Министерство путей сообщения Российской Федерации Департамент кадров и учебных заведений САМАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Кафедра “Инженерной графики” Построение линии пересечения двух поверхностей в ортогональных и аксонометрических проекциях Методические указания по выполнению контрольных заданий. Составитель: А. А. Логунцов Самара 2003 УДК 625.23/24.032.8 Построение линии пересечения двух поверхностей в ортогональных и аксонометрических проекциях: Методические указания по выполнению контрольных заданий. Составитель А.А. Логунцов – Самара: СамГАПС, 2003. – 16с. Утверждены на заседании кафедры “08” октября 2003г, протокол №3. Печатается по решению редакционно-издательского совета академии. В данных методических указаниях предложены варианты контрольных заданий и их решения. Методические указания предназначены для студентов 1- го курса механических специальностей дневной формы обучения. Составители: Логунцов Александр Алексеевич Рецензенты: доцент СамГСХА, Ларионов Ю.В.; доцент СамГАПС Зиновьева Т.Ю. Редактор И.А. Шимина Компьютерная верстка: А.А. Егоров Подписано в печать 29.12.03. Формат 60*90 1/16. Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. п. л. 1. Тираж 100. Заказ № 188. © Самарская государственная академия путей сообщения, 2003 2 1. СОДЕРЖАНИЕ И ЦЕЛЬ РАБОТЫ Современное развитие промышленности и транспорта, в том числе и железнодорожного, предъявляет повышенные требования к специалистам инженернотехнического профиля. Одно из главных требований – знание предмета черчения, инженерной графики. На большинстве сложных чертежей имеются поверхности со сложными линиями их пересечения. Целью данных методических указаний является овладение студентами техникой построения этих линий пересечения. Представленные в методических указаниях задачи решаются в несколько этапов: 1. Построить линию пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей или способом вспомогательных секущих сфер. 2. Отметить видимость линий пересечения и поверхностей. 3. Построить данные поверхности с линией пересечения в аксонометрической проекции. Каждая задача эпюра выполняется на листе формата А3 в масштабе 1:1 с нанесением размеров. Все построения на чертеже сохраняются. Пример решения задачи на построение линии пересечения поверхности представлен на рис. 3.1. 2. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПОСТРОЕНИИ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Для того чтобы построить линию пересечения двух поверхностей нужно найти ряд общих точек, принадлежащих им, и затем эти точки соединить в определенной последовательности. Линия пересечения двух поверхностей в общем виде представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на две части и более. Для того чтобы найти произвольную точку линии пересечения поступают так (рис.2.1): 1. Вводится вспомогательная секущая поверхность. На рис. 2.1. введена плоскость Г⊥ П2 (Г2). 2. Строится линия пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных. В данном примере окружность m есть линия пересечения плоскости Г с поверхностью Ф, а окружность n - линия пересечения с поверхностью Λ, т.е. m = Г П Ф; n = Г П Λ. 3. На пересечении линий m и n отмечается общая точка К, принадлежащая линии пересечения. Кj = m п n. Последовательно вводя ряд вспомогательных секущих поверхностей находим необходимое число точек, принадлежащих искомой линии пересечения заданных поверхностей. Определение проекций линии пересечения обычно начинают с построения опорных точек, т.е. точек расположенных на очерках поверхности (точки, определяющие границы видимости проекций кривой), точек, удаленных на экстремальные (min и max) расстояния от плоскости проекций. Затем определяют произвольные или случайные точки кривой. 3 Если любые произвольные точки определяются с помощью одного и того же приема, то для нахождения опорных точек, как правило, приходится пользоваться различными способами. Опорные точки позволяют видеть, в каких пределах расположены проекции линии пересечения поверхностей и, где между ними имеет смысл определить промежуточные точки. В некоторых случаях линия пересечения поверхностей второго порядка распадается на плоские кривые второго порядка. Тогда, если заранее известен вид кривых, можно провести построение этих кривых по их основным элементам. При построении линии пересечения необходимо иметь ввиду, что ее проекции всегда располагаются в пределах площади наложения одноименных проекций пересекающихся поверхностей. Рис. 2.1 3. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ ВЗАИМНОГО ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Общим способом построения точек линии пересечения поверхностей является способ вспомогательных секущих поверхностей - посредников. Вспомогательная поверхность пересекает данные поверхности по линиям (желательно графически простым - прямым или окружностям). Поэтому в качестве поверхностей - посредников принимают плоскости или сферы. Отсюда и способы построения линий пересечения поверхностей - способ вспомогательных секущих плоскостей и способ вспомогательных секущих сфер. Применение того или иного способа зависит от типа данных поверхностей и от их взаимного расположения. 4 3.1. Способ вспомогательных секущих плоскостей Вспомогательные секущие плоскости могут быть общего и частного положения. Плоскости общего положения имеют ограниченное применение. Их удобно использовать при построении линий пересечения конических (пирамидальных) и цилиндрических (призматических) поверхностей общего вида, когда основания этих поверхностей расположены в одной и той же плоскости. В остальных случаях в качестве вспомогательных секущих плоскостей применяют проецирующие плоскости. Такие плоскости пересекают заданные поверхности по графически простым линиям. Часто проецирующие плоскости выбираются в виде плоскостей уровня - плоскостей параллельных плоскостям проекций. Выбирая ряд секущих плоскостей, можно построить последовательный ряд точек линии пересечения поверхностей. Пример. Построить линию пересечения двух поверхностей - конической поверхности Δ и сферы Т (рис. 3.1). Заданные поверхности имеют общую (фронтальную) плоскость симметрии, определяемую осью конуса i и осью сферы i ′ . Построение линии пересечения начнем с определения опорных точек. Сначала отмечаем очевидные общие 1 и 7 точки поверхностей в пересечении их главных меридианов δ и τ, так как поверхности имеют общую фронтальную плоскость симметрии Ф (Ф1). Фронтальные проекции точек 12(72) = δ2 n τ2. Горизонтальные проекции точек 11= 1211nτ1 , 71= 7271nτ1. Эти опорные точки являются наивысшей 1 и наинизшей 7 точками линии пересечения, а также точками видимости на плоскости П2. Брать вспомогательные фронтальные плоскости параллельные П для построения следующих точек неудобно, так как они будут пересекать конус по гиперболам. Графически простые линии (окружности параллелей) на данных поверхностях получаются от пересечения их горизонтальными плоскостями уровня Г. Первую такую вспомогательную плоскость Г (Г2) берем на уровне экватора сферы h (h2). Эта плоскость пересекает конус по параллели n . В пересечении n и h, параллелей конуса и сферы, находятся точки видимости линии пересечения на плоскости П1 h1 п n1 = 41(4′1); 4142 п h2 (или n2)= 42(4′2). Промежуточные точки 6 и 6′ линии пересечения построены с помощью плоскости Г′ (Г′2), пересекающей поверхности по параллелям h′ и m. h′1 п m1 = 61(6′1); 6162 п h′2 = 62(6′2). Аналогично построены точки 2(2') и 3(3') с помощью вспомогательных плоскостей Г'' (Г2'')и Г"' (Г2'"). 5 Рис.3.1 6 Видимость заданных поверхностей и точек линии пересечения на плоскости проекций П2 определяет фронтальная плоскость Ф (Ф1). Плоскость Ф делит поверхности конуса и сферы на две симметричные части. Те части заданных поверхностей, которые расположены перед плоскостью Ф на плоскости П2 видимы, а значит видимы и точки 2' 3', 4', 5', 6' им принадлежащие. Точки 2, 3, 4, 5, 6 - невидимы на П2. Так как линия пересечения - кривая, симметричная относительно плоскости Ф, то на плоскости П2 видимая ее часть и невидимая совпадают. Изображаем на чертеже видимую часть линии пересечения сплошной основной линией. Границы видимости - точки 1 и 7. Видимость заданных поверхностей и линии пересечения на плоскости проекций П1, определяет плоскость Г (Г2) и поверхность сферы: та часть сферы, которая расположена над плоскостью Г на П1, будет видима, значит и точки 1, 2', 2, 3, 3' на П1 видимы, как ей принадлежащие. Точки 5, 5', 6, 6', - невидимы на П1. Границы видимости - точки 4 и 4'. Соединяем одноименные проекции построенных точек с учетом их видимости плавными кривыми и получаем проекции искомой линии пересечения. 3.2. Способ вспомогательных секущих сфер Иногда, чтобы найти точки линии пересечения кривых поверхностей, проще ввести не плоскость, а поверхность - цилиндрическую, коническую или сферическую. Любая поверхность вращения пересекается с поверхностью сферы по окружности, если центр сферы лежит на оси вращения. Поэтому с помощью сферических поверхностей решаются задачи по определению линии пересечения поверхностей вращения. При этом возможны два случая: 1) если оси поверхностей пересекаются, то для определения линии пересечения используют семейство концентрических сфер (когда сферы различных радиусов проведены из одного центра); 2) если оси не пересекаются, применяют эксцентрические сферы (когда сферы проведены из разных центров, радиусы которых могут быть как одинаковыми, так и различными). 3.2.1. Способ концентрических секущих сфер Пример. Построить линию пересечения поверхности конуса Δ и цилиндрической поверхности Т с пересекающимися во фронтальной плоскости Ф (Ф1) осями вращения i и i′ (рис.3.2). Заданные поверхности Δ и Т имеют общую фронтальную плоскость симметрии Ф (Ф1). Следовательно, главные меридианы этих поверхностей пересекаются и дают в своем пересечении точки видимости линии пересечения на плоскости П2 или самую высокую 1 и самую низкую 7 точки. Фронтальные проекции точек: 12(72) = δ2 п τ2. Горизонтальные проекции точек: 11= 1211пτ1 , 71= 7271пτ1. 7 Рис. 3.2 8 В данном примере выполнены условия, позволяющие применение вспомогательных секущих сфер для построения точек линии пересечения. Оси поверхностей вращения пересекаются в точке 0 (01; 02), которая является центром вспомогательных секущих сфер. Радиус сфер изменяется в пределах Rmin< R <Rmax. Радиус максимальной сферы определяется расстоянием от центра 0 до наиболее удаленной точки 1 (Rmax = 0212). Радиус минимальной сферы определяется как радиус сферы, касающейся одной поверхности и пересекающей другую поверхность по окружности. В данном примере сфера радиуса R касается поверхности конуса по окружности h (h2, h1) и пересекает поверхность цилиндра по окружности n (n1, n2). Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. В пересечении окружностей h и n отмечаем точки 4 и 4', принадлежащие линии пересечения поверхностей: 42(4′2) = h2 п n2 ; 41(4′1)=42 41 п h1. Промежуточная сфера радиуса R пересекает поверхности Δ и Т по окружностям h′1 и m , в пересечении которых определяются точки 3 и 3'. 32(3′2) = h′2 п m2; 31(3′1)=32 31 п h1. Аналогично определены точки 6 (6') и 2 (2′). Определим видимость точек линии пересечения на плоскости проекций П2. Плоскостью видимости является плоскость Ф. Она делит кривую на две симметричные части, которые на П2 совпадают. Видимая часть линии пересечения 1, 2′, 3′, 4′, 5′, 6′, 7 закрывает невидимую 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. На плоскости П2 изображаем видимую часть кривой сплошной основной линией. Границы видимости - точки 1 и 7. Видимость на плоскости проекций П1 определяет поверхность цилиндра. Плоскость Σ (Σ2) делит поверхность цилиндра на две части. Та часть поверхности цилиндра, которая расположена над плоскостью Σ, на плоскости П1 видима, а значит и точки 4, 3, 2, 1, 2′, 3′, 4′ видимы, как ей принадлежащие. Границы видимости точки 5 и 5'. Точки 51, 61, 71, 6'1, 5'1 соединяем линией невидимого контура. Соединяя одноименные проекции построенных точек с учетом их видимости, получаем проекции линии пересечения поверхностей. 3.2.2. Способ эксцентрических секущих сфер Способ эксцентрических секущих сфер применяется, когда одна из осей проецирующая прямая, вторая линия уровня. Пример. Построить линию пересечения поверхности конуса вращения Ф и поверхности тора Ф', имеющих общую фронтальную плоскость симметрии. Оси i и i′ не пересекаются (рис. 3.3). Опорные точки линии пересечения (высшая 1, низшая 6) определяются пересечением главных меридианов на плоскости П2. Для определения случайных точек, принадлежащих линии пересечения тора с конусом, можно применить вспомогательные секущие сферы, центры которых будут расположены на оси конуса. Сферы необходимо подбирать так, чтобы они пересекали тор по окружностям. 9 Рис. 3.3 10 1. Для определения центра и радиуса вспомогательной секущей сферы проведем произвольную плоскость Σ (Σ2), проходящую через ось тора (т.e. Σ ⊥ П2). Плоскость Σ пересечет тор по окружности радиуса L2,C2 с центром в точке С2. Через центр С2 проведем прямую перпендикулярную Σ и пересекающую ось конуса в точке О2, т.е. линия С2О2 (касательная к осевой окружности тора). Точка О2 есть центр вспомогательной секущей сферы, а прямая O2L2 - радиус этой сферы R. 2. Определим линии пересечения вспомогательной секущей сферы с конусом и тором. С конусом сфера пересекается по окружности, диаметр которой А2В2. С тором сфера пересекается по окружности, диаметр которой L2N2 . А2В2 п L2N2 = 22. Точка 22 одна из точек искомой линии пересечения. Аналогично построены точки 52, 32, 42, 62. Для построения горизонтальных проекций точек линии пересечения используем параллели тора, как показано на рис. 3.3, для точек 51 и 61. Так как точки 1 и 6 принадлежат меридианам поверхностей, на П1 они проецируются на горизонтальную ось тора и конуса, которые совпадают. Полученные точки соединяем с учетом видимости плавной кривой линией. На плоскости П1 видимость линии пересечения определяет плоскость Г (Г2). Часть линии 21, 11, 2'1, - видима. Часть линии 31, 41, 51, 61, 5'1, 4'1, 3'1, - невидима. На плоскости П2 видимость определяет плоскость Т (Т1). Относительно этой плоскости линия пересечения - симметричная линия. Видимая часть линии 62, 5'2, 4'2, 3'2, 2'2, 1'2, совпадает с невидимой ее частью 62, 52, 42, 32, 22, 12. На чертеже изображаем видимую часть линии пересечения сплошной основной линией. 4. ПОСТРОЕНИЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ В данной работе ставится задача построить данные поверхности, с линией пересечения в прямоугольной изометрии, когда оси располагаются под 1200 и коэффициенты искажения по всем трем измерениям одинаковы. Метод координат дает удобный способ как для непосредственного построения аксонометрических изображений по заданным условиям, так и для перехода от ортогональных проекций на две плоскости к аксонометрическим, откладывая размеры, взятые с ортогональных проекций с соответствующих осей. Пример. Построить поверхности конуса и сферы, а также нанести их линию пересечения (рис. 4.1). По координатам, определенным непосредственно по ортогональному чертежу, построим аксонометрическую проекцию поверхностей. Затем по поверхности конуса проводим образующую δ, а по оси Х откладываем размер ВС. Из точки С проводим линию параллельно оси Z и откладываем отрезок С – 1, тем самым находим точку 1. Аналогично определяется точка 7. Для нахождения точек 6 и 6′ откладываем по оси Х размер ВD и через точкуD проводим линию параллельную оси Y, на этой линии откладываем отрезки DK и DZ. Из точек Z и K проводим линию параллельную оси Z и, отложив на ней заданные размеры, получаем точки 6 и 6′. Аналогично строим точки 3, 4, 5, 2, 3′, 4′, 5′, 2′ (рис. 4.1, а). Полученные точки последовательно соединяем плавной кривой линией (рис. 4.1,б). 11 Рис. 4.1 12 13 14 15 16
