n(R) показатель преломления, соответствую268
щий данному радиусу, cp (К) - угол падения света на сферическую
границу с данным значением радиуса R.
Подставляя в (4) заданную в условии зависимость п(К)у получим
J f R 2 sin cp = const.
(5)
При минимальном расстоянии от центра симметрии до траек­
тории луча угол ф = 90°. Следовательно,
П0
Щ 0
i R2 sin 30° - т0 R2^>
откуда
Rmin = i?!>/sin 30° = 56,6 см,
причем Rmin > R0.
11.75.
Изобразим схему, эквивалентную схе­
ме в условии (рис. 182). При сравнении участ­
ков СМ В и CNB заметим, что
Фм = ф* = (Фс + Фв)/2.
Теперь легко подсчитать сопротивление R^
[
n
м'
А
В
17г
^ ав ~ 24 =
^ м*
Рис. 182
11.76. Пусть шайба массой т вращается по окружности радиу_
7 _
mvl
сом R со скоростью v0 на высоте п. Ясно, что —— = mg tg а, отсюда
R
v02= gR tg а (рис. 183). Для профиля воронки у = - k/r2, где k > 0,
dy
2k
имеем у = — = — = -2 у/r. Тогда
ах
г
2( Я - f t )
tg а = у' |г_д = - 2 y/R =
■в
Л
Следовательно, о02 = gR tg a = 2g(H - К).
По закону сохранения энергии
mv2
mvl
— + mgHx = - f - + mgh.
Рис. 183
Из последних двух равенств находим v = *j2g(H - Н г) ~ 3,8 м/с.
11.77.
На систему «санки - собака» за время их взаимодей­
ствия действуют внешние силы: направленные вертикально вниз
силы тяжести M g и m g , изменяющаяся со временем сила реак­
269
ции R со стороны горки. При движе­
нии санок с горки с постоянной скорос­
тью сила R всегда направлена верти­
кально вверх, так как результирующая
всех сил должна быть равна нулю. Разложим R (рис. 184) на силу нормально­
Рис. 184
го давления N и силу трения FT? : R = N + FTV. Ясно, что FTV =
= \iN> где - коэффициент трения скольжения. До прыжка сила
jlx
реакции R 0 = N 0 + -Ртр0, где FTp0 = \iN0 и вектор R 0 направлен
вертикально вверх. В ходе взаимодействия собаки с санками ре­
акция N возрастает в k раз (N = kN0), сила FTV тоже возрастает в
k раз и вектор R остается параллельным R 0, т.е. вектор R на­
правлен вертикально вверх. Итак, для системы «санки - собака»
за время их взаимодействия все внешние силы направлены вер­
тикально. Отсюда следует, что проекция импульса системы на
горизонтальную ось х сохраняется:
M v1 cos а + mv0 cos ((3 - а) = (М + т) v2 cos а.
Из этого равенства находим скорость санок с собакой:
Мц cos g + mvQcos(ft - а)
(М + т) cos а
11.78.
Направим ось Ох вдоль оси пружины. Начало коорди­
нат совместим с центром масс тела, соединенного с недеформированной пружиной. Пусть под действием вынуждающей силы
F(t) = F0 cos(cof + P) тело совершает вынужденные колебания с
частотой со и амплитудой А. Тогда координата х , скорость и уско­
рение тела будут соответственно равны:
х = A cos(cot + а),
vx = -соА sin (cof + а),
ах = -со2А cos (cof + а).
По условию,
7711)q
„.,2
пил2А2
2
2
sin 2 (со£ + а) +
^
'
kAL
2
cos2(cof + а).
Это равенство будет выполняться при любом t , если пил2 = k. От­
сюда со = ^jk / т и А = и0Л]т / k . Подставим в уравнение второго
закона Ньютона
тах = -yvx - kx + F cos (соt + P)
записанные выше выражения для х, vx, ах, со и А. После преобра­
зований имеем:
270
yv0 sin (cot + a) = F0 cos(co£ + (3).
Если это равенство выполняется при любых t, то а и Р связаны
соотношением а + — = Р, а искомая сила F0 = yv0.
z
11.79.
Сначала рассмотрим, как из­
меняется температура Т газа при дви­
жении вдоль отрезка ВС, задаваемого
V
р
уравнением — + — = 1 (рис. 185). Для
v молей газа pV = vPT. Поэтому Т =
=
pV
vB
Ро (V0V - V2). Максимум Т будет в
vRV0
некоторой точке А при V=
Это значит, что точка А находится
на середине гипотенузы прямоугольного треугольника АОВС и по­
этому равноудалена от точек О, Б и С.
Возьмем произвольный цикл (рис. 186). Проведем ряд изотерм.
Изотерма с наибольшей температурой, касающаяся кривой цик­
ла (точка А на рис. 186), соответствует максимальной температу­
ре в цикле. Проведем через точку А общую касательную к кривой
цикла и изотерме. Ясно, что максимальная температура на каса­
тельной соответствует точке А. По доказанному выше, эта точка
равноудалена от начала координат и точек пересечения касатель­
ной с осями координат: АО = АБ = АС. Теперь понятен алгоритм
восстановления осей.
1. Проводим касательную в точку А (рис. 187).
2. Проводим окружность с центром в точке А и радиусом АО.
3. Через точки пересечения окружности с касательной прово­
дим оси координат.
271
4.
Из двух возможных вариантов направлений осей р и V вы­
бираем тот, который удовлетворяет условию задачи.
11.80.
Обозначим через х смещение центра масс бруса, N t реакция опор (рис. 188). Запишем второй закон Ньютона и урав­
нение моментов относительно центра масс:
N, + N 2 = Mg,
N x(L/2 - х) = N 2(L /2 + х),
где М - масса бруса, g - ускорение свободного падения. Предпо­
ложим, что проскальзывание есть на обоих валиках. Тогда
Втр = k(Nx - N 2) = -kM g2x/L.
Из второго закона Ньютона в проекции
Ц
СУ
на горизонтальную ось следует, что брус
будет совершать гармонические колеба­
ния с частотой
1т Ч
х
U* о х
L /2
-L /2
Шп у]2 kg / L = 1,72 <f
( 1)
Из (1) видно, что частота колебаний не
зависит от начальных условий и от ско­
рости вращения валиков. Следовательно и после уменьшения ско­
рости вращения валиков эта частота не изменится, т.е. £1 = ш0. До
уменьшения скорости вращения валиков амплитуда колебаний бру­
са Aj = сiL = 0,75 м, а амплитуда скорости
= A jCOq - 1,29 м/с.
Поскольку иг < coR = 5 м/с, предположение о проскальзывании
бруса по обоим валикам оказалось верным. Новая скорость вра­
щения валиков ш2 = 0,1(0^ Амплитуда скорости бруска v2 =
= A2w0 не должна быть больше скорости точек поверхности вали­
ков, т.е.
А>ш0 = ш2Д.
Отсюда
Рис. 188
(D o
А 2 = — R - 0,29 м.
(D 0
*11.81. 1. В первом случае происходят колебания математи­
ческого маятника с длиной подвеса b = vZ2 - а2 :
8
Jl2 - а2
2. Так как нить нерастяжимая, то АС + СВ = 21. Следователь­
но, во втором случае бусинка С движется по эллипсу с фокусами
А и В. Длина малой полуоси b = yll2 - а2 , большой полуоси - Z.
Уравнение эллипса:
272
Ъхг
2 12
Тогда получим: Ау ~ Ъх2/(212). Значит, при
отклонении бусинки по горизонтали на х
потенциальная энергия возрастет на
+
АП = mg&y
1
~2
хы
2 теЬТ '
1
2
Пусть кинетическая энергия бусинки Т ~ —пгх .
Отсюда следует: ш2и« gb/l2, то есть ш2, ~ g j p _ а 2 //2.
3. Из рис. 63.11, б в условии задачи видно, что
(0±
= 2. Отсюда
получаем:
V8 I..
а = —
2
*11.82. При постоянном напряжении:
F1 = m1g = ^ V > .
При периодической последовательности импульсов:
-с^
2
PH dt == еЖ
6Td2
=
W
fTT’22 '
зQ'T
щ
Отсюда:
ЗТщ
1500 В.
1Щ
*11.83. Перед размыканием ключа К сила тока, текущего че
рез катушку L равна
i L1 = г / (л + д,).
Пусть после размыкания ключа К в цепи
h
II
текут токи, положительные направления
-------►
—
которых изображены на рис. 190.
-------- 1---------- 1По правилам Кирхгофа можно запи­
L, R
1
Ri
сать систему уравнений:
1 r
^0 = ^1
1
h = 1Т + А2/ Л - V = 0 ,
dl,
L —Ь- + 21,R + I r
dt
L
r
10 К in (‘.'i
0.
(1 )
(2 )
(3)
II
Jr||
*1
T
R
<
II
Ri
Рис. 190
273
Из (1) и (2) найдем, что JL= I Дг + 2R1)/(2R1). После подстановки
этого выражения в (3) получим:
dIL _ rR + R1(2R + г)
~dt
~
LRy
r'
Заряд, протекший через микроамперметр, за время
d t
:
LRl
d ® = ~ rR + RX(2R + r) d I *'
Поскольку конечная сила тока через катушку 1 Ь 2 = 0, то полное
изменение силы тока равно
/(R x + R), а полный заряд равен
___________ §?L___________
® = 2 R (R + г) + (2 R + r)i?j + rR2 / Rt '
Q достигает максимального значения, когда (2R + r)Rx + rR2/R l
минимально. А это имеет место при условии (2R + r)Rx = rR2/R l.
Ответ можно получить, продифференцировав знаменатель выра­
жения для Q по R l и приравняв производную нулю.
Окончательно получим: R x = R
г + 2R
11.84.
В системе отсчета, движущейся со скоростью реки вниз по
течению, траектория лодки - прямая АК. Проведем через точки С и
D прямые BD и FC, параллельные линии берега реки (рис. 191).
Так как скорость течения реки постоянна, расстояние ВП, на
которое снесет лодку за 2 с, в два раза больше расстояния FC
сноса лодки за 1 с, т.е.
BD :FC = 2.
(1)
Выразим длины отрезков BD и FC в числах клеток. Обозначим
длину отрезка ВМ через х . Тогда длина
BD = х + 3.
(2)
Из подобия треугольников AFN и АВМ получим
,
FN
R M
JD1V1
К
\
D
\в
м
i\
у
1 \F N
/С
\а /
Следовательно, FN =
/
V///////V///////M
А
Рис. 191
274
AN
A M
ruVi
хFC
v
ITq m
( 0 \
™
=
2
—
о
4
U
2
Q’
О
х, а длина отрезка
су
-з х«V+1 1.
л..
XJQV 7ТТЛЛ/Г ^ - я
тт условию задачи —
U
По
= tg а, но
Ц)
(3)
Vй/
tg a =
вм _ з
am
~ 6
_i
2■
Отсюда следует
U=
v0 = 0,5 м/с.
11.85.
Пусть дополнительное слагаемое в выражении для внут­
ренней энергии при объеме Vx равно Л 19 а при объеме V2 равно П2.
Внутренняя энергия газа при указанных в скобках объеме и тем­
пературе для каждого процесса, происходящего в газе, равна
U(T,V2) = vcvT + П2,
U(T',V1) = vcvT' + II1,
*U(T1,V1) = vcvT1+II1,
U(T2,V2) - vcvT2 + П2.
(1)
Здесь cv = SR /2. Запишем уравнения закона сохранения энергии
в процессах при разрыве перегородки и при адиабатическом сжа­
тии газа до объемов V1 и V2:
0 = U(T',Vl) - U ( T ,V 2) + 0,
<0 = U(Tl,V1) - v c rT + (-A t ),
0 = U(T2,V2) - v c vT + {-A2).
Решая систему уравнений (1) и (2), находим
т = т + тг - Т2 +
2(А2 - А 1)
ЗуД
11.86.
Рассмотрим две части конденсатора, разделенные уров­
нем х поднявшегося масла, как параллельно соединенные кон­
денсаторы. Поскольку d R, L, то емкость каждого конденсатора
можно найти по формуле емкости плоского конденсатора:
С —Cj + С2 =
EEoS\
e0S 2 _ 2nRxee0
2nR(L - x)e0 _
2яе0Д[(е - l ) x + L]
d
где x - высота подъема масла в зазоре.
Энергия заряженного конденсатора
_ q^_ _
Q2d
W ~ 2С ~ 4яе0Д[(е - 1)х + L ] '
Электрическая сила, втягивающая масло, равна
275
(e - 1 )Q2d
4ne0i?[(e - l)x + L] *
w
- ?
На масло в зазоре конденсатора действуют также сила тяжести
Р(х) = 2nRxdpg и сила поверхностного натяжения FnoB, не завися­
щая от х. Запишем условия равновесия масла в обоих случаях:
и I?
+F
=Р
Вычтем из второго уравнения первое и подставим выражения для
F и Р;
L
(е - l)Q2d
=
2nRd\
2
Г
у
4m 0R (е -1 )L + L
V
L
4 Р£>
2
откуда
_ П(Е + 1)PL /2e0pgL
Q
2
V e- 1 ’
11.87. Наименьшая возможная амплитуда колебаний С/хна кон­
денсаторе С2 будет при замыкании ключа К 2 в момент, когда на
конденсаторе Сх напряжение максимальное, т.е. U0. Конденсатор
С2 быстро зарядится и в цепи выделится энергия (тепло или излу­
чение). При этом новое напряжение на конденсаторе и будет Ux.
Так как заряд сохраняется, то
О Д = (С, + C2)Ul.
Отсюда
и , = и 0Сх/{Сх + С2).
Наибольшая возможная амплитуда колебаний U2 на конденса­
торе С2 будет при замыкании ключа К 2Укогда конденсатор Сх раз­
ряжен. По закону сохранения энергии
О Д 2/2 = (С, + C2)U22/ 2.
Отсюда U2 = и ол1С1/ (Cj + С2) . Искомый интервал значений на­
чальной амплитуды напряжения
U0CJ{CX+ С2) <U< u j c , / (Q + С2) .
Окончательно находим 4 В < С/ < 12 В.
11.88. Пусть 8 - угол наибольшего отклонения луча, прошед­
шего сквозь линзу, А - точка фокальной плоскости, О - оптичес­
кий центр линзы, ОС - ее радиус (рис. 192).
Рассмотрим треугольник САО, высота которого равна фокус276
ному расстоянию линзы. Угол А при вершине этого треугольника при­
мет максимальное значение, когда СА = АО. Заметим, что Z.CAO = 8 ,
как накрест лежащие углы.
Выполним необходимые построения на схеме из архива. Из точ­
ки А циркулем сделаем засечки на продолжении в сторону линзы
луча АВ и луча, проходящего через точку А параллельно падающе­
му пучку. Пусть это будут точки С и О'; проведем через них пря­
мую и отложим на этой прямой отрезок ОТ, равный радиусу лин­
зы. Край линзы - это точка С, которая расположена на пересече­
нии прямой АВ и прямой, параллельной АО' и проходящей через
точку Р. Сама линза параллельна прямой СО'. Далее находим центр
линзы О и главную оптическую ось OF.
11.89. Запишем второй закон Ньютона для груза на пружинах:
d2x
= -m g cos a + F,
( 1)
dt2
где F - сила, действующая на груз со стороны пружин. Ускорение
т
d2*
, совершающего гармонические колебания, выражается
dt2
соотношением
груза
d2*
л 2 .
.
271
T
dt
Сила реакции наклонной плоскости, действующая на ящик,
N = (М - m)g cos a + F.
(2)
Подставив в (2) выражение для F из (1), получим
N = Mg cos a - тпАсо2 sin (Dt.
(3)
Ящик не будет подпрыгивать, если в любой момент времени
N > 0, что выполняется при условии Mg cos a > со2 A m , т.е. при
М 4л2 А
--~^2 cos
------.
m > gT
a
277
Поскольку, согласно условию задачи, р = tg а, то всегда FTp =
= |iN . Следовательно, для любого момента времени
M g sin a - рЛГ
т
2 •
a(t) = ------- —-------= и — Aar sin cof.
М
М
Скорость движения ящика
I
ш
u(t) = J a(t)dt = — Aw( 1 - cos wf).
(4)
о
^
Из (4) видно, что скорость ящика изменяется с периодом Т, по­
этому средняя скорость за большое время равна
г
jAjti
m
= 2 л——
^ср
rp
TJj , u(f)di
w
TM tg6 a.
jlx
11.90. Пусть q - заряд конденсатора. По закону Ома
U + — =%’.
С
Из (1) следует, что q = С(£ - UH3), откуда, в свою очередь,
dq = ~CdUm.
Ток зарядки конденсатора
Т=*1 = Т +
dt
«3
R
R •
ибо, согласно условию задачи / Н1 <К I. Из (2) и (3) получим
RCdUm
dt = —
U„.
( 1)
( 2)
(3)
(4 )
Выделившееся на НЭ количество теплоты найдем по формуле:
~
о
= J U J Hdt - - l? c j JHdC/H,
(5)
О
&
так как при протекании тока напряжение на НЭ изменяется в пре­
делах от & в первый момент времени до нуля по окончании заряд­
ки конденсатора. Поэтому Q = RCS, где S - площадь под графиком
ВАХ. По графику определяем, что S —51,5 мВт, и тогда находим
QH3 “ 41,2 • 1(Г6 Дж.
11.91.
Сразу после замыкания ключа К конденсатор будет раз­
ряжаться через катушку L2. Зависимость силы тока I 2(t) от вре­
мени будет иметь вид:
Ш
278
= V0
• sin ш01 t
sin ш01 f,
(i)
где со01 = 1 / J I f i = 1 /( 2 J b fi) - собствен­
ная частота L2C-контура. Эта зависимость
будет иметь место при 0 < t < п j L f i .
Рассмотрим теперь характер измене­
ния тока / 2 после того, как он достигнет
максимального значения. Для произ­
вольного момента времени положительные
направления токов изображены на рис. 193.
Запишем закон Ома для контура, включающего обе катушки:
L ^ + L ^ = 0.
1 dt
2 dt
Отсюда следует, что L 1I 1 + L2I 2 = const. Константа, очевидно,
равна V0tJL2C . Из первого правила Кирхгофа следует, что 12=1г + / 3.
Для контура, в который входят катушка L2 и конденсатор С, можно
записать:
ь 2й к + f = о.
dt С
Продифференцируем это выражение по времени:
Id q
( 2)
+
С
d7 = °*
dr
L2
V0 ------dq
Поскольку
= I a, a I 3= I 2 - I 1 = I 2 + j~ I 2- y у]Ц,С, уравнеdt
*3’ “ *3 2 M '‘ 2 ' Ц.
ние (2 ) можно переписать в следующем виде:
Li + L2
d2L
+ L±L2C
dt2
Собственная частота контура ш02 :
(3)
Li yjL2C
Д + L2 _
ЦЬ2С
2 у LXC
. Решение
уравнения (3) ищем в виде:
V0Jl^C
L\ + L2
Константы А и В находим из начальных условий: при t = 0
/ 2 = A cos (сo02t) + В sin (сo02t) +
сила тока в катушке L2 максимальна и равна v .o\1 г >а производ
11
dl9 Л Л
ная —- = 0 . Окончательно:
dt
279
Ц.
, В = 0.
А + 1<2
А=
Отсюда
Ш
Е _ ь_
= V,-° \L
2 L, + L,'2
s(a)02f) +
L
у
С учетом, что L2 = 4Lly получим: J 2(f) =
(4 )
А
[с
[c°s(co02^) + 4] .
Зависимость / 2(f) изображена на рис. 194, где tx = п^Ц С , t2 =
= ( 1+^). *, -
+;§} ' " 'М 1+i ,
h
11.92.
Проведем прямую SS'y оптический центр линзы О ле­
жит где-то на ней.
Середина палочки М и ее изображение N лежат соответственI
V
но на расстояниях — и — от S и S , т.е. на окружностях радиусов
I V
— и — с центрами в S и S'. Из условия следует, что M N - главная
оптическая ось, причем она перпендикулярна палочке и изобра­
жению, а значит, и проведенным в точки М и N радиусам указан­
ных окружностей. Поэтому проведем M N так, чтобы она каса­
лась обеих окружностей. Это можно сделать четырьмя способами,
два из которых показаны на рис. 195, 196. Еще два являются их
симметричными отображениями относительно SS'. Ход дальней­
ших построений одинаков для всех случаев.
Оптический центр О линзы находится на пересечении M N
и SS'.
280
Рис. 195
Линзу АВ построим как перпендикуляр к M N в точке О.
На рис. 195 S и S' находятся по разные стороны линзы, следо­
вательно, линза собирающая, a S' - действительное изображение.
Во втором случае изображение мнимое и уменьшительное, зна­
чит, линза отрицательная.
Любой луч, вышедший из S, должен прийти в S'; поэтому про­
ведем луч SC||MiV; тогда точка пересечения преломленного луча
CS' (или его продолжения) и прямой M N будет фокусом F'. Второй
фокус F находим из симметрии относительно плоскости линзы.
Предмет и изображение найдем, достроив их симметрично глав­
ной оптической оси MN.
Рис. 196
Часть V. Экспериментальный тур.
Условия заданий
класс
9.1. Найдите центр тяжести тела, имеющего геометрически
неправильную форму.
О борулование:
тело геометрически неправильной формы, нить длиной
~ 20 см.
9.2. Исследуйте зависимость силы взаимодействия металличес­
кой гайки с подковообразным магнитом от различных положе­
ний металлической перемычки, соединяющей полюса магнита.
О б о р у л о в а н и е : подковообразный магнит, металлическая перемычка, гай­
ка, нить, динамометр, миллиметровая бумага.
9.3. Определите плотность пластилина рпл.
О б о р у л о в а н и е : кусок пластилина, сосуд цилиндрической формы с водой
(р = 1 г/см3), линейка.
9.4. Изготовьте из листа бумаги модель моста, выдерживающе­
го максимальную массу груза. Груз следует устанавливать в цен­
тре модели моста. Определите массу груза.
О борулование:
лист бумаги, линейка, два одинаковых бруска, разновесы.
П р и м е ч а н и е . Модель устанавливается на брусках, расстояние
между которыми 25 см; ширину той части моста, на которой уста­
навливаются разновесы, следует сделать равной 2 см.
9.5. Определите теплоемкость монеты.
О б о р у л о в а н и е : монеты (3-5 шт.) одинакового достоинства, два термомет­
ра, пенопластовые стаканы с горячей и холодной водой (удельная теплоем­
кость воды с = 4200 ДжДкг- К)), весы, нитки.
9.6. Определите коэффициент трения скольжения дерева о ма­
териал, покрывающий рабочий стол.
О борулование:
две деревянные линейки разной длины.
Внимание! Наклонять стол ЗАПРЕЩЕНО!
9.7. Найдите отношение жесткостей двух пружин.
О борулование:
две пружины, лист бумаги.
образце из некоторого материала возник­
нет трещина, то при определенном механическом напряжении эта
трещина начнет расти вплоть до разрушения образца. Трещина
длины Ъ, которая при данной нагрузке еще не начинает расти,
называется критической длиной трещины.
9 .8 . Е
282
сли
в
плоском
Исследуйте зависимость критической длины трещины (разре­
за) в бумажной ленте от нагрузки. Разрез делайте поперек ленты
в ее середине.
О б о р у л о в а н и е : рулон бумаги шириной 10 см, динамометр, трубка металли­
ческая длиной 12 см, деревянный брусок размером 2 см х 2 см х 15 см, струб­
цина, капроновый шнур, кнопки, линейка, лезвие.
9.9. Найдите отношение диаметров булавок.
О борулование:
две линейки без делений, две булавки (или иголки), кусок
фольги.
9.10. Определите минимальную температуру, достижимую при
перемешивании поваренной соли со снегом (или мелко наколо­
тым льдом).
О б о р у л о в а н и е : два калориметра, весы с разновесами, калориметрическое
тело (на нитке) с известной удельной теплоемкостью ст, термометр лаборатор­
ный спиртовой, сосуд с водой, мензурка с делениями.
9.11. Определите плотность картофелины.
О б о р у л о в а н и е : картофелина средних размеров, банка с водой, цилиндр
измерительный, навески поваренной соли по 5 г, стеклянная палочка.
9.12. Определите отношение диаметров головки булавки и ее
длинной части.
О борулование:
булавка, кусок фольги, бумага белая формата А4.
9.13. Определите массу одного метра проволоки.
Внимание! Исследуемую проволоку запрещается выпрямлять.
О борулование:
кусок проволоки, линейка, гайка, сосуд с водой, нитки.
9.14. Исследуйте зависимость периода колебаний стержня, под­
вешенного на нитях к штативу, от расстояния h между центром
массы стержня и точкой его подвеса. Определите расстояние
h = h0, при котором период Т колебаний минимален.
Пр и ме ч а н и е . Стержень относительно точки подвеса располагает­
ся симметрично и совершает колебания в плоскости, проходящей че­
рез точку подвеса и концы стержня.
О б о р у л о в а н и е : однородный стержень, штатив, суровая нить, секундомер,
линейка, миллиметровая бумага.
9.15. Перекиньте нить через вал. К ее концам прикрепите грузы
массы тп и пг0. Увеличивая массу т, добейтесь равномерного сколь­
жения нити. Определите характер зависимости т от радиуса вала.
Повторите эксперимент для разного числа оборотов нити вокруг вала.
Опишите (качественно) зависимость т от угла ср охвата вала нитью.
Оборудование: три вала различного диаметра, нить, груз массы т 0, груз
массы т (пластиковая бутылка объемом 0,5 л, в которую можно наливать тре­
буемое количество воды).
9.16. Определите плотность соляного раствора.
О б о р у л о в а н и е : сосуды с дистиллированной водой и соляным раствором,
кусов пластилина, карандаш, линейка, нитки.
283
9.17. Определите массу т2 неизвестного груза.
О б о р у л о в а н и е : два груза (масса т , одного из которых известна), нитка,
миллиметровая бумага, кнопки.
9.18. Из куриных яиц можно собрать на шероховатом столе пи­
рамидку, которая будет устойчива, т.к. между скорлупками яиц
действует сила трения покоя, препятствующая их качению. Опре­
делите значение коэффициента трения покоя между скорлупой двух
куриных яиц. До окончания эксперимента яйца разбивать нельзя.
О б о р у л о в а н и е : линейка, вертикальный упор, салфетка, которая стелится
на лабораторный стол, угольник.
Л о п о л н и т е л ь н о е о б о р у л о в а н и е : два куриных яйца, сваренных вкрутую, раз­
меры и вес которых можно считать одинаковыми, хлеб, соль.
П р и м е ч а н и я .
1. Следует считать, что максимальная сила трения пропорциональна
силе нормального давления на скорлупу. Упор покрыт материалом с
высоким коэффициентом трения.
2. По окончании эксперимента дополнительное оборудование можно съесть.
9.19. Определите, на сколько микрон отличаются радиусы ще­
чек (рис. 1.9) выданной вам шпульки от швейной машинки.
О борулование:
шпулька от швейной машинки, линейка, три булавки, лист
бумаги.
щечки
Рис. 1.9
9.20. Определите отношение масс монет разного достоинства.
О борулование:
монетки двух достоинств (по 15-20 штук), воздушный ша­
рик, нитка, вода.
*9.21. Определите сопротивление резистора.
О б о р у л о в а н и е : источник тока, резистор известного сопротивления R v ре­
зистор неизвестного сопротивления R 2, стаканчик (стеклянный на 100 мл), тер­
мометр, часы (можно использовать свои наручные), миллиметровая бумага,
кусок пенопласта, сосуд с водой.
*9.22. Определите коэффициент трения бруска о стол.
О борулование:
брусок, линейка, штатив, нитки, гиря известной массы.
*9.23. Определите вес плоской фигуры.
О борулование:
плоская фигура, линейка, гирька, карандаш.
*9.24. Исследуйте зависимость скорости струи, вытекающей
из сосуда, от высоты уровня воды в этом сосуде.
О б о р у л о в а н и е : штатив с муфтой и лапкой; стеклянная бюретка со шкалой и
резиновой трубкой; пружинный зажим; винтовой зажим; секундомер; ворон­
ка; кювета; стакан с водой; лист миллиметровой бумаги.
284
*9.25. Определите температуру воды, при которой ее плотность
максимальна.
О б о р у л о в а н и е : стакан с водой при температуре t = 0° С; металлическая
подставка; термометр; ложечка; часы; маленький стакан.
*9.26. Определите силу разрыва Т нити.
О б о р у л о в а н и е : планка длиной / = 50 см; нить или тонкая проволока; линей­
ка; штатив; груз известной массы m (mg < Т).
*9.27. Определите коэффициент трения металлического цилин­
дра о поверхность стола.
О б ор улова н и е : два металлических цилиндра приблизительно одинаковой массы
(масса m более легкого цилиндра задана); линейка длины 40 - 50 см; динамометр.
*9.28. Исследуйте содержимое механического «черного ящика».
Определите характеристики твердого тела, заключенного в «ящике».
О б ор улова н и е : динамометр, линейка, миллиметровая бумага, «черный ящик» закрытая банка, частично заполненная водой, в которой находятся твердое тело
с прикрепленной к нему жесткой проволокой. Проволока выходит из банки
сквозь малое отверстие в крышке.
*9.29. Определите плотность и удельную теплоемкость неизве­
стного вам металла.
О б о р у л о в а н и е : калориметр, пластмассовый стакан, ванночка для проявки
фотографий, измерительный цилиндр (мензурка), термометр, нитки, 2 цилиндра
из неизвестного металла, сосуд с горячей (tr = 60° -70°) и холодной (tx = 10° -15°)
водой. Удельная теплоемкость воды св = 4200 Дж/(кг- К).
*9.30. Определите модуль Юнга стальной проволоки.
О б о р у л о в а н и е : штатив с двумя лапками для крепления оборудования; два
стальных стержня; стальная проволока (диаметром 0,26 мм); линейка; динамо­
метр; пластилин; булавка.
Пр и ме ч а н и е . Коэффициент жесткости проволоки зависит от моду­
ля Юнга и геометрических размеров проволоки следующим образом
где I - длина проволоки, a S - площадь ее поперечного сечения.
*9.31. Определите концентрацию поваренной соли в выданном
вам водном растворе.
О б о р у л о в а н и е : стеклянная банка объемом 0,5 л; сосуд с водным раствором
поваренной соли неизвестной концентрации; источник переменного тока с
регулируемым напряжением; амперметр; вольтметр; два электрода; соедини­
тельные провода; ключ; набор из 8 навесков поваренной соли; миллиметровая
бумага; емкость с пресной водой.
*9.32. Определите сопротивления милливольтметра и милли­
амперметра для двух диапазонов измерений.
О б о р у л о в а н и е : милливольтметр (50/250 мВ), миллиамперметр (5/50 мА), два
соединительных провода, медная и цинковая пластины, соленый огурец.
*9.33. Определите плотность тела.
О б о р у л о в а н и е : тело неправильной формы, металлический стержень, линей­
ка, штатив, сосуд с водой, нить.
285
*9.34. Определите сопротивления резисторов Rx, ..., R7, ампер­
метра и вольтметра.
О б о р у л о в а н и е : батарейка, вольтметр, амперметр, соединительные прово­
да, переключатель, резисторы: R , - R 7.
*9.35. Определите коэффициент жесткости пружины.
О б о р у л о в а н и е : пружина;
линейка; лист миллиметровой бумаги; брусок; груз
массой 100 г.
Внимание! Не подвешивайте груз на пружине, так как при
этом вы превысите предел упругой деформации пружины.
*9.36. Определите коэффициент трения скольжения спичечной
головки о шероховатую поверхность спичечного коробка.
О б о р уло ва н и е :
коробка со спичками, динамометр, груз, лист бумаги, линей­
ка, нить.
*9.37. Деталь волоконно-оптического соединителя представляет
собой стеклянный цилиндр (показатель преломления п = 1,51), в
котором имеется два круглых цилиндрических канала. Торцы де­
тали заклеены. Определите расстояние между каналами.
О борулование:
деталь соединителя, миллиметровая бумага, лупа.
класс
10.1. Смешивая снег с солью, определите концентрацию соли,
необходимую для получения минимальной температуры смеси.
О б о р у л о в а н и е : калориметр, термометр, весы с разновесами, снег или ко­
лотый лед, поваренная соль.
10.2. Определите длину куска металлической проволоки.
источник тока, амперметр, вольтметр, ключ, соединитель­
ные провода, реостат, кусок металлической проволоки.
О борулование:
П р и м е ч а н и е . Металлическая проволока такая же, как и на рео­
стате. Ее удельное сопротивление р задано.
10.3. а) Из двух линз соберите зрительную трубу, имеющую
максимальное угловое увеличение Га.
Определите величину этого увеличения Га.
б) Поместите оставшуюся свободной линзу внутри зрительной
трубы вблизи фокальной плоскости объектива. Опишите, каким
образом изменились оптические свойства зрительной трубы, и
объясните, почему это произошло.
О борулование:
три собирающие линзы, линейка.
10.4. Определите среднее значение обратного тока через диод.
О борулование: диод, источник тока, неградуированный микроамперметр, кон­
денсатор известной емкости, соединительные провода, переключатель, секундомер.
10.5. Определите зависимость коэффициента поглощения све­
286
та смесью молока с водой от объемного отношения последних.
Постройте соответствующий график.
О б о р у л о в а н и е : молоко, пипетка, источник тока, два переключателя, соеди­
нительные провода, миллиметровая бумага, черная бумага, ножницы. В комп­
лект оборудования также входят закрепленные на подставках: две лампочки,
две собирающие линзы, два матовых стекла, экран, стеклянная кювета с водой.
Пр и ме ч а н и е . Коэффициент поглощения света а кюветой с мут­
ным раствором равен отношению световых потоков на выходе и на
входе кюветы.
10.6. Определите коэффициент поверхностного натяжения ах
неизвестной жидкости.
О б о р у л о в а н и е : весы без разновесов, пипетка, два стакана, вода, неизвест­
ная жидкость, материал для уравновешивания весов (песок или лист бумаги).
П р и м е ч а н и е . Коэффициент поверхностного натяжения воды при
18 °С равен а в = 73,1 • 10~3 Н /м .
10.7. Исследуйте зависимость прогиба деревянной рейки пря­
моугольного сечения от:
1 ) силы F, действующей на свободный конец рейки;
2) длины L незакрепленной части рейки;
3) толщины h рейки.
две деревянные рейки одинаковой ширины Ь , но разной толдинамометр, струбцина, капроновый шнур, миллиметровая бумага.
О борулование:
шины
h,
10.8. Определите коэффициент поверхностного натяжения а
неизвестной жидкости.
О б о р у л о в а н и е : пластинка, покрытая бумагой, пропитанной парафином,
мерная мензурка, пипетка, сосуд с жидкостью, миллиметровая бумага.
10.9. Крутильный маятник представляет собой подвешенную
горизонтально на проволоке спицу с надетыми на нее симметрич­
но относительно точки подвеса грузами. Исследуйте зависимость
периода колебаний Т такого маятника от расстояния L между
грузами и осью вращения.
О борулование:
кусок тонкой проволоки, вязальная спица, два грузика, часы,
линейка, штатив.
10.10. Исследуйте, выполняется ли закон сухого трения (F^ = \ iN )
для бруска, обтянутого наждачной бумагой.
О б о р у л о в а н и е : трибометр, деревянный брусок, наждачная бумага, динамо­
метр, набор грузов, кнопки канцелярские 10 шт.
10.11. Определите сопротивление Rn
нити накала лампочки, включенной в цепь,
схема которой изображена на рисунке 1 . 1 0 .
О б о р у л о в а н и е : источник тока, выходное на­
пряжение U которого постоянно (6 В), лампочка
от карманного фонаря, два резистора /?1 и /?2 с
известными сопротивлениями, магазин сопро­
тивлений /?3, двухпозиционный переключатель,
соединительные провода.
287
Внимание! Подключение лампочки непосредственно к источ­
нику тока приводит к ее перегоранию. В этом случае новая лам­
почка не выдается, а работа считается невыполненной.
10.12. Определите давление, которое можно создать, сжимая
руками пластиковую бутылку с водой.
О б о р у л о в а н и е : пластиковая бутылка с водой, пробирка, миллиметровая
бумага, скотч, ножницы, барометр (один на аудиторию).
10.13. Определите удельную теплоту парообразования L воды.
Принять удельную теплоемкость воды св = 4200 Дж/ (кг*К).
О б о р у л о в а н и е : стеклянный и пенопластовый стаканы, вода, кипятильник,
термометр, секундомер, линейка.
10.14. Измерьте температуру куска льда.
О борулование:
кусок льда (выдается по требованию), спиртовой термометр
с закрашенной шкалой и частично закрашенным капилляром, секундомер, пе­
нопластовый стакан, миллиметровая бумага.
10.15. Исследуйте функциональную зависимость скорости вы­
текания жидкости из сосуда от уровня этой жидкости в нем.
Изготовьте устройство, скорость истечения жидкости из кото­
рого в течение примерно 30 с оставалась бы постоянной.
О б о р у л о в а н и е : двухлитровая пластиковая бутылка с пробкой, шило, две
пластмассовые трубочки (для коктейля), пластилин, подставка для бутылки, ли­
нейка, сосуд для стока воды.
10.16. В «черном ящике», имеющем 4 вывода, собрана электри­
ческая цепь, состоящая из нескольких резисторов. Известно, что
два вывода «черного ящика» соединены внутри него накоротко.
1. Какое минимальное количество измерений необходимо вы­
полнить, чтобы найти закороченные выводы? Опишите методику
поиска короткозамкнутых выводов.
Внимание! Клеммы батарейки нельзя накоротко соединять
между собой, поскольку ее внутреннее сопротивление меньше
1 Ом. Ваша методика должна учитывать это обстоятельство.
2. Каково минимальное количество резисторов в схеме «черно­
го ящика»? Найдите их сопротивления.
О борулование:
«черный яшик», батарейка на 4,5 В, вольтметр.
10.17. Изучите зависимость прочности нити на разрыв от ее
длины (в диапазоне длин от 2 м до 5 см) двумя способами.
Первый способ (расточительный): нить заранее разрезается
на куски разной длины и определяется их прочность.
Второй способ (экономный): берется кусок нити некоторой мак­
симальной длины, находится его прочность, затем более длинный
из получившихся кусков используется для определения прочнос­
ти при длине, равной половине максимальной и т.д.
Объясните различия в результатах (если они есть), получен­
ных этими двумя способами.
288
О б о р у л о в а н и е : нить, штатив, ножницы, линейка, динамометр (бытовые пру­
жинные весы на 10 кг).
10.18. Положите брусок на деревянную пластину, расположенную
горизонтально, прикрепите к нему через нить динамометр и начните
очень медленно двигать динамометр в горизонтальном направлении.
В некоторый момент брусок срывается с места и, проскользив некото­
рое расстояние, останавливается, причем нить остается натянутой.
Изучите и объясните возникающее явление (срыв бруска).
По результатам этого эксперимента определите коэффициент
трения скольжения бруска по поверхности пластины.
О б о р у л о в а н и е : деревянный брусок, динамометр, набор грузов (по 100 г),
деревянная пластина, линейка, нить, миллиметровая бумага.
10.19. Определите отношение масс грузов двух типов.
О борулование:
грузы 2 типов (10-15 штук каждого типа), магнит.
10.20. Определите давление воздуха в воздушном шарике.
О б о р у л о в а н и е : воздушный шарик, кусок органического стекла, набор гру­
зов известной массы, лист миллиметровой бумаги, фломастер.
*10.21. Определите удельное сопротивление куска нихромовой
проволоки.
О б о р уло ва н и е : резистор сопротивлением R0= 30 Ом, кусок нихромовой про­
волоки длиной примерно 30 см, батарейка, миллиамперметр, линейка, карандаш.
*10.22. Определите емкости двух конденсаторов Сг и С2.
О б о р у л о в а н и е : батарейка, микроамперметр, конденсатор известной емко­
сти С0 = 2 мкФ, два конденсатора неизвестной емкости, резистор большого
(~ 1 МОм) сопротивления.
Внимание! Категорически запрещается подсоединять электро­
измерительные приборы непосредственно к источнику тока.
*10.23. Соберите установку в соответ- А
В
ствии со схемой (рис. 2 . 1 0 ): верхняя нить
маятника закреплена в точках А и В, ле­
жащих на одном уровне; точка С крепле­
ния нижней нити находится на некото­
ром расстоянии AL от линии АВ.
Определите отношение х = A L / L .
р и с 2 .1 0
О б о р у л о в а н и е : две нити, груз с «ушком», план­
ка с двумя вбитыми гвоздиками, штатив с лапкой для крепления планки.
* 10.24. Измерьте двумя способами атмосферное давление.
О б о р у л о в а н и е : стеклянная трубка с внутренним диаметром 1,2 мм, про­
бирка, линейка, пластилин, стакан с водой.
*10.25. Канцелярская кнопка скользит по вогнутой поверхности
горизонтально расположенного цилиндрического желоба, оклеенно­
го с внутренней стороны миллиметровой бумагой. Радиус желоба
равен R (рис. 3.10). Определите коэффициент трения покоя и коэф­
фициент трения скольжения железа по бумаге.
289
Точное решение этой задачи с помо­
щью одних расчетов представляет боль­
шие математические трудности, поэто­
му поставьте эксперимент так, чтобы
свести к минимуму систематические по­
грешности, возникающие при прибли­
женном решении.
О б о р у л о в а н и е : полуцилиндр, канцелярская
кнопка, линейка, транспортир (не обязательно),
карандаш.
П р и м е ч а н и е . На миллиметровой бумаге полуцилиндра можно про­
водить вспомогательные линии.
*10.26. Исследуйте зависимость ускорения шарика, движуще­
гося по наклонному желобу, от угла наклона желоба к горизонту.
О б о р у л о в а н и е : штатив с муфтой и лапкой; желоб; шарик; рулетка; копиро­
вальная бумага; отвес (нить с грузом); бумага; кнопки.
*10.27. Определите давление насыщенного водяного пара, на­
ходящегося при температуре t x = 60 °С, если известны атмосфер­
ное давление и давление насыщенного пара при комнатной тем­
пературе t2.
О б о р у л о в а н и е : сосуд с горячей водой; сосуд с водой при комнатной темпе­
ратуре; пробирка; пробка с отверстием; термометр; линейка.
*10.28. Найдите магнитную индукцию поля магнита на его оси
на расстоянии I = 30 см от его центральной (средней) линии, если
известно, что в Орле (город, где проходила данная олимпиада)
магнитная индукция поля Земли В ~ 4,1*10 -5 Тл, а вектор В
направлен под углом ср ~ 65° к горизонту.
О б о р у л о в а н и е : магнит в виде тонкого цилиндра длиной 40 мм; линейка дли­
ной 40 - 50 см; компас.
*10.29. 1. Определите напряжение зажигания неоновой лампы
U3аж, используя низковольтный источник тока 4-9 В.
2. Оцените наименьшую абсолютную погрешность измерения
напряжения зажигания неоновой лампы.
О б о р у л о в а н и е : неоновая лампа (МН-4 или др.); соединительные провода;
источник постоянного тока 4-9 В; конденсаторы емкостью 0,2-1,0 мкФ (15-20
штук).
*10.30. Экспериментально исследуйте зависимость удлинения мяг­
кой пружины под действием ее собственного веса от числа витков
пружины. Дайте теоретическое объяснение найденной зависимости.
Определите коэффициент упругости и массу пружины.
Исследуйте зависимость периода колебаний пружины от ее чис­
ла витков.
О б о р у л о в а н и е : мягкая пружина, штатив с лапкой, рулетка, часы с секунд­
ной стрелкой, шарик из пластилина массой т = 10 г, миллиметровая бумага.
290
*10.31. Определите ЭДС и внутреннее сопротивление источника
тока. Вычислите емкость двух электролитических конденсаторов.
О б о р у л о в а н и е : источник постоянного тока, ЭАС и внутреннее сопротивле­
ние г которого неизвестны; вольтметр V с известным внутренним сопротивле­
нием R v; ключ; резистор с заданным сопротивлением R ; два конденсатора, ем­
кости С у и С2 которых неизвестны; секундомер; миллиметровая бумага; полу­
логарифмическая бумага.
*10.32. Найдите расстояние Н между двумя тонкими стекла­
ми, закрепленными в открытом с одной стороны ящике.
О борулование:
яшик с двумя стеклами; линейка; карандаш; лист бумаги.
*10.33. Определите мощность электрокипятильника и количе­
ство энергии, затраченной на нагревание воды от комнатной тем­
пературы до температуры 85 °С. Оцените количество теплоты, пе­
реданной окружающему воздуху в процессе нагревания воды.
О б о р уло ва н и е : источник тока, термометр со шкалой до 100 °С, стеклянная
банка для воды объемом 0,5 л, кипятильник, часы, миллиметровая бумага, штатив.
П р и м е ч а н и е . Удельные теплоемкость стекла и воды принять неза­
висящ им и от тем пературы и равными соответственно 67 0 и
4200 Д ж /(к г • К). Масса банки 250 г.
*10.34. Определите схему электрической цепи, находящейся
внутри «черного ящика» с тремя выводами. Постройте вольтамперные характеристики (ВАХ) элементов электрической цепи «чер­
ного ящика». Оцените параметры этих элементов.
О б о р у л о в а н и е : «черный яшик», плата на пружинах для монтирования схем,
переменный резистор на 1 кОм, вольтметр (6 В), миллиамперметр (5/50 мА),
источник тока (батарейка на 1,5 В).
*10.35. Определите коэффициент трения графитового стержня
карандаша о лист бумаги.
О б о р у л о в а н и е : карандаш, лист бумаги, линейка, прямоугольный треуголь­
ник, инструмент для заточки карандаша.
*10.36. Определите удельную теплоемкость металлического образца.
О б о р у л о в а н и е : два одинаковых по размерам металлических образна: один
из них алюминиевый, термометр или мультиметр с термопарой, секундомер,
сосуд с горячей водой, штатив, весы, салфетка, лист миллиметровой бумаги.
П р и м е ч а н и е . Удельная теплоемкость алюминия: с = 896 Д ж/(кг • К).
*10.37. Определите максимально достижимую с предлагаемым
оборудованием температуру вольфрамовой нити накала лампоч­
ки. Считать, что температурный коэффициент сопротивления воль­
фрама ос = 0,0048 К-1.
О б о р у л о в а н и е : источник постоянного тока с неизвестной ЭАС и неизвест­
ным внутренним сопротивлением; миллиамперметр с известным внутренним
сопротивлением; два резистора с известными сопротивлениями, одно из кото­
рых Ry сравнимо с сопротивлением миллиамперметра, а другое R 2 во много раз
его превосходит; лампа от карманного фонаря; соединительные провода, пе­
реключатель.
291
*10.38. Определите коэффициент по­
верхностного натяж ения жидкости
(плотность жидкости р = 1082 кг/м3).
О б о р у л о в а н и е : капилляр, емкость с жидко­
стью, шприи, миллиметровая бумага.
*10.39. Исследуйте зависимость по­
ложения равновесия тела (эллиптического цилиндра) от коорди­
нат груза на его боковой поверхности (рис. 4.10).
Рис. 4.10
О б о р у л о в а н и е : тело, составной груз (канцелярская кнопка с крупной плас­
тиковой головкой и гайка, в отверстие которой вставлена резина).
класс
11.1. Определите плотность вещества, из которого изготовлен груз.
О борулование:
динамометр, груз, секундомер.
11.2. Найдите плотность деревянного стержня.
О б о р у л о в а н и е : сосуд
с водой, нить, штатив с лапкой, деревянный стержень,
линейка.
11.3. Определите расстояние между витками нити накала лам­
почки от карманного фонарика, не повреждая ее.
О б о р у л о в а н и е : лампочка на подставке, источник тока, соединительные про­
вода, фольга, игла, лист белой бумаги, булавка, рулетка.
11.4. Определите внутреннее сопротивление гальванометра.
О борулование:
гальванометр, резистор с известным сопротивлением, рео­
хорд, источник тока, соединительные провода, переключатель.
11.5. Определите показатель преломления стекла, из которого
изготовлена линза, и радиусы кривизны ее поверхностей.
О б о р у л о в а н и е : двояковыпуклая линза, трехлитровая банка с водой (пока­
затель преломления света в воде пв = 4/3), источник света, штатив, линейка.
П р и м е ч а н и е . Оптическая сила сферической поверхности радиуса
г, по одну сторону которой находится среда с показателем преломле­
ния nlf а п о другую - среда с показателем п 2, равна
2) = п2 ~ п\
г
Этой оптической силе D соответствует фокусное расстояние Fi9 изме­
ренное со стороны среды с показателем преломления света ni9 и равное
11.6.
Снимите ВАХ нелинейного полупроводникового прибора.
О борулование:
нелинейный полупроводниковый прибор, источник тока,
цифровой мультиметр, магазин сопротивлений, соединительные провода, мил­
лиметровая бумага.
292
. Искомая зависимость может содержать участок, на
котором напряжение убывает с ростом силы тока. Эту особенность
следует учесть в предлагаемом способе измерения.
П р и м е ч а н и е
11.7. Исследуйте зависимость силы сопротивления от скорости
установившегося движения (падения) бумажного конуса.
О борулование:
десять бумажных конусов, рулетка длиной 2 м, пластилин.
11.8. Положите на стол дощечку. Поочередно ставьте на нее
бруски длинной гранью вертикально. Вытягивайте дощечку изпод бруска. Изучите поведение брусков при различных значени­
ях силы, приложенной к дощечке. Результаты объясните.
О б о р у л о в а н и е : деревянная
дошечка, два прямоугольных деревянных бруска.
11.9. Найдите показатель преломления жидкости.
О б о р у л о в а н и е : лампочка от карманного фонарика, источник тока, соеди­
нительные провода, стеклянная банка цилиндрической формы с жидкостью,
собирающая линза, белый экран, линейка.
11.10. Определите массу М куска пластилина.
О борулование:
кусок пластилина, карандаш (круглый), линейка, кристалли­
затор (или банка с широким горлом), заполненный водой, нить, штатив с лапкой.
11.11. Снимите вольтамперную характеристику светодиода.
О борулование:
источник тока, выходное напряжение которого постоянно
(3 В), 2 светодиода, 2 переменных резистора, два двухпозииионных переключа­
теля, соединительные провода.
11.12. Определите:
1 ) длину волны излучения лазера;
2 ) содержимое оптического «черного ящика» (разбирать ящик
запрещено);
3) характерные параметры содержимого черного ящика.
Внимание! Не направляйте излучение лазера непосредственно
в глаза. Вы можете повредить сетчатку глаза.
О б о р у л о в а н и е : лазер, оптический «черный ящик», рулетка, штангенциркуль,
лист миллиметровой бумаги, скотч, пришепка, пластилин.
11.13. Определите:
1 ) схему «черного ящика»;
2 ) параметры элементов черного ящика.
Внимание! Запрещается подключать схему «черного ящика» к ис­
точнику тока без дополнительного резистора. Мультиметр можно ис­
пользовать только в режиме вольтметра постоянного и переменного тока.
У к а з а н и е . В «черном ящике» находятся ровно три элемента, со­
единенные по одной из приведенных на рисунке 1.11 схем (элементы
схемы - не обязательно резисторы).
О б о р у л о в а н и е : «черный яшик», источник постоянного тока, источник пе­
ременного тока (звуковой генератор), резистор с известным сопротивлением
R , соединительные провода.
11.14. Если полоска картона длиной L установлена вертикаль­
но и вдоль нее приложена сверху вниз некоторая сила Е, то при
293
А 0 -\
А 0 -Г
А0
У -0
D
■0
D
Р
4
Рис. 1.11
увеличении этой силы полоска вначале остается вертикальной, а
затем теряет устойчивость, прогибаясь в какую-нибудь сторону.
Знаменитым математиком Леонардом Эйлером в ходе его иссле­
дований была построена теория этого явления. По результатам
Эйлера F ~ L~n, где п - натуральное число. Экспериментальным
путем определите значение п.
О б о р у л о в а н и е : диет картона, ножницы, линейка, штатив с лапкой, набор
грузов или динамометр, нитки.
11.15. На краю доски лежит линейка. Ее конец выдвинут за
край стола на расстояние 1-2 см. Груз, подвешенный на нити
заданной длины L, ударяет по линейке так, что она начинает сколь­
зить по поверхности доски. Груз подвешен так, что в момент уда­
ра нить вертикальна. Постройте график зависимости доли энер­
гии, теряемой системой, в зависимости от угла ср отклонения гру­
за. Движение нити и линейки происходят в одной плоскости.
О б о р у л о в а н и е : штатив с лапкой, две линейки, груз, нить, доска длиной 60 80 см, лист бумаги формата АЗ.
11.16. Оптическим методом определите положение линзы JI
внутри цилиндра (рис. 2.11). Найдите ее фокусное расстояние F.
Разбирать цилиндр нельзя.
О б о р у л о в а н и е : цилиндр с укрепленной внутри собираюшей линзой, линей­
ка, две булавки, две полоски картона, лист бумаги.
Л
J--
-
< г
Рис. 2.11. Вил иилинлра с линзой в разрезе
294
11.17. Прямыми измерениями определите площадь S0 отвер­
стия в стенке бутылки. Предполагая справедливой формулу Тор­
ричелли, определите площадь сечения струи Sc вблизи отверстия,
проделанного в стенке бутылки. Объясните отличие отношения
S 0/S c от единицы.
О б о р у л о в а н и е : пластиковая бутылка объемом 1,5 л с небольшим круглым
отверстием в вертикальной стенке, лоток, миллиметровая бумага, секундомер,
ножницы, стакан, вода, скотч.
11.18. Исследуйте зависимость силы сопротивления воздуха F,
испытываемой при движении бумажным конусом, от радиуса его
основания R. Считайте известным, что эта сила пропорциональ­
ная квадрату скорости движения v: F = f(R)v2.
Постройте график. Предложите аналитическое выражение для
f(R), описывающее эту зависимость.
О б о р у л о в а н и е : 8-10 одинаковых конусов, линейка, ножницы, миллиметро­
вая бумага, рулетка длиной 2 м.
11.19. Проделайте следующий опыт: отведите один из шаров
на небольшой угол от положения равновесия (рис. 3.11) и отпус­
тите его. После нескольких столкновений шары
начнут двигаться как единое целое. Определи­
те, какую долю энергии, первоначально сообщен­
ной системе, она будет иметь к этому моменту.
С помощью липкой ленты измените степень уп­
ругости сталкивающихся поверхностей шаров.
Исследуйте, как изменяется при этом поведе­
ние системы. Объясните результат.
О б о р у л о в а н и е : два одинаковых шара, подвешенных на
бифилярных подвесах, линейка, липкая лента.
Рис. 3.11
* 11 .20 .
Задание 1:
1.1. Определите статическим способом массу груза № 1 (сравните
с результатом, полученным при измерении массы этого груза дина­
мическим способом; см. задание 2 ).
1.2. Постройте график зависимости амплитуды колебаний каж­
дого из грузов от числа полных колебаний: а) в воздухе; б) в воде.
1.3. Определите относительное изменение энергии за один пе­
риод колебаний каждого из грузов в воздухе и в воде.
Задание 2:
2 . 1 . Определите массу груза № 1 динамическим способом.
2.2. Известно, что при колебаниях груза в жидкости вместе с
грузом колеблется и часть жидкости. Определите относительное
«приращение массы» каждого груза при колебаниях в воде по
сравнению с колебаниями в воздухе.
295
ль / в
D
О
О б о р у л о в а н и е : пружина, груз №1, масса ко­
торого неизвестна, цилиндрический груз № 2,
масса которого известна, секундомер, банка с
водой, линейка, пластилин, нитки, миллиметро­
вая бумага.
*11.21. Соберите установку в соответ­
ствии со схемой (рис. 4.11). Верхняя нить
двойного маятника закреплена в точках А
Рис. 4.11
и В, лежащих на одном уровне; точки С и
D крепления нижних нитей находятся на некотором расстоянии AL от
линии АВ. На расстоянии L от этой же линии к нижним нитям крепят­
ся грузы.
Ответьте на следующие вопросы:
а) Сколько типов нормальных колебаний (мод) имеет двойной
маятник?
б) Как возбудить каждую из этих мод?
ш ш ш ш ш ш ш т
П р и м е ч а н и е . Модами, или нормальными колебаниями, называ­
ются такие движения грузов, при которых они совершают гармони­
ческие движения одинаковой частоты.
Задание 1. Расположите моды в порядке возрастания их часто­
ты и опишите движение грузов (синфазное или противофазное, в
какой плоскости происходят колебания).
Задание 2. Определите отношение (3 = AL/L.
О б о р у л о в а н и е : нитки, два одинаковых груза с ушком, планка с двумя вби­
тыми гвоздиками, штатив с лапкой для крепления планки.
*11.22. Определите электрическую схему цепи, содержащейся
в «черном ящике», и параметры ее элементов.
О б о р у л о в а н и е : «черный яшик» (четырехполюсник) (см. рис. 5.11), генера­
тор электрических колебаний, осциллограф, резистор известного сопротивле­
ния, проводники.
*11.23. Через металлический стержень перекинута нить, к од­
ному из концов которой прикреплен груз. Установите зависимость
между силой Т 9 удерживающей груз, и углом охвата ср стержня
нитью (рис. 6.11). По полученным данным определите коэффици­
ент трения.
3
1
О
-О
4
2
О
-О
Рис. 5.11
296
Рис. 6.11
О б о р у л о в а н и е : штатив с креплением, металлический стержень
(лапка), груз, нить, динамометр, миллиметровая бумага.
*11.24. Электрическая цепь, состоящая из последо­
вательно соединенных «черного ящика» и конденсато­
ра, подсоединена к источнику переменного напряжения.
Определите мощность, потребляемую «черным ящиком».
Рис. 7.11
«черный яшик»; конденсатор; проводе вилкой;
источник переменного напряжения; ключ; мультиметр для измерения перемен­
ных напряжений до 25 В (200 В) и токов до 50 мА (20, 200 мА).
О борулование:
*11.25. С помощью нитей подвесьте груз к перекладине, установ­
ленной на горизонтальной платформе так, как показано на рис. 7.11.
Рассмотрите три возможных случая.
1. Платформа неподвижна. Укажите все нормальные колеба­
ния маятника. В системе без потерь нормальными называются
колебания, соответствующие разным степеням свободы, амплиту­
да которых не меняется. При этом некоторые из частот могут
совпадать.
2. Платформа вращается. Попытайтесь обнаружить нормаль­
ные колебания маятника.
3. Представьте теперь, что вначале, когда платформа была не­
подвижна, некто возбудил одно из нормальных колебаний, а затем
начал вращать платформу и через некоторое время остановил ее.
Сможете ли вы определить по результирующему движению маят­
ника, какое из нормальных колебаний было возбуждено вначале?
Определите экспериментально условия, которым должно удов­
летворять движение платформы (от начала ее вращения до оста­
новки), чтобы это нормальное колебание было возможно.
Решите ту же задачу для случая, когда платформу приводят во
вращение, но не останавливают.
О б о р у л о в а н и е : горизонтальная платформа, способная свободно вращать­
ся вокруг вертикальной оси и снабженная горизонтальной перекладиной на
двух вертикальных стойках; нить; груз; линейка.
*11.26. 1. Найдите вывод базы транзистора.
2. Найдите выводы эмиттера и коллектора.
3. Определите тип проводимости транзистора (р -п -р или п-р-п).
О б о р у л о в а н и е : миллиамперметр на 50 + 100 мА; медная и цинковая пластин­
ки; соединительные провода, биполярный транзистор без маркировки; лимон.
*11.27. Определите: а) сопротивление вольтметра Rv и резисто­
ра R; б) ЭДС источника тока; в) сопротивление участка цепи, со­
стоящего из последовательно соединенных миллиамперметра и
источника тока.
О б о р у л о в а н и е : миллиамперметр (5, 50 или 200 мА); источник постоянного
тока напряжением - 4,5 В, вольтметр (5, 10 В), резистор неизвестного сопро­
тивления, соединительные провода.
297
Внимание! 1. Сопротивление миллиамперметра много меньше
внутреннего сопротивления источника тока. 2. Запрещается вклю­
чать параллельно источнику тока миллиамперметр без резистора.
В противном случае выход из строя миллиамперметра неизбежен.
*11.28. Снимите вольт-амперную характеристику «черного ящи­
ка». Начертите схему наиболее простой электрической цепи, удов­
летворяющая такой вольт-апмерной характеристике. Определите
основные параметры элементов, входящих в выбранную схему.
О б о р у л о в а н и е : аккумулятор; вольтметр на 6 В; амперметр на 2 А; реостат
на 6 Ом; соединительные провода; ключ; миллиметровая бумага; «черный ящик»
с двумя выводами (в «черном ящике» могут находиться резисторы, конденсато­
ры, катушки индуктивности, лампочки, диоды, источники тока).
Внимание! Во избежание перегорания приборов не оставляйте
надолго включенной цепь при силе тока больше 1 А.
*11.29. Определите: 1) фокусное расстояние; 2) радиусы кри­
визны поверхностей; 3) показатель преломления стекла собираю­
щей и рассеивающей линз.
О б о р у л о в а н и е : вогнуто-выпуклая линза и двояко-вогнутая линза на под­
ставках; рулетка; экран; лампочка на подставке; аккумулятор; ключ; соедини­
тельные провода.
*11.30. Определите сопротивление R резистора.
Рассчитайте, при каком сопротивлении R x известного резисто­
ра получается наибольшая точность измерений.
О б о р у л о в а н и е : резистор, магазин сопротивлений, переключатель, соеди­
нительные провода, осциллограф.
П р и м е ч а н и я . 1. В качестве источника тока следует использовать
встроенный в осциллограф генератор пилообразного напряжения
(ГПН). Выходные клеммы ГПН находятся на передней панели осцил­
лографа и обозначены транспарантом «выход X».
2. На рабочем столе имеется инструкция по пользованию ос­
циллографом и описание работы ГПН.
*11.31. Определите толщину стеклянных пластинок, собран­
ных в пакет, не открывая обертку его торцов.
О б о р у л о в а н и е : бумага, линейка, карандаш, пакет стеклянных пластин с оди­
наковым показателем преломления.
*11.32. Определите электрическую схему цепи «черного ящика»,
состоящую из трех элементов. Найдите параметры этих элементов.
О б о р у л о в а н и е : «черный яшик», миллиамперметр переменного тока (50 мА),
звуковой генератор, осциллограф, соединительные провода, миллиметровая
бумага.
*11.33. Определите коэффициент трения ц дерева по дереву
несколькими способами.
О б о р у л о в а н и е : штангенциркуль, деревянная катушка из-под ниток, дере­
вянный брусок, нить, булавка.
298
*11.34. Определите длину волны излучения полупроводнико­
вого лазера и период отражательной дифракционной решетки.
О б о р у л о в а н и е : полупроводниковый лазер, два бруска, линейка, экран, алю­
миниевая фольга, две швейные иглы, стеклянная пластинка, пластилин, часть
сектора лазерного диска (дифракционная решетка), ластик, лист миллиметро­
вой бумаги.
*11.35. Внутри черного ящика собрана цепь из последователь­
но соединенных элементов. Определите, из каких элементов со­
стоит цепь, в какой последовательности они соединены и найдите
их параметры.
О б о р у л о в а н и е : черный ящик; источник переменного тока с неизвестным
напряжением и частотой 50 Ги; резистор с известным сопротивлением; осцил­
лограф; соединительные провода.
П р и м е ч а н и е . С каждого соединения схемы сделан вывод на соот­
ветствующую клемму ящика. Элементы цепи могут быть неидеаль­
ными.
*11.36, Электрическая схема в черном ящике содержит 3 оди­
наковых резистора и два диода. Определите схему соединения
элементов в черном ящике и сопротивление резисторов.
О б ор улова н и е : черный
яшик, мультиметр, батарейка, соединительные провода.
П р и м е ч а н и е . Батарейку можно подключать только к выводам №
1 и № 2 черного ящика; емкость батарейки ограничена, поэтому при
каждом измерении ее необходимо подключать только кратковремен­
но.
*11.37. Оптический световод состоит из цилиндрической серд­
цевины и оболочки, сделанных из стекол с различными показате­
лями преломления п, лежащем в диапазоне 1,5 + 1,7. Показатель
преломления одного из стекол равен 1,512. Определите показа­
тель преломления другого стекла.
О борулование:
световод, лазер, миллиметровая бумага.
Решения заданий
экспериментального тура
класс
9.1. Рекомендации для организаторов. Нить не должна вы­
держивать вес тела.
Б качестве тела неправильной формы следует взять шта­
тив, имеющий три ножки. К одной из ножек прикрепите струб­
цину (рис. 1).
Охватим нитью нижнюю часть стойки штатива. Соединим кон­
цы нити и потянем за них так, чтобы тело начало скользить.
Вертикальная плоскость, в которой лежит
нить, проходит через центр масс тела.
Сменим точку приложения силы и повто­
рим опыт.
Перевернем штатив на бок и еще раз по­
вторим опыт.
Центр масс тела лежит в точке пересечеРис. 1. Вид сверху Ния трех плоскостей.
9.2. Поместим на лист миллиметровой бумаги гайку, которая
через нить связана с динамометром. Измерим расстояние I между
свободным полюсом магнита и краем металлической перемычки,
соединенной с другим полюсом. Подведем магнит с перемычкой
под лист миллиметровой бумаги. Для различных I снимем зави­
симость силы F, действующей со стороны динамометра на гайку,
от расстояния L между гайкой и серединой зазора I.
Определим силу трения Бтр между гайкой и бумагой. Искомая
сила FM= F - FTp.
Из анализа экспериментальных данных получим
F -I.
9.3.
Погружаем в сосуд с водой кусок пластилина и измеряем
линейкой изменение уровня hx жидкости в сосуде. Изготавливаем
из пластилина «кораблик» и пускаем его плавать в сосуде с во­
дой. Вновь измеряем изменение уровня h2 жидкости. Плотность
пластилина находим по формуле
тп
рS h 2
Ih
Рпл
300
9.4. Р е к о м е н д а ц и и д л я о р га н и з а т о р о в .
1) Бумажные листы следует брать из одной
пачки; 2) максимальная ширина (диаметр)
разновесов не должна превышать 2 см.
Согнем из бумаги конструкцию, изоб­
раженную на рис. 2. Ширина «рабочей»
части моста должна быть чуть больше ди­
аметра разновесов. В этом случае стенки
нагруженного моста прижмутся к разновесам и конструкция бу­
дет устойчива. Поочередно выставляя на середину моста разнове­
сы, определяем максимально допустимую массу груза. Другие кон­
струкции моста разрушаются при меньшей нагрузке.
9.5. Полезно провести предварительный эксперимент по оценке
времени охлаждения горячей воды в стакане на 5-7 градусов. Вре­
мя основного эксперимента должно быть в несколько раз меньше.
Для выполнения основного эксперимента обвяжем каждую из мо­
нет ниткой, оставив «поводок» длиной 10-15 см. Поместим с помо­
щью поводка монеты в стакан с холодной водой и после того, как
температура установится (скажем, на уровне Тх), перенесем за повод­
ки монеты в стакан с горячей водой (ее начальная температура ТГ).
Запишем уравнение теплового баланса:
NCt(TTl - Тх) = тгсул(Тг - Тт1),
(1)
где Тг1 - установившаяся температура воды и монет, Сх - тепло­
емкость монеты, N - количество монет, тг - масса горячей воды.
Перенесем монеты в стакан с холодной водой. Выждем некото­
рое время. Измерим новое значение установившейся температу­
ры Тх1. Вновь запишем уравнение теплового баланса:
ЛГСхСГп —Тх1) — тхсуд(Тх1 —Гх),
(2)
где тпх - масса холодной воды.
Совершим аналогичный цикл с переносом монет еще раз. За­
пишем соответствующие уравнения (3) и (4) теплового баланса.
Решая систему уравнений (1)-(4), получим
_ суд т т( Т т —Т г2) —тпх( Т х2 ~ 7^)
q
1
N
Гх 2 - Г х
П р и м е ч а н и е . Для повышения точности измерений рекомендуется
наливать воды в стакан равно столько, сколько нужно, для того что­
бы она полностью покрыла опущенные в стакан монеты. Число цик­
лических переносов монет можно увеличить.
9.6. Р е к о м е н д а ц и и д л я о р г а н и з а т о р о в . Желательно работу
выполнять за лабораторным столом, рабочая поверхность ко­
торого покрыта линолеумом.
301
Выполним два опыта.
1й. Измерим коэффициент трения
дерева по дереву путем
определения угла а, при котором начинается скольжение одной
линейки по другой (рис. 3). В этом случае \ir = tg а.
2й. Установим одну линейку вертикально, а другую - под уг­
лом к плоскости стола (рис. 4). Измерим критический угол (3, при
котором начинается скольжение наклонной линейки.
Рис. 3
Рис. 4
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную
и горизонтальную координатные оси:
^тр! + ^ 2 * mg,
(1 )
* 1 - Лр2.
(2 )
Где
= ^ T P I. М-2^2 — '^'тр2•
Запишем условие равенства моментов сил относительно полюса О.
т§~ cos Р + \i2N 2l sin Р = N 2l cos Р,
(3)
Л
где I - длина наклонной линейки.
Решая систему уравнений (1)-(3), получим
=
1
tg a + 2 tg p ‘
9.7.
Рекомендации для организаторов. Пружины должны
быть ровными, а их жесткости отличаться примерно в два раза.
На концах пружин целесообразно согнуть небольшие крючки.
Соединим последовательно пружины. Если растянуть состав­
ную пружину, то
k1Axl = F = k2Ax2,
где k 19 k2 и AXj, Ал:2 - жесткости и удлинения соответствующих
пружин.
Отношение жесткостей пружин
\
А
х
2
k2 ~ Ахг *
302
Чтобы измерить удлинения пружин, отметим на бумаге поло­
жение свободных концов пружин и место их соединения, затем
растянем составную пружину так, чтобы соединение пружин ос­
талось неподвижным. Вновь отметим положение концов пружин.
Удлинение каждой из пружин можно измерить в относительных
единицах (например, в количестве плотно сжатых витков одной
из пружин).
9.8.
Соберем экспериментальную установку так, как показано
на рис. 5.
Оба конца бумажной ленты охватывают деревянный брусок и
крепятся к нему кнопками. Брусок с помощью струбцины кре­
пится к краю стола. Трубку вставляем в бумажную петлю для
обеспечения равномерного натяжения по всей ширине ленты.
С помощью динамометра контролируется нагрузка.
Сделаем лезвием разрез. Его длину из­
мерим линейкой. Будем увеличивать на- JLCM
-i'
грузку на бумагу до тех пор, пока разрез ^ о 6
не начнет расти.
Построим график в координатах 1/Ь и 0,4
F (рис. 6 ).
0,2
Из графика видим, что искомая зави­
симость нелинейная, причем критическая
0
F,Н
длина убывает быстрее, чем возрастает на­
Рис. 6
грузка.
9.9.
Рекомендации для организаторов. Булавки (разных, но
близких диаметров) следует брать с головкой в виде петельки,
а иголки - с четко выраженной цилиндрической частью.
Одну из булавок положим на линейку перпендикулярно длин­
ной стороне, накроем ее другой линейкой и прокатим булавку
так, чтобы она совершила, например, 10 оборотов. Для облегче­
ния подсчета числа оборотов, из фольги следует сделать флажок,
закрепив его в ушке иголки (булавки). На листке бумаги, подло­
женном под нижнюю линейку, отметим начальное и конечное по­
ложения булавки. Заменим теперь булавку на другую и прокатим
303
ее на то же расстояние, считая обороты. Отношение числа оборо­
тов равно отношению диаметров.
9.10. Рекомендации для организаторов. Предлагаемая для эк­
сперимента вода должна иметь такую температуру, чтобы при
установлении теплового равновесия после погружения в нее ка­
лориметрического тела конечная температура была по возмож­
ности близка к комнатной. Если снега нет, то можно сделать
лед в морозильной камере. Льда должно быть 300-400 г. Лабора­
торные термометры не должны давать возможность измерить
непосредственно температуру смеси снега и льда (около -20 °С).
Нижний предел температуры, который можно измерить тер­
мометром, не должен быть ниже -10 °С.
С помощью весов определим массу тпт калориметрического тела
и массу тв воды, находящейся в одном из калориметров. Другой
калориметр заполним снегом и солью. Тщательно перемешаем со­
держимое этого калориметра. Температура смеси в нем опустится
приблизительно до -20 °С.
Поместим калориметрическое тело в этот калориметр и выж­
дем некоторое время, необходимое для выравнивания температу­
ры. Перенесем тело в калориметр, наполненный водой. Измерим
температуру воды Т0 до и Тг после помещения в нее калориметри­
ческого тела.
Запишем уравнение теплового баланса:
mTcT(Ti - Тх) = тьсь(Т0 - Тг).
Из этого уравнения получаем расчетную формулу для определе­
ния температуры смеси соли со снегом:
тпСт>
Т* = Тг - ^
То - Тг)9.11. Рекомендации для организаторов. Картофелина долж­
на быть такой, чтобы в пресной воде тонула, а в насыщенном
растворе соли всплывала. Банка должна быть от 0,5 до 1 л. П а­
лочка необходима для размешивания соли.
Постепенно добавляя навески соли в воду, необходимо добиться
всплытия картофелины. В этом случае плотности раствора и картофе­
лины одинаковы. Зная первоначальную массу воды, массу растворен­
ной соли и измерив с помощью измерительного цилиндра объем по­
лучившегося раствора, можно рассчитать его плотность.
9.12. Рекомендации для организаторов. Булавка необходима
со шляпкой; можно использовать и маленький гвоздик. Должна
быть хорошо выражена цилиндрическая часть. При необходимо­
сти фольгу можно заменить на тонкую и плотную бумагу, не
пропускающую света.
304
Эксперимент очевиден из приведен­
ного рисунка 7. В фольге делаем малень­
кое отверстие, позволяющее одновремен­
но видеть резкое изображение булавки,
находящейся близко к глазу, и далеко­
го листа бумаги с предварительно нане­
сенными равными делениями. Из подо­
бия соответствующих треугольников вы­
числяем искомое отношение; делим количество делении, засло­
няемых головкой булавки на количество делений, заслоняемых
ее длинной частью.
9.13.
Изготовим рычажные весы. Для этого привяжем нитку к
середине линейки (чтобы исключить массу линейки из последую­
щих расчетов).
Выразим массу М проволоки через массу т гайки. К одному
краю линейки подвесим проволоку, к другому - гайку. Допус­
тим, гайка легче проволоки. Изменяя длину Ъ плеча подвеса
проволоки, уравновесим весы. Обозначим длину линейки через
2R. Запишем условие равенства моментов сил относительно
полюса О.
Mb « mR.
(1)
Найдем объем проволоки. Для этого опустим проволоку, под­
вешенную за нитку к весам, в сосуд с водой. Изменяя плечо под­
веса проволоки, добьемся равновесия весов. Запишем условие ра­
венства моментов сил относительно полюса О:
Мэфф&' = mR,
(2)
где Ь' - новая длина плеча подвеса проволоки, Мэфф - эффектив­
ная масса, которую найдем из закона Архимеда
Мэфф = м - pv,
(3)
где р - плотность воды, V - объем проволоки. Этот же объем
выразим через длину L и диаметр D проволоки:
V=
jzD2L
4
‘
(4 )
Из (1)-(4) выразим массу одного метра проволоки:
Чтобы точнее определить диаметр D проволоки, намотаем на
ее прямолинейный участок от 10 до 20 витков нитки. Выразим D
через число витков и длину намотанного куска нитки.
11
Козел
305
9.14.
Подвесим за нити маятник к штативу. Измерим линейкой
расстояние А. Возбудим колебания маятника и определим их период
Т. Проведем измерения периода Т для различных длин А. Результа­
ты занесем в таблицу. Построим график зависимости Т(А) (рис. 8 ).
Из графика видим, что при малых расстояниях А период Т большой. С увеличением А период колебаний сначала убывает, а
затем, начиная с некоторой длины А, - возрастает. Аналитичес­
кая зависимость T(h) может быть выражена формулой
где А и В - некоторые постоянные коэффициенты.
9.15.
Рассмотрим небольшой участок поверхности вала со сколь­
зящей по нему нитью (рис. 9). Здесь F и Fx - силы, приложенные
к концам участка нити.
Fx = F + AF, где AF - дополнительная сила, которая требуется
для компенсации силы трения ЛFTp, действующей на нить со сто­
роны рассматриваемого участка вала.
A F
=
A F Tp =
рА Л Г,
(1 )
где |i - соответствующий коэффициент трения, АN - сила реак­
ции опоры.
306
Согласно рис. 10
АN + Fx + F = 0 или
AN - 2F sin 4 г “ ^Дф-
(2)
Из (1) и (2) получим
AF = \iFAty.
(3)
Поскольку AF ~ А/п, (3) можно представить в виде
Ат = |1 /пАф.
(4)
Из (4) видно, что Ат не зависит от радиуса вала.
Проверим этот вывод на опыте.
Нальем в бутылку столько воды, чтобы нить начала скользить
по валу от небольшого толчка. Затем перенесем нить с грузами на
другой вал. Убедимся, что наш теоретический вывод согласуется
с экспериментом.
Увеличим число оборотов нити вокруг вала и повторим экспе­
римент. Замечаем, что для равномерного скольжения нити масса
т должна возрастать гораздо быстрее, чем угол ф.
9.16.
Рекомендации для организаторов. В качестве сосудов
целесообразно использовать пластиковые бутылки объемом 0,33
или 0,5 л. У бутылок следует срезать верхнюю коническую часть.
Изготовим ареометр - прибор для измерения плотности жид­
костей. Для этого из пластилина вылепим колбу, сквозь которую
пропустим карандаш. Регулируя объем полости колбы добьемся
равенства средней плотности рАареометра и плотности рв дистил­
лированной воды:
Ра ~ Рв*
(1)
Опустим ареометр в соляной раствор плотности р. По закону
Архимеда
pAVg = p(V-AV)g,
(2)
где V - объем ареометра, a AV - объем части карандаша, возвы­
шающейся над поверхностью воды. Из (1) и (2) получим формулу
Р = Рв— W (3)
1~ ~ v
Объем V измерим по изменению уровня воды в сосуде с дистилли­
рованной водой при погружении в нее ареометра. AV найдем по
формуле
nD2h
AV = ~ Т ~ '
(4 )
307
где h - высота возвышающейся над поверхностью воды части ка­
рандаша, D - диаметр карандаша.
Для более точного вычисления D плотно обмотаем карандаш
10 витками ниток. По длине намотки определим D.
Из (3 )следует
AV
V
Рв
~ Р
(5)
Поскольку для данного раствора отношение рв/р остается по­
стоянным, то постоянным должно быть и отношение AV/V.
Чем больше будет объем V, тем больше окажется AF, тем с
большей точностью можно измерить р.
Следовательно, для изготовления колбы ареометра нужно ис­
пользовать весь пластилин.
9.17.
Рекомендации для организаторов. В качестве грузов можно
взять две разные гайки или монеты достоинством в 2 и 5 рублей.
Соберем установку, изображенную на
рис. 11. С помощью кнопок прикрепим
к краю лабораторного стола (точки А и
D) лист миллиметровой бумаги и кусок
нити длиной 60-70 см. Привяжем гру­
зы к нити в произвольных точках В и
С. Перемещая вдоль нити место крепле­
ния грузов (точки В и С), добьемся, что­
бы ее участок ВС стал горизонтальным.
В этом случае
_ ^
_ Tlx.
_ ^2 _ ^2х
tg ф1 - я х “ Т1у » tg Ф2 - я 2 - т2у ’
( 1)
где d19 d2, Н 19 Н 2 - длины проекции участков АВ и CD нити на
горизонтальную и вертикальную координатные оси, Т1х, Т2х, Т1у9
Т2у - соответствующие проекции сил Тг и Т2 на эти же оси. По­
скольку
Н , = Н 2,
(2)
Т1х + Т2х = 0,
(3)
т 1у + т 1 § = 0,
(4)
Т2у + m2g = 0 ,
(5)
то, подставляя (2)-(5) в (1), получим
тп2 = т пА .
(6 )
d2
Миллиметровой бумагой измеряем длины dx и d29 после чего по
формуле (6 ) находим массу т2.
308
9.18.
Рекомендации для организаторов. Яйца следует варить
«вкрутую», причем скорлупа яиц должна быть без трещин.
Упор можно сделать из деревянного бруска размером 10 см х
х 10 см х 3 см с приклеенной к одной его стороне (размером 10 см х
х 10 см) полоской наждачной бумаги или лейкопластыря.
В качестве угольника можно взять кусок металлического угол­
ка 4 см х 4 см длиной 6 см.
Расположение элементов экспериментальной установки показано
на рис. 12. Нижнее яйцо следует отодвигать от вертикального упора
до тех пор, пока между скорлупой яиц не возникнет проскальзыва­
ние. До этого момента при аккуратной сборке яйца неподвижны.
Рассмотрим силы, действующие на нижнее и верхнее яйца
(см. рис. 13). Яйца неподвижны, поэтому равнодействующая вне­
шних сил, действующих в горизонтальном направлении, равна нулю:
Nx + F4 = 0. Яйца не вращаются, следовательно, момент сил, прило­
женных к каждому яйцу, равен нулю: FXR = F2Rf F3R = FJR.
В соответствии с третьим законом Ньютона F2 = F3. Отсюда следует:
Nl = F4, Ft = F2= F3= F4= F.
(1 )
Векторы сил, действующих на верхнее яйцо, показаны на
рис. 14. Проектируя силы на ось ОХ, получаем
11*
Козел
309
F + F s i n a = N 2 c o s a.
(2 )
Поскольку сила трения скольжения F2= \iN 2, то из (1) и (2) находим
^ N2 1 + sin a ’
где a - угол, при котором начинается проскальзывание между
скорлупками.
Схема измерения cos а приведена на рис. 15. Величину I изме­
ряем линейкой. Тогда cos a = (l - D)/D, где D - диаметр яйца.
Коэффициент трения следует измерить несколько раз, затем
найти его среднее значение и ошибку.
Характерные результаты: D ~ 4 см, I = 6,0 -г- 7,0 см, ц = 0,3 * 0,4.
9.19. Рекомендации для организаторов. Диаметр одной из щечек
шпульки следует сточить на 0,3 мм. Стол, на котором проводится
эксперимент, должен допускать вкалывание в него булавок. Если по­
верхность стола не позволяет этого делать, то следует накрыть
стол листом картона формата АЗ. Длина линейки не менее 40 см.
Установим две булавки на оси шпульки. Будем катить шпуль­
ку по столу. Из-за различия радиусов щечек шпулька будет ка­
титься по дуге окружности радиуса R ~ 70 см. Установим третью
булавку в центре кривизны траектории шпульки.
Несложно показать, что Ar/r = L /R , где г - радиус щечки, L расстояние между щечками, Аг - искомое различие радиусов. Чис­
ленно: г = 10 мм, L - 11 мм, отсюда Аг = (150 ± 20) мкм.
9.20. Рекомендации для организаторов. Шарик должен быть
круглый ( «сосиска» не подходит). Выдается отрезок нити длиной
около 10 см - она необходима для завязывания шарика. Диаметр
отверстия шарика должен позволять вкладывать туда монетки
обоих достоинств. Хорошо, если все участники будут иметь доступ к водопроводному крану и раковине.
А
Заполним шарик водой и, оставив ма­
ленький пузырек, завяжем ниткой. Поло­
жим шарик на стол и предоставим ему воз­
можность прийти в равновесие. Поместим
некоторое количество монеток одного дос­
тоинства в «хвостик» шарика В, отметим
ручкой положение пузырька А (рис. 16).
Рис. 16
Вытащим эти монетки и посчитаем столько монеток другого достоин­
ства потребуется чтобы пузырек находился в том же месте. Отноше­
ние количеств монет равно отношению их масс.
9.21. Собираем последовательную цепь, подключаем ее к ис­
точнику тока (см. рис. 17), погружаем резистор Rx в воду и конт­
ролируем с помощью термометра Т изменение температуры Atx
310
воды в течение времени Ахг. Для доста­
точно малых промежутков времени Ат
можно пренебречь потерями тепла. Запи­
шем для этого случая уравнение тепло­
вого баланса:
I i R xAtj = cBmAt19
где св - удельная теплоемкость воды,
т - ее масса.
Затем, погрузив в воду резистор R2
вместо R19 повторяем эксперимент при той
же силе тока 1г. В этом случае уравнение
теплового баланса будет иметь вид:
1 1 F t2&X2
Св772.А£2»
где At2 - изменение температуры воды за время Ат2.
Взяв отношение количеств теплоты, получим искомую величину:
R2
М2тх
R1
А^Ат2
П р и м е ч а н и е . Трудность опыта состоит в том, что пренебречь теп­
лообменом с окружающей средой можно только при малой разности
температур. Но измерить эту разность обычным термометром можно
лишь с большими погрешностями.
*9.22. Предварительно определяем
массу бруска. Для этого размещаем бру­
сок и гирю на линейке и с помощью пра­
вила рычага находим искомую массу М.
Затем, привязав нить к гире и подвесив
ее на штативе, отклоняем гирю с помо­
щью бруска на такой угол а (рис. 18),
когда сила, с которой гиря действует на
брусок, равна силе трения скольжения:
F = F„
или
mg tg а = [iMg,
откуда
m
11 - M tS “ •
Необходимые для расчета тангенса угла параметры определяем с
помощью линейки.
*9.23. Чтобы определить вес плоской фигуры, сначала нахо­
дим положение ее центра масс. С этой целью положим фигуру на
стол так, чтобы она опиралась только на край стола, и проведем
311
по фигуре карандашом линию вдоль
края стола. Затем эту операцию повто^4 рим, изменив положение фигуры на сто­
ле. Центр масс фигуры будет находить­
ся в точке пересечения этих двух линий.
Проведем на фигуре от центра масс
линию АС (рис. 19), положим на фигуру
гирьку так, чтобы ее центр масс находился на этой линии, а саму
фигуру вместе с гирькой положим на стол, край которого должен
быть перпендикулярен к линии АС. При этом сама фигура долж­
на опираться только о край стола и находиться в равновесии.
В этом случае сумма моментов всех сил, приложенных к фигуре,
относительно края стола равна нулю.
На фигуру будут действовать три
)я
силы: сила тяжести G, реакция опоры
N со стороны стола и сила F со сторо­
------ L - ,
ны
гирьки, равная ее весу Рг (рис. 20 ).
■ - f -i
Ш //У /Ш
АN
Риг. 2П
F— i
Так как момент силы N относительно
края стола равен нулю, то по правилу
моментов сил будем иметь
GI = РЛ,, G = р А
I‘
Вес фигуры равен действующей на нее силе тяжести, т. е.
Р = G. Так как вес гирьки известен, то для определения веса
фигуры измерим плечи I и 1Хсил G и F соответственно.
*9.24. Используя воронку, наливаем в укрепленную вертикально
на штативе бюретку воду и с помощью винтового зажима на рези­
новой трубке подбираем размер выходного отверстия так, чтобы
время вытекания воды из бюретки было не слишком малым и в
то же время струя не прерывалась. Затем, фиксируя с помощью
пружинного зажима начальную высоту А уровня воды в бюретке,
измеряем секундомером время вытекания t. В результате получа­
ем таблицу t = £(А), по которой можно приближенно найти ско­
рость струи v = Ah/At для различных А.
*9.25. Помешивая ложечкой воду в стакане, добиваемся вы­
равнивания ее температуры по всему объему. Затем ставим ста­
кан на подставку и исследуем зависимость температуры воды вбли­
зи дна стакана от времени. Вначале температура растет, а затем
стабилизируется вблизи искомого значения 4 °С в течение
—10 минут, после чего опять начинает возрастать.
312
*9.26. Соберем установку, изображенную на рис. 21. Медленно
уменьшая глубину h провисания нити, добьемся ее разрыва. Ус­
ловие разрыва нити понятно из рис. 2 2 .
Рис. 21
Рис. 22
7* + Т2 + mg = 0, где |r j = \Т2\ = Т. Окончательно получим
т=
mg
= mg Jh2 +У2
2 cos а
2
h
*9.27. Рекомендации для организаторов. Вес легкого груза дол­
жен быть больше предела измерения динамометра.
На рис. 23 изображен вид сверху экспе­
риментальной установки, которую следует
собрать. Медленно увеличивая силу, при­
ложенную к линейке со стороны динамо­
метра, добьемся того, чтобы груз известной
массы начал равномерное движение. Это
будет происходить при условии
F I
( 1)
r 2 l2*
Рис. 23
Здесь F2 - показания динамометра, Fi ~
сила, действующая на линеику со стороны груза массы т:
Fx = kmg.
(2)
Из (1) и (2) следует
*9.28. Соединим динамометр с крюч­
ком на конце проволоки, выходящей из
крышки «черного ящика» и начинаем
поднимать его вверх. Снимаем зависи­
мость показаний динамометра от высо­
ты h подъема крючка. На миллиметро­
вой бумаге строим график зависимости
F = F(h) (рис. 24).
313
Из вида графика можно предположить, что участок аЬ соответ­
ствует подъему тела от дна до поверхности воды, участок Ьс «выходу» из воды, cd - дальнейшему подъему в воздухе. Поскольку
на участках аЪ и cd силы постоянны, делаем заключение, что
между грузом и ящиком нет пружин или резинок. Участок Ьс прямая линия. Это может быть только в том случае, когда по всей
высоте тело имеет постоянное поперечное сечение (например, как
у цилиндра или параллелепипеда).
Масса тела
т?
(1 )
g •
Воспользуемся законом Архимеда: Fx = F2 - рV ^ , где р - плот­
ность воды, VT - объем тела, равный
( 2)
Плотность материала тела
тТ
рт - „ - р
(3)
Л -* !
Измеряем диаметр D дна (крышки) «черного ящика» и нахо­
tlD2
дим его площадь: S =
Находим высоту Н Т тела в «черном
ящике» из уравнения
Л А Щ- V, = (Л2 - Я т)5ящ,
Н Т= (Л2 - Л 1) + ^ - .
ящ
(4)
Площадь тела
*9.29. Поставим стакан в ванночку. Заполним его до краев во­
дой. Обвяжем цилиндры нитками и опустим их в стакан с водой.
Объем вытесненной воды будет равен объему цилиндров. Помес­
тим калориметр в стакан и заполним стакан до краев водой. Опу­
стим в калориметр цилиндры. Масса воды, вытесненной из стака­
на, будет равна массе цилиндров. Найдем плотность металла, из
которого изготовлены цилиндры.
Смешивая горячую и холодную воду, получим такое количе­
ство воды комнатной температуры t0, которого хватит для того,
чтобы полностью скрыть под водой цилиндры, лежащие на дне
калориметра.
314
Перенесем цилиндры в горячую воду и подождем пока их тем­
пература на сравняется с температурой горячей воды tr.
Перенесем с помощью ниток цилиндры обратно в калориметр
и дольем в него мензуркой столько холодной воды, чтобы в кало­
риметре установилась комнатная температура t0.
Запишем уравнение теплового баланса
mncntr + mxcBtx = (тпцсц + mxcB)t0.
(1 )
Здесь тпц - масса цилиндров, сц - их удельная теплоемкость, тх масса холодной воды, которую долили в калориметр. Из уравне­
ния ( 1 ) находим искомую теплоемкость
(
\ /
,
\
*0
*х
о
1
ОЦ
т пх
*9.30. Собираем установку, схематичес­
ки изображенную на рис. 25. К правому кон­
цу стержня прикрепляем динамометр, а к
торцевой части стержня с помощью пласти­
лина прикрепляем булавку (она будет играть
роль стрелки). По вертикально поставленной
линейке определяем смещение Ah правого
конца стержня при разных значениях при­
ложенной силы F. Удлинение АI проволоки
определяем из пропорции
А
I _ Ah
( 1)
к ~ L ‘
Это удлинение обусловлено увеличением силы натяжения прово­
локи АТ. Увеличение силы натяжения найдем из уравнения мо­
ментов сил:
ATlx = AFL.
(2)
Согласно закону Гука имеем
АТ = kAl.
(3)
Воспользуемся выражением для коэффициента жесткости, при­
веденным в условии задания. Тогда после алгебраических преоб­
разований из (1)-(3) получим
Е =
(ь)лAF
UJ
Ah '
*9.31. Соберем электрическую цепь (рис. 26) для того, чтобы
снять вольт-амперную характеристику раствора поваренной соли.
Нальем в банку фиксированное количество пресной воды. Раство315
Рис. 26
рим в ней один навесок соли. Снимем вольт-амперную характери­
стику (далее ВАХ) получившегося раствора.
Добавим в раствор другой навесок и вновь снимем ВАХ. Будем по­
вторять эту процедуру до тех пор, пока не закончатся все навески соли.
На рис. 27 приведено семейство ВАХ для растворов с разными
концентрациями С соли.
Снимать все ВАХ следует при одной и той же геометрии кон­
такта электродов и электролита.
Выберем на графике (рис. 27) такое значение силы тока / 0, при
котором линия J 0 = const пересекла бы все характеристики.
В нашем случае в качестве / 0 удобно взять силу тока в 0,5 А.
Из графиков на рис. 27 определим соответствие напряжения на
316
и Ув,
электродах концентрации раствора (при силе U,
В. kк
тока / 0). Полученные результаты приведены
30 \
на рис. 28.
Теперь нальем в банку такой же объем 20
-V
раствора неизвестной концентрации как
10
в опытах с известными концентрациями.
1
Измерим напряжение на электродах
0
2.0 4.0 6.0 8.0 _ г
при силе тока, равной / 0. По графику за­
С’ Л
висимости напряжения между электрода­
Рис. 28
ми от концентрации соли (рис. 28) опреде­
лим концентрацию неизвестного раствора.
*9.32. Изготовим источник тока, воткнув латунную и цинко­
вую пластины в соленый огурец. Подбирая расстояние между пла­
стинами и глубину погружения пластин, добиваемся оптимально­
го значения напряжения на выходе источника!
Для определения сопротивления милливольтметра соберем схе­
му, изображенную на рис. 29.
Поскольку милливольтметр дает показания, равные напряже­
и,
нию на его клеммах, то Rv = ~ г . Для обеспечения большей точно1\
сти эксперимента напряжение на выходе источника тока подберем
так, чтобы показания приборов по возможности приходились на
последнюю треть шкалы.*
шВ)-----(шВ
Рис. 29
Рис. 30
Для определения сопротивления миллиамперметра соберем схе­
му, изображенную на рис. 30. В этом случае милливольтметр по­
кажет напряжение на клеммах миллиамперметра. СопротивлеU 2
ние R a = ~7~.
*2
*9.33. Находим центр масс стержня (точка С) при его равнове­
сии на опоре (лапке штатива) и измеряем расстояние 10 от точки С
до одного из концов стержня.
Подвешиваем тело на нити к одному концу стержня и добива­
емся равновесия рычага на опоре (рис. 31, а).
317
d2
О
С
-------------- s ------mg
di
dMg}
“
a)
1
dz
| d4
:_________ il____ i
--------S ------\- i
Опора
, mg
'С
0
b
Mg
Рис. 31
Из условия равенства моментов сил относительно полюса О
mgd2 = Mgd19
(1)
где т - масса стержня, М - масса тела, dx - расстояние от точки
подвеса тела до опоры, d2 - расстояние от центра масс стержня до
опоры, находим массу тела
md2
М =
( 2)
~dT'
Погрузим тело в сосуд с водой и вновь уравновесим стержень на
опоре (рис. 31, б).
Вновь запишем условие равенства моментов сил относительно
полюса О:
mgdi = (Mg - FA)d3 = (рт - рB)Vgds,
(3)
где Fa - выталкивающая сила Архимеда, рв - плотность воды.
М
Решая совместно (3) и (1) с учетом того, что рт = — , находим
плотность тела:
djdj —d1di
Ri
■On
Рис. 32
318
(4)
*9.34. Для определенности пронуме­
руем резисторы в порядке возрастания
их сопротивлений. Измерим напряжение
U батарейки. Включая поочередно каж ­
дый из резисторов последовательно с
вольтметром (рис. 32), определим те, со­
противление которых соизмеримо с со­
противлением вольтметра, т. е. №№ 5,
6 , 7. Найдем, во сколько раз сопротив­
ление каждого из них отличается от со­
противления вольтметра:
Рис. 33
К = R /R v = ( U - Uv)/Uv.
Соберем цепь, в которой будем каждый из оставшихся резисторов
последовательно соединять с батарейкой и амперметром. Опреде­
лим номера резисторов в порядке возрастания их сопротивлений.
Определим (согласно схеме на рис. 33) сопротивления резисто­
ров Rz и RA:
Д 3
Соберем цепь (рис. 34) и определим
сопротивление резистора № 2 :
U2
V
Используя R2 как шунт, найдем сопро­
тивление амперметра RA (рис. 35). Для
этого измеряем 1Хпри разомкнутом клю­
че и / 4 - при замкнутом.
j
Вычислим R д = R9—
Рис. 35
_ j
.
h
Повторяем предыдущий опыт, заменив резистор R2 на i?4, и
измеряем силу тока / 5. Находим
Д! = Ra——— .
h -h
Соединяя последовательно с источником тока резисторы Д4 и i ?5 и
измеряя вольтметром напряжение UА на резисторе RA и U на ис­
точнике, находим
U-UА
Ra
ил
Соединяя последовательно с источником тока резисторы # 5 и R6,
определим напряжение Uv и найдем сопротивление вольтметра:
Rb
Uv
Rv = Д*
’U - U V(K6 + 1)
319
Вычисляем сопротивления резисторов:
Rq — K 6RV, R 7 = KrjRy.
*9.35. Определить коэффициент жесткости k пружины «пря­
мым путем» (подвесив груз на пружине и измерив ее удлинение)
нельзя. Поэтому пойдем «обходным путем». Проведем экспери­
мент на наклонной плоскости. Ее можно изготовить, положив один
конец линейки на брусок, а другой оставив на столе.
Изменяя угол а наклона линейки относительно плоскости сто­
ла, найдем коэффициент трения р груза о линейку:
Н- = tg а 0,
(1 )
где а 0 - угол, при котором груз начал скользить.
Прикрепим один конец пружины к грузу, а другой к верхнему
краю линейки (рис. 36). Будем постепенно увеличивать угол а и
измерять удлинение пружины. По результатам измерений пост­
роим график (рис. 37).
АХ*
+
(Хо
+
+
+
а
Рис. 37
В статическом состоянии сумма сил, действующих на груз, рав­
на нулю, т. е.
mg sin а - kAl - р mg cos а = 0 ,
(2 )
где АI - удлинение пружины, т - масса груза.
Из (1) и (2) получим
_ mg coscc(tga-tg ос0)
М
*9.36. Задача допускает несколько вариантов решения.
1й вариант. Вынем спички из коробки и вложим в коробку
предложенные грузы. С помощью динамометра определите вес
коробки с грузом. Далее уложим спички так, чтобы их головки
составляли дорожку (можно, например, втыкать их в бумагу), а
затем положите на эту дорожку коробку с грузом. С помощью
динамометра определим силу, при которой коробка начинает сколь­
зить по спичечной дорожке. Из отношения измеренных сил опре­
делим коэффициент трения р.
2- й вариант. Положим на выложенную из спичек дорожку ко320
робок и попытаемся его опрокинуть, толкая острием ручки или
линейкой в широкую вертикальную стенку. Найдем расстояние а
от нижней грани коробка до точки, при нажатии на которую ко­
робок от скольжения переходит к опрокидыванию, и определим
коэффициент трения из соотношения р = Ь/2а> где b - ширина
спичечного коробка.
3-й вариант. Свяжем аккуратно две спички так, чтобы*йх го­
ловки были на противоположных концах. Положим их навшероховатую поверхность спичечного коробка и, наклоняя коробку,
определим угол а, при котором спички начинают скольжение.
В этом случае \х = tg а.
*9.37. Убедимся, что изображение каналов находится практи­
чески в центре детали в тот момент, когда луч зрения перпенди­
кулярен плоскости, проходящей через оси каналов. Видимый раз­
мер изображения ~ 2,5 мм. При наблюдении каналов в перпенди­
кулярном направлении видимый размер диаметра ближнего к
наблюдателю канала равен 1 мм.
Рассмотрим ход лучей, показанный на рис. 38, а. Очевидно,
что
а_ _ tgP' _ sin р/ _
а
tgp
sinР “ п'
а)
6)
Рис. 38
Следовательно,
a
2,5
а = —
п = 1,51 ~ 1,6 6 мм.
В схеме, изображенной на рис. 38, б расстояние b равно
b'S
при этом S' = 4 мм, S = R — а. Тогда b ~ 0,74 мм и расстояние
между каналами равно:
1,66 - 2*0,74 ~ 0,2 мм.
10
класс
10.1. Приготовим некоторое количество навесков соли.
Взвесим на весах калориметр, затем наполовину заполним его
снегом и вновь взвесим. Таким образом, по разнице показаний
весов определим массу снега.
Будем порциями добавлять соль в калориметр, перемешивая
содержимое и контролируя температуру смеси. Результаты зане­
сем в таблицу.
Из анализа табличных данных определим количество соли, до­
бавленной к снегу, для получения минимальной температуры.
Определим концентрацию соли. Выполним оценку точности
измерений.
10.2. Оценим внутренние сопротивления амперметра RA, вольт­
метра Ry и сопротивление R исследуемой проволоки. Установим, что
Rv » R, Ra ~ R. Исходя из сделанных
оценок, соберем цепь, схема которой изоб­
-Ф
ражена на рис. 39. По измеренным значе­
ниям напряжения U и силы тока I опре­
делим сопротивление R проволоки.
Ф Известно, что сопротивление проволоки
Рис. 39
41
Д = рp 4s -= P nD2 ’
где р - удельное сопротивление металла, из которого изготовлена
проволока, I, D - ее длина и диаметр. Выразим длину проволоки
через ее диаметр. Для этого достаточно проволоку по частям при­
ложить к реостату. Пусть I = ND, где N - число диаметров, кото­
рое умещается на длине I. В результате получим
R
С7 _ 4ЛГ2р
I ~
nl 9
откуда окончательно имеем
_ 4АГ2 р/
я U*
10.3.
Рекомендации для организаторов. Одна линза должна
быть длиннофокусная с F ~ 50 см, две другие линзы с одинако­
вым фокусным расстоянием F ~ 20 см.
322
Рис. 41
а) В зрительной трубе задний фокус объектива должен совпа­
дать с передним фокусом окуляра (рис. 40). Угловое увеличение
зрительной трубы
Р
( 1)
а’
где Fo6 - фокусное расстояние объектива, F0K- фокусное расстоя­
ние окуляра. Из (1) следует, что увеличение зрительной трубы
будет максимальным, если Fo6 максимально, a F0K минимально.
Проведем измерения фокусных расстояний имеющихся линз
и, выбрав соответствующую пару, соберем зрительную трубу с
максимальным угловым увеличением.
б) Построим ход лучей, падающих на объектив под малым
углом а к главной оптической оси системы. Часть лучей, напри­
мер, луч (1), проходит мимо окуляра. Из оптической схемы (рис.
41) видно, что установка в задней фокальной плоскости объек­
тива еще одной линзы не меняет угловое увеличение, но некото­
рые лучи, ранее не попадавшие в окуляр, теперь смогут пройти
через него. Делаем вывод: линза, установленная в задней фо­
кальной плоскости объектива, увеличивает угловое поле зрения
системы.
10.4.
Рекомендации для организаторов. У германиевых дио­
дов обратный ток, как правило, составляет несколько десятков
Га
323
микроамперу т.е. на порядок больше,
чем у кремниевых. В работе рекомен­
дуется использовать именно германи­
евые диоды, так как в этом случае вли­
янием контактной разности потен­
циалов и термоэффектами можно пре­
небречь.
Соберем электрическую цепь согласно схеме (рис. 42). Заря­
дим конденсатор, а затем будем разряжать его через «запертый»
диод. Среднее значение силы тока найдем как отношение заряда,
накопленного на конденсаторе, ко времени т разряда:
I
CU
= —
т
т
10.5. Рекомендации для организато­
ров. Эксперимент желательно прово­
t
дить в затемненном помещении.
Расположим на одной линии лампоч­
ку, матовое стекло с диафрагмой, кю­
^
вету с водой (в которую предваритель­
но нужно добавить несколько капель
Рис. 43
молока), собирающую линзу и экран.
На экране должно появиться светлое пятно - изображение от­
верстия в диафрагме. Диафрагму вырезаем ножницами из чер­
ной бумаги.
Другие лампочку, матовое стекло с диафрагмой и линзу распо­
ложим так, чтобы изображение отверстия в диафрагме на экране
оказалось рядом с первым изображением (рис. 43). Частично диа­
фрагмируя вторую линзу, можно добиться того, что пятна на эк­
ране будут казаться одинаково яркими.
Коэффициент поглощения а можно теперь вычислить как от­
ношение площади диафрагмы S к пло­
щади линзы яг2, где г - радиус линзы:
о6р
1T V *
4
а = 1
Рис. 44
324
_S_
кг2 ‘
Отношение объемов молока и воды
можно найти, предварительно измерив
в относительных единицах объемы од­
ной капли молока и воды соответствен­
но. Для этого достаточно накапать по­
очередно в пустую кювету до одного и
того же уровня молоко и воду. Отно-
шение числа капель будет обратно пропорционально их объе­
мам.
Качественно результаты эксперимента представлены на
рис. 44.
10.6.
Рекомендации для организаторов. 1. Рычажные весы
могут быть любыми, разновес не требуется!
2. В качестве пипетки можно использовать обычную меди­
цинскую. Подойдет любое устройство, позволяющее капать дос­
таточно медленно.
3. В качестве неизвестной жидкости лучше всего использовать
этиловый спирт. В принципе подойдет любая жидкость, с коэффи­
циентом поверхностного натяжения сильно отличающимся от
воды. Однако необходимо предостеречь от использования масел, так
как должна быть возможность чисто отмыть пипетку от этой
жидкости. В крайнем случае можно использовать мыльную воду.
Два сосуда взвешиваем на весах. Далее в один из них закапы­
ваем определенное количество капель (NJ воды, а во второй неизвестную жидкость до тех пор, пока весы не уравновесятся.
Поскольку масса т капли пропорциональна коэффициенту по­
верхностного натяжения а и обратно пропорциональна количе­
ству капель в сосуде, мы можем записать
где Nx - число капель неизвестной жидкости.
10.7.
Сложим рейки в виде бутерброда (плоскость к плоскости)
и прижмем струбциной один конец к столу. Рейки должны распо­
лагаться в горизонтальной плоскости перпендикулярно краю сто­
ла. Допустим, более тонкая рейка оказалась снизу. Накинем на
ее свободный конец капроновую петлю.
1) За ту же петлю зацепим динамометр, к которому приложим
силу F. Снимем зависимость прогиба 8 рейки от силы F. Прогиб
нижней рейки относительно верхней (прямой) измерим с помо­
щью миллиметровой бумаги. Искомая зависимость имеет вид
5 -F .
2) Меняя расстояние L от петли до закрепленного края реек,
снимем зависимость прогиба 8 от L. Она имеет вид:
8 - L 3.
3) Поменяем местами верхнюю и нижнюю рейки. Повторим
измерения из пункта 2). Сравним серии измерений пунктов 2) и
3). Найдем зависимость 8 от толщины h рейки:
8 ~ /Г 3.
325
Обобщим результаты измерений в пунктах 1), 2), 3):
з
5
П р и м е ч а н и е . Из курса сопротивления материалов известно, что
где Ь - ширина рейки, Е - модуль Юнга.
10.8.
Нальем на поверхность парафина воду, объем которой
равен V. Толщина слоя воды h = V/S. Площадь S водной поверх­
ности определим по клеткам миллиметровой бумаги.
Среднее давление р в налитой на бумагу воде равно pgh/2.
С другой стороны, сила поверхностного натяжения жидкости
создает давление
( 1)
где
- радиус водяного пятна, R2 = А/2.
Отсюда найдем коэффициент поверхно­
стного натяжения:
gh R1R2
2 Ri + Е>2
10.9. Определим диапазон углов поворота крутильного маят­
ника, в котором сохраняется изохронность колебаний. Снимем
зависимость периода колебаний от расстояния грузов до оси
вращения (оси подвеса). Построим график зависимости Т от L
(рис. 45).
10.10. Рекомендации для организаторов. Наждачную бумагу же­
лательно подобрать более грубую. Динамометр должен обеспечивать
измерение силы трения скольжения при установке на брусок всех
грузов, входящих в комплект оборудования.
Закрепим кнопками на поверхности бруска наждачную бума­
гу. Исследуем зависимость силы трения скольжения от силы нор­
мальной реакции опоры и от площади соприкосновения бруска с
опорой. При небольшой силе N реакции опоры зависимость Frp =■
= рМ выполняется. В случае, когда наждачная бумага начинает
разрушать поверхность трибометра, сила трения скольжения на­
чинает зависеть от площади опоры.
10.11. Рекомендации для организаторов. Сопротивления R1
и R2 следует подобрать так, чтобы накал лампочки был очень
р
326
слабым. Например, Rt = 24 Ож, R2= 12 Ом.
к 3 ---В этом случае R3 ~ 50 Ом.
Соберем электрическую цепь, схема
R0
R,
которой приведена на рис. 46.
и
Установим максимальное сопротивле­
ние R3. Затем начнем его уменьшать,
Рис. 46
систематически меняя положение пере­
ключателя. Подберем такое значение JR3, при котором накал лам­
почки не зависит от положения переключателя. Это возможно
тогда, когда напряжение на лампочке остается одним и тем же в
обоих положениях переключателя:
Ul = ^ W
и2
+ iS + .R A ’
Дл
+ ^3 *
(1)
( 2)
Из (1) и (2) получим
= R з^ _ 1 Л
i?i
10.12. Закрепим вдоль пробирки с
помощью скотча полоску миллиметровой
1h
бумаги. Сделаем из пробирки «картези­
Н
анского водолаза», поместив ее вверх
дном в бутылку с водой (рис. 47, а). Зак­
роем бутылку и сожмем ее (рис. 47, б).
Проведем измерения расстояний Z, L, h
а)
б)
и 74 в этих двух состояниях.
Рис. 47
Пренебрегая неплоскостностью дна
пробирки, запишем закон Бойля-Мариотта:
(Ратм + 98h)l = (рх + рgH)L,
где ратм ~ атмосферное давление (определяем по комнатному баро­
метру), рх —искомое давление, р - плотность воды, g - ускорение
свободного падения, I и L - высоты столба воздуха в пробирке, h
и Н - высоты столба жидкости на уровнях жидкости в пробирке.
Отсюда находим искомое давление рх>причем все длины изме­
ряем миллиметровой бумагой.
10.13.
Рекомендации для организаторов. Стеклянный ста­
кан должен быть цилиндрической формы.
Для уменьшения тепловых потерь стеклянный стакан помес­
тим в пенопластовый. Нальем в стеклянный стакан воду, изме­
рим ее температуру t x и начальный уровень Ах. Опустим в стакан
327
с водой кипятильник, включим его и измерим время тх, за кото­
рое вода нагреется до температуры t2 = 100 °С. Полагая, что все
тепло, выделенное кипятильником, пошло на нагрев воды, запи­
шем уравнение теплового баланса:
Qi = Рхг = mcB(t2 - t j ,
(1 )
где Р - мощность нагревательного элемента кипятильника, т масса воды.
Дадим воде покипеть в течение времени т2, после чего выклю­
чим кипятильник и измерим уровень h2 воды, оставшейся в ста­
кане. Запишем для процесса кипения воды уравнение теплового
баланса:
Q2 = Рт 2 = LAm,
(2)
где Ат - масса испарившейся воды. Очевидно, что
Ат _
т
~ h2
\
( 3)
Из (1)-(3) получим
К
/ij h2
10.14.
Рекомендации для организаторов. Лед можно приго­
товить в морозильной камере холодильника. Температура льда
должна быть около -10 °С.
Изготовим и прокалибруем шкалу термометра. Для этого на­
льем воду в стакан, поместим туда же некоторое количество льда и
термометр. (Воду не следует перемешивать!) Уровень h (а значит и
температура) спирта в капилляре термометра станет быстро пони­
жаться и, достигнув значения h19 застабилизируется. Это произой­
дет при прекращении конвекции в воде, когда плотность воды на
дне стакана будет максимальной. Известно, что плотность воды
максимальна при 4 °С. Мы получим одну реперную температурную
точку. Если воду перемешать, то уровень спирта понизится до h2, а
температура установится на значении 0 °С (вторая реперная точка).
Коэффициент температурного расширения спирта постоянен. Сле­
довательно, шкала термометра линейна. Ее цена делений
4°С
L = Св(*2 ~ *l)
Опустим термометр в выданный кусок льда и измерим уровень
h3 спирта в капилляре термометра. Переведем по формуле (1) вы­
соту h3 в температуру.
10.15.
Рекомендации для организаторов. Диаметр трубочек
должен быть примерно 4 мм. Длина одной из них 4 -6 см, длина
другой ~ 20 см.
328
1. Проделаем в бутылке шилом несколько отверстий на разной
высоте и закроем их все (кроме одного) пластилином. В отверстие
вставим короткую трубочку. Установим получившееся устройство
на подставку и заполним водой. Скорость вытекания жидкости можно
измерить по дальности струи. Запишем закон сохранения энергии
р^- = pgH. Из него следует, что и ~
.
2. Постоянство скорости истечения жид­
кости обеспечим с помощью сосуда Мариотта (рис. 48). Его устройство: в герметич­
ный сосуд сквозь пробку вставляется длин­
ная трубка, сообщающаяся с атмосферой.
В этом случае до тех пор, пока уровень воды
в бутылке не опустится до нижнего края
трубки, перепад давлений жидкости в со­
суде будет постоянным и равным pgH, где
р - плотность воды, Н - высота столба воды.
Давление воздуха внутри бутылки равно р = р0 - рgh> где р0 атмосферное давление, h - длина погруженной в воду части вер­
тикальной трубки.
Трубку Т вставляем в боковую поверхность бутылки для того,
чтобы струя не «прилипала» к стенке, а была горизонтальной на
выходе из Т .
10.16.
Рекомендации для организаторов. В «черный ящик»
следует впаять два одинаковых резистора, сопротивление ко­
торых равно внутреннему сопротивлению вольтметра. Вольт­
метр должен быть магнитоэлектрической системы.
1. Вольтметр, подключенный непосредственно к батарейке, по­
казывает 4,5 В. Соединяем последовательно батарейку и вольтметр.
Подключаем получившийся прибор поочередно к парам выводов
«черного ящика» и заносим показания вольтметра в таблицу:
№ опыта
1
2
3
4
5
6
Номера
выводов
1,2
1,3
1,4
2,3
2,4
3,4
uv
2,25 В
1,5 В
2,25 В
2,25 В
4,5 В
2,25 В
Достаточно выполнить шесть измерений, чтобы найти корот­
козамкнутые выводы «черного ящика». Измерение № 5 свиде­
тельствует, что накоротко замкнуты выводы 2 и 4 .
2. В общем случае любую схему, состоящую из омических со­
противлений и имеющую три вывода, можно свести к схеме из
12 Козел
329
Рис. 49
трех сопротивлений, соединенных «треугольником» (рис. 49, а)
или «звездой» (рис. 49, б).
Так как выводы 2 и 4 замкнуты, делаем заключение, что изме­
рения № 1 и № 3 эквивалентны. Аналогично, эквивалентны из­
мерения № 4 и № 6 . Сравним оставшиеся измерения № 1, № 2 и
№ 4. Показания вольтметра в измерениях № 1 и № 4 одинаковы
и составляют U /2, значит в схеме (рис. 49, a) R x = R3 или в схеме
(рис. 49, б) гг = г3. Кроме того, в случае а сопротивление R2 с
неизбежностью должно быть много больше внутреннего сопротив­
ления вольтметра (Rv). Можно считать, что R2 = °о.
В случае б измерение № 2 показывает, что гх + г3 = 2RV. Из
гг = г3 следует, что гх = г3 =
Поскольку гх + г2 = г3 + г2 = Rv
получаем, что г2 = 0. Вывод - схемы а и б эквивалентны.
Схема «черного ящика» такова:
0-
-0
&
-0
3
1
4
2
Рис. 50
10.17.
Рекомендации для организаторов. В качестве нити
следует взять либо достаточно тонкую хлопчатобумажную
нить, либо шерстяную пряжу. Длины нити, выдаваемой участ­
никамI, должно хватить для измерения каждым из способов не
менее трех раз. Необходимо заранее проверить, что нить не­
однородна по прочности вдоль всей длины.
В обоих способах нить выбранной длины закрепляем в штати­
ве и нагружаем грузами до тех пор, пока она не разорвется.
Поскольку прочность нити на различных участках неодинако­
ва, при «расточительном» способе на любой длине куска прочззо
ность колеблется относительно некоторого среднего значения слу­
чайным образом.
При «экономном» способе мы сперва разрываем нить на самом
слабом участке, затем - на самом слабом из оставшихся, и так
далее. В результате возникает «зависимость», порождающая впе­
чатление, что прочность нити растет по мере уменьшения длины
куска.
10.18. Рекомендации для организаторов. Брусок и пластину
следует взять от лабораторного трибометра, проследив, чтобы
явление срыва было достаточно заметным. При необходимости
можно обработать трущиеся поверхности мелкой шкуркой.
Максимальное растяжение пружины динамометра х0 опреде­
ляем по максимальному значению силы трения покоя Fn = kx0,
где k - жесткость пружины динамометра. После того как брусок
срывается с места, он движется под действием равнодействующей
двух сил: силы трения скольжения и силы упругости пружины
динамометра. По закону сохранения энергии
k x \
- f -
k x \
=
\w ig { x
о -
Х г)
+ —
,
где р - коэффициент трения скольжения, х г - растяжение пру­
жины в момент остановки бруска (малой скоростью движения
динамометра мы пренебрегаем). Это уравнение имеет два корня:
х г = х0 и х \ =
- х0. Учитывая, что брусок сдвинулся с места,
к
выбираем второй корень. Показания динамометра Fx в момент
остановки бруска, максимальная сила трения покоя Fn и сила
трения скольжения FCKсвязаны соотношением
F
ск
2
Найдем вес Р бруска с грузами. При скольжении бруска сила
реакции опоры N = Р, а сила трения FCK= \iN. Отсюда
найдем р.
10.19. Рекомендации для организаторов. Требу­
ются ферромагнитные грузы. Д ля этого подойдут мо­
нетки достоинством 1 и 5 копеек. Если магнит тя­
желый, предпочтительнее могут оказаться гвозди
двух типов. Сила притяжения магнита должна быть
достаточна для того, чтобы, будучи подвешенным к
одному из грузов, удерживать собственный вес маг­
нита и не меньше десяти грузов.
Рис. 51
331
Подвесим магнит (за полюс) на грузе и будем постепенно уве­
личивать количество грузов первого типа, подвешенных на ниж­
нем полюсе (рис. 51). В некоторый момент магнит упадет. Повто­
рим, подвешивая на нижнем полюсе грузы второго типа. Отноше­
ние количеств грузов, требующихся для отрыва магнита обратно
отношению масс грузов.
10.20.
Рекомендации для организаторов. Воздушный шарик
лучше брать диаметром 15-20 см в надутом состоянии, а его
форма не должна быть вытянутой. Шарик следует брать дос­
таточно мягкий. В любом случае его не нужно надувать слиш­
ком сильно. Примерный размер куска
органического стекла 15 х 15 см, тол­
щина 3 мм. Д ля проведения работы дос­
таточно 3-4 грузов массой от 100 г до
500 г. Если используются нестандарт­
ные грузы, то необходимо выдать весы
для их взвешивания. Фломастер должен
оставлять на органическом стекле чет­
кий след. Для этого необходимо использовать специальные фло­
мастеры для рисования на прозрачных пленках.
Надуваем воздушный шарик. Накладываем на шарик кусок
органического стекла (рис. 52), а сверху ставим первый груз. От­
мечаем фломастером границу касания шарика с органическим
стеклом. Повторяем эксперимент для остальных грузов. Исполь­
зуя миллиметровую бумагу, измеряем площадь контуров нарисо­
ванных на органическом стекле. Вес груза уравновешен силой, с
которой воздух в шарике давит на площадку, по которой стекло
соприкасается с шариком: mg = PS. Отложим на графике в коор­
динатах т, S экспериментально найденные точки. Проведем че­
рез эти точки прямую. Чтобы не учитывать массу пластинки,
прямая должна быть приподнята на величину S 0 площади пятна,
создаваемого пластинкой без грузов. Таким образом давление в
шарике определяем по формуле: Р = Amg/AS.
*10.21. Так как сопротивление резистора и нихромовой прово­
локи порядка десятков ом, то внутренним сопротивлением бата­
рейки можно пренебречь. Тогда, поочередно измеряя силу тока
через резистор и проволоку, определяем сопротивление нихромо­
вой проволоки. Длину ее измеряем линейкой. Чтобы определить
диаметр d проволоки, ее плотно намотаем на круглый карандаш виток к витку - и разделим длину намотки I, измеренную линей­
кой, на число витков п. Удельное сопротивление материала про­
волоки находим по формуле
332
_о_ кdl
i x ~й
где 10 - сила тока через резистор RQ91г - сила тока через проволоку.
10.22. Изготовим вольтметр, соединив последовательно с галь­
ванометром резистор, имеющий большое сопротивление. С помо­
щью этого вольтметра определим в относительных единицах на­
пряжение U0 на батарейке. Затем зарядим от батарейки эталон­
ный конденсатор. На его пластинах накопится заряд
Q.0 = U0C0.
(1)
Параллельно эталонному конденсатору подсоединим один из
исследуемых конденсаторов, например, Сг. Измерим напряжение
и г на получившейся батарее конденсаторов:
go
С0 + Q *
их
( 2)
Из (1 )и (2) следует, что
ио _ i ^
( 3)
и,
Аналогичным образом определим емкость конденсатора С2.
( TJ
С»
П р и м е ч а н и е . При подключении вольтметра к заряженному кон­
денсатору последний начинает разряжаться так, что за время т = RC
(это приблизительно 2 с), напряжение уменьшается в е раз. Поэтому
напряжение нужно измерять по максимальному отбросу стрелки галь­
ванометра.
*10.23. Возможны два вида колебания груза на нитях:
в плоскости чертежа, при этом
2п
Тг
L-AL
g
( 1)
перпендикулярно плоскости чертежа, при этом
( 2)
Из (1) и (2) находим
L - A L _ Г7 \) 2
L
“ U J
(3)
Но по условию задачи часы использовать нельзя. Выход из
положения можно найти следующим способом. Отклонив груз в
ззз
плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа, а затем влево
или вправо, мы возбуждаем оба вида колебаний. Груз при этом
будет описывать узкую эллиптическую траекторию с изменяю­
щимся направлением движения. Считая, что число колебаний,
при котором направление колебаний станет первоначальным, равно
N, запишем
T ^N + 1) = T J f.
(4)
Из выражений (3) и (4) получим
L -A L
L
( N У
{ n +1 ) '
Отсюда следует
М,
_ ( N ?
2N +1
L ~ 1 ~ { N + l j ~ (ЛГ+1)2'
*10.24. Возможны два способа измерения.
1. Опустив свободный конец трубки в воду и закрыв пластили­
ном верхний торец трубки, начать погружать ее в воду, сохраняя
вертикальное положение. При этом измеряются положения уров­
ня воды в трубке.
2. Набрав в трубку столбик воды, не касающийся ни одного из
его торцов, и закрыв один из торцов пластилином, измерить вы­
соту столба воздуха, заключенного в трубке при ее вертикальном
и горизонтальном положениях.
В обоих случаях для измерения используется закон БойляМариотта p0V = const.
П р и м е ч а н и е . Оба способа (особенно второй) дают высокую погреш­
ность измерения из-за малой плотности воды.
*10.25. Сила трения скольжения (рис. 53), действующая со сто­
роны бумаги на кнопку
Frp = \iN = [i(mg cos a +
Элементарная работа силы трения
dA = FrpdS = [i(mg cos a H— — )Rda.
При перемещении кнопки по дуге
окружности от места старта (угол а х) до
места смены направления движения
(угол а 2) работа А силы трения соверша­
ется за счет убыли потенциальной энер­
гии &Еи:
334
I
J dA = -m g(hl - h2).
(1 )
<h
При уменьшении hx разность (h - h2) —>0, а это сопровождается
стремлением к 0 слагаемого
171V2
~Д~
. В этом случае выражение (1)
можно упростить:
\х mg{sin аг - sin (~a2))R - mg{hx - h2),
откуда следует
r (sin Oj
- sin(-a2))
( 2)
Проведем серию измерений рот(Л1 - /i2)
и построим соответствующий график
(рис. 54). Точка пересечения полученной
прямой с осью ординат даст нам значе­
ние коэффициента трения скольжения.
U
2 ' 4 6 8 10
Максимальное значение коэффициента
( h 1- h 2), мм
трения покоя найдем из условия
Рис. 54
К = tg a lmin.
*10.26. Укрепляем желоб на штативе достаточно высоко над
столом под некоторым углом а к горизонту. С помощью отвеса
и рулетки можно найти sin а. Ускорение определим, измерив
длину желоба (пройденный путь) и вы­
числив скорость шарика в конце пути.
Для этого достаточно знать положение
шарика в момент удара о стол, кото­
рое удобно фиксировать, используя
лист копировальной бумаги, положен­
ный на лист обычной бумаги, закреп­
ленной на столе с помощью кнопок.
Ход искомой зависимости резко меня­
ется после достижения значения угла
наклона а к, при котором возникает
проскальзывание шарика (рис. 55).
*10.27. Поместим пробирку вверх дном в сосуд с горячей водой.
Выждав некоторое время (~ 10 минут), дождемся того, что в про­
бирке возникнет насыщенный пар при температуре tx = 60 °С. Изме­
рим длину 1г части пробирки, свободной от воды. Затем прикроем
пробирку пробкой и перенесем ее в сосуд с водой, находящейся при
335
комнатной температуре t2. Пробирка по-прежнему остается вверх
дном. Вынимаем пробку. Примерно через 10 мин в пробирке уста­
новится давление насыщенного пара р2, соответствующее t2. Пусть
при этом длина пробирки, свободная от воды, равна /2.
Поскольку количество воздуха в пробирке не меняется, можно
записать для двух рассмотренных случаев систему уравнений:
(Ро - Pi)lis
=
vRTlr
(1 )
( Р о “ Pz)l 2 S = VRT2 (2 )
Здесь S - площадь отверстия пробирки, Тх = 273 + t19 Т2= 273 + t2.
Решая систему уравнений (1) и (2), найдем искомое давление
Тх12
Pi ~ Ро ~ (Ро ~ Рг) у ^ •
*10.28. Из рис. 56 видно, что горизонтальная проекция индук­
ции магнитного поля Земли
В0 = В cos ср.
(1)
Расположим компас и магнит так, чтобы ось магнита была
перпендикулярна направлению «север-юг» (рис. 56), а расстоя­
ние от центра магнита до оси вращения стрелки компаса I = 30 см.
При этом стрелка компаса отклоняется на угол а. Из рис. 57 сле­
дует, что
в м = в 0 tg а,
(2 ),
где Вм - искомая индукция поля магнита. Из (2) и (1) находим
Вм = В cos ф tg а.
(3)
Во
Юг
Рис. 57
*10.29. 1. Соберем электрическую схему в соответствии с
рис. 58. Подсоединим проводники к источнику тока и, соблюдая
полярность, зарядим батарею однотипных конденсаторов.
Свободным концом проводника, подсоединенного к неоновой
лампе, последовательно прикоснемся к точкам 1, 2, 3, 4, ... и так
далее.
336
Если разность потенциалов между точками а и b достигнет
напряжения зажигания, то неоновая лампа вспыхнет на корот­
кое время Е/заж < U n .
2. Погрешность определения 17зажприблизительно равна напря­
жению источника тока. Чем меньше U, тем меньше абсолютная
погрешность, но больше необходимое число т конденсаторов.
Погрешность можно существенно уменьшить, если заряжать от
источника не каждый конденсатор в отдельности, а, начиная с но­
мера пу определенного в п. 1 , зарядить от источника оставшиеся
k = т - (п - 1) последовательно соединенные конденсаторы. Тогда
напряжение на каждом из этих конденсаторов окажется равным
U/к. Подсоединяя теперь неоновую лампу к батарее из п - 1 конден­
саторов, заряженных до напряжения U/к, можно в k раз уменьшить
абсолютную ошибку измерения напряжения зажигания. В этом слу­
чае все к конденсаторов должны иметь одинаковую емкость.
*10.30. Запишем закон Гука F = к • А/, где к - коэффициент
упругости пружины, АI - ее удлинение. С другой стороны известно, что F — —, где I - длина пружины. Очевидно, что I ~ п у где
п - число витков пружины. Из приведенных выше соотношений
получаем искомую зависимость
к
( 1)
п
Закрепляем один конец пружины в лапке штатива (рис. 59) и
измеряем длину пружины в зависимости от числа ее витков.
~ - .
337
Рис. 59
Рис. 60
Зависимость получается параболической, так как масса пру,
1 „
жины пг ~ п, а коэффициент упругости к ---- . Для наглядности
п
строим график удлинения пружины от числа витков в координа­
тах л/ а/л / Д^ от п (рис. 60).
Дважды измеряем удлинение пружины: один раз с шариком,
прикрепленным к нижнему концу пружины, другой раз без него.
Пусть масса пружины равна М. Тогда по закону Гука
i^t+m)s=Шг’
М
им
—
g=ш
2.
Решая эту систему уравнений, найдем
mg
Мг - М2 9
М =т
2 AL
1 4 м2 У
Зажимаем в лапку штатива часть витков пружины и опреде­
ляем зависимость периода колебаний от числа свободных витков.
Получаем линейную зависимость, которая согласуется с теорией.
Т = 2пл
, и т.к. М п~ п 9 kn~ —, то период оказывается пропор­
циональным числу витков пружины:
п.
*10.31. Собираем электрическую цепь согласно схеме на
рис. 61. Эквивалентное сопротивление RB участка цепи с парал­
лельно соединенным резистором с сопротивлением R и вольтмет­
ром, внутренне сопротивление которого равно Rv:
338
RRV
R» = R +Rv •
Запишем показание вольтметра Ux:
v
«>
Собираем электрическую цепь согласно схеме на рис. 62. Вновь
запишем показание вольтметра
Rv
U9= Г г + R + Rv
( 2)
Решая систему уравнений (1) и (2), находим внутреннее сопро­
тивление источника г и его ЭДС If.
j
Рис. 62
Определяем емкость Сг конденсатора. Для этого сначала заря­
жаем конденсатор, а затем разряжаем его через вольтметр и пос­
ледовательно соединенный с ним резистор. На миллиметровой
U
бумаге строим график I ( t), где I = д - . Известно, что I =
= 10ехр
Сг(R + Rv) а /° = R + ^ . Отсюда In
Окончательно получим
At
У
ЩН +Ну)'
(R + #г)Д1п
V^o
Емкость С2 конденсатора можно определить другим способом.
Заряжаем Сх до напряжения U = If, а затем разряжаем через С2.
Проводим некоторое количество (я) разрядок Сг через С2. На кон­
денсаторе Сг останется заряд Qn:
339
(3 )
Измеряем остаточное напряжение U0 на конденсаторе Сг. По­
скольку Qn = Сги 09 a Q0 = С ^ у из (3) получим
(4)
*10.32. Отогнем у листа бумаги два уголка так, как показано
на рис. 63. На лист установим ящик. На линии зрения, проходя­
щей через уголок А и изображение
уголка В в левом стекле,
сделаем карандашом отмету и проведем прямую А В Х. Затем на
линии зрения, проходящей через уголок А и изображение В2уголка
В в правом стекле, сделаем другую отметку и проведем прямую
АВ2. Аналогичным образом проведем прямые ВАХи ВА2. Измерим
расстояние CD. Оно равно расстоянию между стеклами в ящике.
Рис. 63
Погрешность измерения расстояния Н между стеклами зави­
сит от толщины А этих стекол и составляет —2А.
*10.33. Рекомендации для организаторов. Д ля относитель­
ного увеличения эффекта потерь энергии кипятильник следует
включать в цепь с пониженным напряжением ( например, 100 В).
340
Количество теплоты, которое получает в единицу времени сис­
тема «вода-сосуд», определяем из выражения
AQ
АТ
— = (mlcl + m2c2)— ,
(1 )
где пг19 пг2 и с19 с2 - известные массы и удельные теплоемкости
воды и сосуда соответственно.
Удельная теплоемкость системы «вода-сосуд» постоянна в те­
чение всего эксперимента, поэтому для краткости обозначим ее
символом А , т.е.
А = m1c1 + т2с2.
Пусть мощность кипятильника равна Р. Обозначим количе­
ство теплоты, переходящее в единицу времени от сосуда с водой к
окружающему воздуху, символом Р_. Запишем условие теплового
баланса
АТ
AQ
= Р _+ А
Р = Р_ +
( 2)
At '
At
Обратим внимание на то, что Р_ зави­
сит
от
тем п ературы ,
т.е.
Р_ = Р_(Т). Чтобы найти Р_ при задан­
ной температуре Т, прервем нагревание
сосуда с водой (отключим кипятильник
и вытащим его из воды) и проследим за
изменением температуры системы от времени, т.е. найдем отношение
случае
АТ ^
В этом
tyмин
Рис. 64
Р.
( 3)
Повторим опыт с нагреванием системы «вода-сосуд» и после­
дующим прерыванием нагрева при разных температурах.
Приведем данные трех серий измере­
ний (рис. 64), отличающихся выбором
момента времени прерывания процесса
нагревания. В первом случае нагревание
до температуры 83 °С длилось 34 мин,
во втором - 15 мин до 61 °С, в третьем 4 мин до 36 °С. По графику (или соот­
ветствующей таблице) легко установить,
что в согласии с формулой (3)
Р(83°) ^ Р(61°) ^ 113 Вт.
Рис. 65
341
При нагревании воды до 36 °С найденное значение мощности не­
сколько выше:
Р(36°) =* 126 Вт.
Полученные по трем измерениям среднее значение мощно­
сти и ее среднестатистическая погрешность соответственно
равны 117 Вт и 5 Вт. Мощность потерь для выбранных момен­
тов времени принимала следующие значения:
Р_(83°) =* 76 Вт, Р_(61°) ^ 38 Вт,
Р_(36°) =* 13 Вт.
Искомое количество потерянной теплоты Q можно оценить,
определив площадь под графиком (рис. 65) зависимости Р_ от вре­
мени нагрева до соответствующей температуры. Находим ответ:
Q — 96 кДж.
*10.34. Проверим вольтметром отсутствие источника тока внут­
ри «черного ящика». Соберем цепь для снятия вольтамперной
характеристики его участков цепи (рис. 66 ). Поочередно снимаем
вольтамперные характеристики всех пар выводов «черного ящи­
ка» при прямой и обратной полярности включения источника тока.
Рис. 66
По виду вольтамперной характеристики (рис. 67) участка цепи
АВ определяем, что он содержит диод. Вольтамперная характери­
стика участка цепи DB (рис. 68 ) имеет линейный характер, что
говорит о наличии резистора. По закону Ома для участка цепи
вычисляем сопротивление RDB = 1 кОм.
342
Резкий отброс стрелки миллиамперметра при подключении
участка цепи DB к источнику тока и ее последующее плавное
установление на новом уровне свидетельствуют, что параллельно
с резистором включен конденсатор.
При максимальном сопротивлении переменного резистора полу­
чается, что конденсатор и два резистора по 1 кОм включены парал­
лельно (рис. 69). Если в этом случае отключить источник тока, то
конденсатор будет разряжаться за время t ~ 1 с . Чтобы оценить
емкость С конденсатора, запишем закон сохранения энергии:
l \ R , t = - CU2
где / ср * U J R , UCf)~
Д, = R/2 = 0,5 кОм.
Емкость С ~ 1000 мкФ.
Электрическая схема «черного ящика» приведена на рис. 70.
1кОм
I
1кОм
Рис. 69
*10.35. Линейку, обернутую листом бумаги, ставим верти­
кально на другой такой же лист бумаги, лежащий на столе.
Прислоняем к линейке карандаш (заточенный с двух сторон)
под углом а, предельным, при котором карандаш еще не сколь­
зит (рис. 71). Условия равновесия ка­
рандаша определяются равенством нулю
суммы всех действующих на него сил и
равенством нулю моментов сил относи­
тельно общего полюса. Запишем в про­
екциях на горизонтальную и вертикаль­
ную координатные оси условие равен­
ства нулю суммы сил:
^2 - ^тр1 = 0 ,
( 1)
0.
( 2)
Определим моменты сил относительно
полюса О:
N i + К Р2 ~ m g =
343
mg^ cos a - N 2L sin a - Frp2L cos a = 0,
(3 )
здесь L - длина карандаша.
Решая системы уравнений (1)-(3), получим
*10.36. Чтобы определить материал, из которого изготовлен
один из образцов, следует найти теплоемкость металла методом
охлаждения и затем сравнить найденную теплоемкость с таблич­
ными данными.
Металлический образец, имеющий температуру более высокую,
чем температура окружающей среды, в этой среде охлаждается.
Количество теплоты, теряемой образцом металла за малый про­
межуток времени Ат, равно
AQ = - cpVAt,
(1),
где с - удельная теплоемкость металла, р - его плотность, V объем образца, At - изменение температур образца.
Это же количество теплоты может быть найдено из закона со­
хранения энергии
AQ = a(t - f0)SAx.
(2),
где t0 - температура окружающей среды, t - температура образ­
ца, a - коэффициент теплоотдачи, S - площадь поверхности об­
разца. Сравнивая выражения (1) и (2 ), получаем
-cpVAt = a (t - f0)SAx.
(3)
Выражение (3) перепишем в виде
М
aS
Ат,
(4)
t - 10
cm
где т = pV - масса образца; знак минус показывает, что с увели­
чением времени Ат температура образца убывает.
Определив из опыта температуры образцов для ряда значений
времени, на миллиметровой бумаге строим соответствующие гра­
фики.
Находя из графиков Atx и At2 для двух образцов при одинако­
вых разностях температур (t - t0)l и (t - t0)2 и при одинаковых Ат,
запишем
М2
откуда
344
_ ^2^2
сгтг ’
(5)
щ м2
( 6)
т1 Д<!
Величины ос и S принимаем одинаковыми для обоих образцов
в одних и тех же интервалах температур.
Образцы по очереди помещаем в горячую воду. После нагрева­
ния образца до 80-90 °С вынимаем его и протираем. В канал об­
разца помещаем термометр, закрепляя его в штативе. С помощью
секундомера через каждые 30 с записываем температуру образца
до температуры, примерно на 10 °С превышающую t0. По ряду
полученных из опыта значений температуры для каждого из двух
образцов на листке миллиметровой бумаги в координатах (t - t0)
и т строим графики.
По формуле (6 ) вычисляем удельную теплоемкость cv
*10.37. Сначала определим ЭДС и внутреннее сопротивление
источника тока. Для этого соберем цепь, схема которой приведе­
на на рис. 72. Измеряем силу тока 1Хи вычисляем напряжение на
зажимах источника тока:
и х =% - I xr ~ Ш.
(1 )
с1
Со
Рис. 72
Соберем цепь, схема которой изображена на рис. 73. Измерим
силу тока / 2 и вычислим напряжение на зажимах источника тока:
С/2 - / 2Д2 - Г - ^ .
(2 )
Из (2) найдем внутреннее сопротивление источника:
■- 1
R,
(3)
Для того чтобы измерить сопротивление Влх нити накала лам­
почки при комнатной температуре собираем цепь, схема которой
приведена на рис. 74. Измеряем силу тока 13 и вычисляем
R,
Ra
I*R)
~Яг-
(4)
-1
345
В цепи, схема которой дана на рис. 75, через лампочку течет
максимальный ток. Следовательно, и температура нити накала будет
максимальной. Напряжение на лампочке найдем по формуле
,
и9
ДлГ
(5)
Дп. + Г •
Из (5) выразим сопротивление Ядтразогретой спирали:
•
(6>
!А
Поскольку сопротивление спирали лампочки от температуры за­
висит линейно, можем записать
Длг = Длх(1 + а(Тлг- Т лх)) .
( 7 ),
где Тлг и Тлх - температуры спирали лампочки в разогретом и
холодном состояниях.
Из (7) окончательно получим
\
1
1
Т лг = Т лх 4- Rm—а
— или Тлх Н---а
лх а
у
*10.38. Найдем радиус г капилляра. Для этого набираем в шприц
определенный объем V жидкости, часть которой с помощью иглы
переливаем в капилляр, и измерим миллиметровой бумагой вы­
соту h столба жидкости. Освобождаем капилляр от воды и вновь
заполняем его жидкостью из шприца. Так повторяем до тех пор,
пока в шприце не закончится вся вода. Зная объем воды в шпри­
це и просуммировав высоту столба воды в капилляре для каждого
измерения (допустим, получилась высота Н ), можно по формуле
г=
V
пН ’
найти радиус капилляра.
Опустим капилляр в емкость с жидкостью. За счет сил поверхно­
стного натяжения вода поднимется в капилляре на некоторую высо­
ту h. Этот подъем воды можно связать с избыточным давлением
346
Р = — = PSh.
(1)
Из (1) получим выражение для определения коэффициента повер­
хностного натяжения
= м
°
2 VкН '
*10.39. В первую очередь необходимо определиться с системой
координат. Наиболее целесообразно начало отсчета установить в
центре боковой поверхности тела, а оси расположить горизонтально
и вертикально.
Перемещая груз при заданной координате х по вертикали, обна­
ружим, что при некотором положении груза тело переворачивает­
ся. Таким образом, чтобы решить задачу, необходимо эксперимен­
тально найти области и их границы на боковой поверхности тела,
в которых тело либо поворачивается на угол, меньший 90°, либо
осуществляет поворот вокруг оси, т. е. на угол, больший 180 °.
класс
11.1. Динамометром взвесим груз:
mg = kx0,
(1 )
где т - масса груза, k - жесткость пружины динамометра, х0 удлинение пружины динамометра.
Возбудим колебания груза на пружине динамометра. С помо­
щью секундомера определим период Т колебаний груза:
Т =2 к^.
(2 )
Из (1) и (2) получим выражение для х0:
*° - *(£ ) •
<з)
Из (1) и (3) устанавливаем соответствие между ценой делений
шкалы динамометра и длиной х0. Измерим размеры груза в еди­
ницах шкалы динамометра и переведем их в единицы длины. Вы­
числим объем V груза. И спользуя формулу р = - ^ , где
m - масса груза, вычисленная по ( 1 ), находим плотность р груза.
347
11.2. Обвязав нитью один конец дере­
вянного стержня, привяжем его к шта­
тиву. Опустим стержень в сосуд с водой
О
(рис. 76). Измерим длину L стержня и
длину х части стержня, находящейся в
воде.
Запишем условие равенства момен­
у/ш ш ш м /т ш т т т т ж ;
тов сил, действующих на стержень, от­
носительно полюса О:
Рис. 76
-I----- г
( 1)
где рт - плотность стержня, S - площадь его поперечного сечения,
рв - плотность воды.
И з (1 )следует
11.3. Рекомендации для организаторов. Задачу желательно ста­
вить в аудитории, где возможно хотя бы частичное затемнение,
тогда в качестве лампы можно применить лампочку от карман­
ного фонаря. В других случаях следует использовать более мощную
лампу, чтобы ее яркость была достаточна для получения изобра­
жения нити накала в сконструированном оптическом приборе.
Проделаем иглой отверстие в центре фольги. Прикрепим бу­
лавкой к стене лист белой бумаги. Это будет экран. Лампу следу­
ет установить на расстоянии около двух метров от экрана. Поме­
стим между лампой и экраном фольгу так, чтобы изображение
нити накала было видно на экране. Фольгу располагаем ближе к
лампе, тогда изображение спирали (рис. 77) будет увеличенным в
Ъ
— раз. Чем большее увеличение мы хотим получить, тем больше
Ъ
должно быть отношение —.
а
Ъ
Пусть шаг спирали нити накала равен Н , тогда H /h = — и
Экран
следовательно
Фольга
а
Ъ
Рис. 77
348
Для более точного определения шага
h изображения спирали следует измерить
расстояние I между несколькими (k) вит­
ками. В этом случае h = l/k.
. L1 . j *
11.4. Рекомендации для организаторов.
V---- >1. L 2 '
Внутреннее сопротивление гальванометра
должно в 2-3 раза отличаться от сопро­
ч*
тивления резистора, которое известно. Па­
1
д
раметры источника тока должны допус­
кать включение приборов по схеме, указан­
ной в решении, т. е. у школьника не должно
Рис. 78
быть возможности сжечь приборы.
Подключим гальванометр Г к одному из плеч мостика Уинсто­
на, а в другое плечо включим резистор с известным сопротивле­
нием, ключ поставим в мостике там, где обычно включают галь­
ванометр (рис. 78). Подберем положение движка так, чтобы при
замыкании и размыкании ключа ток через гальванометр не ме­
нялся. Поскольку это возможно только при сбалансированном
мостике, для расчета внутреннего сопротивление гальванометра
можно записать
R J R = L x/L 29
(1)
где Ьг и Ь2 - длины соответствующих плеч реохорда, R - сопротив­
ление резистора, a Rx - искомое сопротивление гальванометра.
Из (1) получим Rx =
h
11.5. Будем считать линзу тонкой. Как известно, оптическая
сила тонкой линзы равна сумме оптических сил ее преломляю­
щих поверхностей:
71
1Ъл
71
Tin
D = ----- L + ----h
h
где пг и п2 - показатели преломления света в среде, находящейся
слева и справа от линзы, а гх и г2 - радиусы кривизны левой и
правой преломляющих поверхностей линзы.
Измерим фокусное расстояние Fx линзы, находящейся в воздухе.
Аккуратно опустим линзу на поверхность воды так, чтобы ее
нижняя сферическая поверхность погрузилась в воду, а верхняя осталась в воздухе. Измерим фокусное расстояние F2 линзы со
стороны воды.
Перевернем линзу другой стороной и вновь измерим в воде ее
фокусное расстояние F3.
Выразим фокусные расстояния Fl9 F2, F3 линзы через радиусы
кривизны ее поверхностей и соответствующие показатели прелом­
ления:
1_
= D, = (7* - 1 )
( 1)
349
1
=
F*
1
F3
1
А
(2 )
~
«в
=
A
Г7 1 -1
«в 1
(
1
l
пв
~
Л,
'2
Г1
У
7 1 -7 1 ,
1
'2 /
ri
( 3)
Решая систему уравнений (1)-(3), найдем выражения для иско­
мых величин:
пп- 1
(4)
П= 1+ 2 - а ’
_ п» ~ 1
ri - А - А ’
_ п„ - 1
а - А ’
где для краткости было использовано обозначение
(5)
( 6)
■Р2 + -Рз
а
~
А
'
Подставляя в (4)-(6) измеренные значения F19 F2 и F39 вычислим
71, Г х И Г 2.
11.6.
Рекомендации для организаторов. Б качестве исследу­
емого полупроводникового прибора рекомендуется использовать
семистор, ВАХ которого приведена на рис. 79.
J относительные единицы
Соберем цепь, схема которой приведена на рис. 80. Снимем
ВАХ семистора. Для этого будем увеличивать выходное на­
пряжение источника тока. При достижении Ub сила тока в
цепи скачком возрастает от 1Ъдо I d. При последующем увели­
чении напряжения мы снимем зависимость /(£/), которой со­
ответствует участок (d9 е) ВАХ. При уменьшении напряжения
мы снимаем зависимость /(£/), которой соответствует участок
(е9 d 9 с) ВАХ. При достижении Uc сила тока в цепи скачком
уменьшится от 1Сдо 1а. Таким образом, цепь, приведенная на
350
рис. 80, не позволяет изучить участок (с, Ъ) вольтамперной
характеристики.
Зависимость dU/dl любого электронного прибора называется
динамическим сопротивлением и обозначается гдин. На участке
(с, Ъ) (рис. 79) гдин - отрицательная величина. Соединим последо­
вательно с семистором резистор, сопротивление которого больше
максимального значения модуля гдин. Теперь сопротивление фраг­
мента цепи «резистор-семистор» положительно. Снимем ВАХ этого
участка цепи. Учитывая вклад резистора R в вид новой ВАХ,
восстановим участок (с, Ъ) ВАХ семистора.
11.7. Прежде всего убедимся, что два одинаковых конуса, од­
новременно отпущенные с некоторой высоты, коснутся пола од­
новременно. Далее, отпустим один конус с большой высоты, а
другой будем держать на меньшей высоте. Когда верхний конус
поравняется с нижним конусом, отпустим его. Оба конуса достиг­
нут пола практически одновременно.
Следовательно, время установления скорости равно погрешно­
сти измерений.
Расположим внутри одного из конусов дополнительно еще три
конуса таким образом, чтобы их вершины совпали. Отпустим од­
новременно один и четыре соединенных вместе конуса с высот Н
и 2Н соответственно.
Эксперимент показывает, что в этом случае они также достиг­
нут пола одновременно. Значит, скорость четырех конусов в два
раза больше скорости одного конуса. Заметим, что при устано­
вившемся движении сила сопротивления, действующая на конус,
равна силе тяжести. Таким образом: F(v) = mg, F(2v) = 4mg. Из
двух последних равенств получим F ~ и2.
11.8. Рекомендации для организаторов. Дощечка может быть
взята из лабораторного трибометра. Торцы брусков необходимо
обработать таким образом, чтобы для одного из них сила тре­
ния была недостаточна для опрокидывания бруска при движе­
нии пластины, а для другого - наоборот.
При малой силе, приложенной к дощечке, возникающая сила
трения удерживает брусок на дощечке. С увеличением силы, с
которой мы тянем дощечку, брусок начинает проскальзывать от­
носительно пластины, сохраняя вертикальное положение. Достиг­
нув края дощечки, брусок падает на стол, причем при бо'лыпих
ускорениях дощечки он сохраняет вертикальное положение, а при
меньших - может перевернуться. В случае с большим коэффици­
ентом трения при большом ускорении дощечки брусок сразу оп­
рокидывается. В зависимости от соотношения размеров и действу­
351
ющих сил брусок может как упасть на пластину, так и соскольз­
нуть с нее.
11.9.
Рекомендации для организаторов. Можно взять банку
объемом 0,7 л. Линза и экран могут быть использованы из стан­
дартного оборудования школьного кабинета физики.
Установим источник света S и линзу вплотную к банке с ее
диаметрально противоположных сторон. Нальем в банку исследу­
емую жидкость. Установим за линзой экран на таком расстоя­
нии, чтобы на нем было четко видно изображение светящейся
спирали лампочки. Поскольку банка с жидкостью представляет
собой вертикально расположенную цилиндрическую линзу, изоб­
ражение спирали будет вытянуто в горизонтальной плоскости.
Уберем банку и, не меняя положения линзы и экрана, сместим
лампочку так, чтобы на экране вновь получилось ее четкое изоб­
ражение. Измерим расстояние L от лампочки до линзы и диаметр
D банки. Новое положение лампочки совпадает с ее мнимым по­
ложением S' в первом опыте (рис. 81). Для того чтобы не загро­
мождать рисунок, на нем не показано положение линзы и экрана.
Считая все углы, изображенные на рис. 1, малыми, запишем:
а = 1/D, у = Z/L, Р = а /г, ср = Р - а. Из приведенной системы
уравнений выразим искомое значение показателя преломления
Рис. 81
11.10.
Рекомендации для организаторов. Кристаллизатор
должен быть таких размеров, чтобы карандаш не умещался в
нем как в горизонтальном, так и в вертикальном положении.
352
Масса куска пластилина должны быть приблизительно рав­
на массе карандаша.
Работу выполняем в два этапа. На первом этапе определим
(в относительных единицах) массу т карандаша. Подвесим к шта­
тиву с помощью нити карандаш так, как показано на рис. 82.
Измерим линейкой длину L всего карандаша и х - длину части
карандаша, погруженной в воду. Запишем условие равенства мо­
ментов сил относительно полюса О:
m
- g
= (p B* S ) ( i - f ) * ,
\
(1)
где рв - удельная плотность воды.
Из (1) получим выражение для массы карандаша:
( 2)
т =
где S - площадь поперечного сечения карандаша. Ее можно
найти, измерив диаметр карандаша. Для более точных измере­
ний диаметра целесообразно обмотать вокруг карандаша нитку
(10-12 оборотов) и через длину Ь нити выразить диаметр и пло­
щадь:
S
аТ
4п N ) ’
( 3)
где N - число оборотов нити вокруг карандаша.
На втором этапе изготовим разноплечные весы так, как пока­
зано на рис. 83. На короткое плечо повесим кусок пластилина.
Положение точки крепления весов (полюс Ох) подберем так, что­
бы весы оказались уравновешены. Вновь запишем условие равен­
ства моментов сил относительно полюса Ох\
353
Из (2)-(4) получим
М = рвх -
4 nf \ N
Yf-2 *1(A-i)
Jt 2 i j К J
11.11.
Рекомендации для организаторов. Эксперимент сле­
дует проводить в затемненном помещении. Д ля выполнения ра­
боты наиболее подходят светодиоды АЛ 307 и АЛ307Б. Перемен­
ные резисторы должны иметь шкалу и обеспечивать возмож­
ность регулировать сопротивление от 0 до 20 кОм.
Соберем электрическую цепь, изображенную на рис. 84.
* 2 ^
^
------------ 1____ l
R2
/ /
>r
i
/ o
(f> h
f
Rx
o,
r
A _____________________________
Рис. 84
Снимем ВАХ светодиода D2. Обозначим напряжение на D2 сим­
волом U2, а ток / 2.
Обозначим положения ключей К х и К 2 плюсами (если ключ
замкнут) и минусами (если разомкнут). Например, состояние, в
котором К г разомкнут, а К 2 замкнут, обозначим «— Ь>.
Для различных значений R2, изменяя R19 добьемся, чтобы яр­
кость светодиода Dx не менялась при переключении из положе­
ния «- +» в «+ -» . При выполнении этого условия напряжение на
светодиоде Dx всегда равно U/2. Установим сопротивление резис­
тора R2 равным нулю. При этом сопротивление резистора Rx сле­
дует подобрать таким, чтобы в состоянии «— Ь» напряжение на
нем тоже равнялось U/2. Обозначим это сопротивление R0. Най­
дем силу тока / 0, протекающего через светодиод Dx:
354
7, отн. ед.
U
( 1)
7° = 2 R n •
Изменим сопротивление резистора R2.
Вновь добьемся, чтобы яркость светоди­
ода Dx не менялась при переключении
из положения «— Ь» в <Н— ». Напряже­
ние U2 на светодиоде D2 найдем по фор­
муле
U
и
U*~~2 ~ IoRl ~ 2
1-
«1
Д«
( 2)
Рис. 85
В положении «— Ь> сила тока 70 рав­
на сумме 72 и 7'2, протекающего через D2 и Л2 соответственно.
Отсюда
7 = 71 О- 7 1' 2 *
( 3)
12
Очевидно, что
(4)
7'2 = U2/R 2.
С учетом (1), (2), (4) из (3) окончательно получим
12
_ и_ f
л
i? 0
л
1
—
Т?2
R.
«
+
—
Л
-
7?07?2
у
(5)
ВАХ светодиода построим (рис. 85), вычисляя по формулам (2)
и (5) напряжение и силу тока.
11.12.
Рекомендации для организаторов. Ш калу штанген­
циркуля следует отполировать.
1. Штангенциркуль используем в качестве дифракционной ре­
шетки. Миллиметровые деления шкалы штангенциркуля будут
выступать в качестве штрихов рабочей поверхности решетки. При­
крепим к стене скотчем лист миллиметровой бумаги (экран). Угол
падения 0 лазерного луча на штангенциркуль должен быть бли­
зок к п/2. Период решетки d = 1 мм.
Условие наблюдения на экране /n-го дифракционного макси­
мума:
rf(sin 0' - sin 0) = тХ.
(1)
Полагая, что п/2 - 0' « 1, выразим sin 0' и sin 0 через расстояние
L от решетки до экрана, и расстояние hx и h0 от плоскости решет­
ки до 1-го и 0-го дифракционного максимумов (рис. 86).
355
sin 0' = 1 -
sin 0 « 1 -
(2)
Из (1) и (2) получим
, _ d hi - h i _ d {fh - /г0)(й! + ho)
K m 21}
m
11}
•
Подставляя в (3) измеренные h0, h1 и L, найдем A, = 670 нм.
Для повышения точности измерений следует увеличивать
расстояние L и работать с т > 1. В этом случае погрешность
измерений при аккуратном проведении эксперимента не пре­
вышает 10% и, в первую очередь, обусловлена точностью из­
мерения hx - h0.
2. Направим луч лазера в оптический «черный ящик». На эк­
ране увидим картину, наблюдаемую при прохождении света че­
рез дифракционную решетку. При вращении лазера вокруг его
оптической оси яркость дифракционной картины изменяется. При
некоторых углах поворота лазера она исчезает практически пол­
ностью. Поскольку излучение лазера поляризовано, такая ситуа­
ция возможна, если в «черном ящике» находится поляризацион­
ная пластинка.
3. Измерим на экране расстояние D между дифракционными
максимумами лазерного излучения, прошедшего сквозь «черный
ящик» и расстояние Ьх от «черного ящика» до экрана. Период
дифракционной решетки
d1
D 9
11.13. Для измерения токов используем резистор: I = 4jl Проб­
R
’
ные измерения показывают, что сопротивление между клемма­
ми D и В зависит от частоты и не зависит от амплитуды прило­
женного напряжения, между А и D - зависит от частоты и амп­
литуды напряжения, между В и А - зависит от амплитуды, но
356
не зависит от частоты напряжения.
Вывод - возможные схемы: 1, 2 и 3 (см.
указание). Схема 4 не подходит, так как
для любых двух выводов сопротивление
зависело бы от U и со. С помощью изме­
рений на постоянном токе, выясняем:
Rab + RBd = Rad пРи фиксированной силе
тока. Следовательно, сопротивление
между узлом и клеммой В равно нулю
(там нет катушки, так как сопротивле­
ние между В и А не зависит от со). Та­
ким образом, остаются схемы 1 и 2.
Подключим электроизмерительные
приборы к клеммам А и В. Снимем ВАХ
на постоянном токе (рис. 87). Она соот­
ветствует лампочке накаливания.
Подключим электроизмерительные
приборы к клеммам D и В. Снимем час­
тотную характеристику «черного ящи­
ка» (рис. 88). Этой зависимости удовлет­
воряет схема параллельно соединенных
резистора с сопротивлением R и конденсатора. Катушка индук­
тивности не подходит, так как в этом случае с ростом частоты
индуктивное сопротивление возрастало бы. Проводя измерение
отношения UDB/ I DB на какой-либо фиксированной частоте со0, на­
ходим емкость конденсатора
r _ 1 If i L - z ?
(00 \ R 2DB- Z t ’
где ZDB
- импеданс соответству­
ющего участка цепи.
Изобразим схему цепи «черного ящир Rq
ка» (рис. 89).
ИС’
11.14. Отрежем полоску картона максимально возможной дли­
ны, подобрав ее ширину так, чтобы она не теряла устойчивости,
будучи вертикально закрепленной в штативе. С помощью нитки,
связанной в петлю, будем прикладывать к верхней части полоски
вертикальное усилие F (подвешивая грузы или натягивая нить
динамометром). Будем увеличивать нагрузку до тех пор, пока по­
лоска не начнет изгибаться.
357
Повторим эксперимент для других
длин полоски L или для других поло­
сок той же ширины.
Построим график зависимости
F
L
А - In тг = п In ~г~,
А)
где A, F0 и L 0 - нормировочные по­
стоянные коэффициенты, зави ся­
щие от выбранного масштаба изме­
рений.
По тангенсу угла наклона графика
(рис. 90) определим п:
п - tg а - 2.
11.15. Рекомендации для органи­
заторов. В качестве груза можно ис­
пользовать пробку от «Пепси-колы»,
Рис. 90
заполненную пластилином.
Если линейку уложить на край
доски, расположив штатив с подвешенным грузом так, что в
момент удара о торец линейки нить окажется вертикальной,
то после удара линейка проскользнет по доске некоторое рас­
стояние I.
Энергию, приобретенную линейкой после удара, можно оп­
ределить следующим образом. Под действием силы трения
линейка движется замедленно. Ее ускорение а = \ig, началь­
ная скорость v0 = V2 y-gl.
Коэффициент трения линейки о доску определим, постепен­
но поднимая один край доски с лежащей на ее поверхности
линейкой до тех пор, пока линейка не начнет скользить без
ускорения. В этом случае р = tg ос, где а - угол между наклон­
ной доской и горизонтальной плоскостью. Следовательно, мак­
симальная кинетическая энергия Е к линейки равна \imgl.
Максимальная потенциальная энергия Е п груза равна M gH , где
Н - высота, на которую поднимают груз. Отношение энергий
т) I )
I
Е к к Е п есть Р = pi — II — I, т.е. р ~ — . На рисунке 91 приведен
пример зависимости доли энергии, теряемой системой «грузлинейка», от угла ср отклонения груза, т. е.
358
ГЕп - Е Л
от ф.
Еп
Е П~Е К
Ей
0,4
-К'
0,3
0,2
0,1
о
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°
90°
ф
Рис. 91
11.16.
Рекомендации для организаторов. Длина цилиндра дол­
жна быть такой, чтобы фокусы линзы находились внутри ци­
линдра, а двойные фокусы - вне его. Оптическая ось линзы долж­
на совпадать с осью симметрии цилиндра. Чтобы не было воз­
можности измерить положение линзы непосредственно, торцы
цилиндра следует закрыть каким-либо прозрачным материалом,
например, тонкой пленкой, применяемой для упаковки продук­
тов. Внутри цилиндра следует разместить какое-либо массив­
ное кольцо для того, чтобы положение линзы в цилиндре нельзя
было найти по положению центра масс.
Вкалываем булавку в полоску картона и устанавливаем ее на
оси цилиндра. Теперь установим вторую булавку, закрепленную
в полоске картона, так, чтобы ее положение совпало с положени­
ем изображения первой булавки в линзе. Для этого воспользуем­
ся методом параллакса: будем сдвигать глаз перпендикулярно оп­
тической оси линзы и отыщем такое положение второй булавки,
что ее смещение относительно видимого нам изображения первой
булавки будет минимально. Измерим расстояние I между булав­
ками и расстояние а от первой булавки до ближнего к ней края
цилиндра. Теперь сдвинем цилиндр вдоль его собственной оси так,
чтобы изображение первой булавки и вторая булавка снова совпа­
ли (рис. 92).
359
d
а
Булавка № 1
1
X
)
1 |
X
!
ТБулавка № 2
i
Рис. 92
В силу симметрии ситуации запишем
а + х = I - (а + d + х),
где а - расстояние от первой булавки до торца цилиндра в первом
его положении, d - сдвиг цилиндра, I - расстояние между булав­
ками. Отсюда находим положение линзы в цилиндре:
I - d
х = —-----а.
2
По формуле тонкой линзы найдем фокусное расстояние линзы
11.17.
Рекомендации для организаторов. Бутылку удобно ис­
пользовать пластиковую (с вертикальными стенками), объемом
1,5-2 л, проделав в ней на высоте около 5 см от дна отверстие
диаметром 2-3 мм. Отверстие не должно иметь закраин.
\/h, см1/2
Из миллиметровой бумаги изготавливаем клин с малым углом
а раствора. Измеряем глубину L, на которую этот клин можно
вставить в отверстие. Диаметр и площадь отверстия S0 находим
по формулам:
D - aL, S0 = J D2.
Если уровень воды над отверстием в момент времени t равен Л,
то уравнение неразрывности имеет вид
Sii>i = Scv2.
(1)
где S x и vx - площадь сечения бутылки и скорость опускания
жидкости соответственно, a Sc и v2 - площадь сечения струи и
скорость воды в ней.
Запишем формулу Торричелли
p g h = ? f.
(2)
Пусть за промежуток времени dt уровень h изменится на dh,
тогда
vY = - dh/dt.
(3)
Подставляя vY и v2 из (2) и (3) в (1), имеем
- S x— = Scy[2gh ,
dt
или
dh
,_
S ,—
- ~ ^ = - 2 d ( yfh ) = ^ j 2 ^ d t .
(4)
Проинтегрируем (4):
Vft =
+ const-
(5)
Построим график зависимости 4h от t и по тангенсу угла на­
клона прямой определим Sc. График, получившийся у автора, пред­
ставлен на рис. 93. Отношение S0/S c равно примерно 2,0.
Расхождение эксперимента с теорией в 2 раза объясняется тем,
что частицы жидкости в бутылке вблизи краев отверстия имеют
скорости в направлениях, перпендикулярных направлению струи
за отверстием. По существу, Sc - это сечение сформировавшейся
струи, т.е. струи на таком расстоянии от отверстия, когда гори­
зонтальные скорости всех частиц струи примерно одинаковы.
11.18.
Рекомендации для организаторов. Необходимо выре­
зать и склеить не менее 5 одинаковых конусов для каждого участ13
Козел
361
ника. Конусы делаются из обычной писчей бумаги. Примерный
радиус вырезаемого круга 100 мм; в нем вырезается сектор с
длиной стягивающей хорды 110 мм, вдоль одной из сторон следу­
ет оставить клапан для склейки шириной около 7-8 мм. Д ля
устойчивости имеет смысл положить в вершину каждого кону­
са по кусочку пластилина (одинаковой массы).
Заметим, что скорость падающего конуса быстро «устанавли­
вается», и в дальнейшем остается постоянной. Одновременно от­
пуская два одинаковых конуса с некоторой высоты, убеждаемся в
том, что они касаются пола в один и тот же момент времени.
Начнем постепенно уменьшать диаметр одного из конусов (отре­
зая ножницами тонкие полоски от края и складывая их внутрь
конуса, чтобы масса оставалась неизменной). Для каждого диа­
метра находим высоту Н 9 при падении с которой время t остается
равным времени падения целого конуса. Таким образом, для силы
сопротивления F получим зависимость, неявно заданную уравне­
нием: F = f(R)(H/t)2 = const. Анализ показывает, что f °с R2.
11.19.
Рекомендации для организаторов. Шары следует взять
стальные или из твердой пластмассы, диаметром 20 ± 5 мм.
Длина подвеса 45 ± 15 см. Шары должны быть подвешены на
одинаковой высоте так, что в положении равновесия их поверх­
ности соприкасаются, а плоскости подвесов вертикальны.
Начальная энергия системы есть потенциальная энергия одно­
го шара, отведенного на угол а. Энергию «слипшихся» шаров удоб­
но измерять по амплитуде А их отклонения. Для шара, отклонен­
ного на малый угол а, высота подъема, а значит и потенциальная
энергия, пропорциональна А 20. Для конечного состояния системы
с учетом малости диаметра шара по сравнению с длиной подвеса
потенциальная энергия системы пропорциональна 2А2Л, потому
что теперь потенциальная энергия определяется массой двух от­
клоняющихся шаров.
Теоретически рассмотрим движение системы из двух шаров.
При малых отклонениях период колебаний не зависит от ампли­
туды. Поэтому шарики будут сталкиваться в нижней точке тра­
ектории. Применим законы сохранения энергии и импульса к си­
стеме шаров для i-ro столкновения:
mva + mvi2 = mv'n + mv'i2,
mvg
mv%
mv'i
mv'l
2
2
2
2
+E
где Et - часть механической энергии, перешедшая в другие фор­
мы. Разрешив эти уравнения относительно скоростей шаров пос­
ле столкновения, получим:
362
V\ l = | ( Ui2 + Vil + y/(vi2 - V n )2 - Щ
U'i2 =
^ ( u i2 +
/
m )•
Vil - -J(vi2 - Vi l f - Щ / m ) .
Разность этих скоростей
v'n - v'a = J { v a - Vi2f - 4 E J m .
Скорости шаров перед i-м столкновением равны скоростям после
(i — 1)-го столкновения. Поэтому подкоренное выражение может
быть приведено к виду v 2 - 4(Ех + ... + Е.)/т , где vx - скорость
налетающего шарика перед первым столкновением (второй ша­
рик первоначально покоился). Пусть после п-то столкновения
шарики начинают двигаться практически вместе, т. е. v'nl = v'n2.
Это произойдет, когда суммарная потеря механической энергии
будет Ех + Е2 + ... + Еп = m v 2/ 4 = mgH/2. Таким образом, ампли­
туда отклонения системы в установившемся состоянии должна быть
в два раза меньше, чем первоначальное отклонение первого шара.
Возможные расхождения с экспериментом могут объяснять­
ся потерями энергии в системе за счет трения в подвесе и сопро­
тивления воздуха. При уменьшении упругости сталкивающихся
поверхностей шаров характерное число столкновений п будет
уменьшаться. Это может привести к лучшему совпадению экс­
периментальных результатов с теоретическим расчетом, если изза сопротивления движению потери энергии были велики в пер­
вом случае.
*11.20. 1.1. К пружине подвешиваем груз № 1 массы пг1 и из­
меряем удлинение пружины Ахх, затем подвешиваем груз № 2
массы т2 и измеряем удлинение пружины Дх2. Массу груза № 1
находим, решая систему уравнений:
щ д = Мх, 1
m2g = k&x2}
1
2аХ2
1.2. Имеет смысл измерять число ко­
лебаний при одинаковом изменении ам­
плитуды А колебаний, например, при
АА —1 мм.
1.3. Пусть Ал; - удлинение пружины,
к которой подвесили груз массы гп. Воз­
будим в системе груз-пружина вертикаль­
ные колебания с амплитудой А (рис. 94).
Полная механическая энергия систе­
мы «груз-пружина» равна
Ах
Рис. 94
363
, , k.A
2
mg Ax
w = m g A + -(A x -A ) = ^ ~
mg A 2
+^ T -
(При записи правой части уравнения использовано равенство
Пусть через N периодов колебаний их амплитуда AN умень­
шится на 8 = А - A n. При этом механическая энергия системы
уменьшится на AwN= *^;(А 2 “ -А2^) = -^^(А + a n) *8.
Если AwN w, то изменение механической энергии системы за
один период колебаний приближенно равно
Отсюда находим относительное изменение энергии системы за один
период колебаний
Ди?! ^
w
(А + AN)§
(д # 2 + A 2)n '
2.1. Воспользуемся формулой для периода колебаний груза на
пружине:
^
Iт
T ~ 2nh -
а*
Измерив периоды колебаний грузов № 1 и № 2 с помощью
формулы (1), получим
т л = т,
\^ 2 J
2.2. Из (1) следует:
Tlk
4п2 ’
В случае колебаний груза на пружине в воде его эффективная
т=
= Т?Ь
4п2
Тогда относительное приращение массы
(m\
Дтп
тпч - m
- 1.
m
кт ;
масса
П р и м е ч а н и е . Величина Am называется присоединенной массой.
364
*11.21. а) Двойной маятник имеет пять типов нормальных ко­
лебаний;
б) Все эти моды можно возбудить последовательно, медленно
увеличивая частоту колебания нити.
1. Расположение мод в порядке возрастания частоты:
1я мода - синфазные колебания в плоскости, перпендикуляр­
ной плоскости чертежа (см. рис. 4.11 в условии);
2я мода - противофазные колебания в плоскости, перпенди­
кулярной плоскости чертежа;
3- я мода - противофазные колебания в плоскости чертежа;
4- я мода - синфазные колебания в плоскости чертежа;
5- я мода - противофазные вертикальные колебания.
2. Чтобы вычислить отношение (3 = AL/L, сравним периоды
колебаний 1-й и 3-й мод. Для этого нужно возбудить одновремен­
но два этих типа колебаний. Оба груза сначала отводим в плоско­
сти, перпендикулярной чертежу (удобнее на себя), а затем один
из грузов отводим влево, другой - вправо и отпускаем. Грузы
начинают колебаться в плоскостях, проходящих через ось сим­
метрии маятника и расположенных под углом примерно п/2 друг
к другу (при одинаковых начальных отклонениях на себя и в
сторону). Эти колебания являются суперпозицией двух типов ко­
лебаний: в плоскости, перпендикулярной чертежу, с периодом
Тг = 2n ^ L / g , где g - ускорение свободного падения, и в плоско­
сти чертежа с периодом Т2 = 2n^(L - Al ) / g . Поскольку эти пе­
риоды не равны, то каждый из грузов будет совершать колебания
в вертикальной плоскости, которая медленно вращается. Через
некоторое число N колебаний грузы вновь вернутся в первона­
чальную плоскость колебаний. Это произойдет при условии:
N T X= (N + 1)Г2.
После подстановки в это уравнение выражений для Тг и Т2 и не­
сложных алгебраических преобразований получим
AL
Р
“
И Г
2АГ + 1
”
(N
+ 1)2 *
Сосчитав Цисло колебаний N, при котором направление колеба­
ний грузов станет первоначальным, вычислим величину (3.
*11.22. Основная идея определения схем электрических цепей
«черных ящиков» сводится к исследованию частотных характе­
ристик таких четырехполюсников.
Рассмотрим случай, когда в «черном ящике» смонтирована элек­
трическая цепь, изображенная на рис. 95. Подключив клеммы 3, 4
365
С
ъ -------- |Ь
к выходу генератора, а клеммы 1, 2 к
входу осциллографа, убедимся, что амп­
литуда
синусоиды, наблюдаемая на экра­
R
не осциллографа, не зависит от частоты
выходного напряжения генератора. Если
2о-*4
теперь клеммы 1, 2 подключить к выхо­
Рис. 95
ду генератора, а клеммы 3, 4 к входу ос­
циллографа, то будем наблюдать зависимость амплитуды выходно­
го напряжения U3 4 на экране осциллографа от частоты ш генерато­
ра при постоянной амплитуде U12 входного напряжения. Эту зави­
симость U3 4(ш) и следует аккуратно снять во всем диапазоне час­
тот генератора.
График зависимости U3 4(о) имеет вид,
изображенный на рис. 96 (кривая 1).
Эта кривая имеет два характерных уча­
стка:
1) в области малых частот (когда ре­
активное сопротивление конденсатора
-03
К) зависимость U3 4(о) очень близ­
ка к линейной, т. е.
U3>4(со) ~ U12u>CR;
2) в области больших частот (когда —
R) зависимость
U3t 4(со) стремится к постоянному пределу, т. е.
Uz§Д^О) ~ ^1,2*
Чтобы определить сопротивление R резистора, параллельно к
нему (к клеммам 3, 4) подключим резистор известного сопротив­
ления г и снова снимем зависимость U'3 4(о). На рис. 96 этой
зависимости соответствует кривая 2. В области малых частот
^ ' з, 4 ( « ) - С / 1>2С 0 С ^ ; .
Используя отношения тангенсов утла наклона касательных к £/3 4((о)
и U з 4(со) при (0 = 0, получим
tgVi _ R + r
tgV2 "" г ’
Из этого соотношения вычислим R.
Чтобы определить емкость конденсатора С, для зависимости
U3 4(со) выберем такую частоту (0^ при которой отношение
366
u 3, 4 (c0 i)/t/i B2 * ОД- В этом случае емкостное сопротивление кон­
денсатора примерно равно сопротивлению резистора R:
1
гл
Р =
COjL
Отсюда получим
1
■
*11.23. К свободному концу нити при­
крепляем динамометр. Для удобства вы­
числений угол охвата ср меняем ДИСКреТ71
^
но через -г. С помощью динамометра
Л
измеряем минимальную силу, т. е. силу,
при уменьшении которой груз начинает
двигаться вниз. Получаем таблицу зна­
чений зависимости силы Т от угла охва­
та ср. Примерный график такой зависи­
мости показан на рис. 97 (звездочки).
Как видно из полученного графика,
зависимость нелинейная, однако очень
похожа на экспоненту с отрицательным
(7 1/2 )
Рис. 97
показателем. Измеряем вес груза Mg и строим график In
от ф.
На рис. 97 этот график изображен кружочками.
Полученная зависимость линейна, поэтому можно предполо­
жить, что
Mg
Тангенс угла наклона прямой на рис. 97 равен коэффициенту тре­
ния ц = 0,21 ± 0,02.
*11.24. Собираем схему, изображенную на рис. 98 (ЧЯ - «чер­
ный ящик»). Переключим мультиметр в режим амперметра. При
разомкнутом ключе К с помощью амперметра измеряем силу
тока I. Амперметр измеряет действующие значения тока.
Из схемы убираем амперметр и замыкаем ключ К. С помощью
мультиметра (в режиме вольтметра) измеряем напряжения на выхо­
де генератора (£/г), на конденсаторе (Uc) и на «черном ящике» (£/я).
По измеренным напряжениям определяем сдвиг фаз ф между
током I и напряжением URна «черном ящике». Качественная век­
367
торная диаграмма тока I и напряжений показана на рис. 99. Дей­
ствующее значение силы тока I откладываем вдоль горизонталь­
ной оси. Напряжение Uс на конденсаторе отстает по фазе от тока
71
на —, а векторная сумма
ип + и = и
По теореме косинусов
и г2 = U 2 + U 2 - 2 и с11я coscp.
Сдвиг фаз \}/ между током и напряжением на «черном ящике»
71
равен \|/ = — - ср, поэтому
А
cos \|/ = sin ф = j 1 - cos2ф .
Мощность, потребляемая «черным ящиком»,
Р = ЛУЯcos \j/.
Рис. 98
*11.25. 1. В случае неподвижной платформы нормальными
являются колебания шарика в направлении вдоль и поперек пе­
рекладины.
2. В случае равномерно вращающейся платформы нормальные
колебания являются эллиптическими. При малых угловых уско­
рениях платформы колебания шарика остаются все время нор­
мальными с малым вкладом другой моды колебаний.
3. Возбуждаем одно из колебаний (вдоль или поперек перекла­
дины) и начинаем вращать платформу. При достаточно медленном
вращении платформы плоскость колебаний шарика вращается со
скоростью вращения платформы, а колебания остаются почти ли­
нейными. После остановки платформы ориентация плоскости ко­
лебаний относительно платформы совпадает с исходной.
Меняя положение точки подвеса по вертикали, убеждаемся,
что вращение должно быть достаточно медленным по сравнению
368
с разностью собственных частот маятника IcOj - со2|. Вращение мо­
жет быть и не медленным при условии малости углового ускоре­
ния (по сравнению с 1(0^ - (022|). В этом случае после остановки
платформы плоскость колебаний также совпадает с исходной, но
теперь в процессе вращения колебания маятника уже являются
эллиптическими. При этом движение шарика по направлению
движения платформы соответствует исходному колебанию попе­
рек перекладины, а против движения платформы - исходному
колебанию вдоль перекладины.
*11.26. Известно, что биполярный транзистор может быть пред­
ставлен как два включенных навстречу друг другу диода
(рис. 100, 101).
1К
А
Б
i:
Б~11
1. Из цинковой и медной пластинок, воткнутых в лимон, полу­
чаем химический источник тока с ЭДС ~ 1 В.
Медная пластинка имеет положительный потенциал, а цинко­
вая - отрицательный. Соединим миллиамперметр с источником
тока (рис. 102).
Произвольно выбираем два вывода транзистора и подключаем
к ним проводники 1 и 2 электрической цепи. При этом возможны
несколько вариантов, их анализ позволяет найти вывод базы (Б).
Предположим, что это выводы эмиттера (Э) и коллектора (К)
(рис. 103). Очевидно, что в этом случае тока в цепи практически
нет. Изменим полярность подключения, т. е. вывод 2 подключим
к коллектору, а вывод 1 - к эмиттеру, и в этом случае миллиам­
перметр не зарегистрирует ток в цепи. При других вариантах под­
ключения (база-коллектор или база-эмиттер) при «минусе» на
базе миллиамперметр будет регистрировать наличие в цепи тока.
369
2. Для определения выводов транзис­
тора «коллектор» и «эмиттер» можно
использовать сопротивление своего тела
между левой и правой руками. Извест­
но, что сопротивление тела между рука­
ми колеблется от 20 до 500 кОм. Если
кончики
пальцев смочить соком лимо­
Рис. 104
на, то сопротивление R между ними бу­
дет 10-30 кОм, что вполне достаточно, чтобы открыть транзис­
тор, когда пальцы соединяют его базу и коллектор. На коллекто­
ре при этом должен быть отрицательный потенциал для транзис­
торов р-п-р-типа, а на эмиттере положительный (рис. 104).
Заметим, что ток в цепи не очень большой, но его достаточно,
чтобы определить выводы коллектора и эмиттера. Предположим,
что мы перепутали коллектор и эмиттер. Тогда ток в цепи станет
в 10-100 раз меньше и микроамперметром его зафиксировать прак­
тически невозможно.
3. Проведя аналогичное исследование с транзистором п-р-птипа, получим, что ток в электрической цепи «база-эмиттер» или
«база-коллектор» течет только в том случае, когда на базе будет
положительный (+) потенциал по отношению к эмиттеру.
*11.27. а) Собираем электрическую цепь согласно рис. 105. Оп­
ределяем 1Хи U1 и вычисляем Rv —U J IX.
Собираем электрическую цепь в соответствии с рис. 106. Сни­
маем показания 12 и U2. Находим сопротивление R0 параллельно
соединенных резистора R и вольтметра V:
RRV
>До R + Rv
д0=
Отсюда вычисляем
R0RV
R=
Rv —R0
б) Собираем электрическую цепь в соответствии с рис. 107.
Используя закон Ома для замкнутой цепи, получаем
^ Ra + Rv +г +R
I 3(R + Rv) + I 3(Ra + r) = 8Г.
(1)
Собираем электрическую цепь в соответствии с рис. 108 и снима­
ем значение / 4. Используя закон Ома для замкнутой цепи, запишем
^
R + Ra + ~ ; I 4R + I 4(Ra + г) = Г .
RA + г =
370
(2)
- I 4R
(3 )
+ ,«Г, г
*
i— 0
—
ii
0
и,
Рис. 106
Рис. 105
■ ± J^
— © *30 = K
l
£^3
© 0-*4 =
Рис. 108
Рис. 107
т/
ч.я.
__
“И
4
__ г
Рис. 109
Подставив (3) в (1), получим
I 3(R + Rv) Н~ I 3
- i 4r _
Решим это уравнение относительно :
I3I4RV
”
W sв) Значения 13, / 4, R n Rv уже известны. Значение подставим
в (2) и найдем сумму (RA + г).
*11.28. Для того чтобы снять вольт-амперную характеристику
(ВАХ) «черного ящика» (далее ЧЯ), соберем электрическую цепь
согласно схеме на рис. 109. При одной полярности подключения
371
ЧЯ ток в цепи отсутствует, а при другой - течет. ВАХ «черного
ящика» приведена на рис. 110. Чтобы более аккуратно исследо­
вать начальный участок аЪ ВАХ, соберем электрическую цепь со­
гласно рис. 111.
Анализ вольт-амперной характеристики показывает, что из всех
приведенных в условии задачи элементов электрическая цепь ЧЯ
может состоять только из резисторов и двух диодов.
Отсутствие тока на участке Оа свидетельствует о том, что один
диод (Da) включен последовательно с оставшейся частью цепи.
Учитывая, что идеализированная ВАХ диодов имеет вид, при­
веденный на рис. 112, конструируем возможные электрические
схемы цепи черного ящика (рис. 113 и рис. 114).
Т
6 * —
л
ЧЯ
Рис. 111
Рис. 112
Я1
Dr
ч<Ь
Рис. 113
-CZH
■O
DB
-КЬ
Ro
Рис. 114
Проанализируем схему на рис. 113. На участке ab
tg а
dl _
h
dU ~ Ux-U a
на участке Ъс
tg P
372
dl
dU
W 1
u2- u ,
1
Д, + Rb ’
Тогда
1
U ,-U ,
R“ ~ tgp 5 R° “ / 2 -7, 5
1
+ Я - tg a >Rb ~ tga
1
tg p ;
^2-^1
A
"Л ’
Аналогичным образом находим сопротивление в схеме рис. 114:
^
tg а 9
tg Р - tg a '
*11.29. Сначала найдем параметры
собирающей линзы.
1. Получим на экране изображение
удаленного предмета. При этом можно
считать, что предмет удален бесконечно
далеко. Тогда фокусное расстояние Пл
равно расстоянию от линзы до экрана.
Возможны и другие способы определе­
Рис. 115
ния F.
2. Найдем радиус кривизны R1 вогнутый поверхности. Ее мож­
но рассматривать как сферическое зеркало. Согласно формуле Га­
усса F y = R J2 .
При определении R2 будем считать линзу тонкой. Свет от ис­
точника S после прохождения линзы частично отразится от ее
поверхности радиуса R2 и, вновь пройдя линзу, сфокусируется в
точке S x (рис. 115). В данном приближении оптическая сила си­
стемы: линза плюс отражающая внешняя поверхность, будет рав­
на сумме удвоенной оптической силы линзы и оптической силы
зеркала с радиусом R2.
1
1 _
_
— + ~ = 2D + По,
а
Ъ
*
373
1
2
2
1
i
2
где D = j ,D 2 = Y 2. Отсюда ^ = - + - Подставляя в последнюю формулу измеренные величины а, Ь и
найденное значение F, можно вычислить R2.
3.
Показатель преломления п стекла линзы найдем по форму­
ле тонкой линзы:
л_
_1_
= (п - 1) я.
( 1)
F
Радиусы кривизны поверхностей двояковогнутой линзы найдет
по той же методике, что и R1 собирающей линзы.
Для нахождения фокусного расстояния линзы соберем опти­
ческую схему, изображенную на рис. 116. По формуле линзы
=_ —
а
Ъ
Fn Измерив радиус оправы линзы гх и радиус светлого пятна г2,
вычислим интересующее нас фокусное расстояние Fn. Показатель
предложения найдем по формуле (1).
*11.30. Собираем схему, показанную
на рисунке 117.
Здесь X означает гнездо выхода ге­
нератора пилообразного напряжения.
Благодаря пропорциональности напря­
жений по осям X и Y для каждого из
двух положений переключателя 1 и 2
на экране осциллографа получаем ли­
нейный сигнал. При этом наблюдается
один период пилообразного напряжения
генератора развертки. Используя закон
Ома для каждого из двух случаев и исключая силу тока (которую
можно полагать независящей от положения ключа из-за большо­
го входного сопротивления осциллографа), находим
R=
Д|
( 1)
и2
и,
где отношение jj~ определяется из сравнения сигналов, как от­
ношение тангенсов углов их наклона.
Минимизация относительной погрешности будет достигнута
(путем подбора Rx) при условии, что
374
4l
1 + л/2.
( 2)
и,
Для получения этого результата найдем ДД/i?, полагая погреш­
ность измерения Rlf равной нулю. Имеем
АД
U ,2 J
R
« 8
U2 +
U2Ux-U l
(3)
El
и9
где 5 = АС/Х= ЛС/2" абсолютная погрешность измерения XJx и U2
(в условных единицах), равная половине деления шкалы осцил­
лографа. Представляя выражение (3) в виде произведения b/U1
(заметим, что 8/17/ < 8/U 2) на функцию
* 7 17
(x = u j u j ,
находим минимальное значение последней, которое совпадает
с правой частью (2). Меняя R 19 добиваемся того, чтобы отноше­
ние Ul/U 2 равнялось 1 + V2 . При этом сопротивление R = R J
л/2 будет определено с минимальной относительной погрешно­
стью.
Контрольные измерения проводились для осциллографа С1-93
(тогда величина 8/17/, которую можно считать постоянной, равна
1/80). Результаты измерений при различных значениях извест­
ного сопротивления Дх представлены в таблице. Относительная
погрешность рассчитывалась по формуле (3).
Ом
R
ДR / R
4000
7018
0,09
1,70
5000
7143
0,08
4,4
1,82
6000
7317
0,078
4,0
2,00
7000
7000
0,075
3,8
2,10
8000
7240
0,074
3,3
2,42
10 500
7394
0,073
2,7
2,96
15 000
7653
0,075
2,2
3,72
20 000
7353
0,081
иг
VJU 2
5,1
1,57
4,7
Rv
375
11.31. Поставленный (торцом) на бумагу пакет пластинок об­
ведем карандашом (рис. 118). Перпендикулярно проекции АВ пе­
редней поверхности стекла проведем прямую ООх.
На прямой ООх на некотором расстоянии от передней поверх­
ности стекла поставим точку S. Установим острие карандаша на
прямой ООх с обратной стороны пакета.
Угол а между лучом зрения и осью 0 0 1 должен быть мал. Бу­
дем смещать карандаш вдоль ООх до тех пор, пока видимое сквозь
стекло положение острия карандаша не совпадет с отражением в
передней поверхности стекла точки S. Обозначим эту точку Sx.
Повторим опыт для луча, отраженного от задней поверхности стек­
ла. Обозначим положение новой точки через S 2. Измерим рассто­
яние Н х между точками S x и S 2. Определим толщину Н пакета.
Согласно закону преломления
a = |3n,
где п - показатель преломления стекла.
Из рисунка видно, что
2 а
■щ = tg а - а,
§ = t * 3 “ P.
Подставляя (2) и (3) в (1), получим
2Н
п = ~щ-
По формуле (4) вычислим п.
Перепишем формулу (4) в несколько ином виде
пН1
Н =
2 ‘
376
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Если теперь под Н 19 понимать расстояние между изображени­
ями точки Z , полученными в результате отражения света от пере­
дней и задней границы любого из внутренних стекол, то Н будет
истинной толщиной этого стекла. Проведем измерения и вычис­
лим толщину всех стекол из пакета.
*11.32. Определяем зависимость силы тока от частоты при посто­
янном напряжении для различных пар выводов (рис. 119 - 124). По
виду этих зависимостей устанавливаем, что участок АВ представляет
собой емкостное сопротивление Х с (конденсатор), BN - индуктивное
сопротивление X L (катушка индуктивности), ND - активное сопро­
тивление R (резистор). Схема представлена на рис. 125.
П р и м е ч а н и е . Вместо зависимости I = f(v) при U = const можно
построить зависимость U = g(v) при I = const или Z = U/I = -F(v).
Определяем активное сопротивление.
Соберем схему, показанную на рис. 126. По масштабной сетке
экрана осциллографа измеряем амплитуду напряжения на резис­
торе при любой частоте генератора.
Измерения: U&= 2В, I = 0,028 A, R =
= 51 Ом.
Определяем емкость конденсатора.
Согласно схеме на рис. 126 вместо участка ND включаем участок
АВ. Устанавливаем частоту звукового генератора, например, 1000 Гц.
Рис. 124
А
В
N
D
I— к— L=v?U_q J
Рис. 125
Измерения: Uа = 2,2 В, I = 0,01 A, v = 1000 Гц,
/Я
С = 2nvUn = 1 мкФ.
Определяем индуктивность катушки.
Согласно схеме на рис. 126 вместо участка ND включаем уча­
сток BN. Устанавливаем частоту звукового генератора максималь­
ной из указанного диапазона, чтобы уменьшить влияние актив­
ного сопротивления катушки.
X -J L . х
=
2 яvC ’
Измерения: Uа = 4,8 В, I = 0,01 A, v = 5000 Гц, Х ь =
X L = 2nvL, L =
= 0,011 Гн.
Определяем активное сопротивление катушки.
Устанавливаем частоту звукового генератора минимальной из
указанного диапазона, чтобы уменьшить влияние реактивного
сопротивления катушки. Имеем:
Х ь = 2nvL = 350 Ом при v = 5000 Гц, Х ь = 2nvL = 3,5 Ом при
v = 50 Гц.
На частоте v= 50 Гц, Z =
= 11,3 Ом.
С учетом реактивного сопротивления: RL= ^ Z 2 - Х \ =11 Ом.
378
*11.33. Поднимая за один конец деревянный брусок, создаем на­
клонную плоскость, на которой располагаем катушку с намотанной
на нее нитью. Конец нити крепим с помощью воткнутой в брусок
булавки у верхнего края наклоненного бруска. Рассмотрим два спо­
соба определения ц - см. рис. 127 и 128. Для большей устойчивости
катушки нить должна быть протянута через ее середину.
Пока катушка покоится, сумма внешних сил, действующих на
нее, и сумма моментов этих сил равны нулю:
mg + Г + N + #тр = 0
(1)
и
= Т г•
( 2)
В проекциях на координатные оси уравнение (1) примет вид:
N = mg cos а и FTp = ± (Т - mg sin а)
(здесь знак «+» относится к рис. 127, а «-» - к рис. 128).
По определению,
FTp = цЛГ = \img cos а.
Для первого способа определения ц.
\img cos а • R = Т • г; mg sin а +
\im g
cos а = Т
или, исключая Т,
mg sin а + \img cos а :
„
х
,
\iR
r t g a
\xmg
m
cos а • R.
t
h
Отсюда tg ос + ц = — или ц = —---- . Так как tg а = ■■
, ■■
,
r
R~r
л/L2 - h2
379
где L - длина бруска, окончательно р = ■■ —. Подставляя
VL2 - h2 н ~ г
значения, получаем |а.
Рассмотрим второй способ (рис. 128).
\rnig cos а • R = Т • г, mg sin а - \img cos а= Т.
или исключая Т,
/Tig* sin а - (li mg cos а = ----- cos а • R.
_
r tg a
Отсюда tg a - и = — или ц = —---- .
r
R +r
Окончательно имеем p, = /.0
—----. Подставляя значения,
VL2 - h 2 R + r
находим p.
*11.34. Определим X.
Прокатив иглу по ластику, вычислим диаметр d иглы: d = S / nN , где
S - длина пути иглы, N - число ее оборотов. Сложив две иглы
вплотную друг к другу, проколем в фольге два одинаковых отвер­
стия диаметром в несколько раз меньше диаметра иглы (для это­
го фольгу надо положить на стекло). Расстояние между центрами
отверстий равно диаметру иглы.
Закрепим с помощью пластилина на одном бруске горизонталь­
но лазер, а на другом бруске вертикально квадратик фольги и
осветим отверстия.
380
В центре картины, в области наложения центральных дифракци­
онных максимумов при дифракции на круглых отверстиях, будем
наблюдать систему равноотстоящих интерференционных полос (как
в опыте Юнга). Измерив ширину нескольких полос (рис. 129),
найдем ширину одной и по ней вычислим длину волны излучения
лазера.
d A x
Л==~ г -
Определим период отражательной решетки.
Закрепим с помощью пластилина на бруске вертикально часть
сектора лазерного диска.
Направим луч лазера на лазерный диск (рис. 130). Дифрагиро­
ванные лучи наблюдаем в отраженном свете на линейке Л, нахо­
дящейся за лазером на расстоянии Ьх от лазерного диска. Период
X
X хь
решетки о = —— —— —-— .
sin ф
ф AjCj
*11.35. Собираем электрическую цепь из последовательно со­
единенных источника переменного тока, известного сопротивле­
ния и черного ящика. Последний подключают к какой-либо паре
клемм. Отключив развертку осциллографа и подавая напряжение
с известного сопротивления на «X» - вход осциллографа, а со всех
возможных комбинаций пар клемм черного ящика - на «У» - вход
(рис. 131), получаем фигуры Лиссажу. Последние анализируем.
381
Горизонтальная прямая означает, что
потенциалы соответствующих клемм
одинаковы, т. е. разрыва цепи между
ними нет, но элемент не находится под
напряжением. Наклонная прямая сви­
детельствует об отсутствии сдвига фаз,
что в данной постановке соответствует
активному сопротивлению между клем­
мами. Эллипс, симметричный относи­
тельно вертикальной и горизонтальной
осей, соответствует конденсатору (сдвиг
фаз —). Эллипс, произвольно ориентированный относительно осей,
соответствует либо катушке индуктивности, обладающей актив­
ным сопротивлением, либо комбинации элементов.
Повторяем все действия до тех пор, пока не восстановим схему
черного ящика.
Для определения сопротивления цепи
подключаем источник переменного тока
и известное сопротивление последователь­
но с каждым элементом схемы в отдель­
ности. Используя осциллограф как вольт­
метр, измеряем напряжения на извест­
ном сопротивлении (U0) и данном элемен­
те схемы (Ux). Находим его сопротивле­
ние по формуле Zx = R0UX/U 0. Для активного сопротивления
R = Zx, для конденсатора его емкости С = l/(u>Zx), для катушки
индуктивности коэффициент индукции можно найти из системы
уравнений:
cos ф
tg<p'=
Ul + и 2х - и 2
2
>Ф и ~ ф,
jj
jj
= yj{R + Rl )2 + (соl )2 ,
где U, Rl , ф' - полное напряжение на R0 и Rx, активное сопротив­
ление катушки индуктивности и сдвиг фаз между током и напря­
жением на катушке соответственно (рис. 132).
Рисуем схему черного ящика (рис. 133):
ьЧ Ь *
Рис. 133
382
2
*11.36. Особенности характеристик реальных диодов, в отли­
чие от их идеальной модели, заключаются в том, что при малых
напряжениях сопротивление диода достаточно велико. Поэтому
при измерении сопротивления между клеммами черного ящика
результаты не зависят от полярности включения измерительного
прибора.
По результатам измерения сопротивления между клеммами
черного ящика можно сделать заключение, что сопротивления
номиналом 10 Ом или 7,5 Ом включены между клеммами № 1
и № 2, № 2 и № 3, № 3 и № 4. Для того, чтобы определить
положения диодов в цепи, необходимо использовать батарей­
ку. При одной полярности ее подключения оказывается, что
между тремя клеммами напряжение одинаково и практически
равно напряжению батарейки, а в остальных случаях напря­
жение равно нулю (если, например, проводить измерения на
пределе 20 В). Такое поведение цепи возможно, если при выб­
ранной полярности один из диодов включен в прямом направ­
лении, а другой в обратном. Фиксируя напряжения на клем­
мах при другой полярности подключения батарейки, опреде­
лим положение второго диода. По результатам всех опытов не­
трудно понять, что сопротивление резисторов равно либо
10 Ом, либо 7,5 Ом, а электрическая схема черного ящика пред­
ставлена на рис. 134.
*11.37. Можно заметить, что излучение на выходе световода
образует конус, угол раствора которого определяется углом паде­
ния лазерного луча на торец световода, но не превышает некото­
рого значения 20. Значение угла 0 найдем из геометрических со­
ображений, рассмотрев полное внутреннее отражение света на гра­
нице оболочка-сердцевина световода (рис. 135):
383
sin0
sin ф _ n0
(i)
sin 90°
nc
где no9 nc - показатели преломления стекол, из которых изготов­
лены оболочка и сердцевина световода.
Из соотношений (1) следует:
( 2)
Для измерения угла 0 можно воспользоваться миллиметровой
бумагой, располагая ее вблизи оси световода. Найденное значе­
ние угла 20 ~ 60° при п0 = 1,512 приводит к пс = 1,593.
Второе решение уравнения (2) при пс = 1,512 не подходит, так
как значение п0 = 1,431 выпадает из оговоренного диапазона зна­
чений показателя преломления п.
Приложение
П р о гр ам м а зак л ю ч и тел ь н о го э та п а
В сер о сси й ско й олим пи ады
ш ко л ьн и ко в по ф и зи ке
Заключительный этап Всероссийской физической олимпиады
проводится в 9-11 классах во второй половине апреля.
Несмотря на это данная программа включает некоторые вопро­
сы, изучаемые в IV четверти данного класса или в курсе астроно­
мии.
В 9 классе могут быть предложены задачи по всему материалу
курса физики основной школы.
В 10 классе к этому материалу добавятся темы, изученные в
9 классе.
В 11 классе могут быть предложены задачи по всему материа­
лу курса физики средней школы.
Программа заключительного этапа Всероссийской олимпиады
школьников включает также некоторые вопросы, выходящие за
базовую программу средней школы, но изучаемые в школах и
классах с углубленным изучением физики. Поэтому участники
заключительного этапа Всероссийской олимпиады по физике дол­
жны уделить серьезное внимание самостоятельной подготовке.
ПРОГРАММА 9 КЛАССА
Измерение физических величин. Погрешность измерения. По­
строение графика по результатам эксперимента, выбор перемен­
ных.
Механика
Механическое движение. Относительность движения. Система
отсчета. Координаты. Материальная точка. Траектория. Путь и
перемещение. Средняя и мгновенная скорость. Ускорение. Пря­
молинейное движение. Свободное падение.
Движение по окружности. Частота обращения. Угловая ско­
рость. Центростремительное ускорение.
385
Механические колебания. Амплитуда, период, частота колеба­
ний. Механические волны. Длина волны. Звук.
Взаимодействие тел. Трение. Упругая деформация. Инерция. Мас­
са. Импульс. Первый закон Ньютона. Инерциальная система отсчета.
Сила. Принцип суперпозиции сил. Второй закон Ньютона. Силы в
природе: сила тяготения, сила тяжести, сила трения, сила упругости.
Закон всемирного тяготения. Искусственные спутники Земли. Тре­
тий закон Ньютона. Закон сохранения импульса. Ракеты.
Работа. Мощность. Кинетическая энергия. Потенциальная энер­
гия. Закон сохранения механической энергии.
Элементы статики. Момент силы. Условие равновесия твердо­
го тела.
Давление. Атмосферное давление. Гидростатическое давление.
Передача давления твердыми телами, жидкостями и газами. За­
кон Паскаля. Закон Архимеда. Гидравлический пресс. Уравне­
ние Бернулли.
Применение законов Ньютона и законов сохранения импульса
и энергии для анализа и расчета движения тел. Простые меха­
низмы. КПД механизмов.
Методы исследования механических явлений
Измерительные приборы: измерительная линейка, штангенцир­
куль, часы, мерный цилиндр, динамометр, барометр. Измерение
расстояний, промежутков времени, силы, объема, массы, давле­
ния. Графики изменения со временем кинематических величин.
Молекулярная физика. Термодинамика
Гипотеза о дискретном строении вещества. Непрерывность и
хаотичность движения частиц вещества. Диффузия. Броуновское
движение. Модели газа, жидкости и твердого тела. Плотность.
Взаимодействие частиц вещества.
Внутренняя энергия. Температура. Термометр. Теплопередача.
Необратимость процесса теплопередачи. Связь температуры с хао­
тическим движением частиц. Тепловое расширение твердых тел и
жидкостей. Температурные коэффициенты линейного и объемного
расширения. Особенности теплового расширения воды. Количество
теплоты. Удельная теплоемкость. Удельная теплота сгорания топ­
лива. Закон сохранения энергии в тепловых процессах.
Испарение жидкости. Удельная теплота парообразования (кон­
денсации). Влажность воздуха. Кипение жидкости. Плавление
твердых тел.
386
Применение основных положений молекулярно-кинетической
теории вещества для объяснения разной сжимаемости твердого
тела, жидкости и газа; процессов испарения и плавления; преоб­
разования энергии при плавлении и испарении вещества. Удель­
ная теплота плавления (кристаллизации).
Преобразования энергии в тепловых двигателях.
Методы исследования тепловых явлений
Измерительные приборы: термометр, манометр, гигрометр.
Измерение температуры, давления газа, влажности воздуха. Гра­
фики изменения температуры вещества при его нагревании и ох­
лаждении, кипении и плавлении.
Электродинамика
Электризация тел. Электрический заряд. Взаимодействие за­
рядов. Два вида электрического заряда. Закон сохранения элект­
рического заряда. Электрическое поле. Действие электрического
поля на электрические заряды.
Постоянный электрический ток. Сила тока. Напряжение. Элек­
трическое сопротивление. Электрическая цепь. Закон Ома для
участка цепи. Преобразование энергии при нагревании проводни­
ка с электрическим током. Носители электрических зарядов в
различных средах.
Взаимодействие магнитов. Магнитное поле. Взаимодействие
проводников с током. Действие магнитного поля на электричес­
кие заряды. Электродвигатель.
Электромагнитная индукция. Преобразование энергии в элек­
трогенераторах .
Электромагнитные волны. Скорость распространения электро­
магнитных волн. Равенство скоростей электромагнитной волны и
света. Свет - электромагнитные волны. Прямолинейное распрос­
транение. Луч. Отражение и преломление света. Закон отраже­
ния света. Плоское зеркало. Закон преломления света. Линза.
Фокусное расстояние.
Методы исследования электромагнитных явлений
Измерительные приборы: амперметр, вольтметр, счетчик элек­
трической энергии. Измерение силы тока, напряжения, сопро­
тивления проводника. Расчет простейшей электрической цепи.
Построение изображения в плоском зеркале, собирающей и рас­
сеивающей линзе. Оптические приборы.
387
Атомная физика
Опыты Резерфорда. Планетарная модель атома. Радиоактив­
ность. Альфа-, бета- и гамма-излучения. Атомное ядро. Протон­
но-нейтронная модель ядра. Зарядовое и массовое число. Изо­
топы.
Ядерные реакции. Деление и синтез ядер. Сохранение заряда
и массового числа при ядерных реакциях. Применение законов
сохранения для расчета простейших ядерных реакций. Энергия
связи частиц в ядре. Выделение энергии при делении и синтезе
ядер. Излучение звезд. Ядерная энергетика.
Методы наблюдения и регистрации частиц в ядерной физике.
Дозиметрия.
ПРОГРАММА 10 КЛАССА
Механика
Принцип относительности Галилея.
Закон всемирного тяготения. Движение под действием силы
тяготения. Первая космическая скорость. Невесомость.
Сила упругости. Закон Гука. Закон сохранения импульса. Ра­
бота силы. Кинетическая энергия. Потенциальная энергия. Уп­
ругий и неупругий удар.
Математический маятник. Гармонические колебания. Ампли­
туда, частота, период, фаза колебаний. Свободные колебания.
Вынужденные колебания. Автоколебания. Резонанс. Волны. Длина
волны. Скорость распространения волны. Уравнение гармоничес­
кой волны.
Молекулярная физика. Термодинамика
Основы молекулярной физики. Экспериментальные основания
молекулярно-кинетической теории. Опыты Штерна и Перрена.
Масса и размеры молекул. Количество вещества. Моль. Постоян­
ная Авогадро.
Термодинамика. Тепловое равновесие. Температура. Связь тем­
пературы со средней кинетической энергией частиц вещества.
Постоянная Больцмана. Абсолютный нуль. Количество теплоты.
Теплоемкость. Первый закон термодинамики. Адиабатический
процесс. Второй закон термодинамики и его статистическое ис­
толкование. Тепловые машины. КПД теплового двигателя.
Идеальный газ. Давление газа. Связь между давлением и сред­
ней кинетической энергией молекул идеального газа. Уравнение
388
Клапейрона-Менделеева. Работа при изменении объема идеаль­
ного газа. Изопроцессы.
Жидкость и твердое тело. Относительная влажность. Кипение.
Зависимость температуры кипения жидкости от давления. Насы­
щенный и ненасыщенный пар. Зависимость давления насыщен­
ного пара от температуры. Психрометр. Гигрометр. Кристалли­
ческие и аморфные тела. Поверхностное натяжение. Смачивание.
Капиллярные явления. Деформация.
На региональном и заключительном этапах Всероссийской
физической олимпиад могут быть предложены задачи по темам
“электростатика” и “постоянный электрический ток”.
ПРОГРАММА 11 КЛАССА
Электростатика
Электрический заряд. Элементарный заряд. Закон Кулона.
Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Потен­
циальность электрического поля. Разность потенциалов. Прин­
цип суперпозиции полей. Проводники в электрическом поле. Элек­
трическая емкость. Конденсатор. Диэлектрики в электрическом
поле. Поляризация диэлектриков. Энергия электрического поля
конденсатора. Плотность энергии.
Постоянный электрический ток
Электрический ток. Носители свободных электрических заря­
дов в металлах, жидкостях и газах. Сила тока. Работа тока. На­
пряжение. Мощность тока. Электродвижущая сила. Закон Ома
для полной электрической цепи. Сопротивление при последова­
тельном и параллельном соединении проводников. Шунты и до­
бавочные сопротивления. Правила Кирхгофа.
Полупроводники. Собственная и примесная проводимость по­
лупроводников. р -п Переход.
Магнитное поле
Индукция магнитного поля. Сила Ампера. Сила Лоренца. Маг­
нитный поток.
Электромагнитное поле. Закон электромагнитной индукции
Фарадея. Вихревое электрическое поле. Самоиндукция. Индук­
тивность. Электромагнитные колебания в колебательном конту­
ре. Переменный ток. Производство, передача и потребление элек­
трической энергии.
389
Идеи теории Максвелла. Электромагнитное поле. Электромаг­
нитные волны. Свойства электромагнитных волн. Радио. Телеви­
дение.
Волновые свойства света
Свет - электромагнитные волны. Скорость света и методы ее
измерения. Интерференция света. Когерентность. Дифракция све­
та. Дифракционная решетка. Поляризация света. Закон прелом­
ления света. Призма. Дисперсия света. Формула тонкой линзы.
Получение изображения при помощи тонкой линзы. Оптическая
сила линзы. Глаз. Очки. Лупа. Микроскоп. Зрительная труба.
Фотоаппарат. Проекционный аппарат.
Основы специальной теории относительности
Инвариантность скорости света. Принцип относительности.
Пространство и время в специальной теории относительности.
Релятивистский закон сложения скоростей. Закон взаимосвязи
массы и энергии.
Квантовая физика
Тепловое излучение. Постоянная Планка. Фотоэффект. Опыты
Столетова. Фотоны. Опыты Вавилова. Уравнение Эйнштейна для
фотоэффекта. Корпускулярно-волновой дуализм.
Гипотеза Луи де Бройля. Дифракция электронов. Боровская
модель атома водорода. Спектры. Люминесценция. Лазеры.
Закон радиоактивного распада. Нуклонная модель ядра. Энер­
гия связи нуклонов в ядре. Деление ядра. Синтез ядра. Ядерная
энергетика. Элементарные частицы. Фундаментальное взаимодей­
ствие.
Содержание
От авторов............................................................................................. 3
Часть 1. Теоретический тур. Условия задач.................................... 5
9 класс................................................................................... 5
10 класс.............................................................................. 31
11 класс.............................................................................. 63
Решения задач теоретического тура
9 класс.................................................................................96
10 класс........................................................................... 146
11 класс............................................................................ 208
Часть 2. Экспериментальный тур. Условия заданий............. 282
9 класс............................................................................. 282
10 класс........................................................................... 286
11 класс........................................................................... 292
Решения заданий экспериментального тур а...............................300
9 класс...............................................................................300
10 класс............................................................................ 322
11 класс........................................................................... 347
Программа заключительного этапа
Всероссийской олимпиады школьников по физике................ 385
Программа 9 класса .......................................................385
Программа 10 класса.................................................... 388
Программа 11 класса......................................................389
Учебное
издание
ВСЕРОССИЙСКИЕ
ОЛИМПИАДЫ ПО ФИЗИКЕ
Под редакцией
С.М .Козела,
В. П. Слободянина
Редактор Е. С. Гридасова
Технический редактор Н.Д.Лаукус
Корректор В.И.Зенович
Дизайн обложки А. Ю. Никулин
Художник А. Г. Проскуряков
Компьютерная верстка и макет С. В. Сухарев
Издательство «Вербум-М»
109004, Москва, Земляной Вал, дом 64, стр. 2
Тел./факс 915-76-33, 915-70-91.
E-mail: [email protected]
http://www.verbum.ru
Издательская лицензия ЛР № 066334 от 23.02.99
Гигиенический сертификат
№ 77.99.02.953.Д.003533.06.02 от 05.06.2002
Подписано в печать 27.06.2002
Формат 60x907,6 • Гарнитура Школьная.
Печать офсетная. Уел. печ. л. 24,5
Тираж 15 000 экз. (I завод - 7 000 экз.) Заказ №1873.
Диапозитивы предоставлены издательством.
Государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного Знамени
полиграфический комбинат Министерства Российской Федерации по делам
печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций.
410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59.
