Лекция 1 АЛГ СТРУКТУРЫ

Лекция 1
Инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные
значения линейного оператора.
Пусть R1  R , R1  подпространство, А – линейный оператор в R.
Определение 28. Линейное подпространство R1 называется инвариантным
относительно оператора А, если для каждого x  R1  Ax  R1 .
Обратите внимание: оператор действует на вектор из подпространства и
результирующий вектор не выходит из этого подпространства.
Примеры. 1) А- оператор вращения вокруг оси OZ. Инвариантные подпространства
– ось OZ и плоскость, перпендикулярная оси OZ .
Если вы вращаете вектор вокруг оси OZ, то он так и останется в плоскости,
перпендикулярной оси OZ.
Если вектор лежит на оси OZ, то, сколько бы вы его не вращали, он останется на
оси OZ.
2) R – плоскость, a  1e1   2 e2 , Aa  11e1  2 2 e2 . То есть оператор
«растягивает» координаты вектора.
Инвариантные подпространства: 1) {e1} , 2) { e2 } . Действительно, если вектор
коллинеарен вектору e1 , то он так и останется коллинеарен вектору e1 . То же самое
для векторов, коллинеарных вектору e2 .
3) Оператор умножения на матрицу
 a11  a1k a1,k 1  a1n 



  
  
a
 a kk a k 1,k  a kn 
k1
,
A
 0 0 0 a k 1,k 1  a k 1,n 
  

  

 0 0 0
a n ,k 1  a nn 

Инвариантным является подпространство, натянутое на векторы e1 , e2 ,
 1 
 

 
R1  {x : x  1e1     k ek }  x   k 
0

 
0
 
.
ek :
Проверьте, что при умножении матрицы на такой вектор, получится вектор, у которого
последние (n-k) координат равны нулю.
4) Оператор умножения на матрицу
0

0 
 a11  a1k



  
  
a
 a kk
0

0 
k1

.
A
 0 0 0 a k 1,k 1  a k 1,n 
  

  

 0 0 0
a n ,k 1  a nn 

У этого оператора одно инвариантное подпространство такое же, как и у
предыдущего, а второе натянуто на векторы ek 1 , , en , т.е.
R2  {x : x   k 1ek 1 
  nen } .
Проверьте, что при умножении матрицы на такой вектор, получится вектор, у которого
первые k координат равны нулю.
5) У любого оператора ядро и образ – инвариантные подпространства.
Действительно, пусть x  N , N  ядро  Ax  0, но тогда A  Ax   0  Ax  N .
То есть x  N  Ax  N . Это и означает, что ядро N инвариантно.
Проверьте, что образ M - также инвариантное подпространство.
Пусть А –линейный оператор, R1 , R2  инвариантные подпространства, причем
R  R1  R2 - прямая сумма, и, следовательно, dimR=dimR1+dimR2 .
Напоминаю, что из равенства dimR=dimR1+dimR2 ,вообще говоря, не следует, что
R  R1  R2 - прямая сумма.
Выберем базис e1,e2,…en так, чтобы первые k векторов образовывали базис R1 , а
последние (n-k) – базис R2 , тогда в этом базисе матрица оператора А имеет вид:
0

0 
 a11  a1k



  
  
a
 a kk
0

0 
k1
.
A
 0 0 0 a k 1,k 1  a k 1,n 
  

  

 0 0 0
a n ,k 1  a nn 

Это как раз объединение примеров 3) и 4).
Пусть теперь R1 - одномерное инвариантное подпространство, то есть
R1  {x : x   e}, и для x  R1 , Ax   x .
Определение. Вектор x  0 , удовлетворяющий соотношению Ax  x , называется
собственным вектором, а число  - собственным числом оператора А.
Обратите внимание, что вектор не равен 0 , а оператор только меняет его норму.
В дальнейшем мы увидим, что собственные числа и собственные векторы будут играть
важную роль, поэтому мы должны научиться находить собственные числа и
собственные векторы.
Пусть e1,e2,…en – какой-нибудь базис. Аe – матрица оператора в этом базисе.
Уравнение Ax  x эквивалентно уравнению Ax   Ex , или
( A   E ) x  0. Составим соответствующее матричное уравнение:
 x1 
 
x 
Если x   2  , то в матричном виде мы получим уравнение

 
x 
 n
 a11  
 a
21



 an1
  x1 
x 
a2 n 
  2   0.




ann     xn 
a12
a1n
a22  
an 2
Это равенство можно записать так:
(a11   ) x1  a12 x2   a1n xn  0
a x  (a   ) x   a x  0
 21 1
22
2
2n n


am1 x1  am 2 x2   (ann   ) xn  0
Мы получили систему n уравнений с n неизвестными.
Вспомним, что для существования ненулевого решения необходимо и достаточно,
чтобы
a11  
a12

a1n
a 21
a 22   
a2n




a n1
an 2
 a nn  
 0.
(*)
Если 0  решение уравнения (*), то, подставив его в систему уравнений, мы можем
 x1 
 
x 
найти ненулевое решение  2  , то есть собственный вектор х.

 
x 
 n
Левая часть уравнения (*) представляет собой многочлен n-ой степени относительно
 . Этот многочлен называется характеристическим многочленом.
Все корни этого многочлена являются собственными числами оператора А.
Заметим сразу, что у многочлена может быть несколько корней (с учетом кратности их
n), а следовательно, у оператора может быть несколько собственных чисел, и одному
собственному числу может соответствовать несколько собственных векторов.
Так как собственные числа по определению не зависят от выбора базиса, то и корни
характеристического многочлена не зависят от выбора базиса.
На самом деле и сам верна
Теорема 1. Характеристический многочлен не зависит от выбора базиса.
Доказательство.
При переходе к другому базису матрица Ae  Af  C f e AeCe  f . В новом базисе
характеристический многочлен имеет вид: C f e AeCe f   E  0 . «Обвешиваем»
операторы A и E матрицами перехода, вспоминаем, что операторы
C f e и Ce f взаимно обратны и определитель произведения матриц равен
произведению их определителей, и получаем:
C f e AeCe f  C f e ECe f  C f e ( Ae   E )Ce f ,
C f e ( Ae   E )Ce f  C f e Ae   E Ce f  Ae   E .
Утверждение доказано.
Если у оператора А окажется n линейно независимых собственных векторов, то,
выбрав их в качестве базиса, получим в этом базисе диагональную матрицу оператора
А:
 1 0  0 


 0 2  0 
      . Проверьте!


0 0   
n

Верно и обратное утверждение: если в некотором базисе e матрица оператора А
имеет диагональный вид, то все векторы этого базиса являются собственными
векторами: Aek   ek .
Теорема 2. Если оператор А имеет различные собственные значения 1 , 2 ,..., k , то
соответствующие им собственные векторы линейно независимы.
Доказательство по индукции.
Для k=1 все очевидно. Пусть утверждение верно для (k-1) собственного вектора, т.е.
эти векторы линейно независимы. Тогда это утверждение верно и для k векторов.
Действительно, пусть
1e1   2e2 
  k ek  0,
линейный, то
1 Ae1   2 Ae2 
(1)
причем хотя бы одно  i  0 . Тогда A(1e1   2e2 
  k Aek  0  1 1 e1   22e2 
как Aei  i ei ). Умножим обе части уравнения (1) на
1 1 e1   22e2 
  k k ek  0
и вычтем из уравнения (1) уравнение (2):
1 ( 1 k )e1   2 (2  k )e2 
1 ( 1 k )e1   2 (2  k )e2 
  k ek )  0  , так оператор
k :
  k k ek  0 (так
(2)
  k (k  k )ek  0 
  k 1 (k 1  k )ek 1  0.
Но по предположению векторы e1 , e2 ,..., ek 1 -линейно независимы, следовательно,
1  0,  2  0,...,  k 1  0, в том числе i  0  противоречие!
В частности, если оператор имеет n различных собственных значений, то матрица
оператора А может быть приведена к диагональному виду, так как в качестве
базиса мы можем взять собственные векторы.
Заметим, что если матрица оператора А треугольная, то есть имеет вид
 a11  a1k a1,k 1  a1n 



  
  
 0  a
a k ,k 1  a kn 
kk
 , то i  aii .
A
 0 0 0 a k 1,k 1  a k 1,n 
  

  

 0 0 0
0
 a nn 

Проверьте!
Замечание. У линейного оператора может быть менее чем n собственных чисел.
(Почему?)
Теорема 3. Если P( ) – характеристический многочлен, то P( A) =0.
Мы раньше говорили о том, что существует такой многочлен степени n 2  1 . Но
характеристический многочлен имеет степень n , поэтому такое утверждение не
очевидно.
Лемма. Пусть многочлен P( )  a0 m  a1 m1 
 am и P( ) E  ( A   E )C ( ) , где
C ( )  С0   С1   Сm1 , Сi – матрицы. Тогда P( A)  0 . (Это аналог теоремы
Безу для чисел).
Доказательство.
( A   E )C ( )  ( A   E ) (С0 m1  С1 m2   Сm1  Сm1 ) 
.
 ( AС0  С1 ) m1  ( AС1  С2 ) m2   ( AСm2  Сm1 )  AСm1
Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях  :
 m a0 E  С0
m 1
m2
 m 1 a1 E  AС0  С1
 2 am  2 E  AСm 3  Сm  2
 am 1 E  AСm  2  Сm 1
 0 am E  AСm 1
am E  am 1 A  am  2 A2  a1 Am 1  a0 Am  0  P ( A)  0.
Умножаем слева последнее уравнение на матрицу E, предпоследнее – на матрицу A,
третье снизу – на матрицу A2 , …, второе сверху - на An-1 , первое – на An , тогда
получим:
 n a0 An  С0 An
 n 1 a1 An 1  AnС0  An 1С1
 n  2 a1 An  2  An 1С1  An  2С0
................................................
 2 am  2 E  A3Сm 3  A2Сm  2
 am 1 AE  A2Сm  2  AСm 1
 0 am E  AСm 1
Cкладываем левые и правые части. Тогда слева получим характеристический
многочлен от A
P( A)  am E  am 1 A  am 2 A2  a1 Am 1  a0 Am , справа 0., т.е. P( A)  0. Лемма доказана.
Теорема 4. Если P( ) – характеристический многочлен, то P( A)  0 .
Пусть ( A   E )1 - обратная матрица для ( A   E ) (почему существует обратная
матрица?). Тогда
( A   E ) 1 ( A   E )  E.
но
1
( A   E ) 1 
C ( ),
det( A   E )
1
C ( )  P( )  ( A   E )C ( ) . Выполнены
P ( )
условия леммы, следовательно, P( A)  0 .
det( A   E )  P( )  ( A   E ) 1 =
Пример. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы (оператора):
8 5 1 
 1 4 1 ,


2 6 7 


Составляем характеристическое уравнение:
8
5
1
4
2
6
1
1  0 
7
(8   )(4   )(7   )  6  10  2(4   )  5(7   )  6(8   )  0 
 3  19 2  115  225  0,
1  2  5, 3  9
1  2  5 . Получаем систему:
 3 x1  5 x2  x3  0,
1

 
 x1  x2  x3  0, Решением этой системы является вектор u   1 .
2
2 x  6 x  2 x  0
 
2
3
 1
1)
2) 3  9
Получаем систему:
  x1  5 x2  x3  0,
1

 
 x1  5 x2  x3  0, Решением этой системы является вектор v   0  .
1
2 x  6 x  2 x  0
 
2
3
 1
Итак, мы имеем 2 различных собственных числа, которым соответствует по одному
собственному вектору, а подпространство, натянутое на эти векторы называется
собственным подпространством.