Дискретные случайные величины

СПБ ГБПОУ Колледж судостроения и прикладных
технологий
Дискретные
случайные величины
Разработана преподавателем
Каракашевой И.В
Санкт – Петербург
2018
Цели урока








Образовательные:
изучить дискретные случайные величины, закон и функцию
распределения дискретной случайной величины;
научить решать задачи на определение закона и функции
распределения дискретной случайной величины, на нахождение
вероятности попадания случайной величины в заданный интервал;
научить применять понятия теории вероятностей в реальных
ситуациях.
Воспитательные:
способствовать развитию знаний,;
формировать у учащихся научное мировоззрение;
продолжать формировать умение самостоятельно работать с
различными источниками информации.
Развивающие:
способствовать развитию аналитического мышления, смысловой
памяти, внимания; умения работать с дополнительной литературой;
развитию навыков исследовательской деятельности.
Случайные величины
 Случайной называют величину, которая в результате
испытания примет одно и только одно числовое значение,
зависящее от случайных факторов .
 Случайные величины обозначают заглавными латинскими
буквами X,Y,Z,… , а их значения – маленькими буквами,
например,
.
 Cлучайные величины делятся на 2 группы:
 1) Дискретная случайная величина – принимает отдельно
взятые, изолированные значения. Количество этих
значений конечно либо бесконечно, но счётно.
 2) Непрерывная случайная величина – принимает
все числовые значения из некоторого конечного или
бесконечного промежутка.
Дискретные случайные величины
 Закон распределения дискретной случайной величины –
это соответствие между возможными значениями этой
величины и их вероятностями.
 Чаще всего закон записывают таблицей:
xi
x1
x2
…
xn
pi
p1
p2
…
pn
 Т.к. случайная величина обязательно примет одно из
значений, то соответствующие события образуют полную
группу, и сумма вероятностей их наступления равна
единице:
Дискретные случайные величины
 Многоугольником (полигоном) распределения
вероятностей данной величины называют ломаную, звенья
которой соединяют соседние точки
.
Пример 1
 Написать закон распределения случайной величины —
числа очков, выпадающих при однократном бросании
игральной кости.
 Решение:
 Возможные значения — числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
 При этом вероятность того, что примет любое из этих
1
значений, одна и та же и равна
.
6
 Закон распределения имеет вид
xi 1 2
pi
1
6
1
6
3
1
6
4
1
6
5
1
6
6
1
6
Пример 2
 В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди
которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают
по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить
закон распределения случайной величины – размера
выигрыша, если из коробки наугад извлекается один
билет.
Решение
 Рассмотрим возможные значения:
 Самый маленький выигрыш —0 рублей, х1=0
Таких билетов 50 – 12 = 38, и по классическому
38
определению p1   0, 76 – вероятность того, что наудачу
извлечённый билет50окажется безвыигрышным.
 Вероятность выигрыша х2=100 рублей составляет:
 И для х3=1000
10
p2 
 0, 2
50
2
p3 
 0, 04
50
 Закон распределения выигрыша имеет вид xi
xi
0
100
1000
pi
0,76
0,2
0,04
Пример 3
 Построить многоугольник распределения вероятностей
случайной величины
 Решение:
xi
-2
0
3
6
7,5
pi
0,2
0,1
0,2
0,3
0,2
 Чертим прямоугольную систему координат, в которой по оси
абсцисс отсчитываются хi – значения случайной величины,
а по оси ординат pi – их вероятности. Соединяем соседние
точки отрезками:
Функция распределения
 Функцией распределения случайной величины Х
называется вероятность того, что случайная
величина Х примет значение, меньшее, чем переменная х,
которая «пробегает» все действительные значения.
F(x)=P(X<x)
Свойства функции распределения
 1) Функция распределения – неубывающая.
 2)
 3)
 Вероятность того, что дискретная случайная
величина примет одно из возможных значений xi, равна
скачку функции распределения в точке xi.
F ()  1
F ()  0
Пример 4
 Найти функцию распределения и построить ее график для
случайной величины Х, заданной законом распределения
xi
-2
0
3
7
pi
0,4
0,1
0,2
0,3
Решение





x  2
2  x  0
0 x3
3 x 7
x7
F(x)=P(X<x)=0
F(x)=P(X<x)=P(-2)=0,4
F(x)=P(X<x)=P(-2)+P(0)=0,4+0,1=0,5
F(x)=P(X<x)=P(-2)+P(0)+P(3)=0,4+0,1+0,3=0,8
F(x)=P(X<x)= P(-2)+P(0)+P(3)+P(7)=
=0,4+0,1+0,3+0,2=1
 0, если _ x  2

0, 4, если _  2  x  0

F ( x)   0,5, если _ 0  x  3
 0,8, если _ 3  x  7

 1, если _ x  7
=0,4+0,1+0,3+0,2=1
Пример 5
 В билете три задачи. Вероятность того, что студент
правильно решит первую задачу, равна 0,9, вторую – 0,8,
третью – 0,7. Составить закон распределения числа
правильно решенных задач в билете. Построить график
функции распределения. Найти вероятность того, что
студент сдаст зачёт, если для этого нужно правильно решить
не менее двух задач.

Решение
 р1=0,9; q1=0,1
 p2=0,8; q2=0,2
 p3=0,7; q3=0,3
 Используя теоремы умножения независимых и сложения
несовместных событий, составим закон распределения
случайной величины – числа правильно решенных задач в
билете
p(0)  q1q2q3 = 0,1 0,3 0,2  0,006
 x=0;
 x=1; p (1)  p1q2 q3  q1 p2 q3  q1q2 p3 
 0,9  0,3  0, 2  0,1 0, 7  0, 2  0,1 0,3  0,8  0, 092
Решение
 x=2;
p (2)  p1 p2 q3  p1q2 p3  q1 p2 p3 
 0,9  0, 7  0, 2  0,9  0,3  0,8  0,1  0, 7  0,8  0,398
 x=3
p(3)  p1p2p3  0,9 0,7  0,8  0,504
 Закон распределения:
xi
0
1
2
3
pi
0,006 0,092 0,398 0,604
 Составим функцию распределения: 
0, если _ x  0
 0, 006, если _1  x  1

F ( x)   0, 098, если _1  x  2
0, 4968, если _ 2  x  3

1, если _ x  3

Решение
 Найдём вероятность того, что студент сдаст зачёт:
P( X  2)  P(2  Х  )  F ()  F (2) 
 1  0,098  0,902
Вероятность попадания случайной
величины в промежуток [a;b]
 Вероятность того, что дискретная случайная
величина примет одно из возможных значений xi, равна
скачку функции распределения в точке xi.
 Если оба конца a и b промежутка не «попадают» в точки
разрыва функции F(x) , то вероятности:
P(a  X  b), P(a  X  b), P(a  X  b), P(a  X  b)
можно найти по единой формуле: F (b)  F (a)
 Если хотя бы один из концов a и b промежутка «попадает» в
точку разрыва функции, то формулу можно использовать лишь в
одном случае из четырёх: P(a  X  b)  F (b)  F (a)
 Примечание: если a   , то левое неравенство становится
строгим, но формула тоже применима.\
 Во всех остальных случаях используем теорему сложения
вероятностей несовместных событий
Пример 6
 Для функции распределения из примера 4 найти вероятности
попадания случайной величины в заданные интервалы
P(1  X  5), P(4  X  10), P( X  2), P(3  X  7), P( X  7)
 0, если _ x  2
0, 4, если _  2  x  0

F ( x)   0,5, если _ 0  x  3
 0,8, если _ 3  x  7

 1, если _ x  7
Решение
 Концы интервала (–1 и 5) находятся в области
непрерывности функции распределения поэтому:
P(1  X  5)  F (5)  F (1)  0,8  0, 4  0, 4
 Оба конца этого промежутка не «попадают» в точки
разрыва, поэтому: P(4  X  10)  F (10)  F (4)  1  0,8  0,2
 Оба конца этого промежутка не «попадают» в точки
разрыва, поэтому: P( X  2)  F (2)  F ()  0,5  0  0,5
 По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
P(3  X  7)  P(3  X  7)  P(7)  F (7)  F (3)  P(7) 

 0,8  0,5  0,2  0,5
P( X  7)  0 , т.к.там нет значений случайной величины.
Выполнить задания
 1) Написать закон распределения случайной величины,
заданной своим многоугольником
 2) Составить функцию распределения, построить ее график
для дискретной случайной величины
xi
12
16
21
26
30
pi
0,2
0,4
0,1
0,2
0,1
Ответы
 Задание 1
xi
-3
-1
2
3,5
5
pi
0,05
0,1
0,4
0,2
0,15 0,1
 Задание 2
 0, _ x  12
 0, 2, _12  x  16

 0,3, _16  x  21
F ( x)  
0, 7, _ 21  x  26
0,9, _ 26  x  30

 1, _ x  30
9
Домашнее задание
 Рабочий обслуживает 3 станка, вероятности выхода из строя
каждого из которых в течение часа соответственно равны 0,2;
0,15; 0,1. Составить закон и функцию распределения числа
станков, не требующих ремонта в течение часа. Построить
полигон и график функции распределения.
 Производятся три выстрела по мишени. Вероятность поражения
мишени первым стрелком равна 0,4, вторым – 0,5, третьим – 0,6.
Случайная величина X – число поражений мишени. Составить
закон и функцию распределения . Построить полигон и график
функции случайной величины Х.