КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Урок 3.
Геометрическая вероятность.
Недостатком классического определения вероятности является
предположение, что число элементарных исходов конечно, хотя на практике
часто встречаются испытания с бесконечным числом всевозможных исходов.
Для преодоления этого недостатка вводятся геометрические вероятности –
вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости, часть
объема, часть отрезка времени и так далее).
Вероятность попадания точки в какую-нибудь часть g области G прямо
пропорциональна мере (mes) этой области (длине, площади, объему) и не
зависит от ее расположения и формы
p
mesg
.
mesG
Задача о встрече. Два студента условились встретиться в определенном месте
между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение
четверти часа и уходит. Найти вероятность того, что встреча состоялась, если
каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12
до 13 часов).
Решение:
Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат ХOУ, приняв
для простоты, что встреча состоится между 0 и 1 часами.
Встреча состоится, если
 x  y  1 / 4, когда первый пришёл раньше
=>

 y  x  1 / 4, когда второй пришёл раньше
 y  x  1/ 4
- заштрихованная область между прямыми:

 y  x  1/ 4
0  x  1
0  y  1
y=x+1/4 и y=x-1/4, находящаяся внутри квадрата 
p
mesg
1 3 3
9
7
, mesG  1, mesg  1  2  S  1  2     1   .
mesG
2 4 4
16 16
Следовательно, вероятность того, что встреча состоится, равна 7/16, так
как площадь квадрата равна единице.
Теорема сложения вероятностей несовместных
событий.
Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна
сумме вероятностей этих событий:
P(A+B)=P(A)+P(B).
Следствие: Вероятность появления одного из нескольких попарно
несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
P( A1  A2  ...  An )  P( A1 )  P( A2 )  ...  P( An )
или
n
n
i 1
i 1
P ( Ai )   P ( Ai )
Пример. Какова вероятность появления цветного шара из корзины, в которой 5
белых, 13 красных, 2 зеленых и 6 синих шаров?
Решение:
Если событие A – появление красного шара, B – зеленого, C – синего, то
P( A) 
2
13 2
6 21
13
6
, P( B)  , P(C )  . Следовательно P( A  B  C )     , так
26
26 26 26 26
26
26
как событие A,B,C попарно независимы.
Эта задача проще решается с использованием теоремы: Сумма
вероятностей А1, А2, …, Аn, образующих полную группу, равна единице:
P(A1)+P(A2)+P(A3)+…+P(An)=1
Пусть событие D – появление белого шара, тогда P( A  B  C )  1 
так как P ( D ) 
5 21

,
26 26
5
.
26
Вероятность противоположного события.
Теорема: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
P ( A)  P ( A)  1 .
Принято вероятность противоположного события Ā обозначать q, если
вероятность события A равна p.
p + q = 1 => p = 1 - q.
Например, пусть вероятность попадания при каждом выстреле p=0.8,
тогда вероятность промаха q = 1 – p = 1 - 0.8 = 0.2.
Независимые события.
Событие A называется независимым от события B, если вероятность
события A не зависит от того, произошло событие B или нет.
Событие A называется зависимым от события B, если вероятность
события A меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет.
События A – вынуть один шар из корзины и B – вынуть второй шар из той
же корзины без возвращения является зависимым, так как второй шар
вынимают из корзины, содержащей на один шар меньше. Речь идет о выемке
шаров определенного цвета. Если же шар возвращается в корзину, то события A
и B независимы.
Условная вероятность.
Вероятность события всегда вычисляем при выполнении неких
определенных условий. Это вероятность безусловная. Если, кроме заданных,
налагаются еще какие-нибудь дополнительные условия, то вероятность
называется условной. То есть вероятность события A, вычисленная при
условии, что уже наступило событие B, называется условной.
Обозначение P(A/B) или PB(A).
Условная вероятность вводится для характеристики зависимости одних
событий от других.
Условие независимости события A от события B можно записать в виде
P(A/B) = P(A), а условие зависимости: P(A/B) ≠ P(A), где P(A) – безусловная
вероятность события A.
Исходя из классического определения вероятности, условная вероятность
определяется следующим образом:
Условной вероятностью события A, при условии, что произошло событие
B, называется отношение вероятности произведения этих событий к
вероятности события B, причем P(B) ≠ 0:
P( A  B)
.
P( B ) 
A
P( A)
Данная формула не совсем удобная для вычислений, например, при
решении следующей задачи:
Пример. На полке 15 книг: 8 в переплете и 7 без переплета. Какова вероятность
(не глядя) выбрать второю книгу в перелете, если первая была без переплета?
Решение:
1. Пусть A – выбрать книгу без переплета, B – в переплете. Так как A
произошло, то на полке 14 книг, из них 8 в переплете. Значит,
8 4
P( B ) 
 .
A 14 7
2. По формуле P( B A) 
P( A  B) 4 15 4
   , так как P(A)=7/15;
P( A)
15 7 7
m C17  C81
7!8!
7 8
4
.
P( AB)  



2
n
A15
15  14  6!7! 15  14 15