РЕФЕРАТ по предмету: «Информатика» на тему: «История систем счисления» Выполнил: ученик __ класса средней школы ____ Кировского района г. Санкт-Петербурга __________________ Оценка:_____________ Дата:_______________ Подпись:___________ г. Санкт-Петербург, 2015 г. 1 Оглавление Введение ……………………………………………………………………3 §1. Общая характеристика систем счисления …………………………….4 §2. Зарождение чисел, счета и систем счисления…………………………5 §3. Системы счисления различных народов………………………………7 3.1. Племени майя…………………………………………………………...7 3.2. Ацтеков и инков………………………………………………………...8 3.3. Вавилонская…………………………………………………………….8 3.4. Египетская………………………………………………………………10 3.5. Греческая………………………………………………………………..11 3.6. Арабская…………………………………………………………………11 3.7. Римская………………………………………………………………….12 3.8. Славянская………………………………………………………………13. §4. Двоичная система счисления…………………………………………..15 §5. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы………………………..17 Заключение…………………………………………………………………19 Литература …………………………………………………………………20 2 Введение Нашу современную жизнь невозможно представить без компьютера. Любой человек на сегодняшний день знаком с этим понятием. Многие профессии даже не появились бы, если бы человек не создал электронновычислительную технику. С развитием технологий человечество сделало огромный шаг вперед во всех сферах жизни и научных изысканиях. Все это, в конечном итоге, привело к появлению техники, способной эффективно заменить некоторые возможности человеческого разума. И речь, прежде всего, идет об организации вычислений на компьютере. Компьютер работает с числами в двоичной системе счисления. Эта идея принадлежит Джону фон Нэйману, сформулировавшему в 1946 году принципы устройства и работы ЭВМ. Но кроме двоичной существуют и другие системы счисления. Темой данного реферата является «История систем счисления». Понятие системы счисления связано с понятием числа, которое является фундаментальным как для математики, так и для информатики. Целью данной работы является систематизация и углубление знаний по истории систем счисления с использованием исторического материала. 3 §1. Общая характеристика систем счисления. Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над этими числами. Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на позиционные и непозиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называют цифрами. В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы: I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитаются. VI=5+1=6, а IV= 5 – 1=4 В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество цифр, используемых для записи числа, называется основанием позиционной системы счисления. Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Её основание равно десяти, так как запись любых чисел производится с помощью десяти цифр: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Позиционный характер этой системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например, в числе 555 первая цифра обозначает пять сотен, вторая пять десятков, третья – пять единиц. Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n<10 используют n первых арабских цифр, а при n>10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Основание Название Алфавит n =2 Двоичная 01 n =3 Троичная 012 n =8 Восьмеричная 01234567 n =16 Шестнадцатеричная 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А В С D E F 4 Если требуется указать основание системы счисления, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например: 1011012, 36718, 3В8F16. §2. Зарождение чисел, счета и систем счисления. Развитие понятия числа представляет собой весьма длительный процесс, потребовавший от первобытного человека большого напряжения мысли. Первоначально люди пользовались лишь так называемым малым счетом, а именно тремя числами: «один», «два», «много». Иными словами, человек ограничивался счетом до двух, остальные количества он воспринимал как «много». Этот этап положил начало древнейшей из всех систем счисления – двоичной системе счисления. Она, как наиболее простая, по-видимому, существовала у всех народов. Уже на первых ступенях развития человечества в результате практической деятельности людей появилась необходимость уметь считать. Для подсчета количества добычи, полученной во время охоты, для учета скота у древних скотоводческих племени, наконец, для различных потребностей примитивного тогда сельского хозяйства необходимы были некоторые общие правила и приемы, которые и выработали люди в своей совместной жизненной деятельности. Собственная история счета начинается лишь тогда, когда счет сопровождает материальную манипуляцию откладывания, перекладывания, прибавления и т.п., конкретно проводимую с самими предметами. Первым приемом счета была конкретизация его на пальцах. Так, о некоторых южноафриканских племенах известно, что считающий предметы дотрагивается до каждого из них по очереди пальцами, начиная с мизинца левой руки. Н.Н. Миклухо-Маклай описал способ счета у жителей Новой Гвинеи: «Папуас загибает один за другим пальцы рук, причем издает определенный звук, например, «бе-бе-бе», досчитав до пяти, он говорит «ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова говорит «бе-бе-бе», пока не доходит до «ибон-али» (две руки). Затем он идет дальше, приговаривая «бе-бе-бе», пока не доходит до «самба-бе» и «самба-али» (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого. Позже в процессе счета стали откладывать камешки или раковины в кучки, или же делали зарубки по количеству убитых зверей, узелки на веревке. В процессе развития в пределах одного племени или объединения племен образовалось, хотя и медленно, некоторое упорядоченное единство числительных, связанных между собой благодаря наличию в этой системе 5 высшей единицы. Эта высшая единица превратилась впоследствии в основание системы счисления. В случаях, когда счет происходил на целых пальцах, а этот способ счета был наиболее распространен, временной границей счета, естественно оказалось количество пальцев либо одной руки (иногда без большого пальца), либо обеих рук, а иногда рук и ног вместе взятых. Таким путем, основой счисления чаще всего становились числа 5, 10 или 20, гораздо реже 4 или 9. Иногда после окончания счета на пальцах левой руки засчитывалась еще вся рука, так могли возникнуть системы с основанием 6 , 11 или 12. Следы того, что некогда число 7 служило у наших предков для выражения неопределенной множественности, сохранились в русском языке в виде пословиц и поговорок: «Семеро одного не ждут», «Семь раз отмерь, а один отрежь», «У семи нянек дитя без глазу», «За семью печатями» и т.д. Надо полагать, что во всех указанных случаях слово «семь» употреблялось в смысле «много». Понятно, что системы счисления с боле высоким основанием возникли позже, чем с низшим. Благодаря связям между племенами, усилению обмена между ними, наименования числительных и систем счислении объединялись. Системы с низшим основанием оказались менее пригодными, чем десятичная. С другой стороны, и системы с высоким основанием как двадцатеричная система, не оправдывались на практике, ибо они требовали запоминания большого числа особых слов – названий низших числительных. Таким образом, в процессе естественного отбора в подавляющем большинстве случаев выжила система счисления с основанием «средней» величины - десятичная. Хотя десятичная система более удобна, чем пятеричная или двадцатеричная, она уступает двенадцатеричной системе счисления. С чисто математической точки зрения последняя более удобна, так как ее основание 12 делится на 3 и 4, благодаря чему легко производятся действия с часто встречаемым делением окружности и времени. В современное время совершенно неудобная для повседневной жизни двоичная система счисления применяется с громадной выгодой для устройства быстродействующих ЭВМ. 6 §3. Системы счисления различных народов. 3.1 Племени майя. Исследователи, путешествовавшие в 16 в. по Центральной Америке, обнаружили цивилизации с высокоразвитыми системами счисления, отличными от тех, которые были известны в Европе. Племя Майя жило в Центральной Америке в течение первого тысячелетия и во время своего расцвета имело одну из наиболее развитых и очаровательных культур этого периода. Хотя они и не знали, что такое колесо и упряжные животные, но зато превосходили других в областях плетения, архитектуры и изготовления глиняной посуды. Но истинно поразительными были их достижения в областях астрономии и математики. Пока Европа тащилась через темное средневековье, жрецы и астрономы племени Майя определили по солнцу, что продолжительность года составляет 365,242 дня (современное измерение: 365,242198), а длина лунного цикла равна 29,5302 дням (современное измерение: 29,53059). Такие удивительно точные результаты были едва возможны без мощной системы записи числа. Жрецы и астрономы племени использовали систему счисления с основанием 20. Необычная, по тому времени, их система включала позиционность и нуль. Оба этих понятия были полностью неизвестны европейцам в это время. Первые девятнадцать чисел системы счисления были представлены точками и черточками, согласно следующей таблице: Нуль записывался как символ, похожий на раковину (домик улитки). Многозначные числа большие 19, записывались вертикально, начиная с единиц высшего разряда сверху вниз. Числа системы счисления майя носили следующие названия: кин - единицы, виналь - двадцатки, тун - 400, катун - 8000, бактун -160 000. 7 У индейцев майя также существовала и иероглифическая запись чисел. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.2 Ацтеков и инков. Не западном материке развитыми математическими знаниями, кроме народов майя, обладали так же ацтеки. Они, имевшие иероглифическое письмо и солнечный календарь, пользовались двадцатеричной непозиционной системой нумерации, числа они записывали так: Следующей высшей единицей было деления получались , обозначались, например имелся особый знак , из которой путем затем , а для 800 . 3.3 Вавилонская. В древнем Вавилоне примерно за 40 веков до нашего времени создалась позиционная нумерация, то есть такой способ записи чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, смотря по месту, занимаемому этой цифрой. Для малых чисел вавилонская система счисления в основных чертах напоминала египетскую. Одна вертикальная клинообразная черта (в раннешумерских табличках – небольшой полукруг) означала единицу; повторенный нужное число раз, этот знак служил для записи чисел меньше десяти; для обозначения числа 10 вавилоняне, как и египтяне, ввели новый коллективный символ – более широкий клиновидный знак с острием, направленным влево, напоминающий по форме угловую скобку, (в раннешумерских текстах – небольшой кружок). -1 - 10 Повторенный соответствующее число раз, этот знак служил для обозначения чисел 20, 30, 40 и 50. Принцип повторного использования знаков позволял, например, записать число 59 в виде 8 , т.е. 59 = 5 х 10 + 9. Но для записи чисел больше 59 древние вавилоняне впервые использовали новый принцип – одно из самых выдающихся достижений в развитии систем обозначений чисел – принцип позиционности, т.е. зависимости значения символа от его местоположения в записи числа. Вавилоняне заметили, что в качестве коллективных символов более высокого порядка можно применять уже ранее использованные символы, если они будут занимать в записи числа новое положение левее предыдущих символов. Так, один клиновидный знак мог использоваться для обозначения и 1, и 60, и 602, и 603, в зависимости от занимаемого им в записи числа положения, подобно тому, как единица в наших обозначениях используется в записях и 10, и 102, и 103. При обозначении чисел больше 60 знаки, выступающие в новом качестве, отличались от старых тем, что символы разбивались на «места», или «позиции», и единицы более высокого порядка располагались слева, с небольшими пробелами между ними. При таком способе записи для обозначения сколь угодно больших чисел уже не нужно было других символов, кроме уже известных. Так, например, число 302 будет иметь вид: о А число 3725: , то есть 302 = 5 х 60 + 2 ррр ррр , то есть 3725 = 1 х 60 х 60 + 2 х 60 + 5 В Древнем Вавилоне, около 1650 до н.э., система счисления оставалась псевдопозиционной или лишь относительно позиционной, поскольку не существовало эквивалента современной десятичной запятой, равно как и символа для обозначения отсутствующей позиции. Однако в период правления селевкидов, около 300 до н.э., эта неоднозначность была устранена введением специального символа в виде двух небольших клиньев, помещаемого на пустующее место, т.е. обозначающего пустую позицию в записи числа. Таким образом, из системы счисления была устранена отмеченная выше неоднозначность. При отсутствии разряда вставлялся значок , игравший роль нуля. Однако отсутствие низшего разряда не обозначалось, и поэтому число 180 9 = 3 х 60 записывалось так , а обозначать эта запись могла и 3, и 180, и 10800 (3 х 60 х 60), и т. д. Различать эти числа можно было только по смыслу текста. 3.4 Египетская. Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии была существенно облегчена тем, что иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах. Из этих надписей нам известно, что древние египтяне использовали только десятичную систему счисления. 1. Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки. Если палочек нужно изобразить несколько, то их изображали в два ряда, причем в нижнем должно быть столько же палочек сколько и в верхнем, или на одну больше. 10. Такими путами египтяне связывали коров Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам. 100. Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила. 1 000. Вы когда-нибудь видели цветущий лотос? Если нет, то вам никогда не понять, почему Египтяне присвоили такое значение изображению этого цветка. 10 000. "В больших числах будь внимателен!" - говорит поднятый вверх указательный палец. 100 000. Это головастик. Обычный лягушачий головастик. 1 000 000. Увидев такое число обычный человек очень удивится и возденет руки к небу. Это и изображает этот иероглиф 10 000 000. Египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, и, 10 наверное, поэтому самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца 3.5. Греческая. В древнейшее время в Греции была распространена так называемая Аттическая нумерация. В этой нумерации числа 1, 2, 3, 4 изображались соответствующим количеством вертикальных полосок: , , , . Число 5 записывалось знаком (древнее начертание буквы "Пи", с которой начиналось слово "пять" - "пенте". Числа 6, 7, 8, 9 обозначались сочетаниями этих знаков: . Число 10 обозначалось - заглавной "Дельта" от слова "дека" "десять". Числа 100, 1 000 и 10 000 обозначались H, X, M. Числа 50, 500, 5 000 обозначались комбинациями чисел 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1 000. Примерно в третьем веке до нашей эры аттическая нумерация в Греции была вытеснена другой, так называемой "Ионийской" системой. В ней числа 1 - 9 обозначаются первыми буквами греческого алфавита: числа 10, 20, … 90 изображались следующими девятью буквами: числа 100, 200, … 900 последними девятью буквами: Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами, но только с добавлением особого значка '. Любая буква с этим значком сразу же становилась в тысячу раз больше. Для отличия цифр и букв писали черточки над цифрами. Примерно по такому же принципу организованную систему счисления имели в древности евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока. 3.6. Арабская. Это, самая распространенная на сегодняшний день нумерация. Название "арабская" для нее не совсем верно, поскольку хоть и завезли ее в Европу из арабских стран, но там она тоже была не родной. Настоящая родина этой нумерации – Индия. 11 Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале IX века Мухаммедом Аль Хорезми. Оно было переведено в Западной Европе на латинский язык в XII веке. В XIII веке индийская нумерация получает преобладание в Италии. В других странах она распространяется к XVI веку. Европейцы, заимствовав нумерацию у арабов, называли ее "арабской". Это Сверху вниз: Современные исторически неправильное название арабские (западные); Ранние удерживается и поныне. арабские (западные); Арабские Из арабского языка заимствовано и буквы (использовавшиеся, как слово "цифра" (по-арабски "сыфр"), цифры); Современные означающее буквально "пустое место" арабские (восточные); Ранние (перевод санскритского слова "сунья", арабские (восточные); Ранние имеющего тот же смысл). Это слово Деванагари (Индийские); применялось для названия знака пустого Поздние Деванагари разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин "нуль" (nullum ничто). Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Марокканский историк Абкелькари Боужибар считает, что арабским цифрам в их первоначальном варианте было придано значение в строгом соответствии с числом углов, которые образуют фигуры. Так, единица создает лишь один угол, тройка - три, пятерка - пять и т.п. нуль не образует никакого угла, поэтому он не имеет никакого содержания. Та форма, которой мы сейчас пользуемся, установилась в XVI веке. 3.7. Римская. Это, наверное, самая известная нумерация, после арабской. С нею мы достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни. Это номера глав в книгах, указание века, числа на циферблате часов, и т. д. Римские обозначения чисел известны ныне лучше, чем любая другая древняя система счисления. Объясняется это не столько какими-то особыми достоинствами римской системы, сколько тем огромным влиянием, которым пользовалась Римская империя в сравнительно недавнем прошлом. Цифры римской нумерации имеют следующее начертание: I V X L C D M 1 5 10 50 100 12 500 1000 Прежде знак M изображался знаком Ф, потому то 500 и стал изображать знак D как "половина" Ф. Так же построена и пары L и C, X и V. Хотя о первоначальном значении этих символов было написано много, но достоверного объяснения не существует. Согласно одной из распространенных теорий, римская цифра V изображает раскрытую руку с четырьмя прижатыми друг к другу пальцами и отставленным большим пальцем; символ X, согласно той же теории, изображает две скрещенные руки или сдвоенную цифру V. Символы чисел 100 и 1000, возможно, берут начало от греческих букв Q и Ф. Неизвестно, произошли ли более поздние обозначения C и M от старых римских символов или они связаны с начальными буквами латинских слов, означавших 100 (центум) и 1000 (милле). Полагают, что римский символ числа 500, буква D, возник из половинки старого символа, обозначавшего 1000. Тем не менее, для обозначения 10 000 они эпизодически использовали символ , а для числа 100 000 – символ . Половинки этих символов иногда использовались для обозначения чисел 5 000 ( ) и 50 000 ( ). 3.8. . Славянская. В России первая, дошедшая до нас математическая рукопись, восходит к началу XII века. В славянской нумерации можно выделить: глаголическую и кириллическую нумерации. Глаголическая нумерация. Эта нумерация была создана для переписки чисел в священных книгах западных славян. Использовалась она нечасто, но достаточно долго. По организации она в точности повторяет греческую нумерацию. Использовалась она с VIII по XIII в. 1 2 10 100 20 3 30 4 40 200 300 400 13 1 000 5 6 7 8 9 50 500 60 600 70 700 80 800 90 900 Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали Такая запись числа аддитивная, то есть в ней используется только сложение: = 800+60+3 = 863 Кириллическая нумерация. Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для переписки священных книг для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. Если посмотреть внимательно, то увидим, что после "а" идет буква "в", а не "б" как следует по славянскому алфавиту, то есть используются только буквы, которые есть в греческом алфавите. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию. Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали. Запись числа - аддитивная, то есть в ней использовалось только сложение. 14 Для того, чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла горизонтальные черточки над числами. Для обозначения больших, чем 900 чисел использовались специальные значки, добавляемые к букве. Так образовывались числительные Тысяща - 1 000, Леон - 10 000, Одр - 100 000, Вран (ворон) 1 000 000, Колода - 10 000 000, Тьма - 100 000 000. В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация. §4. Двоичная система счисления Двоичная система счисления, т.е. система с основанием b 2 , является «минимальной» системой, в которой полностью реализуется принцип позиционности в цифровой форме записи чисел. В двоичной системе счисления значение каждой цифры «по месту» при переходе от младшего разряда к старшему увеличивается вдвое. История развития двоичной системы счисления – одна из ярких страниц в истории арифметики. Официальное «рождение» двоичной арифметики связывают с именем Г. В. Лейбница, опубликовавшего статью, в которой были рассмотрены правила выполнения всех арифметических операций над двоичными числами. До начала тридцатых годов XX века двоичная система счисления оставалась вне поля зрения прикладной математики. Потребность в создании надежных и простых по конструкции счетных механических устройств и простота выполнения действий над двоичными числами привели к более глубокому и активному изучению особенностей двоичной системы как системы, пригодной для аппаратной реализации. Первые двоичные механические вычислительные машины были построены во Франции и Германии. Утверждение двоичной 15 арифметики в качестве общепринятой основы при конструировании ЭВМ с программным управлением состоялось под несомненным влиянием работы А. Бекса, Х. Гольдстайна и Дж. Фон Неймана о проекте первой ЭВМ с хранимой в памяти программой, написанной в 1946 году. В этой работе наиболее аргументированно обоснованы причины отказа от десятичной арифметики и перехода к двоичной системе счисления как основе машинной арифметики. В двоичной системе счисления используются только два символа, что хорошо согласуется с техническими характеристиками цифровых схем. Действительно очень удобно представлять отдельные составляющие информации с помощью двух состояний: Отверстие есть или отсутствует (перфолента или перфокарта); Материал намагничен или размагничен (магнитные ленты, диски); Уровень сигнала большой или маленький. Существуют специальные термины, широко используемые в вычислительной технике: бит, байт и слово. Битом называют один двоичный разряд. Крайний слева бит числа называют старшим разрядом (он имеет наибольший вес), крайний справа – младшим разрядом (он имеет наименьший вес). Восьмибитовая единица носит название байта. Многие типы ЭВМ и дискретных систем управления перерабатывают информацию порциями (словами) по 8, 16 или 32 бита (1, 2 и 4 байта). Двоичное слово, состоящее из двух байт, показано на рис. 3.1. Старший бит Бит Байт Младший бит Байт Рис. 3.1 Бит, байт и слово Слово 16 §5. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы Пpи наладке аппаpатных сpедств (пpогpамм BIOS и т.д.) и написании новых пpогpамм (особенно на языках низкого уpовня типа ассемблеpа или C) чисто возникает необходимость заглянуть в память машины, чтобы оценить ее текущее состояние. Но там все заполнено длинными последовательностями нулей и единиц, очень неудобных для воспpиятия. Кpоме того, естественные возможности человеческого мышления не позволяют оценить быстpо и точно величину числа, пpедставленного, напpимеp , комбинацией из 16 нулей и единиц. Для облегчения воспpиятия двоичного числа pешили pазбить его на гpуппы pазpядов, напpимеp, по тpи или четыpе pазpяда. Эта идея оказалась удачной, так как последовательность из 3 бит имеет 8 комбинаций, а последовательность из 4 бит –16 комбинаций. Числа 8 и 16 – степени двойки, поэтому легко находить соответствие между двоичными числами. Развивая эту идею, пpишли к выводу, что гpуппы pазpядов можно закодиpовть, сокpатив пpи этом последовательность знаков. Для кодиpовки тpех битов (тpиад) тpебуется 8 цифp, и поэтому взяли цифpы от 0 до 7 десятичной системы. Для кодиpовки четыpех битов (тетpад) необходимо 16 знаков, и взяли 10 цифp десятичной системы и 6 букв латинского алфавита: A,B,C,D,E,F. полученные системы, имеющие в основании 8 и 16 , назвали соответственно восьмеричной и шестнадцатеричной. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы Десятичное Восьмеричное Шестнадцатеричное Триада Тетрада число число число 000 0 0 0 0000 000 000 1 1 1 0001 001 000 2 2 2 0010 010 000 3 3 3 0011 011 000 4 4 4 0100 100 000 5 5 5 0101 101 000 6 6 6 0110 110 17 7 7 8 10 9 11 10 12 11 13 12 14 13 15 14 16 15 17 16 20 000 111 001 000 001 001 001 010 001 011 001 100 001 101 001 110 001 111 010 000 7 0111 8 1000 9 1001 А 1010 В 1011 С 1100 D 1101 Е 1110 F 1111 10 10000 В таблице пpиведены числа в десятичной, восьмеpичной и шестнадцатеpичной системах и соответствующие гpуппы бит в двоичной системе. 16-pазpядное двоичное число со знаковым pазpядом можно пpедставить 6-pазpядным восьмеpичным, пpичем стаpший байт в нем будет пpинимать значения лишь 0 или 1. В шестнадцатеpичной системе такое число займет 4 pазpяда. В СССР в 1957 г. была построена экспериментальная модель ЭВМ "Сетунь", арифметика которой базировалась на троичной системе счисления. К сожалению, несмотря на ряд особенностей, привлекших внимание, в машине были реализованы далеко не все полезные свойства троичного кода и трехзначной логики, а также не было операций с плавающей запятой, для которых преимущества троичного кода особенно существенны. 18 Заключение Работая над рефератом, я узнал много новых и интересных фактов о происхождении чисел и систем счисления, о том, как люди в разные эпохи учились считать, как изображали цифры и числа. В процессе изучения дополнительной литературы мои знания по данной теме стали более глубокими и прочными. 19 Литература 1. А. Дирксен. Микро – ЭВМ. – М.: Энергоиздат, 1982 г. 2. История отечественной математики. Т.1. Киев, 1966 г. 3. И.Г. Семакин. Информатика. Базовый курс. / И.Г. Семакин, Л.А. Залогова, С.В. Русаков, Л.В. Шестакова. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003 г. 4. С. Симонович. Практическая информатика. Учебное пособие для средней школы. Универсальный курс. – М.: АСТ-ПРЕСС. Инфорком – Пресс, 1999 г. 5. Энциклопедия знаний, 2006 г. 6. Э. Кольман. История математики в древности. Гос. издат. физикоматемат. литературы. М., 1961 г. 7. Фомин С.В. Системы счисления, М.: Наука, 1987. 20
