МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН САМАРКАНДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «Утверждаю» Принято: «____»__________2019 г. Проректор по учебной работе проф. Солеев А.С. «____»__________2019 г. Механико-математический факультет Кафедра «Алгебры и геометрии» Рабочая программа дисциплины ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ Блок (область знаний): Раздел (сфера обучения): Специальность (направление подготовки): 100000-гуманитарный 130000-математика 5130100-математика Самарканд – 2019 Рабочая программа соответствует направлению 5130100Математика и государственному стандарту преподавания предмета «Дифференциальная геометрия и топология». Составитель: Сеттарова Э.С Рецензент: Жабборов Э.Я. Рабочая программа принята на заседании кафедры «Алгебры и геометрии» механико-математического факультета СамГУ приказом №1 от 30 августа 2019 г. Заведующий кафедрой доц. Рузимурадов Х.Х. Утверждено 30 августа 2019 года научно-методическим советом Механико-математического факультета, приказом №1 Декан факультета ____________________ проф. Бегматов А.Х. Председатель метод.совета ______________ доц. Буриев Т.Э. Согласованно: Председатель учебно-методического совета университета _________________ Аликулов Б.С. ВВЕДЕНИЕ Дифференциальная геометрия и топология изучается в IV семестре. В разделах дисциплины изучение линий и поверхностей в евклидовом пространстве, а также некоторые вопросы внутренней геометрии поверхности. Цели и задачи изучения дисциплины Цель дисциплины - изучение кривых и поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. Формирование у студентов понятия гомеоморфизма, локального гомеоморфизма, карты, диффеоморфизма. Изучение кривизны кривых и поверхностей. Систематическое изучение основных понятий топологии. Введение топологических понятий в математический язык студентов. Формирование у студентов знаний, умений и навыков, позволяющих формулировать математические факты на языке топологии. Целями освоения дисциплины "Дифференциальная геометрия и топология" являются: формирование математической культуры студента в области геометрии и топологии, начальная подготовка в области алгебраического и теоретико-множественного анализа простейших геометрических и топологических объектов, овладение классическим математическим аппаратом дифференциальной геометрии и топологии для дальнейшего использования в приложениях. Задачи дисциплины: • Ввести понятия непрерывного отображения, гомеоморфизма, локального гомеоморфизма. • Ввести понятия кривой и поверхности, рассмотреть способы их задания • Рассмотреть касательную к кривой и касательную плоскость к поверхности. • Рассмотреть кривизну и кручение кривой. • Рассмотреть главные нормальные кривизны поверхности, среднюю и гауссову кривизну. • Ввести понятие внутренней геометрии поверхности, изучить основные объекты внутренней геометрии. • Рассмотреть связь кривизны и топологии замкнутой поверхности • Изучить основные объекты топологии - топологическое пространство, непрерывное отображение, компактность, фундаментальную группу, гладкие структуры на многообразии. Место дисциплины Дифференциальная геометрия и топология входит в цикл профессиональных дисциплин в базовой части. Базой для изучения дифференциальной геометрии и топологии являются начальные курсы математического анализа (дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных, интегрирование, основы теории множеств), аналитической геометрии (векторная алгебра, прямые и плоскости, кривые и поверхности второго порядка) и алгебры (векторные пространства, квадратичные формы, линейные операторы). Курс «Дифференциальная геометрия и топология» является классическим математическим курсом, который имеет широкие приложения в различных разделах математики, механики, физики, современной компьютерной геометрии. Дифференциальная геометрия и топология служит основой для дальнейшего изучения различных современных физикоматематических курсов, таких как риманова геометрия, тензорный анализ, теория относительности, функциональный анализ и многих других. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины: - исследовательские навыки; - способность к анализу и синтезу; - определением общих форм, закономерностей и инструментальных средств отдельной предметной области; - умение понять поставленную задачу; - умение формулировать результат; - умение строго доказать утверждение; - умение на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат; - умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата; - умение грамотно пользоваться языком предметной области; - умение ориентироваться в постановках задач; - знание корректных постановок классических задач; - понимание корректности постановок задач; - глубокое понимание сути точности фундаментального знания; - выделение главных смысловых аспектов в доказательствах; - владение проблемно-задачной формой представления математических знаний; - умение точно представить математические знания в устной форме. В результате освоения дисциплины обучающийся должен: Знать: основные понятия дифференциальной геометрии и топологии, определения и свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений, в том числе в компьютерном моделировании геометрических и топологических объектов и явлений. Уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в области дифференциальной геометрии и топологии, доказывать утверждения. Владеть: математическим аппаратом дифференциальной геометрии и топологии, дифференциально-геометрическими методами исследования геометрических объектов и теоретико-множественными методами исследования объектов топологии. Связь с предшествующими дисциплинами Для усвоения курса дифференциальной геометрии требуется владение материалами курса аналитической геометрии, владение операциями дифференцирования и интегрирования, теорией и методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Курс топологии является естественным продолжением и обобщением курсов аналитической геометрии, анализа, алгебры. Студент должен знать основные факты линейной алгебры, аналитической геометрии, анализа, теории множеств. Связь с последующими дисциплинами Понятия и методы дифференциальной геометрии используются в курсах и спецкурсах теории многообразий, римановой геометрии, топологии. Понятия и методы топологии используются в курсах ТФКП, дифференциальных уравнений, функционального анализа, алгебраической геометрии, римановой геометрии. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ И НАУЧНОПЕДАГОГИЧЕСКИХ ТЕХНОЛОГИЙ Учебный процесс предполагает использование занятий, при чтении лекций и проведение занятий в форме вопросов-ответов, закрепление материала в виде устных задач, на карточках и использование материалов из интернента и использование компьютеров на занятиях. Используются основные концептуальные подходы: Индивидуальное образование. Такой вид образования направлен на полное развитие коллектива слушателей и не претендует на специальное и полное применение. Ступенчатый подход. Такой вид технологического образования может быть использован только в связи с другими видами. Проблемное обучение. Развитие познавательной активности, творческой самостоятельности обучающихся. Последовательное и целенаправленное выдвижение перед обучающимися познавательных задач, разрешая которые обучаемые активно усваивают знания. Поисковые методы; постановка познавательных задач. Концентрированное обучение. Создание максимально близкой к естественным психологическим особенностям человеческого восприятия структуры учебного процесса. Глубокое изучение предметов за счет объединения занятий в блоки. Методы обучения, учитывающие динамику работоспособности обучающихся Модульное обучение. Обеспечение гибкости, приспособление его к индивидуальным потребностям личности, уровню его базовой подготовки. Самостоятельная работа обучающихся с индивидуальной учебной программой. Проблемный подход, индивидуальный темп обучения Развивающее обучение. Развитие личности и ее способностей Ориентация учебного процесса на потенциальные возможности человека и их реализацию. Вовлечение обучаемых в различные виды деятельности Дифференцированное обучение. Создание оптимальных условий для выявления задатков, развития интересов и способностей. Усвоение программного материала на различных планируемых уровнях, но не ниже обязательного (стандарт). Методы индивидуального обучения Активное (контекстное) обучение. Организация активности обучаемых Моделирование предметного и социального содержания учебной (профильной, профессиональной) деятельности. Методы активного обучения Игровое обучение. Обеспечение личностно-деятельного характера усвоения знаний, навыков, умений. Самостоятельная познавательная деятельность, направленная на поиск, обработку, усвоение учебной информации. Игровые методы вовлечения обучаемых в творческую деятельность Обучение развитию критического мышления. Обеспечить развитие критического мышления посредством интерактивного включения учащихся в образовательный процесс. Способность ставить новые вопросы, вырабатывать разнообразные аргументы, принимать независимые продуманные решения. Интерактивные методы обучения; вовлечение учащихся в различные виды деятельности; соблюдение трех этапов реализации технологии: вызов (актуализация субъектного опыта); осмысление; рефлексия. Структура и содержание дисциплины ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ. Курс «Дифференциальная геометрия и топология» является классическим математическим курсом, который имеет широкие приложения в различных разделах математики, механики, физики, современной компьютерной геометрии. Дифференциальная геометрия и топология служит основой для дальнейшего изучения различных современных физикоматематических курсов, таких как риманова геометрия, тензорный анализ, теория относительности, функциональный анализ и многих других. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЮ Основным методом изучения тем, вынесенных в лекционный курс, является информационно-объяснительный метод с элементами проблемных ситуаций и заданий студентам. На практических занятиях основным является поисковый метод, связанный с решением различных типов задач. Средствами обучения является базовый учебник, дополнительные пособия для организации самостоятельной работы студентов, демонстрационные материалы, компьютерные обучающие программы, сборники задач. Приемами организации учебно-познавательной деятельности студентов являются приемы, направленные на осмысление и углубление предлагаемого содержания, и приемы, направленные на развитие аналитико-поисковой и исследовательской деятельности. Раздел дисциплины лекция практика Самост.раб IV семестр. 36 36 50 Элементы топологии 10 10 16 Метрические пространства. Примеры. Открытые и замкнутые множества и их свойства. Сходящиеся и фундаментальные последовательности. Полные метрические пространства. Топологические пространства. Хаусдорфово пространство. Связность. Компоненты связности. Непрерывные отображения связных пространств. Линейно связные пространства. Компактные пространства. Свойства непрерывных отображений компактных пространств. 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 База топологии. Непрерывные отображения. Гомеоморфизмы. 2 2 4 Теория кривых 20 20 28 2.1 Вектор-функции скалярного аргумента. Предел вектор-функции и его свойства. Годограф. 2 2 2 2.2 Вектор-функции: дифференцируемость и интегрируемость. Свойства дифференцируемости и интегрируемости. Кривые, способы задания кривых. Овал Кассини, строфоида и другие уравнения 2 2 4 2 2 2 № 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.3 кривых Касательная и нормаль Нормальная плоскость. кривой. 2 2 2 Особые точки плоских кривых. Асимптоты плоских кривых. Асимптоты алгебраической кривой. Касательная и нормаль пространственной кривой. 2 2 4 2 2 4 2.7 Соприкасающаяся плоскость и ее уравнение Натуральный трехгранник. 2 2 2 2.8 Спрямляющая плоскость. Длина дуги кривой. Натуральная параметризация, переход к натуральному параметру Кривизна пространственных кривых и ее вычисление. Кручение пространственных кривых и ее вычисление. Формулы Френе. Огибающая семейства кривых. Эволюта и эвольвента. 2 2 4 2 2 2 2 2 2 Теория поверхностей 30 30 42 Понятие поверхности. Примеры. Координатные линии. Способы задания поверхности. Кривая на поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. 2 2 4 2 2 4 Криволинейная система координат. 2 2 2 Первая квадратичная форма поверхности. Длина кривой на поверхности, угол между кривыми на поверхности, площадь поверхности Гладкие отображения поверхностей. Изометричные поверхности. 2 2 2 2 2 2 3.6 Огибающая семейства поверхностей. Развертывающиеся поверхности 2 2 4 3.7 Вторая квадратичная Точки округления. поверхности. 2 2 2 3.8 Кривизна кривой на поверхности, нормальная кривизна и теорема Менье 2 2 4 3.9 Индикатриса Дюпена. Кривизна поверхности. Полная и средняя кривизны поверхности. Главные кривизны и главные направления поверхности. 2 2 4 2.4 2.5 2.6 2.9 2.10 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 плоской форма 3.10 Деривационные формулы поверхности. Символы Кристоффеля 1 и 2 рода. 2 2 2 3.11 Основные теоремы теории поверхностей 2 2 2 3.12 Внутренняя геометрия поверхности. 2 2 2 3.13 Геодезические кривые. 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3.14 Теорема Гаусса-Бонне. Сумма геодезического треугольника 3.15 Поверхности постоянной кривизны углов Курсовая работа, ее характеристика; примерная тематика Курсовые работы должны соответствовать объемам изученных курсов геометрии, алгебры, анализа, дифференциальных уравнений. Примерная тематика: выпуклые множества и выпуклые поверхности, дифференциальная геометрия, аффинная дифференциальная геометрия. Тематика творческих заданий для подготовки презентаций и буклетов 1. Ты живешь в неориентируемом мире. Что это значит? 2. Топология с детского сада, возможно ли это? (Как придумать фигуру, которую можно нарисовать одним росчерком?) 3. Каким минимальным числом красок можно раскрасить политическую карту мира? 4. Почему тополог путает кофейную чашку с бубликом? 5. Топологический Колобок. Какая у него сказка? (Топологические приключения Колобка) 6. Сфера с ручкой – это прозвище или топологический объект? 7. Удивительные превращения сферы с ручкой. 8. Что ты знаешь о гипотезе Пуанкаре? 9. Если бы река Великая была лентой Мебиуса? 10.Эйлерова характеристика объектов реального мира. 11.Топологический узел – он похож на морской? 12.Хорошо ли знают топологию научные фантасты? 13.Математические образы в реальном мире (топологический анализ) Бутылка Клейна как предмет вдохновения научных фантастов. 14.Как можно применить односторонность ленты Мебиуса в реальной жизни? (Что в ленте Мебиуса привлекает изобретателей?) 15.Почему топологию называют геометрией на резиновой поверхности? 16.Лента Мебиуса в научной фантастике. 17.Топологические фокусы. 18.Что вы знаете про задачу о семи мостах? 19.Граф в топологии – это титул? 20.Топология и гипотезы об устройстве Вселенной. Материальное обеспечение дисциплины: модели поверхностей и многогранников Информацонно-методическое обеспечение дисциплины С целью повышения дифференциальной геометрии эффективности современного занятия используются основные информационные возможности: программы – тренажеры, разработаны тесты, зачеты в приложении Microsoft Office Excel: Применяются тренажеры, обучающих и контролирующих программ по отдельным темам курса дифференциальной геометрии для работы с учащимися, способными достаточно быстро усваивать учебный материал на обязательном уровне. Такие студенты поочередно работают в индивидуальном режиме за компьютером и после успешного выполнения заданий переходят к упражнениям более высокого уровня сложности. Преподаватель в это время с группой отрабатывает материал обязательного уровня обучения. Такая деятельность позволяет этой группе учащихся не скучать, не расслабляться, а быть занятыми собственным делом. При реализации программы дисциплины «Дифференциальная Геометрия» используются различные методы изложения лекционного материала в зависимости от конкретной темы – лекции с применением техники обратной связи, лекция-беседа, лекция-дискуссия. С целью проверки усвоения студентами необходимого теоретического минимума, проводятся экспресс – тесты по лекционному материалу в письменной форме. Практические занятия предназначены для освоения и закрепления теоретического материала, изложенного на лекциях. Практические занятия направлены на приобретение навыка решения конкретных задач, расчетов на основе имеющихся теоретических и фактических знаний На коллоквиумах обсуждаются теоретические вопросы изучаемого курса, не включаемые в тематику практических учебных занятий. Консультации представляют собой своеобразную форму проведения лекционных занятий, основным содержанием которых является разъяснение отдельных, часто наиболее сложных или практически значимых вопросов изучаемой программы. Самостоятельная работа студентов направлена на закрепление полученных навыков и на приобретение новых теоретических и фактических знаний, выполняется в читальном зале библиотеки и в домашних условиях, подкрепляется учебно-методическим и информационным обеспечением (учебники, учебно-методические пособия, конспекты лекций). Практикуется самостоятельная работа по постановке и решению индивидуальных оригинальных прикладных задач. Студенты готовятся к участию в ежегодной студенческой олимпиаде по математике. Для активизации образовательной деятельности с целью формирования и развития профессиональных навыков обучающихся, используются формы проблемного, контекстного, индивидуального и междисциплинарного обучения. Критерии оценок В основе оценки знаний по предмету лежат следующие основные требования: освоение всех разделов теоретического курса Программы; умение применять полученные знания к решению конкретных задач. Ответ заслуживает отличной оценки, если экзаменуемый показывает знания, в полной степени, отвечающие предъявляемым к ответу требованиям: это требование основных понятий и приемов решения задач. Отличная оценка характеризует свободную ориентацию экзаменуемого в предмете. Ответы на вопросы, в том числе и дополнительные, должны обнаруживать уверенное владение терминологией, основными умениями и навыками. Хорошая оценка характеризует тот ответ, который не в полной степени удовлетворяет вышеперечисленным критериям, однако, экзаменуемый обнаруживает прочные знания в объеме курса. Ответ должен быть достаточно аргументирован, вопросы глубоко и осмысленно изложены. Оценка «удовлетворительно» выставляется за то, что ответ экзаменуемого соотносится с основными требованиями, т.е. имеются в виду твердые знания в объеме учебной программы и умение владеть терминологией. Удовлетворительная оценка выставляется за знание в целом, однако, отдельные детали могут быть упущены. Неудовлетворительная оценка выставляется, если ответ не удовлетворяет хотя бы одному из требований или отсутствуют знания основных понятий и методов решения задач. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебнометодическое обеспечение самостоятельной работы студентов. В течение семестра студенты решают задачи, указанные преподавателем, к каждому практическому занятию. В каждом семестре проводятся по два текущих и два рубежных контроля. Содержание контрольных работ составляют типовые задачи, идеи решения которых подробно разбираются на практических занятиях. В течение двух семестров студенты выполняют индивидуальные задания по темам практических занятий. В начале года студенты получают темы курсовых работ. Формы текущего, промежуточного и итогового контроля. Текущий контроль: - Самостоятельные работы - Экспресс-опросы на занятиях (устно) - Письменные летучки - Индивидуальные задания по карточкам Промежуточный контроль: - Коллоквиумы - Тестирование -Защита презентаций, буклетов Итоговый контроль: - Экзамен, письменная работа Типовые формы контроля. По теме "Дифференциальная геометрия" планируется проведение трех рубежных контролей. По теме «Топология» планируется проведение одного рубежного контроля. Контроль №1. Линии в евклидовом пространстве 1. Найти элементы сопровождающего трехгранника, кривизну и кручение кривой: х cos 3 t 3 y sin t , t 0 / 4 (базовая задача) z cos 2t Контроль № 2 1. Найти уравнение касательной плоскости и нормали в точке Mo(u=0, v=0), I и II квадратичные формы, гауссову и среднюю кривизны поверхности x a b cos u cos v y a b cos u sin v z b sin u (базовая задача) Контроль знаний Тест (по дифференциальной геометрии: №1 и №2) Вопросы для подготовки: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. Простейшие элементарные линии. Понятие о линии (кривой). Примеры. Понятие об обыкновенной и особой точках линии. Гладкие линии. Примеры. Теорема о существовании касательной. Уравнения касательной для различных способов задания кривой. Длина дуги. Естественная параметризация. Кривизна кривой. Трехгранник Френе. Кручение кривой. Формулы Френе. Плоская линия. Вычисление кривизны и кручения в произвольной параметризации. Винтовая линия. Кривизна и кручение винтовой линии. Векторная функция двух скалярных аргументов. Простейшая и элементарная поверхности. Понятие об обыкновенной и особой точках поверхности. Понятие о простой поверхности. Гладкие поверхности. Система криволинейных координат на поверхности. Примеры. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Уравнения касательной плоскости и нормали к некоторым поверхностям. 0пределение первой квадратичной формы поверхности. Примеры. Вычисление длины дуги гладкой линии, лежащей на поверхности. Вычисление угла между двумя гладкими линиями, лежащими на поверхности и имеющими общую точку. Вычисление площади гладкой компактной поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна, нормальное сечение поверхности. 14. Индикатриса кривизны поверхности. Понятие об эллиптической, параболической, гиперболической точках. 15. Главные направления поверхности в точке. Теорема Родрига. 16. Главные кривизны поверхности. Понятие о линии кривизны. Средняя и гауссова кривизны поверхности. 17. Примеры поверхности вращения постоянной полной кривизны. Частные случаи (сфера, псевдосфера). Прямой геликоид. 18. Топологическое пространство. Открытые и замкнутые множества. Внутренность, замыкание, граница, предельные точки, всюду плотные и нигде не плотные множества. 19. База топологии. Критерий базы. 20. Топологическое подпространство. 21. Метрическая топология. 22. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм. 23. Аксиомы отделимости. Теорема о Т1-пространстве. Регулярность, нормальность. 24. Произведение топологических пространств. Проекции рх, ру . слой над точкой. Фактор- топология. Примеры. 25. Аксиомы счетности. Сепарабельность. Сепарабельные метрические пространства. 26. Связность. Свойства связных пространств. Линейная связность. 27. Компактность. Теоремы о компактных пространствах. Локальная компактность. 28. Топологические многообразия. Карты и атласы. Дифференцируемые многообразия. Примеры. 1. 2. 3. 4. Основная литература: П.К.Рашевский, Курс дифференциальной геометрии, М.: URSS, 2008 (или другие издания). А.С.Мищенко, А.Т.Фоменко, Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии, М.: Физматлит, 2004 (или другие издания). Сборник задач по дифференциальной геометрии (под ред. А.С.Феденко), М., Наука, 1979. П.С.Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: «Наука». 1976 (или другие издания). Дополнительная литература: 1. А.В. Погорелов. Дифференциальная геометрия. М.1974. 2. А.О.Иванов, А.А.Тужилин. ЛЕКЦИИ ПО КЛАССИЧЕСКОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ. Учебное пособие. - Москва, изд-во Логос, 2009. Объем 224 стр. 3. А.С.Мищенко, А.Т.Фоменко. КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ. Учебник, переаботанное и дополненное издание. - СанктПетербург, Москва, Краснодар, изд-во Лань, 2010. Интернет сайты: www.exponenta.ru, www.ziyonet.uz
