Загрузил Anisotropy

ТерМех Курсовая по кинематике

Реклама
Оглавление
1.
Формулировка задачи .......................................................................... 2
2.
Аналитический метод .......................................................................... 4
1.1 Определение законов движения звеньев механизма ........................... 7
2.2 Определение угловых и линейных скоростей звеньев ....................... 8
2.3 Определение угловых и линейных ускорений звеньев ....................... 9
2.4 Определение скоростей и ускорений узловых точек ........................ 10
3.
Определение
кинематических
характеристик
механизма
с
помощью теорем плоского движения твердого тела......................................... 12
3.1 Определение скоростей
точек и
угловых скоростей
звеньев
спомощью мгновенных центров скоростей (МЦС) ........................................... 12
3.2 Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев с
помощью теоремы о сложении скоростей .......................................................... 14
3.3 Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев с
помощью теоремы о сложении ускорений ......................................................... 18
4.
Определение
кинематических
характеристик
механизма
с
помощью теорем сложного движения точки ..................................................... 22
4.1 Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев с
помощью теоремы о сложении скоростей при переносном вращательном
движении ................................................................................................................ 23
4.2 Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев с
помощью теоремы о сложении ускорений при переносном вращательном
движении ................................................................................................................ 25
5.
Анализ результатов вычислений ...................................................... 31
Библиографический список ....................................................................... 33
2
Формулировка задачи
Провести кинематическое исследование плоского шарнирного
многозвенного механизма с одной степенью свободы, для которого известны
все геометрические размеры и закон движения ведущего звена (рис. 1).
Определить законы движения всех звеньев механизма, угловые
скорости и ускорения ведомых звеньев, а также линейные скорость и
ускорение звена, движущегося поступательно. Вычислить скорости и
ускорения всех узловых точек механизма, а также точек M и K , в
зависимости от значения угла поворота ведущего звена ϕ(t ). Произвести
визуализацию механизма, изобразить траектории, векторы скоростей и
ускорений всех его заданных точек, если даны:
- геометрические размеры
OA, AM, AB,O1B,O1C, CD, CK, a, b;
- закон движения ведущего звена механизма
 0( t)   o   o t
где
o
– угловая скорость ведущего звена.
Схема механизма и данные для выполнения задания
рис 1.
3
Дано:
геометрические размеры
OA=10см,
BC=20см,
AB=45см,
a=36см,
CD=60см,
b=22cм,
O1C=40см,
c=15см
закон движения ведущего звена механизма
j (t ) = j 0 + w0t
w0 =
p -1
c
18
O1B=20см,
4
1. Аналитический метод
Составление уравнений геометрических связей
Изобразим плоский механизм в произвольном положении (рис. 2).
В качестве системы отсчета примем правую декартову систему координат.
Начало системы координат расположим в подшипнике O . Положительные
углы поворота в этом случае направлены против часовой стрелки.
YD
рис 2
Изобразим углы поворота звеньев ϕk , k =1,2,3 , отсчитывая их от
горизонтальной оси Ox в положительном направлении.
В состав данного многозвенного механизма входят:
1) два кривошипа OA и O1С , которые совершают вращательное движение во
круг неподвижных осей перпендикулярных плоскости xOy и проходящих
через точки O и O1 соответственно;
2) два шатуна AB и CD, совершающих плоскопараллельное движение в
плоскости xOy ;
3) ползун D движется возвратно-поступательно вдоль направляющей
параллельной оси Oy ;
5
4) неподвижное звено OO1.
Для составления уравнений геометрических связей найдем точки
механизма, траектории которых известны. К этим точкам относятся шарниры
A, B ,C и D . Точки A, B , и C движутся по окружностям радиусов OA,O1B и
O1C соответственно, а ползун D – по прямолинейной траектории
параллельной оси Oy (рис. 2).
Так как закон плоскопараллельного движения твердого тела можно
определить по двум любым точкам этого тела, в качестве базовых точек, при
составлении уравнений геометрических связей, примем точки B и D.
Построим для этих точек векторные контуры, с помощью которых
можно составить уравнения геометрических связей (рис. 3):
для точки B (рис. 3 а):

rB
 

rA  AB


 
rO  O1B
1
(1)
для точки D (рис. 3 б):

rD
 

 
rO  O1C  CD
1
(2)
Для получения уравнений геометрических связей запишем
соотношения (1), (2) в проекциях на оси координат Ox и Oy
X : OA cos(j ) + AB cos(j 1 ) = a + O1B cos(j 2 )
Y : OA sin(j ) + AB sin(j 1 ) = - c + O1 B cos(j 2 )
X : a + b = a + O1C cos(j 2 ) + CD cos(j 3 )
Y : yD = - c + O1C sin(j 2 ) + CD sin(j 3 )
6
A
O
B
O1
рис 3a
C
O
O1
D
рис 3б
Перенося слагаемые с неизвестными функциями в одну сторону,
получим уравнения геометрических связей в координатной форме
AB cos(j 1 ) - O1 B cos(j 2 ) = a - OA cos(j )
AB sin(j 1 ) - O1 B cos(j 2 ) = - c - OA sin(j )
O1C cos(j 2 ) + CD cos(j 3 ) = b
O1C sin(j 2 ) + CD sin(j 3 ) - yD = c
(3)
7
В уравнениях (3) задаваемой функцией является закон вращения
ведущего звена ϕ(t ), а определяемыми функциями времени являются:
j 1 , j 2 , j 3 , yD
Система (3) представляет замкнутую систему уравнений для
определения законов движения всех звеньев многозвенного механизма.
1.1 Определение законов движения звеньев механизма
Для нахождения законов движения звеньев механизма в аналитической
форме запишем первые два уравнения системы (3) в следующем виде
AB cos(j 1 ) - O1B cos(j 2 ) = a - OA cos(j ) = - xO1A = - O1 A cos(a )
AB sin(j 1 ) - O1B sin(j 2 ) = - c - OA sin(j ) = - yO1A = - O1 A sin(a )
где xO1A = O1 A cos(a ) , yO1A = O1 A sin(a ) - проекции вектора r O1 A на
оси координат; O1 A – его модуль.
O1 A =
(OA cos(j 0 (t )) - a) 2 + (OA sin(j 0 (t )) + c) 2
α – угол, определяемый выражениями
cos(a ) =
OA cos(j 1 ) - a
OA sin(j 1 ) + c
, sin(a ) =
O1 A
O1 A
Для нахождения угловой координаты ϕ2 приведем уравнения (4) к
виду
AB cos(j 1 ) = O1 B cos(j 2 ) - O1 A cos(a )
AB sin(j 1 ) = O1 B sin(j 2 ) - O1 A sin(a )
8
2
2
и, воспользовавшись тригонометрической формулой sin (j ) + cos (j ) = 1 ,
получим:
AB 2 = O1B 2 + O1 A2 - 2O1B ЧO1 A Ч(cos(j 2 )cos(a ) + sin(j 2 )sin(a ))
жO1 B 2 + O1 A2 - AB 2 ц
ч
ч
j 2 = a - arccos зз
ч
зи
ч
2O B ЧO A
ш
1
(5)
1
Для нахождения угловой координаты ϕ1 уравнения (4) перепишем в
следующем виде:
O1 B cos(j 2 ) = AB cos(j 1 ) + O1 A cos(a )
O1 B sin(j 2 ) = - AB sin(j 1 ) + O1 A sin(a )
отсюда получаем:
жO1 B 2 - O1 A2 - AB 2 ч
ц
ч
j 1 = a - arccos зз
ч
зи
ч
2 AB ЧO A
ш
(6)
1
Для нахождения остальных неизвестных величин используем
оставшиеся два уравнения системы (3). Из третьего уравнения (3) найдем
угловую координату звена CD
жb - O1C cos(j 2 ) ч
ц
j 3 = arccos зз
ч
ч
зи
ш
CD
(7)
а из четвертого – вертикальную координату ползуна D
yD = - c + O1C sin(j 2 ) + CD sin(j 3 )
(8)
Уравнения (5) – (8) позволяют определить угловые координаты звеньев
совершающих вращательные и плоскопараллельные движения, а также закон
движения звена движущегося поступательно.
2.2 Определение угловых и линейных скоростей звеньев
Для определения угловых и линейных скоростей звеньев механизма
продифференцируем по времени уравнения геометрических связей (3). При
9
этом следует учесть, что производные по времени от функций j 1 (t ) , j 2 (t ) ,
j 3 (t ) , и yD (t ) равны
j&(t ) = w0 , j&1 (t ) = w1 , j&2 (t ) = w2 , j&3 (t ) = w3 , y&D (t ) = vD .
Перенося слагаемые с неизвестными в одну сторону, получим
- AB sin(j 1 )w1 + O1 B sin(j 2 )w2 = OA sin(j )w
- AB cos(j 1 )w1 + O1 B cos(j 2 )w2 = - OA cos(j )w
- O1C sin(j 2 )w2 - CD sin(j 3 )w3 = 0
(9)
O1C cos(j 2 )w2 + CD cos(j 3 )w3 - vD = 0
Система уравнений (9) является линейной относительно неизвестных
угловых и линейных скоростей звеньев, поэтому ее можно представить в
матричной форме
A ЧX V = B ,
(10)
где A – матрица коэффициентов левых частей уравнений,
X V - вектор неизвестных угловых и линейных скоростей звеньев,
B – вектор правых частей уравнений.
Решение уравнений (10) будет иметь вид
X V = A- 1 ЧB
(11)
2.3 Определение угловых и линейных ускорений звеньев
Для определения угловых и линейных ускорений звеньев механизма
дважды продифференцируем по времени уравнения геометрических связей
(3) или один раз уравнения (9). Представляя, как и ранее, линейную
относительно угловых и линейных ускорений звеньев, систему уравнений,
получим
A ЧX a = C
(12)
10
- AB cos(j 1 )w12 + O1B cos(j 2 )w2 2 = OA cos(j )w2
- AB sin(j 1 )w12 + O1B sin(j 2 )w2 2 = OAsin(j )w2
- O1C cos(j 2 )w2 2 - CD cos(j 3 )w32 = 0
- O1C sin(j 2 )w2 2 - CD sin(j 3 )w32 - aD = 0
X a = A- 1 ЧC
(13)
где С - вектор правых частей уравнений;
X a – вектор неизвестных угловых и линейных ускорений звеньев.
Таким образом, решения (11) позволяют определить угловые и
линейные скорости всех звеньев механизма, а решения (13) – угловые и
линейные ускорения всех звеньев.
2.4 Определение скоростей и ускорений узловых точек
Узловыми и задаваемыми точками многозвенного шарнирного
механизма являются точки: A, B , C , D , M и K . Законы движения, угловые
скорости и ускорения звеньев, а также закон движения, скорость и ускорение
точки D определены ранее из уравнений (5) – (8), (11) и (13). Для остальных
точек законы движения запишем в векторной форме.

rB


r
M
 

rA  AB

 
r  AM
A
,


 
rO  O1B
1
,

r
K

r
C


 
r  O1C
O1
 
r  CK
C
(14)
Для определения скоростей и ускорений точек, учтем, что модули векторов
r r r
r
r r
rA , r AB , r O1C , r O1B , r CK , r AM постоянны и их производные по времени
определяются по формуле Эйлера. Тогда, дифференцируя по времени
выражения (14), найдем скорости соответствующих точек
11


VA


VK

 

 0  rA


VB
,
 

 
VC   3  CK

 

 2  O1B


VM
,


VC
,

 

 2  O1C
 


 
VA   1  AM
(15)
Для нахождения ускорений точек механизма продифференцируем по
времени выражения (15).
 0 0  vector1x y  Vx Vy  mV 
 1 0 


vector1
x

y

Vx

Vy

m

V

0.7
0.1



 
 
 
 
 
V

  
 

  


  o 


 0.7 20.1 VC
aA  0  RA   0  VA
aB  2  O1B   2  VB
aC  2  O1C
,
,
,


1
0

 


 

 
 

 
  

 
   
aM aA   1  AM   1    1  AM 
aK aC   3  CK   1 x y1  CK

 ,


(16)


x y


Соотношения (5) – (8), (11), (13) – (16) представляют
N   x y  математическую
x y
модель кинематического поведения механизма, которая
 позволяет

x y
определить законы движения всех звеньев механизма, Vx
координаты
узловых
Vy 



Vx 
 Vy
точек, а также скорости и ускорения звеньев и узловых
точек.


V  Vo   mV  N
V
Vo
N

V
V
12
2. Определение кинематических характеристик механизма с
помощью теорем плоского движения твердого тела
Определим точки механизма, траектории и возможные направления
скоростей которых известны.
Шарнир A принадлежит шатуну AB и кривошипу OA, совершающему
вращательное движение вокруг центра O . Кривошип OA является ведущим
звеном, угловая скорость которого известна. Следовательно, траектория
шарнира A – окружность радиуса OA и его скорость равна
v A = w0 ЧOA =
p
Ч10 = 1.745см/с
18
(1)
Шарнир B принадлежит шатуну AB и кривошипу O1С , совершающего
вращательное движение вокруг подшипника O1. Следовательно, траектория
точки B – окружность радиуса O1B и скорость шарнира v B ⊥ O1B .
Шарнир C принадлежит шатуну CD и кривошипу O1С , совершающего
вращательное движение вокруг подшипника O1. Следовательно, траектория
точки C – окружность радиуса O1C и скорость шарнира vC ⊥ O1С .
Точка D принадлежит шатуну CD и ползуну D , совершающему
возвратно поступательное движение вдоль вертикальной направляющей.
Следовательно, траектория точки D – прямая линия и скорость ползуна
vD P Oy .
3.1 Определение скоростей
точек и
угловых скоростей
звеньев спомощью мгновенных центров скоростей (МЦС)
Определим положение МЦС для звеньев AB и CD, совершающих
плоское движение (рис. 6). Для этого из точки A проведем перпендикуляр к
скорости vA, а из точки B – перпендикуляр к возможному направлению
13
скорости vB . Точка пересечения перпендикуляров – PAB является МЦС
звена AB для заданного положения механизма.
Аналогично определяем положение мгновенного центра скоростей для
звена CD – PCD .
Измеряем на чертеже расстояния от узловых точек механизма до МЦС
соответствующего звена. В соответствие с выбранным масштабом длин эти
расстояния равны (рис. 4)
APAB=51.25см
BPAB=25.4см
MPAB=33.6см
KPCD=30.125см
DPCD=22.5см
CPCD=55.5см
Так как скорость точки A известна (1), то мгновенную угловую
скорость звена AB вычисляем согласно выражению
v A = w0 ЧOA = wAB ЧAB
Тогда
wAB = w1 =
vA
10p
=
= 0.034 ðàä / ñ
APAB 18 Ч210
Направление мгновенной угловой скорости звена определяем по
направлению скорости точки A при мгновенном вращении звена вокруг МЦС
Модули скоростей точек B и M равны
vB = wAB BPAB = 0.864ñì /ñ ,
vB ^ BPAB
vM = wAB MPAB = 1.142ñì /ñ, vM ^ MPAB
а направление скоростей определяется направлением вращения звена AB вокруг МЦС PAB
14
Угловую скорость звена O1С вокруг подшипника O1 определим из
соотношения
vB = wAB BPAB = wO1BO1B Ю wO1B = w2 =
vB
= 0.043ðàä/ñ
O1B
Скорость точки C равна
vC = wO1BO1C = 1.725ñì /ñ , vC ^ CPCD
Мгновенную угловую скорость звена CD вокруг определим из
соотношения
vC = wCD ЧCPCD = wO1BO1C Ю wCD = w3 =
vC
= 0.031ðàä/ñ
CPCD
а модули скоростей точек D и K выражениями
vD = wCD DPCD = 0.697ñì /ñ ,
vD ^ DPCD
vK = wCD KPCD = 0.934ñì /ñ ,
vK ^ KPCD
Направление скоростей точек vD , vK определяется направлением
мгновенного вращения звена CD вокруг МЦС – PCD .
3.2 Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев
с помощью теоремы о сложении скоростей
При неизвестной угловой скорости твердого тела совершающего
плоскопараллельное движение теорему о сложении скоростей можно
применять для тех точек звена, у которого известны: для одной – модуль и
направление вектора скорости, а для другой – возможное направление
вектора скорости, т.е. траектория движения.
Так как для звена AB вектор скорости шарнира A известен и по модулю
и по направлению (1), а для шарнира B известна траектория движения,
запишем теорему о сложении скоростей для точки B , приняв точку A за
полюс:
r
r
r
vB = v A + vBA
15
где v A = w0OA = 1.745см/с - скорость полюса,
vBA = wBA AB = ? и vBA ^ AB - скорость точки B при вращательном
движении звена AB вокруг полюса A. (относительная скорость точки B в
поступательном переносном движении)
Откладываем в точке B вектор скорости полюса – v A . Из конца вектора
v A проводим возможное направление вектора vBA – прямую,
перпендикулярную звену AB. Из точки B проводим направление вектора
v B ^ O1B до пересечения с прямой, определяющей направление вектора vBA
. В точке пересечения данных прямых сходятся концы неизвестных векторов
vBA и v B . (рис. 5)
Измеряя указанные векторы, в соответствии с выбранным масштабом
скоростей, получаем
vB = 0.862ñì / ñ
v AB = 1.515ñì / ñ
Угловая скорость звена AB равна
wAB = w1 =
v AB
= 0.034ðàä / ñ
AB
Так как угловая скорость звена найдена, для точки M можно записать
теорему о сложении скоростей, приняв точку A за полюс:
r
r
r
vM = v A + vMA
где
v A = w0 ЧOA =
p
Ч10 = 1.745см/с
18
vMA = wAB AM = 0.765ñì /ñ
Для нахождения скорости vM изображаем в точке M вектор скорости
полюса – v A , а из его конца проводим перпендикулярно AB вектор
16
относительной скорости vMA (рис .5). Соединяя точку M с концом вектора
vMA , находим вектор скорости точки M – vM . После измерения получим
vM = 1.135ñì / ñ
Угловая скорость звена O1B равна
wO1C =
vB
= w2 = 0.043ðàä/ñ
O1B
Следовательно, скорость точки C равна
vC = wO1C O1C = 1.72ñì / ñ , vC ^ O1C
Приняв точку C за полюс, применим теорему о сложении скоростей к
точке D звена CD, траектория которой известна
r
r
r
vD = vC + vCD
здесь vCD = wCD CD = ? см / с,
r
vCD ^ CD – относительная
скорость точки D .
Скорости vD , vСD определяем графически, аналогично методу,
изложенному ранее, построив в масштабе треугольник скоростей (рис .6)
vD = 0.699ñì / ñ
vCD = 1.845ñì / ñ
Следовательно, угловая скорость звена CD равна
wÑD = w3 =
vCD
= 0.031ðàä / ñ
CD
Скорость точки K вычисляем по аналогии с определением скорости
точки M
r
r
r
vK = vC + vCD
где
vC = wO1C O1C = 1.72ñì / ñ , vC ^ O1C
17
vCK = wCD CK = 0.93ñì / ñ ,
vCK ^ CD
В этом случае
r
vK = 0.928cì / ñ
Следующий метод, являющийся графической интерпретацией теоремы
о сложении скоростей, называется планом скоростей. Особенностью метода
является возможность быстрого определения скорости любой точки
механизма.
Из произвольно выбранного полюса O проводим луч "Oa ",
изображающий в выбранном масштабе скорость точки A – v A
Для определения скорости точки B через полюс O проводим прямую,
параллельную скорости v B , а через точку "a" – прямую, перпендикулярную
AB, т. е. параллельно скорости vBA . Получаем точку "b": отрезок"Ob"
определяет скорость точки B , а отрезок "ab" – скорость vBA .
Измеряем длину лучей Ob, ab и, пользуясь масштабом скоростей
находим(рис. 6)
vB = 0.853ñì / ñ ,
v AB = 1.531ñì / ñ
Для определения угловой скорости звена AB найдем с учетом
выбранного масштаба скоростей отношение
wAB =
ab
= 0.034ðàä/ñ
AB
Для определения скорости точки M делим отрезок ab плана скоростей в
отношении
am AM
=
ab
AB
Луч Om изображает скорость точки M – vM , а отрезок am –
относительную скорость vMA . Пользуясь масштабом скоростей, получаем
vM = 1.063ñì / ñ,
vMA = 0.879ñì / ñ
18
Продолжая построение плана скоростей на рис .8, находим скорости то
чек v A , vM , vC , vK , vD , а также угловые скорости звеньев
wAB = 0.034, wO1C = 0.043, wCD = 0.031,
vC = 1.74ñì / ñ
v A = 1.745см/с
vM = 1.063ñì /ñ
vK = 0.917ñì /ñ
v D =0.708ñì /ñ
3.3 Определение ускорений точек и угловых ускорений
звеньев с помощью теоремы о сложении ускорений
Ускорения точек и угловые ускорения звеньев, совершающих
плоскопараллельное движение, будем определять с использованием теоремы
о сложениях ускорений в плоском движении. Данную теорему реализуем
графически, в виде отдельных многоугольников ускорений на схеме
механизма (рис. 10) и с помощью плана ускорений
Вращение ведущего звена OA является равномерным с угловой
скоростью w0 =
p
рад / с , поэтому полное ускорение точки A равно ее
18
центростремительной составляющей
r
aA = aАЦ ,
2
жp ц
2
a = w OA = зз ч
10
=
0.305см/с
,
ч
зи18 ч
ш
Ц
А
2
0
r
a AЦ ® (.)О (3)
Определение ускорений начинаем с точки B , траектория которой
известна. Взяв за полюс точку A, применим, с учетом (3), теорему о
сложении ускорений к точке B звена AB:
r
r
r
Ц
ВР
aB = aA + aBA = aAЦ + aBA
+ aBA
,
(4)
19
где a BA – ускорение точки B при вращательном движении звена AB
вокруг полюса A;
Ц
– центростремительное ускорение точки B при вращательном
aBA
движении звена AB вокруг полюса A;
ВР
– вращательное ускорение точки B при вращательном движении
aBA
звена AB вокруг полюса A.
Для точки B звена O1С имеем
r
r
r
aB = aBЦ + aBВР
(5)
Приравнивая (4) и (5), получим векторное уравнение, которое решаем
графически с учетом выбранного масштаба ускорений :
r
r
r
r
r Ц r ВР
aB = aBЦ + aBВР = aAЦ + aBA
+ aBA ,
Здесь aBA = wAB AB = 0.052 ñì /ñ ,
Ö
2
2
ВР
aBA
= e AB AB = ? см / с 2 ,
aBÖ = wO21C O1B = 0.038cì / ñ2 ,
aBВР = eO1C O1B = ? cм / с2 ,
Ö
aBA
P AB ® (.) A,
ВР
aBA
^ AB,
aBÖ PO1C, ® (.)O1
aBВР ^ O1С,
Построение многоугольника ускорений проводим следующим образом:
Из точки B проводим, в масштабе ускорений, вектор ускорения полюса
aA = aAЦ . Из конца вектора a AЦ откладываем параллельно BA вектор
Ц
ускорения aBA , из конца которого проводим линию ^ AB, определяющую
ВР
возможное направление вектора aBA . Из точки В , в направлении прямой
Ц
O1B , откладываем вектор aB , а из его конца линию перпендикулярную O1B ,
ВР
определяющую возможное направление вектора aB .
Данная линия проводится до пересечения с прямой, перпендикулярной
20
ВР
AB, характеризующей направление вектора aBA .
Точка "b" пересечения этих прямых является точкой, в которой
ВР
ВР
сходятся концы векторов aBA , aB и aB .
ВР
=0.106см/с2;
aBA
aBВР =0.215 см/с2;
aB =0.218 см/с2;
Угловые ускорения звеньев определяем по формулам
ÂÐ
aBA
e AB = e1 =
= 2.356 Ч10- 3 ñ- 2
AB
eO1C
aBÂÐ
= e2 =
= 0.011ñ- 2
O1 B
Полное ускорение точки C звена O1C , совершающего вращательное
движение, определим по формуле
r
r
r
aС = aСЦ + aСВР ,
Где
aÑÖ = wO21C O1C = 0.076ñì / ñ2 ,
aCÂÐ = eO1C O1C = 0.44ñì / ñ2 ,
r
aCÖ PO1C ® (.)O1 ,
aCÂÐ ^ O1C,
aC = 0.44ñì / ñ2
Ускорение точки D звена CD определим с использованием теоремы о
сложении ускорений, приняв точку C за полюс
r
r
r
r
r
rЦ
r ВР
aD = aC + aDC = aCЦ + aCВР + aDC
+ aDC
rÖ
rÖ
2
2
где aDC = wCDCD = 0.058ñì / ñ , aDC P CD ® (.)C ,
r ВР
r ВР
aDC
= eCDCD = ? см / с 2 , aDC
^ СD,
r
aD = ? см / с 2
aD P Oy.
21
Аналогично способу, изложенному ранее, изображаем многоугольник
ускорений для точки D (рис. 7). Измеряя неизвестные векторы, получаем
значения ускорений:
ÂÐ
aDC
= 0.447ñì / ñ2 ;
aD = 0.191ñì / ñ2
Затем вычисляем угловое ускорение звена CD
ÂÐ
aDC
eÑD = e3 =
= 7.4 Ч10- 3 ñ- 2
ÑD
Для определения ускорений точек M и K строим план ускорений
(рис.9), который проводим следующим образом:
Построение многоугольника ускорений проводим следующим образом:
Из точки B проводим, в масштабе ускорений, вектор ускорения полюса
aAЦ = aA . Из конца вектора a AЦ откладываем параллельно BA вектор
Ц
ускорения aBA , из конца которого проводим линию ^ AB, определяющую
ВР
возможное направление вектора aBA . Из точки В , в направлении прямой O1B
Ц
, откладываем вектор aB , а из его конца линию перпендикулярную O1B ,
ВР
определяющую возможное направление вектора aB .
Ц
Из точки O , в направлении прямой O1B , откладываем вектор aB , а из
его конца линию, определяющую возможное направление вектора
aBВР . Данная линия проводится до пересечения с прямой, перпендикулярной
ВР
AB, характеризующей направление вектора aBA . Точка пересечения этих
ВР
ВР
прямых "b" является точкой, в которой сходятся концы векторов aBA , aB и
aB . Отрезок "Ob" определяет модуль и направление вектора ускорения точки
B .(рис. 8)
Для нахождения ускорения точки M звена AB разделим отрезок " ab "
точкой "m" в соотношении
22
am AM aMA
=
=
ab
AB
aBA
Измеряя длины отрезков "am" и "Om", вычисляем, с использованием
масштаба ускорений, ускорения
aMA = 0.059cì / ñ2 ,
aM = 0.258cì / ñ2 .
Строим такой же многоугольник для звена СD и измеряем вектора
ускорений:
aKC = 0.225ñì / ñ2 , aK = 0.258ñì / ñ2 , aDC = 0.451ñì / ñ2
ÂÐ
aDC
= 0.446cì / ñ2
e3 = eDC
ÂÐ
aDC
=
= 7.433 Ч10- 3 ñ- 2
ÑD
3. Определение кинематических характеристик механизма с
помощью теорем сложного движения точки
Изобразим механизм в заданном положении (рис. 9), при значении угла
поворота ведущего звена OA – ϕk = 150°, в выбранном масштабе длин .
Изображенный на рисунке механизм составлен из двух базовых
механизмов: шарнирного четырехзвенника OABO1 и кривошипно-шатунного
механизма O1CD, в каждом из которых шатуны AB и CD совершают плоское
движение, а кривошипы OA и O1C вращательное движение вокруг
неподвижных осей Oz и O1z соответственно.
Определим, измерив длины , положения узловых точек базовых
механизмов:
OA=10см, OM=14.75см,
OB=36.85см,
O1C=38см,
O1K=16.53см,
O1D=27.3см.
Для нахождения скоростей и ускорений этих точек, а также угловых
скоростей и ускорений звеньев представим плоское движение шатунов AB и
CD в виде двух вращений.
23
В качестве переносного вращения примем:
- для шатуна AB – вращение вместе с кривошипом OA вокруг
неподвижной оси Oz с переносной угловой скоростью
weAB = w0 =
p -1
c
18
- для шатуна CD – вращение вместе с кривошипом O1C вокруг
неподвижной оси O1z с неизвестной пока переносной угловой скоростью
e
wCD
= w2 .
Относительным вращением в этом случае является:
- для шатуна AB – вращение звена вокруг подвижной оси Az с
r
относительной угловой скоростью w AB ;
- для шатуна CD – вращение звена вокруг подвижной оси Cz с
r
относительной угловой скоростью wCD ;
4.1 Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев
с помощью теоремы о сложении скоростей при переносном
вращательном движении
Так как закон движения кривошипа OA задан, а для шарнира B
известна траектория движения, вычисление скоростей начинаем с точки B ,
вектор скорости которой, определим согласно теореме о сложении скоростей
при составном движении:
r
r
r
vB = vBe + vBr
e
e
где vB = wABOB = w0OB = 6.44ñì / ñ,
(1)
vBe ^ OB - переносная
скорость точки B ,
r
vBr = wAB
AB = ?см/с,
vBr ^ AB - относительная скорость точки
B,
vB = ?,
r
vB P O1B - абсолютная скорость точки B .
24
Решение уравнения (1) найдем графически, построив векторный
треугольник скоростей (рис. 9)
e
Для этого, из точки B проводим вектор переносной скорости – vB .Из
e
конца вектора vB проводим линию, перпендикулярную звену AB,
характеризующую возможное направление вектора относительной скорости
vBr .Из точки B проводим перпендикуляр к кривошипу O1B , который
определяет возможное направление абсолютной скорости шарнира B , до
r
пересечения с прямой, характеризующей направление вектора vB .
Точка пересечения данных прямых определяет концы неизвестных
r
векторов относительной vB и абсолютной vB скорости шарнира B .
r
B
vB = 0.868ñì /ñ, v = 6.37ñì /ñ, w
r
AB
vBr
=
= 0.142c- 1
AB
Направление относительной угловой скорости шатуна AB,
r
определяемое направлением относительной скорости точки B – vB , показано
r
e
на (рис. 9). Так как относительная w AB и переносная w AB угловые скорости
направлены в разные стороны, то абсолютная угловая скорость w AB звена AB
равна
e
r
wAB = w1 = wAB
- wAB
= 0.033c- 1
Зная величину и направление относительной угловой скорости звена
AB, скорость точки M найдем из уравнения
r
r
r
vM = vMe + vMr
e
e
где vM = wABOM = 2.574cì / ñ - переносная скорость,
r
vMr = wAB
AM = 3.195cì / ñ – относительная скорость,
r
vM = ?
– абсолютная скорость.
(2)
25
Решение уравнения (2) найдем, построив векторный треугольник
скоростей. Измерением получено
r
vM = 1.156cì / ñ,
Угловую скорость звена O1B найдем по формуле
w2 = wO1C =
vB
= 0.043c- 1
O1B
Скорости точек D и K , а также относительную и абсолютную угловые
скорости звена CD найдем аналогично. Построив треугольники скоростей
для этих точек (рис.9) и измеряя неизвестные векторы, получим
e
vDe = wCD
O1D = 1.2ñì / ñ
vDr = 0.762ñì / ñ
vD = 0.707ñì / ñ
r
CD
w
vDr
=
= 0.013ñ- 1
CD
e
vKe = wCD
O1K = 0.727cì / ñ
r
vKr = wCD
CK = 0.39cì / ñ
vK = 0.953ñì / ñ
4.2 Определение ускорений точек и угловых ускорений
звеньев с помощью теоремы о сложении ускорений при переносном
вращательном движении
Так как для шарнира B известна траектория движения, а закон
движения кривошипа OA задан, вычисление ускорений начинаем с точки B .
Абсолютное ускорение точки B определим согласно теореме о сложении
ускорений при непоступательном переносном движении:
26
r
r
r
r
r
r
r
r
r
aB = aBe + aBr + aBc = aBeЦ + aBеВР + aBrЦ + aBrВР + aBc
r e r eЦ r eВР
где aB = aB + aB – переносное ускорение точки,
r
r
r
aBr = aBrЦ + aBrВР – относительное ускорение точки,
r
r
r
r
r
aBc = 2weAB ґ vBr
aBc ^ vBr – ускорение Кориолиса,
(3)
e
aBc = 2wAB
ЧvBr = 2.224cì / ñ2
aBеЦ ® (.)O P OB – переносное
aBåÖ = (weAB )2 OB = 1.123cì / ñ2 ,
центростремительное ускорение точки,
e
aBeВР = e AB
OB = 0 т.к. weAB = co n s t
– переносное
вращательное ускорение точки,
r
aBrÖ = (wAB
)2 AB = 0.907cì /ñ2
aBrЦ ® (.) A P AB – относительное
центростремительное ускорение точки,
r
aBrВР = e AB
AB = ?
aBrВР ^ AB – относительное вращательное
ускорение точки.
c
Направление ускорения Кориолиса aB , которое можно определить по
правилу векторного произведения векторов или методом Жуковского
В уравнении (3) учтено, что переносное и относительное движения
шатуна AB являются вращениями вокруг осей Oz и Az соответственно.
Поскольку абсолютное движение кривошипа O1С – вращение вокруг
оси O1z , то абсолютное ускорение точки B можно записать в виде
r
r
r
aB = aBЦ + aBВР
(4)
rÖ
r
e
2
2
aBЦ ® (.)O1 – центростремительная
где aB = (wCD ) O1 B = 0.039ñì /ñ
составляющая абсолютного ускорения точки,
aBВР = e2O1B = ?
aBВР ^ O1B – вращательная составляющая
абсолютного ускорения точки,
Приравняем правые части уравнений (3), (4) и учтем коммутативность
27
векторов. Получим
r
r
r
r
r
r
aBЦ + aBВР = aBrЦ + aBеЦ + aBc + aBrВР
(5)
Решение уравнения (5) найдем, построив векторный многоугольник
ускорений (рис.10).
Для этого, из точки B проводим параллельно звену AB вектор
r rЦ
относительного центростремительного ускорения – aB .
r rЦ
Из конца вектора aB проводим параллельно отрезку OB по
направлению к точке O , вектор переносного центростремительного
r еЦ
ускорения – aB .
r еЦ
rc
Из конца вектора aB откладываем вектор ускорения Кориолиса aB , из
конца которого проводим линию ^ AB, определяющую возможное
r rВР
направление вектора aB
.
rЦ
Из точки В , в направлении прямой O1B , откладываем вектор aB , а из
r ВР
его конца линию, определяющую возможное направление вектора aB ,
которая проводится до пересечения с прямой, характеризующей направление
r rВР
вектора aB .
r rВР r ВР
В точке пересечения этих прямых сходятся концы векторов aB , aB и
r
aB . Измеряя данные векторы в масштабе ускорений, получим
aBrÂÐ = 0.105ñì / ñ2 ,
aBÂÐ = 0.202ñì / ñ2 ,
aB = 0.21ñì / ñ2
Угловые ускорения звеньев определяем по формулам
e
r
AB
eO1C
aBrÂÐ
= e1 =
= 2.333 Ч10- 3 c- 2
AB
aBÂÐ
= e2 =
= 0.01c- 2
O1 B
28
Полное ускорение точки C звена O1B , совершающего вращательное
движение, определим из соотношения
aB O1 B
OC
=
, тогда aC = aB 1 = 0.42cì / ñ2
aC O1C
O1B
Изображаем вектор aC параллельно вектору a B в масштабе ускорений
на (рис.10).
Так как угловое относительное ускорение шатуна AB определено,
найдем ускорение точки M .
eÖ
где aM
r
r
r
r
r
r
aM = aMeЦ + aMeВР + aMrЦ + aMrВР + aMc
r
e
= (wAB
)2 OM = 0.449cì / ñ2 , aMeÖ ® (.)Î PÎ Ì
e
aMeВР = e AB
OM = 0
e
т.к. wAB
r
aMrÖ = (wAB
)2 AM = 0.454ñì / ñ2
r
aMrÂÐ = e AB
AM = 0.052cì / ñ2
aMrÖ ® (.) A P AB
aMrÂÐ ^ AB
aMc = 2weAB ЧvMr = 1.115cì / ñ2
aM = ?
Изображаем многоугольник ускорений для точки M (рис.11). Измеряя
неизвестный вектор ускорения aM , получим
aM = 0.255ñì / ñ2
Для определения ускорения точки D примем в качестве переносного
движения вращение вместе с кривошипом O1C . В этом случае имеем
r
r
r
r
r
r
aD = aDeЦ + aDeВР + aDrЦ + aDrВР + aDc
r
aDeÖ ® (.)Î 1 PÎ 1D – переносное
eÖ
e
2
2
a
=
(
w
)
O
D
=
0.053
cì
/
ñ
,
D
CD
1
где
e
центростремительное ускорение точки, wCD = w2 ,
e
aDeÂÐ = eCD
O1D = 0.3cì / ñ2
aDeÂÐ ^ O1D
e
вращательное ускорение точки, eCD = e2 ,
– переносное
29
r
aDrÖ = (wCD
)2 CD = 0.01ñì / ñ2
aDrÖ ® (.)C PCD – относительное
центростремительное ускорение точки,
r
aDrВР = eCD
CD = ?
r
aDrВР ^ CD – относительное вращательное
ускорение точки.
e
aDc = 2wCD
ЧvDr = 0.067cì / ñ2 – ускорение Кориолиса
aD P O1 y – абсолютное ускорение точки
aD = ?
Аналогично способу, изложенному ранее, изображаем многоугольник
ускорений для точки D (рис.12). Измеряя неизвестные векторы, получаем
значения ускорений:
aDrÂÐ = 0.217ñì / ñ2 ,
aD = 0.187ñì / ñ2
Затем вычисляем угловое относительное ускорение звена CD
r
CD
e
aDrÂÐ
=
= 3.617 Ч10- 3c- 2
ÑD
Так как относительное и переносное угловые ускорения шатуна CD
направлены в одну сторону, направление абсолютного углового ускорения
звена совпадает с переносным или относительным угловым ускорением, а его
величина равна
r
e
eÑD = e3 = eCD
+ eCD
= 7.383Ч10- 3 c- 2
Ускорение точки K найдем аналогично определению ускорения точки
M . Построив многоугольник ускорений для этой точки (рис.12)
r
r
r
r
r
r
aK = aKeЦ + aKeВР + aKrЦ + aKrВР + aKc
где
r
aKeÖ ® (.)O1 P O1K
r
r
= (wCD
)2 CK = 5.07 Ч10- 3ñì / ñ2 aKrÖ ® (.)C PCD
e
aKeÖ = (wÑD
)2 O1K = 0.032ñì / ñ2
aKrÖ
e
aKeÂÐ = eCD
O1K = 0.182cì / ñ2
r
aKrÂÐ = eCD
CK = 0.109ñì / ñ2
aKeÂÐ ^ O1K
r
aKrÂÐ ^ CD
30
e
aKc = 2wCD
ЧvKr = 0.034cì / ñ2
aK = ?
измерением получим
aK = 0.259ñì / ñ2
31
4. Анализ результатов вычислений
Сведем результаты вычислений, полученные разными методами в
таблицы (см. Табл. 1 – Табл. 2). Точность вычислений проведенных
графическими методами будем оценивать положительной величиной
относительной погрешности δ , определяемой соотношением
d=
x - xT
xT
Здесь x – исследуемая величина, полученная одним из графических
методов;
xT – точное значение исследуемой величины.
Анализ вычисленных значений кинематических параметров
многозвенного шарнирного механизма позволяет сделать следующие
выводы:
- Все три графических метода с допустимой степенью точности
определяют
кинематические параметры механизма;
- Увеличение погрешности при вычислении ускорений связано с
накоплением ошибок графических методов при определении скоростей точек
и угловых скоростей звеньев;
- Наиболее громоздкими и трудоемкими являются графоаналитические
и графические методы при исследовании ряда различных положений
механизма.
- Данные методы целесообразно использовать в качестве
ориентировочных расчетов при отладке программ для численного
моделирования системы.
Таблица 1
32
Величина
Точное
Метод
значение
1
d1
Метод
d2
2
Метод
d3
3
w1 ,c- 1
0.034
0.034
0
0.034
0
0.033
0.029
w2 ,c- 1
0.044
0.043
0.023
0.043
0.023
0.043
0.023
w3 ,c- 1
0.031
0.031
0
0.031
0
0.031
0
v A , см / с
1.745
1.745
0
1.745
0
1.745
0
vM , см / с
1.15
1.142
0.006
1.135
0.013
1.156
0.0052
vB , см / с
0.873
0.864
0.01
0.862
0.013
0.868
0.0057
vC , см / с
1.745
1.725
0.011
1.72
0.014
1.73
0.0085
vK , см / с
0.944
0.934
0.011
0.928
0.017
0.953
0.0095
vD , см / с
0.693
0.697
0.0057 0.699
0.0086
0.707
0.02
Таблица 2
Величина
Точное
Метод
значение
1
d1
Метод
d3
2
e1 ,c- 2
0.00245
0.00235 0.044
0.00233 0.052
e2 ,c- 2
0.011
0.011
0
0.01
0.091
e3 ,c- 2
0.00719
0.029
54
0.0738
0.026
aA , см / с 2
0.305
0.305
0
0.305
0
aM , см / с 2 0.257
0.258
0.0038
0.255
0.0077
aB , см / с 2
0.218
0.0092
0.21
0.028
aC , см / с 2 0.432
0.44
0.019
0.42
0.028
aK , см / с 2 0.25
0.257
0.028
0.259
0.036
aD , см / с 2 0.182
0.191
0.049
0.187
0.027
0.216
33
Библиографический список
1. Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad практикум –
СПб.: БХВ – Петербург, 2005.
2. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика
в примерах и задачах. Т.1 (Статика и кинематика) – М.: Наука, 1990;
3. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики.
Т.1 – М.: Высшая школа, 1984;
4. Бертяев В.Д., Булатов Л.А., Комолов Д.В., Маркелов С.С.
Кинематический
расчет
плоского
многозвенного
использованием пакета MathCAD). – Тула: ТулГУ, 2003
механизма
(с
Скачать