Дифференциалы высших порядков

РЕФЕРАТ
на тему:
«Дифференциалы высших порядков»
Выполнил:
Проверил:
Москва
2021
Содержание
Введение ................................................................................................................... 3
1. Функции нескольких переменных .................................................................. 4
1.1 Определение функции нескольких переменных............................................ 4
1.2 Предел функции двух переменных ................................................................. 4
1.3 Непрерывность функции двух переменных ................................................... 5
2. Частные производные ....................................................................................... 6
2.1 Частные производные ....................................................................................... 6
2.2 Полный дифференциал ..................................................................................... 7
2.3 Производные и дифференциал сложной функции ........................................ 9
2.4 Неявные функции и их дифференцирование ............................................... 11
3. Частные производные и дифференциалы высших порядков. .................... 13
3.1 Частные производные высших порядков ..................................................... 13
3.2 Признак полного дифференцирования ......................................................... 14
3.3. Дифференциалы высших порядков .............................................................. 14
Заключение ............................................................................................................ 17
Список использованных источников .................................................................. 18
2
Введение
Многие явления, происходящие в природе, экономике, общественной
жизни нельзя описать с помощью функции одной переменной. Например,
рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных
фондов. Для изучения такого рода зависимостей и вводится понятие функции
нескольких переменных.
В данной работе рассматриваются функции двух переменных, так как
все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух
переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных.
Так же, как и в случае функций одной переменной, можно для функций
нескольких переменных вычислять дифференциалы порядка выше первого.
Причём для сложных функций дифференциалы порядка выше первого
не обладают неизменной формой и выражения для них более громоздки. В
данной работе предстоит рассмотреть так же геометрический смысл полного
дифференциала функции нескольких переменных, который вводится по
аналогии с геометрическим смыслом функции одной действительной
переменной.
3
1.
Функции нескольких переменных
1.1 Определение функции нескольких переменных
Переменная z называется функцией двух независимых переменных x и
y, если некоторым парам значении x и y по какому – либо правилу или закону
ставится в соответствие определенное значение z.
Множество G пар значений x и y, которые могут принимать
переменные x и y, называется областью определения функции, а множество
всех значений, принимаемых z в области определения, - областью значений
функции z. Переменные x и называются аргументами функции.
Пара чисел x и y определяет положение точки M на плоскости xOy с
координатами x и y. Поэтому функцию двух переменных можно
рассматривать либо как функцию двух переменных
z  f ( x, y ) можно
рассматривать как функцию точки M z  f (M ) , либо как скалярную функцию
векторного аргумента r z  f (r ) .
Каждой тройке (x; y; z) в пространстве Oxyz соответствует точка M(x;
y; z). Совершенно аналогично случаю двух переменных можно дать
определение функции трех переменных z  f ( x; y; z )  f ( M )  f (r ) . Областью
определения функции трех переменных будет все пространство или его
часть.
Аналогично можно дать определение функции четырех и более
переменных.
1.2 Предел функции двух переменных
Множество точек M(x; y), координаты x и y которых удовлетворяют
неравенству
x  x0 2   y  y0 2
  или MM 0  
называется δ-окрестность
точки M 0 x0 , y0  .
Определение. Число A называет пределом функции z  f x, y   f (M )
при стремлении точки M к точке M 0 x0 , y0  , если для любого ε>0 существует
такое δ>0, что для всех точек M из области определения этой функции,
4
удовлетворяющих
0  MM 0  
условию
имеет
место
неравенство
f M   A   . Обозначают это так: lim f ( M )  A или lim f ( x, y)  A
M M 0
x  x0
y  y0
Функция z  f (M ) называется бесконечно малой при M  M 0 если
lim f (M )  0
M M 0
1.3 Непрерывность функции двух переменных
Пусть
точка
z  f ( x, y )  f ( M ) .
M 0 x0 , y 0 
Определение.
принадлежит
Функция
области
z  f ( x, y )  f ( M )
определения
называется
непрерывной в точке M 0 если
lim f (M )  f (M 0 ) или lim f ( x, y)  f ( x0 , y0 ) причем точка M стремится к
M M 0
x  x0
y  y0
M0 произвольным образом, оставаясь в области определения функции.
Обозначим
x  x0  x ,
y  y0  y .
Полным
приращением
z  f ( x, y )  f ( M ) при переходе от точки M 0 , к точке M называется разность
значении функции в этой точке z  f (M )  f (M 0 ) , т.е. z  f ( x, y)  f ( x0 , y0 )
5
2.
Частные производные
2.1 Частные производные
Частной производной функции нескольких переменных по какойнибудь
переменной
производная
по
в
рассматриваемой
этой
переменной,
точке
считая
называется
другие
обычная
переменные
фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных
z  f x, y  в точке M 0 x0 ;y 0  частные производные определяются так:
 z
f x0  x, y0   f x0 , y0 
z
,
 lim x  lim
x x0 x x0
x
yz
f x0 , y0  y   f x0 , y0 
z
,
 lim
 lim
y y 0 y y 0
y
если эти пределы существуют.
Величина
 x z  f x0  x, y 0   f x0 , y 0  y z  f x0 , y 0  y   f x0 , y 0 
называется частным приращением функции z в точке M 0 по аргументу x y  .
Используются и другие обозначения частных производных:
z x ,
f x0 , y 0  
f  x 0 , y 0  , f xx0 , y 0  ,
,
x
x
z y ,
f  x 0 , y 0  
,
f  x0 , y 0  , f y  x0 , y 0  .
y
y
Символы
z f x0 , y 0  z f  x 0 , y 0 
,
,
,
x
y
y
x
как дроби трактовать нельзя (в
этом отличие от случая одной переменной).
Из определения следует геометрический смысл частной производной
функции двух переменных: частная производная f xx0 , y 0  f y  x0 , y 0  - угловой

коэффициент касательной к линии пересечения поверхности

z  f x, y  и
плоскости y  y0 x  x0  в соответствующей точке.
Пользуясь понятием скорости изменения переменной, можно сказать,
что частная производная

f x x0 , y 0  f y x0 , y 0 


есть скорость изменения
функции f x, y  относительно x y  при постоянном yx  .
6
Из
определения
частных
производных
следует,
что
правила
вычисления их остаются теми же, что для функций одной переменной, и
только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.
Пример 1. Если z  x 2  y 2 , то z x  2 x , z y   2 y .
Пример 2. Если p 
RT
R
RT
, то pT   , pV   2 . Величина pV  называется
V
V
V
изотермическим коэффициентом упругости идеального газа.
Аналогично определяются и обозначаются частные производные
функции трех и большего числа независимых переменных.
2.2 Полный дифференциал
z  f x0 , y0   f x0  x, y0  y   f x0 , y0  .
(1)
Если приращение (1) можно представить в виде
z  Ax  By   x, y x   x, y y ,
(2)
Где А и В не зависят от x и y , а  x, y  и  x, y  стремятся к нулю
при стремлении к нулю z  Ax  By   x, y x   x, y y x и y , то
функция z  f x, y  называется дифференцируемой в точке x0 , y0  , а линейная
часть Ax  By приращения функции (т.е. та часть z , которая зависит от x
и
y
линейно)
называется
полным
дифференциалом
(или
просто
дифференциалом) этой функции в точке x0 , y0  и обозначается символом dz :
dz  Ax  By .
(3)
Из определения дифференцируемости функции следует, что если
данная функция дифференцируема в точке x0 , y0  , то она в этой точке
непрерывна.
Действительно,
если
в
точке
 x0 , y 0 
функция
z  f x, y 
дифференцируема, то для этой точки z представимо в форме (2), откуда
следует, что
lim z  0 ,
x 0
y  0
а это и означает, что в точке x0 , y0  функция z  f x, y  непрерывна.
7
Из
дифференцируемости
функции
в
данной
точке
следует
существование ее частных производных в этой точке (необходимое условие
дифференцируемости).
В
самом
деле,
пусть
функция
z  f x, y 
в
точке
 x0 , y 0 
дифференцируема. Тогда имеет место соотношение (2). Полагая в нем y  0 ,
имеем:
 x z  Ax   x,0x .
Деля на x  0 и переходя к пределу при x  0 , получаем:
xz
 lim ( A   x,0)  A .
x 0 x
x 0
lim
Это означает, что в точке x0 , y0  существует частная производная
функции z  f x, y  по x и
z
 A.
x
(4)
Аналогично доказывается, что в точке x0 , y0  существует частная
производная
z
 Â.
y
(5)
Используя формулы (4) и (5), можно переписать выражение (3) в виде
dz 
z
z
x  y .
x
y
Если положить
Аналогично, полагая
z  x , то
z  y,
dz  dx  1 * x  0 * y  x , т.е.
получим
dy  y .
dz  x .
Значит, дифференциалы
независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных, и
можно
записать
дифференциал
(3)
в
следующем
виде:


dz  f x x0, y0 dx  f y x0 , y0 dy .
Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция
z  f x, y  имеет частные производные в некоторой окрестности точки
M 0 x0 ;y 0  и эти производные непрерывны в самой точке M 0 , то эта функция
дифференцируема в точке M 0 .
8
Доказательство. Дадим переменным x 0 и y 0 столь малые приращения
x и  y , чтобы точка M 0 x0  x; y 0 y  не вышла за пределы указанной
окрестности точки M 0 . Полное приращение z  f x0  x, y0  y   f x0 , y0 
можно
записать
в
виде
z  ( f x0  x, y0  y   f x0 , y0  y )  ( f x0 , y0  y   f x0 , y0 ) .
Каждая из этих разностей представляет частное приращение функции.
Преобразует каждую из этих разностей по формуле Лагранжа. Получим:


z  f x x0  x, y 0  y x  f y x0 , y 0  1 y y
0   ,1  1
(6)
Так как производные f x  и f y  непрерывны в точке M 0 , то




lim f x x0  x, y 0  y   f x x0 , y 0  , lim f y x0 , y 0  1 y   f y  x0 , y 0 
x 0
x 0
y  0
y  0
Отсюда


f x x0  x, y0  y   f x x0 , y0    ,
   x, y 


f y x0 , y0  1y   f y x0 , y0    ,
где
и    x, y  - бесконечно малые при x  0 , y  0 .
Подставляя эти значения в равенство (6), находим:


z  f x x0 , y 0 x  f y x0 , y 0 y  x  y ,
а это и означает, что функция z  f x, y  дифференцируема в точке M 0 .
2.3 Производные и дифференциал сложной функции
Пусть z  f x, y  , где x   t  , y   t  . Тогда в конечном итоге z будет
функцией одной переменной t. Предположим, что z x  , z y  непрерывны и
dx
,
dt
dy
dz
существуют. Найдем . Дадим переменной t приращение t . Тогда x, y,
dt
dt
а следовательно, и z получат свои приращения
x ,  y и z . В силу
достаточного условия дифференцируемости


z  f z x, y x  f y x, y y  x  y ,
откуда
9
z
x
y
x
y


 f x  x, y 
 f y  x, y 


.
t
t
t
t
t
Устремим теперь t к нулю. Тогда x и y будут стремиться к нулю,
так как функции x и y непрерывны (мы предположили существование
производных xt  и yt  ), а потому  и  будут стремиться к нулю. В пределе
получим:
dz
dz
dy


 f x  x, y   f y  x , y  ,
dt
dt
dt
или, короче,
dz z dx z dy
.


dt x dt y dt
(7)
Формула (7) называется формулой производной сложной функции.
Пример 1. Пусть z  f x, y  , x  t 3  3 , y  2t 4  1 . По формуле (7) имеем:
dz z
z
 * 3t 2  8t 3 .
dt x
y
Предположим, в частности, что роль независимой переменной играет,
т.е. рассмотрим функцию z  f x, y  , где y   x. Согласно формуле (7) будем
иметь:
dz z z dy
,


dx x y dx
так как
(8)
dx
z
 1 . В формуле (8)
- частная производная по первому
dx
x
аргументу функции двух переменных f x, y  , а
сложной
функции
одной
переменной
x:
dz
- обычная производная
dx
z  f x, x .
Последнюю
производную будем называть полной производной функции. В случае, когда
z  f x, y  , где x    y  , аналогично получает:
dz z dx z


dy x dy y
(
z
dz
- частная производная по второму аргументу функции f x, y  ,
dy
y
полная производная функции одной переменной y: z  f   y , y  ).
10
Пусть теперь x   t,  , y   t ,  ( здесь предполагается существование
первых производных функций
x , y по t и  ). В этом случае z будет
функцией двух независимых переменных t и  . Следовательно, для этого
случая формулу (7) нужно переписать в виде
z z x z y
.


t x t y t
(9)
Аналогично
z z x z y
.


 x  y 
Пример
2.
Если
(10)
z  xy ,
где
x  t cos 2 ,
от

zt  y cos 2  2 xt ,

z  2 yt  xt 2 .
Из формул (9) и (10) видно, что символ частной производной, как уже
отмечалось выше, нельзя трактовать как дробь. В самом деле, если бы можно
было сократить на x и y , то из формул (9) и (10) получили бы, что
z
z
z
z
2
2 .
и
t
t


2.4 Неявные функции и их дифференцирование
Если уравнение, с помощью которого задается функция одной
переменной x, не разрешено относительно y, то эта функция называется
неявной. Разрешая это уравнение относительно y, мы получаем ту же
функцию, но уже заданную в явной форме. Однако часто бывает, что
разрешить такое
уравнение относительно
y
невозможно
(например,
2 y  2 y  x 2  1  0 ) или нецелесообразно; в этом случае уравнение так и
оставляют неразрешенным, в общем виде (когда все его члены перенесены в
левую часть):
F x, y   0 .
(11)
В связи с этим встает вопрос о том, как найти производную неявной
функции, не разрешая уравнения (11) относительно у.
Если в уравнении (11), определяющем неявную функцию y  f x ,
задавать
значения
независимой
переменной
х,
то
для
нахождения
11
соответствующего значения у надо решать уравнение. Теперь, если в это
уравнение подставить его решение, то получится тождество. Поэтому можно
сказать также, что неявная функция y  f x , определенная уравнением (11), это такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение (11), обращает
его в тождество. Дифференцируя это тождество по x согласно правилу
дифференцирования сложной функции, получим:
dy


Fx x, y   Fy x, y   0 .
dx
Отсюда при Fy x, y   0 вытекает формула для производной неявной
функции

F  x, y 
dy
.
 x

dx
F  x, y 
(12)
y
Пример 1. Пусть y как функция от x задана соотношением e xy  x  y  0 .
Найти
dy
.
dx
Для F x, y   e xy  x  y имеем: Fx   ye xy  1, Fy   xe xy  1 и согласно
формуле (12)
dy 1  ye xy
.

dx xe xy  1
Пусть уравнение F x, y, z   0
Определяет
z
как
неявную
(13)
функцию
z   x, y 
независимых
переменных xи y.
Пользуясь формулой (12), из равенства (13) имеем:


Fy
Fx z
z

,
.


 y
x
F
F
z
(14)
z
Пример 2. Найти частные производные неявной функции z, заданной
уравнением x 2  y 2  z 2  1  0 .
Согласно формулам (14)
z
x z
y
 ,
 .
x
z y
z
12
Частные производные и дифференциалы высших порядков.
3.
3.1 Частные производные высших порядков
Частные производные функции нескольких переменных сами являются
функциями этих переменных и могут иметь частные производные. Для
исходной
функции
эти
последние
производные
будут
производными второго порядка. Так, для функции
частными
z  f x, y 
двух
независимых переменных можно определить (предполагается, что все
производные существуют) четыре частные производные второго порядка,
которые обозначаются символами
2
2
  z 
  z   z 
  z
z x 2  2    , z xy 
  ,
x  x 
xy y  x 
x
z yx

2z
  z 
 2 z   z 


   , z 2  2    .
yx x  y  y
y  y 
y
Частные
производные
z xy

и

z yx ,
отличающиеся
порядком
дифференцирования, называются смешанными частными производными
второго порядка.
Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и
старших порядков.
Пример. Найти частные производные второго порядка функции
z  e x2 y .
Имеем:


z x  e x  2 y , z y   2e x  2 y ,,




z x 2  e x  2 y , z xy  2e x  2 y , z yx   2e x  2 y , z y 2  4e x  2 y .
Здесь z xy  = z yx  . Оказывается, имеет место следующая теорема.
Теорема. Смешанные производные второго порядка равны, если они
непрерывны: f xy  x, y  = f yx  x, y  .
Следствие. Смешанные производные высших порядков равны, если они
непрерывны и получены в результате дифференцирования по одним и тем
13
же переменным одинаковое число раз, но может быть в разной
последовательность.
Покажем это на примере:






z x 2 y     z x        z x        z y      ,
x  y 
y 

x x

x 
т.е.
z x 2 y   z xyx   z yx 2  .
Здесь мы дважды пользовались только что отмеченной теоремой:
первый раз применительно к функции z x  (мы изменили порядок ее
дифференцирования), второй раз использовали равенство z xy  = z yx  . В
общем случае схема рассуждений аналогична.
3.2 Признак полного дифференцирования
Выясним, при каких условиях выражение Px, y dx  Qx, y dy ,
(12)
где Px, y  и Qx, y  непрерывны и вместе со своими частными
производными
первого
порядка,
является
полным
дифференциалом
некоторой функции u  ux, y  , или, кратко, полным дифференциалом.
Теорема. Выражение (12) есть полный дифференциал тогда и только
тогда, когда выполнено равенство
P Q
.

y x
3.3. Дифференциалы высших порядков
Заметим прежде всего, что для функции нескольких переменных
справедливы те же общие правила дифференцирования, что и для функции
одной переменной:
I. d u  v  du  dv
u  ux, y , v  vx, y  .
II. d uv  vdu  udv .
III. d Cv  Cdu C  const .
14
u
vdu  udv
IV. d   
v  0 .
2
v
v
Пусть имеется функция z  f x, y  независимых переменных x и y,
обладающая непрерывными частными производными второго порядка.
Рассмотрим ее полный дифференциал
dz 
z
z
dx  dy
x
y
(dx и dy – произвольные приращения), который назовем полным
дифференциалом первого порядка (или, кратко, первым дифференциалом).
Так как
z
x
и
z
y
по предложению имеют непрерывные частные
производные первого порядка, то от функции dz , в свою очередь, можно
взять полный дифференциал d dz  . Так получим полный дифференциал
второго порядка (или, кратко, второй дифференциал), который обозначается
d 2z .
Аналогично,
потребовав
существование
непрерывных
частных
производных третьего, четвертого, п-го порядков, можно получить полные
дифференциалы соответственно третьего, четвертого, п-ого порядков.
Найдем выражения для второго дифференциала через частные
производные. Пользуясь правилами I, III (dx и dy не зависят от x и y, т.е.
рассматриваются как постоянные) и приведенной в п. 3.1 теоремой, можно
записать:
 z
 z 
z 
 z 
d 2 z  d  dx  dy   d  dx  d  dy 
y 
 x 
 x
 y 
2z
2z
2z
2z



dx2 
dxdy 
dydx 
dy 2 
xy
yx
x 2
y 2
2z 2
2z
2z 2

dx  2
dxdy 
dy
2
2

x

y
x
y
(13)
(здесь dx 2  dx 2 , dy 2  dy 2 ).
Формула (13) обобщается на случай дифференциала п-го порядка.
15
Пусть в области D задана непрерывная функция z=f(x1, x2,…, хm).
Если для функции z существуют непрерывные частные производные
всех порядков до n-го включительно, то существование n-го дифференциала
обеспечено.
 



d n z  d 
dx1 
dx2  ... 
dxm  z
x2
xm
 x1

(14)
Формулу (14) надлежит понимать так: сначала «многочлен», стоящий в
скобках, формально, возводится по правилам алгебры в степень, затем все
полученные члены «умножаются» на z (которое дописывается в числителях
при ∂n), и только после этого всем символам возвращается их значение как
производных и дифференциалов.
16
Заключение
Определения и обозначения, связанные с частными производными
высших порядков, остаются в силе и для функций, зависящих от трёх и более
переменных. Остаётся справедливой и возможность изменения порядка
производимых
дифференцирований
при
условии
непрерывности
сравниваемых между собой производных.
17
Список использованных источников
1.
Гусак А. А. Высшая математика. Учебное пособие для студентов
вузов в 2-х томах. - Мн., 1998. - 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).
2.
Гусак А. А. Математический анализ и дифференциальные
уравнения. - Мн.: ТетраСистемс, 1998. - 416 с.
3.
Демидович
Б.
П.
Сборник
задач
и
упражнений
по
математическому анализу. М.: Наука, 1981, стр.124-134
4.
Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н.
Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.
Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2002. - 471 с.
5.
Смирнов В. И. Курс высшей математики, Т.1.: Изд-во «Наука».
1974. – 368 с.
6.
Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического
анализа, физмат-лит, 1988, - 259 с.
7.
Фихтенгольц Г. М., «Курс дифференциального и интегрального
исчисления», Том 1, стр. 410-413
8.
Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая
математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.- Мн.: Выш.
шк., 2000. - 351 с.
18