Функции нескольких переменныхЛекция 1

Функции нескольких
переменных
Лекция 1
Определение функции двух
переменных
Определение. Если каждой паре (x,y)
значений двух независимых друг от
друга переменных величин x и y из
некоторого множества D соответствует
единственное значение величины z, а
каждому z соответствует хотя бы одна
пара (x,y), то мы говорим, что z есть
функция двух независимых переменных
x и y, определенная в D.
Обозначения
При этом пишут:
z  f ( x, y ), z   ( x, y ), z  z ( x, y ).
Если паре ( x0 , y0 )  D соответствует
число z 0  L , то пишут z 0  f ( x0 , y 0 )
Или z 0  z x  x0
y  y0
z0
называется частным значением
функции при x  x0 , y  y 0 .
График функции 2-х
переменных
Геометрическое место точек,
координаты которых удовлетворяют
уравнению z= =f(x,y), называется
графиком функции двух
переменных.
График функции
Функцию двух
переменных можно
изобразить графически.
Каждой паре (x, y)D
ставится в соответствие
точка M(x, y,z),
принадлежащая
графику функции и
являющаяся концом
перпендикуляра PM к
x
плоскости Oxy.
z
M(x,y,z)
z = f (x,y)
O
y
D
P(x,y)
Предел функции 2-х
переменных
Окрестностью радиуса R точки M 0
называется совокупность всех точек,
лежащих внутри круга радиуса R с
центром в точке M 0 , кроме самой
точки.
Предел функции 2-х
переменных
Таким образом,
окрестностью точки
является множество
точек,
M.0
УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ
НЕРАВЕНСТВУ
( x  x0 )  ( y  y 0 )  R
2
у
2
о
х
Определение предела функции
2-х переменных
Число А называется пределом функции
z=f(x,y) при M  M 0 , если для любого
числа   0 найдется такое число
R>0, что для всех точек М(х,у),
лежащих в окрестности радиуса R
точки M 0, выполняется условие
f ( x, y)  A  
При этом пишут: lim f ( x, y)  A
x  x0
y  y0
lim f ( x, y)  A
M M 0
или
Непрерывность
Функция z=f(x,y) называется
непрерывной в точке M 0 , если
выполнены условия:
1)функция определена в точке M 0 ,
f (M )
2)если существует Mlim
,
M 0
3)если lim f (M )  f (M 0 )
M0
M 0 ( x0 , y 0 )
M M 0
Непрерывность
Другое определение: Функция z=f(x,y)
называется непрерывной в точке M 0 ,
если в этой точке бесконечно малому
приращению аргументов соответствует
бесконечно малое приращение
функции, т. е. lim z  0,
x 0
y 0
где z  f ( x  x, y  y )  f ( x, y )
.
Внутренние и граничные точки
Линию, ограничивающую некоторую
область D в плоскости Oxy, мы будем
называть границей этой области.
Точки области, не лежащие на границе
области, мы будем называть
внутренними точками области, если
они принадлежат области вместе со
своей окрестностью.
Открытая и замкнутая
области
Область, состоящую из одних
внутренних точек, мы будем
называть открытой или
незамкнутой.
Если же к области относятся еще и
точки границы, то область
называют замкнутой.
Ограниченная область
Область называют ограниченной,
если существует такое постоянное
C>0, что расстояние любой точки M
области от начала координат O
меньше C, т.е. OM  C.
Наибольшее и наименьшее
значения функции
Теорема Вейерштрасса. Непрерывная
функция в замкнутой ограниченной
области D достигает по крайней мере
один раз наибольшего значения M и
наименьшего значения m.
Частные приращения функции
2-х переменных
Разность  x z = f (x+x, y) – f (x, y)
называется частным приращением
функции f (x, y) по переменной x.
Разность  y z = f (x, y+y) – f (x, y)
называется частным приращением
функции f (x, y) по переменной y.
Частные производные
Определение. Если существует
f
(
x


x
,
y
)

f
(
x
,
y
)
x z
lim
=
,
lim
x 0 x
x0
x
то он называется частной производной
(первого порядка) функции z = f (x, y)
по переменной x и обозначается
z
z x 
 f x ( x, y )
x
Продолжение
Аналогично определяется частная
производная по переменной y:
y z
f ( x, y  y)  f ( x, y)
= lim
lim
y 0
y
y 0 y
Эту производную обозначают
z
z y 
 f y ( x, y )
y
Пример
Найдем частные производные функции
z  4x y  x y  x y
2
3
2
Получим
2
2

z X  8 xy  3x y  2 xy ,
z Y  4 x 2  x 3  2 x 2 y.
2
Производные высших порядков
Частной производной n-го порядка
функции нескольких переменных называется
частная производная первого порядка от
частной производной (n-1)-го порядка той же
функции. Например, для функции 2-х
переменных имеем:
z xx  ( z x )x
z yx  ( z y ) x
z xy  ( z x )y
z yy  ( z y )y
Равенство смешанных
производных
Теорема. Две смешанные частные
производные одной и той же функции,
отличающиеся лишь порядком
дифференцирования, равны между
собой при условии их непрерывности.
2
2
 z ,
Так,  z

xy yx
 z
 z
 z
 2 
2
xy
y x yxy
3
3
3
Пример


Пусть z  ln x 2  y 3 . Показать, что смешанные
производные равны.
z x 
1
x y
 2x 
3
2x
1
; z y 
3


2


3
y

3
3y2
x y
x y
x y

2
 2x 
2
x
6
xy

2
z xy  z x  y   2 3  y  


3
y

;
2
2
x y 
x2  y3
x2  y3

2
2
2


3
y
3
y
6
xy
z yx  z y  x    2 3  x 
 2x 
 z xy .
2
2
 x y 


x2  y3
x2  y3
2
2

 
2
 







2
3
;