Оглавление 1. Формулировка задачи .......................................................................... 2 2. Аналитический метод .......................................................................... 4 1.1 Определение законов движения звеньев механизма ........................... 7 2.2 Определение угловых и линейных скоростей звеньев ....................... 8 2.3 Определение угловых и линейных ускорений звеньев ....................... 9 2.4 Определение скоростей и ускорений узловых точек ........................ 10 3. Определение кинематических характеристик механизма с помощью теорем плоского движения твердого тела......................................... 12 3.1 Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев спомощью мгновенных центров скоростей (МЦС) ........................................... 12 3.2 Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев с помощью теоремы о сложении скоростей .......................................................... 14 3.3 Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев с помощью теоремы о сложении ускорений ......................................................... 18 4. Определение кинематических характеристик механизма с помощью теорем сложного движения точки ..................................................... 22 4.1 Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев с помощью теоремы о сложении скоростей при переносном вращательном движении ................................................................................................................ 23 4.2 Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев с помощью теоремы о сложении ускорений при переносном вращательном движении ................................................................................................................ 25 5. Анализ результатов вычислений ...................................................... 31 Библиографический список ....................................................................... 33 2 Формулировка задачи Провести кинематическое исследование плоского шарнирного многозвенного механизма с одной степенью свободы, для которого известны все геометрические размеры и закон движения ведущего звена (рис. 1). Определить законы движения всех звеньев механизма, угловые скорости и ускорения ведомых звеньев, а также линейные скорость и ускорение звена, движущегося поступательно. Вычислить скорости и ускорения всех узловых точек механизма, а также точек M и K , в зависимости от значения угла поворота ведущего звена ϕ(t ). Произвести визуализацию механизма, изобразить траектории, векторы скоростей и ускорений всех его заданных точек, если даны: - геометрические размеры OA, AM, AB,O1B,O1C, CD, CK, a, b; - закон движения ведущего звена механизма 0( t) o o t где o – угловая скорость ведущего звена. Схема механизма и данные для выполнения задания рис 1. 3 Дано: геометрические размеры OA=10см, BC=20см, AB=45см, a=36см, CD=60см, b=22cм, O1C=40см, c=15см закон движения ведущего звена механизма j (t ) = j 0 + w0t w0 = p -1 c 18 O1B=20см, 4 1. Аналитический метод Составление уравнений геометрических связей Изобразим плоский механизм в произвольном положении (рис. 2). В качестве системы отсчета примем правую декартову систему координат. Начало системы координат расположим в подшипнике O . Положительные углы поворота в этом случае направлены против часовой стрелки. YD рис 2 Изобразим углы поворота звеньев ϕk , k =1,2,3 , отсчитывая их от горизонтальной оси Ox в положительном направлении. В состав данного многозвенного механизма входят: 1) два кривошипа OA и O1С , которые совершают вращательное движение во круг неподвижных осей перпендикулярных плоскости xOy и проходящих через точки O и O1 соответственно; 2) два шатуна AB и CD, совершающих плоскопараллельное движение в плоскости xOy ; 3) ползун D движется возвратно-поступательно вдоль направляющей параллельной оси Oy ; 5 4) неподвижное звено OO1. Для составления уравнений геометрических связей найдем точки механизма, траектории которых известны. К этим точкам относятся шарниры A, B ,C и D . Точки A, B , и C движутся по окружностям радиусов OA,O1B и O1C соответственно, а ползун D – по прямолинейной траектории параллельной оси Oy (рис. 2). Так как закон плоскопараллельного движения твердого тела можно определить по двум любым точкам этого тела, в качестве базовых точек, при составлении уравнений геометрических связей, примем точки B и D. Построим для этих точек векторные контуры, с помощью которых можно составить уравнения геометрических связей (рис. 3): для точки B (рис. 3 а): rB rA AB rO O1B 1 (1) для точки D (рис. 3 б): rD rO O1C CD 1 (2) Для получения уравнений геометрических связей запишем соотношения (1), (2) в проекциях на оси координат Ox и Oy X : OA cos(j ) + AB cos(j 1 ) = a + O1B cos(j 2 ) Y : OA sin(j ) + AB sin(j 1 ) = - c + O1 B cos(j 2 ) X : a + b = a + O1C cos(j 2 ) + CD cos(j 3 ) Y : yD = - c + O1C sin(j 2 ) + CD sin(j 3 ) 6 A O B O1 рис 3a C O O1 D рис 3б Перенося слагаемые с неизвестными функциями в одну сторону, получим уравнения геометрических связей в координатной форме AB cos(j 1 ) - O1 B cos(j 2 ) = a - OA cos(j ) AB sin(j 1 ) - O1 B cos(j 2 ) = - c - OA sin(j ) O1C cos(j 2 ) + CD cos(j 3 ) = b O1C sin(j 2 ) + CD sin(j 3 ) - yD = c (3) 7 В уравнениях (3) задаваемой функцией является закон вращения ведущего звена ϕ(t ), а определяемыми функциями времени являются: j 1 , j 2 , j 3 , yD Система (3) представляет замкнутую систему уравнений для определения законов движения всех звеньев многозвенного механизма. 1.1 Определение законов движения звеньев механизма Для нахождения законов движения звеньев механизма в аналитической форме запишем первые два уравнения системы (3) в следующем виде AB cos(j 1 ) - O1B cos(j 2 ) = a - OA cos(j ) = - xO1A = - O1 A cos(a ) AB sin(j 1 ) - O1B sin(j 2 ) = - c - OA sin(j ) = - yO1A = - O1 A sin(a ) где xO1A = O1 A cos(a ) , yO1A = O1 A sin(a ) - проекции вектора r O1 A на оси координат; O1 A – его модуль. O1 A = (OA cos(j 0 (t )) - a) 2 + (OA sin(j 0 (t )) + c) 2 α – угол, определяемый выражениями cos(a ) = OA cos(j 1 ) - a OA sin(j 1 ) + c , sin(a ) = O1 A O1 A Для нахождения угловой координаты ϕ2 приведем уравнения (4) к виду AB cos(j 1 ) = O1 B cos(j 2 ) - O1 A cos(a ) AB sin(j 1 ) = O1 B sin(j 2 ) - O1 A sin(a ) 8 2 2 и, воспользовавшись тригонометрической формулой sin (j ) + cos (j ) = 1 , получим: AB 2 = O1B 2 + O1 A2 - 2O1B ЧO1 A Ч(cos(j 2 )cos(a ) + sin(j 2 )sin(a )) жO1 B 2 + O1 A2 - AB 2 ц ч ч j 2 = a - arccos зз ч зи ч 2O B ЧO A ш 1 (5) 1 Для нахождения угловой координаты ϕ1 уравнения (4) перепишем в следующем виде: O1 B cos(j 2 ) = AB cos(j 1 ) + O1 A cos(a ) O1 B sin(j 2 ) = - AB sin(j 1 ) + O1 A sin(a ) отсюда получаем: жO1 B 2 - O1 A2 - AB 2 ч ц ч j 1 = a - arccos зз ч зи ч 2 AB ЧO A ш (6) 1 Для нахождения остальных неизвестных величин используем оставшиеся два уравнения системы (3). Из третьего уравнения (3) найдем угловую координату звена CD жb - O1C cos(j 2 ) ч ц j 3 = arccos зз ч ч зи ш CD (7) а из четвертого – вертикальную координату ползуна D yD = - c + O1C sin(j 2 ) + CD sin(j 3 ) (8) Уравнения (5) – (8) позволяют определить угловые координаты звеньев совершающих вращательные и плоскопараллельные движения, а также закон движения звена движущегося поступательно. 2.2 Определение угловых и линейных скоростей звеньев Для определения угловых и линейных скоростей звеньев механизма продифференцируем по времени уравнения геометрических связей (3). При 9 этом следует учесть, что производные по времени от функций j 1 (t ) , j 2 (t ) , j 3 (t ) , и yD (t ) равны j&(t ) = w0 , j&1 (t ) = w1 , j&2 (t ) = w2 , j&3 (t ) = w3 , y&D (t ) = vD . Перенося слагаемые с неизвестными в одну сторону, получим - AB sin(j 1 )w1 + O1 B sin(j 2 )w2 = OA sin(j )w - AB cos(j 1 )w1 + O1 B cos(j 2 )w2 = - OA cos(j )w - O1C sin(j 2 )w2 - CD sin(j 3 )w3 = 0 (9) O1C cos(j 2 )w2 + CD cos(j 3 )w3 - vD = 0 Система уравнений (9) является линейной относительно неизвестных угловых и линейных скоростей звеньев, поэтому ее можно представить в матричной форме A ЧX V = B , (10) где A – матрица коэффициентов левых частей уравнений, X V - вектор неизвестных угловых и линейных скоростей звеньев, B – вектор правых частей уравнений. Решение уравнений (10) будет иметь вид X V = A- 1 ЧB (11) 2.3 Определение угловых и линейных ускорений звеньев Для определения угловых и линейных ускорений звеньев механизма дважды продифференцируем по времени уравнения геометрических связей (3) или один раз уравнения (9). Представляя, как и ранее, линейную относительно угловых и линейных ускорений звеньев, систему уравнений, получим A ЧX a = C (12) 10 - AB cos(j 1 )w12 + O1B cos(j 2 )w2 2 = OA cos(j )w2 - AB sin(j 1 )w12 + O1B sin(j 2 )w2 2 = OAsin(j )w2 - O1C cos(j 2 )w2 2 - CD cos(j 3 )w32 = 0 - O1C sin(j 2 )w2 2 - CD sin(j 3 )w32 - aD = 0 X a = A- 1 ЧC (13) где С - вектор правых частей уравнений; X a – вектор неизвестных угловых и линейных ускорений звеньев. Таким образом, решения (11) позволяют определить угловые и линейные скорости всех звеньев механизма, а решения (13) – угловые и линейные ускорения всех звеньев. 2.4 Определение скоростей и ускорений узловых точек Узловыми и задаваемыми точками многозвенного шарнирного механизма являются точки: A, B , C , D , M и K . Законы движения, угловые скорости и ускорения звеньев, а также закон движения, скорость и ускорение точки D определены ранее из уравнений (5) – (8), (11) и (13). Для остальных точек законы движения запишем в векторной форме. rB r M rA AB r AM A , rO O1B 1 , r K r C r O1C O1 r CK C (14) Для определения скоростей и ускорений точек, учтем, что модули векторов r r r r r r rA , r AB , r O1C , r O1B , r CK , r AM постоянны и их производные по времени определяются по формуле Эйлера. Тогда, дифференцируя по времени выражения (14), найдем скорости соответствующих точек 11 VA VK 0 rA VB , VC 3 CK 2 O1B VM , VC , 2 O1C VA 1 AM (15) Для нахождения ускорений точек механизма продифференцируем по времени выражения (15). 0 0 vector1x y Vx Vy mV 1 0 vector1 x y Vx Vy m V 0.7 0.1 V o 0.7 20.1 VC aA 0 RA 0 VA aB 2 O1B 2 VB aC 2 O1C , , , 1 0 aM aA 1 AM 1 1 AM aK aC 3 CK 1 x y1 CK , (16) x y Соотношения (5) – (8), (11), (13) – (16) представляют N x y математическую x y модель кинематического поведения механизма, которая позволяет x y определить законы движения всех звеньев механизма, Vx координаты узловых Vy Vx Vy точек, а также скорости и ускорения звеньев и узловых точек. V Vo mV N V Vo N V V 12 2. Определение кинематических характеристик механизма с помощью теорем плоского движения твердого тела Определим точки механизма, траектории и возможные направления скоростей которых известны. Шарнир A принадлежит шатуну AB и кривошипу OA, совершающему вращательное движение вокруг центра O . Кривошип OA является ведущим звеном, угловая скорость которого известна. Следовательно, траектория шарнира A – окружность радиуса OA и его скорость равна v A = w0 ЧOA = p Ч10 = 1.745см/с 18 (1) Шарнир B принадлежит шатуну AB и кривошипу O1С , совершающего вращательное движение вокруг подшипника O1. Следовательно, траектория точки B – окружность радиуса O1B и скорость шарнира v B ⊥ O1B . Шарнир C принадлежит шатуну CD и кривошипу O1С , совершающего вращательное движение вокруг подшипника O1. Следовательно, траектория точки C – окружность радиуса O1C и скорость шарнира vC ⊥ O1С . Точка D принадлежит шатуну CD и ползуну D , совершающему возвратно поступательное движение вдоль вертикальной направляющей. Следовательно, траектория точки D – прямая линия и скорость ползуна vD P Oy . 3.1 Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев спомощью мгновенных центров скоростей (МЦС) Определим положение МЦС для звеньев AB и CD, совершающих плоское движение (рис. 6). Для этого из точки A проведем перпендикуляр к скорости vA, а из точки B – перпендикуляр к возможному направлению 13 скорости vB . Точка пересечения перпендикуляров – PAB является МЦС звена AB для заданного положения механизма. Аналогично определяем положение мгновенного центра скоростей для звена CD – PCD . Измеряем на чертеже расстояния от узловых точек механизма до МЦС соответствующего звена. В соответствие с выбранным масштабом длин эти расстояния равны (рис. 4) APAB=51.25см BPAB=25.4см MPAB=33.6см KPCD=30.125см DPCD=22.5см CPCD=55.5см Так как скорость точки A известна (1), то мгновенную угловую скорость звена AB вычисляем согласно выражению v A = w0 ЧOA = wAB ЧAB Тогда wAB = w1 = vA 10p = = 0.034 ðàä / ñ APAB 18 Ч210 Направление мгновенной угловой скорости звена определяем по направлению скорости точки A при мгновенном вращении звена вокруг МЦС Модули скоростей точек B и M равны vB = wAB BPAB = 0.864ñì /ñ , vB ^ BPAB vM = wAB MPAB = 1.142ñì /ñ, vM ^ MPAB а направление скоростей определяется направлением вращения звена AB вокруг МЦС PAB 14 Угловую скорость звена O1С вокруг подшипника O1 определим из соотношения vB = wAB BPAB = wO1BO1B Ю wO1B = w2 = vB = 0.043ðàä/ñ O1B Скорость точки C равна vC = wO1BO1C = 1.725ñì /ñ , vC ^ CPCD Мгновенную угловую скорость звена CD вокруг определим из соотношения vC = wCD ЧCPCD = wO1BO1C Ю wCD = w3 = vC = 0.031ðàä/ñ CPCD а модули скоростей точек D и K выражениями vD = wCD DPCD = 0.697ñì /ñ , vD ^ DPCD vK = wCD KPCD = 0.934ñì /ñ , vK ^ KPCD Направление скоростей точек vD , vK определяется направлением мгновенного вращения звена CD вокруг МЦС – PCD . 3.2 Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев с помощью теоремы о сложении скоростей При неизвестной угловой скорости твердого тела совершающего плоскопараллельное движение теорему о сложении скоростей можно применять для тех точек звена, у которого известны: для одной – модуль и направление вектора скорости, а для другой – возможное направление вектора скорости, т.е. траектория движения. Так как для звена AB вектор скорости шарнира A известен и по модулю и по направлению (1), а для шарнира B известна траектория движения, запишем теорему о сложении скоростей для точки B , приняв точку A за полюс: r r r vB = v A + vBA 15 где v A = w0OA = 1.745см/с - скорость полюса, vBA = wBA AB = ? и vBA ^ AB - скорость точки B при вращательном движении звена AB вокруг полюса A. (относительная скорость точки B в поступательном переносном движении) Откладываем в точке B вектор скорости полюса – v A . Из конца вектора v A проводим возможное направление вектора vBA – прямую, перпендикулярную звену AB. Из точки B проводим направление вектора v B ^ O1B до пересечения с прямой, определяющей направление вектора vBA . В точке пересечения данных прямых сходятся концы неизвестных векторов vBA и v B . (рис. 5) Измеряя указанные векторы, в соответствии с выбранным масштабом скоростей, получаем vB = 0.862ñì / ñ v AB = 1.515ñì / ñ Угловая скорость звена AB равна wAB = w1 = v AB = 0.034ðàä / ñ AB Так как угловая скорость звена найдена, для точки M можно записать теорему о сложении скоростей, приняв точку A за полюс: r r r vM = v A + vMA где v A = w0 ЧOA = p Ч10 = 1.745см/с 18 vMA = wAB AM = 0.765ñì /ñ Для нахождения скорости vM изображаем в точке M вектор скорости полюса – v A , а из его конца проводим перпендикулярно AB вектор 16 относительной скорости vMA (рис .5). Соединяя точку M с концом вектора vMA , находим вектор скорости точки M – vM . После измерения получим vM = 1.135ñì / ñ Угловая скорость звена O1B равна wO1C = vB = w2 = 0.043ðàä/ñ O1B Следовательно, скорость точки C равна vC = wO1C O1C = 1.72ñì / ñ , vC ^ O1C Приняв точку C за полюс, применим теорему о сложении скоростей к точке D звена CD, траектория которой известна r r r vD = vC + vCD здесь vCD = wCD CD = ? см / с, r vCD ^ CD – относительная скорость точки D . Скорости vD , vСD определяем графически, аналогично методу, изложенному ранее, построив в масштабе треугольник скоростей (рис .6) vD = 0.699ñì / ñ vCD = 1.845ñì / ñ Следовательно, угловая скорость звена CD равна wÑD = w3 = vCD = 0.031ðàä / ñ CD Скорость точки K вычисляем по аналогии с определением скорости точки M r r r vK = vC + vCD где vC = wO1C O1C = 1.72ñì / ñ , vC ^ O1C 17 vCK = wCD CK = 0.93ñì / ñ , vCK ^ CD В этом случае r vK = 0.928cì / ñ Следующий метод, являющийся графической интерпретацией теоремы о сложении скоростей, называется планом скоростей. Особенностью метода является возможность быстрого определения скорости любой точки механизма. Из произвольно выбранного полюса O проводим луч "Oa ", изображающий в выбранном масштабе скорость точки A – v A Для определения скорости точки B через полюс O проводим прямую, параллельную скорости v B , а через точку "a" – прямую, перпендикулярную AB, т. е. параллельно скорости vBA . Получаем точку "b": отрезок"Ob" определяет скорость точки B , а отрезок "ab" – скорость vBA . Измеряем длину лучей Ob, ab и, пользуясь масштабом скоростей находим(рис. 6) vB = 0.853ñì / ñ , v AB = 1.531ñì / ñ Для определения угловой скорости звена AB найдем с учетом выбранного масштаба скоростей отношение wAB = ab = 0.034ðàä/ñ AB Для определения скорости точки M делим отрезок ab плана скоростей в отношении am AM = ab AB Луч Om изображает скорость точки M – vM , а отрезок am – относительную скорость vMA . Пользуясь масштабом скоростей, получаем vM = 1.063ñì / ñ, vMA = 0.879ñì / ñ 18 Продолжая построение плана скоростей на рис .8, находим скорости то чек v A , vM , vC , vK , vD , а также угловые скорости звеньев wAB = 0.034, wO1C = 0.043, wCD = 0.031, vC = 1.74ñì / ñ v A = 1.745см/с vM = 1.063ñì /ñ vK = 0.917ñì /ñ v D =0.708ñì /ñ 3.3 Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев с помощью теоремы о сложении ускорений Ускорения точек и угловые ускорения звеньев, совершающих плоскопараллельное движение, будем определять с использованием теоремы о сложениях ускорений в плоском движении. Данную теорему реализуем графически, в виде отдельных многоугольников ускорений на схеме механизма (рис. 10) и с помощью плана ускорений Вращение ведущего звена OA является равномерным с угловой скоростью w0 = p рад / с , поэтому полное ускорение точки A равно ее 18 центростремительной составляющей r aA = aАЦ , 2 жp ц 2 a = w OA = зз ч 10 = 0.305см/с , ч зи18 ч ш Ц А 2 0 r a AЦ ® (.)О (3) Определение ускорений начинаем с точки B , траектория которой известна. Взяв за полюс точку A, применим, с учетом (3), теорему о сложении ускорений к точке B звена AB: r r r Ц ВР aB = aA + aBA = aAЦ + aBA + aBA , (4) 19 где a BA – ускорение точки B при вращательном движении звена AB вокруг полюса A; Ц – центростремительное ускорение точки B при вращательном aBA движении звена AB вокруг полюса A; ВР – вращательное ускорение точки B при вращательном движении aBA звена AB вокруг полюса A. Для точки B звена O1С имеем r r r aB = aBЦ + aBВР (5) Приравнивая (4) и (5), получим векторное уравнение, которое решаем графически с учетом выбранного масштаба ускорений : r r r r r Ц r ВР aB = aBЦ + aBВР = aAЦ + aBA + aBA , Здесь aBA = wAB AB = 0.052 ñì /ñ , Ö 2 2 ВР aBA = e AB AB = ? см / с 2 , aBÖ = wO21C O1B = 0.038cì / ñ2 , aBВР = eO1C O1B = ? cм / с2 , Ö aBA P AB ® (.) A, ВР aBA ^ AB, aBÖ PO1C, ® (.)O1 aBВР ^ O1С, Построение многоугольника ускорений проводим следующим образом: Из точки B проводим, в масштабе ускорений, вектор ускорения полюса aA = aAЦ . Из конца вектора a AЦ откладываем параллельно BA вектор Ц ускорения aBA , из конца которого проводим линию ^ AB, определяющую ВР возможное направление вектора aBA . Из точки В , в направлении прямой Ц O1B , откладываем вектор aB , а из его конца линию перпендикулярную O1B , ВР определяющую возможное направление вектора aB . Данная линия проводится до пересечения с прямой, перпендикулярной 20 ВР AB, характеризующей направление вектора aBA . Точка "b" пересечения этих прямых является точкой, в которой ВР ВР сходятся концы векторов aBA , aB и aB . ВР =0.106см/с2; aBA aBВР =0.215 см/с2; aB =0.218 см/с2; Угловые ускорения звеньев определяем по формулам ÂÐ aBA e AB = e1 = = 2.356 Ч10- 3 ñ- 2 AB eO1C aBÂÐ = e2 = = 0.011ñ- 2 O1 B Полное ускорение точки C звена O1C , совершающего вращательное движение, определим по формуле r r r aС = aСЦ + aСВР , Где aÑÖ = wO21C O1C = 0.076ñì / ñ2 , aCÂÐ = eO1C O1C = 0.44ñì / ñ2 , r aCÖ PO1C ® (.)O1 , aCÂÐ ^ O1C, aC = 0.44ñì / ñ2 Ускорение точки D звена CD определим с использованием теоремы о сложении ускорений, приняв точку C за полюс r r r r r rЦ r ВР aD = aC + aDC = aCЦ + aCВР + aDC + aDC rÖ rÖ 2 2 где aDC = wCDCD = 0.058ñì / ñ , aDC P CD ® (.)C , r ВР r ВР aDC = eCDCD = ? см / с 2 , aDC ^ СD, r aD = ? см / с 2 aD P Oy. 21 Аналогично способу, изложенному ранее, изображаем многоугольник ускорений для точки D (рис. 7). Измеряя неизвестные векторы, получаем значения ускорений: ÂÐ aDC = 0.447ñì / ñ2 ; aD = 0.191ñì / ñ2 Затем вычисляем угловое ускорение звена CD ÂÐ aDC eÑD = e3 = = 7.4 Ч10- 3 ñ- 2 ÑD Для определения ускорений точек M и K строим план ускорений (рис.9), который проводим следующим образом: Построение многоугольника ускорений проводим следующим образом: Из точки B проводим, в масштабе ускорений, вектор ускорения полюса aAЦ = aA . Из конца вектора a AЦ откладываем параллельно BA вектор Ц ускорения aBA , из конца которого проводим линию ^ AB, определяющую ВР возможное направление вектора aBA . Из точки В , в направлении прямой O1B Ц , откладываем вектор aB , а из его конца линию перпендикулярную O1B , ВР определяющую возможное направление вектора aB . Ц Из точки O , в направлении прямой O1B , откладываем вектор aB , а из его конца линию, определяющую возможное направление вектора aBВР . Данная линия проводится до пересечения с прямой, перпендикулярной ВР AB, характеризующей направление вектора aBA . Точка пересечения этих ВР ВР прямых "b" является точкой, в которой сходятся концы векторов aBA , aB и aB . Отрезок "Ob" определяет модуль и направление вектора ускорения точки B .(рис. 8) Для нахождения ускорения точки M звена AB разделим отрезок " ab " точкой "m" в соотношении 22 am AM aMA = = ab AB aBA Измеряя длины отрезков "am" и "Om", вычисляем, с использованием масштаба ускорений, ускорения aMA = 0.059cì / ñ2 , aM = 0.258cì / ñ2 . Строим такой же многоугольник для звена СD и измеряем вектора ускорений: aKC = 0.225ñì / ñ2 , aK = 0.258ñì / ñ2 , aDC = 0.451ñì / ñ2 ÂÐ aDC = 0.446cì / ñ2 e3 = eDC ÂÐ aDC = = 7.433 Ч10- 3 ñ- 2 ÑD 3. Определение кинематических характеристик механизма с помощью теорем сложного движения точки Изобразим механизм в заданном положении (рис. 9), при значении угла поворота ведущего звена OA – ϕk = 150°, в выбранном масштабе длин . Изображенный на рисунке механизм составлен из двух базовых механизмов: шарнирного четырехзвенника OABO1 и кривошипно-шатунного механизма O1CD, в каждом из которых шатуны AB и CD совершают плоское движение, а кривошипы OA и O1C вращательное движение вокруг неподвижных осей Oz и O1z соответственно. Определим, измерив длины , положения узловых точек базовых механизмов: OA=10см, OM=14.75см, OB=36.85см, O1C=38см, O1K=16.53см, O1D=27.3см. Для нахождения скоростей и ускорений этих точек, а также угловых скоростей и ускорений звеньев представим плоское движение шатунов AB и CD в виде двух вращений. 23 В качестве переносного вращения примем: - для шатуна AB – вращение вместе с кривошипом OA вокруг неподвижной оси Oz с переносной угловой скоростью weAB = w0 = p -1 c 18 - для шатуна CD – вращение вместе с кривошипом O1C вокруг неподвижной оси O1z с неизвестной пока переносной угловой скоростью e wCD = w2 . Относительным вращением в этом случае является: - для шатуна AB – вращение звена вокруг подвижной оси Az с r относительной угловой скоростью w AB ; - для шатуна CD – вращение звена вокруг подвижной оси Cz с r относительной угловой скоростью wCD ; 4.1 Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев с помощью теоремы о сложении скоростей при переносном вращательном движении Так как закон движения кривошипа OA задан, а для шарнира B известна траектория движения, вычисление скоростей начинаем с точки B , вектор скорости которой, определим согласно теореме о сложении скоростей при составном движении: r r r vB = vBe + vBr e e где vB = wABOB = w0OB = 6.44ñì / ñ, (1) vBe ^ OB - переносная скорость точки B , r vBr = wAB AB = ?см/с, vBr ^ AB - относительная скорость точки B, vB = ?, r vB P O1B - абсолютная скорость точки B . 24 Решение уравнения (1) найдем графически, построив векторный треугольник скоростей (рис. 9) e Для этого, из точки B проводим вектор переносной скорости – vB .Из e конца вектора vB проводим линию, перпендикулярную звену AB, характеризующую возможное направление вектора относительной скорости vBr .Из точки B проводим перпендикуляр к кривошипу O1B , который определяет возможное направление абсолютной скорости шарнира B , до r пересечения с прямой, характеризующей направление вектора vB . Точка пересечения данных прямых определяет концы неизвестных r векторов относительной vB и абсолютной vB скорости шарнира B . r B vB = 0.868ñì /ñ, v = 6.37ñì /ñ, w r AB vBr = = 0.142c- 1 AB Направление относительной угловой скорости шатуна AB, r определяемое направлением относительной скорости точки B – vB , показано r e на (рис. 9). Так как относительная w AB и переносная w AB угловые скорости направлены в разные стороны, то абсолютная угловая скорость w AB звена AB равна e r wAB = w1 = wAB - wAB = 0.033c- 1 Зная величину и направление относительной угловой скорости звена AB, скорость точки M найдем из уравнения r r r vM = vMe + vMr e e где vM = wABOM = 2.574cì / ñ - переносная скорость, r vMr = wAB AM = 3.195cì / ñ – относительная скорость, r vM = ? – абсолютная скорость. (2) 25 Решение уравнения (2) найдем, построив векторный треугольник скоростей. Измерением получено r vM = 1.156cì / ñ, Угловую скорость звена O1B найдем по формуле w2 = wO1C = vB = 0.043c- 1 O1B Скорости точек D и K , а также относительную и абсолютную угловые скорости звена CD найдем аналогично. Построив треугольники скоростей для этих точек (рис.9) и измеряя неизвестные векторы, получим e vDe = wCD O1D = 1.2ñì / ñ vDr = 0.762ñì / ñ vD = 0.707ñì / ñ r CD w vDr = = 0.013ñ- 1 CD e vKe = wCD O1K = 0.727cì / ñ r vKr = wCD CK = 0.39cì / ñ vK = 0.953ñì / ñ 4.2 Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев с помощью теоремы о сложении ускорений при переносном вращательном движении Так как для шарнира B известна траектория движения, а закон движения кривошипа OA задан, вычисление ускорений начинаем с точки B . Абсолютное ускорение точки B определим согласно теореме о сложении ускорений при непоступательном переносном движении: 26 r r r r r r r r r aB = aBe + aBr + aBc = aBeЦ + aBеВР + aBrЦ + aBrВР + aBc r e r eЦ r eВР где aB = aB + aB – переносное ускорение точки, r r r aBr = aBrЦ + aBrВР – относительное ускорение точки, r r r r r aBc = 2weAB ґ vBr aBc ^ vBr – ускорение Кориолиса, (3) e aBc = 2wAB ЧvBr = 2.224cì / ñ2 aBеЦ ® (.)O P OB – переносное aBåÖ = (weAB )2 OB = 1.123cì / ñ2 , центростремительное ускорение точки, e aBeВР = e AB OB = 0 т.к. weAB = co n s t – переносное вращательное ускорение точки, r aBrÖ = (wAB )2 AB = 0.907cì /ñ2 aBrЦ ® (.) A P AB – относительное центростремительное ускорение точки, r aBrВР = e AB AB = ? aBrВР ^ AB – относительное вращательное ускорение точки. c Направление ускорения Кориолиса aB , которое можно определить по правилу векторного произведения векторов или методом Жуковского В уравнении (3) учтено, что переносное и относительное движения шатуна AB являются вращениями вокруг осей Oz и Az соответственно. Поскольку абсолютное движение кривошипа O1С – вращение вокруг оси O1z , то абсолютное ускорение точки B можно записать в виде r r r aB = aBЦ + aBВР (4) rÖ r e 2 2 aBЦ ® (.)O1 – центростремительная где aB = (wCD ) O1 B = 0.039ñì /ñ составляющая абсолютного ускорения точки, aBВР = e2O1B = ? aBВР ^ O1B – вращательная составляющая абсолютного ускорения точки, Приравняем правые части уравнений (3), (4) и учтем коммутативность 27 векторов. Получим r r r r r r aBЦ + aBВР = aBrЦ + aBеЦ + aBc + aBrВР (5) Решение уравнения (5) найдем, построив векторный многоугольник ускорений (рис.10). Для этого, из точки B проводим параллельно звену AB вектор r rЦ относительного центростремительного ускорения – aB . r rЦ Из конца вектора aB проводим параллельно отрезку OB по направлению к точке O , вектор переносного центростремительного r еЦ ускорения – aB . r еЦ rc Из конца вектора aB откладываем вектор ускорения Кориолиса aB , из конца которого проводим линию ^ AB, определяющую возможное r rВР направление вектора aB . rЦ Из точки В , в направлении прямой O1B , откладываем вектор aB , а из r ВР его конца линию, определяющую возможное направление вектора aB , которая проводится до пересечения с прямой, характеризующей направление r rВР вектора aB . r rВР r ВР В точке пересечения этих прямых сходятся концы векторов aB , aB и r aB . Измеряя данные векторы в масштабе ускорений, получим aBrÂÐ = 0.105ñì / ñ2 , aBÂÐ = 0.202ñì / ñ2 , aB = 0.21ñì / ñ2 Угловые ускорения звеньев определяем по формулам e r AB eO1C aBrÂÐ = e1 = = 2.333 Ч10- 3 c- 2 AB aBÂÐ = e2 = = 0.01c- 2 O1 B 28 Полное ускорение точки C звена O1B , совершающего вращательное движение, определим из соотношения aB O1 B OC = , тогда aC = aB 1 = 0.42cì / ñ2 aC O1C O1B Изображаем вектор aC параллельно вектору a B в масштабе ускорений на (рис.10). Так как угловое относительное ускорение шатуна AB определено, найдем ускорение точки M . eÖ где aM r r r r r r aM = aMeЦ + aMeВР + aMrЦ + aMrВР + aMc r e = (wAB )2 OM = 0.449cì / ñ2 , aMeÖ ® (.)Î PÎ Ì e aMeВР = e AB OM = 0 e т.к. wAB r aMrÖ = (wAB )2 AM = 0.454ñì / ñ2 r aMrÂÐ = e AB AM = 0.052cì / ñ2 aMrÖ ® (.) A P AB aMrÂÐ ^ AB aMc = 2weAB ЧvMr = 1.115cì / ñ2 aM = ? Изображаем многоугольник ускорений для точки M (рис.11). Измеряя неизвестный вектор ускорения aM , получим aM = 0.255ñì / ñ2 Для определения ускорения точки D примем в качестве переносного движения вращение вместе с кривошипом O1C . В этом случае имеем r r r r r r aD = aDeЦ + aDeВР + aDrЦ + aDrВР + aDc r aDeÖ ® (.)Î 1 PÎ 1D – переносное eÖ e 2 2 a = ( w ) O D = 0.053 cì / ñ , D CD 1 где e центростремительное ускорение точки, wCD = w2 , e aDeÂÐ = eCD O1D = 0.3cì / ñ2 aDeÂÐ ^ O1D e вращательное ускорение точки, eCD = e2 , – переносное 29 r aDrÖ = (wCD )2 CD = 0.01ñì / ñ2 aDrÖ ® (.)C PCD – относительное центростремительное ускорение точки, r aDrВР = eCD CD = ? r aDrВР ^ CD – относительное вращательное ускорение точки. e aDc = 2wCD ЧvDr = 0.067cì / ñ2 – ускорение Кориолиса aD P O1 y – абсолютное ускорение точки aD = ? Аналогично способу, изложенному ранее, изображаем многоугольник ускорений для точки D (рис.12). Измеряя неизвестные векторы, получаем значения ускорений: aDrÂÐ = 0.217ñì / ñ2 , aD = 0.187ñì / ñ2 Затем вычисляем угловое относительное ускорение звена CD r CD e aDrÂÐ = = 3.617 Ч10- 3c- 2 ÑD Так как относительное и переносное угловые ускорения шатуна CD направлены в одну сторону, направление абсолютного углового ускорения звена совпадает с переносным или относительным угловым ускорением, а его величина равна r e eÑD = e3 = eCD + eCD = 7.383Ч10- 3 c- 2 Ускорение точки K найдем аналогично определению ускорения точки M . Построив многоугольник ускорений для этой точки (рис.12) r r r r r r aK = aKeЦ + aKeВР + aKrЦ + aKrВР + aKc где r aKeÖ ® (.)O1 P O1K r r = (wCD )2 CK = 5.07 Ч10- 3ñì / ñ2 aKrÖ ® (.)C PCD e aKeÖ = (wÑD )2 O1K = 0.032ñì / ñ2 aKrÖ e aKeÂÐ = eCD O1K = 0.182cì / ñ2 r aKrÂÐ = eCD CK = 0.109ñì / ñ2 aKeÂÐ ^ O1K r aKrÂÐ ^ CD 30 e aKc = 2wCD ЧvKr = 0.034cì / ñ2 aK = ? измерением получим aK = 0.259ñì / ñ2 31 4. Анализ результатов вычислений Сведем результаты вычислений, полученные разными методами в таблицы (см. Табл. 1 – Табл. 2). Точность вычислений проведенных графическими методами будем оценивать положительной величиной относительной погрешности δ , определяемой соотношением d= x - xT xT Здесь x – исследуемая величина, полученная одним из графических методов; xT – точное значение исследуемой величины. Анализ вычисленных значений кинематических параметров многозвенного шарнирного механизма позволяет сделать следующие выводы: - Все три графических метода с допустимой степенью точности определяют кинематические параметры механизма; - Увеличение погрешности при вычислении ускорений связано с накоплением ошибок графических методов при определении скоростей точек и угловых скоростей звеньев; - Наиболее громоздкими и трудоемкими являются графоаналитические и графические методы при исследовании ряда различных положений механизма. - Данные методы целесообразно использовать в качестве ориентировочных расчетов при отладке программ для численного моделирования системы. Таблица 1 32 Величина Точное Метод значение 1 d1 Метод d2 2 Метод d3 3 w1 ,c- 1 0.034 0.034 0 0.034 0 0.033 0.029 w2 ,c- 1 0.044 0.043 0.023 0.043 0.023 0.043 0.023 w3 ,c- 1 0.031 0.031 0 0.031 0 0.031 0 v A , см / с 1.745 1.745 0 1.745 0 1.745 0 vM , см / с 1.15 1.142 0.006 1.135 0.013 1.156 0.0052 vB , см / с 0.873 0.864 0.01 0.862 0.013 0.868 0.0057 vC , см / с 1.745 1.725 0.011 1.72 0.014 1.73 0.0085 vK , см / с 0.944 0.934 0.011 0.928 0.017 0.953 0.0095 vD , см / с 0.693 0.697 0.0057 0.699 0.0086 0.707 0.02 Таблица 2 Величина Точное Метод значение 1 d1 Метод d3 2 e1 ,c- 2 0.00245 0.00235 0.044 0.00233 0.052 e2 ,c- 2 0.011 0.011 0 0.01 0.091 e3 ,c- 2 0.00719 0.029 54 0.0738 0.026 aA , см / с 2 0.305 0.305 0 0.305 0 aM , см / с 2 0.257 0.258 0.0038 0.255 0.0077 aB , см / с 2 0.218 0.0092 0.21 0.028 aC , см / с 2 0.432 0.44 0.019 0.42 0.028 aK , см / с 2 0.25 0.257 0.028 0.259 0.036 aD , см / с 2 0.182 0.191 0.049 0.187 0.027 0.216 33 Библиографический список 1. Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad практикум – СПб.: БХВ – Петербург, 2005. 2. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.1 (Статика и кинематика) – М.: Наука, 1990; 3. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Т.1 – М.: Высшая школа, 1984; 4. Бертяев В.Д., Булатов Л.А., Комолов Д.В., Маркелов С.С. Кинематический расчет плоского многозвенного использованием пакета MathCAD). – Тула: ТулГУ, 2003 механизма (с
