lecture1

Международный Университет «Дубна»
Кафедра Высшей Математики
Курс лекций
«Теория вероятностей и математическая статистика»
для студентов заочной формы обучения
Лекция 1
Кандидат физ.-мат. наук
ст. преподаватель Рогачев А.В.
Темы лекции:
1. Случайные события и операции над ними. Алгебра событий.
2. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности.
Геометрическое определение вероятности. Свойства вероятности.
3. Элементы комбинаторики. Размещения, сочетания, перестановки с повторениями.
1. Элементы комбинаторики. Размещения,
сочетания, перестановки с повторениями.
•
Комбинаторика
-
раздел
математики,
изучающий,
изучающий
дискретные объекты, множества и отношения на них. В частности,
методы решения комбинаторных задач - задач на подсчет числа
различных комбинаций.
•
В результате испытания возможно несколько исходов.
•
Комбинаторика
позволяет
посчитать
число
способов
проделать
испытание или число его возможных результатов.
•
Основной принцип комбинаторики: если первый элемент можно выбрать
k способами, а второй элемент m способами, то упорядоченную пару
элементов можно составить k×m способами.
1. Элементы комбинаторики. Размещения,
сочетания, перестановки с повторениями.
ПРИМЕРЫ
1)
Подбрасывается три монеты.
Орел (О)
Решка (Р)
Количество возможных результатов 2 · 2 · 2 = 8;
2) Бросается две игральные кости.
1
2
3
4
5
6
Количество возможных результатов 6 · 6 = 36;
1. Элементы комбинаторики. Размещения,
сочетания, перестановки с повторениями.
УРНОВЫЕ СХЕМЫ.
•
Урну (ящик), содержит n пронумерованных шаров.
•
Выберем из урны k шаров; результат этого выбора - набор из k шаров.
•
Сколькими способами можно выбрать k шаров из n?
1. Элементы комбинаторики. Размещения,
сочетания, перестановки с повторениями.
УРНОВЫЕ СХЕМЫ.
Выбор с учетом порядка:
два набора номеров шаров
считаются различными, если
они отличаются составом или
порядком номеров.
Наборы (1,5,2), (2,5,1) и (4,4,5) различны.
Выбор с возвращением: каждый вынутый шар
возвращается в урну, каждый следующий шар
выбирается из полной урны. В полученном
наборе из k номеров шаров могут встречаться
одни и те же номера
Выбор без возвращения: вынутые шары в урну
не возвращаются, и в полученном наборе не
могут встречаться одни и те же номера.
Ank 
nk
n   n  1 
  n  k  1 
n!

 n  k !
Размещения
Выбор без учета порядка:
два набора номеров шаров
считаются раз личными, если
они отличаются составом.
Наборы (1,5,2) и (2,5,3) различны, а наборы (1,5,2) и
(2,5,1) не различаются.
Cnkk 1  Cnnk11
k
A
n
!
Cnk 
 n
k !  n  k ! k !
Сочетания
1. Элементы комбинаторики. Размещения,
сочетания, перестановки с повторениями.
УРНОВЫЕ СХЕМЫ.
•
Если среди n элементов есть n1 элементов одного вида, n2 элементов другого
вида и т. д., то число перестановок с повторениями.
Pn  n1 , n2 ,
n!
, nk  
n1 ! n2 ! nk !
Основные понятия теории вероятностей.
•
Испытание (опыт) - осуществление некоторого комплекса условий (или
действие, результат которого заранее неизвестен)
•
Эксперимент - один или несколько опытов.
•
Исход - возможный результат эксперимента (всякий факт, который в
результате опыта может произойти или не произойти).
•
Событие - один или несколько исходов эксперимента.
События обозначаются обычно большими латинскими буквами A, B, D, F ...
2. Случайные события и операции над
ними. Алгебра событий.
•
Объединением (суммой) A  B событий A и B называется событие, состоящее
в том, что из двух событий A и B случилось хотя бы одно.
A+B или A  B
•
Пересечением (произведением) A  B событий A и B называется событие,
состоящее в том, что произошли сразу оба события A и B.
AB или A  B
2. Случайные события и операции над
ними. Алгебра событий.
•
Дополнением A \ B события B до A называется событие, состоящее в том, что
произошло A, но не произошло B.
•
Противоположным (или дополнительным) к событию A называется событие
𝐴 = Ω \ A, состоящее в том, что A не произошло.
•
Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в
результате эксперимента, т. е. единственное событие, включающее все
элементарные исходы - событие Ω.
2. Случайные события и операции над
ними. Алгебра событий.
•
Невозможным называется событие, которое не может произойти в
результате эксперимента, т. е. событие, не содержащее ни одного
элементарного исхода - ”пустое множество” - Ø.
•
События называются несовместными (несовместимыми), если наступление
одного из них исключает наступление любого другого. В противном случае
события называются совместными (совместимыми).
•
События называются равновозможными, если в результате испытания по
условиям симметрии ни одно из этих событий не является объективно более
возможным.
2. Случайные события и операции над
ними. Алгебра событий.
•
Несколько событий называются единственно возможными, если в результате
испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них.
•
Несколько событий образуют полную группу (полную систему), если они
являются
испытания.
единственно
возможными
и
несовместными
исходами
2. Случайные события и операции над
ними. Алгебра событий.
Опыт - бросание игральной кости
События:
A1
A2
A3
B - выпадение четного числа очков
C - выпадение более 7 очков
D - выпадение не более 3 очков
E - выпадение не более 6 очков
F - выпадение не менее 4 очка
A4
A5
A6
3. Классическое определение вероятности.
•
Исходы некоторого испытания образуют
равновозможны – элементарные исходы.
•
Случай называется благоприятствующим (благоприятным) событию A, если
появление этого случая влечет за собой появление события A.
•
Вероятность события A равна отношению числа случаев, благоприятствующих
ему, к общему числу случаев, т.е.
𝑚
𝑃 𝐴 = ,
𝑛
где P(A) - вероятность события A;
m - число случаев, благоприятствующих событию A;
n - общее число случаев.
полную
группу
событий
и
Классическое определение (классическую формулу) вероятности следует
рассматривать не как определение, а как метод вычисления вероятностей для
испытаний, сводящихся к схеме случаев.
3. Классическое определение вероятности.
Свойства вероятности.
• Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:
0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1
• Вероятность достоверного события равна единице:
𝑃 Ω = 1
• Вероятность невозможного события равна нулю:
𝑃 ∅ = 1
4. Статистическое определение вероятности.
•
•
•
Классическое определение вероятности применимо только для тех событий,
которые могут появиться в результате испытаний, обладающих симметрией
возможных исходов.
Существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть
вычислены с помощью классического определения. В первую очередь это
события, которые не являются равновозможными исходами испытания.
Статистической вероятностью события A называется относительная частота
появления этого события в n произведенных испытаниях:
𝑚
𝑃 𝐴 =𝜔 𝐴 =
𝑛
где 𝑃 𝐴 - статистическая вероятность события A,
𝜔 𝐴 - относительная частота события A,
m - число испытаний, в которых появилось событие A,
n - общее число испытаний.
Статистическая вероятность e P(A) является характеристикой опытной,
экспериментальной.
4. Статистическое определение вероятности.
УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ определения вероятности, как и понятий и методов теории
вероятностей в целом
•
•
•
Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые
могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же
комплексе условий. Так, например, бессмысленно ставить вопрос об определении
вероятностей возникновения войн, появления гениальных произведений искусства и
т.п., так как речь идет о неповторимых в одинаковых условиях испытаниях, уникальных
событиях. Или, например, не имеет смысла говорить о том, что данный студент сдаст
экзамен по теории вероятностей, поскольку речь здесь идет о единичном испытании,
повторить которое в тех же условиях нет возможности. И хотя приведенные в примерах
события с неопределенным исходом относятся к категории ”может произойти, а может
и не произойти”, такими событиями теория вероятностей не занимается.
События должны обладать так называемой статистической устойчивостью, или
устойчивостью относительных частот. Это означает, что в различных сериях испытаний
относительная частота события изменяется незначительно (тем меньше, чем больше
число испытаний), колеблясь около постоянного числа. Оказалось, что этим
постоянным числом и является вероятность события
Число испытаний, в результате которых появляется событие A, должно быть достаточно
велико, так как только в этом случае можно считать вероятность события P(A)
приближенно равной ее относительной частоте
5. Геометрическое определение
вероятности.
• Геометрической вероятностью события A называется отношение
меры области, благоприятствующей появлению события A, к мере
всей области
𝑚𝑒𝑠 𝑑
𝑃 𝐴 =
𝑚𝑒𝑠 𝐷
Под мерой понимается
в одномерном пространстве - длина,
в двумерном пространстве - площадь,
в трехмерном пространстве - объем.
𝐷
𝑑
5. Геометрическое определение
вероятности. Задача о встрече.
Два студента условились встретиться в определенном месте между 18 и 19 часами.
Пришедший первым ждет 15 мин и уходит. Определить вероятность встречи, если
время прихода каждого независимо и равновозможно в течение указанного часа.
Решение:
Пусть х- время прихода одного студента, у- время прихода второго. Чтобы встреча
состоялась, необходимо и достаточно, чтобы х - у  15,
т.е. -15  x - y  15. Область возможных значений - квадрат со стороной, равной 60.
Область D- часть квадрата между прямыми
х – у = -15 и х - у = 15. Следовательно,
SD
602  452 1575 7


p

2
60
3600 16
S