Функция

Функция одной переменной
Предел функции в точке и
непрерывность функции.
Точки разрыва.
ГАПОУ РК Колледж технологии и предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Определение функции.

Функцией называется зависимость между двумя
переменными (У и Х) в которой каждому значению
независимой переменной (Х) соответствует
единственное значение зависимой переменной (У).

Независимую переменную называют - аргумент.

Значения зависимой переменной называют
значениями функции.

Запись у=f (X) читается: У – функция от Х.
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Примеры функций
Функция задана на
всей числовой
оси, т.е. (-∞<x<∞)
Множество значений
{у} – полупрямая
0 у
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
у  х2
Примеры функций
1 если х  0

у  signx   0 если х  0

 1 если х  0
Функция задана на
всей числовой
оси, т.е. (-∞<x<∞)
Множество значений
{у} = {-1;0;1}
Sign происходит от
латинского слова
signum - знак
График функции у= sign(х)
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
у   х
Примеры функций
[х] обозначает целую часть вещественного числа (от
французского слова entier - целый
Это функция задана для
любого х, принимает
значения целых
положительных и
отрицательных чисел.
Построим график этой
функции
График функции у= [х]
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Примеры функций
Модуль действительного числа х

 х, если х  0
у х 

 х, если х  0
График функции у= |х|
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Способы задания функции:
1. Аналитический способ задания
Функция y=f(x) задана аналитическим
уравнением связи между переменными x и y
Такой вид уравнения называется явным
уравнением.
Функция может быть задана аналитическим
неявным уравнением F(x;y)=0
Например:
1. y  sin x
-Явное аналитическое уравнение
2. x 2  y 2  a 2
-Неявное аналитическое уравнение
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Способы задания функции:
2. Табличный способ задания
х
х1
х2
…
хn
у
y1 y2
…
yn
Довольно распространённый способ задания функции,
устанавливающий зависимость между переменной
х и у. На практике часто неизвестна аналитическая
связь между х и у. Если необходимо найти значение
у для х, не входящего в таблицу, то используется
метод интерполяции, заключающийся в замене
функции между её табличными значениями какойлибо простой, легко вычисляемой функцией,
например, линейной или квадратной.
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Способы задания функции:
3. Графический способ задания
В практике физических
измерений
используется
графический способ
задания. Связь между
переменными x и y
задаётся посредством
графика. Например,
кривая, снятая с
осциллографа.
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Основные элементарные
функции
Название
функции
Формула
функции
Степенная
y=xn
Показательная
y=an
Логарифмическая
y=logax
Тригонометрическ
ие
y=sinx
График функции
Название
графика
y=cosx
y=tgx
y=ctgx
Бесконечное множество функций получено из элементарных
при помощи четырёх действий математики, а также при
помощи принципа суперпозиции
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Сложные функции
При помощи принципа суперпозиции
получают сложные функции.
Если на множестве {x} задана функция y=f(x),
а точка х также является функцией x=ϕ(t),
заданной на множестве{t}, то на
множестве {t}задана сложная функция
y=f(ϕ[t]).
В этом состоит принцип суперпозиции.
Суперпозиций может быть сколь угодно
много.
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Примеры сложных функций:
x2  1
1. y 
x2  1
Примеры 1 и 5 представляют
2. y  arcsin 1  x 2
3. y  earctg x
4. y  ln ln ln x
sin x  cos x
5. y 
sin x  cos x
простые функции,
составленные при помощи
действий арифметики. В
дальнейшем будем их называть
рациональными функциями.
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Предел переменной
величины.
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
f(x)=x+2, при х





1
f(0,9)=2,9
f(0,99)=2,99
f(0,999)=2,999
f(1,1)=3,1
f(1,01)=3,101
lim ( x  2)  3
x 1
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Определение.

Постоянная величина а
называется пределом переменной
х, если модуль разности |х-а|
при изменении х становится и
остается меньше любого как
угодно малого положительного
числа
lim x = a


ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
аz  1
Найти предел х  z , при z  
az  1
1
lim
 lim (a  )  a
z 
z 
z
z
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Основные свойства пределов:





lim a=a;
lim (x+y+z+…+t)=lim x+lim y+…+lim t;
lim (xy…t)=lim x lim y …lim t;
lim (cx)=c lim x;
lim (x/y)=(lim x) / (lim y);
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Определение:
Число в называется пределом
функции в точке а, если для всех
значений х , достаточно близких к а
и отличных от а, значение функции f
(x) сколь угодно мало отличается
от в.
lim f ( x)  b
x a
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Вычислить пределы:
lim ( x  7 x  4)  3  7  3  4  8;
2
2
x 3
x2  4
( x  2)( x  2)
x2
lim 2
 lim
 lim
 2;
x 2 x  2 x
x2
x2
x( x  2)
x
3
2
(
x

2
)(
x

)
2
(0 / 0)
2x  7x  6
2x  3
2
lim
 lim
 lim
 ;
2
2
x  2
x  2
x  2 x  2
( x  2)
( x  2)
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Вычислить пределы:
2 x  3x  5 x  7
lim 3

2
x  3 x  4 x  x  2
3
2
2 x 3x 5 x 7



3
3
3
3
2
x
x
x
x
lim

x 
4 1
2
3
3  2  3
x x
x
3
2
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
( / )
Непрерывность функций
Предел функции
Правый и левый пределы
функции.
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Определение
Пусть функция y=f(х) определена в точке х0 и в
некоторой окрестности этой точки.
Функция y=f(х) называется непрерывной в
точке х0, если существует предел функции в
этой точке и он равен значению функции в
этой точке и он равен значению функции в
этой точке, т.е.
lim f ( x)  f  x 
x  x0
0
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Условия непрерывности
lim f ( x)  f  x 
x  x0
0
Равенство означает выполнение трёх условий:
1) функция f(x) определена в точке х0 и её
окрестности;
2) функция f(x) имеет конечный предел при х→х0;
3) предел функции в точке х0 равен значению функции
в этой точке, т.е. выполняется равенство



  f x 
f
(
x
)

f
x
0
lim
 lim 
x  x0
 x  x0 
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Примеры непрерывности
функции в точке
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Правый и левый пределы
функции.
Число b называется правым (левым)
пределом y = f(x) в точке х=а, если для
ε >0, сколь угодно малого, найдется
отвечающее ему δ >0, что для всех
значений x, удовлетворяющих условию
f ( x)  bсправедливо

а<х<а+δ (а-δ<х<а)
Для обозначения правого предела принято
lim
f ( x)  b
x a  0
для левого
lim
f ( x)  b
и
x  a предпринимательства
0ГАПОУ РК Колледж технологии
Преподаватель
математики Палькова М.С.
Пример
 x  2 если х  1

 2
у  f ( x)   x  1 если  1  х  1

 3  x если х  1
х  2 1
x 1 0
lim
2 1  2
х
lim
x 1 0
График функции у= f(х)
2 1  2
х
lim
x 1 0
3 х  2
x 1 0
lim
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Примечание

Если в точке х=а функция y=f(x) имеет
правый и левые пределы, и они равны, то
y=f(x) имеет конечное предельное значение в
точке x=a.
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Предел функции на бесконечности


Число b называется пределом функции y=f(x)
на бесконечности x → ∞, если для любой
бесконечно большой последовательности её
xn, соответствующая последовательность её
значений f(x) сходится к b.
lim f ( x)  b
При этом принято обозначать:x 
Геометрически это означает, что график функции как угодно
близко подходит к прямойГАПОУ
y=A
при достаточно больших по
РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
модулю значениях аргумента
математики Палькова М.С.
Согласно определению предела функции
на бесконечности справедливы
следующие утверждения:
1)
lim C  C
4
2
x 
õ
4
õ
2
8
õ
2
у=хп
2) Степенная функция
с
натуральным показателем
не имеет предела ни при
х→+∞ , ни при х→-∞
0
2
õ
График функции у=хп
п- четное
5
3
õ
5
õ
2
0
2
9
õ
5
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
õ
График функции у=хп
п- нечетное
Согласно определению предела функции
на бесконечности справедливы
следующие утверждения:
3) Степенная функция у=х-п,
где п - натуральное число õ 2
имеет предела ни при х→∞
4
и
õ
n
lim x
x 
4
2
0
8
õ
2
0
2
õ
График функции у= х-п
п- натуральное число
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Согласно определению предела функции
на бесконечности справедливы
следующие утверждения:
4) Показательная функция
у=ах (а>1) имеет предел
при х→-∞
x
lim a
0
x 
и не имеет предела при х→+∞
5) Показательная функция у=ах
(0<а<1) имеет предел при х→+∞
x 0
a
lim
x 
и не имеет предела при х→-∞
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Согласно определению предела функции на
бесконечности справедливы следующие
утверждения:
6) Логарифмическая функция не имеет предела при
х→+∞
7) Тригонометрические функции (y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx)
не имеют предела ни при х→+∞, ни при х→∞
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Непрерывность функции на
промежутке

Непрерывность
функции на
промежутке Х –
означает, что
график функции
на данном
промежутке не
имеет точек
разрыва (т.е.
представляет
собой сплошную
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
График функции не
являются
непрерывной
линией, они
разорваны.
В этом случае
говорят, что
функция разрывна
в точке х0
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Непрерывность функции в
точке и на множестве

Функция у= f(х) называется
непрерывной в точке x=a, если
lim f ( x)  f (a)
x a
Все точки, в которых функция не обладает свойством
непрерывности, называются точками разрыва.
Если функция определена в каждой точке
некоторого множества {х} , то говорят, что она
непрерывна на множестве.
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Классификация точек разрыва
Точки разрыва I рода
- Точки устранимого разрыва I рода
Точка х=а называется точкой
устранимого разрыва I рода, если
функция справа и слева от точки х=а
имеет конечные и равные предельные
значения т.е
lim f ( x)  lim f ( x)  b
x a  0
x a  0
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Классификация точек разрыва
Точки неустранимого разрыва I рода
Точка х=а является точкой
неустранимого разрыва I рода, если
справа и слева от точки х=а
существуют конечные предельные
значения функции, но они не равны,
т.е.
-
lim f ( x)  b1, lim f ( x)  b2 , b1  b2
x a  0
x a  0
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.
Классификация точек разрыва
Точки разрыва I I рода
Точка х=а является точкой разрыва II рода,
если в этой точке функция не имеет, по
крайней мере, одного из односторонних
предельных значений или хотя бы одно из
односторонних предельных значений
бесконечно.
Упрощенно
говоря, что все точки разрыва,
которые не являются точками разрыва I рода,
являются точками разрыва II рода.
ГАПОУ РК Колледж технологии и
предпринимательства Преподаватель
математики Палькова М.С.