Основы теории вероятности и математической статистики

Основы теории вероятности и
математической статистики
Теория вероятностей
Теория вероятностей -- это математическая наука. Отправной точкой всех
построений является универсальный формализм вероятностного
пространства. Мы начнем его обсуждение с простейшей ситуации. Тем не
менее, уже здесь появятся все главные ``персонажи'' нашего курса:
случайные события, вероятность, независимость, случайные величины.






Конечное вероятностное пространство
Понятие события
Классическое определение вероятностей
Формула полной вероятности и формула Байеса
Независимость событий
Статистическая независимость
Конечное вероятностное
пространство
В истоках любых математических построений лежат понятия множества и отображения
(функции). Мы начнем с изложения формальной схемы, постепенно устанавливая на
примерах необходимые параллели со случайными явлениями реального мира.
Рассмотрим произвольное конечное множество
, которое впредь будем называть
множеством элементарных исходов, а его элементы -- элементарными исходами.
Пусть задана функция
. То есть, каждому элементарному исходу поставлено в
соответствие число
из отрезка
.
Будем предполагать, что
(1)
Функцию , удовлетворяющую этим свойствам, назовем вероятностью на .
Пример 1.1 Производится бросание двух игральных костей.
Элементарным исходом служит упорядоченная пара чисел
, где
-- число очков на первой кости, -- число очков на второй кости.
Множество элементарных исходов можно задать перечислением:
Очевидно, что
. Вероятность можно задать следующим образом:
Такой выбор функции естественен, если предположить, что кости
изготовлены из однородного материала и имеют правильную форму.
Это пример вероятностного пространства с равновероятными
элементарными исходами.
Понятие события
Определение 1.2 Произвольные подмножества
исходов называются событиями.
множества элементарных
Прежде всего заметим, что пустое множество и все множество являются
событиями. называется пустым событием, называется достоверным событием.
Определение 1.3 Вероятностью события называется число
Пример 1.3 Бросание двух игральных костей. Рассмотрим события:
Словами эти события можно описать следующим образом:
суммарное число очков равно
,
суммарное число очков делится на
Легко видеть, что
,
.
.
Теоремы добавления и умножения
вероятностей
Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из
событий А или В.
Теорема сложения вероятностей
Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
В случае, когда события А и В совместны, вер-ть их суммы выражается формулой
Р (А +В) = Р (А) + Р (В) - Р (АВ),
где АВ - произведение событий А и В.
Следствие. При производимых n одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых
события А появляется с вероятностью р, вероятность появления события А хотя бы один раз
равна 1 - (1 - р)n
Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не
наступления другого. в случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события.
Условной вероятностью Р(А/В) события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что
событие В произошло. Аналогично через Р(В/А) обозначается условная вероятность события В при условии,
событие А наступило.
Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и
события В.
Теорема умножения вероятностей
Вероятность произведения двух событий равна вер-ти одного из них, умноженной на условную вероятность
другого при наличии первого:
Р (АВ) = Р(А) - Р(В/А), или Р (АВ) = Р(В) - Р(А/В).
Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых событий А и В равна произведению
вероятностей этих событий:
Р (АВ) = Р(А) - Р(В).
Вероятности случайных событий
• Итак, основным “показателем” любого события (факта) А
является численная величина его вероятности P(A), которая
может принимать значения в диапазоне [0…1]  в зависимости от
того, насколько это событие случайно. Такое, смысловое,
определение вероятности не дает, однако, возможности указать
путь для вычисления ее значения.
• Поэтому необходимо иметь и другое, отвечающее требованиям
практической работы, определение термина “вероятность”. Это
определение можно дать на основании житейского опыта и
обычного здравого смысла.
Обозначим P(A) величину вероятности того, что
событие A не произойдет. Тогда из определения вероятности
через частоту наступления события следует, что
P(A)+ P(A) = 1,
теорема Байеса
P(A/B)P(B) = P(B/A)P(B);
Элементы математической
статистики
• Несмотря на многообразие используемых в литературе
определений термина “статистика”, суть большинства
из них сводится к тому, что статистикой чаще всего
называют науку, изучающую методы сбора и
обработки фактов и данных в области человеческой
деятельности и природных явлений.
• Все наши наблюдения над окружающем нас миром
можно условно разделить на два класса:
•  наблюдения за фактами  событиями, которые могут
произойти или не произойти;
•  наблюдения за физическими величинами, значения
которых в момент наблюдения могут быть
различными.
 Биномиальное распределение
Если X – число покупателей из общего числа n
вероятность
P(X= k) = C kn pkqn-k .
посетителей, то
 Отрицательное биномиальное распределение (распределение
Паскаля)
Пусть Y – число посетителей, достаточное для того, чтобы k из них
оказались покупателями. Тогда вероятность того, что n–й посетитель
окажется k–м покупателем составит
P(Y=n) = Ckn11 pk qn–k.
 Геометрическое распределение
Если Y – число посетителей, достаточное для того, чтобы один из них
оказался
покупателем, то P(Y=1) = p qn–1.
 Распределение Пуассона
Если ваш магазин посещают довольно часто, но при этом весьма редко
делают покупки, то вероятность k покупок в течение большого интервала
времени, (например, – дня) составит P(Z=k) = k Exp(-) / k! , где  –
особый показатель распределения, так называемый его параметр.
Распределения непрерывных
случайных величин
Первым,
фундаментальным по значимости,
является т.н. нормальный закон распределения
непрерывной случайной величины X, для которой
допустимым является любое действительное числовое
значение. Доказано, что такой закон распределения
имеет величина, значение которой обусловлено
достаточно большим количеством факторов (причин).
Для вычисления вероятности того, что X лежит в
заранее заданном диапазоне, получено выражение,
которое называют интегралом вероятности:
b
P(a  X  b) = 
a
1


 (x  )2 

 Exp  
 dx
2 
2

 2 

Для непрерывно распределенных величин не существует понятия вероятности конкретного
значения. Вопрос – “какова вероятность достижения температурой воздуха значения 14
градусов?” – некорректен. Все зависит от прибора измерения, его чувствительности, ошибок
измерения. Но вместе с тем функция под интегралом вероятности существует, она однозначно
определена:
(X) =
 ( x   ) 2 
,
Exp 
2 
  2 
 2   
1

ее график (аналог гистограммы) имеет вид:
 (X)
99.73 %
 – 3

+3
Спасибо за внимание