Кафедра высшей математики МГУГиК Экзаменационные задачи для студентов второго курса ГФ дистанционно-заочной формы обучения. Тема 1. Функции нескольких переменных. 1. Найти частные производные второго порядка y 2 z 2 z 2 z , функции . z arccos 2 x x 2 y xy 2 z 2 z 2 z 2 2. Найти частные производные второго порядка , 2 функции z ln x 4 y . 2 x y xy 3. Найти частные производные второго порядка y 2 z 2 z 2 z , функции . z arctg 2 x x 2 y xy 4. Найти градиент функции u ( x, y, z ) x y x ln( z 2) в точке M (1,2,3) и 3 2 производную функции в этой же точке в направлении вектора MN , где N (0,4,1) . 5. Найти градиент функции u ( x, y, z ) x y x( z 2) в точке M (1,2,1) и 2 4 2 производную функции в этой же точке в направлении в направлении вектора MN , где N (1,2,3) . 6. Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности, заданной в неявном виде x y 4 xyz y z x 3 0 в точке M ( x0 , y0 , z 0 ) , где 3 2 x0 1, y0 4 . 7. Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности, заданной в неявном виде yz x 2 xz 1 0 в точке M ( x0 , y0 , z 0 ) , где 2 x0 3, y0 2 . 8. Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности, заданной в неявном виде xyz x y z y 1 0 в точке M ( x0 , y0 , z 0 ) , где 2 2 3 x0 1, y0 2 . 9. Исследовать функцию z x 2 xy y 6 x 10 y 1 на экстремум. 2 2 10. Исследовать функцию z 3x 5 xy 3 y x y 5 на экстремум. 2 2 11. Исследовать функцию z 4 5 x 4 xy y 4 x 2 y на экстремум. 2 2 12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x y 6 x 4 y 2 в 2 2 прямоугольнике 0 x 4,3 y 2. 13. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x xy 3x y в 2 прямоугольнике 0 x 2,0 y 3. 14. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x y 2 xy 2 x 2 y 3 в 2 треугольнике, ограниченном прямыми y 0, x 2, y x 2. 2 Тема 2. Двойные интегралы. 1. Вычислить (4 x y ) , если область D определена неравенствами x 2 y 2 9. y 3 x . D 2. Вычислить (3x 2 y ) , если область D определена неравенствами x 2 y 2 16. y 4 x . D 3. Переходя к полярным координатам, вычислить sin x 2 y 2 x2 y2 D D ограничена линиями x 2 y 2 2 16 dxdy , если область .x 2 y 2 2 . 4. Переходя к полярным координатам, вычислить x 2 y 2 dxdy , если область D ограничена D линиями x y 16, x y 64. . 2 2 2 2 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y 2 y 2 x 1 0, y 2 x 2. 2 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями r 2, r 4, , 3 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями r cos , r sin . 6 . 8. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x y 9, z 0, z xy. 2 2 9. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x y 4, z 3x, z 0. 2 10. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z 1 x y, x y 1, y 0, z 0, z 0. Тема 3. Ряды. 2n 1 ) . 1. Установить сходятся или расходятся ряд ( 2n n 1 n 2. Установить сходятся или расходятся ряд n 5 sin 3n . n 1 2 n n! 3. Установить сходятся или расходятся ряд n . n 1 n n3 4. Установить сходятся или расходятся ряд 4 . n 1 n 1 ( n!) 2 5. Установить сходятся или расходятся ряд . n 1 ( 2 n )! ln 3 (n 1) 6. Установить сходятся или расходятся ряд . n 1 n 1 7. Установить сходятся или расходятся ряд n 1 e n n . 2 8. Исследовать сходимость ряда (1) n 4n 1 cosn 9. Исследовать сходимость ряда . n 1 n 1 n 1 2 . (1) n 10. Исследовать сходимость ряда . 4 n 1 n 1 n ln n 11. Исследовать сходимость ряда ( 1) . n n 1 n n3 12. Исследовать сходимость ряда ( 1) 2 . n 1 n 1 n4 13. Исследовать сходимость ряда (1) 5 . n 1 n 1 1 n 14. Исследовать сходимость ряда ( ) . n n 1 n