МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «Орловский государственный университет»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «Орловский государственный университет»
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по научной работе
__________________ Е.Н. Пузанкова
«_____» _______________ 2014 г.
Программа вступительного экзамена
Направление подготовки: 01.06.01 Математика и механика
Раздел 3
Научная специальность:
01.01.04. – Геометрия и топология
Кафедра геометрии и методики преподавания математики
Орел 2014 г.
1. Вопросы программы вступительного экзамена по специальности 01.01.04. –
Геометрия и топология
Аналитическая геометрия
Аффинная
и
прямоугольная
системы
координат
на
плоскости.
Формулы
преобразования координат. Полярные координаты. Уравнение прямой на плоскости.
Расстояние от точки до прямой. Взаимное расположение прямых.
Преобразования
плоскости. Движения. Преобразования подобия. Аффинные преобразования. Эллипс.
Гипербола. Парабола. Уравнение линии второго порядка в полярных координатах.
Приведение к каноническому виду общего уравнения линии второго порядка. Аффинная и
прямоугольная системы координат в пространстве. Формулы преобразования координат.
Векторное произведение. Смешанное произведение. Уравнение плоскости в пространстве.
Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Уравнение прямой в
пространстве. Взаимное расположение прямых. Взаимное расположение прямой и
плоскости. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Конус второго порядка. Цилиндры
второго порядка. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
Дифференциальная геометрия.
n
Кривые в R . Гладкие кривые. Вектор скорости кривой. Эквивалентные кривые.
Длина кривой. Натуральный параметр. Вектор ускорения кривой, его ортогональность
вектору скорости для кривых отнесенных к натуральному параметру. Кривизна плоской
кривой. Радиус кривизны. Вектор нормали к кривой. Репер Френе и формулы Френе для
плоской кривой. Формула кривизны плоской кривой, отнесенной к произвольному
параметру. Кривые в трехмерном пространстве. Вектор главной нормали. Вектор бинормали.
Кручение пространственной кривой. Репер Френе и формулы Френе для кривой в
трехмерном пространстве. Эволюта плоской кривой. Параметрические уравнения эволюты.
n
Эвольвента плоской кривой. Связь понятий эволюты и эвольвенты. Поверхности в R .
Гладкие
поверхности.
Эквивалентные
поверхности.
Первая
квадратичная
форма
поверхности. Вектор нормали к поверхности. Сопровождающий базис. Вторая квадратичная
форма. Нормальное сечение поверхности. Кривизна нормального сечения. Главные
кривизны
поверхности.
Средняя
и
гауссова
кривизна.
Деривационные
формулы.
Геодезическая кривизна кривой на поверхности. Геодезические линии.
Топология.
Метрическое
пространство.
Топологическое
пространство.
Непрерывные
отображения топологических пространств. Связные топологические пространства. Аксиомы
отделимости. Компактные топологические пространства и их свойства. Многообразие.
Функции замены координат. Гладкое многообразие. Гладкие отображения многообразий.
2
Диффеоморфизм. Задание гладких многообразий уравнениями. Касательный вектор к
гладкому
многообразию.
многообразии.
Касательное
Ковариантное
пространство.
дифференцирование
Тензорное
тензорного
поле
поля
на
гладком
на
гладком
многообразии. Существование и единственность симметрической связности, согласованной
с римановой метрикой. Параллельный перенос вектора вдоль кривой на гладком
многообразии.
Геодезические
на
гладком
многообразии.
Понятие
интеграла
от
кососимметрического тензорного поля. Гомотопия. Гомотопные отображения. Степень
отображения. Индекс особой точки векторного поля.
2. Учебно-методическое обеспечение и информационное обеспечение программы
кандидатского экзамена по специальности 01.01.04. – Геометрия и топология
Основная литература
1. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.:
Наука, 1979.
2. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н., Лекции по математическому
анализу, М., Дрофа, 2004.
3. Атанасян Л.С., Базылев В.Г. Геометрия. – М.: Просвещение, 1986 – ч.1, 1987 – ч.2.
4. Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Элементы топологии и дифференциальной геометрии:
Учебное пособие для студентов-заочников IV – V курсов физ. –мат. фак. пед. ин-тов.– М.:
Просвещение, 1985.
5. Винберг Э.Б., Курс алгебры, М., Факториал Пресс, 2002.
6. Зорич В.А., Математический анализ. т.т. 1 и 2, М., МЦНМО, 2007.
7. Колмооров А.Н., Фомин С.В., элементы теории функций и функционального
анализа, М., Физматлит, 2004.
8. Мищенко А.С. Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. –
М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980.
9. Моденов П.С. Аналитическая геометрия. - М.: Из-во Моск. ун-та, 1965.
10. Никольский С.М., Курс математического анализа.- М., Физматлит, 2001.
11. Новиков С.П., Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии и
топологии. - М.: Наука, 1987.
12. Новиков С.П., Фоменко А.Т., Элементы дифференциальной геометрии и
топологии. - М., Наука, 1987.
13. Рашевский П.К., Курс дифференциальной геометрии. - М., Едиториал УРСС, 2003.
Дополнительная литература
Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1968.
Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1971.
Дубровин Б.А. Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. - М.:
1.
2.
3.
Наука, 1979.
4.
Маркушевич А.И. Введение в теорию аналитических функций. - М.: Наука,
т. 1, 1967, т. 2, 1968.
5.
Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. I – III. - М.: МАИК НАУКА, 2000.
6.
Михалев А.В., Михалев А.А. Начала алгебры, ч. 1. - М.: Интеренет-Ун-т
Информ. Технологий, 2005.
7.
Петровский И.Г. Лекции по обыкновенным дифференциальных уравнениям М.: Наука, 1964
8.
Погорелов А.В. Геометрия. – М.: Наука, 1983.
9.
Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. – М.: Наука, 1974.
3
10.
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения - М.: Наука,
1982
11. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия:
Учебное пособие для вузов. – М.: Наука, 1987.
12. Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии. – М.: Гостехиздат, 1952.
13. Шабат Б.В., Введение в комплексный анализ, т.т. 1, 2. - М.: Наука, 1987.
Список интернет-ресурсов
1. [Аналитическая геометрия] – URL:
http://webmath.exponenta.ru/dnu/lc/agw/
2. Абруков Д.А. Электронный учебник по высшей геометрии – URL:
http://gm.chgpu.edu.ru/ebook/1_EG/index.htm
3. Геометрические преобразования. // Научфильм. Учебные фильмы для студентов
Серия «Математика» – URL:
http://www.youtube.com/watch?v=xwRGiTE5zdg
4. Хахамов Л.Р. Преобразования плоскости: Пособие для учителей. – М.:
Просвещение, 1979. – URL: http://edu-lib.net/matematika-2/dlya-studentov/hahamov-lpreobrazovaniya-ploskosti-p
Программа одобрена на заседании кафедры геометрии и методики преподавания математики
«21 » марта 2014 г., протокол № 8.
СОГЛАСОВАНО
Зав. кафедрой геометрии и методики
преподавания математики
О.В. Тарасова
Начальник отдела аспирантуры и
докторантуры
С.П. Вигурская
4