УМК ОКМ

I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА
3
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»
Институт образовательных информационных технологий
I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА
Учебное пособие
Научный редактор – доц., канд. физ. - мат. наук О.А. Кеда
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Екатеринбург
2005
4
УДК 511(075.8)
ББК 22.13я73
Э-45
Рецензенты:
кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университета;
доктор физ-мат. наук, проф. А.П. Танкеев, зав. лабораторией ИФМ УрО РАН
Авторы: А.Б. Соболев, М.А. Вигура, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко
Э-45 I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА: учебное пособие
А.Б. Соболев, М.А. Вигура, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко. Екатеринбург: ГОУ
ВПО УГТУ-УПИ, 2005. 81 с.
ISBN 5-321-00633-4
Данная работа представляет собой адаптационный курс элементарной
математики, предваряющий изучение высшей математики, входит в учебнометодический комплекс дисциплины ЕН.Ф.01.”Математика” для студентов
ММФ, СТФ, МТФ, содержит изложение основных понятий и методов
решения задач, справочный материал по элементарной математике и задания
для самостоятельной работы.
Рекомендовано Уральским отделением Учебно-методического объединения
вузов РФ в области строительного образования в качестве учебного пособия
для студентов строительных специальностей направления 6533500
“Строительство” всех форм обучения
Подготовлено кафедрой высшей математики
УДК 511(075.8)
ББК 22.13я73
ISBN 5-321-00633-4
© ГОУ ВПО «Уральский государственный
технический университет – УПИ»,2005
5
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. АРИФМЕТИКА И АЛГЕБРА……………………………………………..……..6
1.1. Действительные, рациональные и иррациональные числа……………..6
1.2. Числовые неравенства и их свойства……………………………….……6
1.3. Дроби……………………………………………………………………….7
1.4. Пропорции………………………………………………………………….8
1.5. Проценты…………………………………………………………………...8
1.6. Степени и корни…………………………………………...………………8
1.7. Модуль (абсолютная величина)…………………………………………10
1.8. Формулы сокращенного умножения…………………………………....11
1.9. Иррациональные выражения…………………………………………….11
1.10. Сравнение чисел………………………………………………………...12
1.11. Тождественные преобразования алгебраических выражений.............12
1.12. Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене………………13
1.13. Прогрессии………………………………………………………………14
2. ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ………………………………..…15
2.1. Основные понятия………………………………………………………..15
2.2. Линейная функция………………………………………………………..16
2.3. Квадратичная функция……………………………………………...........17
2.4. Степеннные функции…………………………..………………….……..18
2.5. Дробно–линейная функция………….………………..…………..……..20
2.6. Показательная функция……...…………………..……………………....21
2.7. Логарифмы и их свойства………………..…………………...…….……22
2.8. Логарифмическая функция……….……………..…………………….…22
2.9. Геометрические преобразования графиков функций………………….22
3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ……..………………….…………………...24
3.1. Линейные уравнения …….…………………………….………………..24
3.2. Квадратные уравнения …………………………………….……………24
3.3. Теория многочленов…………………..…………………………………25
3.4. Кубические уравнения…………..………………………………………27
3.5. Дробно–рациональные уравнения…………………………...................27
4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА…………………………………………..28
4.1. Решение квадратных неравенств……………………..………………....28
4.2. Дробно-рациональные неравенства……………………………………..28
4.3. Системы рациональных уравнений……….…………………………….29
5. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ…………………………………………..31
6
5.1. Равносильные преобразования иррациональных уравнений………….31
6. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА………………..………………………32
7. УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ…...…33
8. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ…..34
9. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ……………………………..……………....35
9.1. Равносильные преобразования показательных уравнений...………….35
9.2. Равносильные преобразования степенно-показательных уравнений...36
9.3. Равносильные преобразования показательных неравенств…………...36
10. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ……………………..…….…………...37
11. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА………………...……..……………39
11.1. Равносильные преобразования логарифмических неравенств………39
12. ТРИГОНОМЕТРИЯ.…………………………….……………………………...41
12.1. Тригонометрические функции произвольного аргумента……..…….41
12.2. Основные формулы……………………………….…………………….42
12.3. Свойства и графики тригонометрических функций………………….47
12.4. Тригонометрические уравнения……………………………………….49
12.5. Тригонометрические неравенства……………………………………..52
12.6. Обратные тригонометрические функции……………………………..53
13. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА…………………………...55
13.1.Таблица производных…………………………………………………...55
13.2. Правила дифференцирования…………………………………………..55
13.3. Уравнение касательной и нормали к графику функции………..…….55
13.4. Исследование функций с помощью производной…………………….56
13.5. Схема построения графиков…………………………………..………..56
14. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА………………………………………….…………....56
15. ПЛАНИМЕТРИЯ………………………………………………….……………59
16. СТЕРЕОМЕТРИЯ……………………………………………….….…………..63
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ……………………..………64
7
СПИСОК НЕКОТОРЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ
1. a ∈ A – элемент принадлежит
множеству A .
2. a ∉ A – a не принадлежит A .
3. A ⊂ B – A – подмножество
множества B , A содержится в
B , B содержит A .
4. ∅ – пустое множество.
5. A ∪ B – объединение
множеств.
6. A ∩ B – пересечение
множеств.
7. ∃ – квантор существования,
∃a ∈ A – читается "существует
элемент a , принадлежащий
множеству A ".
8. ∀ – квантор всеобщности,
∀a ∈ A
–
читается
"для
каждого
элемента
a,
принадлежащего множеству A ".
9. ∞ – бесконечность.
10. A ⇒ B – из A следует B .
11. A ⇔ B – A эквивалентно B ,
A равносильно B .
n
12.
∑a
= a1 + a2 + … + an .
j
j =1
n
13.
∏a
j
= a1 ⋅ a2 ⋅… ⋅ an .
j =1
n
⎛ 1⎞
14. e = lim ⎜ 1 + ⎟ =
n→∞
⎝ n⎠
= 2 ,718281828 ...
–
основание
натуральных логарифмов.
15. ОДЗ – область допустимых
значений выражения.
ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА:
N – множество натуральных чисел N = { 1, 2 , … , n, … };
Z – множество целых чисел Z = { 0, ±1, ±2 , … , ± n, … } ;
p
Q – множество рациональных чисел (вида , p, q ∈ Z , q ≠ 0 );
q
I – множество иррациональных чисел ± 2 , ± 3 5 , e, р , … .
R – множество действительных (вещественных) чисел, R = Q ∪ I .
Числовые промежутки:
интервал: a < x < b, x ∈ (a, b ) ;
отрезок (сегмент): a ≤ x ≤ b, x ∈ [a , b] ;
⎧a < x ≤ b,
x ∈ (a , b];
полуинтервал (полусегмент): ⎨a ≤ x < b, x ∈ [a , b );
⎩
⎧a ≤ x < ∞,
луч: ⎨ − ∞ < x ≤ b,
⎩
x ∈ [a , ∞ ) (x ≥ a );
x ∈ (− ∞, b ] (x ≤ b ).
8
1.АРИФМЕТИКА И АЛГЕБРА
1.1. Действительные, рациональные и иррациональные числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числа 1, 2, 3,... называются натуральными и обозначаются
N = { n } = {1, 2, 3, ...} .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числа Z = {0, 1, − 1, 2, − 2, ... , ± n, ...}, n ∈ N образуют
множество целых чисел.
Натуральное число, большее единицы, называется простым, если оно не
имеет других делителей, кроме единицы и самого себя. Например, 2, 3, 5, 7, 11 –
простые числа. Натуральное число называется составным, если оно имеет хотя
бы один делитель, отличный от единицы и самого себя. Например, числа 4, 12,
28 – составные. Натуральное число называется четным, если оно делится
(нацело) на число 2, и нечетным, если оно не делится на 2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Числа
m
,
n
вида
рациональными дробями. Дроби
m
n
и
где
m ∈ Z, n ∈ N ,
называются
km
, k ∈ Z определяют одно и то же
kn
число.
Множество целых чисел является подмножеством множества
рациональных чисел ( n = 1) .
m < n , то рациональная дробь называется
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если
правильной, если m ≥ n – неправильной.
Рациональные дроби представляются в виде конечной или бесконечной
периодической десятичной дроби путем деления числителя на знаменатель.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность целых и дробных чисел (положительных и
отрицательных), а также число нуль составляют множество рациональных
чисел Q:
m⎫
⎧
Q = ⎨0, ± n, ± ⎬ ,
n⎭
⎩
которые могут быть представлены в виде конечной или
бесконечной периодической десятичной дроби.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числа, выражающиеся бесконечной непериодической
десятичной дробью, составляют множество иррациональных чисел I.
(Например, 2 , 3 3 , π , e . )
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числа рациональные и иррациональные составляют
множество действительных чисел.
Между множеством действительных чисел и множеством точек числовой
прямой существует взаимно-однозначное соответствие.
1.2.Числовые неравенства и их свойства
При сравнении двух действительных чисел a и b возможны три случая:
1) a равно b ( a = b ), если a − b = 0 ; 2) a больше b ( a > b ), если a − b > 0 ;
3) a меньше b ( a < b ), если a − b < 0 . Объединяя случаи 1) и 2), получаем
неравенство 4) a не меньше b ( a ≥ b ); случаи 1) и 3) – неравенство 5) a не
9
больше b ( a ≤ b ). Неравенства 2) и 3) называются строгими, 4) и 5) –
нестрогими.
Рассмотрим свойства числовых неравенств. Доказательства этих свойств
опираются на следующие утверждения:
1) сумма положительных чисел положительна, 2) произведение
положительных
чисел
положительно,
3)
число,
противоположное
положительному, отрицательно. (Напомним, что противоположным числу a
называется такое число ( −a ), что a + (− a ) = 0 ).
1. Если a > b , то b < a .
2. Если a > b и b > c , то a > c (свойство транзитивности).
3. Если a > b , то a + c > b + c , где с – любое действительное число.
Следствие. Любое слагаемое можно переносить из одной части
неравенства в другую с противоположным знаком.
4. Если a > b и c > 0 , то ac > bc .
5. Если a > b и c < 0 , то ac < bc .
6. Если a > b и c > d , то a + c > b + d .
Следствие. Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать.
7. Если a > b и c < d , то a − c > b − d .
Следствие. Неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать,
оставляя знак уменьшаемого.
8. Если a > b > 0 и c > d > 0 , то ac > bd .
9. Если a > b > 0 , то 1 < 1 .
a
b
10. Если a > b ≥ 0 и n ∈ N , то a n > bn .
11. Если a > b ≥ 0 и n ∈ N , то n a > n b .
12. Если a > b , то a 2n +1 > b2n +1, n ∈ N .
13. Если a > b и n ∈ N , то 2n +1 a > 2n +1 b .
Средним арифметическим n действительных чисел
число, равное a1 + a2 + ... + an .
a1 , a 2 , … , a n
называется
a1 , a 2 , … , a n
называется
n
Средним геометрическим
число, равное n a1 ⋅ a2 ⋅ ... ⋅ an .
n
действительных чисел
1.3.Дроби
a
= a: b
b
a
10 n
= a ⋅ 10 − n
a
a
A = A+
b
b
– обыкновенная дробь ( a, b ∈ Z ,
– десятичная дробь ( n ∈ N ).
0,01 = 1 % – процент.
– смешанная дробь ( A, a, b ∈ N ).
10
b ≠ 0 ).
Основные свойства
1. a = ac , ( c ≠ 0 ).
3.
5.
7.
9.
b
a
b
a
b
a
b
2.
bc
c a±c
.
± =
b
b
c ad
.
: =
d bc
a
( m ≠ 0 ).
:m=
bm
n
an
⎛a⎞
⎜ ⎟ = n
⎝b⎠
b
4.
6.
a c
= , если ad = bc .
b d
a c ac
.
⋅ =
b d bd
a
a am
.
⋅m = m⋅ =
b
b
b
8. m : a = mb .
b
a
.
10.
n
a
=
b
n
a
n
b
( ab > 0 ).
1.4. Пропорции
Частное от деления одного числа на другое называется также их
отношением. Равенство двух отношений a = c (bd ≠ 0) называется пропорцией,
b
d
– крайние члены пропорции, b, c – средние члены. При этом
порождает четыре равносильных (при abcd ≠ 0 ) пропорции:
a, d
a c
=
b d
a b
=
c d
,
d c
=
b a
,
,
d b
=
c a
ad = bc ,
что
.
1.5. Проценты
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Процентом называется сотая часть величины.
ПРИМЕР. Найдите число, которое составляет 115% от 2860.
Искомое число
2860 ⋅ 115
= 3289 .
100
ПРИМЕР. Найдите число, если 12,5% от него равны 3000.
Искомое число
3000 ⋅ 100
= 24000 .
12,5
ПРИМЕР. Найдите выражение одного числа в процентах от другого, а именно,
на сколько процентов увеличилось число 120, став равным 230.
∆ = 230 − 120 = 110,
110
∆
⋅ 100% =
⋅ 100% = 91,66%
120
120
1.6. Степени и корни
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Степенью a n числа a ( a ∈ R, n ∈ N ) с натуральным
показателем n называется произведение n множителей, каждый из
которых
n
равен a , a = a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a ; число a называется основанием степени, число n –
n
показателем степени.
Из этого определения следуют основные свойства степени:
11
1)
am ⋅ an = am+n ;
2)
(a )
m n
= a m ⋅n .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть a ∈ R, p ∈ Z . Степень
определяется следующими соотношениями:
1) a m = a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a , если p = m , m ∈ N ;
ap
с целым показателем
p
m
2)
a −m =
1
am
, если
a≠0
и
3) a 0 = 1 , если a ≠ 0 ;
4) при a = 0 и p = 0 или
определена.
Рассмотрим
Пусть a ∈ R , b ∈ R ,
p = −m , m ∈ N ;
p<0
степень
ap
основные свойства степени
a ≠ 0 , b ≠ 0 , n ∈ Z , m ∈ Z . Тогда:
am
1)
am ⋅ an = am+n .
2)
3)
(a )
4) (ab)n = a n bn .
5)
an
⎛a⎞
⎜ ⎟ = n
⎝b⎠
b
7)
a > 0 ⇒ an > 0 .
m n
=a
m ⋅n
n
с целым показателем
.
.
6)
8)
a
n
⎛a⎞
⎜ ⎟
⎝b⎠
с
целым
p
не
показателем.
= a m−n .
−n
n
⎛b⎞
=⎜ ⎟ .
⎝a⎠
⎧⎪ n = 2k ⇒ a n > 0,
a < 0: ⎨
⎪⎩n = 2k + 1 ⇒ a n < 0.
9) Если a > 1 , то n > m ⇔ a n > a m .
10) Если 0 < a < 1 , то n > m ⇔ a n < a m .
11) Если a > 0 , a ≠ 1 , то n = m ⇔ a n = a m .
12)
0< a < b:
⎧n > 0 ⇔ a n > b n ,
⎪
n
n
⎨n = 0 ⇔ a = b ,
n
n
⎪n < 0 ⇔ a < b .
⎩
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число b называется корнем n -й степени из числа a
(обозначается b = n a ), если b n = a . Также употребляется название радикал (от
латинского radix - корень).
Случаи четных и нечетных n нужно рассматривать отдельно.
n
1) n = 2k , k ∈ N . Если b = 2k a , то b 2k = a = (b 2 ) ≥ 0 , поэтому корни четной степени 2k a
существуют только для a ≥ 0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Арифметическим корнем n -й степени из
неотрицательного числа a называется неотрицательное число b (обозначаемое
b = n a ), такое, что b n = a .
Корни четной степени всегда понимаются как арифметические!
Основные свойства арифметических корней.
Пусть a > 0 , b > 0 , n > 1 , m > 1 , k > 1 ( n, m, k ∈ N ). Тогда:
1) n a ⋅ k a = nk a n + k .
2) nk a k = n a .
3)
n
ab = n a ⋅ n b
.
4)
n
a n
= a :nb
b
12
.
5)
7)
2)
n
a :k a =
nk
n = 2k + 1,
nk
.
ak −n
6)
(n a )k = n a k .
.
k ∈ N . В этом случае имеют смысл и отрицательные подкоренные
a = nk a
значения, например 3 − 8 = −2 . Однако многие из свойств арифметических корней
1) – 7) для корней из отрицательных величин
требуют соответствующего видоизменения, скажем, свойство 2) при a < 0 и
нечетных n и k сохраняет свой вид, а при a < 0 и четных n и k должно быть
записано как nk a k = n a , где a – абсолютная величина числа a . Свойство 6) при
четном изменяется на
k
n
ak =
( a ) , в частности,
k
n
a2 = a
, что при
a<0
не равно a .
1.7. Модуль (абсолютная величина)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Абсолютная величина, или модуль числа, определяется как
⎧a , a ≥ 0
a =⎨
, ∀a ∈ R .
⎩− a, a < 0
Модуль обладает следующими свойствами:
1)
a ≥0;
2)
5)
a ⋅b = a ⋅ b
;
8)
a+b ≤ a + b
11)
a ≥a;
3)
6)
a
a
=
b
b
9)
a−b ≤ a + b
;
a −b ≥ a − b
;
a − b ≤ a±b ≤ a + b
12)
a ≤A
a = −a
,
;
4)
b≠0;
и
7)
;
2
a = a2 = a2
10)
b≤B
⇒
;
a2 = a
;
a+b ≥ a − b
;
a + b ≤ A + B , a ⋅b ≤ A⋅ B .
Итак,
.
⎧a − b, если a − b ≥ 0, т.е. a ≥ b
a −b =⎨
⎩b − a, если a − b ≤ 0, т.е. a ≤ b
(a − b)2
= a −b =
(b − a )2
= b−a
Выясним геометрический смысл модуля действительного числа.
⎧ x , x ≥ 0,
x =⎨
⎩− x, x < 0.
0
x0
x
Если числу x соответствует точка x на числовой оси, то x – расстояние от
этой точки до начала координат, x − x0 – расстояние между точками x и x0 на
числовой оси.
Раскроем неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля.
1)
x ≤a
⇒ x ∈ [− a , a ] .
2)
3)
x <a
⇒ x ∈ (− a, a ) .
4)
x ≥a ⇒
x >a
x ∈ (− ∞, − a ] ∪ [a, + ∞ ) .
⇒ x ∈ (− ∞, − a ) ∪ (a , ∞ ) .
13
1.8. Формулы сокращенного умножения
1. (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a 2 + 2ab + b 2 .
2. . (a − b)2 = (a − b)(a − b) = a 2 − 2ab + b 2
3. a 2 − b2 = (a + b)(a − b) .
4. a 2 + b2 = (a ± b)2 ∓ 2ab .
5. (a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = a 3 + 3a 2b + 3ab2 + b3 .
6. (a − b)3 = (a − b)(a − b)2 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3 .
7. a 3 + b3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) .
8. a 3 − b3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) .
9. (a + b)4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab3 + b 4 .
1.9. Иррациональные выражения
( a + b )2 = a + 2 ab + b .
3) ( a − b )( a + b ) = a − b .
( a − b )2 = a − 2 ab + b .
4) (a − b c )(a + b c ) = a 2 − b2 c .
1)
5)
7)
a + a 2 − b2c
a − a 2 − b2c
±
2
2
a±b c =
a
n
10)
12)
b
=
a b n −1
b
n
a
=
b± c
2)
.
8)
)(
(
a
a b2 − c b ∓ c
2
=
1± b
(
a 1∓ b
1− b
.
6)
).
9)
a
=
b
a b
b
a
b± c
.
13)
⎠
3
3
a ⎛⎜ b 2 ∓ 3 bc + c 2 ⎞⎟
⎠.
= ⎝
3b ±3c
b±c
ПРИМЕР. Докажите тождество:
a
9
5− 7
+
22
7+ 5
−
Преобразуем каждое слагаемое отдельно.
1)
9
(
9⋅ 5+ 7
)
(
)
(
)
7− 5
2
.
9⋅ 5+ 7
9⋅ 5+ 7
5+ 7
=
=
25 − 7
18
2
.
(5 − 7 )⋅ (5 + 7 )
2) 22 = 22 ⋅ (7 − 5 ) = 22 ⋅ (7 − 5 ) = 22 ⋅ (7 − 5 ) = 7 − 5 .
49 − 5
44
2
7 + 5 (7 + 5 )⋅ (7 − 5 )
3)
5− 7
1
7+ 5
=
=
7− 5
=
( 7 + 5 )⋅ ( 7 − 5 )
Окончательно:
).
) .11) (3 a ± 3 b )⎛⎜ 3 a 2 ∓ 3 ab + 3 b2 ⎞⎟ = a ± b .
3
a ⎛⎜1 ∓ 3 b + b 2 ⎞⎟
⎠
= ⎝
1± b
1± 3 b
a
(
a b∓ c
b−c
=
⎝
b −c
.
=
7− 5
=
7−5
5+ 7 7− 5
7 − 5 12
+
−
=
= 6.
2
2
2
2
14
1
7+ 5
= 6.
1.10. Сравнение чисел
Два положительных числа равны, если равны квадраты этих чисел; два
числа равны, если равны кубы этих чисел.
ПРИМЕР. Сравните числа
a=
−1− 5
2
и
b=− 3.
Запишем соотношение между a и b в виде a ∨ b , где символ ∨ означает
неизвестное соотношение между a и b : > , < или =. Противоположное
соотношение будем обозначать символом ∧ .
−1− 5
∨− 3.
2
Итак,
Умножим это соотношение на (− 1) , знак соотношения
1+ 5
∧ 3
2
изменится на противоположный:
или
1+ 5 ∧ 2 3 .
Возведем обе части неравенства в квадрат:
1 + 5 + 2 5 ∧ 12 ,
2 5 ∧6,
5 ∧ 3.
Еще раз возведем в квадрат: 5 ∧ 9 . Но 5 < 9 , следовательно,
∨ - противоположный знак > , т.е. a > b .
означает
∧
,а
<
1.11. Тождественные преобразования алгебраических выражений
ПРИМЕР. Разложить на множители: 6 x 3 y + 3x 2 y 2 − 3xy 3 =
(
)
(
)
(
)
) (
((
))
= 3xy 2 x 2 + xy − y 2 = 3xy 2 x 2 + xy − y 2 = 3xy x 2 + x 2 + xy − y 2 = = 3xy x 2 + xy + x 2 − y 2 =
= 3 xy ( x + y )( 2 x − y ) .
ПРИМЕР. Упростить:
=
a2 + 3
,
a −1
так как
a 4 + a 3 + 4a 2 + 3a + 3
a3 − 1
(a 2 + a + 1)(a 2 + 3) =
(a 2 + a + 1)(a − 1)
=
) (
(
)
)(
(
).
a 4 + a 3 + 4a 2 + 3a + 3 = a 2 a 2 + a + 1 + 3 a 2 + a + 1 = = a 2 + a + 1 a 2 + 3
3
ПРИМЕР. Упростить выражение
3
a2 + b2
(a
2
− ab
)
2
3
:
a
−
2
3 ⋅3
a−b
a a −b b
и вычислить при
a = 1,2 ; b =
3
.
5
В процессе тождественных алгебраических преобразований
воспользуемся правилами действия со степенями и формулами сокращенного
умножения, например,
3
( a )3 , ( a − b )( a + b ) = a − b ,
3
3
3
3
2
2
a + b = ( a ) + ( b ) = ( a + b )(a − ab + b ) ,
a 2 = 2 a3 =
тогда выражение принимает вид
(
)(
a + b a − ab + b
3
(
a2 ⋅ 3
(a − b)
2
)(
):
3
3
2
a ⋅
)
(
a−b
)(
a − b a + ab + b
= a − ab + b a + ab + b = (a + b )2 −
При
( ab )
2
)
= =
(
)(
a + b a − ab + b
3
a2 ⋅ 3
= a 2 + ab + b 2 .
a = 1,2 ; b = 0,6
a + ab + b = 1,2 2 + 1,2 ⋅ 0,6 + 0,62 = 1,44 + 072 + 0,36 = 2,52 .
2
2
15
(a − b)
2
)⋅ 3 a2 ⋅ (
)(
a − b a + ab + b
3
a−b
)=
1.12. Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене
Выражение ax 2 + bx + c
( a ≠ 0)
называется квадратным трехчленом
относительно переменной x . Корнем квадратного трехчлена называют такое
значение переменной x , при котором его значение равно нулю. Таким образом,
корни квадратного трехчлена - это корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 .
Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене позволяет разложить
его на линейные множители (при неотрицательном дискриминанте), что в свою
очередь дает значения корней квадратного уравнения.
Например:
1) x 2 + 2 x − 8 = x 2 + 2 x + 1 − 1 − 8 = (x + 1)2 − 9 = (x − 2 )(x + 4 );
2
2
13
2) x + 13x + 40 = x + 2 ⋅ x ⋅ 2 +
(
= x + 13
2
(132 )2 − (132 )2 + 40 = (x + 132 )2 + 160−4169 =
)2 − (23 )3 = (x + 132 + 23 )(x + 132 − 23 ) = (x + 8)(x + 5);
) ((
(
)
)
2
2
x − 20
= −3 x 2 − 2 ⋅ 11
x + 121
− 121
− 20
=
3) − 3x + 11x + 20 = −3 x − 11
3
3
6
36
36
3
(
= −3⎡ x − 11
6
⎢⎣
(
⎤ = −3⎡(x − 11 )2 − (19 )2 ⎤ = −3(x − 11 − 19 )(x − 11 + 19 ) =
)2 − 361
36 ⎥⎦
6
6 ⎥⎦
6
6
6
6
⎢⎣
)(
)
(
= −3 x − 30
x + 86 = −3(x − 5) x +
6
4
3
).
⇒
16
4
x1 = 5 , x2 = − 3
.
1.13. Прогрессии
Арифметическая
Арифметическая прогрессия {an } –
числовая последовательность
a1 , a2 , … , an , … , n ∈ N , такая, что
∀ n > 1, a n = a n −1 + d
( d – разность).
1.
an +1 = an + d .
2.
a
+ a n +1
a n = n −1
2
(n > 1) .
an = a1 + (n − 1) ⋅ d .
3.
4.
an = ak + d ⋅ (n − k ), 1 ≤ k ≤ n − 1 .
5.
an =
6.
an + am = ak + a p ,
an − k + an + k
, 1 ≤ k ≤ n −1.
2
если
n+m = k + p .
7.
a1 = a n − d ⋅ (n − 1) .
8.
a − a1
(n > 1) .
d= n
n −1
a −a
n = n 1 + 1.
d
9.
10.
S n = a1 + a2 + … + an .
11.
a +a
Sn = 1 n ⋅ n .
2
2a1 + d ⋅ (n − 1)
Sn =
⋅n .
2
12.
13.
Геометрическая
Геометрическая прогрессия {bn } –
числовая
последовательность
b1 , b2 , … , bn , …, n ∈ N , такая, что b1 ≠ 0
и
∀n >1 ,
bn = bn −1 ⋅ q
( q – знаменатель).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
(n > 1) .
bn2 = bn −1 ⋅ bn +1
bn = b1 ⋅ q n −1 .
bn = bk ⋅ q n − k , 1 ≤ k ≤ n − 1 .
bn = bn − k ⋅ q k , 1 ≤ k ≤ n − 1 .
bn + k = bn ⋅ q k .
bn2 = bn − m ⋅ bn + m , 1 ≤ m ≤ n − 1 .
bn ⋅ bm = bk ⋅ b p ,
если
n+m = k + p .
9.
S n = b1 + b2 + … + bn .
⎡ 1 − qn
10. S n = ⎢⎢b1 ⋅ 1 − q , q ≠ 1,
q = 1.
⎢⎣ b1 ⋅ n,
bn ⋅ q − b1
, q ≠1.
q −1
11.
Sn =
12.
S = lim S n =
n→∞
если
S n − S k −1 = ak + ak +1 + … + an =
=
bn +1 = bn ⋅ q .
ak + an
(n − k + 1) , 1 < k ≤ n
2
b1
1− q
,
0< q <1
( n , k , m , p ∈ N ).
( n, k , m, p ∈ N ).
17
2.ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ
2.1. Основные понятия
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Переменная величина y называется функцией переменной
величины x , если каждому численному значению x из множества X
соответствует единственное определенное значение y из множества Y : y = f (x ) ,
x ∈ X , y ∈ Y . Переменная величина x называется независимой переменной или
аргументом. Множество X называется областью определения функции
(ООФ) или областью допустимых значений аргумента (ОДЗ). Множество Y
изменения функции называется областью значений функции (ОЗФ).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции y = f (x ) называется множество точек
плоскости xOy , координаты которых связаны соотношением y = f (x ) . Нули
функции y = f (x ) – точки x ∈ X , при которых функция обращается в ноль, т.е.
корни уравнения f (x ) = 0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f (x ) с областью определения X называется
четной, если для любого x ∈ X выполняется равенство f (x ) = f (− x ) .
Из определения четной функции следует, что ее график симметричен
относительно оси ординат.
Например, функции y = x 2 , y = x являются четными, их графики имеют вид:
y
y
y=x
2
y= x
y0
–x0
x0
0
x
x
0
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f (x ) с областью определения X называется
нечетной, если для любого x ∈ X выполняется равенство f ( x ) = − f ( −x ) .
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Например, функции y = x 3 и y = 2 x являются нечетными, их графики имеют
вид:
y
y
y = x3
0
y = 2x
y0
–x0
x
0 x0
x
–y0
Функция, в которой переменные x и y поменялись своими ролями,
называется обратной по отношению к первоначальной функции. В свою
очередь первоначальная функция является обратной к полученной.
15
Свойство графиков взаимно обратных функций: один получается из другого
зеркальным отражением относительно биссектрисы первого и третьего
координатных углов, т.е. линии y = x .
Множество значений обратной функции y = f −1 (x ) совпадает с областью
определения функции y = f (x ) , а область определения
обратной функции
−1
y = f (x ) совпадает со множеством значений
функции y = f (x ) .
2.2. Линейная функция
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция вида y = kx + b , где k и b – некоторые числа,
называется линейной функцией.
1. Область определения – x ∈ (− ∞, + ∞ ) .
2. Множество значений: при k ≠ 0 y ∈ (− ∞ , + ∞ ) , при k = 0 y = b .
3. Четность, нечетность. При k = 0 функция четная, при b = 0 функция
нечетная.
4. Периодичность. При k = 0 функция периодическая с любым
положительным периодом. При k ≠ 0 функция непериодическая.
b
5. Точки пересечения с осями: ⎛⎜ − ,0 ⎞⎟ и (0 ,b ) .
⎝ k
⎠
6. Промежутки знакопостоянства. При
k =0
коэффициента b ; функция положительна при
функция сохраняет знак
k > 0,
b
k
если x > − , и при
k <0,
если
b
x<− .
k
7. Промежутки монотонности и экстремумы. Функция возрастает при всех
x , если k > 0 , и убывает, если k < 0 .
8. Графиком функции y = kx + b является прямая линия. Коэффициент k в
уравнении прямой y = kx + b называется угловым коэффициентом прямой.
Используя, например, геометрический смысл производной y′ = tgб , легко
получаем в нашем случае y′ = k = tgб , т.е. k = tgб , где α – угол между прямой и
положительным направлением оси Ox .
Варианты графиков:
y
y
y = b (b > 0)
0
y = b (b < 0)
Случай k = 0
y = kx
y = kx + b
(b > 0)
α
−b/k
0
x
Случай k > 0
16
y
y = kx
y = kx + b
(b > 0)
0 −b/k
α
Случай k < 0
x
Угол между двумя прямыми
k1 = tgб1 , k2 = tgб 2 .
tgϕ = tg ( б 2 -б1 ) =
tgб 2 -tgб1
;
1+tgб1Чtgб 2
y
ϕ
k −k
tgϕ = 2 1 .
1 + k1 ⋅ k2
α1 α2
Условие перпендикулярности прямых: k1 ⋅ k 2 = −1 .
2.3. Квадратичная функция
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция, задаваемая формулой
называется квадратичной.
1. Область определения – x ∈ (− ∞, + ∞ ) .
2. Область значений. Выполним преобразование
y = ax 2 + bx + c
x
(a ≠ 0) ,
2
⎡⎛
b
c⎞
b
c⎞
b ⎞ b 2 − 4ac ⎤
⎛
⎛
ax 2 + bx + c = a ⎜ x 2 + x + ⎟ = a ⎜ x 2 + 2 x + ⎟ = a ⎢⎜ x + ⎟ −
⎥=
2a
2a ⎠
4a 2 ⎥⎦
a
a⎠
a⎠
⎝
⎝
⎢⎣⎝
2
⎛
b 2 D ⎞⎟
b ⎞
b 2 − 4ac
⎛
,
= a⎜ x +
−
= a⎜ x +
⎟ −
⎜
2a ⎠
4a
2a 4a ⎟⎠
⎝
⎝
Так как
2
b ⎞
⎛
⎟ ≥ 0,
⎜x +
2a ⎠
⎝
то при
где
a>0
D = b 2 − 4ac
– дискриминант.
⎛ D
⎞
y ∈⎜ −
, + ∞⎟ ,
⎝ 4a
⎠
а при
a<0
D⎞
⎛
y ∈ ⎜ − ∞, −
⎟.
4a ⎠
⎝
3. При b = 0 функция четная.
4. Функция непериодическая.
5. Точки пересечения с осями координат:
(x1 ,0 ),(x 2 ,0 ) , где
x1 =
−b− D
2a
,
x2 =
−b+ D
2a
, если D > 0 ;
⎛ b ⎞
,0 ⎟ , если D = 0 ; если D < 0 , точек пересечения нет.
⎜−
⎝ 2a ⎠
Точка пересечения с осью Oy : (0, c ) .
6. Для нахождения промежутков монотонности и экстремумов найдем
производную и критические точки:
′
b
y ′ = (ax 2 + bx + c ) = 2ax + b ;
2ax + b = 0 при x = −
.
Определим знаки
y′
в промежутках
b ⎞
⎛
⎜ − ∞, −
⎟
2a ⎠
⎝
и
2a
⎛ b
⎞
, + ∞⎟ .
⎜−
⎝ 2a
⎠
Результаты исследования представим в таблице
x
Знак или
значение y ′
Поведение y
Знак или
значение y ′
Поведение y
b
2a
a
b ⎞
⎛
⎜ − ∞; −
⎟
2a ⎠
⎝
a>0
–
0
min
+
a<0
+
0
max
–
17
−
⎛ b
⎞
; + ∞⎟
⎜−
⎝ 2a
⎠
Значения функции в точке экстремума
7. Графиком функции
y = ax 2 + bx + c
D
⎛ b ⎞
y⎜ −
⎟=−
4a
⎝ 2a ⎠
.
является парабола с вершиной в точке
D⎞
⎛ b
2
,−
⎜−
⎟ . Она получается из графика функции y = ax
4a ⎠
⎝ 2a
b
Ox на −
единиц (вправо, если − b > 0 , и влево,
2a
2a
b
если − < 0 ) и последующего сдвига вдоль оси
2a
D
Oy на −
единиц (вверх, если − D > 0 , и вниз,
4a
4a
D
если − < 0 ). Парабола имеет ось симметрии, ею
4a
является прямая x = − b .
2a
путем сдвига вдоль оси
Варианты графиков представлены на рисунках.
В пункте 2 показано, что квадратичную
функцию y = ax 2 + bx + c всегда можно привести к
виду y = a (x − x0 )2 + y0 путем выделения полного
квадрата. Точка с координатами (x0 , y0 ) есть
вершина параболы.
ПРИМЕР. Постройте график функции y = x 2 − 3x − 3 .
Выделим полный квадрат
y = x 2 − 3x − 3 = x 2 − 3 x − 3 =
2
y
1,5
0
2
x
–3
3 ⎞ 9 3⋅ 4 ⎛
3 ⎞ 21
⎛
=⎜x− ⎟ − −
=⎜x− ⎟ −
= (x − 1,5)2 − 5,25 .
2
4
4
2
4
⎝
⎠
⎝
⎠
–5,25
Следовательно, A(1,5; − 5,25) – вершина параболы. Найдем точку пересечения
параболы с осью ординат. Если x = 0 , то y = −3 : точка (0, − 3) – точка пересечения с
осью Oy . Ветви параболы направлены вверх, так как a = 1 > 0 , ее график
симметричен относительно прямой x = 1,5 .
2.4. Степенные функции y = x α
y = xn
(n ∈ N )
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция вида y = x n ,
функцией с натуральным показателем.
18
n∈N
,
называется
степенной
1. Область определения функции
(n – четное)
(n – нечетное)
y=x
y
n
–1
–1
0
1
y = xn
y
1
0
1
x
–1
x
D ( y )∈ (− ∞, + ∞ )
D ( y ) ∈ ( 0 , +∞ ) .
2. Функция является четной при четном n и нечетной при нечетном n .
x ∈ (− ∞, + ∞ ) ; если
3. Если n нечетно, то функция y = x n возрастает при
n четно, то функция y = x n возрастает при x ∈ [0, ∞ ) и убывает при x ∈ (− ∞, 0] .
4. Функция непрерывна на (− ∞, + ∞ ) .
y = x −n =
( n – четное)
y
–1 0
y=
1
1
xn
( n – нечетное)
y
1
x
(n ∈ N )
y=
n
–1
0
1
xn
1
x
x
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция вида y = x −n называется степенной функцией с
целым отрицательным показателем.
1. Область определения функции – x ∈ (− ∞ , 0 ) ∪ (0 , + ∞ ) .
2. Функция является четной при четном n и нечетной при нечетном n .
3. Функция убывает при x > 0 ; при x < 0 функция убывает, если n нечетное, и
возрастает, если n четное.
разрыва
4. Функция непрерывна на (− ∞, 0) и на (0, + ∞ ) ; x = 0 – точка
функции.
Обратной пропорциональностью называется функция, заданная формулой
k
y = , где k ≠ 0 .
x
1). Область определения x ∈ (− ∞ ,0 ) ∪ (0 ,∞ ) .
2). Область значений x ∈ (− ∞ ,0 ) ∪ (0 , ∞ ) . График не проходит через начало
координат.
3). y = k – нечетная функция (поскольку f (− x ) = k = − k = − f (x ) . График этой
−x
x
x
функции симметричен относительно начала координат.
4). Если k > 0 , то функция y = k убывает на
y
промежутке (0, + ∞ ) и на промежутке (− ∞, 0) . Если
1
x
19
k <0,
0
1
x
то функция
y=
k
x
возрастает на промежутке (− ∞, 0) и на промежутке (0, + ∞ ) .
5).Точек пересечения с осями координат не существует.
6). При k > 0 y > 0 на (0, + ∞ ) , y < 0 на (− ∞, 0) .
При k < 0 y > 0 на (− ∞, 0) , y < 0 на (0, + ∞ ) .
7). Функция непериодическая.
8). Если k < 0 , то ветви графика расположены в II и IV координатных
четвертях. Графиком обратной пропорциональности y = k , k ≠ 0 является
x
гипербола.
(n ∈ N )
y = x1/ n = n x
y
y=n x
( n – нечетное)
–1
0
1
y
y=n x
( n – четное)
x
0
1
x
Функция y = n x является обратной к функции y = x n . Отразив график функции
y = x n симметрично относительно прямой y = x ,получим график функции y = n x .
y = x p / q ( p, q ∈ Z , q ≠ 0 )
y
( p / q > 1)
y
y = xp/q
1
0
y = xp/q
(0 < p / q < 1)
1
( p / q > 0)
1
x
0
1
x
2.5. Дробно–линейная функция
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция вида y = ax + b , где a, b, c, d – постоянные,
cx + d
ad ≠ bc ,
c≠0,
называется дробно-линейной.
1. Область определения функции x ∈(− ∞, − d / c) ∪ (− d / c, + ∞) .
2. Для построения графика преобразуем функцию, выделив в ее выражении
целую часть следующим образом.
20
Преобразуем тождественно числитель, чтобы выделить в нем
содержащее знаменатель
ax + b =
слагаемое,
a
(cx + d ) − ad + b ;
c
c
поделив это выражение почленно на (cx + d ) , получим
bc − ad
ad
−b
2
a
a
y= − c
= + c
d
c
c cx + d
x+
c
bc − ad
a
d
=n,
=m, k =
c
c
c2
таким образом, обозначая
,
, видим, что
– целая часть исходного выражения.
График дробно-линейной функции получается
сдвигом графика гиперболы y = k на m единиц вдоль
k
ax + b
=n+
cx + d
x+m
y=
, где
n
x
оси Ox и на n единиц вдоль оси Oy . Прямые y = n и
являются асимптотами гиперболы.
ПРИМЕР. Постройте график функции y = 2 x − 1 .
y
n
x=m
0
x +1
Запишем эту функцию так:
3
y =2−
.
x +1
x
–m
y
Графиком функции
будет гипербола, центр которой находится в точке (− 1, 2) ,
асимптоты - x = −1 , y = 2 .
2
0
-1
Ѕ
x
-1
2.6. Показательная функция
y
y = a x y = (1 / 2 )x
(a < 1)
y = ax
(a > 0,
a ≠ 1)
y
y = 2x y = a x
y = e− x
(a > 1)
y = ex
e ≅ 2,7182
1
0
x
0
x
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция вида y = a x , где a – некоторое положительное
число, не равное единице (a > 0, a ≠ 1) , называется показательной.
1. Область определения функции x ∈ (− ∞, + ∞ ) .
2. Множество значений функции y ∈ (0, + ∞ ) .
3. При x = 0 значение функции y = 1 .
4. При a > 1 функция возрастает на всей числовой оси; если x > 0 , то y = a x > 1 ;
если x < 0 , то 0 < a x < 1 .
5. При 0 < a < 1 функция убывает на всей числовой оси; если x > 0 , то 0 < a x < 1 ;
если x < 0 , то a x > 1 .
21
2.7. Логарифмы и их свойства
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Логарифмом числа b по основанию a , где b > 0 , a > 0 , a ≠ 1 ,
называется показатель степени, в которую надо возвести основание a , чтобы
получить число b .
x – логарифм (x = loga b ) числа b > 0 по основанию a > 0 ( a ≠ 1 ), если a x = b .
a log a b = b .
1.
log a 1 = 0 .
2.
log a a = 1 .
3.
b
(bc > 0) .
= log a b − log a c
c
6. loga n b = 1 loga b . 7. loga m bn = n loga b .
n
m
log
9. loga b = loga n bn . 10. loga b = c b .
log c a
1
. 13. log10 b = lg b .
12. loga b =
log b a
4.
(bc > 0) .
log a bc = log a b + log a c
log a
5.
log a b n = n ⋅ log a b .
8.
log a n b =
11.
1
log a b .
n
log a b = log c b ⋅ log a c .
14.
log e b = ln b .
2.8. Логарифмическая функция y = loga x ( a > 0 , a ≠ 1 )
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция, обратная показательной функции, называется
логарифмической: y = loga x .
1. Область определения функции x ∈ (0, + ∞ ) .
2. Множество значений функции y ∈ (− ∞, + ∞ ) .
3. При x = 1 y = loga x = 0 .
4. При a > 1 функция возрастает; если 0 < x < 1 , то loga x < 0 , если x > 1 , то
log a x > 0 .
5. При 0 < a < 1 функция убывает; если 0 < x < 1 , то loga x > 0 , если x > 1 ,то loga x < 0 .
y
y
y = log a x
0
1
y = log a x
y
y = loga2 x
(a > 1)
y = loga1 x 0
x
(0 < a < 1)
a2 > a1
y = log a1 x
x
1
x
0
a2 < a1
y = log a2 x
2.9. Геометрические преобразования графиков функций
Если известен график функции y = f (x ) , то с помощью некоторых
преобразований можно построить графики более сложных функций.
1. График функции f (x ± a ) получается
y
a>0
параллельным
переносом графика f (x ) вдоль
f (x + a )
f (x ) f (x − a )
оси Ox на ±a .
Значение функции f (x − a ) при x = x0 + a
a
x
x0+a
x
x
0 -a 0
0
совпадает со значением f (x ) при x = x0 .
22
2. График функции f (x ) ± a получается параллельным
переносом графика функции f (x ) вдоль оси Oy на ± a .
3. График функции k ⋅ f (x ) получается растяжением
графика f (x ) вдоль оси Oy в k (k > 0) раз при k > 1 и
сжатием вдоль этой оси в 1 / k раз при 0 < k < 1 ; если k < 0 ,
то к этому преобразованию добавляется зеркальное
отражение относительно оси Ox .
y
1
f (x )
0
1 x
y
2
y
2 f (x )
0
0
1/2
1
0
x
x
1
− f (x )
x
–1
x
1
a>0
f (x ) + a
f (x )
f (x ) − a
y
f (x ) / 2
0
y
4. График функции f (kx ) получается сжатием графика f (x ) вдоль оси Ox в k
(k > 0) раз при k > 1 и растяжением вдоль этой же оси в k раз при 0 < k < 1 ; если
k < 0 , то к этому преобразованию добавляется зеркальное отражение
относительно оси Oy .
y
y
f (x )
f (2 x )
1
1
1
x
0
–1
y
f (− x )
f (x / 2)
1
1
Ѕ
Ѕ
0
–1
y
x
1
0
–1
2
x
–Ѕ
–1 0
x
–1
5. График функции f (x ) получается из графика функции f (x ) следующим
преобразованием: часть графика, лежащая выше оси
y
Ox , остается на месте; часть графика, лежащая ниже
f (x )
оси Ox , зеркально отражается относительно оси Ox
6. График функции f ( x ) получается из графика
x
0
f (x ) следующим преобразованием: при x ≥ 0 график не
y
f (x )
изменяется; при x < 0 график заменяется на
зеркальнoе отражение относительно оси Oy части
графика, соответствующей x ≥ 0 .
y
0
f (x )
x
y
f( x
0
23
x
)
0
x
3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3.1. Линейные уравнения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнение вида
зывается линейным.
1)
ax + b = 0 ,
где
a
и
b
– числа, причем
a ≠0,
на-
b
⎡
⎢ x = − a , если a ≠ 0;
ax + b = 0 ⇔ ⎢ x ∈ ∅, если a = 0, b ≠ 0;
⎢
⎢ x ∈ R, если a = 0, b = 0.
⎣⎢
Графическая иллюстрация решения линейных уравнений
Единственное решение положительно, если числа a и b разных знаков; отрицательно, если a и b одного знака; равно нулю, если b = 0 . Если a = 0 , уравнение не имеет решения. Если a = 0 , b = 0 , уравнение имеет бесконечное множество
решений.
y
y
y
y1
0
y2
0
2)
x
a = 0, b = 0
y1 , y2 x
y2
a = 0, b ≠ 0
x
y1
0
x
y
b2 − b1
⎡
⎢ x = a − a , a1 ≠ a2 ;
1
2
⎢
a1x + b1 = a2 x + b2 ⇔ ⎢ x ∈ ∅,
a1 = a2 , b1 ≠ b2 ;
⎢ x ∈ R,
a1 = a2 , b1 = b2 .
⎢
⎣
y1
0 x
x
y2
3.2. Квадратные уравнения
Квадратным уравнением называют уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 , где x – переменная; a , b , c – действительные числа, называемые коэффициентами
уравнения, причем старший коэффициент a ≠ 0 . Коэффициент c называют
свободным членом квадратного уравнения.
Выражение b2 − 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения и обозначают через D , D = b 2 − 4ac .
1. D > 0 : x1,2 = − b ± D .
2a
2.
D = 0 : x1 = x2 = −
3.
D < 0 : x ∈ 0/ .
b
2a
.
− k ± k 2 − ac
.
a
Если
b = 2k
Если
x 2 + px + q = 0 : x1,2 = −
: x1, 2 =
2
p
⎛ p⎞
± ⎜ ⎟ −q
2
⎝2⎠
.
24
Теорема (Разложение квадратного трехчлена на линейные множители). Есдействительные корни x1 и x2 ,
ли у квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 есть
то квадратный трехчлен представим в виде
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) .
Теорема (Виета). Сумма корней квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) равна − b , а произведение корней равно c .
a
a
b
⎧
⎪⎪ x1 + x 2 = − a ,
⎨
⎪x ⋅ x = c .
⎪⎩ 1 2 a
Уравнение
ax 4 + bx 2 + c = 0
называется биквадратным.
⎡
⎢x = ± − b +
⎢ 1,2
4
2
ax + bx + c = 0 ⇔ ⎢
⎢
−b−
⎢ x3,4 = ±
⎣
x1 + x 2 + x3 + x 4 = −
b
,
a
b 2 − 4ac
,
2a
b 2 − 4ac
.
2a
x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ x4 =
c
a
.
3.3. Теория многочленов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многочленом Pn (x ) от одной переменной называется выражение Pn ( x ) = a0 x n + a1x n −1 + ... + an , где n ∈ N , a0 , a1, … , an – действительные числа,
причем a0 ≠ 0 .
Число n называется степенью многочлена, числа a0 , a1, … , an – коэффициентами многочлена, a0 x n – старший член, an – свободный член. Если a0 = 1 , многочлен называется приведенным.
Многочлены равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x .
Многочлены можно складывать, вычитать, умножать друг на друга, возводить в
натуральную степень – в результате получается также многочлен.
Если многочлен Pn (x ) можно представить в виде произведения
Pn ( x ) = Qm ( x ) ⋅ S ( x ) , где m < n , то говорят, что многочлен Pn (x ) делится на многочлен
Qm (x ) ; Pn (x ) называется делимым, Qm (x ) – делителем, S (x ) – частным.
ПРИМЕР.
_ 3x 4 + 2 x 3 + 70 x 2 + 3x − 4 – делимое
x 2 + 5 x + 1 – делитель
3x 4 + 15 x 3 + 3x 2
_ − 13x 3 + 67 x 2 + 3x
3x 2 − 13x + 132
– первая разность
− 13x 3 − 65 x 2 − 13x
_ 132 x 2 + 16 x − 4
– вторая разность
132 x 2 + 660 x + 132
−644 x − 136
– остаток
25
– частное
В результате деления неправильная дробь (степень многочлена в числителе не меньше степени многочлена в знаменателе)
3x 4 + 2 x 3 + 70 x 2 + 3x − 4
2
x + 5x + 1
= 3x 2 − 13x + 132 −
644 x + 136
x 2 + 5x + 1
представляется в виде целой части (3x 2 − 13x + 132) и правильной дроби, у которой
степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если при некотором значении x = x0 многочлен P(x ) обращается в нуль, т.е. P( x0 ) = 0 , то число x0 называется корнем многочлена.
ТЕОРЕМА (Теорема Безу). Пусть Pn (x ) – многочлен степени n , а b – произвольное число. Тогда есть такой многочлен Qn −1 (x ) степени n − 1 , что
Pn ( x ) = ( x − b)Qn −1 ( x ) + Pn (b) , где Pn (b) – значение многочлена Pn (x ) при x = b .
Следствие 1.
Если x = b – корень многочлена Pn (x ) , т.е. Pn (b) = 0 , то
Pn ( x ) = ( x − b)Qn −1 ( x ) .
Следствие 2.
Если многочлен Pn (x ) степени n имеет n корней x1, x2 , … , xn , то
Pn ( x ) = a0 ( x − x1 )( x − x2 ) ⋅ ... ⋅ ( x − xn ) , где a0 – старший коэффициент многочлена Pn (x ) .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Преобразование многочлена в произведение нескольких сомножителей – многочленов или одночленов – называется разложением многочлена на множители.
ВЫВОД из следствия 2: Нахождение корней многочлена равносильно нахождению его линейных множителей.
ТЕОРЕМА. Пусть дан многочлен Pn ( x) = a0 x n + a1x n −1 + ... + an −1x + an с целочисленными коэффициентами, a0 ≠ 0 . Если целое число x = x0 является корнем многочлена
Pn (x ) , то оно служит делителем
свободного члена an .
ПРИМЕР. Разложите на множители многочлен P3 (x ) = x 3 − 3x 2 − 10x + 24 .
Найдем целочисленный корень этого многочлена, для этого выпишем делители свободного члена: ±1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ±8, ± 12, ± 24 . Подставим их поочередно
в P3 ( x ) .
P (1) = 12 , x = 1 не является корнем многочлена;
P ( −1) = 30 , x = −1 также не является корнем; P ( 2) = 0 , x = 2 – корень данного многочлена.
Разделим многочлен на разность (x − 2) :
_
x 3 − 3x 2 − 10 x + 24
x − 2x2
x−2
3
x 2 − x − 12
− x 2 − 10 x
–
− x2 + 2x
−12 x + 24
–
− 12 x + 24
0
Корнями многочлена
3
2
x − 3x − 10 + 24 =
являются числа
( x − 2)( x + 3)( x − 4) .
x 2 − x − 12
26
−3
и 4. В итоге получим:
3.4. Кубические уравнения
ПРИМЕР. Решите уравнение: x 3 − x 2 − 4 x + 4 = 0 .
Решение: x 3 − x 2 − 4 x + 4 = 0 ⇔ x( x 2 − 4) − ( x 2 − 4) = 0 ⇔
(x − 4)( x − 1) = 0
2
⇒
⎡ x1 = 2,
⇒ ⎢⎢ x 2 = −2,
⎢⎣ x 3 = 1.
ПРИМЕР. Решите уравнение x3 − 3x 2 − 6x + 8 = 0 .
Найдем один корень данного уравнения подбором среди делителей его свободного члена: 1, − 1, 2, − 2, 4, − 4, 8, − 8 .
Найдем значение многочлена P3 (1) = 1 − 3 − 6 + 8 = 0 , значит, P3 (x ) имеет корень
x1 = 1 .
Поделим многочлен P3 (x ) на (x − 1) :
_ x 3 − 3x 2 − 6 x + 8
x −1
x3 − x2
x2 − 2 x − 8
_ − 2x2 − 6x
− 2x2 + 2x
_ − 8x + 8
−8 x + 8
0
Получим x − 3x − 6 x + 8 = (x − 1)(x − 2 x − 8) . Исходное уравнение можно записать в
виде (x − 1)(x 2 − 2 x − 8) = 0 . Найдем корни квадратного трехчлена:
3
x 2, 3 =
2
2
2 ± 4 + 32 2 ± 6
=
⇒ x2 = 4;
2
2
x 3 = −2 .
Итак, исходное уравнение имеет три различных корня: x1 = 1 ; x2 = 4; x3 = −2 , в
чем можно убедиться, вычисляя P3 (x ) во всех точках возможного значения корней.
Разложение P3 (x ) на линейные множители имеет вид: x 3 − 3x 2 − 6 x + 8 = (x − 1)(x + 2)(x − 4) ,
где числа 1, − 2, 4 – корни P3 (x ) .
3.5. Дробно-рациональные уравнения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дробно-рациональным называется уравнение вида
Pn (x )
= 0 , где Pn (x ) и Qm (x ) – многочлены, Qm (x ) ≠ 0 .
Qm (x )
Решение уравнения сводится к решению уравнения Pn (x ) = 0 и проверке того,
P (x ) = 0,
что его корни удовлетворяют условию Qm (x ) ≠ 0 , т.е. Pn (x ) = 0 ⇔ ⎧⎨ n
Qm (x )
⎩Qm (x ) ≠ 0.
ПРИМЕР. Решите уравнение 1 + 2 = 1 .
x +1 x − 2
(
1
2
x − 2 ) + 2(x + 1) − (x + 1)(x − 2 )
=0⇔
+
−1 = 0 ⇔
Имеем
(x + 1)(x − 2)
x +1 x − 2
⇔
x2 − 4x − 2
⎪⎧ x 2 − 4 x − 2 = 0,
=0⇔⎨
(x + 1)(x − 2 )
⎪⎩(x + 1)(x − 2 ) ≠ 0.
27
Корнями уравнения x 2 − 4 x − 2 = 0 являются числа
ляются корнями уравнения (x + 1)(x − 2) = 0 .
Таким образом, уравнение имеет два корня: x1 = 2 +
2+ 6
6
и
и
2− 6
, которые не яв-
x2 = 2 − 6
.
4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Неравенства вида P (x ) > 0 (P (x ) < 0) , где P (x ) – многочлен, называются рациональными.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Неравенства вида a 0 x + a1 > 0 , a 0 x + a1 < 0 , a 0 ≠ 0 , называются
линейными неравенствами.
Множество решений неравенства a 0 x + a1 > 0 определяется знаком числа a 0 :
а) если a 0 > 0 , то решениями являются все x ∈ − aa10 , + ∞ ;
б) если
a0
)
(
< 0 , то решениями являются все x ∈ (− ∞ , − ).
a1
a0
a 0 x + a1 < 0 :
Аналогично для неравенства
а) a 0 > 0 ⇒ x ∈ − ∞ , − aa10 ;
б)
a0 < 0 ⇒
(
x ∈ (−
a1
a0
)
, + ∞ ).
В частности, двучлен
x−a >0
для
x>a
и
x−a <0
для
x<a.
+
–
a
x
4.1. Решение квадратных неравенств
ПРИМЕР. Решить неравенство x 2 − x − 6 < 0 .
Поскольку квадратный трехчлен P (x ) = x 2 − x − 6 имеет
корни x1 = 3 и x 2 = −2 , то P (x ) = (x − 3)(x + 2) . Поэтому данное неравенство равносильно неравен–2
+
+
ству (x − 3)(x + 2) < 0 .
x
–2 – 3
Применяя метод интервалов, получим множество решений неравенства в виде x ∈ (− 2, 3) .
y = x2 − x − 6
y
0
3
x
4.2. Дробно-рациональные неравенства
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Неравенства вида
Q (x )
P(x )
P(x )
P(x )
P(x )
>0,
<0,
≥0,
≤0,
Q (x )
Q (x )
Q (x )
Q (x )
где P (x ) и
– многочлены, Q (x ) ≠ 0 , называются дробно-рациональными.
При решении таких неравенств пользуются следующими утверждениями:
P (x )
> 0 ⇔ P (x )Q (x ) > 0 .
Q (x )
28
P (x )
<0
Q (x )
P (x )Q (x ) < 0 .
⇔
P (x )
≥0 ⇔
Q (x )
P (x )
≤0 ⇔
Q (x )
⎧ P (x )Q (x ) ≥ 0,
⎨
⎩ Q (x ) ≠ 0.
⎧ P (x )Q (x ) ≤ 0,
⎨
⎩ Q (x ) ≠ 0.
К простейшим дробно-рациональным неравенствам относятся дробнолинейные неравенства вида ax + b > 0 .
cx + d
ПРИМЕР. Решите неравенство
x
1
x+5
− −
x − 5 2 2(x − 5)
⇔
x+5
>0 ⇔
x−5
тельно, исходного являются
1
x
> .
x −5 2
Поскольку
(x + 5)(x − 5) > 0 , решением этого неравенства, а следоваx ∈ (− ∞, − 5) ∪ (5, + ∞ ) .
4.3. Системы рациональных уравнений
Пусть задана система уравнений
⎧ f1 (x, y ) = 0,
⎨
⎩ f 2 ( x , y ) = 0.
(1)
Решением системы (1) называют пару чисел (x0 , y 0 ) , подстановка которых
в каждое уравнение системы обращает их в верные числовые равенства.
Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или доказать, что их не существует.
⎧ g1 (x, y ) = 0,
(2)
Система
⎨
⎩ g 2 ( x, y ) = 0
равносильна исходной системе (1), если множества всех решений первой и
второй систем совпадают или они обе решений не имеют.
Укажем некоторые преобразования систем, в результате которых получаются системы, равносильные исходной.
1. Если в исходной системе переставить местами уравнения, то получится
система, равносильная ей.
2. Любое уравнение системы можно заменить равносильным ему уравнением.
3. Пусть a1 и a 2 – некоторые действительные числа и a1 ≠ 0 ;
тогда система (1) равносильна системе
⎧a1 f1 + a 2 f 2 = 0,
⎨
f 2 = 0.
⎩
В частности, системы уравнений
⎧ f1 = 0,
⎨
⎩ f1 − f 2 = 0,
⎧ f1 + f 2 = 0
⎨
⎩ f2 − f2 = 0
⎧ f1 = 0,
⎨
⎩ f 2 = 0,
⎧ f1 + f 2 = 0,
⎨
⎩ f 2 = 0,
⎧ f1 = 0,
⎨
⎩ f1 + f 2 = 0,
⎧ f1 − f 2 = 0,
⎨
⎩ f 2 = 0,
равносильны.
4. Значение неизвестного, найденное из некоторого уравнения системы,
можно подставить в любое другое уравнение той же системы.
5. К системе можно добавить уравнение, являющееся следствием данной
системы.
29
6. Если система содержит уравнение f ⋅ g = 0 , где функции f и g определены
на одном и том же множестве, то она равносильна совокупности двух систем, в
одной из которых уравнение f ⋅ g = 0 заменено уравнением f = 0 , а в другой –
уравнением g = 0 .
ПРИМЕР. Решите системы уравнений:
1)
⎧2 x + 3 y = 2,
⎨
⎩5 x − 6 y = 5.
Используем метод исключения неизвестных. Для исключения
x
первое уравнение умножаем на 5, а второе – на 2 и вычитаем его из первого,
получаем
(15 + 12) y = 10 − 10 ; 27 y = 0 ; y = 0 .
Для исключения y первое уравнение
умножаем на 2 и складываем со
вторым, получаем 9 x = 9 ; x = 1 .
Пара (1, 0) – единственное решение системы.
Графики уравнений системы - это прямые, пересекающиеся в точке (1, 0) .
2)
⎧ x − 3 y = 3,
⎨
⎩ 2 x − 6 y = 6.
Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим
x
(*)
через y : x = 3 y + 3 ,
равенства.
и подставляем во второе уравнение вместо x правую часть этого
Получаем 6 y + 6 − 6 y = 6 ; 0 ⋅ y = 0 .
Последнее равенство верно при любом y . Взяв любое число y и определив
x из (*), получим решение системы в виде (3t + 3, t ), t ∈ R . Таких решений бесконечно много.
Второе уравнение системы получено умножением на 2 первого уравнения,
эти уравнения равносильны, и система равносильна одному из этих уравнений.
каждой ее
График каждого из уравнений – прямая y = 1 x − 1 . Координаты
3
точки – решение данной системы.
3)
⎧ x − 3 y = 3,
⎨
⎩2 x − 6 y = −6.
Из первого уравнения выражаем
x = 3y + 3
и подставляем во
вто-
рое: 6 y + 6 − 6 y = −6 ; 0 ⋅ y = −12 .
Последнее равенство неверно при любом y , значит, система
решений не
имеет.
Графики решений – две параллельные прямые y = 1 x − 1 и y = 1 x + 1 . Они не
3
имеют общих точек поэтому система не имеет решений: (x, y ) ∈ ∅ .
ПРИМЕР. Решите систему уравнений
3
⎧ x + y + z = 1,
⎪
⎨ 2 x + 2 y + z = 1,
⎪ x + 3 y + 2 z = 3.
⎩
Заметим, что ни одно из уравнений системы не является следствием других.
Умножим первое уравнение на (− 2 ) и сложим со вторым, получим − z = −1 ⇒ z = 1 .
Умножим первое уравнение на (− 1) и сложим с третьим, получим
2 y + z = 2 ⇒ y = 0,5 . При этом из первого уравнения x = −0,5 .
Ответ. (− 0,5; 0,5; 1) .
30
5. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Иррациональными называются уравнения, содержащие
неизвестное под знаком корня (радикала).
5.1. Равносильные преобразования иррациональных уравнений
2n
2n
2 n +1
1.
⎡1)
⎢
f (x ) = a ⇔ ⎢
2)
⎢⎣
a < 0 x ∈ ∅,
⎧⎪ f (x ) = a 2 n ,
⎨
⎪⎩a ≥ 0.
⎧⎪ f (x ) = (g (x ))2 n ,
f (x ) = g (x ) ⇔ ⎨
⎪⎩ g (x ) ≥ 0.
f (x ) = g (x ) ⇔
f (x ) = (g (x ))2n +1 ; n ∈ N
.
f ( x ) + g ( x ) = ϕ( x )
ПРИМЕР. Решите уравнение x 2 + 3x − 4 = 2 x + 2 .
⎧ x 2 + 3x − 4 ≥ 0,
⎧ x1 = 2,
⎧(x − 1)(x + 4 ) ≥ 0,
⎪
⎪
⇔ ⎨ x + 1 ≥ 0,
⎨2 x + 2 ≥ 0,
⎪ 2
⎪(x + 3)(x − 2 ) = 0
⎩
⎩ x + 3x − 4 = 2 x + 2
⎪
⇔ ⎨ x 2 = −3, ⇒
⎪x ≥ 1
⎩
x = 2.
2. Уравнения вида 3 f (x ) + 3 g (x ) = ϕ(x ) подвергаются преобразованиям для избавления от иррациональностей. Возведем обе части уравнения в куб, используя
(a + b)3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b) :
формулу
для
куба
суммы
f (x ) + g (x ) + 33 f (x )g (x ) ⋅ (3 f (x ) + 3 g (x ) ) = ϕ 3 (x ) ,
замечая, что 3 f (x ) + 3 g (x ) = ϕ(x ) , получаем следствие исходного уравнения
f (x ) + g ( x ) + 33 f (x )g (x ) ⋅ ϕ(x ) = ϕ 3 (x ) .
После уединения радикала и возведения полученного уравнения в куб находим его корни и непосредственной подстановкой отбираем удовлетворяющие
исходному уравнению.
ПРИМЕР. Решите уравнение 3 3x + 24 + 3 6 x + 21 + 3 = 0 .
3
3x + 24 + 3 6 x + 21 + 3 = 0 ⇔ 3 3x + 24 + 3 6 x + 21 = −3 .
Возведем обе части уравнения в куб:
3x + 24 + 6 x + 21 + 33 (3x + 24 )(6 x + 21) (3 3x + 24 + 3 6 x + 21 ) = −27 ;
3 (3x + 24 )(6 x + 21) = x + 8 .
Замена суммы или разности кубических корней на предписанное исходным
уравнением значение приводит к уравнению-следствию, поэтому в заключение
нужно
сделать
проверку.
Возведем
уравнение-следствие
в куб:
3
2
3(x + 8)(6 x + 21) − (x + 8) = 0 ; (x + 8)(x − 2 x + 1) = 0 ;
(x + 8)(x − 1)2 = 0 ⇒ x1 = −8; x 2 = 1 .
Подставляя эти значения в исходное уравнение, убеждаемся, что значение
x = 1 – посторонний корень.
Ответ. x = −8 .
31
3.
f (x )
a (x )
= g (x )
ПРИМЕР. Решите уравнение
Умножим на
2+ x
4
x−
2+ x
+ 2 + x = 0.
. Тогда
⎧ x ≥ 0,
⎧ x ≥ 0,
⎧⎪ x ≥ 0,
⎪
⎪
⇒ ⎨ x (2 + x ) = (2 − x )2 , ⇒
⇒⎨
⎨2 + x > 0,
⎪⎩ x 2 + x = 2 − x
⎪2 − x ≥ 0
⎪
⎩ x 2 + x − 4(2 + x ) = 0
⎩
⎧ x ≥ 0,
⎪
⇒ ⎨ x = 2 / 3, ⇒
⎪x ≤ 2
⎩
x=
2
3
.
6. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Неравенства, содержащие неизвестное под знаком радикала,
называются иррациональными.
Равносильные преобразования иррациональных неравенств :
⎧ f (x ) ≥ 0,
⎪
f (x ) < g (x ) ⇔ ⎨ g (x ) > 0,
⎪
2
⎩ f (x ) < (g (x )) .
f (x ) ≤ g (x ) ⇔
2n
2 n +1
2n
2 n +1
f (x ) <
f (x ) <
⎧ f (x ) ≥ 0,
⎪
⎨ g (x ) ≥ 0,
⎪
2
⎩ f (x ) ≤ (g (x )) .
f (x ) > g (x )
⎡ ⎧⎪ g (x ) ≥ 0,
⎢⎨
2
⎢ ⎪ f (x ) > (g (x )) ,
⇔ ⎢⎩
⎢ ⎧ f (x ) ≥ 0,
⎢ ⎨⎩ g (x ) < 0.
⎣
f (x ) ≥ g (x )
⎡ ⎧⎪ g (x ) ≥ 0,
⎢⎨
2
⎢ ⎪ f (x ) ≥ (g (x )) ,
⇔ ⎢⎩
⎢ ⎧ g (x ) < 0,
⎢ ⎨⎩ f (x ) ≥ 0.
⎣
2n
g ( x ),
2 n +1
⎧ f ( x ) ≥ 0,
n∈ N ⇔ ⎨
⎩ g ( x ) > f ( x ).
g ( x ), n ∈ N ⇔ f ( x ) < g ( x )
f ( x ) < g ( x ),
⎧ f (x ) ≥ 0,
⎪
n ∈ N ⇔ ⎨ g (x ) > 0,
⎪
2n
⎩ f ( x ) < ( g ( x )) .
f ( x ) < g ( x ), n ∈ N ⇔ f ( x ) < ( g ( x ))
32
2 n +1
2n
2n+1
⎡⎧ g ( x ) ≥ 0,
⎢⎨
2n
⎩ f (x ) > g (x )
f ( x ) > g ( x ), n ∈ N ⎢⎢
g ( x ) < 0,
⎢⎧⎨
⎢⎣⎩ f ( x ) ≥ 0.
f (x) > g ( x), n ∈ N ⇔ f (x) > ( g (x))
ПРИМЕР. Решите неравенство
2n+1
.
x + 5 <1− x .
Это неравенство равносильно системе
⎧ x + 5 ≥ 0,
⎪
⎨1 − x > 0,
⎪
2
⎩ x + 5 < (1 − x ) .
Из первых двух неравенств этой системы найдем −5 ≤ x < 1 . Решая квадратное
неравенство x + 5 < (1 − x )2 ⇔ x 2 − 3x − 4 > 0 , получаем x < −1 , x > 4 . Таким образом,
решениями исходного неравенства являются все x ∈ [− 5, − 1) .
7. УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Для решения уравнения с модулем следует разбить ОДЗ на множества, на
каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак,
что позволит записать на каждом из этих множеств уравнение без знака модуля
и решить его. Объединение этих множеств решений даст решение исходного
уравнения.
1. Уравнение вида
⎡ ⎧ f (x ) = g (x ),
f ( x ) = g (x )
равносильно совокупности двух систем:
⎢⎨
⎢ ⎩ x ≥ 0,
⎢ ⎧ f (− x ) = g (x ),
⎢⎨
⎢⎣ ⎩ x < 0.
ПРИМЕР. Решите уравнение x 2 + 2 x − 8 = 0 .
Избавимся от знака модуля методом интервалов, рассматривая отдельно
решение при x < 0 и x ≥ 0 .
1). При
x<0
x = −x
и имеем систему
⎧⎪ x < 0,
⎨ 2
⎪⎩ x − 2 x − 8 = 0.
Решение квадратного
уравнения дает корни x1 = −2 ; x 2 = 4 . Корень x 2 = 4 не удовлетворяет условию x < 0
и не является решением системы. Следовательно, для отрицательных x имеется
единственное решение исходного уравнения x = −2 .
2). При
x≥0
x =x
и система принимает вид:
⎧⎪ x ≥ 0,
⎨ 2
⎪⎩ x + 2 x − 8 = 0.
Корни квадратно-
го уравнения равны 2 и -4, причем корень -4 не удовлетворяет условию x ≥ 0 и
является посторонним. Следовательно, при неотрицательных x имеется единственное решение x = 2 .
33
2. Уравнение вида f (x ) = g (x ) равносильно одной из двух совокупностей сис⎡ ⎧ f (x ) = g (x ),
⎡ ⎧ f (x ) = g (x ),
⎢⎨
⎢⎨
g (x ) ≥ 0,
f (x ) ≥ 0,
тем: ⎢⎢⎩
или ⎢⎢ ⎩
⎧− f (x ) = g (x ),
⎧− f (x ) = g (x ),
⎢⎨
⎢⎨
⎢⎣ ⎩ g (x ) ≥ 0
⎢⎣ ⎩ f (x ) < 0
в зависимости от вида функций f (x ) и g (x ) .
3. Уравнение вида h( f (x ) ) = g (x ) равносильно совокупности систем
h (− f (x )) = g (x ),
⎧h ( f (x )) = g (x ),
и ⎧⎨
⎨
(
)
f
x
≥
0
⎩
⎩ f (x ) < 0.
ПРИМЕР. Решите уравнение
1 − 2x
= 1.
3− x −1
Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:
⎧ x − 1 ≥ 0,
⎪
⎨ 1 − 2x
⎪ 3 − (x − 1) = 1
⎩
и
⎧ x − 1 < 0,
⎪
⎨ 1 − 2x
⎪ 3 + ( x − 1) = 1.
⎩
Решая уравнение
1 − 2x
=1,
4−x
находим его корень
x = −3 .
Он не удовлетворяет
условию x − 1 ≥ 0 , поэтому первая система решений не имеет.
Решением уравнения 1 − 2 x = 1 является значение x = − 1 . Оно удовлетворяет
2+ x
3
условию x − 1 < 0 , является решением второй системы и единственным решением исходного уравнения.
Ответ. x = −1 / 3 .
8. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
ПРИМЕР. Решите неравенство 5 − x < x − 2 + 7 − 2 x .
Выражения под знаком модуля обращаются в ноль при x1 = 5 , x 2 = 2 и x 3 = 7 / 2 .
Для определения знаков подмодульных выражений решим неравенства
7
5 − x ≥ 0 ⇒ x ≤ 5 ; x − 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 ; 7 − 2 x ≥ 0 ⇒ x ≤ . Составим схему
2
I
5− x
II
+
III
+
+
x−2
–
+
+
7 − 2x
+
+
–
2
3,5
IV
–
–
–
+
5
Решим неравенство, раскрывая модуль на каждом из полученных интервалов.
I. ⎧⎨x ≤ 2 ,
⇒ x < 2;
⎩ 5 − x < 2 − x + 7 − 2x
34
II. ⎧⎨
2 < x ≤ 3,5 ,
⇒ x ∈∅ ;
⎩ 5 − x < x − 2 + 7 − 2x
III. ⎧⎨3,5 < x ≤ 5 ,
⇒ x > 3,5 . Неравенству удовлетворяют
5
−
x
<
x
−
2
−
7
+
2
x
⎩
⎧x > 5 ,
IV. ⎨
⇒ x > 2 . Неравенству удовлетворяют
⎩ x − 5 < x − 2 + 2x − 7
ОТВЕТ.
x ∈ (− ∞; 2 ) ∪ (3,5; + ∞ ) .
Неравенство вида
Неравенство вида
f (x ) > g (x ) , f (x ) < − g (x ) .
f (x ) < g (x )
равносильно системе
f (x ) > g (x )
значения
3,5 < x ≤ 5 ;
значения
x > 5.
⎧ f (x ) < g (x ),
⎨
⎩− f (x ) < g (x ).
равносильно совокупности двух неравенств:
9. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Показательными называются уравнения вида
где a > 0 , a ≠ 1 .
Уравнение a x = b , где a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 , следует решать так:
a x = b ⇔ a x = a loga b ⇒ x = log a b .
a f (x ) = a g (x ) ,
9.1. Равносильные преобразования показательных уравнений
a f (x ) = b
a
f (x )
=b
⎡ ⎧ a > 0, a ≠ 1, b > 0,
⎢⎨
⎢ ⎩ f (x ) = log a b;
⎢ a = 1, b ≠ 1, x ∈ ∅ ;
⎢
⎢ ⎧ a = 1, b = 1,
⎢ ⎨ x ∈ ОДЗ f (x );
⎢⎩
⎢⎣ b ≤ 0, x ∈ ∅ ;
⇔
g (x )
⎧ a > 0, a ≠ 1,
⎪
⇔ ⎨ b > 0, b ≠ 1,
⎪ f (x ) = g (x ) log b;
a
⎩
a f (x ) = a g (x )
⇔
⎧ a > 0 , a ≠ 1,
⎨
⎩ f ( x ) = g ( x ).
ПРИМЕР. Решите уравнение 4 x = 8 2 x −3 .
x
2 x −3
Поскольку 4 x = (2 2 ) = 2 2 x , 8 2 x −3 = (2 3 ) = 2 6 x −9 , то
x −0,5
ПРИМЕР. Решите уравнение (0,2)
5
2 2 x = 2 6 x −9 ⇔ 2 x = 6 x − 9 ⇒
= 5 ⋅ 0,04 x −1 .
Решение:
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝5⎠
x −0,5
⎛1⎞
⋅⎜ ⎟
⎝5⎠
0,5
⎛1⎞
=⎜ ⎟
⎝5⎠
−1
⎛⎛ 1 ⎞2 ⎞
⋅ ⎜⎜ ⎟ ⎟
⎜⎝ 5 ⎠ ⎟
⎠
⎝
x −1
x
⎛1⎞
⎛1⎞
⇔⎜ ⎟ =⎜ ⎟
⎝5⎠
⎝5⎠
ПРИМЕР. Решите уравнение
2 x −3
⇔ x = 2x − 3 ⇒ x = 3 .
4 x + 2 x +1 − 24 = 0 .
35
x=
9
4
.
Приведем его к виду (2 x ) + 2 ⋅ 2 x − 24 = 0 . Пусть t = 2 x , t > 0 . Тогда t 2 + 2t − 24 = 0 .
Отсюда находим t1 = 4 , t 2 = −6 . Таким образом, данное уравнение равносильно
совокупности уравнений 2 x = 4 , 2 x = −6 . Второе уравнение этой совокупности
корней не имеет, так как −6 < 0 , а 2 x > 0 при любом x . Из первого уравнения находим, что x = 2 – единственный корень исходного уравнения.
2
9.2. Равносильные преобразования степенно-показательных уравнений
f (x )
g (x )
= f (x )
h (x )
⇔
⎡ ⎧ g (x ) = h (x ),
⎢ ⎪
⎢1) ⎨ f (x ) > 0,
⎢ ⎪⎩ f (x ) ≠ 1;
⎢
f (x ) = 1,
⎢ ⎧
⎢ 2 ) ⎨ x ∈ ОДЗ g (x ) и h (x ).
⎣ ⎩
9.3. Равносильные преобразования показательных неравенств
В области допустимых значений функций f (x ) , h(x ) и g (x ) справедливо:
⎡ ⎧ f ( x ) > 1,
⎢⎨
g ( x ) > h ( x ),
g (x )
h(x )
f (x )
> f (x )
⇔ ⎢⎩
⎢ ⎧0 < f ( x ) < 1,
⎢ ⎨ g ( x ) < h ( x );
⎣⎩
f ( x )g ( x ) ≥ f ( x )h ( x )
f ( x )g ( x ) < f ( x )h ( x )
f ( x )g ( x ) ≤ f ( x )h ( x )
⇔
⎡ ⎧ f ( x ) ≥ 1,
⎢⎨
⎢ ⎩ g ( x ) ≥ h ( x ),
⎢ ⎧0 < f ( x ) ≤ 1,
⎢ ⎨ g ( x ) ≤ h ( x );
⎣⎩
⇔
⎡ ⎧ f ( x ) > 1,
⎢⎨
⎢ ⎩ g ( x ) < h ( x ),
⎢ ⎧0 < f ( x ) < 1,
⎢ ⎨ g ( x ) > h ( x );
⎣⎩
⇔
⎡ ⎧ f ( x ) ≥ 1,
⎢⎨
⎢ ⎩ g ( x ) ≤ h ( x ),
⎢ ⎧0 < f ( x ) ≤ 1,
⎢ ⎨ g ( x ) ≥ h ( x ).
⎣⎩
ПРИМЕР. Решите неравенство (0,04)5x −x −8 < 625 .
Приводя обе части неравенства к одному основанию, получаем
2
(0,04)5x − x −8 < (0,04)−2 . Так как 0 < 0,04 < 1 5 x − x 2 − 8 > −2 ⇒ x 2 − 5x + 6 < 0 ⇒ x ∈ (2, 3) .
ПРИМЕР. Решите неравенство 4 − x + 0,5 − 7 ⋅ 2 − x − 4 < 0 .
Пусть t = 2 − x , t > 0 , тогда
2
⎧ 2
⎧ ⎛ 1⎞
⎪2 t + (t − 4 ) < 0,
⎪2 t − 7 t − 4 < 0,
⇔ ⎨ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
⇒
⎨
t>0
⎪
⎪⎩
t
0
>
⎩
t ∈ (0, 4 ) .
2 − x < 4 ⇒ − x < 2 ⇒ x ∈ (− 2, + ∞ ) .
36
10. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма, называются логарифмическими.
ПРИМЕР. Решите уравнение
По определению логарифма
1
log 2 2
=x.
64
3
(2 2 )x = 641 ⇔ 2 2 x = 2 −6 ⇔ x = −4 .
⎧a > 0, a ≠ 1, x > 0,
log a x = b ⇔ ⎨
x = ab.
⎩
ПРИМЕР. Решите уравнение
ОДЗ:
x>0.
log 23 5 x = −6 .
По определению логарифма
( )−6 ⇒ x = 1600 −1 .
x = 23 5
⎧a > 0, a ≠ 1,
⎪
loga f ( x ) = b ⇔ ⎨ f ( x ) > 0,
⎪ f (x ) = a b .
⎩
log x a = b
a>0
ПРИМЕР. Решите уравнение
x > 0, x ≠ 1 .
ОДЗ:
(x )
3/ 2 2 / 3
( )
= 2 −3
2/3
⇒
По
x = 2 −2 =
⇔
log x
⎡ a ≠ 1, b ≠ 0
⎢
⎢a = 1, b = 0 :
⎢ a = 1, b ≠ 0
⎢
⎣⎢ a ≠ 1, b = 0
1 3
=
8 2
: x = b a;
x > 0, x ≠ 1;
: x ∈ ∅;
: x ∈ ∅.
.
определению
логарифма
x 3/ 2 =
1
8
,
отсюда
1
.
4
ПРИМЕР. Решите уравнение log 3x 10 − log 2x 10 − 6 log x 10 = 0 .
ОДЗ: x > 0 , x ≠ 1 .
Обозначим t = log x 10 . Тогда t 3 − t 2 − 6t = 0 ⇔ t (t 2 − t − 6) = 0 ⇔
⇔ t (t − 3)(t + 2 ) = 0 , откуда t1 = 0 , t 2 = 3 , t 3 = −2 .
Таким образом, уравнение равносильно совокупности равенств: log x 10 = 0 –
нет корней; log x 10 = −2 ; log x 10 = 3 , значения x1 = 101 / 3 и x 2 = 10 −1 / 2 , удовлетворяющие
ОДЗ, являются решениями уравнения.
37
log a f (x ) = log a g (x )
a > 0, a ≠ 1
log f ( x ) A = log g ( x ) A
A>0
⎧ g (x ) > 0,
⎧ f (x ) > 0,
или ⎨
⇔ ⎨
(
)
(
)
f
x
g
x
=
⎩ f (x ) = g (x ).
⎩
⎧ f (x ) > 0,
⎧ g (x ) > 0,
⎪
⎪
⇔ ⎨ f (x ) ≠ 1, или ⎨ g (x ) ≠ 1,
⎪ f (x ) = g (x )
⎪ f (x ) = g (x ).
⎩
⎩
⎧ g (x ) > 0,
⎪ g (x ) ≠ 1,
⎪
log g ( x ) f (x ) = b ⇔ ⎨
⎪ f (x ) > 0,
⎪⎩ f (x ) = g (x )b .
ПРИМЕР. Решите уравнение
)
(
log x +1 x 2 − 3x + 1 = 1 .
Данное уравнение равносильно системе
x + 1 > 0,
⎧
⎪
⇔
x + 1 ≠ 1,
⎨
⎪ x 2 − 3x + 1 = x + 1
⎩
⎧ x > −1,
⎪
⇔
⎨ x ≠ 0,
⎪ x 2 − 4 x = 0,
⎩
x=4.
Так как ОДЗ явно не указана, проверяем найденное значение x непосредственной подстановкой его в исходное уравнение (log 5 5 = 1) и убеждаемся в правильности решения.
log f ( x ) g (x ) = log f ( x ) h (x )
⎧ g (x ) > 0,
⎧ h (x ) > 0,
⎪ f (x ) > 0,
⎪ f (x ) > 0,
⎪
⎪
⇔ ⎨
или ⎨
(
)
f
x
1
,
≠
⎪
⎪ f (x ) ≠ 1,
⎪⎩ g (x ) = h (x )
⎪⎩ g (x ) = h (x ).
log g ( x ) f (x ) = log p ( x ) f (x )
⎧ f (x ) > 0,
⎧ f (x ) > 0,
⎪ g (x ) > 0,
⎪ p (x ) > 0,
⎪
⎪
⇔ ⎨
или ⎨
(
)
⎪ g x ≠ 1,
⎪ p (x ) ≠ 1,
⎪⎩ g (x ) = p (x )
⎪⎩ g (x ) = p (x ).
ПРИМЕР. Решите уравнение
(
)
(
log x 2 −1 x 3 + 6 = log x 2 −1 4 x 2 − x
Данное уравнение равносильно системе
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪x 3
⎩
).
x 3 + 6 > 0,
x 2 − 1 > 0,
x 2 − 1 ≠ 1,
+ 6 = 4 x 2 − x.
Уравнение этой системы x 3 − 4 x 2 + x + 6 = 0 имеет три корня: x1 = −1 ; x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Число x1 = −1 не удовлетворяет условию x 2 − 1 > 0 . Числа x 2 = 2 и x 3 = 3 являются
решениями этой системы,
а следовательно, и решениями исходного уравнения.
38
11. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Неравенства, содержащие переменную под знаком логарифма, называются логарифмическими.
11.1. Равносильные преобразования логарифмических неравенств
log f ( x ) g (x ) > log f ( x ) h (x )
⎡ ⎧ g (x ) > h (x ),
⎢⎪
⎢ ⎨h (x ) > 0,
⎢ ⎪ f (x ) > 1,
⇔ ⎢⎩
⎢ ⎧h (x ) > g (x ),
⎢ ⎪⎨ g (x ) > 0,
⎢⎪
⎣⎢ ⎩0 < f (x ) < 1.
log f ( x ) g (x ) ≥ log f ( x ) h (x )
⎡ ⎧ g (x ) ≥ h (x ),
⎢⎪
⎢ ⎨h (x ) > 0,
⎢ ⎪ f (x ) > 1,
⇔ ⎢⎩
⎢ ⎧h (x ) ≥ g (x ),
⎢ ⎪⎨ g (x ) > 0,
⎢⎪
⎣⎢ ⎩0 < f (x ) < 1.
log f ( x ) g (x ) < log f ( x ) h (x )
⎡ ⎧ g (x ) < h (x ),
⎢⎪
⎢ ⎨ g (x ) > 0,
⎢ ⎪ f (x ) > 1,
⇔ ⎢⎩
⎢ ⎧h (x ) < g (x ),
⎢ ⎪⎨h (x ) > 0,
⎢⎪
⎢⎣ ⎩0 < f (x ) < 1.
log f ( x ) g (x ) ≤ log f ( x ) h (x )
⎡ ⎧ g (x ) ≤ h (x ),
⎢⎪
⎢ ⎨ g (x ) > 0,
⎢ ⎪ f (x ) > 1,
⇔ ⎢⎩
⎢ ⎧h (x ) ≤ g (x ),
⎢ ⎪⎨h (x ) > 0,
⎢⎪
⎣⎢ ⎩0 < f (x ) < 1.
ПРИМЕР. Решите неравенство log x 2 (2 + x ) < 1 .
Данное неравенство равносильно неравенству
равносильно совокупности двух систем:
⎡ ⎧ x 2 > 1,
⎢⎪
⎢ ⎪⎨2 + x < x 2 , ⇒ x ∈ (− 2, − 1) ∪ (2, + ∞ )
⎢⎪
⇒
⎢ ⎪2 + x > 0
⎢⎩
⎢ ⎧⎪0 < x 2 < 1,
⇒ x ∈ (− 1, 0) ∪ (0, 1)
⎢⎨ 2
⎢⎣ ⎪⎩ x < 2 + x
log x 2 (2 + x ) < log x 2 x 2 ,
x ∈ ( −2, − 1) ∪ ( −1, 0 ) ∪ ( 0, 1) ∪ ( 2, + ∞ ) .
39
которое
log f ( x ) g (x ) ≥ 0
⇔
⎡ ⎧ 0 < f (x ) < 1,
⎢⎨
⎢ ⎩ 0 < g (x ) ≤ 1,
⎢ ⎧ f (x ) > 1,
⎢⎨
⎣ ⎩ g (x ) ≥ 1 .
⎡ ⎧0 < f (x ) < 1,
⎢ ⎨
g (x ) ≥ 1,
log f ( x ) g (x ) ≤ 0 ⇔ ⎢ ⎩
⎢ ⎧ f (x ) > 1,
⎢⎨
⎣ ⎩0 < g (x ) ≤ 1.
log Ψ ( x ) f (x ) ≥ log Ψ ( x ) g (x ) ⇔
log Ψ ( x ) f (x ) ≤ log Ψ ( x ) g (x )
ПРИМЕР. Решите неравенство
⎡ ⎧ f (x ) ≥ g (x ),
⎢ ⎪
⎢ ⎨ g (x ) > 0,
⎢ ⎪⎩Ψ (x ) > 1,
⎢
⎢ ⎧ f (x ) ≤ g (x ),
⎢ ⎪⎨ f (x ) ≥ 0,
⎢⎪
⎢⎣ ⎩0 < Ψ (x ) < 1.
⎡ ⎧ f (x ) ≤ g (x ),
⎢ ⎪
⎢ ⎨ f (x ) > 0,
⎢ ⎪Ψ (x ) > 1,
⇔ ⎢ ⎩
⎢ ⎧ f (x ) ≥ g (x ),
⎢ ⎪⎨ g (x ) > 0,
⎢⎪
⎣⎢ ⎩0 < Ψ (x ) < 1.
log x − 2 (2 x − 3) > log x − 2 (24 − 6 x ) .
⎡
⎡
⎢ ⎪⎧ x − 2 > 1,
⎢ 27
⎢ ⎨24 − 6 x > 0,
⎢ <x<4
⎢⎪
⎢8
⎛ 27 ⎞
⎢ ⎩2 x − 3 > 24 − 6 x ⇔ ⎢
⇒
∈
x
2,
3
, 4⎟ .
∪
(
)
⎜
⎢ ⎧0 < x − 2 < 1,
⎢
⎝ 8 ⎠
⎢⎪
⎢
⎢ ⎨2 x − 3 > 0,
⎢ 2< x<3
⎢⎪
⎢
⎢⎣ ⎩2 x − 3 < 24 − 6 x
⎢⎣
40
12. ТРИГОНОМЕТРИЯ
Радиан – величина центрального угла, опирающегося на дугу, длина
которой равна радиусу данной окружности.
.
180°
1 радиан =
1° ≈ 0,01745 радиан.
.
π
1 радиан = 57°17 ′45′′ .
12.1. Тригонометрические функции произвольного аргумента
y
π/2
x2 + y2
;
M
y
π
y
sin α =
x
cos α =
α
r =1 0
x
0
2π
x
tgα =
3π/2
x2 + y2
y
x
ctgα =
x
y
;
( x ≠ 0) ;
( y ≠ 0) .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ордината точки M , полученной при повороте точки (1, 0)
вокруг начала координат на угол α радиан, называется синусом числа α
(обозначается sin α ), а абсцисса этой точки – косинусом (обозначается cos α ).
Тангенсом числа
косинусу: tgα =
называется отношение синуса этого числа к его
α
sin α
π
, α ≠ + π n , где n ∈ Z .
cos α
2
Котангенсом числа
α
называется отношение косинуса этого числа к его
cos α
, α ≠ π n , где n ∈ Z .
синусу: ctgα =
sin α
Иногда рассматриваются еще две тригонометрические функции секанс и
косеканс, которые определяются так:
1
1
sec α =
cosecα =
, cos α ≠ 0 ,
, sin α ≠ 0 .
cos α
sin α
Формулы, в которых над знаком равенства стоит восклицательный знак (!),
имеют разные области определения в правой и левой частях.
41
Знаки тригонометрических функций
α
sin α
cos α
tgα
ctgα
π
0<α<
2
π
<α<π
2
3π
π<α<
2
3π
< α < 2π
2
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
+
+
–
+
–
–
Значения тригонометрических функций для некоторых углов
Радианы 0
Градусы 0°
π
6
π
4
π
3
π
2
π
3π
2
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
1
0
−1
0
0
−1
0
1
sin α
0
1
2
2
2
cos α
1
tgα
3
2
2
2
3
2
1
2
0
1
3
–
0
–
0
ctgα
3
3
–
3
1
3
3
0
–
0
–
12.2. Основные формулы
1.
5.
2. tgα =
sin 2 α + cos 2 α = 1 .
3. ctgα =
sec α =
cos α
sin α
1
cos α
7. 1 + tg 2α =
π
(α ≠ π n ) .
π
⎞
⎛
⎜ α ≠ + πn ⎟ .
2
⎠
⎝
1
cos 2 α
sin α
cos α
π
⎛
⎞
⎜α ≠ + π n ⎟ .
2
⎝
⎠
4. tgα ⋅ ctgα = 1 .
6.
cosecα =
1
sin α
(α ≠ πn ) .
π
1
⎛
⎞
2
⎜ α ≠ + π n ⎟ . 8. 1 + ctg α =
sin 2 α
2
⎝
⎠
(α ≠ π n ) .
(n ∈ Z ) .
t = tgα :
α≠
π
2
+ π m,
sin 2 α =
1
1
t2
, cos 2 α =
, ctgα = .
2
2
1+ t
1+ t
t
m ∈ Z.
42
Формулы приведения:
x
π+α
π−α
2π − α
sin x
− sin α
sin α
− sin α
cos x
− cos α
− cos α
cos α
tgα
ctgα
tgx
ctgx
− tgα
-ctgα
-tgα
−ctgα
x
π
+α
2
π
−α
2
3π
+α
2
3π
−α
2
sin x
cos α
cos α
− cos α
− cos α
sin α
− sin α
cos x
tgx
ctgx
− sin α
sin α
−ctgα
− tgα
ctgα
tgα
−ctgα
− tgα
ctgα
tgα
Формулы для суммы и разности аргументов
sin (α ± β ) = sinα cosβ ± cosα sinβ ,
cos (α ± β ) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ ,
tg α ± tg β
,
1 ∓ tg α ⋅ tg β
! ctg α ⋅ ctg β ∓ 1
=
.
ctg β ± ctg α
!
tg (α ± β ) =
ctg (α ± β )
Формулы произведений тригонометрических функций
sin α ⋅ sin β =
1
⎡cos (α - β ) - cos (α + β ) ⎤⎦ .
2⎣
cos α ⋅ cos β =
1
⎡cos (α − β ) + cos (α + β ) ⎤⎦ .
2⎣
sin α ⋅ cos β =
1
⎡sin (α − β ) + sin (α + β ) ⎤⎦ .
2⎣
cos α ⋅ sin β =
1
⎡sin (α + β ) − sin (α − β ) ⎤⎦ .
2⎣
tg α ⋅ tg β =
tg α + tg β
.
ctg α + ctg β
ctg α ⋅ ctg β =
ctg α + ctg β
.
tg α + tg β
sin (α + β ) ⋅ sin (α − β ) = cos 2 β − cos 2 α .
cos (α + β ) ⋅ cos (α − β ) = cos 2 β − sin 2 α .
43
Тригонометрические функции двойного аргумента
1. cos 2α = cos (α + α ) = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α =
=
cos 2 α − sin 2 α ! 1 − tg 2 α
.
=
cos 2 α + sin 2 α
1 + tg 2 α
2sin α cos α cos 2 α ! 2 tg α
2. sin 2α = sin (α + α ) = 2sin α cos α =
⋅
=
.
cos 2 α + sin 2 α cos 2 α
1 + tg 2 α
!
2 tg α !
2
3. tg 2α =
=
.
2
1− t g α
ctg α − tg α
!
!
4. ctg 2α =
ctg 2 α − 1 ! ctg α − tg α
.
=
2 ctg α
2
tg
α
2
α
2
≠
2t
,
1+ t2
! 1− t2
cos α =
,
1+ t2
2t
tg α =
.
1− t2
!
sin α =
=t
π
2
+ π n,
n∈Z
Формулы кратных аргументов
sin 3α = −4sin 3 α + 3sin α .
cos 3α = 4 cos3 α − 3cos α .
3 tg α − tg 3 α
.
tg 3α =
1 − 3 tg 2 α
ctg 3 α − 3ctg α
.
3ctg 2 α − 1
sin 4α = 4 cos3 α sin α − 4 cos α sin 3 α .
cos 4α = cos 4 α − 6 cos 2 α sin 2 α + sin 4 α .
ctg 3α =
Формулы половинного аргумента
sin
cos
tg
α
2
ctg
α
2
α
2
α
2
=±
1 − cos α
.
2
=±
1 + cos α
.
2
!
! 1 − cos α
1 − cos α ! sin α
=
=
.
1 + cos α
1 + cos α
sin α
!
1 + cos α ! sin α ! 1 + cos α
=
=
.
1 − cos α
1 − cos α
sin α
= ±
=±
44
Степени тригонометрических функций
1 − cos 2α
.
2
3 sin α − sin 3α
sin 3 α =
4
sin 2 α =
1 + cos 2α
.
2
3 cos α + cos 3α
.
cos 3 α =
4
cos 2 α =
.
3 1
1
− cos 2α + cos 4α .
8 2
8
3 1
1
4
cos α = + cos 2α + cos 4α .
8 2
8
sin 4 α =
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
α+β
α−β
.
cos
2
2
α+β
α−β
.
sin α − sin β = 2 cos
sin
2
2
α+β
α−β
.
cos α + cos β = 2 cos
cos
2
2
α+β
α−β
.
cos α − cos β = −2 sin
sin
2
2
sin α + sin β = 2 sin
sin (α ± β )
.
cos α cos β
sin (α ± β )
ctg α ± ctg β = ±
.
sin α sin β
cos (α − β )
tg α + ctg β =
.
cos α sin β
cos (α + β )
ctg α − tg β =
.
sin α cos β
tg α ± tg β =
45
Некоторые соотношения
⎞
2 ⎛ 2
2
⎛π
⎞
cos α ±
sin α ⎟⎟ = 2 cos ⎜ ∓ α ⎟ = 2 cos ⎛⎜ α ∓ р ⎞⎟ = − 2sin ⎛⎜ α ± р ⎞⎟ .
⎜⎜
2
2⎝ 2
⎝4
⎠
4⎠
4⎠
⎝
⎝
⎠
⎛1
⎞
3
π⎞
⎛
2. sin α ± 3 cos α = 2⎜⎜ 2 sin α ± 2 cos α ⎟⎟ = 2 sin⎜ α ± 3 ⎟ .
⎝
⎠
⎝
⎠
3. 3 sinα ± cosα = 2 ⎜⎛ sinα 3 ± cosα ⋅ 1 ⎟⎞ = 2 sin ⎜⎛ α ± π ⎟⎞ .
1. cos α ± sin α =
2
⎝
⎝
2⎠
6⎠
4. A cosα + B sinα = A2 + B 2 cos ⎛⎜ arctg B − б ⎞⎟ ,
⎝
B
A 2 + B 2 ≠ 0 , sin в =
A + B2
2
⎠
A
A
, cosв=
A2 + B 2
.
5. ( sinб±cosб ) =1±sin2б ⇒ sinб±cosб=± 1±sin2б .
2
6. sin 3б = 4sin α sin ⎛⎜ -б ⎞⎟ sin ⎛⎜ +б ⎞⎟ .
3
3
р
р
⎝
⎠
⎝
⎠
⎞
⎛π
⎞ ⎛π
7. cos 3α = 4 cos α cos⎜ 3 − α ⎟ cos⎜ 3 + α ⎟ .
⎠
⎝
⎠ ⎝
4
4
2
2
8. cos α − sin α = cos α − sin α = cos 2α ;
4
4
(
α = (cos
2
2
sin α + cos α = sin α + cos α
sin 4 α + cos 4
2
α − sin 2 α
)
)
2
2
sin 2 2α
− 2 cos α sin α = 1 −
;
2
2
2
+ 2 cos 2 α sin 2 α =
1 − cos 2 2α 1 + cos 2 2α 3 + cos 4α
= cos 2α +
=
=
.
2
2
4
2
9. cos 6 α + sin 6 α =
cos 6 α − sin 6 α =
1
1
( 5 + 3cos 4α ) = (1 + 3cos 2 2α ) ;
8
4
1
(15 cos 2α + cos 6α) .
16
8
8
10. cos α − sin α =
!
11. tg α + ctg α =
1
cos 2α(3 + cos 4α ) .
4
2
.
sin 2α
46
12.3. Свойства и графики тригонометрических функций
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f (x ) называется периодической, если
существует такое число T ≠ 0 , что 1) для любых допустимых значений x
значения (x + T ) и (x − T ) принадлежат области допустимых значений аргумента;
2) f (x + T ) = f (x ) . Число T называется периодом функции f (x ) .
Свойства функции y = sin x и ее график
1. Область определения - x ∈ R .
2. Область значений функции – y ∈ [− 1; + 1] .
3. Функция y = sin x нечетная- sin(− x ) = − sin x .
4. Функция y = sin x периодическая с периодами 2kπ (k ∈ Z ) .
5. Точки пересечения с осями координат: с осью Oy : если x = 0 , то
с осью Ox (нули функции): sin x = 0 , откуда x = πk , k ∈ Z .
y
y
0
y = sin 0 = 0 ;
α
0
α
π
π/2
3π/2
2π
x
y
y = sin x
1
–2π
–3π/2
–π
0
–π/2
π/2
π
3π/2
2π
–1
6. Изобразим график функции
y = sin x ,
который называется
синусоидой.
x ∈ (− ∞, + ∞ ) ; y ∈ [− 1, 1] ; sin(− x ) = − sin x ; sin(x + 2πk ) = sin x , k ∈ Z .
Свойства функции y = cos x и ее график
1. Область определения – x ∈ R .
2. Область значений функции – y ∈ [− 1; + 1] .
3. Функция y = cos x четная cos(− x ) = − cos x .
4. Функция y = cos x периодическая с периодами 2kπ (k ∈ Z ) .
5. Точки пересечения с осями координат: с осью Oy : если x = 0 , то
с осью Ox (нули функции): cos x = 0 , откуда x = π + πk .
y = cos 0 = 1 ;
2
6. Изобразим график функции
y = cos x ,
который называется косинусоидой.
47
x
Замечание. Так как
π⎞
⎛
cos x = sin⎜ x + ⎟ ,
2⎠
⎝
то график функции
y = cos x
получается из
графика функции y = sin x с помощью параллельного переноса на расстояние
в отрицательном направлении оси Ox .
π/2
y
–3π/2
–π
–π/2
1
y = cos x
0
π/2
π
3π/2
x
–1
x ∈ (− ∞, + ∞ ) ; y ∈ [− 1, 1] ; cos(− x ) = cos x ; cos(x + 2πk ) = cos x , k ∈ Z .
Свойства функции y = tg x и ее график
1. Область определения тангенса состоит из всех действительных чисел, кроме
чисел вида π + kπ , k ∈ Z .
2
2. Область значений – y ∈ R .
3. Функция tg x – нечетная .
4. Функция y = tg x периодическая с положительными периодами kπ , k ∈ Z .
5. Точки пересечения с осями координат: с осью Oy : при x = 0 y = tg 0 = 0 ; с осью
Ox (нули функции): tg x = 0 , откуда sin x = 0 , т.е. x = kπ , k ∈ Z .
6. Изобразим график функции, который называется тангенсоидой.
y
y
1
-π/2 -π/4
0 π/8 π/4
π/2
x
-3π/2 -π
-π/2
–1
x≠
π
+ πk
2
,
k ∈ Z ; y ∈ (− ∞, + ∞ ) ; tg ( − x ) = − tgx ; tg ( x + π n ) = tgx , n ∈ Z .
48
0 π/2
π 3π/2
x
Свойства функции y = ctgx и ее график
1. Область определения котангенса состоит из всех действительных чисел,
кроме чисел вида kπ , k ∈ Z .
2. Область значений – y ∈ R .
3. Функция ctg x – нечетная.
4. Функция y = ctg x периодическая с положительными периодами kπ , k ∈ Z .
5. Точки пересечения с осями координат: с осью Oy график не пересекается;
с осью Ox (нули функции): ctgx = 0 , откуда
cos x = 0 , т.е. x = π + kπ , k ∈ Z .
2
8. Изобразим график функции, который
называется котангенсоидой.
Замечание. Так как
π⎞
⎛
ctg x = − tg ⎜ x + ⎟ ,
2⎠
⎝
то график
функции y = ctgx получается
из графика функции y = tgx с помощью
параллельного переноса на расстояние π / 2 в отрицательном направлении оси
Ox и последующего отражения относительно оси Ox .
x ≠ πk , k ∈ Z ; y ∈ (− ∞, + ∞ ) ; ctg ( − x ) = −ctgx ; ctg ( x + π n ) = ctgx , n ∈ Z .
12.4. Тригонометрические уравнения
1.
⎧⎪ a > 1 ⇒
sin x = a ⇒ ⎨
⎪⎩ a ≤ 1 ⇒
где
2.
x ∈ ∅,
x = (− 1)k arcsin a + πk ,
⎡ π π ⎤
arcsin a ∈ ⎢ − , ⎥ , k ∈ Z .
⎣ 2 2 ⎦
⎧⎪ a > 1 ⇒
cos x = a ⇒ ⎨
⎪⎩ a ≤ 1 ⇒
x ∈ ∅,
x = ± arccos a + 2πk ,
],
3. tg x = a ⇒ x = arctg a + π k ,
где
arccosa ∈ [ 0, π
π π
k ∈Z .
где arctg a ∈ ⎛⎜ − , ⎞⎟ ,
2 2
k ∈Z , a∈R .
⎝
⎠
4. ctg x = a ⇒ x = arcctg a + π k ,
где arcctg a ∈ ( 0, π ) , k ∈ Z , a ∈ R .
49
sin x = a
0
x = πk
1
π
+ 2πk
2
π
x = − + 2πk
2
π
x = (− 1)k + πk
6
π
x = (− 1)k +1 + πk
6
k π
x = (− 1)
+ πk
3
1
2
1
−
2
3
2
x = (− 1)k +1
3
2
−
x = (− 1)k
2
2
π
+ πk
3
π
+ πk
4
x=±
π
+ 2πk
4
x=±
3π
+ 2 πk
4
ctg x = a
0
x = πk
1
π
+ πk
4
π
x = − + πk
4
π
x = + πk
3
π
x = − + πk
3
π
x = + πk
6
π
+ πk
2
π
x = + πk
4
3π
x=
+ πk
4
π
x = + πk
6
5π
x=
+ πk
6
π
x = + πk
6
3
3
−
3
3
x=−
y = kπ + (− 1)k arcsin
через
3
2
,
y,
k ∈Z .
π
+ πk
6
3 ⎞
3
⎛
sin⎜ 5 x + π ⎟ =
8 ⎠ 2
⎝
ПРИМЕР. Решите уравнение
3
π
8
x=
x=
− 3
x=
получим уравнение
Поскольку
arcsin
3 π
=
2
3
3
π
π = (− 1)k + πk , k ∈ Z ,
8
3
3
k
π
окончательно x = (− 1)k − π + π , k ∈ Z .
15 40
5
3
k
k π
Ответ. (− 1) − π + π , k ∈ Z .
15 40
5
x:
5x +
50
2π
+ πk
3
.
sin y =
3
2
. Его решение имеет
, получаем, что
k ∈Z .
Теперь находим
5π
+ 2 πk
6
x=±
tg x = a
3
вид:
π
+ 2πk
3
2π
x=±
+ 2πk
3
π
x = ± + 2πk
6
x=±
a
−1
5x +
x = π + 2 πk
π
+ πk
4
x = (− 1)k +1
2
2
−
x = 2πk
x=
−1
Обозначив
cos x = a
π
x = + πk
2
a
откуда
y = (− 1)k
π
+ πk ,
3
3
π
5 x = − π + (− 1)k + πk , k ∈ Z ,
8
3
ПРИМЕР. Решите уравнение 2 cos x cos 2 x = cos x .
Решение: Преобразуем уравнение к виду cos x (2 cos 2 x − 1) = 0 .
Это
уравнение
равносильно
совокупности
⎡cos x = 0,
⎢
1
⎢⎣cos 2 x = 2
Ответ.
уравнений
π
⎡
⎢ x = 2 + πn, n ∈ Z ,
⇒ ⎢
π
π
⎢2 x = ± + 2πk , k ∈ Z , т.е. x = ± + πk , k ∈ Z .
3
6
⎣
π
π
(n, k ∈ Z ) .
+ πn , ± + πk
6
2
ПРИМЕР. Решите уравнение 2 sin 2 x − cos x − 1 = 0 .
Решение: 2(1 − cos 2 x ) − cos x − 1 = 0 ; 2 cos 2 x + cos x − 1 = 0 .
Пусть cos x = t , t ≤ 1 . Данное уравнение примет следующий вид:
Решив его, найдем
t1 = −1 , t2 =
1
.
2
Итак,
cos x = −1 , cos x =
1
2
2t 2 + t − 1 = 0 .
. Решая каждое из этих
уравнений, получим:
⎡ x = 2πn + π, n ∈ Z ,
⎢
⎢ x = ± π + 2πk , k ∈ Z .
3
⎣
Ответ. (2n + 1)π ,
±
π
+ 2πk
3
(n, k ∈ Z ) .
Решение уравнений с помощью универсальных тригонометрических
подстановок
1. Если уравнение содержит только функции tg x, sin 2 x, cos 2 x , sin 2 x, cos 2 x , то с
помощью формул
tg 2 x
;
sin x =
1 + tg 2 x
2
cos 2 x =
1
;
1 + tg 2 x
cos 2 x =
1 − tg 2 x
1 + tg 2 x
2 tg x
;
1 + tg 2 x
его можно привести к виду f ( tg x ) .
sin 2 x =
2. Если уравнение содержит sin x, cos x и функции половинного угла
помощью формул:
x
2 ,
sin x =
2 x
1 + tg
2
x
2;
cos x =
2 x
1 + tg
2
1 − tg 2
2 tg
уравнение приводится к виду
tg x =
2 tg
1 − tg 2 x
⎛ x⎞
f ⎜ tg ⎟ = 0 .
⎝ 2⎠
ПРИМЕР. Решите уравнение sin 2 x − cos 2 x = tg x .
ОДЗ: x ≠ π + πm , m ∈ Z .
2
2 tg x 1 − tg 2 x
−
= tg x или 2 tg x − 1 + tg 2 x = tg x (1 + tg 2 x ) .
1 + tg 2 x 1 + tg 2 x
Отсюда имеем tg 3 x − tg 2 x − tg x + 1 = 0 . Пусть tg x = t , тогда
t 3 − t 2 − t + 1 = 0 ; t 2 (t − 1) − (t − 1) = 0 ;
(t − 1)2 (t + 1) = 0 ;
(t − 1)(t 2 − 1) = 0 ;
t1 = 1 , t 2 = −1 .
51
x
2
x
2
, то с
π
⎡
⎢ tg x = 1 ⇒ x = 4 + π n, n ∈ Z ,
⎢
⎢ tg x = −1 ⇒ x = − π + π k , k ∈ Z .
⎢⎣
4
Ответ.
π
π
+ πn, − + πk
4
4
(n, k ∈ Z ) .
Однородные уравнения первого порядка:
a sin x + b cos x = 0 ⇔ tg x = −
b
⎛ b⎞
⇔ x = π k + arctg ⎜ − ⎟ , k ∈ Z
a
⎝ a⎠
Однородные уравнения второго порядка:
a sin x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 ⇔ atg 2 x + b tg x + c = 0 ⇒
2
⎧
−b ± b 2 − 4ac
, b 2 − 4ac ≥ 0, a, b, c ≠ 0,
⎪ x = π k + arctg
⇒ ⎨ 1, 2
2a
⎪ x ∈∅, b 2 − 4ac < 0.
⎩
ПРИМЕР. Решите уравнение
10 sin 2 x + 6 sin x cos x − 4 cos 2 x = 0 .
Так как значения
x=
π
+ πn
2
не являются корнями уравнения и
разделим обе части уравнения на
x1 = −
π
+ πn, n ∈ Z
4
Ответ.
xx = −
2
5
cos 2 x :
cos x ≠ 0 ,
то
5 tg 2 x + 3 tg x − 2 = 0 , откуда tg x = −1 ,
2
5
и tg x = , x2 = arctg + π k , k ∈ Z .
π
+ πn ,
4
2
x2 = arctg + π k
5
( n, k ∈ Z ) .
12.5. Тригонометрические неравенства
ПРИМЕР. Решите неравенства
sin x >
1
2
.
y
N
Взяв вспомогательный тригонометрический
круг, мы видим, что искомым значениям x
соответствуют точки дуги MNP , т.е.
π
5
+ 2πn < x < π + 2 πn, n ∈ Z .
6
Ответ.
6
5π
⎛π
⎞
x ∈ ⎜ + 2πn,
+ 2πn ⎟, n ∈ Z
6
6
⎝
⎠
⎛ 5π 1 ⎞
P⎜ , ⎟
⎝ 6 2⎠
1
t − 2t > 0 ⇒ t (1 − 2t ) > 0 ⇒ 0 < t < , т.е.
2
n, k ∈ Z
⇒ 2 πn < x <
π
+ 2πn ,
6
1
x
y
1/2
5π / 6
0
5π
+ 2πk < x < π + 2πk
6
.
Ответ.
π/6
.
2
1
2
5π / 6
0
ПРИМЕР. Решите неравенство sin x + cos 2 x > 1 .
Воспользовавшись формулой cos 2 x = 1 − 2 sin 2 x и
обозначив t = sin x ,
t ≤1,
запишем данное
неравенство в виде
0 < sin x <
⎛π 1⎞
M⎜ , ⎟
⎝6 2⎠
1/2
π
⎛
⎞ ⎛ 5π
⎞
x ∈ ⎜ 2πn, + 2πn ⎟ ∪ ⎜
+ 2πk , π + 2πk ⎟, n, k ∈ Z .
6
6
⎝
⎠ ⎝
⎠
52
,
π/6
1
x
12.6. Обратные тригонометрические функции
числа
1. Арксинусом
называется такое число
x
⎡ π π⎤
y ∈ ⎢− , ⎥ ,
⎣ 2 2⎦
синус которого равен x .
⎡ π π⎤
y = arcsin x , x = sin y , x ≤ 1 , y ∈ ⎢ − , ⎥ .
x
0
sin x
0
π
6
1
±
2
±
±
±
π
4
±
2
2
±
⎣ 2 2⎦
π
±
2
π
3
3
2
±1
arcsin (− x ) = − arcsin x ; sin(arcsin x ) = x ,
2. Арккосинусом числа
равен x .
y = arccos x , x = cos y , x ≤ 1 ,
π
π
π
0
x
cos x
x
cos x
1
2π
3
1
−
2
6
4
3
2
2
2
−
2
2
x ≤ 1 ; arcsin x
монотонно возрастает.
называется такое число
x
y ∈ [0, π] ,
π
2
0
5π
6
−
3
2
arccos(− x ) = π − arccos x ; cos(arccos x ) = x ,
если
x ≤ 1 ; arccos x
монотонно убывает.
3. Арктангенсом
числа
x
называется такое число y ∈ ⎛⎜ − π , π ⎞⎟ ,
⎝
y
π/2
2 2⎠
тангенс которого равен x .
π π
y = arctg x , x = tg y , y ∈ ⎛⎜ − , ⎞⎟ , x ∈ R .
arctg ( − x ) = − arctg x ;
⎝
π/4
–1
2 2⎠
0
x
1
–π/2
tg ( arctg x ) = x , x ∈ R ;
arctg x
косинус которого
y ∈ [0, π] .
3
1
2
3π
4
если
монотонно возрастает.
4.
Арккотангенсом числа x называется такое число
которого равен x .
y
y = arcctg x ,
x = ctg x ,
y ∈ (0, π ) ,
π
x ∈ R . arcctg ( − x ) = π − arcctg x
ctg ( arcctg x ) = x , x ∈ R
π/2
arcctg x монотонно убывает.
–1
53
0
y ∈ (0, π ) ,
1
котангенс
x
ПРИМЕРЫ
1. 4 arctg ( x 2 − 3x − 3) − π = 0 .
По определению α = arctg ( x 2 − 3x − 3) ,
arctg ( x 2 − 3 x − 3) =
π
4
;
⎛ π π⎞
α∈⎜− , ⎟ ;
⎝ 2 2⎠
tg arctg α = 1 ⇒ x 2 − 3 x − 3 = 1 ;
x1, 2 = −1; 4 .
Ответ.
2.
x1, 2 = −1; 4 .
arcsin x <
π
6
тогда
.
⎧⎪ОДЗ : x ≤ 1,
⎧⎪ x ≤ 1,
⇒ x ∈ [− 1, 12
⇒ ⎨
⎨
1
1
⎪⎩ x < 2
⎪⎩arcsin x < arcsin 2
).
54
13. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
13.1.Таблица производных
1.
2.
(c = const ) .
c′ = 0
(x )′ = nx ⇔ x ′ = 1,
(a )′ = a ln a .
n −1
n
x
3. x
5. (log a x )′ =
1
x ln a
′
′
1
1
⎛1⎞
x =
⎜ ⎟ =− 2 ,
x
⎝ ⎠
2 x
x
′
4. e x = e x .
′
′
1
.
cos 2 x
′
10. ( ctg x ) = −
1
11. (arcsin x )′ =
.
1 − x2
13. ( arctg x ) =
( )
7. (sin x )′ = cos x .
x
′
(cos x ) = − sin x .
9. ( tg x ) =
.
.
6. (ln x )′ = 1 .
8.
( )
1
.
sin 2 x
12. (arccos x )′ = −
1
1− x2
′
1
.
1 + x2
.
14. ( arcctg x ) = −
1
.
1 + x2
13.2. Правила дифференцирования
1. (cu )′ = cu ′ , c = const .
3. (uv )′ = u ′v + v ′u .
4.
5.
2. (u ± v )′ = u ′ ± v ′ .
′
⎛ u ⎞ u ′v − uv ′
⎜ ⎟ =
⎝v⎠
v2
′
cv ′
⎛c⎞
⇒ ⎜ ⎟ =−
.
⎝v⎠
v2
y = f (u ), u = u (x ) ⇒ y x ′ = f u ′u x ′ .
13.3. Уравнение касательной и нормали к графику функции
Уравнение касательной к графику функции
y = f (x ) в точке (x 0 , y 0 ) :
y = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ) .
Условие перпендикулярности двух прямых
с угловыми коэффициентами k1 и k 2 :
1
k 1 ⋅ k 2 = −1 ⇒ k 2 = − .
y − f (x 0 ) = −
M 0 (x 0 , f (x 0 ))
f (x 0 )
k
T
k1
Уравнение прямой, проходящей через точку
касания (x 0 , y 0 ) перпендикулярно касательной к
графику y = f (x ) :
y = f (x )
y
0
x0
x
1
(x − x 0 ) .
f ′(x 0 )
Если функция s(t ) задает зависимость пути от времени, то скорость
движения равняется значению v (t ) = s ′(t ) , а ускорение a (t ) = v ′(t ) .
55
13.4. Исследование функций с помощью производной
Критическими называются точки, в которых производная функции
равняется нулю, не существует или обращается в бесконечность. Критические
точки разбивают область определения функции на интервалы монотонности.
Максимумы и минимумы функции называются ее экстремумами.
Необходимым условием существования экстремума функции является
равенство нулю ее производной в точке экстремума: f ′(x 0 ) = 0 (если в этой точке
производная существует).
Геометрически это означает, что касательная к графику функции f (x ) в
точке экстремума параллельна оси x .
Достаточным условием существования экстремума функции в точке x 0
является изменение знака ее производной в этой точке.
Так в точке x 0 максимума функции знак производной изменяется с
положительного на отрицательный, что соответствует возрастанию функции до
точки максимума при x < x 0 и убыванию после нее при x > x 0 .
13.5. Схема построения графиков
1. Найти область определения функции. Установить точки разрыва.
2. Определить, является ли функция четной (нечетной) и периодической.
3. Определить нули функции f (x ) = 0 .
4. Найти производную функции и ее критические точки, в которых f ′(x ) = 0 , не
существует или стремится к бесконечности.
5. Определить границы интервалов непрерывности, дифференцируемости и
монотонности функции.
6. Вычислить знаки производной на интервалах монотонности и выяснить, на
каких из них функция возрастает или убывает. Найти точки экстремума.
7. Построить эскиз графика функции, вычислив ее значения в некоторых
точках.
14. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Вектором называется направленный отрезок с началом в точке
точке B : aG = AB .
Длиной вектора AB , или его модулем AB , называется
A
и концом в
расстояние
между точками A и B .
G
Нулевым называется вектор нулевой длины 0 .
Векторы называются равными,G если их длины и направления совпадают.
Суммой векторов aG и b называется вектор cG , G
геометрически представляемый диагональю параллелограмма, a
G G K
G
построенного на этих векторах:
c =a+b .
G
b
G
G
Разностью
векторов a и b называется
вектор c , в сумме с
G
G G G G
G
G
вектором b дающий вектор a : c = a − b
a
c
G
G
Вектор (− b ) называется противоположным вектору b , если
G
G
b
его длина равна длине вектора b , а направление
противоположно.
56
G
c
Произведением вектора aG на число λ называется вектор λaG . Геометрически
умножение вектора на число приводит к сжатию или растяжению исходного
вектора в λ раз.
Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:
G G
G
G
1. aG + b = b + aG ;
5. λ ⋅ (aG + b ) = λ ⋅ aG + λ ⋅ b ;
G
G
6. (λ + µ )⋅ aG = λ ⋅ aG + µ ⋅ aG ;
2. (aG + b )+ cG = aG + (b + cG ) ;
G
3. ∀ aG : aG + 0 = aG ;
7. λ ⋅ (µ ⋅ aG ) = (λ ⋅ µ )⋅ aG ;
G
4. ∀ aG : ∃ − aG : aG + (− aG ) = 0 ;
8. ∀ aG : 1 ⋅ aG = aG .
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных
прямых.
G
Условием коллинеарности двух векторов является равенство aG = λ ⋅ b .
G G
i, j ,
Декартовым
базисом
на
плоскости
являются
векторы
G
G G G
y
удовлетворяющие условиям: i ⊥ j , i = j = 1 .
G
G
AB = x ⋅ i + y ⋅ j
или AB = { x2 − x1, y2 − y1 } .
Координаты
единичных
векторов,
которые
G
называются ортами системы координат, равны i = {1, 0 },
G
j = {0, 1 } .
Единичный вектор (орт) в направлении вектора aG
G
G
a
имеет вид: a0 = .
M
y2
B
N
y1
A
K
j
G
O i
P
x1
Q
x2
x
a
d=
A
и
(x B − x A )2 + ( y B − y A )2 - расстояние
d
между точками
B.
y
yB
B(xB , y B )
yA
C
O
A( x A , y A )
xA
xB
(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 = R 2 - уравнение окружности с центром
y
C (x0 , y0 ) и радиусом R .
y
Если центром окружности является начало координат 0
O (0, 0) , то уравнение имеет вид:
x2 + y2 = R2 .
O
G G G
G
G
В декартовом базисе {i , j , k }, где i = {1, 0, 0 } , j = {0, 1, 0 } ,
G
k = {0, 0, 1 } , вектор OA имеет координаты { x, y, z }, его длина
OA = x 2 + y 2 + z 2
M ( x, y )
C ( x0 , y0 )
x0
.
Координаты вектора AB , у которого начало и конец
имеют координаты A(x1, y1, z1 ) и B(x2 , y2 , z2 ) :
AB = {(x2 − x1 ), ( y2 − y1 ), (z2 − z1 ) } ,
его длина
AB = (x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .
57
x
x
z
z
A
x
x
G G
k j
G
i O
y
y
A1
G
Условием коллинеарности двух векторов aG = {a x , a y , a z } и b = {bx , by , bz } в
пространстве является пропорциональность их соответствующих координат.
G
Из векторного равенства aG = λ ⋅ b следует, что a x = λ ⋅ bx , a y = λ ⋅ b y , a z = λ ⋅ bz и
ax a y az
=
=
=λ.
bx by bz
Линейным операциям над векторами соответствуют такие же операции над
G
их проекциями: aG ± λ ⋅ b = {a x ± λ ⋅ bx , a y ± λ ⋅ by , a z ± λ ⋅ bz }.
При сложении векторов их координаты складываются, а при умножении
вектора на число его координаты умножаются на то же число.
G
Скалярным произведением векторов aG и b называется число, равное
произведению их модулей на косинус угла между ними:
(aG ⋅ bG ) =
G G
a ⋅ b ⋅ cos φ, 0 ≤ φ ≤ π ,
(aG ⋅ bG ) = aG ⋅ пр a bG = bG ⋅ пр baG ,
проекция вектора
G
a
на направление вектора
(aG ⋅ bGG)
cos φ = G
a ⋅ b
( ),
G G
G
G a ⋅b
b пр b a = G
b
.
Алгебраические свойства скалярного произведения
(λaG, bG ) = λ ⋅ (aG ⋅ bG ) ;
1.
(aG ⋅ bG ) = (bG ⋅ aG ) ;
2.
3.
((aG + bG )⋅ cG ) = (aG ⋅ cG ) + (bG ⋅ cG ) ;
4. (aG ⋅ aG ) =
G
a
2
.
Условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их
G
скалярного произведения: (aG ⋅ b ) = 0 , при этом cos φ = 0 ⇒ φ = π .
2
Если векторы
G
a
G
b
заданы своими координатами в декартовом базисе,
то скалярное произведение векторов
G
выражается через их координаты следующим образом: (aG ⋅ b ) = x1x2 + y1 y2 + z1z2 .
G
G
G
G
a = x1 ⋅ i + y1 ⋅ j + z1 ⋅ k ,
и
G
G
G
G
b = x2 ⋅ i + y 2 ⋅ j + z2 ⋅ k ,
G
a =
cos φ =
(aG ⋅ aG ) =
x12 + y12 + z12
;
x1x2 + y1 y2 + z1z2
x12 + y12 + z12 ⋅ x22 + y22 + z22
Условие перпендикулярности векторов:
.
(aG ⋅ bG ) = x1x2 + y1 y2 + z1z2 = 0
58
15. ПЛАНИМЕТРИЯ
Произвольный треугольник
a+b+c
A
–
2
полупериметр;
S – площадь; r и R – радиусы
b
ma
ha
вписанной и описанной окружностей; ha , в a ,ma –
βa
длины
высоты,
медианы
и
биссектрисы,
.
проведенной к стороне a.
C
∠ A = б, ∠ B = в, ∠ C = г .
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Сумма внутренних углов треугольника равна 180° .
a, b, c – длины сторон ∆ ABC ; p =
c
a
B
Внешний угол треугольника равен сумме двух других внутренних углов
треугольника, не смежных с ним.
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов:
a
b
c
.
=
=
sinб sinв sinг
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на
косинус угла между ними:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cosб .
1
abc
1
S = p ( p − a )( p − b )( p − c ) ;
S = aha ; S = ab ⋅ sinC ; S = p ⋅ r ; S =
;
2
4R
2
c 2 sina⋅ sinв
.
S = 2 R 2sinб ⋅ sinв ⋅ sinг ; S =
2sinг
Биссектриса треугольника
Для любого треугольника существует только одна вписанная окружность.
Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его
биссектрис.
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону
на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
S
( p − a )( p − b )( p − c ) = p ⋅ tg α tg β tg γ = p − c tg г = 4 R ⋅ sin б sin в sin г
r= =
(
)
2
2
2
p
p
2 2 2
2
ab ( a + b + c )( a + b − c )
2ab ⋅ cos ( г/2 )
.
a+b
a+b
Высота треугольника
Три высоты треугольника, или три прямые, на которых лежат высоты,
пересекаются в одной точке, которая называется его ортоцентром.
lc =
59
=
Медиана треугольника
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой
пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Точка пересечения медиан треугольника совпадает с его центром тяжести.
Медиана делит площадь треугольника пополам.
1
ma =
2b 2 + 2 c 2 − a 2 .
2
A
Перпендикуляры, проведенные через
середины сторон треугольника
R
O – центр описанной окружности;
abc
C
B
R=
.
R
O R
4S
Прямоугольный треугольник
A
a и b – катеты; c – гипотенуза; ac и bc – проекции
bc
катетов на гипотенузу; a 2 + b2 = c 2 – теорема
O
c
a+b−c
c b
1
1
Пифагора; S = ab ; S = chc ; r =
; R= ;
mc
2
2
2
2
hc
ac
2
2
2
hc = ac bc ; a = cac ; b = cbc ;
C
a
B
a = csinA = ccosB = b ⋅ tgA = b ⋅ ctgB ;
1
ab = chc ; mc = c = R .
B
2
Равносторонний треугольник
RR
2
a
r
r a
a 3
; a = R 3;
S=
r
4
R
A
a
C
a 3
a 3
; R=
.
a = 2r 3 ; r =
6
3
Окружность, круг
r
r – радиус окружности; C – длина окружности;
O
S –площадь круга; C = 2р ⋅ r ; S = р ⋅ r 2 .
Сектор, сегмент
r – радиус окружности; l – длина дуги, ограничивающей
A
сектор; Sсек – площадь сектора; n° – градусная мера
R
l
центрального угла; α – радианная мера центрального угла;
O α
рr ⋅ n°
рr 2 ⋅ n° 1 2
B
l=
= r ⋅ α ; Sсек =
= r α;
180°
360°
2
2
r
Sсегм = S AlB = S AOBl − S ∆ AOB = (α − sinб ) .
2
Центральный угол AOB измеряется градусной мерой дуги, на которую он
опирается: ∠ AOB = AB = α .
60
Вписанный в окружность угол равен половине
центрального угла, опирающегося на ту же дугу, или
дополняет ее до 180° .
C
A
O
B
C
Угол между хордой и полукасательной в ее концевой точке
измеряется половиной соответствующего центрального угла.
A
B
D
Произведения отрезков пересекающихся хорд равны:
AS ⋅ BS = DS ⋅ CS .
O
A
C
B
S
D
С
Если через точку проведены секущая окружности и
касательная, то произведение отрезков секущей равно
квадрату отрезка касательной: CP 2 = AP ⋅ BP .
Р
B
A
Произведения отрезков секущих на их внешние части
равны: AP ⋅ BP = DP ⋅ EP .
C
P
B
A
E
D
Углы с вершиной внутри или вне окружности равны:
DM
AF
+
AC − DE
∠ ABC =
.
; ∠ DKM =
2
2
F
A
D
K
B
C
E
M
Произвольный выпуклый четырехугольник
d1 и d 2 – длины диагоналей;
ϕ – угол между ними;
a
S – площадь.
A
1
∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 360° ; S = d1d 2sinϕ .
2
61
B
b
d2
d
ϕ
d1
C
c
D
Квадрат
d 1 = d 2 = d ; d1 ⊥ d 2 ;
a
B
d2
;
S =a =
2
a
d
r= ; R= .
2
2
C
R
2
r
a
O
A
a
B
Параллелограмм
a и b – длины смежных сторон параллелограмма ABCD ;
b
ϕ
A – величина угла между этими сторонами; ha – высота,
ha
O
опущенная на сторону a ; d1 , d 2 – длины диагоналей;
A
a
S – площадь параллелограмма;
ha = b ⋅ sinA ; d12 = a 2 + b 2 − 2abcos∠ABC ; d12 + d 22 = 2 ( a 2 + b2 ) ; S = a ⋅ ha ;
a
D
C
d1
d2
D
2
2
2
2
1
S = absin∠BAD ; S = d1d 2sin∠AOB ; S = AC − BD tgA = AB − AD tg∠ AOD .
2
d1 ⊥ d 2 ;
4
Ромб
S = a ⋅ ha ;
S = a sinB ;
2
d12 + d 22 = 4a 2 ;
O – центр вписанной окружности;
d1 = 2asin
α
2
;
d 2 = 2acos
α
2
,
2
1
S = d1d 2 ;
2
h
r= a ;
2
B
a
a
r
O C
a
ha
A
a
α
D
б = ∠ADC .
ТРАПЕЦИЯ
a и b – основания;
B
b
c и d – боковые стороны;
h – высота; d1 и d 2 – длины диагоналей;
ϕ
c
l
l – средняя линия;
h d1
ϕ – угол между диагоналями;
A
a
S – площадь;
a+b
a+b
dd
⋅ h ; S = 1 2 sinϕ .
; S=
l=
2
2
2
Если a + b = c + d , то в трапецию можно вписать окружность.
Описать окружность можно только в том случае, если c = d .
Многоугольники
n – число сторон или вершин;
( n − 2 )1800 – сумма внутренних углов;
n ( n − 3)
– число диагоналей.
2
62
C
d
d2
D
16. СТЕРЕОМЕТРИЯ
Произвольная призма
l – боковое ребро;
P – периметр основания;
S – площадь основания;
H – высота;
Pсеч – периметр перпендикулярного сечения;
Sбок – площадь боковой поверхности;
V – объем;
Sсеч – площадь перпендикулярного сечения.
Sсеч ⊥ l ; V = Sсеч ⋅ l ;
V = Sосн ⋅ H ; Sбок = Pсеч ⋅ l .
B1
C1
D1
A1
F1
l
b
E1
c
d
a
C
B
f
A
e
D
E
F
Параллелепипед. Прямой параллелепипед
Sбок = Pсеч ⋅ l ;
ABCD –
параллелограмм;
V = S⋅H ;
Sбок = P ⋅ l ;
V = S ⋅l .
A1
B1
d
D1
C1
d
d
O
l
A
B1
A1
l
C1
D1
A
B
B
C
D
D
C
Прямоугольный параллелепипед и куб
ABCD –прямоугольник;
ABCD – квадрат;
Sбок = 2 ( a + b ) ⋅ c ;
Sбок = 4a ;
Sпов = 6a 2 ;
V = abc ;
d 2 = a 2 + b2 + c 2 .
V = a3 ;
d = a 3.
A1
D1
2
d
A
B
d
c
A
D
C
a
B
a
D
63
C1
D1
C1
b
a
B1
A1
B1
a
a
C
Произвольная пирамида
S
S – площадь основания;
H – высота;
V – объем;
Sбок – площадь боковой поверхности;
α – угол между боковой гранью и плоскостью
основания;
β – угол между боковым ребром и плоскостью
основания;
l – высота боковой грани (для правильной пирамиды апофема);
P – периметр основания;
1
V = Sосн ⋅ H ;
3
V=
B
H
l
α
A
C
O β
E
D
S
r
( Sбок + Sосн ) ,
3
где r – радиус вписанного шара.
Правильная пирамида
ABCD – правильный многоугольник;
S = Sбок ⋅ cosб ;
1
Sбок = P ⋅ l .
2
Правильная усеченная пирамида
S1 и S2 – площади оснований;
h – высота; V – объем;
l – апофема;
a1,a2 , P1 и P2 – стороны и периметры оснований;
h1 ,h2 – высоты пирамид с общей вершиной;
1
Sбок = ( P1 + P2 ) ⋅ l ;
2
1
S1 a12 h12
V = h S1 + S1 ⋅ S2 + S2 ;
=
= .
S2 a22 h22
3
Цилиндр
(
l
B
C
α
l
β
β
α O
A
D
B1
A1
B
C1
D1 l
h
C
O
A
D
)
R – радиус основания;
Sбок – площадь боковой поверхности;
Sп – площадь полной поверхности;
V – объем;
Sбок = 2рRH ; Sп = 2рR ( R + H ) ; V = рR 2 H .
64
O1
H
R
O
Конус
S
Sбок = рRl ; Sполн = рR ( R + l ) ;
1
V = рR 2 H .
3
α
l
l
H
R
R
A
O
Усеченный конус
1
V = рH ( R 2 + Rr + r 2 ) ;
3
Sбок = р ⋅ l ⋅ ( R + r ) ;
r
l
H
Sп = рl ( R + r ) + рR 2 + рr 2 .
R
Шар. Шаровой сектор
S – площадь поверхности шара;
R – радиус шара;
h – высота сегмента;
V – объем;
4
S = 4рR 2 ; V = рR 3 .
3
Шаровой сектор:
2
Sшар.сек = рR ( 2h + a ) ; Vшар.сек = рR 2 h .
3
Шаровой слой:
Sпов = р ( 2 RH + r12 + r22 ) ;
(
R
O
R
)
h
O
1
V = рH 3 ( r12 + r22 ) + H 2 ,
6
где r1 и r2 – радиусы сечений шара.
Шаровой сегмент:
R
1 ⎞
⎛
Sшар.сегм = Sсегм + Sосн = 2рRh + рa 2 ; Vшар.сегм = рh 2 ⎜ R − h ⎟ .
3 ⎠
⎝
65
2a
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задание 1. Арифметика
Вариант 1
Вариант 2
1. Вычислите:
1. Вычислите:
1⎞
3 ⎞
3
⎛
⎛
.
⎜ 26,7 − 13 ⎟ : 1,8 + 0,125⎜1,88 + 2 ⎟ + 22 ⋅
5⎠
25 ⎠
5,5
⎝
⎝
1⎞
⎛ 1
⎞
⎛ 1
⎜ 4 − 0,004 ⋅ 300 ⎟ : 29,25 + ⎜ 4 − 3 ⎟ : 70.
2⎠
⎝ 8
⎠
⎝ 5
Ответ: 20.
2. ⎛⎜ 41 − 17 ⎞⎟ ⋅ 18 + ⎛⎜ 8 − 23 ⎞⎟ : 99 + 7 .
Ответ: 0,11.
2. 10 + 3 ⋅ ⎛⎜ 17 : 17 ⎞⎟ + 3,75 : 5 .
Ответ: 2.
Ответ: 5,5.
3. ⎛⎜ 16 − 1,7 ⎞⎟ : 0,05
⎝ 18
36 ⎠ 65
⎝7
49 ⎠ 49
16
6
25 ⎞
⎛
⎜ 2,3 + 5 : ⎟ ⋅ 7
4⎠
⎝
.
0,8 ⋅ 0,125 + 6,9
3.
Ответ: 300.
4. Найдите x из пропорции:
⎛ 108
⎞
+ 0,56 ⎟ 0,25 : 5 − 4
9⎜
⎝ 75
⎠=
6 25 .
33 124
5x
−
2
9
⎛ 94 53 ⎞ 3
⎜ + ⎟⋅
x
⎝ 50 25 ⎠ 16 =
.
5 13 1
2
99
− ⋅
+ 7,7 :
72 18 26
15
4
Ответ: 70.
5. Найдите число, если 8% его равны
24.
Ответ: 300.
6. Вычислить:
Ответ: 8.
5.Найдите число, если 140% его
равны 182.
Ответ: 130.
6. Вычислить:
−2
0
⎞
⎛
⎜ 8 − 6 ⋅ ⎛⎜ 5 ⎞⎟ ⎟ .
⎟
⎜
18
⎠
⎝
⎠
⎝
⎛ −3 ⎛ 3 ⎞ −4 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞ 0
⎞
⎜ 2 + ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎟ : ⎜ ⎜ ⎟ − 12 ⋅ 3 −3 ⎟ ⋅ 18.
⎜
⎟
⎟ ⎜⎝ 6 ⎠
4
2
⎠
⎝
⎠
⎝
⎝
⎠
⎠ ⎝
Ответ: 0,25.
7. (2 −1 / 2 ) −6 − (0,125) −1 + (21 / 2 ) 0 .
Ответ: 1.
Ответ: 29,65.
7. ⎛⎜ (3 ) + ⎛⎜ 3 ⎞⎟ ⎞⎟ .
⎜
⎝
5
Ответ: 1,6.
9. 12 63 − 27
2
3
5
2
Ответ: 6.
10. (10 − 7
1/ 3
1/ 3
0
−1 / 4 8
⎝ 2 ⎠ ⎟⎠
2
2
4
⎝ 16 ⎠
2
.
⎝ 49 ⎠
−1
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝ 13 ⎠
.
Ответ: 48.
244
9. 12
3
)(3 100 + 3 70 + 3 49 )
⎛ 16
6⎞
⎟
(3 16 − 3 6 ) ⎜⎜
+
3 ⎟⎠
⎝ 3
−2
Ответ: 0,81.
8. ⎛⎜ 7 ⎞⎟ ⋅ 56 ⋅ ⎛⎜ 1 ⎞⎟ − 160
2
⎛ 1 ⎞
3 ⋅ 27 ⋅ 45 ⋅ ⎜ ⎟ +
4
⎝ 32 ⎠
.
245
8.
6
⎠
⎠
⎝5
.
⎞
⎛ 33
⎜ − 1,5 ⎟ : 1,5
⎠
⎝ 20
Ответ: 3,1.
4. Найдите x из пропорции:
2
2 ⎝ 4
2
.
25 15(38 2 − 23 2 )
.
Ответ: 0,4.
10. (7 27 − 7 8 )(27
2
1/ 2
27 − 64
2
Ответ: 0,03.
Ответ: 0,2.
66
+ 81 / 2 )
.
Задание 2. Алгебра
Вариант 1
Вариант 2
1.Упростите выражение:
1. Упростите выражение:
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
.
a2 − b2
(a 2 − b 2 )(a 2 − ab + b 2 )
.
a−b
Ответ:
( a + b) 2
.
a −b
Ответ: a + b .
2.Выполнить действия:
3
2.Выполнить действия:
b 2 + 2b − 3
− b.
b −1
2
a 2 + 4a + 2
−a− .
a
a
Ответ: 4.
3. 2 x +
a + ax
Ответ:
4.
Ответ: 3.
3. a − b − a
2
1
.
a+x
4.
4a 2 b − ab 2
b2
a
+
+
.
2
2
a−b
a + ab + b
b3 − a3
(b − a ) 2
.
2
a + ab + b 2
Ответ:
6. ( x − b
+ x )⎞
⎟⎟.
2ax
1 − (a + x ) −1 ⎜⎝
⎠
2
a
+
x
+
(
1
)
Ответ:
.
2ax
7. ⎛⎜ a1,5 + b1,5 − a 0,5b 0,5 ⎞⎟ : (a − b) + 2b 0,5 .
⎜ a 0,5 + b 0,5
⎟
a 0,5 + b 0, 5
⎝
⎠
Ответ: 2
8. ⎛⎜ a + x +
⎞
a−x
1
⎟
⎜ a + x − a − x + 1⎟ : ( a + x − a − x ) a + x .
⎝
⎠
Ответ: 2(a + x) .
9.Упростить выражение и вычислить
его
при
заданном
значении
параметра:
n n + n3 n
4n n (1 + 6 n )
3
⎜
⎟
3
⎝2 m −6 2 ⎠
Ответ: 3,2.
10. ⎛⎜ ( a 3 −
m = 3.
a +2 2
a +2 a +a 2+ 8
−1
.
−1 / 2
1 + a −1 / 2 ⎞ a + 1
⎜ 1 + a −1 / 2 + 1 − a −1 / 2 ⎟⎟ : a − 1 .
⎝
⎠
Ответ: 2.
9.Упростить выражение и вычислить
его
при
заданном
значении
параметра:
⎛ 3m + 15 ⎞
при
⎟
( m m + 5 m + m 18 + 15 2 ) : ⎜
3
x2
2b 2
−1
⎞
⎟⎟ .
⎠
7. ⎛⎜ 1 − a
8. ⎛⎜⎜ 1 + 1 ⎞⎟⎟ : 2 a .
⎝a− b a + b ⎠ a −b
3
c − 1.
2 −1
Ответ:
Ответ: 1.
Ответ: 6.
10. a + a 18 + 6
2
) + ( x 2 + b 2 ) −1 1 ⎛ b 2
− ⎜
2
2 −1
( x − b ) − ( x 2 + b 2 ) −1 2 ⎜⎝ x 2
2
3
+ 5c c 2 + 5
.
+
c + 1 ⎠ 1 − 5c
c +1
⎝ 5c − 1
2
2
x−2
.
2 x( x − 3 y )
5. ⎛⎜ c + 5 + c + 5 ⎞⎟ : c
⎛ a
⎞
12a − 9a
9
9a
⎟⎟.
− 1 : ⎜⎜
+
+ 2
3
−
a
3
a
a
a
27
3
9
−
+
+
(3 − a) 2
⎝
⎠
3
1
2
1
+
+
.
x 2 + 3 xy 9 y 2 − x 2 2 x − 6 y
Ответ:
2
−1
3
2
ab
.
a+b
Ответ:
1
.
a
Ответ: –1.
6. 1 + (a + x) ⎛⎜1 − 1 − (a
− b3
.
a − b2
2
a−b
Ответ:
5.
3
⎜
⎝
при a = 2.
3
−3
a = 18 2 .
Ответ: 36.
Ответ: 1.
65
при
)
n=
5
.
64
⎛ a 2 + 9 ⎞ ⎞ (a − 3) −1
+ 1⎟⎟ ⎟⎟
27 a −3 : ⎜⎜
3 −1 / 2
⎝ 3a
⎠ ⎠ (6a )
при
Задание 3. Функции и их графики
Вариант 1
Вариант 2
Построить графики функций.
Построить графики функций.
1.
y = 2− x.
1.
y = 2x − 1.
2.
y = x2 + 2x + 3 .
2.
y = 2 ( x − 3 )2 .
3.
y = 1−
2
x
3.
y=
4.
y=
4.
y=
5.
y=
.
5.
y = x2 3 .
x
6.
y = 32 x .
6.
⎛ 1⎞2
y=⎜ ⎟
⎝3⎠
7.
y = 2 log( 1 2 ) x .
7.
y = log 2 x
.
x3
3
x
.
.
(2 ) .
3x + 4
.
x−1
3
x4
.
8. y = 3cos ( 2x ) .
8. y = sin2 x .
9. y = tg 3x .
9. y = 2 + ctg x .
10. y = arctg x .
10. y = arccosx .
66
Задание 4. Многочлены
Вариант 1
1.Выполнить умножение и привести подобные члены:
(a + 5)(a 2 − 5a + 25).
Ответ:
a 3 + 125.
2. Выполнить умножение и привести подобные члены:
5a ( 2 x − 3) − 3 x ( 2 x − 3) + (3 − 2 x ).
Ответ: (2 x − 3)(5a − 3 x − 1).
3. Вставить нужные числа вместо символов:
(⊗ x + 3) 2 = 4 x + ⟨⟩ x + 9.
Ответ: ⊗ = ±2 , ⟨⟩ = ±12.
4.Разложить на множители:
(2c + 1) 3 − 27.
Ответ:
2(c − 1)(4c 2 + 10c + 13).
5.Выделить полный квадрат:
x 2 − 2 x + 5.
Ответ:
( x − 1) 2 + 4.
6.Произвести деление многочленов:
(−2 x + x 2 − x + 2 x 3 ) : ( x + 1).
Ответ:
2 x 2 − x − 1.
7.Найти значение коэффициента при x 2 в выражении:
( x − 2)(2 − 3 x)(2 x + 5) + 2( x 2 − 1).
Ответ: 3.
8.Найти значение a , при котором данное равенство верно для всех x :
8 x − 35a − 3 ⎛ 7 1 ⎞
x
= ⎜ + ⎟( x − 1) + .
15a
3
⎝ 3 5a ⎠
Ответ: 0,125.
9.Найти значения a и b , при которых данное равенство является верным
для всех x : (3x + 4) = (3b − 4a) x + 12 (17 − a) x + 16.
2
2
b
Ответ: 3; 7.
10.Найти числа
A, B, C ,
при которых справедливо равенство:
1
A
B
C
= +
+
.
x( x − 1)( x + 2) x x − 1 x + 2
Ответ:
1 1 1
− ; ; .
2 3 6
67
Вариант 2
1.Выполнить умножение и привести подобные члены:
(2b − 1)(1 + 2b + 4b 2 ).
Ответ:
8b 3 − 1.
2. Выполнить умножение и привести подобные члены:
135a 12 x 8 + 90 a 10 x 11 − 36 a 6 x 16 .
Ответ:
9a 6 x 8 (15a 4 + 10a 4 x 3 − 4 x 8 ).
3.Вставить нужные числа вместо символов:
(3 x + ⊗) 2 = 9 x 2 +
Ответ:
⊗=
1
x + ⟨⟩ .
2
1
1
, ⟨⟩ =
.
12
144
4.Разложить на множители:
( p − 2) 3 + 27.
Ответ:
( p + 1)( p 2 − 7 p + 19).
5.Выделить полный квадрат:
a2 +
Ответ:
1
a + 3.
2
2
1 ⎞ 47
⎛
⎜a + ⎟ + .
4⎠
4
⎝
6.Произвести деление многочленов:
(1 − x 2 − 3 x + 6 x 3 ) : (2 x − 1).
Ответ:
3x 2 + x − 1.
7.Найти значение коэффициента при
x2
в выражении:
1⎞
⎛
⎜ x − ⎟(4 x − 2) + (1 − x)( 2 x + 5) x.
4⎠
⎝
Ответ: 1.
8.Найти значение a , при котором данное равенство верно для всех x :
( 2 x + 5)( 2a + 7) = (6a + 1) x + 10 a + 35.
Ответ: 6,5.
9.Найти значения a и b , при которых данное равенство является верным
для всех x :
( x + 7)( x + 8) = x 2 + (4a + b) x + 2a − b + 56.
Ответ: 2,5; 5.
10.Найти числа
A, B, C ,
при которых справедливо равенство:
x
A
B
C
=
+
+
.
( x − 1)( x + 2)( x + 3) x − 1 x + 2 x + 3
Ответ:
1 2 3
; ;− .
12 3 4
68
Задание 5. Рациональные уравнения и системы
Вариант 1
Вариант 2
1Решить уравнение:
1.Решить уравнение:
71 − 3 x 1
= .
6x − 9 3
17
7
= 2− .
x
5x
Ответ: 14,8.
Ответ: 5,2.
2.Найти меньший корень уравнения:
2.Найти меньший корень уравнения:
24 x( x + 1) = 4 x 2 − 7.
61x( x + 1) = 31x 2 − 30.
Ответ: –0,7.
Ответ: –1,2.
3.Решить уравнение:
3.Решить уравнение:
2
− 15 = 8 x.
x
1−
Ответ: –2; 0,125.
Ответ: –1; 16.
15 16 .
=
x x2
5
6x
x
−
=
.
b + 3 3 − b b2 − 9
4. ax − b + a + bx = (a2 + b)2 .
4.
Ответ:
Ответ: –5.
2
a+b
a −b
a −b
2ab
.
a2 + b2
5. 4 x 4 + 3x 3 + 32 x + 24 = 0.
5. 3 + 27 + x 2 + 813 = 0.
x
x
Ответ: –2; -0,75.
Ответ: –3.
6. ( x 2 − 0,01)(2 x − 5) = ( x − 2,5)( x + 0,1) 2 .
6. ( x + 0,5)( x 2 − 9) = (2 x + 1)( x + 3) 2 .
Ответ: –0,1; 0,3; 2,5.
Ответ: –9; -3; -0,5.
7. x
− 256
= 2(7 x + 12).
16 − x 2
−8
= 12 x − 8.
2x − 4
7. x
3
4
Ответ: -10.
Ответ: 20.
8.Решить систему уравнений:
8.Решить систему уравнений:
⎧15 x + 2 y = 2
⎨
⎩13 x − 3 y = −3
⎧2 x + 11 y = −2
⎨
⎩ x − 3 y = −1
Ответ: (0; 1).
Ответ: (-1; 0).
8
⎧1
=0
⎪ +
9. ⎨ x 191 − 35 y
⎪19 x + 12 y = 22
⎩
⎧7 x + 24 y = 65
9. ⎪⎨ 3
1
⎪ 4 x + 13 − y = 0
⎩
Ответ: (-2; 5).
Ответ: (-1; 3).
⎧x + y + z = 1
10. ⎪⎨2 x + 2 y + z = 1
⎪x + 3 y + 2z = 3
⎩
⎧4 x − 7 y + 8 z = 0
10. ⎪⎨ x − 2 y − z = −3
⎪6 x + 2 y + 3 z = −9
⎩
Ответ: (-0,5; 0,5; 1).
Ответ: (-2; 0; 1).
69
Задание 6. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля
Вариант 1
Вариант 2
1.Решить уравнение:
1.Решить уравнение:
5 − 4 x = 1.
2 − 5 x = 16.
Ответ: 1; 1,5.
Ответ: –2,8; 3,6.
2.Найдите целочисленные решения
уравнения:
2.Найдите целочисленные решения
уравнения:
x 2 − 3 x + 2 x − 2 = 0.
x 2 + 2 − x − 3 − 5 x = 0.
Ответ: 1.
Ответ: 5.
3.Решить неравенство:
3.Решить неравенство:
0,5 − x < 3.
x − 3 < 1.
Ответ: (-2,5; 3,5).
4.Найти наибольшее целое
удовлетворяющее неравенству:
Ответ: (2; 4).
x,
4.Найти наибольшее целое
удовлетворяющее неравенству:
5 x − 3 > 6 x − 2.
x − 3 > 2 x.
Ответ: 0.
5.Найти наименьшее целое
удовлетворяющее неравенству:
x,
Ответ: 0.
x,
5.Найти наименьшее целое
удовлетворяющее неравенству:
2x + 5
> 1.
x +1
3x − 4
> 2.
x−3
Ответ: 0.
Ответ: 4.
6.Решить неравенство:
6.Решить неравенство:
1 ≤ x − 1 ≤ 3.
2 ≤ x + 1 ≤ 4.
Ответ: x ∈ [−2,0] ∪ [2,4].
Ответ: x ∈ [−5,−3] ∪ [1,3].
69
x,
Задание 7. Иррациональные уравнения и системы
Вариант 1
Вариант 2
1.Решить уравнение:
1.Решить уравнение:
x +1+ 2 = 4 2 .
3−x =4 3.
Ответ: –1.
2.
Ответ: 0.
9 − 5x
1
.
=
3 − 8x
2
2.
4− x
1
=
.
x+2
3
Ответ: 5.
Ответ: 2,5.
3. x + 2 = 2 + x − 6 .
3. x + 25 − x = 5.
Ответ: 7.
Ответ: 0; 25.
4. ( x 2 + 4 x) x − 3 = 0.
4. ( x 2 − 1) 2 x + 1 = 0.
Ответ: 3.
Ответ: –0,5; 1.
5. x + 1 = 11 − x.
5. 4 − x = x + 2.
Ответ: 8.
Ответ: 0.
6. 2 x + 1 −
4
x +1
+ 7 = 0.
6. 10 x + 3 + 17 =
Ответ: –0,75.
7.
8
10 − x
6
x+3
.
Ответ: –2,91.
− 10 − x = 2.
7. x + 3 +
4
x+3+3
= 2.
Ответ: 6.
Ответ: -2.
8. x − 7 = x − 1.
8. x − 10 = x + 2.
Ответ: 3.
Ответ: 1.
9. 4 x 2 − 1 + x = x − 2 .
9. 1 − x 2 − x = 2 x + 1.
Ответ: 0,625.
Ответ: 0; 0,6.
10.Решить систему уравнений:
10.Решить систему уравнений:
⎧⎪ x + x + y = 4
⎨
⎪⎩ y − x = 7
⎧⎪ 2 x + y + 1 − x + y = 1
⎨
⎪⎩3x + 2 y = 4
Ответ: (1; 8).
Ответ: (2; -1).
71
Задание 8. Свойства логарифмов
Вариант 1
Вариант 2
Вычислить:
Вычислить:
1. log 2 0,25.
1. log1 / 9 3.
Ответ: –2.
Ответ: –0,5.
2. log 32 9.
2. log 32 8.
Ответ: 4.
Ответ: 27.
3. log 6 34 − log 6 17 + log 6 18.
2
3
3. log 2 27 − 2 ⋅ log 2 3 + log 2 .
Ответ: 2.
Ответ: 1.
4. 6 log
1/
4. 2
log
2
5
.
5. log 2 log1 / 3
.
5. log 9 log 4 (3 4 ).
1
.
9
Ответ: –0,5.
Ответ: 2.
6. 27
2
Ответ: 0,25.
Ответ: 25.
1
3 log16 81
6
6. 3
.
3
log ⎛ 3
⎜
⎝
6 ⎞⎟
⎠
3
.
Ответ: 6.
Ответ: 2.
7. 0,8(1 + 9 log 8 ) log 5 .
3
7. log1 / 4 (log 2 3 ⋅ log 3 4).
Ответ: 4.
Ответ: –0,5.
72
65
Задание 9. Логарифмические уравнения
Вариант 1
Вариант 2
Решить уравнение:
49
1. ⎛⎜ ⎞⎟
x +1
⎝ 16 ⎠
Решить уравнение:
−3
2x
9
3
25
1. ⎛⎜ ⎞⎟ = ⎛⎜ ⎞⎟ .
⎛4⎞
=⎜ ⎟ .
⎝7⎠
⎝5⎠
⎝ 9 ⎠
Ответ: –5,5.
Ответ: 3.
2. 2 x −1 = 2 2 .
2. 5 2− x = 125.
Ответ: 2,5.
Ответ: -1.
3. 7 x −1 − 62 − 2 x = 0.
3. 53 x − 7 −2 x = 0.
Ответ: 1.
Ответ: 0.
4. 8 ⋅ 3 x = 243 ⋅ 2 x −2.
4.
Ответ: 5.
Ответ: 3.
5. 9 x − 75 ⋅ 3 x −1 − 54 = 0.
5. 4 x +1 − 15 ⋅ 2 x −1 − 1 = 0.
Ответ: 3.
Ответ: -3.
1
2
17 x −1 = 102 ⋅ 6 x − 4.
6. log1 / 4 x = −2.
6. log 4 2 x = .
Ответ: 16.
Ответ: 1.
7. log 3 (2 − x) = 2.
7. log 0,5 (3x + 1) = −2.
Ответ: -7.
Ответ: 1.
8. log1 / 3 3 x + 1 = −1.
8. log 2 x − 1 = 1.
Ответ:26.
Ответ:3.
9. log 8− x 11 − 0,5 = 0.
9. log 12− x 3 − 1 = 0.
x
Ответ: -113.
Ответ: 3.
10. log 3 (2 x 2 + 5 x + 6) = lg100.
10. log 2 ( x 2 + 4 x + 11) = log 0,5 0,125.
Ответ: 0,5; -3.
Ответ: –3; -1.
73
Задание 10. Рациональные и иррациональные неравенства
Вариант 1
Вариант 2
1.Найти наибольшее целое
удовлетворяющее неравенству:
1.Найти наибольшее целое
удовлетворяющее неравенству:
x,
2 x + 1 3x − 1
−
> 1.
3
2
9 x + 2 10 x − 2
−
> 2.
10
9
Ответ: –1.
Ответ: –8.
2.Найти целочисленные
неравенства:
решения
2.Найти целочисленные
неравенства:
x,
решения
6x − 5
< 0.
4x + 1
2x − 3
< 0.
x +1
Ответ: 0.
Ответ: 0; 1.
3. Найти целочисленные решения
неравенства:
3. Найти целочисленные решения
неравенства:
2 x 2 − 9 x + 4 < 0.
x 2 − 6 x + 5 < 0.
Ответ: 1; 2; 3.
Ответ: 2; 3; 4.
4.Решить неравенство:
4.Решить неравенство:
1 1
> .
x 3
2
1
> .
2x + 3 4
Ответ: (0; 3).
Ответ: (-1,5; 2,5).
5.Решить неравенство:
7 x
− > 0.
x 7
5.Решить неравенство:
Ответ: (−∞,−7) ∪ (0; 7).
6.Найти наименьшее целое
удовлетворяющее условию:
x 8
< .
2 x
Ответ: (−∞,−4) ∪ (0; 4).
x,
6.Найти наименьшее целое
удовлетворяющее условию:
x > 2.
2 − 2 x < 1.
Ответ: 5.
Ответ: 1.
7.Решить неравенство:
7.Решить неравенство:
x − 0,5 < 1.
4 + 2 x < 1,5.
Ответ: [-2; -0,875].
Ответ: [0,5; 1,5].
8. Решить неравенство:
8. Решить неравенство:
14 − x > 2 − x.
2 x − 1 > x − 4.
Ответ: (-2; 14].
Ответ: [1; 10].
74
x,
Задание 11. Показательные и логарифмические неравенства
Вариант 1
1.Найти наименьшее целое
удовлетворяющее неравенству:
2−x < 2 .
Ответ: 0.
2.Найти наибольшее целое
удовлетворяющее неравенству:
3
2x
Вариант 2
1.Найти наименьшее целое
удовлетворяющее неравенству:
x,
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝7⎠
< 3 3.
Ответ: 0.
3.Найти наибольшее целое
удовлетворяющее неравенству:
3 ⋅ 5 x +1 + 6 ⋅ 5 −( x +1) <
⎛3⎞
⎜ ⎟
⎝4⎠
Ответ: 5.
3. Найти наибольшее целое
удовлетворяющее неравенству:
x,
81
.
5 x +1
2
5. ⎛⎜ ⎞⎟
⎝5⎠
lg 3
x −1
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝ 3⎠
− lg 3
⎛1⎞
>⎜ ⎟
⎝9⎠
16 − x
.
2 x +1
−3
1− x
5. ⎛⎜ 1 ⎞⎟ > ⎛⎜ 1 ⎞⎟ .
⎝5⎠
⎝5⎠
Ответ: (1; 4).
6.Найти наименьшее целое
удовлетворяющее неравенству:
x,
x,
lg 8 + lg 20 < lg 5 + lg 2 2 x −5.
< lg 3.
Ответ: –5.
7.Найти наибольшее целое
удовлетворяющее неравенству:
x2 +2 x
Ответ: (-8; 4).
25
> .
4
2 x+4
x,
Ответ: 6.
4.Решить неравенство:
27
<
.
64
Ответ: (-2; -0,4).
6.Найти наименьшее целое
удовлетворяющее неравенству:
x,
162 ⋅ 35− x − 2 ⋅ 3 x −5 > 0.
Ответ: (-1; 7).
6 −5 x
2+5 x
> 7.
4 x / 3 < 16.
Ответ: –1.
4.Решить неравенство:
6 x +10 − x 2
−x / 3
Ответ: 4.
2.Найти наибольшее целое
удовлетворяющее неравенству:
x,
x,
Ответ: 6.
7.Найти наибольшее целое
удовлетворяющее неравенству:
x,
x,
x⎞
⎛
log 2 ⎜ 4 − ⎟ − log 2 8 < 0.
2⎠
⎝
log 3,1 (2 x − 8) − log 3,1 6 < 0.
Ответ: 6.
8.Найти целые числа x , при которых
выполняется неравенство:
Ответ: 7.
8.Найти целые числа x , при которых
выполняется неравенство:
log1 / 2 (2 x − 1) + log1 / 2 12 > log1 / 2 10 + log1 / 2 6.
log 2 / 3 (3x + 6) > log 2 / 3 3 + 2 log 2 / 3 2.
Ответ: 1; 2.
9.Решить неравенство:
Ответ: -1; 0; 1.
9.Решить неравенство:
log1 / 5 ( x − 5) > −2.
log1 / 9 ( x + 3) > −0,5.
Ответ: (5; 30).
9. log 5 ( x + 1) < 2.
Ответ: (-13; 12).
Ответ: (-3; 0).
10. log 3 ( x + 20) < 3.
Ответ: (-20; 7).
74
Задание 12. Тригонометрия
Вариант 1
Вариант 2
1.Решить уравнение:
1.Решить уравнение:
cos x = −1.
cos x = 1.
Ответ: р + 2рk , k ∈ Z .
2. Решить уравнение:
Ответ: 2рk , k ∈ Z .
2. Решить уравнение:
sin x = 1 / 2.
Ответ: π + 2πk ; 5π + 2πk , k ∈ Z .
6
6
tgx = − 3.
Ответ:
3. Решить уравнение:
tgx = 3 .
Ответ: р + рk , k ∈ Z .
−
р
+ рk ; k ∈ Z .
3
3.Решить уравнение:
sin x = −1 / 2.
Ответ: − р + 2рk , k ∈ Z .
6
3
4.Найти решения уравнения
заданном промежутке:
4.Найти решения уравнения
заданном промежутке:
на
sin(р( x − 2)) = 0, 0 < x < 4.
cos(р( x − 3)) = 0, 4 < x < 6.
Ответ: 1; 2; 3.
5. 3 + 2 cos πx = 0,
Ответ: 5.
5.1 + 2sin рx = 0,
9
8 < x < 20.
3
Ответ: 3,5.
6.Решить уравнение:
Ответ: 10,5.
6.Решить уравнение:
tg
x
= 1.
2
Ответ:
2 < x < 4.
sin 4 x =
3
.
2
Ответ:
р
+ рk , k ∈ Z .
2
±
р рk р
; ± + рn , k , n ∈ Z .
+
12 2
6
7.Решить уравнение:
7. Решить уравнение:
1
.
2
Ответ: π
Ответ:
1
ctg 2 x = .
3
cos 2 x =
4
+
πk
2
, k ∈ Z.
р
+ рk , k ∈ Z .
3
8.Решить уравнение:
8.Решить уравнение:
2 sin 2 2 x + 7 sin 2 x − 4 = 0.
2 cos 2 x + 5 sin x − 4 = 0.
Ответ:
±
р
5р
+ 2рk ,
+ 2рn, k , n ∈ Z
6
6
Ответ:
.
р
5р
+ рk ,
+ π n, k , n ∈ Z
12
12
9. Решить уравнение:
9.Решить уравнение:
sin 2 x = sin 3x.
cos
Ответ:
2πk ,
π
5
+
2πn
, k, n ∈ Z
5
.
sin x >
5π
7π ⎞
⎛
; 2πk +
⎟, k ∈ Z .
⎜ 2πk +
6
6 ⎠
⎝
.
3
.
2
Ответ:
11.Решить неравенство:
π
2р ⎞
⎛
⎜ 2рk + ; 2рk + ⎟ , k ∈ Z .
3
3 ⎠
⎝
11.Решить неравенство:
tgx < 1.
Ответ:
6рk 6рn
;
, k, n ∈ Z
7
5
10.Решить неравенство:
3
cos x < −
.
2
Ответ:
x
= cos 2 x.
3
Ответ:
10.Решить неравенство:
.
ctgx < −1.
р
р⎞
⎛
⎜ рk − , рk + ⎟ , k ∈ Z .
2
4⎠
⎝
Ответ:
75
3р
⎛
⎞
⎜ рk + , рk + р ⎟ , k ∈ Z .
4
⎝
⎠
на
Задание 13. Планиметрия
Вариант 1
1. Найти основание равнобедренного треугольника, если его боковая сторона
равна 23, а периметр равен 81.
Ответ: 25.
2. Найти третью сторону прямоугольного треугольника, если даны две другие
его стороны: 2 5 и 4 .
Ответ: 2; 6.
3. Найти площадь прямоугольного треугольника с катетом 2,5 и гипотенузой
281
.
2
Ответ: 10.
4. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна
Найти его периметр.
2( 2 − 1) .
Ответ: 2.
5. Гипотенуза прямоугольного треугольника в 3 раза больше меньшего из
катетов. Найти медиану, проведенную к гипотенузе, если больший катет
равен 4 2 .
Ответ: 3.
6. Одна из сторон параллелограмма равна 21, а периметр равен 123. Найти
длину стороны параллелограмма, смежной с данной.
Ответ: 40,5.
7. Одна из диагоналей параллелограмма, равная
9
6,
2
составляет с основанием
угол 60 D . Найти длину второй диагонали, если она составляет с тем же
основанием угол 45D .
Ответ: 13,5.
8. Хорда делит окружность на части в отношении 5:7. Найти вписанный угол,
опирающийся на меньшую из дуг, стягиваемых этой хордой.
Ответ:
75 D
9. Окружность радиуса 6 3 описана около равнобедренного треугольника с
углом 120 D . Найти его основание.
Ответ: 18.
10. Вычислить вписанный угол, опирающийся на дугу, равную
окружности.
Ответ: 15D.
81
1
длины
12
Вариант 2
1. Периметр треугольника равен 156. Найти периметр треугольника,
вершинами которого служат середины сторон данного треугольника.
Ответ: 78.
2. Найти третью сторону прямоугольного треугольника, если даны две другие
его стороны: 5 и 4.
Ответ: 3; 41 .
3. Высота равностороннего треугольника равна 7 ⋅ ( 4 3 ) . Найти площадь
треугольника.
Ответ: 49.
4. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 25, а высота
равна 20. Найти периметр треугольника.
Ответ: 80.
5. Катет прямоугольного треугольника равен 4, а медиана треугольника,
проведенная к гипотенузе, равна 2,5. Найти периметр треугольника.
Ответ: 12.
6. Диагональ ромба, лежащая против угла 60 D , равна 11,2. Найти периметр
ромба.
Ответ: 44,8.
7. В параллелограмме одна из сторон равна 2 3 , а диагональ равна 8. Найти
синус угла между диагоналями, если другая диагональ составляет с заданной
стороной угол 60 D .
Ответ: 75.
8. Секущая и касательная, выходящие из одной точки, соответственно равны
40 и 20. Секущая удалена от центра на 8. Определить радиус круга.
Ответ: 17.
9. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 40 D . Определить
острый угол между радиусом описанной окружности, проведенным в
вершину прямого угла, и гипотенузой.
Ответ: 80 D
10. Найти длину дуги сектора, если его площадь равна 15, а радиус круга
равен 6.
Ответ: 5.
77
Задание 14. Стереометрия
Вариант 1
1. Боковая поверхность куба равна 3. Чему равна длина диагонали куба?
Ответ: 1,5.
2. Основанием призмы служит ромб со стороной 2 и острым углом 30 D . Найти
объем призмы, если ее высота равна 3.
Ответ: 6.
3. Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник,
основание которого равно 8, а боковая сторона равна 5. Найти площадь
боковой поверхности призмы, если ее высота равна высоте треугольника,
проведенной к его основанию.
Ответ: 54.
4. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7, а сторона
основания равна 8. Определить боковое ребро.
Ответ: 9.
5. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6, двугранный
угол при основании равен 45 D . Определить объем пирамиды.
Ответ: 9.
6. Найти диаметр шара, если его объем равен
2048р
.
3
Ответ: 16.
7. В куб вписан шар. Найти объем шара, если объем куба равен
156
.
р
Ответ: 26.
8. Найти высоту конуса, если его объем равен 48р , а диаметр основания равен
3
.
2
Ответ: 768.
9. Площадь полной поверхности цилиндра равна 172 р . Найти площадь осевого
сечения цилиндра, если диаметр его основания равен 8.
Ответ: 140.
10. Объем цилиндра равен 572. Найти объем другого цилиндра, у которого
диаметр основания в 3 раза больше, а высота в 3 раза меньше, чем у данного
цилиндра.
Ответ: 1716.
78
Вариант 2
1. Полная поверхность куба равна 3. Чему равна длина диагонали грани куба?
Ответ: 1.
2. Основанием призмы служит равносторонний треугольник, площадь
которого равна 9 3 . Найти объем призмы, если ее высота в 3 раз больше
стороны основания.
Ответ: 162.
3. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 7, а стороны основания
равны 4 и 5. Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Ответ: 126.
4. Найти объем правильного тетраэдра с ребром 3 2 .
Ответ: 9
5. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 1, а ее боковая
поверхность 0,5 3 . Найти высоту пирамиды.
Ответ: 0,5.
6. Объем конуса равен 162 р . Найти диаметр основания конуса, если его высота
равна 6.
Ответ: 18.
7. В куб вписан шар. Найти площадь поверхности шара, если площадь полной
поверхности куба равна
1170
.
р
Ответ: 195.
8. Высота конуса равна диаметру основания. Найти радиус основания конуса,
если объем конуса равен
128р
.
3
Ответ: 4.
9. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 15р . Найти площадь
основания цилиндра, если его высота равна длине окружности основания.
Ответ: 3,75.
10. Объем шара равен 12. Найти объем другого шара, у которого площадь
поверхности в 9 раз больше, чем у данного шара.
Ответ: 324.
79
18. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов общеобразовательных
учреждений / Ш.А. Алимов [и др.] 7-е изд. М.: Просвещение, 1999.
2. Геометрия: учебник для 10 – 11 кл. сред. шк. / Л.С. Атанасян [и др.] 2-е изд.
М.: Просвещение, 1993.
3. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала
анализа / В.С. Крамор. М.: Просвещение, 1990.
4. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих во втузы /
М.И. Сканави. М.: Высшая школа, 1988.
5. Цыпкин А.Г. Справочник по методам решения задач по математике для
средней школы / А.Г. Цыпкин, А.И. Лидский. М.: Наука, ГРФМЛ, 1989.
6. Ткачук В.В. Математика – абитуриенту / В.В. Ткачук. МЦНМО, 1998.
7. Письменный Д.Т. Готовимся к экзамену по математике / Д.Т. Письменный.
Айрис Рольф. М.: 1997.
8. Райхмист Р.Б. Задачник по математике для поступающих в вузы / Р.Б.
Райхмист. Московский лицей. М.: 1996.
80
Учебное пособие
Соболев Александр Борисович
Вигура Марина Александровна
Рыбалко Александр Федорович
Рыбалко Наталья Михайловна
I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА
Редактор Н.П.Кубыщенко
Подписано в печать 15.04.2005
Формат 60x84 1/16
Бумага писчая
Плоская печать
Усл.печ.л. 4,70
Уч.-изд.л. 4,4
Тираж
Заказ
Цена “C”
Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ–УПИ
620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19
ООО «Издательство УМЦ УПИ»
620002, Екатеринбург, ул. Мира, 17
81